Eindhoven University of Technology

MASTER

Overgangen in geëxciteerde neonatomen door inelastische botsingen metgrondtoestand heliumatomen

Martens, J.F.M.

Award date:1985

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.

Download date: 09. Jul. 2018

Overdandtn in a~ërc.i krde neonaiomen

door imla!iti~,h~ bot5inJen met 2 rond­totS.lond heliuma tomen.

J3e~eleïdln~ : rrof. dr. [3,;. Verhoa.r dr. H.C. V. 5tjtrtnc ~ ir. M .. P. I. r1Qt1der.s

lf n~ modclpcientiaalmethode 1 Jnleiding 2 Het seë~ci leerdt. neGnatoCJTl

z.1 JJe hamiHoniaw, van hrt seüciteerde n/~atoom 2.1 nulde-orde hamiltonfaan en storingstermen H, m ~0 2. 3 jJe (y s ;~che bete km i :'I vo.n dt herekmde atomaire i:oe!ltandm

Z.Lt Hartree-Fock-orbitctls 3 In.tera(tie. V1 met hei ÖrlinJloe:,iand heliUmatoom

4 Het ne~~ He-SJ5fum

4.1 nulde-orde-moieculairt hamÛ~niaan ~- 2 VI in LS) 52- repruentatïe. Adïaba~scht pofenlaa )curven.

4. 3 )Jïaba lischt poteniiaal malrice5

]I _De ~ekcppe.lde kanalen melhode veer ne ·~He 1 JnleïdinJ 1 A Idement theorie Z.i Verband met het experimen1 .z.2 Schrëdtnger-vergeljkïng en rand voorwaardes. Doorsnedi5.

:z. ::3 Ge kcp~lde kanalen-theorie

~Aspecten van het ver5irooiilldsproc~ 3. i ~et verjtrtJoiinJsproce~ 3.2 Asstnsielicl.J ~ N- rtprejenta tit 4.1 Elektronische ba~i:Svnkhes: atomair

~-2 Kernbew~0 iná : ruimtera~l ~- 3 N- ba5bfunkhe~ 5 ".D.-dio.ba1i.5,he repmentalie

5.i EltKtroni5che basi5±unkties: atomair

1

4 5

à

g ll

13

I~

15'

'9

2.0

21

22

23

24

ZS'

2b

z6

5.2 Kern bewedin3 : lichaam.Ha.)t

.5.:3 S?.- ba5iStunkfle~ 5.4 .ll-en N-ba,iS 6 Radiêle ~iHereniiao.Jver~el~kinjen b.1 Jnleïding

b. 2 .U-repre~m~o.~îe: gekoppl/de verdeljkingen 6. 3 N-repre~ento.iie: antkopp~lde ver3eWkingen 1 Adiabatisch allerna.tïe5

l i Elektronische ba.si5Sunkties : molecuiair

l .. 1 Adiabatische ba~îJtliTlktït:, l-3 Gekop~el~c. w,r~e1Ykin3H1. 1 1 1 ,, p 1 f-4 Adiabdi~che verlii.5 ~...11-dïaO!Äti5cne ba5i~rvnkties ~ 5-rnatriX. f:ls)mptolïsc.he rand voerwaarde. Door.5ntdes.

&.1 5-matriX

8.2 yerband met verstrooiiflJ_sampliludt. Doc~nedes &. "3 S)mrnetrie van de ;5-m~liX

'Z9

.30

32

Jl

.3.3

9 13e.5chryv'n3 van het Jekoppe/de kancdenpro8ramma NEotJ jcauPlEDCHRNNELS

g.i Jnltidînd yO

g.2 Prcaramrna. 41

IC Analv3ie tU)SW n/~He verstracii"j en de. versfruoiind van Wl deel~e aaneen skrre rotator 45

J1i "fi~l~ ~oc,r het 8ekoppelde Xanalenpro~ramma, NEo~jcouPLEOCHRNNELS i Jnleid1n~ 2 Jnle3nrliejren~en 2. i lfer5chuivinj van hel aanpo..ssings punt R'm Z.2. vërHhuivin~ van de kopp~lpunten R, en R', -~R z. :3 Ver.schtJivin~ van hti: startpunt 115

3 Tran~Jormatie van ck ..Q-naar de N-ba~i~ 3.1 Trc.n5tormCltie van een dul ~an de inierachematriï ~ LfJ)

'3.2 Controle van de demodijiceerde numerov-methode l.j 5,.Ymme1rie van de in~erad:iematriX X (R) ..

5 Converseniïe-arde van de ~emodïfïcecrde numerov-methode

6 VariatJe van het siabdileïl~c.riterium 1 Irrelevantie van oplcpen~e N-ba~i5oplossin3en in ~e51oien kanalen à Mokculaire berektningen: ve~eljkm8 met HenntcC!rt

a.1 ..BerekeninS van de adiabo.ti5che ne'~He po~entiaalcurven ~.2 :erekenin3 van radië.le mair~_xelementen veer het S)steem n/~He g 1-terkxame. docr~nedEs : vergel~kinj met ~ ennecart

V J3erekmin3en b~ ho~e ene'(1ieën 1 KeuA.e van de inte3ra.hestap~rooHe h 2. Keuz.e vcm de in teJratie staftwaarde ii'5

.3 Interpola1ie van de ;;-matriX

Appendix A: Ajlei din8 van de •J1-diubcrlische ')Ja., is toestonden Appendix B: ïe.stre5ultaten

_;Dit a.fs~udeerwerk behandelt de wi.s.selwerkïng tu~en 3eëxc.1terrde neon­atomen (in Je 2p':3p- CGnft~VfQtie) en a rondt oe.sland helïöma1omen .1/an de~e WiS)el werki~ werdteen theoreti5ttu pesJ,rjving seseven, uitmondend ineen s~!sel3ekopp.elde radïële di}­

ferentrual ve~el~kin~tn, de zo3enaamde ~ekopptlde. kanaknversel~ kin~ en .Dez~ ve~e~k1ngm kunrnn werden opJefcst mei een v~cr dai dvel al e€rdtr ge:Jchrmn en deer ons UI i veeriJ 3ete.st compüter-pro:lramma .;Dt aldu!1. bepaaldt inelasti5cht werhame doorjntdes xyn te. verae~hm metexperimentele 8esevens en d rt moet op dtn duur leiden tot meer inzicht in htt wis5elwer­

kinJ~mechani;me tu!1Ser? de 8enoemde deeJ~es. Aan bod Komt allereerst cl.e modelpotentiaalrrnthade van Henneeart en Masnol.L) ter bereke­nin~ van potentiaa1mairi(€S voor het s;sietm nt~ He, vervc~en~ de 3ekoppe/de kanalen­methode voor ne.~~ He en dan de ïnTeme conhole van ons ~ekoppelde. kanalenprc~ramma. Tot .s]ot stippen we kort en~e mo8el~ke manieren aan om voGral bj hajere ener~ I ten reken. t~d te be~parm.

I.

-i-

Jn d,i vmlad wc reit 3epoo3d qen ~uan:ummechanische be;,chr~vtn~ te geven van

inela~ti.>che bohin~en tu~)en 8eë~lttetrde neon~tomen (2~"':3p 'onJ~~ratle) en ä~ndtoe.5~and helium .. a lom en . .Dexe.rnela5Lche bt~tsmgen kunnen m:fcrmut1t Yerjcha1hn oru he-t mechani>me van on·

derlïn0e wi.,.,elwerKin8 ·tu~)m de dul~e:J.Th reacttcve~eljkin3 van het be5thG\avde proce~ luidt:

(I. I)

( n~ tt l2Pk) ,.5 de ni:eau-uanduiJillJ voor ~esto.nden ~n dt ( 2p )~p~conS~ ura~ie vo~tn5 de fajchen­nota tie; met ne (15;) wvrdEn gewccm1~K de (zp) :35 toe.5tanden aan~edurd). l[j bekjkm de theoretische as pekten van d 1t proces, terw~/ in de wap Atomaire en Gptïsr.he 1Ji.s­

::;e/werKîn3 de experimentele kt~nt bekeken wmH m.b v. een gekrui5le bundelcp:;te/linJ (zie li'UjtY~J.

Cm uiteïndel~kdcel i!l de eHïcié.ntc berekenin8 van tok1e,inela5lï.sche, werhame dc!lrsnede:, vv'r het proce5 in v3l. (1.1)) die We dan kunntn ve~e/~ken met expuimente/e áe~even.S. "Wë bmkentn onxe werb.a~ door.Jnede.J do~r oplossinavande tgdonafhanke~he 5c~rodin~er-ve~i­ljkin~ v~~r het tuiale .s;sh.tlll, be.>t(Äcmde uit kernen en elekirvntn.lJile;ndei~J< leidtdit trl een.

slel~l~ekop~/de rad iële d;SferentiqaJ ve'(lel~ kingen, waarvit we door aanpa55ing aan U5J mp~ · to·li..sche rr;indvoc,nvüarden Je strooima1riX ~en de werb.am.e doorsnede~ kunnen bepalen.

)3 9 dtte bere keninj dienl men te bcschikktn over etn potenh:tCllma triX vovr hef s;sleem ne ~ H~. ~ hebhen de p.dentïaalmatrit jebruikt, d;e vcl0t uit het werk van Henneeart en m(lj ncu

( Hen&2), ~eba5ierd cpeen mGdel pc~n1iaalmethodc. ,I\bt:lanarjks1e verondcr!itelhr1J hier bH i5,

dat hel ne ·~He syskm een drie-d~ltJtJ 5J5teem ts, be.,ta.ande uit een ne. ~romp, een valentie· elekiro~ en~ndrondto€51and-hehumatoom.;DïtkomtQan bod in hoofd~uk]Ï. Jn hoatdstuk :DI b(hande/en we de Aekoppt/dt kanalenmeihode. voor ne -~e .1fe jClan in_dat verband uilvoer~ in cp VCtïr de bcschr~vinJ van h~t verstrooiingsproce~ d eêi3ende verzame-. lin2m basi,l-oe.sta.nden. Jnhocfd,:,luk N KG men ui.lvoeri0e ie5tj a a~ bod voor ons ~ekoppe/de kanalenprcdramma: daar er nauweljk.s externe c.Gntrolemcdel~k/udt11 be5chikbaar pieKert: dienden we een .strin8en1a interne.

centrolt van en~ prewam ma uit te vvuen. Jn hoGfd.,tuk )L ·hnsioHe wcr"dt em aantal ideün_Aelanmrd om woral bj hogere em~ iein het programma. eJSiciënhr in rekent~d te maken. He"f name hek~km we, of het in de tcthm.;t roo­Óel~ k ïs om VGcr i:us:,enl~endt P-'waarden lF: hio.le imp-ubmvment9ucmtum0eiaJ) 5-matriX­elemenien te interpoleren. _

2 _

JI.1 Jnleïdin~

,De. fundameniele wisselwerking tu!lsen atomen in termen van elektron­en kern coördinaten. i:; bekend,m~a.r leverTin de praktjk ~een modeljkhe;J (op eenvoudi­~e ~evallen a15 H·H na) cm atoom-utoom bohinJerL te beschrHven. Het i.s onverm;Jde~k dat etn me del wisselwerking 3ebruikt wordt, dte. dharlJt van minder cob'rdinaten. 1fa11 sroot belong VOii( de. Xe model Wi:mlwerking is Je elektrontoestand van de beide ato· men.JJit ver.sÎad houdt zich in hel6yzonder bn.ig met inela.,iis<.he bot.sin3en van aanoe·

~laden neonalomen met heLumatcmcn m de drondtoestand.De. relevante wisselwerkinS Î:5 daarom die ·hsien de eleme.ntm van het ne*: He SJ5tetm. Rtho.nkel~l~ van de (ma leculaire) toestand waarin het n/~ He. Sj5teem verKeert, heeft de­z.e wi:selwerkin~ een ander ver leep. JJe. berekening van de modelw,s~elw~rkina in een be­paalde representaiïe vormt het onderwerp van dit hooSdstuk. Er z~n meerdere methoden. om zo'n berekening op te u Hen. Eén daarvan is de ab-inilic~ methode,~ehanteerd docro.a.. Cohenen Schneider (Coh~~J.De:t.e methodewordt kort bes~.hreven. door Be~ ers (Be] a~~ p. z6·21f). Zj berv;;t op een variatie proeed u re. Jn de­

ze methode worden alleelektronen metsmomelf in de be'rekenin3. ]n hët verveld wordt de modelpotentiualmethode beschreven, zaal.s Henneeart en Ha.snou

(Hen ~zJ die hebben toe~epa,1: op het ne*~He SJ-'teem.

-~re ~aan uit van de iH d onathanke1jke. SchröJm3er-ver3el~king voc;r her totale ne'*~ He s;stetm, bestaan de uit t~t kernen en alle elektronen. Een exacte oplo5JinJ is onmo­

~el~k omdo.t we te doen hebben met em veeldeel~esprobleem. Een eerste benaderinj, d;e inherent is aan het idee van potentiaalcurvèn)s de. xo~e­naC4mde J3orn-0pp€nheimer benaderïn~, waarbj de. elektronenbew~1ng wordt 8es~i­den van de kernbewe8ing .Dit wordt rno~tl~k gemaakt dcor het ~rcJe ma:;.saversch;]

tu:,sen kernen m elektronen.De elektronen bewt~en veelsneller dan de kernen, waar· door de. e Ie ktronen~c I Hun k-lie zich adiabatisch kan a~npassen aan de kern bewej ing.

,De kernen werden al5 het ware va.st~epri kt op hun momentane po.5itfe. _.Dexe benadering i5 gced voor lanj~ame, e/aJ:hsche, bct5inden, waar bH de onderlinge. sndheid van de kernen klein i~ t.o.v. de elekhonen.snelheden ( ~ !o

6m{'5 J. Dit 3aai.op

voer bol~in3sener~iein, kleiner dan i hlf l3j inela~Jische bot~in35overgan3en i5 de;(e - 3-

,benaderin8 niet meer 3eldï3. 'Hierop komen we -leruJ in hoofd~ tuk][.(. Vooreen uitvoer~er .beschrjvin~ van dexe .benadering, zie Be~· o'3, p. 13 e.v.) .

...De mei:hoJe van Hennecarl en ma.JnotJ word~ ~ekenmerkt door de veronder ,:stelling, dat b~ de bctsin8 tu:,sen een ~eënile~rd ne*~ a toom en een He- grondtoe!ltandatoom alleen hetseëxr.iteerde elekiron en hetene~at inde zp-schil aktief betro~ken "tgn. ..

,De. invloed van de mon.rompe Ie k tronen wordt in rekening gebracht via een .5emf- ernpi-ris che. modelpotentiaol. Het veel- elektronen-probleem is daarmee 3ereduceerd tot eert een-elektron een-8at probleem .en ;et. totale probleem !ot een drie-deeltJe!!-probJe.em. Alleen het valentie-elektron, het ne-ion m het He-atoofT1 spelen nog direct een rol. Jn dit hoofdstuk wordt eerst het seëxciteerde ne lt u~ a toom afzonderijk behandeld .1fer­vcldens de. (eI ektro!ita tijche) wîjselwer king tu~sen ne ~ion., valentie-elektron en He- a toom.

En tof ~dot het n/(*l He-5ysteem o.ls 3eheel. Bg d(!: alle.; zullen we overigens veelvuldig verw]xen naa.r met name Gej 83.

- ~ (1:)

On5 doel i~ de berehninE van wi;;selwerking5poteniialen voor het ne -He-~.stetrn.1oals ~tXejd jj de modelpotentiaalmethode aeb~eerd op het 8edeelteljk '' va~tvriezen" van de ne ~ rompelektronen in de (1~ J\zs),. ( 2p /_:configuratie en op ee111

~e5~:hikt sekoxen. modelpoientiaai.AIIeen het :35 (bg nl) of 3f CbH ne*llJvalentie-ebk­t' on wcrdt 6amen met heT zp-sa t actief veronder5teld. Op de :te be5chrgvtn8 van het n/c+~ atoom in termen van een ne~romp en het valeniïe-elektrondaan we nu nader in.

Een geï;,oleerd neond:oom 1n deüciteerde toe~tand wordt be.5chreven..

Jocr de veel- elektronen ha milton i aan :

t 10 1L ~ 2. 10 2. -+ ]

1-1" : & ft 2;"- 411~,r,) +J;" .~,J~ + 5 (r.J~,. S:

met ri ; at~ tand van het t·de elektron tot de kern riJ : af~tand tujS2n het i-de en J-de elektron.. . l= 10 : iad1n~5 de tal

- 4-

(2.1)

->

~i. en~ : baan-enspinirnpu~moment van het i-de elektron ~ v~ )1i. si. : spinbaan koppeling van het i· de elektron.

,Dexe hamil-loniaan ~ali in drie de1en u item : ~ een steri:ich -.s,_ymmetrbch gedulte, bev~ Hend de kmet1s(he energieterm van elk e/ekfrcn.

en de 1ntero.ct:ic met de kern : frn -t+r~ r· - een 3edeelte.) dal de Coulvmbaf:,to1;ng tu~s.tn de elektronen beschryft en du:, een meer-

elektronen effect weergeeft; ~2

E 0 rlf . .. . . .. . ...... - een 8' J,. Jt,, d "1: voor eIk e !, kÏ: ro n afz onderl#k de s p ,n baan k o PI" I mg bes eh~ ft; 5 (r,)j, ·Si

De a 1:, ma i re '""j ie nmau 5 E at, na dffun k!;es 'Y a !vindt m<n door Q pI OSS illj van Je i: g d. ünafhanke~·Ke .5chrëJin3er-ver2e~k;ng:

at at c at at H 'f = 1.. 'P (z.z)

en wel met behulp van eerste-orde .slori~3rekening.

Jr. 2.2 nulde-orde hamilfoniaan H0

en sterinas termen H, en ~0

Het zou te onnauwkeur~ tyn J om alleen het eer.5fe, sferi.sch·.S)mmetische deel van Hat [ vjl. (.z.1)) a/.s ongestoorde ham i I toni aan H0 te be~chouwenj)aarcm bet~k­km we voor elk eleklron in H0 oGk nog het gemiddelde .sten~ch-S)mmetnsche po~ntiaal­veld van de over i se elek lronen. Het ver5chd tu55en de. teite~ke onderlinge Coulomhwi5se1wer­

kin8 en dexe semïddelde sterische benadering is de Coulornhre~twisselwerking H,. r-De nulde-orde hamdtrJiliaan H0 end~ ~torîng!)termen H, en ~0 werden 0edQven in verge­ljkin3 (:z. :,) e.v ..

H o. t = H0 + H, t ~o

A (7.3)

10 2.

H :: ?- f Î ~ t 11 (rJ] 0

l:.l (2. ~)

IC 10 4

H 1 = b { F q :!, r ~ (z.sJ

- s-

10 -

1f. - I. ~(rat·; ,.50 - . ;::, L L l: I

(2.6)

)Je eigen{unktïes van H0 kunnen worden gekaro.kteri;Jeerd door de nÎ- quantumdeiallen vart

de ahonderlüke elekt renen, d.w.z. door Je zgn. elektroflfncontiauratie. Voorbeelden hier-~ 0 • 1 " z 5' 2. " :; 1

van zEn de conh~uratie:> (.lsf(.zs) (zp) 35 en (rs) (:z;'l)'''(zp) .3p,waartoe weons

UiteindeIjk zullen beperken.

rOe verden opspiibing als 3evcl3 van de :3tonng H1 + ~0 wordt bereken cl in de verondersten'Y Ja i de ener8ieop5plilsing van de verjchillende conJ~urati~ deer Ho t.o 8roo1is, dat H1+ ~0 te niet meer met elkaw kan mensen. (,Dan kan men H1t V.s 0 d;agonali~eren ,b;nrnn de con­

tt~uratie ). E'er.st berekent mtn de matrixrepres.enta.lit van H, en ~0 t.o.V. een of andere ba5ÎS in de. deelruimte: wel~ bas i:, men kiest is een kwe5tie van 3emak ( Henneeart kie.st Je 11us-sell-

5aunders .. ( LS )- tocs ianden). Omdat H, commvteer1 rnet hei totale baanimpul:;moment L en het totale .spinimpvis­mam;nt 5 van de elektronen is hel hand~ een ba.si.J te kïexm van eigenrektoreT? van de

epualoren -c: 5: )zen Jx cJ= rt 5 ). ,De op5plit~inJ a Is ~evc~ van H, i~ toe h .schrgven aan de Coulombrestwi5selwer~inJ 1 die heT valentie-elektron en het zp-jat ondervinden .,.De;tl?. wordt in wexen beschreven door de Cou­lcmbaanirekkii1J -el/t.4ITE0 r12 tu~sen hetvalentie-elektron en het3o.t,mei r,2 deafsiand tu~:in het valentie-elektron en het gat (zie. Hara~.p.:zl·ZZ} .D(. opuator ~0 commu.feerl niet met Len S,maar wel met J. heti-otale elektroni~che i.m·

pubmorrunt. Voor elke ccn~-guratie atzcmder~ k valt ~0 dus uiieen. in niet-di~onale dN/­matril~~ vaar de ver; chiliende )'5 . .Dcar v;o werden de LS-toe:,tanden weer gemengd~ ,..Oiaáonali:~a1it van de1e H1+ l,j0 deelmalrice.slevert uikinde0k de tHn.struktuurop.splib;ng en de b~bchonnde solHunklitS (Hen (n en Mara~.p.lO. ncamaab; Jexe Bo!H~Hies z.gn seen. zuiVert L~-ioefl'knden. De :zp;~s-conf~uratie sphlst in vier- en de .zp :~:3p- conJ~~ura.tit irL

tien niveo.u's .1ie t~uur 2.1 en tahel z. :1 • .

..

-6-

Fa~chen. 15

15~

i:;

15_"

l5H L i

'P. 3P,

:1p

:3 F.

Tabel2.1

+-"'ff:--+-J .. P.~-t .De vier t~n~ iruktuur niveau 's van.

~ic.f:;--t------1~-t .de .z.p:;:35··congjuro.tie en dr. tien. t~n.,huktvurniveau~ van de 2ps-3p-con~iSUra1ie in de "Pa~~:hen­nota.tle en dt 45

., L;rrepre,en­tatfe._De~n laat5te heJt .,Jecht~ op de. voornaamJtt compon~n t

1---'"flt--t--~=îo!---1 van de respectieve toe~ tanden be-1--'"-fte--+--3..-.5,___. rrekkin~. De zpL -en iSi-tot­

standen z~n 8een zuivere ffu~~ll­Saunder.s toe5tanden. Xo j~ bgv./2p~>:: 0.414j3q,)+O.Sj2 rol>- O.j36' l~Pl, > 0

\\ \\ '\ 1\ \\ \ '\

' \ \ ~

. \ \ .

I

I '

I

I /

'/ I I

I /1 'f5nm I I ;I

/ ........:..so 7:0 l"a1

-1-

Ene'dit·niveau·.5Ghema van.

ne van dt eersh tw~e o.and~­slaqen elekhonmconJJ~tJra.·

0 ) ; hes,nl. de zp :.s-en de 2p ~p-~on1ï~uratie. De J~·n-s tr u k tu u r toe-5 to.n ckn z J rt

~eran3sLhikt naar de Waai­

de. van he1: totaal- impvis­

moment~uo.ntvm~e tal J. Tevens zyn toe3es'1ane cp ... ·hsc.h.e over3a~en aan~e3even.

Het Ïj inter es 5 ant om Je af te YraJen etereen eenvcudi8e inter~reta ~ie mo3eiM kis van de :to buekende tees tanden .1,ft hebben m.d:; in devorije paragraat vermeld Jo.t deze toe5ta.nden SWl zuivere L5-toe"tanden zgn. ~en andere eenvciJd~e mterpreta tie zou rno8eiHk z ~n als de spinbaan kopptlinj_1 zowel veer Je zp-eleklronen al j voer hei "3p-elektrort zo cverheer.Jend zou z~·n t.o.v. de Coulombresl­wiSselwerkin§ dat de. berekende toe.standen bg benadering Jj-koppelingstoe.:Jtcmden zou­den zgn. d.w.z. toe5tanden van het i;_ype

(2.'f)

Het 6~ kt dat b~ ahrmn YQn htt t.Ypt n/(.4-) noch de ene noch de andere extreme .siluatie worq rbenaderd, mo.a.r eerder toestanden van het zs n. Jl- kopp~lïngsschema ))itlaa~hte [s ~ebaseerd cp de vervnclershllïng dat de rornp gekarakieriöeerd wordt dcvr qvan­

turnjetallen L, 5, Je~ (~eba~rd op jJ- ot LS-koppehng 1 wat in dïtd.era] op het~elfde neerkomt)} teru;&l het valentie-elektron met baanimpubmoment9uantu_rngeiJ1. ~eacht wordt primair de Coulcmbrestwiss.elwerking te voelen, hei3emleïdt tot het

9uuntumsetJ

K = J, +i) .... ) I J. -11 ( z. cY J

(z.g)

nader onderzoek (Nar &4) re5 ulteerde in het inz;ch t dal voor de zp5":3.s-conJ~~ro.lïe de toe­standen meer ~ken op L5-toestanden dan op J1-koppehngsioe5tanden. Voorde zps-:3p­conL3uratie vonden we : -) = o : de tot~io.nden Ij ken m~r op l5- dan op Jl- koppelinasioestanden. -J.: 1 : ~een veerkeur tu:mn L 5- en Jf- koppelin8 sschema. -J: 2: Je i:oestanden ljken meerep Ji-dan op L5~kopp€lin3.stoe.standen.

