EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

SZAKDOLGOZAT

FELADATVÁLTOZATOK ÉS MEGOLDÁSOK

KÜLÖNBÖZŐ KOROSZTÁLYOKNAK

Témavezető:

Hraskó András

egyetemi adjunktus

Matematika tanítási és Módszertani

Központ

Készítette:

Szőnyi Gábor

Matematika és Fizika

Tanári Bsc

Budapest, 2014

2

3

Tartalomjegyzék

Bevezetés ...........................................................................................4

I. fejezet - A számsorozatok ..............................................................5

1.1. Mi lehet a szabály? ....................................................................................... 5

1.2. Szabálykeresés 3 számpárhoz ...................................................................... 7

II. fejezet - Megoldási módszerek ....................................................13

2.1. Egyszerű példák .......................................................................................... 13

2.2. Exponenciális függvények .......................................................................... 15

2.3. Polinomok I. ................................................................................................ 18

2.4. Polinomok II. ............................................................................................... 20

III. fejezet - Használat, érdekes példák ...........................................25

3.1. Köbszámok összege .................................................................................... 25

3.2. Integrálás .................................................................................................... 28

3.3. Pontok a kör kerületén ............................................................................... 33

Összefoglalás ...................................................................................39

Köszönetnyilvánítás ........................................................................41

Irodalomjegyzék .............................................................................42

Nyilatkozat ......................................................................................43

4

Bevezetés

Mikor jelentkeztem a témavezetőmnél, azt javasolta, hogy olvassak át néhány

korábban az Ő gondozása alatt készült munkát, hogy megtaláljam a számomra

szimpatikus irányt. Ezt követően döntöttem úgy, hogy a példákat nem a feladatvariációk

vagy a különböző megoldásaik szerint szeretném vizsgálni, hanem egy-egy problémát

az eltérő korosztályok, és tudások alapján változtatva tanulmányoznék.

Szakdolgozatom célja tehát néhány problémán -és azokhoz kapcsolódó példán-

keresztül bemutatni, hogyan alkalmazható a sorozatok témakörének egy szelete az

általános iskolától, egészen az egyetemig. Egy konkrét feladattípus kapcsán szeretném

szemléltetni milyen változatosan használhatjuk a sorozatokat, a függvények

megismertetése, az integrálás, vagy éppen a bizonyítási módszerek kiegészítő

anyagaként.

Illusztrálni szeretném, hogyan mélyít el egy-egy új anyagrész ismerete egy másikat.

Ez arra szolgálhat, hogy akár évfolyamokon keresztül gördítsünk egy szöveges

feladatot, melyben a már jól ismert "Petike" sokadszor fog bele valaminek a

kiszámításába egyre erősebb, eltérő feltételek mellett.

Ha a diák egy akadályba sokszor beleütközik, de azt az alapjaitól ismeri, sokkal

könnyebben birkózik meg vele, mintha elsőre egy bonyolult probléma elé állítanánk.

Ezt az ismétlődést több alapfeladattal alkalmazhatjuk, mindig az aktuális témát

belefűzve a legideálisabb környezetbe.

Sokat korrepetálok felsős általános és középiskolásokat és megtanultam, hogy ha egy

feladatot nemcsak könnyítek, hanem olyan szintre csökkentek, amit a diák könnyedén

megválaszol, és lassan építem fel a példát a pillanatnyi házi feladathoz, akkor jelentősen

javítom a gyermek rálátását a problémára, sokkal inkább, mintha csak a megoldási

módszert mondanám el.

Célom, hogy ezt a dolgozatot végigolvasva mintát mutassak arra, hogyan változnak

az ismerettel a kitűzhető feladatok, milyen mértékben térhet el egy általános iskolás és

egy egyetemi hallgató számára egy azonos problémakörből előkerülő példa.

5

I. fejezet - A számsorozatok

1.1. Mi lehet a szabály?

Már az alsó tagozatban is előfordul, hogy a tanár nem azt mondja, hogy számoljatok

kettesével, hanem felír bizonyos számokat, és megkérdezi; "Mi lehet a szabály?" Ennek

megválaszolása egészen más gondolkodást igényel, és a cél éppen az, hogy ezt az

eltérést gyakorolják, elmélyüljön a fordított gondolkozás a gyerekekben. Ezenkívül

megtanulják, hogyan lehet összefüggéseket keresni, meglátni azokat.

1.1. Feladat: Béla és Péter egy játékot játszanak, melynek címe: Mi lehet a szabály?

Béla kigondol egy agyafúrt számolást, elmondja, hogy ha behelyettesíti az 1, 2, 3,.. első

néhány számot, milyen eredményt kap. Majd Péternek ki kell találnia, hogyan is számolt

Béla.

Ez jó kiinduló példa, melyet a pusztán fejben elvégzett próbálkozásos módszerrel

kezdenek megoldani a gyerekek. A fiatalabb korosztályt ez a stratégia sokáig elkíséri.

Ez sokféle probléma megoldásában segíthet, nem csak a matematika órán, de más

általános esetekben is. Gyakori, hogy mielőtt egy megoldást rendszereze tten

levezetnénk, végigszámolnánk, sejtésünket néhány egyszerű próbálgatással

megerősítjük, esetleg cáfoljuk.

Ahogy telnek az iskolás évek, lassan megismerkednek a diákok a függvény, a

hozzárendelés, és a sorozat fogalmával, pontosan definiálják azt. Kezdetben úgy

tanulják, hogy tekintsünk úgy a hozzárendelésre, mint egy gépre, amibe számokat

dobunk be és számok is jönnek ki (1.1. ábra). A gép valamilyen szabály szerint

dolgozik, például mindig hozzáad kettőt a bedobott értékhez.

1.1. ábra A hozzárendelő gép

6

Ezt a modellt remekül lehet használni, variálni. Készíthetünk belőlük láncot;

hatathatjuk a különböző gépeket egymás után. Az ilyen formájú látványos eszközöket a

gyerekek könnyebben tudják használni, sokkal kézzelfoghatóbbak számukra, mint az

algebrai alakok, vagy az ismeretlenek, hiszen a kisiskolások még nem tudnak absztrakt

jelölésekkel, fogalmakkal dolgozni.

Később, a tágabb ismeret és az eltelt évek lehetővé teszik, hogy precíz definíciókat

várjunk el a tanulóktól. Ez főleg a középiskolában és az egyetemen igaz, ahol már

különösképpen igaz, hogy egy definíciót nemcsak memorizálni, de értelmezni is

képesek vagyunk, felfogjuk annak jelentését és korlátait is. A sorozat definíciója a

következő:

1.1. Tétel: A sorozat a pozitív természetes számok halmazán értelmezett függvény.

Ha a: ℕ+ → 𝐻, és 𝐻 egy számhalmaz, akkor számsorozatról beszélünk. Jele: 𝑎𝑛

A továbbiakban a feladatok mindig egy számsorozatot fognak tartalmazni,

melyekhez lehetséges képzési szabályt keresünk, az első pár elem ismeretében. Hasznos

összefüggéseket, megoldási módszereket, és alkalmazásokat fogunk vizsgálni.

Fontos megjegyezni, hogy az itt előkerülő példák, nem nyakatekert, a számokra

ráerőltetett összefüggéseket próbálnak kicsikarni a diákokból, hanem tudván, hogy ezek

egy ismert típusú számsorozat elemei, az adott témakörön belül valóban meghatározzák

a függvényt. Végső soron ezek a műveletek a függvényillesztés alapjai, melyek a

kezdeti feltételek ismeretének segítségével, pontos eredményt hoznak.

A szabálykeresés problémájának esetében az az egyik legfontosabb felvetés, hogy

hány darab számpárt adjunk meg. Egy számpár viszonyát értelmetlen vizsgálni a mi

esetünkben, a két pár is eléggé aluldefiniált, hiszen habár egy lineáris függvényt

egyértelműen kijelöl, de ezen kívül még nagyon sok minden ráilleszthető. Ezek is

adhatnak érdekes feladatokat, ám mi most más típusú példákat keresünk.

A 3 számpár már ígéretesebb, itt már lehet alkalmas összefüggéseket keresni, kicsit

szűkebbek a lehetőségek, ám még mindig sok megoldással kecsegtetnek. A következő

rész egy ilyen példát mutat be.

7

1.2. Szabálykeresés 3 számpárhoz

Különböző korosztályokban feladható az a probléma, hogy három számpárhoz

milyen függvények rendelhetők hozzá. Ezek esetében legtöbbször több megoldás is

elővezethető az adott szinten. megfelelően választott számok esetén akár hét-nyolc

eltérő típusú képletet is meghatározhatunk.

