fasecontrast beeldvorming aan een nanofocus...

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep Subatomaire en Stralingsfysica

Voorzitter: Prof. Dr. D. Ryckbosch

Fasecontrast beeldvorming aan een

nanofocus X-stralenbuis

door Matthieu Boone

Promotor: Prof. Dr. L. Van Hoorebeke

Thesisbegeleiders: Dr. ir. M. Dierick

Dr. B. Masschaele

Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van de graad van

burgerlijk natuurkundig ingenieur

Academiejaar 2006–2007

Dankwoord

Na 4 jaar hard labeur en noeste arbeid ben ik dit jaar dan toch in het laatste jaar verzeild

geraakt. Niemand had aan het eind van mijn humaniora durven hopen dat ik er — op enkele

extra zittijden na — zo vlot zou geraken. Maar mijn interesse voor de wetenschap heeft me

dan toch zo ver gebracht.

In het begin van de academische carriere is de thesis een angstaanjagend toekomstbeeld, een

groot werk dat helemaal zelfstandig moet gemaakt worden. Langzaam aan komt het steeds

dichterbij, en dan is het plots zover. Het angstaanjagende krijgt vorm, en raar maar waar, ik

vond het nog leuk ook. Eindelijk eens een onderwerp waar ik echt mijn tanden in kon zetten.

Eindelijk eens de tijd om de wonderen der wetenschap in al hun glorie zelf te ontdekken.

Want hoewel weinigen mij geloven, kan de fysica toch zo mooi zijn.

Graag had ik dan ook enkele mensen hartelijk bedankt voor mee te helpen aan dit fantastische

jaar. Prof. Dr. Luc Van Hoorebeke, Dr. Manuel Dierick, Dr. Bert Masschaele en al de rest

van het UGCT-team voor het vertrouwen, de hulp en de aangename werksfeer. Mijn ouders

voor de morele en financiele steun, en de poging om mijn thesis na te lezen. Mijn zusje, voor

het nalezen en corrigeren van de thesis. De scouts, zowel leiding als leden, voor alle plezier

en het wekelijks doen herleven van de kinderlijke vreugde. En zoals het hoort de beste voor

het einde gehouden, Evi voor alle steun en liefde die ik van haar heb gekregen. En nog zovele

anderen, teveel om op te noemen. Bedankt voor het fijne jaar!

So in the end I’d like to say that I’m a very thankful man

Matthieu Boone 1 juni 2007

i

ii

De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen

van de scriptie te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de

beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de

bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.

1 juni 2007

iii

Fasecontrast beeldvorming aan een nanofocus X-stralenbuis

door

Matthieu Boone

Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van de graad van

burgerlijk natuurkundig ingenieur

Academiejaar 2006–2007

Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Promotor: Prof. Dr. L. Van Hoorebeke

Samenvatting

Fasecontrast CT is een nieuwe beeldvormingstechniek door middel van X-stralen. Recent is

veel onderzoek gebeurd naar deze techniek aan synchrotron X-stralen bronnen.

Dit werk is opgebouwd als een inleiding tot deze nieuwe techniek. De drijvende mechanismen

worden theoretisch geanalyseerd, en vergeleken met experimentele waarnemingen. Verder

worden numerieke simulaties gereconstrueerd, waarvoor het Bronnikov filter gebruikt wordt.

Dit is de eerste stap naar realistische fasecontrast CT.

Trefwoorden: CT, fasecontrast, X-stralen beeldvorming, Bronnikov

Phase contrast imaging at a nanofocus X-ray tubeMatthieu Boone

Supervisor(s): Luc Van Hoorebeke

Abstract—

Phase contrast CT is a new technique in X-ray imaging, cur-rently researched mostly at synchrotron sources. This work isset up as an introduction to the technique. The mechanisms re-sulting in this effect are analysed theoretically, and compared toexperimental results. Numerical simulations are reconstructedusing the Bronnikov filter, which is the first step to realisticphase-contrast CT.

Keywords—Phase contrast, CT, tomography, X-ray imaging, Bronnikov

I. INTRODUCTION

More than 100 years ago, Rontgen discovered X-ray imaging.Ever since, this technique has evolved. Micro-CT (µCT) is nowthe most advanced application of X-ray imaging. Unfortunately,the absorption contrast reaches its minimum due to the smallsize of the samples. For some applications, a solution is givenby phase contrast imaging. Rather than analysing the absorptionof the X-ray wave, one endeavours after obtainig informationfrom the phase shift induced by the material (Figure 1). Thisphase shift is more sensitive to small density differences, butdue to complexe visualisation, it is harder to retrieve. Despitethis, the technique can be used in numerous applications such asmammography, where very small tissue changes can be heraldsof cancer.

Fig. 1. A wave propagating through a medium, resultin in ateenuation and a phaseshift

II. BACKGROUND THEORY

Phase contrast is essentially the same physical phenomenonas refraction in optical lenses. For all wavelengths, the complexerefractive index of a material is given by

n(λ) = 1− δ(λ) + iβ(λ) (1)

The imaginary part of n(λ) is responsible for the attenuation ofthe wave, where the real part is responsible for a phase shift ofthe propagating wave. For optical wavelengths, the real part isof the order of −1. This changes to the order of 1 · 10−6 for X-rays. This implies two things. First, the effect of the refractionis much smaller for X-rays and of the order of a few µm per me-ter propagation. Second, the deviated X-ray goes outward the

object. Both effects create the typical phase contrast effect: atoo high intensity just outside the object, and a too low intensityjust inside the object. This can be seen in Figure 2.

Fig. 2. A typical phase contrast image. Object is a fly’s leg

There are multiple theoretical approaches to describe this ef-fect, dependant on the distance between object and detector(Figure 3). The most common is the Transport of IntensityEquation (TIE), which is valid in the near field. This is derivedfrom the timedependant wave equation by Teague[1]:

2π

λ

∂I

∂z= −I∇⊥ · (I∇⊥φ) (2)

This equation can be approximated by

I(zod)I(0)

≈(1− zodλ

2π∇2⊥φ

)(3)

which is used for simulations and derivation of the Bronnikovfilter (Section IV).

Fig. 3. The different imaging regions

III. MATERIALS AND METHODS

For this research, the experimental setup of the UGCT facil-ity1 in Ghent was used. The X-ray source is a Feinfocus nanofo-cus transmission tube. The focal spotsize can be reduced to lessthan one micron. The detector used is a Photonic Science VHR

1http://www.ugct.ugent.be

with a pixelsize of 9 µm. This makes it possible to detect smallangular deviations.Experimental data of e.g. graphite cilinders and aluminium foilswere analysed and compared to numerical simulations based onthe TIE (3) and Monte-Carlo simulations. Although most de-pendancies on object-detector distance and magnification weresimilar in simulations and experimental data, there are still anumber of differences between these.

IV. RECONSTRUCTION ALGORITHM

A reconstruction algorithm was conceived by Bronnikov[2].The approximated TIE (3) can be integrated in the Radon space,to obtain the projected phase function φ. The integration rear-ranges the phase information, which is deviated by the refrac-tion. This reduces the phase reconstruction problem to a simplefiltered backprojection as known in conventional CT:

δ(x1, x2, x3) =1

4π2zod

∫ π

0

h ∗ ∗gθdθ (4)

with h(x, y) the Bronnikov filter:

h(x, y) =|y|

x2 + y2(5)

and ∗∗ the two-dimensional convolution. Remarkable is thesimilarity to the Fourier transform of this function:

F[h(x, y)

]= H(ξ, η) =

|ξ|ξ + η

(6)

where one recognises the ramp filter for conventional CT in thenumerator, giving the denominator a physical meaning as doubleintegrator.

The result is a density distribution. However, the numericalvalues are not physical since they are dependant of the detectorsize and zeropadding. A reconstruction of a double cilinder isshown in Figure 4. The line profile over the central vertical lineis given for the theoretical case, and two reconstructions. Oneis without zeropadding, resulting in artificial slope and offset,analogous to conventional CT[3]. The other reconstruction iswith “stretching” the image, i.e. extending the image with thetop and bottom row to reduce discontinuity effects.

Fig. 4. Line profile of the reconstruction of a double cilinder (cross-section givenin the insert)

Also the fly’s leg was reconstructed using the Modified Bron-nikov Algorithm[4]. A constant parameter α was added to thedenominator in (6) and the numerator was set to 1. Calculatingthe exponential, regular absorption CT reconstruction software(including the ramp filter) could be used for reconstruction. Thedifference between phase reconstruction using the MBA and ab-sorption CT reconstruction is shown in Figure 5.

Fig. 5. (top) Reconstruction based on unfiltered images (bottom) reconstructionbased on images filtered with the MBA

V. CONCLUSION

This research brought the first insights in phase contrast CT.The physical and mathematical mechanisms are now under-stood, and were reproduced in numerical simulations. Thesesimulations were reconstructed with the Bronnikov algorithm.Even a real dataset of a fly’s leg was reconstructed using themodified Bronnikov algorithm. This proves that practical use ofphase contrast CT is possible, although research still has to bedone.

REFERENCES

[1] Teague M., “Deterministic phase retrieval: a green’s function solution,” J.Opt. Soc. Am., vol. 73, no. 11, pp. 1434–1441, 1983.

[2] Bronnikov A., “Reconstruction formulas in phase-contrast tomography,”Opt. Comm., vol. 171, pp. 239–244, 1999.

[3] Kak A. and Slaney M., Principles of Computerized Tomographic Imaging,IEEE Press, 1988.

[4] Groso A., Abela R., and Stampanoni M., “Implementation of a fast methodfor high resolution phase contrast tomography,” Opt. Express, vol. 14, no.18, pp. 8103–8110, 2006.

Inhoudsopgave

Dankwoord i

Inhoudsopgave iv

Lijst van gebruikte afkortingen vi

1 Inleiding 1

2 Computer Tomografie 4

2.1 Reconstructie-algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Reconstructiesoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Fasecontrast 9

3.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Stralenoptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.2 Golfoptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Simulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2 Refractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.3 Diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.4 TIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Meetmethoden 22

4.1 Mogelijke opstellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1 Bronnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22iv

INHOUDSOPGAVE v

4.1.2 Visualisatiemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Opstelling Ugent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4 Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Metingen 29

5.1 Literatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Holotomografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.2 Diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.3 Grating interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Waarnemingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2.1 Diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2.2 Invloed van de geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Vergelijking met simulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Reconstructie 37

6.1 Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Reconstructie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2.1 cilindrisch fantoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2.2 Conisch fantoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.3 Bol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.4 Ruisgevoeligheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2.5 Absorptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.6 Vliegepoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Conclusie 47

Bibliografie 48

Lijst van gebruikte afkortingen

PCI Phase-Contrast Imaging

CT Computer Tomografie

TIE Transport of Intensity Equation

XRT X-ray Tube - X-stralen buis

GI Grating Interferometry

DEI Diffraction-enhanced imaging

PPI Phase propagation imaging

SOD Source-object distance

ODD Object-detector distance

SDD Source-detector distance

ZP Zero-padding

MBA Modified Bronnikov Algorithm

vi

Hoofdstuk 1

Inleiding

Meer dan 110 jaar geleden ontdekte Rontgen de X-stralen1, en daarmee meteen de X-stralen

radiografie. Hij ontdekte dat sommige materialen de straling beter absorberen dan andere,

waardoor een zichtbaar contrast op een fotografische film ontstaat. Hierdoor kan o.a. het

menselijke skelet in beeld gebracht worden. Dankzij zijn eenvoud wordt deze techniek nog

steeds zeer frequent toegepast, ondanks het verlies aan 3D-informatie.

