is tituto politÉcico acioa l

ISTITUTO POLITÉCICO ACIOAL

ESCUELA SUPERIOR DE I GE IERÍA MECÁ ICA Y ELÉCTRICA

U IDAD AZCAPOTZALCO

“DETERMINACIÓN DE LOS PERFILES DE

TEMPERATURA PARA FLUJO ELECTRO-OSMÓTICO

CONDUCIENDO UN FLUIDO SEUDOPLÁSTICO A

TRAVÉS DE UN MICROCANAL DE PLACAS PLANAS

PARALELAS.”

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO MECÁNICO

P R E S E N T A

SERGIO BARRÓN LÓPEZ

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. JUAN PABLO ESCANDÓN COLIN

MEXICO D.F. 2011

D edicatoria

A m is padres, E ufrosina y Julian, porque siem pre ha n estado conm igo cuando los he necesitado; y gracia s a ustedes

he conseguido este logro profesional, que espero se a una m uestra de que lo que han hecho por m í no ha sido en vano.

A m i esposa y a m is h ijos, Y adira, A xel y A lexis, p or ser m i m ayor m otivación para alcanzar esta m eta, los am o.

A m is herm anos, G ilberto, O scar y V ictor, por su ap oyo incondicional que siem pre m e han dado.

A gradecim iento

M uy especial para el D r. Juan P ablo E scandón Colín , por el tiem po dedicado a la asesoría y orientación de este

proyecto. R ecuerdo que m e d ijiste que había que era necesario hacer sacrificios para alcanzar objetivo s, y para

m uestra está este trabajo. G racias.

DETERMINACIÓN DE LOS PERFILES DE TEMPERATURA PARA UN FLUJO ELECTRO-OSMÓTICO CONDUCIENDO UN FLUIDO SEUDOPLÁSTICO A TRAVÉS DE UN MICROCANAL DE PLACAS PLANAS

PARALELAS.

ESIME, Azcapotzalco.

Índice general

Resumen 1

Lista de figuras y tablas 2

Nomenclatura 5

1. Introducción

1.1 Objetivos 10

1.2 Estructura de la tesis 11

2. Antecedentes

2.1 Microfluídica 13

2.1.1 Macro, micro y nanoflujos 15

2.1.2 Simplificación de las ecuaciones de Maxwell para fenómenos

electrocinéticos

17

2.2 Flujos electrocinéticos 23

2.2.1 Doble Capa Eléctrica 23

2.2.2 Clasificación de flujos electrocinéticos 25

2.2.3 Sistemas coloidales 27

2.2.4 Flujos electrocinéticos de fluidos no Newtonianos 30

2.3 Ecuaciones gobernantes generales 32

3. Formulación del problema

3.1 Modelo físico 36

3.2 Ecuaciones gobernantes generales en coordenadas cartesianas 37

3.3 Hipótesis 39

3.4 Estimación de órdenes de magnitud 40

3.5 Modelo matemático simplificado y condiciones de frontera 45

3.6 Adimensionalización de las ecuaciones gobernantes 46

3.6.1 Escalas características 46

3.6.2 Variables adimensionales 47

3.6.3 Ecuación de Poisson-Boltzmann 48

3.6.4 Ecuación de la conservación de la masa 48

3.6.5 Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento 49

3.6.6 Ecuación de la conservación de la energía 49

4. Metodología de solución

4.1 Solución numérica 51

4.1.1 Análisis numérico 51

4.1.2 Método SOR 51

4.2 Solución analítica 52


PARALELAS.

ESIME, Azcapotzalco.

5. Análisis de resultados.

5.1 Análisis de resultados

55

5.2 Implementación de resultados 63

Conclusiones 66

Referencias 68

Apéndice A

Deducción de la ecuación de densidad de carga eléctrica 71

Apéndice B

Análisis de la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento 74

Apéndice C

Solución analítica del perfil de velocidades 76

Apéndice D

Discretización en diferencias finitas e implementación de la solución numérica 78

D.1 Discretización del modelo matemático 78

D.2 Implementación del método SOR 81

Apéndice E

Codificación de la solución numérica 83


PARALELAS.

| ESIME, Azcapotzalco.

1

Resumen. En este trabajo se determinan numérica y analíticamente los campos de

temperatura en régimen estacionario de un fluido no Newtoniano, en un microcanal

de placas planas paralelas, bajo la influencia de fuerzas electro-osmóticas; el fluido

obedece al modelo reológico de ley de potencia con un comportamiento seudoplástico;

además, el flujo se considera hidrodinámicamente desarrollado y de propiedades

constantes con la temperatura. De la solución se obtienen las distribuciones de

temperatura en el fluido, mostrando la influencia de los parámetros adimensionales

involucrados en el análisis, como son: el índice de comportamiento de flujo, ;n un

parámetro electrocinético, ;κ el número de Peclet, ;Pe un término normalizado de

generación de energía, ;Λ y la relación de aspecto geométrico del microcanal, .β


PARALELAS.


2

Lista de figuras y tablas. Figura 2.1 Representación de la doble capa eléctrica. 24

Figura 2.2 Flujo electro-osmótico en un tubo capilar, adaptada de Masliyah y

Bhattacharjee, 2006.

25

Figura 2.3 Desarrollo de potencial de corriente cuando un electrolito es

bombeado a través de un capilar, adaptada de Masliyah y


26

Figura 2.4 Electroforesis de una partícula cargada en un campo eléctrico

externo, adaptada de Masliyah y Bhattacharjee, 2006.

27

Figura 2.5 Sedimentación por gravedad de partículas coloidales cargadas

estableciendo un potencial de sedimentación, adaptada de

Masliyah y Bhattacharjee, 2006.

27

Figura 2.6 Magnitud de partículas típicas en un sistema coloidal, adaptada de

Masliyah y Bhattacharjee, 2006.

30

Figura 3.1 Esquema del flujo electro-osmótico en un microcanal de placas

planas paralelas.

37

Figura 5.1 Variación del potencial eléctrico,ψ , en la doble capa eléctrica del

microcanal para diferentes valores de κ , como función de la

coordenada transversal del microcanal η .

57

Figura 5.2 Distribución de velocidad adimensional, u , para diferentes valores

del índice de comportamiento de flujo n , con un valor de 50κ = ,

como función de la coordenada transversal del microcanal η .

57


PARALELAS.


3

Figura 5.3 Distribución de perfiles de velocidad adimensionales, u , para

diferentes valores del parámetro electrocinético κ , para 0.5n = ,

como función de la coordenada transversal del microcanal η .

58

Figura 5.4 Comparación entre las soluciones numérica y analítica para el

perfil de temperatura adimensional,,θ , como función de la

coordenada axial, χ , para diferentes valores de η .

59

Figura 5.5 Perfil de temperatura adimensional en el fluido,θ , como función

de la coordenada transversal del microcanal η , en 0.5χ = , para

diferentes valores de n .

60


de la coordenada transversal del microcanal η , para diferentes

posiciones de la coordenada axial adimensional χ .

60

Figura 5.7

Perfil de temperatura adimensional en el fluido,θ , como función

de la coordenada transversal del microcanal η , para diferentes

valores del parámetro Λ .

61


de la coordenada transversal del microcanal, η , para diferentes

valores del parámetro κ .

62



valores del parámetro Pe .

62



valores del parámetro β .

63

Figura 5.11 Variación del potencial eléctrico,ψ como función de la coordenada

transversal del microcanal, y , para diferentes valores del

parámetro κ .

64

Figura 5.12 Distribución de la velocidad, u , para diferentes valores del índice

de comportamiento de flujo n , como función de la coordenada

transversal del microcanal y .

64

Figura 5.13 Perfil de temperatura, T , como función de la coordenada axial del

microcanal, x , para 0y = , de manera analítica y numérica.

65


PARALELAS.


4

Figura 5.14 Perfil de temperatura, T , como función de la coordenada

transversal del microcanal, y , para diferentes valores del

parámetro Λ .

65

Tabla 2.1 Valores típicos geométricos, físicos (soluciones acuosas) y de

flujo en dispositivos macro, micro y nano.

18

Tabla 2.2 Ecuaciones de Maxwell de los fenómenos electromagnéticos. 19

Tabla 2.3 Ecuaciones de Maxwell reducidas de los fenómenos

electromagnéticos.

20

Tabla 2.4 Ecuaciones de Maxwell aplicables al estudio de la

electrohidrodinámica.

23

Tabla 2.5 Algunos sistemas coloidales típicos, adaptada de Masliyah y


29

Tabla 5.1 Parámetros geométricos y propiedades de transporte usados para

estimar los parámetros adimensionales en el presente trabajo.

56


PARALELAS.


5

Nomenclatura.

A potencial magnético

B densidad del flujo magnético

jB campo magnético generado por el flujo de una corriente eléctrica debido a la

aplicación de un campo eléctrico 2V s m⋅

b vector de fuerzas de cuerpo por unidad de volumen 3 m

c velocidad de la luz en el vacío [ ]82.9979 10 m s×

pC calor especifico del fluido [ ]J Kg K⋅

D densidad de flujo eléctrico 2C m

d longitud característica de conducto por donde fluye el fluido [ ]m

E vector de campo eléctrico [ ]V m

e carga elemental [ ]191.602 10 C

−×

Ef fuerza debida al efecto del campo eléctrico 3

m

gf fuerza debida al efecto del campo gravitacional 3

m

H vector de intensidad de campo magnético [ ]A m

H altura del microcanal [ ]m


PARALELAS.


6

h entalpía por unidad de masa [ ]J Kg

ΙΙΙΙ tensor identidad

i posiciones nodales de la malla discretizada en la dirección axial

maxi número máximo de nodos en la dirección axial

J vector de densidad de corriente eléctrica 2C m s⋅

totJ vector de corriente eléctrica total 2

C m s⋅

j densidad de la corriente eléctrica 2C m s⋅

j posiciones nodales de la malla discretizada en la posición transversal

maxj número máximo de nodos en la dirección transversal

Bk constante de Boltzmann

nK número de Knudsen

1K integral de u con respecto de η .

k conductividad térmica del fluido [ ]W m K⋅

L longitud del microcanal [ ]m

cL longitud característica del sistema [ ]m

l longitud característica [ ]m m índice de consistencia del flujo

n índice de comportamiento de flujo

n∞ número de concentración iónica general de la solución 3

1 m

p presión total del sistema de flujo 2 m

Pe número de Peclet

cp presión característica 2

m

Q densidad total de flujo de energía 2W m

ɺq generación de energía debida al calentamiento Joule por unidad de volumen

en el fluido 3W m


PARALELAS.


7

0q′′ flujo de calor desde las paredes del microcanal hacia los alrededores del

sistema 2W m

eR número de Reynolds

T temperatura del sistema [ ]K

0T temperatura especificada del fluido [ ]K

U energía interna [ ]J Kg

u componente de la velocidad en la coordenada cartesiana x [ ]m s

cu velocidad característica del sistema conocida como velocidad Smolochowski

[ ]m s

u velocidad adimensional axial

V velocidad de la carga del campo magnético

V vector de velocidad de flujo [ ]m s

v componente de la velocidad en la coordenada cartesiana y [ ]m s

W densidad total de energía del sistema 3J m

w componente de la velocidad en la coordenada cartesiana z [ ]m s

x coordenada axial en coordenadas cartesianas [ ]m

y coordenada transversal en coordenadas cartesianas [ ]m

z coordenada longitudinal en coordenadas cartesianas [ ]m z valencia del electrolito

Símbolos griegos

β relación de aspecto geométrico

ɺγγγγ tensor de la velocidad de deformación [ ]1 s

cγɺ velocidad de deformación característica [ ]1 s

.conv xT∆

incremento de temperatura característico en el sistema con efecto

convectivo axial [ ]K


PARALELAS.


8

.cond xT∆ incremento de temperatura característico en el sistema con efecto

difusivo axial [ ]K

.cond yT∆ incremento de temperatura característico en el sistema con efecto

difusivo transversal [ ]K 1

,

k

i j

+∆Θ cambio de la temperatura adimensional por iteración y nodo de la

malla discretizada en la región del fluido

ε permisividad dieléctrica del medio [ ]C V m⋅

0ε permisividad del vacío [ ]12

8.854 10 C V m−× ⋅

rε permisividad relativa del medio [ ]C V m⋅

η coordenada adimensional transversal del fluido

Θ temperatura adimensional en forma discretizada

θ temperatura adimensional del fluido

hθ solución homogénea

pθ solución particular

κ parámetro electrocinético

1κ − longitud de Debye [ ]m

2κ parámetro Debye-Hückel 2m

−

Λ término normalizado de generación de energía

λ trayectoria libre promedio entre las moléculas del fluido [ ]m µ viscosidad dinámica del fluido [ ]Pa s⋅

µ permeabilidad magnética [ ]H m

0µ permeabilidad magnética del vacío [ ]7

12.566 10 H m−×

rµ permeabilidad magnética relativa del medio [ ]H m

ΠΠΠΠ tensor de esfuerzos viscosos 2 m

ρ densidad del fluido 3Kg m

eρ densidad de carga eléctrica libre 3

C m

σ diámetro promedio de la partícula de fluido [ ]m


PARALELAS.


9

σ conductividad eléctrica del medio [ ]S m

ττττ tensor de esfuerzos 2 m

cτ esfuerzo característico 2

m

χ coordenada adimensional axial del fluido

ψ potencial eléctrico [ ]V ψ potencial eléctrico adimensional

Ω relación de aspecto de la malla discretizada en la región del fluido

ϖ factor de relajación del método SOR

ζ zeta potencial en el plano de corte de la doble capa eléctrica [ ]V

Subindices

c

característica

i fila

j columna

Superindices

k

iteración


PARALELAS.


10

Capítulo 1

Introducción.

1.1 Objetivos.

El objetivo general del actual trabajo, es resolver numérica y analíticamente los

campos de temperatura del flujo de un fluido en estado estacionario a través de un

microcanal de placas planas paralelas, bajo la influencia de una fuerza electro-

osmótica; para mostrar la influencia de los parámetros adimensionales de transporte

representativos en el modelo del problema planteado.

