II

ตวนองเตรยมสอบโควตา ม.ขอนแกน “คณตศาสตร”

ผแตง ครนอย (นนทวน มนจตร)

จดพมพและจดจ าหนายโดย

โรงเรยนกวดวชาดแอค (The Act. School)

123/2 หม 8 ต.ศลา อ.เมอง จ.ขอนแกน 40000

โทรศพท 043-257-176

โทรสาร 043-378-096

พมพท โรงพมพมหาวทยาลยขอนแกน

ราคา 220 บาท

คณคร/บรรณารกษ ทตองการสงซอจ านวนมาก ตดตอพเศษไดท...

คณปย โทร 043-257-176 ตอ 11 (จ.-ส. 9.00-16.00น.), 081-545-0716

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตลขสทธ พ.ศ. 2537 โดยศนยประสานงานวชาการ ขอนแกน

(สถาบน The Act.) หามลอกเลยนแบบไมวาสวนใดสวนหนงของหนงสอเลมน ในรปแบบใดๆ

กตาม นอกจากจะไดรบอนญาตเปนลายลกษณอกษรจากผจดพมพเทานน

III

ค ำน ำ

หนงสอ ตวเขมเตรยมสอบวชาสามญ คณตศาสตร เลมนไดเขยนขนมาเพอใช

ประกอบการเรยนการสอนฟนฟเนอหาคณตศาสตรตามแนวของขอสอบวชาสามญ

คณตศาสตร เพอเปนคมอใหกบนองๆไดทบทวนเนอหาและฝกฝนโจทยเตรยมความพรอม

กอนลงสนามสอบไดอยางมนใจ

โดยเนอหาภายในเลมนประกอบไปดวย การวเคราะหขอสอบวชาสามญ คณตศาสตร

ยอนหลง 3 พ.ศ.ตงแตป 2554 – 2556 สรปสตร เนอหา ตวอยางขอสอบกวา 90 ตวอยาง

แบบทดสอบความพรอม 7 ชด และขอสอบเพมพลงสมองพรอมเฉลยละเอยดอก 60 ขอ ซง นองๆ

สามารถน าไปศกษา ฝกฝน และทดสอบความสามารถของตนเองไดอยางเตมทคะ

ครนอยหวงเปนอยางยงวา หนงสอ ตวเขมเตรยมสอบวชาสามญ คณตศาสตร เลมน

จะเปนประโยชนส าหรบนอง ๆ และเปนแนวทางใหนองๆสามารถสอบตดคณะทใชและ

มหาวทยาลยในฝนไดส าเรจนะคะ ครนอยขอเปนแรงใจใหกบนอง ๆ ทกคนนะคะ ส...ส...

คะ!!!

สดทายนครนอยขอขอบพระคณทกทานทมสวนชวยใหหนงสอหนงสอ ตวเขมเตรยม

สอบวชาสามญ คณตศาสตร เลมน ส าเรจลลวงไดดวยด หากมขอผดพลาดประการใดครนอย

ขอนอมรบไวเพอน าไปปรบปรงและพฒนาในโอกาสตอไปคะ และขออวยพรใหลกศษยทกคน

ประสบความส าเรจในการสอบทกสนามนะคะ

ดวยรกและหวงใยศษยรกทกคน

อ. นนทวน มนจตร

( ครนอย )