Een oplossing voor dit laatste wordt geboden door computer tomografie (CT), waarbij een

3D-beeld wordt gereconstrueerd aan de hand van een reeks radiografieen. Hoewel de ma-

thematische basis reeds in 1917 werd gelegd door Radon, duurde het nog tot de jaren 1970

vooraleer deze principes in de praktijk werden omgezet door Hounsfield[1]. De techniek

wordt vooral gebruikt in medische toepassingen, maar kan ook voor heel andere zaken ge-

bruikt worden. Een van deze variaties is Micro-CT (µ-CT). Hierbij wordt vooral naar kleine

(orde centimeter) voorwerpen gekeken. Met een ruimtelijke resolutie (Figuur 1.1) van de orde

micrometer is het toepassingsgebied zeer groot. Voorbeelden zijn geologie, betononderzoek,

biotechnologie, diergeneeskunde, . . .

Toch heeft deze techniek ernstige beperkingen. In het licht van dit onderzoek zijn er twee

waarmee men bij CT (en in het bijzonder µCT) rekening moet houden:

• Omdat bij CT de absorptiecoefficient gemeten wordt, moet deze groot genoeg zijn

om boven het ruisniveau van het detectiesysteem uit te komen. Ook het verschil in

absorptie tussen twee materialen moet groot genoeg zijn om zichtbaar te kunnen zijn.1hij kreeg hiervoor de allereerste Nobelprijs voor Natuurkunde in 1901

1

HOOFDSTUK 1. INLEIDING 2

Figuur 1.1: De noodzaak van een kleine focale spotgrootte om een goede ruimte-

lijke resolutie te bereiken

Dit is vooral een probleem bij lichte materialen en organische stoffen, die voornamelijk

bestaan uit koolstof en waterstof.

• De structuren moeten voldoende groot zijn om de X-stralen te absorberen of om een

verschil in absorptie te genereren. Dit levert bijvoorbeeld problemen bij zeer fijne

structuren zoals microscopische haartjes en scheurtjes.

Een oplossing voor deze problemen wordt (deels) geboden door fasecontrast beeldvorming.

Bij deze techniek poogt men niet alleen de attenuatie maar ook de fase van de elektromag-

netische golf in kaart te brengen. Toepassingen daarvan zouden vooral in de geneeskunde te

vinden zijn omwille van twee grote voordelen. Enerzijds worden kleine abnormale uitwassen

zichtbaar, die vaak van compositie niet heel veel verschillen van de natuurlijke weefsels en

moeilijk detecteerbaar zijn op klassieke wijze, en anderzijds is de geabsorbeerde dosis veel

kleiner, omdat men met hogere energie kan werken. Veel onderzoek is dan ook gewijd aan

mammografie (Figuur 1.2(a) en Figuur 1.2(b)). Maar ook voor bv. materiaalonderzoek is

deze theorie veelbelovend: minuscule scheurtjes kunnen namelijk in kaart gebracht worden

(zie Figuur 1.2(c)).

Anderzijds is dit effect niet steeds gewenst. Bij gewone absorptie-CT geeft het aanleiding tot

negatieve densiteiten en artefacten in de reconstructie. Naast een manier om fasecontrast te

accentueren en te benutten wordt er dus ook gezocht naar een manier om het effect weg te

filteren.

HOOFDSTUK 1. INLEIDING 3

Figuur 1.2: a) en b)Een vergelijking tussen het absorptie-beeld (a) en een fase-contrast beeld (b) van

een borstfantoom. Het fantoom bestaan uit laag-absorberende vezels en microcalcificaties

die vaak voorbode zijn van kanker[2] c) microscopische scheurtjes in een composiet[3]

Historiek

Fasecontrast beeldvorming werd eerst ontdekt bij (optische) microscopie in de jaren 1930.

Fritz Zernike kreeg hiervoor de Nobelprijs Natuurkunde in 1953. Door de slechte kwaliteit

van X-stralen lenzen op dat moment is deze techniek echter niet uitbreidbaar naar X-stralen.

Voor dit type straling werd de fase voor het eerst gebruikt begin jaren 1970 door Ando en

Hosoya[4]. Met behulp van een Bonse-Hart interferometer werden beelden van beenderen en

graniet opgenomen[5]. Pas 20 jaar later kwam de grote doorbraak, met de publicatie van

de eerste resultaten van verschillende onderzoeksgroepen[6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]. Pas recent

zijn de eerste kwantitatieve resultaten verschenen[13, 14]. Een eenduidige oplossing bestaat

echter nog steeds niet, en onderzoek naar het effect aan X-stralen buizen is eerder schaars.

De bedoeling van dit werk is dan ook een verkennende studie uit te voeren naar dit effect

aan een X-stralen buis, zodat het de basis kan vormen voor concrete toepassingen.

Opbouw

In Hoofdstuk 2 worden eerst de principes van de klassieke CT uitgewerkt. Een goed begrip

van de reconstructiemethode is immers vereist om het fasecontrast succesvol te implementeren

in het algoritme. Hoofdstuk 3 legt de verschillende theorieen achter de fase-effecten uit. De

methodiek van het onderzoek alsook een overzicht van de andere mogelijke opstellingen wordt

toegelicht in Hoofdstuk 4. De resultaten van dit en andere onderzoeken zijn terug te vinden in

Hoofdstuk 5. In Hoofdstuk 6 worden in de mate van het mogelijke beelden met fasecontrast

gereconstrueerd.

Hoofdstuk 2

Computer Tomografie

Computer tomografie (CT) is een uitbreiding op radiografie. Bij deze laatste techniek gaat

alle 3D-informatie verloren doordat de X-stralen een rechte baan beschrijven en dus enkel

de geprojecteerde attenuatie weergeven. Vanuit een bijkomende richting “naar het object

kijken” levert al meer informatie, maar voor complexere objecten lost dit niets op. Wan-

neer veel verschillende projecties genomen worden, kunnen deze door middel van een gepast

computeralgoritme worden samengesteld tot een nauwkeurige 3D-verdeling van de attenua-

tiecoefficient.

Dit hoofdstuk beschrijft zeer beknopt het algoritme voor deze reconstructie1 in het geval van

parallelle bundel, alsook een korte beschrijving van de werking van de reconstructiesoftware

Octopus. Speciale aandacht zal uiteraard gaan naar de delen die van belang zijn voor de

reconstructie van fase-objecten.

2.1 Reconstructie-algoritme

De opgemeten intensiteit van de X-straal na doorgang door het object is direct gerelateerd

aan de lijnintegraal van de attenuatiecoefficient over het traject van de bron naar de detector

(zie ook Figuur 2.1):1gebaseerd op Principles of Computerized Tomographic Imaging van A. Kak[1]

4

HOOFDSTUK 2. COMPUTER TOMOGRAFIE 5

Figuur 2.1: Projecties van een variabele f(x, y) bij twee verschillende geometrieen:

a)parallel-beam en b)fan-beam

Mθ(t) =∫

(θ,t)−lijn

µ(x, y, λ)ds (2.1)

=∫

(θ,t)−lijn

4πλβ(x, y, λ)ds (2.2)

met µ en β de conventionele attenuatiecoefficienten bij golflengte λ. Hiermee is de opgemeten

intensiteit meteen gekend is als

Iθ(t) = I0θ (t)exp[−Mθ(t)] (2.3)

De bedoeling van het algoritme is om µ(x, y) uit de opgemeten projecties Iθ te halen. Hiervoor

maakt men gebruik van het Fourier Projectietheorema (Eng.:Fourier Slice Theorem). Dit

theorema geeft een verband tussen projecties in de reele ruimte en lijnen in de Fourierruimte.

Theorema 2.1 (Fourier Projectietheorema)

De Fourier getransformeerde van een parallelle projectie Mθ(t) van een functie µ(x, y) is gelijk

aan de rechte in de twee-dimensionale Fourier getransformeerde µ(u, v) = F [µ(x, y)] die een

hoek θ maakt met de u-as

Hierbij is meteen de projectie van de attenuatiecoefficient uit (2.1) gebruikt. Dit wordt ver-

duidelijkt door Figuur 2.2, waarbij het theorema kort kan worden uitgedrukt als de Fourier-


Figuur 2.2: Grafische verduidelijking van het Fourier Projectietheorema

Figuur 2.3: a) in theorie komt de Fourier-transformatie van een projectie overeen met een

dubbele wig in de Fourier-ruimte b) in praktijk bekomt men een rechte c) de

wegingsfactor waarmee de wig benaderd wordt

transformatie van de projectie Mθ(t) geeft de waarden van M(u, v) op de lijn BB op de figuur.

Een bewijs van het theorema is terug te vinden in [1].

De Fourier-transformaties van de projecties moeten nog gewogen worden omdat deze lijn

eigenlijk een vereenvoudiging is van een dubbele wig in het frequentiedomein. Hiertoe wordt

een gewichtsfactor

h(w) = 2π|w|/K (2.4)

met K het aantal projecties voorgesteld, waarmee Mθ(w) = F [Mθ(t)] moet worden verme-

nigvuldigd. Figuur 2.3 verduidelijkt de noodzaak van deze filter, die de ramp-filter wordt

genoemd.

Het Nyquist theorema stelt hierbij dat de projecties geen informatie bevatten over frequenties

|w| > W met

W =12τ

(2.5)


waarbij τ de afmeting van de ruimtelijke resolutie (pixel) is. Bij de inverse Fourier-transformatie

kan de integratie dus beperkt worden tot het interval [−W,W ].

Het volledige algoritme voor de reconstructie van een 2D-doorsnede (eng.: slice) uit een stel

van K 1D-projecties kan dan opgeschreven worden door:

• Berekening van Mθ(t) uit Iθ(t) via (2.3)

• Berekening van de Fourier-getransformeerde Mθ(w) van de projecties Mθ(t)

• Vermenigvuldiging met de gewichtsfunctie 2π|w|/K

• Inverse Fouriertransformatie van het product

• Terugprojectie van deze gefilterde projecties

Het resultaat na terugprojectie is de 2D-verdeling van de attenuatiecoefficient in de reele

ruimte. Voor de reconstructie van een 3D-beeld uit een reeks van 2D-projecties moet dit

proces uitgevoerd worden voor elke slice.

De ingevoerde filter is van groot belang voor de reconstructie van fase-objecten. De filter is

immers de enige stap waarin het beeld verwerkt wordt. Later (Hoofdstuk 6) zal ook blijken

dat de eenvoudige filter (2.4) zal vervangen worden door een andere filter.

2.2 Reconstructiesoftware

Om de reconstructie eenvoudiger te maken werd aan de UGent speciale reconstructiesoftware

ontwikkeld, Octopus genaamd. De cruciale stappen voor fase-objecten dienen omzeild te

worden en eventueel kunnen aanpassingen meteen geımplementeerd worden.

Een beknopt overzicht van de stappen ondernomen in Octopus:

1. Filtering:

Om fouten door imperfecties aan de detector en directe hits van X-stralen aan de CCD te

voorkomen wordt het beeld eerst gefilterd. Hierbij wordt voor pixels waarvan de waarde

veel groter of veel kleiner is dan de omringende pixels een gemiddelde waarde van die

omringende pixels gegeven. De drempelwaarde kan op voorhand worden ingesteld.

2. Normalisatie:

Uit (2.1) blijkt dat de intensiteiten gedeeld moeten worden door de intensiteit die


gemeten zou worden zonder object. Er worden voor een CT dan ook steeds enkele open

images gemaakt. Tevens dient ook een correctie doorgevoerd te worden doorgeverd voor

lekstromen en thermische excitatie in de detector. Deze creeren een onechte verhoging

van intensiteit. Hiervoor worden enkele dark images gemaakt, waarbij de detector niet

bestraald wordt. Vooral voor lage fluxen kunnen deze van groot belang zijn. Het

genormaliseerde beeld wordt dan gegeven door

absorptiebeeld− dark imageopen image − dark image

(2.6)

Door op regelmatige tijdstippen nieuwe referentiebeelden te maken worden ook fluctu-

aties in de tijd gecorrigeerd.

