Facoltà di IngegneriaDipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni
Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel risonante mediate il formalismo di Wigner
Laboratorio di Microelettronica
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Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel intrabanda mediante il formalismo di Wignerintrabanda mediante il formalismo di Wigner
Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel Analisi del trasporto in dispositivi ad effetto tunnel intrabanda mediante il formalismo di Wignerintrabanda mediante il formalismo di Wigner
Relatori:
Prof. G. Manes Prof. G. FrosaliDipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Dipartimento di Elettronica e TelecomunicazioniUniversitá di Firenze Universitá di Firenze
Ing. A. Cidronali Ing. M. CampriniDipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni” Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Universitá di Firenze Universitá di Firenze
Candidato: Omar Morandi
Anno Accademico 1999 - 2000
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x pcoll
f fv p / f q f
t tE
Meccanica classica: equazione di BoltzmannMeccanica classica: equazione di Boltzmann
Equazione di Wigner
Simulare un dispositivo a semiconduttore equivale a determinare il moto di N particelle interagenti
Equazione di Schrödinger
{ i Ht
Meccanica quantistica:Meccanica quantistica:
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Funzione di Wigner :Funzione di Wigner :
Equazione di Wigner :Equazione di Wigner :
Operatore pseudo-differenziale :Operatore pseudo-differenziale :
wx w w
f pf U f 0
t m
3N 3Np '
i p p 'w3N
R R
iU x t U x t f x,p ', t e dp 'd
2 22
3N
ipw 3N
R
1f x,p, t x t x t e d
2 22
wU f x,p, t
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Meccanica classica e formalismo di Wigner
Analogie:Analogie:
Calcolo dei momenti della distribuzione
Momento di ordine zeroMomento di ordine zero
Momento del primo ordineMomento del primo ordine quant w
qJ x, t f x,p, t pdp
m
quant wn x, t f x,p, t dp
Equazione di Wigner Equazione di Boltzmann
Limite classico
0
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Meccanica classica e formalismo di Wigner
L’ ambientazione nel piano delle fasi suggerisce la definizione di traiettorie quantistiche
Possibile interpretazione dei fenomeni quantistici alla luce del moto di una quasi-particella con posizione e quantità di moto ben definiti che risente dell’ effetto dei campi tramite l’azione di una “forza quantistica”
1
disp
d U x1F
! 2i p dx
Analogie: Analogie:
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la quasi-particella risente in generale dell’azione esercitata dai campi in ogni punto dello spazio
La forza quantistica è non locale:
La funzione di Wigner non è definita positiva :
Funzione di Wigner relativa allo stato risonante dell’RTD
Non può essere interpretata come una densità di probabilità
{Differenze: Differenze:
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Un dispositivo elettronico è un sistema aperto contenente al proprio interno svariati gradi di libertà che rendono il moto dei portatori tipicamente irreversibile
Modellizzazione di dispositivi a semiconduttore : Modellizzazione di dispositivi a semiconduttore :
Una formulazione cinetica fornisce strumenti semplici ed efficaci per includere l’irreversibilità di moto
Apertura :Apertura : BusDispositivoBus
Caratteristica di corpo nero
Reservoirs
Distribuzione termodinamica di portatori
Gli elettroni escono senza essere riflessi
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Collisioni :Collisioni : Approssimazione “a tempo di rilassamento” dell’operatore collisionale di Boltzmann
Risultati analitici applicabili ai casi pratici :
Descrizione di moto incoerente e impiego di Condizioni al Contorno non reversibili per inversione temporale
ffww limitata
p ' p p p 'coll
0 00
fW f x,p ' W f x,p
t
