filieres : smp semestre 5oscillations libres et forcees / pendule de torsion selon pohl....
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FILIERES : SMP / Semestre 5
Année universitaire 2017-2018
Réalisé par :
PPrr.. AA.. RREEZZZZOOUUKK
PPrr.. MM..HH.. BBEENNCCHHEEKKRROOUUNN
Fasicule TP en ligne :
Site : http://www.fsdmfes.ac.ma/ (voir ressources pédagogiques/filière SMP/S5)
2
1. OSCILLATIONS LIBRES ET AMORTIES DES SYSTEMES A UN DEGRE DE
LIBERTE 2
(Conçu et réalisé par le Pr. A REZZOUK et Pr. M.H. BENCHEKROUN, FSDM-FES-
Dépt.Phys. En 2016/2017)
2. OSCILLATIONS LIBRES ET FORCEES / PENDULE DE TORSION SELON POHL.
DETERMINATION DE LA FREQUENCE DE RESONNANCE PAR L´ANALYSE
FOURIER AVEC UN MODULE DE MESURE COBRA3,
TRANSLATION/ROTATION.
11
(Conçu et réalisé par le Pr. A. REZZOUK, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2016/2017)
3. PENDULES COUPLES AVEC COBRA3 15
(Conçu et réalisé par le Pr. A. REZZOUK, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2015/2016)
4. OSCILLOSCOPE PENDULAIRE 27
(Conçu et réalisé par le Pr. A. REZZOUK, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2014/2015)
3
TP.1. : OSCILLATIONS LIBRES ET AMORTIES DES
SYSTEMES A UN DEGRE DE LIBERTE (Conçu et réalisé par le Pr. A REZZOUK et Pr. M.H. BENCHEKROUN, FSDM-FES-
Dépt.Phys. En 2016/2017)
I. RAPPEL THEORIQUE
1.1. Introduction
Les systèmes mécaniques oscillants sont construits de telle sorte que si on les écarte de
leur position d’équilibre, ils se développent par la même des forces et des couples de rappel,
tendant à les ramener vers cette position c’est là le critère de stabilité de l’équilibre statique
lorsque le système est abandonné à lui même après écart. Mais nous savons que le retour à la
position de repos se fait après une suite d’oscillations si le système est soumis à des forces de
frottement assez faibles et d’une manière apériodique si ces forces sont assez grandes.
1.2. Equation générale
Le mouvement d’un système à un seul degré de liberté (1 d.d.l) (mécanique ou
électrique) oscillant librement est régi par l’équation générale suivante :
(1)
Où
Représente la force d’inertie.
Représente la force d’amortissement.
Représente la force élastique.
L’équation (1) est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants
et sans second membre : sa résolution conduit à distinguer différents cas selon les valeurs
relatives de et .
4
1.3. Forme générale
On recherche des solutions de la forme : rtAetx où r et A sont des constantes.
)(.)()(.)( 22 txrAertxettxrrAetx rtrt
02 20
2 rtrtrt AerAeAer )2(02 2
0
2 rr (2)
C’est l’équation caractéristique dont la résolution donnera les valeurs de r, donc la
forme de x(t).
Les 2 solutions r1 et r2, dans le cas d’amortissement faible, sont complexes :
'
2
'
1 iretir où
' est le discriminant réduit tel que
02
0
2'
La solution X(t) est alors une combinaison linéaire des deux solutions particulières :
)(..221121
21 txAtxAtxetxetetxtrtr
Les deux constantes A1 et A2 sont déterminées à partir des C.I. : x(t=0) et V(t=0).
L’expression mathématique de x(t) dépend du signe du discriminant, donc de la
constante d’amortissement On distingue trois régimes :
Le régime pseudopériodique : l’amortissement est faible, r1 et r2 sont
complexes.
Le régime apériodique critique : , r1 et r2 sont réels et égaux à
Le régime apériodique : >0, l’amortissement est important, r1 et r2 sont réels.
1.3.1. : Régime pseudopériodique Amortissement faible
Posons ; la solution de (1) peut se mettre sous la forme :
(3)
Le mouvement est périodique amorti de pseudo pulsation , il est dissipatif, l’énergie
ne se conserve pas.
5
- A0 et sont deux constantes, d’integration, réelles.
- (3) c’est l’équation du mouvement d’un oscillateur faiblement amortie.
On parle d’oscillation pseudo périodique de pseudo période T = 2/
On dit pseudo périodique car il s’annule à des périodes de temps égaux mais l’amplitude
varie.
L’amplitude An diminue de façon exponentielle.
La décroissance de l’amplitude tient du fait que le frottement dissipe à chaque oscillation
une fraction d’énergie de l’oscillateur pour la transformer par exemple en chaleur.
1.3.1.1. PSEUDO – PÉRIODE
- La pseudo période est par définition l’intervalle de temps qui sépare 2 passages
consécutifs dans le même sens par la position d’équilibre.
- L’amplitude An du circuit oscillant passe par des maximums à des intervalles de
temps égaux. Mais ces maximums ont des valeurs décroissantes. Ce mouvement est pseudo
périodique.
- La pseudo période es : 2
0
2
011
22
TT et
0
(4)
- Cas d’amortissement très faible (<<), on obtient une expression approchée :
2
0
2
0
2
02
12
1
TTT et
2
0
2
02
1
(5)
6
Donc l’amortissement a pour effet non seulement de diminuer (décroître) l’amplitude (de
façon oscillatoire) mais aussi la pulsation du mouvement. À noter que 0 est la pulsation du
mouvement en absence de frottement (voir expression donnée par l’équation 5)
1.3.1.2. DÉCRÉMENT LOGARITHMIQUE
Définition :
On définit le décrément logarithmique par :
T
TnTtx
tx
n
)(
)(ln
1 (6).
La décroissance de l’amplitude des oscillations est caractérisée par le décrément
logarithmique .
- Car d’après (3) :
TteA
tA
nnTteA
teA
n nTnTt
t
cos
cosln
1
)(cos
cosln
1
0
0
)(
0
0
- Or constante du temps d’amortissement qui donne une indication sur la variation de
l’amplitude en fonction de t. D’où
T
T (7).
- Si e
AeAeAt t 0
00 : taux d’amortissement.
- Si l’amortissement est très faible (<<1), on obtient une expression approchée :
122.1
2
1
2
1 22
0
2
0
siT
T (8)
1.3.2. Régime apériodique critique Amortissement critique
- Pour le régime critique 0' racines doubles 21 rr
- La solution de (1) est donc :
21
)( AtAetx t (10)
A1 et A2 sont 2 constantes d’integration.
- le retour à la position d’équilibre est plus rapide dans le cas d’amortissement critique que
dans le cas d’amortissement fort. Le mouvement est également apériodique mais le retour à
l’équilibre s’effectue, plus rapidement que dans le cas d’amortissement fort, sans oscillation.
7
1.3.3. : Régime apériodique Amortissement fort
- On pose
0
. Pour le régime apériodique, 11 2
0'
0'2 racines réelles 12
02,1 r
Et donc
(9)
- Les constantes A1 et A2 sont déterminées à partir des conditions initiales.
- Le retour à la position d’équilibre se fait sans oscillation : mouvement apériodique.
L’élongation décroît et s’annule sans oscillation. Le mouvement est également apériodique
mais le retour à l’équilibre s’effectue, moins rapidement que dans le cas d’amortissement
critique, sans oscillation
1.3.4. Amortissement nul
Dans ce cas, il n’y a aucun frottement. L’énergie emmagasinée dans le système mécanique
passe de la forme potentielle à la forme cinétique sans perte. L’équation (1) devient celle d’un
oscillateur harmonique :
(1)
(1)
(2)
(2)
8
(11)
Dont la solution est tAtx00
cos
II. Le circuit oscillant RLC
Un circuit oscillant est constitué suivant le schéma ci-dessous. Il est excité par une impulsion
de tension .Cette impulsion charge le condensateur ce qui détermine les conditions initiales :
On observe ensuite la décharge oscillante du condensateur à travers et .
Si et représentent les charges des plaques du condensateur à un instant , la tension
aux bornes du condensateur s’écrit
et le courant à travers le circuit
.
Aux bornes de la résistance inductive, la loi d’ s’écrit toujours en valeurs instantanées :
On peut donc écrire l’équation différentielle suivante :
→
(12)
L’équation (12) a la même forme que celle décrivant l’élongation d’un système mécanique à
amortissement fluide ie l’équation (1).
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III. MANIPULATION
Alimenter le circuit oscillant à l’aide d’un générateur d’impulsion. Pour étudier les
oscillations, on portera à l’oscilloscope la tension prise aux bornes du condensateur sur la voie
et celle prise sur la résistance sur la voie .
