La elasticidad de EulerJ.I. Díaz

Instituto de España

Madrid, 23 de octubre de 2007

1. Introducción The Leonhard Euler Tercentenary - Basel 2007

Leonhard Euler (1707-1783)

http://www.euler-2007.ch

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Euler.html

Leonhardi Euleri Opera Omnia: a centenaryproject: Andreas Kleinert and MartinMattmüller in Newsletter of the EuropeanMathematical Society, September 2007,

Facultad de Matemáticas,

Univ. Complutense de Madrid

Laplace: leed a Euler,…

En nuestros días …..

The works of Leonhard Euler online

http://math.dartmouth.edu/~euler/

The Euler Archive was conceived by and is under the direction ofDominic Klyve and Lee Stemkoski of Dartmouth College

200+ year old journals, the copyrights have all expired (Note that thiswould not hold, for example, for reprints of the Opera Omnia).

Véase el PDF de esta conferencia en

http://www.mat.ucm.es/~jidiaz/Publicaciones/Divulgacion/

http://math.dartmouth.edu/~euler/

http://math.dartmouth.edu/~euler/

http://math.dartmouth.edu/~euler/

Clifford Ambrose Truesdell III (1919-2000)

Fundador de:

Archive for Rational Mechanics and Analysis (1952),

Archive for History of Exact Sciences (1960).

A Guide to the C. Truesdell Papers, 1939-1989

http://www.lib.utexas.edu/taro/utcah/00308/cah-00308.html

Otras referencias: …

J. I. Díaz and M. Sauvageot: On the Euler best column: a singular non local quasilinear equation with a boundary blowing up flux condition.

CD-Rom Actas XIX CEDYA / IX CMA, Univ. Carlos III, Madrid 2005

+ investigaciones en curso.

Plan del resto de la conferencia:

2. Trabajos de Euler sobre elasticidad (de 1727 a 1750).

3. Controversia sobre las pequeñas vibraciones planas de un resorte de grosor uniforme (1746-1783).

4. Investigaciones de Euler posteriores a su “Primeros principios de la Mecánica” (1752-1783).

2. Trabajos iniciales de Euler sobre elasticidad (de 1727 a 1750).

Por extraño que parezca, entre 1691 y 1748, el estudio matemático de la vibración, deformación y elasticidad fue dominado (si no monopolizado) por los llamados “geometras de Bassel” (en particular, la familia Bernoulli y Euler).

Jacob Johann

Otro posible título de esta charla: Euler sobre los hombros de los Bernoulli

Mathematics Genealogy Project

http://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/

Carta de Euler a Johann B.

Johann Bernoulli, Opera omnia 4, 1742

Algunos de los logros de Euler en este primer periodo:

2.I. Flexión estática. Vibración de campanas

On the oscillation of elastic rings, Bassel, 1727: publicado 60 años después de su muerte.

Retoma el cálculo de John Bernoulli (se equivoca) pero deducerigurosamente las ecuaciones de James Bernoulli a partir del principio de Hooke sobre la extensión de fibras

2. I.1. Justificación de la ley de Euler-Bernoulli (James y Daniel).

2. I.2. Introduce el módulo de extensión: más tarde conocido como módulo de Young E

Para bandas elásticas inicialmente curvadas

2. I.3. Methodus universalis determinandae curvaturae fili…(Unificación de la catenaria y la elástica. S. Petesburgo, entregado 1728, publicado 1732)Inicia su correspondencia con Daniel B (28 años) / Euler (21).

Daniel (Dr. en Medicina) sugiere y avanza con el problema abandona el tratamiento matemático, diseña experimentos (10 premios de la Académie des Sciences de Paris) /

Euler lo culmina, unifica intentos anteriores (Taylor, Hermann), lo clarifica y amplia su alcance (12 premios de la Académie des Sciencesde Paris).

Equilibrio de momentos en un punto arbitrario de la banda

Aplicación global: origen donde se aplica la fuerza externa P

2. I.4. Equilibrio de una banda elástica por el principio variacional de la energía almacenada

Carta Daniel a Euler de 24 de mayo de 1738: “la energía almacenada de la elastica hace que una función de la curvatura sea un mínimo o máximo entre todas las deformaciones compatibles”

Solutio problematis cuisdam a celeb. Dan. Bernoullio propositi (Comm. Acad.sci. Petrop. (septiembre 1738: aparecido en 1747)

Significa el comienzo del uso del Cálculo de Variaciones en Elasticidad (Euler 1744,…).