Como objetivos particulares, se pueden destacar los siguientes:

Realizar una revisión bibliográfica de la teoría sobre los principios de la

hidrodinámica y de fenómenos de transferencia de calor de flujos

electrocinéticos en microcanales.

Establecer un modelo físico de estudio con las hipótesis correspondientes a la

propuesta de solución.

Obtener las escalas características del modelo físico en estudio, basadas en un

análisis de órdenes de magnitud.

Reconocer las ecuaciones generales gobernantes que rigen los fenómenos de

transporte en microcanales.


PARALELAS.


11

Obtener la adimensionalización de las ecuaciones generales gobernantes con

sus correspondientes condiciones de frontera.

Resolver numéricamente las ecuaciones adimensionales de la energía para el

fluido.

Identificar los parámetros adimensionales de transporte representativos en el

sistema del microcanal.

Validar analíticamente la solución numérica, obtenida por el método SOR.

Analizar los resultados obtenidos de los campos de temperatura y mostrar

como influyen los parámetros adimensionales involucrados en el análisis del

problema.

1.2 Estructura de la tesis.

El capitulo 2 de este trabajo se enfoca principalmente en mostrar un panorama

general sobre el estudio de la microfluídica y el manejo de fuerzas para mover fluidos

sin necesidad de accionar elementos mecánicos; y a su vez se señala al flujo

electrocinético como uno de los principales métodos para el movimiento de fluidos

químicos y biológicos en microcanales. También se señala la aplicación de las

ecuaciones de Maxwell para el estudio de fenómenos electromagnéticos relacionados

con el movimiento de fluidos. Además, en este capítulo, se establecen las ecuaciones

gobernantes generales de la conservación de la masa, conservación de la cantidad de

movimiento, ecuación constitutiva de fluidos no Newtonianos con ley de potencia y

ecuación de conservación de la energía.

En el capitulo 3 se describe el esquema del modelo físico de estudio, además del

establecimiento de las hipótesis propuestas para la simplificación de las ecuaciones

gobernantes generales en coordenadas cartesianas vistas en el capitulo anterior.

Después se establecen escalas características para el objeto de estudio y se realiza una

estimación de órdenes de magnitud de variables representativas dentro de los rangos

de los valores típicos en flujos electro-osmóticos en microcanales, para simplificación

de las ecuaciones gobernantes generales y obtener el modelo matemático a resolver.

Se identifican los parámetros adimensionales del problema.

En el capitulo 4 primero se hace el análisis numérico del modelo matemático,

discretizandolo en diferencias finitas centrales y se resolvió por el método iterativo de

Sobre Relajación Sucesiva (Successive Over Relaxation -SOR-, en el idioma ingles),

para diferentes valores de los parámetros adimensionales involucrados en el análisis.


PARALELAS.


12

Después se determina una solución analítica con el objetivo de respaldar la solución

numérica establecida anteriormente.

Para el capitulo 5 se grafican los resultados obtenidos numéricamente para el

potencial eléctrico para diferentes valores del parámetro electrocinético; después se

hace para los perfiles de velocidad, mostrando la influencia que tienen el índice de

comportamiento de flujo y el parámetro electrocinético. Posteriormente se presentan

los resultados para los perfiles de temperatura en diferentes posiciones transversales;

y como afectan las variaciones de los valores del índice de comportamiento del fluido,

las ubicaciones de la coordenada axial, el parámetro que representa el calor generado

por el calentamiento Joule al flujo de calor en la superficie externa del microcanal, el

parámetro electrocinético, el número de Peclet y la relación de aspecto geométrico del

microcanal. Se hace la comparación entre la solución numérica y analítica del perfil de

temperatura para la coordenada axial. Por último, se realizan gráficas para el

potencial eléctrico, perfiles de velocidad y de temperatura, utilizando valores físicos.


PARALELAS.


13

Capítulo 2

Antecedentes

2.1 Microfluídica

La microfluídica se refiere al estudio de dispositivos y métodos para controlar y

manipular flujos de fluidos con longitud de escalas menores a un milímetro (Stone et

al, 2004). Bayraktar y Pidugu (2006), establecen que la dimensión característica de un

microcanal en un sistema de microfluido está en el rango de1 1000− micrómetros.

En la actualidad han tenido una gran relevancia los estudios de fenómenos que

involucran el manejo de sustancias coloidales y la mecánica de fluidos en dispositivos

con escalas del orden de unas decenas o cientos de micrómetros. El enfoque de la

microfluídica se centra en cuatro tareas fundamentales (Stone et al., 2004):

1) desarrollo de métodos diseño y fabricación de microdispositivos integrados,

2) manipulación de pequeños volúmenes (microlitros),

3) uso potencial de microsistemas para estudios fundamentales de procesos

físicos, químicos y biológicos, y

4) rentabilidad en la aplicación de microdispositivos en las diversas tareas de

análisis.

En este contexto, la literatura de la microfluídica contiene una amplia descripción

de diversos tipos de elementos funcionales en donde se incluyen válvulas, bombas,

actuadores, interruptores, dispensadores, mezcladores, filtros, separadores,


PARALELAS.


14

intercambiadores de calor, etc., algunos de los cuales son motivadores para

investigaciones y propuesta de nuevas configuraciones, (Stone et al., 2004).

El concepto de Sistema Total de Análisis Miniaturizado (MTSA, por sus siglas en

ingles) o “laboratorio en un chip” (lab-on-a-chip,en el idioma inglés), fue desarrollado

por Manz, (Hu y Li, 2006). Dichos términos se usan para dispositivos que usan fluidos

como medio de trabajo e integran un número diferente de funciones en una escala

pequeña; entre las mas importantes son: preparación, transporte, separación y

detección de fluidos, (Steffen y Friedhelm, 2007). De esta manera, en un laboratorio

en un chip se puede incorporar muchos de los componentes necesarios y funciones de

un laboratorio típico que realiza un análisis biológico o químico, incluyendo las ya

mencionadas, (Hu y Li, 2006). Así, el concepto de laboratorio en un chip, surge como la

integración de todos los componentes antes mencionados, y demuestra el éxito en la

ejecución de procesos de síntesis, análisis y reacción de muestras en pequeños

volúmenes de fluidos. Sin embargo, se debe mencionar que en la actualidad existen

tópicos de fundamental interés sobre estos dispositivos que asocian los procesos de

transporte de masa, momento y energía. El desarrollo de un chip no es simplemente el

uso de instrumentos convencionales en escalas pequeñas, requiere del entendimiento

y control de muchos fenómenos físicos y químicos, abarcando escalas que van de

centímetros hasta nanómetros, (Hu y Li, 2006; Stone et al., 2004; Steffen y Friedhelm,

2007).

Entre los aspectos para el diseño de microflujos se pueden considerar el manejo de

fuerzas para mover el fluido y las características de los conductos llamados

microcanales. Se ha reportado que los microflujos pueden ser manipulados por

diversos tipos de campos externos, ejercidos por fuerzas de presión, eléctricas,

magnéticas, capilares, sonoras, etc., también es posible combinar dichas fuerzas con

las características mecánicas, geométricas y químicas del microcanal según convenga

para el mejor flujo del fluido, (Hu y Li, 2006; Stone et al., 2004; Steffen y Friedhelm,

2007).

Siguiendo el contexto, las microbombas tienen buen desarrollo para el flujo

contínuo en un laboratorio en un chip. Laser y Santiago (2004), Chunsun et al. (2007)

reportan clasificaciones y aplicaciones de las microbombas de acuerdo a su principio

de funcionamiento. Desde las primeras bombas introducidas en 1980, los progresos en

el análisis y desarrollo de microbombas han sido rápidos, (Laser y Santiago, 2004).

Las microbombas utilizadas para la manipulación de microfluidos generalmente se


PARALELAS.


15

clasifican en dos grupos: mecánicas con partes móviles y no mecánicas con partes no

móviles, (Chunsun et al., 2007). Las primeras se dividen a su vez en varias categorías:

piezoeléctricas, neumáticas, termoneumáticas, electrostáticas, electromagnéticas y

bimetálicas; mientras que las no mecánicas principalmente incluyen microbombas

electrocinéticas, magnetohidrodinámicas (MHD, por sus siglas en inglés),

electroquímicas, de onda acústica, de tensión superficial y capilaridad (Laser y

Santiago, 2004).

Los mecanismos electrocinéticos incluyen electro-osmósis, electroforesis y

dielectroforesis, y juegan roles cada vez más importantes en dispositivos en micro y

nano escalas, (Hu y Li, 2006). El transporte de fluidos en microcanales de dispositivos

microfluídicos usa dos métodos comunes: imposición de un diferencial de presión-flujo

de Poseuille- y por la imposición de un campo eléctrico-flujo electro-osmótico-,

(Bayraktar y Pidugu, 2006). De esta forma, las microbombas electro-osmóticas han

surgido como una opción viable para diversas aplicaciones, (Laser y Santiago, 2004),

como son:

• mezcla de muestras médicas y biológicas.

• análisis en el área alimenticia.

• análisis en plantas de tratamiento de agua.

En forma general, algunas ventajas del uso de dispositivos microfluídicos en la

industria biomédica son:

• bajo costo de producción en masa de estructuras microfluídicas.

• alto rendimiento de procesos en paralelo.

• uso de un reducido volumen de la muestra o reactivo.

• reducido desperdicio de las muestras.

• posibilidad de fabricación de dispositivos desechables altamente

integrados.

2.1.1 Macro, micro y nano flujos.

Una cantidad importante a determinar en el flujo de un fluido es el número de

Reynolds e c c

R u Lρ µ= para indicar el régimen de flujo en que se encuentra el

sistema, en donde ρ y µ son la densidad y viscosidad dinámica del fluido, cu y

cL son

la velocidad y longitud característica del sistema respectivamente, (Steffen y

Friedhelm, 2007). En el diseño de sistemas de tubos circulares macroscópicos el


PARALELAS.


16

régimen de flujo es generalmente turbulento con 2300eR ≥

y en el caso de sistemas

con 2300eR ≤

el régimen es laminar. En contraste, en la escala de microflujos el

régimen es usualmente laminar; en este caso, considerando valores característicos

para sistemas de laboratorios en un chip, se obtienen valores de 1eR ∼

y menores.

Esto demuestra que el flujo dentro del microcanal usualmente ocurre en régimen

laminar donde el flujo es gobernado por las fuerzas viscosas. El carácter laminar en

microflujos tiene aplicaciones importantes para el diseño de sistemas microfluídicos

en el monitoreo, control, resolución y modelado de análisis de muestras, en procesos

de separación, detección y reacción, así como en el empleo de herramientas

computacionales para simulación de los sistemas. Otra diferencia fundamental entre

macro y microflujos es la influencia de la teoría de capa límite. En macroflujos, los

campos de velocidad, temperatura y concentración son significativamente diferentes

en la región de la capa límite respecto de la región restante del dominio del flujo. En

microflujos, las capas límite gobiernan y se extienden en todo el dominio del flujo; de

esta manera la cobertura de capas límite en microflujos puede ser explotada para

determinar de forma más relevante los campos de flujo, temperatura y concentración,

y su consecuente aprovechamiento en el control y manipulación, (Steffen, 2007).

Por otra parte en recientes años, ha ocurrido un progreso significante en el campo

de la nanofabricación, este progreso ha llevado a la manipulación de fluidos en

dominios de longitudes por debajo de un micrómetro. El manejo de fluidos en estas

escalas hace parecer en algunos casos que la perspectiva de aplicación sea más remota

que en el caso de microflujos; es por eso que, conforme las estructuras de conducción

de los fluidos se vuelven más pequeñas, es conveniente revisar la aplicabilidad de las

leyes macroscópicas de trasporte de momento, energía y masa. En el caso de flujos

macroscópicos, las leyes fundamentales de transporte siguen la hipótesis del medio

continuo, en donde el efecto del tamaño y espaciamiento intermolecular de los fluidos

transportados respecto al tamaño de la escala longitudinal de los sistemas en donde se

desplazan no afecta la aplicación de esta hipótesis. La aplicación de la teoría del

medio continuo y el uso de sus ecuaciones gobernantes de transporte se analiza con el

número adimensional de Knudsen. ,

nK dλ=

donde λ es la trayectoria libre promedio

entre las moléculas del fluido y d es la longitud característica de conducto por donde

fluye el fluido (Steffen y Friedhelm, 2007). ( ) ( )22

Bk T pλ πσ= , donde

Bk es la

constante de Boltzmann, T la temperatura, σ el diámetro promedio de la partícula


PARALELAS.


17

de fluido y p la presión total del sistema de flujo. Hu y Li, (2006) mencionan que para

el flujo de gases y con valores de 0.01nK <

la hipótesis del medio continuo es aplicable.

En el intervalo de 0.01 0.1nK< <

la hipótesis del medio continuo puede ser todavía

aplicable a las ecuaciones gobernantes, sin embargo, las condiciones de frontera en las

paredes sólidas tienen que considerar el efecto del deslizamiento del fluido. Para

valores altos del número de Knudsen, en la región de transición 0.1 10Kn< < las

ecuaciones del medio continuo no proveen una adecuada descripción de los procesos de

transporte y en general este rango del número de Knudsen ofrece una alta

complejidad de análisis para la predicción de los campos de velocidad, temperatura y

concentración, debido a las colisiones intermoleculares entre moléculas del fluido y las

paredes sólidas. Para valores de 10nK >

es alcanzado el régimen de flujo molecular

libre entre las moléculas del fluido y las paredes sólidas y las colisiones entre

moléculas pueden ser despreciadas. También señalan que en el caso de flujo de

líquidos, el fenómeno fluídico en microescalas en el 100 100∼ ∼nm µm todavía puede

ser descrito por la hipótesis del método continuo. Es importante considerar que el

decremento de la longitud de las escalas provoca importantes fuerzas superficiales,

haciendo que los efectos electrocinéticos sean relevantes, y los efectos inerciales sean

despreciables; es decir, que el transporte de masa en dispositivos microfluídicos esta

dominado por fuerzas viscosas mas que por fuerzas inerciales. Los canales fluídicos

continuos debajo de la escala de 100nm entran en la región de nanofluídica. La Tabla

2.1 resume algunos valores característicos manejados en la escala de macro, micro y

nanoflujos, y los correspondientes valores de los números adimensionales de R K .e ny

2.1.2 Simplificación de las ecuaciones de Maxwell para fenómenos

electrocinéticos.

