f(b) f(a) f '(c) ba · ន ន គមន prepared by lim phalkun page 4 ˇ ˆ ន ន -...
TRANSCRIPT
f (b) f (a)f '(c)b a−
=−
i
គណះកមករនរនរន រៀ រ
លមផលររនអសណ
គណះកមកររនរនៀ យបក ស
លក យ ង ា
លកលម រ
លកែសរនសនដ
គណះកមកររនរនអកយអកន
លកលមមនគសន
ក ន ក ទ
លកអសណរនលមផលរ
ii
អមមកក
សសមត អកសកសោាសសឡាស រាបា
េសៀវេា ដ ា កៃរអរគមរកា កងា១២ែដលេលកអកកក ព ែតតរស រេរនា
ខ ពកបោបរេនៀាៀកេឡើសរាសោពកសឯកសនសរាសអកសកែដលររា
ាកណៀសយលសដ អកេមេនៀរេរនឲតរសនតៀតសសលសស ា
ាេកព េសៀវេេរនាេយើខ ពកបរសេងាេមេនៀរាអមសមយយឧទនណរ ណកនាា
ែដលៀឲអកសកកយយលសារា ាសៀឆកាេទើយមឧ ក ររលក តសា
អរពវតររសរាសអកសកទកតសេហនាសយេហយខ សរឯា
ា េយើខ ពកសមមាេសៀវេមយកតលេរនារៀៀលនមល សរវា
ណករតារាវ ធសាសថកពតនេហនាសយលក តសេលើនកេដន េវៃរអរពណមររា
ាៀកេពនេលកអកសកសពកជរេឡើយាា
ា សោាប ាសខ ពកបោសមរនៀកេពនេលកអកាសមររសពខាលា
ររសជសសៃវារាោោលបរេសណ នយកព ណាសានកៀាា
ា
ា
បាត ដបងៃថទ០៥ កកដ ឆា ដ២០១២
អាកនពន នប រសវស
លមផលរ Tel :017 768 246 Email: [email protected] Website: www.mathtoday.wordpress.com
iii
មនក ឿ
ដពរ
ជកា១
េដន េវៃរអរពណមររ ០01
១-េរ ទេសងនអនគមន ាបត ដមម ០01
២-េរ ទេសងនអនគមន ណា កត 005
៣-េរ ទេសងនអនគមន ាទេេា 006
៤-េរ ទេសងនអនគមនអ សបបតែសយ 011
៥-េរ ទេសងនអនគមនេលេរ ទាេនែព 013
៦-េរ ទេសយដដត ខសត 016
៧-េរ ទេសងនអនគមនអដពពទសទា 019
ជកា២
តនអរពវតររេដន េវៃរអរពណមររ 021
១-េរអនសាានកាបេរគណាងមពរ 021
iv
២-េយបន នប សដងនយណ 022
៣-ឌទេផរ បបតែសយ 024
៤-សសមភពកដេ ណ ននកដាត 025
៥-ទសាទរ បយ 030
៦-ទសាទាងមពមមម 033
៧-អនសាានកាបេស ក 035
ជកា៣
ា អេនាារាតាៃរអរពណមររ 037
១-សកអនគមនសននន 037
ក/សកអនគមន 2ax bx cypx q+ +
=+
037
/សកអនគមន 2
2ax bx cypx qx r
+ +=
+ + 056
២-សកអនគមនអសននន 081
ក/សកអនគមន y ax b= + 081
/សកអនគមន 2y ax bx c= + + 086
៣-សកអនគមនអ សបបតែសយ 096
៤-សកអនគមនេលេរ ទាេនែព 107
v
ជកា៤
លហងមរដ ណះរា 112
ជកា៥
លហងអរករ 164
ឯកា េ 195
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 1
ជពកទ១
េដរេវៃនអនគមន ១-េដរេវៃនអនគមនរតងចណចមយ
ក/នក/នក/នក/នយមនយយមនយយមនយយមនយ ៖
េដរេវរតងចណច 0x ៃនអនគមន y f (x)==== (េបមន) ជលមតៃន
ផលេធៀបកេណ ន yx
∆∆∆∆∆∆∆∆
កលណ x∆∆∆∆ ខតេទជត 0 ។
េគកណតសរេសរ ៖
0 0 00
x 0 x x h 000
f (x) f (x ) f (x h) f (x )yf '(x ) lim lim lim
x x x h∆ → → →∆ → → →∆ → → →∆ → → →
− + −− + −− + −− + −∆∆∆∆= = == = == = == = =∆ −∆ −∆ −∆ −
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ រកេដរេវរតង 0x 2==== ៃនអនគមន 3y x====
េគបន 3
h 0 h 0
f (2 h) f (2) (2 h) 8f '(2) lim lim
h h→ →→ →→ →→ →
+ − + −+ − + −+ − + −+ − + −= == == == =
2
h 0
2
h 0
(2 h 2)[(2 h) 2(2 h) 4]lim
h
lim(h 6h 12) 12
→→→→
→→→→
+ − + + + ++ − + + + ++ − + + + ++ − + + + +====
= + + == + + == + + == + + =
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 2
ខ/ភពមនេដរេវខ/ភពមនេដរេវខ/ភពមនេដរេវខ/ភពមនេដរេវ ៖
អនគមន f មនេដរេវរតងចណច 0x x==== លះរតែត ៖
-អនគមន f ជបរតងចណច 0x x====
-េដរេវខងេឆវង នង េដរេវខងសត េសមគន គ 0 0f ' (x ) f ' (x )− +− +− +− +====
ែដល 0 00
h 0
f (x h) f (x )f ' (x ) lim
h−−−−→→→→ −−−−
+ −+ −+ −+ −====
នង 0 00
h 0
f (x h) f (x )f ' (x ) lim
h++++→→→→ ++++
+ −+ −+ −+ −==== ។
ឧទហរណ េគមនអនគមន 2x px q x 1
f (x)3x 4 x 1
+ + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤==== + >+ >+ >+ >
ebIebIebIebIebIebIebIebI
កណតពរចននពត p នងq េដមបឲយ f មនេដរេវរតង x 1==== ។
េគរតវឲយ f ជបរតង x 1==== គ x 1 x 1lim f (x) lim f (x)→ →→ →→ →→ →− +− +− +− +
====
េគបន 2
x 1 x 1lim (x px q) lim (3x 4)→ →→ →→ →→ →− +− +− +− +
+ + = ++ + = ++ + = ++ + = +
1 p q 7+ + =+ + =+ + =+ + = ឬ q 6 p (1)= −= −= −= −
នងេគរតវឲយ f ' (1) f ' (1)− +− +− +− +==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 3
េគមន h 0
f (1 h) f (1)f ' (1) lim
h−−−−→→→→ −−−−
+ −+ −+ −+ −====
2
h 0
2
h 0
2
h 0
h 0
(1 h) p(1 h) q (1 p q)lim
h
1 2h h p ph q 1 p qlim
h
h (2 p)hlim
h
lim (h 2 p) 2 p
→→→→
→→→→
→→→→
→→→→
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
+ + + + − + ++ + + + − + ++ + + + − + ++ + + + − + +====
+ + + + + − − −+ + + + + − − −+ + + + + − − −+ + + + + − − −====
+ ++ ++ ++ +====
= + + = += + + = += + + = += + + = +
េហយ h 0
f (1 h) f (1)f ' (1) lim
h++++→→→→ ++++
+ −+ −+ −+ −====
h 0
h 0
3(h 1) 4 (3 4)lim
h
3hlim 3
h
→→→→
→→→→
++++
++++
+ + − ++ + − ++ + − ++ + − +====
= == == == =
េហតេនះ 2 p 3+ =+ =+ =+ = េនះ p 1====
េហយតម(1) េគបន q 6 1 5= − == − == − == − = ។
ដចេនះ p 1 , q 5= == == == = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 4
លហតអនវតតន
១-េគឲយអនគមន f កណតេដយ 3 2f (x) x x 1= − += − += − += − +
េដយេរបនយមនយចរគណន f '(0) , f '( 1)−−−− នង f '(1) ។
២-េគមនអនគមនf កណតេដយ ៖
2
2
x ax 2 x 1f (x)
bx 4x 1 x 1
+ + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤==== + + >+ + >+ + >+ + >
ebIebIebIebIebIebIebIebI
កណតចននពត a នង b េដមបឲយអនគមន f មនេដរេវរតងx 1==== ។
៣-េគមនអនគមនf កណតេដយ ៖
asin x bcos x 1 x
2f (x)bsin x acos x 3 x
2
ππππ + + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤==== ππππ − + >− + >− + >− + >
ebIebIebIebI
ebIebIebIebI
កណតចននពត a នង b េដមបឲយអនគមន f មនេដរេវរតងx
2ππππ==== ។
៤-េគមនអនគមនf កណតេដយ f (x) sin x cos x 1= − += − += − += − + ។
េដយេរបនយមនយគណន f '( )4ππππ−−−− នង f '( )
4ππππ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 5
២-េដរេវៃនអនគមនបណត ក
េប y f (u)==== នង u g(x)==== េនះេគបន ៖
dy dy duy '
dx du dx= = ×= = ×= = ×= = × ឬ [[[[ ]]]]d
f u(x) f '(u) u '(x)dx
= ×= ×= ×= × ។
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក ៖
តង [[[[ ]]]]F(x) f g(x)==== េដយេរបភពមនេដរេវរតង 0x x====
េគរតវបងហ ញថ [[[[ ]]]]0 0 0F'(x ) f ' g(x ) g '(x )= ×= ×= ×= × ។
តមនយមនយេគបន ៖
00
x x 00
F(x) F(x )F '(x ) lim
x x→→→→
−−−−====−−−−
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
0
x x 0
0 0
x x 0 0
0 0
x x x x0 0
0 0
0
0
0 0
f g(x) f g(x )lim
x x
f g(x) f g(x ) g(x) g(x )lim
g(x) g(x ) x x
f g(x) g(x ) g(x) g(x )lim lim
g(x) g(x ) x x
f ' g(x ) g '(x )
→→→→
→→→→
→ →→ →→ →→ →
−−−−====
−−−−
−−−− −−−−= ×= ×= ×= ×− −− −− −− −
−−−− −−−−= ×= ×= ×= ×− −− −− −− −
= ×= ×= ×= ×
ដចេនះ [[[[ ]]]]0 0 0F'(x ) f ' g(x ) g '(x )= ×= ×= ×= × ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 6
ឧទហរណ គណនេដរេវៃនអនគមន 3x 1
yx 1
−−−− ==== ++++
តង x 1u
x 1−−−−====++++
េនះ 3y u====
េគបន 2 2
du (x 1)'(x 1) (x 1)'(x 1) 2dx (x 1) (x 1)
− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −= == == == =+ ++ ++ ++ +
េហយ 2dy3u
du==== ។ តមរបមនត dy dy du
y 'dx du dx
= = ×= = ×= = ×= = ×
េគបន 2
22 4
dy 2 6(x 1)y ' 3u .
dx (x 1) (x 1)
−−−−= = == = == = == = =+ ++ ++ ++ +
។
៣-េដរេវៃនអនគមនរតេកណមរត
ក/េដរេវៃនអនគមនសនស នង កសនស
េប y sin x==== េនះ y ' cos x====
េប y cos x==== េនះ y ' sin x= −= −= −= −
េប y sin u==== េនះ y ' u 'cosu====
េប y cosu==== េនះ y ' u 'sin u= −= −= −= −
ែដល u u(x)==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 7
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក ៖
តង f (x) sin x====
េគបន h 0
f (x h) f (x)f '(x) lim
h→→→→
+ −+ −+ −+ −====
h 0
h 0
h 0 h 0
sin(x h) sin xlim
hh h
2sin cos(x )2 2lim
hh
sin h2lim lim cos(x )h 22
1 cos x cos x
→→→→
→→→→
→ →→ →→ →→ →
+ −+ −+ −+ −====
++++====
= × += × += × += × +
= × == × == × == × =
ដចេនះ f (x) sin x==== េនះ f '(x) cos x==== ។
មយងេទៀត y sin u sin u(x)= == == == =
េគបន dy dy duy ' cosu u ' u 'cosu
dx du dx= = × = × == = × = × == = × = × == = × = × = ។
ដចេនះ y sin u==== េនះ y ' u 'cosu==== ។
( ចេពះេដរេវអនគមនកសនស េគរសយដចខងេលែដរ ) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 8
ខ/េដរេវៃនអនគមនតងសង នង កតងសង
េប y tanx==== េនះ 22
1y ' 1 tan x
cos x= = += = += = += = +
េប y cot x==== េនះ 22
1y ' (1 cot x)
sin x= − = − += − = − += − = − += − = − +
េប y tanu==== េនះ 22
u'y ' u '(1 tan u)
cos u= = += = += = += = +
េប y cotu==== េនះ 22
u'y ' u '(1 cot u)
sin u= − = − += − = − += − = − += − = − +
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក ៖
េគមន sin xy tan x
cos x= == == == = េនះេគបន ៖
2
2 2
2
22
(sin x)'cos x (cos x)'sin xy '
cos x
cos x sin x
cos x1
1 tan xcos x
−−−−====
++++====
= = += = += = += = +
ដចេនះេប y tanx==== េនះ 22
1y ' 1 tan x
cos x= = += = += = += = + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 9
េគមន cos xy cot x
sin x= == == == = េនះេគបន ៖
2
2 2
2
22
(cos x)'sin x (sin x)'cos xy '
sin x
sin x cos x
sin x1
(1 cot x)sin x
−−−−====
− −− −− −− −====
= − = − += − = − += − = − += − = − +
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ រកេដរេវៃនអនគមន sin xy
1 cos x====
++++
េគបន 2
(sin x) '(1 cos x) (1 cos x)'sin xy '
(1 cos x)
+ − ++ − ++ − ++ − +====++++
2
2
2 2
2
2
cos x(1 cos x) sin x
(1 cos x)
cos x cos x sin x
(1 cos x)
cos x 1 11 cos x(1 cos x)
+ ++ ++ ++ +====++++
+ ++ ++ ++ +====++++
++++= == == == =++++++++
ដចេនះ 1y '
1 cos x====
++++ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 10
លហតអនវតតន
ចរគណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖
1/ 3y 3cos x cos x= −= −= −= − 2/ 3y sin xcos 3x====
3/ 4y sin 4xcos x==== 4/ sin xy
1 sin x====
++++
5/ cos xy
1 cos x====
−−−− 6/ sin x cos x
ysin x cos x
−−−−====++++
7/ 1 tan xy
1 tan x−−−−====++++
8/ 2 31 1y tan x tan x
2 3= += += += +
9/ y x cot x= −= −= −= − 10/ 4y cot x====
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 11
៤-េដរេវៃនអនគមនអចសប ណងែសយល
េប xy e==== េនះ xy ' e====
េប xy a==== េនះ xy ' a lna , a 0 ,a 1= > ≠= > ≠= > ≠= > ≠
េប uy e==== េនះ uy ' u 'e====
េប uy a==== េនះ uy ' u'.a lna====
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក ៖
តង xf (x) e==== េនះតមនយមនយេគបន ៖
x h x
h 0 h 0
f (x h) f (x) e ef '(x) lim lim
h h
++++
→ →→ →→ →→ →
+ − −+ − −+ − −+ − −= == == == =
h
x x
h 0
e 1lim .e e
h→→→→
−−−−= == == == = េរពះ h
h 0
e 1lim 1
h→→→→
−−−− ==== ។
ដចេនះ េប xy e==== េនះ xy ' e==== ។
មយងេទៀតេយងតង x lna xlnaxg(x) a e e= = == = == = == = =
េគបន xlna xlna xg'(x) (x lna)'.e lna .e a lna= = == = == = == = =
ដចេនះ េប xy a==== េនះ xy ' a lna , a 0 ,a 1= > ≠= > ≠= > ≠= > ≠ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 12
ឧទហរណ១ គណនេដរេវៃនអនគមន x x
x x
e ey
e e
−−−−
−−−−−−−−====++++
េគបន x x x x x x x x
x x 2
(e e )'(e e ) (e e )'(e e )y '
(e e )
− − − −− − − −− − − −− − − −
−−−−− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −====
++++
x x 2 x x 2
x x 2
2x 2x 2x 2x
x x 2
x x 2
(e e ) (e e )
(e e )
e 2 e e 2 e
(e e )
4
(e e )
− −− −− −− −
−−−−
− −− −− −− −
−−−−
−−−−
+ − −+ − −+ − −+ − −====++++
+ + − + −+ + − + −+ + − + −+ + − + −====++++
====++++
ដចេនះ x x 2
4y '
(e e )−−−−====++++
។
ឧទហរណ២ គណនេដរេវៃនអនគមន 3sinx sin x3y e −−−−====
េគបន 3 3sinx sin x3y ' (3sin x sin x)'e −−−−= −= −= −= −
2 3sinx sin x
2 3sinx sin x
3 3sin x sin x
3
3
3
(3cos x 3cos xsin x)e
3cos x(1 sin x)e
3cos xe
−−−−
−−−−
−−−−
= −= −= −= −
= −= −= −= −
====
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 13
៥-េដរេវៃនអនកមនេលករតេនែព
េប y ln x==== េនះ 1y '
x====
េប y ln(ax b)= += += += + េនះ ay '
ax b====
++++
េប y lnu==== េនះ u 'y '
u====
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក ៖
តង f (x) ln x==== េនះ f (x h) ln(x h)+ = ++ = ++ = ++ = +
តមនយមនយ h 0
f (x h) f (x)f '(x) lim
h→→→→
+ −+ −+ −+ −====
h 0
h 0
h 0
ln(x h) ln xlim
hx h
ln( )xlim
hh
ln(1 ) 1 1xlimh x xx
→→→→
→→→→
→→→→
+ −+ −+ −+ −====
++++
====
++++= × == × == × == × =
ដចេនះេប f (x) ln x==== េនះ 1f '(x)
x==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 14
ឧទហរណ១ គណនេដរេវៃនអនគមន 1 ln xy
1 ln x−−−−====++++
េគបន 2
(1 ln x) '(1 ln x) (1 ln x)'(1 ln x)y '
(1 ln x)
− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −====−−−−
2 2
1 1(1 ln x) (1 ln x) 2x x
(1 ln x) x(1 ln x)
− + − −− + − −− + − −− + − −= = −= = −= = −= = −
+ ++ ++ ++ +
ដចេនះ 2
2y '
x(1 ln x)= −= −= −= −
++++ ។
ឧទហរណ២ គណនេដរេវៃនអនគមន 2y ln(x 1 x )= + += + += + += + +
េគបន 2
2
(x 1 x )'y '
x 1 x
+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +
2
2 2
2 2
2
2 2 2
(1 x )' 2x1 1
2 1 x 2 1 x
x 1 x x 1 x
1 x x 1
(x 1 x ) 1 x 1 x
+++++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ += == == == =
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
+ ++ ++ ++ += == == == =+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
ដចេនះ 2
1y '
1 x====
++++ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 15
លហតអនវតតន
គណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖
1/ x
x
e 1y
e 1
−−−−====++++
2/ 2 xy (x x 1)e−−−−= − += − += − += − +
3/ x2y e−−−−==== 4/ 3 2xy x e====
5/ 2 xy (x x)e= −= −= −= − 6/ 2x 2xe e
y2
−−−−−−−−====
៣-គណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖
1/ x ln xy
x++++==== 2/ 2
ln xy
x====
3/ y 1 x x ln x= − += − += − += − + 4/ x 1y ln
x 1−−−−====++++
5/ 2y ln(x 4x 3)= − += − += − += − + 6/ 2y ln(x x 4)= + += + += + += + +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 16
៦-េដរេវលដបខពស
ក/េដរេវទ2ៃនអនគមន
េដរេវទពរៃនអនគមន y f (x)==== កណតតងេដយ y '' f ''(x)====
ឬកណតតងេដយ 2
2
d yf ''(x)
dx==== ។
ឧទហរណ១ េគឲយអនគមន y ln x==== ។ គណន 2
2
d y
dx ?
េគមន dy 1y ' (ln x)'
dx x= = == = == = == = =
េហយ 2
2 2
d y 1 1(y ') ' '
xdx x = = = −= = = −= = = −= = = −
។
ឧទហរណ២ េគឲយអនគមន y sin x==== ។ គណន 2
2
d y
dx ?
េគបន dyy ' (sin x)' cos x
dx= = == = == = == = =
េហយ 2
2
d y(y ') ' (cos x)' sin x
dx= = = −= = = −= = = −= = = − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 17
ខ/េដរេវលដបខពស
េដរេវៃនអនគមន y f (x)==== អចមនេដរេវខលនឯងបនតបនទ បេទៀត ។
េគេហេដរេវបនតបនទ បថ េដរេវទ1 , េដរេវទ2,…….,េដរេវទn
ែដលេគកណតតងេដយ (n)y ' , y '' , ...., y ។
ឧទហរណ គណនេដរេវទ n ៃនអនគមន y sin x==== ?
េគបន y ' (sin x)' cos x sin( x)2ππππ= = = += = = += = = += = = +
y '' (sin( x)) ' cos( x) sin( x)2 2
3y ''' (sin( x)) ' cos( x) sin( x)
2
π ππ ππ ππ π= + = + = π += + = + = π += + = + = π += + = + = π +
ππππ= π + = π + = += π + = π + = += π + = π + = += π + = π + = +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
ឧបមថ (n) ny sin( x)
2ππππ= += += += + ពត
េយងបន (((( ))))(n 1) (n) n (n 1)y y ' cos( x) sin x
2 2++++ π + ππ + ππ + ππ + π = = + = += = + = += = + = += = + = +
ពត
ដចេនះ (n) ny sin( x)
2ππππ= += += += + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 18
លហតអនវតតន
១-េគឲយអនគមន f កណតេដយ y f (x) cos x= == == == =
ចររសយថេដរេវទn ៃនអនគមនកណតេដយ (n) ny cos(x )
2ππππ= += += += +
២-ចរគណនេដរេវទ n ៃនអនគមនខងេរកម ៖
1/ y ln x==== 2/ 2xy e====
3/ 1y
x 1====
++++ 4/ 2y sin x====
5/ 1 1y
x x 1= += += += +
−−−− 6/ 2x 3
y(x 1)(x 2)
++++====+ ++ ++ ++ +
៣-េគឲយអនគមន m ny (x ) (x )= − α − β= − α − β= − α − β= − α − β ែដល m ,n IN ,∈ α ≠ β∈ α ≠ β∈ α ≠ β∈ α ≠ β
ក/ ចររសយថ x − α− α− α− α ែចកដច (m 1)y −−−−
ខ/ តង GCD(m,n) d==== ។
េត(x )(x )− α − β− α − β− α − β− α − β ែចកដច (d 1)y −−−− ឬេទ ?