Oak bi~H do. i de toe~lanclen van Hennuart overgeveerd wcrdtn. in de j1-l~cppalïng.5toe­- ~-

standen, docr vmmderin8 van dt interac:tieparame1er.s, die. de sler He van eerder3enGcmde.

wisselwerkinjen w~er3even: we moeten het valentie-elektron ver~eno~g van de ktrn ver­w~de~n.~;l, i.1 een beve~iiaing van de f)sbch~ achtergrand van he.t Ji-koppelïngsschema en een cGntrole voor de bere~ening van deze Jtkopptlit!gstoestonden.

~o.n Haberland ( Haba4) hebben we de be.;chîkkinJ 3ekregen over golf. t11nktieJ veer de 2p, ~s-en zp'3p· conf~ura tie~ van men. Oexe zjn berekend vo~en.) de Hurtree-fock- methode 1 die beru:,t op een vo.ria.iie proccdure. Het re5uliaa.i van deze berekening is in een voor an5 rekvante vorm weerge5even inJ~uurz.'2. Hier~!l zgn te zien de l~di~15VerdelîngerL (op ~en .factor e na) van de romp en van het valentie-elektron als funktie van r, de afstand tot cle kern.

Heer in, het bjzander zgn uii3exe t = voorderomp Jr: = 21;5 + Z ~;:st 5 ~:F (waarbg de coëf~iciënt vóór de versc.hillende orbita/~ ~[ hef aanial elektronen '11 die crbito.l iJ)

en voer het valentie-elektron : Jv : = cr:p. rDexe ~i de ver de lïn~en z.jn senormeerd op hun resp.tc'iieve max imu~_.l.Jë. zien da~;r u.;ei~ mg overlap i~. ,Dit inspireert on.s t.ot een aanpak waarin we een ge ex c:.Jturd ne.- a teem be5chcuwen als u n ne+~ romp en een ~zander 18k te behandelen vafentle-elekiron 1 dat be­wec~t in het pcten1iaalveld van die ne ~romp. Het in spinut du) ook tot de modelpotentia.almelhode van Henneeart en Ma~nOiJ1 die veer het ne't~ He·S)Sleem uitaaan van ten interactie tussen drie deeltjes, nl. de ne~rcmpJ het :;p-valentie-elektron en hetr'frcndtoe5tand He-aioom .,Daarbg beweei~ he1 valentie­e!tktron dus nu in het potentfaalveld vcm het ne-t: ion en het He- atoom.

- g-

1.0 A'.------------"""'T ."r- ""'· .

Filuur 2.2

I ~ _ • _ • _ '/oleniïe-el~ktron • •

o.S

0

I ~ •

/

"" •

~ r~ / r Cao) . /

o.os 0.10 o.~o o.::.o 0.40 o.so 0.~

R~ uur 2. :z.: LildinJ5verdelingen van ne\omp en ;,p-valentie-eleHron. Zie teks 1. Beide zjn sencrmeerd cp het m~ïmvm. Voor de ramp iïJt dat b~ r: O.OI6':3Q 0 ,Vccr het valeniie-~1ekiron bg r: o.z.72a0 •

romp

• ~ ~

o. jO o.ao

• .......

~e. wimlwe.rkin3 Vr tu.5sen valenlie-elekiron)n/.iontn He-atoom L5 e-.

!ectrcstahich van karakter.1le kunnen eendrietal terrmn onderscheiden.

(Fi~uvr z.~ 3eeft inSvrmatie over de 3ebrvikie coördinaten. N.f3: ~ h!eH hier niet meer

b~irel~kin3 cp ~lektron z ! ) e

Fi2uur 2. j

Coördinaten voor het He n/~ He SJSh~em

(z.to)

(. 2. 11)

(z. 1 zJ (z.n)

Ve 3aan nu slcbaa.l1n op de a.J~onderlj~ termen (zie Bejri3 vccrnad~re deto.il5). ,De term v1. ( r:,] bejchr~H de Wî:iStlwerki~ tu5s.en valentie- e.lektrcn en drondtoe:Jtanda~om. ,De eerstd:erm van (2.11) i.Hen lange dracht 8eïnd um.rde dîpoolinlerac.lie; het valentie· elek • tron creë.er1 terplaai5e vo.n het grondtoc~Jo.ndo.toom een elektrr5ch veld, dat in dit aiocm een dipoolmoment induceert (<:~d i5 de dipoclpclarisetrbaa.rheid van ht!~rcndtoestand­a1oom) . .De af5 n~iunktie S2 Iorst er veer dat deze term niet e.xpiodurt vcor 'i:~ o.

,.De tweede hrm in vj I. (2.11) i5 een empiris,he korte-dracht poleniiaaL die de electro­statische interaetJe besch~-H tusS2n hetelekiron en de.lading5verde/mg in hetdrondtoe· stand atoom. )Je vcrm is die van een at3e5chermde Coulombpotentîalll. Mm kie5t r, en 5 zodani8, dal ~et v2 (rt)elasii~ch~ elektron-atoom stroc~e3even.s ~ereproduceerd weden cvooral :fa,evers(huïvin&en hj laa~-~ne~etï5che bot.sïn3en, ,ie l3ey 6'3, p. 42.-43).

.De term V:, (fO beschr~H de WÏj:JelwerkinJ tU55en de .. n/ro~p en hetArondtoe5tand­atoom. Het i~ een ion-~eïnduceerde dipcolpctmtiaJ. 1/óor internucleaire at5ianden ft~ 1 Q

0 3aan de elektronenwoiken van ion en atoom.

elkaor overlap~n en zou cwn ~ (R) een repul5ieve term moeten werden toesevoe3 d (Hen a.~').

-u-

.De hrm ~ (r;_ ,R) i.; etn drit·deel~e.5 potenti~aLH~ besch~§tt de wisselwerking van hei ne.~ ion met het doar het val en tïe-e1ek1nm ~eïnduc.cerde d ïpoolmcment irt het He·atoam (of cmge kee rd).

Het ~ed;ag van Vr VCCif ~roh R bl~kt confarm dat VOCif de.1fanderwaa/5interuclie vu=r)= -CG/ 11 :

~

- -dJ r, ) 2. ] ~I ( r IZ) = 11 c 1 1+ 3 cos w

'' R-.co Z (2.14)

(N. 13: ai.J we uit (:ttt.)een C6-coëffïciënt willen bepalen, dan dienen we dne verge~kïng 1L middelen over de hoeken w ) . .

geven deer:

"~ 11 , u , ll ltl 11 ne -rre _ a•,ne H"t,nc ne -nt H : In+ H + + Vz (2. IS)

lJe kineti~che energie·o~eraior van de kemen wordt aangeduid met T". Jn C3orn-Opp.en­heimer benadering en vo~ens Je ~eïniroduw.rde modelpotentiaalmethode laat zich de

tHdonaihanke~Ke s,hrodinger-vergel]kïng VCGr het ne*~ He molecuul als 3eheel reduce­ren totem ver3el~ King voer het valentie-dekiron en he~ goJ :

,De pu~~n reprelenteren de co:dinaien van de overi~e m~en ele~~ronen.1Jë gevendie niet . expliciet weer, mede omdat ':z. ondertus~n een andere beickem5 sekrejen heeft.

_Deze verseljkïn8 moet worden opgelo;,t onder de 6Uvccrwaarde van orthogonalllei~van ymci op de _virtuele ~e bvn~en :.5 1

-toestand van he1 He-a tocm, waartoe de V.t.- term 1n V1 aanletding ge<!Tt ( z1e 13e~ 6'.3, p. 43).

lL 4.1 nulde-ordt mol~cuÎatre ham i I toniaan

)Je e~enwo.arden ~n ei~enve kforen van de Schrëdrnger- ver3e~ k;ng (2.16] vcar

hel ~eëxciteerde elektron bepalen we met behulpvansioringsrekening 1met H1 en ~0 als storings· termen.JJe nuld~- orde. ,Sd"ödinger.verge~king luidt:

[ _

1 mol (p) rrH:l(o) mol (o)

H0 +VxC7.,Ft)Jf = E 'f

,Dm ve~e~king 15 separeerbaal naar de ne-elektronen. He! deel dat met de rompeltKtronen te maken heeSi is triviaal en leidt tot een eenvcud~e !aciot 1n ~ m~l De factor voor het valentie-e/ekiron. ~hel enige niel-triviale Jeel.Jn dt natatie voor lf mollaten we voor hti moment alleen de 9uantvm­~eta.lkn van het valente-e.leklron zien. Het baan~uantum3eiJ 1 van htf aeëxcitecrde elektron tS in h~t m~leculair~ 8evals~n_gaed ~uan.· tum~~ta.l mee~ wel het 9uanium8etal À= I m.i I mtt ab 9uant1.7at1e-as de m1ernucleaJre as. 1/öor de zp';s - conf~uratie is m: o en voor de zpr:;p-corJigurJie geldt: m~-1, o, + 1. B~ de keuu

van basi~5unklïe~ wordt hiermee. rekening sehouden,evenals met de eerdergenoemde b~·vaor-waarde van orlhosonahteitop de virtuele 1,5'-toe.5tand van het He-atoom. -

Oplo.s5in~ van val. (:z.q) veer een aanial waardut van de ïnhrnudeaire o.fstanJ R lever1 de nulde-d · jr"' 1 mol(o1 1 1 j mol(o) ) d) 1

or e ma ecul~ire ao .Üvnktïe.s f n1 I mi- en potentïaa. curven E ni I mi (R . Hierin wor t ae

gesiocrde moleculairf. crbito.l ~an het veilentie-elektren ~anjedu;d met9uantvmgeto.llen, waar­van n en 1 alleen d~ aan,luiting op een atomaire or_biW veer R .. ~ karakteriseren.

Ve defïnifren nu achiereenvcl3en.s ~eerde 2p5~ ·en de 2p5'3p-coni;~uratle:

mol(o) at(o)

~· tn) =- Eollml: Joo un- Eni: -"o

mol (o) a.Ho) y6 (Fr).: E~l: JlO (111- En.e: :31

~ on- E m(jl (G) (R)- E al: (oJ it - l'lilml.:3ll nl:.31

en (2.1d')

(2.19)

(2.20)

;Dezepoten~ïalen zyn8etabelleercl in (Henc92)en slaan8e.Jekend in iï8Uur.z.4. Bä het berekenen van de mairixrepres.enlaiie van H1 t ~0 wordt no3 de vol3endt verondersiel­lïn~ gemaakt ( Bej (}3, Hen67:t):

< mol{o) I H V. I mol(o1) ~ < at(o}l H V. J at(p1> 'f m' I+ jO 'f m. - ~ lt 50 lp (z.zt)

- 1'3-

.D.w.z. de. molecuiaire nulde-orde sclHunktie mag vervansen worden door de atomaire 8olf-5unkh~,althan.s vcor niet te kleineR ( ff ~ Sa 0}

I i I i 3000

I E. ! (cm-'}

i I I I

I 2000

I I

1000

0

\ I

1 V (R) \ 1'

\

-1 000&..-----.L----....L.------L-5 10 15

R(A.EJ

nulde-orde potenfiaal-u curven voer ne -Ht

voc·r dt zps-~s-cont~v­rd:ie ( Vd· (11)) en de zp;3p-confïEuratie ( ~ U:C) en V,-r (11))

(Henaz).

Het laatste mairixelemmtvan v~l. (.2.1.1) is al eerder berekend in de I (54J~>­representatie (zie parJI.l.2). Het i~ daarom het eenvoud~5t, om ook dr. operator VI naar de­xe bas is te transtormeren .,Dit is mo8e~k mtt het :forma_,hsrm der irreducibele ten.sorope· ratoren (zie Hen&Z, blz.ll6-t22).

Jn het moleculaire 8H'al worden de sekcppeldt I (Sl)J N,J >-toestanden aenoteerd ctl51zSI-I ~.U> (bedenkdatvovr8rcndto€.5tand He8eldt: L: 5:o ). Eraeldt: J1: I M~L:· met M,Jx' ~t magnetiJC~ quanium~eial, behorendbEde proJekfïe van het totale impubmomtnt J op dr: internucleaire x~as . .Dematrix van~ in de llStl L;J n >-repre~eniaitc.valt uitetrL

- ll.f-

in ~en aanto.l . .blokkel1 1 ~ekarakteriseerd door de 9uanium8etallen U en 5.)Je matrixe/ernen~en. z~·n eenvoudi3e :funktie;, van V:,.· un otvan V6 UOen Vrr UO. De matnxvan ~kan nu met dit van H,t V.so wcrden8eccrnbineerd htde matrix van Hmcl in de /25+

1 L;I Jl >-repre.5entatie.

)3jokdïa~oncth:iotie Van de n-d~~lmain·ce.s VOO~ Ver~chil!ende ~QQf:~ Van de i~tern~cleaire ütstancfR seeH dan Ulieindel~ k de molecula,n: eJ~en!vnkbesljJ ~n de adtabalJ)che po-tenhaalcurven E mol UO. F;~ uur 2.s at/me laat de polentïualcurven voor het n/~ He ~steem zien/ bere kenJ uit dt ~6 Ut) en Vrr U!] van Henneeart. Rd;abali;che poten1iaalcurven voldoen aan de zgn." non­cr~ssïnl~re3el; ze mcjen elkaar nletsngden al.s xe van deze/Jde.s,.Ymmeirfe zgn.lfocr

....)'1 = o.vïnden w~ t~ee df.sJvncft seis van ieder_v_gfcurven~ correspondere~~ metten- sym· m~tne vans p1e8e/,n~ ~.o. v.,~en vlak Joor_de ~~ternudea1re as (zie.l3e~ 6'3 1 p. zt-23).

13~ J1= i zîen we duïJel~ ke a veieled cro55ln 5 tuss.en de paren zp4 -1p5 en 2f6 -:zp1. Ver­Sthilknde elektronen toestanden naderen el aar dicht. De elektronen8o1Hunktie y vari • eert dan sterk al5 Sunk!ie van de. internucleaire alstand ff.)Je 13om·Oppenheimer bcna· derin8 is dan niet meer 8eld1~ .De kans,dat ar een overgang piaatsvindi naar een andere elektronentoestand i5 relatie~ sroct.

Jn cn5 ~ekop~lde Kanaknprc3rarnma werkenweniel in een adïabaiî.Sche repre~en~a tie maar inde ~n-diabatJ;;che", d.w.z. de /d.) n)-representatie (zie htdjlJJI) waarbj de jc1)): / zpi) >atomaire e~en toestanden z~nJ d.w.-z. e~e.ntoe~tanden van­Ha\ H0t H1 + ~0 (v~l. (:z. ~)) .j]eze laa.hlt toestanden worden verknaen door di~onali.7ate van H11 V50 in dt I LSJ)-repre~ntaiie(ziepar! . .z.:z). (M.a.w. leL)) t5 eenlineaire com­,binatle van I LSJ)- toestanden ).JJit Ie~ dei:rans.formo.tie van de I LS~Jl)-naar de !::lJ.fl >- ba5 is vast. ïram5ormaiie van VI van de I LS)D>repre5entatie naar de dïaboJ;sche l<i)ll)-repre· 5entatie levert de diabatischt potentiaalma~rices. (N·B.: Hat= Hot H1 t ~0 i5 per JcJinitledïasonaal in de jc:L)fl)-repre5entatie ). "

v;:ebbn i~ dit_hoo~Jstok~eJcheljt hoe men vîa~e nod~e benadenn8en de moleculaire ne-He ham,Homaan In dt I (L;) ;JJ1)-repre5ento.ite kan bepalen. Hiervan zulkn we ~t­brvik maken bj de berekenïnavan inelastische. ne~~He bot~ïng5doar~nede) tn hootdjtu1DI.

-,s-

Fiauren 1. s a1frne : Adïaba1ï,(he ne*~ He paient;aa/curven

0 (a) 0 OMEGA 0-~ =

f-Lf)

(OR = 0. l ) 0::::: 0:: 0

er (Y")

u z Lf)

w 0 z 0

j z N Lf)

w :::r::: 0::::

z 0 2Pz. ~ ::s::: Lf)

w 2.Pr w 1-

:::r::: 0 zp1 (Y) 0 I N I Lf)

w .. l:: 2p9 Q) u z 0

0 Q) -0 0~

_j (Y) --0 }-- '-"

0 2f,o L: ::s:::: i.J..J CD

0 ~ I

~ -4 6 8 1 0 12 14 w CD R EROJ

,--(b) I OI I

'~ 0 OMEGA = 0+ Lf)

f-Lf)

(OR = 0 .[)

i 0::::: er: 0

0::: ~

(_) z Lf)

w 0 z 0

z (Y") zp,

1 Lf)

LLi T CY

0 z N ~ Lf)

w I

w 1-

:::r::: ,......, 0 Lf) 2P?o I (Y) I Lf)

w .. l:: 2p~ (J"l u -----z 0 1p~

0 0 0 0 Lf) 2PcY _j (Y") ...... -

0 f- 0 L: ::s:::: i.J..J m

0 ~ I

~ -4 6 8 1 0 12 1 4 w CD

R CROJ

0 (c.)

= l OMEGA I 0

0. I l I ~

roR = l[)

f--

I 0:::' 0 rr (Y)

u ~I l[)

Wo

I~ ·=I 0 N L[")

I 1Pz

I o::::l al

l~ll ~ ~r ~ 1- 1. S"

~ lP' Wl

1p't w I-

zpe ~ 0 r I -0

lp~ I I ~ ll[)

~-w Ul u a I I

[~ 0 Ul -0 0~ (Y)

1p,o Jo '-'

~I w ii; I

12 l 4 L:

.",.

6 8 l 0 I -4 w

R CROJ

0 (q) OMEGA = 2 0

~

f-Lf)

roR = 0. I l

j et::::

0 rr (Y)

u 0::: Lf) z

j

w 0 z-. 0

N z l[)

w

zp~

IO::: 0 z ::s:::: l[)

w zpG w 1-

~o

1.fq I aJ _o

I ~ I IJ)

2Pq w .. :L:-Ul wo z

oCJl 0 a::

_j (Y)

,. 0 I- 0

l 2 l 4 L: :x: wro

8 10 0 ~

6 I ~ -4

w co R CROJ

~----,-I OI (e)

I

I i 0

<:T OMEGA

~ f-- Lf)

= 3 I

i Î :CL:: I

lOR= 0. l)

'er er: i a j !U (Y")

zl Lf)

1W OI ::::: ~I 0

I

•iz I N I

'w U') ~

Ir 0:::

~ I

z a I

~~ U')

I

LJJI 1 w :/ J-: 0 -0

I ~I I Lf)

1 w ~-

z 01 u 2fg

0 om

0 o<:r _j (Y") --C1 f-·1 0

I ~~- ~I w aJ

'<.f•

-4 6 8 Iw rol

l 0 12 l 4

I R CROJ

Jif ,[) e ~ekopr~lde kanalen meihode voor ne ~~He.

tng .s p roce.s :

( :3. i)

( zpd (J= 1,2, •. , 1 o J Fa5,hen-notaii~ voor ~e toesianden van de zpr:5p- confrsura tie). WiJ b~palen vcor dit ver.5trooiin8sprobleem een oplossing met de gekoppelde kanalenmethade. ,D~zemethodezal nu worden besproken.Heileïtdo.t ZE hieranckris hegespit~top het n/: He sysieem de ei natuvrlff l< 8een a~ breuk aan de a~emene seld ïS heïd .ervan. 1{e Y"I}Q ken in di i verband se brui k vo.n de in het vcorat~aande haofd5tu l< verworven inzichten

omtrellt de elektronenbewe~in8 in het n/~ He SJ5teem. ~n h~t bgzo~o1er van de opaes1ide. /2PJ .f7. >: /dJfl )-repre~entdiie van dt elektromn-hamtltomaan H ( 11gL (z.16)).

We cam bin.eren deze met een eveneenj 9_uantvm~echan i5,he behandeli~/an de relo. ti~ V~ kernb~wes1n3 (be.;chreven met de kiru~t,5cheene~le-operator In=-~ ft~) met f1 de m~r­nvcleaire a~Jland).

~m te bedinmn zal nu een bg<het experiment aanJlu1tend a;Ymphtisch beeld van hetïne~ 1a5tisch~ ver.s1rooiing.s prcce~ (3.1) wcrden~eschelst.Dit beeld werd t uit~ewerkt tot een alsemeen 9uan!um rruchan1sch :forrna1is me. Teneinde. de alsemene verael~kinjen in een oplo.sbare vorm te diefen moet een JejchihTe 5et basï:,toe.standtn voor he1 ne*~ He ~sieem wordenjekot.en.1focrtbardurend op hàvor~e hooid stuk ~n teven.s ~eb ruikmakend ~an de mee5t al3emene ~mrrntrfe-en behoud"e~en­schappen van heT 5)sieem, zulkn we onze keus bepafen op twee representatie~. Jn dt repre.sentatte voor kleineR reduceert de ~chrödin8erverge~kin8 !oteen .stels.el 8ekcppelde. radïële dit~rentiaa1ve~el~kinaen voorde ~o!Sfonktievan de relatieve kern­.bewe~inE. Jn de repre.5entaiie voor3rcte R !at ten ontkoppeld ,stelsel. HeT 8ekopp~lde stel5el moet numeriek worden op3el~~t.Yan herontKoppelde .stelselz~n de Cljympfotischeoplcs.,ingen ,bekend. Zoab zarbl~ken kvnnen dt twee .soorTen op }o~­s in3en aan elkaa.r worden ~ekopp~ld. "Hieruit vo~t de zoaenaamdt.strooimatri:(. Yan de jhooima tri x nQarde werkxame doorjnede~ van h.tt a~errunt Jormalisme i.s

-rg-

het dannosmaar een kleine stap. Hoc dit alle5 in concreto vorm krggt In on5 ~ekoppelde kanalenprogramma/Wordt in ten apar-fë para3ra.af aan heteind vandit haofd.stuk ui~e~ le~d.

III. .2 A l~emene theorie.

liL 2.1 Verhand met het uptriment

Het resuHaat van elk verstrooii~sexperiment wordt in laat.ste instao­-tie bepaald deer de a~mpto~ische rtlatieYe bewe8ing van de componenten. Fi-guvr J.1

laat zien hoe we ons hà intlastische verstrooiindsproces (:3.j) kunnenvoor.stellen .

~ --~·-- t. ne Jlt

(a)

He (A)

• u / ne

(b)

De begintoestand van htt nt.t~atoom no~eren we met jo.): 12Po.]4 M)4

) = /cLo.J~ NJo.>· "Het ~vantum$etctl t1J is de proJectie van J op de ruim:teva~1 X·Cl5{d.w.x. Va5hlabo­ratoriumoriëntatie ) . .De eindtoestand [5 /h): jclbJh M.J~:,). Er z.~n me~rdere eindtoestanden I b) en richtingen ff. mo~el~k. Hel: He-atoom is in ons 8eval inc.tctief en verkeerT zowel voor als na de botsing in de0rand­!oe.sland : jl3): /A>. .

-40-

ill.1. 2 5c.hrödinaer-ver~ely hina en ra.ndvcorwaardes. Peer .snede; u ' j

liet tutalt ne ~~He s __ pieem, be5taandr. ui~ Kernen en elektronen, wordt

be.schrevm docr een d~funktie r er: R) ,die athan3t vah alleelek tronen Coördinaten 7 en kern coördinaten R. De hami/toniaart vandit s;yshem i~ ~

H-T + H mol - n (J.Z)

metEde telale energie. van het ~steem in her rna5sa.middelpunh;telse1. ;De one~enlj ke e~enfun kties r. van c~.j) ( e~en!j ke eigenfunkties bfjchrg-ven ge benden. toc5ta~den) meeten aan b epaolde randvoorwaarden, voldcen. Het a;rmptotbch gedroj van

de rlolftunktie van de onderlinge btw~ing van de kernen. [5 immer.s bekend. Het wordt (in de notatie van de vorige para3raaJ) .beschreven dooreen inkomende vlakke go IJ veer de be3 in toe:, tand/ a.)/ R >en uitlopende .bc~olven voor de eindtoe.:ïf:anden Jb)/ B).

