Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica

Algebra de Cargas natildeo locais

em modelos bidimensionais de

Teoria Claacutessica de Campos

Luiacutes Eduardo Saltini

SBI-IFUSP

Tese de Doutoramento submetida ao111111111111111111 111 11111111111111111111111 Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Banca Examinadora Prof Dr Eacutelcio Abdalla (IFUSP) - Presidente

Prof Dr Adilson Joseacute da Silva (IFUSP) Prof Dr Paulo Teotocircnio Sobrinho (IFUSP)

Prof Dr Franck Michael Forger (IME - USP Prof Dr Antocircnio Lima-Santos (UF - Satildeo Car s)

J S ~

~vlt1 Orientador Prof DI Ayrton Zadra Moraes Filho

~ (Satildeo Paulo - 1998)

o ~ ~~

ltgt

FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo

do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Saltiacuteni Luiacutes Eduardo

Aacutelgebra de Cargas natildeo Locais em Modelos Bidimensionais da Teoria Claacutessica de Campos Satildeo Paulo 1998

Doutoramento - Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica - Departamento de Fiacutesica Matemaacutetica

Orientador Prof Dr Ayrton Zadra Moraes Filho Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica de Paacutertiacuteculas Elementares e Campos

Unitermos 1 Supersimetria 2 Campos 3 Integrabilidade 4 Cargas 5 Natildeo-local

USPIIFSBI-05098

J~z+~m1~S M~q1V

v VpV~p~a

Haacute muito tempo um monge de um mosteiro ortodoxo o seu nome era Pamve plantou uma aacutervore secircca numa montanha Ele disse para o seu aluno Ioann Kelov regar a aacutervore todo dia ateacute voltar a vida E toda manhatilde Ioann enchia um balde com aacutegua e subia a montanha regava a aacutervore e retornava ao mosteiro soacute ao anoitecer Assim ele continuou por trecircs anos Mas um dia quando ele chegou a aacutervore estava coberta de fiores

O Sacrificio Andrei Tarkoyski 1984

Resumo

Nesta tese apresentamos os resultados do estudo realizado para os modelos o-natildeo lineares com simetria O(N) bosocircnico ou supersimeacutetrico assim como a adiccedilatildeo do termo topoloacutegico de Wess-Zumino (teoria WZNW) Obtivemos as suas cargas conservadas natildeo locais e a estrutura das aacutelgebras claacutessicas de parecircnteses de Dirac correspondentes utilizando um

meacutetodo graacutefico que criamos para realizar estes caacutelculos nos modelos estudados

Abstract

In this thesis we exhibit the results of the study made for the non linear (Y modeIs with OtN) symmetry bosonic or supersymmetric as well as with the addition the topological

Wess-Zumino term (WZNW theory) We found their non-local conserved charges and the structure of the corresponding c1assical algebras of Dirac brackets using a graphical

method that we created to make these calculations

Agradecimentos

Gostaria de agradecer algumas pessoas cujo apoio e compreensatildeo foram de grande imshyportatildencia para a realizaccedilatildeo deste trabalho

bull Ao Ayrton pela orientaccedilatildeo segura e pela paciecircncia nos momentos de maiores dificulshydades

bull Ao Eacutelcio pelo auxiacutelio nas fases inicial e sobretudo pela fase final de escrita da Tese

bull Agrave FAPESP pelo apoio financeiro

bull Agrave minha famiacutelia pelo apoio incondicional em todos os momentos sobretudo os de maiores dificuldades

bull Agrave Anete pelo seu amor carinho e compreensatildeo

bull Aos meus amigos da USP

bull Aos meus companheiros de muacutesica

bull A todos aqueles que tiveram colaboraccedilatildeo para a finalizaccedilatildeo deste trabalho e que por falta de memoacuteria do autor natildeo foram citados

A todos o meu muito obrigado

Jll

I

Conteuacutedo

Introduccedilatildeo 1

1 O Modelo Sigma natildeo linear quiral 8 11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico 9 12 Uma revisatildeo do modelo bosocircnico 16 13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico 21 14 O modelo Supersimeacutetrico 27 15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) 30

2 Aacutelgebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW 32 21 Aacutelgebra de correntes no modelo WZNW 32 22 Cargas Natildeo Locais 34 23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico 34 24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico 35 25 Sobre a Identidade de Jacobi 37

3 Conclusotildees 39

A Exemplos de Regras diagramaacuteticas 42 A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear 42 A2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo sigma natildeo linear 43

B Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(( JL) e B(( JL) que obedeccedilam a idenshytidade de Jacobi 46

Bibliografia 50

iv

Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

1

duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

2

distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

3

o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

4

adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

7

Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

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FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo

do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Saltiacuteni Luiacutes Eduardo

Aacutelgebra de Cargas natildeo Locais em Modelos Bidimensionais da Teoria Claacutessica de Campos Satildeo Paulo 1998

Doutoramento - Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica - Departamento de Fiacutesica Matemaacutetica

Orientador Prof Dr Ayrton Zadra Moraes Filho Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica de Paacutertiacuteculas Elementares e Campos

Unitermos 1 Supersimetria 2 Campos 3 Integrabilidade 4 Cargas 5 Natildeo-local

USPIIFSBI-05098

J~z+~m1~S M~q1V

v VpV~p~a

Haacute muito tempo um monge de um mosteiro ortodoxo o seu nome era Pamve plantou uma aacutervore secircca numa montanha Ele disse para o seu aluno Ioann Kelov regar a aacutervore todo dia ateacute voltar a vida E toda manhatilde Ioann enchia um balde com aacutegua e subia a montanha regava a aacutervore e retornava ao mosteiro soacute ao anoitecer Assim ele continuou por trecircs anos Mas um dia quando ele chegou a aacutervore estava coberta de fiores

O Sacrificio Andrei Tarkoyski 1984

Resumo

Nesta tese apresentamos os resultados do estudo realizado para os modelos o-natildeo lineares com simetria O(N) bosocircnico ou supersimeacutetrico assim como a adiccedilatildeo do termo topoloacutegico de Wess-Zumino (teoria WZNW) Obtivemos as suas cargas conservadas natildeo locais e a estrutura das aacutelgebras claacutessicas de parecircnteses de Dirac correspondentes utilizando um

meacutetodo graacutefico que criamos para realizar estes caacutelculos nos modelos estudados

Abstract

In this thesis we exhibit the results of the study made for the non linear (Y modeIs with OtN) symmetry bosonic or supersymmetric as well as with the addition the topological

Wess-Zumino term (WZNW theory) We found their non-local conserved charges and the structure of the corresponding c1assical algebras of Dirac brackets using a graphical

method that we created to make these calculations

Agradecimentos

Gostaria de agradecer algumas pessoas cujo apoio e compreensatildeo foram de grande imshyportatildencia para a realizaccedilatildeo deste trabalho

bull Ao Ayrton pela orientaccedilatildeo segura e pela paciecircncia nos momentos de maiores dificulshydades

bull Ao Eacutelcio pelo auxiacutelio nas fases inicial e sobretudo pela fase final de escrita da Tese

bull Agrave FAPESP pelo apoio financeiro

bull Agrave minha famiacutelia pelo apoio incondicional em todos os momentos sobretudo os de maiores dificuldades

bull Agrave Anete pelo seu amor carinho e compreensatildeo

bull Aos meus amigos da USP

bull Aos meus companheiros de muacutesica

bull A todos aqueles que tiveram colaboraccedilatildeo para a finalizaccedilatildeo deste trabalho e que por falta de memoacuteria do autor natildeo foram citados

A todos o meu muito obrigado

Jll

I

Conteuacutedo

Introduccedilatildeo 1

1 O Modelo Sigma natildeo linear quiral 8 11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico 9 12 Uma revisatildeo do modelo bosocircnico 16 13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico 21 14 O modelo Supersimeacutetrico 27 15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) 30

2 Aacutelgebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW 32 21 Aacutelgebra de correntes no modelo WZNW 32 22 Cargas Natildeo Locais 34 23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico 34 24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico 35 25 Sobre a Identidade de Jacobi 37

3 Conclusotildees 39

A Exemplos de Regras diagramaacuteticas 42 A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear 42 A2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo sigma natildeo linear 43

B Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(( JL) e B(( JL) que obedeccedilam a idenshytidade de Jacobi 46

Bibliografia 50

iv

Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

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duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

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distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

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o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

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adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

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Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

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1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

J~z+~m1~S M~q1V

v VpV~p~a

Haacute muito tempo um monge de um mosteiro ortodoxo o seu nome era Pamve plantou uma aacutervore secircca numa montanha Ele disse para o seu aluno Ioann Kelov regar a aacutervore todo dia ateacute voltar a vida E toda manhatilde Ioann enchia um balde com aacutegua e subia a montanha regava a aacutervore e retornava ao mosteiro soacute ao anoitecer Assim ele continuou por trecircs anos Mas um dia quando ele chegou a aacutervore estava coberta de fiores

O Sacrificio Andrei Tarkoyski 1984

Resumo

Nesta tese apresentamos os resultados do estudo realizado para os modelos o-natildeo lineares com simetria O(N) bosocircnico ou supersimeacutetrico assim como a adiccedilatildeo do termo topoloacutegico de Wess-Zumino (teoria WZNW) Obtivemos as suas cargas conservadas natildeo locais e a estrutura das aacutelgebras claacutessicas de parecircnteses de Dirac correspondentes utilizando um

meacutetodo graacutefico que criamos para realizar estes caacutelculos nos modelos estudados

Abstract

In this thesis we exhibit the results of the study made for the non linear (Y modeIs with OtN) symmetry bosonic or supersymmetric as well as with the addition the topological

Wess-Zumino term (WZNW theory) We found their non-local conserved charges and the structure of the corresponding c1assical algebras of Dirac brackets using a graphical

method that we created to make these calculations

Agradecimentos

Gostaria de agradecer algumas pessoas cujo apoio e compreensatildeo foram de grande imshyportatildencia para a realizaccedilatildeo deste trabalho

bull Ao Ayrton pela orientaccedilatildeo segura e pela paciecircncia nos momentos de maiores dificulshydades

bull Ao Eacutelcio pelo auxiacutelio nas fases inicial e sobretudo pela fase final de escrita da Tese

bull Agrave FAPESP pelo apoio financeiro

bull Agrave minha famiacutelia pelo apoio incondicional em todos os momentos sobretudo os de maiores dificuldades

bull Agrave Anete pelo seu amor carinho e compreensatildeo

bull Aos meus amigos da USP

bull Aos meus companheiros de muacutesica

bull A todos aqueles que tiveram colaboraccedilatildeo para a finalizaccedilatildeo deste trabalho e que por falta de memoacuteria do autor natildeo foram citados

A todos o meu muito obrigado

Jll

I

Conteuacutedo

Introduccedilatildeo 1

1 O Modelo Sigma natildeo linear quiral 8 11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico 9 12 Uma revisatildeo do modelo bosocircnico 16 13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico 21 14 O modelo Supersimeacutetrico 27 15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) 30

2 Aacutelgebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW 32 21 Aacutelgebra de correntes no modelo WZNW 32 22 Cargas Natildeo Locais 34 23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico 34 24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico 35 25 Sobre a Identidade de Jacobi 37

3 Conclusotildees 39

A Exemplos de Regras diagramaacuteticas 42 A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear 42 A2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo sigma natildeo linear 43

B Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(( JL) e B(( JL) que obedeccedilam a idenshytidade de Jacobi 46

Bibliografia 50

iv

Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

1

duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

2

distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

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o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

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adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

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1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

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- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

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(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

Haacute muito tempo um monge de um mosteiro ortodoxo o seu nome era Pamve plantou uma aacutervore secircca numa montanha Ele disse para o seu aluno Ioann Kelov regar a aacutervore todo dia ateacute voltar a vida E toda manhatilde Ioann enchia um balde com aacutegua e subia a montanha regava a aacutervore e retornava ao mosteiro soacute ao anoitecer Assim ele continuou por trecircs anos Mas um dia quando ele chegou a aacutervore estava coberta de fiores

O Sacrificio Andrei Tarkoyski 1984

Resumo

Nesta tese apresentamos os resultados do estudo realizado para os modelos o-natildeo lineares com simetria O(N) bosocircnico ou supersimeacutetrico assim como a adiccedilatildeo do termo topoloacutegico de Wess-Zumino (teoria WZNW) Obtivemos as suas cargas conservadas natildeo locais e a estrutura das aacutelgebras claacutessicas de parecircnteses de Dirac correspondentes utilizando um

meacutetodo graacutefico que criamos para realizar estes caacutelculos nos modelos estudados

Abstract

In this thesis we exhibit the results of the study made for the non linear (Y modeIs with OtN) symmetry bosonic or supersymmetric as well as with the addition the topological

Wess-Zumino term (WZNW theory) We found their non-local conserved charges and the structure of the corresponding c1assical algebras of Dirac brackets using a graphical

method that we created to make these calculations

Agradecimentos

Gostaria de agradecer algumas pessoas cujo apoio e compreensatildeo foram de grande imshyportatildencia para a realizaccedilatildeo deste trabalho

bull Ao Ayrton pela orientaccedilatildeo segura e pela paciecircncia nos momentos de maiores dificulshydades

bull Ao Eacutelcio pelo auxiacutelio nas fases inicial e sobretudo pela fase final de escrita da Tese

bull Agrave FAPESP pelo apoio financeiro

bull Agrave minha famiacutelia pelo apoio incondicional em todos os momentos sobretudo os de maiores dificuldades

bull Agrave Anete pelo seu amor carinho e compreensatildeo

bull Aos meus amigos da USP

bull Aos meus companheiros de muacutesica

bull A todos aqueles que tiveram colaboraccedilatildeo para a finalizaccedilatildeo deste trabalho e que por falta de memoacuteria do autor natildeo foram citados

A todos o meu muito obrigado

Jll

I

Conteuacutedo

Introduccedilatildeo 1

1 O Modelo Sigma natildeo linear quiral 8 11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico 9 12 Uma revisatildeo do modelo bosocircnico 16 13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico 21 14 O modelo Supersimeacutetrico 27 15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) 30

2 Aacutelgebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW 32 21 Aacutelgebra de correntes no modelo WZNW 32 22 Cargas Natildeo Locais 34 23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico 34 24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico 35 25 Sobre a Identidade de Jacobi 37

3 Conclusotildees 39

A Exemplos de Regras diagramaacuteticas 42 A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear 42 A2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo sigma natildeo linear 43

B Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(( JL) e B(( JL) que obedeccedilam a idenshytidade de Jacobi 46

Bibliografia 50

iv

Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

1

duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

2

distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

3

o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

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adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

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1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

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- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

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(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

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Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

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inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

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Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

Resumo

Nesta tese apresentamos os resultados do estudo realizado para os modelos o-natildeo lineares com simetria O(N) bosocircnico ou supersimeacutetrico assim como a adiccedilatildeo do termo topoloacutegico de Wess-Zumino (teoria WZNW) Obtivemos as suas cargas conservadas natildeo locais e a estrutura das aacutelgebras claacutessicas de parecircnteses de Dirac correspondentes utilizando um

meacutetodo graacutefico que criamos para realizar estes caacutelculos nos modelos estudados

Abstract

In this thesis we exhibit the results of the study made for the non linear (Y modeIs with OtN) symmetry bosonic or supersymmetric as well as with the addition the topological

Wess-Zumino term (WZNW theory) We found their non-local conserved charges and the structure of the corresponding c1assical algebras of Dirac brackets using a graphical

method that we created to make these calculations

Agradecimentos

Gostaria de agradecer algumas pessoas cujo apoio e compreensatildeo foram de grande imshyportatildencia para a realizaccedilatildeo deste trabalho

bull Ao Ayrton pela orientaccedilatildeo segura e pela paciecircncia nos momentos de maiores dificulshydades

bull Ao Eacutelcio pelo auxiacutelio nas fases inicial e sobretudo pela fase final de escrita da Tese

bull Agrave FAPESP pelo apoio financeiro

bull Agrave minha famiacutelia pelo apoio incondicional em todos os momentos sobretudo os de maiores dificuldades

bull Agrave Anete pelo seu amor carinho e compreensatildeo

bull Aos meus amigos da USP

bull Aos meus companheiros de muacutesica

bull A todos aqueles que tiveram colaboraccedilatildeo para a finalizaccedilatildeo deste trabalho e que por falta de memoacuteria do autor natildeo foram citados

A todos o meu muito obrigado

Jll

I

Conteuacutedo

Introduccedilatildeo 1

1 O Modelo Sigma natildeo linear quiral 8 11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico 9 12 Uma revisatildeo do modelo bosocircnico 16 13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico 21 14 O modelo Supersimeacutetrico 27 15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) 30

2 Aacutelgebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW 32 21 Aacutelgebra de correntes no modelo WZNW 32 22 Cargas Natildeo Locais 34 23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico 34 24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico 35 25 Sobre a Identidade de Jacobi 37

3 Conclusotildees 39

A Exemplos de Regras diagramaacuteticas 42 A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear 42 A2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo sigma natildeo linear 43

B Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(( JL) e B(( JL) que obedeccedilam a idenshytidade de Jacobi 46

Bibliografia 50

iv

Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

1

duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

2

distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

3

o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

4

adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

5

Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

7

Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

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- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

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(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

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Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

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Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

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Abstract

In this thesis we exhibit the results of the study made for the non linear (Y modeIs with OtN) symmetry bosonic or supersymmetric as well as with the addition the topological

Wess-Zumino term (WZNW theory) We found their non-local conserved charges and the structure of the corresponding c1assical algebras of Dirac brackets using a graphical

method that we created to make these calculations

Agradecimentos

Gostaria de agradecer algumas pessoas cujo apoio e compreensatildeo foram de grande imshyportatildencia para a realizaccedilatildeo deste trabalho

bull Ao Ayrton pela orientaccedilatildeo segura e pela paciecircncia nos momentos de maiores dificulshydades

bull Ao Eacutelcio pelo auxiacutelio nas fases inicial e sobretudo pela fase final de escrita da Tese

bull Agrave FAPESP pelo apoio financeiro

bull Agrave minha famiacutelia pelo apoio incondicional em todos os momentos sobretudo os de maiores dificuldades

bull Agrave Anete pelo seu amor carinho e compreensatildeo

bull Aos meus amigos da USP

bull Aos meus companheiros de muacutesica

bull A todos aqueles que tiveram colaboraccedilatildeo para a finalizaccedilatildeo deste trabalho e que por falta de memoacuteria do autor natildeo foram citados

A todos o meu muito obrigado

Jll

I

Conteuacutedo

Introduccedilatildeo 1

1 O Modelo Sigma natildeo linear quiral 8 11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico 9 12 Uma revisatildeo do modelo bosocircnico 16 13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico 21 14 O modelo Supersimeacutetrico 27 15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) 30

2 Aacutelgebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW 32 21 Aacutelgebra de correntes no modelo WZNW 32 22 Cargas Natildeo Locais 34 23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico 34 24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico 35 25 Sobre a Identidade de Jacobi 37

3 Conclusotildees 39

A Exemplos de Regras diagramaacuteticas 42 A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear 42 A2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo sigma natildeo linear 43

B Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(( JL) e B(( JL) que obedeccedilam a idenshytidade de Jacobi 46

Bibliografia 50

iv

Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

1

duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

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distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

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o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

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adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

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Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

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1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

Agradecimentos

Gostaria de agradecer algumas pessoas cujo apoio e compreensatildeo foram de grande imshyportatildencia para a realizaccedilatildeo deste trabalho

bull Ao Ayrton pela orientaccedilatildeo segura e pela paciecircncia nos momentos de maiores dificulshydades

bull Ao Eacutelcio pelo auxiacutelio nas fases inicial e sobretudo pela fase final de escrita da Tese

bull Agrave FAPESP pelo apoio financeiro

bull Agrave minha famiacutelia pelo apoio incondicional em todos os momentos sobretudo os de maiores dificuldades

bull Agrave Anete pelo seu amor carinho e compreensatildeo

bull Aos meus amigos da USP

bull Aos meus companheiros de muacutesica

bull A todos aqueles que tiveram colaboraccedilatildeo para a finalizaccedilatildeo deste trabalho e que por falta de memoacuteria do autor natildeo foram citados

A todos o meu muito obrigado

Jll

I

Conteuacutedo

Introduccedilatildeo 1

1 O Modelo Sigma natildeo linear quiral 8 11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico 9 12 Uma revisatildeo do modelo bosocircnico 16 13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico 21 14 O modelo Supersimeacutetrico 27 15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) 30

2 Aacutelgebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW 32 21 Aacutelgebra de correntes no modelo WZNW 32 22 Cargas Natildeo Locais 34 23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico 34 24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico 35 25 Sobre a Identidade de Jacobi 37

3 Conclusotildees 39

A Exemplos de Regras diagramaacuteticas 42 A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear 42 A2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo sigma natildeo linear 43

B Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(( JL) e B(( JL) que obedeccedilam a idenshytidade de Jacobi 46

Bibliografia 50

iv

Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

1

duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

2

distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

3

o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

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adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

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1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

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- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

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(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

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Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

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inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

I

Conteuacutedo

Introduccedilatildeo 1

1 O Modelo Sigma natildeo linear quiral 8 11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico 9 12 Uma revisatildeo do modelo bosocircnico 16 13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico 21 14 O modelo Supersimeacutetrico 27 15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) 30

2 Aacutelgebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW 32 21 Aacutelgebra de correntes no modelo WZNW 32 22 Cargas Natildeo Locais 34 23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico 34 24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico 35 25 Sobre a Identidade de Jacobi 37

3 Conclusotildees 39

A Exemplos de Regras diagramaacuteticas 42 A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear 42 A2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo sigma natildeo linear 43

B Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(( JL) e B(( JL) que obedeccedilam a idenshytidade de Jacobi 46

Bibliografia 50

iv

Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

1

duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

2

distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

3

o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

4

adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

5

Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

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- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

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(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

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Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

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inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

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Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

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12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

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Introduccedilatildeo

o desenvolvimento da Teoria Quacircntica de Campos (TQC) relativiacutestica teve iniacutecio em 1932 como extensatildeo natural da mecacircnica quacircntica para o domiacutenio relativiacutestico [I] A quantizaccedilatildeo dos campos levou assim a novas dificuldades tanto conceituais como teacutecnicas Uma delas eacute o aparecimento de divergecircncias ultravioletas quando realizamos o produto agrave curtas distacircncias de campos quacircnticos devido a estes serem definidos como distribuiccedilotildees a valores de operashydores Esse problema foi parcialmente solucionado atraveacutes das teacutecnicas de renormalizaccedilatildeo [2][3] e mais tarde completamente resolvido[4]15]

No iniacutecio dos anos cinquumlenta surgiram teacutecnicas de extraccedilatildeo de propriedades natildeo-perturshybativas gerais da TQC a partir de um referencial perturbativo De particular importacircncia foi o entatildeo chamado formalismo LSZ (Lehmann Symanzik Zimmermann)[6) que estabelecia a relaccedilatildeo entre campos e partiacuteculas em termos de condiccedilotildees assintoacuteticas para os campos interpolantes (que satildeo os proacuteprios campos em interaccedilatildeo a tempos finitos) A foacutermula de reduccedilatildeo dava a conexatildeo entre os valores esperados dos campos e os elementos da matriz-S do espalhamento de partiacuteculas Do estudo de propriedades analiacuteticas de diagramas de Feynman pode-se derivar relaccedilotildees de dispersatildeo que podem ser usadas para obter a informaccedilatildeo natildeoshyperturbativa[7]

Esses desenvolvimentos foram seguidos por um novo meacutetodo axiomaacutetico para a TQC que se tornou conhecido como TQC construtiva Alguns dos resultados natildeo-perturbativos do formalismo LSZ que se baseavam em estudos perturbativos puderam ser derivados de princiacutepios gerais[8] Uma importante consequecircncia desse meacutetodo foi um teorema conectando spin e estatiacutestica[9]

Nessa eacutepoca todos os caacutelculos dinacircmicos da TQC estavam restritos agrave teoria de perturshybaccedilatildeo Em particular isso tornou os caacutelculos envolvendo interaccedilotildees fortes impossiacuteveis e a informaccedilatildeo sobre o espectro do estado fundamental acessiacutevel apenas dentro de um esquema aproximadamente natildeo-perturbativo e frequumlentemente natildeo-unitaacuterio Como resultado a TQC caiu em estagnaccedilatildeo e descreacutedito no final dos anos cinquumlenta

Essas dificuldades deram a motivaccedilatildeo para um novo meacutetodo de estudos das interaccedilotildees fortes a teoria da matriz-S[IO] que teve um papel dominante nos anos sessenta O poder preditivo dessa teoria era muito limitado pois era inteiramente baseada em princiacutepios cineshymaacuteticos e na analiticidade suplementada pela ideacuteia do bootstrap Faltava um referencial dinacircmico por traacutes Por outro lado a analiticidade no plano do momento angular complexo levou ao importante conceito de dualidade expressando a possibilidade de representar uma dada amplitude de espalhamento como uma soma sobre poacutelos nos canais cruzados

Uma realizaccedilatildeo expliacutecita desse conceito surgiu de uma importante foacutermula proposta por Veneziano[llJ e levou a um novo desenvolvimento paralelo nos anos sessenta os modelos

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duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

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distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

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o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

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adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

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Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

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1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

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Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

duais Poreacutem tanto para a teoria da matriz-S como para os modelos duais o comportashymento agrave altas energias natildeo estava de acordo com a experiecircncia Aleacutem disso uma anaacutelise da estrutura de poacutelo de correccedilotildees de ordens superiores exigia a introduccedilatildeo de um conceito algo misterioso o pomeron [12] O nuacutemero cada vez maior de paracircmetros que eram neshycessaacuterios para descrever os experimentos dentro desses esquemas e a resultante perda de poder preditivo levou os fiacutesicos a abandonaacute-los e a retornar agrave TQC

Enquanto isso a TQC conseguiu alguns sucessos importantes no setor de interaccedilotildees fracas[13] Aleacutem disso princiacutepios de simetria[14] provaram ser poderosos instrumentos na prediccedilatildeo das massas de partiacuteculas em interaccedilotildees fortes assim como a existecircncia de algumas novas partiacuteculas sem o recurso de caacutelculos dinacircmicos

Essa situaccedilatildeo levou ao renascimento da TQC no final dos anos sessenta quando muita atenccedilatildeo foi dada aos aspectos natildeo-perturbativos A Cromodinacircmica Quacircntica (QCD) foi proposta como a teoria fundamental para interaccedilotildees fortes[15] mas faltava caacutelculos que confrontassem a QCD com testes experimentais O comportamento agrave altas energias da TQC era investigado por meio do grupo de renormalizaccedilatildeo e a equaccedilatildeo de Callan-Symanzik[16] que descreve o comportamento de teorias sob renormalizaccedilotildees finitas dos paracircmetros Como resultado foi possiacutevel relacionar o limite de massa nula com o comportamento de altas energias Uma constante de acoplamento dependente do momento caracteriza o domiacutenio da interaccedilatildeo dependendo das propriedades da chamada funccedilatildeo [3 que aparece na equaccedilatildeo do grupo de renormalizaccedilatildeo a constante de acoplamento pode ser suficientemente pequena para momentos grandes ou pequenos para legitimar a teoria de perturbaccedilatildeo em uma dessas regiotildees No caso de teorias de gauge natildeo-abelianas a teoria de perturbaccedilatildeo passa a ser uma boa aproximaccedilatildeo agrave altas energias (liberdade assintoacutetica) Soluccedilotildees claacutessicas da teoria de campos tecircm tambeacutem um papel central (natildeo-perturbativo) na anaacutelise semi-claacutessica da TQC Soluccedilotildees monopolo (espaccedilo de Minkowski) e soluccedilotildees instanton (espaccedilo Euclideano) foram obtidas mostrando a importacircncia da topologia da variedade sobre a qual os campos satildeo definidos[17] Dessa maneira setores mais abstratos da matemaacutetica como topologia algeacutebrica passaram a ter um papel importante na descoberta de propriedades estruturais de teorias de gauge

Apesar dos estudos anteriores terem sido importantes para revelar uma estrutura natildeo trivial e extremamente importante resultados natildeo-perturbativos exatos estavam disponiacuteveis apenas para modelos especiacuteficos todos em espaccedilo-tempo bidimensionais Uma soluccedilatildeo comshypleta (natildeo-perturbativa) de um modelo em TQC significa o conhecimento exato de todas as suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo Teorias quacircnticas de campos com tais propriedades foram restritas agrave 1 + l-dimensotildees O primeiro desses modelos que descreve interaccedilotildees do tipo corrente-corrente de feacutermions sem massa foi discutido por Thirring[18) em 1958 como eshyxemplo de um modelo de teoria quacircntica de campos completamente soluacutevel e que obedece os princiacutepios gerais de uma TQC[9] A soluccedilatildeo quacircntica completa aparece em um artigo claacutessico de Klaiber[19] e mostrou que satisfaz a todos os axiomas de Wightman[9] Ateacute essa eacutepoca os uacutenicos modelos conhecidos que satisfaziam esses axiomas eram os que descreviam campos livres generalizados[20]

Seguindo um trabalho anterior Schwinger[21] obteve uma soluccedilatildeo exata da eletrodinacircmishyca quacircntica em 1 + l-dimensotildees (QED2) Um nuacutemero de propriedades interessantes como a estrutura natildeo-trivial do vaacutecuo deste modelo foram somente mais tarde reveladas no trabalho de Lowenstein e Swieca[22J que exploraram as consequumlecircncias da forccedila de Coulomb de longa

2

distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

3

o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

4

adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

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- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

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(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

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Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

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inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

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Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

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12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

distacircncia para os setores de carga da teoria Essa forccedila de longa distacircncia foi interpretada como sendo responsaacutevel pelo confinamento dos quarks[23] isto eacute sua ocorrecircncia na forma de estados permanentemente fundamentais de pares qq (estados fundamentais bariocircnicos estatildeo ausentes na QED2 ) O problema do confinamento e o problema associado de blindagem dos nuacutemeros quacircntioos de cargas em d = 2 foram extensamente estudados[24] e serviram como base para dar forma a conceitos envolvidos tambeacutem em dimensotildees superiores

A surpreendentemente rica estrutura da eletrodinacircmica quacircntica bidimensional descreshyve vaacuterias caracteriacutesticas importantes de teorias de gauge natildeo-abelianas sob investigaccedilatildeo nos anos setenta No final dos anos sessenta aprendemos que as singularidades a curtas distacircncias da TQC tem um papel chave na estrutura dinacircmica da teoria[25] Os resultados experimentais sobre o espalhamento leacutepton-proacuteton em transferecircncia de grandes momentos exigiram que uma teoria realiacutestica das interaccedilotildees fortes fosse assintoacuteticamente livre[15][16] Isso tornou a QCD a uacutenica candidata para uma teoria que descreve interaccedilotildees fortes pois mostrou-se que nenhuma teoria renormalizaacutevel sem campos de gauge natildeo abelianos pode ser assintoacuteticamente liacutevre[26J As propriedades da estrutura do vaacutecuo e o confinamento atrishybuiacutedos agrave QCD~ foram expliacutecitamente realizadas na QED bidimensional o que tornou a teoria um laboratoacuterio muito interessante

Vaacuterios outros desenvolvimentos em TQC em duas dimensotildees [27][28] de crescente imshyportacircncia vieram depois Modelos classicamente exatamente integraacuteveis e a quantizaccedilatildeo de soacutelitons foram extensamente estudados em duas dimensotildees[29J Tais modelos integraacuteveis foram classificados de maneira geral pela existecircncia de um nuacutemero infinito de leis de consershyvaccedilatildeo[30J Nos casos onde essas leis de conservaccedilatildeo sobrevivem agrave quantizaccedilatildeo as matrizes-S e suas matrizes de monodromia associadas podem ser calculadas exatamente [31][32][33][34J [35] Apesar de serem os primeiros exemplos de matrizes-S exatas que realizam a ideacuteia de analiticidade minimal dos anos sessenta esses resultados exatos tambeacutem tecircm um imporshytante papel na checagem de esquemas de aproximaccedilatildeo como a aproximaccedilatildeo semi-claacutessica e a expansatildeo ~ e tecircm importantes aplicaccedilotildees na mecacircnica estatiacutestica[37J Alguns dos reshysultados relacionados agrave integrabilidade claacutessica foram tambeacutem generalizados para dimensotildees superiores[38J

No caso particular da teoria de sine-Gordon resultados exatos tambeacutem foram obtidos aleacutem do niacutevel da matriz-S [331139] Aleacutem disso a matriz-S de campos fundamentais foiacute generalizada para a matriz-S completa descrevendo o espalhamento de estados fundamentais assim como os soacutelitons[40] Obtem-se uma inesperada simetria 0(2) ~ U(l) refletindo o fato de que os soacutelitons na teoria sine-Gordon correspondem aos feacutermions no modelo de Thirring massivo Essa equivalecircncia parcialmente conjecturada a muito tempo atraacutes por Skyrme[41] foi provada por Coleman[42] no niacutevel das funccedilotildees de Green e mais tarde obtidas pelo uso dos meacutetodos operacionais[43] Em ambas as versotildees (bosocircnica ou fermiocircnica) as matrizes-S puderam ser calculadas exatamente e mostraram ser idecircnticas[32]139][44]

Do ponto de vista dos modelos biacutedimensionais a possibilidade de escrever feacutermions em termos de boacutesons (bosonizaccedilatildeo) tem sido um poderoso meacutetodo para se obter informaccedilotildees natildeo-perturbativas Uma das caracteriacutesticas que poderia ser oolocada neste contexto eacute que os setores de carga da teoria fermiocircnica correspondem aos setores de soacuteliton carregados ocul tos na teoria puramente neutra aspectos dinacircmicos da formulaccedilatildeo fermiocircnica se torshynam propriedades topoloacutegicas da contraparte bosocircnica Na bosonizaccedilatildeo abeliana os blocos elementares do esquema de bosonizaccedilatildeo satildeo as exponenciais dos campos bosocircnicos livres

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o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

4

adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

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Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

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inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

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Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

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12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

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o nuacutemero fermiocircnico desse operador composto estaacute diretamente ligado ao comportamento infravermelho dos campos escalares de massa nula Isso leva agrave uma regra de superseleccedilatildeo[45] que faz com que os setores carregados apareccedilam de uma maneira bastante natural

As teacutecnicas de bosonizaccedilatildeo U(l) se tornam importantes quando aplicadas agrave teorias natildeoshyabelianas Por duas razotildees as transformaccedilotildees de simetria da teoria fermiotildenica satildeo natildeo-locais com relaccedilatildeo aos campos fundamentais de Bose e esses campos estatildeo em uma representaccedilatildeo natildeo-linear do grupo de simetria global dos feacutermions Progresso significativo na direccedilatildeo da bosonizaccedilatildeo natildeo-abeliana foi dado pelo trabalho de Polyakov e Wiegman[46] por um lado e Witten[47] por outro lado Apesar desses autores terem discutido o problema em diferentes contextos - QCD2 quiral e teoria de feacutermions de Majorana O(N) livres - ambos chegaram agrave uma accedilatildeo bosocircnica equivalente envolvendo a accedilatildeo do modelo sigma quiral principal mais um termo de Wess-Zumino [48][49] Portanto em duas dimensotildees teorias fermiocircnlcas exibem uma importante universalidade na formulaccedilatildeo bosocircnica onde o modelo sigma natildeo-linear e termos topoloacutegicos parecem ter um papel fundamental

Entre os modelos bidimensionais em TQC mais importantes e estudados estatildeo os modelos sigma natildeo-lineares Um papel particularmente importante tecircm a classe de modelos sigma natildeo-lineares bidimensionais e integraacuteveis que possuem uma origem geomeacutetrica[50][51][52) Eles possuem vaacuterias propriedades parecidas com teorias de Yang-Mills em quatro dimensocirces [53][54) no niacutevel claacutessico ambos satildeo conformalmente invariantes e apresentam identidades geomeacutetricas similares bem como soluccedilotildees claacutessicas natildeo-triviais[55][56] (por exemplo instanshytons [57] na formulaccedilatildeo Euclideana) Os modelos sigma natildeo-lineares para espaccedilos simeacutetrishycos[50)[51] e as teorias de Yang-Mills para tanto o setor auto-dual como para a supersimetria estendida [38] possuem propriedades de integrabilidade parecidas Quando quantizados os modelos sigma natildeo-lineares tambeacutem exibem caracteriacutesticas que se acredita serem propriedashydes de teorias realiacutesticas como a forccedila de confinamento a longas distacircnciacuteas(52] quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58) e geraccedilatildeo dinacircmica de massa a quebra expontacircnea de simeshytria apresenta caracteriacutesticas particulares[59][60] Essas propriedades os tornam excelentes modelos testes para as interaccedilotildees fortes[54][61][62] Entretanto suas origens geomeacutetricas os tornam tambeacutem objetos matemaacuteticos bastante interessantes para ser estudados por sIacute proacuteprios

Os modelos sigma tambeacutem possuem um papel importante em teoria de cordas onde a variedade alvo D-dimensional eacute compactificada em um espaccedilo-tempo quadridimensional(63] A accedilatildeo associada com as dimensotildees compactificadas eacute descrita por um modelo sigma A exigecircncia de invariacircncia conforme no niacutevel quacircntico leva diretamente agrave equaccedilatildeo de Einstein da relatividade geral e prevecirc suas correccedilotildees quacircnticas[64](65][66)

O espaccedilo-tempo bidimensional mostrou ser um excelente laboratoacuterio tambeacutem para o estudo de anomalias de gauge e a consistecircncia de teorias de gauge quirais anocircmalas A solushybilidade exata da QED quiral bidimensional[67][69] tem aqui um papel importante ao abrir toda uma nova linha de desenvolvimentos na aacuterea de teorias de gauge quirais Um inexpeshyrado e profundo significado geomeacutetrico-diferencial subjacente em tais anomalias foi revelado [68][70][71) Aleacutem disso um dos usos de maior sucesso dos modelos sigma em duas dimensotildees eacute sua relaccedilatildeo com as teorias de gauge natildeo-abelianas em quatro dimensotildees [62] Em termos de mecacircnica quacircntica os modelos sigma exibem tambeacutem caracteriacutesticas desejaacuteveis como uma forccedila de longa distacircncia secreta [52] gerada pelas flutuaccedilotildees quacircnticas do campo de gauge induzido quando o grupo de gauge eacute natildeo simples[58] a menos que haja uma interaccedilatildeo

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adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

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Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

adequada com feacutermiacuteons (supersiacutemeacutetrica ou miacutenimal) liberando os paacutertons[72][73][74][75] Mais recentemente mostrou-se que em teorias quacircntiacutecas de campos bidimensionais a

invariacircncia de Poincareacute e de escala sozinhas implicam na invariacircncia sob um grupo de sishymetria infinito-dimensional[76] Como resultado funccedilotildees de correlaccedilatildeo natildeo trivais podem ser exatamente calculadas Elas estatildeo de maneira geral relacionadas agrave soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciaias hipergeomeacutetricas Os paracircmetros que rotulam essas equaccedilotildees que sacirco conshysiderados os iacutendices criacuteticos foram classificados e caracterizam as funccedilotildees de correlaccedilatildeo univocamente[76][77] As aacutelgebras conformes satildeo realizadas em termos dos entatildeo chamashydos campos primaacuterios e seus descendentes No espaccedilo de Minkowski essa construccedilatildeo leva naturalmente ao uso dos Artin Braids que relacionam esse problema com a construccedilatildeo algeacutebrica das matrizes-S exatas pois as relaccedilotildees star-triangle obtidas das infinitas leis de conservaccedilatildeo locais tecircm a mesma estrutura que as relaccedilotildees de perturbaccedilatildeo da teoria dos noo[78]

As ideacuteias anteriores podem ser generalizadas para incluir as interaccedilotildees com gravitaccedilatildeo conformalmente invariante[79] No gauge de cone-de-luz a teoria simplifica-se drasticamente devido agrave uma nova simetria SL(2 R) [79][80] Os iacutendices criacuteticos da teoria devem ser calcushylados a partir de uma equaccedilatildeo bastante simples relacionando-os aos iacutendices criacuteticos da teoria no espaccedilo plano Os resultados foram tambeacutem generalizados para o caso supersimeacutetrico[81]

