estructuras, calculo matricial de teoria y problemas (ramon argüelles, edit bellisco)1

en 1er y 2do orden. Teoría y problemas

Autores:

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS EN PRIMER Y SEGUNDO ORDEN. TEORÍA Y

PROBLEMAS

Ramón ArgüeIles Álvarez Catedrático de Cálculo de Estructuras de la U.P.M. Académico de Número de la Real Academia de Ingeniería.

Ramón Argüelles Bustillo Dr. Ingeniero Industrial. Profesor Titular de la U.P.M.

Francisco Arriaga Martitegui Dr. Arquitecto. Profesor Titular de Cálculo de Estructuras de la U.P.M.

José María Argüelles Bustillo Industrial. Profesor de la U.P.M.

Miguel Esteban Herrero Dr. de Montes. Profesor Titular de la U.P.M.

BELLlSCO Ediciones Técnicas Científicas MADRID

ÍNDICE DE CAPÍTULOS

l. FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO MATRICIAL ......... ,. .. , .. ,.., ........... ,.",.." 1

I.A. TEOREMAS DE LA ENERGÍA,,. .... ,, .... ,,, .... ,, .. , .. ,,,,, .. ,,, .......... ,,, ... ,, .. ,,, ... , ...... ,, ... " ........... , .. " ... 1 lA 1, TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERIORES .... " ............. , ... " ........ , ...................... " ... , .. ! IA2, ENERGIA DESARROLLADA POR LAS FUERZAS INTERlORES "." .. ,,, ............ " ...... 2

LA.2,] , TEORíA .. ", .. ",,,,, .. , .... , .......... , .... , .. ,, .... ,, ............ ,, .. ,, .... ,, .. ,,, ................. ,, .... ".", .... "", .... 2 IA2.2, EJERCICIOS ,,,,, .. , ... ,,,,,,,, .. , ", .. ,' .. " ..... , .. , .. ,." .. ' ....... ', .. , .. , .. , ... " .. " .,. " .. " "" ...... , .. , ........ ".4

LA,3, PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES .. , .. , .. " .. , .... " .... , .. "",.""" ......... "." .. " .. " .. 5 IA4, TEOREMA DE MAXWELL BETTI O DE LA RECIPROCIDAD DE LOS

RECORRIDOS"""" .. " .. "" .... """, .. ", .. """,,,.,,,.,, .. ,,,, ... "",,,,,,, ........ ,,,,,,,,,,,, .. ,,,' .. ',' .. ',, .. ,,,,, 7 LAA,], TEOREMA """ .... ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, .... ,,, .... , ........ ,,,,,,, .... , ............ , .. ,,,, .... " .. ,,, .... ,, 7 I,AA.2. APLICACIONES,,,,,,,,,,,,,,,,,,, .. ,,,,,,,,,, .. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, .... , .. , .. """"""".,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,9

I.A,5, METODO DE MOHR, ...... " ..... , ........ ,.", .. , ... , .. " ........ " .. , .. "" .... " .. , .. """,, ...... """".""".",10 lAS, 1, TEORíA .,.",,,,, '''''' ,,,,,,,,,,.,,,,,,,,, .. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, "" .... , "."",,,.,,,,,.,,,, 1 O

EJERCICIO 1.3 .",."""",,,,,,,.,,,.,,,,,,.,,,,,,,,,,, '"'''' """ """ .. """ .. ,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,."""."",12 LA.S.2, INFLUENCIA DE LAS VARIACIONES DE TE "lPERATURA ''''','''''',,'''','''''''', 13

EJERCICIO lA .. """, .... " .... "",,,,,,.,,,, ...... ,,.,,, .. ,,,,, .. ,,,,,,,, .. ,,, ,,,.,,,, .. ,,, .... ,,,,,,,,,,, ..... 14

I.B. ECUACIÓN DE LA FLEXIBILIDAD .. """"""" ... " ........ " .... " ............... " ..... " ...... ", ........... " .. 15 LRI. COEFICIENTES DE INFLUENCIA Y GRADOS DE LIBERTAD .. " ...... " .. " .. ""." .... " 15 I,B.2, NlATRlZ DE FLEXIBILIDAD ... "" .... ".",,, ... " .. ",,,.,, ..... , .. ,,,,,,,, ........... , ....... ,,,' .......... ",.,16 LB.3, CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE INFLUENCIA .. " .... , ..................... , .............. 17

IAS,I, EJERCICIO 1.5 .. "",,,, .... ,, .. ,,,, ...... ,, ......... , ..... ,.,,.,,, .. ,,.,,.,, .. ,, ...... ,, .. ,,,,," .. ,,,,,.,,,,,, .. ,,,,,,, 19

I.e. ECUACIÓN DE LA RIGlDEZ" .. ,,, ............. ,,,, .... ,, ..... , ........ ,, ... ,, ...... ,, .. ,,, ...... ,, ..................... 20 r.c.I. DEFINICiONES.,,,.,,,,, .. ,,.,,, .. , ................. ,, .... ,,, ... , ... ,,,., .. " .. """ ...... ", ..... , ........ , ............ ",.20

EJERCICIO 1.6 ....... , ............................... , .... , ........ , ................. " ............. , ...... ,." ................... , ...... ,21

I.D. MÉTODO DE LAS FUERZAS ...... " .. " ........ ' ............................................. , ............................. 22 !.D.I. ECUACIO':-<ES CANÓNICAS .................................... , ............. , ...................................... 22

EJERCICIO L 7 ....................... """ .... "" .. "" ..... "'" .. " .... """"., .. , ".". ""'" ,,",," ." ... ", .... " .. ""." .. """ 24

BIBLIOGRAFÍA, ........... , ..... , ............................................. " .. , ......................... , ... , .......... " ...... " .... , ........ 26

VI ÍNDICE DE CAPÍTULOS

II. LA BARRA HIPEREST ÁTICA ............................................................................. 1

U.A. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 1 II.A.\. EJES LOCALES DE LA BARRA Y GRADOS DE LIBERTAD ..................................... I II.A.2. COEFICIENTES DE INFUENCIA EN EL EXTREMO A DEL VOLADIZO .................. 2 1l.A.3. DESPLAZAMIENTOS DEL EXTREMO A DEL VOLt\DIZO PARA

DIFERENTES TIPOS DE CARGAS DE BARRA ............................................................ 2

1l.B. BARRA ARTICULADA I EMPOTRADA SOLICITADA POR CARGAS NORMALES A SU EJE .............................................................................................................. 3

II.B.\. CÁLCULO DE LA INCÓGNITA HlPERESTÁTICA ry"c •••.••..•••.••••••..•••....•••••••••.•.•••••..•• 3 II.B.2. EJEMPLOS DE BARRAS DE SECCIÓN CONSTANTE ................................................. 5

l.B.2.1. CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA ............................................................. 5

l.B.2.2. CARGA PUNTUAL ..................................................................................................... 5 IB.2.3. CARGA PARCIAL Y UNIFORMEMENTE REPARTIDA ....................................... 6

U.C. BARRA BIEMPOTRADA SOLICITADA POR CARGAS NORMALES A SU EJE ........... 7 I LC.I CÁLCULO DE LAS INCÓGNITAS HIPERESTÁTICAS ry,,'y .m,' .................................... 7 I LC.2. EJEMPLOS DE BARRAS DE SECCIÓN CONSTANTE ........................................................ 9

1I.C.2.1. CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA ............................................................. 9 1I.C.2.2. CARGA PUNTUAL .................................................................................................. 10 1I.C.23. CARGA PARCIAL Y UNIFORMEMENTE REPARTIDA ..................................... 10

U.D. BARRA CON APOYOS INDESPLAZABLES SOLICITADA POR CARGAS AXIALES ................................................................................................................................... II

ILE. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA .............. : ................................................................. 12 Il.E.I. ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA SIN CARGAS ........................................... 12 II.E.2. COEFICIENTES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA DE SECCIÓN

CONSTANTE .................................................... , ............................................................. 14 n.E.3. JUSTIFICACIÓN DE ALGUNOS VALORES DE LOS COEFICIENTES DE

RIGIDEZ .......................................................................................................................... 16 EJERCICIO 11.1 .............................................................................................................................. 18

U.F. ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA ................................................... 19 EJERCICIO 11.2 .............................................................................................................................. 21

U.G. TABLAS I1.1.a-b ........................................................................................................................ 22

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 25

III. CÁLCULO MATRICIAL DE PÓRTICOS PLANOS ....................................... 1

1I1.A. SISTEMAS DE BARRAS PLANOS SOLICITADOS POR CARGAS APLICADAS EN LOS NUDOS Y EN EL PLANO .......................................................................................... 1

IIl.A.I. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 1 IIl.A.2. EJES LOCALES DE BARRA Y EJES GENERALES ...................................................... 3

III.A.2.1. EJES GENERALES DEL SISTEMA. FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS ........... 3 III.A.2.2. EJES LOCALES DE BARRA. FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS ...................... 3 IIl.A.2.3. MATRICES DE CAMBIO DE EJES ........................................................................... 4

IIl.A.3. MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ........................................ 5

ÍNDICE DE CAPÍTULOS VII

IIl.A.4. ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA DE SECCIÓN CONSTANTE EN EJES LOCALES................................................................................................ 7

IIl.A.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES GENERALES ......... :::::::::::::::::::::::::' 8, IIl.A.6. ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA DE SECCIÓN .

CONSTANTE EN EJES GENERALES ........................................................................... 9 EJERCICIO III.I (1) ............................. ; ............ , ............................................................................ i I

lIl.A.7. CONDICIONES DE DEFO~\.1ACION Y DE EQUILIBRIO DEL SISTEMA DE BARRAS ............................................. , ............. , ........................ , ..................................... 12

IIl.A.8. ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ ...................................... 13 mA.9. ECUACION,MATRICIAL REm~CIDA ............... , ......................................................... 15 IIl.A.IO. RESOLUCION DE ,LA ECUACION MATRICIAL ....................................................... !6

III.A.IO.I. TEORIA .................... , ................................................................................. 16 EJERCICIO III.I (2) ..... ; ................................................................................................................. 18

mA.!\. ESFUERZOS REACCION EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA NO CARGADA ... 20 IILA.II.I. TEORIA ............. , ........................................................................................ 20 EJERCICIO III.I (3) ....................................................................................................................... 21

mA.!2. REACCIONES EN ,LOS APOYOS .................................................................................. 22

~~:~~~,~;O ~I~~~~~ .... :::: ..... ::::· ... ·::::· ... :::: .... ·.:::: ..... ·.::: ......... ::: ....... ::: ......... ::: ......... ::: ...... :::: ...... :::: ..... :::: ....... ::: ........ ::: ....... ::;; 1lLA.13. ELECCION DE LOS MODELOS DE MATRICES DE RIGIDEZ DE BARRAS .......... 25

III.A.13.1. INFLUENCIA DE LOS APOYOS ............................................................................ 25 III.A.13.2. EL NUDO ARTICULADO ........................................................................................ 26 m.A.13.3. SELECCiÓN MODELOS DE BARRA DE MATRICES DE RIGIDEZ ............... 27

EJERCICIO m.2 ............................................................................................................................. 30

IlI.B. SISTEMAS CON CAR9AS DE BARRA ................................................................................ 30 IILB.!. ETAPAS DEL C~LCULO MATRICIAL.. ...................................................................... 30 lII.B.2. DETERMINACION DE LAS FUERZAS EQUIVALENTES ......................................... 3!

III.B.2.1. PLANTEAMIENTO GENERAL.. ................................................................... 31 EJERCICIO III.4 ............................................................................................................................. 33

IIl.B.3. ESFUERZO~ EN LOS EXTREMOS DE BARRAS CARGADAS ................................ : 34 IIl.B.4. RESOLUCI0N COMPLETA DEL SISTEMA ................................................................ 35

III.B.4.I. TEORiA ...................................................................................................................... 35 EJERCICIO IIL5 ... , .... ".,., ......... ,.,., ................................................................................................. 37 EJERCICIO m.6 .................................................................... , ........................................................ 38

III.C. CO:vJ:PLEMENTOS ................................................................................................................... 39 IIl.c.!. APOYOS NO.CO~CORDANTES .................................................................................. 39

m.C.2. A~~~~.7.EL~~;~~S.:: ........ ::: .... ':::: ....... :::: ..... :::: ....... :::: ..... :::: ....... ::: ....... :::: ...... :::: ..... :::: ....... :::: ..... :::: ...... :::: ....... ::: ....... :::; EJERCICIO II!.7 ........................................................................................................................... 44

IIl.C.3. DESPLAZA~IENTOS FORZADOS SEGÚN LOS EJES GENERALES ...................... 46

m.C.4. E~~~¿~7.TE:~~~~:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; EJERCICIO m.8 ............................................................................................................................. 49

III.D. OTROS EJERCICIOS ...................................................................................................... 52 EJERCICIO m9 .................. , ............................ , ............................................... , .............................. 52 EJERCICIO lII.IO ....................... , ................................................................................................... 53

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 55

VIII ÍNDICE DE CAPÍTULOS

IV. SISTEMAS ESPACIALES DE BARRAS .................................................................. 1 V.B. CÁLCULO DE PÓ~TICOS ..................................................................................................... 14

V.B.l. INTRODUCCION ............................................................................................................... 14

IV",,"". LA BARRA ESPACIAL ....... " ................................................ H ........................................... 1 IV.A.I. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 1

V.B.I.!. EFECTO 14 V.8.1.2. CONSIDERACIONES SOBRE EL ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN EN

ESTRUCTURAS COK IMPERFECCIONES ................................................... 14

lV.A.2. EJES PRINCIPALES DE LA BARRA ESPACIAL .......................................................... 2 lV.A.3. Ect;ACIÓN MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA EN EJES PRINCIPALES ..... 4

EJERCICIO IV. l ............................................................................................................................... 9 IV.A.4. REACCIONES EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA DEBIDAS A LAS

CARGAS DE BARRA ............................................................................................... 10 ........................................................................ 11 EJERCICIO IV.2 ............................... ..

IV.B. CÁLCULO MATRICIAL ................................................................................................ 12

V.B.2. MÉTODOS DE CÁLCULO ............................................................................................ 15 V.B.2.1. INTRODUCCIÓN .......................................... ····························· ....................... 15 Y.B.2.2. MÉTODO ITERATIVO .......................................................................•............... 16 V.8.2.3. CÁLCULO MATRICIAL. ................................................................................... 19

V.B.2.3.I. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA BIEMPOTRADA

CONSIDERANDO LAS FUNCIONES DE ESTABILIDAD ................................... 19 V.B.2.3.2. MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA DE LA BARRA EN EJES

IV.8.!. INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 12 lV.8.2. EJES GLOBALES. AUXILIARES Y PRINCIPALES. MATRICES DE CAMBIO

DE EJES ........................................................................................................................... 14 IY.B.2.1. I~TRODUCCIÓN ...................................................................................................... 14 IY.B.2.2. EJES GLOBALES DEL SISTEMA. FUERZA.S y DESPLAZAMIENTOS ............ 14 IV.B.2.3. EJES AUXILIARES DE BARRA Y MATRICES DE CAMBIO DE EJES ............ 14

V.B.2.3.3. ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA EN EJES

GENERALES INCLUYENDO LA MATRIZ GEOMÉTRICA ................................ 22 V.B.2.3.4. ECUACIÓ~ MATRICIAL DEL SISTEMA DE BARRAS

INCLUYENDO LA MATRIZ GEOMÉTRICA .................................................... 22 V.B.2.3.5. ESFUERZOS EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA CARGADA ..... 24 EJERCICIO

EJERCICIO IV.3 ............................................................................................................................ 17 IY.B2.4. MATRICES DE CAMBIO DE EJES AUXILIARES A EJES PRINCIPALES

DE BARRA .............................................................................................................. 17 EJERCICIO IV.4 .......................................................................................................................... 19

IV.B.3. ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA EN EJES GLOBALES ............................. 19 IV.B.4. SIGNIFICADO FÍSICO DE LOS COEFICIENTES LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE

V.e. PANDEO DE PÓRTICOS ............................................................. · .............................................. 29 V.C.I. COEFICIENTE CRÍTICO DE PANDEO ............................................................................ 29 V.C.2. LONGITUDES DE PANDEO ............................................................................................ 31

EJERCICIO V.3 .............................................................................................................................. 31

LA BARRA ...................................................................................................................... 21 EJERCICIO IV.5 ............................................................................................................................ 22

BIBLIOGRAFíA .................................................................................................................................... 32

IV.B.5. MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DEL SISTEMA ................................................... 23 IV.B.6. RESOLucróN DEL SISTEMA ...................................................................................... 24

EJERCICIO IV.6 ............................................................................................................................ 25 IV.B.7. DETER.TvlINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE BARRA .............................................. 26

EJERCICIO IV.7 ............................................................................................................................. 27 IV.8.8. LEYES DE ESFUERZOS DE LA BARRA ..................................................................... 28 IV.8.9. REACCIONES ................................................................................................................. 29

EJERCICIO IY.8 ........................................................................................................................... 31

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 32

V. ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN ............................................................................. 1

V.A LA VIGA-COLUMNA PATRÓ;'¡ ............................................................................................. 1 VAl. EJEMPLO EN EL QCE SE COMPARAN LOS ANÁLISIS DE PRIMER Y

SEGUNDO ORDEN ............................................................. ' .................................. . VA2. VIGA-COLUMNA CON OTRAS CLASES DE CARGAS ............................................. .4

V.A.2.1. CARGA CONCENTRADA APLICADA EN UN PUNTO INTERMEDIO .............. 4 Y.A.2.2. OTRAS CARGAS ........................................................................................... 5

VA3. FACTORES DE AMPLIFICACIÓN DE LA VIGA -COLUMNA .................................... 5 V.A.4. BARRA BIEMPOTRADA SOLICITADA POR UNA CARGA

UNIFORMEMEl\;TE REPARTIDA .................................................................................. 7 VA5. FUNCIONES DE ESTABILIDAD .................................................................................... 8 V.A.6. FACTORES DE AMPLIFICACIÓN DEL MOMENTO MÁXIMO ................................. , 9 V.A.7. MÉTODO DE NEWMARK ................................................................................. , ........... 10

EJERCICIO V.I ......•........................................................................................................................ 12

matricial

l. FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO MATRICIAL

I.A. TEOREMAS DE LA ENERGÍA

I.A.l. TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERIORES En un sistema de barras solicitado por cargas Pi que se aplican lenta y linealmente, el trabajo desarrollado por cada fuerza al producirse el desplazamiento del sistema es igual a: Pi .Llpi véase la figura LAl (Llp¡ es la componente del desplazamiento Í-i' que sufre el punto i en la direeción de la fuerza Pi, figura LA.2.a).

De la misma manera el trabajo generado por un momento ~ será Pj.LlM¡ /2. Entendiendo por LlM¡ el giro experimentado por la secciónj en el sentido de ~, figura LA.2.b.

-IlWilllliLJlliJ.UWm ---Ll Llp¡

Figura /.A.l Trabajo realizado por las cargas, Pi

a)

Figura /.A.2. Sistemas de barras cargadas

Estas expresiones se pueden aplicar a un grupo de fuerzas y momentos, representados por una fuerza generalizada Pi y por un momento, también generalizado, lV4, figura LA2.c. El trabajo total desarrollado por las fuerzas externas es independiente de su orden de aplicaeión, ya que es válida la ley de superposición, resultando:

1 1 Wext = - "p¡.b,. + - " MJ,·b,.M 2 L..... p¡ 2 L..... J

ecuación LA.l

Cálculo matricial de estructuras, 1 cr y 2° orden. Teoría y problemas página 2/1

I.A.2. ENERGIA DESARROLLADA POR LAS FUERZAS INTERIORES

I.A.2.1. TEORÍA Es interesante deducir el trabajo realizado por las fuerzas de sección internas aplicadas a lo largo de la barra o del sistema dc barras. Para ello se considera un elemento diferencial de barra de longitud ds, figura LA.3.a, solicitado por las fuerzas de sección: N (axil), M (momento) y V (cortante). El trabajo desarrollado por las fuerzas de sección como consecuencia de la deformación del sistema recibe el nombre de energía potencial de deformación. Si se prescinde del trabajo realizado por los incrementos de fuerzas de sección diferenciales: dN, dM Y dV, figura I.A.3.a, por dar origen a diferenciales de segundo orden, y se consideran aisladamente cada una de las fuerzas de sección, resulta:

•

•

El esfuerzo axil N, figura b, provoca en un elemento diferencial de longitud d~, el alargamiento s = N/(EA) (siendo: E = módulo de elasticidad longitudinal, A área de la sección transversal). El trabajo desarrollado por el esfuerzo axi\ N, reducido en un 50% por tratarse de esfuerzos que, al igual que las cargas, actúan lenta y linealmente, es:

\ 1 N dW ,=-N's'ds =-·N·_·ds

mt.!. 2 2 EA

a) '--"-s --ji q(s)

I ilU(llll

b) e) d)

r ds

Figura 1.A.3. Deformaciones provocadas por las foerzas internas

El momento flector M, figura c, provoca en el elemento diferencial de longitud ds un giro drj;, siendo, drj;=Mds/(El) (siendo l = momento de inercia de la sección transversal). El trabajo desarrollado por el momento M, es:

•

del cálculo matricial

dW¡nt,M 1 M.drj; 2

1 M -'M'-'ds 2 El

Y, finalmcnte, cl esfuerzo cortante' Y, figura d, provoca en el demento diferencial de longitud ds una distorsión angular r. siendo, r= %' Y/(GA) (siendo G módulo de elasticidad transversal y l, coeficiente de forma dependiente de la geometría de la sección transversal de la barra). El trabajo desarrollado por el cortante Yes:

l 1 Y dW ,=_·V·y·d<'=-·X·Y·_·ds

mL¡ 2 2 GA

Sumando estas expresiones resulta:

1 N \ M l Y l dW , == -·N·_·ds + -'M'-'ds + -'X'Y'-'ds =

m, 2 EA 2 El 2 GA 2

y2

Integrando esta ecuación dentro de los límites de cada barra y sumando los resultados correspondientes a todas las barras del sistema, se obtiene la expresión que define el trabajo de las fuerzas interiores para el sistema (conocido como energía potencial de deformación):

"M2 M 2 V 2

W ="(J~s+J~+.yJ~s) mt L.. 2EA 2E! JI. 2GA ecuación LA.2

Igualando el trabajo realizado por las fuerzas externas, ecuación I.A.I, a la energía potencial de deformación se plantea la ecuación:

1 1 W =-""P·!J. +-""M·!J.

e;cl 2.c...., I P, 2 .c...., j Mi

N 2 M2 y2

I(f~+ f2E/s+xf2GA@)

ecuación LA.3

En los sistemas de barras solicitados predominantemente a flexión (vigas) puede prescindirse de la influencia de axiles y cortantes, en este caso:

barra k=n /, M 2 (S) ¿ f k ds barra k=l O 2'(E!h

ley de momentos de la barra k rigidez a la flexión de la barra k longitud de la barra k

ecuación LA.4

Cálculo matricial de

Para un sistema de barras en celosía en el que las cargas se aplican en los nudos, todos articulados, solamente se presentan esfuerzos axiales, en este caso:

ecuación I.A.5

N. esfuerzo axial de la barra k (EA). rigidez a la tracción de la barra k h longitud de la barra k

El cálculo de algunos desplazamientos del sistema se obtiene igualando el trabajo realizado por las cargas W ex¡, a la energía potencial de deformación, W¡nt.

I.A.2.2. EJERCICIOS A continuación se realizan dos ejercicios en los que se determinan los desplazamientos de secciones o nudos de sistemas de barras. Esta aplicación solamente puede realizarse si existe una sola carga y ésta coincide con la posición y dirección del desplazamiento.

Ejercicio 1.1. Para la viga biapoyada.de sección constante solicitada por una carga puntual, P, figura I.A.4., determinar la flecha en el centro del vano despreciando la influencia de cortantes.

De igualar el trabajo de la carga P, P'N2, a la energia potencial de deformación, resulta:

a)

:/2 f 1/2

Figura I.AA

I (P (l _ x» 2 PI 3

---'--ay; + p. El J 4 dx = 48· El P'E! 1/2

b) Momentos Necrores

M=(P!2I)'x M=(PI2)'(I-x)

Ecuación I,AA.

Eiercicío 1.2

sí x<ll2 sí x>=112

Para el sistema de celosía representado en la figura I.A.S., indicar la expresión que define el des· plazamiento .d en función de los esfuerzos axiales de las barras, N, '

De igualar el trabajo de la carga P, P'N2, a la energía potencial de deformación, resulta:

I

P

Ecuación IA5. p

Figura IA5.

matricial

I.A.3. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES El teorema de los trabajos virtuales se formula en la Mecánica Racional del modo siguiente: Si una partícula se encuentra en equilibrio bajo la acción de un grupo de fuerzas, el trabajo desarrollado por ésta, 'al recorrer la particula cualquier desplazamiento virtual, es nulo.

Un sistema elástico sometido a fuerzas de superficie y de volumen, está constituido por un conjunto de partículas (elementos diferenciales de la pieza prismática), sobre las que actúan grupos de fuerzas en equilibrio. Debido al principio de los trabajos virtuales, para cualquier desplazamiento virtual del sistema, el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre el total de las partículas debe ser nulo.

En un de sistema de barras en vez de considerar partículas se seleccionan trozos de barra equilibrados de longitud ds, figura I.A.3,a, el desplazamiento virtual del sistema deberá ser compatible con la condición de continuidad de la materia, así como con las condiciones de sustentación. Se admite que en el intervalo del desplazamiento, la intensidad de las fuerzas permanece constante y, en consecuencia, al calcular el trabajo no se debe tomar la mitad de la carga por el desplazamiento, sino la magnitud total del producto de las fuerzas y desplazamientos ya que estos desplazamientos se realizan con las fuerzas ya aplicadas. Dado que los desplazamientos son pequeños y dependen linealmente de las cargas, se utilizan como desplazamientos virtuales los desplazamientos originados por cualquier sistema de cargas, siempre que se respeten los vínculos externos, A este sistema se le denomina sisterna equilibrado. Así, por ejemplo, si se analizan los dos sistemas de las figuras I.A.7.a. y b, los desplazamientos del estado b pueden considerarse como desplazamientos virtuales del a y al revés, los desplazamientos del estado a como virtuales del b.

a) Sistema real Esfuerzos

b) Sistema equilibrado -f1 ~Fb ESf~:ZOS

A a ~t b 8

~"'-¿¡'---- ~ ~bb Llab

Figura I.A,6. Principio de los trabajos virtuales. Sistemas real y equilibrado

Denominando Wal" al trabajo de la fuerza generalizada Pu del estado a (sistema real) debido a los desplazamientos LÍah del sistema equilibrado, estado b, resulta:

eC.1.A.6

Las fuerzas de sección del estado a: N", Mil Y Va, figura LA. 7, asociadas a los desplazamientos del estado b: li¡,·ds, dfjJb y Yt,·ds, generan, puesto que se aplican con toda su intensi-

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 6/1

dad durante el recorrido correspondiente al estado b en un elemento diferencial (ds), el trabajo siguiente:

dW¡nl,ab = No'(&bds ) + Ma'dljJb + Va'(Ybds )

Sustituyendo,

&I} = ENAb ; dl/lb = MElb 'ds; y-X' Vb b - o CA'

resulta:

fN N fM M fVV. W = ~( ~s+ ~s+X ~s) Inl,ab L.. EA El CA ecuación l.A 7

E módulo de elasticidad longitudinal . G módulo de elasticidad transversal 1 momento de inercia de la sección transversal de la pieza A área de la sección transversal de la barra

a) Axil b)Flector e) Cortante

~~ lb I

L ibas ~ ds T

Figura l.A.7. Trabajo realizado por las fuerzas internas del estado a

De igualar el trabajo realizado por las cargas W",ah, al de las fuerzas de sección, Wnl.ah,

resulta:

~P'11 =,,( ~s+ ~s+X ~s fN N fM M fVV.

L.. a ab L.. EA· El CA ecuación LA8

Si se adopta como sistema equilibrado el propio sistema real solicitado por la carga generalizada Pw figura LA.6.a, la ecuación LA.8, se transforma en la siguiente:

ecuación l.A9

Fundamentos del cálculo matricial página 7 /1

O, bien,

1 N 2 M 2 V 2

-'¿P'11 =¿(f~s+f~s+xf~s) 2 a a 2EA 2El 2CA

ecuación LA.IO

Ecuación similar a la LA.3, deducida en el apartado LA.2.l.

I.A.4. TEOREMA DE MAXWELL-BETTI O DE LA RECIPROCIDAD DE LOS RECORRIDOS

I.AA.1. TEOREMA Considerando en un sistema elástico dos estados de cargas generalizadas: el 1 (que es equivalente al sistema real a de la figura LA.6.a.), figura LA.8.a, y el 11 (que es equivalente al sistema equilibrado b de la figura LA.6.b.), figura LA.8.b, la aplicación del teorema de los trabajos virtuales, ecuación LA.8, considerando como desplazamientos virtuales los correspondientes al estado 1I (sistema equilibrado) proporciona la ecuación siguiente:

"p./'" = "(fNJ'NJI ds+ fMJ'MJ1 ds+ X fVJ'VJJ ds) ecuación LA.II L.. J J,1J L.. EA El CA

y si, recíprocamente, se considera como estado real de cargas el estado 1I, y como sistema equilibrado el 1, figuras l.A.8.a-b, resulta:

ecuación l.A12

Puesto que para ambos estados las expresiones de los trabajos de las fuerzas internas son iguales, se cumple:

ecuación l.A13

a) Estado I

!JII,! B'

b) Estado rr di

~ \, 2

B'

Cálculo matricial de estructuras, I er y 2° orden. Teoría y problemas página 8/1

Es decir: el trabajo realizado por la fuerza generalizada del estado 1 (p¡) al efectuar el recorrido debido a la aplicación de lafuerza generalizada del estado II (.11.11)' es igual al trabajo de la fuerza generalizada del estado II (P II ) al efectuar el recorrido del estado 1 (.111.1),

Si como fuerza generalizada PI del estado I se considera una sola fuerza unidad, P¡=l y, del mismo modo, como fuerza generalizada PIl del estado 11 se considera también una sola fuerza unidad: P2=1, véanse las figuras LA.8.c-d, al ser: PI = P¡=l; L1Ul =c)¡, y PI/ = P2=1; L11l/=Ou, la ecuación LA.l3, se transfonna en:

b12 = b21 ecuación LA.14

0¡2 representa el desplazamiento de la posición 1, según la dirección de PJ, figura d, provocado solamente por la carga unidad P 2= 1, aplicada en la posición en 2

02J representa el desplazamiento de la posición 2, según la dirección de P2, figura c, provocado solamente por la carga unidad P ¡ = 1, aplicada en la posición en 1

Es decir: el recorrido producido en el punto 1 y en la dirección de PI, por una júerza unidad aplicada en 2 según la dirección P2, es igual al recorrido del punto 2 y en la dirección de P2, producido por una fuerza unidad situada en 1 en la dirección de PI.

Este teorema denominado de la reciprocidad de los recorridos fue establecido por Maxwel en 1864. En la figura I.A.9, se representa una aplicación de este teorema para el caso de una viga apoyada en sus extremos en la que las elásticas que adopta la viga debidas a cargas unidad aplicadas aisladamente: PI = 1 Y P, =1 cumplen la ecuación I.A.14. Obsérvese que los movimientos que se consideran son las componentes de los desplazamientos en la dirección de las fuerzas.

Figura /.A.9. Aplicaciones del teorema de Maxwell-Betti

Figura /.A.10. Aplicaciones del teorema de MaX\lIell-Betti

De igual modo se demuestra que el desplazamiento b/2 del punto 1, según la dirección de Pi, producido por el par unidad situado en la posición 2, es igual al giro, rp =b2J que en la sección 2 produce la fuerza unidad, p¡= 1, situada en 1, figura LA.l O.

Fundamentos del cálculo matricial página 9 / 1

El teorema de la reciprocidad de los recorridos permite la resolución de muchos problemas del Cálculo de Estructuras. Tiene especial importancia en el cálculo matricial de estructuras en lo que se refiere a la simetría de las matrices de flexibilidad y de rigidez.

I.AA.2. APLICACIONES

En la presentación 1/1 se incluyen algunas aplicaciones del teorema de Maxwell-Betti:

(I)

~A

([[)

•

•

En el voladizo representado en las figuras LA.ll, se cumple que el desplazamiento vertical del punto e, Iich, provocado por la carga P aplicada en B, es igual al desplazamiento vertical del punto B, b¡,o debido a la carga P aplicada en C.

En la viga biapoyada representada en las figuras LA.l2, se cumple que el desplazamiento vertical del punto A, bab , provocado por la carga P aplicada en B, es igual al desplazamiento vertical del punto B, bba, debido a la carga P aplicada en A.

(I) (I)

Af P

~B 8 8

~ ~ ~ 8.., So. pm

1/2 I 1/2

(IIJ , h ~i *' o"" . ..

Figura IA11. P'Obe = P'Ocb

0be = 0cb

Figura 1.A.12. P'oa;, = P·O.a

0ab = aba

Figura lA 13. lv['9ab = P'Oba

-Bu/; ::= 0ba

Figura lA 14. M'9ab = M·9.a

9ab = 9..,

Presentación 1//. Aplicaciones del teorema de Maxwell-Betti

•

•

tA.5.

I.A.5.1.

1 er 2° orden. Teoría lOfI

En la biapoyada representada en las figuras 1.A.13, se cumple que el giro de la sección A, 00 1>, provocado por la carga unidad P= 1 aplicada en B, es igual al desplazamiento vertical de la sección B, 0,a, debido al momento M= 1 aplicado en A. En la viga biapoyada representada en las figura LA. 14, se cumple que el giro de la sección A, o./n provocado por el momento M aplicado en B, es igual al giro de la sección B, 0"', debido al momento M aplicado en A.

METODO DE MOHR

TEORÍA En una barra o en un sistema de barras solicitado por cargas P una sección genérica i se desplaza a la posición i, figura I.A.15.a. El movimiento de la sección i queda definido por sus componentes respecto a dos ejes ortogonales (que pueden ser cualesquiera, en la figura el eje de la barra y su nonnal) y el giro que experimenta la sección. El método de Mohr pennite detenninar en cualquier sección, pero solamente en una, uno de estos tres movimientos.

El método se establece a partir del teorema de los trabajos virtuales eligiendo como sistema equilibrado el propio sistema cargado solamente por la fuerza en el punto cuyo movimiento en dirección de P, interesa, figura LA.15.b, y como sistema real el solicitado por las cargas reales.

a) Sistema real Grado de

P l libertad i P

~....::-" --'~-Ti~,--' , ---'-{------n Esfuerzos

IV M

V

i'

b) Sistema equíi/bradc

Esfuerzos

Figura l.A.15. Teorema de Mohr

N·N fM'M V,V; f-_1_.í ·ds + __ I_.í 'ds +X· f_I_.í 'ds

EA E1 "GA

Denominando los esfuerzos generados en el sistema real por N, M Y V (figura LA.15.a), y por 1(" U,¡ y Vii' los provocados por la fuerza unitaria P, 1 (figura b) aplícando el principio de los trabajos virtuales, ecuación I.A.S, resulta:

ecuación I.A.15

Fórmula que se utiliza para el cálculo de una de las componentes del movimiento, ¿j¡, en la dirección de Pi' o del giro ([J" de una sección i del sistema,

cálculo matricial

Para aplicar este método de cálculo se procede del modo siguiente:

l. Se detenninan de las fuerzas de sección N, M Y Ven el sistema real, véase la figura LA.l5.a. '

2. Se calculan Nu, MI,r Y V,J, en el sistema equilibrado, figura LA.15.b. 3. Se aplica la ecuación LA.15, particularizada para P,=l y generalizada para un sistema

de barras:

Al ba~=n( 1_~_=_"as+'jMk(S)-Mt,¡.k(S)'dS+ x'jVk (S)-V¡,¡.k (S)'ds)

barrak=1 o (EI)k o (EG)k

Nu,l/s) M¡",is)

Nk(s) M¡fs) VI/s)

ecuación LA16

esfuerzos axiales en la barra k del sistema equilibrado debidos a la carga p¡= l. momentos flectores en la barra k del sistema equilibrado debidos a la carga

esfuerzos cortantes en la barra k del sistema equilibrado debidos a la carga Pi=1. esfuerzos axiales en la barra k del sistema real. momentos flectores en la barra k del sistema real. esfuerzos cortantes en la barra k del sistema real.

En general en el cálculo de desplazamientos de vigas y pórticos se puede prescindir de la influencia de esfuerzos axiales y cortantes, considerándose solamente los desplazamientos originados por la flexión. En este caso,

barra k~n l¡ M (s), M . (s) /),,¡ = L f k I,l,k ,ds

barra k~l O (Elh ecuación LAI 7

ley momentos flectores en la barra k del sistema real. 1,Ms) Mu.¡fs} ley momentos flectores en la barra k del sistema equilibrado debida a la carga

P¡=l. rigidez a la flexión de la barra k. longitud de la barra k.

En los sistemas de celosía articulados, véase la figura LA.5, fonnados por barras rectas de sección constante solicitadas por cargas aplicadas en los nudos, solamente existen como fuerzas de sección esfuerzos axiales, la ecuación LA.16, por ser M=O y se simplifica a la expresión siguiente:

barra k~n N /),,¡ L k ecuación I.A18

barra k=l (EA) k

esfuerzo axial en la barra k del sistema real. esfuerzo axial en la barra k debido a la carga unidad aplicada en el grado de libertad i (sistema equilibrado).

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 12/1

(EA)k rigidez a la tracción de la barra k. h longitud de la barra k.

Ejercicio 1.3. Para el sistema de barras representado en lafigura IA.J6. determinar las tres componentes del desplazamiento de la sección C: vertical. horizontal y giro.

a) Sistema real

r h

b) Sistema real desplazado

/

e) Sistema real Diagrama M

1 Mls)=-PI

d) Vertical Ml.l 51st equilibrado r

A

Horizontal M1,2

SIstema equilibrado 2

Figura lA. 16. Ejercicio 1.3.

Giro M 1.3 Sist. equilibrado 3

Inicialmente se calculan los diagramas de momentos flectores en el sistema real, LA.16.c, y a continuación los diagramas de momentos correspondientes a los tres sistemas equilibrados solicitados por cargas unidad en dirección de los tres movimientos de C (1,2 Y 3), d:

1. desplazamiento vertical:

barra .=2 Ik M (s)'M . (s) h M(s)'M I M(s)'M O '" ¿ f k I,l,k ·ds = f 1,1 ds + f . 1,1 ds

v,e borra k=1 O (E!) k O EIZ O EII ecuación LA.l7 = jC-PIH-I) ds+ rP'Cs-I)~(S-I)ds = Pl2 (h + I )

O EI2 O EI¡ E 12 3/]

2, desplazamiento horizontal:

Fundamentos del cálculo matricial página 13/1

3, giro:

'jMk CS)'M¡,í,k CS)'ds:: IM (s)-A1ú ds + r M (S)-M],3 ds '"

barro k=] O (El) k O El z O Elt

IC-PIH-l)dS+rP'CS-lh-l)ds=PICh+ 1) O EI 2 O El I E 12 21 I

.................. ~ ••••••••••••••••••• ~ •••••••••••••••••••••••••••• ~ •••••••• o ••••••••• o ••••••••••••

I.A.5.2. INFLUENCIA DE LAS V ARIACJONES DE TEMPERATURA El método de Mohr permite calcular también los movimientos del sistema provocados por variaciones de temperatura, defectos de fabricación, etc,

Supóngase, por ejemplo, que una o más barras del pórtico representado en la figura LA 17, sufre un calentamiento o enfriamiento desigual con temperaturas lb,¡ en un borde de la pieza y lhi en el opuesto, variando linealmente la temperatura a lo largo del canto h de la sección, figura LA 17,b,

Considerando un tramo de barra calentada desigualmente de longitud d~, figura b, y asignándola un coeficiente de dilatación térmica a" los alargamientos de las fibras de sus respectivos bordes serán: a¡, tb., ds y a¡, tn; ·ds. Estos movimientos originan:

a) Sistema real

8

~-

c}S!stema fJquiftbrado

Figura IA,17. Calentamiento desigual debido a variaciones de temperatura

Un alargamiento axial,

y un giro,

+ a¡·-"!--=-'n.<:

2 eco LA. 19,

1M -ths d a'---' s

¡ h

ec, LA,20,

Para evaluar el desplazamiento .di,

de Ulla determinada sección i en la dirección de p¡= 1, figura I.A 17 ,a, se consideran los desplazamientos indicados en las ecuaciones LAI9-20, como compatibles o virtuales, y como sistema equilibrado el representado en la figura c, cuyas fuerzas de sección son: N1,i.b MI,i,k Y Vf.i.k'

Cálculo 2° orden. T eoria

De aplicar el principio de los trabajos virtuales, ecuación LA.15, resulta:

ecuación LA.2 L

Sustituyendo en esta ecuación las ecuaciones LA. 19-20, se obtiene:

k=n t . + t t - t Ll = "(fN . ·(a ·..!lL.JL·ds) + fM . '(a ·~·ds) )

I L...J l,f,k t 2 k l,J,k t 2 k k=l

ecuación LA.22.

NU,k MI." axiales y flectores de la barra k debidos a la earga P,= 1 en el sistema equilibrado. figura LA.17.c.

En los sistemas articulados de celosía se considera solamente un calentamiento uniforme de las barras, debido a la pequeña dimensión de h. Además no existen momentos en las barras, M1,i,k' ° y en consecuemcia, lb, ti" = O Y (tb! + t",)/2 =¿1tk ,

barra k=n

L N¡,i,k'Cat'l1tk ·lk) ecuación I.A.23. barra k~l

esfuerzo axil en la barra k debido a la carga unidad aplicada en el orado de libertad, ¡ .,

incremento de temperatura de laban'a k. longitud de la barra k

En los sistemas de celosía en los que producen errores de construcción al utilizar largos de corte diferentes a los reales es aplicable esta misma ecuación sustituyendo el ténnino, (al' L1lk' lk), por el error cometido en largo de fabricación.

.* .. " . * ................. ~ •••• ~ ...... , ........... ~ ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

principal de acero (E=21O.000 N/mm!) de un puente de 2 m de altura, figura l.A.18, esta expuesta a un calentamiento desigual de 60 nC para el borde superior y 30"C para el inferíor. Determinar el desplazamiento vertical .de que experimenta su sección central, C. Coeficiente de dilatación térmica a,= 1,2'1 (t5 .

a) b) Sistema equilibrado

A~ ________ ~l_P¡_=_¡ ______ ~B ¡¡,; A

Figura l.A.18. Ejercicio lA.


Utílizando el teorema de Mohr, considerando como sistema equilibrado el representado en la figura I.A.18.b, se deduce:

A1;,¡(x) = Ni.¡{x}=0 . M,J(x) = (P,=l)-( 20+x/2)

Aplicando la ecuación LA.22, resulta:

x < 1/2 x ¿ 1/2

t t 20 X 30 - 60 40 X 30 - 60 f M·(a·bi-bs·ds) =f ·a· dr:+f(20- )·a· dx=-0018m

1,1 I 2 2 t 2 . ') I ") , () 20 ~ ~

Movimiento que es aseendente ya que es contrario al sentido asignado a Pi (descendente).