_I) u;; in alle algeme~n hetd (in ons sp~ciale geval i.s I [3 >:I A)) ~

·k·ff ikbff 'lJ/ ct :: e t ct I a> / A>+ .[ t ba ( R) eR I b > I (3 > ( ~- 4) I R~~ b,B

- 21-

(J.S)

;De or'Jepolari.Herde totale Werktame door.5nede Qba: QJJ,]hd.GJc Jda.]a dA JR kry~ t men dan door .scmmaiie over alle ~mdtoe.standenJ midJelin8 over alle .bes in toe!! tanden .

en iniegratie ever alle richtingen R :

(J.6)

III. 2. 3 Gekopptlde kanalentheorie

- o pi os, in~ en van v~l. ( :,:~) z gn h vinden. door de golffunktie o/ er. RJ te ontwikkelen naar Wl volledige orthonormale set ba.sisfvnkties t qk], die aihanke~ k zyn van alle kern- en ele kl:ronencoördinalcnlbthalve van de kernoJstand R :_

(3.1)

f1et k wcrdt he.t verzamel~uantumgetal bedoeld waarmee de ba5i!Junktie5 gekarakteri­seerd worden.,De bas i.sfunktie.s tfk werden kanaalfunkties 8enoemd.

S~bsti1vtie van ver~eljjlünj (:vrJ in de Sch~ó·~;~der-ve~eWkïng (3.3)Jlmksvermen~.~ vu/di8in3 met de complex gecoryugeerde kanaalfunktie en .sommatie ot;n-kgratie overalle coördinaten ,behalve R. (kortom: het mmm van de bracket met < ~ k I) levert een..

stelselsekoppelde tweede-orde radiele d;tferentiaalvergel]fkin8en. voor de ontw,kkelï~s­~oëHïciënten ~ (tV.

Jn het speciale, maar niet ongebrvïkel~ ke (zie de re5i van dit hootdsiuk) oevo11 dat de

ba.s ïs5unkiïe.s ~k e~enfun klie.s z gn van he! atomaire 8edeelie van de hamïlton i aart

(3.2) krä~en we. (met r,: = -jR (f,fd~)) "

d1 fk Ul) 2)t [ at, ne** at, He] ~ { U;; j nr!~Ht ~ +~ E-E - E ~(~):to ~1.\qk ~ UO/~ko)~

t ~(~l<IT,:ctl~k·)] ~.(ff) (~6') -u-

_,D;Ls een1n princîpeoneindis.sielse1 (k:o1l,..) 8ekoppelde (k': o,l, .. )tweedt·arde di~·, fertnklal ve~el~ lf;ng~n.Daarmee kunnen we in de praktg K nie,i.s be0 innen .We mcàen. de cntwikkelinj van vgl. (3. t) na een emdïd aantal termen a:!-bre ken.

De keu!eYQn 8eschrk1e bas~,;,t~;nktie~ is daarom van hàgroctsh belang. z~· rnaeten met name de. bewejinA.Yan de elektrenen tHdcns de bc'tsing ze 8ced mo8e~k beschruvm. Jn .. het vervo~ van dit hootds~uk zu//m wj twu van deze moaeJ~·ke Keuxes (nl. "JL-diabatisLhe m adiabatische ba5i~fvnktie5) beschrjven. Jn de prak~~ k is verdereen wezen ~k besiand deel van de 8e koppelde kanalen methode., dat men proJiteut van behoLJsweHen om heifr~bleem zoveel mogeijk in dtel problemen h ontkoppelen. Het totale impu Is moment P bljH in ieder de val behcuJen vanwege hà ontbreken vc.n een vcurke~r.s richting in de ruimte. ]n ons Qeva/3e/dt dat oCik veer de pariteit TL vanwega de inver,5iesymmetrie van hei ietale probleern.

)3asi.stvnkb"e5 met welbepaalde T!, P, Hp verdienen daaro111 sterk de voGrkwr.

liL 3 A.sp,cten van het ver.strooiingsproces

.III. ~.1 Hetver.strooiin~sprcce.s

.Bg de doorons be.sc.houwde. bot.sin3en z9'n over het algemeen. de bohl'(Jj· :melheden van de ne *..t_ en Ht-ai:omen kleïn,ver~ele ken met de .snelheden van de elektronen. ,Daarom za 1 het ruimtel~k deel van de e!~ktronen~oltfunKtie zich min J meeradiabo.­hsch aanpassen en me~d raaien met de intcrnudeairt X '·o.s t.g.v. de .sier_ke elec ~rosta­hHhe krachten tvss~n kernen en elektronen 1 vooral bg kleine in~ernucleaire af.) tanden R.. )]oor de spinbaan kopptlinJ worden aok de elektronenspinS Clan de internucleaire as se· koppeld .Voor dex~ langzame. bohi~en kan mm daarom het beste elektrcniHhe 6a5iJ·.

tunktiej k;rzen, die meedraaien met de internuc:lellirea5 ·rDeze ba5i5Junktïe5 kunnen 8e­karakteri5eerd wordendocrhet quantum8etal M.J:t•. Het de introduc.tie van een),Jaam5· va5t as5e.~~tel)tJ voor de be5chrM vin~ van het ver.sirooii~s proces voor kleine_ R sluiten we aan b~ de mclecu/a,re beschcuwtn8en van hco~ds1ul<lt'.naarverwachtrn8 zaldaar­om nie1 R;.t' zelf} maar n :::/ r1)z·1 het relevante 9uantum3etJ z.Hn· Het hiubovm desche1s1e bteld heeH: een adiaba1iSch karakier.W't herinneren ons, dat inde adiabatische Born-Cppcnheimer benaderinJ over2an3en tuslin verschillende. mo!ect;·

laire. toestanden verboden z»n. Beschcuwen we echter de eltld:ronenbeweain~ in con-kt - Z"?l-

met de kernbew~~ ing, dan worden in de o.dlabatsche represtntatie de moleculaire b(l.)iS­funKties 8ekoppeld door de kmekjche enersie·operator ï;,. De koppelingen vormen etn niet-adiubatisch.~ttect: de eleldronen8oiHunklie.kan dt kernbewe3ing niet meer goed

vel~ en. . · . Jn een d;abatische representa lie za/. behalve htt roto.lione/e deel ~01;, ook Vr de basis-toestanden kopp~len. Xowel ~~een ad;abahJche als bg een Jl-di~ba.lïjche bejchrgving van heiverjtrooiir1Jsprc·

ces doef zich de inieressanie vraag voor,1n hoeverre toe5tanden mei verschillende J1 si3.~if~·canigekcp~ld werden. Bû welke waarde van R (men spreekt in dit verbandvan

de lockin3 rad1u:i R!. ) wcrdt J1 een Jced quanturndetJ ?

. - we beschouwen de beide Q55tn.Stel5el.sJ waarmee w~ werken, nl. het-' -t;chaam.s vaste vottr kleine internucleaire afstand Ren het ruimte vaste (d.w.z. vaste )a.~ boratcriurn oriëntatie) voor~ rofe ft. )Jexe a~5inshlsels worden alleen 8ebnvkt om

proJectfe,:, t:~ detiniëren van YHtoren. Voor de detïni·he van de-x.e. vectoren i5 dt pi aai~ van de oor.sprmg G van htt assenstelsel onbelans r~k: het 3aat byv. om de plaatj­vector r; van het aan~t5 ia(Fn ne*~ elek~ron t.o.v. Je ne-kern .. Cm de 8edachten te bepalen zullen we echter 0 laten jamenvo.llen met hei massa.­

middelpvnt van beide kernen= -totale ma55a.middelpunt,Jezftr1 de gerin~e elektru­nmmassa .

.ne relatieve po!Jtie van beide kernen wordt aan8edui d mei de vector FF, se karakteri­:5eerd door z Hn len3 teR en twee boiho~ken een~, diegedefinieerd z Hn t.o.v. hel: ruimtevaste as~enstel5el. He~ lichaamsVa5te a5sen.stebel wordt zodani8 ~edefinieerd, dQt de :t~as georiënteerd i5Jo.ngs de internvcleairt a.s.Duïchting van de t'-as t.o.v. het Ox.Yx-shl.sel wordt vast8ele8d door

de. eerstetwef. Euierha~ken. ~ene (zie 13eyd'J)appendi~ 13). _

,.De n"chiinsen r'an de x'-en ;/as in een vlak locdrtcht op de x~a5 /;3~en va5t door de keu­xevan de derde Éuierhoek%: J:: o.

,.[3H acbevedraaiing van impulsmomenH·oesfanden van Oxj't.' naar Oryz zal daarop dus een draaioperator D ( ~ e 0)-:. e -i~J;r./"h e-L e,JJ lli werken.

.IIL4 N-representatie

.TII. 4-1 Elekhoni:i(he bcuisiunklïe.s ~ aiomair

Het ruim1eva5te Oxyx- en het li~haamsva5te 0 xj'x'- coiir­

dinatenslelsel .

Vëcr~zecrsrcie. kuna!.sland Ris dt wi5selwfrkin3 Vr ne~~h te verwaarlo-zen)

z:odat H mei= Ha~ We hebhen al se zien [in par.lli. 3.1 en .nr. J.2), dat wedank 11nnen werken in

een ruimtevaJt assen.5telsei.De voerde hand l;3gende (elektronische) ba~i5iunktfe.S zËn ato­maire ei8enSunKties I d nt J ne N) ne >1. Ie;( tte J He~ I-te >x '8ekoppeiJ rot (in wend~) elektre­n i:, eh impulsmoment J ~ / o1 nt~ HeJ rl)lle ,J M; >z... Ve herinneren cn5 uit hccfdJtukJZ dat

H at _at

/ci)M,J > = t dJ I <i)N~ > (3,g)

Jn cns geval i~ He b~perkt hit desrcndtoe~tand LJ ~\ o)" zodat J =;J nt)Je eleklroni.;che basi~funkiies /ci.JM; >x. z3n du~ alleen naor ne*! toestand teonder.scheiden.pezeintcrpre, htie van /c1)N~):t. deel- niet.? atctnn de al~emenege/d;~heid van net vervolg. ·

»t be~lhr~ving van de kernbewe8în8 jebeurtals§ebruike~k in termert. van de re la lieve bewe3ing van twee ma5supvn-kn in het ruimie vaste (9ua oriè'nta1ie)ccör­

dincrtenshl5el. ~'t ma kw onderscheid tu~~en radiële en rGta. tionele kern beweg in iJ:

(:5./0)

(3.11)

( J.l2.)

-t 1 L 1 2 2 -l l l t er ~eldt ~ N; N( t N,.Y' ~ N:t = NX' t ~· : Nl l met N.(, en N.v· de componenten van he draai-impulsmoment N van b2ide kernen t.o.v. het I i(haamsvaste a5sen 5te/Jel. fris e1een N.~·- com-

. , a l pcnent,omdat de elektromnmas5o.s naa:;t die. van de kernen verwaarloo5d wcrden 1 zoda~ er 8een traag heid5mcrnent is t.o.v. de internucleaire x'-a!;.

,De ei3enfunkhes en eigenwaarden van Ïrot zyn:

jNH,.;) :JrntN (6J~) N1 1 NNN>:: N (Ntl)ti

1

I NHN >

Het totale imp u is moment van he~ s_ysteerrt

.... - -P~ N+ J (~.15)

L5 een behouden 8 rooiheld .De atomaire e~entun kt ie~ t zie par. m. 4.1) en rotaiioneleei8en-5unkhes (~.13] ui~ hetvoorat8aande worden Jaarom~êkvppciJ tot N-d1abati~che e~en~ 5unkhe5 :

jnd)"NPMp) = 2.. (Jt1JNMNjPNp) jc1J'1JNMN \. (3.16) M.JNN

- z6-

waann de coëtticifni.- een zgn. vector Koppq_hngs<.oë tticiënt ( Clehsch- Gordan co~ ttidën t] [5

(Zie l3riü).

,.Dne N-diubatuche basdtunktie5 hebhen meieen eek welh~paalde parifeit TI. ne~~r 1-te )N · )N ( )N neu 3at vc;Lel. J m me r.J T[ = rr · 1! · (. -1 .:. I · I · L -1 = -1 (:'n: = n: . n: ).

,.De ba) i:ifunktie.S irr:J.)N PNp) zuilen we in hei vervv~ vaaK N-ba5isfun Ktie5 noemen.

· Vacr kleme 11 vverk~n we in het khaam5vaste a~sen~telsQl.We mtrken cp, dat de el~k-trcnmha~iltonïûan H mo~ zoab aeddïnïee

1rd ïn hacfdjtuk lf v31. (:u6J, alstdz:wggenJ

se5chreven is in -~iLhcwmjYash. coördinaten. H me t5 immer5 berekend in de I LS,JS2 >-en /<iJ?)­repre;enta tie (par .JI.4.2 en li.!.i.J ).,Door doaroan de kern beweging toe te vceaen 8aan we Îf1.

het verve i& "lichaamBvaste "z3n- • .. n- dia ba liJcht'' ba5 i.s1unkhej invceren. Om het verband daarrun met de N-diabc.li5che ba.JiS a~ te lei dm, Ï5 ncdia dat we het verband aangeven..

!u~ sen e~en5un kt i es iJ.)~ >z' en e~enfun ktie~ /c-J J 1'1.-.7 >x.. 1ve JCIC.~ n v eer5i elektrcnï:,the ba.sbSunHie5 in het );,haam~va:·Je assenstelsel invceren.

1Jë. hebbin reed.18esteld) dat we de atomcure toe5~and i~JH,.r) me! maJnetîs(h quantumje~ tal N; t.o.,;. de ruimtevaste .t-as aanduiden met / J.]M; \ter onderscheiding vandie, met

magr.eti~ch 9va.ntumdetal N,J t.o.v. de lichaamsvaste ( internucleaire) :t~a.s; jd)N; >z,. ~an~e/dt ~ .

-l ;r% ~ /1i - i J1 eI tl IJ.)N.J >t· = e e lc1JM.J \ =. (3.if)

- !. I dJ 1'1' > <c:~J N . I -i J., IJ I 'li -l J_y eI~ { rJ. J N ) --w .lt :Je. e Jz.-

: = ~ ~ J c{ J N) \ d) N~ N.J ( ~, e) o J )

.Dit houdt in, dai een ac{ieve. tran.,formaiîe i.J uit8evtJerd op de f_ysische toe=> tand }ct]~ >:t (duJ seen paJbfeve ·tranJormatie. 1d.w.t. assendraaiing b j VaJfe f)~ische toe.sland) ~

,De 1nvers.e tranJJormatie vinden we door vgl. (.j.l1) te vermeni8vuld~en met dJr1~wN1 (~~el oJ,

vervcld~n.s te scmmmn over N,J t!ll gebruik :tt maken van de unitCtriteit van de JJ;:I ~ma tri x:

;Jit-

I~JN; \:: ~ ;DN.JN~ ( ~,e,o) )d.JNJ >"t. )

- '2.1-

.De toe~landm /dJNJ )z, zgn onzt o.iomaire elektroni~the basi.stunktie~. nog stu:ds geldt:

at at H /dJ~\:•= E.(J /o(JH1 >t.. (3.19)

Voor kleinere internudeaire a.fstanden R LR< l5aoJ i~ N 3een goed quanturn­getal meerJ omdat 69 comtant:~P:: N t j' veranderin~en in N en J zullen plaatsvinden.. dovr de wisselwerking van de ne-elektronen met het langsvlie3ende He-atocm.1Jë mo8en. .. echter bË voldeende ~ngzame kembeweginaen nog wel verondw;iellen dat de ''momentane prcJeclie N~1 , van J wel bJ benaderinJ behouden is -,Daarom zullen we vovr kleineR em.

ba5iS invoeren waarin/ N.J;r.•/ een 3oed quantumAetal Ï5. ~ Kltt.en I Nh:./ := 57. als 8oeJ quantum8etal i.p.v. M,Jx• zei5J omdat we dan ooi< de rdlektif~mmetrie t.o.v. een vlak door de internucleaire as al5 quantumJetal kunnen meenemen. (,Dexe rdleklie verhindt

M.Jx, = .fl. me} N.J:t• = - S2 ). ter.s~ voeren we nu een ba5is in waarin Nh, zelfeen gced 9 uan· tum8etal i5. Omdat N'Z.en )x.,:: f '. J nietmet elkaarcommuluen, sluiten de QUantum~ ~~tallen N en N,Jt.• elkaar uit.

we herschrM·ven daarom Trot= N"J./ .z;lf1 LJ.l2Jrnet behulpvan N= P-J c~.1s) -tot

/

( ~.20)

(3.Zl)

(3.22)

·c I Pr1pM.J:~.•) z~n 3emeenschappciMke ei8enfunktie.s van de operatoren P~ J; en ~·). , ~t compiex 1:oesevoe8~1Vianer-JJ-Sunktie5 zgnde ei~enJunkties-va.n ren .".iymmetrisc~tol. ;De e~enwaarden van P, P~ en fx· zgn respectieveijk P(PH)hz., Nf' 1i en H;x.~ (fx,:]1,)"

J)t laatste tw~ termen van vdl. (:3.20) representeren de koppelinS tu~sen de elektronen he-We§in~ en de rotatie. bewe8ing van de kernen .Ze vormen hà 9uantummechanischanalogcn

-ze-

van centn+u~aa.l- .en co riolis krachten in roterende coördinaten stelscl5 in dek las5ieke me­chanica.Ditdeel vun ï;ot Wt;rdt vaak senoteerd ill.:; lc'or . N.hv. de ladderopera toren/

P.r : fx, ! L ~~ en).!: =J~, ti])' kunnen we ï;or schrgvm als:

[ ~·' ~· J =-i~ fx. [ .Jx· J J)' ~ :: i ~Jx·

(:3. 2.3)

(12~)

(J . .ZS)

,De üpèrr:4tor J+ wrhoc3t HJx• naar N,1z,tr en]_ verlaaJt H.J4

, naar ft%,-1.. Het ettecTvan t: en P..

t.J orngekard: ~ verLJa~t Nrlx.• naar HJ 4 ,-I en p_ v~hoc3t ~z' naar H;rt,tl.,Dït hangt:5a­men ~et het Seit) dat de impvbmomentopero. tor P in5ïnitesimale draaiingen 3 enereert van het hta lesy5teem (kernen+ ele ktrcnen)om de lichoam5Vosle a'senld u~ Jeze assen ao k xe~ roteert_ ·hrw~/ de. impui.,momentoperator J alleen de elekironenwo/k om de~e msen d raQi1. Aanse-zien in v~ I. (:3.23) iadderaperatoren (. Pt ~) t) voorkomen, koppelt ~or toesfanden met

verschillen~ N.Jx1 ~f D. ~ / N.Jx./.l.fe spreken ~an rotatie koppelin8. Er had~ 3een koppeling Cf t.g.v. Ir:: - 2jR l~ 11) 1 want we hehben atomaire e/eK~ronische bo.sis5unktie~ se­koten1 die ona5hankel~k zyn van de kerna:fsland Fi. (Zoals we later nc8 zullen zien)vindterock koppeling plaat5door niet-dilljcnaalelementtn van Hmol).

;Dater koppeling epireedt t.d.v.Tcar iJ klassiek ab vc~t te bcsrypen; d~cr de rctatieb~~~ Jin3 van de kernen verander~ de. inTemucleaire a.:s van richhnj en dus ook de pr~eàie daar­op van het elektrenen impu/;; moment .

.De prcdukten van I ichaamsvaste atomaire eiaenfunkiie.5 (.:5.19) en rota­tionele eîsen5unkl-ie.s (.'3.12)

,, pI(

jr1jM~x• PNp):: (~) 1

*JJHpN)x•(~,6,o)~r }cl.JH) >x· (~.26) - lq-

hebhen noa 8een we I bepaalde pan teJt n.1Je kunnen tce~Janden d~fïniëren met welbepaalde pariteit a I;, voi~i ~

./TI ~).QPNp ):: fi_ f /dJ, Mjz,: Sl.l P rjf' > t it ( -t) PtJ/dlM~z·=-Jl,PHF)j (S2>o) c~.lt)

ÎiiJ.).D.~oPHp>:: /c<JN.~z,:oPNp) (uibluifcndiï=(-I)P•J) (3.2cf')

Jhl -zuilm we aantonen in de vol~en~e para~ raaf . .De ba.5i.J!IJ1lktie~ lnd~JlPNp) zullen we aanduiden met 11.H-d;abatisChe o} kartweg S2-ba.sis}unktie~.

Jli..s. 4 SZ. -tn N-ba5 i5

. l-Jé 8aan nu de trans;orma h:. van de 12-naarde N)Jasis bek~ ken.Tëven5 zullen we aantonen, dat de roestanden frr~)57.PNp) wel hepaa1dc paritei~ hehhen. 1fe 8aan uit van de relatie (3.16') tussen ru1mteva5ie en lïchaamsvaste atomaire e~enfunktle5:

ÎJ)I'f~>~ =~dJ~~; (~,e,oJ~ f.;~N) >,. (,_zg) ;J

lferder maken we. ~eb rvdnan het verband tu:>sen de ruim'tëra~tt rota tionele.. ets edunKfits/ N NH)

= YNHH ( e, ~)en ~jnu-d)-Sun ktieS

LJ. 3o)

1hteindeljk kan dan wordenafseleïd ( zieappendix A):

- J-H) I

jdJNPNp) = ~ ( -!) \ (PN~z,J-N;)Nc)ït/tiJN~:t' Pr1P > :l:t•

.De inv11rse rela1e Îuïdt (zie appendix A): A

,J- H~ I

lci)1'1~:)'Mp)= (-t) ~ f (PM;t,J-H;x,/No) * /~JNPNp) (3.3'.)

nu kunnen W( de tmns&ormaiïe a} leiden van den- naar de N-ba~i5 en hew~zen, da~ de toestctnden j;r ~~S2 PHp) welbepaalde parifeit hebhen.

- ~0-

We bek~ ken d~ msle Îïneaire combinatie van v2l. ( 3.:Z.'f) vcc.r IT.= tI. .De1 t de parrteil IT.=+ 1 i.s .

vclat uil het transformeren van de rechterleden naar de IJ-)NPNr>- 6a5i.S:

Gnren de sy mme1rierelatie: (P-.n J n I Ne): (-t {t J-N( p Jl I -JljNo) z.gn in de toe; tanden.. )rr~J .R:o P Np) alleen N-waarden verhJenWcord~d die voldoen aan~ ( -1) Pr J·N= (-r/+)+~ :+1. Aan3ezien in deN- basi.s geldt: IT= (-r)N kvm! voer S2=o uitsÎviknd rr=(-1/t;Jin aan­merking.

We hebben daarmee tevens cle trun.stcrmo.iïe a.t0~/eid die ddl· ba5iJ uildrukt in de N- ba5 b :

J-n N jTTd)llPNp)= fi~< (-t) ~ (P .. 'lJ-.U/Nc)jciJNPMp) met (-t):7t ("3.J~

(.Jl>o) PJ /dJl1:oPNp): (-I);J~ (PoJo/Nc)1t/c.(JNPNp)met(-t)~rr:(-r) t (:us)

IJ.)NPNp):: (Po Jo jNc) ~ (-1 /1rr /etJM~z•:: 0 PNp > +

+ i>o { (Pfl J-121No)t (-t)J-J1jd)M;l, ::.11 PNp) t

+ (P-J1Ji1)Nc)i\ (.-t)Jt-n/c~.JM~z·=-JlPNp)J= : (·l);!(PoJojNc) /dJ.Sl:o PHp 11:= (-t) N> +

';J -Jl ,. N tv'îi (-r; :t(PJlT-J1!Nc)i+/d.JJlPNpi!:(·t)) (3.36) S1. )0 cl

waarin de e.er.ste term alleen meedoei a.ls P+J+N even is .

.De over8ang.sma trix van de ..Q-naar df N· bas i.:, heeH dan de 3edaanlt

- '3 1-

ON.11.: 5 (·r/ (PoJcjNo) t:U1) l fi.* l-1)J-J1* (PJ1J-J1/Nc) (J1>o)

Jn par. 11[. 2. J hebhen we md.s het principe 3eschttjtvan de gekoppelde ka­nalen methode. Zowel in de N-a IJ in de Sl-re.presenta tie k ~3eo we een 8ekopp~/d stel ;.el van. het type ('3.& )

1 mtl dien ver.:ltande dat wH ons beperken tot de He-grGndtoestand (f at,Ht.

.::0 ). Verder be~chouwcn wy alleen overgangen binnen de 2p5'3p-conlisuratit. van ne, dus 6eper king tot dl :: 2pi lïgt Voer de hand. Ook met .betrekking tot de ne *'!.He interactie i,:, claf benaderingen niet te ontkomm.~ hanteren zoals &ex.egd de mede/potentiaalme­thode van Henneeart en Na.5nau (z.ie hfd!lLlfJ, waarbg vervndershld wordt, dat a/Iem.

het ~p~valentie-eiekTron en her :zp-ga+ van ne actîe5 z.9n.

III. 6. 2 n-repre5enta1ie : ~e koeeelde ver~elj kïn3en

~ (R) Ontwikkelen wj de ~o~funktit 'fL~ R) naar d~ SL-bct~i!> volsen~ tp = f 11 I i>~ 11 > = / TTd)JLPMp )J dan gaai vanwege het gesteld~ in de para~raSen 11Is.1 en JJI.s-. 2 verael~ kin8 ( ~.ó')over in de dekoppeldt kanalenve~elgk inj in den- ba~ Ij;.

d1 ft01J fk1 _ f'CPr~)+~(l+'J-·zn1.JF.(R)-rl[.n-J'a1c- (") -d ff1 t '1 R1. .t -i.' ll' 1• 'L (;,.36')

1 1 .uL { <!;J' ] met k.e = ~' E- E el

efl ae 11Jl·dïobatiHhe u kopp<hn85matriX ..

