(

~ 1

,

i

J, ,1 ' 1

1 1

1

i 1

r

l

fNDICE

INTRODUO COLEO Fl'SICA BSICA, 19 INTRODUO AO VOLUME 1, 23 INTRODUO

Capftulo 1 GALILEU, OSURGIMENTO DOM~TODOCIENT(FICO

Introduo, 29

Primeira Parte O PROBLEMA DA QUEDA DOS GRAVES NO AR

1.1 A Observa'o, 32 1.2 O Problema, 32 1.3 A Elaborao do Modelo Fsico, 33 1.4 A lmposi"o de Leis, Teorias ou Hipteses de Trabalho ao Modelo Fsico. 34 1.5 O Modelo Matemtico, 35 1.6 As Previsc5es do Modelo Matemtico, 36 1.7 O Teste.Experimental, 37

Segunda Parte O PROBLEMA DO MOVIMENTO DOS PROJTEIS

1.8 A Observao, 40 1.9 O Problema, 40

1.1 O A Elaborao do Modelo F lsico, 40 1.11 A Imposio de Leis, Teorias ou Hipteses de Trabalho ao Modelo Fisico, 40 1.12 O Modelo Matemtico, 42 1. 13 As Previses do Modelo, 44 1.14 O Teste Experimental, 45

Concluso, 45

,, ,

l .l

'i\

1 ! ! 1

1 J!

~--------------------------------------.................................. ----~~

Questes Conceituais, 47 Problemas. 50

Capto1lo 2 NEWTON AS LEIS FUNDAMENTAIS DO MOVIMENTO

Introduo, 53 2. 1 A Vida e a Obra de Newton, 54 2.2 A Estrutura dos Principia, 56 2.3 Os Conceitos Newtonianos de Tempo, Espao e Movimento,. 57 2.4 As Leis do Movimento, 59 2.5 Critica Formulao Newtoniana das Leis do Movimento, 61

Concluso, 66 Questes Conceituais, 70

AS LEIS FUNDAMENTAIS 1

Captulo 3 OS REFERENCIAIS INERCIAIS E A PRIMEIRA LEI DE NEWTON

Introduo, 73 3.1 O Modelo de Partcula, 73 3.2 Referenciais, 74 3.3 Referenciais Possfwi11 e Impossveis, 75 3.4 O Papel Fundamental da Acelerao nos Referenciais Possveis, 77 3.5 O Referencial Sol-Estrelas, 82 3.6 A Partcula Isolada, 85 3.7 Comportamento da Partcula Isolada no Referencial do Laboratrio, 86 3.8 Comportamento da Part lcula Isolada no Referencial Sol-Estrelas, 86 3.9 Definio: o Referencial Inercial (Primeira Lei de Newton), 87

Concluso: Comentrios sobre a Definio do Referencial Inercial, 88 Questc!Jes Conceituais, 89 Problema. 90

Captulo 4 MASSA INERCIAL. CONSERVAO DO MOMENTO LINEAR

Introduo, 91 Trabalho Experimental n.0 1, 92 Trabalho Experimental n. 2, 94

4.1 Resumo dos Resultados Experimentais, 95 4.2 Lei das Variaes das Velocidades numa Interao, 97

4.2.1 Enunciado, 97 4.2.2 Comentrios, 98

4.3 Razo entre as Aceleraes. 99 4.4 Massa Inercial, 103

4.4.1 Anlise de Experincias de lmerao, 103 4.4.2 Definio, 105 4.4.3 Comentrios, 106

4.5 Comparao das Massas Inerciais pela Balana, 106 4.6 Conservao do Momento Linear. 108 1

4.6.1 Algo que se Conserva Invariante numa.Interao, 108 4.6.2 Momento Linear; Defini'o, 109 4.6.3 Enunciado da Lei de Conservao do Momento Linear, 109

~ r

4.6.4 Comentrios, 110 4.7 Problema Sugerido pela Invarincia do Momento Linear de um Sistema Isolado, 112

4.7 .1 A Pergunta, 112 4.7 .2 O Modelo, 113 4.7 .3 A Solu'o do Problema, 114 4.7.4 AConfirmaoExperimental, 116 . 4.8 CeJtro de Massa de um Sistema de Duas Partculas, 118

4.9 Referencial do Centro de Massa (RCM). 119 Conclus'o, 121 Exerccios, 122 Questies Conceituais, 127 Problemas, 132 Problema Experimental, 135

Complemento 1 (Trabalho n

l 6.1 Interao entre Duas Partlculas, no Caso em que a Massa de Uma Delas Muito Maior

que a da Outra, 171 6.2

6.2.1 6.2.2

O Campo Gravitacional Terrestre, 174 O Conceito de Campo, 174 O Campo Terrestre Restrito. Peso, 175 Foras de Deformao, 178 6.3

6.3.1 6.3.2 6.3.3

Problema Sugerido por uma Experincia de Equil 1brio, 178 Foras entre Molculas de um Slido, 179 Anlise Microscpica do Equil 1brio, 180 Vnculos Impostos a um Corpo, 184 Foras de Trao, 185 Tenso de um Fio, 189

6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 Foras de Contacto no Caso de No Haver Atrito entre as Superfcies em Contacto, 191 Atrito Slido, 194

6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.8.4

Experincia, 194 Anlise Qualitativa do Fenmeno, 195 Atrito Esttico, 198 Atrito de Deslizamento, 199 Trabalho Experimental, 199

6.9 6.9.1 6.9.2 6.9.3 6.9.4 6.10

6.10.1 6.10.2 6.10.3

7.1 72 7.3 7.4 7~ 7B 7~ 7~ 7~

7.10

Atrito Viscoso, 200 Evidncia Experimental, 200 Fluidos com Alta Viscosidade, 200 Fluidos com Baixa Viscosidade, 201 Velocidade Limite, 201 Volta ao Problema do Plano Inclinado, 202 O Modelo, 203 Previses do Modelo, 203 O Teste Experimental, 204 Concluso, 204 Problemas Resolvidos, 205 Exerclcios, 215 Questes Conceituais, 218 Problemas, 225

AS LEIS FUNDAMENTAIS 2

Capltulo 7 TRABALHO E ENERGIA

Introduo, 239 Conceito de Energia Cintica, 240 Conceito de Energia Potencial, 240 Como se Transfere, ou se Transforma, a Energia, 242 Trabalho de uma Fora. Exemplos, 243 Trabalho de uma Fora. Definio, 251 Sinal do Trabalho: Interpretao Fsica. Energia Cintica, Trabalho das Foras de Atrito, 256 Teorema do Trabalho e da Energia Cintica, 261 Exemplos, 261 Potncia, 267 Problemas Resolvidos, 269 Exerccios, 274 .luestes Conceituais, 280 Problemas, 282

252

Capitulo 8 CONSERVAO DA EN.ERGIA

1 nt reduo, 289 8.1 1 nteraes Elsticas, 289

8.1.1 Exemplo;, 289 8.1.2 Variao da Energia Potencial entre Duas Configuraes do Sistema, 291

8.2 Configuraes de Referncia para a Energia Potencial, 297 8.3 Grficos e Poos de Potencial, 300 8.4 Relao entre Fora e Energia Potencial, 305 8.5 Energia Cintica e Energia Potencial na Interao Unidimensional Elstica de Duas Par-

tculas de Massas Comparveis, 307 8.5.1 Energia Cintica do Sistema em um Instante Dado, 307 8.5.2 Variao da Energia Potencial de Interao entre Duas Configuraes do Sistema, 309

Concluso, 312 Problemas Resolvidos, 314 Exefccios, 318 Questes Conceituais, 323 Problemas, 326

APLICAES 2

Capitulo 9 COLISES Primeira Parte CONSIDERAES GERAIS

Introduo, 337 9.1 Caractersticas Fundamentais de uma Coliso, 338

9.1.1 Foras de Interao, 338 9.1.2 Momento Total do Sistema, 341 9.1 .3 Posies e Velocidades, ~ 9.1.4 Energia Cindtica Total. Colises Elsticas e lnelsticas, 343

9.2 9.3 9.4

9.4.1 9.42

9.5 9.6

9.6.1 9.6.2

9.7 9.7.1 9.7.2 9.7.3 9.7.4

9.8

Segunda Parte COLISES ELSTICAS

Introduo, 345 As Equaes Fundamentais, 346 Colises.Elsticas Unidimensionais - Soluo Analtica, 347 Colises Elsticas Unidimensionais -Soluo Grfica, 348 No Referencial do Centro de Massa (RCMI, 348 No Referencial do Laboratrio, 350 Colises Elsticas Bidimensionais ....'.Soluo Analtica, 353 Colises Elsticas Bidimensionais - Solu~io pelo L.."' 'Tia das Velocidades, 356 A Coliso no Referencial do Centro de Massa (RCM), 356 A .Coliso no Referencial do Laboratrio, 358 Relaes Notveis no Espalhamento Elstico, 359 Razo entre as Massas do Projtil e do Alvo, 359 Valor Mximo de 6 rio Caso em que k > 1, 360 Caso em que a Massa do Projtil Igual Massa do Alvo, 360 Clculo das Velocidades Depois da Coliso, 361 Espalhamento Elstico - Diagrama dos Momentos, 363

Terceira Parte COLISES INELSTICAS

Introduo, 364

9.9 Coeficiente de Restituio, 365 9.10 Colis6es Unidimensionais lnelsticas, 365

Problemas Resolvidos, 367 Exerccios, 371 Questes Conceituais, 375 Problemas, 376

Capitulo 10 OSCILADOR HARMNICO

10.1 Introduo: Osciladores-'- Osciladores Lineares, 383 10.2 Osciladores Lineares - Princpio de Superposio, 388 10.3 O Modelo Matemtico dos Sistemas Lineares, 394 10.4 O Oscilador Harmnico, 398

10.4.1 O Modelo, 398 10.4.2 As Previses do Modelo, 399 10.4.3 Interpretao das Solues. Amplitude, Fase, Perodo, Freqncia, 403 10.4.4 Energia e Potnia no Oscilador Harmnico, 411 10.4.5 Variaes da Energia Potencial e da Energia Cintica, 411 10.4.6 Valores Mdios da Energia Cinl!tica e da Energia Potencial, 413 10.4.7 Potncia, 4'13 10.4.8 O Teste Experimental, 415

10.5 Osciladores No Lineares: A Aproximao Harmnica para Amplitudes Pequenas, 419 10.6 Osciladores Anarmnicos, 424

Concluso, 425 Problema Resalvido, 426 Exerccios, 430 Questes Conceituais, 435 Problemas, 438

Complemento 1 Equaes Diferenciais Lineares Homogneas de 2.a Ordem, 446

Cmpl_einento 2 O Oscilador Unidimensional Amortecido, 448

1 Experincia, 448 2 Estudo Analtico do Movimento, 448

2.1 A Lei de Fora, 448 2.2 Equaio do Movimento, 449 2.3 Soluo Oscilatria, 449

2.3.1 Variaio da Amplitude, 451 2.3.2 Freqncia do Oscilador Amortecido, 451 2.3.3 Energia Absorvida pelo Amortecimento, 452 2.3.4 Fator Ode um Oscilador, 453

2.4 Soluo Nio Oscilatria, 454 2.4.1 Soluo Geral, 454 2.4.2 As Condies Iniciais so x 0 =A. x0 =O, 454 2.4.3 As Condies Iniciais so x =O; < = v0 , 455 2.4.4 Amortecimento Crtico, 455

Complemento 3 O Oscilador Forado, 458

3.1 Resultados Experimentais, 458 3.2 O Oscilador Harmnico Forado, 458

3.2.1 Equao do Movimento, 459. 3.2.2 Soluo da Equao do Movimento, 459

3.3 Influncia do Amortecimento sobre o Oscilador Forado, 460 3.3.1 Transiente e Regime Permanente, 460 3.3.2 Variao de Amplitude com a F.reqncia, Imposta: Ressonncia, 461

