dynamique des structures (exercices) · 2020. 10. 15. · une étude statique fig2 réalisée sur...

Vibrations cahier de TD

1

Oct 2020

Dynamique des Structures (exercices)

Michel SUDRE

Kc

M

Kc

UniversitéPaul Sabatier

T O U L O U S E I I I

http://www.mastercalcul.fr/


2

exercices 1DDL:

1 Consider this system and obtain anexpression of the equivalent spring.Calculate the equivalent spring cons-tant then derive the differential equa-tion of motion.( ) m

uk1

k2

k3

2 Consider this system consisting ofan unknown mass m and a spring withunknown spring constant k. It hasbeen observed to oscillate naturallywith the frequency ωn=100 rad/s. De-termine the mass m and spring cons-tant k knowing that when a mass∆M=0.9 Kg is added, the modified na-tural frequency is Ω=80 rad/s. ( )

mk

∆m

3 To determine the centroidal massmoment of inertia Ic of a tire mountedon a wheel, the system is suspendedon a knife-edge and the natural periodof oscillation T is measured. Derive aformula for Ic in terms of the mass m,the period T of the system, and the ra-dius r from the center C to the knife-edge.( )

r

(m)C

4 A mass m is suspended on a mas-sless string. Assume that the string issubjected to the tension T and that thistension does not change throughoutthe motion, and derive the differentialequation for small motions from equili-brium, as well as the natural frequencyof oscillation.( )

uL/2 L/2

(m)


3

extrait de: ELEMENTS OF VIBRATION ANALYSIS.Leonard Meirovitch

McGRAW-HILL INTERNATIONAL EDITIONS

7 Soit un oscillateur linéaire de caractéristiques k et m , initialement au repos et sou-mis à F(t):

Déterminer le réponse u(t) dans les 3 cas définis ci-dessus.

5 This building can be modeled inthe first approximation as a singledegree-of-freedom system by regar-ding the columns as massless andthe roof as rigid. Determine the natu-ral frequency.Assume that M can only translatealong y axis so that the column un-dergo no rotation at the top.( )

x

y

z

M

EIz

h

6 A buoy of uniform cross-section-nal area A and mass m is depresseda distance x from the equilibrium po-sition and then released. Derive thedifferential equation of motion andobtain the natural frequency of os-cillation. The mass density of the li-quid in which the buoy floats is ρ.( )

x

( )

m

u

k

F(t)

F0

F0

F01

2

3

F(t)

t

F(t)

t

F(t)

t

t0

t0


4

8 Soit un oscillateur linéaire de caractéristiques k=300N/m et m=1Kg soumis à F(t).

Rappel: Décomposition en série de Fourier et Spectre:

Pour la fonction F donnée, la décomposition s’écrit:

Tracer le spectre de F(t) puis étudier la réponse.

9 Soit l’oscillateur linéaire non amorti de caractéristiques k et m soumis à du frotte-ment sec (coefficient f).

A t=0, on impose un déplacement x0 et on abandonne sans vitesse initiale.

Etudier le mouvement.

m

u

k

F(t)F(t)

t

+F0

-F0

1s

T/2

T/3

T/4

f

2f

3f

4f

fréquence

amplitude

t

t

t

tT

F t( ) 4F0

Π--------- 2Πtsin⋅

4F0

3Π--------- 6Πtsin⋅

4F0

5Π--------- 10Πtsin⋅

4F0

7Π--------- 14Πtsin⋅ …+ + + +=

m

x(t)

k

frottement sec (f)


5

10 Interface lanceur-satellite

1° partie Un bipode est une structure plane constituée de 2 barres articulées entreelles et avec le bâti fig1.Calculer le déplacement du point A sous l’effet: -d’un effort vertical F appliqué en A -d’un effort horizontal F appliqué en A.

Une liaison entre un satellite et son lanceur est réalisée par 3 bipodes situés dans desplans verticaux et disposés à 120° fig2.

2° partie Le plateau inférieur représente la référence fixe.On veut calculer la raideur longitudinale et la raideur en torsion de l’interface.

1° Calculer le déplacement vertical v du plateau supérieur sous l’effet d’un effort Fappliqué au satellite suivant Z.

2° Calculer la rotation θ du plateau supérieur sous l’effet d’un moment M appliqué ausatellite suivant Z.

En déduire la raideur longitudinale F/v et la raideur en torsion M/θ de l’interface enfonction de E,S,L,α et R.