៤-េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2 5f (x) (x 3x 1)= − += − += − += − + ។
ចរគណន f ''(0) រចទញរកេលខេមគណមខត 2x ៃនអនគមនf ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 19
៧-េដរេវៃនអនគមនអពលសត
ក/ នយមនយ
អនគមនអពលសត គជអនគមនែដលបញជ កពទនកទនងមយ
បេពញលកខខណឌ រមគន ។
ឧទហរណ 2 2
2 2 2 2 22 2
x yx y a , 1 , x xy y 3 , ....
a b+ = + = + + =+ = + = + + =+ = + = + + =+ = + = + + =
សទឋែតជអនគមនអពលសត ។
ខ/ឧទហរណគរ
គណន y ' េដយដងថ 2 2ax bxy cy d+ + =+ + =+ + =+ + = ។
េគបន 2 2(ax bxy cy )' (d) '+ + =+ + =+ + =+ + =
2ax by bxy ' 2cyy ' 0
(bx 2cy)y ' (2ax by)
+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =+ = − ++ = − ++ = − ++ = − +
េគទញបន 2ax byy '
bx 2cy++++= −= −= −= −
++++ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 20
លហតអនវតតន
១-គណន dyy '
dx==== ជអនគមន x នង yកនងករណនមយៗខងេរកម
ក/ 2 2 2x y r+ =+ =+ =+ = ខ/ 2 2
2 2
x y1
a b+ =+ =+ =+ =
គ/ 2(y k) 4p(x h)− = −− = −− = −− = − ឃ/ 2 2 23 3 3x y a+ =+ =+ =+ =
ង/ 2 2
2 2
(x h) (y k)1
a b
− −− −− −− −+ =+ =+ =+ = ច/ 3 3x y 3xy 1+ = ++ = ++ = ++ = +
ឆ/ sin(xy) sin x sin y= += += += + ជ/ 2 2x 4xy 3y 5− + =− + =− + =− + =
ឈ/ y xx y==== ញ/ x y xye e e 2+ = ++ = ++ = ++ = +
២-ចរគណន 2
2
d yy ''
dx==== ជអនគមន x , y , y ' រចជអនគមនៃនx, y
កនងករណនមយៗខងេរកម ៖
ក/ 2 2x xy y 4− + =− + =− + =− + = ខ/ 3 3x y 6xy 1+ = ++ = ++ = ++ = +
គ/ 1 1xy
x y+ =+ =+ =+ = ឃ/ 2 2x 3xy y 9− + =− + =− + =− + =
ច/ 3 2xy y x 4+ = ++ = ++ = ++ = + ឆ/ 2 2x 3xy 2y 0− + =− + =− + =− + =
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 21
ជពកទ២
អនវតតនេដរេវៃនអនគមន ១-អនវតតនកនងករគណនតៃមលបរម
សនមតថ f ជអនគមនមនេដរេវទពរេលចេនល ះមយែដលមន 0x ។
អតបរមេធៀប ៖
អនគមន f មនអតបរមេធៀបរតង 0x កលណ 0
0
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
==== <<<<
អបបបរមេធៀប ៖
អនគមន f មនអតបរមេធៀបរតង 0x កលណ 0
0
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
==== >>>>
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 22
២-េលបឿន នង សទះៃនចលន
ក/េលបឿនៃនចលន
េលបឿនៃនចលនមយេនខណះ t គ dSV '(t) S '(t)
dt= == == == =
ែដល S S(t)==== ជចមង យចរេនខណះ t ។
ឧទហរណ ឧទហរណ ឧទហរណ ឧទហរណ ទកមយចបេផតមេចញដេណ រពចណចរតតពនតយែដល
ខណះ t នទេរកយមកទកេនះមនចមង យពចណចរតតពនតយ
ែដលតងេដយអនគមន 3S(t) t 60t= += += += + (គតជែមរត)
ក/រកេលបឿនទករតងចណចចបេផតម ។
ខ/កណតេលបឿនៃនទកេនខណះ t 3==== នទ ។
ដេណះរសយដេណះរសយដេណះរសយដេណះរសយ
ក/រកេលបឿនទករតងចណចចបេផតម ៖
េគបន t គ 2dSV '(t) S '(t) 3t 60
dt= = = += = = += = = += = = +
េប t 0==== េនះ 2V '(0) 3(0) 60 60m / mn= + == + == + == + = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 23
ខ/កណតេលបឿនៃនទកេនខណះ t 3==== នទ ៖
េប t 3mn==== េនះ 2V '(3) 3(3) 60 27 60 87m / mn= + = + == + = + == + = + == + = + = ។
ខ/សទះៃនចលន
សទះៃនចលនមយេនខណះ t គ dVa'(t) V '(t)
dt= == == == =
ែដល V V(t)==== ជេលបឿនៃនចលនេនខណះ t ។
ឧទហរណ ឧទហរណ ឧទហរណ ឧទហរណ រថយនតមយចបេផតមេចញដេណ រេដយេលបឿនែដលតង
េដយអនគមន 100tV(t) (m / s)
t 15====
++++
កណតសទះៃនរថយនតេនខណះ t 10s==== ?
ដេណះរសយដេណះរសយដេណះរសយដេណះរសយ
េគបន dVa(t) V '(t)
dt= == == == = េដយ 100t
V(t) (m / s)t 15
====++++
េនះ 2 2
100(t 15) 100t 1500a(t)
(t 15) (t 15)
+ −+ −+ −+ −= == == == =+ ++ ++ ++ +
េប t 10s==== េនះ 22
1500 1500a(10) 2.4 m / s
625(10 15)= = == = == = == = =
++++ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 24
៣-ឌេផរងែសយល
នយមនយ ៖
េបអនគមន y f (x)==== មនេដរេវេនះឌេផរងែសយលកណតេដយ
dy f '(x).dx==== ។
កលណតៃមល x∆∆∆∆ កនែតតចេនះ dy អចជតៃមលរបែហលៃន y∆∆∆∆
េគបន f (x x) f (x) y f (x) dy f (x) f '(x). x+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆ ។
ឧទហរណ ចរគណនតៃមលរបែហលៃន otan 46 ?
តងអនគមន f (x) tan x====
យក ox 45==== នង ox 1∆ =∆ =∆ =∆ = េនះេគបន ៖
o o of (46 ) f (45 ) f '(45 ). x= + ∆= + ∆= + ∆= + ∆
េដយ 22
1f '(x) (tan x)' 1 tan x
cos x= = = += = = += = = += = = + េនះ of '(45 ) 2====
េគបន o 3.14f (46 ) 1 2 1.035
180= + × == + × == + × == + × = ។
ដចេនះ otan 46 1.035==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 25
៤-វសមភពកេណ នមនកណត
រទសតបទទ១
េគឲយ f ជអនគមនកណត នង ជប េហយមនេដរេវេលចេនល ះ I ។
េបមនពរចននពត m នង M ែដលរគប x I : m f '(x) M∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤
េនះរគបចននពត a,b I∈∈∈∈ ែដល a b<<<< េគបន ៖
m(b a) f (b) f (a) M (b a)− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ។
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក
តងអនគមន g ែដល g(x) f (x) mx= −= −= −= − មនេដរេវេល I
េគបន g '(x) f '(x) m 0= − ≥= − ≥= − ≥= − ≥ រគប x I∈∈∈∈ េរពះ f '(x) m≥≥≥≥ ។
េនះ g ជអនគមនេកនេលចេនល ះ I ។
ចេពះរគបចននពត a,b I∈∈∈∈ ែដល a b<<<< េគបន g(a) g(b)≤≤≤≤
ឬ f (a) ma f (b) mb− ≤ −− ≤ −− ≤ −− ≤ − េនះ f (b) f (a) m(b a) (i)− ≥ −− ≥ −− ≥ −− ≥ −
តងអនគមន h ែដល h(x) f (x) Mx= −= −= −= − មនេដរេវេល I
េគបន h '(x) f '(x) M 0= − ≤= − ≤= − ≤= − ≤ រគប x I∈∈∈∈ េរពះ f '(x) M≤≤≤≤ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 26
េនះ h ជអនគមនចះេលចេនល ះ I ។
ចេពះរគបចននពត a,b I∈∈∈∈ ែដល a b<<<< េគបន h(a) h(b)≥≥≥≥
ឬ f (a) Ma f (b) Mb− ≥ −− ≥ −− ≥ −− ≥ − េនះ f (b) f (a) M(b a) (ii)− ≤ −− ≤ −− ≤ −− ≤ −
តមទនកទនង (i) & (ii) េគបន ៖
m(b a) f (b) f (a) M (b a)− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ។
ឧទហរណ េគឲយអនគមន f កណតេដយ ៖
2f (x) (2k 1)x k (2k 1)n= + + − += + + − += + + − += + + − + ែដល k 0 , n 0> >> >> >> > ។
ក/កណតតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + ។
ខ/ បញជ កថចេពះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + េគបន ៖
2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k
2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +++++
ដេណះរសយ ដេណះរសយ ដេណះរសយ ដេណះរសយ
ក/កណតតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ +
េគមន 2
2k 1 2k 1f '(x)
2f (x)2 (2k 1)x k (2k 1)n
+ ++ ++ ++ += == == == =+ + − ++ + − ++ + − ++ + − +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 27
េដយ 2f (n) (2k 1)n k (2k 1)n k= + + − + == + + − + == + + − + == + + − + =
េហយ 2f (n 1) (2k 1)(n 1) k (2k 1)n k 1+ = + + + − + = ++ = + + + − + = ++ = + + + − + = ++ = + + + − + = +
េនះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + េគបន 2k 1 2k 1f '(x)
2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++
។
ខ/ បញជ កថចេពះរគប x [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + េគបន ៖
2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k
2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +++++
តមសរមយខងេលចេពះរគបx [n ,n 1]∈ +∈ +∈ +∈ + េគមន ៖
2k 1 2k 1f '(x)
2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++
។ តមវសមភពកេណ នមនកណត
ចេពះ x n≥≥≥≥ េគបន ៖
2k 1 2k 1(x n) f (x) f (n) (x n)
2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −++++
េដយ f (n) k====
ដចេនះ 2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k
2(k 1) 2k+ ++ ++ ++ +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +− + ≤ ≤ − +++++
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 28
រទសតបទទ២
េគឲយ f ជអនគមន មនេដរេវេលចេនល ះ [a ,b]។
េបមនពរចននពត M ែដលរគប x [a,b] : | f '(x) | M∈ ≤∈ ≤∈ ≤∈ ≤
េនះេគបន | f (b) f (a) | M. | b a |− ≤ −− ≤ −− ≤ −− ≤ − ។
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក
េគមនរគប x [a,b] : | f '(x) | M∈ ≤∈ ≤∈ ≤∈ ≤
េនះេគទញ M f '(x) M− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤
តមវសមភពកេណ នមនកណតេគបន ៖
ចេពះ a b<<<< េគបន M(b a) f (b) f (a) M(b a) (1)− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −
ចេពះ a b>>>> េគបន M(a b) f (a) f (b) M(a b) (2)− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −− − ≤ − ≤ −
តម(1)នង(2)េគបន | f (b) f (a) | M. | b a |− ≤ −− ≤ −− ≤ −− ≤ − ។
ដចេនះរទសតបទរតវបនរសយបញជ ក ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 29
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) sin x==== ។
ចេពះរគប , IRα β ∈α β ∈α β ∈α β ∈ បងហ ញថ | sin sin | | |α − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − β ?
េគមន f (x) sin x==== េនះ f '(x) cos x====
ចេពះរគប x IR∈∈∈∈ េគមន 1 cos x 1− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤ េនះ | f (x) | 1≤≤≤≤
ដចេនះរគប , IRα β ∈α β ∈α β ∈α β ∈ េគបន | sin sin | | |α − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − β ។
លហតអនវតតន
១-េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) 5x 1= −= −= −= −
ក/កណតតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [1,2]∈∈∈∈ ។
ខ/ បញជ កថចេពះរគប x [1,2]∈∈∈∈ េគបន ៖
5x 7 5x 3f (x)
6 6 4 4+ ≤ ≤ ++ ≤ ≤ ++ ≤ ≤ ++ ≤ ≤ + ។
២-េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) cos x==== ។
ចេពះរគប , IRα β ∈α β ∈α β ∈α β ∈ បងហ ញថ | cos cos | | |α − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − βα − β ≤ α − β ?
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 30
៥-រទសតបទរ ល
េប f ជអនគមនជបេលចេនល ះ [[[[ ]]]]a ,b មនេដរេវេលចេនល ះ(((( ))))a ,b
នង f (a) f (b)==== េនះមនចនន c (a ,b)∈∈∈∈ យងតចែដល f '(c) 0==== ។
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក ៖
េគតង f (a) f (b)= = λ= = λ= = λ= = λ
-ករណទ១ េប f (x) = λ= λ= λ= λ រគប x [a,b]∈∈∈∈ េនះ f ជអនគមនេថរេល
ចេនល ះ [[[[ ]]]]a ,b នង f '(x) 0==== រគប (((( ))))x a,b∈∈∈∈ ។
-ករណទ២ េប f (x) > λ> λ> λ> λ រគប [[[[ ]]]]x a,b∈∈∈∈ េនះ f មនតៃមលអតបរម
យងតចមយរតង x c==== េដយ f មនេដរេវរតង x c==== េនះ f '(c) 0====
-ករណទ៣ េប f (x) < λ< λ< λ< λ រគប [[[[ ]]]]x a,b∈∈∈∈ េនះ f មនតៃមលអបបបរម
យងតចមយរតង x c==== េដយ f មនេដរេវរតង x c==== េនះ f '(c) 0====
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 31
ឧទហរណ េគឲយអនគមន f កណតេដយ ៖
3 2f (x) x (a b c)x (ab bc ca)x abc= − + + + + + −= − + + + + + −= − + + + + + −= − + + + + + −
ែដល a,b,c IR∈∈∈∈ ។
ក/គណន f (a) នង f (b) រចទញថសមករ f '(x) មនឬសយងតច
មយេនចេនល ះចនន a នង b ។
ខ/ទញបញជ កវសមភព 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + + ។
ដេណះរសយ
ក/គណន f (a) នង f (b) ៖
េគបន 3 2f (a) a (a b c)a (ab bc ca)a abc 0= − + + + + + − == − + + + + + − == − + + + + + − == − + + + + + − =
3 2f (b) b (a b c)b (ab bc ca)b abc 0= − + + + + + − == − + + + + + − == − + + + + + − == − + + + + + − =
ដចេនះ f (a) f (b) 0= == == == = ។
ទញថសមករ f '(x) 0==== មនឬសយងតចមយេនចេនល ះ(a ,b) ៖ េដយ f ជអនគមនជបេល [[[[ ]]]]a,b នង មនេដរេវេល (a ,b)
េហយ f (a) f (b) 0= == == == = េនះតមរទសតបទរ លមន (a ,b)α ∈α ∈α ∈α ∈
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 32
ែដល f '( ) 0α =α =α =α = េនះមននយថសមករ f '(x) 0==== មនឬសយងតចមយេនចេនល ះ(a ,b) ។
ខ/ទញបញជ កវសមភព 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + +
េគមន 2f '(x) 3x 2(a b c)x (ab bc ca)= − + + + + += − + + + + += − + + + + += − + + + + +
េដយ f '(x) 0==== ជសមករមនឬសេនះ ' 0∆ ≥∆ ≥∆ ≥∆ ≥
ែត 2' (a b c) 3(ab bc ca)∆ = + + − + +∆ = + + − + +∆ = + + − + +∆ = + + − + +
ដចេនះ 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + ++ + ≥ + + ។
លហតអនវតតន
១-េគមនអនគមន f កណតេដយ 4 3f (x) x 2x 2x 4= − + += − + += − + += − + +
ក/គណន f ( 1)−−−− នង f (1) ។
ខ/បងហ ញថមន c ( 1,1)∈ −∈ −∈ −∈ − ែដល f '(c) 0==== ។
២-េគមនអនគមន f កណតេដយ 2f (x) x 10x 9= − += − += − += − +
ក/រកឬស αααα នង ββββ របសសមករ f (x) 0====
ខ/បងហ ញថមន c ( , )∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β ែដល f '(c) 0==== រចកណត c ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 33
៦-រទសតបទតៃមលមធយម(ឬរទសតបទ Lagrange)
េប f ជអនគមនជបេលចេនល ះ [[[[ ]]]]a ,b មនេដរេវេលចេនល ះ(((( ))))a ,b
េនះមនចនន c (a ,b)∈∈∈∈ យងតចមយែដល f (b) f (a)f '(c)
b a−−−−====−−−−
។
សរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ កសរមយបញជ ក ៖
យក g(x) f (b) f (x) (b x)= − − λ −= − − λ −= − − λ −= − − λ −
ែដល f (b) f (a)b a
−−−−λ =λ =λ =λ =−−−−
។
េនះ g ជអនគមនជបកនងចេនល ះ [[[[ ]]]]a,b នង មនេដរេវកនង(((( ))))a ,b
េហយេដយ g(a) g(b) 0= == == == = េនះតមរទសតបទរ លមន c (a,b)∈∈∈∈
មយយងតចែដល g '(c) 0==== ។ េដយ g '(c) f '(c)= − + λ= − + λ= − + λ= − + λ
េនះ f '(c) = λ= λ= λ= λ ។ ដចេនះ f (b) f (a)f '(c)
b a−−−−====−−−−
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 34
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ ចេពះរគបចននពតវជជមន αααα នង ββββ ែដល α < βα < βα < βα < β
ចររសយថ ln( )β − α β β − αβ − α β β − αβ − α β β − αβ − α β β − α< << << << <
β α αβ α αβ α αβ α α ។
តងអនគមន f (x) ln x==== ែដល x [ , ]∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β នង 0 < α < β< α < β< α < β< α < β
េគបន f ជអនគមនជបេល [[[[ ]]]],α βα βα βα β នង មនេដរេវេល ( , )α βα βα βα β
េនះតមរទសតបទតៃមលមធយមមន c ( , )∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β ែដល ៖
f ( ) f ( ) ln lnf '(c) (1)
β − α β − αβ − α β − αβ − α β − αβ − α β − α= == == == =β − α β − αβ − α β − αβ − α β − αβ − α β − α
េគមន 1f '(x) (ln x)'
x= == == == = េនះ 1
f '(c)c
====
ែត c ( , )∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β េនះ cα < < βα < < βα < < βα < < β ឬ 1 1 1c
< << << << <β αβ αβ αβ α
េគបន 1 1f '(c) (2)< << << << <
β αβ αβ αβ α
តម (1) នង (2) េគទញ 1 ln ln 1β − αβ − αβ − αβ − α< << << << <β β − α αβ β − α αβ β − α αβ β − α α
ដចេនះ ln( )β − α β β − αβ − α β β − αβ − α β β − αβ − α β β − α< << << << <
β α αβ α αβ α αβ α α ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 35
៧-អនវតតនេដរេវកនងេសដឋកចច
េយងតង C C(x)==== ជអនគមនចណយសរបកនងករផលតសមភ រះ
ចនន x េរគឿង , R R(x)==== ជអនគមនចណលសរបពករលកសមភ រះ
ចនន x េរគឿងនងP P(x) R(x) C(x)= = −= = −= = −= = − ជអនគមនរបកចេណញ
ពករលកសមភ រះចនន x េរគឿង ។
េគបន C'(x) េហថអនគមនៃនរបកចណយបែនថម
R '(x) េហថអនគមនៃនរបកចណលបែនថម
P '(x) េហថអនគមនៃនរបកចេណញបែនថម ។
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ េគឲយអនគមនរបកចណលសរបពករលកសមភ រះ x
េរគឿងនងអនគមនរបកចណយសរបេលករផលតសមភ រះ x កណតេរៀងគន េដយ R(x) 300x==== នង 2 3C(x) 1000 72x x= − += − += − += − + ។
ក/កណតអនគមនរបកចេណញសរប ។
ខ/កណតបរមណសមភ រះែដលរតវលកេដមបឲយេគទទលបនរបក
ចេណញអតបរម រចកណតរករបកចេណញអតបរមេនះ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 36
ដេណះរសយដេណះរសយដេណះរសយដេណះរសយ
ក/កណតអនគមនរបកចេណញសរប
តង P(x) ជអនគមនៃនរបកចេណញសរបពករលកសមភ រះ
េគបន 2 3P(x) R(x) C(x) 300x 1000 72x x= − = − + −= − = − + −= − = − + −= − = − + −
ដចេនះ 3 2P(x) x 72x 300x 1000= − + + −= − + + −= − + + −= − + + − ។
ខ/កណតបរមណសមភ រះែដលរតវលកេដមបឲយេគទទលបនរបក
ចេណញអតបរម រចកណតរករបកចេណញអតបរមេនះ ៖
េគមន 2P'(x) 3x 144x 300 3(x 50)(x 2)= − + + = − − += − + + = − − += − + + = − − += − + + = − − +
េប P '(x) 0==== េនះ 1 2x 50 , x 2= = −= = −= = −= = − (មនយក)
េគមន P ''(x) 6x 144= − += − += − += − + េនះ P ''(50) 300 144 0= − + <= − + <= − + <= − + <
េនះមននយថ P(x) មនអតបរមរតង x 50==== ។
ដចេនះេដមបបនរបកចេណញអតបរមេគរតវលកសមភ រះ 50ឯកត
េហយរបកចេណញអតបរមេនះគ ៖
maxP P(50) 69 ,000= == == == = ឯកតរបយវតថ ,
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 37
ជពកទ៣
សកសអេថរភព នង រកបៃនអនគមន
១-សកសអនគមនសនទន
ក/ សកសអនគមន 2ax bx c
ypx q
+ ++ ++ ++ +====++++
ែដល a 0 , p 0≠ ≠≠ ≠≠ ≠≠ ≠ នង 20 0ax bx c 0+ + ≠+ + ≠+ + ≠+ + ≠ រគប 0
qx
p= −= −= −= −
ែដនកណត ៖ qD IR
p= − −= − −= − −= − −
េដរេវ 2
2
apx 2aqx bq cpf '(x)
(px q)
+ + −+ + −+ + −+ + −====++++
-េប f '(x) 0==== គម នឬសេនះអនគមនគម នបរមេទ ។
-េប f '(x) 0==== មនឬសពរេផសងគន េនះអនគមនមនអតបរមមយ
នងអបបបរមមយ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 38
អសមតត ៖
-បនទ ត px
q= −= −= −= − ជអសតមតតឈរ ។
-េបអនគមនអចសរេសរ f (x) xpx q
γγγγ= α + β += α + β += α + β += α + β +++++
េនះបនទ ត
មនសមករ y x= α + β= α + β= α + β= α + β ជអសមតតេរទត ។
-ចណចរបសពវរវងអសមតតទងពរជផចតឆលះៃនរកប ។
-រកបមនរងទេទដចរបខងេរកម ៖
1/ករណ ap 0<<<< នង f '(x) 0==== គម នឬស
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 39
2/ករណ ap 0>>>> នង f '(x) 0==== គម នឬស
3/ករណ ap 0<<<< នង f '(x) 0==== មនឬសពរេផសងគន
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 40
4/ករណ ap 0>>>> នង f '(x) 0==== មនឬសពរេផសងគន
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ១១១១ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2x x 6
f (x)x 1− −− −− −− −====
−−−−
សកសអេថរភព នង សងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយ(o, i , j)→ →→ →→ →→ →
·ែដនកណត D IR 1 = −= −= −= −
·សរេសរជរងកណនក 2x x 6 x(x 1) 6 6
f (x) xx 1 x 1 x 1− − − −− − − −− − − −− − − −= = = −= = = −= = = −= = = −
− − −− − −− − −− − −
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 41
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2
6 6f '(x) (x )' 1 0
x 1 (x 1)= − = + >= − = + >= − = + >= − = + >
−−−− −−−− រគប x D∈∈∈∈
េនះ f ជអនគមនេកនជនចចេលែដនកណតរបសវ ។
-គណនលមត
x x
6lim f (x) lim (x )
x 1→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= − = +∞= − = +∞= − = +∞= − = +∞
−−−−
x x
6lim f (x) lim (x )
x 1→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= − = −∞= − = −∞= − = −∞= − = −∞
−−−−
x 1 x 1
6lim f (x) lim (x )
x 1→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −= − = +∞= − = +∞= − = +∞= − = +∞
−−−−
x 1 x 1
6lim f (x) lim (x )
x 1→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ += − = −∞= − = −∞= − = −∞= − = −∞
−−−−
-អសមតត
េដយ x 1 x 1
6limf(x) lim(x )
x 1→ →→ →→ →→ →= − = ∞= − = ∞= − = ∞= − = ∞
−−−− េនះបនទ តសមករ x 1====
ជអសមតតឈរៃនរកប ។
មយងេទៀត 6f (x) x
x 1= −= −= −= −
−−−− េហយ
x x
6lim[f (x) x] lim 0
x 1→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
−−−−− = =− = =− = =− = =−−−−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 42
ដចេនះបនទ តមនសមករ y x==== ជអសមតតេរទតៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
x −∞−∞−∞−∞ 1 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
·សណងរកប
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (x 'ox) :
y 0==== សមមល 2x x 6
0x 1− −− −− −− − ====
−−−− ឬ 2x x 6 0− − =− − =− − =− − =
1 24 25∆ = + =∆ = + =∆ = + =∆ = + = មនឬស 1 21 5 1 5
x 2 , x 32 2− +− +− +− += = − = == = − = == = − = == = − = = ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (y 'oy) :
x 0==== េនះ 6y 6
1−−−−= == == == =−−−−
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 43
-ផចតឆលះ
អសមតតឈរ x 1==== នងអសមតតេរទត y x==== កតគន រតង I(1 ,1)
េដយ f (2a x) f (x) f (2 x) f (x)− + = − +− + = − +− + = − +− + = − +
6 62 x x 2 2b
1 x x 1= − − + − = == − − + − = == − − + − = == − − + − = =
− −− −− −− −
ដចេនះ I(1 ,1) ជផចតឆលះៃនរកប ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 44
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ២២២២ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2x 5x 4
f (x)2 x− +− +− +− +====
−−−−
សកសអេថរភព នង សងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយ(o, i , j)→ →→ →→ →→ →
