homotecia

Tema 4TransformacionesTransformacionesTransformacionesTransformaciones

geométricas.geométricas.geométricas.geométricas.

Dibujo Técnico I página 46Bloque 1 Trazados geométricos planos Tema 4 Transformaciones geométricas.

Transformaciones geométricas

Definiciones

Transformación: Correspondencia entrefiguras que sigue una determinada leygeométrica.

Transformación unívoca: Transformación enla que a cada elemento de una figura lecorresponde un y sólo un elemento de sutransformada.

Transformación biunívoca: Transformaciónen la que a cada elemento de una figura lecorresponde un y sólo un elemento de lafigura transformada y, a ésta uno y sólo unode la figura original.

Elemento doble: Elemento que secorresponde consigo mismo en unatransformación.

Elementos homólogos: Elementos que secorresponden en una transformación.

Transformación involutiva: Transformaciónen la que los elementos homólogos secorresponden doblemente. En este caso los elementos homólogos recibenel nombre de par de elementos conjugados.

El giro no es una transformación involutiva, la simetría axial sílo es.

En el estudio de las transformacionesgeométricas se consideran las características(propiedades) que se conserven en latransformación:

Características geométricasMétricas Distancia, ángulo, superficie,

paralelismo, ...

Proyectivas

Alineación de puntos,concurrencia de rectas,pertenencia, ...

Transformaciones directas: Conservan elorden de los elementos (figuras con-

gruentes).7

Transformaciones inversas: No conservanel orden de los elementos (figuras nocongruentes).

7 Figuras congruentes: Dos figuras son congruentes si soniguales y tienen los elementos correspondientesdispuestos en el mismo orden.


Clasificación

Transformaciones métricas

Isométricas

TraslaciónGiro

Simetríacentral /directaaxial / inversa

IsomórficasHomoteciaSemejanza

Transformaciones proyectivas

Homografías Homología Afinidad

CorrelaciónInversiónPolaridad

Transformaciones métricas

Traslación

Transformación que define una correspon-dencia entre pares de puntos homólogos talque, éstos, se corresponden según un vector,es decir, según una dirección, un sentido yuna distancia determinadas.

El producto de traslaciones es igual a otratraslación.

Giro.

Transformación que define una correspon-dencia entre pares de puntos homólogos talque, éstos, son equidistantes de un punto fijo(centro de giro) y definen un ángulo constante(ángulo de giro) con el centro de giro.

El producto de giros es igual a otro giro.

Determinación del centro de giro.

Siempre se puede definir un giro que hagacorresponder dos segmentos de igual mediday diferente dirección.

La intersección de les mediatrices de lossegmentos definidos por cada par de puntoshomólogos (AA' y BB') es el centro de giro.


Simetría directa (central)

Transformación que define una correspon-dencia entre pares de puntos homólogos talque, éstos, están alineados y equidistantesrespecto de un punto fijo (centro de simetría).

La simetría central es equivalente a ungiro de 180°.

El producto de simetrías centrales esigual a otra simetría central, si el número desimetrías es impar, o a una traslación, si elnúmero de simetrías es par.

Simetría inversa (axial)

Transformación que define una correspon-dencia entre pares de puntos homólogos talque, éstos, son equidistantes respecto de una

recta fija (eje de simetría) y están alineadoscon un mismo punto de ella .

El producto de simetrías axiales es igualal producto de un giro por una simetría axial,si el número de simetrías es impar, o a ungiro, si el número de simetrías es par.

Cuando los ejes son paralelos, el productode simetrías será igual a una simetría axial enel primer caso y a una traslación en elsegundo.


Homotecia

Transformación que define una correspon-dencia entre pares de puntos homólogos talque: el cociente de las respectivas distanciashasta un punto fijo (centro de homotecia), conel cual están alineados, es igual a un valorconstante (razón de homotecia):

OA'

OA=

OB'

OB=

OC '

OC=K⇒

A ' B '

AB=

B ' C '

BC=

C ' A '

CA=K

Las homotecias pueden ser positivas onegativas.

• Homotecia positiva : cuando los puntoshomólogos están situados en el mismosector del plano respecto del centro dehomotecia.

• Homotecia negativa : cuando el centro dehomotecia está situado entre los puntoshomólogos.

El producto de homotecias es otrahomotecia de signo positivo o negativo segúnel número de homotecias negativas queintervengan; si el número de homoteciasnegativas es par el signo será positivo, si esimpar será negativo. El valor de la razón dehomotecia resultante será igual al producto delas razones de las homotecias respectivas.

Homotecia entre circunferencias

Todas las circunferencias son homólogassegún dos homotecias, una positiva y unanegativa.

Los centros de homotecia entre doscircunferencias coinciden con los puntos deintersección de sus rectas tangentescomunes.

Los centros de homotecia de tres circun-ferencias están alineados:

Los centros de las homotecias positivasestán alineados en la misma recta.

Los centros de las homotecias negativasestán alineados, de dos en dos, con elcentro de homotecia positiva del tercerpar.


Circunferencias tangentes

l centro de homotecia de dos circun-ferencias tangentes es el punto de tangenciacorrespondiente. Si son tangentes exterioresse corresponderán según una homotecianegativa, si son tangentes interiores secorresponderán según una homoteciapositiva.

Semejanza.

En general, todo producto de transforma-ciones que no dé como resultado cualquierade las anteriores transformaciones.

Como caso particular, el producto de ungiro y una homotecia puede ser resueltodesde un único punto (centro de giro y dehomotecia a la vez) que recibe el nombre decentro de semejanza.

Determinación del centro de semejanza

1. Se prolongan un par de segmentoshomólogos hasta encontrar su intersección(punto P).

2. La intersección de las circunferenciasdefinidas por el punto P y por cada par depuntos homólogos, AA' y BB', es el centro desemejanza.


Transformaciones métricas en el espaciotridimensional.

Las transformaciones métricas se definen demanera análoga en el plano y en el espaciotridimensional, aunque presentan algunasdiferencias. Por ejemplo, el giro se define respectode un eje (eje de giro) y no respecto de un punto(centro de giro).

Otra transformación que presenta algunasvariantes cuando se plantea en el espaciotridimensional es la simetría. En este caso, sonposibles tres tipos de simetría:

1. Simetría central (inversa).2. Simetría axial (directa).3. Simetría respecto de un plano (inversa).


Ejercicio 4.1 Traslación


Ejercicio 4.2 Giro


Ejercicio 4.3 Simetría


Ejercicio 4.4 Homotecia

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