FUNDAMENTELE ELEKTRISCHE METINGEN

(uitgave 2003-2004)

Prof. Dr. Ir. D. BAERT

Universiteit Gent Vakgroep Elektronica en Informatiesystemen Sint-Pietersnieuwstraat 41, 9000 Gent

Uit: “Protagoras” door Plato Over de “kunst van het meten” in een dialoog:

”… Well then, I shall say, if you agree so far, be so good as to answer me a question: Do not the same magnitudes appear larger to your sight when near, and smaller when at a distance? They will acknowledge that. And the same holds of thickness and number; also sounds, which are in themselves equal, are greater when near, and lesser when at a distance. They will grant that also. Now suppose happiness to consist in doing or choosing the greater, and in not doing or in avoiding the less, what would be the saving principle of human life? Would not the art of measuring be the saving principle; or would the power of appearance? Is not the latter that deceiving art which makes us wander up and down and take the things at one time of which we repent at another, both in our actions and in our choice of things great and small? But the art of measurement would do away with the effect of appearances, and, showing the truth, would fain teach the soul at last to find rest in the truth, and would thus save our life. Would not mankind generally acknowledge that the art which accomplishes this result is the art of measurement?”

Fundamentele Elektrische Metingen

Inhoud van de hoofdstukken

Deel I

A1. Algemene begrippen

A2. Algemene structuur van een meetketen

A3. Elektromechanische instrumenten

A4. Dynamische modellen

A5. Toepassingen van het Westontoestel en de maximale gevoeligheid

A6. Weerstandsmetingen

A7. Compensatiemethodes: de bepaling van e.m.k. en stroomsterkte

A8. Gekwantificeerde Hallweerstand en resistieve delers

A9. Analoog naar digitaal omzetters

Deel II

B1. Wissestroommetingen

B2. Modellen van R, C, L en M

B3. Universele bruggen en comparatoren

B4. Magnetische metingen

B5. Partim: Sensoren en transducers

A 1-1

HOOFDSTUK I. ALGEMENE BEGRIPPEN.

1. Inleiding. Onderwerp van deze cursus:

• Leer van de meting van de fundamentele elektrische grootheden zoals stroom (i), e.m.k. of

spanning (e, v), lading (q, Q), frequentie (f, ω) en fase van een golfvorm t.o.v. een referen-

tiebron, parameters die overeenstemmen met een bepaalde golfvorm.

• Meting van de belangrijkste elektrische componenten, namelijk weerstand (r, R), capaciteit

(C), zelfinductie (L), wederzijdse of mutuele inductie (M). Naast de elementwaarde leveren

deze metingen soms ook belangrijke fysische parameters op zoals de soortelijke weerstand

(ρ), diëlektrische constante (ε) en magnetische permeabiliteit (µ).

• We zullen trachten om ook de meting van enkele afgeleide grootheden te beschrijven. I.h.b.

is het in de elektrotechniek dikwijls nodig om energie en vermogen te meten. De specifieke

sterkstroommetingen (o.a. driefasig vermogen) worden hier niet behandeld.

De bedoeling is al deze grootheden zo nauwkeurig mogelijk te bepalen. In de praktijk worden

meestal vereenvoudigde methodes aangewend die minder nauwkeurig zijn maar toch nog

aanvaardbare resultaten opleveren. In vele gevallen zullen verbeteringen in het domein van de

fundamentele elektrische meettechniek later doorsijpelen in de technische meettechniek. Zo is de

digitale voltmeter, die eerst een duur laboratoriumtoestel was, nu een goedkoop universeel toestel

geworden. We zullen dan ook, in het kort, eveneens enkele belangrijke technische instrumenten en

meetmethodes beschrijven. Tenslotte zal er aandacht besteed worden aan de schakel die de

verbinding vormt tussen de echte wereld en een elektrisch meetsysteem, namelijk de “omzetter” of

“transducer”.

De stormachtige ontwikkelingen in de elektronica hebben geresulteerd in een aantal krachtige

instrumenten waarmee zeer vlug nauwkeurige metingen kunnen verricht worden. Deze toestellen

worden voor een deel beschreven in de cursus "Instrumentatie". Indien nodig zullen we hier en daar

de meest universele elektronische meetprincipes uitleggen, zonder evenwel in te gaan op

circuitdetails.

Wat betreft de notaties in deze cursus zullen we zoveel als mogelijk de volgende conventies toepassen: een

component wordt voorgesteld door een rechte letter, bijvoorbeeld r, L, c, C1, … De waarde van een

component wordt in schuinschrift geschreven. De weerstand r1 heeft dus de waarde r1. De spanning op het

knooppunt n is op analoge wijze En. De index n is schuin omdat het een variabele is. Getallen zijn recht: 1,

607, p, e, … Fysische constanten staan schuin: c, e, h, k, … De gekwantificeerde Hallweerstand is RH omdat

H geen variabele is. Zo schrijven we om de zelfde reden: Am voor de mechanische dempingfactor. De bron Ex

A 1-2

heeft een waarde Ex. Fysische grootheden zoals stroom schrijven we altijd schuin. We gebruiken dan

hetzelfde symbool voor de stroom I en zijn stroomsterkte I waarbij dan onder stroom eigenlijk het tweede

wordt bedoeld.

Voor de mathematische tekens en symbolen werd ISO 31-11 gevolgd waar mogelijk. Zo schrijven we: f(x),

maar ook fie(x), in dit laatste geval gaat het eerder om een verkorte schrijfwijze dan om een functie en

vandaar het rechtschrift. Functies en operatoren staan meestal recht: sin x, ln x, ex, ax (a is variabele), dx.

2. Wat is een (elektrische) meting?

2.1. Inleiding. De moderne natuurkunde heeft het besef gebracht dat onzekerheden inherent zijn aan elke

meetmethode indien men de meetnauwkeurigheid zeer ver tracht op te drijven. De oorzaak daarvan

ligt op verschillende niveau’s:

1. Op atomair niveau is het onzekerheidsprincipe van Heisenberg daarvan de bekendste illustratie.

Meet men de energie W van een deeltje dan treedt er steeds een fout ∆W op waarvoor geldt:

1( )4πh W .

t∆ ≥

∆

Daarin is ∆t de meettijd en h de constante van Planck, nl. 6,626.10-34 Js. Wil men bijvoorbeeld de

verschuiving van de frequentie (ongeveer 1 GHz) van een hydrogeen maser meten gedurende een

tijd van 10 s dan zou de nauwkeurigheid maar hoogstens 10-10 kunnen bedragen. Maar, we doen in

feite metingen op een groot aantal atomen N (bijvoorbeeld N = 1013) tezelfdertijd, en daardoor daalt

de fout met een factor N-½ = 10-13/2 of 3.10-6. De praktische haalbaarheid ligt rond 10-14.

2. Op moleculair niveau speelt de thermische beweging of agitatie van de moleculen een rol. De

statistische mechanica laat toe een en ander te voorspellen. De thermische statistische bewegingen

geven niet alleen aanleiding tot bijvoorbeeld de Brownse beweging (dit is in feite een mechanische

ruis) maar ook tot elektrische ruis omdat de ladingsdragers zich min of meer als een gas gedragen.

Daarom vormt bij vele metingen de aanwezigheid van elektrische of mechanische ruis een barrière

die niet te doorbreken is en die de uiterste grens der nauwkeurigheid bepaalt. Het is dan ook de

kunst deze ruis zo weinig mogelijk kwaad te laten aanrichten door een geschikte keuze van de

meetmethode.

Anderzijds heeft de kwantummechanica toegelaten om een aantal absolute zekerheden te

aanvaarden zoals bijvoorbeeld de kwantificering van energie-niveau's. Dit heeft geleid tot de

ontdekking van effecten zoals de supergeleiding, het gekwantificeerd Halleffect, Josephson-

effect, … Deze verschijnselen noemt men algemeen "golf- en coherente fase-effecten" van de

golffunctie. De praktische toepassing van deze verschijnselen heeft toegelaten om fundamentele

natuurconstanten zoals e, c en h zeer nauwkeurig te bepalen en zoals we nog zullen zien heeft dit

A 1-3

een doorbraak betekend voor de bepaling van de zuiver elektrische grootheden spanning en

weerstand.

2.2. Metingen en eenheden.

2.2.1. Definitie van een meting. Een zeer bruikbare definitie van "meten" is deze van Finkelstein:

"Meten is het toekennen van getallen aan conceptuele entiteiten op een dusdanige wijze dat deze

hierdoor beschreven worden".

Deze definitie is niet volledig. In feite zou er nog moeten staan dat “het meten de actie is die men

uitvoert om deze getallen te bepalen”. Er moet inderdaad een waarnemingsinstrument ter

beschikking staan dat een interactie aangaat met het fysisch systeem waarin de te bepalen entiteit

voorkomt.

In de praktijk kan deze uitgebreide en filosofische definitie vereenvoudigd worden als volgt:

"Meten is het vergelijken van een onbekende met een standaard grootheid of eenheid van dezelfde

aard als de onbekende”.

Op deze wijze wordt het conceptuele naar de eenheid verschoven. Voor de waarde van een

grootheid kan men dan schrijven:

Grootheid = Getal × Eenheid.

2.2.2. Eenheden. In de techniek gebruiken we het gerationaliseerde eenheden systeem, S.I. (Système International).

De basiseenheden in dit “MKSA-stelsel” zijn daarbij de meter (m), de seconde (s), het kilogram

(kg) en de ampère (A). Voor het gemak werden een hele reeks afgeleide eenheden ingevoerd zoals

de hertz (frequentie), newton (kracht), joule (energie), watt (vermogen, warmtestroom). I.h.b. zijn in

de elektrotechniek combinaties met de ampère zeer nuttig: coulomb (C = A.s), volt (V = W/A),

farad (F = C/V), ohm (V/A), … Deze afgeleide eenheden laten dus een bondiger spraakgebruik toe.

Vergelijk maar:

1 volt tegenover 1 kg m2 /s3 A in MKSA eenheden.

In 1954 werd aan de grondeenheden de kelvin en candela toegevoegd en in 1971 de mol (hoe-

veelheid stof).

2.2.3. Fundamentele eenheden. Meer en meer is men in de fysica er echter toe overgegaan om meer fundamentele grootheden in te

voeren. Enkele hiervan zijn bijzonder belangrijk voor de elektrotechniek: de voortplantingssnelheid

A 1-4

van elektromagnetische straling in vacuum c (of c0), de elementaire lading e, de constante van

Planck h, de constante van Boltzmann k, … Deze grootheden tracht men meestal nauwkeuriger dan

feitelijk nodig is te bepalen en dit met het oog op een toekomstige te verwachten verbetering van de

meettechnieken. Daarenboven laat dit toe om theorieën te testen (relativiteit, …) en de coherentie

tussen diverse theorieën na te gaan, door dezelfde grootheid op verschillende wijzen te meten en de

resultaten te vergelijken. Natuurkundigen gaan daarbij uit van twee axioma’s:

1. Identiteitsprincipe: overal in het universum zijn de fundamentele grootheden dezelfde (onder

precies gespecificeerde condities). Dit principe is aanvaardbaar omdat het heelal op grote schaal

vrij homogeen schijnt te zijn. Een echt bewijs hiervoor bestaat echter niet.

2. De fundamentele grootheden zijn constant in de tijd. Dit axioma wordt soms betwist.

Axioma 2 tracht men experimenteel aan te tonen door de meetnauwkeurigheid op te drijven bij de

bepaling van fundamentele constanten. Een variatie van 10% van een constante sinds het ontstaan

van het heelal komt neer op een variatie van 10-11 per jaar! Zodra de meetnauwkeurigheid beter

wordt dan 10-11 wordt het mogelijk een eventuele variatie te meten. De inspanningen geleverd

door fysici hebben er in elk geval toe geleid de eventuele bovengrens van de variatiesnelheid van

de fysische constanten zoals e, h, … min of meer vast te leggen. Het aantal fundamentele

constanten ligt echter niet vast en sommige blijken achteraf uitgedrukt te kunnen worden d.m.v.

andere constanten. De voorkeur gaat natuurlijk uit naar de constanten die het nauwkeurigste te

meten zijn.

2.3. Definitie van de grondeenheden in het S.I.-stelsel. Seconde: tijdsduur van 9.192.631.770 perioden van de straling overeenkomende met een overgang

tussen twee hyperfijne niveaus van de grondtoestand van het atoom cesium 133.

Meter (definitie van 1983): de afstand afgelegd door licht in het luchtledige gedurende

1/299.792.458 seconde.

Kilogram: dit is de massa van een platina-iridium prototype dat bewaard wordt in het BIPM te

Parijs.

Ampère: stroom die tussen twee oneindig evenwijdige dunne geleiders een kracht per strekkende

meter veroorzaakt van 2 x 10-7 kgm/s2 (= 2. 10-7 newton).

(1) Het kilogram is feitelijk de enige eenheid waarvoor een materiële standaard bestaat. Het gevolg

hiervan is dat zich een aantal problemen voordoen waarvan sommige nog steeds niet opgelost zijn.

Zo bijvoorbeeld is het niet duidelijk op welke wijze deze massastandaarden moeten bewaard

worden, hoe ze te beschermen tegen atmosferische vervuiling en op welke wijze ze het best

gereinigd kunnen worden. Toch is de onzekerheid, bij het vergelijken van twee kilogramstan-

A 1-5

daarden van hetzelfde materiaal, van de orde 1 µg of beter! Het is echter een langdurig proces om

een dergelijke vergelijking uit te voeren. Platina-Iridium massastandaard prototypes worden meestal

bewaard in nationale laboratoria en het aantal ervan is beperkt tot minder dan honderd. Bij de

zeldzame vergelijkingen die af en toe worden gedaan, is komen vast te staan dat sommige van deze

standaarden niet constant in massa gebleven zijn. Verdere studie van dit fenomeen is zeker nodig.

(2) Wat betreft de overige standaarden zou men kunnen denken dat er geen problemen meer zijn.

Dit is echter niet zo: de definitie van de meter bijvoorbeeld berust op de werking van lasers. Een

aantal, tot hier toe onbekende, fenomenen beperkt echter de stabiliteit op lange termijn.

(3) Voor de seconde worden atoomklokken gebruikt die cesium133 als element bevatten. In 1971

werd bovenstaande definitie van de seconde als referentie gebruikt voor het vastleggen van een

tijdschaal, nl. de TAI of "Temps Atomique International". Om deze TAI te behouden worden een

hele reeks atoomklokken van verschillende types, verspreid over de hele aarde, vergeleken met een

klein aantal primaire standaarden van de seconde. Het is de bedoeling om al deze klokken zo goed

als mogelijk te synchroniseren. Met klassieke methoden die gebruik maken van radiozenders kan de

synchronisatieonzekerheid niet veel kleiner dan 100 ns worden. Dit is een gevolg van de

onzekerheid op de tijd die de elektromagnetische golven nodig hebben om van het ene punt naar het

andere te propageren doorheen de atmosfeer. De invoering van het "Global Positioning System"

(GPS) heeft toegelaten om een bijna tienmaal betere synchronisatie te bekomen. Dit is echter maar

mogelijk indien allerlei systematische fouten zorgvuldig worden geëlimineerd. Voor de zogenaamde

"Standard Positioning Service" (SPS) blijft men evenwel beperkt tot 500 ns. Om militaire redenen

konden vroeger enkel bevoorrechte gebruikers de toestemming krijgen om gebruik te maken van de

"Precision Positioning Service" (PPS) waarvoor de onzekerheid 100 ns bedraagt; d.m.v.

softwarecorrecties is het dan toch mogelijk om de onzekerheid te beperken tot 10 ns. Sedert de

eeuwwisseling werd de PPS dienst echter vrijgemaakt voor gewone commerciële doeleinden

(navigatiesystemen). Het GPS systeem is nochtans niet overal ter wereld bruikbaar omdat het

slechts uit een 24-tal basissatellieten is opgebouwd. Dit euvel zal vermoedelijk verdwijnen omdat

men hoops meer satellieten in gebruik te nemen.

(4) De ampère werd zo gekozen dat elektrische en mechanische eenheden van kracht en energie

juist dezelfde zijn. Niettegenstaande er stroombalansen zijn gebouwd voor het uitvoeren van

precisiestroommetingen blijft het gebruik ervan beperkt tot kalibratielaboratoria. De hoger gegeven

definitie van de ampère is dan ook meer theoretisch dan praktisch. Om die reden zal men eerder

rondgaan via de volt en de ohm (waarvan materiële standaarden bestaan) zodat men een

krachtmeting kan vermijden. In Australië worden alle weerstandsstandaarden vergeleken met de

zogenaamde “berekenbare condensator”. Hierbij wordt de waarde van een normaalweerstand

A 1-6

vergeleken met de impedantie van een uiterst nauwkeurige condensator waarvan de capaciteit door

een enkele lengte wordt bepaald. Dit laat toe om de ohm te toetsen aan zijn SI-waarde. De

uiteindelijke bedoeling is uiteraard altijd dezelfde: men wil de aanwezige bestaande standaarden

(“maintained standards”) zo goed mogelijk bepalen, daarbij gebruik makend van de zeer

nauwkeurige en op fysische constanten gesteunde effecten.

Tabel I. De fundamentele constanten.

Lichtsnelheid in vacuüm

elementaire lading

permittiviteit vacuüm

permeabiliteit vacuüm

constante van Planck

constante van Boltzmann

constante van Stefan-Boltzmann

flux kwantum

c0= 299.792.458 m.s-1 (per definitie)

e = 1,6021892 x 10-19

εo = 8,854187818 x 10-12 F.m-1

µo = 4π x 10- 7 H.m-1 (per definitie)

h = 6,626176 x 10-34 J.s

k = 1,380662 x 10-23 J.K-1

σ = 5,67032 x 10-8 W.m-2.K-4

Φo = h/2 e = 2,07 x 10-15 Wb

3. Tabel II. Enkele veelgebruikte technische eenheden van arbeid

Arbeid J kgm kWh kcal

1 J = 1 Nm

1 kgm

1 kWh

1 kcal

1

9,807

3,6.106

4,186.103

0,1020

1

3,671.105

426,9

2,778.10-7

2,724.10-6

1

1,163.10-3

2,388.10-4

2,342.10-3

859,8

1

1 Newton = 0,1020 kg = 105 dyne en ook 1 kg = 9,807N = 9,807.105 dyne

Tabel III. Enkele veelgebruikte technische eenheden van vermogen.

Vermogen KW kgm/s kcal/s PK

1 kW

1 kgm/s

1 kcal/s

1 PK

1

9,807.10-3

4,186

0,7355

102

1

426,9

75

0,2388

2,342.10-3

1

0,1757

1,36

1,333.10-2

5,693

1

A 1-7

Rechtstreekse bepaling van de ampère zal vermoedelijk binnen ettelijke jaren mogelijk zijn met de

zogenaamde SET of "single-electron transistor". Dit is een element dat toelaat om zeer nauwkeurig

het aantal elektronen te doseren dat er gedurende een zekere tijd doorvloeit. M.a.w. men zou kunnen

de ampère definiëren met de nauwkeurigheid waarmee e en de seconde gekend zijn. Het principe

van de methode werd uitgewerkt in 1985 door de theoreticus K.K. Likharev en zijn groep. Zij

hebben aangetoond dat de werking van een SET een gevolg is van kwantummechanische tun-

neleffecten die optreden bij bepaalde sub-micron structuren die onder de 50 K afgekoeld worden.

In 1987 hebben Fulton en Dolan van de vermaarde BELL-Labs een dergelijke SET verwezenlijkt.

Niettegenstaande de mogelijkheid om een SET te verwezenlijken daarmee is bewezen blijft de

toepassing ervan voorlopig weinig interessant: de nauwkeurigheid waarmee de stromen opgewekt

werden bedroeg slechts enkele procenten. Verder was de grootte ervan beperkt tot enkele

microampère. Derhalve is nog veel onderzoek te verrichten vooraleer een SET-schakeling de

huidige methodes kan vervangen.

2. Hoe wordt een meting uitgevoerd?

Bij een volledige meetprocedure worden 5 stappen doorlopen.

3.1. Keuze van de meetmethode.

• Eerste stap: definieer de te meten grootheid. Dit is m.a.w. de probleemstelling. Zo kan men

bijvoorbeeld vragen conductantie of weerstand van een vloeistofketen te bepalen.

• Tweede stap: zoek de relaties die de meetgrootheid bepalen. Aan de hand van deze relaties

kan men een geschikte meetmethode kiezen.

3.1.1. Rechtstreekse of directe methoden. Voorbeeld: bepalen van de weerstandswaarde X van een geleider. Er bestaan vele wegen om X te

bepalen:

• Relatief: men vergelijkt d.m.v. een Wheatstonebrug X met een normaalwaarde.

• Men meet de spanning V over de weerstand evenals de stroom I die er door vloeit: X = V/I.

• Men gebruikt een impedantiemeter: X volgt uit Z(ω) voor ω = 0.

• Men past de wet van Pouillet toe: X = ρ l/s en meet l en s (ρ is gekend indien het weerstands-

materiaal gekend is).

Er zijn in het algemeen dus verschillende werkwijzen mogelijk om een grootheid te bepalen. In de

praktijk zal men rekening moeten houden met de beschikbare apparatuur, de gewenste nauwkeu-

righeid en de moeilijkheidsgraad van een specifieke methode.

A 1-8

3.1.2. Rechtstreekse of directe methoden. In de moderne instrumentatietechniek zal men meer en meer de hardware door software trachten te

vervangen. In dat geval worden de meetgrootheden omgezet in elektrische grootheden (spanning,

stroom, frequentie). Deze elektrische grootheden kunnen dan bemonsterd worden zodat een signaal

uiteindelijk voorgesteld wordt in een reeks getalwaarden (data). Elementaire signaalparameters

zoals gemiddelde en effectieve waarde van dit signaal kunnen dan vlug bepaald worden via

eenvoudige algoritmes. Ingewikkelder wiskundige transformaties kunnen echter ook toegepast

worden om abstracte grootheden uit deze data te extraheren. Bijvoorbeeld: een digitale Fourier-

transformatie levert een beeld op van het signaal in het frequentiedomein. Of nog: de data kunnen in

klassen gerangschikt worden zodat bepaalde statistische gegevens (o.a. waarschijnlijk-

heidsverdeling) beschikbaar komen.

3.2. Correcte opstelling van de apparatuur. De meeste fouten bij een meting kunnen toegeschreven worden aan een slechte opstelling van de

instrumenten en/of aan een onoordeelkundig gebruik ervan. Dit laatste probleem kan uiteraard

vermeden worden door de toestelhandleidingen grondig te bestuderen. In het bijzonder kunnen

elektrische storingen, ruis, thermo-emk's, enz … de meting zeer sterk verstoren. Men zal trachten

deze stoorbronnen zoveel mogelijk te elimineren door afschermen, aarden, … In het slechtste geval

kan soms een compensatie nodig zijn. Bijvoorbeeld: bij aanwezigheid van een geïnduceerde 50 Hz

stoorspanning kunnen we, d.m.v. een compensatie spoel, eventueel een deel van de stoorspanning

oppikken en terugvoeren in de meetketen. De compensatie kan soms via de software gebeuren,

indien men over een complex instrument met programmeerbare rekenfaciliteiten beschikt.

Voorbeeld: echo-opheffing bij overdracht van spraaksignalen in de telefonie.

3.3. Vastleggen van gegevens en resultaten.

Zie de practicumnota’s.

3.4. De bepaling van de nauwkeurigheid der resultaten.

Idem.

3.5. Opstellen van een rapport. Hierbij is de duidelijkheid primordiaal. Zie de practicumnota’s.

Bij vele technische metingen worden de stappen 3, 4 en 5 nooit uitgevoerd. Punt 1 vraagt geen

studie indien er slechts 1 toestel ter beschikking staat. Zelfs in deze eenvoudige situatie kunnen de

resultaten echter volledig onbetrouwbaar worden, t.g.v. een onoordeelkundige opstelling van dit

toestel of door na te laten te onderzoeken wat de invloed is van het toestel op de meetketen.

A 1-9

4. Meetmethoden. Zoals de definitie van een meting laat vermoeden zijn er in het algemeen twee wegen begaanbaar

om een onbekende grootheid te meten: absoluut of relatief.

4.1. Absolute methode. Men leidt de onbekende grootheid X af van andere grootheden G1, G2, . . ., Gn via een gekende of

gedefinieerde functie van G1, G2, …, Gn:

1 2( , , . . . , ).nX f G G G= (1.1)

Vermits G1, G2, enz. ... niet exact gekend zijn, worden zij door hun gemeten of geschatte waarden

1 2 3, , ,G G G ... vervangen. Dit levert een schatting van X op:

1 2( , , . . . , ).nX f G G G= (1.2)

De absolute methode is nog onder te verdelen in direct en indirect.

Directe absolute methode: indien de functie eenduidig en eenvoudig is.

Voorbeeld: voor de vlakke condensator met diëlektricum ε (dikte d) en plaatsectie S berekent men C uit de

geometrie: C = ε εo S / d, dus moet men S en d meten.

Indirecte absolute methode: de functie hangt impliciet af van de waarde van X, bijvoorbeeld zoals

in ϕ (X, G1, G2 , …) = 0, maar ze herleidt zich tot Xo = f (G10, G20, …) voor een bijzondere meet-

conditie. Een typisch geval is een stroombalans die toelaat de ampère absoluut te bepalen (Fig. 1. 1).

Deze balans meet de krachtwerking tussen twee spoelen met gekende geometrie waardoor de

onbekende stroom I loopt. Men elimineert eerst het eigengewicht van de opgehangen maar

stroomloze spoel, d.m.v. een massa m.

Fig. 1. 1. Stroombalans van Kelvin-Rayleigh.

Voert men I toe dan zal de uitwijking α een gecompliceerde functie van I worden. Brengt men nu de

balans terug in evenwicht d.m.v. een extra gewicht in de rechterschaal (m wordt m + m’) dan is het

A 1-10

duidelijk dat de kracht die beide spoelen op elkaar uitoefenen m’g bedraagt. Deze kracht hangt af

van de spoelgeometrie maar is berekenbaar zodat, indien de valversnelling g gekend is, men vindt:

I = gekende functie van m'g alleen

4.2. Relatieve methode. Men vergelijkt X met een gelijkaardige of andere standaard. Ook in dit geval kan men direct of

indirect meten.

Direct. Men vergelijkt X met een gelijkaardige standaard. Een typisch voorbeeld is het meten van

e.m.k. door het vergelijken van deze e.m.k. met een standaardspanningsbron.

Indirect. Hierbij wordt X vergeleken met een andere grootheid. Deze laatste wordt tenslotte

vergeleken met de standaard.

Voorbeeld: de uitslag van de naald van een universeelmeter bij spanningsmeting. Zo een meter is enkel

bruikbaar omdat hij vooraf geijkt werd aan de hand van een referentiebron.

5. Belangrijke meetprincipes.

5.1. Nulmeting.

Bij een nulmeting tracht men de conditie X = f (G1, G2, …) exact in te stellen door de indicatie van

een instrument nul te maken. Men gaat er van uit dat "niets beter te meten is dan niets". Hierbij

vergelijkt men feitelijk een grootheid met een andere gelijkaardige grootheid die afgeleid wordt van

een referentie. Men heeft bijgevolg de volgende componenten nodig:

1. Een nuldetector (ND): dit is een toestel dat nul aanwijst indien twee gelijkaardige grootheden

ook dezelfde getalwaarde hebben. Een groot voordeel van deze methode is dat er geen

onnauwkeurigheden optreden t.g.v. bijvoorbeeld niet-lineariteiten van de nuldetector en dergelijke.

Met nulinstrumenten kan men dikwijls tot aan de grenzen van het fysisch mogelijke gaan. Moderne

elektronische apparatuur gebruikt meestal nuldetectoren, maar dan wel in een verdoken vorm.

Bijvoorbeeld, in een analoog-naar-digitaal convertor speelt een comparator de rol van nuldetector.

2. Een referentiestandaard (R, N of S) van dezelfde aard als de onbekende. Dit kan een

spanningsbron, standaardweerstand, … zijn. De waarde ervan is R in de Fig. 1. 2.

3. Een actuator of regelparameter (k) die toelaat de uitslag van de nuldetector nul te maken.

Een nulmeting kan steeds voorgesteld worden door een teruggekoppeld systeem. Zie Fig. 1. 2. De

actuator k stelt in deze figuur een verzwakker voor. De transfer van de verschilgrootheid ε naar de

uitgang Eo (niet noodzakelijk een spanning) van de detector stellen we door A voor.

A 1-11

Fig. 1. 2. Model voor nulmeting.

De uitgangswaarde Eo wordt gebruikt om de actuatorstand k bij te stellen: k = f(Eo). Men neemt aan

dat k zijn volledig bruikbare gebied doorloopt voor Eo gelegen tussen eindige waarden E+ en E-

zodat het transferelement steeds operationeel blijft. In dat geval is:

X - k R = ε = Eo /A.

In een gevoelig systeem is A zeer groot zodat ε → 0, dus X → kR bij evenwicht.

Zelfs indien Eo perfect op nul zou kunnen geregeld worden blijft er toch steeds een fout op X over.

Zowel met de actuatorstand k als met de referentiewaarde R is er immers een relatieve fout (RF)

geassocieerd. De relatieve fout op X is dus:

RF(X) = RF(k) + RF(R).

Voorbeelden. 1. Wheatstonebrug: de aflezing is functie van een onbekende weerstand Rx en drie normalen of referenties

R1, R2, R3. De actuator is bijvoorbeeld R1. Bij een manuele brug leest de operator het nulinstrument af en hij

regelt R1 totdat er geen uitslag meer is. In dat geval wordt Rx = R1 R2 / R3.

Hier zijn k en R dus als een entiteit te beschouwen, nl. de regelbare R1, en de terugkoppeling is zeer

ingewikkeld:

ε → uitslag Eo nulinstrument → oog operator → regelactie operator doet ε in dalende zin gaan

→ nieuwe ε.→ enz… totdat de aflezing nul wordt

Deze terugkoppeling maakt niet alleen gebruik van een reeks tussenvariabelen, maar ze werkt daarbij ook

nog diskreet (in stappen), dus niet continu. Het actuatorelement wordt in dit geval ook nog de regelparameter

genoemd.

2. Compensator voor het meten van e.m.k. De uitslag a van het nulinstrument is functie van de onbekende

spanning Vx, de referentiebron VR en de stand van de compensatorschakelaars. Wanneer de aflezing a = 0

A 1-12

wordt, is Vx = VR × constante. De constante wordt rechtstreeks afgelezen of berekend uit de stand van de

compensator.

5.2. Aflezing- of afwijkingsmethode.

Bij een aflezingmethode zullen de aflezingen a1, a2,…, an op één of meerdere instrumenten de

onbekende X bepalen:

X = f (a1, a2, … , an).

De maximum absolute fout is hierbij:

1 21 2

d .d .df f | X | = | a | + | a | + ...a a∂ ∂∂ ∂

Waarden afgelezen op een instrument zijn echter doorgaans onnauwkeuriger dan instellingen van

een actuator of regelparameter. De uiteindelijke totale RF kan dus groot zijn.

Voorbeeld: de stroom-spanning methode ter bepaling van een weerstand X. Meet men de spanning over X en

t.z.t. de stroom erdoor, dan is X = V/I. De maximale relatieve fout op X bedraagt: RF(X) = RF(V) + RF(I). De

maximum fout zal nu bepaald zijn door de nauwkeurigheid van de stroom- en spanningsmeters.

Wegens de eenvoudige en directe uitvoering van deze methode zal men ze dan ook een "technische

methode" noemen. Een hoge nauwkeurigheid is bij een technische meting immers dikwijls minder

belangrijk dan de snelheid waarmee die meting wordt uitgevoerd.

5.3. Resonantiemethode. Hierbij wordt een actuator zo ingesteld dat een minimum of maximum waarde wordt afgelezen op

een instrument; de afleeswaarde zelf is niet noodzakelijk belangrijk. De resolutie zal zeker kleiner

blijven dan bij een nulmethode. Het is immers onmogelijk dezelfde gevoeligheid als bij een

nulmethode te bekomen omdat de fouten van het instrument een grote rol spelen. In de meeste

gevallen is niet de waarde van een dergelijk extremum belangrijk maar wel de waarde die het

regelelement aanneemt bij dit extremum.

Voorbeeld: bij resonantie is de impedantie van een parallel LC-kring het grootste. Zoekt men dit maximum

d.m.v. een generator met regelbare frequentie dan treedt resonantie op bij 4π2 fo2LC = 1 en fo wordt afgelezen

op de generator. Als alternatief kan men de fase van de impedantie bepalen; bij resonantie wordt deze nul.

5.4. Valse nulmethoden. Hierbij doet men dezelfde meting onder twee verschillende condities van de instelparameters, maar

zodanig dat men telkens dezelfde aflezing krijgt. Daardoor verdwijnt de invloed van de niet-

lineariteit en de gevoeligheidsconstante van het instrument. De aflees- en resolutiefouten blijven

nochtans bestaan.

A 1-13

Voorbeeld: bepaling van de inwendige weerstand van een galvanometer d.m.v. de methode der gelijke afwij-

kingen.

5.5. Substitutiemethode. Combinaties van bovenstaande methoden zijn zeker mogelijk zoals bij de substitutiemethode.

Daarbij wordt een onbekende, d.m.v. onnauwkeurige maar goed instelbare elementen, gemeten met

een nulmethode. De onbekende wordt daarna vervangen door een regelbare normaal die zo

ingesteld wordt dat de meter terug nul aanwijst. Men heeft dan:

Onbekende = Normaal.

De nauwkeurigheid die men kan bereiken is hoofdzakelijk bepaald door de normaal. Omdat een

regelbare normaal veel bijkomende elementen zoals schakelaars e.d. bevat is de uiteindelijke

nauwkeurigheid slechter dan van een ideale nulmethode die een vaste normaal gebruikt.

6. Nauwkeurigheid van metingen.

Het met zekerheid exact bepalen van een fysische grootheid is onmogelijk. Een meetresultaat met

ongekende nauwkeurigheid heeft echter geen waarde. Bij elke meetmethode zal dan ook steeds de

studie van de fouten worden gemaakt. In de practicumnota’s zullen enkele algemeenheden

aangaande de fouten worden besproken (o.a. bij Wheatstonebrug). Daarbij zullen de begrippen

relatieve fout (RF) en absolute fout (AF) een rol spelen.

In de praktijk bezit men dikwijls een component met een zekere nominale- of noemwaarde. De

noemwaarde is het ideale getal dat men met die component associeert. Uiteraard heeft deze

component een werkelijke waarde.Wordt hij uitgemeten, dan leidt dit tot een gemeten waarde.

Schematisch:

NOEMWAARDE → WERKELIJKE WAARDE → GEMETEN WAARDE

wat men wenst te hebben wat men heeft wat men denkt te hebben

Per definitie is de correctie C dan de waarde die men bij de noemwaarde moet optellen om de

werkelijke waarde te vinden:

WERKELIJKE WAARDE = NOEMWAARDE + CORRECTIE, of nog: WW = NW + C.

Een schatting van de correctie C bekomen we uit de gemeten waarde:

gemeten waarde C NW= − .

Omdat de correctie volgt uit een meting met beperkte nauwkeurigheid bekomt men in werkelijkheid

een schatting van de werkelijke waarde. De RF waarmee C bepaald wordt (ε) mag vrij groot zijn.

A 1-14

Stel dat de absolute fout AF(C) op C gekend is dan is ε = AF(C) /C. Daaruit volgt dat de RF op de

schatting WW gegeven is door:

RF( ) C C WW = WW NWε ε

≈ .

Omdat de correctie klein is t.o.v. NW en dus ook t.o.v. WW blijft RF(WW) klein, zelfs al zou

bijvoorbeeld ε = 0,5 worden. Een onnauwkeurige correctie is in elk geval beter dan geen correctie,

tenminste als het teken ervan juist is.

De uiteindelijke meetfout hangt enerzijds af van de nauwkeurigheid van de normalen en precisie-

componenten die in de opstelling gebruikt worden, maar anderzijds ook van de gevoeligheid en

reproduceerbaarheid van het instrument.

6.1. Gevoeligheid. Gevoeligheid heeft meerdere betekenissen:

1. Kleinste grootheid of variatie van een grootheid die nog meetbaar of onderscheidbaar is door het

instrument. Beter is het te spreken van resolutie of discriminatie.

2. Verandering in afgelezen of gemeten waarde veroorzaakt door de variatie van een

regelparameter. Stel bijvoorbeeld, dat bij regelen van een Wheatstonebrug, de regelweerstand R

over ten hoogste ∆R mag verdraaid worden voordat de aflezing van het evenwicht zichtbaar

verandert. Daarmee corresponderen dan respectievelijk de waarden X en X+∆X voor de te meten

weerstand. De gevoeligheid is dan ∆X /∆R. Beter is het de verhouding van de procentuele variaties

te beschouwen:

.XR

XXS RR

∆

=∆

Men spreekt dan van sensitiviteit. Deze sensitiviteit hangt af van het instrument en van het meetnet-

werk. Het getal S kan uit het netwerk van de meetketen afgeleid worden indien eveneens de

gevoeligheid van het instrument gekend is.

6.2. Reproduceerbaarheid. Dit is de eigenschap van een instrument of meting om, bij herhaling van een experiment onder

dezelfde condities, hetzelfde resultaat op een kleine dispersie na, te produceren.

Voorbeelden van resolutie en reproduceerbaarheid.

(1) De resolutie van wijzerinstrumenten wordt veroorzaakt door het feit dat slechts een beperkt aantal

schaalverdelingen aanwezig zijn. Bij digitale instrumenten is de resolutie normaal 1 LSD (= least

significant digit), soms wel 2 LSD. Resolutie op zich is echter geen maat voor fout. Bij een goed

A 1-15

meettoestel moet de resolutie echter altijd veel kleiner zijn dan de fout. Het gebruik van een

spiegelschaal met een fijne wijzer verhoogt de resolutie van een analoog wijzerinstrument.

(2) Reproduceerbaarheid van een wijzertoestel. Daar waar digitale instrumenten meestal een grote

reproduceerbaarheid vertonen onder gunstige condities, bezit het wijzerinstrument een aantal inherente

fouten die de reproduceerbaarheid beperken. Eén daarvan is de wrijving op de lagerpunten. Het

verschil tussen statische en dynamische wrijvingscoëfficiënt veroorzaakt namelijk hysteresis waardoor

de reproduceerbaarheid afneemt.

Fig. 1. 3. Resolutie bij analoog en digitaal instrument.

Laat men bijvoorbeeld bij een voltmeter de ingangsspanning Vin gradueel toenemen van nul tot V en

gaat men terug naar nul dan kan men het verloop verkrijgen van de Fig. 1. 4. De wijzer komt slechts

in beweging wanneer Vin groter wordt dan een kleine waarde ∆ .

Fig. 1. 4. Hysteresiseffect bij het wijzerinstrument.

Een gelijkaardig fenomeen treedt op wanneer men Vin terug langzaam laat dalen. Er ontstaat een

hysteresisband die helaas veranderlijk en onvoorspelbaar is en waarvoor geen correctie mogelijk is.

Deze fout, en al de andere, worden nu samengevat in één getal, namelijk de instrumentenklasse.

Volgens de CEI heeft men de volgende klassen:

A 1-16

Klasse 0,05 0,1 0,5 1,0 1,5 2,5 5,0.

Het klassengetal geeft, per definitie, aan dat:

eindeschaalwaarde absolute fout in elk punt van de schaal Klasse100

FS ≤ ×

De klasse garandeert dus de relatieve fout niet. Wel geldt er:

Klasserelatieve fout in punt100 aflezing

FS

×≤

×

Voorbeeld.

Op een ampèremeter staat: Klasse = 0,2. We meten een stroom en lezen 2A af op de 10 A schaal. Hoe groot

is de te verwachten fout?

Een aflezing 2A bij een eindeschaalwaarde (FS) 10A geeft een RF ≤ 0,2 x 10/2 % = 1 % in dit 2A punt.

Bij een goed toestel is het klassengetal terug te vinden onderaan op de schaal, tesamen met de aanduiding van

het soort instrument, de werkpositie (horizontaal of vertikaal) en de isolatiespanning in kV. De

isolatiespanning is aangeduid in kV in een vijfhoekje.

De resolutie van digitale instrumenten wordt dikwijls beperkt door ruissignalen in de meetketen. Bij

het meten van zeer kleine spanningen kan men het aantal digits niet onbeperkt opvoeren. Men

ervaart dat vanaf een zeker aantal significante digits de aflezingen bij iedere meetcyclus een andere

waarde vertonen. Het kleinste digit dat een stabiele waarde laat zien definieert dus de feitelijke

resolutie van de meetketen. Verder zullen we dieper op dit ruisprobleem ingaan.

A 1-17

Fundamentele Elektrische Metingen Hoofdstuk I. Algemene Begrippen. 1. Inleiding. .....................................................................................................................................1 2. Wat is een (elektrische) meting? .................................................................................................2

2.1. Inleiding. .............................................................................................................................2 2.2. Metingen en eenheden.........................................................................................................3

2.2.1. Definitie van een meting. ............................................................................................3 2.2.2. Eenheden. ....................................................................................................................3 2.2.3. Fundamentele eenheden...............................................................................................3

2.3. Definitie van de grondeenheden in het S.I.-stelsel. ..............................................................4 3. Tabel II. Enkele veelgebruikte technische eenheden van arbeid ................................................6

3.1. Keuze van de meetmethode. ................................................................................................7 3.1.1. Rechtstreekse of directe methoden...............................................................................7 3.1.2. Rechtstreekse of directe methoden...............................................................................8

3.2. Correcte opstelling van de apparatuur. .................................................................................8 3.3. Vastleggen van gegevens en resultaten. ...............................................................................8 3.4. De bepaling van de nauwkeurigheid der resultaten. .............................................................8 3.5. Opstellen van een rapport.....................................................................................................8

4. Meetmethoden.............................................................................................................................9 4.1. Absolute methode. ...............................................................................................................9 4.2. Relatieve methode. ............................................................................................................10

5. Belangrijke meetprincipes.........................................................................................................10 5.1. Nulmeting. .........................................................................................................................10 5.2. Aflezing- of afwijkingsmethode.........................................................................................12 5.3. Resonantiemethode............................................................................................................12 5.4. Valse nulmethoden. ...........................................................................................................12 5.5. Substitutiemethode.............................................................................................................13

6. Nauwkeurigheid van metingen..................................................................................................13 6.1. Gevoeligheid......................................................................................................................14 6.2. Reproduceerbaarheid. ........................................................................................................14

A 2-1

HOOFDSTUK II. ALGEMENE STRUCTUUR VAN EEN MEETKETEN.

INLEIDING In de moderne industriële meettechniek zal men meestal weinig geïnteresseerd zijn in de meting van

zuiver elektrische grootheden. Zo wenst men bij het walsen de plaatdikte constant te houden. Bij het

vullen van de conservendozen zal men een nauwkeurig bepaald gewicht in de doos laten lopen. Voor

het steriliseren van de inhoud is een zeer precieze temperatuurcontrole vereist. Een aantal van die

metingen kan uiteraard met klassieke niet-elektrische instrumenten worden uitgevoerd (thermometer,

balans, …) maar dit is dan meestal alleen het geval wanneer speciale testen worden uitgevoerd. In

vele industrieën doet men aan procescontrole en in dit geval zal een computer data moeten

verzamelen van vele meetpunten. Fig. 2. 1 is een voorbeeld geschetst van een meetketen die kan

gebruikt worden voor deze doeleinden.

Fig. 2. 1. Voorbeeld van een algemene meetketen.

De grootheden die men wenst te meten (massa, temperatuur, debiet, …) moeten vooreerst omgezet

worden in een elektrisch signaal d.m.v. een meetopnemer en transducer. Het signaal wordt daarna zo

geconditioneerd dat het voldoet aan zekere eisen van schaalfactor, meetbereik, … De uitgangs-

grootheid van die signaalconditioneringseenheid is meestal een spanning of stroom, en soms

frequentie. Dit geconditioneerde signaal wordt eventueel getransporteerd in een kanaal, waarna er

verschillende mogelijkheden tot verwerken bestaan. Bij vele rechtstreekse metingen volstaat een

eenvoudige omzetter (display waarop het resultaat wordt afgelezen) om bruikbare resultaten op te

leveren. Voor procescontrole of meer ingewikkelde metingen is een computer nodig die, met vooraf

bepaalde algoritmen, de meetgegevens verwerkt. Daartoe zal men eerst de analoge gegevens, die uit

het kanaal komen, omvormen naar digitale waarden in een analoog-digitaal converter (ADC). Het

A 2-2

resultaat van de gegevensverwerking kan naar buiten gebracht worden onder de vorm van grafieken,

tabellen, geluidssignalen, enz… naargelang de behoefte. Bij procescontrole, waar het de bedoeling is

om een proces optimaal te laten functioneren, zal er dikwijls een terugkoppeling bestaan (manueel of

automatisch) die de excitatie van de meetobjecten zo regelt dat de procesparameters zo dicht

mogelijk de optimale benaderen. Verder kan een elektronische schakelaar of multiplexer (MUX) de

gegevens van verschillende meetkanalen sequentieel naar de ADC doorsturen. Op deze wijze kan

men dan vele metingen per seconde verrichten.

Zelfs als het bovenstaande algemene schema een goed beeld schetst van het moderne meetsysteem en

zijn toepassingen moet men toch inzien dat het maar één mogelijke vorm is. Men vindt bij praktische

realisaties afwijkingen van dit schema op bijna elke mogelijke plaats. Daarenboven is de materie zo

uitgebreid, dat elk deel van de keten een specialisatie op zichzelf vereist wil men het grondig

bestuderen. Het is ook mogelijk dat er delen van deze algemene meetketen ontbreken. Zo is er bij-

voorbeeld bij de meting van spanning niet altijd een speciale transducer nodig. Het transportkanaal

kan een eenvoudige draad zijn, de gegevens kunnen vóór transport of door de transducer al in digitale

gedaante omgezet worden, enz …

De verwerkingseenheid bestaat meestal uit een computer of PC en dit laat uiteraard toe, via de

software, om de meest gecompliceerde algoritmen uit te voeren indien er voldoende tijd beschikbaar

is. Niettegenstaande de grote vooruitgang op dit gebied, blijken vele toepassingen niet uitvoerbaar

onder deze vorm vanwege de lange rekentijd vereist om sommige algoritmen uit te voeren. On-line

bewerkingen op analoge TV beelden e.d. zijn aldus op deze wijze lastig uit te voeren met gewone

PC’s. Teneinde dergelijke problemen aan te pakken, worden dan gespecialiseerde rekeneenheden

aangewend die ontworpen werden voor de grootst mogelijke verwerkingssnelheid. Het spreekt

vanzelf dat men daardoor de universele bruikbaarheid van computer of PC verliest. Gaat men nog

verder in die richting dan belandt men uiteindelijk in het domein van de gespecialiseerde

instrumenten die slechts een duidelijke vooraf bepaalde taak snel en precies kunnen afhandelen.

Voorbeelden: de spectrumanalyser, de vervormingsmeter.

Fouten kunnen op vele plaatsen in de algemene meetketen optreden. Dit kan zover gaan dat de

meting van een grootheid met eenvoudige instrumenten soms nauwkeuriger uitvalt dan deze verricht

met het universele (en veel duurdere) systeem. In het algemeen kan men stellen dat met elke blok in

Fig. 2. 1 een fout is geassocieerd en men zal dus zo mogelijk het aantal blokken beperken.

We zullen proberen om de belangrijkste aspecten van de meetproblematiek in het kort te behandelen

en in het bijzonder de nadruk leggen op de noodzaak van modellering. Modelvorming is steeds nodig

om de eigenschappen van een meetmethode of proces te kunnen begrijpen. Tevens laat een model toe

om schattingen te maken van de fouten en onzekerheden die de meting bezoedelen. Ten slotte wijst

A 2-3

het model soms aan welke waarde vrije parameters moeten aannemen om een minimale totale fout te

bekomen bij de meting.

1. Het meetobject

1.1. Modelvorming: omgevingfactoren. Grove fouten treden soms op bij metingen wanneer men heeft verzuimd een model van het

meetobject op te stellen. I.h.b. wanneer mechanische grootheden tussenkomen in het model is zoiets

mogelijk. De aanwezigheid van een excitatiebron is niet steeds vereist, maar indien dit wel het geval

is moeten ook de eigenschappen van deze bron gemodelleerd worden. De omgeving kan eveneens

een grote invloed uitoefenen op de meting.

(1) Nemen we als voorbeeld de vrije val van een lichaam in de lucht. De aard van de excitatie en de

zin ervan zijn gekend: het is de valversnelling g die naar het centrum der aarde is gericht. De grootte

van g kunnen we bepalen door bijvoorbeeld de tijd t te meten die het lichaam nodig heeft om over

een zekere afstand s te vallen. Voor een voorwerp dat in het luchtledige valt is eenvoudigweg g =

2s/t2. In de aanwezigheid van lucht geldt dit echter slechts bij benadering: er moet rekening gehouden

worden met de luchtweerstand en dus met de dichtheid van de lucht, de vorm en grootte van het

voorwerp, vochtigheidsgraad, … Het opstellen van een model is in dit geval zo ingewikkeld dat men

onmiddellijk de indruk krijgt dat bovenstaande methode niet geschikt is om g te bepalen. Het aantal

parameters, dat bij de oplossing van het probleem betrokken wordt is immers veel te groot geworden

en de parameterbepaling of parameterestimatie is een (meet-)probleem op zich. De modelstudie geeft

wel een inzicht over deze storende factoren en over de wijze waarop men hun invloed kan beperken.

Aldus ziet men in, dat de proef die g moet opleveren zeker in het luchtledige moet worden uitgevoerd

om betrouwbare resultaten op te leveren.

Dit voorbeeld illustreert een belangrijk principe: tracht steeds de omstandigheden zo te kiezen dat de

meting zo direct mogelijk gebeurt, voor zover de instrumenten het toelaten.

(2). Voorbeeld uit de elektrotechniek: de bepaling van de capaciteitswaarde van een condensator met

afscherming M.

De noemwaarde van deze condensator is CHL. Wil men CHL meten dan moet rekening worden

gehouden met de capaciteiten CHM en CLM van de aansluitklemmen naar de afscherming. Men kan

CHL meten door drie opeenvolgende metingen de doen met een capaciteitsmeter: men meet de

capaciteit tussen de klemmen H-L, H-M en L-M. Principieel1 volgen daaruit CHL, CHM en CLM. Beter

1 In werkelijkheid is de determinant van het stelsel dat men bekomt echter nul zodat dit zo niet gaat. Men zal daarom drie metingen uitvoeren waarbij men eerst H met M verbindt en CLM meet, enz …Uit deze metingen volgen de drie onbekenden.

A 2-4

is het echter een methode te gebruiken die enkel CHL meet en waarbij de invloed van CHM en CLM

geneutraliseerd wordt.

Fig. 2. 2. Equivalent model van een afgeschermde condensator.

Bij een tweeklemmen condensator stellen deze laatste de capaciteiten van de aansluitdraden t.o.v. de

omgeving voor en deze kunnen dus zeer slecht gedefinieerd zijn. Bij een 3-klemmen condensator

worden de capaciteiten van de aansluitdraden gevoegd bij CHM en CLM. We zullen verder de

condensatormodellen in detail bespreken.

1.2. Modelvorming: definitie van de onbekende grootheid. Voor de meeste fysische grootheden kan men wetten opschrijven die het verband van de grootheid

met andere vastleggen. In het fysische denksysteem tracht men deze verbanden consistent te maken.

M.a.w., er mogen geen tegenstrijdigheden optreden bij het berekenen van verschijnselen indien men

het probleem langs verschillende wegen oplost. Zo zijn de oplossingen voor de stromen en

spanningen in een netwerk dezelfde bij aanwending van de lusmethode, de knooppuntenmethode,

integratie van de differentiaalvergelijkingen, enz… Fysische elementen voldoen echter zelden aan

een ideale voorstelling en vandaar dat verschillende methoden voor het meten van een grootheid

kunnen leiden tot verschillende waarden geassocieerd met de grootheid!

Voorbeeld 1: de capaciteit van een condensator.

In het geval van een ideale condensator zijn de onderstaande definities van capaciteit gelijkwaardig:

0 2

d 1 2d

Q S v W C = , C = , C = i/ , C = , C = , ...V d t | Z | V

εεω

Niettegenstaande de onzekerheid op de metingen, bereikbaar met methoden overeenstemmend met

deze definities, zeer klein kan gemaakt worden, zal men waarnemen dat min of meer grote afwij-

kingen tussen de resultaten vaak voorkomen. Dit betekent dat het ideale model van de condensator

(ook van de spoel) niet bestaat en dat men moet overgaan naar nieuwe modellen of uitbreiding van de

bestaande. Het handigste is in eerste instantie de uitbreiding van de bestaande modellen met reeds

gekende. Bijvoorbeeld: het toevoegen van een serieweerstand bij een condensator om een deel van de

A 2-5

verliezen voor te stellen (dit is tegenstrijdig met de eerste definitie daar deze serieweerstand op geen

enkele manier invloed op Q/V zal hebben). Voor elke component zullen we daarom steeds mogelijke

modellen opgeven wanneer we de meting van een component beschrijven. Wanneer men overgaat

naar hogere meetfrequenties worden de afwijkingen groter en groter. Dit is een gevolg van het feit

dat componenten niet meer als geconcentreerd kunnen beschouwd worden, maar wel verdeeld

(“distributed”) in de ruimte. In dat geval gaat men over naar voorstellingen waarin transmissielijnen

een grote rol spelen. We zullen de modellen van R, L en C verder nog bespreken.

Voorbeeld 2: spanning in functie van de tijd.

Signalen kunnen voorgesteld worden in het tijdsdomein of in het frequentiedomein. Wil men een spanning v(t)

afbeelden dan kan dit o.a. met de oscilloscoop. Spanning is weliswaar een abstract begrip maar toch kan het

fysische effecten produceren. Men zou evengoed het elektrische veld kunnen voorstellen vermits beide met

elkaar verbonden zijn door V = - ∫ E dl. In sommige gevallen (golfpijpen bijvoorbeeld) heeft het begrip

spanning geen enkele betekenis meer en kan de lijnintegraal definitie niet gebruikt worden.

2. De meetopnemer en/of transducer. De meetopnemer en transducer vormen zeer dikwijls een geheel. Transducers of omzetters worden

gebruikt om fysische grootheden in een elektrische om te zetten. Bij zuivere elektrische metingen zijn

gespecialiseerde transducers zelden nodig; heel dikwijls volstaat een transformator of eenvoudiger

nog enige weerstanden. De belangrijke modelparameters van een transducer zullen in het hoofdstuk

over de transducers besproken worden. Bij wijze van voorbeeld geven we hier enkele parameters die

het model van een shunt (omzetter van stroom naar spanning) bepalen. Meestal volstaat het op te

geven: weerstandswaarde, tolerantie en maximaal toelaatbare dissipatie. In een aantal gevallen kan de

temperatuurcoëfficiënt (tempco, kortweg TC) ook een rol spelen. Het dynamisch gedrag zal enkel bij

hogere frequenties meespelen. In een model dat daarmee rekening houdt zal men bijvoorbeeld

parasitaire capaciteiten en zelfinducties invoeren.

3. Signaalconditionering. De signaalconditioneerder is doorgaans een versterker met eigen model wat betreft lineariteit,

dynamisch gedrag, enz… Tevens zorgt deze versterker voor de noodzakelijke isolatie tussen het

meetobject en de rest van de meetketen.

4. Kanaal. De gegevens die uit de signaalconditioneerder komen worden analoog of digitaal over het

transmissiekanaal verstuurd. Ingewikkelde modellen maken gebruik van parameters zoals: de

vertraging die het kanaal geeft aan de signalen, invloed van storingen (atmosferische, door

elektrische apparatuur veroorzaakte impulsen of ruis, …). Nochtans kunnen zelfs de eenvoudigste

A 2-6

kanalen, bijvoorbeeld een draad, reeds problemen geven. Een zeer eenvoudige meetketen zoals

gebruikt bij stroommeting illustreert dit: Fig. 2. 3.

Fig. 2. 3. Fouten veroorzaakt door de aansluitkabel van een meettoestel.

Stroom door het meettoestel m1 2

aflezing RI Ig R r r

= =+ + +

.

1 2 1 2mDus is de werkelijke (1 ) en de RF bedraagt .g r r g r rI I

R R+ + + +

= +

In de aansluitklemmen A, B, C, D kunnen t.g.v. temperatuursverschillen thermo-e.m.k.’s ontstaan die

merkbare fouten produceren. Voor een overgang Cu-NiCr bedraagt de temperatuurcoëfficiënt slechts

1,5 µV/°C maar bij gevoelige meters kan dit voldoende zijn om, zelfs zonder stroom in de

hoofdketen (I = 0), al een uitslag op te leveren. Bij de meting van ac-stroom zou de kabellus gevormd

door r1-r2-g uitwendige magnetische ac-velden kunnen oppikken die een foutstroom in het instrument

leveren. De zelfinductie van de lus kan dan eveneens een fout veroorzaken.

5. Display. Op deze plaats in de meetketen gebeurt de uitlezing meestal d.m.v. een wijzerinstrument of een

digitaal display. Noodzakelijk is dit niet: het resultaat kan ook een andere vorm, bijvoorbeeld door

een hoeveelheid neergeslagen materiaal zoals bij een chronometrie, afgebeeld worden. Is de output

van de signaalconditioneerder onder de vorm van impulsen dan kan, bij trage fenomenen, het aantal

pulsen geteld en afgelezen worden op een elektromechanische teller.

Naast het feit dat wijzerinstrumenten kunnen aanleiding geven tot afleesfouten, speelt hun dynamisch

gedrag eveneens een belangrijke rol. De kennis van het dynamisch gedrag is bijvoorbeeld

primordiaal indien het aandrijvend systeem van een Deprez-D'Arsonval toestel wordt aangewend als

aandrijvend systeem in schrijvende recorders. Het mechanische gedrag van dit instrument is

behoorlijk te voorspellen omdat het zich gedraagt als een tweede-orde systeem. In dat geval is het

model in feite een tweede-orde differentiaalvergelijking waarvan het tweede lid afhangt van de

A 2-7

manier waarop men de meter exciteert. De coëfficiënten van de vergelijking beschrijven de

wisselwerking tussen het mechanische systeem en de magnetische aandrijving. Bij digitale

aanwijsinstrumenten moet men rekening houden met de omzettijd.

6. A/D omvormer en verwerkingseenheid. De analoog-digitaal omvormer wordt beschreven door het aantal bits waarmee het analoge signaal

wordt benaderd bij een bemonstering, zijn omzettingssnelheid, dynamisch gedrag (insteltijd) en door

eventuele fouten veroorzaakt door zijn analoog gedeelte. Eens de ingangssignalen in digitale vorm

omgezet zijn is geen modellering meer nodig. Alle bewerkingen gebeuren nu op getallen. Maar, zelfs

na een ideale bemonstering van een continu signaal f(t) kunnen toch nog veel problemen optreden:

1. Afrondingsfouten als gevolg van de beperkte digitale resolutie. I.h.b. bij ingewikkelde

bewerkingen op de monsters kunnen deze fataal zijn.

2. Numerieke onstabiliteiten (bij het integreren van differentiaalvergelijkingen of het zoeken

naar de wortels van vergelijkingen).

3. De gegevens die binnenkomen, beschrijven het signaal f(t) maar binnen een eindig tijdvenster

en het bemonsterde signaal is feitelijk het product van f(t) met een vensterfunctie die in dat

geval rechthoekig is. Het bestaan van een tijdvenster (Fig. 2. 4) beïnvloedt de keuze van de

algoritmen die aangewend worden voor de signaalverwerking. Het deel van het signaal f(t)

binnen het venster zou moeten representatief zijn voor f(t) maar aan de randen t1 en t2 treden

discontinuïteiten op die een fout veroorzaken, de zogenaamde lekkage. De negatieve effecten

van een rechthoekige vensterfunctie kan men dikwijls verzachten door andere, minder steile,

vensterfuncties te kiezen (Hamming, Hanning, cosine, …).

Fig. 2. 4. Een tijdvenster is equivalent met het product van f(t) met een vensterfunctie.

4. Het oorspronkelijk analoge signaal is vervangen door een opeenvolging van eindige getallen

in een gediscretiseerde tijd. D.w.z. dat enerzijds de resolutie waarmee de grootheid gekend is

beperkt wordt door het aantal bits (n) dat de ADC aflevert: er blijven slechts 2n mogelijke

A 2-8

niveaus over. Anderzijds gelden deze waarden slechts op de tijdstippen van de bemonstering.

Tussen twee bemonsteringen in verdwijnt alle informatie over het signaal. Slechts als het

signaal aan bepaalde vereisten voldoet (monsternametheorema) kan men er zeker van zijn dat

dit euvel te herstellen is.

Fig. 2. 5. Effect van bemonsteren op t1, t2, … en discretisatie van de omzetting.

5. De indruk dat de meting zeer nauwkeurig is t.g.v. de grote afleesresolutie. Daar waar men bij

analoge instrumenten meestal op zijn hoede blijft voor de steeds bestaande onnauwkeurigheid

is dit meestal niet het geval bij een digitaal systeem. Ten onrechte wordt dan een zeer grote

resolutie verward met nauwkeurigheid. Omdat de uiteindelijke resulterende fout een gevolg is

van alle elementen uit de meetketen blijft er na kritische analyse meestal niet veel over van de

aanvankelijk optimistische verwachtingen.

7. Rol van de microprocessor in de meetketen. De introductie van microprocessoren in de instrumentatie heeft toegelaten intelligente metingen uit te

voeren. Daartoe wordt de processor gebruikt voor management en rekenwerk. Waar vroeger

computers enkel als dataverwerkingseenheid aangewend werden is dit nu niet meer het geval.

Gaandeweg werd de hardware in het instrument vervangen door software, waardoor de

betrouwbaarheid (reliability) toenam en de kostprijs daalde. Een typisch voorbeeld is de moderne

digitale voltmeter:

• De instelknoppen zijn vervangen door processorgecontroleerde elektronische schakelaars.

• De functies zijn meestal uitgebreider dan bij een gewone multimeter. Zo heeft men dikwijls

de mogelijkheid om naast spanning, stroom en weerstand ook verhoudingen van deze

grootheden te meten of zelfs frequenties.

• De functies kunnen gestuurd worden via een bus (bv. GPIB, IEEE 488); soms is het

instrument zelf gedeeltelijk programmeerbaar. Zelfs bij sommige relatief goedkope

universeelmeters is het mogelijk het toestel te sturen via een seriële bus (RS 232). De

resultaten kunnen via een bijgeleverd programma worden bekeken en bewaard.

A 2-9

Fig. 2. 6. Algemene opbouw van een digitaal meettoestel.

De processor controleert de (elektronische) schakelaar (MUX), de versterkingsfactor van de

versterker, de uitlezing, de bus. De volgende acties zijn dan mogelijk:

• Schalen van de ingang: y = s x + z met s de schaalfactor en z een offset; s en z kunnen vrij

worden ingesteld.

• Procentuele afwijkingen berekenen t.o.v. een waarde in het geheugen.

• Detectie of signalisatie van uiterste waarden (piek, dal).

• Autokalibratie: meting van eigen "offset" (dit is z) en versterking s d.m.v. een referentiebron.

• Linearisatie van het uitgangssignaal van sensoren (thermokoppel, …).

• Zelfdiagnose (bvb. FLUKE DVM bij opstarten).

De voordelen zijn duidelijk: grote betrouwbaarheid (minder componenten, wel VLSI circuits), grote

nauwkeurigheid (offset-reductie), geen of weinig mechanische schakelaars. Deze evolutie is ook in

andere meetapparatuur terug te vinden.

8. Traceability of herleidbaarheid.

8.1. Probleemstelling. Als gevolg van steeds strengere eisen die gesteld worden aan de kwaliteit van producten en aan

betrouwbaarheid en opvolgbaarheid van het productieproces is de kalibratie van meettoestellen een

(wettelijke) vereiste geworden. Kalibraties worden uitgevoerd d.m.v. kalibratoren. Dit zijn toestellen

die toelaten nauwkeurige metingen te verrichten of zelf spanningen te genereren en waarbij een

correctietabel behoort die toelaat de aflezing te corrigeren. De geldigheid van die tabel is echter

beperkt tot bijvoorbeeld 6 maanden. Daarna mogen de metingen er niet langer mee gecorrigeerd

A 2-10

worden. Om het certificaat van de kalibrator opnieuw geldig te maken moet hij zelf gekalibreerd

worden d.m.v. een nauwkeuriger toestel. Dit kan op verschillende manieren uitgevoerd worden:

1. In een standaardlab in het bedrijf en de kalibrator zelf kalibreren. Wegens het grote aantal

(zeer dure) toestellen dat men moet aanschaffen is dit een kostelijke zaak. Men heeft immers

minstens de volgende installatie of apparatuur nodig: een klimaatgeconditioneerde kamer,

temperatuurgeconditioneerde oliebaden, een stel standaardweerstanden, een bank

spanningsreferenties, precisie spanningsdelers. Men is verder verplicht de eigen standaarden

regelmatig te vergelijken met de nationale standaarden

2. De kalibrator verschepen naar een standaardlab dat de kalibratie uitvoert en certificeert. Een

nadeel is dat de kalibrator lange tijd niet beschikbaar is en dat er tevens geen enkele zekerheid

bestaat omtrent de stabiliteit van zijn werking als gevolg van het vervoer tijdens de terugreis.

3. Gebruik maken van een tussenapparaat, nl. de transferstandaard, welke meetwaarden bevat

die in de productieomgeving kunnen toegevoerd worden aan de kalibrator. Deze laatste blijft

dus ter plaatse en steeds beschikbaar. Men start de vergelijkingsprocedure enige tijd vóór de

kalibratietabel vervalt.

Twee basisprincipes kunnen daarbij aangewend worden.

1. De transferstandaard bevat slechts één of enkele referenties zoals een 10 V spanningsbron en

enkele weerstanden, maar daaruit worden d.m.v. verhoudingsmetingen waarden afgeleid voor

andere bereiken. Dit is echter een complex proces dat men liefst vermijdt omdat het

onmogelijk is na te gaan of alle afgeleide waarden wel correct zijn. Een dergelijk toestel

noemt men soms een artefact omdat het op kunstmatige wijze die tussenwaarden genereert.

2. De transferstandaard bezit een vrij groot aantal vaste grootheden die een ruim gebied

bestrijken. Deze grootheden kunnen afwijken van hun noemwaarde maar de afwijking t.o.v.

een nationale standaard is gekend. Ook wisselspanningen van verschillende waarde en

frequentie kunnen door het toestel worden gemeten.

Een dergelijk toestel, voor het eerst op de markt gebracht in 1991 door de firma DATRON, heet een

multifunctie transferstandaard (MTS). Het belangrijkste kenmerk ervan is de stabiliteit t.o.v. tijd en

temperatuur evenals zijn ongevoeligheid voor transportfactoren (schokken, temperatuur). De MTS

kan zelf waarden meten en wordt gekoppeld met een PC of computer, via de GPIB bus, die het

kalibratieproces controleert. De MTS bevat twee geheugens:

• "Baseline" geheugen: de baseline-kalibratie constanten van de MTS worden bij productie

bepaald en worden voor de verdere levensduur bewaard in dit geheugen.

A 2-11

• "Certified" geheugen: de certified-kalibratieconstanten worden bepaald bij elke

vergelijking van de MTS met een standaard.

8.2. Traceability of herleidbaarheid.

In feite wil men steeds weten hoeveel een toestel afwijkt t.o.v. de nationale standaardwaarden. Dit

wil zeggen dat men de correcties moet kennen die gepaard gaan met de verschillende toestellen in

een meetketen (hier: toestel → kalibrator → MTS → nationale standaard).

Herleidbaarheid of “traceability” is nu gedefinieerd (o.a. MIL 45662A, ASAP6.) als "de

mogelijkheid om individuele meetresultaten met elkaar te relateren via een ononderbroken keten van

kalibraties".

Indien bijvoorbeeld labo A zijn Westonreferentie wil vergelijken met deze van labo B dan kan men

de resultaten met elkaar verbinden door bovenstaande keten tweemaal te doorlopen (eenmaal vanuit

A en eenmaal vanuit B). De traceability procedure kan nu op twee wijzen verlopen.

8.2.1. "Gebruiker gecontroleerde methode": Fig. 2. 7a. De MTS is in het bezit van de gebruiker. De kalibratieprocedure omvat de volgende stappen:

1. Een veertiental dagen voor het verstrijken van het certificaat van de fabriekskalibrator

worden de MTS "baseline" geheugenwaarden van de meetpunten vergeleken met de

kalibrator punten. Deze waarden worden opgeslagen in een geheugen van de kalibrator.

2. MTS wordt verstuurd naar het Cal Lab. Daar wordt de MTS gekalibreerd en de correcties

worden bewaard in het certificeergeheugen.

3. MTS wordt teruggestuurd naar de gebruiker. Daar wordt het "baseline" geheugen opnieuw

vergeleken met de kalibrator. Zijn de resultaten onveranderd of praktisch gelijk dan wordt de

kalibrator definitief gekalibreerd met de waarden uit het certificeergeheugen.

Deze procedure zorgt ervoor dat alle wijzigingen aan MTS te wijten aan het transport of instabilit-

eiten van de kalibrator zelf aan het licht komen. In het voorbeeld van de labo's A en B moeten beide

dus dezelfde procedure volgen: elk labo kalibreert zijn cel d.m.v. de gecertificeerde waarden en op

deze wijze kent men het verschil tussen de beide cellen zonder dat deze moeten verplaatst worden.

8.2.2. "Cal Lab gecontroleerde methode": Fig. 2. 7b.

Het standaard labo is nu eigenaar van een MTS. De stappen zijn de volgende:

1. Na kalibratie wordt de MTS verstuurd naar het fabriekslabo waar de te kalibreren kalibrator

staat. Deze laatste is uitgerust met twee geheugens, nl. Cal 1 en Cal 2. Daarbij is Cal 1 het op

dat ogenblik geldige correctiegeheugen.

A 2-12

2. Met de MTS wordt nu het Cal 2 geheugen gekalibreerd, m.a.w. de afwijkingen van de

kalibratorpunten t.o.v. MTS punten worden erin bewaard.

3. De MTS wordt teruggestuurd naar het kalibratielabo. Daar wordt nagegaan of de MTS binnen

zijn specificaties gebleven is. Indien dit het geval is wordt een kalibratiecertifikaat uitgedrukt

en opgestuurd naar het fabriekslabo.

4. Bij ontvangst van dit certificaat kan men onmiddellijk de correcties van Cal 2 toepassen.

Mocht de MTS niet binnen zijn specificaties zijn gebleven dan betekent dit dat er tijdens het

transport iets is gebeurd. In dat geval moet men de cyclus herbeginnen. Deze werkwijze verzekert

de traceability en men kan de procedure in een 2-tal weken afwerken.

Justeren. Indien een kalibrator buiten zijn specificaties valt, bijvoorbeeld na reparatie, dan moet men een

"justering" uitvoeren. Justeren is het verrichten van handelingen nodig om de kalibrator geschikt te

maken voor zijn doel (m.a.w. terug binnen de specificaties te brengen). Daar justering inhoudt dat in

het toestel iets wordt afgesteld, is na justering een kalibratie nodig en moet een nieuw certificaat

worden opgemaakt. De justering zal doorgaans gebeuren bij de fabrikant van het toestel.

A 2-13

Fig. 2. 7. Gebruiker gecontroleerde methode en kalibratielabo gecontroleerde methode.

A 2-14

Hoofdstuk 2. Algemene structuur van een meetketen. 1. Het meetobject.............................................................................................................................3

1.1. Modelvorming: omgevingfactoren......................................................................................3 1.2. Modelvorming: definitie van de onbekende grootheid. ......................................................4

2. De meetopnemer en/of transducer...............................................................................................5 3. Signaalconditionering. ................................................................................................................5 4. Kanaal..........................................................................................................................................5 5. Display. .......................................................................................................................................6 6. A/D omvormer en verwerkingseenheid. .....................................................................................7 7. Rol van de microprocessor in de meetketen................................................................................8 8. Traceability of herleidbaarheid. ..................................................................................................9

8.1. Probleemstelling..................................................................................................................9 8.2. Traceability of herleidbaarheid. ........................................................................................11

8.2.1. "Gebruiker gecontroleerde methode": Fig. 2. 7a.............................................................11 8.2.2. "Cal Lab gecontroleerde methode": Fig. 2. 7b................................................................11

A 3-1

HOOFDSTUK III. ELEKTROMECHANISCHE INSTRUMENTEN.

1. Algemeenheden.

De werking van alle wijzerinstrumenten is gesteund op de wisselwerking tussen het veld opgewekt

door de aangelegde stroom of spanning en de magnetische of elektrische velden in het instrument.

Deze interne velden kunnen onafhankelijk van de stroom of spanning opgewekt worden of ontstaan

t.g.v. inductie. De onderstaande classificatietabel illustreert dit. We zullen de meest gebruikte

elektromechanische instrumenten wat meer in detail bestuderen.

In het algemeen, maar niet altijd, bestaat er een terugroepend koppel voor de wijzer van de meter. Bij

draai-instrumenten, waarin de wijzer roteert rond een vaste as, ontstaat dit terugroepend koppel door

de aanwezigheid van een spanband of een spiraalveer. Fig. 3. 1 toont als voorbeeld het Weston

draaispoelinstrument; dit is de industriële uitvoering van de Deprez-D’Arsonval (DD) galvanometer.

saffier

saffier

spiraalveer spanband

wijzer

draaispoel

magneet

spiraalveer

spiraalveer

tegengewicht

kern

weekijzeren

juk

Fig. 3. 1. Draaispoelinstrument van Weston.

Wordt de wijzer verplaatst over een hoek α dan ontstaat het terugroepend koppel Mr en met zeer

goede benadering is dit koppel evenredig met α (in rad of graden):

rM Cα= (3.1)

Het is niet persé nodig rotaties te hebben in instrumenten, omdat men ook gebruik kan maken van

lineaire verplaatsingen zoals bij de voltbalans van Kelvin. In zo een geval zal men eerder krachten

dan koppels bestuderen.

De essentiële werking van deze instrumenten kan beschreven worden met een energiebalans die

opgesteld wordt met de methode van de virtuele arbeid. Veronderstellen we dat de totale magneto-

statische of elektrostatische energie aanwezig in het veld van het aandrijfsysteem gekend is, nl. W.

Deze W kan functie zijn van α, of van de verplaatsing x, of van beide. Wanneer nu W zich wijzigt

A 3-2

t.g.v. een toevoeren van energie met als gevolg een draaiing of verplaatsing van het aandrijfsysteem,

zal men het behoud van energie schrijven als volgt: de energie, geleverd door het veld (via de bron),

wordt omgezet in mechanische energie (via een elektrisch moment of kracht) die de wijzer zal doen

uitslaan. Het aandrijfmechanisme genereert aldus hetzij een kracht F, hetzij een koppel M. Voor

infinitesimale variaties dW en dα kan men dan schrijven:

dRoterend systeem: d d of d

dLineair systeem: d d of d

WW M M

WW F x Fx

αα

= =

= = (3.2)

De kennis van W(α) of W(x) laat dus toe om M of F te berekenen. In de regimetoestand moet het

aandrijvend koppel M hetzelfde zijn als het terugwerkend koppel Mr (index komt van “repelling”),

dus M = Mr = C α. Voor het lineaire instrument kan een analoge betrekking geschreven worden,

bijvoorbeeld F = Fr = C x. In het geval van meters waarbij de krachtwerking geschiedt d.m.v.

magnetische velden kunnen deze opgewekt worden als volgt: (1) met spoelen, (2) met permanente

magneten of (3) met combinaties van beide. Het volstaat in dit geval W uit te drukken in functie van

de aandrijvende stromen.

Zijn er permanente magneten in het toestel aanwezig dan zal men aannemen dat het B-veld van de

magneet zeer weinig beïnvloed wordt door de aanwezige stroomvoerende spoelen. M.a.w. deze

spoelen wekken een dusdanig klein veld op dat B nauwelijks varieert wanneer de spoel zich verplaatst

of de stroom erin verandert. Dit betekent dat men de variatie van de inwendige energie van de

magneet, nl. de integraal van H.dB over het volume, verwaarloost. Tot slot merken we nog op dat de

bron soms extra energie moet leveren om Joule verliezen te compenseren. Bij het opstellen van de

energiebalans mogen deze verliezen uiteraard niet worden meegerekend omdat zij geen bijdrage

leveren tot de krachtwerking in het toestel.

1.1. Classificatie der mechanische instrumenten.

De figuren uit de classificatietabel tonen de energievergelijkingen en de belangrijkste toestellen die

volgens de drie aangehaalde principes werken. Na deze tabel volgt een meer gedetailleerde

beschrijving van deze toestellen. In alle gevallen bestaat het instrument uit een vast en een

beweegbaar deel (vaste en beweegbare “armatuur”). Het toestel met een beweegbare

wervelstroomschijf bezit twee vaste spoelen. In het Appendix III bij dit hoofdstuk geven we enkele

constructieve details en alternatieve uitvoeringen.

A 3-3

Classificatie Tabel.

Notaties: ψ is gekoppelde flux, L zelfinductie, Mij mutuele inductie tussen de spoelen i en j, C

capaciteit, ij ogenblikkelijke stroom in de spoel j.

1. Draaispoelinstrument (DD-galvanometer, Weston toestel)

Ψ = flux van magneet gekoppeld met i

212

W Li iψ= + en 212

LM = + iiψ

α α∂ ∂∂ ∂

i

magneet

vast

N Z

as

2. Weekijzer instrument (draai-ijzer

toestel)

212

W L i= en 212

LM iα∂

=∂

i

vast

i jzer

3. Elektrodynamisch toestel (L1 vast)

2 21 1 2 2 12 1 2

1 12 2

W L i L i L i i= + +

2 2 122 1 2

12

L LM = i + i iα α

∂ ∂∂ ∂

i2i

1

i jzer

vast

4. Inductie instrument (L1 vast): is een

bijzonder geval van een ED-toestel.

12 2 21 2 2

12

L LM = + i i iα α

∂ ∂∂ ∂

i2

i1

vast

A 3-4

5. Inductietoestel met koppeling via een

wervelstroomschijf

14 231 4 2 3

L L M = i i + i iα α

∂ ∂∂ ∂

i2

i3 i4

i1

( roterende )schij f

6. Elektrostatische instrumenten

2 21 1 en 2 2

CW CV F Vx

∂= =

∂

VC x

1.2. Deprez-d'Arsonval of WESTON draaispoelinstrument.

1.2.1. Opbouw, werkingsprincipe.

Dit instrument bestaat uit een vaste magneet en een draaibare spoel. Fig. 3. 2b en c geven

mogelijke uitvoeringen. De flux van de magneet veroorzaakt een gekoppelde flux Ψ met de

draaispoel. Verder bezit de spoel een zelfinductie die een stoorterm /L α∂ ∂ in de koppelvergelijking

toevoegt. Door constructie tracht men ∂L/∂α verwaarloosbaar te houden zodat het koppel alleen nog

bepaald wordt door M = i (∂Ψ/∂α) en α alleen evenredig met i wordt.

a b c

4

3

5

3

N Z

6

1

6

3N

Z

i2

1

N Z

24 3

Fig. 3. 2. Weston draaispoelinstrument.

In deze figuur herkent men de volgende onderdelen: (1) draaibare spoel, (2) spanbanden,

wringdraden en spiraalveer, (3) magneetpolen, (4) weekijzer kern, (5) luchtspleet, (6) weekijzer

juk.

Fig. 3. 2c toont een uitvoering met centrale magneet en een weekijzeren ring 4. De magneetpolen zijn

A 3-5

zo gevormd dat de inductie B in de luchtspleet zo constant mogelijk verloopt teneinde een goede

lineariteit te bekomen. Door de grote magnetische permeabiliteit van de kern en de constante

luchtspleet is B radiaal gericht in het nuttige draaigebied van de spoel.

Koppelberekening (Fig. 3. 3). De ruststand wordt bepaald door de positie van het raam waarin de

spiraalveren of spanbanden volledig ontspannen zijn. Het raam heeft een oppervlakte s, een lengte l

en een breedte 2r. Het aantal windingen op het raam is n. Bij het toevoeren van stroom aan het raam

wordt per winding een elementaire kracht i B dl op beide zijden van het raam uitgeoefend wat een

totaal koppel n B s i oplevert. Met C’= n B s is dus M = C' i. De spiraalveer levert een terugwerkend

koppel rM Cα= op zodat statisch evenwicht optreedt als:

of iC C C i i k .

n B sα α α′= = (3.3)

B

0

rust

b

i

i

ii

d lr

l

a

Fig. 3. 3. Koppelberekening

De factor ki noemt men de stroomconstante; ki is inderdaad nagenoeg constant omdat B ongeveer

constant is in het nuttige deel van de luchtspleet. De dimensie van ki hangt af van de manier van

aflezen. Hier is dim ki = A/rad of A/graad. Men noemt verder nog Si = 1/ki de stroomgevoeligheid.

Hetzelfde resultaat volgt uit de energiebalans. De flux gekoppeld met het raam is namelijk:

2 ( )0 = n B. r. .1 = n B s - ψ θ α θ , (3.4)

waaruit volgt: 1 02

2LM = + i = + n B s i = C iiψ

α α∂ ∂ ′∂ ∂

. (3.5)

Heeft de raamspoel een inwendige weerstand g dan ontstaat er een spanningsval over die spoel:

A 3-6

met i v vC e = g k k k = g .

n B sα α (3.6)

De constante kv noemt men de spanningsconstante. Het overeenstemmende statische eigenverbruik is:

22

i vCp e i k k g

n B sα α 2

= = =

.

1.2.2. Typereeksen.

Een typereeks bestaat uit een aantal instrumenten met een raam van constante geometrie maar

gewikkeld met verschillende draaddikten d. Het aantal windingen n nodig om het raam vol te

wikkelen hangt af van d. Drukt men uit dat de beschikbare wikkelruimte constant is dan moet:

2 constanten d = . (3.7)

Uit deze voorwaarde volgt dat de raamweerstand g voldoet aan:

2g n∼ , (3.8)

zodat met iCk

n B s= en v

Ck gn B s

= men bekomt:

2 2

22 2 22

constanti v in Ck k = g k = d n sB

∼ . (3.9)

Een stroomgevoelige meting vereist een grote Si of kleine ki, dus veel windingen. Het omgekeerde

geldt voor de spanningsgevoelige meter. Men ziet dat het statische eigenverbruik (of Jouleverlies) bij

een typereeks steeds hetzelfde is. Voor het typische Westontoestel is g = 1000 Ω bij een volledige

schaaluitslag van 100 µA. Het eigenverbruik is dan slechts 10 µW. Voor een galvanometer met

g = 100 Ω en een FS uitslag van 2,5 µA (slechts middelmatige gevoeligheid) is dit nog veel minder:

0,625 µW! Ter vergelijking: een IC dat bij 3 V voedingsspanning een ruststroom van 2 µA bezit

verbruikt 6 µW.

1.2.3. Constructieve details.

De veer of spanband heeft een zeer grote invloed op de grootte van het terugroepend koppel C α. Bij

technische instrumenten komt men de puntophanging en spanbandophanging tegen. Bij de

puntophanging met twee tappen is steeds een spiraalveer nodig die het terugroepend koppel levert.

Bij de spanbandophanging hangt de spoel M op aan twee korte (≈ 10 mm) spanbandjes die door de

bladveren F aangespannen worden zodat geen tapwrijving optreedt. De stootvangers S beletten een

A 3-7

beschadiging tijdens een eventueel transport of onzachte behandeling van de meter.

Beide ophangingen geven een compacte constructie, zijn redelijk sterk en min of meer bestand tegen

schokken en kunnen in verschillende posities gebruikt worden. De stroomtoevoer van het raam

gebeurt via de veren of banden (fosforbrons of Si-Cu legering). Deze constructie vormt een zwak

punt voor dit soort toestellen: indien de stroom te hoog wordt door een fout van de gebruiker dan

kunnen de veren te heet worden en hun elasticiteit verliezen.

puntophanging

saffier

vast punt

spiraalveer

FB

M

B F

veer

bandophangingspanbandophanging

S

Fig. 3. 4. Ophanging van het raam bij draaispoeltoestel.

De bandophanging wordt gebruikt daar waar de uiterste gevoeligheid vereist is. Het raam wordt dan

opgehangen aan lange banden of draden die opgespannen worden d.m.v. veren. Dergelijk toestel is

enkel geschikt voor labowerk: het is de galvanometer. Een nadeel is dat de eigenperiode van het raam

zeer groot wordt (zie verder). Er moet nog gewezen worden op het feit dat de punt- en

spanbandophanging ook bij andere dan Deprez-D'Arsonval instrumenten kunnen worden toegepast.

1.2.4. Aflezing.

De resolutie van de aflezing wordt, bij een perfect mechanisch draaisysteem, echter ook bepaald door

de wijze waarop de rotatiehoek α kan afgelezen worden. Meestal wordt aan het raam met spiraalveer

of spanband een dunne wijzer bevestigd. Parallaxfouten worden vermeden d.m.v. een spiegel die

onder de wijzer bevestigd is op de schaal. Het nulpunt wordt ingesteld door verplaatsing van het vaste

punt van de veer.

Bij sommige instrumenten zoals de spiegelgalvanometer wordt een lichtwijzer toegepast. Met een

lichtstraal wordt het beeld van een draad geprojecteerd op een schaal. De reflectie geschiedt op een

spiegeltje S dat bevestigd is op de draaispoel. Daardoor wordt in eerste instantie de draaihoek

A 3-8

verdubbeld. Men heeft:

38tan (2 )3

a = D. D ...α α α≈ + + (3.10)

2. indien klein blijft D. α α≈ . (3.11)

Bijgevolg is: 2i i

ai = k = k D

α . (3.12)

tegengewicht

spiegel

nulpunt-instelling

10

91

23

4 5 67

8

0

D

aS

2

schaal

lamp

lens

draad

Fig. 3. 5. Afleessysteem van draaispoelmeter en galvanometer.

Merk op dat men nu meestal ki uitdrukt in de waarde van a voor D = 1 meter, dus dim ki = A/mm/m

en dim kv = V/mm/m. Daar a klein is (bijv. 20 cm) t.o.v. D (bijvoorbeeld 1,5 m) blijft de fout t.g.v. de

benadering klein. Bij het gebruik van een gebogen schaal met kromtestraal D en middelpunt gelegen

op de rotatie-as van de spoel bestaat deze fout niet.

1.3. Draai-ijzer of weekijzer instrumenten.

Een stukje ijzer (fe in Fig. 3. 6) is asymmetrisch bevestigd op de as met spiraal veer. Dit ijzer wordt,

wanneer door de vaste spoel een stroom i vloeit, t.g.v. inductie in de spoel getrokken.

i

lager

lager

wijzer

veer

fe

i

M =1_2

Li2

L = f ie ( , i )

Fig. 3. 6. Draai-ijzer toestel.

Bij die verplaatsing varieert de zelfinductie L waardoor een koppel ontstaat. Men werkt buiten

verzadiging zodat L enkel van α afhangt. Om het koppel te vergroten kan er nog ijzer in de

A 3-9

magnetische keten aangebracht worden. Wordt het instrument in wisselstroom gebruikt, bijvoorbeeld

i= I sin ωt, dan is het koppel pulserend daar 2 21 (1 2cos )2

i I tω= − . Het gemiddeld koppel is dan:

2 2effg

1 1 1d [ d ]2

T

0

L 1 L M = M t = i t = .IT T 2α α∂ ∂

∫∂ ∂∫ (3.13)

De naald toont alleen de gemiddelde uitslag wanneer ω veel groter is dan de resonantiefrequentie van

het draaibare gedeelte. De aflezing is dan evenredig met de effectieve waarde van i en α verloopt

kwadratisch met Ieff zolang /L α∂ ∂ constant is. Het instrument is bruikbaar tot enkele kHz maar het

kan in gelijkstroom worden geijkt. Enkele algemene kenmerken van dit toestel:

Fout: tussen 25 en 1000 Hz typisch 1 tot 1,5% bij een sinus met 15% vervorming.

Eigenverbruik: is veel groter dan van het Deprez-D'Arsonval toestel ten gevolge van de grote reluctantie van

de magnetische keten (typisch 0,3-1,2 VA).

Overbelastbaarheid: zeer goed wegens de eenvoudige constructie. De stroom loopt hier niet door de

spiraalveer.

Gevoeligheid aan magnetische stoorvelden: zeer groot indien er geen speciale voorzorgen genomen worden.

Men gebruikt een ijzeren scherm rond het veldgevoelige gedeelte en daardoor kan de fout beperkt blijven. De

zelfinductie van de spoel (25 mH voor 100 mA FS toestel) kan een fout geven bij ac metingen omdat haar

impedantie van ω afhangt.

1.4. Elektrodynamische (ED) instrumenten.

Het ED-toestel bevat een vaste en beweegbare spoel, beide stroomvoerend en eventueel met elkaar

gekoppeld d.m.v. een ferromagnetische keten. Het ferromagnetische materiaal wordt best weggelaten

wanneer men een grote nauwkeurigheid wil bereiken. Er worden immers fouten veroorzaakt door

ijzerverlies en hysteresis. De stroombalans van Kelvin is een lineaire elektrodynamometer.

1.4.1. IJzervrije ED toestellen.

Bij de ijzervrije ED instrumenten sluiten de magnetische krachtlijnen zich door de lucht. Het koppel

is een gevolg van de krachtwerking tussen een vaste en een bewegende spoel waardoor stromen i1 en

i2 vloeien. Om het veld zo homogeen mogelijk te maken wordt de vaste spoel dubbel uitgevoerd.

Omdat 2 0Lα

∂=

∂ vindt men het volgende aandrijfkoppel:

12121 2 met ( )LM = i i = fL α

α∂∂

. (3.14)

A 3-10

i1i1

i1

i1

i1

i2

i2

i2

rotatie as

L 12

Fig. 3. 7. Elektrodynamisch toestel.

Het gemiddeld koppel Mg bedraagt dan:

12g 1 2

1( d )T

0

LM = i i t Tα

∂∂ ∫ . (3.15)

Bij sinusoïdale stromen i1 = I1 sin ω t en i2 = I2 sin (ω t - ϕ) wordt het gemiddeld koppel dus:

12g 1 2 cosLM = I I ϕ

α∂∂

. (3.16)

Indien I1 bijvoorbeeld evenredig is met de spanning over een verbruiker en I2 met de stroom erdoor

dan is Mg evenredig met het actief vermogen. Men tracht uiteraard 12Lα

∂∂

door constructie constant te

houden. Maar, zelfs met een perfect homogeen veld is dit niet te verwezenlijken. In dat geval is

immers:

1212 m msin of cosL L = L = L .α α

α∂∂

(3.17)

De uitslag is dan evenredig met I1 I2 cos ϕ cos α en men houdt daarmee rekening bij de ijking.

Wegens de afwezigheid van ijzer in het veld, is de nauwkeurigheid groot, bijvoorbeeld klasse 0,2.

Omdat dit instrument meestal als wattmeter wordt toegepast zal men de vaste spoel als stroomspoel

verkiezen. Het risico van overbelasting van de spanningsspoel is immers gering omdat men een

voorschakelweerstand gebruikt om het spanningsbereik in te stellen.

1.4.2. Astatisering.

Het is duidelijk dat de luchtige constructie van dit instrument een grote gevoeligheid voor

uitwendige velden veroorzaakt. Veronderstel dat een stoorflux ϕs(t) gekoppeld is met een niet-

geastatiseerd toestel. Het gemiddeld koppel dat het raam ondervindt is dan:

A 3-11

sg 2

1 dT

0

M = i tT

ϕα

∂∂∫ . (3.18)

Stoorkoppels treden bijgevolg op indien i2 en ϕs dezelfde frequenties bevatten.

Men kan, door een verdubbeling van het spoelensysteem, deze fout zeer veel verkleinen (Fig. 3. 8).

Voor de hoogste precisie blijft een afscherming nochtans gewenst.

Fig. 3. 8. Geastatiseerd elektrodynamisch toestel.

1.4.3. Ferrodynamische toestellen.

Bij deze instrumenten is de vaste spoel als elektromagneet uitgevoerd. De gevoeligheid neemt toe

door het ijzer, maar er treden meer fouten op t.g.v. wervelstromen, remanentie, hysteresis,

magnetiseringskromme van het ijzer, grotere impedantie van de spoelen.

1.5. Inductietoestellen.

Inductie toestellen gelijken van structuur en werking op een ED toestel maar het raam wordt belast op

een impedantie Z2.

1.5.1. Principe.

as

Z2

Z2

i2

i2

i1

i1

M =

L 12 L 2i1

i2

+1_2

i2

2

Fig. 3. 9. Inductietoestel.

Zoals bij een ED toestel ontstaat een kracht tussen de stromen i1 en i2, maar de stroom i2 ontstaat

omdat een spanning door inductie via L12 ontstaat in de beweegbare spoel ten gevolge van Z2.

A 3-12

De belangrijkste praktische uitvoering is de veelgebruikte Ferraris meter met "schuivend" veld. Deze

bestaat uit twee vaste spoelen (i1, i2) die stromen (i3, i4) induceren in een schijf.

Al - schij f

i1

i1

i2

i2

i3

i3

i4

i4

Z

1 2

a b

Fig. 3. 10. Inductietoestel met schijf (Ferrarismeter).

Men heeft nu:

14 231 4 2 3

L LM = i i + i iα α

∂ ∂∂ ∂

. (3.19)

Wegens de symmetrie in dit systeem zal, bij een elementaire rotatie dα van de schijf, de volgende

betrekking gelden:

23 14L Lk α α

∂ ∂= = −∂ ∂

. (3.20)

In het tijdsdomein is aldus het ogenblikkelijke koppel:

2 3 1 4( ) ( )m t k i i i i= − . (3.21)

Het mechanisme van de koppelopwekking is, volgens Rogowski, als volgt te beschrijven. De stromen

i1 en i2 wekken evenredige fluxen ϕ1 en ϕ2 op. In de geleidende schijf worden e.m.k.’s. geïnduceerd

welke aanleiding geven tot stroomdichtheden j3 en j4. Deze stromen vloeien verdeeld over de schijf

maar we mogen ze vervangen door equivalente stroompaden waardoor i3 en i4 lopen. Wegens de

symmetrie vertonen beide paden ook een gelijke equivalente impedantie Z die een resistief en

inductief deel bezit en dus een fasehoek Ψ vertoont.

De e.m.k. opgewekt in deze stroompaden is daarenboven evenredig met dϕ /dt of di/dt en dus:

A 3-13

π πj( ) j( )2 23 1 4 2en- + - + I I I e eI ψ ψω ω∼ ∼ (3.22)

zodat, indien er een faseverschuiving β tussen i1 en i2 bestaat:

2 3 2 1

1 4 1 2

πcos ( ) [ cos ( )]2

πcos [ cos ( )]2

i i I t I t

i i I t I t

ω β ω ω ψ

ω ω ω ψ β

− + − + − −

∼

∼ . (3.23)

Het gemiddeld koppel volgt uit vgl. (3.21) door uitmiddeling van m(t) over een periode:

g 1 2 sinM I Iω β∼ . (3.24)

Hetzelfde resultaat kan bekomen worden door het systeem als asynchrone motor te beschouwen

(draaiveld theorie).

1.5.2. Gebruik van de Ferrarismeter als energiemeter.

Maakt men I1 evenredig met de spanning e tussen twee geleiders dan zal de zelfinductie L1 van de

spanningsspoel de stroom i1 doen naijlen met 90°op e. Fig. 3. 11.

e

i'2

i2

L2

L1

i1

P

E

I2

I1

Fig. 3. 11. Ferraris-instrument als vermogenmeter.

Het verband tussen b en j is dus: πβ ϕ= −2

. Bij verwaarlozing van de impedantie van L2 is

insgelijks:

g 2 cos (actief vermogen)M EI Pϕ =∼ . (3.25)

De rotatiehoek α is dus een maat voor het actieve vermogen P. Vervangt men de spiraalveer door een

remkoppel evenredig met de draaisnelheid die de schijf zou aanneemt als men ze laat draaien, dan is:

rd d en dus constante d d

M K Pt tα α

= = × (3.26)

A 3-14

of nog: constante d constante T

P t Wα = × = ×∫ , (3.27)

waarbij W de verbruikte energie gedurende de tijd T voorstelt. De draaizin van de schijf wordt

bepaald door de richting van P. Het remkoppel wordt bekomen door een B-veld loodrecht op de schijf

aan te brengen d.m.v. een sterke permanente magneet. Bij rotatie van de schijf zullen door die

inductie stromen geïnduceerd worden in de schijf waarvan de amplitude evenredig is met de

geïnduceerde e.m.k. en deze is zelf evenredig met ddtα . In het resistieve stroompad op de schijf zullen

die stromen een Joule verlies veroorzaken. Omdat dit verlies enkel kan mechanisch kan geleverd

worden ontstaat er een demping. Het Ferraris instrument is nog steeds de meest gebruikte elektrische

energiemeter voor huishoudelijk gebruik. Het is moeilijk om met elektronische middelen dit systeem

te evenaren (voorlopig althans) omdat vele functies geïntegreerd zijn in dit toestel. Het aantal

omwentelingen dat de schijf maakt wordt in een mechanisch telwerk geteld en geafficheerd. Tevens

wordt de stand van de teller bewaard bij stroomuitval. Verder fungeren beide spoelen als transducer

en conditioneerder. De overbelastbaarheid is zeer groot en de fout kan over het volledige bereik lager

dan 1% blijven en dit gedurende tientallen jaren. Voor de meest nauwkeurige toestellen worden

magnetische lagers toegepast zodat mechanische wrijving in de rotatiepunten wordt vermeden. Dit

toestel is uiterst robuust omdat de twee spoelen vaste verbindingen met de keten hebben en omdat zij

een grote thermische capaciteit bezitten.

1.6. Elektrostatische instrumenten.

De werking van ES toestellen berust op de elektrostatische aantrekking tussen opgeladen geleiders.

Hoewel weinig gebruikt voor technische metingen vindt men ze toch nog terug wegens de volgende

specifieke eigenschappen:

• Zeer gering eigenverbruik omdat zij enkel capacitief zijn. Alleen de verplaatsingsarbeid van

de naald moet door het meetcircuit worden geleverd.

• Bruikbaar tot hoge frequenties (tot 1 MHz).

• IJking met gelijkspanning mogelijk.

Daar tegenover staat dat het koppel en dus ook de nauwkeurigheid klein is bij lage spanningen. Bij

hoge frequenties zal het instrument de meetketen capacitief belasten. Hoogspanningsinstrumenten

kunnen echter tot klasse 0,2 behoren. In Appendix I bij dit hoofdstuk bespreken we twee nog

gebruikte toestellen. In Appendix II worden de verhoudingsinstrumenten beschreven. Met deze is het

mogelijk om o.a. de verhouding van twee stromen rechtstreeks te meten.

A 3-15

1.7. Algemene Opmerking.

Een aantal van deze toestellen vertoont dus een uitslag evenredig met het gemiddelde product of

quotiënt van twee stromen. Het is zeer lange tijd onmogelijk geweest om dit met elektronische

schakelingen te evenaren. Elektronische vermenigvuldigers (delers) zijn rond 1965 beschikbaar geko-

men, maar de nauwkeurigheid was te klein en de kostprijs te hoog om een gevaar te betekenen voor

de mechanische meters. Daarenboven vereisen elektronische circuits steeds een voedingsbron en deze

is niet nodig bij de wijzerinstrumenten. Vooral bij gebruik op het veld kan dit tot irritatie leiden. De

situatie is voorlopig als volgt te schetsen:

• Universeelmeters: V, A, Ohm zowel digitaal als analoog, met tendens naar het eerste. De

aankoopprijzen van analoge toestellen liggen iets hoger dan van de digitale. Digitale meters zijn

gemakkelijker te beveiligen dan analoge. Het weerstandsbereik van een digitaal toestel is steeds

beveiligd tegen het toevallig aansluiten op een bron. Bij de analoge meter kan het fataal zijn om een

spanningsbron aan te sluiten op de stand “Ohm”.

• Vermogenmeters: digitaal en analoog.

• Digitale vermogenmeters: groot frequentiebereik, redelijk nauwkeurig, duur.

• Analoge vermogenmeters: beperkt frequentiebereik maar nauwkeuriger voor de toepassingen bij 50

Hz. Precisie analoge wattmeters zijn goedkoper dan de elektronische.

• Energiemeters: niettegenstaande de hogere kostprijs is er een tendens naar elektronische eenheden te

bemerken, dit i.v.m. telling op afstand, energiebeheer, …

2. Enkele fouten specifiek voor mechanische instrumenten.

Mechanische toestellen vertonen uiteraard specifieke fouten eigen aan een mechanisch systeem.

Naald

a b

Mr

Mw

w w

Mw

0

M

Fig. 3. 12. Wrijvings- en kipfout.

2.1. Mechanische effecten

Statisch wrijvingskoppel Mw in de lagers: geeft een koppel tegengesteld aan het aandrijvend koppel

M. Naargelang de naald moet stijgen of dalen heeft men als evenwichtsvergelijking:

A 3-16

r wM M M= ± .

Dit veroorzaakt hysteresis: bij evenwicht is dan α = α0 + αw.

Kipfout als gevolg van asspeling bij toestellen met verticale as (b). Het toestel moet steeds in de op de

schaal aangegeven stand worden gebruikt omdat de kipfout dan minimaal is. Verder wordt het

zwaartepunt van het beweegbare systeem d.m.v. gewichtjes op de as gelegd zodat de aflezing

onafhankelijk van de positie wordt. Bij goedkope toestellen is dit echter zelden het geval.

Afleesfout t.g.v. naald: dikte, parallax. Is voor een groot deel te vermijden door een spiegel op de

schaal aan te brengen.

IJkfout: indien de stroom of spanning zeer nauwkeurig gekend is zal men toch een fout maken bij het

aanbrengen van een schaal. Bij individuele schalen kan de nauwkeurigheid tot 0,05% gaan. Bij serie

toestellen zal men de schaal kiezen aan de hand van het schaalverloop van een aantal toestellen. Het

meest waarschijnlijke schaalverloop wordt dan als definitieve schaal beschouwd.

2.2. Temperatuurseffecten.

Weerstandstoename van spoelen: de tempco van de weerstand van Cu-draad bedraagt +0,4%/°C. Bij

sturing uit een stroombron zal dit echter geen belang hebben (waarom niet?); met een shunt is dit wel

het geval.

Elasticiteitsmodulus van de veren: de temperatuurscoëfficient (tempco) van de elasticiteitsmodulus

is bijvoorbeeld -0,04%/°C voor fosforbrons. Bijgevolg daalt ki bij stijgende temperatuur.

Temperatuurgevoeligheid van permanente magneet bij het DD-toestel: bijv. ∆B/B = 0,02%/°C.

Indien twee laatste fouten samen worden genomen spreekt men van de “elasticiteitsremanentiefout”.

2.3. Elektrische oorzaken van fouten.

Frequentieafhankelijkheid van de uitslag en aanwezigheid van harmonischen in de golfvorm, storing

door uitwendige velden, krachtwerking tussen het raam en de vaste armatuur door interne elektro-

statische velden, elektrostatische aantrekking tussen de naald en het plastic venster (bij goedkope

toestellen).

A 3-17

Appendix I bij hoofdstuk III. Elektrostatische toestellen.

1. Spanning - of voltbalans voor standaarddoeleinden.

In vele labo's wordt een elektrostatische hoogspanningsbalans aangewend om de lokale spannings-

standaarden te vergelijken met een hoogspanningsbron:

• De balans wordt in evenwicht gebracht d.m.v. een gewicht mg voor een stand z = z0.

• Men legt een hoge spanning aan tussen de platen van de vlakke condensator C, daardoor daalt

de linker balansarm. Men legt een gewicht m’g bij totdat de arm weer in de stand z0 komt.

Men heeft dus 21 d '2 dz

CF E m gz

= = .

posit ieopnemer

z

C 10 kV

E

1kV 100 V 10 V

m m'

Fig. AI-3. 1 Spanningsbalans.

Voor de vlakke condensator is 0SCd

εε= met S de plaatoppervlakte en d de afstand tussen de

platen. Dus, omdat ε = 1 (lucht), bekomen we:

2 2 02

1 d 12 d 2

C S m g = | | = .E Ez dε′

In feite werkt men omgekeerd: men berekent en kiest het toegevoegde gewicht zodanig dat E (regelbaar)

precies 10 kV moet zijn. De evenwichtsstand kan bepaald worden d.m.v. laserinterferometers en/of capacitieve

positieopnemers. Voltbalansen zijn in staat gewichten en elektrostatische krachten te vergelijken tot op 0,1 ppm

(= 10-7). De valversnelling wordt afzonderlijk bepaald en dit met een nauwkeurigheid van ± 5 µgal (1 gal =

1cm/s2).

2. Kwadrantenelektrometers.

Bij de kwadrantenelektrometer beweegt een vlindervormige plaat tussen de vier sectoren van

kruislings met elkaar verbonden platen 1 en 2 (Fig. AI-3. 2). Omdat deze structuur symmetrisch is

A 3-18

kan men schrijven:

2 21 0 2 0

1 [( ) ( ) ] '2

CM U U U U C αα

∂= − − − =

∂

10 20 en dus is nog:C C Cα α α

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂

2 21 0 2 0

1 d [( ) ( ) ]2 d

C = U U - U UC

αα

− −′

1

1

2

2

u1

u0

u2

Fig. AI-3. 2. Kwadrantenelektrometer.

De volgende schakelingen zijn nu mogelijk:

1. Idiostatische schakeling: 21 0 2 x x0, U U U U Uα= = = → ∼ .

Dit geldt ook voor ux = U sin ωt. Wat wordt de uitslag α dan evenredig?

2. Heterostatische schakeling: 1 2 x 00, , (hulpbron)U U U U E= = = .

22 2x x x x x( 2 (2 )) E - U - E = - U + EU U E - Uα→ =∼ of x x constante zolang EU E Uα ≈ × .

3. Symmetrisch heterostatische schakeling.

Men gebruikt twee tegengestelde maar even grote hulpspanningen:

1 2 0 x, , U E U E U U= = − =

2 2x x x( ) ( ) 4E U E U EUα→ − − − − = −∼ .

De schaal is lineair t.o.v. Ux en de gevoeligheid wordt o.a. door E bepaald. Men kan E groot kiezen

en zo een redelijk gevoelig toestel verwezenlijken.

A 3-19

Appendix II bij hoofdstuk III. Verhoudingsinstrumenten.

1. Statische stabiliteit.

In het algemeen zijn de koppels M en Mr afhankelijk van de draaihoek α of de verplaatsing bij een

lineair toestel. Men bekomt aldus als functie van α twee curven die elkaar snijden als Mr = M. Merk

op dat voor het Westontoestel de koppelcurve vlak is omdat de luchtspleetinductie constant is over

het gebied van de schaaluitslag. Een statisch stabiel snijpunt bekomt men als bij een kleine verstoring

van het mobiel deel van het toestel dit de neiging heeft om terug te keren tot het punt waarvoor Mr =

M. Voor een terugroepend koppel Mr = Cα vindt men dan de onderstaande figuren. Meestal is het

aandrijvend koppel nogal constant in het bruikbare α-gebied maar dit is niet echt noodzakelijk. In de

eerste figuur stellen we het volgende vast: indien men vanuit het snijpunt een verstoring naar rechts

geeft dan zal M afnemen maar Mr neemt toe zodat men teruggetrokken wordt naar het

evenwichtspunt. Hetzelfde gebeurt er voor een verstoring naar links. In de rechter figuur stelt men

vast dat men in beide gevallen verder van het snijpunt zal geraken. Dit is dus een onstabiele toestand.

Voert men het verschilkoppel d rM M M= − in dan wordt de voorwaarde tot stabiliteit herleidt tot de

bepaling van het teken van dMα

∂∂

.

M

Mr

Mr

M

Mr

Mr

MM

stabiel evenwicht labiel

Md

= M - Mr Md

= M - Mr

Stabiel : L abiel :Md Mr Mr

< < >0 of

M M

Fig. AII-3. 1. Stabiel en labiel evenwicht.

2. Toepassingen.

Er bestaat een bijzondere klasse instrumenten met de volgende constructieve eigenschappen:

• Geen terugroepend koppel: de naald kan in een willekeurige positie blijven staan indien de

mechanische balans correct is.

A 3-20

• Twee aandrijfsystemen op dezelfde as die een tegengesteld koppel leveren.

Nemen we aan dat de stromen in beide systemen respectievelijk evenredig zijn met de

meetgrootheden X en Y dan schrijft men:

M1 = f1 (α, meetgrootheid X) en M2 = f2 (α, meetgrootheid Y) .

Indien evenwicht bestaat dan moet M1 = M2 zijn en voldoet de statische uitslag αm aan:

1 m 2 m( , ) ( , )f X f Yα α= .

De volgende figuur geeft f1 en f2 voor verschillende waarden van X en Y. De punten S1, S2, S3, …

geven stabiele evenwichtsstanden. De curven f2(Y1) en f1(X3) bijvoorbeeld snijden elkaar in twee

punten, maar alleen S3 is stabiel. Merk op dat deze curven enkel snijpunten kunnen opleveren

wanneer ze niet evenwijdig zijn. M.a.w. er moet een ongelijkmatig (magnetisch) veld aanwezig zijn.

Dit vereist dus een speciale vorm van luchtspleet in de magnetische keten.

S3

S2

S1

S

Y1

X3

Y2

X2

X1

M1

M2

onstabiel

m

Fig. AII-3. 2. Koppels bij verhoudingsinstrumenten.

Voorbeeld. Deprez-D'Arsonval draaispoelmeter met twee spoelen die ruimtelijk t.o.v. elkaar

gedraaid staan maar vast aan elkaar hangen. Let op de niet-homogene vorm van de luchtspleet. De

luchtspleetinducties zijn nu verschillend voor i1 en i2:

1 1 1 1 1 1 2 2 en M n s i B M n s i B= = .

A 3-21

i2

i2

i1

i1

M i''2

i '2

i'''1

i '1

i ''1

< i '1

< i ''1

< i'''1

<

i '2

< i''2

<

Fig. AII-3. 3. Draaispoelverhoudingsmeter.

Indien de koppels tegengesteld gericht zijn treedt er evenwicht op voor een αm bepaald door:

1 1 2 m 1m

2 2 1 m 2

( ) of = fie ( )(

n i B in i B i

α αα

=)

.

Een voordeel van verhoudingsmeters is dat zij kunnen gebruikt worden daar waar grote

schommelingen van de voedingsspanning te verwachten zijn. In het volgende is de draaispoel-

verhoudingsmeter met een raamweerstand g als weerstandsmeter geschakeld.

Fig. AII-3. 4. Draaispoelverhoudingsmeter voor weerstandsmeting.

1 2 m, en dus fie ( )x

x

R gE Ei iR g R g R g

α += = =

+ + + .

De weerstand g kan verwaarloosd worden t.o.v. de andere twee daar het hier vooral gaat om de

meting van grote weerstanden. De schaal zal dus de verhouding Rx/R voorstellen. Verder heeft de

waarde van E geen belang zolang de koppels M1 en M2 groot genoeg zijn om de naald te laten

bewegen. Schommelingen van + 20% hebben nauwelijks invloed. Een praktische toepassing: de

isolatiemeter "Megger" van de firma Evershed voor het uittesten van elektrische leidingen. Dit

toestel heeft een met de hand aangedreven dynamo of ingebouwde elektronische generator. De

spanning kan ingesteld worden op 250 / 500 / 1000 Volt.

A 3-22

Appendix III bij hoofdstuk III. Details van enkele toestellen.

1. Draaispoeltoestellen.

1.1. Opengewerkt draaispoeltoestel.

1.2. Onderdelen van het Westontoestel met hoefijzermagneet.

1.3. “Flatpanel” toestel.

De vlakke constructie van dit toestel laat toe om een groot aantal toestellen boven elkaar op een

paneel te plaatsen.