·ែដនកណត D IR 2 = −= −= −= −
·សរេសរជរងកណនក 2x 5x 4 2
f (x) x 32 x 2 x− +− +− +− += = − + −= = − + −= = − + −= = − + −
− −− −− −− −
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2
2 2f '(x) ( x 3 )' 1 0 x D
2 x (2 x)= − + − = − − < ∀ ∈= − + − = − − < ∀ ∈= − + − = − − < ∀ ∈= − + − = − − < ∀ ∈
−−−− −−−−
េនះ f ជអនគមនចះជនចចេលែដនកណតរបសវ ។
-គណនលមត
x x
2lim f(x) lim ( x 3 )
2 x→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞
−−−−
x x
2lim f(x) lim ( x 3 )
2 x→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞
−−−−
x 2 x 2
2lim f (x) lim ( x 3 )
2 x→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞
−−−−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 45
x 2 x 2
2lim f (x) lim ( x 3 )
2 x→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ += − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞
−−−−
-អសមតត
េដយ x 2 x 2
2lim f (x) lim( x 3 )
2 x→ →→ →→ →→ →= − + − = ∞= − + − = ∞= − + − = ∞= − + − = ∞
−−−− េនះបនទ តសមករ
x 2==== ជអសមតតឈរៃនរកប ។
មយងេទៀត 2f (x) x 3
2 x= − + −= − + −= − + −= − + −
−−−− េហយ
x
2lim 0
2 x→∞→∞→∞→∞====
−−−−
ដចេនះបនទ តមនសមករ y x 3= − += − += − += − + ជអសមតតេរទតៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
x −∞−∞−∞−∞ 2 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 46
·សណងរកប
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (x 'ox) :
y 0==== សមមល 2x 5x 4
02 x− +− +− +− + ====
−−−− ឬ 2x 5x 4 0− + =− + =− + =− + =
a b c 0+ + =+ + =+ + =+ + = មនឬស 1 2x 1 , x 4= == == == = ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (y 'oy) :
x 0==== េនះ 4y 2
2= == == == = ។
-ផចតឆលះ
អសមតតឈរ x 2==== នងអសមតតេរទត y x 3= − += − += − += − + កតគន រតង
ចណច I(2 ,1)
េដយ f (2a x) f (x) f (4 x) f (x)− + = − +− + = − +− + = − +− + = − +
2 2x 1 x 3 2 2b
x 2 2 x= − − − + − = == − − − + − = == − − − + − = == − − − + − = =
− −− −− −− −
ដចេនះ I(2 ,1) ជផចតឆលះៃនរកប ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 47
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ៣៣៣៣ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2x 3x 3
f (x)x 1+ ++ ++ ++ +====
++++
សកសអេថរភព នង សងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយ(o, i , j)→ →→ →→ →→ →
·ែដនកណត D IR 1 = − −= − −= − −= − −
·សរេសរជរងកណនក 2x 3x 3 1
f (x) x 2x 1 x 1+ ++ ++ ++ += = + += = + += = + += = + +
+ ++ ++ ++ +
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 48
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2 2
1 1 x(x 2)f '(x) (x 2 )' 1
x 1 (x 1) (x 1)
++++= + + = − == + + = − == + + = − == + + = − =++++ + ++ ++ ++ +
f '(x) 0==== េគបន x(x 2) 0+ =+ =+ =+ = េនះ 1 2x 0 , x 2= = −= = −= = −= = − ។
-បរមៃន f
ចេពះ x 2= −= −= −= − អនគមនមនតៃមលអតបរមេធៀប f ( 2) 1− = −− = −− = −− = − ។
ចេពះ x 0==== អនគមនមនតៃមលអបបបរមេធៀប f (0) 3==== ។
-គណនលមត
x x
1lim f(x) lim (x 2 )
x 1→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= + + = +∞= + + = +∞= + + = +∞= + + = +∞
++++
x x
1lim f(x) lim (x 2 )
x 1→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= + + = −∞= + + = −∞= + + = −∞= + + = −∞
++++
x 1 x 1
1lim f (x) lim (x 2 )
x 1→− →−→− →−→− →−→− →−− −− −− −− −= + + = −∞= + + = −∞= + + = −∞= + + = −∞
++++
x 1 x 1
1lim f (x) lim (x 2 )
x 1→− →−→− →−→− →−→− →−+ ++ ++ ++ += + + = +∞= + + = +∞= + + = +∞= + + = +∞
++++
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 49
-អសមតត
េដយ x 1 x 1
1lim f (x) lim (x 2 )
x 1→− →−→− →−→− →−→− →−= + + = ∞= + + = ∞= + + = ∞= + + = ∞
++++ េនះបនទ តសមករ
x 1= −= −= −= − ជអសមតតឈរៃនរកប ។
មយងេទៀត 1f (x) x 2
x 1= + += + += + += + +
++++ េហយ
x
1lim 0
x 1→∞→∞→∞→∞====
++++
ដចេនះបនទ តមនសមករ y x 2= += += += + ជអសមតតេរទតៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
x −∞−∞−∞−∞ 2−−−− 1−−−− 0 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
·សណងរកប
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (x 'ox) :
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 50
y 0==== សមមល 2x 3x 3
0x 1+ ++ ++ ++ + ====
++++ ឬ 2x 3x 3 0+ + =+ + =+ + =+ + =
9 12 0∆ = − <∆ = − <∆ = − <∆ = − < សមករគម នឬស ។
េនះរកបៃណអនគមនមនកតអកសអបសសេទ ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (y 'oy) :
x 0==== េនះ 3y 3
1= == == == = ។
-ផចតឆលះ
អសមតតឈរ x 1= −= −= −= − នងអសមតតេរទត y x 2= += += += + កតគន រតង
ចណច I( 1,1)−−−− ។
េដយ f (2a x) f (x) f ( 2 x) f (x)− + = − − +− + = − − +− + = − − +− + = − − +
1 1
x x 21 x x 1
2 2b
= − + + + += − + + + += − + + + += − + + + +− − +− − +− − +− − +
= == == == =
ដចេនះ I( 1,1)−−−− ជផចតឆលះៃនរកប ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 51
ឧទហរណឧទហរណឧទហរណឧទហរណ៤៤៤៤ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2x 5x 4
f (x)2x
− + −− + −− + −− + −====
សកសអេថរភព នង សងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយ(o, i , j)→ →→ →→ →→ →
·ែដនកណត *D IR====
·សរេសរជរងកណនក 2x 5x 4 x 5 2
f (x)2x 2 2 x
− + −− + −− + −− + −= = − + −= = − + −= = − + −= = − + −
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 52
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ
2
2 2 2
x 5 2 1 2 x 4 ( x 2)(x 2)f '(x)
2 2 x 2 x x x
' − + − + +− + − + +− + − + +− + − + + = − + − = − + = == − + − = − + = == − + − = − + = == − + − = − + = =
f '(x) 0==== េគបន 1 2x 2 , x 2= = −= = −= = −= = − ។
-បរមៃន f
ចេពះ x 2==== អនគមនមនតៃមលអតបរមេធៀប 1f (2)
2==== ។
ចេពះ x 2= −= −= −= − អនគមនមនតៃមលអបបបរមេធៀប 9f ( 2)
2− =− =− =− = ។
-គណនលមត
x x
x 5 2lim f (x) lim ( )
2 2 x→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞
x x
x 5 2lim f (x) lim ( )
2 2 x→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞
x 0 x 0
x 5 2lim f (x) lim ( )
2 2 x→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 53
x 0 x 0
x 5 2lim f (x) lim ( )
2 2 x→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ += − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞
-អសមតត
េដយ x 0 x
x 5 2lim f (x) lim( )
2 2 x→ →→ →→ →→ →= − + − = ∞= − + − = ∞= − + − = ∞= − + − = ∞ េនះបនទ តសមករ
x 0==== ជអសមតតឈរៃនរកប ។
មយងេទៀត x 5 2f (x)
2 2 x= − + −= − + −= − + −= − + − េហយ
x
2lim( ) 0
x→∞→∞→∞→∞− =− =− =− =
ដចេនះបនទ តមនសមករ x 5y
2 2= − += − += − += − + ជអសមតតេរទតៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
x −∞−∞−∞−∞ 2−−−− 0 2 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x) +∞+∞+∞+∞
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 54
·សណងរកប
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (x 'ox) :
y 0==== សមមល 2x 5x 4
02x
− + −− + −− + −− + − ==== ឬ 2x 5x 4 0− + − =− + − =− + − =− + − =
a b c 0+ + =+ + =+ + =+ + = សមករមនឬស 1 2x 1 , x 4= == == == = ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (y 'oy) :
x 0==== េនះ 3y 3
1= == == == = ។
-ផចតឆលះ
អសមតតឈរ x 0==== នងអសមតតេរទត x 5y
2 2= − += − += − += − + កតគន រតង
ចណច 5I(0, )
2 ។
េដយ f (2a x) f (x) f ( x) f (x)− + = − +− + = − +− + = − +− + = − +
x 5 2 x 5 22 2 x 2 2 x5 2b
= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −
= == == == =
ដចេនះ 5I(0, )
2 ជផចតឆលះៃនរកប ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 55
លហតអនវតតន
សកសអេថរភព នងសងរកបៃនអនគមនខងេរកម ៖
១/ 2x 5x 7
yx 2− +− +− +− +====
−−−− ២/
2x x 1y
2x− +− +− +− +====
៣/ 2x 2x 3
yx 1+ −+ −+ −+ −====
++++ ៤/ 4
y x 2x
= + += + += + += + +
៥/ 1y x 2
x 1= − += − += − += − +
−−−− ៦/ 4
y x 3x 1
= − + += − + += − + += − + +++++
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 56
ខ/សកសអនគមន 2
2ax bx c
ypx qx r
+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +
ែដល a 0≠≠≠≠ នង p 0≠≠≠≠ ។
ែដនកណត ៖ 2D x / px qx r 0= + + ≠= + + ≠= + + ≠= + + ≠
េដរេវ 2
2 2
(aq bp)x 2(ar cp)x (br cq)f '(x)
(px qx r)
− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −====+ ++ ++ ++ +
-េប f '(x) 0==== គម នឬសេនះអនគមនគម នបរមេទ ។
-េប f '(x) 0==== មនឬសពរេផសងគន េនះអនគមនមនអតបរមមយ
នងអបបបរមមយ ។
-េប f '(x) 0==== មនឬសែតមយេនះអនគមនមនបរមែតមយគត ។
អសមតត ៖
-បនទ ត ay
p==== ជអសតមតតេដកជនចច។
-ចននអសមតតឈរអរសយនងឬសរបសសមករភគែបង
2px qx r 0+ + =+ + =+ + =+ + = ែដលមន 2q 4pr∆ = −∆ = −∆ = −∆ = − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 57
េប 2q 4pr 0∆ = − <∆ = − <∆ = − <∆ = − < គម នអសមតតឈរ នង រកបមនែតមយ
េប 2q 4pr 0∆ = − =∆ = − =∆ = − =∆ = − = មនអសមតតឈរ qx
2p= −= −= −= − នង រកប
មនពរែមកដចពគន ។
េប 2q 4pr 0∆ = − >∆ = − >∆ = − >∆ = − > មនអសមតតឈរពរ qx
2p− ± ∆− ± ∆− ± ∆− ± ∆====
នង រកបមនបែមកដចពគន ។
-រកបមនរងទេទដចរបខងេរកម ៖
1/ករណ 2q 4pr 0∆ = − <∆ = − <∆ = − <∆ = − <
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 58
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 59
2/ករណ 2q 4pr 0∆ = − =∆ = − =∆ = − =∆ = − =
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 60
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 61
3/ករណ 2q 4pr 0∆ = − >∆ = − >∆ = − >∆ = − >
២-អនគមនអសនទន
1/សកសអនគមន y ax b= += += += +
2/សកសអនគមន 2y ax bx c= + += + += + += + +
៣-អនគមនអចសប ណងែសយល
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 62
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 63
ឧទហរណ១ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2
2
x 2x 3f (x)
x 2x 2
− −− −− −− −====− +− +− +− +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត
េគមន 2 2x 2x 2 (x 1) 1 0 x IR− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈
ដចេនះ D IR==== ។
·សរេសរជរងកណនក 2
2 2
x 2x 3 5f (x) 1
x 2x 2 x 2x 2
− −− −− −− −= = −= = −= = −= = −− + − +− + − +− + − +− + − +
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2 2 2
5 5(2x 2)f '(x) (1 )'
x 2x 2 (x 2x 2)
−−−−= − == − == − == − =− + − +− + − +− + − +− + − +
f '(x) 0==== េគបន 2 2
5(2x 2)0
(x 2x 2)
−−−− ====− +− +− +− +
េនះ x 1====
ចេពះ x 1==== នឲយ f (1) 1 5 4= − = −= − = −= − = −= − = − ។
អនគមនមនអបបបរមេធៀបេសមនង 4−−−− រតង x 1==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 64
-គណនលមត ៖
2x x
5lim f(x) lim (1 ) 1
x 2x 2→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞= − == − == − == − =
− +− +− +− +
-អសមតត េដយ xlim f (x) 1→∞→∞→∞→∞
==== េនះបនទ ត y 1==== ជអសមតតេដក
ៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
·សណងរកប ៖
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបសស y 0==== េនះ 2x 2x 3 0− − =− − =− − =− − =
េគទញឬស 1 2x 1 , x 3= − == − == − == − = ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះ 3y
2= −= −= −= −
x −∞−∞−∞−∞ 1 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 65
ឧទហរណ២ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2
2
x 6xf (x)
2(x 2x 2)
++++====− +− +− +− +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត
េគមន 2 2x 2x 2 (x 1) 1 0 x IR− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈− + = − + > ∀ ∈
ដចេនះ D IR==== ។
·ទសេដអេថរភព
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 66
-េដរេវ 2 2
2 2
(2x 6)(x 2x 2) (2x 2)(x 6x)f '(x)
2(x 2x 2)
+ − + − − ++ − + − − ++ − + − − ++ − + − − +====− +− +− +− +
2
2 2
8x 4x 12f '(x)
2(x 2x 2)
− + +− + +− + +− + +====− +− +− +− +
។
េប f '(x) 0==== េគបន 2
2 2
8x 4x 120
2(x 2x 2)
− + +− + +− + +− + + ====− +− +− +− +
េនះ 28x 4x 12 0− + + =− + + =− + + =− + + = នឲយ 1 23
x 1 , x2
= − == − == − == − =
ចេពះ x 1= −= −= −= − នឲយ 5 1f ( 1)
10 2−−−−− = = −− = = −− = = −− = = − ។
ចេពះ 3x
2==== នឲយ 3 9
f ( )2 2
====
អនគមនមនអបបបរមេធៀបេសមនង 12
−−−− រតង x 1= −= −= −= −
នង មនអតបរមេធៀបេសមនង 92
រតង 3x
2==== ។
-គណនលមត ៖
2
2x x
x 6x 1lim f (x) lim
22(x 2x 2)→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞
++++= == == == =− +− +− +− +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 67
-អសមតត
េដយ x
1lim f (x)
2→∞→∞→∞→∞==== េនះបនទ ត 1
y2
==== ជអសមតតេដកៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
·សណងរកប ៖
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបសស y 0==== េនះ 2x 2x 3 0− − =− − =− − =− − =
េគទញឬស 1 2x 1 , x 3= − == − == − == − = ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះ 3y
2= −= −= −= −
x −∞−∞−∞−∞ 1−−−− 32
+∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 68
ឧទហរណ៣ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2
2
x 4xf (x)
x 4x 3
−−−−====− +− +− +− +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត
េគមន 2x 4x 3 (x 1)(x 3)− + = − −− + = − −− + = − −− + = − −
ដចេនះ D IR 1 , 3 = −= −= −= − ។
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2 2
2 2
(2x 6)(x 2x 2) (2x 2)(x 6x)f '(x)
2(x 2x 2)
+ − + − − ++ − + − − ++ − + − − ++ − + − − +====− +− +− +− +
0 1
1
x
y
y = 1/2
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 69
2 2 2 2
3x 6 3(x 2)f '(x)
(x 4x 3) (x 4x 3)
− −− −− −− −= == == == =− + − +− + − +− + − +− + − +
។
េប f '(x) 0==== េគបន 2 2
3(x 2)0
(x 4x 3)
−−−− ====− +− +− +− +
នឲយ x 2==== ។
ចេពះ x 2==== នឲយ f (2) 4==== ។
អនគមនមនអបបបរមេធៀបេសមនង 4 រតង x 2==== ។
-គណនលមត ៖
2
x 1 x 1
x 4xlim f (x) lim
(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −
−−−−= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞− −− −− −− −
2
x 1 x 1
x 4xlim f (x) lim
(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +
−−−−= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞− −− −− −− −
2
x 3 x 3
x 4xlim f (x) lim
(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −
−−−−= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞− −− −− −− −
2
x 3 x 3
x 4xlim f (x) lim
(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +
−−−−= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞− −− −− −− −
2 2
2x x x
x 4x xlim f (x) lim lim 1
(x 1)(x 3) x→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞
−−−−= = == = == = == = =− −− −− −− −
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 70
-អសមតត
េដយ x 1lim f (x)
→→→→= ∞= ∞= ∞= ∞ នង
x 3lim f (x)
→→→→= ∞= ∞= ∞= ∞ េនះបនទ ត x 1==== នង x 3====
ជអសមតតឈរៃនរកប ។ េហយ xlim f (x) 1→∞→∞→∞→∞
==== េនះបនទ តy 1====
ជអសមតតេដកៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
·សណងរកប ៖
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបសស y 0==== េនះ 2x 4x 0− =− =− =− =
េគទញឬស 1 2x 0 , x 4= == == == = ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះy 0====
x −∞−∞−∞−∞ 1 2 3 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 71
ឧទហរណ៤ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2
2
2x 6x 4f (x)
x 2x 3
+ −+ −+ −+ −====+ −+ −+ −+ −
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត
េគមន 2x 2x 3 (x 1)(x 3)+ − = − ++ − = − ++ − = − ++ − = − +
ដចេនះ D IR 3 , 1 = − −= − −= − −= − − ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 72
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2 2
2 2
(4x 6)(x 2x 3) (2x 2)(2x 6x 4)f '(x)
(x 2x 3)
+ + − − + + −+ + − − + + −+ + − − + + −+ + − − + + −====+ −+ −+ −+ −
2 2
2 2 2 2
2x 4x 10 2[(x 1) 4]f '(x)
(x 2x 3) (x 2x 3)
− − − + +− − − + +− − − + +− − − + += = −= = −= = −= = −+ − + −+ − + −+ − + −+ − + −
។
េដយ 2(x 1) 4 0+ + >+ + >+ + >+ + > េនះ f '(x) 0 x D< ∀ ∈< ∀ ∈< ∀ ∈< ∀ ∈
េនះ f ជអនគមនចះេលែដនកណត ។
-គណនលមត ៖
2
x 1 x 1
2x 6x 4lim f (x) lim
(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −
+ −+ −+ −+ −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞− +− +− +− +
2
x 1 x 1
2x 6x 4lim f (x) lim
(x 1)(x 3)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +
+ −+ −+ −+ −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞− +− +− +− +
2
x 3 x 3
2x 6x 4lim f (x) lim
(x 1)(x 3)→− →→− →→− →→− →− −− −− −− −
+ −+ −+ −+ −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞− +− +− +− +
2
x 3 x 3
2x 6x 4lim f (x) lim
(x 1)(x 3)→− →−→− →−→− →−→− →−+ ++ ++ ++ +
+ −+ −+ −+ −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞− +− +− +− +
2 2
2x x x
2x 6x 4 2xlim f (x) lim lim 2
(x 1)(x 3) x→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞→±∞ →±∞ →±∞
+ −+ −+ −+ −= = == = == = == = =− +− +− +− +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 73
-អសមតត
េដយ x 1lim f (x)
→→→→= ∞= ∞= ∞= ∞ នង
x 3lim f (x)→−→−→−→−
= ∞= ∞= ∞= ∞ េនះបនទ ត x 1==== នង x 3= −= −= −= −
ជអសមតតឈរៃនរកប ។ េហយ xlim f (x) 2→∞→∞→∞→∞
==== េនះបនទ តy 2====
ជអសមតតេដកៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
·សណងរកប ៖
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបស y 0==== េនះ 22x 6x 4 0+ − =+ − =+ − =+ − =
េគទញឬស 1 23 17 3 17
x , x2 2
− − − +− − − +− − − +− − − += == == == = ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះ 4y
3====
x −∞−∞−∞−∞ 3−−−− 1 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 74
ឧទហរណ៥ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2
2
2x x 7f (x)
x x 2
− −− −− −− −====− −− −− −− −
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត
េគមន 2x x 2 (x 1)(x 2)− − = + −− − = + −− − = + −− − = + −
ដចេនះ D IR 1 , 2 = − −= − −= − −= − − ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 75
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2 2
2 2
(4x 1)(x x 2) (2x 1)(2x x 7)f '(x)
(x 2x 3)
− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −====+ −+ −+ −+ −
2
2 2
x 6x 5f '(x)
(x x 2)
− + −− + −− + −− + −====− −− −− −− −
។
េប f '(x) 0==== េគបន 2
2 2
x 6x 50
(x x 2)
− + −− + −− + −− + − ====− −− −− −− −
េនះ 2x 6x 5 0− + − =− + − =− + − =− + − = នឲយ 1 2x 1 , x 5= == == == =
ចេពះ x 1==== នឲយ f (1) 3==== េហយ x 3==== នឲយ 2f (3)
3====
អនគមនមនអបបបរមេធៀបេសមនង 3 រតង x 1====
នង មនអតបរមេធៀបេសមនង 23
រតង x 3==== ។
-គណនលមត ៖
2
x 1 x 1
2x x 7lim f (x) lim
(x 1)(x 2)→− →−→− →−→− →−→− →−− −− −− −− −
− −− −− −− −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞+ −+ −+ −+ −
2
x 1 x 1
2x x 7lim f (x) lim
(x 1)(x 2)→− →−→− →−→− →−→− →−+ ++ ++ ++ +
− −− −− −− −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞+ −+ −+ −+ −
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 76
2
x 2 x 2
2x x 7lim f (x) lim
(x 1)(x 2)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −
− −− −− −− −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞+ −+ −+ −+ −
2
x 2 x 2
2x x 7lim f (x) lim
(x 1)(x 2)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +
− −− −− −− −= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞+ −+ −+ −+ −
