UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURA ESCUELA DE INGENIERA ELCTRICA SISTEMAS DE CONTROL AUTOMTICO

Gua # 1: Introduccin a Matlab aplicado a sistemas de control automtico.

Catedrtico: Ing. Ricardo Cortez Instructores: Jaime Arriola Xavier Torres

Ciclo II-2014

Presentan: Paula Rosa, Ileana Mara PR11037 Ramrez Molina, Sasi Lizet RM11008 Vsquez Chvez, Francisco Eduardo VC11036

Ciudad Universitaria, 25 de agosto de 2014.

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RESUMEN.

En el presente laboratorio se utilizan distintas funciones de Matlab para el uso con funciones de transferencia con el fin de familiarizarse con el uso del programa y utilizarlo de forma efectiva en el desarrollo de problemas con relacin a funciones de transferencia. Se usa Matlab 2013 para el desarrollo de la prctica y la resolucin de las asignaciones. Desarrollo de la prctica.

1. Introduzca las siguientes funciones de transferencia en Matlab de las 3 formas explicadas en el laboratorio.

Forma numrica con zpk: Se obtienen los polos y los ceros de ambas funciones. Pueden obtenerse con ayuda de Matlab usando las funciones pole y zero. Tenemos para h1: Polos: 1.4059 + 1.4510i, 1.4059 - 1.4510i, -0.7725 + 1.8084i, -0.7725 - 1.8084i, -1.2669 + 0.0000i Ceros: 0.0000 + 1.0000i, 0.0000 - 1.0000i, -0.0000 + 1.0000i, -0.0000 - 1.0000i Ganancia: 1.

Para h2: Polos: -0.3084 + 1.9803i, -0.3084 - 1.9803i, -0.5000 + 0.8660i, -0.5000 - 0.8660i, -0.1916 + 0.8427i, -0.1916 - 0.8427i Ceros: -1.4273 + 1.5962i, -1.4273 - 1.5962i, -0.1454 + 0.0000i Ganancia: 1

Forma numrica usando den, num y tf:

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Forma simblica:

Puede notarse que en este caso al escribir la funcin de transferencia con el uso de zpk el resultado no es el mismo. Esto sucede debido a que los polos y ceros se han escrito de forma aproximada.

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2. Trazar las grficas de polos y ceros de las funciones anteriores.

Se utiliza la funcin pzmap para mostrar la grfica de polos y ceros de ambas funciones:

Figura 1 . Diagrama de polos y ceros de H1.

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Figura 2 . Diagrama de polos y ceros de H2.

3. Obtener la funcin de transferencia del siguiente diagrama de bloques.

Figura 3 . Diagrama de bloques y valores de cada diagrama

Para esta parte de la practica se llevo a cabo la simplificacin previa del diagrama de bloques para llevarlo al lazo bsico de realimentacin el cual quedo de la siguiente manera

( )

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Figura 4. Diagrama de bloques con lazo de realimentacin bsico

Ahora el cdigo generado para poder obtener la funcin de transferencia es el siguiente.

%UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR %ESCUELA DE ING. ELECTRICA %SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO %LABORATORIO 1 %FRANCISO EDUARDO VSQUEZ CHAVEZ %SASI LIZET RAMIREZ MOLINA %ILEANA MARA PAULA ROSA %GRUPO 2 , MESA DE TRABAJO 2

%Definicion de valores de cada bloque s=tf('s'); G1= 8/(3*s+1) G2= (s+5)/(s^2+12*s+25) G3= 1/(0.2*s+1) G4= 1/s Gc= 5*(10*s+1)/(2*s+1) H = 1/(50*s+1) %Inico de las operaciones para obtener la %funcion de transferencia de todo el bloque O1= series(G1,G2) O2= parallel(O1,G3) O3= O2*H O4= O2/(1+O3) O5= series(O4,G4) O6= series(O5,Gc) feedback(O6,1)

La respuesta que obtuvimos es la siguiente

O6

R(S) Y(S)

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DESARROLLO DE LAS ASIGNACIONES. 1. Disear un archivo .m para calcular y graficar los polos y ceros de las siguientes

funciones, adems brinde una breve explicacin de los resultados obtenidos.

( ) ( )

( )( )( )

( )

( )( )( )

( )

%UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR %ESCUELA DE ING. ELECTRICA %SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO %LABORATORIO 1 %FRANCISO EDUARDO VSQUEZ CHAVEZ %SASI LISSET RAMIREZ MOLINA %ILEANA MARA PAULA ROSA %GRUPO 2 , MESA DE TRABAJO 2 %FECHA DE ENTREGA 25/08/14