A 3-23

2. Draai-ijzertoestellen.

2.1. Dempingsystemen bij draai-ijzertoestellen.

Links ziet men de demping d.m.v. een magneet. Bij beweging van de dempvaan worden er stromen

in geïnduceerd die demping veroorzaken evenredig met da/dt. Rechts ziet men demping d.m.v. een

gedeeltelijk gesloten luchtkamer. De demping is hier veroorzaakt doordat de lucht uit de kamer

wordt geperst bij het bewegen van de naald en vaan. De dempingswet is hier niet onmiddellijk op

te schrijven. Dit heeft geen belang omdat het er enkel om gaat de naald genoeg te dempen.

2.2. Het repulsietoestel.

Bij dit toestel wordt een veld geïnduceerd in een vaste vaan binnen de spoel en in de beweegbare

vaan. Het koppel ontstaat nu door afstoting tussen beide vanen. Door in te spelen op de vorm van de

vanen kan men de schaal een meer lineair verloop geven. Bovendien kan de rotatiehoek groter

worden dan van het basisinstrument. De initiële gevoeligheid kan ingesteld worden d.m.v. een derde

instelbare vaan (Figuur rechts).

A 3-24

2.3. Repulsie-attractietoestel.

Hier worden beide effecten toegepast: een deel van de draaihoek wordt met aantrekking gewerkt en

een ander deel met afstoting.

2.4. Het “inclined coil” draai-ijzertoestel.

Bij dit toestel zijn één of meerdere schijfjes schuin geplaatst op de as van de naald (Zie foto). Deze

schijven proberen zich te richten volgens het veld dat door de bekrachtigingspoel wordt opgedrongen.

De vorm van de koppelcurve suggereert dat de draaihoek groter dan 90o kan worden. Voor de

rechte van het terugroepend koppel geeft echter enkel het gebied boven de 90o een stabiel snijpunt.

Door een geschikt nulpunt te kiezen kan men wel een meer lineaire uitslag bekomen dan voor het

basistoestel.

A 3-25

3. Het elektrodynamisch toestel.

4. De Ferrarismeter.

Het eerder getekende principetekening van de Ferrarismeter laat vermoeden dat het koppel klein is

A 3-26

omdat de afstand tussen de spoelen en de geïnduceerde schijfstromen groot is. Technologisch heeft

men daaraan verholpen door de spoelfluxen te verstrengelen zoals weergegeven hieronder. Men

ziet hoe de geïnduceerde stromen isu en isi van respectievelijk de spanning- en stroomspoel vloeien

in de schijf met deze configuratie. Omdat de spanningspoel op het middenbeen ligt valt de

schijnbare pool op de plaats Φu.zodat de koppeling met isi sterk is. De terugweg van de flux is hier

niet getekend en valt buiten de stroomlijnenzone van de schijf. De krachtlijnen Φi van de

stroomspoel gaan op twee plaatsen door de schijf en zijn zeer sterk met isi gekoppeld.

Deze configuratie heeft nog een ander voordeel: de wederzijdse koppeling Miu tussen de spoelen is

zeer klein. Daardoor zal een stroom in de ene spoel geen e.m.k. induceren in de andere. Er is wel

een dMiu/dt zodat er toch een nuttig koppel bestaat. Er zijn nog allerlei correcties nodig om subtiele

fouten te corrigeren. Zo ziet men dat eens dat de schijf draait de fluxen van beide spoelen ook een

remkoppel genereren, evenredig met da/dt, zoals dit bij de permanente magneet het geval is.

Verder kan verzadiging van het spoelkern ijzer optreden.

A 3-27

Hoofdstuk III. Elektromechanische instrumenten.

1. Algemeenheden. 1 1.1. Classificatie der mechanische instrumenten. .......................................................... 2 1.2. Deprez-d'Arsonval of WESTON draaispoelinstrument. ......................................... 4

1.2.1. Opbouw, werkingsprincipe. ............................................................ 4 1.2.2. Typereeksen. ................................................................................... 6 1.2.3. Constructieve details. ...................................................................... 6 1.2.4. Aflezing........................................................................................... 7

1.3. Draai-ijzer of weekijzer instrumenten..................................................................... 8 1.4. Elektrodynamische (ED) instrumenten. .................................................................. 9

1.4.1. IJzervrije ED toestellen. .................................................................. 9 1.4.2. Astatisering. .................................................................................. 10 1.4.3. Ferrodynamische toestellen........................................................... 11

1.5. Inductietoestellen. ................................................................................................. 11 1.5.1. Principe. ........................................................................................ 11 1.5.2. Gebruik van de Ferrarismeter als energiemeter. ........................... 13

1.6. Elektrostatische instrumenten. .............................................................................. 14 1.7. Algemene Opmerking. .......................................................................................... 15

2. Enkele fouten specifiek voor mechanische instrumenten. 15 2.1. Mechanische effecten............................................................................................ 15 2.2. Temperatuurseffecten............................................................................................ 16 2.3. Elektrische oorzaken van fouten. .......................................................................... 16

Appendix I. Elektrostatische toestellen. 1. Spanning - of voltbalans voor standaarddoeleinden. 17 2. Kwadrantenelektrometers. 17

Appendix II. Verhoudingsinstrumenten. 1. Statische stabiliteit. 19 2. Toepassingen. 19

Appendix III. Details van enkele toestellen. 1. Draaispoeltoestellen. 22

1.1. Opengewerkt draaispoeltoestel. ............................................................................ 22 1.2. Onderdelen van het Westontoestel met hoefijzermagneet. ................................... 22 1.3. “Flatpanel” toestel. ................................................................................................ 22

2. Draai-ijzertoestellen. 23 2.1. Dempingsystemen bij draai-ijzertoestellen. .......................................................... 23 2.2. Het repulsietoestel. ................................................................................................ 23 2.3. Repulsie-attractietoestel. ....................................................................................... 24 2.4. Het “inclined coil” draai-ijzertoestel..................................................................... 24

3. Het elektrodynamisch toestel. 25 4. De Ferrarismeter. 25

A 4-1

HOOFDSTUK IV. DYNAMISCHE MODELLEN. Zoals al vermeld is het belangrijk over een model van een instrument te beschikken wil men precies

weten wat er gebeurt bij een meting. Bij mechanische instrumenten geeft men meestal de volgende

kenmerken op:

• Inwendige weerstand of impedantie van de spoelen

• Temperatuurscoëfficiënten

• Informatieve parameters zoals de klasse, werkpositie, isolatie, …

Het dynamische mechanische gedrag daarentegen is doorgaans slecht gespecificeerd. Wil men dit

gedrag kunnen voorspellen dan zal men dikwijls zelf de parameters moeten bepalen die ervoor

verantwoordelijk zijn. In een aantal gevallen is er terugwerking tussen het mechanische gebeuren en

de elektrische keten. Als voorbeeld zullen we hier het dynamische gedrag van de Deprez-d’Arsonval

meter (DD) onderzoeken. Gezien het feit dat de meeste wijzerinstrumenten een gelijkaardige opbouw

hebben is het onderstaande nochtans meer algemeen geldig. De DD-meter is tevens nog steeds het

meest gebruikte mechanische meettoestel. De studie van het mechanische gedrag van dit toestel kan

ook toegepast worden op een willekeurig elektromechanisch tweede-orde systeem dat moet worden

onderzocht (bijv. een motor of een relais, bewegingstransducer, …).

1. Modelvorming. Bij draaispoelinstrumenten is men geïnteresseerd in de vraag hoe het instrument zal reageren op een

stapvormige, impulsvormige of sinusoïdale excitatie. Om daarop te kunnen antwoorden onderzoeken

stellen we de mechanische bewegingsvergelijking op. De volgende koppels werken in op het

bewegende deel van de meter:

1. Traagheidskoppel, t.g.v. het traagheidsmoment J van het roterende deel: J d2α/dt2

2. Wrijvingskoppel, evenredig met de draaisnelheid van het roterend deel: Am dα/dt

3. Terugroepend koppel, evenredig met de uitwijkingshoek: Mr = C α

4. Aandrijvend koppel, evenredig met de stroom die algemeen een functie i(t) van de tijd is voor

draaispoelinstrument: M = C' i(t)

Voor een rotatief systeem betekent dynamisch evenwicht dat de som van de momenten rond de as

moet nul zijn. Dit leidt onmiddellijk tot de volgende differentiaalvergelijking:

2

m2dd ( )dd

J + A + C = C i t tt

α α α ′ . (4.1)

A 4-2

Indien men bij de galvanometer een lineaire schaal gebruikt die op een grote afstand D van de

raamspiegel staat, is het nuttig de hoekverdraaiing α te vervangen door de aflezing a (in mm):

a = 2 D α. De bewegingsvergelijking wordt dan enigszins gewijzigd als volgt:

2m

2d 2d ( )dd

a a C D CA + + a = i tJ t J Jt

′ . (4.2)

Veronderstellen we eerst dat het toestel in open keten staat zodat i(t) = 0, ook tijdens de beweging

van het raam. Men brengt nu het raam uit evenwicht totdat de uitwijking a0 wordt, waarna men het

loslaat en vrij laat bewegen. We onderzoeken nu i.h.b. voor het geval dat er geen wrijving zou zijn

(dus Am = 0), wat er zal gebeuren. De vgl. (4.2) wordt met deze voorwaarde:

2

2

d 0d

a C at J+ = met de beginvoorwaarden 0 0

d(0) , ( ) 0daa at

= = .

De beweging van de naald zal dus periodiek zijn:

00 0 0

1cos met 2π 2π

Ca a t fJ

ωω= = = . (4.3)

De grootheid f0 is de ongedempte eigenfrequentie van het systeem raam/veer. De grootheid T0 = 1/ f0

is de overeenstemmende eigenperiode.

2. Elektrodynamische demping. Zoals bij bovenstaande proef brengen we het raam uit evenwicht, maar nu in aanwezigheid van de

meetketen Fig. 4. 1. Laten we het raam los, dan zal de beweging van het roterende raam een spanning

induceren in de spoel van het raam. Op zijn beurt genereert deze spanning een stroom id door de

meetketen en het toestel; de grootte ervan hangt af van de impedantie in de meetketen.

id

R

Fig. 4. 1. Elektrodynamische demping.

In de Fig. 4. 1 is R de equivalente circuitweerstand, gezien door de meter, en g de meterweerstand.

De bewegings-e.m.k. die de spoel genereert is gegeven door vgl. (4.4):

A 4-3

d d( ) d dd d d d

-e = - = - n B s = - n B s = - C t t t tψ α θ α α′ . (4.4)

In de keten vloeit dan een stroom met waarde:

ddd

- Ci = R + g t

α′ . (4.5)

Omdat het een lineair systeem betreft mag men de effecten van de gewone aandrijvende stroom en de

geïnduceerde stroom optellen. Er treedt dus een extra koppel op met de grootte:

22

dd ' 1 dd 2 d

C aCC i = - R + g t R g D t

α′′ = −+

. (4.6)

De differentiaalvergelijking (4.2) wordt nu aangepast met deze term:

2 2

m21 d 2 ' ( )d ( )

dda a C DC i tC + A a

J R+ g t J Jt′+ + = . (4.7)

Fysisch betekent dit dat door de (hoek)snelheid da/dt een stroom id ontstaat die een bijkomende

dissipatie in R+g zal veroorzaken. M.a.w. er wordt mechanische energie in warmte omgezet en dit

betekent een extra demping voor het mechanische systeem.

Men noemt 2

em'CA

R g=

+ de elektromagnetische (EM-) dempingsfactor. Deze term beschrijft de

wisselwerking tussen het mechanische en elektrische deel van het systeem. De totale dempingsfactor

is dan

m emA A A= + . (4.8)

Bij het ontwerp van een volt- of ampèremeter zal dan ook steeds aandacht besteed worden aan de

demping. Het naakte instrument kan bijvoorbeeld een sterke uitslingering vertonen, maar door de ge-

schikte keuze van de EM-demping tracht men te bekomen dat de naald vlug en zonder slingeren haar

eindstand bereikt. Bij stroommeting is de EM demping meestal groot genoeg omdat R + g klein is

(shunt). In de voltmetermode kan de demping echter te klein worden t.g.v. de voorschakel-

weerstanden die het spanningsbereik bepalen (R+g te groot). Om dit te vermijden zal men het raam-

karkas uit koper of aluminium maken. Omdat dit karkas in feite een gesloten winding is, zal er extra

EM-demping optreden door de stromen die er in geïnduceerd worden. Bij universeelmeters wordt

meestal een "uit"-stand op de bereikschakelaar voorzien die de meterklemmen kortsluit. Daardoor

wordt de EM-demping zeer sterk en kan de universeelmeter zonder gevaar voor beschadiging worden

vervoerd. Bij draai-ijzer instrumenten, die geen EM-demping bezitten wegens het ontbreken van een

A 4-4

permanente magneet, wordt de mechanische demping kunstmatig op de gepaste waarde gebracht

door het raam in een dempingdoos te laten bewegen. In het Appendix I bij dit hoofdstuk worden voor

de draaispoelmeter de oplossingen berekend voor de interessante excitaties. Om de resultaten in een

standaardvorm te gieten wordt de algemene differentiaalvergelijking dikwijls ook nog genormeerd op

de tijd. Men stelt daartoe:

tτ ω0= . (4.9)

Na omvorming van de operatoren d /dt en d2 /dt2 is dan:

2

2 2

d 2 'd 2 ( )d d

a a DC + + a = i tJ

βτ τ ω0

, (4.10)

waarbij men nog: em m

0 02 2A AA =

J Jβ

ω ω+

= . (4.11)

Deze β is de relatieve dempingsgraad of kortweg de dempingsgraad. Merken we nog op dat deze

bewegingsvergelijking een sterke verwantschap vertoont met de differentiaalvergelijking van het

tweede-orde laagdoorlaatfilter.

3. Resultaten. Samengevat (zie appendix I bij dit hoofdstuk) kunnen wij de volgende essentiële bewegingen

herkennen bij het draaispoeltoestel:

Vrije beweging. Brengt men de naald uit evenwicht en laat men ze vervolgens los dan gaat ze terug

naar de nulstand. Naargelang de karakteristieke vergelijking twee reële (β ≥ 1) of twee complexe

wortels (β < 1) bezit zal de naald kruipend (slepend) of slingerend naar de nulstand evolueren. Voor

β = 1 heeft men kritische demping.

Stapantwoord. Bij plots opdringen van een stroom I zal de naald slingerend (β < 1), kritisch (β = 1)

of kruipend (β > 1) naar evenwicht bewegen. Door een gering doorschieten toe te laten (β = 1/√2)

gaat men vlugger het evenwicht (binnen een foutband van 4,4%) bereiken.

Impuls excitatie. Het betreft hier het toevoeren van een stroomstoot met een bepaalde lading q

gedurende een tijd die veel korter is dan de eigenperiode T0. De uitslag gaat naar één of meer

maxima, afhankelijk van b, en wordt uiteindelijk nul. De grootte van elk maximum is evenredig met

q. Dit toestel kan dus als ladingsmeter aangewend worden. Om te kunnen aflezen moet T0 groot zijn.

Sinusoïdale excitatie. Men legt een sinusoïdale stroom i(t) aan zodat de naald rond het nulpunt

(i = 0) schommelt. De amplitude van deze schommeling is een functie van de frequentie van i(t). Uit

de figuren blijkt dat een sterke opslingering van deze amplitude kan optreden rond de mechanische

resonantiefrequentie van het systeem en bij kleine β. Vroeger werd dit verschijnsel toegepast bij de

A 4-5

trillingsgalvanometer om de gevoeligheid ervan op te drijven. Bij penschrijvers e.d. waarbij men een

golfvorm zo getrouw mogelijk tracht op een papierband te registreren is de weergave van een

sinusoïdale golfvorm over een groot frequentiebereik zeer belangrijk, evenals het stapantwoord. In

dat geval is een overdreven resonantiepiek ongewenst.

4. Elektrisch equivalent schema van een DD-toestel. Omdat we minder vertrouwd zijn met mechanische systemen dan met elektrische circuits

onderzoeken we of het mogelijk is een elektrisch equivalent schema op te stellen waarmee het

dynamische gedrag van een meettoestel volledig te beschrijven is.

Wanneer de naald van het toestel stil staat gedraagt het DD-toestel zich elektrisch als een

weerstand met waarde g. Dit is niet meer het geval van zodra de naald beweegt omdat de spoel dan

een e.m.k. opwekt en aldus via de impedantie van de meetketen de meetstroom beïnvloedt. Daar

het DD-toestel zich in eerste instantie gedraagt als een lineair tweede-orde systeem met twee

ingangsklemmen verwacht men dat het zal kunnen voorgesteld worden door een elektrisch

equivalent circuit van tweede-orde. Door het equivalent schema te combineren met de meetketen

zal men dan het gedrag van de naald kunnen berekenen door dit volledig elektrisch circuit te

onderzoeken. Om zo een circuit te vinden vertrekken we van de koppelvergelijking vgl. (4.1):

2

m2

d d ´ ( )d d

J A C C i tt tα α α+ + = .

We voeren nu de hoeksnelheid Ω in d.m.v. de substitutie dd tα= Ω zodat:

md d ' ( )d

J A C t C i ttΩ+ Ω + Ω =∫ . (4.12)

Deze vergelijking suggereert een verband met een keten waarin een spoel Le, een condensator Ce

en een weerstand Re in parallel staan en waarnaar een stroom C´i(t) vloeit zodat een klemspanning

Ω ontstaat. Voor dit circuit zou inderdaad de differentiaalvergelijking geschreven worden als:

ee e

d 1stromen d ' ( )dt

C t C i tR L

Ω Ω= + + Ω =∑ ∫ . (4.13)

Dit leidt tot de volgende analogie (Fig. 4. 2a): de hoeksnelheid Ω komt overeen met de spanning

over de drie componenten, de toegevoerde stroom is C´i(t), de zelfinductie Le = 1/C, de capaciteit

Ce = J en Re = 1/Am. Rekening houdend met de inwendige weerstand g en de tegen-e.m.k. van de

spoel weten we dat de klemspanning van het toestel gelijk is aan d´d

g i Ctα

+ . De spanningsval g i

A 4-6

kan middels een serieweerstand worden ingevoerd. Om het aandeel van de tegen-e.m.k. te doen

kloppen zijn we nochtans verplicht een extra spanningstransformatie met een factor C’ uit te

voeren. Aldus komen we tot het schema van (Fig. 4. 2b) waarin nu een ideale transformator met

windingverhouding C’/1 voorkomt. Uiteindelijk kunnen we de transformator weglaten, op

voorwaarde dat de impedanties van de componenten aan de secundaire zijde worden

getransformeerd met een factor C´2 zodat men uiteindelijk een nieuwe effectieve capaciteit Ce,

zelfinductie Le en weerstand Re bekomt (Fig. 4. 2c):

2 2

e e e2m

' ' , en '

J C CC R LC A C

= = = . (4.14)

Hoe zal men dit schema nu in de praktijk toepassen?

(c)

gi t( )

C =J

eC 2’ C

L =C 2’

eR =

C 2’e

mA

(a) (b)

C =Je

C i’ t( )

CL =e

1R =e

1

mA

C :1’

C i’ t( )i t( ) g

Ce Le ReC’td

d

Fig. 4. 2. (a) Equivalent schema volgens de differentiaalvergelijking, (b) Schema aangepast

aan de elektrische keten, (c) Vereenvoudigd schema.

Men tekent het circuit van de meetketen samen met dit schema en legt eventueel randvoorwaarden

op (vb: hoeksnelheid van de naald nul op t = 0, d.w.z. Ω = 0). Men lost dan het circuit als een

gewoon elektrisch circuit op en vindt aldus de stromen en spanningen die elektrische of

mechanische grootheden kunnen voorstellen. Daaruit volgen dus zowel α(t) als i(t). Bij wijze van

oefening kan men de responsies die hierboven beschreven werden eens trachten te bepalen via dit

equivalent circuit.

Merk op dat er nog een ander equivalent schema mogelijk is, namelijk een serieschakeling van een

equivalente zelfinductie, condensator en weerstand. De stroom uit de bewegingsvergelijking van

A 4-7

het DD-toestel is dan analoog met de klemspanning van dit netwerk. Stel nu zelf de

equivalentietabel op die het verband tussen de mechanische en elektrische grootheden geeft. In de

practicumnota´s wordt een dezer analogieën toegepast op een luidspreker waarvan men de

parameters wil bepalen. Het gebruik van zulk gemengd schema is zeer handig en geeft veel inzicht

in het gedrag van een elektromechanisch systeem. Verder staan een enorm aantal hulpmiddelen ter

beschikking voor het geval de schakeling analytisch moeilijk is te behandelen: SPICE, netwerk

analyseprogramma’s, polen- en nullentechnieken, …

A 4-8

APPENDIX I BIJ HOOFDSTUK IV. Het tweede-orde systeem. 1. Bewegingen van een algemeen tweede-orde systeem We gaan uit van de genormaliseerde differentiaal vergelijking:

2 d 2d 2 ( ) met

d d 2a a D C A + + a = i t =

J Jβ β

τ τ ω ω2 20

′ . (A1.2)

We onderzoeken nu de verschillende excitatiegevallen van dit systeem.

(1) Vrije beweging: i(t) = 0. Randvoorwaarden:

00

d(0) en 0d

aa aτ

= = .

Geval β > 1. De karakteristieke vergelijking heeft twee reële wortels.

1,2 1 21 en dus en 0x x xβ β 2= − ± − < . (A1.3)

2 101 2

1 2

( )x xaa = - x e x e - x xτ τ .

Geval β = 1. Kritische demping.

a = a0 e-τ(1 + τ) . (A1.4)

Geval β < 1. Twee toegevoegd complexe wortels 2j 1- - β β± .

2

' '0 0 02

1sin ( arctan ) ( sin

1

- - e a = a t + A t -

β τ βω τ ω γββ

) ( + ) , (A1.5)

2'0 0 0

0

2πwaarbij en 1 t t - T

τ ω ω ω β= = = (A1.6)

22'

0 0 0en eveneens 1 (1 )2

T = T / - T + ββ ≈ . (A1.7)

De ongedempte eigenperiode is een toestelgegeven omdat zij niet afhangt van het circuit. De

gedempte eigenperiode is groter en bij het DD-toestel afhankelijk van R+g. Door proeven is het

mogelijk om zeer vlug '0T in open keten te bepalen; er blijft dan wel nog demping over t.g.v. de

luchtweerstand die Am beïnvloedt.

A 4-9

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0 1 2 3 4 5

a / a0

= 2

= 1

< 1

Fig. AI-4. 1. Vrije beweging met dempingsgraad β als parameter.

(2) Stapantwoord: i(t) = I u(t).

I

t t t0 0 0

stap vr ije beweging regimetoestand

Fig. AI-4. 2. Stap als superpositie van vrije beweging en regimetoestand.

Voor t < 0 vloeit geen stroom maar op t = 0 wordt plots i = I aangelegd. Wegens de lineariteit van het

systeem kan het antwoord bepaald worden uit het vorige geval en de regimetoestand zoals op

Fig. AI-4. 2 te zien is.

Normaliseert men de uitwijking t.o.v. de regimewaarde a∞, dan vindt men daardoor, afhankelijk van

de dempingsfactor:

'

2Geval 1: 1 sin ( )

1

-a e = - + a -

βτ

β ω τ γβ

0∞

< . (A1.8)

De grootheden ω0' en γ werden hierboven reeds bepaald.

Geval =1: 1 (1 )a = e + a

τβ τ−

∞

− . (A1.9)

Het geval β >1 is terug niet interessant wegens het “kruipen” van de naald.

Van zodra β < 1 wordt krijgen we "overshoot" of doorschot en de naald evolueert slingerend naar het

evenwicht.

A 4-10

0

20

40

60

80

100

120

140

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

am

doorschot

a

a( % ) 0.20.0

0.0

0.2

0.3

0.3

0.4

0.5

0.6

0.8

0.9

1.0

a

t

T0

t1

T0

t m

T0

1

2

Fig. AI-4. 3. Stapantwoord; de parameter is β.

De regimewaarde wordt een eerste maal bereikt op t1:

2

12

0

1π arctan

2π 1

- -

t = T -

ββ

β . (A1.10)

De uitslag neemt echter verder toe tot een maximum bereikt wordt op tm:

2m

0

1 12

t = - T

β . (A1.11)

Het overeenstemmende maximum van de uitslag is am. Er treedt een procentueel doorschot op ter

waarde van:

2

π

1m .100% 100e %a ada

β

β

−

−∞

∞

−= . (A1.12)

Voor een dempingsgraad β = 1/√2 wordt d = 4,4% en t1 = 0,53 T0.

Merk op dat bij deze proef in β ook de elektromagnetische demping voorkomt. Bij sturing d.m.v. een

stroombron moet β bij luchtdemping (b0) gekend zijn daar er dan geen elektromechanische demping

optreedt.

A 4-11

2. Antwoord voor sinusoïdale regime toestand.

0

( ) sin sin ( )i t = I t = I ωω τω

.

0

0

"Genormaliseerde" frequentie" Tfx f T

ωω0

= = = = . (A1.13)

Bijgevolg: 2 d 2d 2 sin sin

d d wa a D C+ + a = I x xAJ

β τ ττ τ ω2 2

0

′=

De regimeoplossing van de vergelijking heeft dezelfde vorm als het tweede lid, maar met een

faseverschuiving en een andere amplitude:

sin ( ) sin ( )a = A t - = A x - ω ϕ τ ϕ . (A1.14)

*Stellen we nog ( ) met x - = x - = x τ ϕ τ τ ϕ τ∗ , (A1.15)

dan vinden we de vergrotingsfactor M en de faseverschuiving ϕ :

22 22w

1 2 en arctan1(1 (2) )

A x = M = = xA - x + x

βϕβ −

. (A1.16)

6.0

4.0

2.0

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2.0 3.0

0.0

45

0.0

0.2

0.4

0.50.6

0.7

0.8

1.0

M

r

Mr M( )1 =

1

2 x =

x =f

f0

xr

Fig. AI-4. 4. Frequentieweergavecurve.

A 4-12

De vergrotingsfactor of opslingering is dus sterk afhankelijk van f/f0 en b. De betekenis van Aw is nu

ook duidelijk: het is de uitslag die zou optreden voor f = 0, dus voor een gelijkstroom met waarde I.

Wegens de normalisatie zijn deze curven universeel bruikbaar voor elk tweede-orde systeem.

Deze curven stellen de amplitude van de sinusoïdale verplaatsing van de naald voor. De naald staat

dus te trillen en alleen bij zeer lage excitatiefrequentie volgt de naaldpositie de ogenblikkelijke

waarde van de stroom.

De volgende opmerking is nu belangrijk: de vergrotingsfactor vertoont een maximum Mr, bepaald

door β volgens de vergelijking

2r r2

1 bij 1 22 1

M = x = - -

ββ β

. (A1.17)

Dit verschijnsel noemt men resonantie.

• In limiet gaat Mr voor β = 0 naar ∞.

• Er is geen opslingering voor Mr = 1 of β = 1/√2 = 0,707. De overeenstemmende xr = 0. Zie de

Fig. AI-4. 5a.

• Voor f = 0,6 f0 bedraagt de amplitudefout -6,3%, voor 0,4 f0 slechts -1,5%.

• Laten we een fout van + 3% toe dan mag β kleiner zijn en de weergave zal dan hoger gaan in

frequentie. Fig. AI-4. 5. Voor Mr = 1,03 vindt men β = 0,612. Voert men deze waarde in, bij

de vgl. AI.16 voor M waarbij men M = 0,97 stelt, dan is fmax = 0,78 f0 voor -3% fout.

Bij sommige toestellen (o.a. penschrijvers) wordt een soort D.D.-mechanisme gebruikt om een

golfvorm i(t) zo getrouw mogelijk op een papierband te schrijven. De ogenblikkelijke naalduitslag

moet dus evenredig zijn met i(t). Hoogstens mag de getekende golfvorm iets vertraagd geschreven

worden t.o.v. i(t).

Onderzoeken we voor een periodieke golfvorm i(t) wat dit vereist. We stellen i(t) voor door een

Fourierreeks:

1

( ) sin ( )k kk=

i t = I k t - ω ψ∞

Σ , (A1.18)

en k ω t =k x τ = xk τ wanneer men normeert. Het ideale antwoord van de pen zou zijn

w ( ) sin ( )i k kk

a t = A x - τ ψΣ . (A1.19)

Het echte antwoord van de pen is:

A 4-13

( ) sin ( )k k k kk

A M k x - - τ ψ ϕΣ , (A1.20)

waarbij ϕk de faseverschuiving is voor de ke Fouriercomponent als gevolg van de transfer M. Wegens

de frequentiecurve van het DD-toestel zal men dus vooreerst de frequentieinhoud van i(t) moeten

beperken tot het gebied waarin de weergavencurve M(x) van Fig. AI-4. 4 vlak is.

0

- 10

- 20

- 30

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2.0 3.0

0.61 0.78

- 3 %

+ 3 %

M

%

AmplitudefoutA

Aw-1 voor = 1 2/

= 1.0

0.8

0.7

0.4

0.2

x

x

= 0.612

ver traging * = t / T0t

T0

x =f

f0

0.6

a

b

c

Fig. AI-4. 5. Frequentieweergave en vertraging; β is parameter.

Indien het antwoord van de naald enkel vertraagd weergegeven wordt na een tijd τ* en M = 1 dan zou

men moeten hebben als beweging

sin [ ( ) ] sin ( )kk k k k kkk

A x - - = A x - - xτ τ τ τψ∗ ∗Σ ΨΣ . (A1.21)

M.a.w., indien ϕk = xk τ* krijgen we een uitslag die weliswaar vertraagd is maar toch de correcte

golfvorm bezit. De fasekarakteristiek van M moet dus lineair met x stijgen en de amplitude-

karakteristiek moet zo vlak mogelijk zijn. Dit kan uiteraard slechts bij benadering. Op de Fig. AI-

4. 5c die de vertraging geeft zien we dat τ* ongeveer constant blijft voor 0,7< β <0,9 (het optimum is

β = 0,87). Bijgevolg is een dempingfactor β = 0,707 een goede keuze, zowel wat betreft Ai /Aw als *iτ .

3. Impulsantwoord: i(t) = I δ(t). Wordt als excitatie een korte stroomstoot gebruikt waarvan de lading q gekend is dan zal er een

mechanisch impuls ∫ C' i(t) dt rond de as ontstaan, m.a.w. het draai-impuls is C' q.

De uitdrukking "korte stroomstoot" houdt het volgende in: vertrekt men vanuit

d 0d

aa = = t

, (A1.22)

A 4-14

dan moet de impulsduur zo klein zijn t.o.v. T0 dat, na het impuls, a nog niet noemenswaardig

veranderd is. Het bewegende systeem heeft ondertussen wel een beginsnelheid verkregen door de

stroomstoot. Men vindt door integratie van de systeemvergelijking over de impulsduur ti:

2

20 0

dd( )d 2 ' d 2 'dd

i it ta a J + A + Ca t = DC i t = D C qtt∫ ∫ .

Tijdens de stoot wijzigt a zich niet, zodat

0 0

d( )d 0 en d 0d

i it ta A t = A. C a t = t∫ ∫ .

De tweede-orde term geeft echter: 2

0 0

d d dd d ( ) 2 'd d d d

i

i i

t

t t

a a a aJ t = J - = J = DC qt t t t∫ .

De wijzer of lichtspot heeft dus een beginsnelheid v0 met waarde:

02 'DCv = q

J . (A1.23)

Na dit eerste fenomeen kunnen we het gedrag voorspellen door de differentiaalvergelijking verder te

integreren, met de randvoorwaarden op t = 0:

0d en 0d

a a t

ν= = .

Het tweede lid bevat dan geen excitatieterm. Men vindt nu, bij verschillende dempingsfactoren:

(1) Voor b = 0: 2 ' sinDC a q tJ C

ω0= . (A1.24)

Is am de maximale uitwijking, dan heeft men nog:

' '0 m 0en

2 'J C

q = k a k =DC

. (A1.25)

Hierin is '0k de ongedempte ballistische constante. Samen met de stroomconstante geeft dit:

'0 0

2πdus2 '

ii

C Ckk , = = = DC k J T

ω0= . (A1.26)

A 4-15

= 0 = 1 < 1

am

a

tT0

/ 4

am

T0

/ 2

a1

a2

T0

2 1

Fig. AI-4. 6 Impulsantwoord voor β = 0, β = 1 en β < 1.

(2) Voor β = 1 (kritische demping): -2 ' eDCa = q J C

τ τ . (A1.27)

Het maximum met waarde am is dan gelijk aan 0m m'

0

en valt op het tijdstip e 2π

Tqa = t = k

.

In beide gevallen is de maximale uitslag evenredig met q. De evenredigheidsconstante is echter

verschillend. Noemt men deze in het laatste geval k'kr dan is:

' 'kr 0 ek = k . (A1.28)

(3) Voor β < 1 (algemeen geval): 2

2'0

e sin 11

-q a - k -

βτ

τββ

= . (A1.29)

De tijdstippen waarbij de opeenvolgende maxima en minima voorkomen volgen uit da /dτ = 0:

2

2

11 [( 1) π arctan ] met 1, 2,1

k-

k - + k = ...-

βτ

ββ= (A1.30)

en de overeenstemmende extrema’s zijn a1, a2, … , ak, … waarbij algemeen geldt:

2

2

1[arctan ( 1)π]

1'0

( 1) e-- + k-

-kqa = - k

ββββ . (A1.31)

Het eerste maximum is het grootste en wordt voor de aflezing gebruikt:

2

1 ' 20

1exp ( arctan )

1

-q - a = - k -

ββββ

. (A1.32)

Noemt men a0 de uitslag voor β = 0 bij dezelfde lading, dan volgt daaruit indien k' de ballistische

constante bij dempingsgraad β is:

0'

1 0

a k a k

′= . (A1.33)

A 4-16

4. Nog enkele belangrijke betrekkingen:

(1) Het logaritmisch decrement l. Definitie:

2

ln 2π1

va a -ν

βλβ+

= = . (A1.34)

Het logaritmisch decrement is gemakkelijk te meten uit de verhouding tussen opeenvolgende

maxima; dit geeft β.

(2) We weten dat

2

0 0( ) met bij luchtdemping

2 ( )B n s = + , J R+ g

β β βω0

. (A1.35)

Bij kritische demping, β = 1, noemt men Rap = R+g de "kritische of aperiodische dempingweerstand".

Men heeft daardoor het verband:

0ap

01-

= R R -β β

β . (A1.36)

(3) Ontlaadt men een zeer grote condensator K met capaciteit K over de meter dan zal de bewegings-

e.m.k. van het raam een stroom door K sturen. Vermits de slingerperiode in de buurt van T0 ligt zal

de grootte van de stroom praktisch alleen door de impedantie van K bepaald worden; men

verwaarloost dus alle zelfinductie en weerstand van het raam. Drukt men uit dat de bewegings-e.m.k.

en de spanning over K dezelfde zijn dan is:

2

2d d ( ) d d en dan is ( ) 'd d d

q t i t- - C i t - K C t t K K tψ α α∫′= = = = .

Deze term zal zich in de bewegingsvergelijking samenstellen met deze door het traagheidsmoment

veroorzaakt en men vervangt daarom J door J’ als volgt:

2 ' '0 0' ' en 2π

2 'J C

J J C T C/J , k DC′

′= + = = . (A1.37)

Dit resultaat kan ook onmiddellijk gevonden worden door het equivalente vervangschema toe te

passen.

Met een ballistisch instrument kunnen dus ladingen gemeten worden. Teneinde de uitslag van een

ballistische ladingsmeter goed te kunnen aflezen zal men er voor zorgen dat de eigenperiode van het

toestel zeer groot is, bijvoorbeeld 10 s, door het traagheidsmoment van het raam groot te maken.

A 4-17

Hoofdstuk IV. Dynamische modellen.

1.Modelvorming. 1 2.Elektrodynamische demping. 2 3.Resultaten. 4 4.Elektrisch equivalent schema van een DD-toestel. 5 Appendix I. Het tweede-orde systeem 1. Bewegingen van een algemeen tweede-orde systeem...................................................................8

2. Antwoord voor sinusoïdale regime toestand...............................................................................11

3. Impulsantwoord: i(t) = I δ(t). ......................................................................................................13

4. Nog enkele belangrijke betrekkingen:.........................................................................................16

A 5-1

HOOFDSTUK V. TOEPASSINGEN VAN HET WESTONTOESTEL EN MAXIMALE GEVOELIGHEID.

Omdat het draaispoeltoestel nog steeds een van de meest toegepaste mechanische toestellen is zullen

we de belangrijkste toepassingen ervan behandelen. Hieronder vragen we ons ook nog af wat nu

eigenlijk de grootste theoretische gevoeligheid is die men met dit toestel kan verwezenlijken. We

zullen zien dat uiteindelijk de gevoeligheid beperkt wordt door zowel mechanische als elektrische

ruisoorzaken.

1. Enkele toepassingen van het draaispoeltoestel.

Bij de zogenaamde ballistische of ladingsmetingen wordt vaak van een fluxmeter gebruik gemaakt

om een magnetische flux te meten. Niettegenstaande men dergelijke metingen tracht te vermijden

blijven zij toch aangewezen wanneer het gaat om de karakterisering van magnetische materialen. Het

principe van de fluxmeter werd beschreven in fysica cursussen en we herhalen het in de Appendix I

bij dit hoofdstuk. Daarin bespreken we tevens de elektronische integrator die toelaat een mechanische

fluxmeter te vermijden. Op de lusgalvanometer gaan we niet in omdat dit toestel enkel nog voor zeer

specifieke toepassingen wordt gebruikt (o.a. als afbuigmotor bij laserprojectie). De belangrijkste

toepassing van het draaispoeltoestel is het gebruik ervan in de universele analoge meters voor

spanning-, stroom- en weerstandsmeting.

1.1. Gebruik als stroom- of spanningsmeter.

In de praktijk wenst men zowel stroom als spanning te meten. We hebben in het overzichtshoofdstuk

van de elektromechanische instrumenten aangetoond dat, ongeacht de dikte van de draad waarmee

een raam of spoel gewikkeld wordt, het eigenverbruik van het naakte metersysteem constant blijft.

D.w.z. dat door de keuze van de draad men ofwel ki of kv kan doen stijgen maar de verbruiksconstante

ki kv verandert niet. Men zal echter die oplossing kiezen die de meetketen zo weinig mogelijk belast:

een ideale stroommeter mag geen spanningsval in de meetketen veroorzaken terwijl door de ideale

spanningsmeter geen stroom mag vloeien. De inwendige weerstand moet dus klein zijn bij

stroommeting en groot bij spanningsmeting. Vandaar dat men eerder een toestel met grote

stroomgevoeligheid toepast bij spanningsmetingen (de inwendige weerstand is dan groot) en vice

versa bij een zuivere stroommeter. In feite eist men dat het vermogen dat de meter met zijn eventuele

accessoires opneemt uit de meetketen verwaarloosbaar is t.o.v. het vermogen dat door het element

onder test wordt opgenomen. Deze eis is ook geldig voor digitale toestellen maar dikwijls wordt er bij

stroommeting niet aan voldaan. Bij toestellen die men zowel voor stroom- als spanningsmeting wil

A 5-2

inzetten kiest men als compromis een toestel met middelmatige ki of kv zodat dit toestel in feite noch

voor stroom noch voor spanningsmeting de beste keuze is. Daarna zal men d.m.v.

voorschakelweerstanden of shunts de volle schaaluitslag van het toestel aanpassen voor spanning- of

stroommeting. In dat geval spreekt men van een “universeelmeter”. Om een goede aflezing te

bekomen op de verschillende bereiken moeten deze oordeelkundig worden gekozen, bijvoorbeeld in

een verhouding 2/5/10. Bij goedkope universeelmeters wordt hier dikwijls niet aan voldaan. Verder

moet de demping zo aangepast zijn dat de naald niet te traag de regimeuitslag bereikt.

1.1.1. Het meten van stromen met een draaispoelinstrument.

De gevoeligheid van een draaispoelinstrument wordt bij de productie afgeregeld, bijvoorbeeld d.m.v.

een magnetische shunt waardoor de luchtspleetinductie ietwat kan beïnvloed worden. De weerstand

van het raam is gekend maar heeft, omdat men koperdraad voor de wikkeling gebruikt, een

temperatuurscoëfficiënt (tempco) met een waarde 0,4%/°C. Om grotere stromen dan de volle-

schaalwaarde FS te kunnen meten wordt steeds gebruik gemaakt van een elektrische shunt. Dit is een

weerstand die in parallel staat met het toestel en waardoor het grootste deel van de meetstroom vloeit.

Zie Fig. 5. 1a, b en c.

g

si

I

a b

i

g

s s

I s ( 1 - ) s

i

g

e

I

c

Fig. 5. 1. Stroommeting met draaispoel toestel.

(1) Gewone shunt (Fig. 5. 1.a): 1 of iI gm = = + I = m i = m k ai s

De grootheid m stelt de deelfactor voor van I en i. De bereikinstelling gebeurt door het omschakelen

van de shunt s.

(2) Universele shunt (Fig. 5. 1b): (1 11 (1 )g + - )s gm + = + s sθ

θ θ= .

Omschakelen van bereik gebeurt door de fractie θ te veranderen. Met het circuit van Fig. 5. 1c kan

men afwijkingen van een stroom t.o.v. een vaste waarde e/s meten. Dit is een “incrementele” shunt.

Men moet nog twee belangrijke kenmerken vermelden voor de schema’s (a) en (b): de equivalente

weerstand Ri die het toestel vertegenwoordigt in de meetketen en de equivalente dempingsweerstand

A 5-3

Rd die het toestel ziet door de aanwezigheid van de shunt en de keten. De eerste weerstandswaarde

bepaalt de spanningsval in de keten en de tweede het dynamische gedrag van het meettoestel.

(1) Equivalente inwendige weerstand (Ri)

iVoor (a): g s gRg s m

= =+

,

i[(1 ) ] (1 )Voor (b): s s g s gR

s g mθ θ θ− + − +

= =+

.

De universele shunt veroorzaakt dus een grotere spanningsval in de meetketen, m.a.w. het verbruik is

voor dezelfde deelfactor als bij een universele shunt groter.

(2) Weerstandswaarde die de EM-demping veroorzaakt (Rd).

De inwendige weerstand van de bron die I veroorzaakt moet veel groter zijn dan Ri zodat het toestel

de meting weinig stoort. In dat geval wordt de waarde van de dempingsweerstand Rd voornamelijk

bepaald door g en s:

dVoor (a): 1

m g R = g + s = = m sm -

. De dempingsfactor is afhankelijk van m.

dVoor (b): R g s= + , onafhankelijk van m. De universele shunt geeft aan het instrument een vast

dynamisch gedrag omdat de EM-demping van het toestel constant is.

Het bovenstaande toont de eenvoudigste manieren om stroomverzwakkers te maken voor

stroommeting. Soms worden aan die verzwakkers extra eisen gesteld. In dat geval wordt dikwijls de

“asymmetrische T-schakeling” gebruikt; men kan uiteraard eveneens een “π-schakeling” toepassen

vermits men deze uit de T-schakeling kan bekomen d.m.v. de ster-driehoek transformatie. Deze

schakeling kan nodig zijn indien de equivalente weerstand van de meetketen niet zeer groot is t.o.v. Ri

en men de spanningsval over de toestelklemmen wil constant houden voor alle meetbereiken.

Dergelijke verzwakkers of attenuatoren worden eveneens toegepast in precisiegeneratoren, in de

telefonie, … In de Appendix II bij dit hoofdstuk geven we een typisch voorbeeld van zo een

attenuator.

1.1.2. Stroommeting met operationele versterkers.

Draaispoeltoestellen zullen bij stroommeting steeds een spanningsval in de keten veroorzaken. Wil

men die spanningsval vermijden dan kan men operationele versterkers gebruiken. Omdat de

uitgangsstroom van een opamp beperkt is zal men er geen grote stromen kunnen mee meten, tenzij

A 5-4

men een gewone shunt in de keten zet waarover men de spanning meet met een opamp die dan als

versterker is geschakeld. Moderne opamps laten toe om redelijk nauwkeurig kleine stromen zonder

spanningsval te meten. De volgende figuur toont het principe: als gevolg van de nullator eigenschap

van de tegengekoppelde opamp zal er geen spanningsval optreden over de ingangsklemmen. De

opamp (Fig. 5. 2a) zet daarbij de stroom ix om in een evenredige spanning V0 = -R Ix . Voor

R = 100 MΩ, Ix = 1 nA is V0 = -0,1 V. Om nog kleinere stromen te meten zou R moeten vergroot

worden. Grote weerstandswaarden zijn echter minder nauwkeurig en vaak ook onstabieler.

R

Ix I x

R

V0 V

0

R2

R1

a b

Fig. 5. 2. Stroommeting met opamp.

Tevens zal bij grote weerstandswaarden de invloed van eventuele lekweerstanden van de bedrading

mee beginnen spelen (o.a. wanneer condensatie van vocht op printplaat optreedt). Daarom zal men de

variant van de Fig. 5. 2b gebruiken die veel kleinere weerstandswaarden toelaat. Maakt men

bijvoorbeeld R1 = 10 Ω, R2 = 10.000 Ω dan zal, met R = 100 MΩ, Ix ongeveer 1000 maal kleiner

mogen worden om terug Vo = -0,1 V te geven, dus Ix = 1 pA. De volle schaaluitslag, meestal 10 V,

komt dan met Ix = 100 pA overeen. De meetgrenzen worden door de opamp bepaald. In het bijzonder

zal bij het meten van kleine stroomsterktes de grootte van de ingangspolarisatiestroom Ib meespelen.

Voor de beste opamps bedraagt deze ca 20 fA = 20 x 10-15 A en dit komt overeen met slechts 125

elektronen/ms. De polarisatiestroom geeft de onderste meetgrens aan omdat hij evenveel versterkt

wordt als de te meten stroom. Uitwendige correctieschakelingen aanbrengen ter compensatie van Ib

heeft meestal weinig zin omdat deze laatste sterk temperatuurafhankelijk is en het temperatuurs-

verschil tussen het inwendige van de opamp en de buitenwereld onvoorspelbaar verloopt. Met

speciale elektronenbuizen heeft men Ib ≈ 10-17 A kunnen bereiken. Zulke schakelingen zijn echter

slechts bruikbaar onder laboratoriumcondities. Verder is één van de klemmen noodzakelijkerwijze

geaard en zwevende stroommeting is zonder meer niet te verwezenlijken.

Vraag: Wat bepaalt de bovengrens IM voor Ix in Fig.Fig. 5. 2a en wat gebeurt bij oversturing (Ix > IM)?

Bij fysische metingen wil men vaak stromen meten die veroorzaakt worden door individuele

A 5-5

elektronen. M.a.w. het elektronendebiet is daarbij zo gering dat de gewone definitie van stroom, nl.

i = dq/dt, geen zin meer heeft. In dat geval zal men integrerende methodes toepassen en een

gemiddelde stroom berekenen uit de totale lading die gedurende een tijd T vloeit:

1g

0

1 d

n

T iqI i t

T T= =

∑∫ .

De integratie kan gebeuren met een opamp (teken zelf het schema), waarbij Ib terug de onderste

meetgrens bepaalt, ofwel in een elektrostatische voltmeter. D.m.v. speciale FET's is men erin

geslaagd elektrometer toestellen te maken met buitengewone prestaties. De firma Keithley

bijvoorbeeld verkoopt apparaten met de volgende karakteristieken:

Keithley 6517A electrometer. Laagste bereik: 20 fA, resolutie 100 10-18 A, ±1 % fout. Ladingsbereiken: 2 nC

tot 2 mC. Ingangspolarisatiestroom < 3fA.

1.2. Meting van spanningen.

Daar bij de spanningsmeting het toestel een grote inwendige weerstand moet vertonen zal men in

principe het raam met zo dun mogelijke draad bewikkelen. Met de minimaal ter beschikking staande

draaddikten (ca 0,03 mm) zal de spanningsgevoeligheid nochtans te groot zijn opdat het toestel

rechtstreeks als voltmeter zou kunnen dienstig zijn. Daarom wordt steeds een voorschakelweerstand

Rv toegepast zodat men een welbepaalde volleschaal aanduiding bekomt. Voor een toestel met

inwendige weerstand g en een FS-uitslag I (bijv. 1 mA) en dat volledig moet uitslaan voor een

spanning VFS zal dus

FS FSv

FS FS i

V VR - g - gI kα

= = .

Opdat de belasting van het toestel op de meetketen minimaal zou zijn moet ki klein zijn.

2. Fysische grenzen bij het meten van zeer kleine stromen.

Men kan zich afvragen hoe groot de kleinste stroom is die men kan meten met een mechanisch

toestel. Omdat van alle instrumenten de DD-galvanometer het gevoeligste is, zullen we deze speciaal

bestuderen. Alle andere mechanische toestellen zullen immers enkel voor technische toepassingen

worden aangewend. Verrassend genoeg zijn instrumenten die gebruik maken van elektronica

nauwelijks beter dan de mechanische. Ze zijn uiteraard handiger en meer robuust.

A 5-6

2.1. Opdrijven van de gevoeligheid van een DD-meter.

De stroomgevoeligheid is een functie van de constructieve gegevens n, B, s en C daar:

en i ii

i n B sS i Sk C

α = = = . (5.1)

Is de afleesresolutie ∆αm gekend dan is de kleinst meetbare stroomvariatie ∆im gelijk aan

m m miCi = k

n B sα α∆ ∆ = ∆ . (5.2)

Hoe groter n B s, hoe kleiner de stroom die kan worden gemeten. De inductie B is feitelijk bepaald

door het magnetische materiaal van de magneet en de waarde ervan ligt grosso modo vast, zeg 1 T(1).

Met een magnetische shunt over de poolschoenen van de magneet kan men B in de luchtspleet enkel

verminderen (voor de volleschaal ijking). Eventueel kan men B nog iets doen toenemen door de

poolschoenen taps te maken zodat de krachtlijnen sterker worden geconcentreerd rond het nulpunt

van het toestel. Het toestel vertoont dan zeker geen lineaire aflezing meer omdat B afhankelijk van α

wordt maar is toch nog zeer goed bruikbaar als nulinstrument of als men zich beperkt tot zeer kleine

uitwijkingen.

Het raamoppervlak s kan, bij gelijkblijvende draaddikte en aantal windingen, niet onbeperkt

toenemen. Immers, daardoor neemt het gewicht toe en zou de spanband meer en meer belast worden

totdat breuk optreedt. Maakt men de band dikker dan neemt C toe en men beperkt terug de

gevoeligheid. Het materiaal van de band moet dus goed gekozen worden; wel kan men de lengte

vergroten, maar de ongedempte eigenperiode T0 stijgt daardoor zodat de afleestijd toeneemt. We

hebben er eerder op gewezen dat men de wijzer kan vervangen door een lichtstraal, waardoor een

aflezing op een schaal wordt bekomen die toeneemt met de afstand van draaispoel tot schaal. Verder

kan men door een reeks spiegels aan te wenden de draaihoek schijnbaar onbeperkt vergroten daar

elke bijkomende spiegel een verdubbeling van die hoek geeft. Men ziet wel in dat aan het roterende

mechanisch systeem extreem hoge eisen zullen worden gesteld om die optische versterking te

realiseren. Om die redenen zal enkel een spanband of draadophanging voldoening geven. Door

geschikte keuze van het bandmateriaal kan mechanische hysteresis dan vermeden worden.

Indien men er in slaagt om een zeer goed mechanisch systeem te maken schijnt het dus mogelijk te

1 Bij de zogenaamde “snaargalvanometer” van de Nederlander Einthoven bedroeg de inductie 2,8 T door het toepassen van een grote watergekoelde elektromagneet met spitse poolschoenen. Met dit toestel werd het voor het eerst mogelijk om rechtstreeks cardiogrammen te registreren. Al de gebruikelijke notaties voor de

A 5-7

zijn de gevoeligheid zeer hoog op te drijven en omdat het equivalent van offsetspanning en

biasstroom niet bestaat bij een DD-meter verwachten we dat betere resultaten kunnen worden bereikt

dan met opamps. We zullen echter aantonen dat er andere fysische verschijnselen zijn die de

maximale gevoeligheid beperken.

2.2. Ruisbronnen.

De uiteindelijke bereikbare gevoeligheid voor stroommeting is beperkt door de aanwezigheid van

ruisbronnen in de componenten van de meetketen. Deze kunnen van allerlei aard zijn: thermisch,

mechanisch, elektrochemisch, … Niettegenstaande het verloop in de tijd van een ruisbron

onvoorspelbaar is kunnen we ze toch meestal met enkele statistische parameters karakteriseren. We

geven hier een kort overzicht van de meest voorkomende ruisbronnen.

2.2.1. Johnsonruis (Nyquistruis) in de resistieve delen van een impedantie.

Dit soort ruis is steeds aanwezig in systemen die thermodynamisch in evenwicht zijn. Hij ontstaat

door de beweging van de ladingsdragers in een geleider als gevolg van de temperatuur. Men ziet dan

aan de klemmen van een weerstand een ruisspanning en(t) verschijnen waarvan de effectieve waarde

bepaald wordt door de weerstand ervan:

2 ( V) (Hz)(MΩ)n m n m

14 of nog:8

E k T B R E .BRµ= ≈ . (5.3)

waarin: R de weerstandswaarde, Bm de meetbandbreedte, T de absolute temperatuur, k de constante

van Boltzmann (1,38¥10-23 J/K). Een kenmerk van die ruisbron is dat men aan de ogenblikkelijke

amplitude en(t) een Gaussiaanse waarschijnlijkheidsverdeling kan toekennen met spreiding σ. De

verwachtingswaarde 2 2neσ = < > is eigenlijk niets anders dan het kwadraat van de effectieve

ruisspanning.

Bij bipolaire transistoren komt deze ruis hoofdzakelijk van de laterale basisweerstand rBB' en de

emitterweerstand rEE'. Bij FET's veroorzaakt de geleidbaarheid van het kanaal de Johnsonruis maar de

bijdrage ervan is klein in vergelijking met de andere oorzaken. Belangrijk is nog dat in

elektromechanische systemen een dergelijke ruis eveneens optreedt. Kan men een elektrisch

equivalent schema van een dergelijk systeem opstellen dan worden de mechanische verliezen

voorgesteld door weerstanden. Om het effect van de elektromechanische ruis op de elektrische keten

te berekenen zal men aan iedere weerstand een Johnsonbron associëren om de totale ruis te

berekenen. Elk verliesoorzaak in het systeem komt met een weerstand overeen. Zo bijvoorbeeld

golfvormen van een cardiogram werden door Einthoven uitgedacht.

A 5-8

straalt een luidspreker akoestische energie uit. Deze energie is verloren voor het systeem versterker—

luidspreker en er zal dan ook een akoestische stralingsweerstand mee geassocieerd zijn in het

equivalente elektrisch schema. Verbindt men een luidspreker met de ingang van een versterker dan

werkt hij ook als microfoon. De ruisspanning aan de ingangsklemmen zal dan onder meer door de

stralingsweerstand worden bepaald.

In het bovenstaande hebben we expliciet verondersteld dat we deze soort ruis voorstellen door een

ideale weerstand R in serie met de ruisbron en(t). Als alternatief mag men overgaan op een Norton

equivalent waarbij R in parallel staat met een stroomruisbron met waarde in = en /R waarvoor geldt:

2 2 n 2 mn n

4( ) k T BEi I = .R R

< >= = (5.4)

a b c d

En

en

p ( e )

en

R R in

Fig. 5. 3. (a) Ruisspanning, (b) Distributie, (c), (d) Thévenin en Norton equivalent.

De Fig. 5. 3 toont (a) een ruisspanning en en de (b) overeenstemmende waarschijnlijkheidsdichtheid

van de ogenblikkelijke amplitude, (c) het Thévenin en Norton equivalent schema. Om een idee te

bekomen van de grootteorde van die spanning- en stroombronnen: met T = 300 K, R = 1000 Ohm,

Bm = 1 Hz is En = 4 nV en In = 4 pA.

2.2.2. Schottky-ruis

In een niet in evenwicht zijnd thermodynamisch systeem ontstaan nieuwe ruismechanismen die over

het algemeen afhankelijk zijn van de grootte van het onevenwicht. Voert een weerstand stroom dan

zullen de ladingsdragers worden versneld door het aangelegde elektrisch veld maar tezelfdertijd

worden afgeremd door botsingen met de atomen. In dat geval zal op de gelijkstroom I die door de

weerstand vloeit een ruiscomponent worden gesuperponeerd die afhangt van I en die een effectieve

waarde In bezit gegeven door:

(pA) 4 (Hz)(pA)n m mn2 en 5,7 10I = q B I BI I−≈ × , (5.5)

waarin q de lading van het elektron voorstelt. Dit soort ruis treedt ook op in stroomvoerende juncties

A 5-9

en in een transistor veroorzaken zowel de basis- als de emitterstroom een Schottky-ruis.

2.2.3. Flikkerruis.

De oorzaken hiervan zijn niet volledig opgehelderd. Bij transistoren kunnen imperfecties aan het

oppervlak een rol spelen. De basisstroom door de depletielaag geeft een bijdrage aan de flikkerruis

die voorgesteld kan worden door de zogenaamde 1/ f stroomruisbron met spectrale dichtheid if (zie

verder onder paragraaf ):

1fi = K

f . (5.6)

2.2.4. Popcornruis.

Ontstaat t.g.v. abrupte variaties van de transistor-β van het ingangspaar van een versterker. Vooral bij

zeer lage frequenties en smalbandtoepassingen geeft deze ruis problemen. De effectieve waarde van

de popcorn-ruis is evenredig met de wortel van de basisstroom.

Bij elektronische versterkers komen al deze bronnen voor. Men heeft aangetoond dat goede resultaten

voor ruisberekeningen kunnen bekomen worden door de ruis van een versterker te associëren met

twee fictieve bronnen aan de ingangsklemmen. De eerste is een stroombron in parallel met de

ingangsklemmen die de effecten van flikkerruis, Schottky-ruis en popcornruis beschrijft. De tweede

die, vooral Johnsonruis voorstelt, is een spanningsbron in serie met de versterkeringang. We gaan de

toepassing van deze ruisbronnen later in meer detail bestuderen.

2.2.5. Ruis t.g.v. weerstandsvariaties in allerlei componenten.

In korrelige geleiders ontstaan heel dikwijls minieme weerstandsvariaties met verwachtingswaarde 2Rδ⟨ ⟩ . Vloeit er een stroom I door deze geleider dan ontstaat er een ruisspanning met effectieve

waarde

2 2 2nE R Iδ= . (5.7)

2.2.6. Ruisspectrum.

In tegenstelling tot het geval van periodieke signalen waarvan men een discontinue voorstelling kan

maken in het frequentiedomein d.m.v. de amplitude van de Fouriercomponenten is dit niet zo voor

ruisbronnen. Via correlatiefuncties kan men aantonen dat het zinvol is om een continue voorstelling

van die bronnen in het frequentiedomein te geven. Men definieert dan een spanning of stroom

spectrale dichtheid en of in op de volgende wijze. Voor een periodiek signaal is de effectieve waarde

A 5-10

van een spanning numeriek gelijk aan het vermogen dat gedissipeerd wordt in een weerstand van 1 Ω.

Dit vermogen zit geconcentreerd op één spectrale lijn en heeft dus een oneindige dichtheid in het

frequentiedomein. De spectrale dichtheid van een ruisbron geeft aan hoeveel vermogen de bron over

een weerstand van 1 Ω produceert wanneer men een frequentieband met breedte 1 Hz van de ruis aan

deze toevoert:

1 1

2 2n n

1Ruisvermogen d of (1 Ohm) d1 Ohm

f + f +

f f

= e f i f×∫ ∫ . (5.8)

De dimensies van en en in zijn dus respectievelijk Volt/√Hz en Ampère/√Hz. Een frequentiebereik (f1,

f2) levert dan de volgende effectieve waarden En en In op:

2 2

1 1

2 2 2 2n n n nd en d

f f

f f

E e f I i f= =∫ ∫ . (5.9)

Bij versterkers geeft men in de databladen vaak en(f) en in(f) op van de equivalente ingangsbronnen en

dit laat toe om de ruis aan de uitgang van de versterker te voorspellen. We zullen dit later behandelen.

Men gebruikt daartoe de volgende opmerkingen:

• Wanneer men twee ruisbronnen in serie plaatst dan is de totale spanning en1+en2. Formeel is

de effectieve waarde van het totale signaal als volgt te berekenen:

2 2 2 2n 1 2 1 1 2 2

0 0 0

1 1lim ( ) d lim [ d 2 d d ]T T T T

T T0

E = e + e t e t e e t e tT T→∞ →∞

= + +∫ ∫ ∫ ∫ .

De kruisterm zal geen bijdrage leveren in twee gevallen: (i) als e1 en e2 ongecorreleerd zijn, en

(ii) als e1 en e2 orthogonaal staan (Fouriercomponenten bijv.). M.a.w. de effectieve waarde 2nE

vindt men door kwadratisch sommeren van de effectieve spanningen van elke bron

afzonderlijk (voor stromen geldt hetzelfde).

• In een complex netwerk handelt men als volgt: men berekent voor elke ruisbron de effectieve

waarde aan de uitgang van het systeem alsof het een sinusoidale bron betreft. Daarna worden

deze waarden kwadratisch gesommeerd.

• Men heeft algemeen aangetoond dat bij aanwezigheid van meerdere weerstanden in een

elektrisch circuit het volstaat de ruis van enkel de Théveninweerstand te beschouwen. Bewijs

dit in het eenvoudige geval van een serie- of parallelschakeling van twee weerstanden.

Ruisbronnen worden soms geklasseerd volgens hun spectrale dichtheid. Zo ziet men dat de

Johnsonbron een constante dichtheid 4 k T R bezit. De flikkerruis is een “1/f” bron, enz… (zie ook

A 5-11

verder in het hoofdstuk waarin de versterkers besproken worden).

3. Ruiseffecten in elektromechanische systemen.

De gevoeligste schakeling voor het meten van een kleine spanning met een toestel dat een inwendige

weerstand g bezit is deze zonder voorschakelweerstand (Fig. 5. 4). We veronderstellen voorlopig dat

de inwendige weerstand van de bron verwaarloosbaar is.

E xEx

eng g

eng

g=0

Fig. 5. 4. Gevoeligste schakeling voor het meten van spanning of stroom.

De gevoeligste schakeling om stroom te meten (geen shunt) is dezelfde, maar we vervangen dan Ex

door een stroombron. Het vermogen dat de bron levert komt in beide gevallen overeen met het

mechanische vermogen nodig om de naald in een zekere stand te brengen. We hebben eerder al

aangetoond dat de energie toegevoerd om de naald te verplaatsen, nl. Cα2 / 2, slechts afhangt van de

veerconstante C en de verplaatsingshoek α.

Het Joule vermogen dat permanent gedissipeerd wordt in de draaispoel hangt af van C, de geometrie

van het raam en de inductie in de luchtspleet. Dit vermogen is immers onafhankelijk van de

draaddikte waarmee het raam is bewikkeld:

2 2 2( ) ( )iCp g i g kB sαα= = ∼ .

Men mag nu niet uit het oog verliezen dat de weerstand g niet ruisvrij is en dat er in feite een

ruisspanningsbron en in serie met g geplaatst moet worden zoals op de figuur is getekend. Omdat

deze bron in serie staat met het toestel zal ze bij de te meten spanning Ex worden opgeteld. Wegens

het constante dichtheidsspectrum van de Johnsonbron zijn alle frequentiecomponenten in de

ruisspanning vertegenwoordigd, ook de allerlaagste, en daardoor kunnen af en toe trage

schommelingen optreden die de naald doen trillen en de aflezing verstoren. Elke methode die

schijnbaar de beweging van het galvanometerraam vergroot zal deze trillingen eveneens versterken.

Algemeen is er dus een grens aan de toelaatbare gevoeligheid en deze wordt o.a. bepaald door de

absolute temperatuur.

A 5-12

3.1. Gevoeligheid van galvanometer.

We vragen ons nu af hoe we de stroomconstante ki zo klein mogelijk kunnen maken zodat ∆im van de

vgl. (5.2) de kleinst mogelijke waarde aanneemt. M.a.w. wat is nu de invloed van n, B, s en C op de

gevoeligheid van een DD-meter?

Invloed van n bij een typereeks.

Bij de typereeks is g = K n2 zodat met Fig. 5. 4 de uitslag α t.g.v. Ex wordt:

x 1n B s E C g n

α = ∼ .

Voor een spanningsgevoelig raam moet n klein zijn. Het statische vermogen dat de bron Ex aan het

raam moet leveren is: 2

2

1xEP = g n∼ . De bron moet dus meer vermogen leveren naarmate de

spanningsgevoeligheid toeneemt. Wat zal nu de uitslag zijn t.g.v. en? Daar α evenredig met en is zal

de distributie van α ook Gaussiaans zijn. De effectieve waarde ae van de naaldtrilling wordt dan

2 1/ 2 me n

4n B s n B s k T BIC C g

α α⟨ ⟩ = = = . (5.10)

Wegens g =K n2 is bijgevolg αe onafhankelijk van n. De verhouding α/αe kan men dus willekeurig

groot maken door n te laten dalen. De bron moet dan wel zeer veel vermogen leveren.

Invloed van de veerconstante.

Men moet rekening houden met het feit dat C eveneens Bm beïnvloedt. Men heeft immers:

01

2πC = .fJ

Uit de frequentieweergavencurve van de DD-meter (Fig. A1.4 bij hoofdstuk IV) volgt dat bij een

normale demping (bijv. β = 0,7) het toestel weinig reageert op de frequentiecomponenten boven f0.

Het is dus redelijk om Bm = f0 te stellen. Een meer correcte waarde kan gevonden worden door met

het deel van de transfer boven f0 rekening te houden, maar het verschil is klein. De uitslag t.g.v. de

bronspanning Ex is nu: xB s EC K n

α = . De effectieve uitslag αe t.g.v. en wordt aldus:

11

m 22e 3 4

4 1 2( ( ))π/

n B s k T B k T = = B s C g K n JC

α , waaruit volgt: 4

e

1 .C

αα∼

A 5-13

Zowel αe als α nemen toe als de spanband minder veerkrachtig wordt, d.w.z. als C daalt. Toch zal de

verhouding α/αe toenemen in dit geval. Het minder veerkrachtig maken van de spanband doet de

gevoeligheid dus effectief toenemen. Bij de meest gevoelige galvanometers werd vroeger daarom het

raam aan een zeer lange draad opgehangen zodat een zeer klein torsiekoppel ontstond. De dikte van

de draad wordt bepaald door het gewicht aan het raam en zijn mechanische breukweerstand. Men ziet

wel in dat de insteltijd van het toestel toeneemt als f0 daalt. Zie hiervoor het stapantwoord dat eerder

werd beschreven.

Wat gebeurt er nu in het geval het toestel door een stroombron wordt gestuurd i.p.v. een

spanningsbron? Op het eerste zicht zal er geen ruisuitslag zijn omdat en van g geen ruisstroom kan

opwekken. Maar, men mag niet vergeten dat een stroombron een zeer grote inwendige weerstand

heeft die eveneens een bijdrage levert. Het wordt aan de lezer overgelaten om α/αe te zoeken en

conclusies te trekken.

3.2. Mechanische ruis.

In het voorgaande ontstaat de ruis in een enkel dissipatief element in de meetketen nl. de weerstand g.

Uit de statistische mechanica blijkt dat ook in een mechanisch systeem de dissipatieve elementen

onderhevig zijn aan ruis. Zo zullen bij de galvanometer luchtwrijving en demping van de spanband

een rol spelen. Deze verliezen kunnen voorgesteld worden door een weerstand in een elektrisch

equivalent schema zodat extra Johnsonbronnen actief worden.

Verder ontstaan trillingen in het raam ten gevolge van de thermische agitatie van de moleculen. De

statistische mechanica toont aan hoe men de grootte van deze thermische trillingen kan schatten.

Daartoe is het nodig de energiefunctie (Hamiltoniaan) van het raam op te stellen:

1 12 2

(1) (2)

H = J + C ω α2 2

(5.11)

(1) stelt de kinetische energie van het raam voor. Deze is een gevolg van de ogenblikkelijke

hoeksnelheid ω = dα/dt van dit raam.

(2) is de potentiële energie voor een raam dat t.o.v. de nulstand over de hoek α uitgeweken is.

Beide energieën vertonen statistische schommelingen rond de positie waarin het raam door het

aandrijvend en terugroepend koppel terechtkomt. Voor een systeem dat in thermisch evenwicht met

zijn omgeving staat laat het zogenaamde equipartitietheorema toe om de verwachtingswaarde van

deze schommelingen te berekenen:

A 5-14

2 21 12 2 2

k TJ Cω α⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ = . (5.12)

Daardoor zijn de kwadratisch gemiddelde of effectieve schommelingen van hoeksnelheid en

afwijking gekend en i.h.b. is:

2e

k TC

α α= ⟨ ⟩ = . (5.13)

De kleinste gelijkstroom Imin die dezelfde afwijking αe zou geven volgt uit:

min min i zodat k T Cn B s k T k T . I , I k

C C C n B s= = = . (5.14)

Om een schatting te verkrijgen van de grootte-orde van Imin trachten we gemakkelijk meetbare

grootheden in te voeren (T0, Rap) d.m.v. formules ontwikkeld bij de modelstudie van het

draaispoelinstrument. In de Appendix III bij dit hoofdstuk worden de details beschreven. Men vindt

dan voor Imin:

1 2 1 2min 1 2

0 ap

π( () )/ /i/

k Tk k T I C T R= = . (5.15)

Als voorbeeld gaan we na wat er gebeurt bij een klassieke middelmatig gevoelige galvanometer van

Siemens met de volgende karakteristieken: 9ap 0300 , 4s, 5.10 A/mm/m = 5 A/rad.iR T k µ−= Ω = =

10

min0 ap

1,14 10Bij 300 K is dan 3,3 pAIT R

−×= = . Voor een afstand D = 1 m tussen de schaal en de

spiegel op het raam is de overeenkomstige effectieve waarde van de stochastische uitwijking

a ≈ 0,6¥10-3 mm en dus is er nog geen zichtbaar ruiseffect. Tracht men nu d.m.v. een reeks spiegels

om ki een factor 1000 te verkleinen tot 5 pA/mm/m dan zullen de schommelingen van de orde

+ 0,6 mm worden met pieken gaande tot ongeveer + 3,5 mm. M.a.w., zonder rekening te houden met

de elektrische ruis, moet de te meten stroom groter dan 3 pA zijn om een van de ruis onderscheidbare

afwijking te bekomen. Bij de supergalvanometer van Siemens (Bm = 1 Hz, g = 1000 Ω) zou, volgens

vgl. (5.4), In = 4 pA. De piekuitwijking van de lichtspot zou dan met 24 pA overeenstemmen. Voor de

stroomconstante geeft men 71 pA/mm/m op. Een kleinere stroomconstante zou bijgevolg weinig zin

hebben gezien de grootte van de ruisstroom. De enige manier om het uiterste uit een instrument te

halen is de temperatuur ervan te laten dalen zodat de factor k T zeer klein wordt.

A 5-15

Samengevat kan men stellen dat bij elektromechanische systemen zowel de mechanische ruis als de

elektrische ruis de uiterste gevoeligheid van een instrument bepalen.

3.3. Signaal-ruisverhouding.

Het bovenstaande toont aan dat in systemen waarin weerstanden voorkomen de ruis een grens voor

de gevoeligheid zal vastleggen. In de meeste elektronische systemen zijn het de punten aan de ingang

van het systeem, waar de te meten spanningen (of stromen) het kleinste zijn, die het gevoeligste zijn

voor de ruisspanningen. De verdere versterkertrappen voegen meestal zelf een te verwaarlozen ruis

toe tijdens het versterken. M.a.w. de signaal- en ruisspanningen van de ingangscircuiten worden dan

evenveel versterkt. Daarom is het beter te trachten de verhouding beschikbaar signaal tot aanwezige

ruisspanning zo groot mogelijk te maken. Deze verhouding noemen we de signaal-ruisverhouding

(signal-to-noise, S/N). Het is eveneens mogelijk om de S/N-verhouding bij een DD-meter maximaal

te maken, al zal dit maar weinig worden vereist. We gaan dit hier enkel als demonstratie van de

theorie uitvoeren.

Voorbeeld. Zoeken we de S/N-verhouding van de aflezing α van een DD-galvanometer gebruikt als

spanningsmeter maar gestuurd door een spanningsbron met inwendige weerstand R. Men heeft α =

Si . i en dus is de afwijking αs t.g.v. Ex: xs i

E = S .R + g

α

E x

R g

S i

Fig. 5. 5. Bron met inwendige weerstand R.

Effectieve waarde αn van de afwijking t.g.v. de trage componenten in de weerstandsruis:

mn

4 ( )i

k T B R + g = S .

R + gα .

Signaal-ruis verhouding: xs

n m

S/N4 ( )

E = k T B R + g

αα

= .

A 5-16

De beste waarde van S/N treedt op voor R = 0, m.a.w. voor een zuivere spanningsbron. Dit is logisch

omdat er geen energie verloren gaat in R onder die voorwaarde.

3.4. Noot: Verantwoording voor dit hoofdstuk

Bovenstaande theorie kan met goed gevolg toegepast worden op alle belangrijke elektromechanische

omzetters (“transducers”). Als voorbeeld: de microfoon (akoestische druk naar spanning),

versnellingstransducer (versnelling of snelheid naar spanning). Meestal stelt men vast dat naarmate

het mechanische deel fysisch kleiner wordt de mechanische ruis toeneemt. Verder is men in staat met

“micromachining” technieken zeer kleine transducers te construeren, samen geïntegreerd met de

conditioneringelektronica. Men zal dus uiteindelijk voor de schatting van de fysisch mogelijke

gevoeligheid van transducers zeker met mechanische en elektrische ruisbronnen moeten rekening

houden. De theorie en effecten hierboven beschreven zijn voor de klassieke galvanometer nog maar

weinig nuttig omdat deze alleen nog in uitzonderlijke omstandigheden wordt gebruikt. Maar, omdat

het een eenvoudig en zeer goed gekend elektromechanisch systeem betreft, is het zeer geschikt om als

voorbeeld gebruikt te worden.

A 5-17

APPENDIX I BIJ HOOFDSTUK V.

De fluxmeters. 1. Klassieke fluxmeter.

Verwijdert men het richtkoppel van de DD-meter, dan heeft men geen nulstand meer, noch

eigenperiode of ballistische constante. De differentiaalvergelijking wordt eenvoudiger:

2

2

d d 'd d

J A C it tα α+ = (AI-5.1)

Men sluit nu het toestel aan op een spoel met gekende doorsnede S en N windingen. Noemen we R de

totale weerstand in de keten dan is, indien de spoel in een magnetisch veld met inductie B gebracht

wordt, de totale flux gekoppeld met de spoel gelijk aan Φ, dus Φ = N B S. Indien een fluxvariatie

optreedt, hetzij door de beweging der spoel hetzij door een variatie in de tijd van de flux, dan geldt er

d dd d

i - = R i + L .t tΦ (AI-5.2)

B

S

N windingen

C = 0

R L

1

2

Fig. AI- 5. 1. Fluxmeter.

Omdat er elektromagnetische demping optreedt zal, bij een fluxovergang van Φ1 naar Φ2, de naald uit

stilstand vertrekken en na de overgang uiteindelijk stilstaan, dus:

1 21 2

d d 0 en ( ) ( ) 0d d

i t i tt tα α

= = = =

De naald vertrekt van α1 en stopt in α2 na het beëindigen van de fluxvariatie. Integratie van beide

vergelijkingen (AI-5. 1) en (AI-5. 2) geeft:

222

1 11 2 1 1 2

22 211 1

d dd of ( ) ( )

d [ ]

J + A = C i t| Ct A = -R

- = R i t + L i|

α αα α

′ ′∫

− Φ ΦΦ ∫ (AI-5.3)

A 5-18

Bijgevolg is: 2 1 1 2( )'

RAC

α α∆Φ = Φ −Φ = − . (AI-5.3)

De sterke demping is het gevolg van de kleine R in de keten, m.a.w. men kan de mechanische

demping verwaarlozen t.o.v. Aem en dus 2

em' , zodatCA A

R= = :

' ( )C α α1 2∆Φ ≈ − . (AI-5.4)

Zolang Am << Aem is het resultaat onafhankelijk van R; de duur van de ontlading speelt ook geen rol.

De inductievariatie volgt uit de spoelparameters vermits ∆B = ∆Φ /N S.

Men ijkt doorgaans de meetspoelen d.m.v. een normaalmagneet of in het veld van een stel Helmholtz

spoelen. Uit de vgl. (AI-5.3) volgt eveneens dat men de uitslag in feite evenredig met de

ladingsvariatie in de meter is.

2. Elektronische fluxmeter.

We sluiten de spoel aan op een integratorschakeling met operationele versterker. De spanning op C

voor t = t0 is willekeurig, bijvoorbeeld V0.

R C

B

v iv0

voltmeter

Fig. AI-5. 2. Fluxmeter met opamp integrator.

De uitgangsspanning v01 op t1 is dan:

1

0

01 0 i i1 d( ) d met

d

t

t

Bv V - v t t v = N S RC t

= −∫

Hierbij werd verondersteld, zonder dat dit strikt nodig is (bewijs!), dat R veel groter is dan de

spoelweerstand en dat de spoel het veld niet belast. Bij kleine velden bereikt men een voldoende

gevoeligheid door R en/of C klein te houden. Niettemin kan dan drift optreden t.g.v. de

"offsetspanning" Vos. Deze wordt namelijk eveneens geïntegreerd tijdens de meting. Stel dat

C = 0,1 µF, R = 10 K, Vos = 1 mV en dat er een seconde verloopt tussen twee aflezingen dan krijgt

men t.g.v. Vos alleen al aan de uitgang een verschil gelijk aan:

A 5-19

os 7 -4 -31s . . V 1 volt !10 10 10V . = = RC

Er moeten dus opamps met zeer lage offsetspanning aangewend worden (minder dan 25 µV). In

tegenstelling tot bij het mechanische toestel is een geringe drift is niet te vermijden indien een grote

integratorversterking (RC klein) gewenst is.

A 5-20

APPENDIX II BIJ HOOFDSTUK V.

Een ladderattenuator.

Voor de universele verzwakker van de onderstaande figuur eist men het volgende:

• De gevoeligheid stapsgewijze moet kunnen ingesteld worden: U1/U2 = n . Zo kan men bijv.

veelvouden van 20 dB kiezen: n = 1, 10, …

• De weerstand Ri die de generator ziet moet constant blijven bij de instelling van n,

bijvoorbeeld R = g.

• Voor een gekende bronweerstand R moet de dempingweerstand Rd die het toestel ervaart

constant zijn, bijvoorbeeld Rd = Rap - g. In dit geval is het toestel steeds kritisch gedempt.

E

R

U1

I1 R

1R

2

R3

U2

Ri

Rd

inwendigeweerstand

g

Fig. AII-5. 1. Een universele verzwakker.

Deze voorwaarden kunnen dus als volgt uitgedrukt worden

2 31

32

[1]. gU R Rn U R

+ += =

1 3 2 21 1

1 2 3

( )[2]. U R R g R gg R RI R R g n

+ += = + = +

+ +

3 1

d ap 21 3

( )[3]. R R + R - g + .R R R + + RR R= =

Het is wel duidelijk dat deze voorwaarden niet algemeen kunnen voldaan worden. Zo is n = 1 enkel

mogelijk als R1 = R2 = 0 wegens [2]; de voorwaarde [1] vereist dan dat R3 = ∞ zodat g = U1/I1 kan

zijn. Men vindt uit de voorwaarden [1], [2], [3]:

2 dd

i2 d

( ) g Rn g n g R Rg RR R gn

R g

+− + ++=

+−+

A 5-21

De waarden die men vindt moeten steeds positief blijven; dit leidt tot het volgende resultaat:

dd

dd

1dan moet 1

1dan moet 1

R > g n + R g + g/R

g < g n + R + R/gR

≥ ≥

Dergelijke verzwakkers worden eveneens toegepast als attenuator in HF-generatoren. Daarbij wordt

een schakeling opgebouwd uit een kaskade van π- of T-cellen. Men zorgt er voor dat de bron en de

uitwendige belasting dezelfde impedantie R bezitten. Typisch is R = 50 Ω. Elke cel wordt nu zo

ontworpen dat (Fig. AII-1): Ri = Rd = R. Voor elke cel die wordt toegevoegd blijft er aldus

aanpassing bestaan en de verzwakkingfactoren (in dB) van de cellen kunnen eenvoudigweg opgeteld

worden om de totale verzwakking in dB te vinden.

A 5-22

APPENDIX III BIJ HOOFDSTUK V.

Schatting van de grootheden die Imin bepalen.

We hebben bij de modelstudie van het DD-toestel het volgende gevonden:

0

π2 CT J

ω0= =

2

m'2 ( ) uit App. I bij Hoofdst. IVCA

J R gω β0

1= +

+

iC C k = =

n B s C′

In de meeste gevallen zal de elektromagnetische dempingsterm veel belangrijker zijn dan Am. Kiezen

we nu R+g=Rap , de aperiodische dempingsweerstand, dan is β = 1 en:

2

ap

'2

CJ R

βω0

=1≈ zodat Rap nog is: 2

ap'

2CRJω0

=

Omdat bij een meting dikwijls demping dicht bij β = 1 ingesteld wordt is het zinvol om Rap als

ruisweerstand in te voeren. Verder kan ki omgevormd worden met bovenstaande formule tot

3

30 ap

4π'i

C Jk = = C T R

.

Uit de kennis van T0 en Rap (door meting met proeven die hier niet werden beschreven) volgt dan de

minimale waarneembare gelijkstroom Imin:

1 12 2

min 10 ap2

π( ) ( )ik k TI k TT RC

= =

A 5-23

Hoofdstuk V. Toepassingen van het Westontoestel en maximale gevoeligheid.

1. Enkele toepassingen van het draaispoeltoestel................................................................... 1 1.1. Gebruik als stroom- of spanningsmeter.................................................................................................. 1

1.1.1. Het meten van stromen met een draaispoelinstrument. ......................................................2 1.1.2. Stroommeting met operationele versterkers........................................................................3

1.2. Meting van spanningen. .............................................................................................................................. 5

2. Fysische grenzen bij het meten van zeer kleine stromen. .................................................... 5 2.1. Opdrijven van de gevoeligheid van een DD-meter............................................................................. 6

2.2. Ruisbronnen.................................................................................................................................................... 7

2.2.1. Johnsonruis (Nyquistruis) in de resistieve delen van een impedantie. ...............................7 2.2.2. Schottky-ruis .......................................................................................................................8 2.2.3. Flikkerruis. ..........................................................................................................................9 2.2.4. Popcornruis. ........................................................................................................................9 2.2.5. Ruis t.g.v. weerstandsvariaties in allerlei componenten. ....................................................9 2.2.6. Ruisspectrum.......................................................................................................................9

3. Ruiseffecten in elektromechanische systemen. ................................................................ 11 3.1. Gevoeligheid van galvanometer. ............................................................................................................ 12

3.2. Mechanische ruis......................................................................................................................................... 13

3.3. Signaal-ruisverhouding. ............................................................................................................................ 15

3.4. Noot: Verantwoording voor dit hoofdstuk........................................................................................... 16

Appendix I.

De fluxmeters.

Appendix II.. ..................................................................................................................... 20

Een ladderattenuator.

Appendix III.. .................................................................................................................... 22

Schatting van de grootheden die Imin bepalen.

A 6-1

HOOFDSTUK VI. WEERSTANDSMETINGEN.

In dit hoofdstuk zullen we de belangrijkste methodes voor weerstandsmeting bespreken. Tevens zullen

we de evenwichtsvoorwaarden voor de aanverwante ac-brug evenals de ladingsbrug onderzoeken.

1. Algemeenheden.

De weerstand is een van de meest gebruikte componenten in de elektrotechniek en elektronica. In

elektronische schakelingen zijn doorgaans vrij grote afwijkingen t.o.v. de nominale weerstandswaarden

toegestaan zodat goedkope weerstanden met grote tolerantie bruikbaar zijn, meestal + 10 %. In

schakelingen die ontworpen werden voor meetdoeleinden is het een noodzaak op bepaalde plaatsen,

bijvoorbeeld in de verzwakkers of attenuatoren, de zogenaamde precisieweerstanden met een

tolerantie minder dan 1 procent toe te passen. Dikwijls worden schakelingen gebruikt waarin

weerstandsverhoudingen het gedrag ervan bepalen. In dat geval is de mate van gelijkheid van de

weerstanden veel belangrijker dan hun absolute waarden. Zo ziet men dat in D/A omzetters van het R-

2R type, de absolute waarde van R bijvoorbeeld tussen de 10 kΩ tot 20 kΩ kan liggen terwijl de

onderlinge verhoudingen op 0,1 % na gerespecteerd blijven. Hieronder volgen enkele belangrijke

technische en informatieve kenmerken van de weerstanden toegepast in de elektronica.

Technische kenmerken Informatieve kenmerken

weerstandswaarde, tolerantie toegelaten mechanische krachten

toelaatbare dissipatie afmetingen

ruisgedrag type (koollaag, metaalfilm, …)

temperatuurscoëfficiënt TC toelaatbare spanning

Het aanbod in de handel, wat betreft de weerstandswaarden, is uiterst groot: men vindt waarden van

0,1 Ω of minder tot enkele 1000 MΩ! De opeenvolgende weerstandswaarden zijn volgens

internationale normen zo gekozen dat:

• Alle waarden kunnen afgeleid worden uit een beperkte reeks getallen waarvan de verhouding

grootste/kleinste 10 bedraagt.

• De reeks met 10N start, waarbij N = -1, 0, 1, … 9 kan zijn.

• De bovenste tolerantiegrens van een waarde ongeveer gelijk is aan de onderste tolerantiegrens

van de volgende waarde.

• De fysische afmetingen constant blijven voor alle N.

A 6-2

M.a.w. een reeks is bijvoorbeeld: R1, R2, . . . Rn met Rn /R1 = 10. De mogelijke fout op de nominale

waarde van een weerstand wordt bepaald door de tolerantie. De tolerantie geeft aan in welk gebied

rond de nominale waarde de echte weerstandswaarde zeker ligt. Voor een gegeven tolerantiewaarde

±∆ moet men dan hebben:

11

1

1 of 1

nnn

n

R C R C RR

−

−

+ ∆= = =

−∆ . \c_toler (6.1)

Dit geldt voor alle weerstanden uit de reeks, dus voor n = 1, 2, 3, … , k, … Het aantal weerstanden

nodig om daaraan te voldoen is:

11log

n = + C

. \logc (6.2)

De constante C volgt volgens vgl. (6.1) uit de tolerantie ∆. Voor ∆ = 0,2 is bijvoorbeeld C = 1,5 en

n = 6,67 ª 7; men kiest dan 6 intervallen in de reeks zodat C = (10)1/6 en men spreekt van de E6-reeks.

Op analoge wijze definieert men de reeksen E12 (∆ = 0,1) en E24 (∆ = 0,05), … Om historische en

praktische redenen wijkt men enigszins af van de ideale waarden in de buurt van 3,3 tot 4,7. Men

bekomt aldus de volgende E6 en E12-reeksen (respectievelijk ±20% en ±10% tolerantie):

E6 1 1,5 2,2 3,3 4,7 6,8 10

E12 1 1,2 1,5 1,8 2,2 2,7 3,3 3,9 4,7 5,6 6,8 8,2 10

Vgl.(6.1) 1 1,212 1,468 1,778 2,15 2,61 3,162 3,831 4,642 5,623 6,813 8,254 10

Voor precisietoepassingen staan eveneens de veel duurdere E24, E48, E96 en E192 reeksen ter

beschikking. De waarden van de weerstanden worden erop aangeduid d.m.v. een kleurcode met

gekleurde ringen: zie bijlage achteraan dit hoofdstuk. Voor condensatoren worden in principe dezelfde

reeksen gebruikt. Gezien de prijs van een condensator veel groter is dan van een weerstand zal men

zich beperken tot de waarden uit de E-12 reeks.

De temperatuurscoëfficiënt TC van een weerstand is een gevolg van het feit dat de meeste stoffen een

temperatuursafhankelijk gedrag vertonen dat zich weerspiegelt in hun elektrische weerstand. Men

schrijft algemeen:

20 (1 )TR R AT BT . . .= + + + . (6.3)

Voor een beperkt temperatuurgebied refereert men meestal t.o.v. 20°C i.p.v. de absolute temperatuur T

en men behoudt enkel de eerste term:

A 6-3

20 20[1 ( 20)]R R α θ= + − . (6.4)

waarin: α20 = temperatuurscoëfficient (tempco, TC) bij 20°C en θ de temperatuur in graden Celsius.

Voor Ag, Cu, Au, Al, Zn, Pt bedraagt α20 = 0,4 %/°C. Voor legeringen kan men zeer verschillende

waarden bekomen die zowel positief als negatief kunnen zijn. Merk nog op dat TC afhankelijk is van

de referentietemperatuur omdat r

rr

1 dd

Rθ

θ

αθ θ

= .

Wil men weerstanden gebruiken voor temperatuurmetingen dan kan men de getabuleerde algemene

formule, T = fie (RT /R0), toepassen. Platina wordt omwille van zijn inherente chemische stabiliteit veel

gebruikt voor temperatuurbepalingen. Zie ook in het hoofdstuk over de sensoren.

Daar waar het hierboven ging over componenten met een gekende nominale waarde kent men in de

elektrotechniek meerder redenen die het noodzakelijk maken om onbekende weerstandswaarden te

meten. Onder andere:

• Voor de bepaling van fysische grootheden die uit geleidbaarheid kunnen afgeleid worden

(beweeglijkheid van ladingsdragers, temperatuur…)

• Om de maximale spanningen te bepalen waaraan componenten of stoffen kunnen weerstaan

vooraleer door te slaan

• Om de gevoeligheid van een omgeving voor elektrostatische opladingen te bepalen bij het

toepassen van zwak geleidende vloer- en muurbekledingen, enz…

• Bepaling van aardings- en lekweerstanden van elektrische installaties

2. Ruisbronnen bij weerstanden.

We hebben in een vorig hoofdstuk de belangrijke ruisbronnen besproken. Het is duidelijk dat ook

weerstanden verschillende ruisbronnen kunnen optreden.

Johnson-ruis of thermische ruis: zie hoger.

Hagelruis (shotnoise).

Hagelruis is in feite Schottky-ruis die vooral optreedt bij halfgeleiders en in zeer geringe mate bij

filmweerstanden. Wanneer een gelijkspanning U over een weerstand met waarde R staat wordt op de

thermische beweging van de ladingsdragers een driftsnelheid gesuperponeerd die sterke botsingen

veroorzaakt. Men heeft gevonden dat de effectieve spanning Un die aan deze ruis kan worden

toegekend gegeven is door de volgende semi-empirische formule:

A 6-4

2 2n(d ) ( ) d ( , )RUU f F f T

L= . (6.5)

We schrijven dUn omdat het over de smalle meetband df gaat. Zoals altijd zal men voor een volledig

frequentiegebied (f1, f2) kwadratisch moeten sommeren om de totale effectieve ruisspanning te vinden.

De functie F(f,T) is een ingewikkelde functie van de frequentie f en de temperatuur T, L is de lengte

van de weerstand. Draadgewikkelde weerstanden zijn nagenoeg vrij van hagelruis omdat L zeer groot

is en het driftveld dus zeer klein. Numeriek is de hagelruis voor gewone weerstanden veel groter dan

de Johnsonruis. Onderzoek dit door in de data sheets van weerstandsreeksen de algemene kenmerken

op te zoeken.

Stroomruis.

Omdat stroomruis het gevolg is van spontane variaties der weerstandswaarden door contacteffecten

tussen de korrels van het weerstandsmateriaal zullen weerstanden met metallische lagen weinig

stroomruis vertonen, tenzij het metaal gekorreld is. Men verkiest daarom metaalfilmweerstanden boven

koolstofweerstanden. Empirisch werd de volgende uitdrukking bekomen voor de effectieve

ruisspanning Un wanneer een gelijkstroom I door een weerstand R vloeit:

22n 3

d(d ) ( )k R fU R I fLρ

= . (6.6)

De factor k /ρ is voornamelijk materiaalafhankelijk. De temperatuur komt niet tussen en men ziet dat

zelfs bij zeer lage frequenties nog ruis bestaat. Strekt het meetinterval zich uit van f1 tot f2 dan is de

totale ruisspanning:

2

1

2 22 2n 3 3

1

d( ( ln) )f

f

k R f k R f R I R I U f fL Lρ ρ= =∫ .

De verhouding tussen Un en de aangelegde gelijkspanning U is dus:

1

n 2 2

1

( ln )U k R f U L fρ

= . (6.7)

Deze verhouding noemt men het ruisgetal en deze grootheid is dus schijnbaar niet afhankelijk van de

temperatuur T. Er werd experimenteel aangetoond dat diverse fabricagefouten in weerstanden een

hoger ruisgetal veroorzaken dat daarenboven met T toeneemt. In Europa gebruikt men veeleer de

stroomruis-index F gedefinieerd door:

A 6-5

n20 log UF U

= . (6.8)

Daarbij is f2 /f1 = 10 en 1 2f f = 1000 Hz (dus f 2 - f1 = 285 Hz en f1 = 316,6 Hz en f2 = 3166 Hz). Ook

kan men refereren t.o.v. een ruisspanning van 1 µV/V. D.w.z. men geeft de stroomruis index in dB en

0 dB komt overeen met 1µV/V.

Typische waarden van de stroomruis-index.

Koolstofweerstand: F = - 10 dB of 0,32 µV/V bij 1 kΩ + 8 dB of 6,3 µV/V bij 1 MΩ

Metaalfilm: < 100 kΩ 0,25 µV/V > 100 kΩ 0,50 µV/V.

Ter vergelijking: de Johnsonruis zou voor een 100 kΩ weerstand binnen een bandbreedte van 285 Hz

een effectieve waarde van 0,68 µV genereren. Bij het ontwerp van ruisvrije versterkers zal men dus

voor moeten zorgen dat noch de stroom door een weerstand, noch de spanning erover zeer groot

worden.

3. Meting van weerstandswaarden.

De sterk verschillende weerstandswaarden die men in de techniek vindt vereisen uiteraard aangepaste

meetmethoden. Grosso modo kan men spreken van drie weerstandsgebieden:

kleine weerstandswaarden middelmatig grote weerstandswaarden

grote weerstandswaarden

< 0,1 Ω 0,1 Ω … 106 Ω 106 Ω…1020 Ω

3.1. Meting van grote weerstandswaarden.

De nauwkeurigheid die men kan bereiken bij de weerstandsbepaling van slecht geleidende materialen

is meestal klein. Het gaat immers zeer dikwijls om stoffen die, als gevolg van hun chemisch en fysisch

slecht gedefinieerde samenstelling, onstabiel zijn en zeer sterk gevoelig aan spanning, temperatuur en

vochtigheidsgraad. Daarom zal men bijvoorbeeld papier dat in condensatoren als diëlektricum

toegepast wordt, impregneren teneinde het te stabiliseren. Een ander fenomeen is het bestaan van

verschillende geleidingsmechanismen. Men onderscheidt daarbij:

• De ruimteladingsstroom die nodig is om een ruimtelading op te bouwen, bijvoorbeeld in een

isolator. Deze is vergelijkbaar met de stroom nodig om een transistorjunctie op te laden. De

ruimteladingsstroom is van de vorm exp(-t/τ) maar de tijdconstante τ kan zeer groot zijn.

• De oppervlaktestroom die tussen de meetelektroden vloeit, maar via het materiaaloppervlak.

A 6-6

Deze stroom kan een gevolg zijn van onzuiverheden (vet, vocht, elektrolyten) aan het

oppervlak en hij definieert een "oppervlakteweerstand". In sommige gevallen beoogt men de

meting ervan omdat men daaruit conclusies kan trekken i.v.m. kruipstromen e.d. die de oorzaak

van brand en defecten in installaties kunnen zijn. Meet men op het oppervlak van een materiaal

de weerstand tussen overstaande twee zijden van een vierkant dan vindtt men de

“vierkantsweerstand” die gelijk is aan Rv = ρs /δ. Daarin is ρs de oppervlakteresistiviteit en δ

de dikte van de geleidende laag.

• De doorgangsgeleiding van het materiaal die de volumegeleidbaarheid σ of de volume-

resistiviteit ρ definieert.

De normen zoals CEBEC (België), VDE (Duitsland), ASTM (USA), leggen vast met welke opstelling

materiaalmonsters moeten uitgemeten worden teneinde vergelijkbare metingen te bekomen.

3.1.1. Uitvoering van een meting voor grote weerstandswaarden.

r

geschermdeelektrode schermr ing

tegenelektrode

meetmonster

Fig. 6. 1. Meetmonster en elektroden. \scherm

Meestal wordt het monster als diëlektricum van een stel condensatorelektroden met schermring of

schutring gebruikt ter eliminatie van de oppervlaktestroom (Fig. 6. 1). Is, t.g.v. oneffenheden

bijvoorbeeld, het monster niet op alle plaatsen in direct contact met de elektroden dan zal men het

oppervlak ervan geleidend maken d.m.v. geleidende (zilver)verf. Voor vloeistoffen worden speciale

meetvaten aangewend; ook hier zijn geschermde elektroden nodig. Voor de effectieve oppervlakte S

van de geschermde elektrode in Fig. 6. 1 kiest men 2π ( )2

S r δ= + .

3.1.2. Absolute methode.

We bepalen (Fig. 6. 2, Fig. 6. 3) de waarde van de onbekende weerstand Rx uit de aangelegde spanning

en de stroom die er door vloeit: Rx + r = E/i en r « Rx.

De weerstand r beschermt het nulinstrument tegen doorslag van het monster. Men kiest r in functie van

de bronspanning E die is opgelegd door de normen; een 10 kΩ/volt volstaat daarbij meestal.

A 6-7

HS bron

R x

Ei

is

g

r

Fig. 6. 2. Absolute methode. \absoluut

E r1

is

g

lekstroom

r2i

Fig. 6. 3. Absolute methode: meter zwevend. \zwevend

De configuratie van Fig. 6. 2 is zeer gunstig omdat lekweerstanden tussen elektroden en aarde of

stroommeter en aarde, evenals de schermstroom is, geen rol spelen. Het circuit van Fig. 6. 3 dat iets

handiger is omdat de tegenelektrode aan de aarde ligt, wordt echter wel beïnvloed door de

lekweerstand r2 naar de aarde (de weerstand r1 belast enkel de bron). Om dit te vermijden plaatst men

de stroommeter op een geleidende plaat die zelf geïsoleerd is t.o.v. aarde. Fig. 6. 4.

E

g

r1 r2

r 3GUARD

Fig. 6. 4. Toevoegen van aardplaat.

\aardplaat

vloeistof

s

Fig. 6. 5. Isolatieweerstand van kabels.

\kabels

Deze aardplaat of “GUARD” wordt met de bron verbonden. Aldus staat r1 kortgesloten en r2 komt

parallel op g te staan als een soort shuntweerstand. Daar r2 >> g, meet men op weinig na de stroom i;

de weerstand r3 tussen guard en aarde staat parallel op de bron en speelt dus geen rol meer. Een

beschermweerstand blijft natuurlijk nog wel vereist.

De isolatieweerstand van kabels kan gemeten worden door ze in een geleidende vloeistof te dompelen

A 6-8

en een schermelektrode rond de uiteinden te wikkelen (Fig. 6. 5). Bij commerciële instrumenten wordt

de schermring met zijn centrale elektrode gebruikt om rechtstreeks de oppervlakteweerstand te meten.

Men brengt dan de spanning aan tussen beide elektroden en meet de stroom. Omdat de lengte van de

stroombaan zeer klein is (afstand δ tussen beide) en de sectie van de keten groot (omtrek van centrale

elektrode) kan men zeer grote oppervlakteweerstanden meten. Men verwaarloost daarbij wel de

geleiding door het volume.

3.2. Meting van gemiddeld grote weerstandswaarden.

Het betreft hier doorgaans goed gedefinieerde weerstanden, uit metaaldraad of van het filmtype. Hun

stabiliteit is uitstekend en de TC is redelijk goed gekend zodat zeer nauwkeurige metingen mogelijk

zijn. Aan de lage zijde kunnen de hierna volgende methoden slechts tot ongeveer 0,1 Ω gebruikt

worden. Men ondervindt inderdaad een toenemende invloed van contactweerstanden en weerstand van

de aansluitdraden en klemmen naarmate men kleinere en kleinere weerstanden wil meten.

Om een grote nauwkeurigheid te bereiken zal men noodzakelijkerwijze de onbekende weerstanden

vergelijken met normaalweerstanden. Men onderscheidt de volgende types normalen:

• De primaire standaarden van 1 Ohm die bewaard worden in speciale instellingen zoals het

BIPM te Parijs. Deze laatste worden sedert 1 januari 1990 vervangen door elementen die

steunen op het gekwantificeerd Halleffect, ontdekt door Von Klitzing in 1985. De primaire

standaardweerstanden moeten op tenminste + 0,01 % nauwkeurig zijn.

• Secondaire standaarden: draadgewikkelde weerstanden van 0,01/0,1/1/… 100 kΩ die geijkt

werden aan de hand van primaire standaarden. De nauwkeurigheid moet minstens +0,2 %

bedragen, maar +0,05 % is een gangbare waarde.

• Geijkte weerstandsbanken: opgebouwd uit draadgewikkelde weerstanden die d.m.v.

schakelaars in serie kunnen geschakeld worden. Ze worden doorgaans in vier decaden

uitgevoerd, zodat elke waarde tussen 0,000 en 10.000 of 0,000 en 1000,0 kan ingesteld worden.

De nauwkeurigheid bedraagt meestal +0,05 % tot 0,1 %.

De eisen gesteld aan een goed weerstandsmateriaal zijn als volgt te formuleren:

• De resistiviteit moet groot zijn

• De TC zal zo mogelijk nul zijn bij de gebruikstemperatuur

• De thermo-e.m.k.’s die optreden aan de overgang weerstand/klemmen moeten zeer klein zijn

• De veroudering moet zeer traag en geleidelijk verlopen

A 6-9

De bijgevoegde tabel geeft de kenmerken van enkele veel gebruikte materialen.

Materiaal Samenstelling Ω ¥ mm2/m TC gem. (0-100 °C) (per K of 0C)

Cu (zacht) Cu 0,017 4,3 x 10-3

Cu (hard) Cu 0,018 3,8 x 10-3

Nikkelin 67Cu/17Ni/23Zn 0,3 0,35x10-3

Manganin 86Cu/2Ni/12Mn 0,42 10-5

Konstantaan 54Cu/46Ni 0,5 -0,03

Omdat de aansluitdraden en klemmen uit koper gemaakt zijn heeft men getracht om, uitgaande van

koper, door legering het beoogde resultaat te bereiken. Zo gebruikt men sinds lange tijd Manganin dat

een minieme TC van 10-5/graad vertoont. De thermo-e.m.k. t.o.v. koper bedraagt daarbij slechts

1,5 µV/°C. Het zoeken naar nieuwe legeringen gaat nog steeds door, vnl. i.v.m. de constructie van

precisieweerstanden in het temperatuurgebied van 2 tot 4 Kelvin die men toepast in cryogene

meetopstellingen.

Bij de weerstandsdozen met schakelaars zal men, om de negen waarden 1/2/… /9 van een decade te

bekomen, eventueel 10 gelijke weerstanden in serie schakelen (Fig. 6. 6). Soms gebruikt men 4 gelijke

weerstanden en een vijfde die vijfmaal groter is.

10 x 1 eenheid

0 1 2 9 10 0 1 3 4 5 6 9

4 x 1 eenheid

5

Fig. 6. 6. Opbouw van een decade. \decade

Om de 9 waarden te verwezenlijken is dan een meer gecompliceerde schakelaar vereist. In navolging

van de mechanische weegschalen werd vroeger soms met bepaalde gewichten gewerkt. De negen

waarden 1/2/3 … /9 kunnen inderdaad ook bekomen worden door de gepaste serieschakeling van

weerstanden met waarden 1/2/3/4 of 1/2/2/5.

Draadgewikkelde weerstanden voor ac-toepassingen vereisen bijzondere wikkeltechnieken om het

bruikbare frequentiegebied zo groot als mogelijk te houden. Dit zal verder nog onderzocht worden.

Voor dc-toepassingen ziet het model van een tweeklemmen normaalweerstand er als volgt uit

A 6-10

(Fig. 6. 7). In dit schema zijn rk1, rk2 de weerstanden van de aansluitdraden en contactweerstanden. De

bronnen ET12 , ET34 stellen de thermo-e.m.k. bronnen voor t.g.v. θ1, …, θ4 ; α is de TC bij 20 0C. Voor

de berekening van de invloed van TC zal men aannemen dat de weerstand op een gemiddelde

temperatuur staat, bijvoorbeeld 2 3

2θ θθ +

= .

Fig. 6. 7. DC-model van een weerstand. \dc_model

Thermisch model.

In een aantal gevallen volstaat een dergelijk model echter nog niet: het model beschrijft weliswaar wat

er gebeurt indien er temperatuurverschillen optreden maar zegt niet vanwaar deze komen. Naast de

directe invloed van eventueel warme elementen die de weerstand omringen moet men ook rekening

houden met de eigenverwarming.

a b

P

rw aC

P

rw a - a

Fig. 6. 8. (a) Equivalent elektrisch schema voor thermische berekeningen, (b) Model met warmtecapaciteit. \therm

Elk vermogen P dat de weerstand dissipeert veroorzaakt immers een verhoging van de temperatuur van

het weerstandslichaam. Niettegenstaande het zeer moeilijk is om het effect van conductie-, convectie-

en stralingsafkoeling van een weerstand correct te berekenen gaat men er meestal van uit dat het

temperatuurverschil tussen het weerstandslichaam en de omgeving evenredig met het gedissipeerde

vermogen P toeneemt. Men schrijft dan bijvoorbeeld:

a war Pθ θ− = . (6.9)

A 6-11

waarin θ en θa de temperaturen van weerstand en omgeving voorstellen en rwa de thermische weerstand

tussen de weerstand en zijn omgeving. De waarde van de thermische weerstand is meestal op de

gegevensbladen van de weerstandreeks vermeld. Bovenstaande formule is in feite analoog met de wet

van Ohm en daarom kan men ze beschrijven met een elektrisch analogon waarin P een stroom

voorstelt; θ en θa zijn dan potentialen evenredig met de temperaturen. Zie Fig. 6. 8a. Het thermische

model van de Fig. 6. 8a is evenwel onvolledig omdat het geen rekening houdt met de thermische

warmtecapaciteit van de weerstand. Daartoe kan men dit model uitbreiden zoals de Fig. 6. 8b toont. Al

is dit schema te eenvoudig en slechts een benadering, men bereikt er toch zeer bruikbare resultaten

mee. Men ziet bijvoorbeeld dat bij het aanleggen van een vermogenstap het temperatuurverschil θ-θa

exponentieel naar de regimewaarde rwa P zal gaan. Uit het verloop van θ-θa met de tijd kan men aldus

C bepalen indien rwa gekend is. Op deze wijze ziet men eveneens dat, via de TC, de waarde van een

weerstand een met de aangelegde spanning kwadratisch evenredige term zal bevatten. Bij een traag

variërende sinusoïdale spanning zal daardoor de stroom vervormd zijn! Maar, dit effect is zeer klein en

het vraagt speciale technieken om het aan te tonen.

In de praktijk geeft het thermische gedrag van weerstanden problemen bij precisie versterker-

schakelingen met opamps. Men weet dat de beide weerstanden van een inverterende schakeling

dezelfde stroom voeren. De weerstand tussen uitgang en inverterende klem zal dus veel meer

dissiperen dan deze tussen ingang en inverterende klem indien een grote versterking nodig is. De

eigenverwarming zal daarom een amplitudegevoelige fout veroorzaken. Ook het overgangsgedrag zal

fouten vertonen indien beide weerstanden een verschillende thermische tijdconstante bezitten.

Niet-lineariteit.

Bij een ideale weerstand zou de stroom evenredig met de aangelegde spanning moeten toenemen.

Wanneer men d.m.v. verfijnde methodes dit nameet blijkt het dat er een meestal kleine niet-lineaire

component in de stroom optreedt. De oorzaak ervan is niet heel duidelijk, maar vermoedelijk zijn niet-

ohmse contacten, zowel in het weerstandsmateriaal als aan de aansluitklemmen, verantwoordelijk voor

het verschijnsel. I.h.b. kunnen de aansluitklemmen problemen geven omdat het mogelijk is dat er

junctie-effecten aan optreden. Bij zeer hoge spanningen zullen ook oppervlaktestromen een rol gaan

spelen. Als gevolg van deze fenomenen zal de weerstand van de aangelegde spanning U afhangen. Om

het effect te kwantificeren drukt men uit dat de weerstand bij een spanning U over een bedrag ∆R

afwijkt van de waarde R bij U = 0. Empirisch heeft men vastgesteld dat deze variatie als volgt kan

worden beschreven (L = lengte weerstand, a en β constanten met [ a ] = V/m of V/mm):

A 6-12

R |U | | c U |R a L

ββ∆ = =

.

De bepaling van deze niet-lineaire parameters kan gebeuren door een sinusoïdale spanning aan de

weerstand aan te leggen en de vervorming van de stroom te meten. De excitatiefrequentie moet zo

hoog zijn dat de ogenblikkelijke weerstandstemperatuur nagenoeg gelijk is aan de gemiddelde

temperatuur. Een frequentie van een honderdtal hertz volstaat daartoe doorgaans.

Richtwaarden voor a en β.

a (V/mm) β

metaalfilm 150-450 1,5-1,8

metaaloxide 60-300 1,6-2,3

koolfilm 70-130 1,4-1,8

dikke film 5-50 1,6-2

Naarmate a groter en de veldsterkte in de weerstand kleiner zijn wordt de niet-lineariteit kleiner. Om

een idee te krijgen van de grootte van de niet-lineariteit gebruiken we de richtwaarden voor α en β uit

de tabel in enkele voorbeelden.

(1) Koolfilmweerstand: a = 100 V/mm, β = 1,5 met L = 20 mm waarover U = 100 V staat. Men vindt ∆R/R = 1,1%. Laat men U dalen tot 10 V dan is dit slechts 0,035%. (2) Metaaloxideweerstand: a = 200 V/mm, β = 2, U = 100 V geeft slechts 0,06% afwijking.

3.2.1. De Wheatstonebrug 1.

De Wheatstonebrug is een schakeling waarmee weerstanden met elkaar vergeleken worden d.m.v. een

nulmethode. De waarde van de voedingsspanning komt aldus niet tussen en de nauwkeurigheid wordt

bepaald door deze van de referentieweerstanden en de gevoeligheid van de nuldetector ND. Wegens de

grote nauwkeurigheid is het een universeel toegepaste schakeling die men terugvindt in allerlei

elektronische transducers. Soms wordt de brug voor een valse nulmeting ontworpen: de stroom door

het meettoestel mag dan niet variëren indien de voedingsspanning van de brug varieert. Deze meting is

natuurlijk minder nauwkeurig. De analyse van een brugschakeling is niet moeilijk; men kan echter

vereenvoudigingen invoeren om nog vlugger tot resultaten te komen.

3.2.1.1. Compensatietheorema.

Dit theorema laat toe de invloed van kleine variaties van elementen eenvoudig te berekenen. We

1 Het basisschema werd uitgedacht door Christie. Charles Wheatstone gebruikte de brug met succes in zijn telegraaf en heeft altijd Christie de eer gegeven. Het woord brug verwijst eigenlijk naar de horizontale diagonaal in Fig. 6. 21.

A 6-13

onderzoeken een weerstandsnetwerk met e.m.k.'s in de takken. Alle stromen en spanningen kunnen dan

rechtuit berekend worden. Eventuele variaties van deze e.m.k.'s leveren variaties van de

netwerkstromen op die dan onmiddellijk te berekenen zijn. Vragen we echter wat het effect is van een

kleine variatie van de waarde van een component op een bepaalde stroom of spanning, dan moet de

desbetreffende stroom of spanning uitgerekend worden. Door deze uitdrukking naar de waarde van de

component af te leiden vindt men de eerste-orde variatie. Deze kan nochtans veel vlugger uit de wetten

van Kirchhoff afgeleid worden als volgt. Indien alle spanningsbronnen e in een netwerk constant zijn,

kan men de knooppunts- en luswetten van een netwerk met lusstromen i als volgt transformeren door

differentiatie:

knoop knoop

lus lus lus lus

d0dus

( d ) ( d )

i 0 i

e r i i r r i

==

= − =

∑Σ

∑ ∑Σ Σ . (6.10)

Men vindt dus de variaties di door in serie met elke variërende weerstand een fictieve bron -i dr te

plaatsen (i is de stroom in het oorspronkelijke netwerk) en het netwerk op te lossen zoals een gewoon

netwerk.