Ha olyan számpárokat adunk meg, melyek az adott esetben nem egy egyértelműen

meghatározható függvényhez vezetnek, alulhatározott feladatról beszélünk. Egy ilyen

alulhatározott példa lesz ennek a résznek az alapja, mely önmagában remek lehetőséget

nyújt egy összefoglaló, vagy ismétlő óra anyagának, egy 9-edikes osztályban, mondjuk

a függvény-transzformációk kapcsán.

1.2. Feladat: Béla azt a kérdést teszi fel az osztálynak, hogy hány különböző

szabályt találnak az alábbi számpárokhoz (1.1. táblázat)? Milyen összefüggés rendelheti

az n értékekhez rendre az an értékeket?

n 0 1 2

an 0 1 2

1.1. táblázat Mi a szabály?

A számsor elsőre talán túl egyszerűnek tűnhet, de meglepő módon egyszerűsége

rengeteg lehetőséget rejt magában. Fontos hangsúlyozni, hogy ezek a számpárok nem

különlegesek, vagy nevezetesek, így ezeket helyes módon megváltoztatva, új

feladatokhoz juthatunk.

Elsőre természetesen az 𝑓 𝑥 = 𝑥, vagyis az identitás függvényre gondolunk. Mi

sem természetesebb, hiszen a három pont illeszkedik egy egyenesre. Ebben az esetben

az 𝑎𝑛 = 𝑛 összefüggéshez jutunk.

Második gondolatként, a szintén egyenes szakaszok képét mutató abszolút érték

függvény juthat az eszünkbe. Kezdetben választhatjuk az alapfüggvényt az 𝑓 𝑥 = 𝑥 -

t, mely egy V-betűt mintáz (1.2. ábra). Ám később összetettebb változatok is napvilágot

láthatnak, mint például az 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 − 2 mely a koordinátarendszeren egy W-

képében jelenik meg (1.3. ábra).

8

1.2. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙 függvény megjelenítése

Itt érdemes megjegyezni, hogy már az abszolút érték függvényekkel végtelen sok

megoldást találtunk, mert amíg a 0; 2 intervallumon megtartjuk az egyenesünket,

addig bármely hasonló eredmény ráillik a pontokra (például az 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 8 − 7 ,

stb.). Ha erre rájönnek a diákok, jó feladat lehet néhány grafikonokhoz tartozó képlet

megkeresése is.

1.3. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟖 − 𝟕 függvény megjelenítése

Szintén nincs szükség transzformációkra ahhoz, hogy a pontokra illeszkedjen az

egészrész függvény, melyet 𝑓 𝑥 = 𝑥 -szel szokás jelölni (1.4. ábra). Ezt azért

érdemes mindenképpen kiemelni, mert a diákok csak ritkán találkoznak ezzel a

függvénnyel, és akkor is legtöbbször csak ábrázolós gyakorlásként, nem pedig egy

feladat lehetséges megoldásaként.

9

1.4. ábra Az egészrész függvény megjelenítése

Hasonló a helyzet az előjel függvénnyel, amely egy hasznos, ám csak ritkán

előkerülő szabályt elevenít fel. Az alapfüggvényt, vagyis az 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑥 -t a

megfelelő pontokhoz kell igazítani, ehhez a transzformációs szabályokat alkalmazzuk,

és ennek megfelelően, eggyel jobbra, és felfelé is eltoljuk azt, így kapjuk az 𝑓 𝑥 =

𝑠𝑔𝑛 𝑥 − 1 + 1 hozzárendelést (1.5. ábra).

1.5. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒈𝒏 𝒙 −𝟏 + 𝟏 függvény megjelenítése

Érdemes feladatalkotás szempontjából észrevenni, hogy célszerű a pontokat úgy

megválasztani, hogy azok egy egyenesre essenek, ezzel több különböző helyes képletet

lehet fellelni. Az eddigi eredményekhez (leszámítva az előjel függvényt) valamilyen

módon szükséges is ez a linearitás. Most olyan megoldásokat fogunk keresni, melyek

10

nem ilyenek. Mivel szerencsére csak három pont van megadva, és ezek nem adnak túl

sok feltételt, lehetséges további illeszkedő függvényeket találni.

Másodfokú függvényt nem lehet illeszteni, három egy egyenesen elhelyezkedő

pontra, így mással kell próbálkozni. Ésszerű a gondolat, hogy próbálkozzunk magasabb

rendű polinomokkal, hiszen azoknak lehet akár több inflexiós pontjuk is. Ezek a

konvexitást váltó pontok lehetővé teszik, hogy egy egyenes több mint két helyen is

metsze a polinomot.

Könnyen adódik, hogy ha az 𝑓 𝑥 = 𝑥3 inflexiós pontját a három koordinátánk

közül a középsőhöz igazítjuk, akkor egy újabb jó megoldást kapunk, ami tehát az

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 3 + 1 lesz. Természetesen itt is végtelen sok megoldás van, hiszen a

magasabb fokú polinomokkal hasonlóképpen megadhatunk ilyen függvényeket.

A középiskolákban inverz függvények esetén előkerül, hogy úgy ábrázolhatjuk egy

függvény inverzét, hogy az 𝑥- 𝑦 koordinátákat felcseréljük. Vagyis a függvényt az

𝑓 𝑥 = 𝑥 egyenesre tükrözzük. Jelen esetben ennek eredménye természetesen egy

köbgyök függvény lesz, nevezetesen az 𝑓 𝑥 = x − 13 + 1, ez a 3 függvény az 1.6.

ábrán egyszerre láthatóak.

1.6. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙− 𝟏 𝟑 + 𝟏 függvény tükrözése az 𝒚 = 𝒙 egyenesre

11

Mivel nem egy folytonos görbére kell illesztenünk, hanem csupán három pontra, így

olyan meglepő eredmények is előkerülhetnek, mint amilyen a szinusz függvény. A

megszokott ábrázolási módszer az, hogy az x-tengelyen a π többszörösei szerepelnek,

ám ez csak a 2π periódusnak köszönhető, hiszen így könnyű megrajzolni a görbét. Ha a

függvényt úgy módosítjuk, hogy a behelyettesítési értékeket megszorozzuk π

2-vel, akkor

a szinusz nevezetes pontjait, az x-tengely egészeihez transzformáljuk. Ezt követően el

kell még tolni a görbét hogy illeszkedjen a három megadott pontunkra, így jutunk az

𝑓 𝑥 = sin 𝜋

2 𝑥 − 1 + 1 képlethez, melynek grafikonját az 1.7. ábra tartalmazza.

Ismerve a cos x = sin x +π

2 azonosságot, természetesen egy

π

2-es eltolással a

koszinusz is jó megoldást adhat.

1.7. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝝅

𝟐 𝒙 − 𝟏 + 𝟏 függvény megjelenítése

Látható tehát, hogy az „alulhatározott pontok” mennyi eltérő megoldáshoz vezetnek.

Egy gyakorló vagy a függvények témakörében tartott összefoglaló óra keretében, remek

gondolkodtató feladat lehet, hogy minél több különböző hozzárendelést találjanak a

megadott pontokhoz. Ezzel átismételhetjük az ismert függvényeket.

Habár sok megoldást találtunk, a középiskolában tanított függvények közül még így

is sok kimaradt. Ilyenek például a logaritmus, vagy az exponenciális függvények.

Ezekhez is lehet megfelelő példákat találni, sőt lehet akár egy gyakorló feladat, hogy

alkossanak számpárokat az adott függvényekhez, akár többhöz is egyszerre.

12

Ebből a fejezetből tehát jól látható, hogy ha "Petike" egy konkrét szabályra gondol,

és szeretné, hogy társai kitalálják azt, akkor sokkal több számpárt meg kell adnia, és

további információkat is kell közölnie ahhoz, hogy csak az általa elképzelt formula

bizonyuljon helyesnek.

Ennek megfelelően a továbbiakban olyan példákat vizsgálunk, melyeknél akár 7-8

számpár is meg van adva, így várhatóan, csak a kigondolt szabály fog illeszkedni.

13

II. fejezet - Megoldási módszerek

2.1. Egyszerű példák

Gyakori módszer, hogy a szám-szám hozzárendelést egy táblázatba gyűjtve, könnyen

értelmezhető elrendezésben vizsgálnak. Ezt az ábrázolás típust már igen fiatalon

megismerik a gyerekek, ennek oka, hogy átlátható, és vizuálisan is jól megragad a

diákok fejében.

Elsőként vizsgáljunk meg egy általános iskolás példát, ezzel az a célom, hogy

megmutassam, milyen egyszerűen indítható az egész. A feladat igen egyszerű, a

következőképpen hangzik:

2.1. Feladat: Béla ismét kitalálósdit játszik Péterrel. A 2.1. táblázat azt mutatja

meg, hogy milyen információkkal szolgált Péternek a lehetséges szabály megfejtéséhez.