3. Sinogrammen:

Zoals eerder werd beschreven wordt — voor parallelle bundel — uit elk geprojecteerd

2D-beeld slechts een rij pixels gebruikt voor de reconstructie van een slice. Het is dus

nuttig de data te herverdelen, zodat per slice alle data in een figuur wordt geplaatst.

Dit wordt gedaan door uit elke 2D-projectie de juiste rij pixels onder elkaar te plaatsen

in functie van de projectiehoek θ. Het alzo bekomen beeld heet een sinogram. Er

worden dan evenveel sinogrammen gemaakt als er doorsneden dienen gereconstrueerd

te worden.

4. Reconstructie:

Volgens het op p. 7 beschreven algoritme kan nu gemakkelijk elke slice gereconstrueerd

worden uit een sinogram. Pas in deze stap wordt het sinogram gefilterd met (2.4).

Octopus biedt evenwel de mogelijkheid deze filter uit te schakelen, wat noodzakelijk is

voor reconstructie van fase-objecten.

In Hoofdstuk 6 zal aan de hand van deze korte beschrijving vermeld worden welke aanpas-

singen gemaakt moeten worden.

Hoofdstuk 3

Fasecontrast

In klassieke CT meet men, zoals aangegeven in Hoofdstuk 2, de 3D-distributie van de attenu-

atiecoefficient van een object door de amplitude van de X-stralen bundel na doorgang door

het object te vergelijken met deze van een ongestoorde bundel. Naast een amplitude heeft

een golf echter ook een fase, die ook informatie over het object bevat (Figuur 3.1). Omdat

de meetbare intensiteit van een bundel evenredig is met het kwadraat van de amplitude, is

de fase niet rechtstreeks meetbaar. De faseverschuiving wordt evenwel zichbaar doordat deze

aanleiding geeft tot een verandering in propagatierichting van de fotonen. Na enige afstand

accentueert dit de randen van een object (zie verder in Sectie 3.1.1), en wordt daarom ook

wel eens edge-enhancement genoemd. Dit is duidelijk te zien in Figuur 3.2, waarbij naast

het beeld ook de intensiteitscurve is weergegeven. De intensiteit aan de buitenkant van een

interface is opvallend hoog, en aan de binnenkant is de intensiteit veel lager dan men zou

verwachten.

In dit hoofdstuk wordt de theorie van het fasecontrast effect toegelicht, met een overzicht

Figuur 3.1: Transmissie van een X-straal door een medium, waarbij de amplitude geatte-

nueerd wordt en een faseverschuiving optreedt[15]

9

HOOFDSTUK 3. FASECONTRAST 10

Figuur 3.2: Een typisch intensiteitsprofiel bij fasecontrast. Het object is een aluminium

folie met een dikte van 25µm

van de meest gangbare modellen om het effect te beschrijven. Deze theorieen worden dan

gebruikt om lijnprofielen te simuleren.

3.1 Theorie

De complexe brekingsindex n wordt gegeven door

n = 1− δ + iβ (3.1)

en is afhankelijk van het materiaal en de golflengte. De imaginaire term β is verantwoordelijk

voor de attenuatie van de X-stralen en δ, het brekingsindex decrement, voor de faseverschui-

ving. Beide factoren worden gegeven in [16]:

δ(ω) =2πrec2na

ω2f1(ω) (3.2)

β(ω) =2πrec2na

ω2f2(ω) (3.3)

waarbij re = 2.818 · 10−15m de klassieke elektronenstraal en na de atomaire densiteit is. De

functies f1(ω) en f2(ω) worden de atomic scattering functions genoemd en zijn getabelleerd


Figuur 3.3: De atomic scattering functions voor Aluminium[18]

voor alle elementen[17, 18]. Figuur 3.3 geeft deze functies weer voor aluminium. Er is

duidelijk zichtbaar dat vooral bij hogere energieen de faseterm groter is1. Numeriek zijn deze

waarden voor X-stralen van de orde 10−6 rad.

Algemeen kunnen elektromagnetische golven met verscheidene modellen beschreven worden.

Twee ervan zijn stralenoptica en golfoptica. Bij de eerste wordt het golfkarakter bijna volledig

verwaarloosd, op het fenomeen van golffronten na. Bij de tweede wordt verder gerekend met

de complexe uitdrukking van een golf. Het spreekt voor zich dat de eerste minder exact is,

maar dat de tweede veel meer rekenwerk vergt en dus enkel bruikbaar is voor eenvoudige

gevallen.

In dit werk wordt geopteerd voor een assenstelsel waarvan de z-as in de propagatierichting

ligt. In sommige figuren kan hierop wel een afwijking vastgesteld worden, omdat deze figuren

afkomstig zijn uit literatuur waar een ander assenstelsel wordt gehanteerd.

3.1.1 Stralenoptica

Wanneer de kleinste structuren veel groter zijn dan de golflengte, mag het golfkarakter ver-

waarloosd worden. Dit is bijna altijd het geval voor zichtbaar licht2, en dus gezien hun nog

veel kleinere golflengte zeker bij X-stralen. Een belangrijk aspect van het golfkarakter, de

golffronten, zijn de basis van de stralenoptica. Golffronten zijn isofasen, lijnen waar de fa-

seterm gelijk is. Vlakbij een puntbron zijn deze golffronten sferisch, ver van de bron zijn

deze benaderend recht (Fig. 3.8(b)). Omdat de energie van een golf steeds loodrecht op1In de literatuur spreekt men vaak van een factor 1000[19, 20]. Dit is zeer misleidend omdat beide groot-

heden een andere eenheid hebben, en dus niet mogen vergeleken worden2een uitzondering is bijvoorbeeld diffractie aan scherpe randen en kleine openingen, een fenomeen dat ook

bij X-stralen voorkomt, zie sectie 3.1.2


Figuur 3.4: (a) Het concept van golffronten en stralen (b) Het golffrontmodel aan een rechte interface

en (c) een optische lens

het golffront propageert (Fig. 3.4(a)), is dit een geschikt concept voor het analyseren van

fase-effecten.

Golffrontmodel

Het golffrontmodel beschouwt de vorm van de golffronten die door het sample passeren. Dit

model is voornamelijk kwalitatief en verduidelijkt intuıtief de oorsprong van het fasecontrast

effect.

Wanneer een golf door een medium propageert verandert de fasesnelheid ten opzichte van

deze in lucht3. Dit veroorzaakt een voorsprong van de golffronten die door het medium zijn

gegaan, waardoor de stralen evenwijdig aan de interface — die nog steeds loodrecht op de

golffronten staan — afgebogen worden (zie Figuur 3.4(b)). Hierdoor zullen er in het verlengde

van de invallende straal minder stralen dan verwacht zijn, en elders meer. Dit effect ligt ook

aan de basis van de werking van optische lenzen (Figuur 3.4(c)). Een groot probleem van dit

model is een interface loodrecht op de golffronten, waar de schuine zijde oneindig smal zou

worden. Een continu varierende brekingsindex lost dit probleem op, maar leidt eveneens tot

verlies aan eenvoud.

Een kwantitatief resultaat van deze theorie is de hoekafwijking veroorzaakt door het fasever-3verder wordt enkel het geval van X-stralen beschouwd, d.i. de fasesnelheid is groter dan deze in lucht

doordat de brekingsindex steeds kleiner is dan 1


Figuur 3.5: Het verschil in intensiteitsprofiel bij een monochrome(a) en polychrome(b)

bundel[21]

schil. Een golf ψ die in de z-richting propageert met golfgetal k een een faseverandering φ(x)

ondergaat[6]:

ψ(x, z) = ψ0eikz+iφ(x) (3.4)

zal na doorgang door een medium een nieuwe propagatierichting loodrecht op het golffront

krijgen:

k (x) =1

iψ(x, z)∇ψ(x, z) =

∂φ(x)∂x

x + kz (3.5)

Hierbij wordt het faseverschil φ(x) gegeven door

φ(x) =2πλ

∫straal

δ(x, z)dz (3.6)

en wordt de fasefunctie genoemd. Voor kleine fasegradienten loodrecht op de propagatierich-

ting is deze hoekafwijking dan te schrijven als:

∆α ≈ 1k|∇⊥φ(x, y, z)| (3.7)

Het probleem in deze vergelijking is de factor ∇⊥φ, die door allerhande randeffecten niet

precies gekend is. Typisch zijn deze hoeken van de orde µrad

Hieruit blijkt ook het verschil tussen fasecontrast bij monochromatische en polychromatische

bundels. Aangezien de fasesnelheid afhankelijk is van de brekingsindex en dus van de golf-

lengte, zal de afbuiging aan de interface ook afhankelijk zijn van de golflengte. In een poly-

chromatische bundel zullen de stralen over een spectrum van hoeken afgebogen worden. Het


Figuur 3.6: Het verschil tussen in- en uitgaande hoek ifv. de invallende hoek ten

opzichte van de normaal

gevolg is dat de verhoogde intensiteit uitgesmeerd wordt, terwijl de verlaagde intensiteit nog

steeds gelocaliseerd blijft in het verlengde van de oorspronkelijke straal. Figuur 3.5 geeft deze

eigenschap schematisch weer.

Refractie

Met refractie wordt hier uitsluitend het gedrag van stralen onder de wet van Snellius bedoeld:

n1 sin(θ1) = n2 sin(θ2) (3.8)

waarbij n1 en n2 de brekingsindexen zijn van beide media, en θ1 en θ2 respectievelijk de

invalshoek en de uitgaande hoek ten opzichte van de normaal. Voor X-stralen is het verschil

tussen n1 en n2 zeer klein, waardoor refractie bij X-stralen het sterkst is bij zeer grote hoeken

(zie Figuur 3.6). Dit vormt een probleem voor experimenten, omdat een kleine afwijking

van de structuur reeds een grote fout geeft op de meting. Dit is eenvoudig in te zien voor

een rechte rand, bv. de rand van een aluminiumfolie. In het perfecte geval is er immers

geen refractie aan de rand (Fig. 3.7(a)), maar imperfecties zoals een schuine zijde (bv. door

het snijden, Fig. 3.7(b)) of het schuin plaatsen van het sample (Fig. 3.7(c), zie ook [9])

veroorzaken ongewenste refractie. Gezien het kleine verschil tussen n1 en n2 geven kleine

afwijkingen (orde µrad) reeds zeer grote effecten.

Bovenstaande maakt het zeer moeilijk om voor een rechte rand enerzijds de refractie te

simuleren, en anderzijds om experimentele waarnemingen te begrijpen. Deze problemen

manifesteren zich veel minder aan een ronde interface. De simulaties met behulp van deze

theorie zullen zich dan ook beperken tot cilinders.


Figuur 3.7: Refractie aan een rechte rand, (a)ideaal geval, (b)schuin afgesneden en (c)bij

schuine plaatsing en refractie aan een cilinder (d)

Een merkwaardige eigenschap van refractie bij X-stralen is ook dat de brekingsindex van

materialen kleiner is dan deze van lucht. Het resultaat hiervan is dat er geen interne reflectie

kan optreden, maar wel externe reflectie.

3.1.2 Golfoptica

Onder golfoptica verstaat men de eigenschappen die specifiek bepaald worden door het golf-

karakter van licht en bij uitbreiding van elektromagnetsiche straling. Interferentie is een

van deze eigenschappen, en bijgevolg ook diffractie, dat eigenlijk interferentie van een golf

met zichzelf is. Dit fenomeen wordt voor zichtbaar licht zeer vaak besproken[22, 23]. Voor

X-stralen kan het fenomeen gebruikt worden voor edge-enhancement [24, 25, 15].