2
x x
2x x 7lim f (x) lim 2
(x 1)(x 2)→± →±∞→± →±∞→± →±∞→± →±∞
− −− −− −− −= == == == =+ −+ −+ −+ −
-អសមតត
េដយ x 1lim f (x)→−→−→−→−
= ∞= ∞= ∞= ∞ នងx 2lim f (x)
→→→→= ∞= ∞= ∞= ∞ េនះបនទ ត x 1= −= −= −= − នង x 2====
ជអសមតតឈរៃនរកប ។ េហយ xlim f (x) 2→∞→∞→∞→∞
==== េនះបនទ តy 2====
ជអសមតតេដកៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
x −∞−∞−∞−∞ 1−−−− 1 2 5 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 77
·សណងរកប ៖
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបស y 0==== េនះ 22x x 7 0− − =− − =− − =− − =
េគទញឬស 1 21 57 1 57
x , x4 4
− +− +− +− += == == == = ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះ 7y
2==== ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 78
ឧទហរណ៦ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2
2
x 2x 7f (x)
x 2x 1
+ −+ −+ −+ −====− +− +− +− +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត
េគមន 2 2x 2x 1 (x 1)− + = −− + = −− + = −− + = −
ដចេនះ D IR 1 = −= −= −= − ។
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2 2
4
(2x 2)(x 1) 2(x 1)(x 2x 7)f '(x)
(x 1)
+ − − − + −+ − − − + −+ − − − + −+ − − − + −====−−−−
3
4x 12f '(x)
(x 1)
− +− +− +− +====−−−−
។
េប f '(x) 0==== េគបន 3
4x 120
(x 1)
− +− +− +− + ====−−−−
េនះ x 3==== ។
ចេពះ x 3==== នឲយ f (3) 2==== ។
អនគមនមនអតបរមេធៀបេសមនង 2រតង x 3==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 79
-គណនលមត ៖
2
2x 1 x 1
x 2x 7lim f (x) lim
(x 1)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −
+ −+ −+ −+ −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞−−−−
2
2x 1 x 1
x 2x 7lim f (x) lim
(x 1)→ →→ →→ →→ →+ ++ ++ ++ +
+ −+ −+ −+ −= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞−−−−
2
2x x
x 2x 7lim f (x) lim 1
(x 1)→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞
+ −+ −+ −+ −= == == == =−−−−
-អសមតត
េដយ x 1lim f (x)
→→→→= −∞= −∞= −∞= −∞ េនះបនទ ត x 1==== ជអសមតតឈរៃនរកប ។
េហយ xlim f (x) 1→∞→∞→∞→∞
==== េនះបនទ តy 1==== ជអសមតតេដកៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
x −∞−∞−∞−∞ 1 3 +∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 80
·សណងរកប ៖
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអបស y 0==== េនះ 2x 2x 7 0+ − =+ − =+ − =+ − =
េគទញឬស 1 2x 1 2 2 , x 1 2 2= − − = − += − − = − += − − = − += − − = − + ។
-ចណចរបសពវរវងរកបនងអកសអរេដេន x 0==== េនះ y 7= −= −= −= − ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 81
៣-សកសអនគមនអសនទន
ក/សកសអនគមន y ax b , a 0= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠
ែដនកណត ៖ D x / ax b 0 = + ≥= + ≥= + ≥= + ≥
េដរេវ af '(x)
2 ax b====
++++
-េប a 0>>>> េនះ f '(x) 0>>>> េនះ f ជអនគមនេកនដចខត។
-េប a 0<<<< េនះ f '(x) 0<<<< េនះ f ជអនគមនចះដចខត។
រកបមនរបដចខងេរកម ៖
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 82
ឧទហរណ១ េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) 2x 6= += += += +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត D [ 3 , )= − + ∞= − + ∞= − + ∞= − + ∞ ។
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ (2x 6)' 1f '(x) 0 x D
2 2x 6 2x 6
++++= = > ∀ ∈= = > ∀ ∈= = > ∀ ∈= = > ∀ ∈+ ++ ++ ++ +
េគបន f ជអនគមនេកនជនចចេលែដនកណតរបសវ ។
-រកលមត x xlim f (x) lim 2x 6→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞
= + = +∞= + = +∞= + = +∞= + = +∞
-តរងអេថរភព
x
3−−−−
+∞+∞+∞+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 83
·សណងរកប
-កអរេដេនចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (ox) គ y 0====
េគបន 2x 6 0+ =+ =+ =+ = េនះ x 3= −= −= −= − ។
-កអរេដេនចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (oy) គ x 0====
េគបន y 6==== ។
ដចេនះរកបកតអកសអបសសរតងចណច ( 3 ,0)−−−− នងអកសអរេដេន
រតងចណច (0 , 6) ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 84
ឧទហរណ២ េគឲយអនគមន f កណតេដយ f (x) 2x 4= − += − += − += − +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត D ( , 2]= −∞= −∞= −∞= −∞ ។
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ ( 2x 4)' 1f '(x) 0 x D
2 2x 4 2x 4
− +− +− +− += = − < ∀ ∈= = − < ∀ ∈= = − < ∀ ∈= = − < ∀ ∈− + − +− + − +− + − +− + − +
េគបន f ជអនគមនចះជនចចេលែដនកណតរបសវ ។
-រកលមត x xlim f (x) lim 2x 4→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞
-តរងអេថរភព
x
−∞−∞−∞−∞
2
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 85
·សណងរកប
-កអរេដេនចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (ox) គ y 0====
េគបន 2x 4 0− + =− + =− + =− + = េនះ x 2==== ។
-កអរេដេនចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (oy) គ x 0====
េគបន y 2==== ។
ដចេនះរកបកតអកសអបសសរតងចណច (2 ,0) នងអកសអរេដេន
រតងចណច (0 , 2) ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 86
ខ/សកសអនគមន 2y ax bx c= + += + += + += + +
ែដល a 0≠≠≠≠ នង 2b 4ac∆ = −∆ = −∆ = −∆ = − ។
ែដនកណត ៖ 2D x / ax bx c 0= + + ≥= + + ≥= + + ≥= + + ≥
េដរេវ 2
2ax bf '(x)
2 ax bx c
++++====+ ++ ++ ++ +
អសមតត ៖
-េប a 0<<<< េនះរកបគម នអសមតតេទ
-េប a 0>>>> េនះរកបមនអសមតតពរ ។
2 bf (x) ax bx c a | x | (x)
2a= + + = + +ε= + + = + +ε= + + = + +ε= + + = + +ε
ែដល xlim (x) 0→∞→∞→∞→∞
ε =ε =ε =ε =
កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ េនះរកបមនអសមតតេរទត by a(x )
2a= += += += +
កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ េនះរកបមនអសមតតេរទត by a(x )
2a= − += − += − += − +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 87
រកបមនរបដចខងេរកម ៖
-ករណទ១ a 0 , 0> ∆ >> ∆ >> ∆ >> ∆ >
-ករណទ២ a 0 , 0< ∆ >< ∆ >< ∆ >< ∆ >
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 88
-ករណទ៣ a 0 , 0> ∆ <> ∆ <> ∆ <> ∆ <
ឧទហរណ១ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2f (x) x 4x 13= − += − += − += − +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត D IR==== ។
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2
2 2
(x 4x 13)' x 2f '(x)
2 x 4x 13 x 4x 13
− + −− + −− + −− + −= == == == =− + − +− + − +− + − +− + − +
f '(x) 0==== នឲយ x 2==== ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 89
ចេពះ x 2==== នឲយ f (2) 4 8 13 3= − + == − + == − + == − + = ។
អនគមន f មនអបបបរមេសម 3 រតង x 2==== ។
-រកលមត 2
x xlim f (x) lim x 4x 13→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞
2
x xlim f (x) lim x 4x 13→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞
= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞
-សមករអសមតត
េគមន 2 2f (x) x 4x 13 (x 2) 9 | x 2 | (x)= − + = − + = − +ε= − + = − + = − +ε= − + = − + = − +ε= − + = − + = − +ε
េដយ xlim (x) 0→−∞→−∞→−∞→−∞
ε =ε =ε =ε = នងxlim (x) 0→+∞→+∞→+∞→+∞
ε =ε =ε =ε = េនះបនទ ត y (x 2)= − −= − −= − −= − −
នង y x 2= −= −= −= − ជសមករអសមតតេរទតៃនរកប ។
-តរងអេថរភព
x
−∞−∞−∞−∞
2
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 90
·សណងរកប
-កអរេដេនចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (ox) គ y 0====
េគបន 2x 4x 13 0− + =− + =− + =− + = េនះ 2x 4x 13 0− + =− + =− + =− + =
' 4 13 9 0∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − < េនះសមករគម នឬស ។
- ចណចរបសពវរវងរកបនងអកស (oy) គ x 0==== េនះ y 13====
-អកសឆលះ បនទ ត x 2==== េរពះ f (2a x) f (x)− =− =− =− =
ឬ 2 2f (4 x) (4 x) 4(4 x) 13 x 4x 13 f (x)− = − − − + = − + =− = − − − + = − + =− = − − − + = − + =− = − − − + = − + =
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 91
ឧទហរណ២ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2f (x) x 6x 5= − += − += − += − +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត D ( ,1] [5, )= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞ ។
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2
2 2
(x 6x 5)' x 3f '(x)
2 x 6x 5 x 6x 5
− + −− + −− + −− + −= == == == =− + − +− + − +− + − +− + − +
រគបx ( ,1]∈ −∞∈ −∞∈ −∞∈ −∞ េគបន f '(x) 0≤≤≤≤ ន x (5 , ]∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞ េគបនf '(x) 0>>>>
ដចេនះអនគមន f ចះេលចេនល ះx ( ,1]∈ −∞∈ −∞∈ −∞∈ −∞ នងេកនេលx (5 , ]∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞
-រកលមត 2
x xlim f (x) lim x 6x 5→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞
2
x xlim f (x) lim x 6x 5→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞
= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞
-សមករអសមតត
េគមន 2 2f (x) x 6x 5 (x 3) 4 | x 3 | (x)= − + = − − = − +ε= − + = − − = − +ε= − + = − − = − +ε= − + = − − = − +ε
េដយ xlim (x) 0→−∞→−∞→−∞→−∞
ε =ε =ε =ε = នងxlim (x) 0→+∞→+∞→+∞→+∞
ε =ε =ε =ε = េនះបនទ ត y (x 3)= − −= − −= − −= − −
នង y x 3= −= −= −= − ជសមករអសមតតេរទតៃនរកប ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 92
-តរងអេថរភព
x
−∞−∞−∞−∞
1
5
f '(x)
f (x)
·សណងរកប
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 93
ឧទហរណ៣ េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2f (x) x 2x 8= − − += − − += − − += − − +
សកសអេថរភពនងសងរកបតងf កនងតរមយអរតនរមល(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
·ែដនកណត [[[[ ]]]]D 4 , 2= −= −= −= − ។
·ទសេដអេថរភព
-េដរេវ 2
2 2
( x 2x 8)' x 1f '(x)
2 x 2x 8 x 2x 8
− − + − −− − + − −− − + − −− − + − −= == == == =− − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +
f '(x) 0==== េគបន 2
x 10
x 2x 8
− −− −− −− − ====− − +− − +− − +− − +
នឲយ x 1= −= −= −= − ។
អនគមនមនអតបរមេធៀបរតង x 1= −= −= −= − គ f ( 1) 3− =− =− =− =
-តរងអេថរភព
x
4−−−−
1−−−−
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 94
·សណងរកប
េគមន 2 2y x 2x 8 9 (x 1)= − − + = − += − − + = − += − − + = − += − − + = − +
សមមល 2 2(x 1) y 9
y 0
+ + =+ + =+ + =+ + =
≥≥≥≥
ដចេនះរកបគជកនលះរងវងែដលមនផចត I( 1,0)−−−− នងក R 3==== ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 95
លហតអនវតតន
១-ចរសកសអេថរភព នង សងរកបតងអនគមនខងេរកម ៖
ក/ y x==== ខ/ y 2x 4= += += += +
គ/ y 4 x= −= −= −= − ឃ/ xy 1
2= − += − += − += − +
ង/ 2y x 4= += += += + ច/ 2y x 4x= −= −= −= −
ឆ/ 2y x 2x 10= − += − += − += − + ជ/ 2y x 4x 3= − += − += − += − +
ឈ/ 2y x 4x 5= − −= − −= − −= − − ញ/ 2y 3 2x x= + −= + −= + −= + −
២-េគឲយអនគមន f កណតេដយ 2f (x) ax bx c= + += + += + += + +
ក/កណតេលខេមគណ a,b ,c េដមបឲយរកប (c) តង f មន
អបបបរមេសម 3 រតង x 2==== នងកតតមចណច A(0 , 13)។
ខ/ចេពះតៃមល a,b ,c ែដលបនរកេឃញខងេលចរសកសអេថរភព
នងគសរកប (c) កនងតរមយអរតណរមល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 96
៣-អនគមនអចសប ណងែសយល
រលករបមនតលមត ៖
1/ x
xlim e→+∞→+∞→+∞→+∞
= +∞= +∞= +∞= +∞ 3/ x
nx
elim ,n 0
x→+∞→+∞→+∞→+∞= +∞ >= +∞ >= +∞ >= +∞ >
2/ x
xlim e 0−−−−
→+∞→+∞→+∞→+∞==== 4/
n
xx
xlim 0 , n 0
e→+∞→+∞→+∞→+∞= >= >= >= >
រលករបមនតេដរេវ ៖
1/ េប xy e==== េនះ xy ' e====
2/ េប u(x)y e==== េនះ u(x)y ' u '(x)e====
ឧទហរណ១
េគឱយអនគមន xf (x) (x 2)e−−−−= += += += +
ក-ចរសកសទសេដអេថរភព នងសងរកប (c) តងអនគមនេនះ ។
ខ-ចរគណនរកឡៃផទ S( )λλλλ ខណឌ េដយរកប (c) នងអកសអបសស
កនងចេនល ះ [ 2 , ]− λ− λ− λ− λ រចទញរកលមត lim S( )λλλλλ→+∞λ→+∞λ→+∞λ→+∞
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 97
ដេណះរសយ
ក-សកសទសេដអេថរភព នងសងរកប (c)
េគមន xf (x) (x 2)e−−−−= += += += + មនែដនកនត D IR====
.ទសេដអេថរភព x xf '(x) (x 2)'e (e )'(x 2)− −− −− −− −= + + += + + += + + += + + +
x x xf '(x) e e (x 2) ( x 1)e− − −− − −− − −− − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −
េប f '(x) 0==== សមមល x( x 1)e 0−−−−− − =− − =− − =− − = នឱយ x 1= −= −= −= − ។
ចេពះ x 1= −= −= −= − អនគមនមនតៃមលអតបរម f ( 1) e− =− =− =− = ។
លមត នង អសមតត ៖
xlim f (x) lim (x 2)ex x
−−−−= + = −∞= + = −∞= + = −∞= + = −∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
( េរពះ xlim (x 2) , lim ex x
−−−−+ = −∞ = +∞+ = −∞ = +∞+ = −∞ = +∞+ = −∞ = +∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
)
xlim f (x) lim (x 2)e 0x x
−−−−= + == + == + == + =→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞
( េរពះ xlim e 0x
−−−− ====→+∞→+∞→+∞→+∞
)
នឱយបនទ ត y 0==== ជអសមតតេដកៃនរកប (c) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 98
តរងអេថរភព
x − ∞− ∞− ∞− ∞ 1−−−− + ∞+ ∞+ ∞+ ∞
y '
y
សងរកប x(c) : y (x 2)e−−−−= += += += +
.ចនចរបសពវរវងរកបជមយអកសកអរេដេន ៖
េប y 0==== សមមល x(x 2)e 0−−−−+ =+ =+ =+ = នឱយ x 2= −= −= −= −
ចេពះ x 0==== នឱយ y f (0) 2= == == == = ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 99
ខ-គណនរកឡៃផទ S( )λλλλ
េយងបន xS( ) (x 2)e .dx
2
λλλλ−−−−λ = +λ = +λ = +λ = +
−−−−∫∫∫∫
តង u x 2
xdv e .dx
= += += += + −−−−====
នឱយ du dx
xv e
==== −−−−= −= −= −= −
េគបន x xS( ) [ (x 2) e ] e .dx22
λλλλ− λ −− λ −− λ −− λ −λ = − + +λ = − + +λ = − + +λ = − + +−−−−
−−−−∫∫∫∫
x( 2)e e2
2( 2)e e e
2( 3)e e
λλλλ−λ −−λ −−λ −−λ − = − λ + + −= − λ + + −= − λ + + −= − λ + + − −−−−
−λ −λ−λ −λ−λ −λ−λ −λ= − λ + − += − λ + − += − λ + − += − λ + − +−λ−λ−λ−λ= − λ + += − λ + += − λ + += − λ + +
ដចេនះ 2S( ) e ( 3)e−λ−λ−λ−λλ = − λ +λ = − λ +λ = − λ +λ = − λ + ។
េហយ 2 2lim S( ) lim e ( 3)e e−λ−λ−λ−λ λ = − λ + =λ = − λ + =λ = − λ + =λ = − λ + = λ→+∞ λ→+∞λ→+∞ λ→+∞λ→+∞ λ→+∞λ→+∞ λ→+∞
។
ដចេនះ 2lim S( ) eλ =λ =λ =λ =λ → +∞λ → +∞λ → +∞λ → +∞
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 100
ឧទហរណ២
េគឱយអនគមន xf (x) 1 (x 1)e= + −= + −= + −= + −
ក-គណនលមត x
lim f (x)→−∞→−∞→−∞→−∞
នង x
lim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞
រចបញជ កសមករ
អសមតតៃនរកប (c) តងអនគមន y f (x)==== ។
ខ-គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f (x) ។
គ-រកសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) រតងចនច x 1==== ។
សងរកប (c) នងបនទ ត (T) កនងតរយអរតនរមល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →
ែតមយ
ឃ-រករកឡៃផទខណឌ េដយ (c) នងអកសអបសសកនងចេនល ះ [[[[ ]]]]0, 1 ។
ដេណះរសយ
ក-គណនលមត x
lim f (x)→−∞→−∞→−∞→−∞
នង x
lim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞
េយងបន x
x xlim f (x) lim 1 (x 1)e 1→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
= + − == + − == + − == + − =
េរពះ x
xlim (x 1)e 0→−∞→−∞→−∞→−∞
− =− =− =− = ។
នង x
x xlim f (x) lim 1 (x 1)e→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞
= + − = +∞= + − = +∞= + − = +∞= + − = +∞
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 101
េរពះ x
xlim (x 1)e→+∞→+∞→+∞→+∞
− = +∞− = +∞− = +∞− = +∞ ។
េដយ x
lim f (x) 1→−∞→−∞→−∞→−∞
==== នឱយបនទ ត y 1==== ជអសមតតេដកៃនរកប
ខ-គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f (x)
េយងមន xf (x) 1 (x 1)e= + −= + −= + −= + − កនតេល D IR====
េយងបន x x xf '(x) (x 1)'e (e )'(x 1) xe= − + − == − + − == − + − == − + − = ។
េប xf '(x) xe 0= == == == = េនះ x 0==== ។
ចេពះ x 0==== អនគមនមនតៃមលអបបរម f (0) 0==== ។
តរងអេថរភព
x − ∞− ∞− ∞− ∞ 0 + ∞+ ∞+ ∞+ ∞
y '
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 102
គ-រកសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c)
េប x 1==== េគបន y f (1) 1= == == == = នឱយ A(1,1 ) ជចនចបះ ។
តមរបមនត A A A(T): y y f '(x ) (x x )− = −− = −− = −− = −
េដយ Af '(x 1) e= == == == =
េគបន (T) : y 1 e (x 1)− = −− = −− = −− = −
ដចេនះ (T) : y e x e 1= − += − += − += − + ។ សងរកប (c) នងបនទ ត (T) ៖
2 3-1-2-3-4-5
2
3
4
-1
-2
0 1
1
x
y
A ( 1 , 1 )
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 103
ឃ-គណនរកឡៃផទ
េយងបន 1 1 1 1
x x x
0 0 0 0
S 1 (x 1)e .dx dx (x 1)e .dx 1 (x 1)e .dx = + − = + − = + −= + − = + − = + −= + − = + − = + −= + − = + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
តង x
u x 1
dv e dx
= −= −= −= −
==== នឱយ x
du dx
v e
====
====
11 1x x x0 0
0
S 1 (x 1)e e .dx 2 e
3 e 3 2.718 0.282
= + − − = −= + − − = −= + − − = −= + − − = −
= − = − == − = − == − = − == − = − =
∫∫∫∫
ដចេនះ S 0.282==== ( ឯកតៃផទរកឡ ) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 104
ឧទហរណ៣
េគឱយអនគមន xe
f (x)x
====
ក-ចរសកសទសេដអេថរភពៃនអនគមន f (x) នង សងរកប (c)
តងអនគមន y f (x)==== កនងតរយអរតនរមល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →
មយ ។
ខ-េដយេរបរកប (c) ចរសកសអតថភព នង សញញ ៃនឬសរបស
សមករ xe k x 0− =− =− =− = ែដល k ជបរែមរត ។
ដេណះរសយ
ក-សកសទសេដអេថរភព នងសងរកប (c)
េគមន xe
f (x)x
==== ែដនកនត D IR 0 = −= −= −= −
.ទសេដអេថរភព x x x
2 2(e )'x (x)'e (x 1)e
f '(x)x x
− −− −− −− −= == == == =
េប f '(x) 0==== សមមល x(x 1)e 0− =− =− =− = នឱយ x 1==== ។
ចេពះ x 1==== អនគមនមនតៃមលអតបរម f (1) e 2.7182= == == == = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 105
លមត នង អសមតត ៖
x
x 0 x 0
elim f (x) lim
x→ →→ →→ →→ →= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞
− −− −− −− − នង
x
x 0 x 0
elim f (x) lim
x→ →→ →→ →→ →= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞
+ ++ ++ ++ +
x
x x
elim f (x) lim 0
x→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= == == == = នង
x
x x
elim f (x) lim
x→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞ ។
នឱយបនទ ត y 0==== ជអសមតតេដកៃនរកប (c) ។
តរងអេថរភព
x − ∞− ∞− ∞− ∞ 0 + ∞+ ∞+ ∞+ ∞
y '
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 106
សងរកប (c) ៖
ខ-សកសអតថភព នង សញញ ៃនឬសៃន xe k x 0− =− =− =− =
សមករអចសរសរ xe
kx
==== ជសមករអបសសចនចរមរវង(c)
នង (d) : y k==== ។
តមរកហវកេយងអចសននដឋ នដចតេទ ៖
-ចេពះ k ( , 0 )∈ − ∞∈ − ∞∈ − ∞∈ − ∞ សមករមនឬសែតមយគតគ x 0<<<< ។
-ចេពះ k [0 , e )∈∈∈∈ សមករគម នឬស ។
-ចេពះ k e==== សមករមនឬឌបមយគ 1 2x x 1 0= = >= = >= = >= = > ។
-ចេពះ k (e , )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞ សមករមនឬពរេផសងគន 1 20 x x< << << << < ។
2 3-1-2-3-4
2
3
4
5
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
( C )(d) :y = k
(d) : y = k
(d) : y = k
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 107
៤-អនគមនេលករតេនែព
រលករបមនតលមត ៖
1/ xlim ln x→+∞→+∞→+∞→+∞
= +∞= +∞= +∞= +∞ 3/ nx
ln xlim ,n 0
x→+∞→+∞→+∞→+∞= +∞ >= +∞ >= +∞ >= +∞ >
2/ x 0lim ln x→→→→ ++++
= −∞= −∞= −∞= −∞ 4/ n
x 0lim x ln x 0 , n 0→→→→ ++++
= >= >= >= >
រលករបមនតេដរេវ ៖
1/ េប y ln x==== េនះ 1y '
x====
2/ េប y ln u(x)==== េនះ u '(x)y '
u(x)====
ឧទហរណ១
េគឱយអនគមន f កនតេល (0, )+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞ េដយ f (x) 1 x lnx= += += += +
ក-ចរគណនលមត x 0
lim f (x)→→→→ ++++
នង x
lim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞
។
ខ-គណនេដរេវ f '(x) រចសកសសញញ របស f '(x) ។
គសតរងអេថរភពៃន f (x) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 108
គ-កនតសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) តង f រតងចនច
មនអបសស x 1==== ។ចរសង រកប (c) នងបនទ ត (T) កនងតរយអរតនរ
មល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →
ែតមយ ។
ឃ-គណនរកឡៃផទ S( )αααα ខណឌ េដយ (c) នងអកសអបសសកនងចេនល ះ [[[[ ]]]], 1 , 0α α >α α >α α >α α > រចទញរកលមត