J1-dïab 1ji' ( FC): - tfrr~ (~/ft J_ t P:.J+ /i') t 1!t <1/ 1fr /1') (:3. "3g)

,D~ 11 omchte''rctatïe koppehn85matrix, die onbtaat door de btjchr~ ving in het meedraaienck

assen:;tels~L koppelt kanalen met verschillenden: - '32.-

<-i I P.JR~P.J+ lt >: d.t].41'J' dpp• drtpHp di!Tt' * (J.40)

i4 d , I { ~: f P(Pr1)-.HJTr11

[J(Jt1)-JLSl']1

/1 min(Sl,n'J>o /J1-Jl ,1 ~1

1~ fP(Pr!)J{Jtl)rh min(.Sl,J1')::.0

,De Jekvppelde krAnalenve~jeljjk in8 ( :5.3& )iJ deels on~koppe/d naar ~en n:. Ycar f1 gekoppelde kanalen heeH z.~· :tN aplo~5ingen. ~anjezien de dclf.tunktie 1fLG ~) ( v~I.(J.'J)) in dt oor-5prm8 red u her meet zy n, moet 8elden;

~ (c):O 1

Î= 1,2 •... , M

Uit dezQ. 2 Mop Îcs)inaen kan men M mathemaiïsche opio5Singen bepakn, die hieraan voldoen. lfervoi3en.s gaan we ckze Mop lossinSen zo dan~ Îïneair combineren tot t,Ysische optoss1njen1"

dat z~ in eer5te instantie het~ewemte ver.strooiingJgedrag verfanen1d.w.z. een inlopendedolt in één kanaal m uitlcp~nde. (oS wel verstfooi Je) golven in alle (open) kanalen, waar bH op~n kanalen die kanalen zyn. waarvoor aeldt ~ k~ > o en g~sloten kanalen dïe met k~ < o Jht al­le.s kGmt Iateraan boCJ, nl. in par.JII.ó'.

Yóor 3rcte R i~ V1 =Om zyn de para3raten JJI.~.I en .III. 4.2 vani:oepa55ing. JndeN·ba~islmet V::~ ~~rrJ lJ), /J>=I1T<A]NPMp),kunnmwede8ekopp{!IJe kanalerwe~e.J~kmg c~J]alj vol3t noteren (.R>lSao):

d 1 ~ un ç k~ _ NtN+tJ J p; (!1) _ ,. d lfl. + t 'J fF' d - 0 ( :5.1~ l)

,Deze ve~el~k;n3en zHn Gntkop~IJ en anabti~ch oplo:;bcwr. De oplossinsen van "3l.(:s.~z)zgn

' ''l. h- ' '/:. t ~ (R):: AJ kj J1 tl (~11)+ Bd kJ r1 hN (kj~) (~.4J)

met h: en h~ 5 ferischt han heltunkbej van respek tieveWk de eerste en tweede soort. Het aS) mp toti~ch ~ed rag van deze han keiJun kt ie.J i 5 : *)

.± + t ti (ki R-Nd Tr/z.) hN(~ff)R .. ~~k-ffe . (-,.4~)

d

)Ju5 de oplossinden ~(11) in dt N-ba.s!Jaedra3en zicha~mptotisch al!l:

~.-'/2. -i (kjlf-NJ TTh) -'/z ti(kj11-N{"/l.) ~ (11) Ft ... oo ,. Rd ~- e. -BJ kJ e (:5.45)

Jus in opm kanalen ab een in lepende golf (mgatieve e~ponent) of als een vitlopendt 3ol~ ( pojttieV( exponent} ( lfoc;r jesloten kanalen kiexen w~· k ~ositie.f [ma~ in air ( k: H K.)

en hebben we. te maken mei op lepende en atlo~nde e#machten ). -we schr~·vm daarom in het algernew

F un- A· r. t11J- B- o- tR) d - d d d d

*J VGcr deze steri~che hankelSvnk~itS bestaQI1 meerckre. conven{ie~ (zie~8Y· Mes!' >p.4á'9)

1.Jj jebruiken dïe,waarb~ het verband t_vssen sfe-rische hankelfunktie.5 h; ert .

sterische bes~ I- en neumann;unktie.S,J.t en n1 , 3eseven wordt door:

h ~ ( r) = J~ ( J) ! i nl ( J)

__ . J n etn adïabati~che. repre;entah~l zoal~ Henmeurt ~~pe.bru1kt ( Hen&:z),

z3n de baji~funHie~ ~i~entvn hh!.s van de. elektronen hami/toniaan H . 1fe noteren de elektrcn1~che bct!liJJunkhe; al;; /ctil) met .l,.L I M.J~·I deprejectievan het totale elektre­

nen impubmcmmt J op de infcrnucleairr Q5, HierbH i5 jd.l1) de moleculaire e~entoe.JtanJ ~el S2 J d ~-~ d i~soc~ecrt naar de aiomaire e~entoestand /a>: / d nei Ht >, Deze bruis­

JunKties z~n een .funklïe van de kernafstandRen veldoen aan;

.De 6a~iS~unktie5 /J.J1) kunnen ontwikkeld werden naareen set atomaire,ba5i5gunKtie.5, d fe

in ons 8eval alleen te onrkr5cheiden zan naar ne-toestand, omdat ~e in degrandJoe~tancL blj·H (JH~o du))=) 11\)l-l\)n~) Aan8exien de toe5ianden jdSl)eiJenfunktie.sz~nvan Hmol1 zal~rindezereprmntafieJeen koppeL·OJ cptreden. docr de ne *~He- interactiepotentiaal v'i-. Koppel;ng wordt in dezerep re­

~entah ~-ercorzaak} door de radiële k;netisthe emrgïe-operator ""Ç en docr de rotatie-ope­

ra. ter ~ot .

Als kanaaltun Klie5 nemen we tot51anden I ciSI..Pryp) ana/ood a on ( '-11)

en l~t:z8), met de atomaire ei~enfun ktie.s vervangen doc.r moleculaire ei8enhnkhes.

JiL.J.:3 Gekoppelde ver3el9kin3m

Ve onh·ihkclen nu de golffun khe 1)1 (1, it) vol3ens 'ji= f Fi ~ff) I i), I i): !nJ.UPHr>· lotpassin3 van desekoppelde kanalenmethode reJulteert in:

\ - 35-

d1~(f0 } 1. P(Prd-Jll.J adiab dft1 + L ki- Rt ~Ut)-; t ~i' (ft)~· (fl)

ad lab De koppclïn8smatrix l/ii• L fi) wordt Je2even door

adiub_ I . ., • I .... ~ :t ·•

~i' lRL -t1fit.(t/~J-tf_J+It )-0{t(l}J-J:t' )t)- (J.49)

- z < L/ftr /i'> d"rr· ör1pf1p Ó.nn· ~ - < LJ't/ i')~P'~pN,; 4n•

~ herkennen in dm. kopp~lin3smatriX een rotaiiekcppeling~matriX en een radiële ~oppelingsmat;x. He nnec~Art verwaarlao5t 1n derotatiekoppel;ngsma.trix de term (J~ ;;. )/l)J-11 1 (zie va/- L~u3)) i ~eze iHan de orde ~1. .Teven.~ wordt door hem de term < df,~d i') in de raJiële kcppelmgsma­hix verwaarlcc~d.

,lJe rcta~ie koppe1'n$ koprelt toe5tanden, waarvcm het quanTumgetal..R met een eenhed verschiJf

(z1e par.!lT.6.2) (zie Beg 83, p. 6J}Henmcart verwaarlcc~t de:a KcppehnJ ( Henq.z). De waarde van Sl verandert dan niet -t9den~ een bot~ing, du) deze. bmadering i:, Jl' -behoudend. (De e.xperi­mtn~eel waargenomen zp3 -zp, ove~anaen bg n/~He zou dm Jan bgv. niet moge~k zgrv C De~ &3, p. 61 J). De radïële koppelïnJ5 mairix kappe Jt allren toe5tanden met hetzelfde .f2- ~ uan­tumge1aJ.

1fe maken kort eni~e opmerkm~en over de beide alternatieven voGr kleine 11,

nl.de.adiubatr)che en de ~J'1-dïa6atische''repr~Jeniatie .. zgm~1en bä de .berekening van werk­tam~ docnnedes (zie par.Iif.cY) hetzelfde rtsuHaar op leveren ,mil.~ men bg beide alle toe5ianden meeneemt. (;Oe moieculaire ei8~nk5tanden kunnen immers werden ui~edrukt rn a-tomaire.

ergentce~tanden en omgekeerd) .1fanmer men echter in ttn praktische berekening zich beperki tot; een deelruimte van de respec tïeve 2~-6a5isruim1s 1Wordt dat andeli .13ernstein ( l3~qgi p. 43f-43&) merk~ op, dat bg een twee-Kanaalsherekenin~ de adiabatï.sch: reprejentai;e., nauwhur~erx.al x~n. BB mm-kanaalsberekenin~en iJ dat niet noodxakel~k meer waar èn 3aan de veerderen van de "..!'1-dïabatiHhe" represent()tie steed5 zwaardertellen, nl. het feit dat men 8_een radiele koppehngs matriXelementen hceH te buekenen en het feil, dai de. ''J1-d;ubo.i;",he'' basi~~unktie~ o.utomatïHh di55ociê"ren naar aiomaïre to~stan den.

liL U' 5-mo.trix. Rs]mptotbche randvccrwaarde .. Door.5nedes.

JII .á'. i 5-mai:rix

,.Oe eerderge.ne<mde. M ona1hankelftke oplossinJen van ~e 8ekoppelcle kanalen·.

vnse~k ing ('3 .. 3(f) WC~~fn ~~~ Kolvm~e~ In een matriXJe~ roepee~d, J'e Cf )cssîngsrn~iriX f(Fn. JJexematfiX t~ n1et eendu,Ji& sedeftnleerd,wantrechbvermenïJvuldigmg vc;n [(Fi) meT een con51antematri.'( InerT weereen equïvalen~ opbsing6matriX'. (.Dit i5 in feite hetvormert van nituwe lintaire combinatie.s uit de M basisoplossingen).

loer R ~ 15' Q0 bcrat elke. kolc:nvecton·an f UO zowel inlcpmde ·al_, uitlopende Jolven (zie v8/.(,.46)).

Wës<.hrHYm fUOdaaromab

(J.SG)

met á en Q con.)tante ma:frice5.De dia8onole matria.s I (f0en Q (lî] beraHen dv. in- en uit­lcrtnde8clven. Een speciale op/o5sïngsmatrix f (Ft) krgsi men do,r vJI· (3.sa) recht:, te vermen~­v~;ldisen m~t ~-~dus:

+ urL r tlï) . .1. - o ons = : , = = (;,.51)

H i ertii ts ! d umhe ;.J; ma 1 nX De ma l:r;x 5 = 13 A·';, d • zo~en aamdes l: rooi ma friX. Een oon~/ kclomme~ van f (11) beschryH een ver:stro:ii~.s;rcc.e5 me. een in lepende golf in eên kanact I muitlopende dolven in alle andere kanalen.( In 3es/afen kanalen dlopende e-machfen door cnze.ktuze van pos i tiet ima8 inaire k vcor deze kanalen). Vän de (over~e) kolommen, waar­in de I-oplo5JinA zich bevindt in een 3esloten kanaal, ij de oplo~sing ~5bch niet bruikbaar. Mtt behulp van de. bekmde a~mptotische I- en 0-cplo55ingen in de N-reprejentatie kun­nen we doJ uit de numerieke cplossfnden. in de Sl-reproenta1ie ~en uitdrukking voer de strooi ma 1riX 5 bepalen.Ve komen hiercp ncä uit&ebreid terug in par~ raa.f .III. 9 over h!t 8ekoppelde kanal~nprc8rarnmo.. ,.

.De ver~hooiin~~ampli'tude tbo ( R Jin val. (il.fJ staat in direct verband.

met de strocimo.iriX 5. Ve -z:ullen dit verband nu d leïdtn. I3e.Jchcuwen wt daartoe eerv . =

on ~es leerde I inlopwde, vlakke golf y(l\ ~ R) ,die em invallend n/~ a. toom be5chrjH in de.

/d(Ja. MJ,, >-toestand. ( 1/e z.ouden nettuur I~ k in aan:Jiuitin8 .bj par. TII.td ook kunnen uit3aan van j a'aA.JaA NJaA ), zonder datdit ver5chil maak~ veer het v~rvo~). Ontwi kke 1ing van de vlak-. k~ gei~ nac.r parfiëleJG lvm (JN .. ttrvJ ?.n koppdïnj van de 1mpubmomcnHoe5tandenjN'"MN. ( ff) en / cio.)c. M.J,) 1ot I do. JaN_. PNP) leidt uiteinde!~ k iot het re.J uito.a.t (zie l3ej &J, upp,ndiX D):

c iku.· ff w(l (~ fi):: e I ""JcJf;ç: > ::: (:3.sz) I· R .. ao

lJe. h~b~n du5 de inlcpende vlakke acli ontwikkeld naar inlopende en uitlopende bo~oiven ( lo.~ff) en Oa~R) ) .1Jë voeren nu in_ dit verband de sirocima.lriX 5 in aan de hand van devc~ende ave~~i~en: - al!) de interac1ie in~e~chakeld werd t, kan dit om redmen van causaliteit alleen sevclj-hebbel1)

IICGf de coëfticiê.nt van de uitlepende solt. -zonder interactie:,(:, Je. ~-matriX sel~k aan Je etnheidSmatrix ~.

fr "' ya.cr, i:t) ~ L . jdbJbN1PNP>?- eNK f jN" (k(l)f R·tt:lOPNr,<:~h]bNb NctN~11 ' a.Na

* t t ~ [ Óba IbtR)- 56a ObUO] (~.5:!!)

1fe willen hetverband weten tus~n de ver.;trcoiïng:,ampÎitude fba CR) en de strooimatriX ~. 1Je dienen dan (:3.53) tt ver8el~Ken met (.j.4) . .D~artoe ontkoppelen ~ede k:,tand /d!,]bNbPtip) weer in de a1omo.ire toestand /Jh)b M;17 ) én beiJunk tie:, j/NhNMb (. R) vc~ens:

,#

- 3&-

(3.56)

].[.6'. 3 5_ymme1rit. vandeS-matrix

Tct sic1 vo.n deze pora3 ra(lt zullen we nu aanionen dat de strooimatriX ~ svmmeirïsch i5. Daorhe gacm we uJ van M gekoppelde radiële d iHerentiacdver~el~ k;ngerv

(3.j<f)J die we na tran:J:formatie naur deN-representatie weer jchrgven ab;

uit M mathemalische oplossingen van d1! shhel camtrutren we nieuwe f;maire combï"ncJie.S

(zie par.J1T.(9.1) dit veldom aan de rund veerwaarden:

t~(o):o t~ UO ~ d ~ Ii t~)- Oi Lff)Sy

(3_sa)

1 -'/::. -,+i{kii1-N(1f/:t]

me-c-Ii,Oi::k~ e. . 1-l~erin nummert de indcxj de ba~i5cpbsinge~ fj en de 1ndex i Je compcnen~n van em ba5i~­oplcssin~ fj. :'e hebben du:, veer elke ba;iloplo~)lnS fj een inlopende 3olf in efn kanaal H1..

wtlvpende 8oh'ell in alle kanalen. . Yer~~lükinj (:3.öt}r'ccrde nieuwe basisopb~ïn&en f. wordtdan in matrixvorm (met f"etn d u c-~ I , . t) d

ia3<ma e ma:riX ki :

t3.59)

· me1 a IJ randvoGrwaarden: f (o) = o f (Fr) R:'<lO J (Fr) - Q (Fl) ~

- 39·

Lle matrix ~-f[.s inons3eval.s_yrnrnelriJth; ( ~-b1] ~ ( ]-fJ (omdat de interac.1ie

r~è'tl i.; en de basl5toe5tandm in e55entie reè"el zsn (veräel~k(Lan Sc?)). E'r~eldt duj;

Tp N r. r r T l .. I" T 1 T p f t - t ! = ! l Y- h J ± - ! l v.- ~ J ! = o (3. 6o) -= --- ------

,.Door de idenl,tei~ (3.6c) parfiüel te inte3 rerm tu:i~en nul en oneind~ en sebrud~ te ma­

ken van de randv,~rwaarden bg vsl. (:3.5"9) kan men a.tleiden, dat~ een SJmmetrische mo.trixis,d.w.z. ST:: 5.

,De s_ymmetrievan ~ .be1e kent tJ5 isch, dai de~ lv~ die van het [de naar het J d( kanaal

:er.J~rooid w_~rdt 1 3elB kis aan die, we1kt in te8m8e.5ielde richtm~ verJt rooid wordl-.,Dit tmpli~eerT t~dc.mketrbaarheid op miCTOjtopisch nivealJ. (Op het macrcJcopî;ch niveau. van de dcor5nede.s Qba. ( 3.56) 3eett dit aanleid mg tot de bekende ''detai led balancing'' 1Jitdrukkin8, zie. 13e3 0'.3) appendiX A).

Aanjexien 1:!- ~ z. ook een hermitische matrix i.s ( ( y-fJ t:: ~-r ) I ~eldt:

ftf'- f'+f = f\H'Jf- (lv-d f :o CJ.bi) - - - - -

u,l de ~el dis heid van dut idenliteit is analoog oS te leiden, dat~ em unitaire matriX

is ( ~ ~t = ~ ) • ~si ;eh bete kent dit, dat de hial~ in komende :fl u.x 8e l~ kiS aan. de toiale vil3aande Jlux.

Dl.g Bes<hrijvmg van het a~ koppelde kanalenproaramma •

NEON/ COUPLEOC HANNELS

· Jn den pa rag raaf zetten we. uiteen, hoe het ~ekoppelde kanalen proJramma werH. Gpla~5;ng van de s thrëdïnserversel~ kïn~ (;,.~) met a~mptotïsche randvoorwaarde t:u~) se beurt in rvwwes drie stappen:

~ Allerterst worden de se koppelde ver8el~ kin~ en (J.:51Y Jin dt rl-representatie opselo~t door numerieke intesràtid·u!lscn de radïële punkn ft~ en Fr,(> f?5l ( Jn het prc8ramma: FrSTAilT en ft COUP~) ..

-40-

f{!l b~vindt z:ith er~ens in het verbedengebied. !3~ Re. hovJt d~ ·echte" koppeLng (<i !Yr !i'>.l+l} op van belan~ ~t !Hn. De cplcssin3svectmn bH f?c. wcrdengelran;,tcrmecrd na~r Je N-repre:;entQtJe.

L)e numerieke inh~rc.1ie nüemen we linblntearatie. ~ u

!;] Vänuit het aJjrnpto·h,chl! aGnpm~inasp~nt f1m (> R'c.) (m hetpro3r~mmo.: frNATcH), wa.ar ~ ~n Gj b~kend zJnJ werden deer integratie tot fi', in de N-representatïe. de 0ploss1nsen ~en Cd (3. 4 6) bereh n~ vun dt anlkcppelde verse~ k;n8en L~- ~ z).]Jï t is de ~n. rechts intesra tie.

S1 Ïenj l oHt wc,rden b~ R, linker-en rechiercpÎc5sinxen aan elkaargeknocphn 8eschrev~n in eer1.

vorm .I cv~ reen KomJ1'8 v~!. (3.5"1 ),met em tnlcptnde8G lf tn het m3anss kanaal a en tHtlopende sciven in de Uttganss hanalen b (en a). f·liennt is Je 5hooimairiX met elemmtm Sba te ~rekellfn.

1-lcl zou in w~:nn voldeende zH n cm de je kcpp!lde radïëll diJtermtiaalve~e~kïnaert indtS2· ba5ij

te in1~reren tct fi'm en, na ·tran.s}ormatie van de opb~ingsvektoren naar de Nthasïs,rechtstreeb aan h si uitenbEde a~~ptotî:iche opiossin~en 1j en Cd. Stap ~-i~ in8elast,omdat mt~~tltie van de >cntkop~IJe vtrje~ kmse~.'nde N-b_am veel mtn~er rekentsd verat dan de. in1i8r;:t,t Ytir1

dt e91JtValente sekcpp~lde ve'(jel~ krn8tn lll de TI-bas iS. -

schreven:

" F un= v un FlfO .:. : = l ~. 6z)

Vanwt8e. hel tei1 dat hf1: totale impu~moment Pen de parileit Tt bew~ingsconstanten z~n) valt (:3;6~ 7 uiteen în ~eel5te15els voor aJzondtrl~ke ~i! combinalitS,die naelkaaropgelliJt kunnm wordm.(De afzonder~k ~rekende. werk::came doorsmd~ z9 n curnulaiieJ).

.13B M kanalen ji) = )TEdJ.UPNp) bestaan er M mathema~ischt oplosJin&en)elk met M ccm· pene~ ten~ Ut),> .. , FN (fi:) 'waarvoer jeldt ~ Ei (o): o. Zoals seze8d z~n .dft.e op h vatten al.s M oplossmssvectoren fk un met kanaalcomponenten ~k uo .De cplo5sinJSmatriX f

-41-

in (;,.G2) heett Qj_, ke kaiom dt opios)inssvector fk. Jn de pr"ktg k kr~~en we M ((~uhcrt,oncJhankel~ kt oplos.iin8svectoren fk > doorelkt fk in kanru1l k acm h xetten ( du> bv. ~ ~k (~)o:o; ~k ( 115 th]:: K. ~k met M. Wl willekeur~e cansfante en h de,

stapqrccth ) . (.De kcppe lmgen milken, da 1 we Jan ook vun.n ui verschillende cpioss ingert k~~en in andere kanalen.;Dït wurdtgelllu~treerd ;n fï8uur 3. j).

Rs ~Ft

F;~ uur :3. :s

Schttsma1i8 b~tld van het aansroeiel1 VC.In de opÎcssinaen

~k·

,De opks;,mgs vectoren fk van de ~ekcppeldt ve~el~ km gen in de Sl.-ba.sis wardenintwet radïële pun­ten 11,-~ff en ffc. sehan.)}orm~erd naar de N-basïs. Jn httprc8ramma.worden z~ opsesiagen in

twee-dïmen~ionale arr~.s FliN en FfrEC. _

V~ mt.rken op, dat hei vaak onmo~el~k b om.de numerieke int~ ra tie te starten in de ocrsprcng,am­dat daar de poteniiaal Vr l11) skrk repulsief î:;, te~w~lïn Trct sowie5o em fri. -term aanwez8 Î5.

We nebben dvHccr R~o vaak sterk afnemende oplossin~en. Echter, de inieJratie van de 8ekcp­pelde versel~kin~m Vindt plaah van l;nb naar rechT~ J du) de cplo55in8en in de verschillende. locaal se.sloten Kanalen zullen sterk aan a roeien. De ster hl: 8 rceiende op Îcssing zal de oplcs­::;ingen in de cv-er~e kanalen 8aan everhemen. fr ·treedt numerieke. lineaire a~hankel~kheid op. Cm dit teaen te gaan 1maefmen nieuwe, numeriek onafhanh~keJ lineaire combinaiies uit de oplo.s5ingen vormen. ()Jitgehcurt in NEONjcouPLEDcHANNHS met de stabïlï;atie proc.edure l3 ETEfl :3). Hoe dichter men 115 b 9 de oorsprws kiest, hoe vaker men meeT 5tabilïseren in het klassiek en (het i-unneldJect ten spgt) ook ~uontummechanisch verboden sehied.

rDe ne*~He (en nl~ne)poteniiaalcurven V6(ff)en VrrOï)waaroverw~ beschikhn,zMn. Gven~ens pas 3e3even vo6r Ft~ 4 .5" a0 .1-let pro hleem datdit ~oms oplever f Wurclt besproken in.

hoof;htuk ~. ,.De numerieke iniewabe tussen 115 en fT, deschiedt m.hv. een Jemodi]iceerde numerov-meiho­d~. ;o it i:l een bepaal~_e methode om de (~e koppelde( dï_Hmntia~ver~el~ Kingen (~.33) te d1.; kreti~ren, waarh~ de locale atbreekfout evenred13 t~ met h ( h: staparooHt van de numerieke inte~rcttie, zie hfd5l R ).

Jn li', wordtdt Koppelinä uitge5chakeld.Yoor R~l5a0 i~ dt"echt;koppelin8Yr momenieelnv/ .

.De vraag .blB Hno~ epen, d het niet btkri.J om hïerrm (diagcnalt) Yanderwaa),:,potentic.o.l

mettemmen m de beschr~vin$.

