ELEMENTOS DE MATEMATICA Publicación didáctico científica

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Lic. Lucrecia Iglesias Prof. María E.S. de Hernández

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MATEMATICA PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFIC/

d e la UNIVERSIDAD CAECE

SUMARIO

Editorial 3

Geometría Integral o Estocástica

Dr. Luis A. Santaló 5

Congreso 14

Propuesta didáctica

Lucrecia Delia iglesias 15

Bibliografía 2 0

La computación como recurso Prof. Elena García 2 1

Los problemas matemáticos en el aula Prof. María EstherS. de Hernández 2 8

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas VI Parte

Gregorio Klimovsky 3 8

Noticias 4 4

ISSN 0326-8885

Editorial

Manteniendo rigurosamente la periodicidad de "Elementos de Matemática", distribuimos entre nuestros estimados suscriptores, el número XIX del volumen V, correspondiente a Marzo de 1991. Coincide su aparición con el accidentado comienzo del ciclo lectivo 1991 para el que deseamos la inmediata normalización junto con las soluciones progresivas por todos esperadas.

El número presente incluye: 1) La sexta parte del importante trabajo del Profesor Gregorio

Klimovsky sobre la Teoría de Conjuntos y los Fundamentos de las Matemáticas.

2) La reproducción completa de la conferencia pronunciada por el Dr. Luis Santaló en oportunidad de recibir el título de Doctor Honoris Causa de la Universidad de Sevilla, el 26 de setiembre de 1990, donde se definen las características de la Geometría Integral a la que dedicara el autor una parte significativa de sus trabajos de investigación.

3) Las secciones fijas usuales, en las que se destacan dentro de los objetivos que las definen, el tratamiento de las ecuaciones diofánticas en "Los problemas matemáticos en el aula" y consideraciones sobre Matemática Discreta en "La computación como recurso".

Por último resulta muy doloroso recordar que en diciembre de 1990 hemos sufrido la pérdida de un ilustre colaborador de nuestra revista: el doctor César Trejo. Desde el nacimiento de la misma, con su tremenda capacidad científica, su experimentada actuación docente y sus características personales, estuvo siempre junto a los responsables de esta publicación que conservarán con orgullo el vínculo profesional y personal que se mantuvo hasta su triste desaparición.

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Geometría Integral o Estocástica

Dr. Luis A. Santaló

Palabras delDoctor Luis Antonio Santaló al recibir la investidura de Doctor Honoris Causa de la Universidad de Sevilla - 26 de Setiembre de 1990.

"Cumplo emocionado pero con el mayor gusto, con el deber de expresar mi profundo agradecimiento por el alto honor que esta Universidad de Sevilla me ha conferido, al distinguirme con el nombramiento de doctor Honoris Causa de la misma.

Nacido y formado en España, pero transplantado a América, a las orillas del estuario del Río de la Plata, al llegar a la edad en que son ya pocas las esperanzas y muchos los recuerdos, los sentimientos aparecen tironeados por las improntas de los años de juventud en la patria de origen y de aquellos que les siguieron, ya muchos más que los primeros, en la patria americana de mi mujer, de mis hijas y de mis nietos. Son fuerzas contrapuestas que parten tanto de las raíces ancladas en el pasado como de las hincadas en el futuro, fuerzas cada vez más fuertes, generadoras de sentimientos cada vez más hondos. Entre ellos, el agradecimiento ante muestras de afecto y amistad, siempre obligado, se vuelve profundo y muy sentido, al mismo tiempo que en casos como el de hoy se mezcla con el placer de encontrar amigos de muchos años y otros nuevos que habrán de serlo para siempre.

Los que hemos tenido la vida repartida entre este; y el otro lado de los mares, viviendo siempre comparando acciones, costumbres, paisajes y escenarios, estamos marcados por el signo de una eterna añoranza, que nos empuja hacia el pasado y nos sensibiliza intensamente ante cualquier situación que suscite recuerdos o evoque historias. Por esto, tanto por el tiempo, en que el mundo se prepara para conmemorar el quinto centenario del descubrimiento de América, como por el lugar, esta luminosa tierra andaluza en que la gesta se planificó e inició, me siento hoy particu-

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iarraente emocionado. Me siento parte e intéiprete de las generaciones que durante estos siglos emigraron hacia aquellas costas, siempre hospi-talarias, que como Aissa a su príncipe encantado, supieron darnos "hijos, un poco de tierra, mujer y un mucho de amor", pero que nunca borraron del todo en nuestro trasfondo íntimo, los dejos de la tierra lejana.

Como es costumbre al recibir una alta distinción, como la presente, me voy a permitir exponer algunas consideraciones sobre la ciencia de mi especialidad, la matemática, y las sucesivas desecciones de la misma hasta ubicar el lugar que en ella ocupa el capítulo especial en el que mayormente he trabajado, la llamada geometría integral o estocástica. Ha sido una labor de más de 50 años, los suficientes para haber sido testigo del origen y desarrollo de estas disciplinas, hasta el presente, en que ya se vislumbra su extinción, no por desaparición sin rastro, sino por su disolución dentro de teorías más amplias y unificadoras, prestando a las mismas su esfuerzo y ayuda para seguir marchando, conjuntamente, hacia nuevas formas y nuevas perspectivas.

Este hecho particular es un ejemplo del frenesí con que hoy día avanzan todas las ramas de la ciencia. En pocas décadas vemos nacer, desarrollar y pasar al olvido teorías que rápidamente son sustituidas por otras, que si bien a veces son las mismas con diferente ropaje, siempre dejan una resultante positiva y el universo del conocimiento se expande a una velocidad difícil de seguir, si no es a través de postas sucesivas y relevos incesantes de los equipos creadores.

La cantidad de nuevos conocimientos que se producen actualmente en todas las ramas del saber, sigue un crecimiento exponencial sin prece-dentes, y la matemática no escapa a esa tendencia general, más bien es uno de sus ejemplos más significativos. Un cálculo aproximado conduce a que si se juntaran todos los trabajos de matemática publicados en el mundo durante el año 1989, supuestamente originales (comentados en la revista Mathematical Reviews), y se juntaran en volúmenes de 1.000 páginas cada uno, resultaría una colección de 350 volúmenes. Este hecho origina graves problemas de información y de almacenamiento, pues resultan insuficientes tanto los espacios como los presupuestos destina-dos a las hemerotecas. Por otra parte, este mare magnum de publicaciones no es proporcional a su utilidad, pues seguramente que muchas de ellas que podrían ser útiles en otros capítulos de la matemática o en otras ramas del conocimiento, pasan desapercibidas. Es imposible estar enterado de todo lo que a cada uno pudiera interesar; la única esperanza son los modernos ordenadores, que permiten almacenar en muy poco espacio mucha información y permiten, además, identificar y encontrar los datos buscados.

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Cabe preguntarse por las causas de tan ingente producción científica. Una de ellas, evidentemente, es la ley general que rige el crecimiento de las poblaciones, según la cual la producción engendra más producción, como consecuencia de que la pendiente del crecimiento es proporcional al volumen de lo creado. Pero otra causa importante es la aparición generalizada en todos los países durante la actual segunda mital del siglo XX, de la investigación científica como profesión. En épocas anteriores, los investigadores ejercían una cierta profesión, que les proporcionaba el sustento y con la cual cumplían con la sociedad, y "además", si se sentían motivados por su vocación, se dedicaban a la investigación, como tarea complementaria, no obligatoria y no remunerada. Por esto, los investiga-dores científicos eran considerados personas que se sacrificaban para el bien común y que por ello eran merecedores del mayor agradecimiento y admiración.

Actualmente, prácticamente desde la segunda gran guerra mundial (1939-45), la cosa ha cambiado, pues la mayoría de los investigadores realizan sus tareas en ejercicio de una profesión asalariada, es decir, como una obligación libremente elegida y adecuadamente remunerada. Esto hace que la investigación científica haya pasado a ser, como decía Ortega y Gasset, "una dimensión de la vida humana ante la cual no tienen sentido aspavientos ni de pasmo en el público ni de presuntuosidad en el actor" y, por otra parte, explica el crecimiento desorbitado de la producción científica, en particular de la matemática, lo que hace difícil la caracte-rización del tema específico en que cada uno trabaja, por la frondosidad de las ramas de esa ciencia y su crecimiento incesante e irregular, de manera imbricada y entrelazada.

Vamos a hacer un poco de historia para ver como la idea general de lo que llamamos matemática, se ha ido diferenciando y creciendo por sucesivas divisiones y por el nacimiento en ellas de nuevas ramas con complicadas interconexiones.

Cuando el hombre empezó a sentir la necesidad o la curiosidad de conocer su entorno y entender el mundo en que vivía, surgieron dos actividades fundamentales: contar y medir. Con el contar nacieron los números y las operaciones con ellos: fue el cálculo. Con el medir se fueron perfilando las formas y las figuras: fue la geometría. Ambas actividades constituyeron la rama del conocimiento que se llamó mate-mática. Desde un principio se vio que la matemática podía ser útil para actuar, como una herramienta que había que manejar, y también para conocer, como una manera de estructurar y ordenar el pensamiento y ayudar a la creatividad. Lo primero dio lugar a la llamada matemática

aplicada y lo segundo a la matemática pura, dos aspectos cuyos límites no fueron nunca, y lo han sido cada vez menos, demasiado precisos, pero que se han mantenido a través de los siglos.

