11/12/11 

1 

Game theory 

A course for master students 

Ques6ons – to be answered anonymously 

1.  Have you a>ended a course in game theory before? (if more than one write the number of courses previously taken) If you remember please indicate the book used for this course (courses). 

2.  Would you know how to find a mixed strategy Nash equilibrium in a simple game in a standard form? 

3.  Would you know how to find a Subgame Perfect Nash equilibrium in a simple game in extensive form? 

4.  Would you know how to find a Bayesian Nash Equilibrium in a simple game with prior beliefs? 

5.  Do you know what evolu6onary stability means? 6.  Which style would you prefer for this course: 

–  Formal (a proper graduate level taught at master/preliminary PhD level at the best Game theory places like Northwestern University, Harvard or MIT) 

–  A bit less formal with more applica6ons, but s6ll with some proofs and mathema6cal formula6ons  

–  Not formal at all, with lots of applica6ons and visualiza6ons, ideas, etc. (bachelor level) –  Something else – indicate what  

7.  Do you know of a good book in game theory, which you would see as a good book for this lecture? If yes, name one. 

11/12/11 

2 

Preliminary issues 

My webpage: h>p://michallewandowski.eu Under “Teaching”, there is a course page, which I will try to gradually and systema6cally develop in the course of semester. 

Contact: michal.lewandowski@eui.eu But please do not use this address to ask ques6ons about your result or the number of points scored.  

Grading: 80% exam (maybe there will be a midterm), 20% ar6cle  

Ar6cles •  Choose a game theory ar6cle in a good game theory 

journal such as  –  Games and economic behavior –  Interna6onal Journal of Game Theory –  Theory and Decision –  Journal of Economic Behavior and Organiza6on –  Etc. 

•  Or choose a game theory ar6cle in other good journals such as: –  Journal of Economic Theory –  Econometrica –  American Economic Review –  Journal of Poli6cal Economy –  Review of Economic Studies –  Etc. 

•  If you don’t want to search for an ar6cle, I will give you sugges6on or a list of ar6cles worth reading  

11/12/11 

3 

Ar6cle •  Read the ar6cle you have chosen •  Evaluate and write the report (1 page) with the following structure: –  Title, author(s) – Abstract (100 words) – write the number of words – Main insight –  Evalua6on of main insight –  Key concepts, assump6ons, parameters –  Proofs (style, type, difficulty) –  Readability –  Personal evalua6on 

A couple of links 

•  h>p://www.gametheory.net/ •  h>p://www.mazeworks.com/home.htm •  h>p://arielrubinstein.tau.ac.il 

11/12/11 

4 

Defini6on •  Game theory a>empts to mathema6cally capture behavior in strategic situa1ons, or games, in which an individual's success in making choices depends on the choices of others (Myerson, 1991). While ini6ally developed to analyze compe66ons in which one individual does be>er at another's expense (zero‐sum games), it has been expanded to treat a wide class of interac6ons, which are classified according to several criteria. Today, "game theory is a sort of umbrella or 'unified field' theory for the ra1onal side of social science, where 'social' is interpreted broadly, to include human as well as non‐human players (computers, animals, plants)" (Aumann 1987). 

Variety of types •  Noncoopera6ve vs coopera6ve •  Symmetric vs asymmetric •  Zero‐sum vs non zero‐sum  •  Symultaneous vs sequen6al •  Complete vs incomplete informa6on •  Sta6c vs evolu6onary  •  Perfect vs imperfect informa6on  •  Discrete vs con6nuous  •  Games against nature vs interac6ve games 

11/12/11 

5 

Roots of game theory may be found in Poland 

   

The proper beginning of the discipline – games, auc6ons and evolu6on 

•  Émile Borel,  Applica'ons aux Jeux de Hasard, 1938. 

•  John von Neumann and Oskar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, 1944. 

•  William Vickrey, Auc'ons and bidding games, 1962. 

•  John Maynard Smith, The logic of animal conflict, 1973. 

 

11/12/11 

6 

Nobel prize 1994 

John C. Harsanyi, John F. Nash Jr., Reinhard Selten 

"for their pioneering analysis of equilibria in the theory of non‐coopera've games" 

  

 

Nobel prize 1996 

James A. Mirrlees, William Vickrey "for their fundamental contribu'ons to the economic theory of incen'ves under asymmetric informa'on" 

11/12/11 

7 

Nobel prize 2005 

Robert J. Aumann, Thomas C. Schelling "for having enhanced our understanding of conflict and coopera'on through game‐theory analysis" 

Nobel prize 2007 – Polish accent again 

Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin, Roger B. Myerson 

"for having laid the founda'ons of mechanism design theory" 

