LABORATORIOPLS:‘VERSOILLICEOMATEMATICO’

•  ScopodellaboratorioèdiscutereconidocenAdimatemaAcaedialtredisciplinedellascuolainteressataallaboratorio,esperimentareconglistudenAdelprimoanno,unpercorsodiapprofondimentodialcuniargomenAdelprogrammachemeGainluceicollegamenAdellamatemaAcaconlealtrematerieesviluppialcunipunAdivistamenousuali.

•  GliincontriruoterannoaGornoalledueparolechiave:‘dimostrazione’e‘algoritmo’.

•  NellaIDSdelLiceoScienAficoG.DeSancAssarannodedicate30/32oreallosvolgimentodelLaboratoriodivisesuiduetemi,conalcuniincontriall’Universitàealcuniascuola.

•  IdocenAdellaclasseimpegnaAsonolaprof.ssaGranesediGeostoria,laprof.ssaPuziodiMatemaAcaelaProf.ssaSavinellidiFisica.

•  Comeperiltemariguardanteladimostrazione,ancheperl’algoritmoillavoroèiniziatoaparAredacennistoricienonstreGamentematemaAci,perpoiproseguireconesempidisemplicialgoritmi.

PapirodiRhind

Algoritmi

Unapprocciostorico-didaWco

Theword“algorithm”itselfisquiteinteresAng;atfirstglanceitmaylookas

thoughsomeoneintendedtowrite“logarithm”butjumbledupthefirstfourleGers.

DonaldE.Knuth,TheArtofComputerProgramming,v.I,p.1.

Nonappenaunacosavienedimostrata

impossibileacompiersi,unaquanAtàdigentesimeGeallavoropercercaredirealizzarla

comunque.Questasembraunacomponenteessenzialedelcomportamentoumano.

DonaldE.Knuth,Algoritmi,“LeScienze”n.108,agosto1977,p.14.

Algoritmo:LaformapiùanAcadiquestoterminesitrovanellaAnomedievale,incui,conlaparolaalgorithmusoalgorismus,sidesignavaogniprocedimentopereseguireoperazioniaritmeAchefacendousodellecifrearabecheeranostateintrodoGeinoccidenteconl'operaLiberAbaci,del1202,diLeonardoPisano,ilgrandematemaAcoitalianonotoconilsoprannomediFibonacci.

RitraGodiFibonacci

NelMedioevovenivafaGaunadisAnzionetraicosiddeWabacisA,checalcolavanoconl'abaco,eglialgorisA,checalcolavanousandolenuovecifrearabe.NelRinascimentosiritenevachel'originedellaparolafossedovutaallacombinazionedelleparolealgiros(penoso)earithmos(numero);mentrealtriritenevanochederivasseda“ReAlgordiCasAglia”.Finalmente,glistoricidellamatemaAcahannostabilitocheilterminemedievalealgorismusderivadalnomedelmatemaAcopersianoAbu‘AbdAllahMuhammadibnMusaal-Khwarizmi(c.825)-leGeralmente,“PadrediAbdullah,Mohammed,figliodiMoses,naAvodiKhwarizm.”Khwarizmeraunaregionedell'Asiacentrale,localizzatanelbacinodelfiumeAmu,asuddelMard'AralcheuntempoeranotocomeLagoKhwarizm.Al-Khwarizmiscrissel'operaKitabAl-jabrwa’lMuqabala(L'artedinumerareedordinareleparAinuntuGo)dacuiderivailnomeAlgebra.LatraduzionediquestotraGatoinlaAnofufaGamolAannidopoecominciavaconleparoleDixitAlgorithmi,storpiandoilsoprannomedelsuoautore;daquiebbeorigineilterminealgoritmo.

Finoadalcunidecennifalaparola«algoritmo»erasconosciutaallamaggiorpartedellepersonecolte,malosvilupporapidissimoavutodallascienzadeicalcolatori,nell'ulAmoventenniodelventesimosecolo,hamodificatolasituazione,edaGualmentelaparolaèdiventataindispensabile,elepubblicazioniriguardanAglialgoritmihannoraggiuntounnumeroconsiderevole.Esistonodiversiterminiche,almenoinparte,esprimonoilconceGoinquesAone,come:procedura,prescrizione,rouAne,processo,metodo.Sipuòdefinireunalgoritmouninsiemediregoleodire4vea6eafornireunarispostaspecificaaunaspecificarichiesta.CaraGerisAcadisAnAvadeglialgoritmièlatotaleeliminazionedelleambiguità:leregoledevonoesseresufficientementesempliciebendefinitedapoteressereeseguitedaunamacchina.Un'altracaraGerisAcafondamentaledeglialgoritmièchedevonosempreavereterminedopounnumerofinitodipassi.