On fixera entre la fréquence d’excitation et on règlera le niveau de sortie à
une valeur convenable. Les caractéristiques du circuit sont les suivantes : bobine spires ;
résistances : boites à décade de 10, 100 et 1000 ;
1. Régime oscillatoire amorti ( Régime pseudopériodiqueAmortissement
faible)
On fixera successivement la valeur de la résistance R à dans chaque
cas :
1.1. On tracera , An = amplitude du circuit RLC, en fonction du temps
pour vérifier que l’amortissement obtenu est bien exponentiel. Pour cela remplir les tableaux
ci-dessous :
R = 0
Temps (t) 0 T 2T 3T 4T
Amplitude
R = 50
Temps (t) 0 T 2T 3T 4T
Amplitude
R = 100
Temps (t) 0 T 2T 3T 4T
Amplitude
1.2. On calculera pente de la courbe .
1.3. On en déduira le décrément logarithmique .
NB. (Utiliser la courbe expérimentale obtenue et la définition donnée par l’éq. (6)).
1.4. On mesurera, expérimentalement, la pseudo période T donnée par l’équation
(5). En assimilant cette mesure à celle de la période propre T0 car << on
calculera la valeur de la self (L) et celle de la résistance interne, propre, R0 du circuit
.
10
NB. (A partir de l’éq. (5) on a
0
2
02
1 TTT
LCTT
2
2
0
0 ),
2. Régime critique ( Régime apériodique critique Amortissement critique)
Faire varier la valeur de la résistance de façon à se trouver à la limite des oscillations.
On détermine la valeur expérimentale de que l’on comparera à sa valeur théorique
NB. (Car en régime critique
)
3. Régime apériodique ( : Régime apériodique Amortissement fort)
A partir de on augmentera la valeur de la résistance pour obtenir le régime
apériodique. Des trois types d’amortissement, on remarquera que c’est le régime critique qui
permet le retour le plus rapide à la position de repos.
L’équation du mouvement
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TP.2. Oscillations libres et forcées / Pendule de Torsion selon
Pohl. Détermination de la fréquence de résonnance par l´analyse
Fourier avec un module de mesure Cobra3, Translation/Rotation.
(Conçu et réalisé par le Pr. ABDELLAH REZZOUK, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2016/2017)
1. Principe de l’expérience:
- Si on laisse un système oscillant osciller librement, on observe que la diminution des
amplitudes maximales successives est fortement dépendante de l'amortissement. Si le système
oscillant est excité par un couple extérieur périodique, on observe que l'amplitude du système
dépend de la fréquence et de l'amplitude, du couple extérieur périodique et de
l'amortissement. La fréquence caractéristique des oscillations libres ainsi que la courbe de
résonance des oscillations forcées pour différentes valeurs d'amortissement seront
déterminées.
- Les oscillations sont dès lors enregistrées à l'aide du système Cobra3, en connexion
avec le capteur de mouvement. Les courbes des différentes oscillations sont affichées et les
quantités nécessaires pour déterminer les valeurs caractéristiques peuvent être facilement
calculées. L’exploitation des résultats se fait donc sur des courbes fournies par l’ordinateur.
Figure : Courbe enregistrée de l´oscillation amortie.
Mots clés
La fréquence, angulaire, caractéristique, de résonance. Le pendule de torsion. Les
vibrations de torsion. Le couple et le couple de rappel. Les oscillations libres amorties et non
amorties. Les oscillations forcées. Le coefficient d'atténuation. La constante d'amortissement.
Le décrément logarithmique. Le cas apériodique et le cas limite apériodique.
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2. Objectifs de la manipulation:
A. Oscillations libres
1. Détermination de la période propre d'oscillation T0 et la fréquence propre 0 (f0)
caractéristique dans le cas d'oscillations non amorties.
2. Détermination de la période et la fréquence des oscillations correspondantes pour
différentes valeurs d'amortissement (ie courant de freinage IB). Les amplitudes maximales
successives et unidirectionnelles seront représentées graphiquement en fonction du
temps. Le coefficient d'atténuation ou rapport d’amortissement K, la constante
d'amortissement et le décrément logarithmique correspondants seront calculés.
3. Réaliser le cas apériodique et le cas limite apériodique critique.
B. Oscillations forcées
1. Déterminer et représenter graphiquement les courbes de résonance à l'aide des valeurs
d'amortissement de .
2. Déterminer la fréquence de résonance et la comparer avec la valeur de la fréquence de
résonance déjà calculée (T0, f0).
3. Observer le déphasage entre le pendule de torsion et le couple extérieur de stimulation
pour une faible valeur d'amortissement, pour autant que, dans un premier cas, la
fréquence de stimulation soit largement inférieure à la fréquence de résonance et que,
dans un autre cas, elle soit largement supérieure.
Ce qu’il vous faut comme équipement
Pendule de torsion selon Pohl.
Alimentation universelle.
Redresseur en pont, 30 VAC/1 ADC.
Chronomètre numérique 1/100 s.
Multimètre digital 2010.
Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A,
jaune, l = 25 cm.
Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A,
rouge, l = 75 cm.
Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A,
bleu, l = 75 cm.
Cobra3 unité de base, USB.
Alimentation 12 V/2 A.
Câble de données RS 232
Logiciel Cobra3, Translation / Rotation.
Capteur de mouvement avec câble.
Adaptateur douilles BNC / fiches 4 mm,
une paire.
Adaptateur, fiche BNC - douille 4 mm.
Fil de soie, l = 200 mm.
Porte-poids, 1 g.
Pied de support en “A” PASS.
Tige carrée PASS, l = 400 mm.
Tige carrée PASS, l = 250 mm.
Noix double PASS.
PC, Windows® XP ou supérieur
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Figure. 1.a : Montage expérimental des vibrations de torsion libres et forcées
3. Réglage de l'unité de base Cobra3, Translation/Rotation
- L'expérience est réalisée comme montré sur les Figures . 1a et 1b. La sortie DC du bloc
d'alimentation (Power Supply) est reliée aux deux prises supérieures du moteur à courant
continu. Le frein à courants de Foucault nécessite également une tension continue. Pour
cette raison, un redresseur (rectifier) est inséré entre la sortie AC du bloc d'alimentation
et l'entrée du frein à courants de Foucault. Le courant continu fourni au frein à courant
(Eddy current) de Foucault, IB, est indiqué par l'ampèremètre.
Figure. 1.b : Montage du raccordement électrique de l'expérience.
Pendule Pohl Capteur de mouvement
Alimentation universelle
Redresseur
Cobra3 unité de
base
Moteur électrique
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- Effectuer la connexion électrique du capteur de mouvement à l'unité de base Cobra3
conformément à la Figure 2.
Figure. 2 : Raccordement du capteur de mouvement à l'unité de base Cobra3
- Pour obtenir une connexion, entre le capteur de mouvement et le pendule, faire comme
suit:
o Placez le capteur de mouvement à l'extrémité de la table pour que le fil utilisé puisse
facilement basculer.
o Prendre environ 100 cm de fil (en fonction de la distance entre le pendule et le
capteur), placez-le dans la rainure du cuivre-pendule, faire tourner la moitié du
pendule et fixer une extrémité avec un peu de ruban adhésif.
o Note: Faire un nœud à la fin du fil aide à le garder fixé avec la bande.
- Pour une bonne distance de précision, faites rouler le fil de soie une fois autour de l'axe
de l'enregistreur de mouvement. Vous pouvez utiliser un poids légèrement plus lourd
pour la tension du fil dans cette expérience si le poids fourni est insuffisant pour avoir
une bonne lecture de l'enregistreur.
- Assurez-vous que la bande se trouve à proximité sur le disque de cuivre. Prenez l'autre
extrémité du fil et placez-la à travers la plus grande des deux rainures de cordon sur le
capteur de mouvement. La blesser autour de la rainure du cordon une fois.
- Connectez l'unité Cobra3 à votre ordinateur au port COM1, COM2 ou au port USB (pour
le port USB de l'ordinateur, utilisez le convertisseur USB vers RS232). Configurez
l'expérience selon la Fig. 1 et lancez le programme "mesure" sur votre ordinateur et
sélectionnez «Appareil de» «Cobra3 Translation / Rotation» :
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4. Procédures
4.1. Oscillations libres non amorties
- Pour déterminer la fréquence propre 0 (ou f0) du pendule de torsion sans amortissement
(IB = 0), le temps de plusieurs oscillations est mesuré à plusieurs reprises et la valeur
moyenne de la période T0 est calculée
.
- Régler les paramètres de mesure comme indiqué sur la Figure 3. Sélectionnez 12 mm
pour le diamètre de l'axe du capteur de mouvement. Le diamètre de l'axe dans le point de
menu "Rotation" est deux fois la distance du point de pivotement du pendule au point de
fixation du fil de soie qui se dirige vers le capteur de mouvement, c'est-à-dire ici environ
180 mm.
Figure. 3 : Paramétrage du réglage de la jauge Cobra3 Translation / Rotation.
