MATRIZ DE DISPERSIN DE UNA RED DE N-PUERTOS, ONDAS DE POTENCIA Y PARMETROS DE DISPERSIN GENERALIZADOS

Andrs David Surez Gmez, andresdasugo@gmail.comAndersson Gabriel Garca Garca anderso08@hotmail.com

Universidad Pedaggica y Tecnolgica de ColombiaUniversidad Pedaggica y Tecnolgica de Colombia. Ensayo sobre la matriz de dispersin de una red de n-puertos y ondas de potencia

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En el presente documento se busca analizar la matriz de dispersin de una red de n- puertos, mediante las llamadas ondas de potencia, en lo cual se ve una analoga a las ondas incidente y reflejada vistas para una red de dos puertos, tambin se analizan los parmetros de dispersin generalizados como el coeficiente de reflexin.Matriz de dispersin de una red de n-puertosEn una matriz de dispersin de una red de n-puertos las lneas de transmisin se asumen sin prdidas con impedancia caracterstica (i=1 a n) tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Una red de n puertosLa matriz de dispersin se puede escribir de la forma , pero en esta ocasin ser una matriz n x n, en donde n ser el nmero de puertos de la red, es decir en las filas se tiene , mientras que en las filas se tiene , as como se muestra en la ecuacin 1. (1) Adems y se definen de la forma que se ve en las ecuaciones 2 y 3 (2) (3)En donde tiene la forma de una matriz identidad (n x n), donde n es el nmero de puertos, mientras ,, e son matrices columna. Los parmetros S de la red de dos puertos son fcilmente medidos.Un transistor se considera como una red de 3 puertos, como se muestra en la figura 2. Para este punto la matriz de dispersin es la que se ve en la ecuacin 4. A dicha matriz se le denomina matriz de dispersin indefinida ya que no se hace una eleccin definida para la tierra a un puerto en particular.

Figura 2. Un transistor como una red de tres puertos (4)

Ondas de potencia y parmetros de dispersin generalizados

En una lnea de transmisin se representan los voltajes y corrientes en trminos de ondas viajeras, en donde se tiene una onda incidente y una onda reflejada . Ahora para una red de n- puertos se analizan circuitos agrupados en trminos de una nueva serie de ondas a las que se le denomina ondas de potencia.

Si se considera el circuito de un puerto de la figura 3 las ondas normalizadas incidentes y reflejadas definidas en las ecuaciones 5 y 6 no son las ms apropiadas para su anlisis ya que no hay lnea de transmisin y por lo tanto la impedancia caracterstica no est definida. Es por esto que se introduce el concepto de una nueva serie de ondas llamadas ondas de potencia. Las ondas de potencia definidas en las ecuaciones (7) y (8), son anlogas a las ecuaciones y , usadas para una red de dos puertos.

Figura 3. Una red de un puerto agrupado

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En las ecuaciones 7 y 8, se tiene que . Hay que ver que las definiciones de dichas ecuaciones son tales que la cantidad es igual a la potencia disponible del fuente y la onda de potencia reflejada es cero cuando la impedancia de carga est de forma conjugada adaptada a la impedancia de la fuente. En la figura 4 se muestra una representacin de una onda de potencia de una red de un puerto.

Figura 4. Representacin de ondas de potencia

De la figura 3 la relacin entre e esta dada por la ecuacin 9

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Si se sustituye 9 en 7 se tiene que

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(11)

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Esta ltima ecuacin (12) es conocida como la potencia disponible de la fuente. Se tiene que la mxima potencia es entregada a la carga cuando ,

Adems debera representar la potencia reflejada. De acuerdo a las ecuaciones 7 y 8 se tiene la potencia disipada en , como se aprecia en la ecuacin 13.

(13)

Por lo tanto, la potencia reflejada es igual a la potencia disponible de la fuente menos la potencia disipada en la carga (ver ecuacin 14).

(14)

Bajo condiciones del conjugado , la potencia disponible de la fuente se entrega a y la potencia reflejada es cero, una propiedad que es muy importante en las ondas de potencia.

Un coeficiente de reflexin de ondas de potencia, llamado tambin coeficiente de reflexin generalizado, puede ser definido como la razn de a como lo muestra la ecuacin 15.

(15)

Si se usa la ecuacin 15, la ecuacin 13 se puede expresar como sigue:

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Y resolviendo las ecuaciones 1 y 2 para y se tienen las siguientes ecuaciones

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