Platón (-428, -347) en su República, distingue claramente ambos aspectos. Para él hay el cálculo, que recomienda prescribir para quienes habrán de desempeñar las funciones más importantes de la ciudad, "para que se eleven por la inteligencia pura a la contemplación de la naturaleza de los números y así facilitar al alma los medios de elevarse desde la esfera de la generación hasta la verdad y la esencia" y el cálculo "de los comerciantes y traficantes, que lo cultivan con vistas a las compras y a las ventas" (525, d). Análoga diferencia hace respecto de la geometría "que debe conducir el alma a contemplar la esencia y tener por objeto el conocimiento", en vez de "manejar objetos materiales y razonar con vistas a la práctica de cuadrar, desarrollar y añadir" (527, d).

Quedaban así bien definidas una matemática pura para filósofos y entendidos, cuyo mundo es el de las ideas, y otra matemática práctica o aplicada, para las necesidades inherentes al mundo real. Sin embargo, esta diferencia entre matemática pura y matemática aplicada, no ha sido nunca tan clara como lo suponía Platón. Menos de un siglo después de la República, aparece Eratóstenes (-284, -192) que usa la matemática para medir el radio de la Tierra y también Arquímedes (-287, -212) que al mismo tiempo que realiza finas especulaciones de la más pura matemá-tica (método de exhausión) aplica las mismas a problemas concretos de estática e hidroestática. En ambas creaciones, como en las posteriores de Claudio Ptolomeo (90,168) en su trigonometría y el sistema del mundo, es difícil decidir qué partes corresponden a la matemática pura y cuáles a la aplicada.

La primera obra sistemática de geometría pura fueron los Elementos de Euclides (siglo -III) cuya pureza se refiere tanto a sus elementos constituyentes (puntos, rectas, planos) que son simples y perfectos, obtenidos por idealización de formas visuales discemibles por los sentidos, como a la construcción axiomática, que sirvió de modelo para toda la matemática posterior, y también a las nociones comunes con las que se introduce la congruencia de figuras a través de los movimientos del plano. Modificando esas distintas componentes de las cuales parte la construcción de Euclides, aparecieron con el tiempo muchas otras geometrías posibles.

Modificando los postulados nacieron las geometrías no euclidianas primero (principios del siglo XIX) y luego un sinnúmero de otras geometrías que aparecían con sólo sustituir los postulados por otros, obra

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que culminó en 1899 con los Fundamentos de la Geometría de David Hilbert (1852-1925), obra que puede considerarse terminal de la geome-tría al estilo de Euclides. Respecto de las "nociones comunes", sustitu-yendo el grupo de los movimientos por otros grupos, nacieron otras muchas geometrías que fueron ordenadas por Félix Klein (1849-1925) en su famoso Programa de Erlangen (1872).

También cabía extender la geometría sustituyendo los elementos básicos de Euclides (contenidos en sus definiciones: punto, recta, plano), pensados como modelos de intuiciones espaciales, por formas más complejas. Así Descartes (1596-1650) y Fermat (1601-1665) al identifi-car los "puntos" con pares de números reales y las "rectas" con ecuaciones lineales entre los mismos, crearon la geometría en coordenadas.

Sin perder el modelo geométrico de la Naturaleza, se puede pensar en un cambio y extensión de la geometría suponiendo una intuición distinta de la clásica. Si nuestros ojos fueran telescopios o microscopios electró-nicos, nuestra intuición del mundo exterior sería muy diferente e igual-mente diferente hubiera sido la geometría edificada sobre ella. Las simplificaciones introducidas por una intuición adecuada a los sentidos del hombre, hicieron que durante siglos se estudiaran únicamente curvas muy regulares, formadas por arcos con tangente continua. Tan sólo en el siglo pasado se conocieron curvas sin tangente en ningún punto (Weierstrass, 1815-1897) o curvas que llenan un área (Peano, 1858-1932), que se consideraron por mucho tiempo ejemplos patológicos, no englobados como elementos importantes de una geometría. Desde la cuarta década del siglo actual, sin embargo, este tipo de entes geométricos han empezado a estudiarse de manera sistemática y a buscarles aplicacio-nes en distintas partes de la ciencia. Nacieron así lo que Mandelbrot ha llamado fractales, por ser conjuntos cuya dimensión, convenientemente definida por Hausdorff y Besicowich, es un número fraccionario. Estos nuevos entes se han podido representar gráficamente y estudiar con cierto detalle gracias a las posibilidades brindadas por las modernas computa-doras electrónicas, habiendo aparecido muchas apli'caciones en diferen-tes problemas de la física de los sólidos y de la biología.

Todas esas generalizaciones y expansiones de la geometría, han provenido de sucesivas modificaciones de las bases sobre las que se edificó la geometría griega, simbolizada por Euclides. Pero la matemá-tica tiene otro modo de crecimiento, que surge al trazar puentes entre partes separadas de la misma, creando híbridos, que a veces resultan de interés en sí mismos y otros para cada una de las partes involucradas. Un ejemplo típico es el de las probabilidades geométricas, resultado del

cruce entre geometría y probabilidad, dos campos bien diferenciados hasta mediados del siglo XVIII.

La idea de probabilidad, si bien está implícita en cualquier juego de azar y por tanto se remonta por lo menos al siglo - X de la guerra de Troya, en la cual según Sófocles los sitiadores se entretenían jugando a los dados, no fueron sin embargo consideradas por los matemáticos hasta 1654, en una correspondencia entre Fermat y Pascal (1623-1662) acerca de una aparente paradoja surgida también de un particular juego de dados. Es decir, la teoría de las probabilidades nació de un problema de juego, actividad siempre censurada desde el punto de vista moral, y es posible que este origen "no santo", a pesar del padrinazgo aristocrático de Fermat y Pascal, fuera la causa de que por más de dos siglos, el cálculo de probabilidades quedara excluido de los claustros académicos.

Sin embargo ese cálculo fue progresando, sobre todo gracias a la obra postuma de Jacobo Bernoulli (1654-1705), titulada Ars Conjectandi, aparecida en 1713, y cuando ya había alcanzado un alto grado de desarrollo, en 1777 apareció el curioso opúsculo Essai D Arithmétique Morale de George Louis Leclerc (1707-1788), conde de Buffon, autor de una famosa Historia Natural de 36 volúmenes, en uno de los cuales y con un suplemento especial, apareció dicho ensayo.

Buffon era un naturalista, con Linneo el más importante del siglo XVIII, y entre los seres vivientes consideraba que debía estudiar al hombre, no solamente en su anatomía y fisiología, sino también en su espíritu, con sus esperanzas, sus miedos y sus pasiones. Una de las pasiones más generalizadas, según Buffon, era la de los juegos de azar y por esto se propone analizarlas con la idea de ver su influencia en el comportamiento del hombre consigo mismo y con la sociedad. Es así como es conducido a dar un valor "moral" a los números, sobre todo a la cantidad de dinero, pues "quien tiene el doble de fortuna que otro no forzosamente es el doble de feliz". Analiza luego algunos juegos de azar y observa que "el análisis ha sido el único instrumento que hasta la fecha se ha utilizado en la ciencia de las probabilidades, como si la geometría no fuera indicada para esos fines, cuando en realidad basta un poco de atención para observar que la ventaja del análisis sobre la geometría es tan solo accidental y que el azar es tan propio del análisis como de la geometría". Después añade "para poner a la geometría en posesión de sus derechos sobre la ciencia del azar, bastará inventar juegos que se basen en la extensión y sus relaciones". Como ejemplo, expone el caso de una aguja que se lanza al azar sobre un plano en el que se han dibujado rectas paralelas equidistantes, cuya distancia entre ellas sea superior a la

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longitud de la aguja, con el convenio de que el jugador gana si la aguja no corta a ninguna paralela y pierden el caso contrario. Para calcular el premio que recibirá el jugador en el caso de ganar, hace falta calcular la probabilidad de que la aguja no corte a ninguna paralela. Suponiendo que la apuesta sea igual a la unidad, para que el juego sea equitativo, el premio deberá ser igual a la inversa de dicha probabilidad. Esto es lo que calcula Buffon, con lo que se considera que dio origen a la teoría de las probabilidades geométricas. Como vemos, se trata de un problema para cuya solución no es posible "contar" los casos favorables y los posibles, como ocurre en los juegos de azar discretos, como los basados en dados o monedas, sino que se deben "medir" dichos casos. La diferencia entre contar y medir es precisamente lo que distingue la aritmética de la geometría.

Resulta así que las probabilidades geométricas, lo mismo que las probabilidades en general, se originaron en un juego de azar, con lo que se confirma una frase de Leibniz en una carta a Montmort en 1715, en la que dice "los hombres nunca son tan ingeniosos como la invención de juegos: el espíritu se encuentra en ellos a sus anchas". Notemos, además, que la consideración conjunta de ideas geométricas y probabilistas dio origen a resultados interesantes. Por ejemplo, utili-zando el mismo resultado de la aguja de Buffon, realizando la expe-riencia prácticamente y usando que la frecuencia tiende a la proba-bilidad, se tiene un método para hallar experimentalmente la longitud de la aguja y también el número "pí" razón de la circunferencia al diámetro. Tal es el origen del llamado método de Montecarlo para obtener resultados por el azar.