I.B. ECUACIÓN DE LA FLEXIBILIDAD

I.B.l. COEFICIENTES DE INFLUENCIA Y GRADOS DE LIBERTAD En la defon11ación de un sistema de barras al que se aplican fuerzas, PI, P" .. y p", ,ji

representa la proyección del desplazamiento real de la sección i en la dirección de Pi, figura l.B.I.a.

Estas direcciones que se asocian a direcciones de movÍlnientos o fuerzas reciben el nombre de grados de libertad

Se eligen dos secciones arbitrarias i y j a las que se les asocian los grados de libertad definidos por las direcciones Pi y Pj, figura l.B.1.b. Considerando como cargas únicas, Pi y Pi con valores Pj =1 Y Pi=O, se denomina 8'] la proyección del desplazamiento del punto i en dirección de Pi' y b¡¡ al movimiento del punto j en la dirección de Pi'

Figura 1.B,l. Coeficientes de influencia

Recíprocamente, una carga unidad aplicada en i en la dirección de Pi' con p} = 0, provoca en j, en la dirección de Pi' un desplazamiento 8;1/ y un desplazamiento del punto i en la

Cálculo matricial de estructuras, lor y 2° orden. Teoría y problemas página 16/1

dirección de Pi, 5,¡, figura LB.l.c. Estos desplazamientos 5,¡, 5,¡, <:)¡, 4 reciben el nombre de coeficientes de influencia, cumpliéndose por el teorema de la reciprocidad de los recorridos, que s,¡=<:)¡" ecuación I.A.14.

LB.2. MATRIZ DE FLEXIBILIDAD Aplicando el principio de superposición al sistema de barras (el desplazamiento de sistema es suma de los desplazamientos provocados por la aplicación aislada de las fuerzas) solicitado por la totalidad de las cargas PI, .. , p¡, . .Pj, .. y Pn , figura LB.l.a, resulta:

" Ll¡ OíjPI +oi2'~ + .... +Oy·Ij + .... +Oin·~ ¿Oy·p¡· ecuación I.B.I j=1

Extendiendo esta ecuación a todos los grados de libertad del sistema, 1,2, .. , n, se obtiene la eeuación de la flexibilidad,

Li l 1011 011 Olí ..

o"'r~ Li z 021 021 °2j OZn P2 . . . .

Li i Oil Oi2 Oij O;'j ~ ecuación 1.B.2

Li" 0.1 °n2 Onj O~n l;n) Denominándose a la matriz que relaciona desplazamientos y cargas: matriz de flexibilidad, representada por [FJ y fonnada por los coeficientes de influencia En fonnato resumido esta ecuación se representa,

{il} [F}{P} ecuación I.B.3

La energía potencial interna del sistema queda definida, puesto que las cargas se incrementan lineal y lentamente, por la expresión:

ecuación I.BA

función homogénea de segundo grado de las fuerzas aplicadas al euerpo elástico.

Fundamentos del cálculo matricial página 17/I

LB.3. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE INFLUENCIA

8

~-----------------x

Figura LB.2

En los sistemas de barras y en particular en los sistemas planos, tres grados de libertad (2 desplazamientos y un giro) defmen el movimiento de nudos y secciones intermedias de barras, figura LB.2. Así, Ax., AYA, y e" representan el desplazamiento del nudo A de la posición A a la A'. En los sistemas de barras espaciales el movimiento de nudos y secciones queda definido por tres desplazamientos lineales: Ay y Y tres giros: ex, ey y ez•

En un sistema de barras plano, figura LB.3.a, los coeficientes de influencia se detenninan directamente con ayuda de fonnularios o, de modo más general, aplicando el método de Mohr, apartado LA.5.1, despreciando, en general, la incidencia que en los desplazamientos tienen esfuerzos axiles y cortantes, ecuación 1.A.17:

k=n M.'M. ¿ f 1,I,k 1,I,k ds; k=l El

k=n M ·M 5. = ¿ f I,i,k I.J,k ds

¡¡ k=l El

a) COeficl8ntes B¡¡ y B¡ i B'

e) Ley de momentos, Mi,i ,k

b) CoefICientes de influencia Bij yBj¡ S} SIstema articulado.

B' c'

di Ley de momentos, Mi,;.,

Figura 1.B.3, Coeficientes de influencia.

ecuación LB.5

Cálculo matricial de 18/I

MI,u ley de momentos flectorcs en la barra k, debida a la carga Pi = 1, figura LB.3.c. UJ',k ley de momentos flectores en la barra k, debida a la carga Pj = 1, figura LB.3.d.

y para un sistema de barras articuladas, figura l.B.3.e, con cargas aplicadas solamente en los nudos, se utiliza la ecuación 1.A.18:

k=n N ' ·1\f , 5:' _ "'\' U,k l,] ,k 1 u· - L...J k

IJ k=l (EAh

esfuerzo axial en la barra k debido a la carga p, = 1 esfuerzo axial en la barra k debido a la carga p¡= 1

ecuación 1.8.6

A continuación se incluye un ejercicio en el que se determina para una viga biapoyada de sección variable en la que se seleccionan en tres secciones equidistantes los grados de libertad 1, 2, y 3, perpendiculares al eje de la viga y la ecuación de la flexibilidad, figura l.BA. Para calcular los coeficientes de flexibilidad se aplica, puesto que se trata de una

de sección variable, el método de Mohr, ecuación LB.5. En la figura LB.S.a, se representa el diagrama dc momentos M¡ ¡ que corresponde a una carga unidad aplicada en el grado de libertad 1 y en la figura b la ley de momentos MI" para el grado de libertad 2. Teniendo en cuenta que la barra es de sección variable la integración debe realizarse con cambios en las secciones donde se modifican las leyes de momentos y, también, la sección de la viga. Únicamente se han determinado los coeficientes 0:" y &1, los restantes coeficientes, cuyos valores también se incluyen se deducen de manera análoga.

Los desplazamientos ""¡, Ll, Y ""3, figura 1.B.4.b, se obtienen aplicando la ecuación 1.B.2.

del cálculo matricíal

Eiercicio /.5 Calcular la ecuación de la flexi- oJ bilidad asociada a los grados de libertad 1, 2 Y 3, de tres secciones equidistantes de la viga de sección variable representada en la ftgura, 1.8.4. Y determinar, además, los desplazamientos .dI' .12 Y .d 3

1) Coeficientes de influencia

Leyes de momentos M"

" M.,2"""

b) P¡ ~lDkN ~ :lOkN ~~IO.N

~ It",qOOfm"

1,'0,002... I I I ¡ i .. I I I I E:.' 000000 ttN/mz

Figura lB 4.

~j~ 822 32

M, 2=(112)'x; x<2 M,:2=2 - x/2 ; x>=2

Ml f'I3!4)x; x<1 M1,1=1-x/4; x>=1

Figura 1.8. 5,

Aplicando las ecuaciones I.B.5. resulta:

811

= jMI,I'M,l'd<: = f(Q/4}"Y .dx+ J(I-X/4)"dX+ j(1-X/4)1.dx 0,000479 m o El u El] 1 El, j El]

<: Si Alu'Alu dx JI «3j4)'x)'(x!2)d 'r(l-X/4)'(XI2)d (J21 = . = . x+ . x+ ,-'--'--'-'---";"'~tx

o El o El, 1 El,

+ j(I- xí4)'(2-XI2) = 0.000542 m 3 El: .

822 = 0,000750 m; 8" = 8'1 = 0,000354 m; 823 8" 0,000542 m; 0,000479 m

2) Ecuación de la flexibilidad y desplazamientos totales

0,000542 0.000354] ¡lO] ¡0.01375 m] 0,000750 0,000542' 10 0,01834m

0,000542 0,000479 10 0,01375 m fll,] 'lO,000479 ll, = 0,000542

,6, 0,000354 Ecuaci6n IB,2,

Cálculo matricial de 1 er 2° orden. Teoría

I.C. ECUACIÓN DE LA RIGIDEZ

I.C.t. DEFINICIONES Premultiplicando las dos partes de la ecuación LB.2, por la matriz inversa de la matriz de flexibilidad, [Fl-J

, se obtiene la ecuación de la rigidez que relaciona las cargas aplicadas {P} según los grados de libertad seleccionados, con los desplazamientos {.,1 }a través de la matriz de rigidez [K]:

P¡ k1l k12 kli kn¡ r ~, P2 k21 k22 k2i k2n ~2

P¡ k¡¡ kn ku kí" t: P" kn1 kn2 k"í km!

ecuación LC.l

Ecuación que en formato resumido se escribe:

{p}= [K}{ll} ecuación LC.2

La matriz de rigidez [Al del sistema, que es la inversa de la matriz de flexibilidad, está asociada a los grados de libertad elegidos que pueden ser cualesquiera dentro del sistema. A los coeficientes kij se les denomina coeficientes de rigidez. Y puesto que la matriz de flexibilidad es simétrica también lo es la matriz de rigidez, en eonsecuencia:

"';

/j

~

1::.

Desarrollando la fila í de la ecuación Le.! ,

~ f'

I F e ce

r j 'q.

"

1 ! l 1 P¡ =k¡¡'!'::.í +k¡2·f'::.:¡ E:

/\ ecuación LC.3 ií!iJ.r

Y anulando en esta ecuación todos los desplazamientos, .,1/=0,

v' An=O, excepto 4 que se hace igual a la l l

XiI J¡, i! ~.t¡

unidad (4=1), resulta: '} AiJ Jf'lJ

J.CI. Significadofisico de los coeficientes de Pi = kif'.,1¡= k¡¡ rigidez ecuación LCA


por tanto, kij' es la fuerza desarrollada en el grado de libertad i, cuando el grado de libertad j experimenta un desplazamiento unidad impidiéndose los movimientos de los restantes grados de libertad:

"-',-v •.... .,1.=0.

Asi, por ejemplo, la figura LC.l, representa una viga biapoyada a la que se le asocian los grados de libertad 1, n, que son las direcciones normales al eje de la viga en esas mismas posiciones. Para obtener una deformada de la viga en la que solamente se desplace la unidad el grado de libertad j mientras que los restantes no lo hacen, véase la figura LC. Lb, se aplican fuerzas ki¡ en todos los grados de libertad. Estas fuerzas corresponden a la columna número j y, también, debido a la simetria de la matriz, a la fila númeroj.

Eiercicio 1.6 Como continuación del ejercicio 1.5., se

pide:

1)

1) Ecuación de la rigidez 2) Representar el significado

físico de los coeficientes kit

y k i2•

Ecuación v matriz de la rigidez

al bl

Al I I !

Figura /. C. 2.

Invirtiendo la matriz de flexibilidad del ejercicio 1.5., se obtiene la ecuación de la rigidez:

Ecuación f.e.1.

i i , . '8 2 3 •

¡...¡-L~

2) Representación del significado físico de los coeficientes de la matriz de la rigidez En la figura I.C.3.a .. se representan las fuerzas k" que se deben aplicar en los grados de libertad para generar la deformación en la que ~=1, ~=O y "',=0. Idem, en la figura I.C.3.b., para k¡2

a) Coeficientes k" b) Coeficientes k i2

tl:/

I 2/ '}

A~ _ 14561 AN + ·14 5S! kN

22379!<.N

Figura I.C.3.

Cálculo matricial 2° orden. Teoría

I.D. MÉTODO DE LAS FUERZAS

I.D.1. ECUACIONES CANÓNICAS El conocimiento de los coeficientes de influencia permite resolver estructuras hiperestáticas sencillas, planteando un sistema lineal de ecuaciones cuyo grado se corresponde con el número de incógnitas hiperestásticas. Para ello se procede del modo siguiente:

l. Se suprime el número de bielas necesarias, representativas de los posibles movimientos de los apoyos, transformando el sistema en un sistema isostático, denominado sistema principal. Por ejemplo, a la viga continua de dos vanos representada en la figura l.D.I.a, presentación 2/1, que es una estructura hiperestática de grado 1 se le suprime la biela que representa al apoyo intermedio B, con lo cual se transforma en una viga isostática biapoyada en A y e, figura b l.

En el sistema representado en la figura LD.2.a, presentación 3/1, al suprimir las tres bielas del empotramiento en A se transforma en el sistema principal isostático representado en la figura I.D.2.b 1.

2. Se eligen como incógnitas hiperestáticas, X, las reacciones asociadas a las bielas suprimidas. Para la viga continua de la tigura LD.I.a, la reacción hiperestática, Xl =

RB•

y para el sistema de la figura LD.2.a, las componentes de RA: Xl' X2 y Xl'

Figura /.0.1.

viga continua

Ecuación de la compatibilidad

X¡,O'¡¡ +i'!.:O =0

vanos

D.IO 0'11

3. El sistema real se sustituye por la superposición de los dos sistemas principales sumadas cargas reales y reacciones hiperestáticas, figuras LD.I.b y LD.2.b.

4.

5.

del

Se calculan en el sistema principal isostático [os desplazaml'entos A • d l '. ' "-';o aSOCia os a os

grados de lIbertad correspondientes a las bielas apoyo sup"d E '. nml as. sto s desplazamientos se determl11an con ayuda de un formulario o aplicando el teorema de Mohr, apartado LA.S.l. En la viga continua de la figura l.D.I.a, solamente se calcula .110, figura c. Yen el sistema de la figura LD.2.a, .1w, y.1

31J, figura I.D.2.c.

Se dete~inan los. coeficientes de influencia 5ij en el sistema principal, asociados con cargas um~ad. aphcadas según ~os grados de libertad correspondientes a las bielas de apoy? supnmldas. Estos coeficlentes Se calculan también con ayuda de un formulario o aphcando el teorema de Mohr. Para la viga continúa de la fiaura 1 D 1 al· . t'

l . '" '" ,a eXls Ir so ament~ un grado de lIbertad, se determina 5

11, figura c.

Yen el sistema de la figura LD.2.a, debidos a la cargas:

011,021 Y 031, figura l.D.2.d. 01], 021 Y 012, figura LD.2.e. 013, 02.! Y 033, figura 1.D.2.[

a)Sl5temo rea!

A B

b) Sistema principul

110 ~arQ~ real p h;pere,lo-

2 "', 1"\

fj

'5 p..n A B. :~ B '"

e)c,.8¡.Z

I..L"X, IXz

f) 1. 8,,3

Momentos MI,3

Figura

Presentación 3/1. Método de las fuerzas. Aplicación a un sistema de barras

9# I 1.0.2,

Los coeficientes de influencia se determinan mediante la ecuación 1 B S en':: . , d l l . ., lunClOn e as eyes ~e momento; MI,! y 3) generadas en el sistema principal por las

cargas X=l (1=1,2 Y 3), vease la figurl1 I.D.2.h.

Cálculo matricial de estructuras, le, y 2" orden. Teoría y problemas página 2411

6. Teniendo en cuenta que es válida la ley de superposición y que el desplazamiento del sistema real es suma de los despl37~mientos del sistema principal solicitado por la carga real y también por las incógnitas hiperestáticas Xi, se plantean las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones que consisten en anular los movimientos de los grados de libertad asociados a las bielas suprimidas. Por ejemplo, para la viga continua de la figura LD.La, se anula el movimiento vertical del apoyo B lo que permite plantear la ecuación: X¡"b¡¡+,1¡o= O; ecuación con la que se determina X¡=RB=-,1jon.

Si se trata de un sistema más complejo se plantea, en función de los valores, ,1;0 y 8, obtenidos anteriormente un sistema lineal de ecuaciones denominadas ecuaciones canónicas. Por ejemplo en el sistema de la figura I.D.2.a, al anularse los tres movimientos del empotramiento A, resulta

b11'X¡ +b12'Xz + b13 X 3 + 1':.10 = O

b2j 'X¡ +022'X2 +023'X3 +1':.20 = O ecuaciones LD.l.a

031' X ¡ +032 X 2 +b33 'X3 +1':.30 = O

Este sistema de ecuaciones adopta el formato resumido siguiente:

[F}{X}+ {Ll}=O ecuación LD.l.b

[F] matriz de flexibilidad, véase la ecuación l.B.2. {X} vector que representa las incógnitas hiperestáticas. {Ll} vector que representa los desplazamientos conocidos del sistema príncipal

solicitado por las cargas reales.

7. Finalmente se resuelve el sistema real como el sistema isostático principal al que se le incorporan las fuerzas hiperestáticas {X} obtenidas tras la resolución de la ecuación LD.1.a.

Ejercicio l. 7. Resolver, aplicando el método de las júerzas, la viga continua de tres vanos iguales, de sección constante, solicitada por una carga uniformemente repartida, q, figura ID.3.

Figura ID.3. Viga continua de tres vanos iguales

1) Sistema principal más reacciones hiperestáticas: En la figura LDA. se representa el sistema principal más las incógnitas hiperestáticas seleccionadas que sonX¡ y X], reacciones en los apoyos intermedios.

Fundamentos del cálculo matricial página 25! 1

,q ¡¡ , ¡. ¡ ¡ l tI} f ¡ , AJi t, Lz r-- L

Figura l.DA. Sistema principal + incógnitas hiperestáticas

2) Desplazamientos LlíO del sistema principal debidos a la carga externa:

La. ley de desplazamic:mtos d~ una viga de sección constante de luz L=3'1, solicitada por una carga umformemente repartIda, q viene dada por la expresión:

corga externa q De modo que:

A ~ i + J , 1 l ¡ 1 J·í 1 l ¡ r J , J lB

~ ____ ~_x Para x=L13,

ó lO = O,Ol1316'qL 4/(EI)

Figura ID.5.Desplazamientos Ll/,o y Ll2•0 del sistema principal, debidos a la carga uniforme, q.

Para x=2L13,

Ó20= O,011316'qL4/(EI)

3) Coeficientes de influencia:

La ley de despla~amientos de una v!ga de sección constante de luz L=3-I, solicitada por una carga puntual P= 1, aphcada a una dIstanCIa a del apoyo A, figura LD.6.a, es:

Figura l.D.6. Coeficientes de influencia

8(x) = PLa(L-x) [¡_a2

_(L-x\12J. x>=a 6El L' \ L ) ,

De modo que

Para a=L13 y x=L13, oll=O,01646-LJí(EI) Para a=L13 y x=2L13, ~¡=O,0I4403'L3í(El)

y para una carga puntual P= 1, aplicada a una distancia b del apoyo B, figura LD.6.b, es:

o(x)

Para b=L13 y Para b=Lí3 y

x <= L-b

o¡2=O,014403L1í(EI) 0;;]=0,01646' L3í(EI)

Cálculo matricial de lcr 2" orden. Teoría

4) Ecuaciones canónicas: O,01646·X I + O,014403'X 2 + O,OI1316'qL =0

0,0 1 4403X1 +0,01646X2 +0,OI1316'qL=O

Resolviendo el sistema, resulta:

XI X 2 -O,36668'qL -1,lO'q!

5) Diagramas de

a)

=O,40ql

/); releetores

e) Cortantes

Figura l.D.6. Diagramas de

qI2/,2,5

ecuaciones I.D. La

Calculando el sistema principal como una viga isostática a la que además de las cargas externas se añaden las incógni tas hiperestáticas, figura I.D.7.a, se deducen los diagramas de momentos y de

=O,40ql cortantes, figuras l.D.7.b-c, con los signos utilizados habitualmente en la~resistencia de materiales.

Fundamentos del cálculo matricial página 27/1

BIBLIOGRAFÍA

Argüelles Álvarez, R Análisis de Estructuras. Teoría. Problemas y Programas. Ed. Fundación Conde del Valle Salazar. Madrid 1996

y ArgüeJles Bustillo, R.

Argüelles Álvarez, R

Belluzi, O

Cálculo de Estructuras. Tomo l. Ed. FundaciónConde del Valle Salazar. Madrid 1981

Ciencia de la Construcción. 4 volúmenes. Ed AguiJar. Madrid. 1967

Timoshenko, S Y Gere, J Mechanics o/ Materials. 2" edición. Ed. PWS Engeneering. Boston 1984

Gutkowskí, R. M. Structures. Fundsamenta! Theory Gnd behavior. Ed. Van Nostrand Reinhold Company. London 1981

La barra hiperestática página 1/ II -

11. LA BARRA HIPERESTÁTICA

U.A. INTRODUCCIÓN

U.A.1. EJES LOCALES DE LA BARRA Y GRADOS DE LIBERTAD En el nudo A de la barra AB el eje local X a corresponde al eje axial que se aleja del nudo B. Los restantes ejes locales Ya Y ea, se obtienen girando a izquierdas. En el nudo B de la barra el eje local Xb corresponde al eje axial que se aleja del nudo A y también, los restantes ejes locales Yh Y eb se obtienen girando también a izquierdas. Véase la figura ILA.l.a

Con esta definición en lo que se refiere a esfuerzos el eje local x coincide con el esfuerzo axial de tracción. El eje local y, que resulta de girar 90° el eje x en el sentido contrario a las agujas del reloj, coincide con el esfuerzo cortante y el eje local z coincide con el momento flector. En ambos nudos, como ya se ha dicho, se elige como sentido positivo el giro contrario al de las agujas del reloj, figura n.A.l.a.

Como notación se emplea la siguiente: 5

a) 8. ~ 3 bf I ,6

~~I I-¡b

~ r B

2 Ya

bJ Py,b¡Oy,b

P ma.B. mb,8b ~ ¡:Ci~A=================B~~:f:

'Py,a

Oy,a

Figura II.A.l. Ejes locales y grados de libertad

{PJ; esfuerzo generalizado de la barra AB, referido a sus ejes locales. Sus componentes son: px.m py.a Y ma, figura ILA.1.b.

{Pb}; esfuerzo generalizado en el nudo B de la barra AB, referido, también, a sus ejes locales. Sus componentes son: pX.b, Py.b y mb, figura n.A.l.b.

{Sa}; desplazamiento generalizado del nudo A de la barra AB, referido a sus ejes locales. Sus componentes son: Dx.m Dy.a Y en> figura Il.A.1. b.

{Sb}; desplazamiento generalizado del nudo B de la barra AB, referido a sus ejes locales. Sus componentes son: D,b' Dy.b Y ()¡" figura ILA.1.b

Al extremo A se le asocian tres grados de libertad correspondientes a las direcciones de los ejes locales x, y y e, de la figura n.A.l.a, a los cuales se les asignan los números 1, 2 Y 3; Y para los ejes del otro extremo B, otros tres grados de libertad: 4, 5, 6 en relación, también, con las direcciones: x, y y e, figura n.A.l.a.

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas Página 2/Il

I1.A.2. COEFICIENTES DE INFUENCIA EN EL EXTREMO A DEL VOLADIZO

Para resolver la barra hiperestática se considera como sistema principal isostático de referencia el voladizo con el extremo libre en A y empotramiento B, figura Il.A.2. Aplicando cargas unidad según los grados de libertad 1, 2 Y 3 los desplazamientos del extremo libre A están definidos por b;;, i indica la dirección del desplazamiento de A (1, 2 o 3) y j el número del grado de libertad asociado a la aplicación de la carga unidad. En la figura ILA.2, presentación VII, se indican los valores de los coeficientes de influencia para las siguientes cargas unidad:

a. Carga aplicada según el grado de libertad 1 b. Carga aplicada según el grado de libertad 2 c. Carga aplicada según el grado de libertad 3

po! A J 15 _ 1 . a) 4-1 _~ ___ ._ O; O

-l ¡A, EA 11- EA'

........... --~ t

(,r st

[3 [2 b)

T ~ 612 =0; 622 3EJ; 032

8 1 2E!

221 ... __ .,k:;. 32

(' 82J~ J ¡2 0]3 =0; 02) = 2El: °33 El

e)

i :::::'..-L;3 Ecuaciones /lA j.

Figura I/A2

1I.A.3. DESPLAZAMIENTOS DEL EXTREMO A DEL VOLADIZO PARA DIFERENTES TIPOS DE CARGAS DE BARRA

Si el voladizo está solicitado solamente por cargas normales a su eje, el extremo A no se desplaza en dirección axial pero si se produce un desplazamiento normal al eje de la barra y un giro. Para representar el desplazamiento se emplea la notación Ai.O , en la que ¡hace referencia al grado de libertad del movimiento (1, 2 o 3) y O indica que la causa de los desplazamientos se debe a la carga aplicada en el voladizo.

En las figuras II.AJ, presentación 2/11, se indican los desplazamientos del extremo del extremo A del voladizo, .12.0 y ¿lJ.(), para diferentes tipos de carga normales al eje de la barra:

a) Carga puntual

b) Carga uniforme y parcialmente repartida (se incluye también el caso de carga uniformemente repartida;

c) momento flector aplicado puntualmente; d) carga triangular iniciándose la carga en el extremo A;

En todos los casos AI.O =0

O;

"'.0 = O; Ll2•0 2b'};

si c=1 y b li2: t:.,.o ~ SEl ; LI,.o 6EI

c)

s=~====::;)~;:::'II::;;;;;;;:S;;::::::a::::jk t:.¡.o O;

~ -b); t:. 30 =Mb

. El

'--il ... .......;--. .... _ .. P __ ----I-. d)

F=~=.=:ú=;. q~~==::;tr;: A~: a",

Ecuaciones IIA2.

Figura I/A3.

Síb=l:

a) PI' ll,.o = 3E!;

PI' ll,.ú =2EI

Presentación 2/Il. Flechas y giros del extremo A del voladizo

I1.B. BARRA ARTICULADA / EMPOTRADA SOLICITADA POR CARGAS NORMALES A SU EJE.

II.B.1. CÁLCULO DE LA INCÓGNITA HIPEREST ÁTICA r e

E ~

s u~a estructura hiperestática de grado unidad. Como incógnita hiperestátíca se elige la reacción r"'.va en A que se determina aplicando el método de las fuerzas, apartado I.D.I, para lo cual se añade al sistema principal isostático (formado por la viga en voladizo con la carga) la influencia de la reacción hiperestática, X] = figura U.B.l (se denomina X 2 ya que la dirección de la reacción hiperestática corresponde al grado de libertad, 2). Anulando el desplazamiento del ext;:-emo A se plantea la ecuación de condiciones:

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas Página 4/ n

""2.0 +X2 '622 =0 ecuación n.B.1.a

representa el desplazamiento en el grado de libertad 2 generado por una carga unidad aplicada según el grado de libertad 2. Si la barra es de sección constante el valor de este coeficiente es, 022=13/(3El), véase la ecuación n.A.l.b, presentación l/U.

Ll2,o representa el desplazamiento en el grado de libertad 2 generado por la carga de barra según el grado de libertad 2, véanse ecuaciones II,A.2,a-d, presentación 2/11.

Figura ll.B, 1,Barra articulada empotrada

A partir de la ecuación n,B.l.a, se determina la reacción en el apoyo A, ¡fya :

!:J. XO =r" =_ 2,0

'" y.a 022

ecuación II.B.1.b

Esta ecuación es válida cualesquiera que sea la geometría de la barra (sección constante o sección variable). Si la barra es de sección constante: 5v =P1(3EJ), resultando:

• e 3El "" .x 2 = ry.a = - I j' 2.0 ecuación n.B.l ,c

Ll20

flecha del voladizo definida en las ecuaciones Il.A.2, presentación 2/Il.

Los diagramas de momentos y cortantes se determinan analizando el voladizo con la carga externa y el esfuerzo reacción, r~,a aplicado en el extremo libre A.

La barra hiperestática página 5 / n

II.B.2. EJEMPLOS DE BARRAS DE SECCIÓN CONSTANTE

U.B.2.!. CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA En el caso de una carga uniformemente repartida q, se aplica la ecuación II.B.l.b, para los valores correspondientes de 0" y ,1'0, véanse presentaciones l/II y 21II, deduciéndose si la barra es de sección constante:

Analizando el voladizo con ésta carga más la carga uniformemente repartida q, figura ILB.2, se determinan las leyes de esfuerzos que con los signos utilizados habitualmente en la resistencia de materiales, resultan:

Figura ll.B.2. Barra articulada empotrada con carga uniformemente repartida.

II.B.2.2. CARGA PUNTUAL Aplicando la ecuación n.B.l.c, teniendo en cuenta que según las ecuaciones II.A.2.a,

Pb 2

t. zo = (2b+3a) . 6El

lef 2° orden. Teoría

se determina r'y,a, ecuación ILB.2, presentación 31II, y a continuación se calculan y representan los diagramas de esfuerzos, figura ILB.3.

