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Research Collection
Doctoral Thesis
Platten mit freien Rändern
Author(s): Gunten, Hans <<von>>
Publication Date: 1960
Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000113915
Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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ETH Library
Prom. Nr. 2970
Platten mit freien Rändern
VON DER
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE
IN ZÜRICH
ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES
DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN
GENEHMIGTE
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT VON
Hans von Gunten
dipl. Bauingenieur ETH
von Sigriswil (BE)
Referent: Herr Prof. Dr. H. Favre
Korreferent: Herr Prof. G. Schnitter
Zürich 1960 Dissertationsdruckerei Leemann AG
Erscheint als Mitteilung Nr. 35 aus dem Institut für Baustatik
an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich
Herausgegeben von Prof. Dr. F. Stüßi und Prof. Dr. P. Lardy f
Verlag Leemann Zürich
DEM ANDENKEN
MEINES VATERS GEWIDMET
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Vorwort
Der theoretische Teil dieser Arbeit ist im wesentlichen unter
der Leitung des viel zu früh verstorbenen Herrn Prof. Dr. P. Lardyentstanden. Leider ist es mir nicht vergönnt, meinem verehrten
Lehrer für seine wertvollen Ratschläge und sein reges Interesse
hier meinen Dank auszusprechen.Nach dem Hinschied von Herrn Prof. Dr. P. Lardy hat sich
Herr Prof. Dr. H. Favre bereit erklärt, die Leitung der Dissertation
zu übernehmen. Ihm bin ich für die Gestaltung und den Abschluß
der Arbeit zu ganz besonderem Dank verpflichtet.Danken möchte ich auch Herrn Prof. G. Schnitter, der das
Korreferat übernahm und der Arbeit ein außerordentlich großesVerständnis entgegenbrachte.
Küsnacht, im September 1959. H. von Gunten
3
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Inhaltsverzeichnis
I. Einleitung 7
II. Darstellung der Grundlagen und Voraussetzungen 9
1. Definition und Bezeichnungen 9
2. Die wichtigsten Beziehungen der Plattentheorie 10
a) Rechtwinkliges Koordinatensystem 10
b) Polarkoordinaten 12
3. Das Randwertproblem 13
4. Grundlagen des Rechnens mit komplexen Zahlen 18
III. Die in ihrem Mittelpunkt unterstützte, symmetrisch belastete Recht¬
eckplatte mit vier freien Rändern 19
1. Voraussetzungen und Gang der Berechnung 19
2. Die Berechnung der Rechteckplatte mit zwei gegenüberliegen¬den freien Rändern und zwei Rändern mit fester, frei dreh¬
barer Auflagerung 22
a) Gleichmäßig verteilte Belastung innerhalb eines Rechteckes 23
b) Einzellast 29
c) Die äußere Belastung ist eine Funktion von x allein ...33
3. Die biharmonische Korrekturfunktion 34
a) Die Bestimmung der Argumente 35
b) Die biharmonische Korrekturfunktion 41
c) Die Korrektur der Randstörung 43
IV. Numerisches Beispiel 46
1. Die Rechteckplatte mit den frei drehbar gelagerten Rändern
x = 0 und x = 1 und den freien Rändern y = ± V2 49
a) Gleichmäßig verteilte Belastung p= 1 49
b) Konzentrierte Flächenlast 51
2. Die Korrekturfunktion 53
5
V. Die in ihrem Mittelpunkt unterstützte, rotationssymmetrisch bela¬
stete Kreisplatte mit freiem Rand 59
1. Gang der Berechnung 59
2. Spezielle Belastungen 61
a) Gleichmäßig verteilte Vollbelastung 61
b) Gleichmäßig verteilte Belastung innerhalb eines Kreises
mit Radius 6 62
c) Parabel n. Grades 64
3. Numerisches Beispiel 63
VI. Vereinfachungen bei der Berechnung von Rechteckplatten 67
1. Vergleich der Quadratplatte mit der Kreisplatte 67
2. Vereinfachungen bei der Berechnung von Rechteckplatten . . 72
a) Gleichmäßig verteilte Vollbelastung 72
b) Konzentrierte Flächenlast 75
o) Die Korrekturfunktion 76
d) Sonderfall: Quadratplatte mit n = 1/e 77
VII. Fundamentplatten 80
VIII. Erweiterung der Aufgabenstellung bei Rechteckplatten — Schlu߬
bemerkungen 86
1. Berechnungsgang für den Fall mehrerer Stützen 86
a) Aus Symmetriegründen sind die einzelnen Stützendrücke
bekannt 86
b) Unbekannte Stützendrücke 87
2. Schlußbemerkungen 89
IX. Anhang 90
Literaturverzeichnis 93
6
I. Einleitung
Bei der Durchsicht des sehr umfangreichen Schrifttums der
Plattentheorie findet man keine genaue Berechnung für Rechteck¬
platten mit freien Rändern und konzentrierten Unterstützungen,
obschon sie in der Baupraxis sehr häufig vorkommen. Man findet
solche Platten hauptsächlich bei Fundamenten und in den letzten
Jahren, dank der neuen konstruktiven Möglichkeiten, die die Ver¬
vollkommnung des Eisenbetons durch hochwertige Baustoffe und
die ständig anwachsende Anwendung des vorgespannten Betons mit
sich brachten, auch im Hochbau.
Bei der Berechnung von Fundamentplatten begnügt man sich
heute noch in den meisten Fällen mit „Balkenüberlegungen",obschon man genau weiss, daß dadurch Fehler entstehen, die zum
Teil bagatellisiert, zum Teil aber auch stark übertrieben werden.
In seiner 1941 erschienenen Dissertation befaßt sich A. Grot-
kamp [l]1) mit dem Problem der Fundamentplatten unter einer
Säulenlast. Er löst das Problem, unter der vereinfachendenAnnahme
eines gleichmäßig verteilten Sohldruckes, mit Hilfe einer Träger¬
rostrechnung. Diese Art der Berechnung hat den Nachteil, daß sie
für verschiedene Plattenstärken ungleiche Schnittkräfte ergibt,
was der Theorie der dünnen Platten widerspricht. In Anlehnung
an numerische Ergebnisse der erwähnten Arbeit von Grotkamp (vgl.auch [2]) wurden dann Formeln zur Bestimmung des maximalen
Momentes bei Einzelfundamenten entwickelt, die aber der Wirk¬
lichkeit nur in einem sehr beschränkten Rahmen entsprechen.Die Schwierigkeit bei der Berechnung von Rechteckplatten mit
vier freien Rändern liegt in der Erfüllung der Randbedingungen.
1) Die Ziffern, in eckigen Klammern beziehen sich auf das Literatur¬
verzeichnis am Ende der Arbeit.
7
Im Gegensatz zu vielen andern Plattenproblemen ist hier vermut¬
lich keine Reihenentwicklung möglich, bei welcher jedes Glied eine
Funktion von trigonometrischen und hyperbolischen Größen mit
reellen Argumenten ist. Vielmehr müssen wir, um die Bedingungenan einem Randpaar genau zu erfüllen, die Größe der Argumentezunächst offen lassen, wie dies für Scheibenprobleme in wegleiten¬der Art Tölke [3] und Fädle [4] getan haben. Die Bedingungen amandern Randpaar können wir im allgemeinen nicht in jedem Punkte
streng erfüllen. Da ein Erfüllen dieser Bedingungen in einer dis¬
kreten Zahl von Punkten wenig in Frage kommt, das klassische
Minimumsprinzip (Prinzip des Minimums der Fehlerquadratsumme)auf der anderen Seite sehr zeitraubend ist, soll für das Einhalten
der Randbedingungen ein erweitertes Knotenlastverfahren zur
Anwendung gelangen, mit dem die Rechengenauigkeit beliebiggesteigert werden kann.
Das erste Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung eines Berech¬
nungsganges für die in ihrem Mittelpunkt nächenförmig unter¬
stützte2) Rechteckplatte mit freien Rändern. Da die genaue Be¬
rechnung — wie wir sehen werden — sehr umfangreich ist, sollen,
um den Bedürfnissen der Praxis entgegenzukommen, in einem
weiteren Abschnitt, in Anlehnung an ein numerisches Beispiel,
Näherungsmethoden entwickelt werden, besonders für den häufigauftretenden Fall der Quadratplatte. Schließlich wird in einem
weiteren Abschnitt ein Hinweis gegeben, wie Platten mit mehreren
Stützen berechnet werden können.
Im Anhang finden sich verschiedene numerische Werte, die bei
der genauen Berechnung von Eisenbetonplatten mit der Quer-
dehnungszahl fi = 1/6 auftreten.
2) Diese Bezeichnung birgt einen Widerspruch in sich. Gemeint ist damit,
daß die Aufsitzfläche ein Rechteck sei, dessen Mittelpunkt mit demjenigender Platte zusammenfalle und dessen Seiten parallel zu den Plattenrändern
liegen. Um Schwerfälligkeiten zu vermeiden, wird in Zukunft immer der
oben im Text stehende Ausdruck verwendet.
8
IL Darstellung der Grundlagen und Voraussetzungen
1. Definition und Bezeichnungen
Ein ebenes Flächentragwerk, das ausschließlich durch Kräfte
beansprucht wird, die senkrecht zu seiner Mittelebene wirken, be¬
zeichnen wir als Platte. Im folgenden soll die Stärke h der Platte
als konstant vorausgesetzt werden.
Im weitern fordern wir, daß die Dicke der Platte klein sei im
Vergleich zu ihrer Länge und Breite. In diesem Fall sprechen wir
von einer dünnen Platte.
In der Theorie dieser dünnen Platten treffen wir die beiden
folgenden Annahmen:
— Die Punkte einer Normalen zur Mittelfläche bleiben nach der
Formänderung auf einer Geraden, die senkrecht zur verformten
Mittelfläche steht.
— Die in der Mittelfläche auftretenden Dehnungen und Winkel¬
änderungen dürfen vernachlässigt werden, so daß der Berech¬
nung die Annahme zugrunde gelegt werden kann, daß die Ele¬
mente der Mittelfläche unverzerrt bleiben.
Die wichtigsten Bezeichnungen. Sie lehnen sich weitgehend an
diejenigen an, die K. Girlcmann [5] im dritten Abschnitt seines
Buches Flächentragwerke verwendet:
w Durchbiegung eines beliebigen Plattenpunktes,
p äußere Flächenbelastung (pro Flächeneinheit),P Einzellast,E Elastizitätsmodul des homogenen, isotropen Platten¬
materials,h Plattenstärke,
ft Querdehnungszahl,K Plattensteifigkeit.
Rechteckplatten
x, y Kartesische, rechtwinklige Koordinaten,
mx,my Biegungsmomente (pro Längeneinheit),
9
mxy Drillungsmomente (pro Längeneinheit),
qx,qy Querkräfte (pro Längeneinheit),
qx,qv Auflagerkräfte (pro Längeneinheit),A Einzelkräfte in den Plattenecken,
a, b Seitenlängen der Rechteckplatte,2c = s, 2d = t Seitenlängen der rechteckigen Stützfläche.
Kreisplatte
r, <p Polarkoordinaten,
mr,mv Biegungsmomente (pro Längeneinheit),
mrq) Drillungsmomente (pro Längeneinheit),a Radius der Kreisplatte,b Radius der Stützfläche.
2. Die wichtigsten Beziehungen der Plattentheorie
Je nach der geometrischen Form der Plattenbegrenzung wird
man die Wahl des Koordinatensystems treffen. Für eine Rechteck¬
platte drängen sich rechtwinklige Koordinaten auf, für eine Kreis¬
platte wird man Polarkoordinaten einführen.
Da in dieser Arbeit Rechteck- und Kreisplatten behandelt wer¬
den, sollen in den beiden folgenden Abschnitten die Grundbezie¬
hungen für die entsprechenden Koordinatensysteme dargestelltwerden. Die Herleitungen der Formeln finden sich in den bekann¬
ten Lehrbüchern ([5], [6], [7], [8]).
a) Rechtwinkliges Koordinatensystem
Die Plattengleichung lautet für diesen Fall
8iw dlw d^w p(x,y)Jxi
+8x2dy2
+Jy1
=
K
oder, mit dem Symbol des Laplace Operators
8x2 8y2'
10
(1)
(2/1)
beziehungsweise des doppelten Operators
0*AA
8*
8xi+ 28x28y2+ 8y*'
AAw =
v (x, y)K
'
(2/2)
(3)
wobei w(x,y) die Durchbiegung eines beliebigen Plattenpunktes
P, j) (x, y) die äußere Flächenbelastung und K die Plattensteifigkeit
oder Biegesteifigkeit bedeuten. Letztere ist die Konstante:
K12(1-,*«
wo E der Elastizitätsmodul des homogenen, isotropen Platten¬
materials, h die Plattenstärke und fi die Querdehnungszahl sind.
Ist die Durchbiegung w(x,y) in allen Punkten der Platte be¬
kannt, so können daraus sämtliche Schnittkräfte berechnet werden,
und zwar mit den Formeln:
mx ——K
m,
m„
(82w82w\
Jx2+tl^)'[82w 82w\
(5)
.= -(l-l*)K
„ -
dm*i8mxv
q*8x
+
8y'
oder in Funktion von w :
%
82w
8x 8y'
8mu
8y+8mx
dx
?sv{83w 83w \ vl
=
-K\w+8xJyî)' *v = -K\83w 83w
+8y3 8x28yj
(6)
Mit der Einführung der Kirchhoffsehen Ersatzscherkräfte ergebensich die Auflagerdrücke am Rande aus den Beziehungen:
9x = 9x +8m
8y
8mxy8x
xy= _K
= -K
83w 8sw
Jtf+( ~lL)8x8y283w
._ ,8sw
"^ + (2-/*)]8y- 8x28y
(7)
11
Die an den Plattenecken auftretenden Einzelkräfte schließlich be¬
rechnen sich zu:
A = 2mxv. (8)
Die Plattengleichung (3) kann auch in zwei Differentialgleichun¬
gen zweiter Ordnung aufgespalten werden. Bilden wir aus (5) den
Wert:
mx+my = -(l+v.)K\j^+jji)=-(l+ii)KA w
und definieren wir als Momentensumme
so erhalten wir die Beziehung:
M = -KAw; (10)
somit zerfällt die Plattengleichung (3)
V (*> y)AAw
K
in die beiden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung:
82M 8*M 8*w d2w_
M
8x*+
8y*~ P'
8x*+8y*~ K'
( '
b) Polarkoordinaten
Der mit (2/1) eingeführte Operator A hat in Polarkoordinaten
folgende Bedeutung:
A-— -— ——
8r*+ r 8r+ r* 8<p2'( '
Mit der nochmaügen Anwendung dieser Operation auf die Funk¬
tion w (r, cp) ergibt sich die Plattengleichung
AAw =
'
,
K.
, ( 82 18 1 8*\/82w \ 8w 1 8*w\ p(r,q>) .,„.
oder [-^ +-
T- + -j 5-j irT +-
-=- + -= tt-»-=
y^
,13
\8r2 r 8r r2 8<p2] \8r2 r 8r rz 8cpi) K
12
(für die Ableitung dieser und der folgenden Formeln vgl. z.B.
K. Girkmann [5]).Die aus w{r, <p) sich ergebenden Biegungs- und Drillungs¬
momente werden:
„ld2w /l 8zw 1 8w\~\
Tjr\ d*w 1 82w 1 div\ ....
»• =-K^+^e^
+7-8f\' (14)
-,=-(w)4(^).Die Kenntnis der Querkräfte und Auflagerkräfte spielt im Verlauf
der vorliegenden Arbeit keine Rolle, so daß ihre Abhängigkeit mit
der Funktion w (r, <p) weggelassen werden kann.
3. Das Randwertproblem
Gelingt es uns, die Plattengleichung (3) bzw. (13) für ein Problem
unter Berücksichtigung aller Randbedingungen zu integrieren, so
erhalten wir die strenge Lösung des Problems. Dabei können wir
das Integral w der Plattengleichung stets zusammensetzen aus
einem partikulären Integral w0 der vollständigen Plattengleichungund einem Integral wx der homogenen Plattengleichung:
w = w0 + w1. (15)
Das Integral w1 muß so gewählt werden, daß die Funktion (15)sämtliche Randbedingungen befriedigt.
Ist eine strenge Lösung in Hinblick auf die mathematischen
Schwierigkeiten nicht möglich, müssen wir zu einer Näherungs¬
lösung greifen.Eine erste solche Möglichkeit besteht im punktweisen Erfüllen
der Randbedingungen (d. h. im Erfüllen dieser Bedingungen in
einer endlichen Zahl von Punkten). Diese Methode führt aber in
wenigen Fällen zu befriedigenden Ergebnissen, da sehr oft die
Lösungsansätze Produkte sind, in denen mindestens ein Faktor
eine trigonometrische Funktion ist (sinna, cosraa). Diese trigono-
13
metrischen Funktionen weisen mit wachsendem n, und damit mit
wachsendem Argument, eine Häufung der Nullstellen sowie der
Maxima und der Minima auf, was im allgemeinen zu sehr ungenauen
Werten der Ableitungen der Funktion führt, so daß die Rand¬
bedingungen nicht gut erfüllt sein können.
Ein Verfahren, das dem wirklichen Funktionsverlauf besser
gerecht wird, ist das Prinzip des Minimums der Fehlerquadratsumme,das wir in der Folge als Minimumsprinzip bezeichnen wollen. Wir
stellen dabei den Ansatz auf
w = Z4«<P<. . (t=l,2,...,r) (16)i
Die Funktionen 0i (x, y) bzw. &t (r, <p) genügen dabei der Platten¬
gleichung (3) bzw. (13), während die Randbedingungen nicht oder
nur zum Teil erfüllt sind. Die noch freien Konstanten A{ können so
bestimmt werden, daß die Fehlerquadratsumme am Rande ein
Minimum wird. Wir erhalten damit ein System von r linearen,
nichthomogenen Gleichungen zur Bestimmung der Unbekannten At.Das Minimumsprinzip hat den Nachteil, daß die Bedingungen
für die Äquivalenz der eingeführten und der vorgeschriebenen
Randkräfte, bei einer endlichen Zahl von Reihengliedern, nicht
streng erfüllt werden können. Ein Fehler, bedingt durch den Cha¬
rakter der Näherungslösung, wirkt sich deshalb auf das ganze
Gebiet der Platte aus und beschränkt sich nicht nur auf die Rand¬
zone (das Prinzip von de Saint-Venant ist also hier nicht gut
anwendbar).Ein weiterer Nachteil des Minimumsprinzips ist in numerischer
Hinsicht zu erwähnen. Liegen nämlich keine orthogonalen Funk¬
tionen vor, wird der Rechenaufwand außerordentlich groß.Ein sehr wirksames Näherungsverfahren, das den Rechenauf¬
wand wesentlich reduziert, ist das Knotenlastverfahren, das F. Stüßi
[9], [10] in die Baustatik eingeführt hat und in der hier verwendeten
Form für Randwertprobleme erstmals von S. Mathys [11] ange¬
wandt wurde. In Hinblick darauf, daß die numerischen Beispiele
der vorliegenden Arbeit mit dieser Methode berechnet werden,
sollen hier die Grundlagen dieses Verfahrens kurz zusammen¬
gestellt werden.
