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. ,~~21!~~ Licenciatura e~ Engenharia Civil

'~~I~I MECANICA IUniversidade do Porto

Faculdade de Engenharla Exame de Epoca Normal - 04/07/2003

FEUP

I NOME: I

1) (3 VAL.). z

a) Considere 0 sistema de foryas T={F,~F2,F3 }, de A=. (0,0.1.) "F-;

magnitude IF,1 =2kN; IF21 =2./2 kN; IF31 =2 kN.

i. Determine os invariantes na origem do referencial

indicado na Figura; "F;

~ ~f"., ,..\. :i7~ ..r.. - _?\. ~- = (f). a '2,,'-t"1 ~~O,'2.,OI; TZ =1. 2.,o,:2.'i t ~ E ...0,0,'2.,'f ~ 3 1 /2 Yc1t,"o.,;Q.~ ~+-on~: V = -~?; ~\ = '2.: '2.. O~ //

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ii. Defina eixo central de urn sistema de foryas. Obtenha a equayao definidora do eixo central

associado ao sistema de foryas 't ;'£\---0 a""iAI...l> & M0\4 1;'+&--. ~ ~~. ~ 0 ~JtA\A.<t- ~ 'f""ln~ c!o ~~8 - ~ ~c.~...), or

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~ 0 ~=o

iii. Defina urn vector F4 (ponto de aplicayao, direcyao e magnitude) que, juntamente com 0 sistema

de foryas 't, forme urn torsor equivalente a binario.

P .:. - '{ "n..n- 1)10 ~" b ~ 1,0.. ~..o Ct.~ '" Sl-)f:(,~ &t 9s1C~ ,..&&J-I::~';;;'-. Wr 'A'.- ~~ ~ f~..- -- -~:;; --~-~,- - -1 v:- I

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PS(4,1,o)Nota: H - 0 = (V x MoT) / V2 + J1 V I H - Ponto do eixo central; V - resultante do torsor 't;

MoT - Momento na origem do torsor 't)

~o..l== -,(fu.lko 'leo3 I

-~

.

b) A trelica representada na figura esta integrada na estrutura de uma ponte rodoviaria e submetida ao

carregamento indicado, constitufdo par uma forca distribufda de 10kN/m.

p= IOkN/mI I I I I I I I I I I I j I I I I I j j j j j I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

. .1

~ 4.00 l 4.001 4.00 ~ 4.00 1 4.00 1 4.00 ~

~ . 24.00 I

Responda as seguintes quest6es justificando convenientemente e sem efectuar calculos:

i. A barra AH encontra-se traccionada ou comprimida?10 'l'2. = l.O \t..-J

~.£j.Ir~'o-{>-c.~JJ.. 0.. c.o..ft"Q.~ Aoc. ..e~k'""brro ~ "'°' A A .v A ~,--~ - -=F'-- -- -=F--'.- -- ..- .. o~ ~'.7 ~ h

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Z ~=o:, )2.0 -zo - N.A" ..4.lA..d = 0 tJ,..~

).);.~ = ~ =,1'1 VA= {O~\2=)'lo k.-J

$&IA.K

A ~(r1. .t.1A<Dv\-ttA-d( ~cc..OY'IAcJ.co ~::o

ii. Qual e a barra horizontal que se encontra mais comprimida? A l..tO\1oJ C

I~ ~N'o.S ,~ ~n~ :"'~or ..e~n~ k~~I1~~ ~~~~~fii ~c.f)Oo.'i J (~ ~ ~~ do ~~iD. CA4.t~ ~ ~~/f :.M'cJ~ t ~~(' j.-l

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~--CA..-, :a.:~~~--4:- S&. ~ I.J~.. ~ AJ,..",- " ~..~ = AJr~ »Nt'"1. 1:-- CA~""'~Q 7 S&.. ~-. ~.~- ,-.1--- AJ~:;

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iff. Considere 2 alturas alternativas para a trelica: h = 2m e h = 4m. Quais dos do is valores conduz aesforcos majores nas barras horizontais?

t f\ h~r/'Q. ~ori~~ \'4..c,.;..s (ow-

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Sandra Nunes Julho 2003 1/3

EXERCÍCIO 3

a)

i)O valor da tensão no cabo é máximo no ponto de maior inclinação e mínimo no ponto de menor

inclinação, ou seja, Tmin=TC e Tmáx=TD. Como a tangente ao cabo no ponto C é horizontal VC=0, logo

resta determinar o valor das reacções HC; VD e HD, representadas na figura seguinte.

C

D

Y

X

p=50 N/m

HC=T0

HD

VD

O equilíbrio do sistema de forças fica assegurado se forem satisfeitas as seguintes equações:

↑=

→=←=

⇒

=××+×−=×−

=−⇒

=

=

=

∑∑∑

)(750)(1125)(1125

05,71550501550

0

0

0

0

NVNHNH

HV

HH

m

F

F

D

D

C

C

D

CD

D

y

x

DpontonotracçãoNTeCpontonotracçãoNT máx );(13527501125),(1125 22min =+==

ii) A equação do cabo pode ser obtida a partir da seguinte equação diferencial:

lreferenciaorigemtg

TW

dxdy α+=

0

Assim, atendendo à posição do sistema de eixos obtém-se a seguinte equação para a forma do cabo,