- Choisissez l'icône "continuer" pour entrer dans la fenêtre de mesure. Ici, la valeur réelle
du capteur de mouvement est affichée. Réglez le pendule en mouvement (amplitude
d'oscillation jusqu'à 8 divisions d'échelle) et cliquez sur l'icône "Commencer la mesure".
- Après environ 5-10 oscillations (ou valeurs mesurées =150), cliquez sur l'icône "Stopper
la mesure".
- Les courbes obtenues peuvent ressembler à ceci:
Figure. 4 : Courbe enregistrée de cette oscillation non amortie.
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Remarques
o Initialement, il faut s'assurer que le pointeur pendulaire au repos coïncide avec la
position zéro de l'échelle. Ceci peut être réalisé en tournant le disque excentrique du
moteur.
o Essayer de faire tourner le pendule avec précaution et le relâcher rapidement sans
frottement de votre main. Ceci évite les perturbations du filetage et l'amortissement
du pendule, ce qui peut conduire à des erreurs de mesure. Pour des amplitudes
jusqu'à 13 divisions, le filetage est bien serré.
o Si les valeurs (50 ms) dans la boîte de dialogue "Get value every (50) ms" (Fig.3)
sont trop élevées ou trop basses, des mesures bruyantes ou non uniformes peuvent se
produire. Dans ce cas, ajustez le taux d'échantillonnage de mesure de façon
appropriée.
Figure. 5 : Calcul de la durée de la période T0 avec les lignes de curseur.
- Il existe différentes possibilités pour déterminer la période d'oscillation T0 et la fréquence
caractéristique 0 du cas libre non amorti :
o La durée de la période peut soit être calculée à l'aide des lignes de curseur, qui
peuvent être déplacées librement et déplacées sur les maxima ou les minima
adjacents de la courbe d'oscillation (Figure 5). Ou utilisez la fonction "Mesurer"
pour l'évaluation de la période T0.
o Vous pouvez également utiliser l'élément "Analyse de peak" dans le menu d'analyse,
où les extrema de la courbe choisie peuvent être calculés. Ou cliquez directement
sur le bouton "Analyse de peak" dans la barre du menu ci-dessous :
17
o Ou utilisez dans la barre de menu " Analyse" / l'option "Analyse de Fourier", où
le pic affiche directement la durée de l'oscillation. Ou cliquez directement sur le
bouton ‘’ analyse de Fourier ’’ dans la barre du menu
4.2.Oscillations libres et amorties
- De même, on trouve les fréquences caractéristiques des oscillations amorties.
Reconstruire l'installation expérimentale comme décrit ci-dessus (§. 3), en utilisant
maintenant les intensités de courant suivantes pour le frein à courant de Foucault
(contrôlé par l'ampèremètre) :
o Tableau des valeurs actuelles du frein à courant de Foucault:
IB ~ 0,16 A, (U 2 V)
IB ~ 0,25A, (U 4 V)
IB ~ 0,45 A (U 6 V)
IB ~ 0,63 A, (U 8 V)
IB ~ 0,83 A, (U 10 V)
IB ~ 1.03 A, (U 12 V)
IB ~ 1,35 A, (U 15 V)
NB. La tension alternative varie de 2 à 15V
- La figure 6 montre la courbe du cas amorti avec IB ~0,45 A.
Figure. 6: Courbe enregistrée de l'oscillation amortie
- Pour réaliser le cas apériodique (IB ~ 1,35A) et le cas critique (IB ~ 1,7A), le frein à
courant de Foucault est branché brièvement directement à la sortie DC du bloc
d'alimentation.
- Le calcul des périodes d'oscillation est le même que celui décrit ci-dessus. Pour évaluer
les valeurs d'amortissement caractéristiques, déterminer l'amplitude des amplitudes
successives sur le même côté (c'est-à-dire soit les minima soit les maxima). Par
conséquent, utilisez à nouveau les lignes de curseur (la fonction mesurer) ou choisissez
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la fonction d'analyse de peak dans le menu d'analyse. Ici, vous pouvez calculer et
afficher (en sélectionnant la case visualiser les résultats) les extrema de la courbe et les
utiliser directement pour la détermination du rapport d'amortissement (Figure 7).
Figure. 7: Paramètres d'analyse du peak
4.3. Oscillations forcées
- Pour stimuler le pendule de torsion, la bielle du moteur est fixée au tiers supérieur de la
source de stimulation. La tension continue DC du bloc d'alimentation doit être réglée au
maximum.
- La fréquence de stimulation a du moteur peut être trouvée en utilisant un chronomètre et
en comptant le nombre de tours. Les amplitudes de l'oscillation forcée sont enregistrées
de la même manière que pour les oscillations libres.
- La mesure commence par de petites fréquences. a est augmentée par le réglage du
potentiomètre "grossier" (”coarse”). Au voisinage de l'amplitude maximale dans le cas
de résonance a=0 est changé en petits pas en utilisant le réglage du potentiomètre
"fine".
- Dans chaque cas, les valeurs doivent être prises en compte après qu'une amplitude de
pendule stable a été établie. Plus les valeurs d'amortissement sont élevées, plus l'état
d'équilibre est rapide.
- La figure 8 représente la courbe mesurée près de la fréquence de résonance pour une
petite valeur d'amortissement (IB ~ 0,16 A).
- En l'absence d'amortissement ou pour de très faibles valeurs d'amortissement, a doit être
choisi de telle sorte que le pendule ne dépasse pas sa plage d'échelle (catastrophe de
résonance).
- Par conséquent, dans le régime de résonance, la mesure doit être arrêtée avant que les
valeurs maximales soient atteintes.
- De nouveau, les amplitudes d'oscillation maximum peuvent être calculées à l'aide des
lignes de curseur (utiliser la fonction mesurer) ou avec l'analyse de, peak, ou courbe.
- La fréquence de résonance peut être déterminée par analyse de Fourier.
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Figure. 8 : Oscillations forcées pour une faible valeur d'amortissement (IB ~ 0,1 A)..
Remarques
Le poids suspendu à l'axe de rotation du capteur de mouvement ne doit pas dépasser 2
g pour éviter une plus grande influence sur le système pendulaire.
Dans des périodes d'oscillation extrêmement courtes, des transitoires ou des
déformations peuvent se produire. Ceux-ci peuvent être réduits si la fréquence
d'échantillonnage est modifiée. Dans tous les cas, des intervalles enregistrés sans
erreur peuvent être sélectionnés à partir du signal de mesure après la fin des mesures.
La déformation en forme de faucille des oscillations est due au glissement du fil à
travers la rainure du cordon sur le capteur de mouvement. Ceci est évité si le fil est
enroulé autour de la rainure du cordon une fois.
Comme l'enregistrement du mouvement n'est pas effectué sans contact, il se produit un
léger amortissement des oscillations mesurées, mais la différence entre les oscillations
«presque non amorties» et les oscillations amorties est très importante.
5. Théorie et évaluation
- La grandeur physique étudiée en fonction du temps est (c’est le degré de liberté du
système). Le premier objectif est d'obtenir l'équation horaire (t). Quelque soit le
régime étudié (libre ou forcé) deux couples de torsion interviennent :
celui du ressort hélicoïdal, pendule, (le couple de rappel) de moment , avec
, où C est la constante de torsion du pendule (moment par unité d'angle).
celui de l'amortissement de moment , avec , où h est un facteur de
proportionnalité dépendant du courant de freinage de Foucault.
20
5.1. Oscillation libre non amortie et amortie
- En cas de couples de vibrations de torsion libres et amortis M1 (moment de la force de
rappel, ressort hélicoïdal) et M2 (moment de la force de freinage, frein à courant de
Foucault) agissent sur le pendule. Nous avons :
o et
= l'angle de rotation
= vitesse angulaire
C = couple par unité d'angle = constante de torsion du pendule
h = facteur de proportionnalité en fonction du courant alimentant le frein à
courants de Foucault tel que où h = h0+I2 avec h0 et constantes.
- Question : Comment peut-on justifier techniquement la présence du terme h0 ?
- Réponse : Les forces de freinage sont dues au frottement mécanique (terme h0) et aux
forces de Laplace (courants de Foucault, terme I2)
o Le couple résultant
qui nous conduit à l'équation de mouvement suivante:
(1)
Car théorème du moment cinétique :.
Enoncé du théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel A:
La dérivée par rapport au temps du moment cinétique du point matériel A par rapport
au point fixe O est égal au moment, par rapport à ce point, de la somme vectorielle
des forces agissant sur le point matériel A. (Le référentiel d'étude étant galiléen)
I = moment d'inertie du pendule (unité = Kg.m2).
= Accélération angulaire.
moment du disque résonateur.
o Divisant l’équation (1) par I et en utilisant les abréviations :
o On obtient donc : (2)
o est appelée «constante ou coefficient d'amortissement» et
la
fréquence caractéristique du système non amorti
période propre.
21
a. Si 22
0 : régime pseudopériodique → amortissement faible i
o la solution de l'équation différentielle (2) est :
(3)
Avec la pseudo pulsation : (4)
o .
o La pseudo-période T est donc :
La pseudo période est par définition l’intervalle de temps qui sépare 2
passages, de An, consécutifs dans le même sens par la position
d’équilibre .