Het diffractiepatroon is sterk afhankelijk van de afstand tussen object en detector. In Fi-

guur 3.8(a) onderscheidt men het absorptieregio, nabije veld, de Fresnel regio en de Fraunhofer

regio. Wanneer de detector zich in de eerste regio bevindt wordt een zuiver absorptiebeeld

gemeten. De fase-effecten zijn volledig afwezig. Door deze effecten worden de randen zicht-

baar in het nabije veld. Wanneer de detector in de Fresnel regio geplaatst wordt, begint

opmenging van de diffractiepatronen op te treden. Het oorspronkelijke beeld wordt onher-

kenbaar. In het geval van coherente straling is het beeld in de Fraunhofer regio gelijk aan de

Fourier-transformatie van het absorptiebeeld.

Voor dit onderzoek is enkel het nabije veld van belang. Hiervoor geldt de voorwaarde

zod <d2

λ(3.9)

met d de karakteristieke afmeting van het object en zod de afstand tussen object en detector.

Vertrekkende van de Fresnel benadering (parabolische golffronten, zie Fig. 3.8(b)) kan op


Figuur 3.8: (a) De verschillende regios in het diffractiepatroon. Onderaan een gesimuleerd

beeld van een fantoom bij varierende z-positie van de detector (b) Betekenis

van sferische, parabolische en vlakke golffronten

relatief eenvoudige wijze een uitdrukking voor het verstoorde veld afgeleid worden[24]:

E(xd, zd) =E0(xd, yd)−izsdλzsozod

∞∫−∞

∞∫−∞

exp(ik

zsd2zsozod

[(xo − xd

zsozsd

)2+

(yo − yd

zsozsd

)2])Q(xo, yo)dxodyo

(3.10)

met Q(xo, yo) de transmissiefunctie van het object, zso de afstand tussen bron en object,

zsd de afstand tussen bron en detector, en waarbij de integraties over het volledige object

worden uitgevoerd. Indien verondersteld wordt dat het object een- dimensionaal is, is Q enkel

afhankelijk van xo en kan de integraal over yo geelimineerd worden dus vereenvoudigt (3.10)

zich tot:

E(xd, zd) = E0(xd, yd)√

−izsdλzsozod

∞∫−∞

exp(ik

zsd2zsozod

(xo − xd

zsozsd

)2)Q(xo)dxo (3.11)

waarbij de integratie over het voledige object uitgevoerd wordt. De genormaliseerde intensi-

teit van de gediffracteerde bundel wordt dan gegeven door:

In(xd, λ) =|E(xd, λ)|2

|E0(xd, λ)|2(3.12)


De afhankelijkheid van de golflengte is hier van groot belang. Omdat de interferentiepatro-

nen zeer gevoelig zijn aan veranderingen in golflengte, gaat bij een polychrome bundel veel

informatie verloren.

Transport of Intensity Equation

Uit de tijdsafhankelijke golfvergelijking[∂2

∂z2+∇2

⊥ +(2πλ

)]Ψz(r) (3.13)

kan men in de Fresnel-benadering (de 1e-orde benadering van een vierkantswortel) afleiden

dat[26, 27]:

2πλ

∂I

∂z= −I∇⊥ · (I∇⊥φ) (3.14)

Deze vergelijking wordt de Transport of Intensity Equation genoemd, kortweg TIE. Deze is

het uitgangspunt van vele onderzoeken[10, 28, 29] omdat ze eenvoudig maar nauwkeurig is.

Indien de absorptiecoefficient µ een traag varierende functie is, dwz:

∂µ(x, y)∂x

� en∂µ(x, y)∂y

� (3.15)

kan de TIE verder vereenvoudigd worden:

I(zod)I(0)

≈(1− zodλ

2π∇2⊥φ

)(3.16)

Deze vereenvoudiging, die in wezen gewoon de benadering ∇I ≈ 0 voorstelt, betekent geens-

zins dat de absorptie verwaarloosd wordt. Deze zit immers nog steeds vervat in de factor

I(0). Formule 3.16 wordt in de literatuur zeer vaak gebruikt[11, 13], onder andere voor de

afleiding van het filter van Bronnikov (zie Hoofdstuk 6)[30]. Hoewel ze meestal wordt afge-

leid uit de golfvergelijking (rechtstreeks[21] of via de TIE[3]), kan deze formule ook uit de

stralenbenadering worden afgeleid. Hiertoe vertrekt men van de hoekafwijking (3.7).[31]

3.2 Simulaties

De theoretische modellen, besproken in de vorige sectie, worden in enkele specifieke gevallen

numeriek uitgewerkt. Deze gesimuleerde lijnprofielen worden vergeleken met de realiteit.


Hieruit komen de sterktes en beperkingen van elke theorie naar voren. De simulaties dienen

tevens om het reconstructiealgoritme te testen (zie Hoofdstuk 6). In deze sectie worden

enkel de simulatieprogramma’s besproken. De vergelijking met experimentele waarnemingen

gebeurt in een volgend hoofdstuk (Sectie 5.3).

3.2.1 Software

Om intensiteitsprofielen te simuleren werd voornamelijk gebruik gemaakt van het computer-

programma Matlab®

. Dit bood enkele grote voordelen:

• In de opleiding burgerlijk natuurkundig ingenieur komen verschillende opleidingson-

derdelen voor waarin Matlab®

gebruikt wordt. Deze programmeertaal is dus goed

gekend.

• Matlab®

is ontworpen om te werken met matrices. Matrix-bewerkingen zijn hierdoor

sterk geoptimaliseerd en laten toe in een enkele bewerking een hele reeks datapunten

te bewerken, zonder hiervoor for-loops te moeten gebruiken.

• Vele functies zitten reeds voorgeprogrammeerd, waardoor Matlab®

eenvoudig te ge-

bruiken is.

Natuurlijk zijn er ook nadelen. Het grootste nadeel is de snelheid. Op de zeer efficiente

bewerkingen met matrices na is Matlab®

zeer traag. Vooral for-loops zijn hier onderhevig

aan. Deze worden dan ook zo vaak mogelijk vermeden en vervangen door matrix-bewerkingen.

Om geheugenredenen lukt dit echter niet altijd.

3.2.2 Refractie

Om de effecten van de wet van Snellius na te gaan wordt het principe van een Monte Carlo-

simulatie gebruikt. Hierbij wordt expliciet het pad van de stralen berekend. Dit principe

kan op meerdere manieren uitgewerkt worden. Bij een zuivere Monte Carlo-simulatie worden

willekeurige vertrekposities en -hoeken (binnen welbepaalde grenzen) gebruikt, wat een zeer

realistisch resultaat geeft. Het nadeel hiervan is dat men zeer veel stralen moet simuleren

om al te grote fluctuaties te onderdrukken. Door een reeks vaste vertrekhoeken te gebruiken,

zodat de stralendichtheid aan het object ook bij minder stralen uniform blijft, kan dit sneller

gebeuren. Er kunnen dan nog steeds op eenvoudige wijze willekeurige fluctuaties (zoals bv.


een eindige spotgrootte) worden geımplementeerd.

De voordelen van deze methode zijn de eenvoud en het realisme. De eenvoud uit zich voor-

namelijk bij het implementeren van extra factoren, zoals de spotgrootte. Het grootste nadeel

van de Monte Carlo-techniek is de rekentijd. Elke straal moet immers afzonderlijk worden

berekend.

Het algoritme bestaat uit drie grote componenten. Om te beginnen worden voor elke vertrek-

hoek een of meerdere stralen gesimuleerd, al naar gelang het aantal willekeurige fluctuaties.

In een tweede deel worden de snijpunten met het object uitgerekend en indien nodig de

straalhoeken aangepast. In een derde stuk worden de snijpunten met de detector bepaald,

en wordt het aantal inkomende stralen per ”pixel” geteld. Eventueel kunnen verschillende

simulaties opgeteld (bv. voor een polychromatische bundel) of vergeleken worden door middel

van lussen.

Absorptie-effecten kunnen eenvoudig toegevoegd worden aan de simulatie. Vermits in het

algoritme reeds de snijpunten met de randen werden berekend, kan ook de afstand worden

berekend. Hieruit volgt onmiddelijk de absorptie.

3.2.3 Diffractie

Formules (3.11) en (3.12) geven een analytische uitdrukking voor het intensiteitsprofiel vol-

gens de diffractie-theorie. Voor een homogeen cilindrisch object met straal R en middelpunt

in xo = 0 wordt de transmissiefunctie Q(xo) hierin gegeven door:

Q(xo) = exp(−4π(iδ + β)

λ

√R2 − x2

o

)(3.17)

Deze uitdrukking kan dan geconvolueerd worden met een Gaussische distributie voor ef-

fecten zoals eindige spotsize en detectorrespons. Voor een opstelling zoals beschreven in

de literatuur[24, 25] waarbij grote afstanden en zeer kleine objecten gehanteerd worden le-

vert deze methode duidelijke diffractie-patronen op aan de randen van de voorwerpen (zie

Figuur 3.9(a)). Naarmate de afstanden kleiner worden, en het object groter, worden inter-

ferentiestoringen zichtbaar (Figuur 3.9(b)) die uiteindelijk de diffractiepatronen zullen over-

stemmen (Figuur 3.9(c)).


Figuur 3.9: Simulaties van een cilinder aan de hand van (3.11) en (3.12) met ver-

schillende parameters (a) zso = 3000 mm, zod = 3000 mm, R = 15µm

(b) zso = 1000mm, zod = 2000mm, R = 100µm (c) zso = 100mm,

zod = 900 mm, R = 250µm

3.2.4 TIE

In de literatuur wordt vaak gebruik gemaakt van simulaties gebaseerd op (3.16). Deze biedt

immers een eenvoudig te berekenen analytische uitdrukking voor het fasecontrast. Het grote

nadeel is de Gaussische functie waarmee dient geconvolueerd te worden om realistische effecten

zoals eindige spotsize en detectorresponsie te implementeren. De breedte van deze Gaussiaan

is onbekend, en kan enkel bepaald worden door vergelijking met experimentele waarden.

Ook hierbij is attenuatie makkelijk te implementeren. Hiervoor moet enkel een factor

exp(−2B(x, y, λ)

)waarin

B(x, y, λ) =2πλ

∫object

β(x, y, z, λ)dz (3.18)

toegevoegd worden4.

Een tweede uitbreiding op (3.16) is de implementatie van de vergroting M :

M =zsd

zso(3.19)

Deze geeft twee extra bijdragen. Ten opzichte van I(0) is er een kwadratische afname van

de bundelintensiteit door de omnidirectionaliteit. In dit werk zal er steeds genormaliseerd4Deze factor 2B is dezelfde als de factor M uit (2.2), maar een andere notatie wordt gehanteerd om

verwarring met de vergroting te vermijden


Figuur 3.10: Een vergelijking tussen de Monte Carlo-simulatie en de simulatie volgens (3.21).

Het object is een homogene cilinder

worden op de intensiteit I0(zod) zonder object, waardoor deze M−2-term verdwijnt. Een

tweede term reduceert enkel het fasecontrast effect en kan bijgevolg niet weggewerkt worden.

Ten slotte zijn de eenheidsvectoren loodrecht op de propagatierichting niet meer dezelfde.

Met deze twee uitbreidingen wordt uitdrukking (3.16) gewijzigd tot:

I(Mx,My, zod)I0(Mx,My, zod)

≈ e−2B(x,y,λ)(1− zodλ

2πM∇2⊥φ(x, y)

)(3.20)

De TIE kan ook exact berekend worden. Hierdoor wordt (3.20) aangevuld met een extra

term[31]:

I(Mx,My, zod)I0(Mx,My, zod)

= e−2B(x,y,λ)(1− zodλ

2πM∇2⊥φ(x, y) +

zodλ

πM∇⊥φ(x, y) · ∇⊥B(x, y)

)(3.21)

Hoewel de theoretische benadering totaal verschillend is van refractie, komen beide simulaties

verrassend goed overeen. Dit is te zien in Figuur 3.10.

