Obsah
Kmitavy pohyb
Kinematika kmitaveho pohybu
Skladanı kmitu
Dynamika kmitaveho pohybu
Premeny energie v mechanickem oscilatoru
Nucene kmity
Kmitavy pohyb
Jake pohyby zname?
Typy pohybu
I klid
I prımocare (rovnomerny, rovnomerne zrychleny)
I po kruznici
Pri vsech techto pohybech ma pusobıcı sıla stalou velikost.
Kmitavy pohyb
Kmitavy pohyb
I pohyb kolem stabilnı rovnovazne polohy
I vznika (malym) vychylenım pusobenım sıly, ktera se telesosnazı vratit zpet
Muze byt periodicky i neperiodicky. (Napr. netlumene vs.tlumene kmitanı pruziny.)
Periodicky pohyb — teleso ma po urcite dobe (periode)stejnou polohu, rychlost, zrychlenı, ...Periodicky dej — fyzikalnı veliciny, ktere jej charakterizujı,majı po urcite dobe (periode) stejne hodnoty.
Kmitavy pohyb
Mechanicky oscilator
I libovolne mechanicke zarızenı, ktere kona kmitavy pohyb”bez vnejsıho pusobenı”
Prıklady
I pruzina
I kyvadlo
I kulicka v jamce
I boje ve vode
I ...
Kmitavy pohyb
Casovy diagram
I vyjadrenı polohy telesa jako funkce casu
Prıklady
I harmonicke kmitanı (”funkce sinus”)
I pilovite kmity (”vytah”)
I obdelnıkove kmity (”svıtı/nesvıtı”)
I ...
Kinematikakmitaveho pohybu
Kinematika kmitaveho pohybu
Rovnomerny / nerovnomerny ?
I Kmitavy pohyb je vzdy nerovnomernyTeleso se musı neustale vracet do rovnovazne polohy,menı se tedy orientace i velikost jeho rychlosti
Prımocary / krivocary ?
I my se budeme zabyvat predevsım prımocarym kmitanım
I kazde jine se z nich da poskladat podle principusuperpozice
Dale se budeme zabyvat pouze periodickym kmitavympohybem.
Kinematika kmitaveho pohybu
Kmit
I cast pohybu, behem ktere kmitajıcı teleso dospeje dostejne polohy (se stejnou rychlostı, zrychlenım, ...)
Pozor, behem jednoho kmitu pruzina projde stejnou polohoudvakrat!
Perioda T / Frekvence f
I Perioda = doba jednoho kmitu (jednotkou je sekunda)
I Frekvence = pocet kmitu za jednu sekundujednotka s−1 = Hz [hertz]
f =1
T
Kinematika kmitaveho pohybu
Velikost frekvence ruznych deju mohou byt znacne odlisne.
Frekvence ruznych deju
I sekundove kyvadlo (1 Hz)
I komornı ”A” (440 Hz)
I mobilnı sıte (900, 1800 Mhz)
I procesor pocıtace (3 GHz)
I viditelne svetlo (cca 3,9 - 7,9 . 1014 Hz)
Kinematika kmitaveho pohybu
(okamzita) vychylka (elongace)
I vztaznou soustavu obvykle spojujeme s polohou tezistekmitajıcıho telesa v rovnovazne poloze
I vychylkou rozumıme polohu teziste kmitajıcıho telesa vteto vztazne soustave
Pro prımocare kmitajıcı oscilator (napr. pruzinu) je urcenajedinou souradnicı y
I |y | urcuje vzdalenost od rovnovazne polohy
I podle znamenka y muzeme urcit, na kterou stranu jeoscilator vychylen
amplituda vychylky
I maximalnı kladna hodnota vychylky
Kinematika kmitaveho pohybu
Harmonicky kmitavy pohyb
I Jako harmonicky kmitavy pohyb (tez harmonicke kmitanı)oznacujeme takovy kmitavy pohyb, kdy je vychylkaurcena funkcı sinus
y = ym · sin(ωt + ϕ0)
I Velicine ω se rıka uhlova frekvence.
