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Moduclaciones Analogicas

Universidad Politécnica Del Estado de Morelos Ing. Miguel Ángel Velasco Castillo

111Equation Chapter 1 Section 1Índice

Introducción..................................................................................................................1

Objetivo.........................................................................................................................1

Marco Teórico...............................................................................................................1

Definición de muestreo.................................................................................................1

Historia..........................................................................................................................1

Demostración Teorema.................................................................................................2

Tipos de Muestreo........................................................................................................6

Muestro ideal................................................................................................................6

Muestreo Natural..........................................................................................................7

Cuantificación................................................................................................................7

Tipos de cuantificación..................................................................................................9

Cuantificación Uniforme ...............................................................................................9

Cuantificación Diferencial..............................................................................................15

Ejercicio 1 Muestreo..................................................................................................... 15

Ejercicio 2 Cuantificación..............................................................................................15

Conclusiones................................................................................................................. 18

Bibliografía.................................................................................................................... 19



Introducción

Ahora que ya conocemos las bondades del mundo digital veremos cómo conseguir una señal digital a partir de una analógica. Los pasos que se han de seguir para ello son, en este orden, el muestreo, la cuantificación y la codificación.

El propósito de un sistema de comunicación es en el más amplio sentido, la transmisión de la información desde un punto en el espacio y el tiempo hasta otro.

Las señales que portan información deben ser asequibles, ya sea en forma analógica p en forma digital o discreta. Habría que determinar qué condiciones son necesarias para convertir una señal analógica en discreta, o viceversa, sin perder información. Como un criterio para conseguir esto debe insistirse en que es posible reconstruir en su totalidad la señal original por medio de filtros.

ObjetivoEn la práctica y dado que no existen los filtros analógicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia máxima que se desea registrar y la frecuencia de Nyquist (frecuencia crítica) que resulta de la tasa de muestreo elegida (por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia máxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crítica de la tasa de 44100 muestras por segundo empleada es de 22,05 kHz; un margen del 10% aproximadamente para esta aplicación). Pero este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones físicas de un filtro de reconstrucción (o filtro antialiasing) real, y no una consideración que contemple (o deba contemplar) el teorema, que pretende establecer el marco teórico (matemático) en el que se deben fundamentar los profesionales que tratan con el procesamiento digital de señales.

Marco teórico

Historia

El teorema de Nyquist-Shannon o mejor conocido como teorema del muestreo fue formulado en forma de conjetura por Harry Nyquist en 1928 y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949. Es un teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interés en las telecomunicaciones.

Definición de muestreo

La clave para el primer paso para convertir cualquier señal a digital es el llamado muestreo, el muestreo es cambiar una señal analógica a muestras

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El teorema lo podemos enunciar como:

Una señal de banda limitada de valor real sin componentes espectrales por encima de una frecuencia B Hz, se determina en forma univoca por sus valores equidistantes en intervalos no mayores que 1/(2B) segundos.

La validez del teorema del muestreo se puede demostrar por medio de la propiedad de modulación o de la propiedad de convolución en frecuencia de la transformada de Fourier.

Demostración del teorema

Cualquier forma de onda física puede presentarse sobre el intervalo , mediante:

212\* MERGEFORMAT (.)

Donde:


Si w(t) esta limitada en banda a B Hz. Y la ecuación se convierte en la función de muestreo.


Demostración

Sabemos que:

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Usando las series ortogonales demostrar que la ecuación 1.4 satisface:


Usando el teorema de Parseval


Se convierte en


Donde:


Entonces:


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Para el caso w(t) cuando está limitado en B Hz con

Usando la ecuación


Y usando la ecuación 1.6 obtenemos:



Sustituimos en la ecuación 1.8 tenemos:


Debido a wf(t) es cero para pueden tender a sin cambiar el valor de la integral.

La mínima velocidad de muestreo permitida para la reconstrucción de una forma de onda limitada por banda sin errores esta dada por:


Según el teorema de Nyquist-Shannon la cantidad de veces que debemos medir una señal para no perder información debe de ser al menos el doble de la frecuencia máxima que alcanza dicha señal.

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En otras palabras, si deseamos grabar una conversación telefónica, como el ancho de banda de la red telefónica es de 3khz, para no perder información deberemos tomar del orden de 6.000muestras/segundo.