3° partie La masse du satellite est m=300 Kg. Son moment d’inertie Iz=6 Kg.m2. Lesbarres sont des tubes de rayon ext r et d’épaisseur e. Choisir la section de ces tubespour que la plus basse des 2 fréquences propres ( longitudinale et de torsion) soitsupérieure à 100Hz.

E=70GPa L=60cm α=60°

E,S,

L

x

y

E,S,L

A

fig1

1 2

O

α

z

satellite

lanceur

interface

plateau supérieur

plateau inférieurx

y

z

x

fig2

rayon R


6

11 Machine d’étude de modèles de suspension.

Le dispositif ci-dessous permet l’étude en laboratoire de la réponse d’un système mas-se-ressort-amortisseur à une excitation quelconque. Une masse M et un support (S)sont en translation verticale par rapport au bâti fixe. La masse et le support sont reliéspar un ressort de raideur K et un amortisseur de coefficient c. Le déplacement du sup-port est induit par le défilement d’un profil schématisant les irrégularités de la chaus-sée.

-les liaisons sont parfaites-le profil se déplace à vitesse constante V-le contact n’est jamais rompu-le rayon de la roue est faible devant la courbure du profil.

On désigne par:- y(t) la position de la masse par rapport à sa situation de repos- yB(t) la position du support par rapport à sa situation de repos.

La forme du profil est telle que la trajectoire du centre de la roue est donnée par lafonction: yB(x)= a. sin(Ωx). On désigne la longueur d’onde par λ.

M = 300 Kg K = 1.4 104 Nm-1

c = 2.9 103 Nsm-1 λ = 1 ma = 10 cm V = 1 ms-1

Déterminer Ω.Déterminer la loi yB(t).Ecrire l’équation du mouvement.Calculer l’amplitude maxi du mouvement de la masse M.

M

Kc

bâti fixe

V vitesse constante

profil

(S)

yB(x)

xλ/2

y(x)


7

exercices 2DDLs:

12 On dispose du matériel ci-dessous.Les paramètres de configuration sont u1(t) et u2(t) .

Mettre le système en équations et montrer que la matrice [M]-1[K] s’écrit:

Calculer les pulsations propres en fonction de k et m.

13 Un plancher est modélisé par 3 barres homogènes de longueur L et masse m ,articulées entre elles et reposant en A et B sur 2 appuis élastiques de raideur k (fig 1).

Les paramètres de configuration sont les allongements y1 et y2 supposés petits desressorts par rapport à la situation de repos horizontale (fig 2).

Montrer que l’énergie cinétique et l’énergie élastique s’écrivent:

En déduire les matrices de masse [M] et de raideur [K]. Trouver les pulsations ω1 < ω2.Caractériser et tracer les modes propres.

m

u1

2k

k

2m

u2

2k

km

4

-1 1.5

-2

x

yL L L

k k

O A B C

fig 1

y1

y2

x

y

O

AB

C

Ecm6----- 2y1

22y2

2y1 y2⋅+ +( )⋅= Ep

k2--- y1

2y2

2+( )⋅=


8

14 Un système mécanique est modélisé ci-dessous sous la forme d’un oscillateur à1 degré de liberté u1(t).

Les caractéristiques sont données: m1=1 Kg

k1= 1 daN/mm

La masse m1 est soumise à un effort harmonique F(t).

Quelle est en rd.s-1 la valeur de Ω dangereuse?

L’objectif est de réaliser un absorbeur de vibrations c’est-à-dire de conce-voir un système tel que sous l’effet de F(t)=F0.sin(Ωt) avec la valeur Ω calculée précé-

demment, le mouvement de la masse m1 soit nul.

Une masse m2 et un ressort k2 sont ajoutés. Le système est maintenant un

oscillateur à 2 degrés de liberté u1(t) et u2(t).

Ecrire le système différentiel du mouvement.Après avoir essayé des solutions : u1(t)=U1.sin(Ωt) et u2(t)=U2.sin(Ωt) ,

rechercher les amplitudes U1 et U2.

Sachant que m2 = m1 /10, déterminer la valeur de k2 répondant à l’objectif.

Quelle est pour F0 = 10 N, l’amplitude du mouvement de la masse m2 ?