𝒏 1 2 3 4 5 6 7

𝒂𝒏 7 9 11 13 15 17 19

2.1. táblázat 2.1. feladat számpárjai

A feladvány ismertetése után, leírjuk az ismert értékeket, és számolni kezdünk A

szabály visszafejtéséhez azt kell vizsgálni, hogy az egymást követő számok milyen

viszonyban vannak egymással, ez lehet például különbség vagy hányados.

𝒏 1 2 3 4 5 6 7

𝒂𝒏 7 9 11 13 15 17 19

𝒂𝒏+𝟏 −𝒂𝒏 2 2 2 2 2 2

𝟐𝒏 2 4 6 8 10 12 14

𝒂𝒏 −𝟐𝒏 5 5 5 5 5 5 5

2.2. táblázat Az 𝒂𝒏 = 𝟐𝒏+ 𝟓 megtalálása

Esetünkben elsőként a számok különbségét vizsgáljuk, a 2.2. táblázatban a két-két

szám alatt tüntettük fel ezeket a különbségeket. Mivel ennek értéke mindig 2, és az 𝑛

értéke mindig egyesével növekszik, így első közelítésként a 2𝑛 függvénnyel hasonlítjuk

össze.

14

Ezt követően már csak korrigálni kell a két függvény különbségét, ezt ismét a

differenciák kiszámolásának segítségével tehetjük meg. Az 𝑎𝑛 − 2𝑛 = 5 konstans érték

azt mutatja, hogy a lineáris alapfüggvény a 2𝑛 ami még +5-tel el van tolva, ezt a 2.1.

ábrán is lehet látni. Vagyis a Béla által kitalált szabály az:

𝑎𝑛 = 2𝑛 + 5

Az eredmény ellenőrzése mindig fontos, fényt deríthet az esetleges hibákra, de ami

még ennél is jelentősebb a gyerekeknek, ez ad megerősítést, hogy a gondolatmenet,

amit végigkövettünk helyes.

2.1. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙+ 𝟓 függvény megjelenítése

Ennek a feladattípusnak elsődleges célja inkább a mögöttes tartalomban rejlik, az

hogy a diákok a függvények tulajdonságát vizsgálják, betekintést nyernek azok

viselkedésébe. Fontos továbbá a visszafelé gondolkodás erősítése, és az, hogy minél

több típusú feladattal ismerkednek meg, annál szélesebb lesz a látókörük.

15

2.2. Exponenciális függvények

Mielőtt részletesebben tárgyalnánk a polinomokkal kapcsolatos módszereket,

szeretném egy másik típus viselkedését felderíteni, ezek az exponenciális függvények.

Én úgy gondolom, hogy a függvényeket nem megérti az ember, hanem ha elég sok

irányból vizsgálja, "pofozza", akkor lassan megismeri tulajdonságait, karakterisztikáját.

Ezért például, mikor a hatványozással először találkoznak a gyerekek, jó módszer

lehet egy táblázat kitöltése, mondjuk az 5𝑛 esetében. Felismerik, hogy a számológépbe

nemcsak beütve az 54-t kaphatják meg a táblázat megfelelő elemét, hanem a 125-t

beszorozva 5-tel, is eredményhez juthatnak.

Amikor egy témakör végéhez érnek a diákok, jelen esetben az exponenciális

függvények megismerése után, érdekességképpen előkerülhet a már ismert játék:

2.2. Feladat: Ismerve a különbségek vizsgálatának módszerét, Béla egy más fajta

formulát választott, ahol ez az eljárás nem működik (2.3. táblázat):

𝒏 1 2 3 4 5 6 7

𝒂𝒏 25 37 85 277 1045 4117 16405

2.3. táblázat A 2.2. feladat számpárjai

Mivel ebben az esetben a tagok különbsége nem lineáris, hanem ugrásszerűen

növekedik, az egymás után következő elemek különbségét vizsgálva az

𝒂𝒏+𝟏 −𝒂𝒏 értékek (a 2.4. táblázat harmadik sora) nem vezetnek eredményre. Ezekben

az esetekben az exponenciális kapcsolatra gyanakszunk.

𝒏 1 2 3 4 5 6 7

𝒂𝒏 25 37 85 277 1045 4117 16405

𝒂𝒏+𝟏 −𝒂𝒏

12 48 192 768 3072 12288

𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏 1,48 2,30 3,26 3,77 3,94 3,98

𝟒𝒏 4 16 64 256 1024 4096 16384

𝒂𝒏 −𝟒𝒏 21 21 21 21 21 21 21

2.4. táblázat Az 𝒂𝒏 = 𝟒𝒏 + 𝟐𝟏 megtalálása

Ilyenkor a megadott értékek hányadosát (2.4. táblázat) kell kiszámítanunk, ez a

hányados tartani fog valamilyen számhoz, ami a keresett függvényünk fő hatványalapja

lesz. Esetünkben ez úgy tűnik a 4, így első közelítésként a 4𝑛 -nel hasonlítjuk össze az

16

𝑎𝑛 -t. Innen, már minden úgy megy, mint eddig; vizsgáljuk a differenciákat, és

korrigálunk velük. Végül megállapíthatjuk, hogy Béla ez alkalommal az alábbi szabályt

eszelte ki:

𝑎𝑛 = 4𝑛 + 21

A függvények kapcsán érdemes ábrát készíteni, mert a vizualizálás segít megé rteni a

feladatot. A 2.2. ábrán látható, hogy a 2.2. feladat megoldása az f x = 4x (szaggatott

fekete vonal) eltolásával született, megfigyelhető, hogy a görbe elején a +21

nagymértékben befolyásolja a függvény értékét, de a nagyobb számoknál már nincs

jelentősége.

2.2. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙és az 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝟏 függvények összehasonlítása

További példaként összevonhatunk két exponenciális függvényt is, így a korrekciós

tag is egy exponenciálisként fog előállni. A 2.6. táblázatban egy ilyen feladat

megoldása látható.

2.3. Feladat: Béla ez alkalommal még egy exponenciális függvénnyel fűszerezte

kérdését, mely az alábbi számokból áll (2.5. táblázat):

n 1 2 3 4 5 6 7

an 1 5 19 65 211 665 2059

2.5. táblázat A 2.3. feladat hozzárendelései

A 2.2. ábrán „láthatók” a számpárok, és az is, hogy képletünk milyen meredeken

emelkedik, erről itt is arra lehet következtetni, hogy exponenciális függvénnyel van

dolgunk.

17

2.3. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 függvény megjelenítése

Miután hányadosnak úgy tűnik a 3 adódik, kiszámoljuk a különbséget a 3𝑛

használatával, ismét egy ugrásszerűen növekedő számsorozatot fogunk látni.

𝒏 1 2 3 4 5 6 7

𝒂𝒏 1 5 19 65 211 665 2059 𝒂𝒏+𝟏

𝒂𝒏 5 3,80 3,42 3,25 3,15 3,10

𝟑𝒏 3 9 27 81 243 729 2187

𝟑𝒏 −𝒂𝒏 2 4 8 16 32 64 128

2.6. táblázat Az 𝒂𝒏 = 𝟑𝒏− 𝟐𝒏 megtalálása

Ezt fontos példának tartom, mert ezt követően minden számolás nélkül fel lehet

ismerni a számokat; ez a 2𝑛 lesz. Ez azért lényeges, mert ez egy ismert, és sokat

használt nevezetes sorozat; többek között a számítástechnika alapja. Összerakva tehát az

eddig megtudottakat a 2.3. feladat megoldására az alábbi képlet adódik:

𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2𝑛

18

2.3. Polinomok I.

A polinomokat már az általános iskola felső tagozatában is használják a diákok, bár

legtöbbször nem ilyen néven. Ebben a részben elsőként bizonyítás nélkül használunk

egy tételt, és a korrekciós módszert, mely ebben a formában bármely iskolában

megtanítható. Majd ezt követően a tételt bizonyítjuk, és az általánosabb (magasabb fokú

polinomokra) használatra is mutatunk egy példát.

Ezt az eljárást Hraskó Andrástól tanultam, az Elemi matematika 4 gyakorlat1

keretében. Ahogy a legalapvetőbb példáknál is tesszük fejben, úgy a nehezebbeknél is

gyakran célravezető az egymás után következő számok különbségeit vizsgálni.

