esperance conditionnelle
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Espérance conditionnelle
Samy Tindel
Nancy-Université
Master 1 - Nancy
Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 59
Plan
1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés de l’espérance conditionnelle
4 Interprétation en termes de projection
5 Lois conditionnelles régulières
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Plan
1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés de l’espérance conditionnelle
4 Interprétation en termes de projection
5 Lois conditionnelles régulières
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Définition formelleDéfinitionOn se donne un espace de probabilités (Ω,F0,P) et
Une σ-algèbre F ⊂ F0.X ∈ F0 telle que E[|X |] <∞.
Espérance conditionnelle de X sachant F :Notée E[X |F ]
Définie par: E[X |F ] est la v.a Y de L1(Ω) telle que(i) Y ∈ F .(ii) Pour tout A ∈ F , on a
E[X1A] = E[Y 1A],
ou encore∫
A X dP =∫
A Y dP.
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Remarques
Notation: On utilisera la notation Y ∈ F pour dire qu’une variablealéatoire Y est F -mesurable.
Interprétation: de manière plus intuitiveF représente une quantité d’informationY est la meilleure prédiction de X lorsque l’on possèdel’information contenue dans F .
Existence: à voir après les exemples.
Unicité: Si elle existe, l’espérance conditionnelle est unique.
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Démonstration unicité
But: Soit Y’ vérifiant (i) + (ii), de même que Y .→ Montrons Y = Y ′ p.s
Propriété générale: Pour tout A ∈ F , on a E[Y 1A] = E[Y ′ 1A].
Cas particulier: Soit ε > 0, et posons
Aε ≡ (Y − Y ′ > ε).
Alors Aε ∈ F , et donc
0 = E[(Y − Y ′) 1Aε] ≥ εE[1Aε] = εP(Aε)
⇒ P(Aε) = 0.
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Démonstration unicité (2)Ensemble A+: Soit
A+ ≡ (Y − Y ′ > 0) =⋃n>1
A1/n.
On a n 7→ A1/n croissante, et donc
P(A+) = P⋃
n>1A1/n
= limn→∞
P(A1/n) = 0.
Ensemble A−: De même, si
A− = Y − Y ′ < 0
on a P(A−) = 0.
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Démonstration unicité (3)
Conclusion: On obtient, en posant
A6= ≡ Y 6= Y ′ = A+ ∪ A−,
que P(A6=) = 0, et donc Y = Y ′ p.s.
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Absolue continuité
DéfinitionSoit µ, ν deux mesures σ-finies sur (Ω,F).On dit que ν µ (µ est absolument continue par rapport à ν) si
µ(A) = 0 =⇒ ν(A) = 0 pour tout A ∈ F .
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Théorème de Radon-Nykodym
ThéorèmeSoient
µ, ν mesures σ -finies sur (Ω,F), telles que ν µ.Alors il existe f ∈ F telle que, pour tout A ∈ F , on a
ν(A) =∫
Af dµ.
La fonction f :Se nomme dérivée de Radon-Nykodym de µ par rapport à νSe note f ≡ dν
dµ .On a f ≥ 0 µ-presque partoutf ∈ L1(µ).
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Existence de l’espérance conditionnelle
Hypothèse: On aUne σ-algèbre F ⊂ F0.X ∈ F0 telle que E[|X |] <∞.X > 0.
Définition de deux mesures: on pose1 µ = P, mesure sur (Ω,F).2 ν(A) ≡ E[X 1A] =
∫A X dP.
Alors ν est bien une mesure (par Beppo-Levi).
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Existence de l’espérance conditionnelle (2)
Absolue continuité: on a
P(A) = 0⇒ 1A = 0 P-p.s.⇒ X 1A = 0 P-p.s.⇒ ν(A) = 0
Donc ν P
Conclusion: par théorème de Radon-Nykodym, il existe f ∈ F telleque, pour tout A ∈ F , on a ν(A) =
∫A f dP.
→ On pose f = E[X |F ].