""""""""~T -ry,v

~~~~~~~~~;~ ry,cj. ~LW..I.l.LJ1;u.w.L.llW

Figura II.B.3. A

Ecuación 11.8.2.

n.B.2.3. CARGA PARCIAL Y UNIFORMEMENTE REPARTIDA Utilizando la ley de la superposición se resuelve el problema para cualquier clase de carga. Para ello se considera la carga total descompuesta en cargas puntuales elementales q-dx, figura 1l.BA.a, que se sustituyen por la carga P en la ecuación II.B.2, presentación 3/IL

ecuación ILB.3.a

Resultando:

b-al( a+ <.0 == Xl q'-¡-' 1 - 2 + siendo m~

ecuación II.B.3.b

En la figura n.BAb, presentación 4/II, se representan los diagramas de esfuerzos.

a)

(O) b)

M

, b i ~

V ~ a i tD~~r;'b ry~agil:,W¡II¡ir~.

Figura II.B.4. A

Leyes de esfuerzos M(x) -X2 'x; V(x) -Xú x <= a

M(x) -X2 'x-q{x-a)2 /2; a <x <=b

V(x) -X, -q'(x-a)

M(x) -X,'x-q{b-a}cx-(a+b)/2); x>b

V(x) = -X, -q{b-a) Ecuaciones 11.8.4.

Presentación 4/Il. Barra articulada empotrada solicitada por una carga parcial y unífor~emente repartida.

n.c. BARRA BIEMPOTRADA SOLICITADA POR CARGAS NORMALES A SU EJE

n.c.l. CÁLCULO DE LAS INCÓGNITAS HIPERESTÁTlCAS: rv,ac y m/ La barra biempotrada con cargas normales a su eje es una estructura hiperestática de grado dos. Se eligen como incógnitas hiperestáticas la reacción r'y,a y el momento maen el extremo A, véase la figura rLe.I. Su determinación se realiza aplicando el método de la supe~osición de modo que al sistema isostático de referencia (formado por la viga en voladiZO con la carga externa) se le suma el efecto de X 2 = r"y,a y de Anulando el desplazamiento vertical y el giro del extremo A se plantea el sistema de ecuaciones,

t. 20 + X 2'022 + X 3 O

t. 30 + '032 + X 3 '0'33 O

cuya solución proporciona los resultados siguientes:

_ _ t.30·023 t. 20 ·0'33 - X 2 - - . -----.•. ''----

022'033 oi3

-t. 3o ·022 +Ú20'032

022 '033 - O'i3

ecuaciones n.C.I

ecuaciones n.C.2

Lli,o (i=2 ó desplazamiento según el grado de libertad i debido a las cargas de barra, véanse para la barra de sección constante las ecuaciones II.A,2, presentación 21II.

Cálculo matricial de 8/ II

coeficientes de influencia. Si la barra es de sección constante sus valores se obtienen de las ecuaciones n.A.I. presentación l/I1.

Estos resultados son válidos cualesquiera que sea la geometría de la viga (sección constante o variable).

b)

lI.C.l. Barra biempotrada

Si la viga es de sección constante,

resultando:

,2 '5 -2El' 33 - El

r' == X, = 6EI.(t,/j,. 2·/j,2,O) y.a • ¡J ",o

+

+

ecuaciones ILC.3

Detenninados y ma se calculan los diagramas de momentos y cortantes analizando el voladizo con la carga nonnal a su eje y las fuerzas y ma, aplicadas en el extremo libre A.

La bruTa hiperestática página 9/ II

n.c.2. EJEMPLOS DE BARRAS DE SECCIÓN CONSTANTE

n.c.2.1 CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA En la figura IIC.2, se representa la viga biempotrada de sección constante solicitada por una carga q unifonnemente repartida. Los desplazamientos diO dcl extremo A del voladizo AB, debidos a la carga q (véase la ecuación II.A.2.b, presentación 21II) son:

ry~o

q/4 .t,

8El' 3.0

Determinación leyes de esfuerzos

M(x)

(O)

nC.2.Barra bíempotrada con carga uniformemente repartida

Utilizando las ecuaciones 1l.C.3, se deducen los valores de r'y,a y ma':

ql

2

q¡2

12

Analizando el voladizo con éstas cargas aplicadas en el extremo libre A y la carga uniformemente repartida q. figura ILC.2. se determinan las leyes de esfuerzos que, con los signos utilizados habitualmente en la resistencia de materiales, corresponden a las ecuaciones siguientes:

M(x)

el) V(x) -ry,a -qx = q(2 -x

(1 x) 12

qx 2 q 12;

Cálculo matricial de estructuras, 1 cr y 2° orden. Teoría y problemas Página 10 III

n.C.2.2. CARGA PUNTUAL En la figura n.c.3, presentación 5/lI, se representa una barra biempotrada de sección constante solicitada por una carga puntual P. Aplicando nuevamente las ecuaciones n.c.3, con los valores correspondientes de LI'/J y LlJ /J indicados en las ecuaciones n.C.4, se deducen los valores de ry,aY m,,, ecuaciones n.c.5.

Al ser:

x 0---"-'- . .¡

p

m~ ---ª----- -1 ) MI XI'

~~ =

Pb 2 Pb 2

"'10 =0; t.'o = (2b+3a}, "'30 = . ., 6E! . 2E!

Figura /I,C,3,

Ecuaciones /I,CA,

Aplicando las ecuaciones II.C,2., se obtienen las reacciones del apoyo A:

6E! r Pb2

Pb2 lj Pb r a b-aj' r':' =X2 ~ , ,[.( )-2' (2b+3a ~- i 1+'

}.a ,3 \ 2E! 2E! 'l , , m =X ~ , -2/( )+3' (2b+3a =--"

2E! (l Pb2

Pb2 lj Pab

2

Q 3 [2 2E! 2E! . ,2 Ecuaciones /I,C,5,

Presentación 5/11. Barra biempotrada CO/1 carga puntual

A continuación, analizando el voladizo con éstas cargas aplicadas en el extremo libre A y la carga puntual P, figura n.c.3, se detenninan las leyes de esfuerzos, que con los signos utilizados habitualmente en la resistencia de materiales son las siguientes:

M(x)=-r;,u'x-m~; V(x)=-r;',a; x<=a ecuaciones II.C.6

M(x)=-r(' ·x-me-P·(x-a); V(x)=-r¡:a-P; x>a y,a a _ ,

I1.C.2.3. CARGA PARCIAL Y UNIFORMEMENTE REPARTIDA Utilizando la ley de la superposición se resuelve el problema para cualquier clase de carga utilizando las ecuaciones ILC.5. (presentación 5/lI). Como en el caso de la barra articulada empotrada, se considera la carga total descompuesta en cargas elementales puntuales q'dx,

La barra hiperestática página 11 I 11

véase la figura n.c.l. La reacción hiperestática 1",,0 y el momento también hiperestático m" se determinan mediante las ecuaciones siguientes:

U.D.

re =Xo

=_bJ

q'(/-X){I+x.z-2X}.dX 'l,a - 1 1 1

a ecuaciones n.c.7

b 2 me = X = Jq,x'(l- x) dx

a 3 12 a

a representa la distancia del punto inicial de la carga al apoyo A, véase la figura II.B.4.

b representa la distancia del punto final de la carga al apoyo B, véase la figura II.B.4.

BARRA CON APOYOS INDESPLAZABLES SOLICITADA POR CARGAS AXIALES

Las componentes axiales de las cargas externas provocan reacciones, también axiales, en ambos extremos A y B de la barra, figura n.D.l.a, presentación 6/11. Bajo esta clase de solicitación solamente existen a lo largo de la barra esfuerzos axiales que dan lugar a desplazamientos, también axiales, de las secciones, sin que éstas giren ni se desplacen transversalmente. Debido a esto el compOliamiento de la barra biempotrada es similar al de la barra biarticulada. Ambas son, para esta clase de solicitación, estructuras hiperestáticas de grado 1 ya que dos bielas definen las reacciones en sus extremos re"Q y rx,b planteándose solamente una ecuación de equilibrio de fuerzas.

Una carga puntual H aplicada axialmente en una barra AB de sección constante da origen a las reacciones rx,,, y r",h, en sus extremos. Planteando la ecuación de equilibrio (ecuación (1), presentación 6/11) y la ecuación de condiciones (ecuación (2), la longitud total 1 de la barra no cambia puesto que los extremos no pueden desplazarse axialmente), se obtienen los resultados recogidos en las ecuaciones n.D.I.

Para cualquier otra clase de carga axial las reacciones se calculan aplicando la ley de superposición. Así, por ejemplo, para una barra de sección constante solicitada por una carga axial parcial y uniforn1ememnte repartida, figura n.D.l.b, se deducen los resultados indicados en las ecuaciones ILD.2.

Conocidas las reacciones, la ley de esfuerzos axiales a lo largo de la barra se determina, como siempre, estableciendo el equilibrio del esfuerzo axial de la sección a estudiar con todas las fuerzas que quedan a la izquierda de la sección, incluida la reacción r'~'.Q' figura n.D.l.b, presentación 6/11.

lcr 2° orden. Teoría 12/ II

Si se trata de una carga oblicua respecto al eje de la barra el cálculo se resuelve aplicando la ley de superposición:

La carga q(:,,) se descompone en una carga axial q(x)'cos(a) y una carga normal al eje de la barra q(x)'sen(a), siendo a el ángulo que forma la carga con el eje de la barra. Las reacciones rx.a debidas a la componente axial se determinan aplicando la teoría expuesta en este apartado. Y las reacciones ry,a y ma procedentes de la carga, utilizando la teoría expuesta los apartados ILB (barra articulada/empotrada) ó ILC.(barra biempotrada).

a) b} o b

¡L-, '-¡ rX~b rx~a A B r,e .,b

--E +~:+! 6,-qh

I

--0- -0-

Figura //.0.1,

Barra de sección constante. Barra de sección constante. Carga uniforme y parcia/mente repartida

a) Ee, equilibrio

b) Ee, condiciones

e) Resultados

Presentación 6

Ecuaciones 11,0.1.

O;

-H EA

O;

(l)

(2) a-cJ2

a+c!2

{h= f-;·q/¡·dx= ;qh'C a-c/2

EruBciones II,D.2.

Barra con apoyos mlleS,[i1aZal)leS solicitada por cargas axiales

U.E. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA

II.E.1. ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA SIN CARGAS Asociando al extremo A de la barra los tres grados de libertad: 1, 2 Y 3, correspondientes a las direcciones x, y y e, figura ILE.I.a, y al otro extremo B, los otros tres grados de libertad 4, 5 Y 6, relacionados también con las direcciones x, y y e, la ecuación matricial de la barra sin cargas responde al formato indicado en la ecuación n.E.], presentación 7/lI.

barra

Esta ecuación relaciona las fuerzas reacción, {P}, que se presentan en los apoyos, Con los desplazamientos los grados de libertad 1, 2,.,6, a través de la matriz de rigidez [k] referida a los ejes locales de barra.

Como ya se expuso en el apartado l.C.I, kij' representa la fuerza desarrollada en el grado de libertad i (1 a 6) cuando se aplica un desplazamiento unidad según el grado de libertad j (1 a 6), quedando inmovilizados los restantes grados de libertad. Además, se cumple que: ky

Formato desarrollado

r ['" kl2 kl3 kl4

,~ .. = ~~.: kn k23 k 24

k12 k33 kJ4

... ... ...

IPx Ik41 k42 k43 k4"

iP,. ¡ksl k52 k53 k,.

Jm l %, %2 %3 "M

a) Grados de libertad

k,s

~s kJS

'"

k41

k55

kS5

Formato resumido

'''r " ~~: 1, .~ .. r~J=rI ... (Po} [kbaJ:

[k~[W6=i ~bblJ l{óbl

k46 ¿; Ecuación IIE2. ,<

kS6 0.1' %6 f)

~ Ecuación /lE 1

b) Grados de ftbertad 5

+f'" t-t;:t ===:::;:t~ 3 !2 d) 8.=}

Presentación 7/l!. Formatos de la matriz de rigidez de la barra y significado fisico de los coeficientes de rigidez

de

En la figura n.E.l.c, el apoyo articulado A sufre un desplazamiento unidad horizontal, dirección o grado de libertad 1, mientras que los restantes movimientos de los otros grados de libertad quedan inmovilizados (es decir el extremo A, ni gira ni se desplaza transversalmente y el extremo B no sufre desplazamiento alguno). Para que este movimiento pueda producirse se presentan las fuerzas kll , k2¡, .. , k6}, en los extremos A y B de la barra. Estas fuerzas son precisamente los coeficientes de la columna y fila primeras de la matriz de rigidez.

En la figura II.E.I.d, el apoyo B de la ban'a biempotrada sufre un giro unidad (66= 1), dirección o grado de libertad 6, mientras que los restantes movimientos de los otros grados

Cálculo matricial de estructuras, l cr y 2° orden. Teoría y problemas Página 14/ II

de libertad quedan inmovilizados (es decir, el extremo A no sufre desplazamiento alguno por ser un empotramiento y el extremo B solamente gira, pero no se desplaza). Para que este movimiento pueda producirse se presentan las fuerzas k/ 6, k26, .. , k66, en los extremos A y B de la barra. Estas fuerzas son precisamente los coeficientes de la columna y fila sextas de la matriz de rigidez.

En la figura JI.E.l.e, el apoyo articulado A de la barra articulada/empotrada sufre un desplazamiento unidad vertical, dirección o grado de libertad 2, mientras que los restantes movimientos de los otros grados de libertad quedan inmovilizados (es decir el extremo de la barra A gira, puesto que el apoyo es una articulación, pero no se desplaza axialmente y el B por ser un empotramiento no sufre desplazamiento alguno). Para generar este movimiento de la barra se presentan las fuerzas k!2' k22 , .. , k6b en sus extremos A y B. Estas fuerzas son precisamente los coeficientes de la columna y fila segundas de la matriz de rigidez.

En la figura II.E.l.f, el apoyo A de la barra biempotrada sufre un giro unidad (ó~= 1), dirección o grado de libertad 3, mientras que los restantes movimientos de los otros grados de libertad quedan inmovilizados (es decir, el extremo A no se desplaza ni axial ni transversalmente mientras que el B no sufre desplazamiento alguno, por ser un empotramiento). Para que este movimiento se produzca han de presentarse las fuerzas k!3' k23 , .. , k63 , en los extremos A y B de la barra. Estas fuerzas son precisamente los coeficientes de la columna y fila terceras de la matriz de rigidez.

En formato resumido la ecuación ILE.l, queda representada según la ecuación ILE.2, presentación 7/Il

n.E.2. COEFICIENTES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA DE SECCIÓN CONSTANTE

Considerando que los extremos de la barra sufren los desplazamientos en ejes locales indicados en la figura ILE.2, la ecuación matricial Il.E.3, presentación 8/lI, incluye los valores de los coeficientes de la matriz de rigidez. Estos valores, si la barra es de sección constante, dependen de:

E A 1 1

módulo de elasticidad longitudinal; área de la sección de la barra; momento de inercia de la sección de la barra; longitud de la barra; coeficiente asociado a los modelos de enlace de los extremos de la barra, véase la presentación 8/Il.

Para la barra de sección constante las matrices de rigidez considerando los coeficientes en correspondientes a diferentes modelos de enlaces de los apoyos A y B son:

La barra hiperestática página 15 / II

Barra biempotrada: Barra articulada/empotrada: E: O O E: O O

O p/4 O O p/4 -K/2

O O O O O O

E: O O E: O -:/2 j O p/4 O O p/4

O -K/2 O O -Kl2 1,5/1

j: O O E: O O

P -K O P -K

-K 2/1 O -K /1

I~ O O E: O O

P -K O P -K

LO -K /1 O -K 2/1

Barra empotrada/articulada: Barra biarticulada:

r~ O O E: O O

O O O O O

16 o o 6 o o" I

1: P::, ~;~'

l~ P~4 -~/2

o pl4 o o -K/2 o

O O O

: + ¡j E: O O

O O O

O O O

E: O O O O O

I

O O O O O oJ

Obsérvese que la presencia de articulaciones da lugar a las filas y columnas nulas asociadas a los grados de libertad correspondientes: el 3 para la articulación en A y el 6 para la articulación en B.

") o o o o

.~ .. E: E:

o C(P -C2'K o C3'P -C4 K

o -C2'K c5 '2/1 o -C6'K 0'/1 = o ••

Px E: O O E: O O

Py O CJ'P -C6'K O Cs'P -Q¡'K

m O -C4'K 0'/1 O -Q¡K c1O·2/1

Ecuación I/.E. 3.

EA El El El E: = [ ; p = 12· [3 ; K = 6· [2 ; /1 = 2· [

Los coeficientes S, dependen de la clase de enlace de los extremos de la barra:

Ecuaciones 1/.E.4.

o) Reacciones en los extremos de barra

tPY'b

p~ma ~

~t D~b Py,a

~\b I I--¡ b) Desplazamientos

Figura /I.E. 2.

E a

E a ~ Figura 1/.E.3.

Presentación 8/11. Coeficientes de la matriz de rigidez y ecuación matricial de la barra.

Cálculo matricial de estructuras, l·r y 2° orden. Teoría y problemas Página 161 II

II.E.3. JUSTIFICACIÓN DE ALGUNOS VALORES DE LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ

A continuación se justifican los valores de algunos coeficientes de la matriz de rigidez, los restantes se deducen de manera similar.

Figura HE. 4.

Para obtener los coeficientes k, que corresponden a las fuerzas generadas por un desplazamiento unidad del grado de libertad ], figura ILEA, se considera el voladizo AB con el extremo libre en A y solicitado por una carga kli tal que de origen a un desplazamiento ~=].

Teniendo en cuenta que en una barra de sección constante (EA) y longitud / el alargamiento provocado por una fuerza ku es,

1 1 = 'k¡¡

EA ecuación ILESa

Del equilibrio de fuerzas se deduce k4!= k il • Los restantes coeficientes: k21, k;;, k5 / Y k6 / son nulos, resultando:

k¡¡ ecuación ILE.5.b

Para obtener los coeficientes ki2 que corresponden a las fuerzas generadas por un desplazamiento unidad del grado de libertad 2 en el caso de una barra articulada en A y empotrada en B, figura ILESa, presentación 91II, se considera el voladizo AB con el extremo libre en A y solicitado por una carga k'2 tal que de origen a un desplazamiento,

Teniendo en cuenta la ecuación n.A.2.a, Ll"o=P·¡3/(3E]) (véase la figura II.A.3.a, presentación 21II.), se plantea la ecuación rLE.7, que permite determinar el valor de ku. Al ser k¡J =0 Y ya que el apoyo es una articulación, se completan las reacciones en el apoyo A, ecuaciones n.E.S. Los coeficientes k4C, k51 Y k61, reacción en B, se deducen aplicando las ecuaciones de equilibrio de todas las fuerzas ki2 (desde i=] a ecuaciones ILE.9.

a) barra articulada/empotrada ,+<1<52 k62

k~I<¡;3:;;/=O==::::;;;::::~~===:::;Bl~. ~2 82=/i h2P=:==

~ L

b) barra biempotrada k32

k/~~' A::::=======-;:::;;~==~ 82 :'1

l_' ~=o .~ ______ .~~ ______ ~

Figura /lE 5.

Coeficientes ke>

Barra articulada/empotrada Barra biempotrada

13 52 =1 ¡3 ¡2

·k 3El 22

Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones

3El 2El Ec. /I.E.10

53 =0 12 1

k 2El 12 El Ec,ilE7

k,2 = O; k22 12EI

P; k32 13

6El /2

-K k12 =0; 3EI P. kJ2 O [3 4 ' Reacciones en A

EC./I,E8 EC.I/.E.11

k42 = O; k52 12EI

P; k62 /3 6El

12 -K k42 O; kS2

3EI P'k 3EI 1(

Reacciones en B 13 4' 62 12 2

Ec, /I.E.9 EC.I/E.12

Presentación 9/11. Justificación de los valores de los coeficientes k,,2 de la matriz de rigidez

Para la barra biempotrada de sección constante AB, se deducen los coeficientes ki2 que corresponden a las fuerzas por un desplazamiento unidad dcl grado de libertad 2 sin que se presente, además, giro y movimiento axial de dicho extremo (figura n.E. S.b.). Para ello se considera el voladizo AB con el extremo libre en A solicitado por una carga vertical k22 y un momento k32 tales que den origen a los desplazamientos: y Teniendo en cuenta la ecuación ILA.2.a. (presentación 2;11) se deduce que una carga puntual p= k21 en el extremo A provoca los desplazamientos: Ll2.o= k22'P1(3EI) Y k22·F1(2~1) y un momento M= k32·P1(2El) Y Ll30= k3c'//(El), véase la ecuación ILA.2.c. De aplicar las condiciones del movimiento del apoyo A (desplazamiento unidad, 01=] Y giro nulo, 8;=0) se plantean las ecuaciones ILE.I O, presentación 91II, que penniten determinar k21 y k32• Al ser k/ 2 0, por no existir desplazamiento axial se completan las reacciones en el apoyo A, ecuaciones ILE.II. Los coeficientes k4b k52 Y kli], componentes de la reacción en B, se deducen, como en el caso anterior, aplicando las ecuaciones de equilibrio de todas las fuerzas (desde i=] a i=6), ecuaciones ILE.12.

Cálculo matricial de estructuras, 1 cr y 2° orden. Teoría y problemas Página 18 / 1I

Eiercicio 11.1 Para la viga de madera laminada encolada de clase resistente GL 2Bh representada en la figura I/.E.6, se pide:

a) Determinar las matrices de rigidez en ejes locales para las condiciones apoyo siguientes: 1) biarticulada 2) articulada/empotrada 3) empotrada/articulada 4) biempotrada

b) Para el caso de la barra biempotrada representar el significado físico de los coeficientes k;2

a) Matrices de rigJdez

a1) barra biarticulada '114.817 O O

A B

,";-- L O O O

O O O

[k]= 114.817 O O

O O O

O O O

Ecuación I/.E3.

a2) barra articulada/empotrada

É==---=---~

1114817 ° O 114.817 O I O 130,8 O O 130,8

O O O ° O

[kl~ 114.817 O O 114.817

O 130,8 O 130,8

O -1.569,4 O O -1.569,4

Ecuación I/.E3.

a3) barra empotrada/articulada

:Fª==. __ ==t;,sB

14.8J7 O O 114.817

O 130,8 -1.569,4 O

Figura l/E 6

114.817 O

~l O O 1

O O 01 I

~I 114.817 O

O O °1 O O OJ

EA é,' = ~

1

1 ::: 5,9787 IO-J· m4

A :: O, '0935 mi

E ~ 12 GOO 000 kN/m2

12.600.000'0,10935 ~ 114.~17 kN 1m

12

c1= c2 = c3= C4= e5= c6 =c7 ;::; ce= c9= C10=O

-: c1= C3 =ce= 1/4; C4 =cg=1/2; c10=3/4; C2=C5= c6= C7=O O I

-1.5694! GEl 1212.600.000,5,9787'10-1 .1 1308 kN! m ' '1 P~-/J-·cl 123 4'

O _ 6EI. _ 6,12.600.000,5,9787-10 JI 15694 kN O K - l' "4 - 12' 2'"

-1.569,41 4EI 4-12.600.000,5,9787,10-'3 ~18.833 kNm 18.833 J 2}1 ~ ¡'ell

) 12 4

O C,~ C3 ~C8= 1/4; c2 =c6=1/2; cs=3/4: c,=c7= c9= cjO=O

130,S O I 12 El

O -1.569.4 18.833 12'12.600.000'5,9787'10-1

= 130.8 U, O -1.569,4 O P~-/1-'e) 12:1

m 4

[kl~ 114.817 O O

6EI 6'12.600.000'5,9787'10-1 1 ~ 1.569.4 kN 114.817 O O K=-"C

12' /2 4 2 O 130.8 -1.569,4

O O

O 130,8 O 4EI 4·12.600.000-S,9787·IO-J 3 2Jl = ¡"C1(l= ~ 18.833 kN In O O O 12 4

Ecuación /I.E 3.


a4) barra empotrada/empotrada

t B~

r114.817 O O 114.817 O O c1= e2 = e3= c4= es= es =c7= c8= cg= c1O=1

523,1 -3.139

O -3.139 25.110

O 523,1 -3.139 \2EI 12'12.600.000'5,9787-10-3

O -3.139 12.555 P~T'c) 12) '1 ~ 523,1 kN I m

'H 1114~817 O

523,1 -3.139

l -3.139 12.555

6EI 6'12.600.000'5,9787'10-3

K=-'C ]22 ·1=3.139kN 114.817 O O

12 4

O 523.1 -3.139 2}1 = 4Elc )O 4'12.600.000'5,9787'\ 0-3

'\=25.110 kNm O -3.139 25.\10 1 12

Ecuación I/.E.3.

b) Representación del significado fisico de los coeficientes k;2 la barra biempotrada

Las fuerzas representadas en la figura II.E.7, corresponden a los coeficientes de la columna 2 y fila 2 de la matriz de rigidez, ecuación II.E.3.

-3./39kNm

'I~ Im~;

t523,10kN

Figura l/E 7.

+523,IOkN

fi\3.f39kNm r_o

"

.....................................................................................................

II.F. ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA Las reacciones {p },de la barra AB, generadas por el efecto combinado de las cargas y movimientos de los apoyos de la barra apoyada-empotrada o biempotrada, figura Il.F.l.a, presentación IO/Il, se determinan aplicando la ley de superposición, ecuación ILF.l. Para ello el análisis de la barra se descompone en dos estados: el primero con las cargas aplicadas en la barra e impidiendo el desplazamiento de los apoyos, lo que da lugar a unas fuerzas generalizadas en los extremos iguales a las reacciones representadas por {ro"} = {rea', r,,' y m/=r,/V y {rn={r,¡,'. r)/ y mh'=r,.;,V, figura Il.F.l.b.; y el segundo, que corresponde a la barra desplazada por movimientos de sus extremos, figura Il.F.l.c. Esta superposición queda explicitada en formato resumido por la ecuación siguiente:

ecuación II.F.2

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas Página 20 / n

{r,,'}

[k]

representa la reacción generalizada debida a las cargas de barra en el extremo A de la barra AB. Sus componentes son: r,.,,', ry .,,' y mu'=r •. u' para el extremo A de la barraAB.

representa la reacción generalizada debida a las cargas de barra en el extremo B de la barra AB. Sus componentes son: r",', r,.,' y m{=r./ para el extremo B de la barraAB.

submatrices de rigidez, véase la ecuación n.E.3, presentación 8/II

Determinadas las reacciones, el cálculo de los esfuerzos de barra se efectúa partiendo de uno de los dos extremos de la barra, el A ó el B, avanzando hacia el apoyo opuesto, el B ó el A, Y estableciendo el equilibrio de todas las fuerzas entre el apoyo y la sección de corte.

ecuación matricial completa de la barra cargada

6 O O

O c¡'P -C2'K

O -C2'K cs·2¡.;

e O O

O c)'P -C6'K

O -C4'K c7 'J.L

Ecuación 11. F. 1.

a)

6 O O O c3'P -C4'K

O -C6'K c7 'J.L

e O O

O c8'P -0'K

O -0'K c¡o·2¡.;

E ~ EA . P ~ 12 El k ~ 6 El f1 ~ 2· El [ , [,' J2' [

Coeficientes cn según las ecuaciones II.E.4.

b) Barrra biempotrada

+ e) Desplazamientos de los apoyos

A

Figura I/.F. 1.

Presentación la/JI. Ecuación matricial completa de la barra cargada de sección constante

La barra hiperestática página 21 / n

Eiercicio 11.2. Para la barra representada en la figura 1/.F.2., que además de soportarla carga transversal uniforme y parcialmente repartida, q = 10 kNlm, inclinada 45° respecto al eje de la viga, los apoyos experimentan referidos a los ejes locales los movimientos siguientes:

o.={0,0005 m;O,OO;o,ooy; 0b =(O, 00;0, 05 m;0,01 rady

se pide: 1) Determinar la ecuación matricial completa de la barra 2) Leyes de esfuerzos

/35 mm

~~3~m~~r ____ ~6~m~. ______ ~3~m_.~ 10kN/m

• -j ~ J....

B,ommi T

/7T/~ E = 12600000 kN/m 2

A = 0,10935 m' ! I = 5,9181'10'3 m"

Figura I/.F.2.

1) Ecuación matricial completa

a) Las reacciones para la barra biempotrada debidas a la carga transversal son:

, r,

-21,20 kN

- 21,20 kN

58,34kNm

21,20kN

21,20kN

58,34 kNm J labia 1/.1.a.

b) Ecuación matricial completa y reacciones totales:

[p, " i114.817 O O 114.817 O

P, I O 523,1 -3.139 O 523,1

m

=1 O -3.139 25.110 O - 3.139

Px 1114~817 O O 114.817 O

l~ 523,1 -3.139 O 523,1

h L O -3.139 12.555 O -3.139

Ecuación I/.F.1.

O 1

0,0005 " r- 21,2T r 36,22 leN 1" -3.139 O

-'~:;~Oj -26.44 kN

12 .. 555 . O ! 26,95 leVm I + o) .... ,

O j O 21,20 78,64 kN

-3.139 , 0,05 21,20 15,98 kN

25.110 l 0,01 J. -58,34 h 35,83 kNm) h

Cálculo matricial de estructuras, I cr y 2° orden. Teoría y problemas

2) Leves de esfuerzos

e) Ax.iles N(x)

36,2~ I "?8,64kN

Fleclores M(x)

x ~-~~~~~"

) ~~~L.; e "0",1 ~/Z7' Mlx)

3 o0--E~A ~LL -r' i' E,__ l -----=:J N, ¡( I , ! 12644 Vrx)

Cortantes V()')

/5,98kN

Figura 1/.F.3. Leyes de esfuerzos

II.G. TABLAS 11.1. a-b

Página 22 / II

N(x)=36,22 ; x<3 N(x)=36,22+10·0,707·(x-3) ; 3<=x<9 N(x)=78,64; x>=9

M(x)=-26.95+26,44'x; x<=3 M(x)=-26,95+26,44' x-1 O' O. 707'(x-3)'/2

3<x<9 M(x)=227,6-15,98'x; x>=9

V(x)=26,44 ; x<3 V(x)=26.44-W0,707·(x-3) , 3<=x<9 V(x)=-15,98 , x>=9

A continuación en la tabla n,l ,a, se indican las reacciones {r,/} Y {r¡,"} de los extremos A y B de una barra de sección constante biempotrada solicitada por los tipos de cargas más habituales.

Reacciones

ma f "~f Tipos de carga B-rx,b

mb rya

I r I

P,=P 'sen r/J; P,,=P'cos r/J Tipo 1

1 I~\ a= - Px'( !- d)l! 1~\"tI= -PI' (1 - dy (1+ 2d) /1'

t=d~ I lna = Py (7-d/,d/¡2 rx,h= rx,b+ P, l~v,b= r",¡,+ PI' 117¡,= -PI' (1- d),cf /12 t- I -!

La ban-a hiperestática página 23 / II

Reacciones

ma B0-rx4~ - Tipos de carga 'Xb

ry,a mb

'

r 1 I f~d+e ; s-e'l ; w-12'1'

Px=P 'sen r/J ; Py=P'cos r/J Tipo 2 r.r,a= -Px'e'(1 - d - el2) / I P ry,a= - Py {2's - (f-d')'2 / 1+ (f - cf)l12) /(21)

I @1IIVl I ma = Py'{6·f. (f-d2)-81·(f-d') + 3· (f-cf)) / w r.r:,b= rx,a+ px"e f--d r e-----4 r..II,"= r.v,a + pJ-:e

~ m¡,= - ry,a'l - rc,a - py'(I- d - el2)' e f .J

h=l-d-2e/3 ;P,=p-e/2

~ PT=P,'senr/J ; Py=P¡,cos r/J Tipo 3

rx,,,= -P,h / I ry,a= -Py'{3Il-é/6+ d·e2/(31)+28·e·1/(J35·l)-2h'J/Il / ¡J I I m,,= Py'{e2'(d+e)l(61) + h2 _h3/1_ e2/9-51'e3/(810'l}} / I l' ,= l' + P x,n x,a x r- d -l e--t I'I',¡' = ry,,,+ PI'

I L. h---j m¡,= - rv,a'l- rc." -P):h g ..,

g=d+e/3; h=l-g;P¡=p'e/2 Px=P,'senr/J; P,,=P¡,cos r/J Tipo 4

~ rx,C/= -P,-h / I ry,a = -Py'{3h2 +é/6 - h-e2/(l/3) + 2'¿/(1/135)-2h'/I}/ ¡2

/t I m,,,= Py'{h2 + e2/18-h'e2/(l/6) + ¿/(l/J35) _Ir'/I}!! rx,b= rx,a+ Px ~d f- e--t ry,h = l~v.a+ P.v

m¡,= -rv,a'l- r"a -P,:h ~g 1- h I

rx,a= O Tipo 5 rJ',a= -6I71d'(1 - d) / t 111(/= -m'(4dl-3cf-/)d! 12

~ ey I rx,¡'= O

1~)I,b= ry.a

f--d -1 m¡,= -ry,a'l- ro,a-m

., Tabla ll.l.a. ReaCCIOnes en barras de seCClOn constante con apoyos biempotrados, referidas a los

ejes locales de barra

Cálculo matricial de estructuras, l er y 2° orden. Teoría y problemas Página 24 / n

La tabla n.1.b, permite determinar, también, las reacciones con uno o los ~os apoyos articulados a partir de los valores deducidos en la tabla n.l.a, para la mIsma barra considerada inicialmente como biempotrada.

Reacciones

ma sí} Tipos de carga 'x~~ .. . .. .

'X,b mb ry,a ~ 1- I

rx,a = r x,a

I ry.a = r>a+ 3· r'z.a/ (21) A B~ ma = o.

E rx,b = r,x,h ,

r",b = rr,l,+ 3· r z,a/(21) nI/¡ = r =,h- r =.a/ 2

r x .a = r x,a

rv,a = r'v.a + 3· '.'=.h/ (21) B ~la = r~·=.a- r'",b / 2 ~A Zi /, I rx,b = r x.b

r)'b = r~'b + 3· r·2.b/(21) mb= O

I

!'".r,a = r,x,a , ,

rv,a = r y.a + (r =,a + r z.b) / 1 A B m a = O Ji L r.l.:,a = r x.b

ry.h = ,-'v,b + (r'z,,, + r'2,h) / 1 m/,= O

r x.a; r 1',a;ln a; r x,b; ry,h; In b Reacciones calculadas en la tabla 11.1.a, para la barra biempotrada

., , , ., Tabla IJ.I.b. ReaCCIOnes en barras de secclOn cOllstante con apo)'os G/ tlculados de secclOn constante, referidas a los ejes locales de barra


BIBLIOGRAFÍA Argüelles Álvarez, R Análisis de Estructuras. Teoría, Problemas y Programas. Ed. Fundación

y Argüelles Bustillo, R,

Sáez-Benito, J.M.

Algibes, , M.; Coin,A

y Joumet, H.

Conde del Valle Salazar. Madríd 1996

Cálculo Matricial de Estructuras. Ed. Fondo Editorial de Ingeniería Naval. Madrid 1981

Estudio de las Estructuras por los Métodos Matriciales. Editores Técnicos Asociados. Barcelona, 1971

111. CÁLCULO MATRICIAL DE PÓRTICOS PLANOS

III.A. SISTEMAS DE BARRAS PLANOS SOLICITADOS POR CARGAS APLICADAS EN LOS NUDOS Y EN EL PLANO

III.A.1. INTRODUCCIÓN Las cargas aplicadas en los sistemas de barras provocan su desplazamiento, figura IILA.l, que incluye los movimientos de los nudos definidos por tres grados de libertad que, referidos a un sistema de ejes generales, son: {L1X,L1y, e} T y, además, las deformaciones o combaduras de las de las barras.

Figura Ill.A.l.Desplazamiento del sistema

Una barra del sistema, por ejemplo la AB de la figura lILA. 1 , pasa a la posición A 'B " con movimientos: {LlXA, L1Y:4, eA}T y {LlXB,

L1Ys, es}T de sus dos extremos. En el sistema deformado se mantienen además la continuidad de los desplazamientos de los extremos de las barras en los nudos (si los enlaces de todas las barras en el nudo son rígidos todas las barras giran el mismo ángulo) y condiciones de movimiento de los apoyos.

Considerando que el movimiento de un nudo queda definido por sus componentes según los ejes generales, X, Y Y e, y asociando al sistema de barras los grados de libertad de la figura IlI.A.2, puede plantearse una ecuación matricial completa, ecuaClOn m.A.l, figura rILA. l , que incluye los ténninos siguientes:

• {P}, vector cargas de nudos en el que figuran las cargas aplicadas según las ligaduras libres y las reacciones en las ligaduras impedidas que inicialmente son desconocidas (R¡ y R2 componentes de la reacción según los ejes X e Y de la articulación e, respectivamente; R¡o Y Rll Y R12, componentes de la reacción en el empotramiento D y, fmalmente, RI3. componente según el eje general X de la deslizadera en el nudo E).

Cálculo matricial de f\¡::tnJ(~tl1lras. 1 er 2° orden. Teoria 2/ 1lI

• [K], matriz completa de rigidez, que para el ejemplo representado es una matriz de grado 15. Este grado de la matriz se debe a que como cada nudo tiene 3 grados de libertad (componentes del desplazamiento según los ejes generales), figura lILA.2, el número total de ecuaeiones del sistema será, 3xnÚInero de nudos

• {L1}, veetor desplazamientos de nudos. De este vector son conocidos los desplazamientos asociados a los grados de libertad impedidos (coacciones) y desconocidos los desplazamientos de los grados de libertad libres. Obsérvese que en la ecuación lILA. I , figuran eomo desplazamientos nulos (O), los asoeiados a las ligaduras de apoyo eoartadas (1, 2, 10, 11, 12 Y 13)

La dificultad del eálculo matricial consiste en determinar la matriz de rigidez. Conocida ésta, se resuelve el sistema de ecuaciones reducido por las condiciones de apoyo, determinándose los movimientos de todas las ligaduras libres según los ejes generales. Por un sencillo cambio de ejes, estos movimientos se refieren a los ejes locales de barra. Y a través de la ecuación matricial de la barra, ecuación I1.E.3 (presentación 8/11), se detenninan referidos a los ejes locales los esfuerzos (reaeciones) en los extremos de las barras, lo que permite calcular las fuerzas de sección a lo largo de toda la barra.

Ecuación [I/.A.t.

Figura IlI.A.1

r :~,:: l K iJ3

:K4 ,;}

. K5,;~

K,,:;

K¡,l<l.

K 2 ,14

K),14

K 4 ,14

K:.!4 K Ci4

K 7 ;4

Kj{¡)4

K LU4

K I4 ,!4

K¡,¡~ 1" O K 2 ,15 ¡

K~.l~ J !

~:::; 1 K6151

K715 J I

K

w

" 11 K n ,l5 11 K H,J5¡! K r5 "sJJ

Rp componente X de la reacción en c" R:, componente Y de la reacci6n en e,

{J...14 Ro, componente X de la reacciÓn en E. ir 1'::; P l' P~, M j , .• Cargas aplicadas en l.as '~r-··--U según Jos gr<tdos de

f indicados en la ftgura /tI.A.l.

4 .1 Y e desplazamientos y giros según grados

!,' 9 _" _1' de libertad índicados en la flgvra III.A.2.

I 2~~-' iJ I $d~' 1., Formato resumido:

éL.-, -x ,,~ P {p}= [K}{A}

En este subcapítulo se hará, inicialmente, el planteamiento del cálculo matricial con la~ cargas aplicadas solamente en los nudos. En el subcapítulo siguiente se añadirán las carga~ de barra cuya presencia no modifica en nada el planteamiento del cálculo matricial. Finalmente se desarrollarán aspectos singulares del cálculo matricial como son la presencia de apoyos elásticos, desplazamientos forzados y la influencia de las variaciones de temperatura.

III.A.2. EJES LOCALES DE BARRA Y EJES GENERALES

m.A.2.t. EJES GENERALES DEL SISTEMA. FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS

Son los habituales X, Y Y e, con giro a izquierdas, figura IILA.3.a, presentación 2/IIl. Como notación se emplea la siguiente:

{Pa} representa la fuerza generalizada aplicada en el nudo A referida a los ejes generales, presentación 2/UI. Sus componentes son: PX,a, Pr,a Y Ma

{Pb } idem, para el extremo B, Sus componentes son: PX,b, Prb Y Mb {L1a} representa el desplazamiento generalizado del nudo A en ejes generales.

Sus componentes son: L1xa, L1Y,a Y 8 a {L1b} idem, para el extremo B. Sus componentes son: L1Xb, L1Yh Y 8 b

m.A.2.2. EJES LOCALES DE BARRA. FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS Son los ya definidos en el apartado n.A.I, del capítulo n. En la figura IILA.3.b, presentación 2/IlI, se representan los ejes locales de la barra ab perteneeiente al sistema representado en la figura I1LA.3.a. La notación es la siguiente:

{Pab} esfuerzo generalizado del nudo a de la barra ab, referido a sus ejes loeales. Sus componenetes son: Px,/ , Pl'} Y m/, véase la ILA, 1, apartado ILA.I,

{pl¡a} esfuerzo generalizado del nudo b de la balTa ab, referido, también, a sus ejes locales. Sus componenetes son: Px,ho ,]Jv,b

G y mba

{5ab } desplazamiento generalizado del nudo a de la barra ab, referido a sus ejes locales. Sus componenetes son: ox} , (JI'} y Bab

{biJa} desplazamiento generalizado del nudo b de la barra ab, referido a sus ejes locales. Sus componenentes son: , Oy,b

a y (}ba

En esta notaeión los subíndices hacen referencia a la dirección del eje local - x, y, B - Y al extremo de la barra que se está estudiando; el superindice define el otro extremo de la barra con objeto de localizar la barra a la que se haee refereneia, ya que en un sistema de barras a un nudo acuden una o más barras.

Cálculo matricial de ler 2° orden. Teoría 4/1Il

IlI.A.2.3. MATRICES DE CAMBIO DE EJES Para los cambios de fuerzas y desplazamientos de ejes generales a ejes locales y viceversa se emplean las matrices de cambio de ejes indicadas en la ecuaciones I1LA.2. (véase presentación 2/Ill):

matriz de rotación de fuerzas y desplazamientos de ejes generales a ejes locales del extremo a, nudo de menor numeración de la barra ab, figura IILA.3.b.

Tha idem, para el extremo b de la barra abo a ángulo que forma el eje general X, con el local x del nudo a (a, nudo de

menor numeración de la barra) medido en sentido contrario a las agujas del reloj, figura IILA.3.b. Se determina en función de las coordenadas de los nudos a y b utilizando las ecuaciones lILA.2, véase presentación 2/III:

Las ecuaciones m.A.3. son las de cambio de véase presentación 2/ITI. Las fuerzas y desplazamientos en ejes locales se representan con minúsculas y las de ejes generales con mayúsculas.

Las matrices inversas de Toh Y Tha son, por tratarse de sistemas de ejes ortogonales, iguales a las traspuestas: T,,/ y T,,/. Transfonnan fuerzas y desplazamientos de ejes locales a generales en los extremos a y b de la barra, véanse las ecuaciones lILA.3.

a) Ejes generales

Matrices de cambio de ejes:

r cosa i T".., = { sen a '" l O

sena

o 1 J

-sena 01 !

cosa O ¡ i

O lJ

rr: -

Figura /I/.A3.

b) Ejes loca/es

y a<b

Pub = TaIJ'Pab ; p!Ja

;Sab = Tab '/lab;

Pab = T!&'Pab; P""

"'" = TI; ·;Sab; "'b Tia 'Oha

Ecuaciones /I/A3.

p y ¿; fuerzas y desplazamientos en ejes locales

P y LI fuerzas y desplazamientos en ejes generales

Presentación 2íIIL generales y locales de barra. i\.1atrices de cambio de ejes.

III.A.3. MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Como ya se expuso la matriz de rigidez relaciona las fuerzas aplicadas según diferentes grados de libertad, con los desplazamientos de esos mismos grados de libertad. En los pórticos planos se consideran por cada nudo tres grados de libertad - direcciones: X, Y Y epor lo cual la ecuación matricial completa adoptará la expresión representada en la ecuación lILA. 1, para el sistema representado en la figura liLA. 1.( véase presentación I/III).

Estos grados de libertad, tres por nudo, que se numeran correlativa y consecutivamente, figura I1I.A.4.a (presentación 3/I1I) sirven para definir fuerzas aplicadas en los nudos o sus movimientos, Así, por ~jemplo, al nudo B se le asocian los grados de libertad 7, 8 Y 9. Cuando se habla del desplazamiento del grado de libertad 7 o de la fuerza en el grado de libertad 7, se hace referencia a la dirección según el eje general X en el nudo B.

Los coeficientes Kj de la matriz de rigidez completa representan igual significado físico que el que se ha expuesto para los coeficientes de rigidez de la barra prismática aislada, apartado n.El. El desplazamiento unidad en el grado de libertad j, con inmovilización de los restantes grados de libertad, genera en el grado de libertad í, la fuerza KÍj' véase la figura I1LAA.b. (presentación 3/1II).

Este significado físico de los coeficientes de la matriz de rigidez se comprueba desarrollando la ecuación matricial completa, ecuación I1LAA (presentación 3/III.) por la fila i:

Anulando todos los desplazamientos la unidad, resulta:

(en el ejemplo, n= 15)

=Lln =0). excepto 4, que se hace igual a