Las ecuaciones de Maxwell son el conjunto de ecuaciones que describen por

completo los fenómenos electromagnéticos y están dadas por la Tabla 2.2, (Griffiths,

1999). Y en la actualidad pueden ser reducidas de la manera como se muestra en la

Tabla 2.3, (Griffiths, 1999; Masliyah y Bhattacharjee, 2006).

DondetotJ

es la corriente total, J es la densidad de corriente eléctrica, D es la

densidad de flujo eléctrico, e

ρ es la densidad de carga eléctrica libre, E es el campo

eléctrico, ψ es el potencial eléctrico, σ es la conductividad eléctrica del medio, H es la


PARALELAS.


18

Tabla 2.1 Valores típicos geométricos, físicos (soluciones acuosas) y de flujo en dispositivos macro, micro y

nano.

Parámetro Notación Unidad Macro Referencia Micro Referencia Nano Referencia

Altura del

microcanal cL ( )m ∼

-210

Mataix, 2008 ∼

-410

Bayraktar,

2006;

Horiuchi, 2004

∼

-810

Wang, 2010

Densidad ρ ( )3Kg m

10∼

3 Mataix, 2008 ∼

310

Tang,

2004a,2007;

Das, 2006

∼

310 Wang, 2010

Viscosidad

dinámica µ ( )⋅Pa S ∼

-310

Mataix, 2008 ∼

-310

Das, 2006;

Horiuchi,

2004; Zhao,

2008

∼

-310

Wang, 2010

Temperatura T ( )K ∼

210 Mataix, 2008 ∼

210

Tang, 2004a;

Das, 2006;

Xuan, 2008

∼

210 Wang, 2010

Presión p ( )Pa ∼

510 Mataix, 2008 ∼

510

Bayraktar,

2006 ∼

510 Andriy, 2011

Diámetro

promedio de la

partícula

σ ( )m ∼

-910

Masliyah,

2006

∼

-910

Masliyah,

2006

∼

-910

Masliyah,

2006

Velocidad cu ( )m s

∼

010 Mataix, 2008 ∼

-310

Ramos, 2007;

Bayraktar,

2006;

Stone, 2004

∼

-310

Wang, 2010

Número de

Reynolds eR

∼

410 ∼

-110

∼

-510

Número de

knudsen nK ∼

-710

∼

-510

∼

-110

intensidad de campo magnético, µ es la permeabilidad magnética, V es la velocidad

de la carga del campo magnético, A es el potencial magnético, ε es la permisividad

del medio, y B es la densidad del flujo magnético.

En forma complementaria, se establecen las siguientes relaciones

electromagnéticas para un medio homogéneo dadas por las siguientes ecuaciones

,

0 rε ε ε= =D E E

(2.1)


PARALELAS.


19

,

0 rµ µ µ= =B H H

(2.2)

donde ,

0ε ,

rε ,

0µ

y

rµ

son la permisividad del vacío, la permisividad relativa del

medio, la permeabilidad magnética del vacío y la permeabilidad magnética relativa

del medio. Aunque la velocidad de la luz no aparece explícitamente en las ecuaciones

de las Tablas 2.2 y 2.3, las cuales gobiernan la propagación de las ondas

electromagnéticas, es un parámetro importante que es recuperado mediante la

siguiente expresión

21 ,

0 0cµ ε =

(2.3)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío.

Tabla 2.2 Ecuaciones de Maxwell de los fenómenos electromagnéticos.

Por otra parte, en el contexto sobre los límites del electromagnetismo para

simplificar las ecuaciones de Maxwell, se pueden derivar las ecuaciones en

condiciones electro-cuasiestáticas y magneto-cuasiestáticas en el movimiento de

fluidos para desacoplarlos efectos eléctricos y magnéticos. Los términos cuasiestáticos

Nombre Ecuación en forma diferencial

Ley de corrientes totales ( )ttot

= + ∂ ∂J J D

Vector potencial magnético µ = ∇ ×H A

Ley circuital de Ampere tot

∇ × =H J

Fuerza de Lorentz ( )tµ ψ= × − ∂ ∂ − ∇E V H A

Ecuación de electricidad elástica ε =E D

Ley de Ohm σ =E J

Ley de Gauss e

ρ∇ ⋅ =D

Ecuación de continuidad de carga ( )te

ρ∇ ⋅ = − ∂ ∂J


PARALELAS.


20

se refieren a un movimiento lento del fluido, y se describe como lento en comparación

a la velocidad de la luz, (Castellanos, 1998).

De esta forma, considerando primeramente la ecuación de la conservación de la

energía en un sistema, (Kikuchi, 1999)

Tabla 2.3 Ecuaciones de Maxwell reducidas de los fenómenos electromagnéticos.


Ley de Gauss e

ρ∇ ⋅ =D

Ley de Gauss para el campo magnético 0∇ ⋅ =B

Ley de Faraday t∇ × = −∂ ∂E B

Ley generalizada de Ampere ( )t∇ × = + ∂ ∂H J D

0,W

t

∂+ ∇ ⋅ =

∂Q

(2.4)

donde W es la densidad total de energía del sistema y Q es la densidad total de flujo

de energía, las cuales son definidas a continuación

2 2 21 1 1,

2 2 2W V U E Hρ ρ ε µ= + + + , (2.5)

21,

2V V h V k Tρ= + − − ∇ + ×

Q E HΠΠΠΠ

(2.6)

donde U y h son la energía interna y la entalpía por unidad de masa, ΠΠΠΠ y k son el

tensor de esfuerzos viscosos y la conductividad térmica del fluido, respectivamente.

Estableciendo la competencia entre los términos de la densidad de energía eléctrica

y magnética de la ecuación (2.5), (Castellanos, et al., 1998; 2007), se tiene lo siguiente

2 2

2 2 2

2,

2

E E

B c B

εµ

=

(2.7)

con 2

1 .cµε ∼


PARALELAS.


21

Por otra parte, Ramos (2007) indica que para sistemas microfluídicos, el campo

magnético j

B generado por el flujo de una corriente eléctrica debido a la aplicación de

un campo eléctrico, se puede determinar de la ecuación de la ley de Ampere, Tabla

2.3.

( ) ,t∇× = + ∂ ∂H J D

(2.8)

como la densidad de flujo eléctrico D no varía con respecto al tiempo en condiciones

electrocuasiestáticas, se tiene

,∇× =H J (2.9)

sustituyendo la ecuación (2.2) en la ecuación (2.9) se transforma de la siguiente

manera

.µ∇× =B J (2.10)

Proponiendo las siguientes escalas características para el campo magnético,

geometría del sistema microfluídico y para la densidad de corriente

;c j

B B∼

1;l

∇ ∼

;

cJ j∼

(2.11)

donde j y l , son la densidad de la corriente y longitud característica.

De las escalas de la ecuación (2.11), se establecen las siguientes variables

adimensionales, respectivamente

;

j

BB

B

∗ =

;l∗∇ ∇∼

;

JJ

j

∗ =

(2.12)

sustituyendo la ecuación (2.12) en la (2.10), ésta se transforma en la siguiente

expresión


PARALELAS.


22

,

jB

B J jl

µ∗ ∗ ∗∇ × =

(2.13)

por lo tanto, el orden de magnitud del campo magnético generado por una corriente

eléctrica se obtiene de la ecuación (2.13)

.

jB jlµ∼

(2.14)

De la Ley de Ohm, de la Tabla 2.2

,σ =E J (2.15)

se establece la siguiente escala característica para el campo eléctrico aplicado

,

c xE E∼

(2.16)

de donde se obtiene la siguiente variable adimensional

,

x

EE

E

∗ =

(2.17)

sustituyendo las variables adimensionales correspondientes de la ecuación (2.12) y

(2.17) en la ecuación (2.15), se obtiene

,

xE E jJσ ∗ ∗=

(2.18)

de la ecuación anterior, el orden de magnitud de la densidad de corriente eléctrica es

.

xEj σ∼ (2.19)

Por tanto, considerando materiales no magnéticos 0µ µ≈

y tomando en cuenta

valores típicos de sistemas microfluídicos con soluciones electrolíticas acuosas, se


PARALELAS.


23

obtiene el orden de magnitud del campo magnético ,

jB a partir de la ecuación (2.14) y

(2.19)

1,j

B jlµ <<∼

(2.20)

y poder evaluar en ordenes de magnitud de la ecuación (2.7),

2

2

21.

2

x

j

E

B

ε>>

(2.21)

Lo anterior implica que los efectos del campo magnético en las ecuaciones de

Maxwell pueden ser desacopladas, (Ramos, 2007; Castellanos et al., 1998; 2007). De

esta manera, las ecuaciones de Maxwell aplicables a flujos electrocinéticos se reducen

en la Tabla (2.4).

Tabla 2.4 Ecuaciones de Maxwell aplicables al estudio de la electrohidrodinámica.

2.2 Flujos electrocinéticos.

2.2.1 Doble Capa Eléctrica.

En 1870, Helmholtz desarrolló la teoría de la doble capa eléctrica (EDL, por sus

siglas en inglés), la cual relaciona los parámetros eléctricos y de flujo para el

transporte electrocinético, y está formada por una capa fija y una capa difusa (Stern

Layer y Difusse Layer, respectivamente en el idioma inglés), como lo muestra la

Figura (2.1), (Karniadakis et al., 2005).


Ley de Gauss De

ρ∇ ⋅ =

Ley de Faraday 0E∇ ⋅ =

Ecuación de continuidad de carga ( )J teρ∇ ⋅ = − ∂ ∂


PARALELAS.


24

Figura 2.1 Representación de la doble capa eléctrica.

Generalmente, la superficie sólida del microcanal adquiere cargas electrostáticas

cuando está en contacto con una solución acuosa. La superficie cargada atrae iones

opuestos en el líquido hacia la región cercana a la pared, formando así la EDL. Bajo el

efecto de un campo eléctrico aplicado tangencialmente, el exceso de iones de carga

opuesta a la pared dentro de la EDL será movida, dando como resultado el

movimiento de todo el volumen del líquido por efecto viscoso, (Hu y Li, 2006).

El plano entre la capa fija y la capa difusa es llamada plano de corte, el potencial

eléctrico en ese plano es llamado zeta potencial o ,ζ (Bayraktar y Pidugu, 2006).

La EDL se forma típicamente en el orden de unos cuantos nanómetros de espesor o

un poco mas gruesa, dependiendo de la concentración iónica de la solución (entre mas

alta concentración iónica, mas bajo será el espesor de la EDL), (Bayraktar y Pidugu,

2006). Su magnitud puede ser definida aproximadamente por la longitud de Debye o

1κ − que depende de la concentración molar del fluido ionizado y está dada por

12 2 2

1 2,

B

n z e

k Tκ

ε− ∞=

(2.22)

donde n∞ es el número de concentración iónica general de la solución, z es la valencia

del electrolito, e es la carga elemental, ε es la permisividad dieléctrica del medio y Bk

es la constante Boltzmann, (Masliya y Bhattacharjee, 2006).


PARALELAS.


25

2.2.2 Clasificación de flujos electrocinéticos.

Masliyah y Bhattacharjee (2006), dividen el fenómeno electrocinético en :

Electro-osmósis, que representa el movimiento, debido a la aplicación de un campo

eléctrico, de una solución electrolítica relativa a una superficie estacionaria. La

presión necesaria para contrabalancear el flujo electro-osmótico es llamada presión

electro-osmótica. Dicha presión entre los dos extremos del microcanal puede ser

medida cuando no hay flujo a través del capilar bajo la influencia de la aplicación del

campo eléctrico, y puede ser despreciada a fin de estudiar únicamente el efecto

electro-osmótico. La Figura 2.2, muestra un esquema del flujo electro-osmótico.

Por ejemplo, cuando un silicato está en contacto con una solución acuosa, su

superficie puede ser cargada con iones negativos, positivos o neutrales, dependiendo

del PH de la solución electrolítica. Si la superficie del canal es cargada con iones

negativos, los iones positivos dentro del fluido son atraídos hacia dicha superficie y se

agrupan inmediatamente cerca de la pared, formando la capa fija, que tiene el grosor

del diámetro de un ion; dichos iones son atraídos con grandes fuerzas electrostáticas,

por lo tanto son inmovilizadas cerca de la superficie de la pared cargada.

Inmediatamente después de la capa fija se forma la capa difusa, en donde los iones

son libres para moverse, (Karniadakis et al, 2005). Bajo un campo eléctrico aplicado,

los iones positivos dentro de la capa difusa se mueven en la dirección del campo

eléctrico, provocando el traslado de dicho movimiento al fluido entre las dos EDL’s a lo

largo del canal, debido a la naturaleza cohesiva del fluido (viscosidad), dejando una

fuerza electrocinética de cuerpo sobre la totalidad del fluido, (Bayraktar y Pidugu,

2006).

Figura 2.2 Flujo electro-osmótico en un tubo capilar, adaptada de Masliyah y Bhattacharjee, 2006.


PARALELAS.


26

Potencial de corriente, un campo eléctrico es creado cuando una solución

electrolítica es hecha fluir a través de una superficie estacionaria, por la aplicación de

un gradiente de presión. Este tipo de flujo es generalmente encontrado en

microcanales estrechos conectados a dos receptores. Si una solución electrolítica es

bombeada a través de un microcanal cargado negativamente, el campo eléctrico

creado fluirá en sentido contrario al flujo de la solución. Este principio es utilizado en

la desalinización del agua de mar y es considerado lo opuesto a la electro-osmósis. En

la Figura 2.3, se puede apreciar una representación del potencial de corriente.

Figura 2.3 Desarrollo de potencial de corriente cuando un electrolito es bombeado a través de

un capilar, adaptada de Masliyah y Bhattacharjee, 2006.