0lim S( )
α→α→α→α→αααα
++++ ។
ដេណះរសយ
ក-គណនលមត x 0
lim f (x)→→→→ ++++ នង
xlim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞
េយងបន (((( ))))x 0 x 0
lim f (x) lim 1 xlnx 1→ →→ →→ →→ →
= + == + == + == + =+ ++ ++ ++ + េរពះ
x 0lim x lnx 0→→→→
====++++
នង x x
lim f (x) lim xlnx→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞
= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞ ។
ខ-គណនេដរេវ f '(x) រចសកសសញញ របស f '(x)
េយងបន f '(x) (x)'lnx (lnx)'x lnx 1= + = += + = += + = += + = +
-េប lnx 1 0+ >+ >+ >+ > នឱយ 1x
e>>>> េនះ f '(x) 0>>>>
-េប lnx 1 0+ =+ =+ =+ = នឱយ 1x
e==== េនះ f '(x) 0==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 109
-េប lnx 1 0+ <+ <+ <+ < នឱយ 1x
e<<<< េនះ f '(x) 0<<<< ។
គសតរងអេថរភពៃន f (x) ៖
x 0 1e
+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞
y '
y
គ-កនតសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) តង f រតងចនចមន
អបសស x 1==== ៖
ចេពះ x 1==== េនះ y f (1) 1 0 1= = + == = + == = + == = + = នឱយ A( 1 , 1) ជចនចបះ ។
តមរបមនត A A A(T) : y y f '(x ) (x x )− = −− = −− = −− = −
េដយ Af '(x 1) 1 ln1 1= = + == = + == = + == = + = េគបន (T) : y 1 x 1− = −− = −− = −− = −
នឱយ (T) : y x==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 110
សង រកប (c) នងបនទ ត (T) កនងតរយអរតនរមល (o, i , j )→ →→ →→ →→ →
៖
ឃ-គណនរកឡៃផទ S( )αααα ខណឌ េដយ (c) នងអកសអបសសកនងចេនល ះ [[[[ ]]]], 1 , 0α α >α α >α α >α α >
េយងបន 1 1 1 1
S( ) (1 xlnx).dx dx xlnx.dx (1 ) xlnx.dx
α α α αα α α αα α α αα α α α
α = + = + = − α +α = + = + = − α +α = + = + = − α +α = + = + = − α +∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
តង u lnx
dv xdx
==== ====
នឱយ 2
1du dx
x
xv
2
==== ====
2 3 4-1-2
2
3
4
-1
0 1
1
x
y(c)
(d) : y = x
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 111
េគបន 1 12 2 12x 1 1
S( ) 1 lnx xdx 1 ln x2 2 2 4 αααα
αααα αααα
αααα α = − α +α = − α +α = − α +α = − α + − = − α − α −− = − α − α −− = − α − α −− = − α − α − ∫∫∫∫
2 2 2
21 1 31 ln ln
2 4 4 4 4 2α α αα α αα α αα α α= − α − α − + α = − α + − α= − α − α − + α = − α + − α= − α − α − + α = − α + − α= − α − α − + α = − α + − α
ដចេនះ 2 23
S( ) ln4 4 2
α αα αα αα αα = − α + − αα = − α + − αα = − α + − αα = − α + − α នង 0
3lim S( )
4α→α→α→α→α =α =α =α =
++++។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 112
ជពកទ៤
លហតេរជសេរ សមនដេណះរសយ
លហតទ១
េគឱយអនគមន f មនេដរេវេល ( 2 , )− + ∞− + ∞− + ∞− + ∞ ែដល f (x) x 2= += += += +
ក. រកតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [ 1,2 ]∈ −∈ −∈ −∈ −
ខ. បងហ ញថចេពះរគប x [ 1 , 2 ]∈ −∈ −∈ −∈ − េគបន ៖
1 5 1 3x x 2 x
4 4 2 2+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ + ។
ដេណះរសយ
ក. រកតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប x [ 1,2 ]∈ −∈ −∈ −∈ −
េគមន f (x) x 2= += += += +
េគបន (x 2)' 1f '(x)
2 x 2 2 x 2
++++= == == == =+ ++ ++ ++ +
េដយ 1 x 2− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤ េនះ 1 x 2 4≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤ ឬ 1 x 2 2≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 113
េគទញ 1 1 14 22 x 2
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++
ដចេនះ 1 1f '(x)
4 2≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប x [ 1,2 ]∈ −∈ −∈ −∈ − ។
ខ. បងហ ញថចេពះរគប x [ 1 , 2 ]∈ −∈ −∈ −∈ − េគបន ៈ
1 5 1 3x x 2 x
4 4 2 2+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ +
តមសរមយខងេលេគមន 1 1f '(x)
4 2≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប x [ 1,2 ]∈ −∈ −∈ −∈ −
តមរទសតបទវសមភពកេណ នមនកណតអនវតតនចេពះអនគមន fកនងចេនល ះ [ 1,2 ]−−−− េគបន ៖
ចេពះ x 1≥ −≥ −≥ −≥ − េនះ 1 1(x 1) f (x) f ( 1) (x 1)
4 2+ ≤ − − ≤ ++ ≤ − − ≤ ++ ≤ − − ≤ ++ ≤ − − ≤ +
ឬ 1 1 1 1x x 2 1 x
4 4 2 2+ ≤ + − ≤ ++ ≤ + − ≤ ++ ≤ + − ≤ ++ ≤ + − ≤ +
ដចេនះ 1 5 1 3x x 2 x
4 4 2 2+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 114
លហតទ២
េគឱយអនគមន f មនេដរេវេល IR ែដល 2f (x) ln(x 1 x )= + += + += + += + +
ក. រកតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប 3 4x [ , ]
4 3∈∈∈∈ ។
ខ. បងហ ញថចេពះរគប 3 4x [ , ]
4 3∈∈∈∈ េគបន ៈ
23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 2
5 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +
ដេណះរសយ
ក. រកតៃមលអមៃន f '(x) ចេពះរគប 3 4x [ , ]
4 3∈∈∈∈
េគបន 2
2
(x 1 x )'f '(x)
x 1 x
+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +
22
2 2 2
2
2x1
1 x x2 1 x
x 1 x (x 1 x ) 1 x
1
1 x
+++++ ++ ++ ++ +++++= == == == =
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +
====++++
ចេពះរគប 3 4x [ , ]
4 3∈∈∈∈ េគបន 225 25
1 x16 9
≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 115
ឬ 25 51 x
4 3≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤ នឱយ
2
3 1 45 51 x
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++
ដចេនះ 3 4f '(x)
5 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប 3 4
x [ , ]4 3
∈∈∈∈ ។
ខ. បងហ ញថចេពះរគប 3 4x [ , ]
4 3∈∈∈∈ េគបន ៈ
23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 2
5 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +
តមសរមយខងេលេគមន 3 4f '(x)
5 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប 3 4
x [ , ]4 3
∈∈∈∈
តមរទសតបទវសមភពកេណ នមនកណតេគបន ៖
ចេពះ 3 3 3 3 4 3x : (x ) f (x) f ( ) (x )
4 5 4 4 5 4≥ − ≤ − ≤ −≥ − ≤ − ≤ −≥ − ≤ − ≤ −≥ − ≤ − ≤ −
ឬ 23x 9 4x 3ln(x 1 x ) ln 2
5 20 5 5− ≤ + + − ≤ −− ≤ + + − ≤ −− ≤ + + − ≤ −− ≤ + + − ≤ −
ដចេនះ 23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 2
5 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − +− + ≤ + + ≤ − + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 116
លហតទ៣
េគមនអនគមន f (x) 3x 1= += += += + កនតេល 1[ ; )
3− + ∞− + ∞− + ∞− + ∞
ក. ចេពះរគប 1 x 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចរបងហ ញថ 3 3f '(x)
8 4≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ។
ខ. េដយេរបវសមភពកេណ នមនកនតអនវតតនេទនងអនគមន f
ចេពះរគប [[[[ ]]]]x 1,5∈∈∈∈ ចរបងហ ញថ 3 13 3 5x 3x 1 x
8 8 4 4+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ +
ដេណះរសយ
ក. ចេពះរគប 1 x 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ បងហ ញថ 3 3f '(x)
8 4≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤
េគមន f (x) 3x 1= += += += + នឱយ 3f '(x)
2 3x 1====
++++
ចេពះរគប [[[[ ]]]]x 1,5∈∈∈∈ េគមន 1 x 5≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ឬ 4 3x 1 16≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤≤ + ≤
1 1 14 23x 13 3 38 42 3x 1
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤++++
ដចេនះ 3 3
f '(x)8 4
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ចេពះរគប [[[[ ]]]]x 1,5∈∈∈∈ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 117
ខ. បងហ ញថ 3 13 3 5x 3x 1 x
8 8 4 4+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ +
ចេពះរគប [[[[ ]]]]x 1,5∈∈∈∈ េគមន 3 3f '(x)
8 4≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤
តមរទសតបទវសមភពកេណ នមនកនត
ចេពះ x 1≥≥≥≥ េគមន 3 3(x 1) f (x) f (1) (x 1)
8 4− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −
េដយ f (x) 3x 1= += += += +
េគបន 3 3 3 3x 3x 1 2 x
8 8 4 4− ≤ + − ≤ −− ≤ + − ≤ −− ≤ + − ≤ −− ≤ + − ≤ −
នឱយ 3 13 3 5x 3x 1 x
8 8 4 4+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 118
លហតទ៤
េគឱយ f ជអនគមនកនតេដយ 2 nf (x) (x 1 x )= + += + += + += + +
ែដល x IR∈∈∈∈ នង n IN∈∈∈∈ ។
ក-ចរគណនេដរេវ f '(x) រចបងហ ញថ ៖
21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ = ។
ខ-ចររសយបញជ កទនកទនង ៖
2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + =+ + =+ + =+ + = ។
ដេណះរសយ
ក-គណនេដរេវ f '(x)
េគមន 2 nf (x) (x 1 x )= + += + += + += + +
តមរបមនត n n 1(u )' nu'.u −−−−====
េគបន 2 2 n 1f '(x) n.(x 1 x )'.(x 1 x ) −−−−= + + + += + + + += + + + += + + + +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 119
22 n 1
2
2 n 1
2
22 n 1
2
2 n
2
(1 x )'f '(x) n. 1 .(x 1 x )
2 1 x
2xn. 1 .(x 1 x )
2 1 x
1 x xn. .(x 1 x )
1 xn
(x 1 x )1 x
−−−−
−−−−
−−−−
++++= + + += + + += + + += + + + ++++
= + + += + + += + + += + + + ++++
+ ++ ++ ++ += + += + += + += + +++++
= + += + += + += + +++++
ដចេនះ 2 n
2
nf '(x) .(x 1 x )
1 x= + += + += + += + +
++++ ។
បងហ ញថ 21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ =
េគមន 2 n
2
nf '(x) .(x 1 x )
1 x= + += + += + += + +
++++
េដយ 2 nf (x) (x 1 x )= + += + += + += + +
េគបន 2
nf '(x) .f (x)
1 x====
++++ នឱយ 21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ = ។
ដចេនះ 21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 120
ខ-រសយបញជ កទនកទនង ៖
2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + =+ + =+ + =+ + =
េគមន 21 x .f '(x) n.f (x)+ =+ =+ =+ = នឱយ 2
f (x)f '(x) n.
1 x====
++++
េគបន 2 2
2 2
f '(x) 1 x ( 1 x )'f (x)f ''(x) n.
( 1 x )
+ − ++ − ++ − ++ − +====++++
(((( ))))
2
2
2
2
2
2
2xf '(x). 1 x .f (x)
2 1 xf ''(x) n1 x
f (x)1 x .f '(x) x.
1 xf ''(x) n. 11 x
+ −+ −+ −+ −++++====
++++
+ −+ −+ −+ −++++====
++++
េគមន (((( ))))21 x .f '(x) n.f (x) 2+ =+ =+ =+ =
នង (((( ))))2
1 f (x).f '(x) 3
n 1 x====
++++
យក (2) នង (3) ជសកនងទនកទនង (((( ))))1 េគបន ៖
ដចេនះ 2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + =+ + =+ + =+ + = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 121
លហតទ៥
េគឱយ f ជអនគមនកនតេដយ ៖
xcos.xsin.kxcosxsin)x(f 2266 ++++++++==== ក-ចរគណនេដរេវ f '(x) ។
ខ-ចរកនតចននពត k េដមបឱយ f (x) ជអនគមនេថរជនចចរគបx IR∈∈∈∈
ដេណះរសយ
ក-គណនេដរេវ f '(x)
5 5 2 2 2 2f '(x) 6.(sin x)'sin x 6.(cos x)'cos x k(sin x)'cos x k(cos x)'sin x= + + += + + += + + += + + +
5 5 3 3
4 4 2 2
2 2 2 2
6cosxsin x 6sin xcos x 2k sin xcos x 2k cosxsin x
6cosxsin x(sin x cos x) 2k sinxcosx(cos x sin x)
3sin 2x(sin x cos x)(sin x cos x) k sin 2x.cos2x
3sin2xcos2x k.sin2xcos2x
1( 3 k).sin 2xcos2x (k 3)sin4x
2
= − + −= − + −= − + −= − + −
= − + −= − + −= − + −= − + −
= − + += − + += − + += − + += − += − += − += − +
= − + = −= − + = −= − + = −= − + = −
ដចេនះ 1f '(x) (k 3).sin 4x
2= −= −= −= − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 122
ខ-កនតចននពត k
េដមបឱយ f (x) ជអនគមនេថរជនចចចេពះរគប x IR∈∈∈∈ លះរតែត
f '(x) 0==== រគប x IR∈∈∈∈ ។
េដយ 1f '(x) (k 3).sin4x
2= −= −= −= −
េគទញ k 3 0− =− =− =− = នឱយ k 3==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 123
លហតទ៦
េគឲយអនគមន f (x) កនត នងមនេដរេវេល IR ។
េគដងថ 2
f (1) f '(1) 3
1 2f ''(x) f '(x) 4x 1
2x 1 (2x 1)
= == == == = − = +− = +− = +− = + −−−− −−−−
ចរកនតរកអនគមន f (x) ។
ដេណះរសយ
កនតរកអនគមន f (x) ៖
េគមន 2
1 2f ''(x) f '(x) 4x 1 (1)
2x 1 (2x 1)− = +− = +− = +− = +
−−−− −−−−
តង 1g(x) f '(x).
2x 1====
−−−− េគបន
21 1
g'(x) f ''(x) f '(x)2x 1 (2x 1)
= −= −= −= −−−−− −−−−
ទនកទនង (1) កល យេទជ g'(x) 4x 1= += += += + េនះ 2g(x) 2x x C= + += + += + += + +
េប x 1==== េនះ g(1) 3 C= += += += + ែត 1g(1) f '(1). f '(1) 3
2(1) 1= = == = == = == = =
−−−−
េគបន 3 C 3+ =+ =+ =+ = នឲយ C 0==== ដចេនះ 2g(x) 2x x= += += += +
េដយ 1g(x) f '(x).
2x 1====
−−−−េគទញ 2f '(x)
2x x2x 1
= += += += +−−−−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 124
3f '(x) 4x x= −= −= −= − នឲយ 4 21f (x) x x k
2= − += − += − += − +
េប x 1==== េនះ 1f (1) k 3
2= + == + == + == + = នឲយ 5
k2
==== ។
ដចេនះ 4 21 5f (x) x x
2 2= − += − += − += − + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 125
លហតទ៧
េគឲយអនគមន f (x) កនត នង មនេដរេវេល IR េដយ ៖ 2f '(x).f (x) x(x 2)
f (0) 2
= −= −= −= −
==== ចេពះរគប x IR∈∈∈∈ ។
ចរកនតរកអនគមន f (x) ។
ដេណះរសយ
កនតរកអនគមន f (x) ៖
េគមន 2f '(x) . f (x) x(x 2) (1)= −= −= −= −
តង 3g(x) f (x)==== េគបន 2g '(x) 3f '(x) . f (x)====
ឬ 21g '(x) f '(x) .f (x)
3====
ទនកទនង (1) េទជ 1g '(x) x(x 2)3
= −= −= −= −
2
3 2
g '(x) 3x 6x
g(x) x 3x k
= −= −= −= −
= − += − += − += − +
េប x 0==== េនះ g(0) k====
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 126
េដយ 3 3g(0) f (0) (2) 8= = == = == = == = =
េគបន 3 2g(x) x 3x 8= − += − += − += − + ែត 3g(x) f (x)====
េគទញ 3 3 2f (x) x 3x 8= − += − += − += − + នឲយ 3 3 2f (x) x 3x 8= − += − += − += − +
ដចេនះ 3 3 2f (x) x 3x 8= − += − += − += − + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 127
លហតទ៨
េគឲយអនគមន 3 2
2
x 3x 3x 1f (x)
3x 3x 1
+ − ++ − ++ − ++ − +====− +− +− +− +
កនតចេពះរគប x IR∈∈∈∈ ។
ចេពះរគបចននពតវជជមន a នង b ចររសយបញជ កថ ៖
1 a b 1 a b abf f
2 2 a b+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + ≥≥≥≥ + ++ ++ ++ +
។
ដេណះរសយ
រសយបញជ កថ ៖
1 a b 1 a b abf f
2 2 a b+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + ≥≥≥≥ + ++ ++ ++ +
េយងមន 3 2
2
x 3x 3x 1f (x)
3x 3x 1
+ − ++ − ++ − ++ − +====− +− +− +− +
កនតចេពះរគប x IR∈∈∈∈
2 2 3 2
2 2
4 3 2 2 2
2 2 2 2
(3x 6x 3)(3x 3x 1) (6x 3)(x 3x 3x 1)f '(x)
(3x 3x 1)
3x 6x 3x 3x (x 1)0 , x IR
(3x 3x 1) (3x 3x 1)
+ − − + − − + − ++ − − + − − + − ++ − − + − − + − ++ − − + − − + − +====− +− +− +− +
− + −− + −− + −− + −= = ≥ ∀ ∈= = ≥ ∀ ∈= = ≥ ∀ ∈= = ≥ ∀ ∈− + − +− + − +− + − +− + − +
ដចេនះ f (x) ជអនគមនេកនេល IR ។
មយងេទៀតេយងសនមតថ 1 a b 1 a b ab2 2 a b
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +≥≥≥≥+ ++ ++ ++ +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 128
េគបន 2 2 a b1 a b 1 a b ab
+ ++ ++ ++ +≤≤≤≤+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +
2 (1 a) (1 b)
1 a b (1 a)(1 b)
2 1 11 a b 1 a 1 b
+ + ++ + ++ + ++ + +≤≤≤≤+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
≤ +≤ +≤ +≤ ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
េដយ 1 11 a b 1 a
≤≤≤≤+ + ++ + ++ + ++ + +
នង 1 11 a b 1 b
≤≤≤≤+ + ++ + ++ + ++ + +
រគបចននពតវជជមន a នង b ។
េគទញ 2 1 11 a b 1 a 1 b
≤ +≤ +≤ +≤ ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
នឲយករសនមត 1 a b 1 a b ab2 2 a b
+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +≥≥≥≥+ ++ ++ ++ +
ពត។
ដចេនះតមលកខណះអនគមនេកនេគទញ
1 a b 1 a b abf f
2 2 a b+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + ≥≥≥≥ + ++ ++ ++ +
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 129
លហតទ៩
េគឱយ a នង b ជពរចននពតែដល 0 a b2ππππ≤ < <≤ < <≤ < <≤ < <
ចររសយថ 2 2
b a b atanb tana
cos a cos b
− −− −− −− −< − << − << − << − <
ដេណះរសយ
រសយថ 2 2
b a b atanb tana
cos a cos b
− −− −− −− −< − << − << − << − <
តងអនគមន f (x) tan x==== ែដល x [0 , )2ππππ∈∈∈∈
េគបន 2
1f '(x)
cos x==== ។
េដយ f (x) ជអនគមនជប នងមនេដរេវេលចេនល ះ x [0 , )2ππππ∈∈∈∈
េនះតមរទសតបទតៃមលមធយម េនះមន c (a ,b )∈∈∈∈ ែដល ៖
f (b) f (a) tanb tanaf '(c) (1)
b a b a− −− −− −− −= == == == =− −− −− −− −
េហយចេពះ x [a , b ]∈∈∈∈ ែដល 0 a b2ππππ≤ < <≤ < <≤ < <≤ < <
េគមន cosb cos x cosa≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 130
េនះេគទញ 2 2
1 1f '(x)
cos a cos b< << << << <
យក x c==== េគបន 2 2
1 1f '(c) (2)
cos a cos b< << << << <
តម (1) នង (2) េគទញ
2 2
b a b atanb tana
cos a cos b
− −− −− −− −≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 131
លហតទ១១
ចេពះរគបចននពត 0 a b< << << << < ចររសយបញជ កថ ៖
b a b alnb lna
b a− −− −− −− −≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤ ។
ដេណះរសយ
រសយថ b a b alnb lna
b a− −− −− −− −≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤
តងអនគមន f (x) ln x==== ែដល x (0, )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞
េគបន 1f '(x)
x==== ។
េដយ f (x) ជអនគមនជប នងមនេដរេវេលចេនល ះ )x (0 ,∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞
េនះតមរទសតបទតៃមលមធយម េនះមន c (a,b)∈∈∈∈ ែដល ៖
f (b) f (a) lnb lnaf '(c) (1)
b a b a− −− −− −− −= == == == =− −− −− −− −
េហយចេពះ x [a, b ]∈∈∈∈ ែដល 0 a b< << << << <
េគមន a x b≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ េនះេគទញ 1 1f '(x)
b a≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 132
យក x c==== េគបន 1 1f '(c) (2)
b a< << << << <
តម (1) នង (2) េគទញ 1 lnb lna 1b b a a
−−−−< << << << <−−−−
ដចេនះ b a b alnb lna
b a− −− −− −− −< − << − << − << − < ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 133
លហតទ១២
ចេពះរគបចននពត 0 a b2ππππ≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤ ចររសយបញជ កថ ៖
(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ។
ដេណះរសយ
រសយថ (b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −
តងអនគមន f (x) sinx==== ែដល x [0, ]2ππππ∈∈∈∈
េគបន f '(x) cosx==== ។
េដយ f (x) ជអនគមនជប នងមនេដរេវេលចេនល ះ [0 ,2
x ]ππππ∈∈∈∈
េនះតមរទសតបទតៃមលមធយម េនះមន )b,a(c∈∈∈∈ ែដល ៖
f (b) f (a) sinb sinaf '(c) (1)
b a b a− −− −− −− −= == == == =− −− −− −− −
េហយចេពះ x [a, b ]∈∈∈∈ ែដល 0 a b2ππππ≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤
េគមន cosb cosx cosa< << << << <
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 134
េនះេគទញ cosb f '(x) cosa< << << << <
យក x c==== េគបន cosb f '(c) cosa (2)< << << << <
តម (1) នង (2) េគទញ sinb sinacosb cosa
b a−−−−< << << << <−−−−
ដចេនះ (b a)cosb sinb sina (b a)cosa− < − < −− < − < −− < − < −− < − < − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 135
លហតទ១៣
ចេពះរគបចននពត 0 a b≤ <≤ <≤ <≤ < ចររសយបញជ កថ ៖
n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− −− −− −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ែដល n IN∈∈∈∈ ។
ដេណះរសយ
រសយថ n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− −− −− −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −
តងអនគមន nf (x) x==== ែដល x [0, )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞
េគបន n 1f '(x) nx −−−−==== ។
េដយ f (x) ជអនគមនជប នងមនេដរេវេលចេនល ះx [0, )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞
េនះតមរទសតបទតៃមលមធយម េនះមន c (a,b)∈∈∈∈ ែដល ៖
)1(abab
ab)a(f)b(f
)c('fnn
−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
េហយចេពះ x [a, b ]∈∈∈∈ ែដល 0 a b≤ <≤ <≤ <≤ <
េគមន n 1 n 1 n 1a x b− − −− − −− − −− − −< << << << < េនះេគទញ n 1 n 1na f '(x) nb− −− −− −− −< << << << <
យក x c==== េគបន n 1 n 1na f '(c) nb (2)− −− −− −− −< << << << <
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 136
តម (1) នង (2) េគទញ n n
n 1 n 1b ana nb
b a− −− −− −− −−−−−< << << << <
−−−−
ដចេនះ n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− −− −− −− < − < −− < − < −− < − < −− < − < − ។
លហតទ១៤
គណន y' ជអនគមនៃន x នង y េបេគដងថ ៖
y xx y==== រគប x 0, y 0> >> >> >> > ។
ដេណះរសយ
គណន y' ជអនគមនៃន x នង y
េគមន y xx y==== នឱយ y lnx xlny====
េធវេដរេវេលសមករេនះ 1 y 'y 'ln x y. lny x.
