factorizaci´on de polinomios con coeficientes …...identificar y factorizar una diferencia de...
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
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Factorizacion de Polinomios con Coeficientes EnterosFormulas de Factorizacion
Mate 141: Algebra y Trigonometrıa I
Preparado por: Departamento de Matematicas
Pontificia Universidad Catolica de Puerto RicoColegio de Ciencias
Programa Tıtulo V - TSI
2011
Tıtulo V - TSI (PUCPR) Formulas de Factorizacion
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Instrucciones para utilizar el moduloTabla de ContenidoIntroduccionObjetivos Instruccionales
Instrucciones para utilizar el modulo
El usuario de este modulo debe de seguir las siguientes instrucciones en el orden establecido para
obtener un mayor beneficio de la informacion contenida en el modulo.
1 Haga la pre-prueba. Esto le dara una idea del dominio que usted tiene con relacion al tema
discutido en el modulo. Es importante que usted no se ayude viendo las respuestas a los
problemas de la pre-prueba.
2 Independientemente del resultado obtenido en la pre prueba, estudie el material presentado
en la seccion de las formulas de factorizacion; estudiando la teorıa, los ejemplos y ejercicios
de practica planteados.
3 Haga la post-prueba.
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Instrucciones para utilizar el moduloTabla de ContenidoIntroduccionObjetivos Instruccionales
Tabla Contenido
1 Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaInstrucciones para utilizar el moduloTabla de ContenidoIntroduccionObjetivos Instruccionales
2 Preprueba
3 Formulas de FactorizacionDiferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
4 Post-prueba
5 Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post pruebaSolucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
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Introduccion
Este modulo va dirigido a todas las personas que tengan interes en reforzar sus conocimientos y
destrezas en la factorizacion de polinomios sobre el conjunto de los numeros enteros, utilizando
las formulas de factorizacion. De hecho, el modulo tiene una cantidad considerable de ejemplos y
ejercicios de practica con sus soluciones que nos ayudaran a adquirir la destrezas necesaria para
factorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando las formulas de factorizacion.
Las formulas de factorizacion sobre el conjunto de los numeros enteros solo se pueden aplicar a
expresiones algebraicas que se pueden representar de la forma A2 − B2, A3 + B3, A3 − B3,
A2 + 2AB + B2 y A2 + 2AB + B2 donde A y B son polinomios con coeficientes enteros.
El modulo le da enfasis a factorizar polinomios sobre el conjunto de los numeros enteros, pero en
ocaciones se explicaran ejemplos de como aplicar las formulas a expresiones algebraicas que no
tienen las forman planteadas en el parrafo anterior, pero bajo ciertas condiciones se pueden
factorizar utilizando las formulas de factorizacion.
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Objetivos Instruccionales
Objetivo general
El objetivo de este modulo es presentar los conceptos y las destrezas que se requieren parafactorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando las formulas de factorizacion.
Objetivos especıficos
Al finalizar el estudio de este modulo las personas usuarias podran:
Identificar y factorizar una diferencia de cuadrados sobre el conjunto de los numeros enteros.
Identificar y factorizar una diferencia de cubos sobre el conjunto de los numeros enteros.
Identificar y factorizar una suma de cubos sobre el conjunto de los numeros enteros.
Identificar y factorizar un trinomio cuadrado perfecto sobre el conjunto de los numerosenteros.
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Pre-prueba
Pre-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.
1 36x2 − 25
2 4x2y2 − 1
3 x4 − y4
4 8x3y3 + 27
5 y6 − 1
6 a2 − 4b2
7 a3 − 64b3
8 x2 + 6xy + 9y2
9 a2 − 4a+ 4
10 (x + 3)2 − (y + 1)2 Ver Solucion de los Problemas de la Pre-prueba
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Pre-prueba
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Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.
1 36x2 − 25
2 4x2y2 − 1
3 x4 − y4
4 8x3y3 + 27
5 y6 − 1
6 a2 − 4b2
7 a3 − 64b3
8 x2 + 6xy + 9y2
9 a2 − 4a+ 4
10 (x + 3)2 − (y + 1)2 Ver Solucion de los Problemas de la Pre-prueba
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Formulas de Factorizacion
En esta parte del modulo presentaremos las formulas de factorizacion mas utilizadas, las cualesnombramos a continuacion.