Lo que confinna que el coeficiente es la fuerza desarrollada en el grado de libertad i cuando se desplaza el grado de libertad j en una unidad quedando bloqueados los movimientos de los restantes grados de libertad del sistema.

Cálculo matricial de estructuras, I er y 2° orden. Teoría y problemas página 6 / III

Ecuación matricial completa

R K 1¡ K 12 K¡¡ ~ ( 1 K¡,.j !~¡ P2 K 2 ! K')2 K 2i

K'"j! A, )' (, = 15) ~ Kil Kíl Ku

K:" lA' Pn K.,! K n,2 Kn,i K... ~n

Ecuación /IIA.4.

(DII":" K 0-.. ./0,1

1;:',1

a) grados de libertad del sistema b) deformada y esfuerzos provo- e) Deformada y so/icffaciones cados por el desplazamiento ,V= 1 correspondientes a un giro unidad

Figuras 1IIA.4. del grado de libertad 3

Presentación 3/111. Significado fisico de los coeficientes de la matriz de rigidez

En la figura IILAA.b, se ha provocado un desplazamiento unidad del grado de libertad 7, desplazamiento del nudo B según el eje general X, representándose las fuerzas Ki7 desarrolladas en todos los grados de libertad. Obsérvese que la deformación del sistema mantiene bloqueados todos los movimientos incluso de aquellos extremos de las barras que pueden quedar libres, ya que la matriz de rigidez completa sólo contempla al sistema de barras y no a sus apoyos.

En las secciones extremas de las barras enlazadas directamente con apoyos o ligaduras externas, los grados de libertad hacen referencia exclusivamente al modelo de enlace del extremo de la barra (rígido o articulado) sin tener en cuenta para nada al apoyo. Así, se puede provocar en el extremo C un giro unidad de la barra CA bloqueando los restantes movimientos (giro que no tendría sentido en la a¡1iculación correspondiente al apoyo, C). Las fuerzas desarrolladas en todos los grados de libertad son, como ya se ha dicho, independientes de los apoyos del sistema y se denominan, para este caso, KjJ, figura IILAA.c.

Con este criterio, la matriz de rigidez del sistema es independiente de las ligaduras extemas, es decir de la clase y disposición de los apoyos. Éstos, como más adelante se verá, afectan a los resultados por coartar los movimientos de los nudos que están asociados a ellas.

La matriz completa de rigidez goza de las características siguientes:

Cálculo matricial de pórticos planos página 7 I III

a. Es simétrica, consecuencia del teorema de la reciprocidad, apartado LAA.I.

b. Es singular, lo que significa que las estructuras no apoyadas son cinemáticamente inestables.

c. Puede conseguirse, si se numeran adecuadamente los nudos, que la matriz sea banda (aquellos coeficientes que disten de la diagonal principal una cierta cantidad son siempre nulos), con la peculiaridad de que la diagonal principal resulte dominante. Definiéndose como ancho de banda la diferencia máxima numeración de los nudos de todas las barras del sistema. Para el pórtico representado en la figura III.A.l3, véase presentación 7/III, el ancho de banda es 2.

III.A.4. ECUACiÓN MATRICIAL DE LA BARRA DE SECCIÓN CONSTANTE EN EJES LOCALES

Esta ecuación ha sido desarrollada en el apartado n.E.2, véase la ecuación ILE.3. Relaciona, como ya es sabido, cargas con desplazamientos en ejes locales y es válida para toda clase de apoyos, presentación 4/I1I. En formato resumido se representa mediante la ecuación IILA.6, en la que,

{Pab} esfuerzo generalizado en el nudo a de la barra abo referido a sus ejes locales.

[kij]

esfuerzo generalizado en el nudo b de la barra ab, referido a sus ejes locales. desplazamiento generalizado del nudo a de la barra ab. referido a sus ejes locales. desplazamiento generalizado del nudo b de la barra ab, referido a sus ejes locales. submatrices de rigidez de la barra de orden 3 en ejes locales.

Cálculo matricial de ler 2° orden. Teoría 8/ III

Ecuación matricial de la barra en etes locales a) Reat;Cfone:; extrernos de bOrra

"j? e O O

C¡'p -('2'1\

e2'K cs'21l

I P. ¡ p~, c3'P - c6 'k~

, m CA'K '1 'j.i ", Ecuación 1II.A.5.

EA s = 1 ; P

Ecuación matricial en formato resumido

&

O

O

e

O

O

O l 0,

c..,'P -C4 "K 0" -C6'K C,'¡'l 9

O 0, b) De.splazomJ(!:nfos

(.'8"P -C9'~·: Oy

(.'IQ '211 9 '"Y -CQ</(' ;/¡ ~'i"

Fígura lilA 5.

Ecuación IIIA6.

Presentación 4IT!!. Ecuación matricial de la barra no cargada en efes locales

Figura lilA 6.

III.A.5. MA TRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES GENERALES Si la ecuación IlI.A.6, se desarrolla por filas, ecuaciones lILA.7.(l), véase la presentación 5/IlI, y a continuación se sustituyen los desplazamientos locales 5 por los desplazamientos referidos a los generales Ll, (2); al premultipliear ambas ecuaciones por 'P,(3) , las fuerzas en ejes locales p, quedan referidas a generales P. En (4) se sustituyen las matrices resultantes del producto de las tres matrices 'P·k-T por las submatrices [K] (véanse las ecuaciones lILA.8.), obteniéndose la ecuación matricial de la barra en fonnato resumido referida a los ejes generales, ecuación 1lI.A.9, en la cual:

{Ll,,} desplazamientos del nudo a en ejes generales del sistema {Ll,,} desplazamientos del nudo b en ejes generales del sistema {P,,;,} fuerza generalizada en el extremo a de la barra ah referida a los ejes

generales del sistema. {P¡,,,} fuerza generalizada en el extremo b de la barra ah referida a los ejes

generales del sistema.

Obsérvese que las submatrices h, Ka/:¡, Kóa Y Kbb" , se obtienen a partir de las matlices de cambio de ejes y de las submatrices de barra en ejes locales, véanse ecuaciones lILA8.

1) Transformaciones.

Pob ·/i"b+kub·¿¡iw Pb" = kbu '¿¡ab + k:b·¿¡ ha

Pob =k~o·Tah·f.a +kub·Tha·f.b PI>a kba -Tab ·!J.a + k~b 'Tba '!J."

T~Pah =T:~·k~Jab·f.a +T:5,·kab ·Tba ·!J."

P',b K!, ·f. o + Kah ·f.o

(1)

(2)

(3)

(4)

TLpiw = T¡:~ 'kbu ·Tul, ·!J.a + r:;' ·ktb 'Tb" ·!J.b

Pha = Kbo ·!J.o + KI~b ·!J.b

Ecuaciones III.A. 7.

2) Submatrices de rigidez en eíes generales 3) Ecuación matricial reducida en ejes generales

K j~a ·k! 'T ab

K ha r:; 'k¡,u -Tal>

K of¡ T;; ·k ab 'T bí1

K 1~) ·k hú 'T¡~J 1::: :¡ o ~:~; Ecuaciones 1II.A.8. Ecuación III.A.S.

4) Significado (/Sico de los coeficientes de fa matriz

!í r K H K 12 K13 K" K" K lb

I K 21 K" K;n K" K K 26

[K]= K" K" K 41 K 42

K K34 K l5 K" Kü K 4.( K" K 46

K:51 K:52 K" K" K" K" K" K" K 63 K" K" K ..

Ecuación lilA 10.

Figura lilA 7.

Presentación 51TJJ. Transformaciones para calcular la matriz de la barra en ejes generales

Desarrollando las submatrices de la ecuación III.A8. se presenta una matriz de grado 6, ecuación lILA 1 O. El significado físico de estos coeficientes de la matriz de rigidez es el ya expuesto en reiteradas ocasiones. Los grados de libeliad I y 4 coinciden con el eje general X, los 2 Y 5 eon el general Y y finalmente, los 3 y 6 con los giros e, figura lILA.7. (presentación 5/I1I). El desplazamiento unidad de un grado de libertad, por ejemplo el 4, bloqueando los restantes grados de libertad, genera en este caso las fuerzas Ki4. representadas en la

lIl.A.6. ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA DE SECCIÓN CONSTANTE EN EJES GENERALES

Teniendo en cuenta las matrices de cambio de ejes, y indicadas en las ecuaciones IILA.2 (presentación 2/III) y las submatrices de rigidez de la barra en ejes locales, ecuación m.A5. y aplicando las transfonnaciones indicadas en las ecuaciones lILA.8, se obtiene la ecuación matricial de la barra de sección constante referida a los ejes generales, ecuación JILA.11.

2° orden. Teoría

Ecuación matricial de la barra de sección constante en eies generales.

Ecuación lilA 11,

O.5-(c-c,·p)-sen 2a

fi'seJa+q' pcoi'a

simetrÍll

Px , Py y M reacciones en los extremos en ejes

rl""nl"7"r..,í""tn~ de los nudos de la barra en ejes generales

E. módulo de elasticidad /, mome nto de inercia de la sección

transversal de la barra A, área de la sección transversal de la

barra longitud de la barra

sen a = (Ya' Y,)/I : cas a = (X.-X,)/I ; a, nudo de menor numeración de la

barra c" c" c3 ...... coeficientes relacionados con los

enlaces de la barra, véase presentación 41111.

Figura IIIA8.

Presentación 6/111. Valores numéricos de los coeficientes de la matriz de rigidez de la barra en ejes generales

A continuación se desarrolla para el sistema de dos barras representado en la figura III.A.9, el cálculo matricial completo realizado en diferentes etapas.

En la primera etapa (1) resuelta a continuación, tras detenninar las matrices de cambio de se calculan las matrices de barra en locales y las matrices de barra en

generales.

Cálculo matricial de pórticos planos

Ejercicio 111.1(1) Para el sistema de barras representado en la figura /l/Ag., se pide:

1) Matrices de cambio de ejes. 2) Matrices de barras en ejes locales. 3) Matrices de rigidez de barras en ejes genera/es.

1) Matrices de cambio de eies

A= 0,1",2

]!: 0,0'",4

;t:\!.'----- x 10m

Figura /I/.A.g.

I I , I

--L

página 11 I III

Barra 1-2: cos a = (0-0)110 = O; sen a= (0-10)/10 -1 ro -1 01. [O 1 O~l T,2 ,.., 1 1 O 01]21"" -1 o

Lo o IJ o o Ecuaciones IIIA2. (P. 21111)

Barra 2-3: cos a = (0-10)/10 ,1; sen a (0-0)/10'" O

2) Matrices de barras en eles locales

Valores auxiliares para las dos barras (se consideran ambas barras como biempotradas) .

EA c=

/

10 7 .0,1

10 100.000 kN / m; p

El 10 7 '0,01 K = 6,--,- = 6· -----.... 6.000 kN; j.1

/2 lO 2

Barras 1-2 v 2-3

100.000

O

[ki'

k" 1 O

k2l k~2 kf3 100000 I O

l O

Ecuación /I/.A.5. (P 4//1/)

e2

O O 100.000 O

1.200 -6.000 O 1.200

-6.000 40.000 O 6.000

O O 100.000 O

1.200 -6.000 O 1.200

-6.000 20.000 O -6.000

O 1 6.000 I

20.000 '

O

-6.000

40.000

Cálculo matricial de l cr 2Q orden. Tcoría

3) Matrices de rigidez de barras en ejes generales

Barra 1-2 sen a=-1; cos a=O; sen 2a=O

I 1.200 O - 6.000

: O 100.000 O

-6.000 O 40.000

1.200 O

O -100.000

6.000 O

Ecuación/ll.11, (P. 6i111)

6.000

° 20.000

Barra 2·3 sen a=O; ros a=-1 ; sen 2a=O

100,000 O ° ° 1,200 6.000

O O 40,000

100.000 O O

O -1,200 - 6.000

O 6.000 20,000

Ecuación 1/1.11, (P. 6/111)

12/ III

-1.200 O -6,000: ;

O -100,000 ° i 6.000 O 20.000 I

1.200 O 6.000 I O 100.000 O

6.000 O 40.000 J

-100.000 O

6~00 1 O -1.200

O -6.000

20:00 j 100.000 O

O 1.200 -6,000

O -6.000 40.000

III.A.7. CONDICIONES DE DEFORMACIÓN Y DE EQUILIBRIO DEL SISTEMA DE BARRAS

Si los enlaces de las barras en los nudos son rígidos se produce una continuidad del giro angular, lo cual obliga a que todas las barras que inciden al mismo nudo, también el mismo ángulo, e, véanse los giros eA y en en los nudos A y B de la figura m.A.I O.a. No sucede lo mismo cuando un extremo de la barra se enlaza al nudo mediante una árticulación, en este caso se rompe para la barra articulada la continuidad de los giros, ya que su giro (}¡w, difiere del giro OH, de las restantes barras, BD y figura III .A.l O.c.

Debe existir además acuerdo entre la defonnada del sistema y las condiciones de apoyo, Para el sistema representado en la figura IIl.A.lO.a, el extremo C de la barra AC no se desplaza según los ejes generales X e Y pero si gira; el extremo D ni se desplaza ni gira y el E de la barra BE solamente tiene impedido el movimiento el eje general X;

desplazándose según el eje Y, girando además Estas coacciones se imponen utilizando, como más adelante se verá, la ecuación matricial reducida o penalizando adecuadamente la matriz de rigidez completa del sistema

Finalmente el desplazamiento del sistema genera fuerzas internas que exigen se mantengan siempre las condiciones de equilibrio de cualquier parte de la estructura. Consecuencia de esto en todos los nudos de la estructura debe existir equilibrio entre la resultante de las

fuerzas en los extremos de barra y las cargas aplicadas cn los nudos; véase la figura lILA.lO.b, en la que las fuerzas de barra sobre el nudo A de la barra A-B (p.o", Py}y mal» y de la barra A-C (p,,:. p,.,,< y mo') están equilibradas con la carga externa PA• Lo mismo sucede para el nudo B.

al Continuidad de (Jiras b¡ Equilibrio de fuerzas en Iludos el Enlaces articulados

y

<1Y, ,",u

li,·" O

~B llX,:O

E' ._ E

11

<1XA 8. t-1 e.. lA'

d)NudoB ~.

P:.. ;¡ ~~~b.ll' ~ 'y~'_PI~' P: .• fjJ(.<1y.(J.o P"o • ~ m.

p.~" Figura fHA.] O. Condiciones de deformación y de equilibrio de los sistemas de barras

III.A.S. ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ La generación de la matriz completa de rigidez de un sistema de barras se efectúa mediantt una operación que se conoce con el nombre de ensamblaje y que procede de equilibrar er cualquier nudo, por ej emplo el i de la figura lILA.l!, la fuerza generalizada P, que actúa er él con las fuerzas Pij que se generan en los extremos de todas las barras ij come consecuencia de los desplazamientos de los nudos, i:j. La figura lILA. 12, hace referencia a equilibrio del nudo i. En la primera de las ecuaciones IILA.12.( 1) se plantea el equilibrio d( la fuerza generalizada externa P; con las fuerzas generalizadas internas PI) de los extremo: de todas las barras que acometen al nudo i, en la figura las barras i-b, i-c, i-j e i-m. L¡ segunda ecuación III.A.l2.(2) procede de sustituir la fuerzas Pi! por los valores obtenidos a desarrollar la ecuación matricial de la barra (ec. IIl.A.9, presentación 5/III):

La tercera ecuación IILA.l2.(3) es consecuencia de agrupar ordenadamente la ecuació¡ anterior. Y la cuarta ecuación, TIl.A.l2.(4), responde a una notación simplificada para e coeficiente que afecta a {Ll i }, (K¡¡='iK¡/)

Si se generaliza para todos los nudos de la estructura la ecuación lILA. 12.( 4) se plantea 111

sistema lineal de cuaciones como el IILA.l3. Por cada nudo i existen tres ecuaciones dí equilibrio: .EF¡.,¡=O; .EU=O. Este sistema de ecuaciones se puede reproduci disponiendo ordenadamente las submatrices de barra mediante una operación denominada

Cálculo matricial de estructuras, I cr y 2° orden. Teoría y problemas página 14/ rn

como ya se ha dicho, ensamblaje. Para ello, tomando como referencia el sistema de la figura III.A.l3, se procede de la manera siguiente:

l. Se numeran los nudos correlativamente del número 1 al m, número del último nudo (en la figura III.A.l3, m=5).

2. Sobre una retícula cuadrada de m filas y m columnas (m, número total de nudos) se distribuyen las submatrices: K,f;Kij; K" YKüi de la ecuación III.A.9. (presentación 5/I1I) coincidiendo numeración de subíndices y de recuadros.

3. Las submatrices de la diagonal de subíndices ii, son suma de las submatrices correspondientes a todas las balTaS que se enlazan en el nudo i, ecuación IILA.12.(3 ).

4. En aquellos recuadros ij que no tienen correspondencia con barras de esta misma numeración en sus nudos extremos, es decir no existe barra, las submatrices son nulas.

Ecuación de equilibrio de fuerzas en el nudo i

{P,)={P'b)+{P,J+···+{P'm); (1)

{P), = [Ki}{tl,)+[K,b}(tlb)+[K;;}{tl¡)+[K,Jtl, + .... +[K; }{tl¡)+[K'm}(tlm); (2)

{P,)=[K¡bHtlb)+[K,J{tlJ+ ... +[K¡~ +k~ + .... +K; }{tl,) ... +[K¡m}{tlJ (3)

{p,) =[K'b}(tlb)+[K,J{tlC)+ .. +[Jf K/;}{tl,) + .. + [K,J{tlJ (4) J=b

Sistema lineal de ecuaciones

Ensamblaje de la matriz de rigidez

[K 12 ]

[K;, +K¡,} [K,,]

[O]

[o] [K 2J ]

[K;, +Ki, +KiJl [K,,]

[O] [O] (L'l2)

lK~ [O] {L'l4}

Ec.III.A.12.

Ec.III.A.13.

[K,'¡l [K.,]

[O] [O] [O] [O] [Ks,]

[o] [o]l {L'l¡}j

[K"l [K35~. {L'l,}

[O] [K;. {L'l,} ., Ec./1I.A.14.

Presentación 7/JI!. Ensamblaje de la matriz de rigidez

Figura III.A. 11.

1 I

8! 3 I

(1::- -:=-í< Figura III.A. 13.

Cálculo matricial de pórticos planos página 15 / III

La ecuación IILA.14. recoge la disposición de la matriz completa de rigidez para el sistema de barras representado en la figura IILA.l3. Como puede observarse esta matriz es independiente de la disposición y tipos de apoyo que se adopten.

I1I.A.9. ECUACIÓN MATRICIAL REDUCIDA En la ecuación matricial completa se relacionan las cargas aplicadas en los nudos {P} referidas a los ejes generales, con los desplazamientos que sufren {,1}, referidos también a los ejes generales, a través de la matriz de rigidez:

ecuación I1I.A.15.a.

[K] matriz completa de rigidez.

Las ligaduras introducidas mediante los apoyos impiden algunos movimientos que, er general, son nulos. Por ejemplo, en el pórtico representado en la fig. 1II.A.l O.a, referidos 2

los ejes generales:

En el nudo C: ,1x =,1y = O En el nudo D: ,1x =,1 y = 8=0

En el nudo E: ,1x = O

En el sistema de barras las cargas asociadas a las ligaduras libres son conocidas. No sucedt lo mismo con las ligaduras impedidas (ligaduras apoyo) ya que hay que sumar a las carga¡ externas las reacciones (desconocidas inicialmente). Así, la ecuación matricial IILA.l véase la presentación I!III, puede subdividirse de la manera siguiente:

ecuación I11.A.15.b

Para realizar esta partición se divide el vector desplazamientos de nudos {,1} en dos: f:./ ) 4. El vector, ,11, representa los movimientos de los grados de libertad desconocido! (ligaduras libres): son las componentes según ejes generales de los grados de libertad ll( coartados por las ligaduras apoyo de los nudos. El vector, f:.f, representa los grad?s d( libertad conocidos, corresponde a los movimientos impedidos de las ligaduras asociadas ¡

los apoyos, en general estos movimientos son nulos y, por lo tanto, conocidos.

Análoga partición se realiza para el vector cargas de nudos: PI y PI. Siendo:

{PI} {p¡}

cargas aplicadas en las ligaduras libres. cargas aplicadas en las ligaduras impedidas más las reacciones que sOl desconocidas.

16/lI1

La matriz general de rigidez [K], ecuación IlI.A.l5.a, queda divida en cuatro submatrices concordantes con esta partición: K II, KIf, KjlY Kjf.

Desarrollando la ecuación matricial 1Il.A.15. por la primera fila y suponiendo, como suele

ser habit.ual, que LI¡=O, resulta:

ecuación IIl.A.16.

A K/I se la denomina matriz de rigidez reducida. Para generar :8ta matriz, el procedin:iento más sencillo consiste en eliminar las filas y columnas aSOCIadas a los desplazamIentos

nulos.

En la presentación 8/Ill se indican para el sistema representado e~. la figu;a. m.A.15; la ecuación matricial completa subdividida según apoyos y la ~cuaclOn mat:lclal red~clda, ecuación IILA.16 a partir de la cual se calculan los desplazamIentos de las hgaduras libres,

que son desconocidos,.

-1 fflrb" I l:í---,

I r+~ ! · .~. r I D 3~ I l., .~_-x cL" I . Figura 1II.A.14." A

M" P,

1 fl~ +R! 1

I Ecuación lilA 15.

lh+ R13 I Ecuación matricial reducida i ¿ r ,A.4J 1 I i P4 I . p, ¡

M6 !

/ Sim(!trÍa

Figura //lA 15 .. Ecuación lilA 16,

Presentación 8/1II. Ecuación matricial subdividida

K!.I K,) A¡,IU Kl.íl

K,.¡

K¡oJ

G Kil ,¡

Kt2.1

K!:I,' K 1J.1 Kllw K!3.í\

K J•6 KJ.7 K3., K,.9

K.,e. K 4 ,'1 K", K43

KS,6 Ks.' K s.' KS.9

Ku K 6.7 Kó.R K 6.9

K7., he.' K,."

Kg., K,,, K 9.9

apoyos

K¡,12

K1Jx!.

KJJ4

K'J4

K,.14

K6.14

K7•14 K aJ•

K9.14

K'4.'4

K'.!3 li O

K2.!l11 O KiO,13 i i O

Klt,l:l l ! O K¡2,13 ¡ O

O

KJ.J5 [e,l K 41 < .1\; I ~<:,~ I 1\'1 K6.l5 1I e6

K7',15 1'11\, [ Kg ¡" ! . ll"

K9.15 1I e. I

~::::: j l ~:: j

III.A.IO. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN MATRICIAL

I1I.A.IO.1. TEORÍA Para tener en cuenta en el sistema lineal completo de ecuaciones las ligaduras-apoyo se puede aplicar uno de los dos procedimientos siguientes:

l. Resolver la ecuación matricial reducida, ecuación lILA. 16, presentación 8/lll, obtenida en la práctica a partir de la matriz de rigidez completa suprimiendo las filas y columnas asociadas a las ligaduras impedidas.

2. Resolver la ecuación matricial completa penalizando adecuadamente la matriz de rigidez. Para ello se suma un número muy grande, por ejemplo 102°, a los términos de la diagonal de la matriz completa de rigidez, afectados por ligaduras-apoyo impedidas. Véase la ecuación IILA.l7 (presentación 9/Ill),

1) Resolución de la ecuación matricial en formato resumido

{?¡} = [KiI }{l!¡}

Ec. /II.A.16.

2) Resolución de la ecuación completa p,enalízando la matriz de rigidez

P¡ K ll K12 K'3 K1i K1n í 8,1 b)

~ 15

P2 K 21 K 22 K23 K 2n 1l!2 (j::i-1J j

P, K J1 K32 K 3J K¡n l!3

·ct • 8

Y i i

I ?¡ K i1 K¡2 Kr3 Kin !l! I

I ' 2

9 i 3 ~ ,

II

. !I' e: --x C,,~ P" Krll Kn2 Kn) Kn¡ KnnJ,l!nJ '2

Ecuación lilA. 17. Figuras /II.A.16.

Presentación 9/111. Resolución de la ecuación matricial

Se comprueba fácilmente que si el grado de libertad i está impedido, al desarrollar por la línea i la ecuación matricial penalizada se deduce:

Cálculo matricial de p~tTl1{,tllr'" 2° orden. TeOJia 18/1I1

Luego:

Valor muy próximo a cero por la superioridad del término diagonal - (1020 + K¡¡) - frente a los restantes términos.

De aplicar la penaIízación de la matriz completa de rigidez al pórtico de la figura lILA.lO.a, los coeficientes afectados por la penalización serán: KI.l; K 2,2 ;KIO,IO ; Kll,l I ; K 12,12 Y K 13,13'

La resolución de la ecuación reducida, o de la completa pero penalizada, suministra los desplazamientos de los grados de libertad no coartados o, lo que es lo mismo, los tres movimientos: L\x, L\y, Y e, de los nudos sin ligaduras externas (nudos libres) y, también, los movimientos no restringidos de los apoyos.

Ejercicio lit. 1 (2) Como continuación del ejemplo 111.1.(1), apartado 1l/.A.6., figura /lIA9., se pide:

4) Ensamblaje de la matriz de rigidez general del sistema. 5) Ecuación matricial completa. 6) Ecuación matricial completa Subdividida según apoyos. 7) Ecuación matricial reducida. 8) Desplazamientos de los nudos. 9) Ecuación matricial penalizada.

4) Ensamblaje de la matriz de rigidez

o -6.000

100.000 o 40.000

Simetría

-1.200 o o - JOO.OOO

6.000 o

101.200

J01.200

r[K,',l

[K)= [K,,] i

l [oJ

- 6.000

o 20.000

[K,,)

[K;, +K;J

6000 - 100.000 o 6.000 o -1.200

80.000 -6.000

100.000 o 1.200

Fíg. {l/A9.

[~IJ I [K,,]:

kJJ Ecuación III.A. 14 (P. 7/111)

o 6.000

20.000

o -6.000

40000 J

Cálculo matricial

5) Ecuación matricial completa

RX¡

R y ,

O

-42,42

-42A2 1= - 70,71

o -6.000

100.000 o 40.000

Simetrfa

-1.200 o O -100.000

6.000 O.

101.200 o 101.200

6) Ecuación matricial subdividida según ae0I!0S

O e 40.000 5J 6.000 O 2.000 O -42,42 6.000 1O1.200 O 6.000 o -42.42 O o 101.200 6.000 6.000 -70,71 2.000 6.000 6.000 80.000 20.000 70,71 o o 6.000 20.000 40.000

R;n ·6.000 -1.200 o -6.000

Rn o -100.000 o o R:rj -100.000 o o o

-6.000

O

20.000

6.000 -100.000 o 6.000 o -1.200

80.000 o -6.000

100.000 o l.200

-6.000 O O -1.200 o - 100.000

o -100.000 o -6.000 o o

o O o

1.200 o o o 100.000 o o o 100.000

Rn o 05]-1.200 -6.000 -6.000 o o I Kff I o

Ecuación lilA 15. (P. 8/111) fl

7) Ecuación matricial reducida:

40.000 6.000 O 20.000

: -42,42 101.200 O 6.000 O I'>X.2

! -42,42 101.200 6.000 6000 ¡ '."

Simelría 80.000 20.000 ¡ el

. fAx,] Id" e,

o "'Xl 6.000 . dY2

20.000 e 2 i

.. I .. i o j L\X) J -6.000 L\n

40.000 ~ el

O -, ( e, ! o L\n -1.200 L\" -6.000 O2

·6.000 e,

O

o O

r O ¡ l-7~~~~1 O ri

40.000.1 e 3 Ecuación III.A 16. (P. 8/111)

8) Deselazamientos:

Resolviendo ei sistema: Llx(m) .<Íy(m) e (rad.)

Nudo 1 0,00 0.00 0,000918 Nut/n 2 -0,000371 -0,000477 -0,001725 lVudo 3 0,00 0,00 0,002702

-0,001725 rOO. L ' -OpOO37J m ~

En la figura ItI.A.17, se representa el sistema despiazado.

OpoO!ll8rad.

Fígura lilA 17. Sistema desplazado

Cálculo matricial de estructuras, 1 cr y 2° orden. Teoría y problemas página 20 IllI

9) Ecuación matricial completa penalizada

/Ix, 1.200+ 1020

/Ir,

-42,42

1 =~~:;~ IR \J -42,42

II R) 1 -42,421

70,71 I

Ecuación /I/.A17. (P. 9/111)

-6.000

40.000

Simetría

-1.200

6.000

101.200

-6.000

-100.000

o 20.000

6.000

101.200 6.000

RO.OOO

-100.000

.ó. X1

ti" e,

-1.200 6.000' ti"

- 6.000 20.000 El,

: 110000~+1021l ! ;; ~ ItI~J : 11.200+10"'1-6.000Jl tI" : 40.000 El}

nI.A.H. ESFUERZOS REACCIÓN EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA NO CARGADA

lII.A.U.1. TEORÍA

Ecuación matricial de la barra no cargada en ejes locales

1" I P') O O & O

':K 1 r

m~r & : cosa sena

I l~; O l-s~na cosa

O - C7 ·¡.L • O

j ¡;;) & O [-,,,a -sena m~l.) E,p,K,¡.t y coeficientes -c 'K J O C3 'p Cg"p

c¡o 921'

sena -cosa cn figuran en la

b In) O -C4 'K -C9'K O O presentación 4/111

Ecuación III.A 18.

y

-l----x

Figura /II.A.18 Figura II/.A 19 Figura 1/I.A.20. Diagramas

Presentación 101111. Esfoerzos en los extremos de barra.

Cálculo matricial de pórticos planos página 21 I III

Conocidos los desplazamientos de los nudos en ejes generales LÍa y LÍb de la barra ab representada en la figura I1I.A.18, se detenninan a partir de la ecuación matricial de la barra en ejes locales (ecuación IIl.A.S, presentación 4/III) las reacciones en los extremos de barra utilizando la matriz de rigidez en ejes locales y las matrices de cambio de ejes generales a locales, Tah Y Tba , ecuación III .A.18, presentación IO/IIl.

Las leyes de diagramas de esfuerzos son constantes para axiles y cortantes, y lineales para los flectores, ya que no existen cargas de barra, figura I1I.A.20, presentación IO/III,

................................................................................................. Ejercicio 1/1.1. (3) , Como continuación del ejercIcIO /1/.1., del apartado I/I.A.B., fIgura 111.A.9., se pide: ~ .• ,," -t:'.,..

10) Esfuerzos reacción en los extremos de barras y representación ,,~(.;/o"'"~ __ '_ ¡' '0.::;'" de leyes de esfuerzos de las barras 1'- -------¡¡;;T

10) Esfuerzos 'OO'W.' ,l. Las matrices en ejes locales k,/ ... de la barra han , ;, :;~. , sido calculadas en el ejercIcIo 111 1 (1) Y los desplazamientos I en ejes generales en el ejercIcIo 111.1 (2) 7 " '---

a) Barra 1-2 (a=2700) 0 12

I'-'r 1 100.000 O \ O 100.000 O O lelo -1 ]{ ., i~: i O 1200. -6.000 O 1200 -6.0001 1 O ~. ~x :~'~~ l l m J O - 6.000 40.000 O - 6:000 20 .. 000 l. O O 1 El~' 0,00~9 J 8 f

J~) '"r" ";1 ;:: '""f";'l: ;:::1 [~, : m~:3::!ir b) Barra 2-3 (a=1800) G 0

{

- 47,71 kN} , 5,29kN

0,00

5.29kN {

-47,7IkN}

1 -52,87 kNm

f'-3{px 1 1000.000 O O 1000·000 O

P > 1.200 - 6.000 1.200

,,; J O - 6.000 40.000 O - 6.000

O 1 Ir 1 O -6000 I ~ -1

20000 LO O

O l {LI X ~ -0,000371}' OJo Ll r ~ -0,000477

1 El ~ -0,001725

r{ 37,13 kN } I -5,29 kN

-17,84 kNm J ••••••••• 1

100.000

O

O

1.200

O

-6.000

-6.000 20.000

Ecuación /1I.A.18. (P. 101111)

100.000

O

O

1.200

-6.000

_6

0

000

1

'1 i~ O

40000J

L O O

O· Ll r ~ 0.00 f 0l{ Llx ~O.OO ,J

1 El ~ 0,002702 J

A continuación se representan los diagramas de esfuerzos, figura llI.A.21.

{

37,13 kN } -5.29kN

70,71 kNm

Axiles (kN) Cortantes (kN)

"--0- tO~ 5,29

n O U

22/ III

Morntentos flectores (kNm)

(O)

Figura ¡nA.21. Diagramas de esfuerzos

III.A.12. REACCIONES EN LOS APOYOS

I1I.A.12.1. TEORÍA El equilibrio de los nudos exige, como ya se ha dicho, que las fuerzas exteriores se neutralicen con las fuerzas de los extremos de las barras que llegan al nudo. En los nudos del sistema en los que existen ligaduras de apoyo las fuerzas exteriores son las reacciones más las posibles cargas externas {Pi} aplicadas directamente en el nudo apoyo i, si existen. El cálculo de las reacciones puede realizarse aplicando uno de los dos procedimientos siguientes:

1. Se considera como reaCCIOn, ecuaCIOn III.A.l9, la suma de todas las fuerzas reacción {Pij} de los extremos de las barras (ecuación 1II.A.18, presentación IO/IIl) que concurren a los nudos con una o más ligaduras coartadas. Para sumar los esfuerzos reacción de las barras éstas se refieren a los ejes generales. Para ello se utilizan las matrices de cambio de ejes locales a (ecuaciones IILA.2, presentación 2/IlI): T,/ o Til. y si existe alguna carga externa {P;} aplicada directamente en la ligadura-apoyo, se descuenta.

ASÍ, por ejemplo, para determinar la reacción en las ligaduras apoyo del nudo ¡del pórtico representado en la figura IIl.A.22, se aplica la ecuación IILA.19, presentación llllIl. Véanse las ecuaciones III.A,19.a, en formato resumido y I1LA,19.b, en formato desarrollado. En la ecuación ULA.19, aquellas ligaduras del nudo que sean libres (no están coartadas) darán como valor de la componente de R, según la ligadura libre, un valor O.


1) Reacción en el ligadura-apoyo i como suma de las reacciones de las barras

n~2 si i<}

n si i> j Ecuación III.A. 19.

-sena cosa

o

2) Cálculo de las reacciones resolviendo el sistema de ecuaciones (ejemplo figura III.A.23.J

0,

r p, + R, ¡ KI,J K¡,. 'P,,+Rz K2,3 K2 .•

P,o + R,o = p" +RlI

P'1 + R12

P'3 + R'3, K'3.3 K'J.4

Presentación 111111. Reacciones de apoyos

Figura //l. A. 22.

\

Figura //I.A.23, Ec,III.A21,

2. Calculados los mOVImIentos de las ligaduras libres, a partir de la ecuación IILA.16, presentación 8/III, se determinan mediante la ecuación IILA.15, las reacciones {Ptl, ya que al ser {L1j} resulta:

ecuación IILA.20.

Al sistema representado en la 1Il,A.23 , corresponde la ecuación I1LA.21, presentación ll/III, en la cual los desplazamientos de las ligaduras libres son ya conocidos por haberse resuelto anteriormente la ecuación matricial reducida, resultando únicamente desconocidas las fuerzas reacción asociadas a las ligaduras impedidas, R I, R2, R/O, R/I' R12 Y Ro,

Cálculo matricial de estructuras, I cr y 2° orden. Teoría y problemas página 24 / 1II

Ejercicio /11.1 (4-fin): Como continuación del ejercicio 1/1.1 .. del apartado /I/.A6., figura /I/.A9., se pide:

12)

11) Determinar las reacciones aplicando la ecuación /l/1.A.19. 12) Calcular las reacciones aplicando la ecuación matricial subdividida, ecuación

I/I.A20. y

, 13) Comprobar el equilibrio de los nudos 2 y 3, figura /I/.A9. 14z,mN ..t2¡4?kN

Ecuación JII.A.19. (P. 11/111)

j R., i r 6000 -1.200 O -6.000

-100.000 Rn ! O O O

lRxl-42,42r O -100.000 O O

Rn -42,42 L O O - J .200 -6.000

¡RXI) ¡r 5,29 kN ) RYJ = 47,71 kN

RX3 79,57 kN

Rn J 37,14 kN Ecuación J/J.A.20. (P. 11/111)

ro,7/kNm ' + ,70,?JkNm

~======:::::;11 42,42kN

~!' f

[JO'iN/m2 ro m

A - O,lmZ

I~ O,Glm4

, , , -- 'Om X r----.. -~ -1

O '1 r el = 0,000918 j "n e -0,000371 1''') = 47,71 O I O r" ~ -0,000477 37,15

8 2 = -0,001725 - 6.000 el = 0,002702

-5.28

13)

Nudo2

J7,84 kNm ~2,42

70)71

42,4~~37,'3 ,N

5,~¡5,29kN ~52,87

47, 7/

Nudo 3

R Y,3 ~ 37, /4 kN

Figura JII.A.24. Equilibrio de nudos 2 y 3

Nudo 2: I Fx= - 42,42 + 37.13 + 5,29 = O IFy=-42,42+47,71-5,29 =0 I M= - 70,71 + 17,84 + 52.87 = O

Nudo 3: I Fx= - 37,14- 42,42 + 79,57 = O IFy=-42,42 +5,29 +37,14 =0 I M= - 70,71 + 70,71 = O

.................................................................................................

Cálculo matricial de pórticos planos página 25 / 1Il

In.A.13. ELECCiÓN DE LOS MODELOS DE MATRICES DE RIGIDEZ DE BARRAS

m.A.13.l. INFLUENCIA DE LOS APOYOS Las barras que componen los pórticos se enlazan en entes abstractos, denominados nudos, que representan el conjunto de los extremos de dos o más de ellas, o el extremo de una sola la barra, si ésta no se enlaza con otra. Así, en el ejemplo representado en la figura I1I.A.25.a, se representan sombreadas aquellas zonas que se consideran enlaces rígidos de barras a nudos.

Es importante resaltar que cuando se trata de un nudo al que acude una sola barra, por ejemplo pos nudos e, D y E de la figura I1I.A.25.a, éste enlace se considera siempre rígido y es la ligadura-apoyo, externa al sistema, la que introduce las limitaciones al movimiento del nudo. De ahí que las ligaduras-apoyos externas al sistema se superpongan a él coartando total o parcialmente los movimientos de alf:,'1lnos nudos. Se puede hablar, por lo tanto, de un mismo sistema de barras al que se le pueden asociar diferentes grupos de ligaduras externas, figura IILA.25.b. Todos estos sistemas tienen la misma matriz completa de rigidez y, en consecuencia, las ligaduras-apoyo no influyen en su constitución. Estas ligaduras intervienen posterionnente en la configuración de la matriz penalizada o en la reducida del sistema.

Las restricciones al movimiento de los nudos generadas por los apoyos son las siguientes:

• el extremo libre de un voladizo no tiene ninguna limitación en el movimiento • en la deslizadera sólo hay una limitación, la perpendicular al plano de

deslizamiento • en la articulación dos y • en el empotramiento tres.

a) Enlaces rígidos E b) Todos los sistemas tienen la misma matriz de rigidez que es independiente de los apoyos

E E E'

B B B 4 , 4 A

e l e e D

e

D

figura IJI.A.25. Enlaces rígidos de barras .

Cálculo matricial de estructuras, 1 cr y 2° orden. Teoría y problemas página26! m

m.A.13.2. EL NUDO ARTICULADO En aquellos nudos en los que concurren dos o más barras todas las barras giran, como ya se ha dicho, el mismo ángulo, si los enlaces son rígidos. Si una o más barras están articuladas al nudo sus giros difieren de los de las restantes barras, véase la figura IILA.lO.c.(apartado IILA.7).

Las filas v columnas de la matriz de rigidez de la barra, en ejes locales y también en generales,' asociadas al grado de libertad correspondiente a un enlace articulado, son todas ellas nulas. Esta circunstancia da lugar a que si en un nudo se articulan todas las barras, el coeficiente K¡¡ de la diagonal de la matriz completa de rigidez del sistema asociado al giro del nudo, tendrá valor O

a)

Nudo artículado

b) Equilibrio de momemos

D 4 D

Figura IlI.A.26. El nudo articulado

En la ecuación I1I.A.22, que figura a continuación, se representa la matriz de rigidez de un sistema en la que aparece un O en el coeficiente de rigidez de asociado al grado de lib~rtad i, cOITespondiente al giro del nudo articulado. Esta circunstancia hace singular la matrIZ de Iigidez e impide la resolución de la ecuación matricial. Si se hace referencia al nudo B de la tigura Ill.A.26, el grado de libertad i correspondiente al giro de este nudo es e19.

Cálculo matricial de pórticos planos página 27 ! III

P¡ K" K'2 K" K" K¡, ti¡

P, K" Kn K" K2i K2n ti,

P; KJ¡ K" KJ3 K;i K,. ti;

ecuación 1II.A.22.

P¡ K" Kr'2 Kj3 (K;¡ O) K" ti,

I Pn K" Kui K" Kni KM ti, J

Para poder resolver esta dificultad se considera que una sola de todas las barras que acometen al nudo articulado está enlazada rígidamente al nudo, por ejemplo, en la figura 1Il.A.26.a, la barra B-E.

Este artificio no altera los resultados ya que el momento en éste enlace debe ser también O, como así lo exige el cumplimiento del equilibrio del nudo, ya que las barras articuladas restantes (todas menos una) que acometen al nudo no transmiten momento, m¡¡ O, lo que obliga a que el momento en éste enlace rígido sea también 0, figura IlLA.26.b, característica del enlace articulado.

El giro e¡ que se obtiene aplicando el cálculo matricial para el nudo articulado, corresponde al giro real de la barra que se ha considerado enlazada rígidamente, en el ejemplo de la figura la barra B-E. Quedan desconocidos los giros de las restantes barras que están articuladas (barras B-A y B-D de la misma figura). Su conocimiento exigiría repetir el cálculo considerando estas barras como rígidas, una a una.

III.A.13.3. SELECCIÓN MODELOS DE BARRA DE MATRICES DE RIGIDEZ En la figuras IlLA.27 y 28 se recogen algunos ejemplos en los que se reflejan la forma real de la estructura, la representación gráfica para el cálculo, y las clases de enlaces asignados a cada barra:

• La estructura de hormigón armado, figura rIl.A.27.a, corresponde, en general, a enlaces rígidos de todas las barras.

• La cercha de madera, figura IlLA.27.b, presenta en los finales de todas las barras enlaces articulados, y rígidos los extremo de barras que mantienen su continuidad (pares y tirantes). En aquellos nudos en los que se articulan todas las barras, por ejemplo el nudo de cumbrera, solamente una de ellas debe mantener el enlace rígido, véase el apartado IIl.A.12.2.

Cálculo matricial de 1 cr 2° orden. Teoría 28/ m

al

ParUco dt;ido de hOtmifJÓ!' úrmado

eercha de madera con .{81rool?S po; Msom/:;Ies, ap::>jodo sobre f!1tiros

I 1

~ /~ "-

\'~'

,,¡,.

f I .. r ~/¡;-:"'\ f :;¿. .

;.:}'

J~c./

Figura IlIA,2 7, Selección de modelos de harras de matrices de

\ ~,

• El pórtico metálico a dos aguas biempotrado de la figura IILA.28,a, tiene todos sus enlaces rígidos.

• En el pórtico a dos aguas triarticulado de madera laminada de la figura IILA.28.b, se considera que todos los enlaces son rígidos, con excepción de las barras dintel que están articuladas en el nudo A. De ellas, a una de las dos, por el motivo indicarlo en el apartado JIl.A.12.2, se la asocia con el enlace rígido.

Como ejemplo que resume todo lo anteriormente expuesto, se indica el tratamiento que se ha de dar a las barras del pórtico representado en la figura IfLA.29, para el cálculo de la matríz completa de rigidez. Todas las barras se consideran con la geometría real que tienen, sección constante o varíable y biempotradas, exceptuando aquellas barras como la 4-2 cuyos enlaces a los nudos son articulados. Como ya se ha expuesto, en aquellos nudos en los que se articulan todas las barras, nudos 8 y 9, se sustituye la articulación de una sola de las balTas por un enlace rígido; en la figura es la barra 7- 8 la que se supone enlazada rígidamente al nudo 8 y la 7-9 al nudo 9.

c)

d)

PÚllClJ trlf:tdiico Con enlaces

(l9;dos por soldadura y p,lares empotrados a lo zapafO.

Pórtico de madI/ro jomll1oda !riartJcuiadc

Figura IJJ.A.28. Selección de modelos de barras de matrices de rigidez

:f0 @1

LlX=LlY=O (7,B)

LlX=O (16)

® LlX~LlY=8 = O

(/3,14,15) élx= él y = O (25,2G)

Figura JII.A.29. Selección de modelos de barras para la matriz de rigidez

•• , ••..•••..•••.••••••• .• ~. '*., .................................. o., •••••••••••••• , •••••••••••••

®

,@

[

®

®

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas

Ejercicio 111.2. En el sistema de barras representado en

