O. Bddescu, M. Cimpoegu, Gh. Crdciun, H. Csapo,M. Georgescu, M. Haiducu, G.Marinescu,C. Mogog, M. Pdunescu, L. Petrescu, A. Pogtaru,A. Rdducan, G. Rdducan, C. Scdiceanu,N. Seimeanu, N. Stdnicd, N. Suciu, M.Zaharia
,\ln
Pregdtirea exam en ului de
ma$-fi25 de septamdni
e2ffiW
SIG IYl
O" Bidescu, M. Gimpoegu, Gh. Griciun, H. Gsap6,M. Georgescu, M. Haiducu, G.Marinescu, C. Mogog,
M. Piuneseu, L" Petrescu, A. Pogtail, A. Rdducan, G. Riducan,G. Scdiceanu, N. Seimeanu, N. Stinici, N. Snciu, M. Zaharia
Pregefi rea examenului de
EVATUARE NATIONALA2017
Tn 25 de sAptem0ni
Matematici
@SIGilIA
CUPRINS
Cuvdnt tnainte .........,......... 3
Temele recapitulate tn testele sdptdmdnale ...........4
Programa pentru evaluarea nalionald la matematicd...........................".... 6
Memorator ...............:...... 19
Recapitularea materiei prin exercigii Si problemeEnunfuri Solulii
1. Mulyimea numerelor rea\e.......... .. 29................... 51
2. Calcul algebric 33................... 53
3. Funclii .... 35...................544. Ecualii, inecualii;i sisteme de ecualii 36...................555. Elemente de organizarea datelor . 39 ...................57
6. Mdsurare ;i mdsuri ... 40...................577. Triunghiul ................. . 41......,............578. Patrulaterul convex ... 42................... 58
9. Cercul ..... 44..............".... 59
10. Puncte, drepte, plane, unghiuri, corpuri geometrice...... 45................... 60
Planifrcaru sdptdmdnald a recapituldrii pentru Evaluarea Nagionald .....66
Modele dc tate sdptdmdnale pentru recopitulareEnunluri ........ 69Indical:ii ;i rezolvdri ....... l0l
Subicctele dsle saa prupase dc cfrre minister
201 0
Model propus 127 ................. 181
Subiectul dat tn sesiunea speciald..... ................. 128.............. ...IBzSubiectul dat tn sesiunea iunie-iulie 130................. 184
2011
Model propus 131 ................. 185Subiectul dat tn sesiunea speciald ..... I 3 3 ............ ..... I87Subiectul dat tn sesiunea iunie-iulie 134................. 189
332
201 2
Model prapus
Subiectul dat in sesiunea speciald .....................Subiectul dat tn sesiunea iunie-iulieVarianta de rezervd
201 3
Model propus .................;.
Subiectul dat in sesiunea speciald
Subiectul dat in sesiunea iunie-iulieVarianta de rezervd
201 4
Model propus.......
Testul de pregdtire 1 .
Testul de pregdtire 2 ................
Testul de pregdtire 3 ................
Testul de pregdtire 4 ................
Testul de pregdtire 5 ................
Subiectul dat in sesiunea speciald
Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie
Varianta de rezervd
201 5
Model propus
Simulare....
Subiectul dat fn sesiunea speciald
Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie
Varianta de rezervd .:.................
241 6
Model propus...i...............
Simulare....
