du=tds-pdv · 2020. 12. 10. · p(v2)d3v = (m 2πkt)3/2exp[− mv2 2 kt]d3v 速度が...
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L2 気体分子運動論
熱力学は、系と外界との間のエネルギーのやりとりを記述する経験則である。 準静過程では、熱力学第一法則にまとめられる。
dU=TdS-pdV
復習
分子を仮定してミクロな理論からマクロな量を求め 1.1 ベルヌーイの公式
熱力学+α がわかる
α:理想気体の場合
(1700−1782)
内部エネルギー U=3NkBT/2 kB=ボルツマン定数=1.38x10−23J/K
ダニエル・ベルヌーイ
バーは平均を意味する
ベルヌーイ家
内部エネルギー U=3NkBT/2
単原子分子1こあたりの運動の自由度は、
x,y,z の3方向、すなわちNこの分子に対して、3N自由度。等分配則 1自由度あたりのエネルギー=kBT/2
常温300Kに対して
kBT=4.14x10-21 J=1/40 eV
エントロピーを計算しよう気体の内部エネルギーについてベルヌイの式
U =3NkT
2と ボイル・シャルルの法則 pV = NkT を用いて
エントロピー に対する表式を求めよ。
ヒント: 第一法則
を積分せよ
S(U, V )
dU = TdS − pdV
dU = TdS − pdV に を代入するとp =NkT
V
dU = TdS − NkTdVV
= T[dS − NkdVV
]
これに、ベルヌイの式 を代入して整理するとT =2
3NkU
3Nk2
dUU
= dS − NkdVV
積分して
S =3Nk
2logU + NklogV + const .
第1法則を偏微分で書いた式
(∂S∂U
)V =1T
(∂S∂V
)U =pT
S =3Nk
2logU + NklogV + const . に
を代入すると
U =3NkT
2pV = NkT
を再現する。
第3回目のミクロカノニカル統計においては、エントロピー S(U,V) の表式をボルツマン公式により計算して、ベルヌイの公式
を導く
U =3NkT
2
定積比熱と定圧比熱
dU=TdS-pdV=d’Q-pdV=d’Q-d(pV)+Vdp
体積Vを一定とすると
d’Q/dT=dU/dT=Cv
圧力を一定とすると Cp=d’Q/dT=dU/dT+d(pV)/dT=dU/dT+NkB
=Cv+NkB
定積比熱
Cv=dU/dT=3NkB/2
定圧比熱
Cp=dU/dT+NkB=5NkB/2
断熱指数(比熱比)
γ:=Cp/Cv=5/3
γ =Cp
Cv=
53
25
CP CV
γ=CP/CVJK-1mol-1 JK-1mol-1
JK-1kg-1 JK-1kg-1
1 He 4 4.002620.78 5/2R 12.47 3/2R
1.665192 3116
2 O2 32 31.88929.33 7/2R 21.01 5/2R
1.40919.8 658.8
3
CO2 44 44.01037.14 28.83
1.29843.9 655.1
NH3 17 17.30135.48 27.17
1.312051 1570
CH4 16 16.04335.74 27.43
1.302228 1710
- CP - CV = R
https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title= &oldid=64411726
2017 6 11 ( ) 07:57 UTC
-
単原子分子について はよく合っているが
チャットで ご質問をどうぞ
10分間休憩
ジェームズ クラーク マクスウェル(1831−1879)
統計学を物理に 導入した
ファラデーとともに電磁気学の祖
確率論の歴史おそらく、賭博から始まっただろう。 サイコロの原型は動物の骨だという。
パスカル
パスカルとフェルマーの往復書簡 賭博を途中でやめた場合の賞金の 分配の仕方を論じた。 数学的な確率論は、大数の法則の ヤコブ・ベルヌイからだという。 その後、ガウスによる中心 極限定理。
保険業への応用: 1812年 ナポレオン戦争のころ “Scottish Widows”
ガウスヤコブ・ベルヌイ
2.2 マックスウェル分布1コの分子の速度が [v,v+dv]の区間にある確率を としよう。3次元の場合
に対して、積になる
P(v2)dv
[vx, vx + dvx][vy, vy + dvy][vz, vz + dvz]
P(v2x )dvxP(v2
y )dvyP(v2z )dvz
空間の等方性から、これは
に等しい。
すなわち, )
P(v2x + v2
y + v2z )dvxdvydvz
P(v2x + v2
y + v2z ) = P(v2
x )P(v2y )P(v2
z
マックスウェル分布 P(v2) v2
V
1
正規分布
6
正規分布の密度曲線下の面積
μ μ+σ μ+2σ μ+3σμ-3σ μ-2σ μ-σ
青で塗りつぶした面積は, 全体面積の68.3%青で塗りつぶした面積は, 全体面積の68.3%
Homework #2
常温300Kの空気分子の平均的速度
<mv2
2> =
3kT2
v ≈3kTm
kN = R = 8.31,mN = 29X6X1023X1.64X10−24X10−3
≈
≈ 500m/s
まとめ
P(v2)d3v = (m
2πkT)3/2exp[−
mv2
2
kT]d3v
速度が にある確率分布はマクスウェル
分布;[v, v + dv]
で与えられる。mv2
2が自由粒子のエネルギー E であることを見れば、
指数関数は e− EkT (ボルツマン因子)である。
次章では、ボルツマン因子を導出する。
内部エネルギーの計算U = N <
mv2
2>
マクスウェル分布を用いて平均<…>を計算する。
∫ P(v2)mv2
2d3v = ∫ (
m2πkT
)3/2exp[−mv2
2
kT]mv2
2d3v
∫ (m
2πkT)3/2exp[−
mv2
2
kT]mv2
2d3v = (
m2πkT
)3/2(−∂∂β
)∫ exp[−βmv2
2]d3v
ここに 右辺のガウス積分を実行してβ =1
kT ∫ exp[−βmv2
2]d3v = (
m2π
β)−3/2
したがって
<mv2
2> =
32β
=32
kT
U =3NkT
2を再現する
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