x y+ = ++ = ++ = ++ = +
ឬ x y(lnx )y ' lny
y x− = −− = −− = −− = −
ដចេនះ y
lnyxy 'x
lnxy
−−−−====
−−−− ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 137
លហតទ១៥
ចរគណន y'' ជអនគមនៃន x នង y េបេគដងថ ៖
3 3x y 4 3xy+ + =+ + =+ + =+ + = ។
ដេណះរសយ
គណន y'' ជអនគមនៃន x នង y
េគមន 3 3x y 2 3xy+ + =+ + =+ + =+ + =
េធវេដរេវេលអងគទងពរៃនសមករេនះេគបន ៖ 2 2
2 2
2
2
3x 3y'y 3y 3xy'
x y 'y y xy '
y xy '
y x
+ = ++ = ++ = ++ = +
+ = ++ = ++ = ++ = +
−−−−====−−−−
េហយ 2 2
2 2
(y ' 2x)(y x) (2yy ' 1)(y x )y ''
(y x)
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −====−−−−
2 2 2 2
2 2
(x 2xy y) (y 2x y x)y '
(y x)
− + − − +− + − − +− + − − +− + − − +====−−−−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 138
ជនស 2
2
y xy '
y x
−−−−====−−−−
រចបរងមេគទទលបន ៖
3 3
2 3
2xy(3xy x y 1)y ''
(y x)
− − −− − −− − −− − −====−−−−
េដយ 3 3x y 2 3xy+ + =+ + =+ + =+ + =
ដចេនះ 2 3
2xyy ''
(y x)====
−−−− ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 139
លហតទ១៦
េគឱយអនគមន 1f (x)
1 x====
−−−− ែដល x 1≠≠≠≠
ក. គណនេដរេវទ n ៃនអនគមន f (x) តងេដយ (n)f (x) ។
ខ.ចររសយថអនគមន f (x) អចសរេសរជរង ៖ 2 n
(n)n
x x xf (x) f (0) f '(x) f ''(0) ... f (0) R (x)
1! 2! n!= + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +
ែដល n 1
nx
R (x)1 x
++++====
−−−− រគប x 1≠≠≠≠ ។
ដេណះរសយ
ក. គណនេដរេវទ n ៃនអនគមន f (x) ៖
េគមន 11f (x) (1 x)
1 x−−−−= = −= = −= = −= = −
−−−−
េគបន 2 2 2f '(x) (1 x)'(1 x) (1 x) 1!(1 x)− − −− − −− − −− − −= − − − = − = −= − − − = − = −= − − − = − = −= − − − = − = −
3 3
(3) 4 4
f ''(x) 2(1 x) 2!(1 x)
f (x) 6(1 x) 3!(1 x)
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − = −= − = −= − = −= − = −
= − = −= − = −= − = −= − = −− − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − −
ឧបមថ (n) n 1f (x) n!(1 x)− −− −− −− −= −= −= −= − ពត
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 140
េយងនងរសយថ (n 1) n 2f (x) (n 1)!(1 x)+ − −+ − −+ − −+ − −= + −= + −= + −= + − ពត
េគមន
(n 1) (n) n 1 n 2f (x) [f (x)]' [n!(1 x) ]' (n 1)!(1 x)+ − − − −+ − − − −+ − − − −+ − − − −= = − = + −= = − = + −= = − = + −= = − = + − ពត
ដចេនះ (n) n 1n 1
n!f (x) n!(1 x)
(1 x)− −− −− −− −
++++= − == − == − == − =−−−−
។
ខ.រសយថអនគមន f (x) អចសរេសរជរង ៖ 2 n
(n)n
x x xf (x) f (0) f '(x) f ''(0) ... f (0) R (x)
1! 2! n!= + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +
េគមន (n)n 1
n!f (x)
(1 x) ++++====−−−−
េនះ (n)f (0) n!==== នង f (0) 1====
េហយ n 1
nx
R (x)1 x
++++====
−−−− េនះេគបន ៖
)x(R)0(f!n
x...)0(''f
!2x
)x('f!1
x)0(f)x(f n
)n(n2
++++++++++++++++++++====
n 12 n
2 n n 1
n 1 n 1
x1 x x .... x
1 x
(1 x)(1 x x .... x ) x1 x
1 x x 11 x 1 x
++++
++++
+ ++ ++ ++ +
= + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +−−−−
− + + + + +− + + + + +− + + + + +− + + + + +====−−−−
− +− +− +− += == == == =− −− −− −− −
Bti
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 141
លហតទ១៧
េគឱយអនគមន 3 2
2
x 8x 13x 2y f (x)
x 2x 1
− + −− + −− + −− + −= == == == =− +− +− +− +
ក. សកសអេថរភព នងសងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយអរត
ណរមល )j,i,o(→→→→→→→→
មនឯកត 1cm េនេលអកស ។
ខ. េដយេរបរកប (c) ចរសកសតមតៃមល m នវអតថភពៃនឬសរបស
សមករ 3 2x (m 8)x (2m 13)x (m 2) 0− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =
( m IR∈∈∈∈ ជបរែមរត )
ដេណះរសយ
----ែដនកនត D IR 1 = −= −= −= −
----ទសេដអេថរភព
....សរេសរជរងកណនច
1x2x
4)6x12x6()xx2x()x(f
2
223
++++−−−−++++++++−−−−−−−−++++−−−−====
2)1x(
46x)x(f
−−−−++++−−−−====
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 142
....េដរេវ 3
3 3
8 (x 1) 8f '(x) 1
(x 1) (x 1)
− −− −− −− −= − == − == − == − =− −− −− −− −
....ចនចបរម
េប f '(x) 0==== េគបន 3(x 1) 8 0− − =− − =− − =− − = ឬ x 3====
អនគមនមនតៃមលអបបបរមេធៀបរតង x 3==== គ
2
4f (3) 3 6 2
(3 1)= − + = −= − + = −= − + = −= − + = −
−−−−
....គណនលមត
2x 1 x 1
4lim f (x) lim x 6
(x 1)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −
= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞
−−−−
នង 2x 1x 1
4lim f (x) lim x 6
(x 1)→ +→ +→ +→ +→→→→ ++++
= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞
−−−−
2x x
4lim f (x) lim x 6
(x 1)→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞
= − + = ±∞= − + = ±∞= − + = ±∞= − + = ±∞
−−−−
....អសមតត
េដយេគមន x 1limf (x)
→→→→= +∞= +∞= +∞= +∞ នឲយបនទ ត x 1==== ជអសមតតឈរ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 143
មយងេទៀតេគមន 2
4f (x) x 6
(x 1)= − += − += − += − +
−−−− េដយ
2x
4lim 0
(x 1)→±∞→±∞→±∞→±∞====
−−−−
ដចេនះបនទ ត y x 6= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនែខសេកង (c) ។
....តរងអេថរភព
x ∞∞∞∞−−−− 1 3 ∞∞∞∞++++ )x('f
)x(f
----សងរកប 3 2
2
x 8x 13x 2(c) : y
x 2x 1
− + −− + −− + −− + −====− +− +− +− +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 144
ខ. េដយេរបរកប (c) សកសតមតៃមល m នវអតថភពៃនឬស សមករ ៖
0)2m(x)13m2(x)8m(x 23 ====++++−−−−++++++++++++−−−− សមករេនះអចសរេសរដចខងេរកម ៖
m
1x2x2x13x8x
)1x2x(m2x13x8x
02mx13mx2x8mxx
2
23
223
223
====++++−−−−
−−−−++++−−−−
++++−−−−====−−−−++++−−−−
====−−−−−−−−++++++++−−−−−−−−
2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0 1
1
X
Y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 145
ជសមករអបសសចណចរបសពវរវង ែខសេកង(c) នងបនទ ត ( ) : y m∆ =∆ =∆ =∆ = ។
តមរកហវកេយងអចសននដឋ នលទឋផលដចខងេរកម ៖
-ចេពះ m ( , 2)∈ −∞ −∈ −∞ −∈ −∞ −∈ −∞ − សមករមនឬសែតមយគត ។
-ចេពះ m 2= −= −= −= − សមករមនឬសឌប 1 2x x 3= == == == = នងឬសេទល
3x 0==== ។
-ចេពះ m ( 2 , )∈ − + ∞∈ − + ∞∈ − + ∞∈ − + ∞ សមករមនឬសបេផសងគន ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 146
លហតទ១៨
េគឱយអនគមន 3 2
2
x 6x 9x 4y f (x)
x 4x 4
− + −− + −− + −− + −= == == == =− +− +− +− +
ក. សកសអេថរភព នងសងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរមយអរត
ណរមល )j,i,o(→→→→→→→→
មនឯកត 1cm េនេលអកស ។
ខ. េដយេរបរកប (c) ចរសកសតមតៃមល m នវអតថភពៃនឬសរបស
សមករ 3 2x (m 6)x (4m 9)x 4(m 1) 0− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =
( m IR∈∈∈∈ ជបរែមរត )
ដេណះរសយ
-ែដនកនត D IR 2 = −= −= −= −
-ទសេដអេថរភព
.សរេសរជរងកណនច 3 2 2
2
2
(x 4x 4x) (2x 8x 8) 3x 4f (x)
x 4x 43x 4
f (x) x 2(x 2)
− + − − + − +− + − − + − +− + − − + − +− + − − + − +====− +− +− +− +
−−−−= − −= − −= − −= − −−−−−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 147
.េដរេវ 2
4
3(x 2) 2(x 2)(3x 4)f '(x) 1
(x 2)
− − − −− − − −− − − −− − − −= −= −= −= −−−−−
3
3 2
3
3 2
3
2
3
3x 6 6x 8f '(x) 1
(x 2)
x 6x 12x 8 3x 2
(x 2)
x 6x 15x 10
(x 2)
(x 1)(x 5x 10)
(x 2)
− − +− − +− − +− − += −= −= −= −−−−−
− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −====−−−−
− + −− + −− + −− + −====−−−−
− − +− − +− − +− − +====−−−−
.ចនចបរម
េប f '(x) 0==== េគបន 2(x 1)(x 5x 10) 0− − + =− − + =− − + =− − + =
េដយរតធ 2x 5x 10 0 , 25 40 0− + = ∆ = − <− + = ∆ = − <− + = ∆ = − <− + = ∆ = − < (គម នឬស)
ដចេនះេគបន x 1==== ។
អនគមនមនតៃមលអតបរមរតងx 1==== គ 2
3 4f (1) 1 2 0
(1 2)
−−−−= − − == − − == − − == − − =−−−−
.គណនលមត
2x 2 x 2
3x 4lim f (x) lim x 2
(x 2)→ →→ →→ →→ →− −− −− −− −
−−−−= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞ −−−−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 148
នង 2x 2x 2
3x 4lim f (x) lim x 2
(x 2)→ +→ +→ +→ +→→→→ ++++
−−−−= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞ −−−−
2x x
3x 4lim f (x) lim x 2
(x 2)→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞→±∞ →±∞
−−−−= − − = ±∞= − − = ±∞= − − = ±∞= − − = ±∞ −−−−
.អសមតត
េដយេគមន x 1limf (x)
→→→→= +∞= +∞= +∞= +∞ នឲយបនទ ត x 1==== ជអសមតតឈរ ។
មយងេទៀតេគមន 2
3x 4f (x) x 2
(x 2)
−−−−= − −= − −= − −= − −−−−−
េដយ 2x
3x 4lim 0
(x 2)→±∞→±∞→±∞→±∞
−−−− ====−−−−
ដចេនះបនទ ត y x 2= −= −= −= − ជអសមតតេរទត
ៃនែខសេកង (c) ។
.តរងអេថរភព
x ∞∞∞∞−−−− 1 2 ∞∞∞∞++++ )x('f
)x(f
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 149
-សងរកប 3 2
2
x 6x 9x 4(c) : y
x 4x 4
− + −− + −− + −− + −====− +− +− +− +
ខ. េដយេរបរកប (c) សកសតមតៃមល m នវអតថភពៃនឬសរបស
សមករ 3 2x (m 6)x (4m 9)x 4(m 1) 0− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =− + + + − + =
សមករេនះអចសរេសរ 3 2
2
x 6x 9x 4m
x 4x 4
− + −− + −− + −− + − ====− +− +− +− +
2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
X
Y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 150
ជសមករអបសសចណចរបសពវរវង ែខសេកង(c) នងបនទ ត ( ) : y m∆ =∆ =∆ =∆ = ។
តមរកហវកេយងអចសននដឋ នលទឋផលដចខងេរកម ៖
-ចេពះ m ( ,0)∈ −∞∈ −∞∈ −∞∈ −∞ សមករមនឬសបេផសងគន ។
-ចេពះ m 0==== សមករមនឬសឌប 1 2x x 1= == == == = នងឬសេទល
3x 4==== ។
-ចេពះ m (0 , )∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞∈ + ∞ សមករមនឬសែតមយគត។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 151
លហតទ១៩
េគឱយអនគមន (((( )))) (((( )))) xf x 1 x .e 1= − −= − −= − −= − − កនតេល IR ។
ក. គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន f ។
ទញបញជ កសញញ ៃនអនគន (((( ))))f x ។
ខ. េគឱយ g ជអនគមន កនតេល IR េដយ (((( )))) (((( )))) xg x 2 x .e 2 x= − + −= − + −= − + −= − + −
ចរគណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞
នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞
។
គ. គណនេដរេវ (((( ))))g' x រចបញជ កសញញ របស (((( ))))g' x ។
គសតរងអេថរភពៃន (((( ))))g x ។
ឃ. រសយបញជ កថបនទ ត (((( ))))d : y 2 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប
(((( ))))C តងអនគមនg កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ ។
សកសទតងេធៀបរវងែខសេកង (((( ))))C នងបនទ ត (d) ។
ង.សរេសរសមករបនទ ត (((( ))))T បះនង (((( ))))C េហយរសបនងបនទ ត(((( ))))d ។
ច. កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។
ឆ. សងរកប(((( ))))C បនទ ត(((( ))))T នង(((( ))))d កនងតរយអរតណរមល (((( ))))0, i , j
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 152
ដេណះរសយ
ក. គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន f
េគមន (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x xf ' x 1 x '.e e '. 1 x= − + −= − + −= − + −= − + −
(((( ))))x x
x x x
x
e e 1 x
e e x.e
x.e
= − + −= − + −= − + −= − + −
= − + −= − + −= − + −= − + −
= −= −= −= −
េប (((( )))) xf ' x x.e 0= − == − == − == − = នេអយ x 0==== ។
ចេពះ x 0==== េគបន (((( )))) (((( )))) 0f 0 1 0 .e 1 0= − − == − − == − − == − − = ។
គណនលមតៈ
(((( )))) (((( )))) x
x xlim f x lim 1 x .e 1 1→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
= − − = −= − − = −= − − = −= − − = −
នង (((( )))) (((( )))) x
x xlim f x lim 1 x .e 1→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞
= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞= − − = −∞
x −∞−∞−∞−∞ 0 +∞+∞+∞+∞
(((( ))))f x
( )x'f
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 153
ទញបញជ កសញញ ៃនអនគមន (((( ))))f x ៈ
តមតរងខងេលេគទញបន (((( ))))x IR : f x 0∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤ ។
ខ/គណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞
នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞
៖
េគបន (((( )))) (((( )))) (((( ))))x
x xlim g x lim 2 x .e 2 x→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞= − + − = +∞
េរពះ (((( ))))
(((( ))))x
x
x
lim 2 x
lim e 0
→−∞→−∞→−∞→−∞
→−∞→−∞→−∞→−∞
− = +∞− = +∞− = +∞− = +∞
====
េគបន (((( )))) (((( )))) (((( ))))x
x xlim g x lim 2 x .e 2 x→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞
= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞= − + − = −∞
េរពះ (((( ))))
(((( ))))x
x
x
lim 2 x
lim e
→+∞→+∞→+∞→+∞
→+∞→+∞→+∞→+∞
− = −∞− = −∞− = −∞− = −∞
= +∞= +∞= +∞= +∞
គ. គណនេដរេវ (((( ))))g' x រចបញជ កសញញ របស (((( ))))g' x ៈ
េគមន (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x xg x 2 x .e 2 x 2 x e 1= − + − = − += − + − = − += − + − = − += − + − = − +
េគបន (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))x xg' x 2 x ' e 1 e 1 ' 2 x= − + + + −= − + + + −= − + + + −= − + + + −
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 154
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
x x
x x x x x
x
e 1 e . 2 x
e 1 2e x.e e x.e 1
1 x .e 1
= − + + −= − + + −= − + + −= − + + −
= − − + − = − −= − − + − = − −= − − + − = − −= − − + − = − −
= − −= − −= − −= − −
ដចេនះ (((( )))) (((( )))) xg ' x 1 x .e 1= − −= − −= − −= − −
មយងេទៀតេដយ (((( )))) (((( )))) (((( ))))xg' x 1 x .e 1 f x= − − == − − == − − == − − =
េហយេគមន (((( ))))x IR : f x 0∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤
ដចេនះ (((( ))))x IR : g' x 0∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤∀ ∈ ≤ ។
គសតរងអេថរភពៃន ( )xg ៈ
x −∞−∞−∞−∞ 0 +∞+∞+∞+∞
(((( ))))g' x
(((( ))))g x
ចេពះ x 0==== នេអយ (((( ))))g 0 4====
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 155
ឃ. រសយ ថបនទ ត (((( ))))d : y 2 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប (((( ))))C
េគមន (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
xC : g x 2 x .e 2 x
d : y 2 x
= − + −= − + −= − + −= − + −
= −= −= −= −
េគបន (((( )))) (((( )))) xg x y 2 x .e− = −− = −− = −− = −
េដយេគមន (((( )))) (((( )))) x
x xlim g x y lim 2 x .e 0→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
− = − =− = − =− = − =− = − =
ដចេនះ បនទ ត (((( ))))d : y 2 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប (((( ))))C ។
សកសទតងេធៀបរវងែខសេកង (((( ))))C នងបនទ ត (d) ៈ
េគមន (((( )))) (((( )))) xg x y 2 x .e− = −− = −− = −− = − មនសញញ ដច 2 x−−−−
េរពះ xx IR :e 0∀ ∈ >∀ ∈ >∀ ∈ >∀ ∈ > ។
-ចេពះ ]]]] [[[[x ,2∈ −∞∈ −∞∈ −∞∈ −∞ ែខសេកង (((( ))))C េនពេលបនទ ត (((( ))))d ។
-ចេពះ x 2==== ែខសេកង (((( ))))C របសពវបនទ ត (((( ))))d រតងចនច (((( ))))A 2,0 ។
-ចេពះ ]]]] [[[[x 2,∈ +∞∈ +∞∈ +∞∈ +∞ ែខសេកង (((( ))))C េនពេរកមបនទ ត (((( ))))d ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 156
ង. រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង (((( ))))C េហយរសបនង (((( ))))d ៖
តង (((( ))))0 0 0M x ,y ជចនចបះរវងបនទ ត (((( ))))T ជមយ (((( ))))C
តមរបមនត (((( ))))0 0 0(T) : y y y' . x x− = −− = −− = −− = −
េដយ (((( )))) (((( ))))T / / d : y 2 x= −= −= −= − នឱយ 0y' 1= −= −= −= −
ែត (((( )))) (((( )))) x0 0 0
0y' g' x 1 x e 1= = − −= = − −= = − −= = − −
េគទញបន (((( )))) x0
01 x e 1 1− − = −− − = −− − = −− − = − នឱយ 0x 1====
េហយ (((( ))))0 0y g x e 1= = += = += = += = + ។