Una generalización del problema de la aguja de Buffon no se hizo esperar. Laplace (1749-1827) en su Teoría Analítica de las Probabilida-des (1812), considera el plano dividido en rectángulos congruentes por dos haces de rectas paralelas y calcula la probabilidad de que una aguja arrojada al azar sobre el plano no corte a ninguna de esas rectas (problema de la aguja de Laplace). Si en vez de una aguja se lanza sobre el plano una curva cualquiera de longitud finita, se puede calcular el valor medio del número de puntos de intersección de la curva con el reticulado de rectángulos.

Cuando se tiene una teoría basada en la simbiosis de otras dos, el crecimiento puede sereonjunto o por separado según cada componente. En el caso que estamos considerando, el crecimiento por el lado de la geometría dio lugar a la llamada geometría integral, y el crecimiento por el lado de las probabilidades, a la geometría estocástica, dos ramas con

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las mismas raíces y muchas analogías, pero también con diferentes propósitos y formas de presentación.

Los problemas de la aguja de Buffon o de Laplace, motivan el problema de medir conjuntos de rectas del plano. Desde siempre se habían medido conjuntos de puntos (longitud de curvas o áreas de dominio) pero no se había considerado la medida de conjuntos de rectas. La necesidad surgió de las probabilidades geométricas y al principio aparecieron ciertas paradojas, como la clásica de J. Bertrand (Cálculo de Probabilidades, 1889) citada en muchos textos clásicos de probabilida-des. El inglés M.W. Croftone (1826-1915) fue el primero en darse cuenta de que ello era debido a "ciertas imprecisiones de] instrumento utilizado

y que ¡OS conceptos básicos, como los de cualquier tema nuevo, debían ser revisados paciente y repetidamente, probándolos y corrigiéndolos a la luz de experiencias y comparaciones para purgarlos de cualquier error". Definió entonces una densidad para medir conjuntos de rectas y encontró el hecho curioso de que la medida de las rectas que cortan a un conjunto convexo es igual a la longitud de su contorno. Es decir, así como la medida de los puntos de un dominio convexo es igual a su área, la medida de las rectas que lo cortan (siempre en el plano) es igual a su perímetro, curiosa dualidad que luego ha sido extendida a casos muy generales por Ambartzumian (Combinatorial Integral Geometry, 1982).

Crofton obtuvo sus resultados de manera intuitiva, pero llegó a inte-resantes fórmulas referentes a conjuntos convexos, de puro interés geo-métrico, que aparecían como ejemplificación de problemas probabilistas. La justificación rigurosa del proceder de Crofton fue dada más tarde por E. Cartan (1869-1951) en 1896 y H. Lebesgue (1875-1941) en 1912.

En la década de los años 30 del presente siglo, W. Blaschke (1885-1962) y su escuela de Hamburgo, retomaron los resultados de Crofton-Car tan-Lebesgue para general izarlos a más dimensiones y sistematizarlos como nuevo capítulo de la geometría, que se tituló geometría integral. Los resultados fueron de puro interés geométrico y la idea primitiva de probabilidad que les había dado origen prácticamente desapareció. En cambio las ideas derivadas de la teoría de grupos, como las del Programa de Erlangen, pasaron a ser explotadas en la nueva geometría, naciendo así la geometría integral afín, proyectiva, no euclidiana, etc. La teoría de grupos de Lie pasó a ser fundamental para la definición de densidades invariantes para estas geometrías. Se vinculó también la teoría con el clásico Análisis Armónico y la medida en grupos.

La rama probabilista de la teoría primitiva de las probabilidades geométricas tardó más en desarrollarse, lo que tuvo lugar en la década de

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los años 60, principalmente por obra de R.E. Miles que la enriqueció con la incorporación de los procesos estocásticos, dando lugar a la luego llamada Geometría Estocástica, cuya obra básica es actualmente la Stochastic Geometry de D. Stoyan, W.S. Kendall y J. Mecke (1987). Un capítulo interesante de esta geometría es el de los mosaicos aleatorios, terreno en el que se mezclan la ciencia y el arte, desde los mosaicos de la Alhambra de Granada a los cuadros de Escher, pasando por los grupos cristalográficos.

Al principio hemos mencionado los dos aspectos, puro y aplicado, de la matemática. En los casos de la Geometría Integral y de la Estocástica, los dos aspectos presentan por separado su interés. Son teorías en general elaboradas por matemáticos puros, con vistas únicamente a problemas del mundo de las ideas, sin otra guía que la belleza de los mismos y el interés por extender y ordenar sus alcances. Luego han surgido las aplicaciones, que han originado la llamada Estereología, que es una técnica útil en distintas ramas del conocimiento, como la metalurgia, mineralogía, botánica, anatomía,..." se trata de un conjunto de métodos para la exploración del espacio tridimensional a partir del conocimiento de secciones bidimensionales o proyecciones sobre planos". Sus bases teóricas son la geometría integral y estocástica y sus técnicas las relacionadas con la microscopía. Uno de los principales creadores es el español L.M. Cruz Orive, de la universidad de Berna.

La estereología es una primera aproximación, muy simplificada, del problema general de la tomografía computarizada, cuyas raíces pertene-cen también a la geometría integral en el sentido más duro de Helgason y Gelfand, el cual fue iniciado por el matemático Radon en 1917, llevado a la práctica por el físico A.M. Cormack (1963) e industrializado por el ingeniero G.N. Hounsfield (1972), recibiendo por ello estos dos últimos el premio Nobel de Medicina en 1979. Es un claro ejemplo de la unidad de la ciencia pues por el esfuerzo conjunto de un matemático, un físico y un ingeniero, aún separados en el tiempo y en el espacio, cada uno trabajando en su campo, se consiguió un resultado trascendental en la medicina.

Esta dualidad, pura y aplicada, o filosofía y herramienta, de la matemática, que convierte a la misma en un entretejido de caminos y puentes entre el mundo de las ideas y el de nuestro entorno real, es precisamente lo que le da universalidad y permanencia, por su amplio espectro de gustos y variedad de formas. Quizás sea por ello, que la matemática es al mismo tiempo la ciencia más conservadora y la más creativa y cambiante, que conserva frescas y vivas sus raíces más

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remotas, en renovada armonía con los brotes más recientes y revolucio-narios. Hemos intentado ponerlo de manifiesto en un ejemplo simple y muy limitado, pero seguramente que una evolución análoga puede encontrarse en muchos otros capítulos de esa ciencia."

Congresos ICTMA 5

La quinta conferencia internacional sobre enseñanza de la modelización matemática y sus aplicaciones tendrá lugar en Holanda del 13 al 16 de setiembre de 1991.

Para mayor información dirigirse a: Prof. Jan de Lange ICTMA 5 O W & O C Tiberdreef 4 3561 66 Utrecht The Netherlands Fax 31 30 6604 30

La décima quinta conferencia anual sobre Psicología de la educación matemática se llevará a cabo del 29 de junio al 4 de julio de 1991 en Italia para mayor información dirigirse:

Paolo Boero Dipartimento di Mathematica - Universita Via L.B. Alberti 4 16132 Genova Italia

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Propuesta didáctica

Lucrecia D. Iglesias

Creemos que un tema de alto interés en el ciclo superior de la enseñanza media es el acceso a la deducción como sistema de desarrollo de conocimientos en el área de la Matemática. Sabemos que ello sólo es posible en la medida en que los indi viduos hayan logrado disponer de los recursos del pensamiento operatorio formal, lo que resulta tanto de un proceso de maduración interna cuanto de las experiencias de interacción con el medio en su dimensión de lo físico y en su dimensión de lo social. Proponemos, entonces, que los profesores adopten en el aula una actitud de investigación que les permita dilucidar qué alumnos logran realizar el juego deductivo como recurso propio, disponible y operatorio y qué alumnos no acceden a él. Para hacerlo, puede ser útil una secuencia de actividades progresiva en la dirección de la construcción de una estruc-tura y su formalización como sistema axiomático.

Lo que sigue es un ejemplo de secuencia como la indicada, que se inserta en el marco de las seis etapas del aprendizaje en Matemática formuladas por Z.P. Dienes (*). Al elegirlo de ese modo, se intenta ofrecer la posibilidad de que frente a cada iniciación de una etapa, el profesor formule las consignas sin forzar el cumplimiento más allá de lo que cada individuo o cada grupo sea capaz de lograr naturalmente. Quienes no lleguen a superar el desafío necesitarán reiterar los pasos de las etapas anteriores con materiales alternativos antes de volver a intentar abordar la etapa en que hallaron dificultades.

En la propuesta que sigue, para abordar el punto de partida, o sea, las actividades iniciales hace falta un marco asimilador que dis-ponga de:

• la relación "es divisor de" en Z; • las operaciones "hallar el máximo común divisor" y "hallar el

mínimo común múltiplo" en Z; (*) DIENES, Z.P. "Las seis etapas del aprendizaje". Barcelona. Teide. 1971

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• uso del lenguaje conjuntista: relación de inclusión, conjunto de partes o subconjuntos de un conjunto, operaciones: unión, intersección y complemento;

• representación de relaciones y operaciones mediante tablas y gráficos.