3.4 Vantagens e Inconvenientes da Ressonncia, 462

11. 1 11.1.1 11 .1.2 11 .1.3

11 .2 112.1 11.2.2

11.3 11.4

11.5 11.6 11.7

AS LEIS FUNDAMENTAIS 3

Capitulo 11 MOMENTO ANGULAR 1 ntroduo, 465 Momento Angular de uma Partcula em Relao a um Ponto, 466 Definio, 466 Componentes Cartesianas, 467 Expresso do Momento Angular em Coordenadas Polares, 467 Conservao do Momento Angular de uma Partcula em Relao a um Ponto, 468 Partcula Isolada, 468 Partcula Submetida a uma Interao Central, 468 . Conseqncia da Conservao do Momento Angular de uma Partcula: Lei das Areas, 471 Variao do Momento Angular de uma Partcula em Relao a um Ponto - Torque de uma Fora, 474 Relao entre Momento Angular e Velocidade Angular, 481 Energia Associada a uma Partcula numa Interao Central, 484 Discusso da Equao da Energia, 486 Concluso, 492 Problemas Resolvidos, 494 Exerccios, 498 Questes Conceituais, 502 Problemas, 504

A SINTESE NEWTONIANA

Captulo 12 A GRAVITAO UNIVERSAL. A GNESE DA TEORIA Introduo, 513

12.1 Os Passos Preliminares, 514 12.2 Hiptese Fundamental ("Lei da Gravitao Universal"), 516

12.2.1 Enunciado, 516 12.2.2 Comentrios, 516

12.3 O Campo Gravitacional Terrestre, 517 12.3.1 Intensidade do Campo, 517 12.3.2 Energia Potencial de Interao Gravitacional, 518 12.3.3 Ca.mpo Terrestre Restrito, 518

12.4 Comparao das Massas Gravitacionais pela Balana, 519 J2.5 Lei da Proporcionalidade entre Massa 1 nercial e Massa Gravitacional, 520 12.6 Postulado da Identidade entre Massa Inercial e Massa Gravitacional, 520

12.6.1 Enunciado, 520 12 .6.2 Conseqncias, 520

CONSEQNCIAS DA TEORIA 1. A SOLUO DOS PROBLEMAS SECULARES

12.7 O Argumento da Centrifugao, Contra o Movimento Diurno, 521 12.8 Acelero da Queda da Superfcie da Terra, 523 12.9 O Pndulo Simples, 524

12.10 A Sol~o de Primeira Aproximao para as rbitas dos Planetas: rbitas Circulares, 525 12.11 A Lei das reas (2. Lei de Kepler), 526 1:2.12 As rbitas dos Planetas (1. Lei de Kepler), 526 12.13 A Terceira Lei de Kepler, 529 12.14 As Mars, 530

CCJNS!::QU~~CIAS DA TEORIA 2. AS PREVISES DE FATOS NOVOS

12.16 Atraio Gravitacional e Peso, 536 12 ... 16 Messa dos Planetas, 538 12.17 A Descoberta de Novos Planetas, 539 12.18 Satelizao, 541

Concluslo, 549 Problemas Resolvidos, 553 Exerc(cios, 658 Questc5es Conceituais, 560 Problemas; 562 Colllplemento 1 Equao de uma Cnica em Coordenadas Polares, 567 Complemento 2 Interao de Duas Partculas No Necessariamente isoladas: Acelerao de uma Partcula em Relao Outra. 570

APNDICES Apndice 1 CINEMATICA ESCALAR

1 lntrodufo, 573 2 Objetivo de Cinemtica Escalar,. 673 3 Poslfo ao Longo da Trajetria (Posio Escalar), .674 4 Velocidade Escalar, 576

4.1 Anlise Detalhadado Grfico Posio-Tempo, 575 4.1.1 Velocidade Escalar Mdia, 576 4.1.2 Velocidade Escalar Instantnea, 577

4.2 Representalo Grfica da Funo v (t), 678 4.3 Passagem Inversa do Grfico (v, ti para o Grfico (s, t), 580

5 Acelerao Escalar, 585 6.1 Anlise do Grfico Velocidade-Tempo: Acelerao Escalar Mlldia; Ae1tleralo Escalar

lnstant6nea, 585 5.2 Representalo Grfica da Funo a (t), 586 5.3 Passagem 1 nversa do Grfico (a, ti para o Grfico (v, t), 586

6 Exemplos de Movimentos, 588 6.1 Movimento Uniforme, 688. 6.2 Movimento Uniformemente Variado, 588 6.3 Movimento Circular, 591

6.3.1 Posiio, Velocidade e Acelerao Angulares, 591 6.3.2 Movimento Circular Uniforme, 592 6.3.3 Movimento Circular Uniformemente Variado, 593

6.3.4 Exemplos de Movimentos Circulares, 593 Problemas Resolvidos, 594 Exerc(cios, 601 Ouestc5es Conceituais, 609 Problemas, 6l 1 Problema Experimental, 618 Apr.dic.o 2 CINEMTICA VETORIAL E O MOVIMENTO DOS PROJTEIS

1 1 ntroduio, 621 2 Objetivo da Cinemtica Vetorial, 621 3 Vtorde Posio de uma Partcula, 621 4 Trajetria da Partcula, 622 5 Velocidade Vetorial, 623

5.1 Velocidade Vetorial Mdia, 623

l ...... ____ --------~!!!'!!!!l--."'!!!!!1--.. --.~ ,.

1

~

5.2 Velocidade Vetorial Instantnea, 624 6.3 Componentes da Velocidade Instantnea, 626 6.4 Velocidade no Movimento Circular, 626

6 Acelerao Vetorial, 628 6.1 Odgrafo de um Movimento, 628 6.2 Acelerao Vetorial Mdia, 629 6.3 Acelerao Vetorial Instantnea, 630 6.4 Componentes da Acelerao Instantnea, 633

7 Posio e Velocidade em Coordenadas Polares, 634 7 .1 Sistema de Coordenadas Polares. Posio de urna Part (cuia, 634 7 .2 Componente Radial e Componente Transversa da Velocidade, 635

8 Componentes Tangencial e Normal da Acelerao, 636 9 Mudanas de Referenciais - Definies e Propriedades, 638

9.1 Posio do Problema: 638 9.2 Movimento de (S') em (S) - Caso da Translao, 639 9.3 Propriedades do Movimento de Translao, 640

9.3.1 Trajetria em (S) dos pontos de (S'), 640 9.3.2 Velocidade em (S) dos pontos de (S'), 640 9.3.3 Acelerao em (SI dos pontos de (S'), 641

9.4 Escolha da Base (Se'~) em (S'), 641 1 O Mudanas de Referenciais - Caso da Translao: Problema da Trajetria, 642 11 Mudanas de Referenciais - Caso da Translao: Problema da Velocidade, 645 12 Mudanas de Referenciais - Caso da Translao: Problema da Acelerao, 646 13 Movimento dos Projt!teis, 647

13.1 Posio do Problema, 647 13.2 Referenciais (S) e (S') - Movimento em (S'I. 647 13.3 Movimento no Referencial Terrestre: Trajetria, El48 13.4 Movimento no Referencial Terrestre: Velocidade, 648 13.5 Tempo de Vo e Alcance sobre o Plano Horizontal que Passa pela Origem, 649 13.6 Flecha Acima do Plano Horizontal que Passa pela Origem, 650

14 Generalizaio do Problema do Projt!til, por Consideraes de Simetria, 650 14.1 EquaesGeraisdoMovimento, 650 14.2 lnverslodo Tempo, 651 14.3 Tempo de Vo, Alcance e Flecha em Relao a Qualquer PI ano que Passa pela Origem, 652

Problemas Resolvidos, 655 Exerccios, 660 Questes Conceituais, 664 Problemas, 668

iNDICE REMISSIVO,. 679

SiMBOLOS UTILIZADOS, 685

~;-:;-:;:;::;;.~:~ .. -~..,,-- l'!!Wi-,4fiif an t~ ~---.. -~" "" ----~----~ i'

~

INTRODUO COLEO FISICA BASICA

O presente volume o primeiro de uma srie de quatro. A coleo completa, cujos t(tulos so:

VoliJme 1 Volume li Volume Ili Volume IV

MecAnica 1 MecAnica li e f(sica Trmica Eletricidade e Magnetismo Eletromagnetismo e Otica

constitui um curso de f.sica Bsica destinado aos alunos dos centros tc-nicos e cient(ficos das nossas Universidades.

O contedo do curso, bem como a metodologia escolhida decor-rem logicamente de seu objetivo: o que entendemos por Fsica Bsica para a Universidade? Em poucas palavras, entendemos que um curso, des tinado a integrar-se no ensino fundamental em m rea tio complexa e diversificada quanto a que se costuma rotular como Cincia e Tecnologia, dever,ia, em primeiro lugar, preocupar-se com a forma'o intelectual do estudante, deveria contribuir para o desenvolvimento do raciocnio abs . trato (mais especificamente, hipottico-dedutivo), do julgamento cr(tico e da capacidade criativa, atributos relativamente raros nos alunos que in gressam na Universidade.

Nem que seja por razes d bom senso, no acreditamos que um curso de Fsica Bsica possa, sozinho, incumbir-se da tarefa proposta, com alguma chance de sucesso; mas desde que a Universidade nlo perca

19

-"""'""""""""'"""""'"""""'"""'"""'"'""""'"""""" .......................... ~ .... ~~ .... ~------------------------....................................................................................................... ...,..,.... .............................. _

de vista o carter essencialmente humanista da sua misso, eve ser pos svel encontrar, entre as disciplinas bsicas, consonn:ias e convergncias que permitam, graas compreenso de todos, atingir o objetivo comum.

A contribuio que quisemos oferecer ao esforo coletivo para a boa formao dos nossos universitrios concretiza-se na tentativa de ofercer ao estudante uma slida cultura geral em Fsica clssica.

J definimos assim o contedo do curso. Em princpio, no ultra passar os limites da Fsica iniciada com Galileu e Newton, desenvolvida e enriquecida por Huygens e.os Bernovilli, por Lagrange e Laplace, por

. Clausius Gibbs e Helmholtz, por Fourier e Fresnel, por Ampere, Gauss, Faraday, por Maxwell, por Rayleigh, para citar somente alguns nomes na pliade de fsicos e matemticos que elaboraram, no decorrer de trs sculos, essa Summa de saber que chamamos de Fsica clssica.

No entanto, todas as vezes que se fizer necessrio, assinalaremos os limites dessa mesma Fsica clssica. Em primeiro lugar porque, em certas oportunidades, a Natureza nega-se obstinadamente a validar os modelos chamados clssicos, por mai.9r que seja a sofisticao a que possamos che gar na tentativa de "salvar o fenmeno". Exemplos desses impasses s'o bem conhecidos: so eles que obrigaram a Fsica a procurar novos cami nhos, com a Relatividade restrita, depois com a Relatividade geral, um pouco mais tarde com a Fsica quntica. Foram esses sintomas de impo-tncia da Fsica clssica que originaram a profunda mudana iniciada nos ltimos anos do sculo passado, mudana essa caracterizada, em particu-lar, pela tomada de conscincia da importncia da Fsica no somente co-mo instrumento do conhecimento da Natureza, mas tambm como ele menta essencial do prprio pensamento filosfico.

Em segundo lugar, acreditamos que, se quisermos desenvolver o senso crtico dos nossos estudantes, no devemos perder a oportunidade de expor as falhas de qualquer corpo do conhecimento humano. Deve mos em particular evitar apresentar esse conhecimento como algo fecha-do, acabado; devemos insistir sobre o fato de que a prcura da verdade (seja qual for o contedo subjetivo dessa verdade) no pra nem parar nunca. E a Fsica certamente no constitui exceo a essa regra.