la figura IIIA30., se pide: 1) Definir para cada barra el modelo de matriz en función de la clase de enlace de sus extremos. 2) Ensamblaje de la matnz general indicando que matrices son nulas.

1) Modelos de barras

Al ser el nudo 2 una articulación una de las dos barras se considera unida rígidamente, por ejemplo la 1-2

2) Matriz completa de rigidez

[o] [O]

[K34 ]

[í::K44 ]

[O] [O]

[o] [O]

[K35 ]

[O] [í::KS5 ]

[KósJ

[o] [O] [O] [O]

2 f:..

[K S6 ]

[K~6U

Fígura 1II.A30

Fígura III.A 31

III.B. SISTEMAS CON CARGAS DE BARRA

III.B.l. ETAPAS DEL CÁLCULO MATRICIAL

página 30 / IJI

1

El Cálculo Matricial propiamente dicho resuelve solamente sistemas de barras en los que las cargas están aplicadas en los nudos. Esta limitación, que excluye la aplicación de cargas en barra, se salva realizando dos etapas de cálculo:

En la etapa 1 a las barras en las que existen cargas de barra, por ejemplo las AC y AB de la figura IILB.l.a, se les introducc en sus extremos fuerzas iguales a las reacciones debidas a las cargas de barra obtenidas al suponer la barra de manera aislada con sus condiciones rcales de enlace (biempotrada, si los enlaces extremos de la balTa son rígidos; articulada/empotrada, si alguno de los dos enlaces es una articulación y articulada/articulada, si ambos enlaces son articulados). Por ejemplo, la barra AB supuesta empotrada en los apoyos A y B, genera las reacciones y (r,,,/}, figura b, representadas como fuerzas generalizadas, referidas a los locales de la barra AB y calculadas del modo expuesto en los apartados Il.B. y ILe. La aplicación de estas cargas en los nudos A y B, rcspectivamente, implica que la barra AB se deforme en esta primera fase como si estuviese perfectamente empotrada en sus extremos, figura b, y, en consecuencia, sus extremos ni giran ni se desplazan combándose, no obstante, el eje

de la barra. Análogas consideraciones pueden hacerse para las restantes barras cargadas: A C y BD.

al

blElapa I

el Etapa II + E'

E

JII.B.l.Etapas 1 Y JI del cálculo matricial.

~ I ID

",."

La suma vectorial de las reacciones de las barras que concurren a un mismo nudo equivale a la aplicación de las cargas representadas para el nudo A por , y para el nudo B por -Pi, siendo:

-pAE

rabe + rac

e

r",," + rb/

y, en general, para el nudo i:

En la etapa JJ, que es la que realiza el Cálculo Matricial, véase la figura m.B.I.c, se añaden a las cargas reales existentes en los nudos: PA ,

Po,... fuerzas de igual módulo y signo contrario a las deducidas anteriormente, PA

E, P/ ..... pr A estas

fuerzas se las denomina fuerzas equivalentes:

Los resultados finales son suma de los parciales obtenidos para las etapas I y 11, tanto a efectos de solicitaciones como de deformaciones, si bien los giros de los enlaces articulados que suministra el cálculo matricial son solo reales en aquellas barras que no están cargadas o, si se trata de un nudo articulado, la barra cuyo enlace se ha considerado rígido, apartado I1IAI2.2.

I1I.B.2. DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS EQUIVALENTES

III.B.2.1. PLANTEAMIENTO GENERAL Para detenuinar las cargas de nudo equivalentes a las cargas de barra se procede, utilizando como referencia la barra a-b representada en la figura IILB.2, del modo siguiente:

• Para cada barra cargada a-b se calculan con ayuda de las tablas 11.1, capítulo n, las reacciones en ejes locales, ro,;" y rba', figura IILB.3.

•

•

jL/ UI

Estas reaeciones cambiadas de signo y referidas a los ejes generales son las cargas equivalentes Pa/ y Pb/, ecuaciones 11.8.2, figura 1II.B.~. E E

En cada nudo i del sistema la carga total eqUIvalente sera: Pi =¿ Pi; .

y

Figura 111.8.3 Reacciones en ejes locales

Reacciones en ejes locales debidas a la carga puntual P:

Figura /11.8.2. Barra cargada I-d 1 P'senjJ 1 i

/ r ¿f~:} :i~~}

.... a~ b ........... I

/ ~

~

~----.¡-

Figura 1/1.8.4 Cargas equivalentes

Presentación ¡2/IIf Cálculo de júerzas equivalentes

-,,/ _ p·cos jJ (I-d)"(I + 2d) l 2 /' I

+ p,COS jJ .d'(I- d)' 12 l' .

Ecuaciones I/I.B. 1

Ec.lIl.B.2.

En la figura IlLB.5, se desarrolla un ejemplo para aclarar el procedimiento

Figura lfI.B.5. Ejemplo de aplicacíón de etapas f y JI.

+ propuesto. En la figura b se detenninan las reacciones de la barra 2-3 supuesta biempotrada, y en la figura e, fase a la que corresponde el Cálculo Matricial, se aplican en los nudos 2 y 3 cargas iguales y opuestas a las reacciones deducidas en la etapa anterior.

Como se ha dicho anterionnente los resultados finales son suma de los parciales de las etapas 1 y II

••••••••• ~ ••••••••• + •••• ~ ••• ~ •••••••••••••••••••••••••••••••••• ~ ................... ~ ••••••• ~ •••••

Ejercicio 1l1.4 Determinar las cargas equivalentes a las cargas de barra del sistema representado en la figura IlJ.B.6.a.

a) b)

8kN/m

íSr 5 • I i

lt3 -x

Figura IJI.B.6.Ejemplo de cálculo de cargas equivalentes.

Inicialmente (1) se calculan las rcacciones de las barras 1-2 y 2-3 consideradas como biempotradas ya que no existe ningún enlace articulado entre ellas, figura 1II.B.6.b. A continuación (2) se detenninan las matrices de cambio dc T/ que cambiadas dc signo y multiplicadas por las reacciones permiten obtener las cargas equivalentes Pa/ (3) referidas a los generales. Los resultados finales (4) se representan en la figura m.R 7.

1) Reacciones debidas a las cargas de barra: a) BalTa 1-2

o 1/ rol p f r, I p I 2 ~-4 ;f,,!~{ 2 ~4 I I • I I ,

p. ~IOi ,-p. ~-lOJ 8 J ,8 12 =-16,67J

Tabla 1I.I.a

2) Matrices de cambio de eies locales a generales:

a) Barra 1-2 (a=2700) b) idEL!!U~'

O 1 01 T ro -) 01 1 o o /; T21 = I I o o I

o o 1_ lo o l~ O] '1 o 01

I O; 1j~ =/ o 1 01 o 1 LO o Ij

3) Carqas equivalentes de barra: A partir de las reaCCiones en ejes locales de barra, resulta:

a) b) I f 20 I O 0

1 ( O t : O )

O =1 O í' -1 01'j-4 =j -4l;

O l-16,67j O 1 i 10 J -1O! J l ,

í F:, 1 E 01 rOl : 20 ¡ O 0lJ O ¡ í O 1

r f O 01'1 20 [=] O ~ O l'! 4 i- 4f Ecuaci6n 111.8.2. Mj21 O IJ ¡-16,67¡ ,16,67j O IJ ;-iOj JOJ

4) Cargas egpivalentes en nudos: Nudo 1

Nudo 2 Nudo 3 rp ,E { 'O 1 I 20 1 rxr rol I x f ~

= , -4 r Py =~-4J 1 Py = o lMJ 1 ,-16,67} 16,67) lMJ, [10

Cálculo matricial de estructuras, ¡er Y 2° orden. Temía y problemas página 34 ! III

y

I

'4kN l"6,67kNm f'~20kN

®

16,67kNm

CD .• ~OkN

Es fácil detectar la presencia de errores relacionados con el sentido que adoptan las fuerzas equivalentes ya que mantienen las mismas direcciones que las cargas de barra. En la figura m.B.7, se representan las cargas equivalentes obtenidas, cuyas direcciones coinciden con las de las cargas de barra aplicadas.

Figura ¡HB. 7, Cargas equivalentes

••••• ~~ •••••••• # ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ~ ••••••• ~ •••••••• ~ ••••••••••••••

In.B.3. ESFUERWS EN LOS EXTREMOS DE BA~S CAR~ADAS Conocidos los desplazamientos de los extremos de la barra, refendos a sus ejes loc~les, y las reacciones r,,¡,'" V rba", debidas a las cargas de barra, en el modelo de barra elegIdo, se calculan los esfuer~os en los extremos de barra mediante la ecuación I1.F.2 (apartado Il.F.l) que en formato resumido se recoge en la presentación 13/IIl, ecuación m.B.3.

Formato resumido referido a las cargas y desplazamientos en eles locales

r k,J . [le al,] 1í(""" Ji r h.l: =l¡k;J ~dl{o~t1~d

Ecuación III.B.3.

TLlY,b 1

Figura /II.B.8. Barra cargada

Ecuación matricial completa de la barra cargada referida a los desplazamientos de los nudos en ejes generales

ra O ~ e: '~' ¡r I ~c:aa sena

I CI'P cosa

i ~:!_~~, c'f If O

O

O O ~cosa sena

(yp -C6'K es'p -e, K i [ ,ooa -cosa I lb -C4 'K e7 '1' -C9 'K clO'2,uJ O O

Ecuación. 111.804.

r," , componente de la reacción en la direccíón x en el extremo a, en ejes locales de la barra aislada ab

~~':'~omento de la reacción en el extremo b en ejes locales de la barra aislada ab

de esfiJerzos reacción en los extremos de barra

Debido a que la resolución de la ecuación matricial detemlina los movimientos de los nudos en ejes generales, véase la figura I1LB.8, aplicando las matrices de cambio de ejes Tab y T ha,

se obtiene esta misma ecuación referida a los desplazamientos de los nudos en ejes generales, ecuación III.BA, véase presentación 13/lI!. .

III.B.4. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA

III.B.4.1. TEORÍA Resumiendo, el cálculo completo de un sistema de barras pasa por las dos etapas SI

guientes:

Etapa J: Se calculan las reacciones de las barras cargadas, asignándoles modelos de apoyos dependientes de los enlaces que presentan en el sistema de barras sin tener en cuenta los apoyos: enlaces rígidos corresponden a empotramientos y enlaces articulados, a articulaciones. Las reacciones en sus extremos se refieren inicialmente a los ejes locales de barra y, posterionnente, mediante un cambio de ejes, a los ejes generales. Sumando todas las cargas que acuden al mismo nudo cambiadas de signo, se obtienen las cargas equivalentes: P}:, Pi: .... p;E ", figura IlI.B.l.

Etapa JI: Se realiza el Cálculo Matricial propiamente dicho, sumando a las cargas de nudo existentes, P" las equivalentes, P,E.

La resolución en la etapa II de la ecuación matricial reducida, o la completa penalizada, proporciona los desplazamientos de los nudos en ejes generales, y a partir de éstos, el análisis de esfuerzos de las barras se realiza del modo

] . Si la barra está cargada se habrá estudiado en la primera fase como una pieza biempotrada, empotrada-articulada, ó biarticulada, el enlace asignado al extremo de la balTa. Este estudio se efectúa de acuerdo con los apartados n.E. y n.e. En la figura IlLB.9.a, se representan para la barra ab, los diagramas de esfuerzos correspondientes a esta etapa.

2. Los desplazamientos en ejes generales obtenidos en el Cálculo Matricial permiten determinar las reacciones en sus extremos, aplicando la ecuación 1lI.BA, presentación 13/11I, según los tipos de enlaces asignados. A partir de las reacciones se representan las leyes de esfuerzos, figura I1LB.9,b.


a) Etapa 1

!) E::.ie.,,; focales y

.1efO~ a bf

2) Flec!ores

~41 a~b

4iAxlles

~ b a'_

b) Etapa JI {Ma/riclO/}

+

+

+ Ollllilllllililille-lll,'lllllilliitJb

+ Oljllliiliiil!IIItZ>)I¡l\ilillll:llIlb

página 36/ III

c) Final

a·~b·

b

Figura [Il.B.9. Leves de esjúerzos de la barra cargada.

3. Las leyes de esfuerzos resultantes, figura e, son una suma de las representadas en

las figuras a y b

...................................................................................

Cálculo matricial de pórticos planos página 37 / III

Ejercicio 1/1.5. Determinar y representar los diagramas de esfuerzos de la barra 2-3 perteneciente al sistema representado en la figura /II.B. 10., cuya geometría de barras es la misma que la del ejercicio /11. 1.(1), figura /II.A.g., apartado /l1.A.6. y

1) Cálculo de cargas equivalentes Inicialmente se determinan las cargas equivalentes a la carga uniformemente repartida aplicada sobre la barra 2-3 del modo siguiente:

Se calculan las reacciones de la barra 2-3, tabla II.1.a., en ejes locales como barra biempotrada: {-42,42, -42,42, 70, 71jT en el nudo 2 y (42,42,

42,42, -70,71}T en el nudo 3, figura III.B.11. Se calculan las cargas equivalentes referidas a los ejes generales:

2) Resolución del sistema

~1 ~l·¡=:~::~L J =:~::~: ) ° 1 70,71 J 1-70,71 kNm

° 0l r 42,42 ¡ 0J'! 42,42 =

O 1 [-70.71)

(-42,42 kN) -42,42 kN t 70,71 kNm

¡ ." '\.</5° 12 kN/m

(2)~7/ // / /1'7 ~~ U .~0

I H

I .;. ~,:t., x

Figura 111.8.10. Ejemplo 111.5.

t42•42 12kN/"m A4Z.42 4,s(p./Z/7Z/77y 42

"'w_.r- lO."

, I @

"",(1)1 Figura 1/1.8. 11.

Teniendo en cuenta que las cargas equivalentes son las mismas que las del ejercicio 111.1, apartado III.A.10.2., los desplazamientos de los nudos en ejes generales han sido ya determinados. Estos desplazamientos están representado en la figura III.B.12 .

3) Esfuerzos-reacción en los extremos de la barra 2-3: Las matrices k112, .. k221, han sido calculadas en el ejercicio 111.1.(1), apartado III.A.6., y los

desplazamientos en ejes generales en el ejercicio 111.1.(2)

r' r p, [1 r 100.000 100.000 o -Il- 1 o o F ¡\.\ ~ -0,0003 7 '1' 1 r 1- 42,4211 :f - 5.29 kN l' 1 1p 'jl! o 1.200 -6.000 o 1.200 -6.00°110 -1 0Jl¡\r~-0,0004771 1

1,-42.42

1'1 ¡ -47,7IkNr

ji:: 1 f~lloooooo -6.000 40.~00 100.000 - 6.000 20'~00J.¡l °r;o~";i{ ~E:~::~T J f¡, "1 ~ ::::~ ; f ~ 1 ¡~:~~:;~::;' l 11' ( ° 1.200 -6.000 o 1.200 -6000 '10 I 01· i\r~()'OO J' 11 42.42 II !'¡37,14kN

r I

,.2' ~ 11 l o -6.000 20.000 -6.000 40.'000 _o o d e~O,0027(12 ,1 -70,71) JI, 0,00 J J

4) Representación de leyes de esfuerzos Calculadas las reacciones en los extremos de barra se determinan los diagramas de esfuerzos de la barra 2-3, figura III.B.13, obtenidos tras iniciar el barrido de esfuerzos de barra por el nudo de menor numeración (2).

Op00918rad

Ecuación //1.B.4. (P 13/111)

52,87 1200 IIf'¡/m

~L;2ZZ.2779.57 5,zrtl1) t--

37,14 47,71

A;.:iles -5,29""",,",-~79,57

~-37,f4 cortante;7,71~

-52,87

Flectores Lllil"""===T1TI1rTm"TI7

0~R, Figura //1.8.12. Desolazamienfos

Figura //1.8.13. Leves de esfuerzos

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 20 orden. Teoría y problemas

Ejercicio /11.6. En el sistema de barras representado en la. figura "I.~. :4, el nudo 2 es un nudo articulado (para el calculo matnclal se sitúa la articulación en el extremo 2 de la barra 1-2), se

pide: 1) Determinar las fuerzas equivalentes a las

cargas de barra. 2) Ecuación matricial reducida. 3) Fuerzas en los extremos de la barra 1-2, en ejes locales, conocidos los desplazamientos en ejes generales del nudo 2: L1z"'{1,555'10-<, -4,266'10-<, .1, 144· 1 (t2}T, en my

red. 4) Reacciones en el apoyo 1 en ejes genera/es.

1) Matrices de cambio de eies:

Barra 1-2: coS a = (0-2)/4,472 = -0,4472; sen a= (04)/4,472 -0,8944

página 38 / III

E ' 10' I<N/rrf

I =:2T"0-'rn4

• ' 3fj 10,3 rrf

Figura 111.8. 14.

4m

! ....L

: -0,4472 -0,8944 01 ~l 0,4472 0,8944 0'1

TIO

; 0,8944 -0,4472 O V" = -0,8944 0,4472 0J loo 1 J O O 1 Ecuaciones lilA 2. (P 2//11)

Barra 2-1: Gas a = (2-7)/5 '" -1; sen a (44)15 O

\

-1 O 01 r 1 O 0-\ T

23 = O -1 o; TJ2 = O 1 O

L O O d lo O lJ

2) Ca as e uivalentes a la car a sobre la barra 2-3

Reacciones de apoyo de la barra 2-3 en ejes locales de barra, figura 111.6,15,

h3}=1-3~ kNI; 25kNm \

O \ 30kN

-25kNm

Cargas equivalentes:

r ,E r 1 O

Px ~ -lo h~}=r ··1

M }23 lo O

rpx lE O { e í ' I 1

Figura 111.8.15. Reacciones

P1iJ=(Y r A1) 32

¡ -~ ° EcuaCiones 111.8.2, (P, 12//1/)

3) Ecuación matricial reducida:

a) Ecuación matricial completa r (p, rl nK~,l en formato resumido: 1 "", I "

[?,h =1 [K.,] , ".1 ., t[?,)] 'L [oJ

[K,,]

[Ki,]'" [K¡,]

[K,,)

b) Suprimiendo las filas y columnas

asociadas a los desplazamientos { } [, I 1 [ ) ~{ } nulos, resulta: P2 = K 22 + K 22 JI c, 2

Siendo:

1'16.170.

[KiJ= 32.150. I o. L

Obteniéndose:

O r~8.170 =;.)2.150

l O

32.150.

64.40.0.

O

32,150

64.659

648

~l O,

-'

, [nooo O [K,,]= O 259,2

O 648

O 1 J C, X2 = 1,555'\0-4 m 1 648 J' c,y?" -4,266,\0,4 ni r

2.160 l0 2 '=-1,144'IO'2 radJ

4} Esfuerzos-reacción en los extremos de la barra 1-2

Ecuación /l/A 11. (P. 6/1If) c.'" 1/4; c.= clO"O pare K22'

c,= e2'" cs=1 pare K'12'

f'2r~:~1 r8o.~90 O O ·80490 O °l r r -04472 -0$944 T""")' I ¡-2i1l kN . 9Q5 -405 O 9Q56 O' , l 0,8944 - 0,4472 O 1 Lly "o l -0,0298kN

! lmJU O -405 1.811 O -405 O O O 1 l 0=0 J OJ33kNm

1 f p, II i 80.490 O O 80.490. O O [04472 0$944 O JI" o 1,5>l(r 1 r" -25mN

! i Pd I l O 9Q56 -405 O

l"l;1 L O O O

Ecuación I/IA 18. (P 10/111)

5) Reacción en el apoyo 1

r -0,4472

{R, 1 = [T,~ Jrp" } = 1-0,8944 i O L

EcuaCKm /l/,A 19, (P, 11/111)

O

0.8944

-0.4472

O

9Q56 O -0.8944 0.4472 O Lly =-4,266Hr4 J 1-0,0298kN O o. O O 1 0=-U4461O~2 2 l O t

O; r -25.1 I 1 0j.!¡' - 0.0298 ~ 1 0.133 J

r 11,20\ j22,47

[0.133

Figura IIIB, 14,

III.C. COMPLEMENTOS

III.C.l. APOYOS NO CONCORDANTES Los apoyos son, como ya se ha dicho, ligaduras externas que coartan los desplazamientos de algunos nudos en uno o más grados de libertad. En un empotramiento se impiden los tres movimientos: .1x en la articulación, dos: ¿ix =.1y= 0, liberándose el giro y en la deslizadera, uno: el nonnal al plano de rodadura del apoyo.

Cálculo matricial de 2° orden. Teoría

El tratamiento dado a los apoyos en la ecuación matricial co~pleta se expuso en el apartado [JT A 10 utilizando la ecuación matricial reducida o pcnallzando la matnz completa de rigid~z. 'Cualesquiera de estos dos procedimientos es v~lído para los apoyos que co~an movimientos en las direcciones de los ejes generales. Sm embargo no lo es cuando es:os apoyos son deslizantes sobre un plano que no es paralelo a ninguno de los do~ ejes gen~rales, apoyo número l de la figura ~ILC .I.a. A. esta elase de ~poyo se le denomma no concordante y su inf1uencia en el sIstema se ll1troduce aplIcando uno de los dos procedimientos siguientes:

y

-_. --~X

Figura IIl. C. Apoyo no concordante

1.- Modificando la matriz de rigidez: Para ello, eligiendo como cjemplo el sistema representado la figura m.e La,

r{p¡}l i[K jj ] [K¡J O O O O lII"}] [LK22 ] [KZ4 J I i { 1 jlP'}1 I[K,,] O O O 1I t. 2 1

{J)}~ _ O O [K33 ] [K34 J O O 1I {t.J ecuación m.c.l [K43 ] [LK44] [K45 J 1'1 r (,) - O [K42 ] [K46 J¡ (t.4 11

~Ps{1 I O O O [K'4l [Ks,J O 1 {t.'j, [KM] [ ] i ( 1 ! l'?¡', f) , O O O O KM J líL\(> iJ

se transfonnan, en el apoyo no coneordante nudo 1, los vectores fuer~as y. desplazamientos del sistema general al sistema de ejes primados (ejes x' e y asoCIados al apoyo no concordante, figura m.el.a.),

T ' ecuación IILC.2. t.] T.¡ 'L\I

_)' r cos,8 - sen,8 0: 1, = I sen fJ cos,8 O 1

loo 1 J ecuación 1I1C.3.

fJ, ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el eje general X al ejex', en el apoyo 1, véase la figura lILC.La.

Resultando:

[r.')[¡¡ 1 r[K,,] [K,,] O O O

O r~" (~} [K21 ] [¿K22 ] O [K24 ] O O {t. 2 }

(~} O O [KJ3 ] [K34 ] O O {Ll3} {p,¡} I O [K42 ] [K43 J [¿K44 ] [K45 ] [K%]· lA,} I ecuaCÍón IILC.4.

\J~} í I O O O [K54 ] [K,5] O {t.5 }

{p¡,} J L O O O [KM] O [K66 l {t.ó }

En esta ecuación es lo mismo premultiplicar LI '1 por T/, quc postmultiplicar la primera columna de la matriz de rigidez, [K], por T/. La premultiplicación en ambos lados de la primera fila por TI no alterará la igualdad y teniendo en cuenta que en sistemas de coordenadas ortogonales: TI . TI T = 1, la ecuación JIL C. 4, se transforma en la siguiente:

r h}l í[T.¡]-[KlI }[l;T ~ [T.¡}K¡J [O] (O] (o] [O] r ~l}l {~}. [K21 }[1i ~ [¿K2J [O] (K24 ] [O] [o] {t. 2 }

{~} _1 [O] (O] [K33 ] [K34 ] (O] [o] . {t.3}l " C {p,¡} - [o] [Kd [K43 ] [¿K44 ] [K45 ] [K4G ] {t.

4}f ecuaClOn III .. 5.

{Ps} l [O} [O] [O] [KS4 ] [K55 ] [O] J {t.5 }j l{~L [O] [O] [O] [KM] [O] [K6G ] {t. 6 }

Ecuación en la que pueden introducirse directamente las condiciones de contorno correspondientes a los desplazamientos primados.

Para determinar las fuerzas reacción en los extremos de barra unidos a los apoyos no concordantes (por ejemplo el nudo a del sistema) se maneja la ecuación siguiente:

ecuación m.c.6. en la que:

En resumen, la modificación de la ecuación matricial de rigidez completa, {P} [K] {LI}, de un sistema de barras que contiene un apoyo no concordante en su i ésimo grado de libertad se realiza premultiplicando su í ésima fila por r, (matriz de cambio de ejes generales del sistema a ejes locales del apoyo no concordante, figura lILe l.) y postmultiplicando su í ésima columna por r,T.

Cálculo matricial de estructuras, le, y 2° orden. Teona y problemas página 42/ III

2.- Incorporando una barra biela que sustituya al apoyo Se sustituye el apoyo no concordante por una barra que garantice análogas posibilidades de movimiento. Para ello se utiliza una biela que apenas sufra acortamiento axial. Esta biela está formada por una barra biartículada normal al plano de deslizamiento. Para reducir al máximo el acortamiento axial de la biela, lo que la equipara a un apoyo fijo, se le debe asignar un área muy grande, figura m.CI.b. La incorporación de la biela precisa un nuevo nudo, el 7 para el ejemplo que nos ocupa.

IlI.C.2. APOYOS ELÁSTICOS

UI.C.2.1. TEORÍA Para definir el apoyo elástico se ha de indicar la dirección en la que está dispuesto y el coeficiente de muelle, denominado también, constante de resorte; definido como la fuerza requerida para generar un desplazamiento unidad del grado de libertad asociado al apoyo elástico (si se trata de un empotramiento elástico será el momento necesario para generar un giro unidad). Se representa por KM' Un apoyo puede ser elástico con relación a las tres direcciones que definen los ejes generales, de manera que para un nudo cualesquiera se pueden llegar a definir un máximo de tres constantes de resorte: KM! Y KM. e-

Grado de >11\11'--_ .'li)~rtEd i

R¡ '-KM,e A¡ 13

7 X

Figura JJI. C2. Apoyo elástico

X, si el resto del cociente il3 es 1 y, si el resto del cociente il3 es 2 8, si el resto del cociente il3 es O

En general se debe definir el coeficiente muelle asociado al grado de libertad i. En este caso se representa por KM}. Si se supone que el apoyo 5 del pórtico representado en la figura m.e.2, es elástico según el grado de libertad 13 (eje general X) la reacción, R í , que es desconocida, generará en el apoyo un desplazamiento .di, en dirección opuesta a ella, igual a -- R¡ / K.>t.i (KM;, constante de resorte del apoyo 5 en la dirección X, siendo i"'" 13).

Si n representa el número total de grados de libertad del sistema, nl3 es el número total de nudos. El grado de libertad i corresponde al desplazamiento del nudo de número: 1 + int(i/3) y a la dirección:

Al desarrollar por la fila i, la ecuación matricial completa, en la que se incluye la fuerza: -Ku¡ generada por el desplazamiento del apoyo elástico en el grado de libertad i,

Cálculo matricial

KII K'2 K13 K2I K'),2 K 23

K31 K32 KJ3

K¡.n f~l KZ,n ~2

K3.n ~3

ecuación IILC.7.

K¡.n ~¡

Kn.n ~n

resulta:

ecuación TILC.8

0, lo que es lo mismo,

ecuación IILC.9.

Lo que equivale, sencillamente, a sumar al elemento de la diagonal Ku el valor KM,¡. Operación que se representa del modo siguiente:

P¡ r KII Ki2 KI3 Ku KI.n 1 '" ' I KZI I

1) K 22 K23 K 2i K,!,n "'2 P¡ I K31 KJ2 K33 K3; K3.n "'3

ecuación IILC.lO I ..

"'¡ i ,

P¡ 1 K¡,I K¡,2 K¡.3 (K¡.i + K M.¡) K,. j K:,.n

. I l P" j .. Kn,1 Kn.2 Kn.3 K".i ",J

Así, por ej,emplo, en el pórtico de la fi~ra. m.e.2, se supone que el apoyo deslizante correspon~lente ~l ~udo 5 es un apoyo elastico. En este caso el único cambio a introducir ~n la matnz de ngldez es considerar como elemento de la diagonal asociado al grado de hbertad, 13: (K1313+ Ktw).

Otra a1te~ativ~ e~ sustituir el. apoyo deslizante por una biela de cardcterísticas tales que su deformaclon elastlca sea la misma que la del apoyo. Para ello:

E; módulo de elasticidad A: área de la sección transversal de la barra 1; longitud de la barra

2" orden. Teoría

EJercicio /JI. 7 Reso/ver matricia/mente /a viga continua de madera laminada de sección constante, figura /I/.e.3., en la que:

1) E=8.500.000 kNlm2; A=O, 03 m'; 1=2,25'1()4 m4

2) El apoyo 2 es elástico en la dirección Y con un valor del coeficiente de muelle igual a 70.000 kNlm. En la dirección X todos los apoyos son indesplazables

3) Debido a la simetría de geometría del sistema y de las cargas el giro del nudo 2 es nulo: 8 2=0

Figura III.C.3.

1) Cargas equivalentes de nudos: Considerando las barras como biempotradas, figura III.CA., y aplicando la teoría expuesta en el apartado 111.62., se deduce:

rOl i O 1 ° 1 (i'll = j . 14,40J\ - ~ - 9,60 1= -24.00k.~ r

l-14,40 l 9,60 j - 4,ROk!'v J

{Olr O l

f j j

tpJ= -14AO?+1'-14,40 f l14,40J =14,40J

, O

1 = 28,80kN

l O

O=4,8kN/m CrJÜ¡I1=t)

14,4kNm qZ2//2 = /4,4kNm

q1l2= /4,4 kN Figura I/I.CA.

2) Matrices de rigidez en ejes locales de las barras 1-2 y 2-3 (Ejercicio 111.7) Se determinan los valores de:

E4 El El El c= '=42500kNlm;p p,' I06,25kNlm;K=6', =31S,75 kN; ¡.t= 2· =637,5kNm

1 - ¡3 1- 1 Considerando biempotradas las dos barras que, además, son iguales, resLJlta:

42.500 O O 42.500 O O 1 O 106,25 =318,75 O 106,25 =318,~51 O -318,75 1.275 O =318,75 637,:>

, , 42.500 O O 42.500 O O !

I O 106,25 318,75 O 106,25 -318,75 i

O -318,75 637,5 O 318.75 1.275 j Ecuación JII.A5. (P 4/111)

3) Matrices de rigidez en ejes generales de las barras 1-2 y 2.3

Al ser para las dos barras, sen fJ. =0 Y ros fJ. =-1 , resLJtta:

4) Ecuación matricial completa penalizada

o o -42500 o 31&75

637,5

lo'" 311\75 o 1.275

106,25

-311\75

O+RX2

-28,80 lo'" O O

C;;;;s+ 106,25+ 7(1000 ~31l\75+31&75 10"

O+R,n

Simetría 4,8

Ecuación III,Cl0" apartado III.C.2.1,

5) Ecuación matrtcial reducida

o o o

-42500

o o

¡rjl'

Suprimiendo las filas y columnas asociadas a los desplazamientos nulos, reSLJtta:

r .4.80) 1- 28,8 [4,80

1.275 -318',75

-318,75 70.212,5

O 318,75

Ecuación /II.A.16. (P. 8/111)

6) DesplazamIentos Resolviendo el sistema,

e 1 = -0,003876 rad; e 3= 0,003876 rad ;¿jY,2=-4,453·j04 m

7) Esfuerzos en los extremos de barras (Ejercicio 11/. n

o o

16

" o o !ly¡=o

o o 0, , o 6 ... 2 :0

-106.25 31875 ¡ 6"

-31&75 63~50 0,.~O

o o 116n~OI I()""" -31875l6Y3~OJ

1275 J El,

Por razones de simetria solamente se calculan los esfuerzos en los extremos de la barra 1-2

Ecuación /liBA, (P. 131111)

Para la barra 2-3, por razones de simetría, los resultados son los siguientes:

"lf ;:f11 1-15,~8 kN

m ; 16,72kNm

¡p, 1 ;'[----0-jp; i¡ 13,21 kN

"lm;; -9,60

8) Diagramas de esfuerzos

Se representan en la figura IIte,5,

-16,72

J:.i kNm

V kN

Figura I/I.C.5.

o -13,21kN

9,60kNm

1558kN

-16,72kNm"

es)

tE]!

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 46 I III

9) Reacciones En el nudo 1, al ser a= 180°, resulta:

¡~:) = f<_1)2.[-01 _°1 ~ 1'¡-1~,21) -¡-9~60)=¡22,8~ kN) M 1 ;=2 ° ° (_1)2" 9,60 12 9,60 °

Ecuación /II.A.19. (P 18/111)

En el nudo 2 , al ser también para las barras 1-2 y 2-3, a= 180°, resulta:

f~;,l = D-I)I.[~1 ~l l M 2 O O

~I ~ lJ!'[-I~,581 =f31,1~ kNI O (-Iy 16,72 L l O

Ecuación 11i.A.19. (P 18/111)

10) Comprobación del desplazamiento del apoyo elástico

¿jY.2=31, 16170.000= 0,000445 m

.................................................................................................

IILC.3. DESPLAZAMIENTOS FORZADOS SEGÚN LOS EJES GENERALES

El procedimiento más sencillo, sobre todo si se trata de realizar un programa de cálculo matricial, consiste en utilizar la matriz completa de rigidez y proceder de la manera siguiente:

a) Se le da a la ligadura afectada por el desplazamiento el mismo tratamiento que a un apoyo. Para ello se penaliza el coeficiente asociado de la matriz completa de rigidez sumándole 1020

•

b) Se aplica una carga ficticia PF según dicha ligadura tal que al resolver la ecuación matricial completa penalizada, el desplazamiento resultante sea el inicialmente impuesto.


Figura IJI. C. 6. De8plazamiento forzado

página 47 I III

Para ello, esta carga ficticia PF, ha de ser igual a I rro'¿JF,i (¿JF,i' desplazamiento forzado según el grado de libertad i). Así, por ejemplo, si el grado de libertad i (en el sistema representado en la figura III.C.6, el 13) experimenta un desplazamiento forzado ¿JF.i se aplica una carga externa según este grado de libertad igual a I rro·¿JF". La ecuación matricial completa resulta:

R K" KI2

P, K" K" P, KJ] K.n

P"

KI3

K" K33

K"

K" K],

(K" +10 21')

K",

K," ~'1 K 2" A2

K 11! 8 3

Desarrollando la ecuación matricial por la fila i,

y despreciando todos los términos que no están afectados por I020, por ser

comparativamente muy pequeños, resulta:

Luego, el desplazamiento del grado de libertad i resulta igual al desplazamiento forzado:

III.C.4. EFECTOS TÉRMICOS

IlI.C.4.l. TEORÍA En aquellas barras en las que se presenta una variaclOn de temperatura con gradiente télmico (temperaturas diferentes T, y Ti en los dos bordes de una pieza y T, > Ti , figura III.C.7.a) se procede del mismo modo que para cualquier otro tipo de carga. En la primera etapa, figura III.C.S.b, se bloquean los nudos de la barra en función de los enlaces que unen sus extremos a los nudos respectivos, calculándose las reacciones en los extremos en ejes locales y, a continuación, las cargas equivalentes en ejes generales. En la segunda etapa, se efectúa el cálculo matricial con las cargas equivalentes obtenidas.

Cálculo matricial de estructuras, 1 el y 2° orden, Teoría y problemas página 48 I III

a) Deformación del pórtico por calentamiento desigual de la barra abo ~----~

a ~ ___ ---,r.~ ___ --'b a b

b) Etapas del cálculo matnclal. ~b Etapa I '

1 1 . 0

Figura lIJ.e. 7, Variaciones de temperatura

Figura lIJ.e.8, Desplazamiento del extremo a de un voladizo de sección constante por

calentamiento desigual

Aplicando la teoría expuesta en el apartado I.A.S.2, se calcula a partir de las ecuaciones 1.A.19-20, para la barra ab considerada como un voladizo empotrado en b, el desplazamiento del nudo a, {Oab} (a, nudo de menor nu-meración de la barra ab) en ejes locales de barra, figura m.C.8.a, resultando:

s: =a ,T, -1; '1 2 ,. uy,a I 2.jz ,

e = a . T, - 1; ,1 o I .h

a, ,coeficiente de dilatación del material de la barra:

10,5 ; hormigón l ,2' 10,5 ; acero

h; canto de la barra

Cálculo matricial de pórticos planos página 49 I III "

A continuación, aplicando la ecuación IILA.S, (presentación 4/I1I), se deducen las fuerzas {robe} Y {rbo

e} que se ha de aplicar en los extremos a y b para generar el desplazamiento

igual y contrario a {bah}, figura m,c.S,b,

r; & O O & O O -a,'(T, +T,)'¡¡2 re

y O C,'P -C2 °K O c3 'p -C4 'K -a,'(T.,. _T,),¡2 /(2h)

me O -C2 'K c,'2j.J O -C6 °K c7 'j.J - a, '(T, - T;)'¡¡ h ecuación, lIl. CII

e rx & O O & O O O

rJ~ O C3 'P -C6 'K O c,p -C9 'K O me O -C4 °K C7 'j.J O -C9 "K c¡O'2j.J J O

Si solamente existe variación uniforme de temperatura, r, = T¡ = LIT, resulta:

bx,a = a¡·f...T·!; by,a = O; 3 ab = O

¡.c ) _ ¡-al 'I'lT'EA) ¡ c]_ ¡- a¡ 'I'lT'EA) 1 ab - O Y rba - O

O O ecuaciones I1I.CI2 y,

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 50 / III

Ejercicio 11/.8. En el pórtico ortogonal de un piso de hormigón armado (a,=1 0.5. ( oC)) representado en la figura I/1.C.9, se presenta en todas las barras una variación uniforme de temperatura de 20° e, determinar, aplicando el cálculo matricial, los desplazamientos de los nudos, diagramas de esfuerzos de barras y reacciones.

® @ t;=======;i

10m

!

@ -.l.

~ 10m

Figura III.C.9.

1) Fuerzas equivalentes de nudos:

El incremento de temperatura de + 20° genera en la barra biempotrada, figura III.C.10, ecuación III.C.12, la reacción axial siguiente:

N=- a,' LJT E A =. 10.5.20°. 20.000.000'0,1= ·400 kN

En consecuencia referidas a ejes locales de barra las reacciones son:

Cambiando de signo las reacciones de las barras, referidas previamente a los ejes generales, y sumándolas cuando están aplicadas en el mismo nudo, figura III.C.11, resulta:

{P:}= +l

fJT = 20.?

a t = 10-5

E = 20.0.0.0.0.0.0. kN/m.2

A = 0.,1 m 2

I = 0.,0.0.36 m4

!::.-~l======~~ A B I 10m _~

Figura 111. C. 10,

400kN

t4o.OkN

40.0.kN 4o.OkN 4--~I®~================~®~ ___

t400kN ¡ 400kN

Figura "'.C11. Fuerzas equivalentes

2) Ecuación matricial reducida y desplazamientos de nudos

Teniendo en cuenta que los desplazamientos de los nudos 1 y 4 están totalmente coartados,

La ecuación matricial reducida es:


r-~ 200.864 O 4.320 -200.000 O

400 200.864 4.320 O -864 O I¿:K22 I 57.600 [9 -4320

); 200.864 O

Simetría 200.864

~ I¿:K33 I

Ecuación 1/I.A.16. (P. 8/111)

Ecuación cuya solución proporciona los resultados siguientes,

~X2 -0,0010 m

~Y2 0,0020 m

°2 0,0001 rad

~X3 0,0010 m

~n 0,0020 m

O3 -0,0001 rad

representados en la figura III.C.12.

3) Esfuerzos en los extremos de ba"a

Barra 1-2 (a=2700)

f

12

{ }

200.000 o o 200.000

J 3 o 864 - 4.320 O 864 O - 4.320 28.800 O -4.320

U¿} 200.000 O 20000 O

O 864 - 4.320 O 864 -4.320 14.400 O -4.320

Ecuación 1/1.8.4. (P. 13111/)

Barras 2-3 v 3-4.

Procediendo de manera análoga. se obtienen:

'p, l' ¡-0,43kN

1 p.. 0,00

,;, 1,44kNm

l ;m··:")I, =1-o·,'~'~N

-l,44kNm

r 0,00 1 '-0,43kN

1,44kNm

O

-0,43 kN

2,88 leNm

O r ro -4.320 1 J

14.400 . lo -4~20 r ~I 28.800 J II O

-1

O

O

1

O

O

página 51 / III

O ~X2 4.320 ~Y2

14.400 °2 4.320 ~X3

-4.320 ~Y3

57.600 °3

, l'l~m \, ~OO',ad.

2~';'1.--r ®

T'

O,43kN (!) -",.., ~,88kNm

Figura I/I.C.12.

0lf"'x =o,oof 1 -400

~Jl ~:o~~oJ O

O +

0Jrx =-0,001} -400

O' 1\.,. =0,002 O

J 1 ,8=0,0001 ,j O

0,43 leN

-2,88 kNm

O

0,43 kN

l-I,44kNm

4) Diagramas de esfuerzos

Axr!es

5) Reacciones

a) En el nudo 1 (a =270 0) .

r rOl

'l~: =5::(-1)2·l- 1 O /vt pu O O

1

b) En el nudo 4 (u =90 0) .

'O -1

= Jf(_I),·11 O i=u 1

. LO °

Cortantes

Figura III.C.13.

le!

o ]10'001 : O . -0,43

(-1)1 2,88 L

Ffectores

1 0,43] 0,00

l-2.88 Ecuacíón/IIA19.(P.l1/111)

¡-0,431 000 I

2:88 J Ecuación /I/AI9. (P. 11/111)

52/ III Cálculo matricial de pórticos planos página 53 I III

III.D. OTROS EJERCICIOS Ejercicio /11.9. Realizado el cálculo matricial del sistema de barras representado en la figura 11/.0.1., en el que el nudo 3 es una articulación (se ha considerado el extremo 3 de la barra 3·4 como un enlace rígido y por lo tanto la barra 2-3 articulada en el nudo 3), los nudos 2 y 3 sufren los desplazamientos siguientes:

Nudo 2: {0,249837 m, -0,000208 m, -0,277675 rad}T Nudo 3: {0,249370 m, -0,000383 m, ·0,187027 radjT (el giro del nudo corresponde al

nudo 3 de barra 3-4)

Se pide:

1) Fuerzas equivalentes en los nudos 2 y 3. 2) Esfuerzos en los extremos de la barra 2-3, y representación de los diagremas de

esfuerzos

y

80 kN/m

¡ l l * t 4 ¡ i ¡ ¡ 1 lIt ¡ LU@

JO/OC m.

EA =4000000}(N

El= fOOOOkNm!!

Figura /11.0.1.

1) Fuerzas equivalentes a la carga de barra 2-3:

Reacciones de apoyo de la barra 2-3 en ejes locales, figura III.D.2.

\=( -50~kN); 1.000kNm

1.000 kN 80 i<N/m o

o. ~~TlllTLI2).o ~, ®~

'23 ¡ , r.e

-500kN ,30:kN

A partir de estos valores se obtienen: Figura 11/.0.2. Reacciones de barra

~)I ~lL~oo)~¡ -50~~ f; O IJll.OOO -1.000kNmJ

O 01 ro) rOl I O H 300 ~ 1- 300 kN ~ O IJlO • O J

Figura 1//.0.3. Cargas equivalentes

EC./II.B.2. (P. 121111)

Sumando la carga aplicada en el nudo 2 a las fuerzas equivalentes se obtienen las fuerzas de nudos representadas en la figura III.D.3:

Cálculo matricial de estructuras, 1 cr y 2° orden. Teoría y problemas página 54 / III

2) Diagramas de esfuerzos de la barra 2-3

Esfuerzos en los extremos de barra

1" Ip,l 1"'"" o O 400.000 o

j r~ O 30 -300 : o 30

m' O -300 ,3QQL _,,<L -300

: r p, j = l400,OOO O 400,000 O , 1, O 30 -300 O 30

lJ~JJ O O O O

Ecuación IIIBA. (P, 131/11)

A partir de las reacciones en el extremo correspondiente al nudo menor se determinan los diagramas de de la barra, figura 111.004, Así

N(x} = - 184 (axiles) V(x) = 416,70· 80, x (cortantes) M(x) = -167,00 416,7'x 80-x2/2 (fIec.)

En el extremo correspondiente al nudo de mayor numeración coinciden los esfuerzos con los obtenidos anteriormente aplicando la ecuaGÍón III.B,4,

01 [r-l O 01 [ "', ~ 0,249837 r 0.00 1 . -184,OOkN:

0111 o -1 O' l"'y ~-O,OOO208 I -500,00 :-416,70k,v¡

O :, O O , : ,. o 4>.m." r ,.""" ,.1 "~'OO'""I 0 1,'[' O O'; "'x ~0.249370\ O 1-184,OOkN

O! O 1 O l"'r ~ -O.000383} 300,00, 1 383,20 kN 1 1,

OJ l O O 1 J O" , 0,00 J l 0,00 ,

AXl/es 1111111 i 11111111101 I1 i! 11I i 1I i 111- IB4,G

® 0)

Cortantes ® ~-3B.'J,2

4r6,7~: 0 ~'

Fleetores I

FiC/ura III,DA" Diaoramas de esfuerzos

.................................................................................................

Cálculo matricial de pórticos planos página 55 í III

Ejercicio 111.10. Para la viga continua representada en la figura III,D.S. en la que el nudo 4 corresponde a un enlace articulado, se pide:

1) Elegir los modelos de barras para seleccionar sus matrices de rigidez 2) Posibles movimientos de los nudos 3) Esquema de la ecuación matricial completa, indicando que submatrices

son nulas, 4) Penalización de la matriz general completa incluido el apoyo elástico. S) Esquema de la ecuación matricial reducida, 6) Indicar el significado físico de los coeficientes de la fila y columna S" de

la matriz de rigidez completa.

y

Nudos

GrOdOSd~2 libertad 6~

I,--~ 3 F~~--------~----~~------

Figura ///.D.5,

1) Modelos de barras

Al ser el nudo 4 una articulación una de las dos barras debe considerarse enlazada rlgidamente. Por ejemplo la 3-4

Barras 1-2; 2-3 Y 3-4

Barra 4,5

Figura III,D,6

2) Movimientos de los nudos

3) Esquema de la ecuación matricial completa. La ecuación matricial completa, referida a la numeración de los nudos del sistema, figura 111,0.7, es:

I }p, ~l [KJ1 ] [K,o] [O] [O] [O] {~1})

l.Pcí [K21 ] [¿Kn] [K23 ] [O] [O] {Élz}

1{P, lr= [O] [K32 ] [¿K,J [K,J [O] {A,} Irpl [O] [O] [K.3 ] [¿K",] [K'5] {~,} it 'J

l{p;}; [O] [O] [O] [K;,] [KssL {AJ

2° orden. Teoría

Figura /II.D.7.

4) Penalización de la ecuación matricial completa.

A continuación se indican los coeficientes penalizados de la matriz completa de rigidez:

fKn [zK33 1=1 K"7

lK9,

[Ks,] =

+ 10"°) K"

K" (K" T 1020

)

KM K"

K78

(K8R + K,'Yf)

K 9S

+ I 0'0) K".14

(K' •. 14 + 1 0'°) K 15 •i4

5) Ecuación matricial reducida Suprimiendo las filas y columnas asociadas a los movimientos impedidos de los nudos resulta:

Pl'1

P" M:

PA)

Pn I , M, I

jK,: KI2 KJ]

K?2 K2J

KJ?¡

Simetría

KI7 K" Kl9

K"i K" K" K37 KJ8 KYt

K.7 K" K"

K7J K" K'9

K" K,,9

K ••

K'.l!i K¡,I' KI.12

K 2,1{l K Z.ll K,,12

K,.IO K].ll K 3,l'2

K6.l0 Kó,ll K€,12 e,

K7JO K"" K 7 .!2 'l l1,1'3

Kg,JO Ka,,, K S,12 1 I 1I"

Kt;,W K".!t ! e, I

Kw.:ü K t1J1 K;2.l2 1I"

K l1", K".I2 lI", K 11 ,12 e4

