LA – POSET

Prepared by eva safaahevasafaah@gmail.com

Partially Ordered Set/ Himpunan Terurut ParsialDefinisi

P.O if R reflexive, antisymmetric dan transitiverefleksive : a R a for a santi simetris : a R b dan b R a maka a = btransitive : if a R b and b R a then a R c

Poset = partial ordering set (S, R)◦S = himpunan◦R = relasi

22/03/2010 2

Himpunan A bersama-sama dengan suatu relasi pengurutan parsial R pada A dinamakan himpunan terurut parsial ( Partially Ordered Set ) atau disingkat sebagai Poset, dilambangkan dengan ( A, R ).

22/03/2010 3

Pengurutan parsial paling terkenal adalah relasi dan pada himpunan Z dan R.

Sebuah pengurutan parsial R pada himpunan A akan sering menggunakan symbol atau untuk R.

22/03/2010 4

CONTOHHimpunan Z+ = {bilangan bulat positif}

Relasi (kurang atau sama dengan) adalah sebuah parsial order pada Z+ . Hal ini berlaku pula untuk relasi .

Jawab : Bila (a,b) ada didalam R jika a b.◦ Karena setiap bilangan bulat = dirinya sendiri

refleksive (memantul)◦ Karena a b dan b a kecuali a = b antisymmetris◦ Jika a b dan b c maka a c transitive

( menghantar ).

22/03/2010 5

Diagram Hasse

(telah dibahas diawal) suatu relasi biner dari himpunan A ke himpunan B dapat didajikan dalam bentuk grafik maupun tabel.

Representasi grafik suatu relasi pengurutan parsial yang semua tanda panahnya mengarah keatas juga dikenal sebagai : “Diagram Hasse“ bagi relasi tersebut.

22/03/2010 6

22/03/2010 7

Bila relasi biner itu berupa relasi pengurutan parsial, sajian grafik itu bisa lebih disederhanakan lagi.

Karena relasi bersifat memantul (refleksive), kita dapat membuang panel-panel ke titik (-titik) nya sendiri. lihat gambar (i) menjadi (ii).

Karena relasi bersifat menghantar (transitive), kita dapat membuang panah antar titik-titik yang dihubungkan dengan serangkaian panah. lihat gambar (ii) menjadi gambar (iii).

22/03/2010 8

Contoh A = { 1,2,3,4,12 }. Anggap

pengurutan parsial dari pembagian pada himpunan A jika a dan b A, a b jika dan hanya jika a / b. Gambarkan diagram Hasse Poset ( A, ).

22/03/2010 9

22/03/2010 10

Contoh Misal A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,

18, 24} dalam urut dengan relasi “ x membagi y” gambarkan diagram hasse poset?

22/03/2010 11

22/03/2010 12

24

8

4

12

6

18

9

23

1

Contoh Diagram dari suatu himpunan urut linier yang hingga yaitu suatu chain hingga yang terdiri dari sebuah path yang sederhana. Diagram dari suatu chain dengan 5 elemen

22/03/2010 13

Y

U

Z

Y

x

Titik Extrem Dari PosetMisalkan ( A, ) sebuah himpunan terurut

parsial.

Suatu unsur a di dalam A dinamakan Unsur Maksimum (maximal elements) jika tidak ada unsur b didalam A yang bersifat a b dan a b.

Suatu unsur a di dalam A dinamakan unsur minimum ( minimal element ) jika tidak ada unsur b didalam A yang bersifat a b dan b a.

22/03/2010 14

(dalam contoh diatas)

Misal: B1 = { b, c } merupakan himpunan.bagian dari A.

Maka Upper Bound dari B1 adalah f , h , i , j.

LUB ( B1 ) = f

Misal: B2 = { h, i } merupakan himpunan bagian dari A.

Maka Lower Bound dari B2 = a , b , c , d , e , f dan g.

GLB ( B2 ) = f , g.

j adalah unsur maksimum, sedangkan a, b, e adalah unsur minimum.

22/03/2010 15

Upper Bound Misalkan a dan b dua unsur sembarang di

dalam suatu himpunan terurut parsial ( A, ). Suatu unsur c dikatakan sebagai batas atas (upper bound) bagi a dan b jika a c dan b c.

◦ Dalam gambar: h adalah upper bound bagi f dan g. Begitu pula i dan j = upper bound bagi g.

Suatu unsur c dinamakan batas atas terkecil (least upper bound = LUB ) bagi a dan b jika c merupakan suatu batas atas bagi a dan b, dan tidak ada batas atas lain d bagi a dan b yang bersifat d c.

22/03/2010 16

Lower BoundSuatu unsur c dinamakan suatu batas

bawah (lower bound) bagi a dan b jika c a dan c b.

Dan suatu unsur c dikatakan sebagai suatu batas bawah terbesar (greatest lower bound = GLB) bagi a dan b jika c adalah suatu batas bawah bagi a dan b dan jika tak ada batas bawah lain d bagi a dan b yang bersifat c d.

 22/03/2010 17

(dalam contoh diatas)

Misal: B1 = { b, c } merupakan himpunan.bagian dari A.

Maka Upper Bound dari B1 adalah f , h , i , j.

LUB ( B1 ) = f

Misal: B2 = { h, i } merupakan himpunan bagian dari A.

Maka Lower Bound dari B2 = a , b , c , d , e , f dan g.

GLB ( B2 ) = f , g.

22/03/2010 18

Try it..

Misal E = {1, 2, 3, 4, 5} terurut dengan relasi “ x ≥ y ” . Gambarkan diagram hasse dan :

a. Carilah semua elemen minimal dari E

b. Carilah semua elemen maksimal dari E

22/03/2010 19

22/03/2010 20