estimation and direct adaptive control of delay.pdf

7/28/2019 Estimation and direct adaptive control of Delay.pdf

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Automatica, V ol . 22 , N o . 5 , pp . 555 560 , 1986P r i n t e d i n G r e a t B r i t a in .0 0 0 5 1 0 9 8 / 8 6 $ 3 . 0 0 + 0 . 0 0

P e r g a m o n J o u r n a l s L t d . 1 9 8 6 I n t e r n a t io n a l F e d e r a t i o n o f A u t o m a t i c C o n t r o l

Est imat ion and Direc t Adapt ive Contro ldifferential Systems*

of De lay-

R O L F J O H A N S S O N tM ode l matching o f 2-D systems and parameter identi fication are combined for adaptivecontrol o f delay-differential systems.Key W ords--Adap tive control; delays; discrete systems; estimation.

Abstract--The problem of adaptive prediction and direct adapt-ive control for sy stems described by delay-differential systemsis considered. A m od el reference approach to direct ada ptivecontrol is show n to be feasible for a class of 2-D systems. Areparametrization of the 2-D system is given and the identi-fication problem is converted into a linear estimation problem .Som e necessary conditions for existence of solutions to theadaptive prediction and direct adaptive control prob lem arealso given.INTRODUCTION

T H E P R OB L EM o f d i r e c t a d a p t i v e c o n t r o l a n d a d a p t -i v e f i l t e r i n g f o r s y s t e m s d e s c r i b e d b y d e l a y - d i f f e r -e n t i a l e q u a t i o n s i s c o n s i d e r e d . T h i s k i n d o f s y s t e md e s c r i p t i o n i s n a t u r a l l y o b t a i n e d f o r p r o c e s s e s w i t hf l o w s , t r a n s p o r t d e l a y s , a n d r e f l u x e s , ( M o r s e , 1 9 76 ;E m r e e t al . , 1 9 8 2 ) . A q u i t e d i f f e r e n t a p p l i c a t i o nd e s c r i b e d b y s i m i l a r s y s t e m e q u a t i o n s i s i m a g ep r o c e s s i n g s y s t e m s . T h i s l a t t e r a p p l i c a t i o n w i l lh o w e v e r n o t b e c o n s i d e r e d h e re .

A m o d e l r e f e r e n c e a p p r o a c h t o d i r e c t a d a p t i v ec o n t r o l i s s h o w n t o b e f e a si b l e fo r a c l a ss o f 2 - Ds y s t e m s . A r e p a r a m e t r i z a t i o n o f t h e 2 - D s y s t e md e s c r i p t i o n i s g i v e n a n d t h e i d e n t i fi c a t i o n p r o b l e mi s c o n v e r t e d i n t o a l i n e a r e s t i m a t i o n p r o b l e m . S o m en e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r e x is t e n c e o f s o l u t i o n s t ot h e a d a p t i v e p r e d i c t io n a n d d i re c t a d a p t i v e c o n t r o lp r o b l e m a r e a l s o g iv e n .

PRELIMINARIESL e t R [z] d e n o t e t h e r i n g o f p o l y n o m i a l s i n z

w i t h r e a l c o e f f i c i e n t s . H e r e s y s t e m s d e f i n e d o v e rR [ z l , z 2 ] , i.e . t h e r i n g o f p o l y n o m i a l s w i t h r e a lc o e f fi c ie n t s i n t w o i n d e l e r m i n a t e s - - z l a n d z 2 , w il l

*Received 8 August 1985; revised 24 February 1986. Theoriginal version of this paper w as presented at the 7th IFAC /IFORS Symposium on Identification and System ParameterEstimation which was held in York, England during July 1985.The published proceeding of this IFAC meeting may b e orderedf rom Pergam on Books Ltd, Headington Hil l Hall , OxfordOX3 0BW , England. This paper was recommended for pub-lication in revised form by Associate Edito r P. J. G awthropunder the direction of Editor P. C. Parks.~'Lund Institute of Technology, Department of A utomaticCon trol, Box 725, S 22007, Lu nd 7, Sweden.

a l s o b e c o n s i d e r e d . S u c h s y s t e m s a r e f o r e x a m p l ec o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s w i t h d e la y s a n d 2 - D i m a g ep r o c e s s i n g f i l t e r s . T h e s y s t e m s m a y a s w e l l b ed e s c r ib e d b y p o l y n o m i a l s i n R(zl)[z2] o r R [ z l ] [ z2] ,i .e . p o l y n o m i a l s i n z 2 w h o s e c o e f f i c i e n t s a r e r a t i o n a lf u n c t i o n s a n d p o l y n o m i a l s i n z l , r e s p e c t i v e l y . F o rt h e t h e o r y o f p o l y n o m i a l s o f s e v e r a l v a r i a b l e s, s e eK a m e n a n d R o u c h a l e a u ( 1 98 3) o r V a n d e r W a e r d e n( 1 9 7 0 ) . T h e a l g e b r a i c p r o p e r t i e s o f R [Zl ,Zz] a r ed i f f e r e n t f r o m t h o s e o f R [z] . T h e r i n g o f p o l y -n o m i a l s R [z] i s e .g . a E u c l i d e a n d o m a i n , w h i l eR [ z l , z z ] i s no t , s ee S hap i r o ( 1975) .

