LIBRARY OF WELLESLEY COLLEGE

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with funds from the

Barbara Lubin GoldsmithLibrary Prservation

Fund

5n>-:

UVRES

DE FERMAT.

PARIS.

- IMPRIMERIE GAUTIIIER-VUXARSQuailies

ET

EII.S,

Granils-A;iistins,

S..

UVRES

DE FERMATPL'BLlKliS l'ARI.ICS

SOINS KK

MM. PAUL TANNEUYsousI.KS

et

CHARLKS HKNKY

AUSPICES

nu MINISTERE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.

TOME DEUXIEME.CORRESPONDANCE.

PARIS,nuBllVEAll

GAUTIHKR-VILLARS ET FILS, IMPRIMKUUS-LIHKAIKLS DKS LONGITUDES. DE L'COLE P O L V T E C N11

1

O

l

E

(Jiiai fies

(jrai)ds-.\iigustins,

j'>.

M DCCC XCIV

RDOnq? ULan

\V9>V'b'b:

1

^'V

r^^^Ve.v\K^^^*i'

3^

iGJg.

Carcavila

P

43o

aot

Rclalion des nouvelles dcouvertes enscience descavi)

nombres (Fermai

Car-

H

43i

Cil.

aG aotaot"?

cm.CIV.

septembre?fvrier

CV.CVI.CVII.CVllI.

iGGo. 11

Fermai Billy Fermai Carcavi (extrait) Fermai Carcavi (exUail) Format Carcavi (extrait)

MIl11

43643844

Il

4454'iG4

juin?'5 juillet

Fermai Fermai

Carcavi (extrait) Pascal

HP

Jo

10 aot

Pascal Fermai

VII

4''o

CIX.

dcembre?1

CX.CXI.CXII.CXIII.3i

ifV'ii.

dcembrejanvier

iG(i2.

Fermai Format Fermt Fermai

HuygensCarcavi (extrait)

452454 455

H

Sguier

Mla Cliauibre;.

Cureau de

I)

G maii3

Clerselier Clerselier

CXIV.

mai

Format Fermai

D1)

457 4G447-'-

CXV.CXVI.CXVll.CXVIII.

aimai?

1GG4.

Fermai Fermai

Clerselier

M. de***il

D Vest parl

482485

?

Dmonstration dontlettre

dans

la

prcdente

V

489

?

Saporta Format

Dcclicace ^if^

Variantes et notes critiques

5oi

Errata

5i4

FIN DE LA TABLE DES MATlnES DU

TOME DEIXIESIE.

AVERTISSEMENT.

Dans

le

premier Volume de celle dilion {Ai'erlisxcment,la

p. xxxiii),

nous

en avions annonc deux suivants pour

Correspondance de Fermt, landisles pices

que nous avons runi en un seul Tome toutesdans

connues de cellefait

correspondance, en dehors de celles que leur caractre nous avait djpubliei"les

n^res dicerses ou dans leur Appendice;

il

a en ciel t

jug prfrable, contrairement

notre

i)lan

primitif,

de laisser en dehors,les

ou plutt de rserver pour

les

Volumes du Complment en prparation,d tre communifpies

diverses lettres adresses par exemple Mersenne par Dcscarles, ou Digby

par Wallis ou lrouricker,

et qui ont

Fermt sur

le

dsir formel ou sous l'aveu tacite de leurs auteurs.

Nous n'avons donc admis,deuxde Descartes

en principe, quelui;

les lettres critesfait

par Fermai ou directement adresses :

nous n'avons(n"'

d'exception que

i"

pour

les

lettres

Mersenne

23 et 27) qu'il est indispensable d'avoir sous les yeux afinles

de comprendre

polmiques relatives

la dioptrique et la

mthode despour deux

tangentes; 2 pour une lettre de Frenicle Mersenne (n" 38) qui tait indite et a t l'origine des relations entrelettres

Fermai

et Fre"nicle; 3"

changes entre Carcavi

et

Huygensla

(n"" 77 bis et 78), qui

comblentet

en partie de regrettables lacunes desur les probabilits. Enfin,lettres

correspondance entre Pascalindications relatives auxle

Fermt

comme

nombreuses

perdues de Fermai, nous nous sommes, dans

prsent Volume,

borns

quelques notes et

quatre Extraits

de X Harmonie universelle de

Mersenne

annexs aux lettres n* 2, 3 et h.les

N'ayant pas revenir sur

questions relatives aux sources utilises

pour notre publication, nous pouvons nous borner aujourd'hui

quelques

remarques louchant

les

dispositions

iy[)ographiques cl l'orthographe que

nous avons adoptes.

Dansdele la

le

but de

faciliter les

renvois pour les trois index (des

noms propres,

langue mathmatique de Fermai, des matires) qui seront insrs dans,

Complment

aprs

la

traduction des

uvres

latines,

nous avons sub-

X

AVERTISSEMENT.numrots par

divis les lettres, d'aprs les sujets traits, en paragraphes

des chid'res gras (gyptiens), que leur forme distingue nettement de ceuxqui sont emprunts aux sources.

Ue mme que danscommodit deles alinas et

le

premier Volume, nous avons clicrch avant tout

la

la lecture; la

nous avons donc, sans aucun scrupule, multipliponctuation aux habitudes modernes.{'),

conform

Pour l'orthographe franaisexvni" sicle, sauf

nous avons en principe adopt celle du

conserver les formes constamment usites du temps de

Fermai pourdela

les

mots technitjues,

comme mchanique, quarr;l'on se

en deiiors

question de commodit, nous tions forcment conduits cette solu-

tion, par suite de l'impossibilit

absolue o

trouve de reconstituer

la

vritable orthographe de Fermt.

On(|u'il

possde de Descartes, par exemple, assez de lettres autographes poursoit possilile

aujourd'hui de publier son norme correspondance avec l'orthographe rationnelle {^) qu'il

un texte

conforme

adopta vers l'ge de

quarante ans

et qui est plusil

ou moins dfigure dans

l'dition

de Clerselier;11

mais pour Fermt,en tout delui huit

fallait

renoncer toute tentative analogue.(la

nous reste

autographes en franais

ddicace

Carcavi,

publie dans

l'Avertissement du premier Volume, pages xix-xx, les n"" 04, 65, 60, 100, 102,109, 111

do

la

Corres[)ondance); deux seulement, 60 et 102, dpassent

la

pro-

portion de simples billets, et leur ensemble nous permet tout au plus de

conjecturer que Fermt avait une orthographe personnelle dont ou pourrait

marquer quelques

traits ('),

sans pouvoir affirmer f|u'elle ft constanteil

(*),

mmepeu

en dehors des lapsus de plume, auxquels

semble avoir t quelque

sujet.

Nous avons, en

tout cas, reproduit, sans les modifier, les autographes

(')

En

ce qui concerne les textes latins, nous avons suivi les

mmes

principes que

|)our le

premier Volume (voir l'Avertissement, page xxx).

(2)

(/.,

i'|.i-i^',.)

1.

Sil

(fig. i),

semidiameler BA, porlio allcrius semi-

(liainrtri

fitila

lit

AU ad

I5stntlcicn.

