Dulces inquietuDesy amargos Desencantos

en la construcción De un oficioTexTos inconclusos de profesores en formación

Jesús manuel mendoza maldonado

crisTina Griselda Bernal GalleGos

Griselda González arriaGa

cynThia faBiola Torres Barrios

(coordinadores)

Dulces inquietuDesy amargos Desencantos

en la construcción De un oficio

TexTos inconclusos de profesores en formación

Primera edición 2014

Dulces Inquietudes y Amargos Desencantos en la Construcción de un Oficio

Derechos reservados© Jesús Manuel Mendoza Maldonado CristinaGriseldaBernalGallegos GriseldaGonzálezArriaga CynthiaFabiolaTorresBarrios© EscuelaNormalRuralGral.MatíasRamosSantos© Taberna Libraria Editores

Calle Víctor Rosales 156, Centro,98000, Zacatecas, ZacatecasTel.(01492)154.5448Cel.492.103.1935

Edición y diseño: FrinéGonzálezHerreraPortada: AlbertoGiacometti, The Palace at 4:00

a.m.1932.MuseodeArteModernodeNuevaYork.

ISBN:978-607-8056-29-3

Queda rigurosamente prohibida, sin autorizaciónde los titulares del copyright, bajo las sancionesestablecidas por las leyes, la reproducción totalo parcial de esta obra por cualquier medio oprocedimiento.

ImpresoyhechoenMéxicoEscuelaNormalRuralGral.MatíasRamosSantos

Contenido

CristinaGriseldaBernalGallegosGriseldaGonzálezArriagaJesús Manuel Mendoza Maldonado CynthiaFabiolaTorresBarrios

1.Lounoylodiverso:laheterogeneidadquenoshabita(Amaneradeintroducción) 9

MayraEsquivelCamarillo2.Problemasfácilesyproblemasdifícilesparalosniños 29

CindyGabrielaAlonzoSegovia3.¿Quiénseacercómás? 47

ErikAyaladelVillar4.Mitadesquenosonmitades 63

AdánMacíasReyes5.Lasfracciones:unretomoderado 81

RomeliaSaldañaMartínez6.Lasmatemáticasdentroyafueradelaescuela 95

AnnelZacaríasVázquez7.DosMomentosparalageometríayunepisodiosobreelsaberdidáctico 111

LorenaMaribelRodríguezHernández8.LoscuerposgeométricosAnálisisdelasituacióndidáctica 129

cristinagriseldabernalgallegosgriseldagonzálezarriagaJesúsmanuelmendozamaldonadocynthiaFabiolatorresbarrios

9.Escriturayformacióndocente:la cinta de Moëbius 149

[…] lo propio de una innovación es descalificar una práctica antigua para reemplazarla por otra y no para corregirla.

Se tiene la ilusión empirista de que entre las múltiples producciones de la innovación, los profesores

recogerán las más adaptadas. Pero una innovación ahuyenta a otra, critica a la precedente, pero no la regula. Ciertos conocimientos

no se pueden enseñar y desaparecen, pero no porque se haya decidido que ya no son útiles, sino porque las

cascadas de innovaciones hicieron desaparecer los ecosistemas que les permitían existir como objetos de enseñanza.

Las modas pasan o regresan sin verdaderos progresos. La ideología de la innovación aniquila a la innovación.

GuyBrousseau

De todas las formas de “persuasión clandestina”, la más implacable es la ejercida simplemente por el orden de las cosas

PierreBourdieu

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Este ejercicio solitario más que solidario de la “profesión”, en el que se cree que cada uno debe inventar sus soluciones “personales” a las dificultades vividas solitariamente, no permite la creación voluntaria

e intencional de las normas colectivas que definen la profesión. Mientras que esperamos de todo médico que ponga en

ejecución la misma medicina (determinada esencialmente por la patología que hay que tratar y por el estado del desarrollo histórico

de los conocimientos médicos), vemos sin vergüenza alguna a numerosos profesores apelar a una didáctica totalmente personal,

“diferenciada” al infinito, allí dónde una auténtica profesión se referiría a la producción y la puesta en ejecución uniforme de

soluciones comunes al conjunto de los profesionales, situación que permite dar sentido a la obligación de recursos

y conocimientos a utilizar impuesta, por ejemplo, a los médicos.

Yves Chevallard

Mañana habrá que inventar,de nuevo,

la realidad de este mundo.

Octavio Paz

CristinaGriseldaBernalGallegosGriseldaGonzálezArriaga

JesúsManuelMendozaMaldonadoCynthiaFabiolaTorresBarrios

1.LouNoYLoDIVERSo:LAHETERoGENEIDADQuENoSHABITA1

(Amaneradeintroducción)

LaNormal de SanMarcos. Institución enigmática, inestable,subvalorada,cuestionada,incómoda,frutaqueseleindigesta

alpoder,amenazadaesporádicaaunquepersistentemente,¿porquiéndoblanlascampanas?Espacioquepreparaeladvenimien-to del saber docente, teatro donde se escenifican las pugnassilentes de las diversas tradiciones pedagógicas que aspiranhabitarenella,atrapadaenlacárceldelaspalabras,tormentoredentor,prisioneradelossignificados,prófugadelasreformas,guardianadelaidentidadporosadeloficiodeenseñar;suheren-cia:unareddeagujeros,escenariodeentusiasmosydeafectos,deproyectosymelancolías,sincroníadetiempos,conjuncióndeespacios,sucesióndesueñosconpesadillasintermitentes.oasis,arcadia, ágora, páramo y jardín de senderos que se bifurcan.EstoyalgomáseslaNormaldeSanMarcos.

Institucióninterpeladaporlainevitableobsolescenciadelsa-ber.Aparatoideológico,devezencuandoexperimentopolítico,agobiadaporlasrutinas,peroaguijoneadaporelansiadeinno-var,territorio—comolasotrasNormalesdelpaís—deencruci-jadasreformistasquesesucedenalvaivéndelossexenios—ya

1Lacadenadeimágenes,versosyanalogíasdeesteacápiteinicialessubsidiariadeJaimeSabines,RamónLópezVelarde,JoaquínSabina,CarlosPellicer,SergioEspinosaProa,JeanBaudrillardyoctavioPaz(nonecesariamenteeneseorden).

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vecesantes—,reformasquesetraducenendiscursossinrecur-sos,anheloporelcambioperofielasuespejodiario,territorioparalareproducción,laresistenciaylareconfiguración.Letanía,epifanía, olvido, presencia. Conjunto aparentemente atareadodeislasqueaspiramostrarsecomounarchipiélagodeesfuerzosmedianamentearticulados.

NormaldeSanMarcos.Lugardeencuentroydesencuentro,saberysimulacro,árbolbienplantado,masdanzante,lainmo-vilidad:¿unespejismodelmovimiento?,tallerdebúsquedasdelacuadraturadelcírculopedagógico,laberintodelasoledad,lugarcrítico ¿y en crisis?, utopía y entropía. Instituciónobsesionadaconlaeficacia,conloútil,conlopragmático,conloinmediato.Aquíyahora.Asediadaporlasgloriaspasadas,lugardondesecuestionanlasteoríasaquíyalláaunquetodavíaconciertatimi-dez.Lugarparaelescrutiniodelaaspiraciónperenne:aprenderaenseñar,peroacondicióndeponerlesignosdeinterrogaciónalosestereotiposmásqueridosypuntossuspensivosalastareaspor-venir,lospuntos(didácticos)sobrelasencorchetadasíes de latradición.Historiaycicatricesdeltiempo,raízdesentimientosyblancodeldicterio,¿rupturadelatradiciónotradicióndelaruptura?Todatradiciónconllevalacontradictoriaposibilidaddesubvertirla ¿tra(d)ición de lo instituido? Institución huérfana alahoradelaspolíticasoficiales.Caféporlasmañanas,vasodelechetibiaeninvierno,guardianaqueladraperomuerde,blusa corrida hasta la orejadelosestereotiposylafalda bajada hasta el huesitodelosatavismos.Deversotachadoenlahistoriadelnormalismoametáforadelasposibilidadesdelaépicasordina.Voluntaddesaber—muydistintoasaberpormeravoluntad—,miradasteóricasconciertasdosisdeestrabismo,ánimoinquis-itivo, proclividad hacia la duda, comunidad estudiantil dondese (con)funden revolución, revuelta y rebelión. Reglamentosde un solo día y consensos lenta y laboriosamente construidos queduranloquedurauncortoinvierno.NormaldeSanMarcos.Elproyectofundacionalysussignificadosmarchitosfrentealalozaníadesusposibilidades.NormaldeSanMarcos.Alma mater paraunosymadrastraparaotros.Añoranzasafectuosas, liber-

tadesconstreñidasyacotacionestransgredidas…Lounoydiver-sasversionesdelomúltiple.Nosóloesto,perotambiénestoeslaNormaldeSanMarcos.

1.2.Educarlamiradaodeporquéunoveloquepuedever

unavastasemejanzaloentrelazatodo,todaslasesferas,desarrolladasono,grandes,pequeñas,soles,lunas,planetas,todaslasdistanciasentrelugares,porampliasque sean,todaslasdistanciaseneltiempo,todaslasformas inanimadas,todaslasalmas,todosloscuerposvivos,pordiferentesqueseanohabitenenmundosdiferentes,todoslosprocesosgaseosos,acuosos,vegetalesyminerales,lospeces,lasbestias,todas las naciones, colores, barbaries, civilizaciones, lenguas,todaslasidentidadesquehayanexistidoopuedanexistirenesteglobooencualquierglobo,todaslasvidasytodaslasmuertes,detodoslospasados,presentesyfuturos,esavastasemejanzalosabarca,ysiemprelosha abarcado,yporsiemprelosabarcará,yloscontendráymantendrácompactamenteunidosWalt Whitman

Este fragmentodelpoema“Hojasdehierba”deWhitmannospermitiráplantearunaseriedevínculosentrelosacontecimien-tosescolares,losconceptosquegeneranlosespaciosformativos,lostrabajosde losestudiantesnormalistasyeltextodelsaberquearropadeprincipioafinaunainstitución.Setrata,pues,derealizarunabúsquedade la vasta semejanza queentrelaza las

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ideas educativas, los episodiosdidácticos y elquehacer de los estudiantesnormalistaseneltrayectodeconvertirseenprofe-sores, de educar su miradaparaobservarloqueaconteceenlossalonesde clase. Los escritosque conformaneste libro tratande laenseñanzade lasmatemáticas,peroserelacionanconelproyecto académico que promueven un grupo de profesores,con la lejanacercaníade la investigacióneducativaenelhori-zonteinstitucional,conlasdudasdeloquepuedegestarseenlaenseñanzadeotrasdisciplinasyconunaideadeloquepuedeser unproyectodistintopara la formacióndeprofesores:una vasta semejanza lo entrelaza todo.

SiseguimoselpensamientodePierreBourdieu(1995),parainterpretarlosacontecimientossocialesesprecisoconstruirun pensamiento relacional que permita establecer vínculos—en-contrarlasemejanza—entrelosconceptosyloshechosdiversosque configuran la realidad real de lo que acontece en los sa-lonesdeclase.Yestaes,precisamente,laapuestadelpresentetexto,nosinantesrecordarotradelas leccionesdelsociólogodel habitus: no existen lasmiradas inocentes que se abstraende la realidadparapontificaredificantementesobreellacomosi no formaran parte de lo (d)enunciado (Bourdieu,2009). Loqueseanalizanosincluyedeunauotramaneraatodoslosquetrabajamosoaquienesestudianen laNormaldeSanMarcos.Convieneseñalarquelosconceptos-herramientasqueaparecenenlostextosdelosestudiantesprovienendeGuyBrousseau,deYvesChevallardydeotros investigadoresquecontribuyena laconstruccióndeladidácticadelasmatemáticas;entreellos,hayquedecirlo,nosbeneficiamosdel rigoranalíticode ladoctoraAliciaÁvilaydelalucidezdeldoctorDavidBlock.Loquepasaenlossalonesdeclasesólopuedeseraprendidodesdelosconcep-tos, la capacidad de verestámediadaporlosreferentesconcep-tualesdesdelosqueseestudianloshechos:uno ve lo que puede ver.Elprimerdeterminantedelacapacidad de vereselcapitalcultural.Losconceptossoncomounaredquesetiendesobrelarealidadpararecuperarlorelevante.Loquesenosescapaodi-luyeporlosintersticiosyvacíosdelared conceptual,permanece

ahíparaser(re)conocidoporotros,esdecir,porotras teorías —y porotrossujetos—.

Noestápordemásañadirquelostextosqueseincluyenenestelibroformanpartedeunainvestigaciónmásampliasobrelagénesisdelosmodelosexplicativosqueconstruyenlosprofe-soresen formaciónalaprenderaenseñaryque incluye,entreotras tareas, documentar las biografías didácticas de los estu-diantesnormalistas.Dichoproyectoconstituyeunodelosejesfundamentalesdelplandetrabajodelequipode investigaciónquehemosdenominadoDidácticas específicas y formación do-cente.

1.3.DulcesinquietudesyamargosdesencantosenlaconstruccióndeunobJeto

La vasta semejanza que entrelaza todo lleva a los estudiantes normalistas a elegir una escuela, incursionar en las aulas, ob-servar los acontecimientos y dialogar con los actores con el sano propósito de identificar un tópico-saber en juego de laenseñanzaparaestudiarloconciertodetenimiento,hacerloob-jetodelas(pre)ocupacionesyculminarconeldiseño2 de una o variassituacionesdidácticas,queseránluegomodificadasparaprobarlas nuevamente y volver otra vez a los conceptos paradespués…Esteprocesoimplicasiempreuntrayectocargadodeangustias,desituacionesconflictivas,perotambiéndemomen-tosagradables;ese saber en juego,elqueelijan,seráelculpable delasangustiasy losquebrantosde losestudiantesnormalis-tasduranteun lapso variable según lashorasde vigiliaque ledediquen, será el objeto de estudio que les llenará la vida de

2Nosiempresetratadediseñar,lasmásdelasveceslosestudianteseligenentrelassituacionesdidácticas,fichasosecuenciasdeactividadesyaexistentesenelcampodisciplinariodequesetrate,aquéllasquehabrándeserobjetodeunasis-tematizaciónparticularytomandeahílosreferentesempíricosparareflexionarsobrelosfenómenosdidácticosinherentesalacomunicacióndeunsaberyasutarea de convertirse en profesores.

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dulces inquietudes y amargos desencantos —desde el momento enqueloeligenhastaeldíaenquepresenteneltrabajofinaldelsemestre,obien,elexamenprofesional,porlomenos—.

Durante su estancia en la normal, los alumnos han estudiado queelenfoqueparalaenseñanzadelasmatemáticassecentraenlaresolucióndeproblemas.Queexisten—segúnlaslecturasquerevisen—dostiposdeproblemas,losquesonparadescu-brir/construirylosqueseorientanhacialaaplicación.Tambiénanalizanqueunodelosvacíosmásevidentesenlatraducción del actualenfoqueparalaenseñanzadelasmatemáticasradicaenlaescasapresenciaquetienenlosmomentosparaquelosalum-nos propongan problemas. Además, identifican la centralidaddeltrabajoconloserroresyestudianquelossintácticosapare-cencuandoelusodelprocedimientopararesolverunproblemaesadecuadoperolamanipulacióndelosdatosesequívoca.Loserroressemánticosseencuentrancuandoelprocedimientopararesolverunproblemaounasituaciónnocorresponde,esdecir,noeseladecuado(Brousseau,1972,enAguayo,2004).Loses-tudiantes analizan también que losmomentos para el trabajoadidácticotienenunlugarmarginalenelcontratodidácticoha-bitualyresultanfundamentaleslasregulacionessobreeltiempodidáctico, igualmente, las buenaspreguntasoriginanuna rela-cióndidáctica adecuada conel objetodel saber pero que sondifícilesdeconcebir…Tienen,ensuma,losprimerosacercamien-tosconlaTeoríadelasSituacionesDidácticas.

En los cursos de la línea de Observación y Práctica losestu-diantesnormalistasaprendenaexplorargradualmentedistintosaspectosdelarealidadescolar,arecuperarinformaciónyasis-tematizarlaconelpropósitodeconvertirlaenreferentebásicoparamejorarsucompresiónsobrelatareadeenseñar,arecortarepisodiosdidácticosrelevantesdelosregistrosdeobservaciónqueelaboran¿Cómosellevaacaboesteproceso?¿Cuálessonlosprincipalesobstáculos?Losescritosdelosestudiantesqueseincluyen en este libro responden a estos cuestionamientos deformaimplícita.

1.4.LaevidenciaesdequienlatrabaJa

Paraquienes se forman comoprofesores, intentar analizar losacontecimientosescolaresconllevaunatareacomplejaentantoimplicapreguntarseentreotrascuestiones:¿Cómodarordenalcaosqueenfrentaelsujetocuandotienequeanalizarlosacon-tecimientosdelsalóndeclasesdesdeelcúmulodeinformaciónrecopilada?¿Cómosuperar losmomentosenque los invade lasensaciónde caminar sin avanzar como las vueltas a la noria?¿Cómoconstruirunamiradaanalíticaquepermitadarlecohe-renciaa los tópicosdelaulaque resultan fundamentales?unavezdiseccionadalainformación¿Quéesloquesigue?¿Cómosellegaaltexto?¿Quéimplicaconstruirunacategoríadeanálisis?Laexploracióndelosregistrosesunatareaquesignificadesbro-zar los acontecimientos para descubrir lo que está escondido:los saberes instituidos, la amalgama disímbola de tradicionespedagógicas,lassimilitudesylasdiferenciasenlasprácticases-colares,lasevidenciaspalmariasdequelacalidadenlosapren-dizajesesunaaspiraciónde largoplazo, laesquizofreniaentrelos planteamientos de las reformas educativas y las prácticascotidianas; el problema de pensar didácticamente respecto alasdificultadesquetuvieronenel“diseño”odesarrollode lasactividades previstas… ¿Dequé índole es esta diferencia, estevacíoentreloalcanzableyloconseguido?¿Lasrelacionesdidác-ticas son las esperadas? ¿Las actividades que les plantearon alosniñosfuncionaroncomoloteníanprevisto?¿Sonsatisfacto-rios los resultadosqueseobtienen?¿Porqué?¿Quémodifica-cionessustancialesrealizaríanenunnuevotrabajoconlamismasituacióndidáctica?¿Cómosehantrastocadolasconcepcionesdominantes, los estereotipos más queridos con que reflexio-nabansobreeltrabajodocente?

En este trayecto, los estudiantes normalistas corroboran quelasprácticasescolares—conunafrecuenciamayoralade-seable—,pierdensucontenidoysusignificado,sevuelvenunaceremonia,unacto rutinario: son signosque se conviertenengarabatos...¿Dequédependequeestonoseaasí?

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1.5.PrimerareFlexión.CartograFiarlosacontecimientos

Un hombre se propone la tarea de dibujar el mundo. A lo largo de los años puebla un espacio con imágenes de provincias, de reinos, de montañas, de bahías, de naves, de islas, de peces, de habitaciones, de instrumentos, de astros, de caballos y de personas. Poco antes de morir, descubre que ese paciente laberinto de líneas traza la imagen de su cara.

JorgeLuisBorges

Paraintentarproduciruntextoapartirdeloqueaportanlasimá-genesrecuperadasdelaula—quetambiénsonotrotexto—esprecisodiseccionarlosregistrosdeobservaciónenfragmentosrelativamentecoherentesquepermitanclasificarporsemejan-zasydiferenciaslasinteraccionesentreelprofesor,losalumnosyelsaberenjuego:enestatareatalvezayudenlosconceptosestudiadosenlosdiferentescursosdelalicenciaturayquizáal-gunasde las sugerenciasdel docente.Al revisar labibliografíasobreelanálisisdel trabajodocenteapareceunvacío singularenesteprocesodeanálisis:sonpocoslosautoresquecomentanoexplicitanelprocedimientoseguidoparairdelanálisisdelosregistrosalaconstruccióndeltexto.Parecieracomo sieltrán-sito de las evidencias al texto fuera directo y sin sobresaltos,como sielcaminoserecorrieradeestamanera:a)lecturadelosregistros,b)clasificaciónporejesdeanálisis,c)elaboracióndeuntextoanalítico.

Paraayudaranuestrasosegadaconcienciacontamosconunconjunto de conceptos, ideas o tópicos escolares que puedenadoptarlaformadeejesdeanálisis:estructuradelaclase/pre-guntasdelprofesor/preguntasdelosalumnos/usodellibrodetextouotrosmateriales/tratamientodeloserrores…

Tambiénpuedenoptarlosestudiantesporlassiguientesru-tasparaconstruirsutabladeanálisisdecontenido:materialquecirculaoexisteenelaula/formadepresentarelconocimiento/lógicadelconocimiento/lógicadelainteracción/eldiscursodelaula:elusodel lenguajedealumnosyprofesorenfuncióndelsaberen juego/eltipodenegociacionesqueserealizan/ lari-

tualizacióndeldato/algunaotraqueseacercanaasucorazónyporsupuestoalfenómenodidácticoenestudio.

Lasanterioressonsólodosposibilidades.Existeunatercera—queeslaquepriorizamoslosdocentesdelequipodeinvestiga-ción—: una vez acotados los límites de los análisis espontáneos, setratadeiralosregistrosconlamirada didáctica y tratar de construirargumentosapartirdeloquenospermitanobservarconceptos como contrato didáctico, devolución, regulaciones,situacióndidáctica-adidáctica,conocimientos-saberes,memoriadidáctica,…Yaquíelpanoramaseensanchahasta incluira laTeoríadelasSituacionesDidácticas.

Entodoesto,hayunaprevisiónquehacer:loqueanalicenyloqueescribanlosestudiantesnormalistasdirásobreelobjeto,pero también sobre el sujeto. Esto es inevitable. Es como unjuegodeespejos,unoveloquepuedever,elsujetoyelobjetosesobreponen,porello,complejizarlamiradadelsujetocontribuyeaidentificarlaredderelacionesenlaqueseencuentraatrapadoelobjetoyquedebeaello laesenciadesuspropiedades.Porlotanto,construirelobjetosignificaobligadamenteconstruiralsujeto.

Acotado el rumbo del análisis, lo que resta es buscar unaforma de estructurar los argumentos, y para el caso resultapertinenteelprocedimientoquesugiereFrederickErickson(enWittrock,1997)parageneraryverificarlascategoríaseinferen-cias—afirmacioneslasllamaErickson—.Leeryreleerlosdatos,buscar similitudes ydiscrepancias, ubicarlas enel contextodelatotalidaddeevidencias,generarafirmaciones,argumentarlas,oponerlesdatoscontrastantes,volveraleerlosregistros...Estaes la interesante,tantocomoabrumadora,tareadeconfigurarcategoríasyconstruirargumentosplausiblessobreloobservado.Del resultado de esta búsqueda por comprender los avataresquecaracterizanlareflexiónsobreloescolardancuentayrazónlostextosqueelaboranlosestudiantes,tantoenlossemestresintermedioscomoenlarectafinaldesuformacióninicial.

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1.6.SegundareFlexión.Elcapitalculturalcomo utillage

En el libro XIII de los Anales, Tzu-Lu pregunta a Confucio: “Si el Duque de Wei te llamase para administrar su país, ¿Cuál sería tu primera medida? El Maestro dijo: La reforma del lenguaje”. No sabemos en dónde empieza el mal, si en las palabras o en las cosas, pero cuando las palabras se corrompen y los significados se vuelven inciertos, el sentido de nuestros actos y de nuestras obras también es inseguro. Las cosas se apoyan en sus nombres y viceversa.

Octavio Paz

[...] luchamos con entidades imaginarias, vestigios del pasado o fantasmas engendrados por nosotros mismos. Esos fantasmas y vestigios son reales, al menos para nosotros. Su realidad es de un orden sutil y atroz, porque es una realidad fantasmagórica. [...] En muchos casos esos fantasmas son vestigios de realidades pasadas. [...] Otros reflejan nuestros problemas actuales, pero de una manera indirecta, escondiendo o disfrazando su verdadera naturaleza. [...] En suma, la historia podrá esclarecer el origen de muchos de nuestros fantasmas, pero no los disipará. Sólo nosotros podemos enfrentarnos a ellos.

Octavio Paz

El pasado reaparece porque es un presente oculto. Limpiar elambienteacadémicoimplicarevisarsulenguaje,sinlatentacióndenombrarlotodo,peroenelentendidoquelosconceptossehan movido,—conycontranuestrosautorespredilectos—hoyocupanunlugardiferente,esdecir,tienenunespacioyunsen-tido distinto los conceptos canónicos como: planeación, con-tenidosdeaprendizaje,trabajodocente,evaluación,etc.¿Cómoaprovecharel impulsodelatradiciónparamejorar loexistente?¿osetratadedescartartodolopasado?¿Cómosesuperponenlossaberes instituidosa lasposibilidadesdecambio?¿Cómovi-ven los atavismos, los fantasmas y vestigios de realidades pasadas entre nosotros? ¿Qué formas adopta la dicotomía transforma-ciones-costumbresenelprocesodeenseñarmatemáticas?

Latareadeestetiempoescombatir,desbrozar,clarificar,losprejuicios y estereotipos que han sobrevivido. ¿Cuáles seríanlas tareasmásurgentes?Pornuestraparte,vislumbramosunatareapreviaqueeslapropuestaqueleshace,atravésdeestelibro, el equipode investigación: identificar los conceptos quehan perdido su lozanía, los significadosmarchitos, losmitos alosquenosaferramos,elespíritudecuerpodelanostalgia...Ydespués—¿oantes?—profundizarenlosfenómenosdidácticosinherentesalacomunicacióndeunsabermatemático.

El análisis de las evidencias con frecuenciaha llevadoa losestudiantesnormalistasporloscallejonessinsalidadelosjuiciosculpabilizantes—“esquesi losdirectivos...”,“laeducaciónme-joraríasielgobierno...”,“Elsistemaaplicaunapolíticaeducativaque…”—.Poreso,másquelacrónicadelosinfortunios,latareaquenosaguardaeslaconstrucciónracionaldelaesperanza,lafabricaciónargumentadadelasilusiones,lalecturadelfuturo...Resulta inevitable también aquí recordar a Borges (1925): “lovenideronuncaseanimaaserpresentedeltodosinantesensa-yarseyeseensayoeslaesperanza”.Loque(vi)vimossonseñalesluminosas, recados, telegramas, cartas, señales de humo o e-mailsdelovenideroquenosobligaarecordarotenerpresenteloquevendrá(ReyesHeroles,2000).PeroBorgesrenunciaaserfatalista,sinorecordarnosnuestracalidaddehumanosyapurara las bondadesde la razón, para estar atentos a los avisosdelfuturo y leer, hacer inteligibles, las señales que recibimos paraprepararnos,y losavisosnoseconviertanenuna fatalidad,enalgoinevitable.Segúnentendemos,ahíradicaelsentidodeteneresperanza,perounaesperanzafundadaenlarazón.Recordarloquehemos sido, escudriñar los avisos del presentepara evitarquepasenfrenteanosotroscon gran indiferencia, laesperanzaconcebidaentoncescomounrecuerdodeloqueestáporvenir.Mañanaeshoy,lostiemposnoadmitendivisionestajantes.

PerosinopodemosatenderplenamentelasideasdeBorges,también podemos optar por elpesimismo alegre o pesimismo activo,comodiceSavater(2000),quienfrentealasenormesdi-ficultadesdemodificar losusos y costumbres quecaracterizan

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alordeninstitucionalyantelosinnumerablestantocomoabru-madoresobstáculosrecomienda—siguiendoaCamus(1952)—imaginaraSísifoalegre:intentarelcambiosindecepcionarse,nolamentarsefrentealabsurdosinocomprender.Evidentementemásquedeunaperspectivaepistemológica,alparecer,setratadeunproyectodedocencia.Elpesimismoaparececuandoseen-cuentrandosoptimismosdiferenteshadichocon ironíaCarlosMonsiváis(1992).

Todoloanterior,esparaseñalarqueunavezquelosestudian-teshanrealizadoelanálisisdecontenidodelosregistros,elver-daderoactocreativoradicaenlatareaquevienedespués:unatareadecorte—defragmentosderegistro—yconfección—deargumentos—paradiseñarelatuendoquevestiránsusideas—suponemosqueenestatareasehanencontradotodos loses-tudiantesnormalistasenalgúnmomentodesu historia—.Estecomplicado tanto como placentero acto creativo tiene comopropósito convertir los datos en evidencias (Bourdieu, 1995).Podríadecirseque la evidencia es de quien la trabaja.Setratade irmásalláde lo trivialoevidente,complejizar loquerecu-perande los registros de clase, usar los conceptos: configurarcategorías.Aquíesdondeelcapitalculturalseconvierteenunutillajequepermitirá retomarde la literatura,del cineode lamúsicalonecesarioparaordenarcoherentementelosdatosquereflejan ciertas similitudes, y darle nombre a un segmento deellos(García,1996).Cuandoalponer junto lo que va junto se van encontrandosimilitudesentreunregistroyotro,entreunepiso-dioyotrodelmismoregistro,entreunaentrevistayunregistro,entre los cuadernos de los alumnos y una entrevista, entre el librodetextoyunaentrevista—triangularlainformación—seestán acercando a la articulacióndeuna categoría, pero ¿quénombreponerleaesosacontecimientosquesevanhaciendoin-teligibles?,GuyBrousseau (1998)decidiónombraraunapartedesushallazgoscomoefectos—Topaze,Jourdain,DeslizamientoMetacognitivo, etc.—, Verónica Edwards (1995) habló del co-nocimientotópico,conocimientoporoperaciónyconocimientosituacional, Antonia Candela clasificó sus descubrimientos en

demostraciones y problemas (1995), Elsie Rockwell diseccionósusreflexionessobreelaulaentrelalógicadelconocimientoylalógicadelainteracción(1995y2009),AliciaÁvila(2006)denom-inó transformaciones y costumbres a lo quepermanece y a loquesemodificaatravésdeltiempoenlaenseñanzadelasmate-máticas…Yasícadasujeto-observador decide nombrar los da-tos—convertidosenevidencias—deunaparticularmanera,yalhacerlo,leestánaportandoallenguajeacadémicounconceptoconelcualcomplejizarlamiradasobrelosacontecimientoses-colares,enotraspalabras,contribuyenalimpiaryenriquecerellenguajecomoseñalaelepígrafedeTzu-Lu.

Ensíntesis,para(re)produciresteprocesoycomprenderlo(yaprenderlo)ensucomplejidad,esporloqueduranteeltrayectoformativo los estudiantes normalistas tienen que elaborar ver-sionesconsecutivasdetextosqueadoptanelcarácterdeprimeros borradoresdeloquehabrádesersutrabajo final.Enelentendidoquenoexistenlostrabajosfinales,sinotextosinconclusos.

