ii 10 1 deplacements
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8/17/2019 II 10 1 Deplacements
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II - 10Calculs des déplacements
[email protected] 5 décembre 2011
II – 10 - 1 - 2Calculs des déplacements
Calcul des déplacements Motivation Déformée due à la flexion
– équation différentielle et CL – intégration directe – intégrales de Mohr
Effet de l’effort tranchant Introduction aux systèmes hyperstatiques
– [Frey, T. II, Chap. 10 & 12]
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8/17/2019 II 10 1 Deplacements
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II – 10 - 1 - 3Calculs des déplacements
Calcul des déplacements Motivation
– États Limites de Service (ELS)• limiter la déformabilité (les déplacements) des
structures• souvent, critère plus exigeant que celui de résistance
– Structures hyperstatiques• détermination des inconnues hyperstatiques
II – 10 - 1 - 4Calculs des déplacements
Déformée due à la flexion flexion simple plane axe initialement rectiligne, actions
perpendiculaires petits déplacements (linéarisation
géométrique) effets de M et de T dissociés on cherche l’équation de la déformée de l’axe
= ligne élastique
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II – 10 - 1 - 5Calculs des déplacements
z y EI
M
R−=
1
( )"
'1
"1
23
2
y
y
y
R y≈
+=
Ligne élastique On a :
Or,
(***)
linéarisationgéométrique
EI
M y −="
II – 10 - 1 - 6Calculs des déplacements
Démonstration alternative Petits déplacements, petites rotations
ds
d
R
Rd ds
θ
θ
=
=
1
[Frey, 2000, Vol. 2]dxds petit ≈⇒≈⇒ 1cosθ θ
dx
dycar
dx
yd
dx
d
R==≈ θ
θ 2
21
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II – 10 - 1 - 7Calculs des déplacements
Allongement des poutres fléchies
cos
0
dx u du u ds
u dx
du
θ + + = +
≈ +
⇓
≈
en petits déplacements,la portée d’une poutre fléchie ne varie pas[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 10 - 1 - 8Calculs des déplacements
Équations différentielles des poutres fléchies
( )
( )
"
" '
" "
EIy M
dM EIy T car T
dx
dT EIy q car q
dx
= −
= − =
= = −
( )
EI
qy 4 =
Cas particulier : EI constant
équation différentielledu 4ème ordre
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II – 10 - 1 - 9Calculs des déplacements
Conditions aux limites conditions sur y
– flèche imposée (appuis)
conditions sur y′ – rotation imposée (encastrement)
conditions sur y″ – moment fléchissant imposé (extrémité libre)
conditions sur y ′ ″
– effort tranchant imposé (extrémité libre)
II – 10 - 1 - 10Calculs des déplacements
Conditions aux limites
00
00
=′′′⇒=
=′′⇒=
yT
y M
00
0
=′′⇒=
=
y M
y
000
=′⇒== y yθ
d g
d g
y y
y y
′=′
=
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II – 10 - 1 - 11Calculs des déplacements
Intégration directe
[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 10 - 1 - 12Calculs des déplacements
Intégration directe
[Frey, 2000, Vol. 2]
-
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II – 10 - 1 - 13Calculs des déplacements
Intégration directe
avantage
– on trouve y(x) en tout point
inconvénient
– en général, on cherche y et θ en quelques points
– → trouver une méthode de calcul plus adaptée
II – 10 - 1 - 14Calculs des déplacements
Remarques (1) cas de la flexion pure
– M = cste ⇒ y″= cste ⇒ y est une parabole – 1/R=-M/EI ⇒ y est un cercle – l’approximation vient de
– valable uniquement si les déplacements sontpetits
( )"
'1
"1
23
2
y y
y
R y≈
+=
-
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II – 10 - 1 - 15Calculs des déplacements
Remarques (2) grands déplacements
– le principe de superposition n’est plus valable – les sollicitations dépendent de la configuration
déformée
II – 10 - 1 - 16Calculs des déplacements
Théorèmes des travaux virtuels T.V. : forces réelles - déplacements virtuels
T.V. : forces virtuelles - déplacements réels
