Eindhoven University of Technology
MASTER
De dynamica van een zonnecollector
van Gerwen, J.F.W.
Award date:1988
Link to publication
DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
NR-1489E (1987-12-14) J.F.W. van Gerwen
DE DYNAMICA VAN EEN ZONNECX>LLECfOR
J.F.W. vanGerwen
Afstudeerdocent: Prof. 0. Rademaker
Afstudeerbegeleider: Ir. G. De!cker
e 3 man: Ir. A.M.M. Bottram
Ik wil iedereen in de vakgroep systeem- en regeltechniek bedanken voor
de steun en de adviezen en met de name de heren Dekker en Bottram voor
hun medewerking en geduld. Verder mijn broer Rob en mijn vriendin Maya
voor de hulp bij typ- en layoutwerk van dit verslag.
1
SAMENVATTING
In deze studie is gekeken naar de dynamische gedragingen van een
zonnecollector. Hiertoe zijn eerst differentiaalvergelijkingen
afgeleid. Vervolgens zijn deze omgerekend en gesegmenteerd. Hoewel het
probleem in · deze vorm geïmplementeerd kan worden op een analoge
rekenmachine maakt linearisatie het probleem inzichtelijk en laat het
vergel ijk met een electrisch analogon toe. De uit de 1 inearisatie
voortvloeiende werkpuntsvoorwaarden zijn vergeleken met de klassieke
quasi-statische collectorvergelij-king waaruit bleek dat de
verliesfactor van een collector, U, niet constant is bij veranderende
omgevingsvariabelen.
Laplace-transformatie van de gelineariseerde vergelijkingen toonde aan
dat een collector een stabiel systeem is. Met de simulator zijn
overdrachten bepaald van in- naar uitgangsvariabelen die alle goed
benaderbaar bleken door eerste en tweede orde overdrachtsfuncties al
dan niet met looptijd. Voor regeling van een co~lector wordt gekozen
voor de flow als regelgrootheid. Omdat de overdrachtsfunctie van f
naar uitgangstemperatuur geen looptijd kent is de collector zeer
geschikt voor regeling door een eenvoudige proportionele regelaar.
2
INHOUDSOPGAVE
Titelpagina pag. 1
Samenvatting pag. 2
Inhoudsopgave pag. 3
Hoofdstuk I Inleiding pag. 4
Hoofdstuk II Modelvorming pag. 9
Hoofdstuk III: Analoge simulatie pag. 30
Hoofdstuk IV : Bepaling van de overdrachtsfuncties en
resultaten van de analoge simulatie pag. 47
Hoofdstuk V Regeling en sturing pag. 66
Hoofdstuk VI Conclusies pag. 77
Appendix A Tabellen pag. 78
Appendix B Grafieken pag. 86
Appendix C De werking van de analoge computer pag. 97
Appendix D Afleiding van de lineaire vergelijkingen
en de bijbehorende werkpuntsvoorwaarden pag. 101
Appendix E Afleiding van de overdrachtsfuncties pag. 108
Appendix F Literatuurlijst pag. 118
Appendix G Symbolenlijst pag. 120
3
I INLEIDING
1 . Ach tergronden en aannames
Studies over de regeling en sturing van zonnecollectorsystemen maken
in meerderheid gebruik van de quasi-statische collectorvergelijking.
Deze luidt als volgt:
T w,N I.l
Hierbij is U een verliesfactor van de collector. H wordt gegeven door
de volgende vergelijking:
H = e
U B L
1 F w I.2
Deze aanpak verwaarloost dynamische effecten van de collector. Een van
de verschijnselen die samenhamgt met de dynamica van de collector is
het zogenaamde 'Hik'-gedrag, een inschakelverschijnsel van aan-uit-
geregelde zonnecollectorsystemen. Het is daarom zinvol een studie te
maken van de collectordynamica.
Voor de berekening van het temperatuurverloop in een zonnecollector
l) Voor de verklaring van de symbolen zie appendix G.
4
heeft de Ron, uit voorafgaand werk van o.a. Van Koppen, Rademaker en
Veltkamp (Lit. 10, 15), een stelsel vergelijkingen afgeleid. Dit model
gaat uit van een aantal aannamen ten aanzien van de collector en wel
de volgende:
er is geen warmtestroom in de breedterichting van de collector
d.w.z. de temperatuur in de breedterichting van de plaat en het
glas is constant
er is geen warmtegeleiding in de lengterichting van de collector
in plaat en glas
in het water vindt slechts convectief warmtetransport plaats
de collector is aan zij- en onderkant perfect geïsoleerd
de hemel wordt beschouwd als een zwart lichaam voor langgolvige
straling met equivalente temperatuur
de warmtecapaciteit van de luchtspleet
absorptieplaat wordt verwaarloosd
tussen het glas en de
ten
warmtecapaciteiten van glas- en absorptieplaat
de fysische eigenschappen
vermogen,warmtecapaciteit,dichtheid
verondersteld
zoals
e.d.
opzichte van de
warmtegeleidings-
worden constant
bij gebruik van een buis met antivries (glycol) wordt de
warmteweerstand tussen antivries en water verwaarloosd.
5
2. Vergeli jki·ngen
In figuur I .1 is een dwarsdoorsnede getekend van een collector per
oppervlakteëenheid. De vergelijkingen die de energiebalansen weergeven
zien er als volgt uit:
dT c~=Q-Q
g dt ag gp
voor de glasplaat.
C dTP = Q +Q -Q p d"t" ap gp pw
voor de collectorplaat.
C dTw Q F dT = pw-1w w w d"t" B dx
voor het water.
!.3
!.4
!.5
De warmtestromen uit deze vergelijkingen zijn veelal ingewikkelde
functies van temperatuur, zonnestraling en windsnelheid. Deze relaties
alsmede uitdrukkingen voor 'de diverse constanten komen verder in
hoofdstuk II aan de orde.
6
~p
Figuur I.l: Een doorsnede van de collector en de warmtestromen.
7
3. Technieken
Voor de bestudering van de dynamica komen naast daadwerkelijke
experimenten drie methodes in aanmerking:
1. Simulatie op een digitale rekenmachine
2. Simulatie op een analoge rekenmachine
3. Simulatie met een RC-netwerk
4. Metingen aan een zonnecollector
De eerste methode, zoals die o.a. is uigevoerd is door v.d. Wilk (Lit.
18) heeft als nadeel dat deze ingewikkeld is en niet snel inzicht
verschaft. Linearisatie maakt het probleem toegankelijk voor de tweede
en derde methode die relatief snel, eenvoudig en inzichtelijk zijn.
Nadere vergelijking van deze twee methoden komt in hoofdstuk IV aan de
orde. Aan de laatste methode kleeft het probleem dat men geen enkele
invloed heeft op het gedrag van en de variaties in de omgevings
variabe~~r.. Bovendien zit men vast aan één systeem en vaste
parameters.
8
I I MODELVORMING
1. De complete collectorvergelijkingen
Allereerst worden de uitdrukkingen voor de warmtestroming zoals
gegeven in de vergelijkingen 1.3, 1.4, en 1.5 uitgewerkt volgens de
methode van de Ron {Lit 4, 10, 15). Later worden wijzigingen
aangebracht, daar waar die vereenvoudiging of een grotere nauw-
keurigheid tot gevolg hebben.
De eerste uitdrukking luidt als volgt:
Q =a Q +c a (T 4-T 4}+(5.68+3.74 V){T -T) ag z g s g a g I I. 1
In deze vergelijking drukken de termen in het rechterlid
achtereenvolgens uit per oppervlakteëenheid:
het door het glas geabsorbeerde deel van het door de zon
ingestraalde vermogen
het naar de hemel afgestraalde vermogen
het verlies door {in dit geval) gedwongen convectie
Q = k (T 4-T 4)+k IT -T 1
1·37 sign(T -T ) gp 1 g p 2 _g p g p II.2
In deze vergelijking drukken de termen in het rechterlid
achtereenvolgens uit per oppervlakteëenheid:
9
het door het glas door middel van straling aan de plaat afgestane
vermogen
het door het glas door middel van convectie aan de plaat
afgestane vermogen.
II.3
Deze vergelijking geeft het door de plaat rechtstreeks geabsorbeerde
vermogen, als fractie van het door de zon ingestraalde vermogen, per
oppervlakteëenheid.
= k3 {T -T ) p w II.4
Deze vergelijking geeft het door de plaat door convectie aan het water
afgestane vermogen per oppervlakteëenheid.
Voor de gebruikte hulpconstanten gelden de volgende uitdrukkingen:
k1 a
II.5 = 1/e +1/E:. -1 g p
k2 = 0.314 ~1 ö 0.11 ({3 _L)0.37 II.6 1 1 2
vl
2 J1. ( ö -ö ')
~ = ~ + w E II. 7 12 À ö .". Nu ö À p p w w
Voor de warrntecapaci tei ten (per oppervlakteëenheid) zoals ze in de
10
vergelijkingen !.3, !.4 en !.5 voorkomen, gelden de volgende uit-
drukkingen:
II.8
c = pp 0 p lp !!.9 p
c 0 2 II.10 = Pw lw 7r w w
4 J.l
In vergelijking II.9 is de invloed van de oppervlaktevergroting
doordat in de plaat buizen aangebracht zijn waar het water door
stroomt, verwaarloosd. Als het water vriesvrij is gemaakt door
bijvoorbeeld in de buizen, waar het water door stroomt, een dun buisje
met antivries (zoals glycol) aan te brengen, dan geldt voor C : w
II.ll
De vergelijking !!.1 gaat uit van gedwongen convectie. In geval van
vrije convectie geldt:
Q =a Q +~ a (T 4-r 4)+k Ir -T 11·33 sign(T -T ) ag zg s g 4 ag ag II .12
waarbij tevens geldt:
11
II.13
Bij verdere toepassing van de vergelijkingen is een aantal problemen
naar voren gekomen. Op indicatie van Duffie en Beclanann (Li t. 2)
hebben deze geleid tot een aantal veranderingen.
Het is moei 1 ijk om een indicatie te krijgen van de grootte en de
variaties van T . De Ron heeft dit gedeeltelijk ondervangen door na s
zijn linearisatie t te vervangen door t . Duffie en Beckmann geven s a
echter een uitdrukking voorT als functie van T : s a
T = 0.0522 T 1 ·5 II .14 s a
In de eerste plaats wordt door deze substitutie de T vervangen door s
een uitdrukking voor T , een grootheid die beter meetbaar is en waar a
meer over bekend is. In de tweede plaats heeft men bij latere systeem-
beschouwingen een ingangsvariabele minder.
Een tweede verandering is tc,egepast in de door deRongebruikte uit-
drukking voor het verlies aan de omgeving door gedwongen convectie.
Duffie en Beclanann geven aan dat in deze uitdrukking al een term is
verwerkt voor het verlies door warmtestraling naar de hemel. De Ron
heeft hier een aparte term voor gebruikt. Beter is het daarom om de
Ron's uitdrukking voor gedwongen convectie te vervangen door een
uitdrukking uit Duffie en Beclanann die alleen de convectie berekend
zonder een extra stralingsterm. Zij gebruiken de volgende uitdrukking
12
voor de overdrachtscoëfficiënt van de gedwongen convectie:
y0.6 p = 8.6 L 0.4
s II.15
L is hierin een specifieke lengte, bijvoorbeeld de derde machtss
wortel uit het volurne van het gebouw waarop het collectorsysteem
geplaatst is. Kennelijk veronderstellen zij hier impliciet een
correlatie tussen grootte van het gebouw en collectorsysteem. In
verband met de vrije convectie stellen zij dat deze overdrachts-
coëfficiënt minimaal gelijk moet zijn aan vijf. Beter lijkt het om
voor de vrije convectie de uitdrukking van de Ron te gebruiken en de
gevonden waarde toe te passen zodra blijkt dat deze groter is dan het
resultaat gevonden uit de uitdrukking voor gedwongen convectie.
De collectorvergelijkingen, zoals die uit het voorgaande volgen,
luiden:
C dT Q (9 28 10-6 T 6-T 4)+ _J[ = a +c a . g dt z g a g
8.6 y0.6
(T -T ) 0 4 - k1 a g L . s
k2 • IT -T 11·37 .sign(T -T ) g p g p
13
II.16
C dTn = R Q +k (T 4-T 4 )-k (T -T )+ p~ fJ z 1 g p 3 p w
k IT -T 11
·37
si (T-T ) 2 g p gn g p
dT F dT C w = k (T -T )-o w w dt 3 P w w B dx
Als randvoorwaarde geldt:
II .17
II.18
II.19
Bovenstaande vergelijkingen zijn op te lossen met een digitale
rekenmachine. Dit is ingewikkeld en is bovendien niet zo inzichtelijk
als aanpak met een analoge rekenmachine of een electrisch analogon. De
vergelijkingen zijn echter niet lineair en daarom minder geschikt voor
deze aanpak. Lineariseren maakt het probleem wel hiervoor geschikt.
Bovendien is het probleem dan ook toegankelijk voor Laplace- en/of
frequentieanalyse. Het zal blijken dat dit laatste, alhoewel dit
omvangrijk rekenwerk met zich mee brengt, ons toch in staat stelt
bepaalde conclusies te trekken aangaande een zonnecollectorsysteem.
Het is derhalve zinvol om over te gaan op linearisatie.
14
2. Linearisering van de collectorvergelijkingen
De Ron heeft allereerst de collector verdeeld in N segmenten met
segment lengte:
II.20
Dit leidt tot de volgende segmentvergelijkingen:
voor de glasplaat:
C dT .(t) =a Q (t)+é a [9.28 10-6 T (t)6-T .(t)4]+ g ~~ 1
z g a g,1
V(t)0.6 8.6 [T (t)-T .(t)] O
4 +
a g, 1 L . s
k2 IT .(t)-T .(t)j1
·37
sign[T .(t)-T .(t)]+ p,1 g,1 p,1 g,1
II .21
voor i = 1 t/m N.
Voor de collectorplaat:
15
C dTp,i(t) = ~ Q (t}+k1
[T .(t)4-T .(t)4]+ p dt z g,1 p,1
k2 Ir .(t}-T .(t)j1
·37 sign[T .(t)-T .(t)J+ g,1 p,1 g,1 p,1
k_ [T .(t}-T .(t)] --:3 w. 1 p, 1 II.22
voor i = 1 t/m N.
Voor het water:
C dTw,i(t) = k [T .(t)-T .(t)]-w dt 3 p,1 W,1
~ F(t) T .(t)-T . 1(t) u W,1 W,1-w B Ax
II.23
voor i = 2 t/m N.
Voor i = 1 wordt deze vergelijking:
C dTw,i(t) = k [T .(t)-T .(t)]-w dt 3 p,1 W,1
II.24
Vervolgens heeft de Ron een· werkpunt gekozen waarbij de temperaturen
van glas, plaat en ·water over de gehele lengte van de collector
constant zijn. Hij is daarbij mijns inziens te vrij geweest in zijn
keuze. Dit werkpunt moet voldoen aan de vergelijkingen die gelden voor
16
de statische toestand van de collector. Deze volgen door in de
vergelijkingen II.21 t/m 1!.24 ~t gelijk te stellen aan nul. Deze
voorwaarden volgen ook door ontwikkelen in Taylorreeksen. Alleen de
eerste orde termen worden beschouwd. Alle hogere orde termen worden
verwaarloosd. De nulde orde termen worden links en rechts in de verge-
lijkingen aan elkaar gelijk gesteld waarmee de eerder genoemde werk-
puntsvoo~waarden zijn vastgelegd.
De volgende gelineariseerde vergelijkingen wijken behalve voor wat
betreft de bovenvermelde veranderingen nog in een ander opzicht af van
de vergelijkingen, zoals de Ron die heeft ontwikkeld in Lit. 15. De
Ron heeft mijns inziens een fout gemaakt in de differentiatie bij de
ontwikkeling in Taylorreeksen. De gelineariseerde vergelijkingen zien
er als volgt uit 1:
d -5 A 5 C tg,i =a q +5.568 10 é aT t-g dt z g a a
3 4 é aT . t .+8.6 (t -t .) g g,1 g,1 a g,1
y0.6
L0.4 s
A A 0.37 . 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) -p,1 g,1 p,1 g,1
A 3 3 4 k1 T . t .+4 k1 T . t . g, 1 g, 1 p, 1 p, 1+
T -T . 5 16 a g, 1
• A 0 4 V (V L ) .
s
II.25
1) Voor een gedetailleerde afleiding wordt verwezen naar Appendix D.