T r a d i t i o n a l m e t h o d s t o s ol v e m o d e l m a t c h i n gp r o b l e m s i n l i n e a r s y s t e m s t h e o r y , s e e A s t r 6 m a n dW i t t e n m a r k ( 1 9 8 4 ) o r K a i l a t h ( 1 9 8 0 ) a r e b a s e d o nt h e D i o p h a n t i n e e q u a t i o n

A R + B S = P , (1 )w h i c h f o r g i v e n A , B , P e R [ z ] h a s s o l u t i o n s R ,S ~ R [ z ] i f A a n d B a r e c o p r i m e . I n t h e 2 - Dc a s e t h e r e a r e s o l u t i o n s R , S~R ( z l ) [Zz] f o r A , B ,P ~ R[zx] [zz] w h e n A a n d B a r e c o p r i m e , i .e . w h e nt h e B e z o u t i d e n t i t y e x i s t s , s e e M o r f et al . , (1977).T h e r e a r e a l s o s o l u t i o n s R , SER[z1][z2] f o rc o p r i m e A, B6R(Zl) [Z2] a n d P e R [ Z l ] [ Z 2 ] , seeK h a r g o n e k a r a n d S o n t a g ( 1 9 8 2 ) a n d t h e o r e m 2 . 1 1o f E m r e et al. ( 1 9 8 2 ) . F o r f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n s o nt h e c o p r i m e n e s s p r o b l e m o f 2 - D p o l y n o m i a l s , s eeM o r f et al. (1977).

555

P ROBLEM F ORMULATI ONT h e p r o b l e m o f d i r ec t a d a p t i v e c o n t r o l o f 2 - D

s y s t e m s w il l n o w b e c o n s id e r e d . T h e t r e a t m e n t i sb a s e d o n a m o d e l r e f e r e n c e a p p r o a c h t o d i r e c ta d a p t i v e c o n t r o l . A c l o s e r a c c o u n t i s g i v e n , e . g . i n~ s t r 6 m a n d W i t t e n m a r k ( 1 9 8 4 ) o r L a n d a u ( 1 9 7 9 ) .T h e m o d e l r e f e r e n c e a p p r o a c h i s c l o s e l y c o n n e c t e dw i t h t h e p r o b l e m o f e x a c t m o d e l m a t c h i n g . T r e a t -m e n t s o f t he 2 - D c a s e o f m o d e l m a t c h i n g a r e f o u n di n e . g . E i s i n g a n d E m r e ( 1 9 7 9 ) a n d S e b e k ( 1 9 8 3 ) .


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556 R. JOHANSSONT h e p r o b l e m i s t o f i n d a c o n t i n u o u s - t i m e r e g u -

l a t o r d e s c r i b e d b yl o c a t i o n s o f ze r o s. I n t r o d u c e f o r t h is r e a s o n t h ef o l l o w i n g f a c t o r i z a t i o n s

S Tu = ~ y + ~ u c ( 2)

t o c o n t r o l a c o n t i n u o u s - t i m e o b j e c t d e s c r i b e d b yt h e fa c to r i ze d in p u t - o u t p u t m o d e l

By = 5 u , ( 3 )w i t h i n p u t u , o u t p u t y a n d c o m m a n d s i gn a l uc. T h ep r o b l e m o f e x is t e n c e o f p o l y n o m i a l f a c t o r i z a t i o n si s t r e a t e d i n K h a r g o n e k a r ( 1 9 8 2 ) . H e r e A , B , R , S ,T a r e p o l y n o m i a l s w i t h u n k n o w n r e a l c o e f f i c i e n t si n s o m e o p e r a t o r ( s ) . T h e o p e r a t o r s m a y b e , e . g .t h e d i ff e r en t ia l o p e r a t o r p a n d s o m e t i m e d e l a yo p e r a t o r . I n t h is p a p e r t h e f o l l o w i n g o p e r a t o r s w i llb e u se d

az l - an d z2 = e-~P (4)p + af o r s o m e g i v e n , p o s i t i v e c o n s t a n t a . T h e o p e r a t o rz ~ i s a l o w p a s s f i l t e r o p e r a t o r a n d z 2 r e p r e se n t s at i m e d e l a y ~. T h e s e o p e r a t o r s a r e c h o s e n b e c a u s et h e y a r e c a u sa l , s t a b l e o p e r a t o r s w i t h f i n i t e g a i n .P e r n e b o ( 1 9 80 ) h as d e v e l o p e d a n a l g e b r ai c s y s t e m st h e o r y p a r t l y b a s e d o n s u c h o p e r a t o r s a n d J o h a n s -s o n ( 1 9 8 3 ) h a s d e m o n s t r a t e d t h e i r r e l e v a n c e f o ra d a p t i v e c o n t r o l . N o t i c e t h a t t h e se o p e r a t o r s c o m -m u t e i n t h e c o n t e x t o f t h is p r e se n t a t i o n , i .e . t h ei n p u t - o u t p u t p o i n t o f vi ew o f si g n al p r o c e s si n g .N o t i c e a l so t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n r e su l t s i n n e wp a r a m e t e r s w h i c h a r e l i n e a r w i t h r e s p e c t t o t h eo r i g i n a l p a r a m e t e r s .

