fs321 capitulo 1
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FS-321
Profesor: Rafael Barahona Paz
Notas del curso
Libro de texto: Campos ElectromagnéticosRoald K. Wangsness
Libro de texto auxiliar: Introduction to ElectrodynamicsDavid Griffiths
Otros materiales utilizados: Notebooks de Mathematica:
GradientJohn B. SchneiderTomado de www.wolfram.com
DivergenceJohn B. SchneiderTomado de www.wolfram.com
Modelos en 3D y gráficos se hicieron utilizando “3D Studio Max”
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 3
Capítulo I. Vectores
Un vector puede representarse de la forma:
zAyAxAA zyx ˆˆˆ ++=
y
z
x
A
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zyx ˆ,ˆ,ˆDonde son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes “x”, “y” y “z” respectivamente.
son las componentes escalares del vector zyx AyAA ,
x
y
A
yA
xA
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El módulo de lo encontramos usando:
222
zyAAAA x ++=
A
Vector unitario:
Un vector unitario en la dirección de se define como:A
222ˆ
zyAAA
A
A
Aa
x ++==
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Angulos directores:
Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes
A
x
y
z
αβ
γ
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De la figura se observa que:
A
x
y
z
α
xA
αcosAAx =
De igual forma:
βcosAAy =
γcosAAz =
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Los cosenos directores se definen como:
αcos=x
βcos=y
γcos=z
A
AAA x
xx =→= αcos
zA
Ay
A
Ax
A
A
A
Aa zyx ˆˆˆˆ ++==
zyxa zyx ˆˆˆˆ ++=
1222 =++ zyx
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Vector de posición:
zzyyxxr ˆˆˆ ++=
x
y
rP
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Vector de posición relativa:
zzyyxxr ˆˆˆ ++=
x
y
rP'r
P’ R
zzyyxxr ˆ'ˆ'ˆ'' ++=
zzzyyyxxxR ˆ)'(ˆ)'(ˆ)'( −+−+−=
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Producto escalar:
Sean dos vectores A y B:
zAyAxAA zyx ˆˆˆ ++=
zByBxBB zyx ˆˆˆ ++=
Entonces:
zzyyxx BABABABA ++=⋅
θcosBABA
=⋅
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Graficamente:
A
B
θcosA
θ
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Producto escalar de vectores unitarios:
0ˆˆ =⋅ yx
0ˆˆ =⋅ zx
0ˆˆ =⋅ zy
1ˆˆ =⋅ xx
1ˆˆ =⋅ yy
1ˆˆ =⋅ zz
Si es un vector unitario en una dirección determinada, entonces la componente de en esa direccion es:e
A
eAAe ˆ⋅=
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Algunas propiedades del producto escalar:
ABBA
⋅=⋅
2AAA
=⋅
BAsiBA
⊥=⋅ ,0
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Producto vectorial:
Sean dos vectores A y B:
zAyAxAA zyx ˆˆˆ ++=
zByBxBB zyx ˆˆˆ ++=
Entonces:
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
ˆˆˆ
=×
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Producto vectorial:
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
ˆˆˆ
=×
...ˆ)( xBABABA yzzy −=×
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Producto vectorial:
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
ˆˆˆ
=×
...ˆ)(ˆ)( +−−−=× yBABAxBABABA xzzxyzzy
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 18
Producto vectorial:
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
ˆˆˆ
=×
zBABAyBABAxBABABA xyyxxzzxyzzy ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−=×
Ademas:
θsenBABA
=×
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Producto vectorial de vectores unitarios:
zyx ˆˆˆ =×
xzy ˆˆˆ =×
yxz ˆˆˆ =×
0ˆˆ =× xx
0ˆˆ =× yy
0ˆˆ =× zz
x
y
z
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Algunas propiedades del producto vectorial:
ABBA
×−=×
0=×AA
BAsiBA
,0=×
→⋅−⋅=×× )()()( BACCABCBA
Atrás del taxi
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Campo vectorial.
Velocidad del viento en un huracán
zzyxvyzyxvxzyxvv zyx ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++=
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Campo escalar
Valor de la presión atmosférica en un huracán
),,( zyxpp =
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Derivada de una función
0.5 1 1.5 2 2.5 3x
- 0.4- 0.2
0.20.40.60.8
1f
dxdx
dfdf
=
derivada
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Gradiente
),,( zyxfu =
sdudu ⋅∇=
udeGradienteu →∇
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
Potencial de un dipolo
-4
-2
0
2
4
y
-4
-2
0
2
4
z
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
V
-4
-2
0
2
4
y
-4
-2
0
2
4
z
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Gradiente de una función escalar
sdudu ⋅∇=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
zdzydyxdxsd ˆˆˆ ++=
( )zdzydyxdxz
uy
y
ux
x
udu ˆˆˆˆˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=
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Gradiente de una función escalar
sdudu ⋅∇=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
zdzydyxdxsd ˆˆˆ ++=
( )zdzydyxdxz
uy
y
ux
x
udu ˆˆˆˆˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=
dzz
udy
y
udx
x
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂=
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Gradiente de una función escalar
sdudu ⋅∇=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
zdzydyxdxsd ˆˆˆ ++=
( )zdzydyxdxz
uy
y
ux
x
udu ˆˆˆˆˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=
dzz
udy
y
udx
x
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 28
Gradiente de una función escalar
sdudu ⋅∇=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
zdzydyxdxsd ˆˆˆ ++=
( )zdzydyxdxz
uy
y
ux
x
udu ˆˆˆˆˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=
dzz
udy
y
udx
x
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂=
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Gradiente de una función escalar
sdudu ⋅∇=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
zdzydyxdxsd ˆˆˆ ++=
( )zdzydyxdxz
uy
y
ux
x
udu ˆˆˆˆˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=
dzz
udy
y
udx
x
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂=
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Propiedades importantes del Gradiente
• Se aplica a funciones escalares
• El gradiente de una función es un vector
θcosdsusdudu ∇=⋅∇=
• El gradiente apunta en la dirección de máximo cambio de la función
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¿ Qué información tendremos al calcular el gradiente de la presión en este caso?
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 32
)( 22
),( yxeyxf +−=
Ejemplo no. 1
Calcular el gradiente de la función:
yy
fx
x
ff ˆˆ
∂∂+
∂∂=∇
yeyxexf yxyx ˆ2ˆ2 )()( 2222 +−+− −−=∇
( ) ( )y
y
ex
x
ef
yxyx
ˆˆ)()( 2222
∂∂+
∂∂=∇
+−+−
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Fig . 1
-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2
0
0.25
0.5
0.75
1
-2
-1
0
1
2
)( 22
),( yxeyxf +−=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 34
=∇ ),( yxf yeyxex yxyx ˆ2ˆ2 )()( 2222 +−+− −−
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 35
Fig . 1
-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2
0
0.25
0.5
0.75
1
-2
-1
0
1
2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
),( yxf ),( yxf∇
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Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )22),( yxsenyxf +=
yy
fx
x
ff ˆˆ
∂∂+
∂∂=∇
( ) ( ) ( ) ( ) yyxy
yxxyxx
yxf ˆcosˆcos 2
122222
12222
+
∂∂++
+
∂∂+=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 37
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )22),( yxsenyxf +=
yy
fx
x
ff ˆˆ
∂∂+
∂∂=∇
( )
+=∇
2
1cos 22 yxf
( ) ( ) ( ) ( ) yyxy
yxxyxx
yxf ˆcosˆcos 2
122222
12222
+
∂∂++
+
∂∂+=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 38
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )22),( yxsenyxf +=
yy
fx
x
ff ˆˆ
∂∂+
∂∂=∇
( ) ( ) 2
12222
2
1cos
−+
+=∇ yxyxf
( ) ( ) ( ) ( ) yyxy
yxxyxx
yxf ˆcosˆcos 2
122222
12222
+
∂∂++
+
∂∂+=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 39
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )22),( yxsenyxf +=
yy
fx
x
ff ˆˆ
∂∂+
∂∂=∇
( ) ( ) ( ) xxyxyxf ˆ22
1cos 2
12222 −
+
+=∇
( ) ( ) ( ) ( ) yyxy
yxxyxx
yxf ˆcosˆcos 2
122222
12222
+
∂∂++
+
∂∂+=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 40
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )22),( yxsenyxf +=
yy
fx
x
ff ˆˆ
∂∂+
∂∂=∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yyyxyxxxyxyxf ˆ22
1cosˆ2
2
1cos 2
122222
12222 −−
+
+++
+=∇
( ) ( ) ( ) ( ) yyxy
yxxyxx
yxf ˆcosˆcos 2
122222
12222
+
∂∂++
+
∂∂+=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 41
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )22),( yxsenyxf +=
yy
fx
x
ff ˆˆ
∂∂+
∂∂=∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yyyxyxxxyxyxf ˆ22
1cosˆ2
2
1cos 2
122222
12222 −−
+
+++
+=∇
yyx
yxyx
yx
yxxf ˆ
cosˆ
cos22
22
22
22
+
++
+
+=∇
( ) ( ) ( ) ( ) yyxy
yxxyxx
yxf ˆcosˆcos 2
122222
12222
+
∂∂++
+
∂∂+=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 42
( )22),( yxsenyxf +=
-2
0
2
-2
0
2-0.5
0
0.5
1
-2
0
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 43
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
yyx
yxyx
yx
yxxf ˆ
cosˆ
cos22
22
22
22
+
++
+
+=∇
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( )22),( yxsenyxf +=
-2
0
2
-2
0
2-0.5
0
0.5
1
-2
0
2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
yyx
yxyx
yx
yxxf ˆ
cosˆ
cos22
22
22
22
+
++
+
+=∇
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Divergencia.