Hoofdstuk 4

Meetmethoden

Er zijn verschillende methoden om fasecontrast effecten te onderzoeken. In dit hoofdstuk

wordt eerst een overzicht gegeven van de verschillende mogelijke meetopstellingen met hun

voor- en nadelen. Daarna volgt een beschrijving van de opstelling die gebruikt werd voor dit

onderzoek. In de twee laatste secties worden dan respectievelijk de gebruikte software en de

bestudeerde voorwerpen besproken.

4.1 Mogelijke opstellingen

Voor fase-contrast beeldvorming zijn er meerdere verschillende opstellingen mogelijk. Zowel

de visualisatiemethode als de bron kunnen hierbij sterk verschillen. Als detector worden

tegenwoordig bijna uitsluitend digitale toestellen gebruikt, waardoor het overbodig is in te

gaan op de verschillen tussen digitale en analoge beeldvorming.

4.1.1 Bronnen

In hoofdzaak worden twee soorten bronnen met zeer verschillende eigenschappen gebruikt:

synchrotronstraling en een X-stralen buis.

Synchrotron straling :

Aan versnellers kunnen hoog-energetische elektronen worden afgeleid om ze dan voor

andere doeleinden te gebruiken, zoals de productie van X-stralen. Dit gebeurt meestal

met synchrotron straling, die wordt veroorzaakt door afbuiging van de elektronen in een

magnetisch veld. Wigglers of undulatoren, waarin de elektronen periodisch oscilleren22

HOOFDSTUK 4. MEETMETHODEN 23

en veelvuldig hetzelfde stralingspatroon genereren, worden meestal aan de opstelling

toegevoegd om de intensiteit te verhogen. Synchrotron straling heeft zeer interessante

eigenschappen, zoals een hoge intensiteit, scherpe bundeling, smal energiespectrum en

polariseerbaarheid. De hoge intensiteit en scherpe bundeling maakt grote afstanden

tussen de bron en de opstelling (om parallelle bundel te benaderen en kleine hoekafwij-

kingen zichtbaar te maken) en monochromatisatie mogelijk. Het grootste nadeel is de

omvang van de installatie, wat alledaags gebruik praktisch onmogelijk maakt.

X-stralen buis :

Bij een X-stralen buis (Eng.: X-ray Tube, XRT) worden elektronen door een sterke

elektrische stroom thermisch vrijgemaakt uit een wolfraam filament (de kathode) en

door hoogspanning naar een trefplaatje (de anode, meestal uit wolfraam of molybdeen

gemaakt) versneld. Door remstralingsconversie in het trefplaatje worden X-stralen ge-

produceerd. Deze X-stralen zijn polychroom , en de opbrengst is veel kleiner dan bij

synchrotron straling en kent een grote hoekdistributie, waardoor de flux snel afneemt

met de afstand tot de bron (∼ 1/r2), maar de opstelling is relatief klein (bv. een XRT

voor dentale radiologie) en betaalbaar, een belangrijke factor voor praktisch gebruik.

Omwille van de goede stralingseigenschappen wordt in de literatuur meestal synchrotron

straling gebruikt. Aan de UGent wordt enkel met een X-stralen buis gewerkt, en dit onderzoek

is dan ook deels gericht naar verschillen en overeenkomsten tussen XRT fasecontrast en

synchrotronfasecontrast.

4.1.2 Visualisatiemethoden

Naast verschillende bronnen zijn er ook verschillende visualisatiemethoden mogelijk. Afgezien

van interferometrie maken ze allemaal gebruik van de hoekafwijking (3.7) gekoppeld aan het

faseverschil[5].

Interferometrie :

Voor interferometrie splitst men de X-stralen bundel in twee: een referentiestraal en

een meetstraal. De eerste gaat enkel door lucht, de tweede gaat ook door het object.

Door interferentie tussen beide bundels kan met het faseverschil zien en hieruit kan het

verschil in optische weglengte berekend worden. Deze methode vereist echter een goed


gemonochromatiseerde bundel, en een relatief ingewikkelde opstelling. Hoewel de eerste

experimenten met X-stralen fasecontrast gebeurden aan een interferometer, wordt deze

techniek niet vaak meer gebruikt.

Grating interferometrie (GI) :

Een andere mogelijkheid tot interferometrie is met behulp van roosters (Eng.: grate) die

hoekafwijkingen kwantificeren. Voordelen zijn de kwantitatief meetbare fase en de lage

eisen die aan de X-stralenbron worden opgelegd. Nadeel zijn de kostbare en moeilijk te

fabriceren roosters.

Diffraction-enhanced imaging (DEI) :

Bij DEI wordt gebruik gemaakt van Bragg-reflectie om een hoekafwijking te selecteren.

De bundel valt in op het Bragg-kristal, dat enkel stralen die onder een hoek binnen een

welbepaalde distributie invallen reflecteert. Verdraaien van het Bragg-kristal levert een

tweede beeld op, waardoor het absorptiecontrast kan geelimineerd worden. Voordeel

van deze methode is de eenvoud van de opstelling. Grootste nadelen zijn de vereiste

monochromaticiteit en de eis voor een parallelle bundel. Deze techniek wordt voorna-

melijk bij synchrotron straling gebruikt, omdat de afstand tussen bron en object daarbij

groot genoeg kan worden gemaakt zodat de openingshoek van de bundel klein genoeg

is. In de literatuur wordt dit soms ook Schlieren imaging genoemd.

Phase propagation imaging (PPI) :

Bij PPI wordt de hoekafwijking in beeld gebracht door de bundel ver genoeg te laten

propageren. Er is dus geen specifieke opstelling voor nodig, wat een enorm voordeel

is. Een nadeel is dan weer dat de intensiteit van de bundel (zeker bij een XRT) snel

afneemt met de afstand. Ook deze techniek wordt vaak gebruikt bij synchrotrons,

omdat het verlies aan intensiteit daarbij een minder groot probleem vormt. Maar ook

aan X-stralen buizen wordt deze techniek gebruikt, voornamelijk omdat PPI ook werkt

voor polychrome bundels.

De meest gebruikte technieken zijn PPI en DEI. Een vergelijkende studie tussen beide is te

vinden in [32]. Een overzicht van de verschillende meetmethoden wordt gegeven in Figuur 4.1.


Figuur 4.1: De verschillende meetmethoden grafisch voorgesteld: (a) Interferometrie (b) Grating

interferometry (c) DEI (d) PPI [14, 32]

4.2 Opstelling Ugent

Voor dit onderzoek werd gebruik gemaakt van de nano-CT scanner van het UGCT Centre

for X-ray Tomography1. Deze is weergegeven in Figuur 4.2

De bron hiervan is een transmissiebuis van Feinfocus. Hierbij is het trefplaatje heel dun,

waardoor de X-stralen het plaatje aan de andere kant verlaten dan de kant waar de electro-

nen invallen. Hierdoor is een zeer hoge resolutie mogelijk, maar omdat er geen kant vrij is om

het trefplaatje te koelen moet de flux klein gehouden worden. Met deze nanofocus XRT is een

spotsize van minder dan 1µm bij spanningen tot 60 kV mogelijk. In de gevallen waarbij deze

extreme waarde geen vereiste is, kan er ook in microfocus mode gewerkt worden. De spot-

size is hierbij iets groter, maar de levensduur van het filament vergroot en door een grotere

opbrengst kunnen metingen sneller gebeuren. In deze mode kan met spanningen tot 160 kV

gewerkt worden, bij vermogens tot 10W. Dit laatste verhoogt de opbrengst. Naast deze

transmissiebuis is er ook een directionele buis beschikbaar, eveneens van Feinfocus. Hierbij

worden de X-stralen aan dezelfde kant geproduceerd als de kant waar de electronen invallen.

Hierdoor kan het trefplaatje beter gekoeld worden, zodat hogere vermogens (tot 150 W) en1http://www.ugct.ugent.be

http://www.ugct.ugent.be


Figuur 4.2: De opstelling van UGCT met links de bron, centraal de bewegingsmotoren en

rechts de detector

dus hogere fluxen mogelijk zijn. De spotsize is hierbij wel steeds groter dan 3µm.

De voorwerpen worden geplaatst op een stel motoren voor nauwkeurige positionering en

rotatie. Voor de rotatie wordt gebruik gemaakt van de Micos UPR 160-F air. Deze luchtge-

lagerde rotatiemotor garandeert een nauwkeurigheid van 50µrad en platheid en eccentriciteit

< 0.1µm. Met PILine®

M-662 miniature translation stages (tot 50 nm nauwkeurig) wordt

het object gecentreerd boven de rotatieas van de Micos. Voor de translatie wordt een combi-

natie van Berger-Lahr stappenmotoren gebruikt.

De detectie van de X-stralen gebeurt met een een Photonic Science VHR (Very High Reso-

lution) X-ray Camera. Deze watergekoelde 11 Megapixel-detector (2667× 4008 pixels) heeft

een pixel-size van 9µm, goed om kleine hoekafwijkingen waar te nemen.

4.3 Software

Teneinde experimentele waarnemingen te kwantificeren werd gebruik gemaakt van een andere

programmeertaal, Labview®

. Deze taal is speciaal omdat ze bijna uitsluitend grafisch werkt.

Een Labview®

-programma bestaat uit twee delen: een front panel en een block diagram.

Het eerste is een grafische interface voor de gebruiker, waarop parameters kunnen ingevuld

worden en resultaten kunnen vertoond worden. Hierdoor worden Labview®

-programma’s


virtual instruments genoemd. Het tweede is het eigenlijke programma, dat ook volledig

grafisch werkt, met behulp van functieblokken die worden verbonden met virtuele draden.

Ook deze taal biedt enkele specifieke voordelen:

• De grafische interface is zeer gebruiksvriendelijk, voornamelijk voor het aanpassen van

parameters. Net als bij echte instruments kunnen parameters on line gewijzigd worden,

en is het resultaat voor de gebruiker meteen zichtbaar.

• Vermits Octopus in Labview®

ontwikkeld is, zijn de resultaten van de programma’s

meteen compatibel met Octopus Viewer. Hierdoor kan gebruik worden gemaakt van de

functies van dit programma.

• In het pakket voor beeldverwerking IMAQ zijn heel wat functies voorgeprogrammeerd,

waaronder rotatie en region of interest. Deze functionaliteiten maken het programmeren

veel vlotter.

Labview®

heeft natuurlijk ook enkele nadelen:

• De grafische interface komt de snelheid niet ten goede. Voor kwantificatie is dit echter

niet zo belangrijk.

• Het grafische programmeren kan de code bij grote numerieke programma’s onoverzich-

telijk maken.

Het eerste voordeel is de voornaamste drijfveer om Labiew®

te gebruiken. Beelden kunnen

eenvoudig en overzichtelijk gemanipuleerd worden zonder hiervoor zelf een grafische interface

te moeten implementeren.

4.4 Samples

Tijdens dit onderzoek is in hoofdzaak onderzoek gebeurd op drie basissamples:

1. Een koolstofstaafje uit een vulpotlood. Door de cilindrische vorm is het een zeer geschikt

voorwerp voor vergelijkingen met theoretische modellen. Een probleem daarbij is de

ruwheid van het oppervlak, die het fase-effect sterk beınvloedt en deze vergelijking zeer

moeilijk maakt. Een ander nadeel is de niet te verwaarlozen absorptie, ongeveer 15%

centraal in de cilinder. De diameter van dit staafje is 500µm.


2. Aluminiumfolie. Door een dikte van 25µm is de absorptie hiervan verwaarloosbaar, en

de rand is relatief recht. Zoals reeds aangehaald in Sectie 3.1.1 (p. 14) is een rechte

rand echter geen ideaal testobject en kan het niet vergeleken worden met de theoretische

modellen.