En cada una de las siguientes formulas A y B son polinomios con coeficientes enteros.
Diferencia de Cuadrados: A2 − B2 = (A+ B)(A− B)
Diferencia de Cubos: A3 − B3 = (A− B)(A2 + AB + B2)
Suma de Cubos: A3 + B3 = (A+ B)(A2 − AB + B2)
Trinomio Cuadrado Perfecto: A2 + 2AB + B2 = (A+ B)2
Trinomio Cuadrado Perfecto: A2 − 2AB + B2 = (A− B)2
Antes de comenzar a discutir las formulas, repasaremos algunos conceptos importantes queasumiremos que el lector conoce y comenzaremos con la definicion de factorizacion.
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Definicion de Factorizacion
Definicion de Factorizacion
El factorizar una expresion algebraica es el proceso de expresar la expresion algebraica como unproducto de otras expresiones algebraicas. A este producto se le conoce como la factorizacion dela expresion algebraica.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplos
Los numeros reales son constantes y por lo tanto expresiones algeraicas. El numero 24 lopodemos factorizar de las siguientes formas:
(2)(12), (3)(8), (2)(2)(2)(3), (2)(3)(4),
(3
4
)
(32), (√8)(
√128)..., etc.
Todos estos productos al resolverlos dan 24. Sin embargo, dentro de la teorıa de numeros lafactorizacion que mas utilizamos es la factorizacion prima del numero entero dado. En elcaso de 24 su factorizacion prima es la tercera en la lista, es decir, (2)(2)(2)(3).
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Definicion de factorizacion y ejemplos
El polinomio x2 − 4 lo podemos factorizar de las siguientes formas:
(x − 2)(x + 2),
(1
3
)
(x − 2) (3x + 6),...,etc.
Note que x2 − 4 es un polinomio con coeficientes enteros. En la factorizacion de polinomioscon coeficientes enteros se espera que los factores de la factorizacion tambien seanpolinomios con coeficientes enteros. Luego la unica manera de factorizar el polinomio x2 − 4utilizando solo coeficientes enteros es (x − 2)(x + 2).
Resultado Importante
Todo polinomio con coeficientes enteros se puede factorizar de forma unica como el producto depolinomios lineales y cuadraticos irreducibles con coeficientes enteros.
En este resultado no estamos considerando el caso donde el polinomio tiene un numero enterocomo factor comun. Este caso es considerado trivial, por ejemplo, el polinomio 3x3 − 81 tiene a 3como factor comun entero.
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cuadrados
Definicion
Una diferencia de cuadrados sobre el conjunto de los numeros enteros es un polinomio que sepuede reescribir de la forma A2 − B2 donde A y B son polinomios con coeficientes enteros.
Veamos algunos ejemplos.
Binomio Forma A2 − B2 A B
x2 − 4 (x)2 − (2)2 x 2
25x2 − 64 (5x)2 − (8)2 5x 8
y2x2 − z2 (yx)2 − (z)2 yx z
400− (x − 1)2 (20)2 − (x − 1)2 20 x − 1
Una manera informal de conseguir A y B, es decir que A es la raız cuadrada del primer termino delbinomio, sin el valor absoluto y B es la raız cuadrada del segundo termino, sin el valor absoluto.
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cuadrados
Cuando la raız cuadrada de alguno de los dos terminos, despues de quitarle el valor absoluto, noes un polinomio con coeficientes enteros, decimos que el binomio no es una diferencia decuadrados sobre el conjunto de los numeros enteros.
Ejemplo
Una expresion de la forma 4x2y2 − 25 es una diferencia de cuadrados, ya que la raız cuadrada delprimer termino es
√4x2y2 = 2|xy | y la raız cuadrada del segundo termino es
√25 = 5. Al
eliminar el valor absoluto obtenemos que A = 2xy y B = 5 son polinomios con coeficientesenteros. Por lo tanto,
4x2y2 − 25 = (2xy)2 − (5)2
.
Veamos ahora un ejemplo de un binomio que no es una diferenciade cuadrados.
