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Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 2, n. 2, p. 74 - 86, outubro 2013.

La completitud como propiedad redundante

Enrique Alonso

Universidad Autónoma de Madrid [email protected]

Abstract: This paper analyzes a substantial part of the usual way to proceed in logical practice. I call this way to proceed the received view of logic. More specifically, I am concerned with the differences between the role played by the derivability relation and the semantic consequence relation in the description of a logic. This is the reason why I focus my attention on the completeness theorem for elementary logic. I analyze the importance of this basic result from a quite different perspective, one which differs from what is usual under the received view. A complete formal system guarantees that the set of logical truths is recursively enumerated in terms of the set of theorems of some appropiate calculus. Completeness, thus understood, is only valuable in the absence of a decidability result for that logical system. This interpretation of completeness is consistent with some of the views held by Gödel in his 1930 seminal work The completeness of the axioms of the functional calculus of logic. Keywords: Completeness; History of Contemporary Logic; Philosophy of Logic. Resumen: Este artículo analiza una parte sustancial de la forma habitual de proceder en la práctica de la lógica. Esta manera de proceder es lo que llamamos la concepción heredada de la lógica. Más específicamente , estoy preocupado con las diferencias entre el papel desempeñado por la relación derivabilidad y la relación de consecuencia semántica en la descripción de un sistema formal. Esta es la razón por la que centro mi atención en el teorema de completitud de la lógica elemental. Aquí analizo la importancia de este resultado básico desde una perspectiva muy diferente, una que difiere de lo que es usual bajo la concepción heredada. Un sistema formal completo garantiza que el conjunto de verdades lógicas se enumera de forma recursiva en términos del conjunto de teoremas de algún cálculo apropiado. La completitud, así entendida, sólo es valiosa en la ausencia de un resultado decidibilidad para que el sistema lógico en cuestión. Esta interpretación de la completitud es compatible con algunas de las opiniones expresadas por Gödel en su obra seminal La integridad de los axiomas del cálculo funcional de la lógica de 1930. Palabras clave: Completitud; Historia de la lógica contemporánea; Filosofía de la lógica.

mailto:[email protected]

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1 La concepción heredada

Siguiendo una tradición bien asentada, emplearé el término concepción

heredada para referirme a un cierto conjunto de presupuestos y técnicas

empleadas por una determinada comunidad científica, en este caso la de la

Lógica formal contemporánea. En esta ocasión el modelo corresponde en muy

buena medida a las opiniones expresadas por Church en su famoso manual

Introduction to Mathematical Logic1 junto con una serie de modificaciones

introducidas a partir del sólido desarrollo matemático de la Teoría de Modelos.

La concepción heredada entiende la tarea de la lógica como un proceso

dividido en tres etapas. La primera consiste en la descripción de un lenguaje

formal que pretende ser de aplicación en algún ámbito determinado. La segunda

se centra en la presentación de los cálculos y la semántica y en la tercera se

realiza un mínimo análisis de ciertas propiedades metateóricas relevantes sin las

cuales el proceso no se puede considerar terminado. En resumen, la concepción

heredada concibe el proceso de investigación en lógica como la definición de un

triplo { L, ⊢S, ⊧

M} en el que, de acuerdo con las tres etapas indicadas

previamente,

1. L es el conjunto de las fbf obtenido a partir de las constantes lógicas y

variables previamente seleccionadas en un cierto vocabulario básico

Vb,

2. ⊢S es la relacion de derivabilidad formal. Esta ha sido establecida a

través de algún cálculo o conjunto de ellos equivalentes desde un

punto de vista extensional, es decir, que prueban los mismos teoremas.

⊧M

es la relación de consecuencia semántica definida a partir de una

clase M de modelos construida para L y, finalmente,

3. Se ha conseguido demostrar al menos que ⊢S⊧

M

1Introduction to Mathematical Logic, Princeton: Princeton University Press, 1956.

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La última etapa de la presentación de un sistema formal no solo trata la

corrección de la derivabilidad formal, soundness, sino que a menudo incluye otros

tópicos cuya importancia relativa varía en función del contexto.