Campo vectorial sin divergencia
Campo vectorial con divergencia pronunciada
Campo vectorial divergente
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La divergencia calculada sobre un volumen, es diferente de cero si el número de líneas de campo que entran al volumen no es igual al número de líneas que salen.
Campo vectorial con divergencia pronunciada
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Conteo de líneas: una línea que entra al volumen la vamos a considerar negativa, si sale la consideraremos positiva
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 48
Lineas que entran: 1
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Lineas que entran: 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 50
Lineas que entran: 3
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Lineas que entran: 4
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 52
Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 1
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 53
Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 54
Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 3
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 55
Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 4
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La divergencia sobre el volumen es cero.
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La divergencia es diferente de cero, solamente si las lineas de campo nacen o mueren en el interior del volumen considerado.
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La divergencia sobre el volumen es diferente de cero.
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Divergencia.
zzyxAyzyxAxzyxAA zyx ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++=
Consideremos una función vectorial de la forma:
La divergencia de se calcula de la siguiente manera:A
z
A
y
A
x
AA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
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• Cuando la divergencia calculada sobre un volumen es diferente de cero, significa que en el interior de ese volumen las líneas de campo nacen o mueren.
Propiedades importantes de la divergencia
• Se aplica a funciones vectoriales
• La divergencia de una función vectorial es un escalar
+ −
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Ejemplo no. 1
Calcular la divergencia de la función:
yyxyxF ˆcosˆxsen),( +=
y
F
x
FF yx
∂∂
+∂
∂=⋅∇
yxF sencos −=⋅∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 62
-3 -2-1 0 1 2 3 4
-3-2-101234
X
Y
X Component
-4-2
02
4X
-4
-2024
Y-1
-0.50
0.51
-4-2
02
4X
Y Component
-4-2
02
4X
-4
-2024
Y-1
-0.50
0.51
-4-2
02
4X
yyxxsenyxF ˆcosˆ),( +=
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yyxxsenyxF ˆcosˆ),( +=
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 64
yyxxsenyxF ˆcosˆ),( +=
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 65
yxF sencos −=⋅∇
-4-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
-2
-1
0
1
2
-4-2
0
2
4
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 66
Ejemplo no. 2
Calcular la divergencia de la función:
yysenxyxyxF ˆˆcos),( −=
y
F
x
FF yx
∂∂
+∂
∂=⋅∇
yyF coscos −=⋅∇
0=⋅∇ F
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 67
-3-2-10 1 2 3 4
-3-2-101234
X
Y
X Component
-4-2
02
4X -4
-2024
Y-4-2024
-4-2
02
4X
Y Component
-4-2
02
4X -4
-2024
Y-1-0.50
0.51
-4-2
02
4X
yysenxyxyxF ˆˆcos),( −=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 68
yysenxyxyxF ˆˆcos),( −=
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 69
yysenxyxyxF ˆˆcos),( −=
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 70
yysenxyxyxF ˆˆcos),( −=
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 71
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
yy
xeyxFx
ˆ4
5.0ˆ),(2
4
2
−+=
−
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 72
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
yy
xeyxFx
ˆ4
5.0ˆ),(2
4
2
−+=
−
y
F
x
FF yx
∂∂
+∂
∂=⋅∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 73
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
yy
xeyxFx
ˆ4
5.0ˆ),(2
4
2
−+=
−
y
F
x
FF yx
∂∂
+∂
∂=⋅∇
−
=⋅∇ 16
2x
eF
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 74
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
yy
xeyxFx
ˆ4
5.0ˆ),(2
4
2
−+=
−
y
F
x
FF yx
∂∂
+∂
∂=⋅∇
−=⋅∇
−
16
216
2
xeF
x
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 75
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
yy
xeyxFx
ˆ4
5.0ˆ),(2
4
2
−+=
−
y
F
x
FF yx
∂∂
+∂
∂=⋅∇
16
2
16
216
2
yxeF
x
−
−=⋅∇
−
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 76
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
yy
xeyxFx
ˆ4
5.0ˆ),(2
4
2
−+=
−
y
F
x
FF yx
∂∂
+∂
∂=⋅∇
16
2
16
216
2
yxeF
x
−
−=⋅∇
−
8816
2
ye
xF
x
−−=⋅∇
−
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 77
-3-2-10 1 2 3 4
-3-2-101234
X
Y
X Component
-4-2
02
4X -4
-2024
Y0.40.60.81
-4-2
02
4X
Y Component
-4-2
02
4X -4
-2024
Y-0.5-0.2500.250.5
-4-2
02
4X
yy
xeyxFx
ˆ4
5.0ˆ),(2
4
2
−+=
−
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 78
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 79
8816
2
ye
xF
x
−−=⋅∇
−
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-0.5
0
0.5
-4
-2
0
2
4
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 80
Rotacional.
El rotacional de un campo vectorial mide la circulación del campo
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 81
Campos vectoriales con rotacional pronunciado
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 82
Campos vectoriales con rotacional pronunciado
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 83
Campos vectoriales con rotacional igual a cero
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 84
Rotacional.
zzyxAyzyxAxzyxAA zyx ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++=
Consideremos una función vectorial de la forma:
El rotacional de se define como:A
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 85
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 86
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 87
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 88
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 89
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 90
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 91
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 92
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 93
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 94
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 95
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 96
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 97
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 98
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 99
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 100
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 101
zyx AAA
zyx
zyx
A∂∂
∂∂
∂∂=×∇
ˆˆˆ
zy
A
x
Ay
z
A
x
Ax
z
A
y
AA xyxzyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂−
∂
∂−
∂∂
=×∇
xyz
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 102
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 103
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 104
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 105
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 106
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 107
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
( ) zF ˆ1=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 108
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
( ) zF ˆ)1(1 −−=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 109
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
( ) zF ˆ)1(1 −−=×∇
zF ˆ2=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 110
Ejemplo no. 1
-3-2-1 0 1 2 3 4
-3-2-101234
X
Y
X Component
-4-2
02
4X
-4
-2024
Y-4-2024
-4-2
02
4X
Y Component
-4-2
02
4X
-4
-2024
Y-4-2024
-4-2
02
4X
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 111
Ejemplo no. 1
yxxyyxF ˆˆ),( +−=
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 112
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 113
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 114
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 115
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 116
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 117
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 118
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 119
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
( ) zF ˆ1=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 120
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
( ) zF ˆ)1(1 −−=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 121
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
zy
F
x
Fy
x
F
z
Fx
z
F
y
FF xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
( ) zF ˆ)1(1 −−=×∇
zF ˆ2=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 122
-3-2-10 1 2 3 4
-3-2-101234
X
Y
X Component
-4-2
02
4X -4
-2024
Y0
1020
-4-2
02
4X
Y Component
-4-2
02
4X -4
-2024
Y0
1020
-4-2
02
4X
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 123
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 124
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 125
( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=
-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
X
Y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 126
Operador Nabla
zz
yy
xx
ˆˆˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 127
Operador Nabla
zz
yy
xx
ˆˆˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
Gradiente:
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
( )uzz
yy
xx
∂∂+
∂∂+
∂∂
ˆˆˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 128
Operador Nabla
zz
yy
xx
ˆˆˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
Divergencia:
( )zAyAxAzz
yy
xx zyx ˆˆˆˆˆˆ ++•
∂∂+
∂∂+
∂∂
z
A
y
A
x
AA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 129
Operador Nabla
zz
yy
xx
ˆˆˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
Rotacional:
( )zAyAxAzz
yy
xx zyx ˆˆˆˆˆˆ ++×
∂∂+
∂∂+
∂∂
zy
A
x
Ay
x
A
z
Ax
z
A
y
AA xyzxyz ˆˆˆ
∂
∂−
∂∂
+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 130
Laplaciano
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 131
Laplaciano
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇
2
2
2
2
2
22
z
u
y
u
x
uu
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
Cuando actúa sobre una función escalar:
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 132
∂
∂+
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂+
∂∂
∂
∂+
∂∂
+∂
∂
zz
A
y
A
x
A
yz
A
y
A
x
A
xz
A
y
A
x
A
zzz
yyy
xxx
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Cuando actúa sobre una función vectorial:
( )zAyAxAA zyx ˆˆˆ22 ++∇=∇
zAyAxA zyx ˆˆˆ 222 ∇+∇+∇=
=∇ A2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 133
Propiedades importantes
0=×∇⋅∇ A
0=∇×∇ u
( ) ( ) AAA 2∇−⋅∇∇=×∇×∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 134
Esto exclamó el Papa al firmar la bulacon que furioso excomulgó a Lutero:La divergencia del rotacional es nulay el rotacional de un gradiente es siempre cero.