LostudiosistemaAcodeglialgoritmi,lalorodefinizionematemaAca,l'analisidelleoperazionidaeseguire,laprecisazionedelleclassidiproblemirisolubilimediantealgoritmisonostaAoggeGodiricercanelsecoloscorso.Ataleriguardo,studiimportanAvenneroeseguiAdaAndreiAndreievicMarkov(1856-1922).All'iniziodegliannitrentavennesviluppatalateoriadellefunzioniricorsivedapartedimolAmatemaAci,traiqualispiccailgrandeKurtGödel.(1906-1978).KurtGödel AlanTuringAnchelateoriadellemacchine‘computazionali’,cheèstreGamentecollegataallostudiodeglialgoritmi,vennesviluppataaparAredagliannitrentadaAlanTuring(1912-1954).

Alcuni esempi di algoritmi a] Uno degli algoritmi più antichi venne scoperto su alcune tavolette di argilla in Mesopotamia e si riferisce al calcolo della somma delle potenze del numero 2 con esponente variabile da 1 ad n. Rappresentandolo nel nostro linguaggio, esso si compone dei passi seguenti: 1. Inizio dell'algoritmo. 2. Somma la potenza di 2 da 1 ad n, con n numero intero ≥1. 3. L'ultimo termine della somma è 2!. 4. Sottrai 2 da 2!, troverai quindi 2! - 2. 5. Somma (2! - 2) a 2! e ottieni la risposta; quindi la somma è S = 2!+ (2! - 2). 6. Questo è il procedimento.

Algebricamente,questoprocedimentodellamatemaAcababilonesevieneconvalidatodallaformulacheforniscelasommadellepotenzedi2,quandol'esponentekassumetuWivaloriinteriposiAvida1adn:

Questaformularappresenta,infaWlasommadinterminidellaprogressionegeometrica:21,22,23,24,25,26,27,28,29,...diragione2,percuilasommavale:

Ciòcheapparesubitoevidenteèchequalsiasipersona,purnonconoscendoilconce6odiprogressionegeometrica,puòraggiungereilrisultatodesiderato,seguendolesingoleistruzionidelprocedimentodescriGo.

2k = 2n + (2n − 2)k∑

Sn = a1 ⋅qn −1q−1

= 2 ⋅ 2n −12−1

= 2 ⋅2n − 2 = 2n + (2n − 2)

L’algoritmonell’anAchità

L’algoritmouAlizzatoinmatemaAcavenneadoGatogiàdagliEgizi.NesiamovenuAaconoscenzagrazieaduepapiri,ilPapirodiRhindeilPapirodiMosca.

PapirodiRhind PapirodiMosca

PapirodiRhind PapirodiMosca

ConAenealsuointernoalcuniproblemigeometricidivolume,unarappresentazionedelteoremadiPitagoraevariApidifrazione.ÈlafontepiùampiacheabbiamosullamatemaAcaegizia.RisalealRegnoMediofrail2000eil1800a.C.

Presentalaformuladelvolumediunapiramidedibasequadrataeunmetodoperricavarel’areadiunemisfero.FuscriGodaunignotoscribacircanel1890a.C.ConAeneanchevenAcinqueesempidivitaquoAdiana.

RealizzatodaEleonoraCollini,CaterinaLauri,ValenAnaFancellu,FedericaGenoese.

b]NelfamosoPapiroRhind,chesiriAenescriGodalloscribaegizioAhmes,circanel1650a.C.,econservatonelBriAshMuseumdiLondra,spiccaunalgoritmodimolAplicazionetrainterichecoincide,sorprendentemente,conilnostrousualealgoritmodimolAplicazione,seglioperandifosserorappresentaAinbase2;solochegliegizianinonconoscevanotalerappresentazione!

UnapartedelPapiroRhind

Tale algoritmo può essere descritto mediante i passi seguenti. 1] Sono dati i numeri interi positivi a e b. Sia p il loro prodotto, inizialmente incognito. 2] Poni p = 0 e controlla se a è dispari o pari. 3] Finché a ≠ 0 ripeti la seguente procedura:

3.1 se a è dispari, allora fai la somma di b e di p; 3.2 Dimezza a trascurando il resto; 3.3 Raddoppia b.