Fig-1 Señal original

Fig-2 Señal muestreada

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Tipos de muestreo

Muestreo ideal

Existen 3 métodos para el muestreo, el primero es el muestreo ideal o tren de impulsos de muestreo. El muestreo ideal no conduce a entender el teorema, además nos ayuda a entender de manera simple los siguientes tipos de muestreo.

EL muestreo

El muestreo ideal es simple como observamos en la figura 3, en la imagen podemos observar que tenemos una entrada analógica x(t) llamémosle Javier speech, el cual entra al muestreo, lo que el muestreo hace es multiplicar el speech por la señal.


Fig-3 Muestreo Ideal

Llamado tren de impulsos como se muestra en la figura 3 la salida del muestreo es

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Muestreo Natural

Otro practico método para el muestreo de Javier speech, la señal x(t) es un muestreo natural, el modo de trabajo del muestreo natural se muestra en la figura 4, en la cual podemos observar como el speech entrante de la señal x(t) se multiplica por la señal llamada p(t).

Fig-4 Muestreo Natural

Cuantificación

Definimos cuantificación como el número de símbolos que utilizamos para guardar una medida de una señal.

Para guardar la medida la codificamos con un conjunto de bits.

A mayor número de bits empleados para guardar la medida mayor exactitud. Habitualmente se emplean valores de 8 y 16 bits por canal de información para almacenar los valores de las medidas adquiridas.

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Fig-5 Señales con N valores de muestra

Para discretizar en amplitud, este paso es conocido como cuantificación. Este proceso consiste en asignar los infinitos valores de amplitud de la señal de entrada en un conjunto finito de amplitudes.

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Fig-5 Representación de la cuantificación

La imagen representa que Si la amplitud de entrada se encuentra entre 0 y x1 se le asigna un valor de amplitud de salida de y1; Si está entre x1 y x2, el valor de salida será de y2 y así sucesivamente. Se transforma un intervalo de amplitudes por un único valor de amplitud, que normalmente coincide con el punto medio de ese intervalo. En total tenemos N= 6 niveles de cuantificación.

Desventajas de la cuantificación

La cuantificación presenta 2 desventajas las cuales son:

1. Error de saturación: Ocurre cuando la señal de entrada tiene una amplitud mayor que el margen dinámico del cuantificador.

2. Error granular: Es un error inevitable, pues estamos aproximando valores continuos de amplitud por valores discretos. Este error tomará valores entre +q/2 y q/2, siendo q el valor de la altura del escalón de cuantificación.

Tipos de cuantificación

Existen 2 métodos de cuantificación

Cuantificación No Uniforme Cuantificación Diferencial

Cuantificación Uniforme

Para que el cuantificador uniforme funcione de manera correcta, debe de cumplir con ciertas condiciones como que deben de tener el mismo rango dinámico; además de que cuanto más rápido varié la señal de entrada más escalones de cuantificación se necesitaran.

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Fig-6 Grafica de una señal normal y de la señal cuantificada

Un ejemplo sencillo para explicar esto sería:

Tenemos una señal de entrada que varía entre -5v y 5v y usamos un cuantificador con un rango de -10 y 10v, esto quiere decir que se desperdicia la mitad de los niveles de cuantificación.

El proceso de cuantificación uniforme lo podemos resumir en:

Fig-7 Diagrama a bloques de la cuantificación uniforme

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Para llevar a cabo la cuantificación uniforme contamos con leyes:

Ley A Ley µ

Ley A

La ley A que es un estándar europeo (Usado en G.711 un códec de telefonía) y la fórmula para la ley A es:


Para observar el efecto de esta función observamos la gráfica:

Fig-8 Transformación de la ley A

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Donde logramos observar que A=1 representa la curva es una recta de pendiente=1 y no realiza ninguna transformación. Por lo tanto a mayor A tendremos escalones de cuantificación correspondientes a amplitudes bajas.

Ley µ

La ley A se usó en países Europeos pero ¿Qué pasa en los demás países? Existe también una ley con el mismo fin que la ley A y se utiliza en países como USA, Canadá o Japón.

Y su ecuación es la siguiente:


Donde podemos definir que

X=Es la Amplitud normalizada

µ=255 un parámetro establecido.