3. Een gedroogde dode vlieg. Door de uitdroging is de absorptie ook hier zeer klein

geworden, en alle kleine details maken het een typisch voorbeeld van het soort samples

waarvoor fasecontrast CT een grote meerwaarde heeft tegenover conventionele CT.

Nadeel is dat het door al deze structuren niet kwantitatief te analyseren is. Dit is dan

ook het ideale sample om na te gaan hoe het effect zich manifesteert bij realistische

samples.

Naast deze basissamples werden ook andere samples geprobeerd, evenwel zonder veel succes:

• Piepschuim werd getest omwille van de extreem lage absorptie. De interne structuur

hiervan was echter te sterk.

• Zelfklevende tape geeft een sterk fase-effect, maar de lijm gaf ongewenste effecten aan

de randen.

• Atomic Force Microscopy-probes werden geprobeerd omwille van de uitermate rechte

randen, maar bleken amper zichtbaar te zijn. Dit kan veroorzaakt zijn door het effect

beschreven in Sectie 3.1.1

Hoofdstuk 5

Metingen

Om de theoretische modellen te verifieren zijn experimentele waarnemingen nodig. In de

literatuur vindt men dan ook uitvoerige beschrijvingen van experimenten, die echter vaak

onder geheel andere omstandigheden zijn uitgevoerd dan aan de UGent.

In dit hoofdstuk wordt eerst een overzicht van enkele belangrijke experimenten die in de

literatuur terug te vinden zijn. Daarna volgen de experimenten van dit onderzoek, die in het

laatste deel worden getoetst aan de simulaties uit Sectie 3.2.

5.1 Literatuur

5.1.1 Holotomografie

De eerste bruikbare resultaten van PCI werden bekomen aan het ESRF in Grenoble (Frank-

rijk) door Cloetens et al. Na de eerste kwalitatieve resultaten[9, 33] werden ook kwanti-

tatieve analyses uitgevoerd met behulp van holotomografie[34, 35, 36]. Bij deze techniek

worden meerdere beelden bij verschillende propagatieafstanden genomen. Een holografisch

reconstructiealgoritme werd ontwikkeld, waarmee een faseverdeling kan berekend worden (Fi-

guur 5.1(a)). Hiermee kan een 3D-reconstructie en volume rendering gemaakt worden (Fi-

guur 5.1(b)).

5.1.2 Diffractie

Een uitvoerige studie van diffractie werd uitgevoerd aan de MAMI versneller (Mainz, Duits-

land) [15, 24]. Experimentele waarnemingen werden hierbij vergeleken met simulaties (3.11)29

HOOFDSTUK 5. METINGEN 30

Figuur 5.1: (a) uit meerdere projecties met verschillende afstanden kan een faseverdeling afgeleid

worden (b) de 3D-reconstructie van piepschuim met behulp van holotomografie

Figuur 5.2: De vergelijking van (a) simulaties (van boven naar onder: monochromatisch ide-

aal geval; polychromatisch ideaal geval; monochromatisch geval met eindige spot-

size) met (b) experimentele waarnemingen (van links naar rechts een toenemende

spotsize)[15]

en (3.12)). Door de goede coherentie-eigenschappen is er een sterke overeenkomst tussen

beide. Figuur 5.2 illustreert dit.

Zoals eerder aangehaald is diffractie van klein belang in dit onderzoek.

5.1.3 Grating interferometer

Deze techniek werd eerst voorgesteld in 2004 door Momose et al.[37], die het X-Ray Talbot

Interferometry noemden. De verdere uitwerking ervan werd uitgevoerd aan het Paul Scherrer

Institut (PSI) in Zwitserland waar het grating interferometry genoemd werd[38, 14, 39, 40].

Met deze gratings wordt rechtstreeks de fasegradient ∂φ∂x in de richting loodrecht op de grating

opgemeten. Met eenvoudige integratie wordt dan de faseverschuiving van het object berekend


Figuur 5.3: Resultaten bekomen met GI (a) de faseverschuiving bekomen door eenvoudige integratie

(b) links een conventionele radiografie, rechts een radiografie bekomen met GI[14]

(Fig. 5.3(a)). Uit twee metingen waarbij de grating over 90◦ gedraaid wordt, kan dan de

faseverdeling bepaald worden[39].

Hoewel deze techniek oorspronkelijk ontwikkeld werd aan het SLS synchrotron, werkt ze

ook bij XRT’s. De hiermee behaalde resultaten zijn van zeer hoge kwaliteit. Een voorbeeld

hiervan is weergegeven in Figuur 5.3(b).

5.2 Waarnemingen

5.2.1 Diffractie

In geen enkel experiment was duidelijk diffractie te zien. Bij enkele experimenten, waaronder

deze van de aluminium-folie (zie Figuur 3.2 op p. 10), zijn meerdere pieken in intesiteit

zichtbaar. Dat deze pieken veroorzaakt worden door diffractie is twijfelachtig. Ten eerste


zijn ze slechts aan een zijde aanwezig, terwijl een diffractieprofiel symmetrisch is. Ten tweede

zijn ze enkel zichtbaar bij vlakke objecten. Hierbij kunnen makkelijk storende randeffecten

optreden. Voorbeelden hiervan zijn een afnemende dikte veroorzaakt door het snijden, of

coatings op de folie.

De afwezigheid van diffractie kan verklaard worden door het gebrek aan coherentie bij de

X-stralen bundel, en de afmetingen van de objecten.

5.2.2 Invloed van de geometrie

Voor deze metingen werd gebruik gemaakt van het grafiet staafje uit het vulpotlood. De

beelden zijn hierbij onafhankelijk van de plaatsing van de cilinder. Nadeel van dit sample is

de vrij ruwe rand. Deze veroorzaakt storende effecten door sterke plaatselijke faseverande-

ringen (Figuur 5.4(a)). Bij varierende afstand tussen bron en detector (Eng.:source-detector

distance, SDD) werden beelden bij verschillende vergrotingen gemaakt, zowel in microfocus

als in nanofocus mode. Dit geeft voor elke SDD zes beelden.

Deze beelden werden verwerkt met een speciaal hiervoor geschreven Labview®

-programma.

Dit detecteert in een opgegeven regio voor elke rij de maximale intensiteit en legt deze cen-

traal in de rij. De gemiddelde maximale intensiteit wordt in wat volgt de tophoogte genoemd.

De afstand tussen de maximale intensiteit en het dichtstbijzijnde lokale minimum wordt pro-

fielbreedte genoemd (Figuur 5.4(b)) en wordt uitgedrukt in aantal pixels. Dit dichtstbijzijnde

lokale minimum is in praktijk slecht bepaald door de ruwe rand en de absorptie van de cilinder.

Tophoogte :

De meetresultaten van de spronghoogte zijn weergegeven in Figuur 5.5(a). Hieruit vol-

gen drie waarnemingen. Ten eerste is er geen waarneembaar onderscheid tussen micro-

focus en nanofocus. Ten tweede is de invloed van de vergroting verwaarloosbaar klein.

Ten derde is een algemeen stijgende trend zichtbaar bij stijgende afstand tussen object

en detector (object-detector distance, ODD). Alleen de metingen met ODD>700 mm

vertonen afwijkend gedrag. Dit kan verklaard worden door slechte statistiek als gevolg

van een zeer lage flux op grote afstanden van de bron.

Profielbreedte :

Voor de profielbreedte werden enkel de beelden in microfocus geanalyseerd. Het resul-


Figuur 5.4: (a) extra fase-effecten door de ruwe rand van de cilinder (b) beeld na allignatie van de

maximale intensiteiten waarbij het minimum slecht gealligneerd is en de profielbreedte

moeilijk op te meten is

Figuur 5.5: De invloed van ODD en vergroting op (a) de spronghoogte (b) de profielbreedte

taat is weergegeven in Figuur 5.5(b). Ondanks de grote schommelingen is er toch een

lichte stijgende trend voor stijgende vergroting waarneembaar. Dit is waarschijnlijk een

gevolg van de sterkere spotvergroting, waarbij de focale spot ook vergroot wordt, en zo

het profiel wazig wordt.

5.3 Vergelijking met simulaties

Een van de belangrijkste analyses is de vergelijking tussen experimentele resultaten en theo-

retische modellen. Zo kunnen de theoretische modellen beoordeeld worden op hun juistheid

als representatie voor de realiteit. Zoals eerder aangegeven geven de TIE en de Monte Carlo-

simulatie aanleiding tot zeer gelijkaardige resultaten. Toch zullen beide modellen in bepaalde

gevallen grondig verschillen en elk hun specifieke voordelen hebben.


De vergelijking werd gemaakt voor het grafiet staafje uit het vulpotlood. Een cilinder is in

beide simulatiemodellen makkelijk te implementeren. Voor de analyse werd gebruik gemaakt

van de dataset uit de vorige sectie, en een tweede dataset waarbij de detector een vaste

afstand ten opzichte van de bron had, en de ODD en dus de vergroting werd gevarieerd.

Numeriek is er een slechte overeenkomst tussen beide. Het effect wordt theoretisch veel sterker

voorspeld dan het in werkelijkheid is. Er zijn hiervoor meerdere oorzaken te vinden. Ten

eerste is de Laplaciaan van de fasefunctie minder groot in realiteit dan in theorie door de ruwe

rand. Ook dit is zichtbaar in Figuur 5.4(a), waar het effect aan de ene rand sterker is dan

aan de andere. Een tweede oorzaak is de uitmiddeling. Om het experimenteel gemiddelde

profiel te krijgen, worden alle lijnprofielen uitgemiddeld, waarbij de hoogste waarde steeds

centraal staat. Hierdoor wordt de piek sterk afgevlakt en het profiel breder gemaakt.

In tegenstelling tot absolute waarden kunnen wel trends vergeleken worden. De invloed van

een variabele vergroting bij vaste ODD, een variabele ODD bij vaste magnificatie, en een

combinatie van beide met vaste SDD werden theoretisch geanalyseerd.

Variabele vergroting :

De ODD werd vast gehouden op 500 mm, en de vergroting werd in stijgende lijn gevari-

eerd tussen 2 en 20. Hierbij is er een groot verschil tussen beide simulatiemodellen. Bij

de TIE is het resultaat afhankelijk van de niet-idealiteiten, gebundeld in een convolu-

tie met een Gaussische functie met een welbepaalde standaardafwijking. Bij een grote

standaardafwijking stijgt de tophoogte, en blijft de profielbreedte ongeveer gelijk. Bij

een dalende standaardafwijking begint de tophoogte voor grote magnificaties opnieuw

te dalen. Ook de profielbreedte stijgt dan. Voor heel kleine standaardafwijkingen daalt

de tophoogte, en stijgt de breedte evenredig met M .

In de Monte-Carlo simulatie zijn de niet-idealiteiten van minder groot belang. De foca-

le spotgrootte is hierbij geımplementeerd door een fluctuatie op de vertrekpunten van

de stralen. Ongeacht de grootte van deze fluctuaties daalt de tophoogte met stijgende

magnificatie, en stijgt de profielbreedte evenredig hiermee.

Experimenteel wordt een lichte stijging van de profielbreedte waargenomen in Figuur 5.5(b),

maar geen evenredigheid. Voor de tophoogte is geen algemene trend af te leiden uit

Figuur 5.5(a), hoewel er gemiddeld een zeer lichte daling is. Deze data geven een behoor-

lijke schatting omtrent de waarde van de standaardafwijkingen voor de niet-idealiteiten


bij de TIE.

