Faculteit Industriele IngenieurswetenschappenKU Leuven - UHasselt

Digitale, Niet-lineaire en Fuzzy Regeltechniek

2644 REG2

Deel 1: Digitale Regeltechniek

dr ir Johan Baeten

Cursus gedoceerd aan3e bachelor Elektromechanica focus Automatisering-Elektrotechniek3e bachelor Elektronica-ICTSchakeljaar Automatisering

c© Faculteit Industriele IngenieurswetenschappenAgoralaan, B-3590 Diepenbeek, Belgium

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/ofopenbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch of opwelke andere wijze ook zonder voorafgaandelijke schriftelijke toestemming van de uitgever.

Inhoudstafel

Symbolenlijst III

1 Discrete systemen 11.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Het digitaal signaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Het discreet systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Discrete tijdfuncties of sequenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Oplossing van de differentievergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 De homogene oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1.1 Reele wortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1.2 Meervoudige wortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1.3 Complexe wortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2 De particuliere oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.3 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.4 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Het simulatieschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 De Z-transformatie 192.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Berekening van de Z-getransformeerde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Eigenschappen van de Z-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1 Lineariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.2 Verschuivingstheorema’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.3 Sommatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.4 Beginwaardetheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.5 Eindwaardetheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.6 Vermenigvuldiging met k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.7 Schaalfactortheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.8 Convolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 De inverse Z-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Toepassing van de Z-transformatie bij de analyse van discrete systemen 242.7 Eenzijdige Z-transformatieparen voor causale functies . . . . . . . . . . 26

3 Het discreet systeemgedrag 273.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Verband tussen Z-, tijd- en P -domein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

I

Inhoudstafel

3.3 Verband tussen de ligging van de polen en de impulsrespons . . . . . . 313.4 Harmonische analyse bij discrete systemen . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 De W-transformatie of bilineaire transformatie . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Het discreet equivalent 374.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Digitale regelschema’s (bij continue systemen) . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Ontwerp van discreet equivalent via numerieke integratie . . . . . . . . 414.4 Ontwerp van discreet equivalent door transformatie van nulpunten en polen 434.5 Ontwerp van een ’houd’-equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6 Stabiliteit en nauwkeurigheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6.1 Stabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6.2 Nauwkeurigheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.7 Vergelijkende oefening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.8 Implementatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9 Transformatietabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 De discrete regelkring 555.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Het stabiliteitsonderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Relatieve stabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.1 Lijnen van constante σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3.2 Lijnen van constante gedempte eigen pulsatie ωp . . . . . . . . . 575.3.3 Lijnen van constante ζ en ωn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 De Toestandsregelaar 616.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 De toestandsruimte - Het toestandsruimtemodel . . . . . . . . . . . . . 616.3 Toestandsterugkoppeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4 Polenplaatsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.5 De toestandsschatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.6 Oefening1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.6.1 Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.6.2 Stabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.6.3 De reactie van het systeem op een impuls . . . . . . . . . . . . . 666.6.4 De differentievergelijking en het simulatieschema . . . . . . . . . 676.6.5 Toestandsterugkoppeling met polenplaatsing . . . . . . . . . . . 686.6.6 Aanvulling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.7 Oefening2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7.1 Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7.2 Stabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7.3 Opstellen van de toestandsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . 736.7.4 Berekening van de toestandsterugkoppelmatrix F . . . . . . . . 746.7.5 Simulatie van het systeem zonder en met toestandsterugkoppeling 76

II

Symbolenlijst

Variabelen:k : discrete onafhankelijke variabele (stap) [ ]

p : Laplace-variabele, poolw : parameter van de W-transformatiez : discrete Laplace-variabele, discrete poolω : pulsatie [r/s]

Signalen en functies:e : foutsignaal of willekeurige functief, g, h, q : willekeurige functiesu : stuursignaal, (uitgang regelaar, ingang systeem)x : ingangssignaaly : uitgangssignaalyp, yh : particuliere en homogene oplossingy0s : nultoestandresponsy0i : nulinputresponsM : absolute waarde van complexe TF (frequentieafhankelijke

versterking)φ, γ : hoek van complexe TF (frequentieafhankelijke fasever-

schuiving)E(k), u(k) : discrete eenheidsstapI(k), δ(k) : discrete impulsh(k), H(z) : hulpvariabele - tussenoplossingF (p) : Laplace-getransformeerde van f(t)F (z) : Z-getransformeerde van f(k)G(z), H(z) : Rechtstreekse TF en terugkoppel TF

Constanten:a, b, c : willekeurige constantena : reeel deel van continue poolb : complex deel van continue poolfs : bemonsteringsfrequentie [Hz]

i : intrestvoet, tellerj : complexe eenheidm : aantal nulpuntenn : aantal polen of natuurlijk getalq : quantiesatie-eenheid

III

Symbolenlijst

r, z0 : absolute waarde van (complexe)discrete pool (modulus)A,B : (willekeurige) constantenK : versterkingKr : versterking regelaar [ ]

T : bemonsteringsperiode [s]

λ : eigenwaardenθ : hoek van complexe discrete pool (argument)σ : reeel deel van de continue poolτi, τd : integratie- en differentiatietijdcte [s, ]

ωn : natuurlijke eigenpulsatie [r/s]

ωp : gedempte eigenpulsatie [r/s]

ωs : bemonsteringspulsatie [r/s]

ζ : dempingscoeffient [ ]

Matrices en vectoren:A : systeemmatrixB : ingangsmatrixC : uitgangsmatrixD : doorkoppelmatrixF : terugkoppelmatrixI : eenheidsmatrixL : schatterterugkoppelmatrixX : toestandsvector

Operatoren:Re, Im : reeel deel van, imaginair deel vanD : vertragingsoperatorE : vooruitschuifopeartorLA : annihilatoroperatorLy : veelterm in E volgens karakteristieke vglL{} : Laplace-transformatieoperatorZ{} : Z-transformatieoperator

Afkortingen:TF : transfertfunctieLSB : minst beduidend bitPLC : programmeerbare logische controle-eenheidDAC : digitaal naar analoog omzetterADC : analoog naar digitaal omzetterMIMO : meerdere ingangen, meerdere uitgangenSISO : een enkele ingang, een enkele uitgang

IV

Hoofdstuk 1

Discrete systemen

1.1 Inleiding

Alvorens in te gaan op discrete regelsystemen, dienen enkele begrippen aangehaald teworden om verwarring hieromtrent te voorkomen. We zullen eerst de betekenis van een’digitaal signaal’ uitleggen samen met de fouten die hierbij optreden. Vervolgens wordt eenvoorbeeld gegeven van een discreet systeem en de manier waarop we zulk een systeem kun-nen voorstellen en beschrijven. Zo komen we tot de differentievergelijking die eigen is aanelk discreet systeem en waarvoor de standaard oplossingen gegeven worden. Dit doen wem.b.v. twee discrete operatoren. Tenslotte wordt het verband gelegd tussen de differentie-vergelijking en het simulatieschema dat de basis kan vormen van een simulatieprogramma(bijvoorbeeld onder TUTSIM of MATLAB).

1.2 Het digitaal signaal

Indien we een continu signaal willen digitaliseren dan komen hierbij twee omvormingenkijken. Het continu verlopend signaal zal eerst op welbepaalde tijdstippen bemonsterdworden. Op welbepaalde tijdstippen zal men het signaal opnemen en vasthouden (Eng.:sample and hold). We maken van het continu signaal een discreet signaal. Vervolgens zalmen dit (voorlopig nog altijd analoog) signaal quantiseren. Het signaal wordt dan bijvoor-beeld voorgesteld als een (’binair’) getal. Het getal geeft aan hoeveel eenheidspakketjesof ’quantums’ in het totaal signaal gaan. Discreet betekent dus niet continu in de tijd,terwijl de term ’gequantiseerd’ hetzelfde is als niet continu in grootte of amplitude. Enkelindien beide eigenschappen aanwezig zijn: discreet en gequantiseerd, spreekt men van eendigitaal signaal.

1

1 Discrete systemen

Voorbeeld:Stel dat we een spanning die kan varieren tussen 0 en 10V, digitaal willen voorstellenen we willen hiervoor 8 bits gebruiken. Hoe groot is dan de waarde van 1 bit in voltuitgedrukt? Het antwoord is eenvoudig: met 8 bits kunnen we 256 verschillende getallenvoorstellen. We nemen hiervoor dan de getallen 0 tot en met 255. Het getal 0 laten weovereenstemmen met 0V en het getal 255 laten we overeenstemmen met 10V. Het getal1 geeft dan een spanning weer van 10/255 of ongeveer 0,04V. 0,04 is dan het quantumdat overeenstemt met het minst beduidend bit (LSB). Alle spanningen die liggen tussen0V en 0,04V, kunnen we slechts voorstellen door het getal 0 (00000000) of het getal 1(0000001). We kunnen dus ook niet onderscheiden of het analoog signaal gelijk was aan0,04V of 0,035V vermits beide analoge waarden na digitalisatie door het zelfde getal 1worden voorgesteld. Het quantum of de analoge waarde die overeenstemt met het minstbeduidend bit, geeft de resolutie aan waarmee we het analoog signaal bekijken.

Het voorgaande voorbeeld geeft duidelijk weer waar het bij de quantisatiestap om gaat.Bij het quantiseren treedt steeds een fout op: de quantiesatiefout. Deze fout is maximaalgelijk aan de waarde van het LSB. In vele gevallen kunnen we er zelfs voor zorgen dat dequantiesatiefout kleiner blijft dan de helft van het LSB. Zie figuur 1.1.

4

6

-4

-6

-8

2

2 4 6 8-8 -6 -4 -2

4

6

-4

-6

-8

2

2 4 6 8-8 -6 -4 -2 of

ingang

uitgang

ingang

uitgang

Maximale quantisatiefout = LSB Maximale quantisatiefout = LSB/2

Figuur 1.1: Ingangs/uitgangskarakteristiek van een analoog/digitaal-omzetter

Ook bij het discretiseren van het analoog, continu signaal treedt er een fout op: dediscretisatiefout. Om deze fout te illustreren en om duidelijk het verschil aan te geventussen de twee stappen, discreet maken en quantiseren, verwijzen we naar figuur 1.2.

Figuur 1.2.a geeft het discreet signaal weer overeenstemmend met het gegeven continusignaal. De tijd tussen twee discrete waarden is de bemonsteringstijd of bemonsteringspe-riode en de totale tijd van begin tot einde noemen we de bemonsteringsduur. Indien weblijven bemonsteren dan is de bemonsteringsduur natuurlijk oneindig. In de figuur wordende twee mogelijk voorstellingswijzen bij discrete signalen gebruikt. Hierbij veronderstellenwe in het eerste geval dat het signaal aangehouden wordt tot bij de volgende bemonstering.Het tweede geval geeft aan dat het discrete signaal enkel geldig is op het bemonsterings-tijdstip zelf en tussen de twee discrete tijdstippen in om het even welke waarde kan hebben.Welke van de twee voorstellingswijzen het best overeenstemt met de realiteit hangt af vande toepassing. Figuur 1.2.b geeft het gequantiseerd signaal weer waarbij we even de discre-tisatiestap wegdenken. Het gequantiseerd signaal kan enkel nog sprongsgewijs veranderen.En sprong of n stapje komt overeen met de waarde van het LSB. Figuur 1.2.c geeft tenslottehet resulterend signaal na quantisatie en discretisatie weer.

2 Johan Baeten

1.2 Het digitaal signaal

Quantisatie

Digitalisatie

Discretisatie

Analoog signaal

Digitaal signaal

Gequantiseerd signaal

Analoog signaal

Analoog signaalDiscreet signaal

of

Continue tijd Discrete tijdDiscrete tijd

Discrete tijd

Discrete tijd

Continue tijd

Continue tijd

(a)

(b)

(c)

Bemonsteringstijd

Figuur 1.2: Digitalisatie van een analoog signaal: discretisatie en quantisatie

Figuur 1.3 geeft de digitalisatiefout weer die bestaat uit een discretisatiefout en eenquantisatiefout.

Digitalisatiefout

Quantisatiefout

Discretisatiefout

tijd

Grootte Continu analoog signaal (volle lijn)

Discreet signaal (stippellijn)

Digitaal signaal (volle lijn trapsgewijs)

Figuur 1.3: Digitalisatiefout bestaande uit quantisatie- en discretisatiefout

Figuur 1.4.a geeft een zeer mooi voorbeeld van het gevolg van de discretisatiefout bijsinusoıdale signalen met een periode die gelijk is aan het dubbel van de bemonsteringspe-riode. De discrete punten die na bemonstering verkregen worden, liggen allen op n lijn.Van de oorspronkelijke sinus blijft er niets meer over.

Johan Baeten 3

1 Discrete systemen

(a) (b)

tijd tijd

Grootte Grootte

Bemonsteringsperiode

Figuur 1.4: Voorbeelden van ’aliasing’ of de terugvouwfout: (a) De frequentie van het bemon-sterd signaal is gelijk aan de helft van de bemonsteringsfrequentie (fs). (b) Twee signalen metfrequenties gelijk aan 1/8 x fs en 7/8 x fs geven dezelfde discrete meetwaarden.

In het Engels wordt de foutieve interpretatie van het oorspronkelijk signaal, zoals aange-geven in figuur 1.4) ’aliasing’ genoemd. De Nederlandse term hiervoor is de terugvouwfout.Deze naam vloeit voort uit het feit dat signalen met te hoge frequenties bij de discrete voor-stelling ’terugvallen’ op lagere frequenties. Uit de discrete meetwaarden kan men dan nietmeer opmaken welke de werkelijke frequentie van het oorspronkelijk signaal was. Menneemt dan maar de laagste sinus die past bij de discrete meetwaarden. Figuur 1.4.b geefteen voorbeeld. Oorspronkelijk hadden we een sinus met een frequentie gelijk aan 7/8 x debemonsterings- frequentie fs (waarbij ’s’ staat voor ’sample’). Na het bemonsteren vormende meetpunten een sinus met een frequentie gelijk aan 1/8 x de bemonsteringsfrequentie.

Figuur 1.5 geeft algemeen aan op welke frequenties de te hoge frequenties ’terugvallen’.We kunnen de figuur als een harmonica opvouwen tot we enkel een rechte krijgen die geldtvoor de frequenties kleiner dan fs/2. (Vandaar de naam terugvouwfout!)

20

0

Ingang: Frequentie van het oorspronkelijk (analoog) signaal

Uitgang: Laagste frequentie overeenstemmend de meetpunten

(discreet signaal)

fs

/ 2

fs

/ 2 fs

fs

Figuur 1.5: Verband tussen de frequenties van het signaal voor en na bemonstering

Om de terugvouwfout te voorkomen moet de frequentie van het ingangssignaal kleinerzijn dan de helft van de bemonsteringsfrequentie. Dit is het bemonsteringscriterium vanShanon of Nyquist:

fingangssignaal <fs2

(1.1)

We kunnen aan de bovenstaande vergelijking voldoen door het ingangssignaal eerst dooreen laagdoorlaatfilter te sturen. In de volgende hoofdstukken wordt het verband gelegdtussen de terugvouwfout en de discrete polen (z) van het systeem.

4 Johan Baeten

1.3 Het discreet systeem

1.3 Het discreet systeem

Discrete systemen zijn systemen die niet continu in de tijd veranderen of dus enkel op wel-bepaalde discrete tijdstippen veranderen. De discrete tijdstippen liggen niet noodzakelijkop voorhand vast. In feite speelt de tijd voor zulke systemen geen rol meer. Enkel dediscrete stap heeft belang. De vergelijkingen die een discreet systeem beschrijven zijn danook geen functie meer van de tijd t maar van de discrete stap, die we aangeven met deparameter k. k kan waarden aannemen die gaan van 0, 1, 2, 3 tot ∞ . Een en ander zalduidelijk worden in volgend voorbeeld.

Neem bijvoorbeeld als systeem een vat van 10 liter waarin zich een mengeling bevindtvan twee produkten A en B. Op bepaalde tijdstippen tappen we van dit vat 1 liter af meteen bepaalde concentratie aan produkt A. Vervolgens wordt het vat weer gevuld. Er komtterug een liter bij maar ditmaal met een andere (niet noodzakelijk constante) concentratieaan A. Hoe gaan we voor dit discreet systeem bijhouden welke de concentratie is van hetprodukt A? En dit na elke discrete stap! Figuur 1.6 geeft een situatieschets.

9 liter

1 liter

10 liter

Oorspronkelijk systeem

op tijdstip of stap kTussenstappen

Systeem op tijdstip k+1

Concentratie A= x k( )Concentratie A = y k( )

(één discrete stap later)

1 liter

10 literConcentratie

A = y k( +1)9 liter

Figuur 1.6: Voorbeeld discreet systeem

De concentratie van produkt A stellen we voor door de variabele y. Omdat de con-centratie na elke stap verandert, moeten we aangeven om welke stap of om welk discreettijdstip het gaat. Dit gebeurt met de parameter k. Op tijdstip k is de concentratie gelijkaan y(k). En tijdstip later is de concentratie gelijk aan y(k+1). De concentratie aan A inde toegevoegde liter stellen we op elk tijdstip voor door x(k). Nu kunnen we de vergelijkingopstellen die het gehele systeem beschrijft:

10y(k + 1) = 9y(k) + 1x(k) of y(k + 1) = 0, 9y(k) + 0, 1x(k) (1.2)

Indien we de concentratie aan A in het inkomend debiet kennen (dit is x(k)) dan kunnenwe uit de huidige toestand (dit is y(k)) de volgende toestand berekenen (dit is y(k + 1)).

Bovenstaande vergelijking is een recursieve vergelijking of een differentievergelijking.Differentievergelijkingen beschrijven discrete systemen zoals differentiaalvergelijkingen con-tinue systemen beschrijven. Indien men de differentievergelijking kent, dan kent men ookhet volledig systeem en kan men alle toestanden van het systeem berekenen vertrekkendevan de ingangswaarden en de begintoestand. Als voorbeeld berekenen we enkele waarden

Johan Baeten 5

1 Discrete systemen

van y beginnend met y(0) = 0 en x(k) = 0, 5 voor alle k waarden.

y(1) = 0, 9y(0) + 0, 1x(0) = 0, 05y(2) = 0, 9y(1) + 0, 1x(1) = 0, 095y(3) = 0, 9y(2) + 0, 1x(2) = 0, 1355y(4) = 0, 9y(3) + 0, 1x(3) = 0, 17195...

...

(1.3)

Het meest voorkomend discreet systeem is waarschijnlijk de computer. Alle verande-ringen en processen (berekeningen) gebeuren op vaste kloktijden. (We spreken dan nietmeer van bemonsteringsperiode maar van takttijd.) Elke klokpuls geeft een nieuw discreettijdstip aan. De verschillende tijdstippen kunnen nog steeds voorgesteld worden door dediscrete parameter k. Door k te vermenigvuldigen met de takttijd (het tijdsinterval tussentwee klokpulsen) krijgen we de werkelijke tijd.

De meeste systemen daarentegen zijn continu. Door de koppeling met een computer ofPLC moeten de continue uitgangssignalen van deze systemen echter gedigitaliseerd worden.Dit gebeurt met een analoog-digitaal omzetter (ADC). De signalen die komen van de ADCzijn digitale en dus ook discrete signalen. De ADC is dus een discreet systeem en kanenkel nauwkeurig beschreven worden door discrete vergelijkingen (Zie later). Het continusysteem samen met de ADC zou eveneens benaderd kunnen worden door een discreet modelen bijgevolg beschreven kunnen worden door discrete vergelijkingen, omdat de signalen dieeruit voortvloeien discreet zijn.

De volgende paragrafen geven standaardoplossingen voor de differentievergelijkingen(naar analogie van het oplossen van differentiaalvergelijkingen). De oplossing is een discretefunctie waar we slechts de waarde van k moeten invullen om de waarde van de uitgang optijdstip k te kennen. We moeten de uitgangswaarde dan niet meer iteratief berekenen.