(lettc

dmonstration revient enfd

fait

admettre que,

si

un corps pesant

est

suspendu

par un

sans gravite l'extrmit d'un levier parallle l'horizon et maintenu d'ailleurs

l'on

en quilibre, cet quilibre ne sera jamais dtruit, quand mme on allongerait, autant ([ue \oudra, le fil de suspension suppos dirig vers le centre de la Terre.L'erreur d'une pareille thse est aise reconnatre; maisil

convient d'observer

([u' la

date o nous sommes, les principes do la Staticpic no sont nullement tablis; on est

mme

peine d'accord sur les conditions d'tpiilibre du levier actionn |iar des forces parallles,

car la question qin s'agite est prcisment do savoirtale sur lesquels reposela thorie

si

les postulats d'origine

exprimendo grale

d'Archimde sont vrais en prenant

les forces

vit concourantes, ainsi qu'elles le sont en ralit,

ou en

les

supposant parallles, avec

gomtre do Syracuse. Beaugrand admet la premire alternative jus(]ue dans ses consquences videmment errones; Fermt suit la mme voie, mais avec une pruticnce trscaractristique. Kobcrval dfendra l'hypothse d'Archimde (ci-aprx Lettres VIU,

XIV)

;

mais Galile etl'quilibre

Caslelli,

quoique dj en possession,

comme

Uoberval, du principe do

du

levier actionne par des forces concourantes, n'en ont pas

rieuse considration les conclusions de Beaugrand et les propositions deaprs, Pice V, note G).

moins pris en sFermt {vnii- ci-

n.|K)l('nlia H, qiuiiii iccla \l\a'(|iiilil)rio o( inaiichuiil.

-

M AI 1G3G.|)(>ii(l(M-('t,

!)

iiiliil

cninl ixmdcia

15

cl

I)

in

Si aulciii

iii

A

collocoliir

pondus dcorsum Icndcns,es! acsi

]M)l(>nlia'

W surII;

smii movcnti

,TqiiaI(',

idem

a

punc(o

A

dcmaliir potcnlia

iiaiM, (inanliinii;,'iliir

pntcnlia

lollil,

lanluindc-m pondus dcpriniil. Cnlloccini:

liiijusmodiin

pondus

in

A

corpus

ii^ilur

coniposiluni ex

|)(lcn(ia

H collorataet

A

cl]{

sursuni Muivcnlc, ex poiulcreo(I),

Asi

deorsuni Irndcnicniavis,

ex gravions

nil

in

lequilibrio aul,

non inovc-

l)ilnr.

Ouuni au(em gravoMlcl.iil

I)

si(

a-fjualo gravi

15,

o(

ivcla C.D rocla^ CM, crilCi!,

AC1!

ail

CI),

iia

ACI!jii

yil

poiulds

ad polfiiliain

A

colloialani,

lia

pondus

I)

ad pondus

in

A deorsuni Icndcns.ICsl

(|(iiiil

ipsi

|{

polcnlia" a'cjualc jiosuinius.CI5,ila

aulcui, ex liypollicsi,in

m

roda AC ad

pondns

I!

ad pnicnliam

l

\

((dliicalani

:

oril igilur

ut

AC ad

C!),

ila

pondns

I)

ad pondn^ in A dcni-sinu Icndcns.

Ouuni

ii;ilur

dislaulnc

pondcribiis siul rcciprocc propo^li()llalc^,|oudcri

pondus

iu

A dcorsuui Icndcns

D

anfuipondoraliil

;

si

vcro

al)

aM|uip()iulcranlilius a'i|uipon(|iTaiilia aufcranliii', rciiqua a'(|uip(tn(lcraliunl:

crgo,

si ali

a'ijuilihiin ex polcnlia

II

iucl

A

collocalaI?

cl

siir>uniI)

luovcnlc, ex poudcrc in

A dcoisuni

liMidcnlc

poiulcrihusclI)

cl

((uu-

posilo, aufcralur a'(fuililiriuin ex pnndcrihus(]iia aM|iiip(iii(lcraliuiil

A

coniposiluni. rcli-

au! poliiis

iinii

inovciuinlur.I);

Auicraiilurcollocala,cl

igiliir [loiidusI?,

A

cl

pondus

rcinaudiil polcnlia W. in

Asi

pondus

([iiod proiiulc

polcnlia H dclincliil. idco([iic.

ruiniui augcalur

vi. siirsiiiu

hdlil. Oiiod oral dciuoiislraiidiiin.

l'inMAi.

II.

10

(KUVUKS

1)1-:

FEUMAT.

-

COllHESPONDAiNCi:.

IIa.

MiaiSliNNli,

Sciimde PiirlU: de

riliii-iiioiiic'(iro|).

lliiU'crsclIc (iCi'ij), \\\\t\ Vlll|):igos (li

:

De

l'iUililc ilo ril.ii'moaic,

wiii,

cX siiiv.

(

'

).

.

.

.

Oi', |)iiis(|iie

Monsieur

Fcrriinl, Conseiller

au l*arleuient de Tliohjseal'ail

el

lis-excclleul (ionitre, m'arcuiles pesaiileurs

donu

le

raisoiineuicut qu'il

sur les dilT-

des poids, suivant

(|u'ils

approclnMil davantage du cenlre....siijel.(//.;'.

Je veux

l'aire |)arl

au pnhlie de ses penses sur eela

Soil

donc

le

cenlre de

T(Mrc dans

la lii,'rie

droile VC

i),

an poini

15;

Fi;;.

..

Gle

'

Opoi'lioule

deuii-diauilre |{\; el

!?(",

soil(](]

une

l'antre denii-ilianilre. Ht

AC

jus(|tics

cl

soil gal

(",15,

(|iie

un

|iipi(ls

en

I>

gal an poids H,

C sera

centre de pesanteur du corps

com-

pos des deux poids H et 1); c'est ponr(pioi, si du point A l'on lc la puissance r>, les poids n cl I) demeureront en cpiilibrc, puisfpie la ligne liA ne l)sc point. Kl si l'on niei le poids en A (pii tende en lias, gal la jiuissancela11 rpii

lend enli,

liant, l'on

l'ail

la

mme

cliose

que

si

du point Ala

l'on loil

puissance

puisque

le ]K)i(ls

abaisse anlanl;

comme

puissance enlve.

Oue ce [loids soit donc mis en .\ donc le corps compos de la puissanre li pose eu A et tendant en haut, du poids .\ tendant en has, cl des poids I! ei I), demeni'era en (piilil)re. Or puisijue le poids J) est gal au poiils l, ci que la ligne (;i) est gale la ligue CH, AC est CM comme A(^ (M) et comme;

le

poids

l

est la

puissance

H mise en

A, ainsi

le

poids

I)

au poids mis en

.\

lend en has (lequel ou suppose gal la puissance U). Or, connue A(] esl ('.[), (;i$, ainsi le poids 15 la puissance l\ pose en A; donc, comme AT, ainsi le poids 1) an poids mis en A. El par consquent le [loids mis eu A serai|ui;i

eu quililire avecpoids(pii

le ])oids 1),si

puisque

les

distances sont en proporti34, pitres ddicaloires

renferme (Bibl. Nat. Imprims

V

'.(>7'5,

Inventaire

V

2510/1/2)

() Les Questions Thcologiqucs, Physiques, Morales et Mathmatiques.

O chacun

trou-

vera du contentement ou de l'exercice, Composes par L. P. M. (ajo pages);

d) Les Mcchaniques de

Galile Malhomaticion et Ingnieur

du Duc de Florence, AvecFonteniers,

Plusieurs Additions rares et nouvelles, utiles aux Architectes, Ingnieurs,

Philosophes et Artisans. Traduites do

l'Italien

par L. P. M. M. (&8 pages);

e) Les Prludes de l'Harmonie Universelle, ou Questions Curieuses, Utiles aux Prdicateurs, aux Thologiens, aux Astrologues,

aux Mdecins

et

aux Philosophes. Composesle

par L. P. M. M.C'estipi'il

{i->.t\

pages). dernier recueil ic)

dsigne improprement sousI,

videmment ce second volume que possde Fermai et c'est le titro de Questions harmoniques.9.