T h e p o l y n o m i a l s A a n d B a r e t h e n

i=oj=oB(21,22) = Z b i j Z i l Z J 2 (5)/=Oj=O

f o r so m e f i n it e o r d e r s niA , njA , nia , njB. T h e c o n d i t io no n a o o is im p o s e d f o r t h e p u r p o s e o f n o r m a t i o na n d i s p o s s i b le i f t h e t r a n s f e r f u n c t i o n o f (3 ) is b o t hc a u s a l a n d p r o p e r . T h e t r a n s f e r o p e r a t o r o f (3 ) m a ya l so b e f a c t o r i z e d a s

A (z z 2 ) ( ( t ) = u(t)y ( t ) = B ( z a , Zz)~(t) (6)

f o r so m e i n t e r n a l s t a t e v a r i a b l e 4 .T h e p o l y n o m i a l B m a y b e f u r t h e r d e c o m p o s e d

i n t o a n u m b e r o f f a c to r s . T h e m a i n c o n c e r n i s t h e

B = b o B I B 2 ; B I ( O , O ) = 1 ,B2( I , 1 )= 1. (7 )T h e p o l y n o m i a l B ~ i s su p p o se d t o b e su c h t h a t a l lso l u t i o n s s = s i t o t h e e q u a t i o n

1 s ~ a a ' e ~ = 0 ( 8 )

h a v e R e ( s l ) < 0 w h il e B 2 c o n t a i n s t h e r e m a i n i n gfac tors . The fac tor bo i s a sca l a r , i . e , a pure cons t an tg a i n . T h e p o l y n o m i a l B 1 m a y b e c a l l e d a g r e a t e s tc a u s a l a n d s t a b le f a c t o r o f B . T h e d e c o m p o s i t i o no f / 3 su c h t h a t ( 7 ) , ( 8) h o l d i s a lw a y s p o s s i b l e t od o s in c e o n e m a y a l w a y s c h o o s e B 1 = 1 a n d a llr e m a i n i n g f a c t o r s in B 2 . T h e p r o b l e m t o f i n d a B 2o f l e a s t p o s s i b l e c o m p l e x i t y w i l l n o t b e c o n s i d e r e dh e r e b u t i s o f s o m e p r a c t i ca l i m p o r t a n c e . T h e r e a s o nf o r m a k i n g t h i s f a c t o r i z a t i o n is to a s su r e i n t e r n a ls t a b i l i ty i n t h e c o n t r o l l e d sy s t e m . T h e f a c t o r B 2 w il lp l a y t h e s a m e r o l e o f sy s t e m i n v a r i a n t a s t h e r e l a t iv ed e g r e e , ti m e d e l a y e tc . i n 1 - D m o d e l m a t c h i n gp r o b l e m s , s e e P e r n e b o ( 1 9 8 1) a n d / k s tr 6 m a n dW i t t e n m a r k ( 1 9 8 4 ) .

ASSUMPTIONSA n u m b e r o f re s t r ic t i o n s o n t h e c la s s o f c o n t r o l

o b j e c t s w i ll n o w b e g i v e n i n o r d e r t o a s su r e so l u t i o n sw i t h g o o d p r o p e r t i e s . A s s u m e t h a t(A1) boo = 0 , i . e . t he re i s no d i rec t t e rm f rom input

t o o u t p u t .( A2 ) T h e p o l y n o m i a l d e g r e e s n i a , n j a , n i B , n j b of A

a n d / 3 a r e a l l k n o w n .(A3) B2 i s known.( A 4 ) A a n d B a r e c o p r i m e i . e . 3 M , N ~ R ( z l , z2):

A M + B N = 1.( A 5 ) T h e t i m e d e l a y z i s k n o w n .I t s h o u l d b e s a i d t h a t t h e r e q u i r e m e n t t o k n o w B 2i s i m p r a c t i c a l e x c e p t w h e n B 2 m a y b e r e d u c e d t opu re po we rs o f Z l and z2 , i .e . l ow pa ss f i l t e r s an dt i m e d e l a y s i n s e r i es . T h e c o n d i t i o n ( A4 ) is f o r m a l l yr e s t r i c t i v e s i n c e a n y t w o p o l y n o m i a l s o f R [ z l , z 2 ]h a v e g e n e r i c a l l y a c o m m o n z e r o .