No entanto, uma co.isa abrir janelas, quando a oportunidade se apresentar, sobre campos certamente frteis mas estranhos Fsica cls-sica. Outr coisa seria tentar enveredar por esses novos caminhos. Resis-timos a essa tentao. Este curso no inclui os (j) costumeiros Elemen tos de. Relatividade e Introduo Fsica Moderna. A razo que acredi tamos ser extremamente difcil, para no dizer impossvel, estudar edis-cutir com algum proveit os conceitos altamente abstratos da Fsica rela-

20

tivista e da Fsica quntica sem antes ter uma compreenso profunda, tanto em nvel conceituai cama operacional, da Fsica clssica. A assimi-lao desses conceitos requer tempo: achamos prefervel evitar a disper-s'o representada por incurses em reas que poderiam to-somente ser "cob~rtas" por largas pinceladas, com o risco muito real da incompre enso ou, pior ainda, de uma pseudocompreens'o distorcida.

De qualquer maneira, achamos que o contato intelectual CO!fl as grandes correntes do pensamento cientfico que caracterizam os sculos XVII, XVI li e XIX ser suficiente para que as novas geraes de enge-nheiros, fsicos, qumicos, matemticos ... formados nas nossas Univer, sidades escapem aos perigos da formao monoliticamente especializada. Esse tipo de formao pode ter sua utilidade como elemento da linha de montagem do complexo cientfico, tcnico ou mesmo social que alimen-ta os destinos de uma nao. No entanto, por ser geneticamente pouco permevel a uma integrao horizontal com outros modos de pensar ou de agir, por se distanciar cada vez mais do tronco comum constitudo pe-la herana intelectual cujo paciente acmulo constitui a nossa cultura, a especializao exacerbada tem pequena contribuio a oferecer para a formao dos lderes, dever precpuo da Universidade e em muitos casos nica justificativa de sua existnc"ia.

Em resumo, quisemos oferecer uma exposio razoavelmente completa da Fsica clssica em nvel introdutrio ..

A metodologia, acreditamos, tem uma certa originalidade. Ao pro-curarmos uma viga mestra que possa tornar mais cperente, mais consis tente, mais solidamente estruturada a exposio de tpicos to diversos quanto a mecnica da partcula e os fenmenos de difrao, por exem-plo, pensamos que o melhor seria nos escudarmos no to falado e infeliz mente to pouco conhecido (ou praticado) mtodo cientfico.

O que caracteriza o mtodo cientfico em F ( sica a construo de modelos matematizveis. A insistncia explcita, consciente; na elabora o de modelos fsicos e na sua associao com os modelos matemticos correspondentes constitui o leit-motiv do curso; nisto, acreditamos, resi-de a originalidade metodolgica a que nos referimos.

O nvel do curso o que acreditamos adequado e aconselhvel s nossas Universidades. No pretendemos elaborar um curso fcil, ao alcan-ce de qualquer aluno universitrio . .. Acreditamos que um domnio ra-zovel dos conceitos (mais do que do formalismo) da chamada fsica_ cls-sica elementar exige grande esforo e um trabalho prolongado e paciente. Acreditamos que os problemas mais rduos iro requerer uma maior per-sistncia dos alunos. Porm, sabemos que, uma vez resolvidos, teremos conseguido parte do nosso objetivo: convencer esta juventude de que as

21

.. ,...;=.x=-.~;.;.;..;~.: . ;.:: .. t+:-~;;:",,..-~.:.--,_ =,-c--;;:.:@Z""'"'~.,

coisas do esprito, a formao honesta do homem e do cidado, muda-ram muito pouco desde o sculo de Pricles, e que os pequenos esforos, os "facilitrios" intelectuais somente podem preparar futuras falncias de carter.

Os captulos terminam com problemas resolvidos e com sries de exerccios, de questes conceituais e de problemas. Os exerccios so geralmente aplicaes imediatas, ou quase imediatas, da teoria desenvol-vida no captulo correspondente. So destinados a firmar os conhecimen-tos (na terminologia de Bloom). As questes conceituais exigem muito mais, desde a compreenso dos conceitos at a anlise e a avaliao de certas situaes propostas. Aconselhamos o professor a discutir essas questes em sala de aula. Os problemas requerem tudo o que precede -pelo menos os mais difceis - e ao mesmo tempo um domnio razovel do formalismo matemtico. Este no ultrapassa o nvel exigido nos cursos de clculo e de lgebra linear introdutrios.

A elaborao deste curso d.eve muito a muitos. Em primeiro lugar a meus colegas do Departamento de Fsica da PUC, Rio de Janeiro, onde foi iniciado e - em parte - testado. Em segundo lugar a meus colegas do Instituto de Fsica da UNICAMP, Campinas (SP), onde prossegui a elabo-rao do texto, num perodo de licena que nos foi concedido pela PUC/RJ.

Evitamos citar nomes. So muitos e nos arriscaramos a pecar por omisso. A todos agradecemos sinceramente, como agradecemos tambm aos estudantes com quem tivemos o prazer de discutir, conceito aps

conc~ito, o contedo deste curso e que nos ensinaram, dia aps dia, a en-sinar um pouco melhor. As crticas, as discusses e os incentivos nos fo-ram particularmente preciosos.

Agradecemos tambm o trablho annimo dos que contriburam para a boa apresentao dos livros: datilgrafas, desenhistas, diagramado-res, compositores, revisores ...

A Editora Campus emprestou realizao grfica e composio dos textos sua reconhecida competncia.

Pierre Lucie, fevereiro de 1979

22

INTRODUO AO VOLUME 1

O primeiro volume do curso de Fsica Bsica uma apresentao da mecnica da partcula. A mecnica dos sistemas de muitas partculas (slidos, sistemas de massa varivel e fluidos) ser tratada no volume li.

Os dois primeiros captulos do livro constituem uma intrbduo. O captulo 1 resume a contribuio de Galileu para a elaborao de uma nova Fsica, realando a extraordinria itnportncia dessa contribuio para a epistemologia cientfica *. O captulo 2 apresenta a obra monu-mental de Newton, os Principia, ponto de partida, fonte de inspirao e referncia necessria e obrigatria para a mecnica da partcula.

Os nove captulos seguintes (captulos 3 a 11) desenvolvem as leis fundamentais da Dinmica, desde as leisde Newton e a conservao do momento linear (captulos 3, 4, 5) ata conservao do momento angular (captulo 11), passando por trabalho, energia e sua conservao (cap-tulos 7 e-8).

Procuramos dar a esse desenvolvimento uma seqncia lgica: importante que o estudante, nesse primeiro contacto com a Fsica, come-ce a apreciar a harmoniosa ordenao dos conceitos fundamentais.

A exposio das leis fundamentais interrompida, duas vezes, por captulos de aplicaes. O captulo 6 trata das foras usuais encontradas nas situaes comuns, algumas delas corriqueiras, que se apresentam no.

* O leitor interessado na evoluo do pensamento cientifico, desde a Grcia antiga at a revo-luo cientifica do sculo XVII, poder consultar, do mesmo autor: A Glnese do M'tado Cientfico, Ed. Campus, Rio, 1978.

23

dia-a-dia na casa, na rua ou no laboratrio. O captulo 9 estuda colises e o captulo 10, o oscilador harmnico. Esses captulos de aplicaes, claramente destacados na montagem grfica, podero ser considerados como pausas necessrias assimilao e ao entendimento dos conceitos apresentados nos captulos que os precedem.

O estudo dos captulos 3 a 11 ter assim familiarizado o estudante com as leis de Newton e as trs leis de conserv.ao da mecnica clssica (momento linear, energia, e momento angular}. Podemos resumir o con-tedo desses captulos como uma exposio das regras do jogo, vlidas qualquer que seja o "jogo", isto , qualquer que seja o tipo de interao (com as restries evidentes para o eletromagnetismo e os sistemas qun-ticos).

A adio a essas regras de uma hiptese (a "lei" da gravitao universal) e de um postulado (identidade da massa inercial e da massa gravitacional) permite completar o quadro de uma teoria fsica: a Teoria da Gravitao. Essa sntese, que ns devemos a Newton, o objeto do captulo 12.

O livro termina com dois ~pndices: o primeiro apresenta a Cine-mtica escalar; o segundo, a Cinemtica vetorial. A colocao da Cinem-tica num aparente segundo plano pouco usual em textos de Fsica bsica. Optamos por essa apresentao em primeiro lugar porque, a rigor, a Cinemtica estaria melhor situada, na nossa opinio, num curso de clculo do que num curso de Fsica. Em segundo lugar, a nossa experin-cia de ensino nos convenceu de que iniciar o curso de Fsica universitria por Cinemtica desestimula muitos estudantes. Preferimos optar por uma "diluio" da Cinemtica ao longo do curso: por ocasio de cada tpico ensinado, ou de cada problema, vamos buscar a ferramenta necessria, quando preciso for. Essa posio evidentemente pessoal e coni tal sujeita a crticas. De qualquer maneira, e qualquer que seja a opo feita. pelo professor que ministra o curso, a Cinemtica est disponvel, com 1,.1m nvel de tratamento que presumimos adequado.

Certos captulos so seguidos de Complementos. Em certos casos trata-se de indicaes, ou conselhos, para montagens experimentais; em outros esto expostos certos tpicos cuja importncia foi considerada secundria, embora possam interessar estudantes mais avanados; h finalmente um complemento (no captulo 10) em que se resume a teoria das equaes diferenciais lineares.

Todos os captulos, com a exceo parcial dos trs primeiros, oferecem problemas resolvidos e listas razoavelmente extensas de ques-tes conceituais, de exerccios e de problemas. Para muitos dos proble-mas, a resposta indicada a seguir. Aconselhamos a discusso em sala de aula, com participao ativa do estudante, de certas questes conceituais e de um nmero limitado de problemas. A escolha destes e daquelas

24

,-!

eviden_temente tarefa do professor, mas, de novo, a experincia nos mos-trou que, cedo, muitos estudantes aprendem a escolher boas questes que eles gostariam de discutir em sala. Por questo de fidelidade filo-sofia do curso, recomendamos que em cada problema seja claramente explicitado o modelo fsico, com seus parmetros relevantes, suas hi-pteses, etc ... e que se realce a correspondncia do modelo matemtico com o modelo fsico assim construdo. Recomendamos tambm insistir sobre o fato de que a resposta encontrada (e que pode ou no coincidir com a resposta indicada no final do enunciado) no uma soluo do problema antes de ser testada pela experincia, que tanto pode confirmar como infirm-la.

Por razes bvias, no possvel pedir experincia a confirmao da validade dos modelos elaborados em todos os problemas propostos. Em certos casos, porm, a montagem experimental simples, estando ao alcance dos laboratrios mais pobres. Os problemas correspondentes so assinalados como problemas experimentais. Recomenda~os que sejam propostos, discutidos e que seja realizado o teste experimental. Mais uma vez, porm, achamos importante que os estudantes tenham conscincia. de que no se trata de problemas "diferentes". O que os diferencia dos outros to-somente, repetimos, a facilidade de montagem da expe-rincia de controle.

Um livro como este, na sua primeira edio, no pode ser isento de erros. Esperamos ter incorrido em poucos erros graves; confiamos tam-bm na boa vontade dos npssos colegas para-nos comunicar as crticas e as sugestes que eles julgarem procedentes. Urnas e outras sero acolhidas com gratido.

Pierre Lucie, fevereiro de 1979

25

2 -1 :e o e e: -o )>r o

?:~E~~~.;,;~4..Jk~:r,'"*-r::'_,.~q,p-~~~:

______ , .. _ _.->K;;>:::;;;;

---~~-/::w1zw~,~-.;,,: .. v-:..---.,----------------------------------------------

Primeira Parte

O PROBLEMA DA QUEDA DOS GRAVES NO AR

1.1 A OBSERVAO Aristteles afirmava que se um corpo cai (movimento natural), sua

velocidade proporcional ao peso e inversamente proporcional resistn-cia do meio.

Galileu recusa qualquer afirmao a priori e observa a queda de corpos. Duas concluses se impem:

a. se dois corpos de pesos diferentes caem em meios de densidades decrescentes, a diferena entre as velocidades dos dois corpos diminui na medida em qt,1e a densidade do meio se torna menor.