1.4 Discrete tijdfuncties of sequenties

Een discrete tijdfunctie of sequentie f(k) is een functie waarbij de onafhankelijke veran-derlijk k alleen gehele getallen als waarde kan hebben. De optredende discrete tijdfunctieskunnen bemonsterde versies zijn van de continue tijdfuncties. Bemonsteren van een func-tie f(t) met het bemonsteringsinterval T geeft aanleiding tot de discrete functie f(kT ),beknopt genoteerd als f(k).

De discrete tijdfunctie kan gedefinieerd worden door een expliciete opsomming. Bij-voorbeeld:

f(k) =

{· · · , 0, 0

↑, 1, 2, 8, 4, 5 · · ·

}(1.4)

waarbij de pijl de waarde aanduidt overeenkomstig k = 0. We spreken van een causalesequentie indien f(k) = 0 voor alle negatieve k waarden. (In hetgeen volgt zullen we steedsmet causale signalen werken).

Een sequentie kan ook gedefinieerd worden door een formule. Bijvoorbeeld:

f(k) = ak(=

{· · · , a−1, 1

↑, a, a2, a3 · · ·

})(1.5)

6 Johan Baeten

1.4 Discrete tijdfuncties of sequenties

Neem bijvoorbeeld de continue functie e−t en bemonster deze om de halve seconde(T = 1/2). Welke discrete functie of sequentie levert dit? Figuur 1.7 geeft de oplossing.

1

tijd stap0 01 2 3 4 50 0

1

10

exp -t( )

T = sec½

1

e

k

2 4 6 8

= exp -kT( )

Figuur 1.7: Voorbeeld van een bemonsterd signaal en de discrete functie

De som of het produkt van twee discrete functies komt overeen met het optellen of hetvermenigvuldigen van de overeenkomstige elementen. Bijvoorbeeld:

x(k) =

{· · · , 0, 0

↑, 1, 2, 8, 4, 5 · · ·

}en y(k) =

{· · · , 0, 0, 3

↑, 1, 2, 4, 0 · · ·

}(1.6)

dan is de som:

z(k) = x(k) + y(k) =

{· · · , 0, 3

↑, 2, 4, 12, 4, · · ·

}(1.7)

en het produkt:

q(k) = x(k) ∗ y(k) ={· · · , 0, 0

↑, 1, 4, 32, 0, · · ·

}(1.8)

Figuur 1.8 geeft de definitie van een discrete stap (of de eenheidsstapfunctie) en eendiscrete impuls, twee veel als ingangssignaal gebruikte functies. De discrete impuls wordtook de delta-sequentie ( δ(k) ) genoemd.

k k

Impuls Stap

11

0 1 2 3-2 -1

d( ) 1 0k = voor k =

d( ) 0 <> 0k = voor k

E k voor k( ) = 0 < 0

E k voor k( ) = 1 > 0

0 1 2 3-2 -1

Figuur 1.8: Definitie en voorstelling van de discrete impuls en eenheidsstap

Bij discrete functies zijn met betrekking tot de discrete stap maar twee bewerkingenmogelijk: de vooruitschuifbewerking en de vertragingsbewerking. Hiervoor definieren wede vertragingsoperator D en de vooruitschuifoperator E (=1/D) als volgt:

D {f(k)} = f(k − 1) en E {f(k)} = f(k + 1) (1.9)

Johan Baeten 7

1 Discrete systemen

Toepassing van de operator E verschuift de sequentie over een interval dichter naar deoorsprong toe. Toepassing van de operator D geeft het omgekeerde.

Neem bijvoorbeeld het discreet signaal uit figuur 1.9. Voor de tijdstippen 1, 2 en 3 isdit signaal respectievelijk gelijk aan 1, -2 en 3. Voor de rest is het nul. We stellen hetsignaal voor door de functie f(k). Hoe ziet dan het signaal f(k + 1) eruit dat we g(k)noemen? Figuur 1.9 geeft het antwoord. Door k = 0 te stellen, vinden we g(0) = f(1) = 1,voor k = 1 geeft dit g(1) = f(2) = −2. g vertoont dus hetzelfde verloop als f maar alles nstap vlugger. Op een analoge wijze kunnen we het signaal f(k − 1) tekenen. Het signaalwordt nu vertraagd.

k

f k( )

k

g k = f k = E f k( ) ( +1) { ( )}

0 1 2 3 4-1 0 1 2 3 4-1

123

123

-1-2

Vooruitschuiven

E

f k( )

k k

h k = f k =D f k( ) ( -1) { ( )}

0 1 2 3 4-1 0 1 2 3 4-1

123

123

-1-2

-1-2

Vertragen

D

Figuur 1.9: Vooruitschuiven en Vertragen van een discrete functie

1.5 Oplossing van de differentievergelijking

Naar analogie van het oplossen van differentiaalvergelijkingen, kan men ook een aantalstandaard oplossingen voorstellen voor differentievergelijkingen. De oplossing is dan eendiscrete functie met k als onafhankelijke parameter. We zullen de volledige oplossingopbouwen uit de oplossingen van de homogene vergelijking en de particuliere vergelijking.Zodat we kunnen stellen dat:

y(k) = yh(k) + yp(k) (1.10)

waarin yh(k) de homogene en yp(k) de particuliere oplossing is.

1.5.1 De homogene oplossing

De homogene oplossing van de differentievergelijking is de oplossing van de homogenevergelijking. Ze is de natuurlijke respons van het systeem en beschrijft de wijze waarop hetsysteem vanuit de beginvoorwaarden naar de evenwichtstoestand evolueert. De vorm vande homogene oplossing wordt bepaald door de wortels van de karakteristieke vergelijking,die volgt uit de toepassing van de E-operator op de differentievergelijking.

8 Johan Baeten

1.5 Oplossing van de differentievergelijking

We geven een voorbeeld. Neem terug de differentievergelijking, uit het voorgaandevoorbeeld:

y(k + 1) = 0, 9y(k) + 0, 1x(k) of y(k + 1)− 0, 9y(k) = 0, 1x(k) (1.11)

Maak hiervan een homogene vergelijking:

yh(k + 1)− 0, 9yh(k) = 0 (1.12)

Pas de E-operator toe en schrijf de veranderlijke yh(k) buiten de haken:

E {yh(k)} − 0, 9yh(k) = (E − 0, 9) yh(k) = 0 (1.13)

In de polynoom die nu bij yh(k) staat (Ly(E)), vervangen we de operator E door deveranderlijke r en stellen dit gelijk aan nul.

Ly(E) = (E − 0, 9) → Ly(r) = r − 0, 9 = 0 (1.14)

Dit geeft de karakteristieke vergelijking. De algemene homogene oplossing is dan:

yh(k) = A1rk1 (1.15)

waarbij r1 de wortel is van de karakteristieke vergelijking (hier = 0,9) en A1 een constanteis die bepaald wordt door de beginvoorwaarden. Indien y(0) = 0, 5 dan is de homogeneoplossing:

yh(k) = 0, 5. (0, 9)k (1.16)

Verifieer deze oplossing door substitutie in de homogene differentievergelijking.

1.5.1.1 Reele wortels

Indien de karakteristieke vergelijking n verschillende reele wortels heeft (r1, r2 · · · rn) danis de (meest algemene) homogene oplossing van de vorm:

yh−algemeen(k) = A1rk1 + A2r

k2 + A3r

k3 + ...+ Anr

kn (1.17)

In dit geval is de orde van het systeem gelijk aan n. De meest algemene homogeneoplossing wordt opgebouwd uit n verschillende (homogene) oplossingen. De bijdrage vanelke afzonderlijk oplossing hangt af van de constanten A1 tot en met An die volgen uit debeginvoorwaarden. Substitutie van deze vergelijking in de homogene differentievergelijkinggeeft na hergroepering inderdaad steeds nul. (Probeer het eens uit).

1.5.1.2 Meervoudige wortels

Indien het systeem meervoudige wortels heeft dan is de homogene oplossing van de vorm:

yh(k) = ...+ A1.rk + A2.k.r

k + ... (1.18)

waarbij r een dubbele wortel is en waarbij A1 en A2 constanten zijn.

Johan Baeten 9

1 Discrete systemen

Voorbeeld: Neem het systeem

y(k + 2)− 6y(k + 1) + 9y(k) = 0.

Dit geeft als karakteristieke vergelijking

Ly(r) = r2 − 6r + 9 = 0

met twee samenvallende wortels in 3. Bij de beginvoorwaarden y(0) = 1 en y(1) = 1 is deoplossing

y(k) = 3k − 2

3k3k.

Controle: Vul de oplossing in in de oorspronkelijke vergelijking.

3k+2 +2

3(k + 2) 3k+2 − 6.3k+1 − 12

3(k + 1) 3k+1 + 9.3k +

18

3.k.3k

?= 0.

Uitwerken en hergroeperen geeft

(9 + 12− 18− 12 + 9) 3k +

(9.2

3− 12 + 6

)k.3k

!= 0

1.5.1.3 Complexe wortels

Indien het systeem complexe wortels heeft dan komen deze steeds voor in complex toege-voegde paren. Elk enkelvoudig paar a± jb komt overeen met een oplossing van de vorm:

yh(k) = A1 (a+ jb)k + A2 (a− jb)k (1.19)

Elk complex getal stelt ook een vector voor bepaald door een lengte en een hoek of:

a± jb = zoe±jθ (1.20)

Substitutie van vergelijking 1.20 in vergelijking 1.19 geeft:

yh(k) = zko(A1e

jkθ + A2e−jkθ

)= zko (B1 cos kθ +B2 sin kθ) (1.21)

met

zo =√a2 + b2 en θ = bgtg

b

a(1.22)

tijdstap1 2 3 4 5 6 7 80

sin k45°( )q = 45°

sin t( )w

Figuur 1.10: Discrete sinus met discrete stap uitgedrukt in graden

10 Johan Baeten

1.5 Oplossing van de differentievergelijking

De functie sin(kθ) is een discrete sinus die bestaat uit een aantal discrete waarden bekomendoor bemonstering van de continue sinus om de hoek θ. Zie figuur 1.10.

Voorbeeld: Neem het systeem

y(k + 2)− 2y(k + 1) + 4y(k) = 0.

Herschrijf dit als

(E2 − 2E + 4)y(k) = 0

waaruit de karakteristieke vergelijking volgt:

Ly = E2 − 2E + 4 → Ly(r) = r2 − 2r + 4 = 0

Bepaal de wortels r1 en r2.

r1,2 = 1±j√3 → zo = 2 en θ = 60◦.

De homogene oplossing is dan:

yh(k) = zko (B1 cos kθ +B2 sin kθ) = 2k (B1 cos k60◦ +B2 sin k60

◦) .

Controleer de oplossing door ze in te vullen in de oorspronkelijke differentievergelijking:

2k+2 [B1 cos (k + 2) 60◦ +B2 sin (k + 2) 60◦]−2.2k+1 [B1 cos (k + 1) 60◦ +B2 sin (k + 1) 60◦]

+4.2k (B1 cos k60◦ +B2 sin k60

◦)?= 0

of

2k+2B1 [cos (k + 2) 60◦ − cos (k + 1) 60◦ + cos k60◦]

+2k+2B2 [sin(k + 2)60◦ − sin (k + 1) 60◦ + sin k60◦]?= 0.

Deze vergelijking is steeds nul, indien de volgende twee vergelijkingen nul zijn:{cos (k + 2) 60◦ − cos (k + 1) 60◦ + cos k60◦

?= 0

sin (k + 2) 60◦ − sin (k + 1) 60◦ + sin k60◦?= 0

.

Door de verschillende waarden van k in te vullen, stellen we vast dat deze twee vergelijkin-gen inderdaad gelijk zijn aan nul voor alle mogelijke (gehele) k waarden. In feite moetenwe enkel de waarden k = 0, 1, 2, · · · , 5 controleren. k = 6 geeft immers dezelfde vergelij-king als k = 0, k = 7 komt overeen met k = 1 enz. Dit wil zeggen dat de discrete (co-)sinusperiodisch is met stappen van 6, dit is 360◦/60◦. Uit de figuur van de discrete cosinusvolgt eveneens dat aan de bovenstaande vergelijking voldaan is voor alle k waarden. Ziefiguur 1.11. (Voor de sinus geldt hetzelfde).

Het bijzondere geval waar het systeem twee samenvallende complexe paren als wortelsheeft wordt hier niet behandeld. We verwijzen hiervoor naar de samenvatting op het eindevan deze paragraaf.

Johan Baeten 11

1 Discrete systemen

stap1 2 3 4 5 6 7 80

f k = cos k( ) ( 60°)q = 60°

-0,5

-1

1

0,5

09 10 11f k f k f k( +2)- ( +1)+ ( ) = 0

Figuur 1.11: Een discrete cosinus met θ = 60◦ voldoet aan de vergelijking f(k+2)− f(k+1)+f(k) = 0

1.5.2 De particuliere oplossing

De particuliere oplossing hangt af van de excitatiefunctie en dus van het ingangssignaal vanhet systeem. Voor de particuliere oplossing beperken we ons tot ’brave’ excitatiefuncties.Dit zijn functies die gelijk aan nul worden door toepassing van een annihilator-operatorLA:

LA {x(k)} = 0. (1.23)

Neem bijvoorbeeld als ingangssignaal

x(k) = 2k, (1.24)

dan is de annihilator-operator voor deze functie

LA = E − 2 (1.25)

want

LA

∣∣2k∣∣ = (E − 2){2k}= E

{2k}− 2.2k = 2k+1 − 2.2k

!= 0. (1.26)

Enkele andere voorbeelden van brave excitatiefuncties met de bijbehorende annihilator-operatoren zijn:

x(k) = rk → LA = E − rx(k) = cos πk → LA = E2 + 2E + 1x(k) = c → LA = E − 1

(1.27)

Om voor een willekeurige functie de annihilator-operator te vinden, tracht men dekarakteristieke vergelijking op te stellen met wortels die overeenstemmen met de excitatie-functie (als oplossing). Neem bijvoorbeeld:

x(k) = cos(θk) (1.28)

Bij een cosinus verwachten we een LA van tweede orde. Herschrijf de discrete cosinus als

x(k) = 1k cos(θk). (1.29)

Dit komt overeen met de oplossing van een homogene vergelijking met als wortels

r1,2 = 1.e±jθ. (1.30)

12 Johan Baeten

1.5 Oplossing van de differentievergelijking

De annihilator-operator is dan

LA =(E − e−jθ

) (E − e+jθ

)= E2 − 2 cos θ · E + 1. (1.31)

Indien we de annihilator-operator LA kennen, kunnen we de volgende vergelijking schrij-ven:

Ly {y(k)} = x(k) → LA {Ly {y(k)}} = LA {x(k)} != 0 (1.32)

Dit geeft een nieuwe homogene vergelijking

LA.Ly {y(k)} = 0 (1.33)

De karakteristieke vergelijking overeenkomstig deze nieuwe homogene vergelijking isvan een hogere orde dan de oorspronkelijk karakteristieke vergelijking. Zij heeft dus ookmeer nulpunten of wortels dan de oorspronkelijke. De wortels die bijgekomen zijn, moetenafkomstig zijn van de annihilator-operator LA en hangen bijgevolg af van het aangelegd in-gangssignaal x(k). Zij bepalen derhalve de particuliere oplossing van het volledig systeem.De constanten in de particuliere oplossing worden bepaald door de excitatiefunctie x(k).We vinden deze waarden door vervanging van de oplossing in de differentievergelijking.

Voorbeeld: Herneem de differentievergelijking van het ’bakkensysteem’, vergelijking1.2.Bepaal de discrete oplossing bij een beginconcentratie van 0% (d.w.z. dat y(0) = 0) en eenconstante inkomende concentratie = 50% (d.w.z. x(k) = 0, 5 voor alle k). De systeemver-gelijking wordt dan:

y(k + 1)− 0, 9y(k) = 0, 05 → (E − 0, 9) {y(k)} = 0, 05.

Met de annihilator-operator LA = E − 1 erbij geeft dit:

(E − 1)(E − 0, 9) {y(k)} = 0.

De karakteristieke vergelijking is

(r − 1) (r − 0, 9) = 0.

We vinden twee wortels r1 = 1 en r2 = 0, 9 die overeenstemmen met de algemene oplossing

y(k) = A11k +A20, 9

k met yh(k) = A20, 9k en yp(k) = A11

k = A1.

Uit de beginvoorwaarden y(0) = 0 volgt A2 = −A1. Substitutie in de differentievergelij-king geeft A1 = 0, 5, zodat de volledige oplossing gegeven wordt door

y(k) = 0, 5(1− 0, 9k

)De concentratie van A op tijdstip 5 is dan bijvoorbeeld y(5) = 0, 5

(1− 0, 95

)= 0, 204755.

Probeer eens deze waarde te berekenen op recursieve wijze volgens vergelijking 1.3! Fi-guur 1.12 geeft de respons van het systeem op het discreet stapsignaal met grootte 0, 5weer. De oplossing geldt enkel voor een constant inkomend signaal x(k) = 0, 5.

Johan Baeten 13

1 Discrete systemen

0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Am

pli

tud

e

Discrete stap

Figuur 1.12: Verloop van de discrete functie y(k)

1.5.3 Oefeningen

Probeer zelf de oplossing te vinden voor de volgende discrete systemen:

1. y(k + 2)− 5y(k + 1) + 6y(k) = x(k)met y(0) = 0, y(1) = 0 en x(k) = 1 voor k = 0, 1, 2, 3 · · ·

(Oplossing : y(k) = 0, 5− 2k + 0, 5.3k)

2. y(k + 2) + y(k + 1) + y(k) = 0, 5k met y(0) = 0 en y(1) = 1.

(Oplossing: y(k) =1

1, 750, 5k − 1

1, 75cos 120◦k +

6

7√3sin 120◦k )

3. y(k + 1)− 0, 6y(k) = cos 90◦k met y(0) = 1.

(Oplossing:1, 96

1, 360, 6k − 0, 6

1, 36cos 90◦k +

1

1, 36sin 90◦k )

4. y(k + 2)− y(k) = 0 met y(0) = 1, y(1) = 0.

(Oplossing:1

2+

1

2(−1)k)

14 Johan Baeten

1.6 Het simulatieschema

1.5.4 Samenvatting

De oplossing van de differentievergelijking bestaat uit (de som van) een homogene oplossingen een particuliere oplossing. De vorm van de homogene oplossing wordt bepaald door dewortels van de karakteristieke vergelijking overeenkomstig de homogene differentievergelij-king.

Reele, verschillende wortels r1 en r2 geven termen van de vorm:

A1rk1 + A2r

k2 + · · · (1.34)

Reele samenvallende wortels (r) geven termen van de vorm:

· · ·+ A3.rk + A4.k.r

k + A5k2rk + · · · (1.35)

Complexe wortels a± jb geven termen van de vorm:

· · ·+ zko (B1 cos kθ +B2 sin kθ) + · · ·

met zo =√a2 + b2 en θ = bgtg(b/a)

(1.36)

Samenvallende complexe wortels geven termen van de vorm:

· · ·+ zko (B3 cos kθ +B4 sin kθ) + kzko (B5 cos kθ +B6 sin kθ) + · · · (1.37)

De particuliere oplossing vinden we met behulp van de annihilator-operator. De bijgeko-men wortels bepalen op een gelijkaardige wijze als hierboven de termen van de particuliereoplossing.

De constante coefficienten van de homogene oplossing volgen uit de beginvoorwaarden.Deze van de particuliere oplossing worden bepaald door de excitatiefunctie (het aangelegdsignaal). Vul hiervoor de particuliere oplossing in, in de volledige differentievergelijking.De homogene oplossing moet je niet meer invullen want die geeft toch steeds nul!