• La corrección de la relación de derivabilidad debe ser establecida

siempre que se disponga de una semántica aceptable. o en otras

palabras, no se aceptará un sistema formal cuyos cálculos prueben

fórmulas falsas.

• La completitud debe ser analizada y discutida pero no podemos exigir

que el sistema formal sea completo para consideralo un objeto de

estudio genuino de la Lógica, admitimos lógicas incompletas o incluso

lógicas cuya completitud no se ha establecido aún.

• Es interesante discutir la decidibilidad del sistema formal aunque no es

imprescindible establecer nada al respecto en un primer momento.

• Dependiendo del marco en el que se ha presentado el formalismo,

puede haber otras propiedades metateóricas más o menos

interesantes, como por ejemplo, Eliminacion de Corte, Compacidad,

Interpolación, etc.

El aspecto quizá más relevante de la concepción heredada es la forma en

que considera las relaciones de derivabilidad formal y consecuencia semántica

como entidades independientes que suponen formas alternativas de caracterizar

lo que a partir de Tarski se ha denominado la relación abstracta de consecuencia,

es decir, aquellas relaciones del tipo R⊢P(L)L que son objeto de estudio en

lógica. Buena parte de este trabajo está dedicada a criticar este aspecto concreto

de la concepción heredada.

2 La completitud antes de la teoría de modelos

Los primeros intentos por definir la completitud de un sistema formal

fueron tomados de la noción que ya se aplicaba de forma habitual a las teorías

formalizadas. Según Church,

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As a first attempt to fix the notion more precisely, we might demand of every sentence that either it or its negation shall be a theorem; but since we allow the assertion of propositional forms, this may probe insufficient.

2

Quizá sea bueno recordar que para el Logicismo, realmente influyente en los

primeros momentos de la Lógica contemporánea, no existe una necesidad real de

probar la completitud de un sistema formal para la Lógica. Para esta escuela, los

axiomas de un sistema axiomático definen de hecho el comportamiento de las

constantes lógicas de tal modo que más allá de esto solo encontramos su

interpretación informal en el lenguaje ordinario. No existe una forma alternativa,

en la semántica, por ejemplo, de explicar la conducta de las constantes lógicas.

Todo el análisis se realizaría en el terreno de la sintaxis del lenguaje.

La falta de interés del Logicismo por la formalización de nociones como

verdad o validez impedía seguramente acceder a lo que Church denominaba una

interpretación semántica de la completitud. Es decir, el cálculo no tenía una

referencia con respecto a la cual establecer dicha completitud, es decir, una clase

de fórmulas, las verdades, que tuvieran que ser obtenidas como teoremas de un

cálculo. Sin embargo, tampoco bastaba con presentar simplemente los axiomas o

reglas de un sistema para percibir su bondad. Los criterios de aceptabilidad para

las teorías formalizadas eran, por el contrario, relativamente claros. Se podrían

resumir en lo que sigue:

1. La teoría tiene que ser consistente en el sentido de que no haya

ninguna fórmula tal que T⊢ y T⊢.

2. La teoría tiene que ser capaz de responder adecuadamente a ciertas

cuestiones relevantes en relación a las fórmulas de su lenguaje, y en

particular,

(a) Completitud: Para cada fórmula , o bien T, o bien ∉ T.

(b) Decidibilidad: Para cada fórmula del lenguaje tiene que ser

posible determinar en tiempo finito si dicha fórmula pertenece

o no la teoría.

2Church 1956, p.109.

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En el contexto de la época, años 20 y 30, hablar de completitud de una

teoría formalizada suponía hablar de algún modo de la existencia de un algoritmo

para establecer si la fórmula en cuestión pertenecía o no a la teoría, por lo que a

menudo se hablaba de forma indistinta y algo confusa de decidibilidad y de

completitud. Sea como fuere, es justo reconocer que se trata de condiciones

epistemológicamente razonables acerca de lo que es o debe ser una buena

teoría.

¿Qué tiene que ocurrir para que se pueda llegar a una interpretación

propiamente semántica de la completitud de una teoría o de un sistema formal

-una lógica-? Parece obvio que lo que se requiere es son dos conjuntos de

fórmulas que comparar, el de las verdades de la teoría y el formados por los

teoremas de un cálculo considerado apropiado3.