3.2.1.2. Evenwichtsvoorwaarden van de algemene brug in gelijkstroom.

Fig. 6. 9. Algemene Wheatstonebrug. \Wheatstone

We beschouwen een algemene brug (Fig. 6. 9) met constante e.m.k.’s in de takken en laten de

bronspanning E variëren. Alle takstromen variëren dan eveneens. Voor deze figuur geldt dan:

A 6-14

a b g

a b glus 1

c x gc x glus 2

d d d 0zodat

d d d 0

e a i b i g i a i b i g i

c i x i g ie c i x i g i

= − + − + = − − == − −

∑

∑ . \Wheatstone2 (6.11)

We drukken nu uit dat de detectorstroom constant blijft of dat de variatie dig nul is. Dit wil zeggen dat

we een voorwaarde zullen vinden die zowel voor gewoon evenwicht (ig = 0) als vals evenwicht (dig = 0

maar ig ≠ 0) zal geldig zijn:

a b c xd d en d da i b i c i x i= = . (6.12)

De knooppuntswetten geven nu nog ia = ic + ig en ib = ix - ig zodat, na differentiatie: dia = dic en

dib = dix. Daaruit volgt de gekende evenwichtvoorwaarde van de Wheatstonebrug:

of a ba x = b c = c x

. \evenwicht (6.13)

Meestal zijn de bronnen van e.m.k. nul in de twee lussen zodat bij evenwicht ook ig nul zal zijn. Men

varieert de voedingsspanning van de brug door het openen of sluiten van de schakelaar S2. Merk op dat

het mogelijk is, dat zelfs met takbronnen, ig nul kan zijn. Het volstaat dat deze bronnen de gepaste

waarde en zin bezitten opdat dit het geval zou zijn. Onderzoek dit zelf.

3.2.1.3. Gevoeligheid en fout bij de Wheatstonebrug.

(1) Fout op de onbekende x t.g.v. resolutie dig op nulinstrument.

Fig. 6. 10. Foutberekeningen met het compensatietheorema \comptheor

Bij evenwicht is ig = 0 maar stromen kleiner dan + dig zijn niet waarneembaar. D.w.z. dat x in feite in

2 Bij het sluiten of openen van S verandert het circuit van structuur en men zou kunnen denken dat deze werkwijze niet correct is. Voor de variaties maakt dit echter geen verschil omdat E niet voorkomt in het stelsel (6.11). Het is enkel de

A 6-15

een interval x + dx ligt. Het compensatietheorema laat toe dx in dig uit te drukken. Men bepaalt in

Fig. 6. 10 de waarde dx zodanig dat zij dig oplevert en dit d.m.v. Fig. 6. 11a en b. Men vindt:

xg

dd(1 )( )

i xi g c x ga b

=+ + +

+

. (6.14)

D.m.v. de evenwichtsvoorwaarde van de vgl. (6.13) kan b geëlimineerd worden omdat c x ca b a+

=+

. Dit

geeft dan de vgl. (6.15) voor de absolute en relatieve fout t.g.v. dig:

g

x

g

x

dd [ (1 )]absolute en relatieve fout

d d [1 (1 )]

cix c x g ai

x c g ci x x x ai

= + + + = + + +

. \resolfout (6.15)

We besluiten:

• Is x zeer groot t.o.v. c en g: g

x

dd ixx i≈

• Is x zeer klein t.o.v. c en g: maak g zo klein mogelijk en ix zo groot als toelaatbaar (dissipatie).

(2) Fout t.g.v. de afregelresolutie op de regelparameter.

In feite wordt het bestaan van resolutieonzekerheid dig op de nuldetector gereflecteerd in een

equivalente onzekerheid dc van de regelparameter c. We zouden dus evengoed dc voor een gegeven dig kunnen bepalen d.m.v. Fig. 6. 11c.

Fig. 6. 11. Fout t.g.v. afregelresolutie. \afleesresolutie

waarde van ig die afhangt van de stand van de schakelaar. Bij een echte nul verandert er dan natuurlijk niets aan ig.

A 6-16

De fictieve bron ic dc moet dan dezelfde spanning leveren als ix dx en bij evenwicht staat ook geen

spanning over g:

x c

x c

d d d d of i x = i c c x = i x = i c c x

. \dx (6.16)

De waarde van dxx

in vgl. (6.16) is in dit geval deze die volgt uit vgl. (6.15). Bij een goede

brugopstelling zal de variatie dig t.g.v. de afregelresolutie dc veel groter zijn dan de detectorresolutie.

De fout die dan uiteindelijk overblijft, is enkel een gevolg van de tolerantie op de brugweerstanden en

deze kan dan berekend worden uit de evenwichtsvoorwaarde op de gewone wijze.

3.2.2. Andere eigenschappen.

Hieronder volgen twee eigenschappen van de Wheatstonebrug waarvan we het bewijs aan de lezer

overlaten.

(1) Lineariteit.

Berekent men de detectorstroom ig rond het evenwichtspunt (bijv. met Thévenin) dan verloopt de wet

ig (c) in eerste orde lineair. Soms wordt, met het doel te besparen, het aantal decades van de

regelparameter c beperkt. Indien nu nauwkeurigheid van c groter is dan zijn resolutie kan men d.m.v.

lineaire interpolatie uit de twee detectoraflezingen een betere waarde c berekenen.

(2) Optimale gevoeligheid.

Verwisselt men voeding en detector ND dan bekomt men een brugschakeling die aan dezelfde

evenwichtsvoorwaarde beantwoordt. Indien voor de detectorweerstand g = 0 dan zullen beide

schakelingen wat betreft gevoeligheid equivalent zijn wegens het reciprociteitstheorema3. Maar,

algemeen is g ≠ 0 zodat in werkelijkheid beide schakelingen niet equivalent zijn. Men bewijst dan dat

de gevoeligste schakeling (die de grootste dig geeft voor een variatie dx) deze is waarbij ND staat

tussen de knooppunten waar respectievelijk de twee grootste en twee kleinste weerstanden

samenkomen. Men moet nochtans opmerken dat er verschillende gevoeligheidscriteria mogelijk zijn.

Zo kan men toelaten dat de brugweerstanden maximaal dissiperen, men kan i.p.v. de stroomdetector

een spanningsdetector toepassen met een bepaalde spanningsresolutie, …

3.2.3. Toepassingen en bijzondere bruggen.

De Wheatstonebrug is nog steeds alom gebruikt, zowel in de precisie- als technische meettechniek. We

3 Bij verwisseling van een stroombron en een spanningsmeter blijft de aflezing op deze dezelfde. Idem voor een verwisseling van spanningsbron en stroommeter.

A 6-17

beperken ons tot enkele toepassingsvoorbeelden.

Gelijkarmige brug.

Deze brug wordt toegepast om weerstanden met gelijke noemwaarde te vergelijken met elkaar. Meer algemeen

geldt, bij evenwicht, de voorwaarde x = c1 b/a. Voor een tolerantie van p % op de weerstanden bekomen we een

maximale fout van 3 p % op x. Het is nu mogelijk om die fout sterk te reduceren door een tweede meting als

volgt uit te voeren (Methode van Gauss). Verwisselt men a en b, dan krijgt men terug evenwicht voor een

nieuwe waarde c2 , namelijk x = c2 a/b, zodat:

2 1 21 2 1 2 waaruit volgt indien

2 + c c x c c , x c c a b= = ≈ ≈ .

Men ziet dat de fouten op a en b geen rol meer spelen en dat i.h.b. bij de gelijkarmige brug men het gemiddelde

van de regelparameterwaarden mag nemen voor x. Voert men anderzijds de fouten ε1 en ε2 op de regelparameters

met nominale waarden c1n en c2n in, dan is:

21 1n 2 2n 1 2 1n 2n (1+ ) en (1 ) zodat (1 )

2ec c c c x c c c c εε ε 1

1 2+

= = + = ≈ + .

De maximale relatieve fout op x is dus 1 21 ( )2

p ε ε= + . Voor een tolerantie p is de maximale te verwachten

fout dan gelijk aan p % i.p.v. 3 p %. Door aan te nemen dat de regelweerstand c geen systematische fouten op de

nominale waarden vertoont kan men, mits een groot aantal metingen uit te voeren en de resultaten uit te

middelen, de uiteindelijke fout nog verminderen.

Brug voor grote weerstandswaarden (0,1 Ω tot 107 MΩ).

Voor grote x-waarden is een brug ongevoelig omdat de takstromen te klein zijn. In dat geval gaat men een

elektronische ND met hoge spanningsgevoeligheid en grote ingangsweerstand toepassen. De resolutie dE van de

ND geeft dan de volgende relatieve fout op de onbekende waarde x:

2d d ( d)x E b + x E x= x E b x E b

≈ .

Men zal bijgevolg de voedingsspanning zo hoog mogelijk kiezen.

Detectie van kabelfouten.

Wegens de eenvoud van de methode en het toestel, worden nog veel bruggen gebruikt voor de plaatsbepaling

van aardsluiting- en kortsluitfouten op kabels. Uitgaande van een weerstandsmeting en de vrij goed gekende

weerstand per lengte-eenheid van de kabel kan dan de positie van de fout bepaald worden. Hoewel ook dure

reflectometrische apparatuur voor dit doel werd ontworpen is het belang ervan niet te overschatten. Inderdaad

volgen ondergrondse kabels zeer dikwijls grillige banen die niet overeenkomen met de plattegrondplannen zodat

A 6-18

steeds een onzekerheid over de correcte plaats van de fout blijft bestaan.

3.2.4. Actieve bruggen met opamps.

De Wheatstonebrug heeft als nadeel dat de detector en bron geen gemeenschappelijk punt hebben. Dit

veroorzaakt moeilijkheden wanneer de detector en de bron gevoed worden uit het net. De “Low”klem

van de bron wordt dan geaard samen met een hoekpunt van de brug. De “Low” ingangsklem van een

netgevoede detector vertoont enige impedantie t.o.v. de aarde en die komt dus over een brugtak te

staan. Bij batterijgevoede toestellen is er geen probleem omdat er geen dc-pad tussen de twee “Low”

klemmen kan optreden. Bij een ac-brug zal de impedantie van de “Low” klem t.o.v. de aarde

daarentegen wel meespelen. Dit nadeel kan verholpen worden door een actieve brugschakeling te

gebruiken. De ND en de bron kunnen dan aan hetzelfde aardpunt gelegd worden. Soms is het gewenst

dat de onbekende weerstand eveneens aan de aarde ligt. Bij dc-bruggen moet er wel rekening gehouden

worden met de offsetspanning Vos en polarisatiestromen Ib- en Ib+ van de opamps. We geven enkele

voorbeelden van actieve bruggen.

(1) Actieve schakeling afgeleid van klassieke brug.

Hierbij wordt in eerste instantie getracht de bron en ND een zelfde aarde te geven. Merken we

vooreerst op dat het gebruik van twee bronnen (Fig. 6. 12a) toelaat de potentiaal van de nul-

detectorklem een willekeurige waarde t.o.v. de aarde te geven.

a b c

E1

E2

a

b

ND ND

ND

c

d

E a

b

c

dE

a

b

c

d = 0

Fig. 6. 12. Het gemeenschappelijk maken van een klem voor ND en de bron E. \Wh_opamp

We vervangen in deze figuur dan de tweede bron door een opamp circuit dat automatisch hetzelfde

doet: Fig. 6. 12b. Hier ligt ND nu virtueel aan aarde; de opamp genereert een negatieve

voedingsspanning in het punt A: VA = -E (b/a). De evenwichtsvoorwaarde blijft dezelfde: a d = b c.

Daar bij de ideale opamp de spanning E over de ingangsklemmen nul is mag men ND rechtstreeks aan

de aarde leggen zonder dat het resultaat verandert (Fig. 6. 12c). Er blijft toch nog een probleem over:

A 6-19

noch in Fig. 6. 12b, noch in Fig. 6. 12c, zijn de weerstanden geaard. De onbekende mag dus niet geaard

zijn. Wel ligt elke weerstand aan een punt met vrij lage impedantie t.o.v. de aarde. Men kan c of d als

onbekende nemen; a en b zijn iets gevoeliger aan storingen die de onbekende eventueel zou oppikken

daar zij aan de sommeerjunctie liggen.

(2) Actieve schakelingen afgeleid van de differentiaalversterker.

Het nadeel van de niet geaarde onbekende weerstand wordt opgevangen door de schakeling van

Fig. 6. 13. Een verschilversterker geeft in principe Eo = 0 indien dezelfde spanning aan de

ingangsklemmen aangelegd wordt. De schakeling werkt maar als echte verschilversterker indien

voorwaarden gelijkaardig aan deze van de Wheatstonebrug voldaan zijn. Door superpositie vindt men:

o1(1 )b d d bc a d b a d/cE = + E E = E . = E

a + b c c a + b c a + b− −

− ,

en Eo wordt nul indien a d = b c; de weerstand b kan de onbekende maar nu geaarde weerstand zijn.

Kiest men d/c = 10n dan is b = a 10n en men regelt ND op nul door a in te stellen zodat de aflezing

lineair met de waarde van b is. Onderzoek de invloed van offsetspanning en biasstroom.

E

c

a

b = x

d

E0

ND

Fig. 6. 13. Actieve differentiaalschakeling. \differ

3.3. Kleine weerstanden.

Naarmate weerstanden kleinere waarden hebben worden de parasitaire effecten van aansluitklemmen

en draden meer en meer merkbaar. Een weerstand definiëren als “klemspanning gedeeld door de

stroom” wordt dan onnauwkeurig. Beter is het om gebruik te maken van weerstanden met 4 klemmen.

Men voert daarbij de stroom toe aan twee klemmen en gebruikt twee andere, die buiten de storingzone

van deze “stroomklemmen” liggen, als potentiaalklemmen. Later zal het model van een 4-klemmen

weerstand uitvoeriger besproken worden. Een onbekende weerstand X kan dan eenvoudig, en met

beperkte nauwkeurigheid, bepaald worden d.m.v. een stroom I en een normaal N.

A 6-20

Fig. 6. 14. (a) Absolute methode, (b) Relatieve methode. \kleine

Men heeft immers in de Fig. 6. 14:

1 21 2

1 2

Nx x

N x N

d dd d en = + voor de figuur (a) en

dd d d en voor figuur (b).

V VV V X IXI X V V I

VV X N VX NV X N V V

+−=

−

= = + +

De nauwkeurigheid zou groter kunnen zijn mocht men een nulmethode kunnen aanwenden. Dit is nu

mogelijk met de dubbele brug van Kelvin (of Thomson) waarvan het schema getekend is in Fig. 6. 15.

De normaal N en de onbekende X zijn in serie verbonden d.m.v. een draad met onbekende waarde r.

De weerstanden a, b, p en q en ND vormen een soort brug. De stroom I wordt geleverd door een

spanningsbron waarmee een schuifweerstand in serie staat om de stroom te beperken. De bron zelf is

van het elektrochemische type (accumulator) of een elektronisch gestabiliseerde voeding.

I - i1

N X

I - i1 - i

pa ( = mp )

ig

qb ( = mq )

i1

i1

+ i

i2

i2 - i

verbindingsdraad

I

2 3

I I + d I

r

N D

Fig. 6. 15. Dubbele brug van Kelvin (lus 1 is r-p-a). \Kelvinbrug

Zoals bij de Wheatstonebrug mogen in de takken met de weerstanden a, b, p, q constante

spanningsbronnen aanwezig zijn. We schrijven de wet van Kirchhoff in de lussen 1, 2 en 3 en drukken

daarna uit dat een variatie dI van I de ND-stroomsterkte i niet beïnvloedt, dus di = 0.De bronnen in de

takken worden constant gehouden.

A 6-21

1 2 2 2lus1

1 2 1lus2

1 1 2lus3

( ) ( ) 0

( )

( ) ( ) ( )

e r I i i p i i a i

e N I i a i g i bi

e X I i i q i i p i i

= − − − − − =

= − + + − = − − − + + −

∑

∑

∑

, (6.17)

1 2

1 2

1 2

0 d d ( ) d0 d ( )d d0 d ( ) d d

r I r i r p a iN I N b i a iX I X q i p i

= − − + + = − + + = − + +

. \stelsel (6.18)

In het stelstel van de 3 vergelijkingen (6.18) komen slechts 2 onbekenden voor, namelijk di1 en di2 daar

dI gegeven is. Deze vergelijkingen zijn niet strijdig als N /X=(N+b) /(X+q)=a / p of ook nog indien

N / = b /q = a / p. Stellen we nog m = a / p dan moeten dus N = m X, a = m p, b = m q zijn. Vermits

meestal N gegeven en vast is, zal op m geregeld worden. Daarbij moet dezelfde m optreden in m p en m

q. Staan er geen bronnen in lussen 2 en 3 dan is bij evenwicht niet enkel di maar ook i nul.

Het compensatietheorema laat ook hier toe om dx t.g.v. de afleesresolutie di te berekenen. Bij

evenwicht is de stroomsterkte in ND onafhankelijk van I, d.w.z. dat de hoofdketen mag open of dicht

zijn zonder dat dit iets zal veranderen aan het evenwicht. We vervangen nu de variatie dx door een

spanningsbron -I' dX waarbij 1'I I i I= − ≈ . Daarmee worden de ND-stroom di en vervolgens de fout

dX/X berekend:

dd 1(1 )

I X i = ,p + q + X + g +

m

′ en d d 1[1 (1 )]X i p + q g= + + +

X I X X m′.

Vergelijkt men bijvoorbeeld X = 0,01 Ω met N = 1 Ω dan is m ongeveer 100. Voor p = q = g = 10 Ω

zou de term (p+q+g)/X tussen haken dan ongeveer of 3000 worden en verwacht men een grote fout.

Gelukkig kunnen kleine weerstanden meestal grote stromen voeren en is de detectorresolutie di zeer

klein. Daardoor kan de uiteindelijke fout toch klein blijven. Niettegenstaande de Kelvinbrug zeer

geschikt is voor kleine weerstandswaarden blijkt het mogelijk ze uit te breiden voor de hogere

waarden. Zo heeft de firma Electro-Scientific Industries een brug ontworpen met een meetbereik van

10-4 Ω tot 108 Ω en met een nauwkeurigheid van 0,005 %! Voor de grote weerstandswaarden moeten

echter zowel de onbekende als de gebruikte normalen geschut worden d.m.v. een guardelektrode

teneinde de invloed van lekweerstanden naar de schakelaarcontacten te elimineren.

4. Technische methoden ter bepaling van weerstanden.

Bij technische metingen, waarbij niet de hoogste nauwkeurigheid vereist wordt, worden zelden

A 6-22

brugmethodes toegepast. Zo hebben we al gezien dat de quotiëntenmeter bruikbaar is bij isolatiemeters

zoals de Megger, die in feite een ohmmeter is.

4.1. Stroom-spanning methode.

Een voor de hand liggende methode is het aanwenden van een voltmeter en een ampèremeter volgens

Fig. 6. 16. Er zijn twee mogelijkheden:

• Fig. 6. 16a: methode van de korte shunt of korte afleiding. Hier is de aanduiding I iets te groot

vermits de voltmeterstroom mee gemeten wordt. Zolang Ri » X geeft dit weinig fout.

• Fig. 6. 16b: lange shunt. Hier wordt de spanningsval van de ampèremeter mee gemeten.

Daarbij moeten we vooral letten op de keuze van de ampèremeter.

a b

I X

I

I - i

i

V VR i

X

I

r i

r i

R i

Fig. 6. 16. (a) Korte shunt, (b) Lange shunt. \kortlang

De tweede methode is te vermijden: moderne digitale en analoge universeelmeter vertonen weliswaar

een zeer hoge Ri bij spanningsmetingen maar anderzijds is dikwijls ri bij stroommeting te groot. In vele

gevallen stelt men vast dat de stroom in de meetketen sterk beïnvloed wordt door ri!

4.2. Direct aanwijzende analoge Ohmmeter.

Het betreft hier de schakeling die in alle universele analoge meters is toegepast (Fig. 6. 17).

a

b

cE

R

X

R g

R i

schaalfaktor

0.0 0.33 0.50 0.66

2 R R R

2

1.0

0

( F S )

Rx

0 1 2 3 4

/F S

X / R

Fig. 6. 17. Direct aanwijzende analoge Ohmmeter. \analogeohm

Maak X = 0 en stel d.m.v. Rg de naald op het schaaleinde (αFS). Indien Rg+Ri » R dan geldt er voor een

A 6-23

aflezing α: FS

RR X

αα

=+

. Een dergelijke hyperbolische schaal is, vanwege het in principe oneindige

meetbereik, zeer handig. De halve schaaluitslag is X = R.

4.3. Weerstand-naar-spanning omzetter met opamps.

Men maakt een opamp circuit dat door X een constante stroom stuurt en een dc uitgangsspanning

evenredig met X afgeeft. In Fig. 6. 18a. wordt de referentiespanning VR omgezet in een stroom VR /R.

a b

X

R VRV

R R

X

V0

= -X

RV

RV

0=

X

RV

R

Fig. 6. 18. Twee schema’s van weerstand-naar-spanning omzetters met opamp. \r_naar_v

De onbekende weerstand is echter niet geaard. In Fig. 6. 18b (volgens Keithley) is X wel geaard maar

de referentiebron VR zweeft. De uitgangsspanning kan d.m.v. een digitale voltmeter afgelezen worden

5. Bijzondere weerstandsmetingen.

Hieronder behandelen we enkele voor de elektrotechniek nuttige bijzondere methodes voor

weerstandsmeting. Als voorbeeld behandelen we de meting van de inwendige weerstand Ri van

galvanische cellen of batterijen. Zowel bij droge cellen als bij accumulatoren geeft de inwendige

weerstand of conductantie een indicatie van de ladingstoestand of de leeftijd van de batterij. Deze

weerstand is van nature uit moeilijk nauwkeurig te definiëren. Hij is onder meer afhankelijk van de

temperatuur en gedraagt zich maar gedeeltelijk lineair wegens de elektrochemische reacties.

5.1. Belastings- of debietmethode.

De belastingsmethode is zeer eenvoudig van opzet: men laat de cel een bepaalde stroom debiteren en

bepaalt de spanningsval die deze veroorzaakt (Fig. 6. 19a). Daaruit volgt dan Ri:

11

i2 2

i

met S opendus ( 1)

met S dicht

V = E V R = s .sV = E V

s R

−+

Om met een kleinere stroom te kunnen werken kan men, indien een voldoend aantal gelijke cellen

beschikbaar is, (n+1) cellen in oppositie met n cellen zetten (Fig. 6. 19b). De totale inwendige

A 6-24

weerstand is dan (2n+1)Ri. Men merkt op dat de optimale situatie (kleinste maximale fout) deze zou

zijn waarbij V1 = 2,4V2. In dat geval zou dRi /Ri = 6 dV/V (toon dit aan). Om een dergelijke toestand in

te stellen zou de belastingsstroom nochtans zeer groot moeten zijn (bijvoorbeeld 500 A of meer voor

een autobatterij). Daarom beperkt men I tot een redelijke waarde en gebruikt een voltmeter met zeer

hoge resolutie zodat dV/V zeer klein is. Indien het systeem een niet-lineair gedrag vertoont kan de fout

op de aldus bepaalde waarde groot zijn en zijn andere methodes aangewezen.

( n +1 ) E n E

+ +- -

E( 2n +1 ) Ri

V

E

t

d

s

S

E

R i

I

V

a cb

Fig. 6. 19. (a) Belastings- of debietmethode, (b) Verhogen van de inwendige weerstand zonder de e.m.k. te verhogen, (c) Perturbatiemethode.

\debiet

5.2. Perturbatiemethode.

Men kan ook S periodiek sluiten en de kleine wisselspanningskomponent δ die daardoor over de

klemmen ontstaat (Fig. 6. 19c) in een ac-versterker opdrijven. Van deze versterkte spanning kan men

dan, bijvoorbeeld d.m.v. een synchrone detector (zie ac-meettoestellen), de amplitude bepalen. Dit is

een zogenaamde perturbatie- of verstoringsmethode. Perturbatie laat vaak toe een meting ter plaatse

(“in situ”) uit te voeren gedurende de normale werking van de batterij. Vroeger werden eveneens een

aantal ac-bruggen ontwikkeld waarmee redelijk goede resultaten te bereiken zijn (o.a. deze van

Kohlraush).

5.3. Dynamische methode.

Met een digitale oscilloscoop of ADC-kaart in een PC is het mogelijk om met een zeer kleine dissipatie

op dynamische wijze Ri te bepalen. Zie Fig. 6. 20. Men sluit daartoe, op t = 0, de schakelaar S die een

ongeladen condensator C met de batterij verbindt. De spanning op C zal dan exponentieel naar E

evolueren. De tijdconstante T = Ri C kan gemakkelijk uit de opgemeten spanning-tijd curve gemeten

worden waaruit Ri = T / C volgt. Met de dynamische methode kan men eveneens volledige I-V curven

van generatoren bepalen, bijvoorbeeld van een zonnecel.

A 6-25

E

R iS

Cnaar

digitizer

E

t

T

Fig. 6. 20. Dynamische bepaling van Ri. \dynamisch

Het volstaat om de spanning over de condensator uit te zetten tegen de stroom die er naar toe vloeit. De

batterij in Fig. 6. 20 wordt dan door de zonnecel vervangen. Het feit dat er nauwelijks dissipatie

optreedt tijdens de meting is zeer aantrekkelijk omdat het doorgaans metingen bij redelijk hoge

spanningen en/of stromen betreft.

6. De brug van Wheatstone in wisselstroom.

Het is duidelijk dat de Wheatstonebrug ook in wisselstroom kan worden uitgevoerd. Om de overeen-

komst met de dc-brug te accentueren zullen we daarom de ac-brug hier kort behandelen. In zeer veel

gevallen zal men trouwens een weerstand meten in ac en gewoon aannemen dat deze waarde dezelfde

is als in dc.

Vermits een impedantie een reëel en imaginair deel heeft zullen we in een ac-brug over (twee)

regelparameters moeten beschikken die een reële en imaginaire component kunnen instellen. Helaas

komt het zelden voor dat beide regelingen onafhankelijk van elkaar zijn. Voor de eenvoud beperken we

ons tot een brug zonder bronnen in de takken, maar uiteraard met een ac-voedingsbron E in een

diagonaal. Verder is de ac-nuldetector ND bijna altijd hoogohmig, bezit hij een kleine ruisfactor en is

zijn uitslag enkel evenredig met de amplitude van de spanning over de detector. Er bestaan enkele

meer gecompliceerde detectoren die zowel fase- als amplitudegevoelig zijn.

6.1. Evenwichtsvoorwaarden en fout.

De Fig. Fig. 6. 21 toont een gewone ac-brug met takcomponenten Z1, Z2, Z3 en X. Door de spanning

over de detector ND te berekenen en deze nul te stellen vindt men vlot:

2 3 2 31 2 3

1 1

en Re ( ) Re( ), Im ( ) Im ( )Z Z Z ZZ X Z Z X XZ Z

= = = , (6.19)

of de equivalente betrekkingen:

1 2 3 1 2 3 en Z X Z Z Z X Z Z= < + < = < + < . (6.20)

A 6-26

( )a ( )b ( )c

X

NDE

Z 1

Z 2

Z 3

X

Vd

XdI-

Z 1

Z 2

Z 3

X

Xd

dϕ

Fig. 6. 21. (a) Algemene ac-brug, (b) Compensatietheorema, (c) Fout op fase. \acbrug

Het reële deel van Z2 Z3 /Z1 bepaalt dan de weerstand die geassocieerd wordt met X. Wat betreft de

gevoeligheidsberekening kan men opmerken dat het compensatietheorema hier geldig blijft. Men heeft

immers gelijkaardige Kirchhoffwetten, zodat:

lus lus knoop

d ( d ) en 0Z i I Z I= − =∑ ∑ ∑ . (6.21)

Men kan dus zoals in het gelijkstroomgeval het effect van een incrementele variatie dZ berekenen door

het invoeren van fictieve e.m.k.’s met waarde –I dZ.

Is de ac-ND enkel amplitudegevoelig dan bestaat er bij evenwicht een onzekerheid |dV| op de

detectorspanning. Dit wordt gereflecteerd in een onzekerheid op dX op X. De onzekerheid moet

principieel zeer klein zijn zodat de fouten op Z1, Z2 en Z3 de uiteindelijke fout bepalen. Omdat |dV|

echter zeer dikwijls een gevolg is van ruis in de detector is deze voorwaarde niet steeds te vervullen.

De gereflecteerde fout dX op de onbekende impedantie wordt:

2

3

3

d ( ) dX Z X VX Z X E

+= , (6.22)

23

3

d d ( )ZX V XX E X Z

= + . (6.23)

De fout is minimaal indien men Z3 ongeveer gelijk aan X kan maken zodat eveneens 1 2Z Z≈ moet zijn.

Merk nog op dat deze dX niet alleen een amplitudefout geeft maar ook een fasefout dϕ. De grootste

waarde die deze fout kan hebben volgt uit de Fig. 6. 21c:

maxdd XX

ϕ = . (6.24)

Kent men enkel |dV| dan is het onmogelijk om de fouten op imaginair en reëel deel van X apart te

A 6-27

berekenen. Men zal dan het slechtste geval aannemen: men veronderstelt eerst dat |dV| volledig op

bijvoorbeeld de imaginaire component reflecteert en daarna volledig op de reële component. Men

bekomt aldus voor beide de grootst mogelijke fout.

Er bestaan nog andere netwerkstructuren die evenals de ac-bruggen onder bepaalde voorwaarden een

ND kunnen sturen. Vooreerst kan men, zoals voor de dc-brug, de schakeling actief maken met opamps.

Verder kan men de zogenaamde overbrugde T-schakelingen en dubbele T-schakelingen toepassen.

6.2. Convergentiecriteria.

Bij de gelijkstroombrug zal men in principe door eenmaal de regelparameter in te stellen het evenwicht

bereiken. Bij een ac-brug zijn er twee regelparameters (RP1 en RP2) die meestal elkaar beïnvloeden.

Men (of de microprocessor) regelt bijvoorbeeld eerst RP1 tot de detectorspanning V minimum wordt

en daarna RP2 eveneens voor minimum uitslag. Meestal zal V nog redelijk groot zijn. Men regelt dan

terug op RP1 voor minimum V en daarna weer op RP2, enz… Na een aantal regelingen wordt

uiteindelijk V op |dV| na nul. Het aantal regelingen wordt voornamelijk bepaald door de

brugschakeling. Het is belangrijk dat het evenwicht zo snel mogelijk wordt bereikt enerzijds om de

meettijd te verkorten, maar anderzijds ook omdat met een zeer trage convergentie het mogelijk is dat

een automatisch systeem faalt en nooit evenwicht vindt. In de practicumnota’s worden een drietal

methoden besproken waarmee men de convergentiesnelheid van een brug kan onderzoeken. De

methode van Hoadley geeft een idee van het convergentiegedrag voor startcondities die zowel dicht als

ver van het uiteindelijke evenwicht liggen. De methodes van Küpfmüller en Vandewiele daarentegen

zijn vooral interessant indien men niet te ver van het evenwicht start en zij geven analytische condities

uitgaande van de brugelementen waaruit men de gunstigste condities van de brugelementen kan

afleiden.

7. Ladingsevenwicht.

Wil men de magnetiseringscurve of de statische B-H lus van een magnetisch materiaal registreren dan

ondervindt men moeilijkheden om dit d.m.v. ac-metingen uit te voeren. Zo zal bij een ac-meting op een

massieve magnetische kern de flux door het huideffect verdrongen worden uit het midden van het

materiaal tenzij men de meetfrequentie laag genoeg kiest. Bij een condensator wil men soms de

zogenaamde “geometrische capaciteit” bepalen. Dit is de capaciteit van de condensator met een

diëlektricum met zelfde ε als de echte, maar zonder de geheugeneffecten die vele diëlektrica

veroorzaken. Voor deze metingen heeft men ladingsmetingen (ballistische metingen) ontwikkeld4. Bij

deze metingen gaat het meestal om nulmethoden zoals bij een Wheatstonebrug. Veronderstel dat de

4 We bespreken dit samen met de gewone Wheatstonebrug voor de coherentie met het begrip“brug”.

A 6-28

stroom in de ND gelijk is aan id(t). Men kan dan de volgende evenwichten herkennen:

• id ≡ 0 \altijd (6.25)

Dit geval vindt men o.a. bij de dc-brug. Het kan nochtans ook gebeuren dat deze voorwaarde voldaan

is bij een ac-brug, bijvoorbeeld als de brug een frequentieonafhankelijke evenwichtsvoorwaarde

vertoont.

• d d d0

0 bij evenwicht, maar d 0i q i t∞

≠ = =∫ (6.26)

Deze laatste voorwaarde kan men controleren door een ladingsdetector te gebruiken. Men zal dan voor

de excitatie van de brug een bron E plots aan- of uitschakelen. Algemeen kan men de

evenwichtsvoorwaarde uit de ac-transferfunctie F(s) van bronspanning E naar detectorstroom Id vinden

als volgt. We nemen aan dat we aan de schakeling de spanning E aanleggen op t = 0. Dan kan men het

Laplacebeeld Id van de detectorstroom als volgt schrijven:

( ) ( ) Es F ss

=d dI I . \laplace (6.27)

De voorwaarde van vgl. (6.25) is equivalent met 0 of met ( ) 0F s≡ ≡dI . De evenwichtsvoorwaarde

is dan frequentieonafhankelijk omdat men s = jω mag stellen. Het Laplacebeeld van de lading qd is Qd

en wordt gegeven door:

d 2

1 ( )F sI Es s

= =dQ . \ladingsbeeld (6.28)

Voor een Laplacepaar ϕ(t),Φ(s) geldt er nu algemeen de eigenschap:

0

lim ( ) lim ( )t s

t s sϕ→∞ →

= Φ , (6.29)

zodat men bij toepassing van deze betrekking op vgl. (6.28) tot de volgende voorwaarde voor

ladingsevenwicht komt:

0

( )lim 0s

F ss→

= . \ladingsvgl (6.30)

Deze voorwaarde is natuurlijk ook geldig voor een stroomtransferfunctie. Men berekent dus de transfer

van de bronstroom of bronspanning voor het wisselstroomregime geval ( js ω= ) en past de vgl. (6.30)

toe. De lezer zal inzien dat het geen verschil maakt voor de berekening van de evenwichtsvoorwaarde

A 6-29

of men een stroom- of spanningstransfer gebruikt. De gepaste keuze maken kan wel de berekeningen

vereenvoudigen. In de praktijk is de voorwaarde t →∞ geen beperking omdat de tijdconstanten van

de schakeling meestal klein zijn, bijvoorbeeld korter dan 1 seconde. Het volstaat te wachten tot de

detectoraflezing stabiel wordt.

Voorbeeld: de brug van Vaschy.

Deze brug werd eertijds toegepast om een inductantie met een capaciteit te vergelijken. Zij kan nu nog nuttig

zijn in geval men een soort zelfinductie wil definiëren van een spoel waar een sterke dc-stroom doorvloeit zoals

in de vermogenselektronica dikwijls het geval is.

b

L

IdI

C

ND

a

bm

am

Fig. 6. 22. Ladingsbrug van Vaschy

We berekenen de stroomtransfer Id/I van bron naar detector. We nemen aan dat de detector een zuivere

ladingsdetector is en geen inwendige weerstand heeft. Men heeft nu:

2 2d

2

( )( )

I a s LC b s C b LI a b a b s a bC L s LC b

− + −=

+ + + + + .

De voorwaarde voor ladingsevenwicht is dan L = C b2. De weerstanden zijn zo gekozen in de figuur dat

gelijkstroomevenwicht al bestond. Had men die keuze niet gemaakt dan zou men uit vgl. (6.30) eveneens de

gelijkstroomvoorwaarde voor evenwicht hebben gevonden. Probeer dit. Merk op dat die brug nooit in ac in

evenwicht kan worden gebracht. In de appendix III hebben we nog enkele methoden aangegeven die de

berekening van de voorwaarden voor ladingevenwicht kunnen verkorten.

A 6-30

STANDAARD REEKSEN: VOORKEURSWAARDEN IN EEN DECADE (voor weerstanden en condensatoren, volgens IEC pub. 63)

Intervalbreedte (niet de echte tolerantie; deze is aangeduid met een extra kleurenband, zie tabel onderaan) E192 = ±0,5% E96 = ±1% E48 = ±2,5% E24 = ±5% E12 = ±10% E6 = ±20% E3 = ±50%

E192 E96 E48 E192 E96 E48 E192 E96; E48 E192 E96 E48 E192 E96 E48 100 100 100 169 169 169 284 481 816 101 172 287 287 287 487 487 487 825 825 825 102 102 174 174 291 493 835 104 176 294 294 499 499 845 845 105 105 105 178 178 178 298 505 856 106 180 301 301 301 511 511 511 866 866 866 107 107 182 182 305 517 876 109 184 309 309 523 523 887 887 110 110 110 187 187 187 312 530 898 111 189 316 316 316 536 536 536 909 909 909 113 113 191 191 320 542 920 114 193 324 324 549 549 931 931 115 115 115 196 196 196 328 556 942 117 198 332 332 332 562 562 562 953 953 953 118 118 200 200 336 569 965 120 203 340 340 340 576 576 976 976 121 121 121 205 205 205 344 583 988 123 208 348 348 348 590 590 590 124 124 210 210 352 597 126 213 357 357 604 604 E24 E12 E6 E3 127 127 127 215 215 215 361 612 10 10 10 10 129 218 365 365 365 619 619 619 11 130 130 370 626 12 12 132 221 221 374 374 634 634 13 133 133 133 223 379 642 15 15 15 135 226 226 226 383 383 383 649 649 649 16 137 137 229 388 657 18 18 138 232 232 392 392 665 665 20 140 140 140 234 397 673 22 22 22 22 142 237 237 237 402 402 402 681 681 681 24 143 143 240 407 690 27 27 145 243 243 412 412 698 698 30 147 147 147 246 417 706 33 33 33 149 249 249 249 422 422 422 715 715 715 36 150 150 252 427 723 39 39 152 255 255 432 432 732 732 43 154 154 154 258 437 741 47 47 47 47 156 261 261 261 442 442 442 750 750 750 51 158 158 264 448 759 56 56 160 267 267 453 453 768 768 62 162 162 162 271 459 777 68 68 68 164 274 274 274 464 464 464 787 787 787 75 165 165 277 470 796 82 82 167 280 280 475 475 806 806 91

Zilver Goud Zwart Bruin Rood Oranje Geel Groen Blauw Violet Grijs wit Beduidend cijfer (2 of 3)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vermenigvuldiger 0,01 0,1 1 10 100 1000 10 K 100 K 1 M 10 M Tolerantie 10% 5% 1% 2% 0,5% 0,25% 0,1%

Tempco (.10-6/K)

200 100 50 15 25 10 5 1

A 6-31

APPENDIX I BIJ HOOFDSTUK VI.

Het bepalen van een aardingsweerstand. 1. Aardingsweerstand van een elektrode.

Volgens het “Algemeen Reglement van de Elektrische Installaties” (A.R.E.I.) moeten elektrische

toestellen geaard worden. De bedoeling is daarbij om bij een gebeurlijk defect aan een apparaat, de

aanraakspanning van het toestel te beperken. Om dit te bereiken wordt een koperelektrode A in de

grond geslagen en de geleidende kasten van alle elektrische apparaten en geleidende elementen (ook

het bad!) worden er mee verbonden.

Om de aardingsweerstand te definiëren gaat men uit van het spanningsverloop dat tussen twee geaarde

elektroden (A en B) optreedt. De Fig. AI-6. 1b toont aan dat er zeer weinig spanningsval optreedt eens

men zich verder dan een afstand tweemaal de elektrodediepte d bevindt. Ongeveer 90% van de

weerstand is gelokaliseerd binnen een halve bol met straal gelijk aan 2d. Men definieert dan ook de

aardingsweerstand van de elektrode A d.m.v. de potentiaal van een hulpelektrode h die op de

verbindingslijn AB ligt als volgt: RA=VhA /I en RB=VhB /I waarbij h in het vlakke gebied van de

potentiaalcurve (Fig. AI-6. 1b) moet geplaatst worden. Wegens het elektrolytische gedrag van de aarde

zullen de metingen met wisselspanning gebeuren.

a

b

I

V

h

d

A B

VhA

d 2d

VhB

hA B

stroomlijnen

Fig. AI-6. 1. Potentiaalverloop in de buurt van aardstaven. \aardstaven

2. Methode van Behrend-Wanda voor de bepaling van aardweerstand van een elektrode.

Eén der vele schakelingen die men toepast voor het meten van aardingsweerstanden is deze van

Behrend en Wanda (Fig. AI-6. 2). Daarin is R een gekalibreerde potentiometer en T een

Bovenzicht

A 6-32

spanningstransformator. De detector is in evenwicht indien k R N = RA.

R I

N D

k R

T 1 / N

A h B

Fig. AI-6. 2. Methode van Behrend/Wanda. \wanda

Men kan de potentiometer ijken in RA –waarden indien de vermenigvuldiger N waarden 10n (n = 2, 1,

0, -1, -2) aanneemt. De weerstand van de hulpelektrode h staat in serie met de ND en speelt geen rol.

Deze van RB beïnvloedt enkel de groottte van I. De afstand AB moet van de orde 10 tot 20 meter

bedragen zijn zodat het potentiaal plateau bestaat, al is dit in de praktijk soms niet haalbaar. Tenslotte

moeten A, h en B op een rechte lijn geplaatst worden.

Andere methoden voor een aardingsweerstandsmeting gebruiken doorgaans Wheatstonebruggen in een

of andere vorm. Men moet dan wel telkens twee metingen doen teneinde de invloed van de weerstand

RB van de tweede hulpelektrode te elimineren.

Charles Wheatstone (1802-1875)

A 6-33

APPENDIX II BIJ HOOFDSTUK VI.

Speciale weerstanden.

Voor bijzondere toepassingen heeft men weerstanden ontwikkeld met zeer speciale kenmerken.

Niettegenstaande deze weerstanden als dusdanig weinig rechtstreeks nut hebben in de meettechniek zal

men ze soms gebruiken bij temperatuurscompensatie of voor beveiligingsdoeleinden.

1. Negatieve tempco weerstanden of thermistoren (NTC's).

Deze worden gesinterd uit mengsels van verschillende stoffen met de bedoeling een grote negatieve

TC te bekomen. Enkele voorbeelden van mengsels: 2 4 4 2 4 2Fe O ZnTiO , Fe O TiO , NiO CoO, ...+ + +

Bij benadering kan men de volgende weerstandswet vooropstellen:

of B B

CT TR Ae R AT e= = .

De coëfficiënten A en B zijn in principe constant, maar A vertoont toch een zekere temperatuurs-

afhankelijkheid. Het effect daarvan werd in de tweede uitdrukking d.m.v. TC bekomen (C positief of

negatief). De relatieve TC bij een referentietemperatuur T0 is (met de eerste wet):

0

20

1 dd T

R B = R T T

α = − .

Daarbij is 2000 < B < 4000; voor B = 3600 is α = -4%/K bij 300K.

De weerstand R bezit een nagenoeg lineaire (maar temperatuursafhankelijke) karakteristiek wanneer de

aangelegde frequentie hoog genoeg is. Bij lage frequenties, of dc, zal men terdege rekening moeten

houden met de eigendissipatie. Meet men V bij toenemende I zodat telkens thermisch evenwicht

optreedt, dan zal V eerst stijgen met I. Naargelang I toeneemt zal R echter dalen door de eigendissipatie

die de temperatuur doet stijgen, zodat V zelfs ongeveer constant kan worden (Fig. AII-6. 1) in een

beperkt temperatuurgebied. Meestal zal men R en B bij 25°C opgeven, evenals de tolerantie (bijv.

+ 10%).

Toepassingen: beperking van inschakelstromen, compensatie van een positieve TC, meting van

temperatuur. Bij de laatste toepassing kan de resolutie groot zijn omdat α groot is (vgl. met de veel

kleinere positieve waarde van platina). Niettegenstaande de grote toleranties op B zijn sommige

fabrikanten er in geslaagd om thermistoren met perfect voorspelbare R(T) curven op de markt te

brengen zodat bij vervangen van het element geen herijkingen nodig zijn.

A 6-34

Fig. AII-6. 1. Spannings- en stroomcurve van een NTC-weerstand. \NTC

2. Positieve TC weerstanden of PTC's.

Door gebruik te maken van de plotse sprong in kristalstructuur die bij sommige stoffen (o.a. Ba Ti O3)

optreedt wanneer men de Curietemperatuur overschrijdt, is men erin geslaagd om weerstanden te

maken die plots een grote weerstandswaarde vertonen als deze transitietemperatuur overschreden

wordt. Deze sprong zal ook in de I-V curven zichtbaar worden. Na afkoeling komt de PTC terug in de

originele toestand.

Fig. AII-6. 2. Stroom- spanningscurve van een PTC-weerstand.

\PTC

A 6-35

Een typische variatie wordt in de Fig. AII-6. 2 getoond. De positieve TC in zone II kan nuttig gebruikt

worden om toestellen tegen kortsluitingen te beschermen. De weerstand kan tussen zone I en III

gemakkelijk een factor 1000 toenemen! Voor de meettechniek zijn PTC's echter weinig belangrijk.

3. Spanningsafhankelijke weerstanden of VDR's.

Siliciumcarbide (SiC) gebruikt als weerstandsmateriaal laat toe om weerstanden met de volgende V-I

karakteristiek (Fig. AII-6. 3) te bekomen: V = C Iβ

Fig. AII-6. 3. Spannings- stroomcurve van een VDR-weerstand. \VDR

Naargelang het materiaal ligt β tussen 0,10 en 0,25. Omdat V minder dan lineair met I toeneemt

kunnen VDR’s als beveiliging tegen piekspanningen dienen in combinatie met gewone weerstanden.

Daarenboven kunnen zij een enorm piekvermogen aan.

Deze eigenschap wordt o.a. toegepast ter bescherming van meetinstrumenten. Bij de digitale

Ohmmeter bijvoorbeeld is het met een VDR mogelijk om bescherming te verkrijgen tegen het

aansluiten van het toestel op een spanningsbron. Deze beschermingselementen worden soms in Si

gemaakt omdat dit toelaat een vlakkere V-I curve gekoppeld aan een zeer kleine responsietijd te

verwezenlijken. Het piekvermogen dat kan worden opgenomen ligt echter beduidend lager.

4. Rekgevoelige weerstanden, rekstrookjes (strain ga(u)ges).

Voor elke geleider met lengte L is ∆R/R evenredig met de relatieve rek E = ∆L/L . Meting van ∆R/R

laat dus toe om E te meten. Rekstrookjes worden toegepast bij het meten van mechanische

V = C Iβ

mA

A 6-36

vervormingen (doorbuigen balken, enz… ) d.m.v. een Wheatstonebrug. Zij worden daartoe op het

vervormbare oppervlak gekleefd. Zie ook verder in het hoofdstuk Transducers.

5. Lichtgevoelige weerstanden (LDR).

LDR's bevatten de halfgeleider cadmiumsulfide (CdS) en vertonen een weerstand die afneemt met de

lichtintensiteit die erop valt. Voor meetdoeleinden worden zij nauwelijks gebruikt. Wel werd vroeger

de LDR in combinaties met een gloeilampje toegepast om een zeer continue regelbare verzwakking te

bekomen. De weerstandsvariaties kunnen enorm zijn. De LDR-weerstand vertoont wel neiging tot

verouderen zodat de karakteristieken verlopen.

A 6-37

Appendix III bij hoofdstuk VI.

Verkorte ladingsevenwichtberekening.

Niettegenstaande de transferfunctie F(s) meestal vrij vlug kan berekend worden bevat zij eigenlijk

meer informatie dan nodig is indien men enkel het ladingsevenwicht beschouwt. Dit is eveneens het

geval bij de dc- en ac-Wheatstonebrug. De onderstaande methodes laten toe om vlugger de

evenwichtsvoorwaarde op te stellen

Wetten van Kirchhoff in ladingsvorm

Beschouw een lus waarin geen condensator in serie staat. Men beschouwt nu de overgang van een

regimetoestand met lusstroom i1, naar een nieuw regime i2. Eventuele e.m.k.'s moeten daarbij constant

blijven. De aanwezigheid van spoelen of mutuele zelfinducties zal spanningen in de lus induceren die

we voorstellen met dϕ/dt en M di/dt. We integreren dan de lusspanningen en knooppuntstromen over

de duur (t1, t2) van het overgangsverschijnsel.

2

1

knopenknopenknopen

lussen lussen lussen lussenlussen lussen

000

d d ( d )( )d d

Regime Overgang Integratie

t

t

qii

ie r i e t M i r qe M r it tϕ ϕ

===

= − ∆ + ∆ =− + =

∑∑∑

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∫ . (A-1)

Indien het overgangsverschijnsel zeer kort duurt, dus t2 – t1 klein, dan kunnen we de termen met de

integralen verwaarlozen. Indien geen actieve spanningsbronnen in de lus zitten bestaan die integralen

uiteraard niet. Dit is bij praktische circuits trouwens meestal het geval. Besluit: we schrijven de

gewone Kirchhoff wetten waarin de stromen vervangen worden door de ladingsvariaties; alle

generatoren van flux worden als actieve e.m.k.'s - ∆ϕ of M ∆i in de lusvergelijkingen ingevoerd.

Voorbeeld

We onderzoeken een brug met vier spoelen en vier weerstanden ermee in serie. De waarde van de

serieweerstanden van de spoelen zullen we natuurlijk moeten optellen bij de takweerstanden. Men sluit

nu de schakelaar S en drukt uit dat ladingevenwicht moet optreden. De keuze van de weerstanden

verzekert het dc-evenwicht, m.a.w. I1 en I2 zijn gekend:

1 2 1 2en of nog: (1 ) (1 )

E EI I a I b Ia m b m

= = =+ +

. \ball_vb (A-2)

We noemen de lusstromen q1 en q2. Bij het openen van S worden uiteindelijk alle stromen nul, de

A 6-38

fluxvariaties hebben dus de waarden La I1, Lb I2, Lc I1 en Ld I2.

Fig. AIII-1. Het vervangen van fluxvariaties door equivalente e.m.k.’s.

We schrijven de vergelijkingen voor lussen l en 2:

1 b 2 1 1 2 1 1 2

c 1 d 2 2 2 1 1 2

Lus 1: ( ) ( )Lus 2: ( ) ( ) [ ( )]

aL I L I q a q q g q b q a b g q gL I L I m a b q q q g q g q g m a b

− = + − + = + + −− = + + − = − + + + +

. (A-3)

Uit dit stelsel volgen q1 en q2 en dus de lading qd = q1 –q2 door de detector:

a 1 b 2 c 1 d 2d

( ) ( )( )

L I L I m L I L Iqg m a b g

− − −=

+ + + . \ball_vb2 (A-4)

Rekening houdende met de vgl. (A-2) zal de lading door de detector nul zijn indien:

a b c dL L L La b m a mb− = − . (A-5)

Met deze brug kunnen dus L's vergeleken worden. Het is echter moeilijk om het dc-evenwicht te

bewaren wegens de relatief grote TC van de draad (Cu) waarmee de spoelen gewikkeld worden.

Stelling van Vaschy

De stelling van Vaschy laat toe om, in een circuit waarin eveneens condensatoren voorkomen, op

eenvoudige wijze het evenwicht te vinden. We onderzoeken het onderstaande circuit. Veronderstel dat

de stroom It onderbroken wordt op t = 0. Juist daarvoor vloeit een stroom I door L en de spanning op C

bedraagt V0 = r I. Nu zien we dat voor de overgangslusstroom i er geldt:

dd

d ( ) 0d

v vi Cr tiL v R r i =t

= + + + −

. \stelsel (A-6)

A 6-39

Fig. AIII-2. De combinatie C-r is equivalent met een negatieve zelfinductie C r2.

We integreren deze vergelijkingen over de duur van het overgangsverschijnsel:

2 2

1 1

d ( ) d 0t t

t t

L I v t R r i t− + + − =∫ ∫ . \stelsel2 (A-7)

De eerste vgl. van het stelsel (6.18) geeft nu de integraal die in de vgl. (A-7) in voorkomt:

2 2 2

1 1 1

d d dt t t

t t t

v t i t C r v= −∫ ∫ ∫ , (A-8)

zodat, indien we nog de lading die in de lus vloeit t.g.v. i benoemen met q:

(0 ) 0L I R q C r r I− + − − = . (A-9)

De lading die in de keten vloeit kan dus nul worden indien:

2L C r= . (A-10)

M.a.w., in deze lus gedraagt de combinatie van L met r zich precies zoals een negatieve ballistische

zelfinductie. De weerstand met waarde R – r dient enkel om een kringstroom toe te laten en zijn waarde

is irrelevant voor het ladingsevenwicht. Hij beïnvloedt wel het gelijkstroomevenwicht.

Voorbeeld: de brug van Sumpner.

De voorwaarde voor gelijkstroomevenwicht is voldaan. Het schema heeft gelijkenis met de brug met

vier zelfinducties die we hierboven hebben beschreven. De voorwaarde (A-4) is geldig, maar we

hebben hierin: La = L, Lb = Lc = 0, Ld = - C r2. Evenwicht treedt dus op indien:

2L C r

a m b= . (A-11)

A 6-40

Fig. AIII-3. De brug van Sumpner.

Vermits de lus- en knooppuntswetten nog dezelfde zijn mag hier eveneens het compensatietheorema

worden toegepast om de fouten te bepalen, bijv. t.g.v. een ladingsresolutie Dqd van de detector.

Vertakte bruggen.

Indien men bij de brug van Sumpner de potentiometer vervangt door twee weerstanden r1 = m b - r en

r2 = r dan moet telkens r2 verzet wordt ook r1 aangepast worden opdat het dc-evenwicht zou voldaan

blijven. Er bestaan echter bruggen waarbij beide evenwichten afzonderlijk kunnen worden ingesteld.

Fig. AIII-4. De vertakte brug van Sumpner.

We gaan uit van de brug van Sumpner waarin m b – r = 0 gesteld wordt. Op voorwaarde dat r = m b is

het dc-evenwicht verzekerd. Het toevoegen van een weerstand R1 zal niets veranderen aan de

evenwichtscondities. Maar, men kan de driehoek gevormd door R1 – R2 – R3 in een ster omzetten zoals

getoond in de Fig. b. Dit geeft de zogenaamde vertakte brug van Anderson (bestaat ook in ac, zie

practicum) waarin bijvoorbeeld de regelparameter a voor het instellen van het dc-evenwicht dient en

de weerstand r voor het ladingsevenwicht.

Omdat het begrip negatieve L hier geen directe betekenis heeft kan men met het bestaan van de

condensator C rekening houden door hem als een ladingsgenerator te beschouwen (equivalent van een

A 6-41

stroombron). Bij sluiten van S vloeit er immers een lading Q = C b I naar C (Fig. c). Men vindt voor

het ladingsevenwicht

[ ( 1)]L C b m a r m= + + . (A-12)

Ladingscompensatie: Carey-Foster.

Zoals men dc-compensatie kent kan men ook ladingscompensatie uitvoeren. Bij een spoel is, bij

variatie van de stroomsterkte over een bedrag I, de fluxvariatie in die spoel L I en dit geeft in het

ladingschema een bron – L I. Insgelijks, voor een mutuele inductie M waarbij in een zijde de

stroomvariatie I optreedt, mag men aan de andere zijde een bron M I invoeren. We werken dit uit voor

de zogenaamde ladingscompensator van Carey-Foster. Men vindt voor dit schema:

dM I RQ M I C r R Iq

g R g R+ +

= =+ +

. (A-13)

De nulvoorwaarde voor de ladingsdetector is dus: M = - C r R. We zien daaruit nog:

(1) Grote gevoeligheid vereist een kleine g en een grote stroomsterkte I. (2) De lading als functie van C verloopt volgens een rechte. Dit laat interpolatie toe.

Ladingsbruggen laten toe de ware zelfinductie te bepalen van spoelen met ijzerkern, zelfs voor grote

stroomsterktes. Men kan immers r klein houden in dat geval. Elektronische meetapparatuur kan doorgaans maar

zeer beperkte stroomsterktes leveren en de niet-lineariteiten die een gevolg zijn van de BH-lus bemoeilijken de

meting. Ladingsmethodes kunnen dan ook eerder als complementair met moderne methodes worden beschouwd.

Vooral voor de karakterisering van magnetische materialen zoals ferriet worden zij nog toegepast.

A 6-42

Hoofdstuk VI. Weerstandsmetingen.

1. Algemeenheden...........................................................................................................................1 2. Ruisbronnen bij weerstanden. .....................................................................................................3 We hebben in een vorig hoofdstuk de belangrijke ruisbronnen besproken. Het is duidelijk dat ook weerstanden verschillende ruisbronnen kunnen optreden. .................................................................3 3. Meting van weerstandswaarden. .................................................................................................5

3.1. Meting van grote weerstandswaarden. ................................................................................5 3.1.1. Uitvoering van een meting voor grote weerstandswaarden. .......................................6

3.2. Meting van gemiddeld grote weerstandswaarden. ..............................................................8 3.2.1. De Wheatstonebrug . .................................................................................................12 3.2.2. Andere eigenschappen. .............................................................................................16 3.2.3. Toepassingen en bijzondere bruggen. .......................................................................16 3.2.4. Actieve bruggen met opamps....................................................................................18

3.3. Kleine weerstanden. ..........................................................................................................19 4. Technische methoden ter bepaling van weerstanden. ...............................................................21

4.1. Stroom-spanning methode......................................................................................................22 4.2. Direct aanwijzende analoge Ohmmeter. ................................................................................22 4.3. Weerstand-naar-spanning omzetter met opamps. ..................................................................23

5. Bijzondere weerstandsmetingen................................................................................................23 5.1. Belastings- of debietmethode. ................................................................................................23 5.2. Perturbatiemethode. ...............................................................................................................24

6. De brug van Wheatstone in wisselstroom. ................................................................................25 6.1. Evenwichtsvoorwaarden en fout. ......................................................................................25 6.2. Convergentiecriteria. .........................................................................................................27

7. Ladingsevenwicht. ....................................................................................................................27 Wetten van Kirchhoff in ladingsvorm...........................................................................................37 Voorbeeld ......................................................................................................................................37 Stelling van Vaschy.......................................................................................................................38 Voorbeeld: de brug van Sumpner. ................................................................................................39 Vertakte bruggen. ..........................................................................................................................40 Ladingscompensatie: Carey-Foster. ..............................................................................................41

Standaardreeksen. Voorkeurswaarden in een decade.

Appendix I. Het bepalen van een aardingsweerstand.

Appendix II. Speciale weerstanden.

Appendix III. Verkorte ladingsevenwichtsberekening.

A 7-1

HOOFDSTUK VII. COMPENSATIEMETHODES: DE BEPALING VAN E.M.K. EN STROOM.

De compensatiemethodes laten zeer nauwkeurige metingen toe van e.m.k.'s en spanningsvallen die

stabiel in de tijd zijn. Het zijn nulmethoden waarbij de onbekende spanning vergeleken wordt met een

regelbare en zeer nauwkeurig gekende spanning. Door de aard der methode laten

compensatiemetingen de onbekende spanningsbron onbelast en men meet dus de openklemspanning.

Verder wordt de regelbare spanning zelf geijkt aan de hand van een referentiebron. Wil men een

stroom meten dan zal men deze omzetten in een spanning door een normaal als shunt te gebruiken en

de spanning er over te bepalen. Compensatiemetingen duren langer dan directe voltmeteraflezingen,

zelfs als zij geautomatiseerd worden. Vandaar dat zij eerder voor de kalibratie van volt- en

ampèremeters en zelfs wattmeters toegepast worden. Een voordeel is de inherente stabiliteit die ook

op langere termijn nauwkeurige metingen toelaat, dit in tegenstelling tot elektronische apparatuur die

vrij frequent moet opnieuw gekalibreerd worden. Merken we nog op dat nauwkeurige elektronische

voltmeters eigenlijk altijd intern compensatiemetingen uitvoeren.

1. Referentiespanningsbronnen.

Spanningsreferenties worden gespecificeerd met zes parameters: absolute nauwkeurigheid, tempco,

drift op lange termijn, gevoeligheid aan variaties van de voedingsspanning, uitgangsimpedantie,

ruisspanning. We bespreken hierna achtereenvolgens het Westonelement, de Zenerdiode, de

bipolaire bandkloofreferentie en de Josephson-junctie.

1.1. Het Westonelement.

Het verzadigde Westonelement is in feite een elektrochemische cel met een positieve Hg-elektrode en

een negatieve HgCd-amalgaam elektrode. Boven het amalgaam liggen CdSO4-kristallen en het

elektrolyt is verzadigd met CdSO4. Omdat de oplosbaarheid van CdSO4 van de temperatuur θ (in

Celsius) afhangt zal de klemspanning van de cel ook van de temperatuur afhangen. Men houdt

daarmee rekening d.m.v. de volgende formule voor de klemspanning En:

6 6 2n 1,018640 40,6.10 .( 20) 0,95.10 .( 20) Int. Volt E θ θ− −= + − − − . (7.1)

Er werden ook onverzadigde elementen ontwikkeld die een veel geringere temperatuurinvloed

vertonen; ze gaan over in een verzadigd element bij 4°C zodat de e.m.k. van het verzadigde en

onverzadigde element dan gelijk zijn. Een voorbeeld is de Muirhead draagbare cel met de volgende

karakteristieken: En = 1,01900 V tot 1,01930 V bij 25°C, + 10 µV, Ri = 650 Ω (25°C), maten: 7 cm

lang, diameter 1,11 cm, gewicht 18 g.

A 7-2

In tegenstelling tot de interne weerstand van een droge batterij is deze van een Westoncel groot

(600 Ω tot 900 Ω), zodat zij slechts een uiterst kleine belastingsstroom mag voeren wil men de

correcte open-klemspanning En bekomen. Daarenboven zou deze stroom polarisatie van de

elektroden veroorzaken waardoor de e.m.k. van de cel tijdelijk gaat afwijken van deze door de

formule gegeven. Men beperkt de celstroom dan ook steeds tot 10 µA d.m.v. uitwendige

beschermweerstanden. De lange termijn stabiliteit is uitstekend: 1 tot 2 ppm/jaar. De eigenruis van

het onbelaste element stemt overeen met de Nyquistruis van Ri en is dus zeer klein.

Het Westonelement is nog altijd een veel gebruikte praktische standaard: het neemt weinig plaats in,

weegt niet veel en het kan dan dus gemakkelijk getransporteerd worden. Precisielabo’s werkten

vroeger mee aan de internationale interkalibreringsprogramma's voor Westonelementen maar door de

ontwikkeling van de Josephon standaard (zie verder) behoort dit tot de geschiedenis.

1.2. De Zenerreferentie.

Het is bekend dat een zenerdiode een vrij stabiele spanning aflevert indien de zenerstroom constant is

en de temperatuur gestabiliseerd wordt. De zenerdiode wordt daartoe in een oventje geplaatst ofwel

wordt zij samen geïntegreerd met een circuit dat warmte dissipeert en zichzelf stabiliseert op een

constante temperatuur die hoger is dan de omgevingstemperatuur (typisch 90°C).

ba

E

R

VzVz

( gebuff. )Vz

a

b

V+

V-c

Vz (1+b_a )

Fig. 7. 1. (a) Rechtstreeks gevoede zenerdiode met of zonder bufferversterker. (b) Gestabiliseerde voeding voor zenerdiode. \zener

Temperatuurstabilisatie alleen volstaat echter niet: het eenvoudige circuit van (Fig. 7. 1a), waarbij

men de zenerspanning via de weerstand R betrekt uit de bron E, kan inderdaad maar redelijke

resultaten geven als de bron zeer stabiel is. In Fig. 7. 1b levert de opamp via de weerstand c de

zenerstroom. Dit verbetert de stabiliteit aanzienlijk, maar er zullen fouten door het gebruik van een

opamp optreden en de uitgangsspanning kan nooit kleiner zijn dan Vz.. I.h.b. zullen de

offsetspanning en de TC van de versterker een rol spelen. Een voordeel van Fig. 7. 1b is eveneens

dat de uitgang zonder probleem een stroom mag debiteren (tot enkele mA). In geval van Fig. 7. 1a is

A 7-3

dit enkel mogelijk indien de uitgang gescheiden wordt van de belasting d.m.v. een extra opamp-

volgerschakeling. Verder stelt men vast dat in Fig. 7. 1b de verhouding b/a zeer nauwkeurig moet

zijn en blijven, ook als de temperatuur varieert, maar de absolute waarden a en b zijn irrelevant.

Het mechanisme van de zenerwerking is van die aard dat de ruisspanning over de diode steeds relatief

groot is, bijvoorbeeld 20.10-6 van Vz. De stabiliteit is redelijk, maar zeker slechter dan van de

Westoncel: 2-3 ppm/dag, 10 ppm/mnd, 30 ppm/jaar. Voor de meest precieze apparatuur zal men dan

ook trachten de stabiliteit te verbeteren d.m.v. groepen in serie geschakelde zenerdioden. Door de

uitgangsspanning van verschillende groepen te combineren kan men zowel de ruis als TC doen

afnemen. Ook worden deze zeners maandenlang verouderd vooraleer gemonteerd te worden in een

spanningsstandaard. Zoals men ziet in Fig. 7. 2 duurt het een 1000-tal uren vooraleer de

zenerspanning min of meer stabiel wordt in de tijd.

Fig. 7. 2. Spanningsdrift als functie van de tijd. \drift

1.3. Bandkloofreferenties.

De Vbe spanning van een transistor kan op twee manieren geschreven worden:

c cbe g0

s

ln lnnI Ik T k TV V + =

q q J AC T= . \bandgap (7.2)

Daarin zijn: Vgo de bandkloofspanning van silicium bij 0 kelvin (ongeveer 1,2 V), Ic de collector-

stroom, C en n constanten, Js de lekstroomdichtheid, A de emitteroppervlakte en T de absolute

temperatuur. In de Fig. 7. 3a is Vbe als functie van T geschetst. Om het dalend verloop van Vbe te

compenseren wordt een spanning gemaakt die evenredig met T oploopt (PTAT bron, Proportional To

Absolute Temperature) en deze wordt opgeteld bij Vbe. Men bekomt dan als totale spanning een

kromme die verloopt zoals de stippellijn in de figuur. Een praktische uitvoering toont Fig. 7. 3b.

D.m.v. een teruggekoppelde opamp worden de collectorstromen van twee transistors met

emitteroppervlaktes A1 en A2 gelijk gemaakt. Omdat de collectorweerstanden dezelfde waarde hebben

A 7-4

moet de spanningsval erover immers dezelfde zijn.

a b c

Vbe

Vgo

Vr

2 R1

I

0,6 V

VPTAT

300 K T

V0

Vr

R R

R2

A2

A1

I

I R1

V0

=Vr

Fig. 7. 3. (a) Vbe als functie van T en een PTAT bron. (b) Praktische uitvoering volgens BrokawROKAW. (c) Verhogen van uitgangsspanning. \ptat

De spanningsval over R2 bedraagt dan volgens de vgl. (7.2):

2be1 be2 2

1

lnk T AV V R Iq A

− = = . (7.3)

De stroomsterkte I is dus PTAT en de spanningsval over R1 zal dit ook zijn. De uitgangsspanning Vo

wordt ten slotte:

1 20 be1

2 1

2 lnk T ARV V q AR

= + . (7.4)

Door geschikte keuze van R1/R2 is het mogelijk om dV0/dT nul te maken, bijvoorbeeld bij

kamertemperatuur (300 K). De referentiespanning Vr die aldus ontstaat bedraagt ongeveer 1,23 V.

Men ziet uit de Fig. 7. 3a dat er steeds een paraboolvormige tweede-orde fout over blijft waarvoor

evenwel nog extra compensaties mogelijk zijn. D.m.v. een spanningsdeler aan de uitgang is het nog

mogelijk om V0 op een andere waarde groter dan Vr te brengen (Fig. 7. 3c).

Afhankelijkheid van

Type Vuit Voedings-spanning

Belastings-stroom

Temperatuur Ruisspanning

(V) (ppm/v) (ppm/mA) ppm/°C) (µV) Zener AD2712

10.000 + 1 mV

125 5 1 30 piek-piek

Bandkloof AD584

10,000/7,500/5,000 2.500

20

50

5

50 piek-piek

Om een idee te geven van wat bereikbaar is, hebben we in de tabel een typische zenerreferentie met

A 7-5

een bandkloofreferentie vergeleken. De absolute nauwkeurigheid is in beide gevallen dezelfde, nl.

1 mV maar de andere parameters vertonen nogal wat variatie.

1.4. De Josephsonjunctie.

Het fenomeen van de supergeleiding kan optreden bij zeer lage temperaturen (typisch 4 K) indien

de thermische energie van de geleidingselektronen lager is dan de energie die geassocieerd kan

worden met de interactie-energie van de elektronen met het kristalrooster. In bepaalde gevallen

ontstaan dan elektronenparen (Cooperparen) die vrijelijk door het kristal en zonder verlies aan

energie kunnen bewegen. Het metaal is dan supergeleidend geworden en alle weerstand is

verdwenen. In 1962 ontdekte Brian Josephson een bijzonder effect bij een junctie die opgebouwd

is uit twee supergeleidende metalen, gescheiden door een dunne (1-2 nm) oxidelaag. In zo een

Josephsonjunctie blijkt dat, t.g.v. de zwakke koppeling van de golffuncties van beide

supergeleiders, zeer speciale elektrische effecten kunnen optreden die zich weerspiegelen in de

stroom-spanning karakteristiek van de junctie. Zie Fig. 7. 4.

I

I0

U0

U1

U2

Un V

b

a

Fig. 7. 4. I-V karakteristiek van de Josephsonjunctie. \josephson1

Stuurt men gelijkstroom door de junctie dan blijft de spanningsval V erover nul, totdat I ≥ I0 wordt

(curve a). Vanaf dat punt is V > 0 en men kan aantonen dat de junctie dan als microgolfoscillator

werkt. De oscillatiefrequentie volgt uit de kwantummechanica en is evenredig met V:

J 2 ef Vh

= . (7.5)

Het vermogen is echter zo laag dat het niet mogelijk is om daaruit e/h te bepalen via meting van fJ en

V. Omgekeerd, superponeert men op de gelijkstroom I een wisselstroom met frequentie f, dan gebeurt

er iets merkwaardigs. I.p.v. de continue I-V curve ziet men een trapvormig verloop (curve b) op

discrete niveau’s Un. Daarbij geldt er:

A 7-6

met 0,1,2, . . .2nhU n f ne

= = \josephson (7.6)

De sprongen die de spanning maakt zijn dus alle precies even groot! Daarenboven blijkt het dat

vgl. (7.6) exact en universeel geldig is, onafhankelijk van de temperatuur, het soort supergeleider,

type junctie, … In de praktijk wordt een Josephsonjunctie ondergedompeld in vloeibaar helium en de

ac-stroom erin wordt bekomen door ze te bestralen met een microgolfbron. De junctie wordt in een

golfpijp geplaatst en de koppeling gebeurt d.m.v. een spleet in de pijp.

Een probleem is dat zowel de toelaatbare junctiestroom als de oscillatorfrequentie f beperkt zijn en daardoor is

Un steeds klein (Typisch: f = 96 GHz, 50 mW, Un = 5 mV, I = 5µA … 100 µA). Serieschakeling van deze

juncties blijkt wel mogelijk te zijn. Men bereikt zo min of meer probleemloos 1 V; in labo's werden ook al 10

V ketens verwezenlijkt. Men ziet in dat Josephson referenties minder praktisch zijn voor mobiel gebruik

wegens de cryogene opstelling. De waarde van Un hangt echter niet af van plaatselijke condities of

constructiedetails en dus is een onderlinge vergelijking van juncties niet nodig.

2. De Poggendorfcompensator

De Poggendorfcompensator dient om e.m.k.’s of spanningvallen te vergelijken met een

referentiebron. Voor de meest precieze metingen wordt hij meestal vervangen door een stroom-

comparator (zie verder).

2.1. Principe.

De Poggendorfcompensator bestaat uit een stabiele bron E, een potentiometer, een nuldetector ND en

een te meten e.m.k. Ex. Zie Fig. 7. 5. Indien E1 ≥ E2 kan men de ND op nul regelen door de aftakking

met weerstand r op de potentiometer R te wijzigen:

12

EE rR

= . \nul (7.7)

Dit eenvoudige schema heeft nadelen: o.a. moet voor een nauwkeurige meting één der bronnen een

normaalcel zijn, maar deze mag nooit in de hoofdketen geplaatst worden omdat de stroom door R

veel groter is dan toelaatbaar voor de cel. Bovendien treedt er dan een bijkomende fout op t.g.v. de

spanningsval in de weerstand der toevoerdraden. Bijgevolg moet men de normaalcel op de plaats van

E2 plaatsen. Maar, dan is E1 de onbekende bron en voor deze gelden gelijkaardige beperkingen. Om

deze redenen gebruikt men de indirecte compensatie van Fig. 7. 5b.

De bron E die R voedt is nu liefst een lood- of NiCd-accumulator. Beide leveren een zeer stabiele en

slechts traag variërende spanning bij langdurige belasting af. Eventueel is een elektronische voeding

met hoge stabiliteit bruikbaar maar meestal is deze minder stabiel dan de accumulatoren. De meting

A 7-7

wordt als volgt uitgevoerd:

Fig. 7. 5. (a) Principe van de Poggendorfcompensator (b) Indirecte compensatie /pogg

• Men stelt I in d.m.v. Rk op de maximaal toelaatbare stroom door R (voor grootste gevoeligheid).

• Eerste afregeling: punt B d.m.v. S met Ex verbinden en evenwicht maken: Ex = (r1/R) E.

• Tweede afregeling: B met En verbinden geeft: En = (r2 /R) E. Bijgevolg:

x 1

n 2

E rE r

= . (7.8)

De fout op Ex wordt bepaald door de fout op En en de fout op de verhouding r1/r2 ; de waarde van de

bronspanning komt niet tussen op voorwaarde dat deze tijdens de meting constant blijft.

Om een rechtstreeks afleesbare compensator te maken dringt men een welbepaalde stroom op aan de

potentiometer R zoals uitgevoerd in de Fig. 7. 6.

Meetmethode.

• Stel N + N' = En 10n ,bvb. 10192 Ω voor n = 4 en een Westonelement met En = 1,0192 V. Regel

de hoofdstroom met Rk totdat ND2 nul aanduidt. D.w.z. dat I = En /(N+N') en men bekomt een

hoofdstroom van 0,1 mA met dit Westonelement.

• Regel nu ND1 op nul d.m.v. r. Dan geldt er: x 1 10 VoltnE rΩ −=

In de hoofdstroomketen kan eventueel een precisie elektronische stroombron worden gebruikt. Deze

kan bijvoorbeeld verwezenlijkt worden door ND2 te vervangen door een precisie-opamp die de

waarde van Rk aanpast, zodat op elk ogenblik (N+N') I = En blijft. Met deze methode zijn de absolute

A 7-8

waarden N + N’ en r wel belangrijk omdat men aanneemt dat N + N’ op een decimale factor na

numeriek gelijk is aan En.

Fig. 7. 6. Rechtstreeks afleesbare compensator. \rechtstreeks

2.2. Foutberekening.

We onderzoeken het eenvoudige schema (Fig. 7. 5a).

(1) De fouten t.g.v. de onzekerheid op r, R en E1 in vgl. (7.7) geven een R.F. op r2 die gelijk is aan de

som der R.F.’en van r, R en E1.

a b

I = E1 / R

rI dr I dr R - r

gN D

d i

I dr

R - r

gN D

r

Fig. 7. 7. (a) Stroom door ND t.g.v. onzekerheid op r, (b) equivalent circuit. \foutberekening

(2) We zoeken de fout t.g.v. de detectorresolutie di (Fig. 7. 7). Wegens di zal r niet correct zijn maar

een afwijking dr vertonen. Het compensatietheorema geeft het verband tussen dr en di: Fig. 7. 7a.

Omdat Fig. b equivalent is met Fig. a en met vgl. (7.7) kan men schrijven:

2

2

d d dd( )

R I r E ri = , - g R + r R - r E r

= . (7.9)

De relatieve fout op E2 volgt hier onmiddellijk uit:

A 7-9

2

2

2 2

d d ( )E i r g + r - E E R

= . \foutpoggendorf (7.10)

Bijgevolg moeten di en g klein zijn, m.a.w. er is een spanningsgevoelige ND vereist. Vervangt men r

in vgl. (7.10) d.m.v. vgl. (7.7) dan is

2 2 2

2 2 1 1

d d [ (1 )]E i E E- g + R - E E E E

= , (7.11)

m.a.w. R moet klein zijn, of bijgevolg I groot. Wegens het verloop van de fout in functie van E2 /E1

kiest men best E2 zo dicht mogelijk bij E1 (maar E2 > E1).

2.3. De potentiometers.

Het is duidelijk dat voor nauwkeurige metingen de fout van de potentiometerweerstanden grotendeels

de meetfout bepaalt, mits de resolutie van de ND zeer hoog is. In feite stelt men vast dat het de

verhouding r/R is die zeer nauwkeurig moet gekend zijn, of eventueel de verhouding tussen de

opeenvolgende stappen indien het een discrete potentiometer betreft. In de loop der jaren zijn allerlei

circuits uitgedacht die opgebouwd zijn uit een groot aantal gelijke weerstanden. De gelijkheid van

weerstandswaarden kan inderdaad met de hoogste nauwkeurigheid vastgesteld worden. De filosofie

van de gelijke weerstanden vindt men terug in alle moderne apparatuur. Zo zijn D/A omzetters

opgebouwd uit een laddernetwerk waarin enkel de waarden R en 2 R voorkomen. We komen daar

later nog op terug. Hieronder laten we nu, zeer beperkt, enkele potentiometerschakelingen volgen.

2.3.1. De seriepotentiometer.

De seriepotentiometer wordt opgebouwd d.m.v. weerstanden in serie. Merken we op dat een

verschuiven van het (of de) loper(s) geen invloed mag hebben op de hoofdstroomsterkte I. M.a.w. de

weerstand van de keten moet bij evenwicht, voor eender welke stand van de schakelaars, constant

zijn. Bij de seriepotentiometers of compensatoren is dit meestal het geval. Men spreekt dan van een

constantestroom potentiometer. De eenvoudigste en oudste seriepotentiometers zijn deze van Dubois

Reymond en Clark. We bespreken ze enkel om het principe duidelijk te maken. De eerste bestaat uit

een gekalibreerde draad met een sleepcontact dat tussen de uiteinden kan verschoven worden. Bij de

tweede is de draad op een torus gewikkeld en het sleepcontact staat centraal. Bij beide is het de

bedoeling dat een lineaire verplaatsing (of rotatie) een evenredige weerstandsvariatie zou geven. De

moderne uitvoering van o.a. de firma Beckmann (HELIPOT) is in staat een lineariteit van beter dan

0,05% te geven. Dit is uiteraard alleen mogelijk indien de weerstandsdraad over zijn volledige lengte

homogeen is en met constante spoed gewikkeld.

A 7-10

R R R R

R

k R

CROMPTON

10 n 1 0

E

DUBOISREYMOND

I

Fig. 7. 8. De Crompton compensator met draadpotentiometer. \crompton

Vermits de sleepdraad een beperkte waarde en resolutie heeft zal men d.m.v. discrete, liefst identieke,

weerstanden het bereik ervan trachten uit te breiden. In combinatie met een sleepdraad kan men

echter maar met 1 discrete decade uitbreiden (Crompton). Men heeft dan in Fig. 7. 8 voor E:

( ) ( ) = getal ( ) met 0 1 en = 0, 1, . . . , 10E = k R + n R I = n + k R I n, k R I k n× ≤ ≤ .

2.3.2. Cascadepotentiometers.

Bij de cascadecompensatoren doorloopt de hoofdstroom een aantal identieke weerstanden R1. Deze

zijn verbonden met een schakelaar welke twee beweegbare contacten of lopers bezit die een vast

aantal k1 dezer weerstanden overbruggen. Deze lopers worden belast door de k2 weerstanden met

waarde R2 van de volgende decade. Zie Fig. 7. 9. De omcirkelde grootheden N1 en N2 stellen hierin

de numerieke standen van de schakelaars voor.

Fig. 7. 9. Algemene cascadepotentiometer. \cascade

We veronderstellen dat de loper op de tweede reeks weerstanden stroomloos is. De grootheden N1 en

N2 stellen de numerieke waarden van de standen der schakelaars op de twee decades voor.

A 7-11

Voorwaarden.

1 1 1 2 2 2 2 1 21 2

1 1 2 2 2 1

Stroomsplitsing: ( )10 (en dus 10 )

Decadegedrag: =10 I k R I I k R I R k k kR I R R k

− = = − >

, (7.12)

11 10 1 1 1 2 2 1 2 1 1

2

Uitgangsspanning: ( 10 )10R IE N R I N R N N R I

R−= + = + . (7.13)

Men ziet nog dat 2 2

1 1

110

I kI k= − . We bespreken hierna de meest gebruikte uitvoering.

Bijzonder geval: compensator van Kelvin-Varley. Fig. 7. 10.

2 11 2

1 2

10 dus 5 en 2

2k IR Rk I=

= == . (7.14)

De 10 weerstanden R2 (waarde R1 /5) staan in parallel met 2 weerstanden R1 in serie, vandaar I1 = 2 I2.

Men kan dit systeem uitbreiden tot een willekeurig aantal decaden, indien men de tweede decade 11

weerstanden geeft (11R1/5) maar twee ervan belast met een nieuwe decade, waarvan R3 = R2 /5 (in

totaal 10 R2 /5 of 2R2). Deze 2R2, parallel met 2R2 van decade 2, geeft 9R2+2R2 // 2R2=10R2. Idem

voor verdere decaden. De laatste (N4) mag uiteraard maar 10 weerstanden R4 bevatten.

Fig. 7. 10. Kelvin-Varley compensator. \varley

Het voordeel van de cascadecompensatoren is dat de stromen door de decadeschakelaars steeds maar

afnemen. D.w.z. dat de contactweerstanden minder en minder effect hebben naarmate men naar een

lagere decade gaat. Met Kelvin-Varley potentiometers is dan ook een precisie van 1 ppm haalbaar; de

A 7-12

resolutie en lineariteit zijn daarbij beter dan 0,1 ppm! Om dit te bereiken zal men een variante

construeren die opgebouwd is uit zoveel mogelijk identieke weerstanden (waarde R). Maakt men in

Fig. 7. 9 de waarden R1 = R2 = R dan zouden de 11 weerstanden van de hoofdketen een equivalente

waarde 10 R hebben wegens de belasting ervan door de lagere decaden. De vereiste

stroomverhouding I1 = 2I2 kan men nu ook bekomen d.m.v. een bijkomende weerstand R' die de

tweede decade volledig shunteert (zie Fig. 7. 9). Men moet echter ook voldoen aan:

11 1

1( '//10 ) 2 ( )2 2IR R R I I= − ,

zodat R' = 2,5 R. Deze weerstand R' kan eventueel eveneens d.m.v. R opgebouwd worden: het

volstaat de combinatie R+R+R // R=2,5 R te construeren. Men merkt nog op dat de grootste decade

(N'1 in Fig. 7. 10) eventueel eenvoudiger kan zijn omdat de contacten geen stroom voeren bij

evenwicht. Voor deze figuur geldt er:

3 ' 2 1

0 1 1 1 2 3 4'

1 1 1 2 3 4

2 (10 10 10 10 )

2000 getal( , )

E I N N N N N

I N N N N N

−= + + + +

= × × . (7.15)

2.3.3. Potentiometers met veranderlijke stroom.

Door de ontwikkeling van zeer stabiele spannings- of stroom gestuurde elektronische stroombronnen

(VCCS = voltage controlled current source; CCCS = current CCS), is men er in geslaagd oude

circuits, destijds ontwikkeld voor potentiometrische spanningsmeting, te revitaliseren. Daartoe gaat

men uit van het Lindeck-Rothe principe.

Fig. 7. 11. (a) Principe van de Lindeck-Rothe compensator, \lindeck (b) Met twee spanningsmetingen.

Men vergelijkt de spanningsval over een normaalweerstand N1 met de onbekende spanning en regelt

de stroom zo dat beide gelijk zijn. Daarna wordt de stroomsterkte I door N1 met een ampèremeter

gemeten zodat men vindt: Ex = N1 I.

A 7-13

Men zal nu verder de stroommeting vervangen door een spanningsmeting. Dit doet men door een

weerstand N2 in serie met N1 (is N uit Fig. a) te plaatsen en daar de spanning met een precisie-

voltmeter over te meten. Een verdere verfijning is de compensatie automatisch te laten plaats grijpen

door gebruik te maken van een VCCS die gestuurd wordt vanuit de nuldetector die nu een versterker

met grote winstfactor is (Fig. 7. 12a).

a b

VCCS

I

N2

N1 Ex

DVM

Ex

ND

A

B

RP

K-Vdeler

N

EN

I

VCCS

Fig. 7. 12. (a) Automatische compensatie, (b) Julie Research compensator. \Julie

Fig. 7. 12b toont een gelijkaardige uitvoering van de firma "Julie Research". Daarin wordt een

Kelvin-Varley deler omgekeerd gebruikt en gestuurd d.m.v. een VCCS die, onafhankelijk van de

stand van de deler, I = En /N houdt. Men kan d.m.v. de reciprociteitsstelling gemakkelijk aantonen,

dat VAB evenredig met de stand k van de deler is (0 ≤ k ≤ 1), Fig. 7. 13:

AB p kv( // )V k I R R= . (7.16)

waarbij Rkv de ingangsweerstand van de KV deler is, maar wel bij normaal gebruik, dus tussen de

klemmen A en B. De aftakkingen op Rp laten toe lagere spanningen te meten.

a b c

A

B

k E

Rkv

RpVAB

k E

Rkv

k Eof

kRkv

I

I

k E

I = E / Rk v

E

Fig. 7. 13. (a) KV-deler gestuurd door stroombron (b) Verwisseling van bron en spanningsmeter (c) Belasting van omgekeerde deler met Rp. \kvdeler

3. Stroomcompensator: de zuigschakeling van Merz en Stanek.

Met de Poggendorf compensator meet men, wanneer ND op nul is geregeld, een onbekende spanning

A 7-14

zonder vermogen uit deze bron te onttrekken. Door dualiseren van het Poggendorfprincipe kan men

een circuit bekomen dat op spanningsloze wijze stromen kan meten. Fig. 7. 14a en b. Men vindt voor

de figuur b:

Nx x

N c

of I RI I IR Rα

= =+

. (7.17)

De stroom I wordt terug bepaald d.m.v. een vergelijking met het Westonelement. We merken nog het

volgende op:

• I moet steeds groter dan Ix zijn; voor RC = 0 zijn beide gelijk

a b

E

Ex

I

NDND

Ix

Ix

RC

RN

( 1 - ) R = R1

R= R2

g2

=1

R

g1

=1

(1 - ) R

Fig. 7. 14. (a) Poggendorfcompensator (b) Gedualiseerde schakeling. \duaal

Een algemeen probleem dat bij spanning- of stroomcomparatoren optreedt is het feit dat een groot

aantal weerstanden noodzakelijk is, vooral indien een fijne resolutie gewenst is. Al deze weerstanden

moeten gekalibreerd worden, maar daarbij blijven steeds residuele fouten over. Anderzijds steunt de

werking van potentiometers op het verwezenlijken van een beperkt aantal, en met gehele getallen

overeenstemmende, verhoudingen. Indien men de weerstanden zou kunnen vervangen door een

component die van nature uit enkel gehele waarden kan aannemen, zouden compensatoren nog

preciezer en stabieler kunnen gemaakt worden. Dit blijkt nu mogelijk te zijn met transformator-

compensatoren. We zullen hierna het zeer speciale geval van de gelijkstroom uitvoering bespreken.

4. De magnetische gelijkstroomcompensator van Norbert KUSTERS.

Voor een ideale ac-transformator met twee wikkelingen N1 en N2 (met respectievelijk N1 en N2

windingen) waardoor stromen I1 en I2 lopen geldt er N1 I1 = N2 I2. De N1 en N2 die hierin voorkomen

zijn steeds gehele getallen omdat deze windingen gekoppeld zijn met de kern. Merken we nog op dat

bij de werking als stroomtransformator deze vergelijking uitstekend met de werkelijkheid

overeenkomt omdat de kernflux daarbij zeer klein is. De magnetiseringsstroom is dan nagenoeg nul.

Indien men dc-flux in de kern zou kunnen meten en nul maken dan zou de ac-evenwichtsvergelijking

A 7-15

ook voor dc-stromen I1 en I2 moeten gelden. Door gebruik te maken van de zogenaamde

"magnetische modulator", die uitgevonden werd rond 1936 door Aschenbrenner en Goubau, is

Kusters er in geslaagd dc-stroomcomparatoren te ontwikkelen met transformatorkernen die alle

compensatoren met potentiometers overtreffen.

Principe van de dc-fluxdetectie.

De Fig. 7. 15 geeft een opstelling die toelaat dc-flux in een ringkern te detecteren. Voorlopig zullen

we enkel de linkerhelft van dit circuit onderzoeken. De noodzaak van het rechterdeel zal later

duidelijk worden. Wikkelingen N1 en N2 zijn de compensatiewikkelingen. De andere worden

toegevoegd om vast te stellen of het aantal ampèrewindingen AW = N1 I1-N2 I2 al dan niet nul is. De

wikkeling Nm wordt gevoed door een stroombron die, voor de eenvoud, verondersteld wordt een

zaagtandvormige magnetiseringsstroom im met frequentie ω te leveren. De amplitude van im moet

groot genoeg zijn om de kern te kunnen satureren. Wegens het gesloten magnetisch circuit en de

hoge permeabiliteit van het materiaal is dit gemakkelijk te bekomen: 1 tot 2 Aw volstaan

doorgaans. We nemen verder aan dat de B-H kromme van het kernmateriaal een lineair deel bezit

en dat de saturatie voorgesteld wordt door de horizontale rechten in Fig. 7. 16. Het hysteresis-effect

wordt eveneens verwaarloosd. Ten slotte levert de detectiewikkeling Nd een e.m.k. ed1 op.

Fig. 7. 15. Magnetische demodulator met twee kernen. \magmod

Werking van het circuit.

Fig. 7. 16a en b tonen de spanning ed van de detectiewikkeling respectievelijk voor AW gelijk aan of

verschillend van nul. Men merkt op dat deze ed evenredig met dB/dt verloopt. Voor AW = 0 bekomt

men een ed waarvoor geldt: ed(t+T/2) = - ed(t). Zie de Fig. 7. 16a. Om deze reden bevat ed enkel

oneven harmonischen met frequentie 3ω, 5ω, … Van zodra echter AW ≠ 0 wordt deze antisymmetrie

verbroken en bevat ed, wegens de ongelijke breedte van de positieve en negatieve pulsen, ook even

A 7-16

harmonischen, 2 ω, 4 ω, … (Fig. 7. 16b). De aanwezigheid van even harmonischen, en de tweede

i.h.b., duidt dus op de aanwezigheid van een aantal dc-ampèrewindingen AW. Binnen zekere grenzen

is er een monotoon stijgend verband tussen de amplitude A2 van de tweede harmonische en AW; het

faseverband tussen de stroom im(t) en A2 bevat informatie over het teken van AW. Meestal bepaalt

men A2 in de detectieschakeling als volgt: men vermenigvuldigt ed1 met sin2ωt en stuurt dit product

door een laag-doorlaat filter (LDF). Stellen we ed1 voor d.m.v. zijn Fourierreeks dan wordt het

product:

d1( ) sin 2 [ sin ( )] sin 2

cos[( 2) ] cos[( 2) ]2

n n

nn n

e t t A n t t

A n t n t

ω ω ϕ ω

ω ϕ ω ϕ

× = + ×

= − + − + +

∑∑

. (7.18)

Na het LDF zullen we enkel iets terugvinden van dit signaal indien er dc zou inzitten. Dit is het geval

voor n = 2, dus voor A2. Het LDF filter moet zo worden ontworpen dat:

• Alle ongewenste componenten voldoende worden verzwakt • Het niet te smalbandig is zodat zijn responsietijd voldoende klein blijft. In dit geval kan men

niet te vlug variërende dc-ampèrewindingen eveneens detecteren.

Fig. 7. 16. Kerninductie voor (a) AW = 0 en (b) AW 0≠ .

\kerninductie

A 7-17

Het gebruik van enkel de linkerhelft van de schakeling van Fig. 7. 15 heeft enkele nadelen als gevolg

van het feit dat de magnetiseringsflux ϕm zowel in N1 als N2 een spanning opwekt welke evenredig is

met deze op de detectiewikkeling Nd en de bekrachtigingswikkeling Nm. Dit heeft als gevolg dat:

• Een ongewenste stroom met frequentie ω in de meetketen wordt geïnjecteerd • De generator wordt belast door de meetketen • De detectiespanning ed1 een sterke grondgolf bevat zodat het uitfilteren van A2 wordt

bemoeilijkt.

Om hieraan te verhelpen zal men twee identieke kernen K1 en K2 opstellen en de wikkelingen van

beide op de volgende wijze in serie plaatsen:

1. De oscillatorfluxen ϕm t.g.v. im magnetiseren K1 en K2 in dezelfde zin, bijvoorbeeld in wijzerzin;

2. de stromen door respectievelijk N1 en N2 magnetiseren K1 en K2 in tegengestelde zin;

3. de e.m.k.'s ed1 en ed2 van detectiewikkelingen worden zo opgeteld dat ed = ed1 - ed2 nul is wanneer

AW = 0.

We merken verder op dat de spanningsgolfvormen op de wikkelingen N1, N2, Nd en Nm allemaal met

elkaar evenredig zijn. Met deze conventies gebeurt nu wat volgt.

Wanneer AW > 0 zoals op Fig. 7. 16b dan is de spanning em1 niet langer meer anti-symmetrisch:

em1(t + T/2) ≠ - em1(t). Voor K2 is, gerekend met dezelfde zin als K1, de waarde AW < 0. Dit heeft als

gevolg dat enerzijds em2 volgt uit em1 d.m.v. een tekenomkering en anderzijds dat de saturatie-

verschijnselen zich T/2 laten voordoen. M.a.w. men heeft:

m2 m1( ) ( )2Te t e t= − − .

We stellen nu em1 en em2 voor d.m.v. een Fourierreeks:

m1 m2

m m1 m2

sin( ) en sin[ ( ) ]2

π π2 cos( ) sin2 2

n nn n

n n

T e A n t + e A n t - +

n e e e A n t + - n .

ω ωϕ ϕ

ω ϕ

= ∑ = − ∑

→ = + = ∑ .

Wat betreft de totale oscillatorspanning em zien we bijgevolg:

• Voor n even komt er geen bijdrage voor in em • Voor n oneven is er wel een bijdrage

Anders is het gesteld met de somspanningen over de andere wikkelingen. Voor de eenvoud stellen we

Nd = Nm zodat de totale detectorspanning wordt:

A 7-18

d d1 d2

d d

π π2 sin ( ) cos2 2

0 voor oneven, 0 voor even

n nn e e e A n t - n

e n e n

ω ϕ= − = ∑ +

→ = ≠ .

De aanwezigheid van frequentiecomponenten 2ω, 4ω, … in ed duidt terug op een dc-onevenwicht.

Als AW = 0 zijn de amplitudes van de even harmonischen A2 = A4 = A6 = … = 0 en wordt ook ed ≡ 0.

Men ziet tevens dat de grondgolf verdwenen is uit de detectorspanning ed. Dit vereenvoudigt het

filteren zeer sterk.

4.1.1. Praktische uitvoering.

De keuze van het kernmateriaal moet met zorg gebeuren. Voor precisiemetingen kiest men vaak

bandkernen. Deze worden gewikkeld uitgaande van een dunne reep magnetisch materiaal. Bij

banddikten van enkele µm treden weinig wervelstroomverliezen op zolang de magnetiserings-

frequentie niet te hoog wordt. De aanvangspermeabiliteit moet hoog zijn, bijvoorkeur meer dan 105

(ultraperm, superpermalloy). Voor industriële toepassingen die minder gevoeligheid vereisen is ferriet

zeer geschikt (permeabiliteit > 5000, zeer goedkoop). Men bewikkelt de kernen op zeer gelijkmatige

wijze. Er worden speciale bewikkelingsprocedures toegepast teneinde een verwaarloosbare lekflux te

bekomen. De Aw-vergelijking zal dan op nagenoeg ideale wijze worden vervuld. Later zullen we

meer constructieve details bespreken bij de ac-stroomcompensatoren.

Decadische instelling van N1.

Willen we een zeer grote instelresolutie bereiken dan moet N1 liefst decadisch instelbaar zijn. Is een

resolutie van 1/107 gewenst dan zou N1 in principe dezelfde resolutie moeten verkrijgen, namelijk

N1 = 1 wdg - 107 wdgn! Omdat zoiets onuitvoerbaar is gaat men de stromen gedeeltelijk decadisch

gaan verdelen door middel van weerstanden. Fig. 7. 17.

Fig. 7. 17. Opbouw van de decades van N1. \decades

Men kiest de waarden van de weerstanden R1, R2, R3, R4 en R' zodat:

A 7-19

2 3 41 2 3 410 10 10 10I I I I I= = = = . (7.19)

Men heeft verder nog:

1 2 3 4( 1, 2,3,4) en dus: (10 10 10 10 ) 0,8889iI I I i I I - I I− − − −′ ′= + ∑ = = + + + = . (7.20)

1 1 2 2 3 3Anderzijds is ' 'R I R I R I R I= = = . Kiest men R1 = 100 ohm dan vindt men:

11

1' 100 11,25' 10 0,8889

I IR RI I

= = × × = Ω ,

en eveneens: 12 1 3 4

2

1000 ohm, 10k , 100k .IR R R RI

= = = Ω = Ω . Men vindt uiteindelijk een effectief

windingsgetal N1:

2 3 41 100 10 10 10 10 getal(0, )N α β γ δ ε ϕ η α β γ δ ε ϕη−1 − − −= + + +10 + + + =1000× . (7.21)

De vijf extra weerstanden moeten niet zeer nauwkeurig zijn. Bij de instelling 0,1009999 volstaan

0,01% weerstanden om 1 ppm fout op deze instelling te bekomen. Vermits de wikkelingsweerstand

van de orde mΩ is kan deze eveneens verwaarloosd worden t.o.v. R1 en dus zeker ook t.o.v. R2, R3 en

R4. Uitvoeringen met binaire gewichten worden eveneens gebruikt.

4.2. Enkele toepassingen.

4.2.1. Gebruik als stroomcompensator om spanningen te vergelijken.

I1

I1

N1

N

En Ex

I2

N2

R

ND1 ND2

Nd e

d D

Fig. 7. 18. Magnetische modulator als compensator. \mmcomp

De bedoeling is om een onbekende spanning Ex te vergelijken met een normaalspanning En. De

voorgaande schakeling wordt daartoe uitgebreid met een spanningsgestuurde stroombron VCCS die

I2 levert en een stabiele bron I1. De detectieschakeling D levert een spanning af evenredig met de

amplitude van de tweede harmonische in ed. De uitgangsspanning van de fluxdetector D stuurt VCCS

A 7-20

zodat I2 en I1 de kern in tegengestelde zin magnetiseren. Indien de kringwinst van de keten Nd-D-

VCCS-N2 zeer groot is zal I2 steeds een waarde aannemen waarbij nauwelijks dc-flux in K1 en K2

overblijft. De meetprocedure verloopt als volgt:

• Regel ND1 op nul d.m.v. I1: En = N I1

• Regel N1 en/of N2 totdat ND2 nul aanwijst: Ex = R I2.

Wegens de automatische nulregeling van de dc-flux zal N1 I1 = N2 I2. Daaruit volgt:

1x n

2

N RE EN N

= . (7.22)

Twee normaalweerstanden (N en R) volstaan hierbij en N1 en N2 zijn steeds gehele getallen.

4.2.2. Vergelijking van weerstanden.

Het schema van Fig. 7. 18 laat ook toe om N en R te vergelijken op voorwaarde dat Ex = En. De

onderstaande Fig. 7. 19 toont een iets eenvoudiger opstelling. Hierbij regelt men ND op nul d.m.v. de

regeling van N1:

1 11 1 2 2 1 1 2 2

2 2

, zodat R NN I N I R I R IR N

= = = . (7.23)

Merk op dat op deze wijze 4-klemmen weerstanden met elkaar kunnen vergeleken worden. Op een

analoge wijze zijn Kusters en Mac Marin er in geslaagd weerstanden te vergelijken in het gebied van

1 Ω tot 10 MΩ, met een fout kleiner dan 1 ppm! Deze hoge nauwkeurigheid laat toe om weerstanden

te vergelijken met de impedantie van de berekenbare condensator (zie verder). Uit het bovenstaande

blijkt nog dat de magnetische stroomcompensator eveneens als stroomtransducer kan worden

aangewend. We bespreken deze toepassing in het hoofdstuk dat de omzetters behandelt.

I1

I1

N1

R1

Nd

I2

R2

N2

ND

Fig. 7. 19. Het vergelijken van weerstanden. \vergweerst

A 7-21

Appendix I bij Hoofdstuk VII.

Enkele speciale compensatoren en potentiometers. 1. Compensator van Raps.

22 1 2

1

9dus 0 9, en

0k

N R Rk=

≤ ≤ == .

Men verdubbelt het aantal decaden d.m.v. twee dergelijke schakelingen. Het tweede deel moet

uiteraard met 100 R1 of R1/100 opgebouwd worden. De stroom in de decaden van de tweede trap is

telkens een factor 10 kleiner dan in de trap er boven: I1/I2=10. Fig. AI-7. 1.

Fig. AI-7. 1. Potentiometer van Raps. \raps

1 2 3 4o 1 2 2 3 4 1 1

1 2 3 4 1 1

( 10 10 10 10 )getal ( )

E N N N N N R IN N N N R I

− − − −= + + + += ×

.

Verder is, bij evenwicht althans, de stroom I onafhankelijk van de stand der schakelaars. Het betreft

dus een constante-stroom compensator.

2. Feussner compensatoren.

Om het beperkte aantal decaden te vermeerderen liet Feussner de sleepdraad weg en maakte hij

gebruik van de zogenaamde Bouty-sleutel. Hierbij houdt men de hoofdstroom constant door aan één

zijde van een decadeschakelaar steeds het complement (op 9) te behouden van het aantal weerstanden

aan de andere zijde. De spanning tussen de uiteinden AB bedraagt nu

1 2 1

4 3 2 1

( 10 . . . 10 )getal ( )

nnE N R N R N R I

N N N N R I−= + × + + ×

= × .

Men beperkt zich doorgaans tot n=4 omdat teveel kontakten in de keten de nauwkeurigheid doen

A 7-22

afnemen.

10 x R .10n

10 x R .10n

I

I

0

1

2 standNn-1

10 x R x 100

0

1

stand N1

dekade 1

10 x R

E x

dekade n

A B

10 10

N D

Fig. AI-7. 2. Vierdecaden Feussner compensator.

Men kiest als kleinste R-waarde 0,1 Ohm zodat de totale weerstand in de hoofdketen de waarde heeft:

1t

11 1

9.10 9.10 . . . 9

10 19 (10 10 . . . 1) 9 (10 1)9

n n

nn n n

R R R R

R R R

−

+− +

= + + +

−= + + + = = −

.

Voor 4 decades is Rt = 999,9 Ω. Deze relatief grote waarden verplichten de ontwerpers er toe om

tevens de lekweerstanden in de potentiometer te minimaliseren. Inderdaad, veronderstel dat over een

weerstand van de hoogste decade (1000 Ω) een lekweerstand van 109 Ohm parallel staat, dan zal de

spanningsval erover 1 ppm te laag zijn ! Men moet dus zeer goede isolatiematerialen toepassen en de

hoogste decades met guards of schutkringen uitrusten!

3. Differentiaalcompensatoren.

a b

E0

I

I

1

1

r1 I /n

E0

I

r2

2 2

I ( 1-1

n)

R 1

R 2

Fig. AI-7. 3. (a) Hausrath differentiaal compensator, \haus (b) Diesselhorst thermokrachtvrije compensator.

Bij een differentiaalcompensator worden twee seriepotentiometers in parallel geplaatst; de

A 7-23

uitgangsspanning is nu deze tussen de lopers. Merk op dat men de differentiaalcompensator als een

niet in evenwicht zijnde Wheatstonebrug kan beschouwen.

In de Fig. AI-7. 3.a is: 1o 2

1[ (1 )]rE r In n

= − − × .

De uitgangsspanning kan zowel negatief als positief worden. Verder staan, zoals bij de serie- en

cascadecompensatoren, de lopers in serie met de uitgangsspanning. Gebruikt men r1 als 1e decade

dan kan met r2 een tweede decade gevormd worden indien

1o 1 2 2

1(10 ) [ (1 )]rE k r r rn n

− ≡ − − ,

zodat n = 11/10 en k = I/11 moeten zijn. (Hausrath compensator). Bij de meting van kleine e.m.k.'s

zullen de thermospanningen, die na het bewegen van een loper tijdelijk gegenereerd worden, in serie

met Eo staan en een relatief grote fout veroorzaken. Daarom heeft Diesselhorst de stroomtoevoer-

klemmen en uitgangsklemmen omgewisseld (fig. b). De zeer kleine thermo-e.m.k.’s liggen nu in serie

met de voedingsbron en hebben nu een relatief kleinere invloed. Daarom zegt men dat de

Diesselhorstcompensator thermokracht vrij is. D.m.v. Bouty-sleutels kan men het meetbereik

decadisch uitvoeren.

4. Bijzondere potentiometers.

De additiepotentiometers worden opgebouwd d.m.v. onafhankelijke potentiometers waarvan de

uitgangsspanningen opgeteld worden. In fig. 6.11 werd deze methode toegepast om een decade extra

te bekomen. De stroom in de hoofdketen is dezelfde maar de extra decade bevat weerstanden die 10-

maal groter zijn dan deze uit de hoofdtak van de Kelvin-Varley deler.

Bij deflectiepotentiometers worden drie of vier decaden toegepast om een spanning te produceren die

in oppositie gebracht wordt met de onbekende spanning. Het verschil wordt dan d.m.v. een

hoogohmige elektronische mV- of µV-meter gemeten. I.h.b. voor stabiliteitsmetingen op dc-bronnen

is deze methode zeer geschikt.

A 7-24

Hoofdstuk VII. Compensatiemethodes: de bepaling van e.m.k. en stroom.

1. Referentiespanningsbronnen. ................................................................................................... 1 1.1. Het Westonelement. ................................................................................................... 1 1.2. De Zenerreferentie. .................................................................................................... 2 1.3. Bandkloofreferenties.................................................................................................. 3 1.4. De Josephson-junctie. ................................................................................................ 5

2. De Poggendorfcompensator ..................................................................................................... 6 2.1. Principe. ..................................................................................................................... 6 2.2. Foutberekening. ......................................................................................................... 8 2.3. De potentiometers. ..................................................................................................... 9

2.3.1. De seriepotentiometer. ................................................................................. 9 2.3.2. Cascadepotentiometers. ............................................................................. 10 2.3.3. Potentiometers met veranderlijke stroom. ................................................. 12

3. Stroomcompensator: de zuigschakeling van Merz en Stanek................................................ 13

4. De magnetische gelijkstroomcompensator van Norbert KUSTERS. .................................... 14 4.1.1. Praktische uitvoering. ................................................................................ 18

4.2. Enkele toepassingen................................................................................................. 19 4.2.1. Gebruik als stroomcompensator om spanningen te vergelijken. ............... 19 4.2.2. Vergelijking van weerstanden. .................................................................. 20

Appendix I bij Hoofdstuk VII. Enkele speciale compensatoren en potentiometers.

A 8-1

HOOFDSTUK VIII. GEKWANTIFICEERDE HALLWEERSTAND EN

RESISTIEVE DELERS

In vorige hoofdstukken werd beschreven hoe weerstanden met weerstanden en e.m.k.'s of potentiaal-

verschillen met standaardbronnen kunnen worden vergeleken. Daarbij komt men tot het besluit dat het

ideaal zou zijn indien de primaire standaarden d.m.v. fundamentele natuurconstanten zouden kunnen

worden gedefinieerd. Zoals reeds gezien biedt het Josephson-effect een uitkomst wat betreft de eenheid

van spanning. Hierbij is het de verhouding e/h die een belangrijke rol speelt. Daar e en h onafhankelijk

zijn is het te verwachten dat nog een andere combinatie ervan zou kunnen bruikbaar zijn. Uit een di-

mensie-analyse blijkt inderdaad dat h/e2 de dimensie van weerstand heeft. Door de ontdekking van het

gekwantificeerd Halleffect waarin deze h/e2 een grote rol speelt is men erin geslaagd de “ohm” op een

nieuwe manier te verwezenlijken.

1. De gekwantificeerde Hallweerstand.

In 1980 werd door Klaus Von Klitzing voor het eerst het gekwantificeerd Halleffect beschreven. Dit

effect werd (min of meer bij toeval) ontdekt bij de studie van de geleiding in een zogenaamd

2-dimensionaal elektronengas (2DEG). Een 2DEG ontstaat wanneer men een zeer sterke inversielaag

of accumulatielaag bekomt aan het scheidingsvlak van een planaire halfgeleider-halfgeleider of halfge-

leider-isolator structuur. De elektronen die een gevolg zijn van een stroom I tussen de buitenste contac-

ten kunnen dan nog enkel in dit vlak bewegen en niet meer loodrecht erop. Wanneer men op een derge-

lijke laag contacten aanbrengt zoals op een Hallelement (Fig. 8. 1) dan kan er een merkwaardig effect

optreden, wanneer de volgende voorwaarden zijn vervuld:

1. Zeer lage temperatuur, bijvoorbeeld lager dan 4,2 K (kookpunt van He)

2. Aanwezigheid van een zeer sterk B-veld (> 10 T) loodrecht op de 2DEG-laag

Door de krachtwerking van het veld op de bewegende elektronen in de 2DEG-laag zullen deze cirkel-

banen proberen te volgen. Bij hoge temperatuur wordt deze beweging tegengewerkt door de thermi-

sche beweging van de elektronen. Bij lage temperatuur is dit niet het geval en zal er een kwantificering

van die banen optreden met de volgende resultaten:

• De longitudinale weerstand 3 2xx

V VRI−

= zal in functie van B in bepaalde intervallen nagenoeg

nul worden (niet helemaal),

• De verhouding Hallspanning tot Hallstroom I, nl. VH =(V2–V1)/I, blijkt te zijn gekwantificeerd.

In de Fig. 8. 1 stemt dit overeen met: 2 1xy

V VRI−

= . Vermits de grootheid Rxy de dimensie van een

A 8-2 weerstand heeft spreekt men van de Hallweerstand. Wanneer de Hallweerstand gekwantificeerd is no-

teert men hem als RH(i) waarin i = 1, 2, 3, …

Von Klitzing heeft aangetoond dat bij kwantificering de Hallwaarden gegeven zijn door:

HH 2

1( ) V hR iI i e

= = . (8.1)

In de praktijk wordt een MOS-structuur gebruikt die toelaat om, via instelling van de poortspanning,

gemakkelijk een geschikt kwantisatieniveau te kiezen.

Fig. 8. 1. Hallweerstand en longitudinale weerstand in functie van B.

Bij hogere temperaturen zal de vrije weglengte van de elektronen zo klein worden dat geen oscillatoire

banen kunnen blijven bestaan. In dat geval zal men vaststellen dat VH en dus ook Rxy evenredig met B

toenemen zoals dit in een klassiek Hallelement het geval is. De grootheden Rxy en Rxx volgen dan de

streeplijnen in de figuur Fig. 8. 1. De weerstandsvariaties van Rxx zijn dan wel schijnbaar verdwenen,

maar von Klitzing heeft aangetoond dat men ze voor niet al te hoge temperatuur kan zichtbaar maken

door de afgeleiden naar B van de curve te zoeken.

