kinch hoff

8/19/2019 Kinch Hoff

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Leis de Kirchhoff - Métodos de nós e de malhas

Método de nós

Método de Nós

Para apresentação do método de nós consideraremos o circuitoresistivo apresentado a seguir.

I

i6

1

2

3

0

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5

i 1

i 2

i 3

i 4

i 5

Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 3 / 42


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Método de nós

Lei de Kirchhoff das correntes

A soma algébrica das correntes em cada nó é nula, sendo atribúıdo

o sinal positivo às correntes que saem do nó e o negativo àscorrentes que entram.

O circuito de interesse possui 4 nós, sendo que suas correntesobedecem às seguintes equações

nó 1 : i 1 + i 5 + i 6 = 0

nó 2 : − i 1 + i 2 + i 3 = 0

nó 3 : − i 3 + i 4 − i 5 = 0

nó 0 : − i 2 − i 4 − i 6 = 0Note que estas equações não são independentes (qualquercorrente de bipolo sai de um nó e entra em outro).

Um circuito conexo com n nós, possui n − 1 equações

independentes.Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 4 / 42

L i d Ki hh ff M´ d d ´ d lh


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Método de nós

Tensão de nóEscolhendo um dos nós como sendo o de referência (ou terra) emum circuito com n nós, as tensões de nós são as tensões entre osn − 1 nós e o nó de referência. A tensão do nó de referência é, pordefinição, nula.

Lei de Kirchhoff das tensões

A tensão entre os terminais de cada bipolo é a diferença entre atensão do nó ao qual está ligado o terminal positivo e a tensão donó ao qual está ligado o terminal negativo.


L i d Ki hh ff M t́ d d ´ d lh


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Método de nós

Denotando v i como tensão no bipolo i ∈ {1, · · · , 5} e e j comotensão no nó j ∈ {0, · · · , 3} e adotando o nó 0 como o de

referência, podemos escrever as seguintes equações

v 1 = e 1 − e 2

v 2 = e 2

v 3

= e 2

− e 3

v 4 = e 3

v 5 = e 1 − e 3

v 6 = e 1

Note que em um circuito com b bipolos e n nós, suas b equações independentes possuem b + n − 1 variáveis, sendo b tensões de bipolos e n − 1 tensões de nós.

Como as tensões de bipolos são escritas em função dastensões de nós, temos n

−1 tensões independentes.


Leis de Kirchhoff Métodos de nós e de malhas


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Leis de Kirchhoff - Metodos de nos e de malhas

Método de nós

Contagem do número de variáveis e equações

Variáveis EquaçõesL. Correntes b n − 1L. Tensões b + n − 1 b Total 2b + n − 1 b + n − 1

Note que necessitamos de mais b equações para obter soluçãoúnica. Estas b equações seguem da Lei de Ohm em cadabipolo. No caso do exemplo considerado, temos

i 1 = v 1/R 1

i 2 = v 2/R 2

i 3 = v 3/R 3

i 4 = v 4/R 4

i 5 = v 5/R 5

i 6 = −I

Note que para exprimir as correntes em

função das tensões, os bipolos devem sercontrolados por tensão.

O circuito não pode conter fontes ideaisde tensão.



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Leis de Kirchhoff Metodos de nos e de malhas

Método de nós

Método de nós

O elemento y kk da diagonal principal é a soma de todas ascondutâncias ligadas ao nó k .

Os elementos iguais y kj e y jk são iguais a soma dascondutâncias entre os nós k e j com o sinal negativo.

O elemento I k é a soma de todas as fontes de correntesligadas ao nó k com sinal positivo se apontam na direção donó ou negativo, caso contrário.




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Leis de Kirchhoff Metodos de nos e de malhas

Método de nós para bipolos não-lineares

Método de nós para bipolos não-lineares

O método é aplicável mesmo que um dos bipolos sejanão-linear e desde que controlado por tensão.