4] Scrivi il risultato finale. Per esempio se a = 45 e b = 14, il prodotto p = 630 si costruisce come segue: p : 0 14 14 70 182 182 630 a : 45 22 11 5 2 1 0 b : 14 28 56 112 224 448 896 In questo esempio, se rappresentiamo 45 in base 2 otteniamo: 1 0 1 1 0 1 Scriviamo questo numero in forma polinomiale: 2! + 2! + 2! + 2! Se eseguiamo ora la moltiplicazione per 14, si ha: (2! + 2! + 2! + 2!) · 14 = 448 + 112 + 56 + 14 = 630 che è la somma corrispondente al prodotto 45 · 14.

UnprocedimentosimilepotremmouAlizzarloperfareeseguirelamolAplicazionetraduenumeriancheadunallievocheconosceisimboli1,2,3,...,chesasommareesoGrarre,chepossiedefoglidicarta,manonsachecosasignifichi«molAplicare».Potremmo,peresempio,descriverel'operazionenelmodoseguente,pursapendocheilmetododescriGosarebbelontanodallanostraideadi«molAplicazione»:Inizio

scriviilnumeroasulfoglioAscriviilnumerobsulfoglioBscriviilnumero0sulfoglioCfinchésulfoglioBc'èunnumeromaggioredi0ripeAleseguenAistruzioni: inizio failasommadelnumeroscriGosulfoglioCcolnumeroscriGosulfoglioA scriviilrisultatosulfoglioCdopoavercancellatoilnumeroprecedente soGrai1alnumeroscriGosulfoglioB scriviilrisultatosulfoglioBdopoavercancellatoilnumeroprecedente fineleggiilnumeroscriGosulfoglioC

fine.

4

A

3 2 1 0

B

0 4 8 12

C

c]UnaltrocalcologuidatositrovanelPapirodiMosca,risalenteal1700a.C.,incuisonorisolA25problemidellastessanaturadiquellidelPapiroRhind.UnodeipiùinteressanAèilseguente,incuisicalcolailvolumediuntroncodipiramideabasequadratasecondoquestometodo:SeAvienedeGo:c'èunapiramidetroncacheha6peraltezzaverAcale,4perlabasee2perlacima.Faiilquadratodi4,risultato16.Raddoppia4,risultato8.Faiilquadratodi2,risultato4.Addizionail16,l'8eil4,risultato28.Poiprendiunterzodi6,risultato2.Allorafaiduevolte28,risultato56.Vedraicheilrisultatoègiusto.

IlproblemadeltroncodipiramidenelPapirodiMoscaL'algoritmosicompone,quindi,deiseguenApassi:1.Iniziodell'algoritmo(altezzah=6,basea=4,cimab=2).2.Faiilquadratodi4.3.Scriviilrisultato:16.4.Faiildoppiodi4.5.Scriviilrisultato:8.6.Faiilquadratodi2.7.Scriviilrisultato:4.8.Somma16+8+4.9.Scriviilrisultato:28.10.Calcola⅓di6.11.Scriviilrisultato:2.12.MolAplica2per28.13.Scriviilrisultato:56.14.Finedell'algoritmo.

CiòchemeravigliamaggiormenteinquesAesempiècheessiconduconoilleGorealrisultatogiusto,masenzamoBvarelasuccessionedelleoperazioni.Essiappaionoincredibilmentecomealgoritmiilcuiesecutoreèpensatopiùcomeunautomachecomeunessereumano.NelcasodeltroncodellapiramidenonvienefornitounmetodogeneralevalidopertuWiApidiquesAsolidi.Nonsipuòsperare,inquestoApodigeometriapraAca,ditrovareunaformulageneralecomequellacheusiamonoipertrovareilvolumediqualsiasitroncodipiramide,conoscendoillatoadellabasemaggiore,illatobdellabaseminoreel'altezzah:V=1/3h(a2+ab+b2)L'unicaindicazioneèquell'affermazionefinale:“vedraicheilrisultatoègiusto”,chesembravolerdire:“nonpreoccuparA,ècomeAdicoio”,senzacheilleGorepossachiedere:“maperchésidevefarecosì?”