Een bijzonderheid is dat RH ook nog via andere experimenten kan bepaald worden. Men heeft inder-

daad nog de volgende betrekking afgeleid:

10H 02(1) 25812,80615

2h cRe

µ α−= = = Ω . (8.2)

daarin is α-1 = 137,0359898 de zogenaamde fijnstructuurconstante. Deze laatste vindt men uit experi-

menteel-theoretische bepalingen van de anomalische elektronenmomenten. Vermits zowel µ0 als c0

vastliggen is RH(1) even goed gekend als α.

Om praktisch bruikbaar te zijn moet men RH(1) kunnen relateren met de standaard MKSA ohm. Dit

vereist dat men bijvoorbeeld RH(1), die men ook nog de von Klitzing constante RK noemt, zal uitdruk-

A 8-3 ken in de MKSA ohm. Na een grondige vergelijking van alle bestaande standaarden met RK heeft het

“Internationaal Comité van Maten en Gewichten” (ICMG) in aanbeveling CI-1988 aangeraden om

vanaf 1990 de volgende conventionele waarde toe te kennen aan RK:

RK-90 =25812,807 Ω

De geschatte standaardafwijking is daarbij van de orde 2.10-7 en men zal deze waarde gebruiken voor de kalibra-

tie van de nationale standaarden. Het blijft wel vreemd dat de waarde van RK berekend met vgl. (8.2) hiervan

enigszins afwijkt. Die laatste waarde is weliswaar nauwkeuriger gemeten maar men zou toch verwachten dat de

foutmarges elkaar zouden overlappen en dit blijkt niet het geval te zijn. Door RK-90 aan te nemen zijn echter de

elektrische en mechanische eenheden van kracht, energie en vermogen binnen de foutmarge gelijk. Met de fysi-

sche waarde van vgl. (8.2) zou dit niet het geval zijn. Verder onderzoek zal moeten uitmaken vanwaar de afwij-

kingen komen.

Voor de vergelijking van RK-90 met de MKSA ohm kan men ter controle een rechtstreekse vergelijking

van de primaire standaarden van het BIPM uitvoeren met de zogenaamde berekenbare condensator

van Thompson en Lampard. Deze werkwijze is evenwel maar beperkt toepasbaar omdat het aantal ge-

realiseerde Thompson-Lampard condensatoren wereldwijd zeer klein is (een 8-tal).

1.1. Principe van de berekenbare condensator.

De idee bestaat erin een condensator te bouwen waarvan de capaciteit slechts door één lengte bepaald

wordt en daarenboven berekenbaar is. Voor een luchtcondensator met lengte l, breedte b en plaataf-

stand d is de geometrische capaciteit C0 gegeven door:

0 0bC ld

ε= . (8.3)

Daarbij verwaarloost men het randeffect. Indien nu b/d gegeven en vast zou zijn, dan zou enkel nog l

de waarde van C0 beïnvloeden. In 1959 vonden A.M. Thompson en D.C. Lampard het volgende ver-

band tussen de capaciteiten c1 en c2 per eenheidslengte voor de speciale 4-elektroden combinatie A, B,

C, D met constante sectie uit Fig. 8. 2:

1 2

0 0

π π

e e 1c cε ε

− −

+ = . (8.4)

Men bepaalt α = c1/c2 in een verhoudingsbrug en berekent c1 en c2 uit vgl. (8.4) en α. Voor een symme-

trisch systeem is c1 = c2 = c0 zodat c0 = ε0 / π ln2 of 1,95355 pF per meter lengte. Men veronderstelt dat

de openingen die de elektroden scheiden zeer klein zijn.

A 8-4

A A

C CB

B

D D

C1

C2

C0

C0

Fig. 8. 2. Algemene (links) Thompson-Lampard condensator en symmetrische (rechts).

De eenvoudigste constructie bestaat uit 4 cilinders die weliswaar elkaar raken, maar die toch door een

dunne isolatielaag gescheiden zijn. De invloed van randeffecten aan de uiteinden kan worden geëlimi-

neerd indien men 1l

C meet bij een lengte l1 en 2l

C bij een lengte l2 zodat

2 2l l 2 1( ) 1,95355 pF.C C l l− = − × (8.5)

Het verschil l2-l1 wordt met een interferometer gemeten; de nauwkeurigheid is dus zeer groot omdat de

lichtsnelheid een nauwkeurig gedefinieerde waarde heeft.

A D

BC

S

D ( A )

B ( C ) Sl2

- l1

Fig. 8. 3. Viercilinder condensator met scherm.

Men prefereert uiteraard voor de constructie eenvoudige geometrieën voor de geleiders, bijvoorbeeld

staven. Fig. 8. 3. Het randeffect wordt hierbij geëlimineerd d.m.v. de schijf S die in de tussenruimte

kan verschuiven in langrichting. Tezelfdertijd moet de verplaatsing van de stang die deze schijf bedient

in een afgeschermde ruimte gebeuren zodat het randveld aan de rechterzijde niet wordt verstoord. Het

geheel is volledig afgeschermd om invloed van de omgeving te vermijden. De staven zijn natuurlijk

elektrisch van elkaar geïsoleerd. De mechanische eisen die gesteld worden aan deze cilindrische stan-

daardcondensator zijn zeer streng:

• De elektroden moeten perfect cilindrisch zijn,

• De assen van de elektroden moeten zo evenwijdig mogelijk zijn en blijven,

A 8-5

• Bij verplaatsing van het scherm moet het randeffect hetzelfde blijven.

Het effect van cilindriciteitsfouten en parallellisme is nagenoeg onberekenbaar en daarom is, rekening

houdend met de huidige beschikbare mechanische werktuigen, de eenvoud van de Thompson-Lampard

condensator meer schijn dan realiteit.

diameter 75 mm

lengte 450 mm

12 8 9 14 13 7 16 11 8 18

15

17

19

201

2

3

45

10 6

1-5: Cylinders 10: Vijs 15 : Hoed 6: Translatie klauw 11: Drukschroef 16: Marmer 7: Rotatie klauw 12: Moer 17: Vacuümklok 8: Steun 13: Rail 19: Scherm S 9: Veer 14: Platstaal 20: Si-isolatoren

Fig. 8. 4. Vijf-cylinder structuur van Elnékavé.

Elnékavé heeft andere structuren onderzocht en kwam tot het besluit dat een vijf-elektroden struc-

tuur technisch beter uitvoerbaar is. In het bijzonder, voor vijf symmetrische elektroden (1, 2, … ,

5), bekomt men (Fig. 8. 4):

25 13 14

0 0

π π ( )

e e 1C C Cε ε

+− −

+ = . (8.6)

Stelt men C0 = C25, dan is wegens de symmetrie van het systeem 13 14 02C C C+ =

00 25 13 14

2en eveneens ln 1,35623564 pF/mπ 5 1

C C C C ε= = = = =

− . (8.7)

De tolerantie op de buisdiameter is 0,5 µm; de isolatoren zijn 2 mm ± 0,1 µm dik. Het scherm (diameter 50 mm)

wordt verplaatst d.m.v. stappenmotoren en de verplaatsing meet men met een laserinterferometer die, samen met

de condensator, in een vacuümkamer geplaatst wordt.

Elnékavé heeft ook nog de kubische condensatorstructuur onderzocht. Omdat het een gesloten constructie betreft

zal er geen randeffect optreden. Daarenboven zijn alle elektroden vlak; om deze toestand te behouden in de tijd

A 8-6 gebruikt men in werkelijkheid zes zware blokken die een aantal bewerkingen ondergaan hebben: afvlakken, slij-

pen, fijnslijpen, thermische behandelingen, … De onzekerheid die men uiteindelijk bekomt op de waarde van C0

is van de orde 10-7. In het Laboratoire Central des Industries Electriques (LCIE, Frankrijk), heeft men d.m.v. een

kwadratuur ac-brug, RH(2) gemeten met een totale meetonzekerheid (1σ) van 2,2 x 10-7.

1.2. Vergelijkingsprocedure.

Men gaat uit van de berekenbare condensator en bepaalt met deze de SI waarde van een 1 pF normaal.

Via een 1/10 vergelijkingsbrug wordt in drie stappen de 1 pF condensator vergeleken met een 1000 pF

normaal. Deze wordt op zijn beurt in een "kwadratuurbrug" vergeleken met een 100 kΩ weerstands-

normaal. Via een 100/1 weerstandsvergelijkingsbrug belandt men uiteindelijk bij een 1 kΩ normaal.

Bij de volgende stappen wendt men (zie verder) Hamon-weerstanden (1000/1) aan, evenals cryogene

stroomcomparatoren, om tenslotte een vergelijking uit te voeren met RH.

Bijzondere moeilijkheden treden op wegens het feit dat sommige van deze vergelijkingen in ac gebeuren en an-

dere dan weer in dc. Bij het NPL is men er nochtans in geslaagd de totale relatieve onzekerheid tot een 0,7 x 10-7

te beperken en men vond RH = 25812,8106(17) ΩSI. De gebruikte meetsequentie is in de diverse meetlabo's niet

identiek: niet overal worden dezelfde apparaten en tussenstandaarden gebruikt. Vandaar de kleine verschillen die

optreden tussen de diverse RH-waarden. De figuur van de Appendix I bij dit hoofdstuk geeft de volledige proce-

dure zoals toegepast in het NPL. We gaan verder dieper in op de Hamon weerstanden.

De nauwkeurigheid bij het vergelijken van twee von Klitzing Hall-elementen is in 1997 opgedreven tot

3×10-10. Op dit niveau heeft men kunnen vaststellen dat deze Hallweerstanden onafhankelijk zijn van

de aard van het materiaal, de afmetingen van het Hallmonster en de inductie. Wel blijkt dat er een aan-

tal voorzorgen moeten worden genomen. Zo moeten in het bijzonder de contactweerstanden en de tem-

peratuur laag genoeg zijn. Op voorwaarde dat daaraan voldoende aandacht besteed wordt is het ge-

kwantificeerd Halleffect universeel bruikbaar.

2. De Josephsonjunctie voor standaardtoepassingen.

Traditioneel hebben de meeste landen fysische standaarden beschikbaar die gebruikt worden voor de

bepaling van de wettelijke of nationale eenheden. Bijvoorbeeld: een groep Westonelementen waarvan

de gemiddelde spanning dient om de waarde van de nationale volt, VLAB, vast te leggen. Via de gemid-

delde waarde van een stel precisieweerstanden wordt dan de nationale Ohm, ΩLAB, vastgelegd. De een-

heid van stroom volgt dan uit ALAB = VLAB/ΩLAB.

Voornamelijk door het werk van Volkmar Kose (PTB, West Duitsland) op het gebied van de Joseph-

son-juncties is daar echter verandering in gekomen. Daar waar oorspronkelijk deze junctie gebruikt

werd om e/h te bepalen, zal men nu eerder de junctiespanning vergelijken met de 1,018 V standaard

cellen.

A 8-7

Fig. 8. 5. (a) Oude methode om de nationale standaarden vast te verwezenlijken en te vergelijken met MKSA standaarden, (b) Moderne methode.

Daarbij kan de frequentie van de microgolfbron uiterst nauwkeurig bepaald worden; de uiteindelijke

nauwkeurigheid is vooralsnog bepaald door de meetfouten die gemaakt worden bij het vergelijken van

de junctiespanning Un met VLAB. Typisch is deze fout 0,01-0,1 ppm. De standaardcellen dienen dan en-

kel als een soort vliegwiel waarin VLAB bewaard wordt tussen twee Josephson-metingen (Fig. 8. 5).

Een probleem is de MKSA waarde van 2e/h die men moet aannemen. Zoals gezien is het verband tussen de in-

straalfrequentie fj en de Josephsonspanning gegeven door: j j2ef U K Uh

= = . In 1972 gaf het CCE (Consulta-

tive Committee on Electricity) van de CIPM (Comité International des Poids et Mesures) de raad, de volgende

conventionele waarde voor Kj toe te passen:

LABj 72 CCE 483.594,000 GHz/V2( ) eKh− = = .

Daarin was VLAB de bewaareenheid van volt van het BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) zoals

vastgelegd in 1969; de fout op de spanning zou daarbij minder dan 0,5 ppm zijn. Latere bepalingen gaven

2e/h = 483.593,876 GHz, + 0,1 ppm. De CCE waarde werd ingevoerd omdat er aangenomen werd dat die con-

sistent was met de SI eenheden. Ongelukkig genoeg was dit niet het geval. Directe verwezenlijkingen van de SI-

volt (spanningsbalans) en bepalingen van de fundamentele constanten toonden aan dat de SI-waarde van 2e/h 8

ppm (+ 0,5) groter was dan de CCE-waarde; m.a.w., in de landen die de CCE-waarde gebruikten was de nationa-

A 8-8 le spanning 8 ppm te klein. D.w.z. dat nauwkeurige bepalingen van elektrische en mechanische krachten, ener-

gie en vermogen niet dezelfde resultaten konden geven! Erger was nog dat drie landen een andere 2e/h waarde

aangenomen hadden met als gevolg dat er verschillen in waarde van de volt optraden van de orde 1 tot 9 ppm!

Het Internationale Comité voor Maten en Gewichten (ICMG) heeft in de aanbeveling 1 (CI-1988) besloten om

vanaf 1 januari 1990 de volgende conventionele waarde te kiezen voor 2 e/h:

j 90 483.597,9 GHz/V2eKh− = = .

De aanleiding hiertoe was het feit dat op dit ogenblik de geschatte standaardafwijking ongeveer 4 x 10-7 bedroeg.

Een en ander heeft tot gevolg gehad dat de meest nauwkeurige voltmeters moesten herijkt worden teneinde te

kunnen voldoen aan deze keuze.

2.1. Vergelijking van Un met En van het Westonelement.

Fig. 8. 6. Compensatieschakeling voor vergelijking van Un met En.

De junctie krijgt polarisatiestroom d.m.v. de stroombron Ij en de keten met het Westonelement wordt

gevoed met een zeer stabiele stroom IT. De junctie wordt nog bestraald met microgolven waarvan de

frequentie gekend is (10-8 nauwkeurigheid). De junctiespanning Un en de normaalspanning En worden

in een compensator vergeleken:

n 2 T 1 T en nE R I U R I= = . (8.8)

Men regelt eerst nuldetector ND2 op nul d.m.v. de stroombron IT. Indien R2/R1 voldoende groot is (or-

de 200) dan kan men d.m.v. f eveneens ND1 op nul brengen. De diverse ompoolschakelaars S1, S2, S3

dienen om de invloed van de thermo-e.m.k.’s in de junctieketen te elimineren. Dit gebeurt met een

A 8-9 hulpbron EH die toelaat een kleine compensatiespanning ETh op te wekken. De polariteit van ETh wordt

bepaald door de stand van S. Indien de compensatie correct is dan zal, bij ompolen van S1, S2 en S3, de

detector ND1 op nul blijven. Er geldt dan:

1

n 2

nU RE R

= . (8.9)

Wegens het feit dat een deel van de opstelling op kamertemperatuur staat en de rest op 4,2 K kan de uiterste

nauwkeurigheid niet bereikt worden, zelfs met de compensatiespanning ETh. De moderne opstellingen worden

daarom volledig in het helium ondergedompeld. Men gebruikt dan supergeleidende kwantum-interferentie ele-

menten (SQUID) als nuldetectoren en speciale weerstanden. Daardoor is de thermische ruis in de meetketen veel

lager en zijn de thermische e.m.k.'s verwaarloosbaar. Dit laatste komt door de zeer grote thermische geleidbaar-

heid van het vloeibare helium (103 maal beter dan koper op kamertemperatuur).

2.2. Potentiometer.

Het succes van bovenstaande methode wordt voor een groot deel bepaald door de nauwkeurigheid

waarmee de verhouding R1 /R2 gekend is. Gaat men uit van een Westonelement, dan is En ª 1 Volt.

Voor 5 mVnU ≤ moet bijgevolg R2 = 200 R1 tot 1000 R1 zijn! Veronderstel nu dat we R2 opbouwen

d.m.v. m nominaal gelijke weerstanden R in serie en die een individuele fout εsi vertonen:

2 s s1 1

(1 )m m

i ii i

R R mR Rε ε= =

= + = +∑ ∑ . (8.10)

Bouwen we op analoge wijze R1 op uit een parallelschakeling van m weerstanden met waarde

R (1 + εpi) dan geldt er:

2 3p p p

1 11 p

2p p

1 1

1 1 1 (1 )(1 )

1 1

m m

i i ii= ii

m m

i ii i

= + ...R + RR

m= ... .R R R

ε ε εε

ε ε

=

= =

≈ − −

− +

Σ Σ

∑ ∑ . (8.11)

De verhouding R2 /R1 wordt dan (we laten voor de eenvoud van notatie de grenzen van som weg):

r

22s p

12 2 2

p p p s s p

2 2s p p s p2

Relatieve fout op de verhouding

1( ) ( ...)

... ...

1 1 1[1 ( ) ...]

i i

i i i i i i

i i i i i

R mmR RR R R

m m m m

mm m m

ε

ε ε

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε

= + − +

= − + + +

= + − + − +

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

. (8.12)

A 8-10 In het slechtste geval, nl. εsi = -εpi = ε (met ε de maximale te verwachten fout) is de fout op de verhou-

ding m2:

r12 hogere orde termen, met , de gemiddelde relatieve fout.im

ε ε ε ε= + = ∑ (8.13)

De echte fout zal kleiner zijn omdat zowel positieve als negatieve fouten voorkomen. Veronderstel nu

dat we dezelfde weerstanden eerst in serie zetten en daarna in parallel. Dan is εsi = -εpi = εi en volgt er

uit de vgl. (8.12):

3

2 2 2r 2 2

Hogere orde laten wegvallen

1 1 1( ) ( ) ( ) ii i i i

= + ...

m mm mεε ε ε εε

ΣΣ − Σ + Σ Σ (8.14)

We werken de tweede-orde fout verder uit:

2 2 2 2 2r

2 22 2

1 1( ) 2( ) ( )

1 12 ( ) ( 2 )

i i ii i

ii i i

m m m m m

m m m

ε ε εε ε ε

εε ε ε ε ε ε ε

= − = − +

= − + = − +

∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑

. (8.15)

Het laatste teken geldt omdat men nog heeft: 2

2 mmεε = , en bijgevolg:

2r

1 ( ) variantieimε ε ε= − =∑ . (8.16)

Conclusie: de fout op de verhouding R2 /R1 is van de tweede orde. De reden is dat de verhouding onaf-

hankelijk is van de nominale waarde der weerstanden. M.a.w. de verhouding hangt enkel af van het

aantal weerstanden en de variantie erop.

Om deze eigenschap ten volle te kunnen benutten zal men dus verplicht zijn de weerstanden R1 en R2

uit het schema van de figuur te vervangen door een groep gelijke weerstanden die men eerst in serie en

daarna in parallel zet. Dit is mogelijk indien een zeer stabiele stroombron ter beschikking staat. De me-

thode van Fig. 8. 6 wordt dan als volgt gewijzigd (Fig. 8. 7).

Men plaatst vooreerst alle weerstanden in serie (schakelaars open) en vergelijkt m R IT met En. Door

regelen van IT brengt men ND2 op nul. Daarna worden de weerstanden in parallel geplaatst (schake-

laars dicht) en men vergelijkt R / m IT met de Josephson spanning Un. De squid detector wordt op nul

gebracht door de frequentie van de microgolfbron te regelen.

De verhouding m2 kan daarbij, middels het aantal weerstanden, aangepast worden aan het grote ver-

A 8-11 schil dat bestaat tussen En en Un. Deze methode van serie en parallelschakeling van weerstanden werd

voor het eerst toegepast door B.V. Hamon in 1954.

IT

S

R

R

R

R

R

ND2

En

S

ND1 ( SQUID )

I j

I j

R

R

R

IT

Un

a b

Fig. 8. 7. Hamonschakeling om van serie naar parallel over te gaan.

Bij kampertemperatuur moeten de schakelaars S bijzonder goed uitgevoerd zijn (kleine serieweerstand), wil men

voldoende nauwkeurigheid bereiken. Wordt het geheel in een gethermostatiseerd helium bad ondergedompeld

dan is het mogelijk supergeleidende schakelaars te gebruiken en men kan dan Un en En tot op 10-8 V vergelijken.

Voor deze cryogene opstellingen moesten echter nieuwe legeringen (bijvoorbeeld Al Mg 5) ontwikkeld worden,

teneinde weerstanden met een minimale TC bij deze lage temperatuur te bekomen.

2.3. Binaire weerstandsdelers met eigencorrectie.

In precisie-instrumenten worden zeer dikwijls R-2R netwerken als spanningsdeler gebruikt. Gelijkaar-

dige weerstandsladders vindt men terug in digitaal-naar-analoog omzetters.

Vi

1

2

S1

X

X '1

2

SN -1

1

" 1"

"1""0"

"0" "0" SN

SN +1

Vuit

( a )

1

( b )

S2

Fig. 8. 8. Binaire weerstandsdeler van Cutkosky.

In 1978 heeft Cutkosky van het NBS een methode uitgewerkt die kalibratie van een binair gestuurde R-

2R ladder toelaat. Met genormaliseerde ladderweerstanden 1 Ω en 2 Ω ziet men in de Fig. 8. 8:

• De impedantie tussen de schakelaarcontacten X en X' voor het deel van rechts van XX' is

steeds 2 Ω. Elke cel verzwakt dus met een factor 2.

A 8-12

• Alle schakelaars op "0" (S1 = S2 = ... = SN+1 = 0) geeft Vuit = 0.

• S1 = 1 en S2 = S3 = … = 0 geeft Vuit = Vi.

• Alle tussenliggende waarden kunnen door geschikte keuze van de Si ingesteld worden. I.h.b.

geeft Sk = 1, en alle andere Si = 0, Vuit = Vi /2k-1.

2.3.1. Verhoudingsberekening.

We gaan uit van een enkele cel zoals hierbij getekend.

V 'k

Vk

Sk

" 0"

Rsk

Rpk

Rk

V'k +1

Vk +1 X

X '

"1""1"

"0"

Sk+1

Fig. 8. 9. Elementaire cel van de binaire deler.

Men stelt de stand van een schakelaar Sk voor door Sk = 0 of Sk = 1. Verder zijn nog: Rsk de serieweer-

stand in de cel, Rpk de weerstand tussen XX' in parallel met Rk. Bij een foutloze ladder is Rsk = Rpk = R,

enz …

Recursieformules voor de potentialen op de schakelaars:

' '1

''

1

(1 ) ( )

2

kk k k k k k k k

k kk

V V S V V + S V V S V V V =

+

+

= − + = −+

, (8.17)

'1 1 1 1

' '1 1

( )1 ( )2

k k k k k

k k k

V V S V V

V V V

− − − −

− −

= + −

= +

. (8.18)

We vinden dan het verschil tussen de potentialen op de punten k en k’:

' ' ' '1 1 1 1 1 1

1 1( ) ( ) ( ) (1 2 )2 2k k k k k k k k k kV V V V S V V V V S− − − − − −− = − − − = − − . (8.19)

Daaruit volgt, na opeenvolgend gebruik van vgl. (8.19):

A 8-13

'1 1 1 1

'1 1 2 2 2

12 1 1 1

1 (1 2 )( )2

1 (1 2 )( )2

( )

k k k k k k

k k k k k k

i i

V V S S V V

V V S S V V .

. . V V V V S VS

+ − −

− − − − −

= + − − = + − −

= + − =

. (8.20)

We vervangen in vgl. (8.20) de Vk in de eerste lijn door Vk uit de tweede, Vk-1 uit de derde in de tweede,

enz., … en uiteindelijk bekomen we:

11 2 1 3 2 12

1

11

1 1(1 2 ) (1 2 ) (1 2 )2 2

(1 2 )2

k

ik

kjk

j

V S + S S S S S V

S . . . S .

+

−

−−

= − + − − +

+ −Π (8.21)

In feite zet men, om een gegeven waarde tussen 0 en Vi te bereiken, de spanningsvallen over de weer-

standen Rsk waar nodig in serie. Dit gaat bijvoorbeeld als in Fig. 8. 10. Merk op dat er veel verschillen-

de wegen zijn waarlangs V7 kan berekend worden. Het eenvoudigste is de kortste weg te kiezen, star-

tend uit 1 en die enkel potentiaalverhogingen veroorzaakt (zie pijltjes met een staart).

Vi

1 2 3

4 5

6

7V

7?

V '7

S1

= 0 S2

= 0 S3

=1 S4 = 0 S5

=1 S6

= 1

1 1 / 2 1 / 22

1 / 23

1 / 25

1 / 26

1 / 24

Fig. 8. 10. Opbouw van V7: de formule volgt de getekende weg en de pijltjes de een-voudigste.

De grootte van de spanningsval volgt dan uit de reeks ½, ½2, ½3, … Hier is dus:

7 3 4 5

1 1 12 2 2

V = + + . (8.22)

Hetzelfde resultaat volgt uit vgl. (8.21), met S1 = S2 = S4 = 0 en S3 = S5 = S6 = 1 (dik getekende weg):

7 2 4 5 3 4 5

3 5 6

1 1 1 1 1 1( 1) ( 1)( 1)2 2 2 2 2 2

(S ) (S ) (S )

V = + − + − − = + + (8.23)

A 8-14 D.w.z. dat de formule een andere baan kiest dan deze die alleen sommen gebruikt. De coëfficiënten

van de opeenvolgende termen kunnen inderdaad ook negatief worden. In elk geval kunnen op deze

wijze de standen van de schakelaars S1 t.e.m. SN+1 berekend worden voor een gegeven waarde van Vuit.

2.3.2. Foutcorrectie.

De hierboven beschreven ladder heeft nog een merkwaardige eigenschap. Sluit men namelijk slechts

1 schakelaar (Sk = 1) dan bekomt men dezelfde Vuit indien men daarna ook nog Sk-1 = 1 maakt! Inder-

daad uit vgl. (8.23) volgt:

1

1 1 2 1

11 geeft 2

1 1 11 geeft 2 2 2

k k

k k k k k

S

S S

−

− − − −

=

−= = + =

(8.24)

De onderstaande Fig. 8. 11 toont dit eveneens aan. Merk op: die eigenschap enkel geldt voor een deel-

factor 2 per cel.

Vi Vi

Vi / 2

S1

= 0 S2

= 0 Sk

=1 Sk -1

=1 Sk

=1

Vi

2k -1

1

2k-2

1

2k -1

Fig. 8. 11. Twee schakelaarposities die een gelijke deelfactor geven.

Elk verschil dat optreedt bij omschakelen van Sk-1 = 0, Sk = 1 naar Sk-1 = Sk = 1 (alle andere Si = 0),

komt dus voort van een niet correcte deelverhouding 2 in de cel juist voor de schakelaar Sk. Deze ei-

genschap laat toe om de individuele celfouten te meten en er achteraf een correctie voor door te voeren.

Op deze wijze is Hoi Tsao van het Canadese NRCC er in geslaagd een 25 bit ladder te maken, met 1

LSB onzekerheid gelijk aan 10-7 onzekerheid op de 10 V ingangsspanning.

Het spreekt vanzelf dat extreme eisen gesteld worden aan de schakelaars e.d. Indien conventionele schakelaars

toegepast worden moeten de ladderweerstanden rond 100 kΩ zijn opdat een nauwkeurigheid van 10-7 zou kun-

nen worden gehaald. Ook de lekweerstanden naar de aarde toe zijn belangrijk en moeten vermeden worden

d.m.v. guarding. Bij een dergelijke nauwkeurigheid is ook de ingangsimpedantie van het nulinstrument belang-

rijk. Gezien de ingewikkelde bediening en procedure die deze metingen kenmerkt gebeurt de instelling van de

schakelaars, evenals de correctieberekeningen, onder de controle van een microprocessor.

A 8-15 3. Vier-klemmen weerstanden.

Indien uiterste nauwkeurigheid vereist is worden bij de kleine weerstandswaarden 4-klemmen weer-

standen gebruikt. Men kan zich dan terecht afvragen hoe men bij de Hamon opstelling de serie- en pa-

rallelschakelingen kan verwezenlijken zodat de fouten t.g.v. de verbindingen geen rol zullen spelen.

Daarenboven mogen de weerstandswaarden niet worden beïnvloed door de schakelaars wanneer deze

van stand veranderen. Praktisch zal men de weerstanden in serie met elkaar verbinden met 4-klemmen

juncties en kortsluitbaren bezigen voor het parallel schakelen. We zullen dan aantonen dat de fouten

verwaarloosbaar of compenseerbaar zijn.

Men kan zich afvragen of er een algemeen equivalent circuit bestaat voor een geleider van willekeurige

vorm met 4 aansluitingen A, B, C en D. T.o.v. een willekeurig punt P, bijvoorbeeld de aarde, kan men

altijd het stelsel lineaire vergelijkingen (S) met de geleider associeren. De matrix die overeenkomt met

deze vergelijkingen, soms wel de indefiniete matrix genoemd, heeft 16 elementen.

3.2. Model van een 4-klemmen weerstand.

IB

IA

A

B C

D

IC

ID

VD

VA

VB

VC

P

A 11 A 12 B 13 C 14 D

B 21 A 22 B 23 C 23 D

C 31 A 32 B 33 C 33 D

D 41 A 42 B 43 C 43 D

(S)

I Y V Y V Y V Y VI Y V Y V Y V Y VI Y V Y V Y V Y VI Y V Y V Y V Y V

= + + + = + + + = + + + = + + +

(8.25)

Fig. 8. 12. Vierklemmenweerstand en matrix.

Deze elementen zijn niet onafhankelijk, want:

• 4

A B C D1

Uit 0 volgt: 0iki

I I I I Y=

+ + + ≡ =∑ , m.a.w. de som der elementen van een kolom is

nul; het aantal elementen vermindert daardoor met 4.

• In dit lineaire netwerk moet reciprociteit bestaan, dit betekent: Yik = Yki . Dit geeft een reductie

met 6 andere elementen.

In totaal blijven er dus 6 onafhankelijke Y-waarden over. Het moet derhalve mogelijk zijn deze alge-

mene 4-klemmen weerstand te vervangen door een netwerk met 6 onafhankelijke weerstanden. Men

kan dit ook aantonen zonder de matrix te onderzoeken en wel op de volgende wijze. Heeft men een

element met 4 klemmen A, B, C en D dan kan men twee klemmen met een stroombron verbinden en

spanning meten over twee klemmen (al dan niet dezelfde). Het aantal manieren om dit uit te voeren is

A 8-16 echter beperkt. We nemen om dit te beschrijven de volgende notatie aan: een weerstandswaarde Rxyzw

bekomt men door de stroom toe te voeren aan de klem met de eerste letter (hier x) en te laten weg-

vloeien uit deze met de laatste letter (hier w). De spanning (met teken) wordt gemeten tussen de twee

middenste letters, hier y en z. Men deelt dan de spanning door de stroom en dit geeft een weerstands-

waarde Rxyzw.

Voorbeeld: RAABD = spanning tussen A en B gedeeld door de stroom die in A gaat en D verlaat.

Het aantal mogelijke schrijfwijzen is groot maat toch beperkt, namelijk: RABCD, RBBCD, RCBCD,

RDBCD, … Combinaties zoals RDBCD (Fig. 8. 13b) hebben geen belang want de stroom vloeit naar D en

onmiddellijk terug uit D zodat de spanning tussen B en C in elk geval nul is. Op analoge wijze zijn

combinaties zoals RABBD te elimineren. Verder treden een aantal gevallen dubbel op, bijvoorbeeld

RDABC ≡ RCBAD (Fig. 8. 13b).

Fig. 7.16: Elimineren van kombinaties.

(a) (b)

A B

CD

(c) (d)

A AB B

CC

DD

I I

VABVBA

A AB B

CD

I

I

VCD

Fig. 8. 13. Eliminatie van overbodige combinaties.

Tenslotte moet hier eveneens reciprociteit gelden: na verwisseling van spanningsmeter en stroombron

moet het resultaat hetzelfde zijn (Fig. 8. 13c). Al deze reducties leiden uiteindelijk tot het besluit dat

slechts 6 weerstandswaarden kunnen worden gedefinieerd in het model van de 4-klemmen weerstand.

Men kon dit trouwens ook nog vermoeden omdat het mogelijk is om 4 punten met elkaar te verbinden

met 6 weerstanden (Fig. 8. 13d). Deze structuur is in feite een tetraëder met op elke rib een weerstand.

Het is ook nog mogelijk dit algemeen af te leiden uit de veldvergelijkingen die gelden in de 4-klemmen

weerstand.

Searle heeft aangetoond dat het voor de praktijk handiger is om een netwerk met 8 weerstanden als

model te kiezen. Deze moeten dan uiteraard afhankelijk zijn van elkaar (Fig. 8. 14a).

A 8-17

b

a c

1 2 53 4

W 1 % 0,1% 100 10 1 0,1 ppm

D

B

C

IB

X_

W

IA

A

D

B

C

RA

RD

RB

RC

D

B

CA

D

RB

- CD

2 ( C + C D )

RC

- C D

2 ( D+ CD )

2 ( D + CD )

2 ( C + CD )

RA- C D

RD

- C D

A

Fig. 8. 14. (a) Equivalent van 4-klemmen weerstand volgens Searle, (b) Echte weerstand, (c) Praktisch equivalent schema.

Weerstanden toegepast in de precisiemeettechniek of stroomshunts zijn algemeen uitgevoerd als 4-

klemmen weerstand. Men gebruikt dan twee klemmen voor de stroom toe- en afvoer en de andere twee

als meetklemmen voor de spanning. Een stroomshunt kan men meestal voorstellen door een lange reep

metaal met een grote verhouding lengte (L) tot //breedte (W). Dit zal tot vereenvoudiging van het mo-

del leiden. Nemen we als voorbeeld de shunt van de Fig. 8. 14b. We voeren de stroom toe in D en af in

C. De spanning wordt tussen A en B gemeten. De waarde die we aan de shunt toekennen is in dit geval

RDABC. We noemen dit de hoofdweerstand omdat hij de waarde geeft die we nodig hebben om uit de

spanning de stroom te berekenen. Met het equivalent schema uit Fig. 8. 14a. is het gemakkelijk om in

te zien dat deze waarde nog is:

2

DABC( )

2D CDR

C D CD+

=+ +

. (8.26)

Via de veldoplossingen voor die weerstand heeft Searle het verschil berekend dat optreedt wanneer

men de klemmen A en D verwisselt zodat men in feite RADBC bepaalt. Het verschil tussen beide span-

ningen die men zal meten (VAB indien D de ingangstroomklem is, VDB indien A de ingangstroomklem)

hangt af van de verhouding X/W waarin X de afstand AB is en L de lengte DC. De fout bepaald door

Searle is genoteerd op de figuur en men ziet dat voor X/W = 5 deze reeds kleiner is dan 0,1 ppm. Vol-

gens de Fig. 8. 14a. is de overeenstemmende weerstand nog:

ADBCR D C= − . (8.27)

Indien het verschil tussen RDABC en RADBC verwaarloosbaar moet zijn dan kan men RDABC en RADBC van

vgl. (8.26) en vgl. (8.27) gelijkstellen en dan zou C = 0 moeten zijn. De weerstand C noemt men nog

de kruisweerstand. Onder de voorwaarde C = 0 herleidt de Fig. 8. 14a zich tot de eenvoudige

A 8-18 Fig. 8. 14c en deze zal men bijgevolg als model aanvaarden voor een shunt.

Vier-klemmen junctie.

Hoe kan men nu 4-klemmen weerstanden in serie of parallel verbinden? Indien een grote nauw-

keurigheid is gewenst zal men zijn toevlucht nemen tot 4-klemmen juncties. Een 4-klemmen junctie

bestaat uit 4-klemmen die, elektrisch gezien, een gemeenschappelijk punt bezitten. Men bekomt een

junctie wanneer kruis- en hoofdweerstand zeer klein (bijv. < 10-7 Ω) of nul zijn: C = D = 0. Het sche-

ma uit de Fig. 8. 14a wordt dan vereenvoudigd tot dit van Fig. 8. 15a. In dat geval zal er geen spanning

ontstaan tussen B en D indien er stroom van A naar C vloeit en omgekeerd. Deze voorwaarden zijn ei-

genlijk te streng vermits het fysisch onmogelijk is om C en D beide nul te maken. Hoogstens kan men

dit benaderen door een zeer dikke koperen plaat als junctie te nemen.

De voorwaarde van een gemeenschappelijk elektrisch punt kan echter ook nog worden bereikt indien

men de Wheatstonebrug gevormd door de vier centrale weerstanden van Fig. 8. 14a in evenwicht

brengt. Men vindt dan C = D als voorwaarde en automatisch is dan RBACD = 0. Men bekomt dan terug

een equivalent schema volgens Fig. 8. 15a in zoverre dit het gedrag voorstelt van de junctie wanneer

men stroom laat vloeien in AC of BD. Men ziet evenwel dat beide schema’s verschillende resultaten

geven wanneer men bijvoorbeeld RADCB wil meten. Men onthoude dus dat Fig. 8. 15a enkel correct is

indien RABDC of RBACD worden gemeten. De zwakkere voorwaarde C = D vereist dat de potentiaal-

klemmen op een equipotentiaallijn van de stroomvoerende junctie liggen. Er moet dus een zekere sym-

metrie bestaan op de materiele junctie zoals is geïllustreerd met de voorbeelden van enkele praktische

juncties in de Fig. 8. 15b.

ba

B

A C

D

RA

RC

RB

RD

A

C

D

B

A

D

B

C

A B

C

D

120120

Fig. 8. 15. (a) Equivalent schema van een junctie, (b) enkele verwezenlijkingen.

De weerstanden van het junctiemodel van Fig. 8. 15a kunnen eenvoudig bepaald worden door stroom

door de junctie te sturen en de spanning tussen de overblijvende klemmen te meten. Een technische

methode volstaat daar de junctieweerstanden steeds veel kleiner zijn dan de componenten die zij ver-

A 8-19 binden. We tonen nu aan hoe de juncties kunnen worden aangewend.

3.2.1. Serieschakeling van 4-klemmen weerstanden.

Om de totale waarde te bepalen van twee 4-klemmen weerstanden R1 en R2 die men in serie zet d.m.v.

een junctie moet men noodgedwongen het model van de junctie invoeren. Het probleem is dat men niet

beschikt over de gewenste somspanning V12 + V56(Fig. 8. 16). Voor de serieschakeling neemt men als

spanningsklemmen de linkse klem van R1 en de rechtse van R2. De stroomklemmen worden dan aan de

linkse junctie van R1 en de rechtse van R2 verbonden. Met het schema van de Fig. 8. 15a. bekomen we

dan het model voor de serieweerstand. Wil men een spanningsdeler bekomen dan zal men het punt 3 of

4 als deelpunt kiezen. in Fig. 8. 16 nog een junctie toevoegen aan R2 in het punt 6 en men zal als span-

ningsklemmen van R1 de klemmen 1 (links) en 3 (of 4) nemen en voor R2 de klem 5 en de spannings-

klem van de junctie in 6.

Fig. 8. 16. Serieschakeling van 4-klemmenweerstanden d.m.v. juncties.

Als de juncties identiek uitgevoerd zijn zullen zij op de spanningsverhouding van een spanningsdeler,

die men door de serieschakeling opbouwt, weinig invloed hebben omdat enkel de variantie van de

junctieweerstanden een rol speelt.

3.2.2. Parallelschakeling van 4-klemmen weerstanden.

Bij het parallel plaatsen van 4-klemmen weerstanden doet zich hetzelfde probleem voor: hoe kan men

1 stel spanningsklemmen bekomen en hoe wordt de invloed van de draden die de stroomklemmen ver-

binden geëlimineerd? We willen in feite bekomen dat de verhouding van de spanning op gemeen-

schappelijke spanningsklemmen tot de totale stroom te berekenen is uit de noemwaarden van de weer-

standen.

Deze moeilijkheden kunnen worden opgelost door de weerstanden in parallel te verbinden en d.m.v.

weegweerstanden r1, r2, … en nieuwe spanningsklemmen V en V’ te creëren. Zie Fig. 8. 17.

Merkwaardig genoeg zal men zelfs geen kennis moeten bezitten van de weerstand der verbindingsdra-

den zoals uit onderstaande blijkt. Daartoe drukken we uit dat de parallelschakeling zich moet gedragen

als een echte 4- klemmenweerstand:

A 8-20

I1

R1

r1

r '1I

2

r2

I3

R2

r,

2

R3

r3 r '

3

V V '

I1

R1

r1

r '1

I2

r2

I3

R2

r,

2

R3

r3 r '

3

V V '

?

? ?

??

?V1 V

,

1

V2 V

,

2

V3

V,

3

ba

I

I I

Fig. 8. 17. Parallelschakeling van 4-klemmenweerstanden d.m.v. juncties en

weegweerstanden.

1 2

1 2

' '1 1 2 2

1 2

... 1' met en eveneens...

1' ( ...)

ii

ii

I IV V GG G RV V V VV V

R R G

+ +− = =

+ +

− −− = + +

∑ (8.28)

Veronderstellen we de potentialen V1, V2, … en V'1, V’2, … gekend dan kan men V en V' door superpo-

sitie vinden. We stellen daarbij nog ,,

1 1 en i ii i

g gr r

= = zodat:

1 21 1

, ,' ' '1 2

1 2, ,

...

...

i i

i i

g gV V Vg g

g gV V Vg g

= + +

= + +

∑ ∑

∑ ∑

. (8.29)

De gestelde voorwaarde is voldaan indien:

,, ,

1 1 1 1 1,

1 1

of , i i

i i i i i

g gg g G g gg g G G G G G

= = = =∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

. (8.30)

of, ten slotte:

, , ,1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3. . . en . . . R g R g R g R g R g R g= = = = = = (8.31)

M.a.w., uit de kennis van R1, R2, … volgen onmiddellijk r1, r2, … en r'1, r'2, … Men gebruikt nu deze

A 8-21 eigenschap bij de Hamon opbouwweerstand. De serieschakeling gebeurt d.m.v. juncties (Fig. 8. 18a);

bij het parallelschakelen worden kortsluitlatten gebruikt die alle stroomklemmen in parallel zetten

(Fig. 8. 18b). Tezelfdertijd worden de compensatieweerstanden ingeschakeld zodat men nieuwe span-

ningsklemmen V', V bekomt. De serieschakeling laat toe om d.m.v. de spanningsklem op een junctie

elke weerstand R1, R2, … met correctie voor de junctie precies te definiëren. Maar, zolang de juncties

identiek zijn moet men er geen rekening mee houden. Immers, bij het in parallel schakelen worden de-

zelfde weerstanden met juncties gebruikt. Dus zal uiteindelijk de verhouding van de serieweerstand tot

de weerstand van de parallelschakeling alleen bepaald worden door het aantal weerstanden.

Men kan nog opmerken dat de weegweerstanden in het begin en het eind van de parallel keten dubbel

zo groot werden genomen als de tussenliggende die hier alle gelijk werden gekozen. De reden is dat

aan de uiteinden slechts één stroom door de junctie vloeit naar de overeenkomstige weerstand terwijl

voor de andere juncties telkens twee stromen vloeien. Zo vloeit door de eerste junctie enkel I1 maar

door de tweede I1+I2. Algemeen moet men daardoor hebben:

1 2 32 2 . . .nr r r r= = = =

Fig. 8. 18a geeft de serieschakeling; Fig. 8. 18b toont de parallelschakeling d.m.v. kortsluitlatten en de

compensatieweerstanden die de nieuwe spanningsklemmen V en V' bepalen. Fig. 8. 18c toont de origi-

nele junctie zoals die door Hamon ontworpen werd. Doorgaans is n = 11 maar worden er slechts 10

weerstanden in parallel geschakeld. Men verkrijgt aldus een verhouding 10/1 bruikbaar in bijvoorbeeld

een Kelvinbrug. Fig. 8. 18d.

Ten slotte kan men zich nog de vraag stellen hoe een fout op de weerstanden ' '1 2 1 2, , . . . en , r r r r , …

wordt weerspiegeld in het eindresultaat. In de praktijk valt dit zeer goed mee: de vereiste nauwkeurig-

heid waarmee de weerstanden moeten gelijk gemaakt worden blijkt af te hangen van de verhouding der

spanningsvallen over de hoofdweerstanden R1, R2, … tot de spanningsvallen over de stroom-

toevoerdraden. In een typisch geval met R1 = R2 = … = 10Ω vindt men dat een 1% fout op '

1 1, . . . , . . .r r een relatieve fout op de parallelcombinatie van slechts 10-8 veroorzaakt!

A 8-22

b c

d

a

V = V1

V1 R

2R

3R4 R

5V'

3

V2 V3 V4V

5

V '4

V'5 V '

n

R2n

Vn

R1

I

R1 R2 R3

R4

r'1 r '

2

r3r2r1I1 I2 I

3 I4

I

I

V '1

I1

I2

V V '

R

1

2

10

R

R

I

I

2 r

r

2 r

r

r

r

11

V1 V '

1

V '-V =1_

10( V

1- V '

1)

v b. : R = 10

Fig. 8. 18. Methode van Hamon om van serie (a) naar parallelschakeling (b) over te gaan. De Hamon-junctie staat in (c). Gebruik als deelschakeling (d).

A 8-23 APPENDIX I BIJ HOOFDSTUK VIII. VERGELIJKINGSPROCEDURE

Fig. AI-8. 1. Meetsekwentie toegepast in het NPL ter bepaling van RH in eenheden van de NPL bewaar-ohm en de SI Ohm afgeleid uit de berekenbare kondensator. De 1σ gecombi-neerde toevallige en systematische fouten staan rechts aangeduid.

A 8-24 APPENDIX II BIJ HOOFDSTUK VIII. ZELFCONTROLERENDE DELERS.

Methode van A.M. Thompson.

Stel dat voor het vergelijken van twee spanningen men toch gebruik maakt van het klassieke compen-

satorschema waarbij En / Un = R2 / R1. Fig. 8.7. We gebruiken voor de opbouw van R1 en R2 respectie-

velijk een parallel en een serieschakeling van m gelijke weerstanden. De hoger gegeven formule is gel-

dig en er blijft een eerste orde fout:

2 2 2s p p s p

1

1 1 1[1 ( ) ]i i i i i2R r = = + + ... .m m m mR

ε ε ε ε ε∑ − ∑ ∑ − ∑ ∑

We zetten nu de m weerstanden uit de parallelschakeling in serie en deze uit de serieschakeling in

parallel. Men bekomt een nieuwe verhouding:

2 2 2p s s p2

1 1 1[1 hogere orde]2 2 2i i i i

r + r = + + + .m m m mε ε ε ε

′→ ∑ ∑ − ∑ ∑

'2 22

p s s s p' 21

1 1 1[1 ( ) ]i i i i iRr = = m + ...R m m m

ε ε ε ε ε′ + ∑ − ∑ ∑ − ∑ ∑

De eerste-orde termen zijn terug verdwenen en

2n

n

2 orde termen2

eE r + r = = m + .U

′

Nu geldt er nog (we laten de index i weg voor de eenvoud):

2 22 2 2p pp p pp p p

2 22 2 2s s s s s s s s

( ) 2( )

( ) 2( )

= +m = m

= + m = m

ε ε ε εεε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε

∑ − ∑ − ∑ ∑ − ∑ − ∑ − ∑ ∑ −

Dus:

s p 2p s

var. var. 1 fout ( )2 2

i i + R R = + .ε ε−

Dit herleidt zich tot het vorige geval voor εp = εs.

Een nog betere bepaling van de verhouding is mogelijk door de weerstanden in beide netwerken te

permuteren. Men bekomt dan r, r', r" … en het gemiddelde daarvan is nog beter gekend. Dit is echter

zeer tijdrovend en wordt doorgaans niet gedaan. In 1978 ontwikkelde A.M. Thompson (NML te

Australië) een systematische methode om welbepaalde verhoudingen op te bouwen uit nominaal gelij-

ke weerstanden. De fout op de weerstandsverhoudingen is bij deze methode steeds van de tweede-orde.

A 8-25 We zullen hier echter niet op ingaan en geven enkel een voorbeeld (Fig. AII-8. 1).

Bij de Hamonopstelling werd een verhouding m² verwezenlijkt. Met de methode van Thompson kun-

nen met n en m weerstanden de verhoudingen n/m tot n×m gemaakt worden. Neem bijvoorbeeld alle

weerstanden gelijk aan 1Ω in de figuur. Men ziet dat men tweemaal dezelfde verhouding kan bekomen,

nl. RBC /RAB = 3/7 en RAB /RBC = 3/7. Het gemiddelde van die twee verhoudingen blijkt terug een twee-

de-orde fout op te leveren.

a b

A

B C

1

2

3

4

5

6

A

C

B1 2

5

6

3

4

Fig. AII-8. 1. Methode van A.M. Thompson.

A 8-26

APPENDIX III BIJ HOOFDSTUK VIII.

Stuurcode van de schakelaars en effect van de ladderweerstanden

Algemeen kan men de uitgangsspanning schrijven als:

uit i 1 2 3 i( , , , ) met 0 of 1en 0 1.

i V D V D D D . . . V D D

= = =≤ ≤

De waarde die Sj moet aannemen hangt af van de waarde van Dj-1 en Dj. Indien Dj-1 = 0 dan zit Rj-1

bovenaan en Sj=1 maakt Dj = 1. Is Dj-1 = 1 dan wordt Dj = 1 voor Sj = 0. Analoog Dj = 0 indien Dj-1

= 0, Sj = 0 en Dj-1 = 1, Sj=1. Bijgevolg:

1j jj = .S D D −⊕

• De uitgangsimpedantie van de ladder is afhankelijk van de ingestelde Sj waarden. Voor een

ladder met Rs = 100 kΩ kan de uitgangsweerstand schommelen tussen ongeveer 0,5 en 1,5 MΩ.

Hiermee kan de meetfout bepaald worden bij een gegeven detectorcircuit, zodat achteraf cor-

rectie mogelijk wordt.

• In de praktijk kan zo'n Cutkosky deler bestaan uit een 13-bit deler gevolgd door een gewone

12-bit potentiometer. Omdat deze laatste na de LSB stap van de Cutkosky schakeling komt kan

de nauwkeurigheid lager zijn.

Vuit

1 0, 5 0,25 0,125 0,125

Cutkosky S

Fig. AIII-8. 1. Cutkosky deler gevolgd door potentiometer.

A 8-27

Hoofdstuk VIII. Gekwantificeerde Hallweerstand en resistieve delers.

1. De gekwantificeerde Hallweerstand................................................................................... 1

1.1. Principe van de berekenbare condensator. ................................................................. 3 1.2. Vergelijkingsprocedure. ............................................................................................. 6

2. De Josephsonjunctie voor standaardtoepassingen.............................................................. 6 2.1. Vergelijking van Un met En van het Westonelement. ................................................ 8 2.2. Potentiometer. ............................................................................................................ 9 2.3. Binaire weerstandsdelers met eigencorrectie. .......................................................... 11

2.3.1. Verhoudingsberekening. .................................................................................. 12 2.3.2. Foutcorrectie..................................................................................................... 14

3. Vier-klemmen weerstanden.............................................................................................. 15 3.2. Model van een 4-klemmen weerstand...................................................................... 15

3.2.1. Serieschakeling van 4-klemmen weerstanden.................................................. 19 3.2.2. Parallelschakeling van 4-klemmen weerstanden.............................................. 19

Appendix I. Vergelijkingsprocedure

Appendix II. Zelfcontrolerende resistieve delers.

Appendix III. Stuurcode van de schakelaars.

HOOFDSTUK IX. ANALOOG NAAR DIGITAAL OMZETTERS.

Inleiding In dit hoofdstuk willen we enkele principes beschrijven om een analoog signaal om te zetten in een

digitale of (im)puls vorm zodat we de voordelen van een digitale signaalprocessing kunnen

aanwenden. In digitale multimeters willen we eerder op een display onmiddellijk het resultaat van die

omzetting aflezen. De digitale techniek heeft in zeer grote mate de oude analoge methodes verdrongen

als gevolg van een aantal voordelen:

• Grotere nauwkeurigheid: geen afleesfouten, geen mechanische fouten, mogelijkheid tot

zelfkalibratie

• Bedrijfszeker, mits ontworpen voor strenge omstandigheden

• Signaalverwerking mogelijk d.m.v. berekeningen op de resultaten

• Telemetrie mogelijk via een "interface bus". De gegevensoverdracht gebeurt digitaal en dus

storingsvrijer dan een analoge overdracht. Internet monitoring is mogelijk.

Anderzijds vindt men een aantal facetten aan de schaduwzijde:

• Toestellen zijn soms duur als gevolg van "overkill" (teveel functies). In feite is de prijs per

functie nochtans zeer klein.

• Deze overkill komt dikwijls tot uiting in een ingewikkelde bediening, bijvoorbeeld een

complexe menustructuur. Bij gespecialiseerde toestellen zoals de digitale multimeter is dit niet

het geval. Soms is de bediening is uiterst eenvoudig t.g.v. automatische bereikinstelling.

• Netvoeding of een batterij is nodig om digitale multimeters te laten functioneren. Speciaal bij

onderhoud op het veld kan dit problemen veroorzaken indien de batterijen uitgeput geraken.

Een gebruiksduur van 2000 uur is tegenwoordig wel normaal. Daarenboven laat men het toestel

in slaapmode gaan indien het te lang buiten gebruik is. Maakt de meting gebruik van een

draagbare PC dan beperkt de batterij de autonomie tot een 5-tal uren.

In het onderstaande zullen we nauwelijks op de details ingaan, deze behoren immers meer tot het

domein van een cursus "Instrumentatie". Om de analoge grootheden die we meten achteraf te kunnen

bewerken moeten we er een digitale voorstelling van maken. Om dit uit te voeren steunt men op de

volgende principes: vergelijking van een spanning met een referentie, precieze meting van een

tijdsduur, … We tonen hieronder ook nog hoe men tegenwoordig nauwkeurig en zeer eenvoudig de

frequentie van een signaal kan meten evenals de aanverwante grootheden zoals periode, … In elk geval

bespreken we enkel de meest voorkomende types van schakelingen.

9-2

1. Digitale frequentiemeters.

De digitale teller is het hart van alle toestellen die op de een of andere manier een tijdmeting nodig

hebben. Een tijdmeting kan met eenvoudige elektronische middelen zeer nauwkeurig uitgevoerd

worden. Om deze reden tracht men zoveel mogelijk de meting van een grootheid om te vormen tot een

tijdmeting.

1.1. Principe.

Piëzo-elektrische kristallen waarop elektroden opgedampt worden kunnen zich gedragen als L-C

kringen met een uiterst hoge kwaliteitsfactor, bijvoorbeeld 104 of meer. Anderzijds kan de stabiliteit

van de resonantiefrequentie enorm zijn: voor een niet-gethermostatiseerd kristal is een relatieve

stabiliteit ∆f0/f0 per dag van 10-6 haalbaar. Gethermostatiseerde kristallen kunnen 10-11 tot 10-12

stochastische drift per dag vertonen, maar meestal treedt er een extra verouderingsdrift op die een

dagelijkse en lineaire, toename van de resonantiefrequentie f0 veroorzaakt. Deze piëzo-kristallen laten

eveneens toe om zeer stabiele sinus- of blokgolfgeneratoren te ontwerpen. Voor de meest precieze

toepassingen kunnen de klokpulsen afgeleid worden van een cesiumstandaardgenerator zodat absolute

fouten van 10-13 tot 10-14 kunnen worden bekomen.

10

b

a

in pulsvormerP V

poor tt ijd Tm

poor t

MSD L SD

uitlezing

DP

X - talklok -

oscillator1 MHz

10

104

10 10

10 10 10 10

resetpuls

" tr igger " -niveau0,01s 0,1s 1 s

8 8 8 8 88

Fig. 9. 1. Blokschema van een frequentieteller of pulsteller.

Het basiselement van een teller is de pulsdeler opgebouwd met flip-flops. Zie cursus Elektronica.

Digitale tellers waarvan de klok gestuurd wordt door een kristalgenerator vertonen dan dezelfde

nauwkeurigheid en stabiliteit. De Fig. 9. 1 toont het principe van de decimale frequentieteller. Dit

algemeen schema bevat de volgende noodzakelijke blokken: een pulsvormer, een reeks 10-delers met

9-3

een display, een nauwkeurige kristalgenerator die de klokfrequentie fc bepaalt, controlelogica (niet

getekend in de figuur).

De pulsvormer PV zet vooreerst het analoge signaal om in een behoorlijke blokgolf. Men bekomt deze

laatste door in een comparator het ingangssignaal te vergelijken met een (instelbaar) niveau (“trigger-

level” of trekkerniveau). Fig. 9. 1b. Deze pulsen propageren door een EN-poort die gedurende

nauwkeurig bepaalde tijden Tm = 1s / 0,1s / … , te kiezen volgens de telresolutie, open blijft staan. De

poorttijden worden d.m.v. delers uit een "klokgenerator" worden afgeleid. Juist voor het openen van de

poort zal men nog een "reset-puls" genereren dat alle deeltrappen van het tellergedeelte op nul zet. De

uitlezing zal het aantal stijgende (of dalende) flanken afficheren dat het signaal uit PV, binnen de

ingestelde poorttijd, bevat. M.a.w. men zal, gezien de keuze van de poorttijden, op een factor 10n na de

frequentie aflezen. Men kan echter met de poortschakelaar tezelfdertijd het decimale punt DP op de

gewenste plaats van het "display" aanbrengen zodat men rechtstreeks in Hz, kHz, … uitleest.

Men zou kunnen verwachten dat de meetfout enkel door de fout op de frequentie van de oscillator

wordt bepaald. In werkelijkheid speelt ook de afleesresolutie een rol. Onderstaande figuren, waarin

impulsen de momenten voorstellen waarop bijvoorbeeld stijgende flanken in het PV-signaal optreden,

tonen aan wat de aflezing zal zijn voor een poorttijd van 1 s.

Fig. 9. 2. Oorzaak van de ±1 tel fout.

De aflezing wordt enkel bepaald door het aantal impulsen N binnen de poorttijd Tm maar de frequentie

is daar niet eenduidig mee verbonden omdat de posities van het eerste en laatste impuls belangrijk zijn.

Men stelt in Fig. 9. 2 het volgende vast:

• Geval (a): aflezing geeft juiste frequentie weer: f = N

• Geval (b): de poort gaat open juist voor impuls 1, maar N heeft dezelfde waarde. De correcte

frequentie is nu eerder: f = N – 1

• Geval (c): puls 1 op juiste plaats, maar N+1 ligt juist buiten Tm: f = N+1

9-4

Bijgevolg is er een onzekerheid van ±1 tel op de afgelezen frequentie:

1 1N f N− ≤ ≤ + . (9.1)

Het spreekt vanzelf dat men getracht heeft om door allerlei maatregelen deze fout te elimineren.

Bijvoorbeeld: iets beter is het de poort synchroon te openen (juist na impuls 0). Dit geeft

1N f N≤ ≤ + . Statistische uitmiddeling is eveneens mogelijk. De distributie van het openingstijdstip

van de poort is inderdaad constant tussen twee telimpulsen verdeeld. Daardoor zal voor i metingen, die

op het minst significante digit na hetzelfde geven, de gemiddelde waarde giN

fi

= ∑ , de juiste

frequentie beter benaderen. Om een factor 10 te winnen moet men echter 100 metingen uitvoeren zodat

de meettijd sterk toeneemt.

Uit het werkingsprincipe van de teller volgt dat het totaal aantal impulsen gelegen binnen de tijdsduur

dat de poort open staat wordt geteld, en dit onafhankelijk van de absolute positie van de impulsen. De

teller heeft een integrerende werking en die eigenschap zal het mogelijk maken om sommige storingen

die het signaal besmetten te onderdrukken. Dit zal verder worden geïllustreerd.

1.2. Andere toepassingen van de teller.

Zonder veel problemen kan men het circuit aanpassen voor meting van periode, pulsduur, tijdsverschil

tussen twee pulsen, frequentieverhouding van twee pulstreinen.

b

c d

a

klok

fc

10 MHz / 1 MHz /

T

teller

P V

fc

Tptr igger

niveau

t1

t2

T

PV 1

PV 2

S

R

Q

poor ttijd

FF

T1

T2

Fig. 9. 3. (a) Meting van periode, (b) Impulsduur, (c) Tijdsverschil, (d)Frequentieverhouding.

• Periode-meting (Fig. 9. 3a). Het signaal gaat door PV en bepaalt de poorttijd Tm = T. Het

aantal impulsen van de klokgenerator dat de poort passeert is N = T.fc = T /Tc.

9-5

• Pulsduur (Fig. 9. 3b). Men opent de poort op tI en sluit ze op t2. De gemeten pulstijd is niet

correct daar Tp = t2 - t1 van het triggerniveau zal afhangen.

• Tijdverschil tussen twee pulsen (Fig. 9. 3c). Men past twee pulsvormers toe zodat het

tijdsverschil tussen de pulsen de poorttijd bepaalt. Ook hier zullen de triggerniveau's invloed

hebben.

• Frequentieverhouding van twee pulstreinen (Fig. 9. 3d). De stijgende flank van de puls met

laagste frequentie (f1) activeert de poort en de pulstrein f2 gaat door de poort. Bij de dalende

flank sluit de poort, dus: T1 = N T2 of N = f2 /f1.

1.3. Andere fouten bij frequentie- en periodemeting

1.3.1. Frequentiemeting.

Bij een frequentiemeting moet men rekening houden met twee fouten:

• De reeds besproken ±1 tel fout

• De stabiliteit en precisie van de klokgenerator: we associëren daarmee een relatieve fout εc.

Deze fout vindt men terug als een onnauwkeurigheid van de poorttijd Tg.

Vermits men de gewenste poorttijd Tg0 bepaalt door een welbepaald aantal klokpulsen Ng0 door deling

te bepalen. Gaat men uit van een klok waarvan de frequentie de waarde 10n heeft (bijvoorbeeld 1 MHz)

dan zal men door een deling met een factor 10N de ideale poorttijd bepalen zodat Tg0 = 10N / fc0 waarbij

fc0 de foutloze klokfrequentie is.

Bij het aanleggen van een signaal met onbekende frequentie fx zal het ideale aantal pulsen dat de teller

meet gelijk zijn aan Nx0 = Tg0 fx . In werkelijkheid bekomt men:

g0 xx x g

c

1 11T f

N f Tε

= ± = ±+

.

De maximale relatieve fout op de frequentiemeting is dus:

x0 x cc

x0 c 0 x 0 x

1 11f

g g

N NN T f T f

εε εε

−= = ≈

+∓ ∓ .

Het aandeel van de klok is heel klein, bijvoorbeeld 10-5 of 10-6 en zal dus maar meespelen als de

tweede term ook heel klein wordt. Zetten we de relatieve fout uit op een log-log schaal tegenover fx dan

bekomen we dalende rechten. Hoe groter de poorttijd hoe nauwkeuriger de metingen worden. Het laten

toenemen van de poorttijd is maar zinvol zolang εc klein genoeg blijft.

• Het is mogelijk dat de aangeduide frequentie een veelvoud is van de grondfrequentie bij

signalen die sterk schommelen binnen een periode. Zo toont de Fig. 9. 1 dat het aantal pulsen

dat uit de pulsvormer komt zou verdubbelen mocht het trigger niveau ingesteld zijn op de

9-6

kleine schommeling die op dit signaal zit.

1.3.2. Periodemeting. Tijdens een periodemeting worden de fouten bepaald door:

• De ruis aanwezig in het signaal

• De onzekerheid op het omklapniveau van de poort. We verdisconteren dit aandeel in de ruis

van het signaal.

• De ±1 tel fout en de relatieve fout εc op de klokfrequentie

De nauwkeurigheid van een periodemeting kan zeer sterk opgedreven worden als men de duur van n

periodes gaat tellen. De ruis aanwezig op het signaal, mede veroorzaakt door de ingangschakelingen

van de teller, zal een onzekerheid creëren op zowel het starttijdstip als het stoptijdstip van de teltijd.

Kennen we voor een sinusoidaal signaal met effectieve waarde Ex de S/N verhouding En / Ex dan wordt

bij het starten van de teller de verwachtingswaarde van de fout gevonden uit:

x x xx

sin 2πnE t t f tE

ω ω= ∆ ≈ ∆ = ∆ .

Dezelfde fout treedt op het eindpunt waar n perioden zijn voorbijgegaan, zodat de relatieve fout εT op

de n perioden gegeven wordt door: 1 122π π

n nT

x x x x

t E EnT f E n E

ε ∆= × = waarbij Tx = 1 / fx. De ± 1 tel fout

komt rechtstreeks tussen in de bepaling van de tijd nT. Het aantal pulsen van de klok die de teller telt

gedurende de n perioden is op ±1 tel fout na correct, zodat de absolute fout op nT de waarde 1 / fc bezit.

Men bekomt aldus voor de totale relatieve en maximale fout de formule:

n x n

x c x c x

1 1 1 1 1( ) ( )π πT

E f En T f E n f E

ε = + = + .

Voor lage signaalfrequenties overheerst de constante tweede term. Naarmate fx groter wordt neemt de

eerste toe. Wanneer men ook deze fout uitzet tegenover fx dan stelt men vast dat het voordeliger wordt

om vanaf een door de ruis of poorttijd bepaalde frequentie over te gaan op een frequentiemeting. Bij de

lage frequenties is een periodemeting nauwkeuriger. Het aandeel van de kloknauwkeurigheid is

verwaarloosbaar bij periodemeting. Immers, vervangt men fc door fc0 (1+εc) in de foutformule dan

wijzigt dit praktisch niets in het resultaat.

Voorbeeld

In de figuur hebben we de fouten voor een periodemeting en frequentiemeting berekend voor de volgende

gevallen. De signaal tot ruisverhouding is 50 dB, m.a.w. Ex /En = 316, zodat de term En / p Ex = 10-3. De

periodefout is getekend voor n = 1 en 10. De tellerklok werkt op 1 MHz. Voor de frequentiemeting geldt er:

εc =10-6 en de poorttijd bedraagt 0,1 s en 1 s. Door beide fouten gelijk te stellen vindt men de frequentie fbe van

9-7

het break-even punt. Voor n = 1 en Tg0 = 1 s geeft dit ongeveer 620 Hz. Men vindt algemeen voor fbe:

nc

xbe c

2nc g0 c

x

4π 1 12 ( )

π

En Ef n f En f T

n E

ε

ε

− = + − −

.

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07

Signaalfrequentie

Rel

atie

ve fo

ut

n=1

n=10

Tg=1 s

Tg=0,1 s

Fig. 9. 4. Fouten bij frequentie- (stijgend) en periodemeting (dalend) bij de teller.

2. Digitale voltmeters.

De meeste digitale voltmeters (DVM) bestaan uit een omzetter die de te meten spanning omzet in

frequentie of tijd. Enkele types maken gebruik van compensatie. Het onderdeel van de schakeling dat

de conversie van spanning naar de uiteindelijke digitale waarde uitvoert, noemt men de A/D-convertor

of ADC. In de handel zijn er zowel ADC-IC's als complete DVM-IC’s te bekomen. DVM-IC’s kunnen

de uitlezing rechtstreeks aansturen maar zij zijn traag. Omgekeerd is het ADC-IC op zich weinig

bruikbaar voor nauwkeurige spanningsmetingen omdat het geen enkele functie zoals autokalibratie of

schaling kan verrichten. Het genereert daarenboven enkel een digitale code en mist de circuits die

nodig zijn om een uitleeseenheid te sturen. We bespreken hieronder enkele principes.

2.1. Compensatortypes.

Bij de ADC van het compensatortype vergelijkt men de onbekende spanning (eventueel stroom)

met een regelbare spanning afgeleid van een referentiebron. De regelbare spanning wordt

gecontroleerd door de stand van een comparator (= nuldetector).

2.1.1. Mechanische ADC.

Deze voltmeters zijn in feite automatisch bediende compensatoren met mechanische schakelaars.

Niettegenstaande zij voor de praktijk geen belang meer hebben staat hun werkingsprincipe model voor

sommige elektronische AD-omzetters. De nuldetector ND vergelijkt de ingangsspanning Vx met de

9-8

uitgang van een Kelvin-Varley deler KV. De uitgang van ND activeert zowel de bereikschakelaar als

de KV-deler. Fig. 9. 5a. De compensatie kan hier gebeuren door bijvoorbeeld eerst de hoogste digits

een voor een in te schakelen totdat Vp juist groter dan Vx is (stel dat S in de bovenste stand staat zodat

Vx aan de linkerklem van ND ligt). Men vermindert dan deze digit met één en start daarna op dezelfde

wijze de volgende decade, enz… (Fig. 9. 5b). Een klok bepaalt daarbij wanneer geschakeld wordt. De

omzettijd voor een eenmalige omzetting is groot, gemiddeld ongeveer 5 NT voor N digits.

ba

1 V

2

2.1

2.22.3

2.4

3 V

2 V

Vx = 2.45 V

Vx

Vp

K V

deler

bereikschakelaar S

Vr

ND

Fig. 9. 5. Digitale voltmeter met mechanische compensator.

Als dusdanig vindt men dit compensatorprincipe enkel in zeer gespecialiseerde precisievoltmeters

terug. Start men bij elke omzetting met de vorige gevonden waarde dan moet enkel het verschil tussen

nieuwe en oude waarde worden gecorrigeerd. Als dit verschil klein is vraagt dit maar enkele stappen en

gebeurt de aanpassing zeer vlug. Wegens die kleine incrementele omzettijd zijn er ook elektronische

schakelingen uitgedacht die volgens dit principe werken. Zie verder.

2.1.2. Omzetter met opeenvolgende benaderingen.

Deze omzetter (Fig. 9. 6a) bestaat uit een digitaal-analoog omzetter (DAC), een “successief

approximatie register” (SAR) dat een binaire uitgangsbus heeft, en een comparator K. De DAC zet een

digitale code om in een analoge waarde en wordt gestuurd via een bus door de logica in SAR. Aan de

ingang van de DAC komt een binaire waarde (bn …b0). De uitgang van deze DAC is dan meestal een

stroom ID evenredig met de buswaarde (bn … b0): ID = (bn …b0) Ki Vr met Vr een referentiebron.

De comparator vergelijkt Vx met R ID en naargelang Vx groter of kleiner is dan R ID zal de instelling

van de DAC worden aangepast. Als voorbeeld bespreken we de werking voor een 3-bit omzetter

waarvoor R ID de 8 waarden van 0 V t.e.m. 7 V kan aannemen. Veronderstel verder dat Vx = 5,6 V.

Het SAR bevat nu de nodige logica om, op het ritme van de klok, de volgende acties uit te voeren:

• Men start met b2b1b0 = 100 en test of Vx > of < R ID is. Indien Vx > R ID dan wordt tijdens de

tweede fase de waarde b2 = 1 behouden. Indien niet dan maakt men b2 = 0.

• Na deze fase worden b1 en b0 op dezelfde wijze getest.

9-9

• Na 6 fazen mag de conversie stoppen (End of Conversion, EOC) en de digitale benadering van

Vx staat dan op de bus.

Fig. 9. 6. ADC volgens het principe van de opeenvolgende benaderingen.

Het circuitprincipe van de stroom-DAC uit Fig. 9. 6 is vrij eenvoudig, zie Fig. 9. 7. Er wordt gebruik

gemaakt van een R-2R ladder waarvan de weerstanden 2R met de emitters van een aantal als

stroombron geschakelde transistoren verbonden zijn. De emitters E1, E2, E3, … staan alle op dezelfde

potentiaal, nl. VR-Vbe. Daardoor bekomt men collectorstromen I = (VR-Vbe )/ 2R, I/2, I/4, enz… De

elektronische schakelaars b0, b1, … , bn bepalen of deze stromen al dan niet door de DAC-uitgang I

moeten geleverd worden of door de massa die op nul volt staat. Men heeft dus:

D 1 02 2n n n

I II b I b ... b −= + + + , (9.2)

D 1 2 0 1 0 i r

Binair getal

( , ... ) ( , , ... )n n n n n I b b b b I b b b K V− − −= = . (9.3)

9-10

De laatste uitdrukking is enkel geldig indien alle Vbe precies gelijk zijn. Door schalen van de emitter-

oppervlakten in de verhouding 1-2-4- … kan deze voorwaarde vervuld worden (de stroomdichtheid is

dan in alle juncties dezelfde).

ID

Vr

"1" "1"" 0 " " 0 "

bn bn-1

T1

I T2I / 2

Vbe

2 R 2 R 2 R 2 RR R

E1E

2E

3 En

2 R

I / 4Tn +1

Tn

b1b

0

I / 2n

Tn + 2

I / 2n -1

I / 2n -1

En +1

voeding V-

Fig. 9. 7. Stroom-DAC.

Tenslotte, verhoogt men de waarde van de referentiespanning met een bedrag Vbe, dan kan men de Vbe-

fout zelfs elimineren. Teneinde de stroomverhoudingen in de ladder te respecteren moet de laatste trap

een balasttransistor bevatten.

De complexiteit van deze schakeling zorgt er voor dat zij toch wel enkele nadelen vertoont:

• Kleine fouten op de verhoudingen van de ladderweerstanden kunnen bij bepaalde codes de

monotoniciteit teloor doen gaan. Stel bijvoorbeeld dat bij een 8-bit DAC de stuuringang

overgaat van 00001111 naar 00010000 dan worden b0, b1, b2 en b3 omgeschakeld van 1 naar 0

en b4 wordt op 1 gezet. Bij een FS waarde van 2,56 mA stemt 1 bit verschil met 10 µA overeen.

De uitgangsstroom zal dus in het ideale geval moeten variëren van 310 µA naar 320 µA en dit

is nog gemakkelijk haalbaar. Bij meer bits, bijvoorbeeld 12, wordt de stap echter zo klein dat

het mogelijk is dat bij een overgang van 000000111111 naar 000001000000 de uitgangsstroom

daalt i.p.v. stijgt. Dit effect kan de oorzaak zijn van de "missing codes". Wanneer een

dergelijke ADC in een regellus voorkomt kan hij aanleiding geven tot locale onstabiliteiten in

punten waarin de kringwinst van teken omkeert.

• De schakelaars b0, b1, … bn worden uitgevoerd met transistoren. T.g.v. capacitieve effecten kan

bij het schakelen een weinig lading naar de stroomuitgang doorzijpelen.

• Omdat ID maar in één richting (naar T1, T2, … , Tn+1 toe) kan vloeien is de schakeling alleen

bruikbaar voor de omzetting van unipolaire signalen. Is een bipolaire omzetting gewenst dan

kan men het analoge nulpunt d.m.v. een offset spanning halfweg de schaal plaatsen. Men kan

9-11

ook de polariteit van het signaal aanpassen door dit te inverteren of gelijk te richten en een

extra tekenbit toe te voegen die met de polariteit overeenstemt.

In het voorgaande werd stilzwijgend verondersteld dat Vx constant bleef tijdens de omzetting. Is dit niet

het geval dan kunnen grote fouten bij de conversie optreden. Om dit te verhelpen zal men aan de ADC

een monsternemer SH (“Sample-Hold” schakeling) laten vooraf gaan. Het SAR zet dan SH juist vóór

de start van de conversie in "Hold" mode zodat de momentane waarde van Vx aan de ADC-ingang

bevroren wordt gedurende de conversie.

Om dergelijke ADC's volledig in CMOS te kunnen maken is men overgegaan op een geschakelde

condensator architectuur waarbij de condensatorwaarden in verhoudingen 1, 2, 22, … , 2n tot elkaar

staan. Dit vervangt het R-2R laddernetwerk. De ladingsoverdrachten van een trap naar de volgende

resulteren dan in spanningen die telkens met een factor 2 afnemen.

Conversietijd. De conversietijd hangt niet af van Vx. Men moet immers de resolutie bij elke stap met

een factor 2 verbeteren. Indien elke overgang in Fig. 9. 6 bij een klokpuls optreedt dan zijn er algemeen

2N klokperiodes voor de omzetting nodig. Typische conversietijden: 8 tot 10 µs voor een 12 bit

omzetter. De conversietijd is uiteraard technologiegebonden en hij zal in de toekomst zeker nog sterk

verminderd worden. Enkele voorbeelden:

AD7470: 2 MSPS (conversietijd 0,5µs), 10 bit. ADµC812: 8 kanalen, 12-bit, 200 kSPS (dus conversietijd 5µs)

2.1.3. Teller- en servo-omzetters. Vervangt men in het schema van de omzetter met opeenvolgende benaderingen het SAR door een

eenvoudige binaire opteller waarvan de uitgang start op 00…0 en dan bij elke klokpuls met één bit

toeneemt dan zal de comparator omkippen wanneer RID gelijk wordt aan Vx. De stand van de teller is

dan evenredig met Vx en stelt dus de binaire waarde van Vx voor. Dit proces is in feite identiek met wat

bij de mechanische omzetter gebeurt. Wordt de teller bij elke omzetting terug op nul gezet dan spreekt

men van een “teller-ADC”. Behoudt men de stand van de teller evenwel dan zal alleen het verschil met

de voorgaande meting moeten worden toegevoegd of afgetrokken. Men gebruikt daarom een op/neer

teller en de uitgang van de comparator bepaalt nu of men de tellerstand moet verhogen of verlagen. In

dat geval betreft het een “servo-ADC”. De incrementele omzettijd kan bij deze veel kleiner worden dan

bij de omzetter met opeenvolgende benaderingen.

2.2. Spanning-naar-tijd omzetters.

Bij deze omzetters wordt de onbekende spanning getransformeerd in een tijdsduur die ermee

evenredig is. Fig. 9. 8 geeft een circuit voor meting van een positieve spanning. In dit circuit

vergelijkt men de onbekende spanning Vx met de uitgang van een uiterst lineaire driehoeksgolf (of

9-12

zaagtand) met amplitude VM en periode T.

De teller meet dan de tijd Tx waarvoor geldt:

xx x

M

14

VT T VV

= ∼ . (9.4)

ba

referentie

zaagtand -

generator

Vx ( > 0 )

star t

teller

K1

K2

A

klok fc

Vx

0

0 0

K1

K1

K2

K2

VM

A

T/4 T / 2

Tx Tx

Fig. 9. 8. Spanning-naar-tijd omzetter.

Deze Tx verloopt steeds monotoon met Vx. De schalingsfout is bepaald door de onnauwkeurigheid van

VM en de driehoeksgolf bepaalt de niet-lineariteit van de omzetting. De omzetting gebeurt in principe al

gedurende het eerste deel van de zaagtandperiode en is dus kleiner of gelijk aan TM/4. De lineariteit van

de zaagtand wordt bij een analoge generator grotendeels bepaald door de kwaliteit van de condensator

en de bandbreedte van de opamp die voor de integratie van een stroom wordt gebruikt. In de literatuur

wordt deze omzetter een “enkele helling omzetter” genoemd omdat een enkele helling van de zaagtand

volstaat voor de conversie, dit in tegenstelling tot het volgende type.

2.3. Integrerende omzetters.

Dit zijn omzetters die de onbekende spanning op een of andere manier integreren. Het gevolg is dat de

omzetting robuust is tegenover storingen. De lezer kan zelf nagaan wat er gebeurt in de eerder

besproken omzetters indien op de onbekende spanning tevens (im)pulsvormige of sinusoidale storingen

zijn gesuperponeerd. Dit is een veel voorkomend verschijnsel in industriële omgevingen. De

integrerende omzetters zullen in dat opzicht beter presteren maar dit ten koste van omzetsnelheid.

2.3.1. Dubbele-helling (dual slope) omzetter van Fairchild.

Dubbele-helling omzetters vormen de meerderheid van de ADC’s in digitale voltmeters wegens hun

grote storingsvastheid. Bij een dual slope omzetter wordt de onbekende negatieve spanning -Vx

gedurende een vaste tijd T geïntegreerd. De integrator wordt dan terug op nul gebracht door een

9-13

referentiespanning Vr te integreren. De volledige ontlading duurt dan een Tr sec en die waarde wordt

met een teller gemeten. Daaruit volgt tenslotte Vx. De laad-ontlaadgolfvorm is getekend in de Fig. 9. 9.

Uitgangsspanning van de integrator na eerste integratieperiode (t’ = T):

x0 x( ) indien - 0 is.VV T T V

RC= < . (9.5)

Fig. 9. 9. Dubbele-helling omzetter.

We rekenen nu de ontladingsperiode vanaf het tijdstip T totdat vo nul wordt (op t' = Tx):

R0 x 0 x( ) 0 ( ) Vv T V T T

RC= = − , (9.6)

waaruit onmiddellijk volgt:

x xx 0 x R

R R

( ) of tenslotte: RC V TT V T T V VV V T

= = = . (9.7)

Deze techniek van omzetten heeft de volgende voordelen:

• De integratietijdconstante komt niet meer tussen. Impliciet veronderstelt men wel dat de

integratiecondensator zich ideaal gedraagt.

• Nulpuntcorrectie is mogelijk door S in stand 0 te zetten.

• Over 't algemeen is T van de orde 20 ms; dit zal storende 50 Hz componenten in V0

onderdrukken. De grootste waarde van Vx is Vr zodat de grootste totale omzettijd 40 ms

bedraagt.

• De integratietijd T wordt afgeleid uit de klokpulsen van de teller. Dit heeft een ander belangrijk

voordeel:

9-14

Voor een klok met frequentie fc of periode Tc wordt het einde van de eerste integratieperiode bepaald

door een vooraf ingesteld aantal pulsen N te tellen:

CT N T= . (9.8)

De ontlaadtijd hangt enkel af van RC en V0(T); het overeenstemmend aantal pulsen Nx volgt dus uit:

x x CT N T= . (9.9)

Bijgevolg vindt men:

x xT NT N

= . (9.10)

De klokgenerator moet enkel op korte termijn stabiel zijn! Dit laat het gebruik van eenvoudige

generatorschakelingen toe. De tijdconstante van de integrator is eveneens weinig belangrijk, alleen

moet C van zeer goede kwaliteit zijn zodat een lineair spanningsverloop bij het opladen of ontladen

met constante stroom gewaarborgd is. De diëlektrische absorptie moet eveneeens verwaarloosbaar zijn

teneinde geheugeneffecten te minimaliseren. Condensatoren met polipropyleen zijn daarvoor geschikt

en ook deze met SiO2 (geïntegreerde condensatoren). De firma Analog Devices heeft nog een

“viervoudige-helling” omzetter ontworpen die toelaat de invloed van offsetspanning en

polarisatiestroom van de integrator opamp te compenseren. We bespreken deze niet wegens de

complexiteit van zijn werking.

Invloed van storingen, offsetspanning en polarisatiestroom.

Het effect van impulsvormige storingen gesuperponeerd op Vx is gering daar enkel de oppervlakte van

het impuls belang heeft en niet de grootte ervan. Wat betreft sinusoïdale storingen is het gemakkelijk in

te zien dat deze geen effect hebben indien de integratietijd T een veelvoud van hun periode TS is. De

lezer zal zelf deze bewering natrekken voor het geval dat men de te meten spanning voorstelt door

0 ssinV tω+ ∆ . Toon aan dat de maximale fout verloopt als sin xx

waarbij s

π TxT

= . Een gelijkwaardige

manier om dit gedrag te beschrijven is door de “series-mode noise rejection ratio (RSNR)” in te voeren.

Deze is als volgt gedefinieerd:

SNRpiekspanning stoorspanning

foutspanning op uitgang t.g.v. stoorspanningR = (9.11)

Men neemt daarbij terug aan dat de stoorspanning in serie met het gewenste signaal staat.

De dubbele-helling omzetter is zeer goed maar niet perfect: de offsetspanning Vos en polarisatiestroom

Ib van de opamp beïnvloeden de prestaties negatief. Tevens wordt over C een schakelaar geplaatst die

9-15

vo op nul houdt juist voor de omzetting start. Deze schakelaar kan eveneens een geringe lekstroom naar

de niet-inverterende ingangsklem sturen. We zullen deze voor het gemak samennemen met Ib. De

fouttermen t.g.v. Vos en Ib aan de uitgang tijdens de integratie gedurende de tijd t £ T zijn dan:

bos os ent I V + V t

RC C . (9.12)

De uitgangsspanning op t = T wordt dan:

xo os os b( ) ( )V T V T = T + V + V + R I

RC RC . (9.13)

Insgelijks volgt de duur van de ontlaadperiode uit:

R xo o x os os b( ) 0 ( ) ( )x

V T v T V T T V V + R I RC RC

= = + + . (9.14)

Daaruit vindt men, met ε = Vos + R Ib

x x os

x R

x os

R x R R

2

2(1 ) (1 )

T V + V RC = + T V V T

V V RC + + + .V V V V T

εε εε ε

− −

≈ (9.15)

Deze fout kan vrij groot worden indien Vx klein is. Door gebruik te maken van de "quad-slope"

techniek is Analog Devices er in geslaagd om deze fouten aanzienlijk te verkleinen zonder

software in te voeren. Zie Appendix I.

2.4. Spanning-naar-frequentie omzetters.

Een spanning-frequentie omzetter (voltage-to-frequency converter, VFC) genereert een impuls- of

pulsreeks waarvan de frequentie met Vx evenredig is. Het voordeel van een VFC is dat het

uitgangssignaal over vrij lange draden kan verstuurd worden, zelfs indien sterke omgevingsstoringen

aanwezig zijn. Zoals bij de transmissie van digitale signalen kan ook hier de golfvorm gerestaureerd

worden met comparatoren. Daarenboven is het zeer eenvoudig om een galvanische isolatiebarrière aan

te brengen tussen de meetketen en het meettoestel d.m.v. een impulstransformator of optische

koppelaar. We bespreken hieronder enkel de ladingsbalans en de eruit afgeleide ∆-Σ omzetter.

2.4.1. Principe van de ladingsbalans.

Met een opamp wordt een negatieve spanning -Vx geïntegreerd; dit geeft het lineair stijgende verloop

v1(t). Wanneer v1(t) de waarde Vk bereikt, slaat de comparator K om en deze activeert de

impulsgenerator die d.m.v. een constante lading qk de condensator C in zeer korte tijd ontlaadt.

9-16

b

c

d

a

0T

U0

Vk

t

t

uit

U0

Vk

T1 T2

R1

-Vx

C

fuit

Kv1

v1

v1

Vk

qk

R2

T2

VR

impulsgenerator

Fig. 9. 10. Ladingsbalans voor spanning-naar-frekwentie omzetting.

De comparator zal dan terug omkippen en het verschijnsel herhaalt zich. Er komt dus een impulsreeks

uit de comparator met periode T (Fig. 9. 10c). Het verloop van de opamp uitgangsspanning v1(t) tijdens

de stijgende fase kan nu als volgt geschreven worden:

x1 0

1

( ) Vv t t UR C

= + + .(9.16)Omdat er geen dc kan vloeien door de

integratiecondensator moet de lading die er naar toevloeit wegens Vx gelijk zijn aan deze die er door de

ontlading met het impuls qk uitvloeit:

xk

1

V T qR

= . (9.17)

Dit levert onmiddellijk voor de frequentie van het verschijnsel:

x

k 1

1 VfT q R

= = . (9.18)

Bij deze VFC hebben noch C, noch het omkipniveau Vk belang, maar qk en R1 moeten zeer precies

gekend zijn. Het ontladen van de condensator gebeurt volgens dit scenario in een oneindig korte tijd en

dit kan uiteraard maar benaderd worden. De stroom die de opamp kan leveren is immers beperkt tot

een tiental mA. Het is daarom beter om een afgeleide schakeling te gebruiken waarin de ontlaadtijd

eindig maar constant gehouden wordt op een waarde T2. Het ladingspuls wordt in die schakeling

vervangen door een stroom die op zijn beurt van een spanningsreferentie VR en een weerstand R2

afgeleid wordt (Fig. 9. 10a, stippellijn). Het verloop van v1(t) staat nu in Fig. 9. 10d. Men vindt op

dezelfde wijze als hoger:

x 2

R 1

1. .V RfV R T

= . (9.19)

9-17

Absoluut nauwkeurigheid van R1 is niet vereist: het volstaat een zeer nauwkeurige verhouding R2/R1 te

verwezenlijken. De ontlaadtijd T2 kan afgeleid worden van een kristalgenerator alhoewel dit doorgaans

niet wordt gedaan omdat men toch meestal een eindschaalafregeling voorziet, bijvoorbeeld d.m.v. R1.

De referentiespanningsbron VR is een bandkloofreferentie.

De ladingsbalans heeft het voordeel een absoluut monotoon met Vx stijgende frequentie te leveren. Dit

geldt voor alle VFC's. Een merkwaardigheid is dat de conversietijd afhangt van de grootte der

ingangsspanning. Inderdaad, neemt men aan dat minstens één periode van de impulsreeks aan de

uitgang moet gekend zijn om f te kunnen bepalen dan is de kleinst mogelijke conversietijd gegeven

door T = qk R1 /Vx.

2.4.2. Invloed van stoorsignalen op de ladingsbalans.

Een belangrijke vraag die zich hier, en ook bij vorige type omzetters, stelt is: “Wat gebeurt er wanneer

storingen gesuperponeerd zijn op Vx?” Bij de ladingsbalans is de berekening van het effect van

storingen lastig en moeten benaderingen ingevoerd worden om een idee van de afleesfout te bekomen.

We zullen het geval van de ladingsbalans met impulsontlader onderzoeken.

1. We nemen aan dat op de te meten gelijkspanning V0 een kleine sinusoïdale storing gesuperponeerd is

met periode Ts:

x 0 s s s s 0 ss

2π( ) sin ( ) met en v t V V t V VT

ω ϕ ω= − + = . (9.20)

Dit geeft met vgl. (9.17) voor de periode van de impulsreeks:

1 k 1 k ss s

x 0 0

[1 sin ( ) ...]R q R q VT tV V V

ω ϕ= ≈ + + + . (9.21)

Daar Vx periodisch varieert, zal T dit eveneens doen; in principe zou men de eerste orde term van de

overeenstemmende Fourierreeks rechtstreeks uit 1/Vx kunnen berekenen maar in dit geval is er geen

analytische oplossing. We verwaarlozen alle hogere-orde termen en stellen nog:

1 k s0

0 0

V en =V

R qTV

= ∆ . (9.22)

Deze T0 is de periode die zou optreden mocht Vs of ∆ nul zijn. Men bekomt dan voor de vgl. (9.21):

0 s s[1 sin ( )]T T tω ϕ≈ + ∆ + . (9.23)

9-18

2. Indien Vx niet te vlug varieert en ongeveer constant blijft binnen een laad-ontlaadcyclus dan is de

periode Ts van de stoorspanning in feite veel groter dan gelijk welke individuele periode T1, T2, …

Tn, …

De Fig. 9. 11 toont de uitgangsspanning van de opamp als functie van de tijd. De frequentieteller

waarop we het resultaat van de omzetting afficheren zal, binnen een welbepaalde meettijd Tm, het

aantal dalende flanken van de zaagtand in Fig. 9. 11a tellen. Zet men T1, T2, … uit als functie van het

aantal tellen n dat door de teller genoteerd wordt, dan vindt men Fig. 9. 11b waarin T0 de gemiddelde

periode voorstelt (= periode zonder storing of enkel V0).

Men bekomt in dit teldomein:

sn 0 0

0 0

2π[1 sin ( )] met nTT T n N

N Tϕ≈ + ∆ + = . (9.24)

b

a

nX

T0

periode van de stor ing is N0 tellen

T1 T2 T3 Tn

t ijd

tel 1 tel 2 tel 3

Ts

Tm

tel X

Fig. 9. 11. (a) Uitgangsgolfvorm v1(t) van de opamp, (b) Individuele periodes als functie van het aantal tellen.

3. Het enige dat we kennen is de meettijd Tm en de uiteindelijke aflezing X op de teller. De totale

meettijd moet dan gelijk zijn aan de tijd nodig om alle X pulsen te zien voorbijgaan, m.a.w.:

m 0 01 1 0

2πsin ( )X X

n nn n

T T X T T nN

ϕ= =

= = + ∆ +∑ ∑ .

4. De bedoeling is nu de aard van de fout op de meting van V0 te bepalen t.g.v. de aanwezigheid

van Vs. In het geval dat er geen storing optreedt zal men de gewenste aflezing Xid bekomen:

9-19

mid

0

TXT

= . (9.25)

Men leest echter af: m

10 0

2πsin ( )X

nn

TX nT N

ϕ=

= − ∆ +∑ . (9.26)

De relatieve fout op X is dus:

idr

1id id 0

2πsin ( )X

nn

X X nX X N

ε ϕ=

− ∆= = +∑ . (9.27)

5. Om de reekssom te bepalen in vgl. (9.27) kan men bijvoorbeeld overgaan naar een complexe notatie

van de sinus en dan bekomt men een meetkundige reeks. Een andere methode is de trapeziumregel te

gebruiken en over te gaan naar de integraal. Deze wijze van werken laat andere functies dan de sinus

toe:

1

(1) (2) (2) (3) ( 1) ( )( )d [ ... ]2 2 2

(1) (n)( )2

b

an

i

b a f f f f f n f nf x xn

f ff i=

− + + − +≈ + +

+= −

∫

∑ (9.28)

Men merke op dat (b-a) / n = 1 is. Daaruit volgt de relatieve fout:

00 0r

id 0 0

0

id 0 0

2π 2πsin ( ) sin ( )2π 2π[cos( ) cos( )]

2 2π

2π 1 πsin ( ) cos ( 1) ( 1) .2 π

n n

N n

n

n XNN N X

X N N

X NX XX N N

ϕ ϕε ϕ ϕ

ϕ

+ + + ∆ ≈ + + − +

∆ += + − + −

(9.29)

Wil men met enige nauwkeurigheid meten dan moet X » 1 zijn. Daarenboven is N0 » 1 wegens de

veronderstelling onder 2. We mogen dus de eerste cosinusterm van de laatste lijn weglaten:

0r

id 0 0

π πsin ( ) sinπn

N XXX N N

ε ϕ∆≈ + . (9.30)

De maximale fout treedt op indien de factor met sinus toevallig maximaal is:

0

π π met 1,3,5, ...2n

X k kN

ϕ+ = = (9.31)

De maximale relatieve fout is dan: 0r

id 0

πsinπN X

X Nε ∆≈ . (9.32)

9-20

Nu geldt er nog volgens vgl. (9.24): N0 = Ts /T0 en volgens vgl. (9.25): Xid = Tm /T0 . Eveneens mag

men min of meer aannemen dat X ≈ Xid indien de storing niet te groot is.

1 2 3 4 5

^r

Tm

Ts

Fig. 9. 12. Maximale fout als functie van Tm /Ts .

Bijgevolg:

mr

s

sin π met x Txx T

ε ≈ ∆ = . (9.33)

Deze foutfunctie staat geschetst in Fig. 9. 12. De storing zal geen invloed hebben indien Tm een

veelvoud van de storingsperiode Ts is; in de nulpunten is daarenboven X = Xid.

In vgl. (9.29) werd de cosinusterm verwaarloosd t.o.v. de sinus, niettegenstaande deze laatste kan toch

kan verdwijnen in enkele punten. Dit gebeurt een eerste maal voor X01=N0 + 1; de cosinusterm is

daarbij -1 daar dan π /(Xo1-1) / N0 = π. Van zodra we echter iets afwijken van X01 verandert de toestand.

Stel dat X01 zou over ∆X01 toenemen, dan geeft de reeksontwikkeling rond X01 van de term binnen de

haken in vgl. (9.29):

sr 0

m

(1 )π

T XT

ε ∆≈ − + ∆ . (9.34)

Van zodra we voldoende tellen van X01 afwijken, bijvoorbeeld voor X0 ∆ = 10, wordt de sinusterm

overheersend.

De uitdrukking van de fout toont grote overeenkomst met wat men vindt bij de eenvoudige dubbele--

helling omzetter. Dit kan worden verklaard aan de hand van de Fig. 9. 13 (rechts) waarop men toont

wat er bij deze laatste gebeurt met de geïntegreerde onbekende spanning in aanwezigheid van een

sinusoidale storing.

Anderzijds hebben we in de linkse figuur ook de sprongen ∆U opgeteld die optreden in de

ladingsbalans en op de horizontale as de overeenstemmende individuele periodes en tellerstand

geplaatst. De afhankelijkheid van deze periodes van de storingen maakt dat men een gelijkaardige

9-21

curve bekomt als voor de dubbele helling omzetter. Dit verklaart waarom de formules voor storingsfout

gelijkaardig zijn.

U

UUU3

3 4 5

t

2

210

Start teller

U . U= X

XX0N

(periode storing)Ts

(meettijd)Tm

Telleraflezing

Fig. 9. 13. Links: ∆U gesommeerd over de tijd. Boven: de uitgang van de integrator van de dubbele helling omzetter.

Voorbeeld.

Stel dat de VFC een volle-schaalfrequentie van 100 kHz bij 10 V input vertoont. Storingsamplitude 1 V, Ts = 20

ms. Te meten spanning: 5 V. We gebruiken een teller met 5 digits resolutie (max. 99.999) zodat de maximale te

meten spanning 9,9999 V bedraagt. De overeenstemmende meettijd Tm » 1 s = 1000 ms. De periode T0 zou bij

V0 = 5 V, 20 µs bedragen. Het aantal tellen dat tijdens een storingsperiode Ts voorbijkomt is N0 = Ts/T0 = 1000.

Omdat Tm /Ts = 50 zal er geen fout optreden.

Stel nu dat Ts = 60 ms (afkomstig van 16 2/3 Hz) dan is Tm /Ts = 16,6 en ∆ = 0,2. De maximale fout is dan:

rsin π.16, 6

20 0, 336%π.16, 6

ε == .

Wil men de meting versnellen, bijvoorbeeld door de resolutie met 1 digit te verlagen en een volle-

schaalfrequentie van 10 kHz te nemen, dan neemt de fout toe tot 3,36 %.

2.4.3. De delta-sigma omzetter.

De delta-sigma omzetter werd uitgedacht in de jaren 1970 maar is rond 1990 als IC op de markt

gebracht dank zij de ontwikkeling van zeer complexe gemengde analoog-digitaal schakelingen. De ∆-Σ

omzetter is in feite een verfijnde ladingsbalans die gebruik maakt van overbemonstering en digitale

9-22

filtering. Resoluties van 18 of 20 bit zijn gemakkelijk haalbaar en de ∆-Σ omzetter is absoluut

monotoon en kent in principe geen "missing" codes.

2.4.3.1. Principe van de ∆ −Σ omzetter.

Bij de gewone ladingsbalans is de uitgangsfrequentie recht evenredig met Vx. Bij de ∆-Σ omzetter

bepaalt een klok op zeer hoge frequentie het gebeuren en de uitgangsgrootheid is een impulsreeks die

rechtstreeks toegevoerd wordt aan een digitaal filter om verder te bewerken. Het uiteindelijke resultaat

van de omzetting staat ter beschikking op de uitgang van dit digitaal filter. De Fig. 9. 14 geeft het

blokschema van het “modulatordeel” van deze omzetter.

Fig. 9. 14. Modulator van ∆-Σ omzetter.

De onbekende spanning Vx (hier > 0 omdat we met een positieve VR werken) wordt vergeleken met de

uitgangsspanning van een 1-bit DAC die +VR of 0 V aflevert op het ritme van de klok en naargelang de

comparator op 1 of op 0 stond in de voorgaande klokcyclus.

Voor de eenvoud kiezen we de integratietijdconstante precies gelijk aan de kloktijd Tc zodat op het

einde van elke klokcyclus geldt:

2 11

( ) ( )n

n ii

V V=

= ∑ . (9.35)

De uitgangsspanning van de differentiaalversterker (met versterking 1) is:

1 1 x R( )n nV V K V+ = − . (9.36)

Kn is de logische waarde overeenstemmend met V2 voor het klokpuls n: Kn = 1 voor V2 > 0, Kn = 0 voor

V2 ≤ 0. We gaan na met een voorbeeld wat er gebeurt met Kn: we kiezen VR = 1 V en Vx = 0,6 V. We

nemen aan dat in cyclus 0 de integratoruitgang juist positief geworden was, dus K0 = 1. Men ziet dat

het pulsenpatroon Kn zich periodiek herhaalt (10101) vanaf klokpuls 2 in dit speciale geval. De reden is

9-23

dat we een onbekende spanning hebben gekozen die kan voorgesteld worden met een eindig aantal

decimalen. In het algemeen zal dit niet het geval zijn en zal er dus een niet exact repeterend patroon

ontstaan.

Klokpuls V1 V2 Kn

0 0,6 0+ 1 1 0,6-1 = -0,4 -0,4 0 2 0,6 +0,2 1 3 0,6-1 = -0,4 -0,2 0 4 0,6 +0,4 1 5 -0,4 0 0 6 0,6 0,6 1 7 -0,4 0,2 1 8 -0,4 -0,2 0

Wegens de integrator gedraagt deze schakeling zich eveneens als een PI-regelaar. Omdat de PI-regelaar

als eigenschap heeft dat er geen statische fout kan overblijven moet de gemiddelde waarde van V1 naar

nul evolueren. Ware dit niet zo dan zou immers V2 blijven dalen of stijgen tot de integrator satureert.

De tegenkoppeling via de 1-bit DAC verhindert dat dit gebeurt. Bijgevolg moet:

x Rlim ( ) 0nnn

V K V→∞

− =∑ . (9.37)

Daaruit volgt onmiddellijk:

xx n R R

R

1 of n nn

VV K V V K Kn V

= = =∑ . (9.38)

Uit de tabel volgt dat de gemiddelde waarde van de uitgang van de 1-bit DAC of nK inderdaad

0,6×VR is. Legt men een teller aan de comparatoruitgang dan zal die de sequentie

10101 10101 10101… binnenkrijgen. Op een meettijd van 1000 klokpulsen zal de teller een 600 tellen

sommeren en aanduiden. Hij afficheert dus het gemiddelde van Vx met een resolutie 10-3. Zoals men

kan verwachten stijgt de resolutie naarmate de meettijd groter wordt gekozen.

Bij de huidige ∆-Σ omzetters zal men gebruik maken van digitale filters om het resultaat als woord van

een bepaalde bitlengte te genereren, bijvoorbeeld N. Om dit mogelijk te maken moeten N 1-bit

monsters op de gepaste wijze worden gesommeerd in het filter. D.w.z. dat elke nieuwe uitgangswaarde

van het filter slechts na N klokpulsen beschikbaar is. Deze reductie noemt men decimatie.

Bijzonder geval van decimatie.

Door een lopend gemiddelde te nemen, d.w.z. door N-1 oude bits te sommeren met een nieuw, zal geen

decimatie optreden maar men heeft wel een uitmiddeling. M.a.w. de decimatiefactor kan tussen 1 en N

9-24

liggen. De keuze en ontwerp van het digitale filter worden bepaald door de vereisten die men aan de

omzetter stelt op gebied van S/R verhouding.

Noodzakelijkerwijze bestaat er dus een verband tussen de omzetresolutie en omzettijd in dit systeem.

Uit het voorbeeld ziet men dat voor een gewenste resolutie van 10-3 er minstens 1000 klokpulsen

moeten verlopen. Het grootste aantal zinnige bits dat het digitale uitgangsfilter zal kunnen genereren na

die 1000 pulsen is ongeveer 10 (210 = 1024 » 1000). Om de resolutie op te drijven is men verplicht de

meettijd te verlengen of de klokfrequentie op te drijven. Men ziet dan ook dat de ∆-Σ omzetters met

een zeer hoge kloksnelheid werken (bijv. 1 Ghz) in het geval een grote omzetsnelheid is gewenst (o.a.

bij sommige geluidskaarten).

2.4.3.2. Ruis en kwantisatiefout van de ∆ −Σ omzetter.

Een volledige uitleg van het ruisgedrag van deze speciale ADC zou ons te ver voeren. We houden het

hierbij dan ook bij een vereenvoudigde uitleg. Een deel van de ruis die aanwezig is in het digitale

uitgangssignaal van een ADC waarin een DAC wordt toegepast (dus ook bij de successieve benadering

DAC) is een gevolg van de kwantisatie in de DAC. We onderzoeken het volgende schema waarin een

ideale ADC en DAC na elkaar worden geplaatst. Ware het aantal gegenereerde en omgezette bits van

beide oneindig dan zou het volstaan dat het bemonsteringstheorema is voldaan opdat de uitgangs-

spanning V0 een getrouwe weergave zou zijn van het ingangssignaal Vx.

ADCxV

RV

NkD

R0 kV = VD

k1D

DAC

Fig. 9. 15. Ideale ADC gevolgd door een ideale DAC.

De DAC genereert een N-bit uitgangswoord bij de ke omzetting met een binaire waarde 0,D1kD2k...DNk

waarbij alle Dik kunnen 0 of 1 zijn. De overeenkomstige digitale waarde is:

1 21 22 2 ... 2 N

k k k NkD D D D− − −= + + + .

Noemt men VFS de volle-schaalwaarde van Vx dan is de grootte van de kwantisatiestap VFS /2N. Ten

opzichte van de gemeenschappelijke ADC en DAC referentiespanning VR is de relatieve kwantisatie-

stap dan FS

R2N

VqV

= .

9-25

Indien de volleschaalwaarde gelijk is aan VR wordt q = 2-N. Soms drukt men q uit in volt en dan wordt

in feite 2-NVR bedoeld. De DAC converteert het digitale woord terug in een analoge grootheid (meestal

spanning, soms stroom) en dit geeft Vo = Dk VR. In het ideale geval wenst men dat x oV V≡ . Dit is niet

het geval want de kwantisering veroorzaakt een onzekerheid op de uitgangsspanning Vo. Immers, een

welbepaalde uitgangsspanning Vo = Dk VR kan voortkomen van elke ingangsspanning die ligt binnen

het discretisatie-interval.

x

0

0

0KV

V V

xV10

V

QE

20V

RVq 1

R( ) VqK+

RVqK1

R( ) VqK-

---

2R

qV

Fig. 9. 16. Verband tussen in- en uitgangsspanning voor het systeem van Fig. 9. 15

Om dit aan te tonen volstaat het om het verband tussen Vo en Vx te tekenen (Fig. 9. 16). De

uitgangsspanning Vok bijvoorbeeld kan voortkomen van elke waarde Vx die ligt in het interval

k q VR± VR (q/2), of nog:

R x R1 1( ) ( ) met 1,2, ...2 2

k qV V k qV k− ≤ < + =

De uitgangsspanning Vo is dus gelijk aan Vx op een kwantisatiefout QE na: QE = Vo – Vx. Vermits men

geen kennis heeft van Vx maar wel beschikt over Vo moet men aannemen dat elke waarde van Vx

binnen het interval even waarschijnlijk is als oorzaak voor Vo.

Prob. dichth. Q van QE

0

2N-1

VR

VR2N

q

qVR- q

2

+ q

2

Fig.9.17. Distributie van QE en omzetting van een volle-schaal sinus.

9-26

Beschouwt men in dit interval Vx als een stochastische veranderlijke met een constante

waarschijnlijkheid van optreden dan kunnen we een waarschijnlijkheidsdichtheid p(Vx) definiëren

waarvoor geldt:

R x R1 1W( d ) p( )d voor ( ) ( )2 2x xV V V V V V k qV V k qV≤ ≤ + = − ≤ < + . (9.39)

De waarschijnlijkheid om Vx in het interval te vinden is 1. Daaruit volgt Rp( ) 1/xV qV= . De spreiding σ

van deze distributie is nog:

2

2 Rx x

( )( ) ( ) d12

qVV p V Vσ µ= − =∫ . (9.40)

Men kan dit nu uitbreiden voor het volledige interval (0, VR). Veronderstel dat Vx stochastisch varieert

in de tijd. Bij elke omzetting komt men in een der intervallen terecht. De kwantisatiefout blijft bestaan

bij elke omzetting en deze fout zal als een soort ruis op het uitgangssignaal terug te vinden zijn. Men

zal dan dezelfde spreiding vinden als hierboven en deze geeft onmiddellijk de effectieve waarde van de

kwantisatieruis. Stel dat

1Rx R

2 (1 sin ) 2 (1 sin )2

NNqVV t qV tω ω−= + = + ,

zodat het volledige interval (0, VR) doorlopen wordt. De gemiddelde waarde van de kwantisatiefout zal

nul zijn en de effectieve waarde ervan is σ of q VR /12. De effectieve waarde van de sinusspanning

bedraagt 1R2 / 2N qV− met een kwantisatiestap qVR volt. De signaal-tot-ruisverhouding S/N is dus:

1dB 1R

R

S 2 12( ) 20log . 20 log 2 6N 26,02 1,76dB.

NNqV

qVN

−−= =

= +

(9.41)

Vermits bij de ∆ −Σ omzetter een 1-bit omzetter is toegepast is de S/N verhouding zeer laag, namelijk

slechts 7,78 dB. Maar, dit is zonder rekening te houden met een eventueel digitaal filter dat met de

uitgangsimpulsreeks wordt gevoed. Dit filter kan de uiteindelijke S/N verhouding vergroten omdat het

spectrum van de kwantisatieruis kan worden verzwakt. Er kan worden aangetoond dat het spectrum

van de kwantisatieruis uniform verdeeld is tussen 0 en ½ fs (de halve klokfrequentie).

Wat er precies gebeurt is niet gemakkelijk in te zien maar het gelineariseerd analoog model van

Fig. 9. 18 geeft een redelijke voorstelling geeft van de werking in het frequentiedomein van de ∆ −Σ

omzetter. Dit model is slechts een benadering en het is niet altijd geldig maar het volstaat voor onze

9-27

doeleinden. De kwantiseringsfout wordt in dit schema opgeteld bij het integratoruitgangssignaal en Duit

is de analoge voorstelling van het omgezette signaal.

Vx

+ +

-

QE

D ui tK

s

Fig. 9. 18. Gelineariseerd analoog model van de ∆ −Σ omzetter.

Men ziet:

Euit x x E

1 1

KQ ssD V V QK K K

s s

= + ≈ ++ +

. (9.42)

De uitgangsspanning Duit stelt wel degelijk Vx voor, maar interessant is dat het ruisspectrum werd

vermenigvuldigd met het omgekeerde van de integratortransfer. De ruiscomponenten zijn dan het

sterkst bij hoge frequenties maar verdwijnen in de buurt van ω = 0 wegens de s/K. Men zal nu enkel

signalen Vx toelaten die een hoogste frequentie B bevatten en waarbij B << ½fs. Het digitale filter wordt

dan zo ontworpen dat het alleen de componenten binnen een frequentieband (0, B) doorlaat en deze die

hoger liggen zoveel mogelijk onderdrukt. De S/N verhouding die aan de uitgang van dit filter optreedt

neemt daardoor zeer sterk toe. Men ziet dan ook het belang in van een hoge klokfrequentie.

Wanneer het ingangssignaal periodiek is zal de kwantiseringsruis ook periodieke componenten

vertonen op bepaalde frequenties t.g.v. aliasing. Om die discrete spectraallijnen te omzeilen kan men

ze trachten uit te smeren over een bredere band. Dit is mogelijk door eenvoudigweg bij Vx een kleine

ruisspanning met wit spectrum op te tellen (“dithering”) zodat de niveau-overgangen min of meer

willekeurig zullen worden. Dit ontcorreleert de kwantisatieruis golfvorm en elimineert de storende

pieken. De totale S/N verhouding daalt daardoor iets. De kleine ruisspanning kan door een speciale

diode worden opgewekt.

Bij praktische omzetters zal men dikwijls de integrator vervangen door een integrator van een hogere

orde. Dit verbetert het ruisgedrag, maar het wordt wel moeilijker om de schakeling stabiel te houden.

Verder worden doorgaans FIR-filters toegepast voor de decimatie. Soms wordt er ook een meer-bit

DAC gebruikt om QE te verkleinen maar dit gaat ten koste van omzetsnelheid. Tenslotte moet men

vóór de omzetter het signaal nog door een anti-aliasfilter sturen omdat eventuele signaal- en

9-28

ruiscomponenten van Vx rond de veelvouden van de bemonsteringsfrequentie eveneens een bijdrage

aan het omgezette signaal kunnen leveren. Wegens de zeer hoge overbemonstering (bijvoorbeeld 500

maal) volstaat meestal een passief RC-filter.

Toepassingen.

De ∆-Σ omzetter wordt vooral toegepast daar waar de AD-conversie zeer lineair moet zijn. We geven

een enkel typisch voorbeeld uit het gamma van de firma CRYSTAL Semiconductor.

CS5324: 120 dB dynamisch bereik mogelijk, 256 maal overbemonsterd, dc-500 Hz ingangsbereik. Een

ingebouwd FIR-filter decimeert de uitgang zodat 32000 omzettingen per sekonde gebeuren. De decimator is een

vierde-orde (sinx)/x filter waar een 12 bit woord uitkomt. Wil men het grote dynamisch bereik van 120 dB

verwezenlijken dan moet uitwendig een tweetraps digitaal filter worden toegevoegd (DSP, ASIC, …). De eerste

trap decimeert met 8 (dit geeft dan 4000 omzettingen/s) en de laatste met 4 zodat er uiteindelijk 1000

omzettingen/s overblijven. Het databoek geeft de ontwerpvereisten van het filter. In deze configuratie kan het IC

toegepast worden bij seismische detectoren of bij sonar.

