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店址 ：新北市立明德高中國中部數學科教學研究會 店長 ：李伶芳 老師 執行長：陳玉芬 老師 大掌櫃：蘇鈺証 師傅群：王琦雅 柳麗涵 跑堂 ：黃頎珉 廖友吉

數食店月刊

第四十八期 100年 10月號

以數學來證明『上帝存在嗎？』 明德高中 李伶芳 老師 書名：《爺爺的證明題：上帝存在嗎？》

作者：高瑞夫（Gaurav Suri）/ 哈托許 （Hartosh Singh Bal）

譯者：洪萬生、洪贊天、林倉億

出版社：博雅書屋 (2009 年)

前言 本書作者以寫小說的方式，虛構的敘事主軸，運用虛擬日

誌紀錄的設計，讓歷代數學家以他們自己的聲音，使用現代才

發展的數學記號和術語，展現他們的經驗和數學，向讀者證明

數學家進行數學研究廢寢忘食力求優美的努力。

內容簡介 本書一開始，拉維回憶爺爺送他的十二歲生日禮物---一台掌

上型計算機，以及爺爺引導他進行驚奇連連的數學解題，甚至

贊助他前往美國就讀大學，而拉維在史丹福大學的學習一直到

大四選修了一門『思考無限』課程才有所改變。從課程中，他面臨了數學和哲學難題。幾十年前，

拉維的爺爺也曾遭遇這些難題，而這些難題更使拉維爺爺陷於牢獄之災

拉維的爺爺維傑基於數學論證而質疑有關上帝的存在，從而引發宗教信仰之爭議，被控觸

犯了紐澤西一個小鎮上的『瀆神法』，為決定維傑是否要受審？保守、虔誠但人格高尚泰勒法官

與維傑在牢裡進行數學與宗教的真誠對話，觸及了知識（knowledge）vs.信仰（belief）認識論核

心問題。 為了平行呼應，在現代這一條敘事軸線中，利用尼可的『思考無限』這一門課程，以康托

爾的集合論為例，強調邏輯（logic）vs.意義（meaning）的重要性。另一方面跨越時空，藉著與

維傑或泰勒法官對話，說明歐幾里得《幾何原本》既古典又現代的知識價值，祖孫二人都與數學

或生活中是否有確定性這個問題搏鬥，讓他們不得不重新考慮他們的基本信念和選擇。 評論

英國數學家哈代說：「好的數學和尋找胚騰（或類型）有關。畫家利用形狀和顏色製造胚騰，

詩人則用是用文字來表達。而數學家呢，則是用構想來表達胚騰。」尼可教授在第一堂課告訴學

生，要從數學中找到美的事物，他認為數學與其說像是計算的算式，它還比較像是一個樂章。虛

構畢達哥拉斯從打鐵舖鐵鎚敲打鐵的聲音領悟宇宙間和諧的音調，可運用比例和數字來控制，作

者想以這本小說來向讀者證明數學是美麗的。 另外，維傑和泰勒這兩位分別代表數學和宗教的最終和解，是因為歐式幾何學不是有關我們

空間的真實幾何學被證明。維傑發現支撐他對數學的熱情的確定性似乎不是立足於穩固的基礎

上，它有可能是有條件的真實。而泰勒則是體會出接受上帝只能從我們的信仰中達成。信仰是個

出發點，它有可能是不真實的，但重點是你拿這個出發點來做什麼。因此，彼此的讓步，促成了

一段跨文化忘年之交。 為不讓讀者誤解書中所謂虛構 vs.事實，在最後一節加入註解，說明其中相關的關鍵史實和

進一步的數學或哲學觀點。以日誌紀錄來傳達數學知識本質（或數學哲學），並加以認知方面的

關懷和考量，探討如何面對人類知識的範圍及限制，書中的數學思想嚴謹且迷人，內容動人及具

啟發性，毫無疑問地是一本獲得極高評價的數學小說。 參考資料：洪萬生(2010) http://museum.math.ntnu.edu.tw/fulltext/415_20100722120623.pdf

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三個臭皮匠勝過一個諸葛亮？ 李伶芳、涂佩瑜、陳玉芬 老師

在一個偶然的機會下，三位老師在一起聊到「平方根」的教學，於是引起了下列的一些話題：在

何種脈絡下引進「平方根」最自然？如何讓學生真實接受 （無理數）的存在？如何讓學生可測量

任何一個 N （N為自然數）？當下沒有完整答案，大家回去各自思考……

經過一段時間的沈澱，我們找到了一個方向，也將它實踐於本學期的教學課程中，今就我們的教

學想法提出說明，後頁也顯示學生完成的作品，與大家分享。

本教學活動有別於教科書中先教無理數平方根，再教畢氏定理的順序，而是以綜

合方式分為三個教學歷程 :