11/12/11 

8 

  The future of game theory  –  Wiole>a Dziuda, Princeton, teraz MEDS Northwestern –  Konrad Grabiszewski, Stern Business School, teraz ITAM –  Hanna Hałaburda, Northwestern, teraz Harvard Business School –  Michał Krawczyk, Amsterdam, teraz UW –  Maksymilian Kwiek, Northwestern, teraz Southhampton University –  Wojciech Olszewski, Princeton, teraz Northwestern –  Marcin Pęski, Northwestern, teraz Texas Aus6n –  Marek Pycia, MIT, teraz UCLA –  Marzena Rostek, Yale, teraz Wisconsin Madison –  Agnieszka Rusinowska, SGH, teraz Lyon 2 –  Tomasz Sadzik, Stanford Business School, teraz NYU –  Andrzej Skrzypacz, Rochester, teraz Stanford Business School –  Tomasz Strzałecki, Northwestern, teraz Harvard –  Tymon Tatur, Northwestern, teraz Bonn Graduate School of Economics –  Marek Weretka, Yale, teraz Wisconsin Madison –  Jan Werner, Bonn Graduate School of Economics, teraz Minnesota –  …………………………… 

11/12/11 

9 

Payoff matrix 

Silent  Confess 

Silent  2,2  0,3 

Confess  3,0  1,1 

Inspira6on 

11/12/11 

10 

Stag hunt 

Rousseau in A Discourse on Inequality: If it was a ma>er of hun6ng a deer, everyone well realized that he must remain faithful to his post; but if a hare happened to pass within reach of one of them, we cannot doubt that he would have gone off in pursuit of it without scruple...„ 

Stag hunt 

2,2  0,1 

1,0  1,1 

11/12/11 

11 

Stag hunt 

•  Rawing in two 

•  Hun6ng for orcs 

Ba>le of sexes 

Husband 

Ballet  Football Match 

Wife

 

Ballet  2,1  0,0 Ftbll Match 

 0,0  1,2 

11/12/11 

12 

BaKle of the Sexes  

•  Judgement Day arrives. God reviews the billions of people assembled, and says, "Welcome to Heaven. Women, go with Saint Peter. Men, form two lines. One line shall be men who dominated their women on Earth. The other line shall be men who were dominated by their women." 

•  Azer much movement and shuffling, all the women are gone, and there remain two lines of men. The line of men that were dominated by their women is hundreds, perhaps thousands of miles long. The line of men that dominated women has but one man standing. 

•  God reviews the two lines, points to the long line, and in a voice that echoes angrily throughout Heaven says, "You men should be ashamed. I created you in MY image, and you all were dominated by your mates. Behold! Only one of my sons stood up and made me proud. You shall learn from him!" 

•  God turns to the one man standing, smiles, and says, "Tell them, my son. How did you manage to be the only one in that line?" And the man says, "I don't know, Lord. My wife told me to stand here." 

Chicken game/Hawk‐dove game 

•  h>p://www.youtube.com/watch?v=JA1wrvqDRNw 

2,2  1,3 

3,1  0,0 

11/12/11 

13 

Game of chicken •  Radio conversa6on released by the Chief of Naval Opera6ons, 10‐10‐95.  

•  #1: Please divert your course 15 degrees to the North to avoid a collision.   

•  #2: Recommend you divert YOUR course 15 degrees to South to avoid a collision.   

•  #1: This is the Captain of a US Navy ship. I say again, divert YOUR course.   

•  #2: No. I say again, you divert YOUR course.   

•  #1: THIS IS THE AIRCRAFT CARRIER ENTERPRISE, WE ARE A LARGE WARSHIP OF THE US NAVY. DIVERT YOUR COURSE NOW!   

•  #2: This is a lighthouse.Your call.  

Matching pennies 

1,‐1  ‐1,1 

‐1,1  1,‐1 

11/12/11 

14 

Rock‐Scissors‐Paper 

0,0  1,‐1  ‐1,1 

‐1,1  0,0  1,‐1 

1,‐1  ‐1,1  0,0 

Popular games 

11/12/11 

15 

11/12/11 

16 

Strict domina6on •  Ac6on     of player i strictly dominates ac6on if: 

•       is player i’s u6lity func6on •                                                is a profile of ac6ons of all players except i 

•  In case of two players for example:                            . Player 1’s ac6on     strictly dominates  ac6on      , if  

ia 'iaiiiiiiii aaauaau −−−− Α∈∀> ),,'(),(

iu{ }niii aaaaa ,...,,,..., 111 +−− =

21 , aaaa ii == − 1a'1a

221211 ),,'(),( aaauaau i ∀>

Itera6ve elimina6on of strictly dominated ac6ons 

•  Ra6onal players will not play strictly dominated ac6on 

•  But we need common knowledge of ra6onality 

Every player knows that he/she is ra6onal. Every player knows that every player knows that he/she is ra6onal. Etc. 