Nell'usoodierno,peralgoritmosiintende,sinteAcamente,qualunqueschemaoprocedimentodicalcolo;piùprecisamente:Unprocedimentodicalcoloesplicitoedescrivibileconunnumerofinitodiregolecheconducealrisultatodopounnumerofinitodioperazioni,cioèdiapplicazionedelleregole.AncheseilconceGodialgoritmohaunaconnotazioneprecisasolonellascienza,einparAcolarenellamatemaAca,essononèunpatrimoniosolodell'ambitoscienAfico,mastaallabasedimolteazionichedisolitovengonodeGeabitudinarie,machepossonoesseredecodificatemediantesuccessionidiaWcheilnostrocervellohaormaiimmagazzinatoinmanieradefiniAvaeche,ripetutenellorocomplesso,appaiononaturali.Talisono,peresempio,leazionicheriguardano:-aprireunaporta;-prenderel'ascensore;-fareunatelefonata;-meGereinmotol'automobile.

d]Consideriamo,adesempio,l'azionedi“fareunatelefonata”.Allabasedell'azionec'èlanecessitàdirisolvereunproblema:comunicarequalcosaadun'altrapersonacheèirraggiungibilefisicamente,echevivenellanostrastessaciGàoinun'altraciGà.Ciavviciniamoall'apparecchiotelefonico,alziamoilricevitore,componiamoilnumeroeaGendiamochelapersonachiamatacirisponda.Serisponderà,alloraavremorisoltoilnostroproblema;incasocontrario,potremodeciderediriprovaredopoqualchetempo.Seanalizziamolasuccessionediazionichesidevonocompiere,possiamoelencarlenelmodoseguente:1]miavvicinoall'apparecchiotelefonico;2]sollevoilricevitore;3]aGendoilsegnaleacusAco;4]compongoilnumero;5]seilnumerochiamatoèlibero,aGendolarisposta,altrimenAriaggancioilricevitore.

Chiediamoci:aqualicriterisoddisfaquestasequenzadiazioni?essaèfinita,cioè,terminainuntempofinito;noncreacontraddizioni,ovvero,nonmiportaafareun'azionechesiaincontrastoconun'azionefaGaprecedentementenellasequenza;fasemprelastessacosa,cioè,ognivoltacheioripeteròlasuccessionedelleazioni,comerisultatofinalepotròcomunicareconlapersonachiamataoppureno.Possiamoconcluderechequestoalgoritmoèbuono,ovverorisolveefficacementeilnostroproblema.

e]Eccounaltroproblema:Devospiegareadunamicocomearrivareacasamia,partendodaunpostonotoadentrambi.DopoaverglidisegnatounapianAnasommariadelluogodaraggiungere,potreifornirgliquesteindicazioni:1]partendodalpuntonoto,prendilaprimastradaadestra;2]proseguilungoquestaviafinoallasecondatrasversale;3]giraasinistra;4]proseguifinoachevedisullatuadestraunabellainsegnadinegozio;5]giraasinistra;6]proseguilungoquestaviafinoaln.33.

Aprimavista,sembrachelasuccessionedelleistruzionivadabeneechel'algoritmodebbafunzionare.Inrealtàc'èqualcosachenonlorendedeltuGoefficace:precisamenteilpasso4,quandovienedeGoall'amicodiproseguirefinchénonvedeunabellainsegna!IntalcasohoipoAzzatochequellachepermeèunabellainsegnadebbaesserlopureperilmioamico!Ciòchepuòanchenonessere,perchéilconceGodi“bello”èsoggeWvo.Quindiquestoalgoritmononèbuono.

f]Consideriamounaltroproblema,questavoltadinaturamatemaAca:Devodeterminarel'areadiunre6angolo,conoscendolesuedimensioniaeb:Inquestocasoipassidacompieresono:1]scrivolaformulaperdeterminarel'areadelreGangolo:A=a·b;2]sosAtuiscoadaeabidaAnumerici;3]molAplicoivalorinumericidiaedib(molAplicandoindifferentementeaperboppurebpera);4]scrivoilvaloreoGenuto.Ancheinquestocasopossiamoaffermarechel'algoritmousatoèefficace,inquantosiconcludeinuntempofinito,nonconduceadalcunacontraddizione,sipuòapplicareaproblemisimili,permeGendomidirisolverli.ManonèilsoloalgoritmochemipermeGadirisolverequestoproblema.