Cartas a Maupertuis (mayo-junio de 1748): “La elasticidad sigue las mismas leyes variacionales de la acción de fuerzas ordinarias”

2. I.5. Determinación y clasificación de todas las posibles formas de una elástica rectilínea sometida a una fuerza y un par en sus extremos.

“Multiplicador de Lagrange” (en 1743, frente a 1788, “Mécanique analytique”)

…

Methodus invenendi lineas curvas…”. Libro 1744,

“Since the fabric of the universe is most perfect, and is the work of a most wise Creator, nothing whatsoever takes place in the universe in which some relation of maximum and minimum does not appear” …

“There are such fine examples of this fact here and there that wescarcely need more to prove it; rather, what remains is but to find in each type of scientific question the quantity taking on the maximum or minmum value, a matter which seems to belong rather to natural science (philosophia) than to mathematics”

“Since then there are two ways of learning the effects of the nature, the one through the effective causes, usually called the direct method, the other through the final causes, the mathematician uses each wiwth equal success”

“…it is to be shown that each method lays open a road to the solution; thence not only does the one greatly strengthen the other, but also we take the highest pleasure in this agreement”

Addiditamentum I de curvis elasticis, 1744.

Aparecen “integrales elípticas” (no linealización de las ecuaciones, integración por series de potencias)

4. Fórmula de pandeo (carga crítica) de Euler

Corolario de sus 9 elásticas

La columna no resiste

Una columna (de madera) dos veces más alta “aguanta” 4 veces más

Todas las formas posibles en función de varios parámetros

II. Vibración

2.II.1. Cuerda discretizada con n masas iguales.

Precedente: Brook Taylor (1685-1731) aplica, por primera vez, en 1713, el balance de momentos a un elemento infinitesimal de un medio continuo

Hoy sabemos que aplicándolo a los pequeños desplazamientos se obtiene la ecuación de la cuerda vibrante

(le faltaba la noción y teoría de EDPs)

Solución separable

Obtiene la primera frecuencia de vibración(estudiado ya por Galileo y Huygens)

John Bernoulli (1727). Carta a Daniel +Acad. Petrop. (1727,1728)Conservación de fuerzas vivas

Resultados tempranos de Euler para su libro de Música (Tentatem novae theorie musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae: publicado en 1739, manuscrito 1731)

Colección de cuerdas que producen el mismo sonido

El audición del sonido transmitido por el aire depende de la velocidad de las partículas del aire que alcanzan por la vibración de los puntos de la cuerda.

Euler: “Esta regla será de gran uso en la construcción de instrumentos musicales”

(Galileo,..Marsenne, Treatise on Instruments, 1633)

Primeros estudios de Daniel Bernoulli sobre los modos simples y frecuencias propias de sistemas en vibración (1733, 34, 35)

Similitud con cadenas colgantes

Primera aparición de la llamada función de Bessel (F. W. Bessel (1784-1846))

Utiliza balance de fuerzas (admirador de Newton) pero no lo formula en términos de aceleraciones

Frecuencias múltiples (2 o 3, dependiendo del número de masas)

Incluye disquisiciones sobre movimientos libres y movimientos con ligaduras

Euler mejora los resultados de Daniel Bernoulli en “De oscillationibus fili flexilis quotcunque pondusculis onusti” (entregado en 1735, aparecido en volumen de 1736, impreso en 1741).

Utiliza (por primera) vez los “polinomios de Laguerre” (E. Laguerre (1834-1886)).

n frecuencias (caso de n masas): no insiste en ello. Le falta un mejor modelo

Daniel “más fino” en fenomenología / Euler “más fino” en análisis

Euler: On the propagation of pulses through an elastic medium 1747, 1750 (oscilaciones longitudinales de masas discretas)

Busca la solución de la forma

Solución general (con velocidad inicial nula): Primera vez del principio de superposición

Cálculo de frecuencias

2.II.2. Cálculos de Daniel Bernoulli y Euler sobre los modos simples y frecuencias propias de oscilaciones transversales de una barra (1734-1735).