17
C dt · {3 4 k T 3 4 k T 3 P• 1 = qz+ 1 . t .- 1 . t .+ p dt g,1 g,1 p,1 p,1
" " 0.37 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) + p,1 g,1 g,1 p,1
k3 (t .-t .) w,-'- p, 1 II.26
C dtw.i = k3 (t .-t .)-1w F (t .-t . 1)-
w dt p,1 W,1 if"AX W,1 W,1-
l " " w (T .-T . 1) f -- w 1 w 1-B Ax ' ' II.27
Voor het eerste segment is de situatie iets anders. Het water komt
hier binnen met ingangstemperatuur (t0 ). Vergelijking II.27 verandert
hierdoor in
C dtw,1- k (t -t )-1w F (t -t )w dt - 3 p, 1 w, 1 B Ax w, 1 0
l " " _w_ {T 1-T
0) f
B Ax w, II.28
Als de vrije convectie groter is dan de gedwongen convectie geldt:
18
C dtg,i =a q +5.568 10-5 é aT 5 t-g dt z g a a
4é aT .3 t .+ g g,1 g,1
1 33 k Ir -r . 1°· 33 Ct -t . )+ · 4 a g, 1 a g, 1
"' "' 0.37 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) -
p,1 g,1 p,1 g,1
"' 3 "' 3 4 k1 T . t .+4 k1
T . . g,1 g,1 p,1 p,1 II.29
19
3. De keuze van het werkpunt
In de statische toestand zijn de temperaturen van glas, plaat en water
niet over de gehele collector gelijk. In zijn berekeningen heeft de
Ron een werkpunt gekozen, waarbij de temperaturen over de gehele
collector dat wel zijn, waarmee hij dus als het ware een gemiddelde
over de hele collector beschouwt. Hoewel dit natuur lijk door de
eenvoudige vorm verdedigbaar is, lijkt dit een enigszins onlogische
gang van zaken. De temperaturen van de collector in statische toestand
vinden we terug in constanten respectievelijk componenten als we de
collector gaan simuleren met behulp van een van de in hoofdstuk I
besproken methodes. Simulaties vereisen verdeling van de collector in
segmenten. Het is goed mogelijk de om per segment de gemiddelde
temperaturen van glas, plaat en water te bepalen. Tegenover het nadeel
dat niet alle segmenten meer aan elkaar gelijk zijn, staat het mijns
inziens grote voordeel dat een nauwkeuriger model gemaakt kan worden
met een betere benadering van de werkelijkheid. Als voorbeeld moge
dienen dE deeloverdracht van omgevingstemperatuur naar water voor het
laatste segment zoals gegeven in hoofdstuk IV. De statische
versterking van die overdracht is een produkt van een aantal
constanten waaronder K i 2 .De waarde van deze constante varieert gp,
2 ) De verdere betekenis van deze constante komt in hoofdstuk III aan
de orde
20
ongeveer 30% van segment 1 naar segment 8. De afwijking ten opzichte
van een eventueel gekozen gemiddelde zal dus ongeveer 15% bedragen.
Deze afwijking is dan ook weer terug te vinden in de deeloverdrachten
en kan zelfs nog vergroot worden door andere parameters die per
segment varieren. Aangezien deze modelstudie uiteindelijk tot
uitspraken over het dynamisch gedrag en eventuee~ regelaarontwerp moet
1 ei den en tevens al di verse aannames in de in i tie le verge 1 ijkingen
verwerkt zijn, lijkt het zaak om geen extra vereenvoudigingen meer toe
te passen, waar dit de simulatie niet essentieel eenvoudiger of
inzichtelijker maakt. Daarom wordt gebruikgemaakt van de
vergelijkingen van het werkpunt zoals die volgen uit de linearisatie
3 van de vergelijkingen I I. 21 t/m I I. 24 De werkpuntsvergelijkingen
zijn:
"' 4 "' 1 B Ax "' 4 {3 Qz -Q1.+k1 {T . -[T . 1+(k- + --"...) Q. J }+
g,1 W,1- 3 F 1 ow
"' "' 1 B jx "' 1 37 k IT .-T . -(-+ -Ll"...) Q.l .•
2 g,1 W,1-1 k3 F 1 ow
"' "' 1 B Ax "' sign[T .-T . 1-(k- + ----) Q.] = 0
g,1 W,1- 3 F 1 ow
II.30
A 1 B ~ A
T . = T . 1+(k_ + --A) Q. p, 1 w, 1- _""3 F 1
ow II .31
3 ) Voor een gedetailleerde afleiding wordt verwezen naar Appendix D.
21
T . = T . 1+ B A~ Q. W,1 W,1- F 1
lw
Hierin staat Q. voor de volgende uitdrukking: 1
Q = (a+~) Q +é a (9.28 10-6 T 6-r .4 )+ i z g a g,1
A A "0.6 8. 6 (T - T . )-V_"__,.
a g,1 L 0.4 s
II .32
!!.33
Voor het eerste segment waar het water van bui ten af de collector
binnen komt, gelden de volgende vergelijkingen:
k IT -T -(!_+BA~) Q 11.37. 2 g,l 0 ~ F 1
lw
II.34
!!.35
II.36
22
De uitdrukking voor Qi verandert hierbij niet. Deze verandert wel op
het moment dat de vrije convectie de gedwongen convectie overheerst.
Deze wordt:
Q1. = (a+~) Q +é a (9.28 10-6 T 6-r .4 )+ . z g a g,1
k Ir -r . 11·33 sign(T -T .) 4 a g,1 a g,1 II.37
De overige vergelijkingen blijven onveranderd.
Als de uitdrukking voor Q. nader beschouwd wordt, blijkt dat deze 1
niets anders uitdrukt dan de totale vermogensoverdracht van de
omgeving naar de collector per oppervlakteeenheid per segment ofwel:
Q = Q .+Q . i ag, 1 ap, 1 !!.38
Dat het opgenomen vermogen per segment verschilt is een consequentie
van het model omdat T . per segment verschilt. Als de vergelijkingen g,1
!!.32 en !!.36 nader bekeken worden, blijkt dat deze in feite de
vermogensbalans van elk segment uitdrukken. Immers het opgenomen
vermogen is gelijk aan het aan het volgende segment afgedragen
vermogen. Voor het laatste segment is dit het energievragend systeem.
Dit wordt nog duidelijker door de vergelijkingen II.32 en II.36 iets
anders op te schrijven:
23
"' "' "' "' "' Q
1. B Ax+1 F T . 1 = l F T .
W W,I- W W,l 11.39
l F T 1 w w. II.40
Dit mag als controle beschouwd voor de gevonden formules vaar het
werkpunt.
Bij de berekening van het werkpunt wordt uitgegaan van een bepaalde
omgevingsituatie, dat wil zeggen dat Ta' r 0 , F, V en Qz gegeven zijn.
Deze gegevens zijn voldoende voor de berekening van het werkpunt Door
voor Q1 de uitdrukking uit vergelijking !!.33 in te vullen, kan met
behulp van een standaardprocedure voor nulpuntsbepaling van het
Burroughscomputer-systeem van de TUE, T bepaald worden uit g,1
vergel ijking !!.34. De vergel ijkingen !!.35 en I I. 36 bepalen
vervolgens T 1 enT 1. Als T 1 bekend is kan uit formule !!.30 op p, w. w,
dezelfde manier als voor T 1 gebeurde, T 2 bepaald worden. T 2 en g, g, p,
T worden dan weer berekend uit de vergelijkingen !!.31 en !!.32. Op w.2
deze manier kan verder voor alle segmenten t/m segment N de
bijbehorende glas-, plaat-, en watertemperatuur bepaald worden.
Het werkpunt wordt bepaald door de omgevingsvariabelen. Daar moet dus
een geschikte keuze voor gemaakt worden. Gekozen is voor een warme,
zonnige dag in ons klimaat. Hierbij is gekeken naar gegevens van
Duffie & Beckmann (Lit. 2) en tevens naar metingen, die op dat moment
in uitvoer waren op de experimentele installatie van de vakgroep,
verricht door J. Geven enK. van Overveld. De keuze van F is enigszins
arbitrair maar ligt binnen het daarvoor gebruikelijke gebied. De keuze
24
van het aantal segmenten, N = 8, is bepaald door beperkingen van de
analoge rekenmachine zoals besproken n hoofdstuk III. De gekozen
waarden het werkpunt staan in Tabel II .1 4 De waarden van de voor
collectorparameters staan in Tabel II.2. Voor het meerendeel is
hierbij gebruik gemaakt van de gegevens van de Ron. Enkele fysische
constanten zijn opgezocht in diverse literatuur en eventueel
verbeterd.
Tabel II.l: De gekozen waarden voor het werkpunt
To = 293 K
T = 293 K a
V 5 -1
= m s
Qz 500 w -2 = m
F = .75 10-2 kg s-1
Het verloop van de temperatuur in de collector zoals uitgerekend met
behulp van het programma WPZABDBV is gegeven in grafiek II .15 In
grafiek II.2 staat weergegeven het verloop van het opgenomen vermogen
4 >ne belangrijkste tabellen staan in het verslag, de overige staan in
Appendix A.
5 >ne belangrijkste grafieken staan in het verslag, de overige staan in
Appendix B.
25
J3i3
J
325 L I !
! 320 !_ .., 320
315 ~ I
.., 3 t 5
i I
I 310 ~
I
i i 3~ 0
I 305 V
' I
I -i 3eJS
I i !
300 I . 300 I I
295 ~ 295
I I I
290 290 2 3 4 5 6 7 8
Grafiek II.l: Het temperatuurverloop
in de collector per segment in K.
c - glas o - plaat ~ - water
360 ~----------~----~----ïï----~-----:------. :60
~' 3Sfl
340 L "" I
i 330 I
ï I I
320 I ... I
310 L I
300 ~ I
I 290 ï 280 I
r
-2 Grafiek II.2: Het opgenomen vermogen Qi per segment in W m
26
I
j 350
! ...; 340 l ~ 330 ! ~ 320
~ 310 ! I
~ 300 I ~ 290
1280 l
I Î 270
1zse ~240
7 8
per segment per oppervlakteeenheid. Deze resultaten kunnen ook terug
gevonden worden in tabel 111.2.
Bovenstaande aanpak voor het berekenen van de quasi-statische toestand
van de collector is vergeleken met de gebruikelijke aanpak volgens de
formules 1.1 en 1.2. De uitgangstemperatuur bepaald volgens de hier
afgeleide methode is ingevuld in de vergelijk~ngen 1.1 en I. 2. Met
behulp van een nulpuntszoekmethode is hieruit U bepaald. Deze bleek
ongeveer gelijk te zijn 10.7. Hoewel in berekenen vaak een U van twee
tot vijf wordt aangenomen is een U van 10 niet ongebruikelijk. Toch
was het dit verschil, dat aanleiding gaf tot nadere beschouwing van de
initiële resultaten, zoals gevonden met de vergelijkingen van de Ron,
waaruit de in dit hoofdstuk beschreven verbeteringen zijn voort-
gekomen.
In het vervolg van dit hoofdstuk wordt getracht een vergelijking te
maken tussen de methode beschreven in dit hoofdstuk en de methode
volgens de quasi-statische collectorvergelijkingen 1.1 en 1.2. Daartoe
is steeds de uitgangstemperatuur van de collector berekend volgens de
hierboven beschreven methode waarbij een van de ingangsvariabelen T , a
T0 . Qz of Fis gevarieerd. Vervolgens is uit de vergelijkingen 1.1 en
1.2 met behulp van de gevonden waarde van U in het werkpunt hetzelfde
gedaan. De beide methodes staan naast elkaar in de grafieken 11.3 t/m
11.6 (Appendix B). Een tweed~ methode om de beide methodes met elkaar
te vergelijken is het bepalen van de uitgangstemperaturen bij
varierende ingangsgroothedenen en vervolgens steeds de bijpassende U
27
te zoeken uit de vergelijkingen !.1 en I.2. De resultaten hiervan
staan in de grafieken II. 7 t/m II.10 (Appendix B). Duidelijk is te
zien dat de beide methodes een tamelijk eensluidend resultaat geven
bij variaties in Q en in iets mindere mate F. Bij variaties in T en z a
T0 wordt de afwijkingtussen de twee modellen duidelijk als Ta en T0
ver van het gekozen werkpunt (waaruit U is bepaald) liggen. Door de
uitgebreide opzet van het in deze studie afgeleide model lijkt deze te
verkiezen boven de methode volgens I .1 en I .2 maar in veel studies
waarbij de omgevings-variabelen, met name Ta en T0 , niet sterk
varieren, bijvoorbeeld als het gaat om de bepaling van een optimale
sturing voor F, is de laatste methode door zijn eenvoud verkieslijk.
Ook doet de vorm van de grafieken II.5, II.6, II.9 en II.10 vermoeden
dat als Ta = T0 gekozen wordt, iets dat in veel studies over dit
onderwerp het geval is, de resultaten van de twee methoden minder uit
elkaar zullen lopen. Dit is geverifieerd en de resultaten van de beide
methoden zijn dan vrijwel identiek. Algemeen mag geconcludeerd worden
dat U afhankelijk is van de omgevingsvariabelen dus niet echt
constant, maar dat in veel gevallen een constante U werkbaar is.
Gebleken is verder dat de invloed van V zodanig gering is dat verdere
beschouwing overbodig is, afgezien nog van het feit dat de invloed van
V niet verwerkt is in de vergelijkingen !.1 en !.2. V is daarom in
bovenstaande buiten beschouwing gelaten.
Voor de volledigheid wordt ook het verschil gemeld met de originele
resultaten van de collectorvergel ijkingen van de Ron. Het verschil is
28
maximaal 2.5 K voor T 8 , 0.6 K voor T 8
en 0.5 K voor T 8
. g, p, w,
29
III ANAI..reE SDIULATIE
1. Schal ing
Voordat gesimuleerd kan gaan worden op de analoge rekenmachine moeten
de vergelijkingen zodanig herschreven worden, dat ze 'op de computer
1 passen' Allereerst is het zaak de vergelijkingen zodanig te her-
schrijven dat in het linkerlid slechts de differentiatie overblijft
terwijl alle andere termen naar het rechterlid gebracht zijn.
Aangezien de simulator met electrische spanningen tussen -10V en +10V
werkt, moeten de grootheden in de vergelijkingen naar dit gebied
getransformeerd worden. Dit wordt aanzienlijk vereenvoudigd als
genormeerd wordt d.w.z., de machinespanning,10V en +10V, wordt -1 en
+1. Alle grootheden binnen de simulatie worden daarbij dus ook
geschaald naar 1 waarbij ze dan tevens dimensieloos zijn. De
constanten in de aldus geschaalde vergelijkingen worden in de analoge
computer gerepresenteerd door een potentiometerwaarde, het
differentieren door een integrator. Naast bovengenoemde a.mpl i tude-
schaling moet ook de tijd geschaald worden om binnen de tijdschaal van
de computer te passen: niet te snel vanwege parasitaire effecten, niet
te langzaam vanwege drift. Een goede vuistregel voor tijdschaling is
1)Een meer gedetailleerde uitleg van de analoge rekenmachine staat in
Appendix C.
30
dat de in te stellen potentio-meterwaarden tussen 0.01 en 10 dienen te
liggen.
