Intervalos

Un conjunto I de números reales es un intervalo si cualquiera que sean los elementos a y b de I, entonces:

Valor Absoluto

Si R, el valor absoluto de x que lo notamos , está dado por:

x, si x > 0 =

-x, si x<0

Observación: .

Propiedades:

1.2.3.

4. ;

5.

Demostraciones:

1.

2.

i. Si , entonces además, tenemos que y de aquí se sigue que , así .

ii. Si , y además , y entonces, como , podemos afirmar que .

Con lo que queda concluida la demostración.

3.

i. y

Entonces , luego

ii. y

Entonces , luego

iii. y

Similar al caso anterior.

iv. y

Entonces , luego

4. ;

Demostremos primero que:

, con

En efecto, podemos expresarlo como , entonces

i. Si , tenemos . Como 1 > 0, podemos afirmar que y entonces tenemos que y por tanto:

ii. Si , tenemos . Como 1 > 0, podemos afirmar que y entonces tenemos que y por tanto:

Con esta demostración previa, y utilizando la propiedad 3, podemos fácilmente demostrar esta propiedad, considerando que

;

5.

Teorema: Sea . Se tiene entonces:

1. o 2.3. o 4.

Demostración

1. o

| Hip: PD.: o

i. Si , . Por hipótesis , por lo que ii. Si , . Por hipótesis , por lo que

Entonces,

o

| Hip: o PD.:

i. Si , . ii. Si , .

Entonces,

o

Con lo que concluimos la demostración

2.

| Hip: PD.:

i. , . ii. , .

| Hip: PD.:

i. , . oii. , .

Con lo que concluimos la demostración.

3. o

| Hip: PD.: o

i. , . ii. , .

4.

Sabemos que:

y

Entonces,

Y por propiedad dos podemos concluir que,