Electroforesis, es el movimiento de una superficie cargada, relativa a un líquido

estacionario, causado por la aplicación de un campo eléctrico a dicho líquido, como se

muestra en la Figura 2.4. Usualmente es empleado para la medición del potencial

superficial de una partícula cargada. En este tipo de flujo, no se puede aplicar algún

tipo de gradiente de presión para provocar el flujo.

Sedimentación de potencial, un campo eléctrico es creado cuando partículas

cargadas se mueven relativamente a un líquido. El movimiento de las partículas

puede ser bajo un campo gravitacional o centrifugo. Este fenómeno es llamado

algunas veces efecto Dorn o migración de potencial. En estricto sentido, la

sedimentación de potencial es definido para el caso en que la corriente de flujo es nulo

en tal proceso. En la Figura 2.5, se puede observar un ejemplo de sedimentación de

potencial.


PARALELAS.


27

Figura 2.4 Electroforesis de una partícula cargada en un campo eléctrico externo, adaptada de

Masliyah y Bhattacharjee, 2006

Figura 2.5 Sedimentación por gravedad de partículas coloidales cargadas estableciendo un

potencial de sedimentación, adaptada de Masliyah y bhattacharjee, 2006.

2.2.3 Sistemas coloidales.

Una gran cantidad de sustancias que se utilizan en la vida diaria son mezclas, es

decir a un sistema de mas de un componente en los que distinguimos un disolvente y

uno o varios solutos. En la mayor parte de los casos el soluto esta constituido por

moléculas normales, cuyo tamaño suele ser inferior a 1nm, (Rodríguez, 2008).


PARALELAS.


28

El transporte electrocinético está relacionado estrictamente al campo de las

ciencias coloidales, por lo tanto es necesario el entendimiento del fenómeno y sistemas

coloidales para el estudio de los procesos electrocinéticos. Thomas Graham (1805 –

1869) inventó los términos coloidal y cristaloide para clasificar dos tipos de materia.

Los cristaloides forman una solución homogénea cuando son disueltas en un solvente

(Masliyah y Bhattacharjee, 2006). Los sistemas coloidales son sistemas de al menos

dos fases, una de ellas finamente dividida en pequeñas partículas llamada fase

dispersa o fase discontinua, a las que rodean completamente la otra sustancia

llamada fase dispersante o fase continua, (Rodríguez, 2008).

Por ejemplo, al considerar una solución acuosa con partículas de silicato con

diámetro de 25nm ( )91 10 ,

−=nm m serán aproximadamente 100 veces mas grandes

que las moléculas de agua ( )0.276nm . En este caso, aunque las moléculas son

separadas aparecerán como parte de un medio continuo relativo a las partículas del

silicato. En contraste, si añadimos una sal (por decir NaCl) a la dispersión, los iones

de sodio y cloro con diámetro hidratado aproximadamente de0.4-0.5nm serán del

mismo rango de magnitud que el solvente. En este caso, los iones también aparecerán

como parte de un medio continuo relativo a las partículas de silicato. Por lo tanto,

para tener un sistema coloidal, el medio suspendido o separado tendrá un tamaño

aproximado de una orden de magnitud mas grande que las moléculas del solvente,

entonces, las partículas coloidales son usualmente definidas como entidades que

tienen un rango de magnitud de 1nm a µ10 m ( )µ -61 m =10 m . En la Figura 2.6, se

muestra la magnitud de partículas típicas para sistemas coloidales.

Como ejemplo de coloides podemos citar: nieblas, humos, smog, que son

dispersiones de finas partículas en un medio de dispersión gaseoso, o aerosoles; leche,

una dispersión de finas gotas de grasa en agua, o emulsión; pinturas, lodos,

dispersiones de finas partículas solidas en un medio liquido (aceite, agua); gelatinas,

dispersiones de macromoléculas en liquido, o geles; por nombrar algunos.

De forma genérica, según la naturaleza de la fase dispersa y de la fase contínua,

los distintos tipos de sistemas coloidales se exponen en la Tabla 2.5, (Masliyah y

Bhattacharjee, 2006).


PARALELAS.


29

Tabla 2.5 Algunos sistemas coloidales típicos, adaptada de Masliyah y Bhattacharjee, 2006.

Ejemplos Clase Fase

Dispersa Contínua

“Sistemas dispersos”

Niebla, neblina, humo, aerosol,

atomizadores

Aerosol liquido o aerosol de

partículas líquidas

Líquido Gas

Humos industriales Aerosol sólido o aerosol de

partículas sólidas

Sólido Gas

Leche, mantequilla, mayonesa,

asfalto, cremas farmaceúticas

Emulsiones Líquido Líquido

Coloides inorgánicos (oro, sulfuro,

hidróxidos metálicos, etc),

pinturas*

Sales o suspensiones coloidales Sólido Líquido

Arcillas, pasta dental, barro Cuando son muy concentradas,

llamadas pastas

Sólido Líquido

Ópalo, perlas, vidrio con dibujos

coloreados, Plásticos pigmentados

Suspensión sólida o dispersión Sólido Sólido

Espumas Espuma** Gas Líquido

Plásticos expandidos

Óxidos y carbones microporosos,

gel sílica, vidrio poroso

“Coloides macromoleculares”

Jaleas, pegamento

“Asociación coloidal”

Sopa/agua, detergente/agua,

colorantes

“Biocoloides”

Sangre

Hueso

Músculo, membrana celular

“Sistemas coloidales de tres fases”

Aceite tendiendo a roca

Vapores capilares condensados

Escarchas pesadas

Flotación mineral

Emulsiones dobles

Espuma sólida

Xerogeles

Geles

Roca porosa

Sólido poroso

Roca o tierra porosas

Mineral

Aceite

Gas Sólido

Macromoléculas Solvente

Micelles Solvente

Corpúsculos Suero

Hidroxiapatita Colágeno

Estructuras proteínicas, lecitina de capa

delgada, etc.

Fases coexistentes

Aceite Agua

Líquido Vapor

Hielo Agua

Agua Burbujas de aire

Fase acuosa Agua

* Muchas pinturas modernas son mas complejas, conteniendo pigmentos dispersos y pequeñas gotas de emulsión.

** En una espuma, usualmente el espesor de la capa del medio de dispersión es de dimensiones coloidales, aunque la fase dispersa

puede también ser finamente dividida.


PARALELAS.


30

Figura 2.6 Magnitud de partículas típicas en un sistema coloidal, adaptado de Masliyah y Bhattcharjee,

(2006)

2.2.4 Flujos electro-osmóticos de fluidos no Newtonianos.

Una parte importante de la hidrodinámica de los fenómenos electrocinéticos ha

sido ampliamente revisada por Masliyah y Bhattacharjee (2006), Karniadakis et al.

(2005) y Li (2004). Cuando se requiere el transporte de fluidos biológicos a través de

microsistemas basados en biochips, se hace necesario caracterizar matemáticamente

los mecanismos de transporte asociados al proceso para un diseño eficiente de los

sistemas microfluídicos. Generalmente, las estrategias de caracterización se han

basado en el transporte de fluidos Newtonianos, sin embargo, esta consideración es un

tanto inadecuada para ciertas aplicaciones. Aunque en la literatura existen diversos

modelos para analizar el comportamiento de fluidos no Newtonianos, en la actualidad,

todavía aparecen implicaciones pertinentes sobre el transporte de flujos

electrocinéticos que todavía no han sido resueltos completamente por la comunidad


PARALELAS.


31

científica, (Das y Chakraborty, 2006). Zhao et al. (2008), Berli y Olivares (2008), y

Tang et al. (2009), realizaron estudios en la hidrodinámica de flujos electro-osmóticos

considerando fluidos no Newtonianos con el modelo de Ley de potencia. Muchos

biofluidos son viscoelásticos (sangre, soluciones de ADN), y demuestran

extraordinario comportamiento de flujo, que no existen en fluidos Newtonianos. Park

y Lee (2007), idearon un método simple para encontrar la velocidad del flujo

volúmetrico de un fluido viscoelástico; basado en la velocidad Helmholtz-

Smoluchowski, la cual es ampliamente adoptada en fluidos Newtonianos. Dhinakaran

et al. (2010), describen la reología de un fluido viscoelástico entre dos placas paralelas

basados en el modelo Phan-Thien-Tanner. También incluyen una ecuación no lineal

Poisson-Boltzmann gobernando la EDL y una fuerza de cuerpo generada por el

potencial de campo eléctrico aplicado. Las soluciones analíticas de la hidrodinámica

para fluidos viscoelásticos entre placas paralelas y tubos capilares bajo la influencia

combinada de fuerzas electrocinéticas y de gradiente de presión, usando la

aproximación Debye-Huckel, incluyendo también solo para flujo electro-osmótico, son

presentadas por Afonso et al., (2009). Das y Chakraborty(2006), proponen una

solución analítica para el campo de velocidad, temperatura y concentración de

muestras de sangre en donde el índice de comportamiento de flujo está en función de

la fracción de hematocrito; en este caso se utilizan conductividades eléctricas del

solvente muy elevadas cerca del límite de la aplicación de flujos electro-osmóticos

(Steffen y Friedhelm, 2007), después, Das y Chakraborty (2006) indican que la

variación de la temperatura típica en la aplicación de flujos electro-osmóticos está en

el ∼10K . Escandón et al. (2010), resuelven numéricamente el problema conjugado de

transferencia de calor en estado estable entre el flujo de un fluido no Newtoniano y las

paredes solidas de un microcanal, bajo la influencia de fuerzas electro-osmóticas y de

presión; y determinan el campo de velocidades tomando en cuenta un modelo reológico

viscoelástico con un esquema de Phan-Thien-Tanner. Con el objetivo de ampliar el

conocimiento sobre el flujo de fluidos no Newtonianos en microcanales, el presente

trabajo hace un análisis de diversos parámetros adimensionales de transporte que

surgen del modelado matemático para la descripción de los campos de temperatura y

velocidad para un flujo electro-osmótico de un fluido seudoplástico en un microcanal

de placas planas paralelas.


PARALELAS.


32

2.3 Ecuaciones gobernantes generales.

Las ecuaciones gobernantes generales que describen los fenómenos de transporte

del presente trabajo, son: la ecuación del potencial eléctrico dentro de la EDL,

conservación de la masa, conservación de la cantidad de movimiento, ecuación

constitutiva de fluidos no Newtonianos con ley de potencia, y conservación de la

energía en la región del fluido del microcanal. Estas ecuaciones se presentan a

continuación.

Ecuación de Poisson – Boltzmann.

La mayoría de las superficies consiguen cargas eléctricas superficiales cuando

entran en contacto con un electrolito. Las fuerzas electrostáticas derivadas de estas

cargas eléctricas superficiales son esenciales para estabilizar las suspensiones

coloidales y juegan un papel relevante en sistemas de conductos con flujo de fluidos

biológicos y procesos industriales. En orden de entender el papel de la concentración y

distribución de cargas y del potencial eléctrico, Masliyah y Bhattacharjee (2006),

realizan un estudio sobre le electrostática en este tipo de fluidos en ausencia de una

corriente eléctrica en contacto con superficies sólidas, como antecedente de su

aplicación en flujos electrocinéticos.

De la ley de Gauss, definida como una ecuación de Maxwell en la Tabla 2.4, que

relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada y las cargas

dentro de la superficie, además tomando en cuenta la relación eléctrica dada por la

ecuación (2.1), se obtiene

.

eε ρ∇ ⋅ E =

(2.23)

Considerando un campo eléctrico irrotacional, es decir 0E∇ × = (Tabla 2.3); de la

fuerza de Lorentz (Tabla 2.2), tomando además en cuenta el fenómeno eléctrico

desacoplado del magnético, se tiene que ψ∇E = - . De esta manera, la distribución del

potencial eléctrico en estado de equilibrio en un microcanal que confina una solución

electrolítica se determina por medio de la ecuación de Poisson

,

eε ψ ρ∇ ⋅ ∇ = −

(2.24)


PARALELAS.


33

de la distribución de Boltzmann para un electrolito simétrico, se tiene que la

densidad de carga eléctrica de la solución electrolítica en las cercanías de las

superficies sólidas de un microcanal dentro de la EDL, está dada por la siguiente

expresión, (Masliyah y Bhattacharjee, 2006)

2 ,e

B

zezen senh

k T

ψρ ∞= −

(2.25)

al sustituir la ecuación (2.25) en (2.24) se tiene la ecuación de Poisson – Boltzmann

para la distribución del potencial eléctrico dentro de la EDL como a continuación se

muestra

2 ,

B

zezen senh

k T

ψε ψ ∞∇ ⋅ ∇ =

(2.26)

Ecuación de la conservación de la masa.

0D

Dt

ρρ+ ∇ ⋅ V = ,

(2.27)

Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento.

D

Dt

ρ= −∇ ⋅

V+ b,ΠΠΠΠ

(2.28)

donde b es las fuerzas de cuerpo por unidad de volumen. ΠΠΠΠ se define como

,ττττpΠ = −Π = −Π = −Π = −I (2.29)

donde ΙΙΙΙ y ττττ son el tensor identidad y el tensor de esfuerzos, respectivamente. Las

fuerzas de cuerpo b se establecen de la manera siguiente

,

E gb = f + f

(2.30)


PARALELAS.


34

dondeEf y g

f son las fuerzas debidas al efecto del campo eléctrico y gravitacional,

respectivamente.Ef se establece como a continuación se indica, (Masliyah y

Bhattacharjee, 2006; Kikuchi, 1999; Castellanos y Pérez, 2007)

1 1- ,2 2

E e+

ερ ε ρ

ρ∂

= ⋅ ∇ ∇ ⋅∂

f E E E E E

(2.31)

donde el primer término es la fuerza de Coulomb, el segundo es la fuerza dieléctrica y

el ultimo es la fuerza electrorestrictiva. gf se representa por

.

gρ=f g

(2.32)

Ecuación constitutiva de fluidos no Newtonianos con ley de potencia.

