kalkülüs i - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/gokhan.bilhan/2019_2020 guz/kalkulusi-4-0-hafta...

Gökhan Bilhan taraf�ndan haz�rlanm�³t�r. 1

Kalkülüs I

(Hafta 1)-Kalkülüs'e Haz�rl�k Bölüm I

Say� Kümeleri

N = {1, 2, 3, .....}

Z = {...− 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, .....}

Q = {mn|m,n ∈ Z, n 6= 0}

�rrasyonel Say�lar, rasyonel olmayan say�lard�r.

R, rasyonel ve irrasyonel say�lar�n kümesidir.

π,√

2, 3√

2, log57 reel say�lara baz� örneklerdir.

Kalkülüste kullanaca§�m�z en büyük küme, Reel Say�lar kümesidir. Karma³�k say�lar,dersimizin kapsam�nda yoktur.

Bu kümelerimiz ³u ³ekilde s�ralanabilir.

Aral�klar

Aç�k Aral�k: (a, b) = {x ∈ R| a < x < b}

Kapal� Aral�k: [a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b}

Yar�-Aç�k Aral�k

[a, b) = {x ∈ R| a ≤ x < b}

(a, b] = {x ∈ R| a < x ≤ b}


Sonsuzluk

∞

'Sonsuz' bir say� de§ildir, ama say�larla etkile³imi tan�mlanm�³t�r.

∞.∞ =∞

∞+∞ =∞

(−∞).∞ =∞.(−∞) = −∞

a.∞ =∞ e§er a > 0

a.∞ = −∞ e§er a < 0

∞a

=∞ e§er a > 0 ve∞a

= −∞ e§er a < 0

a

∞= 0 e§er a ∈ R− {0}

a

0tan�ms�zd�r, e§er a 6= 0.

Belirsizlikler

∞∞

,0

0,

0

∞,∞0

, 0.∞ , ∞−∞ , 00 , ∞∞ , 1∞ , 0∞ , ....

'Sonsuz' bir say� olmad�§�ndan ona ula³�lamaz. Bu durumda biz onu hiçbir zamankapal� aral�k ile kullanmay�z.

(a,∞) , (−∞, b) , [d,∞) , (−∞, c], (−∞,∞)

Baz� Özel Formüller

(u+ v)2 = u2 + 2uv + v2 (u− v)2 = u2 − 2uv + v2

u2 − v2 = (u− v)(u+ v)

u3 − v3 = (u− v)(u2 + uv + v2) u3 + v3 = (u+ v)(u2 − uv + v2)


E³itsizlikler

Bu konu kitab�n�zda A4 k�sm�nda anlat�lm�³t�r. Oradan okuyabilirsiniz.E³itsizlikler ile ilgili bir örnek çözelim.

Örnek. (A4-Örnek 3) x3 + 3x2 > 4x e³itsizli§ini çözünüz.

ÇÖZÜM. x3 + 3x2 − 4x > 0, burada x parantezine alal�m.

x(x2 + 3x− 4) > 0, yani x(x+ 4)(x− 1) > 0 olur

�imdi tablo yapal�m: Not: Tabloya her bir parça ayr� ayr� konup i³areti incelenecek.

Çözüm Kümesi:

E³itsizlik 'Büyük E³it' olmad�§�ndan 'kapal� aral�k' kullanmad�k.


Mutlak De§er

Bir a say�s�n�n mutlak de§eri |a| ile gösterilir. Tan�m� ³öyledir.

|a| =

{a, e§er a ≥ 0

−a, e§er a < 0

Her a say�s� için, |a| ≥ 0 d�r. Mutlak de§er hiç bir zaman negatif olmaz.

Örnek. (A6-Örnek 7) |3x+ 2| ≥ 4 e³itsizli§ini çözelim.

|3x+ 2| mutlak de§er d�³�na iki türlü ç�kabilir.

Buradan elde edeceklerimiz,

3x ≥ 2 −3x ≥ 6

x ≥ 2

3x ≤ −2

Yani çözüm kümesi,


Al�³t�rmalar

1. Verilen ifadeleri mutlak de§er simgesi kullanmadan yaz�n�z.

|√

5− 5|

E§er x < 2 ise |x− 2|

|x2 + 1|

2. �u e³itsizli§i çözünüz. x <2

x− 1

Sonuç: 2-) [0, 1)


Kuadratik(�kinci Derece) Denklemler

Tan�m:Tek de§i³kenli bir quadratik denklemin formu ³u ³ekildedir.

ax2 + bx+ c = 0 öyle ki a 6= 0.