(1) 畢氏定理初探 (2) 平方根之意義 （ 3) 畢氏定理與平方根之應用

圖一 圖二

首先，利用古代文本中『出入相補』手法對畢氏定理的印證，將之轉化為任意二

個自然數的組合。假設面積分別是 1 與 9 平方單位的正方形（如上圖一），透過『出

入相補』可得到面積為 10 平方單位的正方形（如上圖二）。如此一來，將使學生對於

所有自然數的平方根都能以圖形的組合方式具體了解，有別於課本中只能傳達 2 的

表示法。同時也能將抽象化的平方根 (無理數 )改換成以具體面積的邊長概念來表

示，甚至可以測量其近似值。另外本教案從「畢氏定理」到「平方根」的探索，都是採

用單一制的『出入相補』手法，讓學生完成學習無理數的概念，更重要的是能讓學生

依循相同手法進行連結與挑戰新的認知，諸如：學生們對於面積為 3（或邊長為 3 ）1

雖然三個臭皮匠終究不是一個諸葛亮，但到底還是完成了閒聊的意義，更難得的是老師們集思廣

益意時的心靈充實與意外收獲，自是不可言喻。

的圖形拼圖，透過此次的活動，仍能完成教師預期中的作品（如下頁的圖五與圖十拼

圖），實屬不易，因為在一般時候，這樣的線段討論是無法在初次接觸「平方根」時就

能一語道盡的。

1 一般而言，求 3 長度 昃屬於 進階的 作圖題，因為對 學生而 言，在 格子上容 易找到 5，但 3 的 作圖

須 先透過 2 的 完成

3

圖一 210 卓子晴 黃宇秀 圖二 205 簡嘉慧 鄭皓文 陳琳鈞 陳惠淪 廖恩欣 蔡宜慧

圖三 210 黃冠程 吳亭萱 游芳雯 賴亭蓉 圖四 205 王琦雅 周學聖 林新人 鄒佩祺 鄭昀倪 林揚勳

圖五 挑戰主題:「面積 3的拼圖」 211 吳俊鴻 曾柏翰 蘇鈺証 王易升

4

圖六 211 各組 圖七 207 代表組

圖八 208 陳家芝 張芮瑄 陳巧玲 林成勳 林玉萱 圖九 208 第一組

圖十 挑戰主題:「面積 3的拼圖」 圖十一 210 黃冠程 吳亭萱 游芳雯 賴亭蓉

為這些同學給一聲：

喝采！

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中一數學週考風雲榜 單元 1-1

班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績 班級 座號 姓名 成績 101 3 呂祈宏 95 105 7 陳泰全 93 108 22 劉馨蔓 96 7 張立穎 97 12 鄭郁諺 100 27 朱一方 96 14 呂沂庭 100 23 盧伯華 97 30 陳葳祺 96 19 陳郁璇 100 24 朱冠穎 95 109 2 朱俞臣 95 22 李岱蔚 95 26 李汪哲 100 8 陳鵬仲 93 25 蔡丞翰 90 28 方馨 100 10 鄭凱翔 91 30 高巧芳 95 29 杜佳玲 100 11 顧尚萱 98 31 陳玉穎 100 106 1 呂曜丞 94 109 15 林佳靜 90 102 1 吳學舜 90 2 林岱泓 100 16 徐艾琳 100 3 張志瑋 91 3 邱琨翔 92 20 鄭媛元 90 4 張郁晨 100 6 許智豪 97 22 林廣諺 94 10 江亦 94 11 潘佳侖 93 24 陳孟鈞 96 13 孫佳慧 91 14 吳允慈 97 26 詹喻傑 92 14 陳妍雅 95 16 范于庭 97 20 黃齡儀 95 17 張宜羚 95 110 3 ,張旭里 95 22 王俊文 99 21 張曉芸 97 5 陳昭晨 90 24 林偉聰 92 23 蔡佳軒 91 6 黃昱翔 93 25 林文傑 100 26 歐柏廷 90 13 陳碧霞 96 27 潘佳澤 100 27 羅祥豪 96 14 曾馨慧 95 28 林妮萱 95 30 印家穎 96 15 詹琬綺 100 103 3 宋曜安 99 107 2 林亮均 97 18 鄭亦珊 97 10 簡兆佑 100 5 陳柏安 96 19 顏意芳 100 11 譚曜程 99 10 王鈺媞 100 28 曾梓媗 91 15 陳品伃 91 11 王鈺媃 100 111 2 李俊廷 100 16 楊芷雲 99 20 蔡芷欣 100 3 陳友峻 100 24 冷玥 96 22 羅玓 100 4 陳志洋 95 104 1 沈少庸 91 23 林佳弘 100 6 黃冠斌 90 3 陳定朋 100 24 曹雲凱 95 7 楊欽孟 95 10 何亞軒 90 25 許右宏 98 19 簡沛琦 94 12 李昀 100 29 黃俊霖 100 23 高聖庭 100 16 黃瑋亭 97 108 1 吳昊謙 100 26 童紹豪 100 22 呂焌廷 94 6 陳欽曈 93 29 王宣淯 96 105 3 柯亭佑 100 8 葉冠廷 100 6 陳禹愷 95 12 丁紫綺 100