IV

สำรบญ

ค าน า หนา

วเคราะหขอสอบวชาสามญ คณตศาสตร ยอนหลง ป 2554 – 2556 1 สรปรายละเอยดเนอหาคณตศาสตรในแตละบททมกเจอในขอสอบ 2 – 3 บทท 1. เซต 4 – 11 บทท 2. ตรรกศาสตร 12 – 21 บทท 3. จ านวนจรงและทฤษฎจ านวน 22 – 27 บทท 4. เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย 28 – 34 บทท 5. ความสมพนธและฟงกชน 35 – 39 บทท 6. ฟงกชนตรโกณมต 40 – 46 บทท 7. ฟงกชนเอกโปแนนเชยลและลอการทม 47 – 54 บทท 8. เมตรกซ 55 – 63 บทท 9. จ านวนเชงซอน 64 – 69 บทท 10. เวกเตอร 3 มต 70 – 76 บทท 11. วธเรยงสบเปลยน จดหม และความนาจะเปน 77 – 83 บทท 12. สถต 84 – 94 บทท 13. ล าดบและอนกรม 95 – 103 บทท 14. แคลคลสเบองตน 104 – 112 แบบทดสอบความพรอม ชดท 1 พรอมเฉลย 113 – 121 แบบทดสอบความพรอม ชดท 2 พรอมเฉลย 122 – 130 แบบทดสอบความพรอม ชดท 3 พรอมเฉลย 131 – 139 แบบทดสอบความพรอม ชดท 4 พรอมเฉลย 140 – 148 แบบทดสอบความพรอม ชดท 5 พรอมเฉลย 149 – 157 แบบทดสอบความพรอม ชดท 6 พรอมเฉลย 158 – 166 แบบทดสอบความพรอม ชดท 7 พรอมเฉลย 167 – 175 ขอสอบเพมพลงสมอง 60 ขอ พรอมเฉลยละเอยด 176 – 220

ตารางวเคราะหขอสอบคณต 7 วชาสามญ ( ป 2554 – 2556 )

เนอหา จ านวนขอ จ านวนขอ จ านวนขอ 1. เซต 0 0 0 2. ตรรกศาสตร 0 0 0 3. ความสมพนธและฟงกชน 0 0 0 4. จ านวนจรงและทฤษฎจ านวน 4 3 5 5. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม 3 4 3 6. เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย 3 1 1 7. ฟงกชนตรโกณมต 2 2 2 8. เมตรกซ 4 3 4 9. เวกเตอร 2 2 2 10. จ านวนเชงซอน 1 2 2 11. ล าดบและอนกรม 2 3 3 12. วธเรยงสบเปลยน การจดหม และความนาจะเปน 2 2 1 13. สถต 3 3 4 14. แคลคลสเบองตน 4 5 3

รวม 30 30 30

จ านวน 30 ขอ มทงอตนยและปรนยคะแนนเตม 100 คะแนน เวลาสอบ 90 นาท เนอหาทออกสอบ

1. ความรพนฐาน ( เซต การด าเนนการของเซต ตรรกศาสตรเบองตน ความสมพนธและฟงกชน )

2. ระบบจ านวน 3. เรขาคณต 4. พชคณต 5. ความนาจะเปนและสถต 6. แคลคลส 7. ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

1

ครนอยจะสรปรายละเอยดเนอหาในแตละบททมกเจอในขอสอบเพอนองสามารถเตรยมตวไดงายขนดงน 1) เซต มกออกเกยวกบ เซตวาง สบเซต และเพาเวอรเซต จ านวนสมาชก การกระท าของเซต และโจทยปญหาซงสามารถใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรมาชวยแกได 2) ตรรกศาสตร มกออกเกยวกบการหาคาความจรง สมมล สจนรนดร นเสธ ตวบงปรมาณและการอางเหตผล 3) จ านวนจรงและทฤษฎจ านวน มกออกเกยวกบการแกสมการและอสมการ ทงในรปตวประกอบ เศษสวนและคาสมบรณ ทฤษฎเศษเหลอ การหารลงตว ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 4) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย มกออกเกยวกบองคประกอบของกราฟรปตางๆ มทงเสนตรง วงกลม วงร ไฮเพอรโบลาและพาราโบลา และน ารปมาผสมกน วงกลมมกออกรวมกบเสนตรงการหาจดตดแกระบบสมการ วงรมกออกคกนกบพาราลาหรอไมกไฮเพอรโบลา คาความเยองศนยกลางของวงร สมการเสนก ากบกราฟของไฮเพอรโบลา ความสมพนธของคา a , b และ c ซงจะแตกตางกนระหวางวงร กบไฮเพอรโบลา จ านวนขอสอบจะออกบทนเยอะพอสมควรเลยทเดยว 5) ความสมพนธและฟงกชน มกออกเกยวกบการหาคาโดเมนและเรนจ ฟงกชนผกผน ฟงกชนคอมโพสท และพชคณตของฟงกชน 6) ฟงกชนตรโกณมต มกออกเกยวกบการใชสตรมมประกอบ มมสองเทา มกเปนการจดรปหรอหาคา พวก arc การแกสมการ และการแกสามเหลยมโดยใชกฎของไซน และกฎของโคไซน การหาพนทรปสามเหลยม 7) ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม มกออกเกยวกบ การหาคาซงตองใชสมบตของเลขยกก าลงและสมบตตางๆของลอการทมมาใช การแกสมการลอการทมและอสมการลอการทมซงตองระวงในเรองการเปนฟงกชนเพม ฟงกชนลด และอยาลมตรวจค าตอบทกครงเพราะขอสอบมกอาศยจดนในการออกขอสอบ 8) เมตรกซ มกออกเกยวกบ สมบตของดเทอมนนต และอนเวอรสของเมตรกซ มกออกตงแตมต 3 x 3 เปนตนไป คาดเทอมนนตของเมตรกซผกผน ( adj A ) และการแกระบบสมการเชงเสนโดยกฎของคราเมอร 9) จ านวนเชงซอน มกออกเกยวกบ คาสมบรณของจ านวนเชงซอน การจดจ านวนเชงซอนในรปเชงขว ยกก าลง การแกสมการพหนาม ความสมพนธระหวางรากของสมการในรปผลบวกและผลคณของราก 10) เวกเตอร 3 มต มกออกเกยวกบเวกเตอรในระนาบทงสองและสามมต ผลคณเชงสเกลารและ