Burada x bir de§i³ken ve a, b, c sabitlerdir.

Kuadratik Formül

E§er ax2 + bx+ c = 0 ve a 6= 0 ise ∆ = b2 − 4ac diskriminant olarak adland�r�l�r.

1-) E§er ∆ > 0 ise denklemin iki kökü vard�r.

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2ave x2 =

−b−√b2 − 4ac

2a

2-) E§er ∆ = 0 ise ne olur?

3-) E§er ∆ < 0 ise kökler kompleks say�d�r. Kalkülüste i³ yapt�§�m�z en büyükküme olan R kümesinin d�³�ndad�r. "Reel kök yoktur" deriz.

Örnek Bu denklemin varsa köklerini bulal�m x2 − 6x− 1 = 0


Al�³t�rma 3x2 − 32x− 140 = 0, köklerini bulunuz.

Sonuç:x1 =32 +

√2704

6ve x2 =

32−√2704

6

Tan�m(Do§runun E§imi) E§er bir do§ru iki farkl� P1(x1, y1) ve P2(x2, y2) noktalar�n-dan geçiyorsa, e§imi ³u formulle verilir.

m =y2 − y1x2 − x1

Tan�m(Do§ru denklemi)(x1, y1) noktas�ndan geçenm e§imli bir do§ru denklemi ³öyledir.

y − y1 = m(x− x1)

Örnek E§imi1

2olan ve (−4, 3) noktas�ndan geçen do§runun denklemini yaz�n ve son

halini y = Ax+B ³eklinde ifade edin.

(y = Ax+B formundaki denklemde, A e§im ve B y-kesen dir..)


Örnek Bu iki do§runun kesi³im noktalar�n� bulunuz 3x+ 4y = 12 ve x+ y = 2.

Not: Kesi³im noktas�, iki denklemin birbirine e³itlenmesi(ya da birinin di§erinde yerinekonmas�) ile bulunur.

x+ y = 2 ise y = 2− x 'i di§er denklemde yerine koyal�m.

Sonras�nda x = −4 ü kolay olan denklemde, yani x + y = 2 de yerine koyarsaky = 6 buluruz. Bu durumda kesi³im noktas� (−4, 6) d�r.

Al�³t�rmalar

1. A³a§�daki denklemlerin çözümlerini bulunuz.

Sonuçlar: a-) x1 =5 +√37

6ve x2 =

5−√37

6b-) x = −

3

2c-) −1±

√−1 (yani reel çözüm yok)

2. Verilen noktalardan geçen do§runun denklemini yaz�n�z (2, 3) ve (−3, 7) .

Sonuç: y − 3 =−45

(x− 2)


3. Bilgi.1-�ki do§ru, e§er e§imleri çarp�m� −1 ise diktir.2-�ki do§runun e§imleri e³itse, do§rular paraleldir.

A³a§�daki do§rular�n birbirine paralel ya da dik olup olmad�§�n� ara³t�r�n�z.

a-) y = 5x− 2 ve y = 5x+ 3. b-) 4x− 2y = 7 ve 10x− 5y = 1

c-) 4x− 2y = 7 ve 2x+ 4y = 1

Sonuç: a)paralel , b)paralel , c)dik


BÖLÜM II- Fonksiyonlar

Tan�m(Fonksiyon) Bir f fonksiyonu, bir A kümesinin her x ö§esini, bir B kümesinintek bir f(x) ö§esine ta³�yan bir kurald�r.

f : A → B ile gösterilir, f(x) say�s�na f fonksiyonunun x deki de§eri denir. Akümesine tan�m kümesi denir.

f(x) in tüm olas� de§erlerinin kümesine f in de§erler kümesi denir.

Örnek: f(x) =√x+ 2 fonksiyonunun tan�m kümesini bulunuz.

Not: Sorun olan reel say�lar at�l�nca, geriye kalan tan�m kümesidir.

Karekökün içi negatif olamaz.

Örnek: g(x) =1

x2 − xfonksiyonunun tan�m kümesini bulunuz.

Payda s�f�r olamaz


Not(Dü³ey Do§ru Ölçütü) xy-düzlemindeki bir e§rinin x in bir fonksiyonunun gra�§iolmas� için gerekli ve yeter ko³ul, her dü³ey do§runun bu e§riyi en fazla bir noktadakesmesidir.