Olyannyira, hogy a különbségsorozatok különbségeit is kiszámoljuk, mégpedig az

alábbi tétel felhasználásának céljából:

2.1. Tétel: Ha egy sorozat 𝑘-adik különbségi sorozata a konstans sorozat, akkor a

sorozat explicit képlete egy 𝑘-adfokú polinom.

Vagyis, ha „legyártjuk” a különbségsorozatok különbségeit, és egyszer csak, például

a csupa négyesekből álló sorhoz jutunk, az azt jelenti, hogy egy polinommal állunk

szemben. Ezt az ismeretet felhasználva, ismerve a polinom fokát, próbafüggvényekkel,

lépésenként korrigálva, megadhatjuk a keresett szabályt. A tétel a 2.1. Lemma

következménye, melyet a következő részben fogunk részletesebben tárgyalni, itt most

csak használjuk azt.

2.4. Feladat: Béla alábbi agyafúrt fejtörőjét (2.7. táblázat) megoldhatjuk ennek

segítségével:

𝒏 1 2 3 4 5 6 7 8

𝒂𝒏 3 7 13 21 31 43 57 73

2.7. táblázat A 2.4. feladat számpárjai

A számokat egymás mellé, a különbségsorozatokat pedig ezek alá írva, az alábbi

számpiramist (2.4. ábra) kapjuk:

3 7 13 21 31 43 57

4 6 8 10 12 14

2 2 2 2 2

2.4. ábra Különbségpiramis a megadott értékekből

1 http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/elte/em4/fsor04ha.pdf

19

Látható, hogy a 2, mint konstans tag, két lépés után jelent meg, ez azt jelenti, hogy a

keresett polinom másodfokú.

𝒏 1 2 3 4 5 6 7 8

𝒂𝒏 3 7 13 21 31 43 57 73

𝒏𝟐 1 4 9 16 25 36 49 64

𝒂𝒏− 𝒏𝟐 2 3 4 5 6 7 8 9

𝒂𝒏−𝒏𝟐 −𝒏 1 1 1 1 1 1 1 1

2.8. táblázat Az 𝒂𝒏 = 𝒏𝟐 +𝒏 +𝟏 megtalálása

A 2.8. táblázatban megfigyelhető, hogyan kell lépésenként közelíteni a függvényhez.

Elsőként az 𝑛2 -et írom fel, majd vizsgálom az 𝑎𝑛 és az 𝑛2 különbségét. Látszik, hogy az

már egy egyesével növekedő tag, tehát az 𝑛-et kivonva közelítek, hiszen az 𝑛-eket is

egyesével növelem, és így a konstans egyet kapom. Vagyis az általunk keresett szabály

(2.5. ábra), az alábbi polinom:

𝑎𝑛 = 𝑛2 + 𝑛 + 1

A hozzárendelés ismeretében az alábbi grafikon készíthető:

2.5. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙+ 𝟏 függvény megjelenítése

20

2.4. Polinomok II.

Ebben a részben olyan témát mutatok be, ami már az egyetemi anyagok körébe

tartozik, de egy emelt óraszámban tanuló diáknak, esetleg szakkörön, remek kiegészítő

feladat lenne. Elsőként új ismeretként egy tételt bizonyítjuk be, majd a tétel használatára

mutatunk egy példát, amit már a korrekciós módszerrel lényegesen bonyolultabb lenne

megválaszolni.

A tétel valójában lemmák következménye, melyek teljesülnek a megadott feltételek

mellett, így csak a lemmákat kell bizonyítani. Ezek szintén megtalálhatóak Hraskó

András Elemi Matematika 4. jegyzetében.

2.1. Lemma: Ha egy sorozat képlete egy 𝑘-adfokú polinom, akkor a sorozat

különbségsorozata (𝑘 − 1)-edfokú polinommal adható meg.

Bizonyítás: A polinomnak csak a legnagyobb fokú tagját vizsgálva (a többire

nyilván hasonlóképpen teljesül, és kisebb fokú lesz) adódik, hogy

n + 1 k − nk = k1 nk−1 + k

2 nk−2 + ⋯+ k

k − 1 n + 1

kifejezés 𝑛-nek (k− 1)-edfokú polinomja.

Következmény: Ha egy sorozatot leíró képlet egy 𝑘-adfokú polinom, akkor 𝑘-adik

különbségsorozata egy konstans sorozat.

2.2. Lemma: Ha az 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 sorozatok 𝑘-adik különbségsorozatai konstansok és

ez a két sorozat megegyezik az első 𝑘 + 1 elemében, akkor az 𝑎𝑛 é𝑠 𝑎 𝑏𝑛

azonosak.

1 9 29 67 129 221 349

8 20 38 62 92 128

12 18 24 30 36

6 6 6 6

2.6. ábra Példa a 2.2. lemmához, ahol 𝒂𝒏 = 𝒏𝟑+ 𝒏− 𝟏

Bizonyítás: Az első 𝑘+ 1 elem különbségsorozatait képezve, majd azok

különbségsorozatait előállítva, és így tovább, egészen a konstansig, előáll egy olyan

számháromszög (2.6. ábra sötétszürke rész), ami azonos lesz a két sorozat esetében,

mivel az első 𝑘 + 1 elem megegyezik. Ismerve a konstans tag értékét, azt a következő

elem helyére is beírhatjuk, és ennek segítségével, visszafele haladva, minden tag értéke

21

egy meghatározott szám lesz (2.6. ábra világosszürke rész). Így az eredeti sorozat

elemei visszafejthetőek, és mindkét esetben egyenlők lesznek, a kezdeti feltételek miatt.

2.3. Lemma: Bármely (𝑘+ 1) megadott hely, és azokban bármely előírt értékekhez

létezik, és egyértelmű az a 𝑘-adfokú polinom, amely a megadott helyeken az előírt

értéket veszi fel.

Bizonyítás: A 2.1. Lemma után szereplő következmény, és a 2.2. Lemma biztosítja

az egyértelműséget. A létezést pedig a következő módon igazoljuk: Legyenek az alábbi

polinomok az alapjaink:

n0 ,

n1 ,

n2 , ⋯ ,

nk

Ha azt tekintjük, hogy 𝑛 = 0, 𝑛 = 1, ... 𝑛 = 𝑗 − 1 esetekben nj = 0 lesz, és 𝑛 = 𝑗

mellett 1, akkor az alábbi interpolációs polinomot használhatjuk a keresett képlethez:

p n = a0 n0 + a1

n1 + a2

n2 +⋯ + ak

nk

Itt a kezdeti feltételeket használva az egyes együtthatók, lépésről lépésre

meghatározhatóak, hiszen kezdetben 𝑛 < 𝑗 miatt egy csomó tag kiesik. Például a 2.6.

ábrát használva a kikötések a következők lesznek:

p 0 = 1, p 1 = 9, p 2 = 29, p 3 = 67

Általánosan úgy kell tekinteni a p n -re, hogy csak az ak nk képezi az 𝑘-adfokú

tagot, és járulékosan az alacsonyabb fokúakat is. Ezt követően az ak−1 n

k − 1

korrigálja az 𝑘 − 1-edfokút, és az alacsonyabbak ezen már nem változtatnak. Így

minden aj nj tag rögzíti az nj együtthatóját, de a j-nél nagyobb fokú tagokon már nem

változtat. Ez az interpoláció fut végig egészen az ao -ig, így határozódik meg a polinom.

Abban az esetben, ha a polinom magasabb fokú, vagy együtthatói például törtek,

akkor a táblázatos közelítő módszer nagyon bonyolult, kézi számolással esetenként

megoldhatatlan. Ilyenkor alkalmazzuk az előbb bemutatott módszert.

22

2.5. Feladat: Béla az alábbi feladattal szeretné próbára tenni, hogy valóban

használható-e, a most leírt eljárás (2.9. táblázat):

𝒏 0 1 2 3 4 5 6

𝒂𝒏 10 7 4 3 6 15 32

2.9. táblázat 2.5. feladat hozzárendelései

Első lépésként a különbségsorozatokat kell kiszámítanunk, amit legegyszerűbben a

számháromszögben (2.7. ábra) tudunk ábrázolni.

