lei de gauss
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Lei de Gauss – Capítulo 23
Karl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Lei de Gauss - Usufruir da simetria que o problema oferece.
-Em vez de considerar os campos dE criados pelos elementos de cargade uma dada distribuição de cargas, a Lei de Gauss considera uma super-fície fechada imaginária que envolve a distribuição de cargas.
-Superfície Gaussiana
-pode ter qualquer forma, mas a forma que facilita o cálculo do E é a que reflete a simetria da distribuição de cargas.
-a Lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfíciegaussiana à carga total envolvida pela superfície.
Fig. 23-8 – Uma superfície gaussiana esférica com centro em uma carga pontual q.
Fig. 23-12 – Uma superfície gaussiana cilíndrica envolvendo parte de uma barra deplástico cilíndrica de comprimento infinito com densidade linear uniforme de cargaspositivas.
Fluxo
Ex. do escoamento de um fluido com velocidade v (fluxo volumétrico).
A cos A
v
A vazão (volume/tempo) do fluido que atravessa a superfície, é
cosvA
v
A
Av
v
: Fluxo de um campo v através de uma área A
Fluxo do campo elétrico.
Considere uma superfície gaussiana arbitrária (assimétrica) imersa em um campo elétrico, o qual não é necessariamente uniforme.
.E A
Tomando limite para A0
dAE
onde o círculo no símbolo de integral indica que a integral deve ser realizada sobre toda a superfície fechada.
onde E é aproximadamente constante sobre A.
.E A
Se E é uniforme, AE
-O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número de linhas de campo elétrico queatravessam a superfície.
.a b c
E dA E dA E dA E dA ������������������������������������������
0
0. (cos180 )a
E dA E dA E dA EA
. (cos 0)c
E dA E dA EA
0. (cos90 ) 0b
E dA E dA
-Qual é a carga total envolvida pelo cubo gaussiano do exemplo acima?
O fluxo de um campo através de uma superfície fechada, quando o número total de linhas que entram é igual ao das que saem, é nulo.
>0 <0
>0
O fluxo de um campo através de uma superfície fechada, quando o número total de linhas que entram é diferente ao das que saem, é não nulo.
q
Lei de GaussO fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada qualquer (superfície gaussiana) é proporcional à carga encerrada pela superfície.
0 . envE dA q
(Lei de Gauss no vácuo ou ar)
- onde dA indica a normal exterior à superfície e o (permissividade elétrica no vácuo = 8,8510-12 C2/N m2.
Método de Gauss
-Mediante uma escolha adequada de uma superfície envolvendo a distribuição de
carga, uma que reflita a simetria da distribuição, é possível a determinação do
campo elétrico E em todos os pontos do espaço.
Simetrias
Aplicações da Lei de Gauss
dAEq
o
dAE
24 rE
1) Carga pontual
+qr
sup. gaussiana
dA
E
Por simetria, E deve ser radial e dirigido para fora
24 r
qE
o
- A Lei de Coulomb pode ser demonstrada a partir da Lei de Gauss.
2) Condutor carregado.-A Lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos condutores.
-Se uma carga em excesso é introduzida em umcondutor, a carga se encontra na superfície do condutor; o interior do condutor continua a ser neutro.
O cálculo do campo elétrico próximo à superfíciede um condutor pode ser determinado com facilidadeutilizando a Lei de Gauss.
oEA A
o
E
Superfície condutora
3) Fio retilíneo infinito – simetria cilíndrica.
cos (2 )cos (2 )EA E rh E rh
A qenvolv pela superfície gaussiana é h
0 envq
0 . envE dA q
0 (2 )E rh h
02E
r
4) Placa fina, infinita – simetria planar.
0 . envE dA q
0 ( )EA EA A
02E
Equação 22-27, E de um disco carregadono limite R tendendo a infinito.
5) Casca esférica e esfera sólida – simetria esférica.
-Teoremas das cascas – Seção 21-4.
-Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula carregada situadado lado de fora da casca como se toda a carga da casca estivesse situada nocentro.
-Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme decargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula.
-Casca esférica carregada de cargatotal q e raio R e duas superfíciesgaussianas concêntricas, S1 e S2.
Aplicar a Lei de Gauss à S2 – r ≥ R.
20
1
4
qE
r
Campo de uma carga pontual q localizadano centro da casca.
Aplicar a Lei de Gauss à S1 – r < R.
0E
A superfície gaussiana não envolve nenhuma carga.
Se existe uma partícula carregada no interior da casca, a casca não exercenenhuma força sobre a partícula.
-Campo devido a uma esfera uniformemente carregada – Tipler – Cap-22.
-Determine o campo elétrico gerado por uma esfera sólida uniformemente carregadaque tem raio R e uma carga total Q, distribuída uniformemente através do volume daesfera cuja densidade de carga é =Q/V, onde V é o volume da esfera.