3. Kalibratie van een dc-meter.

Niettegenstaande ADC’s onder een of andere vorm een referentie bevatten bekomt men nooit de

uiterste precisie omdat er bijvoorbeeld extra spanningsdelers voor schaling nodig zijn. Daarom zullen

precisiemeters altijd een kalibratie nodig hebben, zelfs indien hun referentie 100% nauwkeurig zou

zijn (en blijven).

Moderne DVM's kunnen, via de bus, gekalibreerd worden door gebruik te maken van een

programmeerbare dc-kalibrator. Deze kalibrator is in feite een nauwkeurige en digitaal instelbare dc-

spanningsbron.

ER

1

0

S

laag -

door laatfilterE

kal

stur ing Ta

ER

M - DAC

bn b0

Ekal

IEE E

bus

naar PC

b

ER

Ta

T

Ekal

t

c

a

Fig. 9. 19. Kalibratie d.m.v. M-DAC (a) en pulsbreedte-modulatie (b).

Kalibrator en meettoestel kunnen via een bus communiceren met een PC. Op deze wijze worden

nulpunts- en lineariteitsfouten, evenals de schaalfactoren van de DVM gecontroleerd. De kalibrator

9-29

bevat altijd een stabiele Zenerreferentie (stabiliteit 1 ppm over enkele maanden) die een spanning ER

levert. Daar men hiervan spanningen met zeer grote resolutie wil afleiden zal men een potentiometer

nodig hebben. De mechanische KV-delers zijn hiervoor wegens hun prijs, gewicht, bediening, … niet

bruikbaar.

In principe kan een zogenaamde vermenigvuldigende DAC (M-DAC) aangewend worden om Ekal uit

ER te bekomen (Fig. 9. 19a). Deze bestaat uit een digitaal controleerbaar R-2R laddernetwerk dat

waarmee men ER nauwkeurig verzwakt. Het grote aantal schakelaars dat hierin zit blijft echter een

nadeel. In de kalibrator van de firma Datron gebruikt men daarom de pulsbreedte modulatie techniek:

Fig. 9. 19b.

Men schakelt daarin S met vaste frequentie 1/T, maar de verhouding Ta /T is digitaal instelbaar met

grote resolutie. De gemiddelde component die op de ingang van laagdoorlaatfilter komt heeft de

waarde

akal R

TE ET

= . (9.43)

Het filter elimineert de ac-componenten en laat voornamelijk de gemiddelde component Ekal door. Bij

Datron combineert men de uitgangsspanningen van twee dergelijke blokken. Het eerste heeft een

resolutie van 1/104, het tweede 1/103. De uitgang van het tweede filter wordt echter met een factor 104

verzwakt. De totale resolutie wordt daardoor 10-7. De schakelfrequentie voor dit specifieke geval

bedraagt 1/T = 1,25 MHz.

9-30

Appendix I. De quad-slope techniek van Analog Devices.

De “quad-slope” techniek laat toe om de fout van de dual slope omzetter nog te verkleinen. We

illustreren dit aan de hand van het principeschema van de AD7550.

R1

C1

Vx

VR1

S3

S2

S1

VR2

VS

S0

VC

komparator

logicaV0

Va

V0

Faze 0 Faze 1 Faze 2 Faze 3 Faze 4

T1 = K1TCT2 = ( K1+n)TC

0 t0 t1 t 2 t3

t4

K1TC

4 K1TC

S0

S1

S2

S3

1

1

1

1

1

0

0 0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

00

T0 = RC

Star t teller C1

Star t teller C2

Star t teller C3

De referentiebron VR2 wordt afgeleid van VR1 d.m.v. een weerstandsdeler met deelfactor 2, bijgevolg is

VR2 = ½ VR1. T.g.v. Vos en Ib is de spanning op de sommeerjunctie:

S R2 os b R112

V V V R I V ε= + + = + .

Een volledige meetcyclus bestaat uit 5 fazen. Vóór de conversie start is S0 dicht en V0=VS.

9-31

Faze 0: resetfase, S2 dicht.

Over C staat geen spanning bij de start van faze 0, zodat :

o R1 S S1 ( )v V V t V

RC= − − + .

Deze vo wordt nul na een tijd gegeven door:

R1S

0R1 S

R1

12

1V2

VVT RC RC R CV V ε

= = ≈− −

.

Op de condensator staat vo(t0)-VS of -VS. Wanneer vo=0 wordt start men twee tellers C1 en C2 die de

respectievelijke aflezingen K1 en K2 zullen aanduiden. Tevens gaat S2 open en S1 dicht.

Fase 1 : integratie van de spanning Va (>> 0) op de analoge aarde. Deze integratie neemt een vaste tijd

T=K1 Tc in beslag, bepaald door de teller C1 en de klokperiode Tc. Met de tijdsoorsprong in t0 wordt de

integratoruitgangsspanning op t1 = t0 + T1 :

o o 1 S S a S 11( ) ( )V v t V V V V T

RC= = − + − −

Op het einde van fase 1 gaat S1 open en S2 dicht; de condensatorspanning bedraagt dan:

C a S 1 S1 ( )V V V T V

RC= − − − .

Fase 2 : integratie van VR1 totdat v0 = 0 wordt op t2 = t1 + T2

o 2 C S R1 S 2

C S S a2 1

R S R1 S

1( ) 0 ( )v t V V V V TRC

V V V VT R C TV V V V

= = + − −

+ −= =

+ −

Indien er geen fouten zijn, m.a.w. Va = 0 en VS = ½ VR1 dan is T2 = T1. Is dit niet het geval dan wordt

T2:

R aa

2 1 1

R1 R1 R1

12 ~ (1 ) (1 )1 1 1

2 2 2

V V VT T TV V V

ε ε ε

ε

+ − −= ≈ + +

−

We voeren voor de eenvoud de parameter α = 2 ε/VR in en voeren benaderingen door tot de orde α2.

9-32

2a2 1

R

2a1

R

~ (1 2 ) (1 . . .)V

[1 2 2 (1 . . .)V

VT T

V T

α α α

α α α

≈ − − + +

≈ + − + +

De stand K2 van de teller C2 is dus iets verschillend van K1:

a2 1 1

R

met [2 2 (1 )]VVK K n n Kα α= + = − + .

De momentele condensatorspanning bedraag VC = - VS.

De derde fase wordt ingeleid door S2 te openen en er wordt tevens een derde teller (C3) gestart die men

vanaf de volleschaal waarde (25.600 tellen) laat aftellen.

Fase 3 : S3 dicht, dus integratie van Vx. Men integreert nu totdat teller C2 juist aan 4 K1 tellen komt, dus

een tijdsverloop 4 K1 TC.

x So S 3 2 S( )V VV V t t V

R C−

= − − − +

Het tijdsverschil t3 – t2 is bepaald door de voorgaande gebeurtenissen:

3 2 1 C 1 C 1 C

1 C

4 [ ( ) ](2 )

t t K T k T K n TK n T

− = − + += −

Nu opent S3 en sluit S2 nogmaals.

Fase 4: S2 terug dicht. Integratie van VR1 totdat vo nul wordt op t4.

x S R1 SS 1 C 4 3 S

S x S x4 3 1 C

R1 S R1 S

0 (2 ) ( )

of (2 ) (1 )

V V V VV K n T t t VRC RCV V V Vt t K n TV V V V

− −= − − − − − +

− −− = − +

− −

.

Het aantal pulsen K3 dat C3 doet aftellen volgt uit:

S x3 C 4 2 3 2 4 3 1 C

R1 S

( ) ( ) (2 ) (1 )V VK T t t t t t t K n TV V

−= − = − + − = − +

− .

In het ideale geval is de tellerstand dus:

x3 1

R1

25600 2 .2( 1) 25600VN K KV

= − = − + .

De stand van C3 is dus een maat voor Vx/VR. In het algemeen is dan:

9-33

x

2a R11

R1

2 2ax1

R1 R1

ax x1 1

R1 R1 R1

12 [1 ( (1 )] 2 25600

1

4 (1 ) [1 ( )(1 )] [1 . . .] 25600

4 ( 1) 25600 4 ( 1) (1 2 )

VV VN KV

VVKV V

VV VK KV V V

α α αα

α α α α α

α

−= − − + − × +

−

≈ − − − − + + + + +

≈ − + + − +

Het effect van offsetspanning en polarisatiestroom is nu slechts tweede-orde (product α Va/VR) daar

waar het eerste-orde was bij de eenvoudige schakeling. Dat men Va verschillend van 0 aangenomen

heeft komt omdat het moeilijk is om geen potentiaalverschil te krijgen tussen de "Analoge aarde klem"

AGND van het IC en de signaalaarde. Deze foutoorzaak speelt volledig mee: de relatieve fout is nl.

Va/VR1. Daar voor dit IC 1 LSB overeenkomt met 330 µV zal men bijzonder aandacht moeten schenken

aan aardleidingen op de print.

Omdat de vaste teller telt tot K1 = 4352 is nog:

x x

R1 R1

17408 ( 1) 25600 17408 8192V VNV V

= − + = + .

Om praktische redenen werd de volleschaal ingangsspanning niet VR1/2 gekozen maar wel

VFS = VR1/2,125. In dat geval is de teller aanduiding:

x

FS

8192 8192VNV

= + .

De stand N geeft in 2-complement de verhouding Vx/VFS weer. We merken nog op dat alle dalende

hellingen die de comparator doen aanslaan dezelfde negatieve waarde hebben. Dit betekent dat de

comparator telkens op dezelfde wijze reageert (de hysteris- en propagatievertraging zullen gelijk zijn).

Het corrigerend effect van de quad-slope omzetter vloeit voort uit het feit dat een fout die fase 2

verlengt, de fase 3 over precies hetzelfde bedrag verkort en vice versa. De conversietijd bedraagt

ongeveer 40 ms.

9-34

Hoofdstuk IX. Analoog naar digitaal omzetters.

1. Digitale frequentiemeters. ...........................................................................................................2 1.1. Principe................................................................................................................................2 1.2. Andere toepassingen van de teller.......................................................................................4 1.3. Andere fouten bij frequentie- en periodemeting .................................................................5

1.3.1. Frequentiemeting.........................................................................................................5 1.3.2. Periodemeting..............................................................................................................6

2. Digitale voltmeters. .....................................................................................................................7 2.1. Compensatortypes. ..............................................................................................................7

2.1.1. Mechanische ADC. .....................................................................................................7 2.1.2. Omzetter met opeenvolgende benaderingen. ..............................................................8 2.1.3. Teller- en servo-omzetters.........................................................................................11

2.2. Spanning-naar-tijd omzetters. ...........................................................................................11 2.3. Integrerende omzetters. .....................................................................................................12

2.3.1. Dubbele-helling (dual slope) omzetter van Fairchild................................................12 2.4. Spanning-naar-frequentie omzetters. ................................................................................15

2.4.1. Principe van de ladingsbalans. ..................................................................................15 2.4.2. Invloed van stoorsignalen op de ladingsbalans. ........................................................17 2.4.3. De delta-sigma omzetter............................................................................................21

3. Kalibratie van een dc-meter. .....................................................................................................28

Appendix I. De quad-slope techniek van Analog Devices.

DEEL B. HOOFDSTUK I. WISSELSTROOMMETINGEN

1. Wisselstroommetingen.

Metingen van ac-grootheden zijn doorgaans moeilijker uit te voeren dan dc-metingen. De dc-

grootheden die we in deel I bestudeerden werden inderdaad bepaald door één scalair getal;

sommige ervan zijn daarenboven constant tijdens de meetduur. Dit was o.a. het geval voor de

onbekende spanning die d.m.v. een compensator gemeten wordt. Een belangrijk probleem was het

opstellen van een model van de component onder studie zodat de invloed van de meetketen op de

waarneming kon worden bestudeerd.

De eenvoudigste ac-grootheid nl. de sinusoïdale spanning of stroom, wordt gespecificeerd d.m.v.

haar amplitude, frequentie en fase. Gaat het om meting aan één golfvorm dan speelt de fase

uiteraard geen rol omdat er geen tijdsreferentie is. Verder is in veel gevallen de frequentie

onbelangrijk omdat zij vast is en op voorhand gekend. Er blijft dan uiteindelijk als enige grootheid

de vorm van de ac-golfvorm over. Vandaar dat men diverse begrippen invoert zoals piekwaarde,

gemiddelde gelijkgerichte waarde, effectieve waarde, … die in het sinusgeval eigenlijk equivalent

zijn. Bij periodieke golfvormen gaat men met Fourieranalyse de golfvorm ontbinden in een

grondgolf en zijn harmonischen. Ook in dit geval is het faseverband dikwijls irrelevant: de fase van

de harmonischen heeft wel invloed op de golfvorm maar niet op de effectieve waarde ervan.

De componenten r, L, M, C worden nu beschreven d.m.v. een impedantie Z, een admittantie Y of

eventueel een transferfunctie T(jω). In ac zijn deze grootheden gekarakteriseerd door een complexe

waarde die bestaat uit een grootte of modulus en een fase. Het alternatief is uiteraard een reële en

imaginaire component te bepalen. Men zal daarom bij deze metingen steeds twee regelingen

moeten hebben of, door berekening uit gemeten signaalgrootheden, de amplitude en fase bepalen.

Een algemene impedantienormaal Zn bestaat niet in ac. Men gaat deze eenvoudigweg opbouwen

d.m.v. een weerstand en een reactieve component. Condensatoren worden bij voorkeur aangewend

daar zij idealer dan spoelen zijn. Zowel de weerstand als de condensator kan daarbij decadisch

instelbaar gemaakt worden.

Bij ac-metingen moet men, meer nog dan bij dc, zich bewust zijn van het model van de

componenten en normalen. Vooral bij meting over een groot frequentiegebied zal dit nodig zijn. In

vele gevallen zal men voor verschillende frequentiegebieden ook een verschillend model

beschouwen. In feite worden dan de parameters van dit model geschat aan de hand van de

resultaten van de meting(en). Verder zal de te kiezen meetmethode door de grootte van de

B 1-2

meetfrequentie beïnvloed worden.

Al deze factoren maken dat de bereikbare nauwkeurigheid bij ac-metingen lager ligt dan bij dc-

metingen. Doorgaans zijn de technische instrumenten, ontwikkeld om bij 50 Hz te werken, redelijk

nauwkeurig. De elektronische apparatuur kan een groter frequentiegebied aan maar is bij 50 Hz

dikwijls minder nauwkeurig. Ter herinnering geven we hieronder enkele belangrijke

basisdefinities.

1.1. Basisdefinities.

1.1.1. Periodische tijdsfuncties f(t).

De onderstaande definities worden vooral voor periodische functies gebruikt.

• Effectieve waarde (root mean square, kortweg R.M.S./rms).

12 2 22eff

0

( )d ( ) ( )T1U = t t t = < t f f f >T ∫ . (1.1)

Men ziet dat voor de enkelvoudige sinus de effectieve waarde gegeven wordt door de piekwaarde

U gedeeld door √2. Drukt men algemeen f(t) uit d.m.v. de Fourierreeks, dan is:

01

( ) sin ( )n nn=

f t = a + a n t + ω ϕ∞

∑ , (1.2)

en men kan de effectieve waarde van f(t) berekenen uit de amplitudes van de afzonderlijke com-

ponenten door kwadratische sommatie:

2 2 2eff 0

1

12 n

n

U a a∞

=

= + ∑ . (1.3)

Algemeen, stelt 2effU het vermogen voor dat door een spanning f(t), met uitdrukking (1.2),

gedissipeerd wordt in een weerstand van 1 Ohm. Het begrip effectieve waarde is uitbreidbaar tot

niet-periodische signalen: men neemt dan in vgl. (1.1) de limiet voor T → ∞. Indien de limiet

bestaat noemt men deze de “effectieve waarde van het signaal f(t)”. Soms maakt men onderscheid

tussen "echte effectieve waarde" (true rms) en “effectieve waarde” (rms):

True rms = Ueff berekend uit vgl. (1.3) met de term a0

rms = Ueff berekend uit vgl. (1.3) zonder a0

• Gemiddelde waarde van f(t) (average, mean value).

De gemiddelde waarde is de dc-term uit vgl. (1.2) en voor een zuiver ac-signaal is deze term nul:

B 1-3

01 ( )d

T

0

U f t tT

= ∫ . (1.4)

• Gemiddelde gelijkgerichte waarde (average rectified value):

g0

1 ( ) dT

U | f t | tT

= ∫ . (1.5)

Voor periodische signalen die de volgende eigenschap bezitten:

( ) ( )2Tf t - f t = + , (1.6)

meet men soms het gemiddelde van het positief (of negatief) deel van f(t). Dan heeft men

U'g = gemiddelde over T van positief (of negatief) deel van f(t), en dus 'g g2U U= . Voor de zuivere

sinus is dan:

'g g

2 0,6366 en π π

UU U U U= = = .

• Piekwaarde, topwaarde (peak value).

Men noemt het maximum van f(t) de positieve piekwaarde U+ en het minimum de negatieve

piekwaarde U-. De top-tot-topwaarde (peak-to-peak value) is het verschil tussen de positieve en

negatieve piekwaarde:

tt pp of U U U U+ −= − .

De piekwaarde van een signaal is belangrijk om diverse redenen. Zo bepalen U+ en U- de grenzen

waarbij een versterker overstuurd wordt. Bij het onderzoek naar doorslagvastheid van isolatoren

wordt U+ of U- voorgeschreven (of Utt). Voor de enkelvoudige sinus is:

g eff ttπ 122 2

U U U U U U+ −= − = = = = . (1.8)

1.1.2. Vervormingsfactoren.

Om de afwijkingen van golfvormen t.o.v. de sinus te definiëren gebruikt men de volgende

begrippen.

• Harmonische vervorming (dn) van de orde n (harmonic distortion — H.D.)

1

100 (in %) 100n nn

a ada U+

= ≈ . (1.9)

B 1-4

Deze grootheid wordt bepaald door de amplitude van de ne harmonische in vgl. (1.2). Indien de

distortie niet te groot is wordt dikwijls a1 vervangen door de waarde van U+ of U- die

gemakkelijker te meten zijn.

• Totale harmonische vervorming: dt (total H.D. - T.H.D.)

2 2t

2n

n=

= d d∞

∑ . (1.10)

• Vormfactor VF of V (form factor)

eff

g

VF= U V = U

. (1.11)

• Topwaardefactor T (crest factor, c.f.)

eff

(of )U UTU

+ −= . (1.12)

Voor de enkelvoudige sinus bekomt men aldus:

π 1,11... en 22 2

V T= = = . (1.13)

De topwaardefactor is van belang bij convertoren die de Ueff bepalen van een spanning f(t). De

vormfactor V geeft bij sommige technische metingen aan hoeveel f(t) van de sinus afwijkt (zie o.a.

magnetische metingen).

1.1.3. Signalen waarvan de amplitudedistributiefunctie p(e) gekend is.

Voor signalen waarvan de amplitudedistributiefunctie gekend is kan men enkele grootheden nog

definiëren zoals verder volgt. Men kan zelfs voor vele periodische functies een zinnige dichtheid

van de amplitude definiëren. Vergelijking (1.14) geldt voor signalen waarvoor p(e) = p(-e).

2 2eff 0

0'g

0

( ) d en ( ) d

( ) d ( ) d

U e p e e U e p e e

U e p e e e p e e

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

= =

= =

∫ ∫

∫ ∫ (1.14)

De firma NORMA heeft indertijd apparatuur op de markt gebracht waarmee p(e) en ook Ueff, U0 en

U'g via deze betrekkingen werden bepaald. Deze toestellen werden verkocht onder de naam

S(tochastische) E(rgodische) M(eetapparatuur). Worden PC’s uitgerust met een ADC kaart dan

bestaan er statistische programma’s om deze berekeningen uit te voeren op de meetmonsters.

B 1-5

Met de klassieke mechanische meettoestellen is men in staat om een aantal van de hoger

gedefinieerde ac-grootheden vrij nauwkeurig en gemakkelijk te meten zoals we hierna zullen

aantonen.

1.2. Westonmeters voor spanningsmetingen.

Het gevoeligste mechanische toestel, nl. de Westonmeter, kan met goed gevolg aangewend worden

om een aantal grootheden te meten. Het eenvoudigste is de bepaling van de gemiddelde waarde U0.

Het volstaat om dit toestel in serie met de meetketen te plaatsen (voor stroommeting, eventueel met

shunt) of in parallel met een bron (spanningsmeting, met voorschakelweerstand) om U0 te bepalen.

De enige voorwaarde is dat de frequentiecomponenten van het signaal veel hoger liggen dan de

eigenresonantie van het toestel zodat de naald niet trilt. Omdat die eigenresonantie meestal onder

een paar Hz ligt is dit geen probleem. Merk op dat voor een ac signaal, als U0 = 0 is en de naald

geen uitslag vertoont, er toch stroom door het toestel loopt en dat de draaispoel kan vernietigd

worden indien Ueff te groot is! Voor de meting van U+, U- en Ug moet het Westontoestel met

diodeschakelingen worden uitgebreid.

1.2.1. Meting van de gelijkgerichte waarde.

Vermits de Westonmeter gevoelig is voor de dc-component a0 in f(t) kan men er Ug of 'gU mee

bepalen op voorwaarde dat er diodeschakelingen aan worden toegevoegd. Fig. 1. 1.

Fig. 1. 1a: Enkelfasige gelijkrichter. D is een Ge of Si-diode met karakteristiek volgens de I-V

curve van de Fig. 1. 1.c:

00 ( 1) met 25 mV bij 27 C

Vv kTI I e v

q= − = ≈ . (1.15)

De inverse stroom (of lekstroom) I0 is zeer klein: 10-6 … 10-12 A. Het uitzicht van de karakteristiek

suggereert dat een Ge diode geleidt vanaf 0,3 V en een Si-diode vanaf 0,6 V. Deze stap (VD)

veroorzaakt natuurlijk een niet-lineariteit, vooral bij kleine aangelegde spanningen. Op de schaal

van een gelijkrichterinstrument staat steeds een diode getekend.

Met een ideale diode (curve 3 in Fig. 1. 1c) is de meterstroom i, met een sinusoïdale u(t) in

Fig. 1. 1a:

geff

1 22( ) π

Ui = = UR + g R + g . (1.16)

B 1-6

b ca

+

-

u ( t )g

i

D

R

+

-

ig

R

3

1 2

Ge Si

V

I

I

V0.3 0.6

Fig. 1. 1. Bepaling van de gemiddelde gelijkgerichte spanning met het Westontoestel.

Fig. 1. 1b: de Graetz-brug. Deze meet Ug en voor een sinusoïdale u(t) is i dubbel zo groot als met

één diode. Ook de rimpelfrequentie is het dubbele van de excitatiefrequentie waardoor de naald

minder trilt. Het instrument is geijkt in effectieve spanning zodat de aflezing enkel voor een

sinusoïdale u(t) correct is. Er staan steeds 2 dioden in serie in de keten en de schaalverdeling houdt

rekening met de niet-lineariteit t.g.v. de dioden. Men kan inzien dat naarmate de aangelegde

spanning toeneemt het storende aandeel van VD afneemt. Daarom is de niet-lineariteit enkel bij de

laagste bereiken van spanning zichtbaar. Bij de hogere bereiken is geen correctie nodig.

Principieel zijn deze schakelingen ook bruikbaar voor stroommetingen in ac. De diodestap

veroorzaakt echter veel spanningsval in de keten zodat bij gebruik van een shunt deze veel te groot

zal zijn. M.a.w. het eigenverbruik en de spanningsval in de keten zijn dan te groot en er blijft ook

nog een grote niet-lineariteit over. Daarom zal men ac stromen liefst met andere toestellen meten.

Door gebruik te maken van actieve gelijkrichting d.m.v. opamps kan men het effect van VD

elimineren. Fig. 1. 2 geeft als voorbeeld een enkelfasige gelijkrichterschakeling. Het principe is

eenvoudig:

u(t) > 0 dan v'(t) < 0, dus D1 spert en v(t) = 0.

u(t) < 0 dan v'(t) > 0, dus D2 spert en D1 geleidt: v(t) = - u(t).

De diodestap wordt hier gecompenseerd doordat de uitgang v'(t) automatisch met VD verhoogd

wordt. Het circuit met D2 is strikt genomen overbodig. Zonder D2 zal nochtans bij positieve u(t) de

opamp negatief satureren en dus niet meer actief werken. Bij het negatief worden van u(t) moet hij

zich eerst herstellen en dit duurt een zekere tijd. De aanwezigheid van D2-R houdt hem steeds

actief zolang U+ of U- niet te groot worden.

B 1-7

ba

u ( t )

v ( t )

u ( t )

R R

RD

2

D1

v ( t )

v ' ( t )

Fig. 1. 2. (a) Enkelfasige actieve gelijkrichtschakeling, (b) Golfvormen

Verder bestaat er in afwezigheid van D2 gevaar voor doorsijpelen van het ingangssignaal naar de

uitgang. Indien de opamp negatief verzadigd is dan spert D1 en bestaat er inderdaad een pad via de

terugkoppelweerstanden naar de uitgang. Als deze weinig of niet belast wordt zal v(t) dan

nagenoeg gelijk worden aan de positieve ingangsspanning. In feite krijgt men dan dubbelfasige

gelijkrichting. Dit oneigenlijke gebruik is af te raden omdat zowel de ingangs- als

uitgangsweerstand van de schakeling verschillend zijn tijdens de positieve en negatieve

alternanties.

Wegens de beperkte slew-rate van de opamp (zie verder) zullen vanaf enkele kHz eveneens

afwijkingen rond de nuldoorgang van v(t) optreden. Het circuit is dus nauwkeurig zolang de

signaalfrequentie niet te hoog wordt. De passieve schakelingen van Fig. 1. 1a en b blijven daaren-

tegen bruikbaar voor GHz-metingen indien zeer snelle diodes aangewend worden. Meer

ingewikkelde schakelingen met opamps laten dubbelfasige gelijkrichting toe (zie cursus

elektronica). Met stroomgelijkrichting kan het frequentiebereik nog iets uitgebreid worden.

In Fig. 1. 2b volgt v(t) getrouw u(t) zolang u(t) < 0. Om de gemiddelde gelijkgerichte waarde van

u(t) te meten kan men het circuit uit Fig. 1. 2a. belasten met een Weston meter, ofwel zal men het

laten volgen door een laagdoorlaatfilter dat alle ac-componenten uit v(t) verwijdert.

1.2.2. Meting van de piekwaarde.

Het Westontoestel is eveneens beperkt bruikbaar voor de meting van piekwaarden. Fig. 1. 3. Met

een ideale diode D, een bron u zonder inwendige weerstand en een oneindige belastingsweerstand

R, ziet men dat v(t) de positieve piekwaarde van u(t) bereikt en behoudt. Bij elke nieuwe meting

moet C eerst ontladen worden. Indien R eindig is zal v(t), na het bereiken van de piek, exponentieel

ontladen (stippellijn) totdat u(t) = v(t) wordt bij de volgende piek, enz…

B 1-8

ba

u ( t )

D

C R

g

v ( t )u ( t )

v ( t )

E

E

t

t

Fig. 1. 3. Piekwaardemeting met het Westontoestel.

Er treedt dus een fout op en het toestel duidt in feite het gemiddelde aan van de v(t) in stippellijn.

Indien de bron niet ideaal is en een inwendige weerstand Ri bezit krijgt men nog meer fouten, zie

de (Fig. 1. 4).

ba

u

R i i D

C R v

U +

vt1

V1

u

v '

V2

t

V '1

t2

t '1

Fig. 1. 4. Spanning over R in geval van bron met inwendige weerstand Ri.

De werking is als volgt:

1) D geleidt: idendv vu R i + v i = C + t R

= , (1.17)

ii

den dus: (1 )dv R R C v = ut R+ + . (1.18)

2) D spert: ,d 0

dvCR v t

′+ = . (1.19)

De overgang van geleiden naar sperren treedt op bij i = 0 zodat op dit ogenblik heeft: u = v en

dv/dt = -v/CR. De raaklijnen aan v en v' vallen samen in dit punt. Men start met v = 0; C laadt dan

gedeeltelijk op totdat u ≤ v = V1 wordt op t = t1. Vanaf t1 ontlaadt C exponentieel totdat v'(t1) = V'1 =

u(t'1) wordt. De volgende periode laadt C op tot V2 op t = t2, enz… totdat de cyclussen in regime

komen. Men ziet in dat de gemiddelde waarde van v afwijkt van U+, maar voor elke golfvorm kan

in principe de fout berekend worden. Voor R→∞ zal het resultaat uiteindelijk toch correct zijn. In

B 1-9

dit geval is dus v = U+ en over de diode zal, in sperrichting, een spanning met piekwaarde 2U+

staan. Het circuit kan eveneens actief uitgevoerd worden. Fig. 1. 5.

U +

u

12

D

e C Reset

v

Fig. 1. 5. Actieve meting voor piekwaarde.

Het signaal e op C volgt u zolang u > 0 en stijgend is. Vanaf U+ daalt u zodat D spert en U+ blijft.

Voor elke meting moet C eerst ontladen worden d.m.v. de reset-schakelaar. De volger 2 elimineert

een mogelijke belasting t.g.v. het afleesinstrument. Merk op dat de eerste opamp ook een

comparator kan zijn. Dit levert dan een zeer snelle piekdetector op.

Uiteraard kan ook in Fig. 1. 4a een volger na C geplaatst worden. De oplaadtijd van C blijft echter

beperkt door de tijdconstante Ri C en de diodestap geeft ook een fout. Dit is niet zo in Fig. 1. 5

wegens de eerste volger die C zeer snel kan opladen en zijn nullatorwerking.

1.2.3. Meting van de effectieve waarde.

Voor niet te hoge frequenties zal men zeer dikwijls de universele 4-kwadranten vermenigvuldiger-

deler (4q-MP) toepassen ter bepaling van de effectieve waarde. Dit element heeft twee ingangen,

nl. X en Y (al dan niet differentiaal uitgevoerd). De uitgangsspanning W voldoet aan

X YWZ

= (1.20)

De deler Z noemt men de schaalfactor en is vast ingesteld bij de gewone vermenigvuldiger. In een

aantal 4q-MP IC's is deze Z eveneens als universele ingang uitgevoerd en men spreekt dan van een

deler-vermenigvuldiger. Fig. 1. 6a en b geven de basisschakelingen waarmee het mogelijk is om

Ueff te meten.

Fig. 1. 6a verwezenlijkt de vgl. (1.20) rechtstreeks; de worteltrekking moet dan met een extra

opamp en een tweede kwadrateerder (MP met X = Y) in de terugkoppeling uitgevoerd worden.

Fig. 1. 6b is de zogenaamde impliciete verwezenlijking waarbij men een vermenigvuldiger-deler

gebruikt (MP-deler). Men heeft hier, omdat Ueff constant is t.g.v. het filtercircuit:

B 1-10

2 22 2

eff effeff eff

[gem.( )]gemiddelde( ) en dus: [gem.( )]u uU U uU U

= = = .

b

a

u

x

y

4 q

MP

z

W = u /Ueff2

f ilterR

C

u / Ueff2

Ueff

u

x

y

4 q

MP

W = u / Z2

f ilter

R

C

u / Z2

Ueff = u

Z

2

Fig. 1. 6. (a) Bepaling van Ueff met 4q-MP, (b) impliciete methode met MP-deler.

Dit bewijst dat Ueff inderdaad de effectieve waarde van u is. Berekeningen tonen aan dat de

impliciete verwezenlijking minder fouten vertoont dan de rechtstreekse; daarenboven is er maar 1

MP-deler nodig. Daar het evenwel iets moeilijker is om zeer nauwkeurige 4q-MP-delers te maken

zal men uitgaan van een 1q-MP-deler en deze sturen d.m.v. een dubbelfasige precisiegelijkrichter.

Dit geeft hetzelfde resultaat omdat 2 2u u= .

Oefening: ga na hoeveel Ueff afwijkt van de correcte waarde indien de MP uitgangsoffset bezit. Vervang

daartoe W door W + W0 in de vgl. (1.20) .

1.3. Elektro-dynamische toestellen.

In deel I hebben we gezien dat bij deze instrumenten de uitwijkingshoek α een functie is van het

product der stromen i1 en i2 die door de twee spoelen vloeien

1 2fie( . )i iα = (1.21)

Voor i1 = i2 = i is dus α = fie(i2). Indien de resonantiefrequentie van het draaiende systeem veel

kleiner is dan de laagste frequenties die in i voorkomen, kan dit instrument in effectieve stroom

(spanning) geijkt worden. Het verbruik ervan ligt hoger dan dat van het Westontoestel wegens de

open magnetische keten. Het symbool aangebracht op de schaal van een elektrodynamisch

instrument is:

1.4. Thermische instrumenten.

Deze toestellen maken gebruik van het feit dat het vermogen dat een weerstand dissipeert

evenredig is met het kwadraat van de stroom of spanning. Men kan bijvoorbeeld de junctie van een

B 1-11

thermokoppeldraad opwarmen met een weerstand en uit de thermo-e.m.k. het temperatuurverschil

tussen de warme en koude las bepalen. Zie de Fig. 1. 7 voor de praktische uitvoering en Fig. 1. 8a

voor het principe.

Fig. 1. 7. Klassiek thermokoppeltoestel.

In feite kan men de spanningsmeter die de thermokoppelspanning meet in effectieve spanning of

stroom gradueren. Vermits echter de eindtemperatuur van de weerstand bepaald wordt door

onzekere factoren zoals convectie en stralingsverlies, zal men een tweede meting doen d.m.v. een

gekalibreerde spanningsbron en deze zo regelen dat men dezelfde aanduiding krijgt als in het ac

geval (Fig. 1. 8a). De effectieve waarde van de ac-spanning is dan gelijk aan de dc-spanning.

D.m.v. opamps kan men, mits twee thermokoppels te gebruiken, dit proces automatisch laten

verlopen (Fig. 1. 8b).

ba

ux

E

R

T1T

2

T2

T.K. mV

ux

T1 T2

K x

R 1

K

R2 U

Fig. 1. 8. (a) Principe van de thermische omzetter; (b) Praktische uitvoering.

Indien K→∞ zal de uitgangsspanning U zich zo instellen dat T1 = T2 en dus zal de dissipatie in R1

dezelfde zijn als in R2 indien R1 en R2 zich thermisch identiek gedragen:

B 1-12

2 2 2

x 22 12 eff eff x

1 2

of met K u U U K U / U uR R

R R= = = . (1.22)

De firma HP heeft R1 en R2 geïntegreerd tot een geheel en noemt dit de "thermo-pile". Door de

geringe afmetingen is de antwoordtijd kort en gedragen de weerstanden zich reëel tot boven de 100

MHz. Het principe laat toe om ac spanning of stroom zeer nauwkeurig met dc te vergelijken

(thermische transfer standaard). De firma Linear Technology heeft een IC ontworpen waarin de

weerstanden geïntegreerd zijn en twee gepaarde diodes voor de temperatuurmeting toegepast

worden.

2. Versterkers

De versterkers toegepast in de meettechniek (meetversterkers) hebben tot doel een kleine spanning

of stroom (algemeen een klein vermogen) op te drijven tot een grotere waarde. De algemene

meetversterker zal eventueel signalen ook nog moeten kunnen verzwakken of attenueren. Er kan

dan nog altijd vermogenversterking optreden omdat de ingangsimpedantie van een meetversterker

meestal zeer hoog is. Belangrijk is echter dat de ingestelde versterkingsfactoren nauwkeurig

bekend zouden zijn, bijvoorbeeld op 1% na. Enkele andere eisen die het ontwerp van een

meetversterker bepalen:

• Zo vlak mogelijke amplitudeweergave curve met zo groot mogelijke bandbreedte B. Wil

men de golfvorm zo getrouw mogelijk weergeven (oscilloscoopversterker), dan moet tevens

de fase lineair met de frequentie variëren (geeft constante vertraging)

• Zo klein mogelijke ruisfactor

• Zeer hoge of zeer lage ingangsimpedantie Zi ofwel een gekende Zi

Het ontwerp van een degelijke meetversterker is dan ook altijd een compromis tussen B, Zi,

versterkingsfactor G, … We geven twee voorbeelden die aantonen waarop moet gelet worden:

1. De Johnsonruis van een weerstand heeft de effectieve waarde 4k T B R . Voor Zi =100 K en B =1 MHz

geeft dit reeds 40 µV effectief. Een hoge gevoeligheid voor microvolt signalen is dus alleen haalbaar door Zi

en B klein te houden.

2. Voor precisie dc-versterkers elimineert men dikwijls de nulpuntdrift d.m.v. "hakker" of "chopper"

schakelingen. Deze bevatten een modulator en een demodulator die het dc-signaal omzetten in ac-signaal dat

gemakkelijker te versterken is. Maar, aan de uitgang vindt men meestal nog resten van het modulatorsignaal

terug. Daarom zal men B na de uitgang beperken om de resten van de schakelfrequentie te onderdrukken.

In beide voorbeelden komt het er op neer dat men vertrekt van een vereiste signaal-ruisverhouding aan de

B 1-13

uitgang en daaruit B, Zi, G enz … tracht te bepalen die kunnen behaald worden met de versterker.

De geslotenkring winstfactor G (ook nog CLG) wordt algemeen ingesteld door de openkring winst

(OLG) te beperken d.m.v. tegenkoppeling. Daardoor wordt de schakeling ongevoelig aan variaties

∆A van de openkring winst A en enkel de tegenkoppelfactor β bepaalt de CLG: G = -1/β. Men heeft

nog voor de fouten op G t.g.v. een eindige A met een tolerantie A∆ :

• Winstfout t.g.v. eindige A: 100/Aβ in %.

• Gevoeligheid van G voor ∆A variaties: ∆G/G = (∆A /A) / Aβ.

Tabel: Versterkerbenamingen.

Spanning naar spanning: spanningsversterker Stroom naar stroom: stroomversterker

Stroom naar spanning: transimpedantie versterker Spanning naar stroom: transconductantie of Norton

versterker

Indien de meetversterker als differentiaalversterker uitgevoerd is dan moet i.h.b. het gedrag voor

"gemeenschappelijke-mode" (common-mode of c.m.) signalen onderzocht worden. De versterker

vertoont immers steeds enig uitgangssignaal indien de ingangen V1 en V2 verbonden worden met

een zelfde signaal V; het gewenste uitgangssignaal mag echter enkel evenredig met V1-V2 zijn. Ook

de ingangsimpedantie moet uitgebreid worden met extra elementen. De Fig. 1. 9 toont een

eenvoudig ingangsmodel van de gewone en de differentiaalversterker.

ba

+

-

Vi Zi G Vi

+

-

V1

V2

Z i

Z cm +

-Z cm

Ad ( V1-V2 ) + Acm

V1+V2

2

Fig. 1. 9. Ingangsmodel van een differentiaalversterker.

Daarbij moet men bedenken dat alle Z’s in dit schema in feite complex zijn zodat bepaalde

parameters al heel vlug kunnen onaanvaardbare effecten veroorzaken bij hoge meetfrequenties.

Nagenoeg elke moderne meetschakeling bevat een versterker, bijvoorbeeld voor de

signaalconditionering. Verder vindt men in AD-omzetters dikwijls de versterker die voor de

bemonstering zorgt, de zogenaamde Sample-Hold (SH) versterker. Gezien de grote

nauwkeurigheid die omzetters kunnen bereiken is het van belang dat men weet wat soort fouten het

B 1-14

versterkergedeelte van een meetketen kan introduceren naast de hoger vermelde elementaire

fouten. Om deze reden gaan we hieronder in detail op een aantal van die problemen in. De

belangrijkste fouten zijn een gevolg van een beperkte zwaaisnelheid, de insteltijd, de fasefouten,

offset- en polarisatiefouten.

2.1. Zwaaisnelheid of slew-rate (SR)

De Fig. 1. 10a toont de principeschakeling van een opamp die gecompenseerd is d.m.v. een

condensator Cc.

b ca

gm1V1

Cc

V0

Cc

gm1V1

Ci Ri

V ' gm2

V '

-

+

2 I1

Q1

Q2

Q3

g m1V1

Cc

I 2

V0

Q4

Q5

V1

Fig. 1. 10. (a) Vereenvoudigd opamp schema (b) en (c): Equivalent schema.

De versterking van de transistors Q4 en Q5 die gestuurd worden door de stroomspiegel is groot

genoeg opdat men ze zou kunnen vervangen door een equivalente opamp: Fig. 1. 10b. De

spanningsversterking van het geheel wordt dan:

o m1 m1v x

1 c c

met j 2π

V g gA f V C Cω

= = = . (1.23)

Dit geldt zolang Av « Av(ω = 0). De transitie- of afsnijfrequentie x x2π fω = volgt dan

onmiddellijk uit Av(ωx)= 1. Wordt nu aan de opamp een stapspanning E aangelegd dan zal de

stroom gm V1 geïntegreerd worden in Cc en Vo zal lineair stijgen:

m1 m10

c c

d( ) of nog: d

0g gvv t E t Et CC

= = . (1.24)

De maximale stroom die de stroombron van het differentiaalpaar kan leveren is echter 2I1. De

grootste helling of "slew-rate" (SR) die vo kan bereiken is daarom, met vgl. (1.23):

B 1-15

0 1 1 x

max c m1

d 2 2SRdv I It C g

ω= = = . (1.25)

Wil men de zwaaibeperking vermijden dan moet E beperkt worden. Voor de stap E betekent dit dat

E ≤ 2 I1 / gm1 moet blijven. Opamps toegepast in ADC's zijn meestal snel genoeg zodat de slew-rate

doorgaans niet de belangrijkste beperking vormt.

Opmerking.

Normaal zou men verwachten dat de volgerschakeling het beste presteert op gebied van zwaaisnelheid. Dit

is niet zo wegens de aanwezigheid van een parasitaire (= strooi-) capaciteit tussen de gemeenschappelijke

emitters van het differentiaalpaar en de aarde. Bij de volger komt de volle ingangsstap ook op dit punt te

staan en deze strooicapaciteit moet eveneens op- en ontladen worden via de staartbron 2I1 of een

ingangstransistor. Het resultaat is dat SR afneemt en bovendien verschillend is voor de positieve en

negatieve flank van het ingangssignaal.

2.2. Insteltijd (settling time).

De insteltijd Ts van een versterker is de tijd die verloopt tussen het aanleggen van een ideale

ingangsstap en het definitief bereiken van de corresponderende eindwaarde op een zekere foutband

na.

ba

v0

foutband

slew

recover y

Tsdode tijd

eindwaarde

A ( ) in dB

3

x x

A0

1

Fig. 1. 11. (a) Antwoord op stap; (b) Open en gesloten kringwinst van opamp.

Hierbij wordt geen rekening gehouden met offsetspanningen. Fig. 1. 11 toont aan hoe een

versterker reageert op een ingangsstap. De verschillende fazen die men doorloopt zijn: de dode tijd

als gevolg van hogere-orde polen in de openkring winst, het zwaai- of "slew-" gebied ten gevolge

van de slew rate SR, het herstelgebied (“recovery”) waarbij de versterker terug lineair werkt.

In dit laatste gebied hangt de manier waarop de eindwaarde bereikt wordt af van het polen- en

nullendiagram (PND) van de geslotenkring versterking CLG. De hersteltijd hangt dus niet af van

SR en het is mogelijk dat een versterker met lage SR toch vlug herstelt. In wat volgt zullen we de

B 1-16

dode tijd evenals mogelijke thermische effecten, niet in aanmerking nemen vermits hij zeer kort is.

Wel zullen we versterkers behandelen met één dominante pool en met een doublet.

2.2.1. Insteltijd bij versterker met één dominante pool.

Wanneer de SR voldoende groot is zal de versterker steeds lineair reageren en de insteltijd wordt

dan bepaald door de transferfunctie van de openkring winst. We onderzoeken eerst het geval van

een ideale opamp OA met één dominante pool (Fig. 1. 11b). De OLG is dan:

0 0 3 x

3

( ) j1

A AA p pω ωω

ωω

= = −+

(1.26)

Daarin zijn: A0 de dc-versterking, ω3 het -3 dB punt van de OLG, ωx de afsnijfrequentie. Wordt

deze opamp gebruikt met een terugkoppelfactor β dan wordt CLG, met de benadering uit

vgl. (1.26):

x

1 1CLG1 pβ

β ω

= −+

. (1.27)

Het antwoord op een eenheidsstap (E/p in het Laplace domein) is bijgevolg:

x0 x

x

1( ) (1 ) met nog tEv t e τ τ

β β ω

−

= − − = . (1.28)

De grootheid β ωx stelt -3 dB bandbreedte van de CLG voor en uit het exponentiele antwoord kan

men zeer eenvoudig Ts bepalen. Voor een foutband met relatieve breedte 2 ε is nl. Ts = - τx ln ε en

dit levert de onderstaande tabel op. In deze tabel werd de afsnijfrequentie fx gebruikt i.p.v. ωx

omdat die in de data bladen gegeven is.

Foutband

(ε in %)

Insteltijd Ts in µs, fx in MHz

CLG = 1 CLG = 10

10

1

0,1

0,01

0,367/fx

0,734/ fx

1,101/ fx

1,468/ fx

3,67/ fx

7,34/ fx

11,01/ fx

14,68/ fx

Uit de tabel ziet men dat voor CLG = 10 en fx = 1 MHz, de versterker 11 µs nodig heeft om zich tot

op 0,1% of ongeveer 12 bit in te stellen. Een grotere nauwkeurigheid vereist dus een snellere

opamp met een hoge fx. Tegenwoordig kan men versterkers vinden die een veel hogere

B 1-17

afsnijfrequentie bezitten, bijvoorbeeld 100 MHz. Meestal is A0 dan echter kleiner en de winstfout

en ook het stroomverbruik zijn groter. In elk geval is het duidelijk dat de lineaire insteltijd kan

beperkt worden door een snellere opamp te kiezen.

2.2.2. Insteltijd bij versterker met poolpaar.

De OLG karakteristiek van een werkelijke opamp is zeer ingewikkeld niettegenstaande dit niet uit

de databladen kan afgeleid worden aan de hand van de openkring winst curven. Deze vertonen in

het Bode diagram meestal een helling evenredig met 1/ω vanaf het LF 3-dB punt tot aan fx. Wegens

de logaritmische schaal zijn echter in een Bode diagram kleine afwijkingen van een ideale eerste-

orde curve niet zichtbaar. Nochtans zijn dergelijke afwijkingen aanwezig en dit heeft zijn gevolg

voor de insteltijd. De naakte, niet intern gecompenseerde opamp, heeft een OLG die meerdere

polen bevat (Fig. 1. 12) waarvan de ligging afhangt van de toegepaste technologie en de schakeling

zelf.

A0

A ( dB )

O L G

5 kHz 350 kHz 1 MHz

2 M

f

'1

3

'2

'3

met Cc

A ( dB )

f1

3

1

m

ba

Fig. 1. 12. (a) OLG en CLG van opamp, (b) OLG met doublet.

Bij de bipolaire opamp liggen de polen veroorzaakt door het differentiaalpaar aan de ingang

doorgaans vrij hoog. Het gedeelte dat de uitgangsstroom van het differentiaalpaar omzet in de

uitgangsspanning v0 levert vele polen op (hier ω'1, ω'2, ω'3, …). Om de versterker onvoorwaardelijk

stabiel te maken zal men een dominante pool invoeren. Dit noemt men compenseren. De

compensatie verlaagt weliswaar ωx maar heeft als groot voordeel dat de gebruiker zich geen zorgen

moet maken over de stabiliteit wanneer de terugkoppelfactor groot is. Compensatie gebeurt intern

door een condensator tussen de opamp uitgang en de uitgang van het differentiaalpaar te plaatsen

zoals al eerder getoond in de Fig. 1. 10a. Op deze wijze gedraagt de OA zich steeds als integrator

bij de hogere frequenties en weet men dat het systeem onvoorwaardelijk stabiel is. De waarde van

de condensator Cc moet zo gekozen worden dat er voldoende verschil blijft tussen OLG en de

gecompenseerde karakteristiek. Dit geeft een zeer laag 3 dB punt, bijv. 1 Hz. De introductie van Cc

heeft nog als gevolg dat ook een nul in de transfer ontstaat. Stellen we het deel van de opamp na

B 1-18

het differentiaalpaar voor d.m.v. een ingangsweerstand Ri en een uitgangsstroombron m2 'g V

(Fig. 1. 10c) dan ziet men (Ci niet meerekenen) dat:

o m2cim1

i m2 ic (1 ) - pC gV g RV g RpC

=+

. (1.29)

De pool p = 0 produceert een -20 dB/decade dalende transfer zolang ωCc « gm2. Nu bevat de gm1 van

het ingangspaar in feite nog op zijn minst twee polen die een gevolg zijn van de stroomspiegel die

de collectors van het ingangspaar belast. Het is daarom aanlokkelijk om te trachten een pool met de

nul te compenseren zodat de OLG-curve een pool minder bevat. Ongelukkig genoeg degradeert de

nul uit vgl. (1.29) de stabiliteit omdat hij in het rechter halfvlak van het complex domein ligt. De

overeenstemmende faseverschuiving, namelijk –arctan (ω Cc /gm2), is immers negatief. Zet men

echter een weerstand R0 in serie met Cc zoals men vaak bij CMOS-versterkers doet, dan wordt de

toestand heel wat gunstiger. De nul wordt nu immers:

0

c 0m2

11( )

pC R

g

=−

(1.30)

Door R0 voldoende groot te kiezen brengt men de nul in het linker halfvlak en de stabiliteit bij

terugkoppeling zal toenemen. Het wordt daardoor mogelijk en aantrekkelijk om de nul te gebruiken

om één van de polen in de transfer te compenseren. Uiteraard zal men dit niet perfect kunnen

uitvoeren en blijft een mismatch bestaan. In dat geval spreekt men van een pool-nul paar of

“doublet”. Deze ontstaan dikwijls ook wanneer men d.m.v. voorwaartse koppeling (“feedforward”)

de HF-weergave tracht te verbeteren. Misaanpassingsfactoren (m, de verhouding van pool- en

nulfrequentie) van 0,7 … 1,3 zijn hierbij mogelijk. Een betere benadering van de OLG bestaat dan

ook uit de combinatie van:

• een pool p3 op de zeer lage frequentie ω3, de -3 dB pool;

• een pool en een nul die nagenoeg samenvallen (een “doublet”) en die boven p3 liggen op

respectievelijke plaatsen ω1 en ω1 / m, met m ≈ 1.

Dit doublet kan bij een lage frequentie liggen, bijvoorbeeld rond 5 kHz. Men heeft dus:

10

3 1

1

(1 ) (1 )

mpT A p p

ω

ω ω

+=

+ + . (1.31)

Uit de resultaten van een meting van de OLG kan m niet worden berekend omdat de afwijking van

B 1-19

de OLG t.o.v. de ideale transfer te klein is indien m dicht bij één ligt. Voert men nauwkeurige

fasemetingen uit dan ziet men soms wel een lokale afwijking van de te verwachten -90° in het

gebied waar de transfer 20 dB/decade daalt. Dit wijst op een doublet.

Onderzoeken we nu welke invloed het pool-nul paar heeft op het stapantwoord. Vermits normaal

gezien de volgerschakeling de grootste bandbreedte heeft zullen we enkel de berekening voor de

volger onderzoeken. Deze heeft als CLG de transfer G = T / (1+T). Met vgl. (1.31) wordt de CLG:

0

12

00

1 31

(1 )

1 1( ) 1

p mA G

p m Ap A

ω

ω ω ω ω2

+=

++ + + + . (1.32)

De polen van de noemer zijn bijgevolg:

0 034,5

201 31 3

1 3

1 1 4( 1)( ) 1 1 1 12 ( )

m A A - - p m A

ω ωω ω ω ω

ω ω

1

+ +

= + ± + +

. (1.33)

Omdat A0 zeer groot is en m ≈ 1 zal men 1 kunnen verwaarlozen t.o.v. m A0 en 1/ω3 ten overstaande

van m A0/ω1. De negatieve term onder het wortelteken is dus veel kleiner dan 1. Na

reeksontwikkeling van het wortelteken worden beide polen ongeveer1:

4 0 3 1 0 x

10 1 3 1 15

1 3 0 3 x

( )( 1) (1 ) (1 )

p - m A - m A - m - A p - - - - m A m m m

ω ω ω ωω ω ω ωω δ

ω ω ω ω

3= + ≈ =

+ = ≈ + +

. (1.34)

De CLG transfer wordt dus: 1

1x

1

(1 ) (1 )(1 )

p m G = p m p

m

ω

ω δω

+

+ +−

. (1.35)

Het overeenstemmende antwoord op een stap van E volt is bijgevolg:

x

(1( ) 1 (1 )tm t mv t - e e

E

ω δωδ δ

1 − )−−= + + . (1.36)

1 Het is aan te raden om zolang mogelijk te wachten met de benadering omdat ook in de eerste factor van vgl. (1.33)

het mogelijk is de benadering toe te passen. Te vroeg benaderen geeft slechts een eerste-orde benadering die niet de

vgln. (1.34) oplevert.

B 1-20

Men ziet dat initieel een zeer vlugge stijging optreedt met een tijdconstante bepaald door mωx ≈

ωx. Er is echter een tweede exponentiële met weliswaar kleine amplitude maar met een grote

tijdconstante t.g.v. ω1 (1-δ) / m. Om de gedachten te vestigen herhalen we dat f1 van de orde 5 kHz

kan zijn, met een overeenstemmende tweede tijdconstante van de orde 30 µs! Men ziet verder dat

voor δ = 0 men het normale eerste-orde antwoord terugvindt. Bij de volger is δ zeer klein maar

toch niet verwaarloosbaar (δ ≈ 0,005). Indien men de CLG laat toenemen (niet-inverterende

versterker) dan komt de terugkoppelfactor tussen en de lezer kan nagaan dat de situatie nog

verslechterd.

2.3. Fasefouten in opamps.

Wanneer men ac-signalen wil versterken en daarna omzetten in een ADC verwacht men dat de

versterker het signaal zo getrouw mogelijk weergeeft, zowel wat betreft amplitude als fase, over

een zo groot mogelijk frequentiegebied. We berekenen de transfer van een niet-inverterende

versterkerschakeling (Fig. 1. 13) waarin de opamp perfect gecompenseerd is en dus geen

doubletten bevat zodat hij voldoet aan vergelijking: A(ω) = -jωx / ω.

ba

R K R

E V

A

E

R KR

K r r

VA1

A 2

Fig. 1. 13. (a) Gewone inverterende versterker met opamp, (b) Soliman-Ismail fasegecompenseerde versterker.

De CLG is gegeven door vgl. (1.27) en wordt dan, mits K = 1/β en g = K+1 te stellen:

x

1

1

V K p gEω

− =+

. (1.37)

Vermits de ideale winst gelijk is aan -K kan men de tweede factor in het resultaat als een

foutfunctie beschouwen. Verder kan men nog ω normeren op de afsnijfrequentie door x = ω /ωx te

stellen. De foutfunctie uit vgl. (1.37) levert dan de volgende amplitudefout εa en fasefout εp op:

3

2 2a p

1 ( )1 ( ) 1 ( ) en arctan ...2 3

g xg x g x g x g xε ε= + ≈ − = − ≈ − + + (1.38)

B 1-21

De benaderingen zijn geldig omdat in het normale werkingsgebied x zeer klein is. In functie van x

vertoont εp dus een eerste-orde gedrag en daarenboven is εp evenredig met g. De amplitudefout

daarentegen is slechts van tweede-orde. Het is dan ook voornamelijk de fasefout die belangrijk is

voor de CLG. I.h.b. zal de fasefout zeer sterke invloed hebben op de transfer van actieve

filterschakelingen. Het is nu mogelijk deze fasefouten zowel passief als actief te compenseren. In

het eerste geval zal men trachten εp te doen afnemen door condensatoren over de geschikte

weerstand te plaatsen (bijv. parallel met R in Fig. 1. 13a). In het tweede geval gebruikt men het feit

dat de eigenschappen van opamps in dezelfde behuizing over 't algemeen weinig van elkaar

afwijken. De lezer zal aantonen dat de fout die optreedt bij het circuit van Fig. 1. 13b dat door

Soliman en Ismail werd voorgesteld een fasefout vertoont εp = -g x3 indien 1 2x

jA A ωω

= = − . Omdat

x << 1 in het normale werkingsgebied, is de fasefout met dit circuit dan uiteindelijk

verwaarloosbaar. Men kan nog nagaan dat de amplitude karakteristiek ook verder doorloopt.

Deze actieve fasegecompenseerde circuits zijn zeer waardevol bij het ontwerp van actieve

filterschakelingen die men vaak voor de ADC zet als anti-aliasing filter. Theoretisch kan men een

filter op een zodanige wijze ontwerpen dat men de OLG curve in rekening brengt. Dit geeft

nochtans geen voldoening omdat de parameter ωx zeer sterk van IC tot IC kan variëren. Bij de

gecompenseerde schakelingen is enkel het verschil (dat klein is) tussen de ωx van de verschillende

versterkers in hetzelfde IC van belang. Men kan aantonen dat dit kleine verschil terug een eerste-

orde fasefout als gevolg heeft, maar deze is in de praktijk een 5-tal maal kleiner dan in het

ongecompenseerde geval.

2.4. Ruisbeschouwingen.

We hebben al gezien welke ruisbronnen bij fysische systemen optreden. We zetten deze nog eens

ter herinnering op een rij.

Thermische ruis: 2 ( V) (MΩ) (Hz)n n

14 en 8

E = k T B R E .R Bµ ≈ .

Schottky-ruis: (pA) 4 (pA) (Hz)n n2 en 5,7 10I q B I I I B−= ≈ × .

Flikkerruis: fI K 1/f= .

Popcorn-ruis: Effectieve waarde evenredig met (basisstroom)1/2.

Men heeft aangetoond dat de ruis in versterkerschakelingen kan berekend worden door equivalente

ruisbronnen aan de ingang van een versterker te plaatsen. Flikkerruis, Schottky-ruis en Popcorn-

B 1-22

ruis worden voorgesteld d.m.v. een equivalente stroomruisbron in parallel met de ingang. De

spectrale dichtheid van deze bron is n ( )i f en het verloop ervan in functie van de frequentie wordt

in de data bladen gegeven. De Johnsonbronnen zijn voor te stellen met een equivalente

spanningsruisbron met dichtheid n ( )e f en in serie met de ingangsklem geplaatst. Er wordt daarbij

verondersteld dat de ruis hoofdzakelijk van het ingangspaar voortkomt maar dit is niet steeds

correct. Indien men twee actieve ingangsklemmen heeft dan moet men in principe ook twee

stroomruisbronnen invoeren. Voor de spanningsruisbron is dit niet nodig omdat twee

spanningsruisbronnen in serie staan en dus effectief als één bron tellen. In feite is dit analoog met

wat men doet voor de offset- en polarisatiestroombronnen. Zo zal bij de inverterende schakeling

enkel een spanningsbron en een stroombron op de inverterende ingang nodig zijn omdat de niet-

inverterende klem aan de aarde ligt en de overeenkomstige stroombron kortgesloten staat. De totale

ruisspanning aan de uitgang van de versterker wordt dan als volgt berekend: men berekent het

effect van elke bron afzonderlijk en sommeert de bijdragen van elke bron kwadratisch omdat men

kan aannemen dat beide niet gecorreleerd zijn. Vermits de ruisbronnen gerefereerd zijn t.o.v. de

ingangen en men ze als echte bronnen moet beschouwen zal men met de terugkoppeling moeten

rekening houden. Daarenboven zal men ook elke weerstand in de schakeling voorstellen met zijn

ruisbron.

2.4.1. Ruisspectrum.

We hebben eerder al aangetoond hoe men spectrale dichtheid van een ruisbron definieert. We

hebben eveneens vermeld hoe men de effectieve spanning van een ruisbron kan berekenen indien

men de spectrale dichtheid en de (meet-)bandbreedte kent. De dimensies van de spannings- en

stroomruisbron zijn respectievelijk V/√Hz en A/√Hz. Beschouwt men een meetbandbreedte in het

bereik (f1, f2) dan volgen de rms-waarden En en In van de totale spannings- en stroomruis uit:

2 2

1 1

2 2 2 2n n n nd en d

f f

f f

E e f I i f= =∫ ∫ . (1.39)

Om de spectrale dichtheden te beschrijven heeft men ze in de speciale gevallen namen gegeven die

min of meer naar analogie met lichtspectra zijn gekozen. We geven de belangrijkste klassen:

WITTE Ruis: en of in constant t.o.v. de frequentie zoals bij Johnson- en Schottky-ruis. Men heeft

bijgevolg voor de effectieve spanning en stroom binnen (f1, f2):

n n 2 1 n n 2 1 en E e f f I i f f= − = − . (1.40)

De effectieve ruisspanning per decade stijgt met de frequentie. Voor f2/f1 = 10 is En = 3 in √f1.

B 1-23

ROZE Ruis: en of in zijn gelijk aan 1Kf

. De effectieve ruisspanning of stroom is dus:

2 2n e n i

1 1

ln en lnf fE K I = K f f

= . (1.41)

In een log-log diagram is de helling van en of in juist -3 dB/octaaf of -10 dB/decade en elke octaaf

of decade levert dezelfde bijdrage aan de effectieve waarden En of In . I.h.b. geldt er voor een

decade, dus met f2 / f1 = 10:

n e n e1,52 en 1,52E K I K= = . (1.42)

RODE Ruis: het dichtheidsspectrum daalt met 20 dB/decade. Dit ruisspectrum ontstaat wanneer

witte ruis met dichtheid e0 een eerste-orde LD-filter is gepasseerd met een 3 dB-afsnijfrequentie fc.

Men heeft nu in het Bode diagram een vlak deel en een “staart” en:

22

1 1

12 1

2

n 0 0 c2 c

c

d artan 1 ( )

ff

f f

f f E e = e f f f f

= +

∫ . (1.43)

Voor f1 = 0 en f2 = ∞ is n 0 c1,25E e f= × . Mocht het spectrum volledig vlak zijn van nul Hz tot

aan fc dan zou dit deel 0 ce f bijdragen volgens de vgl. (1.41). In deze hypothese zou de staart

verantwoordelijk zijn voor:

20 c 0 c(1,25) 1 0,76e f - e f= × . (1.44)

(a) Berekenen we nu de effectieve ruisspanning van fc tot 10 fc voor een staart die alleen

20 dB/decade daalt, m.a.w. we nemen aan dat de echte ruiscurve volledig met de rechte in het

Bodediagram samenvalt:

c

c

110 2

2c0 0 c( d 0,95)

f

f

fe f e ff

= ×

∫ . (1.45)

(b) Een volledige staart die van fc tot oneindig gaat zou 0 ce f geven. De bijdrage van de ruis

boven 10 fc is dus nagenoeg verwaarloosbaar.

(c) Een spectrum dat volledig vlak is tot fc, gecombineerd met een decade ideale staart zou in

B 1-24

totaal een ruisspanning 2 20 c 0 c[1 (0,95) ] 1,38e f e f+ = × veroorzaken, maar dit is zeker een

overschatting. Combineren we echter het vlakke spectrum met de staart die gewogen wordt met een

factor 0,76 dan bekomen we:

2 20 c 0 c[1 (0,95 0,76) ] 1,23e f e f+ × = × . (1.46)

(d) Voor een staart die gaat van fc tot oneindig zou dit 0 c1,256 e f× geven daar waar de exacte

oplossing gelijk is aan 0 c1,25 e f× . Men zou dezelfde redenering voor een roze ruis curve kunnen

maken. In dat geval bekomt men een weegfactor die in eerste benadering één is. Gezien de geringe

nauwkeurigheid waarmee ruisspectra gekend zijn is het dus redelijk om deze vereenvoudigde

methode voor de ruisberekening toe te passen. Dit laat ons toe om de effectieve ruisspanning

stuksgewijze uit het Bode-diagram van de ruisspanning te bepalen. We gaan dan als volgt te werk:

• Witte ruis van f1 tot f2 wordt als volledig wit beschouwd zelfs als f1 of f2 met een pool of nul

in het Bode-diagram zouden samenvallen.

• Een staart met helling –20 dB vanaf een pool wordt gewogen met een factor 0,76. Men

neemt aan dat hij minstens een decade lang daalt.

• Stijgt de ruiscurve met 20 dB/decade tot aan een pool, dan geldt dezelfde regel.

• Voor een dalende roze ruiscurve zal men het aantal decades tellen en de bijdragen van

vgl. (1.42) vermenigvuldigen met de wortel uit het aantal decades.

• Voor een willekeurig en grillig ruisspectrum zal men de effectieve ruisspanning of stroom

binnen een frequentieband schatten door deze band in stukken if∆ op te delen (eni en in zijn

gemiddelden in een bandje ∆fi):

2 22 2n nn n( ) en ( . )i ii iE . f I fe i≈ ∑ ∆ = ∑ ∆ . (1.47)

2.4.2. Voorbeeld van een ruisberekening.

We berekenen de bijdrage van de spanningsruis tussen 0,01 Hz en 100 kHz van een fictieve bron

met spectrale dichtheid gegeven in Fig. 1. 14. Volgens het voorgaande kunnen we het Bode-

diagram verdelen in de gebieden 1 t.e.m. 6 die we benaderen door rechten. Men bekomt dan de

volgende ruisbijdragen:

B 1-25

1000

10 0

10

1

0.1

0.10.01 1 10 100 10 30 1001 kHz

en ( mV / Hz )

1 2 3 4 5 6

Roze

Wi tRoze

Rood

Wi t Rood

10

1010

Fig. 1. 14. Bode-voorstelling van spectrale dichtheid van een ruisspanning.

1. Van 0,01Hz tot 10 Hz: roze ruis, 2 decaden. De constante in vgl. (1.41)volgt uit de waarde van

en voor f = 1 Hz daar en = K (f)1/2. Dus hier is K = 10. Bijgevolg is de effectieve spanning van de

ruis in gebied (0,01 Hz-1 Hz): 10 ln100 22µV=

2.Wit, 2 decaden. Met vgl. (1.41): 10 100 1 100µV− =

3.Roze, 1 decade. Met vgl. (1.42): 100 ln10 152µV=

4. 20 dB/decade ruis over 1 decade: 0 c0,76 72µVe f× =

5. Wit van 10 tot 30 kHz: 0,3 30.000 10.000 42µV× − =

6. -20 dB/decade: 0,76 0,3 30.000 40µV× × =

De totale RMS-waarde van de spanningsruis is bijgevolg: 6

2

1

204µiE V=∑

Berekent men de ruisspanning enkel in de gebieden 2, 3 en 4 dan vindt men al 196 µV i.p.v.

204 µV. Indien men nu het ganse ruisspectrum zou vervangen door een roze ruiscurve met Ke =

100 µV/√Hz (dunne lijn), dan vindt men met 1 decade 100×1,52 = 152 µV, met 2 decaden 215 µV.

Eigenlijk mogen alle delen die meer dan 10 dB onder de roze ruis lijn liggen verwaarloosd worden

omdat zij kwadratisch gewogen worden. Uit het feit dat elke decade roze ruis evenveel tot de ruis

bijdraagt zoals al eerder opgemerkt bij vgl. (1.42) volgt nu de praktische regel van hieronder.

Men trekt in het diagram van het ruisspectrum een -10 dB/decade dalende rechte die raakt aan de

spectrumcurve. De ruisspanning wordt dan gevonden door alleen de bijdrage te berekenen van dit

deel van de curve dat in de onmiddellijke omgeving van het raakpunt ligt.

B 1-26

2.4.3. Ruisberekening in een tegengekoppelde opamp.

Vermits equivalente ruisbronnen en en in aan de ingang van de opamp kunnen worden geplaatst zal

men het aandeel ervan in de uitgang eo kunnen berekenen door de versterking van de schakeling

voor deze bronnen te zoeken. Deze versterking noemt men de ruiswinst of "noise-gain" (NG).

Niettegenstaande er een nauw verband tussen NG en de CLG bestaat kan NG voor verrassende

effecten zorgen. De NG is in feite het omgekeerde van de terugkoppelfactor β. Dit betekent dat de

CLG = NG. Men kan dit vlug inzien aan de hand van het algemene schema van een teruggekoppeld

systeem. Voor de niet-inverterende schakeling is dit niet helemaal juist omdat een deel van het

ingangssignaal nog extra verzwakt wordt met een factor bepaald door de ingangs- en

terugkoppelweerstand. Deze factor is echter verwaarloosbaar indien men CLG groot kiest.

Voorbeeld. Bandbreedtebeperkte sommator (Fig. 1. 15) met een pool op 1 kHz bepaald door C en

R. Het Bode-diagram toont het verloop van de CLG van e1 en e2, de OLG en de NG van de

spanningsruisbron. Deze laatste is hier gelijk aan:

21 2

1

1 ( // ')NG 1 (1 ) met ' //' 1

Z R pC R R R R RZ R pCR

+= + = + =

+ . (1.48)

Voor Z2 >> Z1 is NG ≈ CLG zoals verwacht. Verder merken we op dat met de gegeven waarden

van de weerstanden men heeft: 1 40,8 dB.'

RR

+ ≈ Voor de frequenties die laag genoeg liggen zal

men dus 40,8 dB optellen bij en. Voor de hogere frequenties moet men rekening houden met de

pool en de nul van NG.

R2

in1

R110 k

100 k

1M

166 pF

e2

e1

in

en

e0

Z 2

R

in3

in2 C

Fig. 1. 15. Ruisberekening in versterker met tegenkoppeling.

Fig. 1. 16 toont nu als voorbeeld mogelijke spectrale verdelingen van en en in van een fictieve

versterker.

B 1-27

Fig. 1. 16. Berekening van de effectieve ruisspanning van een versterker met bronnen in, in1, in2, in3 en en. Opmerkingen.

Men heeft hierbij volgende bijdragen van de weerstanden en de bronnen van de operationele

versterker:

• Spanningsruisbron en. Gerefereerd t.o.v. een willekeurige waarde (bijv. 1 µV) kan men

schrijven eodB = en

dB + NGdB. Men kan dus het verloop van NG gewoon optellen (in dB) bij

dit van en.

• Stroomruisbron in: eo = in Z2 = in R/(1+pCR). Het 3 dB punt ligt bij 1 kHz. Aan de uitgang

verloopt eo zoals in1.R. Vermits R = 1MΩ zal de 10 pA bij 0,1 Hz overeenkomen met 10

µV. Bij 1000 Hz zal de curve 20 dB/decade sneller dalen wegens de pool van Z2.

• Johnson ruisbronnen van R1, R2 en R. Deze bronnen hebben een wit spectrum en indien

men de Nortonvoorstelling met stroomruisbronnen in1, in2 en in3 ervoor invoert dan geldt er

eo1 = in1 Z2, eo2 = in2 Z2 en eo3 = in3 Z3 .

De totale ruis wordt nu bepaald door na te gaan in Fig. 1. 16 welke curve de roze ruis lijn

(korte+lange streep) raakt. Ligt dit raakpunt enkele dB boven de andere lijnen dan kan men hun

bijdrage verwaarlozen. Hier stelt men vast dat en de grootste bijdrage rond 1 kHz geeft. Benadert

men de ruis d.m.v. een decade roze ruis dan vindt men 1,517 160 V=243 Vµ µ× . De werkelijke

bijdrage is slechts 190 µV dus we kunnen de roze ruis waarde als "worst-case" geval beschouwen.

• Men ziet dat de roze ruis lijn rond 1 MHz eveneens dicht n NGe × nadert. Waren de

B 1-28

bandbreedte van de opamp en de CLG lager geweest dan zou de roze ruis lijn dalen en de

dominante ruis zou bij 1 MHz liggen! Vandaar dat men soms een extra LDF (R-C volstaat)

na de uitgang plaatst om deze HF-ruis te onderdrukken.

• Voor een Gaussiaanse bron mag men aannemen dat er een verband bestaat tussen de piek-

tot-piekwaarde Epp van de ruis en de effectieve waarde Eeff ervan. De waarde Epp = 6 Eeff zal gedurende 99,73% van de tijd niet overschreden worden. Uit schatting van Epp met een

oscilloscoop kan men dus Eeff schatten.

• De signaal-ruisverhouding S/N wordt gedefinieerd als de verhouding van het beschikbare

signaalvermogen tot het ruisvermogen:

2

sign es2

ruis en

S N

P E P E

= = . (1.49)

Het ruisgetal F (of nog ruisfactor) is de verhouding (S/N)bron / (S/N)uit en het is een maat voor de

ruisbijdrage van de versterker, wanneer die wordt gestuurd uit een bron met inwendige impedantie

Zi. Men berekent (S/N)bron zonder de versterker ruisbronnen en (S/N)uit met deze bronnen. De

terugkoppelfactor beïnvloedt deze getallen niet, wel zullen de polen en nullen van de impedanties

Z1 en Z2 invloed hebben, evenals de bronweerstand. In het volgende voorbeeld onderzoeken we het

effect van bronnen aan de ingang van een versterker die we zonder tegenkoppeling gebruiken.

Voorbeeld.

We berekenen het ruisgetal van de schakeling in Fig. 1. 17. De signaal-tot-ruisverhouding van de bron is

hier: 2i

bronm i

S( )N 4

ek T B R

= .

e i

R ien

in v Av0

Fig. 1. 17. Versterker gestuurd door een bron met inwendige weerstand.

Vermits de versterker ideaal is volstaat het de ruisbijdrage van Ri, en en in aan de ingangsklem te berekenen:

1. Aandeel in v t.g.v. de bron en: en

2. Aandeel in v t.g.v. de bron in: Ri in

B 1-29

3. Aandeel in v t.g.v. Ri: m i4k T B R

Totale effectieve waarde Ve van v door kwadratisch op te tellen: 2 2 2 2e n i n m i4V e R i k T B R= + + .

De S/N verhouding van de uitgangsspanning v is dus: 2i

uit 2 2 2n i n m i

S( )N 4

ee R i k T B R

=+ +

.

De ruisfactor F, d.i. het ruisgetal uitgedrukt in dB: 2 2 2n i n m idB

m i

420log

4e R i k T B R

Fk T B R

+ += .

De ruisfactor vertoont dus een minimale waarde wanneer de bronimpedantie gelijk is aan: 2n

i 2n

eR

i= .

Indien het gaat om het versterken van ac-signalen is het dikwijls mogelijk om F te minimaliseren

door het gebruik van een aanpassingstransformator met de gepaste windingsverhouding Nopt. Deze

verhouding zal niet dezelfde zijn als deze die men bij een impedantie aanpassing (=maximale

vermogensoverdracht) nodig heeft.

Fig. 1. 18. Ruisgetal contouren.

De transformator verandert niets aan de S/N verhouding van de bron want zowel ei als de

Nyquistbron van Ri worden kwadratisch getransformeerd. In het algemeen zal de ruisfactor

B 1-30

afhangen van de ruisbronnen en en in en de bronweerstand zelf. Om deze reden geeft men soms de

zogenaamde “ruisfactor contouren” op.

Dit zijn curven waarin in abcis de frequentie staat en in ordinaat de bronweerstand. De ruisfactor is

dan een parameter van de gesloten curven in deze figuur die vergelijkbaar zijn met hoogtelijnen op

een landkaart. De curve die de laagste F als parameter heeft stelt de beste combinatie van

frequentiegebied en stuurimpedantie voor. Elke andere bronimpedantie zal een slechter resultaat

geven. Fig. 1. 18 geeft een typisch voorbeeld.

2.5. Secundaire offsetoorzaken in versterkers.

Wanneer meer offset bij een versterker vastgesteld wordt dan gespecificeerd in de databladen ligt

de fout niet noodzakelijk bij de versterker. Heeft men de schakeling goed ontworpen zodat

bijvoorbeeld de dc-spanningsvallen in de baantjes van het PCB geen rol spelen dan zijn er

verschillende redenen waarom meer offset optreedt dan mogelijk is volgens de specificaties. We

bespreken zeer kort enkele van deze effecten.

2.5.1. Thermo-e.m.k.'s in draden en printbanen.

Wanneer een hoge versterking in gelijkspanning nodig is moet men er voor zorgen dat zo weinig

mogelijk temperatuursgradiënten kunnen optreden. Soms moet men thermische isolatie aanbrengen

om de invloed van luchtcirculatie te vermijden. Er bestaan speciale soldeerlegeringen die een

minimale temperatuurcoëfficiënt met het koper van het PCB vertonen.

2.5.2. Piëzo-effecten in kabels.

Bij vele kabels blijken na buiging ladingsverschillen te ontstaan tussen de centrale geleider en de

afscherming. Vooral wanneer de signaalbron en ingang van de versterker hoogohmig zijn zal dit

effect de nullijn kunnen verstoren. Met speciale kabels (zeer duur) kan de ladingsopwekking

worden beperkt.

2.5.3. HF-geïnduceerde dc-offset.

Indien HF-signalen doordringen tot de opamp kan tengevolge van gelijkrichteffecten een

schijnbare offsetspanning ontstaan. De Fig. 1. 19. toont wat er gebeurt indien een HF-spanning aan

een LM741, als volger geschakeld, wordt aangelegd. Men stelt vast dat een offsetspanning aan de

uitgang optreedt die groter wordt naarmate de HF-amplitude stijgt en de frequentie toeneemt.

B 1-31

Fig. 1. 19. Uitgangsoffset bij LM741 volger met HF-spanning op ingang.

Hetzelfde gedrag vindt men terug bij de inverterende schakeling. Bij deze treedt een equivalente

offset op van 30 mV wanneer een stoorspanning van 30 mV (RMS) de nietinverterende ingang

bereikt bij een CLG = -10. Vermits dergelijke frequenties in gemengde systemen (analoog-digitaal)

niet ongewoon zijn is het niet denkbeeldig dat er extra offset ontstaat.

Fig. 1. 20. Onderdrukking van sinusoïdale storingen op de voeding bij de industriestandaard OP-77 (data volgens PMI).

Ook ruis of storingen aanwezig op de V+ en V- voedingslijnen hebben hetzelfde effect. De

onderdrukking van storingen op de voedingspunten van de opamp (PSSR) is immers sterk

B 1-32

frequentieafhankelijk, zowel wat betreft de V+ als de V- klem. Fig. 1. 20. toont de typische PSSR

voor een OP77.

De oorzaak van deze offsetspanning Vos t.g.v. HF-ruis aan de ingang ligt bij het gelijkrichtende

effect van het ingangspaar. De frequentieafhankelijkheid is een gevolg van de parasitaire capaciteit

C over de emitterstroombron 2I0 (Fig. 1. 9a). Men kan aantonen dat de equivalente offsetspanning

die ontstaat wanneer de ingang van het differentiaalpaar een HF-spanning met amplitude V1

ontvangt, gegeven is door:

2

2 212

1 [ ( )]( () )16 1 ( )

r C R + rV v v R r C R

ωω+ +

, (1.50)

waarin men heeft: 025mV /k Tv , r v Iq

= ≈ = . De weerstanden R in serie met beide emitters van

het ingangspaar weerstanden hebben als bedoeling de SR te verhogen. Zij hebben als nadeel dat het

differentiaalpaar meer ruis produceert en worden daarom maar spaarzaam aangewend.

Om de storingsgeïnduceerde offset te vermijden kan men beide ingangen evenals de voedingslijnen

van filters voorzien, bijvoorbeeld ferrietkralen al dan niet gecombineerd met een condensator.

3. Nuldetectoren voor ac-toepassingen.

De winst van een nuldetector moet zeer groot zijn, maar in tegenstelling tot deze van de

meetversterker moet hij niet nauwkeurig vastliggen. We weten dat een grote S/N verhouding enkel

te bereiken is met een zeer kleine bandbreedte B. Vandaar dat men "selectieve" versterkers

gebruikt. Deze worden afgestemd op de signaalfrequentie en kunnen een vaste of een instelbare B

bezitten. Verder moet een nuldetector goed overbelastbaar zijn. Dit kan men bekomen d.m.v. een

niet-lineair verband tussen Vo en Vi ofwel past men de winst automatisch aan wanneer Vi varieert

("automatic gain control" of AGC). Fig. 1. 21.

ba

V0

V+

V-

Vi

V0

V+

V-

Vi

< Vi>

Fig. 1. 21. (a) Versterker met zachte begrenzing, (b) AGC werking.

B 1-33

Fig. 1. 21a. Is de karakteristiek van een zachte begrenzer: het niet-lineaire verband Vo/Vi vervormt

echter het uitgangssignaal zeer sterk.

Fig. 1. 21b. toont de AGC werking: indien de amplitude of de gemiddelde waarde van Vi toeneemt

laat men G automatisch dalen. Het verband Vo /Vi blijft daarbij lineair tot aan de saturatiegrenzen

V+ en V-.

3.1. Nuldetectoren voor lage frequenties.

De gevoeligheid van deze nuldetectoren kan enorm zijn, bv. 1 nV voor de volleschaal uitslag. Voor

vaste frequenties worden soms afgestemde kringen aangewend. Afstembare detectoren gaan

doorgaans uit van een passief RC-netwerk dat selectieve eigenschappen vertoont (Wiennetwerk,

dubbele-T). Men neemt dit netwerk dan op in de terugkoppeling van een versterker met hoge

winst A. Een klassiek filtercircuit is het dubbel T-netwerk van de Fig. 1. 23a.

c

b

a

1

3

2

3

R R

CC

R / 2 2 C

Vi

2 1

A

3

V0+

-1

A

ff0

G

T

Fig. 1. 22. (a) Dubbel-T filter, (b) Opamp met filter in de terugkoppeling, (c) Versterking in functie van de frequentie.

Met de gegeven componenten vertoont de transfer T van het filter uit Fig. 1. 23a een nul voor f0 =

1/2 π R C. Voor dc en de zeer hoge frequenties is T = 1. De winst van de versterker, met het filter

in de terugkoppeling, is G = -1/T; bij f = f0 verkrijgt men dus de volle versterking. Voor dc en ver

boven f0 is de winst slechts 1. De selectiviteit van deze schakeling is niet voldoende voor

toepassingen die een zeer kleine bandbreedte vereisen. In de literatuur vindt men evenwel een

aantal varianten op dit schema waarin een combinatie van positieve en negatieve terugkoppeling

voorkomt en die een veel grotere selectiviteit bieden. Door keuze van de regelelementen slaagt

men er zelfs in om regelbare filters met constante relatieve bandbreedte te ontwerpen.

3.2. Detectoren voor hoge frequenties.

Men gebruikt voor hoge frequenties zeer gevoelige radio-ontvangers die volgens het heterodyne

principe werken. Daar de gevoeligheden zich in het microvolt gebied situeren kan men ze als

nuldetectoren toepassen. Bij deze heterodyne ontvangers wordt het signaal op frequentie fs d.m.v.

B 1-34

een niet-lineair element (menger) naar een andere en vaste frequentie fm omgezet. Dit signaal wordt

in een "middenfrequent versterker" selectief versterkt (met LC-kringen of kwarts resonatoren). Het

uitgangssignaal van de middenfrequent versterker heeft dan steeds dezelfde bandbreedte. De te

detecteren frequentie fs kan geselecteerd worden d.m.v. een instelbare oscillatorfrequentie f0

(Fig. 1. 23). Voor deze heterodyne is dus een frequentieconvertor of menger nodig. Er bestaan

twee basismethoden voor frequentie conversie:

Fig. 1. 23. Heterodyne detector voor hoge frequenties.

a. Additieve menging d.m.v. een niet-lineaire karakteristiek e0 = f(ei) van de menger:

2 3o 1 i 2 i 3 i ...e k e k e k e= + + (1.51)

Aan deze menger leggen we nu de som van het oscillatorsignaal en ingangssignaal aan:

i s osin sin se E t E tω ω= + . (1.52)

Verwaarlozen we de reeks na k3 (dit is niet noodzakelijk voor de werking), dan zien we, na

uitwerken, een dc-term verschijnen evenals termen met frequentie ω0, ωs, 2ω0 en, dit is belangrijk,

ωs-ωo en ωs+ωo. Daarenboven hebben deze laatste als amplitude k2 Es E0. M.a.w. informatie over

de amplitude van het signaal blijft na de menging behouden in de amplitude van de componenten

op ωs ± ωo. Meestal zal men de middenfrequent versterker een niet te hoge afstemfrequentie fm

willen geven omdat dit toelaat de bandoorlaatcurve zeer goed te specificeren. Vandaar dat men ω0

zo instelt dat ωm = 2 π fm = ωs - ω0. Alle andere componenten dan deze met frequentie ωs aanwezig

in het ingangssignaal worden dan geëlimineerd.

b. Multiplicatieve menging.

Bij multiplicatieve menging wordt de winst van een versterker periodiek gewijzigd door de lokale

oscillator ω0. Aan de uitgang vindt men dan eveneens een reeks mengfrequenties terug.

o i 0 1 0 2 0 met sin sin 2 ...e K e K K K t K tω ω= = + + (1.53)

B 1-35

Voert men een signaal i s ssine E tω= toe aan deze menger dan bekomt men:

0 s s 1 s s 0 2 s s 0

1 s s 0 s 0

2 s s 0 s 0

sin sin sin sin sin 2 ...1 ... [cos( ) cos( ) ]21 [cos( 2 ) cos( 2 ) ]...2

oe K E t K E t t K E t t

K E t t

K E t t

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

= + + +

= + − − +

+ − − +

(1.54)

Als modulerend element is, voor lage frequenties, een vermenigvuldiger zeer bruikbaar. Deze

levert immers slechts één term in de reeks van vgl. (1.54) omdat enkel K = K1sinω0t optreedt. Voor

de hoge frequenties doet men beroep op het niet-lineaire gedrag van dioden, transistoren, fet's of

zelfs buizen. Men varieert daarbij de ruststroom door het element periodiek volgens ω0.

Merkwaardig is nog dat in vgl. (1.54) virtueel negatieve frequenties mogen optreden. Inderdaad

worden signalen waarvoor ωs ± ω0 = - ωm evengoed versterkt als deze waarvoor ωs ± ω0 = + ωm.

Een gevolg daarvan is dat de menger gevoelig wordt aan spiegelfrequenties. Elk signaal ωs dat

voldoet aan vgl. (1.54) wordt door de middenfrequent (MF) versterker immers versterkt. Daarbij

zijn verschillende gevallen mogelijk zoals de figuur laat zien.

(1) Signaalfrequentie hoger dan de oscillatorfrequentie. Indien de MF-vertsterker zo ontworpen

wordt dat ωm = ωs - ω0 dan voldoet ωs aan: s o m s o, ω ω ω ω ω= + > . Elke frequentie ω's die - ωm

oplevert zal dan eveneens gedetecteerd worden: 's o m -ω ω ω= .

De frequenties ωs en ω's liggen gespiegeld t.o.v. ωo (Fig. 1. 24a) en op een afstand ωm van ωo.

Fig. 1. 24. Verschillende gevallen van spiegelfrekwenties.

(2) Indien ωs klein is zal men soms de MF-versterker gevoelig maken voor ωs+ωo. Men heeft dan: ,

s m o s m o en ω ω ω ω ω ω= − = − − .

B 1-36

Wegens de laatste gelijkheid zal de versterker reageren op ω's = ωm+ωo. De ontvanger is nu

gevoelig voor frequenties gespiegeld t.o.v. ωm en op een afstand ωo van ωm. Naargelang ωs < ωo of

ωs > ωo verschilt de situatie (Fig. 1. 24b en c). I.h.b. zal o mω ω= worden indien 's 02ω ω= . Dit is te

vermijden omdat de (grote) oscillatorspanning in de MF-versterker kan doordringen via de meng-

schakeling en oversturing ervan kan veroorzaken.

Om de gevoeligheid voor spiegelfrequenties te elimineren zal men dus noodgedwongen een

preselectie voor de mengtrap moeten doorvoeren. De eisen gesteld aan een dergelijke preselectie

trap liggen echter niet hoog zolang het verschil tussen ωs en ω's groot genoeg blijft.

Detectie van de HF-signalen.

Naargelang het doel van de heterodyne zal men het blok "detector" anders uitvoeren. Wenst men

een continu signaal te detecteren dan kan een piekdetector of gemiddeldewaarde detector volstaan.

Indien de heterodyne gebruikt wordt voor het meten van impulsvormige storingen dan wordt een

zogenaamde quasi-piek detector toegepast met verschillende laad- en ontlaadtijdconstanten die

door normen worden voorgeschreven.

4. Fasegevoelige detectoren

Bij de meting van admittanties moet een reëel en imaginair deel bepaald worden. Zo kan men

spanning V aan de component opdringen en het reële en imaginaire deel van de stroom bepalen.

Omgekeerd zal men de stroom opdringen indien men impedanties wil bepalen. Neemt men V als

referentie dan geldt er:

Re( ) Re(Y) en Im( ) Im( )I I YV V

= = . (1.55)

De totale stroom kan eveneens beschreven worden d.m.v. een component If in fase met V en een

tweede, Iq, in kwadratuur ermee:

f qjI I I= + . (1.56)

Bij bepaalde vergelijkingsmetingen blijkt het verder mogelijk te zijn om If en Iq te compenseren

d.m.v. twee onafhankelijk werkende regelparameters RP1 en RP2; RP1 stelt dan bijvoorbeeld enkel

het reële deel in en RP2 het imaginaire. Indien men beschikt over een ND die zowel het evenwicht

voor Iq als voor If zou aantonen dan zou het in evenwicht brengen veel vlugger kunnen gebeuren in

vergelijking met de klassieke methode die enkel de grootte van het vergelijkingssignaal bekijkt.

Een dergelijke ND moet noodzakelijkerwijze twee signalen t.z.t. aantonen, m.a.w. hij bezit twee

aparte meters of hij geeft een tweedimensionale indicatie. De tweedimensionale nulindicatoren

B 1-37

gebruiken o.a. een kathodestraalbuis als indicator. Een punt of een vector kan daarbij het

vergelijkingssignaal voorstellen.

Tweedimensionale detectoren worden nu nog aangewend in toestellen waarmee de fazen van de

kleurensignalen in een videosignaal kunnen worden voorgesteld. Men zal daarbij enkel de toppen

van de kleurenvectoren laten verschijnen op het scherm van de oscilloscoop. Verder maken

praktisch alle moderne impedantiemeters gebruik van fasegevoelige detectoren. Dit wordt later in

het hoofdstuk “Universele bruggen en comparatoren” geïllustreerd.

4.1. Synchrone detectoren.

In veel toepassingen wordt een schakeling gestuurd door een sinusgenerator en wil men de

uitgangsamplitude van het circuit op deze excitatie bepalen. Zo bijvoorbeeld is bij een ac

brugschakeling de detectorspanning Ed het resultaat van de generatorspanning Eg. Het verband

tussen beide spanningen wordt door de transferfunctie gegeven. Wil men Ed op nul regelen dan

moet de detector uiterst gevoelig zijn. Doorgaans volstaat een selectieve versterker, gevolgd door

een gelijkrichterschakeling, om gevoeligheden van de orde 1 µV FS te bereiken. Wil men een

universele detector ontwerpen dan moet uiteraard de centrale frequentie van de banddoorlaat-

versterker kunnen continu afgeregeld worden. Wil men daarenboven een zeer geringe invloed van

ruis, zowel wat betreft deze gegenereerd door de brug als door de selectieve versterker zelf, dan

komt men tot tegenstrijdige ontwerpvoorwaarden.

4.1.1. Probleem van de gewone detector.

Fig. 1. 25 geeft een klassieke selectieve detector van het zogenaamde "rechtuit" type weer.

Fig. 1. 25. Rechtuit detector.

Het signaal Eg (frequentie fs ) wordt eerst door een voorversterker aangepast aan het meetobject

DUT (device under test) en daarna door een aantal selectieve banddoorlaatfilters met versterker

gestuurd. De uitgangsspanning U van de detectorschakeling met diode D en condensator C is dan

evenredig met de amplitude van Eg. De centrale frequentie van de filters F1, F2, … Fn moet, om een

B 1-38

maximum gevoeligheid te behouden, steeds precies gelijk zijn aan de generatorfrequentie fs.

Nochtans wordt het moeilijker en moeilijker deze gelijkheid te verwezenlijken naarmate de

vereiste meetbandbreedte afneemt. Een geringe afwijking tussen de centrale frequentie van het

filter en de signaalfrequentie fs zal de gevoeligheid van de detector sterk doen afnemen. Er worden

dus zeer sterke eisen gesteld aan de afstemstabiliteit van de filters. Wil men gevoeligheden in het

nV-gebied dan zijn zeer kleine meetbandbreedten noodzakelijk, bijvoorbeeld 0,001 … 1 Hz, en

dan kunnen klassieke filters geen oplossing brengen. Ook is het mogelijk dat fs niet zeer stabiel is;

in dat geval mag de meetbandbreedte niet te klein mag worden opdat de frequentiedrift op dit

signaal zou gevolgd kunnen worden.

Om de meetbandbreedte klein te maken zou men kunnen overstappen naar een heterodyne detector.

De selectiviteit wordt daar immers bepaald door afgestemde kringen die alle op dezelfde frequentie

afgeregeld worden. Het is echter moeilijk om een zeer kleine bandbreedte te bereiken omdat het

aantal kringen dat daartoe nodig is veel te groot wordt. Wenst men bijvoorbeeld een

meetbandbreedte van ± 1 Hz dan moeten alle MF-filters dezelfde bandbreedte bezitten. Om dit te

kunnen verwezenlijken met een redelijk aantal vast afgestemde kringen zouden de individuele

kringen ook zeer selectief moeten zijn en men zou min of meer in het geval van de rechtuit detector

verzeilen. Inderdaad vertonen ook vaste kringen een drift van de afstemfrequentie als gevolg van

veroudering en temperatuursinvloeden. Bij gebruik van een analoge heterodyne oscillator kan de

mengfrequentie onstabiel worden en afwijken van de vaste centrale frequentie van de MF-

versterker.

4.1.2. De synchrone detector

Om deze problemen te vermijden kan men gebruik maken van de synchrone detector (SD) waarvan

Fig. 1. 26 het principe toont. Uit het signaal ed met frequentie s

1π

fT

ω= =

2 wordt d.m.v. een PLL

een vierkantsgolf met zelfde frequentie gedestilleerd2. De schakelaar S wordt dan synchroon met

deze blokgolf van stand 1 naar stand 0 omgeschakeld. Het effect daarvan op het RC-

laagdoorlaatfilter kan berekend worden door het invoeren van een schakelfunctie die S voor 50%

van de periode Ts (= 1/fs ) in de stand 1 houdt en voor 50% in stand 0. Het laagdoorlaatfilter

verwijdert de ac-componenten van de versterkeruitgang S.K.ed grotendeels en behoudt in feite

enkel de dc-component U ervan. Men heeft dus de figuren (c) en (d) overeenstemmend met (a) en

(b) voor de spanning u. We voeren de bewerking uit in het geval van Fig. 1. 27d. Het is niet nodig

2 Dikwijls staat de excitatiebron ter beschikking, bijvoorbeeld bij een brug of bij een impedantiemeting, en zal men

geen PLL nodig hebben.

B 1-39

om te veronderstellen dat de versterker ideaal is voor dc zoals we verder nog aantonen. De uitgang

ervan mag dus een offsetspanning a0 bevatten. Het kan ook zijn dat ed zelf een ongewenste dc-

component bevat die ook wordt versterkt. We berekenen nu de spanning K ed op de schakelaar en

de gemiddelde waarde U van de uitgangsspanning van het RC-filter.

d 0 s1

sin ( ) met 1,2,3,...n nK e a A n t nω ϕ∞

= + + =∑ (1.57)

ba

ed K

S

Uu

"0"

"1 "S

Uu

"0"

"1 "

Fig. 1. 26. Enkelzijdige en dubbelzijdige synchrone detector.

s s

s

/ 2

0 s 0 ss s0 / 2

1 1[ sin ( ) ] [ sin ( ) ]d dT T

n n n nT

U a A n t a A n tt tT T

ω ϕ ω ϕ= + + − + +∑ ∑∫ ∫ (1.58)

n

0 voor even1 [cos cos( π )] 2π = cos voor oneven

π

nn n

n

nA n An n

nϕ ϕ

ϕ

== − +

∑ ∑

Fig. 1. 27. Vermenigvuldiging van ed met blokgolf levert u op.

Voor het geval van de Fig. 1. 26a vindt men op analoge wijze:

B 1-40

0

0

1 cos voor oneven2 π

voor even2

nn

a AU nn

a n

ϕ = + =

∑ . (1.59)

4.1.3. Eigenschappen van de synchrone detector.

• Alleen de oneven harmonischen produceren een aandeel in U; er treedt echter een

verzwakking met een factor n op t.o.v. het aandeel van de grondgolf.

• De dubbelzijdige detector elimineert de dc-component aanwezig in K ed. Voor de

Fig. 1. 26a vindt men deze component terug in U. Op deze wijze is het mogelijk om met

“hakkerversterkers” een zeer kleine dc-component te versterken in een ac-versterker.

• Bestaat ed enkel uit de grondgolf A1 sin (ωst+ϕ), dan is U nul indien ϕ = π /2. De synchrone

detector laat dus toe de in-fase (I) en kwadratuurcomponent (Q) te bepalen van een

spanning t.o.v. een referentiefase. Het volstaat daartoe om de schakelaars eerst te sturen uit

de referentiefase en daarna met een spanning die T/2 verschoven is t.o.v. de referentiefase.

• De meetbandbreedte Bm wordt bepaald door het RC-filter. Het is dus zeer eenvoudig een

kleine Bm te bekomen, bijvoorbeeld Bm < 1 Hz. De ruissignalen in ed die ongecorreleerd zijn

met de referentiebron worden aldus zeer sterk onderdrukt.

• De S/N verhouding is dezelfde voor (a) en (b). Fig. (a) vereist echter een veel grotere

tijdconstante teneinde de uitgangsrimpel te beperken (vgl. enkel- en dubbelfasige

gelijkrichting).

Bij gevoelige metingen zal men uitgaan van een vervormingsarme generator en men laat de S.D.

voorafgaan door een klassieke selectieve versterker. Op deze wijze wordt het aandeel van de

oneven harmonischen in ed sterk beperkt. Dit is van belang wanneer men de SD gebruikt als ND bij

bruggen met frequentieafhankelijk evenwicht. Uit de spanning van de generator leidt men een

blokgolf af en deze stuurt dan de schakelaars. Deze mogelijkheden vindt men terug in de

zogenaamde “lock-in” versterker.

Onderzoeken we nu het gedrag van S.D. indien ed een term bevat met een frequentie f1 die verschilt

van fs. I.p.v. de schakelfunctie in het tijdsdomein te laten inwerken op K ed gaan we ze voorstellen

in het frequentiedomein. Voor K ed = sin ω1t wordt u, voor n oneven en in het geval (c):

1 s s s1 2 2 2sin [ sin sin 3 ... sin ...]2 π 3π π

u t t t n tn

ω ω ω ω= + + + + + , (1.60)

B 1-41

1 s 1 s

1 s 1 s2Algemene term [cos( ) cos( )]π

f n f f n f

n t n tn

ω ω ω ω− +

= − − + . (1.61)

Nu elimineert het filter alle componenten in u die boven zijn afsnijfrequentie fc liggen; tevens is

fs » fc gemaakt om de grondgolf uit u t.g.v. fs weg te filteren. M.a.w. enkel de term f1-n fs zou

eventueel terug te vinden zijn in u indien

s s s1 c 1 c0 dus - n f < n f < n f f f f f≤ ≤ + , (1.62)

of nog als: s s1 c c 10 en dus s n f - < n f - < n ff f f f≤ ≤ . (1.63)

M.a.w. signaalcomponenten in ed met een frequentie gelegen tussen n fs - fc en n fs + fc zullen een

wisselcomponent in u veroorzaken.

Fig. 1. 28. Uitgang van SD in functie van de inkomende frequentie.

Dit is uiteraard het “aliasing” effect. I.h.b. zal er een dc-waarde in u voorkomen telkens f1 = n fs,

waarbij voor n = 1 het gewenste signaal te voorschijn komt. Weliswaar wordt het effect van de

andere componenten met een factor n verzwakt, maar men ziet duidelijk dat een selectief filter voor

het DUT noodzakelijk blijft. I.h.b. is dit een noodzaak indien het DUT niet-lineaire elementen

bevat of indien het frequentieafhankelijke eigenschappen bezit.

Een logische manier om dit probleem te omzeilen is, om gebruik te maken van een analoge

vermenigvuldiger en een zuivere sinusoïdale schakelspanning aan te leggen. Daardoor verdwijnen

al de termen waarvoor n > 1. In een praktische uitvoering, volgens Cutkosky, van een I en Q

detector (Fig. 1. 29) wordt de referentie ingangssinus automatisch versterkt op constant niveau

(punt 1) d.m.v. omschakeling van de weerstand R en een AGC circuit. Een 90° verschoven

referentiesinus bekomt men op punt 2 d.m.v. een integrator met integratiecondensator C en

dezelfde controleschakeling voor de amplitude. Het ingangssignaal wordt eerst op niveau gebracht

met versterkers en daarna met deze twee referentiesignalen vermenigvuldigd. Op de punten 3 en 4

vindt men dan de in-faze (I) en kwadratuur (Q) signalen. De ruisonderdrukking gebeurt door twee

integratoren die elk gedurende 1 s integreren. Op het einde van de integratietijd wordt hun

uitgangssignaal in een digitale waarde omgezet d.m.v. AD-convertoren. Niveaudetectoren

B 1-42

schakelen de gepaste R en C in zodat de schakeling functioneert van 10 Hz tot 50 kHz. De resolutie

bedraagt 0,02 µV.

SIGNAAL

IN INGANGS-

VERZWAKKER

VOOR-

VERSTERKER

HOOFD-

VERZWAKKER

HOOFD-

VERSTERKER

XX

DEMOD.DEMOD.

3

I

C

I

INTEG.A .D.

CONV.

C

INTEG.

Q

A .D.

CONV.

R

REF.

INGANG

0.0 6 - 40 V

X

A GC

VERM.

A GC

VERM.

ABS

WAARDE

ABS

WAARDE

POLARISATIE

POLARISATIE

INTEG.

R

CSELEKTIE

NIVEAU

DETEKTOREN

INTEG

X

INTEG.

2

4

Q

1

Fig. 1. 29. Praktische uitvoering van een synchrone detektor (Cutkosky).

B 1-43

APPENDIX I BIJ HOOFDSTUK B I.

Enkele bijzonderheden bij metingen in aanwezigheid van ruis.

1. Uitmiddeling van een meetgrootheid.

Bij zeer veel metingen wil men het resultaat verbeteren d.m.v. uitmiddeling van de meetreeksen. In

principe moet er uitgemiddeld worden over een oneindig tijdsinterval, maar in de praktijk beperkt

men zich noodgedwongen tot een aanvaardbare en redelijke tijdsduur. We kunnen ons de vraag

stellen hoe groot de fout op het berekende gemiddelde wordt in zo een geval. Anderzijds wil men

weten hoelang men moet meten om aan een redelijk resultaat te komen. De volgende overwegingen

geven een antwoord op deze vragen.

(1) Het echte gemiddelde µ van een reeks metingen wordt in feite vervangen door zijn schatting µ .

De gemiddelde waarde van een veranderlijke ( )x t gemeten over een tijdsduur T zou dan zijn:

x0

1 ( )dT

x t tT

µ = ∫ (A I-1)

(2) We trachten in het algemeen een “unbiased” schatter te bekomen, dit is een schatter die zo is

gekozen dat voor T →∞ de te verwachten waarde (expected value) van de schatter naar de echte

waarde gaat:

x( ) =E µ µ (A I-2)

(3) Bij opeenvolgende metingen van het gemiddelde zal men vaststellen dat de schattingen

afwijken van het echte gemiddelde µx. De afwijking of fout kan nu eveneens beschouwd worden

als een toevalsgrootheid en daarmee zal een waarschijnlijkheidsdichtheid mee geassocieerd zijn.

Wanneer men nu aanneemt dat in veel nuttige gevallen die distributie Gaussiaans is met een

gemiddelde µ dan kunnen we eveneens de variantie van de schatting of haar wortel de standaard

deviatie bepalen:

2 2x x[( ) ] variantie ( ) = (standaard deviatie)E µ µ µ− = (A I-3)

Voor een Gaussiaanse distributie kan men zeggen dat 68% van de metingen een fout kleiner dan de

standaard deviatie vertonen en 95% zullen een fout kleiner dan twee standaard deviaties hebben.

(4) Men kan nu aantonen dat de fout op de schatting van de gemiddelde waarde volgens (A I-3) in

het geval van een bandbreedte beperkte Gaussiaanse ruis de volgende variantie vertoont:

B 1-44

2

2xxVar( (standaard deviatie)

2 BTσµ ) = = (A I-4)

Daarin zijn: B de ruisbandbreedte, σx de rms waarde van de schommelende component van de ruis,

T de duur van het uitmiddelen. De vgl. (A I-4) is enkel geldig indien men aanneemt dat 1BT en

dat het uitmiddelen door een echte integrator gebeurt. In de praktijk zal men echter de middelaar

meestal door een eenvoudig RC-filter vervangen.

Voorbeeld.

Een dc spanning van 10 mV zit verborgen in een bandbeperkte ruisspanning van 100 mV met vlak spectrum

tot 10 kHz. Indien men een integrerende voltmeter gebruikt, hoe groot moet dan de uitmiddeltijd T zijn om

met 95% zekerheid een resultaat met ε = 10% nauwkeurigheid te bekomen?

Uit bovenstaande volgt dat echte fout met 95% zekerheid kleiner dan 2 standaarddeviaties zal zijn. We

kiezen daarom tweemaal de standaarddeviatie kleiner dan ε. Uit de vgl. (A I-3)) volgt dan dat x22BTσ

kleiner moet blijven dan 0,1× 10mV, zodat uit de effectieve waarde σx = 100 mV volgt dat T ≥ 20 s moet

zijn. De voorwaarde 1BT is dan voldaan. Dus in het algemeen moet de meettijd sterk toenemen

wanneer de meetbandbreedte afneemt.

2. Onzekerheid op de spanning van een condensator als gevolg van ruis.

Wordt een ideale condensator ontladen dan zou men in principe verwachten dat de spanning

volledig deterministisch in de tijd verloopt. Dit is echter niet het geval omdat de weerstand

waarover men ontlaadt ook een rol speelt. Het is zelfs zo dat ook op een ontladen condensator de

ruis een invloed heeft. Om de gedachten te vestigen onderzoeken we het circuit van de figuur.

De ruisbron van de weerstand heeft een spectrale dichtheid n 4e k T R= V/Hz0,5 en het

spectrum is wit, d.w.z. het is vlak (in principe van 0 Hz tot oneindig). De effectieve spanning over

de condensator wordt bepaald door het laagdoorlaatfilter dat de weerstand R met de condensator C

vormt. Rekening houdende met de transferkarakteristiek van dit filter wordt de effectieve waarde

van de ruisspanning:

C

R

en

?

B 1-45

22

0

4 d 1 ( )

k T RE fC Rω

∞

=+∫ . (A I-5)

Met c 1/ 2πf C R= de -3dB afsnijfrequentie van het LP-filter vindt men dan dat:

2c 0

c

4 [arctan ]f k TE k T R ff C

∞= = . (A I-6)

De vergelijking (A I-6) is de verwachtingswaarde van 2ne en men stelt vast dat deze niet afhangt van

R. In feite betekent dit dat men tijdens een gewone exponentiele ontlading dezelfde onzekerheid

terugvindt op een spanningsmeting. Daar de frequentie nergens voorkomt in de formule geldt dit

ook voor de spanning van de condensator wanneer hij volledig is ontladen. M.a.w. er staat zelfs

over een volledig ontladen condensator een spanning met verwachtingswaarde gegeven door (A I-

6).

De gevolgen kunnen belangrijk zijn voor de praktijk en het begrijpen van enkele fundamentele

elektrische verschijnselen:

• Bij moderne CMOS A/D en D/A omzetters worden veelal condensatoren als geschakeld

element gebruikt. De formule (A I-6) laat zien dat de onzekerheid op de spanning van de

condensatoren een soort ruis zal veroorzaken.

• Te kleine condensatorwaarden zij uit den boze daar E2 dan te groot wordt. Dit is natuurlijk

een nadeel wanneer men de condensatoren wenst te integreren op een IC. De waarde van

(A I-6) bepaalt samen met de resolutie van de omzetter de grootte van de condensatoren

daar men wenst de fout t.g.v. E kleiner dan ½ LSB te houden.

• Dezelfde ruisspanning vindt men terug bij een condensatormicrofoon.

• De ontlading van een condensator over een weerstand geeft een exponentiele functie die

oneindig lang duurt. Het praktische tijdinterval is echter beperkt want men moet in feite

nagaan na hoeveel tijdconstanten de eigenlijke ontlaadspanning gelijk wordt aan de

verwachtingswaarde van de ruisspanning. Als men de meting verder zet zal de ruisspanning

groter zijn dan de ontlaadspanning. Men zal vaststellen dat de praktische ontladingsduur

daardoor zeer wordt beperkt. In de praktijk zal na een zestal tijdconstanten de exponentiële

spanning kleiner zijn dan de onzekerheid op de spanning.

B 1-46

Hoofdstuk B1. Wisselstroom en magnetische metingen.

1. Wisselstroommetingen. _________________________________________________________1

1.1. Basisdefinities. _2 1.1.1. Periodische tijdsfuncties f(t)._______________________________________________________ 2 1.1.2. Vervormingsfactoren. _____________________________________________________________ 3 1.1.3. Signalen waarvan de amplitudedistributiefunctie p(e) gekend is. _____________________ 4

1.2. Westonmeters voor spanningsmetingen. _5 1.2.1. Meting van de gelijkgerichte waarde._______________________________________________ 5 1.2.2. Meting van de piekwaarde. ________________________________________________________ 7 1.2.3. Meting van de effectieve waarde. __________________________________________________ 9

1.3. Elektro-dynamische toestellen. 10 1.4. Thermische instrumenten. 10

2. Versterkers __________________________________________________________________12

2.1. Zwaaisnelheid of slew-rate (SR) 14 2.2. Insteltijd (settling time). 15

2.2.1. Insteltijd bij versterker met één dominante pool. ___________________________________ 16 2.2.2. Insteltijd bij versterker met poolpaar. ______________________________________________ 17

2.3. Fasefouten in opamps. 20 2.4. Ruisbeschouwingen. 21

2.4.1. Ruisspectrum.____________________________________________________________________ 22 2.4.2. Voorbeeld van een ruisberekening. ________________________________________________ 24 2.4.3. Ruisberekening in een tegengekoppelde opamp.____________________________________ 26

2.5. Secundaire offsetoorzaken in versterkers. 30 2.5.1. Thermo-e.m.k.'s in draden en printbanen. __________________________________________ 30 2.5.2. Piëzo-effecten in kabels. __________________________________________________________ 30 2.5.3. HF-geïnduceerde dc-offset. _______________________________________________________ 30

3. Nuldetectoren voor ac-toepassingen. ______________________________________________32

3.1. Nuldetectoren voor lage frequenties. 33 3.2. Detectoren voor hoge frequenties. 33

4. Fasegevoelige detectoren _______________________________________________________36

4.1. Synchrone detectoren. 37 4.1.1. Probleem van de gewone detector. ________________________________________________ 37 4.1.2. De synchrone detector ____________________________________________________________ 38 4.1.3. Eigenschappen van de synchrone detector._________________________________________ 40

Appendix I. Enkele bijzonderheden bij metingen in aanwezigheid van ruis.

1. Uitmiddeling van een meetgrootheid. 2. Onzekerheid op de spanning van een condensator als gevolg van ruis.

DEEL B. HOOFDSTUK II. MODELLEN VAN R, C, L EN M.