10 7 4 3 6 15 32

-3 -3 -1 3 9 17

0 2 4 6 8

2 2 2 2

2.78. ábra A 2.9. táblázatból keletkező különbségpiramis

Mivel a harmadik különbségsorozat konstans, ezért harmadfokú polinommal állunk

szemben, alakja a következő:

p n = a0 + a1n + a2n2 + a3n3

Most a megadott pontokra illesszük a függvényünket, ezt 𝑛 értékeinek

behelyettesítésével tesszük meg. A polinomunkat tehát az alábbi alakban keressük:

p n = b0 n0 + b1

n1 + b2

n2 + b3

n3

A behelyettesítést követően a 𝑏𝑖 értékek egyesével meghatározhatóak, a számolás t az

alábbi módon kell elvégezni:

p 0 = 10 → bo 00 = 10 → b0 = 10

p 1 = 7 → bo 10 + b1

11 = 7 → b1 = −3

p 2 = 4 → bo 20 + b1

21 +b2

22 = 4 → b2 = 0

p 3 = 3 → bo 30 + b1

31 +b2

32 + b3

33 = 3 → b3 = 2

23

Ezeket az értékeket most behelyettesítjük a 𝑝 𝑛 -be, és rendezve azt, zárt alakra

hozzuk a polinomot:

p n = 10 n0 − 3

n1 + 0

n2 + 2

n3

p n = 10 − 3n + 2n n− 1 n− 2

3!

p n = 10− 3n +n3 − 3n2 + 2n

3

p n =n3

3− n2 −

7

3n + 10

Érezhető, hogy ennek a feladatnak a megoldásához már a táblázatos, korrekciós

módszer kevés, lényegesen bonyolultabb számításokhoz, próbálgatásokhoz vezetne,

mint amit célszerű elvégezni. A 2.7. ábrán látható, hogy a megadott pontok valóban

ráillenek a p n függvényre.

2.7. ábra Az 𝒑 𝒏 =𝒏𝟑

𝟑−𝒏𝟐 −

𝟕

𝟑𝒏 +𝟏𝟎 függvény megjelenítése

Érdemes megjegyezni, hogy ezt a harmadfokú polinomot úgy generáltam, hogy

bármely 𝑛-re egészet adjon. Ennek ellenőrzésére a p n = 10− 3n + 2n n−1 n−2

3! -t is

elég megvizsgálni. Az n n− 1 n− 2 három egymást követő szám szorzata, melyek

közül biztosan van legalább egy 3-mal osztható, és egy páros, vagyis a szorzat osztható

6-tal, ami épp 3!.

24

Észre kell még venni, hogy az előző feladatokkal ellentétben az első szám, amit

behelyettesítettünk 𝑛 helyére a nulla volt és nem az egy. Ennek oka a következő; sok

esetben, például rekurzív sorozatoknál (pl. Fibonacci sorozat) szokásos 0-dik elemet

definiálni, hogy a képzési szabály az első elemre is működjön. Jelen esetben tudjuk,

hogy polinommal állunk szemben, így az 𝑛 = 0-nak van értelme. A könnyebb számolás

végett most az 𝑛 = 0 értékét is megadjuk, így az egyenletrendszerünk egyszerűbb lesz.

Természetesen e nélkül is megoldható, hisz négy ismeretlen mellé, négy lineárisan

független egyenlet tartozik, ezek pedig mindig megoldhatóak.

25

III. fejezet - Használat, érdekes példák

3.1. Köbszámok összege

Ezt a témát érdekességnek szántam, mert egy általam már sokszor feltett kérdésre ad

választ, miszerint: Hogyan jön rá az ember egy számsorozat összegképletére? Ez a

kérdés merült fel bennem például akkor is, amikor megismerkedtem a négyzetszámok

összegképletével:

1 + 4 + 9 + 16 +⋯ + n2 =n n + 1 2n + 1

6

Ilyenkor az ember agyán átfutnak, olyan kérdések, hogy: "Honnan jön az a 2n?"

"Miért pont 6-tal osztok, miért nem 42-vel?" A válasz általában az: "Mert csak!" "Mert

ez így kijön!" Ez mindig zavart engem, a tény, hogy a képlet egyszerű, matematikai

szempontból egy általános iskolás is megérti, a legtöbb esetben mégsem tudjuk meg,

hogyan jut valaki erre a megoldásra.

Mikor megismertem ezt az eljárást, a mögöttes gondolatmenetet, hamar magával

ragadott engem. Én elsőnek a négyzetszámok összegképletére láttam bizonyítást, és

remek sikerélmény volt, hogy mikor otthon a köbszámokra elvégeztem a számolásokat,

(nem ismerve az eredményt, az internetről kikeresett megoldással vetettem össze azt),

helyesnek bizonyult. Ezért példaként is ezt a feladatot választom. A kérdés tehát a

következő:

3.1. Feladat: Adjunk képletet az első 𝑛 darab köbszám összegére!

A megoldáshoz segítségül hívjuk azt, amit eddig tanultunk Béla szabálykereső

játékai során, és kicsit távolabbról szemlélve kiforgatjuk a kérdést. Az ötlet a

következő; azt tudjuk, hogy ha felírjuk a köbszámokat, akkor az 𝑛3 szabályt kapnánk

vissza a számolásból. Ám ha ezeket a köbszámokat már különbségsorozatnak tekintjük

(3.1. ábra sötétszürke sor), és az eggyel magasabb rendű sorozatot generáljuk belőle,

akkor pont a köbszámok összegének sorozatát kapjuk (3.1. ábra világosszürke sor).

Tekintsük hát ezt, az eredeti számsorozatnak, és keressünk hozzá szabályt, a már ismert

módszerrel.

26

0 1 9 36 100 225 441 784

1 8 27 64 125 216 343

7 19 37 61 91 127

12 18 24 30 36

6 6 6 6

3.1. ábra A köbszámok összegének különbségpiramisa

A különbségsorozatokból tudjuk, hogy egy negyedfokú polinommal leírható az

összegképlet, hiszen négy lépésből konstans sorozathoz jutottunk. Hasonlóan az előbbi

feladathoz, most is behelyettesítjük 𝑛 értékeit, és kiszámoljuk a polinom együtthatóit:

p 0 = 0 → bo 00 = 0 → b0 = 0

p 1 = 1 → bo 10 + b1

11 = 1 → b1 = 1

p 2 = 9 → bo 20 + b1

21 +b2

22 = 9 → b2 = 7

p 3 = 16 → bo 30 + b1

31 +b2

32 + b3

33 = 16 → b3 = 12

p 4 = 100 → bo 40 + b1

41 +b2

42 + b3

43 + b4

44 = 100 → b4 = 6

Rendezzük az eredményeket, és megadjuk a zárt képletet:

p n = 0 n0 + 1

n1 + 7

n2 + 12

n3 + 6

n4

p n = 0 ∙ 1 + 1 ∙ n + 7n n− 1

2!+ 12

n n− 1 n− 2

3!+ 6

n n− 1 n− 2 n− 3

4!

p n = n +7

2n n− 1 + 2n n− 1 n− 2 +

1

4n n− 1 n− 2 n− 3

p n = n +7

2n2 −

7

2n + 2n3 − 6n2 + 4n +

1

4n4 −

6

4n3 +

11

4n2 −

6

4n

p n =1

4 n4 + 2n3 + n2

p n =n2 n + 1 2

4

27

A Wikipédia2 által megadott összegképlet egy még összevontabb alakot ad meg, mert

abból jól látszik, hogy az első 𝑛 köbszám összege, éppen az 𝑛-edik háromszögszámmal

egyenlő:

i3

n

i=1

= n n − 1

2

2

A háromszögszámok azok a számok, amik előállnak az egymást követő természetes

számok összegeként. Nevét a szemléltetésről kapta, miszerint kavicsokat egyre növekvő

számban egymás alá helyezünk úgy, hogy háromszög alakba rendezzük őket (3.2.

ábra).

3.2. ábra Az első 𝟑 háromszögszám megjelenítése

Ez a matematika egyik érdekessége, hogy két látszólag összefüggéstelen dolog

között is megjelenik kapcsolat. Ez adja a matematika szépségét, ezekért a

kapcsolatokért érdemes kutatni a számok rejtelmes világát.

Az itt elhangzott számítás nem a szokványos eljárás, ám a különlegessége pont ebben

rejlik; az egyszerűségében, és abban, hogy önállóan eljuthatunk egy zárt képletig, ami

jól használható, könnyen kezelhető.

Fontos kihangsúlyozni, hogy itt nem pusztán azt bizonyítjuk, hogy egy adott képlet

helyes-e, vagy sem, ez nem egy indukciós bizonyítás, nem egy eldöntendő kérdésre ad

választ. Ez a gondolatmenet generálja a helyes képletet az adott problémára, ezért érzem

hogy kiemelt szerepe van. Az a tény, hogy ezt megismerve, a diákokban

megszüntethetünk egy aggasztó kétséget a matematikával szemben, egy vakfoltot

oszlatunk el, mindenképpen megéri a rá fordított időt, legyen az fakultációs óra, de

esetleg a rendes tanórák egyike.