(2) Foir Lettre

L'envoi promisil

ici

par Fermt ne se retrouve pas dans ses4

Lettres Mersenne, mais

fut fait

avant

le

novembre

iG3()

{voir Lettre

XV,

6), et

d'autre part, en rapprochant les extraits ci-aprs IIU et

Illu

des CEuvre do Mersenne.

on reconnat aisment que ce dernier nous a conserv, dans le second de ces extraits, une partie du travail de Format, sulTisanle |ioiir que l'on puisse en apprcier toute l'importance. On peut constater galement que l'hlice dont parle Fermt dans ses Lettres I, 9.etIII,

3 n'est autre que celle qu'il dsigne sous

lo

nom

' hlix

Galilci (et non Jlaliani,I .

fausse leon de Bossut) dans la Solution

du problme propos par Etienne Pascal (Tome

pages 73-74), pice dont(lelte

la

date semble devoir tre assigne en janvier ou fvrier 1(137.

.tpirale

courbe dcrite, relativement

de Galile, nom probablement donn par Mersenne, peut tre dfinie la la Terre suppose anime du mouvement de rotationlaloi

diurne, par un point matriel pesant tombant librement suivant

do Galile. Le pro-

blme de cette trajectoire proccupait particulirement le savant Minime et, ds sa premire lettre Fermt, il avait d lui demander ses lumires sur cette question. Il ne

parait pas douteux ijuc l'crit

perdu

ait t

rdig en latin.

.

111.Iciiu'iil;

-

;}

.JUIN

103G.

1:5

mais

elle coiilioKlra aillant (|uc

deux des

|)liis

j^raiids Tiailcs

d'Arcliiiurdc, de sorteet

que

je

vous deniandc un peu detri-s

loisir |)o(ir cela

eepi'udaul vous4..l'en

la

pouvez tenir pour

vrilahle.

dresserai un Trait exprs, on je vous ferai voir de nouvelles

lieliees aussi

admirables qu'on en puissevoiei

imajj;iner;

pour vous enlii^nc(|iii'

donner ravant-i^ol, en

une, qui est peul-lr'e cellele

.Mnlans appelle, admirable danslisto hclix

Pappus

t^' ).

AMB

(fig.

4)

iji

circula C.NH, ciijas ca

sit iiropriclcis iil

(lacl (ntalihcl rcct,

verhi i;ra/ia

AMN,

/o(a circidi circumfcrcnlia

si/

ad

cjiisdcm circamfcrcnli jmrlioncm

NCBJiclicc

///

AU

(luadratum ad qua-

dralum AM.In

hoc anlein lave hctivsi/

diffcrt

ah

Arcliinu-dis ijuod, in liclicci/a

Arc/nmedis,

a/ circum/ercn/ia:

ad porlionem NCB,e/ rccla

AB ad AM.comprehensimi

Proniinciarntisesse

primo, spa/iitm sub hlicedcinde{f/ii es/si/

AB"i)

dimidium

/o/ius circtdi;

proprie/as mirabilis), spa-

/iitin c.v

prtmti remln/inne or/um (/pind hc

N)

((iii;.

rsse

dimidium

apa/n

.M

ex secu/ida iwolu/iuiie

orti;

spa/ium vero

(\

ex

/eiiia levolu/ione

(') l'i(ppuage

,

iii,v

i:t

iii.

-

:

iiiN

i(;:ui.

i.i

nivMKii.-iiCNXi:, Scco/i(f,

(

')')"'

2.

(

/lus loign

point plus loignla

du

ceiilrele

du

du centre de

(erre, et

ainsi

point

D avec

les

deux poids E reprsente une balance, de

laquelle les bras ne sont pas paralli'les l'horizon.

Mais

si

la

descente des graves se

laisoii

par lignes parallles,cl

comme

en cette figure {fig. 8) par

les lignes

AC

DN, en ce

cas, la proposi-

o

I

Q

eFi;;.

S.

:

o

B

lion

d'Arcliimcde scroit vraieil

:

cea

n'est

pas que dans l'usage elle

man(|ue sensiblement, maisplus

y

plaisir de clicrclier les vrits leset

menues

et les

plus subtiles

d'ter (oues les ambigutsfait trs

(|ui

pourroient survenir. C'est ce quepuis assurer que, quoiquela

j'ai

exactement

et je

vous

recherche en soit bien malaise, j'en pos-

sde toutes

les

dmonstrations parfaitement.

20

UVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.Soit lo ccnlre delii

terre

A

i^fig-

9), le grave

E

au point E,

e(

le

pointles'il

N dans,1e

la

superficie ou ailleurs, plus loignle

du centre que

point E.toit

ne dis pas que

pointsi le

E

pse moins tant en

E

(|ue

en N, mais je dis que,

point R est suspendu du point

N

F'g- !!

N

pars'il

l(^

filet

NE,

la

force tant au pointla

N

le

retiendra jdus aisment (|ne

toit plusai

proche de

dite force, et ce,

en

la

proportion (jne

je

vous.le

assigne.

crois vous avoir suffisammeni expli(|u

ma pense

sur ce sujet.parlez,si

2.

Pour

la

([uestion

'

(

)

des nombres dont vous

me

vous

m'en3.

faites part, je tcherai

de

la

rsoudre.la

.renvoyai,

il

y a djii

longtemps,lal'a

proposition

di's

parties ali-

quotcs (-) M. do lieaugrand, avec

construction pour trouver infinis

nombres de mme nature.4.

S'il

ne

pas pei'dne,

il

vous en fera pari.

Je vous prie de relire

ma

proposition des graves et de m'en dire

votre avis..!(>

suis etc.

.MicHSKN.NE, Haniiiiiiic

Unk'cmdlr

(lOid), Prrace t;ciicrale (page 9 nnn numrote).

.... Or,

si

je voulois pailcr des iionuiics

do grande naissance

011

(|iialil(',

qui se plaisent lellemenl on celle pai-lio des Matliomali(iues qu'on ne saiiroitpeiil-cU-c leur rien eiiseij^ner, je rplerois le

nom

de celui qui

le livre

de

(1) ^o/> ci-aprs, Lettre VI, 7. (-) Foir ci-aprs, IVa et IVn,

r-inprimls cet crit perd (pie

deux extraits des Uuvraires de Mcrsennc, Fermt avait envoy Beaugrand.

probableiiu'iit

IVn.

-

24.

JUIN

1G3G.

21

l'Orgue est ddi (') cl ajoiilerois Monsieur Fermt, Conseiller au Parlenieni de Tlioulouze, auquel je dois la remarque qu'il a faite des deux nombres ly^i)*) et i84i(), dont les parties aliquotes se rcl'onl mutuellement, comme l'onl celles des deux nombres 220 et aS.'); et du nombre 672, le(|uel est sous double de ses parties aliquotes, comme est le no[iibre 120; et il sait lesrgies infaillibles et l'analyse pour en trouver une infinit d'autres s(miiblables.

IV.

Mersense, Seconde Partie de

l'Harnuiiiic Uiiwcrselle (ilV!;), Nouvelles OI>servalioil>

Plivsiinies el MiUhcni;ili(]ucs,

[wgcs

>.()

cl siiiv.

XUI. OBSERVATION.

Dex parlicxIl

aljitoCes

de no,

cl

des noinhrcx amiables.

dixime remarque de le nomjjre semblable

j'ai dit des parties aliquotes des nombres dans la premire l'rl'ace gnrale, la mthode de trouver 120 dont je jiarle au lieu sustlil. Il faut donc melire tant de nombres de suite qu'on voudra en raison double en commenant par '., comme sont les nombres A, B, C, U, E, F

faut ajouter ce

quela

:

(i, I,

II,

I,

K,i5,I),isL--ilirc la l^ii-cu

V.