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cuadrados
Ejemplo de un binomio que no es una diferencia de cuadrados
Cosideremos el binomio x2 − 5, note que la raız cuadrada del primer termino es√x2 = |x | y la
raız cuadrada del segundo termino es√5. Al eliminar el valor absoluto obtenemos que A = x y
B =√5, luego concluimos que x2 − 5 no es una diferencia de cuadrados, ya que B no es un
polinomio con coeficientes enteros.
Ejercicio: Complete la siguiente Tabla
Binomio Forma A2 − B2 A B
169− x2
49z2 − 144
a2b2 − 9x2
10, 000− (t − 1)2
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cuadrados
Nuestro objetivo es factorizar una diferencia de cuadrados A2 − B2 donde A y B son polinomios
con coeficientes enteros. Para lograr esto seguimos los pasos siguientes:
Paso para factorizar un binomio de la forma A2 − B2
1 Verificar si el binomio factoriza aplicandole la tecnica del factor comun. Si aplica esta
tecnica, factorice y luego aplica el paso (2) a los factores que son binomios.
2 Encontrar A =√primer termino del binomio (sin el valor absoluto) y
B =√segundo termino del binomio (sin el valor absoluto). Si A y B son polinomios con
coeficientes enteros pasamos al paso (3). De lo contrario, concluimos que no factoriza
utilizando esta tecnica.
3 Sustituir A y B en la formula A2 − B2 = (A+ B)(A− B). Luego se verifica si los factores
(A+ B) y (A− B) se pueden factorizar utilizando esta misma tecnica o alguna otra tecnica.
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cuadrados
Ejemplo 1: Factorice completamente el polinomio x2 − 144
paso 1: No tiene factor comun.
paso 2: Note que x2 − 144 = (x)2 − (12)2. Por lo tanto, A = x y B = 12.
paso 3: Al sustituir en la formula A2 − B2 = (A+ B)(A− B) obtenemos que
x2 − 144 = (x + 12)(x − 12)
Ejemplo 2: Factorice completamente el polinomio 100− z2
paso 1: No tiene factor comun.
paso 2: Note que 100− z2 = (10)2 − (z)2. Por lo tanto, A = 10 y B = z.
paso 3: Al sustituir en la formula A2 − B2 = (A+ B)(A− B) obtenemos que
100− x2 = (10 + z)(10− z)
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Diferencia de Cuadrados
Ejemplo 3: Factorice completamente el polinomio 3x2y2 − 192
paso 1: Note que el maximo factor comun del polinomio 3x2y2 − 192 es 3. Al factorizarlo
obtenemos 3x2y2 − 192 = 3(x2y2 − 64)
Luego pasamos al paso (2), ya que (x2y2 − 64) es una diferencia de cuadrados.
paso 2: Note que (x2y2 − 64) = (xy)2 − (8)2. Por lo tanto, A = xy y B = 8.
paso 3: Al sustituir en la formula A2 − B2 = (A+ B)(A− B) obtenemos que
x2y2 − 64 = (xy − 8)(xy + 8) No olvidemos el factor 3 del paso (1). La factorizacion
completa es:
3x2y2 − 192 = 3(x2y2 − 64) = 3(xy + 8)(xy − 8)
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cuadrados
Ejemplo 4: Factorice completamente el polinomio −2x3y2 + 800xy2
paso 1: Note que el maximo factor comun del polinomio −2x3y2 + 800xy2 es 2xy2. Al
factorizarlo obtenemos
−2x3y2 + 800xy2 = 2xy2(−x2 + 400) = 2xy2(400− x2)
Luego pasamos al paso (2), ya que (400− x2) es una diferencia de cuadrados.
paso 2: Note que (400− x2) = (20)2 − (x)2. Por lo tanto, A = 20 y B = x .
paso 3: Al sustituir en la formula A2 − B2 = (A+ B)(A− B) obtenemos que
400− x2 = (20 + x)(20− x). No olvidemos el factor 2xy2 del paso (1). La factorizacion
completa es:
−2x3y2 + 800xy2 = 2xy2(400− x2) = 2xy2(20 + x)(20− x)
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Ejercicios de Practica: Diferencia de Cuadrados
Factorice (si es posible) completamente los siguientes polinomios sobre los numeros enteros.