31
2. Collectorvergelijkingen voor de analoge rekenmachine
De gelineariseerde collectorvergelijkingen, 11.25 t/m 11.27, uit
hoofdstuk II worden omgeschreven en geschaald. Omdat de temperaturen
in de collector van dezelfde ordegrootte zijn en tevens uit oogpunt
van gemak is overal dezelfde temperatuurschaling gekozen. De
vergelijkingen worden:
d{tg,i/tmax) = K (q /a )+K (t /t )+K . (v/v )+ d{t/T) qa z -max a a max v,1 max
K . ( t . / t ) -K . ( t . / t ) pg,1 p,1 max g,1 g,1 max
d(tp,i/tmax) =KR (q /~)+K (t ./t )+ d(t/T) q,_, z wp W,1 max
K . ( t ./t )-K . ( t ./t ) gp,1 g,1 max p,1 p,1 max
d(tw.i/tmax) = Kf . (f/f )+K (t ./t )+ d( t/T) , 1 max pw p, 1 max
KwO (t 1 1/t )-K (t 1/t ) w, - max w w, max
De constanten zien er als volgt uit:
32
lil .1
III.2
III.3
K qa
K a
K V, i
K pg, i
K g, i
Kq{3
K gp, i
K wp
K p, i
a T ~
= c t g ma.x
VA0.6 5 A 5 = (8.6 L 0 _4 +5.568 10- Eg a Ta ) ~
s g
8.6 V T (T-T .) = max a s;.1
t c (V L )0 ·4 max g s
(4 k1 A 3 Ir .-r . 10.37 > !..... = T . +1.37 k
2 p,l p,l g,l c g
A 3 y0.6 = [4 (t a+k1) T . +8.6
0 4 g g,l L . s
1.37 k2 Ir . -r . I o. 37 J !..... p,l g,l c
g
{3 T ~ = t c
ma.x p
A 3 Ir .-r .lo.37>!..... = (4 k1 T . +1.37 k2 g,l p,l g,l .c
p
k3 T
=-c-p
A 3 Ir .-r .lo.37 >!..... = (4 k1 rp.i +~+1.37 k2 p,l g,l c p
33
III.4
III.5
III.6
III. 7
III.S
III.9
III.lO
III.ll
III. 12
K pw
Kf . • 1
K w
k3 T
=-cw
"' 1 T F w
III. 13
III. 14
III.15
III. 16
In het geval van vrije convectie in plaats van gedwongen convectie
geldt voor K, K . enK .: · a g, 1 v ,1
K a =t33k IÎ-Î .1°· 33 !..._
· 4 a g,1 C g
K . = [4 {e a+k1) T .3+1.33 k4
IÎ -T .1°· 33+ g,1 g g,1 a g,1
1.37 k2 IÎ .-r .1°· 37J !...._ p,1 g,1 C
g
K . = 0 V,1
III.17
III. 18
III. 19
Voor segment 1 ziet de vergelijking voor Kf . er iets anders uit, en • 1
wel:
34
Kf . • 1 =
l T f (T .-T 0) w max w,1 w. B.Axt C
max w III.20
Hierbij gaat tevens vergelijking III.3 over in:
d(t 1/t ) w, max = Kf 1 (f/f )+K (t 1/t )+ d(t/T) . max pw p, max
KwO (t0/t )-K (t 1/t )
max w w. max III. 21
Duidelijk valt op dat diverse constanten per segment versebi llen,
hetgeen aanleiding was om te beslui ten per segment de werkpunts-
temperaturen van glas, plaat en water te bepalen.
Figuur III.1 en III.2 geven aan hoe een schakeling op de analoge reken
machine er uit ziet als de differentiaalvergelijkingen één voor één
gesimuleerd worden: een zogenaamd homologon. Elk segment wordt
beschreven door drie gekoppelde differentiaalvergelijkingen zodat per
segment drie integratoren gebruikt worden. Bovendien dient er nog
ruimte over te blijven voor de bouw van een sinusgenerator (twee
integratoren) om eventuele frequentieresponsies van het systeem te
bepalen, een zaagtandgenerator (een integrator) als tijdbasis voor de
plotter en reserve voor als bepaalde componenten kapot blijken te
zijn. De simulator van de vakgroep heeft 32 integratoren beschikbaar
35
K a
t . g,l
K . gp,l
K wp
V
K . V,l
f
K . f. 1
Figuur III.l: De schakeling van een segment van het homologon
36
to
K 6Kqf3 qa
t w,1 ---
t w, i-1
t s
K s
t
t a
w, i
V
K a
t w,N-1 ------
Figuur III.2: De schakeling van alle elementen in het homologen
37
f
t w,N
zodat daar zuinig mee omgesprongen moet worden. Omdat de integratoren
ook inverteren en men in de simulatie zowel een niet-geinverteerd als
een geinverteerd resultaat van de integratie gebruikt, zijn per
segment ook nog eens drie inverteerders nodig. Een aantal constanten
is voor alle segmenten gelijk en bovendien gekoppeld aan een externe
grootheid. Deze kunnen als het ware buiten het .segment gehaald worden
en hoeven dus niet per segment aanwezig te zijn. Bepaalde constanten,
zoals K , zijn weliswaar voor alle segmenten gelijk, maar omdat deze w
potentiometers binnen een segment geschakeld zijn, is toch per segment
een potentiometer K . noodzakelijk. Dit houdt in dat voor ieder W,1
segment tien potentiometers noodzakelijk zijn voor K .. K .. Kf .. V,1 W,1 ,1
K . , K .. K . , K . , K K . en KwO . en daarbui ten nog eens g , 1 pg , 1 gp, 1 p, 1 pw, 1 wp , 1 , 1
drie voor K , K en K {3" Deze zijn in voldoende mate aanwezig. Een a qa q
groot aantal inverteerders bleek echter niet aanwezig. Daar elke
component de nauwkeurigheid verkleint zal vermindering van het aantal
componenten alleen maar de nauwkeurigheid ten goede kan komen.
Vermindering is mogelijk: een nadere beschouwing van figuur III.l laat
_ .... !1ter zien dat de inver-teerders binnen de schakeling weggelaten
kunnen worden. Dit heeft dan tot gevolg dat elke integrator een ander
teken aan de uitgang heeft dan de integrator voor hem in de schakeling
met andere woorden elke oneven integrator heaft aan de uitgang
tegensteld teken terwijl elk~ even integrator het juiste teken heeft.
Alleen moet dan wel gezorgd worden dat elke integrator zijn
ingangsvariabelen met het juiste teken toegevoerd krijgt. In de
38
praktijk betekende dit dat de ingangsgroot-heden van de collector op
sommige plaatsen geinverteerd en op sommige plaatsen niet geinverteerd
aan de schakeling werden toegevoegd. Bovendien moest men bij het
uitlezen rekening houden met het al dan niet geinverteerd zijn van de
betreffende grootheid. Zoals ook al in hoofdstuk II ter sprake is
gekomen is K . verwaarloosbaar klein. Ook K ~lijkt verwaarloosbaar v,1 · qa
klein te zijn. Deze zijn niet meer in de schakeling ingebouwd. Door
deze vereenvoudigingen zijn er nog maar drie inverteerders in de
schakeling nodig. Al het voorgaande in aanmerking genomen, ziet het
afgeleide analogon er uit als getekend in figuur III.3; voor het
aantal segmenten N is 8 gekozen.
De implementatie op de simulator ziet er als volgt uit: De onderste
drie rijen bevatten de segmenten drie t/m acht in volgorde van links
naar rechts en van boven naar 'beneden. De rechterhelft van de bovenste
rij bevat segment twee terwijl segment één daar als het ware tussen
'gepropt' is in de extra integratoren, waarbij nog wat overgebleven
elementen van de bovenste rijen gebruikt zijn. De linkerhelft van de
bovenste rij is gebruikt voor de overige taken, waarbij echter wel een
aantal potentiometers gebruikt is voor Ka, Kq/3 en eventueel in te
stellen waarden van de ingangsgrootheden, Wat betreft de
schalingswaarden van de ingangsgrootheden is gekeken naar redelijker-
wijs maximale variaties. Deze mogen niet te groot zijn in verband met
de toegepaste Taylorreeksbenadering. Voor T is een waarde gekozen
39
~
t . I W,l-
t a
K a
K . pg,l
qz
K q{J
K wp
f
KwO
K pg, i+l K gp. i+ I
K wp
Figuur III.3: Schakelschema van twee opeenvolgende segmenten van het
analogon (i one~en)
KwO
overeenkomstig het gestelde in paragraaf een van dit hoofdstuk. De
gekozen waarden staan in tabel III.1.
Tabel III. 1: Schal ingswaarden in de analoge simulatie
T = 100 s
t = 100 K max
100 Wm -2 ~ =
2 -1 V = m s
max
f 5 10-3 kg s -1 = max
De waarden van de constanten zijn met behulp van het programma
WPZABDBV op de Burroughs berekend. Deze staan in tabel III.2. Via het
programma WPZABNRV zijn eventueel ook ter vergelijk de waarden,
berekend volgens de hier beschreven methode maar met de ongewijzigde
vergelijkingen van de Ron te verkrijgen. WPZABDBV levert ook
previewfiles van grafieken van de temperaturen, het totale ingevangen A
vermogen (Q.) en alle constanten per segment. Twee hiervan zijn al 1
vermeld in hoofdstuk II (grafiek II.1 en II.2). De overigen staan in
appendix B (grafiek III.1 t/m III.6).
41
3. Simulatie met een Re-netwerk
Behalve met een analoge rekenmachine is het ook mogelijk de collector
te simuleren met een electrisch netwerk, waarbij de electrische
grootheden voldoen aan dezelfde differentiaalvergelijkingen als over
eenkomende grootheden in de collector. Terwijl voor een simulator alle
vergelijkingen dimensieloos geschreven moeten worden, moeten voor een
analogon geschikte overeenkomende electrische grootheden gevonden
worden. Een geschikte en voor de hand liggende keus is gegeven in
tabel III .4.
Tabel lil .3: Overeenkomende ~ootheden in collector !m analogon
Collector Analogon
Temperatuur T in K Spanning V in V
Energiestroom Q in W m -2 Stroom I in A
Warmtestroomweerstand R in m2 K W-1 Weerstand R in n
Warmtecapaciteit C in J kg-1 K-1 Capaciteit C in F
Tijd t in s Simulatietijd t in s
In een dergelijke netwerkrepresentatie treedt het probleem op dat met
verschilspanningen over weerstanden gesimuleerd wordt. De vergelij-
42
kingen II.25 t/m II.29 moeten dus omgeschreven worden naar een vorm
met warmtestroomweerstanden. Die vergelijkingen lenen zich daar echter
niet voor omdat de variabelen t , t . en t . niet dezelfde eoef-a p,1 g,1
ficienten hebben. De Ron heeft hiervoor een kunstgreep toegepast door
voor de verschillende coefficienten een soort gemiddelde in te voeren.
Dit gebeurt op de volgende wijze. De coefficienten:
5 A 5 3 5.568 10- é a T en 4 é a T .
g a g g,1
worden vervangen door:
4 é g [
.y 5/3+-T . ]3 a a g,1
2
Op dezelfde wijze wordt elk der coefficienten:
3 3 4 k 1 T . en 4 k1
T . g,l p,l
vervangen door:
A A 3 4 k [T .+T ·] 1 g,l2 p,l
Op welke gronden deze manier'van 'middelen' is gekozen en niet de meer
voor de hand liggende manier door het werkelijke gemiddelde van beide
coeffiecienten te nemen is onduidelijk.
43
t a
K . V V ,1
{3 q z
1
Kf . f • 1
t . W,l t
p, i
t . 1 W,I-
Figuur III.4: Een segment van het electrisch analogon.
Wat betreft schaling kan gezegd worden dat hiervoor meerdere mogelijk-
heden zijn omdat zowel de condensator- als de weerstandwaarden aan-
gepast kunnen worden. De keuze van de schal ing wordt daarom mede
bepaald door overwegingen van snelheid, technische realiseerbaarheid
en het voorkomen van overbelastingen, parasitaire capaciteiten en
dergelijke. Omdat alleen met de simulator is gewerkt is hierover geen
beslissing genomen. De vergelijkingen van het RC-netwerk zien er als
volgt uit:
44
dt . C
g, 1 ___,.,.._~ = a q +
g dt z
dt . C p, 1 R ............ _...._ = tJ q +
p dt z
t -t . t . -t . a g, 1 + p, 1 g, 1 -K . v R . R . V, 1 ag,1 gp,1
t .-t . g,1 p,1 + R . gp, 1
t .-t . w, 1 p. 1
R pw
dt . c w, 1 = w dt
t -t p. i w, i t .-t . 1 W,1 W,1- K f
R pw R - f . . wO ,1
Voor de coefficienten gelden de volgende uitdrukkingen:
[ [r 5/3+r ·]3 vo.6 ]-1
Rag . i = 4 E. g a a 2
g, 1 +8. 6 L 0 .
4 s
[ [T .+T ·]3 A A 0.37]-1
R . = 4 k 1 g, 1 p. 1 +1.37 Ir .-r .1 gp,1 2 p,1 g,1
R pw
RwO
K . V,1
= k3 -1
B ÀX =--A
1w
= 8.6
F
A
T .-T g, 1 a
(V L )0.4 s
A A
K T .-T . 1 f · = 1 W,1 W,1-
,1 w B Ax
45
III.22
III.23
III.24
III .25
III. 26
I! I. 27
III .28
III.29
III .30
Voor het eerste segment gaat vergelijking III.24 over in:
dt C w,l = w dt
t -t p,l w,l
R pw
Als er sprake is van vrije convectie geldt voor R . enK .: ag,l V,l
K . = 0 V, 1
R . ag,1
é a g [r 513+r ·]3
" ... o.33]-1
a g, 1 +1.33 k4 IT -T . I 2
a g,1
III.31
III.32
III.33
De waarden van de (ongeschaalde) parameters zijn berekend in het
programma RZABDBV en staan in tabel III.4 (Appendix A). Het RC-model
is niet nader onderzocht zodat er geen meetgegevens van zijn.
46
IV: BEPALING VAN DE OVERDRAari'SFUNCfiES EN RESULTATEN
VAN DE ANALOGE SIMULATIE
1: Algemeen
Voor het onderzoek naar de regelbaarheid va.ri de collector is het
belangrijk de overdrachtsfuncties van het gelineariseerde model te
bepalen. Uit de vergelijkingen II.1 t/rn II.3 is het mogelijk de
overdrachtsfuncties van een segment i te bepalen van de ingangs-
grootheden t ' a t . 1 {of t0
), w, 1- f en qz naar de uitgangsgrootheden
t .. t . en t . van dat segment. Hier is sprake van deel-p,l g,l W,l
overdrachten aangezien deze overdrachten slechts beschrijven hoe de
ingangsgrootheden direct invloed hebben op de uitgangsgrootheden en
niet via voorgaande segmenten. Deze deeloverdrachten duiden we als
volgt aan:
H' . = S' . F' . xy,l xy,l xy,l IV.1
waarbij x (= a, q, f of 0) en y {= g, p of w) respectievelijk aangeven
van welke overdracht sprake is, dus van t . q : f of t . 1
naar t . a z w,1- g,1
t . of t .. S' . duidt aan de statische versterking en F' . duidt p,l W,l xy,l xy,l
aan een functie van s. Wij' zijn echter geïnteresseerd in de totale
overdracht van ingangsgrootheden van de collector naar de ui tgangs-
e grootheden van een segment. Deze totaaloverdracht voor het i -segment
47
geven we aan door:
H . = S . F . xy,1 xy,1 xy,1 IV.2
Hierbij geven x en y weer aan van welke overdrachtsfunctie sprake is,
in dit geval van t , q, f of t0 naar t ., t . of t .. De index 0 a z g, 1 p·, 1 w, 1
duidt in het eerste geval het voorgaande segment aan en in het tweede
geval de ingang van de collector. Hiervoor is gekozen in verband met
de analogie tussen t . 1 voor een segment en W,1- de hele
collector. Deze totale overdrachtsfunctie is te bepalen uit de
deel~verdrachtsfuncties door de voorafgaande t . k's in te vullen in W,1-
de deeloverdrachten (zie ook figuur III. 2). Op deze manier terug-
rekenen levert de volgende betrekkingen op tussenHen H':
H . = H' . + H . 1 H'Oy . xy,1 xy,1 XW,1- ,1 IV.3
voor x = a, q of f en:
HOy . = HOw ._1 HOy' . • 1 • 1 • 1 IV.4
Deze uitdrukkingen gelden voor segmenten 2 t/m N. Voor het eerste
segment geldt:
H = H' xy,1 xy,1 IV.5
48
Op deze manier is iedere gewenste overdracht te berekenen. VoorS .. xy,l
S' ., F . en F' . zijn mutatis mutandis dezelfde vergelijkingen op xy,l xy,l xy,l
te schrijven.
49
2: De overdrachtsfuncties
De vergelijkingen II.l t/m II.3 worden Laplace getransformeerd, waarna
t ..• g,1 t . p,1 en t .
W,1 hieruit opgelost 1
worden .De vorm van deze
H' .-overdrachten bestaat uit een voor elke overdracht specifieke xy,1
teller en een voor alle overdrachten gelijke noemer N.(s). waarvoor 1
geldt:
N1.(s) = (K +s)(K .+s)(K .+s) - K . K . (K +s) -w g,1 p,1 gp,1 pg,1 w
K K (K .+s) pw wp g,1
De diverse deeloverdrachten zien er als volgt uit:
K [ (K . +s )(K +s) - K K ] H' a p,1 w pw wp = ag, i N. 1
K K {3 (K +s) H' = pg, i g w
qg, i N. 1
K K pg. i Kf . H' wp • 1 = fg. i N. 1
l)Voor een gedetailleerdere afleiding zie appendix E.
50
IV.6
IV.7
IV.8
IV.9
K K . KwO H' =
wp m.1 IV.lO Og, i N.
1
K K (K +s) H' a gp. i w
IV. 11 = ap, i N. 1
K {3 (K +s) (K .+s) H' = g w ~· 1 IV.12 qp, i Ni
K Kf . (K .+s) H' = wp '1 ~· 1 IV.13 fp, i N.