~"De rechh ;nte~ratie vanvit !Tm se.Jchiedt niet doGr intesratie van compÎexe hankelacht~e op/os­sin3en IJ en Oei, m~.tc.rdo~r integrate van reële bessel-en ntumcmnachtïge oplossingen ~Jen ~J·

_Deze worden in Rm en R'm-h berekend m.b.v. rEcurrente betrekkingen .De rtcurrente betreK· kïng veer de sfe riHhe neumann tunkhes wcrdt opge~iarr bg lag_e orde, die veer de .sierische

be.sselfunkties bB hoae orde.,Ditom te vermEden dat door de fouie wjjze van opstarTen en. numtrieke onno.uwkeur~ hfden b j~em~nJde cp Îc55in8en van het andere-brede ne~ inj hebben by de verdere recursie toe h nemtn tot srote fouten. (Jn ge~Îoten kamtien ki~zen we als .starfwaarden op lop~nde en aflopende e-machten (zie ~dl JY1 par. IY.'fl

1 • , 1 1

1. d1 n(RJ f z N·tN·HJ7. F.. J .ne ontkvpptlae ditJerentiaa verae EKin8en w + ~-~J J lR = 0 worden voor elk kanaalJ atzonderl]k ~eïnteäreerd 'w'an flm tot A'c-.1R m.b.v. de éénd;mertSicnaie8emo­d;J;ceerde n umercv-methode.

:· wg bî5Chikken op heT o~enblik nitt overwaarden van Vr voor ft~ IS ao en.r;tellen daar Yr= 0. Ge·

, vc~ i~ da~ in de cptn ~ ancden de beml-en neumannachf~e oplossingen de sferische bessel-en neumann:!unkties zeH z#n (op een }actor 11 na}De rech1s intearatie kan dan vervallen. E'chier, in het se vaL dat men een cd;agcnale) Vanderwaals poientiaal muneeml8e1dt dit niet m.eu. ( N.G ~ veer 3~5/oten kanalm i5 dit ook niet hetaevai})Je bes~l-~n neumannaclJ.· ~e oplo5s inaen, f 13 en fN 1 in de radiële punien R, -M~ en Fr, warden opae5lagen in i·di­

mensicnale arrays. ( f 0 (l?,·óR')~ FR' Cl\~ ; [ 13 (R', 1~ FIHWE'C; fN ( ffc.-AIT)..;. FlfSUN; fN ( R'c)

-> FRSI?EC). l Oe naar buiten toe op lopende op lo.ssin3en in de ~ejioten kanalen worden onder­sebracht in het arra,y fN, de a51openJe in f~).

Kopp~lin8 van de oplo~sin~enJ verkresen uit linK5iniesratie,aan die) verkreden uit rechhïnte­~ raiïeJ 3esc.hïedt door de. op los~ings matrix f (uit linbintesratie) h. .schrM·ven ab

ftFr):: f13 ti1J~1 + f~U1J~i

-~7>-

(3.6~)

Hierin zgn fl3 en IN de als dïagonaalmatric€5 ses(hrever) oplo5.Sinaen fl3 en fN (uit rechb­integ ra tie).

iöepctssing VCln deze8e/~khtict vcore!emwt yin de ro.dïële punten R,-llR' en Fr, levert twee

tnhomogene~hneaireve'del~kin8en mettweeonbekenden ... waaruit (Aj)ij en (l3i)y bepaald kunnen worden.

Echter, we moeten de 5-matrix bere kernn ui}

en h(b bm ~aarom behoeHe aan hanke lachtîge op iossingen ~ tFtJ èn od on i.p.v. bess~d·en neumann­

achti8e oplos5ingen F13J (R) en 'Nj un. Uït duel a tie hf (~ 1=J.t (J} ± i r1.( (J) l par.J1I.6. 3) vc~t echter vcvrdt opm kanalen:

C•

. ~ = (F13)i -iLFNlJ ; Oj= t~)i +i (~)i en vccr~e.51oten kanalen:

(:5.6s)

r.- ( F.l)· . Q. = (F:I3). a- "4 , J a (J.66J

Combinatie van (:5.50) en (3.6S) en (3.66) levert voor cpw kanalen:

(J.6"f)

en veer ~eslo1en kana.lenJ':

Ten overvloede w~zen wt erop, dat RttlR natuur!~ kin het ontkoppeldegebled moet iisgen.Jm­mtrs,om de. opiossin8en, verkregtn uit links-en rechh inteara1ie 1 aan elkaar ie Kunnen kno­

ptn in R',-llR" m R', moet mm in SL-en N-ba~is in prinCipe dczel}de vergel~kïngen in teare­ren en wel de ontkoppelde .13 M onze berekeningen bete kent dit dat 11,-11 R ~ 15" a0 .

tenmander is ~eïllustrterd in Sïguur 3.4.

Ïot ~dot vermelden We 1 dat men door cd.wïkKelin$ van molecuÎaire elektrontoe5'icmden naûr .atomo.ire toestan.den er een indruk van bn kr~gen, Wtlh neenteestemden men moefmee~ nemen als men de \Nerb:ame docr.5nede. veer een averaang d.L ~dj wd bere kenen. Behalve de. toe~tanden ~L en dj rnoet mtl1 dan noA een paar andere meenemen. Bere kenînge~ in een '' J1-diabatische. ''-en een ad ïaba tische repre~nta tit levertn alleen ex a ct dezelfde re~ulta­ten Gp1 cdj men bg beide alk ba5i.Stae.;tcwden meeneemt( zie t3ertg> p.t.f'l't- 439 ).

f\:o R5 Wc"~lf f?c Rm R .. oo

ppbsïngeno Sl-repre~nlo. tie I

Csekoppelde ver~ely ~ïngen J i V1 dïa~onacd I Vr: o

. ---"' -' 'I ..

Unbinte8ra he

FiJUUr 3.4 : 5chet.smatï8 beeld van het înte~ratieprccej in zlt1 mee.st a~erm.~ ne vorm (denk bH diagenale Yr bv. aan een Yanderwaab poten'l:ïaal; ba cns iJ het momenteel zo) dat vcr:r R~ IS'Qo seldt ~ Vz-::0) .

.m.ro Analo8ie i:u~sen ne*~ He verstrooii'JBen de verjtrooiinJ van

e~n deei~Jt aan un starre rotator

Het in J;t hoofd!ltvk bespreken prGhleem van dt ventrooiing van ne~atomm aan eengrcndtoeJtandhehuma.toom iJ 3eheel analooa aan de ver.strooiing van een deeltJe , aan een axiaal S)lmmctri5che starre rotoJor (zie 5chu t~' hfd,;t. ~)" ,D~ hamdtoniaan vcc,r deze starre rotator Îuïdt:

(-,.6g)

-7. 2 l ') l __,. met f?l: R,l. + R'J., waarbg li'1 en lf1 de compcnenTen van ha draaiimpu :)moment ff z&n

-LtS-

t.o.v.lïchoam5Va~k assen 1 en 2 .!4à ontbreken van ~n f?3-(.omponent t.o.v. de symme­~n·e-as 3 i5 de cans~~uentle van de onmodel~khe;J vocrun8edeJcrmeerde axiaal-s~m­metr~~he atoom kem om te roteren om zgn symmetrie-as(zie verder Schu 16' ). Het met 11'1 cornspenderend traasheïdsmoment is aangedJJiJ metJ.

;oe l;chaam:s vasie a5stn zgn t.o.v. een ruimteva :si: ass.enstebelsedefinieerd m.b.v. Eu Ier­

hoe ken J;, vi' en~. A Is we het deelije m€enemen in de besch~·ving, dan luidt dt ha miJ­toniaan voor het deeltje-rotator-Sjisteem:

met U de a.xiaal-s)mmetrïJche ini:ërattiepcientîaaJ tus5en deeltje en rotatcr,d;e atha~t van de Eulerhoekn vt en~ en de ruimTeva.Jte plaabcoö·rdïnaten x,, Xl.X3 en- spincompo­nenten 5, 1 52, s3 van het deeltJe.

)Je ~erm P2

/2m j.j de kïnef~~cht ene~ ie-apera~ar va_n het deeltJe t.o.v. de rata for. Jn ht} l;chcwmsvaste asStnstelsel IUJdt de totale hamritemaan:

{;,.tI)

met X 1',)~ )~ ,5,'1 s~ en s~ de deeltt~coördïnaten in he! lïchaamsvaste assen!Jtelj€/ ert V (x; ,x~ ,x~' s,', 5~) S~) de interactie potentiaal in ditstel~l. )Jovr het totak impulsmoment

j van het deeltje .en het tot~e draaii mp~/s~~rrunt R van de rota. tor te koppelen tot een ·totaal impul~mcm€nt 1 vc~em: 1 = R t j, kunnen we val. b-11) herschrJven tot~

rD~ laat~1e twee tern:en in (~-12) weerspie3elen de koppehng tussen de deel~e5bewe .... din~ en de bewe~ing van de rotator. )Je eu.ste term S eeH de "totale rotatie-enera îe '' wur vanhet h1ale s~steem, be.siaande uit deeltJe en rotator .

.

Ge hee I analoo8 he bbn Wj hetprob le_:.m van cle n/~ He ?erstrooiin~ aan8epakt. Kopjl(l;ng van het totale draaiimpubmoment N van bttde kernen en het to1ale impulsmoment ;f,va~d:.elektrornnwolk tote~n totaal impulsmoment PvoHhet helesJsfeemvo~ens; P: NtJ ,leidde toteen hamdtoniaanvoGrhettotales_ysteem in lichaarnsva5tecoör~ dïnate n (zie v3J. (~:z l1 (~.10) en (~-Zo)), die analoog i 5 aan cl ie van v81. (:3. 12) :

- 46-

(~. 13)

.m!t Tr de Kineti.)Cht emraie-vp-tmtcr Vctr de radiële kernbeweaing' H molde elektronenha­miltoni(Àan l bevo.Hend de interactie h)srn bei Je elekttonen welken]. Gok hier repre~n· tere~ dt laats~e twee termen van (J.1:31 d~ Kop~lïng tu>sen de elektrGnenbnv~ïng en Je rctatie bewe3 ing v~n beide kermn . .De eerste term in (:5.1"3) iJ in zekere zin Je rota­tïe-ern?Jie. van het totale S)steern, te we fen kernen en elektrenen. Ock de complete uiteenzettin~ over N·m 11·ha5iS en de tran5!ormatie daartussen heeJt zy·n ana/o3on in de context van dt dfeltJesverstrooiing aan een sto.rre rotator. Het 5tarre-rot~iGr-mode1 WGrdt vaak <3e brui~t in de ke~'sica om ~e verstroe fin~. van een nvtleon aan een roterende kern te b~schrgven.lJë z1en nu dus, dat d,t !orma1'isme OGk toepasboCiris op ver:;trooiingsprcblemen uit de atoCïm- en molecuulf)sica..

wë hebkn in dit hoof.l.5tuk een qucmtummechani.Jck bejchr~vtng se3even van ver.strooi· ings pn;cc,sen tu)s~n twee o. tomen . .Deze besc.hr~vi~j leidt toT een 5tel}€lge kappelde fadtële d ifterenticw.lvergeljkinaen,waarvan de cplossin&en moeTen voldoen aan btpaal­de as~mptotbctte rand voorwaarden. Uit de. op lo5Sin8en van dit stelsel kan de strooi­matrix ~ werden btpaald .ll;t deze laatste. kunnen werkzame daCirsmdes worden at· seleid,dïe direct te verse I~ ken zgn met het experiment en dat i.s hetuiteinde~ke doel.

If Të~ts voor ht 1 ~e kopptlde kanalenproramma. NEON /covPlEDC HA NNEL5

l

Er z jn uitvce.nge tt5b.bedacht, om er zeker van te z~n, dai ons aeliop~lde kanalen pre~ ram ma NEON/couPLEDCHANNELS .betrouw bare res uliaten leverlD it vcorcJ vanwe-

3e h~t 1e,tdo.t e..d:erne controle nauwe!~ k.s mo0e ~ k. iS. 1.fe kunnen on~e rtsulta.ten alleen ver­

jeijken met die van Henneeart ( Hen&.zJ. fc.hter, Henneeart 8ecH alleen werh.amt duor5nedis

v'vOr de 0Ytraan8en 2 r~ ... 2p~ en lp~_, zpS'. Bovendien werh t Henneeart met adiaba.ti~che basî:i­

toë~tanden ( ei~en-loe5landen van de elektrorun hamdtomaan. Hmol, zie par. JIJ. t) en wj met 11 Jl·diQbo.lbche" 6 ü)i.:itoe;tanden (a tamaire eigentoestanden, zie par.JJJ. 5). Ook in andere. op­

x iLhten w9 ken de berekeningen van Henmcart a& van die van ons. Het is daarcm zetr beland r~k om un 5tringenie mterm een trol~ uit te veeren.

Jn dit hoofd., tuk lil:hien we de door onsuitgeveerde interrn conirole toe. D~3rchl9n van ons. belooE iJ a15 vc18t: ten eerste tonm we aan, dat het numeriek oplos5en van de ontkoppelde J,J . .ferentiual ver~ el~ kmgen ( ;n de N-ba~îj) correct sesch ieclt; ( d ;l kan o.a. doc;r het_asympto~ hsche aanpa5~insspunt R'm h verschuiven) .Ïen twerde laten we t.ien, dat het oplossen van de aekoppelde verjeJ~kîn3m tin de S1.-bo5i")rwmeriek correct Verloepten dat op JUiSte W~Xe verband tu5sen btïde socrten oplo5sin3~n wcrdt gelegd. lDït kan o.a. door het verschuînn.. van 11, in een ~ebied. waar de "echte'' koppeLn~ tit$eschake/d is ).ïënsioHe maken we wau~ dal d~ se koppelde verjei~Kinjw zelf juist zjjn. ( Jn htt b~ zonder3aan we na dat de deer

cns sebruikte repre:Jentatic van de i nieractie VI e ~ui vulent i5 aan die. Yan Hennecar:O.

Jn hà verveld van dit hocfJ.ltuk zullen we hierop uitveerij ingaan. Omdat een aantal van

de UÎtdevoerde tt5t'l On5 beioog in meer dan een opzicht ondersteun! Wa~ het enig SZ 1n 5

bu.waarl~ k 5trw3 aan de hierboven 2eseven drîedelin~ vaJt ie hcuden.1fe verwachten, dat het des ondanks weîni~ moeile zal ko;1en de 3roie IW'l in het oog te behouden. ]n om.e notatie vcl3en we de vcor3aande hcofd.;,tukken.,De te.5iresultaien zelf zgn weer3egeven in append1x 13.

lferschuivinJ van de in te8ra tie~ renzen bi~ kt in een aantal opzichten Je beste te~t VCGr het pre~ ram ma. 1:~ vcrmen .Wë. z.u ilen d ihn het vervo~ în detail be5 pre ken.

JY. 2.1 Ver~chvivind van hefaanpassïngspunt Rm

\ë hebben tn par. ITI. 9 Bezien, dat de ontkoppelde ddterenfiaal y·erge1~ Ki~1en d~~ff) ~ f k~- Nt ~t" 1 )] '1 (ffL: o (vj/.(:3.41.)) voer elk kanaall a}zonder/~k van uit

R'm numeriekseïnhareerd werden tot het radïële koppelpunt F?,-t:JR. . · lferschuivina van het (a5ymptotische)aanpassing~punt F?m ma8 secn invlo~:d hehben op de be~ reKmdt werbame dcor5mdes. Jmmer:s) zolan~ ab Yz=oJ mag het geen verschil maken af de

oplossingen van ..bovenstaande liicatti-l3e.5sel verge~King (d.w.z. sterische be5s~l-en neumann­junk~ie~) rechhtreeb werden ~erekmd m.b.v.een recurrente beirehh;ng, dan wel door inTegratlt zgn verhe&en vit eerder berekende startwaard en. Ook voorgesloten Kanalen vcrmt dit een. co n1role op het bere kmtn van een ''uitlopmde '' han ke/acht;ge oplo55in8 van i mag in air arc1 u­ment ~ un die ~ia zgn as)mptofijche vorm L afl(jp~nde e-macht) wordt 8es1arT in frm. (.De eind Uitkernsten van het prc3ramma. zjn ondhan ke1jk van de" ;nlopende '' basij­

oplo:J5in$ in 8e~ioten kaneden. 1Jë Kcmen hie~Gp teruj in par. 1!.1].

l'av. ver.schuiving tj du;; in teii:e een zeersinn3enie con i rele veer het numeriek 1nie3reren 1-'ûn de on i kcpp.eldc v~rJel~ kin gen ( ïn de N-ba5ïj). no.tuurijk wcrdt meteen ook de. buekenin3 ran ei~ steri5che besse!-en neumanntunktïe~ in de intearaiiestartpunten... Rm en fi'm-h lJfccntrcleu~. Zo ook de 8e~ruikte inte~ratie mei:hode ~de één-dimen,sJOnale semodïticeercfe numerov-methode .Tem 1oHe ook nag de berckeninJ van de ccntriJu­·~ao.lterm N.e ~~i+') en de ene~ie.term k_e in de ontKoppeldt diHereniîcwlve~t~~in~en. ;De t~stberekenin8 ~ever! als resultaat da~ de relatieve aJwjkïnA tu.ssen ~~met- rfm= 16 Q0 en Rm = 2G Ct 0 berekende waarden van Q54 en Qll, kleiner is dan 3· 10 . Dif is een

zeer bevredi3end resultaat.

Jn par.]I.g hebben we 8e:tienl dat we de oplo5~îngen van lïnh-en rech1-în*e~ ra tie. Qan elkaar moeten knopen in een gebied waar de echie koppeling t.g.v. VÇ ver..­waarloosbao.r is .l/ër.schuivinj van Re. binnen ditgebied mag dan niet van tnvloed zgn

- 4g-

Gp de berekende ~rkzamt dotrjnedes) evenmin al.s veranderin~ van de. ats1and 6ff tu!l5efl.

Je beide kop~elpvnfen R'c. en R',-~li'. Opdat heteven·tuele. eHect van een vuschuï~·ïng niei

al b~· vocr~a~\~erinJ zal z:~n (vrm_we~e de F(z atha~ke~i~~eid van de rotet~bekoppelinJ5-termen)> 15 het voor deze test noJ,g kunJtrnat~ de echte koppeling V1 :o te maken vand zekere. niet har(jte lî:: Rv.r ~. wànneer alletn d~ 110nechte" rotatie koppeling een rol .speelt) moeten de 3ekoppelde ve~e­l~kinjen in de .H-repre5entatie en de ontkopp~lde ve~eljkinJ~n in deN- repre.seniatie na-hurl~·k seheel equivalent z~·n. . Vërschuivind Van 11,) 11vr ~ ~oudt dan in do.t voor een zeker radié"e/ interval het opiGs.stn.

~an het 0el<oppeld stel se~ ddterentiaalve~elgkinJen Un de n-6asï~Jvervan3en wordt door heT oplossen van ew equ1valent ont koppelJ shTjel (in de N·baH,). H~t opio:Jsen van htt ontkoppelde stelsel LJ alaecontn;leerd. Ve veeren hiermee du~ eensfnn­

jent~ conircie uit op hetcorrect op loslen van de 8ekopp.elde dïffereniïaalver~el~ J<;n8en. Rans~xien ten 6ho~ve van de .berekening van de strooimatrix ~ de cplas5lngen van de lmh­inte3ratie in Rc-tlli"en ~"werden geiran5!ormurd van rl-naar N-basi.s ,controleren we cp Jexe manier ·hven:'l ~ enremde tran~~onnatie (zie ook par . .JY. !~) evena/5 natuur!~ k de aan­siuihng van de oplcs~in3en van links-en rechtsinteJralie in de radiële pvnten 11, el} 11, -t:llt.

ReJulto.cJ van de. beschreven -hstwa~: de rela.lt-eve atw~ k1ng tu5~n de waarden van Q34 en Q4Jl

berekend met R', = 1:3a0 m R't =I o. s a0

en d;e, berel<end met R',: 15"'. Z Q01 i!J kl~iner dan 1·10-~ Yerder iJ de relatieve aJw~kinj in de waarden van Q3~ en Q4~, berekmd met ffc.= lb.5'Q0

~n óft' = o. 5 a0 en t:lft' =i. o 0 0 ) maximaal :1·1 o -6 t.o.v.die 1 berekmd met R', =I 6".5 a0 en Lll1= 0.15 Qo . 1-lieruit mos en we dus concluderen l dat bovenstaandebewerkingen eerreet 8eschie~ den. .

We kunnen ook R:, ver5chuivm. Alhoewel dit nauwtWk_, een te~t vcrmt vofir

de werk in~ van het pro~ ram ma., zuilen we di i toch in de :te paragraaf over intes ra tie~ ren;nn .behandelen. Op het ver.5chuïven van R.s komen we noa hrvá in hootdstu k Y. Ve hebben reeds op3emerktdClt we. slechh beschikken overmodelpoten ti alen voor R~ 45all.

Lp ar. TILg} A Is we voor R'J 4.5 Q0 hei starTpunt van de inte8ra tie R5 verschuiven) dan... krj~m we inJormatie over de ~ren5 van het niet alleen klassiek maar ook (ondanh het tunneleHect) 9uantvmmechanisch verboden ~ebïed.

-50-

Al;, we l?.s 3 re ter maken en de berekende wertnarne doar.5nedes veranderen nie't, dan b.lekent dit dut we no3 steeds zeer ver in het verbcden8ebied zitten, WaC~rd~8ol5funktie nauweWb .doordrinst, LOaar~;it bl~ht dan natuurl~k tevens, dat het pro8r~mma in dit op~icht zich naar verWilch·hns gedraa8i). · .

1fe. muken op, dctt naarmate het totale impvismcment9uüniumseto.l Psr~ieris, de in!~ra~e steeds verder van de ccrsprcn~ 8estar! Kan wcrdtn/amvege het aangrceren van de cenTrr-., 1 .., 'I I b ' { N'Ntl) L - - -) ]u3a e patentiac o.rrie~ \.. k' mH N = P-) .

J3N ver.HhuivinE YC!n hJ storTpunt 11.;-= 4.5A~ naar li'5 = 4.6 a11 en 4·1 Q0 vinden we, dat de relatieve a~wJiking in de werkzamedoorsnedes Q~4 en Q~~ maximaal 6-to-'ïs.

Ve mc3en du~ vercnderstellen,datwe vccrdeover8(mg 2p.3 ... 2p4 bj R= 4-'f a0 nog steeds in het verboden §eb Eed Xitten.

R.3 Tran.sJormo.tie van d~ rl-naar de N-ba5ÏS

Er i~ Hn aantal extra. criteria bed ach!) om de trarutormaiie-van dt Jl 4

naar de N·basiJ te hsten.)Jexe zvilen we nader uitwerken .

.N. ~-1 Ïran.sformalie van een deel van de interactiematriX Y UO.

J)e koppelîn85ma{riX ~ (FO in de '~1·diapo.ti5ctte" lc{JSLPNp>-ba.;iJ ;dei . erals val3tuï1 (zie (3."3á']en (:s.blJ):

..i1-diab ~t (fi)=-fi~<1l~r-+r.J+Il'>+V<11Yrl1}t (4.1)

t { P(PH~J(Jtt)-252?. -k~J d.tl'

" ~chakelen we J~ "e(hleu koppeling uït (duj Yr;.e• = oJ dan houden we (a~sex.ien van k~) over: het relationele deeiÏro1 van de Kineti!!Che enersie-operator ~inde lichaamsvasie Jl-repre­sen~a.tie. Tran5fcrmeren we dus Ysz (ff) van de .sl-basi~ naar de N-basi.s .. dan moeten we vinden:

-51-

Jn de ruimtevaste N·repre5ento. ti~ is dit (a~3ezïenvan k~) immers ~ot J)ae ·tran.5tcr­met~e.. ~eschiedt m.b.v. de ortho8 en a Je C~'e r8anj5 ma tri~ Q (zie v3J. (~. ~1)) ~

lan~sdexe 1weg kvnmn we d_l.i.S de buekemna van het deel Y.n un van de totale potenti~d­matnx en tevens de berekenmg van de ovu8an8smatriX Q van de.)dJ ..RPMp >-naar de )d. JN PHp >-baji.J con·tro leren. F?e5uit~~ ti s do.t de ni~t-diaaonaaltermen van de getranfJtarmeerde (i1-mr4 triX van de orde 10 ~ xHn en dat de d iu8cnc.al termen correct z~n id cp 12. of 13 decirnu len (te verge­~-~ ken met een ma{r,x d '(Àsona !,~o. tie, wac.r bJ de di asomeitermen 4 wadro.f;sch. en de nie1- dia­~onao.ltermen lmeair m de dracti hoek z: U n). Dt tran:Jcrmo. tre van de SI- naar dt N· ha.5 is

. l ') 0 verloipT duo;, correcr.

JJ,e 3ekop~lde dïHerenli\Äal vers el~ k1nsen f" (RJ;: X un f U:O wardm nli· rmr_ieK ëeïnteg reerd m. b V. de 8emcdï]iceerde nurntrov-methode ( R<lJ pJ. Jn par. JII. g

hebben we al vermt:ldl dat dit een brpetc.lde di!!krefis~tieprccedvre is vcu Je~e \/t~e/~kir~~n metleeale ai breeKtcut h6

• LDe3emGditïceerde nvmucv-methGde voer 3ekcpp{lde ve~-1~ kingen vcrm~ een aenera.liSa tie vandie veer h~t eendimen,5,~nale ~e ~·a I, zie verd~r par.