1.6 Het simulatieschema

Met behulp van drie elementaire bouwstenen kan een willekeurige differentievergelijking,die het input-output gedrag van een lineair, tijdsinvariant systeem beschrijft, op eenduidigewijze gesimuleerd worden. Deze drie bouwstenen zijn: het vertragingselement, de somma-tor en de versterker (verzwakker). Het vertragingselement komt overeen met de D-operatoren voldoet aan de volgende vergelijking:

g(k) = D {f(k)} = f(k − 1). (1.38)

Dit wordt grafisch weergegeven in figuur 1.13.

f k( ) f k( -1)D

Figuur 1.13: Het vertragingselement

Johan Baeten 15

1 Discrete systemen

Het vertragingselement wordt ook vaak aangeduid met de afkorting ’DEL’ afkomstigvan het Engels woord ’delay’. Het vertragingselement is de tegenhanger van de integratorbij continue systemen.

Om het simulatieschema op te bouwen vertrekken we van de meest algemene differen-tievergelijking:

bny(k)+bn−1y(k−1)+ · · ·+b1y(k−n+1)+b0y(k−n) = anx(k)+ · · ·+a0x(k−n). (1.39)

Dit is volledig equivalent met

bny(k+n)+bn−1y(k+n−1)+ · · ·+b1y(k+1)+b0y(k) = anx(k+n)+ · · ·+a0x(k) (1.40)

Hierbij wordt de vergelijking meestal genormaliseerd door bn gelijk aan 1 te stellen. Bo-vendien nemen we aan dat het aantal vorige waarden van de input x(k) hoogstens gelijkis aan n. Toepassing van de D-operator herleidt vergelijking 1.39 tot de TF

y(k)

x(k)=

an + an−1D + · · ·+ a0Dn

1 + bn−1D + · · ·+ b1Dn−1 + b0Dn(1.41)

Voer nu de hulpvariabele h(k) als volgt in:

y(k)

x(k)=

y(k)

h(k)

h(k)

x(k)(1.42)

en splits de TF op in twee stukken

h(k)

x(k)=

1

1 + bn−1D + · · ·+ b1Dn−1 + b0Dn(1.43)

en

y(k)

h(k)= an + an−1D + · · ·+ a0D

n. (1.44)

b

x k +( ) h k( ) h k( -1) h k( -2) h k-n( )D D D

b

b

--

-

n-1

n-2

0

Figuur 1.14: Simulatieschema van het eerste deel van de TF

Teken uiteindelijk eerst het schema van x(k) naar h(k) en vul dit aan met het verbandtussen h(k) en y(k). Herschrijf daarvoor het eerste deel van de TF(

1 + bn−1D + · · ·+ b1Dn−1 + b0D

n)h(k) = x(k) (1.45)

of

h(k) = x(k)− bn−1h(k − 1)− · · · − b1h(k − n+ 1)− b0h(k − n). (1.46)

16 Johan Baeten

1.6 Het simulatieschema

b

x k +( ) h k( ) h k( -1) h k( -2) h k-n( )D D D

b

b

--

-

a

a

a

ay k( )

+++

+

n

n-1

1

0

n-1

n-2

0

Figuur 1.15: Het volledige simulatieschema volgens een willekeurige differentievergelijking

Dit komt overeen met figuur 1.14. Vervolledig tenslotte figuur 1.14 volgens het tweede deelvan de TF. Dit resulteert in figuur 1.15. De simulatie is slechts volledig indien samen methet simulatieschema een set van n beginvoorwaarden opgegeven wordt.

Voorbeeld: Neem volgend discreet systeem

y(k) = y(k − 1) + iy(k − 1) + x(k).

Dit is de vergelijking van een spaarrekening, waar x(k) de jaarlijkse storting voorstelt, y(k)de stand van de rekening en i de interestvoet. Hierbij moet een passende beginvoorwaardegekozen worden. Als de rekening geopend wordt bij k = 0 door een eerste storting te doen,dan is y(0) = x(0). Daar de rekening nog niet bestond bij k = −1, kan ook y(−1) = 0 alsbeginvoorwaarde gekozen worden. De 2 mogelijke beginvoorwaarden zijn dan: y(−1) = 0of y(0) = x(0). In de eerste vorm is de beginvoorwaarde onafhankelijk van de input, inde tweede vorm wel. Het simulatie schema en de operatorvergelijking zijn weergegevenin figuur 1.16. Merk op dat ook de uitgang q van het vertragingselement bij k = 0 alsbeginvoorwaarde kan gekozen worden.

x k +( )y k( )

qD

a

a = i1+

( ) ( ) ( )E-a y k = Ex k+

Figuur 1.16: Voorbeeld: simulatieschema van een spaarrekening

Johan Baeten 17

1 Discrete systemen

18 Johan Baeten

Hoofdstuk 2

De Z-transformatie

2.1 Inleiding

In het voorgaande hoofdstuk werden de signalen beschreven door hun verloop in functievan de onafhankelijk veranderlijke (het discreet tijdstip k). De systeemvergelijkingen dieresulteren uit de analyse van de in- en uitgangssignalen van dynamische systemen zijngesitueerd in het tijdsdomein. Dieper inzicht in het systeemgedrag kan bekomen wordendoor de signalen te transformeren naar het zogenaamde ’frequentiedomein’. Dit gebeurtbij discrete systemen door de Z-transformatie. De bedoeling blijft eveneens het oplossenvan de systeemvergelijkingen. In het frequentiedomein vinden we de oplossing echter dooreenvoudige manipulatie van algebrasche vergelijkingen, i.f.v. de complexe veranderlijke z.

Toepassing van de Z-transformatie op de differentievergelijking of op discrete signalenlevert een gelijkaardig resultaat op als toepassing van de Laplace-transformatie of Fourrier-transformatie op differentiaalvergelijkingen of op continue signalen.

2.2 Definitie

Een discrete functie kan bekomen worden door bemonsteren van een continue functie. Weschrijven dit als:

f(k) = f(t)|t=kT = f(kT ) = f(k) (2.1)

De onafhankelijke veranderlijke moet niet noodzakelijk de tijd zijn.De Z-transformatie is een ’discrete Laplace-transformatie’. We zullen de definitie van

de Z-transformatie dan ook afleiden uit de Laplace transformatie. Zo hebben we:

F (p) =

∫ ∞

0

f(t) · e−ptdt (2.2)

Om de overgang naar de discrete tijd te maken moeten we t vervangen door kT , wantenkel op deze tijdstippen heeft de discrete functie een betekenis. De integraal zal zichbovendien herleiden tot een som. De Z-getransformeerde wordt dan:

F (p) =∞∑k=0

f(kT )e−pkT (2.3)

19

2 De Z-transformatie

We kiezen nu een nieuwe veranderlijke

z = epT . (2.4)

Zo vinden we uiteindelijk:

Z {f(kT )} = F (z) =∞∑k=0

f(kT )z−k (2.5)

Dit is de definitie van de eenzijdige Z-transformatie. (Bij de tweezijdige Z-transformatiewordt de som genomen van −∞ tot ∞). De Z-transformatie is een operator die sca-laire sequenties transformeert in complexe functies. Voor eindige sequenties kan de Z-getransformeerde gevonden worden door eenvoudige toepassing.

Voorbeeld:f(k) = 1, 2, 3, 7 geeft F (z) = 1z0 + 2z−1 + 3z−2 + 7z−3 of

δ (k) =

{1↑, 0, 0, 0, · · ·

}geeft F (z) = 1z0 + 0z−1 + 0... = 1 → Z {δ (k)} = 1.

De eenduidigheid tussen een Z-transformatiepaar wordt symbolisch voorgesteld als:

f(k) ↔ F (z) d.w.z. Z {f(k)} = F (z) en Z−1 {F (z)} = f(k). (2.6)

De Z-transformatie wordt dus aangegeven met de hoofdletter Z, de inverse bewerking metZ−1.

2.3 Berekening van de Z-getransformeerde

Voor oneindige sequenties resulteert de toepassing van de Z-transformatie in een onein-dige reeks met negatieve machten van z. Toepassing van de volgende eigenschappen vooroneindige reeksen levert dan een gesloten uitdrukking (zonder oneindige som).

∞∑n=0

an =1

1− amet |a| < 1 (2.7)

of

∞∑n=0

nan =a

(1− a)2met |a| < 1. (2.8)

Vergelijking 2.8 volgt uit de afleiding van vergelijking 2.7 na vermenigvuldiging met a. Desom van vergelijkingen 2.7 en 2.8 levert

∞∑n=0

(1 + n)an =1

(1− a)2met |a| < 1. (2.9)

20 Johan Baeten

2.4 Eigenschappen van de Z-transformatie

Voorbeeld: Neem de discrete functie f(k) = ak. De Z-getransformeerde wordt dan:

F (z) =

∞∑k=0

akz−k =

∞∑k=0

(a

z)k =

1

1− a/z=

z

z − a.

Waarbij de voorwaarde |z| > |a| het convergentiegebied bepaalt van de oneindige reeks.Voor f(k) = 3k is

F (z) =z

z − 3met |z| > 3.

Een lijst van eenzijdige Z-transformaties van enkele veel voorkomende sequenties isweergegeven op het einde van dit hoofdstuk. Deze tabel werd opgesteld m.b.v. de geslotenformules voor de bovenstaande oneindige reeksen en door toepassing van de eigenschappenvan de Z-transformatie uit het de volgende paragraaf.

2.4 Eigenschappen van de Z-transformatie

2.4.1 Lineariteit

De Z-transformatie is lineair omdat de som en de vermenigvuldiging lineair zijn of

Z {a · f (k) + b · g (k)} = a · Z {f (k)}+ b · Z {g (k)} = aF (z) + bG(z) (2.10)

2.4.2 Verschuivingstheorema’s

Vooruitschuiven van een discrete functie (E-operator) komt overeen met een vermenigvul-diging met z, Vertragen (D-operator) komt overeen met een deling door z.

Indien f(k) ↔ F (z) dan f(k + 1) ↔ z [F (z)− f(o)] (2.11)

Bewijs:

Z {f(k + 1)} =∞∑k=0

f(k + 1)z−k = z∞∑k=0

f(k + 1)z−(k+1)

= z∞∑l=1

f(l)z−l = z

[∞∑l=0

f(l)z−l − f(0)z0]

△

en

Indien f(k) ↔ F (z) dan f(k − 1) ↔ z−1F (z) (2.12)

Bewijs:

Z {f(k − 1)} =∞∑k=0

f(k − 1)z−k = z−1∞∑k=0

f(k − 1)z−(k−1)

= z−1∞∑

l=−1

f(l)z−l = z−1

[∞∑l=0

f(l)z−l + f(−1)z+1

]met f(−1) = 0 voor causale sequenties. △

Johan Baeten 21

2 De Z-transformatie

Hogere orde verschuivingen volgen uit het herhaaldelijk toepassen van vergelijking 2.11of 2.12.

Voorbeeld:Z {f(k + 2)} = z2

[F (z)− f(0)− z−1f(1)

]Z {f(k + 3)} = z3

[F (z)− f(0)− z−1f(1)− z−2f(2)

]enZ {f(k − 2)} = z−2F (z)Z {f(k − 3)} = z−3F (z)

Er wordt vaak verondersteld dat de beginvoorwaarden gelijk zijn aan nul. (Indiendit niet zo is moet men een assenkruistransformatie doorvoeren zodat de oorsprong vanhet nieuwe assenkruis zich in de begintoestand of evenwichtstoestand van het systeembevindt). Zo zorgt men ervoor dat f(0), f(1), · · · nul zijn, zodat de Z-getransformeerdevan de vooruitgeschoven functie eenvoudiger wordt:

Z {f(k + 2)} = z2F (z).

2.4.3 Sommatie

Het sommeren van de verschillende elementen van een sequentie komt overeen met hetintegreren van een functie. Stel

g(n) =n∑

k=0

f(k), (2.13)

dan geldt

g(n) = g(n− 1) + f(n). (2.14)

Na Z-transformatie geeft dit

G(z) = z−1G(z) + F (z), (2.15)

waaruit

G(z) =z

z − 1F (z). (2.16)

We kunnen hieruit besluiten dat het integreren van een functie, hetgeen overeen-stemt met een vermenigvuldiging met 1/p in het Laplace-domein, in het discrete gevalzal overeenkomen met een vermenigvuldiging met z/(z − 1). Dit laat vermoeden datde Z-getransformeerde van een discrete stap gelijk is aan z/(z − 1), vermits de Laplace-getransformeerde van de (continue) stap gelijk is aan 1/p. (Ga zelf na of het voorgaandejuist is door rechtstreeks de definitie van de Z-transformatie toe te passen op een discretestap).

2.4.4 Beginwaardetheorema

Indien f(k) ↔ F (z) dan limz→∞

F (z) = f(0) (2.17)

Bewijs:

F (z) = f(0) + f(1)z−1 + f(2)z−2 + · · · , neem de limiet.△

22 Johan Baeten

2.5 De inverse Z-transformatie

2.4.5 Eindwaardetheorema

Indien f(k) ↔ F (z) dan limn→∞

f(n) = limz→1

F (z)z − 1

z(2.18)

(zonder bewijs)

2.4.6 Vermenigvuldiging met k

Indien f(k) ↔ F (z) dan kf(k) ↔ −zd

dz(F (z)) (2.19)

(zonder bewijs)

2.4.7 Schaalfactortheorema

Indien f(k) ↔ F (z) dan akf(k) ↔ F (z/a) (2.20)

(zonder bewijs)

2.4.8 Convolutie

Indien f(k) ↔ F (z)en g(k) ↔ G(z), dan f(k) ∗ g(k) ↔ F (z) ·G(z). (2.21)

(zonder bewijs)

De convolutie van twee discrete signalen stemt overeen met de vermenigvuldiging van deZ-getransformeerden van de signalen.

2.5 De inverse Z-transformatie

De bewerking Z − 1F (z) = f(k) wordt de inverse Z-transformatie genoemd. De complexefunctie F (z) is voor de hier beschouwde klasse van systemen steeds voor te stellen als eenverhouding van veeltermen in z. Voor fysisch realiseerbare systemen is de graad van detellerveelterm kleiner dan of maximaal gelijk aan de graad van de noemerveelterm. In dezegevallen kan door splitsing in partieelbreuken de echte breuk die F (z) voorstelt, herleidworden tot een som van eenvoudigere breuken waarvan we via de tabel met elementaireZ-transformatieparen (op het einde van het hoofdstuk) tot de corresponderende discretefunctie kunnen komen.

De techniek van partieelbreuksplitsing wordt als gekend verondersteld. We merkenhierbij enkel op dat het vaak interessant is om in de tellerveelterm een factor z af te zonderen niet mee te nemen in de partieelbreuksplitsing. Zo krijgen we eenvoudige breuken metenkel nog n z in de teller (op een constante na). Deze vorm van breuken komen veelvoudigvoor in de transformatietabellen en leveren eenvoudige discrete functies.

Johan Baeten 23

2 De Z-transformatie

Voorbeeld:Zoek de invers Z-getransformeerde van

F (z) =z2 + 2z

z2 − 3z + 2

Zonder eerst een factor z af en pas de partieelbreuksplitsing toe op het overblijvend deel:

z + 2

z2 − 3z + 2=

z + 2

(z − 1) (z − 2)=

a

z − 1+

b

z − 2→ a =

3

−1= −3, b =

4

1= 4

Nu passen we de inverse Z-transformatie toe op het geheel:

z−1

{z2 + 2z

z2 − 3z + 2

}= z−1

{−3z

z − 1+

4z

z − 2

}= −3z−1

{z

z − 1

}+ 4z−1

{z

z − 2

}Uit de transformatietabel vinden we dan:

f(k) = (−3 + 4.2k)u(k)

2.6 Toepassing van de Z-transformatie bij de analysevan discrete systemen

De oplossing van elke differentievergelijking van de vorm

Ly |y(k)| = Lx |x(k)| (2.22)

met

Ly = bnEn + · · · bo en Lx = anE

n + · · · ao (2.23)

kan teruggebracht worden tot eenvoudige algebraısche bewerkingen via de Z-transformatie.Door toepassing van de Z-transformatie op beide leden krijgen we:

bn [znY (z)− y(0)zn − y(1)zn−1 − · · · − y(n− 1)z]

+bn−1 [zn−1Y (z)− y(0)zn−1 − y(1)zn−2 − · · · − y(n− 2)z]

+ · · ·+ b1 [zY (z)− y(0)z] + b0Y (z)= an [z

nX(z)− x(0)zn − x(1)zn−1 − · · · − x(n− 1)z]+an−1 [z

n−1X(z)− x(0)zn−1 − x(1)zn−2 − · · · − x(n− 2)z]+ · · ·+ a1 [zX(z)− x(0)z] + a0X(z)

(2.24)

Dit is een algebrasche vergelijking die als volgt herschikt kan worden:

Y (z) = H(z)X(z) + E(z) (2.25)

met

H(z) =anz

n + an−1zn−1 + · · ·+ a0

bnzn + bn−1zn−1 + · · ·+ b0(2.26)

24 Johan Baeten

2.6 Toepassing van de Z-transformatie bij de analyse van discrete systemen

en E(z) een verhouding van rationele veeltermen in z. De coefficienten van de tellerveel-term zijn functie van de uitgangsbeginvoorwaarden y(0), y(1) · · · y(n − 1)en de waardenx(0), x(1) · · · x(n−1) van de inputsequentie. De noemerveelterm is dezelfde als van H(z).

De functie H(z) wordt de systeemfunctie of de discrete transfertfunctie of de Z-transfertfunctie van het door de differentievergelijking beschreven systeem, genoemd.

Hierbij vermelden we (zonder te bewijzen) dat H(z) gelijk is aan de Z-transformatievan de discrete impulsrespons van het systeem. (Een analoge eigenschap geldt bij continuesystemen of TF’s).

Voorbeeld:Neem het volgend discreet systeem:

y(k + 2) + y(k + 1)− 2y(k) = x(k + 1) + 2x(k)

met [y(0), y(1)] = [1, 2] als beginvoorwaarden en x(k) = 2k als input. Toepassing van deZ-transformatie geeft:(

z2 + z − 2)Y (z) = (z + 2)X(z) + z2y(0) + z [y(0) + y(1)− x(0)]

Rekening houdend met de beginvoorwaarden krijgen we:

Y (z) =z + 2

(z + 2) (z − 1)X(z) +

z (z + 2)

(z + 2) (z − 1)

of na wegdelen van de gemeenschappelijke pool en nulpunt:

Y (z) =1

(z − 1)X(z) +

z

(z − 1)

We kunnen de oplossing opdelen in twee stukken. De nul-toestand-responsie Y0s(z)

Y0s(z) =1

(z − 1)X(z) met H(z) =

1

(z − 1)de discrete transfertfunctie

en de nul-input-responsie Y0i(z)

Y0i(z) =z

z − 1.

Beide functies zijn wel nog uitgedrukt in het Z-domein. Om het tijdgedrag te kennenmoeten deze functies omgezet worden volgens de (inverse) transformatietabellen. (Debetekenis van een gemeenschappelijke pool en nulpunt wordt later verklaard).

Merk tenslotte op dat het simulatieschema zoals we dit gezien hebben op het einde vanhoofdstuk 1, volledig kan overgenomen worden als simulatieschema voor de Z-functies doorenkel de operator D te vervangen door z−1. (Dit betekent dan niet meer het toepassenvan een operator maar eenvoudig de deling door de veranderlijke z). Figuur 2.1 geeft dezeequivalentie weer.

D z -1f k( ) f k( -1) F z( ) F z z( )-1

Figuur 2.1: Overeenkomstige voorstellingen

Johan Baeten 25

2 De Z-transformatie

2.7 Z-transformatieparen

f(k), k ≥ 0 F(z)1 δ(k) 1

2 u(k)z

z − 1

3 ku(k)z

(z − 1)2

4 k2u(k)z(z + 1)

(z − 1)3

5 k3u(k)z(z2 + 4z + 1

(z − 1)4

6 aku(k)z

z − a

7 kaku(k)za

(z − a)2

8 k2aku(k)za(z + a)

(z − a)3

9 [rk0 cos(θk)]u(k)z(z − r0 cos θ)

z2 − (2r0 cos θ)z + r20

10 [rk0 sin(θk)]u(k)zr0 sin θ

z2 − (2r0 cos θ)z + r20

11 ak−1u(k − 1)1

(z − a)

12 (k − 1)(k − 2)ak−2u(k − 2)2a

(z − a)3

13 kak−1u(k − 1)z

(z − a)2

14 (k − 1)ak−2u(k − 2)1

(z − a)2

15 k(k − 1)ak−2u(k − 2)2z

(z − a)3

16 (k − 1)(k − 2)ak−3u(k − 3)2

(z − a)3

Tabel 2.1: Eenzijdige Z-transformatieparen voor causale functies

26 Johan Baeten

Hoofdstuk 3

Het discreet systeemgedrag

3.1 Inleiding

Net zoals bij continue systemen kunnen we ook bij discrete systemen het systeemgedragnagaan in de tijd en in de frequentie. Dit zijn dan respectievelijke de (discrete) tijd- enfrequentierespons. Beide geven alle mogelijke informatie over het systeem weer, evenwelop een zeer specifieke wijze.