單元 1-2 101 9 劉冠廷 92 104 25 黃楠清 96 107 23 林佳弘 93 102 25 林文傑 91 105 3 柯亭佑 96 24 曹雲凱 96 28 林妮萱 91 24 朱冠穎 100 29 黃俊霖 93 103 7 黃業燊 96 27 楊智邦 90 109 2 朱俞臣 100 24 冷玥 93 107 5 陳柏安 91 16 徐艾琳 95 104 16 黃瑋亭 95 10 王鈺媞 91 18 曹育溱 96 109 28 林欣彤 96

6

單元 1-3 101 14 呂沂庭 100 106 29 吳承熹 90 109 11 顧尚萱 91 24 林柏維 94 105 3 柯亭佑 96 16 徐艾琳 94 31 陳玉穎 96 11 廖文銓 92 18 曹育溱 100 102 1 吳學舜 92 24 朱冠穎 100 27 李佳洧 90 3 張志瑋 96 26 李汪哲 100 110 3 ,張旭里 92 11 林育瑄 90 107 11 王鈺媃 90 6 黃昱翔 95 20 黃齡儀 100 21 顏于雯 92 8 蕭芳鈞 94 25 林文傑 100 22 羅玓 95 18 鄭亦珊 100 27 潘佳澤 90 23 林佳弘 100 19 顏意芳 96 104 16 黃瑋亭 94 25 許右宏 92 25 吳沛澄 92 20 魏嘉伶 92 29 黃俊霖 98 111 3 陳友峻 92 22 呂焌廷 92 33 蔡佩芸 92 17 張明暄 94 106 25 黃楠清 96 109 2 朱俞臣 100 23 高聖庭 90 103 7 黃業燊 90 103 12 蘇佑宇 96 103 10 簡兆佑 91 103 24 冷玥 94

中二數學週考風雲榜

單元 1-1

202 16 陳韋伶 96 203 10 蕭宇辰 95 211 7 陳孝文 97 18 廖文慈 91 11 王星詠 95 14 蘇鈺証 98 22 王奕翔 100 15 林采潔 92 18 周芸竹 100 203 3 李俊融 92 205 28 柳麗涵 95 19 周瑋庭 100 8 黃啟倫 95 29 廖家駿 90 9 黃創偉 100 211 5 林煒傑 98

單元 1-2 201 1 吳昊哲 90 203 8 黃啟倫 100 206 25 鄭博鴻 95 6 黃誠剛 100 9 黃創偉 100 26 謝紹洋 100 11 吳季帆 96 10 蕭宇辰 95 28 林逸欣 96 16 雷馥瑄 91 11 王星詠 100 30 詹詠晴 90 202 15 張瀅瀅 100 14 林豆豆 100 207 6 陳永寧 96 16 陳韋伶 100 28 陳沛樞 90 208 16 陳巧玲 100 18 廖文慈 91 29 陳怡蓁 90 27 林玉萱 90 21 蘇意惠 91 205 11 王琦雅 100 211 5 林煒傑 100 22 王奕翔 100 24 陳家曄 90 7 陳孝文 91 25 林怡君 91 28 柳麗涵 90 9 黃乃脩 96 203 2 李明峻 92 206 2 呂承恩 90 18 周芸竹 100 3 李俊融 96 16 施禹安 95 19 周瑋庭 100 6 陳子新 90 23 楊耀富 100

單元 1-3 201 1 吳昊哲 96 202 13 黎治成 90 203 8 黃啟倫 100 6 黃誠剛 96 15 張瀅瀅 97 9 黃創偉 97 11 吳季帆 96 16 陳韋伶 93 11 王星詠 90 16 吳昊哲 91 18 廖文慈 90 13 李怡萱 93