Resumindo modelos bidimensionais tecircm sido um extraordinaacuterio laboratoacuterio para testar ideacuteias em teoria quacircntica de campos Assim o modelo de Thirring nos deu uma realizaccedilatildeo de uma teoria de campos exatamente soluacutevel enquanto o modelo de Schwinger e os moshydelos sigma natildeo-lineares exibem propriedades de teorias de gauge quadridimensionais natildeo abelianas Entretanto a TQC bidimensional tambeacutem tem um papel direto na descriccedilatildeo da realidade fiacutesica tendo aplicaccedilotildees em teoria de cordas assim como em mecacircnica estatiacutestica Em particular os meacutetodos desenvolvidos em TQC bidimensional tecircm sido usados para extrair resultados associados ao comportamento criacutetico de modelos em mecacircnica estatiacutestica usando somente a invariacircncia conforme Uma quantidade extraordinaacuteria de conceitos fisicamente interessantes[82] bem como matematicamente elegantes[83][84] surgiram do estudo dessas teorias

Aleacutem de seu status como laboratoacuterio teoacuterico e suas aplicaccedilotildees em teoria de cordas e mecacircnica estatiacutestica o estudo desses modelos levou tambeacutem a recentes desenvolvimentos abrindo novas possibilidades para aplicaccedilotildees de alguns dos meacutetodos anteriores no estudo de teorias quacircnticas de campos em dimensotildees superiores Haacute uma profunda relaccedilatildeo entre invariacircncia conforme racional em espaccedilo-tempo bidimensional e a accedilatildeo de Chern-Simons em trecircs dimensotildees [85] (que eacute tambeacutem equivalente agrave gravitaccedilatildeo conforme em trecircs dimensotildees[86]) A accedilatildeo de Chern-Simons mostrou ser um elemento chave na generalizaccedilatildeo da equivalecircncia feacutermion-boacuteson no espaccedilo-tempo tridimensional[87] e tambeacutem tem um papel importante na discussatildeo de anomalias natildeo abelianas de teorias de gauge quirais em qualquer dimensatildeo [70][71]

Em teorias conformalmente invariantes bidimensionais[76][88] que conteacutem um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo os geradores de Virasoro satildeo uma generalizaccedilatildeo das cargas conservadas de energia e momento Definindo-se uma realizaccedilatildeo da simetria em termos de vetores nulos temos um certo nuacutemero de equaccedilotildees diferenciais que devem ser obedecidas pelas funccedilotildees de correlaccedilatildeo e que podem ser integradas Em outras palavras um conhecishymento maior da aacutelgebra subjacente obedecida pelas quantidades conservadas a aacutelgebra de

5

Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

7

Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

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- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

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(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

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Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

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inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

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Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

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12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

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Virasoro junto com uma representaccedilatildeo diferencial das cargas conservadas nos permite o caacutelculo completo das funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Aacutelgebras infinitas conectadas com quantidades conservadas natildeo triviais podem dessa maneira ser o ingrediente chave para a completa solubilidade de modelos integraacuteveis e o conhecimento de suas funccedilotildees de correlaccedilatildeo

Simetrias Yangianas satildeo um importante ingrediente para a nossa compreensatildeo da estrushytura integraacutevel de teorias de campos conformes e suas deformaccedilotildees [89] Algumas teorias de campos conformes exibem uma estrutura Yangiana para qualquer aacutelgebra de Lie afim no ponto criacutetico com uma estrutura independente de niacutevel[90] Os geradores Yangianos dessa simetria satildeo entendidos como extensotildees quacircnticas de cargas claacutessicas natildeo-locais asshysim como aqueles encontrados no modelo sigma natildeo-linear e a aacutelgebra de correntes desse modelo[31](35][36][58][92][93] [94] Portanto o estudo de aacutelgebras claacutessicas de cargas natildeoshylocais pode ser considerado um estudo preacute-quacircntico no sentido da compreensatildeo das proprieshydades de simetria e integrabilidade dessa classe de teorias de campos

Nesta tese exponho o estudo realizado e os resultados obtidos sobre o modelo sigma natildeo linear[31][35][95] em duas dimensotildees Estudamos os modelos sigma natildeo linear quiral e supersimeacutetrico cujos resultados constam no artigo [96] e o modelo sigma natildeo-linear com o termo topoloacutegico de Wess-Zumino (WZNW) cujos resultados estatildeo no artigo [97] Estes modelos satildeo protoacutetipos de uma importante classe de modelos integraacuteveis bidimensionais que conteacutem um nuacutemero infinito de cargas locais e natildeo-locais [27][30][92][94]

As cargas conservadas natildeo-locais satildeo objetos muito poderosos As primeiras delas natildeo triviais sozinhas fixam quase que completamente a dinagravemica on-shell da teoria[27][31] As relaccedilotildees algeacutebricas obedecidas por essas cargas satildeo um importante ingrediente para a soshyluccedilatildeo completa desses modelos[32][58][98]199] As cargas locais formam uma aacutelgebra abeshyliana enquanto as cargas natildeo-locais formam uma aacutelgebra natildeo-abeliana e de fato natildeo-Iinear [35] [36]189] [90] [100]1101]

Em um trabalho anterior [103J onde estudou-se o modelo sigma natildeo-linear OtN) e um conjunto particular de cargas natildeo-locais chamadas cargas melhoradas mostrou-se que elas satisfazem uma aacutelgebra que eacute uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Kac-Moody Essa aacutelgebra obtida estaacute relacionada agrave estrutura Yangiana Nesta tese estendemos esses resultados para o casos supersimeacutetrico[107][108] e do modelo somado ao termo de Wess-Zumino (modelo WZNW)

Quanto ao modelo supersimeacutetrico a introduccedilatildeo da supersimetria em princiacutepio poderia resultar em uma aacutelgebra mais complicada[109J Poreacutem foi conjecturado[103][108] que no modelo sigma a aacutelgebra das cargas natildeo-locais supersimeacutetricas permaneceria a mesma que a da teoria bosotildenica e noacutes apresentamos os resultados que confirmam esta conjectura Para isso seguimos a estrateacutegia algeacutebrica descrita na referecircncia [103] e o meacutetodo graacutefico que criamos[96] para construir as cargas e os correspondentes parecircnteses de Dirac

Quanto ao modelo WZNW analisamos a dependecircncia da aacutelgebra das suas cargas natildeoshylocais com a constante de acoplamento do termo de Wess-Zumino o que nos permite coshynhecer a aacutelgebra simultaneamente no ponto criacutetico e fora dele Portanto uma das aplishycaccedilotildees possiacuteveis desse projeto algeacutebrico eacute o estudo de perturbaccedilotildees integraacuteveis de teorias conformes[98] 199][101][102] De novo utilizamos a estrateacutegia algeacutebrica e o meacutetodo graacutefico citados Como resultado observamos que assim como nos casos anteriormente estudados as cargas natildeo-locais do modelo WZNW formam uma deformaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra afim OtN)

6c

Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

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12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

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Poreacutem essas aacutelgebras cuacutebicas surpreendentemente natildeo satisfazem agrave identidade de Jacobi ao contraacuterio das aacutelgebras dos modelos quiral e supersimeacutetriacuteco

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Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

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modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

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1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

Capiacutetulo 1

o Modelo Sigma natildeo linear quiral

A noccedilatildeo de integrabilidade completa em teoria de campos envolve a existecircncia de um nuacutemero infinito de quantidades conservadas comutando entre si Uma teoria de campos completashymente integraacutevel se caracteriza tambeacutem por sua matriz S se fatorizar explicitamente em amplitudes de duas partiacuteculas o que implica na ausecircncia de produccedilatildeo de partiacuteculas no proshycesso de espalhamento A existecircncia dessas quantidades conservadas eacute a principal razatildeo dessa caracteriacutestica de fatoraccedilatildeo da matriz S

Em adiccedilatildeo a essas quantidades geralmente locais alguns modelos possuem um nuacutemero infinito de cargas conservadas natildeo locais que natildeo comutam entre si Estas cargas natildeo locais surgem da estrutura do espaccedilo simeacutetrico da variedade na qual os campos assumem seus valores Isto levanta a importante questatildeo de se a integrabilidade dessas teorias de campos pode ser relacionada agrave existecircncia de uma aacutelgebra de simetria dinacircmica natildeo abeliana infinito dimensional Na teoria de campos o modelo sigma natildeo linear eacute um bom candidato a possuir essa estrutura

Para se construir essa dinacircmica devemos primeiro obter os parecircnteses de Poisson das cargas natildeo locais na teoria claacutessica de campos e os correspondentes comutadores na teoria quacircntica de campos A matriz de monodromia do sistema linear associado (par de Lax) funciona como a funcional geratriz das cargas natildeo locais Este eacute um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares que tem as equaccedilotildees de movimento como condiccedilotildees de compatibilidade A matriz de monodromia conecta as soluccedilotildees do sistema linear nos infinitos espaciais positivos e negativos

Para uma grande classe de modelos integraacuteveis os parecircnteses de Poisson das matrizes de monodromia podem ser expressos de uma forma elegante utilizando-se a chamada matriz r A matriz r deve resolver as equaccedilotildees claacutessicas de Yang-Baxter de maneira que a identidade de Jacobi valha para os parecircnteses de Poisson Em todos esses casos a matriz de monodromia diretamente fornece as variaacuteveis de accedilatildeo - acircngulo para a teoria claacutessica Em contraste a este fato a variaacutevel de acircngulo do modelo a eacute ainda desconhecida devido agrave invariacircncia conforme esses modelos possuem uma perda da escala de frequumlecircncias Entatildeo o problema linear associado natildeo apresenta as soluccedilotildees de Jost que oscilam no infinito A matriz de monodromia completa T(Agrave) eacute independente do tempo e seus elementos matriciais satildeo cargas conservadas

Para se obter a aacutelgebra canocircnica dessas cargas natildeo locais de uma maneira fechada podeshyse investigar os parecircnteses de Poisson T(Agrave)oacutefT(Jt) de suas funcionais geratrizes Para o

8

modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

modelo a essa tarefa eacute mais simples pois o formalismo canocircnico eacute particularmente mais simples

Uma anaacutelise cuidadosa de T(A)OT(Jl) leva agrave conclusatildeo que este objeto natildeo eacute univoshycamente definido Aleacutem disso natildeo haacute definiccedilatildeo consistente com as propriedades baacutesicas de parecircnteses de Poisson a antissimetria e a identidade de Jacobi Este problema estaacute relacioshynado com singularidades agrave curtas distacircncias da aacutelgebra de correntes (natildeo ultralocalidade) e agrave ausecircncia de escala de massa No niacutevel da aacutelgebra de transformaccedilotildees canocircnicas induzidas por T(A) um problema relacionado surge os comutadores de duas dessas transformaccedilotildees natildeo eacute gerado por qualquer funccedilacirco no espaccedilo de fase em particular por nenhuma funccedilatildeo das matrizes de monodromia

Uma maneira natural de regularizar singularidades agrave curtas distacircncias eacute introduzir uma rede espacial tal que a integrabilidade seja preservada Poreacutem para o modelo a natildeo linear quiral nenhuma discretizaccedilatildeo integraacutevel do espaccedilo consistente com o tempo contiacutenuo estaacute presentemente agrave disposiccedilatildeo

Sabe-se que existe uma aacutelgebra de Lie infinito dimensional de transformaccedilotildees de simetria agindo sobre o espaccedilo de soluccedilotildees do modelo a quiral Esta eacute a aacutelgebra de loop e ela representa a aacutelgebra de cargas do espaccedilo de Hilbert de estados para o modelo a natildeo linear em duas dimensotildees A natildeo localidade dessas simetrias levanta a questatildeo se elas satildeo relacionadas agraves cargas natildeo locais e em particular se elas podem ser canonicamente geradas por elas Como essas transformaccedilotildees natildeo preservam o parecircntese de Poisson baacutesico essa afirmaccedilatildeo natildeo pode ser verdadeira Dessa maneira esta aacutelgebra de loop das transformaccedilotildees de simetria estaacute restrita agrave soluccedilotildees espaciais e natildeo podem ser estendidas para o espaccedilo de fase Aleacutem disso as cargas natildeo locais claacutessicas natildeo formam uma aacutelgebra de loop pois elas nem mesmo formam uma aacutelgebra de Lie

Devido a esses fatos conjecturou-se [35] que a aacutelgebra de cargas do modelo a claacutessico natildeo obedeceria a identidade de Jacobi Nesse capiacutetulo mostramos que haacute uma recombinaccedilatildeo natural das cargas padratildeo cuja aacutelgebra possui uma estrutura mais lidaacutevel sendo composta de uma parte linear na forma de Kac-Moody e um termo cuacutebico Com o conjunto de cargas obtido dessa recombinaccedilatildeo provamos que de fato a teoria obedece a identidade de Jacobi

Sabemos que a aacutelgebra de cargas das teorias de campos conformes supersimeacutetricas em duas dimensotildees eacute a aacutelgebra de Virasoro No caso do modelo supersimeacutetrico as cargas formam uma aacutelgebra de parecircnteses antissimeacutetricos ao contraacuterio do caso bosocircnico e consequentemenshyte obedece agrave identidade de Jacobi

Mostramos nesse capiacutetulo que a aacutelgebra de cargas do modelo supersimeacutetrico corresponde a exatamente a mesma que no modelo quiral como conjecturado anteriormente em [35]

11 Introduccedilatildeo ao modelo sigma natildeo linear bosocircnico

De maneira geral um modelo sigma natildeo linear eacute uma teoria de campos de mapas entre variedades Mais precisamente as configuraccedilotildees claacutessicas de campos deste modelo satildeo mapas suaves rP de um dado espaccedilo de base X para um dado espaccedilo alvo M ambos sendo variedades pseudo Riemannianas conexas Em termos de coordenadas locais xl sobre X e rPi sobre M a Lagrangeana assume a forma

9

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

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Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

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inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

1 1 Ocirc iOcirc jc = 2g gij pf I (11)

levando apoacutes a variaccedilatildeo da accedilatildeo correspondente

1 J- S = 2 Iflxv IglgpvgijOcircpltOcircvtjJ1 (12)

agraves equaccedilotildees de movimento

gpv (1Ocircvlti + rAltfIacuteOcircvltk) = O (13)

onde a derivada covariante eacute dada por

i i Agrave i1pocircvlt = ocircpocircvlt - r pvocircAtildelt (14)

Aqui as meacutetricas gv e gij satildeo as componentes de um dado tensor meacutetrico sobre X com relaccedilatildeo ao x e sobre A1 com relaccedilatildeo ao lti respectivamente enquanto rv e qk satildeo os siacutembolos de Chrystoffel correspondentes

rAtildepv ~ glltAtilde(ocircgv + ocircvg - ocircgpv)

11rk 2g (Ocircjglk + OcirckgU - ocircl9ik) (15)

e Igl = Idet(gpv)lmiddot Aleacutem disso gij qk etc satildeo considerados funccedilotildees de X (ou algum domiacutenio apropriado) se olharmos para eles como funccedilotildees de M (ou algum domiacutenio apropriado) e entatildeo compondo-os com o mapa lt esta dependecircncia expliacutecita de ltp (que de qualquer maneira eacute responsaacutevel pelo aparecimento do termo natildeo linear em (13) foi por questotildees de clareza suprimida da notaccedilatildeo Note tambeacutem que as equaccedilotildees (11)-(13) satildeo estritamente similares agrave respectiva accedilatildeo Lagrangeana e agraves respectivas equaccedilotildees de movimento para uma partiacutecula em queda livre se movendo em M neste sentido o modelo sigma natildeo linear sobre M eacute simplesmente a versatildeo de teoria de campos do movimento geodeacutesico sobre M (ao qual se reduz quando X for uni-dimensinal)

No que segue vamos considerar somente o caso em que X eacute bi-dimensional Aleacutem disshyso vamos restringir X como sendo ou o espaccedilo de Minkowski bi-dimensional ou o espaccedilo Euclideano bi-dimensional apesar de mesmo em duas dimensotildees escolhas mais gerais satildeo certamente possiacuteveis e devem de fato ser permitidas As generalizaccedilotildees necessaacuterias podem entretanto ser realizadas facilmente e vamos por isso descartar essa possibilidade

O ingrediente baacutesico que caracteriza um modelo sigma natildeo linear eacute a escolha que se faz do espaccedilo alvo M Uma restriccedilatildeo importante que vamos sempre impor eacute que M seja uma variedade Riemmaniana e natildeo apenas pseuso-Riemmaniana esta condiccedilatildeo eacute tanto necessaacuteria como suficiente para garantir a positividade da energia no correspondente modelo sigma natildeo linear Agora aplicando um teorema que assegura que qualquer variedade Riemmaniana M pode ser isometricamente mergulhada em um espaccedilo vetorial E - dado que a dimensatildeo de E seja suficiente (comparada agrave dimensatildeo de M) Entatildeo denotando o produto escalar sobre E por () podemos reescrever a Lagrangeana (11) na forma

10

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

- t = ~gIV(alfgt avfraquo (16)

suplementada pelos viacutenculos que expressam o fato que o campo fgt que assume valores em E que aparece aqui deve se restringir a estar em uma sub variedade mergulhada M esta eacute exatamente a situaccedilatildeo que encontramos no modelo sigma O(N) e nos modelos CpN-l se empregarmos a formulaccedilatildeo em termos de campos projetores Aleacutem disso podemos facilmente relacionar as duas formas (11) e (16) da Lagrangeana se reexpressarmos o campo fgt vinculado que assume valores em E em (16) em termos dos campos natildeo vinculados fgtoacute em (11) esses satildeo simplesmente as componentes do anterior com relaccedilatildeo agraves coordenadas curviliacuteneas locais da subvariedade M de E Assim

afgt i alfgt = ampfgtAfgt (17)

tal que as equaccedilotildees (11) e (16) satildeo idecircnticas com

gij = ( ) (18)

Descriccedilatildeo Matemaacutetica Geral

Ateacute aqui noacutes meramente chegamos agrave conclusatildeo que o espaccedilo alvo M deve ser alguma variedade Riemmaniana conexa Eacute claro que isso nos deixa com uma liberdade enorme de escolha e necessitamos algum princiacutepio de organizaccedilatildeo Tal princiacutepio - e um deles surge naturalmente se lembrarmos que uma das importantes aplicaccedilotildees do modelo sigma natildeo linear em Fiacutesica estaacute relacionado com simetrias e quebra de simetrias - vem da teoria de grupos a ideacuteia de classificar o espaccedilo alvo M de acordo com o tamanho do seu grupo de simetria G que eacute essencialmente um grupo de isometrias As duas possibilidades extremas aqui satildeo que ou M natildeo possui qualquer simetria ou possui tantas simetrias quanto suficientes para conectar quaisquer dois pontos No primeiro caso o grupo de isometria de M eacute trivial (consiste somente da identidade) ou eacute no maacuteximo discreto Esta eacute uma situaccedilatildeo em certo sentido geneacuterica um exemplo tiacutepico sendo dado pelos espaccedilos de Calabi-Yau que tecircm um papel importante na compactificaccedilatildeo de dimensotildees de espaccedilo-tempo extras na teoria de cordas No segundo caso o grupo de isometria de M age transitivamente sobre M o que significa que para quaisquer dois pontos de M haacute uma isometria de M levando um no outro Em outras palavras M deve ser um espaccedilo Riemmaniano homogecircneo Todos os demais casos satildeo intermediaacuterios entre esses dois porque qualquer variedade Riemmaniana pode ser univocamente decomposta em uma uniatildeo disjunta de oacuterbitas sob O grupo de isometria Em qualquer caso entretanto o grupo de simetria G natildeo eacute completamente fixado pelo espaccedilo alvo M sozinho de fato haacute vantagens teacutecnicas em manter alguma flexibilidade na escolha de G Dessa forma noacutes assumimos simplesmente que temos algum grupo de Lie G conexo com alguma aacutelgebra de Lie g que age transitivamente sobre M por isometrias esta accedilatildeo de G sobre M seraacute escrita na forma

GxM - M

11

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

(gm) -+ gmiddotm (19)

e induz a accedilatildeo

GxTM -+ TM

(g u) -+ g U (110)

de G sobre o fibrado tangente TM de M assim como uma representaccedilatildeo

g -+ X(M)

X -+ X M (111)

de g na aacutelgebra de Lie X(M) dos campos vetoriais de Killing sobre M Explicitamente a accedilatildeo de um elemento 9 em G sobre um vetor tangente u em T M eacute definida por deixando-se 9 agir sobre uma curva em M tendo u como sua derivada isto eacute se u = im(t)lt~O

d d g u = g (dtm(t)lt~o) = dt(gmiddotm(t))lto (112)

enquanto o valor do campo vetorial fundamental X M sobre M associado com o gerador X em g no ponto m em M eacute definido deixando-se o grupo de um paracircmetro gerado de X agir sobre m

d XM(m) = dt (exp(tX) m)lt=o (113)

A partir de agora vamos considerar apenas modelos sigma natildeo lineares com simetrias suficientes para excluir a presenccedila de degenerescecircncias acidentais Na linguagem matemaacutetica isto significa que noacutes estamos supondo que a accedilatildeo (19) de G sobre M eacute transitiva Noacutes tambeacutem fixamos de uma vez por todas um ponto de referecircncia arbitraacuterio mo em M e definimos H como sendo seu grupo de estabilidade entatildeo H eacute um subgrupo fechado de G e M se identifica com o espaccedilo homogecircneo o espaccedilo de classes laterais GH

M=GH (114)

Eacute claro que este espaccedilo natildeo pode ser completamente arbitraacuterio devido agrave levar muito em conta que M deve ser uma variedade Riemmaniana sobre a qual G eacute suposto agir como uma isometria Como resultado vem que o grupo de estabilidade H seraacute compacto o espaccedilo de classes laterais G H seraacute redutivo e a meacutetrica Riemmaniana G-invariante sobre M seraacute induzida de uma meacutetrica biinvariante pseudo Riemmaniana sobre G Em particular a afirmaccedilatildeo que o espaccedilo de classes laterais GIH eacute redutivo significa que se g eacute a aacutelgebra de Lie de G como anteriormente e fi C g denota a aacutelgebra de Lie de H C G existe um subespaccedilo H-invariante M de g que eacute complementar agrave sub aacutelgebra fi de g tal que noacutes temos uma decomposiccedilatildeo direta invariante por H

g=fitBM (115)

12

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

Em particular a invariacircncia por H desta decomposiccedilatildeo implica nas seguintes relaccedilotildees de comutaccedilatildeo

[H H] C H [H M] eM (116)

Mencionamos neste ponto que o espaccedilo de classes laterais GH eacute chamado simeacutetrico (localshymente) se aleacutem disso tivermos a relaccedilatildeo de comutaccedilatildeo

[MM] C H (117)

Temos tambeacutem a possibilidade de M ser ele mesmo um grupo ou seja

[MM]cM (118)

Isto de fato significa que M eacute um ideal em g tal que se tomarmos a exponencial vemos que M aparece como um subgrupo de Lie normal de G Em todo caso M pode ser identificado com o espaccedilo tangente TmoM ao M no ponto de referecircncia mo - exatamente como g (ou H) pode ser identificado com o espaccedilo tangente TIG de G (ou TjH de H) na unidade 1 do grupo Assim as meacutetricas G invariantes (- -)M sobre M estatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares positivos definidos invariantes por H (- )M sobre M - exatamente como as meacutetricas biinvariantes pseudo Riemmaniacuteanas (- -)0 sobre Gestatildeo em correspondecircncia um a um com os produtos escalares natildeo degenerados (- )g sobre g invariantes por G (mais precisamente invariantes por Ad(G)) entatildeo a afirmaccedilatildeo que o anterior eacute induzido do uacuteltimo significa simplesmente que a decomposiccedilatildeo direta (115) eacute ortogonal com relaccedilatildeo ao (- -)9 e que (- -)9 restrito ao M coincide com o (- -)M Podemos dessa maneira evitar os iacutendices nas vaacuterias meacutetricas ou produtos escalares e denotaacute-los pelo mesmo siacutembolo (- ) sem corrermos riscos de confusotildees_

Modelos sigma natildeo lineares em espaccedilos simeacutetricos M = G H

Omitindo esses detalhes teacutecnicos podemos proceder para a formulaccedilatildeo do modelo sigma natildeo linear sobre M = G H no qual G surge como o grupo de simetria global enquanto H surge como o grupo de gauge A ideacuteia eacute simplesmente representar as configuraccedilotildees de campos do modelo natildeo por mapas 4gt de X a M mas por mapas 9 de X a G com

4gt(x) = g(x)H (119)

Localmente isto eacute em domiacutenios suficientemente pequenos U C X isto pode sempre ser feito mas o preccedilo a ser pago eacute que o mapa 9 de U a G claramente natildeo eacute uacutenico de fato qualquer outro mapa 9 h de U ao G com

(g -h)(x) =g(x)h(x) (120)

onde h eacute qualquer mapa de U ao H representando exatamente a mesma configuraccedilatildeo de campo Ao contraacuterio quaisquer dois mapas de U ao G representando a mesma configuraccedilatildeo de campos devem ser relacionados de acordo com a equaccedilatildeo (120)_ Em outras palavras descrever o modelo sigma sobre M em termos de campos 9 assumindo valores em G ao

13

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

inveacutes de campos 4gt assumindo valores em M implica em introduzir o subgrupo H como um grupo de gauge com transformaccedilotildees de gauge agindo por multiplicaccedilatildeo agrave direita

9 -+ 9 h = 9h 4gt -+ 4gt (121)

enquanto em ambas as formulaccedilotildees o grupo G eacute um grupo de simetria global com transshyformaccedilotildees de simetria globais agindo por multiplicaccedilatildeo agrave esquerda

9-+909=g09 4gt-+904gt=go4gt (122)

( O iacutendice O significa que 90 natildeo depende de x) Como todas as quantidades fiacutesicas devem como sempre ser invariantes de gauge eacute importante ter um potencial de gauge associado que pode ser usado para definir derivadas covariantes Este potencial de gauge AI assim como a derivada covariante D9 do proacuteprio g podem ser construiacutedos diretamente da forma de Maurer Cartan invariante agrave esquerda sobre G

g-Idg = (g-18Ig)dx (123)

tomando a projeccedilatildeo ortogonal (-)11 de 9 sobre li (que aniquila M) ou respectivamente a projeccedilatildeo ortogonal OM de 9 sobre M (que aniquila li) (115) Note que em contraste com a situaccedilatildeo em teorias de gauge este potencial de gauge A natildeo eacute um campo independente mas o correspondente campo de gauge Fpv eacute definido como usual Explicitamente

A = (g-18g)1I FJW = 8Av - 8vA + [A Av]

= (g-I8g)M k D9 = gk = 8g - gAI (124)

A notaccedilatildeo pode ser justificada observando-se que sob transformaccedilotildees de gauge (11) AI se comporta como o potencial de gauge enquanto Flv k e DI9 satildeo covariantes de gauge

A -+ A h = h-IAlh + h-18h Flv -+ Fvmiddoth=h-1Fh

kl -+ kl h = h-Iklh D9 -+ D9 h = (D9)h (125)

As leis de transformaccedilatildeo (125) ditam como se deve definir as leis de transformaccedilatildeo de ordens maiores por exemplo

DIDv9 = 81Dvg - DvgA

Dlkv 81kv + [A kv] (126)

Em particular temos as seguintes identidades de importacircncia central

14

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

15

12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

Fpv -[kp kvlll Dpkv - DvkjL -[kp kvlM (127)

Elas podem ser provadas de maneira bastante simples da equaccedilatildeo de estrutura de Maurer Cartan

8(g-18vg) - av(g-lapg) + [(g-lapg) (g-18vg)] == O (128)

Aleacutem disso esta equaccedilatildeo vale identicamente para os campos 9 assumindo valores em G e como uma consequumlecircncia para g-18g assumindo valores em g devido agraves relaccedilotildees de comutaccedilatildeo (116) a equaccedilatildeo (128) implica em Fpv -[kp kvJll quando projetado sobre 1l e fornece a equaccedilatildeo D kv Dvk = - [kl kvJM quando projetado sobre M

Nesta formulaccedilatildeo a Lagrangeana do modelo sigma natildeo linear sobre M GI H pode ser escrita em termos do campo q (veja equaccedilotildees (11) e (16raquo

1 = 2 1W q8v q) (129)

ou em termos do campo g

1 1 1 I -I -11 = 2 (Dg-t DPg) = -2(g-IDPg g-IDg) -2(D gg Dgg ) (130)

A equaccedilatildeo de movimento correspondente eacute

DDg - Dpgg-IDlg = O (131)

ou equivalentemente

Dlkl = O (132)

Obviamente a Lagrangeana (129) ou (130) eacute invariante por transformaccedilotildees de gauge (veja (121raquo) assim como globalmente invariante (veja (122)) porque a meacutetrica (-) sobre G eacute considerada biinvariante A invariacircncia global de G leva agrave uma corrente de Noether com valores em 9 que eacute dada explicitamente por

D-1 -1Jp = - Igg -gkg (133)

Obviamente esta corrente eacute invariante de gauge e eacute conservada

8jl = O (134)

De fato a lei de conservaccedilatildeo (134) natildeo eacute apenas uma consequumlecircncia das equaccedilotildees de movishymento (131) e (132) mas eacute completamente equivalente agrave elas uma caracteriacutestica marcante de modelos sigma Aleacutem disso conjugando a identidade Dkv - Dvk = -[kl kvlM por 9 obtemos a seguinte identidade para a corrente

aljv avj + 2[jjvJ = g[kl kvJMg- I (135)

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12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

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12 U ma revisatildeo do modelo bosocircnico

A aacutelgebra de correntes de modelos sigma natildeo lineares claacutessicos sobre variedades Riemmaniashynas (M) jaacute eacute conhecida [100] Aleacutem disso considere um modelo sigma natildeo linear sobre M com meacutetrica 9j(Iraquo e os mapas Igti(x) do espaccedilo de Minkowski bi-dimensional E de M A accedilatildeo do modelo sigma eacute dada por

1 f 2 S = 2Aacute2 J d X7J1W9j(Igt )81gt8v ifl (136)

E

o espaccedilo de fases consiste dos pares (1gt(x)1r(x)) onde 1r eacute uma seccedilatildeo do pull-back Igt(TM) do fibrado cotangente de M para o espaccedilo de Minkowski via 1gt e os parecircnteses de Poisson canocircnicos a tempos iguais satildeo

1gt (x) tfgt1 (y) 1r(x) 1rj(Y) = O

lgtiacute(X)1rj(Y) ocircOcirc(x - y) (137)

A partir da accedilatildeo (136) obtemos os momentos canonicamente conjugados dados pela exshypressatildeo

1 - 1r = Aacute2 9jifl (138)

Supondo que haja um grupo de Lie conexo G agindo sobre M por isometrias tal que um gerador da aacutelgebra de Lie g de G seja representado por um campo vetorial fundamental

d IX IXM(m) = dte mt=o (139)

sobre M a corrente de Noether pode ser definida como

UIX) = - G29j(Iraquo81IgtiX~(Iraquo) (140)

Definimos tambeacutem o campo escalar simeacutetrico como

U X Q9 Y) = 29j(IraquoXiY1 (141)

Em termos de uma base ta de g tal que [ta th] = fUacuteJlttC temos

JI j~ta

j = jabta Q9 th (142)

e obtemos a aacutelgebra de correntes

j~ (x) jg(y) - jbCj8(x)ocirc(x - y)

(jg(x)j~(y) - - jbcjf(x)Ocirc(x - y) + jab(y)c5(x - y)

16

jf(X)j~(y) = o jg(x)lC(y) == _(fbcjcd(X) + rdld(x))oacute(X - y)

Uf(x)jbc(y) = o Ub(X) jcd(y) = o

o modelo sigma natildeo liner OtN) e bi-dimensional pode ser descrito pela Lagrangeana vinculada

1 N L = 2OcircIifgtiOcircIifgti L tJ 1 (143)

i=l

E densidade Hamiacuteltoniana

1(2 21l = 2 lTi + ifgti) (144)

onde lTi = ~i Impondo os viacutenculos

4gt - 1 = O e 4gtilTi = O (145)

Esta eacute obviamente uma Lagrangeana para campos livres mas a presenccedila do viacutenculo quashydraacutetico implica que o modelo natildeo eacute uma teoria de campos livres De fato a variaccedilatildeo da Lagrangeana acima com relaccedilatildeo ao 4gt sujeito a este viacutenculo leva agrave equaccedilatildeo de movimento

ocirc2 ifgt + (ocircifraquo2ifgt = O (146)

ou mais expliacutecitamente

Ocirc181ifgti + (ocircIifgtJOcircI4gtj)4gti == O (147)

que eacute obviamente uma equaccedilatildeo diferencial parcial natildeo linear Uma outra maneira de derivar essas uacuteltimas equaccedilotildees eacute forccedilar o viacutenculo com a ajuda de

um termo multiplicador de Lagrange que eacute adicionado agrave Lagrangeana dando

1L = ~(ocirc4raquo2 + )(ifgt2 1) = 2ocirc14gtiOcircIifgti + )(4)i4gt - 1) (148)2

Entatildeo variando essa Lagrangeana com relaccedilatildeo ao multiplicador de Lagrange ) obtemos o viacutenculo quadraacutetico enquanto variando com relaccedilatildeo ao 4gt e usando o viacutenculo de novo obtemos as equaccedilotildees de movimento

Os parecircnteses de Dirac satildeo obtidos atraveacutes da teacutecnica de quantizaccedilatildeo de sistemas vincushylados desenvolvida por Dirac [110] e satildeo dados pelas expressotildees

4gti(X) ifgtj(Y) O 4gti(X) lTj(y) (Oacuteij - 4gti4gtj)(X)Oacute(x - y) lTi(X)lTj(y) - -(tJlTj ifgtjlTi)(X)Oacute(X - y) (149)

Em termos das variaacuteveis de espaccedilo de fase as componentes das correntes podem ser escritas como

17

(ja)ij - rPi1ij - rgtj1ii Vl)j - rgtrgtj rgtjrgti (150)

Note que o j eacute um campo matricial antissimeacutetrico Por outro lado o campo intertwiner dado em (142) eacute simeacutetrico

(j)j = rgtirgtj (151)

Observamos que o Hamiltoniano (144) pode ser escrito na forma de Sugawara

1 (2 2)1l=--trJo+1J (152)4

Essas correntes matriciais associadas agrave simetria O(N) satildeo conservadas e de curvatura nula

(j)j = rgtdJrgtj - rgtArgti ojl = O

v = ojv - ovj + 2[j jv] = O (153)

Utilizando a forma das componentes temporal jo e espacial IacuteI em termos das variaacuteveis de espaccedilo de fase (150) e da aacutelgebra de parecircntese de Dirac dessas componentes 149 satisfazem agrave aacutelgebra [103] obtida em Forger et alo [100] [101]

(Uo)ij(X) (johl(Y) = (I o jo)ijkl(X)Oacute(X - y)

(U)iAx) Uoht(Y) = (lo j)ijkl(X)Oacute(X - y) + (lo j)ijk(X)Oacute(x - y) (154)

(U)ij(X) (j)kl(Y) = O

(j)ij(X) (j)I(Y) = O

(UMx) (iJ)kdy) = O (U)ij(X) (jO)kI(Y) = -(I j)ltjkl(X)Oacute(X - y)

onde I eacute a matriz identidade N x N Introduzimos o campo intertwiner

(j)ij = rPirPj (155)

e os produtos OtN) o e definidos na reL [103] como

(A o B)ijkl = AkBj - AuumlBjk + AjlBiacutek - AjkBil

(A B)jk = AikBjl AilBjk - AjBik + AjkBil (156)

Sabemos que este modelo possui infinitas cargas conservadas natildeo locais O conjunto padratildeo de cargas pode ser iterativamente construiacutedo por meio do meacutetodo potencial de Breacutezin et ai [92J Comeccedilamos com uma corrente que obedece a

18

iacute)lj = o ocircdv - ocircvj + 2[jljv] = o (157)

Dada uma corrente conservada J~n) definimos o potencial natildeo local associado X(n) atraveacutes da equaccedilatildeo

J~n) = eurolvocircX(n) (158)

e contruirmos a corrente natildeo local de ordem (n + 1 )-eacutesima

J~n+l) == Dpx(n) = ocircX(n) + 2[jp X(n)]

Q(n) == dxJan) (159)

Essa corrente eacute conservada como consequumlecircncia da equaccedilatildeo (157) Aqui mencionamos que para a primeira corrente natildeo local J~I) o coeficiente na frente da comutaccedilatildeo em (159) deve ser 1 ao inveacutes de 2

A equaccedilatildeo (158) pode ser invertida para x(n) = ocirc- I Jrln ) onde escolhemos o operador

antiderivada como sendo

I xltO ocirc 2-I A(x) = 1dYf(X - y)A(y) euro(x) O x=o (160)

+1 xgto Com estas definiccedilotildees antissimetrizamos as condiccedilotildees de contorno para x(n)

x(nJ(plusmnco) = plusmn~ dxJJn) (x) = plusmn~Q(n) (161)

Outras condiccedilotildees de contorno podem ser usadas mas a escolha anterior garante que a aacutelgebra de cargas produz uma combinaccedilatildeo antissimeacutetrica de cargas as quais pertencem agrave aacutelgebra do gerador de OtN) Podemos chamar as cargas defindas em (159) de cargasshypadratildeo Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais mostramos a forma das duas primeiras

Q(O) = dxjo (162)

Q(I) = dx (il + 2joocirc-1jo) (163)

Entretanto na ref [103] um conjunto alternativo de cargas melhoradas Q(n) n = 012 - foi definido e mostrou-se que elas obedecem agrave aacutelgebra natildeo linear

m-l n-l

Qlj) Qi7= (Io Q(n+ffl)) kl - L L (Q(PlQ(q) o Q(ffl+n-p- q-2raquo) kl (164)

lJj p=O q==O lJ

Estas cargas foram chamadas melhoradas porque possibilitam uma melhoria algeacutebrica a parte natildeo linear da aacutelgebra eacute simplesmente cuacutebica ao contraacuterio do que acontece com a

19

aacutelgebra das cargas padratildeo anteriormente utilizadas na literatura [35] A identidade de Jacobi e outras propriedades da aacutelgebra cuacutebica melhorada foram extensivamente discutidas na rer [103] Mas haacute uma maneira de abreviar aquela aacutelgebra que eacute o primeiro dos novos resultados dessa tese e o qual seraacute apresentado agora

Vamos definir um gerador Hermitiano das cargas melhoradas

00

Q(Agrave) = I +i L Agraven+lQ(n) (165) n=O

onde Agrave seraacute chamado de paracircmetro espectral Assim pode-se resumir a aacutelgebra (164) como

iQij(Agrave) Qkl(JL) = (f(Agrave -L) o Q(Agrave) Q(-L)ijkl (166)

Onde J(Agrave -L) =iRe (Q(Agrave)Q(-Lraquo) = I - E~n-o Agravem

+1fLn+1 Q(m) Q(n) (167)Agrave-I - -L-I Agrave 1 - -L 1

A natildeo liacutenearidade quadraacutetica codificada em J(Agrave -L) pode ser relacionada com a conhecida estrutura Yangiana que estaacute subjacente a este modelo [89][90][91][93][100][103] Esta esshytrutura Yangiana corresponde agrave aacutelgebra de Hopf sobre C obtida a partir de uma quantizaccedilatildeo Q colocando-se h = 1 onde h eacute a constante de Planck Para maiores detalhes da definiccedilatildeo da estrutura Yangiana veja o artigo [104] A estrutura Yangiana estaacute relacionada com soluccedilotildees racionais da equaccedilatildeo de Yang-Baxter quacircntica cuja mais simples delas foi obtida por CN Yang [105]

A vantagem em se escrever a aacutelgebra como em (166) natildeo eacute apenas esteacutetica Lembrandoshyse da matriz de monodromia das cargas padratildeo e sua aacutelgebra expressa em termos da matriz claacutessica r

T(Agrave) = exp L Agraven+lQ(n) n20

T(Agrave)~-L) = [r(Agrave fL) TAgrave) 0 T(-Ll] Ia 0 Ia

T (Agrave-L) = Agrave-I- -L-I [Ia Ib]= Jbelc (168)

destacamos que o gerador Q(Agrave) e a matriz J seguem regras similares agravequelas da matriz de monodromia e a matriz r claacutessica no meacutetodo padratildeo [89][91][90][93] [100][103] Noacutes natildeo entendemos completamente a relaccedilatildeo entre (166) e (168) mas esperamos ser capazes de utilizar essa analogia para estabelecer uma traduccedilatildeo precisa entre os diferentes conjuntos de cargas Esperamos tambeacutem que um conhecimento completo das cargas conservadas e sua aacutelgebra seraacute um ingrediente decisivo nos caacutelculos de espalhamento off-shell