14
Wirkt auf einen einfachen Balken eine beliebige verteilte Be¬
lastung p(x), so ersetzt man zur praktischen Berechnung der Auf¬
lager- und Schnittkräfte diese Belastung durch eine endliche Zahl
von Einzellasten, die sogenannten Knotenlasten (Fig. 1).
Für den häufig vorkommenden Fall, daß die Knotenlasten einen
konstanten Abstand Ax aufweisen, lassen sich diese Größen mit
Hilfe der folgenden Formel berechnen (Fig. 2):
K„Ax,:12(P» -i+!0pm + pm+1). (17)
Dabei wurde der Berechnung die Annahme zugrunde gelegt,daß die Belastungsfunktion p (x) zwischen m — 1 und m+1 eine
P(x)
i;;> f '
;"
Pm-1
m-1 m
&
Pm + 1
m + 1
Ax Ax
Km
Fig. 2.
15
Parabel mit vertikaler Achse durch die Punkte pm_x, pm und pm+x
sei. Zu dieser parabolischen Belastung bezeichnet Km den gesamten
Auflagerdruck in m, wenn man sich die Strecke m — l,m und
m,m+1 je als einfache Balken vorstellt.
Für Randpunkte legen wir die Parabel durch den benachbarten
und den nächstfolgenden Punkt, wobei die Randknotenlast den
Wert
Km-l=-2£(1Pm-l + GPm-Pm+l) (18)
annimmt. (Für die Ableitung der Formeln (17) und (18) sei auf die
Literatur verwiesen3).
Liegt eine Belastungsfunktion vor, deren Werte sehr starken
Schwankungen unterworfen sind, so müssen die Abstände A x ent¬
sprechend klein gewählt werden. Dies führt zu einer großen Anzahl
von Knotenlasten, was sich für die numerische Behandlung ungün¬
stig auswirkt. Wir werden deshalb versuchen, einige dieser Knoten¬
lasten, im folgenden Zivischenknotenlasten genannt, zu einer Haupt¬
knotenlast zusammenzufassen (Fig. 3). Die Bestimmung der Haupt¬knotenlast erfolgt wiederum mit den Gesetzen der Zusammen¬
setzung der Kräfte sowie mit den Gleichgewichtsbedingungen.
Zwischenknotenlasten Kt
'
Kn
I I '
-4 n-3 n-
Hn_4
-2 n-
Ax
-1 n n+1 n+2 n+3 n-
H
Hauptknotenlasten Ht
Fig. 3.
3) Siehe [9]: Formel (40) und [10]: Seite 951, Formel (60a).
16
In den Punkten w —4 bis n + 4 seien die Zwischenknotenlasten
Kn_i bis Kn+i mit Hilfe der Gleichung (17) bzw. (18) bestimmt)
worden. Wir denken uns nun die beiden Abschnitte n — 4,«, und
n,n + 4: als voneinander unabhängige einfache Balken, belastet mit
den Zwischenknotenlasten, und stellen die Frage nach dem totalen
Auflagerdruck in n. Sind die Zwischenknotenlasten in gleichen
Abständen bestimmt worden, so wird für unseren Fall, wo sich
zwischen den Hauptknotenlasten 3 Zwischenknotenlasten befin¬
den, z.B. die Zwischenknotenlast im Punkt n — 1 3/4 ihres Betrages
zur Hauptknotenlast Hn liefern und 1/4 zur Hauptknotenlast im
Punkt n — 4. Stellt man bei der in Fig. 3 angenommenen Anzahl
Zwischenknotenlasten alle Anteile auf, so erhält man folgendesSchema:
Ax
l< ,\
n — 4 n — 3 n — 2 n — 1 n n + l n + 2 n + S n + 4
(1 10 1) Xl
(1 10 1 + 1 10 1) x3/4
(1 10 1 1 10 1) x3/4
(1 10 1 1 10 1) x1U
oder zusammengefaßt
Ax
Ax
Xl2"'
V
n — é n — 3 n — 2 n — 1 n n+l n+ 2 n+ 3 n+ 4
(19)
o O O O O O- 0 O O A
(1 12 24 36 46 36 24 12 1 x^|,so daß Hn durch die folgende Formel gegeben ist:
Hn=zli(P"-4 +12 Vn~3 + 24 Pn~* + 36 P"-1 + 46 Pn
+36pn+1+ 24:pn+2+12pn+3+pn+i).
Für Randpunkte erhält man mit analogen Überlegungen:
Hn = ^(nPn + ^Pn+l + 22pn+2 + 12pn+3 + pn+i). (20)
Wir können diese, für Belastungsfunktionen gemachten Überlegun¬gen auch auf andere Funktionen, z. B. Momenten- und Auflager-
17
funktionen übertragen. In der vorliegenden Arbeit werden wir mit
diesem Verfahren im Abschnitt IV das gegebene Randwertproblem
an einem Randpaar lösen.
Da wir beim Knotenlastverfahren die Bedingungen für die
Äquivalenz der eingeführten und der vorgeschriebenen Randkräfte
einhalten, wird sich eine Störung der wirklichen Verhältnisse, be¬
dingt durch den Näherungscharakter der Methode, wegen des hier
gültigen Prinzips von de Saint-Venant nur in der Randzone bemerk¬
bar machen, die bei unserem Problem ohnehin von geringer Bedeu¬
tung sein wird. Es ist hier zu erwähnen, daß das de Saint-Venant-
sche Prinzip nicht absolut streng erfüllt wird, da wir die Kurve p (x)
durch Parabelbögen ersetzt haben, doch nehmen wir den dadurch
entstehenden Fehler als vernachlässigbar klein an.
4. Grundlagen des Rechnens mit komplexen Zahlen
Im Laufe der vorliegenden Arbeit werden für trigonometrische
und hyperbolische Funktionen komplexe Argumente auftreten, so
daß schon an dieser Stelle einige Beziehungen in Erinnerunggebracht
werden sollen.
Wenn z = a +ib (i = \/^l) (21)
eine komplexe oder imaginäre Zahl darstellt, so heißt bekanntlich
z = a — ib die zu z konjugiert komplexe Zahl.
Auf Grund der als bekannt vorausgesetzten Beziehungen
sin i c = i Sh c,
l°*iC = ChC'(22)
Sh ic = a sine,
Chic = cosc,
und mit Hilfe der Additionstheoreme erhält man:
sin (a + i b) = sin aCh b+i cosa Sh b,
cos (a + i b) = cos a Ch b — i sin a Sh 6,
Sh (a+ib) = Sh acosô +ïCh asinô,
Ch (a + i b) = Ch a cos b + i Sh a sin 6.
(Vgl. dazu Lit. [12].)
18
Später werden wir die folgende Summe S brauchen:
S = (DR + iDJ)(fB + ifJ) + (DB-iDJ)(fR-ifJ), (24)
wo DB, DJ, fR, fJ beliebige reelle Konstanten bzw. Funktionen sind.
Nach kurzer Zwischenrechnung erhält man für S den folgendenreellen Wert:
S = 2(DRfR-DJfJ). (25)
III. Die in ihrem Mittelpunkt unterstützte, symmetrischbelastete Rechteckplatte mit vier freien Rändern
1. Voraussetzungen und Gang der Berechnung
Als grundlegende Aufgabe, die uns später gewisse Verallgemei¬
nerungen bezüglich der Auflagerung erlauben wird, sei in diesem
Kapitel ein Plattenproblem gelöst, bei dem wir folgende Voraus¬
setzungen treffen:
1. Die Rechteckplatte besitze vier freie Ränder, mit den Seiten¬
längen a und b (Fig. 4).
2. Die Platte sei in ihrem Mittelpunkt gelagert. Diese Auflagerungkann punkt- oder flächenförmig sein, wobei für den zweiten Fall
die Auflagerfläche ein Rechteck mit den Seiten 2c bzw. 2d sei.
3. Die Auflagerkraft sei im letzteren Fall gleichmäßig über die
Auflagerfläche verteilt.
4. Die äußere Belastung sei nur eine Funktion von x allein und
symmetrisch bezüglich der «/-Achse (die Achsen x und y sind in
der Fig. 4 definiert).
Da die Platte vorläufig nur an einer Stelle unterstützt wird, ist
die Reaktion der Auflagerfläche, bzw. des Auflagerpunktes bekannt
und gleich der totalen äußeren Belastung der Platte.
Zur Berechnung dieser Platte erweist sich folgender Rechnungs¬
gang am zweckmäßigsten:
19
1. Zuerst wird die Rechteckplatte als längs den Seiten y = ±6/2
frei, dagegen längs den Seiten x= ±a/2 fest, frei drehbar gelagert
gedacht (Fig. 5) und die Durchbiegungsfunktion w (x, y) berechnet
für die Belastungsfälle:
a) gegebene äußere Belastung,
b) von unten nach oben im Mittelpunkt wirkende, bekannte Auf¬
lagerreaktion.
Dadurch können sämtliche Schnittkräfte der Platte berechnet
werden, insbesondere auch die Auflagerkräfte (inkl. Einzelkräfte A
in den Ecken) längs der Auflagerungen in a;= ±a/2. Die Summe
der Auflagerkräfte aus a) und b), erhalten durch eine Integration
über die ganze Länge der Auflagerung jeder der betrachteten Sei¬
ten, ist gleich null, da die äußeren Kräfte a) und b) ein Gleich-
Auflagerflächefreie Ränder
sym. äussere
Belastung ÎHehuxqUIIi.
gleichm. vert.
"Auflagerreaktion
Fig. 4.
gewichtssystem bilden. Man spricht in diesem Fall von einer Null¬
belastung.Wir stellen fest, daß sich die aufgelegte Platte von der gegebenen
mit vier freien Rändern dadurch unterscheidet, daß an den Rän¬
dern x= ±aj2 die Bedingungen noch nicht erfüllt sind, während
die Bedingungen an den Rändern y = ±6/2 bereits erfüllt sind.
freie
Ränder
frei drehbare
Auflagerung
Fig. 5.
2. Um die Durchbiegungsfunktion für die, der unter 1. ange¬
gebenen, entgegengesetzt wirkenden Nullbelastung an den Rän¬
dern x = ± a\2 an einer Platte mit nunmehr vier freien Rändern zu
bestimmen, wählen wir in einer zweiten Stufe eine biharmonische
Korrekturfunktion von der Form
w»= ~k h mCh&x [C«cos&ny+Dn P» y sin0» y^ • (n=l,2,3,...)
Dieser Ansatz erfüllt die homogene Plattengleichung und ist, wie
die Belastung, symmetrisch bezüglich der y-Achse. Die Argumente
ßn bestimmen wir so, daß an den Rändern y= ±6/2, wo die Be¬
dingungen eines freien Randes bereits erfüllt sind, diese auch
weiterhin erfüllt bleiben. Die noch freien Konstanten Cn und Dnermitteln wir so, daß an den Rändern x= ±a/2 die resultierenden
Momente und Auflagerkräfte infolge 1. und 2. ebenfalls verschwin¬
den, was auf das Auflösen von linearen Gleichungen führen wird.
21
2. Die Berechnung der Rechteckplatte mit zwei gegenüberliegendenfreien Rändern und zwei Rändern mit fester, frei drehbarer
Auflagerung
Zur strengen Berechnung dieser Platte wenden wir die in
Abschnitt II. 3 angegebene Methode mit der Partikulärlösung an,
d. h. wir setzen
w = w0 + wx, (15)
wo w0 ein partikuläres Integral der vollständigen Plattengleichung
und wx ein Integral der homogenen Gleichung darstellen.
Für w0 wählen wir die Lösung des gleichbelasteten Plattenstrei¬
fens mit der Breite a und für w1 den Ansatz
1= 2j "T (AnCh œ» V + <*n y Bn Sh <Xm y) SU1 CCn X,
na*
(n= 1,3,5,...)
wobein-n
(26)
(27)
zu setzen ist.
Diese Funktion erfüllt die homogene Plattengleichung und die
Bedingungen an den Rändern x= 0 und x=a, wenn als Koordi¬
natensystem dasjenige der Fig. 6 verwendet wird.
Die noch freien Konstanten An und Bn bestimmen wir aus den
Bedingungen für die Ränder y= ±b/2 (my = 0, qy = 0, wobei my
< freie Ränder
b Od-
22
Fig. 6.
und qy die resultierenden Randwerte der Momente und Auflager¬kräfte infolge w0 und w1 bedeuten).Im folgenden sollen die Verhältnisse für die wichtigsten Bela¬
stungsfälle gesondert untersucht werden.
a) Gleichmäßig verteilte Belastung innerhalb eines Rechtecks (Fig. 7)
Als Sonderfall dieser Belastung, wenn c = a/2 und d = b/2 wird,
erhalten wir die gleichmäßig verteilte Totalbelastung.
Fig. 7.
Wie wir später sehen werden, können beliebige andere sym¬
metrische Rechteckbelastungen als Summen und Differenzen sol¬
cher Rechteckbelastungen erhalten werden.
Um ein partikuläres Integral w0 zu bekommen, entwickeln wir
zuerst die gegebene Rechteckbelastung in der z-Richtung in eine
ungerade Fourier-Reihe mit der Periode L= 2a (Fig. 8) und erhal¬
ten, unter Berücksichtigung des Umstandes, daß die Abszisse des
Mittelpunktes o/2 ist, die Reihe:
u = a/2
|a 12a
c c
,°1 |1 1L. 1
Fig. 8.
23
4pY^ 1.
turc.
rnr.
riTTXp(z)=-J-/ —sin sin-r-sin .
(28)^v '
TT A_i n a 2 av '
n
(n= 1,3,5,...)
Mit Hilfe dieser Fourier-Reihe und dem Fourier-Integral für
die «/-Richtung berechnet Girkmann in seinem Buch Flächentrag-
werke3) den Plattenstreifen mit der Breite a unter einer Rechteck¬
laßt. Diese Berechnung wollen wir hier kurz skizzieren. Für den
Spezialfall w=a/2 ergeben sich, unter Einführung der Abkürzungen
P = 4:pcd (29/1)
und ^=2î^sina"csin ¥' {29/2)
die Ausdrücke für w0:
u>0 = J]-^{2 + [onySh«By-(2 + «Bd)ChaBy]e-«-''}8inaBa!, (30/1)"
"nfür O^y^d; (n = 1,3,5,...)
wo=E§?[(2+a»2/)Sha»d_a»dCha»cZ]e~o'"!/siiia«a;' (30/2)"
a"für dSySb/2. (n= 1,3,5,...)
Daraus lassen sich alle Schnitt- und Auflagerkräfte berechnen.
Insbesondere ergeben sich:
(mx)0 = #£-^{2 + [(l-/a)(aByShany-«BdChaBy) (31/x)n
a"-2ChaM2/]e-a»'*}sinawa;,
für O^ySd;
(mj0 =X^-^{[2Sha^ + (l-M)(aM2/Sh«md (31/2)n "
-a„(iCha„<Z)]e-a»«'}sina„x,
für d è y â 6/2 ;
(»*»)o =--^Xi^f{-2/i + [(1-M)Kz/Snœ»2/-a»dCna«2/) (31/3)" n
+2/xChan2/]e-a»d}sinama;,
für O^y^d;
3) Siehe [5], Seite 215.
24
(my)0 =-JfJ]-^{[-2/*Sh«Bd + (l-/*)(«wyShaBd (31/4)m
""-andCh«wd)]e-a»ä'}sina„x,für d S y ^ 6/2 ;
(»»w)o = (l-/*)-K'l]-^!{[-«»yCh««» (31/5)n "
+(l + aMd)Share2/]e-a»d}cosaMx,
für OSySd;
(xy)o = (l-ft)Jfü ^{[(l + a^Sha^ (31/6)re "
-andChand]e-ot»»}cosa„a;,
für d^y^bj2;
wobei in den Formeln (31/1) bis (31/6) alle Summationen für
»= 1, 3,5,... gedacht sind.
Für den weiteren Gang der Berechnung sind ferner die Auf¬
lagerkräfte von Bedeutung.Für den Rand x = 0 ergeben sich
(?x)o = ^E^{2-[2Chan2/ + (l-^)(aTO2/Shani/n
*n-ccndChccny)]e-^}:für O^y^d; (n = 1,3,5,...)
(gJ0 = z£|f[2Shan(ZHl-i")K*/ShaM<Zn
""
-ocndCh*nd)]e-«»v,
für d-Zy&bfi; (n = 1, 3,5,...)
Schließlich wird für den Rand y — + 6/2 :
(fy)„ = -js:5]|p{[(3-JLt)Sh«Bd+(i-/*)(«B|sh«Bd
-<x„dCha„dj
(32/1)
(32/2)
(33)
e_a"6/2>sinanx.
(»=1,3,5,...)
Damit sind die Verhältnisse für das partikuläre Integral abge¬
klärt, und wir können uns der durch Gl. (26) eingeführten, allge¬meinen Lösung der homogenen Plattengleichung zuwenden:
25
wi = ^]^-(^„ChaM2/ + an2/£mSham2/)sinarex. (26)n
a»
(»=1,3,5,...)