De vorige hoofdstukken bepalen het tijdgedrag, zoals impuls- en staprespons, uitgaandevan de differentievergelijking. Dit hoofdstuk legt het verband tussen de polen van hetdiscrete systeem en het tijdgedrag. Verder beschrijft dit hoofdstuk de verbanden tussencontinue systemen met bijbehorende polen en hun discrete tegenhangers. De kennis overdeze verbanden zal van nut zijn bij het ontwerp van de discrete regelaar.

Naast het tijdgedrag van een systeem geeft ook de frequentierespons, die bepaald wordtbij de ’harmonische analyse’, een inzicht in het systeemgedrag. Het resultaat van een har-monische analyse is bijvoorbeeld het Bode-diagram, dat de frequentieafhankelijke verster-king en faseverschuiving weergeeft. We komen hier tot enkele opvallende verbanden maarook verschillen tussen het continu en het discreet geval.

Uiteindelijk moet de kennis over het systeemgedrag ons in staat stellen om verschillendesystemen te vergelijken, om ontwerpspecificaties in tijd en frequentie (bijvoorbeeld voor dediscrete regelaar of regelkring) op te stellen of om de beperkingen en mogelijkheden vande discrete regelaar t.o.v. de continue regelaar in te schatten.

3.2 Verband tussen Z-, tijd- en P -domein

Om het verband tussen Z- en P -domein aan te geven vertrekken we van een continu sinus-vormig signaal. Hiervan bepalen we de bemonsterde versie, dit is het discrete sinussignaal.Voor beide signalen (beschouwd als impulsrespons) bepalen we dan de TF. Eenmaal datde continue en discrete TF’s gegeven zijn, kennen we ook de continue en discrete polen.Uiteindelijk dienen we dan enkel nog het verband te leggen tussen de verschillende continueen discrete voorstellingswijzen.

Neem het volgend continu signaal:

e(t) = eat cos (bt) 1(t) (3.1)

27

3 Het discreet systeemgedrag

1(t) is de continue eenheidsstapfunctie. Ze geeft aan dat e(t) een causale functie is, d.w.z.gelijk aan nul voor alle negatieve tijden. Uit de Laplace-tabellen vinden we de TF van hetsysteem waarvan bovenstaande functie de impulsrespons is, namelijk

E(p) =p− a

(p− a)2 + b2(3.2)

De (continue) polen van deze TF zijn p1,2 = a ± jb. Het nulpunt is p = a. Bemonsteringvan het continu signaal (vergelijkin 3.1) met een periode T levert het discreet signaal e(k):

e(k) = eakT cos (bkT ) 1(k). (3.3)

Hierbij is 1(k) de discrete eenheidsstapfunctie die weerom aangeeft dat het (zoals steeds)gaat om een causale functie. Vergelijking 3.3 herleidt zich tot

e(k) = rk cos (θk) 1(k) (3.4)

waarbij{r = eaT

θ = bT. (3.5)

De Z-getransformeerde van e(k) volgt uit tabel 2.1 uit paragraaf 2.7 of uit volgendeberekening:

e(k) = rkejkθ + e−jkθ

21(k) =

1

2rkejkθ +

1

2rke−jkθ = e1 (k) + e2 (k) (3.6)

De Z-getransformeerde van e1(k) en e2(k) volgens de definitie van de Z-transformatie zijn

E1 (z) = Z {e1(k)} = 12

k=∞∑k=0

rkejkθz−k = 12

k=∞∑k=0

[rejθz−1

]k= 1

2

1

1− rejθz−1

= 12

z

z − rejθ

(3.7)

en

E2 (z) = Z {e2(k)} =1

2

z

z − re−jθ(3.8)

zodat

E(z) = E1 (z) + E2(z) =z (z − r cos θ)

z2 − 2r cos θ.z + r2. (3.9)

De nulpunten van de TF uit vergelijking 3.9 zijn z = 0 en z = r cos θ. De polen van de TFzijn z1,2 = r cos θ ± jr sin θ = re±jθ

Figuur 3.1 geeft de ligging van de nulpunten (o) en de polen (x) weer samen met hetovereenkomstig tijdsverloop e(k) (impulsrespons).

28 Johan Baeten

3.2 Verband tussen Z-, tijd- en P -domein

x

x

o o

bijvoorbeeld

r < 1

q = 45°

q

1

1

rRe

Im

k

1

e k( )

Figuur 3.1: Ligging van polen (x) en nulpunten (o) met bijbehorende impulsrespons

Figuur 3.2 vat de resultaten van de bovenstaande afleidingen samen. De stap vancontinue polen naar discrete polen gebeurt met de basisformule van de Z-transformatievergelijking 2.4. Invullen van de continue polen in deze vergelijking geeft

z1,2 = ep1,2T = e(a±jb)T = eaT .e±jbT = eaT (cos bT ± j sin bT ) = r cos θ± jr sin θ (3.10)

De laatste stap uit vergelijking 3.10 geeft het verband tussen (r, θ) en (a, b) zoals aangegevendoor vergelijking 3.5. Merk op dat het bovenstaand verband niet geldt voor de nulpuntenvan de discrete en continue TF. Het gedrag van een systeem wordt echter hoofdzakelijkbepaald door de polen en niet door de nulpunten. Voor het vergelijken van het continu enhet discreet gedrag is dus het verband tussen de polen belangrijk.

ContinuDiscreet

Laplace

Tijd

Z-domein P-domein

Discrete tijd Continue tijd

z r jr re1 ,2 = cos sin =q q±±jq p a1 , 2= ± jb

p-a

( ) +p-a b22

2

z z-r( cos )q

z r .z r-2 cos +q2

pTz=e

r k kcos( )1( )qk

Bemonsteringsperiode TaT

r=e

q=bTe bt tcos( )1( )at

Figuur 3.2: Verband P - Z- en Tijddomein

De relatie tussen de continue tijd en de discrete tijd wordt bepaald door de bemonste-ringsperiode T . Dit is echter geen eenduidig verband. Uit de discrete tijdfunctie kunnenwe niet altijd de continue functie reconstrueren. Figuur 3.2 geeft dit aan met de twee

Johan Baeten 29

3 Het discreet systeemgedrag

afzonderlijke pijlen. Het verband tussen het tijddomein en het P - of Z-domein is weleenduidig. Het verband tussen de discrete en continue polen tenslotte is weerom niet een-duidig. Verschillende continue polen kunnen overeenkomen met dezelfde discrete polen.Neem bijvoorbeeld een pool p1 die overeenstemt met z1 en een tweede pool p2 gelijk aan

p2 = p1 + j2πn/T (3.11)

met n een willekeurig geheel getal. Dan is de overeenkomstige discrete pool z2 gelijk aan z1.Van alle mogelijk continue polen mogen enkel deze behouden blijven die liggen in de band(−jπ/T,+jπ/T ). In dat geval is er wel een eenduidige overeenkomst tussen de discreteen continue polen. Zie figuur 3.3. De polen in het verboden gebied zorgen voor de reedseerder vermelde terugvouwfout (Eng.: ’aliasing’).

Verboden gebied

Re

Im

Im

Re

P-domein Z-domein

z=epT

p/T

-p/T

2p/ = wT

3p/T

1

1s

Figuur 3.3: Overeenkomstige P - en Z-polen

Besluit:

1. r > 1e(k) divergeert of m.a.w. het systeem waarvan e(k) de discrete impulsrespons is, isinstabiel. De polen in het Z-domein liggen buiten de eenheidscirkel. Tevens is a > 0.De continue polen in het P -domein liggen in het rechter halfvlak. In figuur 3.3 is ditgeval aangegeven met blokjes.

2. r = 1e(k) oscilleert met een constante amplitude, m.a.w. het systeem waarvan e(k) dediscrete impulsrespons is, ligt op de stabiliteitsgrens. De polen in het Z-domeinliggen op de eenheidscirkel. Tevens is a = 0 en de polen in het P -domein liggen opde imaginaire as. Dit geval komt overeen met de vette lijn uit 3.3.

3. r < 1e(k) convergeert naar nul, m.a.w. het systeem waarvan e(k) de discrete impulsresponsis, is stabiel. De polen in het Z-domein liggen binnen de eenheidscirkel. Tevens isa < 0. De continue polen in het P -domein liggen in het linker halfvlak. Dit stemtovereen met de bolletjes of streepjes-lijn uit figuur 3.3 en met figuur 3.1.

4. θ = 0e(k) vertoont geen oscillaties. E(z) vereenvoudigt zich tot

E3 (z) =z

z − r. (3.12)

30 Johan Baeten

3.3 Verband tussen de ligging van de polen en de impulsrespons

De pool in het Z-domein ligt op de reele as. Ook in het P -domein ligt er een poolop de reele as, namelijk p = −a. (Bolletjes in figuur 3.3).

5. De modulus rDe absolute waarde van de pool of de modulus r bepaalt de duur van het overgangs-verschijnsel.

• r dicht bij 0 betekent een kortstondig overgangsverschijnsel (sterk negatievepolen in het P -domein).

• r dicht bij 1 betekent een langdurig overgangsverschijnsel (weinig negatieve po-len in het P -domein).

6. Het argument θHet argument van de complexe pool of de hoek θ staat in verband met de pulsatievan het overgangsverschijnsel of de oscillatie volgens de vergelijking

ω = b = θ/T (3.13)

θ bepaalt onmiddellijk het aantal bemonsteringen N per periode van de oscillatie:

N =2π

ωT=

2π

θ(3.14)

Wanneer zoals in figuur 3.1, θ = 45◦, betekent dit een oscillatieperiode die gelijk isaan 8 bemonsteringsperiodes.

7. Het verband z1,2 = ep1,2T (tussen de discrete en continue polen) is algemeen geldigomdat elke willekeurige TF ontbonden kan worden in partieelbreuken van de vormE1(z), E2(z) en E3(z). Figuur 3.3 geeft dit verband weer door enkele overeenkomstigelijnen in het P -domein en het Z-domein aan te geven.

3.3 Verband tussen de ligging van de polen en de im-pulsrespons

Om te weten hoe de impulsrespons van een systeem er uit ziet, indien de discrete pool vanhet systeem z = rejθ gekend is, moeten we enkel de waarden r en θ van de pool invullenin de volgende functie:

rk cos (θk) 1(k) (3.15)

Figuur 3.4 geeft het nulpunten-polen-diagram met de overeenkomstige impulsresponsies.

3.4 Harmonische analyse bij discrete systemen

Op analoge wijze als bij continue systemen kan de regimerespons van een discreet, lineair,tijdinvariant systeem op een harmonische inputsequentie bepaald worden. De ingang x(k)is een discrete sinus

x(k) = A sin θk. (3.16)

Johan Baeten 31

3 Het discreet systeemgedrag

1

1

Im

Re

q = 45°

q = 0° q = 0°

q = 0°

q =45°

q = 45°

q = 135°

q = 90°

q = 180°

q = 180°

q = 180°

StabielInstabiel

Stabiliteitsgrens

q = 0°

Z-domein

Figuur 3.4: Verband tussen discrete pool en de impulsrespons

Met H(z) de discrete TF, wordt de uitgang in het Z-domein

Y (z) = A.H(z).z sin θ

z2 − 2z cos θ + 1(3.17)

Bovenstaande formule vinden we met behulp van de tabel der Z-transformatieparen (ta-bel 2.1paragraaf 2.7). Partieelbreuksplitsing geeft

Y (z) =C1

z − z1+

C2

z − z2+ · · ·+ Cn

z − zn+

a

z − zp+

a∗

z − z∗p(3.18)

met

zp = cos θ + j sin θ = ejθ en z∗p = cos θ − j sin θ = e−jθ (3.19)

De eerste n termen uit deze ontbinding worden bepaald door de polen van H(z) en vormenhet overgangsverschijnsel of de natuurlijke respons. De regime oplossing bestaat uit delaatste twee termen. In regimetoestand is de gedwongen respons Yr(z) gelijk aan

Yr(z) =a

z − zp+

a∗

z − z∗p(3.20)

met

a =[(z − ejθ

)Y (z)

]z=ejθ

= AH(ejθ).ejθ sin θ

ejθ − e−jθ= −jAejθ

2H(ejθ) (3.21)

32 Johan Baeten

3.4 Harmonische analyse bij discrete systemen

en

a∗ =jAe−jθ

2H(e−jθ) (3.22)

Substitutie geeft

Yr(z) =jA

2

(e−jθH(e−jθ)

z − e−jθ− ejθH(ejθ)

z − ejθ

)(3.23)

Inverse transformatie naar het k-domein (volgens de tabel der Z-transformatieparen) levert

yr(k) =jA

2

(e−jθH(e−jθ)e−jθ(k−1) − ejθH(ejθ)ejθ(k−1)

)= A

H(ejθ)ejθk −H(e−jθ)e−jθk

2j(3.24)

Hierin stelt H(e−jθ) een complex getal voor met absolute waarde |H| en een hoek γ.Vergelijking 3.24 wordt dan

yr (k) = A |H| ejγejθk − e−jγe−jθk

2j= A |H| e

j(kθ+γ) − e−j(kθ+γ)

2j

= A |H| sin (kθ + γ) (3.25)

Bij een sinusoıdale ingang is de uitgang ook sinusoıdaal. De uitgang is echter fasever-schoven en in amplitude veranderd. Hierdoor bevat ze alle informatie over het beschouwdesysteem, beschreven door de TF H(z). De versterking wordt bepaald door de absolutewaarde van H(ejθ). Door θ te laten varieren, hetgeen overeenkomt met een variatie vanω bij een constante bemonsteringsperiode T (θ = ωT ), doorlopen we als het ware hetvolledige ’frequentiegebied’. Ook de faseverschuiving γ is afhankelijk van ejθ of van θ.

Het uiteindelijk besluit is analoog aan dit bij continue systemen: Om de frequentieaf-hankelijke versterking M van een systeem beschreven door de TF H(z) te kennen, moetenwe z = ejθ stellen en de absolute waarde nemen van H(ejθ). De frequentieafhankelijke fa-severschuiving γ wordt gegeven door de hoek van het complexe getal H(ejθ). Samengevatgeeft dit{

M =∣∣H(ejθ)

∣∣γ = ∠H(ejθ)

. (3.26)

Het discrete Bode-diagram geeft beide waarden grafisch weer. De onafhankelijke ver-anderlijke is nu echter niet meer noodzakelijk ω maar eventueel θ. Bovendien is de fre-quentierespons van het discreet systeem periodisch met een periode van 2π. Inderdaad

ej(θ+2π) = ejθ → H(ej(θ+2π)

)= H

(ejθ). (3.27)

Johan Baeten 33

3 Het discreet systeemgedrag

Voorbeeld:Neem de volgende TF:

H(z) =0, 5

z − 0, 5

De frequentierespons volgt uit

H(ejθ) =0, 5

ejθ − 0, 5=

0, 5

cos θ + j sin θ − 0, 5

waaruit∣∣∣H(ejθ)∣∣∣ = 0, 5√

1, 25− cos θ

en

γ = −bgtgsin θ

cos θ − 0, 5

Figuren 3.5, 3.6 en 3.7 geven de grafische voorstellingen van de ’frequentie afhankelijke’eigenschappen van het systeem in een amplitude- en fasediagram.

-10

-8

-6

-4

-2

0

Ver

ster

king

[dB

]

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Fas

e [

]O

Bode-diagram

Frequentie [rad/sec]

Figuur 3.5: Versterking en faseverschuiving i.f.v. de pulsatie met een logaritmische schaal; debemonsteringsperiode T is gelijk aan 1 s

Uit de vorige paragrafen weten we reeds dat het verband tussen de continue en discretetijdrespons enkel eenduidig bepaald is voor hoeken tussen 0 en π (in feite tussen −πtot π, maar complexe polen komen steeds voor in toegevoegde paren, zodat de negatievehoeken geen nieuwe signalen of systemen voorstellen). Het periodisch karakter van defrequentierespons geeft in gronde dezelfde voorwaarde weer. De frequentierespons is enkelzinvol voor hoeken van 0 tot π. Grotere hoeken geven terug dezelfde sinussen (via deterugvouwfout) en leveren dan ook dezelfde versterking en faseverschuiving op. De beperkteband in het frequentiedomein is het gevolg van de bemonstering in de tijd. Indien debemonsteringsperiode T kleiner wordt, zal de (geldige) frequentieband groter worden (enomgekeerd).

In figuur 3.5 (a) is de maximale frequentie π rad/sec omdat de bemonsteringsperiode

34 Johan Baeten

3.4 Harmonische analyse bij discrete systemen

-2 -1 0 1 2 3 40.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4

Ver

ster

king

[dB

]F

ase

[]

O

Bode-diagram

Hoek [rad]

Figuur 3.6: Frequentierespons i.f.v. de hoek θ [rad] (uitgedrukt in eenheden van π – lineaireschaal

1 sec bedraagt. Figuur 3.6 geeft duidelijk het periodisch karakter weer van de frequentie-respons. De onafhankelijke variabel is hier de hoek θ. Figuur 3.7 geeft tenslotte enkel dezinvolle ’frequentieband’ met eveneens een lineaire schaal. Zij komt overeen met figuur 3.5.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-200

-150

-100

-50

0

Ver

ster

king

[ -

- ]

Fas

e [

]O

Bode-diagram

Hoek [rad]

Figuur 3.7: Frequentierespons i.f.v. de hoek θ [rad] (op een lineaire schaal)

Johan Baeten 35

3 Het discreet systeemgedrag

3.5 De W-transformatie of bilineaire transformatie

De W-transformatie is een bijectie (dit wil zeggen een eenduidige afbeelding) van het Z-domein naar het W -domein (beide gevormd door het complex vlak) die de eenheidscirkelafbeeldt op de imaginaire as en het inwendige van de eenheidscirkel op het linker halfvlak:

w =z − 1

z + 1en z = −w + 1

w − 1(3.28)

met w de nieuwe complex veranderlijke (zie figuur 3.8).Door deze transformatie toe te passen op de discrete functie F (z), kunnen de ’oude’

werkwijzen voor het zoeken van de stabiliteitsgrens (in het P -domein) aangewend wordenop de functie F (w). Dit valt echter buiten het bestek van deze cursus.

Im

Re Re

Im

Stabiel Stabiel

Z-domein W-domein

(~ P-domein)

Figuur 3.8: De W-transformatie

36 Johan Baeten

Hoofdstuk 4

Het discreet equivalent

4.1 Inleiding

Steeds meer worden digitale computers ingezet om fysische systemen te besturen. Dezeevolutie wordt in de hand gewerkt door de enorme ontwikkeling van de microprocessor-technologie.

De voornaamste voordelen van het gebruik van digitale computers voor controledoel-einden zijn: de grote vrijheid en flexibiliteit in het ontwerpen van controle programma’sen de mogelijkheid om naast de controlefunctie ook beslissingslogica toe te voegen aan hetprogramma. In de volgende hoofdstukken beperken we ons tot de studie van de controle-functie.