En mi opinión, el camino hacia la perfecta identificación del conjunto de

las verdades lógicas como una entidad matemáticamente precisa se vio

favorecido al menos por los siguientes hechos:

1. La definición del fragmento proposicional de la lógica clásica como en

sistema relevante en sí mismo,

2. La proliferación de bases axiomáticas distintas para la lógica

proposicional y

3. El uso de tablas de verdad en pruebas de consistencia e independencia.

Post en 1921 ofrece una prueba de la consistencia de una axiomatización del

cálculo proposicional mientras que Bernays publica en 1926 sendas pruebas de

independencia y completitud en las que se hace un uso exhaustivo del método de

tablas de verdad. En otro lugar, María Manzano y yo mismo hemos empleado el

término protosemántica4 para referirnos a este uso de las tablas de verdad y

otros recursos similares como algoritmos para la clasificación de subconjuntos

notables de fórmulas del lenguaje. Pese a ello, es decir, pese a tratarse de

3En lo que sigue hablaré siempre de completitud débil, por lo que me centraré en verdades lógicas

y teoremas y no en inferencias. 4“Completeness: from Gödel to Henkin”, History and Philosophy of Logic.Published online: 05 Jul

2013 .

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métodos algorítmicos orientados a decidir ciertas propiedades relevantes de las

fórmulas del lenguaje, esta especie de semántica tentativa nunca llegó a alcanzar

el rigor que se le concedían a los métodos propios de la sintaxis, es decir, de los

cálculos.

3 Interpretando la completitud

Pese a que todos sabemos bien a que nos referimos cuando se habla de la

completitud de una lógica -dejamos ahora aparte las teorías formalizadas- lo

cierto es que solemos darle formulaciones que introducen sesgos que luego

pueden tener consecuencias en la forma de entender el papel de esta propiedad

fundamental de los formalismos. Me centraré en dos expresiones muy distintas y

en cierto modo opuestas de la completitud:

1. Siempre que tenemos una verdad lógica, sabemos que es un teorema

de un cierto cálculo, es decir, sabemos que existe una prueba de esa

fórmula en dicho cálculo.

2. El conjunto de las verdades lógicas es recursivamente enumerable en

términos de un cálculo apropiado.

La primera forma de expresar la completitud tiene lo que claramente podriamos

denominar como un sesgo epistémico. Se dice lo que sabemos una vez hemos

establecido que una fórmula es una verdad lógica, es decir, se dice que sabemos

que existe una prueba. Así entendida, la semántica parece pertenecer al dominio

de los algoritmos de decisión sobre fórmulas de un lenguaje, mientras que los

cálculos retienen un componente heurístico que se resuelve en la imposibilidad

de determinar en su interior cuándo una fórmula no es un teorema. La semántica

actuaría así, caso de disponer de un cálculo completo, como un filtro previo a la

búsqueda de una demostración en dicho cálculo. Sin embargo, eso no basta,

como ya se dijo más arriba para otorgar a la semántica una completa suficiencia a

la hora de determinar la bondad de una formula. En otras palabras, saber que

una fórmula es un teorema de un cálculo mediante la prueba pertinente parece

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poseer más valor que el hecho de que haya sido identificada como una verdad

lógica antes de proceder a la búsqueda de esa prueba. Lo que se confirma con

ello es lo que denominaré como principio de prioridad de la sintaxis, el cual

parece intimamente asociado a la interpretación epistémica de la completitud.

La segunda forma de expresar la completitud es enteramente distinta. En

ella, el conjunto de las verdades lógicas es el que parece necesitar una

construcción, la cual es garantizada por el cálculo al ser capaz de obtener dicha

clase en términos de teorematicidad. Es decir, sabemos que el cálculo al ser

completo es capaz de obtener el conjunto de las verdades lógicas reuniendo

todos los teoremas según se van obteniendo. Esta lectura de la completitud, a la

que denominaré interpretación computacional es coherente con las impresiones

de Gödel y Kleene expresadas en dos citas sorprendentemente similares:

Let us note that the equivalence now proved, "valid = probable", contains, for the decision problem, a reduction of the nondenumerable to the denumerable, since "valid" refers to the nondenumerable totality of functions, while "provable" presuposes only the denumerable totality of formal proofs.