Partiendo de la ecuación del tensor de esfuerzos cortantes para fluidos no

Newtonianos

µ ,ɺ=τ γτ γτ γτ γ (2.33)

donde ɺγγγγ es el tensor de la velocidad de deformación, (Morrison, 2001). Se tiene que

1n

m−

ɺµ = γµ = γµ = γµ = γ (2.34)

donde m y n son el índice de consistencia del flujo y el índice de comportamiento de

flujo, respectivamente. La velocidad de deformación se define de la siguiente manera

( )T∇ ∇ɺ V + Vγ =γ =γ =γ =

(2.35)

donde V es el vector de velocidad de flujo.

Ecuación de conservación de la energía.

La ecuación de la conservación de la energía para la región del fluido es


PARALELAS.


35

( ) ,

p

DTC k T

Dtρ = ∇ ∇ + +Π ɺ ɺqγγγγ

(2.36)

donde p

C es el calor especifico del fluido, ɺq es la generación de energía debida al

calentamiento Joule por unidad de volumen en el fluido; esta ultima definida por,

(Tang et al., 2004a; Das y Chakraborty, 2006)

( )( ).

e eV E V E

T

ρ σ ρ σσ

+ +ɺq =

(2.37)


PARALELAS.


36

Capítulo 3

Formulación del problema.

3.1 Modelo físico.

La Figura 3.1 muestra una vista esquemática del modelo físico de estudio, el fluido

fluye a través de un microcanal de dos placas paralelas de altura 2H y longitud L , se

considera 1,L H ≫ y se desprecia el espesor de las paredes del microcanal. El sistema

de coordenadas se compone de una coordenada axial ,x y una coordenada transversal

.y El fluido es de tipo seudoplástico y sigue un modelo reológico de ley de potencia. El

flujo es accionado por la aplicación de un campo eléctrico externo ,

xE

en la dirección

axial entre la entrada y salida del microcanal. El fluido tiene una temperatura

especificada 0T en 0x = y .x L= En la región de 0 x L≤ ≤ hay un flujo de calor

constante 0q′′ desde las paredes del microcanal hacia los alrededores del sistema. En

la figura, se indica la elevada concentración de cargas eléctricas en la zona de la

longitud de Debye 1κ − dentro EDL; además de la velocidad característica cu en la

dirección del flujo.


PARALELAS.


37

Figura 3.1 Esquema del flujo electro-osmótico en un microcanal de placas planas paralelas.

3.2 Ecuaciones gobernantes generales en coordenadas cartesianas.

Las ecuaciones gobernantes de la sección 2.3 en coordenadas cartesianas de

Poisson-Boltzmann, conservación de la masa, conservación de la cantidad de

movimiento, constitutiva de fluidos no Newtonianos de ley de potencia, conservación

de la energía para la región del fluido, consideradas en el presente trabajo son las

siguientes, respectivamente:

0

2,

r r r

B

zen zesenh

x x y y z z k T

ψ ψ ψ ψε ε εε

∞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

(3.1)

( ) ( ) ( ) 0,u v wt x y z

ρρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (3.2)

Ex y

x

L

q´

T0

2H

0

q´ 0

+ - uc

κκκκ−1−1−1−1

κκκκ−1−1−1−1

- -

+

+

+

+

+

+

- -

-

-

-

+ + + + + + + + + + + + + + + - -

+ + + + + + + + - - + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

T0


PARALELAS.


38

0 0

0 0

0 0

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

u u uu pu v w

x y zt x

v v v v pu v w

t x y z y

w w w w pu v w

t x y z z

x y z

x y z

x y x

ρ

ρ ρ

ρ

τ τ τ

τ τ τ

τ τ τ

∂ ∂ ∂∂ ∂+ +∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

,

x

y

z

b

b

b

+

(3.3)

;

xx xy xz xx xx xy yx xz zx

yx yy yz yx xy yy yy yz zy

zx zy zz zx xz zy yz zz zz

xx xx yx xy zx xz

xy yx yy yy zy yz

xz zx y

m

τ τ τ γ γ γ γ γ γτ τ τ µ γ γ γ γ γ γτ τ τ γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γγ γ γ γ γ γγ γ γ

µ

+ + +

= + + +

+ + +

+ + +

+ + +

+

=

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ

1

,

n

z zy zz zzγ γ γ

−

+ +

ɺ ɺ ɺ

(3.4)

0 0

0 0

0 0

p

xx xy xz xx xx yx xy zx xzx

y yx yy yz xy yx yy yy zy

z zx zy zz

T T T T T T TC u v w k k k

t x y z x x y y x z

p

p

p

ρ

τ τ τ γ γ γ γ γ γτ τ τ γ γ γ γ γ γτ τ τ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + +

+ + + +

+

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ .yz x y z

xz zx yz zy zz zz

q q q

γ γ γ γ γ γ+ + + +

+ + +

ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

(3.5)

donde ,u v y w son las componentes de la velocidad en las coordenadas cartesianas

,x y y z respectivamente.


PARALELAS.


39

3.3 Hipótesis.

Las siguientes consideraciones se establecen para simplificar las ecuaciones

gobernantes anteriores:

• El flujo es completamente desarrollado con ( ) , 0,0 .yu=V

• El campo de temperaturas se encuentra en régimen estacionario.

• El flujo es incompresible.

• Las propiedades son constantes con la temperatura para cambios menores a 10

K, (Horiuchi y Dutta, 2004).

• Las paredes del microcanal están sujetas a un flujo de calor constante.

• El efecto de la aceleración gravitacional es únicamente en la dirección de la

coordenada y.

• No se imponen gradientes de presión externos entre la entrada y salida del

microcanal.

• El campo eléctrico es irrotacional, y actúa solamente en la dirección de la

coordenada .x

• El movimiento del fluido obedece al modelo reológico de ley de potencias.

• El potencial Z es uniforme a través de las paredes del microcanal, debido a los

bajos cambios de temperatura en el sistema.

• El calentamiento Joule es uniforme a través del microcanal.

• Análisis bidimensional del sistema en coordenadas x y .y

Por lo tanto, atendiendo a las suposiciones establecidas, las ecuaciones de la

sección 3.2 se transforman de la siguiente manera, respectivamente

2 2

2 2

2,

B

zen zesenh

x y k T

ψ ψ ψε

∞∂ ∂+ =

∂ ∂

(3.6)

0,u

x

∂=

∂ (3.7)

0 ,xy e x

Ey

τ ρ∂

= +∂

(3.8)


PARALELAS.


40

,

pgy

y

ρ∂

=∂

(3.9)

1

,

n

xy

u um

y y

τ−

∂ ∂=

∂ ∂ (3.10)

( )( )

2 2

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

,

xy yx

p xy xy

e x e x

T T TC u k

x x y

u E u E

τ γτ γ

ρ σ ρ σσ

ρ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

+ ++

+ +

ɺ

ɺ

(3.11)

3.4 Estimación de órdenes de magnitud.

Ecuación de Poisson-Boltzmann.

Estableciendo las siguientes escalas características para la región del fluido

;x L∼ ;y H∼ ;ψ ζ∼ (3.12)

donde ζ es el potencial zeta en el plano de corte dentro de la EDL. Se proponen las

siguientes variables adimensionales

;x

x

L

∗ =

;y

yH

∗ =

.

ψψ

ζ∗ = (3.13)

Sustituyendo las variables adimensionales de la ecuación (3.13) en la ecuación

(3.6)

2 2

2 2 2 2

2.

B

zen zesenh

L x H y k T

ζ ψ ζ ψ ζψε

∗ ∗ ∗∞

∗ ∗

∂ ∂+ =

∂ ∂

(3.14)


PARALELAS.


41

Comparando en órdenes de magnitud los términos del lado izquierdo de la ecuación

(3.14), y para valores típicos de flujos electro-osmóticos manejados en el presente

trabajo, se tiene lo siguiente

2

2 21.

H

L H L

ζ ζ∴

≪ ≪ (3.15)

entonces, la ecuación (3.6) puede ser simplificada como a continuación se indica,

2

2

2.

e

B

zen zesenh

y k T

ρψ ψε ε

∞ −∂= =

∂

(3.16)

La ecuación (3.16) es válida para microcanales largos, ,L H≫ donde se considera

que el potencial eléctrico es independiente de la posición axial, y que el fluido está en

estado de equilibrio sin la aplicación de un campo eléctrico, (Masliyah y

Bhattacharjee, 2006). Por otra parte, considerando la aproximación de Debye-Hückel,

tenemos

,

B B

ze zeenh

k T k Ts

ψ ψ

∼ (3.17)

que es válida cuando se cumple la siguiente condición,

1,

B

ze

k T

ψ≤ (3.18)

y que se cumple con valores típicos utilizados en aplicaciones de flujos electro-

osmóticos, por lo tanto, la ecuación (3.16) se puede linearizar de la siguiente manera

2

2

2,

y

ψ κ ψ∂=

∂ (3.19)

donde 2κ es el parámetro Debye-Hückel dado por


PARALELAS.


42

2 2

2 2.

B

z e n

k Tκ

ε∞=

(3.20)

Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.

Estableciendo los siguientes ordenes de magnitud para la ecuación (3.8)

;c

τ τ∼

;y H∼ (3.21)

donde c

τ es el esfuerzo característico. Se proponen las siguientes variables

adimensionales

;

c

ττ

τ∗ =

.

yy

H

∗ = (3.22)

Sustituyendo la ecuación (3.22) en la ecuación (3.8), obtenemos

0 .c

e xE

H y

τ τρ

∗

∗

∂= +

∂ (3.23)

Ahora, comparando en órdenes de magnitud el término de fuerzas viscosas con el

de fuerzas electro-osmóticas, de la ecuación anterior se obtiene que el esfuerzo

característico es como se muestra a continuación

.

c e xE Hτ ρ∼ (3.24)

Por otra parte, estableciendo las siguientes escalas características para la ecuación

(3.9)

;c

p p∼

,y H∼ (3.25)

donde ,

cp es la presión característica. Por lo tanto, se proponen las siguientes

variables adimensionales


PARALELAS.


43

;

c

pp

p

∗ =

,

yy

H

∗ = (3.26)

y ahora sustituyendo las anteriores variables adimensionales en la ecuación (3.9), se

obtiene

.

c

y

p pg

H yρ

∗

∗

∂=

∂ (3.27)

Por lo tanto, el orden de magnitud del gradiente de presión en la coordenada

transversal de la ecuación (3.27) es

,

c

y

pg

Hρ∼ (3.28)

el cual se puede comparar con el término de fuerzas electro-osmóticas de la ecuación

(3.23), obteniendo lo siguiente

;e x yE gρ ρ≫

1,

y

e x

g

E

ρρ

≪ (3.29)

de esta manera, las fuerzas generadas por la columna hidrostática en el sistema

pueden ser despreciadas.

Ecuación de la conservación de la energía.

Tomando en cuenta la siguiente escala característica

,

cu u∼

(3.30)

donde cu

es la velocidad característica y comparando en ordenes de magnitud los

términos constitutivos del calentamiento Joule en la ecuación (3.11), y para valores

típicos de flujos electro-osmóticos


PARALELAS.


44

1,e c

x

u

E

ρσ

≪

(3.31)

El orden de magnitud de la ecuación anterior indica que el calor generado por la

densidad de carga eléctrica moviéndose con el fluido, es despreciable con el efecto

conductivo al aplicar el campo eléctrico (Das y Chakraborty, 2006). Con lo aplicado en

la ecuación (3.31), el efecto de calentamiento Joule de la ecuación (3.11), queda

determinado únicamente por

2.

x xq Eσ∼

(3.32)

Ahora, el orden de magnitud del término de disipación viscosa de la ecuación (3.11)

es

,

xy xy c cτ γ τ γɺ ɺ∼

(3.33)

donde c

γɺ es la velocidad de deformación característica dada por la siguiente expresión

(Morrison, 2001):

,

cu

H

γɺ ∼

(3.34)

Por lo tanto, con la ayuda de la ecuación (3.24), la ecuación (3.34) se transforma en

.

c c e x cE uτ γ ρɺ ∼

(3.35)

Comparando en órdenes de magnitud el término de disipación viscosa dada por la

ecuación anterior, con el término de calentamiento Joule de la ecuación (3.11) se tiene

lo siguiente

21,e x c

x

E u

E

ρσ

≪

(3.36)

de la ecuación anterior, el término de disipación viscosa en la ecuación de la energía

se desprecia.


PARALELAS.


45

3.5 Modelo matemático simplificado y condiciones de frontera.

Las ecuaciones gobernantes de Poisson-Boltzmann, ecuación (3.19); conservación

de la masa, ecuación (3.7); conservación de la cantidad de movimiento, ecuación (3.8) y

(3.9); constitutiva de fluidos no Newtonianos de ley de potencia, ecuación (3.10); y

conservación de la energía, ecuación (3.11), son reducidas finalmente a la manera

siguiente

2

2

2,

d

dy

ψ κ ψ=

(3.37)

0,du

dx=

(3.38)

0 ,xy e x

dE

dyτ ρ= +

(3.39)

1

,

n

xy

du dum

dy dyτ

−

=

(3.40)

2 2

2

2 2.

p x

T T TC u k k E

x x yρ σ

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

(3.41)

Con sus siguientes condiciones de frontera correspondientes

( ), ,x y Hψ ζ= =

(3.42)

( ), 0

0,

x y

d

dy

ψ

=

=

(3.43)

( ), 0

0,

x y

du

dy =

=

(3.44)


PARALELAS.


46

( ),

0,x y Hu = =

(3.45)

( ) 00,,

x yT T= =

(3.46)

( ) 0,,

x L yT T= =

(3.47)

( ), 0

0,

x y

T

y =

∂=

∂

(3.48)

( )0

,

´´.

x y H

Tk q

y =

∂− =

∂

(3.49)

3.6 Adimensionalización de las ecuaciones gobernantes.

3.6.1 Escalas características.

;x L∼

;y H∼

;ψ ζ∼ .

cu u∼

(3.50)

donde cu es la velocidad característica conocida como velocidad Smoluchowski

definida por ( ) ( )11

,

nn n

c xu n E mκ εζ−= − (Zhao, et. al., 2008).