1
K KwO (K .+s) Hàp . = wp ~· 1
IV.14 '1 N. 1
K K gp. i K
H' pw a IV.15 = aw, i N.
1
H' K K f!. (K .+s)
= pw g g, 1
IV.16 qw, i N. 1
Kf . [cK .+s)(K .+s) - K K .] H' '1 gp. i = g, 1 p. 1 pg, 1
IV.17 fw, i N. 1
KwO [<K .+s){K .+s) -K K . ] HOw . ~.1 p.1 gp.i ;pg. 1
IV.18 = N. '1 1
In principe is nu elke totaaloverdracht te bepalen, maar de
uitdrukkingen hiervoor zijn tamelijk onhandelbaar.
51
Van elk der deelsystemen is echter wel iets te zeggen. In het totale
systeem zitten geen "lussen" of terugkoppelingen, zodat op deze rnanier
geen instahili tei ten worden gecreeerd. Als dus elke deeloverdracht
stabiel is, dan is ook elke totaaloverdracht stabiel. Het is voor
stabiliteit voldoende om te kijken naar de stabiliteit van de
deeloverdrachten, die gewaarborgd is als deze geen polen in het
rechter halfvlak heeft. Dit geldt zeker als som en product van de
wortels van de noemer Ni kleiner dan nul zijn en de som van de
kruisproducten van de paren wortels groter dan nul.
3 Als het teken van s positief is, is dit hetzelfde als de eis dat de
2 coefficienten van s en s en de constante term groter zijn dan nul.
Hieruit volgen de eisen:
K +K .+K .>0 IV.19 w g,1 p,1
KK .+K .K .+KK .>K .K .+K K w g, 1 g, 1 p, 1 w p, 1 gp, 1 pg, 1 pw wp IV.20
KK.K.>K .K .K+K K K. w g, 1 p, 1 pg, 1 gp, 1 w wp pw g, 1 IV.21
K . enK . zijn altijd positief. K kan negatief zijn, maar dan moet g,1 p,1 w .
k3
in ieder geval negatief zijn. Beschouwing van uitdrukking II. 7
leert ons, dat daarvoor in ieder geval moet gelden ö < ö In een w p
collector is dit zo niet o~ogelijk dan toch in ieder geval
onwaarschijnlijk. Hier wordt in ieder geval aangenomen, dat k3 en
daarmee K positief is. Invullen van de uitdrukkingen gevonden in het w
52
voorgaande hoofdstuk tonen aan, dat aan IV.19 t/m IV.21 altijd wordt
voldaan. De stabiliteit van de collector is dus verzekerd.
Om ook de tellers in een vorm met reele positieve tijdconstanten te
schrijven zijn soortgelijke voorwaarden af te leiden:
K .+K > 0 p,l w
K . K > K K p,1 w pw wp
K > 0 w
K . > 0 g. 1
K .+K . > 0 p,l g,l
K . K . >K . K . g,l p,l gp,l pg,l
IV.22
IV.23
IV.24
IV.25
IV.26
IV.27
Op dezelfde als bij de polen is ook in dit geval makkelijk aan te
tonen dat aan de voorwaarden IV.22 t/m IV.27 wordt voldaan. Met deze
informatie is het mogelijk de deeloverdrachten volgens vergel ijking
IV .1 te herschrijven, gebruik makend van tijdconstanten. Dit staat
weergegeven in tabel IV.l.
53
Tabel IV.l: De deeloverdrachten gesplitst in een statische versterking
xy
ag
qg
fg
Og
ap
qp
fp
Op
aw
qw
fw
Ow
(S') en een tijdconstanten--gedeel te (F').
n = {l+T1 . s){l+T2 . s)(l+T3 . s) • 1 • 1 • 1
s· x,y
K Tl . T2 . T3 ./(T4 1 T5 .) a ,1 ,1 ,1 , ,1
K . K R K Tl . T2 . T3 . pg,1 q,.., w ,1 ,1 ,1
K K • Kf . Tl . T2 . T3 . wp pg,1 ,1 ,1 ,1 ,1
K K . K Tl . T2 . T3 . wp pg. 1 wo • 1 • 1 • 1
K . K K Tl . T2 . T3 . gp, 1 a w . 1 , 1 , 1
K K R K . Tl . T2 . T3 . w q,.., g, 1 ,1 ,1 ,1
K K . Kf . Tl . T2 . T3 . wp g,1 ,1 ,1 ,1 ,1
Kwp Kg. i KwO T 1 . i T 2. i T 3. i
K K . K Tl . T2 . T3 . pw gp , 1 a , 1 , 1 • 1
K K B K . Tl . T2 . T3 . pw q g,1 ,1 ,1 ,1
Kf . Tl . T2 . T3 ./(Tg . Tg .) ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1
KwO Tl . T2 .. T3 ./(Tg . Tg . ) ,1 ,1 ,1 ,1 ,1
F' . xy,1
{l+T4 . s){l+T5 . s)/n • 1 • 1
{l+T6 s)/n
1/n
1/n
{l+T6
s)/n
{l+T6 s){l+T7 ,i s)/n
{l+T7 . s)/n • 1
{l+T7 . s)/n • 1
1/n
{l+T7 . s)/n • 1
{l+Tg . s}{l+Tg . s)/n • 1 • 1
(l+Tg . s){l+Tg . s)/n ,1 ,1
De tijdconstanten worden gegeven door de volgende vergelijkingen,
waarbij s1
.. s2 . en s3 . de polen zijn en worden bepaald met behulp ,1 . 1 ,1
van de digitale computer terwijl nulpunten van de deeloverdrachten in
analytische vorm geschreven kunnen worden:
54
1 T 1 . = - -. 1 s1 . . 1
l T2 . = - -• 1 s2 . • 1
1 T3 • = - -. 1 s3 . • 1
T4 . = 2 [K . + K + j (K . -K ) 2 + 4 K K I ] -1 ,1 p,1 w p,1 w pw wp
T5 . = 2 [K . + K - j (K .-K ) 2 + 4 K .KI ]-1
. 1 p, 1 w p, 1 w pw wp
-1 = K w
T7.1 = K g, i -1
IV.28
IV.29
IV.30
IV.31
IV.32
IV.33
IV.34
T8. =2 [K .+K .+f(K .-K .)2 +4K . K . ]-1
IV.35 ,1 g,1 p,1 g,1 p,1 gp,1 pg,1
Tg . = 2 [K .+ K .- j (K .-K . )2 + 4 K .. K . I ]-1 IV.36 ,1 g,1 p,1 g,1 p,1 gp,1 pg,1
Volgens de vergelijkingen IV.3 t/m IV.5 is S . nu gemakkelijk uit xy,1
S' . te bepalen. Het progranuna HZABDBV bepaalt S' .. S . en xy,1 xy,1 xy,1
T ... De resultaten staan in tabel IV.2 (Appendix A). Deze resultaten J,1
worden gebruikt om de nauwkeurigheid van de analoge rekenmachine te
checken. Hiertoe is met de simulator voor diverse grootten van de
55
ingangs-variabelen de statische responsie van de segmenten bepaald.
Hieruit is met behulp van lineaire regressie door het programma SMET
S . bepaald. De resultaten staan in tabel IV. 3. De afwijkingen xy,l
tussen de theoretische en de gesimuleerde en daarna gemiddelde waarden
zijn gemiddeld 0.5% en komen zelden boven de 1%. Enkele uitschieters
zijn waarschijnlijk te wijten aan fout aflezen van de meters op de
analoge rekenmachine of fout invoeren van de data in de Burroughs. De
overeenkomst in de resultaten geeft vertrouwen in de analoge simulator
en de conclusies die uit het theoretische model zijn getrokken.
56
3. Meten van de overdrachtsfuncties uit de stapresponsies en met
behulp van PRDIAL.
De uitdrukking die theoretisch voor F . verkregen wordt, is erg xy,l
ingewikkeld en daarom ongeschikt voor verdere regel technische
beschouwingen. Daarom is H . met behulp van de analoge rekenmachine xy,l
gesimuleerd, waarna is getracht om met behulp van het PRIMAL-pakket
een geschikte benadering voor H . te vinden. Hiertoe werden de xy,l
analoge rekenmachine en de vakgroepscomputer aan elkaar gekoppeld.
Door overbezetting van de computer en revisie van PRIMAL is helaas
slechts op beperkte schaal hiermee geexperimenteerd. Het belangrijkste
resultaat werd gevonden door aan de ingang van de simulator een
ruissignaal met regelbare bandbreedte toe te voegen en met PRIMAL de
overdracht naar de uitgangsgrootheden te s·~atten. PRIMAL vond zo een
eerste orde overdracht voor H 8 . ag,
Door de hierboven beschreven problemen zijn verder de overdrachts-
functies H 8 bepaald uit de stapresponsies. Het bepalen van andere xy.
overdrachtsfuncties H . zou zeer tijdrovend zijn geweest, terwijl er xy,l
weinig met deze resultaten te doen zou zijn. De stapresponsies zijn
met een datarecorder opgenomen. Met de methode beschreven in Lit. 21
is een 'oogbal'-benadering gevonden voor de overdrachtsfuncties door
eerste of tweede orde overdrachtsfuncties. De stapresponsies zijn met
behulp van een tablet in de Burroughs opgeslagen. De in eerste
instantie gevonden waarden zijn als beginschatting gebruikt voor een
kleinste kwadraten routine die een nauwkeuriger afschatting van de
57
overdrachtsfuncties heeft bepaald. De resultaten staan in tabel IV.4.
Tabel IV .4: Uit metingen geschatte overdrachtsfnncties ,Y!ID de
collector
H 0.91
= 1+5.7 s ag,8
0.258 e -0.4 s H ap,8 = (1+5.3 s}(1+4.3 s)
0.22 e -0.4 s H aw,8 = ( 1 +5 . 6 s )( 1 +4. 1 s)
H 0.016
= 2 qg,8 (1+5.1 s)
H 0.077
qp,8 = (1+4.8 s)(1+0.3 s)
H 0.066
qw,8 = (1+4.6 s)(1+0.5 s)
0.032 e -1.1 s H = (1+5.4 s}(1+3.6 s) fg,8
H 0.164
= (1+4.1 s)(1+0.9 s) fp,8
H 0.175
= 1+4.1 s fw,8
0.144 e -3.4 s H = (1+5.9 s)(1+5.0 s) Og,8
0.728 e -1.6 s
HOp,8 = (1+5.4 s)(1+2.0 s)
0.777 e -0.9 s
HOw,8 = (1+5.4 s)(1+1.8 s)
De grafieken IV .1 t/m IV .4 g;even de meetresultaten en de resultaten
voor het gefitte model voor achtereenvolgens stappen in q . t . f en z a
58
CJ)
co
r-
w CD .......... (/)
z 0
Lf)
CL (/)
w "<::t
0::::
(Y)
N
.........
4 6 8 1 0 1 2 TIJD [SJ
Grafiek IV.l: De responsies op een stap int a
1 4 1 6
t g.S
t p.S
t w.S
1 8
x gemeten aangepast met kleinste kwadratenmethode
59
CD 0
lO w 0 ,___, (J)
z 0 CL (J) '<:j•
w 0 0:::::
0
0 2 8 1 0 1 2 TIJD [SJ
Grafiek IV.2: De responsies op een stap in q z
1 4 1 6 1 8
t p,8
t g,8
x gemeten - aangepast met kleinste kwadratenmethode
60
N w ............
(jJ
z 0 CL (jJ OJ w 0 0::::
0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 TIJD [SJ
Grafiek IV.3: De responsies op een stap in f (geïnverteerd)
1 6
t w,8
1 8
x gemeten - aangepast met kleinste kwadratenmethode
61
m
co
r-- t w.S
t p.S w CD ............
([)
z LD CJ CL (f)
w ~ er
(Yl
N
- t g,S
0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 TIJD [ s J
Grafiek IV.4: De responsies op een stap in t 0
x gemeten - aangepast met kleinste kwadratenmethode
62
4. De analoge machine versus het Re-model.
In deze paragraaf zullen de voor- en nadelen van het RC-model ten
opzichte van het model op de analoge computer uiteengezet worden. De
modelvergelijkingen zijn ten bate van het RC-model verder vereen-
voudigd. Het is mogelijk de overdrachtsfuncties te bepalen voor deze
vereenvoudigde modelvergelijkingen op dezelfde manier als dat is
gebeurd voor de oorspronkelijke modelvergelijkingen in paragraaf 2 van
dit hoofdstuk en tevens het RC-model te simuleren op de analoge reken-
machine. Hierbij wordt dezelfde schaling toegepast. Deze berekening
gebeurt met het programma HANZABDBV en de resultaten staan vermeld in
2 tabel IV.5 . Als deze resultaten vergeleken worden met de resultaten
uit tabel IV.2 blijkt de gemiddelde afwijking in de statische
versterking ongeveer 2% te zijn maar deze kan in een aantal gevallen
oplopen tot
gemiddeld 3%
10%. De afwijking in de tijdconstanten T .. blijkt J,l
te zijn. De vergelijkingen van het RC-netwerk zijn
slechts een vereenvoudiging van de oorspronkelijke vergelijkingen
zodat deze op de simulator gesimuleerd kunnen worden zonder daarvoor
de schakeling te hoeven veranderen; alleen de potentiometerwaarden
moeten aangepast worden. Deze gewijzigde potentiometerwaarden zijn
berekend met het programma WPANZABDBV en staan in tabel IV.6. Met deze
2 )De in deze paragraaf genoemde tabellen staan in appendix A.
63
gewijzigde instelling zijn weer stapresponsies opgenomen. De
verschillen in dynamica bleken gering te zijn.
Een groot nadeel van het RC-model is de starheid. Met de analoge reken
machine kan door alleen de waarden van de potentiometers te
veranderen, de dynamica van andere werkpunten bestudeerd worden.
Eenvoudige regelingen zowel lineair als niet~lineair zijn snel te
simuleren. In een RC-netwerk is dit moeilijk. Het hik-gedrag zou in de
analoge rekenmachine nagebootst kunnen worden door een geschikte keuze
van werkpunt en schalingswaarden, alhoewel dan niet meer aan de
voorwaarden van een linearisatie wordt voldaan. In het RC-netwerk zou
dit kunnen gebeuren door een schijnbare RwO te realiseren met behulp
van een schakelaar die hoogfrequent, tijdgemoduleerd geopend en
gesloten wordt waarbij de aan/uit-verhouding gerelateerd is aan RwO.
Probleem is hierbij dat de schakeling uitgaande van een zeker werkpunt
bepaald wordt. Door RwO te veranderen klopt dit werkpunt niet meer.
De componenten van een RC-netwerk hebben toleranties die fouten
veroorzaken. Deze toleranties zijn in het algemeen veel groter dan de
toleranties binnen de simulator. Dit leidt tot grotere
onnauwkeurigheden.
Het RC-netwerk heeft het voordeel dat het eenvoudiger en sneller is.
De simulator is een zodanig ingewikkeld apparaat dat veel dingen fout
kunnen gaan. Voor gebruikers yoor wie iedere component een 'black box'
is, is het heel moeilijk fouten binnen de componenten of de resterende
verwerkingsapparatuur op te sporen. Voorbeelden hiervan zijn:
De digitale voltmeter van de analoge rekenmachine begint zonder
64
aanwijsbare reden verkeerde waarden uit te lezen. Dit is opgevangen
door de interne aansluitpunten van de voltmeter op te sporen en daarop
extern een andere aan te sluiten.
Niet geheel constant zijn van de referentie- en/of voedingsspanningen
hetgeen consequenties heeft voor de werking van een aantal compo
nenten, met name inverteerders.
Verloop tijdens metingen, bijvoorbeeld bij het opnemen van stapres
ponsies, waarbij de statische versterking groter bleek te zijn dan bij
eerdere statische metingen. De afwijking was ongeveer 30%. Deze
afwijking verdween na enige weken even plotseling als ze gekomen was,
zodat de metingen weer in overeenstemming waren met elkaar.
Een belangrijk deel van deze fouten is toe te schrijven aan de slechte
conditie van de simulator en het feit dat degene die deze machine
onderhield en derhalve goed kende enige maanden ziek was. Toch blijft
mijns inziens de analoge rekenmachine door zijn flexibiliteit en
grotere mogelijkheden te verkiezen boven een RC-netwerk.