ผลคณเชงเวกเตอร การน าไปใชในเรองการหาพนทของรปเรขาคณต รปสเหลยมดานขนาน รป

สามเหลยม และปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน

2

11) วธเรยงสบเปลยน การจดหม และความนาจะเปน มกออกเกยวกบการจดเรยงจ านวน คน

และสงของแบบทตดกนและไมตดกนเรยงในแนวเสนตรงและวงกลม การหยบสงของทงแบบหยบ

พรอมกน หยบทละครงใสคน และหยบทละครงไมใสคน ทฤษฎความนาจะเปน และในบางครงกม

ทฤษฎบททวนามบาง

12) สถต เปนบททออกคอนขางเยอะ มกออกเกยวกบคากลางแทบทกตว ต าแหนงของขอมล การ

วดการกระจายของขอมลทงสมบรณและสมพทธ การแจกแจงปกตมทกปไมเคยพลาดและการ

วเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนทมกออกเปนเสนตรงซงตองไปหาสมการปกตมาท านาย

13) ล าดบและอนกรม มกออกเกยวกบพจนทวไปของล าดบเลขคณต ล าดบเรขาคณต ผลบวก n

พจนแรกของล าดบเลขคณตและเรขาคณต

14) แคลคลสเบองตน บทนออกเยอะพอสมควรเลยทเดยวตงแตเรองลมตและความตอเนอง

โจทยประยกตอนพนธและการหาพนทใตเสนโคงจงควรหมนฝกฝนเยอะๆเลยคะและใชเปน

พนฐานในการเรยนแคลคลสในระดบมหาวทยาลยดวยนะคะ

เมอพอทราบแลวแนวขอสอบวาออกเนนเรองบางคราวนกถงเวลาเรยกความรทมอยออกมาใชใหไดมากทสดโดยการหมนฝกฝนและเรยนรการท าโจทยเพอใหเกดทกษะความช านาญมากทสดใหพรอมในหารลงสนามสอบจรง มองหาจดเดนและจดดอยในตวเองใหออกวาเรามความชอบและถนดในเรองใดและไมถนดในเรองใดเรองทถนดกหาโจทยมาท าใหมากจนเกดความมนใจเรองทไมถนดกเรยนรและฝกฝนจนสามารถท าไดเพยงเทานกจะสามารถพชตขอสอบ 9 สามญไดไมยาก ส าคญทตองมวนย มงมน ขยน อดทน อยางสม าเสมอนะคะแลวความส าเรจกจะตามมาเองคะ ฟงดเหมอนงายเลยนะคะ....แตท ายากมากคะ...( 5555 ใจตองสนะทองไววาเราอยากตด คณะ และมหาวทยาลยไหน )