No ar, observamos que aqueles dois corpos, quando largados jun-tos, mantm-se praticamente juntos, pelo menos enquanto a altura da queda no se tornar muito grande. Seguindo Galileu, podemos extrapolar para o meio de densidade nula: no vcuo, corpos largados juntos perma-neceriam sempre juntos, isto , teriam em cada instante a mesma velo-cidade.

b. a velocidade de um corpo que cai livremente no ar (ou vcuo se fosse possvel) aumenta no decorrer da queda. 1.2 O PROBLEMA

Observando que, no decorrer da queda no ar, a velocidade aumen-ta, Galileu se pergunta: De que maneira varia essa velocidade?

Notemos a mudana de enfoque em relao escola tradicional. Para os aristotlicos o importante no era saber como variava a veloci-dade e sim por que variava. No pretendemos que o porqu no tenha a sua importncia. O mrito de Galileu foi ter reconhecido que, por o~dem de prioridade, a resposta ao como devia anteceder a pesquisa do porqu.

32

1.3 A ELABORAO DO MODELO FfSICO Este passo decisivo para a criao de uma nova atitude em rela

o ao estudo dos fenmenos naturais. O que um modelo? uma construo abstrata que substitui ao

fenmeno observado, real, um fenmeno ideal, pensado pelo investi-gador. Este (o investigador) vai despir o fenmeno real de todos os atributos que julga no essenciais para a soluo do problema.

Dividamos a procura dos atributos essenciais em duas partes: em primeiro lugar, o que considerado atributo de um fenmeno, na cons-truo de um modelo? Em segundo lugar, quais so os atributos essen-ciais?

Os atributos de um fenmeno so os suscetveis de tratamento matemtico, conseqentemente suscetveis de medio. Assim que, no caso da queda dos graves, a "tendncia natural a dirigirem-se para baixo, para voltarem a seu lugar prprio", no medvel e conseqentemente deve ser excluda da construo do modelo, bem como todas as quali-dades essenciais, substanciais ou ocultas.

Em contrapartida, o peso do corpo, as suas dimenses ... so grandezas mensurveis: elas podero participar da construo do modelo, se o experimentador julgar necessrio.

Esses atributos suscetveis de medio so chamados parmetros. A massa, o dimetro, a temperatura ... de uma bola que se deixa cair so parmetros que podero ser includos na elaborao do modelo abstrato que substituir a bola real para a soluo ao problema proposto a res-peito da queda. Esse parmetros dizem respeito ao corpo estudado, ou possivelmente aos corpos estudados: mais tarde surgir a necessidade, no estudo do mesmo problema, de incluir a Terra no modelo; os parmetros correspondentes sero o seu raio, a sua massa, ou ento a intensidade do campo gravitacional que ela gera, etc ....

Outros parmetros dizem respeito ao meio no qual se desenrola o fenmeno; neste caso est, por exemplo, a densidade do ar.

Passemos agora segunda pergunta: "Quais so os parmetros es-senciais ou, como se diz melhor, relevantes no estudo do fenmeno?"

Essa escolha dos parmetros relevantes entre os que caracterizam o fenmeno depende essencialmente da pergunta feita: se o corpo (sufi-cientemente denso) cai de uma pequena altura, a presena do ar irrele-vante no estudo da variao da velocidade. Se a altura da queda aumen-tar, chegar um momento em que teremos que incluir o ar, ou melho.-, a densidade do ar, entre os parmetros relevantes.

A escolha dos parmetros relevantes at certo ponto subjetiva. Somente a experincia final permitir dizer se todos os parmetros rele-vantes foram realmente includos na elaborao do modelo.

33

Depois dessas consideraes gerais, vejamos como Galileu cons-truiu o seu modelo, no caso da queda dos graves no ar.

Galileu est perfeitamente consciente da existncia da resistncia do ar. Mas, diz ele, essa resistncia um fenmeno de superfcie, e portanto, se o corpo for suficientemente denso, e se por outro lado a altura da queda no for muito grande, de modo a no deixar a resistncia do ar crescer a ponto de se tornar relevante, ento podemos desprezar essa resistncia. Em outros termos, o parmetro densidade do ar irre levante, uma vez aceitas as restries acima.

Dizer que a resistncia do ar desprezvel equivale a dizer que tudo se passa como se a queda se efetuasse no vcuo. Mas Galileu foi levado a concluir, por suas observaes preliminares, que todos os corpos cairiam no vcuo com a mesma velocidade. Portanto, e desde que as restries assinaladas sejam satisfeitas, a massa do corpo (Galileu diz o peso) tambm irrelevante.

A maneira de representar, no modelo, a bola de chumbo que cai de uns poucos metros ento substitu-la por um gro de dimenses despre-zveis: o que ns chamamos hoje de modelo de partcula.

Nesse modelo, todos os parmetros fsicos (dimenses, peso, pre sena do ar ... ) so irrelevantes.

1.4 A IMPOSIO DE LEIS, TEORIAS OU HIPTESES DE TRABALHO AO MODELO FlSICO Continuemos nosso caminho ao longo da ponte abstrata entre

observao e experincia. Um modelo sozinho seria estril: preciso fixar o que poderamos chamar de regras do jogo.

Quais so as regras? So as leis ou teorias que, a nosso ver, o modelo deve seguir.

Notem bem que estamos nos referindo ao modelo e no ao fenmeno real. O modelo obedece, pela abstrao e a idealizao que levaram sua elaborao, a regras mais simples que o fenmeno.*

Acontece s vezes, em particular quando a comunidade cientfica se encontra no limiar de uma nova era - o que ocorreu na poca de Galileu -, que no h ainda leis ou teorias. O investigador impe ento certas hipteses que permitiro fazer trabalh{Jr o modelo. Est claro que as hipteses escolhidas tm tambm um carter subjetivo, pelo menos at serem confirmadas, se for o caso, pela experincia.

No problema da queda dos graves, Galileu no dispe de nenhuma teoria, de nenhuma lei preexistente, excetuando-se a teoria aristotlica

*Esta uma das grandes vantagens do modelo. O fato de impor regras mais simples leva mais rapidamente a solues simples; pode acontecer que essas solues sejam somente aproximadas, mas elas do em geral indicaes sobre a evoluo do fenmeno.

34

l j

que rejeita de sada. A observao mostra que a velocidade do corpo cresce no decorrer da queda. Galileu procura uma hiptese de trabalho quanto a esse cresci menta.

Duas se apresentam: a. em 1597, no De Motu, afirma qu~ a velocidade cresce proporcio-

nal mente ao espao percorrido. b. em 1638, nos Discursos, afirma que a velocidade cresce proporcio-

nal mente ao tempo decorrido desde o incio da queda. Observe-se que em qualquer caso o que Galileu procura uma

hiptese simples: no h lei de variao mais simples que a proporc"iona-lidade.

A primeira hiptese insustentvel. (Por qu?) Aceitemos ento a segunda hiptese galileana: A velocidade de um corpo em queda livre cresce proporcional-

mente ao tempo. O modelo fsico conseqentemente o de uma part icula que cai

livremente, a partir do repouso, e cuja velocidade cresce proporcional-mente ao tempo.

1.5 O MODELO MATEMTICO Passemos do modelo fsico ao modelo matemtico, isto , matema-

tizemos o modelo fsico:

MODELO FfSICO

Partcula ...

... caindo livremente (trajetria vertical) ...

... a partir do repouso

Parmetros rele..antes: nenhum

Hiptese: velocidade proporcional ao tempo

T.-

~ 1.-

~

~

MODELO MATEMTICO

' origem dos tempos e das posies

trajetria orientada positivamente para baixo

-

{ Xo = 0 1 emt= O

Vo: 0

v:at

o

X (t) 1 V (v = at)

X

Condies iniciais: X 0 = Q

35

Duas observaes: Para simplificar fizemos coincidir a origem das posies com o

ponto de largada da partcula. 2 A condio v0 = O est implicitamente contida na hiptese v = at;

por essa razo no foi includa entre as condies iniciais, no modelo matemtico.

1.6 AS PREVISES DO MODELO MATEMTICO A maneira de testar a validade da hiptese sobre a velocidade da

queda parece bvia primeira vista: basta medir as velocidades do corpo em vrios instantes sucessivos e verificar se essas velocidades crescem ou no proporcionalmente ao tempo.

Porm medir velocidades instantneas extremamente difcil, mes-mo hoje em dia*, quanto mais na poca de Galileu.

O processo seguido por Galileu para contornar a dificuldade particularmente instrutivo, porque nos mostra uma das caractersticas mais frteis do moelo: o poder de predio.

Com efeito, o que Galileu faz substituir a lei hipottica sobre as velocidades, invertificvel diretamente, por outra lei, que deve nece"'ssaria-mente ser verdadeira se a hiptese primitiva o for, e que pode, esta, ser verificada pela experincia.

Voltemos hiptese:

V =: ~~ = at (1) Essa relao na realidade uma equao diferencial que pede uma

soluo. A integrao da equao ' imediata: t

x(t) - x o = f at dt o

O que fornece, com x0 = O:

x(t) = - 1- at 2 2 (2) ou seja: se a velocidade crescer proporcionalmente ao tempo, ou ainda, se o movimento do corpo for uniformemente acelerado, o espao percor-rido deve crescer proporcionalmente ao quadrado do tempo.

Observe-se como a condio inverificvel sobre a velocidade foi substituda por outra que decorre necessariamente (isto , matematica-mente) da primeira, mas que pode ser verificada experimentalmente, como veremos na prxima seo.

Na realidade no se mede nunca uma velocidade instantnea e sim um t:.x/t:.t; por menor que seja M, ele no infinitamente pequeno;

36

~ 1

.1

1.7 O TESTE EXPERIMENTAL A soluo provisria prevista pelo modelo deve ser testada expe-

rimentalmente: somente a natureza pode se pronunciar quanto validade do prprio modelo, bem como das leis, teorias ou hipteses que 1 he foram impostas.

Para o caso da queda dos graves, a dificuldade encontrada por Galileu era medir com suficiente preciso pequenos intervalos de tempo: para cair de 3 metros, por l?Xemplo, uma pedra leva menos de 1 segundo.

Ele contornou a dificuldade graas sua extraordinria intuio fsica: ao procurar um meio de "diluir" a gravidade para que os tempos de queda fossem maiores, recorreu ao plano inclinado.

E D e

A

Plano Horizontal

Fig. 1 Galileu afirma, embora sem poder demonstr-lo, que um objeto caindo de A ao longo dos planos AC AD AE chegar sobre o plano horizontl com a mesma.velocidade: a que ele teria em B se casse em queda livre, seguindo a vertical.

Dizia ele (fig. 1 ): se considerarmos planos de vrias inclinaes, AC AD AE ... , um objeto caindo a partir do mesmo ponto A ao longo desses plans atravessar qualquer plano horizontal (por exemplo EDC na figur'a) com a mesma velocidade e essa velocidade igual que ele teria no ponto B do mesmo plano se casse livremente de A ao longo da vertical AB: Obviamente, supe-se que todos os atritos so desprezveis.

Galileu no podia demonstrar essa proposio*; ela verdadeira, mas o que importa observar que na realidade tratava-se de um segundo modelo: o modelo de uma partcula descendo com atrito desprezvel ao longo de um plano inclinado ideal (perfeitamente polido, perfeitamente rgido ... ). Esse segundo modelo estava sendo criado para a finalidade

* Huygens far essa demonstrao, alguns anos mais tarde.

37

exclusiva de verificar experimentalmente uma lei prevista por um outro modelo: o da partcula em queda livre.

Em resumo, Galileu acreditava que os dois modelos seguem ames-ma hiptese fundamental: a da proporcionalidade da velocidade em rela-o ao tempo de queda. A vantagem do plano inclinado que a cons-tante de proporcionalidade a na expresso v = at, menor no caso do plano inclinado do que no caso da queda livre, e conseqentemente os tempos de queda sero maiores. Voltando fig. 1, Galileu estava conven-cido de que a velocidade da partcula em BCDE era sempre a mesma (desde que a queda se iniciasse sempre em A e que os atritos fossem desprezveis); no entanto, para alcanar o plano horizontal, a partcula levar um tempo tanto maior quanto menor for a inclinao do plano em relao horizontal.