%ASIGNACIN 1 %Disear un archivo .m para calcular y graficar los polos y ceros de las

siguientes funciones, %adems brinde una breve explicacin de los resultados obtenidos. %G1(s)=25*((s+4)/(s+1.5)(s+3)(s^2+2*s+5)) %G2(s)= ((s^2)/(s+1)(s+3)(s+2*s+5)) %G3(s)=((3*s^5+4*s^3+20s^2+10)/(12*s^2+16*s+8))

s= tf ('s'); G1=25*((s+4)/((s+1.5)*(s+3)*(s^2+2*s+5))); G2= ((s^2)/((s+1)*(s+3)*(s+2*s+5))); G3=((3*s^5+4*s^3+20*s^2+10)/(12*s^2+16*s+8));

pole(G1); pole(G2); pole(G3);

zero(G1); zero(G2); zero(G3);

subplot(2,2,1); pzmap(G1); sgrid subplot(2,2,2); pzmap(G2); sgrid subplot(2,2,3); pzmap(G3);sgrid

Resultado: Para valores de

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Figura 1.1 Resultado obtenido para las funciones de transferencia dadas Para valores de Polos y Ceros correspondientes: Pole(G1) ans = -1.0000 + 2.0000i -3.0000 + 0.0000i -1.5000 + 0.0000i Zero(G1) ans = -4 Pole(G2) ans = -3.0000 -1.6667 -1.0000

Zero(G2) 0 0 Pole(G3) ans = -0.6667 + 0.4714i -0.6667 - 0.4714i Zero(G3) ans = 0.8464 + 1.7589i 0.8464 - 1.7589i -1.7553 + 0.0000i 0.0313 + 0.7053i 0.0313 - 0.7053i

2. Para la grfica de polos y ceros que se presenta a continuacin, obtener la funcin de transferencia G(s) la cual es multiplicada por una constante k=6, dejando claros los pasos para la obtencin de la misma.

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Figura2.1 . Diagrama de polos y ceros de asignacin 2.

Del grfico proporcionado pueden observarse los polos y los ceros fcilmente. El valor de k es la ganancia de la funcin de transferencia. Entonces: Ceros: -8 Polos: -6, -4, -4-3i, -4+3i Ganancia: 6 La funcin de transferencia sera entonces:

( ) ( )

( )( )( )

Puede comprobarse el resultado con Matlab,

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3. A continuacin se presentan los polos y ceros de diferentes funciones de transferencia, encontrar dichas funciones de transferencia, utilizando MATLAB y

trazar su respectivo diagrama de polos y ceros.

a) Polo simple: 0, -2; polo de segundo orden: -3; cero: -1, . b) Polo simple: -1 -4; ceros: 0.

c) Polo simple: -3, ; polo de segundo orden 2: 0, -1; ceros: j, . A continuacin podemos observar el cdigo generado para la solucin de la

asignacin 3, asi como la respuesta obtenida. %asignacion3-a

hs = zpk(-1,[0 -2 -3 -3],1)

figure(1)

pzmap(hs);sgrid

%asignacion3-b

hs = zpk(0,[-1 -4],1)

figure(2)

pzmap(hs);sgrid

%asignacion3-c

hs = zpk([0+1i 0-1i],[-3 0 0 -1 -1],1)

figure(3)

pzmap(hs);sgrid

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Ahora se presentan las grficas generadas para cada funcin de

transferencia

Figura 3.1. Grafica de la funcin de transferencia del literal a

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Figura 3.2. Grafica de la funcin de transferencia del literal b

Figura 3.3. Grafica de la funcin de transferencia del literal c

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4. Obtener la funcin de transferencia Y/X del siguiente diagrama utilizando los comandos de la Contro System Toolbox de MATLAB. (podra ser necesaria la simplificacin del diagrama mediante lgebra de bloques, previo al uso de MATLAB)

Figura 4.1 Diagrama de bloques a reducir para implementarlo en MATLAB Aplicando reduccin de bloques por lgebra de bloques:

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%SASI LISSET RAMIREZ MOLINA %ILEANA MARA PAULA ROSA %GRUPO 2 , MESA DE TRABAJO 2 %FECHA DE ENTREGA 25/08/14

%ASIGNACIN4 %4. Obtener la funcin de transferencia Y/X del siguiente diagrama

utilizando %los comandos de la Contro System Toolbox de MATLAB. (podra ser

necesaria la %simplificacin del diagrama mediante lgebra de bloques, previo al uso

de MATLAB

%OBTENIENDO LA SIGUIENTE SIMPLIFICACIN:

s=tf('s');

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G1=(s+5)/(2*s^2+3); G2=s+3; G3=(10*s+5)/(s+3); H1= 2*s^2+5*s+10; H2=(s^2+5)/(3*s+10); H3= s+2; feedback((((G1*G2)/(1-G1*H1))/(1+((G1*G2)/(1-

G1*H1))*H3)*(G3+(H2/G2))),0);

obteniendo como respuesta:

5. Investigue el uso de la funcin minreal de Matlab y escriba un ejemplo de su uso.

La funcin minreal (del ingls minimal realization) elimina estados que no pueden observarse o controlarse. Tambin cancela pares de polos y ceros en funciones de transferencia, es decir la simplifica eliminando los factores que se puedan eliminar. Esta funcin reduce la expresin al mnimo posible, obteniendo siempre la misma respuesta que la expresin original. Se hace un ejemplo usando Matlab:

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Puede verse que la funcin ingresada se ve simplificada y esto no afecta su respuesta.