Supondo que o bipolo 3 seja não-linear e que sua corrente seja

expressa por i 3 = f (v 3) = f (e 2 − e 3), as equações ficam

1R 1

+ 1

R 5

e 1 −

1

R 1e 2 −

1

R 5e 3 = I

− 1

R 1e 1 +

1R 1

+ 1

R 2

e 2 + f (e 2 − e 3) = 0

− 1

R 5e 1 +

1R 4

+ 1

R 5

e 3 − f (e 2 − e 3) = 0



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Método de nós modificado


As correntes para os nós 1, 2 e 3 já expressas em termos dastensões de nós são

1R 1

+ 1

R 5

e 1 −

1

R 1e 2 −

1

R 5e 3 = I

− 1R 1

e 1 +

1R 1

+ 1R 2

e 2 + i 3 = 0

− 1

R 5e 1 +

1R 4

+ 1

R 5

e 3 − i 3 = 0

Note que temos uma variável adicional i 3 e, portanto, umaequação adicional deve ser inclúıda. Ela é dada por

e 2 − e 3 = E




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O sistema de equações obtido é o seguinte

( 1R 1

+ 1R 5

) − 1R 1

− 1R 5

0

− 1R 1

( 1R 1

+ 1R 2

) 0 1

− 1R 5

0 ( 1R 4

+ 1R 5

) −1

0 1 −1 0

e 1e 2e 3

i 3

=

I

00

E

A matriz de admitância Y continua simétrica.

Se a fonte de tensão E for nula caracterizando um curtocircuito, a corrente de curto circuito i 3 poderia ser calculada

sem grandes dificuldades.Este método pode ser utilizado para a obtenção de umacorrente qualquer, desde que a equação adicional seja aquelaque descreva, em função das tensões de nós, o ramo da

corrente desejada.Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 13 / 42



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Circuitos com fontes vinculadas


Para circuitos com fontes vinculadas utilizamos normalmente ométodo de nós modificados, já que algumas correntes conhecidascomo correntes essenciais não podem ser eliminadas. As correntesessenciais são :

As correntes que passam através das fontes de tensãovinculadas se existirem.

As correntes às quais são vinculadas fontes vinculadas acorrentes.




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Fonte de corrente vinculada à tensão

O circuito a seguir possui uma fonte de corrente vinculada atensão.

1

2

3

0

R 1

R 2 R 4

R 5

i 3

v 1+ −

gv 1

I




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Fonte de corrente vinculada à tensão

Neste caso resolve-se o circuito desprezando a fonte vinculada(abrindo o circuito na posição da fonte), obtendo

( 1R 1

+ 1R 5

) − 1R 1

− 1R 5

− 1R 1

( 1R 1

+ 1R 2

) 0

− 1R 5 0 ( 1R 4 + 1R 5 )

e 1e 2

e 3

=

I

0

0

A fonte está localizada entre os nós 2 e 3 e altera as equaçõesde correntes nestes nós. Logo, nestas linhas, a matrizadmitância deve ser modificada considerando que

i 3 = gv 1 = g (e 1 − e 2), o sistema torna-se(

1R 1

+ 1R 5

) − 1R 1

− 1R 5

− 1R 1

+g ( 1R 1

+ 1R 2

)−g 0

− 1R 5

−g g ( 1R 4

+ 1R 5

)

e 1e 2

e 3

=

I 0

0




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Fonte de corrente vinculada à corrente

Um circuito com fonte de corrente vinculada à corrente é dado aseguir.