Para organizar la tarea es adecuado distribuir a los alumnos en grupos a los que se solicita la resolución de los dos problemas que se formulan más adelante. En la consigna es necesario incluir el pedido de que cada grupo pueda exhibir los resultados de su exploración de las dos situaciones en forma de tablas, gráficos... expuestos en hojas de papel afiche o en sectores del pizarrón asignados a cada grupo. De este modo, se puede plantear la puesta en común como el examen de lo producido en cada grupo, dando lugar a la comparación de los contenidos y de los modos de explicitación logrados.

De la confrontación de similitudes y diferencias pueden surgir argumentaciones en favor de unas u otras, así como la validación definitiva de las respuestas correctas a cada uno de los problemas.

PROBLEMA I Se trata de explorar el conjunto de todos los divisores de 30. 1. ¿Cómo se organiza teniendo en cuenta la relación "es divisor

de"? 2. ¿Es posible computar todos los resultados de la operación

"Hallar el mínimo común múltiplo" y todos los resultados de "hallar el máximo común divisor", entre los divisores de 30?

PROBLEMA II Se trata de explorar el conjunto de partes (o subconjuntos) del

{a, b, c}. 1. ¿Cómo se organiza teniendo en cuenta la relación "está

incluido en"? 2. ¿Es posible computar todos los resultados de la operación de

intersección y todos los resultados de la operación de unión, entre las partes de {a, b, c}?

La resolución de los problemas se encuadra en la etapa del juego estructurado. Durante la puesta en común, estará vigente la comparación

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de situaciones, el análisis de analogías y diferencias cuya culminación es el "juego del diccionario" en que se llega a descubrir el isomorfismo. Para ejemplificar, supongamos que los alumnos construyeron tablas:

"es d i v i s o r d e " "es tá i n c l u i d o e n " 1 1,2,3,5,6,10,15,30 4>. {a}, (b), (c), {d, b}, {b,cj, {a,cj, (a,b,c) 2 2, 6,10,30 (a) {a}, {a, b}, {a, c}, (a, b,c} 3 3,6,15,30 ib} {b},{a,b],{b,c),{a,b,c} 5 5,10,15,30 (c) {c}, {a, c}, {b, c], (a, b.c] 6 6,30 {a,b} {a,b}, (a, b,c]

10 10,30 {a,c} {a, c}, {a, b, c] 15 15,30 {b,c} {b,c}, {a,b, c} 30 30 (a, b, c} {a, b, c)

hallar el mínimo común múltiplo 1 2 3 5 6 10 15 30

1 1 2 3 5 6 10 15 30 2 2 2 6 10 6 10 30 30 3 3 6 3 15 6 30 15 30 5 5 10 15 5 30 10 15 30 6 6 6 6 30 6 30 30 30

10 10 10 . 30 10 30 10 30 30 15 15 30 15 15 30 30 15 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

hacer la intersección {a} {b} {c} (a,b) {a, c} {b, c} {a, b, c}

<!> <t> <!> * 4> 4> 4> 4> 4> {a} (a) 4> 4> {a} (a) 4> (a) (b) <t> I» {b} 4> (b) 4> (b) ib} (c) 4> {c} 4> (c) {c} {c}

(a,b) 4> (a) (b) {a, b} {a} Ib} (a,bj {a,c} 4> {a} {c} (a) {a,c} (ci {a,c} {b,c} <t> <t> ib} {0} (b) {c} íb,c} (b, c}

{a, b, c} 4> {a} Ib} {C} {a, b) {a,c} (b, c} (a, b, c}

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Observando las tablas resulta claro que para pasar de una situación a otra, existe una correspondencia:

(1) "es divisor 2 {a} de"

5 -» 6

— {b} ^ {0}

— {a,b}

"hallar el mínimo común múltiplo"

1 0 ^ {a,c} "hallar el máximo 15 ^ — {b,c} común divisor" 30 {a, b, c}

"está incluido en"

"hacer la unión"

"hacer la intersección

Para promover la cuarta etapa (de la representación), se puede promover la realización de diagramas con las siguientes conven-ciones:

hacer la unión <t> {a} {b} (c) (a, b) {a,c} {b,c} {a, b, c}

<t> (a) {b} {c} {a, b} (a, cj {b,c} {a, b,c} {a} {a} (a) {a,b} (a, c} (a, b) {a,c} {a, b, c} {a, b,c] (b) (b) (a.bl ib) {b, c) {a, b) {a, b, c} {b,cj {a, b,c) {c} {c} {a, c) {b, c) {c} (a, b, c} (a,c) {b,c} {a, b, c}

(a,b) (a, b) {a, b} (a,b) (a, b, c) {a,b} {a, b, c) (a, b, c} {a, b, c} {a,c} {a,c} {a, c) (a, b, c} {a,c} {a, b, c} (a,c) {a, b, c) {a, b, c) {b, c} {b,c} {a, b, c] {b,c} {b, c} {a, b, c} {a, b, c) {b,c} {a, b, c)

{a, b, c} {a, b, c} (a, b, c} (a, b, c} {a, b, c} {a, b, c} {a, b, c} {a, b, c) {a, b, c}

18

hallar el máximo común divisor 1 2 3 5 6 10 15 30

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 3 1 3 1 3 3 5 1 1 1 5 1 5 5 5 6 1 2 3 1 6 2 3 6

10 1 2 1 5 2 10 5 10 15 1 1 3 5 3 5 15 15 30 1 2 3 5 6 10 15 30

• Cada elemento (número, en la situación I; conjunto, en la situación II) se representa con un círculo pequeño ubicado de modo que si el elemento x está relacionado con y (en ese orden) el círculo que representa a x debe estar por debajo del y ; ejemplos:

• Entre los elementos x e y , relacionados como se indicó antes, se dibuja un segmento xy , siempre que no haya ningún elemento z tal que x esté relacionado con z y z esté relacionado con y ; ejemplo:

"está relacionado con" m n,p, q n p P q P

• En el diagrama así construido se lee "está relacionado con" entre cualquier par de elementos conectados por una sucesión de segmentos que unen elementos de abajo hacia arriba y sólo entre tales pares.

19

En las dos situaciones que se están analizando la representación conduce al mismo diagrama que pone en evidencia la estructura común.

En la próxima propuesta se abordarán las etapas que siguen.

Bibliografía THE POPULARIZATION OF MATHEMATICS Editado por A.G. Mouson (Universidad de Southampton) y J. P. Kahane (Universidad de París) Cambridge University Press

El libro presenta los trabajos desarrollados en el seminario sobre popularización de las Matemáticas llevado a cabo en la Universidad de Leeds durante setiembre de 1989 y otrganizado por la Comisión Internacional de Educación Matemática.

Inspirado en el documento de discusión preparado por Houson, Kahane y Pollak el seminario consistía en tres conferencias plenarias seguidas de reuniones de discusión.

En su contenido encontramos temas como: - La Matemática en las diferentes culturas. - Matemática para el público en general. - Juegos y Matemática. - Matemáticas en la televisión. - Matemáticas y los medios. - El rol de las competencias matemáticas en la popularización de las

matemáticas. (Continúa en la página 28)

20

La computación como recurso

Prof. Elena I. García

RELACIONES Y MATRICES En este artículo comentaremos la posibilidad de implementar sencillos

programas, que haciendo uso del álgebra matricial booleana, permiten estudiar las propiedades de relaciones definidas sobre conjuntos finitos.

Primero desarrollaremos algunos temas sobre matrices booleanas y operaciones sobre las mismas y luego nos dedicaremos a la revisión de algunos conceptos sobre relaciones y su vínculo con las matrices booleanas.

1.- Matrices booleanas Llamamos matriz booleana a todo arreglo bidimensional cuyos

elementos pertenecen al conjunto {0, 1}.

Ejemplos:

M1 =

n o i

v i o j M =(011)

M 3 = a o i o o A

o o o o o o 1000

V0 1 0 0 ly M 4 = (1) M £

m 0 1

v ly

21

1.1. Operaciones entre matrices booleanas 1.1.1. Suma booleana o suma lógica

Sean A y B matrices booleanas de nxm elementos, llamamos suma booleana de A más B y notamos A © B a otra matriz booleana de nxm elementos tal que

C = A © B r í i , N si A[i,j] = 1 V B[i,j] = 1

1 ' J J L O si A[i,j] = 0 A B[i, j] = 0 con 1< i < n

l < j < m Ejemplos

A = n o n

1 10 o 11 uooj

A © B =

B =

f ion 010 1 1 1

u i i j

r o o o ^ 0 10 10 1 l o n j

Implementación en PASCAL Suponiendo una declaración de tipo de datos como la siguiente: const

tope=10; type

fila=l . . tope; columna=l . . tope; elementos=0. . 1; matriz=array[fila, columna] of elementos;

El procedimiento suma-lógica devuelve la suma booleana A © B en la matriz C.