SOLUTIONT h e c l o se d l o o p sy s t e m o f (2 ) a n d ( 3) w i t h t i m e -

i n v a r i a n t A , B , R , S , a n d T g i v e s t h e t r a n s f e ro p e r a t o r a s

B TY - A R + B S u c , (9 )

w h e r e R , S , T m a y b e t u n e d t o f u l f i l sp e c i f i c a t i o n s


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D e la y - d i f f e r e n t ia l s y s t e ms 5 57in t e r ms o f a r e fe r e n ce mo d e l . T h i s m o d e l s h o u ldre f lect the des ign t r ade -o f f s and i s o f the ty pe

da ta vec to r @. Th e v ec tor ~b thus con ta in s f i l te reda n d d e l a y e d i n p u t s u a n d o u t p u t s y . T h e n w e h a v e

B 2 B my, . = ~, . ug Am(0,0 = 1, (10)

where A, , , B , , a re des i r ed pole - and ze ro-poly-n o m i a l s a n d w h e r e B 2 i s th e p a r t o f th e B - p o ly -n o m i a l o f th e c o n t r o l o b j e c t w h i c h s h o u l d n o t b ecance l led in the c losed loop sys tem (9) .

w i th

a n d

u ( t ) = - 0T(t) (16)

0 = ( r 1o . . . r i j . . . S o o . . . S k i . . . to )T (17)

P = A , . B ~1T = t o B , . ; t o - - 7 - ,O o (1 la-b )

w h e r e b o i s t h e c o n s t a n t g a in i n t r o d u c e d i n (7 ). T h em o d e l m a t c h i n g p r o b l e m i s t h e n s o l v e d v i a t h eD i o p h a n t i n e e q u a t i o n

A R + B S = P . (12)I t is n e c e s s a r y t o o b t a in p o ly n o mia l s R a n d S f r o m( 12 ) i n o r d e r t o h a v e s o lu t i o n s t h a t a r e s u i t a b l e f o rd i r e c t a d a p t i v e c o n t r o l . S u c h s o lu t i o n s d o n o ta lw a y s e x i s t, se e E x a m p le 2 b e lo w . W h e n t h e r e a r ep o ly n o m ia l s o lu t i o n s R , S i n tw o i n d e t e r m in a t e s , iti s poss ib le to express them as

R ( z a , z 2 ) = ~ i ~ .i j z 1 z 2 ~ r o oi= 0 /= 0

= 1h i s

S ( z , , z 2 ) = ~ , ~ s i jz ] z (13)i= 0 j= O

f o r s o me f i n it e n u m b e r s n ~R ,njR, n ~ s , njs , w h ic h a r ed e t e r m in e d i n t h e p r o c e s s o f s o lv in g (1 2 ). T h e mo d e lma tc h in g c o n t r o l l a w ( 2) is t h e n e x p r e s se d e x p l ic i t lya s

U ~ --ni R

i= l j= lniR

, = 1 j= lh is

" ~ s o ( z ] z ~ 2 y ) + t o ( B m u c ) . (14)i= O j= O

T h e d a t a f i l t e r sz]zJ 2 V i , j > 1 0 (15)

r e q u i r e f o r t h e i r imp le me n ta t i o n t h e c a u s a l o p e r -a to r s o f l o w p a s s f i l t er s a n d t im e d e l a y s a n d a r ethe re fore r ea l izab le .

L e t t h e c o n t r o l l a w ( 1 4 ) b e f o r mu la t e d a s t h es c a l a r p r o d u c t o f t h e p a r a m e te r v e c to r 0 a n d t h e

=- ( B m u c ) ) + . ( 1 8 )

T h e e s t i m a t i o n p r o b l e m o f di r ec t a d a p t i v e c o n t r o lis n o w t o c a l cu l a te 0 f r o m i n p u t - o u t p u t d a t a .

PARAMETER ESTIMATIONT h e p a r a m e t e r s o f t he r e g u l a t o r m a y n o w b e

e s t i m a t e d fr o m a l i n e a r m o d e l o b t a i n e d b y m a n i p u -l a t i o n s o f t h e f a c to r i z a t i o n ( 6 ) u s in g ( 1 2 ) a n d ( 6) ,r e spec t ive ly .

y = B ~ = B R A + S B Bp ~ - - - f i ( R u + S y ) . ( 1 9 )

A s s u m e th a t B 2 is k n o w n , c f. (A 3 ) , a n d d e f in e(~ = B 2 u , ) 7 = B 2 y e t c . (20)

I n t r o d u c e t h e d a t a v e c to r q ~( D : ( ( z 1 / ~ ) . . . ( z 1 z 2 / ~ ) . . . . ~ . . . ( z k z l 2 y ) . . .

- - ( A m y ) ) (21)in a c c o r d a n c e w i th s t a n d a r d n o t a t i o n o f r e c u rs iv ee s t ima t io n , s e e L ju n g a n d S 6 d e r s t r 6 m ( 19 8 3) . T h e ni t i s poss ib le to r e a r rang e (19) to the sca la r p rod uc t

~ ( t ) = - OX p ( t ) . (22)T h e c o n s t a n t p a r a m e t e r s 0 m a y n o w b e e s ti m a t e db y a n y s u i t a b l e me th o d f o r i d e n t i f i c a t i o n o f p a r -a m e t e r s o f a l i n e ar m o d e l w i t h k n o w n c o m p o n e n t sof ~o . Reca l l tha t the e s t ima tes 0 of the pa ramete r s0 i n ( 2 2 ) a r e i n t e n d e d f o r u s e i n t h e c o n t i n u o u s -t ime r e g u l a to r ( 1 4) . T h e p a r a me te r s m a y h o w e v e rb e e s t ima t e d b y d i s cr e t e -t ime me th o d s . O n e n a tu r a lchoice i s to sam ple co r resp ond ing t~ and ~o and tof i t p a r a me te r e s t ima t e s t o t h e s a mp le d d a t a b yrecurs ive ident i f ica t ion . Fo r fur the r de ta i ls on recur -s iv e e s t ima t io n , s e e L ju n g a n d S 6 d e r s t r 6 m ( 19 8 3) .R e m a r k . T h e s u g g e s t e d m e t h o d s i n t w o o p e r a t o r sf o r c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s m a y o f c o u rs e a l s o b eu s e d f o r i d e n t i f i c a t i o n o f " c o n v e n t i o n a l " c o n -t i n u o u s - t im e s y s t e ms b y d is c r e t e -t ime me th o d s . T h e