Dieser Ansatz erfüllt die Bedingungen an den Rändern x = 0
und x = a. Die noch freien Konstanten An und Bn bestimmen wir
aus der Forderung, daß an den Rändern y=± 6/2, für w = w0 + w1:
'B2w d2w\(34/1)
„ld2wd2w\
sei. Durch Einsetzen der entsprechenden Werte erhalten wir für
An und Bn das folgende System von Gleichungen:
<(l-M)Chaw-+ JBm 2Ch a„- + (l -/i) a„-Share-(35/1)
Qn(i-^)«»^-2/* $h.oLnd-<xnd(\-iJL)Ch.<xnÀe-*"bl2 = 0,
-An(l-iM)Shacn~+Bn ^(l-^)Shan--(l-/i)a„-Cha^-j (g
+ |?{ 3-/*+(l-^)«B|Jsh«Bd-(l-ilt)«BdChaBdJe-^.W = 0,
das nach kurzer Zwischenrechnung auf den Wert der gesuchtenKonstanten führt:
B=-Qne-a»6/2 2/* b\av.
r_+
«fl-jSh«B-,«stesha ^Cha *-. ±UlA"l-/*+
""2JDn-'2"U-/*ö a»2^ n2 »2) (36/1) 4)
+ |j^+ a„-JChaB-|Shanrf-/ShaTC- + Charl-jamrfChaTOrf|,
4) Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß sich bei Girkmann,
Flächentragwerke, 4. Auflage, S. 216, in diesen Formeln gewisse Druck¬
fehler eingeschlichen haben.
26
K = -—
r(-v-^ + ans-jSho^d-^dCho^d]
a3Cha -l\ i~ll Z/ Jn m2 (36/2)
~;^mwCha»2+a»2Sha«2J-
Da das partikuläre Integral w0 sowie die Funktion wx nur
Summenglieder mit ungeraden n enthalten, so sind die An und Bn
auch nur für die ungeraden n zu bestimmen.
Nachdem wir die Lösung von Girkmann in Erinnerung gebracht
haben, sollen, der Vollständigkeit halber, noch die wichtigsten,
aus w1(x, y) sich ergebenden Schnittkräfte zusammengestellt wer¬
den.
(«**)i = KZ{[(l-n)An-2nBn]Ch«ny (37/1)
+ (l-n)Bn<xnySh<xny}sin<xnx, (n = 1,3,5,...)
K)i =-KZ{[(l-n)An + 2Bn\Chany (37/2)
+ (l-n)BnccnySh<xny}sm<xnx, (n = 1,3,5,...)
(mxy)l = ~ -K ( 1 - ,u) 2 {(An + Bn) Sh «n y + 5„ a„ y Ch am y} cos an x,
(n= 1,3,5,...) (37/3)
Für den Rand x = 0 wird:
(îA = -*IX{[(l-/*M„+ (4-2/t).BB]Ch«Ily (38)
+ (l-/x).Bna„ySha„«/}. (»=1,3,5,...)
Die Formeln (36/1) und (36/2) zur Bestimmung der Beiwerte
An und Bn sind im allgemeinen für die numerische Berechnung
nicht sehr geeignet; sie lassen sich aber für gewisse Werte von
<x„ 6/2 stark vereinfachen.
Für grosse Werte von anbj2 können wir nämlich setzen:
ChaB|^ShoB|^lc«-W. (39/1)
Vernachlässigen wir ferner
«njj- gegenüber —^Sha„-Cha„-, (39/2)
so ergeben sich die wesentlich einfacheren Ausdrücke:
27
2Qn(l-M)e-*»»t<4(3+/*)
*» =
-^WSzi:{(3+a«6)Sha^-2a^Cha^}' w*
'/, /tt (40/2,
Für den Sonderfall der totalen Belastung wird c = a/2 und d = 6/2.Dadurch vereinfacht sich der Wert von Qn :
2P
Qn-M' (41)
und An, Bn werden:
Qne-««bi2Bn =
al (îZT^) Sh a» "2Ch a»"2
~~
a "2
•{Sha"l(î^Cha4-Ï^IShal)-a»l}'Q e-«»W2 I-/ 2ju 6\a_ 6 6.,, 61
n=Z~«sCh* 6 (-î^+a»2JSha»2-a»2Cha»2
Bn ( 2nu
b ba, b\
"^hTllï^ n2+a»2Sha»2 •
Oll &,„ n
(42/1)
(42/2)
Für große Werte von xnd = xn6/2 erhält man durch Anwendungder Gleichungen (39/1) und (39/2):
5) Für den Fall einer beliebigen Reehteckplatte mit /* = 0 unter Vollast
geht die Formel (42/1) ohnehin in die Gleichung (43/1) über. Für eine qua¬
dratische Platte mit /j. = 1/b (Beton) betragen die Fehler infolge der Anwen¬
dung von (43/1) und (43/2) für Bs nur 0,008 % und für A3 0,006 %.
28
b) Einzellast
Grundsätzlich läßt sich das Problem der Belastung durch eine
Einzellast durch Grenzübergänge in den Beziehungen des vorigenAbschnitts lösen. Da sich aber für den Plattenstreifen, der uns die
Partikulärlösung liefert, die Schnitt- und Auflagerkräfte geschlos¬
sen darstellen lassen, soll dieser Belastungsfall gesondert dargestelltwerden.
Als Ausgangsgleichung für das partikuläre Integral wählen wir
die, von (30/2) wenig abgeänderte, folgende Formel, wo u die
Abszisse des Angriffspunktes bezeichnet (Fig. 8) :
(44)
Pa4 V 1•
nitc.nnu
.n-nx
Wo =
c s TT—f / -rsm sin sin0
2iT5Kcd ^w5 a a an
2+ -|Sh Ch e a,
a ) a a a \
(»=1,2,3,...)
Wir lassen vorläufig die Größe von u offen und bemerken zuerst,
daß:
feil
lim §- = 1 (45/1)
a
. tittc
sin
und lim — =1. (45/2)c_>o
n7T0
a
Dadurch vereinfacht sich der Ausdruck von w0 und wir erhalten:
Pa2 V 1 /\ nnyX -n7rv.ntru
.n-nx
.,„.
o sg- Z_,~3 1+ c a sm sin' •(46)
2tt3K L-iw? \ a ) a a'
(»=1,2,3,...)
Aus der Gleichung (46) ergeben sich:
82w0_
p y
wn
dx2 2TrKt->
1 772/1 -^^ n-rru .n-nx
,._,,,—I—- e a sin- sin (47/1)n a \ a a
v ' '
und -^ = --—=> — e a sin sin .
(47/2)
dy 2-nK^^n a av ' '
29
30
(815).und(808)Formeln[13],Siehe6)
(51/1)
'Ch—--cos——-cos—^t—-LCh
u)+tt(xrt-iiryu)—7t(xTry„,I
Sh^yPy
1
SaKu)+ti(x
aa
cos——Ch
u)—t(z
a
ln-SttK8x2
82w0
Ableitungen:partiellenunserefürwirten
erhal¬UmformungeneinigenundZwischenrechnungkurzerNach
Tölke6).beisichfindetSummenden
betreffen¬diefürAusdrückegeschlossenendieserHerleitungDie
11<-l\Ki.o
-,»
n
'
yLUStt>
|/ (50/2)nwî/cos-pi1—e
mrxnrr^
ist:andererseits
(50/1)
(e_i_<l)mty
1,ie+cos-p—-lnll-2e«=
*£l\TTX11„
/1,
n
ln£->cos—=—i—e7
n-nx1ül1V
läßt:darstellengeschlossenfolgtwiesichdie(49/2),
EntwicklungdermitübereinformalArgumente,undKonstanten
dieaufbisstimmt,(49/1)FormelderTeilsummeersteDie
(49/2)•)]
(49/1)
a
w+(a;—cos—u)—(x.
W7T.
«LCOSa
niTElf
2-rrKLjndye-—
1ypy_o=
aau)+(x—cos—u)—(xcos—
niT.rnr.
\an
a\e—+—
-VlEITTipi1
8w,
und
IttKLidx2
.
=f^
wird:so
\nP
JaaL2a
(48),u)+(x—cos—u)—cos—ix-=—
.,„,,1riTT,,
niT.r1nx
a
ti
Sin¬sm
n.
mru.
wirSetzen
«, ir(/ nix — u)p P« Ch^-cos—-
ow0=
Fy lno a_ ,51/2)
dy 87riL Çh"y cosOT(a;+M)'a o
Führen wir nun noch u = aj2 ein, so wird wegen
tt(x~u) . rrX,,„,.,
cos— = sin— (52/1)a a
und cos—5 - = -sin— : (52/2)a a
,-.-. Till . TTX . nXr-ivyt»„, p Ch—-sin— p„, sin—Sh—-o wo
=
^
ina <L_J_JL
a n
(53/1)Ch—-l-sin—
-*«^ cn2_»_sm2—a a a a
o,„ p., Ch—-sin—8W°- Py-An a- ÎL. (53/2)8y 8nK Ch!^ + sin
77 a;
a'
a
Aus (53/2) folgt dann:
,-», 77« . TTX • 77rEoi »V
m«, p Cn—-an— p., sin—Sh—0
°= In
° a
1^ " a
(53/3)ay« SttK ch^+ sin!^ 4aiT Ch2^_sin2^'
o a
mTT If TTX
22,,, p„ Ch—cos
8x8y àaK Cn2üJ/_sm2?^' (53/4)
a a
Den aus (53/1) und (53/3) folgenden Ausdruck für
_8*w 8*w0 P ChV-sinV
a a
hat bereits Nadai [14] auf anderem Weg gefunden.Die Formel (54) kann für die praktische Berechnung von Be¬
deutung sein, da die Momentensumme für beliebige, senkrecht
aufeinander stehende Schnitte r, t invariant ist und der Beziehung(11) gehorcht:
M0 = -KAw0, (55/1)
31
wobei, infolge (9):
M =
(mr)0+(w()o=
(mx)o + (nty)o .
0l+/x l+fj.
Aus den Formeln (53) folgen auch die Schnitt- und Auflager¬
kräfte:
.~,, 7TV . TTX 01 Try . TTX
t> Ch——sin— p„, Sh—-sin—
(»»*)o =-(l+/t)ö-ln — —+(!-/*)-Ch-^ +sm— Ch2—-sm2—
a a a a
(56/1)
r> Ch-^—sin— p„, Sh—-sin—
8ff Ch^+ sin—4a Ch2^-sin2—
a a a a
(56/2)
pCh-^cos—
(^xJo = -(l-M):r^ —
• (56/3)'
a a
Ferner ergibt sich die, für unsere Belange besonders wichtige
Auflagerkraft am Rand x = 0 zu:
PI P TT 11
(îx)o = (3-/*b (W)-rir —• (57)
a a
Zur Lösung der homogenen Differentialgleichung wählen wir
den gleichen Ansatz wie im vorangegangenen Abschnitt:
w1 = ^^(AnGha.ny+ anyBn&h.ctny)sm.«.nx. (26)n a»
Für die Berechnung der Konstanten An und Bn gehen wir aus
von den Beziehungen (36/1) und (36/2).Unter Berücksichtigung von (45/1) und (45/2) wird:
pe-«»W2sin^
Bn=2
2^a«„{^Shan-|Chare-|-a„-|} ^^
lev. b( b l + u\_,
6/2 b\\
(» = 1,3,5,...)
32
33
9.Fig.
Symmetrieachse
""--Jw"i
!.
.»/*
'
2aa
!i(pW
9).(Fig.entwickeln2a=LPeriodedermitReihe
Fourier-ungeradeeineinzunächstBelastungdiesewirwerden
PlattengleichungderIntegralspartikulärendesBestimmungZur
alleinxvonFunktioneineseiBelastungäußereDiec)
(38)).(37/3),(37/2),(37/1),Formeln
die(sieheAbschnittvorangehendenimsichfindenAuflagerkräfte
undSchnitt-diefürAusdrückeergebendensich(26)ausDie
(59/2)
(59/1)
w+a»2fr2
-Ä.^.1-a"2
1+m"Ka<x.„
K^+i),
~2~
jx3+
=A„
Pe-a»6sin
—=Bm
Pe-a»6sin-
dann:wirdEs(39/2).und(39/1)Annahmen
dieaufwiederunswirstützenaw6/2vonWertegroßeFür
(n=l,3,5,...)
a+Cha„-
fc.
2
(58/2)
.:„-ShaK-
a»2_r:^J1+m16
»Li-/*x
2
r?n
Ch
2KactnCh.*n-
—Jx„
Pe-«»W2sin-
Dadurch erreichen wir, daß nur Glieder b„ sin —— vorhandenn
a
sind. Infolge der vorausgesetzten Symmetrie bezüglich der zur
«/-Achse parallelen Geraden x = aj2 werden ferner alle geraden
Koeffizienten bn = 0, so daß die Belastung durch die folgende Reihe
dargestellt werden kann:
7b TT X
p(x) = Zbnsm—~, («=1,3,5,...) (60/1)n
a
a
wobei bn = - \f(x)sm dx. (n = 1, 3,5,...) (60/2)
o
Die Reihe (60/1) unterscheidet sich von (28) dadurch, daß in
den einzelnen Reihengliedern statt — — sin^^ sin^ hier das
Glied bn steht. Wir brauchen deshalb nur die Lösungsergebnisse
(30/1) für w0 entsprechend abzuändern und erhalten dann, unter
Berücksichtigung, daß d = bj2 ist:
wo = 2^I]^fl2+lawyShan2/-(2 + an-jChamJe-a-6<'2 sin<xmx.
(»= 1,3,5,...)(61>
Dieser Ausdruck gilt für alle Punkte der Platte.
Aus (61) können wir alle Schnitt- und Auflagerkräfte berechnen.
Um an den Rändern y= ±6/2 die Randbedingungen der freien
Platte erfüllen zu können, wählen wir wiederum für wx die Funk¬
tion:
W\ = Y.— (AnCh<*ny + Bn*ny&hany)sm«nx (26)
und bestimmen die Konstanten An und Bn genau gleich wie in
den vorangehenden Abschnitten.
3. Die biharmonische Korrekturfunktion
In diesem Abschnitt stellen wir uns die Aufgabe, durch Ein¬
führen einer Korrekturfunktion die Randbedingungen an allen vier
Rändern zu erfüllen (vgl. III. 1, den Rechnungsgang).
34
Wir verlegen den Ursprung des Koordinatensystems in den
Plattenmittelpunkt (Fig. 10) und stellen zunächst fest, daß die
Bedingungen für die Ränder y = + 6/2 bereits erfüllt sind, daß aber
an jedem der Ränder x = ± a/2 noch eine Nullbelastung in Form
von Auflagerkräften angreift (die Momente sind an dieser Stelle
bereits null).
y
Rander mit
Nullbelastung
Fig. 10.
Wählen wir als Korrekturfunktion
w. =iyJL Chßnx[Cncosßny + Dnßnysinßny], (62)
so können wir die Beiwerte ßn so bestimmen, daß die Bedingungen
an den Rändern y = ± bj2 weiterhin für jedes Reihenglied erfüllt
bleiben. Die noch freien Konstanten Cn und Dn bestimmen wir so,
daß auch an den Rändern x — ± a/2. diese Bedingungen für den
resultierenden Spannungszustand erfüllt werden.
a) Die Bestimmung der Argumente ßn
Die Bedingungen für die freien Ränder y = ±6/2 lauten:
T.IB2 w„ 82 w9\
= ±6/2
„td3w»
,„.
83w, \
35
was für die einzelnen Reihenglieder von (62) auf das homogene
Gleichungssystem führt:
-Cn(l-n)cosßn- + Dn\2cosßn--(l-n)ßn~smßn-
Cn(l-fi)Bmßn^+ Dn[-(l + p)Bmßn^
+ (1-A*) ßn2C0Sßn 2
0,(63/1)
(63/2)= 0.
Diese beiden homogenen Gleichungen ergeben nur dann für Cn
und Dn von null verschiedene Werte, wenn ihre Determinante
verschwindet.
Führen wir noch die Abkürzung
bK = 2ßn^
ein, so schreibt sich die Determinante zu
(64)
-(l-,u)cos^
-(l-^)sin^
2cos^-(l-u)^sin^
-(l+iu)sin^ + (l-^coS-^= 0,
die nach einigen Umformungen nach bekannten trigonometrischen
y =(3+ 0,5) sin A / y= (1-0,5)A
y= \3 sin X ,-"T-
-A
Fig. 11. Graphische Lösung der transzendenten. Gleichung (1 — p)\n —
— (3 + fi)sinA„ = 0. Die ausgezogenen Kurven sind fur ^ = 0, die strichlierten
für den Grenzfall n = £ gezeichnet.
36
Regeln und kurzer Zwischenrechnung, die hier übergangen werden
soll, auf die transzendente Bestimmungsgleichung für An führt:
(l-/*)AB-(3+/*)sinXB = 0. (65)
Die graphische Lösung der transzendenten Gleichung (Fig. 11)
zeigt, daß für alle mögüchen Werte von /x (0 ^ /x ^ 0,5) die Gleichung
(65) immer eine und nur eine reelle Wurzel hat, währenddem eine
unendliche Zahl von komplexen Lösungen besteht. Da wir für die
Korrektur der Randstörungen unendüch viele Eigenwerte benöti¬
gen, müssen auch die komplexen A-Werte in Rechnung gestelltwerden.
Die reelle Wurzel A0
Zur Bestimmung der reellen Lösung der transzendenten Glei¬
chung bedient man sich am besten des in Fig. 11 eingezeichnetenKurvenverlaufes. Der Schnittpunkt der beiden Kurven
y— (\— /x)A und y = (3 + /x)sinA
ergibt bereits eine erste angenäherte Lösung A0l. Von diesem
Näherungswert aus kann die genaue Lösung mit Hilfe des Newton-
schen Näherungsverfahrens [15] schrittweise berechnet werden. Man
erhält damit aus einem ersten Wert tv einen verbesserten Wert £2
durch die bekannte Formel:
f(h)h~h }'(h)'
was, übertragen auf unseren Fall, den folgenden Wert gibt:
K-2 = V •
(3 +/x) sinA0l - (1 -/x) A0l
(3 + tx)cosA0l-(l-ti)
(66)
(67)
Für die die Praxis interessierenden Werte von /x ergeben sich
die nachstehenden siebenstelligen Werte für A0 :
/* Ao
0
V«
0,3
2,2788627
2,4432390
2,5660276
37
Die komplexen Wurzeln
Zur Bestimmung der komplexen Wurzeln setzen wir:
X = s + it, (68)
wo s und t reelle Zahlen sind.