( )i
V ijij
S i
n
iV
ii udV adS uT dV u f '''' ∀=+ ∫∫∫ τ
( )
( ) équilibreenT f
dV adS uT dV u f
ij
n
ii
V ijij
S i
n
iV
ii
',','
'''
τ
τ
∀
=+ ∫∫∫
-
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II – 10 - 1 - 17Calculs des déplacements
Intégrales de Mohr choisir les forces et les contraintes virtuelles
en équilibre en plaçant une force unitaire dansle sens du déplacement cherché
δ = déplacement cherché
( ) δ 1'' ∫∫ =+ S in
iV
ii dS uT dV u f
II – 10 - 1 - 18Calculs des déplacements
Contribution de M
( )
dx EI
MM
dxdA y EI
MM
dV EI
My
I
y M dV a
L
A L
V V
ijij
∫
∫∫
∫∫
=
=
=
'
'
''
2
2
τ
-
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II – 10 - 1 - 19Calculs des déplacements
Contribution de N
( )
dx EA
NN
dxdA EA
NN
dV EA
N
A
N dV a
L
A L
V V
ijij
∫
∫∫
∫∫
=
=
=
'
'
''
2
τ
II – 10 - 1 - 20Calculs des déplacements
Contribution de T
dxGA
TT
dxdAb
S
I
A
GA
TT
dV GIb
TS
Ib
S T dV a
L
A L
V V
ijij
∫
∫∫
∫∫
=
=
=
'
'
''
2
2
2
χ
τ χ= facteur de correction
-
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II – 10 - 1 - 21Calculs des déplacements
Intégrale de Mohr
dxGA
TT
EA
NN
EI
MM
L
∫
++=
''' χ δ
moment fléchissantdû aux actions réelles
moment fléchissant dû à une forceunitaire placée au point où l’oncherche le déplacement dans ladirection et le sens de celui-ci
En général,
dx EI
MM
L∫
=
'δ
Calculs pratiques
dx M M L
L
∫ ′′′1
Tableau de
-
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A
Aflèche en A
EI8qLL
2qL
41
EIL
42
==δ
M
2
qL2
M ′L
Exemple 1a:
déplacement
II – 10 - 1 - 24Calculs des déplacements
Exemple 1b : rotation
rotation en A
EI
qLqL
EI
L
6123
1 32
==θ
AM
2
qL2
M ′1
-
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II – 10 - 1 - 25Calculs des déplacements
Exemple 2
EI
qL
384
5
4
L
8
qL
34
1
2
11
EI
Ly
42
max =−+
=
[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 10 - 1 - 26Calculs des déplacements
Effets thermiques élévation uniforme de température
– ∆T = Taprès - Tavant gradient thermique (constant)
– ∆T´/h
T x ∆=α ε
yh
T x
′∆=α ε
∆T
−∆T′ /2
∆T′ /2
h/2
h/2
-
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II – 10 - 1 - 27Calculs des déplacements
Effets thermiques contribution du gradient thermique
contribution de l’élévation uniforme
dx M h
T
dV yh
T
I
y M dV a
L
V V
ijij
∫
∫∫
′∆=
′∆=
'
''
α
α τ
dxTN
dV T A
N dV a
L
V V
ijij
∫
∫∫
∆=
∆=
'
''
α
α τ
II – 10 - 1 - 28Calculs des déplacements
Intégrale de Mohr
dx N T dx M
h
T
dxGA
TT dx
EA
NN dx
EI
MM
L L
L L L
''
'''
∫∫
∫∫∫
∆+′∆
+
++=
α α
χ δ
-
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II – 10 - 1 - 29Calculs des déplacements
Effet de l’effort tranchant
GB
TGA
T
=
= χ γ
χ AB =
aire réduite [Frey, 2000, Vol. 2]
II – 10 - 1 - 30Calculs des déplacements
La contribution additionnelle due à T estdonnée par
La ligne élastique est solution de
dx
dT
GAy
GA
Ty χ =′′⇒=′
Effet de T : équation différentielle
GA
q
EI
M
y χ −−=′′
-
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II – 10 - 1 - 31Calculs des déplacements
poutre isostatique sur 2 appuis, charge quniforme
section rectangulaire en acier
+=+=
==
2
24
TM
2
T
4
M
L
h5,21
EI
qL
384
5yyy
qGA8
Ly;
EI
qL
384
5y χ
Effet de T : exemple
12h
AI;
56 2== χ 6,2G
E;3,0 ==υ
↑↑⇒≈⇒=y
y
L
h%5,2
y
y
10
1:
L
h TT
II – 10 - 1 - 32Calculs des déplacements
Effet de T : aires réduites
[Frey, 2000, Vol. 2]
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8/17/2019 II 10 1 Deplacements
17/17
II – 10 - 1 - 33Calculs des déplacements
Gauchissement entravé résultats valables si la poutre est libre de
gauchir OK si T varie continûment
[Frey, 2000, Vol. 2]
II – 10 - 1 - 34Calculs des déplacements
Intro aux systèmes hyperstatiques illustration sur un système 1x hyperstatique
(a) ≡ (b) (b) = superposition charge répartie + réaction
3
4 2 A
L qL
EI
δ =flèche due à q
2
3 A A
L X L
EI δ = −flèche due à XA 8
qL3XA =
[Frey, 2000, Vol. 2]