1x f x,p ' x f x,p
x
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Differenze modellistiche fra la formulazione wigneriana della meccanica quantistica e quella standardDifferenze modellistiche fra la formulazione wigneriana della meccanica quantistica e quella standard
Semplicità nella descrizione degli stati “mixed”
Semplicità nella simulazione di fenomeni quantistici transitori Descrizione dell’irreversibilità di moto senza violazione dell’equazione di continuità della carica
Perdita comprensione intuitiva e di interpretabilità nelle soluzioni Mancanza di soluzioni analitiche se non per casi banali Necessità di utilizzo di tecniche di calcolo non standard per la risoluzione numerica n x
J 0t
DifettiDifettiPregi Pregi
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Tecniche di calcolo :Tecniche di calcolo : Gli algoritmi di calcolo si adattano alla complessità del problema trattato
Soluzione stazionaria Soluzione evolutiva
Soluzione auto-consistente Soluzione non auto-consistemte
Schema differenziale di Eulerodel secondo ordine up-dounwind
w UDS if f
Approssimazione dell’operatore pseudo-differenziale
p x
N N / 2p x
w i i ' i i ' i, j'j' 1 i ' 1p
2 j j' i '1 2U f sin U U f
N
Soluzione stazionaria :E’ possibile ricondurre la determinazione di una soluzione dell’equazione di Wigner al seguente sistema lineare
f0
t
wf bL wf bL x w w
pf U f 0
m x w w
pf U f 0
m
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Soluzione evolutiva Soluzione evolutiva
Una soluzione formale dell’equazione di Wigner tempo-dipendente si scrive
In generale si implementano schemi iterativi del tipo
0
t
0
t
f t exp t ' dt ' f t
L
df t t f t L
Schema Eulero esplicito :
Schema Eulero implicito :
Schema Cayley : Schema Cayley :
00
t t
tt ' tt
exp t ' dt ' 1 t '
L L
tt
t
1 t ' / 2exp t '
1 t ' / 2
L
LL
tt
t
1 t ' / 2exp t '
1 t ' / 2
L
LL
00
t t1
tt ' tt
exp t ' dt ' 1 t '
L L
Sia per la stabilità dell’algoritmo che per la sua precisione si dimostra critica la scelta di una congrua metodologia di calcolo dell’esponenziale
Algoritmo numerico stabile La soluzione analitica è limitata
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Soluzione evolutiva: algoritmo Gummel Soluzione evolutiva: algoritmo Gummel
Soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson Soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson Ricercare una soluzione auto-consistente del sistema Wigner-Poisson significa determinare il profilo del minimo della banda di conduzione del dispositivoche sia coerente con la distribuzione di carica al suo interno
Sistema Wigner-PoissonSistema Wigner-Poisson{{ 2
22
d u xq C x n x
dx
wx w w
f pf U f 0
t m
quant wn x, t f x, p, t dp
Soluzione stazionaria: algoritmo Newton Soluzione stazionaria: algoritmo Newton Possiede un meccanismo di controllo sulle soluzioni che impedisce loro di oscillare indefinitamente
n
u
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TIpologia costruttiva dell’RTD simulatoTIpologia costruttiva dell’RTD simulato
Substrato
Pozzo quantisticoBarrieraSpacers
SpacersBarriera
Catodo
Anodo
Materiale Spessore ( Ǻ ) Drogaggio ( cm-3 ) Funzione
GaAs -- 2 1018 Substrato
GaAs 30 Undoped Spacers
Al0.3Ga0.7As 30 Undoped Barriera
GaAs 50 Undoped Pozzo quantistico
Al0.3Ga0.7As 30 Undoped Barriera
GaAs 30 Undoped Spacers
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Caratteristiche RTD Caratteristiche RTD Presenza di una regione di funzionamento
a resistenza differenziale negativa (N.D.R.).
Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente
utili in numerose applicazioni sia analogiche che
digitali.
Misure statiche dell’RTD simulatoMisure statiche dell’RTD simulato
Simulazioni e misure
si riferiscono
alla temperatura di 77 ºK
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Caratteristiche RTD Caratteristiche RTD Presenza di una regione di funzionamento
a resistenza differenziale negativa (N.D.R.).
Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente
utili in numerose applicazioni sia analogiche che
digitali.
Presenza di cicli d’isteresi Presenza di punti di polarizzazione
instabili con conseguente formazione
di oscillazioni intrinseche ad alta
frequenza.
Problematiche di utilizzoProblematiche di utilizzo
Misure statiche dell’RTD simulatoMisure statiche dell’RTD simulato
Simulazioni e misure
si riferiscono
alla temperatura di 77 ºK
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Caratteristiche RTD Caratteristiche RTD Presenza di una regione di funzionamento
a resistenza differenziale negativa (N.D.R.).
Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente
utili in numerose applicazioni sia analogiche che
digitali.
Presenza di cicli d’isteresi Presenza di punti di polarizzazione
instabili con conseguente formazione
di oscillazioni intrinseche ad alta
frequenza.
Problematiche di utilizzoProblematiche di utilizzo
Misure statiche dell’RTD simulatoMisure statiche dell’RTD simulato
Simulazioni e misure
si riferiscono
alla temperatura di 77 ºK
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Simulazioni effettuateSimulazioni effettuate
Termini di paragone per testare dell’affidabilità dell’algoritmo
Simulazioni FerrySimulazioni FerryCaratteristica statica: soluzione stazionaria non auto-consistente
Il nostro metodo mostra un buon accordo sia con i dati sperimentali
che con i risultati ottenuti da altri autori
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Variazione della densità di carica all’interno
del semiconduttore ottenuta integrando
la funzione di Wigner
Tempi di switchTempi di switch
T = 77 K T = 300 K
Dalle simulazioni appare
il seguente fenomeno
paradossale, ovvero che le
collisioni possano diminuire
i tempi di switch. Una
spiegazione fisica plausibile
segue dall’analisi delle
quasi-traiettorie
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Simulazioni auto-consistenti Simulazioni auto-consistenti
Nelle simulazioni
auto-consistenti
si impiega il “vero”
profilo di potenziale
del diodo
Presenza del ciclo d’isteresi La spiegazione fisica della presenza del ciclo
d’isteresi segue dall’analisi dell’intrappolamento
della carica all’interno del pozzo quantistico
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Simulazioni delle oscillazioni intrinseche Simulazioni delle oscillazioni intrinseche Le oscillazioni intrinseche sono il fenomeno più complesso mostrato dai diodi risonanti
e solo con le simulazioni Wigner si è, fino ad oggi, riuscito a riprodurlo e studiarlo:Transizioni stabili Transizioni instabili
Le oscillazioni si
auto-innescano
nel range di
tensione 0.24 0.26 V.
La loro spiegazione fisica
dovrebbe derivare
dalla creazione di livelli discreti
nella regione catodica e del
loro conseguente sparpagliamento
in una distribuzione continua
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Ambiente di lavoro C++
Costi computazionali Costi computazionali
La presente stima dei tempi di calcolo è relativa all’utilizzo di un normale PC che
impiega 30 secondi nella risoluzione di un’iterazione di calcolo Wigner-Poisson: come
si nota i tempi di calcolo sono molto vari e se le simulazioni più semplici impiegano
tempi minimi e si prestano alla progettazione di circuiti, quelle più sofisticate sono
troppo lente e risultano utili più in fase di verifica: si ha così uno strumento adattabile
ai vari casi d’impiego
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Applicazione a nuovi materiali
nella modellizzazione di strutture “Lattice-matched”
Dispositivi interbanda su substrato InP
che mostrano una buona caratteristica
anche a temperatura ambiente
Impiego della tecnologia Si-Ge
In cui si utilizzano substrati virtuali
e “layers strained”
Conclusioni Conclusioni
Sviluppi futuri Sviluppi futuri
Buoni risultati
Applicazione a dispositivi circuitalmente più complessi
Formalismo doppia banda
Inclusione formale dell’interazione e--fonone