1

2

3

0

R 1

R 2 R 4

R 5

i 1 i 3

β i 1

I




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Fonte de corrente vinculada à corrente

Neste caso encontra-se o sistema de equações desprezando afonte vinculada e explicitando a corrente de v́ınculo com aequação adicional e 1 − e 2 − R 1i 1 = 0, obtendo

1R 5

0 − 1R 5

1

0 1R 2

0 −1

− 1R 5 0 ( 1R 4 + 1R 5 ) 01 −1 0 −R 1

e 1e 2

e 3i 1

=

I

0

00

Como a fonte está entre os nós 2 e 3, a matriz admitânciasobre alteração nestas linhas acrescentando β i 1 na linha 2 e

−β i 1 em 3, obtendo

1R 5

0 − 1R 5

1

0 1R 2

0 −1 + β

− 1R 5

0 ( 1R 4

+ 1R 5

) −β

1 −1 0 −R 1

e 1e 2e 3i 1

=

I

000




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Fonte de tensão vinculada à tensão

O circuito contendo este tipo de fonte de tensão é dado a seguir

1

2

3

0

R 1

R 2 R 4

R 5

i 3

v 1

+

+

−

−

µv 1

I




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Fonte de tensão vinculada à tensão

Como a corrente que passa através da fonte vinculada éessencial, encontra-se o sistema de equações explicitando estacorrente.

A equação adicional é onde ocorre o v́ınculo, sendo dada por

e 2 − e 3 − µ(e 1 − e 2) = 0

O sistema de equações é o seguinte

1

R 1+ 1

R 5 − 1

R 1− 1

R 50

− 1R 1

1R 1

+ 1R 2

0 1

− 1R 5

0 ( 1R 4

+ 1R 5

) −1

−µ (1 + µ) −1 0

e 1e 2e 3i 3

=

I 000




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Fonte de tensão vinculada à corrente

O circuito a seguir apresenta este tipo de fonte

1

2

3

0

R 1

R 2 R 4

R 5

i 3i 1

+ −

ri 1

I




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Fonte de tensão vinculada a corrente

Para o circuito em questão, utiliza-se o método de nós modificadosexplicitando as correntes i 1 e i 3. As equações adicionais são

e 1 − e 2 − R 1i 1 = 0

relacionada ao bipolo onde passa a corrente i 1 e a equação de

v́ınculo e 2 − e 3 − ri 1 = 0

relacionada ao bipolo onde passa a corrente i 3. O sistema deequações é o seguinte

1

R 5 0 −

1

R 5 1 00 1R 2

0 −1 1

− 1R 5

0 ( 1R 4

+ 1R 5

) 0 −1

1 −1 0 −R 1 00 1 −1 −r 0

e 1e 2e 3i 1i 3

=

I 0000




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Comentários

Como já mencionado, as fontes vinculadas não representamentradas externas no sistema. Elas alteram a matriz

admitância Y dos mesmos e não interferem nas entradas If

A matriz admitância Y de um sistema com fontes vinculadas

deixa de ser simétrica.




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Método de malhas

Método de malhas : Algumas definições

Circuitos planares

Circuitos que podem ser representados em um plano sem que hajacruzamento de ramos.

Malhas

São laços que não contêm bipolos no seu interior.

Correntes de malhas

São correntes fict́ıcias existentes somente no peŕımetro da malha.Seu sentido é o mesmo sentido de percurso da malha quando seescreve a respectiva equação de tensões.




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Método de malhas

Método de malhas

Para apresentação do método de malhas consideraremos o circuitoresistivo apresentado a seguir.

1

2

3

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5

E 1

E 2

+

+

−

−

j 1 j 2

j 3

i 1

i 2

i 3

i 4

i 5

i 6




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Método de malhas

Método de malhas

O método de malhas somente é aplicável para circuitos planos.

O número de malhas em um circuito plano conexo é dado porb − (n − 1).

Lei das tensões em formulação alternativa

A soma das tensões dos bipolos que formam uma malha é igual azero se, escolhido o sentido de percurso, considerar-se tensõespositivas as que concordarem com o sentido adotado e negativasas que discordarem.

Através do método de Kirchhoff obtém-se equações detensões descritas para b − (n − 1) malhas expressas em funçãodas correntes de bipolos, que, por sua vez, são expressas emfunção das b − (n − 1) correntes de malhas.