ครนอยมแนวขอสอบและโจทยมากมายรวมถงวธพชตขอสอบคณตศาสตร และเคลดวชานางฟา มามอบใหนอง ๆ ไดเรยนรกนมากมายเลยคะ ทส าคญนองๆจะสามารถน าความรทไดเรยนมาไปพชตขอสอบคณตศาสตรไดอยางมนใจแนนอนคะครนอยรบรองขอแคตงใจเรยนและหมนฝกฝนอยางตอเนองนะคะ

ดวยรกและหวงใยนองๆทกคน

ครนอย

3

บทท 1. เซต

ความหมายของเซต ในวชาคณตศาสตร ใชค าวาเซตในการกลาวถงกลมของสงตางๆ ซง เมอกลาวถงกลมของสงใดแลวจะตองสามารถระบไดอยางชดเจนแนนอนวาสงใดอยในเซตและสงใดไมอยในเซต สงทอยในเซตเรยกวา สมาชก (element) ของเซต ใชสญลกษณ a A แทน a เปนสมาชกของเซต A และ a A แทน a ไมเปนสมาชกของเซต A

เซตวาง หมายถงเซตทไมมสมาชกเลยใชสญลกษณ หรอ { } แทนเซตวาง เซตจ ากดและเซตอนนต เซตทมจ านวนสมาชกเทากบ 0 หรอจ านวนเตมบวกใดๆ เรยกวาเซตจ ำกด และเซตทไมใชเซตจ ากดเรยกวาเซตอนนต ในกรณท A เปนเซตจ ากดจะใชสญลกษณ n(A) แทนจ านวนสมาชกของ A

ขอตกลง เพอความสะดวกในการเขยนเซตของจ านวนจะก าหนดสญลกษณดงน R = เซตของจ านวนจรง N = เซตของจ านวนนบ I = เซตของจ านวนเตม Q = เซตของจ านวนตรรกยะ I = เซตของจ านวนเตมบวก Q+ = เซตของจ านวนตรรกยะบวก

I = เซตของจ านวนเตมลบ Q = เซตของจ านวนตรรกยะลบ สบเซต (subset) นยาม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอสมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B ใช

สญลกษณ A B แทน A เปนสบเซตของ B และ A B แทน A ไมเปนสบเซตของ B เซตทเทากน ( Equal set or Indentical set ) นยาม เซต A เทากบเซต B กตอเมอ A B และ B A ใชสญลกษณ A = B ในกรณท A B และ A B จะกลาววา A เปนสบเซตแท (Proper subset) ของ B แตถา A = B จะกลาววา A เปนสบเซตไมแท (Improper subset) ของ B

เพาเวอรเซต ( Power set )

นยาม ให A เปนเซต เพาเวอรเซตของ A หมายถง {x x A }

ใชสญลกษณ P(A) แทนเพาเวอรเซตของ A

ขอสรปเพาเวอรเซต ก าหนด A เปนเซตใดๆ จะไดวา

1. P(A) และ {} P(A)

2. A P(A) และ { A } P(A)

3. ถา n(A) = m ตวแลว n(P(A)) = 2m

4. ถา n(A) = m ตวแลว n(P(P(A))) =

4

แผนภาพเวนน ออยเลอร คอ การเขยนเซตในรปปดทมพนทจ ากด ซงมลกษณะดงน 1) A และ B ไมมสมาชกรวมกน 2) A และ B มสมาชกรวมกน

3) A B และ A B 4) A B แต A = B

จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด ท าได 2 วธ คอ 1. โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร 2. โดยใชสตร ดงน ก าหนดให U เปนเอกภพสมพทธ A,B และ C เปนเซตจ ากด ซงตางกเปนสบเซตของ U 2.1 ถา A B = แลว nA B = nA + nB 2.2 ถา A B แลว nA B = nA + nB – nA B 2.3 ถา A , B และ C เปนเซตจ ากดใด ๆ nA B C = nA + nB + nC - n A B - nA C - nB C + nA B C

ตวอยางเพมความเชยวชาญ

ตวอยางท 1 ก าหนด A และ B เปนเซตใด ๆ ถา A – B = 1,3 , A B = 1,2,3,4 และ

A B = แลว P(B – A) คอขอใด ( ขอ 2 ) 1. , 1 , 3 , 1 , 3 2. , 2 , 4 , 2 , 4 3. , 1 , 4 , 1 , 4 4. , 2 , 3 , 2 , 3