Damit ergibt sich für (65) unter Beachtung der Beziehung (23/1),
getrennt nach Real- und Imaginärteil:
[(l-/x)s-(3 + jti)sinsCh«]-i[(3 + ^)cossShf-(l-/x)<] = 0. (69)
Diese Gleichung kann nur dann erfüllt sein, wenn zugleich
Real- und Imaginärteil verschwinden, womit sich für s und t die
folgenden Gleichungen ergeben:
ch^J1"^.*,
bzw. i = ArCh -(1~:u)-g; (70/1)
(3 + jn)sms (3 + m)sms -
v ' '
C0SS = 7S rsr-;> Dzw- s = arc cos ^ rlm- (70/2)
(3 + /i)Sh< (3 + ^)Sh«v ' '
Die graphische Darstellung (Fig. 12) von t(s) nach (70/1) und
s(t) nach (70/2) zeigt, daß viermal unendlich viele Wurzeln vor¬
handen sind, weil t(s) sowie s(t) gerade Funktionen sind. Diese
Wurzeln liegen symmetrisch zur s- und tf-Achse. In einem späteren
Zusammenhang (vgl. Bemerkung nach Formel (76)) werden wir
zeigen, daß es genügt, nur diejenigen Lösungen in Rechnung zu
stellen, die einen positiven Realteil besitzen.
Aus der graphischen Darstellung ist ferner ersichtlich, daß sich
die Realteile s der Wurzelwerte mit zunehmendem Abstand vom
Nullpunkt dem Wert —^—n nähern. Man kann deshalb für die
Berechnung von s und t stets von einem Wert
s»o = —2~w (71)
ausgehen und dann nach dem Newtonschen Näherungsverfahren
oder einer von Talke1) vorgeschlagenen Methode, die im folgenden
7) Siehe [3], Seite 141.
38
kurz dargestellt werden soll, die genauen Werte von s und t ermit¬
teln.
Machen wir für sn den Ansatz
s„ =4w+l .
—ö—"-4> (72)
it
\*
(70/1) (70/2)
In 3ji I 4n 5rt 8.T
Fig. 12. Graphische Darstellung der Beziehungen (70/1) und (70/2). Als
Abszisse wird s, als Ordinate t aufgetragen. Die Schnittpunkte der Kurven
sind die gesuchten Werte von s und t.
so durchläuft An eine Zahlenfolge, die mit wachsendem n gegen
null konvergiert. Aus (72) ergibt sich:
sins„ = cosân,
coss„ = sin An,
und die Gleichung (70/1) geht dann über in:
*„ =ArCh(1-M)(lylff-J.)
(3 + ,u)cos,dre
(73/1)
(73/2)
(74/1)
39
Mit Hilfe der Beziehung Sh tn = KCh2 tn — 1 und unter Benützungvon (70/1) kann die Beziehung (70/2) zunächst wie folgt geschriebenwerden:
COSS„ = SmAn =
v r-/ n v t~> n
(3+/i)|/(l-M)2(i^77-J„)2-(3+^cos^moder, nach An aufgelöst:
^-^in(l-n)tnCOsAn
(74/2)
/(l-^Ji^ti^-^)2 -(3 +/x)WJ„
Damit ergibt sich für sn und £re folgender Berechnungsgang:
Ausgehend vom Näherungswert sn0 =—s~— n berechnet man vor¬
erst mit (74/1) tn0, indem man An0 = 0 setzt. Aus (74/2) ergibt sich
sodann Anl, worauf ein verbesserter Wert tnl gerechnet werden
kann. Damit ist der Ausgangspunkt für den zweiten Iterations¬
schritt erreicht. Das Verfahren führt nach wenigen Schritten bereits
zu sehr genauen Ergebnissen.
Beispiel
Für /* = 0 sollen A31 und t30 berechnet werden. Mit A30 = 0 wird
nach (74/1):13jt
T
und nach (74/2):
2,6056
tM = ArCh-^- = Ar Ch 6,8068 = 2,6056
A31 = arc sin -TJ= = arc sin 0,1290 = 0,1294."" X2
-9
Der Fehler an A31 gegenüber dem richtigen Wert 0,12919 beträgtnur 0,16%.
Aus Fig. 12 ist ersichtlich, daß die komplexen Wurzeln der
Gleichung (65) konjugiert komplex auftreten.
Für die wichtigsten Fälle von /a nehmen die ersten drei kom¬
plexen Lösungen folgende siebenstelligen Werte an:
40
^ = 0: Ax = 7,6289300 ± i 1,6130819,
A2 = 13,9750629 ± i 2,2335920,
A3 = 20,2911592 ± i 2,6076711;
li = 1l9: Ax = 7,6550573 ± i 1,3481534,
A2 = 13,9906489 ± i 1,9887479,
A3 = 20,3022429 ± i 2,3671178;
^ = 0,3: Ax = 7,6777357 ± i 1,0892350,
A2 = 14,0045093 ± i 1,7616808,
A3 = 20,3121929 ± i 2,1460476.
Wir erinnern noch, daß Am = ßn b ist. (64)
b) Die biharmonische Korrekturfunktion
Bei bekannten Werten für Are kann zunächst aus der einen oder
der andern der Gleichungen (63) die Konstante Cn als Funktion
von Dn ausgedrückt werden:
oder
(s„. — D„
C„= D„
nslny
2cos^
1_/* 2sin^
(75/1)
(75/2)
Der Ausdruck (75/1), in die Ausgangsgleichung (62) eingesetzt,
ergibt unter Beachtung von (64):
"'* =;ÈX]7ïî>B-chT*
fi?r
A„sinAn"
"/* 2 cos-.*« co8-^y + -^yam-^y
(76)
Dieser Ausdruck ist in x und y gerade, in Xn aber ungerade.Wählen wir für gleiche n einmal den positiven und einmal den
negativen Wert von Xn, so ergibt sich:
41
Wg.» =
*(î)M-D'JChfœ
À« sinAre
l-i2 cos-
A„cos -ry- -fyim-fy
Der Klammerausdruck (D'n — D'^) kann zusammengefaßt wer¬
den in Dn, womit wir bewiesen haben, daß es genügt, für Xn nur
die Werte mit positivem Realteil in Rechnung zu setzen.
Für den reellen Eigenwert A0 ist natürlich die Konstante D0auch reell zu wählen. Für die komplexen Eigenwerte Xn müssen
wir aber, um mit dem Ansatz (76) eine reelle Lösung aufzubauen,
für Dn komplexe Werte einführen. Dies kann am einfachsten
dadurch geschehen, daß wir uns konjugiert komplexer Beiwerte
bedienen, die wir in folgender Form ansetzen:
Dn = D* + iDi, Dn = D*-iDi, (77)
wo D%, D£ reelle Konstanten sind.
Damit stehen uns zur Erfüllung der Bedingungen an den Rän¬
dern x = ± a/2 die 1 + 2 • oo reellen Konstanten D0, Df, DÇ,...,
D{, D{,... zur Verfügung.Weiter setzen wir für den komplexen Teilausdruck von (76):
An
(l):Ch(H
A„ sin -
"/* 2 cosx„ b
Kb (78)
fJIn '
— In — fn~\~'lfn
wo f%, jJn reelle Funktionen darstellen, die sich ohne Schwierigkeitdurch Anwendung der Formeln (23) bestimmen lassen.
Entsprechend dem konjugiert komplexen Auftreten der Wurzel¬
werte A„ entsteht neben fn auch der dazu konjugiert komplexe
Wert
L=fS-ifi- ()
Ordnen wir der Funktion /„ die Konstante Dn und /„ den Wert
Dn zu, so erhalten wir für (w2)n, wenn wir für gleiche n die beiden
Produkte summieren, einen Ausdruck von der Form (24), der sich
nach (25) wie folgt schreiben läßt:
42
{u>2)n = ^(D«f*-Difi). (80)
Eine solche reelle Funktion wollen wir als Eigenwertfunktion be¬
zeichnen.
c) Die Korrektur der Randstörung
Im vorangehenden Abschnitt haben wir eine unendliche Anzahl
von Eigenfunktionen ermittelt, die ihrer Natur gemäß die homo¬
gene Plattengleichung und die Auflagerbedingungen an den Rän¬
dern y= ±6/2 erfüllen. An den Rändern x= ±a/2 erzeugen diese
Funktionen Biegemomente und Auflagerkräfte, die mit den ent¬
sprechenden Schnittkräften der bereits behandelten Rechteck¬
platte mit zwei gegenüberliegenden freien und zwei frei drehbar
gelagerten Rändern so zu kombinieren sind, daß ihre Summe an
jedem Punkt der Ränder x= ±a/2 verschwindet. Ob diese Bedin¬
gungen mit den zur Verfügung stehenden Funktionen streng erfüll¬
bar sein können, wenn n bis unendlich wächst, kann im Rahmen
dieser Arbeit nicht beantwortet werden, da es dafür wahrscheinlich
eines schwierigen mathematischen Beweises bedürfte.
Um die gestellte Forderung dagegen näherungsweise zu erfüllen,
stehen uns die im Abschnitt II. 3 behandelten Methoden zur Ver¬
fügung. Im Bestreben, den ohnehin nicht geringen Arbeitsaufwand
in einem vernünftigen Rahmen zu halten, wollen wir uns der
Knotenlastmethode bedienen, die, wie wir anhand eines numeri¬
schen Beispiels zeigen werden, ziemlich genaue Resultate liefert.
Im weitern Verlauf der Berechnung werden wir deshalb zuerst
die Ausdrücke für die Biegemomente, Drillungsmomente und Auf-
lagerkräfte längs des Randes x = — a/2 bestimmen. Den Rand
x = —a/2 müssen wir deshalb wählen, weil wir das Koordinaten¬
system für die Korrekturfunktion in den Plattenmittelpunkt ver¬
schoben haben, und wir bei der Berechnung der Auflagerkräftefür die aufgelagerte Platte diese für den linken Rand berechnet
haben. (Für das Moment spielt das Vorzeichen keine Rolle, da
(tox)2 eine gerade Funktion ist). Unter Berücksichtigung dieser
Vorzeichenkonvention erhalten wir aus (76) nach kurzer Zwischen¬
rechnung:
43
(^—(i-^A^Ch^f)
2 + 2 fj, A«sln"2
W 2cos^ cos-^y +^ysm-^y
(mXJ/)a = +(l-M)2:i)„^Sh^|)A
An
1_/* 2sin^sin fy + fycosfy
(a*)* =+(i -n>ZA.Sh(£!)
2 +
AAn
»siny
2A»
COS-x-Ä -
C0BTy~Ty&inTy
(81/1)
(81/2)
(81/3)
Für den reellen Wert A0 führen diese Beziehungen zu keinen
besonderen Schwierigkeiten. Für die komplexen Werte von A„ ver¬
wenden wir wiederum, wie für die Formel (76), Abkürzungen für
die komplexen Teilausdrücke in den Beziehungen (81), und zwar:
(1 -M)rClM-fi)6
2 + 2M% • An
A^sin-^-
1-/* 2cos^
(1 -*>>(£!)6
2\ An
A„cos^-
1-M 2sin^
cos-fy + -fysm-fy
^-fy+TycoaTy
(82/1)
(82/2)
A-(-|'y)'
44
(l-/Li)Sh [b 2) (82/3)
A„sinAM
2+-2 cos
A«COS- l-y —fysin-fy\= M~ !•y) •
Auf diese Weise können wir, mit den gleichen Überlegungenwie oben, zu reellen Werten für die entsprechenden Schnittkräfte
gelangen: ^^ = 2{DngR_DJgJ), (83/l)
(»»*An= 2(D*h*-DiK), (83/2)
fe)2>re = 2{D*k*-Dilci). (83/3)
Wollen wir die Randbedingungen für die Momente und Auf¬
lagerkräfte in N Randpunkten mit der Knotenlastmethode erfüllen
und zudem fordern, daß an den freien Ecken keine Einzelkräfte
auftreten dürfen, so können wir (2N+1) lineare, nichthomogene
Bestimmungsgleichungen für D0,Df,D§,...,D§,D{,D{,...,Dj;aufstellen, d.h. wir müssen unsere Reihenentwicklung für w% und
die daraus sich ergebenden Schnittkräfte nach dem (iV+1). Glied
abbrechen.
Bei der Festlegung der N Randpunkte werden wir darauf achten,
nur Punkte zu wählen, deren Ordinaten y > 0 sind, da zufolge der
symmetrisch vorausgesetzten Belastung und der Tatsache, daß w2
und sämtliche daraus abgeleiteten Schnittkräfte bezüglich der
x-Achse gerade Funktionen sind, Randpunkte, die symmetrischzur x-Achse Hegen, identische Gleichungen ergeben.
Bei nun bekannten Werten D0,D^,Z>f,.. .,D{,D{,..., sind
wir in der Lage, für jeden Punkt der Platte die Schnittkräfte infolgeder Nullbelastung an den Rändern x = ± a\2 anzugeben. Der Voll¬
ständigkeit halber sollen die Ausdrücke für mx, my und mxy noch
kurz geschrieben werden.
(mx)2 =-(l-/x)22))
2 + 2/xl-.u
b
K sm-An
2 cosAn
(84/1)
cosfy+-fysinTy\
45
K)2 =+(i-m)2#nTch^rx& (84/2)
»smT AAA
2cos^ b b b
(mw), = -(l-/*)22>n^Sh^y
AA«
z »cosT
1-l* 2sin^(n = l
Wenn wir nach der absoluten Durchbiegung eines beliebigen
Plattenpunktes fragen, so begegnen wir gewissen Schwierigkeiten.
Für die Funktionen w0 und wl bleiben die Punkte der Ränder
x = 0 und x =a fest, währenddem für die Funktion w2 keine solchen
ausgezeichneten Punkte bestehen. Fordern wir zum Beispiel, daß
der Plattenmittelpunkt sich in vertikaler Richtung nicht verschiebe,
so müßten wir die Summe unserer bisherigen Durchbiegungsfunk¬
tionen durch eine Konstante ergänzen. Diese spielt bei der Ermitt¬
lung tier Schnittkräfte keine Rolle. Um ihre Bestimmung auch
dann zu umgehen, wenn die vertikalen Verschiebungen von Bedeu¬
tung sind (statisch unbestimmte Probleme), werden wir uns rela¬
tiver Formänderungen bedienen (vgl. Kap. VIII).
IV. Numerisches Beispiel
Zu berechnen sei eine quadratische Platte mit vier freien Rän¬
dern und der Seitenlänge a = 6=1. Die Stützfläche sei ebenfalls
quadratisch und ihre Seitenlängen betragen 2c = 2d = 1j5. Wir wäh¬
len eine von oben nach unten wirkende, gleichmäßig verteilte
Belastung p=l (Fig. 13). Das Plattenmaterial bestehe aus Eisen¬
beton mit der Querdehnungszahl /x = 1/6.
sin-f y + -f y cos -£y
),1,2,...,N)
(84/3)
46
In den wichtigsten Schnitten der Platte sollen zum Beispiel die
Biegemomente mx berechnet werden. Da die geometrische Form
der Platte und auch die Belastung doppelt symmetrisch sind, genügt
es, die Berechnung für den Quadranten Q^x^\, Q^y^\ durch¬
zuführen.
Die Figur 14 zeigt die Punkte, in denen das Moment mx ermittelt
werden soll. Im folgenden bedeutet zum Beispiel (mj2 6das Biege¬
moment in Richtung x im Schnittpunkt der achsenparallelenGeraden 2 und 6.
Die Bedingungen an den Rändern x = 0 und x = 1 wollen wir in
den Punkten y— 0, y — 1/i und y = 1/2 (und damit auch automatisch
in y = —1/i und y= —1/2) erfüllen. Zudem wird gefordert, daß an
b = 1
HMtmimtHmmMmnp = i
2c =1/5
Fig. 13. Abmessungen und Belastung der Platte.
47
den freien Ecken das Drillungsmoment und damit die Einzelkraft
verschwinden. Die Randbedingungen für die Biegemomente und
die Auflagerkräfte sollen dabei nach dem früher behandelten
Knotenlastverfahren erfüllt werden.
^
R
3 2 3
7
R
S
A1
0
< îm > «- 1/fl 1
5 iL
1/8
1/8
1/8
*
Fig. 14. Bezeichnung der Punkte in denen das Biegemoment mx ermittelt
werden soll.
Im folgenden teilt sich das Problem nach oben gesagtem in
zwei Stufen:
1. Berechnung der an den Rändern x = 0 und x=l frei drehbar
gelagerten Platte, deren andere Ränder, y= ±\, frei sind. Als
erster Belastungsfall wirkt die von oben nach unten gerichtete,
gleichmäßig verteilte Vollbelastung p = 1. Der zweite Belastungs¬fall ist die von unten nach oben wirkende Flächenlast
V2c2d
= 25.
48
2. Aus der Teilaufgabe 1 ergeben sich die Auflagerkräfte (inkl.
Einzelkräfte) an den Rändern x= 0 und x=l. Sie bilden für
jeden dieser Ränder eine Nullbelastung, die durch die Korrek¬
turfunktion zum Verschwinden gebracht werden muß.
1. Die Rechteckplatte mit den frei drehbar gelagerten Rändern * = 0
und * = 1 und den freien Rändern y = + \
a) Gleichmäßig verteilte Belastung p =l
Das Koordinatensystem legen wir zuerst gemäß Fig. 6, 13
und 14.
Für die weitere Berechnung interessieren uns die Biegemomente
mx für die oben angegebenen Punkte, die Auflagerkraft qx an den
frei drehbar gelagerten Rändern sowie die Einzelkraft an den
Ecken.
Grundsätzlich lassen sich die entsprechenden Werte für das
partikuläre Integral aus den Formeln (31/1), (32/1) und (31/5)
unter Berücksichtigung der Beziehung (8) berechnen.
Wegen der hier speziellen Größe von c und d (c = d = \) sowie
von p vereinfachen sich jedoch einige Größen.
So werden, wegen (27), (29/1) und (29/2):
P = épcd= 1
a nP
.nw 2
und Qn= 2^-fflcrfsina„csin-^-
=
-^= const.,
da n nur gleich 1,3,5,... zu setzen ist.
Bei der Berechnung der Momente nach der Gleichung (31/1):
(mx)0 = Z^-^{2+[(l-M)(a„2/Sh«m2/-a^Ch«re2/)" "
-2Cha„2/]e-^^}sinawa;,
(n = l,3,5,...)
kann der erste Teilausdruck
(mx)0* = ürV-^2sina„:c = Y-j-- sinrcira:
(w = l,3,5,...)