ConsideroilreGangolodatocomeoGenutodallasommadiunquadratodilatobediunreGangolodilaAbea–b.Lasuaareasarà:A=b2+b(a-b)Nellostessomodo,l'areadelreGangolooGenutosaràdatadallasommadiunquadratoilcuilatoèa-bediunreGangolodilaAa-be2b-a:A=b2+(a-b)2+(a-b)(2b-a)ConAnuandonellostessomodo,oGerremmoperl'areadelreGangolo,unasuccessionediquadraAedireGangolichenonavràmaifine,ochemifaràraggiungereilrisultatodopounalungasuccessionedioperazioni,percuil'algoritmousatononpotràritenersibuono.

g]Consideriamoorailseguenteproblema:O6enereilnumero13iniziandodalnumerozero.Supponiamodivolererisolvereilproblemamedianteilseguentealgoritmo:1]aGribuiscoadAilvalore0;2]aggiungo2adA;3]scrivoilvalorediA;4]ripetoipassi2e3finchéAdiventaugualea13.Eseguendoleistruzioni,questoalgoritmoforniscelasuccessionedivalori:0,2,4,6,8,10,12,14,16,...Essodunquenonrisolveilproblemanéhatermine,percuinonèunbuonalgoritmo.

h]Consideriamo,ora,unalgoritmoperordinareuninsiemedielemenA,sianoessinumerioparole.Percapirecomecostruirel'algoritmo,supponiamocheinumerisianotre:5,3,2.IlprimopassoconsisterànelconfrontareilprimonumeroconilsecondoedeffeGuareunoscambionelcasoincuiilprimosiamaggioredelsecondo.OGeniamo:3,5,2OraconfronAamoilprimonumeroconilterzoedeffeGuiamoloscambiodopoilconfronto,qualorasianecessario.OGeniamo:2,5,3OraconfronAamoilsecondonumeroconilterzo,edeffeGuiamoloscambio,senecessario.OGeniamo:2,3,5.Abbiamofinito,perchéitrenumeriorasonoordinaA.

Ipassidell'algoritmopotrebberoessere,allora,iseguenA:1.Sianoa,b,citrenumeridaA;2.Sea>b,allorascambiaaconb,altrimenAnonfarenulla;3.Sea>c,allorascambiaaconc,altrimenAnonfarenulla;4.Seb>c,allorascambiabconc,altrimenAnonfarenulla;5.Scrivil'ulAmasequenzadeinumeri.

i] Consideriamo ora un esempio di algoritmo di natura diversa dai precedenti, relativo al “gioco dell'undici”. Su di un tavolo vengono posti undici oggetti, uguali o diversi. Due giocatori, A e B, devono raccogliere a turno da uno a tre degli oggetti. Perde chi raccoglie l'ultimo oggetto. Ebbene, se il giocatore A deve fare la prima mossa, allora egli potrà essere sicuro di vincere se seguirà le seguenti istruzioni di gioco: 1. A raccoglie 2 oggetti. 2. Il gioco passa al giocatore B. 3. B raccoglie k oggetti, con 1≤ k ≤3. 4. Finché sul tavolo ci sono oggetti, A raccoglie 4 - k oggetti e si torna al passo 2. 5. A vince.

Questoalgoritmoèstatoportatocomeesempiodiquellachedev'esserel'efficaciadiunalgoritmo.Inquestocasol'algoritmorisolveunaclassediproblemienonunsingoloproblema,perchéiproblemisonotanAquantesonolepossibilimossedelgiocatoreB.InfaW,Bpuòprendere1,2o3oggeW,ognivoltachevieneilsuoturno.

Quindi,potremmodirecherisolvereunproblemasignificaricercareedesprimereunasuccessionefinitadiistruzioni,interpretabilidaunesecutore,checonducanodadeterminateinformazioniinizialiadaltreinformazionifinali.InfaW,checosafacciamoquandotenAamodirisolvereunproblema?Procediamosempreallostessomodo:ciserviamodiunmodello,ovverodiunarappresentazionesemplificatadellostessoproblema,sfrondandolodituGociòcheèsuperfluoperraggiungerel'obieWvo(cioèlasoluzione)checisipropone.Dunque,allabasedellacostruzionediunalgoritmovièlanecessitàdirendereoperaBvoilmodelloadoGatoperrisolvereilproblema.