65
V REGELING EN STURING
1. Algemeen
Alvorens de regeling te gaan bespreken, is het zaak de geschaalde
overdrachtsfuncties uit het vorige hoofdstuk {pagina 58) terug te
schalen naar de werkelijke overdrachtsfuncties. Aangezien de watertem-
peratuur de geregelde grootheid gaat worden, is schaling alleen
gebeurd voor de overdrachtsfuncties van de ingangsgrootheden naar de
watertemperatuur. Met de tijd- en de amplitudeschaling volgens tabel
III.1 {pagina 41) worden de overdrachtsfuncties:
0.22 e -40 s H = {1+560 s){1+410 s) V.1 aw,S
H 0.066 V.2 = (1+460 s)(1+50 s) qw,S
Hfw,S 3500 V.3 = 1+410 s
0.777 e -90 s
HOw,S = {1+540 s){1+180 s) V.4
De eenvoudigst te regelen ·grootheid is het waterdebiet aangezien
daarvoor slechts de instelling van de pomp aangepast hoeft te worden.
In principe is het mogelijk de zonnestraling als corrigerende groot-
66
beid te gebruiken door een soort jalouzie op de collector aan te
brengen die al naar gelang de stand meer of minder zonnestraling
door laat. De kosten en technische probiemEm die dit met zich mee
brengt, maakt dat deze manier van regelen slechts in speciale gevallen
toegepast zal worden, vooral ook omdat het rendement er nadelig door
beïnvloed wordt. Een toepassing als beveiliging tegen kookverschijn
selen in de collector, vooral bij overgedimensioneerde systemen is wel
mogelijk.
Vanuit theoretisch oogpunt is het mogelijk de ingangstemperatuur als
corrigerende grootheid te gebruiken door voorverwarmen of koelen. Ook
dit heeft een nadelige invloed op het rendement, terwijl de lange
looptijd in deze overdracht de regelbaarbeid ongunstig beïnvloedt.
Logisch en goedkoop is, het ingangsdebiet van de collector te onttrek
ken aan waterleiding of opslagvat en uit te gaan van het waterdebiet
als stuurgrootheid.
De grootte van het geïnstalleerde collectorsysteem en de instelling
van de variabelen is afhankelijk van de gestelde eisen. Mogelijke
~.:.:;en z::.jn:
1) Een constante uitgangstemperatuur
2) Een optimale instelling
3) Een aanluitregeling met een optimaal ingestelde flow.
Deze eisen komen in aparte paragrafen aan de orde.
Eventueel is het mogelijk een snellere regeling te maken door al
halverwege de collector of nog eerder. storingen te meten en te
corrigeren. Deze werkt geen storingen weg die na het meetpunt optreden
67
tenzij deze regeling gecombineerd wordt met een regeling via een
meetpunt aan het einde van de collector.
Een interessant aspect van de collector is de sterke overeenkomst in
dynamisch gedrag tussen water- en plaattemperatuur zoals duidelijk te
zien is in de grafieken IV.l t/m IV.4. {pagina's 59 t/m 62). Als de
eisen aan de regeling niet bijzonder hoog zijn, bijvoorbeeld in het
geval van een aanlui tregeling, kan volstaan worden met temperatuur
opnemers op de plaat in plaats van in het water. Dit is makkelijker
realiseerbaar. Voor een leegloop-systeem is dit zelfs een vereiste.
Eventueel verschil in statische versterking is snel analytisch te
bepalen met de methode in hoofdstuk IV en kan verrekend worden.
68
2. Stabiliseringsregeling van de uitgangstemper.atuur
Voor processen die een bepaalde temperatuur vergen, is het mogelijk om
warmte direkt aan de collector te onttrekken. ijierbij is het voor de
regeling niet essentieel of er al dan niet eer. vat in het collector
systeem is opgenomen. Bestudering van vergelijking V.4 laat zien dat,
dankzij de simpele dynamica van de collector, volstaan kan worden met
een eenvoudige proportionele regelaar. Voorwaartskoppeling is over
bodig.
Sterk wisselende vraag kan opgevangen worden door:
1) Een buffervat
2) Overdimensienering van het systeem.
In het eerste geval is, gezien de functie van het systeem, geen sprake
van gelaagde opslag. Het ingangswater van de collector wordt in dit
geval dus niet als bodemwater aan het vat onttrokken.
Als het systeem overgedimensioneerd is, kan de flow in gunstige
omstandigheden zeer groot worden. In dergelijke gevallen kan eventueel
gedacht worden aan regeling of beveiliging door het aanbrengen van
jalouzieën zoals beschreven in de vorige paragraaf.
69
3. Optimale sturing
De bedoeling van de optimale sturing is de vermogensopbrengst van de
collector te maximaliseren. Een groot versebi 1 maakt het of wel of
niet gebruik gemaakt wordt van een warmteopslagvaL
a) Zonder vat.
De vermogensopbrengst is te schrijven als (quasistatisch):
~
Q = ow F {Tw,N-TO) V.5
Berekenen van T uit de quasistatische collectorvergelijkingen I.l w,N
en !.2 en invullen in V.5 toont aan dat voor een momentaan optimum F
maximaal gekozen moet worden {in principe oneindig). Dit van geen
praktisch nut aangezien de watertemperatuur dan veel te laag is.
Bovendien moet in principe ook het extra pompvermogen in rekening
gebracht worden. Dit beperkt de keuze van F. Verder is in hoofdstuk II
aangetoond dat U geen constante is maar varieert met de flow (grafiek
11.8 in appendix B). Uit de vergelijkingen 11.30 t/m !1.37 {pagina's
21 t/m 23) kan met behulp van een optimaliseringsprocedure een
momentaan optimale flow bepaald worden als functie van collector-
parameters en omgevingsvariabelen. Omdat de momentane flow geen
70
invloed heeft op de energieopbrengst van het systeem op een later
tijdstip, is een momentaan optimum voor de flow tevens een optimum
voor energieopbrengst over een willekeurige periode.
b} Met vatopslag.
In de situatie mèt opslag ontstaat er via het vat een soort 'terugkop
peling'. Hierdoor wordt r0 op een later tijdstip zodanig beïnvloed
door de momentane flow dat de energieopbrengst op dat tijdstip ook
beïnvloed wordt. Om een zinvol optimum te vinden voor de flow moet
gekeken worden naar de totaalopbrengst over een bepaalde periode
(bijvoorbeeld een dag). V.d. Linden heeft voor een zonnecollector
systeem met opslag een dynamisch optimale sturing bepaald voor de flow
(Li t. 24). Naast echt optimale sturingen kan gebruik gemaakt worden
van suboptimale sturingen zoals:
1} Aanluitsturing met een optimaal te kiezen flow (vaak F ~ 1.5 x
vatinhoudlbedrijfstijd)
2} Wortelverbandsturing
3) Momentane sturing volgens Trouwen (Lit. 22).
De eerste twee vereisen een goede voorkennis van bedrijfstijd en
weertype terwijl de laatste tussentijds aanpast. Door zijn eenvoud is
de aanluitsturing het meest toegepast en komt in paragraaf V.4 aan de
orde.
Alle studies over voorgaande {sub)optimale sturingen zijn gebaseerd op
de quasistatische vergelijkingen !.1 en !.2. Berekenen van de quasi-
71
statische toestand van de collector volgens de vergel ijkingen II .30
t/m II. 37, waarin de temperatuur over de collector ver loopt, kan
invloed hebben op de resultaten van deze studies.
72
4. Hik-gedrag bij aan/uitsturing.
Een ongewenst verschijnsel in aan/uit-gestuurde collectorsystemen is
het zogenaamde hik-gedrag, het meerdere malen aan en uit schakelen van
d-- collectorpomp bij zonsop- en zonsonderga.Pg. Dit komt omdat d~
collector met waterdebiet = 0 in eerste instantie wordt opgewarmd
totdat de temperatuur boven in de collector de drempelwaarde heeft
bereikt. Als drempelwaarde wordt meestal een constant temperatuur
verschil met een referentiewaarde zoals de bodemtemperatuur in het vat
genomen. Wordt deze drempelwaarde bereikt dan wordt het debiet ~ 0.
Als de intensiteit van de zonnestraling nog niet voldoende is, daalt
de watertemperatuur zodanig dat deze beneden een andere drempelwaarde
komt waardoor het debiet weer nul wordt. Dit kan zich enige malen
herhalen. Bij zonsondergang treedt hetzelfde verschijnsel op. Dit
hik-gedrag heeft nadelige effecten voor het functioneren van de pomp
zodat dit zoveel mogelijk vermeden dient te worden.
Dit kan door de drempelwaarden of het debiet aan te passen. Smit en v.
Spanje (Li t. 23) stellen naar de Ron dat niet de dynamica van de
collector de directe oorzaak is van het hik-gedrag maar de instelling
van de aan- en uitschakelte~eraturen waarbij de laatste meer invloed
heeft dan de eerste. Bij een gegeven collector met bijbehorende
dynamica is dit duidelijk maar bij vergelijk van verschillende collec-
73
toren is de invloed van de dynamica evident.
De collector waaraan Smit en v. Spanje gewerkt hebben en de in deze
studie beschouwde collector zijn weliswaar van verschillend type, maar
wel van dezelfde ordegrootte wat betreft oppervlak en flow. Het is
interessant te kijken of er overeenkomsten te ontdekken zijn tussen de
resultaten van de onderhavige theoretische st~die en de experimenten
van Smit en v. Spanje. Hierbij is gekeken naar figuur 32 uit litera-
tuur 23.
Het is om twee redenen moeilijk de dynamica tijdens de opwarmperiode
te bepalen:
1) De situatieF= 0 past niet in deze studie omdat daarvoor een
andere afleiding geldt.
2) De metingen beschreven in literatuur 23 zijn verricht met een
leegloopsysteem, waardoor er geen watertemperatuur is die is te
vergelijken met de drempelwaarde. Daarom wordt op de plaat gemeten.
Zodra de pomp inschakelt, duurt het even voordat de collector
volloopt. De collector warmt dus nog even op. Zoals ook uit grafiek
V.l blijkt, is daardoor de werkelijke schakeltemperatuur anders dan
de gewenste. Dit is nadelig voor de efficiëntie van de collector.
De tijd dat de pomp aanstaat is uit te rekenen. Gekozen is de tweede
inschakelperiode van de pomp. Daarvoor geldt Q ~ 200 W/m2 . Met de z
methode uit hoofdstuk IV ~ijn voor deze zonnestraling de deel tijd-
constanten Tl . t/m Tg . en de statische versterkingen bepaald. De • 1 • 1
afwijkingen in deze deeltijdconstanten zijn zo klein ten opzichte van
de waarden in het in deze studie beschouwde werkpunt (Q ~ 500 W/m2
) z
74
dat de dynamica verondersteld wordt gelijk te zijn. Het verschil in
statische versterking wordt verrekend. Met dit model wordt een
bedrijfstijd voor de pomp gevonden van drie minuten hetgeen redelijk
overeenkomt met de uit de grafiek af te lezen waarde (~ 2.5 min.).
Bovenstaande methode kan ook gebruikt worden om een schatting te rnaken
van de flow waarbij net geen hik-gedrag optreedt. Daarbij wordt
gekeken naar de gewenste drempel temperaturen en niet naar de wer
kelijke drempel temperaturen als gevolg van leegloop. De flow wordt
zodanig klein gekozen dat de onderste temperatuurdrempel niet meer
bereikt wordt. In dit geval geldt F ~ 16 1/uur. De flow wordt bij
aanvang zo ingesteld. Als vervolgens de flow toeneemt naarmate de
zonnestraling toeneemt tot de gewenste waarde bereikt wordt, wordt
hik-gedrag vermeden.
75
Ç] -!..
I I I I
111 ·~ 1 ~
I ~
0 :::
... 8 ~ =
0
=
Grafiek V.l: Hikgedrag bij het inschakelen van de collector.
naar Smit en v. Spanje (Li t. 23).
76
VI roNQUSIES
De algemene differentiaalvergelijkingen voor een zonnecollector kunnen
gesegmenteerd en vervolgens gelinineariseerd worden. De daaruit voort
vloeiende werkpuntsvoorwaarden bepalen het temperatuurverloop in de
coUector in statische toestand.
De ver liesfactor U uit de quasi-statische collectorvergelijking is
geen echte constante maar varieert met het veranderen van de omgevings
variabelen.
De gelineariseerde collectorvergelijkingen lenen zich uitstekend voor
implementatie op een analoge computer, terwijl simulatie met een
RC-netwerk een onduidelijke kunstgreep vereist om de vergel ijkingen
'passend' te krijgen.
Theoretisch valt af te leiden dat een collector onder normale
omstandigheden een stabiel systeem is.
De overdrach.:sfuncties van de ingangsvariabelen naar de ui tgangs
variabelen zijn alle goed benaderbaar door eerste- of tweede-orde
overdrachtsfuncties al dan niet met looptijd.
Voor een stabiliseringsregeling voor de uitgangstemperatuur kan
volstaan worden met een proportionele regelaar.
Gebruik van de vergelijkingen II.30 t/m II.37 {pagina's 21 t/m 23)
voor de bepaling van het werkpunt kan invloed hebben op de resultaten
van studies over optimale sturing.
77
APPENDIX A: TABEl I EN
Tabel 11.2: Waarden van collector constanten
B = 0.604 m
= 9.82 -2 g Tl! s
L = 5.2 m
Nu = 4.12
a = 0.04
{3 = 0.8
/31 = 3.2 10 -3 K -1
ö = 4 10-3 m g
ö gl = 6 10-3
m
öl = 2.5 10-2 m
ö = 1.8 10-3 m p
ö = 1.06 10-2 m w
t = 0.95 g
t = 0.15 p
lg = 840 J kg-1 K-1
lgl =2400 J kg-1 K-1
ll = 1010 J kg-1 K-1
lp =.880 J kg-1 K-1
lw = 4176 J kg-1 K-1
Àl = 0.025 J s -1 -1 -1
m K
À =206 J s -1 -1 -1
m K p
78
Tabel 11.2:vervolg
À = 0.64 J s -1 -1 -1 m K w
J..L = 0.151 m -5 2 -1 VI = 1.67 10 m· s
.". = 3.14159
pg = 2710 kgm -3
pgi = 1120 kgm -3
PI = 1.2 kgm -3
pp = 2710 kg m -3
Pw = 992 kgm -3
a = 5.67 10-8 -1 -2 -4 J s m K
79
Tabel III.2: Waarden van de constanten in de simulatie en
temperatuurverloop in de collector
KQA= 4.3929011E-04 KQB= 1.8636550E-02 KA= 1.6988506E-01 t\WF'=- 1.1499S63E:oo KPW= 2.0390171E+OD KWO= 3.2951486Ei00 KW= S.3341657E+OO
TG TF' TW 1 2.9186184Et02 3.0466267E+02 2.9745813Et02 " 2. 9284323E ~-02 3.0865814E-!02 3.0173940El02 4
.j 2.9382443E+02 3 .1247509E+02 3.oss.;31BE+02 4 2.9479545E+02 3 .1611766E+02 3.0977067E:02 5 2.9574933E+02 · 3 .1959033E +02 3.1352429E+02 6 2.9668114E+02 3.2289808E+02 3.1710748E102 7 2.9758737Et02 3.2604606Et02 3.2052430(+02 8 2.9846538E+02 3. 29039 63E ·}02 3.2377935E+02
KV KPG KG 1 4.49ó0921E·04 2. 9753828E ··02 1.8607396E··Ol ., 6.1928362E-05 3.1739885[-02 1.8833089E-01 ... 3 -3. 2567623E-·04 3.3460601E··02 1. 9033540E ··0 1 4 -7.0926118E-04 3.4985526E-02 1.9215077E-01 5 -1.0860722E··03 3.6357426E··02 1.9381534E·01 6 -1.4541683E-03 3.7604829E-02 1.9535445!::-01 ., -1.8121573E··03 3.8747834E··02 1. 9678583E-01 I
B -2.1590751E-03 3.9801270(-02 1.9812256E-01
KGP KP KF 1 6.0427492E-02 1.2131010E+OO 9.7934629E-02 2 6.3951857E··02 1.2173139E+OO 9.4049533E ·02 3 6.6932562E-02 1.2209639Et00 9.0150504E-02 4 6. 9516855E ··02 1.224198óE+OO a.6277SS1E·o2 5 7.1795490E-02 1.2271086EtOO 8.2458383E-02 6 7 .3829129E··02 1.2297547E+OO 7.8714190E ·02 7 7.5660606E-02 1.2321792Et00 7.S059641E-02 a 7. 73215S3E ··02 1.2344138E-!OO 7.1305688E·02
80
Tabel III .4: De parameterwaarden van het RC--tDOdel
L ; .10~6V~vl·!·J3
~ .2~2640Clt03
L ~L ~.1486412Et03
•-' 2. ~·1J6184E-t02 :::. 'i.2~:43.23E to:
,, 2.9382443E+02 ..: • ·;4 .~··r~4~E·t 02
J 2. 95~'4933Et02 :. ·ï~6811~L+02 2. 9;':::ï873?Et02 .. : ~ ·:-'D~~~S!j~[ J J~
.·.\.· 2.04 Y81VEtOO 2.81 4/';)9[-01
3 --1.48 7387Et00 - 3 .2;.:: 1085Et00
;::.; -4.?4 6658Et00 ,:::. ··-c • .:.2 S4.59E-t00 7 ··u.2:J 4183t:-tOO
• .v- B!::Ji.::too
TF' 3o046ó267E+02 3.0865814Et0::.! 3 .1247509E+02 3.16117641:.+02 3 .1959035EHl2 3.2289809Et02 3.2604607Et02 3. 2'1(>3?67E+02
U' 4.7420130E+04 4.5538959E-tV4 4.3651042E't04 4ol?l::i668E:.-/O•l 3.9926622[+04 J,S113.:i09Et0"i 3oó344045E+04 3, 4623235E Hi4
lW -·· 2.9745813E+02 3.0173940E+02 3,0584318E+02 3.0977066E+02 3.135243.0E+02 3.1710749Et02 3.2052431E+02 3.2377936E+C2
RAG RGP_. 6.6359462E-02 3 • .7730.6B9E -01 6, 623009J E-02 3,5514381E-Ol "'. 61 00834.E-.02. .3.3.8144.9§E-01 6, 597J007E-O_~ .3 .. ~4~3:U4E-OJ ó. 5847523.E=02-- _ Ll33.0.130.E -Q.l o.5725025E-02 J,OJI33204E-01 6.5605971E-02 .. .2.'i571476E-01 6. 5490676.E-02-- 2 ._as66::ï60E -o 1
--- -- -· ·------···· --
81
Tabel IV.2: Statische versterking en tijdconstanten theoretisch
SAG SQG SFG Sül:.
