La Fisica del Volo:dal Moscerino all’Airbus

Luciano Teresi

Dipartimento di Matematica & Fisica,Universita Roma Tre

26 settembre 2014

LaMS - Laboratorio Simulazione e Modellazione - lams@uniroma3.it1 / 37

Sterna

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Page 20

Common tern (Sterna hirundo): W = 1.2 N, S = 0.056 m2, b = 0.83 m.

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1. Sommario

1 La taglia e importante.

2 La dimensione delle ali.

3 La Grande Equazione del Volo

4 L’efficienza (una dura giornata di volo).

5 La planata.

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1. La Taglia e Importante

• Taglia dell’atomo: ≈ 10−10 m.

• Taglia del globulo rosso ≈ 3× 10−6 m.

• Una cellula contiene ≈ 1012 atomi; ci sono piu atomi in una cellula che stellenella nostra galassia.

• Il corpo umano contiene ≈ 1014 cellule.

Le taglie degli organismi viventi variano dalla XXXS alla XXXL:

Gruppo Valori delle taglie (m) Ordini di grandezza

Insetti 10−4 ∼ 10−1 103

Pesci 10−2 ∼ 101 103

Mammiferi 10−1 ∼ 102 103

Piante vascolari 10−2 ∼ 102 104

Alghe 10−5 ∼ 100 105

• La taglia degli organismi viventi attraversa 6 ordini di grandezza:

un piccolo batterio e lungo 3× 10−5m, una grande balena 3× 101m.

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Volume e Area

• La relazione tra area e volume e fondamentale in biologia.

Area ∝ Lunghezza2 , Volume ∝ Lunghezza3 ⇒Area

Volume∼

1

Lunghezza

• In relazione al volume, un batterio ha 108 volte piu superficie di una balena.

• In sintesi:

per un piccolo organismo e importante l’esterno; per uno grande, l’interno.

• Isometia & Allometia

• isometria = “proporzionale alla taglia”;

• allometria= “non proporzionale alla taglia”.

• Lo studio delle proprieta isometriche e/o allometriche e molto importante. Lalegge prototipo e la seguente:

Volume = cost. x Lunghezza3.

y = a xb

La legge di potenza.

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Cuore & Testa

• Il cuore e la testa crescono in accordo con la taglia del corpo seguendo due leggidifferenti.

Figure 2: The brain and heart grow at different

rates relative to the body.

Growth of the heart is more or less isometric to bodysize, with an allometric coefficient (α) of 0.98. Incontrast growth of the brain is initially hypoallometricto body size, with an allometric coefficient (α) of 0.73,before growth stops once the body reaches a certainsize, at about age 6. Consequently, head sizebecomes proportionally smaller as individuals grow totheir final body size. Illustrations show bodyproportions at birth, 2, 5 and 20 years of age.(Adapted from Moore 1983; Data from Thompson1917)

1890)

Huxley was not the first to examine scaling relationships between organ size and body size in growing animals.Several researchers had observed a similar phenomenon in other organs in other species, each researcherproducing their own nomenclature to describe it (Gayon 2000). In an attempt to unify these studies into a cohesiveconcept and to avoid confusion, Huxley worked with Georges Tessier to propose an agreed terminology thatdescribed such scaling relationships. They recognized that many scaling relationships, when plotted on a log-logscale, were linear. Consequently these relationships could all be described using the simple linear equation:

log y = α log x + log b

where x is body size, y is organ size, log b is the intercept of the line on the y-axis and α is the slope of the line,

also known as the allometric coefficient. When x and y are body and organ sizes at different developmental stages,the allometric coefficient captures the differential growth ratio between the organ and the body as a whole. Whenthe organ has a higher growth rate than the body as whole, for example, the chela of male fiddler crab, α > 1,which is called positive allometry or hyperallometry. When the organ has a lower growth rate than the body aswhole, α < 1, which is called negative allometry or hypoallometry. Organs that have negative allometry include thehuman head, which grows more slowly than the rest of the body after birth and so is proportionally smaller inadults than in children (Figure 2). When an organ grows at the same rate as the rest of the body, α = 1, a conditioncalled isometry. Such an organ maintains a constant proportionate size (but not absolute size) throughoutdevelopment.

