UNIVERSIDAD DE ORIENTENUCLEO DE BOLIVAR

COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADOPOSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS.

VII COHORTE    

MATEMATICA  APLICADA A LA ADMINISTRACIONCODIGO # 806-3120

SECCION U

PROF. HUGAR CAPELLA

Matrices. Parámetros básicos Definiciones básicas Una matriz m×n es una tabla o arreglo 

rectangular A de números reales con m REGLONES (O FILAS) y n COLUMNAS. (Renglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. 

          Los números reales en  la matriz se  llaman sus entradas.  La entrada en la fila o reglón i y columna j se llama aij o Aij. 

2

3

A =

0 1 2 0 3

A13 = 2

1/3 -1 10 1/3 2

3 1 0 1 -3

2 1 0 0 1

Ejemplo Aquí es una matriz 4×5.. 

EJEMPLO: UNA EMPRESA  QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCE TRES MODELOS CON DISTINTAS CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES . LA CAPACIDAD DE PRODUCCION  EN LA PLANTA DE VALENCIA  (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ    A

A =

5 3 2

7 4 5

10 8 4

TAMAÑO  I (20 PULG)=  5X +3Y+2Z

TAMAÑO II (23 PULG) =  7X+4Y+5Z

TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z

(EN MILES)

LA MATRIZ  B DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA OTRA PLANTA DE LA EMPRESA ( PTO ORDAZ)

(AMBAS SON MATRICES CUADRADAS)4

B = 4 5 3

9 6 4

8 12 2

Operaciones con matrices

Trasposición La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji. Suma, Resta Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij. Producto escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij). Producto Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados. 

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Álgebra de matrices

A+(B+C) = (A+B)+C Regla asociativa de adición

A+B = B+A Regla conmutativa de adición

A+O = O+A = A Regla unidad de adición

A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición

c(A+B) = cA+cB Regla distributiva

(c+d)A = cA+dA Regla distributiva

1A = A Unidad escalar

0A = O Cero escalar

A(BC) = (AB)C Regla asociativa de multiplicación

AI = IA = A Regla unidad de multiplicación

A(B+C) = AB + AC Regla distributiva

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos: Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. En Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas: 

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(A+B)C = AC + BC Regla distributiva

OA = AO = O Multiplicación por matriz cero

(A+B)T = AT + BT Trasposición de una suma

(cA)T = c(AT) Trasposición de un producto escalar

(AB)T = BTAT Trasposición de un producto matriz

Álgebra de matrices

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general

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MATRIZ IDENTIDAD Y MATRIZ CERO

Matriz identidad

I =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Matriz Cero

8

0 1 2 T

1/3 -1 10

=

0 1/3

1 -1

2 10

Ejemplos Trasposición 

0 1 + 2

1/3 -1

1 -1 =

2/3 -2

2 -1

5/3 -5

Suma y producto escalar

0 1

1/3 -1

1 -1

2/3 -2=

2/3 -2

-1/3 5/3

Producto 

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EJEMPO LAMINA 4        SUMA Y PRODUCTO ESCALAR

EJEMPLO: UNA EMPRESA  QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCE TRES MODELOS CON DISTINTAS CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES . LA CAPACIDAD DE PRODUCCION  EN LA PLANTA DE VALENCIA  (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ    A

A =

5 3 2

7 4 5

10 8 4

TAMAÑO  I (20 PULG)=  5X +3Y+2Z

TAMAÑO II (23 PULG) =  7X+4Y+5Z

TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z

(EN MILES)

LA MATRIZ  B DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA OTRA PLANTA DE LA EMPRESA ( PTO ORDAZ)

10

B =

4 5 3

9 6 4

8 12 2

Hallar:a) CUAL ES LA CAPACIDAD DE PRODUCCION TOTAL DE LA EMPRESA EN LAS DOS PLANTAS?

A+B =

5 3 2

7 4 5

10 8 4+

4 5 3

9 6 4

8 12 2

=9 8 5

16 10 9

18 20 6

b) Cual es nueva producción total si la producción de la planta en Puerto Ordaz se incrementa  en un 20 %   ( multiplicación por un escalar)

11

COMO MULTIPLICAR MATRICES

12

Ejemplo

13

14

EJEMPLO DE PRODUCTO ENTRE MATRICES

• PRODUCTO DE DOS MATRICES

• OTRAS OPERACIONES

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales      Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: 

El sistema de ecuaciones lineales  

  a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1

  a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2

   . . . . . . . . . . . . . .

  am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

  A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

. . . . . . .

am1 am2 am3 . . . amn

se puede escribir como la ecuación matriz

AX = B donde

X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T

y 

B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T

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EJEMPLO:  SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 

x + y - z = 4

3x + y - z = 6

x + y - 2z = 4

1 1 -1 x

=

4

.3 1 -1 y 6

1 1 -2 z 4

Su forma matricial   AX=B

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METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES  APLICANDO MATRICES.

DADO EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES:

2X – 2Y  = 4  X + 3Y  = 5Métodoa) Intercambio de filas o renglonesb) Multiplicación o división   de una fila por una constante distinta de ceroc) Adición o sustracción de un múltiplo constante de una fila  a   (o de) otra  fila.          

3 -2 x=

4

.1 3 y 5

1 3 x=

5

3-2

y 4

19

20

REDUCCION DE FILAS

21

1 1 2 x

=

4

.2 -3 4 y 13

3 5 -1 z -4

R2-2R1   Y   R3-3R1

1 1 2 x

=

4

.0 -5 0 y 5

0 2 -7 z -16

22

23

http://www.portalplanetasedna.com.ar/ecuaciones_online.htm

      UN CONTRATISTA DISPONE  DE 5000 HR-HOMBRES DE MANO DE OBRA PARA TRES PROYECTOS. LOS COSTOS POR HORAS HOMBRE DE LOS TRES PROYECTOS  SON DE BsF 8, BsF 10, BsF 12 RESPECTIVAMENTE Y EL COSTO TOTAL ES DE BsF 53.000. SI EL NÚMERO DE HR-HOMBRES PARA EL TERCER PROYECTO ES IGUAL  A LA SUMA  DE LAS H-H REQUERIDAS POR LOS PRIMEROS PROYECTOS. CALCULE   EL NUMERO DE H-H  DE QUE SE DISPONE EN CADA PROYECTO.

SOLUCION:   X  +     Y  +     Z  =  5000               (1) 8X  +10Y  +12Z  =  53000              (2)   X   +    Y   -    Z   =   0                     (3)

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Sea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual  a  su  número de  filas,  entonces  es  posible  a  veces  despejar  a X  en  una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad 

AA-1 = A-1A = I. Si A  tiene una  inversa  decimos  que A  es  invertible,  si  no,  decimos  que A  es singular. En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación 

AX = Bmultiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da 

X = A-1B.

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• Definición: A-1 es la  inversa de A si se cumple que A . A-1  =  A-1 . A  =  I   Método de Gauss o de triangulación para hallar la inversa de una matriz Tomemos la igualdad  A . A-1  =  I  de la definición.  Si aplicamos a ambos lados de laigualdad una serie de operaciones elementales de tal forma que A se transforme en  I

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PROBLEMA ANTERIOR

27

1 1 2 x

=

4

.2 -3 4 y 13

3 5 -1 z -4

SOLUCION  CON EXCEL

•  

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-1

X 1 1 2 4

Y  =  2 -3 4 X 13

Z 3 5 -1 -4

VER LA SOLUCION

FIN DEL CAPITULO DE MATRICES

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