A B

U A B

U

A, B

U

A B

U

5

ตวอยางท 2 ให A = x x เปนจ านวนเตมและ -6 x2 + 5x 14 จงหา n(P(A)) ( ขอ 2 ) 1. 16 2. 64 3. 256 4. 1024 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตวอยางท 3 ให A , B เปนเซต ซง n( A ) = a , n ( B ) = b ถา n[( A – B) U (B – A )] = 7 และ

n (A x B) = 40 แลว n( { C C A U B และ n(C) 2 } เทากบเทาใด ( ขอ 2 ) 1. 46 2. 56 3. 44 4. 54 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………………………

6

ตวอยางท 4 ก าหนดเอกภพสมพนธ U = { 1, 2, 3, 4,…, 10 } ถา A = { 1, 2, 5, 6, 9, 10 } และ

B = { 2, 4, 6, 8, 10 } แลวสมาชกของเพาเวอรเซตของ [ ( A B/ ) U B ] / มจ านวนเทากบขอใด ( ขอ 2 ) 1. 2 2. 4 3. 8 4. 16 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตวอยางท 5 จากการส ารวจนกเรยนหองหนงพบวา ก) ม 40 คน ทเลอกเรยนวชาภาษาองกฤษหรอคณตศาสตร ข) ถาเลอกเรยนวชาคณตศาสตรแลวตองไมเลอกเรยนวชาภาษาองกฤษ ค) ม 30 คน ทไมเลอกเรยนวชาคณตศาสตร ง) ม 34 คน ทไมเลอกเรยนวชาภาษาองกฤษ จ านวนนกเรยนทงหมดในหองนเทากบขอใดตอไปน ( ขอ 5 ) 1. 48 คน 2. 49 คน 3. 50 คน 4. 51 คน 5. 52 คน ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7

ตวอยางขางตน เปนสวนหนงของหนงสอเลมนเทานน

หากสนใจเนอหา และตองการเปนเจาของหนงสอเลมน

สามารถสงซอออนไลนไดท www.theactkk.net

หรอ

โทรศพทสงซอไดท สถาบน The Act. โทร. 043-257-176

โดยแจงชอทอยทชดเจน แลวโอนเงนเขาบญชของทางสถาบน ภายใน 3 วน

สถาบนจะจดสงหนงสอทางพสดไปรษณยถงมอภายใน 5 วน

นบจากวนทไดรบเงน

ขอควรทราบกอนการสงซอ

สงซอหนงสอจ านวนเงนรวมกนตงแต 500 บาทขนไป ฟรคาจดสงลงทะเบยนทาง

ไปรษณย มลคา 60 บาท

นองสามารถรวมรายการสงซอกบเพอนๆ แลวสงซอในคราวเดยวกน จะท าให

ประหยดคาสง และคาธรรมเนยมโอนเงนผานธนาคาร อยางนอย 60+25=85 บาท

ส าหรบสมาชก The Act. สงซอหนงสอจ านวนเงนรวมตงแต 1,500 บาทขนไป จะ

ไดรบสวนลด 5-15 %

ผชนะ คอ ผทมเทคนคในการเรยนรและเตรยมตวทดกวาเสมอ เรามนใจวานองกคอ หนงในผชนะนน

เคลดลบแหงความส าเรจ “การรเขา รเรา รบรอยครง ชนะรอยครง”

“การรเขา” คอ การทนองไดรจกขอสอบจรง รยอนหลงหลายๆ ปทผานมา รความยากงาย สดสวน

น าหนกการออกขอสอบแตละบทเรยน อนจะน ามาซงการวางแผนเตรยมตวสอบทด

เยยม

“รเรา” คอ ใหนองท าขอสอบ จบเวลาตามก าหนด แลวถงมาดเฉลย จะเปนการเตรยมความพรอม

ทด ไดรจดออนของตน วาตองขยนอานและท าความเขาใจมากขนตรงจดไหน รจดแขงท

ตนท าไดดทตองรใหลก รใหจรง