6) Representación del significado físico de los coeñcientes kiJ! de la matriz de rigídez

El coeficiente K, 5' la fuerza que se debe aplicar según el grado de libertad i, para que el grado delibertad sufra un desplazamiento unidad permaneciendo inmovilizados los restantes grados de libertad.

Figura III.D.8.

56/ III Cálculo matricial de

BIBLIOGRAFÍA ArgüeJles R

y ArgüeJles Bustillo, R.

Sáez-Beníto, J.M.

Livesley, R.K

Kardestuncer, H

Algibes, M; Coin, A y

Journet, H.

Vázquez, M.

Análisis de Estructuras. Teoría, Problemas y Programas. Ed. Fundación Conde del Valle Salazar. Madrid 1996

Cálculo Matricial de Estructuras. Ed. Fondo Editoríal de Ingeniería Naval. Madrid 1981

Métodos Matriciales para el Cálculo de Estructuras. Ed Blume. Madrid

Introducción al Análisis Estructural con Matrices. Ed. Mc Graw Hill. 1975

bStudio de las Estructuras por los métodos Matriciales. Editores Técnico Asociados. Barcelona 1971

Cálculo Matricial de Estructuras. Ed. Colegio de ITOP de Madrid. 1992

Sistemas espaciales de barras página l/IV

IV. SISTEMAS ESPACIALES DE BARRAS

IV.A. LA BARRA ESPACIAL

IV.Á.1. INTRODUCCIÓN Para el cálculo matricial espacial se realiza una generalización de la barra en el estado plano incorporando un tercer eje zp, véase la figura IV.A.l. Además de la solicitación axial Px,p y las solicitaciones cortantes, P)',p, P"p Y de flexión, my,p,y m"p respecto a los dos planos principales de la sección transversalyp y zp, se presentan solicitaciones torsoras mx,p'

Las solicitaciones de torsión generan un giro torsor a lo largo de la barra respecto a su eje axial, existiendo una clara analogía entre las solicitaciones axiales y las torsoras:

Yp

en las axiales, los desplazamientos de la barra están asociados al módulo EA (E, módulo de elasticidad longitudinal del material y A, área de la sección transversal de la barra);

Figura ¡V.A.!. La barra espacial

y en las solicitaciones torsoras, los desplazamientos (giros torsores) de la barra están asociados al módulo GIT (G, módulo de elasticidad transversal del material e I T, módulo de torsión de la sección transversal de la barra).

Las cargas de barra pueden descomponerse en diferentes direcciones: paralelas a la dirección axial, qx; paralelas a los ejes Yp y Zp principales de la sección, qy y qz; y, además, momentos torsores, m"

o) Componente q, b) Componente qy

b_

Yp

e) Componente qz

Figura ¡V.A.2. Cargas de barra en la barra espacial

2/lV

IV.A.2. EJES PRINCIPALES DE LA BARRA ESPACIAL Son una generalización de los locales dc barra descritos en el apartado n.A.1, a los quc se incorpora en cada extremo el otro principal de la sección, sentido tal que el sistema xp e YP resulte levógiro, véase la figura IV.A.3. Estos cuyas direcciones quedan asociadas a los planos principales de la sección transversal de la barra sc acompañan del subíndice p para diferenciarlos de los otros ejes auxiliares de la barrra que se explicarán posteri-ormente, a los que se incorpora el subíndice aux.

En el nudo de menor numeración (a) de la barra, el eje principal xp

con'esponde al eje axial que se aleja del nudo b. Los restantes ejes locales YP y z¡" que corresponden a los ejes principales de la sección transversal de la barra se obtienen girando a izquierdas. En el nudo de mayor numeración de la barra (h), el eje auxiliar xp corresponde al eje axial que se aleja del nudo a. Los restantes

principales YP y zp, corresponden también a los ejes principales de la sección girados a izquierdas. Véase la figura IV.A.3.a.

a) Ejes principales

1) Esfuerzos

2) Desplazamientos

: 1 'ID S:;8~' ---·-·-~-·_·_·-·--·T~·' -..--.....----------------------------------.... ,'--.. ...

b) Grados de libertad ~8

_4 '-'4------- "10. ,~0f - ,

5~~ ~9

Figura IVA.3. Ejes principales de barra y grados de libertad

Con esta definición en lo que se refiere a esfuerzos, cl eje principal xl' se asocia al esfucrzo axial de tracción pep y también al momento torsor, m,1'" El eje principal yp se asocia con el cortante Pep en esa dirección YI' y también con el de flexión )'" ; y, finalmente, el principal zp, perpendicular al plano definido por los ejes anteriores coincide con el cortante pe!' en esa dirección, asociándose también con el eje de flexión z¡>.

y referente a los desplazamientos de los extremos de la barra los ejes principales, en el nudo de menor numeración a el eje principal xI' se asocia con el desplazamiento axial Ii" y con el giro provocado por el momento torsor Bx,.' El eje príncipal YI" se asoCia con el movimiento del nudo 8"" y con el giro de la sección, respecto al eje YP y finalmente, el eje principal zp, coincide con el movimiento del nudo en la dirección Ii, .. , asociándose

Sistemas de barras

también con el giro de flexión, respecto a z¡" En la figura lV.AA, se representan estos desplazamientos proyectados scgún los planos xp-YP y xp-zp. Para el extremo b de la barra se aplica análoga nomenclatura.

Barra deformada en el plano xp Yp

b' d{,b Yp 8y,b

t-:r=------------......,.jb ----Lxp

¡--o-í °x,b'

Borra deformado en el plano xp zp

a ~----------------------~

~ Zp

1/!:A.4. Proyección de los desplazamientos de los extremos de la barra e~l)aci(.J!

Como notación se emplea la siguiente:

{Pa",p} esfuerzo generalizado del nudo a de la barra ab, referido a sus ejes principales. Sus componentes son: Px./b, p,/b, p¿,/b, mx./,b, Iny./b y ¡n7../", para el extremo a de la barra abo

{Pha,p} esfuerzo generalizado del nudo b de la ban'a ah, referido también a sus ejes principales. Sus componentes son: p 1m p. ha p_ ¡", In ba In ba y

X,p' _tJ,p J "'P' ),P' ~",p

mz,/" para el extremo b de la barra abo {b:b,¡;} desplazamiento generalizado del nudo a de la barra ab, referido a Jos

principales de la sección. Sus componentes son: Ii/b, i5¡ .. ,,"", ah, B"" , 0,"/'

Y B,./h para el extremo a de la barra abo {b;~,p} desplazamiento generalizado del nudo b de la barra ab, referido a sus ejes

principales. Sus componentes son: ba ha. 8,,/'. 8,),a, (J,}a y IV, para el extremo b de la ban'a abo

En esta notación los subíndices hacen referencia a la dirección de los principales del extremo de la ban'a, xI" Yp." Y la primera letra del texto del superíndiee (si existe) al nudo al que se asocian esfuerzos y desplazamientos y la segunda al otro nudo dc la misma barra. Esta notación pennite loealizar la barra a la que se hace referencia dentro de un sistema espacial de barras, ya que a un nudo puede acudir más de una barra.

En la barra espacial, asociados a los movimientos y esfuerzos de sus apoyos extremos según los, ejes principales de la barra, existen doce grados de libertad, seis por cada apoyo, véase la figura IV .A.3 ,b.

Cálculo matricial de estructuras, 1 cr y 2° orden. Teoría y problemas página 4 / IV

IV.A.3. ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA EN EJES PRINCIPALES

En formato resumido la ecuación matricial completa de la barra en ejes principales es la siguiente:

ecuación IV.A.l.

Para diferenciarla de la utilizada en el estado plano, ecuación Ill.B.3. (presentación l3/I1I), se han añadido los subíndes p para hacer referencia a los ejes principales de la barra. La notación empleada tiene, referidos esfuerzos y desplazamientos a los ejes principales de barra, el significado siguiente:

{Pab,p} {PbuA { bu"p}

{~"A {ra/¡,pV}

esfuerzo generalizado en el extremo a de la barra abo esfuerzo generalizado en el extremo b de la barra abo esfuerzo generalizado en el extremo a de la barra abo esfuerzo generalizado en el extremo b de la barra abo representa la reacción generalizada debida a las cargas de barra en el extremo a de la barra abo representa la reacción generalizada debida a las cargas de barra en el extremo b de la barra abo

La ecuación matricial completa y desarrollada de la barra de sección constante cargada en un sistema plano, ecuación IILBA (presentación l3/I1I), se generaliza al referirla a los ejes principales de la barra incorporando los esfuerzos: P"p -lineas 3 y 9- Y m¡,p -lineas 5 y 11- Y sus desplazamientos asociados: ~,p y 8",,, según los ejes principales zp en los extremos a y b, (ecuación IV.A.2, presentación l/IV). Además, en las lineas números 4 y 10 se incluyen los momentos torsores (mI,p) Y los giros, también torsores (8",p).

Si la barra soporta cargas de barra se incorporan los vectores {r"¡,,p"} y {r"a¡/'} que representan las reacciones en los extremos a-b de la barra debidas a las cargas de barra referidas a los ejes principales de la barra y son una generalización de las reacciones de los pórticos, {r,,{} y {rbu'}, al estado espacial, véase el apatado m.B.l.

En las ecuaciones IV.A.3-5 (presentación 2/IV) se indican los valores correspondientes de los coeficientes Cn,y y Cn,z que están asociados a diferentes modelos de enlaces de los extremos de la barra de sección constante. Pueden combinarse modelos de apoyo basados en sus diferentes posibilidades de giro consideradas aisladamente respecto a los ejes principales YP y z!" Estos coeficientes que se han detenninado en base a las consideraciones expuestas en el apartado II.E.2, proceden de las ecuaciones ILEA, presentación 81l!.

r Sistemas espaciales de barras

k b .. " U[

r~ o o Px,p o o o e O

Py,p Ct,z'Pz O O O -C2,z'fCz O C3,z'Pz

O O P"p C¡,y'Py el,y'ley O O O

m~,p O O O r O O O O

my,p O O e2,y'ley O C5,y·2J.1y O O O

mz,p O -el,l'Kz O O O C5,1'2Jiz O -C6•z 'Kz

Ipx,p e O O O O O e O

P"p I O O O C3,z'Pz O -C6,z'lCz O C8,z'Pz

P"p O O

C'~l'';<' O O O

::::J O O O O O O O C4,y K y O -C7.y J.1y O O O

h mz,p O -C4,z'K= O O O C7 ,z'J.1z O -C9,z'fC:

Ecuación IV.A2. k .. p

1 ¡ b P:,~ "~-+-O"""+""'+. pOb'-·-·-·---·---·-·-·--r'~-r---+ .. x,

l!! ___________________________ ~

m;,t ',_,

t Zp

Y,

página 5 / IV

~ O O O O °x,p a r:'p

O O O 0y,p re -C4 ,z'fCz y,p

-C3,y'Py O -C4,y'K"y O °z,p e

rz,p

O r O O ax,p m~,p -C6,y'fCy O -C7,y·J.ly O 0y,p m;,p

O O O C7,z·J.lz az,/) m~.p +

O O O O O"p e rx.p

O O O -C9,z '/(z 0y,p r;,p

C~;~ "';' O O"p e rz,p

O 9x ,p e mx,p

C9,y"lC y O CIO,y '211y O 9y.p O O O

m~"p CIO,z '2ftz 9:,p e

b mz,p

kbb,P·

Pt.d: reacción en el extremo j (a 6 b) de la barra según el eje principal í

0); desplazamiento del extremo j (a ó b) de la , barra según el eje principal i

r¡,/J; reacción en el extremo j (a 6 b) de la barra según el eje principal i debida a las cargas de la barra,

Cn,y ; coeficiente de número n asociado a la posible articulación de los extremos de la barra con relación al eje principal y

cn,z; coeficiente de número n asociado a la posible articulación de los extremos de la barra con relación al eje principal zp

b

Presentación l/IV Ecuación matricial de la barra en ejes principales.

Cálculo matricial de estructuras, l er y 2° orden. Teoría y problemas

Coeficientes E, p, le Y P de la matriz de rigidez de la barra espacial

EA El z . _. El , ~ 2. El z e ~ . p ~ 12· 3 ,K z - 6 " ,J1 z o l' z 1 1"

GI T . P __ 12 El y El y ~ 2. El y ~ . K ~ 6· 12 ,J1) 1

T ~ 1 'y 13 ' y Ecuaciones IVA3~

Coeficientes cn

asociados a los giros de los extrem?s respecto a los ejes Y". dé~a matriz de rigidez de la barra espacIal

C1,y= e

2, y = e3,y= c4, y= eS,y= c 6, y =cr, y= Ca,y= eg, y= C'0, y=1

e =c =c =1/4' c4

y=C, y=1/2;c '0 y=3/4; C2.Y=CS,y=C6,y=Cr,y=O 1,y 3, Y 8,y , . ' '

C , ,y::;: e3

, y =Ca, y = 1/4; e 2 , y =es. y =1/2; es, y =3/4; C4 , y =Cr , y = c 9 , y::;: C ,0 ,)' =0

C

"

y= C2,y = e3 ,y= C4,y= Cs ,)'= C 6 ,y =C7,y=C8,y= e g ,)' = C ,0 ,y=O

ECU8cíones IV.A.4.

Coeficientes cn• Z' asociados a los giros de los extrem?s respecto

a los ejes z". de la matriz de rigidez de la barra espacIal

c

"

z= e2

, z = c3,z= c4• z = cs, z = c 6, z =c7, z = ca,z= c 9• z = cfo, %=1

c"

z = c3

•z

=ca,z= 1/4; c4 ,z =CSl,z =1/2; c ,0 ,z =3/4; e z, z =cs,z= c 6 ,z= e r , z =0

c, ,z = c3

,z =ca,z= 1/4; c 2 ,z =c6 , z=1/2; cs,z =3/4; c 4 , z =cr ,z = c 9 ,z= c ,0 ,z=O

c" z = c 2 ,z = c 3 ,z = c 4 • z = cS,z = C6, z =cr,z = C8,z= e g , z = c ,0 ,z=O

Ecuaciones IVA 5.

página 6 / IV

-----=g / Xp

Figura IV.A.4.a.

Figura IV.A.4.b~

Presentación 2/IV Valores de los coeficientes cn.y y C n•z de la ecuación matricial de la barra en

ejes principales

Por ejemplo, se podría proyectar una barra con el extremo a articulado r~specto el ~je yp y empotrado respecto al eje zp; y el extremo b empotra~o respecto al eje Yi' y. a~tJculado . t 1 eie z fiaura lV.A.5. Los coeficientes a consIderar son, respecto al eJe}¡" los de lespec o a J J" b l' 1 d la barra la barra articulada-empotrada, figura lV.AA.a, y, respecto a eje zp, os e . empotrada _ articulada, figura lV.AA.b, según las ecuacJOnes lV.AA-5. En este caso.

eJ" = eJ,I' = es .. I·= 1/4; eJ,'z = ej" = e8" = 1/4;

e4,y = e ',y =1/2; e2., = er..z =1/2 ;

e JO.~I· = 3/4 ; e5. z =3/4;

e2" = e5,y = er..y = e7.y =0 e 4. z = e7,z = e9., = eJo.z =0

Sistemas espaciales de barras

Figura IV.A.5. Barra articulada en respecto el eje y-y, también articulad en b respecto el eje z-z

página 7 / IV

y en una barra biarticulada a la flexión en sus dos extremos respecto a sus dos ejes, y" y Zp

resulta:

e J.y = eJ.y = e8.y = O; e4. y = e9.J'~ e lO.y =0;

e2.y = C5.y = e6.y = e7.y =0

eJ.z = eJ.z = e8.z= O; CJ.z = e6.z = Cj. z =0;

e4. z = e7.z = e9.z = e 10. z =0

Los coeficientes de rigidez que forman la matriz cuadrada de orden 12 de la barra espacial tienen el mismo significado fisico que el ya definido para la barra hiperestática en el estado plano: kij, representa la fuerza desarrollada en el grado de libertad i (1 a 12) cuando se aplica un desplazamiento unidad según el grado de libertad j (1 a 12), quedando inmovilizados los movimientos de los restantes grados de libertad. Además, se cumple que: kij ~ k/ í• En las figuras lV.A.6, presentación 3/IV, se representan para la barra biempotrada de sección constante los valores alcanzados para desplazamientos unidad del apoyo a (grados de libertad 1 a 6, véase la figura IV.A.3.b).

Desplazamientos unitarios del apoyo a

J', 7f+1 Zp Yp

,"'cr-Z~" -K,

Figura IV.A.6.

Presentación 3/IV. Fuerzas desarrolladas por desplazamientos unidad de los grados de libertad del apoyo 'a' de la barra biempotrada de sección constante.

Observése que los coeficientes correspondientes al plano xy coinciden con los deducidos para la barra hiperestática, apartado II.E.2, ecuación n.E.3. Los coeficientes asociados a los movimientos de los extremos de la barra en el plano xz son similares a los del plano xy,

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 8/IV

teniendo en cuenta los sentidos positivos asignados a los ejes z de los apoyos. Finalmente los coeficientes asociados a los giros torsores guardan la analogía comentada anteriormente con los movimientos axiales.

La selección de un detenninado movimiento, por ejemplo el desplazamiento 5,," = J del apoyo a representado en la figura IV,A.6, da origen en la barra biempotrada de sección constante a las fuerzas reacción correspondientes a los coeficientes de la columna 2 o fila 2 de la ecuación IV.A.2, presentación l/IV, que son: O; e"cp=; O; O; 0;- e,.c·K,; O; e3 ¡p=; O; O; O; - e,=' K,. Al considerar la barra como biempotrada todos los coeficientes en., son iguales a la unidad.

De igual modo en las figuras IV.A.7, se representan para la barra biempotrada de sección constante los valores alcanzados para desplazamientos unidad del apoyo b (grados de libertad 7 a 12, véase la figura IV.A.3.b.)

Al igual que en los sistemas planos, aunque la barra esté enlazada a un apoyo, debe elegirse el modelo de enlace del extremo de la barra (rígido o articulado) sin tener en cuenta para nada dicho apoyo. Unicamente se cosidera el modelo de enlace real de las uniones entre barras.

Desplazamientos uni/arios del apoyo b

-~., f r- E ~@",a _______ -=~ ... ~

Figura IV.A. 7.

Presentación 4/1V. Fuer::as desarrolladas por despla::amientos unidad de los grados de libertad del apoyo '/J' de la barra biempotrada de sección constante.


Ejercicio IV. 1. Determinar la matriz de rigidez de la barra 1-2 en ejes principales de barra, representada en la figura IV.A.8, articulada respecto a' eje zp-zp en el nudo 2 y empotrada respecto a sus ejes pn'ncipales en el nudo 1, cuyas características son las siguientes:

A=0,18m2; E =20, 106 kN/m2;

G=E/2,6; Iy= 0,00135 m4;

1,=0,0054 m4; ' T = 0,00371 m4

1) Coeficientes ti, p, K Y P. de la matriz de rigidez de la barra 1-2

¡; = E,A = 360 .000 kN 1m; p = [2 E~, = [.296 KN I "r /"' '

le = 6, ~~' = 6.480 kN; p, = 2E~ , = 2[ .600 kNm

GI, El 1'=-,-=2853 kNm,p, = [2'¡i-=324 kN 1m

página 9/ IV

Figura IV. A. 8.

= 6E

: ' = [620 El K, '" kN; fI " = 2.--(- = 5.400 kN Ecuacíones /V.A. 3,

2) Coeficientes Cn,y de la matriz de rigidez de la barra 1-2

Ecuaciones IV.A.4.

3) Coeficientes cn, z de la matriz de rigidez de la barra 1-2

c1 ,z= c3 z ::::ca, z = 1/4; e2 , z =c6 • z =1/2; c5 , z ::.3/4; c4 , z =c7 , z:::: c9

, z:::: c1D

.z

=O Ecuaciones IV.A.5.

4) Matriz de rigidez en ejes principales de barra 1-2

Aplicando la ecuación IV.A.2, presentación l/IV, resulta:

~ ~ 1360.0.00 : 1: 360..000. o. O

I o. 025'1.296 -0.,S·6.4S0 O 0.25-1,196

o. 1 o. -0.·6ARo.

1-324 o. 1-1.620. o. -1324 o. -1'1.620 O O 2,853 O O 2.H53 o. o.

I ('~,' 'h:, o. 1·2·5AOU -H.620 o. -1'5.400 O

-c2.~""-;; U O 0,75'2-21.600 -0.,o·6ASO (}21.60.0. I

360..00.0. o.

-0.~480 I I

I

I

c,,;;'P: -("r,,:'k.";; O 0,25-1.296 o. O -eJ" PI' Simetría -('b.¡·'~\ o. 1'324 [,¡,; 1'1.620

l <'rJj o. o. o. o.

I o. -e7,) 'p¡. C'J.¡.'K¡, 1-2'5.400 o. U -C4.,:·K;;

("7,;;'!';: o. -c9,;;'JC: (}2'21.60.0.J k21 ,p I k 22,/ ¡

¡,

Cálculo matricial de 1 cr 2° orden. Teoría

Operando, resulta:

í360.oo0 O O o O O 360.000 O O O O O

324 O O O -3.240 O 324 O O O O

324 O 1.620 O o O -324 O -1.620 O

2.853 O O O O O 2.853 O O

10.800 O o O -1.620 o -S.400 O

32.400 O -3.240 O O O O

[k"l= ·1 360.000 O O O o 01

324 O o o o! Simetría 324 O 1.620 O

2.853 O O

10.800 O

O

IV.A.4. REACCIONES EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA DEBIDAS A LAS CARGAS DE BARRA

Las cargas de barra se definen, como ya se ha dicho, por sus componentes q" qy y q" figura IV.A.2.a-c, según los ejes principales de la barra: Xp , y" y Zp en el nudo de menor numeración de la barra (a).

Cargo puntual

Momento torsor

Figura IV.A.9. Analogía entre las solicitaciones torsoras y axiales

Además, pueden presentarse momentos torsores mi, figura d. Las reacciones de los apoyos se refieren a sus ejes principales, figura IV.A.3.a.

Las reacciones debidas a los momentos torsores aplicados a la barra son las mismas que las que originan las cargas axiales de igual posición e intensidad, ya que como se ha dicho hay analogía entre esfuezos axiales y momentos torsores, figura IV.A.9.

l i Sistemas

Ejercicio /VoZ. n,eterminar fas reacciones en ejes principales de barra debidas a la carga puntual aplicada en la Viga 1-2 representada en la figura 1V.A.8, ejercicio IV. l.

Aplicando la tabla H.l.a, teniendo en cuenta que la carga está contenida en el plano 1 . AY, a ser.

P""IOO kN, r/J 135~' 1=10my d=5 m, para la viga biempotrada se deduce:

Px =100'sen 135°= 70,71 kN; Py = 100·cos 135°= -70,71 kN

',.1 -70,71'(1O-5)/1O=-35,355kN; r;.2 -35,31+70,71 35,355kN

rY.1 70,71'(10 '(10+2'5)1103

=35,355kN; r; •. 2 = 35,355kN 70,71=-35,355kN

r,,1 O; r:,l O

mx.1 O' , =0

m!,.1 O; =0

m=.1 -70,71'(10-5)2'51102

=-88,39kNm;m:.2 70,71'(10-5)'5 2 íl02 = 88,39kN

Al estar el nudo mayor (2) articulado respecto al según tabla Il.l.b, obteniéndose:

Zp-Zp, figura IV.A.5, se modifican los resultados,

-35,355kN; m~.l == O

r}~l = 35,355 + 3'88,39 1(2·10) = 48,61kN; m;,1 O

r;~l O; m;,1 = -88,39 - 88,39/2 == -132,58 kNm

=r;.2 = 35,355kN; m;.l = O

r;2 = -35,355 + 3'88,39/(2'10) == -22,IkN; m~.2 '" O

r":2 = O; m:.2 = O

Valores cuya representación vectorial es la siguiente:

H Ir ~': Ir -~::~~5'1; 1-2

0.00

¡1m,./, I 0,00 I m,.!, I 0.00

Im,,1' ,-132,58: I '

1 ;:'~'I =11 ;;:;;~ r i r,.,,· -22.10 Ir O I

" ~':J ~ t

I er 2° orden. Teoría 12/ IV

IV.B. CÁLCULO MATRICIAL

IV.B.l. INTRODUCCIÓN . Las cargas aplicadas a los sistemas espaciales de ?m:ras provocan su desplaza~Iento, figur~ IV.B.l, presentación 4/IV, que incluye los mOVimientos de los nudos defimdos por seis grados de libertad que, referidos a un sistema de ejes glo~ales, son: {¿jx, ¿jr, ¿jz, ex, fA y @zYy, además, los desplazamientos o combaduras de los ejes de las barras.

Una barra del sistema, por ejemplo laAB de la figura IV.B.l, presentación 4/IV, pasa a la posición A 'B', con movimientos: {¿jXA' ¿jrA, ¿jZA, e XA , erA y ~ZA r y {¿jXB: ¿jrB, ¿jZ8,. ex~, e rB y @ZB}r de sus dos extremos. En el sistema deformado se mantienen ademas la contmmdad de los desplazamientos de los extremos de las barras en los nudos (si los enlaces d~ todas las barras en el nudo son rígidos todas las barras giran el mismo ángulo) y condlclOnes de apoyo.

• {P}; vector cargas de nudos que incluye las cargas ~plicadas se~.las ligaduras libres y las reacciones en las ligaduras impedidas que ml~mlmen.te son~ desconocidas (R¡. R] .. Ró componentes y momentos de la reacción segun los ejes X, Y y Z en el apoyo C, respectivamente, véase la figura IV.B.2.; y, finalmente, R 19,

componente según el eje X de la reacción en el apoyo D).

Ecuación IV.B.1. Ecuación en formato resumido

R" componente X de la reacción en C. R2 • componente Y de la reacción en C.

" ""~~~p~~~~t~'X'd~'¡~ ~~~~ión en E. P2' .. M24 Cargas aplicadas en las ligaduras según

los grados de libertad indicados en la figura IV .A.1 .2 .

.j desplazamientos o giros según grados de libertad en ejs generales indicados

Figura IV.B.1. en la figura IV.B.6" presentación 1111V.

Presentación 4/tV. Ecuación matricial completa de un sistema espacial incluidas las reacciones.

z

2

~23 ¡(-19

24-;::;:// O 22 20

~5 6~C-t;

::5 Figura tv'B.2. Numeración de grados de grados de libertad de un

sistema espacial

Al igual que en los sistemas planos se procede a la numeración de los grados de libertad asociados a los ejes globales del sistema, véase la figura IV.B.2.

Considerando que el movimiento de cada nudo queda definido por sus seis componentes según los ejes globales, X, y y Z, puede plantearse una ecuación matricial completa, ecuación IV.B.l, en la que figuran los témlinos siguientes:

• [K]; matriz completa de rigidez que para el ejemplo representado es de orden 24. Como cada nudo tiene 6 grados de libertad, figura IV.B.2, el número total de ecuaciones del sistema será, 6 x número de nudos, que en este caso son 4.

• {¿j}; vector desplazamientos de nudos. De este vector son conocidos los desplazamientos asociados a los grados de libertad impedidos (coacciones) y desconocidos los desplazamientos de los grados de libertad libres. En el ejemplo representado son nulos los seis movimientos del apoyo e ya que es un empotramiento y el desplazamiento del nudo D según la dirección del eje global X por tratarse de una deslizadera sobre un plano paralelo al plano J'Z.

Resuelto el sistema de ecuaciones, para lo cual se utiliza como en los sistemas planos la ecuación matrieial reducida o penalizada por las condiciones de apoyo, se determinan los movimientos de todos de las ligaduras libres según los ejes globales. Por un sencillo cambio de ejes, estos movimientos se refieren a los ejes principales de la barra. Y, a través, de la ecuación matricial de la barra en ejes principales, ecuación IY.A.2, presentación lIIV, se determinan las seis componentes de los esfuerzos (reacciones) en los extremos de las barras, lo que permite calcular los diagramas de esfuerzos.

Como sucede con las estructuras planas el cálculo matricial incluye solamente cargas aplicadas en los nudos que son suma de las cargas existentes y de las cargas equivalentes a las cargas de barra. De existir cargas de barra el proceso de cálculo es similar al utilizado con los sistemas planos utilizando las etapas 1 y II, véase el apartado I1I.B.l.

IV.B.2. EJES GLOBALES, AUXILIARES Y PRINCIPALES. MATRlCES DE CAMBIO DE EJES

IV.B.2.1. INTRODUCCiÓN Principalmente se utilizan dos sistemas de ejes: el global, formado por los ejes X, Y Y Z, véase la figura lV.B.2, y el de los ejes principales de la barra formados por su eje axial y los ejes principales de la sección (véase figura IV.A.3.a, apartado IV.A.2.). Para hacer referencia a los ejes principales de la barra sin necesidad de recurrir a sus cosenos directores se incorpora un sistema auxiliar de ejes formado por el eje axial de la barra y otros dos ejes en el plano de la sección transversal de la barra que se generan automáticamente. según las indicaciones que más adelante se dan (apartado rV.B.2.3).

IV.B.2.2. EJES GLOBALES DEL SISTEMA. FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS Son los ejes globales X, Y Y Z con giro a izquierdas, figura IV.B.3.a, presentación 5/rV. Como notación de fuerzas y desplazamientos se emplea la siguiente:

{P.J

(Pi] (LlJ

representa la fuerza generalizada aplicada en el nudo a, nudo de menor numeración de la barra. Sus componentes son: P.r . .,. Py,." PZ•m JI,.a,lvfy¡, Y l\lz." idem, para el extremo b. Sus componentes son: Px'h' P r,/), Pz,;" MX,b' ¡tfy,h Y A1z.b

representa el desplazamiento en ejes globales del nudo a. Sus componentes son:

Llx,m ,1 y"" LIZa> ex,m ey,o y idem, para el extremo b, Sus componentes son: ,1x.b, ,1Y,b, ,1z,h' eX,b' e r.b y el.b,

IV.B.2.3. EJES AUXILIARES DE BARRA Y MATRICES DE CAMBIO DE EJES Los ejes auxiliares de la barra son, como se ha dicho, unos ejes que permiten definir la posición espacial de los principales de la sección de la barra y que están vinculados exclusivamente al eje axial de la balTa. figura IV.A.3.a, presentación 5/IV.

Estos ejes en el nudo a de la barra se representan por x""", y""x Y Z""n figura IV.B.3.b, presentación 5/IV, se determinan automáticamente: el eje auxiliar x"", coincide ,con el eje axial de la barra en el nudo de menor numeración (nudo a), el eje auxiliar Yaux es el eje perpendicular al plano definido por el eje global Z y el eje Xuux' Y el eje auxiliar z"", es el eje perpendicular a los dos anteriores.

Los cosenos directores en el extremo a (nudo de menor numeración) del eje auxiliar X aJIl

referidos al sistema global de ejes, son:

;m ecuación IV.B. L

X",Y" .. Zh coordenadas de los nudos a y b referidas al sistema de ejes global longitud de la barra abo

Sistemas de barras

~os cosenos directores del eje auxiliar y",,, que, como ya se ha dicho, es perpendicular a los ejes Z Y X aux , son:

Yaux ecuación IV.B.2.

Y, finalmente, los cosenos directores del eje Zaux, perpendicular a los dos anteriores, son:

a) Ejes generales b) Ejes auxiliares de barra

z Matrices de cambio de eles f1.enerales a eles auxiliares de barra

r / m 11 O O

:1 -1 -m

-m/D liD O O O m/D -liD -n/ID ~nm/D D O O -Ill! D - mn/D

T -! "lo.,,,,, -1 " 1; Tbn,nux

O O O ni n O O

l O O O : -mlD liD O: O O O O O nllD -m/lID DJ O O

Ecuación IV.B.5, Ecuación IV.B.6,

-n

O D

O

O

O

ecuación IV.B.3.

Figura IV.B.3. Ejes generales y ejes auxíliares de barra

O O

O O

O O

-1 ·.-m

m/D -liD

: -nU D -mnlD

O

O

O

-n O

D

Presentación 51/V. Matrices de cambio de ejes globales a ejes auxiliares de barra

Por consiguiente para los desplazamientos lineales la matriz de rotación de un vector del sistema de ejes globales al sistema de ejes auxiliares en el nudo a (menor numeración) de la barra ah, es:


m

II D -mnlD

2° orden. Teoría

ecuación IV.BA.

Incorporando además de los desplazamientos lineales, los giros, la matriz completa en el nudo a de cambio de ejes globales a auxiliares, Tab •• ,,", adopta el formato representado en la ecuación IV.B.5, presentación SIIV. Procediendo del mismo modo para el nudo b se obtiene la matriz Tba,a"., ecuación IV.B.6. Las ecuaciones para el cambio de ejes globales a auxiliares en formato resumido son 1 as siguientes:

P ab,aux = Tab,aux 'Pab ; P ba,aux = Tba.aux 'Pba

0ab,aux = T ab,aux'!1 a ; 0ba,aux Tba,aux'!1b ecuaciones IV.B.7.

Puux, Óaux fuerzas y desplazamientos en ejes auxiliares P ,,1 fue17..as y desplazamientos en ejes globales

Para cambiar de ejes auxíliares a globales se utilizan las matrices traspuestas, Tab,m/ y T, que son iguales a las inversas puesto que se trata de sistemas de ejes ortogonales:

Pab = T;:;',aux ·Pab.aux; Pba Tla,aux 'Pba,aux ecuaciones IV.B.8.

ll.a '" T;:;',atlX 'Óab,aux; ll.b == Tb~,aux 'óba,aux

Todas estas matrices hacen referencia a los desplazamientos lineales y a los giros para los nudos a y b. Estas mismas matrices se utilizan también para las fuerzas y momentos.

Si el eje auxiliar X"'IX es paralelo al eje global elegirse el eje auxiliar Yaux coincidente con el ecuación IV.BA, una de las dos fórmulas,

=[~ -1

o 1] 1 O;

O O

o o l

O

el eje Yaux resulta incierto. En este caso ha de global Y, adoptando la matriz de rotación,

ecuaciones IV.B.9.

que corresponden, respectivamente, a la coincidencia o no de la dirección positiva del eje auxiliar x"ux con el global Z.

Ejercicio IV.3. Determinar para las barras 1-2 y 2-3 del ejercicio IV.l, apartado IV,A.3, las matrices de cambio de ejes globales a auxiliares:

de barras

Barra 1-2:

1= 7,07-0=0707' m=0-7,07 10 " 10

[0.707 -0,707 O O O

0,707 0,707 O O O O O O O

1'¡2.tllo; I ..

[ O O O 0,707 -0,707

O O O 0,707 0,707

L O O O O O

ecuación IV,B.5

Barra 2-3: O-O

O-o -0,707; n'" "" °

:1 ~I lJ l

10

-0,707 0,707 O

0,707 -0,707 O

O O

O O O O O O

O O O

ecuación IV.B.6

O; m 7,07 -O 0-7,07

10 10 '=0,707; n==

10 -0,707

O 0,707 0,707 O O O l r O 0,707 0,707

-0.707 O O O O O 0,707 O O

° 0,5 O O O 0,5

ecuación IV.B.l.

o O

O

- 0,707.

-0,707

O

o O

O

0,707

-0,707

O

O

O

O

O

O

ecuación IV.B.1.

O O O

O O ° O O O 1 ¡; T32,aux =( ~ To , =1 .. ~,mfX

0.:~7j I O O O O 0,707 -0;07

1 l O O O O -0,707 O O O -0,707 O O O O 0,707 O

l O O O O 0,5 1 J O O O O 0,5

*~"" ••• ", 0 ••• _ •••••••••••••••• ~ •••• « •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ~ ••••

rv.B.2.4. MATRICES DE CAMBJO DE EJES AUXILIARES A EJES PRINCIPALES DE BARRA

Realizando una rotación respecto al eje Xau" se pasa de los ejes auxiliares de la sección a los ejes principales. Para ello se utiliza el ángulo J3, véase la figura IV.BA, (presentación 6íIV), medido en el nudo a de menor numeración desde el eje auxiliar Yaux al principal de la sección YP en sentido antihorario.

El ángulo f} puede determinarse si lp> 1I1p Y np son los cosenos directores del en el nudo menor mediante las ecuaciones siguientes:

principal yp

fJ "" arc cos(-ml,JD + Im,JD) si el eje auxiliar X oux no es paralelo al global Z

si el eje auxiliar Xarv; es paralelo al eje global Z

18/ IV

y

z Figura IV.B.4. Ejes principales y ejes auxiliares de barra

Matrices de cambio de eles auxiliares a e.rincie.ales de barra

11 O O O O O

I r~ O O O O O

1 lO cosfJ senfJ O O O cosfJ -senfJ O O O

O -scnfJ cosfJ O O O O senfJ cos fJ O O O

.. Tba•p = l' O O O O

~:Pj O O O I O O

,O O O O cosfJ O O O O cosfJ - sen fJ I

-sen fJ cosfJ LO O O O senfJ cosfJ LO O O O

Ecuación IV.B. 10. Ecuación IV.B.11.

Presentación 6/IV. :\1atrices de cambio de ejes auxiliares a ejes principales de barra.

En las ecuaciones IV.B.1O-11, véase la presentación 6/IV, se recogen las matrices de cambio de ejes auxiliares a ejes principales de barra asociadas a los vectores desplazamientos y fuerzas del nudo a (Tab.!') y del b (T¡>a.p), respeetivamente. Es decir:

Pab.p = Tab.p·Pub.allx: Pba.p = Tba.p·PI)((.illlx

= Tah.}J ·Ea!;.au>; E ba.!, = Tba,p

pau, , 41lfx fuerzas y desplazamientos en ejes auxiliares pp. 0. fuerzas y desplazamientos en ejes principales

ecuaciones IV.B.12

Para cambiar de ejes principales de barra a ejes auxiliares se utilizan las matrices traspuestas, Taó./ Y T¡w./:

TT P . P P ab.allX = ah,p' ab.p' ba,aux ecuaciones IV.B.13

Eab.aux = T:;',}J 'Eab,p' Eba,aux

de barras

Ejercicio ¡VA. Determinar para las barras 1-2 y 2-3 del ejercicio IV.I, apartado IV.A.3, las matrices de cambio de ejes auxiliares a principales de barra

A la vista de la figura coinciden los e Yp en ambas barras por 10 cual fJ=O, resultando:

1 O O O O O O O O O O

O O O O O O O O O O

O O O O O O O O O O

T32•p = .. ecuaciones N.B.lO-ll .. .. .. .. .. O O O O O O O O 1 O O

O O O O O O O O O I O

O O O O O O O O O O

......................................... ~ .... ~ .............. ~ ................ ~ ......................

IV.B.3. ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA EN EJES GLOBALES La ecuación matricial de la barra ab, prescindiendo de la influencia de las cargas de barra, queda definida en notación resumida en ejes principales de barra por la ecuación lV.B.14. (véase presentación 7/IV, en la que, {Pab.,,}; {P,,,,.,,}; {o"¡,.p}; {aha ,,} tienen el significado indicado en el apartado IV.A.3)

Si esta ecuación se desarroÍla por los vectores y submatrices correspondientes al nudo a, ecuación (1), y a continuación se sustituyen los desplazamientos referidos a principales, 4" por los desplazamientos referidos a los ejes auxiliares b:w" premultiplicándose además todos los términos por Taó,/, (ecuación (2)), las fuerzas quedan referidas a los ejes locales auxiliares pa"x' Al premultiplicar ambas ecuaciones por , (ecuación (3)), las fuerzas en ejes auxiliares po"x quedan asociadas a los ejes globales, En la ecuación(4) se sustituyen las matrices resultantes del producto de las cinco matrices T.m/-T/·kp • TI" Tour por la submatriz [K] (véanse las ecuaciones IV.B.l7.). Transformaciones análogas se realizan para el nudo b, ecuaciones IV.B.16. Calculadas las diferentes submatrices se plantea la ecuación IV.B.17. que corresponde a la ecuación matricial de la barra en formato resumido referida a los ejes globales, presentación 8íIV, en la cual:

K

desplazamientos de los nudos a y b, en ejes globales del sistema. fuerza generalizada en el extremo a de la barra ab referida a los ejes globales del sistema. fuerza generalizada en el extremo b de la barra ab referida a los ejes globales del sistema. submatríces de de la barra en ejes generales

I er 2° orden. Teoría 20/IV

1) Ecuación matricial en formato reducido en ejes principales de barra.

¡ {Pdb'P~ [[kiu,p] [kab,p~¡1ru¡"p}) {p~~,p}J = ~(b~:,P 1 [kh~,P Ü 1r~~',p}

Ecuación IV.B.14.

2-1) Transformaciones. Extremo a

P ab,p k~a,p 'O"b,p + kab,p'o ha,p (1)

Pub,uux . _TT 'k h ~ 0 +TT * P ub,p - ab.p aa,p ah,p ah,au.x oh,p ah;p (2)

'Pab.aux T!;',G2IX 'T!;"p ·k!a.p 'Tab,p 'Tah,aux '6 0 + ·k"h.p 'Tha,p,Tbu.aux '6" (3)

Pab K;a '6 a + Kah '6" (4)

Ecuaciones IV.B.15.

2-2) Transformaciones. Extremo b

Pba,p

Pba,l

T

'1 ~: : ~:~~:::a;¿ .::...... JI Ecuaciones IV.B.16.

Presentación 7/IV Transformaciones para la obtención de la matriz de rigidez de la barra en ejes globales,

Obsérvese que las submatrices, Ka/, Kab, K,,, Y Kb,t , se obtienen a partir de las matrices de cambio de ejes, véanse las ecuaciones IV.B.5-6 y IV.B.lO-ll (presentaciones 5-6/IV) y de las submatrices de barra en e'es rinci ales, ecuación IV.A.2, resentación l/IV.

3) Ecuación matricial en formato reducido en ejes generales

r¡r: lPha LKba

Ecuación ¡V.B. 17.

4) Submatrices de rigidez de la barra en ejes generales

K' b TT 'TT ·e ,T·T K - TT ·TT·k ·T T aa = ab,! ab,p aa,p ab,p ab,! ab - ab,! ab,p ab,p ba,p' ba,!

Kab = Tb~'!'Tb~,p 'kba,p ·Tab,p.Tab ,! K tb = Tb~,l-T!a,p 'ktb,p -Tba,p -Tba,l

Ecuación IV.B.18.

Presentación 8/IV. Matriz de rigidez de la barra en ejes globales

de barras

La ecuación IV.B.19, representa la ecuación matricial de la barra de sección constante en formato completo, referida a los ejes globales

Ecuación matricial de la barra en ejes generales.

Px Py

Pz

Px

l' Py

Pz

l~ b Mz )

I[ K;",l T[,,uux·TL.p·kiJa,p"r.b,pTab,aux

l Ecuación /V.B. 19,

Px ' Py ..... M z ; reacciones en los nudos extremos de la barra en ejes generales.

Ax , , Ay ..... (ji z ; desplazamientos de los nudos de la barra en generales

: [K'bl

l .:'.xl" Lly

Llz ·

l°x 1 0 y i

Toó,aux; véase ecuación IV.B.5, presentación 511V Tóa.au.; véase ecuación IV.S.6, presentación 5/IV Tab,p ; véase ecuación IV,S.1 O. presentación 611V Tba,p ; véase ecuación IV.S.11, presentación 611V

[kl ;submatrices de barra en ejes principales, véase la ecuación IV,A.2, presentación 1 {IV

Presentación 9/IV Ecuación matricial dela barra en ejes globales

IV.BA. SIGNIFICADO 'FÍSICO DE LOS COEFICIENTES LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA

Como ya se expuso la matriz de rigidez relaciona las fuerzas aplicadas según diferentes grados de libertad, con los desplazamientos de esos mismos grados de libertad. En los sistemas de barras espaciales se consideran por cada nudo seis de libertad _ direcciones: X, Y, Z, 6)1, {9r y {9z. Estos grados de libertad, seis por nudo, que se numeran con-elativa y consecutivamente, figura IV.B.5, sirven para definir fuerzas aplicadas en los nudos o sus movimientos. Así, por ejemplo, al nudo b se le asocian los grados de libertad 7, 8,9, JO. 11 Y 12. Cuando se habla del desplazamiento del grado de libeltad 7 o de la fuerza en el grado de libertad 7, se hace referencia a la dirección según el eje global X en el nudo b.

Desarrollando las submatrices de la ecuaeión IV.BJ 9, se obtiene una matriz cuadrada de orden 12, ecuación IV.B.20. El signifieado fisico de estos coeficientes de la matriz de rigidez es el ya expuesto en reíteradas ocasiones. Los grados de libertad 1 y 7 coinciden con el eje global X, los 2 y 8 con el global Y y, finalmente, los 6 y 12 con los giros {9;;. El

1 cr 2° orden. Teoría

desplazamiento unidad de un grado de libertad, por ejemplo el j, bloqueando los restantes grados de libertad, genera en los restantes grados de libertad las fuerzas Kij.