Bij de analyse en het ontwerp van digitale regelkringen moet het effect van de bemon-steringsperiode T en van de quantisatie-eenheid q expliciet in rekening gebracht worden.Wanneer zowel T als q zeer klein zijn, kan men de digitale signalen praktisch als continuesignalen beschouwen. Bijgevolg kunnen de continue methoden voor analyse en ontwerpworden aangewend. Theoretisch lijkt deze situatie zeer aantrekkelijk. Vanuit economischstandpunt is ze echter verre van optimaal. Ze houdt namelijk in dat wij een snelle (endure) computer nodeloos belasten met het aan een zeer hoog tempo doorrekenen van hetregelalgoritme.

Dit hoofdstuk handelt voornamelijk over het in rekening brengen van het effect van eeneindige bemonsteringsperiode T , om tot een doelmatige regeling te komen. Op de studievan het effect van de eindige quantisatie-eenheid wordt niet ingegaan1. We zullen dan ookdikwijls spreken over de ’discrete’ regelaar i.p.v. de digitale regelaar.

Het ontwerp van de discrete regelaar kan op verschillende manieren gebeuren:

• Een eerste methode bestaat erin het digitaal of discreet equivalent te zoeken vaneen gekende klassieke (continue) regelaar. Een aantal ontwerpmethodes die op dezemanier te werk gaan worden besproken in paragrafen 4.3. en 4.4.

• Het ontwerp van een digitale regelaar volgens het klassiek schema kan ook rechtstreeksin het Z-domein gebeuren m.b.v. een aantal technieken die gelijkaardig zijn aandeze voor het ontwerp van continue regelaars zoals bijvoorbeeld de methode van

1Het gequantiseerd karakter komt in de limiet overeen met een aan-uit regeling, hetgeen aan bod komtbij regelkringen met niet-lineaire elementen.

37

4 Het discreet equivalent

het wortellijnendiagram of ontwerp in het frequentiedomein. Hiervoor moeten alleelementen uit de regelkring discreet zijn of discreet voorgesteld worden. We zullenhierop kort ingaan in hoofdstuk 5.

• Als laatste werkwijze beschrijven we het ontwerp van de digitale toestandsregelaar.Bij deze techniek wordt de digitale regelaar bepaald in de toestandsruimte. Hoofdstuk6 geeft daarom eerst aan wat de (discrete) toestandsruimte omvat en hoe we hetverband leggen met het Z-domein en beschrijft daarna het ontwerp met de methodeder polenplaatsing.

Om te beginnen vermelden we even de verschillende mogelijke regelschema’s met eendigitaal element of een digitale regelaar.

4.2 Digitale regelschema’s (bij continue systemen)

Men kan een viertal mogelijke interventies van de computer in de regelketen onderscheiden.In het eerste geval geeft de computer (of PLC) enkel het signaal voor de setwaarde

en ontvangt de computer informatie over de geregelde grootheid. Zie figuur 4.1(a). Deregeling gebeurt nog volledig analoog.

In het tweede geval (figuur 4.1 (b)) bevat de computer het regelalgoritme. De computergrijpt via de ADC (analoog naar digitaal omzetter) en de DAC (digitaal naar analoogomzetter) rechtstreeks op het proces en dus op de geregelde grootheid in. Niets houdt onsdan nog tegen om ook de vergelijking tussen werkelijke en gewenste waarde digitaal uit tevoeren. Dit geeft figuur 4.1 (c). In het vierde geval (figuur 4.1 (d)) valt zelfs de ADC wegomdat het meetsysteem reeds een digitaal signaal uitgeeft.

De ADC en de DAC staan meestal als aparte kaarten in de computer of PLC. DeADC zorgt voor de bemonstering van het continu, analoog signaal. De DAC zorgt voorde reconstructie van het digitaal stuursignaal afkomstig van de digitale regelaar. De DACvormt dus het gequantiseerd stuursignaal om in een analoog signaal. Bovendien zal hetanaloge signaal gedurende n klokperiode aangehouden worden, hetgeen de functie is vande houdketen. In eerste instantie is de uitgang van de DAC dus nog een discreet verlopendsignaal. Met behulp van een houdketen wordt hiervan een continu signaal gemaakt datweliswaar enkel op discrete tijdstippen zal veranderen in het geval van een nulde ordehoudketen. De uitgang van de nulde orde houdketen wordt dan ook voorgesteld door eentrapvormige curve.

Indien toch een meer continu verlopend stuursignaal gewenst is, dan moeten de opeen-volgende discrete waarden in de tijd genterpoleerd worden. Dit geeft dan een 1e of 2e ordehoudketen. In figuur 4.1 wordt verondersteld dat de houdketen mee vervat is in de DAC.De houdketen heeft echter een belangrijke invloed op de regelkring (zie later), zodat wedeze vaak in een apart blokje zullen voorstellen samen met de TF ervan.

Merk op dat we in figuur 4.1 (b), (c) en (d) de computer steeds kunnen vervangen dooreen kant en klare digitale regelaar, waarbij we dan wel niet meer zelf (in volle vrijheid) hetregelalgoritme kunnen bepalen.

In de voorgaande gevallen was er steeds sprake van regelkringen waarin digitale en con-tinue elementen gecombineerd worden. Indien echter ook het te regelen systeem discreetis, dan bekomen we een volledig digitale regelkring (die zich als regelschema niet meeronderscheidt van de klassieke continue regelkring). Zie figuur 4.2. Hierop kunnen we een

38 Johan Baeten

4.2 Digitale regelschema’s (bij continue systemen)

Computer DAC

ADC

Regelaar Systeem

Sensor

-

ComputerSensorADC

DAC SysteemRegelaar

-

+

+

Computer

Sensor

ADC DAC SysteemRegelaar

-

+

Computer

Systeem

Sensor

DACRegelaar

-

+

(a)

(b)

(c)

(d)

Klok

Digitaal Meetorgaan

Figuur 4.1: Interventie van de computer in de regelketen

aantal klassieke rekenmethoden toepassen, bijvoorbeeld voor de bepaling van de geslotenTF of voor de bepaling van de stabiliteitsgrens met het wortellijnendiagram. Meestal dientechter een fysisch en dus continu systeem geregeld te worden waardoor een volledig digitaleregelkring zelden voorkomt. Nochtans is de volledige digitale regelkring het eenvoudigstom mee te rekenen. We zullen daarom het fysisch proces samen met de houdketen en debemonstering beschrijven als ware het een digitaal systeem. Het geheel houdketen-proces-bemonstering, zoals voorgesteld in figuur 4.3, bezit immers een discrete ingang en geeftook een discrete uitgang en kan bijgevolg beschreven worden door een discrete TF.

Regelaar Systeem

Sensor

+

-

Bv. Computer

Digitale Digitaal

Digitale

(of equivalent)

Figuur 4.2: De volledig digitale (discrete) regelkring

Johan Baeten 39

4 Het discreet equivalent

Wat we door deze manier van werken verwezenlijken is in feite het volgende: De ge-mengde regelkring, deels discreet en deels continu, herleiden we tot een volledig discretebeschrijving met discrete TF’s. Deze benadering zal echter niets afdoen aan de algemeen-heid van het regelschema en zal geen fouten met zich meebrengen. Het discreet elementuit de regelkring vraagt immers enkel op de discrete tijdstippen naar de waarde van hetproces en juist op deze discrete tijdstippen zal het discreet equivalent van houdketen-proces-bemonstering identiek dezelfde waarde opleveren als het oorspronkelijk geheel. Door hetdiscreet equivalent van houdketen-proces-bemonstering beperken we ons tot de hoogstnodige informatie over het systeem namelijk de waarde van het proces op de bemonste-ringstijdstippen.

Systeem Bemonst.Houdketen

H p( )

H z( )

Equivalent

u k( ) û t( ) y t( )

u k( ) y k( )

y k( )

Figuur 4.3: Discreet equivalent van een continu proces of systeem

Merk op dat er een verschil is tussen het discreet equivalent van het proces en hetdiscreet equivalent van de regelaar (waarover we later zullen spreken). In het eerste gevalbedoelen we met het discreet equivalent het model dat we verder in de berekeningen zul-len gebruiken zonder daarom het proces of het systeem te veranderen. Het model zal inde berekeningen geen fouten opleveren (in de veronderstelling dat we gebruik maken vaneen discrete regelaar).Deze werkwijze wordt gebruikt in hoofdstuk 5. In het tweede gevalzullen we de benaderende discrete regelaar ’bouwen’ equivalent aan de continue regelaar.Dit komt in de volgende paragrafen aan bod.

Voor het ontwerp van klassieke, continue regelaars bestaan goed uitgewerkte technie-ken. Het is nu de bedoeling om, voor een continue regelaar, een discreet equivalent tezoeken, zodat de regeling gerealiseerd kan worden met behulp van een (digitale) computer.Meer algemeen kan men de regelaar beschouwen als een ’filter’, en zoekt men een digitalefilter waarvan de karakteristieken (amplitude-versterking en fasenaijling in functie van defrequentie) deze van een gegeven analoog filter zo goed mogelijk benaderen. De volgendeparagrafen behandelen een drietal methodes:

• Ontwerp van een discreet equivalent door numerieke integratie;

• Ontwerp van een discreet equivalent door transformatie van polen en nulpunten;

• Ontwerp van een discreet equivalent m.b.v. een houdschakeling.

40 Johan Baeten

4.3 Ontwerp van discreet equivalent via numerieke integratie

4.3 Discreet equivalent via numerieke integratie

Principieel bevat de methode volgende stappen:

I) Stel de te benaderen TF H(p) voor door een differentiaalvergelijking

II) Voer een numerieke integratie uit op deze differentiaalvergelijking. Dit levert eendifferentievergelijking die een voorstelling is van de discrete regelaar.

III) Zet de differentievergelijking om naar een discrete TF

Neem als voorbeeld de integrator H(p) = 1/p. Dan is het stuursignaal U(p)

U(p) = H(p)E(p) =1

pE(p), (4.1)

met E(p) het foutsignaal. De overeenstemmende differentiaalvergelijking is

u(t) = u(0) +

t∫0

e(ι)dι (4.2)

Numerieke integratie toegepast op deze vergelijking levert

u(kT ) = u(0) +

kT∫0

e(ι)dι = u(0) +

kT−T∫0

e(ι)dι+

kT∫kT−T

e(ι)dι (4.3)

of

u(kT ) = u [(k − 1)T ] +

kT∫kT−T

e(ι)dι (4.4)

Voor de evaluatie van de integraal in het rechter lid uit vergelijking 4.4 bestaan velemethoden, zoals o.a.:

a) de voorwaartse rechthoekregel,

b) de achterwaartse rechthoekregel,

c) de trapeziumregel (of methode van Tustin of bilineaire transformatieregel).

Figuur 4.4 stelt de drie vermelde regels samen met de formule voor de integraal voor.

Invullen van de benadering voor de integraal geeft voor elk van de beschouwde regels:

a) u(kT ) = u [(k − 1)T ] + e [(k − 1)T ] · T ,

b) u(kT ) = u [(k − 1)T ] + e(kT ) · T ,

c) u(kT ) = u [(k − 1)T ] +e((k − 1)T ) + e(kT )

2T .

Johan Baeten 41

4 Het discreet equivalent

tijd t( )

discrete stap k( )

tijd t( )

discrete stap k( )

Se k .T( -1)

Se k .T( )

e t( )

e k = e kT( ) ( )

e t( )

e k = e kT( ) ( )

Voorwaartse integraal

Achterwaartse integraal

tijd t( )

discrete stap k( )

e t( )

e k = e kT( ) ( )

Trapezium integraal

b)

c)

a)

[ ( -1)+ ( )]e k e k .TS

2

0 1 32 4 5 6

0 1 32 4 5 6

0 1 32 4 5 6

1T 3T 5T

1T 3T 5T

1T 3T 5T

Figuur 4.4: Numerieke integratie volgens voorwaartse, achterwaartse rechthoek- en trapezium-regel

Toepassing van de Z-transformatie geeft:

a)(1− z−1

)U(z) = Tz−1E(z) → U(z)

E(z)=

T

z − 1,

b)(1− z−1

)U(z) = T · E(z) → U(z)

E(z)=

Tz

z − 1,

c)(1− z−1

)U(z) =

1

2T (z−1 + 1)E(z) → U(z)

E(z)=

T (z + 1)

2 (z − 1).

Vergelijking van deze transfertfuncties met het continue geval

U(p) =1

pE(p) (4.5)

leert ons dat het volstaat om in de continue transfertfunctie de frequentievariabele p tevervangen door:

a) voorwaartse rechthoekregel: p =z − 1

T,

42 Johan Baeten

4.4 Ontwerp van discreet equivalent door transformatie van nulpunten en polen

b) achterwaartse rechthoekregel: p =(z − 1)

Tz,

c) trapeziumregel: p =2 (z − 1)

T (z + 1).

Toepassing: Het discreet equivalent van een PI-regelaar volgens numerieke integratie metde trapeziumregel. De continue TF is

U(p) = Kr

(1 +

1

τip

)E(p)

zodat

U(z) = Kr

(1 +

T (z + 1)

2τi (z − 1)

)E(z)

of

(z − 1)U(z) = Kr

((z − 1) +

T

2τi(z + 1)

)E(z) = Kr

((1 +

T

2τi

)z +

T

2τi− 1

)E(z).

Herschrijf dit als:

(z − 1)U(z) = (a.z + b)E(z)

of (1− z−1

)U(z) =

(a+ b.z−1

)E(z)

waaruit

u(k) = u(k − 1) + a.e(k) + b.e(k − 1)

Dit geeft de te programmeren recursieve betrekking. De waarden a en b worden bepaalddoor de instellingen van de PI-regelaar. Paragraaf 4.8 werkt de resulterende recursievebetrekking verder uit naar een stroomdiagram als basis voor een computerprogramma.

4.4 Discreet equivalent door transformatie van nul-punten en polen

Bij de bespreking van de verbanden tussen continue tijd, discrete tijd, P - en Z-domeinin hoofdstuk 3 (paragraaf 3.2) werd reeds een verband afgeleid tussen de polen van eencontinue transfertfunctie en de polen van de overeenstemmende discrete transfertfunctie,nl.:

z = epT (4.6)

Het nulpunten-polen-equivalent extrapoleert deze regel door ze eveneens toe te passen voorde nulpunten. Dit geeft volgende (al dan niet heuristische) regels voor het opstellen vanhet nulpunten-polen-equivalent:

Johan Baeten 43

4 Het discreet equivalent

1. Transformeer alle polen van H(p) naar het Z-domein volgens vergelijking 4.6;

2. Transformeer alle eindige nulpunten van H(p) op dezelfde wijze naar nulpunten vanH(z);

3. Laat met elk nulpunt op oneindig van H(p), d.i. bijvoorbeeld p = ∞, een nulpuntz = −1 overeenstemmen;

4. Pas de versterkingsfactor van de digitale regelaar aan zodat hij voor een bepaaldefrequentie overeenstemt met die van de continue regelaar. Meestal wordt een gelijkestatische versterkingsfactor gekozen of

H(p)|p=0 = H(z)|z=1 . (4.7)

De gedachte achter stap 3 is als volgt: H(p) is gelijk aan 0 voor oneindige frequen-ties of dus voor de waarde p = j∞. De hoogste frequentie waarvoor de discrete ’filter’bruikbaar is, is echter fs/2. De waarde van p is hier jπfs hetgeen volgens vergelijking 4.6overeenstemt met z = ejπfsT = −1. Deze regel geeft dus een nulpunt voor de hoogstefrequentie waarvoor de discrete ’filter’ nog bruikbaar is. Stap 3 is een echte heuristische re-gel. Een variatie op het nulpunten-polen-equivalent is mogelijk het weglaten van deze stap.

Voorbeeld 1:

H(p) =a

p+ alevert H(z) =

(z + 1)(1− e−aT

)2(z − e−aT )

Voorbeeld 2:Bepaal de discrete PI-regelaar door transformatie van polen en nulpunten. De TF

HPI(p) = Kr

(1 +

1

τip

)= Kr

(τip+ 1

τip

)= Kr

(p+ 1/τi

p

)levert

HPI(z) = C ·Kr

(z − e−T/τi

z − 1

)

waarbij de constante C nog bepaald moet worden. Aan de voorwaarde voor gelijke sta-tische versterking is echter voor elke mogelijke waarde van C voldaan. Deze voorwaardelevert in dit voorbeeld dus geen eenduidige oplossing. De waarde van C moet derhalvevolgen uit de gelijkstelling van de absolute waarde van de twee TF’s bij een andere fre-quentie.Deze oplossing stemt qua algemene vorm overeen met de numerieke-integratie-benaderingvan de PI (zie toepassing uit paragraaf 4.3), maar verschilt wat de constanten in de TF’sbetreft.

4.5 Ontwerp van een ’houd’-equivalent

Leg in gedachte aan de continue regelaar met TF H(p) een continu signaal e(t) aan, alsbenadering voor het continu foutsignaal e(t), geconstrueerd op basis van de beschikbaremonsters e(k) van e(t) door middel van een houdschakeling. Zie figuur 4.5.

44 Johan Baeten

4.5 Ontwerp van een ’houd’-equivalent

H p( )Houd-

schakeling

Bemon-

stering

Bemon-

stering

e t( ) e k( ) ê t( ) û t( ) u k( )

H z( )

Figuur 4.5: Het houd-equivalent

De eenvoudigste houdschakeling houdt gedurende een periode de waarde e(k) vast:

= e(t) = e(k) voor kT ≤ t < (k + 1)T. (4.8)

Vermits e(t) op deze wijze benaderd wordt door stuksgewijze constante gedeelten (of veel-termen van nulde orde), wordt dit een nulde-orde-houdschakeling genoemd. Hogere-orde-houdschakelingen zijn eveneens denkbaar. We berekenen nu de overeenstemmende discretetransfertfunctie H(z). Beschouw een eenheidsimpuls aan de ingang:

e(k)

{= 1 als k = 0;= 0 als k = 0.

↔ E(z) = 1. (4.9)

e(t) bestaat dan uit een eenheidsstap op ogenblik 0, gevolgd door een negatieve eenheidsstapop ogenblik t = T . De continue respons op dit signaal is

U(p) =1

pH(p)− e−pT

pH(p) (4.10)

Dit is de som van het resulterend signaal t.g.v. de stap 1/p en de negatieve stap −1/p Tseconden later. Vergelijking 4.10 omvat deze vertraging als een dode tijd gelijk aan T . Inhet tijddomein geeft dit

u(t) = L−1

{H(p)

p

}− L−1

{H(p)

pe−pT

}(4.11)

en na Z-transformatie

U(z) = H(z).E(z) = Z

{L−1

{H(p)

p

}}− z−1.Z

{L−1

{H(p)

p

}}=(1− z−1

).Z

{L−1

{H(p)

p

}}(4.12)

Vermits E(z) gelijk is aan 1 geeft deze uitdrukking eveneens de discrete TF H(z).

Johan Baeten 45

4 Het discreet equivalent

Voorbeeld: Neem terug de TF

H(p) =a

p+ a

Dan is

H(p)

p=

1

p− 1

p+ a

De invers Laplace-getransformeerde hiervan, met toepassing van de bemonstering, is

L−1

{H(p)

p

}= u(t)

(1− e−at

) t=kT→ =u(k)(1− e−akT )

met u(k) en u(t) de eenheidstapfuncties. Toepassing van de Z-transformatie en vermenig-vuldiging met (1− z−1) levert uiteindelijk

H(z) = (1− z−1)

(z

z − 1− z

z − e−aT

)=

1− e−aT

z − e−aT

Toepassing van de inverse Laplace-transformatie, bemonstering en vervolgens bereke-ning van de Z-getransformeerde is een omslachtig werk dat uiteindelijk steeds hetzelfdeis. Op het einde van dit hoofdstuk wordt daarom een tabel gegeven met een aantal over-eenkomstige TF’s in P - en Z-domein, bekomen volgens de bovenstaande werkwijze. Deberekening van het houd-equivalent vereenvoudigt hierdoor aanzienlijk: Splits de gegevenp-TF op in een aantal stukken gelijkaardig aan deze uit de tabel. Neem voor elk deelde overeenkomstige z-TF en vereenvoudig alles tot een enkele TF. Vergeet echter niet degegeven continue TF eerst te delen door p en de uiteindelijk bekomen z-TF nog te verme-nigvuldigen met (1− z−1). Dit volgt immers uit de formule

H(z) =(1− z−1

).Z

{L−1

{H(p)

p

}}(4.13)

4.6 Stabiliteit en nauwkeurigheid

De vorige paragrafen lichten een aantal technieken toe die aan de hand van de continue TFvan regelaar (of systeem) een equivalente discrete TF afleiden. De vraag stelt zich echter inwelke mate de eigenschappen (en in het bijzonder de stabiliteit) door toepassing van dezetechnieken behouden blijven. Het discreet equivalent is en blijft immers een benadering.De volgende paragrafen vergelijken de verschillende methodes qua behoud van stabiliteiten qua nauwkeurigheid van de ’benadering’.