Avec les valeurs calculées précédemment, déterminer en rd.s-1 les 2 pulsationspropres du système avec absorbeur. Conclusion?

m1

k1

u1

F(t)=F0.sin(Ωt)

u2

m2

k2

m1

k1

u1

F(t)=F0.sin(Ωt)


9

15 Le véhicule fig1 dont la masse est de 1 600Kg est modélisé fig2 par une barrerigide sans masse munie de 3 masses ponctuelles de 660 Kg, 500 Kg et 440 Kg en A,B et C.Les amortisseurs et les pneumatiques sont représentés par 2 ressorts de raideur K fixésen A et C.Les paramètres de configuration sont les déplacements q1 et q2 des points A et C sup-posés petits, mesurés suivant y par rapport à la situation de repos.

Démontrer que l’énergie cinétique s’écrit:

En déduire la matrice de masse, la matrice de raideur et la matrice [M]-1[K]. Calculer les 2 fréquences propres en Hz et caractériser les modes.

Une masse M est chargée dans la benne fig3. La conséquence sur le modèle est pré-cisée fig4.

Pour quelle valeur de M obtient-on des modes de type et ?

x

y

fig1

x

y q1q2

660 500440

K= 42 240 N/m

1200 1800fig2

A BC

Ec= q1 q2q12

q22

.1

2Ec=

1

2( 840 + 520 + 240 )

(M) 660 500(440+M)

fig3 fig4fig3

11

-11


10

16 On considère une structure de bâtiment représentée par le modèle plan fig1.

Cette structure est constituée de 2 planchers P1 et P2 de masse M= 1 tonne, suppo-sés indéformables articulés en A,B,C et D à 2 colonnes en treillis identiques, dont onnégligera la masse.

Une étude statique fig2 réalisée sur l’une des colonnes en acier a donné les déplace-ments suivants:

-sous l’effet d’un effort unitaire appliqué suivant x en A, uA=10.450 10-7 m et uB=3.325 10-7 m.

-sous l’effet d’un effort unitaire appliqué suivant x en B,uA=3.325 10-7 m et uB=1.425 10-7 m.

1°question: Exprimer la matrice de souplesse qui relie les efforts

aux déplacements .

En déduire la matrice de raideur (matrice inverse de la matrice de souplesse).

2°question: Montrer que le système différentiel du mouvement s’écrit:

3°question: Calculer les fréquences propres en Hz et représenter les 2 modes.

4°question: Le plancher P1 supporte une machine qui génère un effort horizontal de

la forme F0.cos(Ωt). Que devient le système différentiel? Quelle est la pulsation d’anti-

résonance du plancher?

x

y

P1

P2

A

B

C

Dfig1

(M)

(M)

A

B x

y

uA

BuBfig2

FA

FB

uA

uB

1 0

1

u··A

u··B

7430 -17335

54490+

uA

uB

=0

0

0 -17335


11

17 Un fil élastique de masse négligeable est tendu entre 2 points fixes A et B dis-

tants de 4a. Le fil porte 3 masses ponctuelles m en P1, P2, P3 régulièrement espacées

de a. On néglige la pesanteur et le fil est supposé horizontal à l’équilibre sous l’effet d’unetension T.

valeurs numériques: a=25 cm m=50 g T=4.5 dan

Hypothèse: on étudie les petits mouvements transversaux des points P1, P2, P3 dont

les déplacements sont notés v1, v2, v3 et considérés comme très petits devant a. La

tension reste sensiblement égale à T.

Question 1: Après avoir isolé chacune des masses, montrer qu’on aboutit au sys-tème différentiel suivant:

en posant T/ma=ω2.

Question 2: Calculer les pulsations propres ω1 < ω2 < ω3 .

Question 3: Caractériser les modes correspondants et dessiner l’état du fil pour cha-cun d’eux.

Question 4: Comparer les résultats obtenus avec ceux de la corde vibrante.

Les pulsations propres d’une corde de masse m, de longueur L, tendue entre 2 pointsfixes avec une tension T ont la forme suivante:

Un instrument de musique est accordé en ajustant la tension T. Le musicien modifie lafréquence en déplaçant ses doigts pour ajuster la longueur L. Le son est constituéd’une combinaison d’harmoniques avec prédominance de la fondamentale. Le musi-cien, s’il a du talent, joue sur les harmoniques élevés pour produire un son plus per-sonnel et plus agréable.

x

v1v2

v3

a 2a 3a

P1

P2

P3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 -1 0

-1 2 -1

0 -1 2

v1

v2

v3

0

0

0

v1

v2

v3

..

..