49
geschlossen dargestellt werden. Nach Tölke8) ist tatsächlich:
/ —=—rsinw77X = ixil — x). (n = 1,3,5,... )n
Dieser Wert entspricht dem Moment eines einfachen Balkens der
Länge 1=1 unter einer gleichmäßig verteilten Belastung p=l.Der zweite Summenanteil konvergiert bedeutend rascher als der
erste, so daß es genügt, nur einige Glieder zu berücksichtigen. Für
alle Berechnungen verwenden wir die siebenstelligen Funktions¬
tafeln von Lösch [16].In der nachstehenden Tabelle II sind die Momentenwerte (mx)0
des partikulären Integrals eingetragen.Auch bei der Berechnung der Auflagerkräfte für x = 0 läßt sich,
wie oben, eine Abspaltung vornehmen, die geschlossen dargestelltwerden kann. Der erste Teil der Formel (32/1) kann geschriebenwerden :
n n n
(w= 1,3,5,...)
Wiederum entspricht dieser Wert dem Auflagerdruck des einfachen
Balkens unter der gleichen Belastung9).Die Werte der Auflagerkräfte für das partikuläre Integral sind
zusammengestellt in Tabelle I. In dieser Tabelle findet sich eben¬
falls der Wert für die Einzelkraft.
Zur numerischen Berechnung der Lösung der homogenen Dif¬
ferentialgleichung und der daraus sich ergebenden Schnittkräfte
sind vorerst die Werte An und Bn zu ermitteln. Für n=l und 3
wurden dabei die Gleichungen (42/1) und (42/2), für die höheren
Werte von n die Beziehungen (43/1) und (43/2) verwendet.
Es ergaben sich dabei folgende Werte:
8) Siehe [13], Gleichung (780).
9) Vgl. [13], Gleichung (745).
50
A = +0,04696898, Bx = -0,01049424,
A = +0,0001290801, Bz = -0,0000169414,
A, = +0,000001701768, B,= -0,000000158147,
A, = +0,000000034618, B,= -0,000000002490,
A, = +0,000000000862, B,= -0,000000000051.
Die Momentenwerte (m^)^ die sich aus der Formel (37/1) erge¬
ben, sind wiederum in der Tabelle II, die Auflagerkräfte (qx)1 (38)
und die Auflagerkräfte A (8) und (37/3) in Tabelle I eingetragen.
Aus der Tabelle II kann man entnehmen, daß die Werte
[(mx)o+ (mx)i] fur x = const, nur wenig voneinander abweichen.
Zudem kann in jedem Schnitt x — const, eine einfache Kontrolle
durchgeführt werden, indem dort das mittlere Moment den Wert
\ x (l — x) annehmen muß.
Eine weitere Kontrolle der Ergebnisse liefert die Tabelle I. Dort
muß die Summe der Auflagerkräfte (inkl. Einzelkräfte), erstreckt
über das ganze Auflager, gleich der halben aufgebrachten Be¬
lastung sein.
b) Konzentrierte Flächenlast
Die im Abschnitt a vorgenommenen Vereinfachungen sind für
diesen Belastungsfall nicht mehr zulässig, so daß die allgemein
gültigen Ausdrücke (31/1), (31/2), (31/6), (32/1) und (32/2) zur
Anwendung gelangen.
Einzig für den Momentenwert (mx)0 kann für x = \ und y = 0
(Plattenmittelpunkt) die Summendarstellung vereinfacht werden.
Aus der Gleichung (31/1):
(mI)0 = ^J]^{2 + [(l-Ai)(«BySh«By-«ndCh«xBy)U
-2Chocny]e-°c"d}smacnx (n = 1,3,5,...)
kann tatsächlich die Teilsumme
(jo* = #E-%2sina»x
abgespalten werden, die unter Berücksichtigung von
„50
.1
.rnr
Qn = -^sman—sm—,
51
für x = \ übergeht in
(*)o* =_iooV-—
<—>n3 TT3 n10
(n= 1,3,5,...)
Leider läßt sich für die Auflagerkraft kein geschlossener Teil¬
ausdruck finden, so daß die Konvergenz, besonders für Werte mit
kleinen «/-Koordinaten, ziemlich schlecht wird.
Tabelle I
Gleichm. vert. Belastung Konzentrierte Belastung Null¬y
inf. wo inf. w\ inf. wo inf. w\ belastung
Auflagerkräfte ?*
0 + 0,47130 -0,00252 -0,70310 -0,02929 + 0,26361
V« + 0,46350 + 0,00154 - 0,62402 -0,03832 + 0,19730
2/8 + 0,43762 + 0,01519 -0,45330 -0,06731 + 0,06780
3/8 + 0,38383 + 0,04422 -0,28579 -0,12093 -0,02133
4/s + 0,25271 + 0,11735 -0,16455 -0,20102 - 0,00499
Einzelkraft A
Vs + 0,04691 -0,07515 1 -0,08145 + 0,06420 + 0,04549
Fig. 15. Graphische Darstellung der Nullbelastung längs des Randes x — 0
(ohne Einzelkräfte).
io) Vgl. [13], Gleichung (780).
52
Die Berechnung von An und Bn führt auf die folgenden Werte:
Aj_ = -0,06178976, B1 = +0,01656243,
Az = +0,0001310253, B* = -0,0000220429,
A5 = -0,00000031763, B5 = +0,00000003599,
A7 = +0,0000000006088, B? = -0,0000000000514,
A9 = -0,00000000000061, B9 = +0,00000000000004.
Die Werte (mx)0 und (mx)1 für diese Belastung sind wiederum in
Tabelle II, die Größen der Auflagerkräfte (qx)0, (qx)i und der
Einzelkraft in Tabelle I eingetragen.Auch für diesen Belastungsfall lassen sich selbstverständlich
analoge Kontrollen anstellen wie für den Fall der totalen Belastung.Aus der vorstehenden Tabelle I läßt sich die Nullbelastung
längs des Randes x — 0 bestimmen, die den Ausgangspunkt für die
Bestimmung der Korrekturfunktion bildet. Ihr Verlauf findet sich
in Fig. 15 (ohne Darstellung der Einzelkräfte).
2. Die Korrektlirfunktion
Als erstes sei hier bemerkt, daß wir jetzt den Ursprung des
Koordinatensystems gemäß Fig. 10 in den Plattenmittelpunkt
verlegen.Die Forderung, daß die Bedingungen an 3 Punkten des Randes
für die Biegemomente und Auflagerkräfte erfüllt werden sollen
und zudem die Einzelkraft an der Ecke verschwinden muß, erlaubt
uns 7 Gleichungen zur Bestimmung der Freiwerte Dn aufzustellen.
Da das Summenglied mit n— 0 reell ist, die Glieder mit n ^ 1 hin¬
gegen komplex sind, bedeutet dies, daß wir unsere Reihenentwick¬
lung nach dem Glied mit n = 3 abbrechen müssen. Die unbekannten
Freiwerte lauten also für den vorliegenden Fall:
D0, DR, D{, D?,D{, Di,D{.
Die Randbedingungen sollen dabei nicht punktweise erfüllt
werden, sondern wir wollen uns des in Kap. II. 3 hergeleitetenKnotenlastverfahrens bedienen.
53
Eine Darstellung des Schwankens der Funktionswerte für ver¬
schiedene y zeigt, daß es genügt für n = 0 und n= 1 die Funktions¬
werte in den Achtelspunkten zu bestimmen. Für n — 2 und »i = 3
werden dieselben in den Sechzehntelspunkten ermittelt. Schließlich
wird, um die spätere Berechnung der Randknotenlast genauer vor¬
nehmen zu können, für n = 3 noch ein Zwischenpunkt in der Nähe
der Ecke eingeschaltet (2/ = 15/32)-Das Kriterium zur Bestimmung der Anzahl Zwischenknoten¬
punkte besteht darin, festzustellen, ob eine, durch drei benach¬
barte Punkte gelegte Parabel sich dem Funktionsverlauf genügend
anpaßt oder nicht.
Unter Zugrundelegen der A-Werte für ju. = 1/6 (vgl. III. 3 a) und
der Benützung der Beziehungen (81/1), (81/3) sowie unter Beach¬
tung von (83/1), (83/3) können die Biegungsmomente [mx)2 und
die Auflagerkräfte (qx)2 in den oben angegebenen Punkten ermittelt
werden, wobei die Konstanten D0, Z>f,... vorläufig noch unbe¬
kannt sind.
Dabei ergibt sich zum Beispiel für die Koeffizienten dieser Kon¬
stanten für das Moment (mx)2 in y = 0 die folgende erste Zeile:
y -Do D? Di
0 + 0,4189750 -18,141591 -12,623732
Vie
2/l<S
3/l6
4/l6
y Di Di DS Di
0 -490,25199 -229,80851 -12239,2518 -3723,8995
Vie -319,10559
Vie + 65,77455
Vie + 383,22179
Vie + 423,30615
Neben den in der oben dargestellten Zeile für die Koeffizienten
der Freiwerte Dn für y = 0 sind als Beispiel auch noch die Koeffi¬
zienten von Dg für die Schnitte 2/ = 1/i6> 2/i6> 3/i6> 4/i6 angegeben.
54
Aus diesen Kolonnenwerten läßt sich mit Hilfe der Formel (19)
die Knotenlast berechnen. (In unserem Fall handelt es sich um
einen Punkt der Symmetrieachse). Ihr Wert ergibt sich zu:
Wendet man nun das Knotenlastverfahren an für alle Punkte
in denen die Randbedingungen für die Biegemomente und Auf¬
lagerkräfte erfüllt werden sollen, so entstehen schließlich die sechs
ersten Zeilen der unten angegebenen Matrix.
Zur Vereinfachung der numerischen Berechnung werden die
einzelnen Matrixglieder nicht durch die Zahl 192, sondern für die
Biegemomente durch 100, die Auflagerkräfte durch 1000 dividiert
(werden diese Vereinfachungen für alle Glieder einer Matrixzeile
durchgeführt, so ändern sie an den Lösungen der Gleichung nichts).Auf analoge Weise wird die Summendarstellung für die Einzel¬
kraft vorgenommen, wobei hier das Knotenlastverfahren nicht
angewendet werden muß. Die Werte werden ebenfalls mit dem
192Faktor
j—- multipliziert.
Um in der Matrix schließlich Glieder zu erhalten, die von glei¬cher Größenordnung sind, werden die Kolonnen mit Df und D{durch 10, diejenigen mit D£ und D{ durch 100 und die mit D§und Dg durch 1000 dividiert. Dadurch werden bei der Auflösungder Gleichung die Konstanten Df, D{ 10 mal, Df, D{ 100 mal und
D§, D{ lOOOmal zu groß.Mit den Konstanten D0, . . ., D{ ist nun die Korrekturfunktion
und sämtliche sich aus ihr ergebenden Schnittkräfte bestimmt. Ins¬
besondere können die Momente (mx)2 in den uns interessierenden
Punkten mit (81/1) unter Beachtung von (25) ermittelt werden.
Für den Plattenmittelpunkt ergeben dabei die einzelnen Kon¬
stanten folgende Anteile für (mx)2:
D0: + 0,0046301
D*,D{: -0,0000335
D?,D{: + 0,0000011
D*,D{: - 0,0000004
{mx)2 + 0,0045973
55
berücksichti
gt.
bereits
1/io
oound
1/io
o'/
io,
Faktoren
genannten
oben
die
sind
Werten
diesen
(In
-0,00022971
=Df
+0,00000061
=Di
0,00000052
-=
Di
=+0,00091861
Df
=-0,00000201
Df
-0,00000613
=Df
=+0,02445003
D0
Werte:
folgende
ergab
und
[15])
Lit.
(vgl
.Algorithmus
Gaußschen
mechanisierten
dem
mit
erfolgte
Gleichungssystems
des
Auflösung
Die
-0,0018875
3,1064841
-
-0,9243158
-0,2416123
-0,9112831
+489,6234872
-24,1141772
-3,4430478
+0,0011069
-0,0013196
+0,0512170
+92,6286016
+56,0106801
-341,2382146
+27,4120826
+17,4214589
-85,7317880
+0,8689845
+5,4851742
-59,8974892
+0,0793610
-0,3877343
-135,2682652
-140,8160512
+163,7479960
+763,9476603
1,1645462
--12,1104610
-18,0541406
-0,4119103
-1,6582938
-2,1652483
000
-0,4350799
+0,5155438
-0,7673277
-0,1149818
-0,0258997
-1,4814858
-0,0489908
+1,2580724
-1,5095083
-0,0996997
+3,5484081
-3,2326080
+0,0133704
+0,5986590
-1,6950030
+0,9722950
+0,3537158
-2,7639345
+0,6055602
-0,1082934
+0,6920863
+0,0454900
7,8951535
++1,9931426
-4,1311662
-0,0154569
+2,0537326
-0,9867931
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+0,0512170
+10,0552656
0,0846001
-
1,2136977
-
+2,2451816
+0,2379474
-1,5670924
-6,0683965
+3,0156370
-3,0261265
-0,5035462
+1,4897273
-2,0388529
+1,8817438
+2,2498473
-3,0761144
-0,7265747
-0,2997540
+0,4014303
+0,2850775
+1,1476824
+1,4985387
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-0,1863348
-1,4814858
-0,3581102
+1,0946026
-1,5095083
-1,5922604
+3,1983380
-3,2362080
+0,4577236
+0,4151014
-1,6950030
+1,3298126
+0,0543999
-2,7639345
-0,4190999
+0,0749484
+0,6920863
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<i
1»
3,4
Zahl von Punkten, in denen die Randbedingungen erfüllt wurden,
auf das Moment (my)2 stärker auswirkt als auf das Moment (mx)2.Die graphische Darstellung des Verlaufes der Momente (my)2
längs der Geraden x = 0 zeigt, daß dieser kleinen Schwankungenunterworfen ist, während der Verlauf der Momente (mx)2 viel glatterist. Unter Umständen empfiehlt es sich daher, die Werte (m„)2, die
bei der quadratischen Platte nur Kontrollzwecken dienen, mit einer
Ausgleichsparabel zu glätten11).Den Unterschied zwischen mx und my im Plattenmittelpunkt
3,4, der 0,3 % beträgt, werden wir so ausgleichen, daß wir an {my)2eine 6 mal größere Korrektur anbringen als an (mx)2. Auf diese
Weise kommen wir für mmax zum Wert:
mmax= -0,1679.
Die Figur 16 zeigt den Verlauf des Momentes mx für einen Qua¬
dranten der Platte. Die Werte der Momente mx für x = 1/8 wurden
durch quadratische Interpolation gefunden.
Fig. 16. Graphische Darstellung der Momente mx für einen Quadranten.
ll) Siehe [15], Seite 291ff.
58
Es kann an dieser Stelle noch kein Vergleich zwischen unseren
Ergebnissen und denen von Grotkamp [1] gezogen werden, da
Grotkamp seinen Berechnungen eine kleinere Stützfläche zugrunde
legt.
V. Die in ihrem Mittelpunkt unterstützte, rotations-
symmetrisch belastete Kreisplatte mit freien Rändern
1. Gang der Berechnung
Es soll hier zunächst der Weg aufgezeichnet werden, mit dem
jede Kreisplatte mit drehsymmetrischer Belastung und Stützung
im Mittelpunkt am leichtesten berechnet werden kann. Als Grund¬
lage dazu dient die allgemeine Plattengleichung in Polarkoordi¬
naten:
/ 82 18 1 82\/82w \8w 1 82w\ w(r,<p) ,,„,
\cr r 8r r* 8<p* J \ör* r 8r r* oqr] K
Zufolge der vorausgesetzten Drehsymmetrie hinsichtlich Belastung
und Stützung sind die Verschiebungen w von y unabhängig, so daß
alle Ableitungen nach <p verschwinden. Der mit (12) eingeführte
Operator A besitzt nunmehr in Polarkoordinaten die Bedeutung
^Li lA=
i_l/rA\ (85)dr2 r dr r dr\ drj'
Somit lautet die Gleichung der Kreisplatte:
oder:
a a ( d l d\ (d2w 1 dw\ p(r) ,„„,,>
AAv,=
W+7d?)W
+V17)'^L' (86/1)
dr* r drA r* drz r6 dr K
Die allgemeine Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung
ist:
w = w;0 + C1 + C2r2 + C,3r2ln—+ C4ln—. (87)
59
60
schwinden.
ver¬qQuerkräftediesowiemvr=mrq>DrillungsmomenteDie
(90/2)"^-Tïh^^)',..,.,dw\1d2w„t
W»J-di)'+
m^-K[-dr^„wwndw\aT^/d2w
wir:erhaltenmomente
Biege¬dieFürebenfalls.sichvereinfachen(14)AusdrückeDie
(89)-^jvjMrdr.=
w0
'lljvJMrd=
vo
Ausdruck:denw0fürwirerhaltenDamitwerden.integriert
zweimal(11')GleichungzweitedieauchkannWeiseanalogeAuf
(88)(prdr.f—-=M
zweite:eineund
rjdrJdr\prdr,=—=—oderprdr—=r—z—
,lfdM
,rdM
gibt:IntegrationersteEine
rr\r-dT)=-pr-°der
7dr(rHr-)=-p'dM\dl
,dM\(d1
Gleichungen:diesererstediesichschreibt(85)vonBenützungUnter
(11')—^.=Awund-p=AMM
gleichungen:
Differential¬beidendiein(11)gemäß(86)Plattengleichungdie
ZweckdiesemzuspaltenWirwerden.bestimmtIntegrationdurch
unmittelbarFallunsereminkannw0IntegralpartikuläreDas
werden.gewähltLängeneinheitdergleichspiel
Bei¬zumkannSiewird.GrößedimensionsloseeineLogarithmus
natürlichendesArgumentdasdamiteinzuführen,r0Längedie
angezeigt,istEskönnen.werdenermitteltRandbedingungenden
ausdieIntegrationskonstanten,sindC4bisGxGrößendiechung;
Glei¬vollständigenderIntegralpartikuläreseinw0bedeutetDabei
Die Querkraft qr kann aus einer einfachen Gleichgewichts¬
betrachtung gewonnen werden.
Um die in ihrem Mittelpunkt konzentriert oder flächenförmigunterstützte Platte zu berechnen, wenden wir wiederum den glei¬chen Lösungsweg an wie bei der Rechteckplatte. Die Kreisplattewird längs ihres Umfanges frei drehbar gelagert und in einer ersten
Stufe die äußere Belastung aufgebracht. In einem zweiten Schritt
lassen wir die konzentrierte Reaktion wirken. Die Korrekturfunk¬
tion fällt wegen der Drehsymmetrie von Belastung und Stützung
weg, da sich die Auflagerkräfte infolge der Belastungen der beiden
Stufen in jedem Punkt des Randes aufheben.