4.6.1 Stabiliteit

• De numerieke integratie methodeNumerieke integratie van een stabiele continue TF garandeert niet steeds een stabielediscrete TF. Om dit aan te tonen gaan we na hoe stabiele polen in het p-domein(linker halfvlak) door de integratieregels getransformeerd worden naar het z-domein.Eerst lossen we z op uit de integratie regels:

46 Johan Baeten

4.6 Stabiliteit en nauwkeurigheid

a) voorwaartse rechthoekregel : z = 1 + Tp;

b) achterwaartse rechthoekregel : z =1

1− Tp;

c) trapeziumregel : z =2 + Tp

2− Tp.

Gelijkstelling van p aan jω geeft aan hoe de stabititeitsgrens (imaginaire as) wordtgetransformeerd naar het z-domein:

a) z = 1 + jωT , d.w.z. de verticale as door 1;

b) z =1

1− jTω=

1

2+

(1

1− jTω− 1

2

)=

1

2+

1

2

(1 + jTω

1− jTω

), d.w.z. een cirkel

met middelpunt 1/2 en straal 1/2;

c) z =1 + jTω/2

1− jTω/2, d.w.z. een cirkel met middelpunt 0 en straal 1.

De gearceerde delen in figuur 4.6 geven het beeld aan voor de verschillende integra-tieregels met als domein het linker halfvlak in het p-domein.

Voorwaartse rechthoekregel Achterwaartse rechthoekregel Trapeziumregel

Im

Re Re Re

ImImZ-domein

Z-domein Z-domein

Figuur 4.6: Beeld van de stabiele polen volgens de verschillende integratieregels

Besluit: Door de voorwaartse rechthoekregel kunnen stabiele p-polen getransformeerdworden naar onstabiele z-polen (polen buiten de eenheidscirkel). De beide andereintegratieregels transformeren alle stabiele p-polen naar stabiele z-polen. De trape-ziumregel transformeert het stabiele p-gebied zelfs precies naar het stabiele z-gebied.Dit belet echter niet dat er een flinke distortie kan optreden (zie verder).

• Transformatie van polen en nulpuntenBij de transformatie van polen en nulpunten volgens vergelijking 4.6 is het behoudvan de stabiliteit van de discrete TF per definitie gegarandeerd. Indien de H(p)stabiel is, zal H(z) ook stabiel zijn. Het linker halfvlak wordt door vergelijking 4.6immers precies op de eenheidscirkel afgebeeld.

• Houd-equivalentOok bij deze methode is de bekomen TF gegarandeerd stabiel, indien H(p) reedsstabiel is. Immers enkel het ingangssignaal wordt gewijzigd en blijft eindig. Menbeschouwt e(t) i.p.v. e(t)).

Johan Baeten 47

4 Het discreet equivalent

4.6.2 Nauwkeurigheid

De nauwkeurigheid geeft aan hoe goed de karakteristiek van de discrete TF of ’filter’ dezevan de continue benadert. Neem, om dit te bepalen, als ingangssignaal een discreet sinus:

e(k) = A. sin(ωTk) (4.14)

Uit het vorig hoofdstuk weten we echter al dat de karakteristiek van elke digitale ’filter’of discrete TF periodisch is in functie van de pulsatie ω van het ingangssignaal met eenperiode gelijk aan ωs = 2πfs (de bemonsteringspulsatie). Dit komt overeen met ’aliasing’of de terugvouwfout. Concreet wil dit zeggen dat alle ingangssignalen

e(k) = A sin [(ω0 +Nωs)kT ] met N = · · · − 2,−1, 0, 1, 2, · · · (4.15)

identiek zijn en bijgevolg ook dezelfde uitgang u(k) aan de regelaar opleveren. Bovendienis de karakteristiek symmetrisch t.o.v. ωs/2. Beschouw{

e1(k) = A sin (ω1kT )e2(k) = A sin (ω2kT )

met

{ω1 = ωs/2 + ω0

ω2 = ωs/2− ω0(4.16)

Nu is ω2 = − [ω1 − ωs] en bijgevolg is e1(k) = −e2(k). De uitgang van de ’filter’ zal iden-tiek zijn voor beide signalen. De symmetrie komt overeen met het complex toegevoegdkarakter van elke pool. De maximale hoek van een pool is dan niet meer 360◦ maar slechts180◦. Zo is bijvoorbeeld 200◦ gelijk is aan −160◦. Een pool met hoek −160◦ is de complextoegevoegde pool van deze met hoek 160◦. Beide polen komen (samen) overeen met het-zelfde tijdgedrag. Het discreet equivalent is derhalve slechts geldig in het frequentiegebied(0, fs/2). Dit geldt voor elk discreet equivalent, en dus ook voor elke discrete regelaar, enis onafhankelijk van de gebruikte transformatiemethode.

Specifiek voor de numerieke integratiemethode geldt dat de benadering van de integraaldes te nauwkeuriger is naarmate de integratiestap kleiner is. Dit betekent dat het discreetequivalent des te nauwkeuriger wordt naarmate de bemonsteringsfrequentie hoger wordt.Deze wordt echter liefst zo laag mogelijk gehouden. Als vuistregel kiest men de bemon-steringsfrequentie 10 tot 20 maal hoger dan de verwachte bandbreedte van de geslotenregelkring. Voor een PI-regelaar komt dit bijvoorbeeld neer op een waarde fs ≈ 10/τi.

Van de numerieke integratie transformaties geeft de trapeziumregel of bilineaire trans-formatie de nauwkeurigste resultaten.

Transformatie van polen en nulpunten geeft echter over het algemeen een betere nauw-keurigheid dan de integratiemethodes. Ontwerp m.b.v. een houdschakeling van nulde ordegeeft ongeveer dezelfde nauwkeurigheid als transformatie van polen en nulpunten.

4.6.3 Besluit

Het samenvattend besluit vergelijkt de verschillende besproken methodes wat de stabili-teit en nauwkeurigheid betreft. Zie tabel 4.1. De integratiemethodes, die als benaderingmisschien meer voor de hand liggen dan de twee andere methodes, moeten onderdoen quabehoud van stabiliteit en nauwkeurigheid. Bij de implementatie van een resultaat bekomenmet de integratie methodes is zeker voorzichtigheid aangeraden.

48 Johan Baeten

4.7 Vergelijkende oefening

Numerieke integratie regels Polen- Houd-Voorwaartse Achterwaartse Trapezium nulpunten- equivalentrechthoek rechthoek transform.

Behoud Stab. Neen ja Ja Ja JaNauwkeurigheid slecht slecht matig Goed Goed

Tabel 4.1: Vergelijking tussen de verschillende transformatiemethodes

4.7 Vergelijkende oefening

Opgave: Bepaal het discreet equivalent van een eerste orde systeem met τ = 1 s. Vergelijkde TF’s, de stapresponsies en de frequentieresponsies.

Oplossing: Neem de bemonsteringsperiode T = 0, 1 s.

1. Numerieke integratie, trapeziumregel:

p =2 (z − 1)

T (z + 1)zodatH(p) =

1

1 + p→ H(z) =

z + 1

21z − 19(4.17)

2. Nulpunten polen transformatie:

H(z) =(1− e−0,1) (z + 1)

2 (z − e−0,1)=

z + 1

21, 017z − 19, 017(4.18)

3. Houdequivalent:

H(z) =1− e−0,1

z − e−0,1=

1

10, 508z − 9, 507(4.19)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

1 + pH( ) =p

1

10,5 -9,5zH( ) =z

Discrete stap ( = 0,1 sec)k T

Am

pli

tude

Figuur 4.7: Vergelijking tussen de staprespons van continu systeem en discreet houdequivalent

Johan Baeten 49

4 Het discreet equivalent

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Discrete stap ( = 0,1 sec)k T

1

1 + pH p( ) =

21 - 19zH z( ) =

z + 1

Am

pli

tude

Figuur 4.8: Vergelijking tussen de staprespons van het continu systeem en haar discreet equiva-lent volgens de nulpunten polen transformatie en numerieke integratie

-30

-20

-10

0

Frequentie [rad/sec]

Frequentie [rad/sec]

Ver

ster

kin

g [

dB

]

-90

-75

-60

-45

-30

-15

0

Fas

e [

]O

0,1 1 10010

0,1 1 10010

21 - 19zH z( ) =

z + 1

1

1 + pH p( ) =

Figuur 4.9: Vergelijking frequentierespons: Continu versus numerieke integratie

Oplossingen 1) en 2) verschillen slechts zeer weinig. Figuur 4.8 geeft de stapresponsiesvoor deze oplossingen. Deze stemmen goed overeen met de continue staprespons

Ook de staprespons van de derde oplossing komt overeen met de continue responsie.Zie figuur 4.7. Merk het effect van de houdschakeling op. De discrete responsie treedt ietslater op en begint bij nul. Op de discrete tijdstippen zelf is het discreet signaal gelijk aan

50 Johan Baeten

4.8 Implementatie

-135

-90

-45

0

-30

-20

-10

0

0,1 1 10 100

0,1 1 10 100

Frequentie [rad/sec]

Frequentie [rad/sec]

Ver

ster

kin

g [

dB

]F

ase

[]

O

1

1 + pH p( ) =

10,5 - 9,5zH z( ) =

z + 1

Figuur 4.10: Vergelijking frequentierespons: Continu versus houdequivalent

het continu signaal.Ook de frequentierespons van het discreet systeem stemt goed overeen met deze van

het continu systeem. Enkel bij de hoogst toegelaten frequenties is er een klein verschil. Demaximaal toegelaten frequentie is de helft van de bemonsteringsfrequentie en is gelijk aan10Hz of 31,4r/s.

Figuur 4.10geeft tenslotte de vergelijking met het houdequivalent. Het amplitudege-deelte wordt beter benaderd, het faseverloop is echter duidelijk verschillend bij hogerefrequenties.

4.8 Implementatie

Het simulatieschema geeft het blokkendiagram van het discreet systeem zeer gedetailleerdweer. Het schema bepaalt bijvoorbeeld de werking van de regelaar. Hieruit volgt eveneenshet programma dat de regelaar simuleert of implementeert, zoals verder beschreven in dezeparagraaf.

z -1

+

+E z( )H z( )

Vertragingz H z( )-1

z -1

+

+

+z H z( )-2

a

-b

cU z( )

Figuur 4.11: Simulatieschema van een discreet systeem (bv. een discrete PID-regelaar)

Neem als voorbeeld het tweede orde schema uit figuur 4.11. Bij het opstellen van

Johan Baeten 51

4 Het discreet equivalent

het programma volgens dit schema hebben we drie geheugenplaatsen nodig. Dit zijn degeheugenplaatsen H1, H2 en H3. Zij stemmen overeen met de variabelen H(z), z−1H(z)en z−2H(z). Een ruwe ’schets’ van het programma overeenkomstig 4.11 ziet er dan alsvolgt uit:

1. Declareer alle variabelen, dit zijn H1, H2, H3 en U en E , a, b en c;

2. Geef de waarden a, b en c. Zet de overige variabelen op nul;

3. Lees de waarde van E in (E komt van de A/D omzetter);

4. Schuif H1 en H2 door naar H2 en H3;

5. Bereken de (nieuwe) waarde van H1;

6. Bereken de stuurwaarde U ;

7. Lees de waarde U uit (U gaat naar de D/A omzetter);

8. Ga naar stap 3 (oneindige lus).

Start

Declareer alle var.

Initialiseer alle var.

Klok

ja

neen

Lees E in

H3=H2, H2=H1

H1= E + H2

U=aH1-bH2+cH3

Stuur U naar output

Figuur 4.12: Stroomdiagram ter implementatie van een discreet systeem (bv. van een discretePID-regelaar)

Het werkelijk computerprogramma kan op basis van het stroomdiagram uit figuur 4.12gemakkelijk neergeschreven worden. In het geval van een discrete PID-regelaar, wordende waarden van a, b en c berekend uit de waarden Kr, τi en τd. Bij het opstarten zal hetprogramma naar deze waarden vragen. Er kan ook een module voorzien worden die toelaatde waarden Kr, τi en τd op ieder ogenblik te veranderen. Het aantal mogelijke variaties ophet programma zijn omwille van de flexibiliteit van de computer haast onbeperkt.

52 Johan Baeten

4.9 Transformatietabel

4.9 Transformatietabel

f(t), f(kT ) F (p) F (z)

1 δ(t) 1 1

2 δ (t− nT ) e−nTp z−n

3 u(t)1

p

z

(z − 1)

4 t1

p2Tz

(z − 1)2

5 12t2

1

p3Tz (z + 1)

2 (z − 1)3

6 e−at 1

p+ a

z

(z − e−aT )

7 te−at 1

(p+ a)2Tze−aT

(z − e−aT )2

8 12t2e−at 1

(p+ a)3T 2ze−aT

(z + e−aT

)2 (z − e−aT )3

9 1− e−at a

p (p+ a)

(1− e−aT

)z

(z − 1) (z − e−aT )

Tabel 4.2: Transformatietabel voor berekening van houdequivalent

Johan Baeten 53

4 Het discreet equivalent

54 Johan Baeten

Hoofdstuk 5

De discrete regelkring

5.1 Inleiding

Wanneer de regelkring volledig discreet is, dit wil zeggen wanneer alle elementen uit deregelkring beschreven kunnen worden door discrete transfertfuncties, dan kunnen we hetsysteemgedrag rechtstreeks in het z-domein bepalen en kunnen we de regelaar rechtstreeksin het z-domein ontwerpen, in tegenstelling tot hoofdstuk 4 waar de discrete regelaar be-paald werd equivalent aan een gekende continue regelaar. Zoals eerder opgemerkt zijn demeeste systemen echter continu. Niettemin kunnen we vaak een discreet model vooropstel-len als beschrijving van het continue systeem. Zo is het dan toch mogelijk om onderstaanderekentechnieken toe te passen. Het regelschema dat we zo verkrijgen wordt gegeven in fi-guur 5.1.

Regelaar Systeem

Sensor

+

-

Digitale Digitaal

Digitale

(of equivalent)

Figuur 5.1: De volledig digitale (discrete) regelkring

Indien de TF’s van de verschillende delen gekend zijn, kunnen we dit schema steedsherleiden tot dat van figuur 5.2.

+

-

G z( )

H z( )

G

1+GH

Figuur 5.2: De ’standaard’ discrete regelkring

De discrete regelkring uit figuur 5.2 is volledig equivalent aan haar continue tegenhan-ger. We behouden dan ook dezelfde definities en formules met betrekking tot de open engesloten TF’s.

55

5 De discrete regelkring

5.2 Het stabiliteitsonderzoek

De stabiliteit van de gesloten regelkring volgt uit de ligging van de polen. Dit zijn denulpunten van de vergelijking (1 +GH). Indien de polen van het gesloten systeem binnende eenheidscirkel liggen, dan is het systeem stabiel. Indien de absolute waarde van een derpolen groter is dan 1 dan is het systeem instabiel. Uit de ligging van de polen kunnen weeenduidig het systeemgedrag bepalen. We verwijzen hiervoor naar de hoofdstuk 3.

De keuze van een bepaalde regelaar zal de ligging van de polen bepalen. Hierbij speeltook de versterkingsfactor Kr van de regelaar een belangrijke rol. De invloed van de verster-kingsfactor wordt grafisch weergegeven in het wortellijnendiagram (Evans-diagram), dat deligging van de polen van het gesloten systeem geeft voor alle mogelijke versterkingswaardenKr. Vermits de vorm van de gesloten discrete TF (wiskundig gezien) niet verschilt vandeze bekomen bij continue systemen, blijven alle constructieregels voor het tekenen vanhet wortellijnendiagram afgeleid bij continue systemen ook hier bij de discrete systemengeldig. Het wortellijnendiagram geeft immers enkel de oplossing van de vergelijking:

1 +KG(z)H(z) = 0 voor k = 0 · · ·∞. (5.1)

Volledigheidshalve herhalen we even de constructieregels voor het wortellijnendiagram:

1. De vertrekpunten (k = 0) zijn de polen van het open systeem;

2. De eindpunten (k = ∞) zijn de nulpunten van het open systeem;

3. Indien het open systeem minder nulpunten telt dan polen dan krijgen we een aantalnulpunten of eindpunten op oneindig. Stel het aantal nulpunten gelijk aan m en hetaantal polen gelijk aan n. Dan heeft het wortellijnendiagram n−m asymptoten;

4. De asymptotische richting AR voldoet aan de formule

AR =180◦ + k360◦

n−mmet k = · · · − 1, 0, 1, 2 · · · ; (5.2)

5. Het snijpunt σpvan de asymptoten met de reele as

σp =

∑polen−

∑nulpunten

n−m; (5.3)

6. De hoek van vertrek uit een complexe open pool vinden we uit de hoekvergelijking:∑∠ (vanuit de nulpunten)−

∑∠ (vanuit de polen) = 180◦ ± k360◦; (5.4)

7. Het ’break-away’ of ’break-in’ punt waar zich reele, samenvallende polen bevinden,

volgt uit:dk

dz= 0.

Later in dit hoofdstuk volgt een voorbeeld.

56 Johan Baeten

5.3 Relatieve stabiliteit

5.3 Relatieve stabiliteit

Naast de absolute stabiliteit, waarvoor de eenheidscirkel de grens aangeeft, volgt uit deligging van de polen ook de relatieve stabiliteit van het gesloten systeem. De krommenvan constante σ (= constante ’settling time’), constante dempingsfactor ζ en constantefrequentie (eigenpulsatie) ω zijn hier van belang. Deze paragraaf geeft het verband tussendeze lijnen in het P -domein en in het Z-domein. De omrekening gebeurt met de formule

z = epT met p = σ + jω (5.5)

5.3.1 Lijnen van constante σ

P-domein Z-domein

Im

Re

Im

Res

sTe

1

1

Figuur 5.3: Lijnen van constante σ (∼ settle-time)

Hoe kleiner de absolute waarde van de discrete (eventueel complexe) pool, hoe snellerhet overgangsverschijnsel voorbij gaat. In de limiet voor een discrete pool in nul, volgt deuitgang van het discrete systeem perfect en onmiddellijk de ingang.

Indien de absolute waarde van de discrete pool groter wordt dan 1, zal het overgangs-verschijnsel niet uitdempen maar divergeren naar oneindig toe.

5.3.2 Lijnen van constante gedempte eigen pulsatie ωp

Een grotere gedempte eigenpulsatie komt bij een discreet systeem met een bepaalde vastebemonsteringsperiode overeen met een grotere hoek θ. Indien de impulsrespons niet oscil-leert, is θ = 0. De maximale waarde voor θ = ±180◦. Grotere hoeken geven aanleiding totde terugvouwfout zoals beschreven in hoofdstukken 1 en 3.

5.3.3 Lijnen van constante ζ en ωn

Figuur 5.5 geeft een aantal lijnen van constante demping en constante natuurlijke eigen-pulsatie. De demping bepaalt eenduidig de doorschot in de stap- of impulsrespons van hetsysteem. De natuurlijke eigenpulsatie is een maat voor de reactiesnelheid van het systeem.In het P -domein zijn lijnen van constante demping rechten door de oorsprong (de dem-pingscoefficient is gelijk aan de cosinus van de hoek van de rechte in het derde kwadrant)en lijnen van constante natuurlijke eigenpulsatie zijn cirkels in het P -domein.

