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Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez

!

Universidad Nacional

Santiago Antúnez de Mayolo

“UNASAM”

Carrera Profesional : Ingeniería Civil.

Año y Seestre : 2014 -I Asignat!ra : Física II

"ocente : Optaciano Vásquez G.

#ea : ráctica !e

"a#oratorio $%02

Al!no : &rro'o (uárez )oe

&n!erson

$ec%a : 1*-)+"-2014


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18


!

+niversi!a! nacional

,(&$I&GO &$+$/ &O"O3

F&C+"& CI$CI&(

"&PA'#AM&N#( ACA")M*C( "& C*&NC*ASS&CC*+N "& $,S*CA

ANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA II

PRACTICA N° 02 “PENDULO SIMPLE”

AU#(':

M-Sc- (.taciano /- 0s2!ez 3arc4a


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!

+&5&/ - 56

5617UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS

“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” DEPARTAMENTO DE CIENCIASSECCIÓN DE FISICA

CURSO: FISI"# II

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 2.

$+"O (I"

I.OBJETIVO(S)

I.. O!"#$%&' G##*+,#

Comprender el origen físico de la ecuación diferencial del oscilador armónico simple Estudiar las oscilaciones del péndulo y determinar las simplificaciones que deben hacerse para que

dichas oscilaciones puedan ser descritas como un movimiento armónico simple

I.2. O!"#$%&' E-#/0%'

Investigar la dependencia del período T de un péndulo simple de su longitud L y la masa m de la masa

pendular.

Mostrar que el período T de un péndulo depende significativamente de la amplitud angular de la

oscilación para ngulos grandes! pero que la dependencia es insignificante para peque"as amplitudes

angulares de oscilación.

#eterminar e$perimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad g en el laboratorio

comparando el período de un péndulo simple medido con la predicción teórica.

II. MARCO TEÓICO Y CONCEPTUAL

El péndulo simple o péndulo matemtico es un sistema mecnico que e$hibe movimiento periódico oscilatorio.

El péndulo simple consiste en una esfera considerada puntual de masa m suspendida de un punto fi%o mediante

una cuerda larga! fle$ible e ine$tensible de longitud L y masa despreciable en comparación con la masa de la

esfera! como se muestra en la figura &.'a.

(+) (!) F%1*+ 2.. (a$ %epresentaci&n de un p'ndulo si(ple) *b$ dia+ra(a de cuerpo libre de (!

)i la masa m se despla*a un ngulo peque"o θ a partir de la posición vertical y se libera desde el reposo se

observa que la esfera describe un movimiento armónico simple siempre y cuando se desprecie la fricción entre

ella y el aire.


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!

#el diagrama de cuerpo libre de la partícula de masa m se observa que sobre ésta act+an, la tensiónT

! a lo

largo del hilo y el pesoW =m⃗ g

de la masa pendular. -a componente tangencial del pesomgsenθ

siempre se encuentra dirigida hacia la posición de equilibrio! de dirección opuesta al despla*amiento

⃗s. or

tanto! la fuer*a tangencial es una fuer*a de restitución! de tal manera que cuando se aplica la segunda ley de

/e0ton en dirección tangencial! se tiene

t t F ma=∑(&.'1

&

&

d smgsen m

dt θ − =

(&.&1

#onde ⃗s es el despla*amiento medido a lo largo del arco de circunferencia descrito por el péndulo y el signo

negativo (21 indica el hecho de que la componente tangencialmgsenθ

act+a en dirección opuesta al

despla*amiento (es decir est dirigida hacia la posición de equilibrio1. or otro lado la magnitud del

despla*amiento ess= Lθ

! siendo la longitud del péndulo L constante! la ecuación &.' se escribe

( )& &

& &

d L d m mL mgsen

dt dt

θ θ θ = = −

(&.31

4 g

sen L

θ θ + =77

(&.51

Esta es ecuación diferencial no lineal! cuya solución e$acta es un desarrollo en serie de infinitos términos. )in

embargo! si las oscilaciones son peque"as! es decir el ngulo θ es peque"o! se puede utili*ar la apro$imación

senθ ≅θ ! donde el ngulo θ se e$presa en radianes. or lo tanto la ecuación diferencial (&.51 se escribe

4 g L

θ θ + =77

(&.61

-a ecuación (&.31 es la ecuación deferencial de un movimiento armónico simple! es decir! m describe un

Movimiento armónico simple (M.7.). y la solución de la ecuación (&.61 es de la forma

( )4 sen t θ θ ω ϕ = +

(&.81

#onde θ 0 es el m$imo despla*amiento angular! φ es el desfasa%e y ω es la frecuencia natural circular! la misma

que queda e$presada como


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!