(MI '1

r,nr IxUi-o/"()/; I^ftlrc

I,

10.

IV. 3.

VI.6.

15

JUILLETles

IC3G.la

-i!

Je n'ai pas cncort^(le

pu cxainiiUT

propositions (') de

Iriser-

lion(!e

l'angle, ni de l'invention doslot.

deux moyennes proportionnelles.

seia au |)lus

7-

A

la

(|uestion numri(|ue (^),

je

rponds qu'ellela

)'eeoi(

intinies

solnlions, et mnu' plusieurs manires difl'ronies dela

rsoudre. Voici

meilleure et

la [>lus

aise

(|iie j'ai

imaginela

:

Soient li'ouvs deux quarrs des(|uelsI)

somme

soit (juaire,trivial. Soil

cduimechacun

et iG; ce (|ue je

n'enseigne

|as,

pour tre trop

d'eux mulli|di par unnu'ul,

mme nombnr compos[troduits seront

de troiset

lilncr ([u'nn seul grave, dn([uel le centre de gravit est au

milan de

la

ligne qui les conjoint

:

quelle raison donc de croire

(|n"il

s'arrte ailleurs

(]Uo lorsquo son contre sera uni celui

do

la1

torro?

Soient les doux poids gaux

A

et IJ

{Jig.

4) joints

pai' la

ligne AR,

(t)B

le

ccnire

d(> la

lerre C.

Qu'on

laisse clioir

librement

les

poids(|u'il

A

et li;

lorsque

le |)oidsle

B

sera au centre C, ou ne peut pas dire

s'arrte,

parce (|ne

poidsle

A

gravitai super

B

et deslniit a'rjinlihniirn.

O comle

mencera donc

levier

AB

de s'arrter? Vous ne sauriez tronveij)lutl

comnionccment de son repos en un poinln'est au niitan, parce qu'il se ti'onve

qu'en

l'auti'e,

si

ce

pour

lors

galement eontrchaianc

de Ions cts.Je ne saissi

ces raisons seront capables de vous

l'aire

nt

c'est

|)ourquoi je vous conjure de nn^ dire

nettement ce

qu'il

vous en

semble.3.J.a

deuxime objectionllobcrval

('") est

contre

la

nouv(dle |)roportion des

)

J'uir rico V, 5.

a,

ccUc

fuis,

raison coiilrc Fermai.

.

VII.aiii^li's(lit (le

- AOUT

iG3G.

.ii

que

j'ai

dcouvortp, contre laquelle pourlanl vous n'avez rien

prcis, mais

seulement que vous avez dmontr que

la

propoi-

lioi)

rciproque des poids doit tre explique non pas parlesla

les angles,

mais parVoici

sinus de ces angles.

dmonstration de

ma

proposition, de laquelle vous veire/.

aisment par consquentl'crit

celle de toutes celles

que vous avez vues dans

que j'envoyai

ii

M. de Carcavi.(fig.i

Su cenlriim Urne Avtillo

^), vcclis (INi porlio circiili centra

A

iitlcr(',,

AN

dcscripd,

CN,

NB

quales circumfcrcnli,

el

in punctis

H

(Cfjiia/id

pu/ide/a. Siippoin/nus vecteinsi

VW a puitclu %

siispcitsiiin

inancrc.(IN,

idcnufue accidcrcN!} colloccntur,

i^raaa qiialia

i/i

(pdbiislihel punctis

hrachioram

modo:

liiijtismodi punctci

ex

utriuptc parte a'qitaliter

d

piinclo

X

dislenlet

/icqiie e/iitn

deslnient a'qtdlibrium pondra a'qualia a/ihr qtiu/iter distantia.verlis si\r lih/'d

rentra terr

a centratc/'/

rectis(

si^'c

Sit centra///

A

fig.

i()),

VAWCA),

iit

sapra, cen-

lru//i sive inedii//)i lil/i piincta/iil'LRM.vr.

B. Collocetur pa/idas

B

in

puncto B aat

II.

3'i

(EUVHES m: FERMAT. - CORRESPONDANCE.pondre B in partes quales K, F,15,

divisa

15, (!,

D, collocenlur e parles in

piinclisVj, V,niiniis

(1,

D,

et sinl

inlerval/aEV, FB, BC,

CD

qua/ia. Si/ppo,

pondus

B,

i/i

piinctol,

B collocatum

et

a puiicto B suspenstim

idem

pondefare ac parleseodeni puncto

F, B. C,

D

siiniil siirnpta\

in vecte collocata' et

ah

B

suspensa'.

iKiid iiempe accidit quia, propter cireulum EI"B(]I), partes ponderis B

camdem semper^ruinsiiissellis\\:

servant distantiarn a rentra terra- ac po/idus ipsuni inteet

quod non animadvertisse

descensus gravium parallles suppo-

errorein peperil

Arelnmedeum.nastram demonstramus,et

suppasilis, propositianem

ecee lanlaiterra.

rasuiii

m

quo

luin redis cenlnun. liun e.vtrema a-qualiler

a rentra

dislant, quia lue rasus verilalcm priaris rectis geostalici

non

supporiil

de

qua

rideris a/nhigere.

Sil rlis

FIIN\\,

(tig.

i- K euj'us

centrum H, extrerna F

et

N, in eadern,

ipia

puneluin

a

lerrq- rentra distantia.

Centra A. inlena/lo

AH,

deseri-

halur partio eirculi FHN, rectis exlrema committens,l^rave inliain

et sil

grave in F adcircumferenet

N:

///

proporlione reciproca circuinferenti

HF ad

UN

Aio vecleni

FHN a

punclo H suspensum mansurum

quili-

hrium en/istilulurum.liane aulem proportionein earndem esse qiur angulorurnpatel:

ad eentrum A.

ex conslructione

et

duobus axiomalibus pra-cedentihus facillinie

theorema concludes.

4.

La hte du courrier niolie

fait finir l,

parce que je ne doute pas f[ue

vous

puissiez voir

la

conclusion avec un peu de mditation.

vin.

-

i(i

A

OITle

ig:](;.

:i:i

Au

roslo,

je

vous puis assurer que

l-ivre (') (|u'il

vous;

;i

pin

ui'eiivoyer est cesi

que

j'ai

vu de plus ingnieux sur celte

uialii're

mais,

mes propositions sont

vraies, de quoi peut-tre vous ne doulerez pas

toujours, vous m'accorderez que ce

mouvement sur

les [)lans inclim'-s

se peut prouver encore plus prcisment.(]e

n'est pasle

que

je

n'estime autant que je dois votre inventiona dit est

;

maiscl

ce (|ue

chancelier Bacon('- ).

bien vrai

:

"

Mnlti pjitransihiml

aiigebilur scient iaJe suis etc.

Mil.

KTIENNl PASCAI. KTSAMKDl1(5

ROBERVAL A FERMAI.AOUT1

GISG (').

(

'n,

p.

ij4-i3(>.

)

Monsieur1.

(

').

Le principe (juc vous demandez pour

la

(jostatique est que,

si

deux poids gaux sont joints par une ligne droite fermedu Traite

et[ de soi] sans

(

'

)

Il

s'a.Ljil

vidoiiiiiiciil

tic Mcc/uiiiitiiec.