1 100x2 − y2
2 z2 + 81
3 y4 − 9
4 5a2b2 − 125
5 x2 − (y + 1)2
6 2x3 − 200x
7 3x9 − 243x5
8 −(−169 + x2
)
9 x2y4 − 25z2
10 11(x − 3)2 − 44(x + 1)4 Solucion a los problemas de practica
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Ejercicios de Practica: Diferencia de Cuadrados
Factorice (si es posible) completamente los siguientes polinomios sobre los numeros enteros.
1 100x2 − y2
2 z2 + 81
3 y4 − 9
4 5a2b2 − 125
5 x2 − (y + 1)2
6 2x3 − 200x
7 3x9 − 243x5
8 −(−169 + x2
)
9 x2y4 − 25z2
10 11(x − 3)2 − 44(x + 1)4 Solucion a los problemas de practica
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cubos
Diferencia de Cubos
Una diferencia de cubos es un polinomio de dos terminos que se puede reescribir de la formaA3 − B3 donde A y B son polinomios con coeficientes enteros.
Veamos algunos ejemplos.
Binomio Forma A3 − B3 A B
x3 − 8 (x)3 − (2)3 x 2
125x3 − 64 (5x)3 − (4)3 5x 4
y3x3 − z3 (yx)3 − (z)3 yx z
27− (x − 1)3 (3)3 − (x − 1)3 3 x − 1
Una manera informal de conseguir A y B, es decir que A es la raız cubica del primer termino y B
es la raız cubica del segundo termino. Por ejemplo, en la diferencia de cubos x6 − 125, decimosque A =
3√x6 = x2 y B = 3
√125 = 5.
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cubos
Cuando la raız cubica de alguno de los dos terminos no es un polinomio con coeficientes enteros,
decimos que el binomio no es una diferencia de cubos.
Por ejemplo, una expresion de la forma 4x3y9 − 27 no es una diferencia de cubos, ya que
A = 3√
4x3y3 = 3√4xy no es un polinomio con coeficientes enteros.
Ejercicio: Complete la siguiente Tabla
Binomio A B Forma A3 − B3
216− x3
x3z3 − 125y3
a6b3 − 64x9
1, 000− (x − 1)3
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cubos
Nuestro objetivo es factorizar una diferencia de cubos A3 − B3 donde A y B son polinomios con
coeficientes enteros. Para lograr esto seguimos los pasos siguientes:
Pasos para factorizar un binomio de la forma A3 − B3
1 Verificar si el binomio factoriza aplicandole la tecnica del factor comun mayor. Si aplica esta
tecnica, factorice y luego aplica el paso (2) a los factores que son binomios.
2 Encontrar A = 3√primer termino del binomio y B = 3
√segundo termino del binomio. Si A y
B son polinomios con coeficientes enteros pasamos al paso (3). De lo contrario, concluimos
que no factoriza utilizando esta tecnica.
3 La factorizacion tiene la forma A3 − B3 = (A− B)(A2 + AB + B2). Luego se verifica si el
factor (A− B) se pueden factorizar utilizando esta misma tecnica o alguna otra tecnica.
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Diferencia de Cubos
Ejemplo 1: Factorice el binomio x3 − 8
Paso 1: No hay factor comun
Paso 2: Note que A =3√x3 = x y B = 3
√8 = 2. Luego x3 − 8 = (x)3 − (2)3
Paso 3: x3︸︷︷︸
A3
− 8︸︷︷︸
B3
= ( x︸︷︷︸
A
)3 − ( 2︸︷︷︸
B
)3 = (x − 2︸ ︷︷ ︸
A−B
)( x2︸︷︷︸
A2
+ 2x︸︷︷︸
AB
+ 4︸︷︷︸
B2
).
La factorizacion es: x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)
Ejemplo 2: Factorice el 125− 27z3
Paso 1: No hay factor comun
Paso 2: Note que A = 3√125 = 5 y B =
3√27z3 = 3z. Luego 125− 27z3 = (5)3 − (3z)3
Paso 3: 125︸︷︷︸
A3
− 27z3︸ ︷︷ ︸
B3
= ( 5︸︷︷︸
A
)3 − ( 2︸︷︷︸
3z
)3 = (5− 3z︸ ︷︷ ︸
A−B
)( 52︸︷︷︸
A2
+(5)(3z)︸ ︷︷ ︸
AB
+(3z)2︸ ︷︷ ︸
B2
).
