13/11/2013
1
STATISTIK INDUSTRI 1
Agustina Eunike, ST., MT., MBA
Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Peluang Kontinyu
β’ Rata-rata dan Variansi
β Rumus Umum:
UNIFORM Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu
Distribusi Diskrit Uniform
Distribution Random Variable X
Possible Values of X
Distribution Function
Fx(a) = P(X=a)
Mean E(X)
Uniform Realization of π₯1 , π₯2 ,β¦ , π₯π
π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π 1/π
π:π2
Distribusi Diskrit Uniform
β’ Contoh: β Suatu bacth produk terdiri dari nomor serial, dengan
nomor urut pertama terdiri dari 0 sampai dengan 9. Jika salah satu produk diambil secara acak, maka X adalah munculnya nomor serial dengan angka pertama tersebut masing-masing nomor (R={0,1,2,...,9) memiliki peluang 0,1.
π π₯ =1
10= 0,1
π = (9:0)2 <4,5
π2 = (9;0:1)2;112
<8,25
13/11/2013
2
Distribusi Kontinyu Uniform Distribusi Kontinyu Uniform
β’ Contoh: β Variabel acak kontinyu menotasikan pengukuran arus pada
kawat tembaga dalam miliamper. Jika diketahui bahwa f(x)=0,05 untuk 0 β€ x β€ 20. Berapakah peluang pengukuran arus berada antara 5 dan 10 mA.
β π 5 < π < 10 = π π₯ ππ₯ = 5 0,05 = 0,2510
5
β Rata-rata dan Variansi distribusi uniform arus kawat tembaga: a=0, b=20 β’ π = πΈ π = (0+20)
2= 10ππ΄
β’ π2 = π π = (20β0)2
12= 33,33 ππ΄
β’ π = 5,77 ππ΄
NORMAL Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Normal
β’ Gaussian distribution (Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)
β’ Bell-shaped curve
β’ Probability density function:
β π π₯; π, π = 1
2πππβ
1
2π2(π₯βπ)2,
β ββ < π₯ < β
β π = 3,14159 β¦
β π = 2,71828 β¦
Distribusi Normal Distribusi Normal β’ Area dalam Kurva Normal
13/11/2013
3
Distribusi Normal β’ Area dalam Kurva Normal
Distribusi Normal
β’ Standard Distribusi Normal:
β Kurva normal yang telah di-standarisasi dan menggambarkan nilai standar deviasi dari nilai rata-rata.
β ππππ = 0, πππππππ π = 1. π(0,1). β π: ππππππ ππππππ π£πππππππ ππππππ ππππ = 0, πππ π£ππππππ π = 1
π =π β π
π
π§1 =π₯1 β π
π
π§2 =π₯2 β π
π
Distribusi Normal Distribusi Normal β’ Menggunakan Tabel
Distribusi Normal Standar
Distribusi Normal β’ Contoh Soal
β Suatu perusahaan generator menghitung berat salah satu komponennya. Berat komponen tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 35 gram, dan standard deviasi 9 gram.
1. Hitung probabilitas bahwa satu komponen yang diambil secara acak akan memiliki berat antara 35 dan 40 gram?
2. Berapa peluang pengambilan acak satu komponen dengan berat paling ringan 50 gram?
β’ JAWAB:
1. π ππ β€ π± β€ ππ :
β π₯ = 40 ππππ,
π§ =π₯ β π
π=
40 β 35
9= 0,56, π π β€ 0,56 = 0,7123
β π₯ = 35 ππππ,
π§ =π₯ β π
π=
35 β 35
9= 0, π π β€ 0 = 0,5
β π 35 β€ π₯ β€ 40 = π 0 β€ π§ β€ 0,56 = 0,7123 β 0,5 = 0,2123
Distribusi Normal β’ Contoh Soal
13/11/2013
4
Distribusi Normal
β’ Latihan Soal:
β Nilai ujian fisika di sebuah kelas terdistribusi secara normal dengan rata-rata 60 dan standar deviasi 10. Berapa persen siswa yang memperoleh nilai antara 60 dan 70?