5

Palabras en las que insiste Kleene años más tarde afirmando que,

A reduction from the non-enumerably to the enumerably infinite is achived, as validity and satisfiability refer to the totality of logical functions, which is non-enumerable, while the proof-theoretic equivalents provability and irrefutability refer only to the enumerable infinity of formal proofs.

6

Bajo esta interpretación, la semántica ya no está asociada a procedimientos

algorítmicos de clasificación de fórmulas, sino que parece ubicarse en el terreno

de las definiciones conjuntistas de tipo general. La totalidad no enumerable de las

funciones parece hacer referencia a las interpretaciones de las fórmulas del

lenguaje en términos de verdad o falsedad sin que exista una forma efectiva de

determinar en general si una expresión es verdadera bajo todas esas

interpretaciones admisibles. La completitud reduciría entonces la complejidad

5‘The completeness of the axioms of the functional calculus of logic’, en From Frege to Gödel: a

source book in mathematical logic, 1879-1931, Cambridge:Harvard University Press, p. 589. 6Introduction to Metamathematics, North Holland. Amsterdam, 1952. p.423.

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computacional de la clase de las verdades lógicas al afirmar que esta es al menos

r.e. En este sentido se puede decir que la interpretación computacional de la

completitud conduce a una especie de principio del premio de consolación7 que

permite mantener cierto control sobre las verdades del lenguaje dada una

determinada clase de modelos o interpretaciones admisibles. Una consecuencia

inmedita de este principio es que la completitud de una lógica solo es relevante

desde un punto de vista epistémico si dicha lógica no es decicidible, ya que en

otro caso no solo podemos enumerar recursivamente las verdades lógicas, sino

también aquellas fórmulas que no lo son. Esta observación tiene una

consecuencia histórica interesante que simplemente mencionaré en este punto.

La demostración de la completitud de la Lógica de Primer Orden ofrecida por

Gödel en 1930 se llevó a cabo en un contexto que suponía la decidibilidad del

cálculo para la lógica elemental. Gödel obtiene su prueba incorporando un paso

no-constructivo en el que se apela a una interpretación ideal del silogismo

disyuntivo. Ahora sabemos que este paso es necesario ya que la Lógica de Primer

Orden no es decidible, pero no era algo de lo que Gödel estuviera seguro, al

menos no en este momento. Si juntamos esta observación al principio del premio

de consolación lo que se obtiene es que la completitud solo es relevante como

una prueba no-contructiva que al menos garantiza la enumerabilidad recursiva de

la clase de las verdades lógicas. Cabe sospechar que Gödel llegó a entender esa

relación entre el valor de la completitud y la necesidad de un componente

no-constructivo en su demostración, pero esto solo pueden ser conjeturas

razonables.

En definiva y según lo dicho, parace que tenemos dos lecturas opuestas de

la completitud, la que he denominado interpretación epistémica y la

interpretación computacional. La primera se apoya en el principio de la prioridad

de la sintaxis, mientras que la segunda parece tener como consecuencia el

principio del premio de consolación.

7En inglés la idea queda perfectamente recogida en la expresión the second best.

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4 Sintaxis vs. semántica

Tradicionalmente la distinción entre sintaxis -los cálculos- y la semántica

-los modelos- ha resultado tener un carácter conceptual. En el caso de la sintaxis,

la noción de prueba es concebida como un procedimiento puramente mecánico

en el que no se precisa ninguna comprensión del proceso para aplicar

correctamente las reglas. Las pruebas son además procesos finitos. En el caso de

la semántica sus nociones centrales parecen íntimamente ligadas al significado y

por tanto se ven afectadas de una ambigüedad inherente a todo aquello que

tiene que ver con el significado de las expresiones de un lenguaje. En mi opinión

existen suficientes contraejemplos a esta tesis según la cual la distinción entre

sintaxis y semántica es de tipo conceptual. Insistir en este punto podría llevarnos