& g

T L

π ω = =

(&.91

El período del movimiento pendular est dado por

& L

T g

π =

(&.:1;

#onde L es la longitud medida desde el punto de suspensión hasta el centro de masa de la esfera y g es la

aceleración de la gravedad local. #ebe observarse adems que la masa m de la esfera y la amplitud m$ima de

las oscilaciones θ4! no aparecen en esta e$presión. El período de un péndulo (dada nuestra hipótesis1 no es

dependiente de m y θ0 al menos de acuerdo a la teoría. )in embargo! si nuestras hipótesis no se aplican al estudio

del péndulo (el cable es pesado! la esfera tiene una gran y complicada forma! la amplitud es grande! etc1! podría

esperarse que esta fórmula no predice correctamente el período del péndulo.


6/20

18


!

III.2.


7/20

18


!

III.4.


8/20

18


!

III.9.


9/20

18


!

IV. METODOLOG5A

4. E6PERIMENTO . I$%1+%7 8# ,+ 8#-#8#%+ 8#, -#*/'8' (T) 8# ,+ +9-,%$8 8# ,+'%,+%7 (θ).En este e$perimento se trata de medir los períodos (T i1 del péndulo para diversas amplitudes θi!4!

manteniendo una longitud (-1 fi%a así como una masa también constante m' durante el e$perimento y

representar en una grfica la relación entre ambos. ara ello se sigue el siguiente procedimiento.

+)


10/20

18


!

#) Con el cronómetro mida el tiempo requerido para 10 oscilaciones. Aepita este paso por tres veces yregistre sus datos en la tabla I.

0) #etermine el período del péndulo para dicho ngulo usando la ecuación (T =t /n ) ! donde t es

el tiempo y n el n+mero de oscilaciones.

1) Aepita los pasos (d1! (e1 y (f1 para ngulos de '4B! '6B! &4B! &6B y 34B. rdene los datos en la tabla Iy haga una grfica representando el período en función de la amplitud.

T+!,+ I. %elaci&n período *,$ - a(plitud de oscilaci&n * θ. $ para el (o/i(iento pendular .

E=-#*%9#$' I: L 0L. 1 Δ L > 9 ? .9 @ ( 0 (o 1 Δ( > 43.1 ? .1

A.lit!d

T%#9-' () P#*/'8' P*'9#8%'$ $2 $3 T T2 T3 T pro(edio

9 '=.:4 '=.4= '=.=6 '.=:4 '.=4= '.==6 '!==6169 &4.4= &4.4' '=.=: &.44= &.44' '.==: &!4'519 &4.4: '=.=9 &4.4' &.44: '.==9 &.44' &!433569 &4.44 &4.'6 &4.49 &.444 &.4'6 &.449 &!43=

59 &4.44 &4.48 '=.=6 &.444 &.448 '.==6 &!46'69 &4.35 &4.33 &4.54 &.435 &.433 &.454 &!'46

4.2 E=-#*%9#$' II. I$%1+%7 8# ,+ 8#-#8#%+ 8#, -#*/'8' (T) 8# ,+ 9++ (9) 8#, -;8,'.

En este e$perimento se trata de medir los períodos (T i1 del péndulo para diversas masa mi manteniendo

constantes la amplitud θ4 y la longitud ( L1 durante todo el e$perimento y representar en una grfica la

relación que aparece entre el período y la masa del péndulo. ara ello se sigue el siguiente

procedimiento.

+)


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!

4.3 E=-#*%9#$' III. I$%1+%7 8# ,+ 8#-#8#%+ 8#, -#*/'8' (T) 8# ,+ ,'1%$8 (L) 8#, -;8,'.

En este e$perimento se trata de medir los períodos (T i1 del péndulo para diversas masa Li manteniendo

constantes la amplitud θ0 y la masa del péndulo m durante todo el e$perimento y representar en una

grfica la relación que aparece entre el período y la longitud del péndulo. ara ello se sigue el siguiente procedimiento.