..=+ ω2

ωn= nπ T

mL


12

18 On considère 2 pendules identiques liés par une tige de torsion de masse négli-

geable et de raideur k. Cette tige est guidée en rotation autour de l’axe Oz par rap-port au bâti fixe.

On pose: I le moment d’inertie d’un pendule par rapport à Oz.M la masse d’un pendulea la distance du centre d’inertie à l’axe Oz.

Au repos, chaque pendule est vertical ( Θ1=Θ2=0 ) et la tige n’est pas sollicitée.

1° Partie: On suppose le pendule 2 bloqué avec Θ2=0. Déterminer l’équation des

petits mouvements du pendule 1 quand on l’a écarté de sa position d’équilibre. Calcu-

ler la pulsation ω0 des petites oscillations en fonction de M, K, I, a et g.

A.N. : I = 1 Kg.m2

M =3 Kg

K = 1 mN.rd-1

a = 0.30 m

g = 10 ms-2

Calculer la période des petites oscillations. Exprimer Θ1 en fonction du temps sachant

qu’à l’instant initial Θ1=0.1 rd avec une vitesse nulle.

2° Partie: On libère le pendule 2.

Déterminer les matrices [M] et [K] telles que .

On pose K/I=α.ω02 ω0 ayant été défini dans la 1° partie

Déterminer les pulsations propres ω1 et ω2 en fonction de ω0 et α. Trouver les modes

propres de vibration.

x

y

z

x

G1

G2

O1

O2

tige de torsion bâti fixe

Θ1

Θ2

O g

Θ1

Θ2

[M] [K] Θ1

Θ2

..

.. + = 0

0


13

On donne les conditions initiales suivantes: Θ1=Θ0 =0

Θ2=0 =0

Calculer Θ1(t) et Θ2(t).

Si on suppose la tige très souple ( α << 1), montrer que l’on a sensiblement:Θ1(t) =A1(t).cos(ω0.t)

Θ2(t) =A2(t).sin(ω0.t)

où A1(t) et A2(t) sont des fonctions périodiques de période longue.

Faire un tracé.

A.N. : I = 1 Kg.m2 M =3 Kg

K = 1 mNrd-1 a = 0.30 m

g = 10 ms-2 Θ0 = 0.1 rd

Θ1

.

Θ2

.


14

19 Soit la maquette d’un bâtiment de 3 étages modéliséepar un système plan à 3 DDLs: u1, u2, u3.

Les matrices de masse et de raideur sont fournies:

-1- Calculer les 3 pulsations propres ω1, ω2, ω3.

-2- Les 3 vecteurs propres sont donnés:

Représenter les 3 modes

-3- Un effort F(t)=F0 cos(Ωt) est appliqué au plancher N°2.

Pour quelle(s) valeur(s) de Ω2 y a-t-il antirésonance duplancher 2?

-4- Calculer la matrice [C] à partir d’une hypothèse d’amor-tissement proportionnel:

[C]=a.[M]+b.[K]

avec un taux d’amortissement de 5% dans le mode 1 et de3% dans le mode 2.

2 0 0

0 2 0

0 0 2

600 -600 0

-600 1800 -1200

0 -1200 3600

[K]

[M]

=

= Kg

N/m

1.

.546

.197

-.661

1.

.575

-.520

1.

.086

sol 108 Direct Frequency Response Analysis

Freq (Hz)

U2 component

u1

u2

u3

2Kg

2Kg

2Kg

lame acierplanchers indéformables

F0 cos(Ωt)

u1

u2

u3


15

20 La station spatiale internationale sert au développement d'expériences scienti-

fiques en micro-gravité. Les appareillages contenant les expériences sont stockés

dans des containers standardisés.

Le but du problème est la vérification du comportement dynamique d'un container

lors des phases vibratoires du vol (décollage et retour). L'isolation mécanique est réal-

isée par une mousse polyéthylène.

L'appareil à isoler est un parallélépipède (L x h x b) dont le centre de gravité est

décalé de a par rapport au centre géométrique. Sa masse est m et son inertie par

rapport à Gz est Iz. L'isolation mécanique est réalisée par 2 épaisseurs de mousse de

largeur L et profondeur b. Cette mousse, précontrainte au montage pour éviter tout

risque de décollement, est caractérisée par sa raideur surfacique: r. On appelle eo son

épaisseur naturelle et e son épaisseur précontrainte.

Le mouvement étudié est caractérisé par le déplacement vertical du point O: y(t) et

par la rotation α(t) de l’appareil autour de z. On désigne par u le déplacement vertical

des points P et Q situés à l’abcisse x.