22

procedure suma-lógica (n: fila; m : columna; a, b: matriz; var c : matriz); var

i : fila; j : columna; begin

for i : = 1 to n do for j : = 1 to m do

if (a[i ,j] + b [i,j] > 0) then c[i,j]: =1 else c[i,j] : = 0;

end;

Producto booleano Sean A y B matrices booleanas de nxm elementos y mxs elementos

respectivamente, llamamos producto booleano A @ B a otra matriz booleana C de nxs elementos donde

Q i J ] 0 s i ¿ a[i ,k] *b[j,k] = 0

k = l m 1 s i £ a[i, k] *b[j, k] > 0

k=i Se puede implementar en un procedimiento en PASCAL como el que

sigue: procedure producto-booleano (n: fila; s,m: columna; a,b: matriz; var c: matriz); var

i : fila ; j : columna ; k : integer ; d : elementos ; procedure suma (i, j : integer; var d : elementos); begin

d : = 0 ; for k : = 1 to m do

d : = d + a [i,k] * b [k,j]; end; begin

for i : = 1 to n do for j ; = 1 to s do

begin suma (i,j,d); if d = 0 then c[i,j] : = 0

else c[i,j]: = 1 end;

end;

23

2. Relaciones entre conjuntos finitos no vacíos Si A y B son conjuntos finitos, no vacíos, con cardinalidad n y m

respectivamente, podemos representar al conjunto A sobre un arreglo de dimensión n y al conjunto B sobre un arreglo de dimensión m, y a cualquier relación de a en B sobre una matriz booleana de nxm elementos.

Ejemplo A = {Luis, Ana, Juan} B = {PASCAL, LOGO, PROLOG, COBOL} R <= AxB / (x,y) e R <=> x conoce y

Si Luis sabe PASCAL y LOGO, Ana conoce PASCAL y COBOL y Juan no conoce ninguno de estos cuatro lenguajes de programación, podemos representar a R por una tabla de doble entrada.

Lenguaje

Pro gram a d o r \ _ _ PASCAL LOGO PROLOG COBOL

Luis X X Ana X X Juan

Si al conjunto A lo representamos mediante el arreglo VA = (Luis, Ana, Juan)

al conjunto B lo representamos mediante el arreglo VB = (PASCAL, LOGO, PROLOG, COBOL)

A la relación R la podemos representar mediante el arreglo bidimensional MR de 3 x 4 elementos.

M R = (\ 1 0 (A

1 0 0 1 0 0 0 0 ,

24

d o n d e . . _ f 0 si ( V A [ i ] , VB[ j] )£R M R [ i , j ] - j l s . ( V A [ i L V B [ j ] ) ¿ R

3. Propiedades de las relaciones Consideremos ahora relaciones definidas de un conjunto en sí mismo.

Sus matrices representativas serán matrices cuadradas de nxn elementos, si el conjunto en cuestión tiene n elementos. Ejemplo

T = { t 1 5 t 2 , t 3 } ; #T=3

La matriz M r

(\ 0 1 110

vOl ly representa a la relación

R definida sobre T tal que

R - {(T15 g, (TJ, T3), (T2, g, (T2, g, (T3, g, (T3, g} 3.1. Propiedad reflexiva

Una relación R definida sobre A se dice reflexiva si cada elemento de A se relaciona consigo mismo

R c AxA R es reflexiva<=> V x: e A => (x, x) e R

Ejemplo A = {a1? a 2, a 3, a 4}

para que una relación sobre A sea reflexiva debe tener entre sus pares a ( a p aj), (a2, a 2), (a3, a 3) y (a4, a4); por lo tanto la matriz que la represente tendrá 1 (unos) en su diagonal principal.

Si R c AxA , R reflexiva y M su matriz

25

entonces M R [i, i] = 1 con 1 < i < n (n=#A)

¿Cómo podemos usar las operaciones sobre matrices booleanas para determinar si una relación es reflexiva?

Simplemente realizamos la suma booleana de la matriz representativa de la relación con la matriz identidad del espacio correspondiente; si la matriz resultante es igual a la matriz de la relación entonces ésta es reflexiva.

A conjunto finito no vacio #A = n R c AxA M R c B m ; B = {0, 1} R es r e f l ex ivas M R © I n x n = M R

3.2. Propiedad simétrica Una relación R definida sobre el conjunto A se dice simétrica si para

cada par que pertenece a la relación, el par opuesto también pertenece R c= AxA R es simétrica <=> ((x,y) e R => (y,x) e R)

Analicemos cómo es la matriz asociada a una relación simétrica: Si MR[i,j] = 1 ;=> (a., a.) e R; con a, a. e A

pero como R es simétrica (a., a.) E R » (a., a.) e R

y si (a., a.) e R ;=>MR[j, i] = 1

Por lo tanto la matriz M R resulta ser simétrica y coincide con su transpuesta.

R es simétrica <=> M R = M R '

3.3. Transitividad Una relación R definida sobre el conjunto A se dice transitiva si cuando

un elemento se relaciona con otro y éste con un tercero, el primer

26

elemento también se relaciona con este último. R es transitiva <=> (x,Y) e R A (y, z) e R => (x, z) e R

Para establecer un método para reconocer la transitividad de una relación a partir de su matriz asociada debemos primero tratar otros temas. Composición de relaciones

Sean A, B, C conjuntos finitos no vacíos y las relaciones

R c AxB S c BxC

llamamos composición de la relación R con la relación S a una nueva relación T tal que

T c AxC y (x, y ) £ T <=> 3 z £ B / (x, z) £ R A (z, y) £ S

Ejemplos A = {a 1 ? a 2 , a 3} #A=3 B = { b v b v b y \ } #B=4 C = { C 1 ,C 2 } #C=2

R = {(a i ; b,), (a2, b 4), (a3, b,), (a3, b 3)} S = {(bj, c,), (b 2, Cj), (b 4 ,c 2 )}

la composición de R con S genera la relación T a AxC cuyas componentes son T = {(a i ; (a2, c 2), (a3, c^}

Veamos qué pasa con las matrices asociadas a estas relaciones

n ooo) 0 0 0 1

U 01 0)

(1 0> 1 0 0 0

vOlJ

27

Podemos verificar rápidamente que = M R © M S

El producto booleano nos permite entonces conocer a partir de las matrices de dos relaciones, la matriz de su compuesta.

En el próximo número discutiremos cómo vincular esto con el análisis de la transitividad de una relación.

(Viene de la página 20) MATHEMATICS AND CONGNITION Editado por P. Nesher (Universidad de Haifa) y J. Kilpatrick (Universidad de Georgia)

Este libro presenta colaboraciones de miembros del grupo internacional para la Psicología de la Educación Matemática dependiente de la Comisión Internacional de Educación Matemática y describe i n vestigaciones sobre el aprendizaje de la matemática desde la aritmética elemental hasta los más altos niveles en álgebra y geometría.

Este volumen está dirigido a profesores de matemáticas interesados en la Educación Matemática desde un punto de vista psicológico. Más que un libro de texto es una fuente para cursos avanzados en el entrenamiento de profesores.

Contenido: 1. Consideraciones Epistemológicas 2. Lenguajes y Matemáticas. 3. Aspectos psicológicos de la matemática elemental. 4. Aspectos psicológicos del álgebra. 5. Aspectos psicológicos en la geometría. 6. Tópicos avanzados en matemáticas y su relevancia en consideraciones

psicológicas. 7. Perspectivas futuras para la investigación en la psicología de la

educación matemática.

28

Los problemas matemáticos en el aula

Prof. María E. Spivak de Hernández

ECUACIONES DIOFANTICAS Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica con una o más

incógnitas en el conjunto de los números naturales, o bien en el de los enteros. Es decir, es una ecuación algebraica con coeficientes naturales, o bien enteros, de la cual sólo interesa hallar las soluciones formadas por números del mismo conjunto al que se considera que pertenecen los coeficientes. La resolución de tales ecuaciones constituye un problema diofántico.

Analizaremos algunos casos que puedan abordarse en los niveles elementales de la enseñanza secundaria, tomando como conjunto de referencia al conjunto IN de los números naturales, o sea IN = {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .} .

Por supuesto, en tal nivel no es necesario desarrollar la teoría que se expondrá a continuación y es suficiente presentar algunos casos concre-tos para cuya resolución bastará con que el profesor, conociendo dicha teoría, haga las sugerencias que estime adecuadas.

Ecuación diofántica lineal con dos incógnitas Se trata de una ecuación de la forma

ax ± by - c (1) con a, b, c, e IN y a, b no nulos y el problema consiste en hallar, si existen, los pares (x, y) de números naturales que hagan verdadera la igualdad. Su tratamiento sólo requiere el conocimiento de cuestiones vinculadas a la divisibilidad en IN.

29

Propiedad. Sea la ecuación (1) y d el máximo común divisor entre a y b. Entonces, si existe una solución (m, n) de la ecuación, necesariamente d divide a c.

En efecto: si (m, n), con m, n e IN, es solución de (1), se cumple la igualdad

am ± bn = c y como día y dlb, resulta que dlam ± bn, o sea dlc.

Surge como consecuencia importante de esta condición necesaria, que si d no divide a c, entonces no existe solución de la ecuación.