1.7.TercerareFlexión.Algunasinterrogantesparaacotarlabúsqueda

¿Quéesladidáctica?¿Elpropósitoseríatransformardeformain-mediataelsistemaeducativo?¿Porquéestanimportanteelsa-berenjuegoenlarelacióndidáctica?¿Cuálessonlosfenómenosconstitutivosdeladidáctica?¿Quélugartienenlacomponentecognitiva—lossujetosenacción—,lacondicióninstitucionaldelossaberesaenseñar,laintencióndecomunicarsaberesrecono-cidossocialmente,lanecesidaddetransformacióndeestossa-beres,asícomoelcarácterinteractivoysistemáticodelprocesodesudifusión?¿Porquéel sistemadidáctico—docente-alum-no-saber—nofuncionaindependientementedelasituaciónenlacualseactualiza?¿Porqué lanecesidaddeadaptación a un medioqueesfactordecontradicciones,dificultadesydesequi-librios(Brousseau,1998)?¿Quéesloquecaracterizaunmedio devolvente?¿Laopciónmásfactibleparasuperar laenseñanza

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porostensiónseríagestionarprocesosdedevoluciónquecon-sistenenprovocarlainteraccióndelalumnoconelmedioenunasituación(a)didáctica?

1.8.CuartareFlexión.ElsuJetocognoscenteFrentealanocióndecontrato

Existenacontecimientosescolares,confusionesdelosalumnos,erroresuobstáculosepistemológicosque conllevanunaexpli-caciónmenosdesdelanocióndesujetoepistémicoquedesu-jetodidáctico.

“El profesor es un intermediario entre las directrices cu-rricularesylaprácticaconcreta”(GimenoSacristán,1995,pág.250).Paraconocerelcampodondesetrabajará,Jackson(1981)planteaanalizarlosafanescotidianosyelcarácterritualistaqueasumepormomentosel trabajodocente.Para losteóricosdelcurriculum, diseñar es prever la práctica antes de realizarla.El diseñotieneque representar la realidad complejade la en-señanza(GimenoSacristán,1995,pág.252)Paralateoríadidác-ticadiseñarespreverunarelaciónentreelsujetoyelsaberenjuego en la cual se trata de crear unmedio que es fuente decontradiccionesyquedemandará lapuestaenprácticadees-trategias—exitosasono—departedelsujeto,deahíqueparaBrousseau(1986,pág.27)lascausasdelfracasoenmatemáticasnosonexterioresalprocesodeenseñanzasinoconstitutivasdeéste,porelloes fundamental interpretar las respuestasde losalumnosentérminosdelcontratoquelasorigina.

1.9.DeloquesigniFicaenseñar

unbuendiseñodependede lasbuenaspreguntas (Brousseau,1986;Jackson,1981).Enseñaresplantearproblemasapartirdelos cuales sea posible reelaborar los conocimientos escolares.Enseñaresproveerlainformaciónnecesariaparaquelosniños

puedanavanzarenlareconstruccióndelsabermatemáticoso-breelcualestántrabajando.Enseñares favorecer ladiscusiónsobrelosproblemasquesehanformulado,esbrindarlaopor-tunidaddecoordinardiferentespuntosdevista,esorientarha-cialaresolucióndelosproblemasplanteados.Enseñaresalentarlaformulacióndeconceptualizacionesnecesariasparalaevolu-cióndelsaberdereferencia,espromoverredefinicionessucesi-vas,hastaalcanzarunaprendizajepróximoalsabersocialmenteestablecido.Enseñarespromoverquelosniñosconcibannuevosproblemasquenosehubieranplanteadofueradelaescuela.

1.10.Escribirparadarleordenalcaos

La elaboración de un trabajo final de curso o del trabajo final de titulación de la licenciatura constituyen para la mayoría de losprofesoresenformaciónunactodeiniciación,yaquenohayunallavesecretaqueabra su significado yporqueparalamayoríadelos obligados escribientesesdelasprimerasveces—paraalgunosseránlasprimerasycasi lasúltimas,pasaránmuchosañosantesdevolveraexperimentarunmomentoformativosimilar—queseenfrentana lanecesidaddeescribirenel sentidoauténticodeltérmino,esdecir,deidentificaruntema,acudiraloslibros,organi-zarlainformación,articularlasevidencias,construirargumentosydemostrarlos...Yhacertodoestoenunaextensiónquepromediaentre20–25—trabajosdefindesemestre—o90-100cuartillas—trabajodetitulación—yademásaunavelocidadquenorebaseelmesdejuniodecadacicloescolar—olosmesesdeeneroyjulioparaelcasodetrabajosdefindesemestre—.Estatareatambiénestácargadadeafecto.¿Cómonoquerereseescritoqueproductodetardes,nochesymadrugadaspudieronlentamentearticular?Escribir un trabajo finales,entonces,unactoamoroso.

Igualmente,escribirun trabajo finalesenfrentarsealdesor-den, al desasosiego, al sufrimiento y al placer.Al desordendenoencontrarquéhacerconelcúmulodedudasporresolveryde datos por organizar; al desasosiego que produce la distan-

24 25

ciaentre loqueelprofesordel cursopide, loqueentiendeelestudianteyloquefinalmenteescribe;alsufrimientodenopo-der escribir una idea, escribirla y no estar satisfecho con ella,re-escribirlaydejarlapeor;alplacerdelpárrafo, lapáginaoelacápiteenelqueunosientequedejó la vida. Escribir un trabajo finalesunactodenostalgiayanhelo.“El trabajoquemegus-taría escribir”—febrero— y de nostalgia: “El trabajo quemehubieragustadoescribir”—julio—.

1.11.EltrayectorumboalaFocalizacióndelsaber

Despuésdeincursionarporlasteoríasmacroquevandesdelateoríade la resistencia (Giroux,1992)hasta la teoríade la ac-cióncomunicativa(Habermas,1993),pasandoporelcurriculumoculto(Jackson,1981),eldiscursodelaposmodernidad(DeAlba,1993) y las tesismarxistas en sus distintas (con)versiones—loeconómico, losocial, lo ideológicoy lodiscursivo—,talparecequeelpensamientoeducativo—ademásdemostrar suampli-tudyvastedad—arribaahoraaunaislapocofrecuentadaenlosestudiossobreloeducativo,derecientecreaciónenlainvestiga-cióneducativayque(re)configuralasarduastareasdereflexio-nar y transformar la práctica docente:losprocesosparticularesdeenseñanzade saberesdisciplinariosespecíficos. Estenuevo objetodeldeseoeducativoseacercaentredulcesinquietudesyamargosdesencantosaladidácticadelossaberesdisciplinarios.Los textosde losprecursores de esteproyecto académico, sinembargo,comenzaronaaparecerenMéxicodesdemediadosdeladécadadelosochenta,todossonsubsidiariosdeloshallazgosdelapsicologíagenéticaencuantoalosprocesosdeestructu-raciónyorganizacióndelconocimientodelosalumnos,susideashundenlasraícesenlapsicogenéticayelconstructivismopiage-tiano,aunqueesprecisoaclararquecontinúanlarutaqueantesexploraron los clásicos de la pedagogía—Comenio, Rousseau,Durkheim,etc.—desdehacesiglosenuncasoodécadasenotros.Apartedequeno se construyenenel vacío, sinoque reconfi-

guranlasteoríasaliniciocitadasoseconstruyenfrenteaellas.Este nuevo3 campo emergente del saber didáctico se pro-

pone, entre otros, de un redimensionamiento de los procesosdidácticosparamejorarcualitativamentelasrelacionesdidácti-casconel saberquepromueven losestudiantesnormalistasolosprofesoresenservicio.Porlasevidenciasdisponiblessepue-deadvertirque tal proyecto avanza, aunqueacompañadoporlasdificultades,inerciasyaspiracionesinconclusasdelcaso.

Comoparte de su trayecto formativo, los estudiantes nor-malistas analizan varias veces registrosdeobservación, entre-vistan a los niños, diseñan y prueban situaciones didácticas,analizanlosprogramasdeestudio,conceptualizanycategorizanenfuncióndelasevidenciasrecopiladas...Esterecorridoporlosconceptos,por lasevidencias,porel trabajoenaulay,nueva-mente,porlosconceptosparavolverluegoalasaulas,alpare-cer,resultapertinenteparatransformarloscontratosdidácticosdesdelosquesegestionaelsaberenlossalonesdeclasedelaeducaciónprimaria.

Lo anterior se puede advertir en los trabajos desarrolladospor los estudiantes normalistas. No se trata de trabajos esco-lares alejados de su quehacer cotidiano, ni reflexiones hechasdesde un practicismoqueterminapordejarintactoslosestilosdocentes.Setratadelarevisiónydiseccióndelasevidenciasdeltrabajoenelaulaapartirdeunaseriedeconceptoscomplejos,interesantes,sí,peronofácilesdedilucidar,queprovienendeladidácticadelasmatemáticas—GuyBrousseau,YvesChevallard,ClaireMargolinas,DavidBlock,AliciaÁvila,MarianaBosch,JosepGascón, Ma.delCarmenChamorro,etc.—quehapobladodetópicosparalareflexiónydeconceptoselaccionardocente.

Ha habido un compromiso muymeritorio con el trabajo yconlareflexióndepartedelosestudiantes,loquehallevadoaquelosprofesorestambiénsellenendeuncúmulodepequeños

3Enrealidadestoesrelativamente“nuevo”enMéxico,peronoesasíenelcon-textointernacional—señaladamenteenFrancia—dondedesdehacepocomásdemediosiglosecomenzaronaconstruirlosconceptos,losmétodosylasprime-rasinvestigacionesdeladidácticadelasmatemáticas.

26 27

detallesquesuperanloprevistoenlaideaoriginaldetomaralsaberdidácticocomounodelosejesdelaformacióndelosnue-vosprofesores.Losdetallesdeestetrayectocargadodetareas,matizadoporunaseriededificultades,acotadoporalgunosde-saciertos cometidos ymodificado por situaciones inesperadaseneldesarrollode las sesionesde trabajoyen lasnumerosasasesoríaspersonalesquesellevanacabo,esloqueseadvertiráenlostextosqueintegranestelibro.

1.12.Elcontenidodellibro

Eladjetivoinconclusosdeltítulodellibrosevuelveequívocoentantonoexisten lostextosdefinitivosoconpunto final.Todoslos textos son—odebieran ser— inconclusos en tanto el con-tenido—ideas,conceptos,etc.—aligualquelaformadedecirlo,permanecenenconstanterevisión.

Los textos inconclusos quecontieneestelibroconstituyenunramilletenecesariamentefragmentarioydiversodeescritosqueen sumomento fueron trabajosparcialesofinalesde semes-tre. Lamayoría fueronelaboradosduranteel tercer semestre.El conjunto de los escritos de estudiantes normalistas consti-tuyen versiones de trabajos realizados en el transcurso de suformación.Enalgunoscasoscuandoeranestudiantesdetercersemestre—Cindy,Erik,Mayra,AdányRomelia—obienalumnosde5ºsemestre–AnnelyLorena—.

Este libro trata, entonces, de las vicisitudes y los avatares de labúsquedade lavasta semejanza que entrelaza las ideas educativas, losepisodiosdidácticosyelquehacer delosestu-diantesnormalistaseneltrayectodeconvertirseendocentes,deeducarsumiradaparaobservarloqueaconteceenlossa-lones de clase y, específicamente, para aprender a enseñarmatemáticas.

Entantosonrecortes,enalgunoscasos,deuntrabajomásamplio, estos fragmentos tienen la desventaja de no dilucidarcabalmentelosconceptos,entantoesosehizoenotrosacápites

que no se incluyen en este libro. No obstante, los apartadoselegidospermitenilustrarunaformadetrabajarconlaseviden-ciasyconvertirlasenunreferenteparareflexionarsobrelasme-jores formasdegestionarenel aulaundeterminadosaberenjuego:lasmatemáticas—geometríayfracciones,sobretodo—.

El librocierraconuntextodelequipode investigaciónquetratalasimplicacionesdelactodeescribirparaquienessefor-mancomoprofesoresy loqueaprendencuandose involucranen la tareade recopilarevidencias,buscar conceptos,ordenarideas,tejerargumentos¿Seráesto,acaso,elnudofundamentaldelaescritura?

San Marcos, Loreto, Zacatecas,Junio de 2014

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MayraEsquivelCamarillo

2.PRoBLEMASFÁCILESYPRoBLEMASDIFíCILESPARALoSNIñoS

El éxito es 99/100 de trabajo y 1/100 de talentoAnónimo

La frase anterior en su versión original está en porcentajes,perooptéporadaptarlaalcontextodeesteescritoparain-

ducirlapercepciónquetienenlosniñosacercadelasfracciones.Altransitarporlaescuelaesmuycomúnquelosniñoscomien-cen con los repartos, posteriormente aprendan la represen-tacióngráfica,siganconlasequivalenciasparapoderentendermejor la sumay la restade fracciones. Para culminar, a vecestambiénseestudialamultiplicaciónyladivisióndefracciones.Losniñoslasconcibencomosisetratarádelosnúmerosnatu-rales y en realidadtienen característicasmuydiferentes. Pero¿quétanfuncionalessonparaellosensudiariovivir?¿Losniñosseenfrentanconmássituacionesproblemáticasqueinvolucrenfraccionesonúmerosenteros?

Podríamospensarquecadavezsonmenoslassituacionesenque las fracciones—ya sean como parte todo, cociente, ope-rador multiplicativo o como razón— sean el punto clave deproblemasrealesqueenfrentanlosniños.Aunqueparaencon-trarlessentidoyfunciónrequerimosreflexionarmásacercadesus propiedades, ya que concebir a las fraccionesmás allá deunsimplerepartopropiciaelsentido lógicoyreflexivoque lasmatemáticasbuscanformaren losalumnosdecualquiernivel,pues nunca nos desprendemos de ellas y, por si fuera poco,siempresonelquebradero de cabezademuchos.

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Fraccionarsignificasegmentar,partir,dividiry,lomáscomún,compartiruntodoentreciertonúmerodepersonas,obienporla unidad secundaria, pero con frecuencia los niños realizanrepartosinequitativosynadaexhaustivos.Quizálanaturalezaylarealidadnoestándadasennúmerosenteros,perolosalum-nos algunas veces así se las imaginan, conciben a la fraccióncomoalgoaislado.

Existeunarelaciónentrenúmerosdecimalesylasfracciones,pues los dos representan la parte deun entero, o bienunoovarios enteros acompañados de fragmentos de éste. Reflejanlo incompleto, al grado quemuchas veces se vuelven difícilesdediferenciardelosnúmerosenteros.Yaestoleagregamoselhecho de que las fracciones aparecenmucho después de quelosniñoshanasimiladoyreacomodado lasrelacionesdeéstascon las características de los números naturales. Por ejemplo:selesenseñaqueel5esmayorqueel3,oquelamultiplicaciónagranda o que la división reduce y al contrastar esto con lascaracterísticas que ahora tienen las fracciones o los númerosdecimalessegeneraunnuevodesequilibroydemandaunnuevoreacomodo para los niños. Lo que además genera confusión,paraestoesnecesariosaber desaprender para aprender.

Es indispensable que las estrategias de enseñanza de lasfracciones relacionen representaciones gráficas y numéricas,además de la aplicación a problemas reales y no sólo la vanamemorizacióndelalgoritmolocualdificultaaúnmássuapren-dizaje.

DavidBlock(1987)proponeunaseriedesituacionesdidácti-casenlasquelaformulacióndelproblemaesloquegeneraunmayorretoalosniños,yaquelasoperacionesparalaresoluciónnosonelproblema,loquelespresentaunconflictoaresolveresdescubrirelcaminoparallegaraellas.Estassituacionessondistintasalasquehabitualmenteseutilizanenclase,saledelostípicosproblemasenlosqueseproponeunentero—casisiem-prede formacircular—paraquesedividaenundeterminadonúmero de partesquesesuponevanaserrepartidasentreunnúmerodepersonasylarespuestaeslafracciónqueletocaa

cadaquien.Estarupturadelesquemahabitual,enlassituacionesdidácticasesconocidacomouncambioalcontratodidáctico4.

Enelgrupodondepuseenprácticaunaseriedesituacionesdidácticas, puedo decir que al principio dicho contrato se en-contrabaestereotipado,esdecir,loqueexistíaerauncontratodidácticotradicional,yaqueenlapuestaenprácticadelassitua-cionesdidácticas, losniñossólohacíanelrepartoycreíanqueesa era la respuesta al problema que se les había planteado.Alproponerlesunanuevaformadetrabajolosniñostardanenadaptarse y se encuentran confundidos, pues no conocen elrumboquellevalaclase,porlocualvivenunmomentodeincer-tidumbre,locualdemandaqueelpropósitoysentidodelaclaseesténestablecidosdeformaclaraparaprovocarelinterésdelosniñosysecumplaconladevolución del problema5. Enlaprimerajornadadeprácticasestefueuncambiountantobrusco,peroenlasegundalosniñosyateníannocionesdecómotrabajabalamaestrapracticante.

Al igual queen la sumay restahayunadiversidaddepro-blemas,dichaestructuraesaplicablealosproblemasconfrac-ciones,puessieldocenteloslimitaaunsolotipodeproblemas,se genera un estereotipo respecto al significado de las frac-ciones.

2.1.Situacióndidáctica: 3 barras de coco y 2 niños

Lapreparacióndelmedioconsistíaenunabreverecapitulacióndelasituaciónqueseaplicóenlajornadaanterior,ylasituacióndidácticaanteriorenencontrareltamañode labarra,peroenlaprimeraconsignaeran2barrasy5niños—menoselementos

4SegúnGuyBrousseau(1998) “sonloscomportamientosespecíficosdeldocentequesonesperadosporelalumnoyelconjuntodecomportamientosdelalumnoquesonesperadosporelprofesor”.5Existendiversasformasdedevolución,peroenladevolución del problema se hacenecesarioquelosniñosseresponsabilicendelasolucióndelproblemaydelsaberenjuego.

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arepartirymáspersonas—,de igualmanerase lesentregóelpedazo que le tocó a cada niño, pero en esta situación habíauna segunda consigna que eran 4 barras entre 3 niños—máselementosa repartirymenospersonas—.Delanálisisanteriorsededujoqueestasegundaconsignafuelaquesedificultómás.

Después se les planteó el nuevo problema a resolver y losmaterialesqueutilizarían,luegoseformaronequipospequeñosyselesentregóelmaterial—dostirasdecartoncillode6cmyunahojademáquina—.

Para la validaciónpasóun integranteporequipoaexplicarsurespuesta.Ladecisióndequiénexplicaríasuprocedimientoobedecíaa lavariedaden losprocedimientosy,encasodenoresultardiversidadalguna,poneruncontraejemplo6.

En la institucionalización se analizaría cuál de los proce-dimientoseraelcorrecto,obiencuáleraelmásrápidoy fácildeseguir,ademásdeaclararloquesucedecuandoelnúmerodeelementosarepartiresmásomenosqueelnúmerodepersonasarepartir.

Loanterioresloquesepreparóparaelgrupode5ºgradodelaescuela“MiguelHidalgo”deSanFrancisco,NoriadeÁngeles,Zac.

2.2.Loimaginado,lorealyloinimaginable

Asícomoenlahistoriaanalizarelpasadonospermitecompren-derelpresenteytenerunavisióndeloquepodríaresultarenun futuro,elanálisisde laprácticadocentenospermitehacercadavezmejoresanálisisa priori deloqueposiblementepuederesultareldíademañanaenelsalóndeclases,peroenelcasodeunpracticantequeportantoesdocente novato,sólotienelavagaperspectivadeloquesepodríasuscitarsealregresarporsegundaocasiónalamismaescuela.

6uncontrajemploconsisteenproponerunasituaciónounaestrategiaficticiaparaprovocareldebateentrelosalumnos:“Elotrodíaunniñomedijoqueesteproblematambiénpodíaresolverseasí…¿ustedesquépiensan?”

En principio creí que los niños iban a recordar algo de lasituaciónanterior,peroresultóserqueenlugardehablardeloschocolates, los niñosmehablarondemanzanas y no recorda-banla ideadelosrepartos,portanto, lesrecapitulé laesenciadelproblemaanterior,cuidandonomencionarlaestrategiaqueutilizaronpararesolverlonicómolohabíanresuelto,lacualcon-sistíaenhacerunasumayunadivisión.Temíaquerecordaránestaestrategia,puessilohacíandeestamaneradejabandeladolas fracciones.Ademásdentrode laexplicacióndedicha solu-ciónpudierapresentarseundeslizamientometacognitivo,7puesendichatécnicaseponemásénfasisenlasoperacionesquesepuedenhacerpararesolverelproblemaysepierdedevistalanociónde fracción y los repartos, quees lo que realmente sebuscaabordar.

Peroapesardequefuesencilloexplicarlocreoquenoquedómuy claro porque de haber sido así, por lomenos un equipohabríaresueltoelnuevoproblemausandodichaestrategia,ynoocurrió.

Previendolaconfusiónquehabíatenidolavezanteriorconelmaterial,ademásdequeesperabaquelosniñosfueranapensarqueloscartoncilloseranlasbarrasdecocoenlugardelpedazoquelehabíatocadoacadaniñodelproblema,enestaocasiónoptéporcuestionaralosniñosparaqueellosmismosdedujeranelusoque ibaadárseleadichomaterial, paraestopregunté:¿Cuántastirasdecartoncillolesvoyaentregar?¿Cuántosniñossemencionanenelproblema?¿Entonces, latiradecartoncilloquérepresenta?

Apesardequeyatodohabíaquedadoentendidonouséunadevolución para reafirmarlo, ya que las preguntas anterioresse hicieron demanera colectiva y no a una persona en parti-cular, como nos menciona Joan Dean en La organización de los niños para el aprendizaje(1992).Estosevioreflejadoalestarya

7SegúnG.Brousseau(1986)consisteentomarcomoobjetodeestudiounatécni-caútilpararesolverunproblema,perdiendodevistaelproblemainicialyelsaberquesepretendíadesarrollar.

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formados losequipos,puesalgunosme preguntabanquéeraloque ibanahacer,sisóloamiden latiraque leshabíadado,puessegúnellosestaeralabarradecoco.Pormipartetratéderecuperarelequilibriodidácticomediantedevolucionescomo:Si loquetedison lasbarrasdecoco,¿entonces losniñossólose repartieron dos barras? ¿Cuántas menciona el problema?¿Cuántosniñosson?¿Creesquesitehubieradadolasbarraselproblemayaestaríaresuelto?

Conestaspreguntaslosniñossepercatabandequeloscar-toncilloseranlospedazosquelehabíantocadoacadaniño,peroestamismasituaciónsepresentóenlamayoríadelosequiposyhubierasidomejorhaberloexplicadoengeneral,pueslohiceequipoporequipoyseperdiótiempo.

Losniñosdecíanque¿cómovaa seresteelpedazoque letocóacadaunosienrealidaderanunabarraymedia?yque,porlotanto,hacíafaltaunpedacito,porloquenuevamentelesdijequesiselosentregabadeestaforma,lesestaríadandolamedidadeunabarraylamitaddelamisma,porconsiguiente,yanotendrícasoporquesólobastaríaconponerlareglaycontarloscentímetrosquerepresentan.

Paraquelesquedaramásclarolesexpliquéquesupusieranqueyaenelpedacitoestabanpegadaslabarraymediayquéloqueteníanquehacererabuscar lamedidade labarraentera,quizáconestofuidemasiadoexplícitaylasniñasalasquelesex-pliquésupieronencontrarlarespuestadoblandosuscartoncillosydieronlarespuestacorrecta.

Algunosequiposnoentendíanmuybienenquéconsistía laconsignaylohicieronasumodo,locualayudóatenermásva-riedaddeestrategiasynofuenecesariouncontraejemplo,puesseobtuvieronlassiguientesrespuestas:

—6cm(3equipos)—12cm(1equipo)-—1barraymedia(1equiposólodioesarespuestaperovar-

ioslaanexaronalasmedidasquedieron)—4cm(4equipos)respuesta correcta

2.3.Resultadosobtenidos

Caso número 1: 6 cm

Fig.1CorrespondealequipodeFátimayAnayelí,lasniñasexpresanlamedidayagregan

queletocó“1yunamitad”.

Lacausadetalrespuestasedebeaquelosniñossequedaronconlaideadequeelcartoncilloqueselesentregóeralabarradecocoyloqueteníanquehaceresmedirla.

LadificultaddelcasodeFátimayAnayelísereferíaaquesíentendíanqueelpedazoquelesentreguéeraloquelehabíato-cadoacadaniño,peronoentendieronloqueselespreguntaba,puesenelmomentodelavalidaciónellassosteníanestarenlocierto porque 6 cm medía el pedazo que le había tocado a cada uno y éste representaba uno y una mitad.

Laraízdetodoestuvoprobablementeenquenosehizounabuenadevolucióndelproblemapueslosniñosnotuvieronclaroatiempoquéeraloquesebuscaba.

36 37

Caso número 2: 12 cm

Fig.2(12cm)Daríorespondeesto,destacacómoseinvolucróconelproblemaen

tantoéleraunodelosniñosquemenosqueríatrabajarenelsalón.

Cuando les cuestionéel porquéde su respuesta, ellos susten-taron que fue porque pegaron los dos pedazos que les habíadado—loscualesmedían6cm—yjuntoshacíanunabarra de 12 cm,paraestoselesplanteóquesifueraasíentoncesnadamáscompraronunabarrayselarepartieron.Fueenestemomentocuandodedujequelosniñoscreyeronquesóloibanahacerelrepartodeunabarra y que latiraque se les había entregadofueelpedazodebarraqueletocóacadauno.otrosalumnosalcuestionarlesdecuántolehabíatocadoacadaunodijeronqueeratresveces lamedidadelcartoncilloque leshabíadado,esdecirunatirade18cm.

Caso 3: Sin medida —sólo la fracción que le tocaba a cada niño—

Estefueuncasomuyparticular—Ramón—,yaqueélnosein-teresóporlasmedidasysólohizoelrepartoyaunqueselediounapoyoextraporquelohizoindividual,dudóydehechosere-husóaatenderlapreguntacentralyseinteresómáspordibujar“elcarroenelqueibanapasearenlaferiaDaríoyMontserrat,laFeriadeSanFrancisco”.LoquesepuedeadvertiresqueconRamón,lomismoqueenotrosequipos,sedeslizóenciertosmo-

mentoslalógicaprofana,8locualfueunobstáculoparalacom-prensióndelproblema.Caso número 4: 4cm

Fig.3GrisySusanadoblaronsuscartoncillosparasacarlamedidadelabarrae

hicieroneldibujo.

Fueroncuatrorespuestaslasquecoincidieronconestamedida,peroenéstalasniñasmencionanqueprimerohicierondoblecesconsuscartoncillos,—eldibujoquehicieronestábienpropor-cionado—,dondemarcanqueunenteroeslodobledelpedazoquemarcancomounmedioynoconsiderannecesariodibujarlosdosdoblecesquetuvieronquemarcar.

2.4.Lavalidación:elmeJormomentodelaclase

Enelmomentodevalidar resultóque losequiposquecoinci-dieron en la respuesta de los 6 cm se les planteóque si cada

8Momentodelaclasedondelosniñospierdenelpropósitocentraldeltemayponenmayorinterésenotrosaspectosquenoserelacionanconelsaberenjuego(Chevallard,BoschyGascón,1998).

38 39

barraeradetalmedida,entonces:¿cuántomedíaelpedazoqueletocóacadauno?Lasniñasnocomprendían,porloqueselescuestionó:

Doc.—Aversicadabarrasegúnustedesmide6cmysesu-poneque fueron tresbarras las que se repartieron¿cuántomideelpedazoqueletocóacadaniño?

Nos. — 9cm(se dejó a criterio del grupo si estaban en lo co-rrecto o no).

Cuandoterminaronlosequiposlamayoríaestabanconvencidosdequelarespuestaera4cm,yaqueapesardelainsistenciadeFátimayAnayelípocoapocoseaclarabaqueelpedazoqueleshabíadadorepresentabaloquelehabíatocadoacadaniño.

Alfinalseexplicóquebienpudohabersido6cmsíysólosisuanchuramidiera2cmyseexplicólasiguienteformaderepartir:

Demaneraverticalnosquedaríaquelabarramide4cmx3cm,entoncescomparandoconlaotramedidaqueera6cmx2cmselespreguntócualeraelárearesultantedecadatamañoyentreelgruposeescuchaquelosmismosniñosdicen:“pues4x3sondocey6x2tambiénnosdandoce”.

Nosepuedeafirmarquetodoscomprendieranlaesenciadeesteproblema.Yaqueestabanconlapremuradesalirymehizofaltapromoverunamejorcronogénesisyunasensibilidaddidác-ticaadecuadaparadarmecuentadequeyanoteníalaatención

de lamayoría y era preferible haberlo explicado en unmejormomento,puesnosiempresetieneque institucionalizaren lamismaclase.Peroestoloadvertíhastaquehabíatrabajadoyalasituacióndidácticayestabaenelanálisisdelosresultados.

Además se planteó lo que ya en algunos equipos se habíahecho: si la cantidad de elementos a repartir sonmás que elnúmerodepersonasarepartir,laporciónquelestocavaasermenosomásdeunentero.Quienescontestabanlohacíanco-rrectamente.

VALIDACIÓN

Actúa  con  

ARTICULACIÓN DE FENOMENOS EPIDIDÁCTICOS

EFECTO TOPAZE REGULACIONES

PREGUNTAS

INDUCCIÓN AL ERROR

En  exceso  dificulta  llegar  

SABER EN JUEGO

CONFRONTAN

DEBATIR DEFINIR

Se  deben  

MAESTRO

En  ausencia  de  esto  el  

Que  se  

ALUMNOS

Por  los  

SOLUCIONES

Se  proponen  

40 41

Alparecer,faltanaúninfinidaddeelementosparaunabuenavalidación,comolainducciónalerror.Yapesardequesellegóalsaberenjuegofaltóquelosniñostrabajaranmássituacionesrelacionadas con las fracciones que nos sirvieran, incluso, deevaluaciónparatenermásclaroloqueaprendieronlosniños,yasinlapresenciadelEfecto Topaze9queenmomentossepuedeconvertirendecirleslarespuestademaneraindirecta.

Encontrasteconloanterior,ahoraqueseaplicóde3barrasy2niños,elmomentoquemejorófueeldelavalidación,puesen la situación 2 barras/5 niños y 4 barras/ 3 niños la validación sólosepudohacerdelaprimeraconsigna,debidoaqueningúnequipo logró llegara la respuestacorrectade la segundacon-signaa causadeltiempoo la confusión; ademásdequehici-eronfaltamáspreguntasdemiparteparaquelosniñoslograranreflexionarelprocedimiento.Enlaprimeraconsignadelasitua-ciónanterior—2barras/5niñosy4barras/3niños—todoslosequiposcoincidieronenlarespuesta,locualnofueinteresanteparalosniños,puesdabanporhechoqueesaeralarespuestacorrecta.

Alparecer, la insistenciadeFátimayAnayelísugiere lapre-sencia de un fenómeno epididáctico10, pues se partió de estoparadar laexplicacióndequesípodría ser la respuesta,peroconlascondicionesdescritasanteriormente.

Enunabuenavalidacióneldocentesóloparticiparíacomounmoderador,puesenéstatantolosniñosqueproponencomolosoponentes,realmentesecuestionanentreellossinlanecesidaddequeeldocentepropicieeldebate,entantoestándispuestosadefendersuspuntosdevistayaconfrontarlos.Estehechosediomuypocodentrodeestavalidación,esporesoquelapro-fesoratuvoque intervenir.Perosi suparticipaciónesexcesiva

9 El docente propone de forma explícita determinadas cuestiones al alumno,peroesélquientomabajosuresponsabilidad,loesencialdeltrabajointelectual.(Brousseau,1986)10AliciaÁvila (2004)señalaquecuando losalumnossugierenunarelacióndi-dácticadistintaounamodificaciónaloqueestáencurso,estamosfrenteaunfenómenoepididáctico.

sepierdeelverdaderopropósitodelasituación,entantoeslaprofesoraquiensugierelosargumentosquedeberíandefenderlosniños,encontrardichoequilibrioesdifícilenelmomentodelasjornadasdeprácticas,puesdebestenerbienclarotupapelcomo cuasi-pre-proyecto de docente en formación.

