geometrijske karakteristike poprečnog preseka - vts.edu.rs · 10/24/2009 3 statički moment...
TRANSCRIPT
10/24/2009
1
Otpornost materijala
Geometrijske karakteristike
poprečnog preseka
Geometrijske karakteristike
poprečnog preseka
Površina poprečnog preseka
Statički moment poprečnog preseka
Momenti inercije poprečnog preseka
Otpornost materijala
10/24/2009
2
Površina poprečnog preseka
x
y
C
A
CkCn-1
Cn
C3
C1
C2 C5
A1
A3
An
A2
1
2
n
3
nnn yxCyxCyxCyxC ;...;;; 331221111
nAAAA ...,,, 321
Otpornost materijala
Površina poprečnog preseka
n
n
i
i AAAAAA
...321
1
2LDimenzija Jedinica 2m
A
dAA
Otpornost materijala
10/24/2009
3
Statički moment površine za osu
dAx
x
y
yr
A A
x ydAS
A
y xdAS
3LDimenzija Jedinica 3m
Otpornost materijala
Statički moment
Za složenu površinu koja se sastoji od više prostih površina, statički moment za neku osu jednak je zbiru statičkih momenata pojedinih prostih površina u odnosu na istu osu
n
i
iinn
nA
x yAyAyAyAydAydAydAydAydAS1
2211
321
......
n
i
iinn
nA
y xAxAxAxAxdAxdAxdAxdAxdAS1
2211
321
......
Otpornost materijala
10/24/2009
4
Koordinate težišta
dAx
x
y
y
r
xC
yC
C
A
Po Varinjonovoj teoremi:
(moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata)
A
S
dA
xdA
xy
A
AC
A
S
dA
ydA
y x
A
AC
Otpornost materijala
Primer :6
22
R2
x
y
Otpornost materijala
10/24/2009
5
Brojni primer:
0;85.028,6
67.0;226
1;312
13
2
11
CA
CA
CA
C3
C1
C2
x
y
1
0.6
7
2
3
2
6
R2
4
Otpornost materijala
Brojni primer:
2
31 28,2428.66122
cmAAAA
3
333
3
222
3
111
0028.6
02.4)67.0(6
12112
cmyAS
cmyAS
cmyAS
x
x
x
3
333
3
222
3
111
34.5)85.0(28.6
1226
36312
cmxAS
cmxAS
cmxAS
y
y
y
3
321 98.7002.412 cmSSSS xxxx
3
321 66.4234.51236 cmSSSS yyyy
Otpornost materijala
10/24/2009
6
Brojni primer:
cmA
Sx
y
C 75.128.24
66.42
cmA
Sy x
C 32.028.24
98.7
C3
C1
C
C2x
y
x
h
Otpornost materijala
Karakteristike statičkih
momenata poprečnog preseka
Za osu simetrije statički moment površine jednak je nuli jer ova osa prolazi kroz težište.