Distribusi Normal β’ Menghitung nilai π₯
π§ =π₯ β π
π, ππππ π₯ = π§π + π
β’ Contoh:
β Diketahui suatu distribusi normal dengan π = 40 dan π = 6. Carilah nilai π₯, yang memiliki:
a. 45% area dari sisi kiri
b. 14% area dari sisi kanan
Jawab:
a. π π β€ π§ = 0.45, π§ = β0,13 π₯ = 6 β0,13 + 40 = 39,22
Distribusi Normal
β’ Latihan Soal:
β Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?
Distribusi Normal
β’ Central Limit Theory
β’ Menyelesaikan permasalahan binomial dengan distribusi normal
GAMMA Distribusi Peluang Kontinyu
β’ Diaplikasikan pada masalah antrian dan masalah keandalan (reliabilitas).
β’ Time / space occuring until a specified number of Poisson events occur
β’ Fungsi gamma:
β’ Properti fungsi gamma:
Distribusi Gamma
13/11/2013
5
β’ Fungsi distribusi gamma:
β π½:π€πππ‘π’ πππ‘π β πππ‘π πππ‘ππ ππππππππ
β πΌ: ππ’ππππ ππππππππ π¦πππ π‘ππππππ ππππ‘π’ππ’π‘ππ ππππ π€πππ‘π’/ππ’πππ π‘πππ‘πππ‘π’
β Ξ»: ππ’ππππ ππππππππ πππ π’πππ‘ π€πππ‘π’/ππ’πππ (Ξ» = 1/π½)
β π₯: πππππ ππππππ π£πππππππ (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya)
Distribusi Gamma
πΌ: πππππππ‘ππ ππππ‘π’π; π½: πππππππ‘ππ π ππππ
Distribusi Gamma β’ Rata-rata dan Variansi:
β’ Jika π1 dan π2 adalah variabel acak yang independen, dan π1~ πΊππππ (πΌ1, π½); π2~ πΊππππ (πΌ2, π½), maka π1 +π2~ πΊππππ (πΌ1 + πΌ2, π½)
β’ Sehingga, jika ππ~ πΊππππ πΌπ , π½ , πππ π =1, β¦ , π, maka (π1 +β―+ ππ)~ πΊππππ (πΌ1 +β―+ πΌπ , π½)
EKSPONENSIAL Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Eksponensial β’ Bentuk khusus dari distribusi peluang gamma (πΌ = 1)
β’ Time to arrival or time to first poisson event problems
β’ Diaplikasikan pada permasalahan waktu antar kedatangan pada fasilitas jasa, life time / waktu kegagalan komponen, survival time, dan waktu respon komputer
Distribusi Eksponensial
β’ Eksponensial menganut proses Poisson (Ξ»: laju kedatangan)
β’ π~πΈπ₯π Ξ» :
π π β₯ π = Ξ»π;Ξ»π₯ ππ₯β
π
= π;Ξ»π
π =1
Ξ»; π2 = 1/Ξ»2
β Ξ» = 1/π½
β’ Karakter penting: memoryless property
β Pada permasalahan life time (hingga terjadi break down / failure / kerusakan), misal life time dari lampu, TV, kulkas
β’ Kerusakan yang diakibatkan oleh pemakaian berkala (misal
pemakaian mesin), tidak berlaku distirbusi eksponensial. Lebih tepat menggunakan distribusi GAMMA atau distribusi WEIBULL
13/11/2013
6
Contoh: Gamma Contoh: Gamma
Contoh: Gamma β’ Dari Tabel:
Contoh: Eksponensial β’ Jumlah telpon masuk pada nomor darurat 119 pada suatu kota diketahui
berdistribusi Poisson dengan rata-rata 10 telpon per jam. Jika saat ini dilakukan pengamatan, berapakah peluang telpon masuk terjadi paling cepat 5 menit dari sekarang?