1. Inleiding

Zoals we in deel I gezien hebben moet bij elke meting zorg besteed worden aan de keuze van het

model waarmee componenten zoals R, C, L of M voorgesteld worden. Al met al was dit bij dc nog

een vrij eenvoudige zaak; voor ac zal dit echter niet meer het geval zijn. Eerst en vooral telt het ui-

terst hoge en eigenlijk onbeperkt frequentiegebied mee waarin ac-metingen uitgevoerd worden. In

de fysische elektronica of elektrochemie worden dikwijls metingen gedaan bij 10-2 of 10-3 Hz. Deze

lage frequenties zijn vereist indien men tijdens een meting de invloed van traag bewegende ionen

of de diffusie van reactanten wil onderzoeken. In de elektrotechniek worden zeer veel metingen

uitgevoerd bij 50 Hz omdat allerlei apparatuur bij netfrequentie werkt. In de vermogenselektronica

zijn metingen in het gebied 100 Hz tot enkele Hz gebruikelijk. Hoge frequenties komen we ui-

teraard tegen in de elektronica: tot 20 kHz in versterkers, 100 kHz … 30 MHz in de klassieke

communicatieontvangers, boven de 30 MHz voor VHF communicatie en TV-banden, tot 1000

MHz voor de UHF-banden, omroepsatellieten (± 10 GHz), …

(1) Bij de lage frequenties kan men zonder veel bezwaar het model van een component opbouwen

d.m.v. een combinatie van klassieke componenten: dit zijn geconcentreerde of “lumped” modellen.

Naarmate de frequentie echter toeneemt, zal de golflengte ermee overeenstemmend steeds kleiner

en kleiner worden. Van zodra (vuistregel!) de golflengte vergelijkbaar wordt met de fysische afme-

tingen van de component worden geconcentreerde modellen waardeloos en moet men overstappen

op de “verdeelde” modellen. Men zal zich daarbij voorstellen dat de componenten opgebouwd zijn

uit veel kleinere geconcentreerde componenten waarvan de fysische afmetingen veel kleiner zijn

dan de elektrische golflengte λ. Indien nu cm de voortplantingssnelheid van de golven in het mate-

riaal van de component is en T = 1/f de periode van de elektrische excitatie dan geldt er:

mcf

λ = (2.1)

De voortplantingssnelheid cm kan echter veel lager zijn dan de lichtsnelheid c0 in vacuüm omdat

vaak de ε of µ van de component zeer groot is en, zoals men weet, is 2m 0 0c µ µ ε ε− = . D.w.z. dat

soms bij complexe signalen al voor vrij lage frequenties, bijvoorbeeld bij een pulsexcitatie van

100 kHz, verdeelde modellen noodzakelijk kunnen zijn voor een adequate beschrijving. I.h.b. kan

men dan het effect van reflecties waarnemen. Ten slotte, indien de frequenties nog hoger worden of

indien de resultaten van de verdeelde modellen niet voldoen, kan men overstappen op het gebruik

van speciale programma’s die de veldverdelingen in een structuur kunnen berekenen. Deze simula-

B 2-2

tieprogramma’s worden voor een specifieke toepassing ontworpen, bijvoorbeeld de berekening van

hoogfrequentoscillatoren of versterkers, de berekening van verliezen in componenten, …

(2) Een tweede probleem dat bij de modelvorming bestaat is de aanwezigheid van onzichtbare

componenten. Zo vertoont een draad steeds enige zelfinductie en weerstand in een keten en ander-

zijds bestaat er ook altijd capaciteit en mutuele zelfinductie tussen geleiders. Naargelang de meet-

frequentie stijgt, zal het effect van deze reactanties belangrijker worden. Een dergelijke zelfinductie

of capaciteit wordt doorgaans benoemd met de voorzetsels “lek, strooi, spreiding”, of met “parasi-

tair”. Strooi-inductanties hebben als belangrijkste effect dat draden (of printbanen!) niet equipoten-

tiaal zijn. Vooral indien deze geleiders grote stromen voeren zal dit merkbaar worden. Men zal in

het elektrische equivalent schema van de component (of meetketen) op de gepaste plaats zelfinduc-

ties invoeren om het effect ervan te kunnen bestuderen. Strooicapaciteit kan, vooral op hoogohmige

gevoelige punten, spanningen opwekken die door niet ter zake doende bronnen veroorzaakt wor-

den. Een van de meest gekende voorbeelden is de 50 Hz sinus die men ziet verschijnen op een os-

cilloscoopscherm bij aanraking van de Y-ingang. Strooicapaciteit wordt op een analoge manier

door extra condensatoren in het equivalent schema voorgesteld.

De combinatie van lekzelfinductie en strooicapaciteit kan verder meerdere ongewenste resonantie-

frequenties doen ontstaan, zowel van het serie- als paralleltype. Bij hogere frequenties zullen zelfs

transmissielijneffecten ontstaan. Zeer dikwijls treedt er ook een ongewenste magnetische koppeling

op tussen galvanisch gescheiden kringen, zelfs als deze afgeschermd zijn. Dit kan worden toege-

schreven aan parasitaire mutuele zelfinducties. Men zal dus in het algemeen ook deze in het equi-

valent circuit moeten invoeren.

(3) Een derde probleem dat kan optreden is de frequentieafhankelijkheid van sommige parameters.

Zo zijn algemeen µ en ε gevoelig aan frequentie van het aangelegde magnetisch of elektrisch veld.

Deze frequentieafhankelijkheid wordt echter door materiaaleigenschappen bepaald. Het is daarom

moeilijk om, a a-priori, een model d.m.v. bijkomende elementen r, l en c op te bouwen. Zijn er vol-

doende metingen beschikbaar dan kan men over een beperkt frequentiebereik een bevredigend re-

sultaat bekomen. Soms lukt dit niet en moet men zich noodgedwongen beperken tot de beschikbare

empirische gegevens.

(4) Een bijzondere moeilijkheid doet zich voor indien niet-lineaire elementen in de circuits aanwe-

zig zijn. In deze componenten kunnen signalen met frequentie f omgezet worden tot een samenge-

steld signaal met componenten f, 2f, … Wanneer twee bronnen aanwezig zijn met frequenties f1 en

f2 zullen tevens de mengproducten m f1 ± n f2 optreden (m en n geheel). Vooral bij metingen die fre-

quentiegevoelig zijn kunnen daardoor fouten optreden. Bij de klassieke precisiemetingen hebben

B 2-3

we doorgaans daar weinig problemen mee omdat men het gebruik van niet-lineaire elementen

tracht te vermijden.

In wat volgt zullen we enkele veel gebruikte modellen van componenten bespreken.

2. Weerstanden.

In het model van een weerstand moeten de parasitaire elementen worden opgenomen.

2.1. Parasitaire elementen.

Fig. 2. 1. De weerstand en zijn parasitaire elementen.

Fig. 2. 1a: fysische weerstand met lekzelfinductie die een gevolg is van de aansluitdraden en het

weerstandslichaam en strooicapaciteiten die een gevolg zijn van capaciteit tussen de draden en de

ladingen in de weerstand.

Fig. 2. 1b: vervanging van de parasitaire componenten door geconcentreerde elementen. Dit equi-

valent is slechts bruikbaar als de (elektrische) golflengte λ >> fysische afmetingen. Andere voor-

stellen zijn ook mogelijk: men kan bijvoorbeeld bij hoge frequenties voor de aansluitdraden een

transmissielijnmodel invoeren dat men op zijn beurt kan vervangen door een T- of π-equivalent

schema dat twee condensatoren en een spoel bevat. Verder moet er ook nog rekening worden ge-

houden met de ohmse weerstand van de aansluitdraden.

In Fig. 2. 1c en d zien we respectievelijk de serie en parallelvoorstellingen die we uit Fig. 2. 1b

kunnen afleiden. Men meet nu i.p.v. de echte R (of G) een equivalente waarde Re of een equivalen-

te conductantie Ge die beide meestal frequentieafhankelijk zijn. In vele gevallen is men tevreden

met het aangeven van de correctie die men moet optellen bij de nominale R. Deze correctie kan be-

rekend worden indien de waarde van de parasitaire elementen uit Fig. 2. 1b gekend is. Het model

van Fig. 2. 1b geeft nu bruikbare correcties indien aan de volgende voorwaarden voldaan wordt:

• De werkfrequentie moet veel lager liggen dan de eigenresonantiefrequentie fo van de paral-

lel R-c-l keten uit Fig. 2. 1b:

B 2-4

01l c

ω ω<< = . (2.2)

• Men beschouwt enkel het frequentiegebied waarin ω l << R zodat de tak met l en R zich

vooral resistief gedraagt. Men schrijft dan voor de admittantie Y:

2 2

jj of nog:( )

R lY cR l

ωωω

−= +

+ (2.3)

e 2 2

e 2 2 2

1Re( )

Im ( )( )

RY GR l R

l lY B c cR l R

ωωω ωω

= = = + = = − = −+

(2.4)

Insgelijks vindt men voor de impedantie Z:

2

j(1 ) j

R lZl c c R

ωω ω

+=

− + , (2.5)

waaruit volgt: e 2

22

e 2

Re1 ( )

( )Im ( )1 ( )

RZ R Rc R

l c RZ X l c Rc R

ω

ω ωω

= ≅ ≈ +

− = = ≈ −+

(2.6)

De aard van Xe of Be hangt af van de grootte van R. Bij een typereeks weerstanden zijn de fysische

afmetingen constant zodat dit ook voor l en c geldt. Men stelt dus vast:

(1) Is R klein dan is Xe > 0, dus de weerstand vertoont een inductief gedrag. Men behoudt als equi-

valent Fig. 2. 1c waarin Xe = ω le en le = l – c R2.

(2) Is R groot dan is Be > 0, m.a.w. een capacitief gedrag en men kiest de parallelschakeling van

Fig. 2. 1d waarin dan een effectieve capaciteit Ce = c – l R2 voorkomt.

Deze keuzes zijn geen verplichting maar ze geven wel de eenvoudigste voorstelling en de gemak-

kelijkste interpretatie van de verschijnselen.

Men merkt nog op dat een zuiver resistief gedrag, over een groot frequentiegebied, kan behouden worden

indien men ce of le nul kan maken. Dit vereist volgens de vgln. (2.6) en (2.4) de bijkomende voorwaarde

l = c R2. Bij weerstanden die een grote l bezitten kan men dit bereiken door het invoeren van extra parallel-

capaciteit. Men kan zelfs, in het geval men c verwaarloosbaar klein veronderstelt in Fig. 2. 1a, over een ui-

terst groot frequentiegebied Re = R maken indien men in parallel met de fysische weerstand R een seriescha-

keling van een weerstand met dezelfde waarde R en een condensator C zet waarvoor l = C R2 geldt. Dit

noemt men het Boucherot netwerk. De tweede weerstand en de condensator mogen uiteraard niet inductief

B 2-5

zijn in het beoogde frequentiegebied. Op deze wijze kan men een draadgewikkelde weerstand of een spoel

resistief maken over een redelijk frequentiegebied d.m.v. een extra filmweerstand en condensator.

2.2. Praktische uitvoering van draadgewikkelde weerstanden.

Zoals gezien zal men bij de constructie van grote weerstandswaarden trachten c te beperken en

voor kleine waarden l. Deze vuistregel heeft aanleiding gegeven tot een aantal bijzondere construc-

tiemethoden voor draadgewikkelde weerstandsnormalen en weerstanden die vooral toegepast wor-

den in de vermogenselektronica.

2.2.1. Constructie voor kleine spreidingsinductie.

( )b

( )c ( )d

( )a

Fig. 2. 2. Methoden om kleine lekzelfinductie te bekomen bij draadgewikkelde weer-standen: (a) bifilair, (b): Ayrton-Perry, (c) vlak, (d) Chaperon.

• Fig. 2. 2a: de “bifilaire” wikkelmethode. Men neemt de draad dubbel vooraleer deze rond

het weerstandslichaam te wikkelen. De magneetvelden van de twee geleiders heffen elkan-

der op. De capaciteit tussen beide draden is natuurlijk groot.

• Fig. 2. 2b: methode van Ayrton-Perry. Er worden twee weerstandsdraden in tegengestelde

zin om het lichaam gewikkeld en de uiteinden staan in parallel. De totale magnetische flux

binnen de weerstand is bijna nul. Omdat de twee draden verder van elkaar liggen dan bij de

bifilaire methode zal de strooicapaciteit lager zijn.

• Fig. 2. 2c: vlak wikkelen vermindert de magnetische flux maar het veld van beide wordt

slechter gecompenseerd dan bij de bifilaire methode.

• Fig. 2. 2d: Chaperon-wikkeling. Men wikkelt de weerstandsdraad op het weerstandslichaam

in lagen met tegengestelde wikkelzin. De strooicapaciteit zal hier groot zijn als er veel win-

dingen nodig zijn.

B 2-6

2.2.2. Constructie voor kleine parallelcapaciteit.

Naast een redelijk kleine l vertonen de Ayrton-Perry en de vlakke wikkeling tevens een kleine

strooicapaciteit. De bifilaire wikkeling en de Chaperonwikkeling daarentegen vertonen een zeer

grote c. Men moet nu opmerken dat het spanningsverschil tussen twee punten van zo een bifilaire

wikkeling met lengte L lineair afneemt tussen de aansluitpunten (spanningsverschil Vo) en het einde

waar de draden met elkaar verbonden zijn, zolang de afmetingen klein zijn t.o.v. λ. Voor de lading

en spanning in een elementaire lengte dx op afstand x van het voedingspunt kan men dan schrijven:

1 0d ( )d en ( ) (1 )xQ c V x x V x VL

= = − . (2.7)

Daarin is c1 de capaciteit per lengte-eenheid tussen de draden. Na integratie geeft dit als totale la-

ding 1 0 / 2c V L en aan de ingangsklemmen gedraagt de bifilaire draad zich dus als een equivalente

condensator met waarde 1e 2

c LC = . Hetzelfde geldt voor de Chaperon wikkeling. Door het zoge-

naamde“sectioneren” kan nochtans een sterke verbetering bekomen worden. Daarbij gaat men de

weerstand opbouwen uit een serieschakeling van Chaperon of bifilaire secties.

Deelt men de weerstand in n secties, dan zal Ce = (1/2 c1L) n2. Zie Fig. 2. 3.

n( ) /L1c12 n( ) /L1

2c12

Fig. 2. 3. De Chaperonwikkeling.

Algemeen stelt men vast dat l en c zullen afnemen indien de lengte L van de draad afneemt. Men

heeft er dus belang bij de draad zo kort mogelijk te houden. Dit vereist het gebruik van materialen

met grote soortelijke weerstand.

Bij de opbouw van weerstandsbanken moet uiteraard eveneens de grootste zorg besteed worden

aan lekzelfinducties en strooicapaciteiten die geassocieerd worden met de schakelaars en de onder-

B 2-7

linge verbindingen. Daar dikke draden minder zelfinductie vertonen dan dunne1 zal men alle ver-

bindingen zeer stevig uitvoeren. Dit komt eveneens de mechanische en elektrische stabiliteit ten

goede.

2.2.3. Huideffect.

Huideffect of skin effect is een frequentieafhankelijke weerstandsvariatie die een gevolg is van

stroomverdringing in de weerstandsdraad. Door de stroomverdringing gaat aan het oppervlak van

een geleider de stroomdichtheid groter zijn dan in het centrum. Kenmerkend voor dit effect is een

grootheid die men de “huiddikte” of “skindiepte” δ noemt. Dit is de afstand waarover een golf in

een metaal moet doordringen teneinde met een factor e-1 verzwakt te worden

0

2δω µ µ σ

= . (2.8)

De geleidbaarheid σ (of 1/ ρ met de ρ resistiviteit) vormt daarin de belangrijkste factor. Door het

huideffect zal de weerstand bij ω = 2πf groter zijn dan deze (Ro) bij dc. In de literatuur kan men,

voor diverse geometrieën, formules vinden die R/Ro als functie van f geven. Voor de circulaire ge-

leider met diameter d kan men bijvoorbeeld de volgende benaderingsformules toepassen:

0

40

0

voor d/ 2d[1 ( ) ] voor 2< 4

5,3d( 0,25) voor 4

2

R RdR R

dR R

δ

δ δ

δ δ

= <

= + <

= + >

. (2.9)

In de derde formule is de stroom sterk verdrongen en neemt R/Ro praktisch toe met √f. Gelukkig is

voor de meeste weerstanden ρ (en dus ook δ) nogal groot zodat het effect meestal verwaarloosbaar

blijft. Bij shunten die grote gepulste stromen te verwerken krijgen, zoals dit bijvoorbeeld in de ver-

mogenselektronica het geval is, kunnen echter relatief grote fouten optreden. Gezien het ingewik-

kelde frequentiegedrag is het daarenboven zeer moeilijk om geconcentreerde netwerkelementen ter

modellering van het huideffect toe te passen. Verder treedt het huideffect zeer sterk op in de ver-

1 Voor een oneindig dunne draad zou de zelfinductie zelfs oneindig zijn omdat de magnetische veldsterkte ook onein-

dig wordt en dus ook de energie in het magnetisch veld.

B 2-8

bindingsdraden tussen de weerstanden (dozen). Deze zijn immers uit koper gemaakt en daar dit

metaal een zeer goede geleidbaarheid bezit zal δ relatief klein zijn. Men vindt voor koper immers:

65,6 in mm in Hzf

δ = . (2.10)

Huiddikte in koper:

Frequentie (Hz) 1 10 100 103 104 105 106

δ (mm) 65,6 20,8 6,56 2,1 0,65 0,21 0,06

Van zodra d ≥ 2δ wordt kan men zich aan een toename van R verwachten en in feite zou het beter

zijn om bij hoge frequenties dunne draden (d/δ < 2) te gebruiken indien de stroomdichtheid dit toe-

laat zodat men een vaste correctiewaarde voor de weerstand van de draad bekomt.

Een ander verschijnsel, nl. het nabijheidseffect, treedt op wanneer twee stroomvoerende geleiders

naast elkaar staan. Door de inwerking van het veld van de ene geleider op de andere en vice versa

zal stroomverdringing optreden waardoor R eveneens stijgt. De waarde van die toename zal, bij

hoge frequenties, voornamelijk door de verhouding afstand/diameter der geleiders bepaald worden.

Ook hiervoor kan men correctiefactoren in de literatuur vinden.

Ten slotte merken we nog op dat alle normaalweerstanden voor ac doeleinden in een metalen be-

huizing zitten; deze laatste vertoont een vaste capaciteit t.o.v. de weerstandsklemmen. Past men de-

ze normalen toe in een transformatorbrug dan spelen deze echter geen rol.

3. Condensatoren

3.1. Soorten condensatoren

Men kan grosso-modo drie soorten condensatoren onderscheiden:

(1) Gascondensatoren. Het diëlektricum is lucht of een inert gas (stikstof). Zij worden vooral

voor normaalcondensatoren en voor hoogspanningsdoeleinden toegepast. In het laatste geval

wordt stikstof onder druk aangewend of zelfs een vacuüm en daardoor neemt de doorslagvast-

heid toe. Regelbare luchtcondensatoren vindt men in ac-bruggen voor de fijnregeling en als af-

stemcondensator in zenders omdat bij deze laatste een zeer grote HF stroom door de condensa-

tor moet vloeien.

(2) Condensatoren met een droog diëlektricum. Het basiselement van een dergelijke conden-

sator is een lange en zeer dunne isolerende folie waarop chemisch of door opdamping een ge-

leidende laag is aangebracht. De folie wordt dan opgerold en de aansluitingen worden door

B 2-9

“choopering” vastgemaakt aan de geleidende lagen. Het foliemateriaal wordt gekozen volgens

de toepassing: papier, kunststof, keramiek, polystyreen, polipropyleen, … In een andere me-

thode wordt uitgegaan van een dun diëlektricum waarop elektrodes opgedampt worden. Men

kan ook meerdere lagen stapelen zodat men een condensator met een grote capaciteit in een

kleine verpakking bereikt. Hierbij worden vooral keramische stoffen met een zeer hoge ε als di-

elektricum toegepast. Nu is het een feit dat de keuze van een goed diëlektricum niet enkel door

ε wordt bepaald maar ook door de vereiste tempco, stabiliteit, kwaliteitsfactor (zie verder) en

dit heeft geleid tot de ontwikkeling van een achttiental keramische diëlektrica! De Amerikaanse

“Electronic Industry Association” (EIA) heeft daarom de diëlektrica ingedeeld als in de vol-

gende tabel.

Klasse I materialen. Kleine maar zeer constante ε die weinig gevoelig is aan de aangelegde spanning en stabiel in de tijd. De kwaliteitsfactor is zeer hoog. De beschikbare capaciteitswaarden zijn laag maar de tolerantie kan klein zijn, bijv. 1%. De tempco van de NPO en COG materialen is zeer klein. De reeks N80 tot N4700 vertoont stijgende ε-waarden, de tempco stijgt eveneens maar moet lager blijven dan 22%. Klasse II materialen zijn nog slechter op het gebied van tempco: deze mag nu meer dan 22% bedragen!

B 2-10

Klasse III materialen. Deze vertonen nog grotere ε maar de tempco in het bereik –550C tot +1250C mag nu groter dan 22% zijn. De capaciteit kan bij 850C nu typisch met 85% zijn afgenomen. Daarenbo-ven is de kwaliteitsfactor zeer laag, bijv. 40 bij 1 kHz. Klasse IV materialen gebruiken titanaatkeramiek in combinatie met een isolatielaag. In feite bestaat dit materiaal uit grote halfgeleidende korrels waarop een oxidelaag zit. De diëlektrische constante kan hoog zijn en de tempco laag maar de serieweerstand is aanzienlijk omdat de weerstand van de geleidende kor-rels groot is.

Keramische condensatoren worden als lagencondensator uitgevoerd. Daarbij onderscheidt men

de éénlaags- en meerlagencondensatoren (SLCC of MLCC).

(3) Condensatoren met nat diëlektricum. Dit zijn de zogenaamde elektrolytische condensato-

ren of elco’s. Het diëlektricum wordt gevormd door op een aluminium anode elektrolytisch een

laag Al2O3 (ε = 8) aan te brengen waarvan de dikte zo gekozen wordt dat zij de nominale werk-

spanning kan doorstaan zonder doorslag. Daar deze laag gedeeltelijk kan oplossen indien de

condensator lange tijd niet wordt gebruikt kan het soms nodig zijn om bij het terug in gebruik

nemen de spanning langzaam op te drijven en de laadstroom te beperken. De katode is in con-

tact met een elektrolyt tussen beide elektroden maar ze heeft geen actieve functie. Haar bedek-

king bestaat uit een zeer dun natuurlijk oxide laagje dat slechts 1 tot 1,5 V kan weerstaan. De

kathodecapaciteit is dan ook veel groter dan deze van de anode.

Men start voor de fabricage met boraten of tartraten en een chemisch ruw geëtste aluminium

elektrode. Na etsen is de actieve oppervlakte veel groter dan de geometrische oppervlakte. Bij

moderne elco’s is het elektrolyt opgeslorpt in een poreuze stof (tissue papier) zodat men met

een minimaal volume bekomt en er geen lekken kunnen optreden.

Fig. 2. 4. Schematische opbouw van een elco.

Als gevolg van de doelbewuste asymmetrie der elektrodes zijn elco’s gepolariseerd en men

moet er dus op letten dat de anode positiever is dan de kathode. Bij verkeerd aanleggen van de

spanning lost de oxidelaag van de anode op en zal er uiteindelijk sluiting optreden. In feite rea-

B 2-11

geert een elektrode elektrisch zoals een diode: in sperrichting bezit ze een doorslagspanning

bepaald door de dikte van de oxidelagen. Wil men de condensator met ac gebruiken dan moet

er steeds een dc voorspanning aanwezig zijn zodat de spanning nooit van teken omkeert. Bij bi-

polaire elektrolytische condensatoren wordt dezelfde folie voor anode en kathode toegepast. De

capaciteit is dan slechts de helft van deze van een vergelijkbare unipolaire condensator.

De Fig. 2. 5 geeft het gelineariseerde elektrisch equivalent schema van een elektrolytische con-

densator weer. Naast de zelfinductie l van de draden en elektrodes ziet men: de anode-

condensator die de nominale waarde bepaalt, de veel grotere kathodecondensator, de serie-

weerstanden van de platen en het elektrolyt, de isolatieweerstanden van de oxidelagen en de

zenerdiodes die de doorslagspanning voorstellen.

Fig. 2. 5. Elektrisch vervangschema van elco.

Men moet er rekening mee houden dat de tolerantie op elco’s kan groot zijn: -50% tot +100%

en dit maakt ze ongeschikt voor meettechnische toepassingen. De levensduur van een elco is

beperkt tot een tiental jaar omdat er tijdens het gebruik steeds elektrolytverlies optreedt. De

condensator droogt uit en zijn capaciteit neemt gestadig af. Vooral in moderne geschakelde

voedingen krijgt een elco het zwaar te verduren door de grote impulsachtige stromen en is de

levensduur zeer beperkt. Tantaliumcondensatoren bevatten een droog elektrolyt en zijn even-

eens gepolariseerd. Hun prijs is echter beduidend hoger en de voordelen ervan zijn eerder mar-

ginaal wanneer men ze met een moderne elco vergelijkt. Daarenboven zijn ze zeer gevoelig aan

overspanning. Elco’s worden in de elektronica vrijwel altijd als ontkoppel- of koppelcondensa-

tor toegepast.

(4) De supercondensatoren. Wil men een grote energie opstapelen in een kleine ruimte dan kun-

nen dubbellaagcondensatoren worden aangewend. Deze hebben geen diëlektricum maar bestaan uit

twee elektroden in een (vast) elektrolyt. Wanneer een geleidende elektrode in een elektrolyt wordt

gebracht ontstaat aan het scheidingsoppervlak metaal/vloeistof een gebied dat zich gedraagt als een

condensator. Omdat die laag slechts een molecule dik is zal men een zeer grote capaciteit kunnen

B 2-12

verwezenlijken. Maar, omdat het hier een elektrochemisch systeem betreft mag de spanning over

die laag niet te groot worden zodat er geen elektrochemische reacties kunnen optreden. Verder staat

er in parallel met de condensator nog de “transferconductantie” die toeneemt naarmate men meer

spanning aanlegt. Een gevolg is dat deze condensatoren slechts voor een 3 tal volt verkrijgbaar zijn

en dat zij daarenboven verre van ideaal reageren. Een verlieshoek van 450 of meer is normaal! Zij

zijn dus waardeloos voor de meettechniek. Men gebruikt ze vooral als buffer om gedurende korte

tijd de functie van een voeding over te nemen. Voorbeeld: in een elektrische auto kunnen zij in pa-

rallel met de brandstofcellen geplaatst worden teneinde het globale rendement groter te maken.

3.2. Condensatormodellen.

3.2.1. Modellen in ac voor niet te hoge frequenties.

Evenals bij de weerstanden zal men bij precisiecondensatoren, teneinde de capaciteit van de klem-

men t.o.v. de omgeving te fixeren, een afscherming rond de condensator aanbrengen. Men bekomt

aldus een 3-klemmen condensator waarvan het equivalent circuit 3 condensatoren bevat. Fig. 2. 6a

toont een dergelijke afgeschermde normaalcondensator en zijn equivalent circuit (b).

( )b

( )c

( )a

HC

L

G

L

streep

dikke draad

H

G

H

C GH

C LH

C LG

L

G

Fig. 2. 6. (a) Afgeschermde condensator, (b) Equivalent schema, (c) Condensator met opgerolde elektroden.

Vele condensatoren worden gemaakt d.m.v. twee lange metaalrepen (zeer dun) waartussen een dië-

lektricum zit. Soms gaat men uit van een diëlektricum waarop een metaallaag d.m.v. een opdamp-

techniek werd aangebracht. De weerstand van de elektroden is dan relatief groot maar het volume

klein. Deze repen worden opgerold zodat het geheel de gekende cilindrische structuur vormt.

Noodzakelijkerwijze zal dus een der elektroden aan de buitenzijde van de cilinder liggen

(Fig. 2. 6c). Deze elektrode wordt meestal met een streep aangeduid of bezit een dikkere aansluit-

draad dan de andere. Men duidt deze aan met “L of Lo” omdat ze een lage impedantie t.o.v. de af-

scherming kan vertonen. De andere heet dan de “H- of Hi-klem”. Daar deze strooi-impedanties

zich voornamelijk capacitief gedragen kan men ze voorstellen door condensatoren met waarde CHG

en CLG waarbij CLG > CHG. Bij sommige normaalcondensatoren is L met G verbonden. Het betreft

B 2-13

dan meestal een vaste armatuur waar de echte condensator kan ingeschroefd worden. Tussen de

klemmen is dan de waarde CHL + CHG, maar beide waarden staan steeds op de armatuur vermeld.

3.2.1.1 Uitbreiding van het ac-model.

Het model van de eenvoudige tweeklemmen condensator moet voor hogere frequenties eveneens

uitgebreid worden met de weerstand van de elektroden en toevoerdraden (r), met strooizelfinduc-

ties (1), eventueel met de diëlektrische verliezen en lekweerstand (R). Men bekomt aldus het ver-

vangschema van Fig. 2. 7. Omdat de strooi-elementen van beide draden in serie staan kan men ze

in het equivalent schema door een enkel paar (l, r) voorstellen.

( )b( )a

H

R

L

C GH C LH

r

C R

L

rH

Z

Fig. 2. 7. Model van een tweeklemmen condensator.

Bij verwaarlozing van R zal de impedantie Z tussen H en L de volgende waarde aannemen:

2 21 1

j jl C xZ r r

C Cωω ω

− −= + = + . (2.11)

Men ziet dat de effectieve capaciteit Ce zal afhangen van de genormaliseerde frequentie

0/x lCω ω ω= = volgens:

e 21CC

x=

− . (2.12)

De modulus van de impedantie Z vertoont een minimum bij ω = ωo en bij dit minimum meet men

in feite r, die men ook nog de "Equivalent Series Resistance” (ESR) noemt. Zolang x << 1 is Ce

constant, maar van zodra de invloed van x2 in de noemer merkbaar wordt hangt Ce van ω af! Bo-

ven ωo stijgt daarenboven Z met ω zodat de condensator onbruikbaar wordt. De waarde van r is

frequentieafhankelijk en mag dus niet verward worden met de dc-serieweerstand van de platen en

de draden. Omdat elektrolytische condensatoren groter zijn dan lagencondensatoren en omdat hun

capaciteit groot is zal de resonantiefrequentie ervan laag liggen. Men zal dus alle moeite doen om

B 2-14

de serie-inductantie zo klein mogelijk te maken. De Fig. 2. 8. toont aan hoe men dit kan bereiken

door oordeelkundig de aansluitdraden met de platen te verbinden.

Fig. 2. 8. Positie en methode van aansluiten bij elco in volgorde (slecht naar best).

3.2.1.2 Dissipatiefactor D of tg δ.

Werkt men bij frequenties die laag genoeg zijn zodat x << 1 dan komt l niet tussen en dan kan men

het begrip “verliesfactor”, “dissipatiefactor” of “tg δ” invoeren om de prestaties van de condensator

te beschrijven. Men verwaarloost daartoe l in de Fig. 2. 7. Merken we vooreerst op dat het steeds

mogelijk is om, bij een welbepaalde frequentie, een parallelverlies van een condensator enkel voor

te stellen door een weerstand rs in serie met een ideale condensator Cs ofwel een serieverlies door

een conductantie Gp in parallel met ideale condensator Cp. In de Fig. 2. 9 worden deze transforma-

ties getoond, evenals de bijbehorende fasoren van stromen en spanningen in het circuit. Men kan

steeds van het ene schema overgaan naar het andere door de transformatieformules te gebruiken.

Bij een ideale condensator ijlt de stroom 90° voor op de klemspanning. Dit zal nu in de schema’s

waarin serie- of parallelverlies voorkomt niet meer het geval zijn. Wat betreft de fase zal er inder-

daad een fouthoek δ optreden. Men noemt δ nog de verlieshoek en D = tg δ de verliesfactor of dis-

sipatiefactor. De transformatieformules en de overeenstemmende verliesfactoren voor beide sche-

ma’s zijn de volgende:

2s s p p2

1 1Voor (a): [1 ( ) ] en ; tan1 ( )

RC C r DC R C R C R

δω ω ω

= + = = =+

. (2.13)

B 2-15

2

p p s s2 2

1 ( )Voor (b): en ; tan1 ( ) 1 ( )

C C rC G D C rC r r C r

ω δ ωω ω

= = = =+ +

. (2.14)

a( ) b( )

E C R

C s

sr

I

c( ) d( )

E

C

C p Gpr

I

ERE/

ICj Eω

pδ

r I

I

E

Cjω

sδ

Fig. 2. 9. (a) Parallel naar serie equivalent, (b) Fasoren van (a), (c) Serie naar pa-rallel equivalent, (d) Fasoren van (c).

Voor een zuiver parallelverlies daalt Dp als de frequentie stijgt; voor een zuiver serieverlies stijgt

Ds als ω stijgt. Vermits beide verliezen doorgaans samen aanwezig zijn zal er zeer dikwijls een mi-

nimum in de D(ω) curve optreden. Bij de zeer hoge frequenties zal daarenboven als gevolg van

huideffect in de toevoerdraden r toenemen (volgens √f). Bij een goede condensator moet in elk ge-

val de spanningsval over r (of de stroom door G) veel kleiner zijn dan deze over (door) C. Men kan

D ook als volgt interpreteren (E is de piekspanning bij een sinusexcitatie).

Parallelschema:

Blindvermogen van C = Pb = ½ ω C E2. Verlies in R = Pv = ½ E2/R. Bijgevolg:

Pv /Pb = 1/ω C R =Dp.

Serieschema: Pb = ½ I2 / ω C, Pv = ½ r I2 en dus is Pv /Pb = ω C r = Ds

De dissipatiefactor stelt dus de verhouding gedissipeerd vermogen in de condensator tot blindver-

mogen voor. Vandaar het belang ervan: zowel in de elektrotechniek als in de elektronica kunnen

condensatoren te warm worden indien D te groot is. Vermits D afhangt van de frequentie en de

constructie (o.a. het diëlektricum) heeft men condensatoren voor specifieke toepassingen ontwik-

keld. Zo hebben normalen meestal lucht als diëlektricum waardoor D tot in het MHz gebied ver-

waarloosbaar kan zijn. Ook de afstemcondensatoren in zenders, die een zeer grote HF stroom moe-

B 2-16

ten voeren gebruiken lucht als diëlektricum. In de elektronica worden meestal kunststoffen met

grote ε toegepast teneinde het volume te beperken (keramiek, polistyreen, polipropyleen). Conden-

satoren voor HS doeleinden in elektrische netten zijn meestal gevuld met stikstof onder druk om de

doorslagspanning te verhogen; de dissipatiefactor is ook in dit geval zeer klein. Een veel toegepast

diëlektricum is nog steeds papier (al dan niet met olie geïmpregneerd). Papiercondensatoren wor-

den gebruikt daar waar geen zeer kleine D nodig is, bijvoorbeeld bij condensatoren voor motoren

(starten, verbetering vermogenfactor). Ze hebben als bijzondere eigenschap zelfherstellend te zijn

na een niet te grote doorslag. Het is de lezer ten zeerste aangeraden de beschikbare data te raadple-

gen van fabrikanten om enig inzicht in het gebruik van de verschillende soorten condensatoren te

verkrijgen. We willen hier nog met enkele opmerkingen eindigen.

• Hoe groter D, hoe slechter de condensator. Vandaar dat men 1/D de kwaliteitsfactor noemt

(Q). Dus algemeen moet Q groot zijn.

• De transformatieformules (2.14) en (2.13) kunnen vereenvoudigd worden bij goede con-

densatoren. Men heeft immers na invoering van de dissipatiefactor:

2 2s s

2

p p

(1 ) en

en

C C D C r R D

DC C Gr

= + ≈ ≈

≈ ≈

. (2.15)

• De invloed van D is nagenoeg niet waar te nemen op de grootte van de impedantie van de

condensator. Elke bepaling van D steunt daarom op de bepaling van de verlieshoek δ.

Praktisch voorkomende waarden van de dissipatiefactor: 10-2 is slecht, 10-3 tot 10-4 is normaal tot zeer

goed. Luchtnormalen kunnen D ≈ 10-5 bereiken. In het appendix I wordt aangetoond hoe verliesfactor van

een schakeling samengesteld uit verschillende condensatoren kan worden gevonden.

3.2.2. Model van een condensator en weerstand bij zeer hoge frequenties

Bij frequenties waarvoor de afmetingen van een component groter worden dan bijvoorbeeld 10%

van de golflengte van het E of H veld in de component zullen de eerder voorgestelde eenvoudige

benaderingen onvoldoende nauwkeurigheid opleveren. Dit zal bijvoorbeeld het geval zijn in de

UHF-techniek waarbij men tot in het GHz-gebied toch nog discrete componenten kan toepassen. In

deze situatie zal men eerder de component trachten voor te stellen d.m.v. een transmissielijn en

daaruit het impedantiegedrag afleiden. Bij het gebruik van een transmissielijn model voor een con-

densator treedt er echter een moeilijkheid op: de aansluitingen kunnen op verschillende plaatsen

zijn aangebracht zoals ook het geval is bij de elektrolytische condensator in Fig. 2. 8. Condensato-

ren worden opgebouwd uit geleiders gescheiden door een diëlektricum en de aansluitingen kunnen

op fysisch verschillende plaatsen van de component geplaatst. Dit is bijvoorbeeld het geval voor

B 2-17

opgerolde condensatoren. Bij keramische miniatuurcondensatoren gebeurt het evenwel vaak dat de

aansluitingen aan dezelfde zijde van de component naar buiten worden gebracht. Dit leidt ons ertoe

om twee verschillende modellen aan te nemen: Fig. 2. 10a en b.

a( ) ( )b

0I

0I

1 0E e(0) =

2I (0 0) =

2e ( L 0) =

1I ( L 0) =

0I

0I

L

dxx

1 0E e(0) =

2I ( L 0) =

1I ( L 0) =

2E (0 0) =

ε

Fig. 2. 10. Twee verschillende aansluitingen van de contacten.

In deze twee modellen werd de condensator voorgesteld door een verliesloze transmissielijn met

lengte L. De randvoorwaarden zijn echter verschillend voor beide soort condensatoren. Indien de

aansluitingen aan dezelfde zijde geplaatst zijn dan bekomt men in feite een gewone transmissielijn

die open is aan het uiteinde. De stroom I0 vloeit binnen in de linkse bovenste geleider en hij verlaat

de lijn de links onder. In het geval van verschillende aansluitingen zijn de randvoorwaarden anders:

de stroom I0 vloeit links in de bovenste geleider van de lijn maar hij verlaat de lijn rechts onder.

Zijn nu de capaciteit c en de zelfinductie l per meter van de lijn gekend dan kan men uit de diffe-

rentiaalvergelijking van de lijn de impedantie Z tussen de aansluitpunten van de condensator vin-

den. Na enig gereken komt men voor Fig. 2. 10a tot de gekende uitdrukking:

j cot j cotl lZ L l c LCc c

ω ω= − = − . (2.16)

Hierin zijn L en C nu de totale capaciteit en zelfinductie van de condensator. Men kan gemakkelijk

inzien dat deze impedantie voor de lage frequenties herleid wordt tot de gewone uitdrukking

1/ jZ Cω= . Zoals bij de gewone transmissielijn wordt Z = ∞ voor LCω = 0, π, 2π, … en nul

voor π/2, 3π/2, 5π/2, … Stelt men nog n = 0, 1, 2, 3, … dan worden de frequenties f0 en f∞ waarbij

de impedantie respectievelijk nul of oneindig wordt gegeven door:

B 2-18

02 1 en

4 2n nn nf f

LC LC∞+

= = . (2.17)

De eerste maal wordt de impedantie oneindig (f∞0) voor n = 0 zoals verwacht: het betreft dc. De

eerste serieresonantie treedt op voor 01 0, 25 /f LC= . Voor de condensator met geconcentreerde

zelfinductie L en capaciteit C zou men voor de waarde π 0,1592

LC LC= vinden (zie hoger).

De zelfinductie die men hierin gebruikte was echter deze van de aansluitingsdraden en werd de in-

terne zelfinductie verwaarloosd. In feite moet men ook bij het transmissielijnmodel rekening hou-

den met de uitwendige zelfinductie maar deze is doorgaans zeer klein wegens de korte aansluitdra-

den van keramische condensatoren. Voor de condensator met tweezijdige aansluitingen

(Fig. 2. 10b) is de impedantie:

j (cosec cot )2LClZ LC LC

cω

ω ω= − + − . (2.18)

De parallel resonantiefrequenties zijn bijgevolg:

met 0, 1, 2, 3, ...nnf nLC∞ = = (2.19)

Deze punten liggen dubbel zover uit elkaar als voor de enkelzijdige condensator. Voor de punten

waarbij Z nul wordt moet men de waarden van de genormaliseerde frequentie x LCω= bepalen

die aan de volgende vergelijking voldoen:

1 cos2 sinx x

x+

= . (2.20)

Dit levert de volgende eerste vijf wortels op voor x:

x = 1,7206 6,8512 12,87 15,07 19,06

en 01 02 03 04 050, 27 0,5 1,09 2,05 2,40, , , ,f f f f f

LC LC LC LC LC= = = = =

Het eerste nulpunt treedt dus op voor 0, 27 / LC daar waar dit voor de eenzijdige condensator op

0, 25 / LC ligt. De serieresonantie van de tweezijdige condensator ligt dus ongeveer 10% hoger

en tevens is het impedantieverloop rond f01 minder steil. SMD-componenten zijn echter zo klein

dat men het model met geconcentreerde strooi-elementen gerust mag toepassen tot 1 of 2 GHz.

B 2-19

Fig. 2. 11. Verloop van |Z/Z0| als functie van x LCω= .

Een moderne impedantiemeter laat meestal toe om de waarden van deze elementen te schatten door

het aanpassen van de gemeten waarden aan deze van het gekozen vervangschema. Het gebruik van

transmissielijnmodellen is echter noodzakelijk voor de grotere condensatoren of bij zeer hoge fre-

quenties. In het bovenstaande model werd er nog geen rekening gehouden met de verliezen in de

condensator. Voor de impedantie zijn deze echter alleen maar belangrijk in het gebied waar deze

zeer klein wordt. Immers, in de plaats van een impedantie nul bij resonantie vindt men dan de equi-

valente serieweerstand (ESR). De ESR is belangrijk wanneer de condensator voor ontkoppelings-

doeleinden toegepast wordt. Sommige low-dropout regulatoren (LDO) vereisen op hun uitgang een

ontkoppelcondensator met een ESR die binnen een vrij nauw gebied moet liggen opdat de terug-

koppelketen van de LDO niet zou onstabiel worden. Is de ESR niet aangepast dan kan de LDO os-

cilleren.

Wat betreft het gedrag van weerstanden bij hoge frequenties moet er nog de aandacht gevestigd

worden op de invloed van verdeelde capaciteit tussen delen van het circuit en het weerstandsli-

chaam. Deze verdeelde capaciteit suggereert opnieuw een transmissielijnmodel.

B 2-20a

b

Fig. 2. 12. Spanningsdeler met een grote weerstand a die een verdeelde capaciteit t.o.v. de massa vertoont.

Betreft het deel een massavlak dan ziet men bijvoorbeeld dat de verzwakking b/(a+b) van een

spanningsdeler opgebouwd uit de weerstanden a en b bij hoge frequenties een bijzonder gedrag kan

vertonen: bezit b weinig verdeelde capaciteit en a veel dan zal de transfercurve sterk dalen als de

frequentie toeneemt. Bij het verdeelde systeem zal men echter zien dat de verzwakking niet kan

benaderd worden met rechten zoals het geval is met het Bode diagram van gewone R-C netwerken.

De correcte uitdrukking van de verzwakking in voorgaand voorbeeld zal men terug kunnen bereke-

nen d.m.v. een transmissielijnmodel voor de weerstand a. Bij hoge weerstandswaarden zal een ge-

ringe verdeelde capaciteit al bij relatief lage frequenties een belangrijke invloed uitoefenen op de

transfer. In dat geval zal dan ook de invloed van lekzelfinductie kunnen verwaarlozen en is het toe-

laatbaar enkel gebruik te maken van verdeelde capaciteit en weerstand.

3.2.3. Model onder pulsexcitatie en ladingsgedrag.

In dc kan men een condensator voorstellen door een ideale condensator C en een serieweerstand r.

Deze verhindert het oneindig snel opladen of ontladen van de elektrodes. Een parallel-

verliesweerstand R beschrijft de zelfontlading doorheen het diëlektricum van een opgeladen con-

densator. Zie Fig. 2. 13a.

a( ) ( )b

A

C

R

r

B A

C

0C

2R

1R

B

Fig. 2. 13. (a) Serie- en parallelverlies, (b) Uitbreiding voor diëlektrische relaxatie.

Men moet natuurlijk ook nog rekening houden met de tempco van C die typische waarden kan aan-

nemen van 0,01% tot 1% per K. In condensatoren met vast diëlektricum, maar vooral in deze met

een elektrolyt, treden anomale effecten op t.g.v. wrijving die de elektrische dipolen bij een rotatie

ondervinden. Daarbij stelt men de aanwezigheid van geheugeneffecten vast. M.a.w. de laad- of ont-

B 2-21

laadstroom is enigszins afhankelijk van de voorgaande wijze van ontlading of oplading van C. Men

heeft gevonden dat die effecten min of meer door het circuit van de Fig. 2. 13b kunnen worden

voorgesteld. De condensator C0 stelt de “geometrische” capaciteit C0 voor, en het deel met C1, R1

en R2 is verantwoordelijk voor het geheugeneffect. Men stelt vast dat C0 zeer vlug kan worden op-

of ontladen terwijl dit niet het geval is voor C1. Verbindt men bij een opgeladen condensator gedu-

rende een korte tijd de klemmen A en B dan ontlaadt men eerst en vooral C0. Na enige tijd zal er nu

terug een spanning tussen A en B staan want C1 was niet volledig ontladen omdat R1 dit verhinder-

de. De overblijvende lading in C1 zal dan herverdeeld worden tussen C1 en C0. Dit noemt men het

residu-effect. Diëlektrische relaxatie is zeer hinderlijk in schakelingen waarin condensatoren voort-

durend van ladingstoestand veranderen. Dit is bijvoorbeeld het geval in “sample-hold” schakelin-

gen, de dubbele helling omzetter of in “switched capacitor” filters. Meten we de capaciteit met een

ladingsmethode dan vinden we enkel C0 omdat de meettijd kort is. In ac en bij zeer lage frequenties

i.h.b meten we een impedantie waaraan een equivalente capaciteit en verliesfactor kunnen gekop-

peld worden. Het is duidelijk dat dit verschillende resultaten voor de waarde van C oplevert.

4. Spoelen.

De zelfinductie van spoelen kan berekend worden uit de geometrie. Daar echter de mutuele induc-

tie met grotere nauwkeurigheid door de geometrie bepaald wordt zal men eerder de zelfinductie

van de spoel vergelijken met een standaard M. De mechanische constructie van de spoel is zeer be-

langrijk i.v.m. de stabiliteit en vandaar dat men primaire normalen dikwijls op een cilindrische

marmeren kern wikkelt.

Voor een zelfinductie moet er rekening gehouden worden met het feit dat de L-waarde kan variëren

t.g.v. thermische uitzetting van de kern en/of wikkelingen. Voldoende stevigheid van de wikkeling

bereikt men dan ook enkel maar door deze slechts in één laag te wikkelen. T.g.v. stroomverdrin-

ging en huideffect zal bij hogere frequenties de stroom niet meer eenparig over de draadsectie ver-

deeld zijn. Men vindt integendeel aan de buitenzijde van de draad een grotere dichtheid. De L zal

daardoor stijgen van Lo (bij dc) tot L∞ (stroom volledig verdrongen) omdat de spoeldoorsnede

schijnbaar toeneemt. Om deze verschijnsels tegen te werken, en ook om de weerstand zo klein mo-

gelijk te houden, kan men de enkele draad vervangen door een streng dunne van elkaar geïsoleerde

draden (“Litzen”-draad). Het vlechten van de individuele draden moet daarbij zo uitgevoerd wor-

den dat een draad alle mogelijke posities kan innemen binnen de sectie van de streng. Gewoon door

elkaar draaien volstaat inderdaad niet: in dat geval zal een draad aan de buitenzijde steeds aan de

buitenzijde van de streng blijven en kan deze het veld beletten dieper in de interne aders te vloeien.

Het gebruik van deze Litzendraad is nuttig vanaf een 100 kHz tot 1,5 à 2 MHz. Bij hogere frequen-

ties zal men liever verzilverde Cu-draad gebruiken waarbij de huiddiepte kleiner dan de dikte van

B 2-22

de zilverlaag moet zijn. In het appendix II is nog de kleurcode gegeven ter herkenning van zelfin-

ducties ontworpen voor printmontage.

4.1. Model van een spoel.

Diverse verschijnselen maken dat een spoel veel meer verliesmechanismen vertoont dan een con-

densator:

• Joule-verliezen (inclusief skineffect)

• Wervelstroomverliezen in naburige geleiders (afscherming, klemmen en draden)

• Diëlektrische verliezen in het spoellichaam en de isolatie van de draad (bij hoge frequen-

ties)

• IJzerverliezen in een eventuele magnetische kern die men aanbrengt om L te vergroten

(µ >> 1)

Uitgezonderd voor de lage frequenties, waarbij doorgaans het Jouleverlies domineert, is het zeer

moeilijk deze verliezen a-priori te berekenen. Vandaar dat men, juist zoals bij condensatoren, zich

meestal tevreden stelt met de meting ervan (liefst bij meerdere frequenties). Het effect van Joule-

en wervelstroomverliezen in naburige geleiders kan men beschrijven d.m.v. een weerstand in serie

met de spoel omdat deze verliezen evenredig zijn met het kwadraat van de spoelstroom. Anderzijds

zijn de ijzerverliezen voornamelijk evenredig met het kwadraat van de inductie en dus met het

kwadraat van de aangelegde spanning. Dit geldt ook min of meer voor de diëlektrische verliezen.

Men komt aldus tot het schema van Fig. 2. 14.

∞

Fig. 2. 14. (a) Fysische voorstelling van een spoel, (b) Model, (c) en (d) Fasoren

Aan dit schema werd nog een condensator toegevoegd die het effect voorstelt van de (verdeelde)

capaciteit tussen de windingen. Men kan gemakkelijk inzien dat het effect van deze verdeelde ca-

paciteit kan beschreven worden door één condensator c, tenminste, zolang we alles als geconcen-

treerd kunnen beschouwen. Bij deze figuren kan men de volgende overwegingen maken:

B 2-23

1. Voor een goede ijzerloze spoel is R zeer groot en de verliezen komen vooral van r. Met

ωo2 = 1/L c en x = ω /ωo wordt de impedantie van het equivalent schema:

2 2

2 2 2

j [ (1 ) ]( ) (1 )

r L x r cZr c xω

ω+ − −

=+ −

. (2.21)

2. Voor een goede spoel mogen de parasitaire elementen maar een beperkte invloed geven.

Men zal dus werken bij een frequentie waarvoor geldt:

21 ofwel 1L r x c rc

ω ωω

.

Derhalve bekomt men de volgende effectieve weerstand re en zelfinductie Le:

2e 2 2 2

2 2 22

e 2 2 2

(1 2 )( ) (1 ) 1 2

(1 ) (1 ) (1 )( ) (1 ) 1 2

r rr r xC r x x

L x C r L xL L xC r x x

ω

ω

= ≈ ≈ + + − −

− − − = ≈ ≈ ++ − −

. (2.22)

Deze formules dienen ter correctie: het volstaat ω0 te bepalen om gemeten waarden re en Le om te

rekenen naar de waarden van L en r in het model.

In analogie met de condensator zal men zeer dikwijls een parallel of serievoorstelling gebruiken

waarin c niet voorkomt, zolang x << 1 blijft. De ideale spoel zou een 90° naijlende stroom I geven

op de klemspanning E. Wegens r of R zal dit niet het geval zijn en men definieert nu een “kwali-

teitsfactor Q” zoals bij een condensator:

Serievoorstelling: Qs = 1/tan δ = ω L / r Parallelvoorstelling: Qp = R /ω L

Zoals bij een condensator kan men terug alle verliezen concentreren hetzij in R, hetzij in r, tenmin-

ste indien men bij een vaste frequentie werkt. Men kan eveneens de vermogeninterpretatie van een

verliesfactor D = 1/Q invoeren: D = Pv / Pb.

4.2. Spoelen met minimale verliesfactor

In de appendix III bespreken we nog op welke wijze spoelen met minimale verliesfactor kunnen

worden ontworpen. Daar deze methode voor de precisiemeettechniek niet nuttig is gaan we hier

niet verder op in.

B 2-24

5. Andere componenten

Als belangrijke componenten voor de meettechniek moeten we nog de mutuele zelfinductie en de

transformator bespreken.

5.1. Mutuele zelfinductie

Als component op zich wordt de (regelbare) mutuele zelfinductie maar zelden meer toegepast. Men

vindt ze soms nog terug in eindtrappen van grote zenders waar men de zogenaamde “tankketen”

inductief wil regelen. Bepaalde structuren van gekoppelde spoelen laten wel een zeer precieze be-

rekening van de mutuele zelfinductie M toe. Vandaar dat men vroeger methoden gebruikte om C en

L te vergelijken met een standaard M. In labo’s gebruikt men bij ladingsmetingen nog de zoge-

naamde variometer die toelaat een regelbare L te verwezenlijken door het variëren van de koppe-

ling tussen twee spoelen L1 en L2. Bij serieschakeling van L1 en L2 wordt dan de totale L:

L = L1 + L2 ± 2 M.

Anderzijds, indien men een stroom I door de ene spoel van de mutuele stuurt zal de spanning geïn-

duceerd in de andere spoel de waarde ± jω M I bezitten. Ook hier zullen nu afwijkingen van de

±90° fase optreden; men spreekt nu van de onzuiverheid σ op M. De onzuiverheid is o.a. het gevolg

van de verliezen die men door een parallelweerstand Rv over M kan voorstellen. Voor de frequen-

ties waarvoor Rv >> ω M kan de geïnduceerde e.m.k. voorgesteld worden door:

v

( j ) met ME M IR

ωσ ω σ2

= ± ≈ . (2.23)

In deze formule komen noch de lekzelfinducties, noch de weerstanden van de spoelen voor en dit is

de reden voor de goede berekenbaarheid van deze componenten. Evenwel kunnen we verwachten

dat bij hogere frequenties ook de fouten t.g.v. capaciteit tussen de windingen en wikkelingen en de

omgeving van belang zullen worden.

Merken we nog op dat bij alle metingen waarbij verschillende spoelen aanwezig zijn, er zeer veel zorg aan

de opstelling moet besteed worden opdat de magnetische en capacitieve koppeling tussen beide minimaal

zou zijn. De spoelen moeten ver genoeg van elkaar staan (bijvoorbeeld een aantal malen de diameter) en

men plaatst best hun geometrische assen loodrecht op elkaar.

5.2. Transformatoren

In vele precisie meetopstellingen worden stroom- en/of spanningstransformatoren toegepast. Ver-

mits een transformatorwikkeling in feite een spoel met weerstand, spreidingsinductantie en strooi-

capaciteit is zullen de modellen besproken bij de weerstand en spoel ook hier nuttig kunnen worden

B 2-25

aangewend. I.h.b. bestaan er gelijkaardige methodes om een lage windingscapaciteit of lekzelfin-

ductie te bereiken. In het hoofdstuk over de ac-comparatoren zullen we voorbeelden van modelle-

ring en constructie geven.

Nota

De hier besproken modellen zijn niet enkel nuttig voor de meettechniek, maar ook in de vermo-

genselektronica worden zij veelvuldig toegepast. Bij wijze van voorbeeld: om het rendement van

dc-dc converters zo groot mogelijk te maken moet men nauwkeurig de invloed van de strooi-

elementen onderzoeken. Vaak is het gedrag van een op het eerste gezicht eenvoudige schakeling

zeer afwijkend van wat wordt verwacht maar kan men dit uitleggen na het invoeren van de gepaste

modellen voor de componenten. In het bijzonder zijn de modellen voor transformatoren uiterst ge-

compliceerd indien men wil rekening houden met alle excesverliezen die kunnen optreden.

B 2-26

APPENDIX I BIJ HOOFDSTUK B-2.

Samenstelling van verliesfactoren.

Men neemt aan dat de verliesfactoren D1, D2, … van een reeks condensatoren met waarden C1,

C2, … gekend zijn. Wat wordt de totale dissipatiefactor D na serie of parallelschakelen van deze

condensatoren? Voor de berekening gaat men uit van het feit dat men steeds de equivalente serie-

of parallelweerstand van een serie- of parallelschema kan berekenen uitgaande van gekende ver-

liesfactoren.

Condensatoren in parallel: men gebruikt het parallelschema van Fig. 2. 9a en vgl. (2.13).

tt

1 en en dus:i i i ii i i

C C R C DR

ω= = =∑ ∑ ∑

1 1 2 2t

t t 1 2 t

1 ...( ...)

i ii

C DC D C DD

C R C C C

ω

ω ω+ +

= = =+ +

∑ .

Voor twee gelijke condensatoren is C1 = C2 en D1 = D2 is Dt = D1 = D2.

Condensatoren in serie: men gebruikt het serieschema Fig. 2. 9b en vgl. (2.14).

tt

1 1 en ii

i i ii i

Dr rC C Cω

= = =∑ ∑ ∑ en dus:

1 2t t t t

1 2

( ...)1

i

i i

i i

DD DCD C r CC C

C

ωωω= = = + +

∑

∑ .

Men kan uiteraard op dezelfde wijze veel ingewikkelder circuits behandelen.

B 2-27

APPENDIX II BIJ HOOFDSTUK B-2.

Kleurencode voor spoelen.

In het algemeen is er weinig eenvormigheid waar te nemen in de aanduidingen die op spoelen aan-

gebracht worden ter herkenning van de zelfinductie. Bij de zogenaamde microspoelen die als elek-

tronische component worden toegepast is er evenwel een kleurencode vergelijkbaar met deze van

weerstanden toegepast. Het betreft in het bijzonder de miniatuurspoelen met open of gesloten mag-

netisch circuit in de vorm van een weerstand. De 4 (of 5) kleurenbanden hebben de volgende bete-

kenis:

1. decimaal punt DP (goud) of eerste significante digit 2. DP (goud) of tweede digit 3. Tweede significante digit of vermenigvuldiger 4. Tolerantie: Zilver = ±10% Goud = ±5%

Indien er geen tolerantieband aanwezig is dan bedraagt de tolerantie ±20%.

Bij spoelen die voldoen aan de Amerikaanse militaire standaarden (MIL) worden de 4 ringen voor-

af gegaan door een brede zilveren band. De codetabel voor significante waarden en de vermenig-

vuldiger zijn hier dezelfde als deze van weerstanden:

zilver - 0,01

goud - 0.1

zwart 0 1

bruin 1 10

rood 2 102

oranje 3 103

geel 4 104

groen 5 105

blauw 6 106

violet 7 107

grijs 8 108

wit 9 109

De zelfinductie wordt uitgedrukt in µH en bestrijkt het gebied 0,1 µH tot 1 mH.

B 2-28

APPENDIX III BIJ HOOFDSTUK B-2

IJzerkernspoelen met minimale verliesfactor.

Wil men in een klein volume grote zelfinductiewaarden realiseren dan zal men steeds spoelen met

een ferromagnetisch materiaal als spoelkern toepassen. De volgende materialen worden daartoe

aangewend: Si-ijzer (± 4% Si + ijzer) voor transformatorkernen, poederijzer (kleine geïsoleerde ij-

zerdeeltjes) voor HF, ferrieten voor HF-toepassingen en dc-dc convertoren, glasachtige (amorfe)

legeringen voor vermogenselektronica. Naast het Jouleverlies moet nu eveneens het ijzerverlies

meegerekend worden. Dit ijzerverlies is vooral belangrijk bij spoelen uit de vermogenselektronica

die meestal bij een grote inductie werken. Om in een beperkt volume een gegeven L en B te verwe-

zenlijken zal men in de magnetische keten (lengte l) een luchtspleet met lengte d aanbrengen. De

permeabiliteit µ van het kernmateriaal zal dan schijnbaar een lagere effectieve waarde µe aanne-

men:

1e d

l

µµ µ=+

.

Fig. AIII-2. 1. (a) magnetische keten met luchtspleet, (b) equivalent schema van de spoel L.

De zelfinductie L van de spoel L hangt af van een geometriefactor K en het aantal windingen n vol-

gens de gekende formule:

2 0

1

LL K n dl

µ µ= =+

.

Daarin is Lo de L-waarde voor d = 0. Verder is het ijzerverlies Py constant indien men B vasthoudt

en we stellen dit verlies voor door een een weerstand R in parallel met L. In dat geval is echter ook

B 2-29

de effectieve spanning E over L constant en het blindvermogen in L is 2

bEP

Lω= . We schrijven nu

de verliesfactor D uit rekening houdend met beide verliezen:

ij rij 2

b

P P L rD PP E L

ωω

+= = + .

Men neemt daarbij aan dat de stroom door R veel kleiner is dan deze door L. Varieert men ω L

d.m.v. ω of n, of nog d dan treedt er steeds een minimale D (of minimale Q-factor) op voor Py = Pr.

D

(of d) vastω

)d ω(of

Fig. AIII-2. 2. Verloop van de dissipatiefactor met de luchtspleetlengte of frequentie.

Het spreekt vanzelf dat dergelijke ijzerkernspoelen niet voor het gebruik als normaal in aanmerking

komen gezien de onzekerheid op de waarden van µ, d en K. Daarenboven is de permeabiliteit

meestal sterk temperatuurafhankelijk. Het gebruik van een luchtspleet heeft nog het voordeel dat

die afhankelijkheid daalt t.o.v. die van het naakte materiaal.

B 2-30

Hoofstuk B-2. Modellen van R, C, L, M. 1. Inleiding ......................................................................................................................................1

2. Weerstanden. ...............................................................................................................................3

2.1. Parasitaire elementen...........................................................................................................3

2.2. Praktische uitvoering van draadgewikkelde weerstanden...................................................5

2.2.1. Constructie voor kleine spreidingsinductie. ................................................................5

2.2.2. Constructie voor kleine parallelcapaciteit. ..................................................................6

2.2.3. Huideffect....................................................................................................................7

3. Condensatoren.............................................................................................................................8

3.1. Soorten condensatoren ........................................................................................................8

3.2. Condensatormodellen........................................................................................................12

3.2.1. Modellen in ac voor niet te hoge frequenties. ...........................................................12

3.2.2. Model van een condensator en weerstand bij zeer hoge frequenties ........................16

3.2.3. Model onder pulsexcitatie en ladingsgedrag.............................................................20

4. Spoelen. .....................................................................................................................................21

4.1. Model van een spoel..........................................................................................................22

4.2. Spoelen met minimale verliesfactor..................................................................................23

5. Andere componenten.................................................................................................................24

5.1. Mutuele zelfinductie..........................................................................................................24

5.2. Transformatoren ................................................................................................................24

APPENDIX I. Samenstelling van verliesfactoren.

APPENDIX II. Kleurencode voor spoelen.

APPENDIX III. IJzerkernspoelen met minimale verliesfactor.

B 3-1

DEEL B. HOOFDSTUK III. UNIVERSELE BRUGGEN EN COMPARATOREN.

Inleiding.

In de loop der jaren werden een aantal bruggen geconstrueerd die geschikt zijn voor de meting van de

elementaire componenten R, L en C. Niettegenstaande de algemene ac-evenwichtsvergelijkingen van

de Wheatstonebrug zeer veel mogelijkheden bieden om een evenwichtsconditie te bekomen zal men

voor een universele brug zich beperken tot een 5-tal bruggen. Daarbij gelden de volgende

overwegingen:

• Regelbare precisie condensatoren en zelfinducties zijn zeer duur. Hun aantal moet dus beperkt

blijven.

• Condensatoren kunnen nagenoeg ideaal zijn in tegenstelling tot spoelen. Deze laatste vertonen

zelfs bij lage frequenties een lage Q-factor, de equivalente serieweerstand is om diverse

redenen frequentieafhankelijk en er bestaat een hinderlijke capaciteit tussen de verschillende

wikkelingen en de windingen onderling.

Vandaar dat universele bruggen opgebouwd zijn met twee regelbare weerstanden, verschillende

omschakelbare vaste weerstanden, en liefst niet meer dan één vaste capaciteitsnormaal. Verder kiest

men uit alle mogelijkheden deze die de onbekende grootheid lineair evenredig met een der

regelweerstanden uitdrukt.

Ter illustratie geven we in de Fig. 3. 1 de circuits van 5 veel toegepaste bruggen waarmee de

verliezen van de onbekenden zowel in een serie- als parallelschema kunnen uitgedrukt worden.

Omdat een aantal van die bruggen, op gebied van regelsnelheid, weinig performant zijn werden soms

trucs toegepast om de convergentie te verbeteren. Bij een bepaalde fabrikant werd dit verwezenlijkt

d.m.v. een ingewikkelde mechanische koppeling tussen de twee regelcomponenten. Dergelijke

universele bruggen hebben eerder nog een historisch belang; de schema's zijn echter goed bruikbaar

als studieobject. Men kan zo de theorie der regelparameters van Hoadley e.d. oefenen aan de hand

van deze voorbeelden.

De moderne precisiebruggen maken, voor zover de meetfrequentie beperkt blijft tot een 10 kHz á

20 kHz, gebruik van inductieve spanningsdelers en stroomcomparatoren. Met de gevoeligste

stroomcomparatoren is het tegenwoordig mogelijk componenten met elkaar te vergelijken met een

nauwkeurigheid die beter is dan 10-8.

B 3-2

~

~

Rx

RN

RA

RB

(a) R = Rx N

RA

RB

(d) C = x C en D = C RT x T TωRN

RA

~

~

RN

RArx

RT

CT

Cx

(c) L = R R C en Q = 1/ C Rx N A T x T Tω

(e) C = x C en D = 1/ C RT x T TωRN

RA

~

~

Rx

RN

RALx

RT

CT

~

~

Rx

RN

RA

RTCT

Cx

~

~

RN

RA

rx

Lx

RT CT

(b) L = R R C en Q = C Rx N A T x T Tω

Fig. 3. 1. Enkele universele bruggen.

1. Inductieve spanningsdelers.

Een inductieve spanningsdeler (ISD) is opgebouwd uit een kaskade van auto-transformatoren met

aftakkingen. De wijze van schakelen is gelijkaardig aan die van de Kelvin-Varley deler. Alle

transformatoren zijn identiek en dit geldt ook voor de secties waarmede ze opgebouwd zijn. Zie de

Fig. 3. 2.

B 3-3

( N )1 ( N )2 ( N )n

1,1

1,0

0,9

0,8

0,2

0,1

0,0

0,1

0,0

0,1

0,0

Ui

U1 U2

Un

1 transfoste

2 transfode

laatste transfo( T )n( T )1 ( T )2

U0

Fig. 3. 2. Inductieve spanningsdeler.

Men bekomt met dit schema de volgende uitgangsspanning Uo:

2o 1 i i i1

1

1i

1

...10 10

met .10 en 0,1/ 0 / 0,1/ 0,2 / ... /1/1,1

nn

k nk

nk

k k

N NU U N U U U

D U D N N

−=

− +

= = + + +

= = −

∑

∑ (3.1)

• De transformatoren zijn zo perfect dat men in eerste instantie alle bijkomende parameters

(weerstand, lekzelfinductie, …) kan verwaarlozen. Men beperkt de inductie in het ijzer tot

0,5T zodat de magnetiseringsstroom zeer klein is. M.a.w., bij nullast vertoont een

transformator een zeer hoge impedantie en men kan ze dan ook zonder meer in kaskade

schakelen. Merk op dat men probleemloos een 10% over- en onderbereik kan bekomen d.m.v.

Nk = -0,1 of 1,1 maar er zijn dan wel 12 wikkelingen nodig.

Een volledige galvanische scheiding tussen Ui en Uo kan men bekomen door T1 als volwaardige

transformator uit te voeren. Het nuttige frequentiebereik van de ISD ligt tussen 10 Hz en 20 kHz. Aan

de lage zijde ligt de beperking bij de magnetiseringsreactantie; aan de hoge zijde beginnen de

parasitaire capaciteiten tussen de windingen en deze tussen de wikkelingen een grote rol te spelen.

1.1. Constructie van een transformator.

Men gebruikt een hoogpermeabele ringkern (µ>50.000). Twaalf draden van dezelfde lengte worden

ineengedraaid zodat een bundel bekomen wordt. De bundel wordt op de kern gewikkeld (in één laag),

zodat de binnenomtrek volledig omwikkeld is. Deze constructie verzekert een grote uniformiteit van

B 3-4

de magnetische koppeling tussen kern en wikkeling. De eventuele effecten van inhomogeniteit in het

kernmateriaal worden daardoor ook geminimaliseerd. Het is eveneens duidelijk dat de admittanties

tussen elke wikkeling nagenoeg identiek zullen zijn. Deze admittanties kunnen voorgesteld worden

door een condensator met verlies.

1.2. Fouten.

Afwijkingen van het ideale gedrag worden uitgedrukt t.o.v. de ingangsspanning Ui. Men krijgt een

complexe fout en we stellen bijgevolg de uitgangsspanning Uo voor door:

o i i( j )U DU D Uα β= + + , (3.2)

met α en β de reële en imaginaire component van de relatieve fout. De oorzaak van deze fout is te

vinden in subtiele afwijkingen van het ideale gedrag van een transformator.

• Ongelijkheid van de 12 (of 10, of 11) lekzelfinducties geassocieerd met elke wikkeling

• Verschil in wikkelingsweerstand door o.a. variaties in draaddiameter

• Interne belasting van een wikkeling t.g.v. de admittanties die deze met de andere vertoont

• Geringe verschillen in flux gekoppeld met elk der wikkelingen

Een decade van de ISD kan d.m.v. geconcentreerde elementen voorgesteld worden in een equivalent

circuit. Dit is echter slechts mogelijk indien een scheiding tussen het laag- en hoogfrequent gedrag

wordt doorgevoerd. Een algemeen vervangingsschema dat rekening houdt met alle imperfecties is

moeilijk op te stellen. Mits enige vereenvoudigingen te maken kan men echter tot bruikbare schema’s

komen voor de lage en hoge frequenties.

1.2.1. Laagfrequentfouten.

We nemen aan dat voor de lage frequenties de admittanties tussen de wikkelingen verwaarloosbaar

zijn. Veronderstellen we dat er 10 wikkelingen op een kern naast elkaar zijn gewikkeld. Dit maakt het

voorstellen van de belangrijkste fouten duidelijker.

De magnetiseringsstroom i produceert veld in de kern maar de flux voor elke sectie is niet

noodzakelijk dezelfde omdat de spoelsecties een weinig kunnen verschillen. De fluxen in deze secties

stellen we voor door ,1 2 10Φ Φ , ... ,Φ . Bij de gewone transformator verwaarlozen we in eerste

instantie de flux buiten de kern. Maar, omdat het hier om een precisiemeting gaat, is dit niet langer

toelaatbaar.

De magnetiseringsstroom Noemen we Φ het gemiddelde van deze fluxen, dus:

B 3-5

10

i1

1 = 10

Φ Φ∑ , (3.3)

1en dan zijn de sectiefluxen: + , , ... , 1 2 2 10 10Φ =Φ δΦ Φ = Φ + δΦ Φ =Φ+δΦ . (3.4)

n

1 2

ϕ1

ϕ2

i

i

r

l en

Fig. 3. 3. Vereenvoudigd model voor de fouten.

Een wikkeling n produceert een lekflux Φn waarvan we veronderstellen dat die met geen enkele

andere wikkeling is gekoppeld. Dit is niet correct maar geeft toch redelijke resultaten. We voeren nu

op dezelfde wijze de gemiddelde lekflux ϕ en de individuele lekfluxen ϕn in:

1 1, 2 2 10 101 , ... , en

10ϕ ϕ δϕ ϕ ϕ δϕ ϕ ϕ δϕ ϕ= + = + = + = . (3.5)

Voor de wikkelingsweerstanden handelen we op dezelfde wijze:

10

1 1 2 2 10 101

, , ... , en nn

r r r r r r r r r rδ δ δ=

= + = + = + = ∑ . (3.6)

De klemspanning van de wikkeling n is dus de e.m.k. erin geïnduceerd, vermeerderd met de

spanningsval: d dd d

n nn ne r i

t tΦ=− − +ϕ .

Definiëren we de gemiddelde zelfinductie L van een wikkeling door L = Φ/i en idem voor de

gemiddelde spreiding l = φ/i dan wordt en:

d d( ) ( ) ( )d dn n n n

i ie = - L + L - l + l + r + r i t t

δ δ δ .

B 3-6

Fig. 3. 4. Equivalent schema ter bepaling van de laagfrequentfout bij ISD.

Op dezelfde wijze kan men nog rekening houden met het ijzerverlies dat geassocieerd is met de

wikkeling. Dit verlies zal met een weerstand in parallel met Ln kunnen worden voorgesteld. Men

komt aldus tot het equivalent schema van Fig. 3. 4 om de fouten te berekenen. Men vindt de fout door

de impedantie van sectie n te delen door de totale impedantie. Deze verhouding is functie van δ Ln,

δ Rn, δ ln en δ rn waarvoor de eerste-orde termen gemakkelijk kunnen worden berekend. Men heeft:

2 2

2 2

jjj

( )d d d - d j d( j ) ( j )

l RF r lR l

F F L RF r L R Lr L R L R L

ωωω

ω ωω ω

= + ++

∂ ∂= + +∂ ∂ + +

. (3.7)

We houden rekening met het feit dat r en l klein zijn t.o.v. R en L zodat we in de noemer van de

relatieve fout dFF

voor F de waarde van vgl. (3.7) zonder de termen met r en l invoeren. Zo vindt

men dan uiteindelijk voor de verhouding van uitgangs- tot ingangsspanning:

1 2

i

3 32

1 [110

j ( )]

n n n n n

n nn n

l r L RV k k L R L RU

l r + - - k R L + k L RR L

δ δ δ δ

δ δω δ δω

≅ + + + + , (3.8)

22 2 2 22 32 2 2

1met ( ) , ( ) , , en ( )iR Lk k k Z R LZ Z Z

ω ω= = = = + . (3.9)

De totale fout op Uo is de som van de fouten van de n wikkelingen die Uo bepalen. Daar alle δ's in

feite correcties voorstellen volstaat het ze te meten met een nauwkeurigheid van enkele procenten.

Relatief, ten opzichte van 1, zijn ze van de orde 10-6.

B 3-7

1.2.2. Hoogfrequentfouten.

Omdat de draden van de verschillende secties in een bundel zitten, zijn de admittanties van een

wikkeling t.o.v. een andere veel groter dan deze t.o.v. de omgeving (kern, afscherming). Men neemt

bij de analyse eerst aan dat alle Ln, Rn, ln, rn uit bovenstaand schema een gelijke waarde bezitten.

Verder nemen we ook nog aan dat de L's onderling 100% gekoppeld zijn; m.a.w. over elke L staat

dan Ui /10. De belasting van elke wikkeling wordt gevormd door C en G, de gemiddelde waarden van

capaciteit en conductantie tussen geleiderparen (of wikkelingen). Men ziet dat G en C, via r en l,

uiteindelijk een fout zullen geven. De 10 deelwaarden kan men dan schrijven als volgt:

(1 )10 10 10n nn n nε ε+ = + . (3.10)

Zapf heeft de berekening van de fout uitgevoerd en, met de notatie:

( j )( j )T r l G Cω ω= + + , (3.11)

levert dit de volgende foutformule op:

3 2 21100 (2 3 ) [ j ( )]12D D D D r G l C C r l Gε ω ω= − + − + + . (3.12)

I.h.b. geeft dit de volgende tabel:

Het opstellen van de vgl. (3.12) kan zoals hieronder beschreven gebeuren. Stel dat men slechts twee

wikkelingen of secties heeft en dat men de (verdeelde) capaciteit ertussen voorstelt door gelijke

condensatoren 1 en 2. (Fig. 3. 5a). In b staat hetzelfde schema, maar iets anders getekend. Op

dezelfde wijze vindt men Fig. c en d voor drie wikkelingen. Indien de transformator een spanning V

toegevoerd krijgt worden in de wikkelingen gelijke e.m.k.'s e geïnduceerd. Deze staan in serie met de

wikkelingsweerstand r en de lekzelfinductie l, welke de impedantie z = r + j ω l vormen. Men

verwaarloost daarbij L en R uit Fig. 3. 4.

Verder is C niet verliesloos en zal men dus een verliesconductantie G moeten toevoegen en elke C

vervangen door een admittantie Y = G + j ω C (Fig. 3. 5f). Uit deze figuur kan men aldus de

verhoudingen V1/V, V2 /V en V3 /V bepalen die eigenlijk nominaal 1/3 zouden moeten zijn. Breidt men

de redenering uit tot 10 secties dan vindt men de vgl. (3.12).

ε0,1 = - ε0,9 = 6,6 T ε0,4 = -ε0,6 = 4,4 T

ε0,2 = -ε0,8 = 8,8 T ε0,5 = -ε0 = 6,6 T

ε0,3 = -ε0,7 = 7,7 T

B 3-8

A B

C

1 2

A B C

1 2

ba

A

B

C

5 1 2 6

3 4

B

C

D

c

A B C D

1 2 4

3

5

d

6

C

2C

C C

C

V

e

Z

Z

Z

E

E

E

E3

E2

E1

Y

2Y

Y Y

Y

3

2

1

0

V3

V2

V1

~

~

~

~

~

~

V

V

V

3

3

3

f

Fig. 3. 5. Equivalent schema van ISD voor berekening van de hoogfrequent fout

Methoden ter bepaling van de waarden G, C, l, r werden eveneens opgesteld. Dit laat uiteindelijk

toe om de totale fout te bepalen door sommatie van laag- en hoogfrequentfouten. Helemaal correct

is dit niet, omdat beide fouten niet onafhankelijk zijn. De resultaten zijn echter meestal

bevredigend indien het frequentiegebied niet te groot is.

B 3-9

1.3. Toepassingen van de I.S.D.

Daar de deelverhouding alleen van windingsverhoudingen afhangt en de fouten op de deelfactor van

de orde 10-8 bedragen, hebben we dus beschikking over een component die equivalent is met de

resistieve deler. De prestaties zijn echter opmerkelijk beter. We tonen enkele toepassingsvoorbeelden

in de Fig. 3. 6.

Fig. 3. 6. ISD toegepast bij het ijken van een hoogohmige (a) of laagohmige (b) voltmeter.

(1) IJking van een voltmeter V2 in ac (Fig. 3. 6a en b).

• Hoogohmige voltmeter V2: U2 = s U1, V1 is standaardmeter.

• Laagohmige voltmeter V2 met laagohmige resistieve spanningsdeler (RSD). De RSD moet

niet nauwkeurig zijn en hij levert de stroom die V2 nodig heeft om de uitwijking U2 te geven.

Bij evenwicht van ND is U2 = s U1.

Gezien de ISD een kleine fasefout vertoont zal evenwel een geringe uitbreiding van het circuit nodig

zijn met een compenserend RC-netwerk wil men perfect het evenwicht kunnen instellen.

(2) IJking van een capacitieve deler (Fig. 3. 7a en b).

Door in serie met CN een weerstand RN op te nemen kan men de verliesfactor en waarde van een

condensator Cx bepalen. Voor Fig. (a) vindt men de volgende evenwichtsvoorwaarden:

x N x x N x N1, dus tan en

1s sR R C R C R C C

s sδ ω ω Ν

−= = = =

− .

De waarde van s is gelijk aan de ingestelde deelverhouding. Analoog voor Fig. (b). Hier is nu Cx wel

evenredig met s.

B 3-10

( b )( a )

C = 10 sCx N

s

CN

CN

RN

Cx Cx

rx

UCN

Cx

sU

1

-0.1

0.1U

U

C =x1-ss CN

Fig. 3. 7. (a) Kalibratie van een capacitieve deler. In (b) wordt de “underrange” van ISD toegepast.

(3) Versterkingsfactor van laagfrequentversterker (Fig. 3. 8a en b).

Men ziet dat G = 1/ s. Wanneer G zeer groot is zal de meetfout ook groot worden (s zeer klein).

(4) Dubbele Kelvinbrug (Fig. 3. 8c).

Men gebruikt twee ISD’s en stelt dezelfde deelverhouding in: s1 = s2 = s. Men vindt dan bij

evenwicht: x N .1

sR Rs

=−

Helaas is er geen lineair verband tussen Rx en s.

( b )

( c )

( a )U

sU

GsU

U

Gs

Rx RN

I

s1

s = s = s1 2

s2

R = Rx Ns

1-s

+G

Fig. 3. 8. (a) en (b) Meting van de versterkingsfactor van een versterker, (c) Kelvinbrug.

2. De stroomcomparator.

De magnetische stroomcomparator is een ac-comparator die toelaat om Ampèrewindingen te

vergelijken. Op een ringkern met zeer hoge aanvangspermeabiliteit worden de volgende wikkelingen

gelegd (Fig. 3. 9a en b):

B 3-11

• De wikkelingen n1, n2 waardoor de te vergelijken stromen I1 en I2 lopen. De weerstand van n1

en n2 moet liefst klein zijn

• Een detectiewikkeling nd

• Soms andere wikkelingen die ter compensatie van subtiele fouten toegevoegd worden. Zie

ook Appendix I.

De comparator kan ook in dc uitgevoerd worden indien men hem als modulator uitvoert (zie deel I).

In dat geval is de opbouw zoals in het rechter deel van de figuur.

Worden I1 en I2 zo ingesteld dat de detectiewikkeling spanningsloos is, dan geldt er:

1 1 2 2n I n I= . (3.13)

Wegens de zeer hoge aanvangspermeabiliteit en de wikkelingsmethode zijn de lekzelfinducties te

verwaarlozen. De vergelijking (3.13) is correct vermits de magnetiseringsstroom nul is. De enige

spanningen die men uiteindelijk vindt over n1 of n2 zijn r1 I1 en r2 I2, waarbij r1 en r2 de

corresponderende weerstandswaarden van n1 en n2 zijn. Ook de lekzelfinducties l1 en l2 zullen een

klein aandeel geven, nl. j ω l1 I1 en j ω l2 I2.

Fig. 3. 9. (a) ac en dc wikkelingen van stroomcomparator, (b) opbouw

2.1. Gevoeligheid van een stroomcomparator.

Indien 1 1 2 2 0n I n I− ≠ dan is de detectiewikkeling niet spanningsloos en d 0E ≠ . De gevoeligheid

(Z) wordt nu gedefinieerd als de “uitgangsspanning per Aw afwijking van de evenwichtstoestand”.

Uit deze definitie volgt onmiddellijk:

B 3-12

d 0 d0 12π

n S B S nZ S nn I r

ω ω µ µ ω µ µ= = =∑

. (3.14)

Daarin zijn: B de inductie in de kern, S de kernsectie, r de gemiddelde straal van de kern. Bij een kern

waarbij de detectiewikkeling de volledige omtrek inneemt is n1 = nd / 2 π r onafhankelijk van r.

Voorbeeld: S = 1 cm², n1 = 4 wdgn/mm, µ = 50.000, f = ω / 2π = 50 Hz geeft Z = 2π × 50 × 10-4 × 50.000 × 4π

x 10-7 × 4000 = 7,9 V/A of 7,9 µV/µA.

2.2. Fouten.

Algemeen bevat de fout een in-fase en in-kwadratuur component en is zij zowel aan magnetische (εm)

als aan capacitieve (εc) oorzaken te wijten:

2 2p q m c

1 2

j 1n I = + = n I

ε ε ε ε ε− = + . (3.15)

Als gevolg daarvan is ε niet eenduidig op te geven zonder de wijze van aansluiten van de comparator

met de rest van de schakeling te vermelden. Immers, εc hangt daar van af.

2.2.1. Magnetische fout.

Er zijn drie oorzaken voor het ontstaan van de term εm.

(1). Inhomogeniteiten van µ wanneer men zich verplaatst langs de omtrek van de toroïde. Men heeft

vastgesteld dat µ plaatselijk 5 tot 10% van de gemiddelde waarde kan afwijken. Bij de fluxberekening

gaat men er in feite van uit dat µ overal gelijk is onder elk deel van de detectiewikkeling. Indien dit

zo niet is dan moet Ed in vgl. (3.14) vervangen worden door:

d ( d ) ( )oE n S H . l lω µµ= ∫ . (3.16)

D.w.z. dat bij Ed = 0 nu 0n I ≠∑ kan zijn. Om dit effect te reduceren brengt men een extra

wikkeling in serie met de detectiewikkeling aan. Het betreft een geconcentreerde wikkeling die op

een goed gekozen positie wordt geplaatst. Het aantal nodige windingen en de positie kunnen aan de

hand van metingen worden geschat.

(2). Gebrek aan symmetrie en ruimtelijke overlapping van n1 en n2. Mochten n1 en n2 volledig

samenvallen dan zou deze fout natuurlijk niet bestaan. In werkelijkheid is er dikwijls een minieme

afstand tussen n1 en n2 (bijv. door de dikte van de draadisolatie) en zeker tussen hun centra.

(3). Een deel van de lekflux van n1 of n2 wordt door de hoge permeabiliteit van de kern aangezogen

en verwekt een e.m.k. in nd. Door toepassing van een magnetisch scherm (mumetaal) rond de

detectiewikkeling wordt dit vermeden. Tevens kunnen dan ook uitwendige magnetische stoorvelden

B 3-13

de kern niet meer bereiken.

2.2.2. Capacitieve fout εc.

Deze wordt veroorzaakt door de capaciteit van n1 en n2 t.o.v. aarde, de capaciteit tussen n1 en n2, de

capaciteit tussen de nabijgelegen windingen van een wikkeling. Fig. 3. 10a. Indien de primaire grote

stromen voert dan kiest men veelal n1 = 1 en de capacitieve effecten ervan zijn te verwaarlozen. Men

voert dit immers uit door een enkele draad door het kernvenster te steken en aldus is de afstand tot de

andere wikkelingen groot.

In de andere gevallen, waarbij n1 een echte wikkeling vormt, kunnen de capacitieve stromen aan-

zienlijke fouten introduceren. T.g.v. de afscherming moet de stroomcomparator als een 5-pool

bekeken worden. Omdat de potentialen van n1 en n2 t.o.v. de aarde of afscherming nu ook een rol

spelen geldt de eenvoudige evenwichtsvergelijking niet.

C1G

C1

I2N

C2G

1 2I1M

V1M V2MI2M

C1

C12

I1N

I2N

I1N 1N

2N

Y1G

1M

Y12

I1M

V1M

V2M2M

Y2G

I2M

(b)(a)

Y1

Y2

Fig. 3. 10. (a) Magnetische comparator en capacitieve fouten voorgesteld door condensatoren, (b) Verdeeld model voor de foutberekening bij twee eénlaagswikkelingen.

De Fig. 3. 10b toont een model dat vrij goede resultaten oplevert in het geval van twee éénlaags-

wikkelingen die gelijkmatig op de kern verdeeld liggen. Daarbij moet nog rekening gehouden worden

met de lekimpedanties Z1 en Z2 van elke wikkeling die een spanningsval tussen de windingen

produceren. Deze impedanties bestaan uit een resistief deel en een deel t.g.v. de kleine lekflux. Als

gevolg daarvan wordt niet alle stroom naar klem 1N of 2N gebruikt om ampèrewindingen te

produceren.

B 3-14

2.3. Toepassingen van de stroomcomparator.

2.3.1. Hoogspanningsbrug van Glynne: bepaling van Cx en Dx.

C ,rx x

n1 n2

C'

nd

CN

R

U

Fig. 4. 11. Hoogspanningsbrug van Glynne.

2x N

1

1x

2 N

x N

'' (1 )

' ( ')

nC Cn

n Cr Rn C

D R C Cω

= = + = +

(3.17)

De weerstand R' is gelijk aan R vermeerderd met de weerstand van de wikkeling n2. Men regelt op R'

en n1 / n2. Merk op dat er geen hulpbrug nodig is om de schutringen van Cx en CN te sturen. De

stroomtransformator is immers altijd spanningsloos.

2.3.2. De dubbele transformatorbrug Wayne Kerr.

De hieronder besproken schakeling is het typevoorbeeld van een brug voor laagfrequenttoepassingen

die eventueel processor gestuurd kan worden omdat het convergentiegedrag uitstekend is. Zij maakt

gebruik van een spanningstransformator (Te) aan de generatorzijde en ac-stroomcomparator (Ti) aan

de detectorzijde. Men gaat uit van de principeschakeling van Fig. 3. 12a.

De spanningstransformator en de stroomtransformator zijn beide voorzien van verstelbare

aftakkingen. Impedantie Zs stelt een standaard van impedantie voor. Men heeft nu:

d x x s s0 voor i n I n I= = . (3.18)

In dat geval is ook de spanning over Ti nul, zodat:

sxx

p x p

1 1en ss

NNI = E I = E N Z N Z

. (3.19)

B 3-15

0Nsq

Nsf

C

G

nsq

nsf

(a) (b)

E

Te Zx Ix Ti Ti

Nx

Ns

NpZs

nx

ns

0

id

ND

Is

Fig. 3. 12. (a) Principe van de Wayne-Kerr brug, (b) Verwezenlijking van Zs.

Vervanging van de vgl. (3.19)(3.19)(3.19)(3.19) in vgl. (3.18)(3.18)(3.18) geeft dan voor de

onbekende impedantie:

x xx s

s s

n NZ Z Nn

= . (3.20)

De afregeling gebeurt d.m.v. aftakkingen waarmee nx, ns, Nx en Ns ingesteld worden. Daar echter de

fysische aftakpunten op Ti zowel boven als onder het middenpunt 0 kunnen gemaakt worden kan men

vgl. (3.20) ook met een negatief voorteken schrijven.

De standaard Zs zal verwezenlijkt worden d.m.v. enkele standaardweerstanden en condensatoren.

Men splitst op deze wijze de ns Is ampèrewindingen in een “in-fase” en “in-kwadratuur” deel. Daar

het aantal aftakkingen dat nodig is om bijvoorbeeld 4 decaden te maken veel te groot zou zijn, zal

men de Fig. 3. 12b anders verwezenlijken. Men zal 4 condensatoren gebruiken die elk op één van de

tien aftakkingen kunnen aangesloten worden d.m.v. schakelaars. Dit vereist wel dat C1 = 10 C2

=100 C3 = 1000 C4; daarbij zal C4 meestal regelbaar zijn zodat de laatste decade continu wordt.

Verder zal men het bereik nog kunnen uitbreiden door Zx aan te sluiten op punten van Te die zich

verhouden als 1/10/100/1000. Voor de standaard G wordt met 4 standaardweerstanden gewerkt en

met dezelfde 10 aftakkingen. Zie daarvoor Fig. 3. 13.

De vergelijkingen (3.19) en (3.20) worden nu:

sf1 sf 4x1x sf 4

pp x p

sq1 sq44sq 1

p p

1 ( )

j ( )

N n n n E n ... G E GN Z N Nn n + n C ... ECN N

ω

= + +

+ + , (3.21)

sqsf4x sf 1 sf 4 sq1 sq44

x x x x x

1of nog: getal( ... ) j getal( ... )nn Y n n n nCG n N n NZω= = × + × . (3.22)

B 3-16

(a)(b)

Te Zx Ti

C

G

Identiek voor Gnaar nsf

C1 C2 C3 C4

naar nsqSchakelaar: nsq1 nsq2 nsq3 nsq4

+

+

_

_

Fig. 3. 13. Verwezenlijking van de decaderegelingen.

Kiest men (nsf /nx Nx)G4 en (ω C4 nsq /nx Nx) zodanig dat deze van de vorm 10N zijn dan zullen we,

rekening houdend met het feit dat we ook negatief kunnen aftakken op Ti, uiteindelijk de onbekende

kunnen uitdrukken als een admittantie Yx (zie ook Fig. 3. 13b):

x j Y = G Cω± ± . (3.23)

M.a.w. we vinden de onbekende admittantie onder de vorm van een ± G parallel met ± C. Willen we

voor Zx een serie-equivalent dan moeten we de omrekening maken van Zx naar Yx. Zo wenst men bij

een spoel dikwijls het resultaat met de vorm Zx = r + jω L voor te stellen. De vgl. (3.23) geeft dan:

2 2

( jj( )

G - C)r + L = G C

ωωω

± ±+

. (3.24)

Bij de Wayne Kerr brug worden afzonderlijk vereenvoudigde formules voor dit en andere gevallen

gegeven. Voor de spoel gaat men er van uit dat ω L » r en in dat geval zal voor het resultaat op de

brug eveneens g « 1/ ω C, zodat:

2 2

1en( )

Gr L = - CC ωω

≈ . (3.25)

De stand van de tekenschakelaar ± volgt uit de fase van Ix en Is. en dus uit een vergelijking zoals

(3.25) Hier kiest men bijgevolg +G en -C. Vroeger was de ingebouwde bruggenerator standaard

ingesteld op ω = 104rad/s zodat de formules (3.25) eenvoudiger waren. Moderne transformator-

bruggen kennen die beperking niet omdat een microprocessor toch voor de omrekeningen kan zorgen.

B 3-17

Enkele opmerkingen:

• De transformatoren moeten zeer weinig weerstand vertonen. Voor Np is dit minder belangrijk daar in

eerste instantie enkel E er door wordt beïnvloed. Ook de spreiding moet minimaal zijn zoals al hoger

aangetoond.

• Onzuiverheden op G en C worden aan de zijde van Zx gecompenseerd d.m.v. trimmers. Men regelt

deze zo af dat in de stand G = C = 0 met Zx = ∞ de brug in evenwicht is.

Meting van 3-klemmen impedanties.

Een van de grote voordelen van deze brug is dat zij toelaat om rechtstreeks de hoofdimpedantie Zx

van een 3-klemmen impedantie te meten op de wijze getoond in Fig. 3. 14. Men ziet dat ZLG

nauwelijks invloed heeft bij evenwicht omdat er geen spanning over Ti staat.

Te

Nx

Ns

H Zx L

G

0

Ys

R R

EL1 L2

Ix

M

R R Ix

Zx

(a) (b) (c)

Fig. 3. 14. (a) Eliminatie van ZHG en ZLG bij een 3-klemmen impedantie, (b) Bepaling van M, (c) Meting van een zeer kleine impedantie.

De impedantie ZHG daarentegen belast Te zodat E daalt, wat in eerste instantie enkel de gevoeligheid

van de brug iets zal doen afnemen. Maar, de secondaire wikkelingsweerstand en lekzelfinductie die

niet gemeenschappelijk zijn aan Nx en Ns zullen dan een extra fout veroorzaken. Het komt er dus op

aan om ZHG voldoende groot te houden zodat de meetfouten binnen de specificaties blijven. Dit is

echter niet kritisch: voor Zx = Rx = 10K en ZHG = RHG = 100 W kan de fout minder dan 0,1%

bedragen!

Meting van een mutuele inductantie. Vervangt men de driepool uit Fig. 3. 14a door deze in

Fig. 3. 14b dan kan men de waarde M van een mutuele inductantie meten. Men kiest R » ω L1, ω L2

zodat Ix enkel bepaald wordt door M: Ix ≈ (E /R)(j ω M /R). Men vindt nu evenwicht met C indien:

2M C R= . (3.26)

Met de regelparameter G kan men de “onzuiverheid” σ op M compenseren. In het algemeen kan men

B 3-18

immers een onvolmaakte mutuele inductantie voorstellen door σ + j ω M omdat de fase tussen de

stroom van de ene spoel en de geïnduceerde e.m.k. in de andere altijd iets afwijkt van de ideale 900 .

Dit is een gevolg van verliezen die door een parallelweerstand op L1 kunnen worden voorgesteld. Stel

zelf de formule op die toelaat σ te vinden uit de brugaflezingen.

Meting van zeer kleine impedanties. Vervangt men de driepool door deze uit Fig. 3. 14c dan

kunnen met deze brug zeer kleine impedanties gemeten worden. Men zet d.m.v. een weerstand R >>

Zx bij benadering de spanning van Te om in een stroom x/E Z . De spanning over Zx wordt nu terug

omgezet in een stroom Ix d.m.v. de tweede weerstand R. Dan vindt men uiteindelijk:

2x ( j )Z R G + Cω= . (3.27)

De driepool uit Fig. 3. 14c noemt men de "low impedance adaptor"; hij laat toe verschillende

R-waarden te kiezen. Voor details betreffende de Wayne Kerr brug gebruikt bij het practicum

verwijzen we naar de practicumnota’s.

2.3.3. De microprocessorbrug van Tettex.

Deze brug welke ontworpen werd bij de firma Tettex te Zürich, wordt toegepast voor de bepaling van

C en de verliesfactor ervan. In 1986 publiceerden P. Osvath en S. Widmer het principeschema van

deze comparatorbrug waarvan het basisschema eerder uitgedacht werd door N. Kusters en

O. Peterson. In essentie wordt bij deze brug, zoals bij alle transformatorcomparatoren, gebruik

gemaakt van fluxevenwicht in een stroomtransformator.

Daar deze brug echter microprocessor gestuurd wordt, kan men de convergentie versnellen door het

toepassen van algoritmes. De uitgangsspanning van de nuldetector wordt daartoe gemeten, in fase en

amplitude, en uit deze waarden wordt een schatting bepaald van de waarde van de regelparameters

die evenwicht zouden geven. Die parameterwaarden worden automatisch ingesteld, waarna men terug

de nuldetectorspanning meet, enz. … We verwijzen naar de Fig. 3. 15 voor de werking van de brug.

De windingsaantallen N1 en N2 worden grof ingesteld door de processor, bijvoorbeeld 0/1/2/… /999.

De stromen I3 en I4 door N3 en N4 zijn bepaald door de waarden α en β (gelegen tussen 0 en 1)

waarop de twee vermenigvuldigende DAC's ingesteld zijn; G2 is eveneens regelbaar. De

transformator Ti is een stroomtransformator met verhouding 1/1

Evenwichtstoestand.

We stellen Zx voor door Gx // Cx of door de admittantie Yx:

x x xjY = G + Cω . (3.28)

B 3-19

Fig. 3. 15. Principeschema van de Tettex brug.

Voor Ii = 0 is dan 0j jN I =∑ en geldt er, rekening houdende met de perfecte -90° fasedraaier:

1 x x 2 2 2 1 4 2 2 3

N 2 1 4 N 2 3

( j ) j=j [ ]

U N G + C N I + R I G N - R I G N

C U N + RG N + C U RG Nω α β

ω α ω β=

, (3.29)

en na uitwerken worden de evenwichtsvoorwaarden:

3x N 2

1

2 1 4x N

1

en

NG = C RG N

+ RG NNC = C

N

ω β

α

. (3.30)

Door constructie is R G1 N4 = 1 en N2 = N3. Verder volgt nog de verliesfactor van Cx uit:

3x 2x

x 2

tanNR GG = =

C N + β

δω α

. (3.31)

Stellen we nog T = R.G2 dan is:

B 3-20

2x N x

1 2

en tan1 /

N T C C N + N

α βδα

+= = . (3.32)

Het regelbereik van N2 = N3 bestrijkt drie decaden (0, 1, … , 999); T bepaalt de schaal van de

verliesfactor en αmax = βmax = 1. De grootheid α beïnvloedt dus enkel de vierde decade van Cx terwijl

β recht evenredig met tan δx is.

Evenwichtsproces.

Vermits de ingangsspanning ε van de detector nul is werkt de vergelijkingstransformator als stroom-

transformator en men heeft:

1 i i i 1 1 2 2 3 3 4 4 en U = Z I N I = N I - N I - N I - N I θ . (3.33)

2 1i

Dus is U GU G ZNθ

= = en vervangt men verder de stromen in θ door hun waarden dan is:

2 1 x x N 2 N 2i

[ ( j ) j ( ) ]G ZU U N G C - C N - C T N N

ω ω α ω β= + + . (3.34)

De regelparameters zijn dan N2+α en β. Verwaarlozen we α in N2+α en stellen we u = N2 / N2max en

v = β /βmax dan verkrijgt de vgl. (3.34) de volgende vorm:

2 ( j ) x+j met , , , complexU z a bu c u v y a b c zU

= + + . (3.35)

Het vierkante (u,v) gebied wordt in het complexe vlak omgezet tot een driehoekig gebied (P1, P2, P3)

(Fig. 3. 16), en het evenwichtspunt (uo, vo) wordt Q(uo, vo).

v

1

v0

u0 1 u

Q (u ,v )0 0 (u ,v )0 0

y(1,1)

(1,0)

(0,0) en (0,1)

x

Fig. 3. 16. Verband tussen het regelvlak (u, v) en het complexe vlak (x, y).

Door synchrone detectie in de microprocessor toe te passen kunnen we z a, z b en z c bepalen na

meting van U2/U in de hoekpunten. Het evenwichtspunt Q(uo, vo) kan dan in principe berekend

B 3-21

worden uit x en y. Immers, stelt men r ija a a= + dan is u2 = 0 indien x = y = 0. Voor x = 0 is

r 0 0 r0 of /a bu u a b+ = = − . Insgelijks, voor y = 0 is 0 i 0 i r/ / .v a c u a b a c= − = Dit is evenwel een

grofregeling daar α verwaarloosd werd. De fijnbalans kan eveneens door berekening ingesteld

worden. Men kan immers het volgende schrijven:

2r

2i

Re ( ) ( )

Im ( ) ( , )

Ux = f u,vU

Uy f u v U

=

. (3.36)

Een tweedimensionale reeksontwikkeling rond het laatste grof evenwichtspunt (uo, vo) geeft:

0 0 0 0

0 0 0 0

rr r 0 0 0 0

, ,

i ii i 0 0 0 0

, ,

f ff ( , ) f ( , ) ( ) ( ) ...

f ff ( , ) f ( , ) ( ) ( ) ...

r

u v u v

u v u v

x u v u v u u v vu v

y u v u v u u v vu v

∂ ∂ = = + − + − + ∂ ∂

∂ ∂ = = + − + − +

∂ ∂

. (3.37)

De punten xo = fr(uo,vo) en yo = fi(uo,vo) zijn gemeten waarden bij het laatste evenwicht; alle partiële

afgeleiden zijn gekend en berekenbaar in (uo, vo). Een nieuwe schatting (dit is feitelijk een Newton-

Raphson algoritme) is dus te bekomen door x en y nul te stellen. In matrix vorm:

0 0 0 0

0 0 0 0

r r

r 0 0 01 0

i 0 0 01 0 i i

f ff ( , )

met f ( , ) f f

u ,v u ,v

u ,v u ,v

u vu v u - u - = A A =

u v v - vu v

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

, (3.38)

01 0 r 0 0101 01

01 0 i 0 0

( )of waaruit en en volgen

( )-u - u f u ,v

- u v Av - v f u , vα

=

. (3.39)

kabel-equivalent:

Cx

Gx C , rk k

lengte l

r lk

Ck Ckl l2 2

U

Fig. 3. 17. Correctie voor de verliesfactor en capaciteit van de aansluitkabel.

Alle hierboven beschreven handelingen zoals schaling, grofregeling en fijnregeling gebeuren onder

B 3-22

de controle van een µ-processor.

De resolutie voor tan δx is van de orde 10-3, 10-4 of 10-5 naargelang het meetbereik dat zich automatisch instelt.

Voor de Cx-waarde is de verhouding tussen de volleschaal aanduiding en de resolutie 2.105. Op dezelfde wijze

gedefinieerd is deze verhouding 2.103 voor tan δx. De brug houdt wel rekening met een correctie voor de

weerstand rk en capaciteit ck van de aansluitkabel per lengte-eenheid en de weerstand Rw van N1. Men vindt met

de Fig. 3. 17, waarin het klassieke equivalent schema van een kabel wordt getoond:

2xx gemeten w k k w k k

1tan tan [ ( ) ]2

- R r l c l R + r c lCδ δ ω= + . (3.40)

3. Elektronische impedantiemeters.

Tot slot willen we nog vermelden op welke principes de elektronische impedantiemeters steunen.

Deze zijn meestal gebaseerd op de rechtstreekse bepaling van de spanning Vx over de te meten

component en de stroom Ix er door. Het principeschema ziet er als volgt uit (Fig. 3. 18). De versterker

G meet de klemspanning over Zx (mag een 4-klemmen impedantie zijn) en de opamp zet de stroom Ix

om tot een spanning –R Ix. Men zal naargelang het meetbereik, Zx ofwel op stroom ofwel op spanning

sturen. Bij kleine Zx moet Ix beperkt worden, dus past men stroomsturing toe. Bij grote Zx moet Vx

beperkt blijven en is spanningssturing gewenst. Voor deze controle wordt een elektronische

verzwakker na de generator automatisch aangepast aan Zx.

Fig. 3. 18. Bepaling van Zx met een fasedetector.

D.m.v. de terugkoppeling verwezenlijkt men dan de spannings- of stroomsturing. Uit de grootte van

Vx en Ix berekent men Zx en de fase wordt met een fasedetector bepaald. Het spreekt vanzelf dat

men onder de praktische uitvoeringen van dit circuit zowel analoge verwezenlijkingen als zuiver

digitale uitvoeringen bestaan. In het laatste geval zal men Vx en R Ix bemonsteren en alle

berekeningen digitaal doen. De analoge uitvoeringen kunnen echter nog steeds een groter en continu

frequentiebereik bestrijken. Wil men componenten op uiterst hoge meetfrequenties onderzoeken dan

B 3-23

zal men eerst door heterodynering de frequentie van de spanningen over Zx en R terugbrengen tot een

vaste en lage frequentie, bijvoorbeeld 20 kHz, en alle bewerkingen op die frequentie uitvoeren. Dit

naar beneden schalen van de meetfrequentie kan eveneens bereikt worden door bemonstering van Vx

en Ix. Het volstaat de bemonsteringsfrequentie 20 kHz verschillend te maken van de meetfrequentie

om een getransformeerd signaal op 20 kHz te bekomen. Dergelijke toestellen worden dikwijls

voorzien van twee kanalen, A en B. Legt men aan deze ingangen A en B signalen met dezelfde

frequentie dan afficheert het toestel de fase tussen A en B en de amplitudeverhouding A/B of alle

mogelijke varianten. Het volstaat Vx aan A en de uitgangsspanning R Ix uit Fig. 3. 18 aan B toe te

voeren om Zx te kunnen berekenen. De nauwkeurigheid zal meestal slechter zijn dan bij het gebruik

van een brugmethode omdat het hier niet meer gaat om een nulmeting. Anderzijds is het

frequentiebereik van de klassieke bruggen voor veel toepassingen te beperkt. Apparaten die volgens

bovenstaande principes werken noemt men soms vectorimpedantiemeters of vectorvoltmeters.

3.1. Praktische uitvoeringen. Men merkt eerst op dat de uitgangsspanning van de onderste opamp een fout vertoont t.g.v. de

eindige versterking, en dit vooral bij de hogere frequenties. Om dit te vermijden zal men de spanning

meten over Zx (zoals in de figuur) enerzijds en rechtstreeks over R anderzijds. Dit heeft als gevolg dat

de verhouding van deze spanningen perfect evenredig is met Zx /R. De grootte van de stroom Ix komt

dan niet tussen en in feite zou dit ook zo zijn zonder de opamp. In dat geval zou de meting echter

maar correct zijn indien er geen impedantie tussen de onderste klem van Zx en de aarde zou staan.

Een dergelijk impedantie heeft immers als effect dat de stroom door R iets te klein is. Bij een 3-

klemmen impedantie Zx of bij een meting “in situ” (d.w.z. terwijl de component nog in het circuit zit)

bestaat er nochtans steeds een parasitaire impedantie tussen de aarde en de inverterende ingangsklem.

Ook vertonen de ingangsklemmen van de meetversterker G een impedantie t.o.v. de aarde. Een

parasitaire impedantie van de bovenste klem van Zx naar de aarde veroorzaakt geen fout omdat zij

enkel de grootte van Ix beïnvloedt.

Om de fouten van G te elimineren zal men dezelfde versterker beurtelings voor de meting van Zx Ix en

R Ix aanwenden. Men meet vooreerst met een synchrone detector de I en de Q componenten van Zx Ix

t.o.v. de bronstroom. Vervolgens wordt G over R geplaatst en meet men beide componenten van R Ix.

Daarbij zorgt een uiterst nauwkeurige automatische verzwakker voor aanpassing van de winst G aan

de grootte van beide signalen. Uit de gevonden waarden van de vier componenten I en Q wordt dan

de grootte en fase van Zx t.o.v. R berekend. Het grote voordeel van deze werkwijze is dat het volstaat

een precisieweerstand als referentieimpedantie te gebruiken. Men kiest dan voor deze een exemplaar

met zeer kleine zelfinductie om de meetfout te beperken en voert eventueel een software correctie

hiervoor door.

B 3-24

Om de fout te bepalen die veroorzaakt wordt door een parasitaire impedantie Zg tussen de

ingangsklemmen van de opamp bepaalt men de foutspanning ε over Zg. Men gaat uit van de transfer

van een ideaal gecompenseerde opamp. Met de notatie x

x ωω

= is dan:

xo

1( zodat jj j

A V xx

ωω εω

) = = = − . (3.41)

Verder drukt men uit dat de stroom Ix op de sommeerjunctie gesplitst wordt in een deel dat door R

vloeit en een rest naar Zg. Indien de stroom Ix door een spanning E aan de bovenste klem van Zx

veroorzaakt wordt vindt men de volgende spanningen Ex en ER over respectievelijk Zx en R:

gx

x g

1 j ( 1)

1+j (1 )

RxZ

E E R RxZ Z

+ +=

+ + , (3.42)

Rx

x g

1 j

1 j (1 )

R E xE R RZ xZ Z

+=

+ + + . (3.43)

Hieruit berekent men de verhouding ER /Ex:

gx x x

R g

1 j (1 )(1 j )

1+j

RxZE Z Z Rx

E R x R Z

+ += ≈ + . (3.44)

De factor die volgt op de verhouding Zx /R is de foutenfunctie; bij de benadering werd de tweede-orde

component verwaarloosd daar x << 1 is. De relatieve fout is dus g

j RxZ

.

• Men stelt vast dat er geen fout bestaat indien Zg oneindig groot wordt of een verwaarloosbare

fout indien x zeer klein is. De opamp is in het eerste geval in feite irrelevant omdat, zelfs bij

ontstentenis van deze, de verhouding nog correct blijft indien Zg oneindig is.

• Door het berekenen van de verhouding is tevens de invloed van de stuurspanning of

stuurstroom geëlimineerd. Ook de fouten van de frequentiekarakteristiek van de meet-

versterker verdwijnen omdat zij dezelfde zijn tijdens de metingen van Ex en ER.

Om de fout klein te houden moet men x zo klein mogelijk maken. Dit betekent een hoge

afsnijfrequentie voor de opamp. In feite volstaat het de OLG alleen op de meetfrequentie hoog te

houden. Om dit te verwezenlijken gaan de fabrikanten heel inventief te werk zoals wordt aangetoond

met de volgende voorbeelden.

3.2. Enkele verwezenlijkingen.

We beschrijven hieronder de principes toegepast door de firma’s Agilent en Wayne Kerr om een

B 3-25

grote versterking bij de meetfrequentie te bereiken.

(1) Bij Agilent (het vroegere HP) gebruikt men een ingewikkelde schakeling waarbij de I en de Q

componenten van de spanning op het sommeerpunt afzonderlijk met een grote factor worden versterkt.

Dit bekomt men door de spanning van het sommeerpunt te sturen naar een frequentiemenger die

gevoed wordt met enerzijds de I-component van de referentiespanning (Fig. 3. 19) en anderzijds de

spanning op het sommeerpunt. De dc-component na de menger is dan evenredig met de grootte van de

I-component op het sommeerpunt. Deze dc-component wordt dan enorm versterkt in een integrator

waarvan de integratietijd een veelvoud is van de periode van de meetfrequentie zodat de parasitaire

mengcomponenten worden onderdrukt. De uitgangsspanning van de integrator wordt terug omgezet in

een ac-signaal met referentiefrequentie d.m.v. een tweede menger. De amplitude van dit signaal is dus

een zeer versterkte versie van de I-component van de spanning op het sommeerpunt. Anderzijds voert

men dezelfde bewerking uit op de Q-component van de spanning op het sommeerpunt. Het volstaat

een identieke schakeling toe te passen en de modulatoren te voeden met de Q-component van het

referentiesignaal. Beide signalen worden uiteindelijk opgeteld in een bufferschakeling waarvan de

uitgang overeenkomt met de uitgang van de opamp getekend in Fig. 3. 18. Deze ingewikkelde

schakeling gedraagt zich als een opamp met zeer hoge OLG, maar enkel bij de meetfrequentie. Het

sommeerpunt staat dan bij die frequentie praktisch op aardpotentiaal en de guardwerking voor de

stroom Ix is uitstekend.