1 9.2454674E-01 3. 9013529E-·J3 4. 4l9ES92E -03 1.~871.373E-01 ") 9.1904291E-01 3.3511894E-03 8.9710587E· 03 1.~1'13C,50E·Ci. ... 3 9.1522881E-01 7.2351295E-03 1.35;)21ó4E-02 1.534809!JE-01 4 9 .12662:56E -·01 a. 9311890E ··03 1. 7'r18781E -·02 1.538I620E- (I :i 5 9 .110ó378E-01 1.0623484E-02 2.2158451E-02 1.5322/SSE-01 6 9.1023917E··Ol 1.2300110E-·02 2.617919SE-02 1.31'i'2039E- 01 7 9.1004790E-01 1.3951950[-02 2.9953091E-02 1.5J04466E-01 8 9 .1038261E-·01 1.:5571955E-02 3.3462395E-02 1.4771674E-01
SAP sar· SFf' SOF' 1 7. 2226509E -·02 2.4398211E· 02 2. 7641087E-·02 9.3002330E-01 2 1.0079133E-01 3.2938380E-02 5.3230420[-02 9.0149051E-01 3 1.2896899E-·01 4.1155903E··02 7 .6804947E··02 8. 7305263E -·0 1 4 1.5674349E-01 4.9052709E-02 9.8415200[-02 8.4480367E -'01 5 1.8409113E-·01 :::;.6632010E-02 1.1812299E 01 8.1683215E-01 6 2.1098932E-01 6. 3898211 E -02 1.3599910E-01 7.8921579E-01 7 2.3741905E ·01 7.0856763E-02 1.5212060E·-01 7. 620210H:- 01 8 2.6336536(-01 7.7513998E-02 1.6656894E-01 7.3530365[-01
SAW SQW SFW sow 1 2.7609020E-02 9.3263639E-03 2.8925850E-02 9.7325097E-Ol 2 5. 5623040E ··02 l.s.s::,uvvE-·02 S.58479:55E-02 9.4~82010E-01
3 8.3807940E-02 2.7069054E-02 8. 0759473E·-02 9.1800428E-01 4 1.1200074E ·01 3.5472439E··02 1 • 0 368300E ··0 1 8.9C02290E 01 5 1.4008253E-01 4.3560813E-02 1.2466131E-01 8.6204528E-01 6 1.6796393E··Ol 5 .1334906E·-02 1.437:5185E ··01 8.3420576E··Ol 7 1.9557645E-01 5.8797253E-02 1.6102234E-01 8.0661270[-01 8 2.2286692E-·Ol 6.5951842E··02 1.7654779E··Ol 7.7935437E 01
TCl TC2 TC3 1 S.4660688E+OO t.4094321noo 1.7120684E-01 2 5. 4108511Et00 1.4011720(+00 1. 7119452E-01 3 S.3628724E·:·OO 1.3940689HOO 1.7118384E 01 4 5.3202301E+OO 1.3878163Et00 1. 71174351::-01 5 S. 2817723E 1·00 1.3822256Et00 1.7116581E··Ol 6 5.2467381E+OO 1.3771709Et00 1.7115803E-01 7 S.2145937Et00 1. 372Só34E i·OO 1. 7115089E··01 B S.1849446Et00 1.3óB3377EtOO 1.7114431E-01
TC4 TCS TC6 1 1.41Só087Et00 1.712077óE-01 1.8747074E-01 2 1.4080408Ei-OO 1. 7119SSóE ··01 1.8747074E· 01 3 1.401SS01Et00 1. 711849BE-01 1.8747074E-01 4 1 • 395848SE i·OO 1. 7117560E ··01 1.8747074E-01 5 1.3907591Et00 1. 711671SE-01 1.8747074E-01 6 1.3861642Et00 1. 711594óE-·01 1.8747074E-01 7 1.3819809Et00 1. 71152401::-01 1.8747074E-01 8 1.3781480HOO 1.7114590E·01 1.8747074E··01
TC7 TCB TC9 1 5.3742071Et00 5.4231618E+OO S.2314779E·01 2 5.3098035Et00 5.3659007Et00 S.2015431E-01 3 5.253883SE+OO S.3144306El00 S.1737301E-01 4 S.2042467E+OO 5.2687160Et00 S.1529509E-01 s S.159:5502Ei-OO 5.2275201(-}00 8.1325363E ·01 6 S.1189005Et00 S.1900228Et00 S.1140397E-01 7 5.0816667Et00 5.1556474EiCO 8.0971465E·Ol 8 s.o473S07Etoo 5.1239666E+I)0 S.OS16242E-01
Tabel IV.3: Statische versterking be~ld met de simulator
SAG SGG SFG SOG 1 9.2283905E-01 3.9468B72E-03 4.6055303E-03 1.4929369E-01 2 9.1825265E ·01 6.2940670E-03 9.0019S32E 03 l.:ï273413E-01 3 9 .1411192E-01 7.2605849E-03 1.3433872E-02 1.5282121E-Ol 4 9 .1177059E-·01 a. 9239159E -·03 1. 7876376E ··02 1.3334005E-01 5 9.1041325E-01 1.0604263E-02 2.2047688E-02 1.5231436E-01 6 9. 0996232E -·01 1.2318995E··02 2.6161S14E-·02 1.3172653E-01 7 9.079613SE-01 1.3934875[-02 2.9994470[-02 1.500009BE-01 B 9. 0940454E ··01 1. 5617126E ·02 3 .3477993E·-02 1.4737205E-Ol
SAP SGP SFF· SOP 1 7.3693396E-02 2.4320767E-02 2.7464531E-02 9.2525156E-01 2 1.0271931E-·01 3.3349386E-02 S.3343867E-02 9.0246378E 01 3 1.2946953E-01 4.1213181E-02 7.6512939E-02 8.7005107E-01 4 1.5717883[··01 3.3004397E-02 9.8122639E-·02 8.4153033E··01 5 1.8449159E-01 5.6615790E-02 1.1779SSSE-Ol B.1304413E-01 6 2 .1066814E-·01 6.3894391E·-02 1.33i'6850E·Ol 7 .8611087E··Ol 7 2.366029SE-01 7.0853623E-02 1.519252SE-01 7.5800056E-01 8 2 .6121160E .. 01 7.7456387E-02 1.6624000E-·01 7.3070464E-01
SAW saw SFW sow 1 2 .8150016E·-02 9. 2925378E·-03 2.8841367E-·02 9. 7092154E ··0 1 2 5.6618507E-02 1.84719SBE-02 5. 5779878E ··02 9.44BOB18E-01 3 1.6640169E-·01 3. 0035879E ··02 8.0546359E·02 9.1577654E-Ol 4 1.1206684E-01 3.5537299E-02 1.0341565[-01 8.8693424[-01 5 1.3988682E··01 4 .3602643E-·02 1. 2446432E··01 S.S891300E-01 6 1.669903SE-01 5.1380651E-02 1.4356009E-01 S.3129657E-01 7 1. 9361397E··01 5. 8867462E ··02 1.6094944E-01 a.027J022E-01 B 2.1953324E-01 6.6001917E-02 1.7640926E-01 7.7544809E-01
83
Tabel IV.5: Statische versterking en tijdconstanten
van het ana.lQgon SAG SQG SFG :.:•\.•'-'
1 8.59307v6E-01 3. 67'09350[ -03 4.1B15137E-03 1 .~Gé.·;·:t:r:E-01 "l 8.5656743E·01 3. 231•9595E···Ct3 8.46718'i8E· ~J3. 1.4343~~~3E- G~ ... 7 S.5534843E-01 6.8166530(-03 1.2718964[-02 1.44óSó71E-01 oJ
4 8.5::i23518E·01 8.4014972E·03 .t. 68522·;·sE --02 1.4478'7'74C> ~~1 5 8.5596370E-01 9.9806466[-03 2.0812402E-02 1.4410381[-01 6 8.573::i214E··01 1.1543911E·02 2.4363304[· 02 1.4278778[·01 7 S,592ó831E-01 1. 308361 S'E-02 2.8081757E-02 1.4097971E-01 8 8,ó161204E··Ol 1.4593946[·02 3.1353617E· 02 1.3S78460E·Cil
SAP SQF' SFF' sor· 1 6, 8712137E ··02 2.4431383[·02 2.7678670[·02 9.312S785E-01 ") 9,6451512E-02 3.300M51E-02 5.3338782E-02 9.0354845[-01 ... 3 1.2404813E ·01 4.1278920E·02 7.7020954[·02 8.7598308E·01 4 1.5147525E-01 4.9244555[-02 9,8778099E-02 8.4867090[-01 5 1. 7869867E ··01 5.6910094[··02 1.1867325E ··0 1 8.2168639[· 01 ' ó 2.0S68509E-01 6.4280682[-02 1.3677739E-01 7.9509415[-01 7 2.3240449[·01 7 .1362242E ··02 1. 5316688E ··01 7 .6894840[··01 8 2.5883069E-01 7.8161331E-02 1.6792171E-01 7.4329377[-01
SAW SQW SFW sow 1 2, 6265630_E -02 9.3390449[-03 2.8940217[-02 9.7373435[-01 "l 5.3128413E··02 1.8387010E·02 3.5898231[ 02 9.469053:JE·01 ... 3 8.0363552E-02 2.7137581[-02 8.0873113E-02 9.1979487[-01 4 l.0781104E-·01 3.5588105[· 02 1.0389192E-·01 8.9260729E··01 5 1.3535094E-01 4.3738564E-02 1.2500071E-01 8.6549734[-01 6 1.6289016E··01 5.1590913E-·02 1.4425902[·01 8.3858528E-01 7 1. 9035462E-01 5.9148622E-02 1.6173559E-01 8.1196615[-01 8 2.1768429E 01 6.6416344E··02 1.77::;0549E·01 7.8571570[ 01
TC1 TC2 TC3 1 :5.2771873[100 1.411S027E·:-oo 1.7121081E-01 2 5 '2292407!:+00 1.4041415Et00 1. 7119954E -01 3 5.1881096Ei-OO 1.3976176HOO 1.7118988[··01 4 5.1519615(+00 1.3919253Et00 1.7118140[-01 5 5.1196813El·OO 1.3868763HOO 1. 7117384E··Ol 6 5,090530BEtOO 1.3823450Et00 1.7116702E-01 7 5.0639918E+OO 1.3782427Ei-OO 1.7116083[-·01 8 5,0396823Et00 1.37450401::+00 1.7115516E-01
TC4 TCS TC6 1 1.4180916Et00 1. 7121173E-01 1.8747074[-01 ") 1.4111421HOO 1. 712005BE··01 1.8747074[ ·01 ... 3 1.4052493E+OO 1. 7119103E-Ol 1.8747074[-01 4 1.4001261E-l-OO 1. 7118265E··01 1.8747074E ·01 5 1.3955961E+OO 1.7117518E-01 1.8747074E-01 6 1. 3915418E l·OO 1. 7116845E-01 1.8747074E-·01 7 1.387BB02E+OO 1.7116234E-01 1.8747074[-01 8 1. 3845506E l·OO 1. 7115674E- 01 1.B747074E .. 01
TC7 TC8 TC9 1 5 .1902898E i·OO 5.2381525HOO 8. 2406988E ··01 2 5.1334462E+OO 5.1862476E+OO 8.2131126E-01 3 5,084:5710Ef00 5.1416734HOO 8.1895812E·01 4 S.0415566E+OO 5.1024739E+OO 8.1690183E-01 5 S.0031124Ei·OO 5.0674552E+CO 8.1307549E· 01 6 4.9683785Et00 S.0358246E+OO 8.13434401::-01 7 4.9367483Ei00 s. 0070243[ ·l-00 8.1194701E··01 8 4.9077729EtOO 4.9806426E+OO 8.1059005[-01
Tabel IV.6: Parameterwaarden en temperatuurverloop
voor de analogonvergelijkingen
• .!4J.:.>f.!.2i.:. ;-Cr~
,,,(.J.:.· 1 .. J6~~Jó~.jUL--02 ••• 1· ~~~~~)~·~~~Lr~0
.·.~J~·= J.~9~1~b6EtOJ
hW:: ~ •. 3~·-ll.::·~~.:'L·~ Cü
1
___ ,3_
4
IC T F . . TW ---·----- __ 2. 91&6l84Et.02 3 .04i>.6267Et02 .. _24 9l~58.1.1E.:W.2. 2, 7':28432.3E.t02 3. QB6::iSl.4E+ 02 -·-·- 3,,.0lZ,J~~D..Ei.Q2._
.2. 9382443Et02 .. __ .3.l.2475.0.9.EtD2 ____ ...J...O!ia!31Bt±.02.... 2.7·i?:;:i4'5E+02 3.1611764Et(J2. 3,05!77Q.6.6ft.O.<! 2. 9::i7.4933E+.02 .3 .1939035H02 _ 3,13.52430Et02._ 2. ~, .o.:;8.;.l::JEH'2 :C, 228980'/L1C2 .. _ .3 ..171.0.74.9.E.t.02 .. ;;: • 'i7;';S73'/E·H)2 J. 26•)46ü7EJ02 _ . ...3 • ..20.524l1E:t..02 __ ~i·;; ~ .. tL.SSl'L+ü..... ._j ~ ...;·,.·~J~96/t:. t ~·:2 3 .• 23.7793"E1:02
J_ 4.4960926E-04
.6 _ . :-1.. ·l:.i41ó'i'JE- OJ -- :z __ . . -1 .. .S121636E-=o0.3.-____ a--··. -:2 .1.5t_ü.)'B?~~:.:o.J
85
APPENDIX B: GRAFIEKEN
1U 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 400 400
390 390
389 380
370 370
360 360
350 350
340 340
330 330
320 320
310 310
300 300
290 290
280 280 U0 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
Grafiek II.3: Uitgangstempe~atuur (K) als functie van Qz (W m-2).
o volgens vergelijkingen I.l en !.2
c volgens vergelijkingen II . 30 t/m I I. 37
86
• 0025 • 0fi!l5 . fi!l075 . 01 . 0125 . 015 .fi!l175 . fi!l2 .fi!l225 .025 •. 0275 .03 360 360
355 355
350 350
345 345
340 340
335 335
330 330
325 325
320 320
315 315
310 310
305 305
300 380 .0025 . lUS .011175 • fi!l! .0125 .015 .0175 .02 .0225 .025 .0275 . 03
A -1 Grafiek I I. 4: Uitgangstemperatuur (K) als functie van F (kg s ).
o volgens vergelijkingen I.l en I.2
c volgens vergelijkingen I I. 30 t/m II. 37
87
34527ra _____ 2r7s _____ 2TB_e ____ 2TB_5 ____ 2T9_0 ____ 2T9_5 ____ 3ï0_0 ____ 3ï0_5 ____ 3ï1_0 ____ 3~t~5----3~2 ~ 45
340
335
325
320
315
3U)
305 305
300 ~----~----~----~----~----~----~----~----~----~--~300 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320
Grafiek 11.5: Uitgangstemperatuur (K) als functie van T (K). a
o volgens vergelijkingen 1.1 en 1.2
c volgens vergelijkingen 11.30 t/m 11.37
88
275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 270 345 ~----~----~----~----~----~----~------r-----~----~----~345
340 340
335 335
338 330
325 325
320 320
315 315
310 310
305 305
~----~----~----._ ____ ._ ____ ._ ____ ~----~----~----~--~300 300 270 275 285 290 295 300 305 310 315 320
"' Grafiek II.6: Uitgangstemperatuur {K) als functie van r0
{K).
o volgens vergelijkingen I.l en !.2
c volgens vergelijkingen II.30 t/m II.37
89
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 14 14
13 13
12 12
11 11
10 Ul
9 9
8 8
7 i 7
6 1 6
5 5
4 ~ 4
3 3
2 2
0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
-2 -1 "' -2 Grafiek II.7: Verliesfactor U (W m K ) als functie van Q (W m ). z
90
.0025 .005 .0075 . 01 .0125 .015 .0175 . 02 . 0225 . 025 . 0275 .03 30 30
28 28
26 26
24 24
22 22
20 I 20
~ 18 18
I
16 r 14
I 14
12
~ j [ 2
10 10
I
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0 .0025 .005 .0075 . 01 .0125 . 015 . 0175 .02 . 0225 .025 .0275 . 03
-2 -1 A -1 Grafiek II.S: Verliesfactor U (W m K ) als functie van F (kg s ).