Les paramètres y(t) et α(t) sont nuls au repos et sont supposés petits.

-1- Déterminer l'énergie cinétique de l'appareil.

-2- Calculer l'énergie potentielle de déformation des mousses en fonction de y(t) et

α(t). On néglige les effets de la pesanteur.

-3- Donner les équations différentielles de Lagrange du mouvement.

-4- En déduire l'équation aux pulsations.

-5- Calculer ces pulsations et vérifier qu'avec la mousse utilisée, la plus petite

fréquence propre est > 30 Hz.

A.N. Iz =0,093 kgm2 m =7,3 kg a = 58 mm

b= 250 mm L=400 mm r= 24 105 Nm-3

z

xy

Lb

mousse container

e-u

e+u

α(t)xx

yy

e

y(t)G

x

G Oa

e

P

Q


16

exercices poutres:

21 On étudie les vibrations longitudinales d’un mât cylindrique bi-encastré. Il estmodélisé comme indiqué ci-dessous par un système discret à 3 paramètres u1, u2, u3.

Les positions sont repérées par rapport à la situation d’équilibre.

-1- Montrer par la méthode de votre choix que le système différentiel du mou-vement s’écrit:

-2- Calculer les 3 pulsations propres.

Application Numérique: E= 210 GPa

S= 15 10-4 m2

m= 36 KgL= 3 m

-3- Exprimer les 3 vecteurs propres.

-4- Comparer ces résultats à ceux de la dynamique des poutres. Conclusions?

-5- La masse 2 supporte un effort vertical de la forme F0.cos(Ωt). Calculer la

réponse du système en régime permanent.

x

E,S

,L,m

m/3

m/3

m/3

u1(t)

u2(t)

u3(t)

6ESL

6ESL

3ESL

3ESL

u1

u2

u3

0

0

0

=

3

3

2

-1 0

-1 -1

0 -1

u··1u··2u··3

3ESL

--------- ⋅+m3---- ⋅

1

1

1

0 0

0 0

0 0


17

22 On étudie le comportement d’une tuyauterie sous-pression (circuit primaire d’unréacteur nucléaire) à la suite d’une rupture accidentelle.La rupture se produit, comme indiqué sur le shéma, à la sortie du coude, à une distance2L de l’encastrement. Après rupture, le gaz éjecté exerce sur la conduite un effort F.Le tube est circulaire de rayon moyen R et épaisseur e.La conduite est modélisée par une poutre de raideur (EI), de longueur 2L et 2 massesponctuelles (M1=.5 M et M2=.25 M). M représente la masse totale de la tuyauterie.

Dans une première partie, on cherchera les fréquences et les modes (F=0).Ensuite, on étudiera la réponse du tuyau à l’effort F.

En exploitant le formulaire ci-dessous,

exprimer:

-la flèche v1 en A1 due à un effort unitaire appliqué en A1 ,-la flèche v1 en A1 due à un effort unitaire appliqué en A2 ,-la flèche v2 en A2 due à un effort unitaire appliqué en A2 .

En déduire l’expression de la matrice de souplesse [S] puis de la matrice de raideur[K] en fonction de E, I, L:

L= 3 m

M= 460 Kg

M1

LL

section de rupture

R= 12.5 cm

e= 1.25 cmF

F= 100 KN

E= 210 GPa

Rappel: I=πeR3

M2

Q

E,I

av(x)=

Qx2

6EI.(3a-x)flèche à l’abcisse x:

LL

A1 A2

v1

v2

F1

F2

= *6EI

7L3 2

-5

-5

16


18

Les paramètres de configuration étant les flèches v1 et v2, exprimer la matrice demasse [M].

Calculer la matrice [M]-1[K]. Calculer les fréquences propres. Caractériser et dessiner les modes.

Ecrire la solution (a) du système libre (F=0):

La rupture de conduite (à t=0) produit le chargement suivant:

Ecrire une solution particulière (b) du système excité:

La solution du problème est la somme (a)+(b).Expliquer (sans effectuer les calculs) comment les constantes d’intégration sont calcu-lées.

La solution (a)+(b) est tracée ci-dessous:

En exploitant ce graphique, évaluer la vitesse maxi atteinte par l’extrémité libre.

v1

v2

=*

..

.. +v1

v2*

0

0M K

temps

effort

F

v1

v2

=*

..