2 Wikipédia http://hu.wikipedia.org/wiki/Köbszámok letöltés 2014. 05. 17.

28

3.2. Integrálás

Az alábbi részben az a célom, hogy kitekintést nyújtsak a "Mi a szabály?" típusú

feladatokból, ám olyan példát mutassak, amihez felhasználhatóak a korábban a

számsorozatok körében szerzett ismeretek. Így például egy középiskolai emelt órán,

vagy szakkörön az integrálás bevezetése kapcsán, előkerülhet egy régebbi feladat

megoldása.

Egy adott síkidom, vagy egy görbe alatti terület kiszámítása nagyon fontos a

matematika, a fizika vagy akár a pénzügy területén is. Erre természetesen az

integrálszámítást használjuk, ebben a részben azt szemléltetem, hogyan végezhetőek el

csupán a sorösszegek segítségével, hogyan válthatunk ki egy-egy ilyen integrálást.

Ez a módszer valójában az integrálszámítás előfutára volt, jól tükrözik a feladat

bonyolultságát, és egy középiskolai szakkörön remekül előadható, mint bevezetés az

integrálszámításhoz.

A 3.1. részben sikerült meghatároznunk a köbszámok összegképletét, így most egy

olyan példát választottam, amelyben kihasználhatjuk ezt az ismeretünket. A problémát

egy középiskolai szakköri füzet gyakorló feladatai között találtam3.

3.2. Feladat: Az 𝑓 𝑥 = 𝑥3 függvény a 3.3. ábrán látható módon a 0; 1

intervallumban meghatároz egy síkidomot, ennek keressük a területét.

3.3. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 függvény alatti területe

3 Dr. Máté László - Rekurzív Sorozatok (18. oldal 11. feladat)

29

Az eljárás során először alulról aztán felülről fogjuk becsülni a területét, majd ezeket

fogjuk összehasonlítani. Kezdetben a 0; 1 intervallumot, osszuk 𝑛 egyenlő részre.

Most meghatározzuk a téglalapok területét, melyeket az intervallum darabok, és a

függvény minimumai határolnak a részintervallumokban (3.4. ábra). A téglalapok

szélessége mindig 1

𝑛, magassága pedig 𝑥3 lesz, tehát az elsőé

1

𝑛

1

𝑛

3

, a másodiké 1

𝑛

2

𝑛

3

,

a harmadiké 1

𝑛

3

𝑛

3

és így tovább.

3.4. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 függvény egy alsó közelítése

Ha tehát a 0; 1 intervallumot 𝑛 egyenlő részre osztjuk fel, akkor a téglalapok

területének összegére az alábbi képlet adódik:

𝑡𝑛 =1

𝑛

13

𝑛3+

23

𝑛3+

33

𝑛3+ ⋯+

𝑛− 1 3

𝑛3

Láthatjuk, hogy a zárójelen belüli törtek számlálói rendre a köbszámok, és közös

nevezőjük miatt, valójában egy tört van a zárójelben, melynek számlálója az első 𝑛 − 1

köbszám, nevezője pedig az 𝑛3 . Ha tehát felhasználjuk a 3.1. részben meghatározott

13 + 23 + 33 +⋯ + n3 =n2 n+1 2

4.

képletet, és az 𝑛-ek helyére 𝑛 − 1-et írunk, akkor a területösszegre az alább i

összefüggés adódik:

𝑡𝑛∗ =

n− 1 2

4𝑛2

30

Ez a formula tehát alulról becsüli meg a függvényünk értékét. Ha az eredeti 𝑡𝑛

területösszegző képletbe 𝑛 helyére behelyettesítjük a 4-et akkor a következő

eredményhez jutunk:

𝑡4 =1

4

13

43+

23

43+

33

43 =

1 + 8 + 27

43=

36

256= 0,14063

A 3.1. táblázatban néhány nagyobb helyettesítési értéket is meghatározunk, de ebben

az esetben természetesen már a 𝑡𝑛∗ összegképletet alkalmazzuk. Nyilvánvaló, hogy az

𝑛 = 4-re is ugyanazt az értéket kapjuk, és sejthető az is, hogy elég nagy számok esetén

a görbe alatti terület tart az 1

4-hez.

n 4 5 10 100 1000 10000

tn* 0,14063 0,16000 0,20250 0,24503 0,24950 0,24995

3.1. táblázat A 𝒕𝒏∗ néhány behelyettesített értéke

Azért, hogy a sejtésünket igazolni is tudjuk, érdemes az előzőhöz hasonlóan, felülről

is becslést adni. Az adott intervallumrészeken vett téglalapok magassága most az

intervallumdarabok maximumai lesznek (3.5. ábra):

𝑇𝑛 =1

𝑛

13

𝑛3+

23

𝑛3+

33

𝑛3+ ⋯+

𝑛− 1 3

𝑛3+ 1 = 𝑡𝑛 +

1

𝑛

3.5. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 függvény egy felső közelítése

31

Kihasználva, hogy a zárójelen belül a számláló ez alkalommal az első 𝑛 köbszám

összege, az alábbi képletet alkalmazhatjuk:

𝑇𝑛∗ =

n + 1 2

4𝑛2

Ha ezeket a felülbecsléseket vizsgáljuk az 𝑛-ek behelyettesítésével (3.2. táblázat),

hasonlóan az alulbecsléshez, ismét azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a síkidom

területe tart az 1

4-hez.

n 4 5 10 100 1000 10000

Tn* 0,39063 0,36000 0,30250 0,25503 0,25050 0,25005

3.2. táblázat A 𝑻𝒏∗ néhány behelyettesített értéke

Ha a két eredményünket valós függvényként ábrázoljuk egy logaritmikus skálán (3.6.

ábra) akkor látható, hogy valóban mindkettő tart a kívánt határértékhez. Ezt az is

megerősíti, sőt szükséges feltétele is, hogy az alsó és a felsőbecslések ∆ különbsége is

tart a nullához.

∆= 𝑇𝑛∗ − 𝑡𝑛

∗ =1

𝑛 és lim𝑛→∞

1

𝑛= 0

Természetesen a becslésünk tovább finomítható, sokkal nagyobb pontosságo t is

elérhetünk, ha a téglalapmódszer helyett a trapéz módszerrel közelítjük az

intervallumok területét. Ez az eljárás kisebb számok esetén precízebb eredményt ad, de

a feladat megoldásának menete szempontjából azonos módon zajlik.

3.6. ábra Az alsó és a felső közelítések határértékének megjelenítése

32

Remek kontrasztot nyújt, ha megmutatjuk, hogy ehhez képest a hosszas számoláshoz

képest, ismerve az integrálszámítás alapjait, milyen egyszerűen, akár egy sorban is

eljuthatunk a megoldáshoz. Ha ismerjük a Newton-Leibniz formulát, akkor az alábbi

módon kell gondolkoznunk:

𝑥3𝑑𝑥 = 1

4𝑥4

0

1

=

1

0

1

414 −

1

404 =

1

4

Láthatjuk, hogy kitűnő átkötő példa két témakör között. Amit be szerettem volna

mutatni az az, hogy egy látszólag eltérő típusú feladvány kapcsán is alkalmazhatóak a

matematika más területéről vett tudások. Nagyon fontosnak tartom ezt a feladatot, mert

személyes sikerélmény fűz hozzá, amit az órákon szívesen látnék vissza a diákoktól is.

Általában a könyvek, feladatsorok a négyzetszámok összegének problémáját,

valamint az f x = x2 alatti terület értékét, szokták bemutatni, a Rekurzív sorozatok

című könyv is így tesz. Ezért is választottam a köbös feladatváltozatokat, így elsőként a

köbszámok összegképletének megtalálása hozott helyes eredményt, majd a

területszámítás, melyeket így össze is tudtam fűzni.

Ha ebben a sorrendben kerülnek elő ezek a kérdések nincs szükség arra, hogy

például az összegképletet előismeretek nélkül közöljem, pusztán az integrálás

megoldásának céljából, azt ismertnek vehetem. Szerintem nagyon eltérő gondolat van

amögött, hogy felírom a képletet emlékeztetőül, vagy egyszerűen kijelentem, hogy ezt

az összefüggést kell használni.

33

3.3. Pontok a kör kerületén

Korábban már foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy hány darab számpár megadása

szükséges egy szabály meghatározásához. A válasz természetesen az, hogy "attól függ",

hiszen ha plusz információkat adunk meg például; "a szabály egy 𝑛-edfokú polinom",

akkor szűkítjük a megfelelő megoldások számát. Ha pedig nem csak számpárokat,

hanem egy konkrét problémát vizsgálunk, akkor a kitalált szabályunknak bizonyítottan

illeszkednie kell a feladathoz.