2. Spezielle Belastungen
In Hinblick auf die später zu behandelnden Fundamentplattensollen in diesem Abschnitt einige besondere, rotationssymmetrische
Belastungsfälle behandelt werden, die in Fig. 17 dargestellt sind.
a) Gleichmäßig verteilte Vollbelastung (Fig. 17 a)
Die Lösungen für diesen Belastungsfall finden sich in der Lite¬
ratur12), so daß hier nur die wichtigsten Ergebnisse festgehaltenwerden sollen:
w 'M^'-^^y <•"
»», = (3 + ^(a2-r2), (92/1)
m, = ^[(3+/i)a»-(l+3|*)r»]. (92/2)
Für den Plattenmittelpunkt folgt hieraus:
mr = m9 = mmax_ = (3 + ,*) 2jL. (92/3)
12) Siehe [5], Seite 240.
61
b) Gleichmäßig verteilte Belastung innerhalb eines Kreises mit Radius b
(Fig. 17 b)
Auch hier findet sich bei Girkmann13) die genaue Herleitungder Beziehungen, so daß wir uns mit den Ergebnissen begnügenkönnen:
I
-AT
a) Gleichmäßig verteilte
Vollbelastung
^E =57i
b) Gleichmäßig verteilte Belastunginnerhalb eines Kreises mit
Radius b
c) Kegelbelastung
(Spitze nach oben)
e) Parabel n, Grades
(konkav nach unten)
13) Siehe [5], Seite 242.
jx:
d) Kegelbelastung
(Spitze nach unten)
-AT
f) Parabel n. Grades
(konkav nach oben)
Fig. 17.
~h.
zz±
62
pb* \ r*2
+
2(1+M)a2+
oj4(3 + M)a2-(7 + 3/u)&2
+ 62ln-4(1+/*)
gültig für O^r^i;
2>62 f3 + ,x / r2\ a
M> = t^tHî—-a2 1—5 -2r2ln-
16ini+/t \ o2/ »•
(93/1)
1-/* 'K) -62ln-
(93/2)
2(1+,*)
für b^r^a.
Daraus lassen sich die Biegungsmomente ableiten:
Pb2\i „ xlo l-/x 62 3+/i r2]
=
Mi+(i+/i)in*~-J^-^rVj.P&2I\ „ v,
« 1-/* &2 3u+l r2l
OT,
m
(O^r-^6)
m„
m„
p&2l\, ma !-/*6V, ^2\1
p62(l+/i)ln- + (l-it)-:
y- b*
(-5)](6^r^a)
(94/1)
(94/2)
(94/3)
(94/4)
Lassen wir bei gleichbleibender Totalbelastung P = pb2ir den
Wert b gegen Null konvergieren, so haben wir den Spezialfall der
Wirkung einer Einzellast. Durch einen Grenzübergang in den obigenFormeln gelangt man zu den Beziehungen:
w =
ra„ =
16ÜL7T
irr r
(1+/*)P
îîH'-S)-""4 (95)
(96/1)
(96/2),a 1 — a
ln- + —r^r 1+lx.
Es ist sofort ersichtlich, daß zufolge des logarithmischen Gliedes
die Biegemomente in r = 0 unendlich groß werden.
63
c) Parabel n. Grades gemäß Fig. 18
Mit (88) läßt sich zuerst M berechnen:
p rrn+2
Jf = _-£ [—[r^dr =—^
an J r J an (n + 2)(n + 2)'
und daraus folgt mit (89):
_
p Çdr f
W°~JFKJT) (n
rn+3 prn+i
+ 2)(n + 2) anK (w + 2) (n + 2) (ra + 4) (w + 4)'
Fig. 18.
Die Konstanten Cs und C4 im Ansatz (87) müssen wir null
setzen, da im Plattenmittelpunkt die Durchbiegung w sowie die
zweite Ableitung ^-jnicht unendlich groß werden können. Zur
Bestimmung der Konstanten C2 fordern wir, daß für r =a das
Moment am Rand verschwinden muß. Unter Beachtung von (90/1)
ergibt sich dafür die Bedingung:
pa2(n + 3) paù
K{n + 2){n + 2)(n + 4:)+ 2C> + <*K(n + 2)in + 2)(n + 4)+2»C>
= 0-
(97)
Daraus kann C2 bestimmt werden und die Konstante Cx läßt
sich aus der Bedingung herleiten, daß die Durchbiegung am Rand
null sein muß. Damit ist die Funktion w (r) gefunden, und aus ihr
lassen sich sämtliche Schnittkräfte berechnen.
Interessiert uns nur das maximale Feldmoment im Platten¬
mittelpunkt mr = mq) = mmax, was in der Bauingenieurpraxis sehr
oft der Fall sein dürfte, so können wir dieses direkt aus der Glei-
64
chung (97) herleiten. Die Formel (90/1) gibt tatsächlich hier für
r = 0:
K)r=0 = -ür(2<72 + 2/x<72), (98)
und der Klammerausdruck von (98) ist bereits in (97) enthalten,
so daß wir für den Fall der Parabel n. Grades erhalten:
>max = (mr)r-0 =1 ^ , m/ T^
i(n + 3) + u]. (99)
max. \ r>r-y>^ + 2) (n + 2) (n + 4)
LV i t~i
Ist die Parabel n. Grades nicht, wie in den Figuren 17 f und 18,
konkav nach oben, sondern konkav nach unten (Fig. 17e), so kann
die Durchbiegungsfunktion w(r) und die daraus resultierenden
Schnittkräfte direkt ermittelt werden, wie dies im obigen Beispiel
der Fall war. Es besteht aber auch die Möglichkeit, diese Belastungals Differenz der gleichmäßig verteilten Vollbelastung und der
Parabel n. Grades gemäß Fig. 18 zu bestimmen.
Die nachfolgende Tabelle III gibt eine Zusammenstellung der
maximalen Momentenwerte und der Größen der aufgebrachten
Belastungen für die in Fig. 17 dargestellten Lastfälle.
Tabelle III
Belastungs- Maximales Moment Totale
fall (im Plattenmittelpunkt) Belastung
Fig. 17 a (3 + ^)^J npaz
Fig. 17b [4,1 + ,,l„? + 4-(.-,»|]^ irpb2
Fig. 17 o (71 + 29 „>|g -pa*
Fig. 17 d2
Fig. 17 e
(n=2)
Fig. 17 f
(n = 2)
pa2(13 + 5„)^
(5 + ^-gg-
2pa
65
3. Numerisches Beispiel
Gegeben sei eine Kreisplatte vom Radius a = \, die eine gleich¬
mäßig verteilte Belastung aufweise und bei der das Verhältnis der
Stützfläche zur Plattenfläche gleich sei wie beim Beispiel der qua-
(6\2/1\2 1
— I = M =
ok-Zudem soll
die totale Belastung der Kreisplatte gleich der totalen Belastung
der Quadratplatte des erwähnten Beispiels sein. Die Querdehnungs-
zahl sei wiederum /* = 1/6.Es sollen die Biegungsmomente mr und mv in den Viertels¬
punkten eines Durchmessers ermittelt werden. Die Bezeichnung
der Punkte zeigt Figur 19.
Zufolge der Voraussetzungen ergibt sich die Belastung p der
Platte aus der Beziehung
1\27T23 = (1)2-1, d.h.:p =
-,
(Kreisplatte) (Quadratplatte)
£
a=1/2
a/4
V--'h
Auflagerfläche
Fig. 19.
66
und der oft vorkommende Ausdruck p a2 nimmt den Wert
pa* = — an.
Die numerische Ermittlung der Biegemomente erfolgt mit den
beiden im Abschnitt 1 besprochenen Stufen und den dazugehörigen
Momentenformeln (Abschnitt 2a und 2b).
Die Tabelle IV zeigt die Anteile der einzelnen Stufen und das
Gesamtergebnis.
Tabelle IV
PunktGleiohm. vert.
Belastung
Konz.
BelastungTotal
mT
1
2
3
4
5
+ 0,0630
+ 0,0591
+ 0,0472
+ 0,0276
± 0,0000
-0,2299
-0,1387
-0,0663
-0,0272
± 0,0000
-0,1653
-0,0796
-0,0191
+ 0,0004
+ 0,0000
mv
1
2
3
4
5
+ 0,0630
+ 0,0611
+ 0,0555
+ 0,0462
+ 0,0332
-0,2299
-0,1837
-0,1274
-0,0912
-0,0650
-0,1653
-0,1226
-0,0719- 0,0450
-0,0318
Die graphische Darstellung der Momente mr und mv findet sich
im nächsten Kapitel in Fig. 20.
VI. Vereinfachungen bei der Berechnung von Rechteckplatten
1. Vergleich der Quadratplatte mit der Kreisplatte
Die Fig. 20 zeigt den Verlauf der Momente mx, my der Quadrat¬
platte und mr, m? der Kreisplatte längs der x-Achse bzw. längs
eines Kreisdurchmessers, wie sie in unseren bisherigen Beispielen
berechnet wurden.
67
Bei beiden wurde eine gleichmäßig verteilte Belastung ange¬
nommen. Die totalen Belastungen von Quadrat- und Kreisplatte
sind einander gleich. Für die Quadratplatte beträgt p=l, und für
die Kreisplatte wird entsprechend p = 4/7r. Die Seitenlänge der
Quadratplatte und der Durchmesser der Kreisplatte sind beide
gleich eins. Bei beiden Platten beträgt das Verhältnis der Stütz¬
flächen, die ähnlich sind zur äußern Form der Platten, zur gesam¬
ten Plattenfläche 1/25. Schließlich beruhen beide Beispiele auf der
Querdehnungszahl /n = 1/6 (Beton).
0,20
0,10
0,05
0,75 0,50 0,25 0 0,25 0,50 0,75 1,00
Fig. 20.
Auffällig und für erste Dimensionierungen sehr angenehm ist,
daß die maximalen Momente beider Platten praktisch gleich groß
sind. Das maximale Moment der Quadratplatte ist hier nur um
1,573 % größer als dasjenige der Kreisplatte. Wir können aus diesem
Grunde die sehr zeitraubende Berechnung des maximalen Momentes
bei Quadratplatten in guter Näherung auf die Bestimmung des maxi¬
malen Momentes der eingeschriebenen Kreisplatte bei gleicher Total¬
belastung zurückführen. Dies ist mit einer geschlossenen Formel
möglich, die sich durch Subtraktion der Gleichungen (92/3) und
(94/1) für r = 0 herleitet. In (94/1) ist dabei die Auflagerkraft 7rb2p
durch die totale Belastung 77 (a/2)2p, d. h. 62 durch a2/4, zu ersetzen;
in (92/3) tritt an Stelle von a2 die Größe a2/4. Schließlich ist das
Resultat der Subtraktion mit 1,01573 Afn zu multiplizieren. Wir
erhalten also:
1,00
C8
«W = -1,01573^ [4(l+M)ln^ + (l-F)(l-^)j,oder:mmax. = -0)02021pa^4(l+^)ln" + (l-JlA)^l-^Jjj,
(100)
wobei von jetzt an a die Seitenlänge und p die gleichmäßig ver¬
teilte Belastung der Quadratplatte bedeuten. Um Verwechslungen
zu vermeiden, ist in dieser Formel die Seitenlänge der quadratischenStützfläche mit s bezeichnet (s = 2 c = 2 d).
Diese Näherungsformel hat den Vorteil, daß sie die beiden
Grenzfälle des Verhältnisses sja, nämlich sja = 1 und sja = 0 (Einzel¬
last) genau erfaßt. Für s\a=\ wird mmax= 0 und für s/a = 0 wird
mmax unendlich groß.
mmax.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Fig. 21.
1,0
69
Eine der beiden Kurven der Fig. 21 zeigt den Verlauf vonpa2
nach Gleichung (100) in Funktion des Verhältnisses s/a für /i = 1/6.
Eine in der Bauingenieurpraxis sehr häufig verwendete Formel
zur Berechnung quadratischer Fundamentplatten beruht auf den
bereits erwähnten Arbeiten von Grotkamp [1], [2]. Sie geht davon
aus, daß das mittlere Moment mx längs der achsenparallelen Achse
y durch den Plattenmittelpunkt, das sehr einfach berechnet werden
kann, 51 % des maximalen Momentes betrage, ;eine Zahl, die von
Grotkamp anhand des einzigen Verhältnisses s/a =1/7 und mit der
Querdehnüngszahl ^u. = 1/4 ermittelt wurde. Daraus leitet dann
Hahn [17] die Formel ab:
pa2[l —I
max.= 43• (101)
In der Fig. 21 wurde der Verlauf von —^^ nach (101), der inO pa2
\ /'
dieser Darstellung eine Gerade ist, auch eingetragen.
Die Formel von Grotkamp-Hahn erfaßt wohl den trivialen Grenz¬
fall s/a = 1, wo das maximale Moment null wird, nicht aber den
Fall der Einzellast s/a = 0, für den das maximale Moment unendlich
groß werden muß.
Für Verhältnisse s/a, die größer als 0,12 sind, ergibt Gleichung
(101) die größeren Werte als (100); die auf ihr beruhende Bemes¬
sung ist also auf der sicheren Seite. Für Verhältnisse s/a < 0,12
ergibt (101) zu kleine Werte, darf also auf keinen Fall mehr ange¬
wendet werden. Nimmt man eine Überschätzung des maximalen
Momentes um 10 % in Kauf, so hat die Grotkamp-Hahnsche Formel
ein Gültigkeitsintervall von 0,12 <s/a< 0,16 und für eine Über¬
schätzung von 20% ein solches von 0,12 < s/a < 0,22. In diesem
letzteren Intervall dürften ungefähr die üblichen Fundamentver¬
hältnisse liegen, doch sind im Hochbau ohne weiteres Verhältnisse
denkbar (z.B. Stahlstützen unter Betondecken) wo s/a kleiner wird
als 0,12.
Bei allen weiteren Vergleichen zwischen Quadrat- und Kreis¬
platte ist große Vorsicht am Platz. Obschon die Kurvenverlaufe
der Momente mv und my stärker voneinander abweichen als die¬
jenigen von mr und mx, ist es bei bekanntem Verlauf von m^ der
70
eingeschriebenen Kreisplatte viel eher möglich auf die Verteilung
der ra^-Momente der Quadratplatte im Mittelschnitt zu schließen,
da uns neben dem in Fig. 20 für den Fall s/a= 1/5 gegebenen Ver¬
hältnis der Momente auch noch eine Gleichgewichtsbedingung zur
Verfügung steht. Nach dieser nimmt« das mittlere Moment den
Wert an , ,
pa*(l--\«u, = V-^- (102)
Wir werden deshalb bei der genäherten Ermittlung der my zuerst
die m,q) der eingeschriebenen Kreisplatte bestimmen, mit den glei¬
chen Verhältnissen wie in Fig. 20 auf die my der Quadratplatte
schließen, die Momentenverteilung mit der Gleichgewichtsbedin¬
gung (102) kontrollieren und bei Nichtübereinstimmen den Kurven¬
verlauf entsprechend korrigieren.Wir'können nunmehr die numerischen Ergebnisse von Grotkamp
mit dem Resultat, wie es die Näherungsformel (100) ergibt, ver¬
gleichen.Grotkamp berechnet eine Platte mit dem Verhältnis s/o =1/7.
Die Seitenlänge beträgt bei ihm a= 2, die Belastung p=\. Als
Querdehnungszahl nimmt er /x = 0,25.
Die Näherungsformel (100) ergibt dafür den Wert
mmax = 0,8459.
- Bei der Trägerrostmethode, die Grotkamp als Grundlage seiner
Berechnungen verwendet, sind die Momentenwerte vom Verhältnis
der Plattenstärke zur Seitenlänge (h/a) abhängig. Für die folgenden
zwei Plattenstärken wurden die Werte ermittelt:
h 0,0825, 0,7810,
œ: 0,1845,mmax.:
08382,
Der Wert, den die von uns entwickelte Näherungsformel ergibt,
stimmt ungefähr überein mit dem Wert nach Grotkamp, unter
Zugrundelegen eines Verhältnisses von h/a = 0,1845.
71
2. Vereinfachungen bei der Berechnung von Rechteckplatten
Nachdem wir im vorangegangenen Abschnitt eine Näherungs¬formel zur Berechnung des maximalen Momentes bei Quadrat -
platten entwickelt haben, soll in diesem Abschnitt gezeigt werden,wie sich die sehr zeitraubende Berechnung von Rechteckplattenvereinfachen läßt, ohne daß die Genauigkeit darunter allzusehr
leidet.
Da in der Baupraxis die gleichmäßig verteilte Vollbelastungweitaus am häufigsten auftritt, soll hier nur dieser äußere Bela¬
stungsfall untersucht werden. Wir behandeln der Reihe nach die
möglichen Vereinfachungen für jede der Berechnungsstufen.
a) Gleichmäßig verteilte Vollbelastung der an den Schmalrändern
frei drehbar gelagerten Platte
Für jeden beliebigen Schnitt x = const, ist das mittlere Moment
durch die folgende Formel gegeben:
m,rnittd
Px(a—x). (103)
Die Verteilung der Momente mx längs eines Schnittes x = const,
ist abhängig von den Verhältnissen bja und x\a sowie der Quer¬
frei
drehbar
a
« >
f lr
/ *>i / - »
...
L 'i
frei
Fig. 22.
72
dehnungszahl. Um uns ein Bild über die Größe der Abweichungen
vom Mittelwert zu machen, greifen wir auf die Tabelle II zurück
(Quadratplatte a =b= 1, p= 1, /x= 1/6) und betrachten die Momente
in den Schnitten xja = 1/2, x/a =1/4 und zusätzlich noch x/a =1/8
(Fig. 14), wobei wir diesmal mit sechsstelligen Werten arbeiten
wollen. Die nachstehende Tabelle V zeigt die Größe der Anteile
infolge w0 und w1, das Gesamtmoment und das mittlere Moment.