ω = 2πf =2π
T[ω] = s−1 = rad . s−1
I Velicine ϕ = (ωt + ϕ0) se rıka faze, ϕ0 je pocatecnı faze.
Harmonicky kmitavy pohyb dostaneme promıtanımrovnomerneho pohybu po kruznici do svisle roviny.
Kinematika kmitaveho pohybu
Vyznam faze a pocatecnı faze
I faze jednoznacne urcuje polohu telesa
I nenulova pocatecnı faze indukuje, ze cas zacıname meritv okamziku, kdy teleso nemusı byt v rovnovazne poloze(pokud ϕ0 6= 2kπ, kde k je cele cıslo).
Specialnı prıpady:ϕ0 = 0 ... rovnovazna polohaϕ0 = π
2... jedna krajnı poloha
ϕ0 = π ... rovnovazna poloha, teleso z nı ale vychazı opacnymsmerem nez vyseϕ0 = 3π
2... druha krajnı poloha
Kinematika kmitaveho pohybu
UlohaNapiste rovnici harmonickych kmitu hmotneho bodu samplitudou 1,5 cm, periodou 0,2 s a nulovou pocatecnı fazı.
UlohaRovnice harmonickych kmitu ma tvar
y = 5, 0 · 10−3 sin(4π{t}) cm.
Urcete amplitudu vychlky, uhlovou frekvenci, frekvenci aperiodu kmitaveho pohybu.
Kinematika kmitaveho pohybu
UlohaHarmonicke kmitanı je urceno vztahem
y = 2, 0 sin(π{t}) cm
Urcete periodu kmitanı a vsechny casy behem prvnı periody,kdy je teleso vzdaleno na 1,0 cm od rovnovazne polohy.
Kinematika kmitaveho pohybu
Rychlost a zrychlenı harmonickeho kmitanı(odvozenı pres kruznici)
v = ωym cos (ωt + ϕ0)
a = −ω2ym cos (ωt + ϕ0) = −ω2y
Amplitudyvm = ωym
am = ω2ym
Rychlost je maximalnı pri pruchodu rovnovaznou polohou,nulova v krajnıch polohach.Zrychlenı je maximalnı v krajnıch polohach, nulove vrovnovazne poloze.Zrychlenı je prımo umerne vychylce a ma opacny smer.
Kinematika kmitaveho pohybu
Harmonicka velicinalibovolna velicina, ktera ma sinusovy prubeh (napr. vychylka,rychlost, zrychlenı kmitaveho pohybu)
Fazovy rozdılRozdıl fazı dvou harmonickych velicin. Mohou se tykat ruznychvelicin u stejneho pohybu:
I mezi vychylkou a rychlostı je fazovy rozdıl π/2 (odvodit)
I mezi vychylkou a zrychlenım je fazovy rozdıl π (odvodit)
Mohou se take tykat ruznych pohybu: pri skladanı dvoukmitavych pohybu je pro vyslednou vychylku dulezity fazovyrozdıl vychylek obou kmitavych pohybu.
Poznamka – fazor a fazorovy diagram.
Skladanı kmitu
Skladanı kmitu v temze smeru
Princip superpozice pro kmityJestlize hmotny bod kona soucasne nekolik harmonickychkmitavych pohybu tehoz smeru s vychylkami y1, y2, . . ., yk , jevychylka vysledneho kmitanı
y = y1 + y2 + . . . + yk
(Obdobny vztah platı pro rychlost a zrychlenı.)
Skladanı kmitu v temze smeru
1. Skladanı izochronnıch kmitu (o stejne amplitude)izochronnı kmity – kmity stejne frekvence
y1 = ym sin(ωt + ϕ01)
y2 = ym sin(ωt + ϕ02)
Kmity majı stejnou amplitudu a stejnou (uhlovou) frekvenci,mohou mıt ale rozlisnou pocatecnı fazi. Na fazovem rozdıluzavisı amplituda vyslednych kmitu.
y = y1 + y2 = 2ym cosϕ01 − ϕ02
2sin
(ωt +
ϕ01 + ϕ02
2
)
Skladanı kmitu v temze smeru
2. Skladanı izochronnıch kmitu (obecne)Obecneji platı: Skladanım izochronnıch kmitu stejnehosmeru vznika harmonicke kmitanı teze frekvence. Jehoamplituda zavisı na fazovem rozdılu obou slozek.