Daniel Bernoulli (1733): viga horizontal

Euler (1735) le contesta que él ya había encontrado

Lo integra por series pues la formula exponencial la introduce 4 años después

Poco más tarde De minimis oscillationibus corporum tam rigidorumquam flexibilium methodus nova et facilis (1735):

Años más tarde lo utilizaría para llegar a la EDP hiperbólica de cuarto orden

2.II.3. Solución general de Euler de problemas de vibración lineales (1739).

De novo genere oscillationum (1739)

ResonanciaCarta a John Bernoulli (1739) y De integratione qequationum differentialiumaltiorum graduum (1743)

No considera el caso de raíces múltiples

Da como ejemplo

Primera noción de solución general de una EDO lineal, objeciones de John Bernoulli con el caso de “raices imposibles” (numeros complejos)

2.II.4. La primera ecuación diferencial del movimiento: tratamientos de John Bernoy D’Alembert de la cuerda colgante (1742-1743).John Bernoulli (De pendulis multifilibus 1743). Cuerda discreta en movimiento circular: fuerza centrípeta (a los 76 años: muere a los 81).

Primer uso de la Segunda Ley de Newton para encontrar el movimiento de un cuerpo flexible

D’Alembert (1743): Tratado de Dinámica (a los 24 años)

Principio de d’Alembert No hay ecuaciones pero lo aplica para hallar las del péndulo doble

Escritura imprecisa, poco cuidadoso con referencias previas

Cuerda cargada con infinitos pesos a distancias infinitamente pequeñas una de otra.

Utiliza el cálculo de Daniel Bernoulli sobre aceleraciones discretas y propone (en función de la longitud de arco s

Primera ecuación en derivadas parciales de la historia (diferente notación)

2.II.5. Un año después, 1744, Euler obtiene las ecuaciones de las oscilaciones generales (no necesariamente pequeñas) de una cuerda cargada, y de un conjunto de barras acopladas.

De motum corporum flexibilium (1744, aparecido en 1751)

Por primera vez, inspirado en John B., adopta las ecuaciones de Newton (y no el balance del momento angular).

Conservación de la energía (cinética pues no supone gravedad)

Pasa al límite correctamente (con s como variable) y obtiene el sistema de EDPs

siendo

masa entre 0 y s (coordenada Lagrangiana: antes que Lagrange)

No se da cuenta de que esas EDPs implican la ecuación de ondas de D’Alembert si la oscilación es pequeña

Papel de las matemáticas (1744): “Therefore the solution of this mechanical problem is reduced to an analytical problem: this must be agreed”

2.II.6. Conviene recordar que Euler obtendría en 1747 (por primera vez) las ecuaciones de un problema de n-cuerpos

Euler: On the propagation of pulses through an elastic medium 1747, 1750 (oscilaciones longitudinales de masas discretas)

(de fácil adaptación si las vibraciones son transversales)

2.II.7. Primeros principios de la Mecánica según Euler (1750).

Découverte d’un nouveau principe de mécanique, Berlin 1750 (aparecido en el 1752)

Cambia la cara de la Mecánica: hacen falta más de 60 años para que las ideas de Newton sean formuladas con precisión:

Coordenadas cartesianas (a diferencia de Newton y otros)

De aquí deduce las ecuaciones del momento angular, expresión de la energía cinética, etc.

Elimina numerosas hipótesis mecánicas de problems concretos anteriores y transfiere el problema de su resolución de la Mecánica al Análisis.

Comenta explícitamente que en un medio continuo se ha de escribir dM y dF

Lo aplicará enseguida a sólidos rígidos y a fluidos, pero también aprovecha sus estudios de fuerzas en problemas anteriores y los reformula en términos de EDPs:

I) oscilaciones transversales de una barra (1734-1735)II) oscilaciones (no necesariamente pequeñas) de una cuerda (1744)

3. Controversia sobre las pequeñas vibraciones planas de un resorte de grosor uniforme (1746-1783).

3.1. Aunque Taylor (en 1713) ya había realizado el estudio previo para llegar a la EDP no llegaba (ni sus contemporáneos) a entender el problema mecánico: una sola frecuencia (la fundamental).