Ferner wird die Größe des Gesamtmomentes in Prozenten des
mittleren Momentes angegeben.Wir stellen fest, daß für gleiche y/b-Werte die Prozentzahlen
für die verschiedenen Schnitte (verschiedene x/a-Werte) nur sehr
wenig voneinander abweichen, weshalb sich folgende Methode zur
Tabelle V
Verteilung der Momente für eine zweiseitig gelagerte Rechteckplatte
(a = b=l; p-1; n = 1/e).
y
b(mx)o («Ji
mx —
Wo+(mx)intmittel
mxX100
m-mittel
Mittelschnitt x/o= 1/ j 0,125000
0 0,080756 0,042527 0,123283 98,63
V. 0,079123 0,044413 0,123536 98,83
V« 0,074283 0,050107 0,124390 99,51
3/8 0,066451 0,059685 0,126136 100,91
4/8 0,056065 0,073196 0,129261 103,41
Viertel x/a = 1/i 0,093750
0 0,062287 0,030229 0,092516 98,68
V« 0,061041 0,031649 0,092690 98,87
2/8 0,057280 0,036003 0,093283 99,50
3/8 0,050979 0,043566 0,094545 100,85
4/8 0,042323 0,054675 0,096998 103,46
Achtel x/a = l/s 0,0546875
0 0,037589 0,016423 0,054012 98,76
V» 0,036873 0,017230 0,054103 98,93
2/8 0,034666 0,019750 0,054416 99,50
3/8 0,030761 0,024342 0,055103 100,76
4/8 0,024880 0,031739 0,056619 103,53
73
Bestimmung der Momente mx = ('>nx)0 + (inx)1 unter gleichmäßigverteilter Vollbelastung an einer beliebigen, an den Schmalrändern
frei drehbar gelagerten Rechteckplatte empfiehlt: Wir berechnen
die oben eingeführten Prozentzahlen nur für den Mittelschnitt,
übernehmen sie für alle anderen Schnitte und ermitteln mit ihnen
und dem durch (103) eingeführten mittleren Moment alle gesuchtenWerte von mx. Der dadurch begangene Fehler ist sehr klein und
würde im Beispiel des Kapitels IV maximal eine Einheit in der
vierten Stelle nach dem Komma ausmachen.
Diese Methode darf ohne Bedenken auf Platten angewendet
werden, bei denen das Verhältnis b\a < 1 wird, denn bei solchen
Platten wird die Abweichung der Momente vom mittleren Moment
noch kleiner als im Falle des Quadrates, da sich mit abnehmendem
b\a die Platte immer mehr dem Balken nähert. (Verhältnisse b\a> 1
kommen hier nicht vor, da es angezeigt ist, die Platte in der ersten
Berechnungsstufe immer an den Schmalseiten zu lagern. Die
Quadratplatte ist somit in dieser Beziehung ein Grenzfall.)
.y
a/2 j*!
«=—I—>
fëi
t
tify \ >
t-1
<
ia»
Fig. 23. Plattenstreifen.
74
b) Konzentrierte Flächenlast
Für die durch die partikuläre Lösung bedingten Momente kön¬
nen wir für beliebige Punkte keine Näherungslösung angeben. Die
Größen der Schnittkräfte sowie der Lagerkräfte hängen maßgebend
von den Verhältnissen sja und tjb ab.
Für die maximalen Momente (mx)0 und (my)0 hat Woinowsky-
Krieger [18] eine geschlossene Näherungslösung angegeben, die
einen sehr günstigen Gültigkeitsbereich hat. Diese Momente sind
durch die folgenden Gleichungen bestimmt:
(ma)0+K)0 = (1+/x)P(21n^ + 3-y(K)), (104/1)477 \ TT S J
(mx)0-(my)0 = (1-^P[l + t(K)]. (104/2)
Darin bedeuten (Fig. 23):
P = pst,
K = i, d = VsY+¥,s
w (k) = Kiarctg- + -arctg/c,K K
i]}{k) = /carctg arctgK.
Die Funktionen <p (k) und i/j (k) sind für verschiedene Werte von
k in der erwähnten Arbeit von Woinowsky-Krieger tabelliert. Ins¬
besondere wird für k= 1: 9 = 1,5708 und </> = 0.
Für die Momente infolge w1 sind wir in der Lage, eine Näherungs¬
lösung anzugeben. Wir können uns die auf die Fläche s X t verteilte
Belastung P = pst durch die Einzellast P im Plattenmittelpunkt
ersetzt denken. Der dadurch auftretende Unterschied in den Defor¬
mationen und Schnittkräften beschränkt sich auf die nähere
Umgebung der als klein vorausgesetzten Stützfläche, nimmt aber
gegen die Ränder sehr, stark ab, so daß die Korrekturfunktion, die
die Randbedingungen der zweiseitig gelagerten Platte an den
freien Rändern y~ ±6/2 herstellen muß, für beide Fälle im ganzen
Gebiet der Platte praktisch dieselbe sein wird. Die aus diesen
75
Korrekturfunktionen sich herleitenden Schnittkräfte unterscheiden
sich deshalb auch nur wenig voneinander. Für das im Kapitel IV
behandelte Beispiel erhielten wir z.B. im Plattenmittelpunkt das
Moment
(mx\ = 0,05713.
Ersetzen wir die Belastung durch eine Einzellast, so wird das
entsprechende Moment
(mj* = 0,05769,
d. h. es hat sich nur um 0,98 % vergrößert. Seine Ermittlung hat
aber den großen Vorteil, daß für die Bestimmung der Konstanten
An und Bn die Formeln (58/1), (58/2) und für große Werte von n
(59/1) und (59/2) verwendet werden können, anstelle der für die
numerische Berechnung weniger geeigneten Ausdrücke (36/1),(36/2) bzw. (40/1) und (40/2).
Auf das maximale Moment des numerischen Beispiels im Kapi¬tel IV hätte diese Näherung einen Fehler von 0,34 % zur Folge,der sich mit abnehmendem Verhältnis sja noch verkleinert. Dieser
geringe Fehler ist um so mehr zu verantworten, als daß er das
Gesamtmoment leicht erhöht, wir uns also für die Bemessung auf
der sicheren Seite befinden.
c) Die Korrekturfunktion
Bei der Ermittlung der Korrekturfunktion handelt es sich
zunächst darum, die Auflagerkräfte an den Rändern % = 0 bzw.
x=a der an den Schmalrändern frei drehbar gelagerten Platte zu
bestimmen.
Für den Anteil der gleichmäßig verteilten Belastung können
wir keine Näherungsmethode angeben; wir müssen ihn auf die
gleiche Weise wie im Kapitel IV bestimmen.
Was den Anteil der konzentrierten Belastung anbetrifft, so
übernehmen wir die Überlegung des vorangehenden Unter¬
abschnittes, d.h. wir ersetzen die Flächenlast durch eine Einzel¬
last. Für die Auflagerkräfte infolge w0 haben wir im Abschnitt
III. 2b geschlossene Lösungen entwickelt, die den Rechenaufwand
ganz erheblich herabsetzen, da die Summenausdrücke für die Auf-
76
lagerkräfte, insbesondere für kleine y-Werte, sehr schlecht kon¬
vergieren. Auch die Auflagerkräfte infolge wx bestimmen wir unter
der Annahme einer Einzellast. Die dazu benötigten Werte von An
und B„ sind, nach den Ausführungen des vorangehenden Unter¬
abschnitts, bereits bekannt.
Um die Fehler zu zeigen, die durch diese Näherungen entstehen,
wurde in der nachstehenden Zusammenstellung die Nullbelastung
im Punkte x = y = 0 sowie die zu ihr gehörende Einzelkraft A in
x = 0, y = 6/2 eingetragen, wie sie sich im numerischen Beispiel des
Kapitels IV ergeben haben, und dann die entsprechenden Schnitt¬
kräfte unter der Annahme berechnet, daß die Reaktion der gleich¬
mäßig verteilten Vollbelastung eine Einzellast sei.
a
a
Gleichmäßig verteilte
Belastung
inf. wo inf. w\
Konzentrierte
Belastung
inf. wo inf. W\
Null¬
belastung
Auflagerkraft qx in x = y= 0:
7s0
+ 0,47130
+ 0,47130
- 0,00252
-0,00252
-0,70310
-0,'70833-0,02929- 0,03080
+ 0,26361
+ 0,27035
Einzelkraft A in x = 0, y = 6/2 :
V50
+ 0,04691
+ 0,04691
-0,07515
-0,07515
-0,08145- 0,08303
+ 0,06420
+ 0,06372
+ 0,04549
+ 0,04755
Die Abweichungen sind hier größer und betragen für die Auf¬
lagerkraft in x=y= 0 2,56 % und für die Einzelkraft sogar 4,53 %.Trotzdem sind diese Fehler ohne weiteres zu verantworten, denn
auf das gesamte Moment machen sie nur wenig aus, da die Korrek¬
turfunktion weitaus den kleinsten Anteil am Gesamtmoment aus¬
macht. Nehmen wir einen Fehler von 4 % an der Korrekturfunk¬
tion an, so bedeutet dies in der Tabelle II höchstens eine Änderungum 3 Einheiten in der vierten Stelle nach dem Komma. (Das maxi¬
male Gesamtmoment erfahrt z.B. eine Änderung um nur 0,17 %.)
d) Spezialfall: Quadratplatte mit p = 1/6
Für diesen, in der Baupraxis sehr häufigen Fall (Betonfunda¬mente etc.) können wir direkt von der Tabelle II ausgehen. Aus
77
den Ausführungen der vorangegangenen Unterabschnitte ist näm¬
lich ersichtlich, daß bei einer Änderung des Verhältnisses sja ledig¬lich ein Anteil am Gesamtmoment wesentlich anders wird, nämlich
die partikuläre Lösung des Belastungsfalls konzentrierte Flächen¬
last, die demzufolge neu zu berechnen ist. Die Momentenanteile
der gleichmäßig verteilten Vollast können wir direkt aus der
Tabelle II übernehmen, während die Änderung der beiden rest¬
lichen Anteile ohne weiteres sehr genau abgeschätzt werden kann.
Dadurch wird der Arbeitsaufwand auf ein vernünftiges Maß herab¬
gesetzt.Als Anwendungsbeispiel wollen wir das maximale Moment einer
Quadratplatte mit der Seitenlänge o = 1, der gleichmäßig verteilten
Belastung p—\, dem Verhältnis s/a= 1/10 und der Querdehnungs-zahl /x= 1/6 berechnen.
Die beiden Anteile infolge der gleichmäßig verteilten Belastungentnehmen wir der Tabelle II zu
mx infolge w0 + w1 = 0,0808 + 0,0425 = +0,1233.
Den ersten Anteil (partikuläres Integral) der konzentrierten
Belastung bestimmen wir nach Woinowsky-Krieger (Gl. (104/1) und
(104/2)) und erhalten
(mx)0 =-0,3035.
Als Anteil infolge w1 nehmen wir den Mittelwert der Momente
(mjd für sja = 1/5 und sja = 0 :
(mj1 =-0,0574.
Schließlich übernehmen wir für das Moment infolge der Korrek¬
turfunktion den früher ermittelten Wert:
(mx)2 = +0,0046.
Das maximale Moment ergibt sich demzufolge zu
mmax = -0,2330.
Die Näherungsformel (100) liefert dafür
max = -0,2338,
also einen nur sehr wenig größeren Wert.
78
Bemerkung
Nach Beendigung der vorhegenden Arbeit, kurz vor ihrem
Druck, erschien die zweite, stark ergänzte Auflage von Timoshen-
kos Buch „Plates and Shells", bearbeitet durch Timoshenko und
Woinowsky-Krieger [20]. Darin behandeln die Autoren den Fall
einer Quadratplatte mit freien Rändern und einer quadratischenStützfläche im Plattenmittelpunkt. Die Berechnungen, die auf der
Querdehnungszahl ja = 0,3 beruhen, stützen sich auf Ergebnisse, die
Marcus [21] mit seiner Gewebetheorie und Woinowsky-Krieger in
der bereits zitierten Veröffentlichung [18] erhalten haben14).
Dabei geben Timoshenko und Woinowsky-Krieger für das maxi¬
male Moment im Plattenmittelpunkt folgende Näherungsformel an:
m„r.= pa2(o,1034ln- + 0,020j
(gültig für ^ = 0,3).
(105)
Unsere Näherungsformel (100) nimmt für ^, = 0,3 den Wert an:
mmax. = P«' J0,1051 In- +0,0141 (l-^ä) • (100')
Die nachstehende Tabelle IV zeigt die Werte von mmax für ver¬
schiedene Verhältnisse ajs nach (105) und (100') sowie ihre pro¬
zentualen Abweichungen.
Tabelle VI
a
s5-
nach (105)pa2
— nach (100 )pa*
Abweichung in %
5
10
20
100
0,1864
0,2581
0,3298
0,4962
0,1827
0,2560
0,3289
0,4981
2,03
0,82
0,27
0,38
l4) Vergleiche auch [22].
79
VII. Fundamentplatten
Eine durch eine einzige Stütze zentrisch belastete Fundament¬
platte erfüllt hinsichtlich des statischen Systems mit der Ausnahme,
daß es sich hier im allgemeinen um eine dicke Platte handelt, die
Bedingungen, wie wir sie in der vorliegenden Arbeit vorausgesetzt
haben. Eine Schwierigkeit bildet hier die Verteilung der Sohl¬
drücke, die von der Bodenart bestimmt wird. Um in der Bau¬
ingenieurpraxis den Rechenaufwand in vernünftigen Grenzen zu
halten, wird in den meisten Fällen der Berechnung eine über die
ganze Fundamentfläche gleichmäßig verteilte Reaktion zugrunde
gelegt, wodurch gewisse, noch näher zu bestimmende Fehler ent¬
stehen. Diese werden jedoch im allgemeinen für Einzelfundamente
überschätzt. So schreibt z.B. Schnitze [19] in einer der neuesten
Veröffentlichung über die Sohldruckverteilung: „Dabei ist es nicht
etwa unerheblich, ob die angesetzte Sohldruckverteilung mehr oder
weniger zutrifft. Vielmehr reagieren die Biegungsmomente, die das
Fundament erhält, sehr empfindlich darauf. Kleine Ungenauig-keiten schon können zu einem Wechsel der Vorzeichen der Biegungs¬momente führen." Diese Aussage, die für Streifenfundamente mit
mehreren Stützen sicher zutrifft, beruht auf Überlegungen an einem
statisch bestimmten Balken, darf aber niemals übernommen wer¬
den für Einzelfundaniente, die einen typischen Plattencharakter
aufweisen. Bei einem Balken bleiben die Momente unter einer
Einzellast stets in endlichen Grenzen, währenddem sie bei einer
Platte theoretisch unendlich groß werden. Für Belastungsformen,die sich diesem Spezialfall nähern, also in unserem Fall bei konzen¬
trierten Stützenlasten, wachsen die Plattenmomente infolge des
Anteiles von w0 unter der Lastfläche stark an und bilden den
weitaus größten Anteil am Gesamtmoment an dieser Stelle. Darin
hegt der Grund, warum im Falle einer Platte im allgemeinen der
Einfluß der Ungleichheit der Druckverteilung überschätzt wird.
Das Ziel dieses Kapitels ist zu zeigen, daß für die üblichen
Einzelfundamente mit kleinen Verhältnissen c/a, dja (Fig. 4), bzw.
b\a (Fig. 19), das maximale Moment, das die Grundlage zur Be¬
messung bildet, für verschiedene Sohldruckverteilungen praktischnur in engen Grenzen variiert.
80
In Fig. 24 sind für verschiedene Bodenarten die Sohldruckver¬
teilungen für kreisförmige Fundamentplatten unter einer zentrischen
Einzellast dargestellt, wie sie Schnitze in der erwähnten Veröffent¬
lichung angibt.Es handelt sich dabei um Ergebnisse,' wie sie an ausgeführten
Bauwerken gemessen und durch theoretische Überlegungen bestä¬
tigt wurden. Es kann sich im Rahmen dieser Arbeit nicht darum
handeln, diese Resultate zu diskutieren, sondern wir wollen sie in
der vorliegenden Form einfach übernehmen.
Untergrund
Fels
bindiger Boden nichtbindiger Boden
mit Poren¬
wasserdruck entspannt locker dicht
U * 1 j | \ * } Wiiijuj^j ijwiipw flUUPHf-
Fig. 24. Sohldruckverteilung auf kreisförmige Fundamentplatten nach
Schnitze [19], unter Annahme einer doppelten Grundbruchsicherheit.
Wir können die in Fig. 24 angegebenen Grundfälle in zwei
Gruppen aufteilen, eine solche, bei der das maximale Platten¬
moment kleiner und eine, bei der es größer wird als bei gleich¬
mäßig verteiltem Sohldruck. Zur ersten Gruppe gehört der Bau¬
grund Fels, zur zweiten alle übrigen in Fig. 24 berücksichtigtenBöden.
Der erste Fall ist für uns nur von geringem Interesse, da wir
bei der Bemessung mit der Voraussetzung eines gleichmäßig ver¬
teilten Sohldruckes auf der sichern Seite sind und es zudem fraglich
ist, ob wir stets eine derart ausgesprochene Druckkonzentration
unter dem Angriffspunkt der Last annehmen dürfen. (Für die
Beanspruchung des Baugrundes ist allerdings das starke Ansteigen
81
der Bodenpressungen von Bedeutung, doch, da wir uns nur mit
den Biegungsmomenten in der Fundamentplatte beschäftigen, liegtdieses Problem außerhalb unserer Aufgabenstellung.)
Die restlichen Lastverteilungs-Formen unterscheiden sich nur
wenig voneinander; bei allen ist eine Druckerhöhung am Platten¬
rand festzustellen.
Sobald wir genaue Kenntnis der Druckverteilung unter einer
Kreisplatte haben, können wir die Plattenschnittkräfte grundsätz¬lich so bestimmen, daß wir die Druckfigur in einzelne Anteile zer¬
legen, die sich in ihrer Gesamtheit der wirklichen Druckverteilung
möglichst gut anpassen. Als Anteile wählen wir Rotationskörper,deren Meridiankurven analytisch leicht darstellbar sind. Zur Be¬
stimmung des maximalen Momentes unter solchen rotations¬
symmetrischen Belastungen stehen uns die Formeln der Tabelle III
zur Verfügung.Im folgenden wollen wir die Größe der maximalen Momente
bei genauerer Erfassung der Lastverteilung mit denjenigen bei
gleichmäßig verteiltem Sohldruck für verschiedene Verhältnisse bja
vergleichen. Zu diesem Zweck betrachten wir die Druckverteilungbei einem lockeren, nichtbindigen Boden, bei dem die Abweichun-
N
\ SohldruckverteilungV^^nach Schultzel19)
aa
d-8^
r^
r
1
\ Anteil 3 -j-\ i
L-
v_^^ Parabel
1
Anteil 2
\p::
Anteil I
a a»
82
Fig. 25.
gen vom Mittelwert am extremsten sind. In Fig. 25 ist die Druck¬
verteilung dargestellt und gleichzeitig eine Annäherung der gesam¬
ten Druckverteilung durch drei Rotationskörper eingetragen. Die
drei Körper, ein Zylinder, ein Rotationsparaboloid und ein Ring
mit der Stärke d = a/8, haben alle den gleichen Rauminhalt.