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558 R. JOHANSSONo p e r a t o r i n w h i c h t o f o r m u l a t e t h e p a r a m e t r i cm o d e l f o r i d e n t i f i c a t i o n i s t h e n t h e l o w p a s s f i l t e ro p e r a t o r Z . T h e c h o i c e o f b a n d w i d t h o f z~ a n d t h es a m p l i n g p e r i o d f o r t h e e s t i m a t i o n h a v e c e r t a i n l ym a n y i n t er e s ti n g i n f o r m a t i o n - t h e o r e t ic a l a s p e c tsb u t t h e s e w i ll n o t b e e l a b o r a t e d o n h e r e .T h i s a l s o o p e n s p o s s i b il i ti e s o f b r i d g i n g t h e g a pb e t w e e n t h e t w o t r a d i t i o n s o f c o n t i n u o u s - a n dd i s c r e t e - t i m e i d e n t i f i c a t i o n . T h i s i s o n e m e t h o d f o ro n - l i n e i d e n t i f i c a t i o n a n d r e c u r s i v e e s t i m a t i o n o f ac o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m b y d i s c r e t e - t i m e m e t h o d sw h i l e k e e p i n g t h e s t r u c t u r e o f t h e c o n t i n u o u s - t i m es y s t e m .

T h e u s e o f t h e l o w p a s s f i l t e rs d i ff e r s f r o m t h a to f t r a d i t io n a l c o n t i n u o u s - t i m e m e t h o d s , s e e E y k h o f f( 19 7 4) , w h e r e t h e f i l t e r a s s e m b l y i s a p a r t o f t h eh a r d w a r e f o r e s t im a t i o n . A l l p a r a m e t e r e s t i m a t i o nis h o w e v e r m a d e b y d i s c r e t e- t im e r e c u r s iv e m e t h o d si n t h e a p p r o a c h o f t h i s p a p e r .

A p o l y n o m i a l d e s c r i p t i o n o f t h e c o n t r o l o b j e c t i nt e r m s o f th e o p e r a t o r s

1z l - a n d z 2 = e ~v (2 8)p + li s o b t a i n e d v i a

1 -Z~xZ1

y = x .= - a ~ x + a 2 2 2 x n - b u (29)

T h i s y i e l d s t h e t r a n s f e r f u n c t i o nb z 1y(t) = u( t )I -1- (a 1 -- l)z 1 -- azz1Z 2

_ B ( z l , z 2 ) u ( t ) . ( 3 0 )A ( z ~ , z2 )

ADAPTIVE FILTERINGA n a d a p t i v e f i l t e r o r " p r e d i c t o r " i s o b t a i n e d a s

a s p i n - o f f f r o m t h e s o l u t i o n o f th e d i r e c t a d a p t i v ec o n t r o l p r o b l e m . A n o b s e r v e r f o r t h e q u a n t i t y P Ci s o b t a i n e d a s

R u + S y . (23)T h i s i s s e e n b y t h e f o l l o w i n g a r g u m e n t .

I t i s h e r e e a s y t o s e e t h a t A a n d B a r e c o p r i m e .T h e z e r o o f B a p p e a r s a t

z 1 = 0 , ( 31 )w h e r e t h e p o l y n o m i a l A c e r t a i n l y i s n o n - z e r o .T h e z e r o o f ( 31 ) i s- - - i n t e r m s o f t h e d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r - - a n i n fi ni te z e r o o f d eg r e e 1 o f t h e t r a n s fe rf u n c t i o n . T h e r e f e r e n c e m o d e l( A )u + S y = ( R S ) B ~ = P ~ (24)

I t is p o s si b l e t o c a r r y t h r o u g h a ll o f t h e a r g u m e n t sa b o v e w i t h t h e p u r p o s e o f d e r i v i n g a d a p t i v e f il te r sf o r P C w i t h a n y P s u c h t h a t t h e r e i s a s o l u t i o n t o( 1 2 ) . T h e r e i s i n t h i s c a s e n o n e e d t o f a c t o r i z e Bi n t o B 1 a n d B 2 a n d a s s u m p t i o n s o n c o m m o n z e r osa n d p r i o r k n o w l e d g e a r e l e s s r e s t r i c t i v e .E x a m p l e 1. C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g d e l a y - d i f f e re n t i a lc o n t r o l o b j e c t