7

202 5 李奇 97 22 王奕翔 90 14 林豆豆 90 7 林昀皜 97 203 3 李俊融 93 18 黃士芸 90 203 11 楊凱翔 90 6 陳子新 97 20 吳璟嘉 96 22 呂旭鴻 90 206 11 吳少君 100 210 22 陳仁宗 97 29 陳怡蓁 96 13 呂雅君 97 2 吳俊鴻 93 204 4 陳俊嘉 90 16 施禹安 96 5 林煒傑 92 7 曾喜彬 100 30 詹詠晴 96 7 陳孝文 95 20 吳旻諺 97 210 1 王一紘 93 14 蘇鈺証 100 28 歐冠妤 96 8 黃冠程 97 18 周芸竹 96 206 3 宋世傑 93 21 蕭芳儀 90 24 陳冠瑋 100

恭喜下列答對上期題目的同學，也感謝你們的熱情參與。 注意：名字旁的數字表示你答對的題數，也是你可以來領取下午茶的份數哦！ 210 吳亭萱×3 301 李芷嫺×4 210 馮柔淳×2 302 馮佳音×4 203 王星詠×1 205 陳柏翰×2 307 鍾志宏×5

※ 編輯部聲明：每期都有適合各年級同學的程度，希望同學們針對自己的實力誠實地全力以赴，如此獲獎才有意義！

輕鬆一下

數學家的戀愛 數學家同女朋友在公園漫步。

女朋友問他：「我滿臉雀斑，你真的不介意？」?

數學家溫柔地回答：「絕對不！我生來最愛跟小數點打交道。」 蘇格蘭的黑羊 一個天文學家、物理學家以及一個數學家去蘇格蘭渡假，坐在火車上

，他們發現窗外田野中間有一頭黑色的羊。

「多麼有趣呀！」天文學家發現並說道，「所有蘇格蘭的羊都是黑色的！」

這時，物理學家回答道：「不！是某些蘇格蘭的羊是黑色的。」

數學家則搖搖頭，緩緩說道：「都不對！正確說法應該是：在蘇格蘭

，至少存在一個田野，這個田野裡至少存在一隻羊，這隻羊至少有一面是黑的！」

資料來源：數學工作坊 http://home.ccsh.tp.edu.tw/~ythung/right_index.htm

腦力激盪

數學

辭典

四色

定理

一幅地圖最少可以用多少種顏色來製作呢？在這裡所指的

地圖只有一個條件，便是在相鄰國家的顏色必不相同，而至

於海洋、冰山及文字等的顏色是不計在內的。答案是四種顏

色，而這答案是從人的經驗中歸納而得的，至於它的「證明」

卻要延綿了百多年才得到結果

參考資料：數學天地 http://www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php

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年 班 姓名： 年 班 姓名： 以下參考資料來源：蒂姆 戴多普羅斯（2010）。哈佛給學生做的 1001 個思維遊戲。禾風車出版。

海戰棋１ 下圖中藏有數艘大小不一的船隻，方格外的數字表示該行

或該列中有船隻的格數，且每艘船隻均不相鄰。圖中已標

示出幾艘船的部分船身，請畫出所有船隻的位置。表格上

方顯示的方格表示不同船隻的長度（船隻在表格中可直放

或橫放）

年 班 姓名：

字母數獨 請填入字母 S、P、A、R、K、L、I、N、G 在每一行，每

一列和 3×3 的九宮格內，每個字母只能出現一次。

年 班 姓名：

烹飪高手 老翁與一群學生到郊外露營野炊，經驗告訴我們，煮一鍋香噴噴的飯需 15分鐘，不足 15分鐘飯就

不會熟，超過 15分鐘飯便會燒焦。但是，擁有工具只有：一堆木材、一個普通鍋子、七分鐘與十一

分鐘沙漏各一。請問，該如何運用這些工具煮飯呢？

年 班 姓名： 參考資料 http://mail.tku.edu.tw/fritha/html/research4.htm

７ １ ４

４ ５ ６ ２

１ ３ ４ ５

８ ４ ３

２ ６ ８ １

４ ９ ６

１ ９ ６ ４

６ ４ １ ８

３ ５ １

９

２ ６ ３ ４ ８

５ ６ ２ ７ ９

５ ９ １

８ １ ４

１ ８ ６

５ ９ ８ ６ ３

2 6 5 8 7

3