I 1. specialnı prıpad: ∆ϕ = 2kπ (kmity majı stejnou fazi)
ym = ym1 + ym2
I 2. specialnı prıpad: ∆ϕ = (2k + 1)π (majı opacnou fazi)
ym = |ym1 − ym2|
Pri rovnosti amplitud dojde k vzajemnemu utlumenı.
Skladanı kmitu v temze smeru
Skladanı neizochronnıch kmituVzdy vznika pohyb, ktery nenı harmonicky.
I v prıpade, ze frekvence jsou soudelne, vznika pohyb,kteremu rıkame slozene kmitanı. (graf)
I v prıpade, ze frekvence jsou nesoudelne, vznikaneperiodicky pohyb
I v prıpade, ze frekvence jsou si velmi blızke (a amplitudastejna), vznikajı razy.
y1 + y2 = ym sin(ω1t) + ym sin(ω2t) =
= 2ym cos
(ω1 − ω2
2t
)sin
(ω1 + ω2
2t
)Graf! Vyznam pro merenı frekvencı. Zazneje.
Skladanı kolmych kmitu
Skladanı kolmych kmituVznikajı obrazce.
I stejne frekvence (usecka, elipsa, kruznice)
I soudelne frekvence (Lissajousovy krivky)
I nesoudelne frekvence (otevrene krivky)
Dynamikaharmonickeho kmitanı
Dynamika kmitaveho pohybu
Zrychlenı...
a = −ω2y
... odpovıda sıla
F = −mω2y
I pohybova rovnice oscilatoru
I sıla je prımo umerna vychylce a je oproti nı opacneorientovana
Dynamika kmitaveho pohybu
Kazda sıla, jejız velikost je prımo umerna vychylce avuci nı opacne orientovana, zpusobuje harmonickekmitanı telesa.
I nucene kmitanı (sıla je dana zvnejsku)
I vlastnı kmitanı (sıla je urcena parametry oscilatoru)
Jak urcit (uhlovou) frekvenci vlastnıch kmitu?
F = −mω2y
I Jestlize umıme urcit sılu v prıpade konkretnıho oscilatoruz jeho parametru (tuhost pruziny, delka kyvadla, ...), pakumıme take urcit frekvenci vlastnıch kmitu.
Dynamika kmitaveho pohybu
Pruzina (obrazek!)Po zavesenı zavazı o hmotnosti m se pruzina prodlouzı o delku∆l a zustane v klidu. Prodlouzenı uvazujeme elasticke, podleHookova zakona tedy prımo umerne pusobıcı sıle. Platı tedyF = k∆l a F + FG = 0, tj.
k∆l − mg = 0.
Pri malem vychylenı y z rovnovazne polohy pusobı na zavazısıla
F = Fp + FG = k(∆l − y) − mg = −ky
(Pozor na znamenka!!)
I k je tzv. tuhost pruziny
Dynamika kmitaveho pohybu
PruzinaZjistili jsme, ze pokud k je tuhost pruziny a m hmotnostzaveseneho telesa (a vlastnı hmotnost pruziny zanedbavame),pak
F = −ky (pruzina)
F = −mω20y (kmitanı)
odkud vyplyva, ze uhlova frekvence (vlastnıch) kmitu je
ω20 =
k
m
Odtud
ω0 =
√k
m, f0 =
1
2π
√k
m, T = 2π
√m
k
Dynamika kmitaveho pohybu
Jestlize je na (nehmotnou) nit’ delky l zaveseno zavazı a(malo) vychyleno z rovnovazne polohy, zacne konat (priblizne)harmonicky kmitavy pohyb. Vychylka nesmı presahnout uhelcca 5◦.