Broadening the Concept of AllometryAllometry literally means "different measure" and refers to the fact that allometric traits grow at a different rate than the body a whole. Thus, technically, an isometricrelationship is not an allometry. However, the term allometry is typically used to refer to scaling relationships in general, of which a special case is isometry. Furthermore,allometries need not be linear on a log-log scale, or linear on any scale. They may be sigmoidal or discontinuous, in which case they are referred to as nonlinear allometries.

Huxley and Tessier were primarily interested in the relationship between organ and body size as both varied through development. However other researchers recognized thatmany physiological traits (e.g., metabolic rate) and ecological traits (e.g. running speed) also scale with body size. Further, this scaling was observed even when variation in traitand body size was not a consequence of developmental progression. Because of this the term allometry has been appended to describe different types of biological variation

(Cheverud 1982). When x and y are traits measured in the same individual through developmental time, the relationship is called an ontogenetic allometry (Figure 3). Whenthey are measured in different individuals at the same developmental stage within a population or species it is called a static allometry (Figure 3). When they are measured indifferent species the relationship is called an evolutionary allometry (Figure 3). For ontogenetic allometry, the slope of the allometry reflects the difference in growth ratebetween an organ and body size. For static and evolutionary allometries it reflects how variation in trait size is accompanied by variation in body size within a species (staticallometry) or between species (evolutionary allometry). Consequently, although these different types of allometry may be functionally related, it is not necessarily true that atrait that is hyperallometric to body size for one form of allometry will be hyperallometric to body size for another form of allometry.

Figure 3: The relationship between ontogenetic, static and evolutionary allometry

(A) The relationship between ontogenetic and static allometry. The gray lines illustratethe ontogenetic allometry for brain size against body size in different individuals of theinsectivore Suncus murinus, that is the relationship between brain size and body size as

La crescita del cuore e isometrica rispetto la taglia (b = 0.98). La crescita delcervello e invece ipo-allometrica (b = 0.73).

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2. La Dimensione delle Ali

Il Principio Fondamentale della Meccanica

La somma delle forze agenti su un corpo e nulla (sempre).

W = peso (weight)

R = reazione

baricentro

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Le Ali

Occorre un sistema per deviare l’aria verso il basso.

Fa = forza dell’aria sull’alaL = portanza (Lift)

W = peso (Weight)

D = resistenza (Drag)T = spinta (Trust)

• La portanza bilancia il peso, ma produce una resistenza: c’e bisogno di unaspinta

L = W , T = D , ⇒W

T=L

D=: f Finesse.

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Ancora sulle Ali

L’aria va deviata gentilmente verso il basso.

airfoil movies

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La “Finesse”

La “finesse” misura la qualita aerodinamica

f =L

D=W

T.

• La spinta T necessaria per volare e data da

T =W

fdunque: f alta ⇒ T bassa

• Alcuni valori della “finesse” f

Grass parakeet F=4.5

Gabbiano F=14

Albatros F=25

Boeing 747 F=16

Aliante F=40

• Un albatros necessita di una spinta pari ad appena 1/25 del suo peso per il volodi crociera.

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Come Nascono Portanza & Resistenza

La celebre “II legge di Newton”

Variando la quantita di moto si ottiene una forza:

q = F

L’ala varia la quantita di moto dell’aria deviandola verso il basso.

Le cose importanti sono solo tre:

1 la densita dell’aria ρ

2 la superficie alare S

3 la velocita dell’aria rispetto all’ala V .

• Il prodotto ρS V e un flusso di massa:

[ρ] =M

L3, [S] = L2 , [V ] =

L

T⇒ [ρS V ] =

M

T.

• Il prodotto ρS V × V e una forza:

[ρS V 2] =M L

T 2.

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Portanza & Resistenza

• la variazione verticale genera la portanza

L = qverticale ∝ ρ S V︸ ︷︷ ︸flusso di massa

Vverticale .

• la variazione orizzontale genera la resistenza

D = qorizzontale ∝ ρ S V︸ ︷︷ ︸flusso di massa

Vorizzontale .

V

VrVverticale

Vorizzontale

• La variazione di velocita e proporzionale all’angolo di attacco α:

Vverticale ∝ αV , Vorizzontale ∝ αV

.12 / 37

Portanza, Peso e Velocita

Abbiamo trovato una relazione importante

La velocita compare al quadrato: W = L = cost × ρS V 2 .