Ebben a részben ezt szeretném szemléltetni egy példával, mely az óvatlan szem

számára becsapós lehet. Kezdjük 5 egyszerű számpárral és találjuk meg a szabályt.

n 1 2 3 4 5

an 1 2 4 8 16

3.3. táblázat Egy egyszerű példa

Rögtön azt mondhatjuk, hogy ez az f n = 2n−1, és ha csak ennyi számot kapunk,

akkor ez jó megoldásnak is tűnhet. Ha azonban egy másik matematikai probléma első

pár megoldásaként nézzük más sejtés is kialakulhat bennünk.

Az alábbi feladattal először a Kombinatorikai feladatmegoldó gyakorlaton

találkoztam, amit Juhász Péter tartott4. Ott annak kapcsán került elő, hogy milyen fontos

a sejtés és a bizonyítás közötti különbség, miért nem szabad semmit sem bizonyítás

nélkül hagyni. Amikor a feladat a szakdolgozatom kapcsán ismét előkerült, akkor

ismerkedtem meg Varga Tamás cikkével5, mely még átfogóbban vizsgálja azt.

3.3. Feladat: Vegyünk fel 𝑛 darab pontot egy kör kerületén, majd kössünk össze

minden pontot a többi ponttal. Hány részre osztják ezek a szakaszok a kört?

3.7. ábra Az első 5 eset illusztrálása

4 Juhász Péter - http://www.cs.elte.hu/~jpet/01.pdf letöltés 2012. 05. 19.

5 Varga Tamás - Pontok a kör kerü letén A Matematika Tanítása 1968/2.

34

A példát természetesen néhány rajz készítésével érdemes kezdeni, a 3.7. ábrán azt

láthatjuk, hogy az első 5 pont hogyan alakítja a körök felosztását. Néhány próbálkozás

után sejthetjük, hogy itt a részek száma független a pontok helyzetétől. Hasonlóan a

kezdetben felvetett számpárokhoz a 3.3. táblázatban, megfigyelve a pontok és a részek

száma közötti összefüggést, az látható, hogy a részek mindig megkétszereződ nek, tehát

𝑛 pont esetén 2𝑛−1 részre oszlik a kör.

3.8. ábra 6 pont esetén 30 és 31 mező is keletkezhet

Azonban, ha 6 pont használatával próbáljuk előállítani a soron következő 32 részt,

kudarcot vallunk, mindig csak 30 vagy 31 szeletet tudunk létrehozni. A 30 rész akkor

keletkezik (3.8. ábra, bal oldali kör), ha a kör egy belső pontján 3 szakasz is áthalad,

azok ugyanis az egyik pont elmozdításával újabb darabot határolnak (3.8. ábra, jobb

oldali elrendezés).

Ehhez az elrendezéshez az szükséges, hogy a 3 szakasznak ne legyenek közös

végpontjai a kör kerületén, amihez legalább 6 pontra van szükség, tehát 𝑛 = 6 a

legkisebb ilyen eset. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért ezt nem engedjük,

kizárjuk ezeket az eseteket, így mindig csak a maximálisan előállítható részek számát

vizsgáljuk.

Ahhoz, hogy szabályt tudjunk alkotni, meg kell vizsgálnunk, hogy egy új pont

felvételekor hány új elkülönített terület keletkezik. Ehhez a 3.8. ábrán látható jobb

oldali körre felveszünk egy 7-dik pontot és behúzunk rajta egy szakaszt a P1 és a P7 pont

között. (3.9. ábra). A szakasz 6 új metszéspontot hozott létre, és ennél 1-gyel több azaz

7 elkülönített területet vágott két fele.

Meggondolható, hogy a darabok, mindig 2 részre esnek szét, hiszen konvex

síkidomot egyenesek mindig konvex részekre osztanak, és a kezdeti síkidomunk, a kör,

is konvex volt.

35

3.9. ábra A 𝑷𝟏𝑷𝟕 szakasz behúzásával keletkező metszéspontok

Vagyis az új idomok száma attól függ, hogy a felvett szakasz hány metszéspontot

hoz létre, ami pedig a szakasz két oldalán elhelyezkedő régi pontok számának szorzata

szerint változik. A 7-dik felvett pont esetében, ha minden korábbival összekötjük a 3.4.

táblázatban feltüntetett módon, összesen 26 új darabot hasít ki a körön belül.

Pontok száma az új szakasz oldalán

Új metszéspontok száma

A részek számának növekedése

Bal Jobb

0 5

0

1

1 4

4

5

2 3

6

7

3 2

6

7 4 1

4

5

5 0

0

1

Összesen: 26

3.4. táblázat 𝟔 → 𝟕 pont alatt keletkező új darabok száma

Ezt a módszert követve kis számolással megadhatjuk a további esetek számát is, így

a 8-dik pont felvételekor 42-vel, majd 64-gyel, és a 10-dik pont esetén 93-mal nő a

különálló területek száma. A 3.5. táblázat ennek a számolásnak a segítségével lett

kitöltve, hiszen ezeknek az ábráknak a megrajzolása egyre nehezebb feladat lenne, ám a

szükséges műveletek könnyen elvégezhetőek.

Pontok száma (n) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Részek száma (an) 1 1 2 4 8 16 31 57 99 163 256

3.5. táblázat A részek száma a pontok függvényében

Habár az új szakaszok két oldalán lévő pontok számának vizsgálata eredményes, de

nagyobb számok esetén már igen körülményes is, érdemes tehát keresni egy explicit

képletet, aminek ismeretében a számolás egyszerűbbé válik. Mivel ismerjük az első

36

néhány an értéket, érdemes a 2.4. részben megismert különbségsorozatok vizsgálatának

módszerét használni. A 3.6. táblázatban látható, hogy a negyedrendű különbségsorozat

konstans, ami azt jelenti, hogy a feladat megoldása megadható egy negyedfokú

polinommal a 2.3. lemma miatt.

1 1 2 4 8 16 31 57 99 163 256

0 1 2 4 8 15 26 42 64 93

1 1 2 4 7 11 16 22 29

0 1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1

3.6. táblázat A mezők számából keletkezett számpiramis

Ennek kiszámolását az előzőekhez hasonlóan a bn együtthatók meghatározásával

kell kezdenünk:

p 0 = 1 → bo 00 = 1 → b0 = 1

p 1 = 1 → bo 10 + b1

11 = 1 → b1 = 0

p 2 = 2 → bo 20 + b1

21 +b2

22 = 2 → b2 = 1

p 3 = 4 → bo 30 + b1

31 +b2

32 + b3

33 = 4 → b3 = 0

p 4 = 8 → bo 40 + b1

41 +b2

42 + b3

43 + b4

44 = 8 → b4 = 1

Majd a behelyettesítés, és az egyszerűbb alakra hozás következik; rendezzük az

eredményeket, és megadjuk a zárt képletet:

p n = 1 n0 + 0

n1 + 1

n2 + 0

n3 + 1

n4

p n = 1 +n n− 1

2!+

n n− 1 n− 2 n− 3

4!

p n = 1 +1

2n2 −

1

2n +

1

24n4 −

6

24n3 +

11

24n2 −

6

24n

p n =n4 − 6n3 + 23n2 − 18n + 24

24

37

Ez a képlet tehát megadja, hogy 𝑛 pont között behúzott szakaszok, maximálisan hány

részre vágják szét a kört. A 3.10. ábrán megfigyelhető, hogy a fekete f n = 2n−1 és a

piros 𝑝 n megoldás a 1; 5 intervallumban azonos, ám ezt követően egyre nagyobb

eltérés tapasztalható. Az ábra azt is jól szemlélteti, hogy miért volt olyan csábító az a

feltételezés, hogy a részek száma mindig megkétszereződik.

3.9. ábra A 𝒑 𝒏 és az 𝒇 𝒏 = 𝟐𝒏−𝟏 függvények összehasonlítása

Mostanra már három módszerrel is kiszámolhatjuk a megadott pontokból a

pontokhoz tartozó területek számát. Elsőként használhatjuk a 3.4. táblázat módszerét,

ahol a pontok elhelyezkedése szerint rekurzívan adjuk meg az értéket, másrészről

természetesen közvetlen 𝑛 pont esetén is megmondhatjuk a helyes megoldást az explicit

képletünk segítségével.

Még nem esett szó a harmadik módszerről, mely igen kényelmes és egyszerű.

Felhasználva a 3.6. táblázat számpiramisát, ha a legalsó sorban a csupa 1-es konstans

sorozatot folytatjuk, akkor ezt felhasználva visszafejthetőek a felsőbb sorok szomszédos

elemei. Tehát akkor is eredményhez juthatunk, ha visszafele kitöltjük a piramist.