J.Y.. 5 ] • . Ot. _iÛi5theid ~·an dit prc8 rammaonderdeel [5 in ferh reed.J geccntrcleerJ via het

ver~chuiven van de 'ntearatiearenxen Fi'm en R", .1-liermder zal bt~chrenn waden, hoe op eer)

andere manier nct~egaan kan :vcrdenofd~ inte8ratle m~± de semodittcecrde num~rc~-me­-thade naar behoren 8ejch1eat. J)ocrde computer laten We VOCî vru•: 0 in de Sl-bcöij de vpÎcss;n~en berekt!nen 1n drit

rad iële punten, die een ~tapgrooHe h uitelkaar l;33en ( du:, in R-h, Ren fü h). ~rvc~tnj ~ans5o~1meren we de oplo.ssinaen in dne~rie ~adiële punle~ nac.r deN· ba,î s vcl~enJ: tN = Q !n ( ho.ns!ormatie van een oplossmgjvecfcr f.n ,n de S1-ba:li:J naar Je N·ba,,j)_ Echter, m det.e 5ituutie, wcwrin 8e 1 dt z Yr~~· = o. kan men in dt N· baJi.) veer elke. ccmp:­nentajÁonder~kdeoplo5.sing in hetpunt rt+h berekemn uit die'" R-h en R vcl0ens de e!ndimen,5iono.lt numeroY-methode.

-SZ#

'Dd: m_oti vo6r F ( f1th) hetzdtde re,:,ultaa topleveren ab ]nte3ro. tie in de 5l-basi~ met 1r..c.t' =O l gevolgd door trQns~crmaiie naar de ~-ba5b Uergelg K irs uur 4.1 ).

I

+ { VIil~o J ~

J1-ba;is fl-h R ITth

• t .. 2 trans1orrnatie m.b.v.

~· ori:hcacnale cver3angs-N-ba~i5 I I mo.hrx Q

R-h Ft Rth ,_______; t I

R~uur ~-1: Equivalente opbsinaen in fl- en N-basïs

Jn alle beschouwdegevallen heeft dexe test tot resultaa.l dat de oplosjingen die met beide meiheden berekend zgn binnen de rekenmQchine-no.uwkeuriaheid ( 9 decimalen)meT elkaar overeen komen.~it vorm i een controle op: - de berekening van Trot in de S2-reprejenta1ie. -de prcgrammerirlJYOn de gemodiJiceerde, numeroV'-me1hode _ -de berekenin3 van de over~an~5matri~ Q van de SL-naarde N-ba5iJen het uitveeren van

de trans}ormai:ie tel.+.

Als extra controle kan no8 dienen)at bg hetinfegratieprcce~ zonder echfe koppe/mg CV1ï.t= c) 3ecn inelaJtische werkzame docr.:mede mag wcn1n opgehouwd. Gek hieraan voldoet het prosramma NEoN/couPLEDCHANNELS .

. 1fe weten dat de in~ro.ctiema"irix ~ UO in de jc:1)S2 PNp >·ba5i5 sym· metri~ch moet zMn, omdat de interactie en de ba5istoestanden tn es5entfe reëelzyn tzie par.][.&. 3 },Dit i.s du:; ook een controlepunt veer ons prc8famma. Ook de matrix Y UU (in hàprc3rammQ ~eheTen VV) uit vgl. ( 4-14) moets_ymme~iSCh zgn J ab ~(fl) het Îj_

,De i:e.stre5uHaten leren, dai de s_.vmmetrie in xowel ~als k zich in het .sle(hh1e geval nog alt8d mQmJe~a:eert 1r1 ·hen 3î8niiïcante. cg.ferj. ]Je te bereiken nauwkeurigheid wordt in lao.hte insfanhe bepaald door zekere Clehsch -Gordan coëf}ïcfé"nten, bereknd ter 6epahn3 van X. Ook deze te5t 8eett een indica.tle.>dai dt berek~nîng van de pokn-

- 5"3-

ha.almcd:rix ~ 01) correct8~'chiedt. Een hiermee verhand houdmd punt tercontrole is, dat de ~-matrix 5Jmmetri5ch moeT z:~n (.zie parJJL(j. 3 ). Zoab we z:ullen zien in h~t velgende hooJdJtuk speelt de stap-~ rocH·e h van het numerieke int~ ra tie proces hierb~· een rol, 1fe kunnen nu we 1 reed5 vermelden 1 dat men de symmeirïe van~ kan verbeteren door de stapgroclte h te verkleinen. Jn feite iS de ma te van S)mmetrie. van§ een Van de criteria. VOGT de kevz.e van de stop~rocHe h.

I[.s Converseniïe·orde van de aemodï!ie.eerde numerov~methode

,De numerieke inte~ra tit van de 3ekoppe/de d;Herentiaa1ve~e~ kingen ('(n:1.= ~ (11) fU=rJ ( vs I. (3.6l)] §e5chïedt door dexe te di:;kreti~eren m.b.v. de gemo­dï}içeerdc numercY-methode .,Det.e methode X.tJJien We hierondereerst be.schrgven.

)Je T<rylorreeksantwikkelïn3 van f (Rth) en f U~-h) ( h: ~tap3rcotte) is~

Sommatie van (4.4) en (4.5)eliminurT de oneven afseleiden ~

FLR+h) t F( ff· h):: 2 F( ff) + h 1 Fc2

L Fi) t ;i h,._ f c~7(ff) t. . . ( 4. 6] .:. : ': :. -

na 5ub.sh~u .. tie van ft 2

\fïJ:: Y Ur] f (FO levert VJI. (!(.6) em di Herentie-ver3el~ k!_ng voer f me tem .feut van ordt h~. Om ft~J te elimintren bek ft ken we vervol3en.S Je la.,Yior~ reeks cntwikkehn~ van f(t\R+ hJ en f(:tJ( f1-h) :

..

Somrnatie levert:

(tJ (tJ (zJ ~ (4' f (fithJ+ f ( fl-hJ: Z f (IT)t h f (ft) t ... - - - - (~_g)

- S"!.r-

I . (4) 1 6 1 ~ (z) E im.t nuen van f (R) uir (~.6) en (1.!.9) en s u jtitueren van f Ui'); Y l~) f ( 11) - - - -heeH· tot re5 ultaa t ~

11- ij ht~(fl+h1] f(Rth).:- f 1- AhliUf-h)]fU~-h)t (4.10)

+ z {1-fih!~(n:Jj fUn+ h'"XUOfUOt OCh'J

s-tel vervo 18ens : ~ (111: f 1-ah'"~(fOj f(Ti) (4.11)

_I

s l11th).: 2 5 un .. s tR-h)t h2iUO[t-~hlrun] ;u~J+ O(h'J (4.1:zJ = ::. = =

ofweL na reek san iw;kkelmg: ; (ffth):: 2 ~CffJ-sCff-h)+h2 xun[~+fz.h2 ~uoJ ~(RJ+Oth6J c4.1JJ = - = -

.ne.loab1e omzeUing heeH hetvoGrdeel dat nie1 bE elke inte3ra tieslap een (dure) matrix­inver_s ie nodig t5 >l:er~~/ toch de orde in h niet verlaagd wordi. We wgx.en er met nclClruk op ,dat we van-~~~ ditterentîe-~erqel~ kin_j mtf een Sou! Van h~ VOfJr f nu z.gn ove'8e· saan op een d,Jterentie-ver8 el~km3 met een Sc ui van orde h6 voor ~ . Samenvattend:

-v '

S (ff+h) = 2; tRJ- ~ (11-h)+ V UO + O(hoJ (14-ll~) ~et yun= htyu=oiuo+ ~~ 'h~(un~un+ OCh6J

• I

[lff1= ll- ;i hz~(RI]- ~ (R)= (4.15]

=In ~.hzrun~ ;t h4 ~\RJj~ (fi)+ O(h6J = = ~ (R) +i!~ (R) t 0 (h 6J

" 1ht deze atleïdïn8 zal duide]~ k zgn 1 dat de locale afbreektout Lln van d ît diskretijo.11e-proces evenredi8 i~ met h6

. We zpn echter 3eïnferes~eerd in de 3/obale a5breekfout. ,.De~e iJ a.thankel~K van de oplossing telt, van hei ~ekoxen al3orïthm& en van a.&­rondfouten in d~t camp u ter. HelkanoH e.a. (Mel66) hebben aan Je toond) dato./ dexe e~fecten leiden tot een globale afbreekfout Llr, die voldoe-t aan:

- 5"5"-

Wetarbg (1 en (2 vançenoemde tacToren athankeljke constanten zgn en 1 de araeis van de locale a5breek.taut ll0 ( lln"' h1j. De eer5te ±erm in [4.16) komt Vofirt uit de ~oCJripianting Vûn de locale a5breekfol)t; de tweede term resulteert uit atrcndïng.s­:Jouien en is i.h.a. zeer klein. Jn ons seval3eldt ~ 1: 6} clu.'J we verwachien een ä lobale atbreekfout) even red~ met hit. LM.a.w. de conva3entie-orde zal zgn p=-4). ~ wil men hei programmcd:e5ten op convergen-tie-orde, dan moetmen erop letten, dat noch Je interacl-ie matrix ~ (ff) xelf> no'h de eerste twee. a~geleiden van Y (11)

een dïscvnhn uïteit vtrtonen.1.fe con.) terteren byvoorbeeld dot een discontinuïteit in~ (Fi)maakt, dot de converjentie-orde p~:i wordt.

'Hei bepalen VQn de converAentïe-orde 3ao.i zoa/5 bekend bgv. al5 velg+ in zsn werk~ beschouwen we een bepao.lae component Fy van de oplos5ingsma.irïx fUO bH eerv bepaalde 5traal 11 voor drie stapgroo ttesl nl. h, = h, h2 = f h en h3: ~ h, dan 3e ld t:

F;; (h)- F;";( i:h) F 1 1 -F~U:h1-~ lth) = 2 me1 p de convergen1îe-orde (~.11)

Op deze manier wardt noA eens extraaecantroleerd otde numerieke intesratie van het 3ekoppelde kanalensh.l~l fi/UO::: ~ UO fUt) rn dt J1-representa tie correct Je.5chiedt. (Dit is in feite al cp heelsirïngenh w~l.egebevrJ via herverschuiven van JT, 1 Jn.an ze ie st venden we vovr de cc-nve~enhe-orde van componenten~ (11) van de oplossingsmo.trix.f(11):

11< 15ao: PF:: 4 R > tS"ao ~ PF: 1

He1 verschil tv)sen de waardm van PF vcar R< 15a0 en R'>t5'a0 is daarop terus ttvoeren,dai bff R.: 15"a0 een discontinul·teiioptrecdt in de interactîematriX'Yr·loal.5 al euder3ezegd. wordt nl.

inonxe berekenin8en YI..u· un: 0 genamen voer R> 15c1o, cmdaLk door Henneeart (.Hen&z) herekende Wqarden voor de potentialen v(f Ut) en Vn (R) zich niet tot het dt~betrefSandeJebi(d uitsl~kken.Omdat we voor ff>l5ïA0 nog maar em kleine radiële a.htetnd doorinte3reren in.

de Q-ba5Ï51 Zal de-:a.clbcontinuiteit de bere kende 5-matrixelementen en werK:t3me door5nedes -56-

nauvvel~ks beïnvlceden.ïöch /;gt het in de bedoelin$ Gm if1 de nahje toekomst V6 (R)m v1tuo vcr;r! h zetten ineen Vandenv.:la155taar}.

1le verwa(htm dcrt dan ook de cernponren 5y vQn de ~ ·mairix cunvergentie·orde g= 4 zuikn ver­temen, omdo.i de-xe rechistreeb bellhnd Werden uit de op1össingbmatriX run Omdat ze tct nu toe z yn berekend uit fLR',)en fUf,-tlfi) met frï. -tdf > 15a0 (ziepar.J1f.s) wekt het8e.en ver. ha zinS, dat~ s~eeds vonden~ p5 :: i.

Jn par.ill.. 9 iJ reeds uiiaelead waa.rcm een siabili!iQhprc,edure deel meet ui~­maken van een 3ekcppelde kanalenpro~ramma. name!~ k, voor hetgeval da.i in het verhad en. ~ebïed b~ kleine 11 n1Jmerieke aJhank~~kheïd vandt cpiassinasved:oren dreig i tegaanoptre~n.

,.De door cns ~ebruikte stabili5atieprocedure ( C3ETER.3) wordt aan8ercepm wanneer het maxi­male dia8cnaalelemenh.:Ctn de opÏcs5inasmairiX 3rokr ij gewerden dan een op3e~even. waarde. (A LNKRT). zy vcrmt een n iwwe numeriek ona.fhanke !~ ke lineaire com b in a tit. van oplossmas· vectoren.Pe zo Hrkreaen cplc;.sinsen zy n vcikd~ equivalent aan de oude oplossrngen. . ,Dit bete kent} dat verkleinen van het stabiliteit~ criterium AlNKTTT dun efSect mag hehben op de berekende werkx.;Jme docr5nedes (alhce wel te vaak stabiliseren in principe ook kan leiden tot numerie~e insletbïlitelt ).1-l~tvergrckn van ALNKilT z.a/cpdenduur lei dm tot totaal

verkeerde oplossinaen. r-Docr veranclerï~~ va~ ALNXRT wcrdt ," emte înstan-lïe de. werkï~8 setest van de. stabïhsatiepra­cedure . .Bovendien Kan al dan niet bi~ ken d eq vivaknte oplo.ssin3en inckrdaad dexe~de werkxame. docrsnedes opleveren.

Hetresvitaat van de uilgevoerde ·rest voldoet aan de vervvach·bn~~n: vtrkleirnn van het .:~ta· bditeitscriterîum FHNK~rvan 40.000 (de 5tandao.rdwaarde in on~e berekeningen) tot lO. coo 3eeS-l- .in Q~6 een relatieVe o.Jwj king van :1·10-

4 te :tien. ~~t vergreten Yan AlN KRT

tot soo. ooo levert daaren·te3en een relcJieVt dw~kinj yan &-10 .

IY. en

Jn par.:iif.g i!! al ten sprake8ekomen,dai we in 3e:,lofen Kanalen het 3oij. ~etal k po!litie~ ima8 inair kiexen en dus bB intesralïe. vanuit 11m ;n de re kanalen te maken hebben met op lopende en ~lopende e-mo.chten . .B ~ recht~;nte8rahe worden de op lepende e­macht~~ (op te vatten a b hank.elach~~e oplossinl~en) 1fl da~~nde xi_n ~eînle8reerd en dit Ijkt een prcb/ eem, want een k!tme drond,ng.stout bJekent b~men3m3 van de. aflopendf i­

macht (die b~ recht5mte3raiie in stH8endt :tin Jeinte8reerd wordt) .,Deze laat~ te zal al snel3et1:tn overheersen. Jn Sij uur ~.2 is borenJtaande ~ilua tie. 3e.Hhetj t.

~ .... e d

K.ft

-KR F~J' "'e

r-----------~==~tR

Rechh in ha ra tie

Fï~uur 4. 2

Globale verloop van de

~(ft)- en feun -6a)Îj­

oplcssin8en in ~en ge­sleien kanaalJ'-

nuiuur1jk Ï5 decpiepende e-m~cht ~)5i;ch irre~~vant.Ve zullen hieronder laten zj~ dat d;} . ook mathtmo.tl5(h het se val l:l. M et.r in hel b~ zonder: de preciesevcrm van een rN .• -bas i.J. oplos5in3 i~ een desiden kanetalJ' t!l nieT van belang voeT .strooimatrixelemen ~en S..ek die betrekkïn3 hebbn op optn kanalen i enk (alleen dit socrT strooimahixelementen

t5 van prakh;,che bete.keni j) .De jeslo1en kanalen 5pelen weliswaar voor kleineR een rel in heT ~ekoppelde kanQ!enmechani5mt maar zgn daarneL niet meer van belang .

. Wë zullen dit uitwerken aan de hand van een voorbeeld met twee 8esloten kanalen J'= 1,2.,

waarbg- we du~ niet over~~>~,. kunmn beschik ken. Üitgaandt van ~ = ~ ~-1

zien we ïn:fï3uur 4."3

---'";i

/ ./ '.

~ - se-

(~)

oS

1.0

o. 5

1.0

o.s

5".0 10.0

(b)

..".- --- .... .... .... ' ' '

5.0 10.0

( c.)

' ' ' '·v .. .n.o'(tl'.) ' ' ' .... ....

IS:O

R(a.) •

I 1;.o

-----------.U.o'lzfs)

R(a.)

!.0 10.0 1!.0 A

Fie uren 4. 4 a t/m c : CoëHi ,;ën ten I C 2pi j van de 2pL- camponent

van de adiaba ti6che ei3en tce5tanden I S2: o~ 2~ > van het n/~He. 5_ys1eem al~ Junktie van de inter­nucleaire a}.stand ll

-59-

dat.aan3ezren slecht~ hetgearceerde deel van~ relevant is,deeersle. tweer~en van~ en de e(r:stt twee kolommen van~-' irrelevant x~n. De eerjte twee rHen van~ bevatknalleen B ,k = Ri tk ro pi:c.tievel~ k B ;.k = A 1

2k C k: 1,2, •. ,n ) (zie [3. 6&) ~ voer ge51o1en kanalt11j'

3eldt: 13J'k = RiJI<) ~n alleen hierin komen FN, en FN.7. vêcr.JJtze laai5te komen du, niet veer

in het van belan3 zHnde gearceerde deel mn ~. 'Vc ihmen analcc3 komw ~~ en ~ ... alleen veer in de eer5ie twee r Hen van ~ J d;e A,k = 13 :1 1k re5·

peciicvel ~k Rzk = B izk 6eva Hen. Hei laai zi(h dan eenvcuJ icJ be w [j ~en) a.t Fr~, en F'rt m/t zol-, l l .I 0 fl L

I en vccrkomm in het ge are eerde dee van d . Yévr het prc~ramma. NECNjcouPLEDCI-/ANNELS h.eeH dit als conjequentie)dat we in gesleten. kana~enJ' a15 l·tl(hti8e oplossingen in de beide radië·le koppzlpunten R'c.-c:JT. en ti', willekeHi· ge oplcssin8en fNJ' kunnen kiezen,numerieK voldamde cna~hankelyk van de aflopende cp­tassin~en Fej', bA·v; f=N., (R',-AR')< fN .. (I?J.

1ário.lie V!An de verhcud1n~ FNJ' (liJ/ FNj' tR't-cJO L >I) mag du-5 $een invloed hebhen op de be­rekende werkzame docnnede.s. Uit de test vcl3t dat dit inderdaad 'XO is. ;De werkxame

docr.snede.s veer ~· (fi',) J ~J' (fi',·Afi) ~ so wjken relatief niet meer dan 1·10 -9 aS van die

~·ee-r FNJ' (ff,)/ FNJ' lR',-~R') = 1. ·

Jn hocfd.Jtuk 1I htbben we sexien da 1 in het do(jrons bmhouwde 8eva1 de a­

dïabati)Ch~ pohn1iaalcurven veer ne1~He vo~en uit de t~dvndhanke~ ke Schröd i"jer.ve~e~ki~:

S H o.t Y. (- -)] mol r:rncl ) mol ) l t 1 r,, Ft y :. 1- (fi ~ ( 4.16'

met H at de aiomaire n/~ ham i I toniaan en~ de ne*.~He inten:1~:tïe poteniïaal. Opio5sinJ van.

deze ver8el~kin3 leverT de adiabaiische po~entiao./ curven E m~hO en 11- a.fhan ke~ ke gcl~fvnki~s mol - -) Tf I o/ l~"~,--·,R (xiepar._.tu.

Jn on~ sekcpp~Jde kanalenpro8rammct werken wg rnet de matriX Vr (f0 in de /dJ.fl)-re­pre5entaiie. pe basîst~nkties/c:JJ.U) zgn eil~enJunktie5 vo.n ~e o.iamaire hami~toniao.n H at. Berekening van de moleculaire ergentunkiie~ en eigenwaarden komt du~ 1n de~e repre.Jento.tie. neer c p het dia3GT1ah5~ren van Vz (fi) bmnen de ver~ eh i Hen de Jl-blok ken (voer

- 6o-

.versthil/ende waarden van R J.;Jocr de op die manier vtrknaen adiabo.tiH!u potentiaulcurven.

Ed.m;: (fi) teve'"Belyken met de fi~uren in (Henó>:Z)J ~unnen Wj dejui!ltheid vanon:te bereke­ning van ~ (ll)controleren.Jn eerste insiontie htbben w~ VJ (ff) nam el~ kin de 1 LS J Sl ).

representatie bere ken d uil8aand van r1e~evens en voar.5chnften van Hennecart. Vervolaen~ heb­ben we VrU1~~dran.Jformeerd naar de /d)Sl>-repre5entaiie.

;De dofir en~ bmKende polentiaa.lcurven zHn weergeseven in hooSdstvklf in de ti~ uren 1..5'a.

t/m~ .Ycor zover zich do. t laat na3aan komen z. g overeen met de door ~enneco.rt berekenJe potentiaal curven. Jn combinatie met onxe een:lère bevindmgen be.tretrende de ratatt­koppclïns5matriX LZit par . .IY.'3.~] iaat dit de conclujie toe dat de door on!J opseste1de sekoppelde d ïHerentiao.lvergel~ kin8en correc1zgn.

Wat betre.H de adiabatische eigentoe5ianden ~ bJ w~ze van voorbeeld laten de ti8 uren 4·~ at/m c elk VCGr de vjJ moleculaire eigentoe~tanden /cdl = 0 +>(zie hfd51.E~ een com­ponwt in de aforno.ire )d;J'S2).ba.5b ~ien. ( 1Jë herinneren on5, dat }d.Jl) Je moleculaire eigenioe5tand met 9 uanhmgetal ~ is, die d bsodeert na~r de atomaire e~entoeJtand kJU>). FiS uren zoal5 de :te. 3even on' er een ,dee van, welke atoma1re basistoestanden we moeTen mre­nemen bg de. berekenin3 van de. docrjnede. voor een bepaalde overga na.

rr. d'.l )3erekenîng van rad iële ma.lrixelemcnhn voor het 5_ysteern neillt· He

i

]n par.jJI. t heb~n we kort de adiabatijche ba5i~ 1oestanden bespreken,

die door Henneeart 3ebruikt worden. AanJezien Henneeart de rotaii~koppelinj verwaarloost is er alleen koppelin~ tussen dt verschillendt adiabatische elektrornntoe~tanJen t.8.v. de ra· diële kernbewe3in~ . .De koppeling wcrdt bg Henneeart veroorXQakt door de radié.le mairix·

elementen < 1, (R) ifR lit (11)) .11 ierin iJ jl) = /c:J5lPt1p) een ad;aba1ische ei8envecTor; daL5 etn eigenvee tor van de elektronen harniltoniuan H mol (zie val. (J. ~:f)). Jn de vori3e pa~ ra8racJ heb~cn we sn: ien 1 dat uit de interactiematriX }"1 ( tr) .. deze. adia.~ctii~che e~envectoren te bepalen z~n .. M.b.v. de ei~envectoren I i (Fl)) kunnen we dan ook rad1e/e matrixelernen'hn be· rekenm.-wy hebbm do.~ op de vol~ ende w~xe sedaan i

)Je een te a.f3eleïde. van ten adio.bniïsche eljtnVector schatten wt bE StQp8rooHe h a.& door !

:RiilR) > = 11UtJ>~IiL~-h)) (~.tg) -61-

(tdO)

Henneeart befl! kent werbarm dce:r.5mdt~ veer de overganam zp3 ~ zp~ en .zp4 ... zp5 en werkt daurice met deradiêle matnxeltmenten < Zf3,il: o+ ~~ )2p11 , 12= o") en < zp11 , .11: rJ iR /.zp5, ll=l) .

.De docrcn~ bmkmde radiële mo.trïx~1ementen zjn w~erseaew1 indeSïJVren ~-1 en 4.<?.1ie besch,kl<en, bekd~~ Gver de cvrre5pcndermde t1~~ren in Hen IIZ, ovk over de mmule ke waarden. van Henmcart,d li:i we hnnen Je beidt berekenmgen 3ctd met elkaar ve~el~ kenpe situatie voer < 2p:J ,.1:o'~"/ :R l.zpl4, SL: ot > i.J weersegeven rn f,gwr 4.5, dieveer < zpq, .H:t I ó~ Jzps, JL:l > in j;j111Jf ~.6.

h 1 = 0.2S'a0

0.114

-, 6.5

o.ttS'

I '·5t5 I

--..:) '~ I I

' Q.O

~R',: o.c1S'u~~

10.0 11.0

- O.ZS' ....

11.!15 I

~I~ I I

An'.:O.Z.25a0 7.