Ahora, de la ecuación (3.41) al comparar en órdenes de magnitud el término

convectivo y los términos difusivos axial y transversal, con el de generación de calor

por calentamiento Joule, se tienen las siguientes escalas para los cambios de

temperatura en el fluido

2

.,

x

conv x

p c

E LT

C u

σρ

∆ ∼ (3.51)

2 2

.,

x

cond x

E LT

k

σ∆ ∼ (3.52)

2 2

.,

xcond y

E HT

k

σ∆ ∼

(3.53)


PARALELAS.


47

donde . .

,

conv x cond xT T∆ ∆

y

.cond yT∆ son los incrementos de temperatura característicos en

el sistema con efecto convectivo axial, difusivo axial y difusivo transversal,

respectivamente.

De las ecuaciones (3.51-3.53), y considerando valores típicos de flujos electro-

osmóticos, se tienen los siguientes órdenes de magnitud:

2

.

. .

1 11; 1.convx cond x

cond y e cond y

T T

T P Tβ β∆ ∆

= =∆ ∆

≫ ≫ (3.54)

donde Pe y β son el número de Peclet y la relación de aspecto geométrico,

respectivamente, definidas de la manera siguiente

,

H

L

β = (3.55)

.

p cC u H

Pek

ρ=

(3.56)

La ecuación (3.54) indica que los cambios de temperatura en la dirección

longitudinal son mucho mayores que en la dirección transversal en el microcanal. En

el caso particular de este trabajo, el cambio de temperatura característico es elegido

de la ecuación (3.53).

3.6.2 Variables adimensionales.

Utilizando las escalas características de la sección 3.6.1 se obtienen las siguientes

variables adimensionales

,

x

L

χ = (3.57)

,

y

Hη = (3.58)


PARALELAS.


48

,

ψψ

ζ= (3.59)

,

c

u

u

u

= (3.60)

( )00

2 2,

c x

k T TT T

T E Hθ

σ−−

= =∆

(3.61)

donde ,uχ , η , ψ y θ son coordenada axial y transversal del fluido, potencial eléctrico,

velocidad axial y temperatura del fluido, respectivamente.

3.6.3 Ecuación de Poisson-Boltzmann.

Introduciendo las variables adimensionales de las ecuaciónes (3.58-3.59) en la

ecuación (A.11) del Apéndice A, se obtiene la distribución del potencial eléctrico

adimensional

( )( )

,

cosh

cosh

κηψ

κ= (3.62)

donde κ es el parámetro electrocinético y se define como (Masliyah y Bhattacharjee,

2006),

.Hκ κ= (3.63)

3.6.4 Ecuación de conservación de la masa.

Introduciendo las variables adimensionales de las ecuaciones (3.57) y (3.60) en la

ecuación (3.38), se tiene

0.du

dχ= (3.64)


PARALELAS.


49

3.6.5 Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.

Introduciendo las variables adimensionales de las ecuaciones (3.58), (3.60) y (3.63)

en la ecuación (B.6) del Apéndice B, y en la ecuación (3.45), se tiene

( )( )

1

,

n n

senhdu

d n cosh

κηκη κ

= −

(3.65)

con su correspondiente condición de frontera

( ) 0.u χ , η=1 = (3.66)

3.6.6 Ecuación de conservación de la energía.

Introduciendo las variables adimensionales de las ecuaciones (3.57-3.58) y (3.60-

3.61) en las ecuaciones (3.41) y (3.46-3.49), se tiene

2 2

2

21,uPe 2

θ θ θβ βχ χ η

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ (3.67)

con sus respectivas condiciones de frontera

( ) 0,χ=0, ηθ = (3.68)

( ) 0,χ=1, ηθ = (3.69)

( )0,

χ , η=0

θη

∂=

∂ (3.70)

( ),

χ , η=1

θη

∂= −Λ

∂ (3.71)


PARALELAS.


50

donde Λ es el término normalizado de generación de energía, que indica la

competencia del flujo de calor en la pared del microcanal al calentamiento Joule,

definido por la siguiente expresión

0

2

"

.

x

q

E HσΛ = (3.72)


PARALELAS.


51

Capítulo 4

Metodología de solución

4.1 Solución numérica.

4.1.1 Análisis numérico.

El modelo matemático de la sección anterior fue discretizado en diferencias finitas

centrales y se resolvió por el método iterativo de sobrerelajación sucesiva (SOR, por

sus siglas en inglés), (Hoffman, 2001); y se resolvió para diferentes valores de los

parámetros ,n

,Pe

,Λ

κ

y β . Para los cálculos numéricos en el fluido, se empleó el

siguiente tamaño de malla 0.005, 0.005χ η∆ = ∆ = con 200 = nodos en la dirección

longitudinal ,χ y 200M = nodos en la dirección transversal .η La tolerancia del

método SOR se estableció en 810 .

−

4.1.2 Método SOR.

La discretización del modelo matemático adimensional y sus respectivas

condiciones de frontera, (Apéndice D), se implementaron en el método iterativo de

solución SOR, (Hoffman, 2001). En el método SOR, la temperatura adimensional del

fluido es evaluada en iteraciones sucesivas mediante


PARALELAS.


52

1 1

, , ,,

k k k

i j i j i jθ ϖ+ += Θ + ∆Θ (4.1)

donde ,k i

y j son el número de iteraciones y posiciones nodales de la malla

discretizada en la dirección axial y transversal, respectivamente; 1

,, , ,

k

i jθ ϖ +∆Θ son la

temperatura adimensional en forma discretizada, factor de relajación del método SOR

y cambio de la temperatura adimensional por iteración y nodo de la malla discretizada

en la región del fluido. El factor de relajación se obtiene de las siguientes expresiones

1 12 ,

ξϖξ

− −=

(4.2)

( ) ( ) ( ) ( )2

2

max max2

cos cos, 1 , 1 ,

1

I II i J j

π πξ

+ Ω= = − = −

+ Ω

(4.3)

donde χ ηΩ = ∆ ∆ es la relación de aspecto de la malla discretizada en la región del

fluido; maxi y

maxj son el número máximo de nodos en la dirección axial y transversal.

La codificación de la solución numérica en Fortran Power Station 4.0, se presenta en

el Apéndice E.

4.2 Solución analítica.

Con el objetivo de validar los resultados numéricos, se propuso una solución

analítica para las ecuaciones (3.67-3.71). Por tanto, considerando que las variaciones

de temperatura representativas en el sistema del microcanal son a lo largo de la

coordenada axial, como lo indica la ecuación (3.54), se puede integrar

transversalmente la ecuación (3.67) de la manera siguiente

2

2

12

1 0

1 0,PeK

η η

θ θ θ θβ β

χ χ η η= =

∂ ∂ ∂ ∂− + − + =

∂ ∂ ∂ ∂

(4.4)

donde ( )1

1

0

; .K u d

η

ηη κ η

=

== ∫ Considerando las condiciones de frontera de las ecuaciones

(3.70-3.71), la ecuacion (4.4) se transforma en


PARALELAS.


53

2

2

121 0,PeK

θ θβ βχ χ

∂ ∂− − Λ + =

∂ ∂ (4.5)

realizando una manipulación algebraica, de la ecuación (4.5), y considerando que la

temperatura es dependiente únicamente de la coordenada axial, se tiene

2

1

2 2

1,

PeKd d

d d

θ θχ β χ β

Λ −− = (4.6)

la ecuación (4.6) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal con

coeficientes constantes y no homogénea. Por tanto, la solución a la ecuación anterior

se plantea de la siguiente manera

,h pθ θ θ= + (4.7)

donde h

θ y p

θ son la solución homogénea y particular de la temperatura,

respectivamente, de la temperatura. La solución homogénea de la ecuación (4.6) es

1

1 2,

h

PeKc c expθ χ

β= +

(4.8)

y la solución particular es

1

1,

p

PeK

θ χβ

− Λ= (4.9)

considerando las ecuaciones (4.8-4.9), la ecuación (4.7) se transforma como a

continuación se indica

1

1 2

1

1.

PeKc c exp

PeKθ χ χ

β β− Λ

= + +

(4.10)


PARALELAS.


54

Sustituyendo la condición de frontera dada por la ecuación (3.68), la ecuación (4.10)

se reduce a

1 2,c c= − (4.11)

reemplazando la ecuación anterior en la ecuación (4.10), se tiene

1

2

1

11 ,

PeKc exp

PeKθ χ χ

β β− Λ

= − − +

(4.12)

ahora, sustituyendo la condición de frontera dada por la ecuación (3.69)

2

1

1

1,

1

cPeK

PeK expβ χβ

− Λ=

−

(4.13)

sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (4.12), la temperatura adimensional

del fluido será

( )1

1 1

11

.

1

PeKexp

PeK PeKexp

χβ

θ χβ χ

β

χ−

Λ −= −

−

(4.14)


PARALELAS.


55

Capítulo 5

Análisis de resultados.

5.1 Análisis de resultados.

Para los cálculos numéricos y analíticos en el presente trabajo, se utilizaron los

valores de la Tabla 5.1, que representan parámetros geométricos y propiedades de

transporte en flujos electro-osmóticos.

La Figura 5.1 indica la evolución entre el potencial eléctrico ψ en función de la

coordenada transversal η , para diferentes valores de κ . Se observa que al aumentar

el parámetro electrocinético κ , el espesor de la longitud de Debye disminuye respecto

al espesor H del microcanal, por lo tanto, la distribución del potencial eléctrico tiene

su principal influencia en las cercanías de la pared del microcanal, como se muestra

en la gráfica, indicando la alta concentración de cargas eléctricas dentro de la doble

capa eléctrica. Para valores pequeños de κ , sucede lo inverso, la longitud de Debye

aumenta respecto al valor H del microcanal, tendiendo a traslaparse las dobles capas

eléctricas.


PARALELAS.


56

Tabla 5.1 Parámetros geométricos y propiedades de transporte usados para estimar los parámetros

adimensionales en el presente trabajo.

Parámetro Valor Unidad

H ∼ 10-5 -10-4 (m)

L ∼ 10-2-10-1 (m)

Bk 1.38X10-23 (J/K)

m ∼ 10-3 (Pa·sn)

pC 3760 (J/kg·K)

k 0.6-0.7 (W/m·K)

ρ 103 (kg/m3)

0T 298 (K)

ζ ∼ (-10-2) (V)

xE ∼ 105 -106 (V/m)

ε ∼ 10-10 (C/V·m)

κ ∼ 106-107 (m-1)

σ ∼ 10-4 -10-2 (S/m)

cu ∼ 10-4 -10-3 (m/seg)

e 1.602X10-19 (C)

n 0.33, 0.5, 1 (-)

Λ 0.5, 0.75, 1 (-)

β ∼ 10-3 -10-2 (-)

κ ∼ 101 -102 (-)

Pe 0.5-1.5 (-)

z ∼ 1 (-)

En la Figura 5.2 se señala las distribuciones de velocidad adimensional u con

relación a la coordenada transversal η , para varios valores del índice de

comportamiento de flujo n , manteniendo un valor constante de 50κ = . Se puede

apreciar como el perfil de velocidades toma la forma de un flujo tapón conforme el

parámetro del índice de comportamiento disminuye. Para 1n = , el fluido tiene un

comportamiento Newtoniano. Cuando 1n < se trata de un fluido seudoplástico y el

perfil de velocidad aumenta en la dirección de flujo con relación al caso Newtoniano;

entonces el efecto electro-osmótico es mayormente marcado provocando largos perfiles

de velocidad cercanos a la pared del microcanal debido a que este tipo de fluidos


PARALELAS.


57

tienen una viscosidad dinámica pequeña en las cercanías de la pared del microcanal,

(Zhao et al., 2008).

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

η

ψ

κκκκ=1=1=1=1 κκκκ=5=5=5=5 κκκκ=10=10=10=10 κκκκ=20=20=20=20 κκκκ=50=50=50=50 κκκκ=100=100=100=100

Figura 5.1 Variación del potencial eléctrico,ψ , en la doble capa eléctrica del microcanal para diferentes

valores de κ , como función de la coordenada transversal del microcanal η , Masliyah y Bhattacharjee,

(2006).

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

κ =50

η

n=1 n=0.5 n=0.33

u

Fig. 5.2 Distribución de velocidad adimensional, u , para diferentes valores del índice de comportamiento

de flujo n , con un valor de 50κ = , como función de la coordenada transversal del microcanal η , Zhao et

al. (2008).


PARALELAS.


58

La Figura 5.3 muestra los perfiles de velocidad adimensionales para diferentes

valores del parámetro electrocinético κ , en relación a la coordenada transversal η , y

se puede observar fácilmente su influencia en las condiciones del flujo; para valores

pequeños de κ se obtiene una doble capa eléctrica grande con respecto a las

dimensiones del microcanal y, por lo tanto, poca influencia del campo eléctrico externo

cerca de la pared del microcanal, provocando un perfil de velocidad del flujo con

tendencia a tomar forma de parábola. Y por el contrario, si se tiene un valor de κ elevado, se logra una doble capa eléctrica de pequeñas dimensiones y a su vez una

mayor influencia del campo eléctrico externo sobre las paredes del microcanal,

causando un flujo tapón como perfil de velocidad.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

η

n=0.5

κκκκ=100=100=100=100 κκκκ=50=50=50=50 κκκκ=10=10=10=10

u

Fig. 5.3 Distribución de perfiles de velocidad adimensionales, u , para diferentes valores del parámetro

electrocinético κ , para 0.5n = , como función de la coordenada transversal del microcanal η , Zhao et al.

(2008).

Para validar los resultados obtenidos del modelo numérico, en la Figura 5.4 se

puede observar la comparación y la adecuada correspondencia entre la solución

numérica y analítica del perfil de temperatura axial del fluido en el microcanal,

,θ como función de la coordenada longitudinal ;χ para los parámetros mostrados y

diferentes posiciones transversales ( )0,0.5,1 ,η = se muestra el cumplimiento de los

órdenes de magnitud de la ecuación (3.54), en donde el incremento de la temperatura

en la dirección transversal es despreciable comparada con los incrementos de

temperatura en la dirección axial del microcanal.


PARALELAS.