{~ ( t ) = - - a l x ( t ) + a 2 x ( t - - z ) + b u ( t ) (25)y(t) = x( t ) ,

l 9.5zl B _= _A Z: ~z l (32)2p + I 1 - - 0 . 5 Z 1 - - A mh a s t h e s a m e t y p e o f z e r o a n d i t is th e r e f o r e p o s s i b l et o f i n d a s o l u t i o n t o t h e p o l e p l a c e m e n t p r o b l e mw i t h a r e g u l a t o r ( 26 ) w h i c h i s c a u s a l a n d w i t h o u td e r i v a t i v e s . A s o l u t i o n w i t h A , , = l - 0 . 5 z ~ a n dB , , = 0 . 5 i s o b t a i n e d f o r

R = I

= S o 0 + S 0 1 Z 2

1T = ~ ' 0 .5 = t o B m . (33)

w i t h i n p u t u a n d o u t p u t y . T h e t i m e d e l a y r iss u p p o s e d t o b e k n o w n . T h e p r o b l e m i s t o d e s i g na n a d a p t i v e c o n t r o l l e r

S ( z l , z 2 ) . . T ( z ~ ,z 2 ) . .u (t) - ~ -( ~ ;~ 2) Y (t ) + ~ u A t ) (26)

s u c h t h a t t h e c l o s e d l o o p s y s t e m m a t c h e s t h er e f e r e n c e m o d e l

1y,,( t ) - 2p + 1 Uc(t) . (27)

I n p u t - m a t c h i n g e s t i m a t i o n b a s e d o n t h e l i n e a rm o d e l

( z l u ) = - ( S o o + S o G z ) ( z x y ) + t o ( A m y ) (34)o r s h o r t e r

w i t ha(t) = - 0T~p j

~o = (Soo Sol toF (35)


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D e l a y - d i f f e r e n t i a l sy s t e m s 5 5 9a n d

~o = ( ( z , y ) ( z z z l y ) - - (Amy))T.H e r e i t i s p o s s i b l e t o u se i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d s f o re s t i m a t i o n o f p a r a m e t e r s o f a l i n e a r m o d e l i f t h ef il te re d i n p u t - o u t p u t d a t a ( z l u ) , ( z l y ) , ( z l z 2 y ) a r ea v a i l a b l e .

T h e f o l l o w i n g s i m u l a t io n s s h o w t h e r e s u lt s w h e n( 3 4 ) h a s b e e n s a m p l e d w i t h s a m p l i n g p e r i o d h = 1 .S e e a p p e n d i x f o r d e t a i l s . R e c u r s i v e l e a s t - sq u a r e si d e n t i f i c a t i o n h a s b e e n a p p l i e d t o e s t i m a t e t h ep a r a m e t e r s .E x a m p l e 2 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g d e l a y - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n f o r a c o n t r o l o b j e c t

T h e A - a n d B - p o l y n o m i a ls n o w b o t h v a n i s h a t

F o r t h i s r e a so n i t i s n o t p o s s i b l e t o so l v e t h ep o l y n o m i a l D i o p h a n t i n e e q u a t i o n

A R + B S = P (39)f o r a n a r b i t r a r y P . I t i s n e c e s sa r y t o i n c l u d e i n P af a c t o r w i t h a z e r o a t ( 3 8 ) . T h e f a c t o r

( I + ( a I - - l ) z l ) ( 4 0 )

:t(t) = - a l x ( t ) + a 2 x ( t - ~ ) + b u ( t - r ) (36)y ( t } x ( t ) .T h i s e q u a t i o n d i ff e rs fr o m t h a t o f th e p r e v i o u se x a m p l e i n t h e t i m e d e l a y o f u . T h e p o l y n o m i a lr e p r e s e n ta t i o n n o w b e c o m e s

b z z z 2 u ( t ) . (37)y ( t ) = 1 + (al - 1)zl - a 2 z 1 z 2

O.ao.6 ( )o, t ,().2

0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0

o ,o o ~6o 3 o o

2 ( C )

- 2

4O O

l

0 100 200 300 400

o l o o 2 0 0 3 0 0 z .o oF IG . 1 . S i m u l a t i o n s . (a ) I m p u l s e r e s p o n s e o f o p e n - l o o p s y s t e mw i t h a 1 = 1 , a : = 1 , b = 1 a n d z = 1 0 ; ( b ) p a r a m e t e r s e s t i m a t e s0 1 , 0 2 , 0 s f r o m r e c u r s i v e L S i d e n t i f i c a t i o n w i t h s a m p l i n g p e r i o dh = 1 s a n d ~ = 1 0; ( c ) i n p u t u ; ( d ) o u t p u t y a n d r e f e r e n c e s i g n a lYm"

w o u l d b e su i t a b l e w h e n i t i s s t a b l e a n d s t a b l yinve r t ib l e , see Sebek (1983) . Thi s p resen t s no pa r -t i c u la r p r o b l e m i n a p u r e m o d e l m a t c h i n g p r o b l e mw i t h a k n o w n p r o c e s s t o c o n t r o l . I t w o u l d t h e n b ep o s s i b l e t o i n c l u d e ( 4 0 ) a s a s t a b l e c o m m o n f a c t o ro f b o t h t h e n u m e r a t o r a n d t h e d e n o m i n a t o r i n t h er e f e r e n c e m o d e l . T h i s t r i c k c a n n o t b e u se d i n t h ea d a p t i v e c a se s i n c e t h e z e r o ( 3 8 ) i s n o t k n o w n t ot h e d e s i g n e r. T h i s l a c k o f c o p r i m e n e s s t h e r e f o r ep u t s a l i m i t t o t h e a p p l i c a b i l i t y o f m o d e l r e f e r e n c ea d a p t i v e c o n t r o l t o d e l a y - d i f f e r e n t i a l sy s t e m s . S im u -l a ti o n s d o h o w e v e r s h o w t h a t t h e p e r f o r m a n c e iso f t e n a ls o v e r y g o o d w h e n t h e r e is n o s o l u t i o nt o t h e D i o p h a n t i n e e q u a t i o n . T h e " l e a s t s q u a r e ss o l u t i o n s " s h o w s l o w e r c o n v e r g e n c e b u t g o o d t r a c k -ing capabi l i t i e s a re s t i l l exh ib i t ed .