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Método de malhas

Método de Malhas

O circuito de interesse possui 3 malhas. Utilizando a Lei deKirchhoff, temos

malha 1 : E 1 − R 1i 1 − R 2i 2 = 0malha 2 : R 2i 2 − R 3i 3 − R 4i 4 = 0

malha 3 : R 1i 1 − E 2 − R 5i 5 + R 3i 3 = 0

A relação entre as correntes de malhas e as de bipolos é aseguinte

i 1 = j 1 − j 3

i 2 = j 1 − j 2i 3 = j 2 − j 3i 4 = j 2i 5 = j 3i 6 = − j 1



M´ d d lh


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Método de malhas

Método de Malhas

Relacionando ambos os conjuntos de equações, obtemos oseguinte sistema

R 1 + R 2 −R 2 −R 1

−R 2

R 2

+ R 3

+ R 4

−R 3−R 1 −R 3 R 1 + R 3 + R 5

j 1 j

2 j 3 =

E 10

−E 2

Na forma matricial, as equações de malhas são representadaspor Zj = Ef sendo Z ∈ R

b −(n−1)×b −(n−1) a matriz

impedância, j

∈R

b −(n−1)×1

o vetor das correntes de malhas eEf ∈ Rb −(n−1)×1 o vetor das fontes de tensão independentes.

A matriz Z é simétrica e diagonal dominante.

O sistema pode ser obtido por inspeção.



M t́ d d lh


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Metodo de malhas

Método de malhas

Considerando que as correntes de malhas circulam no mesmosentido (por exemplo, horário), temos :

O elemento z kk da diagonal principal é a soma de todas asresistências que compõem a malha k .

Os elementos iguais z kj e z jk são iguais a soma dasresistências, com o sinal negativo, que pertencemsimultaneamente às malhas j e k .

O elemento E k é a soma de todas as fontes de tensão damalha k obedecendo o sentido de percurso, positivo seconcordar com o sentido adotado e negativo caso contrário.



Método de malhas


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Metodo de malhas

Comentários

O método de malhas é conveniente na análise de circuitospequenos formados por fontes de tensão. Entretanto,comparado ao de nós, possui a desvantagem de ser restritoaos circuitos planos.

Como no método de nós, o método de malhas pode sermodificado de forma a incluir entre as incógnitas algumastensões, tornando posśıvel a análise de circuitos com fontes decorrente ideais.

Fontes vinculadas também podem ser inclúıdas, o que tornama matriz de impedância Z assimétrica.

Em ambos os casos, no método de nós e no de malhas, assimplificações nos circuitos podem facilitar sua análise.



Dualidade


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Dualidade

Dualidade

1 2R 1

R 2 R 3 G 1

G 2

G 3E 1 I +

− j 1 j 2

Considerando apenas circuitos planos conexos as equaçõesmatriciais

Zj = Ef e Ye = If

são duais pois só diferem pelo nome das grandezas envolvidas.

Pares de circuitos cuja equação de nós de um é idêntica àequação de malhas do outro são chamados de duais.

Os circuitos da figura são duais.



Simplificacão de circuitos


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Simplificaçao de circuitos

Simplificação de circuitos

Para facilitar a análise de circuitos elétricos podemos recorrer aalgumas transformações tais como :

Realizar a associação em série ou em paralelo de bipolos,

substituindo os mesmos por um único bipolo equivalente.

Realizar a equivalência estrela-triângulo.

Realizar a transformação de fontes : fontes de tensão parafontes de corrente e vice-versa.

Realizar o deslocamento de fontes.



Simplificacão de circuitos


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Simplificaçao de circuitos

Associação de bipolos em série

R 1R 2

R 3

R n

R eq

E eq E 3 E 1E 2

E n

v v

i i

+ +

+

+

++

+

− −

−

−

−

−

−

≡

aa

bb

· · ·

Bipolos em série : A corrente i que passa por todos eles é a mesma.