Ako površina ima dve ose simetrije ili više takvih osa, težište se nalazi u presečnoj tački tih osa
Kososimetrične površine imaju težište u tački kose ose simetrije
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli
Otpornost materijala
10/24/2009
7
Momenti inercije ravnih povšina
Aksijalni moment inercije
Centrifugalni moment inercije
Polarni moment inercije
dAxIdAyIA
y
A
x
22
dAxyIA
xy
dArIA
o
2
Otpornost materijala
Aksijalni moment inercije
dAx
x
y
y
r
A
O
A
x dAyI 2
A
y dAxI 2
Aksijalni moment inercije površine predstavlja zbir proizvoda
svih elementarnih površina i kvadrata njihovih rastojanja od
odgovarajuće ose u ravni te površine
4LDimenzija Jedinica 4m
Otpornost materijala
10/24/2009
8
Centrifugalni moment inercije
dAx
x
y
y
rA
O
A
yx dAyxI
Centrifugalni moment površine predstavlja zbir proizvoda
svih elementarnih površina i oba njihova rastojanja od osa
u ravni te površine
4LDimenzija Jedinica 4m
Otpornost materijala
Polarni moment inercije
dAx
x
y
y
r
A
O
A
O dArI 2
Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te
površine predstavlja proizvod svih elementarnih površina i
kvadrata njihovih rastojanja od tog pola
yx
AAA
O IIdAydAxdAyxI 2222
222 yxr
4LDimenzija Jedinica 4m
Otpornost materijala
10/24/2009
9
Karakteristike momenata inercije
Aksijalni i polarni moment inercije su uvek
pozitivni
Centrifugalni moment inercije može biti veći,
manji ili jednak nuli
Svaka površina ima bar jedan par osa za koje je
centrifugalni moment inercije jednak nuli
Otpornost materijala
Znak polarnog momenta inercije
x
y
I >0xy
x
y
I <0xy
x
y
I <0xy
I >0xy
I >0xy
I <0xy
Otpornost materijala
10/24/2009
10
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Moment inercije za ose
težišne xOhdAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+ x
y=b+ h
A
dAI 2hx
A
dAI 2xh
A
dAI xhxh
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
U izrazima za
momente inercije
za X i Y osu
vrednosti
koordinata x i y
zamenjujemo
vrednostima,
prema slici
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+ x
y=b+ h
hx byax
Otpornost materijala
10/24/2009
11
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)hby
AA
x dAbdAyI22 h
AAA
x dAbdAbdAI 22 2 hh
AbSbII x
22 xx
AbII x
2 x
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
xax
AA
y dAadAxI22 x
AAA
y AaSaIdAadAadAI 222 22 hhxx
AaII y
2 h
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z
Otpornost materijala
10/24/2009
12
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
hx byax
AA
yx dAbaxydAI hx
abASbaSII xy hxxh
AAAA
yx dAabdAbdAadAI xhxh
Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z, dok je a udaljenost yose od paralelne težišne ose h,
abAII xy xh
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Kada se koordinatni početak sistema xO1h poklapa sa težištem tada su ose x i h težišne ose
Statički moment za težišne ose jednak je nuli, a koordinate
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+ x
y=b+ h
0 hx SS
axby cc ;
Otpornost materijala
10/24/2009
13
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Momenti
sopstveni momenti inercijeProizvod površine preseka i udaljenosti od ose – osa naziva se
položajni moment inercije
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+ x
y=b+ h
xhhx IiII ,
abAAaAb ,, 22
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Momenti inercije za težišne ose xOh nazivaju se sopstveni momenti inercije
Momenti inercije za vantežišne ose jednakisu zbiru sopstvenih momenata inercije i položajnih momenata inercije
dA
x
x
y
y
A
O
x
h
a
b
O1
C
x=a
y=
b
kada su žišneose
x h, te
Otpornost materijala
10/24/2009
14
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)byax