C O N C L U S I O N SI t h a s b e e n p o s s i b le t o f o r m a l l y c a r r y o v e r m a n y

o f t h e a l g e b r a i c r e su l ts f r o m 1 - D d i r e c t a d a p t i v ec o n t r o l . T h e r e i s h o w e v e r a s t r o n g p r a c t i c a l d i f f e r -e n c e b e t w e e n t h e r e q u i r e d p r i o r i n f o r m a t i o n i n t het w o c a se s . T h e q u e s t i o n o f c o p r i m e n e s s i s a l som o r e c o m p l i c a t e d i n t h e 2 - D c a s e . A n y s o l u t i o n( z l , z 2 ) = (a , b ) t o t h e e q u a t i o n

A ( q , z 2 ) = 0B ( z 1 , z2) -- 0 (41)

p u t s t h e c o n s t r a i n t o n P t h a t P ( a , b ) m u s t b e z e r oi n o r d e r t o a s su r e t h e e x i s t e n c e o f a so l u t i o n t o( 12 ). I n c o n t r a s t t o t h e 1 - D c a se i t i s n o t i n g e n e r a lp o s s i bl e t o g e t r i d o f t h e c o m m o n z e r o b y p o l e -z e r o c a n c e l l a t i o n b e t w e e n A a n d B , s e e e x a m p l e 2a n d M o r f e t a l . (1977).Acknowledgement--This w o r k w a s s u p p o r t e d b y t h e S w e d i s hB o a r d o f T e c h n i c a l D e v e l o p m e n t u n d e r c o n t r a c t 8 2 - 8 43 0 .

R E F E R E N C E SA s t r 6 m , K . J . a n d B . W i t t e n m a r k ( 1 9 8 4 ) . Computer-controlledSystem s-- Theory and Design.P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i ff s,N e w J e r se y .


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560 R. JOHANSSON

E i s i n g , R . a n d E . E m r e ( 1 9 79 ). E x a c t m o d e l m a t c h i n g o f 2 - Ds y s t e m s . I E E E T r a n s. A u t . C o n tr o l , A C - 2 4 , 1 3 4 - 1 3 5 .E m r e , E . ( 19 8 3) . O n a d a p t i v e c o n t r o l / o b s e r v e r s / p a r a m e t e r e st i -m a t i o n o f m u l t i - v a r ia b l e s y s t e m s . P r o c . 2 2 n d 1 E E E C D C ,1380-1381 .E m r e , E . a n d P . P . K h a r g o n e k a r ( 1 98 2 ). R e g u l a t i o n o f sp l i tl i n e a r s y s t e m s o v e r r i n g s : c o e f f i c i e n t a s s i g n m e n t s a n do b s e r v e r s . I E E E T r a n s. A u t . C o n t r o l, AC-27 , 104 113 .E m r e , E . , A . B . O z g u l e r a n d P . P . K h a r g o n e k a r ( 1 9 82 ). S y s t e m so v e r r i n gs : o u t p u t r e g u l a t i o n a n d t r a c k i n g . P r o c . 2 1 s t I E E EC D C , 408--413.

E ykh of f , P . (1974). S y s t e m s l d e n t ! l i c a t i o n . J o h n W i l ey , L o n d o n .J oha ns s on , R . (1983) . M u l t i v a r i a b l e A d a p t i v e C o n t r o l . L ur id Ins t .T e c h . , L ur id , Swe de n .J u ry , E . I . , V . R . Ko la ve nnu a nd B . D . O . Ande r s on (1977) .S t a b i l i z a t i o n o f c e r t a in t w o - d i m e n s i o n a l r e c u r si v e d i g i ta lf i l te rs . P r o e . I E E E , 65 , 887-892 .Kaila th, T . (1980) . L i n e a r S y s t e m s . P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o dCliffs , New Jersey.K a m e n , E . W . a n d Y . R o u c h a l e a u ( 1 9 8 3 ) . T h e o r y a n d A p p l i -c a t io n s q f L i n e a r S y s t e m s O v e r R i n g s a n d A l g e b r a s . M a c m i l l a n ,N e w Y o r k .P . P . K h a r g o n e k a r , ( 1 9 8 2 ) . O n m a t r i x f r a c t i o n r e p r e s e n t a t i o n sf o r l i n e a r s y s t e m s o v e r c o m m u t a t i v e r i n g s . S I A M J . C o n tr o l