Por ejemplo 3x + 6y = 5 no tiene solución pues 3 = mcd (3, 6) y 3 no divide a 5. La verificación en este caso particular es inmediata, pues escribiendo la ecuación en la forma 3(x + 2y) = 5 resulta que 5 es múltiplo de 3 (absurdo).

Si la condición anterior se cumple, dividiendo ambos miembros por d, se obtiene la ecuación a'x ± b'y = c' con a', b', c' e IN y a' coprimo con b'.

Es inmediato que esta ecuación es equivalente a la dada, pues: si (x o, y o ) es solución de (1) se verifica la igualdad

ax o ± by o = c que puede escribirse da'x ± db'y = de'

o J o o sea a'x o ± b'y o = c' igualdad que expresa que (xo, y o) es solución de la ecuación a'x ± b'y = c'.

Recíprocamente: si (xo, y o) es solución de a'x ± b'y = c', multiplicando ambos miembros de la igualdad resultante

a'x o ± b'y o = c' por d, se obtiene la igualdad ax o ± by o = c, o sea (xo, y o) es solución de (1).

De lo anterior resulta que el problema diofántico planteado, puede reducirse al estudio de la ecuación

ax ± by = c, con a y b coprimos; esto es, mem (a, b) = 1 En esta situación, consideremos cada uno de los casos posibles según

que el primer miembro se exprese como resta o como suma. l e caso. Se propone considerar ecuaciones diofánticas en IN, de la

forma ax - by = c con mcd (a, b) = 1 (2).

30

Veremos que este caso es siempre resoluble en IN, o sea el conjunto solución no es vacío y que, además, es no unitario. Esto es, existe más de una solución -en realidad son infinitas-y todas pueden obtenerse de una de ellas en particular, por una fórmula muy simple.

a) Existencia de alguna solución. La ecuación (2) puede escribirse en la forma ax = by + c.

Existe alguna solución si y sólo si existen x o, y o e IN tales que se verifique la igualdad ax o = by o + c o sea, si y sólo si by o + c es múltiplo de a, lo que equivale a decir que el resto de la división del número by o + c por el número a, es igual a 0.

Ahora bien, los restos posibles de la división por a son los elementos del conjunto R = (0 ,1,2 , . . . , a-1 j y su número es n = a. Si a cada uno de ellos se los multiplica por b y a cada producto obtenido se le suma c, resultan los números

b - 0 + c, b - l + c , b • 2 + c, ..., b ( a - l ) + c que son todos distintos pues si existen m,n ER tales que: bm + c = bn + c, surge que bm = bn y de aquí que m = n pues b * 0 .

A su vez, estos a números distintos, dan restos distintos al dividir-los por a; en efecto: considerando dos cualesquiera de ellos bm + c y bn + c, existen q, r e IN tales que bm + c = aq + r, 0 < r < a y existen q : , ^ e IN tales que bn+ c = a q ; + r 1 5 0 < r t < a

Si los números dados son distintos, entonces m * n y restando las igualdades anteriores (en el sentido posible según m>n o m<n) se tiene, suponiendo m > n

b ( m - n ) = a ( q - q j ) de donde resulta que a divide al primer miembro, y por ser coprimo con a necesariamente debe dividir a m-n, lo cual es imposible pues 0 < m-n < a.

Entonces r * r r Si todos los restos son distintos, se tiene que hay n = a restos distintos, por lo cual uno de ellos debe ser igual a 0.

O sea, existe y 0 e Ra talqueby 0 + c múltiplo de a y por lo tanto existe x 0 e IN tal que by 0 + c = axQ.

En definitiva, existen x 0 , y 0 e IN tales que a x 0 - b y 0 = c y por lo tanto (x0, y 0) es solución de (2).

Además y 0 e Ra, por lo cual y 0 es el menor valor posible de y para

31

el que se cumpla la igualdad anterior y por lo tanto x 0 es el menor valor posible de x; pues, si existe e IN tal que by., + c es múltiplo de a, debe existir x 1 e IN de modo que by t + c = ax .

Pero: de y 0 < y } resulta (by0 + c) < (by1 + c), o sea ax 0 < aXj y de aquí resulta xQ < x .

Ejemplo: Sea la ecuación 28x - 16y = 144. Como mcd (28, 16) = 4

y 4 divide a 144, basta resolver la ecuación

buscando entre los números 4y + 36 con y e {0,1,2,3,4,5,6} el único que es múltiplo de 7: 4 • 0 + 36 = 36; 4 • 1 + 36 = 40; 4 - 2 + 3 6 - 4 4 ; 4- 3 + 36 = 48; 4 • 4 + 36 = 52; 4 • 5 + 36 = 56; y 56 - 7 • 8.

Entonces: 7 - 8 = 4- 5 + 3 6 ó 7 - 8 - 4 - 5 = 36. (8, 5) es la solución formada por los menores valores posibles de x e y.

NOTA: Obsérvese que la sucesión de números de la forma by + c con y e R , o sea:

se obtienen de modo muy simple, pues el 1 Q es igual a c, y cada uno de los restantes se obtienen sumando b al que lo precede. b) Existencia de infinitas soluciones. Sea (x0, y 0) la solución hallada por el procedimiento indicado. Entonces, se tiene la igualdad

Es fácil verificar que todo par (x, y) e IN2 donde x e y están dados por las fórmulas x = x 0 + bt e y = y 0 + at con t e IN (3) es también solución de la ecuación. En efecto:

a (x 0 + bt) - b (y 0 + at) = axQ + abt - by 0 - bat = ax 0 - by 0 = c Recíprocamente, si (x 1 5 y,) e IN2 es solución de la ecuación, entonces

debe existir t e IN tal que se cumplan las condiciones (3). Es así, pues, de las igualdades que resultan

y recordando que xQ e y 0 son los menores valores posibles de las incógnitas que satisfacen la ecuación, se puede restar miembro a

7x - 4y = 36 ó 7x = 4y + 36

b - 0 + c, b 1 + c , b • 2 + c , . . . , b (a-1) + c

aXj - byj = c a x o - K = c

ó aXj =c + by t

ax 0 = c + by 0

32

miembro y se obtiene a (Xj - x 0) = b (yl - y 0)

Esta última igualdad expresa que a divide al 2- miembro y como es coprimo con b, necesariamente divide a y, - y 0. Por lo tanto, existe t e IN tal que: - y 0 = ta, o sea yt = y 0 + ta.

Reemplazando en la igualdad anterior, resulta a (Xj - x 0) = bta y como a * 0 Xj - x 0 = bt, o sea x x = x 0 + tb

En el e jemplo propues to anter iormente , son soluciones de 7x - 4y = 36 todos los pares de la fo rma (8 + 4t, 5 + 7t) que pueden obtenerse dando a t todos los valores posibles en IN.

2- caso. Sean las ecuaciones diofánticas en IN de la forma ax + by = c con mcd (a, b) = 1 (4)

Como en el caso anterior, si existe solución (xQ, y 0), debe veri-ficarse la igualdad axQ + by 0 = c o bien ax 0 = c -by 0 , lo cual expresa que c -by 0 debe ser múltiplo de a, o que el resto de dividir a c -by 0

por a, debe ser 0. A partir de los restos posibles de la división por a, se forman las diferencias

c-b -0, c-b • 1, c -b • 2, ... , c -b • (a-1) (5) Puede ocurrir que todas estas diferencias estén definidas en IN, o bien

que al menos una no tenga solución en IN. En el mejor de los casos, que es el primero, se tiene también que los

a números obtenidos son distintos y que los restos de dividirlos por a también son distintos. Entonces hay uno y sólo uno que es múltiplo de a; esto es, existe y 0 tal que c-by 0 es múltiplo de a. Por lo tanto existe xQ e IN tal que c-by 0 = ax 0, es decir ax 0 + by 0 = c.

También en este caso y 0 es eí menor valor de y para el que se cumple la igualdad anterior. O sea si existe yl e IN tal que c - b ^ es múltiplo de a debe existir x e IN tal que c-byj = a x r

Pero de y 0 < yj resulta by 0 < byx pues b e IN entonces c -by 0 >c-by 1 , ax 0 > ax,, xQ > x, o sea que x 0 es el mayor valor de x para el que se cumple la igualdad.

33

La pregunta es, ahora, si existen o no otras soluciones y, en caso afirmativo, cómo se las obtiene.

Si existe otra solución (x t, yj) eIN2, deberá cumplirse que aXj + byj = c

Entonces ax t + by : = axQ + by 0 o sea a ( x o ~ x i ) = b ( y i - y 0 )

Como se analizó en el caso de la ecuación (2), resulta que alyx - y 0 , o sea existe t e IN tal que y, - y 0 = ta ó yt = y 0 + ta y resulta a (x 0 - x,) = bta, o bien x 0 - x { = bt o sea = x 0 - tb.

Entonces, la existencia de soluciones distintas de la (x0, y 0) depende de la existencia de t e IN tal que la diferencia x 0 - tb e IN. De aquí que el número de soluciones sea finito. Ejemplo: 3x + 7y = 44

3x = 44 -7y R 3 = {0,1,2}.