Agora vamos introduzir os meacutetodos graacuteficos que criamos para efetuar os caacutelculos de deduccedilatildeo das cargas natildeo lineares e sua aacutelgebra Lembramos que na ref [103] as cargas melhoradas foram construiacutedas por meio de um algoriacutetmo iterativo que utiliza Q(I) como um step-generator conforme indicado pela relaccedilatildeo

(lo Q(n+1) = parte linear de Q(I) Q(nJ (169)

20

Apoacutes vaacuterios caacutelculos os autores da ref [103] construiacuteram as cargas Q(n) e sua aacutelgebra ateacute n = 5 Na proacutexima seccedilatildeo vamos apresentar um meacutetodo graacutefico que torna o caacutelculo mais simples menos tedioso e conveniente para uma extenccedilatildeo supersimeacutetrica

13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico

Vamos associar semi-ciacuterculos brancos e pretos agraves componentes da corrente O(N)

10 = a j = (170)

uma linha contiacutenua e uma linha orientada agrave identidade e o operador anti-derivada respectishyvamente

I=- 2ocirc= --- (171)

O operador ocircanterior segue a mesma convenccedilatildeo adotada na ref [103]

-I XltO 8-Agrave(x) = ~ f dy E(X - y)A(y) E(X) = o x=O (172) +1 xgtO

A seguir obtemos alguns diagramas e as expressotildees correspondentes

2joOcircJo = (-(] -t

2fJJjo = H 481ocircJo = ~ 43 [fU08-lo) = (173)~

Notamos [103] que toda carga melhorada pode ser escrita como uma integral sobre cadeias simetrizadas de jos e 3 s ligados pelo operador 28-1 Dessa meneira podemos associar um diagrama agrave cada uma das cargas melhoradas conforme exemplificado pela segunda carga natildeo local Q(2)

Q(2) = f dx [2jo +30(281) + j (2810) + jo(28-U02Ocirc]0))] (174)

2a + ()---4 + H + CJ--(--)

Se estivermos interessados em construir as cargas haacute um procedimento graacutefico alternativo inspirado pelas liccedilotildees da ref [103] e o qual seraacute descrito agora Considere as seguintes propriedades

(a) As cargas natildeo locais melhoradas tecircm a forma geral Q(n) = Jdx J(n) onde J(n) eacute uma combinaccedilatildeo de termos os quais podemos sempre escrever como

jl- ou 2(jI8-S +8-S j) (175)

onde S eacute uma cadeia geneacuterica do tipo 30(1)8-1 (jo(l)8-1(jo(1)8-1 (jO(I)))) e st sua transposta

21

(b) A definiccedilatildeo algeacutebrica de cargas melhoradas eacute

(1o Q(n+l))ijkl = parte linear de Q)y Q~7) (176)

e notamos que a parte linear de Qiacutejl Q~7) vem exclusivamente de termos do tipo

I tb (Q1P (i)ka28Sal - (kBl)) (177)

(c) Usando a definiccedilatildeo de Q(l a aacutelgebra elementar de correntes e excluindo termos natildeo lineares verificamos que sua accedilatildeo sobre io eacute dada por

f dxQIY (jo)ko2iTSa-(kBI) = (I degfdX[i128S + j o2acirc-Uo28S) 2j81) (178) 1Jkl

~ ===i t---G+~ +2~ enquanto a accedilatildeo sobre il eacute descrita pela equaccedilatildeo

f dn QiacuteY (jJka28Sal - (kBI) = (1 degfdx [2ioj28-S + jo2acirc-U18S)1) (179) Jkl

t---GJ ===i 2--(~~

Alguns novos siacutembolos foram introduzidos acima ou seja para j derivada e identidade temos

i lti=gt reg

1 -1~a lti=gt -+ +- =- lti=gt -828 = 1 (l80)2 2

As expressotildees anteriores justificam a seguinte prescriccedilatildeo

i) Comeccedilamos com o diagrama de Q(n

ii) Trocamos o pedaccedilo da esquerda de cada uma das cadeias de acordo com as seguintes regras

(]- by t- + G--ltJ- + 2 reg+

bull by 2 + (]--fshy (181)

iii) Os diagramas resultantes correspondem agrave Q(n+l)

22

Reforccedilamos o fato que as regras de substituiccedilatildeo acima podem ser diretamente obtidas dos seguintes parecircntese baacutesicos

Qp (jO)kl = (lo j - 2ocircJoj - Ocircj)ijkl + (182)

Qiacute) (jhd = (lo Joj 2a)oi )iacutejkl + (183)

Aleacutem disso natildeo se deve esquecer dos viacutenculos satisfeitos pela corrente OtN) jl escritos como

[i jl+ == il +~ =Q (184)

2jjS = (jS + jocircS) 2=+2j- (185)

onde o semicirculo metade branco e metade preto siguifica que a identidade vale para o semishycirculo branco ou o preto Testamos a eficiecircncia deste meacutetodo comparando com o algoriacutetmos algeacutebrico expliacutecito na rer [103] levamos muito menos tempo e espaccedilo para construir as cargas melhoradas Por questotildees de clareza disponibilizamos alguns exemplos no apecircndice A

I Desenvolvemos tambeacutem uma teacutecnica diagramaacutetica para calcular a aacutelgebra propriamente dita Ela pode ser vista como um conjunto de regras de contraccedilatildeo entre as cadeias que correspondem agraves cargas Aleacutem disso ao se calcular a aacutelgebra das cargas natildeo locais temos que considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees (isto eacute parecircnteses de Dirac) entre cadeias simetrizadas Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais obtemos contraccedilotildees elementares do seguinte tipo geral

dxdYOSm(x)a1j(x) (jtl)agt(x) (jv)cd(Y) 6UkC(y)aVd(y) - (iHi)- (kHl) (186)

Onde S T U e V satildeo cadeias geneacutericas A aacutelgebra de correntes (154) nos diz que uma contraccedilatildeo il(x)jv(y) pode produzir um termo do tipo corrente (lo i)6(x - y) ou um termo de Schwinger Vamos discutir o primeiro tipo em cujo caso (186) produz quatro termos

dx [(aSal o attjaV) + WtfJtJ o ocirc-SjaV) +

(aSifJtJ o ataV) + (ocircTjfJtJ o aSav)] (187)Jkl

Podemos associar cada um dos quatro termos anteriores com uma das quatro possiacuteveis conshytraccedilotildees entre os dois pares de cadeias simetrizadas Na presenccedila de um termo de Schwinger devemos levar em conta contribuiccedilotildees extras envolvendo o intertwiner e integraccedilotildees parciais De qualquer maneira as contraccedilotildees entre cadeias podem ser resumidas pelas seguintes regras

Passo 1 Escolha

Ao calcularmos Q(m) Q(n) tomamos uma cadeia de Q(m) e outra de Q(n) Entatildeo noacutes separamos os componentes internos de correntes que queremos contrair Isto eacute simbolizado pelo diagrama geneacuterico abaixo

23

(ja)ij - rPi1ij - rgtj1ii Vl)j - rgtrgtj rgtjrgti (150)

Note que o j eacute um campo matricial antissimeacutetrico Por outro lado o campo intertwiner dado em (142) eacute simeacutetrico

(j)j = rgtirgtj (151)

Observamos que o Hamiltoniano (144) pode ser escrito na forma de Sugawara

1 (2 2)1l=--trJo+1J (152)4

Essas correntes matriciais associadas agrave simetria O(N) satildeo conservadas e de curvatura nula

(j)j = rgtdJrgtj - rgtArgti ojl = O

v = ojv - ovj + 2[j jv] = O (153)

Utilizando a forma das componentes temporal jo e espacial IacuteI em termos das variaacuteveis de espaccedilo de fase (150) e da aacutelgebra de parecircntese de Dirac dessas componentes 149 satisfazem agrave aacutelgebra [103] obtida em Forger et alo [100] [101]

(Uo)ij(X) (johl(Y) = (I o jo)ijkl(X)Oacute(X - y)

(U)iAx) Uoht(Y) = (lo j)ijkl(X)Oacute(X - y) + (lo j)ijk(X)Oacute(x - y) (154)

(U)ij(X) (j)kl(Y) = O

(j)ij(X) (j)I(Y) = O

(UMx) (iJ)kdy) = O (U)ij(X) (jO)kI(Y) = -(I j)ltjkl(X)Oacute(X - y)

onde I eacute a matriz identidade N x N Introduzimos o campo intertwiner

(j)ij = rPirPj (155)

e os produtos OtN) o e definidos na reL [103] como

(A o B)ijkl = AkBj - AuumlBjk + AjlBiacutek - AjkBil

(A B)jk = AikBjl AilBjk - AjBik + AjkBil (156)

Sabemos que este modelo possui infinitas cargas conservadas natildeo locais O conjunto padratildeo de cargas pode ser iterativamente construiacutedo por meio do meacutetodo potencial de Breacutezin et ai [92J Comeccedilamos com uma corrente que obedece a

18

iacute)lj = o ocircdv - ocircvj + 2[jljv] = o (157)

Dada uma corrente conservada J~n) definimos o potencial natildeo local associado X(n) atraveacutes da equaccedilatildeo

J~n) = eurolvocircX(n) (158)

e contruirmos a corrente natildeo local de ordem (n + 1 )-eacutesima

J~n+l) == Dpx(n) = ocircX(n) + 2[jp X(n)]

Q(n) == dxJan) (159)

Essa corrente eacute conservada como consequumlecircncia da equaccedilatildeo (157) Aqui mencionamos que para a primeira corrente natildeo local J~I) o coeficiente na frente da comutaccedilatildeo em (159) deve ser 1 ao inveacutes de 2

A equaccedilatildeo (158) pode ser invertida para x(n) = ocirc- I Jrln ) onde escolhemos o operador

antiderivada como sendo

I xltO ocirc 2-I A(x) = 1dYf(X - y)A(y) euro(x) O x=o (160)

+1 xgto Com estas definiccedilotildees antissimetrizamos as condiccedilotildees de contorno para x(n)

x(nJ(plusmnco) = plusmn~ dxJJn) (x) = plusmn~Q(n) (161)

Outras condiccedilotildees de contorno podem ser usadas mas a escolha anterior garante que a aacutelgebra de cargas produz uma combinaccedilatildeo antissimeacutetrica de cargas as quais pertencem agrave aacutelgebra do gerador de OtN) Podemos chamar as cargas defindas em (159) de cargasshypadratildeo Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais mostramos a forma das duas primeiras

Q(O) = dxjo (162)

Q(I) = dx (il + 2joocirc-1jo) (163)

Entretanto na ref [103] um conjunto alternativo de cargas melhoradas Q(n) n = 012 - foi definido e mostrou-se que elas obedecem agrave aacutelgebra natildeo linear

m-l n-l

Qlj) Qi7= (Io Q(n+ffl)) kl - L L (Q(PlQ(q) o Q(ffl+n-p- q-2raquo) kl (164)

lJj p=O q==O lJ

Estas cargas foram chamadas melhoradas porque possibilitam uma melhoria algeacutebrica a parte natildeo linear da aacutelgebra eacute simplesmente cuacutebica ao contraacuterio do que acontece com a

19

aacutelgebra das cargas padratildeo anteriormente utilizadas na literatura [35] A identidade de Jacobi e outras propriedades da aacutelgebra cuacutebica melhorada foram extensivamente discutidas na rer [103] Mas haacute uma maneira de abreviar aquela aacutelgebra que eacute o primeiro dos novos resultados dessa tese e o qual seraacute apresentado agora

Vamos definir um gerador Hermitiano das cargas melhoradas

00

Q(Agrave) = I +i L Agraven+lQ(n) (165) n=O

onde Agrave seraacute chamado de paracircmetro espectral Assim pode-se resumir a aacutelgebra (164) como

iQij(Agrave) Qkl(JL) = (f(Agrave -L) o Q(Agrave) Q(-L)ijkl (166)

Onde J(Agrave -L) =iRe (Q(Agrave)Q(-Lraquo) = I - E~n-o Agravem

+1fLn+1 Q(m) Q(n) (167)Agrave-I - -L-I Agrave 1 - -L 1

A natildeo liacutenearidade quadraacutetica codificada em J(Agrave -L) pode ser relacionada com a conhecida estrutura Yangiana que estaacute subjacente a este modelo [89][90][91][93][100][103] Esta esshytrutura Yangiana corresponde agrave aacutelgebra de Hopf sobre C obtida a partir de uma quantizaccedilatildeo Q colocando-se h = 1 onde h eacute a constante de Planck Para maiores detalhes da definiccedilatildeo da estrutura Yangiana veja o artigo [104] A estrutura Yangiana estaacute relacionada com soluccedilotildees racionais da equaccedilatildeo de Yang-Baxter quacircntica cuja mais simples delas foi obtida por CN Yang [105]

A vantagem em se escrever a aacutelgebra como em (166) natildeo eacute apenas esteacutetica Lembrandoshyse da matriz de monodromia das cargas padratildeo e sua aacutelgebra expressa em termos da matriz claacutessica r

T(Agrave) = exp L Agraven+lQ(n) n20

T(Agrave)~-L) = [r(Agrave fL) TAgrave) 0 T(-Ll] Ia 0 Ia

T (Agrave-L) = Agrave-I- -L-I [Ia Ib]= Jbelc (168)

destacamos que o gerador Q(Agrave) e a matriz J seguem regras similares agravequelas da matriz de monodromia e a matriz r claacutessica no meacutetodo padratildeo [89][91][90][93] [100][103] Noacutes natildeo entendemos completamente a relaccedilatildeo entre (166) e (168) mas esperamos ser capazes de utilizar essa analogia para estabelecer uma traduccedilatildeo precisa entre os diferentes conjuntos de cargas Esperamos tambeacutem que um conhecimento completo das cargas conservadas e sua aacutelgebra seraacute um ingrediente decisivo nos caacutelculos de espalhamento off-shell

Agora vamos introduzir os meacutetodos graacuteficos que criamos para efetuar os caacutelculos de deduccedilatildeo das cargas natildeo lineares e sua aacutelgebra Lembramos que na ref [103] as cargas melhoradas foram construiacutedas por meio de um algoriacutetmo iterativo que utiliza Q(I) como um step-generator conforme indicado pela relaccedilatildeo

(lo Q(n+1) = parte linear de Q(I) Q(nJ (169)

20

Apoacutes vaacuterios caacutelculos os autores da ref [103] construiacuteram as cargas Q(n) e sua aacutelgebra ateacute n = 5 Na proacutexima seccedilatildeo vamos apresentar um meacutetodo graacutefico que torna o caacutelculo mais simples menos tedioso e conveniente para uma extenccedilatildeo supersimeacutetrica

13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico

Vamos associar semi-ciacuterculos brancos e pretos agraves componentes da corrente O(N)

10 = a j = (170)

uma linha contiacutenua e uma linha orientada agrave identidade e o operador anti-derivada respectishyvamente

I=- 2ocirc= --- (171)

O operador ocircanterior segue a mesma convenccedilatildeo adotada na ref [103]

-I XltO 8-Agrave(x) = ~ f dy E(X - y)A(y) E(X) = o x=O (172) +1 xgtO

A seguir obtemos alguns diagramas e as expressotildees correspondentes

2joOcircJo = (-(] -t

2fJJjo = H 481ocircJo = ~ 43 [fU08-lo) = (173)~

Notamos [103] que toda carga melhorada pode ser escrita como uma integral sobre cadeias simetrizadas de jos e 3 s ligados pelo operador 28-1 Dessa meneira podemos associar um diagrama agrave cada uma das cargas melhoradas conforme exemplificado pela segunda carga natildeo local Q(2)

Q(2) = f dx [2jo +30(281) + j (2810) + jo(28-U02Ocirc]0))] (174)

2a + ()---4 + H + CJ--(--)

Se estivermos interessados em construir as cargas haacute um procedimento graacutefico alternativo inspirado pelas liccedilotildees da ref [103] e o qual seraacute descrito agora Considere as seguintes propriedades

(a) As cargas natildeo locais melhoradas tecircm a forma geral Q(n) = Jdx J(n) onde J(n) eacute uma combinaccedilatildeo de termos os quais podemos sempre escrever como

jl- ou 2(jI8-S +8-S j) (175)

onde S eacute uma cadeia geneacuterica do tipo 30(1)8-1 (jo(l)8-1(jo(1)8-1 (jO(I)))) e st sua transposta

21

(b) A definiccedilatildeo algeacutebrica de cargas melhoradas eacute

(1o Q(n+l))ijkl = parte linear de Q)y Q~7) (176)

e notamos que a parte linear de Qiacutejl Q~7) vem exclusivamente de termos do tipo

I tb (Q1P (i)ka28Sal - (kBl)) (177)

(c) Usando a definiccedilatildeo de Q(l a aacutelgebra elementar de correntes e excluindo termos natildeo lineares verificamos que sua accedilatildeo sobre io eacute dada por

f dxQIY (jo)ko2iTSa-(kBI) = (I degfdX[i128S + j o2acirc-Uo28S) 2j81) (178) 1Jkl

~ ===i t---G+~ +2~ enquanto a accedilatildeo sobre il eacute descrita pela equaccedilatildeo

f dn QiacuteY (jJka28Sal - (kBI) = (1 degfdx [2ioj28-S + jo2acirc-U18S)1) (179) Jkl

t---GJ ===i 2--(~~

Alguns novos siacutembolos foram introduzidos acima ou seja para j derivada e identidade temos

i lti=gt reg

1 -1~a lti=gt -+ +- =- lti=gt -828 = 1 (l80)2 2

As expressotildees anteriores justificam a seguinte prescriccedilatildeo

i) Comeccedilamos com o diagrama de Q(n

ii) Trocamos o pedaccedilo da esquerda de cada uma das cadeias de acordo com as seguintes regras

(]- by t- + G--ltJ- + 2 reg+

bull by 2 + (]--fshy (181)

iii) Os diagramas resultantes correspondem agrave Q(n+l)

22

Reforccedilamos o fato que as regras de substituiccedilatildeo acima podem ser diretamente obtidas dos seguintes parecircntese baacutesicos

Qp (jO)kl = (lo j - 2ocircJoj - Ocircj)ijkl + (182)

Qiacute) (jhd = (lo Joj 2a)oi )iacutejkl + (183)

Aleacutem disso natildeo se deve esquecer dos viacutenculos satisfeitos pela corrente OtN) jl escritos como

[i jl+ == il +~ =Q (184)

2jjS = (jS + jocircS) 2=+2j- (185)

onde o semicirculo metade branco e metade preto siguifica que a identidade vale para o semishycirculo branco ou o preto Testamos a eficiecircncia deste meacutetodo comparando com o algoriacutetmos algeacutebrico expliacutecito na rer [103] levamos muito menos tempo e espaccedilo para construir as cargas melhoradas Por questotildees de clareza disponibilizamos alguns exemplos no apecircndice A

I Desenvolvemos tambeacutem uma teacutecnica diagramaacutetica para calcular a aacutelgebra propriamente dita Ela pode ser vista como um conjunto de regras de contraccedilatildeo entre as cadeias que correspondem agraves cargas Aleacutem disso ao se calcular a aacutelgebra das cargas natildeo locais temos que considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees (isto eacute parecircnteses de Dirac) entre cadeias simetrizadas Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais obtemos contraccedilotildees elementares do seguinte tipo geral

dxdYOSm(x)a1j(x) (jtl)agt(x) (jv)cd(Y) 6UkC(y)aVd(y) - (iHi)- (kHl) (186)

Onde S T U e V satildeo cadeias geneacutericas A aacutelgebra de correntes (154) nos diz que uma contraccedilatildeo il(x)jv(y) pode produzir um termo do tipo corrente (lo i)6(x - y) ou um termo de Schwinger Vamos discutir o primeiro tipo em cujo caso (186) produz quatro termos

dx [(aSal o attjaV) + WtfJtJ o ocirc-SjaV) +

(aSifJtJ o ataV) + (ocircTjfJtJ o aSav)] (187)Jkl

Podemos associar cada um dos quatro termos anteriores com uma das quatro possiacuteveis conshytraccedilotildees entre os dois pares de cadeias simetrizadas Na presenccedila de um termo de Schwinger devemos levar em conta contribuiccedilotildees extras envolvendo o intertwiner e integraccedilotildees parciais De qualquer maneira as contraccedilotildees entre cadeias podem ser resumidas pelas seguintes regras

Passo 1 Escolha

Ao calcularmos Q(m) Q(n) tomamos uma cadeia de Q(m) e outra de Q(n) Entatildeo noacutes separamos os componentes internos de correntes que queremos contrair Isto eacute simbolizado pelo diagrama geneacuterico abaixo

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iacute)lj = o ocircdv - ocircvj + 2[jljv] = o (157)

Dada uma corrente conservada J~n) definimos o potencial natildeo local associado X(n) atraveacutes da equaccedilatildeo

J~n) = eurolvocircX(n) (158)

e contruirmos a corrente natildeo local de ordem (n + 1 )-eacutesima

J~n+l) == Dpx(n) = ocircX(n) + 2[jp X(n)]

Q(n) == dxJan) (159)

Essa corrente eacute conservada como consequumlecircncia da equaccedilatildeo (157) Aqui mencionamos que para a primeira corrente natildeo local J~I) o coeficiente na frente da comutaccedilatildeo em (159) deve ser 1 ao inveacutes de 2

A equaccedilatildeo (158) pode ser invertida para x(n) = ocirc- I Jrln ) onde escolhemos o operador

antiderivada como sendo

I xltO ocirc 2-I A(x) = 1dYf(X - y)A(y) euro(x) O x=o (160)

+1 xgto Com estas definiccedilotildees antissimetrizamos as condiccedilotildees de contorno para x(n)

x(nJ(plusmnco) = plusmn~ dxJJn) (x) = plusmn~Q(n) (161)

Outras condiccedilotildees de contorno podem ser usadas mas a escolha anterior garante que a aacutelgebra de cargas produz uma combinaccedilatildeo antissimeacutetrica de cargas as quais pertencem agrave aacutelgebra do gerador de OtN) Podemos chamar as cargas defindas em (159) de cargasshypadratildeo Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais mostramos a forma das duas primeiras

Q(O) = dxjo (162)

Q(I) = dx (il + 2joocirc-1jo) (163)

Entretanto na ref [103] um conjunto alternativo de cargas melhoradas Q(n) n = 012 - foi definido e mostrou-se que elas obedecem agrave aacutelgebra natildeo linear

m-l n-l

Qlj) Qi7= (Io Q(n+ffl)) kl - L L (Q(PlQ(q) o Q(ffl+n-p- q-2raquo) kl (164)

lJj p=O q==O lJ

Estas cargas foram chamadas melhoradas porque possibilitam uma melhoria algeacutebrica a parte natildeo linear da aacutelgebra eacute simplesmente cuacutebica ao contraacuterio do que acontece com a

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aacutelgebra das cargas padratildeo anteriormente utilizadas na literatura [35] A identidade de Jacobi e outras propriedades da aacutelgebra cuacutebica melhorada foram extensivamente discutidas na rer [103] Mas haacute uma maneira de abreviar aquela aacutelgebra que eacute o primeiro dos novos resultados dessa tese e o qual seraacute apresentado agora

Vamos definir um gerador Hermitiano das cargas melhoradas

00

Q(Agrave) = I +i L Agraven+lQ(n) (165) n=O

onde Agrave seraacute chamado de paracircmetro espectral Assim pode-se resumir a aacutelgebra (164) como

iQij(Agrave) Qkl(JL) = (f(Agrave -L) o Q(Agrave) Q(-L)ijkl (166)

Onde J(Agrave -L) =iRe (Q(Agrave)Q(-Lraquo) = I - E~n-o Agravem

+1fLn+1 Q(m) Q(n) (167)Agrave-I - -L-I Agrave 1 - -L 1

A natildeo liacutenearidade quadraacutetica codificada em J(Agrave -L) pode ser relacionada com a conhecida estrutura Yangiana que estaacute subjacente a este modelo [89][90][91][93][100][103] Esta esshytrutura Yangiana corresponde agrave aacutelgebra de Hopf sobre C obtida a partir de uma quantizaccedilatildeo Q colocando-se h = 1 onde h eacute a constante de Planck Para maiores detalhes da definiccedilatildeo da estrutura Yangiana veja o artigo [104] A estrutura Yangiana estaacute relacionada com soluccedilotildees racionais da equaccedilatildeo de Yang-Baxter quacircntica cuja mais simples delas foi obtida por CN Yang [105]

A vantagem em se escrever a aacutelgebra como em (166) natildeo eacute apenas esteacutetica Lembrandoshyse da matriz de monodromia das cargas padratildeo e sua aacutelgebra expressa em termos da matriz claacutessica r

T(Agrave) = exp L Agraven+lQ(n) n20

T(Agrave)~-L) = [r(Agrave fL) TAgrave) 0 T(-Ll] Ia 0 Ia

T (Agrave-L) = Agrave-I- -L-I [Ia Ib]= Jbelc (168)

destacamos que o gerador Q(Agrave) e a matriz J seguem regras similares agravequelas da matriz de monodromia e a matriz r claacutessica no meacutetodo padratildeo [89][91][90][93] [100][103] Noacutes natildeo entendemos completamente a relaccedilatildeo entre (166) e (168) mas esperamos ser capazes de utilizar essa analogia para estabelecer uma traduccedilatildeo precisa entre os diferentes conjuntos de cargas Esperamos tambeacutem que um conhecimento completo das cargas conservadas e sua aacutelgebra seraacute um ingrediente decisivo nos caacutelculos de espalhamento off-shell

Agora vamos introduzir os meacutetodos graacuteficos que criamos para efetuar os caacutelculos de deduccedilatildeo das cargas natildeo lineares e sua aacutelgebra Lembramos que na ref [103] as cargas melhoradas foram construiacutedas por meio de um algoriacutetmo iterativo que utiliza Q(I) como um step-generator conforme indicado pela relaccedilatildeo

(lo Q(n+1) = parte linear de Q(I) Q(nJ (169)

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Apoacutes vaacuterios caacutelculos os autores da ref [103] construiacuteram as cargas Q(n) e sua aacutelgebra ateacute n = 5 Na proacutexima seccedilatildeo vamos apresentar um meacutetodo graacutefico que torna o caacutelculo mais simples menos tedioso e conveniente para uma extenccedilatildeo supersimeacutetrica

13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico

Vamos associar semi-ciacuterculos brancos e pretos agraves componentes da corrente O(N)

10 = a j = (170)

uma linha contiacutenua e uma linha orientada agrave identidade e o operador anti-derivada respectishyvamente

I=- 2ocirc= --- (171)

O operador ocircanterior segue a mesma convenccedilatildeo adotada na ref [103]

-I XltO 8-Agrave(x) = ~ f dy E(X - y)A(y) E(X) = o x=O (172) +1 xgtO

A seguir obtemos alguns diagramas e as expressotildees correspondentes

2joOcircJo = (-(] -t

2fJJjo = H 481ocircJo = ~ 43 [fU08-lo) = (173)~

Notamos [103] que toda carga melhorada pode ser escrita como uma integral sobre cadeias simetrizadas de jos e 3 s ligados pelo operador 28-1 Dessa meneira podemos associar um diagrama agrave cada uma das cargas melhoradas conforme exemplificado pela segunda carga natildeo local Q(2)

Q(2) = f dx [2jo +30(281) + j (2810) + jo(28-U02Ocirc]0))] (174)

2a + ()---4 + H + CJ--(--)

Se estivermos interessados em construir as cargas haacute um procedimento graacutefico alternativo inspirado pelas liccedilotildees da ref [103] e o qual seraacute descrito agora Considere as seguintes propriedades

(a) As cargas natildeo locais melhoradas tecircm a forma geral Q(n) = Jdx J(n) onde J(n) eacute uma combinaccedilatildeo de termos os quais podemos sempre escrever como

jl- ou 2(jI8-S +8-S j) (175)

onde S eacute uma cadeia geneacuterica do tipo 30(1)8-1 (jo(l)8-1(jo(1)8-1 (jO(I)))) e st sua transposta

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(b) A definiccedilatildeo algeacutebrica de cargas melhoradas eacute

(1o Q(n+l))ijkl = parte linear de Q)y Q~7) (176)

e notamos que a parte linear de Qiacutejl Q~7) vem exclusivamente de termos do tipo

I tb (Q1P (i)ka28Sal - (kBl)) (177)

(c) Usando a definiccedilatildeo de Q(l a aacutelgebra elementar de correntes e excluindo termos natildeo lineares verificamos que sua accedilatildeo sobre io eacute dada por

f dxQIY (jo)ko2iTSa-(kBI) = (I degfdX[i128S + j o2acirc-Uo28S) 2j81) (178) 1Jkl

~ ===i t---G+~ +2~ enquanto a accedilatildeo sobre il eacute descrita pela equaccedilatildeo

f dn QiacuteY (jJka28Sal - (kBI) = (1 degfdx [2ioj28-S + jo2acirc-U18S)1) (179) Jkl

t---GJ ===i 2--(~~

Alguns novos siacutembolos foram introduzidos acima ou seja para j derivada e identidade temos

i lti=gt reg

1 -1~a lti=gt -+ +- =- lti=gt -828 = 1 (l80)2 2

As expressotildees anteriores justificam a seguinte prescriccedilatildeo

i) Comeccedilamos com o diagrama de Q(n

ii) Trocamos o pedaccedilo da esquerda de cada uma das cadeias de acordo com as seguintes regras

(]- by t- + G--ltJ- + 2 reg+

bull by 2 + (]--fshy (181)

iii) Os diagramas resultantes correspondem agrave Q(n+l)

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Reforccedilamos o fato que as regras de substituiccedilatildeo acima podem ser diretamente obtidas dos seguintes parecircntese baacutesicos

Qp (jO)kl = (lo j - 2ocircJoj - Ocircj)ijkl + (182)

Qiacute) (jhd = (lo Joj 2a)oi )iacutejkl + (183)

Aleacutem disso natildeo se deve esquecer dos viacutenculos satisfeitos pela corrente OtN) jl escritos como

[i jl+ == il +~ =Q (184)

2jjS = (jS + jocircS) 2=+2j- (185)

onde o semicirculo metade branco e metade preto siguifica que a identidade vale para o semishycirculo branco ou o preto Testamos a eficiecircncia deste meacutetodo comparando com o algoriacutetmos algeacutebrico expliacutecito na rer [103] levamos muito menos tempo e espaccedilo para construir as cargas melhoradas Por questotildees de clareza disponibilizamos alguns exemplos no apecircndice A

I Desenvolvemos tambeacutem uma teacutecnica diagramaacutetica para calcular a aacutelgebra propriamente dita Ela pode ser vista como um conjunto de regras de contraccedilatildeo entre as cadeias que correspondem agraves cargas Aleacutem disso ao se calcular a aacutelgebra das cargas natildeo locais temos que considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees (isto eacute parecircnteses de Dirac) entre cadeias simetrizadas Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais obtemos contraccedilotildees elementares do seguinte tipo geral

dxdYOSm(x)a1j(x) (jtl)agt(x) (jv)cd(Y) 6UkC(y)aVd(y) - (iHi)- (kHl) (186)

Onde S T U e V satildeo cadeias geneacutericas A aacutelgebra de correntes (154) nos diz que uma contraccedilatildeo il(x)jv(y) pode produzir um termo do tipo corrente (lo i)6(x - y) ou um termo de Schwinger Vamos discutir o primeiro tipo em cujo caso (186) produz quatro termos

dx [(aSal o attjaV) + WtfJtJ o ocirc-SjaV) +

(aSifJtJ o ataV) + (ocircTjfJtJ o aSav)] (187)Jkl

Podemos associar cada um dos quatro termos anteriores com uma das quatro possiacuteveis conshytraccedilotildees entre os dois pares de cadeias simetrizadas Na presenccedila de um termo de Schwinger devemos levar em conta contribuiccedilotildees extras envolvendo o intertwiner e integraccedilotildees parciais De qualquer maneira as contraccedilotildees entre cadeias podem ser resumidas pelas seguintes regras

Passo 1 Escolha

Ao calcularmos Q(m) Q(n) tomamos uma cadeia de Q(m) e outra de Q(n) Entatildeo noacutes separamos os componentes internos de correntes que queremos contrair Isto eacute simbolizado pelo diagrama geneacuterico abaixo

23

aacutelgebra das cargas padratildeo anteriormente utilizadas na literatura [35] A identidade de Jacobi e outras propriedades da aacutelgebra cuacutebica melhorada foram extensivamente discutidas na rer [103] Mas haacute uma maneira de abreviar aquela aacutelgebra que eacute o primeiro dos novos resultados dessa tese e o qual seraacute apresentado agora

Vamos definir um gerador Hermitiano das cargas melhoradas

00

Q(Agrave) = I +i L Agraven+lQ(n) (165) n=O

onde Agrave seraacute chamado de paracircmetro espectral Assim pode-se resumir a aacutelgebra (164) como

iQij(Agrave) Qkl(JL) = (f(Agrave -L) o Q(Agrave) Q(-L)ijkl (166)

Onde J(Agrave -L) =iRe (Q(Agrave)Q(-Lraquo) = I - E~n-o Agravem

+1fLn+1 Q(m) Q(n) (167)Agrave-I - -L-I Agrave 1 - -L 1

A natildeo liacutenearidade quadraacutetica codificada em J(Agrave -L) pode ser relacionada com a conhecida estrutura Yangiana que estaacute subjacente a este modelo [89][90][91][93][100][103] Esta esshytrutura Yangiana corresponde agrave aacutelgebra de Hopf sobre C obtida a partir de uma quantizaccedilatildeo Q colocando-se h = 1 onde h eacute a constante de Planck Para maiores detalhes da definiccedilatildeo da estrutura Yangiana veja o artigo [104] A estrutura Yangiana estaacute relacionada com soluccedilotildees racionais da equaccedilatildeo de Yang-Baxter quacircntica cuja mais simples delas foi obtida por CN Yang [105]

A vantagem em se escrever a aacutelgebra como em (166) natildeo eacute apenas esteacutetica Lembrandoshyse da matriz de monodromia das cargas padratildeo e sua aacutelgebra expressa em termos da matriz claacutessica r

T(Agrave) = exp L Agraven+lQ(n) n20

T(Agrave)~-L) = [r(Agrave fL) TAgrave) 0 T(-Ll] Ia 0 Ia

T (Agrave-L) = Agrave-I- -L-I [Ia Ib]= Jbelc (168)

destacamos que o gerador Q(Agrave) e a matriz J seguem regras similares agravequelas da matriz de monodromia e a matriz r claacutessica no meacutetodo padratildeo [89][91][90][93] [100][103] Noacutes natildeo entendemos completamente a relaccedilatildeo entre (166) e (168) mas esperamos ser capazes de utilizar essa analogia para estabelecer uma traduccedilatildeo precisa entre os diferentes conjuntos de cargas Esperamos tambeacutem que um conhecimento completo das cargas conservadas e sua aacutelgebra seraacute um ingrediente decisivo nos caacutelculos de espalhamento off-shell

Agora vamos introduzir os meacutetodos graacuteficos que criamos para efetuar os caacutelculos de deduccedilatildeo das cargas natildeo lineares e sua aacutelgebra Lembramos que na ref [103] as cargas melhoradas foram construiacutedas por meio de um algoriacutetmo iterativo que utiliza Q(I) como um step-generator conforme indicado pela relaccedilatildeo

(lo Q(n+1) = parte linear de Q(I) Q(nJ (169)

20

Apoacutes vaacuterios caacutelculos os autores da ref [103] construiacuteram as cargas Q(n) e sua aacutelgebra ateacute n = 5 Na proacutexima seccedilatildeo vamos apresentar um meacutetodo graacutefico que torna o caacutelculo mais simples menos tedioso e conveniente para uma extenccedilatildeo supersimeacutetrica

13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico

Vamos associar semi-ciacuterculos brancos e pretos agraves componentes da corrente O(N)

10 = a j = (170)

uma linha contiacutenua e uma linha orientada agrave identidade e o operador anti-derivada respectishyvamente

I=- 2ocirc= --- (171)

O operador ocircanterior segue a mesma convenccedilatildeo adotada na ref [103]

-I XltO 8-Agrave(x) = ~ f dy E(X - y)A(y) E(X) = o x=O (172) +1 xgtO

A seguir obtemos alguns diagramas e as expressotildees correspondentes

2joOcircJo = (-(] -t

2fJJjo = H 481ocircJo = ~ 43 [fU08-lo) = (173)~

Notamos [103] que toda carga melhorada pode ser escrita como uma integral sobre cadeias simetrizadas de jos e 3 s ligados pelo operador 28-1 Dessa meneira podemos associar um diagrama agrave cada uma das cargas melhoradas conforme exemplificado pela segunda carga natildeo local Q(2)

Q(2) = f dx [2jo +30(281) + j (2810) + jo(28-U02Ocirc]0))] (174)

2a + ()---4 + H + CJ--(--)

Se estivermos interessados em construir as cargas haacute um procedimento graacutefico alternativo inspirado pelas liccedilotildees da ref [103] e o qual seraacute descrito agora Considere as seguintes propriedades

(a) As cargas natildeo locais melhoradas tecircm a forma geral Q(n) = Jdx J(n) onde J(n) eacute uma combinaccedilatildeo de termos os quais podemos sempre escrever como

jl- ou 2(jI8-S +8-S j) (175)

onde S eacute uma cadeia geneacuterica do tipo 30(1)8-1 (jo(l)8-1(jo(1)8-1 (jO(I)))) e st sua transposta

21

(b) A definiccedilatildeo algeacutebrica de cargas melhoradas eacute

(1o Q(n+l))ijkl = parte linear de Q)y Q~7) (176)

e notamos que a parte linear de Qiacutejl Q~7) vem exclusivamente de termos do tipo

I tb (Q1P (i)ka28Sal - (kBl)) (177)

(c) Usando a definiccedilatildeo de Q(l a aacutelgebra elementar de correntes e excluindo termos natildeo lineares verificamos que sua accedilatildeo sobre io eacute dada por

f dxQIY (jo)ko2iTSa-(kBI) = (I degfdX[i128S + j o2acirc-Uo28S) 2j81) (178) 1Jkl

~ ===i t---G+~ +2~ enquanto a accedilatildeo sobre il eacute descrita pela equaccedilatildeo

f dn QiacuteY (jJka28Sal - (kBI) = (1 degfdx [2ioj28-S + jo2acirc-U18S)1) (179) Jkl

t---GJ ===i 2--(~~

Alguns novos siacutembolos foram introduzidos acima ou seja para j derivada e identidade temos

i lti=gt reg

1 -1~a lti=gt -+ +- =- lti=gt -828 = 1 (l80)2 2

As expressotildees anteriores justificam a seguinte prescriccedilatildeo

i) Comeccedilamos com o diagrama de Q(n

ii) Trocamos o pedaccedilo da esquerda de cada uma das cadeias de acordo com as seguintes regras

(]- by t- + G--ltJ- + 2 reg+

bull by 2 + (]--fshy (181)

iii) Os diagramas resultantes correspondem agrave Q(n+l)

22

Reforccedilamos o fato que as regras de substituiccedilatildeo acima podem ser diretamente obtidas dos seguintes parecircntese baacutesicos

Qp (jO)kl = (lo j - 2ocircJoj - Ocircj)ijkl + (182)

Qiacute) (jhd = (lo Joj 2a)oi )iacutejkl + (183)

Aleacutem disso natildeo se deve esquecer dos viacutenculos satisfeitos pela corrente OtN) jl escritos como

[i jl+ == il +~ =Q (184)

2jjS = (jS + jocircS) 2=+2j- (185)

onde o semicirculo metade branco e metade preto siguifica que a identidade vale para o semishycirculo branco ou o preto Testamos a eficiecircncia deste meacutetodo comparando com o algoriacutetmos algeacutebrico expliacutecito na rer [103] levamos muito menos tempo e espaccedilo para construir as cargas melhoradas Por questotildees de clareza disponibilizamos alguns exemplos no apecircndice A

I Desenvolvemos tambeacutem uma teacutecnica diagramaacutetica para calcular a aacutelgebra propriamente dita Ela pode ser vista como um conjunto de regras de contraccedilatildeo entre as cadeias que correspondem agraves cargas Aleacutem disso ao se calcular a aacutelgebra das cargas natildeo locais temos que considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees (isto eacute parecircnteses de Dirac) entre cadeias simetrizadas Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais obtemos contraccedilotildees elementares do seguinte tipo geral

dxdYOSm(x)a1j(x) (jtl)agt(x) (jv)cd(Y) 6UkC(y)aVd(y) - (iHi)- (kHl) (186)