Figura IV.B.5. r~~: ~~: [K] = ':.

r ¡ K Il.I Kl1.2 ..

L K 12,l K12.2 ..

Ecuación IV.B.20

Presentación JO/IV. Sign!ficado fisico de los coeficientes de la matriz de globales.

.. KI1.11

.. K 12,i1

K¡¡,121

K12.11J

de la barra en ejes

En la figura IV.B.5, se ha procedido a un desplazamiento unidad del grado de libertad 7, desplazamiento del nudo b según el eje global X, y a la representación de las fuerzas Ka desarrolladas en todos los grados de libertad.

E;ercicio IV.5. Determinar para las barras 1-2 y 2-3 del ejercicio IV. I , apartado ¡V.A. 3, sus ecuaciones matriciales en ejes globales.

Aplicando las ecuaciones lV.B.18, para las matrices '0" Taux Y k deducidas en ejercicios anteriores, se obtienen las ecuaciones matriciales siguientes:

Para la barra 1-2: ¡ ~ P.r ,ISO.ISO 179.860 o - 2.300 -180.180 179.860 O o o 01

}~. 180 180 o o -2.300 179.360 180.180 o o o 01, Ll, , 324 O -324 1.140 011 Ll,

I'~ 1.140 1.140 o 1.140

1 6.820 '.970 O -1.140 1.270 4.120 o lex

M, K 2 6820 o -1.140 4.120 1.270 o le ;1 o le, ¡ Af.t 32.400 2.290 o o o

I ..:; ".,

"'1" 1 P;,' I 180.180 179.S60 o o o ~ilJ ,

¡l\.\ IP.

Simétría i80.180 o o o o p/ 324 -1.140 -Ll40 ° i~,

1M , 6.820 3.970 o ¡ex 1M, K21 K~2 6.820 o e r

,!M,i o e " l

Sistemas

y para la barra 2-3:

'r Px f324 O O Ll40 1.140 -324 o O O 1.140 L1401í~ I Py 180.670 -179.380 -4.590 o o o -180,680 179.370 -4,580 ' x o O 1, Lly ! Pz I 180,670 -4.590 O O o 179.370 -180,680 -4.580 O O 'Ll z

IMX 43.200 o o O 4.580 4.580 21.600 O O ex

M" 6.820 3.970 -1.140 o K 23 o 1.270 4.120 Ely Mz 6.820 -1.140 o o 4.120 1.270 e z , '"'"

I Px 324 o o o -1.140

... r, "'" -Ll40;'Llx I Py

J Simetría 180.670 179.380 4.580 O O Ax , Pz 180.670 4.580 O O Ax Mx 43.200 O O ex Aly KJ2 6.820 3.970 J El y J

3 Al, 6.820 Elz 3

••••• ~ ••• ~ ••••••• ~ ••••••••••••••••••••••••••••••••• ~ •••• # ••••••• ~ .................................. .

IV.B.5. MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DEL SISTEMA La generación de la matriz completa de rigidez de un sistema espacial de barras se efectúa de la misma manera que en el sistema plano mcdiante una operación que, conocida con el nombre,de en~amblaje, procede de equilibrar en cualquier nudo i, la fuerza generalizada Pi que actua en el con las fuerzas P ij que se generan, consecuencia de los desplazamientos de los nudos, en los extremos de todas las barras y. Véase la presentación 7t1II, apartado lILA.8. Para realizar el ensamblaje se procede de la manera siguiente:

a. Se numeran los nudos correlativamente del número 1 al m, número del último nudo.

b. Sobre una retícula cuadrada de m filas y m columnas se distribuyen las submatrices: [K;/]; [Kij]; [Kj,J Y [Kjj'] (en el sistema espacial las submatrices [K] son de orden 6) coincidiendo numeración de subíndices y de recuadros.

c. Las submatrices de la diagonal de subíndices ii, son suma de las submatrices cOlTespondientes a todas las balTas que se enlazan en el nudo.

d. En aquellos recuadros y que no tienen correspondencia con barras de esta misma numeración, es decir no existe la barra, las submatrices son nulas.

Cálculo matricial de estructuras, l er y 2° orden. Teoría y problemas página 24 / IV

Ecuación y coeficientes de la matriz del sistema

P¡

P2

P¡

P j

lPn

Z

KJ¡ K J2

K 2J K 22

KiJ K¡2

Kj¡ K j2

Kn¡ K n2

y K ~2,7 t 9,7

}c-·,

.. KJi

.. K 2¡

K¡¡

.. Kji

.. Kn¡

.. K¡j K¡n -ó' J

.. K 2j .. K 2n -Ó. 2

~ K in -ó.¡

.. Kjj

.. K jn -ó.¡

.. Knj

.. Knn -Ó. n

J'207 K23,Z \ K22,7

D~Kjg,7

Kij; representa la fuerza aplicada en el grado de libertad i cuando se produce un desplazamiento unidad en el grado de libertadj. permaneciendo inmovilizados los restantes grados de libertad.

n=6'm (m, número total de nudos)

Ecuación IV.B.21.

Figura IV.B.6.

Presentación 11/IV. Significado fisico de los coe;ficientes de la matriz de rigidez del sistema.

IV.B.6. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA Si los enlaces de las barras en los nudos son rígidos se produce una continuidad de los giros de las barras con relación a los ejes globales. No sucede lo mismo cuando un extremo de la balTa se enlaza al nudo mediante diferentes modelos de articulaciones ya que la articulación rompe la continuidad de los giros.

Debe existir además acuerdo entre la deformada del sistema y las condiciones de apoyo. Para el sistema representado en la figura IV.B.l, presentación 4/IV, el extremo e de la balTa está empotrado y por lo tanto no sufre ningún movimiento. El extremo D que corresponde a una sola biela en la dirección del eje global X no se desplaza en esta dirección pero si tiene liberados los restantes movimientos (desplazamientos lineales respecyo a los ejes Y, Z y los tres giros).

La ecuación matricial completa debe modificarse en función de las condiciones apoyo para ello se utiliza uno de los dos procedimientos indicados en los sistemas planos, véase el apartado IILA.1 O.

• Planteando la ecuación matrícial reducida (ecuación III.A.16, presentación 8/111), o

Sistemas espaciales de barras página 25 / IV

• Penalizando adecuadamente la matriz de rigidez completa del sistema según las condiciones de apoyo (ecuación lILA.17, presentación 9/I1I)

.................................................................................................... Ejercicio IV. 6. Deterrr:inar los despl~zamientos de nudos del sistema de barras del ejercicio IV. 1, apartado IV.A.3, a partir de la ecuacion matricial reducida

La ecuación matricial completa para este sistema de barras adopta el formato siguiente:

[K¡¡ ] [K1Z ] [o]

[o]

La ecuación matriciual reducida, puesto que los apoyos 1 y 3 son empotramientos perfectos, {.dI} =

O Y {.dÚ = O, es

La carga equivalente en el nudo 2 se determina a partir de la reacción obtenida en ejes principales de la barra en el ejercicio IV.2, referiéndola a los ejes globales:

-0,707 -0,707 O O O O 35,355kN 0,707 -0,707 O O O O -22,lOkN

{P2} = -[T];.aux 1[T];,p H·{, )=- O O 1 O O O O O O O -0,707 - 0,707 O O

Resultando:

O O O 0,707 -0,707 O O O O O O O O

~atriz traspuesta de Tel.",," para el cambio de ejes auxiliares a ejes globales, definida en el eJercIcIo IV.3 matriz traspuesta de T2I.1' para el cambio de ejes principales a ejes auxiliares definida en el ejercicio IV.4 reacción en el extremo 2 de la barra 1-2 referida a los ejes principales de barra, determinada en el ejercicio ry.2

r, Pu 9,30 kNI I Py,2 40,6kN

f El 1 o IP -

, 2 J -l ~:': ~ l'

M Z ,2 O

Valores que penniten plantear la ecuación matricial reducida

fp 9,301

ji P~:: 40,6

PZ ,2 O

1

M X,2 =0 Mn O

l A1 Z,2 = O

Obteniéndose:

¿tu = -0,0199 m; eX,] = -0,00413 rad:

r180.510 179.870

360,860

Simetría

¿l Y2 -0,0199 m; @y,2 = -0,000276 rad;

O o 1.140

- 179.380 - 4590 O

180.990 -5.730 -l.140

50.030 3.970

¿lZ,l = -0,0199 m; en = 0,00317 rad

13.650

....................................................................................................

1.~4°1jí~::: O • Ll Z.2

O ¡ e X.2 I

3.970 le r.z 6,820 e Z,2

IV.B.7. DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE BARRA

26/IV

Conocidos los desplazamientos de los nudos en ejes globales se determinan los esfuerzosreacciones en los extremos de barra en ejes principales de barra a partir dc la ecuación IV.A.1, presentación l/IV, transformando los desplazamientos de ejes globales a principales de barra, para ello se utilizan las matrices de cambio de ejes. En formato resumido esta ecuación es la siguiente:

[Tab,~![Tab.aux }{Lla}t + ¡kb:p 1f,l ecuación IV.B.22

}[T/)(J,utlx lttlb}J h:'a,r}j

En fonnato desarrollado esta ecuación es la siguiente:

Sistemas

° f°

E>

C,,(P,

,0 O

° O

O

E> O

° C},z'P,

° ° O O

° O

O

O cosfl

° -sellfl

O ° O O

O O

1 ° O cos fl

Ejercicio IV. 7.

de barras

° O

e 'K 2,y ~

O

O

O

O

O

O

O O O O O O

° E> O O C",'P,

O ° O O O O

O O -e 'K 6 . .., ¡: O C,,;p,

-C'>,.l"Py O -C6.y·Ky O

O

O

O O O

O

O O senfl O

cosfl O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O O O O

m Il

-mlD liD O

-nll D -mnl D D

O O O

O O cos fl senfl O O O

O O -senfl cosfl O

o O

-senfl O

cos fl O

O

O

° O

O

O O cos fl

O O senfl

O -1

~ j'; ~:;~D O O

-senfll O i

cosfl L O

O O

-m -n

-l/D O -mnlD D

O O O O O O

O O O O

-C,,),"py O

O 1:'

O

O

O

O

-e 'K 4,y J'

o

-e O'K 1 4,< 1.

O

O i O

O

O

O

C9,y'Ky O clO ,/2¡.t" O O

O

O

O

1 -mlD

-nl/D

O O c,o,;2,ll,

O O 8 l' r O O 8 y

O O 8 2

m n ex 11 D O e y

mlllD D e z

o O o O O O -1 -m

mlD -l/D

-nl/ D -mn! D

O

o ~:I -n ex

e y I D ezL O

f ' 1 a 1'.t,p

re Y.P

r' Z.P

m' .t.p

m;,p m'

1,p

ecuación IV,B,23

Determinar los esfuerzos en los extremos de la barra 1-2 del sistema de barras del ejercicio IV 1 apartado IV.A.3, . ,

Aplicando la ecuación IV.B.23, resulta:


I ( I Px." I Py,p

I P'.P ¡m.r,p

Im)',p I

!m:,!!

o 324

o O

324

o O

O

2.853

o O

1.620

O

10.800

Simetría

I O O O O O 0,707

O I O O O O 0,707

O O O O O

000100

000010

O

O

O

OOOOO\, O

.. 1

O O O O 01 - 0,707

- 0,707 O

0.707 O

O

O

O

O

O

O

O

0,707 O

O O O O O -0,707 -0,707 O

001000 O O

O

- 3.240

O

O

O

32.400

O

O

O

0,707

0,707

O

O

O

O

360.000

O

O

O

O

O

360.000

O

o o

- 0,707 O

0,707

O

O

O

O

O

O O

324 O

O -324

O O

O -1.620

- 3.240 O

O

324

O

o o o o o

O

O

324

+

000 00 O O O - 0,707 0,707

~ I - 0,0199

01 -0,0199

O! -00199

01 - 0,~0413 0IJ' 0,000276 000010

000001

O

O

O

O

O - 0,707 - 0,707

O O O 0,00317

IV.B.S. LEYES DE ESFUERZOS DE LA BARRA

O

O

O

2.853

O

O

página 28 / IV

O O O O

-1.620 O

O O - 5.400 O

O O

O O O

O O O

O 1.620 O

2.853 O O

35,355 I

48,61

0,00

0,00

0,00

132,58

35,355

- 22,10

O

O

O

O

10.800 O

O

-61.25kN

57,73 kN

2,05kNm

8,89kN

17,59 kN

223,78kNm

9,46kN

-12,98kN

-2,03kNm

8,89kN

-2,80kN

0,00

Conocidas las seis componentes de las reacciones de los extremos de la barra a y b se realiza el cálculo de los diagramas de esfuerzos equilibrando en una sección genérica las seis fuerzas de sección con todas las fuerzas existentes entre la sección y el nudo a o el nudo b incluidas las reacciones. Para la barra espacial existen seis diagramas de esfuerzos, figura IV.B.7, figura IV.B.7. Las leyes de esfuerzos proceden de la superposición de las etapas I y n. En la etapa I se considera la barra con los modelos de apoyo que correspondan a sus enlaces, biempotrada, articulada-empotrada, etc. La etapa n incluye solamente leyes de esfuerzos lineales ya que proceden exclusivamente de los movimientos de los apoyos. Los signos asignados a los esfuerzos en las diferentes secciones de la barra se consideran positivos si coinciden con los ejes del nudo a, menor numeración, véase la figura IV.A.l. La nomenclatura utilizada es la siguiente:

• Axiales paralelos a la dirección xp : px.P

• Cortantes paralelos a la dirección Yp: Py.P • Cortantes paralelos a la dirección z,,: pz.po • Flectores con giro en el eje yp: m)'.P"


• •

Flectores con giro en el eje zp: mz,p'

Torsores con giro en el eje xp : mx.p

a) Etapa I b) Etapa 11

+ ,~_m -----f--o¿~X = y

+ =

Cortantes

+

Axiles

x ~¡ P~-o . , ' ""lllllll±IJl b + o 11111:11111111111±111I,I:lllll li¡!lb =

Torsores

+ °1!,1 i! ¡¡ti i l!;l ¡"ji 11 ¡ 1:1 i 1 i I i 1: 11 b =

página 29 / IV

e) Final

o b

Q rrrrrtT'T11J"!, . I b "1" '1 1 ;!

Figura ¡VE. 7. Leyes de esjúerzos de la barra espacial cargada

IV.B.9. REACCIONES En las estructuras espaciales pueden utilizarse modelos de apoyo muy variados. Algunos ejemplos se representan en la figura IY.B.8, presentación 12/IV:

Una deslizadera, representada por una esfera rodando sobre un plano fijo. En este caso el apoyo equivale a una biela y solamente tiene impedido un movimiento, el Y perpendiculat al plano de rodadura, los restantes desplazamientos lineales y giros están liberados, figura IV.B.8.a.

Un rodillo guiado. En este caso el apoyo equivale a dos bielas y tiene impedido el movimiento en dos direcciones, la Y y la Z, figura IV.B.8. b.

Cálculo matricial de 1 er 2° orden. Teoría

Una articulación esférica. En este easo el apoyo impedido el movimiento en las tres direcciones, giros, figura IV.B.8.c.

equivale a tres bielas y tiene y y Z, pero liberados los tres

Una articulación cilíndrica. En este caso el apoyo equivale a cinco bielas y tiene impedido el movimiento en las tres direeciones, X, Y y Z, y los giros respecto a los ejes y y Z, figura IV.B.8.d.

Un empotramiento perfecto. En este caso el apoyo equivale a seis bielas y tiene impedido el movimiento y giro en las tres direcciones, X, Y Y Z, figura IV.B.8.e.

a) esfera

el Articulación esférica y

e) Em¡oolramienlo

b) Rodillo guiado r

d) Arliculaclóll cifíndnca

Figura IV.B.8.

't . ./ Y ~

Presentación 121fV. Apoyos de sistemas espaciales.

Diferentes modelos de apoyos en los sistema espacia/es

Apoyo en el sistema espacial

Para el cálculo de las reacciones se procede de la misma manera que en el estado plano (véanse el apartado II1.A.12, y la presentación ll/lU). El procedimiento habitual consiste en considerar como reacción la suma de todas las fuerzas reacción {pij,p} de los extremos de las ban'as, referidas a los ejes globales, que concurren a las ligaduras eoartadas. Para ello se utilizan las matrices de cambio de ejes globales a ejes auxiliares y también las matrices de cambio de ejes auxiliares a principales de las barras:

{Ri} = f[T¡JauxJ[Tl,p } {pij,p } - {~} ecuación IV.B.24 j=a

Sistemas de barras

Esta ecuación en formato desarrollado corresponde a la expresión siguiente:

1"1 -m!D -(-Ir'nll D O O O 1

~: I "(-Ir m liD -(-l)"mn! D O O O

I n O (-lr·D O O O l' M O O O -m/D -(-1)'-"/1 D j x

lMr O O O m liD -(-l)"mní D

M, , O O O n O (-l)'D

I O O O O O r PI,p Px O cosfJ - (-1)' senfJ O O O 1 p y

¡, Py

O (-1)' senfl cosfl O O O P"p Pz O O O O O

1m

", MR,x

O O O O cosfl -(-1)' senfl ¡my<p ;WR,r O O O O (-1)' senfJ cosfl MR,z lm:. fI ", U.P ecuación IV.B.25

si Í j k 2; /'=2

si j> j k 1; r 1

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• + •••••••• ~ •••••••• ~""""""""" ~"""""""""'"

Ejercicio ¡V.S. Determinar las componentes de la reacción en el apoyo 1, ejercicio fv'l, figura Iv'A,8, referidas a los ejes globales

Aplicando la ecuación IV.B.25, siendo i<j yen consecuencia k=2 y 1'=2, resulta:

f""l

= ¿(-I)" r!

r 0,707 0.707 O

- 0,707 0,707 O

O O

O O O O O O

O O O

O O O

O

O

O

O

O

O

O' 01 ¡ O

0,707 0,707 O

-0,707 0,707 O

O O J j :01

57,73 kN r~ : O O

O O O O

O O

°Oli ¡: -61,25 kN 1

:_' 28°:9: ¡ :1

1: O 17,59kN

1 L-223,78kNm IO.p

- ";' =

O O 1 O

O I

O O IL O O O O

2,49kN

84,13kN

2,03kN

18,67 kNm I

6,09kNm J 223,79kNm

Cálculo matricial de estrueturas, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 32 I IV

BIBLIOGRAFÍA Argüelles Álvarez, R Análisis de Estructuras. Teoría, Problemas y Programas. Ed. Fundación y Conde del Valle Salazar. Madrid 1996 Argüelles Bustillo, R

Sáez-Benito, J.M.

Livesley, R.K

Kardestuncer, H

Algibes, M; Coin, A.; y Journet, H.

Constantin, A. Y Decebad, A


Métodos Matriciales para el Cálculo de Estructuras. Ed Blume. Madrid

Introducción al Análisia Estructural con Matrices. Ed. Mc Graw Hill. 1975

Estudio de las Estructuras por los métodos Matriciales. Editores Técnicoa Asociados. Barcdelona 1971

Space Structures. Ed, Elsevier. New York 1984

r

I ¡

\

v. ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN

V.A LA VIGA-COLUMNA PATRÓN

V.A.1. EJEMPLO EN EL QUE SE COMPARAN LOS ANÁLISIS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN

En el análisis de estructuras primer orden se admite un comportamiento del material linealmente elástico y, además, una linealidad geométrica, consistente en la existencia de proporcionalidad entre cargas y deformaciones, lo que permite aplicar la ley de superposición, mediante la cual se establece el equilibrio fuerzas en la geometría no deformada de la estructura. En el análisis segundo orden se admite, también, un comportamiento elástico y lineal del material pero el equilibrio fuerzas se establece en la geometría deformada de la estructura, lo que origina diferentes solicitaciones derivadas del acoplamiento que existe entre esfuerzos axiales y momentos flectores. Para el caso de una barra aislada, el análisis de primer orden supone, que en virtud del principio de superposición, las deformaciones de flexión las provocan las cargas transversales, y que las cargas axiales generan únicamente esfuerzos y desplazamientos longitudinales.

En la figura V.AJ, presentación IIV, que hace referencia a la viga-columna biapoyada con una carga axil N y otra transversal Q aplicada en el centro del vano, se comparan los resultados obtenidos en el análisis de primer orden, figura b y en el de segundo orden, figura c.

En el cálculo de 1 el' orden, figura V.A.l.b, de la ecuación de equilibrio de la barra en la geometría no deformada resulta que los momentos flectores son independientes de los esfuerzos axiales:

ll4¡(x) = (Q/2)'x ecuación V.A.I.a

La ecuación diferencial de la deformada,

-EJ·(cfv¡(x)/dx)=(Q/2)·x ecuación V.A.2.a

tiene como solución (ecuación de la elástica) la ecuación:

ecuación V.A.3.a

e y C" constantes de integración. Se deducen de aplicar las condiciones de defonnación en el apoyo izquierdo y en el centro del vano teniendo en cuenta que la deformación de la viga es simétrica:

Cálculo matricial de estructuras, lor y 2° orden. Teoría y problemas página 2/V

Resultando:

v¡(x) X2 ) . x<I/2 3 '

b) Análísis primer orden

1er orden M/(x) 2

Q'x =_Eld2v(x) 2 dx2

M =Ql - 1,mrtA 4

ecuación V.A.5.a

ecuación V.A.6.a

a) Viga-columna

e) Análisis segundo orden

Momentos

Ecuación diferencial de la elástica

Flecha máxima

Momento máximo

Q M~N'If+2x

M~··tIlf" Figura V.A. 1.

M{x) Q'x+N'v(x) 2° orden 2

x d 2v(x) Q' +N'v(x)=-EI· ,

2 dI:"

Ql) .(3·(tg(u)-u»; 48'EI u]

u

M Q/.tg(u) • ma.- 4 II

Presentación l/V. Comparación entre el análisis de primer y sel!'umJU orden

Expresión de la que se deduce la flecha máxima (centro del vano):

Ql3 V -

l.max - 48.El ecuación V.A.7.a

El momento máximo se presenta, también, en el centro del vano:

M _ Ql ¡.max - 4 ecuación V.A.9.a.

Si se analiza la misma barra biapoyada, figura V.A.l.a, estableciendo la ecuación de equilibrio de la barra en la geometría deformada, teoría de segundo orden, figura V.A.l.c, los momentos flectores se definen mediante la ecuación,

M(x)=Nv(x)+ (Q/2)-x ecuación V.A.l.b

lo que permite plantear la ecuación diferencial de la elástica dc la barra de sección constante:

-EN~v(x)ldx)=Nv(x)+ (Q/2)-x ecuación V.A.2.b

cuya solución es;

B'cos(kx)- (Q/2N)'x ecuación V.A.3.b

siendo: N

k ecuación V.AA.b El

Las constantes de integración A y B se deducen también de aplicar las condiciones de deformación en el apoyo izquierdo y en el centro del vano, teniendo en cuenta que la deformación de la viga es simétrica:

(v(x)).~()=O y (dv(.,)/dx)F!/2=O ecuación V.A.5.b

Resultando:

v(x) = Q.r sen(kx) xJ 2N L k-cos(kl!2)

ecuación Y.A.6.b

Expresión de la que se deduce la flecha máxima (centro del vano):

Ql3 3·(tg(u) -u) v == . 3 ; siendo: u

Ir"'" 48.El u ecuación V.A.7.b

En esta expresión el primer factor - QP/(48·EI) - representa la flecha VI, .. " ... debida a la presencia exclusiva de la carga transversal Q, figura V.A. 1 .b, y el segundo factor-3·(tg(u)u)/u~ el coeficiente de amplificación de dicha flecha debido a la fuerza axial, N. Si N es pequeño también lo es u, aproximándose el segundo factor a la unidad, lo que se demuestra fácilmente desarrollando en serie, tg(u), y conservando solamente sus primeros términos:

Cálculo matricial de estructuras, 1 el y 2° orden. Teoría y problemas página 4 / V

Cuando u crece, aumenta el segundo factor de la ecuación V.A.7.b, alcanzando la flecha un valor infinito cuando u = 7rl2. En este caso,

" iN 2=~EI

y, en consecuencia,

ecuación V.A.8.b

coincide con la carga crítica de Euler (P,=ff·EI/F).

El momento máximo de flexión se presenta en el centro de la viga-columna y se obtiene a partir de la ecuación:

M =_EI.(d2VJ = EI'Q'k.tg(kIJ= Ql.tg(u)

ma, dx2 2N 2 4 u t:-=-1/2

ecuación V.A.9.b

Como en el caso anterior en esta expresión el primer factor, QI/4, es el momento flector primario U.max provocado por la carga transversal, Q, y el segundo factor, tg(u)/u, es un coeficiente de amplificación debido al esfuerzo axial que se aproxima a la unidad a medida que disminuye N, y que crece indefinidamente al tender u a 7rl2; es decir, cuando N tiende aPEo

El análisis realizado pone de manifiesto que el acoplamiento existente entre esfuerzos axiales y momentos flectores amplifica los momentos flectores primarios U (los provocados solamente por las cargas de barra transversales) y, en consecuencia, también los desplazamientos transversales primarios v,. De la misma manera podría demostrarse que los esfuerzos axiales de tracción reducen los momentos flectores primarios y, también, los desplazamientos transversales.

V.A.2. VIGA-COLUMNA CON OTRAS CLASES DE CARGAS

V.A.2.1. CARGA CONCENTRADA APLICADA EN UN PUNTO INTERMEDIO Procediendo de la misma manera para una carga puntual aplicada en un punto intennedio de la viga-columna, figura V.A.2, se obtienen los desplazamientos siguientes:

Análisis de segundo orden

Q'sen(kb)-sen(kx) Q'b'x V(x) = -; x<a

kN'sen(kl) N·l

v(x) = Q'sen(ka)-sen(k(l-x)) _ Q'a'(l- x) ; x ~ a

kN'sen(kl) N·l

Los momentos flectores se deducen de aplicar la ecuación:

M(x) = -EJ, d2v(x) dx

página 5 / V

ecuaciones v.A. 10

ecuaciones V.A.II

Figura V.A.2. Viga- columna solicitada por una carga concentrada

V.A.2.2. OTRAS CARGAS El comportamiento de la viga columna para otras cargas puede analizarse mediante la ley de superposición para lo cual se suman los resultados aplicando en cada caso las cargas transversales dispuestas aisladamente pero siempre bajo la influencia del esfuerzo axial, figura V.A.3.

IQ,

- "L- ..--_-l.! ____ ---.-!:!. - ~ A ¡

Figura V.A.3. Aplicación de la ley de superposición en la viga- columna

Aplicando esta ley de superposlclOn se pueden obtener, conocidos los momentos y deformaciones correspondientes a una carga aislada Q" los momentos y defonnaciones asociados a cualquier ley de cargas

Cálculo matricial de estnlcturas, 1 CT Y 2° orden. Teoría y problemas página 6 / V

V.A.3. FACTORES DE AMPLIFICACIÓN DE LA VIGA -COLUMNA Como ya se ha dicho existe un acoplamiento entre esfuerzos axiales y cargas transversales que amplifica los desplazamientos primarios v, (coeficiente 77v? y los mOl~entos flectores primarios M, (coeficiente 77,,). Estos coeficient.es de ampllqcaclOl1 para la vIga de la figura V.AA, presentación 2/V, son, como ya se ha vIsto, los slgmentes:

3·(tg(u) - u) . 17" =

tg(u) 17M =

U

ecuaciones V.A.12

En la presentación 2N se incluyen para la viga-columna biapoyada con ot~a~ clases de carga las fórmulas exactas que definen la flecha máxima, V múx y el momento maXImo Una,'

_ Q'¡' 3:(tallg(u)-u) = Q'Z' ''7' >"¡nax - 48.EI u3 48.EI l'

~-- --~ Q'¡ lang(u) Q'I

M max = 4' ~---- =--4'172 Ecuaciones V A12.

Figura VA 4.

N q N

~--5'q.¡4 112 2'(sec(u) - 2 - u 2

) l_ 5·q·Z4. .

v mar = 384'EI 1 5" u 4 1- 384·EI '7), L ~

r _._L __ ~-'

Figura VA 5.

2 l" f _ q'¡ .[2'(SeC(U)-I) 1= q-Z" '71 Ecuaciones VAI3.

'~'lmax - 2 8 4 8 u "

v = Mo·¡2 [2'(SeC(u)-l)ll= Mo'Z2

''75; ma< 8.El u2 " 8·El

Ecuaciones V.A.14.

, 1 I I~-----------¡

Mm"" = Mo'sec(u) = MO''76

Figura V.A.6.

Presentación 2/V Coeficientes de amplificación de algunas clases de carga de la viga-columna

En la tabla V.A.!, se comparan los valores de los coeficientes de amplificación de desplazamientos Y momentos exactos, ecuacio~es V.A.12-l4, ?:esentación 2N, con el denominado factor simple de amplificación defimdo por la expresJOn,

1

rc 2 'EI p =--

1

1- N I Per ecuación V.A.15

Carga crítica de la columna

cr (fJlY ~; coeficiente que define la longitud de pandeo de la viga columna

Análisis de segundo orden página 7 / V

Obsérvese que para las flechas se obtienen resultados muy aproximados (no difieren más d un 2% de ~os exactos) e~ tant? NIP" <0,6 y para los momentos un grado de precisión meno~ pero sufiCIentemente onentatlvo (para NIPo < 0,60 las diferencias oscilan alrededor de un 10%, como máximo)

COEFICIENTES DE AMPLIFICACIÓN

APROXIMADO EXACTOS (Ecuaciones V.A.12-14)

N/Pcr 1/(1- N I Per} T[1 T[2 T[3 T[4=T[5

0,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

0,1 1,111 1,109 1,091 1,107 1.114

0,2 1,250 1,247 1,205 1,253 1,258

0,3 1,429 1,420 1,350 1,430 1,441

0,4 1,667 1,657 1,545 1,663 1,684

0,5 2,000 1,982 1,815 2,000 2,029

0,6 2,500 2,477 2,223 2,502 2,544

0,7 3,333 3,303 2,901 3,347 3,407

0,8 5,000 4,943 4,253 5,013 5,124

0,9 10,000 9,876 8,308 10,040 10,290 ., .,

Tabla VA.l. ComparaclOn de algunos coeficIentes de amplificaclOn exactos y aproximados

V.A.4. BARRA BIEMPOTRADA SOLICITADA POR UNA CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

T[6

1,000

1,137

1,310

1,533

1,831

2,252

2,884

3,942

6,057

12,420

La solución de la ecuación diferencial de la viga-columna biempotrada de sección constante representada en la figura YA.7, es:

v(x) =A'sen(kx} +B'cos(kx} +Cx+D+q'x2 1(2Eik)

De las condiciones de apoyo (giros y desplazamientos nulos en los extremos de la viga),

(V(x}}X=O =0 )' (dv(r)/dx)Fo =0 (v(X}}x=1 =0 Y (dv(x)/dxJx= 1=0

se deducen las constantes de integración,

q

N·~ LQ2 t t 92 ¡ I-rv-x I El = constante I v

-----1

Figura VA.7 Viga-columna biempotrada solicitada por una carga uniforme

A = ql . B = ql . C _ _ ql D = _ ql 2EH3

' 2Elk3 ·tg(kIl2)' - 2EH 2 2Elk3 ·tg(kIl2)

con las que se obtiene la ecuación de la elástica:

ql l + cos(kx) -kx- 1 + kx21 v(x) = 2Elk3 ' sen(kx) tg(kI/2) tg(kl/2) 1 J

u kl

2

ecuación V.A.16

ecuación V A.l7

V.A.5. FUNCIONES DE ESTABILIDAD Se trata de determinar en la viga-columna MA Me

de sección constante las funciones que N ("ti 4:_":'"""---~ N relacionan los momentos M" y ME en los ':~~ ~V extremos con los giros BA y (J,¡ que se ' El "'constante presentan, figura V.A.8. En este caso la l

ecuación de la elástica de viga-columna VA.8. Funciones de estabilidad

es:

1 I (kl) x J 1 rlSCn(h) xl M v(x) = '1 cos - 'sen(kx) - eos(kx) 1 + 1 ·M A + El/. 2' sen(kl) - l' B

Elk 2 L sen(kl) (- ., V' A. 18 ecuaclOn ...

Teniendo en cuenta que los ángulos de giro de la barra coinciden con las primeras derivadas

de v(.,), se deduce:

1 . {Ikl'cos(kl) sen(k/)} A1 A + [kl - sen(kl)} Al B }

EI·(kl)2 'sen(kl)

1 .[kl-sen(k/)}M A + [k¡'cos(kl) -sen(kl)}M B }

EI·(kl)2 'sen(kl) ecuaciones V.A.19

Estas ecuaciones, tras las oportun~s transfo~acíones, ad~ptan el formato habitual de la ecuaciones momentos giros de la vlga de seCClOn constante.

ecuaciones V.A20

Siendo:


(kl)2 'cos(kl) (kl}sen(kl) s··=s··=---·····--··

¡¡ }J 2 - 2cos(kl) + (kl)-sen(kl)

(kl)2 - (kl)-sen(kl) s_o =s·· =

lj ji 2 2cos(kl) + (kl)'sen(kl)

Si el apoyo B sufre además un desplazamiento transversal o, figura V.A.9, las ecuaciones V.A.23, adoptan, como consecuencia de los nuevos las expresiones siguientes:

ecuaciones V.A.22

B.4 y OB; ángulos en los extremos A y B medidos desde la posición inicial de la barra, figura V.A.9.

página 9 íV

ecuaciones V.A.21

Fig. V.A.9. Asiento diferencial ¿¡de los apoyos de la viga-columna

Las denominadas funciones de estabilidad de James, Síí, Sij' Sjl Y Sj¡ incluyen en el análisis de la barra la influencia que ejercen los esfuerzos axiales en su rigidez. Si N=O:

y s¡¡=4, lo que convierte a las ecuaciones V.A.22, en las ecuaciones pendiente deformación utilizadas habitualmente en el análisis de primer orden. Si la fuerza axial N es de tracción:

V.A.6.

(kl) 2 'cosh(kl) -(kl)'s~nll(kl) 2 - 2 cosh( kl) + (kl)'senh( kl)

(kl)2 - (kl)'senh(kl) ~ .. = s·· = -- -~ .... -.---............ . 'lj Ji 2 - 2cosh(kl) + (kl)'senh(kl)

ecuaciones V.A23

FACTORES DE AMPLIFICACIÓN DEL MOMENTO MÁXIMO En la tabla V.A.2. se indican los factores de amplificación del momento máximo correspondientes a algunos casos particulares de la viga-columna

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 10 IV

Localilación Factor Caso Pe, Mm •• de amplificación del m. máximo

--f1m¡I¡¡IIIII¡¡, ... ,,2 .El 2'(sec(u) - 1)

C. vano 2 12 U

__ fIl ¡ . ) I J I ¡ I ¡ ¡] I ¡+~ __ ,,2 .El 2·(tang( u) -1) Apoyo

u 2'(1 I 2u -11 tang(u)) (0,7.1) 2

,,2 .El 3·(tang(u) 1) --1! 1 J I ¡¡IU:I ti J Ill ___ (0,5'/) 2

Apoyo u 2 .tang(u)

i ,,2 .El C. vano

--~ r 12 tang(u) I u

.1/2----1 ,,2 .El 4zr(1- cos(u)) .. , ~--- (0,7·/)2 Apoyo

3u 2 'cos(u)'(l/ 2u -1 I tang(2u))

! ,,2'El 2'(1-cos(u))

--1 f--- (0,5./) 2 Apoyo

u'sen(u) . , .,

Tabla V.A.2. Algunos factores de ampliflcaclon del momento vIga-columna

V.A.7. MÉTODO DE NEWMARK .. El procedimiento de Newmark es un método iterativo utilizado para e~ análISIS d~ segundo orden de la viga-columna tanto en régimen elástico como anelástIco. Ademas, puede aplicarse a piezas de sección variable y a pórticos, véa~e e~ apartado V.B.2.2. Los pasos que se siguen, si la pieza está en régimen elástico, son los sIgUIentes:

1) Se divide la pieza en n tramos que en general tienen igual longitud, o responden a posibles cambios de sección de la barra, figura V.A.IO,a.

2) A la geometría del eje de la barra se incorporan, si existen, las imperfecciones de ejecución definidas por los desplazamientos transversales VI), figura V.A.IO.b, de las secciones seleccionadas en la discretización inicial.

3) Se inicia el primer ciclo aplicando cualquier procedimiento de cálc~l.o d~bidamente sancionado, figura b. Es habitual utilizar un programa de cá~cu.lo matncl~l SI el t~azado de la barra, como consecuencia de las imperfecciones se aSlmüa a una lmea pohgonal que sustituya a la sinusoide que representa, en general, la combadura de la barra.

4) Se repite el ciclo de cálculo considerando como geom~tría de l.a barra l~s imperfecciones iniciales Vo más los desplazamientos, vil), obtemdos en CIclo antenor, figura d. Al final de este ciclo los desplazamientos resultantes, vi2), se comparan con los del primer ciclo vil).

Análisis de segundo orden página 11 IV

5) Si las desplazamientos transversales vi2) coinciden suficientemente con los vil) se da por finalizado el cálculo, resultando como desplazamientos transversales totales:

v=vl2) + Vo

a) Discretización de la barra d) Segundo ciclo

o 2 3 4 S I I I I

1 ~

b) Primer ciclo e) Ciclo m

~ 8W ~ ~;fftt¡~T

Imperfeccion iniCia/v"

MA q(x) M Nf« i [1 t ¡ t 1 lIt ¡ n ~

~ v;, r/J¡Jm-l)

c) Momentos primer ciclo f) Momentos ciclo m

M

A

QJJJJffiI] 111111111I11I ~ MB

Figura V.A. lO. Método de Newmark

6) De no ser así, tras realizar varios ciclos de cálculo realizando análogas comparaciones iniciándose el ciclo de cálculo m considerando como geometría de la barra las imperfecciones iniciales Vo más los desplazamientos transversales, vJm-I), obtenidos en el ciclo de cálculo m-l, figura e. Al final de este ciclo los desplazamientos resultantes, vk(m), se comparan con los del ciclo vlm-l).

7) Se da por finalizado el proceso cuando, las diferencias entre los desplazamientos de dos ciclos consecutivos m y m-l, son poco relevantes.

a) Viga-columna apoyada-empotrada

~MB N"~~

. Deformada f- 1 I

b) Viga-columna tJiempotrada

MA~MB NE

c ?iS~

... ·----l ....¡

Figura V.A.ll. Vigas-columnas de barras hiperestáticas

1 CT 2" orden. Teoría

Este procedímiento es fácil de programar y permite mediante sucesivas iteraciones resolver vigas-columnas de sección constante o variable con cualquier clase de apoyos, figura V.A.l L Así, por ejemplo, para la viga apoyada-empotrada, figura V.A.II.a, el momento Me se obtiene, tras discretizar la viga-columna en n tramos, tanteando diferentes valores de Me hasta conseguir que el giro de la elástica en el apoyo B sea prácticamente despreciable. Para la viga biempotrada, figura b, se tantean parejas de valores MA y ME hasta conseguir giros nulos simultáneos en ambos apoyos.

Ejercicio V.l Se trata de determinar, aplicando el método de Newmark, los esfoerzos que se presentan en la base de la columna acero (E=2JO.000 N/mm2

) de sección anular de 200 x 8 mm (A = 48,30 cm2

; 1 2.230 cm

4) que sostiene un depósito de agua, véase lafigura VA.12. La impeifección constructiva

de la columna es un desplome de Va= 3,00 cm y los esfuerzos en la coronación de la columna debidos a la carga permanente, que incluye el peso del depósito y del agua, y la presión del viento son:

Psr99.75 klv; HSd=4,50 kNy MSd=O, 75 kNm

Analizar además los coeficientes de amplificación de momento yflecha comparándolos con el factor de amplificación simplificado obtenido aplicando la ecuación V.A.l5.

CiClo 19.

Psd .3,oOcm~91cm

HSd /'f"MSd n I I

I 1 . "'::¿Ok'"

/ ,-;7.

~ .30,1.3kNm.

99,'15kN

1O,9icm IO,o2cm I

~50kN / í/7> +.38,12kNm

99, 75kN

3 9

4,50/tN "/ r''/.''''''''''--'

+40172kNm

99,'15kN

.....!t-!X)kN

~41,22kNm 99, 75 kN

Figura V.A.]2. Ejercicio aplicación del Método de Ne-.vmark

Para el cálculo se procede de la manera indicada anteriormente

h

1

Se inicia el cálculo con la imperfección geométrica Va = 3,00 cm del extremo del voladizo aplicando en él las cargas de coronación indicadas anterionnente. Utilizando un programa de cálculo matricial o, manualmente, se determina el desplazamiento horizontal, v(l) =7,97 cm, y las solicitaciones en el empotramiento:

Análisis de segundo orden página 13 IV

2"-Ci~lo: S..: repite el cálculo d~ ~a estructura con la ~eformaci~n en la coronación, Vo + v(J)= 3,00 7,97- 10,97 cm, determmandose el desplazazmento honzontal 1002 ' l

l ·· . , , cm y as so ICItaclOnes en el empotramiento: '

VSd= 4,50 kl"; Nsd"" 99,75 kN Y MSd= 38,72 kNm

La diferencia de los desplazamientos de estos dos ciclos es:

v(2) - 10,02- 7,97= 2,05 cm

ciclo: Se ~epite el cálculo de I~ estructura con la deformación: Vo + v(2) 3,00+ 10,02 = 13,02 cm, determmandose el desplazamIento, v(3) =10,53 cm, y las solicitaciones:

La diferencia del desplazamiento eon el ciclo anterior es:

v(3)- 10,02= 0,51 cm

. S~ r~pite el cálculo de la estructura con la deformación: Vo + v(3) = 3,00+ 10,53 13,53 cm, determmandose el desplazamiento horizontal, v(3) "" 10,66 cm, y las solicitaciones:

VSd= 4,50 kN; 99,75 kV y MSd= 41,22 kNm

La diferencia de los desplazamientos de estos dos últimos ciclos es:

v(4)- v(3)= 10,66- 10,53= 0,13 cm

13:n este ciclo s~ da por finalizado el cálculo ya que las diferencias de los desplazamientos entre dos CIclos consecuttvos: 2,05 cm, 0,51em y 0,13 cm, converge rápidamente

Coeficiente de amplificación de momentos:

17M = 41,22/30,73 1,341

Coeficiente de amplificación de flechas:

17" = 10,66/7,97 1,337

La carga crítica es:

Pcr= rt· (El)/(21/=rt· (21 O. 000·2. 230' 1 04)/(2·6.000i= 320.967 N = 320,967 kN

Factor simplificado de amplificación:

l/(1-N/Pa ) = 1/(1-99,75/320,967)= 1,45

Resultado que sc aproxima aceptablemente a los valores obtenidos anteriormente (1,34). •• ~.~ ••• ~ •••••• ~ •• " ••• ~ ••• " ••••••••••••• ~ ••••••••••• ~. ~. # ••• ~~ •• ~ ••••• ~ •••• ~ ••• ~ ••• ~.~ ............... .

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 14/ V

V.B. CÁLCULO DE PÓRTICOS

V.B.l. INTRODUCCIÓN

V.B.l.l. EFECTO P-A

Para analizar el comportamiento de un modo más real de un sistema de barras se considera que el material se comporta de manera lineal y elástica (linealidad mecánica) pero que no hay linealidad geométrica, por lo cual el equilibrio de la estructura se establece en la posición deformada, dejando de ser válida la ley de superposición al existir un acoplamiento entre desplazamientos horizontales y cargas verticales. Si se combinan las fuerzas horizontales m y las verticales IP con el desplazamiento horizontal ,1" figura V.B.l.a, se produce un desplazamiento adicional que corresponde a una nueva posición de equilibrio, ,1, sobre la geometria defonnada del pórtico, figura b. Este comportamiento por el que, consecuencia de los desplazamientos ,1" se potencia el efecto de las cargas verticales, recibe el nombre de efecto P-L1. Causa por la que se provocan en algunas secciones mayores desplazamientos y momentos que los deducidos del análisis lineal.

a}

J:H

J:p b}

Figura V.B.l. Efecto p-¿j.

Para estimarlos se ha de realizar un estudio sobre la geometría deformada lo que requiere, en general, métodos iterativos de cálculo basados en la teoría de primer orden (cálculo lineal clásico) o métodos matriciales que corrigen la matriz de rigidez incluyendo las funciones de estabilidad (apartado V.A.S) o la modifican incorporando la denominada matriz de rigidez geométrica.

V.B.l.2. CONSIDERACIONES SOBRE EL ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN EN ESTRUCTURAS CON IMPERFECCIONES

El análisis de segundo orden establece, como ya se ha dicho, el equilibrio de la estructura en la geometria deformada.


a} estllJcturas ideales

n

b} Estructuras reales

i !

I t·t------i-I

r ! ¡

',.

Figura V.B. 2. Imperfecciones geométricas

página 15/V

En este caso los esfuerzos que soportan las barras, principalmente los momentos flectores, pueden diferir sustancialmente de los obtenidos aplicando la teoría de primer orden (cálculo lineal clásico), si las cargas que soportan las columnas no difieren excesivamente de las cargas de pandeo.

En construcciones metálicas o de madera los Eurocódigos 3 y S consideran que en el análisis de la estructura, sea de primer o de segundo orden, se han de considerar imperfecciones con objeto de realizar el cálculo sobre la estructura real en vez de hacerlo sobre la ideal. En la figura V.B.2.b, se representan los tipos de imperfección que son: desplazamientos horizontales de los nudos, cuantificados por el ángulo rjJ y combaduras iniciales de las barras definidas por las flechas, eo.j· Estas imperfecciones, que pueden afectar en gran medida a las estructuras translacionales apenas influyen en las intranslacionales.