91
275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 270 40 ~----~----~-----r----~----~------~----~----~----~----~40
35 35
30 30
25 25
20 ~
15 15
10 10
5 5
~----._----~----~----~----~----~~----~----._----~----~0 " 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315
-2 -1 A
Grafiek II.9: Verliesfactor U (W m K ) als functie van T (K). a
92
320
275 280 285 290 295 300 315 320 270 40 r-----~----,------r----~----~----~~----T-----~----~----~40
35 35
30 30
25 25
I
I 20 20
15 15
5 1 5
~----~----~----~----~----~----~------~----~----~----~0 B 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320
-2 -1 Grafiek II.lO: Verliesfactor U (W m K ) als functie van T0 (K).
93
2 3 4 . 041 5 6 7 s
. 041
• ~4 -..., . 04
,;p~ /: • - .,J; ,..
.., . 039
.038 ,... i ~ . 038
i i .a37 j-
~ . 03~ I
! I I .036 i
...; . 03é r I I I . 335 i
-i . 0 3~ .... I
! ' I . 334 L i .(B4 ! I I .033 ~ . 033
I I Grafiek III .1: I .032 i . e32
K ! per segment. I pg, i .031 i . 031 I I . e3 -i . 03
.029 I • 029 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 0 7 8 • 2 . 2
. 199 . 199
.198 . 198
.197 . 197
.196 . 196
. 195 . 195
.194 .194
. t:J3 . 193
.192 . 192
. 191 . 191
. 19 Grafiek III.2: . 19
. 189 .189
K g, i per segment. • 188 .188
. 187 . 187
• 186 .186
• 185 .185 1 2 3 4 5 6 7 8
94
95
2 3 4 ~ 6 7 8 ~" 2!1. ~-24
1 i ' ;.2375 ï ..., . ... ~ .. -I .. :.;;;:;:, I
' ; t. 235 ..I !.23S
A 1.2325 f-:.2J25 i
I
I ' i. 23 ;...
j ~. 23 i
j I
1. 2275 I ' l. 2275
r "'i I I
I I
j 1. 225 ~ t. 225 I i I I 1.2225
I I I 1 1. 2225
i I 1. 22 ....
... ! . 22 I I I L 2! 75 I Grafiek III.5:
V I !.2175 I 1.215 I
1. 215 K 1 p, i per segment.
I 1.2125 i !.2125
I
1. 21 l L 21 2 3 4 s 6 7 8
J_ 2 3 4 ~ ó 7 a . e.;;ç·
.09Ç .... 0.., ' .~?;: -" -. • \!:.I
' ' . JÇ:: !-
""-," ~ .~9~
. f); 3 - ·, ï ".r.~
" .,:.,._ (3Q• '· .~9~
r ' .0f:Ç r- -~ - .0~9
I
"" ' . 087 r "-...~
-i . 087 .kl65 f-
ï . 085 I
. 083 I
J .083 r I . 081
j
..J . es 1 I '"'- ' i .079 r ~ .e79 I
J . ~7ï I
-I . 07? r I Grafiek III. 6: I
. ~F5 I
.C?S r -: I
.073 !
I .~73
Kf . per segment.
~ : '1 ' • 07 ~
-, .071 I
.ld69 L ~ • 069 I
. 067 .067 2 ':1 4 5 6 7 8 ""
96
APPENDIX C: DE WERKING VAN DE AN~ roMPOTER
Met een analoge rekenmachine kunnen differentiaalvergelijkingen op een
analoge manier gesimuleerd worden. Dit gebeurt met behulp van elec
tronische elementen die op een zodanige manier met elkaar doorver
bonden kunnen worden dat het aldus ontstane systeem aan dezelfde
vergelijkingen gehoorzaamt, als het te simuleren systeem. Deze
eenheden die in staat zijn diverse bewerkingen uit te voeren, zoals
optellen, vermenigvuldigen en integreren, zijn opgebouwd met behulp
van weerstanden, condensatoren en diodes rond een operationele
versterker. De differentiaalvergelijkingen worden gerealiseerd op een
zogenaamd patchpanel waar men met behulp van stekkers en draden ver
bindingen kan leggen tussen de diverse analoge eenheden. Alle eenheden
hebben een eigen adres. Het resultaat van de berekeningen kan op een
plotter of een oscilloscoop afgelezen worden. De analoge eenheden
zijn:
1) De opteller. Deze bepaalt de som van de ingangssignalen en keert
deze van teken om. Aan de ingangssignalen kunnen gewichtsfactoren
toegekend worden (in de machine van de vakgroep is dat 1 of 10).
De schematische voorstelling van de opteller is als volgt:
x(t)
y(t)
-[x(t) + 10 y(t)]
Figuur C.1: Schematische voorstelling van de opteller
97
2) De integrator. Deze integreert het ingaande signaal naar de tijd.
Technisch gezien gebeurt dit door een condensator te laden met
een stroom die de ingangsvariabele voorstelt. De operationele
versterker zorgt weer voor een min-teken in de uitgang. Ook kan
er nog een beginvoorwaarde (initia! condition: IC) aan de
integrator toegevoegd worden die bij de uitgang opgeteld wordt.
Als meerdere signalen toegevoegd worden, worden deze opgeteld en
dan geïntegreerd. Ook hier zijn er weer gewichtsfactoren te
kiezen. De schematische voorstelling van de integrator is gegeven
in figuur C.2:
IC
x(t) t
Y( t) >---[J [x(t) + 10 y(t)]dt +IC]
0
Figuur C.2: Schematische voorstelling van de integrator.
3) De verme:.1igvuldiger. De vermenigvuldiger bepaalt het produkt van
de ingangssignalen en inverteert dat. Hiervoor heeft deze zowel
de normale signalen als de geinverteerde signalen nodig. De
schematische voorstelling is:
x( t) x Y(t)
-x(t) -y(t)
-x(t) y(t)
Figuur C.3: Schematische weergave van een vermenigvuldiger.
98
4) De potentiometer. De potentiometer vermenigvuldigt het ingangs-
signaal met een voor elke potentiometer apart in te stellen
factor K (0 ~ K ~ 1) .Dit gebeurt zonder tekenwissel ing. Figuur
C.4 geeft een schematische weergave:
K
x(t) ---1Q1--- K x(t)
Figuur C.4: Schematische weergave van een potentiometer.
5) De inverteerder. Deze heeft slechts een ingang en doet niet
anders dan deze inverteren zoals gegeven in figuur C.5.
x( t) -x( t)
Figuur C.5: Schematische voorstelling van een inverteerder.
Als voorbeeld van het gebruik van de analoge computer wordt de
volgende differentiaalvergelijking opgelost:
2 -w x(t) C.l
met als oplossingen:
x(t) = sin wt of x(t) = cos wt C.2
99
Op het patchpanel ziet deze differentiaalvergelijking er als volgt
uit:
2 d x(t}
dt2
2 -w x( t)
IC ~
w
dx(t) dt
IC x
-w x( t)
Figuur C.6: Sinus/cosinus oscillator op het patchpanel
Op deze manier wordt een sinusgenerator gebouwd.
100
+w x(t)
APPENDIX D: AFLEIDING VAN DE LINEAIRE VERGELIJKINGEN
EN DE BI.JBEH()RENDE mKPUN'fSVOORWAARDEN
De collectorvergelijkingen voor het ie segment luiden als volgt:
C drg,i = é a (9.28 10-6 r 6-r .4) +a Q + g dt g a g, 1 z
k Ir .-r . 11
·37 sign(r .-r .) + 2 p,1 g,1 p,1 g,1
(r -r .) 8 _6 y0.6 a g,1
L 0.4 s
k (r .4-r .4 ) + 1 p, 1 g, 1
C drp.i = ~ Q + k1 (r . 4-r . 4) + k_ (r .-r .) + p d t z g' 1 p' 1 -""3 w' 1 p' 1
k Ir . -r . 11.37 . (r r ) 2 S1gn .- . g,1 p,1 g,1 p,1
C dr . (rw,i-rw.i-1) w, 1 = k3 (r . -r . ) - l F B Ax w dt p, 1 w, 1 w
D.1
D.2
D.3
Nu worden alle tijdafhankelijke delen gesplitst in een tijdafhankelijk
deel, aangeduid met een kleine letter, en een tijdonafhankelijk deel,
aangegeven met een A. Het is'mogelijk deze vergelijkingen te benaderen
door een raylorreeks-ontwikkeling. Als tevens aangenomen wordt dat de
tweede en hogere orde termen verwaarloosbaar klein zijn en dus weg-
101
gelaten kunnen worden, krijgt men de volgende vergelijkingen:
d A -6 A 6 A 4 C t · = a Q + a q + 9.28 10 ~ a T + ~ a T +
g d~' 1 z z g a g g,i
5.568 10-5 ~ aT 5
t - 4 ~ aT .3 t . + g a a g g,1 g,1
A A
Ao 6 (T-T .) Ao 6 (t -t .) 8.6 v · : 0~:/ + 8.6 v · : 0~:/ +
s s
(T-T .) A 4 A 3 5.16 v a g0
1
4 + k
1 T . - 4 k
1 T . t . +
(L V) . p,1 g,1 g,1 s
A 3 4 4 k 1 T . t . - k
1 T . +
p,l p,l g,l
A A 0.37 1.37 k2 IT .-T .I (t .-t .) -p,l g,l p,l g,l
k2 1 r . -r . 11. 37 c t . - t . > ó er . -r . > p,l g,l p,l g,l p,l g,l
A A 1.37 • A A k2 IT .-T . I Slgn(T .-T .) p,l g,l p,l g,l D.4
C dt . R QA R ~ (TA TA ) ~ ( ) p,l = ~ z + ~ qz + .- . + t i-t . + p dt W,l p,l W, p,l
102
A 3 A A 0.37 4 k1 T . t . + 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) + p,1 p,1 g,1 p,1 g,1 p,1
A A 1.37 • A A
k2 Ir .-r .1 s1gn(T .-r . ) -g,1 p,1 g,1 p,1
k2 1r .-r . 11·37
(t .-t .) ó(T .-r .) D.5 p,1 g,1 g,1 p,1 g,1 p,1
C dtw. i = k_ cT .-T . ) + k_ (t .-t . ) -w d t --:3 p . 1 w • 1 --:3 p • 1 w . 1
A A A A
A {T .-T · 1> (Tw,i-rw.i-1) l F w, 1 w' 1- - l f --'-;::--:--"---w B Ax w B Ax
A ( t o -t 0 1) l F W,1 W,1-
w B Ax D.6
De ó-functie kunnen we weglaten aangezien de situatie dat de
glastemperatuur gelijk is aan de plaattemperatuur niet reëel is. Door
nu het werkpunt zodanig te kiezen dat de nulde-orde termen wegvalle.:1,
krijgt men de volgende vergelijkingen:
C dtg,i =a q + 5.568 10-5 é aT 5 t - 4 é aT .3 t . +
g dt- z g a a g g,1 g,1
( t -t . ) (T -T . ) 8.6 y0.6 a g,1 + 5.16 v a g,1 +
L 0.4 (V L )0.4 5 s
A A 0.37 1. 37 k- I T . - T . I ( t . - t . ) -
-"2 p. 1 g. 1 p. 1 g. 1
103
3 ,.. 3 4 k1 T . t g, i + 4 k1 T p, i t p, i g,1 D.7
dt 3 ,.. 3 c E· i = (3 qz + 4 k1 T t g, i - 4 k
1 T . t p, i + p
dt g, i p,1
,.. ,.. 0.37 1 . 37 k2 I T . - T . I ( t . - t . ) + p,1 g,1 g,1 p,1
k_ ( t .-t . ) -""3 w. 1 p, 1 D.S
d t ,.. ( t . -t . 1) C . k (t t ) -"" F W,1 W,1-
w d~' 1 = 3 p, i- w, i •w B Ax
D.9
Voor het eerste segment komt het water met een temperatuur t0
de
collector binnen en verandert D.9 in:
D.10
De voorwaarden die volgen u~t het nul stellen van de nulde orde termen
zijn de volgende:
104
k Ir .-r . 11
·37
sign(r .-r .> + 2 p,l g,l p,l g,l
8.6 v0·6
{T-T .) = 0 a g,1
A 4 A 4 A A
~ Qz + k 1 {T . -T . ) + k_ (T .-T .) + g,l p,l -~ W,l p,l
A A 1.37 • A A
k21T .-T .I Slgn{T .-T .)=0 g,l p,l g,l p,l
A A
A A A {Tw.i-rw.i-1) k3 (T .-T .) - lw F B Ax = 0 p,l W,l
D.ll
D.12
D.13
Dit vormt een stelsel van vergelijkingen. Door de vergelijkingen op te
A
tellen volgt een handelbare uitdrukking voor T . die weer in de W,l
andere vergelijkingen ingevuld kan worden. Het stelsel komt er als
volgt uit te zien:
~ Q - Q. + k1 (r _4- {r . 1+ o. <---k1 + B A:>}4] + z l g,l W,l- l 3 F
lw
k2 Ir . - r . 1 - Q. < t_ + B A:> 11.37 g, 1 w. 1- 1 -~
1 F
w
sign[r . - T - Q. {__!__ + B A:)] = 0 g,1 w,i-1 1 k
3 F
'w D.l4
105
T p, i = T w, i-1 + Q. (-1- + B A~) 1 k3 F
'lw
"' "' B Ax Q.
T - T + 1 w, i - w,i-1 ,..
'lw F
Hierin staat Qi voor de volgende uitdrukking:
Q = (a+~) Q + é a (9.28 10-6 T 6 - T .4) + i z g a g,1
"'0 6 T -T . 8.6V · a g,l
L 0.4 s
D.l5
D.16
D.l7
Voor het eertse segment dient in bovenstaande uitdrukkingen T . 1 W,l-
vervangen te worden door T0
.
Als de vrije convectie groter is dan de gedwongen convectie is de
afleiding iets anders. Alleen die term wordt bekeken die anders is dan
in het voorgaande:
k4 IT -T . 11
·33
sign(T -T .) a g,1 a g,1
Na de Taylorreeksontwikkeling volgt hiervoor de uitdrukking:
1.33 k4 Ir -r .1°· 33 (t -t .) + a g,1 a g,1
106
A A 1 33 A A
k4 Ir -r . I · sign(r -r . ) + a g,1 a g,1
A A 1.33 A A
k4 Ir -r .1 ó(r -r .) (t -t .) a g,1 a g,1 a g,1
Vergelijking D.4 wordt hiermee:
C dtg,i =a q + 5.568 10-5 é aT 5 t -g dt z g a a
4 é aT .3 t . + 4 k
1 r .3 t . + g g,1 g,1 p,1 p,1
A A 0 33 1. 33 k4 Ir -r . I · ( t -t . ) -
a g, 1 a g, 1
A A 0.37 1 . 37 k2 Ir . -T . I ( t . - t . ) p,1 g,1 p,1 g,1 D.18
De vergelijkingen D.14 t/m D.16 veranderen hierdoor niet. Vergelijking
D.17 wordt:
Q1. = (a+~) Q + é a (9.28 10-6 T 6-T .4 ) -+ z g a g,1
A A 1 33 A A
k4 Ir -r . I · sign(T -r . ) a g,1 a g,1 D.19
107
APPENDIX E: AFLEIDING VAN DE OVERDRAaiTSFUNCTIES
Hier worden de totale overdrachtsfuncties afgeleid zoals die gelden
voor het geschaalde model zoals gebruikt in de analoge rekenmachine.