Volgende paragraaf geeft een voorbeeld. Zie ook paragrafen 6.6 en 6.7.

Johan Baeten 57

5 De discrete regelkring

P-domein Z-domein

Im

Re

Im

Re

1

1

wp q

wpq = T

Figuur 5.4: Lijnen van constante gedempte eigenpulsatie ωp

z = 0,3

z = 0,2

z = 0,1

z = 0,5

z = 0,6

z = 0,8

z = 0,7

z = 0z = 0,9

z = 0,4

Re

Im

1

1

-1

-1

w = 0,5p

w = 0,3p

w = 0,2p

w = 0,1p

w = 0,4p

w = 0.9p

w = 0,8p

w = 0,7p

w = 0,6p

w = p

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

Figuur 5.5: Lijnen van constante demping ζ en natuurlijke eigenpulsatie ωn

5.4 Voorbeeld

Oefening 1Bepaal voor de discrete regelkring uit figuur 5.6 de versterking K om het geheel mar-ginaal stabiel te maken. Bepaal eveneens K om een gedempte eigenpulsatie te bekomengelijk aan 1 r/s bij een bemonsteringsperiode gelijk aan 1 s. Teken het wortellijnendiagram.

+

-

K

z

( -1)( -0,25)z z

Figuur 5.6: Voorbeeld - opgave 1

58 Johan Baeten

5.4 Voorbeeld

Oplossing : Figuur 5.7 geeft het wortellijnendiagram.

-2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

K1

K2

Kin sta b

Reële As

Imag

inai

reA

s

Figuur 5.7: Wortellijnendiagram met lijnen van constante demping en natuurlijke eigenpulsatie

Op de rand van de stabiliteit is de discrete pool gelijk aan -1. De versterkingswaardedie hierbij hoort volgt uit de vergelijking:

Kinstab =−1

G(z).H(z)

∣∣∣∣z=−1

= 2, 5. (5.6)

De waarden van de samenvallende polen zijn de oplossingen van de vergelijking

dK

dz=

z (2z − 1, 25)− z2 + 1, 25z − 0, 25

z2= 0 → z1 = 0, 5 z2 = −0, 5 (5.7)

De bijbehorende versterkingen zijn

K1 = 0, 25 en K2 = 2, 25. (5.8)

a + jb

q

Re

Im

Figuur 5.8: Verband tussen gegeven hoek en complexe pool

De hoek θ die overeenstemt met een gedempte eigenpulsatie van 1 r/s en een bemon-steringsperiode T gelijk aan 1 s is

θ = 1 rad = 57, 3 (5.9)

Johan Baeten 59

5 De discrete regelkring

De complexe toegevoegde polen onder deze hoek kunnen hetzij grafisch uit het wortellijnen-diagram, hetzij numerisch m.b.v. de karakteristieke vergelijking van het gesloten systeembepaald worden. Deze laatste vergelijking is

z2 + (K − 1, 25) z + 0, 25 = 0. (5.10)

Voor complex toegevoegde polen a± jb wordt dit z2 − 2az + a2 + b2 = 0. Samen met

cos θ =a√

a2 + b2. (5.11)

zoals voorgesteld in figuur 5.8, geeft dit

cos θ =−K + 1, 25

2√0, 25

→ K = − cos θ + 1, 25 of K = 0, 71 (5.12)

Figuur 5.9 geeft de stap- en impulsrespons van het gesloten systeem bij deze versterking.

0 2 4 6 8 10

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Discrete stapDiscrete stap

Am

pli

tude

Am

pli

tude

Figuur 5.9: Stap- en impulsrespons van geregeld systeem (K = 0, 71)

Oefening 2

Bepaal de versterking K voor marginale stabiliteit voor het systeemK

(z − 0, 1) (z − 0, 7).

Tip gebruik de eigenschap (a2 + b2= de term zonder z in de tweede graadsvergelijking).(Oplossing K = 0, 93)

60 Johan Baeten

Hoofdstuk 6

De Toestandsregelaar

6.1 Inleiding

De toestandsregelaar is een zeer krachtige en flexibele regelaar. Ze moet gezien wordenals de tegenhanger van de klassieke PID-regelaar. In tegenstelling tot deze laatste regelaarwaarmee enkel SISO systemen geregeld kunnen worden, is de toestandsregelaar ideaalgeschikt om ook systemen met meerdere in- en uitgangen te regelen (MIMO systemen).

De toestandsregelaar kan als een discreet werkende regelaar of als een continue re-gelaar ontworpen worden. Vaak zal dit soort regelaar echter m.b.v. een computersys-teem geımplementeerd worden zodat het noodzakelijkerwijs een digitaal werkende regelaarwordt.

In feite is de toestandsregelaar niets anders dan een terugkoppeling van de toestandenvan het gegeven (te regelen) systeem met de juiste gewichtsfactoren. Hiervoor moet hetsysteem eerst beschreven worden in de toestandsruimte. Dit resulteert het toestandsruim-temodel dat zoals de TF een beknopte wiskundige weergave is van het systeem.

De volgende paragrafen behandelen eerst het toestandsruimtemodel. Ze geven weer hoedit model vanuit de TF kan opgesteld worden. We zullen ons hier omwille van de eenvoudbeperken tot systemen met een enkele ingang en een enkele uitgang (SISO systemen).Vervolgens wordt de invloed van een toestandsterugkoppeling besproken. Door middelvan polenplaatsing zullen we de toestandsterugkoppelmatrix ontwerpen en het volledigesysteem naar de hand zetten. Tenslotte wordt een model gegeven van een toestandsschatterdie de toestanden van het systeem zal berekenen indien deze (in de praktijk) niet gemetenkunnen worden.

6.2 De toestandsruimte - Het toestandsruimtemodel

In de toestandsruimte wordt een systeem beschreven door een set van veranderlijken dieeigen zijn aan de ’inwendige’ toestand van het systeem op een gegeven ogenblik en door devergelijkingen tussen deze veranderlijken in functie van de tijd. Het aantal veranderlijkendat nodig is om de toestand waarin het systeem zich bevindt eenduidig te bepalen, is gelijkaan de orde van het systeem. De vergelijkingen tussen de verschillende toestandsveran-derlijken zijn steeds differentiaalvergelijkingen of differentievergelijkingen van eerste orde.Het aantal vergelijkingen is weerom gelijk aan de orde van het systeem.

61

6 De Toestandsregelaar

Het toestandsruimtemodel wordt gegeven door volgende vergelijkingen:{zX = AX +Buy = CX +Du

(6.1)

Hierbij isA de systeemmatrix;B de ingangsmatrix (bij een SISO systeem is dit een kolomvector);C de uitgangsmatrix (bij een SISO systeem is dit een rijvector);;D de doorkoppelmatrix (bij een SISO systeem is dit een enkelvoudige waarde);X de toestandsvector;u de kolomvector met ingangen (bij een SISO systeem is dit een enkelvoudige waarde);y de kolomvector met uitgangen (bij een SISO systeem is dit een enkelvoudige

waarde).

De toestandsvector is een kolomvector met als elementen de toestanden xi van hetsysteem. Voor een tweede orde systeem zien de toestandsvergelijkingen er als volgt uit zx1 = a11x1 + a12x2 + b1u

zx2 = a21x1 + a22x2 + b2uy = c1x1 + c2x2 + du

. (6.2)

De keuze van de onafhankelijke toestandsvariabelen bepaalt het eigenlijke toestands-model van het systeem en hiermee ook de coefficienten uit de matrices A, B, C en Dbepalen.

De toestandsvariabelen die een gelijkstroommotor (met permanente magneten) bepalenzijn bijvoorbeeld de stroom en de spanning, of de kracht en het toerental of de stroom enhet toerental maar niet de stroom en de kracht omdat deze laatste twee niet onafhankelijkzijn. Elke set van toestandsvariabelen geeft andere matrices A, B, C en D. Voor elk sys-teem bestaan er in feite oneindig veel toestandsmodellen. Het beste model is dit waarbijde toestanden het eenvoudigst gemeten kunnen worden.

Z-1B

A

C+

+

zX X yu

Figuur 6.1: Simulatieschema van het toestandsruimtemodel zonder rechtstreekse koppeling

Figuur 6.1 geeft het simulatieschema van het toestandsruimtemodel. Dit schema ver-schilt van de tot nu toe geziene schema’s in dit opzicht dat sommige signaallijnen numeervoudige signalen of samengestelde signalen voorstellen. Het toestandsruimtemodelkan ook in een set van differentievergelijkingen gegoten worden. x1(k + 1) = a11x1(k) + a12x2(k) + b1u(k)

x2(k + 1) = a21x1(k) + a22x2(k) + b2u(k)y(k) = c1x1(k) + c2x2(k) + du(k)

(6.3)

62 Johan Baeten

6.3 Toestandsterugkoppeling

Deze vergelijkingen zijn eenvoudig te programmeren.De hulpvariabelen h(k), h(k− 1), · · · , h(k−n) die gebruikt worden bij het tekenen van

het simulatieschema (hoofdstuk 1) vormen steeds een mogelijke set van toestandsverander-lijken. Paragrafen 6.6 en 6.7 geven enkele volledig uitgewerkte voorbeelden.

Eliminatie van de toestandsvector X uit de toestandsvergelijkingen geeft het verbandtussen de ingang u en de uitgang y. Dit verband is natuurlijk de TF van het systeem

y =[C (zI − A)−1B +D

]u (6.4)

De noemer van vergelijking 6.4 is gelijk aan de determinant van (zI − A) omwille van deinvertering van de matrix (zI − A). De karakteristieke vergelijking van het systeem is dan

det (zI − A) = 0. (6.5)

Dit is eveneens de eigenwaardenvergelijking voor de matrix A. De oplossingen van dezevergelijking zijn bijgevolg de eigenwaarden van A en bovendien ook de discrete polen vanhet systeem. Dit geeft volgend belangrijk verband:

De eigenwaarden van de systeemmatrix zijn de polen van het systeem!

Voorbeeld: De matrix A =

[1 23 4

]geeft als eigenwaarden -0,37 en 5,37. Controleer!

6.3 Toestandsterugkoppeling

Toestandsterugkoppeling geeft aanleiding tot het regelschema uit figuur 6.2. Elke toestandwordt met een bepaalde in te stellen waarde vermenigvuldigd en teruggevoerd naar deingang. De setwaarde noemen we nu v. Het ingangssignaal u wordt

u = v − FX (6.6)

De terugkoppelmatrix F bestaat uit een aantal reele versterkingsfactoren: F =[k1, · · · , kn]′. Voor een tweede orde systeem zijn dit twee versterkingsfactoren voor detwee toestandsveranderlijken van het systeem. Deze versterkingen worden meestal k1 enk2 genoemd.

F

+

Toestandsterugkoppelmatrix

[ ]k k1 2

uvZ

-1B

A

C+

+

x k( +1) x k( )y

-

Figuur 6.2: Toestandsterugkoppeling

Johan Baeten 63

6 De Toestandsregelaar

Door de toestandsterugkoppeling wijzigt de systeemmatrix A. We noemen deze nieuwesysteemmatrix An. Er gelden volgende vergelijkingen zX = AX +Bu

y = CX +Duu = v − FX

. (6.7)

Eliminatie van het signaal u uit stelsel 6.7 geeft{zX = (A−BF )X +Bvy = (C −DF )X +Dv

. (6.8)

De nieuwe systeemmatrix is bijgevolg An = A−BF .

Vermits het gesloten systeem door een andere systeemmatrix beschreven wordt dan hetopen systeem zullen ook de eigenschappen van het gesloten systeem veranderd zijn t.o.v.deze van het open systeem. Het nieuwe systeemgedrag wordt bepaald door de nieuwepolen. Deze nieuwe polen zijn de eigenwaarden van An.

6.4 Polenplaatsing

De polen van het gesloten systeem zijn de eigenwaarden van An. De eigenwaarden zijn deoplossing van de eigenwaardenvergelijking. Deze vergelijking bevat een aantal onbekenden,namelijk de waarden k1, · · · , kn uit de terugkoppelmatrix. Deze waarden mogen vrij geko-zen worden. Door de juiste keuze van deze k waarden kan elke mogelijke set van n polenverwezenlijkt worden.

De werkwijze is dan de volgende:

• Kies de polen voor het gesloten systeem (bepaal zo het systeemgedrag);

• Stel een vergelijking op met deze polen als oplossing;

• Stel deze vergelijking gelijk aan de eigenwaardenvergelijking met de nog onbekendek waarden. Dit stelsel van vergelijkingen bepaalt eenduidig de gezochte k waarden.

Paragrafen 6.6 en 6.7 geven enkele uitgewerkte voorbeelden.

6.5 De toestandsschatter

Indien de toestanden van het systeem niet gemeten kunnen worden kan er ook geen toe-standsterugkoppeling gebeuren. In dit geval moeten de toestanden geschat worden. Ditgebeurt met een schatter die het werkelijke systeem simuleert. De schatter moet zo goedals mogelijk overeenstemmen met het werkelijk systeem. De matrices A′, B′, C ′ en D′

van de schatter moeten dus overeenstemmen met deze van het systeem. De ingang vande schatter is gelijk aan de ingang van het systeem. Indien de schatter goed werkt moetook de uitgang van de schatter gelijk zijn aan deze van het systeem. Vaak zullen dezeuitgangen echter nog verschillen. Het foutsignaal op de uitgang kan dan gebruikt worden

64 Johan Baeten

6.6 Oefening1

Z-1

Z-1

B

B'

A

A'

C

C'

+

+

+

x k( +1) x k( )y

F

+

Toestandsterugkoppelmatrix

uv

- Systeem

Schatter

++

L

Schatterterugkoppeling

-

+

Figuur 6.3: Simulatieschema van systeem en toestandsschatter

om de schatter te verbeteren en aan te passen. Dit gebeurt via de terugkoppelmatrix L.Het volledige simulatieschema van systeem en schatter is gegeven in figuur 6.3. (D = 0)

De terugkoppeling via L moet de fout op de uitgang van de schatter nul maken. Dankunnen we ervan uitgaan dat ook de toestanden van de schatter de werkelijke toestandenvan het systeem weergeven. Deze geschatte toestanden worden teruggekoppeld naar hetsysteem via F . De gesloten-systeemmatrix blijft dan (A − BF ). De evolutie van de foutop de uitgangen wordt beschreven door de matrix A−LC. Zowel F als L kunnen bepaaldworden door polenplaatsing.

Vaak wordt de toestandsschatter als een “Dead-beat-regelaar ontworpen. De eigen-waarden van de matrix A− LC liggen dan allemaal in nul. Voor een tweede orde systeemzal de uitgang van de schatter dan na twee stappen gelijk zijn aan de uitgang van hetsysteem. Nadelig aan deze zeer snelle regeling zijn wel de zeer grote stuurkrachten diehiervoor nodig zijn.

6.6 Oefening 1: Stabiliteit - simulatieschema - toe-standsterugkoppeling

6.6.1 Opgave

Neem het volgend discreet systeem: G(z) =Y (z)

U(z)=

z + 2

(z − 1) (z + 0, 5)

1. Is dit systeem stabiel? Kunnen we het stabiel maken m.b.v. een proportionele rege-laar?

2. Hoe reageert dit systeem op een impuls?

3. Teken het simulatieschema en geef de differentievergelijking.

4. Pas een toestandsterugkoppeling toe zodanig dat beide polen in 1/4± j1/4 liggen.

Johan Baeten 65

6 De Toestandsregelaar

6.6.2 Stabiliteit

Het discrete systeem heeft een nulpunt in -2 en twee polen in 1 en in -1/2. De pool in 1ligt op de eenheidscirkel, die de rand van de stabiliteit weergeeft. Het systeem bevindt zichdus op de rand van de stabiliteit.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 1-1/2

Re

Im

xxok = 0 k = 0k = ¥¥

Imag

inai

reA

s

K1

Kin sta b

Reële As

Figuur 6.4: Nulpunten-polen diagram en wortellijnendiagram

Het wortellijnendiagram, weergegeven in figuur 6.4, geeft aan dat er een maximaletoegelaten versterking Kinstab is en dat er samenvallende polen zijn bij K1. Voor dezelaatste versterking vertoont de staprespons zelfs geen doorschot of slingering. De tweevermelde versterkingswaarden zijn:

K1 = 0, 26 bij z1 = z2 = 0, 121 en Kinstab = 0, 75 bij z1,2 = −0, 125± j0, 99. (6.9)

6.6.3 De reactie van het systeem op een impuls

Re

Im

XX

Tijd

Tijd

180°k

k

0 1 2 3

1

2

3

4

180°

Ts

Ts

1-1/2

0

Figuur 6.5: Impulsrespons

De reactie van het systeem bestaat uit twee delen t.g.v. de twee polen. De impulsresponsvan de pool in 1 komt overeen met een ’blijvende stap’ (zie figuur 6.5), de impulsresponsovereenkomstig de pool in -1/2, is een discrete gedempte sinus waarvan de periode gelijkis aan het dubbel van de bemonsteringsperiode (de discrete staptijd). Immers,

z = epTs → −1

2= e(a+jω)Ts = eaTsejωTs. (6.10)

66 Johan Baeten

6.6 Oefening1

Verder moeten linker- en rechterlid grootte en in hoek gelijk zijn. Uit deze hoekvoorwaardevolgt

ωTs = 180◦ → Ts =180◦

ω=

180◦

2πf=

180◦

2πT =

1

2T. (6.11)

Hierbij is Ts de bemonsteringsperiode en T is de periode van de gedempte sinus. De periodevan de sinus is het dubbel van de bemonsteringsperiode wat betekent dat er twee discretepunten zijn per periode.

De omhullende van de gedempte sinus wordt bepaald door de waarde a waarvan navermenigvuldiging met Ts de exponentiele 0,5 geeft.

6.6.4 De differentievergelijking en het simulatieschema

Y (z)

(z2 − 1

2z − 1

2

)= U (z) (z + 2) (6.12)

of

z2Y (z)− 1

2zY (z)− 1

2Y (z) = zU (z) + 2U (z) , (6.13)

waaruit

y(k + 2)− 1

2y(k + 1)− 1

2y(k) = u (k + 1) + 2u (k) . (6.14)

Voer, om het simulatieschema op te stellen, een hulpvariabele h(k) of H(z) in en schrijf deTF als volgt:

Y (z)

H(z)

H(z)

U(z)=

z + 2

(z − 1) (z + 0, 5)(6.15)

Splits vergelijking 6.15 op in twee stukken

Y (z)

H(z)= z + 2 en

H(z)

U(z)=

1

(z − 1) (z + 0, 5)(6.16)

en herschrijf deze vergelijking als

U(z) = (z − 1)(z + 0, 5)H(z) → h(k + 2)− 1

2h(k + 1)− 1

2h(k) = u (k) (6.17)

Y (z) = (z + 2)H(z) → y(k) = h(k + 1) + 2h(k) (6.18)

Teken eerst het simulatieschema van U(z) naar H(z) volgens vergelijking 6.17. Dit geeft fi-guur 6.6. Vul deze figuur aan door het verband tussenH(z) en Y (z), dit is vergelijking 6.18,in rekening te brengen.

Johan Baeten 67

6 De Toestandsregelaar

+

+

+

+

1/2

1/2

Z-1

Z-1

u k( ) h k( +2) h k( +1) h k( )

Figuur 6.6: Simulatieschema van U(z) naar H(z)

+

+

+

+

1/2

1/2

Z-1

Z-1

u k( ) h k( +2)

h k( +1)

h k( ) y k( )2

+

+

Figuur 6.7: Volledig simulatieschema U(z) naar Y (z)

6.6.5 Toestandsterugkoppeling met polenplaatsing

Stel hiervoor eerst de toestandsvergelijkingen op. De algemene vorm hiervan is:

[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[. .. .

] [x1(k)x2(k)

]+

[..

]u(k)

y(k) =[. .