Variabele ODD :

In deze simulaties werd de vergroting vast op 10 gehouden, en de ODD in stijgende

lijn gevarieerd tussen 100 mm en 2000 mm. Met beide simulaties steeg de tophoogte

lineair met de ODD. Daarbij is de tophoogte voor ODD=0 gelijk aan 1. Dit is ook

te zien in Figuur 5.5(a). Hoewel in het stralenmodel de afbuighoek gelijk blijft en

dus de profielbreedte zou vergroten bij grotere propagatieafstand, blijft deze volgens de

TIE volledig gelijk, en ook bij een Monte-Carlo simulatie is het verschil miniem. Dit

verklaart ook de afwezigheid van een algemene trend in Figuur 5.5(b).

Beide variabelen :

Hiervoor werd de SDD vast op 1000 mm gehouden, de afstand tussen bron en object

(emphsource-object distance, SOD) werd gevarieerd tussen 20 mm en 500mm. Hier-

door veranderden ODD en vergroting simultaan. Ook hierbij zijn de resultaten van de

TIE afhankelijk van de gebruikte parameter voor de niet-idealiteiten. Deze is echter

afgeschat bij de analyse van een variabele vergroting. Met deze waarde volgen zowel

de gesimuleerde tophoogte als de profielbreedte de experimenteel waargenomen trends.

Met de Monte Carlo-simulatie is de overeenkomst wat minder groot.

Deze resultaten zijn samengevat in Figuur 5.6. Hierin zijn de tophoogte in functie van

de ODD en de profielbreedte in funtie van de vergroting uitgezet voor beide simulaties

en de experimentele data. Zoals eerder aangehaald is de overeenkomst in numerieke

waarden zeer slecht, en voor de tophoogte zijn deze dan ook herschaald


Figuur 5.6: De vergelijking tussen experimentele data en beide simulatiemodellen voor (a)

de tophoogte en (b) de profielbreedte. De numerieke waarden zijn geschaald en

niet representatief.

Hoofdstuk 6

Reconstructie

Het uiteindelijke doel van dit onderzoek is de mogelijkheid om CT-opnames met fase-effecten

— al dan niet gewenst— te reconstrueren. Hiertoe is het nuttig niet te werken met reele

radiografieen, maar met gesimuleerde beelden. Het voordeel hiervan is dat lastige effecten

zoals ruis in eerste instantie kunnen weggewerkt worden, en voor elk probleem afzonderlijk

een oplossing kan gezocht worden.

In Hoofdstuk 3 werden reeds de de simulaties besproken die werden gebruikt voor de recon-

structie. In dit hoofdstuk zal dan het filter aangehaald worden waarmee het algoritme uit

Sectie 2.1 (p. 7) toepasbaar wordt voor fase-effecten. Daarna volgen de resultaten van de

reconstructie met dit algoritme.

Software

Ook voor de reconstructie werd Labview®

gebruikt, voornamelijk omwille van de compati-

biliteit met Octopus. Maar ook het visuele gebruiksgemak speelt hierbij een rol. Hiertoe

dienden evenwel de simulaties (gemaakt in Matlab®

, dat lijnprofielen simuleert) opnieuw

geprogrammeerd te worden in Labiew®

, dat makkelijk volledige radiografieen simuleert. De

simulaties zijn allen gemaakt met behulp van de TIE. Monte Carlo-simulaties zijn immers

te tijdrovend, en de voorwaarden voor diffractie zijn te verschillend van deze voor X-stralen

buizen.

Objecten

De reconstructie werd getest op drie gesimuleerde datasets en een reele dataset:37

HOOFDSTUK 6. RECONSTRUCTIE 38

Figuur 6.1: De eerste projectie van de vier verschillende datasets gebruikt voor reconstructie

1. Twee niet-concentrische cilinders, waarbij de densiteit van de interne cilinder het dubbel

is van deze van de externe cilinder

2. Twee niet-concentrische kegels, met diezelfde eigenschap

3. Een bol

4. Een poot van de gedroogde vlieg

Van alle vier de datasets is een radiografie getoond in Figuur 6.1.

6.1 Filter

Een eerste obstakel bij de reconstructie van beelden met fasecontrast is de dislocatie van de

intensiteit. Door de hoekverandering is er geen eenduidig verband tussen het gedetecteerde

beeld en het object zelf. Dit probleem wordt in de mate van het mogelijke opgelost door een

aangepast filter.

Een mogelijk filter wordt voorgesteld door Bronnikov[30, 28, 41]. Hierbij wordt een relatie

tussen de 3D Radon transformatie δ van het brekingsindex decrement en de 2D Radon trans-

formatie van de fasefunctie φ (Formule (3.6)) afgeleid. De TIE (3.16) levert een rechtstreeks

verband tussen de Laplaciaan van de fasefunctie en het opgemeten beeld. Gebruik makend

van eigenschappen van de Radontransformatie kan zo bewezen worden dat:

∂2

∂s2δ(s, θ, ω) = − 1

zodgθ(s, ω) (6.1)


Figuur 6.2: (a) Het assenstelsel waarin de theorie van Bronnikov ontwikkeld werd (b) de genor-

maliseerde filter [28]

waarbij gθ de Radon-transformatie is van

gθ(x, y) =Iθ(x, y)I0θ (x, y)

− 1 (6.2)

Een dubbele integratie en de inverse Radon-transformatie van δ levert dan de reconstructie-

formule:

δ(x1, x2, x3) =1

4π2zod

∫ π

0h ∗ ∗gθdθ (6.3)

Hierbij is ∗∗ de 2D-convolutie, en h het Bronnikov-filter in de reele ruimte:

h(x, y) =|y|

x2 + y2(6.4)

De vorm van deze filter wordt gegeven in Figuur 6.2(b).

Het belang van de TIE in deze redenering mag niet onderschat worden. Deze benadering

levert immers de mogelijkheid de opgemeten intensiteit te integreren, en zo de informatie

die door propagatie van de golf verspreid werd over het 2D-beeld terug te brengen tot zijn

oorspronkelijke positie. Hierdoor wordt reconstructie mogelijk gemaakt.

Om de rekentijd te beperken wordt de convolutie in (6.3) het best uitgevoerd in de Fourier-

ruimte. Hierin is het filter van dezelfde vorm:

H(ξ, η) =|ξ|

ξ2 + η2(6.5)

Dit filter kan opgesplitst worden in twee aparte filters. In de noemer staat de dubbele inte-

gratie, die de fasefunctie berekent uit de intensiteit. Dit komt overeen met het berekenen van


de geprojecteerde attenuatiecoefficient Mθ(t) uit (2.3) in conventionele CT (zie het recon-

structiealgoritme op p. 7). Net zoals bij absorptie-CT dient dit beeld nog gefilterd te worden

met het ramp-filter (2.4). Dit is terug te vinden in de teller van (6.5).

Het resultaat is dat de beelden na filtering op een vermenigvuldigingsfactor na gelijk zijn aan

gefilterde absorptiebeelden. In beide gevallen worden de gefilterde beelden op dezelfde wijze

teruggeprojecteerd.

Praktische implementatie

Net als bij het ramp-filter is het ook hier aangeraden om het beeld te zero-padden (ZP)

alvorens het te filteren[1]. Dit houdt in dat het beeld omgeven wordt door nullen, om zo

de Fourier-transformatie nauwkeuriger te maken. Bij 2D-filteren geeft dit echter ook een

extra probleem. In de verticale richting zal het voorwerp (of de samplehouder) de rand van

het beeld bereiken. Dit levert storende randeffecten (Figuur 6.3(a)) op. Deze randeffecten

kunnen vermeden worden door het beeld te verlengen met de bovenste en onderste rij pixels

(Figuur 6.3(b)). Dit zorgt ervoor dat de randeffecten ver genoeg van het feitelijke beeld staan.

Een tweede probleem is de singulariteit in de noemer. Dit kan op twee manieren opgelost

worden. De eerste manier is door de waarde van het filter op nul te stellen in de oorsprong.

Een tweede mogelijkheid is om een kleine constante waarde α op te tellen bij de noemer.

In het geval van fasebeelden met absorptie zou deze extra term in de Fourier-ruimte ook de

invloed van de absorptie sterk reduceren[13].

6.2 Reconstructie

6.2.1 cilindrisch fantoom

Het eenvoudigste fantoom om te reconstrueren is de dubbele cilinder. Het grote voordeel is dat

er geen 3D-structuur is, waardoor er geen ongewenste strepen optreden door de randeffecten.

Voor dit fantoom werd de reconstructie in twee verschillende gevallen uitgevoerd. Voor het

eerste geval werden de zuivere beelden gefilterd, zonder zero-padding of uitrekken van het

beeld. Voor het tweede geval werd het oorpsronkelijk beeld (afmetingen 1001×500 pixels)


Figuur 6.3: (a) Storende randeffecten bij het filteren van 3D-objecten zonder ZP (b) Het principe van

‘uitrekken’ van het beeld (c) Randeffecten bij filteren met ZP

uitgerokken tot een beeld met afmetingen 2048×2048 pixels, waarbij aan de zijkanten nullen

werden toegevoegd. Het geval met enkel ZP werd achterwege gelaten, omdat het gefilterde

beeld reeds zichtbaar afwijkingen vertoont (Figuur 6.3(c)).

De resultaten van beide gevallen worden weergegeven in Figuur 6.4. Hierop is duidelijk

een afwijkend gedrag bij het eerste geval te zien. Dit is volledig analoog aan het gedrag

bij conventionele CT zonder ZP. Bij deze resultaten dient wel opgemerkt te worden dat de

numerieke waarden geheel arbitrair zijn. Deze hangen immers sterk af van de numerieke

waarden van het filter. In de figuur is dan ook een schaling toegepast om gelijke waarden te

bekomen. Er werd echter geen offset toegevoegd.

6.2.2 Conisch fantoom

Ook voor het conisch fantoom werkt het filter. Dankzij het uitrekken van het beeld worden

de randeffecten weggewerkt. Er is echter nog steeds een verschil in numerieke waarden tussen

de verschillende doorsneden (zie Figuur 6.5(a)).

6.2.3 Bol

Hetzelfde probleem treedt op bij de reconstructie van de bol. Ook hier varieert de numerieke

waarde van de densiteit doorheen de verschillende doorsneden. Een tweede probleem treedt


Figuur 6.4: De reconstructie van het cilinderisch fantoom: de vergelijking tussen theoretisch

en gereconstrueerd lijnprofiel van de centrale vertikale. Voor de reconstructie

zonder ZP is een schaling van 2 gebruikt (inzet: een willekeurige doorsnede )

op aan de boven- en onderkant van de bol. Hier worden storende positieve waarden bekomen.

Dit is geıllustreerd in Figuur 6.5(b).

6.2.4 Ruisgevoeligheid

Een kritiek punt voor de bruikbaarheid van het Bronnikov-filter is de ruisgevoeligheid. Op

realistische beelden zit immers ruis, en deze zou de resultaten niet sterk mogen beınvloeden.

Om dit te testen werd aan de projecties van het cilindrisch fantoom ruis met een Gaussische

verdeling met verschillende amplitude toegevoegd. De amplitude is ten opzichte van de

genormaliseerde intensiteit. De invloed van de ruis op de projecties is te zien in Figuur 6.6(a).

Merk op dat het lijnprofiel reeds uitgemiddelde waarden weergeeft.

De resultaten zijn te zien in Figuur 6.6(b). Ondanks de zeer zware ruis is de invloed ervan

minimaal. Wanneer de amplitude van de ruis groter wordt dan het fase-effect zelf, worden

de numerieke waarden van de reconstructie gewijzigd, maar kwalitatief blijft de reconstructie

goede resultaten opleveren.