AbII x
2 x
AaII y
2 h
abAII xy xh
Za težišne ose x, h za paralelno pomeren koordinatni sistem izrazi za momente dobijaju oblik
Moment inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem
jednak je zbiru sopstvenog momenta inercije(uvek za
težišne ose) i položajnog momenta inercije
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Moment inercije za vantežišne paralelne ose
jednak je zbiru sopstvenih momenata inercije
(težišnih) i položajnih momenata inercije
AyxII
AxII
AyII
CCxy
Cy
Cx
xh
h
x
2
2
Napomena: rastojanja xc i yc
uzimati sa svojim znakom
Otpornost materijala
10/24/2009
15
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (Štajnerova teorema)
Moment inercije za paralelne težišne ose jednak je
razlici momenata inercije za vantežišne paralelne
ose i položajnih momenata inercije
AyxII
AxII
AyII
CCxy
Cy
Cx
xh
h
x
2
2
Napomena: rastojanja xc i yc
uzimati sa svojim znakom
Otpornost materijala
Momenti inercije za zaokrenuti
koordinatni sistem (za težišne ose)
Poznati su momenti
inercije za težišne
ose xCy Ix, Iy, Ixy
Za neki zaokrenuti
za ugao j
koordinatni sistem
uCv treba odrediti
momente inercije Iu,
Iv, Iuv
dA
x
x
v
v
u
u
y
y
A
CP
Q
MN
j
j
Otpornost materijala
10/24/2009
16
Momenti inercije za zaokrenuti
koordinatni sistem (za težišne ose)
dAx
v
u
u
y
y
CP
Q
MN
j
j v
x
jj cossin xyCMPQCMMNu
jj sincos xyMPSQNQSQu
Otpornost materijala
Momenti inercije za zaokrenuti
koordinatni sistem (za težišne ose)
A AAAA
u xydAdAxdAydAxydAvI jjjjjj cossin2sincossincos 222222
jjjj cossin2sincos 22
xyyxu IIII
A AAAA
v xydAdAxdAydAxydAuI jjjjjj cossin2cossincossin 222222
jjjj cossin2cossin 22
xyyxv IIII
xydAdAxdAyuvdAIAAA
uv jjjj 2222 sincoscossin
jjjj 22 sincoscossin xyyxuv IIII
Koristeći transformaciju koordinata dobijaju se:
Otpornost materijala
10/24/2009
17
Momenti inercije za za okrenuti
koordinatni sistem (za težišne ose)Kako je:
,2cos12
1cos2 jj ,2cos1
2
1sin2 jj
jjj 2sincossin2 jjj 2cossincos 22
Izrazi za izračunavanje težišnih momenata inercije za zaokrenute ose sada su
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxu IIIIII
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxv IIIIII
jj 2cos2sin2
1xyyxuv IIII
Ako su poznati momenti inercije za jedan par težišnih osa bez integraljenja
mogu se izračunati momenti inercije za zaokrenute težišne ose
Otpornost materijala
Glavni momenti
inercije i glavne ose inercijeKako se drugi izraz za moment može dobiti iz prvog zamenom j sa j+90
o
analiziraju se drugi i treći izraz
Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti ekstremne vrednosti:
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxu IIIIII
jj 2cos2sin2
1xyyxuv IIII
02cos22sin jjj
xyyxu III
d
dI
argument j koji zadovoljava ovu jednačinu obeležimo sa a
2cos:02cos22sin xyyx III
yx
xy
II
Itg
22
Otpornost materijala
10/24/2009
18
Glavni momenti
inercije i glavne ose inercije
22tg
2
1
2
tg
1
Ugao određuje položaj glavnih težišnih osa
222421
12cos
xyyx
yx
III
II
tg
2224
2
21
22sin
xyyx
xy
III
I
tg
tg
22
1max 42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
22
2min 42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
012
IIuv j
yx
xy
II
Itg
22
Otpornost materijala
Glavni momenti
inercije i glavne ose inercije Za težišne ose za koje aksijalni momenti inercije
imaju ekstremne vrednosti, centrifugalni moment
inercije je jednak nuli.
I obrnuto ako je za dve upravne težišne ose
centrifugalni moment inercije jednak nuli, onda
aksijalni momenti za te ose imaju ekstreme
Otpornost materijala
10/24/2009
19
Elipsa inercije
x
x
i2
i2
i 1i 1
y
u
y
j
(1)
(2)
C
N(x,y)
Za površinu A poznate su glavne težišne ose
(1) i (2) i glavni težišni momenti inercije I1 i I2 .