L’amplitude An du circuit oscillant passe par des maximums à des
intervalles de temps égaux. Mais ces maximums ont des valeurs
décroissantes. Ce mouvement est pseudo périodique.
2
0
2
011
22
TT et
0
4’
o Cas d’amortissement très faible (<<), on obtient une expression
approchée :
2
0
2
0
2
02
12
1
TTT
et
2
0
2
02
1
4’’
o Où : Constante de relaxation ou constante de temps du système :
1.
o L’allure du graphe de est représentée sur la figure 9 :
o Rigoureusement, la pseudo-période se lit entre deux, annulations, minimums,
maximums successives de .
Figure. 9 : Courbe enregistrée du régime pseudopériodique
22
Remarques Si l'amortissement est nul, on retrouve le cas, des oscillations non amorties, d’un oscillateur
harmonique.
Au bout de :
1
t , on a :
L’équation (3) montre que le rapport de deux amplitudes successives est constant :
(5)
K est appelé «taux ou rapport d'amortissement»
On note le décrément logarithmique :
(6)
n = entier naturel non nul = nombre d’oscillation
L’équation (2) possède une solution réelle seulement si 22
0 .
b. Si 22
0 : régime apériodique critique → amortissement critique i
o La solution de l'équation différentielle (2) est :
(7)
o le pendule revient rapidement, en un minimum de temps, à sa position initiale
sans oscillation (cas apériodique). Autrement dit, ne passe pas par des
valeurs négatives tout en revenant à 0 le plus vite. Le mouvement est
également apériodique et sans oscillation.
o Donc pour , (8)
o L’équation (8) permettra donc de déterminer graphiquement.
c. Si 22
0 : régime apériodique hypercritique → amortissement fort i
o La solution de l'équation différentielle (2) est :
(9)
o Le pendule revient asymptotiquement à sa position initiale sans oscillation.
L’élongation décroît et s’annule sans oscillation. Le mouvement est également
apériodique mais le retour à la position initiale s’effectue lentement et sans
oscillation ie , moins rapidement que dans le cas d’amortissement critique,
23
5.2. Oscillation forcée
- Si le pendule est actionné par un couple périodique .
L’équation (2) se transforme en (10) avec
:
(10)
- Dans l'état stationnaire (régime transitoire négligeable), la solution de cette
équation différentielle est :
(11)
- La résolution complexe donne
ou l’amplitude :
(12)
- Une analyse de l'équation (12) donne la preuve de ce qui suit:
En basse fréquence :
En haute fréquence :
Plus est grand, plus grand est
Pour une valeur fixe , nous avons:
Plus est grand, plus diminue.
Pour , on a
Fig.10: Courbes de résonance pour différentes
valeurs d'amortissement.
Figure 11: Déphasage de l'oscillation forcée
pour différentes valeurs d'amortissement
- La figure 10 montre les courbes de résonance pour différentes valeurs
d'amortissement.
- Avec
. De plus
(13)
La figure 11 représente la différence de phase de l'oscillation forcée
en fonction de la fréquence de stimulation selon l'éq. (13).
En basse fréquence : c'est-à-dire que le pendule et
le couple de stimulation sont "en phase".
En haute fréquence : , le pendule et le couple de
stimulation sont presque en phase opposée les uns aux autres
Pour :
, (t) est en quadrature retard de phase par
rapport à l’excitation F(t).
24
6. Travail demandé
NB. Seuls les fils sont à connecter, le reste ne doit pas être modifié. Faire vérifier le
montage par votre Enseignant avant d’allumer l’alimentation.
- L'expérience est réalisée comme montré sur les Figures . 1a et 1b page 4.
- Le moteur ne doit pas être utilisé, seul le circuit d’alimentation de l’électro-aimant
est indispensable. On repère la position d’équilibre (pendule immobile) et on fait le
zéro sur le graphe de l’ordinateur.
- Réglez le pendule en mouvement (amplitude d'oscillation jusqu'à 15 divisions
d'échelle) et cliquez sur l'icône "Commencer la mesure".
- Après environ 5-10 oscillations (ou valeurs mesurées =150), cliquez sur l'icône
"Stopper la mesure".
- (Voir remarques page 7)
6.1. Oscillation libre non amortie (O.L.N.A, IB = 0).
1. Déterminer la période propre d'oscillation T0 et la fréquence propre caractéristique 0 (ou
f0) dans le cas d'oscillations non amorties (NB.
.
6.2. Oscillation libre et amortie (O.L.A, IB ≠ 0).
6.2.1. Régime pseudo-périodique.
2. Représenter graphiquement les valeurs maximales des amplitudes unidirectionnelles An =
(n)max en fonction du temps pour différentes valeurs d'amortissement (IB = 0,16A, 0,25A
0,45A et 0,63A) (pour vérifier que l’amortissement obtenu est bien exponentiel).
Pour cela remplir les tableaux ci-dessous :
IB = 0,16A
Temps (t) 0 T 2T 3T 4T
Amplitude
IB = 0,25A
Temps (t) 0 T 2T 3T 4T
Amplitude
IB = 0,45A
Temps (t) 0 T 2T 3T 4T
Amplitude
IB = 0,63A
Temps (t) 0 T 2T 3T 4T
Amplitude
25
3. Déterminer la pseudo-période d'oscillation T (voir l’éq. (4’) page 12), et la fréquence
caractéristique correspondante pour différentes valeurs d'amortissement (ie courant de
freinage IB). Le coefficient d'atténuation ou rapport d’amortissement K (voir l’éq. (5)
page 13), la constante de temps (voir l’éq. (8) page 13), la constante
d'amortissement et le décrément logarithmique (voir l’éq. (6) page 13),
correspondants seront calculés. Pour cela remplir le tableau ci-dessous :
IB (A) U (V) T (s) s K s éq. 4
0.16 2
0.25 4
0.45 6
0.63 8
4. Conclusion.
6.2.2. Régime critique. (Facultatif ou a faire obligatoirement en présence de l’enseignant.)
5. Réaliser le cas très proche du cas limite apériodique critique (IB =1,35A, U=15V) pour
cela :
o Fixer le courant IB ~ 1,35A, le frein à courant de Foucault est branché
brièvement directement à la sortie DC du bloc d'alimentation.
o NB. Si IB dépasse 1A, ne pas rester plus de deux minutes avec cette valeur
(échauffement dangereux de l’électroaimant !).
Relever l’allure de la courbe (t) pour (IB =0,83A, 1,03A et 1,35A).
Déterminer le coefficient d'amortissement voir l’éq. (8) page 13) et on
en déduira le décrément logarithmique avec IB ~ 1,35A. . NB. (Utiliser
la courbe expérimentale obtenue et la définition donnée par l’éq. (6)
page 13). Conclusion.
6.3. Oscillation forcée (O.F.N.A (IB =0) et O.F.A, IB ≠ 0).
- Pour stimuler le pendule de torsion, la bielle du moteur est fixée au tiers supérieur de
la source de stimulation. La tension continue DC du bloc d'alimentation doit être
réglée au maximum (15V et 2A).
- La fréquence de stimulation a du moteur peut être trouvée en utilisant un
chronomètre et en comptant le nombre de tours.
- Les amplitudes de l'oscillation forcée sont enregistrées de la même manière que pour
les oscillations libres.
- La mesure, de la fréquence de résonance r, commence par de petites fréquences de
rotation du moteur. a est augmentée par le réglage du potentiomètre "grossier"
(”coarse”, vers 30).
- Au voisinage de l'amplitude maximale dans le cas de résonance a=0 est changé en
petits pas en utilisant le réglage du potentiomètre "fine".
26
- Dans chaque cas, les valeurs doivent être prises en compte après qu'une amplitude de
pendule stable a été établie (ie une courbe la plus sinusoïdale possible). Plus les
valeurs d'amortissement sont élevées, plus l'état d'équilibre est rapide.
- On lance l’enregistrement en cliquant sur l'icône "Commencer la mesure".
- Après environ 5-10 oscillations (ou valeurs mesurées =150), cliquez sur l'icône
"Stopper la mesure".
6.3.1. Etude de la résonance de position
6. Dans le cas du (IB =0), vérifier que la fréquence du moteur a (mesurer avec un
chronomètre en comptant le nombre de tours) est égale à la fréquence des oscillations du
pendule (enregistrer sur l’ordinateur).
7. Dans le cas du (IB =0), déterminer la fréquence de résonance r et la comparer avec la
valeur de la fréquence de résonance déjà calculée 0. Pour cela il faut :
régler la fréquence de rotation du moteur jusqu’à détecter la résonance (maximum de a)
en observant directement le pendule : il vient en butée s’il est à la résonance pour IB =0.