O modelo que substitui o precedente, para fins de verificao ex-perimental, o seguinte:

MODELO FfSICO

Partcula ...

.. caindo ao longo de um plano inclinado

.. com atrito desprezvel

a partir do repouso

Parmetros rei eva ntes: nenhum

Hiptese: velocidade proporcional ao tempo

MODELO MATEMTICO

~---+.

1 ,,;,.m do'1ompo l e das posies O

)( (t) 2 '."JMO ';'"~"'. ~ pos1t1vamente para baixo

{x 0 :0 - X --+ em t = O _ 0 v. -

v=at

1 Condies iniciais: --+ v= at Xo = 0

Observe-se que a nica coisa que mudou em relao ao modelo precedente foi a direo do eixo. Assim, a previso do modelo continua a mesma, ou seja,h proporcionalidade do espao em relao ao quadrado do tempo.

38

1

1 ,

Aceitaremos a previso galileana quanto ao plano inclinado e submeteremos agora o nosso modelo ao teste experimental.

TESTE EXPERIMENTAL

Considere-se um objeto (carrinho, bola de ao) deslizando ao longo de um plano inclinado, com atrito desprezvel.

O espao percorrido pelo mvel a partir do repouso ser propor-cional ao quadrado do tempo?

OBSERVAO O problema experimental n.o 39 do Apndice 1(pg.618) podesubs-

titu ir este teste. Com efeito, verificamos naquele problema que tal movimen-to uniformemente acelerado. Portanto, a expresso da posio em funo do tempo, com as condies iniciais x 0 = O e Vo = O, a seguinte:

X=+ at2. Se for aconselhvel fazer o teste, uma nova srie de dados experi-

mentais ser necessria, cuidando-se agora de tomar como origem das posies (xo~ a posio em que o mvel largado com velocidade nula.

Caso no se disponha de trilho de ar com centelhador, uma bola de ao rolando sem deslizar ao longo de uma calha de alumnio (por exem-plo) uma soluo satisfatria. Aconselha-se largar a bola sempre da mesma posio, medindo-se com um cronmetro os tempos para a bola percorrer os primeiros 1 O cm, os primeiros 20 cm, os primeiros 30 cm, etc ....

Qual a precauo necessria quanto inclinao da calha, para que a bola role realmente sem deslizar?

Qual o mtodo aconselhvel para testar se o espao percorrido realmente proporcional ao quadrado do tempo?

Fornecemos a seguir uma srie de dados correspondentes ao movi-mento de um carrinho sobre um trilho de ar. Esses dados podero ser utilizados, se for julgado aconselhvel, para suplementar a anlise do movimento da bola ao longo da calha.

Inclinao do trilho: 5. 10-3 rad. Freqncia do centelhador: 4,0 Hertz.

Posio: Xo Xi X2 X3 X4 Xs x6 X7 Xa X9 X10 X11 (cm) O 0,2 0,5 1,3 2,1 3,5 5,1 6,8 9,1 11,5 14,2 17,3

39

Segunda Parte

O PROBLEMA DO MOVIMENTO DOS PROJTEIS

1.8 A OBSERVAO Ao arremessar uma pedra ou a flecha de um-arco, observa-se que a

trajetria uma curva cncava para baixo. Em particular, se o arremesso for feito horizontamente, a trajetria da pedra ou da flecha defletida para baixo logo aps o projti'I perder o contato com o agente motor (mo ou arco).

1.9 O PROBLEMA Galileu pergunta: Qual a curva descrita pelo projtil? Implicitamente, aceita sem discusso que todos os projteis tm

trajetrias semelhantes. Isto equivale a reconhecer a existncia de uma unidade subjacente a toda uma classe de fenmenos: o prenncio da lei fsica.

1.10 A ELABORACO DO MODELO FfSICO As restries so as mesmas que as observadas no caso da queda

dos graves: corpo sticientemente compacto e denso, pequenas "dimen-ses" do. tiro (altura e alcance), resistncia do ar desprezvel. O modelo o de partcula~

No h parmetro fsico relevante.

1.11 A IMPOSIO DE LEIS, TEORIAS OU HIPTESES DE TRABALHO AO MODELO FfSICO Como no caso da qued dos graves, no h leis ou teorias preexis-

tentes. Quais so ento as hipteses de trabalho que Galileu impe ao modelo?

40

Ele supe que o movimento de um projtil lanado horizontal-mente a resultante da composio de dois movimentos:

a. um movimento horizontal, retilneo e uniforme; b~ um movimento vertical anlogo ao da queda livre. Havia verificado

experimentalmente que esse movimento uniformemente acelerado (ve-locidade proporcional ao tempo ou espao proporcional ao quadrado do tempo).

Examinemos essas hipteses.

A

3

e 4

Fig. 2 A composio galileana de movimentos: uma velocidade vertical de 3 unidades comp8e-se com uma velocidade horizontal de 4 unidades, fornecendo uma velocidade "diagonal" de 5 unidades.

Em primeiro lugar, o que Galileu entende por "composio de movimentos"?

Salviati o explica no 4.0 dia dos Discursos: se, diz ele, o corpo ao descre~!!r sua trajetria tem, em determinado instante, uma velocidade vertial de 3 unidades, representada pelo segmento AB (fig. 2) e ao mes-mo tempo. uma velocidade horizontal de 4 unidades (segmento BC), sua velocidade real ser a diagonal AC do retngulo construdo sobre AB e BC: ter a dire'o dessa diagonal e ser de 5 unidades. Essas 5 unidades so, diz Salviati, "a soma em potncia de 3 e 4".

O que Galileu est enunciando o que chamamos hoje de compo-sio vetorial das velocidades-.

Mas o que so essas velocidades? A velocidade horizontal a velocidade com que o corpo foi lan-

ado, e que conservaria indefinidamente se um plano horizontal que passasse pelo ponto de lanamento o impedisse de cair.

41

A velocidade vertical , para Galileu, a velocidade que teria o corpo se no fosse projetado, isto , se ele tivesse o movimento simples de queda livre que tinha estudado ahtes.

Plano horizontal?, pergunta Simpl cio, que se lembra da conser-vao do movimento segundo Galileu, mas que aprendeu que se trata tambm, segundo o prprio Galileu, de um movimento circular em torno do centro da Terra.*

Salviati explica ento que sendo o alcance do tiro, por hiptese, muito pequeno em comparao com o raio terrestre, o plano esfrico em que se conservaria, a rigor, o movimento, pode ser sem inconveniente substitudo pelo plano tangente superfcie terrestre, isto , por um plano horizontal.

Observemos que, ao aceitar a composio vetorial das velocidades, Galileu considera que os dois movimentos elementares, o movimento de queda livre vertical e o movimento uniforme horizontal, so indepen-dentes, no interferem entre si.

1.12 O MODELO MATEMTICO Em conseqncia, e traduzindo-se em lingoagem moderna, Galileu

afirma que se por seu movimento horizontal uniforme, o projtil tivesse em determinado instante a posio rH (fig._ 3) e se por seu movimento vertical de queda 1 ivre tivesse no mesmo instante a posio rv, sua posi-o real seriar, soma vetorial de rH e ry.

o rH

rv 1 "'r i

1

---~-------------------~ Fig. 3 A composio vetorial das posies, conseqncia necessria do conceito galileano da composio dos movimentos.

(*) GMC, cap. 7, seo 7.8.

42

1 1 ;t

1

'

1 l !

A posio rH pode ser representada por (v 0 t) x em que v0 o mdulo da velocidade inieial e x o unitrio horizontal no sentido do lanamento.

A posio rv pode ser representada por ( 1/2at2)9 em que 1 /2 at2 a distncia percorrida por um grave em queda livre durante o tempo t com acelerao a e y o unitrio vertical para baixo.

As hipteses galileanas resumem-se agora na igualdade vetorial

r = (v0 t) _x + (1/2 at2 ) 9 Resumamos o model:

MODELO FfSICO MODELO MATEMTICO

Partcula ... ___. .

... atirada horizontalmente com velocidade v 0 ___.

Parmetros relevantes: nenhum

Hipteses: 1 O movimento horizontal retilneo uniforme com velocidade v0 ____.

v,

.r 'H

Posio da projeo da partcula sobre o eixo x no instante t:

x

.r 'H

O: posio inicial

M

rH=lv 0 tl x M: posio no instante t

2 O movimento vertical o da quda livre rom velocidade inicial nula.____. l

Posio da projeo da part cuia sobre o eixo y no instante t:

'v = .!. at' V 2 3 Esses dois movimentos superpem-se --+ r=rH+ 'v

Condies iniciais:

em t= O r =O V= v0

(horizontal)

43

1.13 AS PREVISES DO MODELO A hip~tese imposta: r=(voi)x+(~at2 )y (3)

equivale ao sistema que se obtm pela projeo da igualdade sobre os eixos orientados respectivamente por x e y:

X= v0t

y = _1_ at2 2

(4)

(5) em que x e y representam as componentes algbricas do vetor de posio no instante t, ou ainda as coordenadas da partcula no instante t, relativa-mente aos eixos cartesianos (Ox, Oy) da fig. 4. Observemos que x e y so necessariamente positivos.

o

-------------------X

y

1 J 1 1 ly 1 1 1 1 1

X

Fig .. 4 A trajetria da partcula, prevista pelo modelo, uma semiparbola com o eixo vertical.

A trajetria obtm-se pela eliminao do tempo t entre as duas relaes (4) e (5). Essa eliminao, que imediat, fornece:

v = 22 x 2 (x e Y>O). Vo (6)

Ela representa uma semiparbola cujo eixo a vertical Oy, que tem concavidade dirigida para baixo e que tangencia a horizontal Ox no ponto de lanamento O.

44

Essa trajetria (semiparbola) pois uma conseqncia necessria das hipteses iniciais impostas ao modelo.

1.14 O TESTE EXPERIMENTAL A previso do modelo quanto forma da trajetria deve ser

submetida ao teste experimental. A fig. 5 resume o mtodo experimental sugerido para testar o

modelo. Se a trajetria for uma semiparbola, as distncias verticais OM devem ser proporcionais aos termos da seqncia (0) 2 (1 )2 (2) 2 (3)2

Posi'o de largada da bola

o 2 3 4 5 1 1

'

Fig. 5 Esquema da montagem experimental para o movimento do projtil. A bola largada sempre da mesma posio. Ela bate numa prancheta vertical (com papel carbono) colocada nas posies sucessivas eqidistantes O 1 2 3 etc ...

PERGUNTAS 1 Mostrar - referindo-se fig. 5 - que se a trajetria for uma semiparbola devemos ter,

por exemplo: (0Ml 4 = 4 (0M) 2

2 Em cada posio da prancheta aconselhvel obter trs ou quatro batidas da bola le no uma s), largando-se sempre a bola do mesmo ponto da rampa.

Por qu?

CONCLUSO O que h de mais importante na obra cientfica de Galileu a

elaborao do mtodo cientfico. Esse mtodo gira em torno da estrutu-rao de modelos tericos, abstratos, sugeridos por uma pergunta que o investigador da Natureza faz a respeito de um fenmeno.

O modelo permite, por meio de dedues exclusivamente matem

45

ticas, a descoberta de conseqncias necessrias das leis, ou teorias, ou hipteses que foram impostas ao modelo.

No entanto a elaborao do modelo, com a escolha dos seus par-metros relevantes, bem como a deciso de impor certas leis ou certas hipteses ao modelo, so opes humanas e conseqentemente fal (veis.

Por isso o cientista dever sempre procurar na experincia o vere-dicto da Natureza a respeito da validade do modelo, do acerto na rele-vncia dos parmetros e da validade das leis e das hipteses impostas.

