O. Bddescu, M. Cimpoegu, Gh. Crdciun, H. Csapo,M. Georgescu, M. Haiducu, G.Marinescu,C. Mogog, M. Pdunescu, L. Petrescu, A. Pogtaru,A. Rdducan, G. Rdducan, C. Scdiceanu,N. Seimeanu, N. Stdnicd, N. Suciu, M.Zaharia

,\ln

Pregdtirea exam en ului de

ma$-fi25 de septamdni

e2ffiW

SIG IYl

O" Bidescu, M. Gimpoegu, Gh. Griciun, H. Gsap6,M. Georgescu, M. Haiducu, G.Marinescu, C. Mogog,

M. Piuneseu, L" Petrescu, A. Pogtail, A. Rdducan, G. Riducan,G. Scdiceanu, N. Seimeanu, N. Stinici, N. Snciu, M. Zaharia

Pregefi rea examenului de

EVATUARE NATIONALA2017

Tn 25 de sAptem0ni

Matematici

@SIGilIA

CUPRINS

Cuvdnt tnainte .........,......... 3

Temele recapitulate tn testele sdptdmdnale ...........4

Programa pentru evaluarea nalionald la matematicd...........................".... 6

Memorator ...............:...... 19

Recapitularea materiei prin exercigii Si problemeEnunfuri Solulii

1. Mulyimea numerelor rea\e.......... .. 29................... 51

2. Calcul algebric 33................... 53

3. Funclii .... 35...................544. Ecualii, inecualii;i sisteme de ecualii 36...................555. Elemente de organizarea datelor . 39 ...................57

6. Mdsurare ;i mdsuri ... 40...................577. Triunghiul ................. . 41......,............578. Patrulaterul convex ... 42................... 58

9. Cercul ..... 44..............".... 59

10. Puncte, drepte, plane, unghiuri, corpuri geometrice...... 45................... 60

Planifrcaru sdptdmdnald a recapituldrii pentru Evaluarea Nagionald .....66

Modele dc tate sdptdmdnale pentru recopitulareEnunluri ........ 69Indical:ii ;i rezolvdri ....... l0l

Subicctele dsle saa prupase dc cfrre minister

201 0

Model propus 127 ................. 181

Subiectul dat tn sesiunea speciald..... ................. 128.............. ...IBzSubiectul dat tn sesiunea iunie-iulie 130................. 184

2011

Model propus 131 ................. 185Subiectul dat tn sesiunea speciald ..... I 3 3 ............ ..... I87Subiectul dat tn sesiunea iunie-iulie 134................. 189

332

201 2

Model prapus

Subiectul dat in sesiunea speciald .....................Subiectul dat tn sesiunea iunie-iulieVarianta de rezervd

201 3

Model propus .................;.

Subiectul dat in sesiunea speciald

Subiectul dat in sesiunea iunie-iulieVarianta de rezervd

201 4

Model propus.......

Testul de pregdtire 1 .

Testul de pregdtire 2 ................

Testul de pregdtire 3 ................

Testul de pregdtire 4 ................

Testul de pregdtire 5 ................

Subiectul dat in sesiunea speciald

Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie

Varianta de rezervd

201 5

Model propus

Simulare....

Subiectul dat fn sesiunea speciald

Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie

Varianta de rezervd .:.................

241 6

Model propus...i...............

Simulare....