El gran fraile Alemán invoco a Diosy exclamó con su habitual vehemencia:El rotacional del rotacional mas nabla dosda el gradiente de toda divergencia.
* De Enrique Leodel Palumbotomado de: Electrodinámica: Luis Epele, Huner Fanchiotti, Carlos García Canal.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 135
Integral de línea
A
i
f
∫∫ ⋅=⋅C
f
isdAsdA
C
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 136
Integral de línea
∫∫ =⋅CC
dsAsdA θcos
sd
A
θ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 137
Integral de línea
θsd
A
∫∫ =⋅CC
dsAsdA θcos
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 138
Integral de línea
A
θ
sd
∫∫ =⋅CC
dsAsdA θcos
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 139
Integral de línea
sd
θ
A
∫∫ =⋅CC
dsAsdA θcos
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 140
Integral de línea
sdθ
A
∫∫ =⋅CC
dsAsdA θcos
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 141
Integral de línea
A
i
f
∫∫ ⋅≠⋅'CC
sdAsdA
C
'C
En general:
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 142
Integral de línea
( ) ( )∫∫ ++⋅++=⋅C zyxC
zdzydyxdxzAyAxAsdA ˆˆˆˆˆˆ
( )∫ ++=C zyx dzAdyAdxA
Al evaluar este integral debemos recordar que las coordenadas “x”, “y” y “z” están relacionadas entre sí por la ecuación de la curva.
i
f
x
y
dx
dy
A
i
f
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 143
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de línea de la función desde el punto a(1,1,0) al punto b(2,2,0) a lo largo de las trayectoria (1) y (2)mostradas en figura.
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
(1)
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 144
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
Para el tramo horizontal:
y = 1
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 145
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
Para el tramo horizontal:
y = 1
yxxyxxv ˆ4ˆˆ)11(2ˆ +=++=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 146
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
Para el tramo horizontal:
y = 1
yxxyxxv ˆ4ˆˆ)11(2ˆ +=++=
xdxydyxdxsd ˆˆˆ =+=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 147
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
∫∫ ⋅+=⋅ xdxyxxsdv ˆ)()ˆ4ˆ(
Para el tramo horizontal:
y = 1
yxxyxxv ˆ4ˆˆ)11(2ˆ +=++=
xdxydyxdxsd ˆˆˆ =+=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 148
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
∫∫ ⋅+=⋅ xdxyxxsdv ˆ)ˆ4ˆ(
Para el tramo horizontal:
y = 1
yxxyxxv ˆ4ˆˆ)11(2ˆ +=++=
xdxydyxdxsd ˆˆˆ =+=
∫2
1dx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 149
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
∫∫ ⋅+=⋅ xdxyxxsdv ˆ)ˆ4ˆ(
Para el tramo horizontal:
y = 1
yxxyxxv ˆ4ˆˆ)11(2ˆ +=++=
xdxydyxdxsd ˆˆˆ =+=
∫2
1dx 0ˆˆ =⋅ yx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 150
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
∫∫ ⋅+=⋅ xdxyxxsdv ˆ)ˆ4ˆ(
Para el tramo horizontal:
y = 1
yxxyxxv ˆ4ˆˆ)11(2ˆ +=++=
xdxydyxdxsd ˆˆˆ =+=
12
1=∫ dx 0ˆˆ =⋅ yx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 151
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
Para el tramo vertical:
x = 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 152
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
Para el tramo vertical:
x = 2
yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 153
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
Para el tramo vertical:
x = 2
yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=
ydyydyxdxsd ˆˆˆ =+=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 154
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
[ ]∫∫ ⋅++=⋅ ydyyyxysdv ˆˆ)44(ˆ2
Para el tramo vertical:
x = 2
yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=
ydyydyxdxsd ˆˆˆ =+=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 155
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
[ ]∫∫ ⋅++=⋅ ydyyyxysdv ˆˆ)44(ˆ2
Para el tramo vertical:
x = 2
yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=
ydyydyxdxsd ˆˆˆ =+=
0ˆˆ =⋅ yx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 156
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
[ ]∫∫ ⋅++=⋅ ydyyyxysdv ˆˆ)44(ˆ2
Para el tramo vertical:
x = 2
yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=
ydyydyxdxsd ˆˆˆ =+=
∫ +2
1)44( dyy
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 157
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
[ ]∫∫ ⋅++=⋅ ydyyyxysdv ˆˆ)44(ˆ2
Para el tramo vertical:
x = 2
yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=
ydyydyxdxsd ˆˆˆ =+=
2
1
22
142)44( yydyy +=+∫
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 158
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
[ ]∫∫ ⋅++=⋅ ydyyyxysdv ˆˆ)44(ˆ2
Para el tramo vertical:
x = 2
yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=
ydyydyxdxsd ˆˆˆ =+=
10)42()88(42)44(2
1
22
1=+−+=+=+∫ yydyy
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 159
Trayectoria 1
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b
(1)
∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=⋅)2,2(
)1,2(
)1,2(
)1,1(
)2,2(
)1,1(sdvsdvsdvsdv
b
a
11101 =+=⋅∫b
asdv
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 160
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
y = x
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 161
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 162
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 163
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=
[ ] )ˆˆ(ˆ)22(ˆ 22 ydxxdxyxxxxsdv +⋅++=⋅ ∫∫
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 164
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=
[ ] )ˆˆ(ˆ)22(ˆ 22 ydxxdxyxxxxsdv +⋅++=⋅ ∫∫
[ ]∫ dxx 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 165
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=
[ ] )ˆˆ(ˆ)22(ˆ 22 ydxxdxyxxxxsdv +⋅++=⋅ ∫∫
[ ]∫ dxx 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 166
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=
[ ] )ˆˆ(ˆ)22(ˆ 22 ydxxdxyxxxxsdv +⋅++=⋅ ∫∫
[ ]∫ dxx 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 167
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=
[ ] )ˆˆ(ˆ)22(ˆ 22 ydxxdxyxxxxsdv +⋅++=⋅ ∫∫
[ ]∫ ++ dxxxdxx )22( 22
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 168
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=
[ ] )ˆˆ(ˆ)22(ˆ 22 ydxxdxyxxxxsdv +⋅++=⋅ ∫∫
[ ] ∫∫ +=++2
1
222 )23()22( dxxxdxxxdxx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 169
Trayectoria 2
yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=
1 2
y
x
1
2
a
b(2)
En esta trayectoria:
y = x
yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=
ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=
[ ] )ˆˆ(ˆ)22(ˆ 22 ydxxdxyxxxxsdv +⋅++=⋅ ∫∫
[ ] 10)2()12()23()22(2
1
232
1
222 =−=+=+=++ ∫∫ xxdxxxdxxxdxx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 170
Integral de superficie
∫ ⋅S
adA
Superficie abierta
Superficie cerrada
∫ ⋅S
adA
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 171
Vector de area:
• Su magnitud es igual a la del area a la que representa.
• Es perpendicular a la superficie.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 172
Vector de area:
• Su magnitud es igual a la del area a la que representa.
• Es perpendicular a la superficie.
• Para una superfie abierta su sentido se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 173
Vector de area:
• Su magnitud es igual a la del area a la que representa.
• Es perpendicular a la superficie.