En teoría, las directrices de los ejes combados de las barras deben ajustarse a su modo de pandeo.

En general la te.oría de primer orden puede aplicarse a los pórticos intranslacionales y a algunos translaclOnales que cumplen ciertos requisitos que se indican a continuación en el apartado V.B.2.1; y la de segundo orden, a los translacionales.

V.B.2. MÉTODOS DE CÁLCULO

V.B.2.l. INTRODUCCIÓN Si las carg.as axiale,s de cá~cul~ están suficientemente alejadas de las cargas de pandeo pueden a~lIcarse, ~etodos slmplIfica~os de cálculo, basados en la teoría de primer orden, que ~onsl~t,en baslcamen.t~ en amplIficar los momentos utilizando el factor simple de amplIficaclOn lJ¡;." ecuaClOn V.A.1S, véase el apartado V.A.3. De no ser así deben emplearse procedimientos iterativos como el método de Newmark expuesto en el ~partado V.A.7, o procedimientos que utilizan la matriz de rigidez con las funciones de estabilidad o una simplificación de éstos consistente en emplear la matriz de rigidez geométrica.

Cálculo matricial de estructuras, J ec y 2° orden. Teoría y problemas página 16/ V

V.B.2.2. MÉTODO ITERATIVO . Este procedimiento, similar al de Newmark, apartado V.A.7, e~ fácil de in.~lr y programar. Se puede aplicar disponiendo un programa de ordenador de calculo matnclal. Para ello se procede para pórticos de un piso de la manera siguiente:

a) I!!'cíclo O¡mp

H c:r=r:r'r=c:J" :r[l :,

I ' , ' .J...

b)22 CIclo 8 +8u) "'o r---t

C:'-_.LI:::I:.I:J

c) 3'!! ciclo 8,,,,/S(2.' ¡..--;

c=r:=r=-.--:r=r:J HT'""" ,

: , !

d) m e CIclo S ~ _ Imp~~(m-1)

11

J

S'mo • Slm'/} 80m I

Figura V.E.3. Método iterativo para el análisis de segundo orden de un pórtico de un piso

Se inicia el cálculo de la estructura con las imperfecciones geométricas, 6,.,p, figur~ V.B.3.a. Como alternativa, puede considerarse la estructura ideal añadiendo a la carga honzontal H, la carga equivalente a las imperfecciones: Hequiv = ~ 'L (cargas verticales) ecuación V.B.1

Los ciclos de cálculo son los siguientes:

Análisis de segundo orden página 17/ V

lIT..ciclo: Se inicia el cálculo y se determina en el pórtico con imperfecciones geométricas, el desplazamiento lateral 6(1), figura V.B.3.a. 2 0 ciclo: Se repite el cálculo de la estructura con la deformación: 6 + "(1) imp u ,

determinándose el desplazamiento, 6(2), figura V.B.3.b. !!f ciclo: Se repite el cálculo de la estructura con la deformación: 6 imp + 6 (m-l), calculándose el desplazamiento, 6(m) , figura V.B.3.d.

Se da por finalizado el cálculo cuando la diferencia de desplazamientos horizontales de un nudo del primer piso de dos ciclos consecutivos: 5(m) - 5(m-1), es poco relevante.

Los resultados finales, desplazamientos y esfuerzos, son los correspondientes al enésimo ciclo.

En el caso de pórticos ortogonales de más de un piso se procede de manera análoga, como se indica en la figura V.BA, presentación 31V.

Ciclo de cálculo j

Método iterativo

Estructura deformada en e! eido de calculo j

Figura V.BA.

te, ciclo: Se inicia el cálculo de la estructura con la imperfección geométrica correspondiente. Se determinan en todos los nudos i los desplazamientos horizontales 0., 2° ciclo: Se repite el cálculo de la estructura con todos los nudos en posiciones: Ó '.'mo + 0." determinándose los desplazamientos. 6;.2' y las diferencias: 5,.2 - ó;., i" ciclo: Se repite el cálculo de la estructura con la deformación: 0Jmp + 5,'J., ' determinándose los desplazamientos, 0.j' y las diferencias: 6;J - 0.j-1 mO ciclo: Se repite el cálculo de la estructura con la deformación: 6;. 'mo + ó~.~1' determinándose los desplazamientos, 0.m' y las diferencias: 0.m - ój.m.'

Se da por finalizado el cálculo cuando la diferencia de desplazamientos de dos ciclos consecutivos: 0 m-

0.m." es suficientemente pequeña en todos los nudos. '

Presentación 3/V. Análisis de segundo orden de un pórtico ortogonal de varios pisos

Se selecciona en cada ciclo de cálculo el nudo en el que se presenta la diferencia mayor entre desplazamientos horizontales de dos ciclos consecutivos (j y j-l): 6,j - 6,j-l (i, número del nudo y j, ciclo de cálculo).

Cálculo matricial de estructuras, 1 er y 2° orden. Teoría y problemas página 18/ V

En la presentación 4/V se comparan los resultados del cálculo del pórtico a dos aguas, representado en la figura V.B.5, con y sin imperfecciones geométricas iniciales, según los métodos siguientes:

1) Análisis en primer orden de la estructura ideal. 2) Análisis en segundo orden de la estructura ideal sin imperfecciones. 3) Análisis en segundo orden de la estructura ideal con imperfecciones geométricas.

Los resultados del cálculo se indican en el cuadro que figura al pie de la presentación. Obsérvese que las diferencias obtenidas en este caso para los tres métodos de cálculo son poco relevantes (no llegan al 5%). Esto es debido a que las cargas que soportan las columnas están muy alejadas de sus cargas de pandeo.

Esquema de la estructura Ideal y cargas

.-- 25,00 ---- -------:

ImperfeCCIones geométricas

._--;3,,,,,",,, 3 '3'

Figura V.B,5.

Desplazamientos (cm)

"2 8, ", JeT orden 1,85 4,38 6.90 2" orden sin imperfecciónes 2,44 4,85 7.26

i' orden con imperjcxciones 3,50 5.22 7.62

Deformada

Ley de Momentos

Momentos (kNm)

M2 MJ M,

198 178 298

195 183 303,5

191 183 307,5

Presentación 4/V. Comparación de resultados de un análisis de primer y de segundo orden


V.B.2.3. CÁLCULO MATRICIAL.

V.B.2.3.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA BIEMPOTRADA CONSIDERANDO LAS FUNCIONES DE ESTABILIDAD

Como ya se ha expuesto, apartado V.A.5, si en la deformación de una barra se considera la influencia que tienen los esfuerzos axiales, y la barra es de sección constante, figura V.B.6.a, resulta:

M A = ~J{Sii{aA -n+Sij{aB - ~)J

MB = ~J{si{aA - i) + sii {as -nJ ecuaciones V.A.22.

s¡;, sij, S¡i Y Sj¡ son las funciones de estabilidad definidas por las ecuaciones V.A.23 y V.A.25.

A partir de estas ecuaciones se determinan las reacciones V, normales en los apoyos al eje de la barra, figura V.B.6,

(M A + M B + P'¿j) V =_. )

1

N I I N ~'~I---------------------I4--

A B

1---------'---------~

Figura V.B,6. influencia de los esfuerzos axiales

Sustituyendo en esta ecuación los valores de M" y M. de las ecuaciones V.A.22, y teniendo en cuenta que k!=N/EI, resulta:

ecuación V.B.3

La relación que liga el esfuerzo axial de compresión N y el acortamiento 11 de la barra es la

EA siguiente: N ='u ecuación V.B.3

1

En forma matricial las ecuaciones V.A.22 y las V.B.2-3 se agrupan del modo siguiente:

Cálculo matricial de 2" orden. Teoría

o

O

m ecuación V.BA

O

Si¡

Simetría A

L A partir de esta ecuación, considerando los ejes locales de barra ~abituales en ~I. cálculo matricial, figura V.B.7, presentación 5N, y sustituyendo la.s funciOnes .de es~b:hdad por sus valores correspondientes, ecuaciones V.A.21-23, se obtiene la matriz de ngldez de la barra biempotrada en ejes locales:

k

siendo:

1)

o O EA

O

J2Elrp _ 6E/·rp2 13 1 {'

6EI 4'rp3 ' ·t/J2

l'

O O EA

O {

Simetría 12Elt/J {3 ¡

Si la fuerza axial N es compresión:

(kl)2 '(1- cos(kl)).

6'1/1,

O

O

6EI.rp ¡2 2

4'rp¡

kl'(kl-sen(k/)) 1/14=~-2'1/I,-

k-- fE 1/1, = 2 - 2 cos(kl) - klsen(kl); - V El

2) Y si la fuerza axial N es de tracción:

_ (kl ¡ senh( kl). rp rp, - 12·t/J¡ "

kl'(senh(kl) - kl) rp, '" 2'y',

k INENl' t/J, = 2 - 2cosh(kl)+klsenh(kl); VEi

ecuación V.B.5

ecuaciones V.B.6.a

ecuaciones V.B.6.b

Las funciones f/J pueden expresarse en series de expansión de Taylor:

1 (kl)z (klf (k.iY . 1/11 +10- 8.400 + 756.000 .- ....... ,

(kl)2 (kIf (k!)" . tA 1+6()- 8.400 + 756.000 - ....... ,

_ n(kl)' -.Jf!L_ . 1/13 1 + 30 256.200 + 108.000 ....... ,

ecuaciones V.B.7

n(klt n(kq . 1/13 60 + 25.200 - 756.000 + ....... ,

k

En estas series de expansión el coeficiente NP!EJ debe considerarse positivo si la fuerza axial N es de tracción y negativo si es de compresión.

V.B.2.3.2. MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA DE LA BARRA EN EJES LOCALES

Considerando solamente los dos primeros ténninos de las series de expansión, ecuaciones V.B.7, ya que los restantes ténninos pueden despreciarse en el entorno -2<N/PE<2, se obtiene la ecuación matricial de la barra biempotrada en el fonnato habitual

al~: r~ m O -/(' 2jJ.

];: ~I; b l m lO-/('

O O p -/('

O O

P -/('

O O 36 -3-1

-3,1 4P

O O 36 -3,1

-3,/ -¡2

O O O 36

O -3·1 ~~:1fJ . O j' o

- 3·1 lo: 4'¡Z .9 b

O O O 36

O -3,1

ecuación V.B.8

En esta ecuación la primera matriz coincide con la matriz de rigidez de la barra en ejes locales, ecuación II.E.3, presentación 71II, y la segunda, denominada matriz de rigidez geométrica, incorpora la influencia del esfuerzo axial Nab que solicita a la barra.

Cálculo matricial de estructuras, le< y 2° orden. Teoría y problemas página 22 IV

Procediendo del mismo modo para otras clases de enlace de la barra se obtiene la ecuación V.B.9, figura V.B.7, presentación 5IV, que corresponde a la ecuación matricial de la barra en ejes locales. En esta ecuación la primera matriz y los coeficientes Cn son los ya definidos en la ecuación IlLA.5, figura rn.A.6, presentación 3/IlI. Los coeficientes an que afectan a la matriz de rigidez geométrica de la barra se defmen en la ecuación V.B. 10, en función de la clase de enlace de los extremos. Obsérvese que la segunda matriz, que es la denominada matriz geométrica, está afectada por el esfuerzo axial Nah de compresión que solícita a la barra. Si el esfuerzo axial Nab fuese de tracción la matriz de rigidez se sumaria. La ecuación matricial de la barra en ejes locales adopta el formato resumido siguiente:

{p}= [k ]-[kGn{Ó} ecuación YB.II

V.B.2.3.3. ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA EN EJES GENERALES INCLUYENDO LA MATRIZ GEOMÉTRICA

Para obtener la ecuación matricial de la barra en ejes generales se procede de manera similar a la indicada en el apartado IILA.5, realizando análogas transformaciones con las que se deduce la ecuación V.B.12, presentación 6/V, que relaciona cargas con desplazamientos referidos a los ejes generales del sistema, figura V.B.8. Los coeficientes Cn

y an están asociados a los tipos de enlace de los extremos de la barra definidos en las ecuaciones V.B.lO, presentación 5/V. La primera matriz es la misma que figura en la ecuación lILA. 1 1, presentación 51II1. La segunda matriz, que es la denominada matriz geométrica, está afectada por el esfuerzo axial Nab de compresión que solicita a la barra.

V.B.2.3.4. ECUACIÓN MATRICIAL DEL SISTEMA DE BARRAS INCLUYENDO LA MATRIZ GEOMÉTRICA

Realizando el ensamblaje de las matrices de un sistema de barras, figura V.B.9.b, presentación 7 IV, se plantea la ecuación matricial completa del sistema que adopta el formato siguiente:

ecuación V.B.l3

{P }; vector que representa las cargas aplicadas en los nudos referidas a los ejes generales. [K] ; matriz de rigidez del sistema [KG]; matriz geométrica del sistema {.1} ; vector que representa los desplazamientos de los nudos referidos a los ejes generales.


Ecuación matricial de la barra Incluyendo la matriz de flgidez geométrica

l! .. 30-l ah

fO

o

o 10 LO

36 -30,'¡

o 36

-30,'¡

o o -3u¡'[ o 36 4a2'¡'2 o -3a,'/

o o - 3a3'¡ o 36

G4

_{2 o -3a~·1

página 23 IV

e = EAII; p = l2-EIII'; K = ó'EIII';" = 2BI!1 ecuación V.H9.

Coeficientes c~

Barra biempotrada c,'" e¡ c3= c4= cs" Co =c,= ea= c9= c,o=1; a,= a2 = a3= a4= a5= as =a7 '=1 Barra articulada en al empotrada en b c,= c3 =cs= 1/4; c. =Cg=1/2; c,o=3/4; e¡=cs= cs= c7=0; a,= a, a3'" a.=O; as= a7 =2; 8s = 1 ,5 Barra empotrada en alarticulada en b c,= c3 =ce= 1/4; e¡ =Co=1/2; c5=3!4: c.=c,= c,o=O: a,= a3 a2 =1,5; a.= a5= as =a, =0 Barra biarticufada: c,= e¡ = c3= c.= cs= Cs "'c7= cs= c9'" c,o=O : a,= a2 = a3= a.= a5= 8s =a7 =0

ecuaciones V.B. 10.

Ejes Jocales

Figura V.B. 7,

Presentación 5/V. Ecuación matricial de la ban'a incluyendo la matriz geométrica

1 cr 2° orden. Teoría 24/V

Ecuación matricial de la barra incluyendo la matriz de rigidez geométrica en ejes generales

~5{f;-CI'p}sen {2a) c~'K'.<;(;na ~t;~i..'Os2a:-<rpsen'a -0,5'(s-cJ.p)'sen{2a)

e-uria+c¡'pcos2a -C2'JC'COsa -O,5'(s-c)"p)'sen (2a) -6"sen~a~c}p'cos"a

ecuación V. B_ 12_

simetría

-1&sen(2a) 3/-o,-sem -3&"crra

36coja -3I-a;'cosa 18sen(2.a)

4iL¡'¡Z - 3/-0) 'sena

3&se,ru

simelria

E= EA!l; P =J2-EJII'; K = 6EIIl' , Ji = 2'EJ/i;

en y 8 n coeficientes definidos en las ecuacioes V.B,10,

Figura V,B,8.

-cf¡"K'sena C/j'K'Cosa

¿'oos'a+Cgpsen'a O,s'(6-c,p)-sen(2a)

18s.n(2a)

-3&cmi'a

3h.J::cOFa

-18sen (2a)

3&co,ra

a

C'sen¿a+G:p'ccda

c4',,'setla fnx 1" -C4 'K'COSQ' I Ó!' ¡

c,p el

-Cr¡K'sena ll!.xj' -",-{('cosa 1"",

c;c'2p te b

Presellfación 6/V. Matrices de geométrica de la barra en ejes generales

Esta ecuación matricial puedc tratarse con técnicas similares a las indicadas en el apartado III,A.l 0, consistentes en obtener la ecuación matricial reducida o penalizada por las condiciones de apoyo del sistema.

Resuelto el sistema lineal de eeuaciones se deducen los desplazamientos de las ligaduras libres referidos a los ejes generales del sistema. Y a partir de estos, como se indica en el apartado siguiente, los esfuerzos en los extremos de las balTas,

V.B.2.3.S. ESFUERZOS EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA CARGADA Como se expuso en apartado III.B.I, figura III.B.I, la presencia de cargas de barra requiere realizar el cálculo matricial en dos etapas. En la primera se introducen cargas iguales a las reacciones cn los extremos de la viga-columna provocadas por la carga externa, ri;.N' ,

teniendo en cuenta en estos valores la influencia de los esfuerzos axiales, si es relevante, y en la segunda se incorporan, aplicadas en los nudos, y referidas a los ejes generales las cargas equivalentes obtenidas, Pl. Estas cargas pueden diferir de las del cáleulo matricial de primer orden si el esfucrzo axial es de importancia. El cálculo de rij/ se debe realizar analizando la barra como viga-columna de manera que los giros de los extremos A y B sean nulos si sc trata de una barra biempotrada, véanse de los momentos de empotramiento que figuran en la tabla V.A.2, apartado V.A.6, o eonsiderando los coeficientes que correspondan si se trata de una barra articulada/empotrada. En formato resumido los esfuerzos {Pab} Y {pba}en los extremos de la viga-columna se obtienen aplicando la ecuación siguiente:

[k ab Jl r {o ab }} r[k~,aa]

[k';b ]Jt Ú~} -30'('b l[k;"bal

[k]; submatriees de rigidez de la barra definidas en la ecuación V.B.9,

ecuación V.B.14

[ke]; submatriees de la matriz de rigidez geométrica definidas en la eeuación V.B.9. Nab ; esfuerzo axial de compresión de la barra abo Si el esfuerzo axial es de tracción se debe

cambiar el signo - por el signo + {ab; longitud de la barra [Taó]Y [Tba]; matrices de cambio de ejes definidas en ecuaciones III.A.2, presentación 2/III,

apartado IlI.A.2.3. {L'>a} Y {L'>b}; desplazamientos de los nudos a y b referidos a los ejes generales.

reaeciones en los extremos de la barra debidas a las cargas de barra incluida, si es relevante la influencia del esfuerzo axial. En la influencia del esfuerzo axial es irrelevante siendo: {rij.NC}={r¡/}

La ecuación V.B.l4, presentada en formato desarrollado corresponde a la ecuación Y.B.15, presentación 7 N.

Los esfuerzos axiales de las barras, Nab , se obtienen en una primera aproximaclOn realizando un cálculo matricial de primer orden. Realizado un análisis matricial de segundo orden los nuevos esfuerzos axiales Nab serán difercntes. En general las diferencias son poco relevantes no precisándose repetir los cálculos.


Ecuación matricial completa de la barra en eíes locales incluyendo I a matriz de rigidez geométrica

II e O O e O

-:'K 1 J: 1- ~

O C¡'p -C2 'K Cj'p

O C7 'fJ 1_ N ab O

,m e O O e O O 30'[ab 10 O C3'p -C6'K O Cs'p -C.K lo 36 -3a11

O -C4'K c;,p O -C9 'K cJO·2f.l~ Lo

illlll 'f sena

j~; I cosa O· A:

O 1 e G_. + -sena

°11") r') sena -cosa O r Ay r,l'.N O O 1 J e b

N m, b

ecuación V.8.15,

a) b)

página 26/ V

-;~11 -a.z

l .

O

lo 36 -3a,: J O -3a,l 4aJ'

Presentación 7 IV. Ecuación matricial completa de la barra de sección constante cargada. incluyendo la matriz de rigidez geométrica en ejes locales

.......... ~ •••••• ,o.~oo .0 •••••••• ~ ........ OH ............................ '~UH""'"'''' o' ••••••••

Eiercicio V.2 y

75kN Para el sistema ¡sostático de barras representado en la figura V.B. 10. en el que la reacción vertical en el apoyo 1 es de 100 kN, aplicando la teoría del 2° orden, se pide:

1) Matrices de rigidez de las barras en ejes locales.

2) Matrices de rigidez de las barras en ejes generales.

2-----¡ 'r 25kN I

10m 3) Cargas equivalentes en nudos 4) Ensamblaje de la matriz de

rigidez general del sistema. 5) Ecuación matricial completa. 6) Ecuación matricial reducida.

f" I07kN/ m<1; A:=:- O#Jmz

1 = o,orm4

)'i.-... ----- X 50kN 7) Desplazamiento del sistema. 8) Esfuerzos en los extremos de

barra 1-2 -j

Figura V.a. 10.

1) Matrices de .barras de cambio de ejes Las matrices de cambio de ejes, ecuaciones UI.A.2 .. presentaclon 2/111 han Sido definidas en el ejercicio 111.1.(1), apartado III.A.6.

2) Matrices de barras en eles locales

Valores auxiliares para las dos barras (se consideran ambas barras como biempotradas) :

l:~EA 107'0,1~IOO.OOOkNlm"p 12 E ! 12. l07 ·0,01 10 1.1 10 J = 1.200 kN 1m

l( = 6· E'-= 610~'O,OI = 6.000kN; /J 2·~_7.0,21 [' 10 2 10 = 20.000 kNm ;c, = e 2 clO

Barra 1-2:

Considerando que esta barra soporta un esfuerzo axial de 100 kN de compresión de aplicar la ecuación V.B.9, siendo sen a. = -1, cos a. = O, resulta:

100.000 o 100000 o o 1 ro o o o 1 1.200 -6.000 o 1.200 -6000, I 36 - 30 o 36 -10 I r k¡~ o -6.000 40.000 o -6000 20.000 . 400 o -30

-~OOI l::, 100 I íOOOOO o 100.000 o o 30·10

I o o o 1.200 -6.000 o J.2oo -6.000

l simetr¡a 36 -30 .

-6.000 20.000 -6.000 40.000 400 j

100.000 o o 100.000

-5~90 1 o !.l88 -5.990 o 1.188

o - 5.990 39.867 -5,990 20.033 :

100000 100.000 o I 1.188 -5,990 o 1.188 -5~90 j

-5.990 20.033 o -5.990 39.867

Barra 2-3 Al ser nulo el esfuerzo axial de la barra se repite la matriz calculada en el ejercicio 111. 1 (1):

100.000 o o ¡00.000 o o 1200 -6.000 o 1.200

o -6.000 40.000 -6.000

100000 o o 100.000 o o 1.200 -6.000 1.200 o -6.000 20.000 o -6.000 Ecuación lilAS. (P 4/111)


3) Matrices de rigidez de barras en eíes generales

Barra 1-2(sen a= -1; cos Cf= O; sen 2a= O) Teniendo en cuenta la influencia de un esfuerzo axial de compresión de 100 kN resulta:

r 1.188 O -5.990 - I.l88 O -5.990

O 100.000 O O -100.000 O

r~:'l ~"~ -5.990 O 39.867 5.990 O 20.033

[~~2] 0= -1.188 O 5.990 1.188 O 5.990 dK 2'] O -100.000 O O 100.000 O

-5.990 O 20.033 5.990 O 39.867

Ecuación V.B.12. (P. 6N)

flprra 2-3 (sen a= O; cos a= -1; sen 2a= O) Al no existir el esfuerzo axial se repite la matriz calculada en el ejercicio 111.1.(1)

1100.000 O O - 100.000 O O 1 I

I O 1.200 6.000 O -1.200 6.000 I I~bl [K:J]i = j ~ O 40.000 O -6.000 20.000 I

I

[K" ] [K"IJ l-'TOO O O 100.000 O

O j L .k

-1.200 -6.000 O 1.200 -6.000

6.000 20.000 O -6.000 40.000

Ecuación /1/.11, (P. 6/111)

4) Cargas equivalentes Considerando la barra 1-2 como viga-columna biempotrada, véase la tabla V.A.2, al ser

u = (10/2)-(75/107'0,01)°,5=0,13693 se obtiene el siguiente factor de amplificación de los momentos flectores:

1/=1,00125 (valor prácticamente despreciable). No obstante se tiene en cuenta En consecuencia: Pl={-25; O; 1,00125'41,666=41,72jT; P/={-25; O; 1,00125'41,666=41,72jT

5) Ensamblaíe de la matriz completa: _ r[~:2Il

[K]- [K 2I ]

dO] 6) Ecuación matricial completa:

o -5.990 -1.188

100,000 O O

39,867 5.990

IOLl88

·41,72

o Simetria

O+R" O Ecuación lilA 14 (P, 71!1I)

[K12 ] [0]1 [;J .. [;d

O -5.990 O

-100.000 O O

O 20.033 O

O 5.990 -100.000

101.200 6.000 O

79.867 O

100.000

O O "'xll O O El" I O O El,

O O A XJ

-1.200 6.000 1'1 "'" -6.000

'''''''' i e, j o -,' .. Jl::, 1.200

40.000 El,

f

¡

Análisis de gur¡do orden

7) Ecuación matricial reducida Teniendo en cuenta que 8Xl=8Y1=8Y3=O, resulta:

41,72 l -25

-75

39.867 5.990

101.188

o O

101200

20.033

5.990

6.000

79.867

o -100.000

O -41,72

O

O

Simetría

Ecuación lilA 15. (P. 8/111)

8) Desplazamientos de nudos:

Resolviendo el sistema:

Nudo 1 Nudo} Nudo 3

Llx(m)

0,000000 -0,20285 -0,20285

Lly(m)

0,000000 -0,001020 0,000000

e (rad.)

0,026946 0,00911l5

-0,0044027

En la figura V.B.11, se representa el sistema desplazado.

O

100.000

página 29/V

6L] El,

20.000

40.~00J 0 3

f 10m. ~ 102,03 kNt----"'-"-''''------+

Figura V.B. 11.

9) Esfuerzos-reacción en los extremos de la barra 1-2

r' pJ 1 !JOO~OOO O O 100.000 O O 1 r r

1" I[ i ° 1.188 -5.990 O Ll88 -5990 O

-5.990 39.867 O -5990 20.033 i i II J lln) = .. .. lo" I ¡pxljllOoooo O O 100.000 O tpy

: O Ll88 -5990 O l.l88 ;;;::j l~' l, In J l O -5.990 20.033 O -5.990

¡r',¡1 1:;; l

I r~, 11

l,l,nfJ Obsérvese que el esfuerzo axial que sufre la barra 1-2, ha pasado de 100 kN a 102,03 kN,

incremento poco relevante que no precisa de la necesidad de repetir los cáleulos

30/V

V.C. PANDEO DE PÓRTICOS.

V.c.l. COEFICIENTE CRÍTICO DE PANDEO En la figura V.Cl.a, se representan un pórtico intranslacional, y en la figura b el mismo pórtico considerado como translacional. Para ambos casos se representan los modos de pandeo cuando las cargas axiales alcanzan los valores críticos. En el pórtico intranslacional las barras se comban sin que existan desplazamientos laterales de los nudos. En el segundo caso se superponen combaduras y desplazamientos.

a) Pórtico intras/aciona! b) Pórtico Iras!acionol

r r

Figura VC1. pandeo de pórticos

La ecuación matricial penalizada o reducida de un sistema de barras puede representarse en formato resumido de la forma siguiente:

ecuación

V.C.I

{P} ; vector que representa las cargas aplicadas en los nudos referidas a los generales. [K] ; matriz de rigidez del sistema reducida o penalizada. No ; esfuerzo axial de compresión de una de las barras que se como refente.

Generalmente se la barra con el esfuerzo axial de compresión mayor No [Ka], matriz geométrica reducida o penalizada del sistema {LI} : vector que representa los desplazamientos de los nudos referidos a los generales.

Para unificar las ecuaciones matriciales de las barras al fonnato de la ecuación v.eJ, los coeficientes de las matríces geométricas de las diferentes barras, ecuación V.B.12, quedan afectados por el factor Na/No.

Si el determinante de la ecuación matricial es nulo, es decir,

ecuación V.C.2


los desplazamiento de los grados de libertad del sistema se hacen infinito, lo que representa que el sistema pandea. El pandeo se presenta para el menor valor del esfuerzo axial de referencia No=Ncrque cumpla la ecuación V.C2.

Para determinar Ner primer autovalor de la ecuación V.C2, y los desplazamientos modales de las ligaduras libres asociados a ese modo de pandeo, se efectúan las transformaciones siguientes:

I[Kr{K]-No {Kl-I{KG ]! =0;

I"~o -[K ]-1 {KG ~ = O;

I~-[Di=o No 1

[D], matriz característica igual a [Krl. [Ka]

[1]. matriz identidad

Al valor propio menor, Ncr" se le asocia el vector propio {LJ} con el que se verifica la ecuación característica:

ecuación

V.C.3

Las componentes del vector propio {LJ}, representan, como ya se ha dicho, los desplazamientos modales de las ligaduras libres del sistema al iniciarse el pandeo global si se opera con la matriz reducida, o de todas las ligaduras si se opera con la matriz penalizada.

A la relación se le denomina coeficiente critico de pandeo global y representa el factor por el que han de multiplicarse las cargas para que se presente el pandeo global del sistema de barras.

Así, por ejemplo, para el pórtico representado en la figura V.C2. se deduce Ja carga critica Ncr=44,60 kN, lo que significa que multiplicadas las cargas por el valor acr 4,66 se produce el pandeo del pórtico con una forma modal de desplazamiento definida por los valores siguientes:

2° orden. Teoría

a) ~OkN rOkN

z*:-' ----131 10

I

11

b)

0.7017 r-- -0,0507

2'

E - 10.000.000 kNlrn2

A- 1 rrt. i=O,OOOI w

Figura V.C2.

V.C.2. LONGITUDES DE PANDEO

0,7019 ~ ;.-. '-a .,j

0,1/0

Nudo De,p. X Desp. Y Giro

1 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,70178 0,00034 -0,05078 3 0,70178 -0,00034 -0,007049 4 O,O()OO 0.0000 -0,11005

Estos desplazamientos de los nudos que se representan en la figura V.C.2.b, permiten dibujar con cicrta aproximación la deformación adoptada por el pórtico al iniciarse el pandeo

Las longitudes de pandeo de las barras del sistema se deducen en función del coeficiente critico de pandeo ac,y de la carga de Euler de la barraPF.apIícando la ecuación siguiente:

:11:' ecuación V.CA

Eiercicio V.3

Para el sistema de barras representado en la figura V.e.3, aplicando las matrices de rigidez geométricas, se pide:

1) Ecuación matricial completa 2) Ecuación matricial reducida 3) Matriz caracteristica 4) Valor de la carga, Ncr Y del coeficiente de pandeo global, aCl' 5) Forma modal de pandeo 6) Longitud de pandeo de la

columna 1-2

y I r=/OOkN

Ir-- -~T I I ¡

E=t07kN/m2

A = O,lm2

J = O,olm4

.:....-----X 1

10m l00kN

10m

Figura V.C.3

1) Ecuación matricial completa incluida la matriz geométrica Ensamblando las matrices de las barras 1-2;2-3,ecuaciones V.B.12, se obtiene la ecuación matricial completa:

r RX1 11.200 O -6.000 .. 1.200 O -6.000

T" I Rn I 100.000 o O -100.000 o 1Í.y¡

I o ) 40.000 6,000 o 20.000 El 1 " "

I o 101.200 o 6,000 -100.000 O I j~X2, I O <-100 101.200 6.000 O -·1.200 I o 6000 I 't I . I 80.000 O .. 6,000 20.000 I El,

l I [K]" I o I ~X31 ' o J

Simetn"a 100.000 O I R

Y3 1.200 -6.000 1Í.~3 J l o 40,000 J El,

f36 O -30 -36 o 30 O o 01 r IÍ. Xl

O O o o o o O O! I "Yl 400 30 o -100 O o

01 8,

I 36 O 30 O o ~ ij~~2 _ No I o o O o 300 °rJ2

1, 400 O O o: 8,

" ~I '~"3 1

Simetrfa f[K~lJ O o o O, ~Y3

o J 0 3

Cálculo matricial de estructuras, I el' Y 2° orden. Teoría y problemas

2) Ecuación matricial reducida incluida la matriz geométrica

o 40.000 6.000 O 20.000 O O

O 101.200 O 6.000 -100.00 O

p 101.200 6.000 o 6.000

o 80.000 O 20.000

o simetría 100.000 O

O 40.000

400 30 O -100 O °fl 36 O 30 O O !:J. X2 ¡

N O O O 01"'1 o • 300 400 O °rl Simetría O O !:J. X3

L O l e 3

3) Matriz característica

r 8.33 -8,34 O -8,33 O 01

- 3~,33 68,43 O 50,00 O O

[D]= [r l }[KGl 0,1 O O O O 1O~3.

H·3l 3,34 O O O O

68,43 O 50,00 O O

1,656 O O O O

4) Carga de pandeo Resolviendo la ecuación V.C.3, se deduce la carga crítica siguiente:

Nor= 1.421,9 kN A la que corresponde el coeficiente crítico de pandeo:

Clcr=Nc/100=14,219

5) Forma modal de pandeo Los autovalores que corresponden a la carga

critica son, el í-o,o9021

i\.X2 O,7~371 i\.n 0,0010

(;¡ 2 -0,0335

i\.X3 I 0,7'~37 e) lO,0166

representados en la figura V.CA.

6 Longitud de pandeo Aplicando la ecuación V.CA., resulta:

".' (El}12 = fr' 26,34 m \ a"N12

página 34/V

el !:J. n !:J. n e2

!:J. X3

e3

fOro --...... ----t

Figura V.CA

BIBLIOGRAFÍA Argüelles Álvarez, R y R Argüelles Bustillo.

Chen, W y Luí, E.M

Ziad M. Elias

Sáez-Benito, J.M.

Análisis de Estructuras. Teoría, Problemas y Programas. Ed. Fundación Conde del Valle Salazar. Madrid 1996

Stability Design ofSteelframes. CRC Preso Florida 1991

Theory and methods of Structural Analysis. Ed. John Wiley and Sonso New York. 1986


ALFABÉTICO

ÍNDICE ALFABÉTICO

A Ancho de banda de la matriz de rigidez del sistema Aplicaciones del teorema de Maxwell-Betti Apoyos elásticos Apoyos elásticos. Ejercicio III.7 Apoyos no concordantes Articulación cilíndrica Articulación esférica

B Barra articulada/empotrada solicitada por cargas normales a su eje Barra articulada/empotrada solicitada por una carga parcial y uniforme Barra articulada/empotrada solicitada por una carga puntual Barra articulada/empotrada solicitada por una carga uniforme Barra biempotrada solicitada por cargas normales a su eje Barra biempotrada solicitada por una carga parcial y uniformemente repartida Barra biempotrada solicitada por una carga puntual Barra biempotrada solicitada por una carga uniformemente repartida Barra biempotrada. Cálculo de las incógnitas hiperestáticas r y,.c y m.c

Barra con apoyos indesplazables solicitada por cargas axiales Barra espacial. Presentación Barra hiperestática Biela equivalente a un apoyo elástico

e Cálculo de la incógnita hiperestática r y.'

Cálculo de pórticos en segundo orden Cálculo matricial de sistema de barras en segundo orden Cálculo matricial del sistema espacial de barras Calentamiento desigual de la barra Cargas de barra de la barra espacial Coeficiente crítico de pandeo global de pórticos Coeficiente de dilatación térmica Coeficiente de muelle Coeficientes de amplificación de algunas clases de carga de la viga-columna

7/III 1011 42/I1I 4411I1 39/I1I 30/IV 29/IV

31II 61II; 71II 5/II;61II 5111 71II IOIII 91II 9/Il 71II lllI! l/IV llII 43/1I1

3/lI

14/V 19/V 12/1V 13/1 l/IV 29/\!; 30/V 13/1; 48/III 42/III 6/V

íi 2° orden. Teoría

Coeficientes de amplificación de la viga-columna Coeficientes de amplificación. Comparación Coeficientes de influencia Coeficientes de influencia en el extremo A del voladizo Coeficientes de la matriz de la barra espacial. Significado físico Coeficientes de la matriz de de la barra aislada Coeficientes de la matriz de de la barra de sección constante

Significado físico Coeficientes de rigidez de la barra Coeficientes de rigidez. Definición Coeficientes de rigidez. Significado físico Coeficientes Kij de la matriz de rigidez completa

Coeficientes Kij de la matriz de completa. Significado físico ( plano)

Combaduras iniciales de las barras Comparación de resultados de un análisis de primer orden y de segundo orden Constante de resorte Continuidad de desplazamientos Cósenos directores de ejes auxiliares

D Deslizadera Desplazamiento generalizado en el extremo de la barra aislada Desplazamientos de la viga columna para diferentes clases de cargas Desplazamientos de los extremos de la barra espacial referidas a los ejes principales Desplazamientos del extremo A del voladizo para diferentes tipos de carga Desplazamientos forzados de los nudos de los pórticos planos Desplazamientos modales. Pandeo

E Ecuación de condiciones de un sistema hiperestático Ecuación de la flexibilidad de un sistema hiperestático Ecuación de la rigidez de un sistema Ecuación matricial completa de la barra en ejes generales (plano) Ecuación matricial completa de la barra cargada de sección constante Ecuación matricial completa de un sistema de barras espacial Ecuación matricial completa de un sistema de barras plano Ecuación matricial completa incluyendo la matriz geométrica de un sistema plano Ecuación matricial de la barra en ejes globales Ecuación matricial de la barra en formato resumido en ejes generales Ecuación matricial de la barra espacial en ejes principales Ecuación matricial de la barra espacial en formato desarrollado (espacial) Ecuación matricial de la barra espacial en formato resumido (espacial) Ecuación matricial de la barra incluyendo la matriz geométrica (plano) Ecuación matricial de la barra aislada sin cargas Ecuación matricial reducida de un sistema espacial Ecuación matricial reducida de un sistema plano Ecuación matricial subdividida según apoyos (plano) Ecuaciones canónicas de un sistema hiperestático

5N;7N 7N 1511; 17/1; 2311 21II 2111V 13111; 14/II 141II; 151II 7/IV 20/1 2011 511II 51l1I; 6/lI! 15N 18N 42/1II I/III 14/IV

29/IV IIII; 3/m 4N 2/IV 2111 46/1B 30N

31II 15/1; 1611 2011 911II; IO/III 19111; 20/II: 34/III 12/IV l/III; 2/IlI 22N;29/V 1911V 8/III 4/IV 27/IV 26/IV 23N 121II; 8/m 2411V 15/III I6/lIl 22/1; 2411

ÍNDICE "Lrrtor'.

Efecto P-li Efectos térmicos. Calculo matricial (plano) Ejes auxiliares de la barra en un sistema espacial Ejes generales de un sistema de barras (plano) Ejes globales de un sistema espacial Ejes locales de la barra (plano)

principales de la barra espacial Empotramiento perfecto (espacial)

desarrollada por las fuerzas exteriores potencial interna

Enlaces de las barras de un sistema plano Enlaces rígidos de barras a nudos Ensamblaje de la matriz de rigidez (plano) Equilibrio de la barra en la geometría deformada Esfuerzo generalizado en el extremo de la barra (plano) Esfuerzos en los extremos de barra en formato desarrollado (matríz geométrica) Esfuerzos en los extremos de barra en formato resumido (matriz geométrica) Esfuerzos en los extremos de barra en función de los desplazamientos (plano) Etapas del cálculo matricial

F Factor simple de amplificación Factores de amplificación de la viga-columna Factores de amplificación del momento máximo de la viga-columna Flecha máxima de la viga-columna Flechas y giros del extremo A del voladizo Formato desarrollado de la ecuación matricial de la barra aislada Formato resumido de la ecuación matricial de la barra aislada Fuerzas equivalentes. Cálculo (plano) Fuerzas equivalentes. Definición Fuerzas equivalentes. Efectos térmicos (plano) Fuerzas equivalentes. Ejemplo de cálculo (plano) Funciones de estabilidad

G Grados de libertad de la barra espacial Grados de libertad de los extremos de la barra aislada Grados de libertad de un sistema de plano barras Grados de libertad. de un sistema Grados de libertad. Definición

1 Imperfecciones de ejecución (plano) Imperfecciones de las estructuras (plano) Incógnitas hiperestáticas Influencia de las variaciones de temperatura

14/V 47/m 1411V 311II 1411V IIII; 211I!; 3/III 2/IV 3D/IV 211 1611 1211II 25/III 14111I 2/V 11II;311II 25/V 24N 20/III 30/III

6N; 15N 5/V 9/V; ION 3/V 31II 131II 131II 31/III 31/III 47IIII 33/III 8N;9/V;20/V

311V llII 5/III; 7/III 23/1 15/1

lIN 15N 22/1; 71II 13/1

IV Cálculo matricial de pot.m~tnr,'o lCf 2° orden. Teoría

L Ley de superposición Leyes de esfuerzos de la barra cargada de un sistema espacial Leyes de esfuerzos de la barra cargada de un sistema plano Ligadura-apoyo Ligaduras impedidas Ligaduras libres Linealidad o-PC'n-IF·tr",o

Linealidad mecánica Longitudes de pandeo de las barras de los pórticos

M Matrices de cambio de ejes auxiliares e ejes principales de barra (espacial) Matriees de eambio de ejes de la barra en un sistema plano Matrices de cambio de ejes de un sistema espacial Matrices de cambio de ejes globales a ejes auxiliares de barra Matrices de rigidez y geométrica de la barra en ejes generales Matriz completa de rigidez de un sistema de barras espacial Matriz completa de rigidez de un sistema de barras plano Matriz de flexibilidad Matriz de rigidez de la barra aislada Matriz de rigidez de la barra biempotrada en ejes locales en segundo orden Matriz de rigidez de la barra en ejes generales de un sistema plano Matriz de rigidez geométrica Matriz de rigidez geométrica de la barra en locales Matriz de rigidez reducida (plano) Matriz de rigidez. Definición Método de las fuerzas Método de Mohr Método de Newmark Método iterativo para el análisis de pórticos en 2° orden Modelos de barra de la matriz de rigidez. Selección (plano) Momento má;'{imo de flexión de la viga-columna

N Notación de esfuerzos y desplazanlientos de la barra en un sistema plano Notación de esfuerzos y desplazamientos de la barra espacial Nudo articulado

p Pandeo de pórticos Penalización de la matriz de rigidez completa del sistema espacial Penalización de la matriz de completa del sistema plano Pórtico intranslacional Pórtico translacional

24/I; 61Il; 111Il 29/IV 36/I1I 25/III 1IIII; l5/IIl l/III; 15/Ill IN; I4N 14N 31/V

18/IV 4/III 14íIV l5/1V 23N 13/IV; 23/lV 2/III; 5/III 16/I 12111 20/V 8/III 15/V 21/V 16/III 20/I

31Il 10m; 17/Il ION; 15/V 16/V 27/lII 4/V

3/lll 3/IV 26/III

29/V 25/IV 12/l1I; 1 7/m 15/V 15/V

ÍNDICE

R Reacciones de la barra espacial Reacciones de un sistema espacial

Reacciones en los apoyos de un sistema de barras plano Resolución del sistema de barras espacial Resolución del sistema de barras plano Rodillo guiado

S Segundo orden. Sistema defonnado Sistema equilibrado Sistema principal Sistema real

Solicitaciones torsoras de la barra espacial

Submatrices: Kaa b;Kab; K", y Kbb" de la matriz de rigidez de la barra en ejes globales

Submatrices: Kj/;Kj¡; Kjt y Kj/ de matriz de rigidez en ejes generales (plano)

T Tablas de reacciones de la barra aislada (plano) Teorema de la reciprocidad de los recorridos Teorema de los trabajos virtualcs Teorema de Maxwell-Betti Teorema de Mohr Trabajo de las fuerzas exteriores Trabajo de las fuerzas interiores Trabajo desarrollado por el cortante Trabajo realizado por las fuerzas externas

V Valores de los coeficientes Cn,y y Cn.z de la barra en ejes principales

~alores numéricos de los coeficientes de la matriz de la barra en ejes generalcs vector cargas en nudos de un sistema espacial Vector cargas en nudos de un sistema plano Vector desplazamientos de nudos de un sistema plano Vector desplazamientos de nudos de un sistema espacial Vector propio. Pandeo Viga continua

Viga-columna biempotrada solicitada por una carga unifonnemente repartida Vlga-columna patrón

Vigas-columnas de barras hiperestáticas

IOIIV 29/IV 221m 24/IV 35/I1I 29/IV

IN l/m Sil 22/1; 23/1; 31II 24/1 l/IV 20/IV

141m

221II

7/1 23/1 1/1

8/1 10/1

3/l; 5/I 3/! 3/[

6/!V

lO/m 12/IV 2/III 2/lII 13íIV 30N 2211; 24/1 7N IN llN

estructuras, calculo matricial de teoria y problemas (ramon argüelles, edit bellisco)1

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