I>c\ /Kiiclx \oiistciuts-

pur dc\ puis-

sance: sur

les

plans inclinez l'Horizon. Dci puissances qui siiusticnncnt un poiih sutVers, de liolien'al, Professeur Itoj'al es MntJicmatiijueset en cliaire le Jiannts

pendu deux c/iordcs. l'nr G. nu CoU

conclure que

volume

et

encore

la

disposition des poids

vo

UVRES DE FERMAT.- CO liUESPONI) ANGE.semble devoir peserla

doit tre consklr, d'aulant qu'un corps pesant

d'autant moins

qu'il

occupera une plus grande portion dele

circonf-

rence

l'ernie

passant par

corps

et dcrite

alentour du centre

communci

des choses ])esantes, ce que nous expliquerons plus amplementaprs sur votre second principe du levier. Or vous savez qu'un

mme

corps, sous diffn^ites ligures, positions ou volumes, peut occuper|)lus

ou moins de cette circonfrence

et, s'il

y a cause

pour laquelle un

mme

corps doive moins peser proche du centre qu'lant plus loign,

celle-ci en est peut-tre

une, tant clair (|ue, quoi(iu'il ft toujours de

mmecentre,

figure, position etil

volume, nanmoins, tant plus proche dula

occupera une plus grande portion de

circonfrence susdite

qu'tant plus loign. Mais, quand cela

seroil,

nous croyons qu'les

peine scroit-il possiblecetle

l'esprit

humain d'assigner

proportions de

augmentation ou diminution selon

les dillerents

loignements

du centre.8.

Si la

seconde ouil

la

troisime cause possible del'on

la

pesanteur des

corps est vraie,clusions.

nous semble que

en peut tirer des [mmes] con-

Soit le corps attirant

ABCD

{fig- 21) [sphriqneKift.

|,

ilu(|ucl le

centre

31.

soit

H, et que

la

vertu d'attraction soit galement pandue par loulesattirant, et soit le corps attir L, considr pre-

les parties

du corpsle

mirement horsSoit

corps attirant en A.

mene

la

ligne droite

AH,

laquelle soit

un plan perpendicu-

VIIl.lairc

-

IG

AOUTla

1636-

41et pailaiilj

EHD, coupant

lo

corps

ABCDI,

en doux parties [galesligne

d'gale vertu. Soient aussi, dans(|ue l'on

AH,

niartfus tant de points

voudra,

comme

K,

par lesquels soient mens des plansle

Fie,I

GKB]

parallles au plan

EHD, coupant

corps [attirant]

ABCU

en parties ingales, et partant d'ingale vertu.Alors]I

le

corps [L] tant en

A

sera attir verslibre,il

H

par

la

puissance del

tout le corps

ABCDHla

et, le

chemin tant

viendra en K,

o

il

sera attir verslir

jiar la

plus [grande et] forte partieet

BDEGil

[et conlre-

vers

A

paril

plus petiteI,

plus foihle partieil

BAG];

en sera deil

mmeen

(|uaiid

sera venu enil

o

sera

moins

attir (jue

quand

tait

K

ou en A; toutefois

sera contraint de s'approcher toujours duet, la

centre H, tant qu'il y soit venu,

partie

(|ui attireil

diminuant tou-

jours et celle qui retire s'augmentant [toujours],

sera continucdleil

ment

attir

avec moins de force jusqucs h ce qu'tant arriv en H,

sera galement attir de toutes parts etSi cette position est vraie,il

demeurera en

cet tat.

est facile de voir ([ue le corps

L

psei'a

d'autant moins

(]n'il

sera [plus] proche du centre H; mais son poidsla

ne diminuera pas en

proportion des lignes HI, HK, HA, ce que vousconsidrant, sans que nous vous l'expliquions

connoitrez assez en

le

davantage.

9-

Puis donc que de ces trois causes possibles dela vraie, et

la

pesanteur, nous

ne savons quelle est

que

mmefairesoit

nous ne sommes pas assurs[quela

(|ne ce soit l'une d'icelles, se

pouvant

vraie cause soit

com-

pose des deux autres ou] que ce [en]

une

[tout] autre, de laquelleil

on tireroit des conclusions toutes diffrentes,

nous semble que nous

ne pouvons pas poser d'autres principes [pour raisonner] en cette malii're

(|ne

ceux desquels nous sommes assurs par une exprience con-

tinuelle assiste d'un

bon jugement.

Quant

i(

nous, nous appelons des corps galement ou ingalement(jui

pesants, ceuxle

ont une gale ou ingale puissance de se porter vers

commun [des choses pesantes], et un mme corps est dit avoir un mme poids, quand a Icuijours cette mme puissan('e que FfnMAT. n. 6centreil:

V2si

UVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.coHe puissance augmctilr ou diininup, alors, quoique cecorps, nous ne le considrons plussoille

mmequeI

comme

le

mme

poids. Or,

cela arrive

aux corps qui s'loignent ou s'approchent du centre

commun

des choses pesantes], c'est ce que nous dsirerions bien de

savoir; mais, ne trouvant rien qui nous contente sur ce sujet,laissons cette question indcise et

nous

nous raisonnons seulement sur ce

que

l(!s

AnciensI

et

nous en avons pu dcouvrir de vrai jusques mainle

tenant.

Voil ce que nous avons vous dire pourla

prsent touchant

votre principe de

Gostatique, laissant part beaucoup d'autres

doutes pour viter prolixit de discours.]10.

Pour

la la

nouvelle proportion des angles que vous mettez en

avant, afin de

dmontrer, vous supposez deux principes, desquelssi

leil

premier

est vrai et l'autrele

loign d'tre vrai,

(|u'il

y a des cas o

arrive tout

contraire de ce que vous

demandez [qu'on vous accorde

pour vrai]. Le premier estpesantes, l'appuitel:

soit

A

(yfig.

22)

le

centre

communAN,

des chosessoit dcrite

du

levier N, et

du centre A,Kig. 11.

intervalle

N

une portion de circonfrencesoit gal J'arc

telle

quelle

CNB, pourvu que

l'arc

CN

NB;

et soit

considr cet an;

CN

[B]

comme

uni; ba-

lance ou un levier [de soi] sans poids, qui se

mne librement

l'entour

de l'appui N; soient aussi des poids gaux poss en C [et] B.

Vous supposez que ces poids contrepserontquilibre, tant balancs sur le point N; et[il]

l'un

ii

l'autre et feront

semble que tacitement

vous supposez encore l'quilibre, quand

les

bras du levier

NC

et

NB

seront des lignes droites, pourvu que les points C [et]

B

soient gale-

ment

loigns du centre A, et les lignes

NC

et

NB

soustendantes ou

cordes, en effet ou en puissance, d'arcs gaux NC, NB.

VIII.

-

16

AOUT

1636.les

Werovons

Toutes ces choses sont vraies en gnral, mais nous netelles

que pour ce que nous(|ui

les

avons dmontres en consquenceclairset

d'autres j)rini])s

nous sont plus familiers, plus

plus

connus.Toutefois, en particulier,consi cot dusi

centre une grandeur gale;

arrive pourtant cent cas auxquels,le

vous coupez

les

deux poids par un autre plan passant parVIII. 6.

centre, les

(1) fmrjr-r.

w. LeUlC

(52

(KUVUES DE FEHMAT. - CO U HKS 1>()M) \N CK.seront de cliaqiir clsiM'oiil iiiialcs, cl

;4i';iii(l(Miis (|ni((>i'|)s (Ml

ainsi

un nirnic

rninc

Icmps arrrlcradeiliic (|n('

et n'ai'i'lcra

pas. hinjoiirs |)i'rpcntlii'Mlaii'c

Va n'ini|MMl('il

ce plan dnil(lar

('Ire

la

lii,nic (|iii

joint lessiiiil

deux graves,

vous savez (|M'au((Mir du ccnlrcintclligiuititr siirsum.

liMis

cniliMils

indillTiMis ci

or/u/td

omnui

(leorsiini.Il

l'anl

donc

ncccssaii'cniciil iircndrrla

le

repos des poids, non pas de

celle Cacoii. mais de\(iil;i,

pinpoilionla

rroposeXVIll, 3), (pie dos (pialre

par Fermt .Sainte-Croix quiautres, la (jucslion

rsolut (ci-aprs, Lettre

V

avait t ])ose par

Mcnscnno dansIII,

l'pitrc ddicatoire de ses2),

Pr-

ludes de l'Harmonie universelle en i634 {voir Lettrelao.

avec l'indication du nond)rc

Fermt trouva le nombre 672 (Lettres XII, 4, et XIII, 4). Le troisime nombre ne donne pas la mtliode de Fermai (lVn), parait avoir t trouv par SainleCroix \Lnc date postrieure l'impression de la Seconde Ptirtic de l'Harmonie univerj377('), ipie

selfe

de MerscnncIII,

(10:17).