De vergelijkingen IV.l t/m IV.3 worden Laplace getransformeerd.
Vervolgens worden door eliminatie uitdrukkirtgen verkregen voor de
deeloverdrachten. De getransformeerde vergelijkingen zien er als volgt
uit:
K t + K qz + K V + K pg. i t p, i t a a qa V, i
E.l = g, i K + s g, i
Kq/3 qz + K t w, i + K t t = wp gp. i g, i
E.2 p, i K p, i + s
Kf . f + K t :e. i + KwO t w, i-1 t . 1 :ew E.3 w, i = K + s w
Substitueren van E.l in E.2 levert een uitdrukking voor t . ent .. W,1 p, 1
Deze luidt:
t . [(K . +s) (K i+s) - K . K ] = p,1 g,1 p, gp,1 pg,i
108
K {K .+s) t . + K K . t + K . K . v + wp g,1 w,1 a gp,1 a v,1 gp,1
q [K K . + Kq/3 (K .+s)] E.4 z qa gp,1 g,1
Invullen van deze uitdrukking in E.3 levert na herschrijven de
volgende deeloverdrachten op:
K K K H' p.w gp, i a
E.5 = aw, i N. 1
K (K K . + K (3 (K .+s)) H' =
pw qa ~.1 9 s;' 1 E.6 qw, i N. 1
K K gp. i K V, i H' =
pw E.7 vw, i N. 1
Kf . [<K .+s) (K .+s) - K K . ] '1 p. 1 pg, i H' = g, 1 gp. 1 E.S fw, i N. 1
KwO [<K .+s) (K .+s) - K K . ] HOw . = g, 1 p. 1 ps;. i gp. 1
E.9 '1 N. 1
Invullen van deze uitdrukkingen in E.4 levert een serie deel-
overdrachten voor t . op. p, 1
109
K K (K +s) H' a gp, i w
E.lO = ap, i N. 1
H' (K +s)[K K . + Kgê (K .+s)]
E.ll = w ga ~,1 ~.1
qp, i N. 1
K K V, i (K +s)
H' ~.i w E.12
= vp, i N. 1
K Kf . (K .+s) H' = !E ,1 ~.1
E.l3 fp, i N. 1
K KwO (K .+s) Hàp . = wp ~.1
E.14 . 1 N . 1
Deze uitdrukkingen worden tenslotte ingevuld in E. 1. Hieruit volgen
dan de deeloverdrachten voort .. g,1
H' . ag,1
H' qg, i
H' vg, i
K [(K ,+s)(K +s) - K K ] = a _ p.. w pw wp_ N.
1
K m.i K ê (K +s) + K [(K .+s)(K +~)
= g w ga p.1 w N.
1
K [(K .+s)(K +s) - K K ] V, i p.1 w !!P pw = N. 1
110
E.15
- K K ] J2W wp E.l6
E.l7
K K Kf . H'
wp ~.i • 1
fg. i = N. 1
K K pg. i KwO
H' = wp
Og, i N. 1
N. is een gemeenschappelijke noemer gegeven doo~: 1
N1. = (K +s)(K .+s)(K .+s) - K . K . (K +s) -w p, 1 g, 1 gp. 1 pg, 1 w
K K (K .+s) pw wp g,1
E.18
E.19
E.20
Deze uitdrukking willen we herschrijven in een vorm met reële
positieve tijdconstanten. Daarvoor moeten de nulpunten van tellers en
noemer bepaald worden. Wat de noemer betreft worden de nulpunten
bepaald met behulp van de computer. Als een derdegraadsvergel ijking
zodanig omgeschreven wordt dat de coëfficiënten van de derdegraadsterm
+1 is dan geldt dat alle nulpunten negatief zijn als de coëfficiënten
van de lineaire ,de kwadratische en de constante term positief zijn.
Dat wil zeggen:
K + K . + K . < 0 E.21 w g,l p,l
K K . + K . K . + K K . < K . K . + K K E.22 w g, 1 g, 1 p, 1 w p, 1 gp, 1 pg, 1 pw wp
111
KK .K .<K .K .K+K K K w g. 1 p, 1 pg. 1 gp, 1 w wp pw g, i E.23
De enige constantes die eventueel negatief kunnen worden zijn K en w
K .. Dit is alleen mogelijk als de hulpconstane k_ voldoende negatief p, 1 --j
is. Daarvoor moet in ieder geval gelden: ó < ó . Dit is zodanig w. p
onwaarschijnlijk dat we ervan uitgaan dat k3
positief is. De noemer
schrijven we daarom als:
{l+T1 . s)(l+T2 . s){l+T3 . s) N ,1 ,1 ,1 . = _ ___;~ ___ ;;;;..:".;;;...._ __ ...;:;;,.":_,;;;___
1 Tl . T2 . T3 • . 1 . 1 . 1 E.24
De tijdeonstantes zijn hierbij de inversen van de omgekeerden van de
nulpunten van N .. 1
Vervolgens worden alle daarvoor in aanmerking komende tellers bekeken,
waarbij eventuele gemeenschappelijke constantes worden weggedeeld.
1) fK .+s)(K +s) - K K - p,1 w pw wp
De nulpunten zijn negatief als:
K . + K > 0 p,1 w
K . K > K K p,1 w wp wp
112
E.25
E.26
De uitdrukking voor de tijdconstanten zijn:
T4. = 2 [K . + K + vf(K .-K )2 + 4 K K I ]-1 E.27 ,1 p,1 w p,1 w pw wp
T5 . = 2 [K . + K - vf(K .-K )2 + 4 K K I ]-1
E.28 . 1 p, 1 w p,1 w pw. wp
2) K [(K +s)(K .+s) - K K ] + K~R K . (K +s) qa w p,1 pw wp ~ pg,1 w
De nulpunten zijn negatief als:
K K +K K .+K{3K .>0 qa w qa p,1 q pg,1 E.29
K KK .+K{3K .K>K K K qa w p,1 q pg,1 w qa pw wp E.30
Voor de tijdconstanten gelden de uitdrukkingen:
[ + r0 J-1 T 10 • 1.=2Kqa K (K+K .)+K~RK . -vn qa w p,1 ~ pg,1 E.31
T 11 • 1. = 2 K [ + K~R K . - rn J -1
qa Kqa (Kw+Kp,i) ~ pg,1 E.32
2 D = (K K + K K . + K~R K . ) -qa w qa p. 1 ~ pg, 1
E.33
113
3)
4)
5)
K +s w
Het nulpunt is negatief als:
K > 0 w
De uitdrukking voor het nulpunt is:
(K K . + K ~ (K .+s))(K +s) qa gp. 1 q,_, g. 1 w
Een nulpunt is al bekend. Het andere is altijd negatief:
T12 . = K ~ [K K . + K~~ K .]-l • 1 q,_, qa gp. 1 "ii-' g, 1
K .+s g, 1
Het nulpunt is negatief als:
K . > 0 g,1
De tijdconstante is:
114
E.34
E.35
E.36
E.37
E.38
6) {K .+s){K .+s) - K . K . g,1 p,1 gp,1 pg,1
De nulpunten zijn negatief onder de voorwaarden:
K .+K .>0 g,1 p,1 E.39
K K p, i > K K E.40 g, i gp, i pg, i
rl T8 . = 2 [K .+ K .+ j (K .-K . ) 2 + 4 K K E.41 . 1 g,1 p,1 g,1 p,1 gp, i pg, i
rl Tg . = 2 [K .+ K _j(K .-K .)2 + 4 K K l E.42 . 1 g,1 p, i g,1 p,1 gp, i pg, i J
Onder de voorwaarden besproken bij de behandeling van de noemer zijn
ook alle nulpunten van alle tellers negatief. De daaruit voortlomende
schrijfwijze voor deeloverdrachten staat in tabel E.l
In het geval dat in deze studie beschouwd wordt, blijkt de invloed van
de zonnestraling geabsorbeerd door het glas en de windinvloed
verwaarloosbaar. Dat houdt in: K .=K =Ü. Daardoor worden enkele van V,1 q
de gevonden deeloverdrachten vereenvoudigd {tabel E.2).
115
Tabel E.l: De deeloverdrachten gesplitst in een statische versterking
xy
ag
qg
vg
fg
Og
ap
qp
vp
fp
Op
aw
qw
vw
fw
Ow
(S") en een tijdconstanten~edeelte (F").
n = {l+Tl . s){l+T2 . s){l+T3 . s) • 1 • 1 • 1
s· x,y
K Tl . T2 . T3 ./{T4 1 T5 .) a ,1 ,1 ,1 , ,1
Tl . T2 . T3 ./{Tlû . Tll .) ,1 ,1 ,1 ,1 ,1
K . Tl . T2 . T3 ./{T4 . T5 .) V,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1
K K . Kf . Tl . T2 . T3 . wp pg,1 ,1 ,1 ,1 ,1
K K . K Tl . T2 . T3 . wp pg,l WO ,1 ,1 ,1
K . K K Tl . T2 . T3 . gp. 1 a w ,1 • 1 • 1
K Tl . T2 . T3 ./Tl2 . w ,1 ,1 ,1 ,1
K K . K . Tl . T2 . T3 . W gp,1 V,l ,1 ,1 ,1
K K . Kf . Tl . T2 . T3 . wp g,1 ,1 ,1 ,1 ,1
Kwp Kg. i KwO T 1. i T 2, i T 3, i
K K . K Tl . T2 . T3 . pw gp,1 a ,1 ,1 ,1
K Tl . T2 . T3 ./Tl2 . pw , 1 • 1 • 1 • 1
K K . K . Tl . T2 . T3 . pw gp,1 v,1 ,1 ,1 ,1
Kr . Tl . T2 . T3 i/{Ts . Tg .) ,1 ,1 ,1 • ,1 ,1
KWÛ Tl . T2 . TJ ./{TS . Tg .) ,1 ,1 ,1 ,1 ,1
116
F' . xy,1
{l+T4 . s){l+T5 . s)/n • 1 • 1
{l+TlO,i s){l+Tll,is)/n
{l+T4 . s){l+T5 . s)/n • 1 • 1
1/n
1/n
{l+T6
s)/n
{l+T6 s)(l+T12 .i s)/n
{1+T6 s)/n
{1+T7 . s)/n '1
{l+T7 . s)/n • 1
1/n
{l+T12,i s)/n
1/n
{1+T8 . s)(1+Tg . s)/n • 1 • 1
{1+T8 . s){1+Tg . s)/n • 1 • 1
Tabel E.2: Vereenvoudi~de deeloverdrachten als K . = K = 0 - V,l--q--
n = {l+T1
. s){l+T2 . s){l+T3 . s) • 1 • 1 • 1
xy s· F' x,y xy, i
vg 0
vp 0
vw 0
qg K . K ~ K Tl . T2 . T3 . pg,1 q w • 1 ,1 ,1 {l+T
6 s)/n
qp K ~ K . K Tl . T2 . T3 . q g,1 w ,1 ,1 ,1 {l+T
6 s){l+T7 .
• 1 s)/n
qw K Kq~ Kg . Tl . T2 . T3 . pw , 1 , 1 , 1 , 1 (l+T7 . • 1 s)/n
117
APPENDIX F: LITERA1UURLI.JST
Alle literatuuropgaven zijn gegeven in alfabetische volgorde van
schrijver. Waar toepasselijk is de uitgever vermeld. Interne
vakgroepnotities zijn voorzien van het NR-nummer. In deze 1 ijst is
geen melding gemaakt van "standaard"-TIJE uitgaven zoals dictaten en
RC-bulletins.
1) Onderzoek naar het regelgedrag van een
vlakke-plaat-collector (NR 564) J.C.J. Aerts
2) Solar energy Thermal processes Duffie & Beckmann
3) Control systems theory (Me Graw-Hill} O.I. Elgerd
4) Een electrisch analogon van een
vlakke-plaat-collector (NR 77E)
5) Procesregeling (Prisma technica 40)
6) Statistische procesbeheersing
(Prisma technica 50)
7) Over de dynamica van de zonnecollector
(NR 196)
8) Coëfficiëntenwaarden zonnecollector
(NR 200}
9) De zonnecollector: segmentenbeschouwing
(NR 201}
10} Het mathematisch dynamisch model van
een zonnecollector (NR 154}
11} Verificatie van het dynamisch model van
een zonnecollector in het frequentie-
domein (NR 233)
12} Het mathematisch dynamisch model van
een vlakke-plaat-collector (NR 262)
13} Over het rendement van de zonne
collector (NR 278}
118
F.J.M. Gaykema
P.M.E.M. van der Grinten
P.M.E.M. van der Grinten
J.M.H. Lenoir
0. Rademaker
0. Rademaker
0. Rademaker
A.J. de Ron
A.J. de Ron
A.J. de Ron
A.J. de Ron
14) Responsie van de zonnecollector in
het tijddomein (NR 363)
15) Dynamic rnadelling and verification of
a flat-plate solar collector
A.J. de Ron
(solar energy Vol. 24 pg. 117-128) A.J. de Ron
16) Study of the non-linear dynamics of a
flat-plate solar co~lector {NR 475) A.J. de Ron
17) Benadering voor de karakteristieke
functie van een zonnecollector (NR 550) A.J. de Ron
18) Analyse van het hik-gedrag bij een aan-
uit besturing (NR 625E)
19) Stageverslag (NR 1115)
20) Zonnecollectoren: metingen en voor
spellingen m.b.v. analoge rekenmethoden
A.J. de Ron
J. v.d. Wilk
2e-jaarsprojekt (NR 870E) E.H.M. Hogeboom e.a.
21) Handhook of automation, computation and
control Volume 1
22) Een zonne-energiesysteem met gelaagde
opslag:collectorsturing en vatmodellen
(NR 821E)
23) Het intermitterend gedrag van de vloei-
Wooldridge, Grabbe, Ramo
P.A.A. Trouwen
stofpomp in een zonneboiler J.J. Smit, M.v. Spanje
24) Dynamisch optimaliseren van zonnewarmte
systemen met tijdelijke opslag van
voelbare warmte (NR 987) R.v.d. Linden
119
B
c. d 1n
F
g
APPENDIX G:SYMBOLENLI.JSf
breedte van de collector
warmtecapaciteit per oppervlakteëenheid
waterdebiet
tijdconstantengedeelte van een overdracht
veranderlijk deel van het waterdebiet
zwaartekrachversnelling
~. d overdrachtsfunctie 1n
I
k. d 1n
L
N
Nu
p
qind
Rind
Rind
8 ind
Tind
electrische stroom
constante in het analoge simulatiemodel of analogon
genummerde hulpconstante
lengte van de collector
aantal collectorsegmenten
gemeenschappelijke noemer van de overdrachten
getal van Nusselt
overdrachtcoëfficiënt voor gedwongen convectie
warmtestroom per oppervlakteëenheid
veranderlijk deel van de warmtestroom
warmteweerstand
electrische weerstand
statische versterking van een overdracht
temperatuur
120
m
kg s-1
-2 m s
A
variëert
m
-2 -2 Wm K
K
t
t. d In
u
V
V
V
x
a
"A. d In
vind
T
a
tijd
veranderlijk deel van de temperatuur
verliesfactor van de collector
windsnelheid
spanning
veranderlijk deel van de windsnelheid
lengte coördinaat van de collector
door het glas geabsorbeerd deel van de zonnestraling
door de plaat geabsorbeerd deel van de zonnestraling
kubieke uitzettingscoëfficiënt
lengte van een collectorsegment
dikte of doorsnede
emissiecoëfficiënt
soortelijke warmte
warmtegeleidingsvermogen
breedte van een collectorvin
kinematische viscositeit
het bekende getal
soortelijke warmte
schalingswaarde voor de tijd
tijdconstante
constante van Boltzmann
121
s
K
V
-1 m s
m
-1 K
m
m
m
~ , -1 K-1 J Kg
J s-1 m-1 K-1
m
2 -1 m s
-3 kg m
s
s
I~Icrs
a van de omgeving
f van het waterdebiet
g van het glas
gl van het glycol
max schalingswaarde van de betreffende grootheid
p van de plaat
q van de warmtestroom van de zon
s van de hemel
s specifiek
v van de windsnelheid
w van het water
z van de zon
0 ingang
0 van het voorgaande segment
,i segmentaanduiding
werkpuntgrootheid
deeloverdracht
122