• Para una superfie abierta su sentido se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 174
Vector de area:
• Su magnitud es igual a la del area a la que representa.
• Es perpendicular a la superficie.
• Para una superfie abierta su sentido se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha.
• Para una superficie cerrada apunta hacia afuera de la superficie.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 175
¿ Como representamos mediante un vector de area una superficie irregular ?
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 176
¿ Como representamos mediante un vector de area una superficie irregular ?
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 177
¿ Como representamos mediante un vector de area una superficie irregular ?
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 178
Integral de superficie
∫ ⋅S
adA
Aad
θ
θcosdaAadA =⋅
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 179
Integral de superficie
∫ ⋅S
adA
A
ad
0>⋅ adA
ad
A
0<⋅ adA
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 180
Integral de superficie
∫ ⋅S
adA
( ) ( )∫ ++⋅++ zdaydaxdazAyAxA zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ
( )∫ ++ zzyyxx daAdaAdaA
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 181
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2 yx
z
2
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 182
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2y
x
z
2
2
Cara 1:
∫ ⋅1S
adv
dxdy
zdydxad ˆ=
ad
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 183
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2y
x
z
2
2
Cara 1:
∫ ⋅1S
adv
zdydxad ˆ=
ad ∫ ∫∫ −=⋅ dydxzyadvS
)3( 2
1
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 184
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2y
x
z
2
2
Cara 1:
∫ ⋅1S
adv
zdydxad ˆ=
ad ∫ ∫∫ −=⋅ dydxzyadvS
)3( 2
1
2=z
∫ ∫= dydxy )1(
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 185
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2y
x
z
2
0
Cara 1:
∫ ⋅1S
adv
zdydxad ˆ=
ad ∫ ∫∫ −=⋅ dydxzyadvS
)3( 2
1
2
2
0
== ∫∫∫ ∫
2
0
2
0
2
0
2
0)1( dyydxdydxy
[ ] 4)2()2(2
12
0
220 ==
= yx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 186
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2y
x
z
2
Cara 2:
∫ ⋅2S
adv
xdzdyad ˆ=
ad
2
dy
dz
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 187
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2y
x
z
2
Cara 2:
∫ ⋅2S
adv
xdzdyad ˆ=
ad
∫ ∫∫ =⋅ dzdyxzadvS
22
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 188
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2y
x
z
2
Cara 2:
∫ ⋅2S
adv
xdzdyad ˆ=
ad
∫ ∫∫ =⋅ dzdyxzadvS
22
2
2=x
== ∫∫∫ ∫
2
0
2
0
2
0
2
044 dzzdydzdyz
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 189
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2y
x
z
2
Cara 2:
∫ ⋅2S
adv
xdzdyad ˆ=
ad
∫ ∫∫ =⋅ dzdyxzadvS
22
2
== ∫∫∫ ∫
2
0
2
0
2
0
2
044 dzzdydzdyz
[ ] 16)2()8(2
14
2
0
220 ==
= zy
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 190
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
y
z
2
Cara 3:
∫ ⋅3S
adv
)ˆ( xdzdyad −=
ad
2
dy
dz
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 191
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
y
z
2
Cara 3:
∫ ⋅3S
adv
)ˆ( xdzdyad −=
ad∫ ∫∫ −=⋅ dzdyxzadv
S2
3
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 192
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
y
z
2
Cara 3:
∫ ⋅3S
adv
)ˆ( xdzdyad −=
ad∫ ∫∫ −=⋅ dzdyxzadv
S2
3
2
0=
0=x
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 193
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2
y
x
z
2
Cara 4:
∫ ⋅4S
adv
ydzdxad ˆ=
ad
2
dz
dx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 194
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2
y
x
z
2
Cara 4:
∫ ⋅4S
adv
ydzdxad ˆ=
ad
∫ ∫∫ +=⋅ dzdxxadvS
)2(4
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 195
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2
y
x
z
2
Cara 4:
∫ ⋅4S
adv
ydzdxad ˆ=
ad
∫ ∫∫ +=⋅ dzdxxadvS
)2(4
2
+= ∫∫
2
0
2
0)2( dzdxx
2=y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 196
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2
y
x
z
2
Cara 4:
∫ ⋅4S
adv
ydzdxad ˆ=
ad
∫ ∫∫ +=⋅ dzdxxadvS
)2(4
2
+= ∫∫
2
0
2
0)2( dzdxx
[ ] 12)2()42(22
1 20
2
0
2 =+=
+= zxx
2=y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 197
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2
y
x
z
Cara 5:
∫ ⋅5S
adv
)ˆ( ydzdxad −=
ad
2
dz
dx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 198
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2
y
x
z
Cara 5:
∫ ⋅5S
adv
ad
2
∫ ∫∫ +−=⋅ dzdxxadvS
)2(5
)ˆ( ydzdxad −=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 199
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2
y
x
z
Cara 5:
∫ ⋅5S
adv
ad
2
∫ ∫∫ +−=⋅ dzdxxadvS
)2(5
)ˆ( ydzdxad −=
+−= ∫∫
2
0
2
0)2( dzdxx
[ ] 12)2()42(22
1 20
2
0
2 −=−−=
−−= zxx
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 200
Ejemplo no. 1
Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).
zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=
2 yx
z
2
2 201212164 =−++=⋅∫S adv
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 201
Teorema de la divergencia
( ) ∫∫ ⋅=⋅∇SV
adAdA τ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 202
Teorema del rotacional (Stokes)
( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇CS
sdAadA
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 203
Coordenadas rectangulares
xy
z
P
xy
y
z z
x
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 204
Coordenadas rectangulares
x
z
P
y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 205
Coordenadas cilíndricas
x
z
P
y
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 206
Coordenadas cilíndricas
x
z
P
y
ρ
ϕ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 207
Coordenadas cilíndricas
x
z
yz
ϕ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 208
Coordenadas cilíndricas
z
ϕρ
x
z
zAAAA z ˆˆˆ ++= ϕρ ϕρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 209
Coordenadas cilíndricas
z
ϕρx
z
1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ zzϕϕρρ
0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ρϕϕρ zz
zˆˆ =× ϕρρϕ ˆˆˆ =× z
ϕρ ˆˆˆ =×z
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 210
Coordenadas cilíndricas
ϕ
ρ
x
z
y
r
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 211
Coordenadas cilíndricas
ρ
x
z
y
r z
zzr ˆˆ += ρρ
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 212
Coordenadas cilíndricas
ϕ ρ
x
y
ϕρ cos=x
ϕρ seny =
( 1 )
( 2 )
Dividiendo (2) entre (1):
ϕρϕρ
cos
sen
x
y =
x
y=ϕtan
Sumando el cuadraro de (1) con el de (2):
22222222 cos yxsenyx +=→+=+ ρϕρϕρ
zz = ( 3 )
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 213
Coordenadas cilíndricas
ϕ
ρ
x
y
zϕ
x
ϕ ϕ
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 214
Coordenadas cilíndricas
ρ
yϕ
x
yx yx ˆˆˆ ρρρ +=
xρyρ
ϕϕρρ coscosˆ ==x
ϕϕρρ senseny == ˆ
ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 215
Coordenadas cilíndricas
ϕ
ρ
x
y
zϕ
x
ϕ
ϕ
ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 216
Coordenadas cilíndricas
ϕ
x
yϕ
ϕ−90
ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 217
Coordenadas cilíndricas
ϕ
x(+)
y
yx yx ˆˆˆ ϕϕϕ +=
ϕϕϕϕ sensenx −=−= ˆ
ϕϕϕϕ coscosˆ ==y
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=
ϕxϕ
yϕ
x(-)ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 218
Coordenadas cilíndricas
ϕ
x(+)
y
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=