IS.O

Fijuur 4.5': Lïsg în3 ~n waarde van rncuima en m1nima. van het radië")e matrixelement

< zp~, D.: o +I ;R Jzr11 , J1.: o +) (niet cp schaa.l)

r h:o.1a01 5'.16

e.o B.s 9.0

ó.oz.

IS.O

HenntcClrt

"

Fr~ uur 4.6: LiJ8ina en wao.rdt vlln het maximum van h~t radiele fTllltrixelement < zp11 , SJ.= I lftt \zrsJ1= 1) (nielop sd1ao.D

- ~2.-

~ 0 .. a.. ~~ 11:· Q

' ~ + 0

("""

0.. t'l

3/00R/+ ott(OA-:o•

Plf:0-05"

" 0 H"----'-----i--T---'----'----.1...----1

Tt . I

"' . I

<.0

Lf)

.... 1\ -·m Lf)

a... N

' O::N 0

' 0

' --.... a... N V 0

10 1"2.

Fi3uur 4.}: Radiële mai.rixelement < Jl:o~ 2pJ I aaff }n=o~ zp11 ) al.s funktic van d~ inlernudeaire a.f5tand R.

) 4 6 8 10 R

•tOORtS

011EGR: 1

OR:.Qtt.OS

12 14

•

I

j

Fi~uur ~-ó': ffadîêlt malnxelement < .!1.: 1, 2f11 /l~ l Sl.:I,2Ps) ctls funktie Vcln d2 in lern ucltaire ah 1and 11..

-63-

We xien weliswaru· telktn~ ver5chuivin8en ~11 in de li~g in8 van maxima. en mmima t.o.v. e !kaar, mQetr verrn~den dat dit Csrotendeeb ~)toet~ schrgven valt aan de ver.sch illen in stap3rcoHe. Jn J~uur 4.5 b~v. ifl te xien dat 6ff a~ne~mt, als Hen~tcart met kleimrt stapgroette werkt. Af8ezien van deze k ki~ VerJ,htJJ ving hebben de dG er ons berekende mai"ixelemmten hetzelfde verleep alsdie

van Henmcar't. D;t bmst13t no8 eenmaal de condu~ie van de vcnge para~ raaf. nl. dat wed( jui5~ ~ekcppelde vergelgkin3en in~reren.

Evenun-5 b~ w~xnan te~t htbbnwden51otte votrde ovc~ang 2~3 •2p4 bg eerv

aan~al energieën totale werhame docrjnedes Q11:3 bere kenJ .J~ Je ze berekeningen h~bbm w~ ,evenals

Hennecart, der~ïtaiïekopptlln3 en df diagonaalterm JlJ~~ ·.11 van de interactie mQ.trix ~ ( F!)(vi{~.l)) wrw~arlocsd ( N. b; Henneeart verwaarloost ook de hvade-orde radïële koppelmgsterm1Zit par.III.p). Acm~ezien Henneeart b ~ z~n bereKenina van Q~:5 twe~ adiabatische ba~i.;kstanden meeneemt I nl.

1-H" ot,2p) èn /.Ü::o~ zp4) en wj drie atomaire ba~î~toe:;tanden,nl. .Zf31 2f4 en lP& zullen de re-5 uitaten a prion' niet aan elkaar~el~k ;tyn: daartoe zov Henneeart alle adiaba hschtpa;,i~toe5tn· den hebbn moe~n meenemen en wj alk atomaire ba~i.stoesianden (1:3er19, p. 42l4J91

Jn tid!Jur ~-9 i~ tut re~ uitcwt weerJe3even van de berekcni~en van Henneeart en van onxe bereke~ nin~en.,De mnd~5it die tit Si~ uur 4.9 valt h trekken, is dat zowel qua verloop als qua.Jrootte·

Grde de dcc.r an) bzreKende dcorJrncU.J Q~3 ~oed overeenkomen rnet die van Henneeart

~ei verwaar lo:an ~cm dt roto.iïe ko~ling stelt ons over~en~ voer pro blemen 1 omdo.t we dan bE hnh­mttÁratit een stuk inJcrmabe niei meenetmrr 1die wel in de recht:iink~ratie aanwezig is ("T;J= N(~~) , zie par. I[.g ).,Dïlkan prcblerrnn opleveren in de koppelpunten Rr. en li'c-AR,waar de opîos!l1n8en van linb-en rechhinte~r~fît aan elkaar geknoopt worden.

)(

500 1000

0

---- Hcnntcor-1: )( x ..Dïtwerk

15'00

1910 TOO • ,.

FiJuur 4.~ ~ Verk:ta111t door5nedt Q~_, voor de overaan3 2F3 ~2f4 aJ~ funktie van de enerd ie.·

-65'-

Jn drt hoctdshk z.uilen we een aunta/ ideeën noc:men, om derekentEJ, henod,~d veer het berekenen van onx.e inela~t5chc werK-tarm docrsnedes-, h b~perken."tit gaCin in par. :F.1 eerst bekjken, hoc We emse~chiKte 5tap~rcctte kl;nnen kieXen Vccrcn:ce berehni~en.)Jexe keuze kcpf·elen we 1rr eersh in~tanii~ aan de S)mmetrie van ck strooimo.friX 5. ]n par. Y . .z. da.an we kcrt in op het Jeit,dat men b~ si~ed:, groter totaal (mplJ,moment P de nvmeneKe inte4.ra_t;e b3Aro­tm R kan 5larten. Jn po.r.Y.J ten5lotk gaan we na, d he1 in de ·hekomJ m~e~ K tS om d~ 5-matrix ab funktie van Ph interpolenn 1 wai naar onxe ~rwachtînjtll een }at tor twee à dne rekentEa-besparing .z:ou kunnen oplev-eren.

i. :1 Keu te van de mh~rah.-staparaotk h

- Een x eer be bn~r~ k punT b~ het bere kenen van werkzame docmnedt5 iJ het ki~-xen van eeng~chikte integratie-.stap3roc1te h. 1fe zuilen dexe kwxe kcppel2n aan de. 5)mmetrie. vandestrooima.trix ~- Ditgaanwe nunadervilwerken.1fejaan daarbg vitvandt inpar.JI[.

&.;, op3e.stelde identiteit (~.6o):

ï 11 -r:. f un f tRJ- i unf (FO=o (S.l)

}Üerb~ i:. fun een matr;xl dre kdom'sew~s de t~:Hsche bruisopÎo5jii1Jen van het jlelse1 ~e koppelde ~ifferentH.wlve~elj kïn~en l ~.59) f "(ft): f Y (ffJ-f] i (ff) bevai:.»e ~loj5ingsvektaren fj veldoen aan de randvacTWtlarden ( "3. 56') g tj' (a);: 0 m f~ Ui')~ dij l i uo- OL un Sä. Zo al> eer Ju al gwg d [5 in par. JJI. o. 3 kan men Jocr de idenl:;hil· ( 5". 1 ) part i ell, in t.g re ren

tussen nul en oneindi~ cnderaebruikmakm8 van bovenstaande randvoorwaarden aSieïden,datde strcoi mcJrix ~ symmeirb eh is .

Ve bek~ ken nu, wat er met de s_ymme!rie. van § gebeurÎ:,als we. in de prakt~k dt je koppelde ka~ naltnve~:l~ k;q8en cplos5en d.m.v. een dïskreti.Jatie preeedure I die aan leïdinj geeH tcJ 2e kop· pelde dïHerentiever3e~ kin8en.Dae handelwjxe bren st met zich rnee. Jat we cle partiële inte· jra tie van (s.1) meeten vervanBen dooreen sommatie ever db hete punTen Ri met onderhTtjQ. af.stand h (: stuparcof1tJ. Jn het linkerlid van (s.l) vullen we in:

f"( f\') o f (~th) t ~~W-h)-1 f (R) + a ( h ") (5.2)

-66-

»eze verjel~kin8 3eldt ondhanke~k van dt preciexe in te~ rafie melhode. ,Daarna. sommeren we ever 11i l t= 011, . . 1 n-t ). Het re.5uf.taat i.s

waar6~ behalve. van cs.'2)3ebruikjemaaKLs ronde ra11dvcorwaarde ~ f (o): o. ~e bovengren5 van de partkit inte3 ra tie i~: R-H:xl. Jn cns gekvp~/de kanalenprogramma Kap~ pelen wy de op lessinJen, verk re3en via );nksïntegra tie in de S]: ba~b .. en recht5inte8ratie in de N­ba~ï,,aan elkaQr in dt beidt koppelpunten R'c -.111 en 11, (ln een ccncrete berekening is dus li'ns R'J.

l)e oplossin0

en f (11'" -h) en f (lfn) zgn met de strooimatrix § te sthr~ven ab;

(5. ~.a)

(5-4.b)

1 .,. ·tf1 -i (kiff·NilT/z) ·1/1 ti(k;ff-Nïll'/z) {;Oea~umptoti)cf'UvcrmvaniienO; i5:l.(ff)= ki e en 0.t11'): ki e ].

J 1 J?"~oo l R·ulO • ;De diaaanale ma tri er.~ I en Q bevatten dt oplosjin~en van de onlkoppelde radi~·le d;f.feren· haalver~el~ kinsen in de N-basis 1 verkre~en via rechbinte8ratie (par. J1I. g .:z) :

~· Ii (ff)' V, (f!) I, ( R) m• h( (R), { N~!') -kt) 1f q (1=t) = ~ (li:)Oi (R)

!"cn-J~ Y(IYJfun j Q"(nJ= yunçun - - - - - -

( s.s.a)

( 5'.5. b)

(s.6)

pubs hiutie Van vsl. (s.~.Cl) en (5.1~. b) in val. (5.~) en~~ lcrrttk.scntwikkehn~ Van de op loHiO­

~en f ( R'n· h) rGnd het punt 11'0 see5t!

(S-t)

: l J'tli'n)Ql!T'n)·!Lfi'nJQ'lli'n)] ~+?Tl Q'(I?")J(R'n)-Q(I1n1r{~n)] t .

-i h tf(li'nJ2(li'nJ-J(l1n)Ç"(R")j ~-i h? T f Q';(li'o)~(R'n)-Q(r?n)f(f~n)]t + th~ [ r· (R'n 19llT'n)-~(ffn)9'" (R'n)J~ + t hlf r Q"'(R'n)~(l?")-20~n)r"(ffn)J+O'(h3)

- b1-

~maken nu 3ebru1k van het te,1, dat vcCJr de t~e~de-orde-diHerenfi aalve~e J~ k'n8~n ( ~. 6] Je

l.Jronsbaan con5 *ant i.5. M.h. Y. de QJjmptoLche vorm van I un en Q (Fr) kan men dan ai leiden) datjeldt: '

1(R)O'{R)-J'(f00{fi'): O'(fi)Itfi)-O(ff)J'(I1): 2i ~ (s.&. a)

. run CJ"Un -J"(Fi')O UO: =0 "(fi') I U1'):o tfiJ I" Ui')= o- (s.e. b) = ~ = = = =: =

llit (s.a.b) voidt weer;

r" Un ÇtR}-!(10~'"(11) = f(fi') Q'Ur)-fUrJQ"(Il) = ( s.e. c)

- = YtRJt[LrrJ9't~r)-J'(11)QLR'J]= 2i yc~) 9'" (RJ Iuo-çu;·J f"tR)-= Q"(li')r(l\')- Q·unr·(rr)= (s.<f. dJ

= y un [ QCif) fUrJ- Q'(R') ~on j:: -.z i~ (Fr)

0:-Zi [~-~T]+ ~ ih 1 t~(lfn1~-~ï~Ui'nJ] + O'(h3)~ofwel!

~- ~T= th 1 f yUrnJ ~- ~rXUrnJ] + 0'( h3)

11ehechhrlid van vgl. (s.g) i5 niet nuÎI want er~eldt:

( y (1\', J?- {~(Ti,) ],P = V. x SJP ~~- s: V,p d,f' = = ~(fin) Sap- Sl3c{ V1313 (lf") # 0

1 l ' ( ... fNg (Nltl) kl ] Î ) I want i.h.a.~e dt: ~~ 4: VP!3 I. 'VH.lff): R7. - ~ onl I ter~j sd? ~ Spd. .

(5.9)

. Hei de verenderstelling S"'f3 ~ 513~ vinden we du:~ ; T

(~~} Jde ~ 6 h'"f~~(ffn)-Vf3plffnJ]r- 0(h3)= (s.lo]

J3 = thl.f k~-k: t N~(N~t~i~plNçtl)] + Q'(h')

,Dit modellevert via. vsl. (5'.10) een aantal zeer inkre55ante aspeklen epi nl. : -de S)mmetric. vun ~ 3aa.t 3edeeltel~J< verloren door di.,kreti.satie.]e a!Jymmetrie wordt

klt.Jner,naarrnate de stapgroette kleiner i5; in d1t model wcrdtde asymmetrie eenfac~t vier kleiner b~ halvering van ck sta.p3rcotte h.

- 6{1-

-b j een bepaalde staparccUe h is de G.5Jmmehie jroter, naarmate het verjchi] in locale kme-tijche. ener8ie tussm de i-oe~ianden 2p"' en 2pp 3roter is. .

Jnderdc.o.d is het zo 1n ons 8ekappelde kanalenpro8r~mma.)d~i de asymmetrie een fac1orvier

kleiner wordt 6~ halvering vandt stapjrcoHe h. Ook zien we>dat de a.5~mmetric 3roter is, naarmate het versthd 1n lücale Kimt.scht ener3fe toeneemt

~en mo~el~ke prccedvre vovrdt keux.e van de sfupgrooHe xou nu kunnen zjn: uJ par. Ir.ó' we1en we,dat we Yotïrde. berekening van een bepaalde botsf~sdoor~nede Qy meerdere ne **-toe!! tanden rnaeten munemen. ,De laaAst rnee~enomen ne -he~tand he­paalt i.h.a. de inte~ralïe stap~ rootte h, omdat dexe cfe g rcotste kinetL;che ener~ ie be:r1tJ düj hei 8 rGCitsh a~mptoti5Che goif~etal k 1 du:; de minimale dolflen8te À (À= ZTTfk,zie tiguur 5.1 ).

E -- Itl/' zr!l

2)A ---1.r" ---zpb ---zpt

Fï~uur 5.1

Tötalt. enerc~ ie in mmp. ) Oat ~"'

5)5teern:: E t 2_))-

men-voert nu eersl een berekening vit mtt dexe laagste ne~ toe:,tand en kiest als beginstap­~rooHt bMv. h: 0.:1 * '\n1n. Men bek~H de QJ~mmetrie in dt~tr~i~atrixtlemente. n 5g e.~ s~i ,die Vèrstrooiina beschr9vm tu:>5in ver.Jchillende N-kanalen ( N: P-) J. Ab eis kan men b~v. siel/en, d ai de procentuele a­symmetrie niet ~rc1r mus xyn dan 1~/c.zolang hieraan niet voldao.n is,halveertmen dt :;tap-~rootte. ,

,.De to bepaalde 5tapS rootte h i.) nu ook 3e~chikt vottrdt tolale berekening, omdat h~ a}ges~mJ is op de minimale ~clSknstc. (zie ook Beq9).

Jn het voc,rJ8aande tj reed.s murmaltn spiUhaeweest van he1 kla5siek en 9utm­

tummtchaoi5ch verboden debitd bj kieint waürden vwn R.D1t 8e lmd 1:; de:. i:e uitgebreider, noormet te het i:otaaLmpub mem en~ 'P srcf.er is (vanweae de 3roü van de cenirïJu~aal barrière 7.1Jë l<unncn

dan re~ent~d be~paren door voor ~rcte P de in~~ro. tie later -k star1ln. ( P;.s het quadum3etal horend b~ P).

- 6g-

Een groet prcbleem, Wetarmee w~ momenteel te kamptn hebhe1

n i.s, dat wj p~s veer R ~ ~.S'a0 over Je inhruclie. btsch, hken, cm dat deeerdtr !m(hreven model potentiaalmethode slahts :tinvalle interaciie.S

oplevert vc~r niet h kieine 11.

tr z~·n ern aQn~a) potentta41curvm~ die rcnd f(,. 4.S"a 0 a ttra(t;eJ"z:~n en die pa5 b~· k leimre f( repulsiJ

werden, m.a.w. een aantal potentiaalcurven heeft een put voor 11< ~.5" a0 • Voor dexe potenbaal curven

ziPeen we du:; nos nie~ in net verboden jebied bg een bepaalde ene~J'e E, als dit 6~ andere poterrb·aalcur­ven wel al het 3eval i.J. l,[g kunntn du;; allttn maar rekemn rmT potentiaal,urven,die in de buvrT van R: lt.S a0 reed~ repvbietz~n. 1-lierdient zich du;, de. noodxaak aan om in de toekomst ook voor R< 4.5 a0 a ver potentiaalmatrice~ te bes<hikken. Vc(jro.lsnog pa5s.EI1 we h1treen me uw aan do~r~ verc.nder.,'te/len da·Ln alle kanalm b ~·lf=4.5a0 een hardt wand aanwa~ is.,Dt inh~ratie hoeven we dan paj te .sh:trten bj deze straal, met b~imraar­den :0. Hehs ongeiwgteld mo3el~k, athanke~k van de P.waarde1 dit bedinpuntnog verder naar rech~ h verschumn.liieraan is nc3 3~en 5yskmalisch onda:weK verricht (zie voor het geval van een analo~ kern~siscf1 bohïngsprcces llhE dl, Fi3-3 )J. •

We gaan in de te para~ raat na, of we rekeni~J kunnen bespare11 docr hetin~rpole­ren vcm dt. S-matriX a1!1SunkBe van P. Vooral b~ hoJere em~gieën verwachten we nl., dat de 5-ma· tnxelemenien al~ Junktie van P un vrj ''3lad ·verloop hebben. Rb dit inderdaacl xo is ,dan hoeven.

we maar VOGr een aantal P-waarden Je 5-matrixilcrrnn bn te berekenen en voor tu~~nli~8ende. 1'-woor­den kunnen we clan interpcÎeren. wat rekent~d beJpaart.

,Deze noodzaak dient zich vc;or~l aan 6~ ho3e enersieën, omdat men dan steeds metr f..waardtn moet

meenemtn inetn berekninJ, om tot conver~entie van d.t werkzame doorJntdt> te komen.

Ditlaatste kan men al~ vol~t inxien g on~e51oorde jolvenjN (k11) (metj een BmeiJunkiiel -zie par:

.II[,g)~ienauwel~ks onsel~k aan oz~nin hà,nkractiegebie~dragenniei~ïgniJicantb~ hide werkxamr dotr.medes.,Dit is hct0eval a IJ N>> kR (zieJah 59, p.l.z6)~. 6j).

Semi· kla.s.siek kamt diterop rner, dai voor botsin8sparamet~r.s

Nt N~ JL b ~ n;v ~ lk = k >> R (5.11)

dt deeltje5lan~' elkaar hun .5chieten. naarma.ie de em~ie en duj k drcterward+.moe~ ook d~~ClXii1Xlle N (of P) stetcl5 grcter wcrckn. Ab eer.sk aan ui toteen ii'Jterpolatïepr~!ci hebbn we een 8eval

-10-

onden:ocht bE een ~ne~ie van 1ooo K ( ~ a6 me V) .. De. reden hiervoor Is, do.t op dit moment in de

groep Atomaire-en Optische. ~5!lel_~erKin~_mettn~en van bot!lii1J.sdoormede~ plaafjvi~dtn b~ o~e­veer de:a ener31e <n hft urtetndel~ke doe Ir:;, om dexe experimenlele ~egeven:; te ve'8el~ken metonze

theo re tbc he .bm IHningen. · •

»e 5-matriX elemen1n z~ n complexe getallen .lf~ richten onxe aC!ndacht nu vooral op de absolu~ waarde van de S-mat riXelemenkn 1 omdat alleen die bepalend is voor de totale imla~f;sche werkza­

me doCirjnede.J,zoals hl~ kt uit vgl. (~.56]. 1,.{e wilkn telhn.5 ab funktie van F overeenkomende matriXelemenien S~ uihet~n.lle moe1n dan

vier verschillendt devallen onder5cheiden,nl.: Tr=-1 P: oneven 1 TC:-1 P: even> Jrdl P: onmn en..

TC:+ i P: evel"}. Ve zull(n dit mel etn voorbeeld toelichten: ste1 we bmkernn de werh.ame doorsnede vcGr de over-3ang zp~ .. zp4 en we mmmdt toe5tanden .Zp3 CJ:o)en .zp4 (J=Z)mu.,DtslrooimafriX ~ isge­j even in de N- repr~en~~ .1Je btk, ktn nu voor P= 9 en P: 10 hoeveel kanalm er x gn voorTf:-1 en·rr:+1.

Ran8;etien 3eldt : N = P-J (hjd~lm:) zgn de mo8el~ke. N-waarden voor P: g : N:: 1~ &,9, 1o,11 en voor P: 10 : N: ó', 9,10, 11, LZ. Jn de N·ba5lj aeldt: Tr::: (-1 J N du:; we kr~ 3en al~ a.tzGTJder~ ke gevallen:

P: q (onmn) TC=-1 P:g (oneven) lt.:+ I P: 10 (even) Tt=-1 P= 10 (even) 1!: +I

N:1 l=:z. ol:4 N:cr 1~2 d:~ N:q J:2 J=tt N=cr 1=1. ol:4

1\l:g ]=l d:u N:IO ]:2 d:lt N:ll ]:2 d:l.! N=lo l=l d: u tJ:Il ]:2. d:l! N= 11, J=z c:l:ll

N: g ]:O d:.3 N:IO ]:0 d:3

~n t~uur 5'.: is wee';Je~even Je ab_salute- waardt van het matrt'..telement, dat ela~tïscht ver~trooi­!nj be5chr~Jt in hèt kanaal~= 6 J= 2 N: P-2 (TC=+ I Pis even ).;De ab5olute waarclt nadert naar i voorgrote P. ,Dit Î) zoal:, we verwachten_]mrmr;;voor arote botsin85pararne1ers mtr~n .de deel\je5 onder1ina niets rruer van een Wi55tlwerking, dvs hei ne t~aioom bi~H in duel}dt toestand al5 voor de bol~ ing.Ve. verwachten dus ook) dat inela ::~lïsclu 5trooi ma trïxelemm1en

voor~roh P~aar ~gaan. Pit zien we inJerdaad ~~-beuren i~ Îï8vur s.j en 5.4, waarin inela,:,­tiJChe stroormo. tnxelementen ab gunktiHan r z~n Weersegeven. 'Het matrixelement in ~ï8uur 5. ~ bmhrjH ve~;trooiin3 tuS5!n de kanakn ~= 6 J: 1. N: P-1 ~n d= 6 J: 2 N: PH (rr .. -1, 'PïHven) J dat in ~i(3Uiif 5'.~ tu)sen de kaneden d= '3 J= o N= P ~n d=6

J:;;z. N:Ptl (-rr~-I,Pi:>oneven).

,D~ a~ernent indruk i;, dat de absaluie wo.arde. voor 8rote P3oed te interpoleren Îj 1 bgv. voer de drie

-"1-l-

co

..... ~

cr-<T a . 0 > 1-::::l :::JN __, . 0 (/')

co cc p (/') ~ ~----~----~----L-----L-----L-----L---~

20 40 60 80 100 120 EVEN P

0 1. 4

-a -f ,s,j I

I 11 -a..

a:..-t 0 . 0 > 1-=::) =:)N .....J 0 (f') p CD a:

(f')CSI

0 20 40 60 80 100 120 EVEN P

0 l 4 16 ., b (a 0 )

....... I

11 ...... -CS! a..

a: 0 0 >

1-=::)

:::J .....J 0 (/')

p CD CI

(f')CSI

0 20 40 60 80 100 ONEVEN P

0

Fi3uur 5".~: !SiJiab funktie van P met[: d::.'5 J=o N:f' en j :.,(~6 )=1. N: Ptl ( b~ fr~) -·p-

aenoemde matrixelementen vanaf P: 6o.1kor kleinereP kan men ook in'ierpaleren,rn~ar mm.

moet dan toch am de twte ot drie P-waarc.kn dt 5-mahixelementen etht ui he kemn. lfor.r di overijè 5-matrlxelementen se~dt intote l~nen heixelfde. ~acht dit re5~ltaat al~em~_ne 8eldï3heïJ htbbm)dqn 5chaUe~ we af dat we in de taekGrnst em Jactor twe~ a drie rekent8d kunnen be~paren d.mv. interpal a tie.

1v~ verwachten dctt oei( de Sa~ van de 5-matrixekmenten voergrote fcontinu verloopt}omdaTer VGC:f grcte p ~o.~wel~ks ~0~ WÏ)~IwerKin3 jj tuHen neHtn He. Er.hter, dt fa;Q jj niet relevan1 ~or Je bm.kenmg van mJa.str5che botsmasdoonmrk~( zie vdl. ( ~.56)).