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Plan
1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés de l’espérance conditionnelle
4 Interprétation en termes de projection
5 Lois conditionnelles régulières
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Exemples faciles
Exemple 1: Si X ∈ F , alors E[X |F ] = X .
Définition: On dit que X ⊥⊥ F si→ pour tout A ∈ F et B ∈ B(R), on a
P((X ∈ B) ∩ A) = P(X ∈ B) P(A),
ou encore X ⊥⊥ 1A.
Exemple 2: Si X ⊥⊥ F , alors E[X |F ] = E[X ].
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Démonstration: exemple 2
On a(i) E[X ] ∈ F car E[X ] est constante.(ii) Si A ∈ F ,
E[X 1A] = E[X ] E[1A] = E[E[X ] 1A
].
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Espérance conditionnelle discrète
Exemple 3: On considèreΩj ; j > 1
partition de Ω telle que P(Ωj) > 0 pour tout j > 1.
F = σ(Ωj ; j > 1).Alors
E[X |F ] =∑j>1
E[X 1Ωj ]
P(Ωj)1Ωj ≡ Y . (1)
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Démonstration: exemple 3
Stratégie: on vérifie les points (i) et (ii) de la définition pour lavariable aléatoire Y .
(i) Pour tout j ≥ 1, on a 1Ωj ∈ F . Donc, pour toute suitenumérique (αj)j≥1, ∑
j≥1αi1Ωj ∈ F .
(ii) Il suffit de vérifier (1) pour A = Ωn et n ≥ 1 fixé. Or,
E[Y 1Ωn] = E
E[X1Ωn]
P(Ωn)1Ωn
=
E[X 1Ωn]
P(Ωn)E[1Ωn] = E[X 1Ωn].
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Probabilité conditionnelle enfantine
Définition: Pour un ensemble mesurable A ∈ F0, on pose
P(A|F) ≡ E[1A|F ]
Cas particulier de l’exemple discret:Soit B,Bc une partition de Ω, et A ∈ F0. Alors
1 F = σ(B) =
Ω, ∅,B,Bc
2 On aP(A|F) = P(A|B) 1B + P(A|Bc) 1Bc .
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Lancer de dé
Exemple: On considèreΩ =
1, 2, 3, 4, 5, 6
, A = 4, B = "pair".
AlorsP(A|F) =
13 1B.
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Conditionnement d’une v.a. par une autre v.a.Définition: Soient X et Y deux variables aléatoires avec X ∈ L1(Ω).On pose
E[X |Y ] = E[X |σ(Y )].
Critère pour déterminer si A ∈ σ(Y ):On a A ∈ σ(Y ) ssi
A =ω; Y (ω) ∈ B
, ou encore 1A = 1B(Y )
Critère pour déterminer si Z ∈ σ(Y ):Soient Z et Y deux variables aléatoires réelles. Alors
Z ∈ σ(Y ) ssi on peut écrire Z = U(Y ), avec U ∈ B(R).
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Conditionnement d’une v.a. par une v.a. discrète
Exemple 4: Lorsque X et Y sont des variables aléatoires discrètes→ Le calcul de E[X |Y ] peut être traité selon la méthode présentée àl’exemple 3.
Plus précisément:On suppose Y ∈ E avec E = yi ; i ≥ 1Hypothèse: P(Y = yi) > 0 pour tout i ≥ 1.
Alors E[X |Y ] = h(Y ) avec h : E → R définie par
h(y) =E[X 1(Y =y)]
P(Y = y).
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Conditionnement d’une v.a. par une v.a. continue
Exemple 5: Soit (X ,Y ) couple de variables aléatoires réelles dedensité mesurable f : R2→R+. On suppose que∫
Rf (x , y)dx > 0, pour tout y ∈ R.
Soit g : R→ R une fonction mesurable telle que g(X ) ∈ L1(Ω).Alors E[g(X )|Y ] = h(Y ), avec h : R→ R définie par
h(y) =
∫R g(x)f (x , y)dx∫
R f (x , y)dx .