La factorizacion es: 125− 27z3 = (5− 3z)(25 + 15z + 9z2)
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Problemas de Practica: Diferencia de Cubos
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1 x3 − 27
2 y3 − 64
3 z3 − 1000
4 54− 2x3
5 x6 − 8
6 x3y3 − z3
7 3x4y − 375xy4
8 (x + 1)3 − 343
9 x6 − y6
10 432x4 − 2x7 Ver Solucion a los Problemas de Practica
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Problemas de Practica: Diferencia de Cubos
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1 x3 − 27
2 y3 − 64
3 z3 − 1000
4 54− 2x3
5 x6 − 8
6 x3y3 − z3
7 3x4y − 375xy4
8 (x + 1)3 − 343
9 x6 − y6
10 432x4 − 2x7 Ver Solucion a los Problemas de Practica
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Suma de Cubos
Suma de Cubos
Una suma de cubos es un polinomio de dos terminos que se puede reescribir de la forma A3 + B3
donde A y B son polinomios con coeficientes enteros.
Veamos algunos ejemplos.
Binomio Forma A3 + B3 A B
x3 + 8 (x)3 + (2)3 x 2
125x3 + 64 (5x)3 + (4)3 5x 4
y3x3 + z3 (yx)3 + (z)3 yx z
27 + (x − 1)3 (3)3 + (x − 1)3 3 x − 1
Una manera informal de conseguir A y B, es decir que A es la raız cubica del primer termino y B
es la raız cubica del segundo termino. Por ejemplo, en la suma de cubos x6 + 125, decimos queA =
3√x6 = x2 y B = 3
√125 = 5.
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Suma de Cubos
Cuando la raız cubica de alguno de los dos terminos no es un polinomio con coeficientes enteros,
decimos que el binomio no es una suma de cubos.
Por ejemplo, una expresion de la forma 4x3y9 + 27 no es una diferencia de cubos, ya que
A = 3√
4x3y3 = 3√4xy no es un polinomio con coeficientes enteros.
Ejercicio: Complete la siguiente Tabla
Binomio A B Forma A3 + B3
216 + x3
y3z3 + 125x3
a9b9 + 64x6
1, 000 + (x + 2)3
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Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Suma de Cubos
Nuestro objetivo es factorizar una diferencia de cubos A3 + B3 donde A y B son polinomios con
coeficientes enteros. Para lograr esto seguimos los pasos siguientes:
Pasos para factorizar un binomio de la forma A3 + B3
1 Verificar si el binomio factoriza aplicandole la tecnica del factor comun mayor. Si aplica esta
tecnica, factorice y luego aplica el paso (2) a los factores que son binomios.
2 Encontrar A = 3√primer termino del binomio y B = 3
√segundo termino del binomio. Si A y
B son polinomios con coeficientes enteros pasamos al paso (3). De lo contrario, concluimos
que no factoriza utilizando esta tecnica.
3 La factorizacion tiene la forma A3 + B3 = (A+ B)(A2 − AB + B2). Luego se verifica si el
factor (A+ B) se pueden factorizar utilizando esta misma tecnica o alguna otra tecnica.
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Suma de Cubos
Ejemplo 1: Factorice el binomio x3 + 8
Paso 1: No hay factor comun
Paso 2: Note que A =3√x3 = x y B = 3
√8 = 2. Luego x3 + 8 = (x)3 + (2)3
Paso 3: x3︸︷︷︸
A3
+ 8︸︷︷︸
B3
= ( x︸︷︷︸
A
)3 + ( 2︸︷︷︸
B
)3 = (x − 2︸ ︷︷ ︸
A−B
)( x2︸︷︷︸
A2
− 2x︸︷︷︸
AB
+ 4︸︷︷︸
B2
).