Za proizvoljnu težišnu osu u pod uglom j dobija se
Deljenjem leve i desne strane sa
površinom A dobija se
jj 2
2
2
1 sincos IIIu
A
Ii uu
A
Ii
A
Ii 2
21
1 ,
jj 2
2
2
1 sincos iiiu
Poluprečnici inercije za glavne ose
Poluprečnik inercije za osu u
Otpornost materijala
Momenti inercije pravougaonika
bdydAbh
dyybdAyI
h
A
x ,3
3
0
22
hdxdAhb
dxxhdAxI
b
A
y ,3
3
0
22
22,, h
Cb
C yxbhA
bdydAbh
ydyb
ydAxydAI
hb
b
A
xy ,42
22
0
2
0
2
Za težišne ose x i h
1243
3232 bh
bhhbh
AyII Cx x
1243
3232 hb
bhbhb
AxII Cy h
0224
32
bhhbbh
AyxII CCxyxh
x
x
y
dy
dx
y
x
yC
xC
b
h C
h
Otpornost materijala
10/24/2009
20
Momenti inercije i elipsa inercije
pravougaonika
x
y
b
h
C
T
D
i xiy
iD0,
12,
12
33
xyyx Ihb
Ibh
I
Za težišne ose obeležene sa x i y
momenti inercije iznose:
Poluprečnici inercije su
bbb
bh
hb
A
Iii
y
y 29,06
3
12
122
3
2
hhh
bh
bh
A
Iii x
x 29,06
3
12
122
3
1
Za proizvoljnu osu tangenta paralelna sa
odabranom osom, i rastojanje od C do tačke dodira
tangente T je iD.2
DD iAI
Otpornost materijala
Podaci iz tablica za krug
R
y
xC
D
2
2
4r
DA
4444
7854,00491,0464
rDrD
II yx
24
rDii yx
0xyI
Otpornost materijala
10/24/2009
21
Podaci iz tablica za polovinu kruga
R
e1
e2
y
x
x1
C
28
22 rDA
444 0069.01098.09
8
8DrrI x
DereDr
e 2878.0;2122.03
4121
4444
025.0392.01288
DrDr
I y
4444
1 025.0392.01288
DrDr
I x
Otpornost materijala
Postupak pri određivanju momenata
inercije složene površine
1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti položaj
težišta
2. Odrediti momente inercije za težišne ose svake
površine, pa primenom Štajnerove teoreme
odrediti momente inercije za težišne ose složene
površine
3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
4. Odrediti glavne centralne momente inercije
5. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati
elipsu inercije
Otpornost materijala
10/24/2009
22
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
x
y
1
1
14
6.5
6.5
3.5
3.5
C1
C2
C3
5.6;5.3;818
,5.6;5.3;818
,0;0;12112
33
22
11
CA
CA
CA
Odabrati ose x i y i odrediti težište
3
3
3
3
3
2
3
2
3
1
3
1
52,28
52,28
,0,0
cmScmS
cmScmS
cmScmS
yx
yx
yx
08812
28280
321
321
AAA
SSSx xxx
C
08812
52520
321
321
AAA
SSSy
yyy
C
Otpornost materijala
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
x
y
1
1
14
6.5
6.5
3.5
3.5
C1
C2
C3
3
2
332
2
221 AyIAyIII CxCxxx
Odrediti momente inercije za ose x i y
3
2
332
2
221 AxIAxIII CyCyyy
333322221 AyxIAyxIII CCxyCCxyxyxy
Otpornost materijala
10/24/2009
23
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
Odrediti momente inercije za ose x i y
433
1 14412
121
12cm
bhI x
433
1 112
121
12cm
hbI y
y = y1
12 C1
x = x1
4
11 0cmI yx
Otpornost materijala
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
Odrediti momente inercije za ose x i y
433
32 66.012
18
12cm
bhII xx
433
32 66.4212
18
12cm
hbII yy
y 2
x 2
1
C2
84
3322 0 cmII yxyx
Otpornost materijala
10/24/2009
24
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
4
22
822
85.666.085.666.0144
cmI
I
x
x
Odrediti momente inercije za ose x i y
4
22
282
85.366.4285.366.421
cmI
I
x
y
4364
85.65.3085.65.300
cmI
I
xy
xy
x
y
1
1
14
6.5
6.5
3.5
3.5
C1
C2
C3
C
Otpornost materijala
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
72.26433.533481.12
3481.128233.821
364222
arctg
II
Itg
yx
xy
Odrediti ugao glavnih osa
22
1max 42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
22
2min 42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
012
IIuv j
x
y
C
(2)
(1)
26.72o
22
1max 36442828222
1282822
2
1 II
4
1max 1006cmII 22