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Démonstration intuitive
On peut écrire formellement:
P(X = x |Y = y)” = ”P(X = x ,Y = y)
P(Y = y)=
f (x , y)∫f (x , y)dx ,
En intégrant contre cette densité, on obtient:
E[g(X )|Y = y ] =∫
g(x)P(X = x |Y = y) dx
=
∫g(x)f (x , y)dx∫f (x , y)dx .
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Démonstration rigoureuseStratégie: on vérifie les points (i) et (ii) de la définition pour lavariable aléatoire h(Y ).
(i) Si h ∈ B(R), on a vu que h(Y ) ∈ σ(Y ).
(ii) Soit A ∈ σ(Y ) Alors
A =ω; Y (ω) ∈ B
=⇒ 1A = 1B(Y )
DoncE[h(Y )1A] = E[h(Y )1B(Y )]
=∫
B
∫Rh(y)f (x , y)dxdy
=∫
Bdy∫R
∫ g(z)f (z , y)dz∫f (z , y)dz
f (x , y)dx
=∫
Bdy∫
g(z)f (z , y)dz= E[g(X )1B(Y )].
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Exemple tordu
Exemple 6: On prendΩ = (0, 1), F0 = B((0, 1)) et P = λ.
On pose X (ω) = cos(πω), et
F = A ⊂ (0, 1); A ou Ac dénombrable .
Alors E[X |F ] = 0.
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Démonstration
Stratégie: on vérifie les points (i) et (ii) de la définition.
(i) On a bien entendu 0 ∈ F .
(ii) Soit A ∈ F , tel que A est dénombrable. Alors
E[X 1A] =∫
Acos(πx)dx = 0.
De même, si A ∈ F est tel que Ac est dénombrable, on a
E[X 1A] =∫ 1
0cos(πx)dx −
∫Ac
cos(πx)dx = 0,
ce qui démontre notre résultat.
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Morale de l’exemple tordu
Intuition: On pourrait penser que, si pour tout x ∈ [0, 1], on sait six a eu lieu (on a bien x ∈ F), alors E[X |F ] = X .
Paradoxe: Ceci est faux car X /∈ F .
Bonne intuition: Si l’on sait ω ∈ Ai pour un nombre fini de Ai ∈ Falors on ne connait rien de X .
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Plan
1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés de l’espérance conditionnelle
4 Interprétation en termes de projection
5 Lois conditionnelles régulières
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Espérance, linéarité
PropositionSoit X ∈ L1(Ω). Alors
EE[X |F ]
= E[X ].
PropositionSoient α ∈ R, et X ,Y ∈ L1(Ω). Alors
E[αX + Y |F ] = αE[X |F ] + E[Y |F ] p.s.
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DémonstrationStratégie: on vérifie les points (i) et (ii) de la définition pour la v.a.
Z ≡ αE[X |F ] + E[Y |F ].
Vérification: on a(i) Z est une combinaision linéaire de E[X |F ] et E[Y |F ]
→ Z ∈ F .(ii) Pour tout A ∈ F , on a
E[Z 1A] = E
(αE[X |F ] + E[Y |F ]) 1A
= αEE[X |F ] 1A
+ E
E[Y |F ] 1A
= αE[X 1A] + E[Y 1A]
= E[(αX + Y ) 1A].
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MonotoniePropositionSoient X ,Y ∈ L1(Ω) telles que X 6 Y presque sûrement. On a
E[X |F ] 6 E[Y |F ]
presque sûrement.
Démonstration: On suit le schéma de la démonstration de l’unicité del’espérance conditionnelle. Par exemple, si on pose
Aε = E[X |F ]− E[Y |F ] > ε > 0 ,
on vérifie aisément queP(Aε) = 0.
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Convergence monotone
PropositionSoit Xn; n ≥ 1 une suite de variables aléatoires telle que
Xn > 0Xn X presque sûrementE[X ] <∞.