Envirtuddeestoelegícomomomentorelevantedemiapren-dizajecomodocenteeldelavalidación,yportantoeselquemepareciópertinentedarleunespacioespecialenesteanálisiso,másbien,enestegranrelatodelosucedido.

desarrollar de

E L JUE GO E N L A E NSE ÑANZA

participan

TRANSPOSI CI ÓN DI DÁCTI CA

realiza

CONTRATO DI DÁCTI CO

establecen

AL UMNO MAE STRO dentro

ME DI O

SABE R

SABE R SABI O

Para transformarlo

SABE R A E NSE ÑAR

PROBL E MAS PARA CONSTRUI R

Se establecen

PRE PARACI ÓN DE L ME DI O

SI TUACI ÓN DI DÁCTI CA

comenzando

activar

ME MORI A DI DÁCTI CA

SABE RE S

MATE MÁTI CAS CON “m” MI NUSCUL A

DE VOL UCI ÓN

E STRATE GI AS GRÁFI CAS

E RRORE S SI NTÁCTI COS

PRE GUNTAS E N L A E NSE ÑANZA

PROBL E MAS P/ APL I CAR

E RRORE S SE MÁNTI COS

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MOME NTOS A-DI DÁCTI COS

VAL I DACI ÓN ACCI ÓN I NSTI TUCI ONAL I ZACI ÓN FORMUL ACI ÓN

Suceden cuatro fases

realizar generar aparecen de los

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2.5.Lassituacionesdidácticas

En el juego de la enseñanzasonpartícipeseldocente,elalumnoyelsaber,perouncuartoelementosegúnBrousseaueselme-dio,elcualestáconstituidoporlasinteraccionesdocente-alum-no-saber,porelmaterialdisponible, incluso,por laspreguntasqueplanteael profesorparaque se generen las interaccionesconelsaber.

Elpapeldeldocenteesrealizarbuenastransposiciones didác-ticas de un saber sabio a un saber a enseñar (Chevallard,1994)originadoenlasinstitucionesmatemáticasytransformarloenunsaberquepuedaseraprendidoporlosalumnos,cuidandoquedichosabernosevuelvabanalypierdasusentido.

un punto clave es el contrato didáctico que se establezca,puessegúnBrousseau(1986)cadasituaciónesacreedoradeuncontratoespecíficoparaquefuncione.En lasituacióndidácticase inicia con una preparación del medioquetienecomofinacti-var la memoria didáctica paralograrlaconexióndeloquesesabeconlonuevoporaprender.Lacapacidaddeundocentesemideporlahabilidadquetengaparahacerdichasconexionesynoporlacantidaddeconocimientosqueleproporcionealalumno.

Dentro de dicho momento se establecen los problemas para construir,quedebendeserunverdaderoreto,pueseldocentedebetenerpresentelascapacidadesyconocimientosdesusalum-nosparanoperderelequilibriodidácticoynoproponerlesalgoqueestáporencimadesuscapacidadesnipordebajodeéstas.

Sedesarrollancuatrofases,laprimeraesladeacción donde se realiza una devolución delproblemaydevolucióndelacon-signaconpreguntas centradas en la comunicación del saber y no preguntasretóricas.Enseguida,enlaformulación,sepropicianlos momentos (a)didácticos,quepudieronestarpresentestam-biénen la faseanterior. Seponenaprueba los conocimientosde los niños, quienes tendrán que evolucionar sus estrategias gráficas y sus matemáticas con m minúscula. En lavalidación, con la exposición y argumentación de las posibles soluciones,losniñosdebensuperarloserrores sintácticos o semánticos para

sabersisurespuestaescorrectaonoyasísaberquécorregir.Además,dichoserroresseránaclaradosporeldocenteenlains-titucionalización,puesesaquídondeseestablecenlossaberesqueposteriormenteseránevaluadosmedianteproblemas para aplicar. Estepuedeseruncaminoyunaformaderelacionarelcúmulodeconceptosquenosaportalateoríadelassituacionesdidácticas,peropuedenexistirtambiénotrasformasderelacio-narlosconceptosanteriormentecitados.

2.6.Conclusiones

Como dice La Fontaine “la vergüenza de confesar el primererror,hacecometermuchosotros”.Enestaprofesiónesimpor-tante reconocer loserrorespero también losaciertos,aunqueno basta con reconocerlos, también se requiere superarlos ytrascenderlosparanovolverlosacometer.

Enrelaciónconeltrabajodeestasituacióndidácticaaprendíqueesmásfructíferoquelosniñosseenfrentenconproblemasdiferentes,aunqueéstosresultenmuycomplejosinicialmentepornoserdeltipoalqueellosestánacostumbrados,yaquesiéstosfueranmásconstantespasaríandeproblemáticosadivertidos.

A través del análisis de dicha situación obtuve diferentesaprendizajes yexperiencias,puesal principio ledimás impor-tanciaa lamedida, inclusoen laprimerasituación lespropuseunprocedimientoquesóloconsistíaenmultiplicarydividir lasmedidas,locualnocomprendieronlosniñosyportantohacíanaunladoelpapeldelasfracciones.

Enestetipodeplanteamientosseestáviendoa la fraccióncomo cociente, ya que para su resolución implica un repartoquenosdéunafracciónquerepresentalarelacióndelnúmerodeelementosarepartirentreelnúmerodepersonas3/2,aun-quelosniñosmejordicen1 y un medio.Perocomoparallegaralarespuestahacefaltaquelosniñosbusqueneltamañodelabarra,loqueimplicaqueahoralafracciónfunjacomomedida,pues losniñostienenque inferircuántosmedioshacenunen-

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teroocuántosdeestoshayenelpedazoqueletocaacadaniño—quesontres—.

Seconcluyequehacerunbuenanálisisa priori tienecomofunción“laestudiablidadde lacuestiónmatemáticaplanteaday sobre las restricciones que emanan del contrato didáctico”(Chevallard, Bosch yGascón, 1998)11, por lo que resulta perti-nentepreguntarsecómopodránreaccionarlosniñosanteloqueeldocentelespropone,perotambiénesnecesariosabercómoresponderaesasaccionesysaberlasconducir.

Alparecer,entremenosparticipacióntengaelprofesormásselogravincularalosalumnosconelsaberylosvuelvemásin-dependientes. Todo esto revoluciona mi forma de concebir laenseñanza,yaquesiemprecreíqueunbuendocenteeraaquelqueestabadispuestoadaraconocerlassolucionesdemaneraexplícitaoaquélqueutilizabaelmétodoinductivoenelquesepartedeunejerciciofácilaunodifícil,perolarealidadestámuyporencimadeesto,puessabermatemáticas“esocuparsedepro-blemas en un sentidoque incluye encontrar buenas preguntasysolucionesvariablesaunasituaciónmatemática”(Chevallard,BoschyGascón,1998),enocasionesnosenfocamosmásendarbuenasrespuestasqueenplantearbuenaspreguntas.

Estaperspectivanoes laque sebusca formaren losniñosyeseesmiretoasuperar,yaqueenocasionesquieroquelosniños se apropien del saber tal como lo concibo y así no fun-cionamuybien,puesrequierodehacermejorestransposicionesygenerarunarelacióndidácticamásadecuada,paraqueelsa-berenjuegoestéenequilibrioconelnivelcognitivodelosniños.Respectoa la relación teoría-práctica,hayvecesquesabiendoreflexionarlateoría,laprácticasededuceporsísola.

11 YvesChevallard,MarianaBoschyJosepGascónenEstudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje(1998) exponenqueelbuenfun-cionamiento de una situación radica no sólo en observar las acciones de docente yalumnoydescribirlastécnicasdidácticasutilizadas,paraestoesprecisointerro-garsesobreloqueesperaelprofesordelosalumnosyviceversa.

ANEXo12

SituaciónDdidácticadelaPrimariaJornada

Situación didáctica 2.1: Construir el entero Desarrollo

1. Consigna: Cinconiñosfueronalcineyenelintermediode-cidieroncomprarcaramelos.Eldineroque llevabansólolesalcanzóparacomprar2caramelos,demaneraqueselos repartieron en partes iguales. Sabemos que a cadaniño le tocó un pedazo de este tamaño—pedazo de 4cm—.Averigüendequé tamañoeran los caramelosquecompraronlosniños.(5min.)

2. Trabajo en equipos: Construyenelcarameloentero;paraelloseentreganacadaequipo5pedazosdepopotede4cm.(15a20min.)

3. Confrontación: Secolocaelcarameloenterodecadaequipoenel piso, anotandoel númerodel equipoque lo cons-truyó.Conbasealasdiferenciasdetamañoentreunosyotroseldocentepreguntará:“¿Cómopodemossabercuálesel correcto?”En casodeque fueran todos iguales, eldocenteapostaráauntamañodiferenteparaprovocarlaconfrontación.(10min.)

4. Segunda consigna: Estavez3niñosserepartieron4cara-melos.Ésteeselpedazoquetocóacadaniño—pedazode8cm—.Averigüencuáleraeltamañodelcarameloentero.(5min.)

5. Trabajo en equipos: Seentreganacadaequipo3pedazosde8cm.(10min.)

6. Confrontación:Similaralaanterior.Organización: -Equiposde4niños

Material: Acadaequipo:

12—TomadadeBlock,1987—.Lasecuenciadesituacionesdidácticasesmásex-tensa,peroaquíúnicamenteseincluyenlasqueserelacionanconesteescrito.

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-5pedazosdepopotede4cmc/u-3pedazosdepopotede8cmc/u-Algunospopotespararecortar(±20cmc/u)-Tijeras

SituaciónDidácticadelaSegundaJornadaGrado5°Grupo“B”

MaestraPracticante:MayraEsquivelCamarillo

Preparacióndelmedio:

Comenzarlaclaserecapitulandolasituacióndidácticadelasprácticaspasadas.¿Seacuerdande los5niñosque fuerona la feria yque sólohabíanajustado2barrasdechocolate?,puesresultaquedelos5niñosseperdieron3niñosylosdosniñosrestantesdeladesesperaciónlesdiohambreysefueronalpuestodedulces…AcciónyFormulación:Ahoraresultaqueesos2niñossecompraron3barrasdecocoyalrepartírselasacadaunoletocóunpedazoasí—muestraelpedazode6cm—yquierensaber,¿cuáleralamedidadecadabarradecoco?Seexplicaráquecadaequipotendrádostirasdecartoncillode6cmcadauna, lascualesrepresentanlospedazosquelestocaronalosdosniños.Paraestosepondránenbinasvolteándoseconelcompañerodeatrás,acadabinaseleentregaráelmaterialantesmencionadoyunahojacuadriculadaconelproblemaescritoyselesindicaráquehaganahísusprocedimientos.

Validación:

Despuésdequelamayoríadelasbinashayanterminado,indicarqueacomodensubancaypedirqueunintegrantedecadaequipopaseaexplicarsurespuesta.Preguntarquiéntieneunprocedimientodiferente,que levantensumanoyelegiraunoparaquepaseaexplicarlo.Haceresto5o6vecessegúnlavariedaddeprocedimientos.Encasodequenosurgierandificultadesplantearlasiguientesituación:Mihermanomedijoquelarespuestasesacabacortandolatiraendosyqueeseeraeltamañodelabarradecoco,ustedes¿quéopinan?

Institucionalización:

¿Cuálesprocedimientostambiénsoncorrectos?¿Cuáldelosprocedimientosdesuscompañeroseselmásrápidoyfácildeseguir?Eltamañodelabarradecocoentera¿esmásgrandeomáschicoqueelpedazoqueletocóacadaniño?¿Aquécreenquesedebaesto?Hubieraresultadomásdifícil:quélesdieraeltamañodelasbarrasdecocoylapreguntahubierasido¿quépartedebarradecocoletocóacadaniño?Secomentaránlasrespuestas. Material:

-2pedazosdecartoncillode6cmx3cmporequipo.-1tiradecartoncillode40cmx3cm.-Lápiz,tijerasyhojacuadriculada.

CindyGabrielaAlonzoSegovia

3.¿QuIÉNSEACERCóMÁS?

Lo que tenemos que aprender lo aprendemos haciendoAristóteles

Elpuntoexactoenelquemeencuentroahoraestáacientosdeconocimientosdelacúspidedeesamontañaquepodría

llamarse La enseñanza de las matemáticas. El recorridopor eloficiodocenterequieredeprácticayteoría,sonlasfuentesvi-talesparallegarconvida,peroencadatramoesnecesariomiraratrásparadivisar lashuellas registradasenelbajío, identificarlasquenopisamosbienyasímejorarelsiguientepaso.

Al revisar loaprendidorespectoa laenseñanzade las frac-ciones queda algomuy claro: predomina un abismo entre losprogramasdeestudioysuenseñanzaenlaescuelaprimariaporlacomplejidaddeestesaberaenseñaryporlaslimitantesqueaúntienesudidáctica.Enelrecuentodeloaprendido,medoycuentaquecadavezvoymejorandoenlaformadeestructurarunaclasedematemáticasapartirdelosconceptosquelateo-ría de las situaciones didácticas nos propone a los profesoresen formación: preparación delmedio, fases de acción, de for-mulación, de validación y de institucionalización. En cada faseprevalecenotrosconceptospertenecientesaladidácticadelasmatemáticas. Ahora sé otorgar la debida cronogénesis a cada faseyenlazar lasactividades—nodesviarmedeltemaapesarde los fenómenos epididácticos; cuando los niños proponen va­riantes a la actividad que modifican el propósito didáctico—.

Como dice Carol Tomlinson en El aula diversificada (2003):esnecesariocrearnuevosconocimientosapartirdelosviejos.

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Conocer los conocimientos previos de los niños me permitióplantearactividadespertinentessobretodoparalosmomentos adidácticos13; no sería una clasedematemáticas si el docenteno leentregaelproblemaal alumnoparaque sea totalmenteresponsablededichoproblema.Estossondelosmomentosúni-cosdelaclaseenqueelalumnopondráenfuncionamientosusconocimientosprevios,loscualesseiránconvirtiendoposterior-menteensaberes.Cuandoelalumnoaceptaelproblemacomosuyo, no hay intervención directa por parte del profesor, noquieredecirqueserántotalmenteabandonados,eldocentesólofungecomoguíayobservadormientraslosniñosdesarrollansusprocedimientos—aquíesimportantequeeldocenteobserveladiversidaddeideasyestrategiaspuestasenjuego—.

Loimportantesesidentificarloquehicimosmalodeformainsuficientepara superarelerror. Sin retosnosepuede llegaralacima,ylosqueconsiderodemayorrelevanciaparamifor-maciónson:mayordominiodelcontenido,haceranálisisa priori másdetallados, plantearmejoresconsignas juntocondevolu-cionespertinentesyprofundizarenelconocimientodelaespe-cificidaddelosmúltiplesfenómenosdidácticos.

3.1.Brevereminiscenciaalasituacióndidácticaanterior:“Delceroaluno”

Lasituacióndidácticateníacomosaberenjuegolasfraccionespormedioderepartocontinuo.

—¿ustedeshanjugadoalabaraja? Estapreguntapermite laaperturaa lapreparación del me-

dio queconsistíaenunaactividaddeaproximadamente15min.Paraquelosniñosjugaránalabarajacontarjetasdefracciones.

13Elalumnonohabráadquiridoverdaderamenteeseconocimientosinohastaqueseacapazdeutilizarloporsímismoenlassituacionesqueencontraráfueradetodocontextodeenseñanza(Brousseau,1998:59).Deahíqueseanecesariopropiciarmomentosparael trabajoautónomode losalumnosconelsaberenjuego.

Resultó muy satisfactoria esta actividad por el interés de losalumnos.Estemomentonosayudaaabrirunaclase,untema,enlaquecontextualizamosa losniñosysesientenfamiliarizadoscon laactividad.Sepuedeelaborarunaactividadparaelgrupoengeneral,porequiposoindividual,loimportanteesidentificarquétantosabenacercadeltemaysisepodráonoadaptarunmo-mentoadidáctico,paraentonceshacerlasdebidasregulaciones.

En la fase de acción14seentregaunproblemaacadaequipoacompañadode laprimeraconsigna—Ahora, así en equipos les voy a entregar un problema y lo van a resolver utilizando unas tarjetas que van a simular las barras de coco—.Durantelainter-pretacióndelaconsignalosalumnosrecibenelmensajedeloquevanarealizar.Elalumnodebecomprender laconsignae identi-ficarelpropósitodelasituaciónproblemáticaqueselepropone.

Loprimeroquefallófuenohaberhecholadevolución de la consignayunajusteaella.Porejemplo,hubierapodidoleerelproblemaentretodosparadarleslasindicaciones.Esnecesariohacerpreguntasalosniñosquepermitanasegurarquehanen-tendidoquées loque sepretende lograr con la situaciónquese lesplantea. Si nonos cercioramosde la comprensiónde laactividad, losalumnosmanifestarándudasconstantesdurantelafasederesolución.

Elmomentoadidácticocomenzójuntoconlasinterrogantesde los alumnos. Se abre un paréntesis, los niños comienzan amanipularelmaterialsinsaberaúncuálessu función,porqueni siquiera lo han relacionado con lo que dice el problema.Fuedifícilmantenerelmomentoadidácticoconniñosque lle-van un contrato didácticomuy diferente con su docente, elloafectaporquenoestánacostumbradosatrabajardeestemodo.—Apúrenle, les voy a revisar, les quedan 15 min.Lasrestriccionesapresuraron el trabajo de los equipos, pero en esemomentoconsideréquenodebíaparticiparniayudaralosalumnosenelmomento adidáctico.Hubomomentos en que ciertos equipos

14Elalumnoseenvíaelmensajeasímismo—situacióndeacción—mediantelosensayosyerroresquehacepararesolverelproblema,(Chamorro,2006).

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noentendían y sabíanqueno les iba adarningunapista, porellooptaronporcopiaralosdemás.Lomejoresnodejarquelosniñossedetengandemasiadoenunproblemaporquepierdenelinterésfácilmenteyestopropicia laaparicióndela lógica pro-fana —empiezanahablardetemasajenosalsaberenjuego—.

La intencióndepasara losalumnosalpizarrónesparaqueexpongan sus procedimientos yexpliquenasuscompañeros laformaenqueencontraron losresultadosyhacerunaconfron-tacióndesusestrategiasysusargumentos.Encontrévariaslimi-tantesparallevaracabolafase de validación15.Enprimerlugarfuedifícilconseguirlaatencióndetodoslosalumnosenlospro-cedimientosy resultadosde losequipos.Elprimerequipoquepasóavalidarmuestrasuresultadodemaneracorrectaperomispreguntasnofueronaptasparahacerreflexionaralequiponialrestodelgrupo.Deunamanerauntantoabruptapaséalfrenteaunequipodeniñasytambiénelresultadoeracorrectoperocondiferenteprocedimiento.

Probablementemefaltaronmejorespreguntas,contraejem-plosoquizálainducciónalerrorparacrearunambientedondese confrontaran los resultados y haberme cerciorado que losniñosdescubrieranelsaberenjuego.Laformulacióndebuenaspreguntasesfundamentalenlagestióndelsaber.

3.2.Situacióndidáctica¿Quién se acercó más?—análisis a priori—

Asísedenominóalasituacióndidácticaaplicadaenlasegundajornadadeprácticas.Elsaberenjuegoeraquelosniñosapren-dieranaaproximar—mediantefracciones—lalongituddevariasdistancias entiras de cartulina de uno o de dosmetros y uti-lizaranlaequivalenciaysumadefracciones.

15Lavalidacióntienecomoobjetoponerdemanifiestolaspruebasempíricasoimplícitasquehanfuncionadoenelámbitodelaacciónoconmotivodelaformu-lación,(Chamorro,2005)

Laintencióndetrabajarestasituacióndidácticaeraplantearunproblemaenelquetodosse involucrarany lovierancomounaactividadlúdicaydecompetenciaqueimplícitamentepro-moveríaelsaberenjuego.

Estasituacióndidácticaseaplicóelprimerdíadeprácticas.Durante la jornada de prácticas pasada me di cuenta que lamayoríadelosniñosyasabesumaryrestarfracciones,aunqueunosalumnostodavíatienendificultades.Elanálisisa priori de la situación consisteendar respuesta a ciertaspreguntasquebuscangarantizarquelasituaciónhasidobienconstruidayqueportantopuedefuncionar.Estasituacióndidácticaprecisahacerusodelosconocimientosylanocióndelasfraccionesquehanadquiridolosalumnos.Desdelapreparacióndelmediosevanaorganizar losequipos—jugando canastas revueltas—.unavezformadoslosequiposseplantearálaprimeraconsignaysemos-traráelmaterialquevaautilizarse.Despuésdecorroborarquelaconsignahasidocomprendidaseprocederáalaformulaciónenlosequiposy,portanto,almomentoadidáctico.Hastaaquíeltiempoestimadoesde15min.

Para guiar la actividad acudiré constantemente a los equi-posparacorroborarquelaconsignahayasidocomprendidaylasituaciónadidácticafuncione.16Algunosequipostenderánahacertrampa,puedequealgunodelosniñostengaalamanolastirasyestimeaproximadamentelamedida,otrospodránponerlafichaexactamenteenlamitaddelatiraparaaproximarseydecirqueesunmedio.Silosniñoslleganaesto,aumentaréelgradodedificul-tad,diciéndolesqueahorautilicenlasumaorestadefraccionespara llegar al resultado.Voya teneren cuentaque losequiposmantenganlastirassinverlasenlahoradeestimarlasmedidas.

Son4equiposcon4integrantescadauno,asíquelacrono-génesis estimadade laprimera consigna seráde20min, toda

16 Funcione,significaqueesténinvolucradosenlaresolucióndelaactividad,aun-quenonecesariamentedeformacorrecta.unasituaciónfuncionasilosalumnosestánenlabúsquedadelarespuesta,perosiseencuentranestancados y no ha-cennada,eselmomentodehacerunaregulación,hacerevolucionareltiempodidácticoypasaraotrafasedelasituacióndidáctica.

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laactividadserádentrodelsalón.Lasegundaconsignaseplan-teará cada vez que un equipo termine, procurando que losdemás equipos no sequeden atrás. En los equipos, cadaniñoanotarásuresultadoenunpedazodepapeljuntoconelrestodelosresultadosdelosdemásniños.Aunquelosresultadosnosonsecretos,larestriccióndelaconsignaseráquenosevaldráqueponganresultadosexactamenteiguales,porellotienenopcionesdehaceroperacionesbásicasconlasdemásfracciones.Alahoradevalidarpuedeserquelleguenalmismoresultadoexacto,seprocuraráquedichos resultados se analicenen funciónde lasequivalencias,obien,desumaorestadefracciones.Estoharáquelosniñosconsolidenmáslasequivalenciasdemedios,cuar-tos,quintos,décimos,terciosysextosysepanqueporejemploen½caben5/10oque1/3+1/6cabenen1/2.Loesencialeshacerque lospropiosniñosaumentenelgradodedificultadyhaceraúnmásinteresantelaactividad.Lasegundaconsignaten-dráunaduraciónestimadade20min.

Por locomúnhayequiposqueterminanmásrápido,yestaclase no será la excepción. Cuando esto ocurra se pedirá alequipoquevuelvaahacerotrarondadeparticipaciónmientrasterminan los demás. Para culminar la actividad, se comentarácon el grupo respecto a los diferentes resultados que obtu-vieron.

3.3.Análisispropiamentedicho

Se tuvo pensado hacer una dinámica para la organización delosequipos,peroeltiemponoerasuficiente,asíqueempecéaenumerarlos,perosepresentóunalevediscrepancia:losniñosmeproponíanhacerlosequiposporafinidadysabíaquesilosignoraba se iban amostrar apáticos en la actividad, entoncesacordamosqueseintegraríanporafinidad.

Losniñossugirierontrabajarfueradelsalóny,nuevamente,accedí. Antes de salir les expliqué cómo iba a desarrollarse laactividad y devolví la consigna directamente a algunos niños.

Aparte de la devolución de la consigna hubiera sido mejorhaberles puesto un ejemplo, haber ahorrado dudas y que losniñoscomprendieranmejorlaactividad.Elmomentoadidácticocomienzaencadaequipo.Ahoratratédeirconcadaequipoparacerciorarme que estaban atentos a la consigna. En un equipopasólosiguiente:

—Ustedes van a decir la fracción pero adivinando, después ya van a poner las tiras

unniñopusolastirasdefraccionesdelladodelatirablanca.Noquedómuyclaralaconsignaytampocolacorroboré.

Sihubierapuestounejemploenelsalón,talvezestonohu-bieraocurrido.Quizátambiénfaltóponermásrestriccionesenlaconsigna,comoelhechodequeutilizaranmáslassumasyrestasdefraccionesotambiéndequenosevalíadarcomoresultadolamismafracción.Huboequiposqueterminaronmásrápidohastaparalasegundaconsigna,yaquesegúnmianálisisa priori con-siderabauntiempoestimadode20minparacadaconsignayenlaprimeraduraron25minperoenlasegundaterminaronantesdelos20minutos.Loquefaltóañadiralasegundaversióndeljuegofuehacerloconungradomayordedificultad,envezdehacerlo en una tira de 1metro, quizá hubiese sidomás difícilhaberlohechoenunatirade2metros,estohabríaoriginadounconflictomayor,yporellosetrataríadeunretomayorparalosalumnos.

Laindicaciónquelesdialosequiposqueterminabanrápido,era que volvieran a jugar, pero ya estaban fastidiados y estopropiciólaaparicióndelalógicaprofana.unamodificaciónalasegundaversiónhubierafuncionadoparaesquivarladistracciónyelaburrimientodelosalumnos.Cuandoentramosalsalón,co-mentamos acerca de los ganadores de los equipos y en el pi-zarrónjugamosporúltimavezconlaparticipacióndealgunosniñosyasífinalizólaclase.

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FORMULACIÓN

INFORMACIÓN INTERLOCUTORES ACCIONES

DECISIONES

APAREJADAS ASIMILACIONES Y CONTRADICCIONES REVISIÓN

MODELO EXPLÍCITO QUE PUEDA SER FORMULADO CON AYUDA DE SIGNOS Y

REGLAS, CONOCIDAS O NUEVAS.

intercambia

con A través de

El fracaso de un mensaje obliga

Puede llevar

Los alumnos crean

Lasituacióndeformulaciónencadaequipomepareciómuyin-teresantepor la formaenqueellosmismos se corregían ynodejabanquealgunodesuscompañeroshicieratrampa,apegán-dose a la consigna. La situación didáctica fue vista como unacompetenciaentrelosequiposeibaaganarquienmásseapro-ximaraalamedida.

Equipo 1.unaniñacolocalafichasobrelatirablanca.

Doc— Tratendesumarfracciones.

Cadaniñaobservalatirayanotacadaquienensucuadernolafracciónaproximada.

Ma.— A ver… (una niña abre sus pies desde la línea rojahastalaficha).

¿Escomounterciono?(Haceunapreguntaalaireaunquesabequesuscompañerasnolavanaresponder).

Esteequipodeniñas,casinosecomunicanentreellas,pare-cieraquemanteníanocultasurespuestahastacomprobarla.

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Equipo 2. unniñocolocalafichasobrelatirablancayapuntaenunalibretalafracciónaproximadadetodoslosintegrantes.

No.— ¿Peroconéstosnadamás?(refiriéndosealastirasdecuartos,medios,quintosydécimos)

Doc.— No,puedenutilizarlastres,tambiénenterciosysex-tos.

Na.—Amípóngame½No.—Brenda!,espérese…Doc.— PuedensumarfraccionestambiénNo.—TetocaJorgeNo.—3/6No.—Metoca,½(elniñoqueapuntabaenlalibreta)Na.—No,yoyadije(laniñaquehabíadicho1/2)

Adiferenciadelprimerequipo,losniñosformularondediferentemanera.Puedeserquelohicieronasíporquenohubounares-triccióndelaconsignarespectoamantenerocultalarespuesta,decidíhacerloasíparaquelosniñoscomentaranmásacercadelosresultados.Peroenestecasoelniñocolocólafichaalamitadde la tira—tal como lo había propuesto en el análisisa prio-ri—contaldeaproximarsealresultado.Avecesesconvenientedejarquefluyanlasestrategiasylosresultados,aunqueloper-

tinente,enestecaso,hubierasido aumentarelgradodedifi-cultaddelaconsigna,porejemploqueutilizaranmásfraccionessumando.Comosepuedever,unniño—Jorge—dasuresultadode3/6aparentandounresultadodiferentealosdemás,aunque,alparecer,yasabíaque3/6esigualalamitaddelatira.

Después se hizo un ajuste a la consigna en este equipo.Nuevamenteunniñocolocalafichaymeintegréajugarconellos.

Doc.—Ponmeami Panchito, ponme amí…3/6más 1/10.(Decidí comenzar con sumade fracciones para queellosintentaranhacerlomismo).

No.— Yo½y2/10.No.— Yo2/6y1/6.No.— Puesentoncesson3/6.

Conelajustedelaconsigna,empezaronatrabajarconlasumade fracciones, algunos lo calculaban mentalmente y otros loelaborabanenlalibreta.Laformulación,enestecaso,permitióquelospropiosniñosdiscutieranacercadesusresultadosytam-biénquerespetaranlaconsigna;noverlastirasantesdepasaravalidar.Loqueaportatrabajarenequiposessocializarlasideas,comolamayoríaexponíasusresultados,losdemásanalizabanlafracciónquesuponíanpróximaalaunidad.Alprincipioalgunostenían dificultad para la ubicación de la fracción, e incluso unniñollegaadecir1/10,cuandolosdemásdecíanfraccionesma-yores,sediocuentahastalacomprobacióndeque1/10estabamuydebajodelresultado.Estaesunainteresanteactividadqueponeenjuegolosconocimientosdelosalumnosparaaprenderdeformadivertidamásacercadelasfracciones.

Equipo 3

Doc.—¿Yapusieroncuántomidemásomenos?No.— ¿Cuántomidemaestra?(estimandoconlatiradeter-

cios)Doc.—Puedesutilizarhastadostiras.

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No.—Yodigoque¼.No.— Yodigo1/10(adivinandomásqueestimando)No.— 2/8No.— Yodigoque½menos¼.Doc.—¿Puedeshacerlaoperación?No.— Pues…yadespuésconlastiras.

Enesteequipohabíaunniñoquealprincipiodabasusresulta-dosmuyvagamente—adivinando—,suscompañerostomabanlaactividadmásenserio.Cuandovalidaban,elniñocomenzóaestimardemejormaneralasfracciones,conociendoentonceseltamañoquelecorrespondía1/10ó½.

Periódicamente los alumnos cometen errores recurrentes y persistentesquelasestrategiasutilizadasparalaenseñanzanohanlogradosuperar.Paramuchosniñoslasfraccionesparecenabstractas,comosisetrataradealgoqueestáfueradesucon-texto, perohayunmomentoenel que sedan cuentaque lasutilizanenlavidadiaria.