1max 36442828222
1282822
2
1 II
4
2min 99cmII
012
IIuv j
Otpornost materijala
10/24/2009
25
Primer izračunavanja momenata za
složenu površinu
Poluprečnici inercije
cmA
Ii 66.5
28
100611
cmA
Ii 88.1
28
9922 x
y
C
(2)
(1)
26.72o
Otpornost materijala
Postupak pri određivanju momenata
inercije složene površine
1. Podeliti složenu površinu na određen broj manjih površina za koje je lako odrediti:Težište površine
Statičke momente inercije površina za težišne ose
Sopstvene momente inercije površine za težišne ose
Aksijalne momente inercije površine za težišne ose
Centrifugalne momente inercije površine za težišne ose
Polarne momente inercije površine za težišne ose
Otpornost materijala
10/24/2009
26
Postupak pri određivanju momenata
inercije složene površine
2. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti položaj
težišta
3. Odrediti momente inercija za težišne ose svake
površine pa primenom Štajnerove teoreme
odrediti momente inercije za težišne ose složene
površine
4. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
5. Odrediti glavne centralne momente inercije
6. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati
elipsu inercije
Otpornost materijala
Napomene pri određivanju momenata
inercije složene površine
Treba koristiti simetriju – težište složene površine je uvek na osi simetrije
Osa simetrije je ujedno i jedna glavna osa inercije, a druga glavna osa prolazi kroz težište i upravna je na prvu
Ako površina ima više osa simetrije težište je u njihovom preseku a one su ujedno i glavne ose inercije
Za glavne ose uvek je centrifugalni moment inercije jednak nuli
Otpornost materijala
10/24/2009
27
Primer :6
22
R2
x
y
Otpornost materijala
Brojni primer:
0;85.028,6
67.0;226
1;312
13
2
11
CA
CA
CA
C3
C1
C2
x
y
1
0.6
7
2
3
2
6
R2
4
Otpornost materijala
10/24/2009
28
Brojni primer:
cmA
Sx
y
C 75.128.24
66.42
cmA
Sy x
C 32.028.24
98.7
C3
C1
C
C2x
y
x
h
Otpornost materijala
Brojni primer:
C1
C
x1
y1
x
h
67.0;24.112 1
2
1 CcmA
433
1 412
26
12cm
bhI x
433
1 3612
26
12cm
hbI y
011 yxI
Otpornost materijala
10/24/2009
29
Brojni primer:
1;.24.06 1
2
2 CcmA
433
2 33.136
26
36cm
bhI x
433
2 1236
26
36cm
hbI y
y2
CC2
x
h
x2
42222
22 272
26
72cm
hbI yx
Otpornost materijala
Brojni primer:
0;61.228.6 1
2
1 CcmA
444
3 28.68
2
8cm
rI x
424
24
3 76.164972
2649
72cm
rI y
033 yxI
y3
C3
C x
h
x3
Otpornost materijala
10/24/2009
30
Brojni primer:
3
2
332
2
221
2
11 AIAIAII xxx hhhx
3
2
332
2
221
2
11 AIAIAII yyy hxxh
42328.6633.138.54 cmI x
43.11175.178.4234.01245.1836 cmI h
233332222211111 AIAIAII yxyxyx hxhxhxxh
453.10061.228.601624.021267.024.10 cmI xh
Otpornost materijala
Rezime
Površina poprečnog preseka
Statički moment površine poprečnog preseka
Težište površine
Aksijalni moment inercije
Centrifugalni moment inercije
Polarni moment inercije
Štajnerova teorema - sopstveni + položajni
Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem
Glavni momenti inercije i glavne ose inercije
Elipsa inercije i glavne težišne ose
Otpornost materijala
10/24/2009
31
Postupak pri određivanju momenata
inercije složene površine
1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti položaj
težišta
2. Odrediti momente inercija za težišne ose svake
površine, pa primenom Štajnerove teoreme
odrediti momente inercije za težišne ose složene
površine
3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
4. Odrediti glavne centralne momente inercije
5. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati
elipsu inercije
Otpornost materijala