Onde S T U e V satildeo cadeias geneacutericas A aacutelgebra de correntes (154) nos diz que uma contraccedilatildeo il(x)jv(y) pode produzir um termo do tipo corrente (lo i)6(x - y) ou um termo de Schwinger Vamos discutir o primeiro tipo em cujo caso (186) produz quatro termos

dx [(aSal o attjaV) + WtfJtJ o ocirc-SjaV) +

(aSifJtJ o ataV) + (ocircTjfJtJ o aSav)] (187)Jkl

Podemos associar cada um dos quatro termos anteriores com uma das quatro possiacuteveis conshytraccedilotildees entre os dois pares de cadeias simetrizadas Na presenccedila de um termo de Schwinger devemos levar em conta contribuiccedilotildees extras envolvendo o intertwiner e integraccedilotildees parciais De qualquer maneira as contraccedilotildees entre cadeias podem ser resumidas pelas seguintes regras

Passo 1 Escolha

Ao calcularmos Q(m) Q(n) tomamos uma cadeia de Q(m) e outra de Q(n) Entatildeo noacutes separamos os componentes internos de correntes que queremos contrair Isto eacute simbolizado pelo diagrama geneacuterico abaixo

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Apoacutes vaacuterios caacutelculos os autores da ref [103] construiacuteram as cargas Q(n) e sua aacutelgebra ateacute n = 5 Na proacutexima seccedilatildeo vamos apresentar um meacutetodo graacutefico que torna o caacutelculo mais simples menos tedioso e conveniente para uma extenccedilatildeo supersimeacutetrica

13 Regras graacuteficas para o modelo bosocircnico

Vamos associar semi-ciacuterculos brancos e pretos agraves componentes da corrente O(N)

10 = a j = (170)

uma linha contiacutenua e uma linha orientada agrave identidade e o operador anti-derivada respectishyvamente

I=- 2ocirc= --- (171)

O operador ocircanterior segue a mesma convenccedilatildeo adotada na ref [103]

-I XltO 8-Agrave(x) = ~ f dy E(X - y)A(y) E(X) = o x=O (172) +1 xgtO

A seguir obtemos alguns diagramas e as expressotildees correspondentes

2joOcircJo = (-(] -t

2fJJjo = H 481ocircJo = ~ 43 [fU08-lo) = (173)~

Notamos [103] que toda carga melhorada pode ser escrita como uma integral sobre cadeias simetrizadas de jos e 3 s ligados pelo operador 28-1 Dessa meneira podemos associar um diagrama agrave cada uma das cargas melhoradas conforme exemplificado pela segunda carga natildeo local Q(2)

Q(2) = f dx [2jo +30(281) + j (2810) + jo(28-U02Ocirc]0))] (174)

2a + ()---4 + H + CJ--(--)

Se estivermos interessados em construir as cargas haacute um procedimento graacutefico alternativo inspirado pelas liccedilotildees da ref [103] e o qual seraacute descrito agora Considere as seguintes propriedades

(a) As cargas natildeo locais melhoradas tecircm a forma geral Q(n) = Jdx J(n) onde J(n) eacute uma combinaccedilatildeo de termos os quais podemos sempre escrever como

jl- ou 2(jI8-S +8-S j) (175)

onde S eacute uma cadeia geneacuterica do tipo 30(1)8-1 (jo(l)8-1(jo(1)8-1 (jO(I)))) e st sua transposta

21

(b) A definiccedilatildeo algeacutebrica de cargas melhoradas eacute

(1o Q(n+l))ijkl = parte linear de Q)y Q~7) (176)

e notamos que a parte linear de Qiacutejl Q~7) vem exclusivamente de termos do tipo

I tb (Q1P (i)ka28Sal - (kBl)) (177)

(c) Usando a definiccedilatildeo de Q(l a aacutelgebra elementar de correntes e excluindo termos natildeo lineares verificamos que sua accedilatildeo sobre io eacute dada por

f dxQIY (jo)ko2iTSa-(kBI) = (I degfdX[i128S + j o2acirc-Uo28S) 2j81) (178) 1Jkl

~ ===i t---G+~ +2~ enquanto a accedilatildeo sobre il eacute descrita pela equaccedilatildeo

f dn QiacuteY (jJka28Sal - (kBI) = (1 degfdx [2ioj28-S + jo2acirc-U18S)1) (179) Jkl

t---GJ ===i 2--(~~

Alguns novos siacutembolos foram introduzidos acima ou seja para j derivada e identidade temos

i lti=gt reg

1 -1~a lti=gt -+ +- =- lti=gt -828 = 1 (l80)2 2

As expressotildees anteriores justificam a seguinte prescriccedilatildeo

i) Comeccedilamos com o diagrama de Q(n

ii) Trocamos o pedaccedilo da esquerda de cada uma das cadeias de acordo com as seguintes regras

(]- by t- + G--ltJ- + 2 reg+

bull by 2 + (]--fshy (181)

iii) Os diagramas resultantes correspondem agrave Q(n+l)

22

Reforccedilamos o fato que as regras de substituiccedilatildeo acima podem ser diretamente obtidas dos seguintes parecircntese baacutesicos

Qp (jO)kl = (lo j - 2ocircJoj - Ocircj)ijkl + (182)

Qiacute) (jhd = (lo Joj 2a)oi )iacutejkl + (183)

Aleacutem disso natildeo se deve esquecer dos viacutenculos satisfeitos pela corrente OtN) jl escritos como

[i jl+ == il +~ =Q (184)

2jjS = (jS + jocircS) 2=+2j- (185)

onde o semicirculo metade branco e metade preto siguifica que a identidade vale para o semishycirculo branco ou o preto Testamos a eficiecircncia deste meacutetodo comparando com o algoriacutetmos algeacutebrico expliacutecito na rer [103] levamos muito menos tempo e espaccedilo para construir as cargas melhoradas Por questotildees de clareza disponibilizamos alguns exemplos no apecircndice A

I Desenvolvemos tambeacutem uma teacutecnica diagramaacutetica para calcular a aacutelgebra propriamente dita Ela pode ser vista como um conjunto de regras de contraccedilatildeo entre as cadeias que correspondem agraves cargas Aleacutem disso ao se calcular a aacutelgebra das cargas natildeo locais temos que considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees (isto eacute parecircnteses de Dirac) entre cadeias simetrizadas Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais obtemos contraccedilotildees elementares do seguinte tipo geral

dxdYOSm(x)a1j(x) (jtl)agt(x) (jv)cd(Y) 6UkC(y)aVd(y) - (iHi)- (kHl) (186)

Onde S T U e V satildeo cadeias geneacutericas A aacutelgebra de correntes (154) nos diz que uma contraccedilatildeo il(x)jv(y) pode produzir um termo do tipo corrente (lo i)6(x - y) ou um termo de Schwinger Vamos discutir o primeiro tipo em cujo caso (186) produz quatro termos

dx [(aSal o attjaV) + WtfJtJ o ocirc-SjaV) +

(aSifJtJ o ataV) + (ocircTjfJtJ o aSav)] (187)Jkl

Podemos associar cada um dos quatro termos anteriores com uma das quatro possiacuteveis conshytraccedilotildees entre os dois pares de cadeias simetrizadas Na presenccedila de um termo de Schwinger devemos levar em conta contribuiccedilotildees extras envolvendo o intertwiner e integraccedilotildees parciais De qualquer maneira as contraccedilotildees entre cadeias podem ser resumidas pelas seguintes regras

Passo 1 Escolha

Ao calcularmos Q(m) Q(n) tomamos uma cadeia de Q(m) e outra de Q(n) Entatildeo noacutes separamos os componentes internos de correntes que queremos contrair Isto eacute simbolizado pelo diagrama geneacuterico abaixo

23

(b) A definiccedilatildeo algeacutebrica de cargas melhoradas eacute

(1o Q(n+l))ijkl = parte linear de Q)y Q~7) (176)

e notamos que a parte linear de Qiacutejl Q~7) vem exclusivamente de termos do tipo

I tb (Q1P (i)ka28Sal - (kBl)) (177)

(c) Usando a definiccedilatildeo de Q(l a aacutelgebra elementar de correntes e excluindo termos natildeo lineares verificamos que sua accedilatildeo sobre io eacute dada por

f dxQIY (jo)ko2iTSa-(kBI) = (I degfdX[i128S + j o2acirc-Uo28S) 2j81) (178) 1Jkl

~ ===i t---G+~ +2~ enquanto a accedilatildeo sobre il eacute descrita pela equaccedilatildeo

f dn QiacuteY (jJka28Sal - (kBI) = (1 degfdx [2ioj28-S + jo2acirc-U18S)1) (179) Jkl

t---GJ ===i 2--(~~

Alguns novos siacutembolos foram introduzidos acima ou seja para j derivada e identidade temos

i lti=gt reg

1 -1~a lti=gt -+ +- =- lti=gt -828 = 1 (l80)2 2

As expressotildees anteriores justificam a seguinte prescriccedilatildeo

i) Comeccedilamos com o diagrama de Q(n

ii) Trocamos o pedaccedilo da esquerda de cada uma das cadeias de acordo com as seguintes regras

(]- by t- + G--ltJ- + 2 reg+

bull by 2 + (]--fshy (181)

iii) Os diagramas resultantes correspondem agrave Q(n+l)

22

Reforccedilamos o fato que as regras de substituiccedilatildeo acima podem ser diretamente obtidas dos seguintes parecircntese baacutesicos

Qp (jO)kl = (lo j - 2ocircJoj - Ocircj)ijkl + (182)

Qiacute) (jhd = (lo Joj 2a)oi )iacutejkl + (183)

Aleacutem disso natildeo se deve esquecer dos viacutenculos satisfeitos pela corrente OtN) jl escritos como

[i jl+ == il +~ =Q (184)

2jjS = (jS + jocircS) 2=+2j- (185)

onde o semicirculo metade branco e metade preto siguifica que a identidade vale para o semishycirculo branco ou o preto Testamos a eficiecircncia deste meacutetodo comparando com o algoriacutetmos algeacutebrico expliacutecito na rer [103] levamos muito menos tempo e espaccedilo para construir as cargas melhoradas Por questotildees de clareza disponibilizamos alguns exemplos no apecircndice A

I Desenvolvemos tambeacutem uma teacutecnica diagramaacutetica para calcular a aacutelgebra propriamente dita Ela pode ser vista como um conjunto de regras de contraccedilatildeo entre as cadeias que correspondem agraves cargas Aleacutem disso ao se calcular a aacutelgebra das cargas natildeo locais temos que considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees (isto eacute parecircnteses de Dirac) entre cadeias simetrizadas Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais obtemos contraccedilotildees elementares do seguinte tipo geral

dxdYOSm(x)a1j(x) (jtl)agt(x) (jv)cd(Y) 6UkC(y)aVd(y) - (iHi)- (kHl) (186)

Onde S T U e V satildeo cadeias geneacutericas A aacutelgebra de correntes (154) nos diz que uma contraccedilatildeo il(x)jv(y) pode produzir um termo do tipo corrente (lo i)6(x - y) ou um termo de Schwinger Vamos discutir o primeiro tipo em cujo caso (186) produz quatro termos

dx [(aSal o attjaV) + WtfJtJ o ocirc-SjaV) +

(aSifJtJ o ataV) + (ocircTjfJtJ o aSav)] (187)Jkl

Podemos associar cada um dos quatro termos anteriores com uma das quatro possiacuteveis conshytraccedilotildees entre os dois pares de cadeias simetrizadas Na presenccedila de um termo de Schwinger devemos levar em conta contribuiccedilotildees extras envolvendo o intertwiner e integraccedilotildees parciais De qualquer maneira as contraccedilotildees entre cadeias podem ser resumidas pelas seguintes regras

Passo 1 Escolha

Ao calcularmos Q(m) Q(n) tomamos uma cadeia de Q(m) e outra de Q(n) Entatildeo noacutes separamos os componentes internos de correntes que queremos contrair Isto eacute simbolizado pelo diagrama geneacuterico abaixo

23

Reforccedilamos o fato que as regras de substituiccedilatildeo acima podem ser diretamente obtidas dos seguintes parecircntese baacutesicos

Qp (jO)kl = (lo j - 2ocircJoj - Ocircj)ijkl + (182)

Qiacute) (jhd = (lo Joj 2a)oi )iacutejkl + (183)

Aleacutem disso natildeo se deve esquecer dos viacutenculos satisfeitos pela corrente OtN) jl escritos como

[i jl+ == il +~ =Q (184)

2jjS = (jS + jocircS) 2=+2j- (185)

onde o semicirculo metade branco e metade preto siguifica que a identidade vale para o semishycirculo branco ou o preto Testamos a eficiecircncia deste meacutetodo comparando com o algoriacutetmos algeacutebrico expliacutecito na rer [103] levamos muito menos tempo e espaccedilo para construir as cargas melhoradas Por questotildees de clareza disponibilizamos alguns exemplos no apecircndice A

I Desenvolvemos tambeacutem uma teacutecnica diagramaacutetica para calcular a aacutelgebra propriamente dita Ela pode ser vista como um conjunto de regras de contraccedilatildeo entre as cadeias que correspondem agraves cargas Aleacutem disso ao se calcular a aacutelgebra das cargas natildeo locais temos que considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees (isto eacute parecircnteses de Dirac) entre cadeias simetrizadas Apoacutes algumas integraccedilotildees parciais obtemos contraccedilotildees elementares do seguinte tipo geral

dxdYOSm(x)a1j(x) (jtl)agt(x) (jv)cd(Y) 6UkC(y)aVd(y) - (iHi)- (kHl) (186)

Onde S T U e V satildeo cadeias geneacutericas A aacutelgebra de correntes (154) nos diz que uma contraccedilatildeo il(x)jv(y) pode produzir um termo do tipo corrente (lo i)6(x - y) ou um termo de Schwinger Vamos discutir o primeiro tipo em cujo caso (186) produz quatro termos

dx [(aSal o attjaV) + WtfJtJ o ocirc-SjaV) +

(aSifJtJ o ataV) + (ocircTjfJtJ o aSav)] (187)Jkl

Podemos associar cada um dos quatro termos anteriores com uma das quatro possiacuteveis conshytraccedilotildees entre os dois pares de cadeias simetrizadas Na presenccedila de um termo de Schwinger devemos levar em conta contribuiccedilotildees extras envolvendo o intertwiner e integraccedilotildees parciais De qualquer maneira as contraccedilotildees entre cadeias podem ser resumidas pelas seguintes regras

Passo 1 Escolha

Ao calcularmos Q(m) Q(n) tomamos uma cadeia de Q(m) e outra de Q(n) Entatildeo noacutes separamos os componentes internos de correntes que queremos contrair Isto eacute simbolizado pelo diagrama geneacuterico abaixo

23

--------------------------------~------

I ~ S ~ __ T U __ ~ v (188)

o semi-ciacuterculo semi preenchido representa jo ar jl genericamente

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Passo 2 Isolamento

Em cada cadeia devemos localizar os componentes de correntes escolhidos no passo 1 Isto foi expliacutecitamente feito em (186) por meio de integraccedilotildees parciais Em termos de diagramas satildeo obtidos invertendo-se algumas flechas ateacute que todas elas estejam apontando para o semi-ciacuterculo escolhido (isto eacute o componente de corrente que estamos isolando) Evenshytualmente um sinal negativo vai aparecer dependendo do nuacutemero de inversotildees Finalmente temos este tipo de diagramas

GJ ~~r~-G--uGF-_~ GJ (189)

Passo 3 Dobramento

O proacuteximo passo eacute apenas um dobramento graacutefico de cadeias como uma preparaccedilatildeo para a contraccedilatildeo final As cadeias de (189) devem ser dobradas da seguinte maneira

GJ-rir0vJ-~ (190)

Note que as sub-cadeias TeU foram transpostas conforme a equaccedilatildeo (189) De fato o dobramento graacutefico implica na transposiccedilatildeo como exemplificado a seguir

_Mmiddot~_I

-ccedil-D -r(1~11 ===_ I = I -1-~middotJ~middotmiddottJ ___ I __ bull~

--------- ~--- ~---I ~------~ I IIr _11 ~ ~ I __ I __ ~ (191)

onde os componentes da corrente transposta satildeo naturalmente representados por

t DJo = --G=-jo

t bull J1 = - - = -li (192)

25

Passo 4 Contraccedilatildeo

Finalmente fazemos a contraccedilatildeo em (190) de acordo com as regras a seguir que satildeo a traduccedilatildeo diagramaacutetica dos parecircnteses de Dirac (154)

-----1 )--( ~ --~--- )( ~ o t _____ _

-~~ --~~---

------1 ------ --- ------1

)( laquo

-2 li ~l-i

~ ~_w ____bull______

middot-----~I ------ ------1 - -- -

(- +2 shy) ~I

~t ______ ------_ (193)

Onde introduzimos um siacutembolo correspondente ao produto o

~ = j(AoB) = j(BoA) (194)

Por exemplo uma contraccedilatildeo tiacutepica entre os componentes jo poderia ser ~------I (sl middot------1

ccedil lu

) -~~v-shy

= j dx((JSotildet oacircttJolfV) (195)

Eacute claro que se deve repetir todos os passos para todas as possiacuteveis contraccedilotildees

A corrente jl obedece a outro viacutenculo [100] que envolve o produto 0

01 deg j) = O= 1 (196)

o qual deve tambeacutem ser levado em conta

Mencionamos que as contraccedilotildees elementares em (193) satildeo nada mais que a representaccedilatildeo graacutefica da aacutelgebra de correntes (154) onde os diagramas que conteacutem o campo intertwiner vecircm de termos de Schwinger seguidos de integraccedilotildees parciais Estas regras foram aplicadas para calcular vaacuterios parecircnteses e em todos os casos a aacutelgebra (164) foi confirmada Pode-se ver alguns exemplos no apecircndice A

O mais importante resultado desse procedimento graacutefico eacute que ele introduz uma maneira faacutecil e direta para a extensatildeo supersimeacutetrica - e possivelmente outras generalizaccedilotildees

26

14 O modelo Supersimeacutetrico

o modelo sigma natildeo linear supersimeacutetrico OtN) eacute definido [101] [108] pela Lagrangeana

1 i- 1 - 2 L = 2aL4gtflIi + 211Hi + 8(1I1Ii) (197)

onde i satildeo escalares e 1Ii satildeo feacutermions de Majorana que satisfazem os viacutenculos N N L f - 1 = O L i1liacute = O (198) i=l i=l

Tambeacutem temos uma corrente conservada OtN) JL que pode ser separada em partes bosocircnica e fermiocircnica

JL = iL + bL aLJL = O

(jL)ij = iaLj -)Liacute (199)

(bL)ij = -i1lYL1Ij

cuja curvatura obedece agrave seguinte equaccedilatildeo

Fpv = alJv - BvJL + 2[JL Jv ] = -(aLbv - Bvbl) (1100)

Mesmo que essa curvatura natildeo seja nula pode-se construir cargas conservadas natildeo locais a partir de JL [107] Aqui vamos usar o procedimento algeacutebrico para derivar estas cargas Eacute necessaacuterio iniciarmos a partir da aacutelgebra elementar de correntes O(N) algebra listada a seguir

Wolij(X) (jo)kl(Y) = [(10 io) - (j o bo)]ijkl(x)6(x - y) Wo)j(x) U)kl(Y) = (I o i)ijkl(X)Oacute(x - y) + (10 i)ijkl(Y)Oacute(x - y) W)j(x) U)kl(Y) = O

(boMX) (bohl(Y) = [(lobo) - (j o bo)Jjkl(X)Oacute(X - y) (bo)j(x) (b)kl(Y) = [(lo b) - (j o b))ijkl(X)Oacute(X - y) (1101)

(b)j(x) (b)kl(Y) = [(lobo) - (j o bo))ijkl(X)Oacute(x - y)

Wo)jj(X) (bo)ktly) = U o bo)jkl(X)Oacute(x - y) Wo)j(x) (bhdy) = (j ob)jkl(X)6(x - y) W)(x) (bohl(Y) =O W)j(x) (bhl(Y) O

onde o intertwiner e o produto o foram definidos em (155) e (156) A carga local OtN) e a primeira carga natildeo local satildeo dadas [107] pelas integrais

Q(O) = I dxjo ho)

Q(1) = I dxU + 2b + 2(io + bowlio + bo)) (1102)

27

Algumas outras cargas natildeo locais supersimeacutetricas padratildeo podem ser obtidas na liacuteteratura [107] [108] Entretanto como no caso bosocircnico estamos procurando por cargas melhoradas que satisfazem agrave uma aacutelgebra mais simples Usando o meacutetodo algeacutebrico proposto na rei [103] calculamos as cargas melhoradas e seus parecircnteses ateacute n = 3 encontrando a mesma aacutelgebra cuacutebica dada por (164) O calculo eacute muito maior do que para a teoria bosocircnica mas conseguimos desenvolver algumas regras graacuteficas que simplificam o nosso trabalho Este meacutetodo diagramaacutetico eacute uma extensatildeo direta daquele proposto para a teoria bosocircniacuteca Por exemplo pode-se mostrar que o step-generator supersimeacutetrico Q(l) satisfaz as seguintes relaccedilotildees algeacutebricas

QlJl (jo)kl = (10] - 281oio - 2otildeboi o - 8i) + (1103)

QW (j)kl = (Io 2M - 2otildeJoj 2otildeboil) + (1104)

Qiacutejl (bo)kl = (I o 2b 2otildeJobo) - 286obo) + (1105)

Qiacute])(b)kl = (102bo - 2otildeJob) -2810 b) + (1106)

Assim como no modelo bosocircnico (veja as eqs(181) (183)) estas relaccedilotildees nos levam agraves regras de transformaccedilotildees apropriadas para a construccedilatildeo de cargas Pode-se usar o seguinte procedimento iterativo

i) Propomos a notaccedilatildeo simboacutelica

jo~ a j ~

bo ~ ltl b ~ ~ (1107)

2Otildel~~ ~8=gt + 2

j~reg

iiacute) Tomamos o diagrama associado agrave Q(n) e substituiacutemos o pedaccedilo da esquerda de cada cadeia como segue

(1108)G- by t- + (-4 + ltJ--- + 2 reg+

t- by 2 - + G-t- + lt]-lt-f

lt]- by 2+- + ltJ--lt]- + C1---ltJshy

by 2lt]- + ltl ~ + Cl-++shy28

Passo 2 Isolamento

Em cada cadeia devemos localizar os componentes de correntes escolhidos no passo 1 Isto foi expliacutecitamente feito em (186) por meio de integraccedilotildees parciais Em termos de diagramas satildeo obtidos invertendo-se algumas flechas ateacute que todas elas estejam apontando para o semi-ciacuterculo escolhido (isto eacute o componente de corrente que estamos isolando) Evenshytualmente um sinal negativo vai aparecer dependendo do nuacutemero de inversotildees Finalmente temos este tipo de diagramas

GJ ~~r~-G--uGF-_~ GJ (189)

Passo 3 Dobramento

O proacuteximo passo eacute apenas um dobramento graacutefico de cadeias como uma preparaccedilatildeo para a contraccedilatildeo final As cadeias de (189) devem ser dobradas da seguinte maneira

GJ-rir0vJ-~ (190)

Note que as sub-cadeias TeU foram transpostas conforme a equaccedilatildeo (189) De fato o dobramento graacutefico implica na transposiccedilatildeo como exemplificado a seguir

_Mmiddot~_I

-ccedil-D -r(1~11 ===_ I = I -1-~middotJ~middotmiddottJ ___ I __ bull~

--------- ~--- ~---I ~------~ I IIr _11 ~ ~ I __ I __ ~ (191)

onde os componentes da corrente transposta satildeo naturalmente representados por

t DJo = --G=-jo

t bull J1 = - - = -li (192)

25

Passo 4 Contraccedilatildeo

Finalmente fazemos a contraccedilatildeo em (190) de acordo com as regras a seguir que satildeo a traduccedilatildeo diagramaacutetica dos parecircnteses de Dirac (154)

-----1 )--( ~ --~--- )( ~ o t _____ _

-~~ --~~---

------1 ------ --- ------1

)( laquo

-2 li ~l-i

~ ~_w ____bull______

middot-----~I ------ ------1 - -- -

(- +2 shy) ~I

~t ______ ------_ (193)

Onde introduzimos um siacutembolo correspondente ao produto o

~ = j(AoB) = j(BoA) (194)

Por exemplo uma contraccedilatildeo tiacutepica entre os componentes jo poderia ser ~------I (sl middot------1

ccedil lu

) -~~v-shy

= j dx((JSotildet oacircttJolfV) (195)

Eacute claro que se deve repetir todos os passos para todas as possiacuteveis contraccedilotildees

A corrente jl obedece a outro viacutenculo [100] que envolve o produto 0

01 deg j) = O= 1 (196)

o qual deve tambeacutem ser levado em conta

Mencionamos que as contraccedilotildees elementares em (193) satildeo nada mais que a representaccedilatildeo graacutefica da aacutelgebra de correntes (154) onde os diagramas que conteacutem o campo intertwiner vecircm de termos de Schwinger seguidos de integraccedilotildees parciais Estas regras foram aplicadas para calcular vaacuterios parecircnteses e em todos os casos a aacutelgebra (164) foi confirmada Pode-se ver alguns exemplos no apecircndice A

O mais importante resultado desse procedimento graacutefico eacute que ele introduz uma maneira faacutecil e direta para a extensatildeo supersimeacutetrica - e possivelmente outras generalizaccedilotildees

26

14 O modelo Supersimeacutetrico

o modelo sigma natildeo linear supersimeacutetrico OtN) eacute definido [101] [108] pela Lagrangeana

1 i- 1 - 2 L = 2aL4gtflIi + 211Hi + 8(1I1Ii) (197)

onde i satildeo escalares e 1Ii satildeo feacutermions de Majorana que satisfazem os viacutenculos N N L f - 1 = O L i1liacute = O (198) i=l i=l

Tambeacutem temos uma corrente conservada OtN) JL que pode ser separada em partes bosocircnica e fermiocircnica

JL = iL + bL aLJL = O

(jL)ij = iaLj -)Liacute (199)

(bL)ij = -i1lYL1Ij

cuja curvatura obedece agrave seguinte equaccedilatildeo

Fpv = alJv - BvJL + 2[JL Jv ] = -(aLbv - Bvbl) (1100)

Mesmo que essa curvatura natildeo seja nula pode-se construir cargas conservadas natildeo locais a partir de JL [107] Aqui vamos usar o procedimento algeacutebrico para derivar estas cargas Eacute necessaacuterio iniciarmos a partir da aacutelgebra elementar de correntes O(N) algebra listada a seguir

Wolij(X) (jo)kl(Y) = [(10 io) - (j o bo)]ijkl(x)6(x - y) Wo)j(x) U)kl(Y) = (I o i)ijkl(X)Oacute(x - y) + (10 i)ijkl(Y)Oacute(x - y) W)j(x) U)kl(Y) = O

(boMX) (bohl(Y) = [(lobo) - (j o bo)Jjkl(X)Oacute(X - y) (bo)j(x) (b)kl(Y) = [(lo b) - (j o b))ijkl(X)Oacute(X - y) (1101)

(b)j(x) (b)kl(Y) = [(lobo) - (j o bo))ijkl(X)Oacute(x - y)

Wo)jj(X) (bo)ktly) = U o bo)jkl(X)Oacute(x - y) Wo)j(x) (bhdy) = (j ob)jkl(X)6(x - y) W)(x) (bohl(Y) =O W)j(x) (bhl(Y) O

onde o intertwiner e o produto o foram definidos em (155) e (156) A carga local OtN) e a primeira carga natildeo local satildeo dadas [107] pelas integrais

Q(O) = I dxjo ho)

Q(1) = I dxU + 2b + 2(io + bowlio + bo)) (1102)

27

Algumas outras cargas natildeo locais supersimeacutetricas padratildeo podem ser obtidas na liacuteteratura [107] [108] Entretanto como no caso bosocircnico estamos procurando por cargas melhoradas que satisfazem agrave uma aacutelgebra mais simples Usando o meacutetodo algeacutebrico proposto na rei [103] calculamos as cargas melhoradas e seus parecircnteses ateacute n = 3 encontrando a mesma aacutelgebra cuacutebica dada por (164) O calculo eacute muito maior do que para a teoria bosocircnica mas conseguimos desenvolver algumas regras graacuteficas que simplificam o nosso trabalho Este meacutetodo diagramaacutetico eacute uma extensatildeo direta daquele proposto para a teoria bosocircniacuteca Por exemplo pode-se mostrar que o step-generator supersimeacutetrico Q(l) satisfaz as seguintes relaccedilotildees algeacutebricas

QlJl (jo)kl = (10] - 281oio - 2otildeboi o - 8i) + (1103)

QW (j)kl = (Io 2M - 2otildeJoj 2otildeboil) + (1104)

Qiacutejl (bo)kl = (I o 2b 2otildeJobo) - 286obo) + (1105)

Qiacute])(b)kl = (102bo - 2otildeJob) -2810 b) + (1106)

Assim como no modelo bosocircnico (veja as eqs(181) (183)) estas relaccedilotildees nos levam agraves regras de transformaccedilotildees apropriadas para a construccedilatildeo de cargas Pode-se usar o seguinte procedimento iterativo

i) Propomos a notaccedilatildeo simboacutelica

jo~ a j ~

bo ~ ltl b ~ ~ (1107)

2Otildel~~ ~8=gt + 2

j~reg

iiacute) Tomamos o diagrama associado agrave Q(n) e substituiacutemos o pedaccedilo da esquerda de cada cadeia como segue

(1108)G- by t- + (-4 + ltJ--- + 2 reg+

t- by 2 - + G-t- + lt]-lt-f

lt]- by 2+- + ltJ--lt]- + C1---ltJshy

by 2lt]- + ltl ~ + Cl-++shy28

Passo 4 Contraccedilatildeo

Finalmente fazemos a contraccedilatildeo em (190) de acordo com as regras a seguir que satildeo a traduccedilatildeo diagramaacutetica dos parecircnteses de Dirac (154)

-----1 )--( ~ --~--- )( ~ o t _____ _

-~~ --~~---

------1 ------ --- ------1

)( laquo

-2 li ~l-i

~ ~_w ____bull______

middot-----~I ------ ------1 - -- -

(- +2 shy) ~I

~t ______ ------_ (193)

Onde introduzimos um siacutembolo correspondente ao produto o

~ = j(AoB) = j(BoA) (194)

Por exemplo uma contraccedilatildeo tiacutepica entre os componentes jo poderia ser ~------I (sl middot------1

ccedil lu

) -~~v-shy

= j dx((JSotildet oacircttJolfV) (195)

Eacute claro que se deve repetir todos os passos para todas as possiacuteveis contraccedilotildees

A corrente jl obedece a outro viacutenculo [100] que envolve o produto 0

01 deg j) = O= 1 (196)

o qual deve tambeacutem ser levado em conta

Mencionamos que as contraccedilotildees elementares em (193) satildeo nada mais que a representaccedilatildeo graacutefica da aacutelgebra de correntes (154) onde os diagramas que conteacutem o campo intertwiner vecircm de termos de Schwinger seguidos de integraccedilotildees parciais Estas regras foram aplicadas para calcular vaacuterios parecircnteses e em todos os casos a aacutelgebra (164) foi confirmada Pode-se ver alguns exemplos no apecircndice A

O mais importante resultado desse procedimento graacutefico eacute que ele introduz uma maneira faacutecil e direta para a extensatildeo supersimeacutetrica - e possivelmente outras generalizaccedilotildees

26

14 O modelo Supersimeacutetrico

o modelo sigma natildeo linear supersimeacutetrico OtN) eacute definido [101] [108] pela Lagrangeana

1 i- 1 - 2 L = 2aL4gtflIi + 211Hi + 8(1I1Ii) (197)

onde i satildeo escalares e 1Ii satildeo feacutermions de Majorana que satisfazem os viacutenculos N N L f - 1 = O L i1liacute = O (198) i=l i=l

Tambeacutem temos uma corrente conservada OtN) JL que pode ser separada em partes bosocircnica e fermiocircnica

JL = iL + bL aLJL = O

(jL)ij = iaLj -)Liacute (199)

(bL)ij = -i1lYL1Ij

cuja curvatura obedece agrave seguinte equaccedilatildeo

Fpv = alJv - BvJL + 2[JL Jv ] = -(aLbv - Bvbl) (1100)

Mesmo que essa curvatura natildeo seja nula pode-se construir cargas conservadas natildeo locais a partir de JL [107] Aqui vamos usar o procedimento algeacutebrico para derivar estas cargas Eacute necessaacuterio iniciarmos a partir da aacutelgebra elementar de correntes O(N) algebra listada a seguir

Wolij(X) (jo)kl(Y) = [(10 io) - (j o bo)]ijkl(x)6(x - y) Wo)j(x) U)kl(Y) = (I o i)ijkl(X)Oacute(x - y) + (10 i)ijkl(Y)Oacute(x - y) W)j(x) U)kl(Y) = O

(boMX) (bohl(Y) = [(lobo) - (j o bo)Jjkl(X)Oacute(X - y) (bo)j(x) (b)kl(Y) = [(lo b) - (j o b))ijkl(X)Oacute(X - y) (1101)

(b)j(x) (b)kl(Y) = [(lobo) - (j o bo))ijkl(X)Oacute(x - y)

Wo)jj(X) (bo)ktly) = U o bo)jkl(X)Oacute(x - y) Wo)j(x) (bhdy) = (j ob)jkl(X)6(x - y) W)(x) (bohl(Y) =O W)j(x) (bhl(Y) O

onde o intertwiner e o produto o foram definidos em (155) e (156) A carga local OtN) e a primeira carga natildeo local satildeo dadas [107] pelas integrais

Q(O) = I dxjo ho)

Q(1) = I dxU + 2b + 2(io + bowlio + bo)) (1102)

27

Algumas outras cargas natildeo locais supersimeacutetricas padratildeo podem ser obtidas na liacuteteratura [107] [108] Entretanto como no caso bosocircnico estamos procurando por cargas melhoradas que satisfazem agrave uma aacutelgebra mais simples Usando o meacutetodo algeacutebrico proposto na rei [103] calculamos as cargas melhoradas e seus parecircnteses ateacute n = 3 encontrando a mesma aacutelgebra cuacutebica dada por (164) O calculo eacute muito maior do que para a teoria bosocircnica mas conseguimos desenvolver algumas regras graacuteficas que simplificam o nosso trabalho Este meacutetodo diagramaacutetico eacute uma extensatildeo direta daquele proposto para a teoria bosocircniacuteca Por exemplo pode-se mostrar que o step-generator supersimeacutetrico Q(l) satisfaz as seguintes relaccedilotildees algeacutebricas

QlJl (jo)kl = (10] - 281oio - 2otildeboi o - 8i) + (1103)

QW (j)kl = (Io 2M - 2otildeJoj 2otildeboil) + (1104)

Qiacutejl (bo)kl = (I o 2b 2otildeJobo) - 286obo) + (1105)

Qiacute])(b)kl = (102bo - 2otildeJob) -2810 b) + (1106)

Assim como no modelo bosocircnico (veja as eqs(181) (183)) estas relaccedilotildees nos levam agraves regras de transformaccedilotildees apropriadas para a construccedilatildeo de cargas Pode-se usar o seguinte procedimento iterativo

i) Propomos a notaccedilatildeo simboacutelica

jo~ a j ~

bo ~ ltl b ~ ~ (1107)

2Otildel~~ ~8=gt + 2

j~reg

iiacute) Tomamos o diagrama associado agrave Q(n) e substituiacutemos o pedaccedilo da esquerda de cada cadeia como segue

(1108)G- by t- + (-4 + ltJ--- + 2 reg+

t- by 2 - + G-t- + lt]-lt-f

lt]- by 2+- + ltJ--lt]- + C1---ltJshy

by 2lt]- + ltl ~ + Cl-++shy28

14 O modelo Supersimeacutetrico

o modelo sigma natildeo linear supersimeacutetrico OtN) eacute definido [101] [108] pela Lagrangeana

1 i- 1 - 2 L = 2aL4gtflIi + 211Hi + 8(1I1Ii) (197)

onde i satildeo escalares e 1Ii satildeo feacutermions de Majorana que satisfazem os viacutenculos N N L f - 1 = O L i1liacute = O (198) i=l i=l

Tambeacutem temos uma corrente conservada OtN) JL que pode ser separada em partes bosocircnica e fermiocircnica

JL = iL + bL aLJL = O

(jL)ij = iaLj -)Liacute (199)

(bL)ij = -i1lYL1Ij

cuja curvatura obedece agrave seguinte equaccedilatildeo

Fpv = alJv - BvJL + 2[JL Jv ] = -(aLbv - Bvbl) (1100)

Mesmo que essa curvatura natildeo seja nula pode-se construir cargas conservadas natildeo locais a partir de JL [107] Aqui vamos usar o procedimento algeacutebrico para derivar estas cargas Eacute necessaacuterio iniciarmos a partir da aacutelgebra elementar de correntes O(N) algebra listada a seguir

Wolij(X) (jo)kl(Y) = [(10 io) - (j o bo)]ijkl(x)6(x - y) Wo)j(x) U)kl(Y) = (I o i)ijkl(X)Oacute(x - y) + (10 i)ijkl(Y)Oacute(x - y) W)j(x) U)kl(Y) = O

(boMX) (bohl(Y) = [(lobo) - (j o bo)Jjkl(X)Oacute(X - y) (bo)j(x) (b)kl(Y) = [(lo b) - (j o b))ijkl(X)Oacute(X - y) (1101)

(b)j(x) (b)kl(Y) = [(lobo) - (j o bo))ijkl(X)Oacute(x - y)

Wo)jj(X) (bo)ktly) = U o bo)jkl(X)Oacute(x - y) Wo)j(x) (bhdy) = (j ob)jkl(X)6(x - y) W)(x) (bohl(Y) =O W)j(x) (bhl(Y) O

onde o intertwiner e o produto o foram definidos em (155) e (156) A carga local OtN) e a primeira carga natildeo local satildeo dadas [107] pelas integrais

Q(O) = I dxjo ho)

Q(1) = I dxU + 2b + 2(io + bowlio + bo)) (1102)

27

Algumas outras cargas natildeo locais supersimeacutetricas padratildeo podem ser obtidas na liacuteteratura [107] [108] Entretanto como no caso bosocircnico estamos procurando por cargas melhoradas que satisfazem agrave uma aacutelgebra mais simples Usando o meacutetodo algeacutebrico proposto na rei [103] calculamos as cargas melhoradas e seus parecircnteses ateacute n = 3 encontrando a mesma aacutelgebra cuacutebica dada por (164) O calculo eacute muito maior do que para a teoria bosocircnica mas conseguimos desenvolver algumas regras graacuteficas que simplificam o nosso trabalho Este meacutetodo diagramaacutetico eacute uma extensatildeo direta daquele proposto para a teoria bosocircniacuteca Por exemplo pode-se mostrar que o step-generator supersimeacutetrico Q(l) satisfaz as seguintes relaccedilotildees algeacutebricas

QlJl (jo)kl = (10] - 281oio - 2otildeboi o - 8i) + (1103)

QW (j)kl = (Io 2M - 2otildeJoj 2otildeboil) + (1104)

Qiacutejl (bo)kl = (I o 2b 2otildeJobo) - 286obo) + (1105)

Qiacute])(b)kl = (102bo - 2otildeJob) -2810 b) + (1106)

Assim como no modelo bosocircnico (veja as eqs(181) (183)) estas relaccedilotildees nos levam agraves regras de transformaccedilotildees apropriadas para a construccedilatildeo de cargas Pode-se usar o seguinte procedimento iterativo

i) Propomos a notaccedilatildeo simboacutelica

jo~ a j ~

bo ~ ltl b ~ ~ (1107)

2Otildel~~ ~8=gt + 2

j~reg

iiacute) Tomamos o diagrama associado agrave Q(n) e substituiacutemos o pedaccedilo da esquerda de cada cadeia como segue