Referentieweerstand

Buffer

Menger

in

DC-versterker

Menger

Q-referentie

I-referentie

Fig. 3. 19. Opamp met grote CLG bij de referentiefrequentie.

(2) Bij de firma Wayne Kerr wordt een zeer kleine sommeerspanning bereikt door de OLG van de opamp

groot te maken bij de referentiefrequentie, en dit door in te werken op de compensatiecondensator Cc

van de opamp. Men zal daartoe in parallel met Cc een elektronische zelfinductie te plaatsen waarvan de

waarde kan ingesteld worden volgens de meetfrequentie. Stel dat men bij de meetfrequentie resonantie

van de parallelschakeling instelt. In dat geval zal men als OLG de ongecompenseerde OLG vinden op

B 3-26

deze frequentie en deze is veel groter dan de gecompenseerde OLG. Voor hogere frequenties gedraagt

de parallelschakeling zich capacitief en is de OLG ongeveer dezelfde als in het gecompenseerde geval

en de teruggekoppelde schakeling blijft stabiel. De maximale meetfrequentie wordt beperkt tot

ongeveer een tiende van de afsnijfrequentie om onder alle condities stabiliteit te behouden.

De generator die de stroom Ix produceert is digitaal uitgevoerd omdat men op deze wijze gemakkelijk

de I en Q signalen kan opwekken. Daar een digitaal gesynthetiseerde golfvorm nooit perfect is t.g.v. de

discretisatie moeten er extra maatregelen worden genomen. Men gebruikt daartoe de eigenschap dat de

synchrone detectoren enkel gevoelig zijn voor bepaalde frequenties der ingangssignalen om het effect

van de harmonischen in de golfvorm te onderdrukken.

Ten slotte mag men niet vergeten dat in de foutterm g

j RxZ

ook de verhouding g

RZ

nog belang heeft.

Bij een in situ meting is het mogelijk dat Zg veel kleiner is dan R zodat het product g

RxZ

toch nog

aanzienlijk kan zijn. Indien men een relatieve fout van 0,1% wenst te bekomen bij x = 10-4 dan moet

g

10RZ

> blijven opdat hieraan zou zijn voldaan.

Niettegenstaande deze L-C-R meters zeer nauwkeurige resultaten kunnen produceren moet men toch

voorzichtig zijn met de interpretatie van de gegevens. Zo zou men verwachten dat men op het display

ook een aanduiding geeft van de te verwachten fout. Dit wordt niet gedaan omdat dit wel eens tot

teleurstelling zou kunnen leiden. Verder stelt men vast dat de aflezingen op toestellen die volgens een

verschillend principe werken meestal wel overeenkomen voor gewone componenten maar dat de

afwijkingen voor zeer goede componenten (vooral condensatoren met een zeer lage verliesfactor)

groot kunnen zijn, zonder dat daarvoor gewaarschuwd wordt in de handleidingen. De vermoedelijke

oorzaak van dit verschijnsel is het feit dat de grote complexiteit van deze schakelingen een reeks

subtiele fouten introduceert die enkel in speciale gevallen zichtbaar worden.

Voor ijk- en kalibratiedoeleinden zijn de elektronische impedantiemeters doorgaans niet nauwkeurig

genoeg. Men zal het in gespecialiseerde labo’s dan ook in dat geval houden bij transformatorbruggen,

op voorwaarde dat de meetfrequentie beperkt is tot ongeveer 20 kHz.

B 3-27

APPENDIX I BIJ HOOFDSTUK B 3.

Enkele constructieve details van de stroomcomparator.

Een stroomcomparator is zeer ingewikkeld van opbouw en bevat veel wikkelingen en hulpdelen zoals

men ziet in de Fig. AI-3.1 waarin een opengewerkt model wordt getoond:

Fig. AI-3.1. Mechanische opbouw van de stroomtransformator.

• Correctiewinding (niet getekend hier): ter correctie van de niet-uniforme permeabiliteit.

• Koperscherm rond de detectiewikkeling: om capacitieve koppeling tussen nd en stoorbronnen

te elimineren. Dit scherm is niet voldoende om magnetische ac-velden te elimineren.

• Magnetisch scherm: ter eliminatie van uitwendige magnetische velden.

• Excitatiewikkeling: ter compensatie van de spanningsval over n2.

Bij evenwicht is de e.m.k. geïnduceerd in een wikkeling nul. Dit is echter niet het geval met de

spanningsvallen Z1 I1 en Z2 I2. Indien I1 » I2 dan is n1 « n2 en vooral n2 zal de capacitieve fouten

veroorzaken in combinatie met Z2 I2.

De excitatiewikkeling is opgebouwd uit twee in serie geschakelde delen. Het eerste deel (ne) is enkel

gekoppeld met de kern, het tweede met scherm en kern. Fig. AI-3.2a.

B 3-28

Fig. AI-3.2. Elektrische opbouw van de stroomtransformator.

Om de werking te beschrijven merken we op dat bij evenwicht is ed = 0 en dus:

1 1 2 2 e e e eker n

.d 0 H l n I - n I + n I - n I= =∫ ,

zodat nog altijd n1 I1 = n2 I2. In het scherm wordt evenwel toch veld opgewekt want men heeft:

1 1 2 2 e e e escherm

.dH l n I - n I n I n I= + =∫ .

Voor een scherm met sectie Ss, lengte ls en permeabiliteit µs is de spanning tussen de klemmen van n2

gegeven door:

e e s2 2 s 2 2

s

n I SE = - n Z Il

ω µ µ + .

Men ziet dat E2 = 0 kan worden mits I2 = Ie te maken en ne de gepaste waarde te geven. De

spanningsval in n1 daarentegen zal iets toenemen.

Men kan zich nu ontdoen van het tweede deel van de excitatiewikkeling indien men enkel het deel bij

de kern behoudt en dit parallel schakelt met n2 (Fig. AI-3.2b). In dat geval spreekt men van een

compensatiewikkeling nk en men kiest steeds n2 = nk. De stroom I2 splitst zich nu in I'2 en Ik en men

kan terug schrijven:

'1 1 2 2 k k

ker n

.d 0H l n I - n I + n I= =∫ ,

zodat nk Ik = n1 I1-n2 I2, het verschil van de ampèrewindingen voorstelt.

B 3-29

Het veld Hs in het scherm volgt uit:

's s 1 1 2 2 k k

scherm

.dH l = H l n I - n I n I= =∫ .

De fractie Ik van I2 die door de compensatiewikkeling vloeit is steeds klein. Inderdaad mag men

aannemen dat n1 en n2 samen met het scherm een stroomtransformator vormen zodat '1 1 2 2n I - n I

gelijk is aan de relatief kleine magnetiseringsstroom Ik van deze transformator. De klemspanning E2

is dan ook klein als gevolg van de kleine Ik:

'12 k k k 1 2

2

( )nE Z I Z I - In

= = .

Anderzijds is nog:

kk2 2 0 s 2 2

s

n IE = n S Z Il

ω µ µ + .

Indien Zk Ik klein is volgt daaruit:

2 2 sk 2 k

2 s ks o

met Z I l

I n nn S nω µ µ

≈ = .

Voorbeeld:4 2 5

2 2 2 2 s s s 2 k = 314 rad/s, 1 V, 1 , 1A, 0,2 m, 10 m , 10 , 100.Z I Z I l S n nω µ−= = Ω = = = = = =

Dit geeft Ik ≅ 0,006 A zodat Ik inderdaad veel kleiner is dan I2. De spanningsval over de primaire

neemt wel toe omdat de e.m.k. geïnduceerd door Ik in n1 optelt bij Z1 I1. Dit zal nochtans weinig effect

hebben op de vergelijkingsnauwkeurigheid indien n1 « n2 daar deze spanningsval toch klein blijft en

dus slechts een geringe εc veroorzaakt.

Een dik koperscherm rond het magnetisch scherm bevordert nog meer de storingsongevoeligheid

en tevens wordt het vrij tere mumetaal mechanisch beschermd tegen mishandeling bij het wikkelen

en monteren van het geheel. Voor de magnetische dc-comparator worden, zoals voor de ac-

comparator, insgelijks ringkernen gebruikt. De opbouw is gelijkaardig voor beide maar de dc-

comparator heeft uiteraard ook modulatiewikkelingen.

B 3-30

APPENDIX II BIJ HOOFDSTUK B-3.

Stroom- en Spanningstransformatoren.

Het is zelden mogelijk ac-instrumenten rechtstreeks in de stroom- of spanningsketen van elektrische

installaties op te nemen. Doorgaans zal men stroomtransformatoren gebruiken om een te meten

stroom naar een standaardbereik om te zetten. Hoge spanningen zal men anderzijds

neertransformeren tot een redelijke waarde. Door transformatoren aan te wenden zorgt men tevens

voor een galvanische scheiding tussen meetkring en meetapparatuur. Deze trafo's zullen echter fouten

bij de meting introduceren ten gevolge van o.a. hun belasting, maar door een zorgvuldig ontwerp

kunnen die fouten klein gehouden worden.

Stroomtransformator Ti.

(a)(b) (c)

Ix

Ti

S1

P1 P2

S2

Np

Ns

R + j Lω

R + j Lω

Is

r'1l'1 r2I'x

E'x

l2

M

Is

EEx

P1S1

Np

Ns E

P2

S2

Te

Fig. AII-3.1. (a) Stroomtransformator, (b) Vervangschema, (c) Spanningstransformator.

De klemmen P1P2 van de stroomtransformator staan in serie met de te meten kring. Het meettoestel

(ampèremeter of stroomspoel van wattmeter) op S1S2. Fig. AII-3.1a. De nominale transformatie-

verhouding is dan, bij een ideale transformator: x s s p i/ /I I N N K= = .

D.m.v. het equivalente transformatorschema uit Fig. AII-3.1b kan men de fouten vinden voor een

meetinstrument met impedantie R+j ω L. Men drukt daartoe de onbekende primaire stroom Ix uit in

de afgelezen waarde Is na hem omgerekend te hebben tot de secondaire stroom.

Ideaal geval: '

x xx

i s

dus 1.' I IIK I

= =

Met Fig. AII-3.1b: 'x 2 2

s

1 jI l L R r - I M Mω

+ += + (A2.1)

B 3-31

of '

2 2 jx 2 2

s

( () ) -I l L R r = l eI M Mδ

ω+ +

+ + en 2

2

tan( )

R r = M L l

δω

++ +

.

Een kleine fasefout vereist een kleine δ, ofwel:

2 2( )R r M L lω+ + + . (A2.2)

De weerstand van stroomspoel en secondaire moet klein zijn t.o.v. de totale inductantie aan de

secondaire zijde. Onder die voorwaarde wordt de amplitudeverhouding ongeveer: 'x 2

s

1I l LI M

+≈ + .

Dit vereist dus l2 + L « M zodat de vgl. (A2.2) vereenvoudigd wordt tot: R + r2 « ω M. M.a.w. de

transformator moet een grote mutuele inductantie bezitten en zeer weinig secondaire weerstand en

spreidingsreactantie. De primaire impedantie r1 + jω l1 komt echter niet tussen in (A2.1).

Enkele opmerkingen.

• De transformator mag aan de secondaire nooit in open keten staan. In dat geval zou het ijzer

verzadigen en de temperatuur van de trafo te hoog oplopen wegens de ijzerverliezen.

• In dat geval zou er eveneens een zeer grote spanningsval in de meetkring optreden. Waarom?

Welke waarde zou de secondaire spanning dan aannemen in de veronderstelling dat geen

verzadiging optreedt ?

• De primaire bestaat dikwijls uit één draad die door het kernvenster loopt.

Spanningstransformator Te.

De primaire van Te wordt parallel op een te meten kring geplaatst en de secondaire is belast met een

spanningsmeter of de spanningsspoel van een wattmeter. Fig. AII-3.1c. De ideale transformatie-

verhouding Ke is dan: pxe

s

NEK = =E N

.

Het is nu nodig dat ' '1 2 1 2j ( ) jr r l l R Lω ω+ + + + en er moet geen strenge voorwaarde voor M

vervuld worden, zolang voldaan is aan: ' '1 1j jr l Mω ω+ .

B 3-32

APPENDIX III BIJ HOOFDSTUK B-3.

Stoorinvloeden bij Wheatstonebruggen en bijzondere nulschakelingen. Alle ac-metingen kunnen t.g.v. magnetische en capacitieve koppelingen gestoord worden door niet-

relevante bronnen. Het meest voorkomend is de beïnvloeding van een meting bij 50 Hz door de

stromen en spanningen van het laagspanningsnet. Het is echter mogelijk om maatregelen te nemen

die deze ongewenste koppelingen klein maken.

1. Magnetische stoorvelden.

De beïnvloeding van de meetopstelling door magnetische stoorvelden kan, in een geconcentreerd

model, voorgesteld worden d.m.v. één of meer mutuele zelfinducties. De krachtlijnen gegenereerd

door de storingsgenerator kunnen worden opgepikt door lussen in de bedrading en ook door spoelen

aanwezig in het meetsysteem. Alle maatregelen die deze magnetische stoorflux verminderen zullen

dus een verbetering geven. Deze maatregelen zijn ook van toepassing bij het verminderen van de

onderlinge beïnvloeding van de componenten in het meetsysteem. Bij bruggen zal men daarom de

volgende algemene regels zoveel mogelijk volgen. Fig. AIII- 3.1.

Fig. AIII- 3.1. Fysische opstelling van de brugcomponenten.

• Coaxiale of bifilaire draden gebruiken. Dit houdt het oppervlak dat door stoorflux doorsneden

wordt minimaal.

• Om dezelfde reden: hoekpunten der brug zo dicht mogelijk bij elkaar plaatsen.

• Toevoerleidingen van generator en ND loodrecht op het brugvlak aanbrengen en deze

toestellen aan een verschillende zijde van dit vlak plaatsen. Dit vermindert een eventuele

directe koppeling tussen generator en ND.

B 3-33

• Spoelassen loodrecht op elkaar oriënteren.

• Alle transformatoren in de schakeling magnetisch afschermen.

Men kan de ongevoeligheid voor uitwendige velden controleren door generator en detector te

verwisselen.

2. Elektrische stoorvelden.

De elektrische stoorinvloed kan beschreven worden middels het invoeren van condensatoren tussen

de geleiders van de meetopstelling en bronnen of geleiders buiten de opstelling. De directe invloed

van elektrische stoorvelden kan echter gemakkelijk d.m.v. afschermingen rond meetcomponenten

en draden geëlimineerd worden. In de plaats daarvan introduceert men wel strooicapaciteiten

tussen de afgeschermde component en zijn afscherming. Door de schermen aan de gepaste punten

van de meetschakeling te leggen tracht men het effect van de strooicapaciteiten weg te werken. In

feite kan men zowel de brugimpedanties als de detector en generator door een 3-klemmen equi-

valent model voorstellen. Fig. AIII-3.2a, b en c tonen de modellen voor respectievelijk de

generator of nuldetector en ook voor een afgeschermde brugimpedantie.

Fig. AIII-3.2. Modellen van detector, generator en component met afscherming.

Over het algemeen gedragen ZHG en ZLG zich capacitief, maar in een aantal gevallen kan er ook een

resistief deel voorkomen als gevolg van lekweerstand en wervelstromen in de afschermingen.

Verder kiest men conventioneel, indien mogelijk, |ZHG| » |ZLG|.

De meest voorkomende brugopstelling (Fig. AIII-3.3a) is deze waarbij de klem L van de generator

geaard wordt. Ook zal men L aan het brughoekpunt leggen waar de kleinste der 4 brugimpedanties

aanligt, bijvoorbeeld Z2. De schermen van Z1 en Z3 worden samen met de L-punten ervan aan de

generator verbonden. Hierdoor worden de ZLG impedanties van Z1 en Z3 kortgesloten. Op analoge

wijze legt men de punten L en G van Z2 aan de aarde. Uiteindelijk ziet men dat elke component

geshunteerd wordt door zijn eigen ZHG die vrij groot is. Verder zullen de stoorimpedanties ZLG en

ZHG van de detector ook parallel over de takken Z2 en Z4 staan. In het geval dat Z2 en Z4 veel

B 3-34

kleiner zijn dan Z1 en Z3 zullen de stoorimpedanties over Z2 en Z4 doorgaans te verwaarlozen zijn.

Dit is zelden het geval voor Z1 en Z3. Daarom zal men dikwijls methoden ontwikkelen die gericht

zijn op de eliminatie van deze stoorimpedanties.

Fig. AIII-3.3. Brug met afgeschermde componenten (a), Wagnerbrug (b).

Een bijzonder ingenieuze methode, de zogenaamde Wagner-aarding, laat echter toe om deze

impedanties direct door afregeling te elimineren. Fig. AIII-3.3b. Men legt daarbij parallel aan de

generator twee hulpimpedanties Z' en Z" die complex kunnen geregeld worden. Het verbindingspunt

van beide ligt daarbij aan de aarde. De regelprocedure verloopt dan als volgt:

• Maak de aflezing op ND1 nul d.m.v. de regelparameters van de brug Z1 —Z2—Z3—Z4.

• Regel ND2 op nul d.m.v. Z' en Z".

• Herhaal deze procedure totdat evenwicht met de grootste detectorgevoeligheid verwezenlijkt is.

Het resultaat is dat de 3 punten A, B en C op aardpotentiaal staan. Indien men nu alle schermen aan

de aarde legt (G1, G2, G3, G4. aan C), staan alle stoorimpedanties van de hoekpunten naar de aarde.

Men ziet dat de ZLG van Z1, Z2, Z3 en Z4 in feite parallel over Z' en Z" staan. Verder, vermits alle

ZHG’s tussen punten staan waarover het potentiaalverschil nul is, zullen de ZHG’s niet meer

meespelen. Merk op dat de generator niet meer geaard is. Dit kan een probleem vormen omdat

deze meestal uit het net wordt gevoed en er via dit pad nieuwe storingen kunnen indringen.

De methode van de Wagner-aarding is in feite de voorloper van wat men nu “guarding” of

“schutting” noemt in elektronische schakelingen. Alleen zal men de potentiaal tussen de punten A-

C of B-C automatisch nul maken met een volgerschakeling. De Wagner-aarding kan ook iets

anders uitgevoerd worden: men aardt daarbij één der generatorklemmen zodat de stoorimpedanties

tussen het net en de schakeling geen invloed hebben. De detector moet wel voldoende geïsoleerd

zijn.

B 3-35

3. Storingen bij schakelingen die met versterkers werken.

Transducers worden zeer dikwijls d.m.v. lange coaxiale kabels met een hoogohmige volger of

versterker verbonden. Indien de transducer zelf hoogohmig is kan dit zijn werking verstoren indien

de versterker onvoldoende geschut is. In Fig. AIII-3.4a staan de parasitaire elementen van de

bedrading (print, socket, aansluitingen) van een niet-inverterend circuit getekend. Enerzijds bestaat

er een strooicapaciteit C tussen in- en uitgang van de versterker.

Fig. AIII-3.4. Parasitaire elementen bij opamp (a) en guarding van kabel (b).

Deze C kan soms onstabiliteit veroorzaken omdat zij positieve terugkoppeling veroorzaakt.

Anderzijds ziet men de weerstanden R1+ , R1-, R2+ en R2- die de lekweerstanden tussen de

ingangsklemmen en de voedingen V+ en V- voorstellen. Deze kunnen de oorzaak zijn van een

onstabiel dc-gedrag aan de uitgang. Algemeen zal men dan, zowel op de print als aan de

ingangsklemmen, guardelektroden aanbrengen en deze sturen vanuit een laagohmig punt op

dezelfde potentiaal als de geschutte punten. Verder zal de invloed van de kabelcapaciteit, die

samen met de transduceruitgangsweerstand een pool in de transfer kan veroorzaken, d.m.v. een

geschutte dubbele afscherming geëlimineerd worden (Fig. AIII-3.4b).

4. Bijzondere structuren die een nulmethode opleveren.

Het nadeel van de Wheatstonebruggen is dat de detector en generator nooit tezelfdertijd kunnen

worden geaard waardoor men steeds rekening moet houden met de hoger vermelde impedanties.

Fig. AIII-3.5. Overbrugde T-schakeling (a) en dubbele T-schakeling (b).

B 3-36

Uit de filtertheorie zijn echter later structuren afgeleid die dit nadeel niet vertonen. De bekendste

zijn de geshunteerde T-schakeling en de dubbele T (twin-T). Fig. AIII-3.5.Het principe is eigenlijk

eenvoudig: men stuurt het ingangssignaal via twee paden naar de nuldetector. In de

veronderstelling dat het een stroomdetector betreft zal deze nul kunnen aanduiden indien:

• De uitgangsstromen I en I’ van de twee takken in tegenfase zijn

• Deze stromen dezelfde grootte bezitten

Merk op dat als de stroomnulvoorwaarde voldaan is deze ook een nulspanning aan de uitgang

oplevert. De schakeling is dus ook bruikbaar met een spanningsdetector. In de praktijk kan de ene

tak bijv. integrerend en de andere differentiërend zijn.

We zoeken nu de evenwichtsvoorwaarden voor beide circuits. Met Y = 1/Z vindt men indien men

eist dat I = -I’:

Overbrugde T-schakeling:

11 2 4

3

1 21 2 3

4

(1 ) 0

of nog: 0

ZZ Z ZZ

Y YY Y YY

+ + + = + + + =

Dubbele T-schakeling:

'' '1 1

1 2 1 2 '3 2

' '1 2 1 2

' ' '1 2 3 1 3 3

(1 ) (1 ) 0

of nog: 0

Z ZZ Z Z ZZ Z

Y Y Y YY Y Y Y Y Y

+ + + + + =

+ = + + + +

Algemeen zullen dit frequentieafhankelijke voorwaarden zijn die nul geven op één frequentie. Men

merke nog op dat de overbrugde T in feite een gedegenereerde dubbele T is. Verder is het in

principe mogelijk dergelijke schakelingen in kaskade te plaatsen. Dit verandert de

evenwichtsvoorwaarden niet, maar men kan nulpunten voor meerdere frequenties bekomen.

Sommige structuren wijken af van de basis twin-T, maar het is zeer dikwijls mogelijk, door een

eenvoudige Y-∆ transformatie, ze te herleiden tot Fig. AIII-3.5a of b. De T-bruggen werden vooral

toegepast voor HF-metingen ter bepaling van de grootte en verliesfactor van spoelen en

condensatoren Zij laten inderdaad vrij nauwkeurige metingen toe vanaf enkele 100 kHz tot ver in

het MHz gebied (... 50 MHz).

B 3-37

APPENDIX IV BIJ HOOFDSTUK B-3.

Schakelingen met actieve elementen.

De grote betrouwbaarheid van moderne opamps heeft geleid tot pogingen om een aantal negatieve

aspecten van bestaande circuits te verbeteren. We geven hieronder een aantal voorbeelden. Daarin zal

men het gebruik van versterking en de nullatoreigenschap terugvinden.

Het verwezenlijken van regelbare impedanties.

Voor de afregeling van bruggen zijn regelbare condensatoren zeer handig. Decadisch instelbare

condensatorbanken zijn echter enorm duur. Het zou veel voordeliger zijn mocht men een

potentiometer kunnen aanwenden. De Fig. AIV-3.1 toont hoe dit mogelijk is door gebruik te

maken van het Miller-effect.

Fig. AIV-3.1. Miller capaciteitsvermenigvuldiger.

Men heeft daarbij slechts één condensator en een geijkte potentiometer nodig. De schakeling

gedraagt zich als een condensator met waarde Ce die volgt uit het verband tussen spanning en

stroom aan de ingangsklemmen: ej of met 0I C C CV

ω α α α= = ≤ ≤1 .

Wil men Ce > C maken dan zal men de figuur b toepassen. Dit is een volger met versterking –G.

Men heeft dan de equivalente waarde e (1 )C C G= + .

Actieve brugschakelingen.

De volgende toepassing beoogt het vervangen van een regelcondensator in een brug door een

potentiometer.

B 3-38

Fig. AIV-3.2. Virtueel regelbare condensator in brug.

Men vindt gemakkelijk dat evenwicht bereikt wordt als xC Cα= . De potentiometer kan

rechtstreeks in Cx worden geijkt, juist zoals in Fig. AIV-3.1a.

Actieve schutting of elektronische guard.

In de C-vergelijkingsbrug van Fig. AIV-3.3 worden de afschermingen van de 3-klemmen

elementen verbonden met een volger die gestuurd wordt door de spanning op B. Omdat het

spanningsverschil tussen B en G nul is zullen beide CHG niet meer meespelen.

Fig. AIV-3.3. Schutting met volgers.

Men mag ook de afscherming van de ND aan de opamp uitgang leggen. Evenwicht treedt hier op

voor Cx R2 = C R1.

Actieve elementen in de overbrugde T-schakeling.

Bij deze schakeling (Fig. AIV-3.4) heeft men evenwicht indien:

2 1 1x 1 x 2 x

2

of nog als: en j

R C RZ Z r R C CC C Rω

= = = .

De evenwichtsvergelijkingen zijn eenvoudig omdat men nullatorwerking veronderstelt.

B 3-39

Fig. AIV-3.4. Actieve brug.

Verder heeft men nog de volgende voordelen:

• Bron en detector zijn beide geaard, evenals de schermen

• De capaciteiten van de kabels waarmee men de verbindingen maakt hebben geen belang. Deze

van de generator (Cg met eventueel de CLG van Z1) staat in parallel op een spanningsbron. De

Cin = CHG voert geen stroom (nullator). De opamp levert de stroom door CHG van Zx en de

stroom door CLG is nul bij evenwicht.

Een nadeel van deze bruggen is dat er een extra voedingsbron voor de opamps nodig is. De opamp

beperkt verder de toelaatbare brugspanning en er kunnen dus geen HS-metingen worden verricht.

We willen er nog de aandacht op vestigen dat in principe alle gekende brugschakelingen actief

kunnen gemaakt worden. De redenering werd al gegeven bij de dc-Wheatstonebrug.

Fig. AIV-3.5. Algemene vorm van actieve brug afgeleid uit Wheatstonebrug.

Actieve bruggen vertonen een grotere fout dan passieve omdat opamps amplitude- en fasefouten

vertonen. Als voorbeeld kan men het effect van de opamp transfer berekenen van de

Millerschakeling. Men ziet dan dat de fasefouten de bereikbare kwaliteitsfactor sterk beperkt.

B 3-40

APPENDIX V BIJ HOOFDSTUK B-3.

De Scheringbrug voor capaciteitsmeting van hoogspanningscondensatoren.

De bepaling van de capaciteitswaarde van condensatoren die in de elektronica aangewend worden

zal meestal met gespecialiseerde en direct afleesbare apparatuur uitgevoerd worden. Er komen

echter gevallen voor waarbij dit met deze toestellen niet gaat. Het betreft de bepaling van de

diëlektrische constante e en de verliesfactor van hoogspanningscondensatoren bij 50 Hz. Deze

metingen worden meestal uitgevoerd bij 500 V tot 100 kV. Om e te meten zal men een monster van

het materiaal als diëlektricum tussen de platen van een condensator gebruiken. Men meet dan de

capaciteitswaarde en uit de oppervlakte en dikte van het monster berekent men dan e. Daarbij

worden meestal schermringen toegepast om het randeffect te elimineren. Beter is het om de

capaciteit van dezelfde condensator met en zonder diëlektricum te bepalen. Al in 1947 heeft de

ASTM, voor een circulair monster, de effectieve straal r berekend uit de geometrische straal r1, de

binnenstraal r2 van de schermring en de dikte d van het monster:

1 2

2 1

correctie2

rcorrectie 1,466 log (ch 0,7858 )2

r rr

rd

+= −

−= ⋅

Daarbij geven de normen zoals VDE, ASTM, … eveneens aan hoe groot en hoe zwaar de

elektroden moeten zijn. Voor vloeistoffen zal men een condensator opgebouwd uit twee

concentrisch geplaatste vaten toepassen. De vloeistof bevindt zich dan tussen beide vaten en het

niveau ervan wordt d.m.v. een overloop precies bepaald. De positie van de schermring is nu

zodanig dat de elektrodeoppervlakte met en zonder vloeistof dezelfde is. Daardoor is het mogelijk

e relatief te bepalen uit de verhouding capaciteit met vloeistof tot deze zonder de vloeistof. We

beschrijven hieronder de klassieke Scheringbrug die bij deze meting toegepast werd.

Tegenwoordig zal men eerder een digitaal uitgevoerde brug gebruiken. De Scheringbrug is een

hoogspanningsbrug die men aanwendt voor de bepaling van Cx en Dx van condensatoren. Meestal

wordt de meting uitgevoerd bij 50 Hz, maar er bestaan Scheringbruggen die bruikbaar zijn tot

enkele kHz, al is het dan voor lage spanning. Voor de hogere frequenties zal men overstappen op

specifieke bruggen.

Algemeenheden.

Omdat het een meting bij hoge spanningen betreft zal het grootste deel van de bronspanning over

de takken met R3 en R4 staan, m.a.w. de spanning over deze takken is klein en men kan de

B 3-41

schermen van normaalcondensator en de onbekende aan de aarde leggen. Fig. AV-3.1a.

Fig. AV-3.1. Scheringbrug (a), onderbreekbare loper (b) en beschermende shunt (c).

In de praktische uitvoering wordt de fijnregeling van R3 verzorgd door de potentiometer s. Dit is

niet helemaal correct omdat het deel s-s een fout zal opleveren. Gebruikt men echter de

potentiometer zoals in Fig. AV-3.1b dan loopt de condensatorstroom door de loper en gezien de

kleine waarde van s (1,1 W) zal men bij de minste contactweerstand een onregelmatige aflezing

bekomen. Bij onderbreking van de loper zou tevens de ingangsspanning op de detector te hoog

kunnen zijn. Indien nodig, zal men een correctie voor s kunnen bepalen.

Eenvoudig evenwichtsgeval: stel s = 0, dan moet x 4 3 n x 4 nen Z Z R Z ϕ ϕ ϕ= + = . Stelt men de

argumenten van Zx en Zn voor met de verlieshoeken van Cx en Cn dan geldt er:

x n nπ π en ook 2 2xZ Zϕ ϕ< = − < = − .

Omdat bij niet te grote verliezen ϕx klein is, evenals dit zeker het geval is voor ϕn , zal men

hebben: x x n n x n 4 en D zodat D D D Dϕ ϕ≈ ≈ = − .

Men stelt daarin D4 = ϕ4. Daar Dx en Dn klein zijn zal de impedantie van de parallelschakeling van

R4 met C4 dus vooral resistief moeten reageren. Uit deze betrekking volgt ook dat men nooit de

absolute waarde van Dx vindt vanwege Dn waarvan slechts een bovengrens door de fabrikant

opgegeven wordt. Uitgewerkt geeft de evenwichtsvoorwaarde voor een ideale

normaalcondensator:

x 3 n 4 3 4n 4

1 1( j )j

Z R Z Y R CC R

ωω

= = + .

B 3-42

Stelt men Zx voor door een equivalente serieschakeling dan is de evenwichtsvoorwaarde:

4x n x x x 4 4 x

3

en (RC C D C r C R s CR

ω ω ω σσ

= = = − − )+

.

De correctiefactor is normaal zeer klein: bij 50 Hz met Cx = 1 nF en σ = 0 bedraagt hij slechts

3×10-7. Alleen bij grote waarden Cx zal hij belangrijk worden. In eerste benadering zal Dx dus

evenredig zijn met R4×C4 en men kan dus regelen op R4 of C4. Maar, men ziet dat ook Cx

evenredig is met R4 en het is dus best om niet te regelen op R4 omdat dan beide nulvoorwaarden

tezelfdertijd worden beïnvloed. Men kiest daarom R3 voor de regeling van Cx en C4 voor de

regeling van Dx. Om een eenvoudige voorfactor te hebben zal men R4 zo kiezen dat het product

van ω en R4 een tienvoud is. Zo is voor R4 = 3183 Ohm Dx = C4 in microfarad.

Beschermende shunt. Wegens de hoge brugspanning kan een grote stroom door Cx en R3 vloeien. Zo

bedraagt die stroom voor Cx = 1 nF en bij een brugspanning van 10 kV al 31 mA. In dat geval moet een

stroomdeler met shunt Rn en extra weerstand a toegepast worden Fig. AV-3.1c. Men kiest de shunt zo dat

Rn + a + s = 100 Ohm. In een brug kunnen meerdere Rn’s aanwezig zijn zodat men zelfs stroomsterktes tot

10 A kan toelaten. Stel zelf de evenwichtsvoorwaarde op voor dit schema.

Foutberekening. Men kan het compensatietheorema toepassen om de gevoeligheidsfouten te berekenen.

Zo is de afregelgevoeligheid van R3 met een instelfout dR3:

3 n i

3 n x 4

d (1 )R C RR C E C Rω

∆= + + .

Hierin zijn: D de stroomresolutie van ND, Ri zijn inwendige weerstand en E de brugspanning. Men kan ook

de fout t.g.v. toleranties berekenen. Voor het bereiken van de grootst mogelijke nauwkeurigheid moet men

echter de Wagner hulpbrug eveneens afregelen zodat de invloed van de schermstromen wordt geëlimineerd.

Deze hulpbrug is opgebouwd uit een tak met regelbare impedantie die men zowel inductief als capacitief

kan instellen. De andere tak wordt gevormd door de impedanties van de schermen van Cx en Cn. De drie

punten A, B en C worden nu op dezelfde potentiaal gebracht door beurtelings op R3-C4 en σH-ϕH te regelen.

Wanneer men zowel de hoofdbrug als de hulpbrug in evenwicht heeft gebracht lopen de schermstromen

volledig door de hulptak.

Voor objecten die geaard zijn zoals een kabel is men verplicht de generator te laten zweven. Omdat R3 klein

is zal de strooi-impedantie erover weinig invloed hebben. De strooi-impedantie van de

voedingstransformator t.o.v. de aarde is echter belangrijk. Men zal dan meestal twee metingen uitvoeren.

De eerste met aangesloten kabel en vervolgens met de kabel niet aangesloten. Hieruit kan men redelijk goed

B 3-43

Cx en Dx bepalen.

B 3-44

Hoofdstuk B-3. Universele bruggen en comparatoren.

1.Inductieve spanningsdelers. ......................................................................................................... 2 1.1. Constructie van een transformator. ......................................................................... 3 1.2. Fouten...................................................................................................................... 4

1.2.1. Laagfrequentfouten. ........................................................................ 4 1.2.2. Hoogfrequentfouten. ....................................................................... 7

1.3. Toepassingen van de I.S.D...................................................................................... 9

2.De stroomcomparator. ................................................................................................................ 10 2.1. Gevoeligheid van een stroomcomparator.............................................................. 11 2.2. Fouten.................................................................................................................... 12

2.2.1. Magnetische fout. .......................................................................... 12 2.2.2. Capacitieve fout εc......................................................................... 13

2.3. Toepassingen van de stroomcomparator. .............................................................. 14 2.3.1. Hoogspanningsbrug van Glynne: bepaling van Cx en Dx. ............ 14 2.3.2. De dubbele transformatorbrug Wayne Kerr.................................. 14 2.3.3. De microprocessorbrug van Tettex. .............................................. 18

3.Elektronische impedantiemeters. ............................................................................................... 22 3.1. Praktische uitvoeringen......................................................................................... 23 3.2. Enkele verwezenlijkingen. .................................................................................... 24

Appendix I. Enkele constructieve details van de stroomcomparator.

Appendix II. Stroom- en Spanningstransformatoren.

Appendix III. Stoorinvloeden bij Wheatstonebruggen en bijzondere nulschakelingen.

Appendix IV. Schakelingen met actieve elementen.

Appendix V. De Scheringbrug voor capaciteitsmeting van hoogspanningscondensatoren.

DEEL B. HOOFDSTUK IV. MAGNETISCHE METINGEN.

Inleiding.

Magnetische materialen worden op grote schaal toegepast in de elektrotechniek: in spoelen en

transformatoren, relais, magnetische lagen voor video opnamebanden e.d., sensoren, … Als gevolg

daarvan bestaat er sinds lang een noodzaak naar een specifieke karakterisering van ferromagnetische

materialen. Verder kan men om allerlei redenen geïnteresseerd zijn in H- of B-velden, bijvoorbeeld

deze die optreden in de biologie of de geologie en die zeer zwak zijn.

Magnetische metingen beogen de bepaling van de volgende grootheden of eigenschappen:

• Vorm van de BH-lus, oppervlakte ervan, magnetiseringscurve (of “maagdelijke kromme),

permeabiliteiten, … Om deze meting uit te voeren moet men het veld en de inductie in een

monster meten.

• IJzerverliezen van spoelen en transformatoren. Hierbij gaat men meestal het globale verlies

bepalen maar soms wenst men de deelverliezen eveneens te kennen.

• Magnetische velden in de ruimte (ac en dc). Een typisch voorbeeld is de meting van het

luchtspleetveld in een machine.

Al eerder hebben we gewezen op de moeilijkheden die men ondervindt wanneer de zelfinductie van

spoelen met een ijzerkern of een afscherming moeten gedefinieerd worden. Die moeilijkheden

kunnen omzeild worden door het aanwenden van ladingsmethodes. I.h.b. wanneer men beschikt over

dikke proefstaven zal een ac-veld nauwelijks kunnen doordringen in de kern van de staaf en kunnen

we niet aannemen dat de staaf homogeen is gemagnetiseerd. Zijn bijvoorbeeld µ = 104 en ρ = 10-7 Ωm

dan bedraagt de huiddikte bij 100 Hz slechts 0,16 mm! Bij 1 Hz wordt dit al 1,6 mm maar voor de

courante proefstaven (diameter 1 tot 2 cm) is dit nog steeds veel te weinig. Bij afgeschermde spoelen

veroorzaakt de afscherming een fout t.g.v. de wervelstromen die er in ontstaan. Wil men de

geometrische zelfinductie van een spoel bepalen, dan is een ladingsmeting nuttig omdat men vertrekt

en eindigt met een homogeen gemagnetiseerde staaf en de wervelstromen in de afscherming geen rol

spelen. Gaat het echter om spoelen die in een HF-toepassing worden aangewend dan zal men

doorgaans de meting in ac uitvoeren op een frequentie die zo dicht mogelijk bij de werkfrequentie

ligt. Daar waar bij spoelen met grote inductantie het normaal is dat men ijzerkernen toepast teneinde

de afmetingen van de spoel te beperken, zal men bij HF spoelen soms een koperkern gebruiken om de

zelfinductie te regelen. De koperkern werkt in dit geval als een afscherming die het veld beperkt tot

het oppervlak van de kern t.g.v. huideffect en de resulterende zelfinductie is kleiner dan deze van de

B 4-2

spoel zonder kern. Dit is gemakkelijk in te zien indien men de spoel voorstelt d.m.v. een

transformatorschema waarin de mutuele zelfinductie met de impedantie van de afscherming is

gekoppeld. Dat hierdoor de spoelverliezen iets toenemen is doorgaans geen groot bezwaar want ook

ijzerkernen veroorzaken verliezen. Bij hoge frequenties gebruikt men weliswaar ferriet of poederijzer

met een bindmiddel om de wervelstroomverliezen te beperken maar er bestaan nog andere verliezen

die ook een rol spelen.

Wanneer het gaat om materiaal dat in blikvorm, d.i. als een dunne reep metaal, ter beschikking staat is

de veldverdringing verwaarloosbaar zolang de meetfrequentie niet te hoog wordt. Zo wordt voor

kleine transformatoren blik met een dikte van ± 0,2 mm veel gebruikt. We zullen zien dat er naast de

hysteresisverliezen ook nog wervelstromen optreden die een belangrijk verlies veroorzaken. Bij vele

metingen gaat het dan ook enkel om de bepaling van deze twee verliezen.

Bij de ferromagnetische materialen is men dikwijls ook geïnteresseerd in de vorm van de BH-curve.

Men tracht immers door het kiezen van de geschikte legeringen de curve zo goed mogelijk aan te

passen aan de toepassing. Zo is voor een magnetische modulator een lus met grote permeabiliteit en

scherpe verzadiging gewenst. Bij permanente magneten wordt getracht het energieproduct B×H zo

groot mogelijk te maken. Door de vooruitgang van de vermogenselektronica is men op zoek gegaan

naar nieuwe materialen (ferriet, amorf ijzer, …) die een redelijk hoge inductie aan lage verliezen

paren bij hoge schakelfrequenties. De ontwikkeling van nieuwe ijzersoorten voor het gebruik in 50

Hz transformatoren gaat nog steeds door omdat er speciale bewerkingstechnieken op

ferromagnetische materialen economisch haalbaar geworden zijn. Hierbij zijn energie- en

plaatsbesparing de belangrijkste motivaties. Verder heeft de ontwikkeling van magnetische sensoren

en geheugenschijven voor computers geleid tot nieuw onderzoek op het gebied van magnetische

filmen. Voor deze dunne lagen werden speciale en gevoelige meettechnieken uitgedacht waarmee

zeer kleine deeltjes kunnen worden bestudeerd.

In het Appendix I bij dit hoofdstuk worden een aantal elementaire begrippen uit het magnetisme

herhaald die toelaten de voorgestelde proeven beter te begrijpen. I.h.b. is het begrip "magnetisch

potentiaalverschil" nuttig. Verder wordt er aan herinnerd dat de vorm van het magnetische monster

belangrijk is omdat er ontmagnetisatie kan optreden. Methoden om hiermee rekening te houden

worden in het appendix vermeld.

1. Meting van de ijzerverliezen.

Para- en diamagnetische stoffen worden zelden toegepast in de elektrotechniek. Wel zal men soms

de permeabiliteit ervan bepalen om iets aan de weet te komen over het materiaal. Zo is het in

B 4-3

sommige toepassingen absoluut noodzakelijk dat de susceptibiliteit van het materiaal zeer laag is.

Ferromagnetische materialen worden echter zoals eerder vermeld op grote schaal aangewend. De

gewone transformatorkern bijvoorbeeld bestaat meestal uit een Si-Fe legering met grote totale

permeabiliteit en hoge maximale inductie. Op deze wijze kan men de magnetiseringsstroom klein

houden. De aanwezigheid van een magnetische inductie zal echter wervelstromen in het ijzer doen

ontstaan en deze zijn verantwoordelijk voor het “wervelstroomverlies”. Een tweede soort verlies,

het hysteresisverlies, is een gevolg van irreversibele processen bij het magnetiseren. Het treedt bij

elke magnetiseringscyclus op en is evenredig met de oppervlakte van de BH-lus. In grote

distributietransformatoren, en eveneens in elektrische machines, kan de geïntegreerde kost van dit

verlies op de lange duur zeer oplopen. In transformatoren voor elektronica toepassingen streeft

men dikwijls naar een hoog omzettingsrendement zodat het eigenverbruik van de schakeling

minimaal is. Hierdoor zal dan tevens de dissipatie verminderen zodat de temperatuur van het

geheel daalt en de levensduur van het circuit toeneemt. Om dit te bereiken zal men bijvoorbeeld in

dc-dc convertoren een hoge schakelfrequentie kiezen. De magnetische componenten kunnen dan

klein zijn en toch een hoog rendement vertonen. Het gebruikte magnetische materiaal moet dan

uiteraard zeer weinig verlies op deze frequentie vertonen. Magnetische metingen worden daarom

voor een specifieke toepassing ontwikkeld. We zullen hieronder enkele veel gebruikt industriële

metingen bespreken.

1.1. Wervelstroomverlies in transformatorblik.

Sinds lange tijd weet men dat het voor industriële toepassingen (50 Hz of 60 Hz) zeer gunstig is om

dunne gelamelleerde kernen toe te passen. Dit volgt uit de volgende beschouwing: we nemen een

lamel met dikte d waarin een b(t) veld aanwezig is. Zie Fig. 4. 1.

Fig. 4. 1. Blik onderworpen aan een uniforme inductie B.

Indien we d « huiddikte kiezen is b(t) uniform verdeeld over de dwarssectie van het blik. In

B 4-4

sinusoïdaal regime wordt er in elke pel dx, op afstand +x en -x van de symmetrieas gelegen, een

e.m.k. opgewekt. De flux in het interval (-x, +x) bedraagt immers per eenheid van breedte van het

blik:

(2 ) (1) ( sin ) = x B t .ϕ ω× × (4.1)

Per eenheid van breedte wordt dus een e.m.k. e opgewekt:

2 cos e = - B x t .ω ω (4.2)

Deze e.m.k. zal in de pel een stroom i opwekken (men veronderstelt het stroompad aan het linkse en

rechtse blikeinde gesloten), bepaald door de weerstand ervan. Per meter hoogte van de pel is de

grootte van deze stroom di en het overeenstemmende vermogenverlies dP:

2 dd(2 d ) (1)

B x x | i | = = B x. / x .

ω ωρ ρ

, (4.3)

2 dd ( ) x P = B x ωρ

. (4.4)

Het totaal gedissipeerde vermogen P bekomt men door integratie van de vgl. (4.4):

22 3

2

0

( ( )) d24

+d/B B d P = x x = ω ωρ ρ∫ . (4.5)

Per volume-eenheid vindt men het volgende specifieke verlies Pv:

2

v( )1.1

24B d P P / d . ω

ρ= = . (4.6)

In werkelijkheid zal men het verlies eerder uitdrukken in Watt/kg omdat het gewicht gemakkelijk kan

gemeten worden. Om dan het verlies om te rekenen naar Watt/m3 moet het soortelijke gewicht van

het materiaal gekend zijn.

Indien nu b(t) periodiek maar niet sinusoïdaal is,

( ) sin ( )n nn

b t = B n tω ϕ+∑ , (4.7)

zal elke component van deze Fourierreeks een aandeel in het verlies leveren. Het verlies PF (in W/kg)

wordt bijgevolg gegeven door de volgende belangrijke uitdrukking:

B 4-5

2

F F ( )nn

P K n Bω= ∑ . (4.8)

Het verlies PF noemt men het Foucault- of wervelstroomverlies. Omdat er geen correlatie is tussen

het Foucaultverlies PF en het hysteresisverlies PH (in W/kg)moeten beide opgeteld worden om het

totale verlies te vinden. Het Foucaultverlies is evenredig met w2 in tegenstelling tot het hysteresis-

verlies, dat evenredig is met ω. In principe kan PH uit de statische lus berekend worden. De inductie

of de magnetiserende stroom mogen echter niet te sterk vervormd zijn, zodat de B(H) curve

monotoon doorlopen wordt. M.a.w. er mogen geen bijlussen optreden. Dit zal met de normale bijna

sinusoïdale magnetiseringstromen meestal voldaan zijn. In systemen waarin resonanties optreden kan

het echter gebeuren dat er zulke snelle schommelingen gesuperponeerd zijn op de stroom dat er toch

bijlussen ontstaan. Wanneer de B-H kromme op een normale wijze doorlopen wordt hebben de

harmonischen echter geen belang voor PH: het effect ervan wordt immers meegerekend in PF van de

vgl. (4.8). Bovenstaande overwegingen laten toe de volgende uitdrukking voor het totale ijzerverlies

Pij in functie van de meetfrequentie f te formuleren:

2ij in W/kg.P a f b f = + (4.9)

Zeer nauwkeurige metingen tonen aan dat deze betrekking niet helemaal juist is. Het zeer complexe

gebeuren met de magnetische domeinen in het materiaal veroorzaakt excesverliezen waarvan de

oorzaak nog niet helemaal is opgehelderd. Voor de meeste technische toepassingen mag men

nochtans zonder groot bezwaar de vgl. (4.9) toepassen.

• Om te beletten dat bij het stapelen van de blikken de wervelstromen van het ene blik naar het

andere overgaan en er terug veldverdringing zou optreden zal men een isolatielaag aan één

zijde van de blikken aanbrengen. In de praktijk is dit een verflaag, een dunne papierlaag of een

oxidepeul.

• Om verschillende materialen te kunnen vergelijken moeten de meetcondities dezelfde zijn.

Over 't algemeen specificeert men het ijzerverlies voor een maximale sinusoïdale inductie BM

bij de frequentie f. Bij de meting moet men deze voorwaarden dus controleren. De frequentie is

vlug en nauwkeurig te bepalen met een teller. Daarentegen zal men voor de inductiegolfvorm

enkel de spanning geïnduceerd in een meetwikkeling kunnen onderzoeken. In de

veronderstelling dat men een hoofdzakelijk sinusoïdale excitatie toepast, gebeurt dit het

eenvoudigst door de effectieve en gemiddelde gelijkgerichte waarde van de spanning te meten

en daaruit de vormfactor te berekenen:

B 4-6

eff

g

( = 1,11 voor sinus)UF U

= . (4.10)

We zullen aantonen wat er moet gebeuren als F afwijkt van 1,11. We bespreken hieronder enkele

meetmethoden om het dynamische ijzerverlies, d.i. Pij onder wisselstroomcondities, te bepalen.

1.1.1. Wattmetrische methode van Epstein.

De methode van Epstein is sinds lang ingeburgerd in de industrie en nog volop in gebruik wegens een

aantal intrinsieke voordelen: de monsters hebben een eenvoudige vorm, de meting kan snel en

nauwkeurig worden verricht en de methode is gestandaardiseerd. D.m.v. elektronische ac-bronnen is

het mogelijk geworden om de meting uit te voeren over een redelijk uitgestrekt frequentiegebied dat

gepast is voor 50 Hz toepassingen en waarbij eventueel een aantal harmonischen ontstaat in de flux.

Niettegenstaande een aantal “jukmethodes” werden ontworpen met dezelfde bedoeling als het

Epsteinraam, maar vooral om op kleinere monsters te kunnen meten, blijft het raam populair voor de

vergelijking van verliesfactoren van verschillende materialen.

Bij elke meetmethode moet een magnetisch circuit geconstrueerd worden. Men zou liefst ringvormige

monsters gebruiken omdat hun ontmagnetisatiefactor N = 0 is (Zie Appendix I). Voor technische

metingen zal men een ringvormig monster trachten te benaderen door het circuit uit 4 rechte stukken

op te bouwen. Het oorspronkelijke raam was opgebouwd met repen van 1 m! Voor het “Baby

Epsteinraam” vertrekt men van een staalplaat en snijdt daaruit een reeks repen van 28 cm lengte en 3

cm breedte. Men legt deze repen nu zo dat zij een raam vormen met 4 gelijke benen. Aan de

hoekpunten worden de blikken aangespannen zodat de luchtspleet er minimaal is. Daarenboven

liggen de blikken van elk been er afwisselend op elkaar. Tussen elk blik van een been blijft er dus

steeds een luchtlaag en er is geen extra isolatie op een zijde van het blik vereist. Fig. 4. 2.

Fig. 4. 2. Baby-Epsteinraam. De spoelen zijn over de vier benen verdeeld

B 4-7

Meestal is het totale ijzergewicht ongeveer 1 kg. Uit de geometrie van het raam en de dichtheid van

het ijzer volgt de effectieve sectie S van deze magnetische keten. Over de vier benen van het raam

wordt een gelijkmatig gewikkelde magnetiseringswikkeling met N1 windingen (dikke draad)

aangebracht. Daaronder ligt een meetwikkeling N2 welke dient voor het meten van de inductie. In de

eenvoudigste opstelling worden de verliezen gemeten met een wattmeter volgens de schakeling van

Fig. 4. 3a. In Fig. 4. 3b ziet men een equivalent schema waarin het raam door een transformator

equivalent schema werd vervangen; Si is de stroomspoel van de Wattmeter en Su de spanningsspoel

met weerstand Ru.

De vergelijking (4.8) suggereert dat het Foucaultverlies kan voorgesteld worden d.m.v. een weerstand

Rv in parallel met de ideale primaire in Fig. 4. 3b. Immers, PF is evenredig met de reekssom

2

1

( )nn

n Bω∞

=∑ en deze is zelf evenredig met het kwadraat van de effectieve waarde van de spanning e1.

Vermits PF evenredig is met ω2 zal de equivalente weerstand echter frequentieafhankelijk zijn. Om

rekening te houden met het hysteresisverlies zal men dit in de waarde van Rv verdisconteren.

Inderdaad is, volgens Steinmetz, het hysteresisverlies voor vele soorten ijzers evenredig met MBη

waarin η = 1,6 … 1,8 en BM de piekinductie. Het totale verlies zal dus minder dan kwadratisch met

BM toenemen en de waarde die men zal bepalen geldt enkel bij de meetfrequentie.

Fig. 4. 3. Meetopstelling van Epstein.

De transformator die in Fig. 4. 3b voorkomt is niet-ideaal maar wel verliesvrij. Om te beginnen vloeit

er een magnetiseringsstroom im zodat

21 m 2

1n

N i i i N

= + . (4.11)

B 4-8

De stroom im kan geen verlies opleveren daar alle hysteresis en Foucaultverliezen in Rv verondersteld

worden te zitten. Verder zal de niet-lineariteit van het magnetische materiaal tot uiting komen in de

golfvorm van im. Voedt men het meetcircuit met een sinusoïdale bron E dan zullen in im naast de

grondgolf tevens oneven harmonischen aanwezig zijn. De overeenkomstige spanningsval over de

primaire weerstand R1 en lekzelfinductie l1 zal eveneens deze harmonischen bevatten en bijgevolg

zijn e1 en e2 niet zuiver sinusoïdaal.

In deze klassieke opstelling zal de wattmeteraflezing N zonder meer niet het echte ijzerverlies

aanduiden. We moeten inderdaad een correctie uitvoeren voor de belasting die de spanningsspoel met

weerstand Ru en zelfinductie lu op het raam veroorzaakt. De spanningsspoel bezit een relatief grote

weerstand zodat ω (lu + l2) « R2 + Ru en de invloed van lu en l2 kan worden verwaarloosd. De aflezing

P op de wattmeter wordt dan gegeven door:

22 1 2 m 2

1

1 1d ( ) dvT T

N P = u i t = u i i i tT T N

+ +∫ ∫ . (4.12)

Men heeft ook nog:

2u u2 2 1

1u 2 u 2

R R N u e eR R R R N

= =+ +

. (4.13)

Omdat im per definitie geen verlies mag veroorzaken moet het aandeel van e2 im in de integraal nul

zijn. M.a.w. elke Fouriercomponent van e2 (of e1) is π/2 verschoven in fase t.o.v. de overeenkomstige

component in im. De bijdrage van het product u2 iv ~ e1 iv zal evenredig zijn met de dissipatie in Rv en

dus met het te bepalen ijzerverlies Pij. Men heeft bijgevolg:

u 2 2 21 v 1 m 2 2

u 2 1 1 1

2u 2ij 2 2

1u 2 1

1 1 1[ d d ] d

1 d

T T T

T

R N N NP e i t e i t u i t R R T N T N T N

R NN P u i t .R R N TN

= + ++

= ++

∫ ∫ ∫

∫ (4.14)

De laatste integraal stelt de dissipatie in Ru voor. Meestal wordt nog met een afzonderlijk toestel de

effectieve waarde U2e van u2 bepaald, zodat men het ijzerverlies kan berekenen als volgt:

2

1 2e 2ij

2 u u

( ) (1 )N U R P P - N R R

= + . (4.15)

Door meetversterkers te plaatsen tussen N2 en de spanningspoel kan de invloed van Ru worden

geëlimineerd zodat men eenvoudigweg Pij = P N1/N2 kan schrijven.

B 4-9

Het ijzerverlies wordt steeds gemeten bij een opgegeven maximale inductie BM. Om een welbepaalde

waarde BM in te stellen wordt een gewoon gelijkrichterinstrument parallel op N2 geplaatst. Het

volstaat nu op te merken dat u2 nul is als e2 nul is en dit gebeurt telkens db/dt nul wordt. M.a.w. u2 is

nul indien de inductie juist +BM of -BM wordt. De aanduiding Eg van het gelijkrichterinstrument is

dus:

M

M

g 2 M M

2 M2 M

2 d( ) d [ ( )]d

4 4 .

b B

b B

SE t N B BT t T

N S B N S B fT

ϕ=

=−

= − = − − +

= =

∫ . (4.16)

Men stelt de bronspanning E zo in dat Eg de waarde heeft die berekend wordt met deze formule voor

een gegeven maximale inductie.

1.2. Bepaling van verliezen bij sinusvormige b(t).

Voor een Epsteinraam met ideale magnetiseringswikkeling (R1 = l1 = 0 in Fig. 4. 3) en gevoed door

een sinusoïdale bron E, is b(t) ook sinusvormig. De magnetiseringsstroom im is dit echter niet wegens

de niet-lineariteit van de BH-lus. Het vermogen dat een sinusoïdale bron levert wordt nochtans enkel

bepaald door de grondgolf van im. Van zodra R1 en l1 niet nul zijn zullen noch de geïnduceerde

spanning e2 noch de inductie sinusoïdaal blijven.

Op de hysteresisverliezen heeft deze vervorming van b(t) geen gevolg; deze worden enkel door BM

bepaald en twee verschillende golfvormen b(t) maar met zelfde maximum BM geven dus het zelfde

hysteresisverlies. De Foucaultverliezen daarentegen volgen de formule (4.8):

2F F ( ) 1, 3, 5, ...n P K n B , n ω= ∑ = (4.17)

Nu bestaat er een verband tussen de effectieve waarde E2e van e2 en de reeks van de harmonischen in

het inductieverloop b(t):

2 2

( ) sin ( ) dus( ) cos( )

n n

n n

b t B n t , e t - N S B n n t

ω ϕω ω ϕ

= ∑ +

= ∑ + , (4.18)

zodat: 2 2 22e 2

1 ( ) ( )2 n

n

E N S n Bω= ∑ . (4.19)

Bij elke meting wordt er een maximale inductie BM vooropgesteld en deze wordt ingesteld via de

aflezing E2g van een gelijkrichterinstrument zoals al aangetoond met vgl. (4.16):

B 4-10

22g M

4 N S E BT

= . (4.20)

We vergelijken de Foucaultverliezen in het sinusoïdaal en vervormd geval met elkaar, maar bij

dezelfde maximale inductie BM. Dit geeft:

2

F Fns2

F Fs M

( )bij niet sinus

bij sinus ( )

nn

n BP P

P P B

ω

ω= =

∑ . (4.21)

De vergelijkingen voor E2e en E2g laten toe om de reeks weg te vervangen:

2e 2 2FnsFns Fs2 2

2gFs

8 8( ) of nogπ π

P E P P FP E= = . (4.22)

De totale ijzerverliezen bedragen dan (stel PFs = PF):

2ij H Fs2

8π

P P F P= + . (4.23)

Deze formule laat ons toe om Pij voor een willekeurige vormfactor om te rekenen naar deze voor

sinusinductie op voorwaarde dat PH en PFs gekend zijn. Daartoe moet men de ijzerverliezen kunnen

scheiden in hysteresis- en Foucaultverliezen. Om dit uit te voeren kan men op verschillende wijzen te

werk gaan:

• De formule laat toe, door twee metingen uit te voeren bij zelfde BM maar bij verschillende

vormfactor, PH en PF te scheiden:

2ij1 H 1 F2

2ij2 H 2 F2

8π8π

P P F P

P P F P

= + = +

. (4.24)

Omgerekend naar een sinusoïdale inductie is het gezochte resultaat:

ij H FP P P= + . (4.25)

Men kan F variëren door van spanningssturing over te gaan naar stroomsturing, bijvoorbeeld

door een grote weerstand of zelfinductie in serie met de generator E te plaatsen. Men verkiest

daarbij het laatste omdat dit zonder vermogenverlies gepaard gaat. De variatie van F is echter

wel beperkt tot ongeveer 15% en daardoor is de nauwkeurigheid van deze scheidingsmethode

niet bijzonder groot.

B 4-11

• Men kan gebruik maken van het frequentiegedrag van PH en PF. Inderdaad is PH evenredig

met f en PF met f2 en dus is

2 2ij H F 2

8π

P k f k f F= + . (4.26)

Men doet een meting bij f1 en f2, waarbij eventueel F eveneens twee waarden F1 en F2 kan

aannemen, en berekent uit het aldus bekomen lineaire stelsel kH en kF, en daaruit volgen dan

PH en PF bij de gewenste f:

2H H F F en P k f P k f= = . (4.27)

Met deze methode kan men een nauwkeurige scheiding uitvoeren omdat een grote procentuele

frequentievariatie mogelijk is.

Het zou eenvoudiger zijn mocht men de sinusinductie permanent kunnen verzekeren. Door het gebruik van

elektronische vermogensversterkers is dit goed te benaderen: het volstaat de raamspanning e2 te vergelijken met

een referentiesinus en het verschil via terugkoppeling aan de generator toe te voegen. De versterker in deze

generator moet wel voldoende spanning en stroom kunnen leveren om dit onder alle omstandigheden te kunnen

verwezenlijken.

1.3. Registratie van de magnetiseringslus.

In een aantal gevallen wenst men vlug de dynamische BH-lus te bepalen op 50 Hz zonder de hoogste

nauwkeurigheid na te streven. Het kan bijvoorbeeld nuttig zijn de BH-lus van een bestaande

transformator te bepalen of deze van een smoorspoel met ijzerkern.

Fig. 4. 4. (a) Schakeling voor het rechtstreeks zichtbaar maken van de BH-lus op een oscilloscoop, (b) of op een XY-plotter.

B 4-12

In het laatste geval moet er wel mogelijkheid bestaan om een extra meetwikkeling op de kernbenen

bij te plaatsen zodat men de magnetische flux kan meten. Bij een transformator kan men de wikkeling

die het dichtst bij de kern als meetwikkeling ligt (N2) gebruiken en de andere als

bekrachtigingswikkeling (N1). Voor het bepalen van b(t) wordt een eerste-orde LD-filter gebruikt dat

werkt als passieve integrator mits ω R C » 1 is. Zie Fig. 4. 4a. Registratie van de lus kan gebeuren op

de volgende wijzen.

• Op een analoge oscilloscoop, waarbij we enkel een beeld op het scherm getoond wordt. Het is

dus niet mogelijk de lus op papier te krijgen. Men kan wel gemakkelijk enkele interessante

waarden zoals BM en het coërcitief veld Hc aflezen en de mate van verzadiging schatten.

• Een digitale oscilloscoop waaraan een printer hangt die de lus onmiddellijk uittekent. Men kan

eventueel de data files in een werkblad invoeren voor de berekening van de lusoppervlakte.

• Een monsternemer die het bemonsteringspunt van de spanningen ex en ey traag over een

volledige periode verschuift zodat de lus op een XY-schrijver wordt getekend. Men heeft dan de

lus op papier maar de verdere bewerking om het verlies te berekenen is omslachtig.

Het is ook mogelijk om ex en e2 rechtstreeks te digitaliseren en b(t) te berekenen d.m.v. een

numerieke integratie. De spanning e2 die afgeleid is van de netspanning bevat echter veel storingen en

ruis die een onduidelijke lus produceren. Hetzelfde probleem doet zich voor met de digitale

oscilloscoop, maar met deze kan uitmiddelen verbetering brengen. In de methode van de Fig. 4. 4 met

het analoge RC-filter profiteert men van de uitmiddelende werking van dit filter en zijn de resultaten

mooier. Bij de analoge schrijver doet zich eveneens een bijkomende uitmiddeling voor t.g.v. de

mechanische laagdoorlaatkarakteristiek van de schrijver. Met een synchrone detector is het ook

mogelijk de lus te vinden. Men profiteert dan uiteraard van de storingsonderdrukkende eigenschappen

van deze detector. In de Appendix II bij dit hoofdstuk is deze methode beschreven.

Voor de Fig. 4. 4a berekent men het veld en de inductie in de kern (sectie S en gemiddelde

magnetische weglengte L) als volgt:

x y1 2

( ) en ( )r L R Ch t e b t eN N S

= ≈ . (4.28)

1.4. Ladingsmetingen voor de bepaling van magnetische eigenschappen.

Er bestaan een aantal metingen die toelaten om de magnetische eigenschappen van een materiaal te

vinden via ladingsmetingen. Hierbij wordt bijvoorbeeld een magnetiserende dc-stroom Im

aangelegd welke men van richting en/of grootte laat variëren. Door integratie van de

B 4-13

uitgangsspanning ddtϕ van een meetspoel vindt men de fluxvariatie ∆Φ . Het magneetveld wordt

berekend uit de stroom en de gemiddelde magnetische weglengte. Men kan op deze wijze zowel de

magnetiseringcurve als de statische lus bepalen. De ladingsmetingen hebben een aantal intrinsieke

voordelen die we hierna vermelden.

• De metingen hangen niet af van het gevolgde pad in het IΦ − vlak. Enkel de eindpunten van de flux

komen tussen. Hoe snel of hoe traag de overgangen ook plaatsgrijpen, het resultaat verandert

nauwelijks. In een ac-methode zal de lus schijnbaar verbreden naarmate de frequentie toeneemt

omdat in die lus ook de ijzerverliezen moeten tot uiting komen.

• De dikte van het proefmonster is onbelangrijk. Bij een ac-meting kan het veld soms niet voldoende

doordringen in het monster door huideffect. Dit is i.h.b. het geval bij een hoge meetfrequentie, een

grote permeabiliteit of een dikke staaf. Bij een ladingsmeting vertrekt men van een dc-veld en na

variatie van de stroom stelt zich een nieuwe dc-toestand in. Wil men in ac een staaf meten met een

diameter van enkele centimeters en een µ van 103…104 dan mag de meetfrequentie niet veel hoger

zijn dan enkele mHz om een volledige doordringing van de staaf te bekomen. De meetduur zou dan

ontoelaatbaar groot worden.

• Er is praktisch geen invloed van wervelstromen die in nabijgelegen metaalmassa’s (afschermingen

bijv.) ontstaan door inductie. Veronderstel dat men de stroomsterkte in de magnetiseringsspoel laat

variëren over 1i∆ . Wanneer nu een deel van het veld stromen 2i∆ induceert in een afscherming zal dit

via de mutuele inductie M tussen spoel en afscherming een terugwerking geven op de spanning e van

de fluxmeetspoel. Men kan dan een soort transformator schema invoeren waarvoor geldt:

1 2d d dd d d

i ie L Mt t tϕ

= − = + .

Na integratie van e over de duur van het overgangsverschijnsel bekomt men:

1 1.0L i M L iϕ−∆ = ∆ + = ∆ .

De stroom in de afscherming is immers 0 bij de begintoestand van i1 en na het overgangsverschijnsel. In ac

blijft de term met M altijd werkzaam.

Om deze redenen worden ladingsmetingen nog steeds toegepast om materialen te vergelijken.

Speciaal voor de bepaling van de magnetiseringskromme is dit het geval. Men zou kunnen denken

dat de statische lus die men met een ladingsmeting vindt dezelfde is als deze die uit een ac-meting

bij zeer lage frequentie volgt. Verassend genoeg is dit niet het geval: het hysteresisverlies bepaald

met de ladingsmeting is steeds aanzienlijk lager dan dit van een ac-meting bij een zeer lage

B 4-14

frequentie. De reden daartoe is onbekend maar vermoedelijk heeft dit iets te zien met de manier

waarop bij een ladingsmeting het veld in de kern dringt en met de zeer complexe verschijnselen die

ijzerverliezen veroorzaken: structuur en verplaatsing van de magnetische domeinen, lokale

wervelstromen, …

2. Meting van H-velden.

Voor vele technische toepassingen is de kennis van het H-veld in de ruimte zeer belangrijk. Zo

bijvoorbeeld wil men soms het veld meten aan de polen van een motor of in de luchtspleet van een

spoel of relais. Magnetische strooivelden van allerlei ac-apparaten kunnen gevoelige

meetinstrumenten storen of doen uitvallen. De bepaling van H in een middenstof is eerder

belangrijk om bepaalde parameters ervan te kunnen bepalen. In feite steunen deze veldbepalingen

op slechts twee verschijnsels: krachtwerking van B-velden op stromen of ladingsdragers en

fluxvariaties die een e.m.k. genereren. Enkele speciale magnetische sensoren zullen in het

hoofdstuk “Sensoren” worden beschreven.

2.1. Ruimtelijke velden.

Omdat in de vrije ruimte µ = 1 kan men steeds B meten en daaruit H berekenen.

2.1.1. Rechtstreekse fluxmeting.

Een ac-veld H zal in een spoel (n windingen, sectie S) een e.m.k. genereren volgens:

d dd d0h he - n S - k t t

µ= = . (4.29)

Is h(t) sinusvormig, dan zal e dit ook zijn, en uit de amplitude en frequentie van e volgt de amplitude

van h. De correcte waarde van S kan moeilijk te bepalen zijn t.g.v. de eindige draaddikte. In dat geval

kan men eerst de schaalfactor k bepalen d.m.v. een ijkveld.

Een gelijkstroomveld H kan als dusdanig niet rechtstreeks gemeten worden omdat er geen dh/dt

optreedt. Soms is het mogelijk het veld in of uit te schakelen zodat een ladingsmeting de oplossing is.

Of, men beweegt de spoel vanuit een veldvrij gebied naar de gewenste plaats. Men integreert dan e

d.m.v. een analoge of digitale integrator met integratieconstante Ti zodat men de volgende

uitgangsspanning vo aan de integrator bekomt:

oi i0

1 dt k Hv = k h

T T=∫ . (4.30)

Ook voor periodiek variërende velden is een integrator bruikbaar. In een verouderde methode werd

B 4-15

de spoel als raam uitgevoerd en bevestigd aan een motor zodat ze rond een symmetrieas die in het

raamvlak ligt met een hoeksnelheid ω kon roteren. Aldus bekomt men een sinusoïdale e(t) die

evenredig is met de dc-flux die de spoel doorsnijdt. Een alternatief is de zogenaamde "Flip-coil"

van de firma Metrolab. Dit is een spoel die manueel of met afstandsbediening precies over 180°

kan gedraaid worden. Het volstaat dan de uitgangsspanning te integreren om de gemiddelde

inductie door de spoelsectie te vinden. De flip-coil wordt vooral toegepast voor het meten van zeer

sterke inducties (1 tot 50 T, nauwkeurigheid 100 ppm). Het voordeel ervan is dat men zelfs in

vloeibaar He kan meten. Daarenboven is het eenvoudig om de spoel te ijken.

2.2. H-veldbepaling in staven.

2.2.1. Berekening van het H-veld.

Het probleem bij deze metingen is dat de reluctantie Rj van het juk in de magnetische keten een fout

op de berekening van H uit de grootte van de magnetiseringsstroom I veroorzaakt. Inderdaad heeft

men in de magnetische keten van Fig. 4. 5a:

p p j pmagneto-motorische kracht dM = H l = H L R N I∫ + Φ = . (4.31)

Daarin is N het aantal windingen van de magnetiseringspoel, Lp de effectieve lengte van de proefstaaf

(Lp ≈ AB), pΦ de flux in proefstaaf (dus ook in het juk). Bijgevolg heeft Hp de waarde:

p jp

p p

RN IH - L L

Φ= . (4.32)

Men veronderstelt nog dat het veld in de staaf homogeen is zodat φp overal dezelfde waarde heeft.

Daar Rj = Lp /Sj µj µ0 (met S, µj respectievelijk sectie en permeabiliteit van het juk) zal het praktisch

onmogelijk zijn Rj te berekenen want µj hangt af van Hp en noch Lp noch Sj zijn nauwkeurig te

bepalen. Om de stoorterm φp Rj /Lp zo weinig mogelijk invloed te laten uitoefenen gebruikt men de

volgende technieken.

(1) Ringmethode van Rowland.

Men gebruikt een ringvormig proefmonster zodat Rj = 0. Het verschil tussen de buitendiameter en de

binnendiameter moet veel kleiner zijn dan de gemiddelde diameter zodat de veldsterkte over de

ringsectie niet te veel varieert. Merk op dat het Epsteinraam in feite een variant van de ring is: er is

geen juk nodig.

(2) Rj minimaal maken: het Rowlandjuk.

B 4-16

Het gewone juk uit Fig. 4. 5a vertoont nog een relatief grote reluctantie. Het Rowlandjuk (Fig. 4. 5b)

bezit een zeer grote sectie en een minimale magnetische weglengte; daarenboven staan er effectief

twee benen in parallel zodat Sj wordt verdubbeld. Men gebruikt zeer zacht ijzer met een grote

permeabiliteit. De korte afstand tussen staaf en jukbenen vergroot echter het gevaar voor

onregelmatige magnetisatie omdat de veldlijnen gemakkelijk rechtstreeks naar het juk gaan.

Fig. 4. 5. (a) Gewoon juk, (b) Rowlandjuk. (3) Eliminatie van Rj door dubbele meting: methode van Ewing.

Men gebruikt twee proefstaven, kortgesloten door de jukken J1 en J2. Het juk J2 kan verzet worden

naar de gestippelde stand.

Fig. 4. 6. Ladingsmethode van Ewing om Rj te elimineren.

Indien men de inductie in de staven, voor de twee standen van het juk J2 op L1 en L2 gelijk kan

houden door het instellen van de stroom I dan heeft men:

B 4-17

1 1 j 2 1p

2 2 p j 2 1

2 ( ) waaruit volgt: 2 2( )

N I L H R N I IHN I L H R L L

= +Φ − == +Φ − . (4.33)

(4) Magnetische compensator van Iliovici.

De methode van Iliovici is uitermate geschikt om de magnetiseringskromme te bepalen. Deze

methode kan in principe voor ac toegepast worden maar dan moet de meetfrequentie zeer laag zijn

om het effect van veldverdringing in de staaf te minimaliseren.

Fig. 4. 7. Compensator van Iliovici.

Het magnetisch potentiaalverschil tussen de punten A en B kan nul gemaakt worden d.m.v. een

compensatiejuk J1 met Nk windingen waardoor een compensatiestroom Ik vloeit:

pA B p p

B A k k j

Staaf: Juk:

RV V N I H LV V N I R

− + = Φ = − + = Φ

(4.34)

Door regelen van Ik kan VA = VB gemaakt worden, zodat Hp = N I /Lp. Om deze situatie in te stellen

wordt een extra meetjuk J1 aangebracht waarop een lading- of fluxmeter staat. Indien VA = VB zal de

flux in J2 nul zijn en er is geen detectoruitslag.

2.2.2. Veldbepaling door meting.

Het tangentiële veld buiten de proefstaaf is gelijk aan dit er binnen: Ht = Hp. Vandaar twee methoden.

(1) Door een krachtmeting

Men plaatst en stroomvoerende geleider tegen het oppervlak van de proefstaaf en meet de kracht.

In de praktijk wordt dit uitgevoerd door een spoeltje met een spiegel aan een torsiedraad op te

hangen zodat de rotatie ervan gemakkelijk zichtbaar kan gemaakt worden. Indien de stroom i in het

B 4-18

raam loodrecht op Ht staat voelt hij een kracht per lengte-eenheid gelijk aan

t 0 tf = i B = i Hµ . (4.35)

(2) Met een ladingsmeting

Met een ac- of een ladingsmeting wordt de flux in een laag buiten de staaf gemeten. Indien de

magnetiseringspoel veel langer is en een grotere diameter heeft dan de proefstaaf, dan wordt Ht over

een vrij groot gebied behouden. Men gebruikt twee meetspoelen zoals in Fig. 4. 8: de eerste is op de

proefstaaf gewikkeld en de tweede heeft een grotere diameter. De aslijnen van beide vallen samen.

De overeenstemmende secties zijn Si en Su en bijgevolg:

u pu i 0 t

i p

Flux door buitenspoel: ( )Flux door binnenspoel:

n S S H

µ= − + Φ Φ

=Φ Φ (4.36)

Fig. 4. 8. Bepaling van het tangentiële H-veld d.m.v. twee spoelen.

Het verschil tussen beide fluxen wordt alleen door Ht bepaald. De spoelen staan zodanig in serie dat

men het verschil der e.m.k. toevoert aan de ladingsdetector. De uitslag van de ladingsdetector is dus

evenredig met

u i 0 t( )n S S Hµ− ∆ . (4.37)

(3). Met een veldgevoelige sensor

Men houdt een gevoelig Hallplaatje zodanig aan het oppervlak dat de veldlijnen er loodrecht op

staan. Dit is mogelijk omdat er zeer kleine Hallsensoren verkrijgbaar zijn. Zie: Hoofdstuk 5,

“Sensoren”.

3. Bepaling van de inductie.

Voor de meting van B buiten een proefstaaf kunnen we dezelfde methode als voor de H-veld

meting toepassen, immers: B = µ0 H. Om B in een staaf te meten werd bij sommige oude

technieken de kracht gemeten nodig om de staaf van het juk te trekken. Deze methode zal nog

zelden aangewend worden, maar ze laat toe een idee over B te krijgen in gevallen waar er geen

B 4-19

meetwikkeling beschikbaar is en ook geen luchtspleet. De kracht is daarbij evenredig met B2 S, met

S de sectie van de proefstaaf. We hebben nu terug twee gevallen.

3.1. B indien luchtspleet bereikbaar is.

Omdat de normale componenten van de inductie binnen en buiten het oppervlak van een magnetisch

materiaal gelijk zijn kunnen we als volgt werken.

(1) Hallsensor.

Men brengt een Hallsensor in de luchtspleet van de magnetische keten tegen het materiaalvlak en

dus loodrecht op de krachtlijnen. We bekomen dan onmiddellijk de inductie uit de Hallspanning VH

als volgt:

H constante B V= × . (4.38)

(2) Krachtmeting

Stroomvoerende geleider in luchtspleet aanbrengen en de kracht die de geleider ondervindt meten

zoals in het geval van het H-veld. Deze methode is verouderd maar het principe wordt wel toegepast

om iets te weten te komen over sommige transducers, o.a. bij luidsprekers.

3.2. B uit flux in staaf.

Indien geen luchtspleet beschikbaar is kan men, hetzij ballistisch, hetzij in ac, de flux en dus de

inductie meten d.m.v. een meetspoel rond de staaf.

3.2.1. Met een wisselstroom.

In een ac-veld levert een spoel met n windingen en doorsnede S de volgende e.m.k. op:

ddBe n St

= − . (4.39)

Zoals al gezien kan men BM bepalen d.m.v. een gelijkrichterinstrument. Wil men het volledige

verloop van B(t) kennen dan moet e geïntegreerd worden. Verder moet, om fouten te vermijden, de

meetspoel zo dicht mogelijk op de staaf gewikkeld worden. Men gebruikt dunne draad om de

onzekerheid op S zo klein mogelijk te maken. Indien de effectieve spoelsectie groter is dan S zal dit

evenwel niet noodzakelijk een grote fout teweegbrengen: zolang de proefstaaf niet verzadigd wordt

is de flux er binnen veel groter dan deze er buiten wegens de grote µ en de geïnduceerde spanning

wordt dus voornamelijk door de gezochte B bepaald. Wisselstroommetingen zijn echter maar

zinvol voor gelamelleerde proefstaven of ferrieten e.d. waarbij het huidefect zo klein is dat de

inductie constant blijft over de sectie van de staaf.

B 4-20

3.2.2. Ladingsmethode.

Men meet de fluxvariatie in een spoel (Fig. 4. 9) die ontstaat door de magnetiseringsstroom van I1

naar I2 te variëren. Men heeft nu:

n S B∆Φ = ∆ . (4.40)

a( ) ( )b

n

q

M

2I1I

Staaf

q

Fig. 4. 9. (a) Ladingsmethode ter bepaling van ∆B, (b) Ladingsmethode als nulmethode uitgevoerd.

Dezelfde opmerking wat betreft de meetspoel als hierboven is geldig. Deze methode is de enige die

toepasbaar is bij dikke staven. Men kan de methode omvormen in een nulmethode (Fig. 4. 9b) d.m.v.

een mutuele zelfinductie M die men dezelfde stroomvariaties laat ondergaan als de magnetisering-

spoel. Door regelen van M wordt de detector ladingloos indien:

M IBn S

∆ = . (4.41)

Fouten bij de meting worden zeer dikwijls veroorzaakt door spreidingsvelden, vooral aan de

uiteinden van de proefstaaf.

4. Bepaling van magnetisch potentiaalverschil.

De magnetometer van Rogowski is het analogon van de voltmeter, d.w.z. dat het een toestel is dat het

magnetische potentiaalverschil VA-VB meet zonder dat de magnetiserende stroom i of de geometrie

van de keten precies gekend zijn. Men omwikkelt een dunne, plooibare isolerende reep (of buis) met

n1 windingen per meter. De sectie van elke winding is s.

B 4-21

Fig. 4. 10. (a) Bepaling van het magnetische potentiaalverschil d.m.v. de magnetometer van Rogowski, (b) Berekening, (c) Toepassing op stroommeting.

Men plaatst de reep op de punten A en B welke op magnetische potentialen VA en VB staan.

Fig. 4. 10a. De methode kan zowel ballistisch als voor ac toegepast worden. Bij een ladingsmeting

meet men de totale fluxvariatie ∆Φ die de som is van de fluxvariaties in elke winding wanneer Φ van

Φ1 naar Φ2 gaat, of men verwisselt de eindpunten van de reep zodat de flux erin omkeert. We weten

dat VA - VB onafhankelijk is van de gevolgde weg en dus:

A BAMB

dV V H . l− = ∫ . (4.42)

De flux gekoppeld met een elementair stuk dl van de reep volgt uit het feit dat dl een aantal

windingen n1 dl bevat (Fig. 4. 10b):

1 0d d cos s n l Hµ αΦ = . (4.43)

De totale flux van alle windingen kan worden bepaald uit de e.m.k. van de buis en heeft de waarde:

1 1 0 A BAMB

cos d ( )s n H l s n V Vµ α µ0Φ = = −∫ , (4.44)

waaruit volgt: A B A B1 0 1 0

of (ballistisch)2

V V V Vn s n sµ µΦ ∆Φ

− = − = (4.45)

De magnetometer van Rogowski wordt als dusdanig niet meer aangewend, maar een moderne

toepassing vindt men bij het contactloos meten van een stroom i (Fig. 4. 10c). Hierbij omwikkelt men

een buis (uit perspex, of gewoon een gummi darm) en men legt die rond een stroomvoerende geleider

zodat de punten A en B samenvallen. Men kan ook een “clip-on” uitvoering maken die dan rond een

draad kan worden gelegd zonder de keten te verbreken. De spanning geïnduceerd in de spoel wordt

met een hoogohmige versterker gemeten en geïntegreerd. De kring is nu wel met i gekoppeld en

VA = VB. Bijgevolg:

B 4-22

B A1 0

.dV V i i H ln sϕµ

− + = = =∫ . (4.46)

Voor een versterker met winst A bekomt men na integratie van de uitgangsspanning eo:

o1 0

1( ) di t e tA n s µ

−= ∫ . (4.47)

Deze methode is vooral geschikt voor leidingen waarop een hoge spanning staat. Men kan immers de diameter

van de lus willekeurig groot maken zonder dat dit de aflezing beïnvloedt. Verder zijn noch de positie noch de

vorm van de lus belangrijk. Wanneer de spoel en de versterker-integrator zorgvuldig ontworpen zijn kan men

tot enkele MHz meten zodat deze methode ook in de vermogenselektronica bruikbaar is.

5. Praktische opstellingen.

We hebben in het voorgaande enkele methoden gezien die toelaten om de ijzerverliezen globaal te

bepalen. In veel gevallen is men echter enkel geïnteresseerd in de vorm van de statische lus omdat

men bijv. onderzoek uitvoert ter verbetering van zekere eigenschappen. Voorbeeld: verhoging van BM

teneinde kleinere transformatoren te kunnen construeren, bepaling van de energie-inhoud van

permanente magneten, stoffen zoeken met hoge remanentie Br of met bepaalde coërciviteit. In

dergelijke gevallen volstaat het de statische lus te bepalen. In andere gevallen is men geïnteresseerd in

de magnetiseringskromme, dit is de BH-lijn die men bekomt, uitgaande van een gedemagnetiseerd

materiaal, wanneer men H laat toenemen. We bespreken hieronder de meest bruikbare opstellingen.

5.1. Bepaling van de statische lus: methode van Ewing.

Hierbij wordt gebruik gemaakt van eerder besproken methode waarmee de reluctantie van het juk

kan worden geëlimineerd. De inductie wordt met een ladingsmethode bepaald.

5.2. Bepaling van de maagdelijke kromme (of magnetiseringcurve).

Dit kan met de compensator van Iliovici uitgevoerd worden. Gezien de ingewikkelde bediening is

men overgestapt op methodes waarbij het monster in een magnetische keten wordt aangebracht en het

H-veld wordt opgedrongen (jukmethodes).

Bovenstaande experimenten zijn alleen bruikbaar voor ferromagnetische materialen. Wanneer de

permeabiliteiten of de monsters zeer klein zijn moet men beroep doen op andere methoden. We geven

hieronder enkele voorbeelden.

5.3. Meting van de susceptibliteit van paramagnetische materialen.

Vele paramagnetische materialen (o.a. roestvrij staal) vertonen een µ die zeer dicht bij 1 ligt.

B 4-23

( )a ( )b

S

H ( x )

H0

dx

x

dF

0

x

G + F

monster

n

I

Fig. 4. 11. Balansmethode voor bepaling van de susceptibiliteit.

De ASTM (American Society for Testing Materials) stelt de werkwijze van Fig. 4. 11 voor ter

bepaling van χ = µ-1. De proefstaaf wordt tussen de polen van een elektromagneet, met

genormaliseerde afmetingen, opgehangen aan de arm van een gevoelige balans (Fig. 4. 11a). Van

deze magneet is B in de luchtspleet, ter hoogte van x = 0, gekend in functie van de stroom I. Men kent

dus H0 in dit punt. Wanneer de magneet bekrachtigd wordt zal de proefstaaf tussen de poolschoenen

naar beneden getrokken worden. Deze staaf voelt inderdaad een veldgradiënt daar zijn bovenste

uiteinde zich in een veldvrij gebied bevindt. Omdat H0 de grootste veldsterkte is in de luchtspleet zal

de grootste kracht op de staaf optreden wanneer zijn onderste uiteinde op x = 0 hangt. Men legt eerst,

zonder bekrachtiging, gewicht op de schaal totdat de weegschaal in evenwicht is. Hierbij is de lengte

van de ophangdraad van de staaf zo gekozen dat het ondereinde overeenkomt met x = 0. Legt men nu

I aan, dan voelt de linker arm van de balans een kracht naar beneden. Men legt dan een gewicht F bij

totdat opnieuw evenwicht optreedt. Nu is:

1 1volume en M M Hχ× = . (4.48)

De kracht op een volume-element S dx, in de richting van de gradiënt, is

0 0d d ( )d ( d )d dH H x F M H S x x x

χµ µ= = . (4.49)

We integreren vanaf x = 0 (waar H = H0) tot in het veldvrije gebied (H = 0):

0

0

( ) d ( )x

x

H

=H H

F S H x H xχµ=

0= ∫ . (4.50)

Daaruit volgt de gezochte susceptibiliteit:

200

2 F = S H

χµ

. (4.51)

B 4-24

Omdat balansen zeer nauwkeurig kunnen zijn kan de nauwkeurigheid op de bepaling van de

susceptibiliteit toch groot zijn. Het gebruik van een gradiënt in H om M te bepalen noemt men soms

de methode van Faraday.

5.4. Meting van M = f(H) voor micropreparaten.

Veel moderne magneetmaterialen worden gemaakt door samenpersen en sinteren van poeders

waarvan de deeltjes afmetingen hebben van ongeveer 1 µm tot 10 µm. Voor het onderzoek van

dergelijke materialen zou men eigenlijk de BH- of MH-lus moeten kunnen meten. Het spreekt vanzelf

dat dit niet mogelijk is met de technische methoden. Men gebruikt nu terug de Faradaymethode om

de meting uit te voeren. In de oorspronkelijke uitvoering bevestigt men het deeltje aan het uiteinde

van een ingeklemde metaaldraad.

Fig. 4. 12. Bepaling van het magnetisch moment d.m.v. een trillend monster. .

Indien men ter plaatse van het deeltje een gekende H en grad H kan opwekken zal er een kracht op

het draadeinde uitgeoefend worden waardoor er een verplaatsing optreedt (Fig. 4. 12a).De

verplaatsing van de draad kan met een speciale microscoop worden gemeten; uit de

elasticiteitsmodulus volgt dan de kracht. Voor de zeer kleine preparaten is de gevoeligheid echter nog

steeds te klein. In het Philips Natuurkundig Laboratorium heeft men als eerste de gevoeligheid van

deze methode zo opgedreven dat toch metingen aan micropreparaten mogelijk werden. Hiertoe werd

op het meetveld H een wisselveld met een sterke gradiënt gesuperponeerd die een wisselende kracht

op het monster uitoefent. Bij de geschikte keuze van de frequentie van het veld zal het deeltje met de

draad in resonantie komen. De verplaatsing wordt dan vergroot met de mechanische Q-factor. De

gepaste richting van de wisselgradiënt bekomt men door de oscillatorspoelen als getekend te

schakelen. De amplitude van de uitwijking, die evenredig is met M, bepaalt men door de draad

stroboscopisch te belichten, synchroon met de generator. Op deze wijze kan men zelfs de

zogenaamde Barkhausen-sprongen van de het materiaal zichtbaar maken.

B 4-25

Bij de moderne "Vibrating Sample Magnetometer" wordt het monster tussen de poolschoenen

opgehangen aan een trillende staaf. In de buurt van het monster worden een viertal spoeltjes geplaatst

waarin door het bewegende monster een e.m.k. wordt opgewekt. Uit deze e.m.k.'s wordt dan de

magnetische informatie geëxtraheerd.

B 4-26

APPENDIX I BIJ HOOFDSTUK B 4.

Herhaling van enkele begrippen van het magnetisme.

1. Magnetische ladingen: naar analogie van de elektrostatica kan men magnetische ladingen

invoeren (Chu-model). Wanneer twee magnetische ladingen (Q en Q'), puntvormig verondersteld,

op afstand r van elkaar staan in de punten Q en Q’oefenen zij een kracht op elkaar uit met grootte

F en gericht volgens(Q,Q’):

r20

1 14π

QQ F Q.Hrµ µ′

= = .

In het punt Q wordt de invloed van Q' samengevat in de "magnetische veldvector" H. Het H-veld

van Q' is voor te stellen d.m.v. vectoren H die door Q' gaan (vergelijk met de elektrostatica).

Meestal zal men H afleiden van een magnetische potentiaal V:

gradH V= − .

2. Magnetische dipool: is een (denkbeeldige) structuur bestaande uit twee tegengestelde ladingen

die op een zeer kleine afstand l van elkaar staan. Deze dipool ondervindt in een homogeen H-veld

een koppel C gegeven door:

C M B= ×

0 00

of nog: sin sin sinQ l C = Q H l = H m Hθ θ θµ µµ

.

In de vrije ruimte is µ0H sin θ de inductie t.g.v. H in een richting loodrecht op l. De eerste factor

hangt enkel van de dipool af en wordt het "magnetisch moment" m genoemd; m heeft de richting

van de vector l). Algemeen schrijft men:

00

en Q l C = m H m = .µµ

×

Indien H de richting van m heeft is C = 0. Een magnetische dipool probeert zich dus te liniëren met

H.

3. Dipool in een niet-homogeen veld.

Het veld bezit een gradiënt en er zal een netto kracht op m ontstaan. We beschouwen vooreerst de

component H(x) van H, evenwijdig met de richting l. De totale kracht op m is:

x

x

( ) ( d )1

[ ( ) ( ) d )]1

F = Q H x + Q H x + x H= Q H x + Q H x + x

x∂

−∂

xof d 1H H F Q x . Q l x x

∂ ∂= ≈

∂ ∂ .

B 4-27

Omdat m = Q l /µ0 is wordt deze kracht nog:

x x0 1HF = m F .x

µ∂

=∂

Beschouwen we nu een eenheidsvolume dat n dipolen bevat dan is het magnetisch moment per

volume-eenheid: M1 = n M. De kracht op het eenheidsvolume uitgeoefend wordt dus, indien de

gradiënt overal dezelfde waarde heeft:

x 10HF M x

µ∂

=∂

.

Componenten van H die niet volgens de richting l staan zullen onder geval 1 vallen. Het aandeel

van de gradiënt is daarbij slechts van tweede orde. Meer algemeen kan men nog schrijven:

1( . )F M H= ∇ .

4. Veld van een magnetische dipool op verre afstand.

Dit veld is hetzelfde als dit van een kringstroom met zeer kleine straal. Het magnetisch moment

van een kringstroom i met oppervlakte a is (Ampère model):

0 m met .1m i a a aµ= = .

Het magnetisch moment is dus gericht volgens de eenheidsnormaal. Vele atomen bezitten als

gevolg van hun elektronenbanen een magnetisch moment. Het macroscopisch effect noemt men

paramagnetisme. Het totale effect op µ kan zeer klein zijn indien deze momenten vrij willekeurig

verdeeld liggen in de stof.

Magnetisatie van een middenstof. Bij magnetisatie van een middenstof ontstaat er een inductie B die afhangt van het opgedrukte

H-veld en M1. Microscopisch gezien wordt dit verschijnsel veroorzaakt door kleine gebiedjes

waarvan het magnetisch moment toeneemt of van richting verandert. Macroscopisch kan men het

effect beschrijven door het invoeren van een magnetisch moment per volume-eenheid (M1). Bij ferro-

en diamagnetische stoffen zullen de magnetische dipolen zich tegengesteld aan het uitwendige veld

Hu richten. Er ontstaat a.h.w. een ontmagnetiserend veld Hont en het totale inwendige veld Hi wordt:

u ontiH H H= − .

Nu volgt uit de vergelijkingen van maxwell dat: 0 1( )B H Mµ= + . Verder is de bijdrage aan B van

M1 evenredig met H dit omdat K ~ m.H is. Men schrijft dan:

1

1 0( ) (1 )

M H

B H M H

χ

χµ µ0

=

= + = + .

Wordt d.m.v. een proef B gemeten dan schrijft men gewoonlijk:

B Hµ µ0= .

B 4-28

Bijgevolg is χµ =1+ of χ µ= −1. De evenredigheidsconstante c noemt men de magnetische

susceptibiliteit. Indien M een geïnduceerd moment is dan is M=k H en k > 0 voor een para-

magnetische stof en k < 0 voor een diamagnetische stof. Bij para- en diamagnetische stoffen gaat

het geïnduceerde moment naar nul indien men H, na magnetisatie terug nul maakt. Bij ferro-

magnetische stoffen blijft er een remanent magnetisme over.

Om µ of χ te kunnen bepalen moet het proefmonster homogeen gemagnetiseerd worden zodat het

magnetisch veld in elk punt van de stof hetzelfde is. In dat geval kan men schrijven:

i u 1H H N M= − .

De factor N noemt men de ontmagnetisatiefactor. Hij hangt af van de geometrie van het

proefmonster. Bepaalde speciale geometrieën geven nu een homogene magnetisatie en vertonen

een berekenbare N. We bespreken enkele van deze belangrijke gevallen hierna.

• Bol. N = 1/3. Wordt enkel voor bijzondere experimenten aangewend.

• Omwentelingsellipsoïde met lengte L en diameter d

21 1 1[ ln waarin 1 ( )2 2

dNL

ε ε ε εε ε

22

3

− += − ] = −

1− .

Deze vorm gaat over in een bol indien 2 L → d. Dit geeft eveneens N = 1/3. Voor 2 L/ d > 50 mag

men N ≈ 0 veronderstellen.

• Ringprobe met n windingen en straal r. Hier is N = 0, want:

i.d 2π en dus 2πn IH l n I r H H

r= = =∫ .

Het inwendige veld zal echter niet volledig constant zijn over de kernsectie wegens de veranderlijke

waarde van de straal van een krachtlijn r. Men kiest het verschil (buitendiameter-binnendiameter)

veel kleiner dan de gemiddelde diameter, zodat Hi niet veel varieert over de sectie.

• In de praktijk zal men meestal lange dunne proefstaven verkiezen.

Voor dergelijke lange staven is N ≈ 0. Daarbij verwaarloost men de fout die optreedt omdat dit geen

ellipsoïdes zijn. Stel dat men nu de 1 uM Hχ= curve gevonden heeft voor een monster met gekende

N, dan is het mogelijk M1 = f(Hi) te tekenen d.m.v. de volgende transformatie die men de “Schering

van de magnetiseringcurve” noemt:

B 4-29

Fig. A-I.1. Schering van de magnetisatiecurve en bijlussen.

Magnetisch potentiaal verschil.

Fig. A-I.2. (a) Magnetische kring en potentiaal , (b) Ontmagnetisering

Voor de gesloten kring AMBNA geldt:

AMB BNA

di = H l = + ∫ ∫ ∫ .

Buiten de stroomkring is de lijnintegraal constant en hij levert het magnetisch potentiaal verschil op:

A BANB

dV V H l− = ∫ .

Verder is, naar analogie met elektrische stroom: VA - VB = Φ R waarin Φ een fluxbuis met reluctantie

R voorstelt. Men kan dus een wet analoog aan de wet van Ohm schrijven:

A BV V i R− + = Φ .

De analogie is de volgende: magnetische flux komt overeen met een stroom, reluctantie met

weerstand, de bron die de flux veroorzaakt is i en dus het analoog van een spanningsbron. In de

onderstaande figuur zouden we inderdaad schrijven: B AV V i R− = − Φ , wat overeenkomt met

bovenstaande betrekking. De onderstaande figuur geeft dit weer.

B 4-30

Fig. A-I.3. Equivalent schema van de magnetische keten

7. Enkele definities met betrekking tot magnetische permeabiliteit.

Aanvangspermeabiliteit: a 0 00

limH

H

BH

µ µ∆ →

=

∆=

∆

Totale permeabiliteit: mt

m

BH

µ =

Reversibele permeabiliteit: 0

e 0 0limH

H

BH

µ µ∆ →

∆=

∆

De reversiebele permeabiliteit µr is de helling van een bijlus in een dc-magnetisatiepunt H0. De µr

hangt zeer sterk af van H0. De aanvangspermeabiliteit moet gemeten worden aan de maagdelijke

kromme, d.w.z. bij volledig gedemagnetiseerd ijzer. Indien dit niet het geval is vindt men de µr in het

punt waar de overblijvende lus de B-as snijdt.

B 4-31

APPENDIX II BIJ HOOFDSTUK B 4.

Puntsgewijze opname van de magnetiseringslus met een synchrone detector.

Een synchrone detector kan als volgt gebruikt worden voor een puntsgewijze aftasting van de lus. Het

volstaat de excitatiebron E als schakelreferentie naar de SD te sturen via een faseverschuivend

netwerk (ϕ). De integratie nodig om een grootheid ey evenredig met b(t) te vinden wordt door de SD

uitgevoerd. Voor het veld h(t) in de kern (of de magnetiseringsstroom), is er een probleem t.g.v. deze

integrerende werking van de SD.

a( ) ( )b

t s t +s T/20

E

S

M

n1 n2 e2

e

i1

1

1

1

E

E

SYNCHRONEDETECTOR

REF

0

0

0

ϕ

Fig. A-II.1. Bepaling van lus met synchrone detector

De dubbelfasige synchrone detector integreert het signaal gedurende elke halve periode T/2. Het

startogenblik ts kan echter door de fasehoek te regelen veranderd worden. In de figuur b. staat de

schakelfunctie getekend.

s s

s s

2 22

o 22 2 dd ( ) d

d

T Tt t

t t

n S bE e t tT T t

+ +

= =∫ ∫ .

Maar, omdat het negatieve deel van b(t) door een omklappen en verschuiven over T/2 uit het

positieve deel kan bekomen worden, zullen e1 en e2 enkel oneven harmonischen bevatten en is

eveneens s s( ) ( )2Tb t b t= − + , zodat tenslotte: 2

o s4 ( )n SE b t

T= .

Integreert men vanaf het ogenblik dat e2 nul is tot de volgende nuldoorgang dan is b(ts) = BM. Dit

geeft hetzelfde als een gemiddelde waarde meting. Men gebruikt nu een tweede SD (ofwel dezelfde

maar schakelt S dan om naar stand 0) om de overeenstemmende ogenblikkelijke stroom te vinden.

Wegens de integratie door de SD is het echter nodig i1 eerst af te leiden naar de tijd, bijvoorbeeld

d.m.v. de mutuele zelfinductie M: e1 = M(di1/dt). De SD uitgangsspanning wordt dan:

B 4-32

s

s

21

o 1 s1 d 2d ( )

d

Tt

t

i ME M t i tT t T

+

= =∫ .

Bij de eenvoudigste uitvoering van deze methode wordt een gewoon Westoninstrument als integrator

gebruikt in combinatie met de SD-schakelaar i.p.v. een volledige elektronische SD. In dat geval moet

men rekening houden met de wijze van schaalaanduiding. Zeer dikwijls is een gemiddelde

spanningsmeter in effectiefwaarde geijkt voor het geval van sinusexcitatie zodat:

Echte gemiddelde waarde = afgelezen waarde / F.

De vormfactor van de sinus is F = Ueff / Ug = π/2√2 = 1,11. Deze omrekening is enkel geldig wanneer

de golfvormen weinig van een sinus afwijken.

B 4-33

Hoofdstuk B4. Magnetische metingen.

1. Meting van de ijzerverliezen. ................................................................................................ 2 1.1. Wervelstroomverlies in transformatorblik. ............................................................. 3

1.1.1. Wattmetrische methode van Epstein. .............................................. 6 1.2. Bepaling van verliezen bij sinusvormige b(t). ........................................................ 9 1.3. Registratie van de magnetiseringslus. ................................................................... 11 1.4. Ladingsmetingen voor de bepaling van magnetische eigenschappen................... 12

2. Meting van H-velden. ........................................................................................................ 14 2.1. Ruimtelijke velden. ............................................................................................... 14

2.1.1. Rechtstreekse fluxmeting. ............................................................. 14 2.2. H-veldbepaling in staven....................................................................................... 15

2.2.1. Berekening van het H-veld............................................................ 15 2.2.2. Veldbepaling door meting............................................................. 17

3. Bepaling van de inductie. .................................................................................................... 18 3.1. B indien luchtspleet bereikbaar is. ........................................................................ 19 3.2. B uit flux in staaf................................................................................................... 19

3.2.1. Met een wisselstroom.................................................................... 19 3.2.2. Ladingsmethode. ........................................................................... 20

4. Bepaling van magnetisch potentiaalverschil. ........................................................................ 20

5. Praktische opstellingen. ....................................................................................................... 22 5.1. Bepaling van de statische lus: methode van Ewing. ............................................. 22 5.2. Bepaling van de maagdelijke kromme (of magnetiseringcurve). ......................... 22 5.3. Meting van de susceptibliteit van paramagnetische materialen............................ 22 5.4. Meting van M = f(H) voor micropreparaten. ........................................................ 24

Appendix I. Herhaling van enkele begrippen van het magnetisme.

Appendix II. Puntsgewijze opname van de magnetiseringslus met een synchrone detector.

Faculteit van de Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Elektronica en Informatiesystemen

Fundamentele Elektrische Metingen

partim:

Sensoren en transducers

Academiejaar 2003-2004

Prof. Dr. ir. Herbert De Smet

Prof. Dr. Ir. Daniël Baert

Fundamentele Elektrische Metingen B5.1

DEEL B. HOOFDSTUK V. SENSOREN EN TRANSDUCERS

1. Inleiding

We hebben vroeger gezien dat een algemene meetketen aangewend voor bijvoorbeeld de productie

van goederen zeer ingewikkeld kan zijn. We hebben ook gewezen op het belang van de modellering

van elk onderdeel van deze keten. Op kop van de keten staat een element dat de verbinding tussen het

meetsysteem en het productieproces verzorgt. Afhankelijk van de functie van dit element spreken we

van een sensor (voeler) of een transducer (omzetter). Een sensor heeft als bedoeling een fysische

grootheid te detecteren. Dikwijls worden dan de gevoeligheid van de sensor zo ingesteld dat hij op

een welbepaalde grootte van die grootheid reageert. Een transducer doet min of meer hetzelfde maar

hij zet de fysische grootheid kwantitatief om in een meer handelbare vorm, meestal een elektrisch

signaal. De omzetfunctie is daarbij niet noodzakelijk lineair maar kan aan de behoefte worden

aangepast. Dikwijls worden de termen omzetter en voeler door elkaar gebruikt. Zo spreekt men van

een “temperatuursensor” terwijl “temperatuurtransducer” meer op zijn plaats zou zijn. Ook in deze

cursus zullen we niet altijd onderscheid maken tussen de begrippen sensor en transducer.

Sensoren en transducers spelen een steeds belangrijkere rol in ons leven. In een moderne auto

bijvoorbeeld zitten er typisch enkele tientallen, die grootheden zoals druk, temperatuur en

versnelling omzetten in elektrische signalen. Sommige van die sensoren hebben tot doel het

comfort van de inzittenden te verhogen (bv. de temperatuurssensoren in de airco), sommigen zijn

nodig om de veiligheid te vergroten (bv. acceleratiesensoren in het airbag-systeem, druksensoren in

de banden) en sommigen worden gebruikt om het rendement van de motor te verhogen (bv.

lambda-sonde). Enkele andere voorbeelden van toepassingen van transducers zijn: snelheid en

versnelling meten van bewegende onderdelen (auto crashtests, trilling van bouwwerken, . . .), de

doorbuiging van constructies (bruggen, gebouwen), de temperatuur op de verschillende plateaus

van een destillatiekolom, de hoogte van een vliegtuig, debiet van een vloeistof,…

Omdat sensoren en transducers de verbinding van een meet- en controlesysteem met de fysieke

wereld verzorgen zijn er zoveel nodig als er fysische ingangsgrootheden kunnen worden

beschouwd in het proces. Naargelang het bereik van de grootheid kunnen verschillende sensoren

nodig zijn. Zo zal men bijvoorbeeld verschillende principes toepassen voor de meting van lage en

hoge temperaturen.

Kortom, er bestaan zeer veel verschillende soorten sensoren, die bovendien op veel verschillende

manieren kunnen gerangschikt worden naargelang:

Fundamentele Elektrische Metingen B5.2

• de fysische grootheid die ze kunnen omzetten (optische sensoren, thermische sensoren,

versnellingssensoren, verplaatsingssensoren, reksensoren, chemische sensoren, …)

• de (meestal elektrische) output die ze produceren (resistieve sensoren, capacitieve sensoren,

inductieve sensoren, …)

• het conversieproces dat aan de basis ligt (fotogeleiding, Hall-effect, thermo-e.m.k.-effect,

piezo-effect, …)

• de fabricagemethode en/of gebruikte materialen (halfgeleidersensoren, MEMS, …)

We zullen in het tweede deel van dit hoofdstuk kennismaken met een aantal veelgebruikte

sensoren, zonder dat het de bedoeling is om volledigheid na te streven (daarvoor wordt

doorverwezen naar de literatuurlijst op het einde van dit hoofdstuk). We zullen ons ook beperken

tot sensoren en transducers die de te meten fysische grootheid omzetten in een elektrische grootheid.

Daarmee bestrijken we trouwens de overgrote meerderheid van alle sensoren.

De voornaamste bedoeling van dit hoofdstuk is om inzicht te verwerven in de meettechnische

aspecten waar men als ingenieur mee te maken krijgt wanneer men voor een bepaalde toepassing

een sensor of transducer wil gebruiken.

Daartoe zullen we eerst een vrij algemene bespreking geven van de mogelijke

sensorkarakteristieken (modelparameters van een sensor). Daarna zullen we nagaan hoe we met

behulp van zogenaamde sensorelektronica de elektrische grootheden die een transducer produceert

kunnen omzetten in meer handelbare elektrische grootheden.

2. Definitie van sensorkarakteristieken Bij een sensor wordt doorgaans een datasheet geleverd met een reeks karakteristieken. In de meeste

gevallen zijn dit de karakteristieken van de combinatie sensor + signaalconditioneerder (zie

verder).

sens

orwa

arde

s

fysische grootheid m

Figuur 5.1. Statische transferfunctie.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.3

Opmerking: in de terminologie van deze cursus kan een datasheet beschouwd worden als een lijst

modelparameters. Hieronder worden de voornaamste modelparameters die men kan aantreffen op

een datasheet van een transducer gedefinieerd.

2.1. Statische transferfunctie De (statische) transferfunctie geeft het verband tussen het fysische ingangssignaal en het

elektrische uitgangssignaal. Doorgaans wordt dit in een grafiek voorgesteld (Figuur 5.1). In

sommige gevallen (vooral bij dure, individueel gekalibreerde sensoren) wordt de transferfunctie als

een gecertificeerde kalibratiecurve opgegeven.

2.2. Gevoeligheid en sensitiviteit Algemeen wordt de gevoeligheid van een sensor gedefinieerd als de verhouding van een kleine

verandering ∆s in het elektrische signaal tot de corresponderende verandering ∆m in het fysische

signaal (bv. volt per kelvin). Mathematisch komt dit overeen met de eerste afgeleide van de

transferfunctie:

msG

∆∆

= . (5.1)

De sensitiviteit, een dimensieloze grootheid, wordt gedefinieerd als de relatieve verandering van

de uitgang gedeeld door de relatieve verandering van de ingang:

sm

ssS mm

∆

=∆

. (5.2)

2.3. Dynamisch bereik

sens

orwa

arde

s

dyn. bereik

fysische grootheid m

∆m∆s

Figuur 5.2. Gevoeligheid en dynamisch bereik.

Het dynamisch bereik of kortweg 'bereik' van een sensor is het interval waarbinnen de waarde van

de fysische grootheid zich mag bevinden om geconverteerd te kunnen worden tot een elektrisch

uitgangssignaal met een aanvaardbare nauwkeurigheid. De sensorkarakteristieken die door de

Fundamentele Elektrische Metingen B5.4

fabrikant worden opgegeven, zijn dan ook slechts gegarandeerd voor signalen die zich binnen dit

dynamisch bereik bevinden.

2.4. Nauwkeurigheid

De nauwkeurigheid van een sensor is de verwachte

maximale afwijking tussen het werkelijke en het ideale

uitgangssignaal. Deze kan worden uitgedrukt in

absolute waarde (bv. +/- 1 kelvin) of in relatieve waarde

(bv. +/- 5%) of nog in fractie van het meetbereik (bv.

+/- 5% van de maximale output). Nauwkeurigheid is

een vlag die vele ladingen dekt, waaronder bijvoorbeeld

hysteresis, niet-lineariteit en ruis.

fysische grootheid m

sens

orwa

arde

s

∆s max

Figuur 5.3. Hysteresis.

2.5. Hysteresis Bij sommige sensoren is de output geen eenduidige functie van de ogenblikkelijke waarde van de

fysische grootheid, maar beschrijft hij daarentegen een hysteresislus als de waarde van de fysische

grootheid op en neer gaat.

Figuur 5.4. Hysteresis in een commerciële magnetostrictieve torsiesensor (bron: Sanyo).

Dit kan bijvoorbeeld een gevolg zijn van (statische of dynamische) wrijving. De maximale fout die

men hierdoor op het uitgangssignaal verkrijgt wordt de hysteresis van de sensor genoemd en wordt

eveneens uitgedrukt in absolute of relatieve waarde of fractie van het meetbereik. Enkele typische

Fundamentele Elektrische Metingen B5.5

voorbeelden van sensoren met hysteresis zijn torsiesensoren (Figuur 5.4), relatieve vochtigheid

(RH) sensoren en gassensoren.

Hoewel hysteresis leidt tot meetfouten die zeer moeilijk achteraf nog te corrigeren zijn, kan dit

voor sommige toepassingen (bijv. regeltechniek) toch een gewenst gedrag zijn. Denk maar aan een

thermostaat of een druksensor in een hydrofoorgroep.

2.6. (Niet-)Lineariteit

In veel gevallen komt het dynamisch bereik van

een sensor overeen met een quasi-lineair stuk in

de transferfunctie. De niet-lineariteit wordt

gedefinieerd als de maximale afwijking tussen

de echte transferfunctie en een perfect lineaire

functie die het gedrag van de sensor in het

dynamisch bereik zo goed mogelijk benadert

(Figuur 5.5).

max∆sF.S.

fysische grootheid mse

nsor

waar

de s

Figuur 5.5. Niet-lineariteit van een sensor.

Niet-lineariteit kan worden uitgedrukt in absolute waarde (bv. +/- 1 kelvin) of als fractie van het

volledige meetbereik (Full Scale, F.S., bijv. +/- 2% van de maximale output). In formulevorm is dit

laatste:

max 100%F.S.s∆

⋅ .

Opmerking: de niet-lineariteit van een sensor hangt volgens deze definitie uiteraard af van de keuze die men

gemaakt heeft voor de lineaire benadering van de sensorkarakteristiek. Dit kan bijvoorbeeld een rechte zijn

door de twee uiterste punten van de karakteristiek die het dynamisch gebied afbakenen. Of het kan een best

passende rechte zijn (minimalisatie kwadratische fout). Door sensorfabrikanten wordt meestal volgende

techniek gebruikt: construeer twee evenwijdige rechten die samen de echte karakteristiek omhullen in het

dynamisch bereik. De middellijn tussen deze twee rechten is dan immers de lineaire benadering die de

kleinste waarde voor niet-lineariteit oplevert.