Matematicke kyvadlo (obrazek a odvozenı!)
ω0 =
√g
l, f0 =
1
2π
√g
l, T = 2π
√l
g
UlohaUrcete delku sekundoveho kyvadla. (Doba kyvu = polovicnıperioda = 1 s.)
Poznamka o fyzikalnıch kyvadlech.
Dynamika kmitaveho pohybu
Uloha – jiny typ oscilatoruUrcete uhlovou frekvenci (frekvenci, periodu) malych kmituhomogennı krychlove boje o hrane a plovoucı ve vode, jestlizema morska voda hustotu %.
Premeny energie
Premeny energie
I kmity netlumene(idealnı nebo s kompenzacı odporovych sil)
I kmity tlumene
Premeny energie pri netlumenem vlastnım kmitanı
I kineticka energie oscilatoru Ek = 12mv 2
I maximalnı v rovnovazne polozeI nulova v krajnıch polohach
I potencialnı energie oscilatoru Ep = 12ky 2
Je rovna praci potrebne na prekonanı sıly pusobıcıkmitavy pohyb pri vychylenı z rovnovazne polohy ovychylku y . (odvozenı z grafu!)
I maximalnı v krajnıch polohachI nulova v rovnovazne poloze
Premeny energieCelkova mechanicka energie vlastnıch kmituoscilatoru
E = Ep + Ek
E =1
2ky 2 +
1
2mv 2
V krajnı poloze je
E = Ep =1
2ky 2
m
V rovnovazne poloze je
E = Ek =1
2mv 2
m
Pri netlumenem kmitanı se mechanicka energie zachovava vprubehu celeho deje (vypocet!)
Premeny energie
Tlumene kmity
I zmensuje se mechanicka energie oscilatoru
I prodluzuje se perioda kmitu
Pri prılis velkem tlumenı telesu nemusı udelat ani jeden kmit.Pri tzv. kritickem tlumenı se z krajnı polohy vratı dorovnovazne a zustane tam. (Zavıranı dverı.)
Nucene kmity.Rezonance
Nucene kmity. Rezonance
Nucene harmonicke kmitanı
I je zpusobeno vnejsı silou, ktera ma harmonicky prubeh
F = Fm sin(ωt)
I oscilator pak vzdy kmita s uhlovou frekvencı ωvnejsıho pusobenı
I tato frekvence ω muze byt v zasade libovolna
I obecne je tedy frekvence ω ruzna od frekvence vlastnıchkmitu ω0
I nucene kmitanı je vzdy netlumene
Vlastnosti kmitajıcıho objektu neovlivnı frekvenci, ale zatovyznamne ovlivnujı amplitudu nucenych kmitu.
Nucene kmity. Rezonance
Rezonance
I v prıpade, ze nutıme kmitat mechanicky oscilator, skladajıse jeho vlastnı kmity a nucene kmity
I rezonancnı krivka – zavislost amplitudy vyslednychkmitu na frekvenci nucenych kmitu
I rezonance – pokud ω = ω0 (frekvence nucenych avlastnıch kmitu se shoduje), dochazı k velkemu zvetsenıamplitudy (teoreticky neomezenemu, ovsem realne nikolivdıky vsudyprıtomnemu tlumenı).
Nucene kmity. Rezonance
Rezonance (matematicke oduvodnenı)
ma = −ky + Fm sin ωt
−mω2ym sin ωt = −kym sin ωt + Fm sin ωt
Odtud vyplyva, ze
ym =Fm
m
1
ω20 − ω2
Nucene kmity. Rezonance
Vyznam rezonanceMalou, periodicky pusobıcı silou, lze dosahnout velkehozvetsenı amplitudy kmitu.
Houpacka – lze ji znacne rozhoupat i malymi presuny teziste.Poznamka o sprazenych kyvadlech (rezonance jakomechanismus prenosu energie).Hudebnı nastroje.Elektricka rezonance.Nezadoucı rezonance (turbıny, mosty, ...)