¿Cuálesydequétiposonloserroresidentificados?¿Sepue-denasociara lasmatemáticas,aaspectoscognitivosodidácti-cos?¿Quéaspectoshayquetenerencuentaparalaelaboracióndeunapropuestadeenseñanzarelativaa lasoperacionesconfracciones? Somos los encargados de dar respuesta a estas yotras preguntas para dilucidar los conocimientos de los niñosy lasdudasinherentesalactodeaprender.Loprincipalesqueveanlasfraccionesysusvariantescomoalgoútilensusvidas…Comounaprendizajecon sentido.

3.4.Conclusiones

Al parecer, las matemáticas y, más específicamente, las frac-cionesconstituyenunodelossaberesenjuegomásdifícilesdeenseñar.Coneltiemposehanidodesvirtuando:dejarondeserunaherramientapararesolverunagranvariedaddeproblemas,transformándoseenuncúmulodeaprendizajesconescasosig-nificado,muchasreglasparamemorizarypocascombinaciones.

Losniñosdesextogrado,conlosquetrabajé,muestrancier-tasdificultadesenlasfraccionesenelcasodelaprimerasitua-cióndidácticaaplicada.Amaneradehipótesis,puedeserqueenlosciclosanterioresnoseadquirióunaprendizajeconstructivo;hayalgunosalumnosquenosabenlafuncióndelnumeradoryeldenominador.Puedeserqueelconceptodefraccionesnohasido comprendidoni asimilado en los problemasplanteadosotambiénquenosabendividir.Simbólicamenteseconfundenenelvalorde las fracciones,algunospiensanque1/10puedesermayorque½,oque10/10esmayorque2/2cuandorealmenterepresentan lomismo.Hay niños quenecesitan hacer gráfica-

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mente las fraccionespara identificarsuequivalencia, talcomopasóeneljuegodebarajas de fracciones,losniñostenían4frac-cionesenelcentrodelamesayelobstáculoestabaen¿Quiéneselganador?Mentalmente,noteníanlarepresentacióngráficadeloqueequivalíanlasfraccionesynopodíandarunarespuestafácilmente.Laincertidumbredesaberquiéneraelganadorlosobligabaautilizarunmododerepresentardichas fraccionesyencontrargráficamenteelganador.

Lomáscomplejodelasuntoescuandocreenquedebenapren-der losimbólicoy lográficode las fraccionesdememoria,casitanautomáticamentecomoaprenderselastablasalamaneradeunacantinela.Lanocióndelasfraccionessevaadquiriendogra-dualmente,esnecesariomaterialdidácticoyunabuenacontex-tualizaciónconlavidarealdelosalumnos.Eldiseñodelasfasesdeunasituacióndidácticaaplicadasaunaclasedematemáticashacreadounambientedeaprendizajeenelqueeldocentevie-neaprendiendomáspormediodelosniños.Cadafasenecesitaun análisis profundo: ¿De qué manera es pertinente empezarla clase?, ¿Cuáles son las preguntas para guiar a los alumnos?,¿Cómohacerladevolucióndelaconsigna?,etc.Loimportanteesinvolucraralosalumnosenunasituación-problemayconvertirlaenaprendizaje.Conlasfasesdelasituacióndidácticasefavorecesindudael aprendizaje, sólohayqueanalizar loquehacen losniños, principalmente en el momento adidáctico. Pero resultamuyimportantetambiéncuidaryestaratentosenelmomentodevalidar,yaqueesahí,dondeelambienteseconvierteenundebatedeopiniones,sugerencias,rechazos,etc.,peroquealfinalsemuestranyargumentanlosprocedimientosencontrados.

Enelcasodelasituacióndidácticadelastirasdefracciones,fue muy provechoso realizar esta actividad en equipos, así laformulaciónsehizomásproductiva.Comosemuestraenlosre-gistrosdeclase,cadaequiposecomunicabaeintercambiabadeformadiferente.Porejemploenelequipo1,Laurateníamásno-cióndelasfraccionesynoencontrótantogradodedificultadenlaactividad,suscompañerashacíanlaestimacióndelasfraccionesmentalmentesindialogartantoacercadelresultado.Encambio

en el equipo 2, los niñosdialogabanmás y hasta se corregían.Medianteesta fase losniñosdana conocer sus conocimientospreviosyquétanfamiliarizadosestánconelsaberenjuego.

A raíz de todo,me involucré con cada uno de los equipos,corrigiendo laconsignayhastamodificándola—añadir restric-ciones—,yenciertomomentoaumentarelgradodedificultaddelaactividad.Lasconsecuenciasadversassemanifiestancuandosehaceunafalsadevolucióndelaconsigna.Confrecuencialosalumnosconfirmanloquevanahacer,conlasimpleyllanare-spuesta:“sientendí”,peroquémejorquehacerunadevolucióndelaconsignamedianteunejemplogrupalycerciorarnosdelacomprensióndelaactividad.

Sin duda los niños reconocieron el significado de las frac-cionesgráficamente,aunqueestonoquieredecirqueelapren-dizajesehayaconsolidadodeltodo,pueshayquetrabajarenlasotrasformasdemanifestarsequetienenlasfracciones,comoenlosdecimalesysusoperacionesbásicas.

Apenas estamos descubriendo y comparando las ventajasdelasituacióndidáctica,peroenloquerespectaalossaberesmatemáticosenlaeducaciónprimaria,comosonlasfracciones,faltamuchoporaprenderrespectodelasmejoresformasdeen-señarlas.

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ANEXo

Asignatura:Matemáticas Bloque: II Tema:SumayrestadefraccionesAprendizaJesesperados:

utilizarlasumayrestadefraccionesensituacionesdeestimación.

1° SESIÓN

Fase de acción:Conlosequiposacomodadosdelamaneraenqueestán,cadaequipotendráunproblemaaresolver.Losniñostienenquecalcularlamedidadeunalongitudconfraccionesdelmetroyverificarquiénseaproximómásalamedidacorrecta.

Acadaequiposeleentregaráunatirasindivisiones,conunextremoiluminadoderojo.unatiradivididaenmediosyencuartos,unatiradivididaenquintosydécimos,yunafichaparaseñalarenlatirablanca.

Primera consigna: uno de los niños de cada equipo, pone la tira en blanco ya seaen lamesaoenel suelo,pondrá lafichaencualquier lugarde latiraydespués losdemásvanacalcularporestimacionesladistanciaquehayentreelextremodelatirailuminadoderojoylafichaquecolocaron.Lasestimacioneslastienenquehacerconfraccionesperoutilizandomedios,cuartos,quintosydécimos,perosinmedirconlastiras—inicialmente,yaluegomedirányconfirmaránomodificaránsusestimaciones—.Tambiénpodráncalcularconlasuma,restaydemásoperacionesbásicasquepuedanutilizarconlasfracciones.

Cadaequipoharásucesivamentelomismoconcadaniño.Tiempomáximo20minutos.

Segunda consigna: Cuando acaben los niños con la primera versión, se les dirá queahora van a hacer lomismo pero utilizando lasmediciones de otra tira dividida enterciosysextos.Tiempomáximo20min.

Fase de Formulación: Cadaequipovaareflexionarycomentarlasmedicionesaproximadas.

Fase de validación: Cadagrupovaavalidarlosresultadosdelosdemáscuandocompruebensilasmedicionessonaproximadasoexactas.

ErikAyaladelVillar

4.MITADESQuENoSoNMITADES

Qué difícil se me hace, mantenerme en este viajesin saber a dónde voy en realidad

[…]AlejandroLernerenversiondeNichoHinojosa

4.1.¿QuéAprendí?

Durante el proceso de formación docente existen 4 etapasfundamentales: laobservación, laplaneación, laprácticay

elanálisis.Sibienenelprimersemestrenosenfocamosalaob-servacióndeloscontextosenquelasescuelasseubican,ahoranos basamos en el trabajo realizado por los docentes y en lapropia práctica. En esta jornada pudimos apreciar demaneramásdetalladalas4etapasantesmencionadas.Paraacudiralaescuelaprimerotuvimosqueprepararalgunasfichas didácticas obtenidasdelosficherosdenuestrosgradoscorrespondientes,esteprocesoseasemejaalaplaneación.Estasfichasfueronapli-cadasennuestrosgrupos—lapráctica—yahora correspondeanalizar que sucedió con las actividades llevadas a cabo. Estebreveanálisisnosinvitaareflexionar¿Quéfuncionó?,¿Quéfueloquenofuncionó?¿Cuálesfueronlosmotivos?Paraencontrarasí lasfortalezasydebilidadesennuestraformademanejar larelaciónentrelosalumnosyelsabermatemático,ymejorarasíenlasfuturasjornadasdeprácticas.

Estos2semestres,casiunañodetrabajoconlasmatemáticasysuenseñanza,nomedejantantosaprendizajescomoquisiera,porquelasmatemáticas,suusoysusmétodosdeaplicaciónson

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variadoseinmensos,ysiesimposibleaprenderlotodoenaños,esaúnmásdifícilhacerloentansolouno.

Peroconestecursohetomadoherramientasquemeayudanatrabajarlasmatemáticasenlaescuelaprimariaycómotrans-mitireseenfoquealospequeños.Paraestolomássignificativoque rescato es el aprender a descifrar las formas en que losalumnosresuelvenlosproblemas,lasestrategiasqueusan—re-presentacióngráfica,repartos,algoritmo,etc.—,losrazonamien-tos que hacen para poder llegar al resultado del problema. Esmásfácilparalosalumnosaprendermatemáticascuandoconsi-deranloqueyaconocensobreeltema,cuandolopuedenaplicar,asíasocianlosconocimientosquesepretendealcancen,dejandode lado el tedioso y aburrido métododesólopracticarlosalgorit-mos,esdecir,hacernumerosasoperaciones—multiplicaciones,divisiones, sumas, restas— que no implican ningún raciocinio,másquerealizarlasimplepráctica.

Aunado a estas ideas,me percaté del sentido de las situa-cionesdidácticas,comoelcaminomásidóneoparalaenseñanzadelasmatemáticas,asícomolasfasesyconceptosdelasquesecomponen,dentrodelasqueseencuentran:lapreparacióndelmedio,fasedeacción,fasedeformulación,fasedeinstituciona-lizaciónydeaplicación.Todoestoconelpropósitodetransmitirel saber a enseñarhacialosalumnos,mediantelatransposicióndidácticaquehacemos.

Aprendí a utilizar el juego como una herramienta para elaprendizaje con desafíos como, “del 0 al 1”, “dominó de frac-ciones”,etc.Ademásdeutilizardiferentesmaterialesquecom-plementan,debuenamaneralaadquisicióndelsaber.

Sonvariosconceptoslosqueenglobanlassituacionesdidác-ticas,comolasdevoluciones,loscontraejemplos,lainducciónalerror,lalógicaprofanaymuchosmás,porquecadaunodeellostienesumaimportanciaenelprocesoenseñanza-aprendizaje.

Peroesteaprendizajenoapareciódelanada,fuenecesariorevisardiferentestextosquealprincipioparecíanindescifrablesporlagrancantidaddeconceptosquesemanejabanyquere-sultabandesconocidos,peroquemedianteunarevisiónmásde-

talladaenclasefueronaclarándose.TextosdeautorescomoGuyBrousseau,DavidBlockyAliciaÁvila,docentesquecon las in-vestigacionesquehanrealizado,contribuyeronenormementealdesarrollodelaenseñanzadelasnuevasybuenasmatemáticas.

Conlarevisióndelostextosylapuestaenprácticadealgunassituaciones didácticas se ha afianzado más el conocimientomatemáticoylaformadeenseñarlo.Acontinuaciónpresentare-moselanálisisdelasegundasituacióndidácticarelacionadaconlasfracciones,nosinantes,hacerunrecordatoriodeloquesetrabajóconlaprimerasituación.

4.2.3Pastelesentre2Personas

Estasituaciónfuetrabajadaenlaprimerajornadadeobservacióny Práctica Docente en la escuela primaria “Justo Sierra”, dePedregoso,Pinos,Zac.Conel grupode3° “B”.Dicha situaciónconsistíaenelplanteamientodeunproblemaenelqueestabaimplicadounrepartode3pastelesentre2personas,dondeco-rrespondía,1½pastelparacadauno.

Losniños respondierondebuenamaneraante la situación.Lapreparacióndelmediofueexitosa,hablamossobre lasfies-tas de cumpleaños y sobre cómo se podrían repartir determi-nadospastelesentreciertos invitados.Losniñossemostraronparticipativos e interesados en este tema. Posteriormente, seplanteóelproblema,peroconuncontextoparticular,elcualfueelsiguiente:“eldía1°deoctubrefuemicumpleaños,yfueronavisitarme lamaestrasBianca,VerónicayDaniela,ycadauname llevóunpastel pequeñode regalo,perodespués fueronavisitarmemis amigosManuel y Toño, ¿cómo le haríamospararepartiresospastelesentremisamigos?”.

Ante este contexto bastante real y significativo, debido aque la fechaenquefueaplicada laclaseeramuycercanaa lafecharealdemicumpleaños,elementocentraldelproblemaytambién,porquelosnombresdelasmaestrasqueuséeranlosnombresdemiscompañerasdeequipodeprácticas,lascuáles

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losniños identificaronde inmediato, loquepermitióque lasi-tuaciónestuvieracentradaenhechosmuycercanosaellos.

Alanalizarlasrespuestasdelosalumnosalprimerproblema—repartir 3 pasteles entre dos personas—, se encontró lo si-guiente:

•Delos7equiposformados,los7resolvieronelproblema.•Delos7equipos,4utilizaronelmismoprocedimientocon-sistenteendividircadaunodelospastelesalamitad,yha-cerunrepartounoauno,hastaqueseagotaranlaspartes,correspondiendo3mitadesacadauno,esdecir1½pastelo1/3deltotal.Losrepartosdeestosequiposfueronequitati-vosyexhaustivos.

•otrode losequipos realizó lamismaparticiónde lospas-teles,perosequedaronhastaahí,norealizaronelreparto.- un equipo realizó el mismo procedimiento que los

anteriores, sólo que añadieron una particiónmás; cadaunadelasmitadeslasdividieronen8pedazospequeños,obteniendountotalde48partes,lascualesrepartieronentregando24pedazosacadaunodelosdosamigos.

•otraestrategiausadafuedividiralospastelesentriángulosiguales,correspondiendo9triángulosacadauno,lafallaenesteequipoesquesurepartonofueexhaustivo,esdecir,norepartierontodoelpastel, lessobróunagrancantidaddelahoja—pastel—,ademásdequelostriángulosenlosquedividieron el pastel,noerandelmismotamaño.

•Elúltimoequiporesolvióelproblema,noobstantequecor-taronlospedazosdehojaenmitades,lesresultóimposibleexplicarcómorepartirlas.

Comovemos,lamayoríadelosalumnosidentificaronlamaneracorrectaderealizarelreparto;losdemásobtuvieronresultadosmuyaproximadosalcorrecto,sólotuvieronpequeñoserroresalnorespetarlaconsigna.

Los alumnos, al parecer, adquirieron el saber en juegoqueera identificarel repartoenmitades y su representaciónen la

mitaddehoja,peroalmomentode relacionarestamitad con sunúmerofraccionariocorrespondiente,esdecir½,tuvierondi-ficultadesparahacerlo,porque,hastaesemomentonohabíantrabajadorealmenteconlasfraccionesniconsuescritura.Estoesloquesucedióenlaprimerajornadadeprácticas.Peroelcon-textocambiófavorablementeysecomprobóconeltrabajodelasegundasituacióndidáctica.Lacualveremosahora.

4.3.Mitadesquenosonmitades

Nombrequeseledioalasegundasituacióndidácticatrabajadaconlosalumnos.Dichasituacióneslaevolucióndelaanterior,comoapreciamos,enlaanteriorsetratabaderealizareidenti-ficarunrepartoconmitades.Ahoraquelosniñoshanafianzadoelconceptodemitad,esmomentodeenfrentarlosadiferentestiposde repartosque representan½de la unidadde referen-cia—unahoja—,peroqueporlaformaenqueestáncortadas,aparentannoserloyalgunas,efectivamente,noloson.

Este es el propósito de la nueva situación, en una primerapartedelaconsignasetratadediscriminarentreunconjuntode8pedazosdepastelcuálessonlamitadycuálesno.Yenunaseg-undaconsigna,queaverigüencuálesdelos8pedazoscontienenlamismacantidaddepastel.Los8pedazossonlossiguientes:

Parte1Parte2Parte3Parte4

Parte5Parte6Parte7Parte8

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Haciendounanálisisaprioridelasituación,estossonlosresul-tadosqueesperoarroje:

•Enlaprimeraconsignalosniñostendránfacilidadparaen-contrarlasmitadesmáscomunes—parte1,2y3—.

•Noconsideraríanmitadesalaspartesquenoresultarandedoblarlahojaexactamente—parte4y5—.

•Confundiránlaparte3conla6.Ylaparte4conla8,porsufiguraaparentementeigual.

•Enlasegundaconsigna,creoqueserádifícilquelosalum-nos identifiquen cuales partes contienen la misma canti-dad,perolarespuestamásprobableseráquelaspartes4y8,3y6,tienenlamismacantidad,porlasemejanzaensusfiguras.

Ahoraveamoseldesarrollodelaclase…Laclasesellevóacaboeldía2dediciembre.Laúltimaclase

dematemáticasdelasemana,alas8:30a.m.aproximadamente.El docente inicia la clase haciendo una remembranza de lo tra-bajadoanteriormente, locualvemosenestefragmentodere-gistro:

Mo.— Bien, seacuerdanque laotravez trabajamos¿conqué..?Laotravezquelesdiunashojasyteníanquerepartir…

Ao.— Pasteles.Doc.—¿Quéeranesashojas?Aos.—¡Pasteles!Doc.—Eranpasteles¿verdad?¿Yquéteníamosquehacerla

otravez?Ao.— ¡Pasteles,repartir!.Doc.—¿Repartirqué?.Aos.— ¡Pasteles!Doc.—¿Trespasteles?Ao.— ¡Cuatro!Ao.— unpastel.

Doc.—¿unpastel?,¿Cuántoeraloqueteníamosquerepar-tir?AverCelina.

Ao.— Trespastelesentretrespersonas.Doc.— Trespastelesentretrespersonas,verdad(afirmando,

después cambia repentinamente y dice) ¿Eran trespastelesentretrespersonas?

Ao.— No,eraentrecuatro(eldocenteniegaconlacabeza),¡entrecinco!

Doc.—Seacuerdanque..¿quiénmehabíaregaladopastel?Ao.— ¡Bianca!Doc.—Bianca,VeroyDaniela,lasmaestrasde5°ylamaes-

tra de 1°, y se acuerdan entre cuántos amigos losteníaquerepartir.

Ao.— Entre2.Doc.—Entre2amigos,ycuántoletocóacadaquién.Ao.— ¡unpastel!Doc.—¿Nadamásunpastel?Ao.— unpastelyunamitad.Doc.—Bueno,puesahoralestrajealgodiferente.Lestrajepas-

telesperoahoraestánpartidosenpedazosynecesitoque ustedesme ayuden a decir cuáles sonmitades,paraesonecesitoqueseformenencuatroequipos.

Aquífinalizaloqueeslapreparacióndelmedioquesedadeunamaneraapropiadapara laclase,aunque losalumnosnorecor-darondeltodolasituacióndeunamaneraexacta,recordabanelpropósitocentraldeésta:elreparto.Conlas interrogantesdeldocenteydescartandopocoapocolasideaserróneasparacen-trarseen losdatos fundamentales sepudohaceruna remem-branzadelotrabajadoyrelacionándoloconloquesetrabajaría,esdecir,conelplanteamientodelaconsigna.

Posteriormente, el colectivo demorómás de 5minutos enformarlosequipos.Enelplandeclaseaparecequeseformaránequiposentregandodulcesdediferentes colores y losque tu-vierancoloressimilaresdeberíanconformarunequipo,peroeneltrabajoprevioconlosniñossedetectóqueesdifícilqueco-

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laborenenequipocuandomuchosdelosalumnosserechazan,por talmotivo la formacióndeequipos fuedecarácter libreyporafinidad.Aunqueeldocenteintervinocambiandoaciertosalumnos de equipo para que éstos estuvieran—algo—equili-bradosencuantoanúmerodeintegrantesynivelescognitivos.

otroaspectoquedemoróeldesarrollodelaclasefuequeeldocentenollevabaelmaterial—partesdehoja—distribuidasyaparacadaequipoytuvoqueentregarlasdeunaporunasegúnelcolorylafigura.unavezhechoesto,realizóvariasaclaracionesacercadeloquesepretendequelosniñoshagan:

Eldocente tomaunahojaenblancoe indicaa losalumnosquedichahoja representaunpastel entero (hecho esto el do-cente reparte una hoja en blanco a cada equipo. Regresa al escri-torio y menciona):

Doc.—EstaHojarepresenta¿qué?Aos.— ¡unPastel!Doc.—unpastel(afirma y muestra algunas partes de hojas

de colores y menciona). ¿Yluegolesvoyaentregarlospedazosdequé...?

Ao.— Depastel.Doc.—Depastelok,(comienza a repartir las partes de hojas

en lo cual demora alrededor de 2 minutos)Posteriormente,eldocentepreguntaaunodesusalumnos:Doc.—¿QuévamosahacerDavid?Ao.— Pasteles.Doc.—Yquévamosahacerconellos,¿quévamosahacer?,

¿quévamosahacer,Juan?Ao.— Repartirpasteles.Doc.—JuandicequevamosaRepartirpasteles,¿esciertolo

quediceJuan?Aos.— No.Doc.—¿QuévamosahacerAbraham?¿Quévamosahacer

Josué?,¿quévamosahacerTere?,¿quévamosaha-cerJuanDiego?

Ao.— Vamosarepartirpastelesalamitad.

Doc.—¿Vamosarepartirpastelesalamitad?,¿quéesloquevamosahacerCitlali?

Ao.— Vamosavercuálesdelospedazossonmitades.Doc.—ok…

Comoapreciamosenel fragmentoderegistro, losalumnosnosabíanquéibanarealizar,aunquelaconsignayahabíasidoplan-teada,estoseapreciaconlaspreguntasodevolucionesquehaceel docente hacia los alumnos, las cuales son fallidas en variosintentos,yaqueningunodelosalumnossabíaquéserealizaría.Hastaqueunadeellasrecuerdalaconsignayresponde:“vamosavercuálesdelospedazossonmitades”,locualesretomadoyaprovechado por el docente para establecer, nuevamente, lasreglasdelasituación.

Dentrodelanálisisdeesteincidenteenelquenadierecuerdaquéesloqueserealizaría,podemosencontrarcomojustificacióna esto, el prolongado tiempo –7min aproximadamente—quetranscurrió desde que el docente planteó la situación y dio laconsigna,hastaelmomentoenquerealizó ladevolución.Estoaunadoalconstanteruidoprovocadopor lamalaorganizacióndelosequiposenlaclasey latardanzaenrepartirelmaterial,dieroncomoresultadoque lamayoríanoentendieraelproce-dimiento.Peroconunasolaalumnaque logrócaptarlo,eldo-centepudoretomarelrumbodelaclaseyseguirhaciendomásdevolucionesyfinalmente,losmismosalumnosfueronquienesseexplicaronmutuamentelaconsigna.

Después de la preparación del medio, la formación de losequipos,laentregadelmaterialydelasdevolucionesrealizadas,losalumnosdeinmediatocomenzaronabuscarlasmitadesparalocualutilizarondiferentesestrategias:

Simpleysencillamenteobservar lahojaymediantesu ima-ginaciónespacialhacerunaaproximaciónacercadesieramitadono.

Lamásfrecuenteentrelos4equiposfue,acomodarlaspartessobrelahojaentera,yapartirdeesto,decidían cuáleseranmi-tadesocuálesno.Elproblemaconestaestrategiaeraquelos4

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equipossóloacomodaronlapartedeunaformaydecidíanqueeraonoera,estasituaciónfueerradicadamediantelasugeren-ciadeldocentequiénmientraspasabaaobservareltrabajodelos equipos realizaba ciertas preguntas como: “¿están segurosdequesíes lamitad?”,dependiendode la respuestaquedie-ranlosalumnoseldocentelosguiabahaciaotraposibilidad,porejemplo, “y si la acomodan del otro lado no es lamitad”. Losalumnosconestetipodepreguntasconfrontabanidease ibanreacomodandolospedazosendiferentesposiciones,medianteestolograrondescartarciertasmitades.

otra de las estrategias usadas y que apareció también porsugerenciadelprofesorantelaincapacidaddeunequipodeor-ganizarseparatrabajarfueladedibujarelcontornodelapartesobrelahojaentera.Conlapartequeteníanylaquequedabaimpresaenlahojaentera,realizabanunacomparaciónentrelasfigurasformadasypodíandecidir,sieramitadono.

Aunque el docente mencionó que guardaba los pedazosrestantesdecadaparteypodíansolicitárselossieranrequeri-dos, los alumnos nunca optaron por la opción de pedir esaspartesyreconstruirlahoja,paraversienrealidaderalamitad.

Estasfueronlasestrategiasusadasporlosalumnosparare-solverlaincógnitade¿Cuáles son mitades?, ahora veamos cuales fueronsusresultados.

Equipo 3

Equipo 2

Equipo 1

Equipo 4

Comosepuedeapreciarenlaimagenlos4equiposencontraronlasmismasmitades,laparte1,2,3y4.Locuáleraelresultadoesperado, ya que, aparentemente, desde la perspectivadeuninfanteson lasmás fácilesdeencontrar,porqueseobtienenapartirdeunejedesimetría,esdecir,una líneaquedividea lahojaendospartestotalmenteiguales.

Pero losresultadosqueaparecenaquínosonproductoen-teramente de los alumnos, porque las decisiones correctastienenqueverconlosejemplosysugerenciasquerealizóeldo-centealmomentodequelosalumnosformulabanlasituación.Ciertamente, los errores forman parte del aprendizaje, peroenestaocasiónseoptóporhacerunaregulaciónyorientar labúsquedadelosalumnoshaciaunadeterminadaruta.

Dentro de esos ejemplos y sugerencias, se encuentran losmencionadosanteriormenterespectoalacomododelasfigurasydibujarlassobreunahoja.

•unequipodijoquelaparte3,noeramitaddebidoaquelateníanmalacomodada,perocuandoeldocentelespro-pusoquelaacomodarandeunamaneradistinta,losniñoslohicieronydeinmediatosedieroncuentadesuerror.

• Todos los equipos—durante la formulación—afirmaronquelaparte6sieramitad,debidoasusemejanzaconlaparte3, aunque cuandoeldocentepropusoque laspu-sieran juntas y observaran si eran iguales, los alumnosrespondieronqueno.Estoesciertoporquelaparte3esuntriángulo,resultantedepartiralahojaconunadiago-naldeesquinaaesquina.Mientrasque laparte6esuntrapecio,resultantetambiéndeunadiagonal,peronodeesquinaaesquina,sinodeunapartedelahojaaunaes-quina,porconsiguientenoeslamitad.

•unequipomostródificultadparasabersi laparte4eramitad,dichadificultadfueresueltaconlaestrategiadeldibujo, se les propuso que dibujaran la parte sobre lahojaenblanco.Cuando lo realizaron,se indicóqueob-servaran laspartesquehabían sidodibujadasy si eran

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iguales,losalumnosasílohicieronydescubrieronquesíeralamitad.

Comovemos,losresultadospresentadosnosondeltododelosniños,eldocenteintervinoenvariasocasionesproponiendosolu-cionesalosconflictosdelosalumnosloque,deciertamanera,limitóesemomento(a)didácticoquetodasituaciónrequiere.Locualtrajocomoconsecuencia,quelavalidacióncarecieradeim-portancia,porqueeldocentevalidóanteslasestrategiasdelosalumnosencadaequipoylasupuestafasedevalidación,pareciómássólounaexposiciónderesultados,debidoaquetodoslosequiposestabancorrectos—hastaciertopunto—,entoncesnosegeneróesadiscusióndesieraonoeramitad,entretodoelgrupo.

Apesar deesto, sí se pudo realizar unapequeñadiscusiónentretodoelgrupo,lacualseoriginaapartirdequeeldocente,despuésdeexponerlosresultadosdelosalumnos,vinoelmo-mentodeconfrontarlaspartesquenoconsideraronmitades(5,6,7y8).Eldocenteempezóconlasquenoloson(6,7y8)ydejólaquesíloera(5)paraelfinal.Antelastresprimeraslosalum-nosreconocieron,mediantelasuperposicióndelaspartessobrelahojaenblanco,que,efectivamente,noeranmitades.Peroalmomentodellegarconlaparte5losalumnos,tambiénnegaronquefueramitad.Anteestoeldocentesiguiócuestionandoalosalumnos:

Doc.—Averniños,segurosqueestanoeslamitad.Aos.— Nooooo.Doc.—¿Yporqué?Aos.— PssSabe.Doc.—Aver,ysiyolestraigolospedazosquesobraronde

estaparteylosjunto.Aos.— Aver… (El docente toma la parte 5 y la pega en el pizarrón,

después saca de su caja los pedazos restantes de la hoja de la cual fue extraída la parte 5 y se las pre-senta a los alumnos).

Doc.—¿Creen que esto sea la mitad? (mostrando los pe-dazos).

Aos.— Noooo.Doc.—Bueno. (El docente toma los pedazos y comienza a unirlos de

tal manera que forma la hoja otra vez).Doc.—Avereslamitad¿síono?Aos.— Psssabee. (El docente toma uno de los pedazos y lo acomoda

con otro de tal manera que forma una figura idéntica a la parte5).

Doc.—Yavieronquelas2partesqueformésoniguales.Aos.— Siii.Doc.—Entonces,ésta (señala la parte 5), es lamitad¿sio

no?.Aos.— Siiiii.Doc.—ok.

Como vemos, los alumnos tuvieron dificultad para identificarunamitadquenoresultaradeunaparticiónconejesdesime-tría,peroconayudayguíadelprofesor,utilizandootraestrate-gia, losalumnospudierondarsecuentaqueaunquelaparte5,noparecíalamitad,siloera.Estofueloquesucedióconlapri-meraconsignadelasituacióndidáctica,conlasegundaconsignalosresultadosfueronotros.

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Despuésdequeserealizóestavalidaciónpragmática,eldo-centedespególaspartesdelpizarrón,lasdevolvióasusequiposy,posteriormente,diolaconsigna.

Doc.—okniños, les voy a regresar sus pedazos depastel.Peroahoraustedesmevanadecir cuálesdeestospedazoscontienenlamismacantidaddepastel.

Serealizóelmismoprocedimiento,seentregaronlospedazosylosalumnoscomenzaronatrabajarenequipos,mientraseldo-centepasabaentreellosparaobservarsutrabajo.Losresultadosfueronlossiguientes:

Losalumnosconsiderabanque laparte3y laparte4, con-tenían la misma cantidad, pero al ponerlos uno sobre otrodescartaronestaposibilidad.

Elmismocasosepresentóconlaspartes4y8.Altratarderesolverelejerciciolosniñosbuscabanpartesque

fuerancomplementarias,esdecir,quealsobreponerlasresultarala hoja completa. El problema con esto es que ninguna de lasfigurasencajaba,siempresobrabanofaltabanpequeñospedazosparacompletarlahoja,locualacabóconlaideadelosalumnos.