2.7. Ruis Alle sensoren produceren een zekere hoeveelheid ruis, gesuperponeerd op het uitgangssignaal.

Indien de ruis groot is vergeleken met de fluctuaties op het fysische signaal, dan zal dit de

prestaties van het volledige systeem nadelig beïnvloeden. Er bestaan vele vormen van ruis, elk met

hun eigen frequentiedistributie. Veelal wordt de ruis binnen een bepaalde frequentieband benaderd

Fundamentele Elektrische Metingen B5.6

door zogenaamde 'witte ruis’, die gekenmerkt wordt door een energiedichtheid die niet afhangt van

de frequentie. De amplitude in volt van het ruissignaal is dan evenredig met de vierkantwortel van

de bandbreedte (in Hz). Men kan de witte ruis daarom uitdrukken in de eenheid Volt / Hz . Gelet

op het inverse verband tussen bandbreedte en meettijd, kan men ook zeggen dat de amplitude van

het ruissignaal omgekeerd evenredig afneemt met de vierkantswortel van de meettijd. We komen

later meer uitvoerig terug op ruis in transducers.

2.8. Resolutie De resolutie van een sensor wordt gedefinieerd als de minimum detecteerbare fluctuatie van de

fysische grootheid. Gezien fluctuaties dynamische verschijnselen zijn, is er een verband tussen de

tijdsschaal van de fluctuatie en de minimum detecteerbare amplitude. De resolutie kan met andere

woorden slechts zinvol gedefinieerd worden als er meer informatie is over de aard van de meting

die men wenst te verrichten. In het veel voorkomende geval dat witte ruis de limiterende factor is,

kan de resolutie gespecificeerd worden in de eenheid “signaal / Hz ”. De eigenlijke resolutie van

een bepaalde meting wordt dan verkregen door dit getal te vermenigvuldigen met de

vierkantswortel van de bandbreedte van het meetsysteem.

s, m

m

T2T10 t

s

Figuur 5.6 Tijdsconstanten die de bandbreedte bepalen.

2.9. Dynamische transferfunctie en bandbreedte De bandbreedte van een meetsysteem is een eigenschap van de gehele meetketen: de sensor, de

signaalconditioneerder en het transmissiekanaal. Men kan wel een inherente bandbreedte van een

sensor definiëren. Elke sensor heeft namelijk een eindige reactietijd T1 nodig om een plotse

verandering van het fysische signaal te volgen. Ook zijn er veel sensoren waarbij het

uitgangssignaal een stapfunctie in het fysische signaal weliswaar (met die reactietijd) volgt, maar

daarna met een bepaalde tijdsconstante T2 terug evolueert naar de oorspronkelijke toestand (Dit

wordt schematisch voorgesteld in Figuur 5.6). De inversen van de tijdsconstanten T1 en T2 zijn de

Fundamentele Elektrische Metingen B5.7

bovenste respectievelijk onderste afsnijfrequentie (1/T1 resp. 1/T2) van de sensor en het verschil

tussen beide noemt men daarom per definitie de inherente bandbreedte van de sensor.

Het bepalen van de inherente bandbreedte is echter moeilijk omdat het uitgangssignaal van de

sensor enkel kan bestudeerd worden door de sensor in een meetketen op te nemen.

Bij wijze van voorbeeld beschouwen we een piëzo-elektrische microfoon. Piëzo-elektrische

transducers zijn typische voorbeelden van sensors waarvan het uitgangssignaal terug naar nul valt

bij het aanleggen van een constante stimulus. De mechanische uitvoering van een piëzo-elektrisch

microfoonelement is een condensator met een piëzo-elektrisch materiaal als diëlektricum. Het

elektrisch equivalent schema van een dergelijke sensor wordt gegeven in Figuur 5.7(a). We zullen

later in dit hoofdstuk dit equivalent schema afleiden. De uitwendige kracht F die op de piëzo-

elektrische sensor wordt uitgeoefend (bv. luchtdruk in het geval van een microfoon) induceert een

lading q = K F op de platen van de sensor. Elektrisch gezien komt dit overeen met een stroombron

dq/dt. De tak met ρ, λ en γ stelt de elektromechanische resonantie van de sensor voor bij hoge

frequenties. Cg is de capaciteit van de condensator gevormd door de platen en het piëzo-elektrisch

materiaal. Ten slotte stelt Rg de isolatieweerstand van het piëzo-elektrisch materiaal voor. In het

frequentiebereik waarvoor de sensor bedoeld is treedt geen resonantie op en mag de eerste tak

verwaarloosd worden. Het vervangschema herleidt zich dan tot Figuur 5.7(b). De tijdsconstante

τg = Rg Cg is deze waarmee de geïnduceerde lading weglekt en dus ook de invloed van een

constante stimulus wegebt. Het systeem gedraagt zich als een eerste-orde hoogdoorlaatfilter. Dat

wordt duidelijker als we het Thévenin-equivalent construeren: Figuur 5.7(c). Om τg te bepalen

moeten we de spanning over de condensator meten als functie van de tijd. Onvermijdelijk

introduceren we hiermee echter een belastingsweerstand Rb en een belastingscapaciteit Cb, die

parallel met Rg en Cg komen te staan in Figuur 5.7(b). De tijdsconstante voor het weglekken van de

lading wordt dan τs = Rs Cs, met 1/Rs = 1/Rg + 1/Rb en Cs = Cg + Cb. Normaal is Rb (orde 107 Ω) veel

kleiner dan Rg (orde 1010Ω tot 1011Ω) zodat men de inherente afsnijfrequentie van de piëzo-

elektrische transducer op die manier niet te weten komt. Aangezien de ingangsweerstand van de

(c)

Cg

Rg

γ

λdt

(b)

QCg 1+pRgCg

pRgCgCgRg

ρdq

(a)

CgRg dtdq

Figuur 5.7. Equivalent schema van een piëzo-elektrische transducer.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.8

versterkerkring rechtstreeks de onderste afsnijfrequentie bepaalt, zal men piëzo-elektrische

microfoons altijd gebruiken in combinatie met een versterker met een zo groot mogelijke

ingangsweerstand.

Opmerking: in de praktijk komt het ook veel voor dat de bandbreedte van een meetsysteem opzettelijk

kleiner wordt gemaakt dan de inherente bandbreedte van de sensor, teneinde zo een grotere signaal/ruis-

verhouding te bekomen.

Oefening: karakteristieken van een reële sensor: de ADXL105

Bij dit hoofdstuk hoort de datasheet van de Analog Devices ADXL105. Deze sensor is een

versnellingssensor voor het bereik +/- 5 g en vindt toepassingen in de automobielindustrie (inertiële

snelheids- en positiebepaling), als tilt meter, in trillingsmeters, enz. Het bereik is niet compatibel met

botsingsdetectoren voor bv. airbags (daarvoor is +/- 50 g nodig).

Probeer om de hierboven gedefinieerde karakteristieken terug te vinden in de datasheet. U hoeft enkel de

karakteristieken van de versnellingssensor te bekijken, niet die van de ingebouwde temperatuurssensor of

van de ingebouwde versterker. Welke bijkomende karakteristieken zijn er nodig om de versnellingssensor te

beschrijven? (Oplossing: zie volgende bladzijde).

3. Sensorelektronica en signaalconditionering

3.1. Uitlezen van sensoren De meeste sensoren produceren niet rechtstreeks een elektrische spanning, maar gedragen zich als

passieve componenten (een rekstrookje gedraagt zich bijvoorbeeld als een weerstand) waarvan de

waarde verandert onder invloed van de te meten fysische grootheid. Met behulp van een

elektronisch circuit kan de sensorwaarde worden omgezet in een spanning, die op haar beurt door

middel van een ADC kan worden gedigitaliseerd. Het circuit dat gebruikt wordt om de passieve

grootheid om te zetten in een spanning, noemt men algemeen de sensorelektronica.

3.2. Signaalconditionering Naast het produceren van een meetbare spanning, kan de sensorelektronica nog andere functies

uitvoeren, zoals het lineariseren van de spanning als functie van de te meten fysische grootheid, of

het beperken van de bandbreedte om de ruisinvloed te verminderen. Een dergelijke functie noemt

men signaalconditionering. In de praktijk vindt men dit bij bijna alle sensorelektronica terug. Het is

dan ook meestal gerechtvaardigd om de elektronica die bij een sensor hoort de

“signaalconditioneerder” te noemen. Het spreekt vanzelf dat de bruikbaarheid van een sensor in

grote mate bepaald wordt door de signaalconditioneerder. Daarom gaan we in de rest van dit

hoofdstuk dieper in op de werking en de prestaties van signaalconditioneerders.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.9

Oplossing van de oefening op vorige bladzijde:

Transferfunctie: outAcc(Acc) 2.5V 250mV

5VDDVV

g

= + ×

met VDD de voedingsspanning, Acc de te

meten versnelling en g de valversnelling (9.81 m/s2).

Gevoeligheid: 250 mV/g bij 5 V voedingsspanning; de gevoeligheid varieert evenredig met de

voedingsspanning.

Dynamisch bereik: van -7g tot 7g; bij een voedingsspanning van 5V ligt de uitgangspanning nominaal

tussen 0.75V en 4.25V. De maximaal toelaatbare versnelling is 500g indien de voedingsspanning

aangelegd is en 1000g indien er geen voedingsspanning aangelegd is.

Nauwkeurigheid: de nauwkeurigheid wordt vooral bepaald door de niet-lineariteit en de

temperatuursgevoeligheid. De exacte waarde hangt af van de manier waarop de temperatuursgevoeligheid

wordt gecompenseerd in de elektronica.

Hysteresis: geen hysteresis gespecificeerd.

Niet-lineariteit: 0.2% van de volledige schaal.

Ruis: 225 µg/√(Hz) (witte ruis).

Resolutie: de resolutie wordt bepaald door de ruisdistributie en de bandbreedte:

Kg××= ebandbreedt

Hzµ225(RMS) resolutie (met K = 1.8 voor een eerste-orde en K=1.4 voor een

tweede-orde filter).

Bandbreedte: 12 kHz.

Extra karakteristieken:

Voedingsspanningsbereik, aligneringsfout, cross-axis gevoeligheid (overspraak tussen de assen),

temperatuursgevoeligheid, temperatuursbereik, resonantiefrequentie, plus nog enkele minder relevante.

Bijkomende vraag: hoe kan men deze sensor gemakkelijk kalibreren?

3.3. Types signaalconditioneerders Men kan twee belangrijke klassen van signaalconditioneerders onderscheiden, naargelang de

manier waarop de informatie aanwezig is in het uitgangssignaal:

• als de amplitude van het uitgangssignaal.

• of als de frequentie van het uitgangssignaal

3.3.1. Amplitudemodulerende signaalconditioneerders Het eenvoudigste voorbeeld van een signaalconditioneerder waarbij veranderingen van de

impedantie van de sensor aanleiding geven tot veranderingen van de amplitude van het

Fundamentele Elektrische Metingen B5.10

uitgangssignaal is de spanningsdeler (Figuur 5.8a). De uitgangsspanning Vm is in dit geval een niet-

lineaire functie van de sensorimpedantie Zs, namelijk: sm c

b s

ZV VZ Z

=+

.

In het limietgeval Zb >> Zs, kan men de serieschakeling van de spanningsbron met de

belastingsimpedantie Zb beschouwen als een stroombron Ic = Vc/Zb (Figuur 5.8b). In dat geval is de

uitgangsspanning Vm wel een lineaire functie van de sensorimpedantie Zs, namelijk: cm

b sZVV

Z= .

Vm

(c)

Vm

(a) (b)

Ic Vm

Z1Vc

Z3sensor

sensorZs

Z2Vc Zs

sensor

Zb

ZsVm

Figuur 5.8. (a) Spanningsdeler; (b) Speciaal geval als Zb >> Zs; (c) Brugschakeling.

Een brugschakeling is eveneens een voorbeeld van een signaalconditioneerder waarbij de

uitgangsspanning of -amplitude wijzigt met de impedantie van de sensor. Bij een brugschakeling is

het door een slimme keuze van de 3 constante impedanties mogelijk om aan de uitgangsklemmen

rechtstreeks de afwijking t.o.v. de rusttoestand van de sensor te meten. [Denkoefening: hoe zou je

daartoe die 3 constante impedanties kiezen?] Dat is zeker nuttig indien de variaties in impedantie

van de sensor klein zijn t.o.v. de absolute waarde van deze impedantie. Bovendien kan men met

een brugschakeling de gevoeligheid voor variaties van de voedingsspanning en andere parasitaire

effecten grotendeels uitschakelen. We komen daar later nog op terug.

3.3.2. Frequentiemodulerende signaalconditioneerders Signaalconditioneerders kunnen ook als nuttige output een frequentie hebben. Dit heeft als

voordeel dat het uitgangssignaal vrij ongevoelig is voor stoorinvloeden (bijv. resistieve

spanningsval), zeker in het geval dat het over een lange afstand moet getransporteerd worden. Ook

is een dergelijk signaal gemakkelijk digitaliseerbaar (pulsen tellen). Voorbeelden van

frequentiemodulerende signaalconditioneerders zijn getoond in Figuur 5.9.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.11

v

C

R

R2R1

R2

v

E

C

R2 R1

v

t

L

R

C1

(b)(a) (c)

C

Tm ~ LC

sinusoscillator

v

Figuur 5.9. Enkele signaalconditioneerders die een impedantiewaarde (R, L of C) omzetten in een signaalfrequentie. Bij een sinusoïdale oscillator (a) kan een capacitieve (C) of een inductieve sensor (L) in de

resonantiekring de oscillatiefrequentie beïnvloeden. Als voorbeeld van een toepassing van dit

principe vermelden we een eenvoudige FM zender waarbij C een condensatormicrofoon is.

Bij de astabiele multivibratoren (b) en (c) kunnen zowel resistieve (R) als capacitieve (C) sensoren

de oscillatieperiode beïnvloeden.

[Oefening: reken voor de twee astabiele multivibratoren getoond in Figuur 5.9(b) en (c), de

oscillatieperiode uit als functie van R1, R2, R en C.

(Oplossing: 1 1( ) ln 2R C R C+ voor circuit (b), resp. 1

2

22 ln 1

RRC

R+

voor circuit (c). Merk op dat deze

periode lineair is in R en C.

3.4. Linearisatie van sensoruitlezingen Meestal tracht men een transducer zodanig te maken dat die zich gedraagt als een variabele

spanningsbron of impedantie die binnen het gedefinieerde dynamisch bereik in goede benadering

een lineaire functie is van de fysische grootheid waarin men geïnteresseerd is. Dat lukt echter niet

altijd.

Aangezien we uiteindelijk meestal als uitgangssignaal een elektrische spanning willen bekomen die

een lineair verband heeft met het mesurandum, moeten we dus een linearisatie van de

sensorkarakteristiek uitvoeren. We zullen hieronder enkele veelgebruikte methodes bespreken die

de lineariteit van een sensorkring kunnen vergroten.

Het moet hierbij opgemerkt worden dat zelfs met een sensor die inherent lineair is, de lineariteit

van de uitlezing niet gegarandeerd is. Beschouw bijvoorbeeld de eenvoudige spanningsdeler uit

Figuur 5.8(a). Deze eenvoudige signaalconditioneerder genereert een spanning die duidelijk niet

Fundamentele Elektrische Metingen B5.12

lineair is met de impedantie van de sensor. Ook in een dergelijk geval zijn linearisatietechnieken

daarom nuttig.

3.4.1. Linearisatie van een niet-lineaire sensor Als eerste voorbeeld beschouwen we een resistieve temperatuurssensor van het type KTY10. In het

werkingsgebied van deze sensor (0-100°C) wordt diens karakteristiek zeer goed benaderd door een

tweede-orde polynoom van de gedaante:

2S 0 0( ) ( )R R kθ θ θ= + − (5.3)

met: R0 = 16 Ω, θ0 = -241.52˚C en k = 0.027931 Ω/K2. Uitgewerkt is dit nog:

2 2K KS( ) 1645,27 13,492 0,027931R θ θ θ

ΩΩΩ= + + . (5.4)

Deze karakteristiek wordt grafisch voorgesteld in Figuur 5.10.

We onderzoeken nu eerst kwantitatief de mate van niet-lineariteit van deze sensor en zullen

aantonen dat we door het gebruik van een parallelweerstand de lineariteit kunnen verbeteren.

Zoals we hoger gezien hebben, wordt de niet-lineariteit gedefinieerd als de maximale afwijking

tussen de echte karakteristiek en de lineaire benadering. Daarbij heeft men in principe de keuze hoe

men die lineaire benadering construeert, en die keuze kan de uiteindelijk gevonden waarde voor de

niet-lineariteit beïnvloeden. Hier kiezen we als lineaire benadering de rechte die de twee

eindpunten van de karakteristiek in het werkingsgebied [0-100°C] verbindt. Deze rechte gaat dus

door de punten (0°C, 1645,27Ω) en (100°C, 3273,76Ω) en heeft daarom als vergelijking:

oKS,L( ) 1645,27 16,285R θ θ

ΩΩ= + ⋅ . (5.5)

De niet-lineariteit vindt men door het maximum te bepalen van het verschil tussen (5.5) en (5.4):

1500

2000

2500

3000

3500

0 20 40 60 80 100

R(Ω)

θ (°C)

Figuur 5.10. Karakteristiek van een KTY10 temperatuurssensor.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.13

2o 2K KS,L S( ) ( ) 2,793 0,027931R Rθ θ θ θ

ΩΩ

− = − . (5.6)

De positie van het maximum vindt men door het nulpunt van de afgeleide naar θ te bepalen,

namelijk θ = 50°C. De absolute niet-lineariteit van de KTY10 is dus gelijk aan 69,83Ω. De

procentuele niet-lineariteit is 4,29% van de volledige schaal. We begaan dus maximaal een fout

van 4,29°C.

[Oefening: Hoe zou een sensorfabrikant de lineaire benadering van deze sensor construeren en welke

waarde zou hij bekomen voor de absolute en relatieve niet-lineariteit?]

Beschouwen we nu de parallelschakeling van de temperatuursafhankelijke weerstand Rs met een

constante weerstand Rp (“lineariseringsweerstand”). De weerstand van deze schakeling is:

S PL

S P

( )( )( )

R RRR R

θθθ

=+

. (5.7)

Aangezien RS een parabolisch verloop heeft zoals beschreven door vgl. (5.3), heeft RL een

horizontale asymptoot RL = Rp voor |θ | →+∞. Bovendien gaat RL net als RS door een minimum

voor θ = θ0. Grafisch betekent dit dat RL een buigpunt moet vertonen ergens tussen θ = θ0 en

θ = +∞.

Om de niet-lineariteit van de sensorschakeling te minimaliseren, plaatsen we dit buigpunt in het

midden van het werkingsgebied (θ = 50°C). We beschikken daartoe over de vrije keuze van Rp. Om

het buigpunt te vinden, leiden we vgl. (5.7) tweemaal af naar θ :

' ' ' 2S P S P S P S S PL

2 2S P S P

( )d ( )d ( ) ( )

R R R R R R R R RRR R R R

θθ

+ −= =

+ + (5.8)

en 2'' 2 2 ' 2 ' 2 '' '2

S P S P S P S P S P S S P SL2 4 3

S P S P

( ) 2( ) ( ( ) 2 )d ( )d ( ) ( )

R R R R R R R R R R R R R RRR R R R

θθ

+ − ⋅ + + −= =

+ + . (5.9)

Hierin zijn 'S 02 ( )R k θ θ= − en ''

S 2R k= de eerste, respectievelijk tweede afgeleide van RS naar θ.

Het buigpunt bevindt zich in het punt waar de tweede afgeleide nul wordt:

2'' '

S S P S( ) 2 0R R R R+ − = . (5.10)

Uitgewerkt: 20 P 03 ( ) 0R R k θ θ+ − − = . (5.11)

Hierin θ = 50°C stellen levert uiteindelijk Rp = 7105Ω op. De karakteristiek van de gelineariseerde

sensorschakeling is uitgezet in Figuur 5.11. Op het zicht is al duidelijk dat de karakteristiek rechter

is dan de oorspronkelijke.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.14

Om een idee te krijgen hoe goed de lineariteit van de parallelschakeling RS // Rp is, construeren we

ook hier een lineaire benadering. We kiezen opnieuw de rechte die de karakteristiek snijdt in de

punten die overeenkomen met θ = 0°C en θ = 100°C:

L LL,L L

(100 ) (0 )( ) (0 )100

R C R CR R Cθ θ° − °= ° + , (5.12)

K KL,L

2241 1336( ) 1336 1336 9,052100

R θ θ θΩ Ω

Ω Ω−= + = + . (5.13)

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100 -10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100

RL,L-RL

RS,L-RS

θ (°C)

∆R (Ω)

Figuur 5.12. Grafische voorstelling van de fout op de lineaire benadering van RS en RL.

Zetten we RL,L-RL en RS,L-RS grafisch uit, dan bekomen we Figuur 5.12. Het is duidelijk dat de

lineariteit van de sensorschakeling spectaculair verbeterd is.

1500

2000

2500

3000

3500

0 20 40 60 80 100

1500

2000

2500

3000

3500

0 20 40 60 80 100

RS

RL=RS//Rp

θ (°C)

R (Ω)

Figuur 5.11. Sensorkarakteristiek met en zonder linearisatieweerstand.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.15

3.4.2. Stroomsturing Komen we even terug op het geval waarbij de sensor op zich een goede lineariteit vertoont, die

echter verloren gaat doordat de sensor in een spanningsdeler is geschakeld (Figuur 5.8(a)).

Wanneer men de spanningsbron vervangt door een stroombron (Figuur 5.8(b)), dan is de

uitgangsspanning uiteraard wel evenredig met de impedantiewaarde. Dit is in feite het limietgeval

van de spanningsdeler waarbij |Zb| >> |Zs|.

3.4.3. Klein-signaal werking

Als de variaties van de impedantie waarin men

geïnteresseerd is, klein zijn ten opzichte van de absolute

waarde (modulus) van deze impedantie, dan bekomt men

– doordat de tweede-orde termen verwaarloosbaar klein

worden – automatisch een linearisatie van de

uitgangsspanning. Wanneer we als voorbeeld de

Wheatstone-brug uit Figuur 5.13 bekijken, waarin de vier

weerstanden voldoen aan:

R1 = R0 + ∆R1 en R2 = R0 + ∆R2

R3 = R0 + ∆R3 en R4 = R0 + ∆R4

R4

R1

E

R3

R2

Vm

Figuur 5.13. Wheatstone-brug gebruikt als uitwijkingsbrug.

Is daarbij: ∆R1, ∆R2, ∆R3, ∆R4 << R0 dan vinden we, tot op termen van de 2de orde in ∆Ri /R0. dat:

2 1 3 4m

0

∆ ∆ ∆ ∆4

R R R REvR

− + −= ⋅ .

[Oefening: reken dit na.]

Merk op dat eventuele stoorinvloeden die eenzelfde weerstandsvariatie opwekken in twee

weerstanden in dezelfde tak (bijv. R1 en R2), netto geen invloed uitoefenen op de gemeten

spanning. Doorgaans gebruikt men vier identieke weerstanden waarvan er slechts één (bijv. R2)

wordt blootgesteld aan de te meten fysische invloeden en dus als transducer fungeert. De gemeten

spanning wordt dan: 2m

0

∆4

REvR

= ⋅ .

Men kan de gevoeligheid verdubbelen door in de brug twee overstaande weerstanden (bijv. R2 en

R3) als transducer te laten fungeren (met ∆R2 = ∆R3). Dan vindt men namelijk:

2m

0

∆2

REvR

= ⋅ .

Fundamentele Elektrische Metingen B5.16

Men kan de gevoeligheid nogmaals te verdubbelen door ervoor te zorgen dat de beide weerstanden

in eenzelfde tak op een tegengestelde manier worden beïnvloed door variaties van de te meten

fysische grootheid (i.e. ∆R2 = -∆R1). Dit is echter een bijzonder geval dat in de volgende paragraaf

besproken wordt:

3.4.4. Push-pull werking Wanneer men in een brugschakeling of in een spanningsdeler (die in deze context kan beschouwd

worden als een brug met maar één tak) erin slaagt om de bovenste en de onderste impedantie van

iedere tak op tegengestelde manier te laten reageren op variaties van de te meten fysische

grootheid, dan bekomt men een zuiver lineair verband tussen de gemeten spanning (of amplitude)

en de impedantie-variaties.

Hernemen we het voorbeeld van vorige paragraaf (de Wheatstone-brug), dan vinden we voor R1 =

R0 - ∆R; R2 = R0 + ∆R; R3 = R0 + ∆R en R4 = R0 - ∆R dat m0

∆Rv ER

= ⋅ . Dit verband is in

tegenstelling met de uitdrukkingen uit de voorgaande paragraaf echter niet beperkt tot kleine ∆R.

[Oefening: (1) Controleer dit, (2) Welke lineaire uitdrukking bekomt men bij de spanningsdeler?]

Een interessante eigenschap van push-pull werking is dat het niet alleen de werking van de

signaalconditioneerder lineariseert, maar ook die van de sensor zelf. Beschouw als voorbeeld een

resistieve sensor R2 die op variaties ∆m van een fysische grootheid reageert volgens de formule

(reeksontwikkeling):

( )2 02 3∆ ( ) ( )R R a m b m mϑ= + ⋅ + ⋅ ∆ + ∆ .

Veronderstel verder dat R1 een identieke sensor is die aan de tegengestelde variaties -∆m wordt

blootgesteld. De termen met oneven machten van ∆m in de reeksontwikkeling krijgen daardoor het

tegengestelde teken:

( )1 02 3∆ ( ) ( )R R a m+b m mϑ= − ⋅ ⋅ ∆ + ∆ .

Dan geldt voor de Wheatstone-brug (met R3 = R4 = R0):

2

2 1

2 1m

2 1( )

2 ( )12

R Rv E E

R RR -

R + R−

= =+

.

In de teller vallen alle even machten van ∆m weg; in de noemer alle oneven machten. Na

uitwerking geeft dit: ( )m0

3( )2

a mEv mR

ϑ=∆

+ ∆ . De invloed van de kwadratische term is nu

verdwenen en we hebben in zeer goede benadering een lineair verband tussen de gemeten spanning

en de variaties van de fysische grootheid.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.17

Een typisch voorbeeld van een sensor waarbij push-pull werking gebruikt wordt, is de LVDT (zie

verder). Een ander voorbeeld is een capacitieve verplaatsings- of versnellingssensor, bestaande uit

een serieschakeling van twee condensatoren met een beweegbare gemeenschappelijke elektrode

(zie 4.6.1).

3.4.5. Linearisatie van de brug van Wheatstone met een operationele versterker

vm

BA

Rs R4

R3R1

E

Figuur 5.14. Linearisatie van de brug van Wheatstone door terugkoppeling.

In de schakeling getoond in Figuur 5.14 zorgt de operationele versterker er via negatieve

terugkoppeling voor dat de spanning tussen punt A en B nul wordt. De uitgangsspanning van de

opamp wordt dan gegeven door:

s 1 4m

s 1 s 1 3 4

R R RE v E

R R R R R R+ =

+ + + .

Na uitwerking wordt dit: ( )

1 4 3 sm

1 3 4

R R R Rv E

R R R

−=

+ , of, mits R1 = R3 = R4 = R0 en Rs = R0 + ∆Rs:

sm

0

-

2

Rv E

R

∆= .

Het verband tussen de gemeten spanning en de weerstandsvariaties is dus zuiver lineair.

3.4.6. Linearisatie achteraf Alle tot hiertoe besproken linearisatiemethodes grijpen rechtstreeks in op de conversie van

impedantievariaties naar amplitudevariaties. Het is echter ook mogelijk om achteraf nog een

linearisatie door te voeren, door in te grijpen op de ongecorrigeerde meetspanning. Dit kan

bijvoorbeeld gebeuren door gebruik te maken van analoge vermenigvuldigers en

optelschakelingen. In principe kan men op die manier vrijwel elke willekeurige mathematische

functie benaderen. Hierbij moet men zich niet beperken tot de linearisatie van de conversie

impedantie → amplitude. Het is immers ook mogelijk om eventuele niet-lineariteiten in het gedrag

Fundamentele Elektrische Metingen B5.18

van de transducer zelf te corrigeren. Daartoe is het uiteraard nodig dat deze nauwkeurig gekend

zijn (bijv. in de vorm van een gecertificeerde kalibratiecurve).

3.4.7. Numerieke linearisatie Door gebruik te maken van een analoog-naar-digitaal convertor en een computer kan men uiteraard

op een meer flexibele manier numerieke bewerkingen uitvoeren op de gemeten signalen. Vandaar

dat data-acquisitiekaarten en bijhorende instrumentatiesoftware enorm aan belang hebben

gewonnen. Kalibratiedata van een sensor kunnen op een floppy of CD-ROM worden bijgeleverd en

het herkalibreren van de meetopstelling vergt enkel een softwarematige update.

3.5. Transporteren van meetdata over grote afstand Sensoren bevinden zich meestal niet vlakbij de plaats waar de gegevens dienen verwerkt te worden.

Het is dan nodig om de meetdata over een afstand te transporteren. Hierbij kunnen allerlei

stoorinvloeden uitgeoefend worden op het signaal. Ten einde de gevolgen van die stoorinvloeden te

minimaliseren, kan men verscheidene maatregelen treffen, waarvan we er hier een paar zullen

bespreken.

3.5.1. Stroomtransmissie (4-20 mA) Beschouw de opstellingen in Figuur 5.15.

ZNIN ZL Vm

Rs/2

(b)

Rs/2

Rs/2VsZth

Eth

(a)

Vs Rs/2

VmZL

Figuur 5.15. Transport van spanningen en stromen over grote afstand.

De uitgangstrap van de signaalconditioneerder kan zich gedragen als een spanningsbron, in welk

geval het Thévenin-equivalent getoond in (a) van toepassing is. De voornaamste stoorinvloeden die

in de lange draden tot aan de last ZL optreden, zijn de serieweerstand Rs van de draden zelf en een

elektromotorische kracht Vs die het gevolg is van een storende wisselstroomflux ϕ(t) die gekoppeld

is met de lus.

De spanning gezien door de last (dit kan bijv. de ingangstrap van een versterker zijn) is algemeen

Lm th s

L s th( )

ZV E V

Z R Z= +

+ + ,

waarbij normaliter ZL >> Rs, Zth is. Daarom herleidt bovenstaande formule zich tot: m th sV E V= + .

Fundamentele Elektrische Metingen B5.19

De stoorspanning Vs komt dus integraal terecht op de last.

Bekijken we anderzijds het geval dat de uitgangstrap van de signaalconditioneerder zich als een

stroombron (met Norton-equivalent) gedraagt (b), dan vinden we

L Lm N N s

L s N L s N

Z ZV I Z V

Z R Z Z R Z= +

+ + + + ,

waarbij normaliter ZN >> Rs, ZL is, zodat: Lm N L s

N

ZV I Z V

Z= + . De invloed van de stoorspanning

wordt in dit geval vermenigvuldigd met een factor ZL/ZN << 1. We kunnen dus besluiten dat

stroomtransmissie minder gevoelig is voor de hier beschouwde stoorinvloeden dan spannings-

transmissie. In de procestechniek gebruikt men daarom heel vaak stroomtransmissie om elektrische

signalen door te sturen. Bij de standaardimplementatie wordt er een DC stroom wordt gegenereerd

in het standaard interval 4-20mA, waarbij 4 mA overeenkomt met een nulsignaal. Op die manier

kan men gemakkelijk het onderscheid maken tussen een geldig nulsignaal (4 mA) en een

foutconditie (0 mA).

3.5.2. Frequentie-modulatie We hebben het hoger al vermeld: het omzetten van een meetwaarde in een frequentie is een andere

manier om af te rekenen met stoorinvloeden. Bijna alle stoorinvloeden die men kan beschouwen

slagen er niet of nauwelijks in om de frequentie van een signaal te beïnvloeden. Het is dan ook niet

verwonderlijk dat deze techniek in ons eigen zenuwstelsel gebruikt wordt (Figuur 5.16).

3.5.3. Digitaliseren Nog één stap verder gaat het digitaliseren van de (analoge) sensordata. Van zodra men over een

digitale versie van een gemeten grootheid beschikt, kan men die quasi foutloos transporteren over

zeer grote afstanden. Men krijgt daarbij ook nog eens de beschikking over geavanceerde

databeschermende technieken, zoals checksumcontroles, foutcorrectie, enz. Door de uitbouw van

een infrastructuur zoals het Internet is er tegenwoordig virtueel geen beperking meer aan de afstand

tussen een sensor en de verwerkingseenheid.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.20

Figuur 5.16. Bij mens en dier leveren druksensoren pulstreinen af waarbij de pulsfrequentie maat is voor de uitgeoefende druk.

4. Types van sensoren

4.1. Inleiding Zoals al vermeld in de inleiding, kan men sensoren in principe op verschillende manieren

categoriseren naargelang:

• de gemeten fysische grootheid (optische grootheden, rek, positie, temperatuur,

versnelling, pH, …)

• de elektrische grootheid die uitgelezen wordt (resistief, capacitief, inductief,

e.m.k., digitaal signaal)

• het conversieproces of fysisch fenomeen dat aan de basis ligt van de werking van

de sensor (fotovoltaïsch effect, fotogeleiding, Hall-effect, thermo-e.m.k., piëzo-

elektrisch effect, magnetostrictie, …)

• de technische uitvoering of gebruikte materialen (halfgeleidersensoren,

micromachined (MEMS) sensoren, rekstrookjes, thermokoppels, fotodiodes,

SAW sensoren, …)

• analoog of digitaal (bijv. verplaatsings- en positiebepaling)

• …

Aangezien in deze cursus de nadruk ligt op het aspect "elektrische metingen", zullen we in het

overzicht dat volgt de sensoren indelen naargelang de uitgelezen elektrische grootheid. We zullen

Fundamentele Elektrische Metingen B5.21

bovendien op het einde van dit hoofdstuk een ganse paragraaf wijden aan sensoren van elektrische

grootheden. Dat zijn sensoren waarvan ook de te meten fysische grootheid een elektrische

grootheid is: stroomsensoren, vermogensensoren, ... Het is belangrijk op te merken dat er slechts

een selectie van belangrijke en/of veelgebruikte sensoren zal besproken worden. Voor een

uitgebreider overzicht van de bestaande en in ontwikkeling zijnde sensoren verwijs ik naar de

literatuur- en weblijst op het einde van dit hoofdstuk.

4.2. Sensoren die een digitaal signaal produceren

4.2.1. Schakelaars Er bestaan heel wat sensoren die als een aan/uit schakelaar fungeren. Men kan dit beschouwen als

een limietgeval van een resistieve sensor (R = 0 of R = ∞), maar vanuit het standpunt van de

gebruiker is het meer voor de hand liggend om dit te beschouwen als een 1-bit digitale sensor.

4.2.1.1. Bimetaalstrips Met een bimetaalstrip kan men een schakelaar maken die opent (of sluit) zodra een bepaalde

kritische temperatuur overschreden wordt. Typisch voor bimetaalstrookjes is het hysteresisgedrag.

Bimetaalschakelaars vinden hun toepassing in thermostaten, thermische zekeringen en

grootmoeders kerstverlichting.

4.2.1.2. Tilt- of hellingschakelaars Tiltschakelaars worden gebruikt om elektrisch contact te maken of te onderbreken zodra ze onder

een bepaalde helling gehouden worden. Traditioneel bestaan tiltschakelaars uit een glazen recipiënt

met daarin een druppel kwik en de elektrische contactpunten (Figuur 5.18). Omwille van milieu-

Figuur 5.17. Bimetaal-schakelaars.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.22

overwegingen tracht men kwikschakelaars zoveel mogelijk te vervangen door alternatieven zonder

kwik.

4.2.2. Verplaatsings- en positie-encoders In feite zijn dit geen echte sensoren in de strikte zin van het woord, maar veeleer afgewerkte

subsystemen die een digitaal signaal afgeven. Door het belang van dergelijke encoders in de

praktijk en de eenvoud van de werking, mogen zij echter niet ontbreken in een cursus over

sensoren.

4.2.2.1. Absolute encoders (positie-encoders) Bij lineaire positie-encoders beweegt een detectorhoofd relatief ten opzichte van een lat met een

digitaal bitpatroon. Het detectorhoofd is uitgerust met detectoren om dat patroon te “lezen”. De bits

die door het detectorhoofd worden afgegeven zijn dan een eenduidige indicatie van de onderlinge

positie van lat en detector. Het aantal parallelle bits in het patroon bepaalt de positioneer-

nauwkeurigheid van de encoder. Het aflezen van het digitale patroon kan optisch (in reflectie of in

transmissie), magnetisch of via elektrische contacten gebeuren. Optische encoders zijn veruit het

populairst.

Een probleem bij een digitale positie-encoder (Figuur 5.19 links) is het feit dat er bij een kleine

verplaatsing meerdere bits tegelijkertijd kunnen veranderen (bijv. overgang van 0111 naar 1000).

Als het detectorhoofd zich op de rand van een dergelijke overgang bevindt, kunnen er “glitches”

optreden in het uitgelezen bitpatroon, met een belangrijke onzekerheid op de positie tot gevolg. Om

dit te vermijden maakt men doorgaans gebruik van de Gray-code (Figuur 5.19 rechts).

Figuur 5.18. Tilt-schakelaars: werkingsprincipe en uitvoering.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.23

Deze binaire code wordt gekenmerkt door het feit dat er bij iedere opeenvolgende toestand precies

1 bit verandert. In een Karnaugh-kaart betekent dit een overgang naar een naburige cel. De

maximale onzekerheid op de uitlezing is dan slechts één elementaire eenheid.

Absolute encoders kunnen ook gebruikt worden voor rotaties. Daarbij is het bereik gewoonlijk

beperkt tot 1 rotatie. In plaats van een lat wordt dan een schijf met een Gray-code gebruikt (Figuur

5.20).

Figuur 5.20 Absolute angulaire encoder met 11-bit Gray code

4.2.2.2. Incrementele encoders (verplaatsingsencoders) De absolute encoders hebben als voornaamste nadeel het grote aantal parallelle bits dat nodig is om

een grote precisie te bereiken. Dat resulteert in complexe patronen voor de schijf of meetlat en

vooral in een groot aantal parallelle detectoren. Vandaar dat zeer vaak gebruik wordt gemaakt van

incrementele encoders.

Figuur 5.19. Lineaire positie-encoders met klassieke binaire (links) en Gray code (rechts).

Fundamentele Elektrische Metingen B5.24

Incrementele encoders vereisen maar twee parallelle sporen A en B, die onderling 90° in fase

verschoven zijn.

Figuur 5.21 Incrementele verplaatsingsencoder.

Telkens als de bit gelezen door sensor A verandert, wordt de positieteller geïncrementeerd of

gedecrementeerd, naargelang de waarde van de bit gelezen door sensor B. In Figuur 5.21

bijvoorbeeld moet de teller optellen als de lat van rechts naar links beweegt ten opzichte van de

sensors. De onderste helft van de figuur toont de output van de detectoren als functie van de tijd in

het geval dat de lat met een eenparige snelheid van rechts naar links verschuift. Het is duidelijk dat

de uitgang van detector B altijd nul is tijdens een stijgende flank van detector A, en altijd één is

tijdens een dalende flank van detector A. Draaien we de bewegingszin van de lat om, dan komt dat

neer op het omkeren van de tijdsas in de onderste figuur. In dat geval vinden we dat B = 1 bij een

stijgende flank van A en B = 0 bij een dalende flank van A.

Opdat de positieteller correct zou werken, moet deze teller dus een INC (increment) puls krijgen

als (A↑ en B = 0) of als (A↓ en B = 1). De teller moet een DEC (decrement) puls krijgen als (A↓

en B = 0) of als (A↑ en B = 1). Ten einde het stijgen of dalen van A vast te stellen moet er

voldoende vaak gesampled worden; ten minste 4 keer per periode van het signaal A. Er bestaat dus

een verband tussen de kloksnelheid waarmee de sensoren worden uitgelezen en de maximale

verplaatsings- of rotatiesnelheid die foutloos kan geregistreerd worden.

Het grootste nadeel van incrementele encoders is dat eenmaal een fout is opgetreden bij het tellen

van de incrementen, deze fout behouden blijft. Vaak voorziet men bij incrementele encoders een

indexspoor, waarop één bit getekend staat. Deze bit kan dienen om de teller te resetten en om

omwentelingen te tellen in het geval van een rotationele encoder (Figuur 5.22).

Fundamentele Elektrische Metingen B5.25

4.3. Sensoren die een elektromotorische kracht produceren

4.3.1. Temperatuur: het thermokoppel De werking van het thermokoppel steunt op het Peltier- en het Thomson-effect. Het Peltier-effect

zegt dat er over een junctie tussen twee verschillende geleiders op dezelfde temperatuur een

elektromotorische kracht wordt opgebouwd; het Thomson-effect zegt dat er in een geleider

waarvan de uiteinden op verschillende temperaturen staan, een elektromotorische kracht wordt

opgebouwd.

Algemeen gelden er een aantal zogenaamde "thermokoppelwetten" (Figuur 5.23). Deze wetten

tonen dat de gemeten elektromotorische kracht enkel afhangt van de aard van de materialen A en B

en van de absolute temperaturen van de twee juncties.

• De eerste wet zegt bijvoorbeeld dat de e.m.k. niet afhangt van temperatuursvariaties

langsheen de geleiders, maar enkel van de temperaturen van de juncties.

• De tweede wet maakt het mogelijk om een meettoestel in de kring op te nemen, zolang

beide aansluitpunten maar op dezelfde temperatuur (T3) staan.

• Dankzij de derde wet is het mogelijk om de juncties te solderen met behulp van een derde

metaal.

• Gelieve zelf de betekenis van de vierde en vijfde wet te controleren.

Figuur 5.22. Incrementele rotationele encoder met indexspoor.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.26

De algemene uitdrukking voor de emk van een thermokoppel is in goede benadering:

)()( 21

222121, 21

TTCTTCE ABTT −+−= ,

waarbij het Peltier-effect verantwoordelijk is voor de term met C1 en het Thomson-effect voor de

term met C2.

Meestal gebruikt men een thermokoppel om een onbekende temperatuur T2 te meten, waarbij men

voor T1 een bekende referentietemperatuur neemt (bij conventie is dit T1 = 0°C, wat gemakkelijk te

verwezenlijken is door de junctie in smeltend ijs onder te dompelen). In dat geval kan men

schrijven dat T2 = T1 + ∆T , met ∆T de onbekende temperatuur uitgedrukt in graden Celsius.

Na inbrengen in vorige uitdrukking bekomen we: 2 2

1 2 1 1 1 2 2(2 ( ) ) ( 2 ) ( )ABTE C T C T T T C T C T C T∆ = ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ .

In het geval dat A uit koper gemaakt is en B uit constantaan1 vinden we experimenteel:

2µVµV

2C C86,7 0,045 ( )TE T T° °∆ = ∆ + ∆ .

Zolang |∆T| << 2000°C blijft, is de lineaire term veel groter dan de kwadratische term en is dit bij

benadering een lineaire functie. Voor zeer nauwkeurige metingen mogen de hogere orde termen

echter niet verwaarloosd worden en heeft men zelfs algemeen een betrekking van de gedaante:

1 Constantaan is een koperlegering met 40-45% nikkel en 1% mangaan.

Figuur 5.23. Thermokoppel ende vijf thermokoppel-wetten.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.27

∑ ∆=∆i

iT TaE )( .

Een eenvoudig geheugensteuntje voor de thermokoppelwetten bekomt men door te veronderstellen

dat het aantal vrije electronen in een metaal lineair met de temperatuur toeneemt. De absolute

potentiaal van het metaal is dan evenredig met de temperatuur en een materiaalconstante. De totale

thermokoppel-e.m.k. in een keten is een serieschakeling is van deel-e.m.k.’s die worden opgewekt

in ieder stukje geleider. Die deel-e.m.k.’s zijn dan evenredig met het temperatuursverschil tussen

de twee uiteinden van het beschouwde stukje geleider. Onder deze voorwaarden kan 1 2

A,B,T TE

geschreven worden als de lineaire uitdrukking

1 2

A,B, A 1 2 B 2 1( ) ( )T TE C T T C T T= − + − ,

waarin CA, CB, … materiaalconstanten zijn. De vierde wet volgt dan bijvoorbeeld automatisch uit:

A 1 2 C 2 1 C 1 2 B 2 1 A 1 2 B 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C T T C T T C T T C T T C T T C T T− + − + − + − = − + − .

Onthoud wel dat dit maar een geheugensteuntje is. Het echte gedrag van thermokoppels is

ingewikkelder, zoals hierboven beschreven.

Thermokoppels zijn bij uitstek geschikt om snel variërende temperatuursverschijnselen te

bestuderen, omdat men de thermische capaciteit van de juncties zeer klein kan maken, waardoor de

e.m.k. zeer snel reageert op temperatuursveranderingen.

18

IC1

IT

Q2 Q1

VT

IC2

R

Q4Q3

Figuur 5.24. Solid-state temperatuursensor (PTAT).

Tegenwoordig wordt de referentietemperatuur T1 van een thermokoppel meestal niet meer bepaald

door de junctie in smeltend ijs onder te dompelen (dat is te omslachtig), maar met een elektronisch

circuit (Figuur 5.24) dat als output een stroom heeft die evenredig is met de absolute temperatuur

(Proportional To Absolute Temperature of PTAT). De werking van dit circuit kan als volgt

verklaard worden.

De stroomspiegel Q3 en Q4 zorgt ervoor dat de stroom IT perfect gelijk wordt verdeeld over IC1 en

IC2. Verder is Q2 de parallelschakeling van 8 transistoren die identiek zijn aan Q1. Daardoor zal de

Fundamentele Elektrische Metingen B5.28

stroomdichtheid in Q1 8 keer zo groot zijn als de stroomdichtheid in elk van de transistoren Q2.

Schrijven we de vergelijkingen van Ebers en Moll voor de transistoren Q1 en Q2, dan vinden we:

BE2 BE1C2 s C1 s8 exp( ) exp( )qV qVI A I I A I

k T k T= = =

waaruit volgt dat VT = VBE1-VBE2 = kT/q ln(8) = T × 179 µV/K .Kiezen we voor R = 358 Ω, dan

vinden we dat IT = 2 × VT/R = T × 1µΑ/Κ. We hebben met andere woorden een stroombron

gemaakt die 1 microampère per Kelvin aflevert.

Dit circuit bestaat in een commerciële uitvoering (de AD590 van Analog Devices) en werkt tussen

-55°C en +150 °C. Het circuit moet gevoed worden met een spanning die gelegen is tussen 4V en

30V.

Deze solid-state temperatuursensor laat toe om een compensatiecircuit te maken dat in de thermo-

koppelkring kan opgenomen worden om de koude junctie te compenseren (zie Figuur 5.25). Hierbij

wordt gebruik gemaakt van de vijfde thermokoppel-wet, waarbij Tref de rol speelt van T3. Let op bij

de interpretatie van Figuur 5.25: het gearceerde thermische blok zorgt weliswaar voor gelijke

temperaturen, maar veroorzaakt geen elektrische kortsluiting tussen de Chromel/koper en de

Alumel/koper juncties.

4.3.2. Licht: fotovoltaïsche sensoren Het fotovoltaïsch effect genereert een elektromotorische kracht als er licht binnendringt in een PN-

junctie. Als de invallende fotonen de juiste energie (golflengte) hebben, kunnen ze binnenin een

gedepleteerde junctie elektron-holteparen creëren, die door het heersende elektrische veld van

elkaar gescheiden worden, met een e.m.k. als gevolg.

Behalve voor energieconversie (zonnecellen) kunnen fotodiodes gebruikt worden als lichtsensor.

Ze hebben daarbij het voordeel dat ze geen voedingsspanning vereisen. Een nadeel is wel dat de

Figuur 5.25. Elektronische compensatie van de koude junctie.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.29

output temperatuursafhankelijk is. Een recente nieuwe toepassing van fotodiodes is het gebruik als

fotogevoelig element in CMOS camera chips (alternatief voor CCD camera chips).

4.3.3. Trillingen, geluid: elektreten Elektreten zijn het elektrische equivalent van magneten: het zijn materialen met een permanente

elektrische polarisatie. Wanneer een membraan van dergelijk materiaal langs de ene zijde bedekt

wordt met een metaalfilm en langs de andere zijde in de nabijheid van een tweede metalen plaat

gebracht wordt, dan ontstaat een condensator met een ingebouwde lading (en dus ook spanning)

Figuur 5.26. Elektreet microfoon.

Als het membraan door trillingen (bijv. geluid) in beweging gebracht wordt, dan zal als gevolg van

de variaties van de afstand tussen de platen een wisselspanningscomponent ontstaan op de

condensatorspanning. Op die manier bekomt men een elektreet (of “electret”) microfoon.

4.4. Sensoren gebaseerd op een verandering van weerstand

4.5. Rek: rekstrookje Wanneer een geleidende draad wordt uitgerekt, neemt zijn weerstand toe. Daarop zijn rekstrookjes

gebaseerd. Ten einde een zo gevoelig mogelijke meting te bereiken, wordt de geleider in een

meanderpatroon gelegd. Daardoor kan een grote totale lengte (en dus weerstand) bekomen worden,

Figuur 5.27. Rekstrookje.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.30

zonder dat de het rekstrookje zelf onbruikbaar groot wordt. Merk op dat de "draad" in de bochten

zeer breed wordt gemaakt. [Waarom is dit volgens u?]

Bij de meeste toepassingen van rekstrookjes is men niet zozeer in de rek geïnteresseerd, maar wel

in de kracht of versnelling die de rek veroorzaakt. Voorbeelden van dergelijke toepassingen zijn

(Figuur 5.28):

• Kracht- of gewichtsensoren (A)

• Gravitatie- of versnellingssensoren (B): een massa (niet getoond in de figuur) hangt

opgehangen aan een hefboom. De vervorming van de hefboom is de maat voor de

versnelling. Een alternatieve uitvoering wordt getoond in de rechter figuur.

• Druksensoren (C en D)

Figuur 5.28. Toepassingen van rekstrookjes.

Figuur 5.29. Push-pull montage van 4 rekstrookjes.

Figuur 5.30. Commerciële uitvoering van een PT100 sensor.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.31

In veel gevallen slaagt men erin om twee of zelfs vier rekstrookjes zodanig te monteren dat ze

(twee aan twee) aan tegengestelde vervorming worden blootgesteld (Figuur 5.29). Uit de

bespreking van de linearisatie van de Wheatstonebrug weten we dat een dergelijke push-pull

montage belangrijke voordelen biedt (perfecte lineariteit, grotere gevoeligheid, eliminatie van

gemeenschappelijke stoorinvloeden, zoals de anders zeer belangrijke temperatuursafhankelijkheid).

Uit de bespreking van de linearisatie van de Wheatstonebrug weten we dat een dergelijke push-pull

montage belangrijke voordelen biedt (perfecte lineariteit, grotere gevoeligheid, eliminatie van

gemeenschappelijke stoorinvloeden, zoals de anders zeer belangrijke temperatuursafhankelijkheid).

4.5.1. Temperatuur

4.5.1.1. De RTD RTD staat voor Resistance Temperature Detector. De werking ervan steunt op het feit dat de

weerstand van metalen ongeveer lineair toeneemt met de temperatuur. De meest populaire RTD is

een PT100. Dat is een platina RTD die bij 0°C precies 100 Ω bedraagt en verder 0.4% per °C

toeneemt. Platina is zeer geschikt voor dit doel aangezien het een grote resistiviteit heeft en zeer

stabiel is over een groot temperatuursbereik.

4.5.1.2. Elimineren van de weerstand van de toevoerleidingen

Daar de weerstandscurve Rt voor platina zeer goed gedefinieerd is kan men met een platinaweer-

stand nauwkeurig temperaturen meten. Met bruggen is een nauwkeurigheid van 0,01°C haalbaar.

Om enige nauwkeurigheid te verwezenlijken moet men echter de weerstand van lange

toevoerleidingen elimineren. Dit kan bijvoorbeeld gebeuren met de schakelingen uit Figuur 5.31.

Figuur 5.31. Aansluitdraden: (a) 3-draadsschakeling ter eliminatie van de weerstand van de aansluitdraden, (b) 4-draadsschakeling, (c) 4-draadsschakeling met stroombron en voltmeter.

Bij gelijke lengte van de toevoerdraden (r1 = r2; r3 heeft geen belang) is de weerstand van deze

draden gecompenseerd in (a) en (b). Door het gebruik van vierdraadsmethodes kan men zelfs bij

Fundamentele Elektrische Metingen B5.32

verschillende waarden voor r1 en r2 toch de juiste waarde meten. Daartoe gebruikt men geen brug

meer maar stuurt een constante stroombron door Rt en meet de spanning er over d.m.v. een

hoogohmige en zeer nauwkeurige voltmeter (c).

4.5.1.3. "Warme draad" De verandering van weerstand als gevolg van temperatuursvariaties wordt soms gebruikt om

onrechtstreeks een andere grootheid te meten, bijv. het debiet van een gas of vloeistof (Figuur

5.32). De stroom die door de brug loopt is voldoende om de weerstand Rs op te warmen. Weerstand

R wordt bijgeregeld totdat de brug in evenwicht is.

Figuur 5.32. "Warme draad" debietmeter.

Zodra het fluïdum rondom Rs in beweging komt, zal door convectie de temperatuur en dus ook de

weerstand van Rs afnemen en de brug komt uit evenwicht. Evenwel zal de terugkoppeling via de

instrumentatieversterker de brugspanning doen toenemen, totdat de stroom door Rs (en zijn

temperatuur) zoveel is toegenomen dat er terug evenwicht is. De brugspanning die daarvoor nodig

is, is een maat voor het debiet van het fluïdum.

Figuur 5.33. "Warme draad" gassensor, uitgevoerd in MEMS technologie.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.33

Op analoge manier kan de temperatuur van een verwarmde draad afhangen van de partieeldruk van

een gas in de omringende atmosfeer, bijv. als de oppervlakte van de draad bedekt is met een

katalysator voor een exotherme reactie van dat gas met een ander, overvloedig aanwezig, gas.

Een typisch voorbeeld is een CO detector met platina of palladium als katalysator voor de reactie

2 CO + O2 → 2 CO2 .

In Figuur 5.33 wordt een miniatuur "warme draad" gassensor getoond, vervaardigd met behulp van

micromachining (MEMS) technologie (Figuur 5.34). De verschillende fasen van uitvoering staan in

deze figuur geschetst.

silicium substraat

patroondefinitie ankeropening

siliciumdioxide offerlaag

siliciumnitride

wegetsen offerlaag

poly-Si + patroondef

Figuur 5.34. Oppervlakte-MEMS technologie.

4.5.2. Licht: fotogeleiders De meeste halfgeleiders vertonen fotogeleiding: invallende fotonen creëren vrije ladingsdragers die

de geleiding doen toenemen. Sensoren voor zichtbaar licht kunnen gemaakt worden met de

halfgeleiders CdS, CdSe, PbS en InSb. De bruikbaarheid van Si als fotogeleider is beperkt tot het

nabije infrarood.

Figuur 5.35. Fotogeleider. Links: werkingsprincipe; rechts: uitvoering in CdS. Het actieve materiaal is zwart, de contacten zijn interdigitaal aangebracht.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.34

Meestal zal men de gevoeligheid van een fotogeleider vergroten door interdigitale elektroden te

gebruiken. Daardoor kan men voor een gegeven sensorafmeting de W/L verhouding toch zeer groot

maken.

4.6. Sensoren gebaseerd op een verandering van capaciteit

4.6.1. Verplaatsing en versnelling Het principe van de dubbele condensator met beweeglijke gemeenschappelijke elektrode laat toe

om zeer kleine verplaatsingen te meten (Figuur 5.36). Als de centrale elektrode bovendien via een

veer een terugroepende kracht ondervindt, kan men deze opstelling gebruiken om krachten te

meten. Voor het meten van versnellingen of gravitatie verbindt men de centrale elektrode

bovendien met een zware massa.

Stel dat in rust de twee condensatoren een capaciteit 0S1 S2 0

0

SC C Cd

ε ε= = = hebben. Als de

gemeenschappelijke plaat dan over een afstand ∆d naar rechts beweegt, dan worden Cs1 en Cs2:

2 3

0S1 0 0

0 0 0 0

0

1 ∆ ∆ ∆ 1 ...∆1

S d d dC C Cdd d d d dd

ε ε = = = − + − + + ∆ +

en 2 3

0S2 0 0

0 0 0 0

0

1 ∆ ∆ ∆1 ...∆1

S d d dC C Cdd d d d dd

ε ε = = = + + + + − ∆ −

zodat: 3

S2 S1 00 0

2 d dC C Cd d

ϑ ∆ ∆ − = +

.

Dankzij de push-pull werking is dit in goede benadering een lineaire functie van de verplaatsing.

Figuur 5.37 toont een zeer gevoelige capacitieve versnellingssensor, gemaakt met behulp van de LIGA

technologie (Zie Figuur 5.40).

Figuur 5.36. Meten van krachten of versnellingen met een capacitieve sensor.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.35

4.6.2. Druk Een bijzondere uitvoering van de capacitieve krachtsensor is de druksensor (Figuur 5.38).

Figuur 5.38. Capacitieve druksensor.

4.6.3. Debieten

Figuur 5.39. Via drukmetingen kan een vloeistofdebiet gemeten worden.

Door gebruik te maken van een diafragma of venturi-buis en twee (capacitieve) druksensoren, kan

men een vloeistofdebiet meten.

4.6.4. Vocht Materialen met een vochtafhankelijke epsilon kunnen gebruikt worden om een capacitieve

vochtsensor te maken.

Figuur 5.37. Capacitieve versnellingssensor, gemaakt met behulp van LIGA technologie.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.36

De LIGA technologie

LIGA (afkomstig van het Duits Lithographie, Galvanoformung & Abformung) is een technologie

voor de massaproductie van miniatuur 3D structuren. Met behulp van radioactieve straling uit een

synchrotron wordt doorheen een masker een patroon "geschoten" in een harslaag (gewoonlijk

PMMA). Na ontwikkeling (verwijderen van de bestraalde delen) wordt via elektroplating een

metalen negatief gemaakt van het harspatroon. Dit negatief doet dienst als mal voor het maken van

de uiteindelijk gewenste structuren. Door de aard van het proces is het mogelijk om zeer fijne

werkstukken te maken met een hoge aspectverhouding (hoogte/breedte).

Figuur 5.40. Het LIGA proces voor microfabricage.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.37

4.7. Sensoren gebaseerd op een verandering van (mutuele) inductantie

4.7.1. Verplaatsing: de LVDT De LVDT of Lineaire Variabele Differentiële Transformator is een verplaatsingssensor die steunt

op het veranderen van de mutuele inductantie tussen spoelen wanneer de weekijzeren kern

verplaatst wordt. Door de push-pull opbouw met één primaire en twee secundaire spoelen is het

verband tussen de door het meettoestel gemeten amplitude en de positie van de kern tot op

termen van de derde orde na lineair, ten minste zolang de verplaatsingen niet al te snel gebeuren.

De LVDT kan beschouwd worden als een transformator met 2 identieke secundaire wikkelingen en

een verplaatsbare ferromagnetische kern. Aan de primaire wikkeling van de transformator wordt

een sinusoïdale spanning ep aangelegd. Wanneer de ferrietkern zich in haar middelste positie

bevindt (x = 0), dan zijn de mutuele inducties M1 en M2 precies even groot. De twee secundaire

wikkelingen zullen allebei dezelfde spanningsval vertonen, waardoor de spanning die door het

meetapparaat gezien wordt (v0), nul is. Als we de ferrietkern verplaatsen in de richting van

stijgende x-waarden, dan wordt M2 groter en M1 kleiner, waardoor er een spanning verschillend van

nul zal gemeten worden. Algemeen kunnen we schrijven voor de reeksontwikkeling in x:

2 3 42 2( ) (0) ( )M x M a x b x c x xϑ= + + + + . (5.14)

En dus, gelet op de symmetrie:

2 3 41 2( ) (0) ( )M x M a x b x c x xϑ= − + − + . (5.15)

0X

ip ep

x

is

M2(x)M1(x)

Ri

v0

Ls1

Rs1 Rs2

Ls2

Lp

Rp

Kern en geleidingsstangKern en geleidingsstang

Meetapparaat

Primaire

Secundaire1

Secundaire2

Figuur 5.41. LVDT: doorsnede en elektrisch schema.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.38

Anderzijds, als de ingangsweerstand Ri van het meetapparaat zeer groot is (en bijgevolg is = 0) en

de frequentie niet te hoog (en bijgevolg Rp >> ω Lp), dan geldt voor de spanning vo, gezien door het

meetapparaat, dat:

( )2 p 1 p 2 1 pd d d[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )d d dov M x i M x i M x M x it t t

= − = − . (5.16)

Uit (5.14) en (5.15) volgt dat

32 1( ) ( ) 2 ( )M x M x a x xϑ− = + . (5.17)

Merk op dat de kwadratische termen in x wegvallen, zodat we een vrij goede lineariteit bekomen.

Voor niet al te grote uitwijkingen kunnen we de termen van orde x3 verwaarlozen. Substitueren van

(5.17) in (5.16) geeft dan:

0 pd [2 ( ) ( )]d

v a x t i tt

= . (5.18)

Vervangen we hierin p ( )i t door p

p

sin( )E tR

ω, dan bekomen we

p p0

p p

2 ( ) 2 sin( ) dcos( ) [ ( )]d

a x t E a E tv t x t

R R tω ω

ω= + . (5.19)

Indien de maximale verplaatsingssnelheden die men wenst te meten klein zijn, dan valt de tweede

term van (5.19) weg en bekomen we uiteindelijk:

p0

p

2 ( )cos( )

a x t Ev t

Rω

ω= . (5.20)

Met andere woorden: de amplitude van de gemeten spanning is evenredig met de uitwijking van de

kern uit de rusttoestand. De gevoeligheid van een LVDT wordt uitgedrukt in V/V/m (volt per volt

per meter) en bedraagt

o

p p

2V aSx E R

ω= = .

De Figuur 5.42 toont enkele industriële uitvoeringen van LVDT's.

Zoals alle verplaatsingssensoren kan een LVDT in combinatie met een veer ook als een

krachtsensor gebruikt worden (Figuur 5.43).

4.7.2. Afstandsensoren Om de afstand tot een geleidende plaat te bepalen worden inductieve sensoren toegepast die

steunen op de zelfinductieverandering van een spoel in de nabijheid van die geleider. Deze

sensoren werken alleen op kleine afstand, zeg enkele millimeter. Ook mijndetectoren gebruiken dit

principe. Men kan daarbij rechtstreeks de zelfinductie meten of de spoel in een LC-oscillatorketen

Fundamentele Elektrische Metingen B5.39

aanwenden om aldus een oscillator te verwezenlijken waarvan de frequentie afhangt van de afstand

tot het metaal. Een meer ingewikkelde excitatie van een dergelijke sensor laat zelfs toe om metalen

te discrimineren.

5. Vervangschema’s en ruis van een sensor

5.1. Het elektrische vervangschema van een transducer Omdat een transducer de buitenwereld met de elektrische meetketen verbindt zal het dynamische

mechanische gedrag een rol spelen bij de omzetting. Als eenvoudig voorbeeld beschouwen we de

condensatormicrofoon van Figuur 5.44. Deze wordt veel toegepast bij ultrasone robotsturingen. De

Figuur 5.42. Industriële uitvoeringen van lineaire variabele differentiële transformators.

Figuur 5.43. LVDT als onderdeel van een weeginstallatie.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.40

eerste elektrode (1) is een stijf membraan dat verend is opgehangen en kan bewegen volgens de x-

as onder invloed van een kracht fx. De tweede elektrode (2) is vast en wordt gevoed met een

polarisatiebron E0 via een grote weerstand R. Deze polarisatiespanning doet het membraan

enigszins uitwijken omdat de platen elkaar aantrekken. We kiezen een abscis (Fig. b) waarvan de

oorsprong met de ruststand van de condensator overeenkomt, maar wel in aanwezigheid van E0. De

veren ondervinden dan een mechanische spanning maar we nemen aan dat dit enkel een soort bias

voorstelt die geen andere invloed heeft. De afstand tussen de elektroden is dan d en de capaciteit

C0. De uitgangsspanning is de wisselspanningscomponent die tussen 1 en 2 ontstaat bij excitatie

van het membraan

(a) (b)

R

v

1

2 E

Ophanging

( = veren )

0

x

1

02

d

Figuur 5.44 Elektromechanisch model van een condensatormicrofoon.

We veronderstellen dat de tijdconstante RC0 veel groter is dan de periode van een eventuele

wisselspanning die op de platen staat. Met andere woorden, de lading op de condensator varieert

niet tijdens een periode van deze spanning.

Algemeen zijn de uitwijkingen x van het membraan klein t.o.v. d. Men kan dan de afhankelijkheid

van C van x als volgt beschrijven:

200 0

1 [1 ( ) ...]1

S x xC C Cxd x d dd

ε= = ≈ − +

+ + . (5.21)

Hierin zijn alle randeffecten verwaarloosd en werd een effectieve waarde S voor het plaatoppervlak

ingevoerd. Wanneer nu een variatie v van de spanning tussen de elektroden optreedt als gevolg van

bijvoorbeeld een verplaatsing x dan varieert de capaciteit van C0 naar C0 + c. Wegens de grote

tijdconstante moet de lading in de condensator constant blijven en daarom is:

0 0d 0Q C v E c= = + (5.22)

Fundamentele Elektrische Metingen B5.41

We hebben daarbij aangenomen dat v zeer klein is t.o.v. E0. Verwaarlozen we verder de tweede

orde term (x/d)2 in de uitdrukking van C dan is 0C xcd

= − . Bijgevolg is het verband tussen de

uitwijking x en de spanning v:

0xv Ed

= . (5.23)

Wanneer op het membraan een kracht f(t) aangrijpt dan geldt de volgende dynamische evenwichts-

vergelijking:

2

2

d ( )d

x dxm w k x f tt dt

+ + = . (5.24)

Hierin zijn m de massa van het membraan, w een dynamische wrijvingscoëfficiënt (van de

ophanging en de luchtweerstand die het membraan ondervindt) en k de veerconstante. Voor een

sinusoïdaal in de tijd variërende kracht kan men dan de volgende fasorvergelijking schrijven (met

p = j ω):

2

FXp m p w k

=+ +

. (5.25)

(1) We zoeken nu de Théveninstroombron van het vervangschema. Daartoe moeten we de

kortsluitstroom aan de uitgangsklemmen bepalen. Men zal dus 0V = maken en de stroom

berekenen ten gevolge van de kracht F . Deze stroom (die uit de condensator vloeit) is niets anders

dan:

TH 0d ddt dq ci E

t= − = − . (5.26)

Merk op dat dit niet in tegenstrijd is met de vroegere voorwaarde dQ = 0, want nu staat de

condensator kortgesloten. In het sinusregime wordt deze stroom:

0 0 0 0TH 0 2

C E C E p FI E pC pXd d p m p w k

= − = =+ +

. (5.27)

(2) Om de uitgangsimpedantie (=Théveninimpedantie) te bepalen zal men de uitwendige kracht

verwijderen, een spanning v aan de uitgang aanleggen en de stroom die deze bron levert berekenen.

In deze stroom zit ook het aandeel van R; we zullen deze laatste afzonderen en enkel de stroom

naar het condensatordeel (1,2) berekenen. Dan geldt er:

0 0 1 2d d dd d dq ci E C i it t t

ν= = + + . (5.28)

De stroom i2 is een onmiddellijk gevolg van de rustcapaciteit C0. De stroom i1 wordt door de

variatie van de capaciteit C0 veroorzaakt: de aangelegde spanning doet immers het membraan

Fundamentele Elektrische Metingen B5.42

bewegen omdat de spanning v een kracht erop veroorzaakt. We kunnen die kracht berekenen via de

energie van het veld in de condensator. De energie in de condensator is 20 0

12

W C E= . Bij een

incrementele verplaatsing dx hoort een kracht fx waarvoor geldt:

20 0

2

1d 1d 2 (1 )

xW df C E xx

d

−= =

+ . (5.29)

De statische kracht is 2

0 012

C Ed

− en deze is negatief omdat het over een aantrekking tussen de elektrodes

gaat. Wanneer men nu E0 laat toenemen met een bedrag v dan wordt die kracht 2 200 0( 2 )

2C E E v v

d− + + .

De toename van de kracht is dus 0 0C E vd

− omdat men v2 mag verwaarlozen t.o.v. de andere

termen. Deze toename van kracht zal een in de tijd sinusoidale verplaatsing x als gevolg hebben die

moet voldoen aan de dynamische evenwichtsvergelijking.

0 02

C E VXd p m p w k

= −+ +

. (5.30)

De verplaatsing X van het membraan veroorzaakt op zijn beurt een capaciteitsvariatie

0Cc xd

= − en de overeenstemmende stroom is 1 0ddci Et

= waaruit volgt:

20 0 0 01 0 2( )C E C E pVI E pC p X

d d p m pw k= = =

+ + . (5.31)

De Théveninimpedantie heeft dus de volgende waarde:

2Th

0 01

( ) ( )V d kZ p m wC E pI

= = + + . (5.32)

R R vC0

C0

dfxE C0 0

Figuur 5.45. AC-vervangschema van een condensatormicrofoon.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.43

De impedantie die hiermee overeenkomt is de serieschakeling van een spoel, een condensator en

een weerstand. Niettegenstaande deze elementen van E0 afhangen beïnvloedt deze

polarisatiespanning de resonantiefrequentie van de keten niet.

Men kan verder de Théveninstroombron vervangen door een spanningsbron 0 0

d FE C

in serie met

deze impedantie.Het volledige ac vervangschema bestaat dus uit drie parallelle takken: (1) een

spanningsbron in serie met een spoel, condensator en weerstand, (2) een condensator met waarde

C0 en (3) de bronweerstand R. Dit schema volstaat om alle belangrijke effecten te beschrijven,

bijvoorbeeld de frequentieweergave. Merk op dat we de koppeling van het membraan met de lucht

hebben verwaarloosd. In het vervangschema zal de luchtweerstand op het membraan door een

elektrische weerstand moeten voorgesteld worden. Deze zal, samen met de demping van de

ophanging, invloed hebben op het ruisgedrag van de transducer.

Bij de electretomzetters is geen polarisatiebron nodig. Het veld wordt hier immers geleverd door

polarisatie van het diëlektricum. De piëzoëlektrische omzetters vertonen een gelijkaardig schema.

Het mechanisme dat een verplaatsing veroorzaakt en de eigenfrequentie bepaalt hangt af van de

aard van het diëlektricum. Er moet nog opgemerkt worden dat meerdere mechanische modes van

resonantie bestaan en dat bijgevolg meer dan één resonantiepiek of dip in de frequentieweergave

curve zal kunnen optreden. Bij de elektrostatische microfoon zou men dus in feite alle

eigenwaarden van het membraan moeten zoeken.

Bij omzetters die voor chemische analyse worden ontwikkeld zal het dynamische gedrag

voornamelijk door de diffusiesnelheid en reactiesnelheid worden bepaald. Een eerste orde gedrag

volstaat in vele gevallen om deze laatste in rekening te brengen. Bij de meeste chemische sensoren

is het echter gewenst dat diffusie de beperking in snelheid vormt en als gevolg daarvan moet men

een groot aantal tijdconstanten in het vervangingsschema invoeren.

Wanneer het gaat over temperatuurtransducers zal men uiteraard een thermisch equivalent schema

kunnen invoeren. In eerste benadering volstaat meestal een eerste orde circuit om het stapantwoord

te beschrijven. In dit schema zal men dan een thermische weerstand en capaciteit aantreffen.

5.2. Ruis in transducers

De mechanische ruis speelt eveneens een rol bij sommige transducers. Een typisch voorbeeld is

opnieuw de condensatormicrofoon. Als gevolg van de onregelmatige botsingen van de

luchtmoleculen (massa m, snelheid v) op het membraan (oppervlakte A), zullen er bij de atmosfeer-

Fundamentele Elektrische Metingen B5.44

druk p0 drukvariaties ∆pn optreden waarvan de effectieve waarde kan berekend worden met de

volgende formule [5]:

2 0n

8 m v p < > = fpA

∆ ∆ . (5.33)

Daarbij is ∆f de frequentieband waarin wordt gemeten. Men stelt vast dat de membraanoppervlakte

niet onbeperkt kan afnemen. Dus, hoewel de condensator zelf ruisvrij is (op de resistieve verliezen in

de plaat na) moeten er rekening gehouden worden met de stochastische drukvariaties ∆pn. De

uitgangsspanning is namelijk evenredig met alle drukvariaties ∆p. Men heeft de vgl. (5.33), indien

R C >> periode geluidsgolven:

V+

R p

pC V0

C

R

V0

enK

K < p 2 >

Figuur 5.46. Equivalent schema van een condensatormicrofoon.

0 0 0, 0 Q CV Q C V V C= ∆ = = ∆ + ∆ . (5.34)

Bijgevolg is: oo

V CV K pC∆

∆ = − ∆ . (5.35)

Het nuttig signaal over C zolang ω C R >> 1 heeft de waarde:

j1 jo

C Rv K p K pC R

ωω

= ∆ ≈ ∆+

. (5.36)

De “mechanische” ruisspanning volgt uit vergelijking (5.33):

22n

8 om

mv P< > = K fv A∆ . (5.37)

Bij zeer lage frequenties zal de bijdrage van deze ruis afnemen. Het deel boven ω = 1/C R blijft

echter wel aanwezig. De ruis t.g.v. R heeft de waarde:

2n 2 2

4 41 ( ) ( )R

k T R f k T f< v > = + C R C Rω ω

∆ ∆≈ . (5.38)

De weerstandsruis wordt gefilterd door C en R. Enkel bij de hoogste frequenties worden <v2nm> en

<v2nR> vergelijkbaar. De S/N verhouding volgt uit het nuttig signaal en de ruisspanning:

Fundamentele Elektrische Metingen B5.45

2 0

28 4

( )

S K p p = .N mv p f fkT fK +

A C Rω

∆ ∆∆ ∆∆

∼ (5.39)

De bandbreedte speelt hier, zoals steeds het geval is bij ruisoverwegingen, terug een zeer grote rol.

Versnellingstransducers kunnen worden geïntegreerd samen met versterkers op een chip. Sommige

zijn opgebouwd uit Si-lamellen die bij versnelling doorbuigen en aldus een signaal veroorzaken.

De bovenstaande ruis kan vermeden worden door de ruimte waarin de lamel trilt luchtledig te

maken. De ruis veroorzaakt door de thermische beweging van de lamelmoleculen (analogie met

draaispoel) blijft echter bestaan. Ook in dit geval zal de mechanische ruisgrens een rol spelen.

6. Transducers van elektrische grootheden

6.1. Spannings- en stroomtransducers

Bij het meten van spanningen kunnen we de volgende voorwaarden eisen (die niet noodzakelijk

allemaal moeten zijn vervuld): hoge belastingsimpedantie, fysische isolatie tussen het te meten

circuit en het meettoestel, eventueel conditionering van de spanning. De eerste voorwaarde is

evident, de twee andere zijn belangrijk als het gaat over hoogspanning of indien er sterke common-

mode signalen kunnen aanwezig zijn. Men kan het circuit en het meettoestel elektrisch scheiden

door het gebruik van optische koppelaars of transformatoren. Transformatoren hebben een beperkt

frequentiebereik maar kunnen voor zeer hoge spanning ontwikkeld worden. Optische koppelaars

ruisen meer en de lineariteit is kleiner dan van de transformator Soms moduleert men een HF-

draaggolf en worden de data via kleine condensatoren overgebracht. Daardoor is de lineariteit beter

en de toelaatbare scheidingsspanning kan redelijke waarden aannemen. Al bij al zijn de

moeilijkheden niet al te groot bij het meten van spanningen en we zullen daarom vooral dieper

ingaan op het probleem van het meten van stromen.

We hebben al gezien dat men in het eenvoudigste geval een stroom omzet in een spanning d.m.v. een

weerstand (shunt). De belangrijkste parameters van een shunt zijn dan ook: weerstandswaarde,

tolerantie, temperatuurcoëfficiënt, frequentiegedrag. Dit laatste is uiteraard belangrijk indien men

signalen met hoge frequentiecomponenten moet meten. Men zal dan het klassieke HF-

weerstandsmodel toepassen om de fout te schatten. Vermits shunts voor grote stromen vooral

inductief reageren, zal men de zelfinductie trachten te verkleinen door het gebruik van dikke

weerstandsdraden en door meerdere draden in parallel te schakelen. In het uiterste geval zal men de

zogenaamde coaxiale shunts toepassen. Dit zijn eigenlijk een soort resistieve transmissielijnen die tot

hoge frequenties bruikbaar zijn.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.46

De bijzonderste moeilijkheid bij een stroommeting met shunt is echter dat men de keten moet openen

om de shunt te verbinden. Verder is ook soms een galvanische scheiding vereist, bijvoorbeeld

wanneer men op het net moet meten en er delen van de meetketen kunnen worden aangeraakt. De

ideale transducer zou dus contactloos en geïsoleerd de stroom moeten kunnen meten en de

spanningsval in de meetketen moet zo klein zijn dat hij de te meten stroom maar weinig beïnvloedt.

6.1.1. Contactloze stroommeting in wisselstroom

We gaan hieronder na hoe men het probleem van de galvanische koppeling met de meetketen kan

omzeilen. In de appendix bij het hoofdstuk over de universele bruggen werden reeds kort de stroom-

transformatoren besproken. Deze scheiden de meetketen en het meettoestel maar men moet de

meetketen onderbreken om de meting uit te voeren.

Om te kunnen stromen meten zonder de keten te openen heeft men zogenaamde clip-on probes

uitgedacht. Bij deze probes is de transfokern uit twee stukken gemaakt die kunnen van elkaar

verwijderd worden zodat men de draad van de kring binnen het venster kan brengen. Is dit gebeurd

dan sluit men de probe terug en voert de meting uit. Omdat er maar 1 primaire winding is zal de

gevoeligheid gering zijn. Voor het onderhoud van elektrische installaties en het meten van redelijk

grote stromen volstaat dit nochtans. Is de lengte van de draad in de meetketen voldoende groot dan

kan men hem meerdere keren door het probevenster steken zodat de gevoeligheid evenredig

toeneemt.

6.1.2. Contactloze stroommeting in gelijkstroom.

We hebben reeds gezien dat de magnetische modulator in staat was om een dc-veld in een

magnetische keten te detecteren. In het algemene schema van Figuur 5.47 voeren we een

onbekende stroom I1 door N1. Het deel N-ND1-En mag worden weggelaten. We vervangen Ex door

de referentiebron En en regelen ND2 op nul d.m.v. N2. Bij evenwicht en door de automatische

compensatie van de kernflux is dan:

2 n1 1 2 2 n 2 1

1

en zodat N EN I N I E R I IN R

= = = . (5.40)

Deze methode wordt feitelijk alleen in precisielaboratoria gebruikt. De meting is niet echt

contactloos maar er is wel isolatie tussen meetketen en toestel.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.47

I1

I1

N1

N

En Ex

I2

N2

R

ND1 ND2

Nd e

d D

Figuur 5.47. Stroommeting met magnetische modulator. Technische magnetische modulator

Indien niet de grootste nauwkeurigheid gewenst is kan men de schakeling van de magnetische

modulator aanmerkelijk vereenvoudigen op de volgende wijze. Men drukt een driehoekvormige

inductie B(t) aan de kern op d.m.v. een blokgolfvormige oscillatorspanning em(t) en onderzoekt wat

de overeenkomstige magnetiseringsstroom im(t) wordt. Fig. 6.22. Deze zal t.g.v. kernverzadiging

sterk gepiekt zijn.

B

04

1 2 3

AW

t

5

7

5

7

8

6

6

4

3 B ( t )

im ( t )im +

dc -AW

im -

13

2

1

0

4 6 80

Figuur 5.48. Magnetiseringsstroom Im(t) bij een opgedrongen inductie B(t).

Men ziet dat als het totaal aantal dc-ampèrewindingen AW nul is de positieve en negatieve

piekwaarden (im+ en im-) gelijk zijn. Indien AW ≠ 0 zal im asymmetrisch worden. Op de figuur is te

zien dat im->im+ geworden is door de negatieve waarde van AW. De piekwaarden geven dus

informatie over grootte en zin van AW. Daar het zeer moeilijk is een goede offsetloze en vlugge

piekdetector te bouwen is deze methode niet betrouwbaar. Men ziet echter in dat de gemiddelde

waarde van het positieve en negatieve deel ook verschillend zijn. M.a.w. dit verschil kan als maat

Fundamentele Elektrische Metingen B5.48

dienen voor AW. Het volstaat im(t) door een laagdoorlaat-filter te sturen om de ac-componenten te

verwijderen. Na het filter bekomt men de gewenste spanning om de VCCS van de modulator te

sturen. Ook hier zal men dus de dc-flux in de kern automatisch op nul houden.

Om invloed van de oscillator offset te vermijden kan de blokgolf via een condensator met Nm

worden gekoppeld. Daardoor zal de informatie over AW in het gemiddelde verdwijnen. Om deze

informatie over AW te herstellen gaat men als volgt te werk: men weegt d.m.v. een niet-lineaire

functie het positieve en negatieve deel van im(t), bijvoorbeeld met xn (n = 2...3) of ex.. Als

gevolg hiervan zullen na deze weging de oppervlakten onder de positieve en negatieve delen

verschillend geworden zijn. Bij de hoogste piekwaarde zal de hoogste oppervlakte behoren en

omgekeerd. Men telt nu de gewogen golfvormen op en gebruikt het gemiddelde over een periode

ervan als VCCS stuursignaal. In de praktijk kan men twee anti-parallel geschakelde diodes in de

keten van im(t) opnemen. De gemiddelde spanning over deze dioden geeft dan de nodige

informatie.

6.1.4. Stroommeting met Hall-element

Het Hall-element produceert een spanning die evenredig is met de inductie loodrecht op het element

en de stroom I die men er door stuurt: VH = K B I. In de Appendix I bij dit hoofdstuk geven we ter

herinnering de theorie van het Hall-element. Het Hall-element is gevoelig voor gelijkstroom velden

en ac-velden tot enkele 100 kHz. Tegenwoordig integreert men het plaatje samen met een

differentiaalversterker zodat de differentiaalspanning VH versterkt beschikbaar is.

6.1.5. Eenvoudige stroomtransducer met Hall-element

We verwijzen naar de Figuur 5.49 en veronderstellen voorlopig dat er geen terugkoppelketen

aanwezig is zodat I2 = 0. In de luchtspleet (dikte δ) van een magnetische keten met gemiddelde

ijzerlengte lij wordt een Hall-element geplaatst. Deze keten wordt gekoppeld met een stroom Ix via

een spoel N1. Men schrijft nu de wet van Ampère en de wet het behoud van de normaalcomponent

van de inductie B in de luchtspleet van de magnetische keten:

ij 0 ij 0

ij ij 1 x

B H H

H l H N Iδ

δ

µ µ µ

δ

= = + =

. (5.41)

Fundamentele Elektrische Metingen B5.49

Ix

N1

E0

N2

B

h

I2

R

Figuur 5.49. De “Transfoshunt”.

In deze vergelijkingen zijn nog: µij en µ0 de permeabiliteit van het ijzer en de lucht, Hij en Hδ de

veldsterktes in ijzer en lucht. Uit vgl. (5.41) volgt dan de inductie B die het element voelt:

1 x 1 x0 ij

ij

ij

N I N IB lµ µ µδδ

µ

0= ≈+

. (5.42)

De laatste benadering in vgl. (5.42) is geldig zolang δ klein t.o.v. lij / µij. Men stelt vast dat de

Hallspanning VH evenredig is met Ix zodat men de onbekende stroom kan meten. Het verband is

nochtans niet volledig lineair omdat de magnetiseringscurve van het ijzer een stroomafhankelijke µij

veroorzaakt. Ook zal µij van de kerntemperatuur afhangen. Niettegenstaande dit probleem is het

mogelijk om grote stromen vrij nauwkeurig te meten.

Men ziet ook dat de Hall-constante K de schaalfactor beïnvloedt. Om deze fouten te vermijden zal

terugkoppeling toepassen vergelijkbaar met wat werd gedaan voor de magnetische modulator.

6.1.6. Gesloten kring stroomtransducer

We breiden nu het circuit van Figuur 5.49 uit met de terugkoppelketen. Dit geeft het schema van de

zogenaamde transfoshunt (Firma LEM) of Transtronic (Firma ABB). De Hall-spanning wordt nu

versterkt in een versterker die bij machte is om de ampèrewindingen N1 Ix te compenseren met een

uitgangsstroom I2. Men veronderstelt verder dat de kringwinst zo groot is dat de inductie in de

luchtspleet tot nul nadert. De uitgangsspanning van het circuit wordt over een weerstand R

afgenomen. Men heeft dan:

10 2 x

2

NE R I R IN

= = . (5.43)

Fundamentele Elektrische Metingen B5.50

De meeste van de bovengenoemde effecten hebben nu geen invloed meer omdat het ijzer in principe

veldloos is. De fouten die overblijven zijn een gevolg van versterker en Hall-element offset en een

eventueel remanent dc-veld in de kern. Een nauwkeurigheid van 0,5% en een bandbreedte van 100

kHz zijn probleemloos te bekomen. De transfoshunt vertoont echter doorgaans meer uitgangsoffset,

d.i. E0 ≠ 0 voor Ix = 0, dan de magnetische modulator omdat bij deze laatste het effect van een

toevallige gelijkstroommagnetisatie bij elke periode van de magnetiseringsstroom wordt uitgewist

door het periodiek satureren van de kern.

Bij alle beschreven contactloze stroommetingen blijft het nadeel dat men de kern moet koppelen met

de draad waar Ix doorloopt. Voor grote stromen kan men de kern als clip-on probe uitvoeren en

N1 = 1 nemen. Voor kleinere stromen moet men N1 groter nemen om de gewenste volle-schaaluitslag

te kunnen bereiken. Bij de Tektronix stroomprobe houdt men de gevoeligheid hoog door enerzijds de

kern uit een materiaal met zeer grote permeabiliteit te maken en anderzijds door het gebruik van een

speciale versterker. Men bereikt dan gevoeligheden in het mA-bereik.

Bij de transfoshunt is de bandbreedte beperkt tot een 100 kHz; voor de magnetische modulator is

dit zelfs maar enkele kHz omdat de oscillatorfrequentie moet worden beperkt om niet teveel

kernverlies te hebben. Bij Tektronix heeft men dit opgelost door een stroomtransformator te

combineren met het Hall-element op de kern. De stroomtransformator wordt dan voor de hoge

frequenties toegepast (tot 50 MHz ongeveer) en het Hall-element voor dc en de lage frequenties.

Door een eerste-orde laagdoorlaat- en hoogdoorlaatkarakteristiek te geven aan respectievelijk het

pad van het Hall-element en dit van de stroomtransformator kan men door optellen van de

uitgangsspanningen een totale vlakke weergave curve bekomen (onder welke voorwaarde is dit

correct?). Deze probe blijft echter problemen geven indien men stroom wil meten van draden die

op een hoge potentiaal staan wegens mogelijke doorslagfenomenen tussen draad en kern. Vooral

bij vermogenselektronische schakelingen veroorzaakt dit wel eens problemen.

6.1.7. De Rogowski stroomprobe

De laatste jaren heeft men een oude uitvinding die toelaat om stromen contactloos te meten

herontdekt. Het betreft de zogenaamde magnetometer van Rogowski. Deze werd oorspronkelijk

ontwikkeld om een magnetisch potentiaalverschil te kunnen meten tussen twee punten op dezelfde

wijze als men elektrisch potentiaalverschil meet. De theorie werd al eerder besproken in het

hoofdstuk over de magnetische metingen. Er bestaan verschillende constructies naargelang de

toepassing. Voor het meten van de stroom in een hoogspanningslijn kan men bijvoorbeeld een

perspex ring over de ganse omtrek omwikkelen met draad en de lijn door het gat van de ring steken.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.51

Daarbij zijn de noch de exacte diameter van de ring , noch de vorm ervan, relevant. Men kan dus

steeds op voldoende afstand van de lijn blijven. Men kan ook een clip-on uitvoering maken die dan

rond een draad kan worden gelegd zonder de keten te verbreken. Bewikkelt men een soepele buis

(plastic of gummi) volledig dan zal men het magnetisch potentiaalverschil tussen de twee uiteinden

kunnen meten. In elk geval is dit niet toepasbaar op dc-velden zonder dat men de probe-uiteinden van

plaats verwisselt. In dat geval moet men immers een ladingsmeting uitvoeren. Voor ac-velden bestaat

die complicatie niet.

Tijdens een stroommeting zal men dus de stroomdraad waar de ac-stroom i(t) doorvloeit door de ring

steken. Met de soepele darm volstaat het deze rond de draad te plaatsen en beide uiteinden tegen

elkaar te houden. In appendix II wordt aangetoond dat voor een uniforme bewikkeling met n1 toeren

per meter van de ring of buis met sectie s in dat geval de uitgangsspanning van de spoel is:

0 1dd

ie n st

µ0= − . (5.44)

Na integratie vindt men dus de stroom i(t):

0

1 0

d( )

e ti t

n s µ= − ∫ . (5.45)

De Rogowski-spoel mag niet belast worden om te vermijden dat haar zelfinductie in combinatie

met een eventuele belastingsimpedantie een fout veroorzaakt. Men zal daarom niet-inverterende

opampschakeling gevolgd door een opamp-integrator toepassen.

Het frequentiebereik hangt af van de eigenresonantiefrequentie van de spoel en deze daalt als de

lengte ervan toeneemt. Voor kleinere spoelen kan men tot enkele MHz meten. Dergelijke spoel is

interessant om de stoorstromen te bepalen die een schakeling produceert.

6.2. Specifieke transducers voor magnetische velden

Magneetveldgevoelige sensoren reageren op dc of ac magnetische velden. Tot de technische sensoren

behoren het Hall-element, de veldplaat en de flux-gate. Toestellen die meer geschikt zijn voor

laboratoriummetingen werken met NMR of ESR probes. Ten slotte wordt voor uiterst gevoelige

metingen de SQUID toegepast.

6.2.1. Hall-elementen

Hallelementen worden met de halfgeleider GaAs geconstrueerd en soms is een versterker

geïntegreerd op het plaatje (al dan niet met temperatuurscompensatie). Een typisch toestel (Metrolab

Fundamentele Elektrische Metingen B5.52

of Walker Scientific) werkt met uitwisselbare gekalibreerde Hall-elementen zodat een breed

gevoeligheidsbereik wordt bekomen. De volle-schaalwaarden gaan van 20 mT tot 2T met resoluties

van 0,01 mT tot 1 mT. De nauwkeurigheid is van de orde 0,1 tot 2%. Het gamma beschikbare sondes

is zeer uitgebreid zodat zij in verschillende situaties bruikbaar zijn:

• sondes met aangepaste FS waarde of nauwkeurigheid

• sondes die axiaal of transversaal gevoelig zijn

• sondes die het veld in een punt en voor drie loodrecht op elkaar staande richtingen bepalen.

De grootte van de inductie wordt dan onmiddellijk berekend door het toestel.

• sondes met speciale vorm, bijvoorbeeld voor de meting in een kleine luchtspleet.

De frequentieweergave kan van 20 tot 100 kHz gaan. Bij ac metingen is er mogelijkheid om een

"True-rms" aflezing te bekomen.

6.2.2. De veldplaat

Veldplaten zijn weerstanden die gevoelig zijn voor magnetische velden. Ze werden ontwikkeld door

de firma Siemens rond 1965.

(c) (d)(a) (b)

I

B

g

B-1T +1T

RB

0R

Figuur 5.50. (a) Verloop van de stroomlijnen in Hall-element, (b) Stroomlijnen bij serieschakeling van elementen, (c) Halfgeleider met kortsluitnaalden, (d) Weerstandsverloop in functie van de inductie.

Bij het gewone Hall-element wordt, zoals eerder gezien, de excitatiestroom in aanwezigheid van een

magnetische inductie afgebogen naar een zijde van het element. Naast het ontstaan van de

Hallspanning zal dit effect er de oorzaak van zijn dat de weerstand die de excitatiebron ziet iets

toeneemt in aanwezigheid van een B-veld ( Figuur 5.50(a)). Bij een breed Hall-element zal dit effect

sterker zijn dan bij een lang element.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.53

Bij de veldplaat heeft men een grote weerstandsvariatie bereikt door twee maatregelen:

• keuze van de halfgeleider, bijvoorbeeld indiumantimonide,

• het in serie schakelen van vele kleine elementen met een geleidende tussenlaag (g),

Figuur 5.50(b).

In de praktijk wordt een 1,8% nikkelantimonide (NiSb) toegevoegd aan het indiumantimonide.

Wanneer men dit mengsel op de gepaste wijze laat afkoelen bekomt men door dit toevoegsel

naaldvormige geleidende kristallen (lengte ongeveer (50 µm dikte 1 µm). Figuur 5.50(c). Door deze

kunstgrepen is het effect zo sterk dat de stroombaan in aanwezigheid van veld ongeveer 80° zal

afbuigen van de rechte baan (voor B = 1 T). De verhouding weerstand RB bij B ≠ 0 tot R0 voor B = 0

heeft een typisch parabolisch verloop voor B ≤ 0,3 T. Naarmate de inductie toeneemt zal dit verloop

meer en meer lineair worden. Figuur 5.50d. Om deze reden zal men soms onder het substraat een

kleine permanente samarium-cobalt (SmC0) magneet aanbrengen om het nulpunt te verschuiven. Het

wordt dan ook mogelijk het teken van B te detecteren. Veldplaten worden eerder als positiesensor

toegepast dan voor het meten van velden als gevolg van de onpraktische RB/R0 curve.

6.2.3. De flux-gate sensor

Met de flux-gate sensor kunnen zwakke magnetische velden gemeten worden. Hij wordt daarom o.a.

toegepast als elektronisch kompas. Het werkingsprincipe is vrij eenvoudig (Figuur 5.51).

im

uH

mN

dN

dN

B

A

C C

m

u

Figuur 5.51. Opbouw van de flux-gate sensor. De wikkeling Nm is gelijkmatig verdeeld over de kern en voert een magnetisatiestroom im. De detectiewikkeling is Nd.

Een uitwendig veld Hu zal gedeeltelijk naar een ringkern afgebogen worden en ter hoogte van de

sectie AB een flux Φu veroorzaken. Magnetiseert men nu de kern d.m.v. een wikkeling Nm die een

wisselstroom im voert, dan is m uϕ + Φ de flux in de sectie A en m uϕ − Φ deze in B. Bij de positieve

Fundamentele Elektrische Metingen B5.54

periode van jm zal de kern vlugger in A dan in B verzadigen en vice versa voor de negatieve periode.

Deze asymmetrie kan vrij eenvoudig worden gedetecteerd. Bijvoorbeeld kan men een

magnetiseringswikkeling gebruiken die d.m.v. een blokgolfvormige spanning (+E, -E) aangestuurd

wordt. D.w.z. dat de flux lineair met de tijd toeneemt. De magnetiseringscurven in A en B zijn nu

over een waarde Hu naar links en rechts verschoven t.o.v. de echte curven. Figuur 5.52(a).

De blokgolf wordt automatisch omgeschakeld wanneer beide secties verzadigd zijn. Figuur 5.52(c).

Men plaatst nu een smalle spoel Nd volledig rond de kern en met de sectie loodrecht op de richting

van Hu, zodat er de flux φA - φB doorgaat. Uit de figuren b, d en e volgt dat de geïnduceerde spanning

in dit raam evenredig is met 2 DΦ ~ 2 Hu. De amplitude van deze spanning is dus evenredig met Hu.

Merk op dat voor een raam dat de secties C-C bevat er geen geïnduceerde spanning optreedt. M.a.w.

de flux-gate sensor detecteert ook de richting van Hu. Te samen met zijn grote gevoeligheid maakt dit

hem zeer geschikt als elektronisch kompas.

(c)

(a)

(b)

(d)

(e)t

t 2 t 31t

d t

d( )A B-

0

t 2

t31tA B-

-

H Hu m+

tt 2 t 31t

A B-

2

-

tt 2 t 30 1t

( )tim

A B+

E+

E

0

t

t 2

2t 3

A

Hu HH

u

B

t

1t

1t

,A B+

Figuur 5.52. (a) Flux in de sectie A en B, (b) Verschilflux in de meetspoel, (c) en (d) Verloop van ΦA + ΦB en ΦA- ΦB in de tijd, (e) Geïnduceerde e.m.k.

Een typische flux-gate magnetometer van de firma Walker Scientific bestrijkt de gebieden

0,2T/0,02T/0,002T (FS). De resolutie bedraagt 1/2000 en de nauwkeurigheid is + 0,5% FS, lineariteit

+ 0,02%. In ac is het toestel bruikbaar tot 50 of 100 Hz.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.55

Typische toepassingsgebieden zijn: kalibratie van Helmholtzspoelen, meting van zwakke velden in

rotsen, het in kaart brengen van een veldverstoring t.g.v. de aanwezigheid van ferromagnetische

voorwerpen, meting van de attenuatie van magnetische schermen,…

6.2.4. NMR en ESR toestellen

Beide toestellen zijn gesteund op de bepaling van de precessiefrequentie van stoffen in aanwezigheid

van magnetische velden. Algemeen zijn er twee mogelijkheden die het magnetisch moment in een

stof verklaren. In het eerste geval veroorzaakt een elektron dat rond een kern draait een moment. In

het tweede geval komt het moment van de elektronspin. Wanneer de gepaste materie in een B-veld

wordt gebracht zullen de magnetische momenten zich trachten te richten volgens dit veld. Door de

rotatie van het elektron zal dit echter niet ogenblikkelijk kunnen gebeuren: het atoom precesseert

eerst en komt uiteindelijk in rust als gevolg van demping. De precessiefrequentie hangt nauw samen

met het uitwendige B-veld. Bestraalt men anderzijds het atoom met microgolven op de

precessiefrequentie dan blijven de atomen precesseren en er wordt een maximale energie aan de bron

onttrokken.

De nucleaire magnetische resonantie (NMR) toestellen werden uitgedacht door K. Borer en G.

Fremont van het CERN onderzoeksinstituut in 1977. De gevoelige cel is een reservoir gevuld met

waterstof of zwaar water (D2O). In dit laatste geval is de cel echter niet bruikbaar beneden het

vriespunt.

Een typisch NMR toestel van Metrolab gaat, op voorwaarde dat men meerdere sondes gebruikt, van

0,011 tot 13,7 T met een resolutie van 10-7 T en dit met een relatieve nauwkeurigheid die beter dan +

10-7 kan zijn! De NMR Teslameters worden toegepast voor de nauwkeurige meting van statische of

traag variërende velden. Het werkingsprincipe vereist wel dat een eventuele veldgradiënt lager blijft

dan 200 tot 1300 ppm/cm.

De ESR toestellen gebruiken elektronspin resonantie. Een typische stof is fluoranthene, dit is een

organische geleider waarvan vastgesteld werd dat de resonantiefrequentie 28,0255 + 50 GHz/T

bedraagt. In tegenstelling met de NMR mag de veldgradiënt groot zijn en het werkgebied gaat van

0,5 tot 3 milli-Tesla. De ESR methode is dus gevoeliger dan NMR.

6.2.5. De SQUID

De SQUID (Superconducting quantum interference device) is een supergeleider (bvb. Vanadium) en

de werking steunt op het verbreken van de supergeleiding wanneer een kritische stroomdichtheid

wordt overschreden. Deze kritische stroomdichtheid is echter een periodische functie van het aantal

Fundamentele Elektrische Metingen B5.56

fluxkwanta dat de fluxcel doorsnijdt. Toestellen die een Squid gebruiken hebben daardoor een uiterst

grote gevoeligheid, bijv. 10-9 T FS of beter. Zij worden vooral in de fysica toegepast, o.a. voor het

meten van kleine variaties in het aardmagneetveld. In standaard laboratoria kunnen zij als nuldetector

bij stroomcompensatoren worden opgesteld. Wegens de noodzaak om de probe af te koelen met

vloeibaar helium is de bruikbaarheid ervan beperkt tot het labo.

7. Bronvermelding en literatuurlijst

7.1. Boeken: [1] J. Fraden, "AIP Handbook of Modern Sensors"

[2] Georges Asch, "Les Capteurs en Instrumentation Industrielle"

[3] John P. Bentley, "Principles of Measurement Systems"

[4] P. Rai-Choudhury, "Handbook of Microlithography, Micromachining and Microfabrication, Volume 2"

[5] Aldert Van Der Ziel, “Noise”, Prentice-Hall

7.2. Webpagina's http://www.rdpelectronics.com/displacement/lvdt/lvdt-principles.htm

http://www.sensorland.com

http://design.stanford.edu/Courses/me220/me220.html

http://www.omega.com/literature/transactions/volume3/strain.html

http://www.fpga4fun.com

Fundamentele Elektrische Metingen B5.57

Appendix I bij het hoofdstuk “Sensoren en transducers”.

Principe van het Hallelement

Het "Hall"-element is een dun halfgeleider plaatje (Fig. AI-1) waar een stroom door gestuurd wordt in

lengterichting. Indien het plaatje in een B-veld geplaatst wordt zal de component ervan die loodrecht

op het plaatje staat, een Lorentzkracht veroorzaken op de ladingsdragers (snelheid v, aantal n).

Daardoor ontstaat er een elektrisch dwarsveld dat spanning produceert tussen de elektroden h1 en h2.

a b

h1

h2

Bn

x

y

h1

I

Bn

b

I

d

h2

Fig. AI-1. (a) Het Hall plaatje, (b) afbuiging van de stroomlijnen.

Kracht op eenheidslading:

x x( ) of nog F q v B F B v e= × = .

Dit geeft een hogere ladingsdichtheid in het punt h1 dan in h2 waardoor een Ey-veld ontstaat. Dit Ey-

veld zal een tegengestelde kracht e Ey op de lading e uitoefenen. In stationaire toestand zijn beide

krachten gelijk, dus:

y xE B v= .

Wat is nu het verband tussen I en vx?

De elektronenconcentratie n in het element, waarbij [n] = m-3, bepaalt samen met vx het ladingsdebiet

en dus I. Per seconde hebben zich zoveel ladingen verplaatst als er in het element vx b d zitten, nl. vx b

d n. De verplaatste lading per seconde, of de stroom I is dus vx b d n e. Bijgevolg:

xIv

b d ne= .

De spanning VH tussen de punten h1 en h2 volgt na integratie van het veld Ey:

Fundamentele Elektrische Metingen B5.58

H y x0

dh

V E y B v h= =∫ .

Na substitutie van de waarde van vx verkrijgt men dus:

HB IV K B I

d ne= =

met K de Hallconstante, [K] = V A-1T-1.

Men ziet dat het noodzakelijk is een dun halfgeleiderlaagje te kiezen omdat d n e niet te groot mag

zijn i.v.m. de gevoeligheid. Verder is VH evenredig met I; het is dus belangrijk I groot te maken

indien men een grote gevoeligheid wenst. Dit zal echter de dissipatie in het element vergroten en de

thermische fouten (offset bijv.) doen toenemen.

Men gebruikt gekalibreerde Hallelementen voor het meten van inducties van 0,1T tot enkele Tesla in

de lucht in de zogenaamde Gaussmeters. Een goede nauwkeurigheid bereikt men door het toestel

regelmatig te kalibreren d.m.v. een ijkmagneet met gekende inductie. Er bestaan tegenwoordig Hall-

elementen die met een complexe schakeling geïntegreerd worden met het doel de offset te beperken.

Hiertoe wordt door schakelen tussen verschillende elementen deze offset gecompenseerd.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.59

Appendix II bij het hoofdstuk “Sensoren en transducers”:

Bepaling van magnetisch potentiaalverschil

De magnetometer van Rogowski is het analogon van de voltmeter, d.w.z. dat het een toestel is dat het

magnetische potentiaalverschil VA-VB meet zonder dat de magnetiserende stroom i of de geometrie

van de keten precies gekend zijn. Men omwikkelt een dunne, plooibare isolerende reep (of buis) met

n1 windingen per meter. De sectie van elke winding is s.

Fig. A5-II. 1. (a) Bepaling van het magnetische potentiaalverschil d.m.v. de magnetometer van Rogowski, (b) Berekening, (c) Toepassing op stroommeting.

Men plaatst de reep op de punten A en B welke op magnetische potentialen VA en VB staan. Fig. A5-

II. 1a. De methode kan zowel ballistisch als voor ac toegepast worden. Bij een ladingsmeting meet

men bijvoorbeeld de fluxvariatie ∆Φ wanneer Φ van Φ1 naar Φ2 gaat, of men verwisselt de

eindpunten van de reep zodat de flux erin omkeert. We weten dat VA - VB onafhankelijk is van de

gevolgde weg en dus:

A BAMB

d V V H . l− = ∫ . (A5-II.46)

De flux gekoppeld met een elementair stuk dl van de reep volgt uit het feit dat dl een aantal

windingen n1 dl bevat (Fig. A5-II. 1b):

1 0d d cos s n l Hµ αΦ = . (A5-II.47)

Totale flux

1 1 0 A BAMB

cos d ( ) waaruit volgt:s n H l s n V Vµ α µ0Φ = = −∫ (A5-II.48)

A B A B1 0 1 0

of (ballistisch)2

V V V Vn s n sµ µ

Φ ∆Φ− = − = (A5-II.49)

Fundamentele Elektrische Metingen B5.60

De magnetometer van Rogowski wordt als dusdanig niet meer aangewend, maar een moderne

toepassing vindt men bij het contactloos meten van een stroom i (Fig. A5-II. 1c). Hierbij omwikkelt

men een buis (uit perspex, of gewoon een gummi darm) en men legt die rond een stroomvoerende

geleider zodat de punten A en B samenvallen. Men kan ook een clip-on uitvoering maken die dan

rond een draad kan worden gelegd zonder de keten te verbreken. De spanning geïnduceerd in de

spoel wordt met een hoogohmige versterker gemeten en ten slotte geïntegreerd. De kring is nu wel

met i gekoppeld en VA = VB. Bijgevolg:

B A1 0

.dV V i i H ln s

ϕµ

− + = = =∫ . (A5-II.50)

Voor een versterker met winst A bekomt men na integratie van de uitgangsspanning eo:

o1 0

1( ) di t e tA n s µ

−= ∫ . (A5-II.51)

Deze methode is vooral geschikt voor leidingen waarop een hoge spanning staat. Men kan immers

de diameter van de lus willekeurig groot maken zonder dat dit de aflezing beïnvloedt. Verder zijn

noch de exacte positie noch de vorm van de lus belangrijk. Wanneer de spoel en de versterker-

integrator zorgvuldig ontworpen zijn kan men tot enkele MHz meten zodat deze methode ook in de

vermogenselektronica bruikbaar wordt.

Fundamentele Elektrische Metingen B5.61

DEEL B. HOOFDSTUK V. SENSOREN EN TRANSDUCERS ................................................................1 1. Inleiding....................................................................................................................................................1 2. Definitie van sensorkarakteristieken .....................................................................................................2

2.1. Statische transferfunctie ....................................................................................................................3 2.2. Gevoeligheid en sensitiviteit .............................................................................................................3 2.3. Dynamisch bereik..............................................................................................................................3 2.4. Nauwkeurigheid ................................................................................................................................4 2.5. Hysteresis ..........................................................................................................................................4 2.6. (Niet-)Lineariteit ...............................................................................................................................5 2.7. Ruis....................................................................................................................................................5 2.8. Resolutie............................................................................................................................................6 2.9. Dynamische transferfunctie en bandbreedte......................................................................................6

3. Sensorelektronica en signaalconditionering..........................................................................................8 3.1. Uitlezen van sensoren........................................................................................................................8 3.2. Signaalconditionering........................................................................................................................8 3.3. Types signaalconditioneerders ..........................................................................................................9

3.3.1. Amplitudemodulerende signaalconditioneerders ......................................................................9 3.3.2. Frequentiemodulerende signaalconditioneerders ....................................................................10

3.4. Linearisatie van sensoruitlezingen ..................................................................................................11 3.4.1. Linearisatie van een niet-lineaire sensor .................................................................................12 3.4.2. Stroomsturing ..........................................................................................................................15 3.4.3. Klein-signaal werking .............................................................................................................15 3.4.4. Push-pull werking....................................................................................................................16 3.4.5. Linearisatie van de brug van Wheatstone met een operationele versterker.............................17 3.4.6. Linearisatie achteraf ................................................................................................................17 3.4.7. Numerieke linearisatie.............................................................................................................18

3.5. Transporteren van meetdata over grote afstand...............................................................................18 3.5.1. Stroomtransmissie (4-20 mA) .................................................................................................18 3.5.2. Frequentie-modulatie...............................................................................................................19 3.5.3. Digitaliseren ............................................................................................................................19

4. Types van sensoren................................................................................................................................20 4.1. Inleiding...........................................................................................................................................20 4.2. Sensoren die een digitaal signaal produceren..................................................................................21

4.2.1. Schakelaars ..............................................................................................................................21 4.2.1.1. Bimetaalstrips ................................................................................................................21 4.2.1.2. Tilt- of hellingschakelaars.............................................................................................21

Fundamentele Elektrische Metingen B5.62

4.2.2. Verplaatsings- en positie-encoders..........................................................................................22 4.2.2.1. Absolute encoders (positie-encoders)...........................................................................22 4.2.2.2. Incrementele encoders (verplaatsingsencoders) .........................................................23

4.3. Sensoren die een elektromotorische kracht produceren ..................................................................25 4.3.1. Temperatuur: thermokoppel ....................................................................................................25 4.3.2. Licht: fotovoltaïsche sensoren.................................................................................................28 4.3.3. Trillingen, geluid: elektreten ...................................................................................................29

4.4. Sensoren gebaseerd op een verandering van weerstand..................................................................29 4.5. Rek: rekstrookje ..............................................................................................................................29

4.5.1. Temperatuur ............................................................................................................................31 4.5.1.1. De RTD ...........................................................................................................................31 4.5.1.2. Elimineren van de weerstand van de toevoerleidingen ..............................................31 4.5.1.3. "Warme draad".............................................................................................................32

4.5.2. Licht: fotogeleiders..................................................................................................................33 4.6. Sensoren gebaseerd op een verandering van capaciteit...................................................................34

4.6.1. Verplaatsing en versnelling .....................................................................................................34 4.6.2. Druk.........................................................................................................................................35 4.6.3. Debieten...................................................................................................................................35 4.6.4. Vocht .......................................................................................................................................35

4.7. Sensoren gebaseerd op een verandering van (mutuele) inductantie................................................37 4.7.1. Verplaatsing: de LVDT ...........................................................................................................37 4.7.2. Afstandsensoren ......................................................................................................................38

5. Vervangschema’s en ruis van een sensor ............................................................................................39 5.1. Het elektrische vervangschema van een transducer ........................................................................39 5.2. Ruis in transducers ..........................................................................................................................43

6. Transducers van elektrische grootheden.............................................................................................45 6.1. Spannings- en stroomtransducers ....................................................................................................45

6.1.1. Contactloze stroommeting in wisselstroom.............................................................................46 6.1.2. Contactloze stroommeting in gelijkstroom..............................................................................46 6.1.3. Technische magnetische modulator.........................................................................................47 6.1.4. Stroommeting met Hall-element .............................................................................................48 6.1.5. Eenvoudige stroomtransducer met Hall-element ....................................................................48 6.1.6. Gesloten kring stroomtransducer.............................................................................................49 6.1.7. De Rogowski stroomprobe ......................................................................................................50

6.2. Specifieke transducers voor magnetische velden ............................................................................51 6.2.1. Hall-elementen. .......................................................................................................................51 6.2.2. De veldplaat.............................................................................................................................52

Fundamentele Elektrische Metingen B5.63

6.2.3. De flux-gate sensor ..................................................................................................................53 6.2.4. NMR en ESR toestellen ...........................................................................................................55 6.2.5. De SQUID ...............................................................................................................................55

7. Bronvermelding en literatuurlijst ........................................................................................................56 7.1. Boeken:............................................................................................................................................56 7.2. Webpagina's.....................................................................................................................................56