Se forman las diferencias 4 4 - 7 - 0 , 4 4 - 7 - 1 , 4 4 - 7 - 2 o sea 44, 37, 30 = 3 - 1 0 . Entonces 3 - 1 0 = 4 4 - 7 - 2 ó 3 - 1 0 + 7 - 2 = 44.

La primera solución es (x0, y 0) = (10, 2). Las restantes son de la forma (10- tb , 2 +ta) con 1 0 - t b e IN osea

( 1 0 - t 7 , 2+1 • 3). Si t = 1 resulta (3, 5) que es solución V t > 1 no hay solución en IN. La ecuación propuesta sólo admite las soluciones (10,2) y (3,5). La otra situación que puede darse es que alguna de las diferencias (5)

no esté definida en IN, en cuyo caso la existencia de soluciones depende del caso particular que se considere.

Por ejemplo: a) si la ecuación es 3x + 7y = 10 ó 3x = 10 - 7y son posibles las

diferencias 1 0 - 7 - 0 , 1 0 - 7 - 1 y no lo es 1 0 - 7 - 2 ,

es decir, los resultados que pueden obtenerse son 10 y 3 = 3 - 1 . 0 sea: 3 - 1 = 1 0 - 7 - 1 ó 3 - 1 + 7 - 1 = 10

34

con solución (xQ, y 0) = (1, 1) única b) si la ecuación es 3x + 7y = 11 ó 3x = 11 - 7y son posibles las

diferencias 1 1 - 7 - 0 , 1 1 - 7 - 1 y no lo es 1 1 - 7 - 2 ,

o sea se pueden obtener los números 11 y 4, y ninguno de ellos es múltiplo de 3. Por lo tanto no hay solución.

EN RESUMEN: las ecuaciones diofánticas en IN de la forma ax + by = c tienen un número finito de soluciones o bien ninguna solución.

Nota: En la práctica, existen recursos para facilitar o reducir el número de ensayos en la búsqueda de alguna solución.

Por ejemplo: en las ecuaciones del 2 S tipo, o sea ax + by = c

es obvio que puede despejarse en el 1 e r miembro a cualquiera de los dos términos que figuran en ella, siendo entonces conveniente hacerlo con el de menor coeficiente, pues entonces es menor el número de restos posibles.

En las ecuaciones del 1 e r tipo, o sea ax - by = c hemos visto la relación que vincula a las distintas soluciones, por lo cual, encontrada una de ellas, no necesaria (x0, y 0) puede obtenerse ésta y las restantes.

Precisamente, una de tales soluciones puede hallarse resolviendo la ecuación que se obtiene reemplazando a c por 1, o sea la ecuación ax - by = 1.

Es inmediato que si (x', y') es solución de ésta, de la igualdad ax' - by' = 1 se obtiene la igualdad acx' - bey' = c que indica que (ex', cy') es solución de la ecuación dada.

Por ejemplo: si la ecuación es lOx - 3 y = 8 consideremos la ecuación lOx - 3y = 1 que admite una

solución inmediata (1,3). Entonces (8,24) es solución de la ecuación dada; las restantes pueden

obtenerse con las fórmulas: x = 8 ± 3t, y = 24 ± lOt

35

EJERCICIOS 1. - Probar que la ecuación ax+by = 1 con a, b no nulos pertenecientes

a IN y mcd (a, b) = 1, no tiene, en general, solución. Analizar para qué valores de a y de b existe solución y cuál es, en tal caso, el conjunto solución.

2. - Hallar todas las soluciones posibles en IN de las siguientes ecuaciones:

3. - Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho, y los guardó en una caja. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja?:

(Matemáticas recreativas - Y Perelman - Ed. Hyspamérica - 1988.) (Ayudita: el escarabajo tiene 6 patas y la araña 8 patas.)

4. - En un cine cobran la entrada 180 a mayores y 75 a menores. En un cierto día se recaudaron 9.000 y asistieron más adultos que menores. ¿Cuáles fueron los números posibles de asistentes?

(Notas de Algebra I - Enzo R. Gentile - Ed. EUDEBA - 1984.)

5. - Dos productos A y B cuestan respectivamente 71 y 83 pesos el kilo. ¿Qué cantidades enteras de ambos pueden comprarse con 1.670 pesos?

(Notas de Algebra I - Enzo R. Gentile - Ed. EUDEBA - 1984.)

SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL N 2 XVIII 1. - l s ) Se trata de descomponer al número m = n 4 + n 2 + 1, con

1) 57x - lOy = 5 2) 18x + 1ly = 100 3) 13x + 5y = 24

4) 9348x- 1640y = 164 5) 33033x-455y = 91 6)9072x - 306y = 18

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n e IN, en un producto de dos factores de segundo grado en n. Si se observa que n 4 + 2n 2 +1 es un cuadrado perfecto y que m puede

expresarse en la forma m = n 4 + 2n 2 + 1-n 2 resulta que m = ( n 2 + l ) 2 - n 2 y por lo tanto m = [(n 2 + l) + n] [ (n 2 + l ) - n ]

2 2 ) Es fácil probar que los factores de la descomposición anterior son ambos impares, analizando la paridad de n. En efecto:

a) Si n es par, entonces n 2 es par y n 2 + 1 es impar. Por lo tanto la suma y la diferencia son ambas impares.

b) Si n es impar, n 2 es impar y n 2 + 1 es par. Por lo tanto se verifica también la condición.

Se verifica además que ambos factores son coprimos, pues: si d divide a cada uno de ellos, necesariamente d es impar; además d divide a la suma 2 ( n 2 + l ) y a la diferencia 2n de dichos factores y como d es coprimo con 2, entonces

din2 + 1 y din. Entonces din2 + 1 y din 2

y por lo tanto din2 + 1 - n 2 = 1 dll = > d = ± 1

2. - El menor número natural m tal que su división por n, con n e { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10}, da resto r = n - l , es 2.519. En efecto, se busca m tal que:

m = nq - n - 1 o sea m + l = n ( q - l ) lo cual indica que

m + 1 es múltiplo de n e {3,4, 5 , . . . , 10} Por lo tanto, el menor número m + l es el mínimo común múltiplo de

3,4, 5 , . . . , 10. Resulta:

m + 1 = 2 3 • 3 2 • 5 • 7 = 2.520 m = 2.519 y la verificación es inmediata.

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La teo ría d e co n j un tos y los fundamentos de la matemática

Parte VI

por Gregorio Klimovsky

Como se recordará, la catástrofe que experimentó la teoría de conjun-tos, por culpa de la aparición de las antinomias de Burali-Forti y de Russellen los años 1897 y 1903 respectivamente, dio lugar a intentos para resolver la crisis, entre los cuales el más drástico fue el de cambiar la lógica, rechazando algunos de los "principios lógicos" tradicionales, especialmente el de "tercero excluido", que establece que toda proposi-ción debe ser verdadera o falsa, no siendo posible ninguna otra alterna-tiva. Esta ley interviene de manera esencial en la deducción de las antinomias, y no deja de ser razonable la idea de evitar éstas rechazán-dola. Los lógicos y filósofos tradicionales sin embargo la ven como una solución demasiado drástica, concibiendo esta estrategia como un cata-clismo no menos destructivo que las propias antinomias. Quizá esto in-volucre una actitud demasiado conservadora que se hace sentir toda vez que se propone un cambio revolucionario o novedoso. De cualquier manera, parece sensato no implementar tácticas tan drásticas si es que existen otros caminos más prudentes que sean igualmente eficaces. Además, según y .̂ hemos discutido, es dudoso que las antinomias de-saparezcan al aplicarían duro criterio. Se vio que, en general, aún cuando se admita que además de "verdad" y de "falsedad" existe un tercer valor, sería posible de todos modos derivar una contradicción análoga a la es-tablecida por Russell.

Todo esto explica que, en general, los matemáticos no tomen en cuenta esta vía de escape y prefieran acudir a otro tipo de recursos. De hecho, los hombres de ciencia siguen siendo "clásicos", en el sentido de que continúan aceptando el principio de no contradicción y el de tercero excluido. No obstante, hay que señalar una excepción, y es la de la escuela llamada "intuicionista" - o también "neo-intuicionista"-, constituida por

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un número apreciable de adeptos entre los cuales hay distinguidos matemáticos y filósofos. En cierto modo, el fundador de esta concepción es el importante matemático holandés L.E.J. Brouwer, conocido por sus contribuciones a la topología y autor entre otras cosas del célebre teorema sobre la existencia de puntos fijos que lleva su nombre. Los escritos en los que expone su posición comienzan en el año 1908 (fecha notable en la que simultáneamente, como veremos, se propusieron otras soluciones muy diferentes al problema de las antinomias). Es verdad que, entre los matemáticos franceses -Borel, Lebesgue, Baire, entre otros-, se habían propuesto ideas semejantes, pero Brouwer es el primer sistematizador orgánico. Quizá los antecedentes de todo este punto de vista estén en los escritos del gran filósofo alemán Kant. Entre los seguidores de Brouwer que más han hecho por la difusión profunda y orgánica de estas ideas hay que citar a otro holandés, A. Heyting, lo cual explica por qué esta orientación es también conocida entre los filósofos de la ciencia como "la escuela holandesa". Esto no está del todo bien, puesto que uno de los mayores entusiastas del intuicionismo fue Hermann Weyl, uno de los genios de este siglo, matemático, físico y filósofo, no era holandés.