3.2. John Bernoulli llega (en 1727) hasta 6 masas unidas y obtiene 6 frecuencias. Ignora el caso de n>6.

3.3. Memoria de Daniel Bernoulli sobre la composición de modos simples (1753) (ya había calculado, en 1737, las frecuencias para n masas)

Motivado por las publicaciones de D’Alembert y Euler

Superposición de dos modos simples

“La mejor prueba de que las ondulaciones del aire no interfieren unas con otras es que en un concierto uno escucha todas las partes distintivamente”Lo atribuye a una propiedad física más que a un resultado matemático de este tipo concreto (lineales) de EDO

4. D’Alembert formula, en 1751, la correcta EDP de la cuerda vibrante y su solución formal.

Recherches sur la courbe que form une corde tendue mise en vibration, Berlin(publicado en 1747) + “Suite..” (1749).

Parte del análisis de Taylor de 1713

Primera vez que se usa la 2ª ley de Newton en un medio continuo (no utiliza el Principio de D’Alembert)

Muestra la fórmula “que incluye infinitas curvas”

Extremos fijos en x=0 y x=l obligan a

Prolongación par

“La velocidad inicial debe ser impar y su desarrollo en serie de potencias de xsolo puede tener potencias pares”

En su “Suite…” de 1749 busca soluciones separables

•Primera solución de una EDP por separación de variables

•“El dato inicial ha de ser una función par en x=0 y x=2l: en otro caso el problema no puede ser resuelto, al menos por mi método”.

•Para él, toda función ha de tener una “ecuación” (expresión analítica). Las funciones discontinuas, derivables a trozos, etc., no son “funciones mecánicas” (según Leibniz).

3.4.Primera memoria de Euler (1748): solución por funciones generales.De vibratione chordarum exercitatio, Nova acta erud. 1749 (presentado en 1748) Berlin (en francés, 1748) Señala similitudes con D’Alembert (1747) [D’A.: método similar pero más largo].

•Datos iniciales “continuos” arbitrarios (no necesitan ecuaciones de definición, con curvatura continua a trozos): abre una nueva parcela del Análisis.

•Muestra una periodicidad (universal) en t (Taylor 1713) que admite otras menores según los datos iniciales

Primera solución general de la EDP

no especifica si la suma es finita o infinita.

3.5. Segunda memoria de Euler (1754): la importancia capital de la ecuación en derivadas parciales.

Contestando a dos memorias de Daniel Bernoulli sobre la composición de modos simples de 1753 (y también a D’Alembert), Euler publica

Remarques sur les memoires precedens de M. Bernoulli (Berlin 1753: aparecido en 1755).

Importancia de la EDP (équation différentio-différentiels)

Operador diferencial: “d’une très grande utilité dans quantité de problemes mécaniques et hydrodynamiques”.

Suscita explícitamente la cuestión de si “toda función puede ser representada por una serie trigonométrica infinita”.La causante de la superposición no es la Mecánica, es la linealidad de la EDP

Primera memoria de Lagrange (1759): solución explícita de la cuerda cargada y (fallido) paso al límite.Polémicas varias (1760-1767)

Investigaciones de Euler sobre la propagación y reflexión de ondas ( 1764-1765).Velocidad finita de propagación

Método de imágenes

Polémicas (muy fructíferas) hasta el 1783.

4. Investigaciones de Euler posteriores a su “Primeros principios de la Mecánica” (1752-1788).

4.1. La cuerda vibrante no homogénea

Los primeros resultados sobre la cuerda no homogénea: modos simples en casos concretos y el método inverso general de Euler(1752-1765).

Daniel B. 1732. cuerda de sección variable

Euler 1759, Lagrange 1760,

Euler 1762. Problema inverso. Hallar la sección para la que las frecuencias puedan ser medidas (soluciones no periódicas)

Euler considera también el caso de sección discontinua (dos materiales distintos pegados)

Dato inicial generando un triángulo

Primera solución generalizada de una EDP

Analiza si hay soluciones regulares de la forma

Infinitas raíces de la ecuación trascendente

4.2. “Segunda polémica”, errores y otros casos concretos (1770-1788).