(1108)G- by t- + (-4 + ltJ--- + 2 reg+

t- by 2 - + G-t- + lt]-lt-f

lt]- by 2+- + ltJ--lt]- + C1---ltJshy

by 2lt]- + ltl ~ + Cl-++shy28

Algumas outras cargas natildeo locais supersimeacutetricas padratildeo podem ser obtidas na liacuteteratura [107] [108] Entretanto como no caso bosocircnico estamos procurando por cargas melhoradas que satisfazem agrave uma aacutelgebra mais simples Usando o meacutetodo algeacutebrico proposto na rei [103] calculamos as cargas melhoradas e seus parecircnteses ateacute n = 3 encontrando a mesma aacutelgebra cuacutebica dada por (164) O calculo eacute muito maior do que para a teoria bosocircnica mas conseguimos desenvolver algumas regras graacuteficas que simplificam o nosso trabalho Este meacutetodo diagramaacutetico eacute uma extensatildeo direta daquele proposto para a teoria bosocircniacuteca Por exemplo pode-se mostrar que o step-generator supersimeacutetrico Q(l) satisfaz as seguintes relaccedilotildees algeacutebricas

QlJl (jo)kl = (10] - 281oio - 2otildeboi o - 8i) + (1103)

QW (j)kl = (Io 2M - 2otildeJoj 2otildeboil) + (1104)

Qiacutejl (bo)kl = (I o 2b 2otildeJobo) - 286obo) + (1105)

Qiacute])(b)kl = (102bo - 2otildeJob) -2810 b) + (1106)

Assim como no modelo bosocircnico (veja as eqs(181) (183)) estas relaccedilotildees nos levam agraves regras de transformaccedilotildees apropriadas para a construccedilatildeo de cargas Pode-se usar o seguinte procedimento iterativo

i) Propomos a notaccedilatildeo simboacutelica

jo~ a j ~

bo ~ ltl b ~ ~ (1107)

2Otildel~~ ~8=gt + 2

j~reg

iiacute) Tomamos o diagrama associado agrave Q(n) e substituiacutemos o pedaccedilo da esquerda de cada cadeia como segue

(1108)G- by t- + (-4 + ltJ--- + 2 reg+

t- by 2 - + G-t- + lt]-lt-f

lt]- by 2+- + ltJ--lt]- + C1---ltJshy

by 2lt]- + ltl ~ + Cl-++shy28

-------

Estas transformaccedilotildees satildeo uma traduccedilatildeo direta das eqs (1106)

iii) Depois de usar os viacutenculos sobre jp e bp teremos o diagrama de Q(n+1)

Para se calcular a aacutelgebra entre as cargas natildeo locais deve-se seguir o mesmo algoriacutetmo (escolha isolamento dobramento e contraccedilatildeo) usando as regras de contraccedilatildeo a seguir que a exemplo do modelo quiral satildeo a traduccedilatildeo diagramaacutetica dos parecircnteses de Dirac do modelo (1102)

)U( bullbull ~--r _ ~ ___

)~~ ______I

~~-----I

)(~ ______I

--

shy)( -~ 1______ -

_----shy

middotmiddotmiddotmiddotcmiddot- )--(-- I I = I I J I I I I)

- ____ ~_I~----I middot- _____ 1 ( ccedil ccedil -2 1-2

1

H-Q9-- __ 1-------------1 ______ I~

~------I

i +2

1---=-------- ~ middot------1

)~-

------1 ------ I)C

_--- _ _-----

r------l

-)(

------1~--~

_-----

r--- ___ I

)(____1 - ______

middot------1 --- -I-cgtltH

)~~ ______I _-----

------1 ------1

)~-o-)~ ~ ______I __

------1

______1 I I I ~ bull_---- ------~ _----~ ------ (1109)

que eacute a versatildeo graacutefica da aacutelgebra (1102) Temos tambeacutem um novo viacutenculo

bpj = jbp = O= 48J = ~ (1110)

para ser adicionado agrave lista em (184) (185) e (196)

29

)( )~

)--( -o

- --_

Usamos este procedimento para construir vaacuterias cargas e obtermos a sua aacutelgebra Obtishyvemos a aacutelgebra (164) Este eacute um dos principais resultados da tese confirmando conjecturas anteriores [103] [108)

Para completar a anaacutelise algeacutebrica consideramos a corrente e a carga supersimeacutetricas conservadas dadas por

Jp fPltPill ifiacute

Q= I dxJ (1111)

Usando as equaccedilotildees de movimento checamos que

QQ(n)=o n2O (1112)

que significa que toda carga natildeo local eacute invariante sob supersimetria on-shell - como jaacute destacado na ref [108) Assim as cargas natildeo locals do modelo sigma supersimeacutetrico satildeo todas bosocircnicas Entretando devemos reforccedilar que esta natildeo eacute uma propriedade geral por exemplo na ref [106) uma teoria supersimeacutetrica integraacutevel eacute obtida - a hierarquia supersimeacutetrica de dois b6sons - contendo cargas natildeo locais fermiocircnicas cuja aacutelgebra gradada exibe termos cuacutebicos similares agravequeles da eq (164) Pode ser muito interessante desenvolver regras graacuteficas para este tipo de modelo

15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) Este modelo consiste de feacuterminos de Majorana N-uplos que se transformam de acordo com a representaccedilatildeo fundamental do grupo OtN) com uma interaccedilatildeo quadraacutetica Sua Lagrangeana tem a forma [27]

i- 1 - 2 IGN = 2ifiacutefPif + 8(Wiif) (1113)

e pode ser considerada como o limite do campo bosocircnico nulo (ltPi -+ O) no modelo supershysimeacutetrico (197) - note que os viacutenculos (198) desaparecem A corrente de Noether associada agrave rotaccedilotildees OtN) eacute

(b)ij = -iacuteifiacutellifi ampb = O (1114)

e satisfaz a condiccedilatildeo de curvatura nula

ampIbv - ampgbl + [bl bu ] = O (1115)

e as relaccedilotildees algeacutebricas

(boj(x) (bohl(Y) = (10 bo)jjkl(X)6(x y) (boj(x) (bhZ(y) = (Io b)ijk(X)O(x - y) (1116)

(b)ij(X) (bhl(y) (10 bo)jkz(X)8(x - y)

Como anteriormente podemos contruir um nuacutemero infinito de correntes conservadas natildeo locais usando o algoriacutetmo de potencial consideramos uma corrente conservada B~n) e o correspondente potencial ccedil(n)

B(n) = euro lfdn) ~ IJV (1117)~

30

Entatildeo definimos a corrente B~n+ll como

Btn+ll = 2(8 + b)ccedil-(nl (1118)

As propriedades (1114) e (1115) implicam que B~n+ll eacute tambeacutem conservada Iniciando com BtO) = b obtemos um nuacutemero infinito de cargas conservadas Q(n) = f dx B~n) Apoacutes aplicar este algoriacutetmo para construir algumas delas eacute imediato checar que este meacutetodo eacute equivalente ao seguinte procedimento graacutefico escolhemos alguns siacutembolos para representar bo and b por exemplo

bo = ltI b = ~ (1119)

entatildeo tomamos a sequumlecircncia de cadeias associadas agrave Q(n j e usamos as regras de substituiccedilatildeo para pedaccedilos agrave esquerda

ltlshy iacutes replaced by 2 +- + ltI-ltJshyiacutes replaced by 2 ltl- + ltr++- (1120)

Por outro lado este eacute precisamente o limite Ji -+ O das regras de transformaccedilatildeo (1108) na teoria supersimeacutetrica

Isto fornece uma derivaccedilatildeo alternativa das regras graacuteficas para construir cargas no modelo Gross-Neveu Aleacutem disso implica que aquelas cargas definidas pelo algoriacutetmo (1118) satildeo de fato as cargas melhoradas e dessa forma elas devem obedecer agrave uma aacutelgebra cuacutebica (164)

Essa aacutelgebra a exemplo do modelo bosocircnico obedece a uma estrutura conhecida como Yangiana Como citamos anteriormente essa eacute uma estrutura do tipo Lie-Poisson e obedece agrave identidade de Jacobi garantindo assim que essa identidade tambeacutem seja obedecida para o modelo Gross-Neveu

31

Capiacutetulo 2

Algebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW

21 Algebra de correntes no modelo WZNW

Nosso ponto de partida eacute a bem conhecida accedilatildeo de WZNW a qual conteacutem duas parcelas

S = Sch + nSwz (21)

SCh eacute a accedilatildeo do modelo quiral comum

Sch = - 2~21 rfxrltr(g-Iocirclgg-Iocircvg) (22)

onde o campo baacutesico g(x) assume valores em um grupo de Lie simples G (podemos assumir G = O(Nraquo n eacute um inteiro e Swz eacute o termo de Wess-Zumino

Swz = 2- fI dr I d2xeacuteIVtr(g-locircrgirlocirc99-locircvg) (23)41r lo

(Aqui B eacute um contorno tri-dimensional apropriado de G e o campo estendido 9 eacute considerado constante fora de uma vizinhanccedila tubular I x [01) do contorno I de B T eacute a coordenada normal ao contorno) Este modelo conteacutem uma constante de acoplamento livre tal que para 2 -t 0 recuperamos o modelo quiral comum e para 2 = 41rjn o modelo WZNW conformalmente invariante

A accedilatildeo (21) tem uma invariatildencia global sob o grupo produto GL X GR o qual age sobre G de acordo com

-19 -t 9Lg9R (24)

Esta invariacircncia leva agraves correntes de Noether conservadas assumindo valores na aacutelgebra de Lie fh $ gn as quais podem ser decompostas como correntes agrave esquerda e agrave direita Para a proposta de escrever uma aacutelgebra de correntes eacute conveniente trabalhar com correntes covariantes Para fazecirc-lo devemos comeccedilar com as seguintes correntes natildeo conservadas agrave esquerda e agrave direita

middotL 1 Ocirc -I middotR 1 -lOcirc (2 )JI = - 2 199 Jilt = +29 9 5

32

cuja aacutelgebra para um grupo de Lie simples gerai foi derivada na ref[lOl] Aqui podemos nos limitar agrave aacutelgebra OtN) Vamos tambeacutem introduzir o paracircmetro

n)2 a= (26)

411 que aparece na definiccedilatildeo das correntes covariantes conservadas

J L ( ) Lv 1 ( ) -IfL = rjfLV + aeurofLV J - )2 rjfLv + aEfLV u gg

R ( )nv 1( ) -1ltlYJfL = rjfLV - aeacutefLV J = +)2 rjfLV aeacutefLv g u g (27)

Eacute bastante conveniente usar a notaccedilatildeo do produto o introduzida em [103) o qual eacute uma estrutura caracteriacutestica da aacutelgebra OtN)

(A o B)jkl =AikBjl - AiacutelBjk + AjlBik - AjkBil (28)

e escrever a aacutelgebra claacutessica de correntes [101] da seguinte maneira Para as correntes do tipo L obtemos

(Jt)j(x) (Jthl(Y) = (lo mukdx)o(x y) - a( oI)ijklo(x - y) 2

(J~)ij(x) (Jf)kdy) = ( o Jf)jkl(X)O(X - y) - (1 ~ ( ) (I o I)ijklO(X _ y)

(Jf)jj(x) (Jfht(y) = 2a(I o Jf)jkl(X)O(x - y) a2 (Io Jt)jkl(X)O(X - y) a(Io I)jklo (x - y)

enquanto para as R haacute apenas uma troca de sinal e a

(J~)ij(X) (J~hl(Y) = (I o J~)ijkl(X)O(X - y) + alI o I)ijkIO(X - y)

(J~)ij(X) (Jihl(Y) = (I o Ji)ijkl(X)O(X y) - (1 ~ ( 2

) (I o I)jklO(X - y)

(Jf)j(x) (Ji)kl(y) = -2a(I o Ji)jkl(X)O(X - y) - a2 (I o mijkl(X)O(X - y) + a(Io I)jkIO(X - y)

A aacutelgebra mista tem a seguinte forma

(Jt)ij(X) (J~)dy) = O

(J~Mx) (Jf)kl(Y) = -(1 laquo)(g o g)jjkl(Y)O(x - y) (Jf)j(x) (J~)kl(Y) -(1- ( 2 )(g o g)jjk(x)6(x - y) (Jf)jj(x) (Jfhly) = -a(l- ( 2 )(go g)jkl(Y)O(x - y)

+ a(1 - ( 2 )(g o g)jkl(X)O(x y)

Esta aacutelgebra eacute invariante sob a mudanccedila combinada L ++ R and a ++ -a Assim podemos nos concentrar em um uacutenico setor e facilmente estender os resultados para o outro Notamos a presenccedila dos termos de Schwinger tanto para os parecircnteses das componentes espacial como temporal cuja forma atual acreditamos ser dominada pelas propriedades natildeo esperadas das aacutelgebras que seratildeo apresentadas mais tarde neste capiacutetulo

33

22 Cargas Natildeo Locais

Pode-se facilmente checar que as correntes conservadas covariantes (JL) satisfazem uma condiccedilatildeo de curvatura nula

a JRL _ a JRL + )2 [JRL JRLJ = opl) Vp pV (29)

a qual implica na existecircncia de um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais tanto no setor left como no setor right Pode-se entatildeo usar o algoriacutetmo integro-diferencial de Breacutezin etal [92J para construir um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais Q(n) n = O 1 Aleacutem do gerador local O(N)

(Q(Oraquoij = Jdx (Jo)j (210)

lembramos tambeacutem a expressatildeo padratildeo da primeira carga natildeo local [27]

(Q(lraquoij = Jdx (JI - ajo + 2J08-1Jo)j (211)

Entretanto do ponto de vista algeacutebrico o conjunto de cargas gerado dessa maneira natildeo eacute necessariamente o mais adequado Na ref [103J apoacutes se estudar o modelo sigma natildeo linear mostrou-se que as cargas padratildeo obtidas do algoriacutetmo de Breacutezin etal podem ser recombinadas em um novo conjunto de cargas melhoradas cuja aacutelgebra eacute mais simples

ainda eacute uma aacutelgebra natildeo linear mas os termos natildeo lineares satildeo simplesmente cuacutebicos Assumindo essa simplicidade algeacutebrica como um criteacuterio guia as cargas melhoradas restantes satildeo construiacutedas a partir da proacutepria aacutelgebra usando Q(1) como um gerador do tipo step Este procedimento tornou-se possiacutevel devido agrave propriedade

Q(n+l) ex parte linear de Q(n) Q(l) (212)

Dessa maneira nossa tarefa eacute aplicar um procedimento algeacutebrico similar para o modelo WZNW e obter o conjunto correspondente de cargas natildeo locais melhoradas cuja aacutelgebra eacute supostamente tatildeo simples quanto possiacutevel Os caacutelculos envolvidos neste programa podem ser encurtados se usarmos o meacutetodo diagramaacutetico desenvolvido na ref [96] Ele consiste de uma representaccedilatildeo graacutefica de cargas e parecircnteses a qual incorpora correntes natildeo localishydades e regras de contraccedilatildeo em uma maneira mais manipulaacutevel As regras graacuteficas da ref [96J podem ser adaptadas ao modelo WZNW sem maiores dificuldades Os resultados satildeo discutiacutedos nas proacuteximas seccedilotildees

23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico

Os valores criacuteticos da constante de acoplamento para os quais o modelo eacute conformalmente invariante corresponde agrave a = plusmn1 Neste caso os componentes da corrente covariante satildeo quiralmente vinculados

- JL JR - JRJoL - 1 o - - 1 (213)

34

e as cargas natildeo locais covariantes podem ser escritas somente em termos da componente temporal Jo

Q(Oj = I dx (Jo)

Q(lj = I dx J02ocirc-1(Jo)

Q(n) I dxJ02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I raquo) (214)

De acordo com a terminologia proposta na ref [103] devemos dizer que as cargas criacuteticas satildeo saturadas o que significa apenas que cada carga natildeo local eacute composta de uma uacutenica cadeia das componentes temporais Jo8 ligadas pelo operador natildeo local Ocirc-I A aacutelgebra assim depende somente de Jo Jo e eacute derivada usando o meacutetodo graacutefico A aacutelgebra cuacutebica resultante eacute brevemente apresentada em termos de geradores da seguinte maneira

Q(ccedil) Q(jt) = (J(ccedil Jl) o Q(ccedil) Q(jtraquo (215)

onde ccedil e jt satildeo paratildemetros de expansatildeo no gerador de cargas definido por

00

Q(ccedil) = E ccediln+lQ(n) (216) n=O

e f eacute uma matriz dependente de dois paracircmetros

f(ccedil Jl) = 1 -_~ex(Ccedil~Jl) (1 - Q(ccedil)Q(jt)) (217)

Nesta foacutermula 1 eacute a matriz identidade N x N que leva agrave parte linear da aacutelgebra Por outro lado o termo quadraacutetico Q(Ccedil)Q(Jl) em f implica na parte cuacutebica na mesma aacutelgebra A parte linear foi derivada de maneira geral utilizando o meacutetodo graacutefico enquanto os termos cuacutebicos foram verificados ateacute a ordem n = 4 (assim a parte quadraacutetica em (217) deve ser considerada como um Ansatz)

Lembramos que ex plusmn1 na criticalidade e que os resultados acima satildeo entendidos como vaacutelidos apenas nesses valores Jaacute notamos que se simplesmente atribuiacutermos ex = O a aacutelgebra resultante deveria ser isomoacuterfica agrave aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear [103 96J Entretanto como mostramos na seccedilacirco 5 os casos ex plusmn1 exibem uma aacutelgebra autenticamente nova

24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico

No modelo sigma natildeo linear as seguintes coincidecircncias foram observadas as aacutelgebras das carshygas melhoradas e das cargas saturadas (natildeo conservadas) satildeo idecircnticas [103] Conjecturoushyse na ref [103J que a mesma propriedade deveria valer para o modelo WZNW isto eacute que a aacutelgebra (215) deveria ser obedecida para qualquer valor da constante ex de acoplamento Entretanto os seguintes resultados obtidos para o setor left mostram que a conjectura eacute

35

falsa noacutes de fato obtivemos uma aacutelgebra cuacutebica e alguns de seus parecircnteses satildeo listados abaixo

Q(0l Q(Ol = (I o Q(Ol)

Q(O) Q(1) = (I o Q(ll) 2a(I o Q(Ol)

Q(11Q(11 = (10 Q(21) - 4a(1 oQ(lraquo) (Q(OlQ(O) o Q(O))

Q(Ol Q(2l = (10 Q(2)) _ 2a(I o Q(ll) _ (1 _ a2)(I o Q(O))

Q(l) Q(2) = (I o Q(3raquo) _ 4a(I o Q(2)) _ (Q(1lQ(O) o Q(oJ) _ (Q(O)Q(O) o Q(ll) + 2a(Q(OlQ(Ol o Q(Ol)

Q(O)Q(3) = (10 Q(3raquo) 2a(I o Q(21) (1 - ( 2)(I o Q(ll) shya(1 - ( 2)(I o Q(Oraquo)

Q(ll Q(3J = (I o Q(4l) _ 4a(I o Q(3l) _ (Q(2)Q(O) o Q(Ol) _ (Q(l)Q(O) o Q(l) _ (Q(O)Q(O) o Q(2l) +

+ 2a(Q(1)Q(Ol o Q(Ol) + 2a(Q(OlQ(O) o Q(l)) + + 2(1 - ( 2)(Q(OlQ(O) o Q(O)

Q(2) Q(2l = (10 Q(4raquo) _ 4a(I o Q(3raquo) _ 3a(1 _ ( 2)(I o Q(1)) _

3a2 (1 ( 2)(I o Q(O)) _ (Q(OlQ(Ol o Q(2raquo) + 2a(Q(OlQ(lJ o Q(O)) + 2a(Q(11Q(O) o Q(O)) _

_ (Q(O)Q(l) o Q(ll) _ (Q(1)Q(O) o Q(lraquo) _

_ (Q(lJQ(ll o Q(O) + 4a(Q(OlQ(O) o Q(ll) (218)

mas noacutes natildeo encontramos uma mudanccedila linear da base tal que possamos retornar agrave aacutelgebra (215) para qualquer valor de a Aleacutem disso se esta aacutelgebra pudesse realmente ser escrita de uma forma similar agrave (215) entatildeo f(ccedilj) natildeo seria dada por uma expressatildeo tatildeo simples como (217) Aleacutem do mais natildeo temos um Ansatz para a aacutelgebra completa Apesar disso se necessaacuterio outras cargas e parecircnteses podem ser gerados de (218) usando o algoriacutetmo graacutefico

O caso do acoplamento nulo (a -t O) foi estudado separadamente porque neste limite esperamos obter uma aacutelgebra isomoacuterfica agravequela obtida no modelo sigma natildeo linear Consshytruiacutemos algumas cargas natildeo locais e calculamos vaacuterios parecircnteses ateacute Q(4) Q(2) e todos os parecircnteses obtidos satildeo representados pelo seguinte Ansatz

Q(ccedil) Q(j) = (f(ccedil j) o c(ccedil j)Q(ccedil) - c(j Ccedil)Q(j)) (219)

Q(ccedil) = f ccediln+lQ(n) f(ccedil j) = _1 1 _1 (I - Q(ccedil)Q(j)) (220) n=O

c(ccedil j) 1-e+ 2ccedil4 - ej2 + (221)

Maior nuacutemero de termos na expanccedilatildeo da funccedilatildeo c(ccedil j) exigiriam parecircnteses de ordens maioshyres Como podemos notar a aacutelgebra anterior eacute diferente daquela do modelo sigma natildeo linear [96 103] Esta divergecircncia estaacute diretamente relacionada agraves diferenccedilas entre os termos de Schwinger nas respectivas aacutelgebras de correntes

36

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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Sudarshan E Mukunda N Classical Dynamics A Modern Perspective Wiley NY1974

Sundermeyer K Constrained Systems Lecture Notes in Physics 169 Springer 1982

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[113) Bouwknegt P Schoutens Kj Nucl Phys B482 (1996) 345

[114] Bernard D Maassarani Z Mathieu P Mod Phys Lett A12 (1997) 535

[115) Gelfand IM Chilov GE Les Diacutestributions Ed Dunod Paris 1962

[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Usamos este procedimento para construir vaacuterias cargas e obtermos a sua aacutelgebra Obtishyvemos a aacutelgebra (164) Este eacute um dos principais resultados da tese confirmando conjecturas anteriores [103] [108)

Para completar a anaacutelise algeacutebrica consideramos a corrente e a carga supersimeacutetricas conservadas dadas por

Jp fPltPill ifiacute

Q= I dxJ (1111)

Usando as equaccedilotildees de movimento checamos que

QQ(n)=o n2O (1112)

que significa que toda carga natildeo local eacute invariante sob supersimetria on-shell - como jaacute destacado na ref [108) Assim as cargas natildeo locals do modelo sigma supersimeacutetrico satildeo todas bosocircnicas Entretando devemos reforccedilar que esta natildeo eacute uma propriedade geral por exemplo na ref [106) uma teoria supersimeacutetrica integraacutevel eacute obtida - a hierarquia supersimeacutetrica de dois b6sons - contendo cargas natildeo locais fermiocircnicas cuja aacutelgebra gradada exibe termos cuacutebicos similares agravequeles da eq (164) Pode ser muito interessante desenvolver regras graacuteficas para este tipo de modelo

15 Cargas melhoradas no modelo Gross-Neveu O(N) Este modelo consiste de feacuterminos de Majorana N-uplos que se transformam de acordo com a representaccedilatildeo fundamental do grupo OtN) com uma interaccedilatildeo quadraacutetica Sua Lagrangeana tem a forma [27]

i- 1 - 2 IGN = 2ifiacutefPif + 8(Wiif) (1113)

e pode ser considerada como o limite do campo bosocircnico nulo (ltPi -+ O) no modelo supershysimeacutetrico (197) - note que os viacutenculos (198) desaparecem A corrente de Noether associada agrave rotaccedilotildees OtN) eacute

(b)ij = -iacuteifiacutellifi ampb = O (1114)

e satisfaz a condiccedilatildeo de curvatura nula

ampIbv - ampgbl + [bl bu ] = O (1115)

e as relaccedilotildees algeacutebricas

(boj(x) (bohl(Y) = (10 bo)jjkl(X)6(x y) (boj(x) (bhZ(y) = (Io b)ijk(X)O(x - y) (1116)

(b)ij(X) (bhl(y) (10 bo)jkz(X)8(x - y)

Como anteriormente podemos contruir um nuacutemero infinito de correntes conservadas natildeo locais usando o algoriacutetmo de potencial consideramos uma corrente conservada B~n) e o correspondente potencial ccedil(n)

B(n) = euro lfdn) ~ IJV (1117)~

30

Entatildeo definimos a corrente B~n+ll como

Btn+ll = 2(8 + b)ccedil-(nl (1118)

As propriedades (1114) e (1115) implicam que B~n+ll eacute tambeacutem conservada Iniciando com BtO) = b obtemos um nuacutemero infinito de cargas conservadas Q(n) = f dx B~n) Apoacutes aplicar este algoriacutetmo para construir algumas delas eacute imediato checar que este meacutetodo eacute equivalente ao seguinte procedimento graacutefico escolhemos alguns siacutembolos para representar bo and b por exemplo

bo = ltI b = ~ (1119)

entatildeo tomamos a sequumlecircncia de cadeias associadas agrave Q(n j e usamos as regras de substituiccedilatildeo para pedaccedilos agrave esquerda

ltlshy iacutes replaced by 2 +- + ltI-ltJshyiacutes replaced by 2 ltl- + ltr++- (1120)

Por outro lado este eacute precisamente o limite Ji -+ O das regras de transformaccedilatildeo (1108) na teoria supersimeacutetrica

Isto fornece uma derivaccedilatildeo alternativa das regras graacuteficas para construir cargas no modelo Gross-Neveu Aleacutem disso implica que aquelas cargas definidas pelo algoriacutetmo (1118) satildeo de fato as cargas melhoradas e dessa forma elas devem obedecer agrave uma aacutelgebra cuacutebica (164)

Essa aacutelgebra a exemplo do modelo bosocircnico obedece a uma estrutura conhecida como Yangiana Como citamos anteriormente essa eacute uma estrutura do tipo Lie-Poisson e obedece agrave identidade de Jacobi garantindo assim que essa identidade tambeacutem seja obedecida para o modelo Gross-Neveu

31

Capiacutetulo 2

Algebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW

21 Algebra de correntes no modelo WZNW

Nosso ponto de partida eacute a bem conhecida accedilatildeo de WZNW a qual conteacutem duas parcelas

S = Sch + nSwz (21)

SCh eacute a accedilatildeo do modelo quiral comum

Sch = - 2~21 rfxrltr(g-Iocirclgg-Iocircvg) (22)

onde o campo baacutesico g(x) assume valores em um grupo de Lie simples G (podemos assumir G = O(Nraquo n eacute um inteiro e Swz eacute o termo de Wess-Zumino

Swz = 2- fI dr I d2xeacuteIVtr(g-locircrgirlocirc99-locircvg) (23)41r lo

(Aqui B eacute um contorno tri-dimensional apropriado de G e o campo estendido 9 eacute considerado constante fora de uma vizinhanccedila tubular I x [01) do contorno I de B T eacute a coordenada normal ao contorno) Este modelo conteacutem uma constante de acoplamento livre tal que para 2 -t 0 recuperamos o modelo quiral comum e para 2 = 41rjn o modelo WZNW conformalmente invariante

A accedilatildeo (21) tem uma invariatildencia global sob o grupo produto GL X GR o qual age sobre G de acordo com

-19 -t 9Lg9R (24)

Esta invariacircncia leva agraves correntes de Noether conservadas assumindo valores na aacutelgebra de Lie fh $ gn as quais podem ser decompostas como correntes agrave esquerda e agrave direita Para a proposta de escrever uma aacutelgebra de correntes eacute conveniente trabalhar com correntes covariantes Para fazecirc-lo devemos comeccedilar com as seguintes correntes natildeo conservadas agrave esquerda e agrave direita

middotL 1 Ocirc -I middotR 1 -lOcirc (2 )JI = - 2 199 Jilt = +29 9 5

32

cuja aacutelgebra para um grupo de Lie simples gerai foi derivada na ref[lOl] Aqui podemos nos limitar agrave aacutelgebra OtN) Vamos tambeacutem introduzir o paracircmetro

n)2 a= (26)

411 que aparece na definiccedilatildeo das correntes covariantes conservadas

J L ( ) Lv 1 ( ) -IfL = rjfLV + aeurofLV J - )2 rjfLv + aEfLV u gg

R ( )nv 1( ) -1ltlYJfL = rjfLV - aeacutefLV J = +)2 rjfLV aeacutefLv g u g (27)

Eacute bastante conveniente usar a notaccedilatildeo do produto o introduzida em [103) o qual eacute uma estrutura caracteriacutestica da aacutelgebra OtN)

(A o B)jkl =AikBjl - AiacutelBjk + AjlBik - AjkBil (28)

e escrever a aacutelgebra claacutessica de correntes [101] da seguinte maneira Para as correntes do tipo L obtemos

(Jt)j(x) (Jthl(Y) = (lo mukdx)o(x y) - a( oI)ijklo(x - y) 2

(J~)ij(x) (Jf)kdy) = ( o Jf)jkl(X)O(X - y) - (1 ~ ( ) (I o I)ijklO(X _ y)

(Jf)jj(x) (Jfht(y) = 2a(I o Jf)jkl(X)O(x - y) a2 (Io Jt)jkl(X)O(X - y) a(Io I)jklo (x - y)

enquanto para as R haacute apenas uma troca de sinal e a

(J~)ij(X) (J~hl(Y) = (I o J~)ijkl(X)O(X - y) + alI o I)ijkIO(X - y)

(J~)ij(X) (Jihl(Y) = (I o Ji)ijkl(X)O(X y) - (1 ~ ( 2

) (I o I)jklO(X - y)

(Jf)j(x) (Ji)kl(y) = -2a(I o Ji)jkl(X)O(X - y) - a2 (I o mijkl(X)O(X - y) + a(Io I)jkIO(X - y)

A aacutelgebra mista tem a seguinte forma

(Jt)ij(X) (J~)dy) = O

(J~Mx) (Jf)kl(Y) = -(1 laquo)(g o g)jjkl(Y)O(x - y) (Jf)j(x) (J~)kl(Y) -(1- ( 2 )(g o g)jjk(x)6(x - y) (Jf)jj(x) (Jfhly) = -a(l- ( 2 )(go g)jkl(Y)O(x - y)

+ a(1 - ( 2 )(g o g)jkl(X)O(x y)

Esta aacutelgebra eacute invariante sob a mudanccedila combinada L ++ R and a ++ -a Assim podemos nos concentrar em um uacutenico setor e facilmente estender os resultados para o outro Notamos a presenccedila dos termos de Schwinger tanto para os parecircnteses das componentes espacial como temporal cuja forma atual acreditamos ser dominada pelas propriedades natildeo esperadas das aacutelgebras que seratildeo apresentadas mais tarde neste capiacutetulo

33

22 Cargas Natildeo Locais

Pode-se facilmente checar que as correntes conservadas covariantes (JL) satisfazem uma condiccedilatildeo de curvatura nula

a JRL _ a JRL + )2 [JRL JRLJ = opl) Vp pV (29)

a qual implica na existecircncia de um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais tanto no setor left como no setor right Pode-se entatildeo usar o algoriacutetmo integro-diferencial de Breacutezin etal [92J para construir um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais Q(n) n = O 1 Aleacutem do gerador local O(N)

(Q(Oraquoij = Jdx (Jo)j (210)

lembramos tambeacutem a expressatildeo padratildeo da primeira carga natildeo local [27]

(Q(lraquoij = Jdx (JI - ajo + 2J08-1Jo)j (211)

Entretanto do ponto de vista algeacutebrico o conjunto de cargas gerado dessa maneira natildeo eacute necessariamente o mais adequado Na ref [103J apoacutes se estudar o modelo sigma natildeo linear mostrou-se que as cargas padratildeo obtidas do algoriacutetmo de Breacutezin etal podem ser recombinadas em um novo conjunto de cargas melhoradas cuja aacutelgebra eacute mais simples

ainda eacute uma aacutelgebra natildeo linear mas os termos natildeo lineares satildeo simplesmente cuacutebicos Assumindo essa simplicidade algeacutebrica como um criteacuterio guia as cargas melhoradas restantes satildeo construiacutedas a partir da proacutepria aacutelgebra usando Q(1) como um gerador do tipo step Este procedimento tornou-se possiacutevel devido agrave propriedade

Q(n+l) ex parte linear de Q(n) Q(l) (212)

Dessa maneira nossa tarefa eacute aplicar um procedimento algeacutebrico similar para o modelo WZNW e obter o conjunto correspondente de cargas natildeo locais melhoradas cuja aacutelgebra eacute supostamente tatildeo simples quanto possiacutevel Os caacutelculos envolvidos neste programa podem ser encurtados se usarmos o meacutetodo diagramaacutetico desenvolvido na ref [96] Ele consiste de uma representaccedilatildeo graacutefica de cargas e parecircnteses a qual incorpora correntes natildeo localishydades e regras de contraccedilatildeo em uma maneira mais manipulaacutevel As regras graacuteficas da ref [96J podem ser adaptadas ao modelo WZNW sem maiores dificuldades Os resultados satildeo discutiacutedos nas proacuteximas seccedilotildees

23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico

Os valores criacuteticos da constante de acoplamento para os quais o modelo eacute conformalmente invariante corresponde agrave a = plusmn1 Neste caso os componentes da corrente covariante satildeo quiralmente vinculados

- JL JR - JRJoL - 1 o - - 1 (213)

34

e as cargas natildeo locais covariantes podem ser escritas somente em termos da componente temporal Jo

Q(Oj = I dx (Jo)

Q(lj = I dx J02ocirc-1(Jo)

Q(n) I dxJ02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I raquo) (214)

De acordo com a terminologia proposta na ref [103] devemos dizer que as cargas criacuteticas satildeo saturadas o que significa apenas que cada carga natildeo local eacute composta de uma uacutenica cadeia das componentes temporais Jo8 ligadas pelo operador natildeo local Ocirc-I A aacutelgebra assim depende somente de Jo Jo e eacute derivada usando o meacutetodo graacutefico A aacutelgebra cuacutebica resultante eacute brevemente apresentada em termos de geradores da seguinte maneira

Q(ccedil) Q(jt) = (J(ccedil Jl) o Q(ccedil) Q(jtraquo (215)

onde ccedil e jt satildeo paratildemetros de expansatildeo no gerador de cargas definido por

00

Q(ccedil) = E ccediln+lQ(n) (216) n=O

e f eacute uma matriz dependente de dois paracircmetros

f(ccedil Jl) = 1 -_~ex(Ccedil~Jl) (1 - Q(ccedil)Q(jt)) (217)

Nesta foacutermula 1 eacute a matriz identidade N x N que leva agrave parte linear da aacutelgebra Por outro lado o termo quadraacutetico Q(Ccedil)Q(Jl) em f implica na parte cuacutebica na mesma aacutelgebra A parte linear foi derivada de maneira geral utilizando o meacutetodo graacutefico enquanto os termos cuacutebicos foram verificados ateacute a ordem n = 4 (assim a parte quadraacutetica em (217) deve ser considerada como um Ansatz)

Lembramos que ex plusmn1 na criticalidade e que os resultados acima satildeo entendidos como vaacutelidos apenas nesses valores Jaacute notamos que se simplesmente atribuiacutermos ex = O a aacutelgebra resultante deveria ser isomoacuterfica agrave aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear [103 96J Entretanto como mostramos na seccedilacirco 5 os casos ex plusmn1 exibem uma aacutelgebra autenticamente nova

24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico

No modelo sigma natildeo linear as seguintes coincidecircncias foram observadas as aacutelgebras das carshygas melhoradas e das cargas saturadas (natildeo conservadas) satildeo idecircnticas [103] Conjecturoushyse na ref [103J que a mesma propriedade deveria valer para o modelo WZNW isto eacute que a aacutelgebra (215) deveria ser obedecida para qualquer valor da constante ex de acoplamento Entretanto os seguintes resultados obtidos para o setor left mostram que a conjectura eacute

35

falsa noacutes de fato obtivemos uma aacutelgebra cuacutebica e alguns de seus parecircnteses satildeo listados abaixo

Q(0l Q(Ol = (I o Q(Ol)

Q(O) Q(1) = (I o Q(ll) 2a(I o Q(Ol)

Q(11Q(11 = (10 Q(21) - 4a(1 oQ(lraquo) (Q(OlQ(O) o Q(O))

Q(Ol Q(2l = (10 Q(2)) _ 2a(I o Q(ll) _ (1 _ a2)(I o Q(O))

Q(l) Q(2) = (I o Q(3raquo) _ 4a(I o Q(2)) _ (Q(1lQ(O) o Q(oJ) _ (Q(O)Q(O) o Q(ll) + 2a(Q(OlQ(Ol o Q(Ol)

Q(O)Q(3) = (10 Q(3raquo) 2a(I o Q(21) (1 - ( 2)(I o Q(ll) shya(1 - ( 2)(I o Q(Oraquo)

Q(ll Q(3J = (I o Q(4l) _ 4a(I o Q(3l) _ (Q(2)Q(O) o Q(Ol) _ (Q(l)Q(O) o Q(l) _ (Q(O)Q(O) o Q(2l) +

+ 2a(Q(1)Q(Ol o Q(Ol) + 2a(Q(OlQ(O) o Q(l)) + + 2(1 - ( 2)(Q(OlQ(O) o Q(O)

Q(2) Q(2l = (10 Q(4raquo) _ 4a(I o Q(3raquo) _ 3a(1 _ ( 2)(I o Q(1)) _

3a2 (1 ( 2)(I o Q(O)) _ (Q(OlQ(Ol o Q(2raquo) + 2a(Q(OlQ(lJ o Q(O)) + 2a(Q(11Q(O) o Q(O)) _

_ (Q(O)Q(l) o Q(ll) _ (Q(1)Q(O) o Q(lraquo) _

_ (Q(lJQ(ll o Q(O) + 4a(Q(OlQ(O) o Q(ll) (218)

mas noacutes natildeo encontramos uma mudanccedila linear da base tal que possamos retornar agrave aacutelgebra (215) para qualquer valor de a Aleacutem disso se esta aacutelgebra pudesse realmente ser escrita de uma forma similar agrave (215) entatildeo f(ccedilj) natildeo seria dada por uma expressatildeo tatildeo simples como (217) Aleacutem do mais natildeo temos um Ansatz para a aacutelgebra completa Apesar disso se necessaacuterio outras cargas e parecircnteses podem ser gerados de (218) usando o algoriacutetmo graacutefico

O caso do acoplamento nulo (a -t O) foi estudado separadamente porque neste limite esperamos obter uma aacutelgebra isomoacuterfica agravequela obtida no modelo sigma natildeo linear Consshytruiacutemos algumas cargas natildeo locais e calculamos vaacuterios parecircnteses ateacute Q(4) Q(2) e todos os parecircnteses obtidos satildeo representados pelo seguinte Ansatz

Q(ccedil) Q(j) = (f(ccedil j) o c(ccedil j)Q(ccedil) - c(j Ccedil)Q(j)) (219)

Q(ccedil) = f ccediln+lQ(n) f(ccedil j) = _1 1 _1 (I - Q(ccedil)Q(j)) (220) n=O

c(ccedil j) 1-e+ 2ccedil4 - ej2 + (221)

Maior nuacutemero de termos na expanccedilatildeo da funccedilatildeo c(ccedil j) exigiriam parecircnteses de ordens maioshyres Como podemos notar a aacutelgebra anterior eacute diferente daquela do modelo sigma natildeo linear [96 103] Esta divergecircncia estaacute diretamente relacionada agraves diferenccedilas entre os termos de Schwinger nas respectivas aacutelgebras de correntes

36

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Entatildeo definimos a corrente B~n+ll como

Btn+ll = 2(8 + b)ccedil-(nl (1118)

As propriedades (1114) e (1115) implicam que B~n+ll eacute tambeacutem conservada Iniciando com BtO) = b obtemos um nuacutemero infinito de cargas conservadas Q(n) = f dx B~n) Apoacutes aplicar este algoriacutetmo para construir algumas delas eacute imediato checar que este meacutetodo eacute equivalente ao seguinte procedimento graacutefico escolhemos alguns siacutembolos para representar bo and b por exemplo

bo = ltI b = ~ (1119)

entatildeo tomamos a sequumlecircncia de cadeias associadas agrave Q(n j e usamos as regras de substituiccedilatildeo para pedaccedilos agrave esquerda

ltlshy iacutes replaced by 2 +- + ltI-ltJshyiacutes replaced by 2 ltl- + ltr++- (1120)

Por outro lado este eacute precisamente o limite Ji -+ O das regras de transformaccedilatildeo (1108) na teoria supersimeacutetrica