quizá demasiado lejos, por lo que solo voy a mencionar un par de ejemplos que

me parecen especialmente relevantes. Que la semántica no siempre aporta un

aparato conceptual evidente parece claro cuando uno se adentra lo suficiente en

ciertos ámbitos de la Teoría Modelos. Uno de los casos más evidentes es el de la

denominada semántica de entornos o vecindades -neighbourhood semantics-

habilitada para suministrar modelos a las lógicas modales no-normales,

semántica que la los modelos kripkeanos no podían aportar. El significado

intuitivo de esta semántica simplemente no apare por ningún sitio, es solo una

buena solución a un problema técnico procedente de la topología estándar, pero

no aporta un elemento intuitivo reconocible. En el polo opuesto, es decir, en lo

que tiene que ver con la ausencia de significado en los cálculos, parece imposible

no mencionar la polémica destatada en torno a la conectiva tonk8. Si las reglas del

cálculo -o los axiomas, tanto da- son constitutivas del significado del las

constantes lógicas, ¿por qué no vale cualquier combinación de reglas? En

general, ¿qué criterio se sigue cuando se elige el formato de una regla

determinada para una constante lógica? No cabe decir que en los cálculos solo

exista una ciega manipulación de los símbolos, porque al menos en sus etapas

8Prior, Arthur. "The runabout inference ticket." Analysis, 21, pp38-39, 1960-61.

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constitutivas, en la definición de las reglas y los axiomas, esto no es cierto. Las

reglas responden a un análisis previo que puede proceder de la semántica o de

cualquier otra parte.

La opinión de que la diferencia fundamental entre sintaxis y semántica es

conceptual suele estar asociada a lo que se conoce como la polémica sobre la

prioridad de la semántica. Durante algún tiempo se otorgó a la semántica una

cierta prioridad en el análisis que la lógica hace de un campo determinado

siguiendo las pautas de la concepción heredada. Primero son las cláusulas

semánticas de las constantes lógicas y todas aquellas decisiones que llevan a la

construcción de la clase M de los modelos admisibles. Según esta posición, es ahí

donde la lógica proyecta todo su potencial de análisis. La sintaxis intervendría a

continuación aportando una herramienta de cálculo y un rigor que

paradójicamente la semántica parece no ser capaz de aportar por si misma.

Propongo que abandonemos la tesis según la cual la diferencia entre

semántica y sintaxis es de orden conceptual y con ello la polémica sobre la

prioridad. En mi opinión la diferencia entre el dominio propio de la semántica y el

de los cálculos, o entre la teoría de modelos y la teoría de la prueba, se aprecia

con total claridad si analizamos las que son sus nociones centrales, la de verdad

lógica y teorema, respectivamente.

• Teorema: B es un teorema de S si y solo si existe una secuencia finita

{A1, A2, ... B) tal que...

• Verdad lógica: B es una verdad lógica con respecto a alguna clase de

interpretaciones admisibles M si y solo si para cada interpretación i en

M ...

La noción de teorema apunta a una construcción finita, mientras que la de verdad

no aporta indicación alguna acerca de la manera de determinar de forma efectiva

si una fórmula es o no una verdad lógica. Por eso propongo que en lugar de

considerar que la diferencia entre sintaxis y semántica se encuentra en la forma

en que una y otra se ven comprometidas con el significado o con ciertos

elementos intuitivos, admitamos que la cuestión tiene que ver con el tipo de

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recursos que admitimos en uno y otro caso. La semántica se mueve en el terreno

de las definiciones conjuntistas más generales en las que el único requisito

exigible es la consistencia de tales definiciones. Es decir, que en vista de esas

definiciones no se atribuyan propiedades contradictorias a las fórmulas del

lenguaje. La sintaxis, por contra, se centra en construcciones finitas, es decir, de

las técnicas que permiten generar conjuntos de fórmulas de forma mecánica -a

no confundir, naturalmente, con el hecho de que podamos decidir si una fórmula

es o no un teorema-.

5 Redefiniendo la lógica

Este trabajo se propuso como objetivo repasar algunos de los supuestos

de la concepción heredada en relación a la propiedad de la completitud. através

del análisis de la demostración de la completitud de la lógica de primer orden. Las

conclusiones obtenidas deberían afectar al modo de entender la tarea de la lógica

en el presente, por lo que tal vez resulte oportuno hacer un breve resumen de lo

dicho hasta ahora.