Foi precisamente por ter entendido que a explorao da natureza exige, como disse Alexandre Koyr, "que se raciocine sobre o impossvel (o modelo abstrato) para se tirarem concluses quanto ao real", que Galileu foi o grande arteso da libertao da cincia das essncias aristo-tlicas, da magia medieval e das qualidades ocultas, que por mais de dois mil anos haviam impedido o seu desenvolvimento.

46

QUESTES CONCEITUAIS

1 No Primeiro Dia dos Discursos, Galileu analisa da seguinte maneira o fenmeno da resistncia do ar:

. .. um corpo pesado possui uma tendncia inata a mover-se com um movimento constan te e uniformemente acelerado em direo ao centro comum de gravidade, ou seja, ao centro da nossa Terra, de maneira que, em intervalos de tempos iguais, sofre acrscimos iguais, de momento e de velocidade. Mas isso vlido apenas no caso de todos os impedimentos ex ternos e acidentais terem sido removidos,: no entanto, um desses impedimentos no pode nunca ser removido: o meio, que deve ser penetrado e jogado para o lado pelo corpo que cai. Como j disse, esse corpo por sua natureza continuamente acelerado, o que faz com que encontre uma resistncia do meio cada vez maior, com a conseqente diminuio da taxa de aumento da sua velocidade at que, finalmente, a velocidade atinja um valor tal, ao mesmo tempo que a resiStncia do meio se torne to grande que, um equilibrando o outro, os dois efeitos impedem qualquer acelerao futura. O moviment do corpo se torna ento uniforme e da em diante cnservar um valor constante.

a. Faa, a respeito do trecho acima transcrito qualquer comentrio ou crtica que julgar conveniente.

b. Galileu afirma a existncia de uma velocidade limite, para um corpo que cai. Esse fato pode ser comprovado por observao experimental? De que maneira?

2 No Primeiro Dia dos Discursos, Galileu explica que a resistncia do ar sobre um corpo que cai devida aos choques do meio (ar) contra as asperezas e rugosidades existentes na superfcie do corpo. Explica a seguir que, na medida em que um corpo diminui de tamanho, a superfcie se torna cada vez mais importante, relativamente ao peso; conseqentemente, a resis tncia do ar tem mais influncia sobre o movimento de, um corpo pequeno, que sobre o movi mento de um corpo maior, porm feito da mesma substncia.

a. Convena-se do efeito de superfcie, quando se muda de escala. Considere por exemplo uma bola de ao de raio 2R, e outra de raio R. Qual a razo entre os pesos das duas bolas? Qual a razo entre as superfcies?

b. Deixe cair, de uma altura de uns poucos metros, um punhado de poeira ou de areia bem seca. O que aconteceria se a queda se produzisse no vcuo? O que acontece na realidade? Explique as diferenas.

3 Seguindo Galileu, diremos que um corpo que cai em um meio fluido atinge uma veloci dade limite, se a altura da queda for suficiente. Quais so os parmetros relevantes na determi nao dessa velocidade? Sugira um procedimento ex'perimental que permita descobrir de que maneira a velocidade limite depende desses-parmetros.

4 No De Motu, de" 1597, Galileu supunha que a velocidade de queda era proporcional ao espao percorrido. No Terceiro Dia dos Discursos, afirma que essa hiptese estava errada. Seu argumento reproduzido a seguir:

. . . se a velocidade com que um corpo cai, ao percorrer uma distncia de oito ps, fosse o dobro da velocidade com que ele percorre os primeiros quatro p~, os intervalos de tempo necessrios para percorrer essas duas distncias seriam iguais. Mas uma queda de quatro ,,s e de oito ps no mesmo intervalo de tempo somente seria possvel no caso de movimento instan.tneo; a observao no entanto nos mostra que o movimento de um corpo que cai consome tempo, e consome menos tempo numa queda de quatro ps do que numa queda de oito ps; conseqen temente, no 119rdadeiro que a velocidade aumenta proporcionalmente ao espao.

O argumento de Galileu falho. Mostre por qu.

5 Galileu demonstra a proporcionalidade do espao em relao ao quadrado do tempo da seguinte maneira:

a Mostra em primeiro lugar que se a velocidade cresce proporcionalmente ao tempo, o espao percorrido em determinado jntervalo de tempo igual ao que seria percorrido em movi menta uniforme com velocidade igual metade da velocidade final atingid~ no movimento

47

acelerado. Na fig. 1, se AB representa o tempo total da queda, Galileu representa e velocidade am instantes sucessivos por segmentos perpendiculares a AB. As extremidades desses segmentos distribuem-se sobre a reta AC, j que ele supe que a velocidade proporcionei ao tempo. A velocidade finei representada por BC, e a metade dessa velocidade_. por BD.

E A

Fig. 1 c D B

Se um corpo se movimentasse uniformemente com velocidade BD, durante o mesmo intervalo de tempo AB, os segmentos de comprimento constante, que representariam a velocl dade em instantes sucessivos, teriam suas extremidades sobre ED, paralelo a AB.

A seguir, Galileu afirma que a soma de todas as velocidades no movimento eceleredo igual soma de todas as velocidades no movimento uniforme, pois a primeira soma representa e rea do tringulo ABC enquanto a segunda representa a rea do retngulo AEBD, sendo bvlo que essas reas so iguais. Conclui-se, continua Galileu, que o espao percorrido pelo mvel em movimento acelerado, durante o intervalo AB, igual ao espao percorrido pelo mvel em movimento unifor"1e, durante o mesmo intervalo.

b. Galileu est agora capacitado a deduzir a lei da queda. Com referncia fig. 2, DO representa a velocidade do mvel ao chegar em L, caindo de H, e EP representa e velocidade ao chegar em M.

A H

L

" 1.D

E M

Fig. 2 B

48

""-"""'~"----~~---=-"'''" - - -

l,

escreve:

Pela proposio precedente, pode-se escrever !::!.!:.. - Tempo AD X (1/2)DO HM - Tempo AE x (1/2IEP

(1)

Mas nos tringulos semelhantes ADO e AEP, ~~=~~de modo que a relao (1) se HL =AD x AD_ AD2 HM AEXAE-E'

o que demonstra a proporcionalidade dos espaos percorridos em relao aos quadrados dos tempos.

Comente criticamente a soluo de Galileu.

49 mlms:uauB rtIMi ou Rm !l llfr'1!11

0:1_ . _ ... ___ - , .. ,. -

PROBLEMAS

Admitindo-se que a velocidade de queda ao longo de um plano de qualquer inclinao (e isto inclui a vertical) proporcional ao tempo, mostre que:

a. os tempos de queda ao longo do plano inclinado AC e da vertical AB, esto entre si como AC est para AB (fig. 1 ):

tAC AB tAB = AB

Fig. 1

(Essa proposio constitui o Teorema 111 do 3. Dia dos Discursos.) b. considerando-se vrios planos inclinados com a mesma altura (fig. 2)

tAC _ tAD -~- . AC - AD - AE -

A

Fig. 2

(Generalizaa-o da proposio precedente.) c. considerando-se dois planos inclinados com o mesmo comprimento (AB =AC), mas com

inclinaes diferentes (fig. 3):

50

tAB AE tAC =AD.

A

B D Fig. 3

---------E (Teorema IV do 3.0 Dia dos Discursos)

t' f t t }' 'l

1i i: li li

d. considerando-se dois planos inclinados com comprimentos diferentes e inclina5es dife-rentes (fig. 4):

tAB = AB. AE tAC AC AD

Fig.4

A

Em outros termos, para o teste experimental daquela hiptese, a conseqncia necessria da proporcionalidade do espao em relao ao quadrado do tempo poderia ser substitu fda por qualquer das conseqncias necessrias acima.

Pede-se escolher uma (ou vrias) dessas proposies e descrever um processo experimen tal que permita test-las.

2 Neste problema, enunciado e resolvido por Galileu, acha-se outra conseqncia necessria das hipteses feitas sobre o movimento dos projteis.

A

s

a. Representando-se por h = 08 a altura do vrtice da parbola (ponto de lanamento) acima do plano horizontal, calcule o alcance b =BC do projtil em funo de h, da velocidade inicial v 0 e da acelerao a do movimento vertical.

b. Determine a posio do ponto A de onde deveria cair uma partcula, em queda livre, para que ela atinja o ponto O precisamente oom a Velocidade v0 A distncia AO= s foi chamada por Galileu sublimidade da trl!jetria.

c .. Mostre que a metade do alcance mdia proporcional entre a altura h e a sublimidades: (b/2) 2 = hs. (Proposi(:o V do 4. Dia dos Discursos)

~ 2 Vo RESPOSTA: a. b = v0 ; b. s = --a 2a

52

1 " ~ ' j

c,1 $ 1 i;-

~ ~ .:1

r~,

::.1

j-:1

Captulo 2 NEWTON AS LEIS FUNDAMENTAIS DO MOVIMENTO

INTRODUO Galileu morreu em 1642. Naquele mesmo ano, no dia de Natal,

nascia Newton. Com Newton, a chamada revoluo cientfica do sculo XV 11 atin

ge o seu apogeu. Em menos de 50 anos o gnio de um homem vai conseguir o que dois mil anos de pacientes esforos tinham preparado, porm no alcanado: a formula de urn

cendo a um nvel de. compreenso mais profundo, vo revelar essa regu-laridade em todos os movimentos, quaisquer que sejam as causas ou as origens.

A 2. lei nos dir por exemplo que qualquer que seja a fora F que age sobre uma partcula de massa ma acelerao a resultante ser igual a

F m

Neste captulo, depois de uma breve biografia de Newton, apre-sentaremos a formulao das leis do movimento como Newton as exps nos Princpios.

Veremos que essa formulao no isenta de criticas: peca por certas incoerncias internas. Newton estava, pela primeira vez na histria da cincia, falando uma linguagem nova, propondo novos conceitos, os de fora e de massa por exemplo, e conseqentemente as hesitaes na l-gica da sua formulao so compreensveis.

Nos captulos seguintes, tentaremos apreserJtar uma verso coeren-te das leis do movimento e voltaremos a Newton no captulo final deste voume, com a gravitao universal.

2.1 A VIDA E A OBRA DE NEWTON Isaac Newton nasceu a 25 de dezembro de 1642 em Woolsthorpe,

perto da Grantham, no condado de Lincolnshire; na Inglaterra daqueles dias o reinado de Carlos 1 estava no seu crepsculo e Cromwell se prepa-rava para assumir o poder.

O jovem Newton, que a tradio familiar destinava s atividades rurais, revelou poucos pendores para a agricultura. A sagacidade de um tio orientou-o para a Universidade: em 1661 entrava para o Trinity College, em Cambridge. Nunca mais afastar-se-ia da sua Alma Mater.

L obteve, em 1665, o grau de Bachelor of Arts; naquele mesmo ano a Grande Peste assolava o sul da Inglaterra, fechava a Universidade e obrigava Newton a refugiar-se na sua terra natal de Woolsthorpe.

Segundo suas prprias palavras, os dois anos passados em Wo-olsthorpe foram os mais fecundos de sua vida. Foi a que desenvolveu os primeiros elementos do clculo diferencial e integral, que chamou "cl-culo das fluxes". Foi tambm naquela poc:a que iniciou seus trabalhos de tica, ao analisar a luz solar e mostrar que ela composta de radia-es monocromticas.

Foi tambm em Woolsthorpe que Newton iniciou os estudos sobre o movimento dos corpos e comeou a desenvolver a sua teoria da gravi-tao universal.

54

;1

1

Em 1667, Newton voltou ao Trinity College. No ano seguinte, 1668, sucedia a seu mestre Barrow, como Professor Lucasiano de Ma-temtica*.

Continuando os seus estudos de tica, inventa o telescpio refletor em que a lente at ento utilizada (telescpio refrator) foi substi-tuda por um espelho, o que tinha a vantagem de eliminar as aberraes cromticas da refrao.

Comunica os resultados dos seus trabalhos Royal Society, o que lhe vale ser aceito como membro da Sociedade em 1672, mas provoca, ao mesmo tempo, o incio de uma polmica com Robert Hooke (Secretrio da Sociedade) e com Huygens.