La ipicslion

qui se traduit par r([uation

.r2-4-2(.r2)5= (.c2-i-.r)2,est trs ai.se r.soudrc, et

il

est

improbable que ce

.soit

celle

devant

latpielle

Fermt dI,

clarait n'tre jias

un dipe.

Il

n'en est pas tout fait de

mme pourles trois

la ipiestion

dont

l'nonc, passablement obscur,

semble devoir s'exprimer parr(.r-Hi)

quations

(

IH-

.-)(.) -I-

r.

-I- 1)

^"+p^ =i")

.

2.rf.r-;-

avec les conditions que x, j, z soient entiers et p- un entier deI '

la

forme

Il ( //

-I-

I

)

)

Peut-tre

comme

solution de la question

II,

propose par Fermt Sainte-Croix.

l'oir noie prcdente.

XII.

- SEPTEMT.RE

163G.

65vir ingonii.

provcnturam auguramur, quidquid poUiccatur acutissimi2.

Diim igitur diiricilioribus numoris tcntationcm honostamus, ut

ipse loqiiitur, ita*'

proponimus

(')

:

1

huTnire Iriangulum rcclangidum numro, rujas arca (vqnclur qua-

drnlo.2"Dalci siirnm solidi

suh tnhus

laterihiis triansitli

rcctnnsuH numro

et ipsuis liypolenascv,

invenire terminos intra quos area eonsistil.solidi et longitiulinis; in

Noc moveat additioinoriris. quanlilatos//ive/iire

proldcmatis cnini im-

omncs sont homogenoa',

ut

omnos

sciiint.

.J"'

duo quadratoquadratos quorum summa quelur quadra/o-

quadralo, aul duos cubos quorum

summa

sit

euhus.

4" Invenire trs quadratos in proportione arithmetica, ea conditione uldifferentia progressionissit

numerus quadratus.a

3.

Quatuor problomatis duo fhoorcmata (-) adjunginius, qu;v,

nobis invenla, a I)oni. de Sainte-Croix demonstrafionem exspectantaut,si

frustra speraverimus, a nobis ipsis nanciscentur. Sunt:

autem

puleherrimai"

Omnis numerus cvquaturuni, 2, 3 aul 4

uni,

duohus aut

tribus triangulis,qiiadralis.

uni, 2, 3, 4 uut 5uni, 2, 3, 4,uni, a, 3, 4,'>

pctilagoiiis,

'J,

aut 6 6 aut 7

hcxagonis,Iieptagonix,

et

eo eonlinuo in i nfinit um progrcssu.

Videtur supponcre Dio|)liantus sccundam partem theorematis, cam(|ue

Bachctus experienti conatus est conlrmarc, sed dcraonstratioDosproposs:

(

'

)

(jiiatrc prnl)l(>mcs

ici

par Fermai, trois sonl insohiijk's. f^oir au),

les Ohrrrffrliofix sur Diapliaitlc1

pour

(i) el {4

YO/'X.

-

)

Tour:

le

premier de ces deux lliormes, voirle

Tome XLV; pour (3), VOtix. II. Tome 1, l'Observation XVIII sur Dio-

1

pliante.

pour

secoiul, cuinpeirrr l'OI's.11.

XXVII.

Fermt.

9

60

UVRES DEattiilit.iiisi

FEIUIAT.

- CORRESPONDANTE.ot

iicm nonpriini,

Nos propositinnoni goneralissimamdcteximusot

pulchcrrimam

fallor,

pro jure synallagmatis admitti, nescio

an jure, posliilaimis.li"

Octuplum

cii/us/ihr/

niimcri unitatc

dcmimilum rnmponitiir ex qua-

tuor quadralis taiilum, non so/um in intcgris,dissi',

quod potucrunt

alii

vi-

scd ctiam

in fractis, (juod

nos demonstraturos polliccmur.si

Et ox hac propositione mira sanc dt'dncinius, qua",f'iKM-int

in

proinptuvi-

Dom". do

Sainte-(]roix, saltoin Hachoti

ingcnium

ot

oporani

donfur inutilitor sollicitasso.4.

Priusquam propositionom

lU^

cubis

a to propositaiii

constrnamus,illiimin

ad qusesitum (') do numoro

{\-j-i

rospondoo me uniouni

non oro-

doro proposito salisfaciontom, sod hic unus post 120

nosira

mo-

Ihodo ocourril.Inalisi

hujusmodi antom quastionibus

nihil

impodit (|Uominus aliusnanciscalur:

molhodo

alios

numcros

([lui'stioni satist'aciontcs

hoc

contigorit Ooni". do Saintc-Ooix, libontissinio ab 00 accipionius(|na

una

cum mothodotas

usasot a

ost.

Sunt onim hnjiisinodi qua'Slionos pulclior-

rimaj ot diiriciilima

noniino, qiiod sciam, hactonus sohita; infininoiiis

autom similos peculiari

molhodo jam constriiximus.numoris'\

5.

Quod ad qusstiononinobis visamot

(^) do

ot

1

1

spoclat, fatoinur dif-

fioilliniani

adhuc, post multa tontanionta, ignorari. Etojiis

crodidorim, donoc contrarium apparoat,

solntionom

sorti

potinsI^ljns

(|uam

arti d(d)ori;si

sod maiim

falli

mo quam Dom.

do Sainto-tiroix.

solulionoin6.

dignotur importiri, viam constriictionis rogo adjnngat.oubis (jua*stionomita

Tnani

(h'

eoncipimus

:

Dalis quollihcl numeris in proporlinnc quavis arilhmctica. ru/us dijfcrenlia progrcssionis et iniments lerminorutn dcliir. imcnire su/nninm eu-

horum ahs omnibus.(') J'oir plus luuit, paire 0], noie.{'-)

l'oir Lcltrcs VI, 7 cl

X,

2.

\II.1-

~ SEPTEMBRE

1630.

67

Pi'iimis casiis est

(|uum prirnus terminus

est imitas et diiereiitia

progressionis etiam imitas.

Exhibeandir lumieri

iii

hac progressione

qiiollilx't

:

quadratumexemple,

trianguli

numerorum)

Bcjuaturcubis abs omnibus. IHiii hoc

iii

quo

siint

luimeri, triangulus

numerorum

est

4^

cujus

quadratus 202.5 anjuatur summ;e cuborum

a singulis.(')

Haic autem propositio in hoc casu a Baehetostrata; sequentes easus nos invenimus.8.

et aiiis est

demon-

Sit

primus terminus unitas

et dilTercntial'^t

progressionis

numerus:

quivis, ut in hoc

exempht

in

quo 4I

differentia progressionis

.5.9. 13.17,

sumo

trianguluni nitimi numeri dilTerentia progressionis unitatedemi-

nuta aucti.Est

autem 210,

et

ejus

quadratum44100.