La factorizacion es: x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)
Ejemplo 2: Factorice el 125 + 27z3
Paso 1: No hay factor comun
Paso 2: Note que A = 3√125 = 5 y B =
3√27z3 = 3z. Luego 125 + 27z3 = (5)3 + (3z)3
Paso 3: 125︸︷︷︸
A3
+27z3︸ ︷︷ ︸
B3
= ( 5︸︷︷︸
A
)3 + ( 2︸︷︷︸
3z
)3 = (5− 3z︸ ︷︷ ︸
A−B
)( 52︸︷︷︸
A2
− (5)(3z)︸ ︷︷ ︸
AB
+(3z)2︸ ︷︷ ︸
B2
).
La factorizacion es: 125 + 27z3 = (5 + 3z)(25− 15z + 9z2)
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Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Problemas de Practica: Suma de Cubos
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1 x3 + 125
2 2y3 + 128
3 7z4 + 7000z
4 54 + 2x3
5 x6 + 27
6 −125x3y3 + y3
7 3x5y + 375x2y4
8 (y + 2)3 + 343
9 x6 + y6
10 432x4y + 2x7y Solucion de los Problemas de Practica
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Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Diferencia de CuadradosDiferencia de cubosSuma de cubos
Problemas de Practica: Suma de Cubos
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1 x3 + 125
2 2y3 + 128
3 7z4 + 7000z
4 54 + 2x3
5 x6 + 27
6 −125x3y3 + y3
7 3x5y + 375x2y4
8 (y + 2)3 + 343
9 x6 + y6
10 432x4y + 2x7y Solucion de los Problemas de Practica
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Post-prueba
Post-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.
1 x2 − 25
2 16x2 − y2
3 x4 − y4
4 8x3y3 + 27
5 y6 − 1
6 a2 − 4b2
7 x3 + 64b3
8 3x5y − 1536x2y
9 a9 + x3y6
10 (x − 3)2 − (x − 1)2 Ver solucion de la Post-prueba
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Post-prueba
Post-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.
1 x2 − 25
2 16x2 − y2
3 x4 − y4
4 8x3y3 + 27
5 y6 − 1
6 a2 − 4b2
7 x3 + 64b3
8 3x5y − 1536x2y
9 a9 + x3y6
10 (x − 3)2 − (x − 1)2 Ver solucion de la Post-prueba
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion de la Pre-prueba
Soluciones
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.
1 36x2 − 25 = (6x − 5)(6x + 5)
2 4x2y2 − 1 = (2xy + 1)(2xy − 1)
3 x4 − y4 = (x2 − y2)(x2 + y2) = (x + y)(x − y)(x2 + y2)
4 8x3y3 + 27 = (2xy + 3)(4x2y2 − 6xy + 9)
5 y6 − 1 = (y2 − 1)(y4 + y2 + 1) = (y + 1)(y − 1)(y4 + y2 + 1)
6 a2 − 4b2 = (a+ 2b)(a− 2b)
7 a3 − 64b3 = (a− 4b)(a2 + 4ab + 16b2)
8 x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
9 a2 − 4a+ 4 = (a− 2)2
10 (x + 3)2 − (y + 1)2 = (x + 3− y − 1)(x + 3− y + 1) = (x − y + 2)(x − y + 4)
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Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion de la Pre-prueba
Soluciones
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.
1 36x2 − 25 = (6x − 5)(6x + 5)
2 4x2y2 − 1 = (2xy + 1)(2xy − 1)
3 x4 − y4 = (x2 − y2)(x2 + y2) = (x + y)(x − y)(x2 + y2)
4 8x3y3 + 27 = (2xy + 3)(4x2y2 − 6xy + 9)
5 y6 − 1 = (y2 − 1)(y4 + y2 + 1) = (y + 1)(y − 1)(y4 + y2 + 1)
6 a2 − 4b2 = (a+ 2b)(a− 2b)
7 a3 − 64b3 = (a− 4b)(a2 + 4ab + 16b2)
8 x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
9 a2 − 4a+ 4 = (a− 2)2
10 (x + 3)2 − (y + 1)2 = (x + 3− y − 1)(x + 3− y + 1) = (x − y + 2)(x − y + 4)
Regresar a los Problemas de la Pre-prueba
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Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion de la Post-prueba
Post-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.