Giochiamo con questa relazione, ponendo cost = 0.3.

• Boeing 747-200 in volo a 12 Km di altezza:

ρ = 0.31Kg

m3, S = 511m2 , V = 250

m

s⇒ L ' 3 106 N ' 300 ton .

• Passero:

ρ = 1.24Kg

m3,W = 0.3N ,V = 10

m

s⇒ S ' 0.01m2 (ali 20 cm×5 cm) .

• Aliante:

ρ = 1.24Kg

m3,W = 1000N ,V = 5 ∼ 10

m

s⇒ S ' 100 ∼ 33m2 .

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Carico Alare e Velocita

• Un buon modo per iniziare a capire i fondamenti del volo e considerare il pesoche sostiene un paio di ali.

Carico Alare = Peso / Superficie Alare

W

S= 0.38V 2 (con ρ = 1.24

Kg

m3)

La formula dice che maggiore e il carico alare, piu velocemente dobbiamo volare.

• Passero:

W/S = 38N

m2⇒ V ' 10

m

s

• Albatros:

W/S = 82N

m2⇒ V ' 14

m

s

• Boeing 747-200 (al livello del mare):

W/S = 7000N

m2⇒ V ' 135

m

s

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La Funzione V 2

0 50 100 150 200

0

0.5

1

1.5

·104

V (m/s)

W/S

(N/m

2)

Carico Alare VS Velocita

landing movies15 / 37

Carico Alare e Isometria

Cerchiamo ora una relazione tra carico alare e dimensioni assumendo una similitudegeometrica, ossia, una isometria, tra tutto cio che vola:

• Il peso W , e dunque la portanza L, e in relazione con una lunghezzacaratteristica l:

W = L ∝ l3 ⇔ l ∝W 1/3

• La superficie alare S e il carico alare W/S sono anch’essi correlati ad l

S ∝ l2 ,W

S∝ l

• Dunque, il carico alare e in relazione con il peso

W

S= kW 1/3 ⇒ Carico Alare ∝ (Massa del Corpo)1/3

L’ultima relazione trovata e una classica relazione isometrica

y = a xb

.

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Uccelli Marini

W, S, e V per alcuni uccelli marini; W e S sono stati misurati, mentre quelli per Vsono calcolati. In generala, uccelli piu grandi devono volare piu velocemente.

Nome W (N) S (m2) W/S V (m/s) mph

Common tern 1.15 0.050 23 7.8 18

Dove prion 1.70 0.046 37 9.9 22

Black-headed gull 2.30 0.075 31 9.0 20

Black skimmer 3.00 0.089 34 9.4 21

Common gull 3.67 0.115 32 9.2 21

Kittiwake 3.90 0.101 39 10.1 23

Royal tern 4.70 0.108 44 10.7 24

Fulmar 8.20 0.124 66 13.2 30

Herring gull 9.40 0.181 52 11.7 26

Great skua 13.5 0.214 63 12.9 29

Great black-billed gull 19.2 0.272 71 13.6 31

Sooty albatross 28 0.340 82 14.7 33

Black-browed albatross 38 0.360 106 16.7 38

Wandering albatross 87 0.620 140 19.2 43

Dati raccolti da C. Greenewalt.

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La Prova della Congettura

101 102 103

100

101

102

Common tern

Dove prionBlack-headed gull

Black skimmerCommon gull Kittiwake

Royal tern

FulmarHerring gull

Great skuaGreat black-billed gull

Sooty albatrossBlack-browed albatross

Wandering albatross

W/S (N/m2)

W(N

)

Gli uccelli marini sono isometrici:W

S= 25W 1/3

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Crested Tern Wandering albatross

L’albatros e una versione ingrandita della piu piccola sterna.

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3. La Grande Equazione del Volo

Abbiamo scoperto due cose:

1 Bilancio della quantita di moto: L = W = 0.3 ρS V 2

2 Similitudine geometrica:W

S= kW 1/3

Mettendo insieme le due scoperte abbiamo:

La Grande Equazione del Volo

W

S= 0.3 ρ V 2 = kW 1/3

Osservazioni

• La seconda equazione e valida solo per oggetti isometrici.

• Raddoppiare l’apertura alare l implica:

l 7→ 2× l⇒ 4× S ⇒ 8×W ⇒ 2×W

S⇒ 1.4V (40% piu veloce)

La Grande Equazione del Volo deve essere verificata sperimentalmente.