Abi"

eo detraho sequentes numros

:

Summam

totidem cuborum ab unitate

in

[trogressione naturaiiprogressi(tnis

ducentium exordium, quot sunl unitatesunitate deminuta, eamque.

in dillerentia

summam ductamhoc exempio inde180.

in

Numerus autem, quisubtrahendum,est

in

numerum terminorum. eruetur et quem diximus

2" Detraho tri|)luni suiunue totidem (|uadratorum

al)

unitate in proin diffe-

gressione naturaii ducentium exordium, (|Uot sunl unitatesrentia [)rogressionis unitate deminuta, ilhui(|ue

ductum

in

summam

numerorumNumerus,

progressionis datse.([ui in

hoc exempht inde crncinr1890.

et ([uein

diximus subtra-

hendum,

est

('

)

.Viippndix

;id

liliriim

de minicris polygonis,

11.

iini|i.

Si.

68

UVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.3 Dotralio triplum

summa;

totid(Mn

luimcrorum ab unitatcquot sunt unitates

in proin difTe-

grossioiic naturali diiconlium cxordiuin,

rcntia prognissionis unitatc dcminuta, illudquc ducluni in

summamsnbtra-

((uadratorum abs numcris progressionis data?.Numoriis, quiin lioc

oxcmplo indo ornctur10170.

et

quom diximus

hcndiim,

est

Snmnia numororuin auf'iM'ondorumquuni 3i8Gobis:

a

numoro 44'*"

f^l 122/10. rcli-

quod

si

dividas por 4. dlircrcntiam progrossionis, habc-

summam cuborum

abs numoris1

.5.(). i3. 17,

7965,9.

et

unilormi

in

infinitum methodo.

Sed nondum constat qua rationo invcniafurI.

summa numororum

:

5.9.

1

3. 17,

ncquo quomodo summa quadratorum abnion ad

ipsis invonialur

:

quod

ta-

sccundam

et tt'rtiam

operationom pcrficicndum est lu'cossa-

rium.

Primumlis:

illud praistititita

Bachctus (')

in liboilo /Je

numcris niultangu-

sccunduin

cxpodiolur.lot

Sumatur summarali,

(|uadratorum ab unitatcin

in

progrcssiouc natu-

quot sunt unitatos

majore progressionis numro dilFerentia

progressionis unitate dcminuta aucto.

Hoc autcmtraditum.

est facile et

ab Archimode (-)

in

libro

De Spirnlibus

Ab1

ea

summa

:

Detrabe

summamilc

totidem quadratorum

in

progrcssiouc naturali

(') Coimncnlairc

Bachcl

siii'

les

propositions IV cl

V

Dinp/uruli .tlc.iandrini de

inultaii'^uUs numcris.(

') Arcliiiiidc,

De

iuicls spirtdihus,

prop. 10, donne eOrcclivcmenl n( Il-(I

la

sommation

)

XII.al)

- SEPTEMIUIEsuminam ductain

1G3C.

G9

iinitalc iiicipuMite, qiiot

sunt uiiitatcs in difloreiUia progressionisin

unitate demiiuita, oainquo?."

nunicrum tormiiiorum.unilafo, quotilliidcnic

Dolrahc diiplum siiinma^ totidemin dil'erentia

numcrorum ab

sunt unilales

progressionis unitatc dominula,datio.

ductnmllis

in

summani niimerorum progressionisomnibus.

ablatis, reliquuni, pcr diirerenliam |)rogressionis divisuni, dal)ital)

suinniani (juadratoruni

Ex

his

duobus casibus

rcliqui oinncs nullo aul mininio ncgolio eli-

cicntur jnxta pneccpta.10.

Sed hic luiTcre noluinuis,

verni

p.robleina

totius

lortassein (juavis

Arithmelicos pulchorrimuni construximus, quo non soluin

progressionc sanimain quadratorum et cuboruni venamur, sed

omnium

omnino potestalum

in infinilum

mclhodo gencralissima, quadrafo((ua-

dratoruni, ([uadralocuborum, cubocubornni, etc.il.

Ut aulcin innolescat Dom". de Sainte-(]roix sphingemexspectare, en prol)lemaita in

me

aiit

OEdipum nongrcssu, ([uod

(juadratoquadratorum pro:

potcst theorematicc enuntiari

Exponanturquadritplo

(juollihi'l

numeri

in progressionc naluralicl

ah

(inila/c

;

si

a

iillimi,

binario auclu cn(l(Mi!.

on

il-

3.

J'ai

trouv

la

dmonslralion (') de

la

somnio des qnarrs de denx

cls ralionaux,la

eommensurables en longueur, applique au double de

somme

des eols. excdant d'une iigure quarre. Mais, puisquediraiici

vous l'avez aussi trouve, je ne vous

que mon principal fonla

dement quit'ois le

est

que, de deux nombres (|uelcon(|ues,fois le

sommeet

de deuxfois

quarr du premier, deux

quarr du second

deux

le

produit des deux nombres, n'est pas un nombre quarr, d'autant

que, j)renant les moindres nombres de leur raison, un nombre simple-

ment

pris n'est pas quarr. Sisi

nous avons Ions deux un

mme moyen,je

ceci sul'til;

vous en avez un autre, ee que vous reconnoitrez parce

discours, vousl'ai

me

ferez faveur desi

me

l'apprendre,

et

moi

vous

cri-

le

mien.l'ai

tout au lon^,la

vous

le

dsirez.

4.

aussi trouv

tlnnuislralion (-

)

de votre conoule

e(

celle

de

votre parabide solide et, en consquence, C(dles d'une infinit d'autrespareilles, quarrquarres, quarrsolides etc.5.la.l'ai

trouv les tangentes de toutes ces liguresla

:

[)arla

exemple, enet

parabole solide,est

portion de Taxe, prise entrela

tangentele

le

sommet,cl la

double de

portion du nn-me axe. prise entreii

soMimct

ligne appli({ue de l'attoucliement.l'ai,

l'axe.

6-

par

le

mme moyen,

quarr

la

parabole gomtri(|utMnent,

autrement qu'ArcliiniiMJc.1\'A

je

me trompe

fort

si je

n'ai

rencontr

le

mme moyen

(juc

vous,

me

servant des lignes parallles l'axe et des portions de cesla

lignes prises entre les paraboles et

ligne

(jui

touclie les

nu'mes parala

boles

[)ar le

sommet, lesquelles portions

se suivent en

raison deetc.

l'ordre nalurcd des

nombres quarrs on des nombres cubesle

Or,

la

somme

des ijuarrs est toujours plus (|ueLeUrc XI,

tiers

du cube

(|ui a

j)0ur

(I) loir

7.

^2) f'oir LcUrcs IX, 7; XIII, 3 cl 6.I'kHM VT.

n.

Il

82(()(('

UVUES DE FERMAT.- COURESPONOANCE.lo cot('' (In[)liis

grand ((narrr,

et lale

plus grand tant lr, est

moindre que

mmo somme des quarrs, le tiers du mme euhe; la sommeet, le

des cubes plus (juet,

le (|uarl

du quarrquarr

plus grand cui)e((ue

moins

qu(^ le quart; etc. Si par ce discours

vous reconnoissez

ee n'est pas votre

moven,et

j'en serai

d'autant plus rjoui pour ce (|ue

nous eu aurons deux,faisant le8.

vous

me

ferez la faveur de

m'envoyer

le votre,

mmeles

de

ma

part.la

Pour

tangentes de

concliode, je les

ai

considres

il

y a

longtemps,

commeil

tant dterminations d'quations (juarrquarres.la

Sur ce

sujet,

y a

doux points en:

conchode par les(|uels ou ne peutles

mener des tangentes

je

vous prie de

considrer et vous trouverez la sec-

une admirable proprit d'angles au sommet l'un de l'autretion9.

d'une ligne droite

et

de

la

conchode (').