59

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

umérico, η=0η=0η=0η=0 umérico, η=0.5η=0.5η=0.5η=0.5 umérico, η=1η=1η=1η=1 Analítico

χ

θ

κ=100n=0.5β=0.01Λ=0.75Pe=1

Fig. 5.4 Comparación entre las soluciones numérica y analítica para el perfil de temperatura

adimensional,,θ , como función de la coordenada axial, χ , para diferentes valores de η .

En función a la correspondencia entre la solución numérica y analítica, en las

Figuras 5.5 -5.10 se grafican los resultados numéricos para los perfiles de

temperatura del fluido en el microcanal. La Figura 5.5 muestra la temperatura

adimensional, θ , como función de la coordenada transversal η , en la posición axial

0.5χ = , para diferentes valores del índice de comportamiento de flujo n (=0.33, 0.5, 1).

La distribución de temperatura exhibe un patrón parabólico. En la figura se puede

apreciar que para el decremento de los valores de n , la temperatura adimensional

tiende a disminuir con respecto al caso Newtoniano ( )1n = , por efecto del aumento

del fenómeno de transferencia de calor convectívo en el sistema, debido al incremento

de la velocidad con el índice de comportamiento de flujo n . También se observa que

la temperatura mas alta se encuentra en el centro del microcanal, debido a que el

calor generado por el calentamiento Joule es transferido de la región central hacia la

pared del microcanal por convección y conducción en el fluido, y finalmente disipado

hacia los alrededores del sistema por el flujo de calor constante 0.q′′

La Figura 5.6 muestra los perfiles de temperatura adimensional,θ , a través de la

sección transversal, η , del microcanal para diferentes posiciones de la coordenada

axial adimensional ( )0.1,0.5,..., 0.995 .χ = El incremento de la temperatura es lineal

con el incremento de χ , descendiendo de manera abrupta en las cercanías de la salida


PARALELAS.


60

del microcanal, esto es con el motivo de cumplir la condición de frontera axial a la

salida del microcanal en 1χ = , ecuación (3.69).

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.012.25

12.30

12.35

12.40

12.45

12.50

12.55

12.60

12.65

12.70

12.75

12.80

n=1, Newtoniano n=0.5 n=0.333

η

θ

κ=100χ=0.5β=0.01Λ=0.75Pe=1.0

Fig. 5.5 Perfil de temperatura adimensional en el fluido,θ , como función de la coordenada transversal

del microcanal η , en 0.5χ = , para diferentes valores de n .

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

η

θ

κ=100n=0.5β=0.01Λ=0.75Pe=1.0

χ=0.96χ=0.96χ=0.96χ=0.96χ=0.9χ=0.9χ=0.9χ=0.9

χ=0.5χ=0.5χ=0.5χ=0.5

χ=0.1χ=0.1χ=0.1χ=0.1

χ=0.995χ=0.995χ=0.995χ=0.995

χ=0.99χ=0.99χ=0.99χ=0.99


del microcanal η , para diferentes posiciones de la coordenada axial adimensional χ .

La Figura 5.7 muestra los perfiles de temperatura adimensional, θ , a través de la

sección transversal, η , del microcanal, considerando la coordenada axial, 0.5χ = ,

mostrando la influencia del parámetro ( )0.5, 0.75,1Λ = , que representa la competencia


PARALELAS.


61

entre el calor generado por el calentamiento Joule y el flujo de calor constante en las

paredes del microcanal. Se puede observar que para cualquier valor del parámetro Λ ,

los cambios en la temperatura adimensional en la coordenada transversal son

pequeños; sin embargo, la influencia entre los valores de Λ cambia los perfiles de

temperatura en forma muy marcada. Lo que indica que el efecto de calentamiento

Joule es el factor dominante para valores decrecientes de este parámetro, en

comparación de la correspondiente extracción de calor por 0.q′′

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

η

θ Λ=1.0Λ=1.0Λ=1.0Λ=1.0 Λ=0.75Λ=0.75Λ=0.75Λ=0.75 Λ=0.5Λ=0.5Λ=0.5Λ=0.5

n=0.5χ=0.5β=0.01κ=100Pe=1.0


del microcanal η , para diferentes valores del parámetro Λ .

La Figura 5.8 representa la influencia del parámetro electrocinético

( )10, 50,100κ = , sobre los perfiles de temperatura adimensional del fluido, θ , a través

de la sección transversal, η , del microcanal. Se puede observar que la temperatura se

incrementa conforme decrece κ , debido a la modificación del perfil de velocidad tipo

tapón a uno parabólico como lo muestra Zhao et al., (2008), lo que a su vez disminuye

la velocidad promedio del flujo, y como consecuencia el efecto convectivo de

transferencia de calor.

La Figura 5.9 muestra la influencia de Pe (=0.5, 1, 1.5), en la distribución de los

perfiles de temperatura adimensionales,θ , a través de la sección transversal, η , del

microcanal, en la coordenada axial 0.5χ = . Para los parámetros considerados, al

aumentar los valores de Pe , disminuye la temperatura adimensional del fluido, θ , lo


PARALELAS.


62

que señala que es un factor del aumento de transferencia de calor por convección en el

sistema.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.012.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

13.0

13.1

13.2

13.3

13.4n=0.5χ=0.5β=0.01Λ=0.75Pe=1.0

η

θ

κ=100κ=100κ=100κ=100 κ=50κ=50κ=50κ=50 κ=10κ=10κ=10κ=10


del microcanal, η , para diferentes valores del parámetro κ .

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

η

θ Pe=0.5 Pe=1.0 Pe=1.5

n=0.5χ=0.5β=0.01Λ=0.75κ=100


del microcanal, η , para diferentes valores del parámetro Pe .

En la Figura 5.10 se aprecia la influencia de la relación de aspecto geométrico del

microcanal, β (=0.1, 0.005, 0.001), en la distribución de temperatura adimensional del

fluido, θ , a través de la sección transversal, η , del microcanal. Se observa que al

decrecer el valor del parámetro β , considerando un valor fijo de la altura H , y un


PARALELAS.


63

incremento de la longitud L , del microcanal, y por consecuencia hay un aumento del

volumen de la región de análisis y trae como resultado un aumento de manera

importante de la magnitud del calentamiento Joule y de la temperatura.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

5

10

15

20

25

30

110

120

130

η

θ ββββ=0.01 ββββ=0.005 ββββ=0.001

n=0.5χ=0.5Pe=1

Λ=0.75κ=100


del microcanal, η , para diferentes valores del parámetro β .

5.2 Implementación de resultados.

En la Figura 5.11 se representa la relación del potencial eléctrico ψ a través de la

sección transversal y , con valores diferentes para ( )6 1 5 110 ,10m m κ − −= y un potencial

zeta fijo, ( )0.01Vζ = y se comprueba lo que se señala en la Figura 5.1 respecto a la

variación de magnitud de la longitud de Debye y su influencia sobre la doble capa

eléctrica.

En la Figura 5.12 se muestran los perfiles de velocidad del fluido, u , con relación a

la coordenada transversal y , con la variación del parámetro del índice de

comportamiento del flujo, ( )1, 0.5n = . Se puede apreciar la enorme variación que hay

en el aumento del perfil de velocidad, conforme va disminuyendo n , tal como fue

señalado en la Figura 5.2. Además se aprecia la diferencia entre un fluido Newtoniano

y uno seudoplástico, teniendo mayor efecto el fenómeno electro-osmótico sobre de este

ultimo.


PARALELAS.


64

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.001

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.010

0.011

ψ [V

]

y [µm]

κκκκ =100 =100 =100 =100, κκκκ =106

m-1

κκκκ =10 =10 =10 =10, κκκκ =105

m-1

H=100 µm

ζ=0.01V

Fig. 5.11 Variación del potencial eléctrico,ψ como función de la coordenada transversal del microcanal, y ,

para diferentes valores del parámetro κ .

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.05

0.10

0.15

2

3

4

5

H=100 µm

κ=106

m-1

ε=10-10

CV-1

m-1

ζ=-10-1

V

Ex

=105

V/m

m=10-3

Pa.sn

u [

mm

/s]

y [µm]

n=1 n=0.5

Fig. 5.12 Distribución de la velocidad, u , para diferentes valores del índice de comportamiento de flujo

n , como función de la coordenada transversal del microcanal y .

.

La Figura 5.13 representa la comparación de manera numérica y analítica de la

evolución de temperatura, T , a lo largo de la coordenada axial, x , en el centro del

microcanal; debido a la variación de la conductividad eléctrica,

( )0.01 , 0.001S m S mσ = . De esta manera se justifica lo señalado en la Figura 5.4, en

relación al marcado aumento de temperatura que existe a lo largo de la coordenada x ,

contrario a lo que sucede en la coordenada transversal y .


PARALELAS.


65

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0295

300

305

310

315

320

325

330

335

340

345

x [cm]

T [

K]

σσσσ=0.001 S/m

H=100 µm

L=1 cm

κ=106

m-1

ε=10-10

CV-1

m-1

ζ=-10-1

V

Ex

=105

V/m

m=10-3

Pa.sn

n=0.5

Pe=1

Λ=0.75

k=0.6 Wm-1

K-1

umérico, y=0

Analitico

umérico, y=0

Analitico

σσσσ=0.01 S/m

Fig. 5.13 Perfil de temperatura,T , como función de la coordenada axial del microcanal, x , para 0y = , de

manera analítica y numérica.

La Figura 5.14 muestra la manera en que la temperatura, T , cambia a lo largo de

la coordenada transversal, y , al variar el parámetro ( )0.5, 0.75,1Λ = , a través de la

sección transversal y . Se puede observar que los cambios de la temperatura son

pequeños en la coordenada transversal, pero son significativos en relación a los

diferentes valores de Λ . De esta manera se justifica que el efecto de calentamiento

Joule es el factor dominante para valores decrecientes de este parámetro, en

comparación de la correspondiente extracción de calor por 0.q′′

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

H=100 µm

L=1 cm

κ=106

m-1

ε=10-10

CV-1

m-1

ζ=-10-1

V

Ex

=105

V/m

m=10-3

Pa.sn

n=0.5

Pe=1

σ=0.002 S/m

x=0.5 cm

k=0.6 Wm-1

K-1

Λ=1.0Λ=1.0Λ=1.0Λ=1.0 Λ=0.75Λ=0.75Λ=0.75Λ=0.75 Λ=0.5Λ=0.5Λ=0.5Λ=0.5

T [

K]

y [µm]

Fig. 5.14 Perfil de temperatura, T , como función de la coordenada transversal del microcanal, y , para

diferentes valores del parámetro Λ .


PARALELAS.


66

Conclusiones

En este trabajo se analizó numérica y analíticamente un flujo electro-osmótico de

un fluido seudoplástico en estado estacionario en un microcanal de placas planas

paralelos, para la descripción de sus campos de temperatura. Bajo las condiciones

impuestas, se mostró la influencia de parámetros adimensionales de transporte que

tiene una relevancia significativa en el control del incremento o decremento de la

temperatura en el sistema del microcanal. Se reporta un parámetro asociado a la

naturaleza reológica del fluido, n , un parámetro asociado a las propiedades

constitutivas del solvente de la dispersión coloidal y características geométricas del

microcanal, κ , que controlan el perfil de velocidad del flujo y por lo tanto la magnitud

de la velocidad de transferencia de calor por convección a través del numero de Pe .

También es reportado un `parámetro que representa el efecto de extracción de energía

sobre el sistema del microcanal y el flujo electro-osmótico, Λ , de una significante

importancia para el control de temperatura. Además de considerar la variación del

volumen contenido en un microcanal a través del parámetro geométrico, β , y su

consecuente almacenamiento de energía por calentamiento Joule. Finalmente es

importante señalar que en el caso de fluidos seudoplásticos, la disminución del valor

de n deriva en un aumento considerable en la velocidad del flujo, lo cual ya ha sido

reportado por Zhao et al. (2008). En el presente trabajo la velocidad es controlada a

través de mantener el orden de magnitud del numero de 1Pe ∼ , caso típico de flujos


PARALELAS.


67

electro-osmóticos; por tanto el efecto convectivo de transferencia de calor también es

controlado. De esta manera, el presente modelo y su correspondiente solución, pueden

actuar como una herramienta que ayude al entendimiento de los diferentes

mecanismos de transporte para el diseño de los sistemas microfluidicos, para el

preciso control de temperatura.


PARALELAS.


68

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PARALELAS.


71

Apéndice A

Deducción de la ecuación de la densidad de carga

eléctrica.

De la ecuación de Poisson-Boltzmann, (3.19)

2

2

2,

d

dy

ψκ ψ= (A.1)

y regida por las siguientes condiciones de frontera

( ),

,

x y Hψ ζ= = (A.2)

( ), 0

0.

x y

d

dy

ψ

=

= (A.3)

Para resolver la ecuación (A.1), la cual es una ecuación diferencial ordinaria de

segundo órden, homogénea y de coeficientes constantes, se tiene la siguiente ecuación

auxiliar


PARALELAS.


72

2 20,m K− = (A.4)

la cual deja la siguiente expresión

1 2,

y yC e C e

κ κψ −= + (A.5)

derivando la ecuación anterior

1 2,

y ydC e C e

dy

κ κψκ κ −= − (A.6)

utilizando la condición de frontera (A.3)

1 20 ,C Cκ κ= − (A.7)

lo que implica que 1 2

,C C= por tanto

1 1,

y yC e C e

κ κψ −= + (A.8)

ahora, sustituyendo la condición de frontera (A.2) en la ecuación anterior, obtenemos

que la constante de integración es

1.

H HC

e eκ κ

ζ−=

+

(A.9)

Sustituyendo la ecuación (A.9) en (A.8) y realizando una operación algebraica

,2

2

y y

H H

e e

e e

κ κ

κ κζ

ψ−

−

+=

+

(A.10)

aplicando una identidad trigonométrica sobre la ecuación (A.10), esta se transforma

en


PARALELAS.