2

112525)(0

112550 xxyx

dxdy

=⇒+=

Sandra Nunes Julho 2003 2/3

b) Estabelecendo o equilíbrio do nó C vem,

C HC 1125 N

NCBNCA

β

==

=−

=−

=

=

)(2250-)(6.2515

⇒043.63-043.63cos1125

⇒0

0º

º

∑∑

compressãokNNtracçãoNN

NsenNN

F

F

CB

CA

CBCA

CA

y

x

b)

i) Considerando um corte que intersecte as barras assinaladas e estabelecendo o equilíbrio da parte

da estrutura acima desse corte obtém-se,

1125 N1125 N

750 N750 N

N3N1 N2

I

↑−=

↑−=

=

⇒

=×+×=++

=

⇒

=

=

=

∑∑∑

)(750)(750

0

05.07505.001500

0

0

0

0

1

2

2

1

31

2

NNNN

N

NNN

N

m

F

F

I

y

x

iI) Analisando agora a parte da estrutura abaixo do corte considerado na alínea anterior, e aplicando-

lhe as forças de interacção com o resto da estrutura, é possível determinar o valor das reacções na

ligação da estrutura ao exterior representadas na figura seguinte.

Sandra Nunes Julho 2003 3/3

100 N

FE

G H

750 N 750 N

VFVE

HE

HG

III

O esquema estrutural resultante é uma viga Gerber, onde o corpo II apoia no corpo I através de duas

bielas paralelas, ou seja, com uma rótula virtual no infinito. O equilíbrio do sistema de forças pode ser

assegurado através do seguinte conjunto de equações,

↑=

↑=

→==

⇒

=−=×−×−×−×+×

=−+=−+

⇒

=

=

=

=

∑∑∑∑

+

+

+

)(750)(750)(100

0

075000.175.075025.17500.11002

015000100

0

0

0

0

NVNVNH

H

VHV

VVHH

F

m

F

F

F

E

G

E

F

GF

FE

GE

IIy

IIIE

IIIy

IIIx

Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

Exame de Época Normal – 04/07/2003

NOME: ___________________________________________________________________________

Não esqueça de escrever o

nome Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .

Nota: Poderão existir mais do que uma resposta verdadeiras ou nenhuma

5) (3 VAL.)

a)

F Num sistema tridimensional de forças paralelas, o número de equações independentes de equilíbrio estático é igual a cinco.

F Num sistema de forças plano com invariante vectorial não nulo, o eixo central tem a direcção perpendicular a esse plano e passa pelo ponto de momento nulo.

F O centroide de um sistema de vectores paralelos encontra-se inicialmente na posição (1,0,0). Se todos os vectores rodarem 45° segundo o eixo OZ no sentido directo (contrário aos ponteiros de um relógio), então o centroide passa para a posição ,0)22,22( .

b) Considere o sistema articulado representado na Fig. 5.1

10 kN

A B C D

E F G10 kN 10 kN

1.0 1.0 1.0 1.0 m 1.0 1.0

2.0

Fig. 5.1

F O sistema estrutural pode ser idealizado como um arco de três rótulas.

F O esforço axial nas barras CG e DG é igual a kN25 e é de tracção.

V A componente vertical da reacção em A é descendente e igual a 5 kN.

7/8

c) Considere os dois seguintes sistemas estruturais representados:

F1 F2

Fig. 5.2a

A B C D

1.0 1.0 1.0 1.0 m 1.0 1.0 1.0 1.0

E F 10√2kN10kN 10kN

45°

Fig. 5.2b

F O sistema estrutural representado na Fig. 5.2a é hipostático. F No sistema estrutural representado na Fig. 5.2b, as componentes horizontais das forças de

interacção nas rótulas C e D têm igual grandeza. V A reacção em F do sistema estrutural representado na Fig. 5.2b é igual a 2.5 kN com o sentido

ascendente.

d) Considere o sistema de vectores ilustrado na Fig. 5.3:

A

B

F1 F2 F3

O X

Y

F4

Fig. 5.3

V A resultante do sistema de forças [F2, F3] tem direcção OX. V A linha de acção da resultante do sistema de forças [F1, F2, F3] passa pelos pontos A e B. V Para o sistema de forças [F1, F2, F3, F4], o polígono de forças é fechado mas o polígono funicular é

aberto.

8/8

e) Considere o cabo representado na Fig. 5.4, cujo peso próprio é desprezável. A componente horizontal

de reacção no apoio B, HB, é de 16 kN e o desnível entre os apoios A e B é de 0.5m.

F1=20N

F2=30N

0.5m

1.0 1.0m 1.0

A

C D

B

HB=16N (→) (o desenho não obedece a nenhuma escala)

Fig. 5.4

V Tal como nas barras das treliças, na análise de cabos flexíveis considera-se que estes só têm

resistência axial. F As componentes verticais das reacções em A e B são, respectivamente, 20N e 30N. F O desnível entre os pontos A e D é de 1.0m.

f) O elemento quadrangular (10×20cm2) de peso igual a 20N encontra-se submetido a uma força horizontal

Q aplicada a 15cm da base do elemento. O coeficiente de atrito estático na superfície de contacto é de

fe=0.6 e o respectivo coeficiente de atrito cinético é de fc=0.45.

Coeficiente de atrito estático: fe = 0.6

Coeficiente de atrito cinético: fc = 0.45

P=20N

Q=10N

10cm

15 20cm

Fig. 5.5

F A força de atrito é normal à superfície de contacto. F O ângulo de atrito estático tem um valor entre 25° e 30°. V Nas condições da figura, o elemento quadrangular não se encontra em equilíbrio estático.