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Il Grande Diagramma del Volo

• Henk Tennekes ha presentato nel suo libro “The Simple Science of Flight” undiagramma log-log chiamato “The Great Flight Diagram” nel quale, secondo lesue parole:

“everything that can fly is represented”.

Il risultato e sbalorditivo:

• 12 ordini di grandezza in peso;

• 2 ordini di grandezza in velocita di crociera;

• 4 ordini di grandezza in carico alare.

Alcuni numeri:

• Moscerino della frutta (Drosophilia Melanogaster): W = 7 10−6N , S = 2mm2;

• Boeing 747: W = 3.5 106 N , S = 511m2.

WBoeing = 5 1011 ×Wfruit fly

SBoeing = 2.5 108 × Sfruit fly

VBoeing = 2 102 × Vfruit fly

(1)

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Figure 2 The Great Flight Diagram. The scale for cruising speed (horizontal axis) is based onequation 2. The vertical line represents 10 meters per second (22 miles per hour).

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Gli “Outsider”

Figure 2 The Great Flight Diagram. The scale for cruising speed (horizontal axis) is based onequation 2. The vertical line represents 10 meters per second (22 miles per hour).

solar planes

uccello specializzato

nel volteggio

uccello estinto

E’ sempre possibile spiegare perche alcuni punti sono lontani dalla retta

W

S= kW 1/3

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“Solar Planes”

100 101 102 103 104

10-4

10-2

100

102

104

106

Wing loading W/S (N/m2)

Weig

ht W

[N]

Unmanned solar airplanes [78]Manned solar airplanes [8]

Solar OneSolar Riser

Solair IPenguin

Solar ChallengerSolair II

Icare II

O Sole Mio

Sunrise ISunrise II

Solaris

Ra

Solar SilberfuchsSollisolarBlue Chip

Pathfinder

MikroSol NanoSol

Centurion

Pathfinder Plus

PicoSol

Helios

FlyG

Keenon

Solar Splinter

Sol-Mite

Sky-Sailor

Zephyr

Solong

NanSunSunSailor

2.7865gSolar Mav

Micro-Mite

Solar Impulse

top 5% modelW/S = 0.59 W 0.35 AR0.84

with AR = 20

mean model W/S = 2.94 W 0.37 0.45ARWith AR = 20

Howie Mark

Sunrazor

(Forecast 2007)

Gossamer

SolarPleaser Tennekes curve

1/3

W = 3 9.6e-6W/S = 47 W

(W/S)

McCormick boundaries W/S = 85.5 (W1/3

-9.9)W/S = 44.8 (W1/3-9.9)

Sun-Surfer IISun-Surfer I

Noth sailplane

Noth sailplane

Figure 3.8: The Great Solar Flight Diagram, augmented version of TennekesGreat Flight Diagram with 86 solar airplanes flown from 1974 to 2008

unmanned solar planes

manned solar planes

Solar Impulse

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4. L’“Efficenza”

• La potenza P necessaria per volare a velocita V e data da

P = DV = T V =W V

f.

• L’energia specifica consumata e e definita dal rapporto:

e =Potenza

Peso x Velocita=

P

W V=

T V

W V=

D

W=

1

f.

• Il parametro e e dimensionale; va pero interpretato come segue:

[e] =energia

massa x metro;

“e” ci dice quanta energia serve per trasportare un kilo per un metro.• Alcuni valori di e

Sail plane e=0.025

Albatross e=0.04

Boeing 747 e=0.06

Car e=0.08

Swans e=0.09

Songbirds e=0.2

Grass parakeet e=0.22

• Un albatross ha bisogno di 0.04 Joule/(Kg x m) per volare.25 / 37

“Grass parakeet”

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Muscoli e Potenza

Alcuni numeri per il “grass parakeeter”:

• massa del corpo ≈ 35 g;

• potenza meccanica erogata per ogni chilo di muscolo:

≈ 100W/Kg (human ≈ 20W/Kg);

• max potenza meccanica per chilo di muscolo:

≈ 200W/Kg (human ≈ 100W/Kg);

• metabolismo basale

≈ 20W/Kg (human ≈ 2W/Kg);

• massa dei muscoli pettorali ≈ 20% massa corporea;

P. continua 35× 0.2× 100 = 0.7 Watt P. max 35× 0.2× 200 = 1.4 Watt

• energia metabolica/energia meccanica ≈ 4

(human ≈ 5: si possono salire due rampe di scale con 1 g di burro).