Despuésdedeterminadotiempodetrabajo,eldocentecues-tionaalosalumnosnuevamenteylanzalapreguntaalaire.

Doc.—Averniños,¿cuálespedazostienenlamismacantidad?Aos.— Ninguno.Doc.—¿Seguros?Aos.— Siiii.Doc.—Aver¿yporquédiceneso?Ao.— Psssporqueningunoesigual.

Comoseaprecia, losalumnosno fueroncapacesdeencontrarpedazosconlamismacantidad,suargumentofuequeningunoera igual, lo que denota el incipiente análisis de los alumnosparadescubrirquetodaslaspartesqueidentificaroncomomi-tadescontenían lamismacantidaddepastelporqueeran1/2.

Antedichasituacióneldocenterealizaunarecapitulaciónparapoderinstitucionalizarelsaberenjuego.

Doc.—Niños, ¿se acuerdan que encontraron los pedazosqueeranmitades?

Aos.— Siiii.Doc.—¿Yquécantidadrepresentalamitad?Ao.— unmedio,maestro.Doc.—Entonces todas las partes que eranmitades repre-

sentan½¿verdad?Entoncessitodoslospedazosson1/2, no creen que todos los que sonmitades con-tienenlamismacantidaddepastel.

Aos.— Siiiii.Doc.—Entonces se dan cuenta que aunque los pedazos

noestén cortadosde lamisma forma, ¿sí tienen lamismacantidad?

Aos.— Siii.Doc.—¿Ycuálesesacantidad?Ao.— unmedio.Doc.—unmedio,muybienniños.

Enestefragmentoseaprecia la institucionalizaciónquerealizaeldocente,lacualechaportierralaideadelosalumnosdequenoexistíanpedazoscon lamismacantidaddepastel.ConestoconcluyólasituacióndidácticaMitades que no son Mitades.

Los alumnos mostraron un conocimiento más sólido conrespectoalmanejodelasfracciones,porqueenla jornadaan-terior, losalumnossí identificabanquéeraunamitad,peronolograbannnombraresamitadcomo½,asíque,comomuestraelregistro,hancambiado.Losresultadosdelasituaciónfueronlosesperados,nohubosorpresasmayores.Comoseesperaba,losalumnossóloidentificaronlasmitadesmáscomunes y olvidaron laqueestabapartidadeunamanerapococonvencional.

Enlasegundaconsigna,tambiénsucedióloesperado,quelosalumnos dirían queningunaparte contenía lamisma cantidaddebidoaquenohabíasemejanzaentrelasfigurasdelaspartes.

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Conlainstitucionalizacióndeldocente,losalumnosdesistierondeesaidea.

Estos son los resultados de ambas situaciones didácticas yquenosmuestranlaconcepciónquetienenlosalumnosconres-pectoalusodelasfracciones.

4.4.LacompleJidaddelasFracciones

Desdemipuntodevista,unafracciónesunapartedeuntodo,perolasfraccionesvanmásalládeestadefinición,constituyenunsistemadeusoparalosnúmerosquepocoempleamosenlavidadiaria.

Esta representación de los números no enteros, es una delasquecuestamástrabajoenseñaryaprenderenlaescuelapri-mariaydurantelosnivelesposteriores.

Dichadificultadsepresentapordiferentesrazones:Laconcepcióndequelasfraccionessóloseusanpararepar-

tirpasteles,chocolates,etc.Dejandodeladomúltiplesusosqueresultanútilesyaplicablesalavidadiaria.

La confusión que se genera en los alumnos al ver que unnúmero conbastantes cifras representamenosde1. Ejemplo,25/200,156/10000,etc.

otro conflicto que se presenta es que dependiendo de launidaddereferenciadiferentesfraccionescomoun½,1/3,o¼aunque representandicha cantidad,en su representacióngrá-ficanosondelmismotamaño,loquegenerabastanteconfusiónenlosalumnos.

Estas situaciones aunadas a los obstáculos epistemológi-cos inherentesal actodeaprendery losobstáculosdidácticos(Brousseau,1986)porpartedelosprofesores,hacenqueelusodelasfraccionesresulteunverdaderoproblemaparalosniños.

Lasfraccionesestánformadaspordoselementos,elnumera-doryeldenominador.Eldenominadorindicaelnúmerodepartesenquesedividióelentero;yelnumeradorindicaelnúmerodepartesquesetomarondelenterodividido.Peroestoasuvezsecomplicacuandosetratadeunafracciónimpropia,porejemplo7/5,puestoquesielnumeradoresmayorqueeldenominador,¿cómosevanatomarmáspartesdelasquesedividióelentero?

Las fraccionessonmayormenteutilizadasensituacionesdereparto,aunquetambiénpuedenserutilizadascomounopera-dormultiplicativo,comouncociente,etc.Aunqueéstasaparecenmenos en la escuela primaria. Las operaciones con fraccionessonlasmismasqueconlosnúmerosenteros:suma,resta,multi-plicaciónydivisión,sóloqueelalgoritmotieneotrosignificado,untantomáscomplejo.

Enfin,lasfraccionessonunmundointeresante,hastadiver-tidoyconfrecuenciacomplejo,formanpartedelcurrículobásicode laescuelaprimaria,esporestoqueresulta tan importanteparalosalumnosyparaquienesseremosdocentesenunosañosmás,suestudioycomprensión.

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AdánMacíasReyes

5.LASFRACCIoNES:uNREToMoDERADo

El temade las fracciones ha sido siempre unode los temasmáscomplicadosdemanejarenlasescuelasprimariasoen

escuelasdecualquiernivel.Primeramente,porquelosdocentesnodominamosbienestesaberyenconsecuencianopodemosenseñarlo;ensegundaporquealtemanoselededicaeltiemporequeridoparaqueseprofundiceenelsaberenjuegoy,enter-cera, porque no semanejan los distintos tipos de significadosquetienenlasfracciones—partetodo,cociente,medida,razón,operador, etc.—,no seutilizandiferentesmagnitudes—conti-nuas y discretas— ni sus propiedades —comparación, orden,representación gráfica y equivalencia— o simplemente se es-tancaoseenfatizamuchosobrealguno.

Recuerdo que cuando estudiaba en la escuela primaria,al momento de estudiar fracciones, veíamos la equivalen-ciade lasmismasanivel concreto, repartosequitativosyex-haustivos—queacadaquienletoquelomismoyquenosobrenada—siemprecon superficieso longitudes, lasoperacionesbásicas sobre fracciones con distinto denominador pero sólola simple representación simbólica ynoenproblemasdondelas pudiéramos emplear. Y esto eran apenas unas pequeñaspinceladassobreel temade las fracciones. Jamásnospedíanqueinventáramosunproblemadondelasusáramosoquere-solviéramosproblemassobreunafraccióndeunapartedeuntodoymenosaunreglasparaobtenerfraccionesequivalentes.Basándomeenlasobservacionesyprácticasquehetenido,enestetiempotodavíahaymuchosprofesoresquenotrabajanlasfraccionescomosedebiera.

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En síntesis, creo que el asunto de las fracciones no es tancomplicadoytediosocomonoslohanhechoparecer,sóloquedesdelainfancianosenoshanenseñadodeunaformapaulatinanisehabíaindagadosobrelautilidad,elsentidoylaimportanciadelusodeellas.

En la pasada y primera visita a la escuela primaria de LaLobeña,Pinos,Zacatecas,alaplicarunasituacióndidácticaex-traídade latesisdemaestríadeDavidBlock(1987)aniñosde6togrado,sucediólosiguiente:

Lasituacióndidácticasetratabadequeresolvieranelsiguien-teproblema:

undíacinconiñosfueronalcineyenelintermediodecidieroncomprar caramelos. El dineroque llevaban sólo les alcanzópara comprar dos, de manera que se los repartieron enpartesiguales.Acadaniñoletocóunpedazode4cm.Encadaequipodebían investigardequétamañoeracadacaramelodelos2quecompraronlosniños.

Para desarrollar la clase de mejor manera, inicié haciendo lapreparación del medio que es lo que los docentes definimoscomo la etapa inicial,dondesepreparaalosalumnosparaqueenseguidaseenfrentenconelproblemaaresolver.Enestemo-mentoseponeenjuegoloquellamamosmemoria didáctica ha-ciendopreguntassobreloqueyaconocenoloqueyahanvistoreferentealoquesequieretratar.

Luego,enlafase de acción,queesdondeselesplanteaelpro-blemaaresolver,lesplatiquéqueundíatresamigosyyofuimosauncircoyquealamitaddelafunciónnoscooperamosparacom-prar entre todos unas manzanasconcarameloyquecomocosta-ban un tanto caras ajustamossolamentedos,por loquenos las repartimosparaquenostocaralomismo.Yentonceslespregunté:¿Quépartedeunamanzanacreenquenostocóacadauno?

Hastaallítodocaminódemaravilla,sóloquesemetieronenconflictoporquenoentendieron la consigna—loque se ibaahacer—onomediaentender—pensaronquenadamáseran

tresamigosynomeincluían—,asíquedibujéalostresamigosyamíenelpizarrónyrápidoelpequeñoeinteligenteJuanDanielcontestóquemediamanzanaparacadauno.Lepedíquepasaraalpizarrónydividieralasmanzanascomoélcreíaquelesibaatocar.Pasóylasdividióverticalmenteporlamitad,luegoselasasignóacadaindividuodibujado.

Despuéslosagrupéenequiposde4ydurantelafase de formu-lación—faseen laque losniños interactúanentresí sin inter-vencióndirectadelprofesor–semecomplicóunpocoporquealgunosnoqueríanestarconunaniñaylesplanteeelproblemadelasituacióndidáctica—arriba–.Enseguidaleentreguéacadaequipo5trozosdepopotede4cmc/u.Rápidamenteentodoslosequiposunieronlos5popotesde4cmehicieronunpopotede20cm.Ycomenzabanagritarcomosifueran carreritas“¡Yaterminamos,yaterminamos!”yparavalidar,queeslafaseenlaquelosniñosexponensusresultadosofreciendopruebas,ejem-plos y contraejemplos argumentados, demostrando su trabajolespregunté:“Averelequipo2,¿cuántomedíacadacaramelo?

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20cm,y,¿cómolehicieron?Puesjuntamostodoslospedazosdelos5niñosyyasalió”.

Entodoslosequiposmedijeronlomismoycomonoestabandandoelresultadoqueesperaba,paséaJuanaMaríaalpizarrónylepedíquedibujaralos5niñoscomolosquehabíadibujadoanteriormente con las manzanas —Todos estaban atentos y se reíandesusdibujos—.Luegolepreguntéalcolectivo“¿Cuántoscaramelos ajustaronentre los 5niños?Dos caramelos”—pedíalaniñaquelosdibujarayluegosesentaraconsuequipo—ydije:“Nosabemoscuántomidecadacaramelo,perodelosdosquecompraron,acadaunodelos5niñosletocóunpedazode4centímetroscomolostrozosdepopotequelesdi,ahoraaveri-guaráncuántomedíacadacaramelodelosdosquecompraron.Puedenrecortarlospopotessiesquelonecesitan.”

Despuésdeun lapsonomuy largode interacciónentre losmiembrosde losequipos,elequipo2terminó:habíancortadopor la mitad un popote de 4 cm y con dos pedazos y medio—dos de 4 cm y 1 de 2 cm, figura de más abajo—habíanformadocadacaramelo, losmidieronyconcluyeronquecadacaramelodelosdoscompradosmedía10cm.Afortunadamentetodoslosequiposibanporelmismocamino,peroalgunosamediasensuprocedimiento.Luegolespropuseuncontraejemplo—ejemplosque se lesplanteana losniños con lafinalidaddequeentrenenconflictoycomoresultadoanalicenbienlosproblemasysusrespuestas—diciéndolesqueenPedregosohabíanpartido to-dos loscaramelosde4cmpor lamitadyqueasíeramás fácilporqueeracomosicadamitadlahubierantomadodecadaunode los dos caramelos, y con cada mitad iban construyendo un carameloyJuanDanielrápidamentecontestóqueeralamismaqueporquedetodasformasibaamedir10cmcadacaramelo,porqueserían5pedacitosdea2cm.

Ahora,en lasiguientesemanadeprácticasdondeacudiréa lamismaescuelayconlosmismosniñosdesarrollaréunasituaciónparecidaperodiferentealaanterior,ambasextraídasdelatesisdemaestríadeDavidBlockdondesetratadequemisalumnosencuentreneltamañoquemidecadaunodelostreschocolatesquecomprarondosniños,sidespuésdequecomprarondichoschocolates,selosrepartieronenpartesigualesyacadaniñoletocóunpedazode6cm.

5.1.Segundasemanadeprácticas

EnestarecientevisitaalaescuelaprimariadeLaLobeña,cuandoapliqué la situacióndidáctica, activé la videocámara conel fingrabarmiprácticaeiniciécomolohabíaplaneado.Paratrabajarlamemoriadidácticaenlosniños,iniciélaclaseplaticandoconellossobrelovistoenmatemáticaslasemanadeprácticasqueestuveconellos,tardaronunpocoenacordarseperohaciendouso de algunas preguntas como: ¿Recuerdan un problema dematemáticasqueresolvimoscuandovine laotrasemana?,¿al-

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guienseacuerdadecuáleraelproblema?,¿cuántosniñoseran?y¿cuántoscaramelos?Conformecontestaron,fueronañadiendomásymásdetallesdelproblemaquetratamosyalfinal,comoporartedemagia,todosrecordabanlasituacióndelospopotes.

Luego, en la fase de acción, les propuse la consigna de lasiguiente manera, les comenté que esta vez fueron sólo dosniñosal circoyque coneldineroque les sobródelboletodeentradacomprarontresbarritasdechocolate,lasjuntaronyserepartieronenpartesigualesysinquesobraranada.Cadaunoobtuvounpedazodeestetamañoylesmostréunatiradecartu-linade6cmyenseguidalesdijequeenequiposteníamosqueaveriguar de qué tamaño era cada uno de los chocolates quecompraron.

Enseguidadeestoocurrióunatragediaconlacámara,comonoteníaunsoportefirme,secayóalfinaldelapreparacióndelmedioyyanovolvióa funcionarya losniñosparecíacomosiyanoseacordarandelproblemaaresolver,todoscomentaronconbasealacámaradiciendo:“aaaaaaaaaahyanolevaajalarprofe!!!,” “mihermanatambiéntieneuna,¿se lapidoprofe?”, tuvequegrabarenelcelular,perosóloenaudioyparacontinuarcon loplaneadohiceunaregulacióncon laformacióndeequi-pos,losinvitéajugarafueraaladinámicade“Elbarcosehunde”yresultómejordeloqueesperaba,asíformélosequiposdea4 ydespuésdeentrar rápidoal aulaellos comprendieronquetenían que trabajar con los compañeros que les había tocadoynoocurrieron losproblemasde las prácticaspasadasdondenoquisierontrabajarconfulanitaporquelespegaba,porquenohacíanada,etc.

Dentrodelaulalesasignéel lugardondeibanatrabajarlosdiferentes equipos y en seguida les recordéel problemaa re-solvery lesmostrénuevamente latiritade los6 cm. Luego leentreguéacadaequipodostiritasdecartónde6cm,unatiradecartulinade40cm.yunahojadepapeldondeanotaríansusprocedimientos.Lesexpliquéquelastiritasdea6cmeranloquea cadaniño le había tocadopero que teníamosque averiguarcuántoeraloquemedíacadaunadelas3barritasdechocolate

quehabíancompradoyquelabarra grande —la de 40 cm— era paraquelarecortaransiasílorequeríancontaldesacarelre-sultado.Enseguidasepusieronatrabajaryalospocosminutoslevantaron dos equipos lamano, según ellos ya habían termi-nadoydecíanlosiguiente:

Equipo#3.-“Medían6cm.porquemedimosunatiritayesomedía”Equipo#1.-“Medían12porquejuntaronlasdostiritasylasmidieron”

Luego,comoviquenoestuvodeltodocomprendidoelproblemaa resolverpedí laatencióndelalumnadoy lespregunté sobreelproblemaparaverificar si lohabían comprendido: ¿Cuántosniños eran? ¿Cuántas barritas de chocolate compraron? ¿De acuánto les tocóa cadauno?, ¿Quées loquequeremos saber?etc. y sólo algunos pocos como Hugo, Norma y omar habíancomprendidoelproblema,entoncesdespuésdehacerlasante-riorespreguntas,cuandosupuestamentelesquedóclaroatodoslosinvitéaqueloresolvieran.

Enlafasedeformulaciónpasómástiempodelquesupusenece-sarioporloque,aunquefaltabaunequipodeterminar,empecéconlavalidación,paséaNormaalfrenteaqueexpusieralaresolucióndelproblemaensuequipoysuresultadofueelsiguiente:

Evidenciadelequipo#1

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EsteeselprocedimientoyresultadoquepresentóNormaenlavalidación.Enlaimagensondosresultados,sóloqueconelfindeanalizarluegosusprocedimientos,lespedíquenoborraranloque llevabanaunquecreyeranqueestabanmal, esporelloqueestándivididoslosresultados.

Luegoinvitéaquepasaraalguiendelequipo3alfrenteaex-ponersusprocedimientosyresultadoypresentaronlosiguiente:

Enseguida,pasóunintegrantedelequipo2apresentarnossusconclusiones exponiendo lo que en la siguiente evidencia semuestra:

Durantelavalidaciónnoobtuveloquepretendía,losniñospormásquelespedíquelepusieranatenciónaquienestabaexpo-niendosusresultadosalfrente,sedistrajeron,ynoletomaronimportanciaalresultadodeotroequipoaunquefueraunresul-

tadodistinto.Yacasipara terminar, cuandopasóelpenúltimoniñoalfrente,lepreguntéenvozaltaalaniñaqueantesdeélhabíapasado:“¿Quésesentíaquenolepusieranatenciónaunocuandoestabahablandoenfrente?”yconformeasurespuestayalaseriedadconlaqueestuvimostratandoesepunto,losniñossepusieronseriosysóloasídiofrutolavalidación.Empezaronaconfrontarselosresultadosytantolosqueestabansentadoscomo el que estaba exponiendo defendían la solución a quehabíanllegado.

Yapara institucionalizar, entendiendoesto como la faseenlaqueelprofesorhaceveralosalumnoselprocedimientomásconvencionalquedebenutilizarpararesolverdichosproblemas,alfinal,decidípasaralequipoqueterminóprimeroporelhechodequeparecían losmásacertados,puestoquesiprimerohu-bieranpasadoellos,laclasenodaríaelmismofruto.

Equipo4(siguienteevidencia):

Yalreversohicieronladivisióncomosemuestraenlasiguienteimagen,queesunamuestradequeenestegrupodesextogradonosetratabalosuficienteelasuntodelasmatemáticas:

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En conclusión, creo que lejos de que el grupo no trabajaba amenudoconmatemáticasymenosconfracciones,tuvefallasalmomentodedarlaconsigna,yaunquedespuésdeplanteárselasparecía que lo que se buscaba ,estuvo completamente enten-dido,alverlareacciónalmomentodequelosequipostrabaja-banmedicuentaqueaunasínohabíaquedadocompletamenteclara.

Al igualquelamemoriadidáctica,creoquemesalenmejorque antes las regulaciones, siempre y cuando tenga un buenconocimientodelcontenidoconelqueseestátrabajando.

En los contraejemplos hemejoradomucho, puesto que enmisiniciosalfrentedeungruponolosmanejabayhecompro-badoquedanresultadosmuypositivos.

Aunqueestaveznotuveproblemasconeldominiodelcon-tenido, uno demis retos a superar es conocermás a fondo ypracticarmáselasuntodelasfracciones—aúnnoessuficienteloqueconozco—,otroretoeselmanejoadecuadodelacrono-génesispuestoqueestaveznosabíaenquémomentoprocederconlosiguienteydequéforma.

5.2 Esquema: relaciones entre los conceptos

Saber enseñado.

matemáticas con “m” minúscula

Saberes.

Saber por enseñar.

Transposición didáctica.

Contrato didáctico

Fases:

Preparación del medio.

Acción Formulación Validación Institucionali

-zación Aplicación

Momentos didácticos.

Situaciones didácticas

Error sintáctico. Algoritmo

Error semántico. Estrategias gráficas.

Problemas para aplicar

Problemas para construir

Conocimientos

Enfoque: Resolución de problemas

Momentos adidácticos.

Devolución.

EL JUEGO EN LA ENSEÑANZA

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Para laenseñanzade lasmatemáticas,al igualquepara laen-señanzadeotrasasignaturas,existeunproceso,enelcual, lasetapas de dicho proceso se deben llevar a cabo sistemática-mente dependiendode la situación que se presente para queelaprendizajeesperadoselogredeunamaneramásfructíferayduradera.

Paraqueeljuegoenlaenseñanzaselleveacabo,lasactivi-dadesycontenidosaenseñardebendepasarporvariasinstan-ciasylugares,siendomodificadosyperfeccionadosconelúnicofindequeelalumnoaprendaloquesedesea,elsabermatemá-ticoseconvierteenunsaberaenseñar.Aloanterior le llama-mos transposición didáctica,luego,existeuncontrato didáctico dondeelalumnointeractúaconelprofesoryesperaalgodedi-chainteracciónyviceversa,deahísedesprendenlassituaciones didácticas, queconsistenenuna seriede fasesquedeben serllevadasacabodeuna formatambiénsistemática.Primerosedebeprepararelobjetode la interacciónde losalumnosparalograrunatareaespecíficaylascondicionesenquedebenrea-lizarla, tomando esto en cuenta como la preparación del medio, luego,lasfasesenlasquesedanalgunosmomentos adidácticos, donde el profesor da la consigna al alumnado al igual que lasdevoluciones.Vienedespués la formulación, queesdonde losalumnosinteractúanentresí,sindemandardelprofesororeci-birdeélinformacióndecuálestrategiautilizarpararesolverelproblemaencuestión.Luegovienelafasedevalidación,queesdondelosalumnosofrecenpruebas,ejemplosycontraejemplosargumentados, demostrando su trabajo. Después viene la fasedondeeldocenteparticipadeunamaneradirectaconelalum-nado llevando a cabo la institucionalizaciónparaasíconcluirconla presentación del saber oficial, tomando como referencia losejemplosypruebasdelosalumnosyllegandoaunacuerdodeloqueseconsideraconvencional.Porúltimoestáelmomentodelaaplicaciónqueesdondelosconocimientosadquiridosenlasfasesanterioresseaplicanenotrosproblemasoenotrassituaciones.

Enlasfasesdeacción y formulación, se da la devolución de laconsignaysetrabajadeformaautónoma,aestosedenomi-

nan los momentos adidácticos; aquíesdonderealmentesurgenlosconocimientosporelhechodequesegeneransituacionesdondeelniñoporsímismodebebuscarlamaneraderesolver-las.Luegosepresentanlosproblemas para construir y para apli-car,dondeelniñotienequeresolverlosyaseahaciendousodelas matemáticas con m minúsculaquesonlasquehaaprendidodurante lasuvidacotidianasin incluira laescuela,ohaciendouso de las Matemáticas con M mayúscula,esaquídondesepu-edeverenlosresultadosoenlosactosdelniñosisecometen e rrores sintácticos que son los que se producen cuando com-prenden bien el problema pero ejecutanmal el proceso o loserrores semánticosquesonlosqueseproducencuandonocom-prendenbienelproblemayoptanporhacerotrasaccionesquenolosllevanalresultadoesperado.

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RomeliaSaldañaMartínez

6.LASMATEMÁTICASDENTRoYAFuERADELAESCuELA

Dentrode laescuelaprimariaexistenunagranvariedaddesaberesquelosniñosdebenaprenderydentrodeellosvan

los de lasmatemáticas; sí, unmundo inimaginable de objetosa ser estudiados, éstos vandesde la aritméticahasta el trata-mientodelainformación,desdelasumahastaladivisión,desdelageometríahastalasfracciones.

Hablandoespecíficamentedelasfraccionessesabequeésteesunodeloscontenidosmáscomplicadostantoparalosalum-nosenasimilarlaspropiedadesdeéstascomoparaelprofesorenelsentidodecómoenseñarlas.Estoocurreporqueenoca-siones tampoco ellos conocen las verdaderas características ypropiedadesmatemáticasdelasmismas.

Se dice que el origen de las fracciones o quebrados comocomúnmenteselesconoce,esmuyremoto.Losbabilonios,egip-ciosygriegoshandejadopruebasdequelasconocían.CuandoJuandeLunatradujoallatín,enelsigloXII,laaritméticadeAl-Juarizmi, empleó fractio”para traducir lapalabraárabeAl-kasr quesignificaquebraroromper(BaldorA.1983:231).MientrasquelapalabrafraccionesdesdelaRealAcademiadelaLenguaEspañola dice que: son números que expresan una o variaspartesdelaunidad.

Conconceptos tanpequeñosy simplescomoelanterioresconloquesequedanlosniñosdelaescuelaprimaria,quienesvena las fracciones comopequeñaspartesenqueesdivididaunaunidad;dejandodeladolaprofundizacióndelaverdaderasignificación yusosde las fracciones.Quizá si se comenzará aenseñar esta parte de lasmatemáticas conmás detenimientoy encontrando el por qué y para quédelautilidadenvariados

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contextosdelasfracciones,noseríatancomplicadocomotodosloven;puestoqueenlaescueladehacevariosañosytodavíaenlaactualidad,en lugardehacer loanterioren laenseñanzadelasfraccionessededicanaejercitarsólounodelossignificadosdelasfracciones:laparte- todo,endondelosniñostienenquecolorearlarepresentacióngráficadeloquerepresentadeter-minadafracción;enestosevanlaspocasclasesqueseledesti-nanaestetema,olvidandolosdemásaspectosdeéstas;¿dóndequeda la fracción comomedida, la fracción como cociente, lafraccióncomooperadorylafraccióncomorazón?.

El asunto es complejo, la multiplicación o división, se haceúnicamenteenseñandoelalgoritmoylaresolucióndeéstas,perosinexplicarelporquéde¾×¼,porejemplo;¿quéfuncióntienelaprimerfracciónylasegunda?,Mepregunto¿cuántosdelosqueleanestetextosabenlarespuesta?, puedoasegurarqueseránpocos losque la conozcan,debidoaqueen su infancia fueronmecanizadaslasfracciones,seejercitaronperosinconocerelusodeéstasenproblemasespecíficos,quealfinparaellosecrearonlasmatemáticas,parafacilitar lavidadelserhumano.Sóloquehabríaquerecordárseloalaescuelaporquealparecerselehaol-vidado,yaquelaenseñanzadelasmatemáticasesunatareaalaqueeldocentenopuede,nidebeenfrentarseúnicamenteconlasherramientasqueledaelrecursoasusexperienciasyvivenciasescolares,confiandoensuartepersonalparaenseñar.

Alparecer,enloquecorrespondealaenseñanzadelasfrac-cionesenlaescuelaprimaria;sepuedensubdividirendosgru-pos:lasfraccionesparadentrodelaescuelaylasfraccionesparafueradeella,predominandoestaúltima.

unaalternativaquederivadeBrousseaupara laenseñanzadefraccionesy,engeneral,paraelestudiodelasmatemáticasesatravésdelasituacióndidáctica.“unconjuntoderelacionesexplícita o implícitamente establecidas entre un alumno o ungrupodealumnos,ciertomedio(queeventualmentecomprendelosinstrumentosylosobjetos)yunsistemaeducativo(elprofe-sor)cuyafinalidadesqueestosalumnosseapropiendeunsaberconstituidooenvíadeconstituirse”(Brousseau,1986).

David Block (1987) propone algunas situaciones didácticasen el campo de las fracciones para ser trabajadas dentro delaula.unadeellas, lasituacióndidáctica llamadaseleccionar el entero, tratadeunproblema: “sabemosqueeran4niñosqueserepartieron3chocolates.Elpedazodechocolatequetocóacadaniñoesdeestetamaño(muestralatiracafé—6cm—)yenlatiendasólovendíanchocolatesde3tamaños(muestralastirasroja, azul y amarilla). Se tratadeaveriguarde cuál compraronlos niños”. Esta consigna sepropuso aniñosde sexto grado yen ella, gracias almaterial dado, descubrieron rápidamente larespuesta,mediante laestrategiade: tratardebuscaratravésdeensayoyerror,midiendolastressolucionesposibles—ama-rillo,rojoyazul—conelpedazodechocolatedado,buscandolaigualdadentre3enterosy4pedazossinquelessobreolesfalte.

Aunquetambiénhuboniñosqueencontraronlarespuestadeotraforma—tomadodelregistrodeclase—:

Niño.—Como eran tres los chocolates que se repartieron,toméunpedazocafé,queeraloquelehabíatocadoacadaunoylodividíentres,perocomoerancuatrolosniñosalosqueselesrepartió,volvíadividirotratiracaféentresytomédeahíelquemefaltaba,losjunteestoscuatropedacitosqueerael tamañosdel chocolate y los compare conel tamañodelostreschocolatesdiferentesyelrojoeraelquemedialomismoqueloscuatropedacitos.

Esteprocedimientoesmuyingenioso,sinembargotampocoseteníacontempladoque losniños llegaríanatalprocedimiento,estodemuestraquesonmuyaptosparalosproblemasdemate-máticas.Situacionescomoéstashacenquelosniñosreflexionenacercadelusodelasfraccionesfueradelaescuelaprimaria.

Perocomosemencionabaenunprincipio,lasfraccionessonunmundoamplioydiversoquetienemúltiplessenderos,deahíqueBlock (1987)propongaunaseriedesituacionesdidácticasenquelasfraccionesaparecendediferentesmaneras,alejadasde la cotidianeidad en que éstas se utilizan en la escuela. Las

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situacionescreadassondiferentesentresíporelgradodedifi-cultad,yluegodeprobarlasituacióndidácticaseleccionar el en-tero;lesiguelasituación¿Cuántos enteros entre cuántos niños?.

6.1Situacióndidáctica:¿Cuántosenterosentrecuántosniños?

La situación tratadequealgunosniños compraronchocolatesdel mismo tamaño y se los repartieron en partes iguales, sinquehayasobradochocolate.Enlasituaciónpasadasesabíaelnúmerodeniñosque sehabían repartido los chocolates y lostamañosdeloschocolatesquehabíaenlatienda;peroahorasedesconocenestosdatosporquenosesabenicuántosniñosserepartieronloschocolatesnicuántoschocolatesfueron,sólosesabelamedidadelchocolateenteroyelpedazoquelestocó.

Paraestasituación,enelanálisisa priori“loquellamaremosanálisisa prioridelasituaciónpretendedeterminarsiunasitua-ciónpuedeservividacomoadidácticaporelalumno,buscandolascondicionesnecesariasparaelloyanalizandosilasituaciónpuededesarrollarse“ (Chamorro,2006)elaplicadorsedacuentaqueenlapreparacióndelmedio —momentodidácticoenelqueseintroducealniñoalproblemapormediodeunjuegomatemá-tico,conlamemoriadidáctica,etc.— noseteníacontempladolavinculaciónconlasituacióndidácticaanterior,esdecir,noseteníavislumbradalamemoriadidácticaparaestaactividad.Asíqueantesdeaplicarlasituaciónseincluyóeneldiseño,porquecomo regularmente en este período del ciclo escolar las frac-cionesnosetrabajan,ylosniñosestánconotrotemaalasfrac-ciones,noesconvenientellegaralaulayhablarlesdirectoalosniñossobrelasfracciones,esmásapropiadoiniciarrecordandoloúltimoquevieronsobrelasfracciones.