8. Déterminer et représenter graphiquement les courbes de résonance (sur le même graphe
et avec les mêmes échelles de mesure) à l'aide des différentes valeurs d'amortissement
(IB = 0A, 0,16A, 0,25A 0,45A et 0,63A). Conclusion. Pour se faire il faut aller dans:
la barre d’outils choisir ("Analyse"/"analyse de Fourier "/"Mesurer") pour
déterminer la fréquence r.
ou cliquez directement sur le bouton "Analyse de Fourier " dans la barre du menu:
la barre d’outils choisir ‘’Mesure’’ et cliquer sur "Adopter canal de mesure..."
pour afficher les cinq courbes (f), avec différentes valeurs d'amortissement
(IB=0A, 0,16A, 0,25A 0,45A et 0,63A), dans un seul graphe.
Pour une vision de courbes sur la même échelle cliquez sur la fonction
"échelle des courbes" et cochez la case "mettre aux valeurs" la case "ajuster
ensemble".
6.3.2. Observation de la vitesse.
9. Observer et calculer le déphasage entre le pendule de torsion (t) et le couple
extérieur de stimulation F(t) pour les deux valeurs d'amortissement (IB=0A
et 0,45A), enregistrer les courbes (t) et pendant un temps adéquat. Conclure
par rapport au déphasage que prévoit la théorie (voir éq. 13 page 14).
27
TP.3. PENDULES COUPLES AVEC COBRA3
(Conçu et réalisé par le Pr. ABDELLAH REZZOUK, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2016/2017)
1. Principe de l’expérience :
Deux pendules gravitationnels identiques, ayant une fréquence, propre, caractéristique 0
particulière, sont couplés par un ressort hélicoïdal "mou". Les amplitudes des deux pendules
sont enregistrées en fonction du temps pour différents modes vibratoires et différents facteurs
de couplage à l'aide du système Cobra3 en connexion avec le capteur de mouvement.
L’enregistreur du mouvement sera raccordé à l’interface Cobra3, unité de base reliée à un
ordinateur. Le logiciel ‘’Mesure 4’’ permet de tracer les courbes et de déterminer leurs
caractéristiques. L’exploitation des résultats se fait donc sur des courbes fournies par
l’ordinateur.
2. Objectifs de l’expérience :
Le but de cette manipulation est l’étude du mouvement de deux oscillateurs harmoniques
couplés. Les oscillateurs considérés sont des pendules gravitationnels reliés par un ressort.
L’étude des divers modes d’oscillations conduira à :
- la détermination des, coefficients, facteurs de couplage K par différentes méthodes.
- la mesure de la constante, DF, de rappel du ressort de liaison.
- la vérification de la relation linéaire entre le carré des couplage-longueurs et :
a. les fréquences particulières du mode de "battement".
b. le carré de la fréquence pour les vibrations "en phase opposée".
- déterminer la fréquence caractéristique du pendule à partir des modes vibratoires avec
le couplage et comparer avec la fréquence caractéristique des pendules non couplés.
28
Figure. 1 : Montage expérimental pour la
mesure de la période de vibration de pendules
couplés
Equipement
Pendule avec connexions pour
enregistreur
Ressort hélicoïdal, 3 N/m
Tige à crochet
Porte-poids pour poids à fente
Poids à fente, 10 g, noir
Condensateur électrolyte G1, 10 F / 35
V
Cobra3 unité de base, USB
Alimentation 12 V/0.7 A
Logiciel Cobra3 enregistreur universel
Câble de données RS 232
Alimentation 0-12 V DC / 6 V, 12 V AC
Pince de la table -PASS-
Tige carrée –PASS-, l = 630 mm
Noix double PASS, Décamètre, l = 2 m
Fil de connexion, l = 100 cm, rouge
Fil de connexion, l = 100 cm, bleu
PC, Windows® 95 ou supérieur
3. Installation et procédure
Avant de commencer la mesure, la valeur exacte de DF (constante du ressort de couplage)
doit être déterminée. Une pince de table est fixée sur le bord de la table au moyen d'un banc
de serrage. Le ressort est suspendu sur la tige à partir d'un crochet qui est fixé sur le support
de la tige par l'intermédiaire d’une noix double Pass.
La loi de Hooke permet d’écrire :
La constante DF du ressort peut être calculé si l'extension x du ressort est mesurée
pour différents poids attachés à ce dernier.
30
3.1.Expérience avec pendules non couplés
Les pendules sont ensuite mis en place sans ressort de couplage comme le montre la Figure 1.
Les prises d'entrée des pendules sont maintenant branchées en parallèle à la sortie DC de
l'unité d'alimentation. Les prises jaunes de sortie du pendule sont connectées au Cobra3. La
tension DC-sortie de l'unité d'alimentation est ajustée à 10 V. Pour des canaux CH1 et CH2, une
valeur de 10 V est choisi en tant que plage de mesure sur la Cobra3.
Pour définir la vibration du pendule, les tiges du pendule sont touchées avec le bout des
doigts sur leur tiers supérieur et simultanément déplacé et ceci jusqu'à ce que les amplitudes
désirées ont été établis.
De cette manière, les vibrations transversales peuvent être évitées. Compte tenu des
expériences ultérieures avec le pendule couplé, des soins devraient être déjà pris à ce stade
pour s’assurer que les pendules oscillent dans le même plan.
A partir des courbes tracées, la période T0 est déterminée plusieurs fois pour chaque
pendule. Les valeurs moyennes de la période, , des deux pendules doivent être identiques dans
les limites de l'erreur. Si des écarts sont constatés, les longueurs des tiges pendulaires doivent être
ajustées. Ceci est réalisé en détachant le contre-écrou sur la tige filetée de la masselotte, en
ajustant la longueur du pendule et en resserrant manuellement le contre-écrou.
3.2.Expérience avec pendules couplés
Pour la réalisation des expériences avec pendules couplés, le ressort de couplage est fixé
aux manchons en plastique sur les tiges pendulaires à un point équidistant des points d'appui des
deux pendules.
En outre, les positions "zéro" doivent être réajustées. Il doit être assuré qu'il n'y a pas
de conductivité électrique entre les pendules.
Les amplitudes et des deux pendules en fonction du temps doivent être
enregistrées pour différentes couplage-longueurs en utilisant les conditions initiales suivantes :
A. Les deux pendules sont déviés avec la même amplitude, du même côté et
libérés simultanément. (Vibrations "en phase’’).
B. Les deux pendules sont déviés avec la même amplitude mais dans des
directions opposées et libérés simultanément. (Vibrations "en opposition de
phase" ou Vibrations "en phase opposée").
C. Un pendule reste au repos. Le deuxième pendule est dévié et libéré (Mode de
"battement").
Des résultats satisfaisants ne peuvent être atteints que si les deux pendules ont été
correctement ajustés de telle manière qu'ils ont en fait la même période .
31
Dans les trois cas, les vibrations doivent être enregistrées pendant trois à quatre
minutes. A partir des courbes tracées, les valeurs moyennes des périodes et des fréquences des
vibrations peuvent être déterminées.
3.3.Réglage de l'unité de base Cobra3 et mesure
- Connectez les sorties de l'enregistreur du pendule aux entrées analogiques de l'unité de
base Cobra3. Les signaux qui sont à mesurer dans cette expérience sont plutôt lents. Pour réduire
la sensibilité aux signaux sonores rapides, placer les condensateurs de 10 F aux entrées
analogiques de l'unité de base Cobra3.
- Raccorder l'unité de base Cobra3 au port de l'ordinateur COM1, COM2 ou au port USB
(utilisation Adaptateur USB vers RS232). Démarrez le programme de Mesure 4 et sélectionnez
« Appareil de » « Cobra3 transcripteur univers » puis cliquez sur le bouton nouvelle mesure.
- Commencer l'enregistrement des valeurs mesurées en utilisant les paramètres indiqués dans la
figure 2.
Figure. 2 : Paramètres de mesure.
32
La figure 3 montre les amplitudes et des deux pendules en fonction du temps
dans le cas de battement et pour différentes couplage- longueurs .
Figure 3 : Courbes d´amplitude des vibrations de pendules couplés pour trois longueurs (30
cm, 60 cm et 90 cm) en fonction du temps.
NB. Penser toujours à enregistrer les tracés obtenus
3.4.L'analyse de la mesure
Pour l'analyse des résultats sélectionner les paramètres suivants :
Dans la fenêtre "Analyse" / "Modification de canal» (voir figure 4). Sélectionnez :
canal source : Temps’
Opération : f : = t/1000
Canal de destination : sélectionnez remplace
Appellation : temps’
Grandeur de mesure : t
Unité : s
33
Ou cliquez sur le bouton ‘’modification du canal’’ dans la barre du menu
Figure. 4 : Modification du canal.
Pour déterminer, par exemple, la fréquence de la vibration en phase opposée,
sélectionnez dans la fenêtre " Analyse" l'option "Analyse de Fourier" pour le canal mesuré
(voir Figure 5) :
Ou cliquez sur le bouton ‘Analyse de Fourier’’ dans la barre du menu
34
Figure 5 : Analyse de Fourier de la vibration en phase opposée.