1,Je hebbn in dit hootd~tuk een ctantal iduën c3.enoemd)cm in de kkcmst de berekening van to­tale inelaJtiScHe werhame do0rsrude~ e!Sï,iê"~ter uit te voermJ d.w.z. zo dctt zJ mindtr rekeni8J ko~t. (Voer buld: m-rbmkmina van Q~..-~ met P: '~/m IOC mtfo.l.; ne~~tOf~tandm: zpJ,zp .. ,zpb Ve~i~ on3ev~er 16c.o 52C (1T~-I en Tf::tl) clu5 ~SiC.. per P..wo.o.rde).

,Behalve het idee van interpclatie i5 een aantal cri ten a. ,bedacht aan de hand waarvan miH<~èn een welaverwo3en keuxe. kanworden3tdo.an v~cr dt intesratie.siaparocth hen de iniegratie-slartwaarde 115 . Al dit werk verkeert nos skcht., ïn de be3in}ase.. _ ( N.13.: we merknop dai de rekent~d 1 samEnhan8t rmt de tolale enera ie E van het 5)S­

tetm nelf~ He volgens ; :1 -v E '/~omdat we. het aanta.l P-waardenl benodi0d" voGT c~nvergeni;e, vaneen werktame dccr.snede, o.jschaHen va~ens: f;,ax = Km<U * R', +la met R', de dracht v~n de potenhAal en kmt\X = { f. ( [- E;;) }'h ) .

Ïot slot;~ htt nutbg~om nod eens de inzichten wur h~even,dle Wt tHdens dit werk verworven htbkn. Het vcornaamste i~, dat wt na ~en zeer uitvcer~e en.strin8en1e in­.ierne controk va.n,ons sekop~ldt.kanalenprogramma. ervan overtuiad z~n]dat dit prodramma betrouwbare resultakn ie.vert (htdjt.IY). Er zJn een aankl ideeën genoemd om het pro3nunmo. efficiënter te ma.km wat betrdt b;. nod,Jde rekentgd t hfdsl.t ).Ve denken, dat het mo3el»k is, om de ah.solutewaarde van de. 5-matrixelementen te m~rpcleren) wat naar on:n verwa,hfïngen een fac~r twee. to't drie in.

rekeni~d kan besparen. ,.De 5VJ3e~he5li~~en dan veer ~e hand: er moet nu aandacht besteed werden aan d;e. inhrp!ilate van 5-matrixekrnenten. Ook dient het ;Ju, dat we veer haae P-waardtn lahr kunru.nsiaritn met de numerieke intesralie naderuitgewerkt te worden. Een a~nr1r .bel~nsrj.k punt i~, dater nDJ ge~leu~d moetworden aan de interactie Vr(R). Aan de, nulde-orde. mokcubre potentialen v6' en VTt (lp 3pconllJUratie) kanun Yanckrwaábstaart 3ebmd wcnun veer R)IS'aoizadatwe~ diswntinuïteïf in ck m1rac.hema.triX t (lt) in de TI-ba~i.s voor R: 15'a0 opheffen ot althans reduceren (zie par. Ilf.g. 2).

mO(;~ker zal het Z$n om de pchntiaalmeihode aan te vullen voi.r het construeren ~cm poten­tiaal ma trias voer kernafstandm R< 4.5 a0 • Het feil, dat er rand 11: 4.5 a0 nog etn 5tel adia­

batische po te. ntiaalcurven z]jn, die in dat $ebîed nog attractïd zgn en pa5 voor noA kleinue R repulsïd worden, is un duideljke aanw~t.ing dat hiera.an werk verricht zal moeten wcrJen. Tot nu toe. hehbm we an5 be~rkt tot over~an~en tu.mn toe.5ianden, waarvoor de potentiaal­curven b j R~ 4. 5' a0 reeds repulsieS z~n. ]n dit stadium kunnen we .slech:b hopen dat het

,.bere kmm van allun dexe werk tcunt doo~nede.s x in vol i~ . .De verkre0en resvitQten vorrmn een b~·drase tot het bere i ken van hetviieind el~ Ju doel, nl. een eHïciënh. en beho"wbare bereken in~ van imlastbche bchïn8sdoorsnede5 voorn/~ ne en ~~e*~ Heldie dan ver3eleken kunrun w~~n .. rnet ex~rimentele 6ots1118sdoor.snede~ voor ne- 3rcndhe~tr.mdaiocrn jy,;ternen, ~'e b~v.8eme~en worden in de 8roep Atomwre en Oplwhe WfS5elwerk;ng.

..

Jn deze appendix zuilen Wt de a} lei di~ van de '' .. I2·diaba1;scht" ba,; i'.JtoeJtc.n­

den (Be~ &:3 ,p ~-64) ncd eem .:.ontro/eren m.hv. e~~nschappm van ClebsLh- Gcrdan-coë:ff;dënten .

. Oaetrtot w~rdt uit3~3aan van de volàende k~noa15unkiie,j 'llk:

Lzie par JII. 4 'ie~ de bele km ij van de toebtanden /a Jl"11 \ en Y NNN-t ( e, ~)). Erd~:!dt (par.$.4) ; *

/ o) i1,r >, = f. /o J N) ),. JJ ~N) Lq, 6, o) [ R.4] ;J

moe:k((Bnh)p.12 (2.1~) w (13~~ól~J(4.tó'))!

(A.~)

lA. 4)

(R.s)

waarhb de sommaiie ever M zuiver :f!orme2l is, want de Clebsch-Gordan coë:H ie iënt it~ aller.n ange~k

- 1'-

~ 1':'\ ;J* -nN* L. JJN NI (q, e,o)JJM 0 Lq/J,o] (]n,NNN IPHp)= NJHN :J '.1 H I r ' p * · : (J N,J No/ PH,f) * J)NpN) ( ~,61 o)

(A. u)

Uïleindel~k leidt dit du:, tot:

N 1/z. P*' ).9N PNp>:: ~ /d]N) ~· if C4;') it (JM)No/PN;J*JJNpH) (~, 6,o)

~

(A.g)

(N.f3: Je Clebsch · GcrJan ccëÎtïciën~n bezrtten xowel in (13n6z) a Is L Edms1) deze/] de }aJe,cver­een komend mtt de ddïn1tie van l1acah) . 1fe gebrurken nu de onder~taande ei8en5dlap van C-G-coéftïdënten ( CEdm5'f] p 42 (71.5'.16)}

(J,m,J,m, IJ,m,). (-•("'' Cf,:,' t ( j,m,j,-m, /j, m,) du~; L) N) N 0 I p H_j); (-I )J·M; (~ ]'14

,. (P N) }11) !No] (Bey en (1t:31))(R.Io)

_Dil levert htt vcl3enck re~ultaett op~

. ' )J-M; (ZPtl )'"' ' I ) 1\.pll: I~)NPMp):~(-r * Tn" it(PM~)-M.JINo *OJNH' [~,6,o)t-

M;J * /~)11) >x' P ,1 (A. u)

* )

I (2ftiJ 1

'1

1"'.p I I JjM.JA;• PMr>== t;rr *CJNPN~(~,6,o)t dJt1;)x, (A.rz]

du~ ((13~]<P3)(14.~o)J;

J-tf' ldJNPMp)=f,- (-r) ~"' (PN))-1'1~/No)it!&)N):c~ PNp) (A.13)

,J

en vinden:

-11-

Jt1,J ~/dJNPMp)(PMJ)-N;INo):~ ~ (-1) (PM;J-M;)No)*'

,J

* (PM~ J-M~)No)ït /dJN;z' Pf1p):

(R.ts)

Ïen5ioUe ·v.,rm~ mm dofJr lîmaire camhinatit van de toe5ianden /dJ NJz· PMp) toötanden j.J. ~ S2 PNp) mtt S2: I M; x• J. die we !bepaalde pari te i i TC hfbben. ',Dif 5taai bedueven in par.

11:L 4.

Jn dae appendiX' 3even r\ot een cv"r~i~ht rand~ -kstre,ultaten t'ccr het pr;~rammo. NEGN ( covP LEDCHl\NNELS. •

E: b3.66K/ 5".49 m~Y Lt.o.v.tp~) h: o.ocbz.S"ao:. 6}5tl0.~ Amin CÀmin:: o.~55'Cio) P:22

R~: 4.S'a0 ; R,= 15"5a0 ; L:.R:0.4Q0

TOTALE WERKZAME DlfORSNEDES SIG<ALPHAI,ALPHAJ>. (J-->r; MEEGENOMEN TOESTANDEN: 4r 5, 7, 2, VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN! 4, Sr 7,

.388870B0799000Et01 .10032797071300E-01

.17776166396500E-01 .30523904236600E+02

.B2309415654400E-03 .4S290626169800E-03

.7765299S326400E-04

.80666379B13600E-04

.62212706S7S400Et01

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<ALPHAirALPHAJ), CJ-->I>: MEEGENOMEN TOESTANDEN: 4r Sr 7r 2r VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOHMENt 4, 5, 7r

.3B885635414000Et01

.17775572453300E-01

.B2293227730400E-03

.10032466217900E-01

.30523946254500E+02

.48282466111300E-03

.776l7767B23200E-04

.S06S2727118400E-04

.62212712496BOOEt01

E: Óà. 66 K /s. ~9 me V L t.o.v. zp,) h: 0. 0 ilS"Qo-: I, 2k IO -jA min 0 mln:: I.OS'Cio) p= 10

R'5 =4.5"Q0 ; R'm=:ZOa0 jAR,.o,.z;a0 fi')IOao: VJ:-1f:O (_R'vl'P::tóa,J

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<ALPH~Ir~LPH~J). (J-->Il HEEGENOHEN TOESTANDEN: 3, 4• 6, VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOKttEN: 3r 4, lu

.146685S0415400E+02 .17022413774400E+01 .11065214832700E-01

.19849617361600E+02 .26069696690200E+02 .30423197745200E-01

.S0900087644000E+OO .1907~748185400E+OO .39401712706400E+01

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<ALPHAir"LPHAJ>. <J-->I> MEEGENOMEN TOESTANDEN: 3, 4, 6' VOLGORDE TOESTANDEN IN RI JEN EN KOLOI1MEN: 3, -1, 6,

. • 14668S48706000E+02 .17022~12139100E+01 .1106521S286000E-01 .19849617~94700E+02 .26069ó9670S700E+02 .30~232079-18800E-01 .80900090420800E+OO .1907~748790400E+OO .3940171264S200Et01

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<fiL.PHAirr.LF'Ht\Jl. <J-->I> MEEGENOMEN TOESTANDEN: 3J 4, 6, VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN: 3, ~' 6•

.14668SS0371900E+02 .17022~15060600E+Ol .11065219496100E-01

.19849615082700E+02 .26069696622000E+02 .30423208608700E-01

.S0900091148800E+OO .19071748995400E+OO .394017126~4300E+Ol --

r: 6;.66 KI 5'-49 melf c t.o.v. zrl) h= o. Ol25ao;: '· H lo·2 À min ("min= t.osaG) P: I 0

fi'.s = 4.5"a0 ; R'c = r6.;a0 ; fi'rn:. ÁOQ 0

AR-:: o.2Su0

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<t.LPHAid~LPHt'lJl. <J-->I> MEEGENOMEN TOESTANDEN: 3, 4, 6, VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN: 3, 4, ó•

.7S2139796S9200E+02 .19728039141400E+OO .60303386462400E-OS

.23004S17877SOOE+Ol .18927980721700E+02 .13691828181300E-04 _.44085032606SOOE-03 .85900359020BOOE-04 .399215139ó0100E+Ol

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<ALPHfii,t.LPHAJ>. <J-->I> MEEGENOMEN TOESTANDEN: 3, 4• ó• VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN: 3r 4• 6,

.75213980176800E+02 .19728021ó38900E+OO .603044~9SSOOOOE-05

.23004517704SOOE+01 .18927980822300E+02 .1369481012~100E-04

.4408S030806300E-03 .SS900363358400E-04 .399215139~7600E+Ol

"

~-R= 1.ooa0

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<ALPHt.IdiLPHfiJ). <J-->I> MEEGENOMEN TOESTANDEN! 3, 4, 6, VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOt111EN: 3, 4, 6,

• 75213980375200E +02 .197280.12SóóSOOE +OO • ó0305420490400E -OS .2300451B111100E+Ol .1B927980861SOOE+02 .1369~BOB700300E-04 .440BS031~03500E-03 .BS9003630óOOOOE-04 .39921513960800E+01

[:. G~. 66 K /s.ltg rr1€ V(. t.a..np~) h: O.OilS'oo:: I, u IO~z. ~min Omin: 1. OS' a" J P: 10

R',: 15.500 ;~m:20a 0 ; llR':o . .z5"a0 ; ALNKI\T-4o.ooo

li's= 4 . .;c.o

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<ALPHAirALPHAJ>. <J-->I> MEEGENOMEN TOESTANDEN: 3, 4, 6• VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN! 3, 4, 6t

.7S213982006400E+02 .19727937064100E+OO .60311S7821S200E-05

.23004S23SS2300E+01 .18927980760800E+02 .1369~910279600E-04

.4408S042096SOOE-03 .SS9003SS692000E-04 .39921S1394S400E+01

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<fiLPHMrALPHAJ>. <J-->1) MEEGENOMEN TOESTANDEN! J, 4, ót VOLGORDE TOEST~NDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN: 3r 4, 6'

.7S214032S12000E+02 .19727000258100E+OO .93984477696800E-05

.23003837658200E+01 .18927901123300E+02 .27ó69308839200E-04

.ó8719003036800E-03 .17342038959500E-03 .3790803047~700E+01

Rj = Ll.t'ilo

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<ALF'HAlr~LPHAJ>. <J-->I> MEEGENOMEN TOESTANDEN: 3, ~, 6• VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN: 3, 4, 6•

.7521~61S708800E+02 .1972ó717686000E+OO .74199142633600E-OS

.23003065408200E+01 .18927906393700E+02 .26737162909900E-04

.S4193533721000E-03 .16795944002800E-03 .3246445221BlOOE+01

Ïran~&rmaiie. vc;n een deel Y.n (R/ van ck poitnbaalmairix ~'('ff) ( v;,)i,=OJ t=63.6bK/s.l.jgme1f(t.o.v.zp}) n/~-tc.t~ianden:z.p"2p11 ,'2p6 P:.to rt:-1

kJsll =2 . .3qo6a0 kcoi:G= 5.9cii1Q0 R'5 .:.4.5"a0 fi',:l5.5a0 R'm:20a0 Lll\:a.2SQ0

~V;p:.~Q0 JnderdaaJ 3e/dLn N-ba5Îj = ( VN (R)Ju, • { N~:'>- k~] cfu· C tot cp crde 1{9)

... R! 7.0250 ==~~~:~~~=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=======

INTERACTIEMATRIY. Of' OMEGA-BASIS -.3404795450SSOOE+01 -.42116203S75AOOE+OO O. 0. -.42116203S75400E+OO r.3526374~582400E+Ol o. 0. O. O. -.334641180S5400E+02 -.42116203575400E+OO 0. O. -.42116203575400E+OO -.3358Só97092800E+02

N INTERACTIEMATRIX OP N-BASIS ' ( -.38911114822900E+01 -.61118043959200E-09 o. o. J-~ u -.59662B52436000E-09 -.30400584318100E+01 o. 0. .,;._. IJ [ 0 • O. - .33950434132100E+02 -. 488944351ó7600E-OSJ:' " 0. O. -.48894~3~167600E-08 -.33099381096100E+02~:6

-&1-

@ c;J 5yrnrm1-rie poteniiaolmair~x YUf/ in J7.-ha~i,; 6 .6 . I v L. 1 ) n *"" l , , t= 3.6 K 5.~grm r:.o.up~ e-~oe~tandcn:2f3,2p4 ,2p,

P:tO ~~=45Ci0 ff~=I5Sa0 R'm:.20a0 Aff:0.4Q0

R: 7 • 0000 :::: '"'~:: :. :::~:: :::: '·'""~"~-:-:·"·:-·:: :. '·''-'"'··=:·.:· :; :c·~:. "":::::

tNTERACTIEMATRIX OP OM~GA-BASIS .2$068079120900E+02 -.42417570797400~+00 .7S987700120800E+O~ 0.

-. 424175707974-00F.:tOO .161503131 J3200E"+01 0.. -.15'1975'3B370700E't02. .7S987700121600E+01 0. -.1279S267029SOOEtOZ -.42417570797400~+00

0. -.1S19753S370700E+O~ -.42417570797iOCftOO -.12936196234100~+02

~ Symmctne Y (R) m Sl-ba5ÏJ

VSCRJP OP OMFBABASIS .63027ó612S1200F.-01 -.106ó3342320SOOF.-02 .19045~970~9300E-01 .1ó7SZSó7438~00E-05

-.106ó33~2320500F.-02 .4l5932~85Bl600E-OZ .16787Só7438800E-OS -.3790~0260~1JOOE-O~ 1904S497049SOOF.-Ol .167B756743Bó00f-05 -.J1872730028000F.-01 -.10S477664~BlOOE-O. :16787567438600~-05 -.J790502ó091300F.-01 -.10S4776642~100E-02 -.3lB842SSB81500E-01·

@ 'Vgria 1.-e van lut siabiliiel~ criterium • -2

E=. h66 K fs. 49 me V (t.o.v. 7.p~) ne *! tc.t!>knden: 2F)? 1plt, 'Zf' h::o.orzsaa: 1, u IO A min Omm= I.OS'QQ)

f: 10 1?,: 45a0 lf,: 15Sa0 R'm:. zo a0 llR.:. o. ZS"ao

ALNI<RT = to.ooc (ALNKRT:: ~o.ooo : zie (Î) ~ ~~= 4.5a0 )

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<~LPHAisnLPHAJ>. <J-->Il MEEGENOMEN TOESTANDEN: 3r 4r ór VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN! 3s ~' 6r

.75213981198400E+02 .197279ó1806100E+OO .ó03091óó512000E-05

.2300452990~100E+Ol .189279791ó7900E+02 .1369838~578200E-04

.44084865112000E-03 .85900584350400E-O~ .3992151~100900E+Ol

At NKRT:: 20.000

TOT ALE UERt;ZAME DOORSNEDES SI G < ~LPHA I r ~LPHAJ > • < J-->I ) MEEGENOMEN TOESTANDEN: 3, ~~ 6r VOLGORIIE TOESTMU!EN IN RIJEN EN KOLOMMEN: 3, 4r 6,

.7S:13?83e25600E+02 .1972S140S72400Et00 .&Ol022~6116800E-05

. 2:!00445~949800E+01 .1S927979808200E +02 .13706631355000E -0·1

.44084317013600E-03 .85902943256800E-04 .3~921~0S207100Et01

ALNKRT: S'oo.ooc

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<ALF'HAirALPHf:J). <J->IJ MEEGENOMEN TOESTANDEN! 3r 4r 6r VOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN: 3, 4r 6,

.7S21387844SóOOE+02 .1973349921ó200E+OO .SS34S47SS98400E-OS

.23004238443200E+Ol .18927985149000E+02 .135262S83S9000E-04

.44082949520BOOE-03 .8590ó710707200E-04 .39921505526200E+01

- rJ1.-

f:!6;,.66K{S.49mtV(I:.o.v.zp~) h:O,OIZS'Q0 : 1,3.4-lo-?.Amin [Am1n=0.95;"ao) P:.z:z

l'i'5: 4.S"Q 11 ~c.:l5".5'a0 R'm =20t:l0 6R:~zs-a0 gej~c~nkanaal: 2f.z.

TOTALE WEF:KZAME DOORSNEDES SIGUILP'Hr.LALPH:\J). {J~- >t) MEEGENOMEN TOESTANDEN! 41 5", 7, 2, 1JOLGORDE TOESTANDEN IN RIJEN EN 1\0:.C:mE::: ~; S", 7,

.38793450099000E+Ol .10127065"442200~-01 .78C!4382333~~CE-04

.17946247Z98SOOE-Ol .30523299469600E+Ot .S0~9~ó68336eOCE·04

.82820790876000E-03 .48297338027900E-03 .óZZ12~7248000E+Ot

TOTALE WERKZAME DOORSNEDES SIG<f"ILPHI\Is1'1LPHAJ). <J-->I> MEEGENOMEN TOESTANDEN: 1, s, 7, 2, VOLGORDE TOESTI\NDEN IN RIJEN EN KOLOMMEN! 1, 5, 7,

' . • 387934S0099700E+01 .1012706S433800E-Ol .7801~38232SSOOE-04 .179~624729BSOOE-01 .30523299469000E+02 .SOS966683~7200E-04 .82820790890400E-03 .~8297338027900E-03 .ó2212~97217200E+Ol

-ó'3-

(Be~~3)

(f3ri 6:z)

( Coh 14)

( Chi 14)

(Edms'f)

(Gr~ 14)

(Henez)

(Jahsg)

(_lan 5"1?)

lMara~)

Bt~e~, J.P. N. ·• lnela:,tbche bot5in0en van 3eëxcitetrde. neonafamen: een

·hminverkenning" ahtudeer verjlag YPF &3- 09.

)3anstein)Ul "Atom Mülecuie Collijion 1heo~" Plenum f'rt~5, newjark and lonJon,I919

Child, N.5. "NDiecular (QI/i5iGn ïh~or;( Academie fres,, new Jork and london, 1914

Edmonds,A.Ii'. ,, Rndular Nomenturn 10 G vanturn rh>'sic5 ,. Prîncet~n llniver;i~ Pres5, I95t

Grcen,pan, P. ';Di.5,rete numfrico.l Methodj in Ph)5iCS and EnginctrînJ tl

(Mathema~it.5 in 5cieme and Engïnetrin8,vc/.1o1)

Rco.demic f'ress, 19'14

Hmnecar.f:. p. '' E'-l:u~ de5 ~ran5terts c.olk~iGnrn/5 ~e populaliüll_e1 J~/~ne~ ment o l'ïntérieur de5 con}i3uro.t1ons z.ps;s et2p'3p du nêcm"

llniver.;itê' de Co.en) i9c92

Jahnke) E. I Emde, F. "Ta11e5 ot Function.511

,Dover Publicativn.S) ntw)JorKil959 A

Lane, A .11.) l'hcma~, ff.G. ''fi'. Maln.(rheory of nucleair Reachms .•

lrev. cf Mcdern rhpic') 1956'

Marltns. J.f.M. ''HetJl·hopp~hngss(~mo. voçraa~esl~en neGn hc,~anden" -674-

U1el66]

(Späp]

en;~ a1J

Helkan oH, N.A., R~nal, J., Sawada, T. "Me1hod5 Comp-ut fhy5. 2" Academi' frrs5, flew Jork, 19 66

Mes:;iah, A. ''Qvontum Mechanr·cs '',vel. 1

narth- Hol!Cirtd Fubh,hing Company, Am.;terdam, 1961

Nikrtin, [[1 llmamh, 5-Jo.. "fheoryat j/aw A-tomie Calbionj ~ ~prïnser.;Verlaa, Berlîn Heïdelher3 newJcrk To~o, 19c14

11~ten,li.NJ "Experirrnnto.J crC55·5ec1:ion5 for col/ision induad tran.;iBon5 Wtthin the .shvrt-lived ne**czp] mulhpie( Atstudeervers1a~, YOF-NG

c74-o6.

5chulte,A.M. "1he adiabaticappraximahon in multïchanne} scaHerin~" prods<.hriH >TH r, 191.f

5päth, H. "Sphne-Al3orithmen zur Kvns1ruhtion dlaHtr K'urven vnd Fliichm" R.OidmbowgVerla$, münchen-1.Jien, 1913

lli~ssen,1.f). G., Verhaar, B.J. J Schuite, A.t1. "13ehavior o} coupled-channel wavdunctiliJ1.S m !htcentrSu3al~ domînated redicn o}thr 1-r-p1ane"

1'h)sical Review(, val. u, number s, 19o"l

ïorn~,V. "numtriSche NCllhtmatik tür Injenieure. und f'~~iker'' )3and 1 tî(len-wert probleme und ~umerijche Methoden ~er Ana~sis $prin~er .. Vérla8 I Berlin Heidelberd new Jork, 1919

-as-

Dankwcord

1-fierb~ wili K iedereen bcd_an_ken, die m~ ~~dens m~n a}s~ud~rp~riode ge!lkund ~bbn Met namt: ?ro}.1erhaar en dr . .Be~ennck, belajl mei de svpervi:i•e ven dii onderzoek. Z~ lanceerden vek heldere ideeê.n,dîe dit werk 1n de 8ctd~ rith.f:ïng stuwden. Ir. ~and~r~.d beier gae0J, Haar~n. die mj iede_redaJ terzjde stond en zonderwie ik heteen Stuk mOtll~ker Jehad zou hehhen in ~t af:i~ck~aar. . . Ri,hard vcm Amen, die zjn derde sta~e opoHerde. om voer cns Je p luaije.J van dt 5-matrixelenunten

te i:ehmn. 1ërckrcllle o.~ckre ledenvon de vakdroepîh;.oreli.Jc.he naiuurhnde, 10 het hExcnder fi;u. VOCirde uîi­s't.ekende kotJie uil de cudt, kla.ssiek kofhepol, al m~n mede;tudenten en vrienden en la5t but not leabt mjn familie,d,e altgd hei rujtptint is, waarcp ik Kan teru0vallen.