kansrekening en statistiekiemhoff/college/statistiek/2009/stat1.pdf · typische vragen: het drie...

Kansrekening en Statistiek

College 1

Woensdag 9 September

1 / 39

Site: http://www.phil.uu.nl/˜ iemhoff

Literatuur:

Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition,Dennis E. Hinkle, William Wiersma, and Stephen G. Jurs.

De (legale) online versie van Introduction to Probability,Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell, te vinden ophttp://www.dartmouth.edu/∼chance/teaching aids/books articles/probability book/book.html.We gaan tenminste de eerste vier hoofdstukken behandelen.

2 / 39

Kansrekening en Statistiek?

Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen

Bevordert luieren de fantasie? Psychologie

Hoe leert mijn spamfilter wat spam is? Informatica

Wat is een kans? Filosofie

Does God play dice with the universe? Natuurkunde

Is Lucia B. schuldig? Rechtspraak

Werkt paracetamol? Geneeskunde

3 / 39

Inductief redeneren:wanneer dit gebeurt is de kans groot dat dat gebeurt.

4 / 39

Indeling college

1 Kansrekening.

2 Statistiek.

Onderweg Toepassingen en Filosofie.

5 / 39

1 Kansrekening

6 / 39

Typische vragen: het verjaardag probleem

Wat is de kans dat twee van ons op dezelfde dag jarig zijn?

7 / 39

Typische vragen: het Monty Hall probleem

Achter een van drie gesloten deuren staat een auto, achter deandere twee een geit. Jij gaat voor een deur staan. Bijv:

geit geit

De quizmaster Monty Hall opent een van de twee deuren waar jijniet voor staat en waarachter een geit staat. In dit voorbeeld:

geit geit

Jij mag blijven staan of voor de andere gesloten deur gaan staan.Vervolgens win je dat wat achter jouw deur staat. Is het beteraltijd van deur te veranderen (indien je geen geit wilt)?

8 / 39

geit geit

8 / 39

geit geit

8 / 39

Typische vragen: loterij

Wat is de kans dat je bij een loterij met 100 loten en drie prijzeneen prijs wint als je 7 loten koopt? Is die kans veel groter dan alsje 5 loten koopt?

9 / 39

Typische vragen: oneindig veel uitkomsten

Een computer genereert willekeurige punten in de grote cirkel. Watis de kans dat het punt in de kleine cirkel valt?

Wat is de kans dat je uit een zak met alle natuurlijke getallen een5 trekt?

In tegenstelling tot de vorige vragen is bij deze twee experimentenhet aantal uitkomsten oneindig.

10 / 39

Typische vragen: het drie gevangenen probleem

Er zijn drie gevangen, 1,2 en 3, waarvan twee, die willekeuriggekozen worden, zullen worden terechtgesteld, en de gevangenenweten dit. Dus de kans voor elke gevangene om te overleven is 1

3 .Rita, de cipier komt langs en 1 vraagt haar of zij kan zeggen of 1of 2 wordt terechtgesteld. Rita zegt: 2. Wat is nu de nieuwe kansdat 1 overleeft?

Er lijken twee antwoorden mogelijk:

• 1 krijgt geen nieuwe informatie, hij wist toch al dat 2 of 3terechtgesteld zou worden, dus zijn overlevingskans blijft 1

• Eerst waren er drie mogelijkheden: 1 of 2 of 3 overleeft. Nuzijn er twee mogelijkheden: 1 of 3 overleeft. De kans dat 1overleeft is 1

Wat is de kans dat 1 overleeft?

11 / 39

Typische vragen: het drie gevangenen probleem

Er zijn drie gevangen, 1,2 en 3, waarvan twee, die willekeuriggekozen worden, zullen worden terechtgesteld, en de gevangenenweten dit. Dus de kans voor elke gevangene om te overleven is 1

3 .Rita, de cipier komt langs en 1 vraagt haar of zij kan zeggen of 1of 2 wordt terechtgesteld. Rita zegt: 2. Wat is nu de nieuwe kansdat 1 overleeft?