ϕxϕ
yϕ
x(-)ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=
ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕ
ϕρ +−=
∂∂
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ysenx ˆˆcosˆ ϕϕ
ϕϕ −−=
∂∂
ρϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zzr ˆˆ += ρρ
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ρϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 219
Coordenadas cilíndricas
ϕ
x(+)
y
ϕ
ρ
ϕ
ϕ−90ϕ
ϕx
ϕϕρϕ ˆˆcosˆ senx −=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ρϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 220
Coordenadas cilíndricas
ϕ
x(+)
y
ϕ
ρ
y
ϕϕρϕ ˆcosˆˆ += seny
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ρϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 221
Coordenadas cilíndricaszzr ˆˆ += ρρ
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ρϕϕ
ˆˆ −=
∂∂ ρ
x
z
yrz
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ϕϕρ ˆˆ dd =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 222
Coordenadas cilíndricaszzr ˆˆ += ρρ
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ρϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zzr ˆˆ += ρρ
zdzddrd ˆˆˆ ++= ρρρρ
ρ
x
z
yrz
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ϕϕρ ˆˆ dd =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 223
Coordenadas cilíndricaszzr ˆˆ += ρρ
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ρϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zzr ˆˆ += ρρ
zdzddrd ˆˆˆ ++= ρρρρ
zdzddrd ˆˆˆ ++= ϕϕρρρ
ρ
x
z
yrz
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂
ϕϕρ ˆˆ dd =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 224
Coordenadas cilíndricas
ρd
dz ϕd rd
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 225
Coordenadas cilíndricas
ρdϕd
ϕd
ρ
ρ
ϕρ d
ϕρ d
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 226
Coordenadas cilíndricas
x
ρdz
y
r
dz
ϕd
ϕρ d)()()( dzddd ρϕρτ =
dzddd ϕρρτ =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 227
Coordenadas cilíndricas
ρd
dz
ϕd
zdzddrd ˆˆˆ ++= ϕϕρρρ
ρd
dz ϕdrd zzr ˆˆ += ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 228
Coordenadas cilíndricas
ρddz
ϕd
dzdda ρϕ ±=
ρddz
ϕd
dzdda ϕρρ ±=
ϕd ρ
ϕρ d
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 229
Coordenadas cilíndricas
ρddzϕd
ϕρρ dddaz ±=
ϕd ρ
ϕρ d
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 230
:),,,( entonceszfuescalarfunciónunatenemosSi ϕρ=
rdudu ⋅∇=
Coordenadas cilíndricas
dzz
ud
ud
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂= ϕ
ϕρ
ρ
zdzddrd ˆˆˆ ++= ϕϕρρρ
:Además
:quedicegradientedelgeneraldefiniciónLa
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 231
:),,,( entonceszfuescalarfunciónunatenemosSi ϕρ=
rdudu ⋅∇=
Coordenadas cilíndricas
dzz
ud
ud
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂= ϕ
ϕρ
ρ
zdzddrd ˆˆˆ ++= ϕϕρρρ
:Además
:quedicegradientedelgeneraldefiniciónLa
( ) ( )zdzddzuuudzz
ud
ud
uz ˆˆˆˆˆˆ ++⋅∇+∇+∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂ ϕϕρρρϕρϕ
ϕρ
ρ ϕρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 232
Coordenadas cilíndricas
( ) ( )zdzddzuuudzz
ud
ud
uz ˆˆˆˆˆˆ ++⋅∇+∇+∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂ ϕϕρρρϕρϕ
ϕρ
ρ ϕρ
ρρρ
ρρ ρρρ ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇ u
udu
du
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 233
Coordenadas cilíndricas
( ) ( )zdzddzuuudzz
ud
ud
uz ˆˆˆˆˆˆ ++⋅∇+∇+∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂ ϕϕρρρϕρϕ
ϕρ
ρ ϕρ
ϕρϕρϕ
ϕϕρ ϕϕϕ ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇ 1u
udu
du
ρρρ
ρρ ρρρ ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇ u
udu
du
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 234
Coordenadas cilíndricas
( ) ( )zdzddzuuudzz
ud
ud
uz ˆˆˆˆˆˆ ++⋅∇+∇+∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂ ϕϕρρρϕρϕ
ϕρ
ρ ϕρ
ϕρϕρϕ
ϕϕρ ϕϕϕ ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇ 1u
udu
du
ρρρ
ρρ ρρρ ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇ u
udu
du
zz
uudz
z
udzu zzz ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 235
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
Divergencia:
Coordenadas cilíndricas
( )zAAAzz
A z ˆˆˆˆˆ1
ˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇ ϕρϕ
ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅= zAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 236
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
Divergencia:
Coordenadas cilíndricas
( )zAAAzz
A z ˆˆˆˆˆ1
ˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇ ϕρϕ
ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅= zAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 237
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
Divergencia:
Coordenadas cilíndricas
( )zAAAzz
A z ˆˆˆˆˆ1
ˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇ ϕρϕ
ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅= zAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 238
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
Divergencia:
Coordenadas cilíndricas
( )zAAAzz
A z ˆˆˆˆˆ1
ˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇ ϕρϕ
ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅= zAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
ρρρ
ρ ρρ
∂∂+
∂∂ ˆ
ˆ AA
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 239
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
Divergencia:
Coordenadas cilíndricas
( )zAAAzz
A z ˆˆˆˆˆ1
ˆ ++⋅
∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇ ϕρϕ
ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅= zAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 240
Coordenadas cilíndricas
( ) +
++
∂∂⋅=⋅∇ zAAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
+
∂∂
+∂∂
+∂
∂⋅=⋅∇ z
AAAA z ˆˆˆˆ
ρϕ
ρρ
ρρ ϕρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 241
Coordenadas cilíndricas
( ) +
++
∂∂⋅=⋅∇ zAAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
+
∂∂
+∂∂
+∂
∂⋅=⋅∇ z
AAAA z ˆˆˆˆ
ρϕ
ρρ
ρρ ϕρ
+
∂∂
+∂∂+
∂∂
+∂∂+
∂∂
⋅ zA
AA
AA
z ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ1
ϕϕϕϕ
ϕϕρρ
ϕϕ
ρ ϕϕ
ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 242
Coordenadas cilíndricas
( ) +
++
∂∂⋅=⋅∇ zAAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
+
∂∂
+∂∂
+∂
∂⋅=⋅∇ z
AAAA z ˆˆˆˆ
ρϕ
ρρ
ρρ ϕρ
+
∂∂
+∂∂+
∂∂
+∂∂+
∂∂
⋅ zA
AA
AA
z ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ1
ϕϕϕϕ
ϕϕρρ
ϕϕ
ρ ϕϕ
ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 243
Coordenadas cilíndricas
( ) +
++
∂∂⋅=⋅∇ zAAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
+
∂∂
+∂∂
+∂
∂⋅=⋅∇ z
AAAA z ˆˆˆˆ
ρϕ
ρρ
ρρ ϕρ
+
∂∂
+∂∂+
∂∂
+∂∂+
∂∂
⋅ zA
AA
AA
z ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ1
ϕϕϕϕ
ϕϕρρ
ϕϕ
ρ ϕϕ
ρρ
∂
∂+
∂∂
+∂
∂⋅ z
z
A
z
A
z
Az z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 244
Coordenadas cilíndricas
( ) +
++
∂∂⋅=⋅∇ zAAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
+
∂∂
+∂∂
+∂
∂⋅=⋅∇ z
AAAA z ˆˆˆˆ
ρϕ
ρρ
ρρ ϕρ
+
∂∂
+∂∂+
∂∂
+∂∂+
∂∂
⋅ zA
AA
AA
z ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ1
ϕϕϕϕ
ϕϕρρ
ϕϕ
ρ ϕϕ
ρρ
∂
∂+
∂∂
+∂
∂⋅ z
z
A
z
A
z
Az z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
ϕ ρ−
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 245
Coordenadas cilíndricas
( ) +
++
∂∂⋅=⋅∇ zAAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ
ρ ϕρ
( ) +
++
∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ
1 ϕρϕ
ϕρ ϕρ
( )
++
∂∂⋅ zAAAz
z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