A³a§�daki temel fonksiyonlar� çizelim.

y = x ve y = −x y = x2 ve y = −x2


y = x3 ve y = −x3 y =√x ve y = −

√x

Bütün birinci derece gra�kleri birer do§rudur.

Örnek x = 3 ve x = −3 ; y = 2 ve y = −2 çiziniz


2-) 3x− 2y = 6 çiziniz

Kural. x'e s�f�r verilir y-keseni bulunur; y'ye s�f�r verilir x-keseni bulunur. x ve y ke-senlerinden geçen düz do§ru çizilir.

3-) 5x+ 8y = −40 çiziniz


Al�³t�rmalar

1. �u gra�kleri çiziniz.

y = x− 1 3x+ 2y = 5

2y = x− 1 x+ 2y = 3

2. A³a§�daki fonksiyonlar�n tan�m kümelerini bulunuz.

(i) f(x) = 2x3 − x2 + 3 (ii) f(x) =x− 2

x+ 4(iii) f(x) =

1√5 + x

(iv) y =√

1− x2 (v) y =1

x(iv) y = |x|


Parçal� Fonksiyonlar

Örnek Mutlak de§er fonksiyonunu çiziniz |x| =

{−x, if x < 0

x, if x ≥ 0

Örnek Kitab�n�zda sayfa 20, Örnek 10'a bak�n�z.


Örnek A³a§�dakileri ayn� koordinat ekseninde çiziniz

y = x2, y = (x+ 3)2 , y = (x+ 3)2 − 1

Örnek A³a§�dakileri ayn� koordinat ekseninde çiziniz

y =√x, y =

√x− 2, y =

√x− 2

y =√x, y = 2

√x, y =

1

2

√x


Örnek f(x) = 3x2 + 6x+ 10 fonksiyonunu çiziniz.

Tam kareye tamamlama.

Kural. x'in katsay�s�n�n yar�s�n�n karesi eklenir ve ç�kart�l�r.(E§er x2'nin katsay�s� 1 ise.)

Not. x2'nin katsay�s� 1 de§il ise, ifade x2'nin katsay�s� parantezine al�n�r.

f(x) = 3x2 + 6x+ 10 = 3(x2 + 2x+10

3) + 3(x2 + 2x+ +

10

3)

Kitab�n�z sayfa43, Örnek 6 y� okuyunuz.


Al�³t�rmalar

1. .

2. .


3. A³a§�daki fonksiyonu çizelim.

4. .

5. A³a§�dakileri ayn� koordinat ekseninde çiziniz

y = (x− 4)2 − 3 y = x2


y = 7 +√x y =

√x− 2

y = −0, 4x2 ve y = −x2.

6. y = x2 − 3x fonksiyonunu tamkareye çevirip çiziniz.


(Hafta 1)-Kalkülüse Haz�rl�k Bölüm 1(Al�³t�rma Sorular�)

1. (2, 2) noktas�ndan ve 2x + 2y = 3 ile 2x − 3y = −1 do§rular�n�n kesi³im nok-tas�ndan geçen do§runun denklemini bulunuz.

Sonuç: 13y − 12x = 2

2. Hangi k de§eri için 2x+ ky = 3 do§rusu 4x+ y = 1 do§rusuna paraleldir..

Sonuç: k =1

2

3. A³a§�dakilerin tan�m kümelerini bulunuz.

a-) b-) y =x2 − 1

x2 + 1b) y =

√x

2− x

. ipucu: Tablo laz�m

c-) y =√x2 + 4 d-)y =

√2x

(x− 2)(x+ 1). ipucu: Tablo laz�m


4. Çiziniz f(x) =

{x, if x ≥ 0

2, if x < 0

5. Çiziniz f(x) =

{x+ 2, if x ≤ −1

x2, if x > −1

6. �u de§eri hesaplay�n�z.f(1 + a)− f(1)

a, if f(x) = x3 + x.

Sonuç: a2 + 3a+ 4


7. y = f(x) = 5x2 − 30x + 49 fonksiyonunu çiziniz. (�pucu: Tam kareye tamam-lay�n�z.)(�pucu: x2'nin katsay�s� 1 olmadan tamkareye tamamlanamaz. )

kalkülüs i - kisi.deu.edu.trkisi.deu.edu.tr/gokhan.bilhan/2019_2020 guz/kalkulusi-4-0-hafta...

Documents