1 x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)
2 16x2 − y2 = (4x + y)(4x − y)
3 x4 − y4 = (x − y)(x + y)(x2 + y2)
4 8x3y3 + 27 = (2xy + 3)(4x2y2 − 6xy + 9)
5 y6 − 1 = (y − 1)(y + 1)(y2 + y + 1)(y2 − y + 1)
6 a2 − 4b2 = (a− 2b)(a+ 2b)
7 x3 + 64b3 = (x + 4b)(x2 − 4xb + 16b2)
8 3x5y − 1536x2y = 3x2y(x − 8)(x2 + 8x + 64)
9 a9 + x3y6 = (a3 + xy2)(a6 − a3xy2 + x2y4)
10 (x − 3)2 − (x − 1)2 = −4(x − 2) Regresar a los Problemas de la Post-prueba
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Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion de la Post-prueba
Post-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios, utilizando coeficientes enteros.
1 x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)
2 16x2 − y2 = (4x + y)(4x − y)
3 x4 − y4 = (x − y)(x + y)(x2 + y2)
4 8x3y3 + 27 = (2xy + 3)(4x2y2 − 6xy + 9)
5 y6 − 1 = (y − 1)(y + 1)(y2 + y + 1)(y2 − y + 1)
6 a2 − 4b2 = (a− 2b)(a+ 2b)
7 x3 + 64b3 = (x + 4b)(x2 − 4xb + 16b2)
8 3x5y − 1536x2y = 3x2y(x − 8)(x2 + 8x + 64)
9 a9 + x3y6 = (a3 + xy2)(a6 − a3xy2 + x2y4)
10 (x − 3)2 − (x − 1)2 = −4(x − 2) Regresar a los Problemas de la Post-prueba
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Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion Ejercicios de Practica: Diferencia de Cuadrados
Factorice (si es posible) completamente los siguientes polinomios sobre los numeros enteros.
1 100x2 − y2 = (10x − y)(10x + y)
2 z2 + 81 es irreducible sobre el conjunto de los numeros enteros.
3 y4 − 9 = (y2 − 3)(y2 + 3). Note que y2 − 3 y y2 + 3 son irreducible.
4 5a2b2 − 125 = 5(a2b2 − 25) = 5(ab − 5)(ab + 5)
5 x2 − (y + 1)2 = (x − y − 1)(x + y + 1)
6 2x3 − 200x = 2x(x2 − 100) = 2x(x − 10)(x + 10)
7 3x9 − 243x5 = 3x5(x4 − 81) = 3x5(x2 − 9)(x2 + 9) = 3x5(x + 3)(x − 3)(x2 + 9)
8 −(−169 + x2
)= 169− x2 = (13− x)(13 + x)
9 x2y4 − 25z2 = (xy2 − 5z)(xy2 + 5z)
10 11(x − 3)2 − 44(x + 1)4 = 11(−2x2 − 3x − 5)(2x2 + 5x − 1) Regresar a los problemas de practica
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion Ejercicios de Practica: Diferencia de Cuadrados
Factorice (si es posible) completamente los siguientes polinomios sobre los numeros enteros.
1 100x2 − y2 = (10x − y)(10x + y)
2 z2 + 81 es irreducible sobre el conjunto de los numeros enteros.
3 y4 − 9 = (y2 − 3)(y2 + 3). Note que y2 − 3 y y2 + 3 son irreducible.