Hooke e Huygens tinham, paralelamente, desenvolvido uma teoria ondulatria da luz. Newton refutava essa teoria, contrapondo-lhe a sua teoria corpuscular pois, segundo ele, se a luz tivesse carter ondulatrio, seria difratada pelos obstculos, como o som. Newton estava ~rrado: aparentemente, nunca tinha imaginado que o comprimento de onda da luz pudesse ser to pequeno a ponto dos efeitos macroscpicos de difra-o escaparem a uma observao superficial.

As descobertas de Newton a respeito do comportamento da luz e seus estudos .dos fenmenos ticos constituem no entanto uma obra notvel. Podem ser encontrados em vrias comunicaes Royal So-ciety** e em cartas a diversos correspondentes. Foram reunidos mais tarde em um tratado, o Opticks publicado em 1704.

Os trabalhos de Newton sobre Mecnica constituem uma obra gi-gantesca e so o fundamento da Mecnica hoje chamada "clssica"***. No entanto as descobertas relativas ao movimento dos corpos e s suas leis foram publ.icadas tardiamente e, no incio, foram os trabalhos de Ma-temtica e tica que tornaram Newton conhecido nos meios cientficos europeus.

A Mecnica, e em particular a Mecnica celeste, eram objeto de estudos e de especulaes desde as descobertas de Kepler e de Galileu; na Royal Society recm-fundada (1660), estu~tosos como Robert Hooke, Christopher Wren e Edmund Halley**** se interrogavam sobre as causas do movimento dos planetas. Um ex-professor de Trinity College, Lucas, tinha fundado em 1660 a ctedra de Matemtica, cujo titular era chamado "Lucasian Professor of Mathematics". O primeiro titular foi Barrow; o segundo, Newton.

**Uma das mais importantes 6 A Set of Queries propounded by Mr. Newton to be determined by Experimenrs, positive/y end direct/y concluding his new Doctrine of Light and Colours: Philosophical Transactions, 85, 5003 (1672).

Em contraposio Mecnica Relativista e Mecncia Quntica.

u Lembrado hoje pelo cometa que traz o seu nome.

55

A lei do inverso do quadrado da distncia "estava no ar", por analogia com a propagao isotrpica de "fluidos" indestrutveis, cmo a luz, por exemplo. No ent'anto nem Halley nem seus amigos foram ca-pazes de deduzir a trajetria de um plneta, supondo-se uma lei de atra-o Sol-planeta da forma 1/r2

Foi assim que num belo dia de agosto de 1684, Halley foi visitar Newton em Cambridge e lhe fez a pergunta seguinte:

Supondo-se que o Sol atrai um planeta com uma fora inversa-mente proporcional ao quadrado da distncia, qual seria a trajetria do planeta?

Para grande espanto de Halley, Newton respondeu imediatamente: H muito tempo que resolvi o problema: a trajetria uma elipse. Halley pediu a Newton que lhe fizesse a demonstrao. Newton

infelizmente no foi capaz de achar, nos seus arquivos, esta dem.ons-trao feita havia j muito tempo, mas prometeu envi-la a Halley em Londres.

Efetivamente, em outubro de 1684, Newton mandava a Halley um opsculo intitulado De Motu Corporum, resumo de suas aulas no Trinity College, e que continha no somente a demonstraO pedida, como tam-bm uma primeira verso das leis do movimento.

Constatando o adiantamento extraordinrio do pensamento new-toniano, Halley pediu ento a Newton que escrevesse um tratado formal onde fossem reunidos todos os resultados descobertos e acumulados por ele no decorrer de vinte anos de trabalho.

Newton acedeu ao pedido de Halley e iniciou a composio da sua obra-mestra, cuja primeira edio foi publicada em 1687. Intitulava-se: Philosophiae Natura/is Principia Mathematica, ou seja: Princlpios Ma-tem,ticos da Filosofia Natural.

Os Principia tiveram uma segunda edio em 1713 e uma terceira em 1726.

Um ano depois, em 1727, Newton morria. Foi sepultado na Abadia de Westminster, o Panteo dos heris ingleses.

2.2 A ESTRUTURA DOS PRINCIPIA Os Principia foram escritos em latim. Constituem o primeiro tra-

tado de Fsica Matemtica da histria da cincia. Partindo de umas poucas definies e das trs leis do movimento,

Newton demonstra rigorosamente (i.e.,matematicamente}, uma quanti-dade supreendentemente extensa de propriedades relativas aos movi-mentos de partculas submetidas a vrias Jeis de fora. Dentro desses movimentos esto em primeiro lugar os movimentos planetrios, de maneira que alguns comentadores (o prprio Halley, por exemplo)

56

puderam apresentar os Principia como a obra que pe em evidncia o mecanismo matemtico do Sistema do Mundo.

As demonstraes de Newton so geomtricas. H no entanto razes para pensar que pelo menos algumas delas foram inicial mente conduzidas com o clculo das fluxes que Newton tinha inventado e que foram posteriormente transpostas para a forma geomtrica, mais larga-mente conhecida na poca.

Os Principia so divididos em trs livros que passamos a analisar rapidamente.

Os dois primeiros livros referem-se ao movimento dos corpos. O Livro 1 comea com as Definies e as Leis que estudaremos em detalhe na Seo 2.4, e trata a seguir de aplicar essas leis a vrios tipos de movimentos. Dois problemas genricos so tratados: dada a lei de fora, achar a trajetria, e dada a trajetria e certas hipteses complementares, achar a lei de fora. nesse livro que Newton resolve o problema de Kepler, ou seja, o de achar a lei de fora conhecendo-se as trs leis dos movimentos planetrios, e o problema inverso, ou seja, o de a.char a trajetria correspondente a uma lei de atrao em razo inversa do qa-drado da distncia, dadas as condies iniciais. O livro termina com o estudo da ao gravitacional entre corpos extensos.

O Livro 11 continua no mesmo estilo, puramente dedutivo. New-ton estuda agora o movimento de corpos (partculas) em meios resis-tentes, com especial ateno para o movimento dos projteis, e termina com problemas de fluidos em movimento.*

O contedo do Livro 111 completamente diferente; Newton faz agora a aplicao dos resultados obtidos no primeiro livro ao caso con-creto do sistema solar e por essa razo o ttulo do livro Do Sistema do Mundo. O livro comea por enunciar as regras que devem ser segui das no estudo dos fenmenos naturais; veremos quais so essas regras na con-cluso deste captulo. A seguir, aplica as leis do movimento e a lei da gravitao a vrios problemas astronmicos: movimento da Lua e per-turbaes desse movimento pelo Sol; satlites de Jpiter e Saturno; pro-blema das mars; rbitas dos cometas, etc ....

Antes de apresentar as leis do movimento, na formulao dos Prin-cipia, convm precisar os conceitos newtonianos de tempo e espao.

2.3 OS CONCEITOS NEWTONIANOS DE TEMPO, ESPAO E MOVIMENTO Estranhamente, Newton apresenta os seus conceitos de tempo,

Newton estava assim refutando a teoria 'Cartesiana, embora sem declar-lo abertamente, segundo a qual o movimento dos planetas era provocado por vrtices do ter. Newton demonstra que esses supostos vrtices nunca poderiam conduzir aos movimentos conhecidos dos corpos celestes.

57

espao e movimento no Esclio que segue a Definio VI 11 sobre fora centrpeta (ver a seo seguinte), no in.cio do Livro 1. Separa, naqueles conceitos, um sentido absoluto e um sentido relativo.

Traduzimos diretamente do texto em latim da terceira edio:

1 O tempo absoluto, verdadeiro e matemtico, em si e por sua natureza sem relao alguma com nada externo, flui uniforme-mente e se chama durao. O tempo relativo, aparente e vulgar aquela medida sensvel e externa de uma parcela de durao, medida essa que se obtm pelo movimento e que se costuma uti-lizar em lugar do tempo verdadeiro; por exemplo a hora, o dia, o ms, o ano.

2 O espao absoluto, sem relao, por sua natureza, com as coisas externas, permanece sempre igual a ele mesmo e imvel. O espao relativo a medida ou dimenso mvel do espao absoluto que defini

ma, proporcional velocidade que ela gera em determinado intervalo de tempo.

DEFINIO 8 A quantidade motora da fora centrpeta a medida da mesma,

proporcional ao movimento que ela gera em determinado intervalo de tempo.

Passemos agora s leis do movimento:

LEI 1 Qualquer corpo permanece no seu estado de repouso ot.:1 de mo-

vimento retilneo uniforme, a no ser que foras impressas o obriguem a mudar aquele estado.

LEI 2 A variao do movimento proporcional fora motora e se

produz na direo em que age essa fora.

LEI 3 A qualquer ao se ope uma reao igual: ou ainda, as aes

mtuas de dois corpos so sempre iguais e se exercem em sentidos opos-tos.

Nos Principia, as leis do movimento so seguidas por seis corolrios e um esclio. Transcreveremos apenas os dois primeiros corolrios, que dizem respeito composio e decomposio de foras.

COROLRIO 1 Submetido ao conjunta de duas foras, um corpo descrever a

diagonal de um paralelogramo no mesmo intervalo de tempo em que os lados seriam percorridos pelo corpo sob a ao de cada uma das foras separada mente.

COROLRIO 2 (do que precede) fica evidente a composio de uma fora direta

AD a partir das foras oblquas quaisquer, AB e BD, e reciprocamente, a resoluo de uma fora direta qualquer AD em foras oblquas quais-quer, AB e BD. Essa composio e essa resoluo (das foras) se acham amplamente confirmadas pela mecnica.

60

1. ~J

,

n ;! .! r\

11

l 1

f J:'.1 ! l

' 1

1

A--~~~~~~~~~~-.

'-~~~~~~~~~~~o

2.5 CRfTICA FORMULAO NEWTONIANA DAS LEIS DO MOVIMENTO Tentemos entender e diferenciar o que, na formulao new-

toniana, definio e o que lei natural, isto , a descrio de como a Natureza se comporta em determinadas circunstncias.

Mostraremos que, a rigor, somente a lei 3 uma lei natural, na formulao de Newton.

A definio 1 parece dar quantitativamente.o conceito de massa. Em termos modernos escreveramos:

m= V ( 1)

em quem a massa do corpo, V o seu volume e sua massa especfica. Porm Newton no fornece nenhuma definio prvia de massa

especfica (densidade), de modo que tomando-se essa definio ao.p da letra, camos num crculo vicioso.

H, no entanto, nos comentrios de Newton, uma possvel porta de sada. Depois de assinalar que "quantidde de matria" sinnimo de "corpo" ou "massa", Newton acrescenta:

Essa qualidade (massa) se conhece pelo peso dos corpos, pois achei . por meio de experincias precisas com pndulos que os pesos dos corpos so proporcionais s suas massas.

Newton refere-se a um tipo de experincias que tinham sido feitas .por Galileu e que ele mesmo, Newton, repetiu: ao observar que pndulos de vrios materiais (vidro, madeira, l ... ) e de pesos diferentes, mas de mesmo comprimento, oscilavam com o mesmo perodo, Newton con-cluiu que na superfcie da Terra todos os corpos caem com a mesma acelerao.

No entanto tal observao no tem, a priori, nenhuma relao com a definio da massa. Para que as massas possam se comparar pelos pesos, necessrio aceitar em primeiro lugar que a acelerao da queda pro-duzida pelo peso, reconhecer no peso uma fora e aceitar desde j a relao entre fora e acelerao, isto , a 2. lei na sua forma F =ma,

61

que escreveramos P = mg, em que P o peso do corpo, m, sua massa e g, a acelerao da queda.

Essa atitude, no entanto, nos compromete definitivamente, desde o incio, a definir qualquer fora como o produto da massa pela acelera-o. Ora, existem na natureza outras foras alm da fora gravitacional e seria certamente conveniente ter mais argumentos experimentais antes de se chegar a esta concluso*.

Conclumos que a definio 1 no uma definio satisfatria para massa. Qual seria ento a definio aceitvel?