Eltérő megoldásnak nem nevezhető, de alakra mindenképpen más, úgyhogy érdemes

kiemelni, az alábbi megoldást. Varga Tamás cikkében megtalálható egy részlet Pólya

Györggyel folytatott levelezéséből, melyben szó esik erről a feladatról. Ebben Pólya

professzor egy másik képletet ismertet, amely binomiális együtthatókkal adja meg a

végeredményt:

p n = n0 +

n1 +

n2 +

n3 +

n4

38

Fontos megjegyezni, hogy ez az alak annyiban eltér a mi megoldásunktól, hogy az 𝑛

értékeket 1-gyel eltolva alkalmazza, tehát 𝑛 pont esetén például nem 2-t, hanem 4-et ad

eredményül. Ez azért van így, mert Pólya György egy másik témakörből vett feladat

megoldásával hozza párhuzamba ezt a problémát. Ez az alak az alábbi polinomot adja

meg megoldásnak:

p n =n4 − 2n3 + 11n2 + 14n + 24

24

Látható, hogy a két képlet nagyon hasonló. A polinomunk kiszámolása közben

természetesen mi is megtaláltuk a megfelelő binomiális együtthatós alakot, ám ez a

helyes hozzárendelést alkalmazza:

p n = n0 +

n2 +

n4

Ez a formula elég egyszerűnek tűnik, így várhatóan van mögöttes tartalma. Ismerve a

végeredményt sikerült kombinatorikai magyarázatot találnom, mely egy újabb

bizonyítást eredményez. Maga a kör területe 1 résznek felel meg, melyet most jelöljünk

n0 formában. Ezt követően vizsgálnunk kell, mikor keletkezik új rész a körön belül.

Ha új húr jelenik meg a körben, akkor mindig lesz 1 új darab is, tehát minden húrhoz

tartozik egy új terület. A húrok száma pedig n2 lesz, hiszen 𝑛 darab pontból kell

kiválasztanunk 2-t.

Ezen kívül még akkor jön létre új darab, ha 2 húr metszi egymást. Itt a következő

képpen kell gondolkodnunk; 1 metszésponthoz 4 oldal tartozik. Kezdetben van maga az

1 darab üres terület, azt már valamilyen formában számoltuk (vagy maga a kör, vagy

húrból, metszéspontból keletkezett), majd a 2 szakasz behúzásakor még 2 oldal, hiszen

ezek a szakaszok a már felhasznált húrok. Tehát minden metszéspont esetén csak 1 új

szeletet kell feljegyeznünk.

Bármely a kör kerületén lévő 4 pont között pontosan 1 olyan elrendezés van, amikor

a pontokhoz tartozó szakaszok metszik egymást. Ez azt jelenti, hogy 𝑛 pont esetén a

körben, maximálisan annyi metszéspont jöhet létre, ahány féle képpen kiválaszthatunk

4 pontot, vagyis n4 . Más módon nem jön létre új mező, vagyis ezen három komponens

összege lesz az összes rész száma.

39

Összefoglalás

Dolgozatom célja az volt, hogy a nagyon egyszerű "Mi a szabály?" feladattal és a

számsorozatok segítségével a különböző témák és korosztályok között példát mutassak

ezek sokszínűségére.

Kezdetben 3 számpárhoz kerestünk minél több eltérő szabályt, mely jó példa volt

arra, hogy egy aluldefiniált feladat sok megoldást adhat. Gyakorló, ismétlő vagy esetleg

összefoglaló óra keretében érdemes ilyet választani, ahol a gyerekek több nézőpontból

vizsgálhatják a számokat.

Miután kiismerték a függvények néhány sajátosságát, módszereket mutattunk,

hogyan kell egy konkrét esetben, ahol felismertük a függvény típusát, kiszámolni annak

együtthatóit, meghatározni a keresett szabályt. Ilyen módszerek voltak az egymást

követő számok különbségeinek vizsgálata, mely a lineáris függvények kapcsán hozott

eredményt, és a szomszédos tagok hányadosainak elemzése, mely az exponenciális

összefüggésekhez volt alkalmazható.

Tételeket ismertünk meg a polinomokkal kapcsolatban, melyeket a próbafüggvények

mellett hasznosítottunk. Ezt követően pedig a különbségsorozatok tulajdonságait

aknázhattuk ki, nem csak egy adott polinom kapcsán, de összetett feladatok

megoldásához is.

A köbszámok esetében megalkottunk egy explicit képletet, az első 𝑛 köbszám

összegére, mellyel az előző tagok kiszámítása nélkül megkaphatjuk a kívánt értéket. Ezt

az eredményt pedig, egy teljesen eltérő témakörben, az integrálszámítás megismertetése

közben használtuk fel, ahol egy végtelen összeg határértékének kiszámításában volt

nagy szerepe.

A "pontok a körön" problémánál, egy rossz sejtés után sikeres konstrukciót adtunk a

megoldásra, és a végeredmény előállításához ismét felhasználtuk a különbségsorozatok

vizsgálatának technikáját. Ezt követően tovább elemeztük a végeredményt, és nem

csupán három számolási módszert, de két teljesen eltérő bizonyítást is adtunk a

feladatra.

Ezekből a feladványokból jól látható, milyen sokoldalúan használhatóak a sorozatok,

és az is, hogy bizonyos esetekben, milyen jó ugródeszka lehet egy jól bevált módszer

alkalmazása. Ilyen volt a "pontok a körön" is, ahol miután megadtam a végeredmény

40

képletét, abból visszakövetkeztetve sikerült egyszerűbb és sokkal szebb bizonyítást

adnom a kombinatorika segítségével. Ezt a frappáns megoldást magamtól nem sikerült

kigondolnom, de látva a p n = n0 +

n2 +

n4 alakot, jelentést tudtam társítani az

egyes tagokhoz.

Ez a dolgozat példa arra, hogyan lehet néhány probléma feltárásával megismerni

egy-egy témakört, melyet a későbbiek során több helyen felhasználhatunk. A

matematikában fontosnak tartom, hogy minél több eszköz legyen a kezünkben, olyanok

mint a teljes indukció, a fordított gondolkozás, a különbségsorozatok vizsgálata, vagy

esetleg csak a rajzolás, a jó ábra készítésének készsége. Remélem, hogy dolgozatommal

én is új eszközt adhattam az olvasó repertoárjához.

41

Köszönetnyilvánítás

Ez úton szeretném megköszönni a munkát témavezetőmnek Hraskó András

egyetemi adjunktusnak, valamint Ambrus Gabriella egyetemi adjunktusnak akik

rengeteg segítséget nyújtottak munkámhoz; feladatokkal és számos hasznos tanáccsal

láttak el engem.

Köszönetet mondok a BSc-s tanulmányaim alatt tanúsított végtelen szeretetért,

kitartásért és bizalomért, szüleimnek Tóth Máriának és Szőnyi Gábornak, öcsémnek

Szőnyi Tamásnak, Botos Renátának és Andrási Gábornak. Ezenkívül köszönök minden

segítséget tanáraimnak, és hallgatótársaimnak.

42

Irodalomjegyzék

1. Varga Tamás: Pontok a kör kerületén, A Matematika Tanítása 1968/2.

2. Máté László: Rekurzív sorozatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.

3. Laczkovich Miklós és T. Sós Vera: Analízis I., Nemzeti Tankönyvkiadó,

Budapest, 2005.

4. Lovász László, Pelikán József és Vesztergombi Katalin : Diszkrét matematika,

Typotex, Budapest, 2006.

5. Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2007.

6. Hraskó András: Elemi matematika 4. jegyzet

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/elte/em4/fsor04ha.pdf

7. Juhász Péter: Kombinatorikai feladatmegoldó gyakorlat

http://www.cs.elte.hu/~jpet/01.pdf

8. Köbszámok összege http://hu.wikipedia.org/wiki/Köbszámok

9. Matematikai intézet http://www.cs.elte.hu

A grafikonok elkészítéséhez a Graph elnevezésű, szabad felhasználású programot

használtam. A program letölthető az alábbi web címről:

http://www.padowan.dk/

A 3.3. részben található ábrákat a körökről pedig a Geogebra programmal készítettem.

A program internetes címe:

http://www.geogebra.org/cms/

43

Nyilatkozat

Név: Szőnyi Gábor

ELTE Természettudományi Kar, szak: Matematika BSc, Matematika-Fizika tanári

NEPTUN azonosító: I4MGID

Szakdolgozat címe: Feladatváltozatok és megoldások különböző korosztályoknak

A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a

dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások

és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a

megfelelő idézés nélkül nem használtam fel.

Budapest, 2014. május 29. _______________________________

a hallgató aláírása