Subiectul dat in sesiunea speciald

Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie

136................. I 90

138............ ..... r92139............ ..... 194

t4t ................. 1 95

r42................. t9 6

t44..........."..... 1 98

l, 46 ................. 19 9

t 47 ................. 201

| 49 ................. 2A2

1 50..........." ..... 204I 52 ................. 20 5

1 54............ ...". 206I 56................. 208

157 .........."...... 209

1 s9..........". ..... 2rII 61 ............ .....212t 62................. 2t3

| 64 ................. 2t 5

1 66............ ..... 21 6

t67 ................. 218

I 69............ ..... 219

t7 0 .........."...... 220

I7 2 ................ " 222

t7 3 "................ 223175 ))<

17 6,............,.... ZZS

1 78................. 228Varianta de rezervd

JJJ

Tixte finatc pmtru pregdtirea Emmenului de Evalaare NagionaldEnanfurt Solufii

27 0 ................. 3r727 I ................. 3 I 8

272 ................. 3 l927 3 ................. 321

27 s ................. 322

27 6 ................. 32327 7 ................. 324

27 9 ................. 324280............ ..... 325

28 I ................. 326

283 ............ ..... 327

284 ................. 328285 ............ ..... 329

287 ................. 3 30

335

MEMORATOR

ALGEBRA

Operafii cu puteri

l. a*' a": a^+n, oricare at fi a e R*, m, n € Z2. a-: an: am-n, oricare ar ft a € R*, z, n e Z3. (a-)': a^', oricare at ft a € lR-, z, n € 74. (a ' bY: an . b', oricare ar fi a, b e R', m, n e

t e)' =fi, oncare ar fi a, b e R*, n e z

6. a-t =!, aeR..

IVlodulul unui numir real

I x-dacdx>-0l.lxl=iI I l--r,dacdx<0

z.lxl>o,VxelR

3.1*.y l=l'l.lyl.l!_14.' lyl- lyl

5.lrl<ae-a{x(cooricare ar fi a

Partea intreagi qi frac{ionarfl a unui numir real

t. ' = [']* {"} 3. [x]<x< [;r]+ t

z.fxlez +.0<{r}< t

Operafii cu radicali

L.J;.,{b=Jrb, a7o, b2o

, #=8, a2o, b>o

3'94' =JV ' a>o' n ez

+.(aJE)' =anJF, a+0, b>0, neZ

s. JF =lal,c e R

19

Rafionalizarea numitorului

t. nrft=*,c>0,b*a

,. n*n'

---o----o-*UE + Ji).6>0.

c>otl b-",|c b-c

Formule de calcul prescurtat

l.(atb)'=o'+2ab+t

2.(a+b)(o*b)=o'-b'

3. (a + b + c)t = a' + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac .

Media aritmetici: m -q+a2+"'+a,on

Media aritmetici ponderati: *, - 4' Pt* az' pzi "'+ an' It'Pt* Pz+...* Pn

Media geornetrici 2 ffi, =,ji1, a70, b>-0

Inegalitatea rnediilor: mo) rn,

Funcfia de gradul I:. ;f :lR + lR, /(x) : ex I b, a * 0.

. Graficul funcliei de gradul I este o dreapt6.

. Gr n o, ={o(-2, o)}, o, n o, ={n (0, b)} @unctele de intersecfie ale graficului

funcfiei cu axele de coordonate)

Ecua{ia de gradul al doilea

ax2 + bx+c =0, aob,c elR,a * 0

L=b2-4ac;*rr=J#. Dacd A > 0, atunci existi x,,, e lR,x, t x,

. Daci A = 0, atunci existdx,,, e lR,x, = x,

. Dacd A < 0, atunci ecuafia nu are r6d6cini reale.

20

Memorator

Triunghiuri

. -(<l)+ m(<r)+ m(<c) = 18oo

Clasfficare dupd unghiuri:

Clasificare dupd laturi :

o Tiiunghi oarecare(scalen)

i : ?, 2 = $ (unghiudaltemeexterne)

3 = 5, 4 = 6 (ungfuirrialerneinterne)

i = i a = $ i =G,i =i (rmgliuricorespondente)

r Triunghi dreptunghic

GEOMETRIE PLANAUnghiuri formate de doui drepte palelele cu o secantl

Tiiunghi asculitunghic

/\/\

/\/\

Cazuri de congruen\d:

Triunghiuri oarecare

L.u.L. S-.. ,4/\\

r Triunghi isoscel r Tiiunghi echilateral

trULUA4

r Tfiunghi obtuzunghic

MLLLh42t

Memorator

Triunghiuri dreptunghice

I. C.C. II. c.u.

M. LU. IV. I.C.

t Linii importante ln triunghi:1. Mediana este segmentul care une$te un vdrf al

triunghiului cu mijlocul laturii opuse.. Medianele unui triunghi sunt concurente; punctul lor

de intersec{ie este centrul de greutate al triunghiului.. Centrul de greutate se afld pe mediani la 213 de vfuf

qi ll3 de bazd.. intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzitoare

' n=89\ipotenuzei este jumdtate din ipotenuzd (z Z l.2. Mediatoarea este dreapta perpendiculard pe o laturd

dusd prin mijlocul acesteia.. Mediatoarele unui triunghi sunt concurente; puncful

lor de intersecfie este in centrul cercului circumscristriunghiului.

. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egaldepirtat de capetele segmentului.

3. inilfimea este perpendiculara dusd dintr-un v6rf altriunghiului pe latura opusi.

. inillimile unui triunghi sunt concurente; punctul lor deintersectie se numegte ortocentrul triunghiului.

4. Bisectoarea (unui unghi) este semidreapta cu origineain vdrful unghiului, care imparte unghiul in doui unghiuricongruente.

. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente; punctul lorde interseclie este centrul cercului inscris in triunghi.

22

\'. hh\\ Nq

A

N /\t\{\h,\\\,\

NALxq\

An\

/\\

AtotDTUV

cf'---I -----DI -"tt-'t-I -t" \--

t.GB

I,/\,/\/\

/\AoA/'(\/t\s/ J lc'

r'

if'rt\\/\ttAtr---l< \

,z'\-, -----r.

Memorator

5. Linia mijlocie este segmentul determinat de mijloacele a 4doud laturi dintr-un triunghi. /\. Linia mijlocie este paraleld cu a treia laturd gi are lungimea yl-{egald cu jumdtate din lungimea acesteia (^ = T) A-.*+t Relalii metrice in triunghiuri

. Teorema inilfimii: intr-un triunghi dreptunghic,lungimea indlfimii corespunzdtoare ipotenuzei este me-dia geometrici a lungimilor proiecfiilor catetelor pe

ipotenuzi (lO' = BD' DC).

' Teorema catetei: intr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este me-dia geometricd a lungimii proiec{iei sale pe ipotenuzd qi a lungimii ipotenuzei

leBz = BD' BC, AC2 = CD. BC).

'Teorema lui Pitagora: intr-un triunghi dreptunghic, p6tratul lungimii ipotenuzei

este egal cu suma pitratelor lungimilor catetelor (ACz =,an2 + AC'z).

. Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacd intr-un triunghi pitratul lungimii uneilaturi este egal cu suma pdtratelor lungimilor celorlalte doud laturi, atunci triunghiuleste dreptunghic.

. Teorema lui Thales: O paraleld la una din laturile unuitriunghi determind pe celelalte doul laturi, sau pe prelungirile

lor, segmente propor{io nale. DEIIBC =42=4.--'-- 'AB AC'D4/1. Reciproca teoremei lui Thales: Daci o dreaptd" DE D L

intersecteazi laturile AB qi AC ale unui triunghi ABC qi determind pe acestea segmentepropor{ionale, atunci ea este paralelS cu BC.

o Asemdnarea triunghiurilor. Teorema fundamentali a aseminirii. O paraleli dusb la una din laturile unui

triunghi formeazd cu celelalte doud laturi un triunghi asemenea cu cel inilial

l,DEllBC=AADE - LABC).. Criterii de aseminare:1. U.U.: Doud triunghiuri care au doud perechi

de unghiuri congruenteo sunt asemenea

(A=M,B:ft=MBC-LMNa).

2. L.U.L.: Doui triunghiuri care au un unghi sengruent qi laturile ce formeazi

unghiul sunt proporlionale, sunt asemen "^

(a=r,#=ffi**BC -LMNP).

3. L.L.L.: Doud triunghiuri care au toate lafurile propor{ionale, sunt asemenea.

(#=#=#=MBC -^MNP).23

,4

-4./ l\,tt l\s/ b \r.'

D

,/\rA"M

i