.. +v1

v2*M K F

m

s

(flèches en m)et


19

23 Dispositif expérimental de mesure de vitesses critiques d’un rotor.

Le moteur dont la vitesse est réglable entraîne l’arbre par l’intermédiaire d’un jointsouple (J).L’arbre tourne sur 2 paliers fixes (A) et (B).Les paliers R1 et R2 peuvent être ’ouverts’ ou ’fermés’ pour limiter les amplitudes dansles régimes critiques.

En effet, on sait qu’à certaines vitesses dites critiques, l’arbre devient dynamiquementinstable. Pour ces valeurs, on peut dépasser la limite élastique voire atteindre la rup-ture. Ces vitesses critiques correspondent aux pulsations propres en flexion de l’arbremoteur arrêté. Elles dépendent des types de paliers utilisés.

Le but est de rechercher expérimentalement les vitesses critiques (fondamentale et 1°harmonique) dans les 3 cas suivants:- paliers sphériques en (A) et (B).- paliers cylindriques en (A) et (B). - paliers sphérique en (A) et cylindrique en (B).

Ce TD a pour objectif de calculer les valeurs théoriques de ces vitesses.

Valeurs numériques: Longueur (A)-(B) = 1.5 mdiamètre D= 12 mmmodule E = 2.1 1011 N/m2

masse volumique ρ= 7.9 103 Kg/m3

-1- Proposer un modèle pour chacun des 3 cas.-2- Montrer que les équations aux pulsations sont solutions de:

- paliers sphériques en (A) et (B):

- paliers cylindriques en (A) et (B):

- paliers sphérique en (A) et cylindrique en (B):

avec:

-3- Calculer (en tr/mn) les vitesses critiques (fondamentale et 1° harmonique) pourchacun des 3 cas.

moteur palier(A) palier(B)

arbre

R1 R2

(J)

ωn

λnnπL

--------=

1 λnL( )cos ch λnL( )⋅– 0=

λnL( )tan th λnL( )=

λn4 ρS ωn

2⋅EI

--------------------=


20

Annexe à l’exercice 23:

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

tanh(λL)

tan(λL)

ch(λL)1

cos(λL)

λL

λL


21

24 fréquence fondamentale d’un château d’eau.

La question est donc de rechercher la première pulsation propre de flexion d’une pou-tre encastrée-libre avec une masse ponctuelle à l’extrémité.

Proposer une méthode et estimer la fréquence en Hz.

On peut procéder par étapes:.1 calcul approché, sans prise en compte de la masse de la tour en béton..2 calcul avec prise en compte de la masse de la tour en béton.

On cherche à estimer la fréquence fonda-mentale de flexion d’un château d’eau.

Le château d’eau est constitué d’une tourcylindrique et d’un réservoir.

Les caractéristiques sont les suivantes:- tour en béton de hauteur L=30 m- diamètre extérieur de la tour: 4 m- épaisseur de la tour: 20 cm- module élastique du béton:

E=35 GPa

- masse volumique du béton:ρ=2500 Kg.m-3

- masse de l’eau et du réservoir: M=250 t

Formulaire:- moment quadratique d’un cylindre

de rayon extérieur R et d’épaisseur e:

π4

[R4 - (R-e)4]I=

M

ρ,E,I,L

u(t)


22

25 Soit le problème de flexion présenté sur la figure.

Il s’agit d’une lame [AB] de longueur L, de rigidité EIZ, de masse négligeable, encastrée-

appuyée, supportant une masse ponctuelle M au milieu de [AB].

La rotation de la section extrême est notée: ΘB.

La déformée pour 0<x<L est représentée par le polynôme:

Quelles sont les 4 relations que doit vérifier f(x) pour être cinématiquement admissi-ble?

En déduire que a= b= c=0 d=0.

La déformée en flexion v(x,t) est postulée sous la forme v(x,t)= f(x).cos(Ωt).

Montrer que l’énergie élastique de la lame est: .

Calculer l’énergie cinétique de la masse M.

En déduire la pulsation Ω par la méthode de Rayleigh.

B

A

L/2 L/2

ΘBM

M

f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d

ΘB

L2

ΘB

L

W=12

ΘB24EIZ

Lcos(Ωt)

2


23

26 1°PartieLe corps d’un outil à aléser est assimilable ( fig 1 ) à une poutre encastrée-libre de lon-gueur L, de section circulaire de rayon R, de module E et de masse volumique ρ .