Enloqueserefierealaresolucióndelproblemaexistendossolucionesposibles:

a.Quelosalumnosencuentrenlarespuestajuntandovarios

pedazosque le tocóacadaniñoyvarios chocolatesen-teroshastaquecoincidanenlamedidaexacta,ejemplo.

b.oquelosniñosyanoutilicenelmaterial,sólomidanunpe-dazo y un chocolate entero, y encuentren el mínimo común múltiplodeesto.

Porejemplo:elchocolateenteromide12cmyelpedazoquelesacadaniñomide5cm,sebuscaelmínimocomúnmúltiploentreestosdosnúmeroquees60, ahoraencontrarunnúmeroquemultiplicadopor12nosdé60yunnúmeroquemultiplicadopor5tambiéndé60.12×5=60y5×12=60.Conestosedacuentaqueson5chocolatesy12niños.

Respecto a la cronogénesis se hacía énfasis en que resul-taríaunpocodifícil la resoluciónyquetardaríanunpocomásdeltiempoprevisto en la situación (15 a 20min) y lamayoríaseinclinaríaporresolverlocomoelincisoa).Losniñosseenfo-caránenresolverelproblemasinprofundizar,esdecir,nodescu-briránloqueseteníaprevistoparalainstitucionalización.Enlatopogénesiseltrabajoesenequiposdurantetodaslasfasesdelasituacióndidáctica.Sóloqueantesdelaformacióndeéstossediolapreparacióndelmedio.

Sinembargo,paralapuestaenprácticadelasituaciónresul-tarondiferentes.Duranteeldesarrollo,lapreparacióndelmediosehizomedianteelusodelamemoriadidácticayluegoeljuegodelabarajadel cero al uno,laconsignadeestemomentoquedóclara,sinembargo,fuenecesarialadevoluciónparacadaunodelostresequiposformados.Apartirdeahílosniñoscomienzanajugar,cabemencionarqueestejuegolesresultóatractivoyfácil:el juegotratabadequeporturnos,cadaintegrantedelequipoteníaqueponerunacartaconunafracción,yalfinalrecogíalascartas el que hubiese puesto lamás alta. Esto no tuvomayordificultad,nilasegundaversiónquefuejugaralmemoramacon

Chocolate enteroChocolate enteroPedazoPedazoPedazoPedazo

100 101

lasmismascartasyencontrarparesequivalentes.Mientras losniñosjueganseescribenlasconsignasenelpizarrónysevigilaeljuegodeéstos.Altérminodeljuegoserecogeelmaterialyseleasignaacadaequipounnúmerodeequipo.Seplantean lasconsignasqueestánescritasenelpizarrón:

Doc.—Niñosahoravamosaobservarloqueestáescritoenelpizarrón.Averalguienquemediga¿Quédice?

Niño.—Ahoraporequiposresolver…(Leeloqueestáescritoenelpizarrón).

Consigna: sabemos que algunos niños compraron chocolatesdelmismotamañoyselosrepartieronenpartesigualessinquehayasobradochocolate.

Equipo 1.-encontrarcuántoschocolatesycuántosniñossi:Eltamañodelchocolatecompleto—coloramarillo—yelpedazoqueletocóacadaniño—colorgris—.

Equipo 2.-encontrarcuántoschocolatesycuántosniñossi:Eltamañodelchocolatecompleto—coloramarillo—yelpedazoqueletocóacadaniño—colormorado—.

Equipo 3.-encontrarcuántoschocolatesycuántosniñossi:Eltamañodelchocolatecompleto—coloramarillo—yelpedazoqueletocóacadaniño—colorblanco—.

Doc.—Entonces¿Quévamosahacer?Niño.—Es que dice que tenemos que encontrar cuántos

chocolatesycuántosniñossonsi se repartieronal-gunoschocolates,pero¿porquédicecoloramarilloycolormoradoysabecuánto?

Doc.—Buenoobservenesto—muestralastirasdecolores—estasdecoloramarillosonloschocolatescompletosy estas de colores son los pedazos que les tocaronacadaniño,peronosabemosnicuantoschocolatescompletosserepartieronnientrecuantosniñosylotenemosquedescubrir.!Síosí!Aver:Alfredo¿Quévamosahacer?

Luego de algunas devoluciones “un proceso de devolución alalumno de la responsabilidad matemática sobre la situaciónasumiendo el problema planteado como propio” (Brousseau,1998:59)losniñoscomienzanabuscarlasrespuestasaunquealprincipionosabíancómo,ynofueporquelaconsignanohayaquedadoclarasinoporquenoselesocurríaunaestrategiapararesolverelproblema.

Dentrodelaformulaciónlosniñosdespuésdeapropiarsedelproblemanotardaronnidiezminutosenresolverlo.Lashipóte-sishechasenelanálisisa priori resultaronciertas,yaque losalumnosencontraronlarespuestajuntandovariospedazosqueletocóacadaniñoyvarioschocolatesenteroshastaquecoin-cidanenlamedidaexacta.Perolosorprendentedeestafaseesqueunodelosequiposlogróllegaraunodelossaberesainsti-tucionalizar:descubrirquesepodíanencontrar variosrepartosdeacuerdoasuequivalencia,porejemplo;siencontraron:ochochocolatesyseisniñostambiénpodríasercuatrochocolatesytresniñose inclusive lo comprobaron conelmismométodoyresultócorrecto.

Para la validación “probarunadeclaraciónacercadeunco-nocimiento,un resultado,unapropiedad,una regla. Sepruebaapartirdeconocimientosqueyasehanestablecido.Seponendemanifiestovínculosconotrasnociones”(Block,2001,pág.32)mientrassellenabaelcuadroseprovocólareflexión.Mariocom-partiólodescubiertoyseinstitucionalizódentrodelavalidación.Setomóestadecisiónporquelamayoríadelosniñosaltérminodelaformulaciónhabíanencontradolossaberesenjuego.

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6.2.Losconceptosensuredderelaciones

Profundizandoenestaetapa,loocurridosepuedesintetizarenelsiguienteesquema:

Delesquemaanteriordebemosdefiniralgunosconceptosnece-sariosparael análisis posterior; tales comovariable didáctica, quesegún Chamorro(2006)son“cambiosdeestrategia.Elen-señantedebeproducir las adaptacionesdeseadas, a travésdelaelecciónreflexivayjustificadadelassituacionesdidácticasa

lasquesometeráalalumno,enlasqueéstepuedaconstruirsurelaciónconelobjetodeconocimiento,obien,modificarlacomoexigenciadelmedio”,esdecir,sonloscambiosqueselepuedenhaceralasituaciónparalamejorasimilacióndelconocimiento;siempredemaneragradual.

La memoria didáctica, en la que sebasapartedeeste tra-bajoes “unadescripcióndel funcionamiento local y globaldelsistemadidácticocomounsistemaquegestionaelpasadodelalumno con la ayudadeunamemoria, estamos frente a reor-ganizacionesprofundasquerealizan losalumnosconelsaber”(Centeno,1995:128),parahacerpresentelamemoriadidácticasepuedenutilizarlaspreguntas,atravésdeunjuego,etc.

Laorganizacióndelgrupoparaeltrabajoeselpuntocentraldelcuadroporserésteenelqueentraenjuegotantoelalumnocomo el docente, dentro de él se encuentra el saber y el me-dio“sedefinecomoelobjetodeinteraccionesdelosalumnos:eslatareaespecíficaquedebenllevaracabo,ylascondicionesenquedeberrealizarla.”(Block,2001,pág.27),esdecir,dóndeycómosedesarrolla lasituación.Laorganizacióndelgruposedaalrededordedosfenómenoscomola topogénesis y la crono-génesis: laprimera se refierea la formadeorganizaral grupopara el trabajo, por ejemplo, de forma individual, en equipos,grupalmente,asícomoellugarquelecorrespondealprofesor,alalumnoyalsaberencadamomentodelasituacióndidáctica.Enloquerespectaalacronogénesisserefierealtiempodedicadoacadatareaespecífica.

Sedesignaconelnombredecontrato didáctico al “conjuntodecomportamientosespecíficosdelmaestroquesonesperadospor el alumno, y el conjunto de comportamientos del alumnoque sonesperadospor elmaestro. Fija cómo seorganizan lasresponsabilidadesrecíprocasdeunosyotros,asícomosuevolu-ciónalolargodelaenseñanza” (Chamorro,2006)

Paralamayoríadelosniñoscomenzarconlaclasedemate-máticaseselmomentoadecuadoparaaburrirseosimplementemostrardesinterésporlaclase,heaquílaimportanciadeincluireljuego,queespartedelniño,enelmundodelasmatemáticas.

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Peronoestansencillocomoparece,puesaunqueesjuego;éstetambiéntieneque irorientadohaciaunfindidáctico.El juegoinicia desde la consigna: quees la tareaa realizar, las instruc-cionesolasindicaciones;estaparteesmuyimportanteporquedependede laclaridadde laconsignaelquesecomprenda loquesevaarealizar.Vadesdelaformadeplanteárselaalniño,elvocabularioutilizado,eltonoyvolumendelavoz.unaformadecomprobarqueelalumnohacomprendidoesatravésdeladevolución.Lasrestriccionesdelaconsignaserefierenaloqueelprofesorplanteaasusalumnos“loqueestáprohibidohacer,loquenosepuedehacer”.Enlapuestadeljuegoenlaenseñanzade lasmatemáticas se ponen demanifiesto los conocimientos previosquetieneelalumnoacercadeltema.

Lapresenciadetodoloanteriorpermitelograrunequilibrio didáctico quepropiciequelasituacióndidácticasedesenvuelvaencondicionesadecuadas.Laclasecomienzahaciendousodelamemoria didáctica a través de preguntas sobre la situacióndidácticaanterior:

Doc.—Niñosguardensilencioporqueyavamosacomenzar.(Losniñosatiendenlaindicación).¿Recuerdanqueenlasotrasprácticasestuvimosjugandoconeldominódefracciones?.

Niños.–¡Si!Doc.—¿Yquérecuerdandeeso?Niño.—¡Nee!maestra estaba bien difícil y además hacían

faltamáscartasporqueavecesel juegosecerrabaporque ya no había fracciones equivalentes o frac-cionesquecompletaranelentero.

Doc.—Buenoperoelchisteeraquerecordaranalgodelasfracciones y algunosdeustedeshastamehablarondelaequivalencia.

Niño.—También respondimosunproblemadeunos choco-lateshastaeranBocadín,BubulubuyCarlosV.

Doc.—Aver¿alguienqueseacuerdedeesoquemelopue-darecordarporqueyoyanomeacuerdo?.

Niño.—Es que usted nos dio de tres chocolates diferentesy cuatropedazosdecolor café,queeranelpedazoquelestocóacadaniño,yqueerancuatroniños,ynosotros teníamosqueencontrardequé chocolatehabíancomprado.

Doc.—¿SiesciertoloquediceHendrik,Erika?Niña.—Si hasta nosotros encontramos que compraron un

chocolatedecadauno.Doc.—Buenoesqueelerrorqueustedesencontraronfue

porquequienrecortóesoschocolatestuvounerrorenlamedición.Perobuenoy¿recuerdancómolore-solvieron?

Niño. —Si, pues nada más juntamos los cuatro pedazos eíbamos midiendo con los tres chocolates hasta en-contrarelquemidieralomismo.

Estofuncionóparaactivarlosconocimientospreviosyparaquelosniñossefueranadentrandodenuevoenelmundodelasfrac-ciones.Enestemomentolatopogénesiseraindividual,yelsaberen juego tenía la funcióndeun recuerdo. Sin embargopuedecriticarsehacertantoénfasisenlamemoriadidácticaporquealparecereneldesarrollodelasituaciónsedenotaquetodoslosequiposlohicierondeacuerdoalasituacióndidácticaanterior.Alrespecto,Centeno(1995)aludealamemoriadidácticacomo:

Las presiones ejercidas por ciertos recuerdos: cuando elprofesor es capaz de utilizar el recuerdo del alumno dehechospasadosparaestablecer la relaciónentreelpasadodidáctico del alumno y la actividad presente, se suscita unfenómenointeresante:laevocacióndelpasadopuedeserviralmaestroparadesacreditarciertaseleccionesdelalumno,recordándole lo que había hecho antes ymodificar así susdecisiones(pág.166).

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Asíquesurgeunainterrogante¿Funcionólamemoriadidácticaolimitóelreflexióndelosniños?Luegoderecordarlopasado seorganizaalgrupoenequiposyvuelveasurgirelproblema:prefieren el trabajo individualizado que el trabajo colectivo;estohacereferenciaalcontratodidácticoquetantoeldocentecomo el alumno han establecido dentro del salón de clases, sin embargo el plande estudios 2009—en su versión 2011—su-giereeltrabajocolectivo,asíqueenestaocasiónlasensibilidaddidáctica se deja de lado. Aunque es demencionarse que unriesgoal formarequiposesque sepresenteel fenómenoqueChevallard (1998) llama lógica profana en donde los alumnos tiendenahablardeobjetosqueestánfueradelsaberenjuego;afectandolacronogénesisdelasactividades,especialmenteensuprolongación.

Luego de la organización del grupo se vuelve a plantear laconsigna,aunquesetienequeponerenclarolamisma,paraesoexisten las devoluciones: para que el niño se apropie del pro-blemaycomprendaloquevaarealizar;sinembargodentrodelaclaridadtambiénseincluyenlasrestricciones,esdecir,loqueseesperaquelosalumnosnorealicen.

Es convenientequeantesde llevara cabounproblema, seacerquealniñoatravésdealgoqueleagrada,yquémejorqueatravésdeljuego,esaquídondeentraeljuegoenlaenseñanzadelasmatemáticas.Sinquelosalumnossedencuentajueganyaprendentantoelloscomoelprofesor,porqueéstatambiénesuna estrategia para explorar los conocimientos previos de losalumnos; ya que éstos los tienen que poner a prueba para eldominiodeljuego.

Peroapesardelalógicaprofana,siempresetienequetenerunequilibriodidáctico,esdecir,uncontrolenelprocesodeen-señanza-aprendizaje.

6.3.Conclusiones

Desdeelprimercursodematemáticashenotado ladiferenciaencuantoalosconocimientospreviosylossaberesquehead-quirido,perocomoesdereconocerselossaberesluegosecon-vertiránenconocimientosyasísucesivamente;consideroqueelcursodematemáticasnodebeterminarseaquíporquelostemasdematemáticassonmuyextensosymuyimportantesdentrodelasescuelasprimariasdebidoaqueestaasignaturaformapartedelasmateriasfundamentales.

Nohayobjetoen la fazde latierraqueno llevematemáti-cas,todoestábasadoenmatemáticasylaescuelaeselprimerlugardondesevendemaneraconvencionalysilosdocentesnotienenunabuenapreparaciónenestaramaseráimposiblequesusalumnospuedandominarlas.Comoyasedijo,esunmundomuyamplioqueendossemestresnosealcanzaaestudiar—sólounmínimofragmento—.Losproblemasysuscaracterísticas,unpocodegeometría,unbosquejodelamultiplicaciónydivisión,repartosylaspropiedadesycomportamientosdelasfracciones,loscualesnosonsuficientesparaimpartirlaasignaturademate-máticas por completo, porque esmuy distinto saber tu comoprofesoralgunas cosasadominarsuenseñanza.

Sin embargo, los temas estudiados fueron tratados con laatencióndebidaysondegranutilidadparalaformacióncomodocente,elusodelmaterialdidáctico,eljuegoenlasmatemáti-cas,queenrealidadparecíaunimposible;conceptosmatemáti-cosylautilizacióndeéstosenlavidadeladocencia,métodosde enseñanza —la utilización de las situaciones didáctica– yconocimientodeloscomportamientosdelosniñosenlospro-cesosdeenseñanzadelasmatemáticas.Ademásdeconcebiralasmatemáticasdesdeotraópticaynocomofuienseñadaenlainfancia,puestoquedenoserasí,porlógica,tenderíaarepetirlosmismosmétodosdeenseñanzacomunesde losprofesoresdematemáticastradicionales.

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ANEXoSituacióndidáctica

¿Cuántos enteros entre cuántos niños? 17

Desarrollo

1. Consigna: “Sabemos que algunos niños compraron cho-colatesdelmismotamañoyselosrepartieronenpartesiguales sin que haya sobrado chocolate. Los chocolateserandeestetamaño(muestraelenterode10cm)yelpe-dazoquetocóacadaniñoeradeestetamaño(muestraelpedazode6cm).Setratadeaveriguarcuántosniñoseranycuántoschocolatescompraron”.(2min.)

2. Trabajo en equipos: Seentregaacadaequipoun entero y un pedazoaclarandoquesinecesitanmáspuedentomar-los.(15a20min.)

3. Confrontación. Seregistranenelpizarrónlasrespuestasdecadaequipoy,apartirdelasdiferenciasqueexistan,losequiposdefenderánsurespuesta.Encasodesurgirparesequivalentesseprovocalareflexiónacercadesisólounoescorrecto,porqué,etc.(15min.)

4. Consigna 2: Mismoproblemaconenterode6cmypedazode8cm.(2min.)

5. Trabajo en equipos: (10min.)6. Confrontación: (10min.)

Organización: Equiposde4niños.

Material: Paracadaequipo:

—5tirasdecartónde10cmx3cm,8tirasde6cmx3cm,5tirasde8cmx3cm.

17EstasituacióndidácticafuetomadadeBlock(1987)

Enelprimerproblemaseutilizanlastirasde10cm(enteros)ylasde6cm(pedazos).Enelsegundoproblemaseutilizanlasde6cm(enteros)ylasde8cm(pedazos).

Análisis a priori ¿Cuántosenterosentrecuántosniños?Setieneahoraelenteroyelpedazoquetocóacadaniñodeunreparto:

Entero(10cm)Pedazo(6cm)

Hayqueaveriguarcuántosenterosserepartieronyentrecuán-tosniños.Teóricamentehaydosprocedimientosderesoluciónquepodríanimplementarlosniños:

1)Realizar los repartos,aproximándoseporensayoyerror:repartirunenteroentredosniñosycompararelpedazoque arroja ese reparto con el pedazo dado. A partir deaquí,repetirotrorepartovariandolosdatosdelreparto,en funciónde ciertas estimaciones. Por ejemplo, para 1entero2niños,elpedazosaliómáschico.Probarparadosenteros3niñosopara3enteros4niñosetc.

2)Siseconsideraqueeltotaldeenterosrepartidosdebeserigualaltotaldepedazosobtenidos,sebuscará lacoinci-dencia entre cierto número de enteros y cierto número de pedazos:

-3enteros,-5pedazos

Porlotantoserepartieron3enterosentre5niños.

La segunda estrategia es claramentemás económica y segura(garantizallegaraunresultado)quelaprimera.Suponemosquetodoslosniñosqueyahanutilizadoimplícitamentelarelaciónn enteros = m pedazos,recurriránaestaestrategia.Elmaterialquese les entrega, además, desfavorece la primera estrategia: lastirasdecartónnosonfácilesderecortar,notienentijeras,etc.

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Es tambiénmuyprobableque lapresenciafísicade losen-terosylospedazosfavorezca(adiferenciadelassituacionesan-terioresenlasqueelenteronoestabapresente)quelosniñostenganencuentalarelación:Total entero = Total pedazos.

Siasísucede,larelaciónentreenterosypedazosestaráahoraenprimerplano:seconvierteenelrecursoexplícitopararesolverelproblema.Porotrolado,enestasituación,anivelimplícito,seestányarelacionandodosmagnitudesatravésdelaconmensu-ración.Elpar(3,5)queseobtieneestádestinadoafuncionar,ensituacionesposteriores,comolamedida del pedazo enfuncióndelentero.Esto,porsupuesto,notieneaúnnadaqueverconloqueesteparsignificaráparalosniñosenestemomento.

NoTAS:1)Enlaaplicacióndelaestrategia2,puedesucederque los niños encuentren otras soluciones (distintas a 3enteros,5niños),sicontinúanagregandoenterosypedazosdespuésdehaberobtenidounaprimeracoincidencia.

AnnelZacaríasVázquez

7.DoSMoMENToSPARALAGEoMETRíAYuNEPISoDIoSoBREELSABERDIDÁCTICo

7.1.AnálisisdelasituacióndidácticaElcilindro18

Estasituacióndidácticaseaplicóel16deabrilde2013conelgrupode5°“B”en laEscuelaPrimariaRural“MaríaRodríguezMurillo”.Hubovariosaspectosquefueronfavorablesparaquesetuviesenbuenosresultados,algunosdeellossemostraránen-seguida.

7.1.1.Lapreparacióndelmedio

Enestemomento loquesepretende lograrprincipalmenteesinduciralalumnoaqueserelacionecon lostemasquesevanaver,ademásdeubicarnosconformeasusconocimientospre-vios.unapreparacióndelmediosepuederealizarmedianteunaactividaddiferente,deinducción,llamativaodivertidaparalosalumnos,yasíseestarádespertandosuinterés.

18EstaesunaadaptacióndelvideoExplorar el desarrollo de un cilindro quesetrabajóenungrupodesextogradoenlaescuelaprimariaanexaalauniversidaddeTsukuba,Japón(2005).Loquesehizofuetransformarenunasituacióndidác-ticaloqueproponíaelvideodelaclaseyprobarlaconungrupodequintogradoenZacatecas,México.

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En lapreparacióndelmedio, comosemuestraen la siguienteimagen,lesencarguépreviamenteatodoslosniñosquetrajeranalgunacajapequeña.Despuéslespedíqueimaginaranquéplan-tillaseempleóparapoderformarlacaja,sinincluirlaspestañas.

Luegoqueyahabíanimaginadocuálfuelaplantilla lespedíqueladibujaranensucuadernoyanotaranquétipodeprismaera.Despuéslessolicitéquecortaranuncostadodesucajaylaabrieranylacompararanconlaplantillaquehabíanhechoparaverificarsicoincidían.Posteriormentecadaniñopególacajaensucuaderno,enseguidadelaplantillaqueelloshabíanrealizado.

Luegocadaniñoescribióensucuadernounconceptoformu-ladoporellosmismosacercadeloqueesuncilindro,tomandoencuentalasactividadesqueanteriormentehabíanrealizado.

Lapreparacióndelmedio tuvosuordenytiempo justo,demaneraquenorestótiempoa laactividadprincipal,graciasaqueseestablecióunaclarayadecuadacronogénesisdeacuerdoa loque ibanarealizar, losniños larespetaronyterminaronatiempo.Seestablecióun límitede20minutosparaquetermi-narande realizar laactividadcuyoobjetivoera introducirlosa

loque ibanavermásadelantee identificarsusconocimientosprevios.Ellímitedetiempoquedóestablecidocuandosehizoladevolucióndelaconsigna.

7.1.2.Elcontratodidáctico

Este fue otro concepto que quedó muy bien establecido enestasituacióndidáctica,ya queésteserefierea loqueeldo-centeesperadel alumnoyviceversa: aprendizajes, resultados,enseñanzas y responsabilidad. Toda situación didáctica llevaimplícito un contratodidáctico, no es necesario que sedigaoexplicite,dehecho lascláusulasmásdeterminantesde larela-cióndidácticasonprecisamente lasquenosedicen,peroquelasconocentodos:ladistribuciónderesponsabilidades;elánimodebúsquedaquetienequeprevaleceren losalumnosporqueelprofesorno les va a decir la respuesta,losmomentosparaeltrabajoautónomo,laaceptacióndequepuedehaberrespuestasdiferentes,pormencionaralgunas.

7.1.3.Conocimientosprevios

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De igualmanera cuando les propuse la consigna, exploré quetuvieran los conocimientos necesarios para realizar las planti-llas, es decir, verifiqué que supieran o conocieran el métodoparaobtenerelperímetrodelcírculoypudieranrealizarlaplan-tilla.Esdecir,esteconocimientoera indispensableparaque lasituacióndidácticafuncionara,deahímiinterésendejarloesta-blecidodesdeelinicio.

Algunosalumnosyateníanlaideadecómohacerelcilindrodelamaneraacertadaparaqueseformarayarmaraadecuada-mente.

Pero como los conocimientos no estabanmuy claros, fuenecesariohacerunejemploenelpizarróndecómoobtenerelperímetro del círculo. Posteriormente los niños explicaron elprocedimientoqueseteníaquerealizarycomenzaronatraba-jarensuplantilla.

7.1.4.Análisisdelosresultados

Alconcluirconlaactividadpudeadvertir—alanalizarlosresul-tadosobtenidosensusplantillas—que losmodelos quecons-truyeronfueronbastantecreativos.Acontinuaciónsemuestranalgunasimágenesdelasplantillasrealizadasporlosniños:

*Enlaplantillacolornaranja(izquierda)podemosobservarqueeldiseñoescreativo,aunquelasmedidasnosonlascorrectas,yaqueelrectánguloesdemasiadocortoparacubrirelperíme-trodelcírculo.otrodatoesqueelniñonoestimóbienlasmedi-

dasyyanoalcanzóadibujarelotrocírculoenlaparteindicadaylotuvoquehacerauncostado.

*Enlaplantillacolorrojalasmedidaseranlascorrectasperoeneldiseñodelaplantillasecometióelerrorderealizarlasper-foraciones en las partes superiores en vez de hacerlas en laslateralesyalarmarlaelniñosediocuentaqueelcilindronoseformaba.

*En la siguiente plan-tilla (color rosa) Luperealizóunbuendiseño,que sí se ensamblaba,pero que al realizarlas operaciones paraformar el rectángulolasmedidasno fueronlas adecuadas, ya que

el rectángulo no era lo suficientemente largo para cubrir elperímetrodelcírculo—fueelerrorenqueincurrióLupe—.

*Enlasiguienteevidencia—colorverde—, la planillas es creativay diferente a todas las demásporque las figuras que se tra-zaban eran circulares, ademásqueal formarlaelcírculoqueda-ba un poco pequeño para elrectángulo,fallóenlasmedidas.

*En la plantilla azul se puede ob-servarqueelniñocometióalgunoserrores como complementar la fi-gurapor lapartesuperior,ademásnopusoelcomplementodel trián-guloquerecortó.Lomismosucedeconlapartelateral,yaquealtratardearmarlalasmedidasnocoinciden.

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*Enlaplantilladeenmedio—colornaranja—(imagenanterior)tienebuendiseño,yaquelafiguraenloscostadosquesetienequecomplementaresunhexágono,locualesdiferenteycrea-tivo,peroalensamblarlaDanielsediocuentaqueelcírculoerademasiado pequeño para el rectángulo. En la última plantilla—colornaranja—eldiseñoesmuycreativoydiferentealrestodelasplantillas,perocometióelerrordecolocarunpequeñocuadradoenlapartesuperiorquenocomplementa.Peroalfor-marlalasmedidascoincidenyelcilindroseforma.

*En lafiguraazul, sepuedevereldiseño de una plantillamuy crea-tiva, además que las medidas fu-eron las correctas y al tratar de ensamblarelcilindro,seobtienelafiguraadecuadamente.

*Algunasotrasplantillasque losniños realizaron fueron las si-guientes:

7.2.Laimportanciadelasdevolucionesenelcontratodidáctico

En un contrato didáctico habitual —de acuerdo a Brousseau(2007)— el docente espera hechos, conocimientos, actitudesporpartedelalumnoyloqueelalumnoesperaesqueelésteleenseñe.Laenseñanzatienecomoprincipalpropósitoquelosconocimientosquesurjanosetrabajenseanoriginadosderela-cionesentreelalumnoconunmediodidáctico,estoquieredecirquelosalumnosseacapacesderesolverproblemasoactividadesen lascualesnosedirijaa losalumnosaunarespuestaobvia,sinoquereflexionen,analicenyencuentrenasíunasolución.Alrealizarestoconsiguenquesusconocimientosevolucionen.Enesteprocesooenestaformadeconcebirlarelacióndidáctica,elalumnoestaráintentandoresolverlaactividadalasumirciertaresponsabilidad.

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ParaBrousseau(2007)ladevolucióneselactoporelcualeldocentehacequeel alumnoacepte la responsabilidaddeunasituaciónqueconllevaciertoaprendizaje.Lasdevolucionesjue-ganunpapel importanteenuncontratodidáctico,yaquesieldocentenoverificaquelaconsignahayaquedadoclarayatiendelasdudasquepudieransurgirseexponeaquesurjanproblemasylasituaciónnofuncione.

unaparadojade lasdevolucionesesqueconfrecuenciaal-gunosdocentespretendenqueel alumnoutilice susmedios ysusconocimientospararesolveralgunaactividad,peroalmismotiempoesperanquelarespuestaseacorrectadeinicio,locualyoconsideroquenoesloapropiadoparalaconstruccióndecono-cimientos,yaqueseletienequedaralalumnolaoportunidaddeequivocarse.Yasí,élmismoencuentrelaformaquemásselefacilitapararesolverelproblemaencuestión,analicesuserro-res,quelosconocimientosseanfructíferosyledejenalgomásqueunaprendizajemecanizado.

unproblemaal trabajar lasmatemáticas deuna formaquelosalumnosconstruyan,busquenydescubranlasrespuestasesquelamayoríadelosdocentesnoaceptaneljuegodeadivinar la respuesta,yaquenoresultaviableparaellosquelosalumnosrespondanalazarcuandonotienenalgunaideaoestáninsegu-ros.Yenelcasodelosalumnostemenestarequivocadosensurespuesta,tienentemoralerror.Yalestarrespondiendoal azar serompeunaregladelcontratodidácticodelosprofesoresquepiensanasí, claro,en tantoesperande losalumnos respuestascasiexactasalsaberenjuego.Seevitaentonceslaobtencióndeunarespuestaal azar,esdecir,consusconocimientosprevios.

Resultamuyimportantequelosproblemas,situacionesopre-guntasqueselespresentenalosalumnosnoseantanevidentesofáciles,yaqueelniñopodríadarunarespuestaconbaseaunsencillocálculoounrazonamientosimple,seletienequedarlaoportunidaddequebusqueeintentesolucionesquizádiferentesal restode sus compañeros, tal vezutilizandoun razonamientodiversoquelespermitalograrunamayorcomprensiónymejoresaprendizajes.Auncuandohayatenidoerrores,yaqueéstosson

elpuntodepartida,porqueconbasealensayoyerrorelalumnoindicaloqueintentó,lascorreccionesquehizoycómo concluyó.Claro,siesqueladevoluciónfuncionaadecuadamente.

7.3Lainstitucionalización,otrocomponenteesencialdelcontratodidáctico

La institucionalización resulta fundamental en la enseñanza,se enfoca principalmente a la necesidad que tienen los alum-nosdedarleunsentidoalosconocimientos.Lanecesidaddelainstitucionalizaciónpuedeaparecerde igualmaneraen la fasedeaccióncomoen lade formulación,aunqueenéstas resultafundamental promover un contrato devolvente, es decir, quepostergue la institucionalización hasta después del momentodeldebate,delaconfrontación.Lassituacionesclásicasdelaen-señanzasonescenariosdeinstitucionalizacionesprincipalmente:eldocenteexplicaalinicioloquequierequeelniñoaprendayverificasiloaprendió.