20 4 envE r q
0 . envE dA q
20
1( )
4envqE rr
Para r ≥ R, qenv=QPara r ≤ R, qenv = V´
Com V´=4/3πr3, então:
3´ 3
33
44 33
env
Q Q rq V r Q
V RR
Para r ≥ R,
3
2 3 30 0
1 1( )
4 4
Q r QE r r
r R R Para r ≥ R,
20
1( )
4
QE r
r
23-1- A sup. quadrada tem 3,2 mm de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E=1800N/C e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35o com a normal. Tome essa normal como apontando para fora, como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
O fluxo será E.A já que o campo é uniforme.
23 2
22
cos145 1800 3,2 10 cos145
.1.5 10
o oNE A m
C
N m
C
23-6- Uma rede para pegar borboletas está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E=3mN/C. O plano do aro da rede, uma circunferência de raio a=11cm é mantido perpendicular à direção do campo. A rede é eletricamente neutra. Determine o fluxo elétrico através da rede.
A partir da rede podemos construir uma superfície fechada fechando o aro da rede. Como a rede é eletricamente neutra, ou seja, não possue carga, o fluxo total através de toda a rede deve ser zero.
0 aroredetotal
22 4 .
1.1 10
rede aro
E Área
N mE a
C
23-7- Na fig. um próton se encontra a uma distância vertical d/2 do centro de um quadrado de aresta d. Qual é o módulo do fluxo elétrico através do quadrado?
Poderíamos construir uma caixa com mais 5 quadrados similares.
291 .
3.01 106 o
q N m
C
Pela geometria proposta, a carga se encontraria no centro da caixa.
Por tal motivo, e por considerações de simetria, o fluxo seria igual por todas as faces da caixa. Assim, o fluxo pelo quadrado é 1/6 do fluxo total.
23-12- Uma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascas esféricas concêntricas que são muito finas e feitas de um material não-condutor. A figura a) mostra uma seção reta do sistema, e a fig. b) o fluxo através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera. a) determine a carga da partícula central, b) determine a carga da casca A e c) determine a carga da casca B.
A primeira seção reta do gráfico do fluxo correspondem a um fluxo constante de 2(Nm2/C) o qual deve corresponder a uma superficie gaussina de raio crescente até o raio da superficie da esfera A.
O valor da carga no centro é 2x 105 (Nm2/C)o..
4
0 envq
23-15- A fig. mostra uma superficie gaussiana com a forma de um cubo de 2m de aresta, com um vértice no ponto (x1, y1)=(5m,4m). O cubo está imerso em um campo elétrico dado por E= (-3 i - 4y2 j + 3k) N/C, com y em metros. Qual é a carga total contida no cubo?
x1
y1
AdE
.
2
1
3
5
64
6
1
.i i
AdE
C
Nmm
C
NkdAkEAdE z
22
11
1243ˆ.ˆ
Na face 1, dA=dA k
C
Nmm
C
NkdAkEAdE z
22
22
1243ˆ.ˆ
Na face 2, dA=-dA k
x1
y1
2
1
3
5
64
Na face 4, dA=dA j
Na face 3, dA=-dA jC
Nmm
C
NjdAjEAdE y
22
33
64416ˆ.ˆ
C
Nmm
C
NjdAjEAdE y
22
44
256464ˆ.ˆ
Na face 5, dA=dA iC
Nmm
C
NidAiEAdE x
22
55
1243ˆ.ˆ
Na face 6, dA=-dA iC
Nmm
C
NidAiEAdE x
22
66
1243ˆ.ˆ
C
Nmtotal
2
192 oq
23-27- A fig. é a seção reta de uma barra condutora de raio R1=1,3mm e comprimento L=11m no interior de uma casca coaxial de paredes finas, de raio R2=10 R1 e mesmo comprimento. A carga da barra é Q1=+3,410-12C; a carga da casca é Q2=-2 Q1. a) Determine o módulo de E e a direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r=2 R2. b) Idem para r=5 R1. c) Determine a carga na superfície interna da casca.
23-36- Na fig. um pequeno furo circular de raio R=1,8cm foi aberto no meio de uma placa fina infinita, não condutora, com uma densidade superficial de cargas =4,5 pC/m2. O eixo z, cuja origem está no centro do furo, é perpendicular à placa. Determine, em termos dos vetores unitários, o campo elétrico no ponto P situado em z=2,56cm.
= +
= -
sup buraco superficie discoE E E
O campo de uma dist. circular uniforme de cargas, num ponto como o P é
O campo de uma dist. uniforme plana infinita de cargas, sem o buraco, num ponto como o P é
superfícieˆ
2 o
E k
disco 2 2
ˆ12 o
zE k
z R
superficie +buraco 2 2
ˆzE k
z R