Er lijken twee antwoorden mogelijk:

• 1 krijgt geen nieuwe informatie, hij wist toch al dat 2 of 3terechtgesteld zou worden, dus zijn overlevingskans blijft 1

• Eerst waren er drie mogelijkheden: 1 of 2 of 3 overleeft. Nuzijn er twee mogelijkheden: 1 of 3 overleeft. De kans dat 1overleeft is 1

Wat is de kans dat 1 overleeft?

11 / 39

Typische vragen: een rechtszaak

In Californie is de zaak People vs Collins (1968): een portomoneewordt gestolen en een getuige zegt een blonde vrouw metponystaart te hebben zien vluchten in een gele auto bestuurd dooreen zwarte man met baard. Een aantal dagen later wordt er eenpaar dat aan deze bescrhijving voldoet gearresteerd, maar er wordtgeen bewijsmateriaal gevonden.

Hoe zou je kansrekening kunnen toepassen in deze rechtszaak?

12 / 39

Typische vragen: spam

Je laat een spamfilter weten dat een mail onterecht als spam isbechouwd.

Volgens welke regels past het filter zich aan, d.w.z. hoe leert eenspamfilter?

13 / 39

De uitkomstenruimte

Def. Een kansexperiment heeft een aantal mogelijke uitkomsten.

De uikomstenruimte (sample space) is de verzameling S van allemogelijke uitkomsten. (Het boek gebruikt Ω in plaats van S .)

Een dobbelsteen gooien S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, .Een commissie van drie parlementariers (willekeurig) kiezen:S bestaat uit alle verzamelingen van drie parlementariers.

Een commissie van drie parlementariers (willekeurig) kiezen,waarbij een voorzitter, een secretaris, en een penningmeesterwordt: S bestaat uit alle drietallen (V ,S ,P) waarbij V , S enP verschillende parlementariers zijn.

14 / 39

De uitkomstenruimte

Een dobbelsteen gooien S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, .

Een commissie van drie parlementariers (willekeurig) kiezen:S bestaat uit alle verzamelingen van drie parlementariers.

14 / 39

De uitkomstenruimte

Een dobbelsteen gooien S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, .Een commissie van drie parlementariers (willekeurig) kiezen:

S bestaat uit alle verzamelingen van drie parlementariers.

14 / 39

De uitkomstenruimte

14 / 39

De uitkomstenruimte

Een commissie van drie parlementariers (willekeurig) kiezen,waarbij een voorzitter, een secretaris, en een penningmeesterwordt:

S bestaat uit alle drietallen (V ,S ,P) waarbij V , S enP verschillende parlementariers zijn.

14 / 39

De uitkomstenruimte

14 / 39

Een gebeurtenis

Def. Een gebeurtenis (event) is een deelverzameling A van deuitkomstenruimte: A ⊆ S

Vb. Even gooien bij het gooien van een dobbelsteen A = 2, 4, 6.

Een winnend lot trekken A = winnende lotnummers.Positieve uitslag bij het testen op een ziekte A = ziek.

15 / 39

Een gebeurtenis

Def. Een gebeurtenis (event) is een deelverzameling A van deuitkomstenruimte: A ⊆ S

Vb. Even gooien bij het gooien van een dobbelsteen A = 2, 4, 6.

Een winnend lot trekken A = winnende lotnummers.Positieve uitslag bij het testen op een ziekte A = ziek.

15 / 39

Kansen

Def. De kans op gebeurtenis A wordt genoteerd als P(A).

De kans om even te gooien P(2, 4, 6).De kans om de loterij te winnen P(winnende lotnummers).

De kans op een ziekte P(ziek).

16 / 39

Kansen

Def. De kans op gebeurtenis A wordt genoteerd als P(A).

De kans om even te gooien P(2, 4, 6).De kans om de loterij te winnen P(winnende lotnummers).

De kans op een ziekte P(ziek).

16 / 39

Kansen toekennen

Vraag: Wat is de kans op een gebeurtenis?

Doel: Kansen kunnen berekenen en vergelijken.

Intuıtie: Als alle uitkomsten even waarschijnlijk lijken, dan hebbendie uitkomsten dezelfde kans en geldt

P(A) =#A

#S(# betekent “aantal elementen van”).'

%#A#S = 3

9 ••• ••

••

17 / 39

Kansen toekennen

P(A) =#A

%#A#S = 3

9 ••• ••

••

17 / 39

Kansen toekennen

P(A) =#A

#S(# betekent “aantal elementen van”).