Figuur 6.5: (a) verschillende doorsneden in het conisch fantoom (b) verschillende doorsneden door-

heen de gesimuleerde bol. Lijn 0 ligt buiten de bol

Figuur 6.6: De invloed van ruis op het reconstructie-algoritme. (a) een projectie met toege-

voegd ruis met amplitude 1. Bijgevoegd lijnprofiel toont uitgemiddelde waarden

(b) lijnprofiel van gereconstrueerd beeld bij verschillende ruis-amplitudes


Figuur 6.7: De reconstructie van het cilindrisch fantoom met absorptie, met be-

hulp van het MBA met verschillende α

6.2.5 Absorptie

Een ander essentieel punt in de reconstructie is de storende bijdrage van de absorptie. Het

Bronnikov-filter is ontworpen op basis van (3.16), waarbij verondersteld wordt dat het object

een zuiver fase-object is en geen X-stralen absorbeert. Dit is echter een ideaal geval en zal in

de realiteit niet voorkomen.

Een eerste oplossing maakt gebruik van een zuiver absorptiebeeld. Hiermee kan de attenuatie

weggedeeld worden, en blijft alleen een fasebeeld over. Dit is echter moeilijk te realiseren bij

conische bundel. Een tweede oplossing maakt gebruik van de fase-attenuatie dualiteit[19,

20]. Deze maakt gebruik van het gegeven dat fase en attenuatie beide gevolgen zijn van de

electronendensiteit, en dus beide kunnen uit een beeld gehaald worden. Deze theorie is echter

nog nooit in praktijk gebruikt.

Een derde oplossing voor dit probleem wordt voorgesteld door Groso et al.[13]. Voor objecten

met een lage absorptie zou een extra term α in de noemer van het filter (6.5) de reconstructie

alsnog mogelijk maken. Deze extra term dient semi-empirisch bepaald te worden, aan de

hand van simulaties gebaseerd op experimenten. Het aldus bekomen filter wordt het Modified

Bronnikov Algorithm (MBA) genoemd.

Deze methode werd toegepast op het cilinderisch fantoom, waarbij een absorptie van 5% (cen-

traal in de grote cilinder) werd toegepast. De filter werd vervolgens toegepast met varierende

extra term α. Hetzelfde lijnprofiel als in vorige sectie wordt weergegeven voor verschillende

α in Figuur 6.7. Hoewel de absorptie gering was, bleek het niet mogelijk het fantoom goed

te reconstrueren.


Figuur 6.8: (a) Een genormaliseerde projectie en (b) het virtueel absorptiebeeld gecreeerd

met het MBA

6.2.6 Vliegepoot

Het MBA werd ook uitgetest op de reele dataset van de vliegepoot. De teller werd hierbij

echter op een gesteld, en van de numerieke waarden werd de exponentiele berekend. Zo

werd een virtueel absorptiebeeld gecreeerd (Figuur 6.8) dat kon gereconstrueerd worden met

Octopus. De reconstructie gebeurde volledig analoog aan conventionele CT.

Deze reconstructie kon vergeleken worden met een reconstructie van de ongefilterde beelden.

Drie verschillende doorsneden worden vergeleken in Figuur 6.9. Bij de reconstructie van de

ongefilterde beelden (boven) zijn ongewenste strepen zichtbaar. Ook de typische accentuering

van de randen is na reconstructie nog steeds aanwezig. Het MBA werkt deze storende effecten

weg (onder), maar maakt de reconstructie iets waziger.


Figuur 6.9: (links) De reconstructie van het ongefilterde beeld (rechts) De reconstructie na filtering

met het MBA

Hoofdstuk 7

Conclusie

Dit onderzoek heeft de eerste inzichten in fasecontrast beeldvorming, en bij uitbreiding fa-

secontrast tomografie gebracht. De fysische en mathematische mechanismen die dit effect

veroorzaken zijn nu gekend, en kunnen gereproduceerd worden via simulaties. Uit verge-

lijkingen tussen deze simulaties en experimentele waarnemingen blijkt dat de overeenkomst

vooral numeriek nog niet optimaal is, maar dat het gedrag bij verandering van de geometrie

goed voorspeld wordt.

Met deze simulaties kon het algoritme van Bronnikov getest worden. Dit algoritme, dat ei-

genlijk de Laplaciaan van de fasefunctie integreert, creeert een virtueel absorptiebeeld dat

kan gereconstrueerd worden met bestaande reconstructiesoftware zoals Octopus. Hoewel dit

algoritme geschreven is voor zuivere fase-objecten, werkt het ook op reele samples. Het is

met succes toegepast op een dataset van een vliegepoot. De reconstructie vertoonde minder

storende randeffecten dan zonder het Bronnikov-filter.

Dit is echter niet het einde van dit onderzoek. Er moet nog veel gebeuren vooraleer deze tech-

niek praktisch gebruikt kan worden, zowel op vlak van reconstructiesoftware voor fasecontrast

als op vlak van fysisch inzicht om het gebruik ervan te optimaliseren.

47

Bibliografie

[1] Kak A. & Slaney M. Principles of Computerized Tomographic Imaging. IEEE Press,

1988.

[2] Menk R., Rigon L., Arfelli F., et al. Diffraction-enhaned x-ray medical imaging at the

elettra synchrotron light source. Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. A, 548:213–220, 2005.

[3] Mayo S., Davis T., Gureyev T., et al. X-ray phase-contrast microscopy and microtomo-

graphy. J. Opt. Soc. Am., 11(19):2289–2302, Opt. Express.

[4] Ando M. & Hosoya S. An attempt at x-ray phase-contrast microscopy. In Proc. 6th

Intern. Conf. on X-ray Optics and Microanalysis, pages 63–68. Univ. of Tokyo Press,

1972.

[5] Baruchel J.and Buffiere J., Maire E., et al. X-Ray Tomography in Material Science.

HERMES Science Publications, 2000.

[6] Davis T., Gao D., Gureyev T., et al. Phase-contrast imaging of weakly absorbing mate-

rials using hard x-rays. Nature, 373:595–598, 1995.

[7] Momose A., Takeda T., & Itai Y. Contrast effect of blood on phase-contrast x-ray

imaging. Acad. Radiol., 2(10):883–887, 1995.

[8] Snigirev A., Snigireva I., Kohn V., et al. On the possibilities of x-ray phase con-

trast microimaging by coherent high-energy synchrotron radiation. Rev. Sci. Instrum.,

66(12):5486–5492, 1995.

[9] Cloetens P., Barrett R., Baruchel J., et al. Phase objects in synchrotron radiation hard

x-ray imaging. J. Phys. D: Appl. Phys., 29(1):133–146, 1996.

48

BIBLIOGRAFIE 49

[10] Nugent K., Gureyev T., Cookson D., et al. Quantitative phase imaging using hard x

rays. Phys. Rev. Lett., 77(14):2961–2964, 1996.

[11] Wilkins S., Gureyev T., Gao D., et al. Phase-contrast imaging using polychromatic hard

x-rays. Nature, 384:335–338, 1996.

[12] Chapman D., Thomlinson W., Johnston R., et al. Diffraction enhanced imaging. Phys.

Med. Biol., 42:2015–2025, 1997.

[13] Groso A., Abela R., & Stampanoni M. Implementation of a fast method for high reso-

lution phase contrast tomography. Opt. Express, 14(18):8103–8110, 2006.

[14] Pfeiffer F., Weitkamp T., Bunk O., et al. Phase retrieval and differential phase-contrast

imaging with low-brilliance x-ray sources. Nat. Phys., 2(4):258–261, 2006.

[15] El Ghazaly M. X-ray Phase Contrast Imaging at the Mainz Mictrotron MAMI. PhD

thesis, Institut fur Kernphysik, Universitat Mainz, 2005.

[16] Lawrence Berkeley National Laboratory. X-ray data booklet. http://xdb.lbl.gov.

[17] http://www-cxro.lbl.gov/optical constants/asf.html.

[18] http://xray.uu.se/hypertext/ptable.html.

[19] Wu X., Liu H., & Yan A. Optimization of x-ray phase-contrast imaging based on in-line

holography. Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. B, 234(4):563–572, 2005.

[20] Wu X. & Liu H. X-ray cone-beam phase tomography formulas based on phase-

attenuation duality. Opt. Express, 13(16):6000–6014, 2005.

[21] Kardjilov N.. Further developments and applications of radiography and tomography with

thermal and cold neutrons. PhD thesis, Technischen Universitat Munchen, 2003.

[22] Crowell B. Wave Optics. http://www.lightandmatter.com/bk5.pdf, 1998.

[23] Born M. & Wolf E. Principles of Optics. Pergamon, Oxford, 1980.

[24] El-Ghazaly M., Backe H., Lauth W., et al. X-ray phase contrast imaging at mami. Eur.

Phys. J. A, 28(1):197–208, 2006.

http://xdb.lbl.gov

http://www-cxro.lbl.gov/optical_constants/asf.html

http://xray.uu.se/hypertext/ptable.html

http://www.lightandmatter.com/bk5.pdf

BIBLIOGRAFIE 50

[25] Bonvicini V. Arfelli F., Assante M. et al. Low-dose phase contrast x-ray medical imaging.

Phys. Med. Biol., 43:2845–2852, 1998.

[26] Teague M. Irradiance moments - their propagation and use for unique retrieval of phase.

J. Opt. Soc. Am., 72(9), 1982.

[27] Teague M. Deterministic phase retrieval: a green’s function solution. J. Opt. Soc. Am.,

73(11):1434–1441, 1983.

[28] Bronnikov A. Theory of quantitative phase-contrast computed tomography. J. Opt. Soc.

Am. A, 19(3):472–480, 2002.

[29] Wu X. & Liu H. A general theoretical formalism for x-ray phase contrast imaging. J.

X-ray Sci. Tech., 11:33–42, 2003.

[30] Bronnikov A. Reconstruction formulas in phase-contrast tomography. Opt. Comm.,

171:239–244, 1999.

[31] Peterzol A., Olivo A., Rigon L., et al. The effects of the imaging system on the validity

limits of the ray-optical approach to phase contrast imaging. Med. Phys., 32(12):3617–

3627, 2005.

[32] Pagot E., Fiedler S., Cloetens P., et al. Quantitative comparison between two phase

contrast techniques: diffraction enhanced imaging and phase propagation imaging. Phys.

Med. Biol., 50:709–724, 2005.

[33] Cloetens P., Pateyron-Salome M., Buffiiere J., et al. Observation of microstructure and

damage in materials by phase sensitive radiography and tomography. J. Appl. Phys.,

81(9):5878–5886, 1997.

[34] Cloetens P. Contribution to Phase Contrast Imaging, Reconstruction and Tomography

with Hard Synchrotron Radiation. PhD thesis, Vrije Universiteit Brussel, 1999.

[35] Cloetens P., Ludwig W., Baruchel J., et al. Hard x-ray phase imaging using simple

propagation of a coherent synchrotron radiation beam. J. Phys. D: Appl. Phys., 32:145–

151, 1999.

BIBLIOGRAFIE 51

[36] Cloetens P., Ludwig W., Baruchel J., et al. Holotomography: Quantitative phase tomo-

graphy with micrometer resolution using hard synchrotron radiation x rays. Appl. Phys.

Lett., 75(19):2912–2914, 1999.

[37] Momose A., Kawamoto S., & Koyama I. X-ray talbot interferometry for medical phase

imaging. AIP Conf. Proc., 716:156–159, 2004.

[38] Weitkamp T., Diaz A., David C., et al. X-ray phase imaging with a grating interfero-

meter. Opt. Express, 13(16):6296–6304, 2005.

[39] Kottler C. & David C. A two-directional approach for grating based differential phase

contrast imaging using hard x-rays. Opt. Express, 15(3):1175–1181, 2007.

[40] Pfeiffer F., Kottler C., Bunk O., et al. Hard x-ray phase tomography with low-brilliance

sources. Phys. Rev. Lett., 98(10):108105, 2007.

[41] Bronnikov A. Phase-contrast ct: Fundamental theorem ans fast image reconstruction

algorithms. Proc. SPIE, 6318:27–33, 2006.

fasecontrast beeldvorming aan een nanofocus...

Documents