+
∂∂
+∂∂
+∂
∂⋅=⋅∇ z
AAAA z ˆˆˆˆ
ρϕ
ρρ
ρρ ϕρ
+
∂∂
+∂∂+
∂∂
+∂∂+
∂∂
⋅ zA
AA
AA
z ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ1
ϕϕϕϕ
ϕϕρρ
ϕϕ
ρ ϕϕ
ρρ
z
AAAAz
z
A
z
A
z
Az zz
∂∂
+∂
∂++
∂∂
=
∂
∂+
∂∂
+∂
∂⋅
ϕρρρϕρ ϕρρϕρ 1
ˆˆˆˆ
ϕ ρ−
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 246
( )z
AAAA z
∂∂
+∂
∂+
∂∂=⋅∇
ϕρρ
ρρϕ
ρ11
Coordenadas cilíndricas
( ) zA
AA
z
A
z
AAA zz ˆ
11ˆˆ
1
∂
∂−
∂∂+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=×∇ϕρ
ρρρ
ϕρ
ρϕρ
ρϕ
ρϕ
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
++∂
∂ρρ
ρρ AA
ϕϕρϕ
∂∂
+∂
∂zAA1
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 247
Coordenadas esféricas
x
y
r
z
P
)...,(rP
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 248
Coordenadas esféricas
x y
r
z
Pθ
z
x
y
P
)...,,( θrP
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 249
Coordenadas esféricas
x
y
r
z
P
ϕ
ϕ
x
y
),,( ϕθrP
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 250
Coordenadas esféricas
r
z
θ
ϕ
x
y
ϕθ ϕθ ˆˆˆ AArAA r ++=
r
rrr ˆ=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 251
Coordenadas esféricas
r
z
θ
ϕ
x
y
1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ϕϕθθrr
0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ rr ϕϕθθ
ϕθ ˆˆˆ =×r
rˆˆ =×ϕθ
θϕ ˆˆˆ =×r
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 252
Coordenadas esféricas
rθ
x
y
θsenr
θsenr
θcosr θcosrz =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 253
Coordenadas esféricas
ϕ
x
yθsenr
ϕθ cossenrx =
ϕθ sensenry =
θsenr
x
y
θcosrz =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 254
Coordenadas esféricas
rθ
x
yx
y=ϕtan
222 zyxr ++=
z
yx 22
tan+
=θ
22 yx +x
y
ϕ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 255
Coordenadas esféricas
r
y
z
y
x
r
r
r
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 256
Coordenadas esféricas
θ
z
rθθ coscosˆ =r
θcosˆ =zr
θcosˆ =zr
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 257
Coordenadas esféricas
θ
z
r
θθ sensenr =ˆ
θcosˆ =zr
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 258
Coordenadas esféricas
xr
y
x
ϕ
yrθcosˆ =zr θsen
ϕ
zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 259
Coordenadas esféricas
z
r
θ
x
y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 260
Coordenadas esféricas
rθ
ϕ
x
y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 261
Coordenadas esféricas
r
z
xr
θ
ϕ
r
y
θ
θ
θ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 262
Coordenadas esféricas
z
x
ϕ
r
θ
θ
θθ senˆ−
θθ senz −=ˆ
θθ senz −=ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 263
Coordenadas esféricas
z
x
ϕ
r
θ
θ
θθθ coscosˆ =
θθ senz −=ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 264
Coordenadas esféricas
zsenysenx ˆˆcosˆcoscosˆ θϕθϕθθ −+=
ϕ
x
yθcos
ϕθ coscos
ϕθ sencos
θθ senz −=ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 265
Coordenadas esféricas
ϕ
x
y
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=
ϕ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 266
Coordenadas esféricas
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=
zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++=
zsenysenx ˆˆcosˆcoscosˆ θϕθϕθθ −+=
A
B
θ
θcosAAB =θcosBBA = AB BAentoncesBASi ==
ϕϕθϕθϕθ ˆˆcoscosˆcosˆ senrsenx −+=ϕϕθϕθϕθ ˆcosˆcosˆˆ ++= senrsenseny
θθθ ˆˆcosˆ senrz −=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 267
Coordenadas esféricas
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=
zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++=
zsenysenx ˆˆcosˆcoscosˆ θϕθϕθθ −+=
θθϕθϕθθ
ˆˆˆcosˆcoscosˆ =−+=
∂∂
zsenysenxr
rzysensenxsen ˆˆcosˆˆcosˆ
−=−−−=∂∂ θϕθϕθ
θθ
0ˆ =
∂∂
θϕ
Derivando respecto a θ
θθ
ˆˆ =∂∂ r
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 268
Coordenadas esféricas
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=
zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++=
zsenysenx ˆˆcosˆcoscosˆ θϕθϕθθ −+=
ϕθϕθϕθϕ
ˆˆcosˆˆ
senysenxsensenr =+−=
∂∂
ϕθϕθϕθϕθ
ˆcosˆcoscosˆcosˆ
=+−=∂∂
yxsen
θθθϕϕϕϕ ˆcosˆˆˆcosˆ −−=−−=
∂∂
rsenysenx
Derivando respecto a ϕ
ϕθϕ
ˆˆ
senr =
∂∂
θθ
ˆˆ =∂∂ r
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 269
Coordenadas esféricasrrr ˆ=
)ˆ( rrdrd =
drrrdrrd ˆˆ +=
dzz
udy
y
udx
x
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂=
ϕϕ
θθ
du
du
drr
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂=
ϕϕ
θθ
dr
dr
drr
rrd
∂∂+
∂∂+
∂∂= ˆˆˆ
ˆ
ϕθϕ
ˆˆ
senr =
∂∂
θθ
ˆˆ =∂∂ r
ϕϕθθθ dsendrd ˆˆˆ +=
)ˆˆ(ˆ ϕϕθθθ dsendrdrrrd ++=
zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++=
ϕϕθθθ ˆˆˆ dsenrdrrdrrd ++=
x
y
z
r
r
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 270
Coordenadas esféricas
x
y
z
rϕd
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 271
Coordenadas esféricas
r
θsenr
θ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 272
Coordenadas esféricas
ϕd
ϕθ dsenrθsenr
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 273
Coordenadas esféricas
θθd
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 274
Coordenadas esféricas
θdrθdr
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 275
Coordenadas esféricas
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 276
Coordenadas esféricas
x
r
ϕr
ϕ
θ
r
θr
y
x
y
z
x y
z z
x
y
Vista superior Vista frontal
Vista lateral
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 277
Coordenadas esféricas
ϕθ dsenr
θdr
θdr
ϕθ dsenr
dr
)()()( drdrdsenrd θϕθτ =
θϕθτ dddrsenrd 2=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 278
Coordenadas esféricas
ϕθθ ddrsenrda ±=
θϕ ddrrda ±=
θdr
ϕθ dsenr
dr
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 279
Coordenadas esféricas
ϕθθ ddsenrdar2±=
θdr
ϕθ dsenr
dr
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 280
:),,,( entoncesrfuescalarfunciónunatenemosSi ϕθ=
rdudu ⋅∇=
Coordenadas esféricas
ϕϕ
θθ
du
du
drr
udu
∂∂+
∂∂+
∂∂=
:Además
:quedicegradientedelgeneraldefiniciónLa
( ) ( )ϕϕθθθϕθ
ϕϕ
θθ
ϕθ ˆˆˆˆˆˆ dsenrdrrdruuru
du
du
drr
u
r ++⋅∇+∇+∇
=∂∂+
∂∂+
∂∂
ϕϕθθθ ˆˆˆ dsenrdrrdrrd ++=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 281
( ) ( )ϕϕθθθϕθϕϕ
θθ ϕθ ˆˆˆˆˆˆ dsenrdrrdruurud
ud
udr
r
ur ++⋅∇+∇+∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂
Coordenadas esféricas
rr
uudr
r
udru rrr ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 282
( ) ( )ϕϕθθθϕθϕϕ
θθ ϕθ ˆˆˆˆˆˆ dsenrdrrdruurud
ud
udr
r
ur ++⋅∇+∇+∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂
Coordenadas esféricas
θθθ
θθ θθθ ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇
r
urud
udru
1
rr
uudr
r
udru rrr ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 283
( ) ( )ϕϕθθθϕθϕϕ
θθ ϕθ ˆˆˆˆˆˆ dsenrdrrdruurud
ud
udr
r
ur ++⋅∇+∇+∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂
Coordenadas esféricas
ϕθϕθϕ
ϕϕθ ϕϕϕ ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇
senr
u
senrud
udsenru
11
θθθ
θθ θθθ ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇
r
urud
udru
1
rr
uudr
r
udru rrr ∂
∂=∇→∂∂=∇→
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 284
ϕϕθ
θθ
ˆ1ˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
senrrr
r
Coordenadas esféricas
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrAr
rrA r
111 22
( ) ( )
( ) ϕθ
ϕϕθϕ
θθθ
θ
ϕθ
ϕ
ˆ1
ˆ11
ˆ1
∂∂
−∂∂+
∂∂−
∂∂
+
∂
∂−
∂∂=×∇
r
r
AAr
rr
Arr
A
senrr
AAsen
senrA
2
2
2222
22 111
ϕθθθ
θθ ∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=∇ u
senr
usen
senrr
ur
rru
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 285
Yo si entiendo la teoría, sólo que no puedo resolver los problemas.