%#A#S = 3

9 ••• ••

••

17 / 39

Kansen toekennen

P(A) =#A

%#A#S = 3

9 ••• ••

••

17 / 39

Voorbeelden

Een dobbelsteen gooien P(1) = P(2) = · · · = P(6).

Een lot trekken P(lot 1) = P(lot 2) = . . . .

De kans om een rode of groene bal te trekken uit een vaasmet 2 rode, 3 groene en 4 blauwe ballen:

P(R of G ) =# rode en groene ballen

# ballen=

••

•••

••

• •

18 / 39

VoorbeeldenVb.De kans op precies twee maal munt bij het drie maal werpen vaneen munt:

S = KKK ,KKM,KMK ,MKK ,MMM,MMK ,MKM,KMM.

P(precies twee maal munt) =3

De kans op een commissie met twee vrouwen en een man, wanneereen commissie van drie mensen (willekeurig) gekozen wordt uit eengroep van 3 vrouwen en 2 mannen:

S = v1, v2, v3, m1, v1, v2, m2, v1, v2,m1, v1, v3, m2, v1, v3, m1, v2, v3, m2, v2, v3,

m1,m2, v2, m1,m2, v3, m1,m2, v1.

P(twee vrouwen en een man) =6

19 / 39

m1,m2, v2, m1,m2, v3, m1,m2, v1.

19 / 39

m1,m2, v2, m1,m2, v3, m1,m2, v1.

19 / 39

m1,m2, v2, m1,m2, v3, m1,m2, v1.

19 / 39

Statistiek

Bij veel experimenten helpen de axioma’s van de kansrekening onsniet. Wat is de kans op een bepaalde ziekte, wat is de kans opwerkeloosheid, et cetera? Dat zijn statistische vragen, en diekomen later aan bod.

We beginnen nu met de formele definities en axioma’s vanKansrekening.

20 / 39

Statistiek

Bij veel experimenten helpen de axioma’s van de kansrekening onsniet. Wat is de kans op een bepaalde ziekte, wat is de kans opwerkeloosheid, et cetera? Dat zijn statistische vragen, en diekomen later aan bod.

We beginnen nu met de formele definities en axioma’s vanKansrekening.

20 / 39

Stochasten

Def. Stochastische variabelen (stochasten) zijn een compactenotatie voor het weergeven van kansen.Een stochastische variabele (random variable) is een variabelewaarvan de waarden de uitkomsten van een kansexperiment zijn,d.w.z. de waarden van de bijbehorende uitkomstenruimte.

Stochasten worden aangeduid met X ,Y ,Z .

Een dobbelsteen gooien: de waarden van X zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Op een ziekte testen: de waarden van X zijn ziek en niet ziek.

Compacte notatie:in plaats van P(de kans om 2 te gooien), nu P(X = 2).

21 / 39

Discrete distributiefuncties

Def. Zij S een eindige of aftelbare uitkomstenruimte van eenexperiment en X de bijbehorende stochast.Een distributiefunctie van X is een functie f (m in boek) die aanelke waarde van X een kans toekent, d.w.z. een getal tussen 0 en 1:

f : S → [0, 1], en zodat∑i∈S

f (i) = 1.

Dus als i een waarde is van X en A een gebeurtenis:

P(X = i) ≡def f (i) P(A) ≡def

∑i∈A

f (i).

Vb. Een dobbelsteen gooien: de waarden van X zijn 1, 2, . . . , 6.f (1) = · · · = f (6) = 1

6 . P(X is even) = f (2) + f (4) + f (6) = 12 .

22 / 39

f : S → [0, 1], en zodat∑i∈S

f (i) = 1.

∑i∈A

f (i).

Vb. Een dobbelsteen gooien:

de waarden van X zijn 1, 2, . . . , 6.f (1) = · · · = f (6) = 1

6 . P(X is even) = f (2) + f (4) + f (6) = 12 .

22 / 39

f : S → [0, 1], en zodat∑i∈S

f (i) = 1.

∑i∈A

f (i).