β π = 10 π‘πππππ πππ πππ = 10/60 π‘πππππ πππ πππππ‘
β π½ = 1/Ξ» = 6 menit per telpon
β π π β₯ π = π;Ξ»π
β π π β₯ 5 = π;(1
6)(5) = 2,71828;0,833 = 0,4347
X = menit antar telp ke 119
Rangkuman
Distributions with Parameters
Possible Values of X Density Function π π
Normal (π, π2) ββ < π < β 1
2πππβ
12π2(π₯βπ)2
Exponential (Ξ») 0 < π Ξ»π;Ξ»π₯
Gamma (πΌ, π½) 0 < π 1
Ξ(πΌ)π½πΌπ₯πΌ;1π;π₯/π½
Note:
π(π₯) = π π π π CHI-SQUARED Distribusi Peluang Kontinyu
13/11/2013
7
Distribusi Chi-Squared
β’ Distribusi gamma dengan Ξ± = Ξ½/2 dan π½ = 2 β’ Ξ½: degrees of freedom (derajat kebebasan), positive integer
β’ Density Function:
π π₯; Ξ½ = 1
2Ξ½/2Ξ(Ξ½/2)π₯(Ξ½/2);1π;π₯/2, π₯ > 0
0, πππ ππ€ππππ
β’ Mean dan Variansi:
π = Ξ½ dan π2 = 2Ξ½
Distribusi Chi-Squared
β’ Di suatu kota, pemakaian tenaga listrik harian dalam jutaan kilowatt-jam, variabel acak π berdistribusi gamma dengan π = 6 dan π2 = 12. a. Cari nilai πΌ dan π½ b. Cari peluang suatu hari tertentu pemakaian harian tenaga listrik
akan melebihi 12 juta kilowatt-jam
β’ Jawab: a. Ξ± = Ξ½/2, Ξ½ = ΞΌ = 6, Ξ± =
6
2= 3, π½ = 2
b. P X > 12 = 1 β 1
23
1
Ξ 3π₯2π
βπ₯2
12
0
P X > 12 = 1 β 1Ξ 3
π¦2πβπ¦
6
0
P X > 12 = 1 β F 6; 3 = 1 β 0.9380 = 0.0620
BETA Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Beta β’ Pengembangan dari distribusi uniform β’ Distribusi kontiyu yang fleksibel tetapi terbatas pada suatu range
tertentu. Misal: proporsi radiasi matahari yang diserap oleh suatu material, waktu maksimal untuk menyelesaikan suatu proyek
β’ Fungsi Beta:
π΅ πΌ,π½ = π₯πΌ;1(1 β π₯)π½;1ππ₯ =Ξ(πΌ)Ξ(π½)
Ξ(πΌ + π½), πππ πΌ, π½ > 0
1
0
Dengan parameter: πΌ > 0, π½ > 0
β’ Density Function:
π π₯; Ξ½ = 1
π΅(πΌ,π½)π₯πΌ;1(1 β π₯)π½;1, 0 < π₯ < 1
0, πππ ππ€ππππ
β Catatan: distribusi uniform (0,1) adalah distribusi beta dengan parameter πΌ = 1, π½ = 1
β’ πΌ = π½, distribusi beta akan berbentuk simetris
Distribusi Beta Distribusi Beta β’ Mean dan Variansi:
π =πΌ
πΌ:π½ dan π2 =
πΌπ½
πΌ:π½ 2 πΌ:π½:1
β Modus:
π =πΌ β 1
πΌ + π½ β 2
β Distribusi uniform (0,1), mean dan variansi:
π =1
1:1=
1
2 dan π2 =
(1)(1)
1:1 2 1:1:1=
1
12
13/11/2013
8
Distribusi Beta
β’ Jika diketahui waktu maksimum penyelesaian suatu proyek berdistribusi beta dengan πΌ = 3, dan π½ = 1. a. Berapakah peluang waktu penyelesaian melebihi 0.7?
b. Berapa rata-rata dan variansi distribusi tersebut?
β’ Jawab:
a. P X > 0.7 = Ξ(Ξ±:Ξ²)
Ξ(Ξ±)Ξ(Ξ²)xΞ±;1(1 β x)Ξ²;11
0.7
P X > 0.7 = Ξ(4)
Ξ(3)Ξ(1)x2(1 β x)0
1
0.7
P X > 0.7 = 246
13π₯3
10.7
= 4 β 0.219 = 0.876
b. Rata β rata = 0.75; Variansi = 0.0375
Referensi
β’ Montgomery, D.C., Runger, G.C., Applied Statistic and Probability for Engineers, 5th ed, John Wiley & Sons, Inc., NJ, 2011
β’ Walpole, Ronald B., Myers, Raymond H., Myers, Sharon L., Ye, Keying, Probability & Statistics for Engineers and Scientist, 9th ed, Prentice Hall Int., New Jersey, 2012.
β’ Weiers, R.M., 2011, Introduction to Business Statistics, Cengage Learning, OH, 2008.