AlorsE[Xn|F ] E[X |F ].
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Démonstration
Stratégie: On pose Yn ≡ X − Xn. Il suffit de montrer queZn ≡ E[Yn|F ] 0.
Existence de limite: n 7→ Yn est décroissante, et Yn > 0→ Zn est décroissante et Zn > 0.→ Zn admet une limite p.s, notée Z∞.
But: Montrer que Z∞ = 0.
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Démonstration (2)Espérance de Z∞: on va montrer E[Z∞] = 0. En effet
Xn converge p.s. vers X .0 6 Xn 6 X ∈ L1(Ω).
Donc, par convergence dominée, E[Xn]→ E[X ].On en déduit:
E[Yn]→ 0Comme E[Yn] = E[Zn], on a aussi E[Zn]→ 0.Par convergence dominée, on a E[Zn]→ E[Z∞]
Ceci implique bien E[Z∞] = 0.
Conclusion: Z∞ ≥ 0 et E[Z∞] = 0→ Z∞ = 0 presque sûrement.
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Inégalité de Cauchy-SchwarzPropositionSoient X ,Y ∈ L2(Ω). Alors
E2[X Y |F ] 6 E[X 2|F ] E[Y 2|F ] p.s.
Démonstration:Pour tout θ ∈ R, on a
E[(X + θY )2|F ] > 0 p.s.
Donc, presque sûrement, on a: pour tout θ ∈ Q,
E[(X + θY )2|F ] > 0,
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Démonstration
Développement: Pour tout θ ∈ Q
E[Y 2|F ]θ2 + 2E[XY |F ]θ + E[X 2|F ] > 0.
Rappel: Si un polynôme aθ2 + bθ + c > 0 pour tout θ ∈ Q→ on a forcément b2 − 4ac 6 0
Application: Presque sûrement, on a
E 2[XY |F ]− E[X 2|F ]E[Y 2|F ] 6 0.
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Inégalité de JensenPropositionSoit X ∈ L1(Ω), et ϕ : R→ R telle que ϕ(X ) ∈ L1(Ω) et ϕ convexe.Alors
ϕ(E[X |F ]) 6 E[ϕ(X )|F ] p.s.
CorollaireL’espérance conditionnelle est une contraction dans Lp(Ω)pour tout p > 1
Démonstration: D’après l’inégalité de Jensen,X ∈ Lp(Ω)⇒ E[X |F ] ∈ Lp(Ω)
etE |E[X |F ]|p 6 E[|X |p]
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Conditionnements en chaîne
ThéorèmeSoient
Deux σ-algèbres F1 ⊂ F2.X ∈ L1(Ω).
Alors
E E[X |F1]|F2 = E[X |F1] (2)E E[X |F2]|F1 = E[X |F1]. (3)
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Démonstration
Démonstration de (2): On pose Z ≡ E[X |F1]. Alors
Z ∈ F1 ⊂ F2.
D’après l’Exemple 1, on a E[Z |F2] = Z , i.e. (2).
Démonstration de (3): On pose U = E[X |F2].→ On va montrer que E[U |F1] = Z , via (i) et (ii) de la définition.(i) Z ∈ F1.(ii) Si A ∈ F1, on a A ∈ F1 ⊂ F2, et donc
E[Z1A] = E[X1A] = E[U1A].
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Esp. conditionnelle de produits
ThéorèmeSoient X ,Y ∈ L2(Ω), telles que X ∈ F . Alors
E[X Y |F ] = X E[Y |F ].
Démonstration: On utilise une démarche classique en 4 étapes
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Démonstration
Etape 1: on suppose X = 1B, avec B ∈ FOn vérifie (i) et (ii) de la définition.(i) On a 1BE[Y |F ] ∈ F .(ii) Pour A ∈ F , on a
E (1BE[Y |F ]) 1A = E E[Y |F ] 1A∩B= E[Y 1A∩B]
= E[(1BY ) 1A],
et donc1B E[Y |F ] = E[1B Y |F ].