Los intuicionistas se ubican entre los que no aceptan el principio de tercero excluido. Pero hacen esto no como una estrategia oportunista para evitar las contradicciones, sino como resultado de una concepción muy peculiar de la naturaleza de la matemática. No es éste el lugar para una exposición sistemática de tal modo de pensar, pero vale la pena decir algunas palabras dada la importancia de sus ideas.

Los intuicionistas a la Brouwer son antimetafísicos. Esto quiere decir que rechazan todas las suposiciones en las que se postulen entidades hi-potéticas que estén más allá de la experiencia. La matemática, según ellos, es la parte más simple y básica del pensamiento humano, y se re-fiere al tipo de operaciones que llevamos a cabo cuando pensamos. Cualquier paso que vaya más allá de eso, inventando entidades absolu-tas situadas en una especie de reino platónico de ideas o entidades for-males, implica hacer metafísica y no matemática. Esto explica, sea dicho de paso, por qué los intuicionistas son enemigos de la teoría de conjuntos, al menos en la forma cantoriana de concebirla. Para los intuicionistas no hay conjuntos como objetos, y todo lo que los seguidores de Cantor dicen en sus postulados de existencia de conjuntos les parece a los intuicionistas un abuso filosófico, una especie de delirio acerca de objetos dudosos e imaginarios. Lo positivo es lo que hacemos cuando pensamos. Según Brouwer, la matemática antecede a la lógica (en contra, por ejemplo, de

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Russell, quien consideraba a la matemática como un capítulo de la lógica), pues la lógica involucra el proceso de deducción, que es algo de naturaleza complicada; lo simple es poner atención en un objeto, des-plazar la atención a otro objeto, captar que dos objetos son distintos. Sin tales instrumentos, el pensamiento no es posible. Pero esto, si se ve con cuidado, es matemática.

Uno de los atractivos y méritos de la teoría de conjuntos es que unifica y multiplica el arsenal disponible de conceptos matemáticos. Si los intuicionistas niegan la legitimidad de tal teoría, podríamos con justicia temer que nos quedamos sin matemática. Los brouwerianos tendrían la obligación, en tal caso, de mostrar que desde su posición es posible reconstruir, si no toda, buena parte de esa disciplina. La pregunta es entonces: ¿cómo proceden? ¿Cómo obtener la matemática a partir de esas operaciones básicas de nuestro pensamiento efectivo? De paso sea dicho, es claro que los intuicionistas son "psicologistas", en cuanto la base de su manera de pensar se relaciona con acciones del pensar efectivo de los seres humanos. En este sentido se oponen al platonismo, que acepta la existencia de objetos especiales cuya entidad es independiente de que haya o no objetos pensantes o seres humanos.

De manera resumida, digamos lo siguiente. En primer lugar, ¿qué son los números? La respuesta de los intuicionistas es que cero no es otra cosa que el objeto con el que se inicia cualquier operación de pensamiento, cualquier proceso en que ponemos atención a entidades. En cada circuns-tancia el cero será algo distinto; pero, haciendo abstracción de la natu-raleza de los elementos, los números naturales expresan lo mismo en cualquier contexto: el proceso dinámico de partir de una entidad e ir engendrando indefinidamente (por etapas) nuevos objetos distintos a los ya disponibles.

No es ésta la oportunidad de mostrarlo en detalle, pero las operacio-nes de suma y producto pueden introducirse según esta concepción di-námica. Por ejemplo, 7 + 5 (¡el ejemplo favorito del filósofo Kant!) se puede definir como "engendrar el séptimo objeto, tomarlo como inicial de un nuevo proceso y en este último llegar al quinto objeto". Las cono-cidas definiciones de suma y producto por inducción o recurrencia pueden emplearse sin inconveniente en esta metodología "constructiva". Digamos de paso que para los intuicionistas no puede haber en nuestro pensamiento nada más simple que estas operaciones y que ellas son la base de todo lo que queramos o podamos hacer con nuestra mente. Como ya señalamos, aún los procesos lógicos presuponen estas acciones

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básicas de carácter aritmético, y es por ello que invirtiendo las tesis logicistas de Russell los intuicionistas niegan que la matemática presu-ponga la lógica; por el contrario, piensan que la cosa es al revés: la po-sibilidad de deducir, definir y de usar expresiones lingüísticas descansa en nuestra facultad de realizar operaciones aritméticas.

¿Qué pasa entonces con los conjuntos? Ya hemos indicado que los intuicionistas rechazan la idea de que haya entidades tales como los conjuntos cantorianos, entendidos a la manera platónica, como objetos formales independientes de nuestra mente o de nuestra existencia. No obstante, no rechazan el uso de palabras como "conjunto" o "función". Lo que ocurre es que para ellos se trata de procesos. Un conjunto es algo que se va construyendo desde objetos iniciales, engendrando paso a paso los nuevos restantes componentes. Una función se obtiene indicando los valores que toma para los objetos iniciales del conjunto de argumentos y dando una regla para obtener los valores para los objetos engendrados, definiéndolos a partir de los valores ya obtenidos en las etapas anteriores del proceso. En cuanto a los conjuntos, si el desarrollo de los elementos termina, se dirá que el conjunto es finito; de otro modo, diremos que es infinito. En este último caso se ve que el conjunto nunca es una cosa o entidad completa, sino un proceso activo que prosigue indefinidamente. Por supuesto, para que el conjunto esté definido se requiere contar con una regla que caracterice de antemano como hay que implementar cada etapa del proceso. Si no se da la regla, el conjunto no existe. Insistimos, no hay conjuntos platónicos ocupando un lugar en un hipotético cielo de objetos abstractos existiendo independientemente de las mentes.

Todo esto tiene sus consecuencias para la cuestión de la validez del principio de tercero excluido. Para comprender esta manera de pensar, tomemos un ejemplo clásico en estas discusiones, el del desarrollo del número pi. Para un platonista cantoriano, el desarrollo decimal de este número -que en realidad no es otra cosa que una función que asigna a cada número natural (el que corresponde al lugar después de la coma decimal) el dígito que el desarrollo le asigna- es una entidad completa. Todos los valores ya están existiendo, se los conozca o no. Para un intuicionista, el número pi es un proceso en el que indefinidamente y por etapas se van engendrando los dígitos después de la coma. Aclaremos desde ya que los intuicionistas aceptan que hay una regla (en realidad varias: límites de sucesiones, límites de perímetros, etc.) para ir calculando los dígitos después de la coma. La función estaría desde este-punto de vista bien definida. ¿Cuál es entonces el inconveniente?

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Supongamos que alguien afirma que en el número pi hay diez dígitos consecutivos iguales a 7 en algún lugar del desarrollo decimal. Para un platonista, para un matemático clásico, no hay duda: tal trozo numérico existe y entonces la afirmación es verdadera, o no existe y entonces la afirmación es falsa. Para un intuicionista esto en modo alguno es claro. Para él, la existencia de ese trozo sólo se puede garantizar obteniéndolo o, al menos, estableciendo en principio un modo constructivo para pro-ducirlo. ¿Cómo mostrar que el trozo no existe? Por supuesto, que no se lo haya encontrado hasta ahora no indica nada, puesto que a lo mejor aparece más adelante en lugares alejadísimos del desarrollo decimal. Para el temperamento constructivo de un intuicionista, la falsedad del aserto equivale a mostrar que la suposición de que los diez dígitos siete consecutivos existen lleva a contradicción. Pero puede suceder que no podamos contar con lo primero, la construcción de esa ringlera de dígi-tos iguales a siete, ni con lo segundo, la deducción de una contradicción. Es decir, la afirmación de marras podría no ser verdadera ni falsa.

Un platonista que viese todo esto con disgusto podría aducir que, aunque en un momento dado de nuestra construcción del número pi la contradicción no ha aparecido, en un sentido absoluto podría haber contradicción; tendría que haberla forzosamente si no hay verdad. Esto es dudoso; después de los resultados famosos de Kurt Godel acerca de la inexistencia de ciertas demostraciones (de no contradicción), no tiene nada de extraordinario pensar que, aún desde la concepción platonista, resulte no haber una demostración de contradicción a partir de la afirma-ción en cuestión.

Los intuicionistas rechazan el principio de tercero excluido para los conjuntos infinitos (tales como ellos lo entienden), y también otras leyes lógicas correlacionadas, como la llamada "ley de doble negación", que establece que la negación de una negación equivale a la afirmación de la proposición involucrada. Como negar una proposición es lícito sólo si se puede construir un absurdo a partir de ella, es posible que se deduzca una contradicción a partir del supuesto que hay una demostración de con-tradicción, sin que sin embargo dispongamos de la construcción efectiva de lo afirmado por la proposición.

¿Cuál es entonces la lógica que aceptan los intuicionistas? Ellos se oponen a la construcción de un sistema acabado y completo de reglas lógicas, pues aducen que las potencialidades creativas de la mente están siempre abiertas y puede en cualquier momento descubrirse algo nuevo. No obstante, hay una formalización parcial debida a Heyting, que es la

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