Isto fornece uma derivaccedilatildeo alternativa das regras graacuteficas para construir cargas no modelo Gross-Neveu Aleacutem disso implica que aquelas cargas definidas pelo algoriacutetmo (1118) satildeo de fato as cargas melhoradas e dessa forma elas devem obedecer agrave uma aacutelgebra cuacutebica (164)

Essa aacutelgebra a exemplo do modelo bosocircnico obedece a uma estrutura conhecida como Yangiana Como citamos anteriormente essa eacute uma estrutura do tipo Lie-Poisson e obedece agrave identidade de Jacobi garantindo assim que essa identidade tambeacutem seja obedecida para o modelo Gross-Neveu

31

Capiacutetulo 2

Algebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW

21 Algebra de correntes no modelo WZNW

Nosso ponto de partida eacute a bem conhecida accedilatildeo de WZNW a qual conteacutem duas parcelas

S = Sch + nSwz (21)

SCh eacute a accedilatildeo do modelo quiral comum

Sch = - 2~21 rfxrltr(g-Iocirclgg-Iocircvg) (22)

onde o campo baacutesico g(x) assume valores em um grupo de Lie simples G (podemos assumir G = O(Nraquo n eacute um inteiro e Swz eacute o termo de Wess-Zumino

Swz = 2- fI dr I d2xeacuteIVtr(g-locircrgirlocirc99-locircvg) (23)41r lo

(Aqui B eacute um contorno tri-dimensional apropriado de G e o campo estendido 9 eacute considerado constante fora de uma vizinhanccedila tubular I x [01) do contorno I de B T eacute a coordenada normal ao contorno) Este modelo conteacutem uma constante de acoplamento livre tal que para 2 -t 0 recuperamos o modelo quiral comum e para 2 = 41rjn o modelo WZNW conformalmente invariante

A accedilatildeo (21) tem uma invariatildencia global sob o grupo produto GL X GR o qual age sobre G de acordo com

-19 -t 9Lg9R (24)

Esta invariacircncia leva agraves correntes de Noether conservadas assumindo valores na aacutelgebra de Lie fh $ gn as quais podem ser decompostas como correntes agrave esquerda e agrave direita Para a proposta de escrever uma aacutelgebra de correntes eacute conveniente trabalhar com correntes covariantes Para fazecirc-lo devemos comeccedilar com as seguintes correntes natildeo conservadas agrave esquerda e agrave direita

middotL 1 Ocirc -I middotR 1 -lOcirc (2 )JI = - 2 199 Jilt = +29 9 5

32

cuja aacutelgebra para um grupo de Lie simples gerai foi derivada na ref[lOl] Aqui podemos nos limitar agrave aacutelgebra OtN) Vamos tambeacutem introduzir o paracircmetro

n)2 a= (26)

411 que aparece na definiccedilatildeo das correntes covariantes conservadas

J L ( ) Lv 1 ( ) -IfL = rjfLV + aeurofLV J - )2 rjfLv + aEfLV u gg

R ( )nv 1( ) -1ltlYJfL = rjfLV - aeacutefLV J = +)2 rjfLV aeacutefLv g u g (27)

Eacute bastante conveniente usar a notaccedilatildeo do produto o introduzida em [103) o qual eacute uma estrutura caracteriacutestica da aacutelgebra OtN)

(A o B)jkl =AikBjl - AiacutelBjk + AjlBik - AjkBil (28)

e escrever a aacutelgebra claacutessica de correntes [101] da seguinte maneira Para as correntes do tipo L obtemos

(Jt)j(x) (Jthl(Y) = (lo mukdx)o(x y) - a( oI)ijklo(x - y) 2

(J~)ij(x) (Jf)kdy) = ( o Jf)jkl(X)O(X - y) - (1 ~ ( ) (I o I)ijklO(X _ y)

(Jf)jj(x) (Jfht(y) = 2a(I o Jf)jkl(X)O(x - y) a2 (Io Jt)jkl(X)O(X - y) a(Io I)jklo (x - y)

enquanto para as R haacute apenas uma troca de sinal e a

(J~)ij(X) (J~hl(Y) = (I o J~)ijkl(X)O(X - y) + alI o I)ijkIO(X - y)

(J~)ij(X) (Jihl(Y) = (I o Ji)ijkl(X)O(X y) - (1 ~ ( 2

) (I o I)jklO(X - y)

(Jf)j(x) (Ji)kl(y) = -2a(I o Ji)jkl(X)O(X - y) - a2 (I o mijkl(X)O(X - y) + a(Io I)jkIO(X - y)

A aacutelgebra mista tem a seguinte forma

(Jt)ij(X) (J~)dy) = O

(J~Mx) (Jf)kl(Y) = -(1 laquo)(g o g)jjkl(Y)O(x - y) (Jf)j(x) (J~)kl(Y) -(1- ( 2 )(g o g)jjk(x)6(x - y) (Jf)jj(x) (Jfhly) = -a(l- ( 2 )(go g)jkl(Y)O(x - y)

+ a(1 - ( 2 )(g o g)jkl(X)O(x y)

Esta aacutelgebra eacute invariante sob a mudanccedila combinada L ++ R and a ++ -a Assim podemos nos concentrar em um uacutenico setor e facilmente estender os resultados para o outro Notamos a presenccedila dos termos de Schwinger tanto para os parecircnteses das componentes espacial como temporal cuja forma atual acreditamos ser dominada pelas propriedades natildeo esperadas das aacutelgebras que seratildeo apresentadas mais tarde neste capiacutetulo

33

22 Cargas Natildeo Locais

Pode-se facilmente checar que as correntes conservadas covariantes (JL) satisfazem uma condiccedilatildeo de curvatura nula

a JRL _ a JRL + )2 [JRL JRLJ = opl) Vp pV (29)

a qual implica na existecircncia de um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais tanto no setor left como no setor right Pode-se entatildeo usar o algoriacutetmo integro-diferencial de Breacutezin etal [92J para construir um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais Q(n) n = O 1 Aleacutem do gerador local O(N)

(Q(Oraquoij = Jdx (Jo)j (210)

lembramos tambeacutem a expressatildeo padratildeo da primeira carga natildeo local [27]

(Q(lraquoij = Jdx (JI - ajo + 2J08-1Jo)j (211)

Entretanto do ponto de vista algeacutebrico o conjunto de cargas gerado dessa maneira natildeo eacute necessariamente o mais adequado Na ref [103J apoacutes se estudar o modelo sigma natildeo linear mostrou-se que as cargas padratildeo obtidas do algoriacutetmo de Breacutezin etal podem ser recombinadas em um novo conjunto de cargas melhoradas cuja aacutelgebra eacute mais simples

ainda eacute uma aacutelgebra natildeo linear mas os termos natildeo lineares satildeo simplesmente cuacutebicos Assumindo essa simplicidade algeacutebrica como um criteacuterio guia as cargas melhoradas restantes satildeo construiacutedas a partir da proacutepria aacutelgebra usando Q(1) como um gerador do tipo step Este procedimento tornou-se possiacutevel devido agrave propriedade

Q(n+l) ex parte linear de Q(n) Q(l) (212)

Dessa maneira nossa tarefa eacute aplicar um procedimento algeacutebrico similar para o modelo WZNW e obter o conjunto correspondente de cargas natildeo locais melhoradas cuja aacutelgebra eacute supostamente tatildeo simples quanto possiacutevel Os caacutelculos envolvidos neste programa podem ser encurtados se usarmos o meacutetodo diagramaacutetico desenvolvido na ref [96] Ele consiste de uma representaccedilatildeo graacutefica de cargas e parecircnteses a qual incorpora correntes natildeo localishydades e regras de contraccedilatildeo em uma maneira mais manipulaacutevel As regras graacuteficas da ref [96J podem ser adaptadas ao modelo WZNW sem maiores dificuldades Os resultados satildeo discutiacutedos nas proacuteximas seccedilotildees

23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico

Os valores criacuteticos da constante de acoplamento para os quais o modelo eacute conformalmente invariante corresponde agrave a = plusmn1 Neste caso os componentes da corrente covariante satildeo quiralmente vinculados

- JL JR - JRJoL - 1 o - - 1 (213)

34

e as cargas natildeo locais covariantes podem ser escritas somente em termos da componente temporal Jo

Q(Oj = I dx (Jo)

Q(lj = I dx J02ocirc-1(Jo)

Q(n) I dxJ02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I raquo) (214)

De acordo com a terminologia proposta na ref [103] devemos dizer que as cargas criacuteticas satildeo saturadas o que significa apenas que cada carga natildeo local eacute composta de uma uacutenica cadeia das componentes temporais Jo8 ligadas pelo operador natildeo local Ocirc-I A aacutelgebra assim depende somente de Jo Jo e eacute derivada usando o meacutetodo graacutefico A aacutelgebra cuacutebica resultante eacute brevemente apresentada em termos de geradores da seguinte maneira

Q(ccedil) Q(jt) = (J(ccedil Jl) o Q(ccedil) Q(jtraquo (215)

onde ccedil e jt satildeo paratildemetros de expansatildeo no gerador de cargas definido por

00

Q(ccedil) = E ccediln+lQ(n) (216) n=O

e f eacute uma matriz dependente de dois paracircmetros

f(ccedil Jl) = 1 -_~ex(Ccedil~Jl) (1 - Q(ccedil)Q(jt)) (217)

Nesta foacutermula 1 eacute a matriz identidade N x N que leva agrave parte linear da aacutelgebra Por outro lado o termo quadraacutetico Q(Ccedil)Q(Jl) em f implica na parte cuacutebica na mesma aacutelgebra A parte linear foi derivada de maneira geral utilizando o meacutetodo graacutefico enquanto os termos cuacutebicos foram verificados ateacute a ordem n = 4 (assim a parte quadraacutetica em (217) deve ser considerada como um Ansatz)

Lembramos que ex plusmn1 na criticalidade e que os resultados acima satildeo entendidos como vaacutelidos apenas nesses valores Jaacute notamos que se simplesmente atribuiacutermos ex = O a aacutelgebra resultante deveria ser isomoacuterfica agrave aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear [103 96J Entretanto como mostramos na seccedilacirco 5 os casos ex plusmn1 exibem uma aacutelgebra autenticamente nova

24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico

No modelo sigma natildeo linear as seguintes coincidecircncias foram observadas as aacutelgebras das carshygas melhoradas e das cargas saturadas (natildeo conservadas) satildeo idecircnticas [103] Conjecturoushyse na ref [103J que a mesma propriedade deveria valer para o modelo WZNW isto eacute que a aacutelgebra (215) deveria ser obedecida para qualquer valor da constante ex de acoplamento Entretanto os seguintes resultados obtidos para o setor left mostram que a conjectura eacute

35

falsa noacutes de fato obtivemos uma aacutelgebra cuacutebica e alguns de seus parecircnteses satildeo listados abaixo

Q(0l Q(Ol = (I o Q(Ol)

Q(O) Q(1) = (I o Q(ll) 2a(I o Q(Ol)

Q(11Q(11 = (10 Q(21) - 4a(1 oQ(lraquo) (Q(OlQ(O) o Q(O))

Q(Ol Q(2l = (10 Q(2)) _ 2a(I o Q(ll) _ (1 _ a2)(I o Q(O))

Q(l) Q(2) = (I o Q(3raquo) _ 4a(I o Q(2)) _ (Q(1lQ(O) o Q(oJ) _ (Q(O)Q(O) o Q(ll) + 2a(Q(OlQ(Ol o Q(Ol)

Q(O)Q(3) = (10 Q(3raquo) 2a(I o Q(21) (1 - ( 2)(I o Q(ll) shya(1 - ( 2)(I o Q(Oraquo)

Q(ll Q(3J = (I o Q(4l) _ 4a(I o Q(3l) _ (Q(2)Q(O) o Q(Ol) _ (Q(l)Q(O) o Q(l) _ (Q(O)Q(O) o Q(2l) +

+ 2a(Q(1)Q(Ol o Q(Ol) + 2a(Q(OlQ(O) o Q(l)) + + 2(1 - ( 2)(Q(OlQ(O) o Q(O)

Q(2) Q(2l = (10 Q(4raquo) _ 4a(I o Q(3raquo) _ 3a(1 _ ( 2)(I o Q(1)) _

3a2 (1 ( 2)(I o Q(O)) _ (Q(OlQ(Ol o Q(2raquo) + 2a(Q(OlQ(lJ o Q(O)) + 2a(Q(11Q(O) o Q(O)) _

_ (Q(O)Q(l) o Q(ll) _ (Q(1)Q(O) o Q(lraquo) _

_ (Q(lJQ(ll o Q(O) + 4a(Q(OlQ(O) o Q(ll) (218)

mas noacutes natildeo encontramos uma mudanccedila linear da base tal que possamos retornar agrave aacutelgebra (215) para qualquer valor de a Aleacutem disso se esta aacutelgebra pudesse realmente ser escrita de uma forma similar agrave (215) entatildeo f(ccedilj) natildeo seria dada por uma expressatildeo tatildeo simples como (217) Aleacutem do mais natildeo temos um Ansatz para a aacutelgebra completa Apesar disso se necessaacuterio outras cargas e parecircnteses podem ser gerados de (218) usando o algoriacutetmo graacutefico

O caso do acoplamento nulo (a -t O) foi estudado separadamente porque neste limite esperamos obter uma aacutelgebra isomoacuterfica agravequela obtida no modelo sigma natildeo linear Consshytruiacutemos algumas cargas natildeo locais e calculamos vaacuterios parecircnteses ateacute Q(4) Q(2) e todos os parecircnteses obtidos satildeo representados pelo seguinte Ansatz

Q(ccedil) Q(j) = (f(ccedil j) o c(ccedil j)Q(ccedil) - c(j Ccedil)Q(j)) (219)

Q(ccedil) = f ccediln+lQ(n) f(ccedil j) = _1 1 _1 (I - Q(ccedil)Q(j)) (220) n=O

c(ccedil j) 1-e+ 2ccedil4 - ej2 + (221)

Maior nuacutemero de termos na expanccedilatildeo da funccedilatildeo c(ccedil j) exigiriam parecircnteses de ordens maioshyres Como podemos notar a aacutelgebra anterior eacute diferente daquela do modelo sigma natildeo linear [96 103] Esta divergecircncia estaacute diretamente relacionada agraves diferenccedilas entre os termos de Schwinger nas respectivas aacutelgebras de correntes

36

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

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modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

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left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

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Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

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vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

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Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

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+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

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Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Capiacutetulo 2

Algebra das cargas natildeo locais no modelo WZNW

21 Algebra de correntes no modelo WZNW

Nosso ponto de partida eacute a bem conhecida accedilatildeo de WZNW a qual conteacutem duas parcelas

S = Sch + nSwz (21)

SCh eacute a accedilatildeo do modelo quiral comum

Sch = - 2~21 rfxrltr(g-Iocirclgg-Iocircvg) (22)

onde o campo baacutesico g(x) assume valores em um grupo de Lie simples G (podemos assumir G = O(Nraquo n eacute um inteiro e Swz eacute o termo de Wess-Zumino

Swz = 2- fI dr I d2xeacuteIVtr(g-locircrgirlocirc99-locircvg) (23)41r lo

(Aqui B eacute um contorno tri-dimensional apropriado de G e o campo estendido 9 eacute considerado constante fora de uma vizinhanccedila tubular I x [01) do contorno I de B T eacute a coordenada normal ao contorno) Este modelo conteacutem uma constante de acoplamento livre tal que para 2 -t 0 recuperamos o modelo quiral comum e para 2 = 41rjn o modelo WZNW conformalmente invariante

A accedilatildeo (21) tem uma invariatildencia global sob o grupo produto GL X GR o qual age sobre G de acordo com

-19 -t 9Lg9R (24)

Esta invariacircncia leva agraves correntes de Noether conservadas assumindo valores na aacutelgebra de Lie fh $ gn as quais podem ser decompostas como correntes agrave esquerda e agrave direita Para a proposta de escrever uma aacutelgebra de correntes eacute conveniente trabalhar com correntes covariantes Para fazecirc-lo devemos comeccedilar com as seguintes correntes natildeo conservadas agrave esquerda e agrave direita

middotL 1 Ocirc -I middotR 1 -lOcirc (2 )JI = - 2 199 Jilt = +29 9 5

32

cuja aacutelgebra para um grupo de Lie simples gerai foi derivada na ref[lOl] Aqui podemos nos limitar agrave aacutelgebra OtN) Vamos tambeacutem introduzir o paracircmetro

n)2 a= (26)

411 que aparece na definiccedilatildeo das correntes covariantes conservadas

J L ( ) Lv 1 ( ) -IfL = rjfLV + aeurofLV J - )2 rjfLv + aEfLV u gg

R ( )nv 1( ) -1ltlYJfL = rjfLV - aeacutefLV J = +)2 rjfLV aeacutefLv g u g (27)

Eacute bastante conveniente usar a notaccedilatildeo do produto o introduzida em [103) o qual eacute uma estrutura caracteriacutestica da aacutelgebra OtN)

(A o B)jkl =AikBjl - AiacutelBjk + AjlBik - AjkBil (28)

e escrever a aacutelgebra claacutessica de correntes [101] da seguinte maneira Para as correntes do tipo L obtemos

(Jt)j(x) (Jthl(Y) = (lo mukdx)o(x y) - a( oI)ijklo(x - y) 2

(J~)ij(x) (Jf)kdy) = ( o Jf)jkl(X)O(X - y) - (1 ~ ( ) (I o I)ijklO(X _ y)

(Jf)jj(x) (Jfht(y) = 2a(I o Jf)jkl(X)O(x - y) a2 (Io Jt)jkl(X)O(X - y) a(Io I)jklo (x - y)

enquanto para as R haacute apenas uma troca de sinal e a

(J~)ij(X) (J~hl(Y) = (I o J~)ijkl(X)O(X - y) + alI o I)ijkIO(X - y)

(J~)ij(X) (Jihl(Y) = (I o Ji)ijkl(X)O(X y) - (1 ~ ( 2

) (I o I)jklO(X - y)

(Jf)j(x) (Ji)kl(y) = -2a(I o Ji)jkl(X)O(X - y) - a2 (I o mijkl(X)O(X - y) + a(Io I)jkIO(X - y)

A aacutelgebra mista tem a seguinte forma

(Jt)ij(X) (J~)dy) = O

(J~Mx) (Jf)kl(Y) = -(1 laquo)(g o g)jjkl(Y)O(x - y) (Jf)j(x) (J~)kl(Y) -(1- ( 2 )(g o g)jjk(x)6(x - y) (Jf)jj(x) (Jfhly) = -a(l- ( 2 )(go g)jkl(Y)O(x - y)

+ a(1 - ( 2 )(g o g)jkl(X)O(x y)

Esta aacutelgebra eacute invariante sob a mudanccedila combinada L ++ R and a ++ -a Assim podemos nos concentrar em um uacutenico setor e facilmente estender os resultados para o outro Notamos a presenccedila dos termos de Schwinger tanto para os parecircnteses das componentes espacial como temporal cuja forma atual acreditamos ser dominada pelas propriedades natildeo esperadas das aacutelgebras que seratildeo apresentadas mais tarde neste capiacutetulo

33

22 Cargas Natildeo Locais

Pode-se facilmente checar que as correntes conservadas covariantes (JL) satisfazem uma condiccedilatildeo de curvatura nula

a JRL _ a JRL + )2 [JRL JRLJ = opl) Vp pV (29)

a qual implica na existecircncia de um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais tanto no setor left como no setor right Pode-se entatildeo usar o algoriacutetmo integro-diferencial de Breacutezin etal [92J para construir um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais Q(n) n = O 1 Aleacutem do gerador local O(N)

(Q(Oraquoij = Jdx (Jo)j (210)

lembramos tambeacutem a expressatildeo padratildeo da primeira carga natildeo local [27]

(Q(lraquoij = Jdx (JI - ajo + 2J08-1Jo)j (211)

Entretanto do ponto de vista algeacutebrico o conjunto de cargas gerado dessa maneira natildeo eacute necessariamente o mais adequado Na ref [103J apoacutes se estudar o modelo sigma natildeo linear mostrou-se que as cargas padratildeo obtidas do algoriacutetmo de Breacutezin etal podem ser recombinadas em um novo conjunto de cargas melhoradas cuja aacutelgebra eacute mais simples

ainda eacute uma aacutelgebra natildeo linear mas os termos natildeo lineares satildeo simplesmente cuacutebicos Assumindo essa simplicidade algeacutebrica como um criteacuterio guia as cargas melhoradas restantes satildeo construiacutedas a partir da proacutepria aacutelgebra usando Q(1) como um gerador do tipo step Este procedimento tornou-se possiacutevel devido agrave propriedade

Q(n+l) ex parte linear de Q(n) Q(l) (212)

Dessa maneira nossa tarefa eacute aplicar um procedimento algeacutebrico similar para o modelo WZNW e obter o conjunto correspondente de cargas natildeo locais melhoradas cuja aacutelgebra eacute supostamente tatildeo simples quanto possiacutevel Os caacutelculos envolvidos neste programa podem ser encurtados se usarmos o meacutetodo diagramaacutetico desenvolvido na ref [96] Ele consiste de uma representaccedilatildeo graacutefica de cargas e parecircnteses a qual incorpora correntes natildeo localishydades e regras de contraccedilatildeo em uma maneira mais manipulaacutevel As regras graacuteficas da ref [96J podem ser adaptadas ao modelo WZNW sem maiores dificuldades Os resultados satildeo discutiacutedos nas proacuteximas seccedilotildees

23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico

Os valores criacuteticos da constante de acoplamento para os quais o modelo eacute conformalmente invariante corresponde agrave a = plusmn1 Neste caso os componentes da corrente covariante satildeo quiralmente vinculados

- JL JR - JRJoL - 1 o - - 1 (213)

34

e as cargas natildeo locais covariantes podem ser escritas somente em termos da componente temporal Jo

Q(Oj = I dx (Jo)

Q(lj = I dx J02ocirc-1(Jo)

Q(n) I dxJ02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I raquo) (214)

De acordo com a terminologia proposta na ref [103] devemos dizer que as cargas criacuteticas satildeo saturadas o que significa apenas que cada carga natildeo local eacute composta de uma uacutenica cadeia das componentes temporais Jo8 ligadas pelo operador natildeo local Ocirc-I A aacutelgebra assim depende somente de Jo Jo e eacute derivada usando o meacutetodo graacutefico A aacutelgebra cuacutebica resultante eacute brevemente apresentada em termos de geradores da seguinte maneira

Q(ccedil) Q(jt) = (J(ccedil Jl) o Q(ccedil) Q(jtraquo (215)

onde ccedil e jt satildeo paratildemetros de expansatildeo no gerador de cargas definido por

00

Q(ccedil) = E ccediln+lQ(n) (216) n=O

e f eacute uma matriz dependente de dois paracircmetros

f(ccedil Jl) = 1 -_~ex(Ccedil~Jl) (1 - Q(ccedil)Q(jt)) (217)

Nesta foacutermula 1 eacute a matriz identidade N x N que leva agrave parte linear da aacutelgebra Por outro lado o termo quadraacutetico Q(Ccedil)Q(Jl) em f implica na parte cuacutebica na mesma aacutelgebra A parte linear foi derivada de maneira geral utilizando o meacutetodo graacutefico enquanto os termos cuacutebicos foram verificados ateacute a ordem n = 4 (assim a parte quadraacutetica em (217) deve ser considerada como um Ansatz)

Lembramos que ex plusmn1 na criticalidade e que os resultados acima satildeo entendidos como vaacutelidos apenas nesses valores Jaacute notamos que se simplesmente atribuiacutermos ex = O a aacutelgebra resultante deveria ser isomoacuterfica agrave aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear [103 96J Entretanto como mostramos na seccedilacirco 5 os casos ex plusmn1 exibem uma aacutelgebra autenticamente nova

24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico

No modelo sigma natildeo linear as seguintes coincidecircncias foram observadas as aacutelgebras das carshygas melhoradas e das cargas saturadas (natildeo conservadas) satildeo idecircnticas [103] Conjecturoushyse na ref [103J que a mesma propriedade deveria valer para o modelo WZNW isto eacute que a aacutelgebra (215) deveria ser obedecida para qualquer valor da constante ex de acoplamento Entretanto os seguintes resultados obtidos para o setor left mostram que a conjectura eacute

35

falsa noacutes de fato obtivemos uma aacutelgebra cuacutebica e alguns de seus parecircnteses satildeo listados abaixo

Q(0l Q(Ol = (I o Q(Ol)

Q(O) Q(1) = (I o Q(ll) 2a(I o Q(Ol)

Q(11Q(11 = (10 Q(21) - 4a(1 oQ(lraquo) (Q(OlQ(O) o Q(O))

Q(Ol Q(2l = (10 Q(2)) _ 2a(I o Q(ll) _ (1 _ a2)(I o Q(O))

Q(l) Q(2) = (I o Q(3raquo) _ 4a(I o Q(2)) _ (Q(1lQ(O) o Q(oJ) _ (Q(O)Q(O) o Q(ll) + 2a(Q(OlQ(Ol o Q(Ol)

Q(O)Q(3) = (10 Q(3raquo) 2a(I o Q(21) (1 - ( 2)(I o Q(ll) shya(1 - ( 2)(I o Q(Oraquo)

Q(ll Q(3J = (I o Q(4l) _ 4a(I o Q(3l) _ (Q(2)Q(O) o Q(Ol) _ (Q(l)Q(O) o Q(l) _ (Q(O)Q(O) o Q(2l) +

+ 2a(Q(1)Q(Ol o Q(Ol) + 2a(Q(OlQ(O) o Q(l)) + + 2(1 - ( 2)(Q(OlQ(O) o Q(O)

Q(2) Q(2l = (10 Q(4raquo) _ 4a(I o Q(3raquo) _ 3a(1 _ ( 2)(I o Q(1)) _

3a2 (1 ( 2)(I o Q(O)) _ (Q(OlQ(Ol o Q(2raquo) + 2a(Q(OlQ(lJ o Q(O)) + 2a(Q(11Q(O) o Q(O)) _

_ (Q(O)Q(l) o Q(ll) _ (Q(1)Q(O) o Q(lraquo) _

_ (Q(lJQ(ll o Q(O) + 4a(Q(OlQ(O) o Q(ll) (218)

mas noacutes natildeo encontramos uma mudanccedila linear da base tal que possamos retornar agrave aacutelgebra (215) para qualquer valor de a Aleacutem disso se esta aacutelgebra pudesse realmente ser escrita de uma forma similar agrave (215) entatildeo f(ccedilj) natildeo seria dada por uma expressatildeo tatildeo simples como (217) Aleacutem do mais natildeo temos um Ansatz para a aacutelgebra completa Apesar disso se necessaacuterio outras cargas e parecircnteses podem ser gerados de (218) usando o algoriacutetmo graacutefico

O caso do acoplamento nulo (a -t O) foi estudado separadamente porque neste limite esperamos obter uma aacutelgebra isomoacuterfica agravequela obtida no modelo sigma natildeo linear Consshytruiacutemos algumas cargas natildeo locais e calculamos vaacuterios parecircnteses ateacute Q(4) Q(2) e todos os parecircnteses obtidos satildeo representados pelo seguinte Ansatz

Q(ccedil) Q(j) = (f(ccedil j) o c(ccedil j)Q(ccedil) - c(j Ccedil)Q(j)) (219)

Q(ccedil) = f ccediln+lQ(n) f(ccedil j) = _1 1 _1 (I - Q(ccedil)Q(j)) (220) n=O

c(ccedil j) 1-e+ 2ccedil4 - ej2 + (221)

Maior nuacutemero de termos na expanccedilatildeo da funccedilatildeo c(ccedil j) exigiriam parecircnteses de ordens maioshyres Como podemos notar a aacutelgebra anterior eacute diferente daquela do modelo sigma natildeo linear [96 103] Esta divergecircncia estaacute diretamente relacionada agraves diferenccedilas entre os termos de Schwinger nas respectivas aacutelgebras de correntes

36

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

cuja aacutelgebra para um grupo de Lie simples gerai foi derivada na ref[lOl] Aqui podemos nos limitar agrave aacutelgebra OtN) Vamos tambeacutem introduzir o paracircmetro

n)2 a= (26)

411 que aparece na definiccedilatildeo das correntes covariantes conservadas

J L ( ) Lv 1 ( ) -IfL = rjfLV + aeurofLV J - )2 rjfLv + aEfLV u gg

R ( )nv 1( ) -1ltlYJfL = rjfLV - aeacutefLV J = +)2 rjfLV aeacutefLv g u g (27)

Eacute bastante conveniente usar a notaccedilatildeo do produto o introduzida em [103) o qual eacute uma estrutura caracteriacutestica da aacutelgebra OtN)

(A o B)jkl =AikBjl - AiacutelBjk + AjlBik - AjkBil (28)

e escrever a aacutelgebra claacutessica de correntes [101] da seguinte maneira Para as correntes do tipo L obtemos

(Jt)j(x) (Jthl(Y) = (lo mukdx)o(x y) - a( oI)ijklo(x - y) 2

(J~)ij(x) (Jf)kdy) = ( o Jf)jkl(X)O(X - y) - (1 ~ ( ) (I o I)ijklO(X _ y)

(Jf)jj(x) (Jfht(y) = 2a(I o Jf)jkl(X)O(x - y) a2 (Io Jt)jkl(X)O(X - y) a(Io I)jklo (x - y)

enquanto para as R haacute apenas uma troca de sinal e a

(J~)ij(X) (J~hl(Y) = (I o J~)ijkl(X)O(X - y) + alI o I)ijkIO(X - y)

(J~)ij(X) (Jihl(Y) = (I o Ji)ijkl(X)O(X y) - (1 ~ ( 2

) (I o I)jklO(X - y)

(Jf)j(x) (Ji)kl(y) = -2a(I o Ji)jkl(X)O(X - y) - a2 (I o mijkl(X)O(X - y) + a(Io I)jkIO(X - y)

A aacutelgebra mista tem a seguinte forma

(Jt)ij(X) (J~)dy) = O

(J~Mx) (Jf)kl(Y) = -(1 laquo)(g o g)jjkl(Y)O(x - y) (Jf)j(x) (J~)kl(Y) -(1- ( 2 )(g o g)jjk(x)6(x - y) (Jf)jj(x) (Jfhly) = -a(l- ( 2 )(go g)jkl(Y)O(x - y)

+ a(1 - ( 2 )(g o g)jkl(X)O(x y)

Esta aacutelgebra eacute invariante sob a mudanccedila combinada L ++ R and a ++ -a Assim podemos nos concentrar em um uacutenico setor e facilmente estender os resultados para o outro Notamos a presenccedila dos termos de Schwinger tanto para os parecircnteses das componentes espacial como temporal cuja forma atual acreditamos ser dominada pelas propriedades natildeo esperadas das aacutelgebras que seratildeo apresentadas mais tarde neste capiacutetulo

33

22 Cargas Natildeo Locais

Pode-se facilmente checar que as correntes conservadas covariantes (JL) satisfazem uma condiccedilatildeo de curvatura nula

a JRL _ a JRL + )2 [JRL JRLJ = opl) Vp pV (29)

a qual implica na existecircncia de um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais tanto no setor left como no setor right Pode-se entatildeo usar o algoriacutetmo integro-diferencial de Breacutezin etal [92J para construir um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais Q(n) n = O 1 Aleacutem do gerador local O(N)

(Q(Oraquoij = Jdx (Jo)j (210)

lembramos tambeacutem a expressatildeo padratildeo da primeira carga natildeo local [27]

(Q(lraquoij = Jdx (JI - ajo + 2J08-1Jo)j (211)

Entretanto do ponto de vista algeacutebrico o conjunto de cargas gerado dessa maneira natildeo eacute necessariamente o mais adequado Na ref [103J apoacutes se estudar o modelo sigma natildeo linear mostrou-se que as cargas padratildeo obtidas do algoriacutetmo de Breacutezin etal podem ser recombinadas em um novo conjunto de cargas melhoradas cuja aacutelgebra eacute mais simples

ainda eacute uma aacutelgebra natildeo linear mas os termos natildeo lineares satildeo simplesmente cuacutebicos Assumindo essa simplicidade algeacutebrica como um criteacuterio guia as cargas melhoradas restantes satildeo construiacutedas a partir da proacutepria aacutelgebra usando Q(1) como um gerador do tipo step Este procedimento tornou-se possiacutevel devido agrave propriedade

Q(n+l) ex parte linear de Q(n) Q(l) (212)

Dessa maneira nossa tarefa eacute aplicar um procedimento algeacutebrico similar para o modelo WZNW e obter o conjunto correspondente de cargas natildeo locais melhoradas cuja aacutelgebra eacute supostamente tatildeo simples quanto possiacutevel Os caacutelculos envolvidos neste programa podem ser encurtados se usarmos o meacutetodo diagramaacutetico desenvolvido na ref [96] Ele consiste de uma representaccedilatildeo graacutefica de cargas e parecircnteses a qual incorpora correntes natildeo localishydades e regras de contraccedilatildeo em uma maneira mais manipulaacutevel As regras graacuteficas da ref [96J podem ser adaptadas ao modelo WZNW sem maiores dificuldades Os resultados satildeo discutiacutedos nas proacuteximas seccedilotildees

23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico

Os valores criacuteticos da constante de acoplamento para os quais o modelo eacute conformalmente invariante corresponde agrave a = plusmn1 Neste caso os componentes da corrente covariante satildeo quiralmente vinculados

- JL JR - JRJoL - 1 o - - 1 (213)

34

e as cargas natildeo locais covariantes podem ser escritas somente em termos da componente temporal Jo

Q(Oj = I dx (Jo)

Q(lj = I dx J02ocirc-1(Jo)

Q(n) I dxJ02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I raquo) (214)

De acordo com a terminologia proposta na ref [103] devemos dizer que as cargas criacuteticas satildeo saturadas o que significa apenas que cada carga natildeo local eacute composta de uma uacutenica cadeia das componentes temporais Jo8 ligadas pelo operador natildeo local Ocirc-I A aacutelgebra assim depende somente de Jo Jo e eacute derivada usando o meacutetodo graacutefico A aacutelgebra cuacutebica resultante eacute brevemente apresentada em termos de geradores da seguinte maneira

Q(ccedil) Q(jt) = (J(ccedil Jl) o Q(ccedil) Q(jtraquo (215)

onde ccedil e jt satildeo paratildemetros de expansatildeo no gerador de cargas definido por

00

Q(ccedil) = E ccediln+lQ(n) (216) n=O

e f eacute uma matriz dependente de dois paracircmetros

f(ccedil Jl) = 1 -_~ex(Ccedil~Jl) (1 - Q(ccedil)Q(jt)) (217)

Nesta foacutermula 1 eacute a matriz identidade N x N que leva agrave parte linear da aacutelgebra Por outro lado o termo quadraacutetico Q(Ccedil)Q(Jl) em f implica na parte cuacutebica na mesma aacutelgebra A parte linear foi derivada de maneira geral utilizando o meacutetodo graacutefico enquanto os termos cuacutebicos foram verificados ateacute a ordem n = 4 (assim a parte quadraacutetica em (217) deve ser considerada como um Ansatz)

Lembramos que ex plusmn1 na criticalidade e que os resultados acima satildeo entendidos como vaacutelidos apenas nesses valores Jaacute notamos que se simplesmente atribuiacutermos ex = O a aacutelgebra resultante deveria ser isomoacuterfica agrave aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear [103 96J Entretanto como mostramos na seccedilacirco 5 os casos ex plusmn1 exibem uma aacutelgebra autenticamente nova

24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico

No modelo sigma natildeo linear as seguintes coincidecircncias foram observadas as aacutelgebras das carshygas melhoradas e das cargas saturadas (natildeo conservadas) satildeo idecircnticas [103] Conjecturoushyse na ref [103J que a mesma propriedade deveria valer para o modelo WZNW isto eacute que a aacutelgebra (215) deveria ser obedecida para qualquer valor da constante ex de acoplamento Entretanto os seguintes resultados obtidos para o setor left mostram que a conjectura eacute

35

falsa noacutes de fato obtivemos uma aacutelgebra cuacutebica e alguns de seus parecircnteses satildeo listados abaixo

Q(0l Q(Ol = (I o Q(Ol)

Q(O) Q(1) = (I o Q(ll) 2a(I o Q(Ol)

Q(11Q(11 = (10 Q(21) - 4a(1 oQ(lraquo) (Q(OlQ(O) o Q(O))

Q(Ol Q(2l = (10 Q(2)) _ 2a(I o Q(ll) _ (1 _ a2)(I o Q(O))

Q(l) Q(2) = (I o Q(3raquo) _ 4a(I o Q(2)) _ (Q(1lQ(O) o Q(oJ) _ (Q(O)Q(O) o Q(ll) + 2a(Q(OlQ(Ol o Q(Ol)

Q(O)Q(3) = (10 Q(3raquo) 2a(I o Q(21) (1 - ( 2)(I o Q(ll) shya(1 - ( 2)(I o Q(Oraquo)

Q(ll Q(3J = (I o Q(4l) _ 4a(I o Q(3l) _ (Q(2)Q(O) o Q(Ol) _ (Q(l)Q(O) o Q(l) _ (Q(O)Q(O) o Q(2l) +

+ 2a(Q(1)Q(Ol o Q(Ol) + 2a(Q(OlQ(O) o Q(l)) + + 2(1 - ( 2)(Q(OlQ(O) o Q(O)

Q(2) Q(2l = (10 Q(4raquo) _ 4a(I o Q(3raquo) _ 3a(1 _ ( 2)(I o Q(1)) _

3a2 (1 ( 2)(I o Q(O)) _ (Q(OlQ(Ol o Q(2raquo) + 2a(Q(OlQ(lJ o Q(O)) + 2a(Q(11Q(O) o Q(O)) _

_ (Q(O)Q(l) o Q(ll) _ (Q(1)Q(O) o Q(lraquo) _

_ (Q(lJQ(ll o Q(O) + 4a(Q(OlQ(O) o Q(ll) (218)

mas noacutes natildeo encontramos uma mudanccedila linear da base tal que possamos retornar agrave aacutelgebra (215) para qualquer valor de a Aleacutem disso se esta aacutelgebra pudesse realmente ser escrita de uma forma similar agrave (215) entatildeo f(ccedilj) natildeo seria dada por uma expressatildeo tatildeo simples como (217) Aleacutem do mais natildeo temos um Ansatz para a aacutelgebra completa Apesar disso se necessaacuterio outras cargas e parecircnteses podem ser gerados de (218) usando o algoriacutetmo graacutefico

O caso do acoplamento nulo (a -t O) foi estudado separadamente porque neste limite esperamos obter uma aacutelgebra isomoacuterfica agravequela obtida no modelo sigma natildeo linear Consshytruiacutemos algumas cargas natildeo locais e calculamos vaacuterios parecircnteses ateacute Q(4) Q(2) e todos os parecircnteses obtidos satildeo representados pelo seguinte Ansatz

Q(ccedil) Q(j) = (f(ccedil j) o c(ccedil j)Q(ccedil) - c(j Ccedil)Q(j)) (219)

Q(ccedil) = f ccediln+lQ(n) f(ccedil j) = _1 1 _1 (I - Q(ccedil)Q(j)) (220) n=O

c(ccedil j) 1-e+ 2ccedil4 - ej2 + (221)

Maior nuacutemero de termos na expanccedilatildeo da funccedilatildeo c(ccedil j) exigiriam parecircnteses de ordens maioshyres Como podemos notar a aacutelgebra anterior eacute diferente daquela do modelo sigma natildeo linear [96 103] Esta divergecircncia estaacute diretamente relacionada agraves diferenccedilas entre os termos de Schwinger nas respectivas aacutelgebras de correntes

36

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

22 Cargas Natildeo Locais

Pode-se facilmente checar que as correntes conservadas covariantes (JL) satisfazem uma condiccedilatildeo de curvatura nula

a JRL _ a JRL + )2 [JRL JRLJ = opl) Vp pV (29)

a qual implica na existecircncia de um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais tanto no setor left como no setor right Pode-se entatildeo usar o algoriacutetmo integro-diferencial de Breacutezin etal [92J para construir um conjunto infinito de cargas conservadas natildeo locais Q(n) n = O 1 Aleacutem do gerador local O(N)

(Q(Oraquoij = Jdx (Jo)j (210)

lembramos tambeacutem a expressatildeo padratildeo da primeira carga natildeo local [27]