Note que aplicando a lei de Kirchhoff das tensões, temos

v = E eq − R eq i , com

E eq =

ni =1

E i , R eq =

ni =1

R i

Logo os n bipolos em série podem ser substitúıdos por um único

bipolo equivalente.Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 33 / 42




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p ¸

Associação de bipolos em paralelo

G 1 G 2 G n G eq

I eq I 1 I 2 I n v v

i i

++

−−

≡· · ·

Bipolos em paralelo : A tensão v sobre todos eles é a mesma.

Note que aplicando a lei de Kirchhoff das correntes, temos

i = I eq − G eq v , com

I eq =n

i =1

I i , G eq =n

i =1

G i

Logo os n bipolos em paralelo podem ser substitúıdos por um único

bipolo equivalente.Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 34 / 42




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p

Equivalência estrela-triângulo

R 1 R 2

R 3

R 12

R 13 R 23

1

1

2

2

3

3

Muitas vezes é conveniente substituir uma ligação Y por umaligação ∆ equivalente ou vice-versa.

Para encontrar a equivalência ligam-se duas fontes de correntequaisquer aos nós de mesmo nome das associações.





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R 1 R 2

R 3I 1 I 2

1 2

3

E 13E 23

=

R 1 + R 3 R 3

R 3 R 2 + R 3

I 1I 2

R 12

R 23R 31I 1 I 2

1 2

3

1R 12

+ 1

R 31

− 1

R 12− 1R 12

1R 12

+ 1R 23

E 13E 23

=I 1

I 2





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A condição de equivalência entre as associações é dada por

R 1 + R 3 R 3

R 3 R 2 + R 3

−1

=

1R 12

+ 1R 31

− 1R 12

− 1R 12

1R 12

+ 1R 23

ou de Y → ∆, temos

R 12 = R 1R 2 + R 2R 3 + R 3R 1

R 3

R 23 =

R 1R 2 + R 2R 3 + R 3R 1

R 1

R 31 = R 1R 2 + R 2R 3 + R 3R 1

R 2





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De ∆ → Y temos

R 1 = R 12R 31

R 12 + R 23 + R 31

R 2 = R

12R

23R 12 + R 23 + R 31

R 3 = R 23R 31

R 12 + R 23 + R 31

Se as três resistências forem iguais R

1 = R

2 = R

3 = R

Y , temosR 12 = R 23 = R 31 = R ∆ = 3R Y





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Transformação de fontes

R

G E I +−

(1) (2)

aa

bb

≡

Uma fonte de tensão em série com um resistor pode ser substitúıdapor uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor ouvice-versa.

A relação entre E e I é obtida conectando um resistor R Lentre os pontos a e b . Nas duas configurações o resistor devesofrer o mesmo fluxo de corrente e, portanto, a mesma quedade tensão.





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Transformação de fontes

Para a configuração (1) a corrente é dada por

i L = E

R + R L

Para a configuração (2) a corrente é dada por

i L = R

R + R LI

Igualando ambas as equações temos que a relação é

I = E

R





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Deslocamento de fonte de tensão

R 1 R 1

R 2 R 2

R 3 R 3

R 4 R 4

≡

E

E

E +

+

+

−

−

−

O deslocamento de uma fonte ideal de tensão colocando-a em sériecom os bipolos das malhas subsequentes (precedentes) e deixandoo ramo onde ela estava em curto, não altera as equações docircuito





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Deslocamento de fonte de corrente

R 1R 1

R 2R 2 R 3R 3

R 4R 4 R 5R 5

R 6R 6 R 7R 7

R 8R 8

≡I

I I

O deslocamento de uma fonte ideal de corrente colocando-a emparalelo com os nós subsequentes (precedentes) e deixando o ramoonde ela estava em aberto, não altera as equações do circuito


kinch hoff

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