Nel 1968, Vance Tucker, uno zoologo della Duke University, addestro un grassparakeet (Melopsittacus undulatus) a volare all’interno di una galleria del vento permisurare il consumo di ossigeno.

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Vance Tucker & “the Wind Tunnel Experiment”

LIFE Magazine, November 1968.

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Il Parakeet di Tucker

izontal flight, the most economical speed for Tucker’s parakeet was

slightly more than 8 meters per second (18 miles per hour). At that

speed it required 0.75 watt, equivalent to 0.001 horsepower, to re-

main airborne. At lower and higher speeds, more power was

needed.

Low-speed flight is uneconomical because birds and airplanes

have to push the air surrounding them downward in order to stay

airborne. Relatively little air flows around the wings when the

Figure 6 The flight performance of Vance Tucker’s parakeet. In horizontal flight the mosteconomical conditions were obtained at about 8 meters per second, with the birdsupplying 0.75 watt of mechanical power. In climbing flight more power is needed,in descending flight less.

A Hard Day’s Flight 37

continuos power ∼ 0.75 Watt

max power ∼ 1.4 Watt

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Altri Numeretti

• volo ascensionale 5o (velocita di salita = 0.7 metri al secondo)

incremento di potenza necessario ≈ 0.035Kg×9.8m/s2×0.7m/s = 0.25W ;

cio e proprio quello che si legge nel diagramma di precedente!

• Boeing 747 al decollo (velocita di salita = 15 metri al secondo)

3 105Kg × 9.8m/s2 × 15m/s = 4.5 107W ;

Un uccello dal peso di 100 grammi:

• carico alare ≈ 40N/m2;

• velocita di crociera ≈ 10m/s;

• 20 g di muscoli pettorali;

• 2W potenza meccanica continua;

• resistenza ≈ 1/7 peso, ossia, 0.114N ;

• spinta ≈ 0.114N × 10m/s = 1.14W ;

• riserva di potenza 0.86W : l’uccello puo salire a velocita ≈ 1m/s.

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La Muscolatura

'

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Resistenza & Velocita

• Dalla relazione P = P (V ) possiamo ricavare la D = D(V )

P = P (V ) = DV ⇒ D =P (V )

V= D(V )

izontal flight, the most economical speed for Tucker’s parakeet was

slightly more than 8 meters per second (18 miles per hour). At that

speed it required 0.75 watt, equivalent to 0.001 horsepower, to re-

main airborne. At lower and higher speeds, more power was

needed.

Low-speed flight is uneconomical because birds and airplanes

have to push the air surrounding them downward in order to stay

airborne. Relatively little air flows around the wings when the

Figure 6 The flight performance of Vance Tucker’s parakeet. In horizontal flight the mosteconomical conditions were obtained at about 8 meters per second, with the birdsupplying 0.75 watt of mechanical power. In climbing flight more power is needed,in descending flight less.

A Hard Day’s Flight 37

⇒

cal symbols, these two concepts can be written as follows:

P ! DV, (4)

D ! P/V. (5)

It is quite simple to convert figure 6 into a graph depicting drag

versus speed. For every point on the power curve for horizontal

flight, we can determine P along the ordinate and V along the ab-

scissa. Using equation 5, we can then compute the value of D at each

speed. The curve obtained in this way is shown in figure 7, which

demonstrates even more clearly than figure 6 that low-speed flight

is extremely uneconomical. The minimum drag of a parakeet is

Figure 7 Aerodynamic drag, D, and ratio between drag and weight, D /W, for Tucker’s para-keet. The minimum value of the drag is 0.078 newton (nearly 8 grams), and thelowest value of D /W is 0.22, both at a speed of nearly 11 meters per second(25 miles per hour). The speed at which the drag is smallest is higher than thespeed at which the power has a minimum.

A Hard Day’s Flight 47

• Minima potenza a V = 8m/s; minima resistenza a V = 10m/s.