Sria uma definio baseada unicamente em medidas cinemticas lVelocidades, aceleraes, por exemplo). Veremos logo adiante e mais tarde no captulo 4, que possvel definir cinematicamente a massa de um corpo, ou melhor, a razo entre as massas de dois corpos.

Admitamos, porm, que uma definio satisfatria de massa tenha sido dada.

Nesse caso, a definio 1 dos Principia passa a ser uma definio correta de massa especfica. Por outro lado, tendo-se definido massa, a definio 2 seria uma definio correta do momento linear.

Deixando de lado as definies 3 a 8, passemos s leis do mo-vimento.

Observamos de incio que a lei 1 redundante, no sentido que se refere a um caso particular da lei 2: se no houver fora impressa no h variao do momento (lei 2) e conseqentemente o corpo permanece em movimento retilneo uniforme.

Na lei 2, movimento deve obviamente ser entendido no sentido da definio 2: o que chamamos hoje de momento linear. Essa lei diz ento que a variao do momento linear proporcional fora impressa e tem lugar na direo (e no sentido) dessa fora.

Newton no menciona o elemento tempo no enunciado da lei. A rigor ele diz:

t.p =k F (2)

em que t.p representa a variao do momento, F a fora impressa, e k uma constante de proporcionalidade. Ora, a forma acima obviamente inaceitvel a no ser que k fosse dimensionalmente um tempo. Mas parece no menos bvio que Newton tinha outra coisa em mente:

a. seja "a taxa de variao do momento (em vez de, simplesmente, a

*Alm do que a comparao entre os pesos de dois corpos na realidade uma compara'o entre stias mssas gravitacionais, como veremos no capitulo 12, enquanto que a 2. lei .se refere massa inercial do corpo.

62

variao) proporcional fora impressa", e nesse caso a expresso analtica da lei seria:

t.p = kF: t.t

(3)

em que agora k uma constante adimensional (um nmero puro); b. seja, "a variao do momento proporcional ao impulso da fora

impressa (em. vez de, simplesmente, fora impressa)",. e nesse caso teramos:

b.p = kF t. t (4)

ou se a fora for varivel com o tempo:

f r0 + {',.t t.p = k F dt o

(5)

em que a variao llp do momento definida no intervalo de tempo (t0 , t 0 + ll t).

Os especialistas em Histria da Cincia ainda hoje no esto de acordo sobre qual dessas duas formas Newton tinha em mente quando enunciou a lei 2. As duas formas so evidentemente equivalentes. r: possvel que a definio 8, em que a fora centrpeta F e expressa por

Fc = k' 6p 6t

(6)

em que k' outra constante de proporcionalidade, seja um argumento a favr da primeira forma proposta (expresso 3 acima).

Observemos alis que a definio 8 e a lei 2 tm muito em comum, embora a lei seja mais geral que a definio. e introduza.o carter vetorial da fora. No entanto, entende-se dificilmente que uma seja definio e outra, lei.

Voltemos anlise da lei 2. A introduo de uma constante de proporcionalidade na formlao de Newton no particularmente signi-ficativa. Em termos modernos poderamos argumentar: que, uma vez de-finido o conceito de massa, a lei 2 fornece uma definio quantitativa da fora e que a constante de proporcionalidade depender do sistema de unidades adotado.

No entanto, vimos que no h definio de massa, e a lei 2 no pode definir ao mesmo tempo os dois conceitos: fora e massa. Mas,

63

admitindo-se outra vez que exista tal definio para massa, ento a lei 2 enunciaria uma constncia e uma universalidade de comportamento nos fenmenos naturais (todas as vezes que uma fora age sobre um corpo, a taxa de variao do momento linear proporcional fora), e teramos ento uma lei natural.

Vamos agora lei 3: o fato de que, quando dois corpos interagem (como diramos hoje), as foras mtuas de interao so iguais e opostas, no a priori evidente: se tal fato ocorre (como todas as experincias de Mecnica* provaram at hoje) ento temos realmente, pelo menos em aparncia, outra lei natural.

Vimos, porm, que at agora no temos uma definio satisfatria para massa, nem por conseqncia para fora. No entanto, analisando em maiores detalhes a lei 3, no prprio quadro newtoniano, podemos mos-trar que essa lei verdadeiramente uma lei da natureza, a nica, a rigor, que Newton prope naquelas definies e leis do comeo da obra.

A segunda parte da lei 3 ser suficiente:" As aes mtuas de dois corpos so sempre iguais e se exercem em sentidos opostos". A definio 4 diz que ao fora impressa. De modo que a lei 3 pode escrever-se:

"As foras entre dois corpos so sempre iguais e se exercem em sentidos opostos"

Mas a lei 2, na sua primeira forma discutida acima diz que:" ... a taxa de variao do. momento linear proporcional fora impressa."

Observando-se que numa interao entre dois corpos, o tempo que dura a interao e conseqentemente o tempo durante o qual se exercem as foras mtuas o mesmo para os dois corpos, a formulao da lei 3 pode de novo evoluir para:

"Quando dois corpos interagem, as variaes dos momentos linea-res dos dois corpos so sempre iguais e tm sentidos opostos".

Para facilitar a compreenso, escrevamos isto analiticamente:

6p1 = - t:.p2 (7)

em que 6p 1 e 6p2 so respectivamente as variaes de momento de cada um dos corpos, durante um determinado intervalo de tempo.

Mas, pela definio 2:

p = mv ~ t:.p = m t.v. (8)

A relao (7) se escreve ento:

m 1 6v1 = -m2 t:.v2 (9) No sentido clssico, isto , excetuando-se os fenmenos eletromagnticos e, de um modo mais geral, relativistas.

64

em que os m e os v representam respectivamente a massa e a velocidade dos corpos.

Dividamos a relao (9) pelo intervalo de tempo M considerado:

m1 6v1 =-mi b.v2 t.t b.t

Cinematicamente, a razo t.v/ 6t a acelerao* do corpo. Temos ento:

m1 1 = - m2 2

e finalmente, passando aos mdulos:

m1 1 = m2 2 ~~ = m2 2 m1

(1 O)

( 11)

(12)

As relaes (11) e (12) permitem agora que cheguemos ao enuncia-do final da lei 3, modificado evidentemente, mas sem que tenhamos sado do quadro da prpria formulao newtoniana:

"Quando dois corpos interagem: a. as aceleraes tm em cada instante direes opostas (relao 11 ); b. a razo entre os mdulos dessas aceleraes constante (relao

12); c. essa razo igual razo inversa entre as massas dos dois corpos

(relao 12). Observamos que os itens (a) e (b) da lei 3 assim enunciada so

expresses de leis naturais, enquanto que a parte (c) fornece (agora) uma definio satisfatria da massa.

Com efeito, introduzimos dessa maneira um conceito (dinmico) novo a partir de uma relao puramente cinemtica.

Foi pois a lei 3 que nos forneceu a chave que permite vencer o crculo vicioso iniciado com a definio 1.

Podemos agora voltar atrs. Tendo-se definido a massa, a lei 2 passa a ser uma definio quantitativa correta de fora**, ao mesmo tempo que, revelando uma uniformidade de comportamento fsico, eia se erige em lei natural.

* ~ a acelerao mdia, mas a passagem ao limite, para t;t-+ O evidente, de modo que a relao verdadeira tambm para as aceleraes instantneas.

Para simplificar, fazemos k = 1 na relao (3).

65

A lei 2 se escreve agora, indiferentemente:

F = .6.p ou F = ma, .6.t

com os smbolos j definidos. A relao (11) passa assim a se escrever: F1 = - F2

(13)

e finalmente podemos voltar a um dos nossos primeiros enunciados da lei 3:

LE13 Quando dois corpos interagem, as foras mtuas de interao so

iguais e se exercem em sentidos opostos. Conseguimos assim analisar em profundidade o pensamento new-

toniano, distinguindo o que, na formulao de Newton, definio do que lei. Essa anlise nos servir de guia em muitos dos raciocnios que sero desenvolvidos nos captulos seguintes.

CONCLUSO Embora a formulao newtoniana seja s vezes imprecisa, o seu

sucesso o melhor testemunho da profundidade e da clarividncia do pensamento do seu autor.

Basta assinalar que essa formulao serviu de base para o desen-volvimento analtico da Mecnica, que culminou com a obra de Lagrange no final do sculo XVII 1, e para a elaborao da Mecnica celeste que atingiu seu apogeu com Laplace no incio do sculo XIX.

Essa mesma formulao tambm, hoje em dia, a base operaciorrd: de todos os trabalhos de Engenharia, desde a construo de pontes at os problemas das rbitas dos vos espaciais.

Ser necessrio chegar ao sculo XX para se enconfrar, com Eins-tein e outros, os limites do modelo newtoniano, no caso de partculas cujas velocidades se aproximam da velocidade da luz. 'A Mecnica newto-niana no ser, no entanto, abalada por essas novas descobertas: per-ceber-se- que simplesmente o caso limite, o caso da escala humana, numa formulao sensivelmente mais complexa.

Newton d, nos Principia, poucas indicaes de como conseguiu chegar aos resultados que enunciou.

No Esclio, que termina a parte introdutria dos Principia*, New-

Isto. , a parte reservada s definies e s leis.

66

1

1

1

ton descreve detalhadamente como procedeu para verificar experimen-talmente a validade da lei 3. Utilizou pndulos de vrias massas e feitos de materiais diversos, continuando assim, conforme ele mesmo rec.o-. nhece, as experincias iniciadas por Wallis, Wren e Huygens. Mas no h nenhuma indicao quanto gnese das leis 1 e 2.

Nossa tarefa agora consistir em construir uma formulao lgica, e tanto quanto possvel rigorosa, do aparelho newtoniano. Constante mente faremos uso do mtodo.cientfico, e da elaborao de modelos. As verificaes experimentais serviro de base para (prudentes) generali zaes, conforme os prprios mandamentos newtonianos, que se encon-tram por um lado nas "Regras a seguir para o estudo da Filosofia Na-tural", no incio do Livro Ili, e por outro lado no Esclio Geral que termina a obra.

Transcreveremos, na ntegra, o texto das Regras* , e a seguir tre-chos do Esclio Geral. Este captulo terminar assim com as palavras do prprio Newton.

REGRAS A SEGUIR PARA O ESTUDO DA FILOSOFIA NATURAL

REGRA 1 No se devem admitir outras causas dos fenmenos naturais alm

das verdadeiras e suficientes para explicar os fenmenos. Como .dizem os filsofos, a natureza nada faz em vo e seria agir

em vo admitir muitas (causas) para o que 'pode ser feito com poucas. A Natureza. simples e no se d ao luxo de se utilizar de causas suprfluas.

REGRA 2 Os efeitos de mesma natureza devem ser sempre atribudos

mesma causa, no que possvel for. Assim () a respirao dos animais e a dos homens; a queda de uma

pedra na Europa e nas .Amricas; a luz do fogo que cozinha (os alimen-tos) e a do Sol; a reflexo da luz pela Terra e pelos planetas.

REGRA 3 As qualidades dos corpos, que so suscetveis de acrscimo ou

decrscimo e que pertencem a todos os corpos com os quais possvel experimentar, devem ser consideradas como pertncen,tes a todos 0s cor-pos em geral.

O que se segue, inclusive os comentrios que acompanham as Regras, foi diretamente tra-duzido da 3. edio dos Principia.

67

As qualidades dos corpos s se podem conhecer pela experincia, de modo que se devem considerar como qualidades gerais as que se encontram em todos os corpos e que no podem sofrer diminuies, pois impossvel despir os corpos de qualidades que no podem ser diminu-das. No se podem opor sonhos s experincias e no se deve abandonar a analogia da Natureza, que sempre simples e semelhante a si m.esma.

A extenso dos corpos s se conhece pelos sentidos: mas como a extenso pertence a todos os (corpos) que so percebidos por nossos sentidos, afirmamos que ela pertence a todos os corpos em geral.

Achamos que muitos corpos so duros: ora