1° Question: Calculer la pulsation fondamentale Ω par la méthode de Rayleigh enadoptant pour déformée du mode:

2° Question (Application Numérique): Montrer que la fréquence propre varie peu enfonction des 3 matériaux :

Aluminium E= 70 000 MPa ρ= 2700 Kg/m3

Acier E=210 000 MPa ρ= 7800 Kg/m3

Tungstène E=420 000 Mpa ρ=16000 Kg/m

2° Partie

Afin d’élever cette fréquence pour améliorer la stabilité de la coupe, on envisage unoutil à aléser ( fig 2 ) composé de 2 tronçons de longueur d, de section circulaire derayon R, de modules respectifs E1 et E2 et de masses volumiques ρ1 et ρ2 .

1°Question: Calculer la pulsation fondamentale Ω par la méthode de Rayleigh avec lamême déformée que dans la première partie.

2°Question: Choisir le couple optimal parmi les 3 matériaux précédents et donner lafréquence propre optimale.

L=18cm

R=6mm

-fig 1-

v x t,( ) a x3

Ωt( )cos⋅ ⋅=

d=9cm

R=6mm

d=9cm

E1,ρ1 E2,ρ2

-fig 2-


24

27 examen juin 2017.

Les 2 degrés de liberté sont (déplacements suivant y des 2 masses ponctuelles)

La forme des 2 modes est donnée ci-dessous:

x

y

A (mA)

B (mB)

(100 mm x 200 mm x .8 mm)

On étudie une plaque rectangu-laire en alu, appuyée sur les pe-tits côtés et supportant 2équipements représentés par 2masses ponctuelles.(mA en A et mB en B)

mA= 200 g au 1/4 de la longueur

mB= 500 g au 3/4 de la longueur

E= 70 000 MPaz

vA

vB

1° mode: f1 O1

1: Connaissant les matrices de masse et de raideur, calculer f1, f2, et .

2: Expliquer, en considérant la forme des modes, pourquoi on peut adopter un modèlede poutre bi-appuyée en flexion. Que vaut IZ ?

3: On néglige la masse de la plaque. On se propose d’utiliser la méthode de Rayleigh-Ritz avec le modèle «poutre» pour retrouver la fréquence f1.

La déformée est postulée sous la forme: f(x)= a. sin ( ) L=200 mm

Expliquer ce choix. Calculer f1.Quel est l’écart en % par rapport au résultat de la question 1?

4: On se propose ensuite de retrouver la fréquence f2.

La déformée est postulée sous la forme: f(x)= a. sin ( ) L=200 mm

Expliquer ce choix. Calculer f2.Quel est l’écart en % par rapport au résultat de la question 1?

O1 O2

[M]= Kg.2 0.

0. .5[K]= N.mm-1

8.05 -6.16

-6.16 8.05

π.x

L

2.π.x

L

, 2° mode: f2 O2,


25

28 examen juin 2004 (extrait)

Soit la poutre (fig 1) de longueur L, de module élastique E, de masse volumique ρ, encastréeà l’origine et soumise à l’extrémité à l’action d’un ressort de raideur k.

On s’intéresse à l’étude des vibrations longitudinales caractérisées par la fonctionu(x,t)=f(x).g(t).

On pose ( a est un coefficient sans dimension ).

-1- Calculer les 2 premières pulsations sans le ressort (cas encastré/libre) par la dynamique despoutres. Application numérique.

-2- Que devient la condition limite en x=L avec le ressort? Montrer que l’équation auxpulsations s’écrit:

-3- En exploitant la courbe tan(λ) donnée (fig 2), calculer le coefficient a pour que la premièrepulsation ω soit de l’ordre de 20 000 rd/s. Quelle est, pour cette valeur de a, la deuxièmepulsation?

-4- Que devient la première pulsation quand le ressort est: - très souple ( a ) - très raide ( a )

fig 1x

E,S,L,ρ

k

u(x,t)

ES

La.

E,S,L,ρ

E=70 GPa

ρ=2700 Kg/m3

L=50 cm

k=ES

La.

tan(λ)=- λa

λ=ω. ρE

.Lavec

0

fig 2


26


Dans un moteur à explosion, le mouvement alternatif de la soupape est obtenu à partir d’unecame en rotation (fig1). Les contacts sont assurés par un ressort qui agit entre la soupape etle bâti moteur.Des phénomènes de résonance peuvent naître au sein même du ressort, provoquant desdéformations importantes avec risques de chocs entre les spires.