Para observar el comportamiento de la ley µ observaremos la siguiente gráfica:

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Fig-9 Transformación con ley µ

Se observa que para µ=0 la curva es una recta de pendiente 1 y observamos que a medida que aumenta los niveles de amplitud bajos se expanden y lo de amplitud alta se contraen.

Ahora observaremos alguna graficas de cómo están conformadas las cuantificaciones.

Tenemos la señal

Fig-10 Señal original

La señal cuantificada quedara de la siguiente manera

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Fig-11 Señal cuantificada uniformemente

Ahora mostraremos las señales cuantificadas por medio de las leyes mencionadas anteriormente

Fig-12 Uniformemente con ley A

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Fig-13 Uniformemente con ley µ

Las diferencias que podemos observar es que entre las leyes las diferencias son mínimas. Pero de manera matemática se puede observar una ganancia de 33.25db en la leyµ y en la ley A de 24.09db.

A esta ganancia se le llama compasión y la podemos definir como la relación entre a señal a ruido (Cuantificación) para señales de amplitud pequeñas.

Cuantificación Diferencial

Por último y antes de entrar a un ejemplo concreto hablaremos un poco de cuantificación diferencial, esta cuantificación se usa preferentemente para señales de voz ya que su espectro es de 300 a 3.4Khz y predominan las bajas frecuencias y por consecuencia las 2 muestras consecutivas serán bastantes similares.

De esta nace la cuantificación diferencial en la que en lugar de cuantificar las muestras de manera aislada se cuantifica y codifica la diferencia entre una muestra y la anterior, de esta manera el rango dinámico de la diferencia entre muestras es mejor que la señal total.

Ejercicio 1 Muestreo

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Supongamos que la señal a ser digitalizada e la voz, aproximadamente el ancho de banda de

la voz es de 4Khz y según la razón de muestreo de Nyquist la razón de muestreo está dado por:


Esto equivale a 8000 muestras por segundo (1/8000) y por consecuencia la razón de muestreo debe ser al menos de 8khz para que pueda regenerarse sin error.

Ejercicio 2 Cuantificación

Una señal de entrada continua tiene la siguiente función densidad probabilística:

a) Determinar las dimensiones de las etapas de cuantización y los niveles si se usa un

cuantizador lineal (uniforme) de 8 niveles .b) Determinar los niveles de las etapas de un cuantizador alineal necesarios para que los

niveles de la señal sea cuantizada sean equiprobables. Trazar además la característica del compresor que precede a un cuantizador lineal.

Solución

a) El intervalo neto de la señal, a es 2 por lo que el tamaño de la etapa de nivel es

. Entonces los niveles de cuantización se ajustan en y

el cuantificador de limites redondeados resulta en b) Debido a la simetría, solo se verá el caso para Para hacer todos los niveles de la

señal equiprobables, se ajustan los niveles de cuantización de forma que el área debajo de

se dividida en partes iguales, (ver figura 14(a)). Designando las etapas del cuantizador por a, b, c, d, respectivamente, se tiene:

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Fig-14 La función densidad probabilística y la característica del compresor.

Resolviendo sucesivamente se obtiene las etapas del cuantizador:

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La característica del compresor que precede a un cuantizador lineal (uniforme) para obtener los mismos resultados se halla graficando los puntos (0.065, 0.125), (0.209, 0.375), etc, como aparece en la figura 14(b). De manera análoga, los límites de redondeo del cuantizador son

donde A, B, C se determinan de:

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Conclusión

Dicho de otro modo, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada.

La información completa de la señal analógica originalmente que cumple el criterio anterior esta descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de muestreo.

Como conclusión, vemos que en este caso la cuantificación no uniforme es positiva pues aunque inicialmente perdemos algo de calidad cuando la amplitud es grande durante la mayor parte del tiempo esta señal tiene una amplitud pequeña, con lo cual queda mejor cuantificada que si se hubiera hecho de forma uniforme. Con lo cual, si la ampliar el número de niveles de cuantificación no es posible (pues haría aumentar el número de bits por muestra y eso no siempre es viable), la cuantificación no uniforme puede ser una alternativa.

Cabe recalcar que el teorema del muestreo no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, debido a que es el proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido).

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BibliografíaFerrel G. Stremler. (1982).Sistemas De Comuninacacion. University Of Wisconsin. Alfaomega

Carl R. Nassar. (2001).Telecommunications Demystified. Eagle Rock , Virginia McGraw-Hill

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