Avec la fonction "Mesurer " on détermine alors la fréquence fc (voir Figure 6).
Figure. 6 : Détermination de la fréquence fc de la vibration en opposition de phase.
35
Avec la même procédure (“Analyse” / “analyse de Fourier ” / “Mesurer”) on peut
déterminer les fréquences f1 et f2 pour le cas de mode battement (voir figure 7).
Figure. 7 : Détermination des fréquences f1 et f2 pour le mode de battement.
Notez que pour visualiser et déterminer les résultats sur le schéma, les coordonnées du
maximum des pics :
- il faut utiliser la procédure (“Analyse” / “Analyse de courbe ” /) puis de cochez
visualiser les résultats. (parfois ajuster la tolérance). Ou cliquez sur le bouton “Analyse
de courbe ” dans la barre du menu
36
4. Théorie et évaluation
Si deux pendules gravitationnels identiques, P1 et P2, ayant une fréquence caractéristique
particulière, 0, sont couplés par un ressort hélicoïdal. Pour la position de repos et pour la
déviation petit angle, en raison de la présence de poids et de la tension du ressort, nous avons les
couples suivants (Figure 8) :
Couple dû au poids mg :
(1)
Couple dû à la tension du ressort F :
DF = constante de rappel du ressort = raideur du ressort
x0 = allongement, extension, du ressort
= couplage - longueur
m = masse pendulaire
L = longueur pendulaire
g = accélération de la pesanteur
= angle entre la verticale et la position de repos.
Figure. 8 : Schéma des pendules couplés au repos.
37
Si P1 est maintenant dévié de et P2 est dévié de (voir Figure 8), puis libérés, nous
avons en raison de l’application du théorème du moment cinétique :
dt
RSOdFON
RSOFM
Rextii
extO
)/,(
)/,()(
,
,
I = moment d'inertie du pendule autour de son point d'appui :
(2)
En introduisant l’abréviation suivante :
(3)
En mettant (3) dans (2) on obtient l’équation (4) de la forme :
(4)
A t = 0, les trois conditions initiales suivantes sont à réaliser successivement.
A : " vibrations en phase " :
(5)
B : " vibrations en opposition de phase " :
(5)
C : mode de battement :
(5) Les solutions générales du système d'équations différentielles (4) avec les conditions initiales (5)
sont les suivantes :
(6a)
(6b)
(6c)
(6c)
38
4.1.Commentaire
A : Mode : " vibrations en phase "
Les deux pendules vibrent en phase avec la même amplitude et la même fréquence g.
Cette fréquence g est identique à la fréquence propre angulaire 0 de pendules non couplés :
g = 0 (7a)
B : Mode : " vibrations en opposition de phase "
Les deux pendules vibrent avec la même amplitude et la même fréquence c, mais avec
une différence de phase égale à . Conformément avec la relation (3), la fréquence angulaire :
(7b)
La fréquence angulaire c dépend du couplage-longueurs .
C : Mode : " battement "
Pour le couplage faible, c’est-à-dire : ,
la fréquence angulaire du premier pendule peut être exprimée comme suit :
(8a)
Pour la fréquence angulaire du second penduler, on obtient:
(8b)
Par conséquent, on obtient: (8c)
La figure 3 (page 5) montre les amplitudes et de deux pendules en fonction
du temps pour le cas de battement et pour différentes couplage- longueurs .
On obtient donc deux sinusoïdes décalées, dont les amplitudes sont modulées au cours du
temps. On parle de battements pour décrire ce phénomène d'amplitude lentement variable.
Ces battements sont eux-mêmes en quadrature de phase, c’est-à-dire que chacun des
oscillateurs semble s’arrêter quand l’autre a son amplitude maximum.
39
4.2.Facteur de couplage K
Le facteur de couplage, l’intensité du couplage, est défini donc par le rapport :
(9)
En mettant l’équation (3) dans l’équation (9) nous obtenons l’équation (10) :
(10)
Le facteur de couplage K de l'équation (10) peut être calculé à partir des fréquences des
modes vibratoires particuliers .
- Dans le cas du mode "Vibrations en opposition de phase" et en substituant l’Eq. (7a) et
Eq. (7b) dans l'équation (10) on obtient l’équation (11) :
(11)
- Dans le cas du mode "battement" et en substituant l’équation (8a) et Eq. (8b) dans
l'équation (10), on obtient l’équation (12) :
(12)
4.3.Influence du couplage-longueur sur les fréquences des modes de vibrations.
Pour vérifier l'influence du couplage-longueur sur les fréquences des modes de
vibration individuels, nous substituons l'équation (11) et Eq. (12) dans l'équation (9). Nous
obtenons alors pour :
- la vibration en opposition de phase :
(13)
- le mode de battement :
(14)
aussi bien que :
(15)
40
5. Manipulation
5.1.Etude des pendules non couplés
Les pendules sont mis en place sans ressort de couplage comme le montre la Figure 1.
Les prises d'entrée de pendules sont maintenant branchées en parallèle à la sortie DC de l'unité
d'alimentation. Les prises jaunes de sortie du pendule sont connectées au Cobra3. La tension DC-
sortie de l'unité d'alimentation est ajustée à 10 V. Pour des canaux CH1 et CH2, une valeur de 10
V est choisie en tant que plage de mesure sur la Cobra3.
Pour définir la vibration du pendule, les tiges du pendule sont touchées avec le bout des doigts
sur leurs tiers supérieurs et déplacées et ceci jusqu'à ce que les amplitudes désirées sont établies.
1. A partir des courbes tracées déterminer la fréquence f0 et la pulsation 0 pour les deux
pendules " en vibration de phase ". Conclure.
2. En déduire
NB. Avec la procédure (“Analyse” / “ analyse de Fourier ” / “Mesurer”) on peut
déterminer la fréquence f0 dans le cas des pendules non couplés (voir les différentes étapes au
paragraphe § 3.4 pages 5-8, Figures 5 et 6).
5.2.Etude de pendules couplés
5.3.
1. Dans le cas d’un couplage - longueur , déterminer la fréquence fg = f0 et la
pulsation 0 = g de la vibration "en phase".
NB. Utiliser la procédure (“Analyse” / “ analyse de Fourier ” / “Mesurer”).
2. Dans le cas d’un couplage - longueur et avec la même procédure
(“Analyse” / “ analyse de Fourier ” / “Mesurer”) :
a. déterminer la fréquence fc et la pulsation c dans le cas des pendules couplés en
mode vibration "en phase opposée" (voir figure 6).
b. déterminer donc le facteur du couplage K à partir de l’équation (11).
3. Dans le cas d’un couplage - longueur et avec la même procédure
(“Analyse” / “ analyse de Fourier ” / “Mesure” fonction) :
a. déterminer les fréquences et les pulsations dans le cas des
pendules couplés en mode "battement" (voir figure 7).
b. En déduire à partir de l’équation (8c).
c. déterminer le facteur du couplage K à partir de l’équation (12).
41
4. Vérification de la relation linéaire entre le carré des couplages - longueurs
et :
a. , fréquences particulières du mode de battement (voir éqs. (15) et (14))
b. , le carré de la fréquence pour les vibrations "en phase opposée". voir éq. (13)
Pour cela, on vous demande de compléter le tableau suivant : 4.1. Compléter le tableau suivant :
fc
0,300
0,600
0,900
4.2. Tracer la courbe .
4.2.1. En déduire .
4.2.2. Déterminer la constante du ressort DF.
4.3. Tracer la courbe : .
En déduire . Utiliser les valeurs numériques suivantes :
DF = 3,11 N/m (valeur mesurée)
L = L1 = L2 = 101,5 cm (distance du centre du pivotement au centre de gravité
du poids attaché au pendule)
m = 1 kg (NB : la masse de la tige du pendule est non inclue) et g = 9,81 m / s2
4.4. Tracer la courbe .
4.4.1. En déduire .
4.4.2. Déterminer la constante du ressort DF.
5. Que peut-on conclure en comparant les résultats obtenus pour utilisant les trois modes de
vibration pour les pendules couplés et ceux obtenus pour les pendules non couplés ?.
6. Déterminer le facteur du couplage K à l'aide :
6.1.des constantes de l'appareil. (Voir équation (9)).
Utiliser les valeurs numériques suivantes :
DF = 3,11 N/m (valeur mesurée)
L = L1 = L2 = 101,5 cm (distance du centre du pivotement au centre de gravité
du poids attaché au pendule)
m = 1 kg (NB. masse de tige de pendule est non inclus)
g = 9,81 m / s et
6.2. Comparer cette valeur à celle obtenue en question 3.c et 2.b
42
TP.4. OSCILLOSCOPE PENDULAIRE
(Conçu et réalisé par le Pr. A. REZZOUK, FSDM-FES-Dépt.Phys. En 2014/2015)
1. BUT.
Le but de cette manipulation est l’étude du mouvement de deux oscillateurs harmoniques
couplés et la détermination du coefficient de couplage. Les oscillateurs considérés sont des
pendules reliés par un fil de torsion. L’étude des divers modes d’oscillations conduira à la mesure
de la constante de torsion du fil de liaison.