+) 56 &'.85 &'.68 &'.6= &.'85 &.'68 &.'6= &.'6=81>16 &4.:6 &4.=5 &4.== &.4:6 &.4=5 &.4== &.4=&81>66 '=.9' '=.99 '=.95 '.=9' '.=99 '.=95 '.=9546>?6 '=.46 '=.'4 '=.4' '.=46 '.='4 '.=4' '.=4636>86 '9.=5 ':.44 ':.43 '.9=5 '.:44 '.:43 '.9==46>=6 '8.89 '8.95 '8.94 '.889 '.895 '.894 '.89436>@6 '6.39 '6.33 '6.54 '.639 '.633 '.654 '.63886>6 '5.'& '5.'3 '5.'8 '.5'& '.5'3 '.5'8 '.5'38

4.4 M'8#,' 9+$#9$%'

En las secciones anteriores pudimos encontrar que el período de un péndulo depende de su longitud pero no de su masa. 7hora vamos a tratar de determinar de qué manera el período depende de la

longitud de péndulo. ara entender detalladamente como el período y la longitud estn relacionados

necesitamos construir un modelo matemtico. En esta ecuación nuestro modelo sería una ecuación que

e$prese la relación detallada entre el período del péndulo y la longitud del mismo. Tendremos en cuenta

dos modelos para evaluar cómo el período del péndulo est relacionado con su longitud.

Modelo lineal : T = AL+B ! donde 7 y D son constantes.

Modelo cuadrático: T 2

=CL+ D ! donde C y # son constantes.

/uestro ob%etivo es determinar dos cosas


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!

P*%9#*': /inguno de los dos modelos describen correctamente los datos (dentro de las

incertidumbres1F

S#18': En caso afirmativo! cules son los valores de las constantes en el modeloF

ara evaluar la situación presentada construimos dos grficas usando el programa E$cel.


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!

Como la constante L se puede e$presar con tanta precisión como se requiera! el error relativo de la

aceleración de la gravedad g es el mismo de la pendiente 7

g #

g #

∆ ∆=

#ebe observarse así mismo que debido a los errores e$perimentales la recta de la grfica T & -

mostrada en la figura &.3! no necesariamente pasa por el origen de coordenadas para ello debe usarse la

ecuación&T $ # L= +

#onde los parmetros # y $ se determinan utili*ando el anlisis de regresión lineal.

V. CALCULOS Y RESULTADOS.

V.. P'* ; # ##+*%' # ,+ +9-,%$8# 8# ,+ '%,+%'# 8#!# #* -##+H

Es necesario que las amplitudes sean peque"as porque así el movimiento del péndulo no ser circular!

sino rectilíneo! adems el periodo depende de la amplitud! pero solo cuando son ngulos peque"os ya que

traba%a con un apro$imado de )en($1 N $! cuando $ es e$presado en radianes

V.2. C' ,' 8+$' 8# ,+ T+!,+ I $%,%+8' #, -*'1*+9+ E6CEL $*+# + 1*0%+ -#*/'8' # 0%7 8#

,+ +9-,%$8T =f (θ0 ). K; $%-' 8# 1*0%+ '!$&'H D%$+ + -+*$%* 8# ,+ 1*0%+ % #=%$#

8#-#8#%+ #$*# #$+ 9+1%$8#. E=-,%# *+'+9%#$'.

&8plitu!19::; ;<29014 10<290== 1;<290=: 20<290;1 2;<2910; =0<

• -a grfica que se obtuvo fue una recta.

• bservamos que mediante aumenta la 7M-IT


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!

0 ; 10 1; 20 2; =0 =;

1.:4

1.:>

1.:*

2

2.02

2.04

2.0>

2.0*

2.1

2.12

?@AB C 0A D 1.:E

5F C 0.:

"inear @B

V.3. C' ,' 8+$' 8# ,+ T+!,+ II $%,%+8' #, -*'1*+9+ E6CEL $*+# + 1*0%+ -#*/'8' # 0%7 8#

,+ 9++ T =f (m ) . K; $%-' 8# 1*0%+ '!$&'H D%$+ + -+*$%* 8# #$+ 1*0%+ % #=%$#

8#-#8#%+ #$*# #$+ 9+1%$8#. E=-,%# *+'+9%#$'.