Pour étudier le ressort (fig2) de masse M= 90 g et de raideur K= 10 000 Nm-1, on le modélise(fig3) par un système de 3 masses ponctuelles M/3 et 3 ressorts de raideur 3K.

Le déplacement de la masse N°3 est connu puisqu’il est piloté par la came. On le désigne parf(t).Les déplacements des masses N°1 et 2 sont désignés par u1(t) et u2(t).

1° Question: On pose: U= .

Montrer que le système différentiel du mouvement s’écrit: [M]. + [K].U =

Exprimer les matrices [M] et [K].

2° Question: On donne les matrices [M]= et [K]= .

Calculer les pulsations propres.

3° Question: On donne l’expression de f(t): f(t)= d1.cos(Ωt) + d2.cos(2Ωt) + d3.cos(3Ωt)

où Ω est la vitesse de rotation de la came de distribution.

Quelles sont les vitesses Ω dans la plage 0 à 5000 tr/mn qui provoquent une résonance sur lepremier mode?

( )

came

bâti

soupape

ressort

O M/3

3K

3K

3K

modèle

u1(t)

u2(t)

f(t)

K , M

fig1 fig2 fig3

Ω

M/3

M/3

u1(t)

u2(t)

U..

03K.f(t)

30 10-3

30 10-3

0

0

6 104 -3 104

-3 104 6 104

2π60

0 < Ω < 5000.


27


On considère une poutre bi-appuyée en vibrations de flexion dans le plan (xy).Les caractéristiques sont EIz, ρ, 2L, S.

1 On cherche à déterminer la première pulsation propre (mode symétrique) par la méthodedes éléments finis en adoptant un modèle à un seul élément sur la 1/2 longueur L.

Le système différentiel du mouvement s’écrit: [M]. + [K].U = 0.Expliquer pourquoi le modèle est à 2 DDL.

Exprimer U, [M] et [K] puis calculer la 1° pulsation (mode symétrique).

2 On cherche à déterminer cette pulsation par la méthode de Rayleigh en représentant ladéformée sur la 1/2 longueur L par la fonction f(x).

Parmi les 2 propositions suivantes, quelle est celle qui convient? Pourquoi?

f(x)= a.x.(x2-3L2) f(x)= a.x2.(x-3L)

Donner (sans l’intégrer) l’expression du quotient de Rayleigh avec la fonction f(x) qui convient.

On obtient après calcul: ω2=6.29

3 On cherche à retrouver cette pulsation par la dynamique des poutres en travaillant sur la1/2 longueur L.

Ecrire le système 4x4 dont l’annulation du déterminant conduit aux pulsations propres.

L’équation aux pulsations est donnée: cos(λ L).ch(λ L) = 0 avec λ4=

Exprimer la première racine.

4 Calculer en hertz la 1°fréquence propre donnée par la plus précise des 3 méthodes 1, 2, 3.

EIz = 350 103 Nm2 S = 10 cm2

ρ = 7800 Kg m-3 2L= 2 m

pla

n d

e s

ymétr

ie

EIz, ρ, S

x

y

L

U..

EIzρSL4

ω2ρS

EIz


28

31 examen mai 2007 (extrait)

Le but est de montrer qu'une expérience de vibration d'un système libre peut être réalisée enle suspendant au bâti par un ressort de raideur faible.

1 Soit le système libre à 2 DDLs représenté fig1. On pose: U= les déplacementsmesurés par rapport à une situation d’équilibre.

Ecrire les équations du mouvement sous la forme: [M]. + [K].U = en précisant[M] et [K].

Montrer que ces matrices conduisent au calcul d’une pulsation nulle.L’autre pulsation est désignée ω. Calculer ω en fonction de k et M.Caractériser les formes des 2 modes.

2 Le système précédent est suspendu à un bâti fig2 par l’intermédiaire d’un ressort deraideur αk.

Ecrire les équations du mouvement sous la forme: [M]. + [K].U = en précisant[M] et [K].

Calculer les 2 pulsations ω1 et ω2 en fonction de α, k et M. Montrer que si α est petit, ω2 esttrès proche de ω.

Application Numérique - remplir le tableau suivant:

fig2

M

M

k

αk

u1(t)

u2(t)

fig1

M

M

k

u1(t)

u2(t)

u1(t)

u2(t)

U..

00

U..

00

ω2ω

α 0.5 0.1 0.01

dynamique des structures (exercices) · 2020. 10. 15. · une étude statique fig2 réalisée sur...

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