Tomado de: Campos electromagneticos, Roald Wangsness
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 286
Problemas
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 287
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 288
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
yxu =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 289
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
yxu =
yxxyu ˆˆ +=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 290
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
yxu =
yxxyu ˆˆ +=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 291
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
yxu =
yxxyu ˆˆ +=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 292
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
yxu =
yxxyu ˆˆ +=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 293
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
eAAe ˆ⋅=
yxxyu ˆˆ +=∇
b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=
Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 294
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
eAAe ˆ⋅=
yxxyu ˆˆ +=∇
b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=
Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2
22
ˆˆˆ
yx
yxxye
++=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 295
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
eAAe ˆ⋅=
yxxyu ˆˆ +=∇
b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=
Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2
22
ˆˆˆ
yx
yxxye
++=
( )
++⋅++=
22
ˆˆˆ4ˆ2ˆ3
yx
yxxyzyxAe
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 296
( )
++⋅++=
22
ˆˆˆ4ˆ2ˆ3
yx
yxxyzyxAe
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
eAAe ˆ⋅=
yxxyu ˆˆ +=∇
b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=
Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2
22
ˆˆˆ
yx
yxxye
++=
2222
23
yx
x
yx
yAe
++
+=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 297
( )
++⋅++=
22
ˆˆˆ4ˆ2ˆ3
yx
yxxyzyxAe
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
eAAe ˆ⋅=
yxxyu ˆˆ +=∇
b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=
Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2
22
ˆˆˆ
yx
yxxye
++=
2222
23
yx
x
yx
yAe
++
+=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 298
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
eAAe ˆ⋅=
yxxyu ˆˆ +=∇
b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=
Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2
22
ˆˆˆ
yx
yxxye
++=
( )
++⋅++=
22
ˆˆˆ4ˆ2ˆ3
yx
yxxyzyxAe
2222
23
yx
x
yx
yAe
++
+=
2
3)2(3 =→=→= yyyxu
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 299
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
eAAe ˆ⋅=
yxxyu ˆˆ +=∇
b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=
Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2
22
ˆˆˆ
yx
yxxye
++=
( )
++⋅++=
22
ˆˆˆ4ˆ2ˆ3
yx
yxxyzyxAe
2222
23
yx
x
yx
yAe
++
+=
2
3)2(3 =→=→= yyyxu
Sustituyendo x = 2, y = 1.5:
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 300
Problema no. 8
Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.
eAAe ˆ⋅=
yxxyu ˆˆ +=∇
b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=
Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2
22
ˆˆˆ
yx
yxxye
++=
( )
++⋅++=
22
ˆˆˆ4ˆ2ˆ3
yx
yxxyzyxAe
2222
23
yx
x
yx
yAe
++
+=
2
3)2(3 =→=→= yyyxu
40.3=eA
Sustituyendo x = 2, y = 1.5:
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 301
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 302
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 303
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 304
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
zc
zy
b
yx
a
xu ˆ
2ˆ
2ˆ
2222
++=∇
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 305
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
zc
zy
b
yx
a
xu ˆ
2ˆ
2ˆ
2222
++=∇
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 306
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
zc
zy
b
yx
a
xu ˆ
2ˆ
2ˆ
2222
++=∇
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 307
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
zc
zy
b
yx
a
xu ˆ
2ˆ
2ˆ
2222
++=∇
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
4
2
4
2
4
2 444
c
z
b
y
a
xu ++=∇
++=∇
2
1
4
2
4
2
4
2
2c
z
b
y
a
xu
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 308
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
zc
zy
b
yx
a
xu ˆ
2ˆ
2ˆ
2222
++=∇
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
4
2
4
2
4
2 444
c
z
b
y
a
xu ++=∇
++
++=
−2
1
4
2
4
2
4
2
222 2
1ˆˆˆ2ˆ
c
z
b
y
a
xz
c
zy
b
yx
a
xn
++=∇
2
1
4
2
4
2
4
2
2c
z
b
y
a
xu
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 309
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
zc
zy
b
yx
a
xu ˆ
2ˆ
2ˆ
2222
++=∇
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
4
2
4
2
4
2 444
c
z
b
y
a
xu ++=∇
++
++=
−2
1
4
2
4
2
4
2
222 2
1ˆˆˆ2ˆ
c
z
b
y
a
xz
c
zy
b
yx
a
xn
++=∇
2
1
4
2
4
2
4
2
2c
z
b
y
a
xu
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 310
Problema no. 9
La ecuación de una familia de elipsoides es:
u
un
∇∇=ˆ
zc
zy
b
yx
a
xu ˆ
2ˆ
2ˆ
2222
++=∇
Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xu ++=
zz
uy
y
ux
x
uu ˆˆˆ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
4
2
4
2
4
2 444
c
z
b
y
a
xu ++=∇
4
2
4
2
4
2
2c
z
b
y
a
xu ++=∇
++
++=
−2
1
4
2
4
2
4
2
222 2
1ˆˆˆ2ˆ
c
z
b
y
a
xz
c
zy
b
yx
a
xn
−
++
++=
2
1
4
2
4
2
4
2
222 ˆˆˆˆc
z
b
y
a
xz
c
zy
b
yx
a
xn
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 311
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 312
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
r
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 313
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
r
z
θ
ϕ
x
y
r
rrr ˆ=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 314
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
rrr ˆ=
θdr
ϕθ dsenr
dr
rddsenrad ˆ2 ϕθθ=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 315
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
rrr ˆ=
rddsenrad ˆ2 ϕθθ=
( ) ( )∫ ⋅S
rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 316
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
( ) ( )∫ ⋅S
rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ
( )∫S ddsenr ϕθθ3
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 317
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
( ) ( )∫ ⋅S
rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ
( )∫S ddsenr ϕθθ3
ϕθθπ π
ddsena ∫ ∫
2
0 0
3
x y
z
Pθ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 318
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
( ) ( )∫ ⋅S
rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ
( )∫S ddsenr ϕθθ3
ϕθθπ π
ddsena ∫ ∫
2
0 0
3
x
y
r
z
P
ϕ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 319
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
( ) ( )∫ ⋅S
rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ
( )∫S ddsenr ϕθθ3
ϕθθπ π
ddsena ∫ ∫
2
0 0
3
ϕ
x
y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 320
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
( ) ( )∫ ⋅S
rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ
( )∫S ddsenr ϕθθ3
ϕθθπ π
ddsena ∫ ∫
=
2
0 0
3
[ ] ϕθ ππda 0
2
0
3 cos∫ −=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 321
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
( ) ( )∫ ⋅S
rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ
( )∫S ddsenr ϕθθ3
ϕθθπ π
ddsena ∫ ∫
=
2
0 0
3
[ ] ϕθ ππda 0
2
0
3 cos∫ −=
[ ] ϕπ
da ∫ −−−=2
0
3 11
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 322
Problema no. 12
Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.
∫ ⋅S
adA
∫ ⋅S
adr
( ) ( )∫ ⋅S
rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ
( )∫S ddsenr ϕθθ3
ϕθθπ π
ddsena ∫ ∫
=
2
0 0
3
[ ] ϕθ ππda 0
2
0
3 cos∫ −=
[ ] ϕπ
da ∫ −−−=2
0
3 11
ϕπ
da ∫=2
0
32
)2(2 3 πa=
34 aπ=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 323
Problema no. 12
b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 324
Problema no. 12
b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados
rrr ˆ=
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrAr
rrA r
111 22
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 325
Problema no. 12
b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados
rrr ˆ=
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrAr
rrA r
111 22
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrrr
rrr
111 22
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 326
Problema no. 12
b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados
rrr ˆ=
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrAr
rrA r
111 22
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrrr
rrr
111 22
( ) 331 2
2==⋅∇ r
rr
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 327
Problema no. 12
b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados
∫ ∫∫ ====⋅∇v vv
rrdddr 33 4)3
4(33)3()( ππτττ
rrr ˆ=
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrAr
rrA r
111 22
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrrr
rrr
111 22
( ) 331 2
2==⋅∇ r
rr
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 328
Problema no. 12
b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados
∫ ∫∫ ====⋅∇v vv
rrdddr 33 4)3
4(33)3()( ππτττ
rrr ˆ=
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrAr
rrA r
111 22
( ) ( )ϕθ
θθθ
ϕθ ∂
∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇
A
senrAsen
senrrr
rrr
111 22
( ) 331 2
2==⋅∇ r
rr
34 aπ=
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 329
Problema no. 12
b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados
:quecompruebase
( ) ∫∫ ⋅=⋅∇SV
adAdA τ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 330
Problema no. 13
Dado el campo vectorial: zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.
Cara 1:
∫ ⋅1c
adA
zdydxad ˆ=
∫ ∫∫ =⋅ dydxxzadAc
)(1
dydxxzb a
∫ ∫
=
0 0
x
y
z
ad
a
b
c
cbadyacb 2
0
2
2
1
2
1 =
= ∫
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 331
Problema no. 13
Dado el campo vectorial: zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.
Cara 2:
∫ ⋅2c
adA
zdydxad ˆ−=
∫ ∫∫ −=⋅ dydxxzadAc
)(2
x
yz
ad
a b
0=
z = 0
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 332
Problema no. 13
Dado el campo vectorial: zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.