4 5a2b2 − 125 = 5(a2b2 − 25) = 5(ab − 5)(ab + 5)
5 x2 − (y + 1)2 = (x − y − 1)(x + y + 1)
6 2x3 − 200x = 2x(x2 − 100) = 2x(x − 10)(x + 10)
7 3x9 − 243x5 = 3x5(x4 − 81) = 3x5(x2 − 9)(x2 + 9) = 3x5(x + 3)(x − 3)(x2 + 9)
8 −(−169 + x2
)= 169− x2 = (13− x)(13 + x)
9 x2y4 − 25z2 = (xy2 − 5z)(xy2 + 5z)
10 11(x − 3)2 − 44(x + 1)4 = 11(−2x2 − 3x − 5)(2x2 + 5x − 1) Regresar a los problemas de practica
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion a los Problemas de Practica: Diferencia de Cubos
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1 x3 − 27 = (x − 3)(x2 + 3x + 9)
2 y3 − 64 = (y − 4)(y2 + 4y + 16)
3 z3 − 1000 = (z − 10)(z2 + 10z + 100)
4 54− 2x3 = 2(27− x3) = 2(3− x)(9 + 3x + x2)
5 x6 − 8 = (x2 − 2)(x4 + 2x2 + 4)
6 x3y3 − z3 = (xy − z)(x2y2 + xyz + z2)
7 3x4y − 375xy4 = 3xy(x − 5y)(x2 + 5xy + 25y2)
8 (x + 1)3 − 343 = (x − 6)(x2 + 9x + 57)
9 x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x4 + x2y2 + y4)
10 432x4 − 2x7 = −2x4(x − 6)(x2 + 6x + 36) Regresar a los Problemas de Practica
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Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion a los Problemas de Practica: Diferencia de Cubos
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1 x3 − 27 = (x − 3)(x2 + 3x + 9)
2 y3 − 64 = (y − 4)(y2 + 4y + 16)
3 z3 − 1000 = (z − 10)(z2 + 10z + 100)
4 54− 2x3 = 2(27− x3) = 2(3− x)(9 + 3x + x2)
5 x6 − 8 = (x2 − 2)(x4 + 2x2 + 4)
6 x3y3 − z3 = (xy − z)(x2y2 + xyz + z2)
7 3x4y − 375xy4 = 3xy(x − 5y)(x2 + 5xy + 25y2)
8 (x + 1)3 − 343 = (x − 6)(x2 + 9x + 57)
9 x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x4 + x2y2 + y4)
10 432x4 − 2x7 = −2x4(x − 6)(x2 + 6x + 36) Regresar a los Problemas de Practica
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion a los Problemas de Practica: Suma de Cubos
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1 x3 + 125 = (x + 5)(x2 − 5x + 25)
2 2y3 + 128 = (2)(y + 4)(y2 − 4y + 16)
3 7z4 + 7000z = 7z(z + 10)(z2 − 10z + 100)
4 54 + 2x3 = 2(3 + x)(9− 3x + x2)
5 x6 + 27 = (x2 + 3)(x4 − 3x2 + 9)
6 −125x3y3 + y3 = y3(−5x + 1)(25x2 + 5x + 1)
7 3x5y + 375x2y4 = 3x2y(x + 5y)(x2 − 5xy + 25y2)
8 (y + 2)3 + 343 = (y + 9)(−6y + 37)
9 x6 + y6 = (x2 + y2)(x4 − x2y2 + y4)
10 432x4y + 2x7y = 2x4y(6 + x)(36− 6x + x2) Regresar a los Problemas de Practica
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Tabla de contenido, Introduccion, objetivos y Pre-pruebaPreprueba
Formulas de FactorizacionPost-prueba
Soluciones de los Problemas de Practica, Pre y Post prueba
Solucion de la Pre-pruebaSolucion de la Post-pruebaSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CuadradosSolucion Ejercicios de Practica: Diferencia de CubosSolucion Ejercicios de Practica: Suma de Cubos
Solucion a los Problemas de Practica: Suma de Cubos
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1 x3 + 125 = (x + 5)(x2 − 5x + 25)
2 2y3 + 128 = (2)(y + 4)(y2 − 4y + 16)
3 7z4 + 7000z = 7z(z + 10)(z2 − 10z + 100)
4 54 + 2x3 = 2(3 + x)(9− 3x + x2)
5 x6 + 27 = (x2 + 3)(x4 − 3x2 + 9)
6 −125x3y3 + y3 = y3(−5x + 1)(25x2 + 5x + 1)
7 3x5y + 375x2y4 = 3x2y(x + 5y)(x2 − 5xy + 25y2)
8 (y + 2)3 + 343 = (y + 9)(−6y + 37)
9 x6 + y6 = (x2 + y2)(x4 − x2y2 + y4)
10 432x4y + 2x7y = 2x4y(6 + x)(36− 6x + x2) Regresar a los Problemas de Practica
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