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Démonstration (2)Etape 2: Si X est de la forme
X =∑i6n
αi1Bi ,
avec αi ∈ R et Bi ∈ F , alors, par linéarité on trouve encore
E[XY |F ] = X E[Y |F ].
Etape 3: Si X ,Y > 0→ Il existe une suite Xn; n > 1 de variables aléatoires simples telleque
Xn X .Alors par application de la convergence monotone
E[XY |F ] = X E[Y |F ].
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Démonstration (3)
Etape 4: Cas général X ∈ L2
→ Décomposition X = X+ − X− et Y = Y + − Y −, et donc
E[XY |F ] = XE[Y |F ]
par linéarité.
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Esp. conditionnelle et indépendance
ThéorèmeSoient
X ,Y deux variables aléatoires réelles indépendantesα : R2 → R telle que α(X ,Y ) ∈ L1(Ω)
On pose, pour x ∈ R,
g(x) = E[α(x ,Y )].
AlorsE[α(X ,Y )|X ] = g(X ).
Démonstration: en 4 étapes sur α.
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Plan
1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés de l’espérance conditionnelle
4 Interprétation en termes de projection
5 Lois conditionnelles régulières
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Rappel: projection orthogonale
Définition: SoitH un espace de Hilbert→ espace vectoriel muni d’un produit scalaire et complet.F un sous espace fermé de H .
Alors, pour tout x ∈ HIl existe un unique y ∈ F , noté y = πF (x)
vérifiant l’une des conditions équivalentes (i) ou (ii).(i) Pour tout z ∈ F , on a 〈x − y , z〉 = 0.(ii) Pour tout z ∈ F , on a ‖x − y‖H 6 ‖x − z‖H .πF (x) se nomme projection orthogonale de x sur F .
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Espérance conditionnelle et projection
ThéorèmeConsidérons
L’espaceL2(F0) ≡
Y ∈ F0; E[Y 2] <∞
.
X ∈ L2(F0).F ⊂ F0
Alors1 L2(F0) est un espace de Hilbert→ Produit scalaire 〈X ,Y 〉 = E[XY ].
2 L2(F) est un sous espace fermé de L2(F0).3 πL2(F)(X ) = E[X |F ].
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Démonstration
Démonstration de 2:Si Xn → X dans L2 ⇒ Il existe une sous suite Xnk → X p.s.Donc, si Xn ∈ F , on a aussi X ∈ F .
Démonstration de 3: Vérifions le point (i) de la définition deprojectionSoit Z ∈ L2(F).→ On a E[Z X |F ] = Z E[X |F ], et donc
E Z E[X |F ] = E E[X Z |F ] = E [X Z ] ,
ce qui suffit à vérifier (i) et E[X |F ] = πL2(F)(X ).
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Application aux vecteurs gaussiens
Exemple: Soit(X ,Y ) vecteur gaussien centré de R2
Hypothèse: V (Y ) > 0.Alors
E[X |Y ] = αY , avec α =E[X Y ]
V (Y ).
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DémonstrationEtape 1: On cherche α tel que
Z = X − αY =⇒ Z ⊥⊥ Y .
Rappel: Si (Z ,Y ) est un vecteur gaussien→ Z ⊥⊥ Y ssi cov(Z ,Y ) = 0
Application: cov(Z ,Y ) = E[Z Y ]. Donc
cov(Z ,Y ) = E[(X − αY )Y ] = E[X Y ]− αV (Y ),
etcov(Z ,Y ) = 0 ssi α =
E[XY ]
V (Y ).
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Démonstration (2)
Etape 2: On applique à présent le (i) de la définition de π.→ Soit V ∈ L2(σ(Y )). Alors
Y ⊥⊥ (X − αY ) =⇒ V ⊥⊥ (X − αY )
etE[(X − αY )V ] = E[X − αY ] E[V ] = 0.
DoncX − αY = πσ(Y )(X ) = E[X |Y ].