2. RAPPELS.
2.1. Pendule pesant.
Le nom de pendule pesant est réservé à un solide (S) tournant autour d’un axe horizontal,
soumis uniquement à la pesanteur. Soit l’axe de rotation, de trace O sur le plan de la figure.
Notons que :
- M : masse du corps
- G : son centre de gravité
- ℓ : la distance de G à
- angle orienté de la verticale descendante vers
le vecteur OG .
La résultante des forces appliquées est gM
, de support passant par G. Son moment par
rapport à a pour valeur algébrique : )sin(. Mg sur un axe perpendiculaire au plan de la
figure, orienté vers l’avant.
Si I est le moment d’inertie du solide par rapport à , le théorème du moment cinétique
s’écrit : 0sin.. MgI .
Pour de petits angles, l’équation différentielle du mouvement est :
2/12
0
2
0 )(22
0.0..
Mg
ITet
I
MgavecMgI
de solution générale : )cos(.)( 0 tt .
43
Le mouvement est périodique, la variable angulaire est une fonction sinusoïdale du
temps. Pour une amplitude maximale 0 quelconque, le mouvement est encore périodique, de
période : 2
sinsin1
4
2sin
2sin
2 02
0 22
2/1
0202
2/1
0
Kavec
K
d
Mg
Id
Mg
IT
.
Un développement en série limité à ses premiers termes donne :
)4
1(222/1
K
Mg
IT
.
Pour 30°, la correction de T vaut 1,5 % et pour 15° elle ne vaut que 0,4%. Voilà
des résultats qui donnent une idée de l’amplitude que peut avoir le pendule.
2.2. Pendule de torsion.
Fil de torsion de constante de torsion C
avec un disque de moment d’inertie I = mR2.
L’équation différentielle s’obtient en
écrivant le théorème du moment cinétique :
dt
RSOdFON
RSOFM
Rextii
extO
)/,(
)/,()(
,
0 CI
La période dépend de la constante de torsion du fil C et du moment d’inertie I du système.
C
IT
2
2
0
0 et .
C’est le mouvement que l’on observe lorsque le couple C est produit par la torsion d’un
fil. Pour un fil cylindrique de diamètre d de longueur ℓ, Coulomb a montré (1784) que :
4dC .
Le coefficient de Coulomb C ne dépend que du matériau utilisé. Il est relié au coefficient
de Lamé par :
32
.
tAt 00 cos
44
2.3. Pendule (de torsion) couplés non amortis.
2.3.1. Mode de couplage.
Les deux pendules sont des pendules pesants, ils oscillent autour du même axe et sont
reliés par un fil de torsion matérialisant cet axe.
2.3.2. Equations différentielles du mouvement.
Les frottements sont négligés, les amplitudes sont supposées petites.
- Le pendule (I) est soumis aux couples de valeurs algébriques : )( 21111 CetgM
comptés sur O2O1 orienté positivement de O2 vers O1.
- Le pendule (II) est soumis aux couples de valeurs algébriques :
)( 12222 CetgM .
- Les équations du mouvement des deux pendules sont obtenues en écrivant le théorème du
moment cinétique :
0
0
122
2
22
211
2
11
PFD (1) avec
2
2
2
222
2
1
1
1
112
1 ;;;I
C
I
CgM
I
C
I
CgM
.
Le système (I) d’équation peut s’écrire sous forme matricielle : où :
est dite matrice d’inertie (diagonale).
est dite matrice de régidité (non diagonale).
Remarque :
L’intensité du couplage est représentée par K, cœfficient du couplage du système avec
2
2
2
1
21210
KetK (2) avec :
Si K=0 pas du couplage.
Si K=1 couplage rigide (c-à-d d(M1,M2) fixe, elle ne peut pas varier).
0 xBxA
10
01A
222
121
B
45
2.3.3. Modes normaux, pulsations propres
Ce sont des modes dans lesquels les pendules accomplissent des oscillations
sinusoïdales.
Remarque :
- Nous avons obtenu deux équations différentielles linéaires à cœfficients constants (1) où
les fonctions 1(t) et 2(t) sont composées.
- Les solutions de ce système différentiel (1) ont une structure d’espace vectoriel de
dimension deux 1 + 2 est aussi solution du système (1) et 1+ 2 l’est aussi.
- Donc il suffit de chercher 2 solutions particulières indépendantes, la solution générale
sera alors une combinaison linéaire de ces 2 solutions.
Solution particulière du système (1) :
- On cherche une solution de la forme (3)
-
)cos(
)cos()(
2
1*
tb
tae , a, b .
- (3) dans (1)
0
0
122
2
22
211
2
11
on obtient donc (4)
Pour que le système homogène (4) possède une solution 0x ie a0 et b0, I.F.I.S
que le déterminant de (4) soit nul, soit : (5).
- (5) cette équation bicarrée en s’appelle équation aux pulsations propres, qui n’est autre que
(5’) car (2).
- Le discriminant , donc
l’équation aux pulsations propres possède deux solutions réelles distinctes, essentiellement
positives, : ces pulsations sont dites pulsations propres du système :
(6)
Remarque :
(5) 22
2
2
1
2
21
2
21
22
2
22
1 "'00))(( II
C : sont à
l’extérieur de , on dit que le couplage par régidité écarte les fréquences propres.
- Si :
j
jtj
be
aexoùexx
*0
*0
*
0)(
0)(
222
2
122
1
ab
ba
0))(( 2122
222
1
0)1()(0)det( 222
21
222
21
42 KAB
04)1(4 21
222
21
222
21
222
21 K
22 "' et
)1(42
1
2"
)1(42
1
2'
222
21
222
21
22
212
222
21
222
21
22
212
K
K
22 "' et
22
21 ,
"'0 2121
46
- Si K=0, ie couplage nul, sont les pulsations propres en
l’absence du couplage. Pour K0, chaque pulsation propre, , correspond à un mode
propre.
2.3.4. Amplitude des oscillations normales - solution générale du problème des
oscillateurs couplés.
1er
mode propre ’.
On cherche une solution particulière de la forme :
)''cos(')('
)''cos(')('
22
11
tat
tat
En substituant ces expressions dans les équations du mouvement, c.-à-d. le système (1) :
0'
'''
'')'(
''
)'(
''
0')'('
0')'('
1
222
2
122
2
122
22
1
211
12
22
22
21
22
11
a
acomme
aa
a
aa
aa
aa
D’où : 0')''cos('')('
)''cos(')('
12
11
avec
tat
tat (7) ’1 et ’2 sont en phase,
c.-à-d. les 2 oscillateurs oscillent en phase à la pulsation ’ : où .
2ème
Mode propre ".
)""cos(")("
)""cos(")("
22
11
tat
tat or (1) 0"
)""cos("")("
)""cos(")("
12
11
avec
tat
tat(8)
- Puisque or ’1 et ’2 sont en opposition de
phase, c.-à-d. les 2 oscillateurs oscillent en opposition de phase à la pulsation ".
Deux solutions sont possibles : où .
Mouvement général 1(t) et 2(t).
- Le mouvement général des 2 pendules est une combinaison linéaire des modes propres (7) et
(8) :
)""cos("")''cos('')(
)""cos(")''cos(')(
112
111
tatat
tatat(9).
2 2
k0
"
’
2
22
21
K=0 ’
"
2121 "' etet
",'
)"(
""
222
122
aa
222 " 0
"
""
1
2 a
a
47
Où les rapports 0'
''
1
2 a
a et 0
"
""
1
2 a
a sont déterminés à partir des équations
différentielles pour =’ et =". Les 4 inconnues , , ’ et " sont des constantes
réelles déterminées à partir des conditions initiales.
Cas particulier de deux pendules identiques.
Envisageons le cas particulier de deux pendules identiques : donc
2121 et avec la relation (2) donnant l’expression du cœfficient du
couplage K, on obtient :
24
2
2
2
2
1
212
KK (10).
- Les pulsations propres ont pour expression : (6) )1("
)1('
K
K
(11) et l’on
constate qu’elles sont différentes même si les deux pendules ont la même période lorsqu’elles
oscillent séparemment.
- Donc, dans le cas d’oscillateurs identiques (22
2121 et ), les équations
différentielles couplées (1) deviennent :
00
0
122
2
22
211
2
11
xBxA
avec
10
01A et
211
121
B .
Nous poursuivons dans le cas de deux pendules identiques ; d’après (11) on a la
solution générale :
)""cos(")''cos(')(
)""cos(")''cos(')(
212
211
tatat
tatat (12)
Les constants a1’ et a2", ’ et " sont déterminées par les C.I.