.l'estime vos propositions (-) des

nombres

et celle

du

lieu planl(>s

fort difticilos; ce

que

je saurai

mieux quand

j'aurai eu le loisir de

considrer,tant planes

commeque

aussi les centres de gravit des ligures susdites

solides, n'tant pas rsolu pourtant de m'obstinersi

aprs; car j'aimerai mieux tenir de vous ce que vous en aurez,l'avez agrable. 10..le

vous

vous prie pourtant de

me mander

si

le

centre de gravit de(|iie

votre demi-conoide n'est pas ce point o l'axe est divis de sortel'un des

segmentset

est l'autre

comme

i r

4,

pour ce qu'un lger

rai-

sonnementraison('' ).

non encore bien considr m'a sembl

me mener

cette

H. Une(|ue

autre fois je vous pourraidsirez.

mander de nos propositionsqueje

ainsi

vous

le

Pourje

celte heure,

n'emploie crire ceci:

qu'un temps drob,

vous envolerai seulement celle-cicl

De deux cnes droils gauxgales oules

isoprimclrcs tant donnes les bases inles

hauteurs ingales, trouver3

cnes.toncliodc.

(

I

)

f'oir Lclli'c XIII,t'olr Lettres XIII.

i

Knlierviil parln

ici

des points d'inflexion de

la

("-)

et 7.

(^) loir ei-aprs l-cttre

W.

5.

\V.

-

k

NOVEMBRE

1G3C.

83

Quandtes,

je dis isoprimlres, j'entends les

hases y comprises ou excep-

commela

vous voudrez.la

Vous en aurezprendre

solutionla

quand

il

vous plaira,

si

vous ne voulez

peine de

trouver vous-mme, et je vous l'aurois envoyeje

ds maintenant, n'loit qued'y penser.

crois

que vous dsirerez avoir

le plaisir

Attendant que vousrerai etc.

me

fassiez la laveur

de m'crire.

je

demeu-

\V.

FERMAT A ROBERVAL.MARDI k NOVKMIIRE 1C3C.(la,1,.

,1fi-,47;l!f"2'.)

Monsieur,1-

Me

rservant vous crire une antreet

l'ois

les

tllanls (|ue j'ai

trouvs dans votre dmonstration (')(|iie

dans votre Livre imprim (-),

j'espi're

vous

l'aire

avouer

[)ar

vos propres maximes, je

me

con-

leiilcrai (le

rpondre prsenlement aux autres points de votre Lettre.

2.

Va |)remit'rement vous saurezle

que nous

av(ns

concouru au

mme

rncditun sur

sujet de la

somme

des deux quarrs rationaux, comla

mensurahles en loniLeUre XIV, 3.LctlrcXIV,7,

i.

(*) Voir

84[las la

UVRKS

\)\l

FEIUIAT.

- CORRESPONDANCE.([iic

(linonsiralion pn-cisc, qui oslle liiM's

la

soinmo dos (juarrsct

est

plus irando (|uo(liiarrc-;

du cube

(|ui a

pourle

clV' lo

du plus grandla

la

sonimc des cuhos plus

((uo

quart du quarrquarn'';

soinuio des (juarrquarrs plus qu'un cinquimo

du quarrcuho;faut, (''(ant

etc.

Or, pour dmontror cela plus gnraicmont,\wm\\ri' in progrcssioiif mil iirali. trouver la

il

donn un

somme, non seulement de((ui

Ions les ((uarrs et cubes, ce que les auteursl'ail

ont

ci-il

ont dj

('),

mais encore

la

somme

des quarrquarrs, ((uarrcubes etc.,

ce (|ue personne ([ue

je saidu' n"a

encore trouv; et pourtant cette eonet n'est pas

noissance.l'en

est l)(dle et

de grand usage

des plus aises.JMi voici

suis

venu

bout avec beaucoup de peine.

un exemplei/i

:

Si quadnipliini tnaiiini iiitineri biiutrio aurliint dacasIriangtili luimcroriini, cl

(juadraluni

a pnxliirio dcmns siinunarn quadralorum a sm-

gidis, fiel siinuiKi (fiKidraloqiuidrnlnnun (jiiuiliiplii.

Il

semble

(|ue

Racliet,

dans son Trait De

/itiincrisl'ait

miiltangu/is (-),

n'a(jes

pas voulu tter ces (|ueslions apri's avoir

C(dle des ([narrs etla

cubes;

je

serai bien aise ([uesi

vous vous cKcrciez pour trouver

mthode gnrale, pour voirvousolFre

nous rencontrerons. Kn tout

cas,

je

tout ce

que

j'y

ai

l'ait,

qui est tout ce qu'on peut dire sur

cette matire.

Voicivira; auri'gle

cependant une

Iri's

Ixdie proposition, qui peut-tre

vous y ser-

moinsj'ai

c'est par son

moyen que

j'en suisla

venu

bout,

(rcstune

qu(^

trouve pour donner

somme, non seulement desmais encorela

triangles, ce qui a t fait par Bachel et les autres ('),

des pvramides, Iriangulolrianguloriim etc. sition ('):

l'infini.

Voici

propo-

UUimum

lattis in laliis

pruxime majiis facil duplum

triangtili.

(') roir LeUrc XII, 10 cl 11. (2) Voir

LcUrc

XII, 7, nolo

i.

C)lion,

Bachel [Appcndix

ad

libruni

de itutncrU

poljgniii.i,

I,

prop. 18) donne

la

somma-

non seulement des iriangles, mais en gnral des polygones de pour cots les nombres conscutifs partir de l'unit.() Foir Lettre XII, 12.

mme

genre ayant

XV.Ullimurnramidis.laliis In

-

i

NOVEMIREhitcris

163G.

85farit Iripliini pv-

Iriangulum

proxime majoris

Ullanimi lalas intriangulotrian guli.

pyramtdem

latcris

prn.vime majoris facit /piadriipluni

El eo

m

i/tfinilnm progressa.

Toiitos ces propositions, (juoiqiie holios do soi, m'oiil servi lioiivcrla

(]uad rat lire ([uo4.

jo

suis bien aise ([uc vous oslimioz.

Je voiulrois avoir assez de loisir

pour vous envovei'si

les

proposi-

(ioiis

des iiomlires (') ([ue vous trouvez:

diriieiles; elles le soiU

en

ellet

niuie Tartaglia J'enai

(-')

avoiteru

([u'elles u'loient point trouvaltlesil

|)ar art.

envoysi

la

construction au Pre Mersenne;

vous

la

communiquera5.

vous

la lui

demandez.fois le

Je

vous onvoierai aussi une autrela

centre de gravitle

( ')

de

toutes ces nouvelles figures, avec

mthode gnrale pour

trouver.

Vous savez eependant queportion dei [

celuii

du demi-conod(>i

divise l'axe en pr(et (jiieii

>,

non pas de

;i

f\,

comme

vous aviez cru,

celui des nouvelles paraboles divise l'axe en proportion pareille

cellela

du paralllogramme, quifigure,il

a

pour hauteur

l'axe et |)(iur hase celle dele

la

figuretel

:

ou, pour

mieux

dire,)

diamtre de toute parabolele

est divis

enle

point [de son diamtreestet;i

par

centre de gravit, jeu

sorte]

que

segment d'en bas

celui d'en haut

comme

la

figure au

paralllogramme de6.

mme

base

de uime hauteur.

Puisque vous avez trouv

la

dmonstration de toutes mes propole

sitions,

vous m'obligerez beaucou|) de prier

Pre Mersenne de

voii'