La tensión entre sintaxis y semántica ha sido considerada desde antiguo

antiguo como una oposición conceptual y metodológica. Hay conceptos y

métodos propios de la sintaxis y otros que son característicos de la semántica y es

posible en principio reconocer adecuadamente unos y otros. Esta oposición, que

suele llevar de forma más o menos directa a la disputa sobre la prioridad, es más

bien estéril. Lo que aquí se propone en juzgar los métodos y conceptos de la

lógica por el tipo de herramientas empleadas en la introducción de sus nociones

básicas. La semántica puede asociarse a aquellas definiciones que solo emplean

vocabulario conjuntista del tipo más general, como la de verdad lógica o

consecuencia. La sintaxis, si por tal entendemos los cálculos obtenidos a partir de

una definición de prueba, están orientados a enumerar de manera efectiva las

verdades lógicas de un formalismo. Pero también podríamos querer ir un poco

más allá enumerando también su complemento, es decir, ofreciendo una

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definición recursiva de las verdades lógicas. Curiosamente no existe un término

apropiado para este ámbito. Lo cual es de esperar si se tiene en cuenta que la

concepción heredada acepta que la distinción entre sintaxis y semántica es de

tipo conceptual. Lo que aquí sugerimos es una superar esta oposición. En lugar de

insistir en ella, nos inclinamos por considerar distintos métodos de

caracterización de una clase de fórmulas destacadas previamente obtenida –las

verdades lógicas en el caso clásico–. El criterio que ordenaría tales

aproximaciones a Lv es la complejidad computacional de dichos procedimientos.

En realidad, lo que tendríamos son medidas de la complejidad computacional de

Lv. En particular,

1. La clase notable Lv puede ser obtenida como el resultado de un

método efectivo, resultando así recursiva,

2. Sus elementos pueden ser enumerados de forma efectiva por algún

procedimiento, siendo así r.e, pero no así las fórmulas que no estén en

dicho conjunto, y finalmente,

3. No hay procedimiento alguno que permita enumerar las expresiones

en Lv, sino a lo sumos subconjuntos propios de dicho conjunto.

Esta propuesta desafía uno de los elementos más característicos de la concepción

heredada, aquel por el cual un formalismo solo queda perfectamente

caracterizado cuando se definen ⊢ y ⊧ probando al menos que la relación de

derivabilidad es correcta –sound– respecto a la de consecuencia. Según el punto

de vista que aquí se ha defendido, esta forma de proceder puede suponer hacer

las cosas dos veces, una para determinar si A es o no una verdad lógica y otra, en

caso de que sí lo sea, para hallar una prueba de la misma en el cálculo.

Esta reinterpretación se apoya en parte en una nueva lectura de la prueba

de completitud de la Lógica de Primer Orden, lectura que como se ha visto, se

apoya en la forma en que Gödel entendió el valor de su prueba de 1930. El

carácter no constructivo de la demostración actuaría, desde este nuevo punto de

vista, como garantía del carácter no trivial de la adecuación del cálculo, es decir,

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de su completitud, dicho de otra manera, de su capacidad para enumerar de

manera efectiva las verdades de la Lógica de Primer Orden. Una interpretación no

constructiva del infinito es la única solución en este punto para evitar un conflicto

con la indecidibilidad de ese mismo cálculo.

Por último, creo que de todo lo dicho se desprende una nueva forma de

entender la metodología básica de la Lógica. El objetivo no serían los cálculos, ni

la semántica, sino la caracterización de clases notables de fórmulas de un

lenguaje. La motivación de cada una de estas posibles clases dependería de las

nociones empleadas en su definición, pero esta en principio solo necesitaría de

herramientas conjuntistas del tipo más general posible. Su estudio consistiría

entonces en el establecimiento de una medida real de la complejidad de dicha

clase, empezando por determinar si estamos ante una clase recursiva, r.e., o una

en la que solo es posible enumerar subconjuntos propios de la misma.

Esta propuesta estaría destinada a superar ciertos prejuicios procedentes

del viejo influjo del formalismo, algo que creemos ampliamente superado por los

acontecimientos y por la aparición de nuevas fronteras para la investigación en

Lógica.

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