73

( )( )

.

cosh

cosh

y

Hψ ζ

κκ

= (A.11)

De las ecuaciones (3.16) y (A.1), obtenemos

2

2

2,

ed

dy

ψ κ ψρε

= − = (A.12)

por lo tanto,

2,

eκ ψρ ε= − (A.13)

finalmente sustituyendo la ecuación (A.11) en la ecuación (A.13), se obtiene la

expresión para la densidad de carga eléctrica

( )( )

2.

e

cosh

cosh

y

Hρ εκ ζ

κκ

= − (A.14)


PARALELAS.


74

Apéndice B

Análisis de la ecuación de la conservación de la

cantidad de movimiento.

El esfuerzo cortante de la ecuación (3.40) se sustituye en la ecuación (3.39) de

conservación de la cantidad de movimiento, obteniéndose lo siguiente

1

0,

n

d du dum Ee x

dy dy dyρ

−

+ =

(B.1)

asumiendo que la velocidad decrece en el sentido del crecimiento de la coordenada

transversal, se tiene la siguiente ecuación

1

0,

n

d du dum Ee x

dy dy dyρ

−

− + =

(B.2)

realizando una manipulación algebraica en la ecuación (B.2), se transforma en

,

x

nd du

m Eedy dy

ρ− =

(B.3)


PARALELAS.


75

sustituyendo la densidad de carga eléctrica de de la ecuación (A.14) en la ecuación

(B.3) e integrando una vez, tenemos que

( )( )

2

1

1

,x

nsenh yE Cdu

dy m cosh H m

κεκ ζκ

= − − +

(B.4)

considerando la condición de frontera dada por la ecuación (3.44) en la ecuación (B.4),

la constante de integración es

10,C = (B.5)

por lo tanto, el gradiente de velocidad del flujo en este trabajo se define de la ecuación

(B.4), como a continuación se indica

( )( )

1

.

n

xsenh yEdu

dy m cosh H

κεκζκ

= − −

(B.6)

De la ecuación (B.6) se obtiene el perfil de velocidad del flujo, y debe considerar la

condición de frontera dada por la ecuación (3.45).


PARALELAS.


76

Apéndice C

Solución analítica del perfil de velocidades.

En este apartado se presentan los perfiles de velocidad del flujo electro-osmótico a

partir de la solución de la ecuación (3.65) con su respectiva condición de frontera de la

ecuación (3.66), mediante la consideración de valores específicos para el índice de

comportamiento de flujo, .n

para 1n =

( )( )

1 ,

coshu

cosh

κηκ

= − (C.1)

para 12

n =

( ) ( ) [ ]( )2

12 2 1

2,

senh senh

ucosh

κ κη κ η

κ

− − −=

(C.2)


PARALELAS.


77

para 13

n =

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

3 3

2c.

cosh coshsenh osh senh coshu

cosh cosh

κη κκ κ κη κηκ κ

−−= +

(C.3)


PARALELAS.


78

Apéndice D

Discretización en diferencias finitas e

implementación de la solución numérica.

D1. Discretización del modelo matemático.

El modelo matemático fue resuelto por un esquema numérico con diferencias

finitas centrales, (Hoffman, 2001). Primeramente, discretizando el paso nodal para la

coordenada axial adimensional de la región del fluido

; 0,1,..., ;i i χ χ= ∆ = (D.1)

ahora para la coordenada transversal, se tiene

, 0,1,..., .j j Mη η= ∆ = (D.2)


PARALELAS.


79

Las derivadas parciales de las ecuaciones (3.67), (3.70-3.71), pueden ser escritas en

forma discretizada como se muestra a continuación; para la coordenada axial de la

región del fluido

1, 1,,

2

i j i jθχ χ

+ −Θ − Θ∂∂ ∆

≃ (D.3)

21, , 1,

2 2

2.

i j i j i jθχ χ

+ −Θ − Θ Θ∂∂ ∆

+≃ (D.4)

Ahora, para la coordenada transversal de la región del fluido

, 1 , 1,

2

i j i jθη η

+ −Θ − Θ∂∂ ∆

≃ (D.5)

2

, 1 , , 1

2 2

2.

i j i j i jθη η

+ −Θ − Θ Θ∂∂ ∆

+≃ (D.6)

Sustituyendo los términos adecuados de las ecuaciones (D.3-D.6) en la ecuación

(3.67), se obtiene la versión discretizada de la ecuación de la energía adimensional

para todos los nodos que no son frontera

( )

2 2 2

1, , 1 1,

2 2 2 2

, 1 ,

2 2

2 0,

j j

i j i j i j

i j i j

Peu Peuχβ χββ θ θ β θ

θ β θ χ

+ + −

−

∆ ∆− + Ω + + +

Ω − + Ω + ∆ =

(D.7)

para max 1 max 1

1,..., ; 1,..., .i i j j− −= =

El término de la velocidad adimensional u del Apéndice C se reemplaza por el

término ju , sustituyendo la coordenada adimensional transversal η por el término


PARALELAS.


80

adecuado de la ecuación (D.2), quedando en su versión discretizada de la manera

siguiente

para 1n =

( )( )

1 ,

j

cosh ju

cosh

κ ηκ∆

= − (D.8)

para 12

n =

( ) ( ) [ ]

( )2

12 2 1

2.

j

senh senh j j

ucosh

κ κ η κ η

κ

− ∆ − − ∆=

(D.9)

Para 13

n =

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

3 3

2c.

j

cosh j coshsenh osh senh j cosh ju

cosh cosh

κ η κκ κ κ η κ ηκ κ

∆ −− ∆ ∆= +

(D.10)

Las condiciones de frontera discretizadas de la ecuación (D.7) se dan a

continuación; de la ecuación (3.68) para la sección de entrada del microcanal en 0χ =

,

0,i j

Θ = (D.11)

para max

0; 0,..., .i j j= =

De la ecuación (3.69), para la salida del microcanal en 1χ =

,

0,i j

Θ = (D.12)

para max max

, 0,..., .i j j=


PARALELAS.


81

De la ecuación (3.70), para el centro del microcanal en para 0η =

( )

2 2 2

1, , 1 1,

2 2 2 2

, 1

22 2

2 2 0,

j j

i j i j i j

i j y

Peu Peu

F

χβ χββ θ θ β θ

β θ χ η

+ + −

∆ ∆− + Ω + + −

+ Ω + ∆ − Ω ∆ =

(D.13)

con ( ) ( ) ( )1 , 1 , 1, 02 0;

y i j i jF

χ ηθ η η+ −=

= ∂ ∂ Θ − Θ ∆ = ≃ para max 1

1,..., ; 0.i i j−= =

De la ecuación (3.71), para la interfase interna del microcanal en 1η =

( )

2 2 2

1, , 1 1,

2 2 2 2

,

22 2

2 2 0,

j j

i j i j i j

i j

Peu Peuχβ χββ θ θ β θ

β θ χ η

+ − −

∆ ∆− + Ω + + −

+ Ω + ∆ − Ω ∆ Λ =

(D.14)

para max 1 max 1

1,..., ; .i i j j− −= =

D2. Implementación del método SOR.

La discretización anterior de los modelos matemáticos adimensionales y sus

respectivas condiciones de frontera se implementaron en el método iterativo de SOR,

como a continuación se describe.

El cambio de temperatura 1

,0

k

i j

+∆Θ = en nodos interiores que no correspondan a

nodos frontera es determinada de la ecuación (D.7) adaptándose al método de SOR de

la siguiente forma

( )( )

2 2

1, , 1

1 2 2 2

, 1,

2 2 2 2

, 1 ,

2

2 .2

2

j

i j i j

jk

i j i j

i j i j

Peu

Peu

χββ

χββ β

β χ

+ +

+−

−

∆− Θ + Ω Θ +

∆∆Θ = + Θ + + Ω

Ω Θ − + Ω Θ + ∆

(D.15)


PARALELAS.


82

La temperatura del fluido en la entrada y salida del microcanal fue especificada

por las ecuaciones (D.11-D.12); mientras que las condiciones de frontera que no tienen

temperatura especificada son adaptadas al método SOR como sigue:

En el centro del microcanal a partir de la ecuación (D.13) se obtiene

( )( )

2 2

1, , 1

1 2 2 2

, 1,

2 2 2 2

, 1 ,

2

2 .2

2

j

i j i j

jk

i j i j

i j i j

Peu

Peu

χββ

χββ β

β χ

+ +

+−

−

∆− Θ + Ω Θ +

∆∆Θ = + Θ + + Ω

Ω Θ − + Ω Θ + ∆

(D.16)

Para la interfase interna del fluido y el microcanal, a partir de la ecuación (D.14) se

tiene

( )( )

2 2

1, , 1

1 2 2 2

, 1,

2 2 2 2

,

22

2 .2

2 2

j

i j i j

jk

i j i j

i j

Peu

Peu

χββ

χββ β

β χ η

+ −

+−

∆− Θ + Ω Θ +

∆∆Θ = + Θ + Ω

+ Ω Θ + ∆ Ω

−

− ∆ Λ

(D.17)


PARALELAS.


83

Apéndice E

Codificación de la solución numérica

Programa en Fortran PowerStation 4.0, que resuelve el modelo matemático de la

distribución de temperaturas en un flujo electro-osmótico de un fluido seudoplastico

con modelo reológico de ley de potencia en un microcanal de placas planas paralelas

en estado estable e hidrodinámicamente desarrollado.

program main

!asignacion de formato y datos del problema

real (kind=8),dimension(2000,2000)::f

real (kind=8),dimension(1000)::veloci

real (kind=8)::k

real (kind=8)::velocidad

real (kind=8)::AA

real (kind=8)::BB

real (kind=8)::CC

real (kind=8)::DD

real (kind=8)::FF

real (kind=8)::GG

real (kind=8)::Pe

real (kind=8)::esbeltez

real (kind=8)::esbeltez2

real (kind=8)::omega2

real (kind=8)::de

real (kind=8)::LAMBDA

real (kind=8)::zeta

real (kind=8)::omega

real (kind=8)::tol

real (kind=8)::df

real (kind=8)::dfmax

real (kind=8)::coeficiente1

real (kind=8)::coeficiente2


PARALELAS.


84

integer::i,j,iter,jmax,imax,ix

data k/100.0/

data n/3/

data dx,dy,iter,tol/0.005,0.005,5000000,1.0e-08/

data imax,jmax,ix/201,201,1/

data fy1 /0.0/

!determincion del factor de correccion omega

zeta=((cos(3.141516/(imax-1))+((dx/dy)**2)*cos(3.141516/(jmax-1)))/(1+(dx/dy)**2))**2

omega=2*((1-sqrt(1-zeta))/zeta)

!Inicializacion de la malla discretizada

!Centro del microcanal

f(1,1)=0.0

f(imax,1)=0.0

do i=2,imax-1

f(i,1)=0.0

end do

!Pared del microcanal

f(1,jmax)=0.0

f(imax,jmax)=0.0

do i=2,imax-1

f(i,jmax)=0.0

end do

!Entrada del microcanal

do j=2,jmax-1

f(1,j)=0.0

end do

!Salida del microcanal del microcanal

do j=2,jmax-1

f(imax,j)=0.0

end do

!Nodos internos

do i=2, imax-1

do j=2, jmax-1

f(i,j)=0.0

end do

end do

open(6, file='fluido.dat')

! Solución de la ecuacion de la energia

Pe=1.0

esbeltez=0.01

esbeltez2=esbeltez**2

omega2=(dx/dy)**2

de=2.0*(esbeltez2+omega2)

LAMBDA=0.75

do it=1,iter

dfmax=0.0

do j=1,jmax,ix

do i=2,imax-1,ix

!velocidad

if (n==1) then

BB=1.0-(cosh(k*(j-1)*dy)/cosh(k))

velocidad=BB

veloci(j)=velocidad

else if (n==2) then

DD=((1.0/2.0)*(sinh(2.0*k)-sinh(2.0*k*(j-1)*dy)))/(cosh(k)**2)

EE=-((k/1.0)*(1-((j-1)*dy)))/(cosh(k)**2)

velocidad=DD+EE


PARALELAS.


85

veloci(j)=velocidad

else if (n==3) then

FF=((3.0/3.0)*((sinh(k)**2)*cosh(k)-(sinh(k*(j-1)*dy)**2)*cosh(k*(j-&

1)*dy)+2.0*(cosh(k)-cosh(k*(j-1)*dy))))/(cosh(k)**3)

velocidad=FF

veloci(j)=velocidad

else

end if

coeficiente1=(esbeltez2-((dx*esbeltez*Pe/2)*velocidad))

coeficiente2=(esbeltez2+((dx*esbeltez*Pe/2)*velocidad))

!Correcion de temperaturas en los nodos internos de la malla discretizada

if ((j>1).and.(j<jmax).and.(i>1) .and. (i<imax)) then

df=(coeficiente1*f(i+1,j)+omega2*f(i,j+1)+coeficiente2*f(i-1,j)+omega2&

*f(i,j-1)-de*f(i,j)+dx**2 )/de

end if

!Correcion de temperaturas en los nodos del centro del microcanal

if ((j==1).and.(i>1).and.(i<imax)) then

df=(coeficiente1*f(i+1,j)+coeficiente2*f(i-1,j)+2.0*omega2*f(i,j+1)-&

de*f(i,j)+(dx**2)-(2.0*omega2*dy*fy1) )/de

!Correcion de temperaturas en los nodos de la pared del microcanal

if ((j==jmax).and.(i>1).and.(i<imax)) then

df=(coeficiente1*f(i+1,j)+2.0*omega2*f(i,j-1)+coeficiente2*f(i-1,j)-&

de*f(i,j)+(dx**2)-2.0*omega2*dy*LAMBDA )/de

if (abs(df).gt.dfmax) dfmax=df

f(i,j)=f(i,j)+omega*df

end do

end do

if (abs(dfmax).le.tol) then

PRINT'(I10,f20.15)',it,dfmax

pause

exit

end if

end do

PRINT'(I10,f20.15)',it,dfmax

do j=1,jmax,ix

write (6,1010) j,it,dy*(j-1),(f(i,j),i=1,imax,ix),veloci(j)

end do

1010 format (I10,1x,I15,1x,f12.6,1x,501f12.6,1x,f12.6)

stop

close (6)

end

is tituto politÉcico acioa l

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