6. Investigue el uso de la funcin sym de MATLAB y compare el uso de sta con la forma simblica desarrollada en la prctica, Cul resulta mejor para usted?, Explique de forma breve y concisa.

La funcin sym de Matlab se utiliza para definir expresiones simblicas. En MATLAB las expresiones simblicas son cadenas de caracteres que representan nmeros, funciones, operadores y variables. Las variables no necesitan tener un valor predefinido.

Por ejemplo: var = sym(var) Esta lnea hara que la palabra var pueda ser usada como una variable simblica. Al comparar esta funcin con la forma simblica podemos decir que para nuestro propsito actual es ms conveniente el uso de la forma simblica ya que con la forma simblica definimos la variable s usando la funcin tf para que esta represente una funcin de transferencia y con la funcin sym no nos presenta la respuesta en forma de funcin de transferencia.

7. *** Escriba un archivo .m que tenga como argumentos de entrada los polos, ceros y ganancia de una funcin de transferencia y devuelva como respuesta la funcin de transferencia correspondiente. [Sugerencia: Investigue las funciones de MATLAB relacionadas a los polinomios.] Como requisito su archivo deber ser capaz de devolver la siguiente funcin de transferencia, por lo cual es necesario que obtenga previamente los polos y ceros

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de la misma:

El archivo generado contendr el siguiente cdigo.

%UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR %ESCUELA DE ING. ELECTRICA %SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO %LABORATORIO 1 %FRANCISO EDUARDO VSQUEZ CHAVEZ %SASI LIZET RAMIREZ MOLINA %ILEANA MARA PAULA ROSA %GRUPO 2 , MESA DE TRABAJO 2 function [hs]= ftransferencia(c,p,g) hs = zpk([c],[p],g) end

OBSERVACIONES Y SUGERENCIAS. Matlab es un software bastante amigable para su uso. Representa una herramienta muy til para el estudio de los sistemas de control y de problemas matemticos en general. Es muy similar al lenguaje octave, por lo que acostumbrarse al software resulta sencillo. Es necesario seguir correctamente la sintaxis de las funciones y del uso del programa pues de lo contrario se pueden obtener resultados no deseados.

CONCLUSIONES.

Del desarrollo de la prctica: Hay distintas formas de ingresar una funcin de transferencia, que dependiendo del objetivo cada una tiene su utilidad. Ingresar los polos y ceros con la funcin zpk es de ayuda cuando esa es la nica informacin que se tiene de alguna expresin. Si lo que se quiere es ingresar una funcin de transferencia directamente es ms rpido hacerlo de forma simblica o tambin usando las funciones den y num con tf. De las asignaciones:

1. Se pueden observar estos valores a una mejor escala de la imagen, con el respectivo orden G1,G2,G3, es muy importante el uso de esta herramienta ya que podemos graficar de manera sencilla las funciones de transferencia correspondientes.

2. De un diagrama de polos y ceros puede conocerse la funcin de transferencia de

forma sencilla, pues en l se observan todos los polos y ceros de la expresin. Con el conocimiento de los polos y ceros la funcin zpk es de utilidad en matlab para obtener rpidamente la expresin representada en el diagrama. Pueden comprobarse los valores con las funciones pole y zero, as como ver el diagrama mismo con pzmap.

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3. Las herramientas que proporciona Matlab son muy tiles a la hora de querer

conocer una funcin de transferencia de algn sistema, a partir de sus polos y ceros es decir que basndonos en algun diagrama de polos y ceros fcilmente podemos conocer la ecuacin de transferencia que define a algn sistema.

4. Mediante la implementacin del lgebra de bloques podemos reducir un diagrama

extenso a uno sencillo que nos facilita la visualizacin de una funcin de transferencia, y mediante la utilizacin de los comandos de la Control System Toolbox de MATLAB es an ms sencillo, mediante el uso del comando feedback.

5. La funcin minreal es de utilidad al simplificar sistemas, pues nos proporciona la mnima expresin posible para por ejemplo una funcin de transferencia.

6. Para hacer uso de variables simblicas en Matlab es necesario hacerle saber al

programa cuando se estn usando algunos caracteres solamente como alguna variable para ello se hace til la funcin sym ya que nos permite usar caracteres en operaciones sin que estas tengan asignado algn valor numrico.

7. La creacin de nuestras propias funciones en Matlab es una herramienta muy til

ya que en ocasiones hay procesos que son repetitivos y se vuelve tedioso estar escribiendo cdigos largos con los mismos procesos. Haciendo nuestras propias funciones nos es posible ahorrar un poco de tiempo en cdigos largos y que se repiten operaciones.

BIBLIOGRAFA.

http://www.mathworks.es/es/help/matlab/ http://www2.elo.utfsm.cl/~elo104/informacion/resumenes/11_Diagrama%20de%20Bloques.pdf http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/4750/4925/html/7_ejemplos_de_simplificacin_de_diagramas_de_bloques.html Sistemas de control automtico, Benjamn C. Kuo. Schaum Teora y Problemas de Realimentacin y Sistemas de Control.