(Q(lraquoij = Jdx (JI - ajo + 2J08-1Jo)j (211)

Entretanto do ponto de vista algeacutebrico o conjunto de cargas gerado dessa maneira natildeo eacute necessariamente o mais adequado Na ref [103J apoacutes se estudar o modelo sigma natildeo linear mostrou-se que as cargas padratildeo obtidas do algoriacutetmo de Breacutezin etal podem ser recombinadas em um novo conjunto de cargas melhoradas cuja aacutelgebra eacute mais simples

ainda eacute uma aacutelgebra natildeo linear mas os termos natildeo lineares satildeo simplesmente cuacutebicos Assumindo essa simplicidade algeacutebrica como um criteacuterio guia as cargas melhoradas restantes satildeo construiacutedas a partir da proacutepria aacutelgebra usando Q(1) como um gerador do tipo step Este procedimento tornou-se possiacutevel devido agrave propriedade

Q(n+l) ex parte linear de Q(n) Q(l) (212)

Dessa maneira nossa tarefa eacute aplicar um procedimento algeacutebrico similar para o modelo WZNW e obter o conjunto correspondente de cargas natildeo locais melhoradas cuja aacutelgebra eacute supostamente tatildeo simples quanto possiacutevel Os caacutelculos envolvidos neste programa podem ser encurtados se usarmos o meacutetodo diagramaacutetico desenvolvido na ref [96] Ele consiste de uma representaccedilatildeo graacutefica de cargas e parecircnteses a qual incorpora correntes natildeo localishydades e regras de contraccedilatildeo em uma maneira mais manipulaacutevel As regras graacuteficas da ref [96J podem ser adaptadas ao modelo WZNW sem maiores dificuldades Os resultados satildeo discutiacutedos nas proacuteximas seccedilotildees

23 Cargas e aacutelgebra no ponto criacutetico

Os valores criacuteticos da constante de acoplamento para os quais o modelo eacute conformalmente invariante corresponde agrave a = plusmn1 Neste caso os componentes da corrente covariante satildeo quiralmente vinculados

- JL JR - JRJoL - 1 o - - 1 (213)

34

e as cargas natildeo locais covariantes podem ser escritas somente em termos da componente temporal Jo

Q(Oj = I dx (Jo)

Q(lj = I dx J02ocirc-1(Jo)

Q(n) I dxJ02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I raquo) (214)

De acordo com a terminologia proposta na ref [103] devemos dizer que as cargas criacuteticas satildeo saturadas o que significa apenas que cada carga natildeo local eacute composta de uma uacutenica cadeia das componentes temporais Jo8 ligadas pelo operador natildeo local Ocirc-I A aacutelgebra assim depende somente de Jo Jo e eacute derivada usando o meacutetodo graacutefico A aacutelgebra cuacutebica resultante eacute brevemente apresentada em termos de geradores da seguinte maneira

Q(ccedil) Q(jt) = (J(ccedil Jl) o Q(ccedil) Q(jtraquo (215)

onde ccedil e jt satildeo paratildemetros de expansatildeo no gerador de cargas definido por

00

Q(ccedil) = E ccediln+lQ(n) (216) n=O

e f eacute uma matriz dependente de dois paracircmetros

f(ccedil Jl) = 1 -_~ex(Ccedil~Jl) (1 - Q(ccedil)Q(jt)) (217)

Nesta foacutermula 1 eacute a matriz identidade N x N que leva agrave parte linear da aacutelgebra Por outro lado o termo quadraacutetico Q(Ccedil)Q(Jl) em f implica na parte cuacutebica na mesma aacutelgebra A parte linear foi derivada de maneira geral utilizando o meacutetodo graacutefico enquanto os termos cuacutebicos foram verificados ateacute a ordem n = 4 (assim a parte quadraacutetica em (217) deve ser considerada como um Ansatz)

Lembramos que ex plusmn1 na criticalidade e que os resultados acima satildeo entendidos como vaacutelidos apenas nesses valores Jaacute notamos que se simplesmente atribuiacutermos ex = O a aacutelgebra resultante deveria ser isomoacuterfica agrave aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear [103 96J Entretanto como mostramos na seccedilacirco 5 os casos ex plusmn1 exibem uma aacutelgebra autenticamente nova

24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico

No modelo sigma natildeo linear as seguintes coincidecircncias foram observadas as aacutelgebras das carshygas melhoradas e das cargas saturadas (natildeo conservadas) satildeo idecircnticas [103] Conjecturoushyse na ref [103J que a mesma propriedade deveria valer para o modelo WZNW isto eacute que a aacutelgebra (215) deveria ser obedecida para qualquer valor da constante ex de acoplamento Entretanto os seguintes resultados obtidos para o setor left mostram que a conjectura eacute

35

falsa noacutes de fato obtivemos uma aacutelgebra cuacutebica e alguns de seus parecircnteses satildeo listados abaixo

Q(0l Q(Ol = (I o Q(Ol)

Q(O) Q(1) = (I o Q(ll) 2a(I o Q(Ol)

Q(11Q(11 = (10 Q(21) - 4a(1 oQ(lraquo) (Q(OlQ(O) o Q(O))

Q(Ol Q(2l = (10 Q(2)) _ 2a(I o Q(ll) _ (1 _ a2)(I o Q(O))

Q(l) Q(2) = (I o Q(3raquo) _ 4a(I o Q(2)) _ (Q(1lQ(O) o Q(oJ) _ (Q(O)Q(O) o Q(ll) + 2a(Q(OlQ(Ol o Q(Ol)

Q(O)Q(3) = (10 Q(3raquo) 2a(I o Q(21) (1 - ( 2)(I o Q(ll) shya(1 - ( 2)(I o Q(Oraquo)

Q(ll Q(3J = (I o Q(4l) _ 4a(I o Q(3l) _ (Q(2)Q(O) o Q(Ol) _ (Q(l)Q(O) o Q(l) _ (Q(O)Q(O) o Q(2l) +

+ 2a(Q(1)Q(Ol o Q(Ol) + 2a(Q(OlQ(O) o Q(l)) + + 2(1 - ( 2)(Q(OlQ(O) o Q(O)

Q(2) Q(2l = (10 Q(4raquo) _ 4a(I o Q(3raquo) _ 3a(1 _ ( 2)(I o Q(1)) _

3a2 (1 ( 2)(I o Q(O)) _ (Q(OlQ(Ol o Q(2raquo) + 2a(Q(OlQ(lJ o Q(O)) + 2a(Q(11Q(O) o Q(O)) _

_ (Q(O)Q(l) o Q(ll) _ (Q(1)Q(O) o Q(lraquo) _

_ (Q(lJQ(ll o Q(O) + 4a(Q(OlQ(O) o Q(ll) (218)

mas noacutes natildeo encontramos uma mudanccedila linear da base tal que possamos retornar agrave aacutelgebra (215) para qualquer valor de a Aleacutem disso se esta aacutelgebra pudesse realmente ser escrita de uma forma similar agrave (215) entatildeo f(ccedilj) natildeo seria dada por uma expressatildeo tatildeo simples como (217) Aleacutem do mais natildeo temos um Ansatz para a aacutelgebra completa Apesar disso se necessaacuterio outras cargas e parecircnteses podem ser gerados de (218) usando o algoriacutetmo graacutefico

O caso do acoplamento nulo (a -t O) foi estudado separadamente porque neste limite esperamos obter uma aacutelgebra isomoacuterfica agravequela obtida no modelo sigma natildeo linear Consshytruiacutemos algumas cargas natildeo locais e calculamos vaacuterios parecircnteses ateacute Q(4) Q(2) e todos os parecircnteses obtidos satildeo representados pelo seguinte Ansatz

Q(ccedil) Q(j) = (f(ccedil j) o c(ccedil j)Q(ccedil) - c(j Ccedil)Q(j)) (219)

Q(ccedil) = f ccediln+lQ(n) f(ccedil j) = _1 1 _1 (I - Q(ccedil)Q(j)) (220) n=O

c(ccedil j) 1-e+ 2ccedil4 - ej2 + (221)

Maior nuacutemero de termos na expanccedilatildeo da funccedilatildeo c(ccedil j) exigiriam parecircnteses de ordens maioshyres Como podemos notar a aacutelgebra anterior eacute diferente daquela do modelo sigma natildeo linear [96 103] Esta divergecircncia estaacute diretamente relacionada agraves diferenccedilas entre os termos de Schwinger nas respectivas aacutelgebras de correntes

36

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

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left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

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+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

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Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

e as cargas natildeo locais covariantes podem ser escritas somente em termos da componente temporal Jo

Q(Oj = I dx (Jo)

Q(lj = I dx J02ocirc-1(Jo)

Q(n) I dxJ02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I(J02ocirc-I raquo) (214)

De acordo com a terminologia proposta na ref [103] devemos dizer que as cargas criacuteticas satildeo saturadas o que significa apenas que cada carga natildeo local eacute composta de uma uacutenica cadeia das componentes temporais Jo8 ligadas pelo operador natildeo local Ocirc-I A aacutelgebra assim depende somente de Jo Jo e eacute derivada usando o meacutetodo graacutefico A aacutelgebra cuacutebica resultante eacute brevemente apresentada em termos de geradores da seguinte maneira

Q(ccedil) Q(jt) = (J(ccedil Jl) o Q(ccedil) Q(jtraquo (215)

onde ccedil e jt satildeo paratildemetros de expansatildeo no gerador de cargas definido por

00

Q(ccedil) = E ccediln+lQ(n) (216) n=O

e f eacute uma matriz dependente de dois paracircmetros

f(ccedil Jl) = 1 -_~ex(Ccedil~Jl) (1 - Q(ccedil)Q(jt)) (217)

Nesta foacutermula 1 eacute a matriz identidade N x N que leva agrave parte linear da aacutelgebra Por outro lado o termo quadraacutetico Q(Ccedil)Q(Jl) em f implica na parte cuacutebica na mesma aacutelgebra A parte linear foi derivada de maneira geral utilizando o meacutetodo graacutefico enquanto os termos cuacutebicos foram verificados ateacute a ordem n = 4 (assim a parte quadraacutetica em (217) deve ser considerada como um Ansatz)

Lembramos que ex plusmn1 na criticalidade e que os resultados acima satildeo entendidos como vaacutelidos apenas nesses valores Jaacute notamos que se simplesmente atribuiacutermos ex = O a aacutelgebra resultante deveria ser isomoacuterfica agrave aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear [103 96J Entretanto como mostramos na seccedilacirco 5 os casos ex plusmn1 exibem uma aacutelgebra autenticamente nova

24 Cargas Natildeo Locais fora do ponto criacutetico

No modelo sigma natildeo linear as seguintes coincidecircncias foram observadas as aacutelgebras das carshygas melhoradas e das cargas saturadas (natildeo conservadas) satildeo idecircnticas [103] Conjecturoushyse na ref [103J que a mesma propriedade deveria valer para o modelo WZNW isto eacute que a aacutelgebra (215) deveria ser obedecida para qualquer valor da constante ex de acoplamento Entretanto os seguintes resultados obtidos para o setor left mostram que a conjectura eacute

35

falsa noacutes de fato obtivemos uma aacutelgebra cuacutebica e alguns de seus parecircnteses satildeo listados abaixo

Q(0l Q(Ol = (I o Q(Ol)

Q(O) Q(1) = (I o Q(ll) 2a(I o Q(Ol)

Q(11Q(11 = (10 Q(21) - 4a(1 oQ(lraquo) (Q(OlQ(O) o Q(O))

Q(Ol Q(2l = (10 Q(2)) _ 2a(I o Q(ll) _ (1 _ a2)(I o Q(O))

Q(l) Q(2) = (I o Q(3raquo) _ 4a(I o Q(2)) _ (Q(1lQ(O) o Q(oJ) _ (Q(O)Q(O) o Q(ll) + 2a(Q(OlQ(Ol o Q(Ol)

Q(O)Q(3) = (10 Q(3raquo) 2a(I o Q(21) (1 - ( 2)(I o Q(ll) shya(1 - ( 2)(I o Q(Oraquo)

Q(ll Q(3J = (I o Q(4l) _ 4a(I o Q(3l) _ (Q(2)Q(O) o Q(Ol) _ (Q(l)Q(O) o Q(l) _ (Q(O)Q(O) o Q(2l) +

+ 2a(Q(1)Q(Ol o Q(Ol) + 2a(Q(OlQ(O) o Q(l)) + + 2(1 - ( 2)(Q(OlQ(O) o Q(O)

Q(2) Q(2l = (10 Q(4raquo) _ 4a(I o Q(3raquo) _ 3a(1 _ ( 2)(I o Q(1)) _

3a2 (1 ( 2)(I o Q(O)) _ (Q(OlQ(Ol o Q(2raquo) + 2a(Q(OlQ(lJ o Q(O)) + 2a(Q(11Q(O) o Q(O)) _

_ (Q(O)Q(l) o Q(ll) _ (Q(1)Q(O) o Q(lraquo) _

_ (Q(lJQ(ll o Q(O) + 4a(Q(OlQ(O) o Q(ll) (218)

mas noacutes natildeo encontramos uma mudanccedila linear da base tal que possamos retornar agrave aacutelgebra (215) para qualquer valor de a Aleacutem disso se esta aacutelgebra pudesse realmente ser escrita de uma forma similar agrave (215) entatildeo f(ccedilj) natildeo seria dada por uma expressatildeo tatildeo simples como (217) Aleacutem do mais natildeo temos um Ansatz para a aacutelgebra completa Apesar disso se necessaacuterio outras cargas e parecircnteses podem ser gerados de (218) usando o algoriacutetmo graacutefico

O caso do acoplamento nulo (a -t O) foi estudado separadamente porque neste limite esperamos obter uma aacutelgebra isomoacuterfica agravequela obtida no modelo sigma natildeo linear Consshytruiacutemos algumas cargas natildeo locais e calculamos vaacuterios parecircnteses ateacute Q(4) Q(2) e todos os parecircnteses obtidos satildeo representados pelo seguinte Ansatz

Q(ccedil) Q(j) = (f(ccedil j) o c(ccedil j)Q(ccedil) - c(j Ccedil)Q(j)) (219)

Q(ccedil) = f ccediln+lQ(n) f(ccedil j) = _1 1 _1 (I - Q(ccedil)Q(j)) (220) n=O

c(ccedil j) 1-e+ 2ccedil4 - ej2 + (221)

Maior nuacutemero de termos na expanccedilatildeo da funccedilatildeo c(ccedil j) exigiriam parecircnteses de ordens maioshyres Como podemos notar a aacutelgebra anterior eacute diferente daquela do modelo sigma natildeo linear [96 103] Esta divergecircncia estaacute diretamente relacionada agraves diferenccedilas entre os termos de Schwinger nas respectivas aacutelgebras de correntes

36

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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Hanson A Regge T Teitelboim C Accademia Nazionale dei Lincei Roma 1976

Sudarshan E Mukunda N Classical Dynamics A Modern Perspective Wiley NY1974

Sundermeyer K Constrained Systems Lecture Notes in Physics 169 Springer 1982

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[113) Bouwknegt P Schoutens Kj Nucl Phys B482 (1996) 345

[114] Bernard D Maassarani Z Mathieu P Mod Phys Lett A12 (1997) 535

[115) Gelfand IM Chilov GE Les Diacutestributions Ed Dunod Paris 1962

[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

falsa noacutes de fato obtivemos uma aacutelgebra cuacutebica e alguns de seus parecircnteses satildeo listados abaixo

Q(0l Q(Ol = (I o Q(Ol)

Q(O) Q(1) = (I o Q(ll) 2a(I o Q(Ol)

Q(11Q(11 = (10 Q(21) - 4a(1 oQ(lraquo) (Q(OlQ(O) o Q(O))

Q(Ol Q(2l = (10 Q(2)) _ 2a(I o Q(ll) _ (1 _ a2)(I o Q(O))

Q(l) Q(2) = (I o Q(3raquo) _ 4a(I o Q(2)) _ (Q(1lQ(O) o Q(oJ) _ (Q(O)Q(O) o Q(ll) + 2a(Q(OlQ(Ol o Q(Ol)

Q(O)Q(3) = (10 Q(3raquo) 2a(I o Q(21) (1 - ( 2)(I o Q(ll) shya(1 - ( 2)(I o Q(Oraquo)

Q(ll Q(3J = (I o Q(4l) _ 4a(I o Q(3l) _ (Q(2)Q(O) o Q(Ol) _ (Q(l)Q(O) o Q(l) _ (Q(O)Q(O) o Q(2l) +

+ 2a(Q(1)Q(Ol o Q(Ol) + 2a(Q(OlQ(O) o Q(l)) + + 2(1 - ( 2)(Q(OlQ(O) o Q(O)

Q(2) Q(2l = (10 Q(4raquo) _ 4a(I o Q(3raquo) _ 3a(1 _ ( 2)(I o Q(1)) _

3a2 (1 ( 2)(I o Q(O)) _ (Q(OlQ(Ol o Q(2raquo) + 2a(Q(OlQ(lJ o Q(O)) + 2a(Q(11Q(O) o Q(O)) _

_ (Q(O)Q(l) o Q(ll) _ (Q(1)Q(O) o Q(lraquo) _

_ (Q(lJQ(ll o Q(O) + 4a(Q(OlQ(O) o Q(ll) (218)

mas noacutes natildeo encontramos uma mudanccedila linear da base tal que possamos retornar agrave aacutelgebra (215) para qualquer valor de a Aleacutem disso se esta aacutelgebra pudesse realmente ser escrita de uma forma similar agrave (215) entatildeo f(ccedilj) natildeo seria dada por uma expressatildeo tatildeo simples como (217) Aleacutem do mais natildeo temos um Ansatz para a aacutelgebra completa Apesar disso se necessaacuterio outras cargas e parecircnteses podem ser gerados de (218) usando o algoriacutetmo graacutefico

O caso do acoplamento nulo (a -t O) foi estudado separadamente porque neste limite esperamos obter uma aacutelgebra isomoacuterfica agravequela obtida no modelo sigma natildeo linear Consshytruiacutemos algumas cargas natildeo locais e calculamos vaacuterios parecircnteses ateacute Q(4) Q(2) e todos os parecircnteses obtidos satildeo representados pelo seguinte Ansatz

Q(ccedil) Q(j) = (f(ccedil j) o c(ccedil j)Q(ccedil) - c(j Ccedil)Q(j)) (219)

Q(ccedil) = f ccediln+lQ(n) f(ccedil j) = _1 1 _1 (I - Q(ccedil)Q(j)) (220) n=O

c(ccedil j) 1-e+ 2ccedil4 - ej2 + (221)

Maior nuacutemero de termos na expanccedilatildeo da funccedilatildeo c(ccedil j) exigiriam parecircnteses de ordens maioshyres Como podemos notar a aacutelgebra anterior eacute diferente daquela do modelo sigma natildeo linear [96 103] Esta divergecircncia estaacute diretamente relacionada agraves diferenccedilas entre os termos de Schwinger nas respectivas aacutelgebras de correntes

36

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Na busca por um Ansatz geral nos perguntamos se poderiacuteamos usar a identidade de Jacobi para derivar uma forma fechada para a aacutelgebra cuacutebica dependente de a Isto de fato acontece no modelo sigma natildeo linear a partir da identidade de Jacobi com cargas de ordens baixas pode-se calcular parecircnteses de ordens mais altas Este procedimento eacute discutido na proacutexima seccedilatildeo

25 Sobre a Identidade de Jacobi

Baseados nas aacutelgebras disponiacuteveis noacutes nos colocamos a seguinte questatildeo assumindo uma aacutelgebra cuacutebica com a estrutura

Q() Q(Ji) = (f( Ji) Q Q(Ccedil) - QtL)) (222) f( Ji) = A( Ji)1 + E( Ji)Q(Ccedil)Q(Ji) (223)

quais viacutenculos poderia a identidade de Jacobi impor sobre as funccedilotildees a ser determinadas A( Ji) and E(C Ji) Para comeccedilar consideramos A e E como sendo funccedilotildees comuns de dois paracircmetros cuja resposta eacute

1 (224)A( Ji) = g() _ g(Ji)

E( Ji) = C x A( Ji) (225)

onde g(Ccedil) eacute alguma funccedilatildeo arbitraacuteria e C uma constante tambeacutem arbitraacuteria No modelo sigma natildeo linear obtido fazendo-se a = O na Lagrangeana do modelo WZNW obtivemos A = -E = 1(-1 - Ji-I) De fato esta soluccedilatildeo eacute uacutenica (i) Primeiramente por um reescalonamento geral do gerador Q(Ccedil) podemos atribuir o valor C = na soluccedilatildeo anterior tal que A = -E poderia ser assumida como uma relaccedilatildeo geral (ii) Por g() ser inversiacutevel e se a inversa g-I admite uma expansatildeo em seacuterie poderiacuteamos assumir = g-I() e definir outro gerador Q(Ccedil) =Q(g-I(Ccedil)) L ccedilQ(n) onde Q(n) seriam recombinaccedilotildees lineares das cargas natildeo locais originais Na base reparametrizada poderiacuteamos reproduzir a aacutelgebra cuacutebica do modelo sigma natildeo linear onde foi obtida a identidade de Jacobi Os caacutelculos constam no Apecircndice B

Entretanto o modelo criacutetico WZNW onde (a = 1) temos

A = -E =1- 2( + 11) (226)-I _ Ji-I

o qual natildeo pode ser escrito na forma (224) e dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (215) natildeo satisfaz agrave identidade de Jacobi Eacute importante notar que a quebra da identidade de Jacobi natildeo eacute causada pelos termos cuacutebicos de fato a parte linear da aacutelgebra eacute suficiente para quebraacute-la O seguinte teste tomado do modelo a = 1 exemplifica esta propriedade

QO) Ql) QI) + Q(l) Q(l) Q(O) + Q(I) QO) Q(l)lJ kl 1 mn kl mn 12 mn 1) t kl

4 [(liikli1m - liillikm)Q)~ + (lijl8km 8jk8Im)Ql~+

+(8jmlikn - 8kmlijn)Ql~) + (8in8km - lijm8kn)QJ~) +

+(liillikn - 8ik li1n )Q2 + (lijk8n - lijllikn)Ql~ +

+ (lijnli1m - lijm8In)Ql~) + (OacutelnOacuteim - OacuteiacutenOacutelm)Q~l (227)

37

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Apesar de um Ansatz geral para a aacutelgebra fora do ponto criacutetico natildeo ter sido obtido fizemos testes tambeacutem com os parecircnteses disponiacuteveis para a parte left ou seja

d Q(l) Q(ll Q(2) Q(ll Q(2l Q(ll Q(2) Q(ll Q(ll parte ltnear e lj kl mn + kl mn lj + mn ij kl

(OacuteikOacuteajOacutebl - OacuteUOacuteajOacutebk OacutejlOacuteaiOacutebk - OacutejkOacuteaiOacutebl) X

X [(I o Q(4l) - 8a(I o Q(3l) + 16a2(I o Q(2l ) - 3a(1- ( 2 )(I o Q(l)) + 3a2(1 - ( 2)(I o Q(Ol)]abmn +

+ (OacutekmOacutelllOacutebn -OacutebnOacuteIOacutebm + OacutelnOacutekOacutebm -OacutelmOacuteakOacutebn) X

X [(10 Q(4l ) - 8a(I o Q(3)) + 160-2(10 Q(2))]bij + (OacutemiOacutenOacutebj -OacutemjOacuteanOacutem+ OacutenjOacuteamOacutem-OacuteniOacutemOacutebj) X

x [(I o Q(4l ) - 80-(I o Q(3)) + 16a2(I o Q(2l)]bkl

-3a(1 - a2)(oacuteikoacutejOacutebl OacuteUOacutejOacutebk + OacutejlOacuteiOacutebk - OacutejkOacuteiOacutebl) x x [(10 Q(lraquo) + a(I o Q(O)]bmn] (228)

A conclusatildeo eacute que a identidade de Jacobi tambeacutem se quebra fora do ponto criacutetico e dessa forma para qualquer valor de a O Este eacute um dos mais importantes resultados da Tese

Essa quebra de identidade de Jacobi foi observada em [35] para o modelo sigma natildeo linear bosocircnico Como observamos no capiacutetulo anterior obtivemos uma recombinaccedilatildeo natural dessas cargas tal que a natildeo linearidade fica expliacutecita na parte cuacutebica da aacutelgebra e provamos que essa aacutelgebra de fato observa a identidade de Jacobi Para o modelo Wess Zumino tentamos tambeacutem obter uma recombinaccedilatildeo desse tipo nesse caso natildeo pudemos obter tal recombinaccedilatildeo nem ao menos para o setor left que estamos estudando

38

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

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• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Capiacutetulo 3

Conclusotildees

Simetrias satildeo as responsaacuteveis por traduzir equaccedilotildees fiacutesicas em termos de grandezas inteligishyveis De fato simetrias no espaccedilo-tempo levam a leis de conservaccedilatildeo de energia-momento e simetrias de rotaccedilatildeo implicam nas leis de conservaccedilatildeo de momento angular Em conjunto essas leis satildeo responsaacuteveis pela compreensatildeo da maioria das relaccedilotildees de fiacutesica claacutessica assim como de vaacuterios fenocircmenos de fiacutesica em geral

Em teorias de campos equaccedilotildees de conservaccedilatildeo de energia-momento satildeo primordiais toshydavia a complexidade da proacutepria teoria nos leva a procurar estruturas mais complexas para a descriccedilatildeo dos fenocircmenos Temos entatildeo simetrias de espaccedilo-tempo como as leis de consershyvaccedilatildeo claacutessicas sumarizadas pela simetria de Poincareacute e sua generalizaccedilatildeo supersimeacutetrica mas tambeacutem simetrias internas que caracterizam propriedades mais intriacutensecas das particushylares teorias de partiacuteculas elementares

Estruturas algeacutebricas satildeo com grande frequumlecircncia utilizadas para descrever simetrias inshyternas e com razoaacutevel sucesso como as leis de conservaccedilatildeo da carga e o uso de leis de conservaccedilatildeo anocircmala ateacute mesmo para previsocirces importantes como por exemplo no uso da leis de conservaccedilatildeo parcial da simetria axial (PCAC)

Outras simetrias tecircm sido tambeacutem abordadas e utilizadas com sucesso Eacute o caso de teorias com um nuacutemero infinito de leis de conservaccedilatildeo caracteriacutestica comum agrave uma certa classe de teorias bidimensionais ditas integraacuteveis e que se tem tentado (sem grande sushycesso) generalizar-se para dimensotildees maiores Neste caso torna-se de vital importacircncia a compreensatildeo da estrutura algeacutebrica de tais simetrias Este eacute o intuito do presente trabalho

Meacutetodos diagramaacuteticos satildeo frequumlentemente utilizados em Fiacutesica para simplificar caacutelculos muito longos e por esse motivo propusemos um procedimento graacutefico para construir e calcular a aacutelgebra de cargas natildeo locais nos modelos sigma natildeo lineares Aplicando esse procedimento fomos capazes de verificar que as cargas natildeo locais melhoradasno modelo sigma O(N) supersimeacutetrico obedecem agrave uma aacutelgebra cuacutebica do tipo Yangiana a qual pode ser expressa como na eq (166)

iacuteQjj (gt) Qkl(ll) = (J(gt 11) o Q(gt) - Q(Il))ijkl (31)

Pode-se facilmente recuperar o modelo bosocircnico da teoria supersimeacutetrica tomando o limite natildeo fermiocircnico li -+ O Aleacutem disso o modelo Gross-Neveu invariante por O(N) pode ser obtido apoacutes retirarmos os campos bosocircnicos (~i -+ O) As cargas melhoradas nesses

39

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

modelos podem ser diferentes mas sua aacutelgebra eacute exatamente a mesma No modelo GrossshyNeveu as cargas melhoradas poderiam ser calculadas por meio de dois diferentes meacutetodos e assim as correspondentes regras graacuteficas poderiam ser confirmadas e melhor compreendidas Esperamos obter uma confirmaccedilatildeo similar nos modelos sigma mas a presenccedila do campo intertwiner nos diagrama nos impediram de fazecirc-lo

Eacute tambeacutem interessante considerar a inclusatildeo dos termos de Wess-Zumino que modificam a aacutelgebra de correntes (veja por exemplo a ref [101][103]) e derivar as correspondentes regras graacuteficas

A inclusatildeo do termo de Wess Zumino natildeo destroe a integrabilidade claacutessica de modelos bosocircnicos (para a extensatildeo supersimeacutetrica tal conclusatildeo eacute duvidosa) O modelo de WZNW apesar de integraacutevel eacute bem mais difiacutecil de ser compreendido e em particular natildeo se pode escrever uma matriz S exata posto que os estados assintoacuteticos incluem partiacuteculas de massa zero (infrapartiacuteculas) o que impede em duas dimensotildees de se escrever mesmo uma canshydidata a uma matriz S fatorizada para o modelo em questatildeo Todavia o Ansatz de Bethe pode ser escrito e foi mesmo resolvido em termos da teoria fermiocircnica equivalente Assim o estudo da estrutura algeacutebrica subjacente a esta teoria torna-se ainda mais importante que no caso bosocircnico usual

Apesar das vaacuterias similaridades entre as aacutelgebras das cargas natildeo locais no modelo sigma natildeo linear OtN) e o modelo WZNW obtivemos uma importante diferenccedila o primeiro obeshydece agrave identidade de Jacobi enquanto o uacuteltimo natildeo Este resultado vem como uma surpresa porque esperaacutevamos obter uma aacutelgebra Yangiana claacutessica Aleacutem disso a presenccedila de Yanshygianos nos modelos WZNW eacute bem estabelecida [111][112][113][114] e Yangianos satisfazem agrave identidade de Jacobi Entatildeo observamos outras indicaccedilotildees de caracteriacutesticas natildeo Yangianas voltando a esses parecircnteses em (218) notamos que o gerador Q(l) natildeo se transforma da maneira usual sob a simetria OtN)

QO)Q(l) = (I oQ(lraquo) _ 2a(I o Q(Oraquo) (32)

exceto quando a = O Isto implica que uma das relaccedilotildees que definem um Yangiano - a propriedade agraves vezes chamada Y(2) - natildeo eacute em geral obedecida aqui Dessa forma a aacutelgebra cuacutebica (218) natildeo pode ser uma aacutelgebra Yangiana claacutessica O mesmo vale para a aacutelgebra (215) de cargas criacuteticas para as quais obtivemos um ansatz cuacutebico mais simples

Q(~) Q(J) = (f(~ J) o Q(~) - Q(J)) (33)

Como tal aacutelgebra natildeo obedece agrave identidade de Jacobi temos procurado por razotildees mais fundamentais desta violaccedilatildeo Uma importante diferenccedila entre as aacutelgebras de correntes do modelo sigma e as mesmas do modelo WZNW eacute a presenccedila (ou ausecircncia) do campo inshytertwiner nos termos de Schwinger no modelo sigma o comportamento de desaparecer do intertwiner conforme x -t plusmnoo elimina muitas contribuiccedilotildees de contorno Na aacutelgebra tais contribuiccedilotildees surgem como integrais do tipo

dxdy(joa-1jo)(X)r5I (X- y)-t0 devidoagravej(plusmnoo)-tO (34)

onde j eacute o campo intertwiner Usamos a prescriccedilatildeo JdxdyF(x)r5(x - y) C( [F(+oo)shyF(-00)] de acordo com a referecircncia [115] No modelo WZNW se considerarmos o setor

40

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

left ou right separadamente natildeo haveraacute intertwiner e as correspondentes integrais natildeo desapareceratildeo devido agrave contribuiccedilotildees das cargas de contorno

I dxdy (I o 8-1Jo)(x) eacute(x - y) ex (Io (8-1Jo)(+oo) - (8- 1Jo)(-(0raquo) = (I o Q(O) (35)

Por exemplo o segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (32) eacute originado desta forma Asshysim a aacutelgebra tem que ser mais complicada no modelo WZNW Sugerimos a referecircncia [116] para uma discussatildeo da quebra potencial da identidade de Jacobi por termos de Schwinger do tipo c-number em aacutelgebras de correntes apesar de uma interpretaccedilatildeo especiacutefica baseada na dinacircmica do campo WZNW ser mais valiosa para a anaacutelise

No que se refere agrave integrabilidade do modelo WZNW fora do ponto criacutetico noacutes natildeo exploramos completamente as consequecircncias desta intrigante violaccedilatildeo da identidade de Jashycobi Aleacutem disso o estudo algeacutebrico desta tese natildeo foi aleacutem do niacutevel claacutessico Extrapolando os exemplos do modelo sigma natildeo linear acreditamos que a aacutelgebra de comutadores das transformaccedilotildees infinitesimais de simetria - em outras palavras a accedilatildeo da simetria Yangiana - gerada pelas cargas natildeo locais atraveacutes de alguma accedilatildeo de Lie-Poisson poderia obedecer agrave identidade de Jacobi (veja a ref [103] para uma discussatildeo da accedilatildeo de Lie-Poissoll para geradores no modelo sigma natildeo linear) Neste caso a simetria Yangiana deve permanecer associativa como esperado Maiores investigaccedilotildees nesta direccedilatildeo estatildeo em progresso

41

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

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• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Apecircndice A

Exemplos de Regras diagramaacuteticas

A1 Cargas natildeo locais melhoradas Q(n) no modelo sigma natildeo linear

Vamos aplicar o meacutetodo graacutefico para construir algumas das cargas no modelo bosocircnico

i) n = O

De acordo com as nossas convenccedilotildees a carga local OtN) eacute representada por

Q(O) == I dxjo ~a (Al)

ii) n = 1

Usando as regras de transformaccedilatildeo (181) obtemos

G= +G-ltJ+2reg+ (A2)

o uacuteltimo termo eacute zero pois poderia ser entendido como Jdx ja = O Dessa maneira temos o seguinte diagrama para Q()

bull + G-ltJ (A3)

que significa que a primeira carga natildeo local eacute escrita como

Q(l) I dx U + 2joatl (A4)

iii) n = 2

Agora tomamos a primeira cadeia de Q(l) e aplicamos a regra de troca (181) de novo

2+~ (A5)

A seguir transformamos a segunda cadeia trocando seu lado esquerdo de acordo com (181)

42

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

(-(] lgt f--() + (--(-] + 2 reg+-(J (A6)

Lembrando a propriedade (180)

2 reg+-ltl =2 amp] (A7)

adicionando todas as contribuiccedilotildees e lembrando os viacutenculos

2( + amp])=2 (] (A8)

o diagrama resultante eacute

la + Cl--t + t--CI + CJ--(J-(] (A9)

e dessa forma a segunda carga natildeo local tem a forma

Q(2) dx [2jo + 2joacircJl + 2jacircJo + 4jo8UumlacircJo)] (AIO)

Note que o uso apropriado dos viacutenculos gerou uma carga livre de intertwiners Esta proprieshydade foi checada ateacute a ordem n = 7 e conjecturamos que ela valha para todo n

bullA2 Derivaccedilatildeo graacutefica de Q(l) Q(l) no modelo SIgma natildeo linear

Neste caso devemos considerar todas as possiacuteveis contraccedilotildees entre as sequecircncias de cadeias de Q(l)

bull + (-(] (AH)

que possui 9 contraccedilotildees no total Aqui estatildeo elas

i)

--- = O ~--_ (A12)

ii) -------

ri--~ shy shy ~+2~+2~~-----

= ~ ~~---~ (A13)

o primeiro termo corresponde agrave

~ = (10 2jefJQ) (A14)

e o segundo termo tem a forma

43

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

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• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

(A15)2~ = 2amp= j(I02JJo)

O uacuteltimo termo desaparece porque conteacutem uma derivada da matriz identidade

2~=2j(BlojfJJo) =0 (A16)

iH)

r--_--1 ---------~

(1 _(1 = -if~11 _ I I r-l I ~-__ 2 __ ---~

______ 1 = r + 2 r + 2 ~---~ = - - ______ 1

(A17) Note que calculamos dois sinais de menos um da inversatildeo de uma flecha (durante o passo de isolamento) e outro da transposiccedilatildeo de jo (durante o passo de dobramento) A primeira contribuiccedilatildeo eacute r = j(2acircJo oj) (A18)

A segunda desaparece devido ao viacutenculo (196)

2r=2i=o (A19)

e o terceiro termo eacute nulo tambeacutem

2 ~ = j dx(2acircJo o jaJ) = O (A20)

Vamos prosseguir com as contraccedilotildees restantes

iv)

(Hfj = - cHjj = - ~-_~ = - + 2 i = - (A21)

v)

i-ciRJri = i () = a19-~ =- o-l +2 ~ =~ +2 amp~ __I ~~~ ~ __ ~ (A22)

vi)

(J-LH = - ~-_-~ = -~ (A23)

44

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

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• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

vii)

----r- ~ (-Kr~= ~ _ bull ~ I

______ J (A24)

viii)

cccedil(fH = - oJ2r---~--] = - ~ -~ -- ~_ I CJ---ltJ--() shy_----- (A25)

ix)

foacuter~j = -0J2r---r = -a-r-- lt--

- - - - -- (A26)

Somando todas as contribuiccedilotildees natildeo nulas obtemos os seguintes termos

2~+~+kJ+~- ~- ~- o-r (A27)

A parte linear da aacutelgebra eacute claramente reconhecida

2~+~+kJ+~ = Jdx (Io 2jo + 2jo8t + 2j181 + 4joatildeUoatildeJo))

= (lo Q(2raquo) (A28)

Os trecircs diagramas restantes geram o termo de superfiacutecie que corresponde agrave parte cuacutebica da aacutelgebra

-~- ~ -o-r=- +o-q] (A29)

Jdx ~88 (atildeJoatildeJo o 81) = _(Q(O)Q(O) o Q(Oraquo)

Finalmente obtemos a resposta

Q(1) Q(l) = (lo Q(2raquo) _ (Q(O)Q(O) o Q(Oraquo) (A30)

Este exemplo comentado pode parecer muito longo natildeo revelando o poder efetivo do meacutetodo graacutefico Mas podemos assegurar que apoacutes praticar as regras de conveccedilatildeo - e exshycluindo os comentaacuterios intermediaacuterios - somos capazes de calcular muitos parecircnteses de Dirac de maneira bastante eficiente

45

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Apecircndice B

Derivaccedilatildeo da forma dos paracircmetros A(e M) e B(e M) que obedeccedilam a identidade de Jacobi

No Capiacutetulo 2 quando tratamos o modelo WZNW procuramos saber se a aacutelgebra deste modelo obedece agrave identidade de Jacobi a exemplo da aacutelgebra do modelo sigma natildeo linear obtida fazendo-se 1l O na Lagrangeana do modelo WZNW Apesar de natildeo termos a forma geral para a aacutelgebra sabemos que eacute formada por uma parte linear e uma cuacutebica a exemplo do modelo bosocircnico Propomos entatildeo a seguinte forma geral para a aacutelgebra em termos dos paracircmetros A(ccedil -L) e B(ccedil -L) (223)

Q(ccedil) Q(-L) (J(ccedil -L) o Q(ccedil) - Q(-L)) f (f -L) = A(ccedil -L)I + B(f -L)Q(f)Q(-L) (RI)

Procuramos entatildeo conhecer a forma geral desses paracircmetros e os viacutenculos entre eles de maneira que a aacutelgebra (BI) obedeccedila agrave identidade de Jacobi Para isso impomos a identidade de Jacobi para essa aacutelgebra dada por

Qij(A) Qkl(-L) Qmn(m + Qkl(-L) Qmn(m Qij(A) + Qmn(f)Qj(A)Qkl(-L) = O bull (R2)

Devido a forma geral que escolhemos para a perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra (BI) a equaccedilatildeo final vai conter apenas termos lineares cuacutebicos e quiacutentuplos cujos coeficiente deveratildeo ser separadamente anulados

Introduzindo a aacutelgebra das cargas e a forma do paracircmetro f (r -L) (RI) na identidade de Jacobi (R2) obtemos a equaccedilatildeo

([B(A -L)[[(A(A f)oimQpn(A) - A(A Ccedil)OimQpn(Ccedil) +B(A ccedil)Qir(A)Qrm(f)Qpn(A) shy- B(Accedil)Qr(A)Qrm(Ccedil)Qpn(ccedil)) - (m t-t n)] - (i t-t p)Qpk(-L) +

46

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

+ Qip(A)[(A(pccedil)oacutepmQkn(p) - A(pCcedil)oacutepmQkn(ccedil) + B(PCcedil)QPT(P)QTm(Ccedil)Qkn(p)shyB(p ccedil)Qpr(p)Qrm(fJQkn(Ccedil) - (m +-+ n)] - (p +-+ k)]Qjz(A)