Parapoderdarleunbuen sentidoal conocimiento setieneque razonarydespués tenerevidenciasparapoderprobar losresultadosdeunaactividadodealgunasituaciónproblemáticaymostrarcuálesfueronlosindiciosoprocedimientosquenoslle-varonadichoresultados.Lainstitucionalizaciónesmuyimpor-tanteenelcontratodidáctico,yaqueeslaoportunidadqueselesbrindaalosalumnosparapodercompararsusprocedimien-tosconotros, compartir ideasy conocimientos, y compararlassobretodoconelsaberoficial.

7.4.Análisisdelasituacióndidácticapirámideconbasecuadrangular

Para esta situación, al inicio les di las siguientes indicaciones:“ensucuadernodibujenlaplantillaqueseutilizaparahacerunprismarectangulardelamedidaqueustedesdeseen”.

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Cuando terminaron les pedí que lo comparan con el com-pañerodeallado,paraversicoincidíanosisediferenciabanenalgo.Estafueunaactividadinicial.

Luegocadaniñoensucuadernotuvoquedibujarporsepa-radolasfigurasgeométricasquesenecesitanparapodercubrirunapirámidecuadrangular.Paraesto lesmostréunapirámideconbasecuadrangularparaque laobservarany lacoloquéenelescritorio.

Enseguida, les realicé algunas preguntas acerca de laspirámidesconbasecuadrangularylespedíqueahoraseimagi-naranunaplantillaparaestafigura,peroqueahoraimaginaranuna creativa y nueva, y que la trataran de realizar lo mejorposible.Elinterésylamotivación,comoyalohevividoenvariasocasiones,sonmuyimportantes,porloqueunocomodocentetienequevalorarlosesfuerzosdelosalumnosymotivarlosparahacerbuenostrabajosymejorarloscadavezmás.

Los niños estabanmuy emocionaos con este trabajo y val-oraron sus resultados y los compartieron con el resto de suscompañeros.Al final de la jornada, estos trabajos al igual queotrosquerealizaroneneltranscursodelasprácticasfueronex-puestosporellosmismosantelosgruposde6º“A”y2º“A”delamismaescuela.Locualfuemuygratificanteparalosalumnos,alverquesusdemáscompañerosvalorabanlostrabajosqueellosrealizaron.

7.4.1Posiblescambios

Desdemipuntodevistalasituacióntuvobuenosresultadosconlosalumnos,perosilavolvieraatrabajarrealizaríaalgunoscam-bios.Porejemploenlapreparacióndelmedio,casiseríaigual,sóloquelosalumnostendríanqueelegirlasfigurasdeunsobrepreviamentepreparado,quecubriríanalprismacomoenlasho-jasqueanteriormenteselesproporcionó,yquitarlaparteenlaquelosniñosdibujanlaplantillaqueconocenporqueesecono-cimientoesmásqueobvio.

Pero en la preparación delmedio que realicé, los alumnosdibujaronlasfigurasparacubrirlapirámideydespuésdibujaronlaplantillaquetodosconocenparaformarestafiguraydenuevorepitoquequizáestoúltimoyafueinnecesarioparalasituacióndidácticarealizada.

7.4.2Evidencias

Enestapartesepretendemostraralgunosdelostrabajosquelosniñosrealizaroneneltranscursodeestasituación.Estassonúnicamentetresevidenciasdelostrabajosquerealizaron,ensílostrabajosdelosalumnosmostraronaprendizajesmuyintere-santes,peroestostressediferencianporelprocedimientoyeldiseñoquetuvieron.

1ª evidencia, Renato:

En su evidencia, como podemos observar, el diseño es muycreativo,lasmedidassonexactas,yaquealtratarladearmarsíseformalapirámideconbasecuadrangular.Ademásestediseñofueúnicoenelsalónyaquenohuboningunoquesepareciera.Estealumnomuestraunaimaginaciónespacialsobresaliente,lo

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cualesbásicoparaelaprendizajede lageometría,además loscálculossoncorrectos.Paraéllasmatemáticassonmuyintere-santesy,alparecer,elinterésesfundamentalparaobtenerbue-nosresultados.

2ª evidencia, Francisco Javier En la evidencia de este alumno, como se puede ver a continua-ción, al igual que Renato diseñóunaplantillaúnica, ymuycreativadesdemipuntodevista,yaquesevealgoconfusa,peroaltratardearmarla se formacorrectamente,ya que realizó lasmedidas adec-uadasylosrecortes,aunquecom-plejos, corresponden a figurasque se complementan de forma

exacta, aparte de que se ensamblan correctamente. De igualmanera,aesteniñolegustanlosretosylasmatemáticas,sóloquesedistraeynecesitarealizaractividadesinteresantesquelerepre-sentenunretointelectualparaestaratentoyéstalofueparaél.

3ª evidencia, EmmanuelEsta última evidencia que voy apresentares sencillaperoel for-mato resulta interesante, yaqueestácompuestaporuncuadradoy loscuatro triángulos, lasmedi-das de igualmaneraque las dosevidenciasanterioressonexactaspermitiendoqueelensambleseael adecuado. Quizás el formato

seamássencillo,perodeigualmaneraescreativoeldiseñoqueEmmanuel logró inventary,adiferenciadelosotrosdos,estediseño sí lo realizaron (aunque conmínimas diferencias) otrosdoscompañerosdelsalón.

7.5Resultados

Lasestrategiasdelosalumnosparalaelaboracióndeplantillasparaconstruircuerposgeométricostuvieronunaevoluciónno-table en comparación con la situación del cilindro. El objetivoprincipaldeestasituacióndidácticaconsistíaenquelosalumnosidentificarancaracterísticasdeciertoscuerposgeométricosenfuncióndesuscarasyqueaprendierananolimitareldiseñodeloscuerposgeométricosaunaplantillapreviamenteestablecida,sinoqueellospueden, incluso,crearunasmejores.Elobjetivoprácticamentesecumplió.

Altrascenderlosmodelosoficialesparaeldiseñodecuerposgeométricoslosalumnosreafirmansuspropiedadesysuscarac-terísticas,lomismoqueloscálculosinherentesalperímetro,vo-lumenoáreadetalescuerposgeométricos.

Ensí los resultadosque losniños tuvieron fueronbuenosymuycreativos.En lasegundasituación—al igualqueen ladelcilindro—tambiéntuvieronalgunoserroresenlasmedidasdelasfigurasoenloselementoscomplementariosquelesponían,pero fueron menos frecuentes. En lo general la actividad lesgustómuchoalosniñosyseleshizomuydivertidaigualquelajornadadeprácticaspasada.

Losniñosdisfrutaronyaprendieronmuchoalrealizar laac-tividad, porque pudieron crear su propia plantilla para formarunapirámidecuadrangularydejar libresuimaginación,apartede que los conocimientos acerca de las figuras y los cuerposgeométricossereafirmaronenellos.

124 125

7.6.¿Enquémomentoresultaconvenientecambiardecontratodidáctico?

Enlasdiversasexperienciassurgidasenlasjornadasdeprácti-cas,asícomoenmipreparacióncomodocentehepodidocom-prenderyanalizarlarelevanciadequedentrodeunaclaseseestablezca un buen contrato didáctico, ya que si lo hacemosbien,estaserá labaseparaque losresultadosy lasrelacionesdelgruponosfacilitenelprocesodeaprendizajeyque,porcon-secuencia,losconocimientosresultensignificativosyelalumnolosempleeensuvidacotidiana.

un buen contrato didáctico nos abre puertas para que losalumnosleencuentrenunsignificadoasueducación,yaqueelcontratodidácticosignificaestablecerloqueeldocenteesperadel alumno y viceversa, así mismo el docente espera hechos,conocimientosyactitudesporpartedelalumno quea suvezesperaenseñanzasdeldocente.

Estecontratoparaque funcione, comoenmisprácticashepodidocomprobar,debeserrecíproco,elprofesoryelalumnotienen la responsabilidad de apoyarse, uno al poner restric-ciones, dando la consigna y proporcionar ayuda; el otro al re-solverlaactividad,enfrentándosealproblemaenjuego.Así,elcontratodidácticoayudaráaconservarunmediodidáctico fa-vorableparaconseguirunaprendizaje.

Claroquesisellevaunbuencontratolosresultadosseránfa-vorables,perosinoestáclaroelcontratolosresultadosnoseránmuybuenos,aunquetambiéncabedestacarquenoesmuyfá-cil llegaraunbuencontratodidáctico,esnecesario,desdemipuntodevista,queseestablezcanclaramentelossiguientesele-mentos en la relación docente alumno y viceversa: confianza,obligaciones, responsabilidades, claridad,motivaciones, buenarelación,ambientefavorable,indicacionesclaras,papeldecadaindividuo,explicaciones,compromisoyapoyo.

7.7¿Cómoheaprendidoaenseñarmatemáticasenmipreparacióndocente?

Elaprendizajedelasmatemáticastantocomosuenseñanzasehan vuelto uno de los aspectosmás favorables e importantesen el trabajo docente, ya que su enseñanza constituye un es-labón fuerte en la educación del niño. En el transcurso demipreparacióndocentehedesarrolladomicapacidadparaenseñarmatemáticasalosniñoso,almenos,lashellegadoaentender,graciasalossiguienteselementos:

• La intervención de los docentes de la asignatura en mipreparación:

De ciertamanera, enmipreparacióndocentehe tenidodocentes que con sus enseñanzas, actividades, conoci-mientos, habilidades, actitudes y ejemplo han encami-nadomipreparación,unoaprendedeellossusaspectospositivosyencuantoalosnegativosunotratadenoco-meterdichoserroreseinclusoéstosnosmotivanaimagi-nareidearsolucionesomanerasdeprevenirlos.

• Lasprácticasdocentes: En las experiencias positivas y negativas vividas en mis

prácticas docentes he podido reflexionar y reforzar miforma de enseñar las matemáticas. Ya que los alumnosconsusresultadosyprocesosnosenseñanalosdocentesamejorar.

• Materialdeapoyoenmipreparación: Lapreparacióndocentecomoyalosabemosnoestába-

sadasolamenteenprácticasoteorías,sinoquemásbienestos dos aspectos se desarrollan de forma estrechaporqueambosserefuerzanymejoranaundocente,comolaslecturasylibros.

• Actividades,usoderecursos,juegos,dinámicasymaterialllamativoconlosniños.

Elusodeestoselementosrefuerzalaenseñanzaasícomoel aprendizaje de los individuos, para que los procesos

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sean más llamativos e interesantes para los alumnos.Como sabemos a los niños les gusta jugar, tratemos dequeaprendanjugando,hayqueconocerlosyaprovecharsucuriosidad.Peroquesean juegosque lesrepresentenunretointelectual,porquealosniñoslesgustanlosjue-gosperotambién les interesanlosdesafíos.Porejemplogracias a las ideas de un profesor he empleado juegos,comomemoramas,dominósdefracciones, loscualeshetrabajadocon losalumnos, yhanoriginadomuybuenosresultados.Setratadeobservara losalumnos,dehacerlasregulacionesqueserequieran,denoperderdevistael propósito de la actividad, o de la situación didáctica,deestudiarconanticipaciónelsabermatemáticoyhacerel indispensableanálisisa priori,deprever losprobableserroresdelosniños.Todoestotellevaráatenerbuenasclasesymejorartuformadeenseñarlasmatemáticas.

ANEXoSITuACIóNDIDACTICA“ ELCILINDRo”

PRoPóSITo:

Que los alumnos identifiquen características de ciertoscuerpos geométricos en función de sus caras y establezcanrelacionesentreéstasysuscaracterísticas.Queencuentrenvariantesalprocesohabitualparaelaborarlasplantillasdealgunoscuerposgeométricos.

MATERIAL:

Hojasblancas,HojasdecolorPegamento,JuegogeométricoTijeras,Cinta,CalculadoraCajacualquierapequeña(encargadadetarea)

ANALISISAPRIORI:

Los niños realizarán las diversas actividades, tanto la de lapreparacióndelmediocomolaprincipal,peroquizánosalgacomo loplaneamos y se lespresentenalgunasdificultadesodudasalllevarlasacabo.Sihablamosdelapreparacióndelmedio,loquepodríasucederesque;—Que algunos niños no hayan traído su caja y tengan que

reunirseconuncompañero—Quealgunosniñosnorecuerdennadaacercadelosprismas.—Que no tengan los materiales necesarios para realizar las

actividades, por eso trataré de llevarme algunos juegosgeométricosporpartemía,paraprestárselosalosniñosquelasnecesiten.

—Quenohayanprestadoatencióna las indicacionesyesténpreguntandoloquesevaahaceronopreguntenyrealicenalgúntrabajonorelacionado.

–Que los alumnos confundan aun los tipos de prismas, asícomolasplatillasqueseemplean.

*Enlaactividadprimordialloquepudierasucederes;—Quenohayanpuestoatenciónynohayancomprendido la

consigna y estén preguntando qué es lo que se tiene quehacer,porelloserealizará ladevoluciónde laconsignadela mejor manera. Y se estará apoyando pasando por suslugares.

—Que los niños quieran imitar las ideas de sus demáscompañerosynotenganunaideaoriginal.

—Que tengan dificultad para realizar las operaciones y loscálculosparahacerelprisma.

—Quelasmediadasdelasplantillasnoseanlascorrectas—Que sus plantillas incluyan elementos que se tengan que

complementar pero estén en los laterales superioresimpidiendoasíquelasfigurassearmencorrectamente.

—Que no estimen el espacio que la plantilla va a ocupar yrealicenlaplantillaenunlugarenelquenosealcanzaráadibujarcompletamentelaplantilla.

—Tambiénpodríasucederque losniñosrealicenplantillasenlascualessolamentecabenloscírculosdeposición.

—Quelosalumnossolamentecambiendeposiciónelcírculooelcambiodelaplantillaseamínimo.

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PREPARACIóNDEL MEDIO:

Para dar el inicio a la situación didáctica les pediré que ensu cuaderno dibujen la plantilla que se utiliza para hacer unprismarectangularconbasecuadradadelamedidaqueellosdeseen,peroaclarandoquelaplantillanotengapestañas.Cuandoyahayanterminadolespediréquelocomparenconelcompañerodealadoparaversicoincidenosisediferencianenalgo.Luegolespediréquesaquenlacajaquelesencarguédetareay recorten uno de sus costados y la hagan plana para queveanquéplantilla seutilizópara formardicha caja, yqueensulibretaanoteneltipodeprismaquees.Lespedirétambiénqueanalicensiessemejantealasuyaosialgolasdiferencia.

FASEDEACCIóN:

Para comenzar la actividad les realizaré las siguientespreguntas:—¿Conocencuálessonloscilindros?—¿Cómosonloscilindros?—¿Quécaracterizaaloscilindros?—¿Medanunejemplodealgunoquehayanvisto?Después les preguntaré: ¿conocen cuál es la plantilla pararealizaruncilindro?Yqueladibujenensucuaderno,despuésquehayanterminadoladibujaréenelpizarróny lesdiréquelesrepartiréunahojadecolorparaquedibujenunaplantillaparauncilindroperoque seadiferentea laque realice quesiempre se usa, para la cual yo dibujare un ejemplo (la querealiceenmiclase),lespediréqueusensuimaginaciónyquehagan algo sorprendente, aclarándoles que la plantilla notendrápestañas.Lesdaréeldatoparaquetenganelperímetrosiesqueellosnoloconocenyloanotaréenelpizarrón.Luego lespreguntaré si todohaquedadoentendidooque sialguientienealgunadudaysiesasí lovolveréaexplicarmásdetalladamente para que puedan realizar la actividad, o lepediréaunalumnoqueexpliqueloquesevaahacer.

FASEDEFoRMuLACIóN:

Después de que cada niño haya terminado su plantilla lespediréquepasenalescritorioparadarlesunahojablancaenlacualtendránquepegarelrestodelacartulinadesuplantilla,indicándoleacadaunocómohacerloparaquequedebienynolocortenmal,paradespuéspegarlosobrelahojablancaquelesacabodeentregar.Lespediréquelovayanpegandoenelpizarrónparadespuésquelosdemáscompañeroslaobservenylaanalicen.

FASEDEVALIDACIóNEINSTITu-CIoNALIZACIóN:

Enestasfasesloquesevaahaceresquecadaniñovaapasaralfrenteylesexplicaráalrestodesuscompañerosquéfueloquehizoparasacaresemodeloocómolorealiza,laconclusiónalaquellegóconlarealizacióndeesaactividad,deigualmanerales mostrará cuál es su plantilla. Así pasarán los niños quealcancenporeltiempo.Luegoyolesdiréque…laspersonastienenunagrancapacidadpara realizar diversas actividades, pero en ocasiones susideassonlimitadasporlosmodelosoprototiposqueseusancomúnmente,comoyalovimosenestaactividad.Lageometríatienemuchosmodelos,noúnicamenteelmásconocido.

LorenaMaribelRodríguezHernández

8.LoSCuERPoSGEoMÉTRICoSANÁLISISDELASITuACIóNDIDÁCTICA

Nada está perdido. Si se tiene el valor de proclamar que todo está perdido, hay que empezar de nuevo.

JulioCortázar

Lasituacióndidácticaqueseaplicóalosalumnosde4°AdelaescuelaMaríaR.Murilloteníacomopropósitoqueelalumno

pudiera identificar y explicitar características de los cuerposgeométricos,ademásdepermitirlaincorporacióndeciertovo-cabulariomatemáticoconvencional.Lasituaciónsellevóacabodurantedossesiones,laprimerasesiónconsistíaenhacerpre-guntas a los niños en formade adivinanza, con respecto a lascaracterísticasdelasfigurasgeométricas,paraqueellosasuvezadivinarandequéfigurasetrataba.

Para la segunda sesión se tenía que utilizar un lenguajemásacordealamateriaporejemplo,enlugardepicos,usareltérmino vértices o en lugar de decir líneas, utilizar el términoaristas,etc.Delamismaformaelniñoteníaqueadivinardequéfigurasetrataba.

Al principio los niños, a excepción de cuatro, desconocíanel nombre de algunas figuras y de la mayoría de los cuerposgeométricos, por lo que tuve que realizar una regulación queconsistió en pegar los modelos de los cuerpos geométricos aun ladodelpizarróny lasfigurasdelotro.Alhacerlo losniñoscomenzarona identificarunasyotras,arecordarsusnombresysuscaracterísticas, locualfuecrucialparalarealizacióndelaactividad, pues de lo contrario se hubiera tenido que retrasar

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paradarlasaconocer,quenofueelcasoyaquelamayoríadelosniñosrealizólaactividadconéxito.

Luegosellevóacabolapreparacióndelmedio,ylaretroali-mentaciónconveniente,selesdiociertotiempoparaobservarlosobjetosasualrededoryencontrarsimilitudesentrelosmis-mos,paraunamejorubicacióndeloscuerposyfigurasgeométri-cas.otromomentoqueayudófueelhechodequelosniñosyatenían lanocióndel lenguajematemáticoconvencionalpara laocasión—aristas,caras,vértices—,sólofuenecesarioinvocaralamemoriadidácticadecadaunodeellos

Antesdecomenzardellenoconlaactividadsetuvoquedejarmuyenclarodurantelaregulaciónladiferenciaentrefigurasycuerpos,enseguidaselanzaronloscuestionamientosalosniñosusando lenguaje cotidiano: ej. “tiene 6 lados, 4 picos, 12 ra-yitas…”Paralasegundasesiónseorganizóalosniñosenequiposde4personas,seretiraronloscuerposdelpizarrón,elequipodeniñospasabaalfrenteelegíanunatarjeta,lacualincluíaelnom-bredelafiguraaadivinarylanzabalaadivinanzaalgrupo.Losniñosteníanqueidentificardequéfigurasetrataba,elequipoqueadivinabasehacíaacreedordeunpuntoenlalistademéri-tos,despuéscambiabanlospapeles,seelegíaaotroequipodelsalónyelrestodelgrupoteníaquecuestionaralequipoqueseencontrabaalfrente,ladinámicafuncionócorrectamente.

Finalmente,parainstitucionalizarseentregóunahojadetra-bajoporalumnoparaquedeforma individualplasmaranyre-presentaranloaprendidodurantelasdossesiones.

Consideroquelaactividadfuncionóporquelosniñosteníanuna nociónmuy clara con respecto a las figuras y al lenguajegeométrico,sólofuecuestióndeaclararlasdiferenciasyderea-lizarlaretroalimentaciónpertinente.

Porúltimo,paraasegurarmedequenosetratabasimplementedeunamecanizacióndelaprendizaje,utilicéuncuerpogeométriconofamiliarparaellos,enestecasofueunicosaedro;selespidióa losniñosamodode retoqueadivinaranelnúmerodecaras,aristasyvérticesdedichafigura, lamecanica:elniñoteníaqueacercarseamíydarme la respuestaenunmensajeamodode

secreto, condiciónque sirvióparaque sepudieran ir a casa. Sepermitióobservarytocarelmodeloaquienesnocontabanconlacapacidadsuficientedeanálisispararealizarlaactividad.

Sisehubieranexplicado lascaracterísticasdirectamenteenlugardeutilizarlasadivinanzasconsideroquenosedaríapasoalaconstruccióndelconocimientoyéstenoseríasignificativo,sinomásbienunamecanizaciónqueconllevaríaaaprendizajesvacíosqueseolvidanconfacilidad.

Tras examinar y estudiar detenidamente las evidencias ybasándomeenelanálisisa priori,pudenotarqueefectivamentesucedieronalgunosdelosproblemasqueyasehabíanprevistocon anterioridad:

• Elniñonoteníalanociónsobrelosnombresdeloscuer-posgeométricos

• El niño desconocía las características de los cuerposgeométricos

• Elniñonolograbadiferenciarloscuerposgeométricosdelasfigurasgeométricas.

• Elniñoalprincipiodesconocíael lenguajematemáticoautilizar

• Norealizarlaactividadporfaltadeconocimientosocom-prensión

• Problemasconelnombredelasfiguras—noconocerlas—.

Sinembargo,seutilizaronlasestrategiasquemencionéconan-terioridad, las cuales posiblemente podían brindar la solucióncorrectaabriendoasílaposibilidaddecumplirconlospropósi-tosseñaladosenlasituación:

• Darunrepasoalnombredefiguras• Realizarunaminuciosa retroalimentaciónsobreel tema,

puestoqueyafuevistosegúnelprograma.• Brindarejemplosclaros• Dejar establecida la diferencia entre figuras y cuerpos

geométricos.

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• Darejemplosprecisosdelaactividadarealizar• Aplicacióndecontraejemplos

Losresultadosdelaactividadfueronsatisfactoriosalmomentodeinstitucionalizar,puesloserroresquesurgieronfueronmíni-mos,casiimperceptibles,ydebidosaladimensióndeloscuer-posgeométricosenelpapel.Acontinuaciónsedaránaconocerlosdatosmedianteuncuadrodeanálisis.

SITuACIóNDIDÁCTICA:Adivinacuáles

NoMBREDELALuMNo

LO RESoLVIó

NoHIZoNADA

LoRESoLVIóCoRRECTA-

MENTE

ERROR SINTÁC-

TICO

ERROR SEMÁN-

TICO

ALEXISYAHIR SI / SI

LAISHADANIELA SI / X MARIAGuADALuPE SI / SI

ANToNIoALEJANDRo SI / X

LAMBERTo SI / XMIGuELALEJANDRo SI / X

YESICA SI / X FATIMADELRoSARIo SI / X

TERESAGPE SI / X

VALENTINA SI / X

oCTAVIo SI / X

ANDREA SI / X

DANIELA SI / X AMELIAMoNSERRATH SI / X

VANESSA SI / SI

EDuARDoNoE SI / X

GuILLERMo SI / SI

MICHAELALEJANDRA SI / X

CLAuDIANATALI SI / SI

GoNZALo SI / X

NAZARETHMARGARITA SI / X

ADRIAN SI / X

EDWIN CORY SI / X

JAIRDAVID SI / X

NIDIAPALoMA SI / X

GuSTAVoADoLFo SI / X

JoSEFRANCISCo SI / X

PEDRO SI / SI

JESuSALBERTo SI / SI

oSCARIVAN SI / X

NADIAITHZEL SI / X

BRENDARoCIo SI / X

ToTAL 32 / 7 22 3

8.1Interpretacióndelosdatos

• Deuntotalde32alumnosdecuartogrado,32niñosfueronlosqueresolvieronelproblema,oalmenoslointentaron;todos participaronmas no todos lograron el objetivo al100%

• Alparecerlos32comprendieronlaconsigna,sinembargoalver losresultados3deellosno lohicieron.Aestosselesvolvióaexplicardeformaindividualehicieronloquepudieron,deacuerdoasusposibilidadescognoscitivas.Enestoseinvolucranmúltiplesfactores:-Dosdeellosnosabíanleerniescribir,noobstanteunodeellossabíaloquehacíamasnosupoexpresarlo.

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-Lostrescasospresentaronbajoniveldeatención.

• Deuntotalde32alumnos,solamente7lograronrealizarlaactividadcorrectamentesinningúnerror,comprobaronloaprendidosiendolosmismosquienesrespondieronco-rrectamentealreto,elniñoreflexionóelque, por qué y para qué,sepodríadecirquesísecumplióelpropósitodelaactividad.

• De un total de 32 alumnos, 22 niños presentaron errorsintácticoensustrabajos,apesardehabercomprendidocorrectamentelaconsignaycomenzaraelaborarbienlaactividad de institucionalización, tuvieron pequeños e-rrores, casi imperceptibles que evitaron la realización al100%delaactividad.

• Deuntotalde32alumnos,3deellospresentaronerrorsemántico, pues no lograron comprender ni realizar laconsigna,debidoalosfactoresyamencionadosanterior-mente.

8.2.HoJadetrabaJo

Acontinuaciónsemuestralahojadetrabajoqueselespropor-cionóalosniños,asícomolasevidenciasysuexplicación:

Características de los Cuerpos GeométricosNombre: ____________________________________________

1.Tiene5vértices,8aristasy4caras:trescarasigualesyunacuadrada.

2.Tiene12aristas,8vérticesy6carasiguales.

3.Notienearistas,notienecarasnotienevértiices4.Tieneunsolovérticeyunacaracircular.5.Tienedoscarascirculares,notienearistasnivértices.

6.Prismarectangular

7.Pirámidecuadrangular19

8.Pirámidepentagonal

9.Prismahexagonal

19Convieneprecisarqueen lashojasde trabajoque se lesproporcionaronalosalumnosestecuerpogeométricosedenominócomopirámide triangular, lo queevidentementefueunerror,quenoafectómayormenteeldesarrollodelasactividades.

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8.2.1Evidencia1

Comoestaevidenciasurgieron7casos,efectivamentesecum-ple con el propósito de la actividad, pues el alumno puedeidentificaryexplicitarlasdiversascaracterísticasdeloscuerposgeométricos,ademásdepermitirlaincorporacióndelvocabula-riomatemáticoconvencionalrequerido.

8.2.2Evidencia2

Esta evidencia representa a 22 casos, aquí el alumno puedeidentificaryexplicitarlasdiversascaracterísticasdeloscuerposgeométricos, ademásdepermitir la incorporacióndel vocabu-lario matemático convencional requerido. Representa al errorsintácticopuestoquelosniñossísabíanquéhacer,sinembargotuvieronalgúnerroralmomentoderepresentarelnúmerodecaras,vérticesoaristas,quesoncasi imperceptibles,puessonmuypocos.

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8.2.3Evidencia3

Como ésta se encuentran dos evidencias más, claramente sepuedenotarqueelalumnonopuedeidentificaryexplicitarlasdiversascaracterísticasdeloscuerposgeométricosnisusnom-bres—losconfunde—,tampocoutilizaelvocabulariomatemá-ticoconvencionalrequerido.Enlaprimerapartetienenalgunosaciertos,sinembargoenlasegundapartenosecumpleconlorequeridonisetieneideadelaactividad.

Durante la retroalimentación y diferenciación entre cuerpos yfigurasgeométricas.

Durantelarealizacióndelasadivinanzas.

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Aclaracióndelusodelenguajematemático—caras,aristas,vér-tices—;segundasesióndeadivinanzas.

Realizacióndelaactividaddeinstitucionalización 8.3.Resultados

ParaterminarconelanálisisdelasituacióndidácticadeAdivina cuál esrestadecirquelosniñosutilizaronsumemoriadidáctica,recordaron los nombres y las características tanto de cuerposcomo de figuras geométricas gracias a los conocimientos queel docente les comunicó conanterioridad, quepor fortunanohabíanolvidado.

Estofacilitóquesellevaraacaboeltrabajosintantasdificul-tades.No fueun impedimentoque ya tuvieran conocimientosprevios,sinoqueporelcontrario,laconformacióndeadivinan-zas ymensajes secretos son actividades que les agradan a losniños,losorprendenteenestecasofuequeaunconservarandeformamuyclaraelconocimiento,aquíelméritocorrespondealdocente. Elniño recordóyutilizó loque sabía justoenelmo-mentoadecuado,elniñodecidelosconocimientosquetomaylosquedesecha,igualmente,decideenquémomentoutilizarlo.

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•Enquécondicionespuedepropiciarsequeunsujetocualquieratengala necesidad de un conocimiento matemático determinado paratomarciertasdecisiones?

• y ¿Cómo explicar de antemano la razón por la cual lo haría Laenseñanza tradicional ya tenía una respuesta: enseñar y ejercitar.(Brousseau,2007)

Finalmente,concluiréconelhechodequelosniñossoncadavezmásindependientesyautónomos,esdecir,yanoesperanaqueselesdigaloquetienenquehacer,sinoquetomanelcontrol.Lamayoríadelasvecesdecidenyconstruyenporsímismos,hacenloquecreenqueesadecuado, lo cual lamayoríade lasvecesresulta convenientepueshoyendía se lesestá fomentandoaquecimentensusconocimientosconbasealconstructivismoylascompetencias,locualhastaciertopuntoresultafavorableensueducaciónpuestoqueesloqueelfuturoylasnuevasmetaseducativaslesexigen.Yquémejormaneradedesarrollarsusha-bilidadeslógicasymentalesquepormediodeactividadessen-cillaseinteractivaslascualesademásdeagradarles,sondegranutilidadyfomentansuintelecto,esporestoquelassituacionesdidácticas,bienelaboradas,divertidasyprácticascontribuyenalaprendizajematemáticodelosalumnos.

Cadaniñoesunmundoimpredecible,locualnosbrindaunsinfínderetosasuperarparalograrelprocesoenseñanza-apren-dizajesatisfactoriamente.

8.4.¿CómomeheFormadoparaaprenderaenseñarmatemáticas?

A lo largo de mi trayecto formativo como futura docente deeducaciónprimaria,meheencontradoconsituacionesdiversasenelaula,quemehanorilladotantoa labúsquedacomoa laaplicacióndeprocesosyestrategiasquemepermitieranrealizaruna correcta aplicación del proceso enseñanza-aprendizaje delasmatemáticasdeunaformainnovadoraydivertidaalmismo

tiempo,queinduzcaalniñoaapropiarsedelconocimientoyqueasuvezseacapazdeaplicarloenlavidacotidiana.

Considero que principalmente para mejorar el apren-dizajedelosalumnosenelámbitomatemático,esnecesariopropiciarcondicionesadecuadasparaelaprendizaje,pueselalumnoadquiereconocimientosatravésdediversasformasdeadaptación,sólopuedeaprenderconstruyendo,produciendoya suvezhaciendo funcionaryevolucionar susconocimien-tos,yquémejormaneradehacerlo,quedesdelosprincipiosdidácticos—siasíselespuedellamar—delateoríaplanteadapor Guy Brousseau, como una posibilidad o un caminome-dianteel cualmeha sidoposible inmiscuirmede llenoenalámbitodelasmatemáticas.