Subiectul dat in sesiunea speciald
Subiectul dat in sesiunea iunie-iulie
136................. I 90
138............ ..... r92139............ ..... 194
t4t ................. 1 95
r42................. t9 6
t44..........."..... 1 98
l, 46 ................. 19 9
t 47 ................. 201
| 49 ................. 2A2
1 50..........." ..... 204I 52 ................. 20 5
1 54............ ...". 206I 56................. 208
157 .........."...... 209
1 s9..........". ..... 2rII 61 ............ .....212t 62................. 2t3
| 64 ................. 2t 5
1 66............ ..... 21 6
t67 ................. 218
I 69............ ..... 219
t7 0 .........."...... 220
I7 2 ................ " 222
t7 3 "................ 223175 ))<
17 6,............,.... ZZS
1 78................. 228Varianta de rezervd
JJJ
Tixte finatc pmtru pregdtirea Emmenului de Evalaare NagionaldEnanfurt Solufii
27 0 ................. 3r727 I ................. 3 I 8
272 ................. 3 l927 3 ................. 321
27 s ................. 322
27 6 ................. 32327 7 ................. 324
27 9 ................. 324280............ ..... 325
28 I ................. 326
283 ............ ..... 327
284 ................. 328285 ............ ..... 329
287 ................. 3 30
335
MEMORATOR
ALGEBRA
Operafii cu puteri
l. a*' a": a^+n, oricare at fi a e R*, m, n € Z2. a-: an: am-n, oricare ar ft a € R*, z, n e Z3. (a-)': a^', oricare at ft a € lR-, z, n € 74. (a ' bY: an . b', oricare ar fi a, b e R', m, n e
t e)' =fi, oncare ar fi a, b e R*, n e z
6. a-t =!, aeR..
IVlodulul unui numir real
I x-dacdx>-0l.lxl=iI I l--r,dacdx<0
z.lxl>o,VxelR
3.1*.y l=l'l.lyl.l!_14.' lyl- lyl
5.lrl<ae-a{x(cooricare ar fi a
Partea intreagi qi frac{ionarfl a unui numir real
t. ' = [']* {"} 3. [x]<x< [;r]+ t
z.fxlez +.0<{r}< t
Operafii cu radicali
L.J;.,{b=Jrb, a7o, b2o
, #=8, a2o, b>o
3'94' =JV ' a>o' n ez
+.(aJE)' =anJF, a+0, b>0, neZ
s. JF =lal,c e R
19
Rafionalizarea numitorului
t. nrft=*,c>0,b*a
,. n*n'
---o----o-*UE + Ji).6>0.
c>otl b-",|c b-c
Formule de calcul prescurtat
l.(atb)'=o'+2ab+t
2.(a+b)(o*b)=o'-b'
3. (a + b + c)t = a' + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac .
Media aritmetici: m -q+a2+"'+a,on
Media aritmetici ponderati: *, - 4' Pt* az' pzi "'+ an' It'Pt* Pz+...* Pn
Media geornetrici 2 ffi, =,ji1, a70, b>-0
Inegalitatea rnediilor: mo) rn,
Funcfia de gradul I:. ;f :lR + lR, /(x) : ex I b, a * 0.
. Graficul funcliei de gradul I este o dreapt6.
. Gr n o, ={o(-2, o)}, o, n o, ={n (0, b)} @unctele de intersecfie ale graficului
funcfiei cu axele de coordonate)
Ecua{ia de gradul al doilea
ax2 + bx+c =0, aob,c elR,a * 0
L=b2-4ac;*rr=J#. Dacd A > 0, atunci existi x,,, e lR,x, t x,
. Daci A = 0, atunci existdx,,, e lR,x, = x,
. Dacd A < 0, atunci ecuafia nu are r6d6cini reale.
20
Memorator
Triunghiuri
. -(<l)+ m(<r)+ m(<c) = 18oo
Clasfficare dupd unghiuri:
Clasificare dupd laturi :
o Tiiunghi oarecare(scalen)
i : ?, 2 = $ (unghiudaltemeexterne)
3 = 5, 4 = 6 (ungfuirrialerneinterne)
i = i a = $ i =G,i =i (rmgliuricorespondente)
r Triunghi dreptunghic
GEOMETRIE PLANAUnghiuri formate de doui drepte palelele cu o secantl
Tiiunghi asculitunghic
/\/\
/\/\
Cazuri de congruen\d:
Triunghiuri oarecare
L.u.L. S-.. ,4/\\
r Triunghi isoscel r Tiiunghi echilateral
trULUA4
r Tfiunghi obtuzunghic
MLLLh42t
Memorator
Triunghiuri dreptunghice
I. C.C. II. c.u.
M. LU. IV. I.C.
t Linii importante ln triunghi:1. Mediana este segmentul care une$te un vdrf al
triunghiului cu mijlocul laturii opuse.. Medianele unui triunghi sunt concurente; punctul lor
de intersec{ie este centrul de greutate al triunghiului.. Centrul de greutate se afld pe mediani la 213 de vfuf
qi ll3 de bazd.. intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzitoare
' n=89\ipotenuzei este jumdtate din ipotenuzd (z Z l.2. Mediatoarea este dreapta perpendiculard pe o laturd
dusd prin mijlocul acesteia.. Mediatoarele unui triunghi sunt concurente; puncful
lor de intersecfie este in centrul cercului circumscristriunghiului.
. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egaldepirtat de capetele segmentului.
3. inilfimea este perpendiculara dusd dintr-un v6rf altriunghiului pe latura opusi.
. inillimile unui triunghi sunt concurente; punctul lor deintersectie se numegte ortocentrul triunghiului.
4. Bisectoarea (unui unghi) este semidreapta cu origineain vdrful unghiului, care imparte unghiul in doui unghiuricongruente.
. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente; punctul lorde interseclie este centrul cercului inscris in triunghi.
22
\'. hh\\ Nq
A
N /\t\{\h,\\\,\
NALxq\
An\
/\\
AtotDTUV
cf'---I -----DI -"tt-'t-I -t" \--
t.GB
I,/\,/\/\
/\AoA/'(\/t\s/ J lc'
r'
if'rt\\/\ttAtr---l< \
,z'\-, -----r.
Memorator
5. Linia mijlocie este segmentul determinat de mijloacele a 4doud laturi dintr-un triunghi. /\. Linia mijlocie este paraleld cu a treia laturd gi are lungimea yl-{egald cu jumdtate din lungimea acesteia (^ = T) A-.*+t Relalii metrice in triunghiuri
. Teorema inilfimii: intr-un triunghi dreptunghic,lungimea indlfimii corespunzdtoare ipotenuzei este me-dia geometrici a lungimilor proiecfiilor catetelor pe
ipotenuzi (lO' = BD' DC).
' Teorema catetei: intr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este me-dia geometricd a lungimii proiec{iei sale pe ipotenuzd qi a lungimii ipotenuzei
leBz = BD' BC, AC2 = CD. BC).
'Teorema lui Pitagora: intr-un triunghi dreptunghic, p6tratul lungimii ipotenuzei
este egal cu suma pitratelor lungimilor catetelor (ACz =,an2 + AC'z).
. Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacd intr-un triunghi pitratul lungimii uneilaturi este egal cu suma pdtratelor lungimilor celorlalte doud laturi, atunci triunghiuleste dreptunghic.
. Teorema lui Thales: O paraleld la una din laturile unuitriunghi determind pe celelalte doul laturi, sau pe prelungirile
lor, segmente propor{io nale. DEIIBC =42=4.--'-- 'AB AC'D4/1. Reciproca teoremei lui Thales: Daci o dreaptd" DE D L
intersecteazi laturile AB qi AC ale unui triunghi ABC qi determind pe acestea segmentepropor{ionale, atunci ea este paralelS cu BC.
o Asemdnarea triunghiurilor. Teorema fundamentali a aseminirii. O paraleli dusb la una din laturile unui
triunghi formeazd cu celelalte doud laturi un triunghi asemenea cu cel inilial
l,DEllBC=AADE - LABC).. Criterii de aseminare:1. U.U.: Doud triunghiuri care au doud perechi
de unghiuri congruenteo sunt asemenea
(A=M,B:ft=MBC-LMNa).
2. L.U.L.: Doui triunghiuri care au un unghi sengruent qi laturile ce formeazi
unghiul sunt proporlionale, sunt asemen "^
(a=r,#=ffi**BC -LMNP).
3. L.L.L.: Doud triunghiuri care au toate lafurile propor{ionale, sunt asemenea.
(#=#=#=MBC -^MNP).23
,4
-4./ l\,tt l\s/ b \r.'
D
,/\rA"M
i