Vb. Een dobbelsteen gooien: de waarden van X zijn 1, 2, . . . , 6.f (1) = · · · = f (6) = 1

6 . P(X is even) = f (2) + f (4) + f (6) = 12 .

22 / 39

Voorbeelden

Vb. Een bal trekken uit een vaas met 2 rode, 3 groene en 4 blauweballen:

••

•••

••

• •

de waarden van X zijn R,G ,B

f (R) = P(X = R) = 29 en f (G ) = P(X = G ) = 3

P(X = R of X = G ) = f (R) + f (G ) = 29 + 3

9 = 59 .

23 / 39

Voorbeelden

••

•••

••

• •

f (R) = P(X = R) = 29 en f (G ) = P(X = G ) = 3

P(X = R of X = G ) = f (R) + f (G ) = 29 + 3

9 = 59 .

23 / 39

Voorbeelden

••

•••

••

• •

f (R) = P(X = R) = 29 en f (G ) = P(X = G ) = 3

P(X = R of X = G ) = f (R) + f (G ) = 29 + 3

9 = 59 .

23 / 39

Voorbeelden

••

•••

••

• •

f (R) = P(X = R) = 29 en f (G ) = P(X = G ) = 3

P(X = R of X = G ) = f (R) + f (G ) = 29 + 3

9 = 59 .

23 / 39

Conventie

Vanaf nu schrijven we meestal

P(X = i)

voorf (i).

Vaak is het handig X zo te kiezen dat die alleen waarden in Raanneemt.Vb.Op een ziekte testen, waarbij de kans op ziekte 0.26 is. We nemenals stochast X , die de waarden 0 (niet-ziek) en 1 (ziek) kanaannemen, waarbij P(X = 0) = 0.74 en P(X = 1) = 0.26.

24 / 39

Conventie

Vanaf nu schrijven we meestal

P(X = i)

voorf (i).

Vaak is het handig X zo te kiezen dat die alleen waarden in Raanneemt.Vb.Op een ziekte testen, waarbij de kans op ziekte 0.26 is. We nemenals stochast X , die de waarden 0 (niet-ziek) en 1 (ziek) kanaannemen, waarbij P(X = 0) = 0.74 en P(X = 1) = 0.26.

24 / 39

Eigenschappen van kansenSt. Als A en B disjunct (A ∩ B leeg), P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Bew. Omdat A en B disjunct zijn geldt:'

'$&%'$

Dus P(A ∪ B) =∑i∈A∪B

P(X = i) =∑i∈A

P(X = i) +∑j∈B

P(X = j) = P(A) + P(B).♥

St. Als A1,A2, . . . ,An disjunct (Ai ∩ Aj leeg voor alle i 6= j), dan

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

25 / 39

Eigenschappen van kansenSt. Als A en B disjunct (A ∩ B leeg), P(A ∪ B) = P(A) + P(B).Bew. Omdat A en B disjunct zijn geldt:'

'$&%'$

P(X = i) =∑i∈A

P(X = i) +∑j∈B

P(X = j) = P(A) + P(B).♥

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

25 / 39

'$&%'$

P(X = i) =∑i∈A

P(X = i) +∑j∈B

P(X = j) = P(A) + P(B).♥

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

25 / 39

'$&%'$

P(X = i) =∑i∈A

P(X = i) +∑j∈B

P(X = j) = P(A) + P(B).♥

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

25 / 39

Eigenschappen van kansenSt. P(A) = 1− P(A)

(A is het complement van A (A in boek)

Uit de vorige stelling volgt dat:

P(S) = P(A) + P(A).

Een eigenschap van de distributiefunctie is dat

P(S) =∑i∈S

P(X = i) = 1.

Dus 1 = P(S) = P(A) + P(A), en daarom P(A) = 1− P(A). ♥

26 / 39

P(S) = P(A) + P(A).

P(S) =∑i∈S

P(X = i) = 1.

26 / 39

P(S) = P(A) + P(A).

P(S) =∑i∈S

P(X = i) = 1.

26 / 39

P(S) = P(A) + P(A).

P(S) =∑i∈S

P(X = i) = 1.

Dus 1 = P(S) = P(A) + P(A), en daarom P(A) = 1− P(A). ♥26 / 39

Voorbeelden

P(A) = 1− P(A)P(

⋃ni=1 Ai ) =

∑ni=1 P(Ai ) indien A1,A2, . . . ,An disjunct.

Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E . De kans datmet D een 5 en met E groter dan 4 wordt gegooid isP(D = 5, E > 4)

= P(D = 5, E = 5 of E = 6).Er zijn 36 paren (D,E ), waarvan alleen (5,5), (5,6) voldoen:P(D = 5 en E > 4) = 1

36 + 136 = 1

27 / 39

Voorbeelden

P(A) = 1− P(A)P(

⋃ni=1 Ai ) =

Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E . De kans datmet D een 5 en met E groter dan 4 wordt gegooid isP(D = 5, E > 4) = P(D = 5, E = 5 of E = 6).

Er zijn 36 paren (D,E ), waarvan alleen (5,5), (5,6) voldoen:P(D = 5 en E > 4) = 1

36 + 136 = 1

27 / 39

Voorbeelden

P(A) = 1− P(A)P(

⋃ni=1 Ai ) =

Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E . De kans datmet D een 5 en met E groter dan 4 wordt gegooid isP(D = 5, E > 4) = P(D = 5, E = 5 of E = 6).Er zijn 36 paren (D,E ), waarvan alleen (5,5), (5,6) voldoen:P(D = 5 en E > 4) = 1

36 + 136 = 1

27 / 39

Voorbeelden

P(A) = 1− P(A)P(

⋃ni=1 Ai ) =

Uit een klas met 17 meisjes en 10 jongens wordt eencommissie gekozen bestaande uit 1 meisje en 2 jongens. Watis de kans dat Marie, Jan en Piet gekozen worden?

S bestaat uit alle verzamelingen van twee jongens en eenmeisje.

Er zijn 10·92 ongeordende paren jongens. Dus #S = 17 · 10·9

De kans dat Marie, Jan en Piet gekozen worden isP(MJP) = 2

17·10·9 .

28 / 39

Voorbeelden

P(A) = 1− P(A)P(

⋃ni=1 Ai ) =

17·10·9 .

28 / 39

Voorbeelden

P(A) = 1− P(A)P(

⋃ni=1 Ai ) =

17·10·9 .

28 / 39

Voorbeelden

P(A) = 1− P(A)P(

⋃ni=1 Ai ) =

17·10·9 .

28 / 39

Eigenschappen van kansenSt. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(A) = P(A\B) + P(A ∩ B) P(A\B) = P(A)− P(A ∩ B)

P(B) = P(B\A) + P(A ∩ B) P(B\A) = P(B)− P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A)− P(A ∩ B) + P(B)− P(A ∩ B) + P(A ∩ B) =

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥

29 / 39

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥

29 / 39

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥

29 / 39

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥

29 / 39

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(A) = P(A\B) + P(A ∩ B)

P(A\B) = P(A)− P(A ∩ B)

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥

29 / 39

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥

29 / 39

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(B) = P(B\A) + P(A ∩ B)

P(B\A) = P(B)− P(A ∩ B)

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥

29 / 39

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥

29 / 39

A\B A ∩ B

P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A ∩ B)

P(A) + P(B)− P(A ∩ B).♥29 / 39

Voorbeelden

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

De kans dat J en P zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1.De kans dat J en P allebei zakken is 0.05.

De kans dat J of P zakt isP(J zakt) + P(P zakt)− P(J en P zakken) =

0.2 + 0.1− 0.05 = 0.25.

Er worden twee dobbelstenen gegooid, D en E .

De kans dat D of E een 5 is, is P(D = 5 of E = 5) =

P(D = 5)+P(E = 5)−P(D = 5 en E = 5) = 16 + 1

6−136 = 5

30 / 39

Voorbeelden

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

De kans dat J of P zakt is

P(J zakt) + P(P zakt)− P(J en P zakken) =

0.2 + 0.1− 0.05 = 0.25.

P(D = 5)+P(E = 5)−P(D = 5 en E = 5) = 16 + 1

6−136 = 5

30 / 39

Voorbeelden

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

0.2 + 0.1− 0.05 = 0.25.

P(D = 5)+P(E = 5)−P(D = 5 en E = 5) = 16 + 1

6−136 = 5

30 / 39

Voorbeelden

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

0.2 + 0.1− 0.05 = 0.25.