D’Alembert 1770, Euler 1772 (error: inconsistencia con sus propios resultados de 1762), Daniel Bernoulli 1774,….

En contraste a la “primera polémica”:

•De escasa trascendencia posterior

•Les “encadena” a dedicar fuerzas y tiempo a un problema no muy relevante

•Muy escasos resultados matemáticos contundentes

4.3. Vibraciones de membranas y láminasPrecedentes:

Euler 1774: Vibraciones planas de una cuerda pesada suspendida de uno de sus extremos.

Caso de sección constante

Primera ecuación integrodiferencial

Nuevo método para resolver ecuaciones trascendentes

funciones de Bessel.

Euler retoma el tema en 1781: utiliza cambios de variable en integrales de su libro Institutiones calculi integralis 1769 (400 páginas).

Euler: Vibraciones planas de una varilla recta o curvada (1760, 1774) .Motivado por su trabajo inicial , de 1727, sobre vibraciones de campanas.

Teoría fallida (error de signo: Sophie Germain 1821, libro de Love 1927)

Trabajo definitivo de Euler sobre 6 tipos de vibraciones transversales de varillas rectas (1772-1774) y su verificación experimental por Jordan Ricatti(1782) y Chladni (1787).

Euler (1759).:Teoría sobre la membrana vibrante

Acústica: “Sobre la vibration de tambores”

Primer éxito en dimensión superior a 1

Tambor circular

Primer cambio de variables en una EDP

Primera vez que aparece escrita la ecuación de Bessel

Pero…. no hace un estudio espectral, ni curvas nodales,…

Falta de atención en el problema (quizá por la “segunda polémica”).

Conjetura de Euler sobre los tonos de campanas (similares a los de tambores circulares).

Experimentos de 1787 de E.F.F. Chladni (1756-1827) sobre vibraciones de láminas libres.

4.4. Euler (1764). Modelos discretos (época final).

4.5. Flexión estática plana y pandeo de varillas rectas

Cálculo de Euler sobre el pandeo por carga de columnas de sección no constante (1757).

Punto de arranque de otros trabajos: distinción de diferentes tipos de pandeos por Daniel y John Bernoulli (1766), dos memorias de Lagrange (1770, 1773), etc.

Cálculo de Euler sobre la altura a la que la columna vertical cargada se pandea (1776, 1778).

3-cuerpos con acoplamientos elásticos.

Utiliza sólo los Primeros principios de la Mecánica.

Primera vez que aparece una teoría de la “torsión” (se adalanta a los experimentos de Ch.A.Coulomb (1736-1806) de 1773.

Obras maestras: mayor de 70 años, infatigable calculador,...

Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica. Curso 2007-2008.

J. I. Díaz: Matemáticas que sustentan columnas,

puentes y rascacielos.

http://www.rac.es/

4.6. Estática y dinámica de curvas oblicuas Teoría de Euler de la elástica oblicua (1774-1775) motivado por aspectos musicales.

Mejora el estudio variacionales de, 1761, Lagrange para el movimiento de curvas flexibles

Dominio del álgebra vectorial y geometría diferencial: primera vez que aparece el vector binormal y el planos osculador de una curva en 3d

“Último” trabajo (1782): Accuratior evolutio formularum pro filorum flexibilium aequilibrio et motu inventarum.

4.7. Leyes de la Elasticidad y la flexibilidad.

Investigaciones varias (1754-1768).

Introducción, por Euler, de la fuerza de cizallamiento y derivación de las ecuaciones generales del equilibrio de una curva deformable (1771, 1774).

Introducción, por Coulomb, del esfuerzo de cizallamiento interior (1773).

Definición formal de Euler del módulo de extensión y leyes de escala finales sobre las frecuencias y cargas de pandeo de varillas rectas (1774, 1776).

Grandes valores científicos y humanos

•Visión interdisciplinar

•Curiosidad y capacidad de trabajo inagotables

•Conciliador entre sus contemporáneos

•Superación de adversidades

•“Elasticidad” para adaptarse a temas diversos

Un ejemplo para generaciones presentes y futuras