• Max durata del volo: minimizzare Joule/Watt: minima potenza

• Max distanza di volo: minimizzare Joule/metro: minima resistenza

E = energy , T = time , ⇒E

Pmin= Tmax ;

EV T

=P T

V T= Dmin

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In Volo di Crociera

Il volo di crociera del cigno muto (Cygnus olor), il piu grande cigno europeo:

• massa corporea ≈ 10Kg;

• massa muscoli pettorali 0.2× 10Kg = 2Kg;

• potenza meccanica continua 100W/Kg × 2Kg = 200W ;

• potenza metabolica ≈ 4× 200W = 800W ;

• velocita di crociera ≈ 20m/s;

• spesa metabolica per metro (800 J/s)/(20m/s) = 40 J/m;

Durante un lungo volo i muscoli pettorali degli uccelli metabolizzano direttamente igrassi. I muscoli umami invece bruciano zuccheri:

grasso → fegato → zucchero → muscolo

Inoltre, il valore nutrizionale del grasso e doppio rispetto allo zucchero.

• valore nutritivo del grasso ≈ 32 J/g;

• consumo di grasso 40 J/m = 1.2 g/Km;

• 12 ore di volo di crociera:

40m

s×12h ≈ 860Km (distanza) ⇒ 1.2

g

Km×860Km ≈ 1Kg (consumo di grasso)

.

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Il volo piu Lungo

• Una femmina di pittima minore (Limosa lapponica) detiene il record di volo:otto giorni no-stop attraverso il Pacifico per un totale di 10.000 Km durante unamigrazione dell’Alaska alla Nuova Zelanda.

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La Planata

Nella planata la spinta e prodotta dal peso: la componente di W parallela alladirezione di planata bilancia la resistenza D.

34 V. A. TUCKER

INTRODUCTIONDuring equilibrium gliding, all the forces on a glider are balanced; it neither

accelerates nor decelerates. The relationship between a glider's air speed and thespeed at which it sinks through the air completely describes the glider's aerodynamicperformance, and can be predicted from a relatively simple theory for rigid wings(Welch, Welch & Irving, 1955; Pennycuick, 1975).

Gliding birds, however, change their wing span during flight. Anyone can observethese birds gliding slowly on fully spread wings, then progressively flexing theirwings as they glide faster and faster. Hankin (1913) called this behaviour 'flexgliding'. Flex gliding influences stability (Lighthill, 1975) and gliding performance(Cone, 1964; Newman, 1958; Pennycuick, 1968; Raspet, 1960; Tucker & Parrott,1970). In this paper, I shall analyse the relationship between lift and drag, fordifferent wing spans, in birds gliding at equilibrium and use that relationship topredict maximum gliding performance.

THEORYConsider a bird gliding at equilibrium at speed V along a flight path inclined at

angle 6 (the glide angle) to the horizontal (Fig. 1). Only two forces have significanteffects on the bird: gravitational force (the bird's weight, W) and aerodynamic force.Since the sum of these two forces is zero, the aerodynamic force on the bird equalsthe weight in magnitude but has the opposite direction.

The aerodynamic force has two components (Fig. 1): total drag (D), thecomponent Wsin0 that is parallel to the flight path, and lift (L), the component

Sinking speed

Fig. 1. Forces and velocities during equilibrium gliding. The glide path is inclined atangle d to the horizontal. Lift and drag are perpendicular and parallel, respectively, to theglide path. Air speed (V) is parallel to the glide path, and sinking speed (V,) is verticaland downwards.

L = Lift

W = Weight

K = forza aerodinamica

D = Drag

T = Trust

velocita di planata V

velocita di discesa Vs

velocita orizzontale Vh

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Ancora la “Finesse”

La Finesse compare di nuovo come parametro chiave

Vh

Vs=L

D= f

• La Finesse determina di quanti metri e possibile planare per ogni metro didiscesa.

• Quindi, per ogni metro di quota perso:

un parakeet avanza di circa 4 metri;

una rondine plana per piu di 10 metri;

un’aquila circa 15 metri;

un Boeing 747 circa 20 metri: planando da 10 Km di altezza, vola per 200 Km;

un albatros 25 metri;

un aliante piu di 40 metri.

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Bibliografia

• La maggior parte del materiale viene da:

Henk Tennekes, The Simple Science of Flight, From Insects to Jumbo Jets;revised and expanded edition, MIT Press, 2009.

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