េគបន (((( )))) (((( )))) (((( ))))T : y e 1 1. x 1− + = − −− + = − −− + = − −− + = − −
ដចេនះ (((( ))))T : y x e 2= − + += − + += − + += − + + ។
ច. កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ៖
េគមន (((( )))) (((( )))) (((( ))))xg' x 1 x .e 1 f x= − − == − − == − − == − − =
េគបន (((( )))) (((( )))) xg'' x f ' x x.e= = −= = −= = −= = − មនឬស x 0==== ។
ចេពះ x 0==== េគបន g(0) 4==== ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 157
តរងសកសសញញ ៃន (((( )))) xg'' x x.e= −= −= −= −
x −∞−∞−∞−∞ 0 +∞+∞+∞+∞
(((( ))))g'' x
(((( ))))g x
េដយរតងចនច x 0==== កេនសម (((( ))))g'' x បតរសញញ ព (((( ))))++++ េទ (((( ))))−−−−
នឱយ (((( ))))I 0,4 ជចនចរបតៃនរកប ។
ឆ. សងរកប (((( ))))C បនទ ត (((( ))))T នង (((( ))))d កនងតរយអរតណរមល ៖
2 3 4 5-1-2-3
2
3
4
5
-1
0 1
1
x
y
( C )
( T ) : y = -x+2+e
(d) : y = 2-x
M ( 1 , e + 1 )
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 158
លហតទ២០
េគឱយអនគមន 2xf (x) (x 1)(e 1)= − += − += − += − + ែដល x IR∈∈∈∈ ។
ក-ចរគណនលមត xlim f (x)→−∞→−∞→−∞→−∞
នង xlim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞
។
ខ-គណនេដរេវ f '(x) នងf ''(x) រចគសតរងអេថរភពៃន f '(x) ។
( មនបចរកលមតៃន f '(x) រតង −∞−∞−∞−∞ នង +∞+∞+∞+∞ ) ។
គ-កនតសញញ របស f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f (x) ។
ឃ-រសយបញជ កថបនទ ត (d): y x 1= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប
(c) ៃន y f (x)==== ។កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ ។
បញជ កទតងេធៀបរវងែខសេកង (c) នងបនទ ត (d)
ង-កនតសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) េហយរសបជមយនងបនទ ត (d) ។
ច-ចរគសរកប (c) នងបនទ ត (d),(T) កនងតរមយអរតនរមល
(o, i , j )→ →→ →→ →→ →
ែតមយ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 159
ដេណះរសយ
ក-គណនលមត xlim f (x)→−∞→−∞→−∞→−∞
នង xlim f (x)→+∞→+∞→+∞→+∞
េយងមន 2xf (x) (x 1)(e 1)= − += − += − += − +
េយងបន 2x
x xlim f (x) lim (x 1)(e 1)→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞
= − + = −∞= − + = −∞= − + = −∞= − + = −∞
េរពះ x
2x
x
lim (x 1)
lim (e 1) 1
→−∞→−∞→−∞→−∞
→−∞→−∞→−∞→−∞
− = −∞− = −∞− = −∞− = −∞
+ =+ =+ =+ =
នង 2x
x xlim f (x) lim (x 1)(e 1)→+∞ →−∞→+∞ →−∞→+∞ →−∞→+∞ →−∞
= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞= − + = +∞
េរពះ x
2x
x
lim (x 1)
lim (e 1)
→+∞→+∞→+∞→+∞
→+∞→+∞→+∞→+∞
− = +∞− = +∞− = +∞− = +∞
+ = +∞+ = +∞+ = +∞+ = +∞
ខ-គណនេដរេវ f '(x) នង f ''(x)
េយងមន 2xf (x) (x 1)(e 1)= − += − += − += − + កនតេល D IR====
េយងបន 2x 2xf '(x) (x 1)'(e 1) (e 1)'(x 1)= − + + + −= − + + + −= − + + + −= − + + + −
2x 2x
2x
e 1 2e (x 1)
1 (2x 1)e
= + + −= + + −= + + −= + + −
= + −= + −= + −= + −
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 160
នង 2x 2x 2xf ''(x) (2x 1)'e (e )'(2x 1) 4xe= − + − == − + − == − + − == − + − =
ដចេនះ 2x 2xf '(x) 1 (2x 1)e , f ''(x) 4xe= + − == + − == + − == + − = ។
គសតរងអេថរភពៃន f '(x)
េយងមន xf ''(x) 4xe==== មនឬស x 0====
ចេពះ x 0==== េនះ f '(0) 1 1 0= − == − == − == − = ។
គ-កនតសញញ របស f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f (x)
តមតរងអេថរភពខងេលេយងទញបន f '(x) 0 , x IR≥ ∀ ∈≥ ∀ ∈≥ ∀ ∈≥ ∀ ∈
ដចេនះ f '(x) មនសញញ វជជមន ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 161
x −∞−∞−∞−∞ 0 +∞+∞+∞+∞
(((( ))))f ' x
(((( ))))f x
ឃ-រសយបញជ កថបនទ ត (d): y x 1= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប
េយងមន 2x 2xf (x) (x 1)(e 1) x 1 (x 1)e= − + = − + −= − + = − + −= − + = − + −= − + = − + −
េដយេគមន 2x
xlim (x 1)e 0→−∞→−∞→−∞→−∞
− =− =− =− =
ដចេនះ បនទ ត (d): y x 1= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប(c) ។
-បញជ កទតងេធៀបរវងែខសេកង (c) នងបនទ ត (d) ៈ
េគមន 2xf (x) y (x 1) e− = −− = −− = −− = − មនសញញ ដច x 1−−−−
េរពះ 2xe 0 , x IR> ∀ ∈> ∀ ∈> ∀ ∈> ∀ ∈ ។
-េប x 1 0− >− >− >− > ឬ x 1>>>> េនះែខសេកង (c) េនេលបនទ ត (d) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 162
-េប x 1 0− <− <− <− < ឬ x 1<<<< េនះែខសេកង (c) េនេរកមបនទ ត (d) ។
-េប x 1 0− =− =− =− = ឬ x 1==== េនះែខសេកងកតបនទ តរតងចនចមយ
(((( ))))A 1 , 0 ។
ង-កនតសមករបនទ ត (T) បះនងែខសេកង (c) ៖
តង 0 0 0M ( x ,y ) ជចនចបះរវងបនទ ត (T) នងរកប (c)
តមរបមនតសមករបនទ តបះសរេសរ 0 0 0(T) : y y f '(x ) (x x )− = −− = −− = −− = −
េដយ (T) / /(d) : y x 1= −= −= −= − នឱយ 0f '(x ) 1====
ែត 2x0 0
0f '(x ) 1 (2x 1)e= + −= + −= + −= + −
េគបន 2x0
01 (2x 1)e 1+ − =+ − =+ − =+ − = នឱយ 01
x2
====
េហយ 01 1 1
y f ( ) ( 1)(e 1) (e 1)2 2 2
= = − + = − += = − + = − += = − + = − += = − + = − +
េគបន 1 1(T) : y (e 1) 1(x )
2 2+ + = −+ + = −+ + = −+ + = − នឱយ e
y x 12
= − −= − −= − −= − − ។
ដចេនះ e(T) : y x 1
2= − −= − −= − −= − − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 163
ច-គសរកប (c) នងបនទ ត (d),(T) ៖
-កអរេដេនចណរចសពវរវង(c) ជមយអកសអបសស ៖
គ 2xy (x 1)(e 1) 0= − + == − + == − + == − + = េនះ x 1==== ។
-កអរេដេនចណរចសពវរវង(c) ជមយអកសអរេដេណរ ៖
គ x 0==== េនះ x 1==== ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 164
ជពកទ៥
លហតអនវតតន ១-ចរគណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖
1/ 3y 3cos x cos x= −= −= −= − 2/ 3y sin xcos 3x====
3/ 4y sin 4xcos x==== 4/ sin xy
1 sin x====
++++
5/ cos xy
1 cos x====
−−−− 6/ sin x cos x
ysin x cos x
−−−−====++++
7/ 1 tan xy
1 tan x−−−−====++++
8/ 2 31 1y tan x tan x
2 3= += += += +
9/ y x cot x= −= −= −= − 10/ 4y cot x====
២-គណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖
1/ x
x
e 1y
e 1
−−−−====++++
2/ 2 xy (x x 1)e−−−−= − += − += − += − +
3/ x2y e−−−−==== 4/ 3 2xy x e====
5/ 2 xy (x x)e= −= −= −= − 6/ 2x 2xe e
y2
−−−−−−−−====
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 165
៣-គណនេដរេវៃនអនគមនខងេរកម ៖
1/ x ln xy
x++++==== 2/ 2
ln xy
x====
3/ y 1 x x ln x= − += − += − += − + 4/ x 1y ln
x 1−−−−====++++
5/ 2y ln(x 4x 3)= − += − += − += − + 6/ 2y ln(x x 4)= + += + += + += + +
៤-េគឲយរតេកណ ABC មយចរកកនងរងវងផចត O ែដលមនក 6 cm ។
េគដងថ 0BOC 120∠ =∠ =∠ =∠ = ។
ចរកនតរជងរបសរតេកណេនះេដមបឲយវមនរកឡៃផទអតបរម
រចកនតរករកឡៃផទអតបរមេនះ
៥-េគមនរតេកណ ABC មយមនរជង ៖
AB 3 cm , AC 4 cm , BC 5 cm= = == = == = == = = ។
M នង N ជចនចសថតេនេលរជងេរៀងគន [AB] នង [AC]
ែដល MN 3 cm==== កនតរករកឡៃផទរបសចតេកណ BMNC
េបផលបកអងកតរទងទងពររបសវមនតៃមលអតបរម ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 166
៦-េគឲយចតេកណពន យ ABCD មយែកងរតង A នង D េហយេគយក
M ជចនចមយៃន[AD] ។េគដងថ AB 8 cm , AD 10 cm= == == == =
នង CD 12 cm==== ។
ចរកនតរកទតងៃនចនច M េដមបឲយរតេកណ MBC មនបរមរត
តចបផត ។
៧-េគឲយកនលះរងវងមយមនវជឈមរត AB 8cm==== េហយ P ជចនចមយ
ៃនកនលះរងវងេនះ ។
េគតង PA x , PB y= == == == = ែដល 0 x 8 cm , 0 y 8 cm< < < << < < << < < << < < < ។
កនត x នង y េដមបឲយរកឡៃផទរតេកណ PAB មនតៃមលអតបរម
៨-រតេកណABC មយែកងរតងA ែដល AB 5 cm==== នងAC 12 cm====
យកM ជចនចមយៃនរជង [AC] ែដល AM x==== ។
តម M េគសងចតេកណែកង MNPA ចរកកនងរតេកណេនះ
កនត x េដមបឲយចតេកណMNPA មនរកឡៃផទអតបរមរចកនត
រករកឡៃផទអតបរមេនះ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 167
៩-េគឲយរតេកណ ABC មយមនរជង
AB 51 cm , AC 52 cm , BC 53 cm= = == = == = == = = ។
M ជចនចមយៃនរជង [AB] ។
តម M េគគសបនទ ត (MN) រសបនងរជង [BC] េហយកតរជង
[AC] រតង N ។ K នង L ជេជងៃនចេណលែកងចនច M
នងN េរៀងគន េលរជង [BC] ។យកAM x==== ែដល 0 x 51 cm< << << << <
កនតតៃមល x េដមបឲយចតេកណ KMNL មនរកឡៃផទអតបរម ។
១០-កនងតរមយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →
េគសងបនទ ត (L) កតតម
ចនច A( 3 , 4 ) ។បនទ ត (L) កតអកស (ox) រតង P
នង កតអកស (oy) រតង Q ។ េគសនមតថ P( a , 0 )
នង Q(0 , b ) ែដល a 0 , b 0> >> >> >> > ។
កនត a នង b េដមបឲយរតេកណOPQ មនរកឡៃផទអបបបរម
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 168
១១-កនងតរមយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →
េគមនចនច P(x , y ) មយ
ែដល x 0 , y 0> >> >> >> > ។K នង L ជចេណលែកងៃនចនច P
េលអកសេរៀងគន (ox) នង (oy) ។
ក.កនតសណចនច P េដមបឲយបរមរតរតេកណ KPL
េសមនង 12cm ។
ខ.សនមតថបរមរតរតេកណ KPL េសមនង 12cm ។
កនតទតងចន P េដមបឲយរតេកណKPL មនរកឡៃផទអតបរម ។
១២-េគចងេធវអងទកមយគម នគរបរងចតេកណែកងែដលមនបត
ខងកនងជកេរ េហយៃផទខងសរបែផនកខងកនងអងេសមនង 2108 m
កនតរកវមរតរបសអងទកេនះេដមបឲយវអចដកទកបនេរចនបផត ។
១៣-បេងគ លពរមយមនកពស4 m នងមយេទៀតមនកពស9m ដក
បញឈរឃល តពគន 10m េដមបឲយបេងគ លទងពរេននងេគបនចងែខសលសពរែខសភជ បេទនងសនងមយេទកពលបេងគ លនមយៗ ។
េតេគរតវេបះសនងេនរតងណេដមបឲយេរបែខសលសអសតចបផត ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 169
១៤-េកណមយមនកពស 15 cm កថសបត 6 cm ។
េគសងសឡងមយចរកកនងេកណេនះ ។
កនតកពសនងកថសបត សឡងេដមបឲយវមនមឌអតបរម
១៥-េគឲយែសវមយមនក 6 cm ។ េគសងសឡងមយចរកកនងែសវេនះ
កនតកពសនងកថសបតៃនសឡងេដមបឲយវមនមឌអតបរម
១៦-េគកតចេរៀកថសមយមនមផចត θθθθ េចញពរងវងមយមនក
r 12 dm==== េហយចេរៀកថសែដលេនសលពកត េគបនយក
េទេធវជេកនមយ ។
គណនរងវ សម θθθθ េដមបឲយេកនមនមឌអតបរម ។
១៧-មនសសពរនកសថតេនចមង យពគន 100 km រតសេដរកចនចO
េលផលវពរែកងគន ។មនសសទមយរតេចញពរចនចA េដយេលបឿន
10 km / h េហយមនសសទពររតេចញពចនចB េដយេលបឿន
12 km / h ។ េគដងថ OA 60 km , OB 80 km= == == == = ។
ចរគណនចមង យអបបបរមៃនមនសសទងពរនក ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 170
១៨-រតេកណ ABC មយមនបរមរត 15 cm នងម 0A 120==== ។
តង x , y , z ជរងវ សរជងរបសរតេកណេនះ ។
ចរកនត x , y , z េដមបឲយរតេកណ ABC ។
មនរកឡៃផទអតបរម ។
១៩-របេលពែបតែកងមយមនវមរតតងេដយ a , b , c
េហយមនមឌ 327 cm ។
េបេគបែនថម 1cm េទេលរទនង a េហយ 1cm េលរទនង b
នង 1 cm េលរទនងc េនះេគបនរបេលពែបតែកងមយេទៀត
មនមឌ V ។ កនត a , b , c កលណ V មនតៃមលអបបបរម
២០-េគឲយពរចននពត x នង y េផទៀងផទ តសមករ 2 2x xy y 12− + =− + =− + =− + =
ចររកតៃមលអតបរម នង អបបបរមៃន 2 2P(x;y) (x 2)(y 2)= − −= − −= − −= − −
២១-បរសមន កេនេលទកចងយ 2 km ពចនចជតបផត
េនេលេឆនរសមរត ។គតបនេធវដេណ រេឆព ះេទរកចនច Q
មយេនខងេរកមេឆនរមនចមង យ 3 km នង 1 km ពមតសមរទ
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 171
េបគតអទកកនងេលបឿន 2 km / h នងេដរកនងេលបឿន 4km / h
ចររកទតងេនេលេឆនរែដលគតរតវេធវដេណ រេឆព ះេទដលចនច Q
េដយេរបេពលអសតចបផត ។
២២-កនងតរមយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →
េគឲយេអលប (E)
មនសមករ 2 2x 4y 1+ =+ =+ =+ = ែដលេនេលេនះេគមនចនច 0 0 0M ( x , y ) ែដល 0 .0x 0 , y 0> >> >> >> > ។
េគគសបនទ ត (L) មយបះេទនងេអលបេនះ ។
K នង L ជចនចរបសពវរវងបនទ ត (L) ជមយអកសេរៀងគន
(ox) នង (oy) ។កនតទតងៃនចនច 0M េដមបឲយរតេកណ OKL
មនរកឡៃផទអតបរម។
២៣-េគឲយអនគមន2x x 2
f (x)x
− +− +− +− +==== មនែខសេកងតនង(c)
កនងតរយអរតនរមល(O, i , j )→ →→ →→ →→ →
នង ( )∆∆∆∆ ជបនទ តមនសមករ
y mx 2m 3= − += − += − += − + ែដល m IR∈∈∈∈ ជបរែមរត ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 172
ក.េប m 1==== ចររគណនកអរេដេនចនចរបសពវA រវងបនទ ត ( )∆∆∆∆
ជមយែខសេកង (c) ។
ខ.េប m 1≠≠≠≠ ចរបងហ ញថបនទ ត ( )∆∆∆∆ កតែខសេកង(c) ជនចចរតងពរ
ចនចP នង Q ។
គ.បងហ ញថបនទ ត (AP) នង (AQ) ែកងនងគន ជនចចរគបតៃមល m ។
២៤-េគឲយអនគមន2x 3x 4
f (x)x 1− +− +− +− +====
−−−−
មនែខសេកងតនង(c) កនងតរយអរតនរមល(O, i , j )→ →→ →→ →→ →
ក.ចររកសមករបនទ ត(T) ែដលបះនងែខសេកង(c) រតងចនច A
មនអបសស x 2==== ។
ខ.េតបនទ ត ( )∆∆∆∆ មនេមគណរបបទស m រតវគសេចញពចនចណ
េដមបឲយកតែខសេកង (c) បនពរចនច K នង L ែដលបនទ តភជ បព
ចនច K នង L េទចនចA ែកងនងគន ជនចចចេពះរគបតៃមល m ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 173
២៥-េគឲយែខសេកង (c) មនសមករ 2x 5
y f (x) 3x2 2
= = − += = − += = − += = − +
េតបនទ ត ( )∆∆∆∆ មនេមគណរបបទស m រតវគសេចញពចនចណ
េដមបឲយកតែខសេកង (c) បនពរចនច K នង L ែដលបនទ តបះ
(c) រតង K នង L ែកងនងគន ជនចចចេពះរគបតៃមល m ។
២៦-េគឲយែខសេកង(c) មនសមករ 2x (m 1)x 2m 1
yx 2
− + + −− + + −− + + −− + + −====−−−−
ែដល m IR∈∈∈∈ ជបរែមរត ។
បងហ ញថែខសេកង (c) មនកពលពរជនចចែដលមនចមង យពគន េថរចេពះរគប m ។
២៧-េគឲយែខសេកង m(c ) តងអនគមន 2x 2(m 1)x 5m 1
f (x)x m
− + + −− + + −− + + −− + + −====−−−−
ក.រកលកខខណឌ សរមប m េដមបឲយែខសេកង m(c ) មនអសមតតពរ
ែដលរតវកនត ។
ខ.តង I ជចនចរបសពវរវងអសមតតទងពរ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 174
រកសណចនច I កលណ m ែរបរបល។
គ.បងហ ញថមនែខសេកងពរៃនរគសរែខសេកង m(c ) ែដលបះនង
អកសអបសស ។
២៨-េគឲយអនគមន n
2k k
k 1f (b) (y ax b )
====
= − −= − −= − −= − − ∑∑∑∑ ។
ចររសយថអនគមន f (b) មនតៃមលអបបបរមលះរតែតេគមន
ទនកទនង y a x b= += += += + ែដល
n
kk 1
(x )
xn
========∑∑∑∑
នង
n
kk 1
(y )
yn
========∑∑∑∑
។
២៩-េគឲយអនគមន sin x 2cosx 3f (x)
3cosx 2+ ++ ++ ++ +====
++++ ។
ចររកតៃមលអតបរម នង អបបរមៃនអនគមនេនះ ។
៣០-េគឲយអនគមន 2x (m 1)x 2m 1
y f (x)x 2
+ + + −+ + + −+ + + −+ + + −= == == == =++++
ចរកនតតៃមលរបស m េដមបឲយអនគមនេនៈមនតៃមលអតបរមេសម αααα
នង មនតៃមលអបបបរមេសម ββββ ែដល 2 2 10α + β =α + β =α + β =α + β = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 175
៣២-េគឲយអនគមន 2x mx 3
y f (x)x 2− +− +− +− += == == == =
−−−−
ចរកនតតៃមលរបស m េដមបឲយអនគមនេនៈមនតៃមលអតបរមេសម αααα
នង មនតៃមលអបបបរមេសម ββββ ែដល | | 4α − β =α − β =α − β =α − β = ។
៣៣-េគមនអនគមន 2
2ax bx 4
y f (x)x 1
+ ++ ++ ++ += == == == =++++
កនតចននពត a នង b េដមបឲយអនគមន f (x) មនចនចបរម
ែតមយគត នង មនបនទ ត y 2==== ជអសតតឈរ ។
៣៤-េគឲយអនគមន 2
2x x 1
y f (x)x 3x 3
− +− +− +− += == == == =− +− +− +− +
េដយមនេរបេដរេវចរកនតរកតៃមលអតបរមនងអបបបរមៃនអនគមន
៣៥-េគឲយអនគមន 2
2x ax b
y f (x)x 1
+ ++ ++ ++ += == == == =++++
ចររកលកខខណឌ ៃន a នង b េដមបឲយែខសេកង (c) តងអនគមន f (x)
កតអកសអបសសបនពរចនចែដលបនទ តបៈវរតងពរចនចេនះ
ែកងនងគន ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 176
៣៦-េគឲយអនគមន 3 2 2 3
2x 3mx 3(m 1)x m 2
f (x)x 1
− + − − +− + − − +− + − − +− + − − +====++++
កនតតៃមល m េដមបឲយែខសេកង (c) តងអនគមន f (x)
កតអកសអបសសបនបចនចេផសងគន ែដលមនអបសសវជជមន ។
៣៧-េគឲយអនគមន 2ax bx c
f (x)x d+ ++ ++ ++ +====++++
ចរកនតបនចននពត a , b , c , d េដមបឲយអនគមនេនៈមនតៃមល
អបបបរម f (3) 3==== នងមនបនទ ត y x 1= −= −= −= − ជអសមតតេរទត ។
៣៨-េគឲយអនគមន 2
2ax bx 2
f (x)x 2x 4
+ ++ ++ ++ +====+ ++ ++ ++ +
កនត a ,b , c េដមបឲយ f (x)
ជអនគមនេថរ ។
៣៩-េគឲយអនគមន 2x 2
f (x)x++++==== មនែខសេកង (c) នងបនទ ត
(d) : y mx 2 3= += += += + ែដល m ជបរែមរត។
ក-កនតរងរបស m េដមបឲយ (d) កត (c) បនពរចនចA នង B ។
ខ-កនតតៃមលm េដមបឲយបនទ តបះ(c) រតងចនចA នង B ែកងនងគន ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 177
៤០-េគឲយែខសេកង 2(c) : y x 2x 3= − += − += − += − + នងចនច A( 6 , 1 ) ។
ចររកចនចទងអសេនេលែខសេកង (c) ែដលមនចងយខលបផតេទ
ចនច A ។
៤១-េគឲយអនគមន 2
4 2f (x)
x==== មនែខសេកង (c) ។
ចរសរេសរសមកររងវងផចត O ែដលបះេទនងែខសេកង (c) ខងេល
៤២-េគឲយែខសេកង 2(c) : y x==== នងបនទ ត (d) : 4x y 21 0− − =− − =− − =− − =
កនតរកកអរេដេនៃនចនចទងអសេនេលែខសេកង(c) ែដលមន
ចងយខលបផតេទបនទ ត (d) ។
៤៣-េគឲយែខសេកង 2x 3x 1
(c) : yx 1− +− +− +− +====
−−−− នងបនទ ត (d) : y ax b= += += += +
កនត a នង b េដមបឲយបនទ ត (d) កតែខសេកង (c) បនពរចនច A នង B ឆលះគន េធៀបេទនងបនទ តពះទមយៃនអកសកអរេដេន ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 178
៤៤-េគឲយអនគមន 2x x 2
f (x)x