• )e obtuvo una grfica lineal.

• /o e$iste dependencia! pues como vemos si es que se aumenta la M7)7! no necesariamente

aumenta el EAI#.

0.; 1 1.; 2 2.; = =.;

0

0.;

1

1.;

2

2.;

=

?@AB C 0.==A D 1.;*

5F C 0.E2

"inear @B

8&.4&83 53.'

'.==83 :.56

&.8:'4 9.54


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!

V.4. C' ,' 8+$' 8# ,+ T+!,+ III $%,%+8' #, -*'1*+9+ E6CEL $*+# + 1*0%+ -#*/'8' # 0%7 8#

,+ ,'1%$8 T =f ( L ) . K; $%-' 8# 1*0%+ '!$&'H D%$+ + -+*$%* 8# #$+ 1*+0%+ % #=%$#

8#-#8#%+ #$*# #$+ 9+1%$8#. E=-,%# *+'+9%#$'.

• )e obtuvo una grfica lineal.

• >emos que e$iste dependencia entre la -/GIT


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!

1.E:: =.2=>401 09* 09*01

1.>E0=2.E*::02

0: 09E 09E01

1.;=>>2.=>11=:

;> 09> 09>01

1.41=>1.::*2>4

:> 09; 09;01

6.8 C' ,' 8+$' 8# ,+ T+!,+ '$*%8+ # #, +-%$# .< +8' #, -*'1*+9+ E6CEL $*+# +

1*0%+ T 2

=f ( L ) < $%,%# #, +,%% 8# *#1*#%7 ,%#+,. K; $%-' 8# 1*0%+ '!$&'H A -+*$%* 8#

#$+ 1*0%+ 8#$#*9%# ,+ +#,#*+%7 8# ,+ 1*++8 8# +*+ ' *#-#$%&' #**'* +!',$' -'*#$+,.

0.4 0.; 0.> 0.E 0.* 0.: 1 1.1 1.2 1.=

0

0.;

1

1.;

2

2.;

=

=.;

4

4.;;

?@AB C 1.1> eAp@ 1.21 A B

5F C 0.:*

Aponential @B

• )e obtuvo una grfica e$ponencial.

• ara determinar la aceleración de la gravedad se usar la siguiente fórmula,

&

&&& 51(5&

T

L g

g

LT

g

LT

π π π =⇒=⇒=

TO&"

"oD5Grave!a

!49>>=*E2

1> 192011091>>14

0;49=E*:E4

E> 19101:9:2>00E

*4

=9*:>>E> 190011091414=

E;

=9>=01>*0: 09:01 :9E:*4;:2:


17/20

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!

=92=>401 09*01:9EE0E:;

;;29E*::02

0: 09E01:9:1:4EE

429=>11=:

;> 09>01

10904*E>

1*19::*2>4

:> 09;01:9*:E:=0

2>

:9:;*>2>2>

-a gravedad resulta =.=6:8&8&8 mPs&

. C' ,' 8+$' 8# ,+ T+!,+ III< $*+# + 1*0%+ logT = f (logL ). K; $%-' 8# 1*0%+ '!$&'H

A -+*$%* 8# #$+ 1*0%+ 8#$#*9%# ,+ +#,#*+%7 8# ,+ 1*++8 8# +*+ ' *#-#$%&' #**'*+!',$' -'*#$+,.

"og@B". !el

pn!ulo"og@"B

291;:>09==4=E=

=1:

19201090E:;4=0

0E290:2>

09=20>*>221

1910109041E*E=

1:

19:E4092:;=4E

14*19001

090004=40EE

19:0;=092E::>=

=>E09:01

-0904;2E;2

0:

19E::092;;0=1

1>=09*01

-090:>=>E4

*4

19>E0= 09222E:44*1 09E01

-

091;42*1:*2

19;=>>091*>;>0

*2:09>01

-0922112;;

2*

1941=>091;0=2>

;=>09;01

-09=001>22

E4


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18


!

0.1 0.1; 0.2 0.2; 0.= 0.=;

-0.=;

-0.=

-0.2;

-0.2

-0.1;

-0.1

-0.0;

0

0.0;

0.1

0.1;

?@AB C 0.4E ln@AB D 0.;E

5F C 0.:*

"ogaritH8ic @B

• )e obtuvo una grfica -ogarítmica.