Cara 3:
∫ ⋅3c
adA
xdzdyad ˆ=
∫ ∫∫ =⋅ dzdyyxadAc
)(3
xy
z
ad
ab
c
dzdyyxc b
∫ ∫
=
0 0
cbadybac 2
0
2
2
1
2
1 =
= ∫
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 333
Problema no. 13
Dado el campo vectorial: zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.
Cara 4:
∫ ⋅4c
adA
xdzdyad ˆ−=
∫ ∫∫ −=⋅ dzdyyxadAc
)(4
x
y
z
ad
c
b
0=
x = 0
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 334
Problema no. 13
Dado el campo vectorial: zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.
Cara 5:
∫ ⋅5c
adA
ydzdxad ˆ=
∫ ∫∫ =⋅ dzdxzyadAc
)(5
x
y
z
ada
b
c
dxdzzya c
∫ ∫
=
0 0
2
0
2
2
1
2
1cbadxcb
a=
= ∫
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 335
Problema no. 13
Dado el campo vectorial: zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.
Cara 6:
∫ ⋅6c
adA
ydzdxad ˆ−=
∫ ∫∫ −=⋅ dzdxzyadAc
)(6
x
y
z
ad
c
a
0=
y = 0
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 336
Problema no. 13
Dado el campo vectorial: zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.
222
2
1
2
1
2
1cbacbacbaadA ++=⋅∫
( ) ( )cbacba ++=2
1
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 337
Problema no. 13
Evaluar: ( ) τdAV∫ ⋅∇
Sobre el volumen del paralelopípedo
zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
z
A
y
A
x
AA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
xzyA ++=⋅∇
c
a b
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 338
Problema no. 13
Evaluar: ( ) τdAV∫ ⋅∇
Sobre el volumen del paralelopípedo
zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
z
A
y
A
x
AA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
xzyA ++=⋅∇
( ) ( ) dzdydxddzyxdAVV
=++=⋅∇ ∫∫ τττ ;
c
a b
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 339
Problema no. 13
Evaluar: ( ) τdAV∫ ⋅∇
Sobre el volumen del paralelopípedo
zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
z
A
y
A
x
AA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
xzyA ++=⋅∇
( ) ( ) dzdydxddzyxdAVV
=++=⋅∇ ∫∫ τττ ;
( )∫ ∫ ∫ ++c b a
dzdydxzyx0 0 0
c
a b
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ++=c b ac b ac b a
dzdydxzdzdydxydzdydxx0 0 00 0 00 0 0
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 340
Problema no. 13
Evaluar: ( ) τdAV∫ ⋅∇
Sobre el volumen del paralelopípedo
zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=
z
A
y
A
x
AA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
xzyA ++=⋅∇
( ) ( ) dzdydxddzyxdAVV
=++=⋅∇ ∫∫ τττ ;
( )∫ ∫ ∫ ++c b a
dzdydxzyx0 0 0
c
a b
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ++=c b ac b ac b a
dzdydxzdzdydxydzdydxx0 0 00 0 00 0 0
( ) ( )cbacbacbacbacba ++=++=2
1
2
1
2
1
2
1 222
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 341
Problema no. 23
Dado el vector: ϕθ ˆ2ˆ3ˆ4 −+= rA
Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada.
x
y
0r
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 342
Problema no. 23
Dado el vector: ϕθ ˆ2ˆ3ˆ4 −+= rA
Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada.
x
y
0r
rdrsd ˆ=
Tramo 1:
( ) rdrrsdA ˆˆ2ˆ3ˆ4 ⋅−+=⋅ ∫∫ ϕθ
0044
0
rdrr
=∫
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 343
Problema no. 23
Dado el vector: ϕθ ˆ2ˆ3ˆ4 −+= rA
Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada.
x
y
0r
ϕϕ ˆdrsd =
Tramo 2:
( ) ( )ϕϕϕθ ˆˆ2ˆ3ˆ4 drrsdA ⋅−+=⋅ ∫∫
00
2/
0 222 rrdr ππϕ
π−=
−=−∫
ϕ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 344
Problema no. 23
Dado el vector: ϕθ ˆ2ˆ3ˆ4 −+= rA
Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada.
x
y
0r
rdrsd ˆ−=
Tramo 3:
( ) ( )rdrrsdA ˆˆ2ˆ3ˆ4 −⋅−+=⋅ ∫∫ ϕθ
0044
0
rdrr
−=− ∫
0000 44 rrrrsdA ππ −=−−=⋅∫
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 345
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 346
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 347
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 348
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 349
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 350
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
ρ2
22
∂∂=∇ u
u
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 351
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 352
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uuuuu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂ ϕ
ρρ
ρϕρϕρ
ρρ
ρϕρρ
ρϕρˆˆ
1ˆˆ
1ˆ
1 uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 353
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
ρρ ∂∂u1
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂ ϕ
ρρ
ρϕρϕρ
ρρ
ρϕρρ
ρϕρˆˆ
1ˆˆ
1ˆ
1 uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uuuuu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 354
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
( )
−
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂ ρ
ϕϕ
ϕρϕϕ
ϕϕ
ϕρϕ
ϕϕρˆˆ
1ˆˆ
1ˆ
12
2
22
2
22
uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uuuuu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
ρρ ∂∂u1
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 355
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
( )
−
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂ ρ
ϕϕ
ϕρϕϕ
ϕϕ
ϕρϕ
ϕϕρˆˆ
1ˆˆ
1ˆ
12
2
22
2
22
uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uuuuu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
ρρ ∂∂u1
2
2
2
1
ϕρ ∂∂ u
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 356
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uuuuu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
ρρ ∂∂u1
2
2
2
1
ϕρ ∂∂ u
0ˆˆ
1ˆ
1 =
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
ϕϕρϕρz
z
uz
z
uz
z
u
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 357
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uuuuu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
ρρ ∂∂u1
2
2
2
1
ϕρ ∂∂ u
0ˆˆ
1ˆ
1 =
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
ϕϕρϕρz
z
uz
z
uz
z
u
0
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 358
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uuuuu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
ρρ ∂∂u1
2
2
2
1
ϕρ ∂∂ u
0
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 359
Problema no. 18
Comprobar que en coordenadas cilíndricas:
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
zz
ˆˆ1
ˆ∂∂+
∂∂+
∂∂=∇ ϕ
ϕρρ
ρ
yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=
ϕϕρ
ˆˆ =
∂∂ρ
ϕϕ
ˆˆ −=
∂∂
zz ˆˆ =
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂⋅+
∂∂=∇ z
z
uuuuu ˆˆ
1ˆ
1ˆ2
22 ϕ
ϕρρ
ρϕρϕ
ρ
ρρ ∂∂u1
2
2
2
1
ϕρ ∂∂ u
0
∂∂+
∂∂+
∂∂•
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅∇=∇ z
z
uuuz
zuu ˆˆ
1ˆˆˆ
1ˆ2 ϕ
ϕρρ
ρϕ
ϕρρ
ρ
2
2
2
2
22
22 11
z
uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
ϕρρρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 360
Problema no. 18
2
2
2
2
22
22 11
z
uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
ϕρρρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 361
Problema no. 18
2
2
2
2 111
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
ρρ ∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂ uuuuu
2
2
2
2
22
22 11
z
uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
ϕρρρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 362
Problema no. 18
2
2
2
2 111
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
ρρ ∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂ uuuuu
2
2
2
2
22
22 11
z
uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
ϕρρρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 363
Problema no. 18
2
2
2
2 111
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
ρρ ∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂ uuuuu
2
2
2
2
22
22 11
z
uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
ϕρρρρ
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 364
Problema no. 18
2
2
2
2 111
ρρρρρ
ρρρ
ρρρ
ρρ ∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂ uuuuu
2
2
2
2
22
22 11
z
uuuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
ϕρρρρ
2
2
2
2
22 11
z
uuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂=∇
ϕρρρ
ρρ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 365
Problema no. 25
Aplicar el teorema de la divergencia al caso especial en el cual A es constante pero arbitraria, y demostrar que el área vectorial total de una superficie cerrada es cero.
( ) ∫∫ ⋅=⋅∇SV
adAdA τ
0. =⋅∇→= ActeASi
∫∫ =→=⋅SS
adadA 00
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 366
Problema no. 25
De manera similar demostrar que:
( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇CS
sdAadA
0. =×∇→= ActeASi
∫∫ =→=⋅CC
sdsdA 00
∫ =S
sd 0