Mit Hilfe der in Tabelle III angegebenen Formeln können wir
den Anteil der einzelnen Rotationskörper an das maximale Moment
berechnen.
In Fig. 26 ist für verschiedene Verhältnisse bja die Vergrößerungdes maximalen Momentes in Prozenten angegeben, wobei mit 100%die Größe des maximalen Momentes bei gleichmäßig verteiltem
Sohldruck angenommen wurde. In der gleichen Figur ist ebenfalls
das prozentuale Anwachsen des mittleren Momentes längs eines
Durchmessers eingetragen, das sich aus einer Gleichgewichts -
bedingung berechnen läßt.
Abweichung in %
12 i, , , ,
Fig. 26. Prozentuale Vergrößerungen der maximalen und mittleren Momente
einer Kreisplatte gegenüber den als 100 % gesetzten Werten bei gleich¬
mäßig verteilter Bodenreaktion. Als Sohldruck wurde derjenige von Fig. 25
gewählt.
83
Der Fehler, der sich bei Annahme eines gleichmäßig verteilten
Sohldruckes am maximalen Moment einstellt, bewegt sich, vor
allem für kleine Verhältnisse bja, durchaus in tragbaren Grenzen.
Die prozentuale Abweichung des mittleren Momentes ist durch¬
wegs größer und beträgt für mittlere Verhältnisse rund zweimal
soviel wie für das maximale Moment.
Um die Frage zu entscheiden, ob eine Unterschätzung des maxi¬
malen und mittleren Momentes in den durch Fig. 26 dargestellten
Grenzen zulässig sei oder nicht, müssen wir uns vorerst Rechen¬
schaft geben, wieweit die Voraussetzungen der Plattentheorie bei
Einzelfundamenten eingehalten werden. In dieser Hinsicht ist zu
erwähnen, daß in diesem Gebiet in vielen Fällen die Voraussetzung
der „dünnen Platte" verletzt wird. Wir müssen demzufolge zuerst
untersuchen, wieweit sich eine solche Verletzung unserer Voraus¬
setzungen auswirkt. Da dies über den Rahmen der vorliegenden
Arbeit hinausführen würde und auch keine diesbezüglichen Unter¬
suchungen vorliegen, müssen wir uns mit dem Hinweis begnügen,
daß sich die Stützenlast, die an der Oberfläche der Platte auf einer
Fläche 7T 62 auftritt, über die Plattenstärke weiter verteilt und in
der Plattenmittelebene bereits auf eine größere Fläche wirkt. (Die
schweizerischen Normen nehmen z.B. für Beton eine Verteilung
unter 45° an). Dadurch wird das maximale Moment erheblich abge¬
baut, und zwar bestimmt mehr als die Unterschätzung infolge eines
gleichmäßig verteilten Sohldrucks ausmacht.
Diese Überlegungen und numerischen Auswertungen können
wir, was das maximale Moment anbetrifft, nach den Ausführun¬
gen im Kapitel VI ohne weiteres auf Quadratplatten übertragen,
so daß wir hier zum Schluß kommen:
— Falls es wünschenswert ist, das Kräftespiel in Einzelfundamen¬
ten genauer zu erfassen, so muß die Verbesserung in erster Linie
von der Plattentheorie her kommen, d. h. die Berechnung muß
an einer „dicken Platte" durchgeführt werden.
— Bei der Berechnung von Einzelfundamenten spielt die Vertei¬
lung des Sohldruckes im allgemeinen eine untergeordnete Rolle,
d. h. eine genauere Erfassung des Sohldruckes ist nur dann
sinnvoll, wenn auch die statischen Methoden verfeinert werden.
84
Bemerkung
Nach Beendigung der vorliegenden Arbeit erschien die vom
Arbeitsausschuß Berechnungsverfahren des Fachnormenausschusses
Bauwesen im Deutschen Normenausschuß und in der Deutschen
Gesellschaft für Erd- und Grundbau verfaßte Schrift: Flächen¬
gründungen und Fundamentsetzungen [23]. Darin werden nume¬
rische Werte von zentrisch belasteten starren und elastischen,
kreisförmigen Fundamentplatten angegeben. Für starre Fundament¬
platten bilden die Gleichungen von Boussinesq die Grundlage für
die Berechnung der Sohldrücke15). Um die dort angegebenen Werte
möglichst gut durch einfache Rotationskörper zu erfassen, ersetzen
wir den Sohldruckkörper durch einen Zylinder und eine Rotations¬
parabel 10. Grades. Damit können wir nun, wie in Fig. 26, die
prozentualen Vergrößerungen der maximalen und mittleren Mo¬
mente einer Kreisplatte gegenüber den als 100 % gesetzten Werten
bei gleichmäßig verteilter Bodenreaktion berechnen. Die ent¬
sprechende graphische Darstellung findet sich in Fig. 26a.
Abweichung in %
30.
25
20
Abweichung des mittl.
Momentes längs eines^Durchmessers
is) Vergleiche dazu [23], Bild 2.12.
85
Die prozentualen Abweichungen für das maximale Moment sind
hier 2,7 mal, für das mittlere Moment 2,3 mal so groß als bei der
Sohldruckverteilung nach Schnitze [19].
Diesen Vergrößerungen wirken die Abminderungen infolge der
bereits erwähnten Lastverteilung entgegen. Diese betragen zum
Beispiel bei einer Erhöhung des Verhältnisses bja von 2/10 auf 3/10
am maximalen Moment 30,3%, am mittleren Moment 11,4%.Dies bedeutet also, daß beim maximalen Moment die prozentuale
Erhöhung infolge der ungleichmäßigen Sohldruckverteilung nach
Boussinesq durch die Verteilung des Stützendruckes mehr als auf¬
gehoben wird.
Weist die Platte eine so kleine Dicke auf, daß die Abminderung
infolge der Stützendruckverteilung kaum mehr ins Gewicht fällt,
so dürfen wir in den meisten Fällen annehmen, daß die Fundament¬
platte im Verhältnis zum Untergrund als biegsam betrachtet wer¬
den kann. In diesem Fall aber entspricht die Sohldruckverteilungnach Boussinesq nicht mehr der Wirkhchkeit. Vielmehr ist eine
Druckverteilung16) anzunehmen, die sich besser dem mittleren
Sohldruck anpaßt und die noch kleinere Abweichungen ergebenwürde als diejenigen nach Fig. 26.
Auf Grund dieser Überlegungen können wir prinzipiell an den
oben gemachten Schlußfolgerungen festhalten.
VIII. Erweiterung der Aufgabenstellung bei Rechteckplatten
Schlußbemerkungen
1. Berechnungsgang für den Fall mehrerer Unterstützungen
a) Aus Symmetriegründen sind die einzelnen Stützendrücke bekannt
Bei Anordnung von 2 resp. 4 Unterstützungen kann es infolge
Symmetrieeigenschaften von Belastung und Anordnung der Unter¬
stützungen vorkommen, daß die Größe der einzelnen Stützendrücke
zum vornherein bekannt ist. Solche Fälle lassen sich mit den früher
besprochenen Methoden als Summen und Differenzen von einzel-
16) Vergleiche [23], Bild 3.2.2.
86
nen Rechtecksbelastungen berechnen, deren Schwerpunkt mit dem
Plattenmittelpunkt zusammenfallen, so daß wir auf die bereits ent¬
wickelten Formeln zurückgreifen können. Die Fig. 27 zeigt den
Fall von 2 Unterstützungen, deren Wirkungsweise als Differenz
der Belastungen der Rechtecke (2c1x2d) und (2c2x2d) darge¬
stellt werden kann.
In analoger Weise kann man den Fall von 4 doppelt-symmetri¬
schen, nicht auf einer Geraden angeordneten Unterstützungen be¬
handeln. Immer dann, wenn die Reaktionen symmetrisch und zum
vornherein bekannt sind, haben wir den Vorteil, daß die Korrek¬
turfunktion nur für eine einzige Nullbelastung zu ermitteln ist.
W-
Fig. 27.
b) Unbekannte Stützendrücke
Dieses Problem läßt sich grundsätzlich mit den Methoden und
Überlegungen der statisch unbestimmten Systeme lösen. Wir neh¬
men am gegebenen statischen System solange Änderungen vor, bis
die Größe einer eventuell die Größen von zwei oder vier nicht auf
einer Geraden liegenden Reaktionen eindeutig bestimmt sind. Wir
führen dann überall dort, wo Unterstützungen weggenommen wor¬
den sind, überzählige Größen ein, die wir aus den Elastizitäts¬
gleichungen bestimmen können. Diese ergeben sich aus den Elastizi¬
tätsbedingungen.An einem wegleitenden Beispiel soll diese Methode kurz erläutert
werden. Wir wählen dazu eine Rechteckplatte, die auf drei, sym¬
metrisch angeordneten, festen Stützen gelagert ist (Fig. 28). Die
Belastung sei zur y-Achse ebenfalls symmetrisch.
87
Als „Grundsystem" wählen wir die Platte, die nur in ihrem
Mittelpunkte Reaktionen erfährt. Der Ausdruck „Grundsystem"ist hier in einem erweiterten Sinne zu verstehen, da sich der Platten¬
mittelpunkt nach dem im Abschnitt III. 3 gesagten in vertikaler
Richtung verschiebt, wenn wir die Durchbiegungsfunktionen w0,
wx und w2 nicht durch eine Konstante ergänzen. Diese Schwierig-
*y
äussere Belastung
® © ®
i ,. ÏTTT
Fig. 28.
keit können wir umgehen, indem wir uns relativer Verschiebungenbedienen. Als überzählige Größen führen wir links und rechts die,
aus Symmetriegründen gleich großen, auf die ursprüngliche Fläche
verteilten Reaktionen X ein. Bezeichnen wir mit:
8r0d- die relative, vertikale Verschiebung der Plattenpunkte 1 und 2
am Grundsystem infolge der äußeren Belastung,
Sj<*- die relative, vertikale Verschiebung der Plattenpunkte 1 und 2
am Grundsystem infolge X = 1 (doppelt angebracht),
so erhalten wir zunächst die Elastizitätsgleichung:
88
und damit:
X~
Bf'
In analoger Weise können im Prinzip viele Probleme gelöst wer¬
den, bei denen die Größe der Stützenkräfte nicht zum vornherein
bekannt ist.
Die Reihenentwicklungen zur Bestimmung der Durchbiegungs¬
anteile konvergieren sehr rasch und können bereits nach wenigen
Gliedern abgebrochen werden.
2. Schlußbemerkungen
Das Ziel, einen Lösungsweg für Rechteckplatten mit freien
Rändern und Einzelunterstützungen zu finden, konnte im wesent¬
lichen durch drei Maßnahmen erreicht werden:
— Durch eine Aufteilung der Berechnung in verschiedene Stufen,
— durch die passende Wahl einer Korrekturfunktion mit komplexen
Argumenten,— durch die Formulierung der Randbedingungen mittels des Kno¬
tenlastverfahrens .
Es darf nicht verschwiegen werden, daß eine genaue Berechnung
ziemlich zeitraubend ist und deshalb für die Baupraxis in dieser
Weise wenig in Frage kommt. Um aber dieser Arbeit einen nicht
zu stark theoretischen Charakter zu verleihen und um den Bedürf¬
nissen der Praxis entgegenzukommen, wurde, in Anlehnung an die
genaue Theorie, nach Näherungslösungen gesucht, deren Ergebnissemit den tatsächlichen Werten hinreichend übereinstimmen. Insbe¬
sondere konnte im Fall einer Quadratplatte für das maximale
Moment, dem bei der Bemessung eine zentrale Bedeutung zukommt,
eine sehr einfache, geschlossene Näherungsformel gefunden werden.
Die Frage, welchen Einfluß die Sohldruckverteilung auf die
Momente, insbesondere auf die maximalen Momente, von Einzel¬
fundamenten ausübt, kann dahin beantwortet werden, daß diese
Verteilung im allgemeinen nur eine untergeordnete Rolle spielt.
89
IX. Anhang
Es sollen hier noch einige, bei der Berechnung von behebigenRechteckplatten oft vorkommende, siebenstellige Werte angegebenwerden. Als Grundlage wurde die Querdehnungszahl /x=l/6 ange¬
nommen.
2Werte von ——-, für 6 = 1
71 = 0
\ o 1
: 0,8185855,
n= 1 : 0,2534056 -i 0,0446280,
71 = 2 : 0,1401213 -i 0,0199180,
71 = 3 : 0,0971901 -i 0,0113318.
Werte2 + 2/x X«
von —
An
sinTr—, für 6 =
cosT
71 = 0 -0,5552138,
n= 1 1,6715933 -i 3,3437931,
71 = 2 1,9323376 -i 6,7380640,
71 = 3 2,1045485 -i 9,9742360.
Werte
\ An
von r—,für 6 = 1
1~ll 2sin^
71 = 0 1,9552134,
71 = 1 -0,2715933 + i 3,3437931,
71 = 2 -0,5323411 + i 6,7380640,
71 = 3 -0,7045491 + i 9,9742360.
WerAresin
;e von 2-|
2 cos
An
. ,für 6 - 1
An
T
7i = 0: 5,3552138,
n=l: 3,1284067 + i 3,3437931,
7i = 2: 2,8676624 + i 6,7380640,
7i = 3:„ 2,6954515 + i 9,9742360.
90
Werte von verschiedenen transzendenten Funktionen
(6=1)
n
Ann
cos-j- y
= cos pn 2/Aw . An
TysmTy= ßn y sin ßn y
y= Vie
2
3
0,6464068
0,3006006
-i 0,0956023
-i 0,1417694
y=
0,6660773
1,2182508
2/l6
+ i 0,1659905
+ i 0,1988246
0
1
2
3
0,9537253
0,5842705
-0,1825962
-0,8594756
-i 0,1384004
-i 0,2471919
-i 0,1704638
y=
0,0918290
0,7768501
1,7857038
1,5775770
3/l6
+ i 0,2330416
+ i 0,1744756
-i 0,4517755
2
3
-0,9297338
-0,8656518
-i 0,1890575
+ i 0,2829809
y=
1,5146820
-2,4242339
Vi.
-i 0,6717774
-i 1,6748425
0
1
2
3
0,8191838
-0,3555653- 1,0555250
0,4192806
-i 0,3234531
+ i 0,1805451
+ i 0,5860383
y =5
0,3503184
1,9445747
-1,1317342
-5,7316026
/l6
+ i 0,1145718
-i 1,8930807
+ i 0,4774803
2
3
-0,4003421
1,2838885
+ i 0,6242900
-i 0,0495363
y=
-4,8058298
-0,0976870
Vie
-i 1,6691302
+ i 5,1816448
0
1
2
3
0,6088274
- 1,0892952
0,6573242
0,3385493
-i 0,1411470
+ i 0,7030929
-i 0,9798517
y=
0,7268354
1,1254929
-6,1410238
10,2899637
Vis
-i 1,3056914
+ i 1,3528474
+ i 3,0552716
2
3
1,3845745
-1,3581779
-Vi 0,1589944
-i 0,6355435
-2,2324533
8,3648268
+i 5,7471498
-i 8,5152010
n
2 + 2^
1-P
AnSin-g-
nAn
2cos-=-
L_
An sin
2
2cos-
An
2"
\n
2.
• cos Any + A„ysmX„y •cos A n2/-An2/sinA„2/
y = 1!u
2 1,2709790 -i 4,3742758 1,8317735 + i 3,9153847
3 0,4368379 -i 3,0977973 1,0060450 + i 2,4173042
2/ = 2/l6
0 -0,4376924 5,0155739
1 1,2907305 -i 1,9519872 1,5137679 + i 1,2876653
2 -0,2327285 + i 0,9271623 -0,6437332 -i 2,1136834
3 -1,9314773 + i 7,7620876 -2,1940052 -* 8,5803139
2/ = 3/ie
2 - 1,5557591 + i 5,2275055 -2,9069632 -i 6,1349815
3 - 1,4235218 + i 7,5549199 -2,7316069 -i 6,1966115
2/ = 4/x6
0 -0,1045038 4,0365860
1 0,2686539 + i 0,7628266 -1,9753674 -i 2,3154014
2 - 1,9548404 + i 5,5679884 -3,1116796 -i 4,7013719
3 0,9960781 -i 2,4711773 1,0164688 + i 5,2841612
y = 5/i6
2 -1,3729199 + i 2,2347395 -0,5487221 + i 0,7618525
3 2,1102319 -* 7,7284136 4,0524329 + * 7,4906394
y = "As
0 0,3888060 2,5335655
1 -1,1673320 + i 2,1007460 -4,0612849 -i 2,7782516
2 -0,1333666 -i 1,7176323 3,2885227 + i 5,0924782
3 + 1,2291850 -i 2,3836444 0,3958517 -i 2,3196437
2/ = 7/ie
2 1,5143265 -i 3,2749709 5,1316311 + i 4,0381441
3 -0,8325853 + i 3,6940538 - 5,6866686 -* 6,7446626
92
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Bauwesen im Deutschen Normenausschuß und in der Deutschen
Gesellschaft für Erd- und Grundbau. Flächengründungen und Funda¬
mentsetzungen. Beuth-Vertrieb GmbH, Berlin und Köln, und Wilhelm
Ernst & Sohn, Berlin-Wilmersdorf, 1959.
04
Lebenslauf
Am 20. August 1930 wurde ich in Bern geboren, wo ich Primar¬
schule, Progymnasium und Realschule besuchte. Nach bestandener
Maturität Typ C immatrikulierte ich mich im Herbst 1950 an der
Abteilung für Bauingenieurwesen an der Eidgenössischen Tech¬
nischen Hochschule in Zürich und schloß dort im Herbst 1955 mit
dem Diplom als Bauingenieur ab.
Seit dem Januar 1956 bin ich als Assistent am Lehrstuhl für
Baustatik und Massivbau tätig, wo unter der Leitung des leider
viel zu früh verstorbenen Herrn Prof. Dr. P. Lardy die vorliegendeArbeit begonnen wurde.
Nach dem unerwarteten Hinschied meines verehrten Lehrers
wurde ich, bis zur Neubesetzung des Lehrstuhls, während drei
Semestern von der Eidgenössischen Technischen Hochschule mit
Lehraufträgen betraut.