] [ x1(k)x2(k)

] (6.19)

Hoe moet het niet!Indien je stelt dat x1(k) = y(k) en x2(k) = y(k + 1) = x1(k + 1), krijg jex1(k + 1) = 0x1(k) + 1x2(k)en y(k) = 1x1(k) + 0x2(k)

en

x2(k + 1) =1

2x1(k) +

1

2x2(k) + u(k + 1) + 2u(k).

De vergelijking voor x2(k + 2) voldoet echter niet aan de vooropgestelde vorm vanvergelijking 6.19. De term u(k+1) staat hier te veel. Dit kunnen we vermijden dooreen betere keuze van x1 en x2.

Gebruik terug de hulpvariabele h(k) of H(z). Stel x1(k) = h(k) en x2(k) = h(k + 1) : Devergelijkingen voor x2(k + 1) en y(k) worden nu

x2(k + 1) = h(k + 2)= 1

2h(k + 1) + 1

2h(k) + u(k)

= 12x1(k) +

12x2(k) + u(k)

eny(k) = 2h(k) + h(k + 1)

= 2x1(k) + 1x2(k)(6.20)

of in matrixvorm

[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[0 11/2 1/2

] [x1(k)x2(k)

]+

[01

]u(k)

y(k) =[2 1

] [ x1(k)x2(k)

] . (6.21)

68 Johan Baeten

6.6 Oefening1

Controleer deze oplossing door de eigenwaarden te zoeken van de systeemmatrix A.

A =

[0 11/2 1/2

]→ det(A− zI) = 0 →

∣∣∣∣ 0− z 11/2 1/2− z

∣∣∣∣ = 0 (6.22)

of

z2 − 1

2z − 1

2= 0. (6.23)

Vergelijking 6.23 is inderdaad de karakteristieke vergelijking van het systeem zodat deeigenwaarden gelijk zijn aan de polen.

De techniek van polenplaatsing stelt een aantal polen voorop. Door de juiste keuzevan de toestandsterugkoppelmatrix F , volgens figuur 6.2, zullen de polen van het geslotensysteem overeenkomen met deze vooropgestelde polen. Figuur 6.2 stemt overeen met devergelijkingen 6.7 en 6.8. De nieuwe systeemmatrix is dus A − BF . De nieuwe polen(de polen van het gesloten systeem) zijn de eigenwaarden van deze nieuwe systeemma-trix. Gelijkstelling van de eigenwaardenvergelijking met de vooropgestelde karakteristiekevergelijking die volgt uit twee polen in 1/4± j1/4, levert de waarden voor k1 en k2 of

A−BF =

[0 1

12− k1

12− k2

](6.24)

det(A−BF − zI) = 0 →∣∣∣∣ −z 1

12− k1

12− k2 − z

∣∣∣∣ = 0 (6.25)

z2 +

(k2 −

1

2

)z + k1 −

1

2= 0 ↔

(z − 1

4

)2

+1

16= z2 − 1

2z +

1

8= 0 (6.26)

Hieruit volgt

k1 = 5/8 en k2 = 0. (6.27)

Figuur 6.8 geeft het algemene simulatieschema met toestandsterugkoppeling. Figuur 6.9toont het vereenvoudigd schema. In beide figuren stelt elke lijn een enkelvoudig signaalvoor.

+

+

+

+

1/2

1/2

Z -1 Z -1u k( ) x k( +2)

x k( +1)

x k( ) y k( )2

v k( )

5/8

( )k1

-

+

+

+

Figuur 6.8: Uitgewerkt simulatieschema

Johan Baeten 69

6 De Toestandsregelaar

+

+

+

+

1/2

-1/8

Z -1 Z -1v k( ) x k( +2)

x k( +1)

x k( ) y k( )2

+

+

Figuur 6.9: Vereenvoudigd simulatieschema

6.6.6 Aanvulling

Figuur 6.10 geeft de stap- en impulsrespons van het systeem weer. Het trapvormig verloopvan deze responsies geeft weer dat het hier gaat om discrete systemen. In feite geldt defunctie enkel op de discrete tijdstippen (k = 0, 1, 2, 3, · · · ). Enkel het geval waar de uitgangaanligt aan een houdketen (Eng.: ‘sample and hold’), geeft inderdaad het weergegeventrapvormig verloop. De waarden van de uitgang op de discrete tijdstippen volgen uit eeniteratieve berekening. De TF van het gesloten systeem is:

TF =y(z)

U(z)=

z + 2

z2 − 12z + 1

8

(6.28)

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Amplitude i.f.v. de discrete stap

0 1 2 3 4 5 6 7-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Amplitude i.f.v. de discrete stap

Figuur 6.10: Staprespons en impulsrespons

Dit stemt overeen met de differentievergelijking

y(k + 2) =1

2y(k + 1)− 1

8y(k) + u(k + 1) + 2u(k). (6.29)

Door nu achtereenvolgens k gelijk te stellen aan −2,−1, 0, 1, 2, · · · vinden we de waardenvoor y op de verschillende discrete tijdstippen. De waarde van y op ’negatieve’ tijdstippenis steeds gelijk aan nul. Bijvoorbeeld y(-2) = y(-1) = 0.

70 Johan Baeten

6.6 Oefening1

• De stapresponsMet de ingang u(k) = 1 voor k ≥ 0 en u(k) = 0 voor k < 0, wordt de uitgang y(k)

k y(k + 2) = 12y(k + 1)− 1

8y(k) + u(k + 1) + 2u(k)

−2 y(0) = 0− 0 + 0 + 0 = 0−1 y(1) = 0− 0 + 1 + 0 = 10 y(2) = 1

21− 0 + 1 + 2 = 3, 5

1 y(3) = 123, 5− 1

81 + 1 + 2 = 4, 625

2 y(4) = 124, 625− 1

83, 5 + 1 + 2 = 4, 875

3 y(5) = 124, 875− 1

84, 625 + 1 + 2 = 4, 859375

(6.30)

De uiteindelijke waarde van y volgt uit het eindwaardetheorema (vergelijking 2.18).Vermits de discrete stapfunctie weergegeven wordt door z/(z − 1), resulteert verge-lijking 2.18 in

limk→∞

y(k) = limz→1

Y (z)z − 1

z= lim

z→1

z − 2

z2 − 12z + 1

8

z − 1

zU(z) (6.31)

= limz→1

z − 2

z2 − 12z + 1

8

= 4, 8 (6.32)

• De impulsresponsMet de ingang u(k) = 1 voor k = 0 en u(k) = 0 voor k = 0, wordt de uitgang y(k)

k = y(k + 2) = 12y(k + 1)− 1

8y(k) + u(k + 1) + 2u(k)

−2 y(0) = 0− 0 + 0 + 0 = 0−1 y(1) = 0− 0 + 1 + 0 = 10 y(2) = 1

21− 0 + 0 + 2 = 2, 5

1 y(3) = 122, 5− 1

81 + 0 + 0 = 1, 125

2 y(4) = 121, 125− 1

81 + 0 + 0 = 0, 25

3 y(5) = 120, 25− 1

81, 125 + 0 + 0 = −0, 015625

(6.33)

De berekende waarden van de stap- en impulsrespons illustreren het feit dat de stapres-pons het cumulatieve is van de impulsrespons. Dit wil zeggen dat de staprespons gelijk isaan de som van een oneindig aantal impulsresponsies op de tijdstippen k = 0, 1, 2, · · · . Ditis logisch vermits de aangelegde stap niets anders is dan een puls op elk discreet tijdstipbeginnende bij k = 0.

Johan Baeten 71

6 De Toestandsregelaar

6.7 Oefening 2: Stabiliteit - toestandsregelaar

6.7.1 Opgave

1. Wat weet je over de stabiliteit van het volgende systeem?

2. Is het gesloten systeem stabiliseerbaar met een P-regelaar (figuur 6.11 (b))?

3. Ontwerp en teken een toestandsregelaar. Leg beide polen in 0,5.

4. Hoe is de reactie zonder en met de toestandsregelaar?

( + 0,5)z

( ² - + 1)z z

Systeem: Regelkring:

+

-

Regelaar Systeem

Proportionele

(a) (b)

Figuur 6.11: Opgave oefening 2

6.7.2 Stabiliteit

De polen van het open systeem liggen in1

2± j

√3

2. De absolute waarde van deze wortels

is gelijk aan 1. Dit wil zeggen dat het systeem marginaal stabiel is.

Re

Imx

x

o1/2 1-1/2

60°

Figuur 6.12: Nulpunten-polen-diagram

De hoek van de pool is 60◦. Dit wil zeggen dat elke oscillatie van de uitgang (bijvoor-beeld t.g.v. een impuls) bestaat uit 6 discrete punten, namelijk 360◦/60◦ = 6. Vergelijk ditmet de simulaties op de laatste pagina’s.

Een P-regelaar volstaat niet om het gesloten systeem te stabiliseren. Dit volgt uit het(discrete) wortellijnendiagram weergegeven in figuur 6.13 of uit de berekening van de TFvan het gesloten systeem.

TFgesloten =K(z + 0, 5)

K(z + 0, 5) + z2 − z + 1(6.34)

De polen van het gesloten systeem volgen uit de karakteristieke vergelijking:

z2 + (K − 1)z + 1 + 0, 5K = 0 → z1,2 =1−K ±

√(K − 1)2 − 4− 2K

2. (6.35)

72 Johan Baeten

6.7 Oefening2

Dit zijn hetzij 2 complex toegevoegde polen hetzij 2 reele polen. Het randgeval met tweesamenvallende polen treedt op bij K = 4, 646 = 2 +

√7. In het geval van reele polen ligt

de pool overeenkomstig het min-teken steeds ver buiten de eenheidscirkel. Bij complexepolen wordt de absolute waarde van de polen gegeven door:

|pool| =√4 + 2K

2= 1 + 0, 5K > 1. (6.36)

Deze waarde is steeds groter dan 1. De dubbele pool uit het wortellijnendiagram is gelijkaan −1, 82.

Imag

inai

reA

s

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Reële As

Figuur 6.13: Wortellijnendiagram

6.7.3 Opstellen van de toestandsvergelijkingen

De toestandsvergelijkingen maken gebruik van twee toestandsveranderlijken X1(z) enX2(z). Voer alvorens deze te definieren de hulpvariabele H(z) in:

Y (z)

U(z)=

z + 0, 5

z2 − z + 1=

Y (z)

H(z)

H(z)

U(z). (6.37)

Splits deze vergelijking op in twee delen

H(z)

U(z)=

1

z2 − z + 1→ H(z)(z2 − z + 1) = U(z) (6.38)

Y (z)

H(z)= z + 0, 5 → Y (z) = (z + 0, 5)H(z) (6.39)

Stel nu variabele X1(z) = H(z) en X2(z) = zH(z) = zX1(z). Vergelijkingen 6.38 en 6.39resulteren dan in de vergelijkingen voor zX2(z) en Y(z) i.f.v. X1 en X2:

zX2(z) = z2H(z) = zH(z)−H(z) + U(z) = X2(z)−X1(z) + U(z) (6.40)

Y (z) = 0, 5X1(z) + 1X2(z) (6.41)

Johan Baeten 73

6 De Toestandsregelaar

Het toestandsmodel is (de ‘functie-van-z’ aanduiding is weggelaten):z

[X1

X2

]=

[0 1−1 1

] [X1

X2

]+

[01

]U

Y =[0, 5 1

] [ X1

X2

] (6.42)

De toestandsmatrices A, B, C en D zijn dan

A =

[0 1

−1 1

], B =

[01

], C = [0, 51] , D = 0 (6.43)

Uit de toestandsvergelijkingen zX = AX +BU en Y = CX volgt dat de TF eveneensgegeven wordt door:

Y (z)

U(z)= C (zI − A)−1B (6.44)

Controleer deze oplossing door de bovenstaande matrix uit te rekenen. Dit geeft de oor-spronkelijk opgegeven TF.

6.7.4 Berekening van de toestandsterugkoppelmatrix F

Toepassing van de toestandsterugkoppelmatrix F volgens het schema uit figuur 6.2 enovereenstemmend met vergelijkingen 6.7 en 6.8, levert de nieuwe systeemmatrix An, die depolen van het nieuwe systeem bepaalt. Dit is

An = A−BF =

[0 1

−1 1

]−[01

][k1k2] =

[0 1

−1− k1 1− k2

](6.45)

waarbij F nog bestaat uit twee constante waarden k1 en k2, die we zodanig zullen bepalendat de polen van het nieuwe systeem beide in 0,5 liggen. De polen van het nieuwe systeemzijn gelijk aan de eigenwaarden van An. De eigenwaarden vergelijking is

det (An − zI) = 0 → det

[−z 1

−1− k1 1− k2 − z

]= 0 (6.46)

of

z2 + (k2 − 1) z + k1 + 1 = 0. (6.47)

De karakteristieke vergelijking met beide wortels in 0,5 is

(z − 0, 5)2 = 0 → z2 − z + 0, 25 = 0. (6.48)

Gelijkstelling van de eigenwaardenvergelijking 6.47 met de karakteristieke vergelijking 6.48van het systeem geeft

k2 = 0 en k1 = −0, 75 (6.49)

74 Johan Baeten

6.7 Oefening2

De nieuwe toestandsmatrix An wordt dan: An =

[0 1

−1

41

]Bereken ter controle de nieuwe TF m.b.v. vergelijking 6.4. Dit geeft

Y (z)

V (z)= C (zI − An)

−1B

=

[1

21

][ z −11

4z − 1

]−1 [01

]

=

[1

21

][ z − 1 1

−1

4z

][01

]z(z − 1) + 1/4

=

[1

21

] [1z

]z(z − 1) + 1/4

=z + 0, 5

z2 − z + 0, 25

We zien dat de teller van de TF niet veranderd is (t.o.v. het oorspronkelijk systeem).Dit zal steeds zo zijn: toestandsterugkoppeling laat de nulpunten van het systeem on-veranderd. De nieuwe noemer van de TF geeft zoals vooropgesteld een dubbele pool in0,5.

Figuur 6.14 geeft een gedetailleerd simulatieschema van het systeem met terugkoppel-ling.

V U

k2

k1

del delz²H zH H

1

-1

1/2+

+

+

+

+

+

-

+

0

-3/4

++ Y

z -1del=

X2

X1

Toestandsterugkoppeling

Oorspronkelijk systeem

Figuur 6.14: Gedetailleerd simulatieschema

Johan Baeten 75

6 De Toestandsregelaar

6.7.5 Simulatie van het systeem zonder en met toestandsterug-koppeling

De TF van het oorspronkelijk systeem is:

Y (z)

U(z)=

z + 0, 5

z2 − z + 1→ Y (z)

(z2 − z + 1

)= U(z) (z + 0, 5) . (6.50)

Dit stem overeen met de differentievergelijking

y(k + 2)− y(k + 1) + y(k) = u(k + 1) +1

2u(k) (6.51)

of

y(k + 2) = y(k + 1)− y(k) + u(k + 1) +1

2u(k) (6.52)

Bereken aan de hand van vergelijking 6.52 de staprespons en de impulsrespons. Veronder-stel dat alle y-waarden met negatieve index nul zijn. Neem voor de ingang u een impulsof een stap:

k k

Impuls Stap

11

0 1 2 3-2 -1

u k k = voor k =( ) = ( ) 1 0d

= voor k0 <> 0

u k( ) = E k voor k( ) = 0 < 0

= 1 > 0voor k

0 1 2 3-2 -1

Figuur 6.15: Ingang = impuls of stap

Volgende Tabel berekent de impulsrespons van het oorspronkelijk systeem.

k y(k + 2) = y(k + 1)− y(k) + u(k + 1) + 0, 5u(k)

−2 y(0) = 0− 0 + 0 + 0 = 0−1 y(1) = 0− 0 + 1 + 0 = 10 y(2) = 1− 0 + 0 + 0, 5 = 1, 51 y(3) = 1, 5− 1 + 0 + 0 = 0, 52 y(4) = 0, 5− 1, 5 + 0 + 0 = −13 y(5) = −1− 0, 5 + 0 + 0 = −1, 54 y(6) = −1, 5 + 1 + 0 + 0 = −0, 55 y(7) = −0, 5 + 1, 5 + 0 + 0 = 1

(6.53)

y(7) heeft terug dezelfde waarde als y(1). Bij verdere simulatie zou ook y(8) = y(2),y(9) = y(3) enz. De uitgang zal zich dus cyclisch herhalen. Binnen elke cyclus (of oscillatie)komen zes verschillende uitgangswaarden voor. Het feit dat de absolute waarde van de poolvan het systeem gelijk is aan 1 ligt aan de grond van de oscillatie. De hoek van de pool,die 60◦ bedraagt, bepaalt het aantal punten binnen n cyclus of oscillatie: nl. n volledigetoer (360◦) gedeeld door de hoek (60◦). Dit geeft dus 6 punten per oscillatie! De volgendefiguur geeft de impulsrespons van het systeem weer.

76 Johan Baeten

6.7 Oefening2

Impulsrespons

y k( )

1

-1-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

0

"periode"

één cyclus

Figuur 6.16: Impulsrespons van het open systeem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Staprespons

y k( )

1

-1-2 -1

k

0

"periode"

één cyclus

3

2 oscillatie rond 1,5

Figuur 6.17: Staprespons van het open systeem

Bereken op een volledig gelijkaardige manier de staprespons van het oorspronkelijk sys-teem. Figuur 6.17 geeft het resultaat.

Merk tenslotte op dat een (discrete) impuls hetzelfde is als een positieve stap op tijdstip0 gevolgd door een negatieve stap op tijdstip 1. De staprespons t.g.v. een stap op tijdstipnul minus de staprespons t.g.v. een stap op tijdstip 1 of dus minus de staprespons met eentijdstip vertraging, moet terug de impulsrespons geven of

yimpuls(k) = ystap(k)− ystap(k − 1) (6.54)

In het voorgaand voorbeeld geeft dit

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9ystap(k) 0 1 2,5 3 2 0,5 0 1 2,5 3

−ystap(k − 1) 0 0 -1 -2,5 -3 -2 -0,5 0 -1 -2,5yimpuls(k) 0 1 1,5 0,5 -1 -1,5 -0,5 1 1,5 0,5

en levert dit de juiste discrete waarden op voor de impulsrespons.

De TF van het geregeld systeem was:

y(k)

u(k)=

z + 0, 5

z2 − z + 0, 25(6.55)

Op een volledig analoge manier als voor het open systeem volgt nu de berekening (ofsimulatie) van de impuls- en staprespons voor het geregeld systeem. De waarden van depolen (dubbele pool in 0, 5) leert ons dat de uitgang van het systeem op een stabiele wijze

Johan Baeten 77

6 De Toestandsregelaar

(zonder oscillatie) naar de eindwaarde zal evolueren. De differentievergelijking overeen-komstig bovenstaande TF is

y(k + 2) = y(k + 1)− 1

4y(k) + u(k + 1) +

1

2u(k) (6.56)

Hieruit volgt de stap- en impulsrespons, weergegeven in figuren 6.18 en 6.19,

k yimpuls(k) ystap(k)

0 0 01 1 12 1, 5 2, 53 1, 25 3, 754 0, 875 4, 6255 0, 5625 5, 1875...

......

∞ 0 6

(6.57)

1

2

3

4

5

6

0 5 10 k

y k( ) Staprespons

Figuur 6.18: Staprespons van het geregeld systeem

1

0,5

1,5

2

0 5 10

y k( ) Impulsrespons

k

Figuur 6.19: Impulsrespons van het geregeld systeem

Vergelijking 6.54 berekent de impulsrespons uit de staprespons. Staprespons volgtechter ook uit de impulsrespons met volgende (iteratieve) formule:

ystap(k) = ystap(k − 1) + yimpuls(k) (6.58)

Verifieer deze formule a.d.h. van bovenstaande oplossingen (vergelijking 6.57).

78 Johan Baeten

6.7 Oefening2

De limietwaarde bij een aangelegde stap met grootte 1 volgt eenvoudig uit de gelijk-stelling van z aan 1 in de TF:

limk→∞

ystap(k) = limz→1

z + 0, 5

z2 − z + 0, 25= 6 (6.59)

Johan Baeten 79