P(D = 5)+P(E = 5)−P(D = 5 en E = 5) = 16 + 1

6−136 = 5

30 / 39

Voorbeelden

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

0.2 + 0.1− 0.05 = 0.25.

P(D = 5)+P(E = 5)−P(D = 5 en E = 5) = 16 + 1

6−136 = 5

30 / 39

Voorbeelden

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

0.2 + 0.1− 0.05 = 0.25.

P(D = 5)+P(E = 5)−P(D = 5 en E = 5) = 16 + 1

6−136 = 5

30 / 39

VoorbeeldenP(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Vb.Een vaas bevat 5 ballen: 2 zijn rood met een A, 1 is rood met eenB, 1 is groen met een A en 1 is groen met een B:

mAmB mAmA

Er wordt een bal getrokken. De kans dat die rood is of een B heeftis

P(R of B) = P(R) + P(B)− P(R ∩ B) =35 + 2

5 −15 = 4

31 / 39

mAmB mAmA

P(R of B) = P(R) + P(B)− P(R ∩ B) =35 + 2

5 −15 = 4

31 / 39

mAmB mAmA

P(R of B) = P(R) + P(B)− P(R ∩ B) =35 + 2

5 −15 = 4

31 / 39

mAmB mAmA

P(R of B) = P(R) + P(B)− P(R ∩ B) =35 + 2

5 −15 = 4

31 / 39

Eigenschappen van kansen

St. P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B).

S : &%'$

♥St. Als B1, . . . ,Bn een partitie van de uitkomstenruimte is, d.w.z.B1, . . . ,Bn zijn disjunct en S = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn, dan

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

32 / 39

St. P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B).Bew.

S : &%'$

St. Als B1, . . . ,Bn een partitie van de uitkomstenruimte is, d.w.z.B1, . . . ,Bn zijn disjunct en S = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn, dan

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

32 / 39

St. P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B).Bew.

S : &%'$

♥St. Als B1, . . . ,Bn een partitie van de uitkomstenruimte is, d.w.z.B1, . . . ,Bn zijn disjunct en S = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn, dan

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

32 / 39

VoorbeeldenP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)

Vb.De kans dat Jan en Piet zakken voor Statistiek is resp. 0.2 en 0.1.De kans dat J en P allebei zakken is 0.05. De kans dat precies eenvan hen zakt is

P(J zakt en P niet) + P(P zakt en J niet).

Met bovenstaande stelling:

0.2 = P(J zakt) = P(J zakt en P zakt) + P(J zakt en P niet)

0.1 = P(P zakt) = P(P zakt en J zakt) + P(P zakt en J niet).

P(J zakt en P niet) = 0.2− 0.05 P(P zakt en J niet) = 0.1− 0.05.

Dat geeft

P(J zakt en P niet) + P(P zakt en J niet) = 0.15 + 0.05 = 0.2.

33 / 39

Dat geeft

33 / 39

Dat geeft

33 / 39

Dat geeft

33 / 39

Dat geeft

33 / 39

Vb.0.3% van de mensen in Utrecht leest het NRC, 0.5% de VK en0.01% leest ze allebei. Het percentage mensen dat precies een vandie twee kranten leest is

P(NRC en niet VK) + P(VK en niet NRC).

Met bovenstaande stelling (let op: x% betekent kans x100):

0.003 = P(NRC) = P(NRC en VK) + P(NRC en niet VK)

0.001 = P(VK) = P(NRC en VK) + P(VK en niet NRC).

DusP(NRC en niet VK) = 0.003− 0.0001

P(VK en niet NRC) = 0.005− 0.0001.

Dat geeft

P(NRC en niet VK) + P(VK en niet NRC) = 0.0029 + 0.0049 = 0.0078.

34 / 39

P(VK en niet NRC) = 0.005− 0.0001.

Dat geeft

34 / 39

P(VK en niet NRC) = 0.005− 0.0001.

Dat geeft

34 / 39

P(VK en niet NRC) = 0.005− 0.0001.

Dat geeft

34 / 39

P(VK en niet NRC) = 0.005− 0.0001.