Enlopersonalconsidero,porunlado,quemiformaciónparaenseñarmatemáticashasurgidoconbasealosaciertosyerro-res, los cuales se han encargado de ir ampliando poco a pocomisposibilidadeseneldevenircotidianodelaprácticadocenteyporotrolado,paraaprenderaenseñarmatemáticas,elusodesituacionesdidácticasqueconsiste—segúnloentiendo—enseismomentos fundamentales —análisis a priori, preparación delmedio, fasedeacción, fasede formulación, fasedevalidación,fasedeinstitucionalización—hasidounapartecrucialdedichoaprendizaje, puesto que esta forma de estructurar la comuni-cacióndeunsabermehapermitidorealizarunanálisisdetalladoyespecíficodelaasignatura,paradeestaformallevaracabouncorrectotratamientodidácticode lasmatemáticasalmomentodeencontrarmeenelaulaytrabajarconlosalumnos.

8.5¿Porquéesimportanteelanálisisapriorienlaenseñanzadelasmatemáticas?

Se entiende como análisisa priori el acto mediante el cual el docenteprevé las posibles estrategias queutilizarán los alum-nos, lasprobables situacionesproblemáticasy las dificultadesolimitantesquepudieransurgiralmomentodetrabajarunasi-

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tuacióndidáctica,paraasíconsiderarprobablesadecuacionesalasactividadesplaneadas.

Elanálisisa prioriesdetallado,siempreseráencaminadoconbasealadidácticayalascaracterísticasdelsaberaenseñar,locualpuedeayudarnoscomofuturosdocentesamodificaryme-jorarnuestraformación.

Situación Didáctica: Adivina Cuál Es?. (Sesión 1) 4º Grado. Tiempo Estimado: 2 sesiones

PRoPóSITo: El objetivo de esta actividad es que el alumno puedaidentificar y explicitar características de los cuerposgeométricos,ademásdepermitirlaincorporacióndeciertovocabulariomatemáticoconvencional.

ANÁLISISAPRIoRI:

Loqueseesperaqueelniñoyaconozcaesprincipalmenteel nombre tanto de las figuras como de los cuerposgeométricos, que identifique caras, aristas y vértices, seesperatambiénqueelniñoreconozcaqueuncuerpoyunafigurageométricanosonlomismo,queubiquelaspartesdelcuerpogeométricoaunquenoreconozcasunombreoriginal.Entrelosproblemasquepudieransurgirestá:Que el niño no tenga la noción sobre que son los cuerposgeométricos.Que el niño desconozca las características de los cuerposgeométricos.queelniñonologrediferenciarloscuerposgeométricosdelasfigurasgeométricas.queelniñodesconozcaellenguajematemáticoautilizar.Que no exista el interés por parte del niño en cuanto a lageometríaNo realizar la actividad por falta de conocimientos ocomprensión.Problemasconelnombredelasfiguras—noconocerlas—.Problemasconlacomprensióndelaconsigna.Queelalumnonoaceptelaresponsabilidaddesutrabajo.Entrelasposiblessolucionesseencuentran:Darunrepasoalnombredefiguras.Realizar una minuciosa y bien marcada retroalimentación sobreeltema,puestoqueyafuevistosegúnelprograma.Brindarejemplosclaros.Dejar en claro la diferencia entre figuras y cuerposgeométricos.Darejemplosclarosyprecisosdelaactividadarealizar.Contraejemplos.

MATERIAL:

una colección de aproximadamente ocho a diez cuerposgeométricosen3dentre losquepueden incluirseuncubo,un prisma rectangular, dos prismas no rectangulares —hexagonales, triangulares, etc.— una pirámide de basecuadradayotradebaserectangular,uncono,unaesfera,uncilindro,etc.,detamañoconsiderableCuaderno.Lápiz.Hojadetrabajo.Marcadores.Etiquetasencartulinadecolores.Láminasdepapel.

PREPARACIóNDEL MEDIO:

PRIMERA SESIÓN: Se comenzará realizando cuestiones relacionadas con loscuerpos geométricos para que el niño trate de recordarsus conocimientos previos: ¿Qué crees que es un cuerpogeométrico? ¿Qué crees que es una figura geométrica?¿Dónde encontramos figuras geométricas? ¿Dóndeencontramoscuerposgeométricos?¿Cuálserá ladiferenciaentre cuerpo geométrico y figura geométrica? ¿Conocesalgunoscuerposgeométricos?¿Cuáles?Enseguidaselespediráquerealicenunabreveobservaciónde5a10minutosenelentorno—salóndeclasesyelexterioratreves de las ventanas— que consistirá en que el alumnoutilicesusconocimientosprevioseidentifiqueenelentornoobjetosquepudiesencalificarsecomocuerposgeométricos,se le pedirá que los dibuje en su cuaderno, para luegocomentar en el grupo los diversos cuerpos que los niñoshayanlogradoidentificarenelmedio.

FASEDEACCIóN:

PRIMERA SESIÓN: Consigna: Se colocará en una mesa, a la vista de todoslos alumnos la colección de los cuerpos geométricos, elpracticante les dice a los niños que va a elegir uno de loscuerposgeométricosperonose lesdirácual.Ellos tendránquehacerpreguntasque solo serán contestadaspor “si”o“no”. A través de las preguntas otorgadas por el docente,el alumno tendrá que descubrir de qué cuerpo se trata.Enseguidaserealizaránvariosejemplosmás,elniñodibujaraen su cuaderno la figura que él cree que corresponde yanotarásuspreguntas.Serealizaráladevolucióncorrespondiente.Después el practicante tomará un cuerpo geométricodiferenteeinvertiráelproceso:ahoraelalumnotendráquehacercuestionamientosalprofesorqueserespondanconsíonoparaadivinardequécuerposetrata—porejemplo:¿tieneseislados?¿Escomounacaja?¿Tienepartesredondas?etc.—Hastaadivinar,serealizaránmúltiplesejemplos.Delamismaformaelniñodibujaráensucuadernoelcuerpogeométricoqueélcreequecorrespondeyanotarásuspreguntas.

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FASEDEFoRMuLACIóN:

PRIMERA SESIÓN: Despuésderealizarlasactividadesselepediráaalgunodelosniñosquepasealfrenteyseaelquientomelafigura,suscompañeros le harán preguntas que sean respondidas con“si”o“no”ytratarándeadivinardequéfigurasetrata.

FASE DE VALIDACIÓN:

PRIMERA SESIÓN: Validaciónsemántica,selepidelaparticipaciónadiferentes

niños,quepasenalpizarrónadibujarlafiguraqueresultodelaprimeradivinanza,otrolasegunda,etc.

Validación pragmática por medio de material palpable yconcreto,seanalizaralarespuestadelosniñospormediodelosmodelosen3desdecirquetomelafiguracorrespon-dientedelamesa.

Validaciónsintáctica,serevisaracomoresolvieronelprob-lemayseformalizaraunarespuestaconelprocedimientoy estrategias correcto en caso de que este no haya sidodescubierto.

FASE DE INSTITUCIO-NALIZACIÓN:

PRIMERA SESIÓN: Selespideunaautoevaluación,esdecirquesepreguntenunosaotrosyasímismossiescorrectalarespuestaalaadivinanzayporqué.Finalmenteselesotorgaránetiquetasymarcadoresparaquecoloquenelnombreenelcuerpogeométricocorre-spondiente.

EVALUACIÓN:

PRIMERA SESIÓN: —Coneltrabajoelaboradoensuscuadernos—Se tomará en cuenta la participación de los niños, su ca-pacidadanalíticayreflexivaenunarúbricadeevaluación.

SITUACIÓN DIDÁCTICA: ADIVINA CUÁL ES. (SESIÓN 2)

ANÁLISIS A PRIORI:

Queelniñonotenga lanociónsobrequeson loscuerposgeométricos.

Que el niño desconozca las características de los cuerposgeométricos.

Quenoexistael interésporpartedelniñoencuantoa lageometría

Norealizar laactividadporfaltadeconocimientosocom-prensión.

Problemasconelnombredelasfiguras—noconocerlas—.Problemasconlacomprensióndelaconsigna.Queelalumnonoaceptelaresponsabilidadenlaconstruc-

cióndelsaberenjuego.Entrelasposiblessolucionesseencuentran:Darunrepasoalnombredefiguras.Darejemplosclarosyprecisosdelaactividadarealizar. Contraejemplos.

PROPÓSITO:

Elobjetivodeestaactividadesqueelalumnopueda identi-ficar y explicitar características de los cuerpos geométricos,además de permitir la incorporación de cierto vocabularioconvencional.

MATERIAL:

• una colección de aproximadamente ocho a diezcuerposgeométricosen3dentrelosquepuedenincluirseuncubo,unprismarectangular,dosprismasnorectangu-lares —hexagonales, triangulares, etc.– una pirámide debasecuadradayotradebaserectangular,uncono,unaes-fera,uncilindro,etc.,detamañoconsiderable• Cuaderno.• Lápiz.• Hojadetrabajo.• Marcadores.• Etiquetasencartulinadecolores.• Láminasdepapel.

PREPARACIÓN DEL MEDIO:

SEGUNDA SESIÓN: se realizará una breve retroalimentaciónsobreloqueseaprendióenlasesiónanterior.

FASE DE ACCIÓN:

SEGUNDA SESIÓN: Se les comentaráque los cuerposgeométricostienencaras,aristas y vértices, demostrándoles visual y físicamente, ex-plicándolescadaunadedichaspartesrespectivamente,estenuevovocabularioseplasmaráenláminasmásadelante.Consigna: Se volverá a realizar la actividad del día anterior,adivinacualesconcuestionesquerespondanasi o nosoloqueestavez seutilizaráelnuevovocabularioaprendido —aras,aristas,vértices—.Sereuniráalosniñosenparejasestratégicamenteyseentre-garálahojadetrabajo1,lacualcontiene10ejercicios:5conmúltiplesgruposdecaracterísticas,laparejatendráqueiden-tificardequefigurasetrata,dibujarlayescribirsunombre,y5conlafiguradibujadayelnombre,laparejatendráqueescribirsuscaracterísticas.Serealizaladevolucióncorrespondiente.

FASE DE FORMULACIÓN:

SEGUNDA SESIÓN: Sedaráuntiempoconsiderableparaquelosniñosrealicenlaactividadenparejas,seesperaqueconfrontensusideasentredosyrealicenlaactividaddeunaformacorrecta.

FASE DE VALIDACIÓN:

SEGUNDA SESIÓN: Validación semántica, se realizará una revisión grupal, el

niñopasaráailustrarsusrespuestasalpizarrón.Validaciónpragmáticapormediodeloscuerposgeométri-

cosqueaúnseencontraránenlamesa,demostraranlasre-spuestasdelosprimeros5ejercicios.

Validaciónsintáctica,serevisarácomoresolvieronelprob-lemayseformalizaráunarespuestaconelprocedimientoy estrategias correcto en caso de que éste no haya sidodescubierto.

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FASE DE INSTITU-CIONALIZACIÓN:

SEGUNDA SESIÓN:una vez validadoel trabajo, conbase a lo aprendido se

reuniráalosniñosenequiposde4personas,sebrindaráunaláminadepapel ymarcadores, los niños elegiránun cuerpogeométrico,lodibujarányanotaránsuscaracterísticas.

EVALUACIÓN: SEGUNDA SESIÓN:—Conlahojadetrabajo.—Conlaelaboracióndelasláminas.

CristinaGriseldaBernalGallegosGriseldaGonzálezArriaga

JesúsManuelMendozaMaldonadoCynthiaFabiolaTorresBarrios

9.ESCRITuRAYFoRMACIóNDoCENTE:LACINTADEMoëBIuS

Elprocesodelaescrituraimplicauncaminocomplejo,laberín-tico, incierto, cargadodebaches,vueltasenu—porqueen

el acto de escritura también existen los retrocesos—, pero almismotiempo se tratadeunactoacompañadodemomentosemotivos.Escribiresunprocesocomplejoquevamásalládelmero acto de describir.Altransitardeltextooralaltextoescritoesposiblemostraraquelloqueexisteennuestropensamiento,laspalabrasnospermitencompartirlosaprendizajes, lasexpe-riencias y las emociones que nos habitan ¿o es al contrario ysomosnosotrosquieneshabitamosenlaspalabras?Laescrituraposibilita comunicarnos, traspasar tiempo, espacio y lugares.La escritura de otros nos acerca con ellos y lo queescribimosnosotros lleva a acercarnos con quienes hipotéticamente nosleeránynospermitiráncompartirnuestrasvivencias.

Lautilizacióndelaexpresiónescritaenlaformacióndocentees una acción que en el discurso curricular fomentamos día adía, empero ¿quéde lo promulgado es ciertamente realidad?,comúnmentedentrodelmapacurricularencontramosespaciosespecíficosparalaproduccióndetextos.Asimismo,enlasdiver-sasasignaturas,solicitaralosprofesoresenformaciónescritosdereflexiónyanálisisconstituyeunaprácticacotidiana.Peroaquíresulta importantesubrayar laesenciadelescribir, talcomo loenunciaCassany(1995),“escribirsignificamuchomásquecono-cerelabecedario,saber«juntar letras»ofirmareldocumento

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deidentidad.Quieredecirsercapazdeexpresarinformacióndeformacoherenteycorrectaparaque laentiendanotrasperso-nas.”Setratadeesculpirconlasgrafíasloquehemosaprendido,queellectorensusoledadadviertaloqueelescritorpretendedaraconoceralsistematizaryformalizarideas,conocimientos,aprendizajes.Losjóvenesnormalistastienenqueapropiarsedelaescrituracomounaherramientaquelesfaciliteidentificarlosprocesosporlosquehanatravesadoydarcuentadeéstosparacompartirlos.Taleselcasodelosescritosqueseencuentranenestelibro,puesellosmuestranloqueson,loquehacen,loquehanaprendidoy lamaneraenquehanvivido laprofesióndo-centeunpuñadodejóvenesnormalistas,específicamenteconlaenseñanzadelasmatemáticas.

Mediante laescrituraesposible informardeaquellassitua-cionessucedidasenlaprácticadocente,desdelasquesoneti-quetadas como costumbres, las que hemos planeado en la utopía de la ejecución ideal de lasmismas, hasta las que hansucedido de manera espontánea, inesperada y que sin dudaprovocanunainestabilidad o incertidumbrequemodificalopre-visto,paraluegoanalizarloquehaocurrido,detectarfortalezasydebilidades,volveravivir losucedido…Taleselprocesoquecaracteriza –—esde nuestro punto de vista— la trayectoria deconvertirseendocente.

Platicarsobreloquelesacontecealosprofesoresenformaciónpuedesersencilloenapariencia,comentaranécdotas,relatarex-periencias,contarhistorias…Pero¿quésucedeenellosyenno-sotroscuandonosenfrentamosalaterradorpapelenblanco?Nosasaltan—¿nosinmovilizan?—lasdudas,losdesafíos,lasinterro-gantes:¿quéescribo?,¿cómolohago?,¿cómoexpresodemaneraefectivaloqueesperoqueellectorconozca?,¿seréacasojuzgado,cuestionado,crucificadoovaloradoporello?,¿dequéformatrans-formoesepapelinerteenmateriadeconocimientoatravésdelaspalabras?...Sindudaelqueescribeexpone y se expone y ello no esfácildeafrontar.Los jóvenesnormalistasnosólosehanplan-teadoéstasyotrasinterrogantesalredactarsusescritos,ademáshanidentificadodiversosobjetivosdelaescrituraensuformación:

¿Para qué escribir?¿De qué forma escribir para expresar lo que pienso?La trascendencia de escribir mis experiencias.La escritura como herramienta esencial en mi formación docente.La importancia de registrar y sistematizar ideas.Como evidencia de las acciones para dar cuenta de lo que he realizado.Identificar momentos que fortalecen o que no se aprovecharon.¿Escribir para mejorar?Autoanálisis de lo realizado.No basta con relatar lo sucedido, sino adentrar al lector a la experiencia vivida.Para comparar, establecer relaciones, similitudes, diferencias entre pares.Para contrastar teoría y práctica.Como incentivo para la búsqueda y también para reconocer mis errores.¿Escribir para mí o para los demás?

Peroladudayperplejidadesinherentealactodeescribir

Los escritores dicen que escriben para que la gente les quiera más, para la posteridad, para despejar los demonios personales, para criticar el mundo que no gusta, para huir de sus neurosis, etc. Yo escribo por todas estas razones y porque escribiendo puedo ser yo misma.

MaríaAntoniaoliver(citadaporCassany,1995,p.12)

Conlaescriturapodemossernosotrosmismosyasuveztransfor-marnos.Despuésdehaberredactadosusexperiencias,lospro-fesoresenformaciónsindudahabránlogradounaprendizaje,habránmodificado supensar, suactuar,en suma, seránotros, hayunantesyundespuésencadaunoapartirdelaescritura.Leeres laotrapartede lamoneda–¿oesunacontinuación?–quecomplementaalaescritura

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Alejado en la paz de estos desiertosCon pocos pero doctos libros juntos

Vivo en conversación con los difuntosY escucho con mis ojos a los muertos

MiguelÁngeldeQuevedo

Esta es una excelente formade sintetizar el proceso de lectu-ra-escritura.Alleeruntextounodialogaconpersonasdeotrasépocasydeotroslugares,leerconllevaescuchar con los ojos, a lavezqueconversarcon los difuntos.Entre laescritura-lecturay la formación docente existe una continuidad que dificulta yvuelve estéril marcar las divisiones, es como la cinta de Moëbius delaquederivanventajasquehayqueaprovechar.

9.1DeloquesigniFicaescribir

Zaratustra está despierto, ¿Qué vas a hacer ahora entre los que duermen?

Nietzsche

Elepígrafenospermiteimaginarunlímiteanteloquelavidanospresenta, un límite alaquí y ahora de nuestro actuar, incluso, ante la influencia cultural que nos inclina a comportarnos y ainterpretarelmundodeunadeterminadaforma.Paraidentificarelrumboaseguiresimportantediscernirelplanoenquecon-vergenlosdilemasdelaeducación,lasparadojasdelaformacióndedocentes,ylossignificadosdenuestraprofesión.

SindudaNietzscheen lapreguntadel epígrafenos invita areflexionar sobre el significado de los constantes cambios dequesomospartícipes.Losalumnossoncomolosprocesadores,estáncambiandoconstantementeycadavezseencuentranenelplanoeducativodistintosejemplares,todoscompatiblesperodiferentesyconcaracteresmuyparticulares,enlosquenecesi-tas despertar—¿Inocular, quizá?— el antivirus contra el con-formismo.Losnuevosdesafíosde la sociedad exigen también

nuevossignificadospara losverbos leer y escribir. Serequiere,además,quevayanacordesalritmodelcrecimientoactual.Haymúltiplesejemplosparaayudarnosaentenderquetenemosquetransformar las formasdeenseñarytrascender la fraseyatantrillada“EstamosenseñandoaleerconprácticasdelsigloXIXalasociedaddelsigloXXI”.

Escribirimplicardiferenciarelmerodescribirynosedigadelsimple, transcribir. Se escribepara comunicar, aunque a veceslaspalabrasnodenenelblanco.Escribirenlossalonesdeclasedeeducaciónprimariaesmuchomásquesubrayarconrojoelsujeto y conazul el predicado.De lamisma forma,durante laformacióninicialdelosprofesoreslaescrituratienequetrascen-derlostrabajosparcialesquetienenunpunto finalenelsentidoquenovuelvenaserretomados,corregidosnileídos.Quizáparacontradecirestoúltimoayudenuntantolosescritosreunidosenestelibro.

Losconceptostienenqueseralgomás,muchomás,queno-ciones para un glosario o posibles respuestas de un examen.Tienenquepermitir ampliar laperspectiva sobre loqueacon-teceenlossalonesdeclase.

Los textos aquí reunidos tratan sobre la enseñanza de lasmatemáticas,esteeselsaberenjuego.Perotambiénestápre-senteelsignificadodelactodeescribirparalosjóvenesenfor-mación. Lodichoy lonodicho.Tenemoscomo formadores, latareadeconstruiralumnosreflexivosquesepandesenvolverseen la vida, capacesde reconocerel impactode susdecisiones¿Llegaremosaconseguiresto?Zaratustraestádespierto.

BIBLIoGRAFíA

Aguayo, Luis Manuel (2004), “Los errores en matemáticas y sus trata-mientosdidácticos”. En:AliciaÁvila (Directora)La reforma realizada. La resolución de problemas como vía del aprendizaje en nuestras es-cuelas,InformesdeInvestigación,TemasPrioritarios,México,DirecciónGeneral de Investigación Educativa de la Subsecretaría de EducaciónBásicayNormal,SEP.

Assude, Teresa et Alain Mercier (2007), “L’action conjointe profes-seur-élèves dans un système didactique orienté vers les mathéma-tiques. En :Gérard Sensevy et Alain Mercier (Dirs.) Agir ensemble. L’action conjointe professeur-élèves,Pressesuniversitaires de Rennes, Collection«Paideia-Éducation,Savoir,Societé».

Ávila, Alicia (2008), “Los profesores y los decimales. Conocimientos ycreencias acerca de un contenido de saber cuasi-invisible”, en: Edu-cación matemática,vol.20,núm.2.México,Santillana.

___(2007),“Enmatemáticas...¿quénosdejaronlasreformasdefindelsi-gloXX?”ConferenciaenlaXIICIAEM,Querétaro,México,juliodel2007.

___ (2006). Transformaciones y costumbres en la matemática escolar, México,Paidós.

___(2004a),La reforma realizada. La resolución de problemas como vía del aprendizaje en nuestras escuelas,AliciaÁvila(Dir.),InformesdeInvesti-gación,TemasPrioritarios,México,DirecciónGeneraldeInvestigaciónEducativadelaSubsecretaríadeEducaciónBásicayNormal,SEP.

___(2004b), “Los decimales como objeto de aprendizaje y enseñanza”,México,uPN,documentonopublicado.

___(2001),“Elmaestroyelcontratodidácticoenlateoríabrousseaunia-na”,en:Educación matemática,vol.13,núm.3,Iberoamérica,México.

___(1999),“Enseñaratravésdelaresolucióndeproblemas:Dificultades,obstáculosyefectosdeunatransposición”,en:Memorias del VII Sim-posio Internacional en Educación Matemática Elfriede Wenzelburger, Iberoamérica,México.

Ávila,AliciaySilviaGarcía (2008),Los decimales: más que una escritura, Colección:Materialesparaapoyarlaprácticaeducativa,INEE,México.

Baldor,Aurelio(1983).La aritmética de Baldor,Madrid,Códice.Ball,Debora(1990),“ProspectiveElementaryandSecondaryTeachers.

understanding of Division”, en: Journal for Research in Mathematics Education, vol.21,núm.2, uSA.

Blanchard-Leville, Claudine (1997) (Coord.), Variations sur une leVon de mathématiques. Analises d’une séquence: L’écriture des grands nom-bres, Francia,Harmatan.

Block, David (2001), La noción de razón en las matemáticas de la es-cuela primaria. Un estudio didáctico, Tesis de Doctorado,México,DIE-CINVESTAV.

___ (1987), Estudio didáctico sobre la enseñanza y el aprendizaje de la noción de fracción en la escuela primaria,TesisdeMaestría,México,DIE-CINVESTAV.

Block,DavidyDianaSolares(2001),“Lasfraccionesyladivisiónenlaes-cuelaprimaria:Análisisdidácticodeunvínculo”,en:Educación Mate-mática, vol.13,núm.2,México,Iberoamérica.

Borges,JorgeLuis(1925),El tamaño de mi esperanza,Argentina,SeixBa-rral.

Bosch,Marianna et Yves Chevallard (1997), «ostensifs et sensibilité auxostensifsdansl’activitémathématique»,Actes de la IXe école d’été de didactique des mathématiques,Houlgate,France,août1997.

Bourdieu,Pierre(2009),Homo academicus,Trad.ArielDilon,México,SigloXXI.

___(1995),“Pensarentérminosrelacionales”,en:Respuestas por una an-tropología reflexiva,México,Ed.Grijalbo.

___ (1993), “Espacio social ypoder simbólico”,en:Cosas Dichas,Argen-tina,Gedisa.

___(1991),El sentido práctico,México,Taurus.___ (1988), “Elespacio social y sus transformaciones”,en: La Distinción.

Criterio y Bases Sociales del Gusto,Madrid,Taurus.Brousseau,Guy(2011),“Lagestiondeséquilibresfondamentauxen1954,

dansuneclasseunique”, en: PaseéetprésentdelaThéoriedesSitua-tionsDidactiques,Bolletinnúm.8, Guy-Brousseau.com,marzode2011.

___(2007),Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas, Argentina,ElZorzal.

___(1998),Théorie des situations didactiques (didactique des mathéma-

tiques 1970-1990),TextesrassemblésetpréparésparNicolasBalachef,MartinCooper,RosamundSutherland,VirginiaWarfiled,Ed.LapenséeSauvage,Grenoble,Francia.

___(1986),“Fundamentosymétodosdeladidácticadelasmatemáticas”,en: Recherches en Didactique des Mathématiques, vol.7,núm.2,Gre-noble,Francia,Trad.deJuliaCentenoPérez,BegoñaMelendoPardosyJesúsMurilloRamón.

Camus,Albert(1952),El mito de Sísifo,España,Morata.Candela,Antonia(1995),“Transformacionesdelconocimientocientíficoen

elaula”,en:ElsieRockwell(Coord.),La escuela cotidiana,México,FCE.Cassany,Daniel(1995),La cocina de la escritura,España,Anagrama.Centeno,Julia(1997),Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué?, Madrid,

Síntesis.___ (1995), La mémoire didactique de l’enseignant, Thèse posthume in-

achevée, Bordeaux, LADIST (Laboratoire Aquitain de Didactique desSciencesetdesTechniques),TextesétablisparClaireMargolinas,Pré-faceetnotesdeGuyBrousseau.

Chamorro,Ma.delCarmen(2006),(Coord.),Didáctica de las matemáticas. Primaria,España,PrenticeHall-Pearson.

Chevallard,Yves(2006),“Formerdesprofesseurs,construirélaprofessiondeprofesseur”,Journées scientifiques sur la formation des enseignants du secondaire,Marsella,Francia,Facultédepsychologieetdessciencesdel’éducation.Sectiondessciencesdel’éducation,universitédeProv-ence.

___(1994),La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado, BuenosAires,AIQuE.

___(1986), “Sur lanotionde tempsdidactique”,Actes de la Ivéme école d’été de didactique des mathématiques et de l’informatique á Orleáns, IREMdeAix-Marsella.

Chevallard,Yves,MariannaBoschy JosepGascón (1998),Estudiar mate-máticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, México,SEP,CooperaciónEspañola.

DeAlba,Alicia(1995)(Coord.),Educación y postmodernidad,México,CE-Su-uNAM,Porrúa.

Dean,Joan(1992),“Losniños”,en:La organización del aprendizaje en la educación primaria,Barcelona,Paidós.

Edwards,Verónica(1995),“Lasformasdelconocimientoenelaula”,en:La escuela cotidiana,ElsieRockwell(Coord.),México,FCE.

Erickson, Frederick (1997), “Métodos cualitativos de investigación sobrelaenseñanza”en:MerlinWittrock, La investigación de la enseñanza II. Métodos cualitativos y de observación, Ecuador-México,Paidós.

EspinosaProa,Sergio(1991),“Lasnupciassospechosas”,en: El deshielo y la nube. Incursiones sobre la Universidad y la crisis de la modernidad, México,Col.Arcano,Alebrije,DosfilosEditores,universidadAutónomadeZacatecas.

GarcíaGonzálezCarlosM.(1996),“TeoríayPrácticadelaetnografía”,Mé-xico,(mecanograma).

GimenoSacristán,José(1997), El curriculum: una reflexión sobre la prác-tica,Madrid,Morata,5ªedición.

__ (1995) Comprender y transformar la enseñanza, Madrid, Morata, 4ª edición.

Giroux,Henry(1992),Teoría y resistencia en educación,México,SigloXXI.Habermas,Jürgen.(1993),Teoría de la acción comunicativa II. Crítica de la

razón funcionalista, México,Taurus.Houdement,Catherine(1995),Projets de formation des maîtres du premier

degré en mathématiques: programmation et strategies, París, Thèsededoctorat,IREMVII.

Jackson,Philiph(1981),La vida en las aulas,Madrid,Morata.Margolinas,Claire(2009),La importancia de lo verdadero y de lo falso en

la clase de matemáticas, Trad.MartínEduardoAcostayJorgeEnriqueFiallo,Colombia,universidadIndustrialdeSantander.

Matheron, Yves (2009),Mémoire et Étude des Mathématiques. Une ap-proche didactique á caractère anthropologique,PressesuniversitairesdeRennes,Collection«Paideia-Éducation,Savoir,Societé».

Mendoza,Jesús(2004),“Lareformacurricularylosproblemasenlaclasedematemáticas”,en:AliciaÁvila(Dir.),La reforma realizada. La resolución de problemas como vía del aprendizaje en nuestras escuelas, InformesdeInvestigación,TemasPrioritarios,México,DirecciónGeneraldeInvesti-gaciónEducativadelaSubsecretaríadeEducaciónBásicayNormal,SEP.

Mercier,AlainyAnnickFluckiger(2002),“Leroled’unmemoiredidactiquedeséléves,sagestiónparleprofesseur,en:Revue Francaise de Péda-gogie,núm.141,octubre-diciembre,Francia.

Mochón,Simón(s/f),Fracciones: algo más que romper un todo, Mé-xico,SeccióndeMatemáticaEducativadelCINVESTAV.

Monsiváis,Carlos(1992),“Cultura:tradiciónymodernidad”,en:México y los cambios de nuestro tiempo,vol. III,ColoquiodeInvierno,México,uNAM-CoNACuLTA-FCE.

Nietzsche,Friedrich(2006),Así habló Zaratustra, Introducción, traducción ynotasdeAndrésSánchezPascual,Madrid,AlianzaEditorial.

Perrin-Glorian,Marie-Jeanne(1994),“Théoriedessituationsdidactiques:naissance,developpement,perspectives”,en:Vingt ans de didactique des mathématiques en France. Hommage á Guy Brousseau et Gérard Vergnaud,Genoble,LapenséeSauvageeditions.

ReyesHeroles,Federico(2000),Memorial del mañana,México,Taurus.Rockwell,Elsie(2009),La experiencia etnográfica. Historia y cultura en los

procesos educativos,México,Paidós.Savater, Fernando (2000), El humanismo impenitente, Barcelona, Ana-

grama.Tomlinson, Carol (2003),El aula diversificada,México,octaedro/SEP, Bi-

bliotecaparalaActualizacióndelMaestro.Vergnaud,Gerard(1990),El niño, las matemáticas y la realidad. Problemas

de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, México,Trillas.

Dulces inquietuDesy amargos Desencantos

en la construcción De un oficiode Jesús Manuel Mendoza Maldonado,

CristinaGriseldaBernalGallegos,GriseldaGonzálezArriagayCynthiaFabiolaTorresBarrios(coordinadores).Seterminódeeditarenelmesdeagostode2014,

enlostalleresgráficosdeSignoImagen.Teléfono(449)9227806.

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