• ara determinar la aceleración de la gravedad en Quara*! utili*aremos la misma fórmula anterior y

obtendremos la siguiente tabla,

TO&"

"oD5Grave!a

!49>>=*E2

1> 192011091>>14

0;49=E*:E4

E> 19101

:9:2>00E

*4=9*:>>E> 19001

1091414=E;

=9>=01>*0: 09:01

:9E:*4;:2:

=92=>401 09*01:9EE0E:;

;;29E*::02

0: 09E01:9:1:4EE

429=>11=:

;> 09>0110904*E>

1*19::*2>4

:> 09;01:9*:E:=0

2>

:9:;*>2>2>

-a gravedad resulta =.=6:8&8&8 mPs&

.. C, () 8# ,+ &+*%+!,# #++8+ $%## + 9+'* %1%0%+%+ # #, -#*/'8' 8#, -;8,'H

-a variable que ms significancia tiene en el EAI# del péndulo es la -/GIT


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18


!

odría suceder que los integrantes del grupo calcularon imprecisamente los datos que debíamos obtener!

por otro lado también podría suceder que el soporte no haya estado muy bien nivelado y que el péndulo s

haya movido de forma circular en ve* de haber tenido una trayectoria recta.

. E ; -$' 8*+$# ,+ '%,+%7 8# ,+ 9++ -#8,+*< ,+ #0#*+ $#8* 9+'* ,'%8+8H

S 9+'* +#,#*+%7H

• )u mayor velocidad ser en el punto ms

ba%o! es decir en D

• )u mayor aceleración ser en los e$tremos!

es decir en 7 y en C

.. S% ,+ +9-,%$8 8# ,+ '%,+%7 0#*# 9'9+'* # ,' 1,' *#'9#8+8'< K; ,+# 8# 9'&%9%#$' 8#*%!%*/+ #, -;8,'H P#8##'$*+*# #, -#*/'8'H K; #+%7 $%,%+*/+H

)i la amplitud fuera mucho mayor! la trayectoria que recorrería el péndulo sería circular y el periodo

dependería significativamente de la amplitud.

.2. D%$+ ,+ $*+0'*9+%'# 8# ##*1/+ # '**# 8*+$# #, 9'&%9%#$' 8#, -;8,' %9-,#.

)in energía ning+n proceso físico sería posible. -a energía mecnica y su transferencia de un cuerpo a

otro reciben el nombre de traba%o. 7mbos conceptos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos

(como es el caso del péndulo1 de forma ms sencilla que usando términos de fuer*a y constituyen! por

ello! elementos clave en la descripción de los sistemas físicos.

.3 S# ,,+9+ p'ndulo que bate se+undos + +#, # -++ -'* -'%%7 8# #%,%!*%'< + +8+#18'. (+) C, # #, -#*/'8' 8# #$# -;8,'H (!) D#$#*9%# ,+ ,'1%$8 8#, -;8,' # !+$#

#18' $%,%+8' ,+ 1*0%+ T 2=f ( L ).

• El periodo de este péndulo es igual a 's

•

99=.4

5

1:.=('

5

&

===π π

g T L

-a longitud ser igual a,

VI. RECOMENDACIONES


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18


!

>I.'. 7seg+rese que la amplitud de la oscilación para los e$perimentos II y III sean peque"as! en caso de no

disponer de un transportador esta situación se consigue despla*ando la masa una distancia hori*ontal de tal

manera que dicha distancia sea un décimo de la longitud del péndulo.

F%1*+ 2.3. Mecanis(o co(o se puede deter(inar la (edida del án+ulo

>I.&. #urante la e$perimentación mantener las ventanas y puertas cerradas y los operadores no deben

caminar cerca del dispositivo! debido a que se generan corrientes de aire que afectarían la precisión en las

mediciones.

>I.3. Conviene computar el tiempo a partir de una posición que no sea el e$tremo de la trayectoria de la

masa pendular.

VII. BIBLIOGRAF5A

'. G-#EMDEAG! R. Física eneral 2 E3peri(ental . >ol I. Edit. Interamericana. Mé$ico '=9&.&. MEI/EA)! Q. S! EE/)TEI/. E3peri(entos de Física. Edit. -imusa. Mé$ico '=:4

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8. TI-EA 7. 7

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