Dat geeft

34 / 39

Oneindige discrete uitkomstenruimteVb. Een dobbelsteen wordt gegooid totdat er de eerste keer een 2wordt gegooid. De uitkomstenruimte bestaat uit het aantalworpen, en is dus oneindig: S = 1, 2, 3, 4, . . . .

P(X = 1) = 16 P(X = 2) = 5

6 ·16 = 5

P(X = 3) = 56 ·

16 = 25

108 . . .

P(X = n) = 5n−1

Er moet P(S) = 1 gelden, en inderdaad:

∞∑n=1

P(X = n) =1

108+ · · · = 1

St. Als A1,A2, . . . disjunct, dan

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

35 / 39

P(X = 1) = 16 P(X = 2) = 5

6 ·16 = 5

P(X = 3) = 56 ·

16 = 25

108 . . .

P(X = n) = 5n−1

∞∑n=1

P(X = n) =1

108+ · · · = 1

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

35 / 39

P(X = 1) = 16 P(X = 2) = 5

6 ·16 = 5

P(X = 3) = 56 ·

16 = 25

108 . . .

P(X = n) = 5n−1

∞∑n=1

P(X = n) =1

108+ · · · = 1

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

35 / 39

P(X = 1) = 16 P(X = 2) = 5

6 ·16 = 5

P(X = 3) = 56 ·

16 = 25

108 . . .

P(X = n) = 5n−1

∞∑n=1

P(X = n) =1

108+ · · · = 1

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

35 / 39

P(X = 1) = 16 P(X = 2) = 5

6 ·16 = 5

P(X = 3) = 56 ·

16 = 25

108 . . .

P(X = n) = 5n−1

∞∑n=1

P(X = n) =1

108+ · · · = 1

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

35 / 39

Oplossing van typische vragen: loterij

Intuıtie Voor elk getal is de kans om het te trekken even groot.

Stel dat die kans p is, en laat X de stochast zijn. Dan is voor elkgetal n, P(X = n) = p.

Omdat de gebeurtenissen disjunct zijn en P(X ∈ N) = 1 geldt

1 = P(X ∈ N) =∞∑

P(X = n) =∞∑

0 als p = 0∞ als p > 0.

Een tegenspraak: 1 = 0 of 1 = ∞.

Consclusie: aan dit experiment kan geen “aannemelijke”distributiefunctie, d.w.z. kunnen geen “aannemelijke” kansen,toegekend worden. Aan de vraag wat de kans om 5 te trekken is,kan geen zinvolle betekenis gegeven worden.

36 / 39

1 = P(X ∈ N) =∞∑

P(X = n) =∞∑

0 als p = 0∞ als p > 0.

36 / 39

1 = P(X ∈ N) =∞∑

P(X = n) =∞∑

0 als p = 0∞ als p > 0.

36 / 39

1 = P(X ∈ N) =∞∑

P(X = n) =∞∑

0 als p = 0∞ als p > 0.

36 / 39

Samenvatting eigenschappenZij S de uitkomstenruimte en A,Ai ,B,Bi gebeurtenissen.

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 en P(S) = 1.

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B), en dusP(A ∪ B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct.

• Als A1,A2, . . . ,An disjunct, dan

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

• Als A1,A2, . . . disjunct, dan

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

• P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B).• Als B1, . . . ,Bn een partitie van de uitkomstenruimte is, dan

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

37 / 39

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 en P(S) = 1.• P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B), en dus

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct.

• Als A1,A2, . . . ,An disjunct, dan

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

37 / 39

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct.• Als A1,A2, . . . ,An disjunct, dan

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

37 / 39

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

37 / 39

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

• P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B).

• Als B1, . . . ,Bn een partitie van de uitkomstenruimte is, dan

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

37 / 39

P(n⋃

Ai ) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

P(∞⋃i=1

Ai ) = P(A1) + P(A2) + . . . .

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + · · ·+ P(A ∩ Bn).

37 / 39

Geschiedenis

Gerolamo Cardano (1501-1576)

Chevalier de Mere

Blaise Pascal (1623-1663)

Pierre de Fermat (1601-1665)

38 / 39

39 / 39

kansrekening en statistiekiemhoff/college/statistiek/2009/stat1.pdf · typische vragen: het drie...

Documents