+ (A(A p)Oacuteik B(A p)Qi(A)Qk(p))[((A(A ccedil)OacutejmQln(A) - A(A Ccedil)OjmQln(Ccedil) + + B(A ccedil)Qj(A)Qm(Ccedil)Qln(A) - B(A ccedil)Qj(A)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n)) shy- (j +-1)]]- (k +-1)) - (i +-j)shy

-([B(A p)[[A(A ccedil)OacuteimQpnA) - A(A Ccedil)OacuteimQpn(Ccedil) + B(A Ccedil)QiT(A)Qrm(Ccedil)Qpn(A) shy- B(A Ccedil)QiacuteT(A)QTm(Ccedil)Qpn(Ccedil)) - (m +-+ n)]- (i +-+ P)Qpk(p) + + Qp(A) [(A(p Ccedil)OacutepmQkn(P) - A(p Ccedil)OacutepmQkn(Ccedil) + B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(P) shy- B(p ccedil)Qpr(p)Qrm(Ccedil)Qkn(Ccedil) - (m +-+ n)]- (p +-+ k)]Qjl(p)

+ (A(A p)Oacuteik + B(A p)Qi(A)Quk(p))[((A(A Ccedil)OacutejmQln(P) - A(A Ccedil)OacutejmQln(Ccedil) + + B(p ccedil)Qj(P)Qm(Ccedil)Qln(p) - B(p ccedil)Qj(p)Qsm(Ccedil)Qln(Ccedil)) - (m +- n))shy- (j +-1)]] - (k +- I)) (i +- j) + + i +- kj +-Ik+- ml +- nm +-in +- jiA+- pp +- ccedilccedil +- A + + i+-mj+-nk+-il+-jm+-kn+-IA+-ccedilp+-Accedil+-p O (B3)

Contraindo os iacutendices de grupo podemos identificar os coeficientes dos termos linear cuacutebico e quiacutentuplo citados acima Apoacutes isso igualamos a zero e dessa forma encontramos as equaccedilotildees e viacutenculos para A e B tal que obedeccedilam a identidade de Jacobi

Encontramos para o coeficiente do termo linear as seguintes equaccedilotildees

A(A p)A(p ccedil) + A(p ccedil)A(ccedil A) + A(ccedil A)A(A p) = O

A(A p) = - A(p A) (BA)

Para o coeficiente do termo cuacutebico obtivemos os seguintes viacutenculos entre A e B

A(A p)B(p Ccedil) = B(A p)A(p ccedil) A(A p)B(p Ccedil) + A(p ccedil)B(ccedil A) + A(ccedil A)B(A p) = O (B5)

e a seguinte equaccedilatildeo para B

B(A p) = -B(p A) (B6)

Finalmente igualando os coeficientes dos termos quiacutentuplos a zero obtemos

B(A p)B(p ccedil) + B(p ccedil)B(ccedil A) + B(ccedil A)B(A p) = O (B7)

Dessas uacuteltimas equaccedilotildees para os paracircmetros A e B concluiacutemos que para que a perturshybaccedilatildeo cuacutebica (BI) satisfaccedila agrave identidade de Jacobi temos que ter

A(A p) = B(A p) (B8)

47

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Concluimos entatildeo que para satisfazer a identidade de Jacobi uma perturbaccedilatildeo cuacutebica da aacutelgebra de Virasoro deve ter a forma

Q(A)Q(Il) = (f(AIl)oQ(A) - Q(Il)) (B9) f(AIl) = A (Agrave 11)[1 + Q(A)Q(Jt)] (RIO)

com o paratildemetro A(A Jt) obedecendo a

A(A Jt)A(Jt~) +A(Jtccedil)A(ccedil A) + A(~ A)A(A Jt) = O (Bll)

e obedecendo agrave propriedade de antissimetria nos paracircmetros espectrais

A(AJt) = -A(Jt A) (RI2)

o proacuteximo passo eacute encontrarmos o paracircmtro A(A 11) que satisfaccedila a equaccedilatildeo (Bll) e seja compatiacutevel com a propriedade (B12)

Dividindo ambos os lados da equaccedilatildeo (Bll) pelo produto A(A Jt)A(Jt ~)A(~ A) obtemos

_1_+ A(A Jt)

1 A(Jt Ccedil)

+ 1 A(~ A)

=0 (B13)

Isolando um desses termos temos

1

A(AIl) 1

A(Jt Ccedil) 1

A(~ A) (B14)

Os termos do lado direito dessa equaccedilatildeo devem anular a dependecircncia em ~ pois satildeo iguais ao lado esquerdo que natildeo depende de~ Entatildeo propomos a seguinte forma para a soluccedilatildeo de A(AJt)

1 A(A Jt) = g(Agrave) - g(Jt) (B15)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo arbitraacuteria do paracircmetro espectral Observe que por substituiccedilatildeo essa soluccedilatildeo satisfaz agrave equaccedilatildeo (Bll) e agrave condiccedilatildeo (B12) Aleacutem disso eacute compatiacutevel com a forma (B14) Invertendo a equaccedilatildeo (RI5) obtemos para o paracircmetro A(A Jt) a forma geral

1 (B16)A(A 11) = g(A) - g(Jt)

onde g(A) eacute uma funccedilatildeo analiacutetica e arbitraacuteria em A Finalmente introduzindo esse resultado em (B10) obtemos que a perturbaccedilatildeo cuacutebica

mais geral da aacutelgebra de Virasoro OtN) que obedece agrave identidade de Jacobi possui a forma

Q(A)Q(Jt) = (f(AJt) o Q(A) Q(Jt)) (B17) 1

f(A Jt) = _In _1 [I + Q(A)Q(Jt)] (B18)

48

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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[64] Callan CG Martinec EJ Perry MJ Friedan D NucL Phys B262(1985)593

[65) Callan CG Klebanov IR Perry MJ Nucl Phys B278(1986)78

[66] Gross DJ Witten E NucL Phys B277(1986)L

[67] Jackiw R Rajaraman R Phys Rev Lett 54(1985)1219

[68J Faddeev LD Phys Lett 145B(1984)81

Faddeev LD Shatashivili SL Phys Lett 167B(1986)225

Shatashivili SL Teor Mat Fiz 71(1987)40

[69J Giroti HO Rothe HJ Rothe KD Phys Rev D33(1986)514

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middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

Podemos ainda escrever esse resultado da forma

g(gt) = gt -t gt = g-I(X) = h(gt) (B19)

levando a

f(h(X) h(praquo = 1 I + Q(h(XraquoQ(h(p)) (B20)

e finalmente

Q(h(gtJ) Q(h(praquo = X ~ p1 [I + Q(h(XraquoQ(h(praquo o Q(h(gt)) - Q(h(praquo] (B21)

onde X e t satildeo funccedilotildees analiacuteticas arbitraacuterias e h(X) e h(t) satildeo as suas inversas

49

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[16] Callan CG Phys Rev D2(1970)1541

Symanzik K Commun Math Phys 18(1970)227 Springer Tracts in Mod Phys 51(1971)222

Gross DJ Wiacutelczek FA Phys Rev Lett 30(1973)1346

Poliacutetzer HD Phys Rev Lett 30(1973)1346

Politzer HD Phys Rep 14(1974)129

[17] Coleman S Aspects of symmetry Cambridge University Press 1985

Coleman S The magnetic monopole fifty years later Erice Italy 1981

[18] Thirring W Ann of Phys 3(1958)91

[19] Klaiber 8 em Lectures in Theoretical Physics Boulder 1967 Gordon and Breach New York 1968

[20] Wightman AS em Cargese Lectures ofTheoretical Physics ed Gordon and Breach New York 1964

[21] Schwinger J Phys Rev Lett 3(1959)296 Phys Rev 128(1962)2425

[221 Lowenstein J Swieca JA Annals of Phys 68(1971)172

[23] Casher A Kogut J Susskind L Phys Rev Lett 31(1973)31 Phys Rev DlO(1974)732

[24] Rothe HJ Rothe KD Swieca JA Phys Rev D15(1977)1675

[25] Wilson K Phys Rev 179(1969)1499

[26] Coleman S Gross DJ Phys Rev Lett 31(1973)851

[27] Abdalla E Abdalla MCB Rothe KD Non-perturbative methods in two dimenshysional quantum field theory Singapore World Scientific 1991

[28] Abdalla E Two-dimensional Quantum Field Theory examples and applications trabalho apresentado no CIMAF-97 Havana Cuba marccedilo97

[29) Rajaraman R Phys Rep 5(1975)227

[30] Pohlmeyer K Commun Math Phys 46(1976)207

51

[31] Luumlscher M Nucl Phys B135(1978)1

[32) Zamolodchikov AB Zamolodchikov AIB AnnaIs of Phys 120(1979)253

[33) Karowski M Phys Rep 49(1979)229

[34) Abdalla E Lecture Notes in Phys 226 (1984)140 ed N Sanchez e HJ de Vega

[35) de Vega HJ Phys Lett 87B(1979)233

de Vega HJ Eichenherr H Maillet JM Proc Melldon and Paris VI 8384 17l

de Vega HJ Eichenherr H Maillet JM Commlln Math Phys 92(1984)507

de Vega HJ Eichenherr H Maillet JM Nucl Phys B240(1984)377

de Vega HJ Eichenherr H Maillet JM Phys Lett 132B(1983)337

[36J Maillet J-M Phys Lett 167B(1986)401 Nucl Phys B269(1986)54

[37] Karowski M Proceedings - String theory Quantum cosmology and quantum gravity integral and conformaI invariant theories Paris 1986 Nucl Phys B300(1988)473

[38] Prasad MK Sinha A Chau Wang LL Phys Rev Lett 43(1979)750 Phys Lett B87(1979)237

Chau LL Proceedings - Swansea 1988 em Mathematical Physics p 346

Arefeva IYa Volovich LV Phys Lett 149B(1984)131

Chau LL Prasad MK Sinha A Phys Rev D23(1981)2321 D24(1981)1574

Chau LL Ge ML Popowicz Z Phys Rev Lett 52(1984)1940

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Abdalla E Forger M Jacques M Nucl Phys B307(1988)198

Harnad J Hurtubise J Leacutegareacute M Shnider S Nucl Phys B256(1985)609

Avan J de Vega HJ Maiacutellet JM Phys Lett 171B(1986)255

[39] Karowski M Weisz P Nucl Phys B139(1978)455

[40] Karowski M Int Colloq on complex anaIysis Microloeal calculus and relativistic quantum theory Les Houches 1979 Nucl Phys B153(1979)244

[41] Skyrme THRj Proc Roy Soe A260(1961)127

[42] Coleman S Phys Rev Dll(1975)2088

[43] Mandelstan S Phys Rev Dll(1975)3026

[44] Weisz P Nuel Phys B122(1977)1

[45] Swieca JA Fortschritte der Physik 25(1977)303

[46] Polyakov AM Wiegman PB Phys Lett 131B(1983)121 141B(1984)223

52

[47] Witten E Commun Math Phys 92(1984)455

[48J Wess J Zumino B Phys Lett 37B(1971)95

[49J Abdalla E Abdalla MCR NucL Phys B255(1985)392

[50] Eichenherr H NucLPhys BI46(1978)215 BI55(1979)544

[51] Eichenherr H Forger M NucL Phys BI55(1979)38L

[52) DAdda A di Vecchia P Luumlscher M NucL Phys BI46(1978)63

[53] Migdal AA Soviet Phys Jetp 42(1976)413 742

[54] Polyakov AM Phys Lett 59B(1975)79

[55) Chakrabarti A Introduction to classical solution of Yang-Mills equations Recontre de Rabat 1978

Actor A Rev Mod Phys 51(1979)461

[56) Din AM Zakrzewski WJ NucL Phys BI74(1980)397 Phys Lett 95B(1980)419

Din AM Horvath Z Zakrzewski WJ Nucl Phys B233(1984)269

[57] Callan CG Dashen R Gross DJ Phys Rev Lett 44(1980)435

[58] Abdalla E Forger M Gomes M NucL Phys B21O(1982)18L

[59) DAdda A Davis AC Phys Lett I01B(1981)85

[60] DAdda A Davis AC di Vecchia P NucL Phys B218(1983)19L

[61) DAdda A di Vecchia P Luumlscher M Phys Rep 49(1979)239

[62J Forger M Proceedings - Clausthal Germany 1981 ed SI Andersson HD Doebshyner Lect Notes in Math 1037 1983

[63] Tseytlin AA lnt J Mod Phys A5(1990)589

[64] Callan CG Martinec EJ Perry MJ Friedan D NucL Phys B262(1985)593

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[67] Jackiw R Rajaraman R Phys Rev Lett 54(1985)1219

[68J Faddeev LD Phys Lett 145B(1984)81

Faddeev LD Shatashivili SL Phys Lett 167B(1986)225

Shatashivili SL Teor Mat Fiz 71(1987)40

[69J Giroti HO Rothe HJ Rothe KD Phys Rev D33(1986)514

53

[70] Zumino B Les Houches Agosto de 1983 Notas de K Sibold

Zumino B Nucl Phys B253(1985)477

Zumino B Young Shi Wu Zee A Nucl Phys B239(1984)477

[71] Baulieu L Nucl Phys B241(1984)577

Stora R em New Developments in Quantum Field Theory and Statistical Machanics eds M Levy e P Mitter Plenum New York 1977

[72] Abdalla E Abdalla MCB Gomes M Phys Rev D23(1981)1800

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[77] Capelli A Itzykson C Zuber JBj Commun Math Phys 113(1987)1

[78] Rehren KH Schroer B Phys Lett 198B(1987)480

Frotildehlich J Proceedings of the Cargese School 1987

[79] Polyakov AM Mod Phys Lett A2(1987)893

[80J Polyakov AM Les Houches 1988

Abdalla E Abdalla MGB Zadra A Trieste-Preprint IC8956 (natildeo publicado)

[81] Polyakov AM Zamolodchikov AB Mod Phys Lett A3(1988)1213

Abdalla E Abdalla MCB Zadra A Mod Phys Lett A4(1989)849

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Deser S Jackiw R Templeton S Phys Rev Lett 48(1982)975

[87] Polyakov AM Mod Phys Lett A3(1988)325

Coste A Luumlscher M Nucl Phys B323(1989)631

Luumlscher M Nucl Phys B326(1989)557

54

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Leclaiacuter A Smiacuternov FA lnt J Mod Phys A7(1992)2997

[91] Haldane FD Ha ZNC Talstra JC Bernard D Pasquiacuteer V Phys Rev Lett 69(1992)2021

[92] Breacutezin E ltzykson C Zinn-Justin J Zuber J8 Phys Lett 82B(1979)442

(93) Mackay NJ Phys Lett B281(1992)90j erratum ibiacuted B308(1993)444

[94] Buchholtz D Lopuzanski JT Lett Math Phys 3(1979)175

[95] Luumlscher M Pohlmeyer K Nucl Phys B137(1978)46

[96) Saltini LE Zadra A lnt J Mod Phys A12(1997)419

[97] Saltini LE Zadra A CRM-preprint97 (ainda natildeo publicado)

[98] Mussardo G Phys Rep 218(1992)215

[99] AbdaIla E AbdaIla MCB Sotkov G Stanishkov M Int J Mod Phys A10(1995) 1717

[100) Dolan L Phys Rev Lett 47(1981)1371

Gomes M Ha YK Phys Rev D28(1983)2683

Mackay NJ On the bootstrap structure ofYangian-invariant factorized S-matrices em Proc DiacutefferentiaI Geometric Methods in Theoretical Physics (Tiacuteanjiacuten 1992) p360

Schoutens K Phys Lett B331(1994)335

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55

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[107) Curtright TL Zachos CK Phys Rev D21(1980)411

Barcelos-Neto J Das A Maharana J Z Phys C30(1986)401

[108) Curtright TL Zachos CK Nucl Phys B402(1993)604

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[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

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[16] Callan CG Phys Rev D2(1970)1541

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Poliacutetzer HD Phys Rev Lett 30(1973)1346

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Harnad J Hurtubise J Leacutegareacute M Shnider S Nucl Phys B256(1985)609

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[47] Witten E Commun Math Phys 92(1984)455

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[51] Eichenherr H Forger M NucL Phys BI55(1979)38L

[52) DAdda A di Vecchia P Luumlscher M NucL Phys BI46(1978)63

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[107) Curtright TL Zachos CK Phys Rev D21(1980)411

Barcelos-Neto J Das A Maharana J Z Phys C30(1986)401

[108) Curtright TL Zachos CK Nucl Phys B402(1993)604

[109) Abdalla E Abdalla MCB Branco ORG Saltiacuteni LE J Phys A27 (1994) 4709

[110) Diacuterac PAM Lectures on Quantum Mechanics Belfer Graduate School of Sciacuteence Yeshiva Univ 1964

Dirac PAM Cano J Math 2 (1950) 120 Proc Roy Soe 1246 (1958) 326

Hanson A Regge T Teitelboim C Accademia Nazionale dei Lincei Roma 1976

Sudarshan E Mukunda N Classical Dynamics A Modern Perspective Wiley NY1974

Sundermeyer K Constrained Systems Lecture Notes in Physics 169 Springer 1982

[111] Bouwknegt P Ludwiacuteg AWW Schoutens K hep-thj9412199 [112) Ahn C Nam S Phys Lett B378 (1996) 107

[113) Bouwknegt P Schoutens Kj Nucl Phys B482 (1996) 345

[114] Bernard D Maassarani Z Mathieu P Mod Phys Lett A12 (1997) 535

[115) Gelfand IM Chilov GE Les Diacutestributions Ed Dunod Paris 1962

[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

[31] Luumlscher M Nucl Phys B135(1978)1

[32) Zamolodchikov AB Zamolodchikov AIB AnnaIs of Phys 120(1979)253

[33) Karowski M Phys Rep 49(1979)229

[34) Abdalla E Lecture Notes in Phys 226 (1984)140 ed N Sanchez e HJ de Vega

[35) de Vega HJ Phys Lett 87B(1979)233

de Vega HJ Eichenherr H Maillet JM Proc Melldon and Paris VI 8384 17l

de Vega HJ Eichenherr H Maillet JM Commlln Math Phys 92(1984)507

de Vega HJ Eichenherr H Maillet JM Nucl Phys B240(1984)377

de Vega HJ Eichenherr H Maillet JM Phys Lett 132B(1983)337

[36J Maillet J-M Phys Lett 167B(1986)401 Nucl Phys B269(1986)54

[37] Karowski M Proceedings - String theory Quantum cosmology and quantum gravity integral and conformaI invariant theories Paris 1986 Nucl Phys B300(1988)473

[38] Prasad MK Sinha A Chau Wang LL Phys Rev Lett 43(1979)750 Phys Lett B87(1979)237

Chau LL Proceedings - Swansea 1988 em Mathematical Physics p 346

Arefeva IYa Volovich LV Phys Lett 149B(1984)131

Chau LL Prasad MK Sinha A Phys Rev D23(1981)2321 D24(1981)1574

Chau LL Ge ML Popowicz Z Phys Rev Lett 52(1984)1940

Witten E Phys Lett 77B(1978)394 Nucl Phys B266(1986)245

Abdalla E Forger M Jacques M Nucl Phys B307(1988)198

Harnad J Hurtubise J Leacutegareacute M Shnider S Nucl Phys B256(1985)609

Avan J de Vega HJ Maiacutellet JM Phys Lett 171B(1986)255

[39] Karowski M Weisz P Nucl Phys B139(1978)455

[40] Karowski M Int Colloq on complex anaIysis Microloeal calculus and relativistic quantum theory Les Houches 1979 Nucl Phys B153(1979)244

[41] Skyrme THRj Proc Roy Soe A260(1961)127

[42] Coleman S Phys Rev Dll(1975)2088

[43] Mandelstan S Phys Rev Dll(1975)3026

[44] Weisz P Nuel Phys B122(1977)1

[45] Swieca JA Fortschritte der Physik 25(1977)303

[46] Polyakov AM Wiegman PB Phys Lett 131B(1983)121 141B(1984)223

52

[47] Witten E Commun Math Phys 92(1984)455

[48J Wess J Zumino B Phys Lett 37B(1971)95

[49J Abdalla E Abdalla MCR NucL Phys B255(1985)392

[50] Eichenherr H NucLPhys BI46(1978)215 BI55(1979)544

[51] Eichenherr H Forger M NucL Phys BI55(1979)38L

[52) DAdda A di Vecchia P Luumlscher M NucL Phys BI46(1978)63

[53] Migdal AA Soviet Phys Jetp 42(1976)413 742

[54] Polyakov AM Phys Lett 59B(1975)79

[55) Chakrabarti A Introduction to classical solution of Yang-Mills equations Recontre de Rabat 1978

Actor A Rev Mod Phys 51(1979)461

[56) Din AM Zakrzewski WJ NucL Phys BI74(1980)397 Phys Lett 95B(1980)419

Din AM Horvath Z Zakrzewski WJ Nucl Phys B233(1984)269

[57] Callan CG Dashen R Gross DJ Phys Rev Lett 44(1980)435

[58] Abdalla E Forger M Gomes M NucL Phys B21O(1982)18L

[59) DAdda A Davis AC Phys Lett I01B(1981)85

[60] DAdda A Davis AC di Vecchia P NucL Phys B218(1983)19L

[61) DAdda A di Vecchia P Luumlscher M Phys Rep 49(1979)239

[62J Forger M Proceedings - Clausthal Germany 1981 ed SI Andersson HD Doebshyner Lect Notes in Math 1037 1983

[63] Tseytlin AA lnt J Mod Phys A5(1990)589

[64] Callan CG Martinec EJ Perry MJ Friedan D NucL Phys B262(1985)593

[65) Callan CG Klebanov IR Perry MJ Nucl Phys B278(1986)78

[66] Gross DJ Witten E NucL Phys B277(1986)L

[67] Jackiw R Rajaraman R Phys Rev Lett 54(1985)1219

[68J Faddeev LD Phys Lett 145B(1984)81

Faddeev LD Shatashivili SL Phys Lett 167B(1986)225

Shatashivili SL Teor Mat Fiz 71(1987)40

[69J Giroti HO Rothe HJ Rothe KD Phys Rev D33(1986)514

53

[70] Zumino B Les Houches Agosto de 1983 Notas de K Sibold

Zumino B Nucl Phys B253(1985)477

Zumino B Young Shi Wu Zee A Nucl Phys B239(1984)477

[71] Baulieu L Nucl Phys B241(1984)577

Stora R em New Developments in Quantum Field Theory and Statistical Machanics eds M Levy e P Mitter Plenum New York 1977

[72] Abdalla E Abdalla MCB Gomes M Phys Rev D23(1981)1800

[73] Witten R Goldschmidt YYj Phys Lett 91B(1980)392

[74] Abdalla E Abdalla MCB Gomes M Phys Rev D25(1982)452

[75) Kurak V Kotildeberle R Phys Rev D36(1987)627

[76] Belavin AA Polyakov AM Zamolodchikov AR Nucl Phys B241(1984)333

[77] Capelli A Itzykson C Zuber JBj Commun Math Phys 113(1987)1

[78] Rehren KH Schroer B Phys Lett 198B(1987)480

Frotildehlich J Proceedings of the Cargese School 1987

[79] Polyakov AM Mod Phys Lett A2(1987)893

[80J Polyakov AM Les Houches 1988

Abdalla E Abdalla MGB Zadra A Trieste-Preprint IC8956 (natildeo publicado)

[81] Polyakov AM Zamolodchikov AB Mod Phys Lett A3(1988)1213

Abdalla E Abdalla MCB Zadra A Mod Phys Lett A4(1989)849

[82) Cardy J1 em Phase transitions and criticai phenomena vol 11 ed por C Domb J1 Lebowitz Acad Press 1987

[83] Rocha Caridi A em Vertex Operator in Mathematics and Physics Berkeley 1983 Springer Verlag p 451

[84] Kac VG Lecture Notes in Physics 94(1979)441

[85] Witten R Commun Math Phys 121(1989)351

[86) Witten E Commun Math Phys 117(1988)353

Witten E Horne JH Phys Rev Lett 62(1989)501

Deser S Jackiw R Templeton S Phys Rev Lett 48(1982)975

[87] Polyakov AM Mod Phys Lett A3(1988)325

Coste A Luumlscher M Nucl Phys B323(1989)631

Luumlscher M Nucl Phys B326(1989)557

54

[88] Kniacutezhnik V Zamolodchiacutekov AB Nucl Phys B247(1984)83

[89] Bernard D Commun Math Phys 137(1991)191 lnt J Mod Phys B7(1993)3517

[90) Drinfeld VG Sovo Math Dokl 32(1985)254 Sovo Math Dokl 36(1988)212

Leclaiacuter A Smiacuternov FA lnt J Mod Phys A7(1992)2997

[91] Haldane FD Ha ZNC Talstra JC Bernard D Pasquiacuteer V Phys Rev Lett 69(1992)2021

[92] Breacutezin E ltzykson C Zinn-Justin J Zuber J8 Phys Lett 82B(1979)442

(93) Mackay NJ Phys Lett B281(1992)90j erratum ibiacuted B308(1993)444

[94] Buchholtz D Lopuzanski JT Lett Math Phys 3(1979)175

[95] Luumlscher M Pohlmeyer K Nucl Phys B137(1978)46

[96) Saltini LE Zadra A lnt J Mod Phys A12(1997)419

[97] Saltini LE Zadra A CRM-preprint97 (ainda natildeo publicado)

[98] Mussardo G Phys Rep 218(1992)215

[99] AbdaIla E AbdaIla MCB Sotkov G Stanishkov M Int J Mod Phys A10(1995) 1717

[100) Dolan L Phys Rev Lett 47(1981)1371

Gomes M Ha YK Phys Rev D28(1983)2683

Mackay NJ On the bootstrap structure ofYangian-invariant factorized S-matrices em Proc DiacutefferentiaI Geometric Methods in Theoretical Physics (Tiacuteanjiacuten 1992) p360

Schoutens K Phys Lett B331(1994)335

Basu-Mallick 8 Radameviacute P Construction of Yangian algebra through a multishydeformation parameter dependent R matrix lMSC-94-38 preprint

Forger M Laartz J Schatildeper U Commun Math Phys 146(1992)397

[101] Abdalla E Forger M Mod Phys Lett A7(1992)2437

[102] Saltini LE The algebras of hiacutegher order currents of the Fermionic Gross-Neveu model Proceedings da VIII Escola de Veratildeo JA Swieca Rio de Janeiro 1995

[103] Abdalla E Abdalla MC8 Brunelli JC Zadra A Commun Math Phys 166(1994)379

[104] Drinfeld VG Proceedings of the lnternational Congress of Mathematicians Bershykeley California USA 1986

55

[105] Yang CN Phys Rev Letters 19 (1967)1312-1314

[106] Brunelli JC Das A Phys Lett B354(1995) 307

[107) Curtright TL Zachos CK Phys Rev D21(1980)411

Barcelos-Neto J Das A Maharana J Z Phys C30(1986)401

[108) Curtright TL Zachos CK Nucl Phys B402(1993)604

[109) Abdalla E Abdalla MCB Branco ORG Saltiacuteni LE J Phys A27 (1994) 4709

[110) Diacuterac PAM Lectures on Quantum Mechanics Belfer Graduate School of Sciacuteence Yeshiva Univ 1964

Dirac PAM Cano J Math 2 (1950) 120 Proc Roy Soe 1246 (1958) 326

Hanson A Regge T Teitelboim C Accademia Nazionale dei Lincei Roma 1976

Sudarshan E Mukunda N Classical Dynamics A Modern Perspective Wiley NY1974

Sundermeyer K Constrained Systems Lecture Notes in Physics 169 Springer 1982

[111] Bouwknegt P Ludwiacuteg AWW Schoutens K hep-thj9412199 [112) Ahn C Nam S Phys Lett B378 (1996) 107

[113) Bouwknegt P Schoutens Kj Nucl Phys B482 (1996) 345

[114] Bernard D Maassarani Z Mathieu P Mod Phys Lett A12 (1997) 535

[115) Gelfand IM Chilov GE Les Diacutestributions Ed Dunod Paris 1962

[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

middoti

56

• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

[47] Witten E Commun Math Phys 92(1984)455

[48J Wess J Zumino B Phys Lett 37B(1971)95

[49J Abdalla E Abdalla MCR NucL Phys B255(1985)392

[50] Eichenherr H NucLPhys BI46(1978)215 BI55(1979)544

[51] Eichenherr H Forger M NucL Phys BI55(1979)38L

[52) DAdda A di Vecchia P Luumlscher M NucL Phys BI46(1978)63

[53] Migdal AA Soviet Phys Jetp 42(1976)413 742

[54] Polyakov AM Phys Lett 59B(1975)79

[55) Chakrabarti A Introduction to classical solution of Yang-Mills equations Recontre de Rabat 1978

Actor A Rev Mod Phys 51(1979)461

[56) Din AM Zakrzewski WJ NucL Phys BI74(1980)397 Phys Lett 95B(1980)419

Din AM Horvath Z Zakrzewski WJ Nucl Phys B233(1984)269

[57] Callan CG Dashen R Gross DJ Phys Rev Lett 44(1980)435

[58] Abdalla E Forger M Gomes M NucL Phys B21O(1982)18L

[59) DAdda A Davis AC Phys Lett I01B(1981)85

[60] DAdda A Davis AC di Vecchia P NucL Phys B218(1983)19L

[61) DAdda A di Vecchia P Luumlscher M Phys Rep 49(1979)239

[62J Forger M Proceedings - Clausthal Germany 1981 ed SI Andersson HD Doebshyner Lect Notes in Math 1037 1983

[63] Tseytlin AA lnt J Mod Phys A5(1990)589

[64] Callan CG Martinec EJ Perry MJ Friedan D NucL Phys B262(1985)593

[65) Callan CG Klebanov IR Perry MJ Nucl Phys B278(1986)78

[66] Gross DJ Witten E NucL Phys B277(1986)L

[67] Jackiw R Rajaraman R Phys Rev Lett 54(1985)1219

[68J Faddeev LD Phys Lett 145B(1984)81

Faddeev LD Shatashivili SL Phys Lett 167B(1986)225

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53

[70] Zumino B Les Houches Agosto de 1983 Notas de K Sibold

Zumino B Nucl Phys B253(1985)477

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[71] Baulieu L Nucl Phys B241(1984)577

Stora R em New Developments in Quantum Field Theory and Statistical Machanics eds M Levy e P Mitter Plenum New York 1977

[72] Abdalla E Abdalla MCB Gomes M Phys Rev D23(1981)1800

[73] Witten R Goldschmidt YYj Phys Lett 91B(1980)392

[74] Abdalla E Abdalla MCB Gomes M Phys Rev D25(1982)452

[75) Kurak V Kotildeberle R Phys Rev D36(1987)627

[76] Belavin AA Polyakov AM Zamolodchikov AR Nucl Phys B241(1984)333

[77] Capelli A Itzykson C Zuber JBj Commun Math Phys 113(1987)1

[78] Rehren KH Schroer B Phys Lett 198B(1987)480

Frotildehlich J Proceedings of the Cargese School 1987

[79] Polyakov AM Mod Phys Lett A2(1987)893

[80J Polyakov AM Les Houches 1988

Abdalla E Abdalla MGB Zadra A Trieste-Preprint IC8956 (natildeo publicado)

[81] Polyakov AM Zamolodchikov AB Mod Phys Lett A3(1988)1213

Abdalla E Abdalla MCB Zadra A Mod Phys Lett A4(1989)849

[82) Cardy J1 em Phase transitions and criticai phenomena vol 11 ed por C Domb J1 Lebowitz Acad Press 1987

[83] Rocha Caridi A em Vertex Operator in Mathematics and Physics Berkeley 1983 Springer Verlag p 451

[84] Kac VG Lecture Notes in Physics 94(1979)441

[85] Witten R Commun Math Phys 121(1989)351

[86) Witten E Commun Math Phys 117(1988)353

Witten E Horne JH Phys Rev Lett 62(1989)501

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54

[88] Kniacutezhnik V Zamolodchiacutekov AB Nucl Phys B247(1984)83

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[90) Drinfeld VG Sovo Math Dokl 32(1985)254 Sovo Math Dokl 36(1988)212

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[91] Haldane FD Ha ZNC Talstra JC Bernard D Pasquiacuteer V Phys Rev Lett 69(1992)2021

[92] Breacutezin E ltzykson C Zinn-Justin J Zuber J8 Phys Lett 82B(1979)442

(93) Mackay NJ Phys Lett B281(1992)90j erratum ibiacuted B308(1993)444

[94] Buchholtz D Lopuzanski JT Lett Math Phys 3(1979)175

[95] Luumlscher M Pohlmeyer K Nucl Phys B137(1978)46

[96) Saltini LE Zadra A lnt J Mod Phys A12(1997)419

[97] Saltini LE Zadra A CRM-preprint97 (ainda natildeo publicado)

[98] Mussardo G Phys Rep 218(1992)215

[99] AbdaIla E AbdaIla MCB Sotkov G Stanishkov M Int J Mod Phys A10(1995) 1717

[100) Dolan L Phys Rev Lett 47(1981)1371

Gomes M Ha YK Phys Rev D28(1983)2683

Mackay NJ On the bootstrap structure ofYangian-invariant factorized S-matrices em Proc DiacutefferentiaI Geometric Methods in Theoretical Physics (Tiacuteanjiacuten 1992) p360

Schoutens K Phys Lett B331(1994)335

Basu-Mallick 8 Radameviacute P Construction of Yangian algebra through a multishydeformation parameter dependent R matrix lMSC-94-38 preprint

Forger M Laartz J Schatildeper U Commun Math Phys 146(1992)397

[101] Abdalla E Forger M Mod Phys Lett A7(1992)2437

[102] Saltini LE The algebras of hiacutegher order currents of the Fermionic Gross-Neveu model Proceedings da VIII Escola de Veratildeo JA Swieca Rio de Janeiro 1995

[103] Abdalla E Abdalla MC8 Brunelli JC Zadra A Commun Math Phys 166(1994)379

[104] Drinfeld VG Proceedings of the lnternational Congress of Mathematicians Bershykeley California USA 1986

55

[105] Yang CN Phys Rev Letters 19 (1967)1312-1314

[106] Brunelli JC Das A Phys Lett B354(1995) 307

[107) Curtright TL Zachos CK Phys Rev D21(1980)411

Barcelos-Neto J Das A Maharana J Z Phys C30(1986)401

[108) Curtright TL Zachos CK Nucl Phys B402(1993)604

[109) Abdalla E Abdalla MCB Branco ORG Saltiacuteni LE J Phys A27 (1994) 4709

[110) Diacuterac PAM Lectures on Quantum Mechanics Belfer Graduate School of Sciacuteence Yeshiva Univ 1964

Dirac PAM Cano J Math 2 (1950) 120 Proc Roy Soe 1246 (1958) 326

Hanson A Regge T Teitelboim C Accademia Nazionale dei Lincei Roma 1976

Sudarshan E Mukunda N Classical Dynamics A Modern Perspective Wiley NY1974

Sundermeyer K Constrained Systems Lecture Notes in Physics 169 Springer 1982

[111] Bouwknegt P Ludwiacuteg AWW Schoutens K hep-thj9412199 [112) Ahn C Nam S Phys Lett B378 (1996) 107

[113) Bouwknegt P Schoutens Kj Nucl Phys B482 (1996) 345

[114] Bernard D Maassarani Z Mathieu P Mod Phys Lett A12 (1997) 535

[115) Gelfand IM Chilov GE Les Diacutestributions Ed Dunod Paris 1962

[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

middoti

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• parte1
• parte2
• parte3
• parte4

[70] Zumino B Les Houches Agosto de 1983 Notas de K Sibold

Zumino B Nucl Phys B253(1985)477

Zumino B Young Shi Wu Zee A Nucl Phys B239(1984)477

[71] Baulieu L Nucl Phys B241(1984)577

Stora R em New Developments in Quantum Field Theory and Statistical Machanics eds M Levy e P Mitter Plenum New York 1977

[72] Abdalla E Abdalla MCB Gomes M Phys Rev D23(1981)1800

[73] Witten R Goldschmidt YYj Phys Lett 91B(1980)392

[74] Abdalla E Abdalla MCB Gomes M Phys Rev D25(1982)452

[75) Kurak V Kotildeberle R Phys Rev D36(1987)627

[76] Belavin AA Polyakov AM Zamolodchikov AR Nucl Phys B241(1984)333

[77] Capelli A Itzykson C Zuber JBj Commun Math Phys 113(1987)1

[78] Rehren KH Schroer B Phys Lett 198B(1987)480

Frotildehlich J Proceedings of the Cargese School 1987

[79] Polyakov AM Mod Phys Lett A2(1987)893

[80J Polyakov AM Les Houches 1988

Abdalla E Abdalla MGB Zadra A Trieste-Preprint IC8956 (natildeo publicado)

[81] Polyakov AM Zamolodchikov AB Mod Phys Lett A3(1988)1213

Abdalla E Abdalla MCB Zadra A Mod Phys Lett A4(1989)849

[82) Cardy J1 em Phase transitions and criticai phenomena vol 11 ed por C Domb J1 Lebowitz Acad Press 1987

[83] Rocha Caridi A em Vertex Operator in Mathematics and Physics Berkeley 1983 Springer Verlag p 451

[84] Kac VG Lecture Notes in Physics 94(1979)441

[85] Witten R Commun Math Phys 121(1989)351

[86) Witten E Commun Math Phys 117(1988)353

Witten E Horne JH Phys Rev Lett 62(1989)501

Deser S Jackiw R Templeton S Phys Rev Lett 48(1982)975

[87] Polyakov AM Mod Phys Lett A3(1988)325

Coste A Luumlscher M Nucl Phys B323(1989)631

Luumlscher M Nucl Phys B326(1989)557

54

[88] Kniacutezhnik V Zamolodchiacutekov AB Nucl Phys B247(1984)83

[89] Bernard D Commun Math Phys 137(1991)191 lnt J Mod Phys B7(1993)3517

[90) Drinfeld VG Sovo Math Dokl 32(1985)254 Sovo Math Dokl 36(1988)212

Leclaiacuter A Smiacuternov FA lnt J Mod Phys A7(1992)2997

[91] Haldane FD Ha ZNC Talstra JC Bernard D Pasquiacuteer V Phys Rev Lett 69(1992)2021

[92] Breacutezin E ltzykson C Zinn-Justin J Zuber J8 Phys Lett 82B(1979)442

(93) Mackay NJ Phys Lett B281(1992)90j erratum ibiacuted B308(1993)444

[94] Buchholtz D Lopuzanski JT Lett Math Phys 3(1979)175

[95] Luumlscher M Pohlmeyer K Nucl Phys B137(1978)46

[96) Saltini LE Zadra A lnt J Mod Phys A12(1997)419

[97] Saltini LE Zadra A CRM-preprint97 (ainda natildeo publicado)

[98] Mussardo G Phys Rep 218(1992)215

[99] AbdaIla E AbdaIla MCB Sotkov G Stanishkov M Int J Mod Phys A10(1995) 1717

[100) Dolan L Phys Rev Lett 47(1981)1371

Gomes M Ha YK Phys Rev D28(1983)2683

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[114] Bernard D Maassarani Z Mathieu P Mod Phys Lett A12 (1997) 535

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[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

middoti

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• parte1
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• parte3
• parte4

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[114] Bernard D Maassarani Z Mathieu P Mod Phys Lett A12 (1997) 535

[115) Gelfand IM Chilov GE Les Diacutestributions Ed Dunod Paris 1962

[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

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• parte1
• parte2
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[105] Yang CN Phys Rev Letters 19 (1967)1312-1314

[106] Brunelli JC Das A Phys Lett B354(1995) 307

[107) Curtright TL Zachos CK Phys Rev D21(1980)411

Barcelos-Neto J Das A Maharana J Z Phys C30(1986)401

[108) Curtright TL Zachos CK Nucl Phys B402(1993)604

[109) Abdalla E Abdalla MCB Branco ORG Saltiacuteni LE J Phys A27 (1994) 4709

[110) Diacuterac PAM Lectures on Quantum Mechanics Belfer Graduate School of Sciacuteence Yeshiva Univ 1964

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[114] Bernard D Maassarani Z Mathieu P Mod Phys Lett A12 (1997) 535

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[116) Treiacuteman SB Jackiw R Gross DJj Field Theoretic Investigations in Current AIgebra in Lectures on Current AIgebra and Its Appliacutecations Princeton UP NJ 1972

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