dokumen.tips fermat dan dixon

8/18/2019 Dokumen.tips Fermat Dan Dixon

1/24

METODE

FAKTORISASI

FERMAT DAN

DIXON

ARIF FACHRU ROZI

27 Oktober 2010


2/24

Overview RSA

Algoritma kunci publik yang terdiri dari 2

buah kunci publik dan kunci prifat.Kunci publik (n,e) diketahui oleh umum dan

digunakan untuk proe enkripi pean.Kunci prifat (n,d) dirahaiakan dan

digunakan untuk proe dekripi pean.

!n" merupakan perkalian dua buah

bilangan prima yang bear.


3/24

Overview RSA

#ariabel $embangun %&A

n ' p.

p, merupakan bilangan prima

e.d ' 1 mod (n)

∅(n) ' (p*1) (*1)

c ' me mod (n)

m ' cd

mod (n)


4/24

Bilangan Intejer

+ilangan prima adalah ebuah bilangan

ali yang lebih bear dari 1, tidak dapat

dibagi oleh bilangan ali elain bilangan

terebut dan 1 eorema ( -undamental heorem of

Arithmetic) !&etiap integer poitif n / 1

dapat direpreentaikan ebagaiperkalian bilangan prima dan

repreentai ini berifat unik!


5/24

O -%A


6/24

Metode Fermat

3de daar dari metode faktoriai -ermat

adalah "&etiap bilangan kompoit gan4il

dapat dinyatakan ebagai eliih dari

dua buah bilangan kuadrat".

n ' 52 6 y2 ' (5*y)(5y)

(5*y) dan (5y) merupakan faktor dari "n"


7/24

Algoritma FaktorisasiFermat 3nput bilangan integer gan4il poitif !n"

Output &ebuah faktor dari !n", atau

ebuah pean !n" adalah prima

8angkah 1 imulai dengan . 9ika

, lalu merupakan faktor dari dan

eleai:

4ika tidak, naikan 1 nilai bilangan danke langkah 2

n2 xn = x n

x


8/24

Algoritma Faktorisasi Fermat Lanj

8angkah 2 9ika , kemudian

merupakan bilangan prima dan eleai:

4ika tidak hitung

8angkah ; 9ika merupakan ebuahbilangan integer ( 4ika )

kemudian mempunyai faktor (5y) dan

(5*y) dan eleai: 9ika tidak naikan 1nilai bilangan dan ke langkah 2

2/)1( += n x

y

n x y −=2

n x y −= 22

x


9/24

Contoh Fermat

n ' 1;5" dimana : diperoleh nilai

Krn x bukan faktor dari n maka ambil

nilai 5 ' 11?@ lalu naikkan 1 nilai

bilangan x :

n x =

50,11581342127 == x


10/24

Contoh Fermat Lanjutan

8angkah 2

itung nilai 5 ' (n1)B2:

5 ' (1;


11/24

Contoh Fermat Lanj.

8angkah ;

itung hingga diperoleh nilai !y"

merupakan bilangan integer, dengan

menambahkan nilai 1 pada bilangan x .

maka diperoleh nilai ebagai berikut

n x y −= 2

11?D ;;,D711C0 ?@,D7

11C1 7C,11

11C2 D0,0D

11C; 102,1@

11C< 11;

x n x y −= 2


12/24

Contoh Fermat Lanj.

iperoleh nilai x ' 11C


13/24

Analisis

etode -ermat efektif menemukan x

dan y 4ika dua buah bilangan terebut

aling berdekatan. Akan tetapi, metode

ini tidak efektif bila dua buah bilangan xdan y tidak aling berdekatan.


14/24

O 3EOF


15/24

Metode i!on

3de daar metode ini adala menguraikan

bilangan inte4er bear bukan mencari

nilai x dan y yang menghailkan

namun mencari perbedaan kuadratmodulo bilangan yang diuraikan

atau

Karena membagi

22 y xn −=

),gcd( n y x + ),gcd( n y x −

n ))((22 y x y x y x −+=−


16/24

Algoritma i!on1. 3dentifikai factor base, yang merupakan

+*number

2. =ari bilangan*bilangan inte4er poitif

merupakan

;. $roduk dari menghailkan


17/24

Algoritma i!on Lanj.

Definisi Least Absolute Residue

&uatu bilangan b mrpkn least absolute residue

dr a modulu n, dmn n adl bil gan4il 4k

a ≡ b (mod n) dan 6(n*1)B2 G b G (n*1)B2* etode i5on mHcoba menemukan x dan y dg

menggunakan factor base:

* -actor +ae

“Suatu factor base merupakan himpunan

bilangan prima yang berbeda

kecuali dapat berupa -1”

},...,,{ 21 h p p p B =

1 p


18/24

Algoritma i!on Lanj.

Definisi B-number (B-smooth)

merupakan B-number 4ika t

adalah least absolute residue modulu n,

dan dimana B'I p1, p2, J, ph adalah factor

base d an ≥ 0, untuk etiap i

)(mod2 nt b ≡

∏==h

i

i i pt 1

α

iα


19/24

"om#leksitas


20/24

Contoh Algoritma i!on

Akan dilakukan percobaan memfaktorkan

F'@


21/24

Contoh Algoritma i!onLanj.?1;2 ' @


22/24

Contoh Algoritma i!onLanj. 8angkah <

$roduk dari yang berelai dengan

produk terebut menghailkan

207122 mod @


23/24

Analisis

ingkat keukean metode i5on

angat tergantung pada pencarian bi

dengan leat abolute reidue dari

mod n2ib


24/24

Re$erensi

athematic =ipher, && =outinho.1DD@

-actoriLation and $rimality eting,

aMid .+reoud. 1D@@

eori dan Aplikai Kriptografi, &entot

Kromodimed4o. 2010

Nikipedia,

i5onPfactoriLationPmethod.htm

dokumen.tips fermat dan dixon

Documents