Déterminer a’ et a’’ pour les conditions initiales (C.I.) suivantes :
Les conditions initiales sont choisies pour annuler ’ et " (c.-à-d. on suppose que
000;00,0 21201 ). Il vient que :
20
aaaet et comme
2cos
2cos2coscos
qpqpqp
ttatta
t
ttatta
t
2sin.
2sin.coscos
2)(
2cos.
2cos.coscos
2)(
)12(
2
1
2.3.5. Couplage faible de deux oscillateurs accordés.
Nature de 1(t) et 2(t) dans le cas ou le cœfficient du couplage K<<1 :
- 1"'1 K et plus précisément (11)
)2
1()1("
)2
1()1('
11
11
KK
KK
(11)’
1'a 1"a
48
- Si l’on définit la période des battements TB comme étant l’intervalle de temps entre deux
annulations successives de l’amplitude, on a
1
2
'"
2
KTT BB
(14)
On observe sur chaque oscillateur des battements dont la période est d’autant plus
grande que K est faible.
- En posant 11 "'2
1"'
2
1 etK d’après (11)’, il vient :
tAttK
attAt
tAttK
attAt
1211
2
1111
1
sinsin.2
sincos.cos2)(
cos.cos.2
coscos.cos2)(
)12(
- L’amplitude des vibrations de chaque masse est modulée avec le temps à la fréquence .
La fréquence des vibrations est voisine de ’ et de ". Ce phénomène est appelé « battement
».
- Les fonctions cosinus et sinus sont en quadrature. On en déduit donc la
représentation graphique des deux fonctions :
- On obtient donc deux sinusoïdes décalées, dont les amplitudes sont modulées au
cours du temps. On parle de battements pour décrire ce phénomène d'amplitude lentement
variable.
Ces battements sont eux-mêmes en quadrature, c’est –à-dire que chacun des
oscillateurs semble s’arrêter quand l’autre a son amplitude maximum.
2.4. Oscillateurs accordés, faiblement couplés et amortis.
Considérons le cas de deux pendules identiques 2121 et et
introduisons un terme d’amortissement proportionnel à la vitesse angulaire dans les équations
(1) : elles deviennent :
1
2
KTB
1
2
KTB
TB
49
00..2
0...2
12
2
22
21
2
11
xBxDxA
avec
10
01A matrice d’inertie
et
2
2
B matrice de régidité et
20
02D matrice d’amortissement
L’amortissement est supposé faible 22
2
22
1 ; pour que l’expression de soit
celle du l’équation (11)’. Cherchant une solution 0 etjravecert , on obtient à la
place de (5) l’équation suivante : 422
1
22
1
2 22 rKrrrr qui, développée au
premier ordre suivant et après séparation des parties réelles et imaginaires donne :
22
21
22
42222
22)(
)(
K
K
- La première n’est que la réplique de l’équation (5) écrite pour deux pendules
identiques, autrement dit, toutes les propriétés et les pulsations de ceux-ci sont conservées.
- L seconde donne les coefficients d’amortissement lorsque les pendules oscillent dans
les modes de pulsation et , soit : K
xK
x
1
1
2;
1
1
2
2121
Dans le cas du faible couplage et sont voisins : c’est-à-dire que les oscillations
de deux pendules coexistent (1’un n’étant pas amorti plus que l’autre). En effet, la solution
générale se présente comme une combinaison linéaire des solutions particulières ci-dessus
soit :
trtr
trtr
eAeAt
eAeAt
""
2
''
22
""
1
''
11
..)(
..)(
et même si l’un des coefficients est nul, le coefficient d’amortissement a une valeur
intermédiaire entre et .
Toujours en cas de couplage faible, que λ1 soit différent ou voisin de λ2, et sont
voisins, donc lorsque les oscillateurs sont couplés, ils sont amortis de la même façon même si
leur amortissement sont différents lorsqu’ils oscillent séparément.
PPEL THERIQUE
1. DESCRIPTION DES APPAREILS.
Oscilloscope pendulaire.
Une potence montée sur un large socle réglable par vis calant supporte deux pendules
identiques A et B oscillant dans des plans parallèles et pouvant être reliés par un fil de torsion
horizontal ()de longueur variable. Un mandrin solidaire de chaque pendule (non représenté
50
sur le schéma) peut coulisser le long de l’axe d’oscillation et par serrage permet de coupler le
pendule au fil de torsion.
Une masse additionnelle réglable permet la mise en équilibre indifférent de ces
pendules et deux barreaux horizontaux b1 et b2 .sur laquelle il est possible d’engager des
masses constituées par des disques percés d’un trou, peuvent coulisser le long des tiges et
prendre des positions bien définies, repérées par des trous dans ces tiges.
2. MANIPULATION
4.1. But de la manipulation.
Le montage se prête aux études suivantes :
- L’étude d’un pendule pesant, les barreaux b1 et b2 étant dans des positions telles
que l’équilibre du pendule soit indifférent, on charge le barreau b2. On en déduit le
moment d’inertie 0I par rapport à l’axe ( du pendule à vide.
- L’étude d’un pendule de torsion : les barreaux b1 et b2 étant symétriques par
rapport à ( et également chargés, on rend le pendule solidaire du fil de torsion,
maintenu par ailleurs en sa deuxième extrémité. On en déduit la constante de
torsion du fil.
- L’étude du couplage de deux pendules, et en particulier mesurer la constante de
couplage K.
4.2. Etude du pendule pesant.
On opère sur le pendule A.
a) Placer les barreaux b1 et b2 à 15 cm de l’axe de rotation. Le pendule libre doit alors
être en équilibre indifférent, ce qu’on obtient en déplaçant la masselotte vissée à sa
partie supérieure. Charger le barreau b2 de quatre masses de 0,5 kg.
b) A l’aide d’un chronographe manuel, mesurer la période des oscillations de ce pendule
soit T. On mesurera 10T.
c) Calculer de 0I . 0I est le moment d’inertie par rapport à l’axe (du pendule, barreau
b2 non chargé.
51
d) La période du pendule chargé de la masse M dont, le centre de masse, G est à la
distance a de l’axe de rotation vaut : Mga
IMaIT M
2
02 dont :
- MI est le moment d’inertie de la masse M par rapport à un axe parallèle à l’axe de
rotation passant par son centre de gravité (ici, l’axe du barreau b2).
- Les surcharges utilisées sont des
disques de diamètre 2R’, percés d’un trou de
diamètre 2R donc )(2
1 22' RRMI M . En
déduire 0I . Précision ?
4.3. Etude du pendule du torsion.
a) Les barreaux b1 et b2 sont toujours à la distance 15 cm de l’axe de rotation. Placer les
mandrins à la distance ℓ l’un de l’autre et les serrer fortement sur la corde d’acier.
On procédera comme suit :
Placer les mandrins en face de la graduation 16. Serrer sur la corde le mandrin du
pendule A. Le pendule B est bloqué dans sa position d’équilibre, serrer le mandrin du pendule
B et vérifier la verticalité du pendule A. Charger b1 et b2 (du pendule A) à 3 kg chacun, le
pendule A qui était en équilibre indifférent devient un véritable pendule de torsion.
b) Enregistrer le mouvement pendulaire.
c) En déduire la période du pendule de torsion. Précisions ?.
d) La période du pendule de torsion vaut : MIMaIIetC
IT 222 2
0
Connaissant MIetI0 ainsi que a, calculer la constante de torsion C du fil d’acier
utilisé. Précision ?
52
4.4. Etude du couplage en torsion.
a) les deux pendules A et B sont couplés par le fil de torsion utilisé précédemment de
constante de torsion C connue. On symétrie les deux pendules. Barreau b1 à 15 cm de () sans
charges. Barreau b2 à 45 cm de () chargé à 3kg. On donne :
- m : masse du barreau b2, m = 0,1 kg.
- I : moment d’inertie d’un pendule par rapport à (). I = (7120 + I0) kg. cm2.
- Calculer le coefficient de couplage K.
- Calculer les pulsations propres et (formule (11)).
b) Enregistrer le mouvement du pendule A couplé avec le pendule B, avec les
conditions initiales suivantes :
- Pendule B dans sa position d’équilibre.
- Pendule A dans sa position d’amplitude maximale.
- Déduire les pulsations M du mouvement, B des battements.
- puis calculer M
BBMBM Ketet
2 . Comparer ces résultats
aux calculs précédents.
4.5. Etude de l’amortissement.
a) 2éme
enregistrement : calculer le rapport )10(
)(
TtY
tY
des élongations du pendule en
deux points séparés par un intervalle de 10 périodes et donner :
)10(
)(ln
10
12
TtY
tY
T .
a) 3ème
enregistrement : Calculer le rapport : )(
)0(
BTY
Yet donner :
)(
)0(ln
13
BB TY
Y
T .
b) Comparer 323322 IetIoùIetI sont les moments d’inertie par rapport à ()
des pendules dans les expériences 2 et 3.