− −− −− −− −==== មនែខសេកង (c) ។
A នង B ជចនចពរេនេល (c) មនអបសសេរៀងគន 12
នង 2
រកចនចទងអសេនេលែខសេកង (c) ែដលបនទ តបះវរតងចនចទង
េនះរសបនងបនទ ត(AB) ។
៤៥-េគឲយអនគមន 2x 1
f (x)x−−−−==== មនែខសេកង (c) េហយ A នង B
ជចនចពរមនអបសសេរៀងគន a នង b ែដល 0 a b< << << << < សថតេន
េលែខសកងេនះ។ ចររសយថមនចននពត c ជនចចសថតេនចេនល ះ
ចនន a នង b ែដលេផចៀងផទ តសមភព f (b) f (a) f '(c) (b a)− = −− = −− = −− = − ។
៤៦-េគឲយែខសេកង 2y x 2x 2= + += + += + += + + េហយ A នង B ជចនចពរមនអបសសេរៀងគន a នង b សថតេនេលែខសកងេនះ។
ចរបណករសយតមែបបធរណមរតថ ៖
a bf (b) f (a) (b a).f '( )
2++++− = −− = −− = −− = − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 179
៤៧-ចររសយបញជ កថ x a
af (x) x f (a)lim af '(a) f (a)
x a→→→→
−−−− = −= −= −= −−−−−
។
៤៨-ចររសយថ 2 2
h 0
f (x h) f (x h)lim 4f '(x)f (x)
h→→→→
+ − −+ − −+ − −+ − − ==== ។
៤៩-ចររសយថ 2x 0
f (x 2 x) 2f (x x) f (x)f ''(x) lim
( x)∆ →∆ →∆ →∆ →
+ ∆ − + ∆ ++ ∆ − + ∆ ++ ∆ − + ∆ ++ ∆ − + ∆ +====∆∆∆∆
។
៥០-េគឲយអនគមន ax bxf (x) e e= += += += + ែដល a, b IR∈∈∈∈ ។
ចរកនតតៃមល a នង b េដមបឲយ f ''(x) f '(x) 2f (x)+ =+ =+ =+ = ចេពះរគប x
៥១-េគឲយអនគមន 2x 3xf (x) e e= += += += + ។
បងហ ញថ f ''(x) 5f '(x) 6f (x) 0− + =− + =− + =− + = ចេពះរគប x ។
៥២-េគឲយអនគមន xf (x) (sin2x cos2x)e= += += += + ។
បងហ ញថ f ''(x) 2f '(x) 5f (x) 0− + =− + =− + =− + = ចេពះរគប x ។
៥៣-ចរកនតរកអនគមន y f (x)==== េបេគដងថ ៖
f '(0) f (0) 1= == == == = នង 22
1 2f ''(x) f '(x) 6x 4x
2x 1 (2x 1)− = −− = −− = −− = −
−−−− −−−−
៥៤-ចរកនតរកអនគមន y f (x)==== េបេគដងថ ៖
f (0) 2==== នង 2 2f '(x)f (x) x 4x 1= − += − += − += − +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 180
៥៥-ចរកនតរកអនគមន y f (x)==== េបេគដងថ ៖
f (1) 4==== នង 2 3 22x f (x) (x 1) f '(x) 4x 3x 2x 1+ + = + + ++ + = + + ++ + = + + ++ + = + + +
៥៦-ចរកនតរកអនគមន y f (x)==== េបេគដងថ ៖
f (1) 2==== នង 2xf '(x) 2f (x) 4x 9x+ = ++ = ++ = ++ = +
៥៧-េគឲយអនគមន f កនតជប នង មនេដរេវេល IR
ែដលចេពះរគប x,y IR∈∈∈∈ េគមន f (x y) f (x)f (y)+ =+ =+ =+ =
នង f '(0) 4==== ។ចរកនតរកអនគមន f (x) ។
៥៨-ចរកនតរកអនគមន f មនេដរេវេល IR េបេគដងថ
x IR , y IR∀ ∈ ∈∀ ∈ ∈∀ ∈ ∈∀ ∈ ∈ េគមន x yf f (x)f (y)
2++++ ====
។
៥៩-េគឲយអនគមន 3 2f (x) x 6x 12x= − += − += − += − + កនតេល IR
ក-ចរកនតរកអនគមន 1f −−−− ជអនគមនរចសៃនអនគមន f
ខ-ចរគណនេដរេវៃនអនគមន f (x) នង 1f (x)−−−− ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 181
៦០-េគមនអនគមន f កនតនងមនេដរេវេល IR ែដលចេពះ
រគប x IR∈∈∈∈ េគមនទនកទនង f '(x) 2xf (x)==== េហយ f (0) 1==== ។
ចរកនតរកអនគមន f (x) ។
៦១-េគឲយអនគមន f នង g មនេដរេវេល IR ែដលចេពះរគប
x IR∈∈∈∈ េគមនទនកទនង 2 2f '(x) f (x) g'(x)g (x)==== ។
ចររកទនកទនងរវង f នង g ។
៦២-េគឲយអនគមន f កនតេល IR េដយ 2f (x) x 1 x= + += + += + += + +
ក-បងហ ញថ f មនេដរេវេល IR នង 22 1 x .f '(x) f (x)+ =+ =+ =+ =
ខ-ទញបញជ កថេដរេវ f '' េផទៀងផទ តទនកទនង
24(1 x )f ''(x) 4xf '(x) f (x)+ + =+ + =+ + =+ + = ។
៦៣-េគឲយអនគមន f : x x 2→ +→ +→ +→ + កនតេល [ 2, )− + ∞− + ∞− + ∞− + ∞ ។
េដយអនវតតនវសមភពកេននមនកនតេទនងអនគមន f
េលចេនល ះ[[[[ ]]]]1 , 2−−−− ចរបងហ ញថ 1 5 1 3x x 2 x
4 4 2 2+ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ ++ ≤ + ≤ + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 182
៦៤-េគឲយអនគមន f កនតេល [[[[ ]]]]0 , 2 េដយ 2
1f (x)
x x 1====
+ ++ ++ ++ +
ក/សកសទសេដអេថរភពៃនអនគមន f ។
ខ/បងហ ញថចេពះរគប [[[[ ]]]] 21 1
x 0 , 2 : 17 x x 1
∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤∈ ≤ ≤+ ++ ++ ++ +
។
គ/េគឲយ g នង h ជពរអនគមនកនតេល [[[[ ]]]]0 , 2 េដយ ៖
1 2g(x) f (x) x
3 3 = − − += − − += − − += − − +
នង 3h(x) f (x) x 1
7 = − − += − − += − − += − − +
។
ចរសកសសញញ ៃន g នង h ។
ឃ/ទញបញជ កថចេពះរគប ៖
[[[[ ]]]] 1 2 3x 0,2 : x f (x) x 1
3 3 7∈ − + ≤ ≤ − +∈ − + ≤ ≤ − +∈ − + ≤ ≤ − +∈ − + ≤ ≤ − +
៦៥-បងហ ញថចេពះរគបចននពត a នង b ែដល 0 a b2ππππ≤ < <≤ < <≤ < <≤ < <
េគបន 2 2b a b a
tanb tanacos a cos b
− −− −− −− −≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤≤ − ≤
រចទញរកតៃមលអមៃន tan(0,6) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 183
៦៦-បងហ ញថចេពះរគបចននពត a នង b ែដល 0 a b< ≤< ≤< ≤< ≤ េគបន
b a b b aln( )
b a a− −− −− −− −≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ រចទញរកតៃមលអមៃន ln(11) ។
( េគឲយ ln10 2.30==== )
៦៧-ក/ចររសយថ 1 1n IN : ln(n 1) ln(n)
n 1 n∀ ∈ ≤ + − ≤∀ ∈ ≤ + − ≤∀ ∈ ≤ + − ≤∀ ∈ ≤ + − ≤
++++ ។
ខ/េគតង n1 1 1
U 1 .............2 3 n
= + + + += + + + += + + + += + + + + ។
ចររកកេនសមអមៃន nU រចទញថ nnlim U→+∞→+∞→+∞→+∞
= +∞= +∞= +∞= +∞ ។
៦៨-ក/ចេពះរគប k IN∈∈∈∈ ចររសយថ៖
1 1k 1 k
2 1 k 2 k≤ + − ≤≤ + − ≤≤ + − ≤≤ + − ≤
++++
ខ/រកកេនសមអមៃន n1 1 1 1
S (1 .... )n 2 3 n
= + + + += + + + += + + + += + + + +
រចទញរកលមតៃន nS កលណ n → +∞→ +∞→ +∞→ +∞ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 184
៦៩-ក/បងហ ញថចេពះរគបចននពត a នង b ែដល 0 a b2ππππ≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤≤ < ≤
េគបន (b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ −− ≤ − ≤ − ។
ខ/រកកេនសមអមៃន ៖
n1 2 n
S cos cos ..... cosn 2n 1 2n 1 2n 1
π π ππ π ππ π ππ π π = + + += + + += + + += + + + + + ++ + ++ + ++ + +
រចទញរកលមតៃន nS កលណ n → +∞→ +∞→ +∞→ +∞ ។
៧០-េគឱយអនគមន 2x x 2
y f (x)2(x 3)
− −− −− −− −= == == == =−−−−
មនរកបតនង )c( ។
ក. ចររក x 3 x 3lim f (x) , lim f (x)→ →→ →→ →→ →− +− +− +− +
នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞
រចទញបញជ ក
សមករអសមតតឈរៃនរកប (c) ។
ខ. ចររកបចននពត a ,b នង c េដមបឱយ cf (x) ax b
2(x 3)= + += + += + += + +
−−−−
ចេពះរគប x 3≠≠≠≠ ។
ទញរកសមករអសមតតេរទតៃនរកប (c) : y f (x)==== ។
គ. ចររកេដរេវ y ' f '(x)==== ។ ចរគសតរងអេថរភពៃនf ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 185
ឃ. ចររសយបញជ កថចនច 5(3 , )
2ΩΩΩΩ ជផចតបែមលងឆលះៃនរកប(c)
ង. រកប (c) តនងអនគមន y f (x)==== កតអកសអបសស (x'0x)
រតងពរចនច A នង B ។
ចរសរេសរសមករបនទ ត 1(T ) នង 2(T ) ែដលបះនងែខសេកង(c)
រតងចនច A នង B ។
ច. ចរគណនតៃមល f ( 2) ,f (4)−−−− នង f (6) ។
ចរគសរកប (c) កនងតរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
៧១-េគមនអនគមន 24x 4
y f (x)x 2x 3
−−−−= == == == =− −− −− −− −
មនរកបតនង (c) ។
ក. ចររកលមត x 1 x 1 x 3 x 3
lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) , lim f (x)→− →− → →→− →− → →→− →− → →→− →− → →− + − +− + − +− + − +− + − +
នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞
រចទញបញជ កសមករអសមតតៃនរកប (c) ។
ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃន y f (x)==== ។
គ. ែខសេកង (c) កតអកសអបសស (x'0x) រតងចនច I ។
ចរបងហ ញថ I ជផចតឆលះៃនរកប (c) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 186
ចរសរេសរសមករបនទ ត (T) ែដលបះេទនងែខសេកង (c) រតង
ចនចរបត I ។
ឃ. ចរសងរកប (c) តនងអនគមន y f (x)==== នង បនទ ត (T)
កនងតរយអរតនរមល ។
ង. េដយេរបែខសេកង (c) ចរពភកសតមតៃមល m នវអតថភពៃន
ឬសរបសសមករ
2(E) : mx 2(m 2)x 3m 4 0− + − + =− + − + =− + − + =− + − + = ។ ( m ជបរែមរត ) ។
៧២-េគឱយអនគមន 2
2x 4x
y f (x)x 4x 3
++++= == == == =+ ++ ++ ++ +
មនរកបតនង (c) ។
ក. ចររកលមត x 3 x 1lim f (x) , lim f (x)→− →−→− →−→− →−→− →−
នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞
រចទញ
បញជ កសមករអសមតតៃនរកប (c) ។
ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃន y f (x)==== ។
គ. ចរបងហ ញថបនទ តសមករ x 2= −= −= −= − ជអកសឆលះៃនរកប(c) ។
ឃ. សងរកប (c) តនង y f (x)==== កនងតរយអរតនរមល(0, i , j )→ →→ →→ →→ →
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 187
៧៣-េគឱយអនគមន 2
2x 4x 4
y f (x)x
+ −+ −+ −+ −= == == == = ។
ក. គណនលមត x 0lim f (x)→→→→
នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞
រចទញបញជ កសមករ
អសមតតៃនរកប (c) តនង f ។
ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។
គ. ចរបងហ ញថែខសេកង (c) មនចនចរបត I មយែដលេគនង
បញជ កកអរេដេន ។
ឃ.ចរសរេសរសមករបនទ ត (T) ែដលបះេទនងែខសេកង (c) រតង
ចនចរបត I ។
ង. ចរសងរកប (c) តនងអនគមន y f (x)==== នង បនទ ត (T)
កនងតរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
៧៤-េគឱយអនគមន 2
22x 5x 4
y f (x)x 3x 3
− +− +− +− += == == == =− +− +− +− +
មនរកបតនង (c) ។
ក. ចរបងហ ញថអនគមន f (x) កនតជនចចេល IR ។
គណន xlim f (x)→∞→∞→∞→∞
រចបញជ កសមករអសមតតេដកៃនរកប (c)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 188
ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។
គ. សងរកប (c) តងអនគមន f កនងតរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →
ឃ.េដយេរបែខសេកង (c) ចរពភកសតមតៃមល m នវអតថភពៃន
ឬសរបសសមករ 2(E) : (m 2)x (3m 5)x 3m 4 0− − − + − =− − − + − =− − − + − =− − − + − = ។
( m ជបរែមរត ) ។
៧៥-េគឱយអនគមន 2
22(x 2)
y f (x)x 4x 3
−−−−= == == == =− +− +− +− +
មនរកបតនង (c) ។
ក. ចររកលមត x 1 x 3lim f (x) , lim f (x)→ →→ →→ →→ →
នង xlim f (x)→∞→∞→∞→∞
រចទញបញជ ក
សមករអសមតតៃនរកប (c) ។
ខ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f
គ. ចរបងហ ញថបនទ តមនសមករ x 2==== ជអកសឆលះៃនរកប (c)
ឃ. ចរសងរកប (c) តនងf តរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 189
៧៦-េគឱយអនគមន 3 2
2x 6x 9x 4
y f (x)x 6x 9
− + −− + −− + −− + −= == == == =− +− +− +− +
មនរកបតនង (c) ។
ក. ចររកលមត x 3lim f (x)→→→→
នង xlim f (x)→±∞→±∞→±∞→±∞
រចបញជ កសមករ
អសមតតឈរៃនរកប (c) ។
ខ. រសយថបនទ តពះទ១ ៃនអកសកអរេដេនជអសមតតេរទតៃន
រកប (c) ។
គ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។
ឃ. េផទៀងផទ តថចនច A(4 ,0) ជចនចសថតេនេលរកប (c)
រចរកសមករៃនបនទ តបះែខសេកង (c) រតង A ។
ង. សងរកប (c) តនងអនគមន f កនងតរយអរតនរមល (0, i , j )→ →→ →→ →→ →
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 190
៧៧- េគមនអនគមន 2
4y f (x) x 1
(x 2)= = − − += = − − += = − − += = − − +
−−−−
មនរកបតនង (c) ។
ក. ចររកលមត x 3lim f (x)→→→→
នង xlim f (x)→±∞→±∞→±∞→±∞
រចបញជ កសមករ
អសមតតឈរៃនរកប (c) ។
ខ. កនតរកសមករអសមតតេរទតមយរបសរកប (c) ។
គ. គណនេដរេវ f '(x) រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។
ឃ. សងរកប (c) តនងអនគមន f កនងតរយអរតនរមល )j,i,0(→→
៧៨-េគេអយអនគមន (((( )))) (((( )))) xy f x 1 x .e 1= = − −= = − −= = − −= = − − កនតេល IR ។
ក-គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។
ទញបញជ កសញញ ៃនអនគមន (((( ))))f x ។
ខ-តង g ជអនគមនកនតេល IR េដយ (((( )))) (((( )))) xg x 2 x .e 2 x= − + −= − + −= − + −= − + − ។
ចរគណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞
នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞
។
គ-គណនេដរេវ (((( ))))g' x រចកនតសញញ ៃន (((( ))))g' x ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 191
គសតរងអេថរភពៃនអនគមន (((( ))))g x ។
ឃ-បងហ ញថបនទ ត (((( ))))d : y 2 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប (((( ))))C
តង f កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ ។
ចរបញជ កទតងេធៀបរវងបនទ ត (((( ))))d ជមយែខសេកង (((( ))))C ។
ង-រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនង (((( ))))C េហយរសបនងបនទ ត (((( ))))d ។
ច-កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។
ឆ-ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j ។
៧៩-េគេអយអនគមន (((( )))) (((( )))) 2xy f x 1 x .e= = −= = −= = −= = − កនតេល IR ។
ក-ចរគណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞
នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞
រចបញជ កសមករ
អសមតតៃនរកប (((( ))))C តង (((( ))))f x ។
ខ- គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។
គ- កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។
ឃ-ចរសរេសរសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង (((( ))))C រតងចនច I ។
ង- ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 192
៨០-េគេអយអនគមន (((( )))) (((( )))) (((( ))))2xy f x 1 x e 1= = − += = − += = − += = − + កនតេល IR ។
ក-គណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞
នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞
។
ខ-គណនេដរេវ (((( ))))f ' x នង (((( ))))f '' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f ' x ។
គ-កនតសញញ ៃន (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។
ឃ-បងហ ញថបនទ ត (((( ))))d : y 1 x= −= −= −= − ជអសមតតេរទតៃនរកប (((( ))))C
តង (((( ))))y f x==== កលណ x → −∞→ −∞→ −∞→ −∞ ។
ចរបញជ កទតងេធៀបរវងបនទ ត (((( ))))d ជមយែខសេកង (((( ))))C ។
ង-រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង(((( ))))C េហយរសបនងបនទ ត(((( ))))d ។
ច-កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។
ឆ-ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j ។
៨១-េគេអយអនគមន (((( )))) x1y f x x 1 .e
2 = = −= = −= = −= = −
កនតេល IR ។
ក-ចរគណនលមត (((( ))))xlim g x→−∞→−∞→−∞→−∞
នង (((( ))))xlim g x→+∞→+∞→+∞→+∞
រចបញជ កសមករ
អសមតតៃនរកប (((( ))))C តង (((( ))))f x ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 193
ខ- គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។
គ- កនតកអរេដេនចនចរបត I របសែខសេកង (((( ))))C ។
ឃ-សរេសរសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង(((( ))))C រតងចនច I ។
ង- ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j
៨២-េគេអយអនគមន (((( )))) x lnxy f x
x++++= == == == = កនតេល (0 , )+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞ ។
ក-គណនលមត (((( ))))x 0lim f x→→→→ ++++
នង (((( ))))xlim f x→+∞→+∞→+∞→+∞
រចបញជ កសមករអសម
តតៃនរកប(((( ))))C តង (((( ))))f x ។
ខ- គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។
គ-រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនង(((( ))))C រតងចនច A មនអបសសx 1==== ។
ឃ-រកសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j ។
៨៣-េគេអយអនគមន (((( ))))f x x 1 x.ln x= − + += − + += − + += − + + កនតេល (0 , )+ ∞+ ∞+ ∞+ ∞ ។
ក-គណនលមត (((( ))))x 0lim f x→→→→ ++++
នង (((( ))))xlim f x→+∞→+∞→+∞→+∞
។
ខ- គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃន (((( ))))f x ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 194
គ-រកសមករបនទ ត (((( ))))T បះនង(((( ))))C រតងចនច A មនអបសស x 1====
ឃ-ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតនរមល (((( ))))O, i , j ។
៨៤-េគេអយអនគមន f កនតេល IR េដយ (((( )))) 2x2x 2
f xe
++++==== ។
ក/គណនលមត (((( ))))xlim f x→−∞→−∞→−∞→−∞
នង (((( ))))xlim f x→+∞→+∞→+∞→+∞
រចបញជ កសមករ
អសមតតៃនរកប ។
ខ/គណនេដរេវ (((( ))))f ' x រចគសតរងអេថរភពៃនអនគមន f ។
គ/គណនេដរេវ (((( ))))f '' x រចសកសសញញ ៃន (((( ))))f '' x ។
កនតកអរេដេនចនចរបត I ៃនែខសេកង (((( ))))C ។
ឃ/សរេសរសមករបនទ ត (((( ))))T បះនងែខសេកង (((( ))))C រតងចនច I ។
ង/ចរសងរកប (((( ))))C នងបនទ ត (((( ))))T កនងតរយអរតណរមល (((( ))))O, i , j
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 195
ឯកសេយង
១-េសៀវេភគណតវទយថន កទ១២ (ករតមលដឋ ន) របស
រកសងអបរ យវជន នងកឡ (េបះពមពឆន ២០១១)
២-េសៀវេភគណតវទយថន កទ១២ (ករតខ ពស) របស
រកសងអបរ យវជន នងកឡ (េបះពមពឆន ២០១១)
៣-Calculus single variable