O p t . 20, 172 197.K h a r g o n e k a r , P . P . a n d E . D . S o n t a g ( 1 98 2 ). O n t h e r e l a t io nb e t w e e n s t a b l e m a t r i x f r a c t i o n f a c t o r i z a t i o n s a n d r e g u l a b l er e a l i z a t io n s o f l i n e a r s y s t e m s o v e r r i n g s. I E E E T r a n s . A u t .C o n t r o l , A C - 2 7 , 6 2 7 - 6 2 8 .L a nda u , Y . D . (1979) . A d a p t i v e C o n t r o l T h e M o d e I R e f e r e n c eA p p r o a c h . M a r c e l D e k k e r , N e w Y o r k .L e e , E . B . a nd S . H . Z a k (1983) . Sm i th fo rm s ove r R [ z l , z 2 ] .I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , AC-28 , 115 118 .L jung , L . a nd T . S6de r s t r6m (1983) . T h e o r y a n d P r a c t i c e o fR e c u r s i v e I d e n t i f i c a t i o n . M I T P r e ss , C a m b r i d g e , M a s s a -c h u s e t t s .Mo r f , M. , B . C . L 6vy a nd S . Y . Ku ng (1977). Ne w re s u l t s in 2 -Ds y s t e m s t h e o r y , P a r t 1 : 2 - D p o l y n o m i a l m a t r i c e s , f a c t o r i z a t io n ,a n d c o p r i m e n e s s . P r o c . I E E E , 65 , 861-872 .Mors e , A . S . (1976) . R ing m ode ls fo r de la y -d i f f e re n t ia l s ys te m s .A u t o m a t i c a , 12 , 529-531 .P e r n e b o , L . ( 1 9 8 1 ) . A l g e b r a i c c o n t r o l t h e o r y f o r l i n e a r m u l t i -v a r i a b l e s y s t e m s . P a r t s I - I I . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , A C -2 6 , 171 193.Se be k , M. (1983) . 2 -D e xa c t m ode l m a tc h ing . I E E E T r a n s . A u t .C o n t r o l , AC -28, 215 217.Se be k , M. (1985) . On 2 -D po le p la c e m e nt . 1 E E E T r a n s . A u t .C o n t r o l , A C - 3 0 , 8 1 9 - 8 2 2 .Shapiro, L . (1975) . I n t r o d u c t i o n t o A b s t r a c t A l g e b r a . M c G r a wH i l l , N e w Y o r k .S o n t a g , E . D . ( 1 98 1 ). L i n e a r s y s t e m s o v e r c o m m u t a t i v e r i n g s

a ( p a r ti a l ) u p d a t e d s u r v e y . P r o c . I F A C 1 9 8 1 , K y o t o , p p . 3 2 5330.Va n De r W a e rde n , B . L . (1970) . A l g e b r a . F r e d e r i c k U n g a r . N e wY o r k .

A P P E N D I XD e t a i l s o f t h e s i m u l a t i o n s

E x a m p l e 1 i n v o l v e s b o t h c o n t i n u o u s - t i m e a n d d i s c r e t e - t i m es i m u l a t i o n . T h e s a m p l i n g i n t er v a l i s h = I a n d t h e t i m e v a r i a b l e sa re c a l l e d t a nd k , r e spe c t ive ly . T he r e la t ion i s k < t < k + hb e t w e e n t h e s a m p l e s .T h e e x a m p l e r e q u i r e s s i m u l a t i o n o f t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s .O b j e c t c o n t i n u o u s t i m e

d x ( t ) /d t = - a l x l t t + a 2 x (t r) + bu(t)y(t) - x( t )

x ( 0 ) - 1 .C o n t r o l l e r c o n t i n u o u s t i m e

u(t) = - ~o o( k)y (t ) - gox(k )y(t - r) + 0.5fo(k)u~(t ) .D e l a y z = 1 0 a s s u m e d t o b e k n o w nuc(t) = sign(sin(0.1 t)).

l d e n t ( f i c a t i o n m o d e l c o n t i n u o u s t i m e(~(t) = sooy(t) s01y(t - z) + to(yl t ) - 0.59(t))w i t hd(a ( t ) ) / d t = ~( t ) + u ( t)d(~)(t))/dt = - ,)(t) + y(t).

I d e n t i f i c a t i o n m o d e l s a m ple d a t t im e s t = 0 , 1 , 2 . . . . k . . .u(k) = Soof~(k) - Sol f~(k - r) + t o (y (k ) - 0.53~(k))f i(k) = -go od (k) - ~0D~(k -~ :) + to(y(k ) - 0 .5~(k))e(k) = ~(k) (~(k).

L S e s t i m a t i o n d i s c r e t e t i m e( ) ~-~ (? 'O O S O 1 o ) v ; ( ~ = ( ' ~ o o S o 1 f 0 ) T~p(k) = (~(k)f~(k - r) - (y(k) - 0.537(k)))xO(k) - O(k - 1) + P(k)~o(k)e,(k)

l ( p ( k _ . , P l k - 1 ,~o (k)q )' (k )P(k ~ 1 !~P ( k ) l~ -2 ~ o T ( k ) p ( k _ l)~o(k) ]"

estimation and direct adaptive control of delay.pdf

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