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Plan
1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés de l’espérance conditionnelle
4 Interprétation en termes de projection
5 Lois conditionnelles régulières
Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 52 / 59
LCRDéfinitionSoit
(Ω,F ,P) un espace de probabilités(S,S) un espace mesurableX : (Ω,F)→ (S,S) une variable aléatoireG une σ-algèbre telle que G ⊂ F .
On dit que µ : Ω× S → [0, 1] est une loi conditionnelle régulière deX sachant G si(i) Pour tout A, l’application ω → µ(ω,A) est une variable
aléatoire, égale à P(X ∈ A| G) p.s.(ii) ω-p.s. A→ µ(ω,A) est une mesure de probabilité sur (S,S).
Remarque:On aura toujours (S,S) de la forme (R,B(R)), (N,P(N), etc.
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Exemple discretCas de la loi de Poisson: Soient
X ∼ P(λ) et Y ∼ P(µ)
X ⊥⊥ YOn pose S = X + Y .Alors LCR de X sachant S est Bin(S, p) avec p = λ
λ+µ
Démonstration: on a vu que pour n 6 m
P(X = n|S = m) =
(nm
)pn (1− p)m−n avec p =
λ
λ + µ.
On prend alorsS = N, G = σ(S)
et on vérifie que ces probabilités conditionnelles définissent une LCR.
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Exemple continuCas de la loi exponentielle: Soient
X ∼ E(1) et Y ∼ E(1)
X ⊥⊥ YOn pose S = X + Y .Alors LCR de X sachant S est U([0, S]).
Démonstration: La densité du couple (X , S) est donnée par
f (x , s) = e−s10≤x≤s.
Soit alors ψ ∈ Bb(R+). D’après l’Exemple 5, on a
E[ψ(X )|S] = u(S),
avecu(s) =
∫R2
+ψ(x)f (x , s)dx∫R2
+f (x , s)dx =
1s
∫ s
0ψ(x)dx .
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Démonstration
De plus, S 6= 0 presque sûrement, et donc, si A ∈ B(R), on a
P (X ∈ A|S) =|A ∩ [0, S]|
S .
En prenant espace d’état = R+, S = B(R+) et en posant
µ(ω,A) =|A ∩ [0, S(ω)]|
S(ω),
on vérifie que l’on a défini une loi conditionnelle régulière.
Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 56 / 59
Existence de la LCR
ThéorèmeSoit
X une variable aléatoire sur (Ω,F0,P).A valeurs dans un espace de la forme (Rn,B(Rn)).G ⊂ F0 une σ-algèbre.
Alors la loi conditionnelle régulière de X sachant G existe.
Démonstration difficile et admise.
Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 57 / 59
Règles de calcul de LCR(1) Si G = σ(Y ), avec Y variable aléatoire à valeurs dans Rm, on a
en faitµ(ω,A) = µ(Y (ω),A),
et on peut définir la loi conditionnelle régulière de X sachant Ycomme une famille µ(y , .); y ∈ Rm de probabilités sur Rn,telle que pour tout A ∈ B(Rn), la fonction
y 7→ µ(y ,A)
est mesurable.(2) Si Y suit une loi discrète, on a en fait
µ(y ,A) = P (X ∈ A|Y = y) =P (X ∈ A,Y = y)
P (Y = y).
Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 58 / 59
Règles de calcul de LCR (2)
(3) Lorsque l’on connait la loi conditionnelle régulière, on peutcalculer, pour φ ∈ B(Rn), les quantités:
E [φ(X )|G] =∫Rnφ(x)µ(ω, dx)
E [φ(X )|Y ] =∫Rnφ(x)µ(Y , dx).
(4) La loi conditionnelle régulière n’est pas unique, mais si N1,N2sont deux lois conditionnelles régulières de X sachant G, on a,ω-presque sûrement:
N1(ω,A) = N2(ω,A) pour tout A ∈ B(Rn).
Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 59 / 59