The order of elimina1on does play a role in case of strictly dominated ac1ons. 

11/12/11 

17 

Up is strictly dominated by Midd 

B is dominated by A 

11/12/11 

18 

Down is dominated by Midd, Cent is dominated by Lez 

C is dominated by A, Right is dominated by Lez  

11/12/11 

19 

Strictly vs weakly dominated ac6ons 

•  Defini6on: Ac6on     of player i strictly dominates ac6on       if: 

•  If a given ac6on strictly dominates ac6on    , we say that      is strictly dominated. 

•  Defini6on: Ac6on     of player i weakly dominates ac6on       if: 

•                    •  If a given ac6on weakly dominates ac6on    , we say that    is weakly dominated. 

 

iiiiiiii Aaaauaau −−−− ∈∀≥ ),,'(),(

ia

'ia

aa

ia

'iaiiiiiiii Aaaauaau −−−− ∈∀> ),,'(),(

aa

The difference between weak and strong domina6on 

•  Right strictly dominates Center, Lez weakly dominates Center  

•  In case of weakly dominated ac6ons the order of elimina6on is important. If there is more than one equilibrium, we may lose some equilibria. 

11/12/11 

20 

Princeton mee6ng in 1949 

John von Neumann  John Nash 

John Von Neumann •  John von Neumann (born December 28, 1903 in 

Budapest, died February 8, 1957 in Washington) mathema6cian, chemical ingeneur, physicist and computer scien6st 

•  Pólya:‐ Johnny was the only student I was ever afraid of. If in the course of a lecture I stated an unsolved problem, the chances were he'd come to me as soon as the lecture was over, with the complete solu'on in a few scribbles on a slip of paper. 

•  Par'es and nightlife held a special appeal for von Neumann. While teaching in Germany, von Neumann had been a denizen of the Cabaret‐era Berlin nightlife circuit. 

•  hOp://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann 

11/12/11 

21 

John Nash •  John Forbes Nash Jr (born June 13, 1928 in Bluefield w 

Wirginii) – American mathema6cian and economist. •  Key influence on algebraic geometry and great 

Riemann hipothesis •  Game theory – Nash equilibrium •  Informal side: 

–  illegi6mate son, due to homosexual episodes, he was expelled from university  

–  In 1959 he was diagnosed with paranoid schisophrenia –  Very arrogant: he called to Einstein trying to explain to 

him how to prac6ce phisics. –   h>p://en.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash,_Jr. 

How to play? Nash equilibrium  Assign a strategy to each player such that, given strategies of the other players, he/she will not find it profitable to change it (his/her own strategy) 

11/12/11 

22 

Od Smitha do Nasha 

Silent  Confess 

S  2,2  0,3 C  3,0  1,1 

Prisoners dilemma 

S  H 

S  2,2  0,1 H  1,0  1,1 

B  M 

B  2,1  0,0 M  0,0  1,2 

R  O 

R  1,‐1  ‐1,1 O  ‐1,1  1,‐1 

Stag hunt 

Ba>le of sexes Matching pennies 

D  H 

D  2,2  1,3 H  3,1  0,0 

Game of Chicken 

11/12/11 

23 

Nash equilibrium 

  

NZ  Z 

NZ  2,2  0,3 Z  3,0  1,1 

Nash equilibrium 

•  Ac6on profile              is a Nash equilibrium, if for each player i and each of his ac6on     , profile       is at least as good for player i as profile                 , i.e.: 

 where 

ai

)*,( ii aa −

Aa ∈*

*a

iiiiii AaaauauNi ∈∀≥∈∀ − ),*,(*)( ,

a*= (a*1,a*

2,...,a*

n)

(ai,a!i*) = (a*1,...,a*i!1,ai,a*i+1,...,a*n )

11/12/11 

24 

One way to play matchmaker •  Father: “I want you to marry a girl of my choice” 

Son: “I will choose my own bride!” Father: “But the girl is Bill Gates’ daughter.” Son: “Well, in that case…ok” 

•  Next, the father approaches Bill Gates. •  Father: “I have a husband for your daughter.” 

Bill Gates: “But my daughter is too young to marry!” Father: “But this young man is a vice‐president of the World Bank.” Bill Gates: “Ah, in that case…ok” 

•  Finally the father goes to see the president of the World Bank. •  Father: “I have a young man to be recommended as a vice‐

president.” President: “But I already have more vice‐ presidents than I need!” Father: “But this young man is Bill Gates’s son‐in‐law.” President: “Ah, in that case…”